(共23张PPT)
【课标要求】
1．掌握复数代数形式的四则运算．
2．会在复数范围内解方程．
5．3 复数的四则运算
一般地，对任意两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，有
加法：(a＋bi)＋(c＋di)＝
；
减法：(a＋bi)－(c＋di)＝
；
乘法：(a＋bi)(c＋di)＝
.
即两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)的加、减、乘运算，可以先看作以i为字母的实系数多项式的相应运算来进行，再将i2＝－1代入，将
分别合并，就得到最后的结果．
自学导引
1．
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
实部和虚部
分母实数化
自主探究
如何在复数范围内解方程x2＝－1
若z＋3－2i＝4＋i，则z等于
( )
A．1＋i
B．1＋3i
C．－1－i
D．－1－3i
解析 z＝(4＋i)－(3－2i)＝1＋3i.
答案 B
若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝
( )
A．4＋2i
B．2＋i
C．2＋2i
D．3＋i
解析 z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i，故选A.
答案 A
预习测评
1．
2．
5－(3＋2i)＝________.
答案 2－2i
3．
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则有z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
即两个复数相加(减)，就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，由此可知：
(1)两个复数的和(差)仍是一个确定的复数．
(2)该法则可以推广到多个复数相加(减)．
(3)复数加法满足交换律与结合律，即对任意的复数z1，z2，
z3，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
要点阐释
1．复数代数形式的加、减法运算法则
复数代数形式的乘法运算法则
(1)复数乘法的法则
复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但必须在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部、虚部分别合并．
(2)复数乘法的运算律
对于任意的z1，z2，z3∈C，有
z1·z2＝z2·z1(交换律)，
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)，
z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(乘法对加法的分配律)．
2．
题型一 复数的加减运算
计算(1)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；
(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
解 (1)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]
＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i
＝－a＋(4b－3)i.
点评 (1)类比实数运算，若有括号，先计算括号内的，若没有括号，可从左到右依次进行．
(2)算式中出现字母，首先要确定其是否为实数，再确定复数的实部和虚部，最后实部、虚部分别相加减．
典例剖析
【例1】
(1)若z－(1＋i)＝1＋i，则z＝________.
(2)计算(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝________.
解析 (1)∵z－(1＋i)＝1＋i，
∴z＝(1＋i)＋(1＋i)＝2＋2i.
(2)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)
＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i＝－1－8i
答案 (1)2＋2i (2)－1－8i
1．
题型二 复数的乘除运算
(1)设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i，若z1z2∈R，则实数x等于
( )．
A．－2
B．－1
C．1
D．2
(2)复数(1＋2i)÷(3－i9)的值是________．
解析 (1)z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝x＋2i＋xi＋2i2
＝(x－2)＋(x＋2)i.因为z1z2∈R，
∴x＋2＝0，∴x＝－2.
【例2】
计算(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．
解：原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i)
＝2(12－4i－3i＋i2)＋(28－21i－4i＋3i2)
＝2(11－7i)＋(25－25i)
＝47－39i.
2．
求满足下列条件的复数z：
(1)z2＝－7－24i；
(2)(3－i)z＝4＋2i.
题型三 在复数范围内求解实系数一元二次方程问题
【例3】
点评 求复数方程的实系数问题应特别注意利用复数相等的充要条件．
3．求3＋4i的平方根．
设z是复数，a(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，则对虚数单位i，a(i)＝
( )．
A．1
B．2
C．4
D．8
[错解] 因为1的任何次幂都为1.故选A.
错因分析 对a(z)的理解不到位，未注意到z应为复数．
[正解] 因为n为正整数．
i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1.
所以a(z)应为4，故选C.
答案 C
误区警示 以偏概全思路有时不可取
【例4】
纠错心得 读懂题意，明白a(z)所表示意义是关键，此外还应掌握i的有关性质．i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1，n∈N.5．1 解方程与数系的扩充
5．2 复数的概念
1．“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”是“a＝0”的什么条件
( )
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
答案 A
2．以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是( )
A．2－2i
B．2＋i
C．－＋
D.＋i
解析 ∵2i－的虚部为2，i＋2i2的实部为－2，
∴所求复数为2－2i.
答案 A
3．下列命题中，假命题是
( )
A．两个复数可以比较大小
B．两个实数可以比较大小
C．两个虚数不可以比较大小
D．虚数和实数不可以比较大小
解析 两个不全是实数的复数不能比较大小．
答案 A
4．已知a，b∈R，且a－1＋2ai＝－4＋bi，则b＝________.
解析 依题意，有得
答案 －6
5．如果复数a＋bi是虚数，则下列式子成立的个数为________．
(1)a＝0；(2)b＝0；(3)a≠0；(4)b≠0.
解析 (1)(3)都不一定正确，(2)不正确，只有(4)正确．
答案 1
6．实数m取什么值时，复数z＝m＋1＋(m－1)i是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解 (1)当m－1＝0，即m＝1时，复数z是实数．
(2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数．
(3)当m＋1＝0，且m－1≠0，即m＝－1时，复数z是纯虚数．
7．复数1＋i＋i2等于
( )
A．1
B．i
C．－i
D．0
解析 ∵i2＝－1，∴1＋i＋i2＝i.
答案 B
8．复数(3m－2)＋(m－1)i是虚数，则m满足
( )．
A．m≠1
B．m≠
C．m＝1
D．m＝
解析 m－1≠0，即m≠1.
答案 A
9．方程x2＋4＝0的根为________．
解析 x2＝－4＝(2i)2＝(－2i)2.
答案 ±2i
10．复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则x＝________.
解析 由题意知∴x＝－1.
答案 －1
11．已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x、y的值；
解 由复数相等的条件，得
解得或
12．(创新拓展)求实数x分别取什么值时，复数z＝lg(x2－2x－2)＋(x2＋3x＋
2)i是：
(1)实数；(2)纯虚数．
解 (1)要使z是实数，必须且只需解得x＝－1或x＝－2.
(2)要使z是纯虚数，必须且只需解得x＝3.5．4 复数的几何表示
1．若点P对应的复数z满足|z|≤1，则P的轨迹是
( )
A．直线
B．线段
C．圆
D．单位圆以及圆内
答案 D
2．若z1＝(x－2)＋yi与z2＝3x＋i(x，y∈R)互为共轭复数，则z1对应的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析 ∵z1与z2互为共轭复数，∴∴z1＝－3－i.
答案 C
3．当A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析 0，m－1<0，点在第四象限．
答案 D
4．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)对应的点在虚轴上，则a的值为
________．
解析 a2－2a＝0，∴a＝0或a＝2.
答案 0或2
5．复数z＝3＋4i对应的点Z关于原点的对称点为Z1，则向量对应的复数
为________．
解析 由题意知，Z点的坐标为(3,4)
点Z关于原点的对称点Z1(－3，－4)
所以向量对应的复数为－3－4i.
答案 －3－4i
6．已知复数z1＝3和z2＝－5＋5i对应的向量分别为＝a，＝b，求向
量a与b的夹角．
解 设a，b的夹角为α，a＝(3,0)，b＝(－5,5)，
则cos
α＝＝＝－，
∵0≤α≤π，∴α＝.
7．(2011·山东)复数z＝在复平面内对应的点所在象限是
( )．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析 ＝＝，
其对应点为，在第四象限．
答案 D
8．(2011·课标全国)复数的共轭复数为
( )．
A．－i
B.i
C．－i
D．i
解析 ＝＝＝i，其共轭复数为－i.
答案 C
9．(2011·上海)若复数z＝1－2i，则z＋z＝________.
解析 z＋z＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i＝5＋1－2i＝6－2i.
答案 6－2i
10．在复平面内复数对应点的坐标为________，复数的模为________．
解析 ＝＝＝－1＋i，
对应点为(－1,1)，对应向量的坐标为(－1,1)，其模为.
答案 (－1,1)，
11．已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第二象限，求实数
x的取值范围．
解 ∵复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第二象限，
∴x满足解得2∴x∈(2,5)．
12．(创新拓展)(2011·上海)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i，复数z2的虚
部为2，且z1z2为实数，求z2及|z2|.
解 z1＝＋2＝＋2＝＋2＝2－i，
设z2＝a＋2i(a∈R)，
则z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，
由于z1z2为实数，
∴4－a＝0.∴a＝4.
∴z2＝4＋2i
|z2|＝＝2.(共24张PPT)
1．了解引进虚数i的必要性，了解数集的扩充过程．
2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些
基本概念，如：虚数单位、复数、虚数、纯虚数、实
部、虚部等等．
3．理解复数相等的充要条件．
5．1 解方程与数系的扩充
5．2 复数的概念
【课标要求】
自然数系
有理数系
虚数单位
－1
全体复数
实部
虚部
设z＝a＋bi(a，b∈R)，则当且仅当 时，z为实数．
当 时，z为虚数，当 时，z为纯虚数．
实数集R是复数集C的 ，即R?C.这样复数包括
和
．
a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)的充要条件是
.
4．
5．
6．
b＝0
b≠0
a＝0且b≠0
真子集
实数
虚数
a＝c且b＝d
复数能比较大小吗？
提示 两个实数可以比较大小，但两个复数至少有一个为虚数时，不能比较大小．
自主探究
答案 D
复数1－i的虚部是
( )．
A．1
B．－1
C．i
D．－i
答案 B
预习测评
2．
3．设x∈R，且(x－2)＋(x2－1)i为纯虚数，则x＝________
答案 2
4．设x，y∈R，且(x－y)＋(x＋y)i＝2，则x·y＝________.
答案 －1
(1)增添了新元素．
(2)新旧元素在一起构成数集．在新的数集里，定义一些基本关系和运算，使原有的一些主要性质(如运算定律)仍旧能够适用．
(3)旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系仍然保持．
(4)新的数集解决了旧的数集不能解决的矛盾．
要点阐释
1．数的概念扩充的原则
我们知道，如果b2－4ac<0，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根，这说明在代数方程的讨论中，实数集依然不够完善，在实数范围内，－1不能开平方．这样，人们在解方程的过程中，为了解决负数不能开平方的问题，引入了一个新数i，叫做虚数单位，并规定：
(1)它的平方等于－1，即i2＝－1；
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．
2．虚数单位i
(2)第二条性质是扩充数集的原则之一，这里只提加、乘运算，没有提减、除运算，并不是复数的运算对减法和除法不成立，而是为了与后面讲复数的四则运算时，只对加法和乘法法则给出规定，而分别把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算的做法相一致，在学习过程中应注意这一点．
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
3．
说明：(1)实数R和虚数集都是复数集C的真子集，且R∪{虚数}＝C，R∩{虚数}＝ .
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部是b，而不是bi.
4．复数的分类
设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z为纯虚数的必要不充分条件是
( )．
A．a＝0
B．a＝0且b≠0
C．a≠0且b＝0
D．a≠0且b≠0
典例剖析
题型一 复数的有关概念
【例1】
解析 纯虚数的概念：当a＝0而b≠0时，复数z＝a＋bi＝bi(a，b∈R)叫做纯虚数．本题应利用它进行正确选择．
由纯虚数的概念可知：a＝0且b≠0是复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件．而题中要选择的是必要不充分条件．因此，我们要选择的应该是由且字连接的复合命题“a＝0且b≠0”的子命题，“a＝0”或“b≠0”．对照各选择项的情况，我们可以发现应选择A.
答案 A
点评 (1)b≠0也是z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的必要不充分条件；(2)本题的选择项C与D及“a＝0且b＝0”均为z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的既不充分也不必要的条件．
对于实数a、b，下列结论正确的是
( )
A．a＋bi是实数
B．a＋bi是虚数
C．bi是纯虚数
D．a＋bi
是复数
答案 D
1．
点评 集合的有关运算性质，在复数C中仍然成立．
3．已知a－1＋2ai＝4i－4，求复数a.
点评 复数z＝a＋bi(a，b∈R)当且仅当为实数时，才能比较大小．若a＋bi＞0，则知b＝0，且a＞0.注意隐含条件的运用．
4．若(x2－1)＋(x＋3)(x－2)i＞3，求实数x的取值范围．
错因分析 研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是有意义的，这是一个前提条件．上述解法便忽略了分母不能为0的条件，丢掉了m＋3≠0，导致错解．
纠错心得 对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体；又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识它，如复数z是实数的条件是：虚部为零，实部有意义.(共24张PPT)
【课标要求】
1．理解复数与复平面内的点之间的一一对应关系，掌握复
数的几何意义．
2．了解复数的模的意义，理解共轭复数概念．
5．4 复数的几何表示
自学导引
复平面
实轴
实数
虚轴
纯虚数
一一对应
|z|
共轭复数
a－bi
z
复平面内|z|的意义是什么？
自主探究
已知复数z＝i，复平面内对应的点Z的坐标为
( )
A．(0,1)
B．(1,0)
C．(0,0)
D．(1,1)
答案 A
预习测评
1．
答案 D
3．已知复数z＝2＋3i，则|z|＝________.
复数的几何意义的理解中需注意的问题
(1)复数的实质是有序实数对．
(2)复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i.
(3)当a＝0时，对任何b≠0，a＋bi＝0＋bi＝bi(a，b∈R)是纯虚数，所以纵轴上的点(0，b)(b≠0)都表示纯虚数．
(4)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中的z，书写时应小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时应大写．
要点阐释
1．
设复数z＝a＋bi(a，b∈R)和复平面上的点Z(a，b)对应，a、b必须满足什么条件，才能使点Z位于：(1)实轴上；(2)虚轴上(不含原点)；(3)上半平面(含实轴)；(4)左半平面(不含虚轴及原点)；(5)直线y＝x上．
解 (1)b＝0；(2)a＝0且b≠0；(3)b≥0；(4)a<0；(5)a＝b.
点评 本题主要考查复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)建立一一对应的关系．
典例剖析
题型一 复数的几何意义
【例1】
1．实数k为何值时，复数z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i对应的点位于：(1)x轴正半轴上；(2)y轴负半轴上；(3)第四象限角平分线上．
【例2】
已知复数x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈R)与复数4－20i互为共轭复数，求x的值．
题型二 共轭复数
点评 根据共轭复数的定义及复数相等的定义，可列出关于x的两个方程，其公共根便为所求，对于a＋bi(a，b∈R)，当b≠0时，a＋bi与a－bi叫做互为共轭虚数，显然，在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等．
答案 y轴
题型三 复数的模及其几何意义
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2.
因为|z|≥1表示圆|z|＝1外部及圆上所有点组成的集合，|z|≤2表示圆|z|＝2内部及圆上所有点组成的集合，故符合题设条件的点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环，包括边界．
【例4】
设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，求复数z.
误区警示 对一些知识的不合理迁移导致错误
错因分析 造成错解的主要原因是实数绝对值概念的负迁移．
纠错心得 在实数范围内有些概念，定理运算性质(法则)，公式等在复数集中不再成立．如：(1)若x∈R，则|x|2＝x2，若x是虚数，此结论不再成立；(2)若a，b∈R，则由a2＋b2＝0，可得a＝b＝0，若a，b不全为实数，此结论也不成立，如a＝1，b＝i，则a2＋b2＝1＋(－1)＝0等．
因此，在解答复数的有关问题时，不能将实数内的所有知识不加证明地推广到复数集中，防止知识的负迁移.第五章
数系的扩充与复数
章末质量评估
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．a＝0是复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的
( )．
A．必要条件
B．充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件
解析 a＝0 /
a＋bi(a，b∈R)为纯虚数，a＋bi(a，b∈R)为纯虚数 a＝0.
答案 A
2．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1＋z2在复平面内对应的点位于
( )．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案 D
3．设O是原点，向量，
对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向
量对应的复数是
( )．
A．－5＋5i
B．－5－5i
C．5＋5i
D．5－5i
答案 D
4．i是虚数单位，＝
( )．
A．1＋i
B．－1＋i
C．1－i
D．－1－i
解析 ∵i3＝－i，∴＝＝＝1－i.
答案 C
5．设a，b为实数，若复数＝1＋i，则
( )．
A．a＝，b＝
B．a＝3，b＝1
C．a＝，b＝
D．a＝1，b＝3
解析 依题意得：a＋bi＝＝＋i，
∴a＝，b＝.
答案 A
6．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于
( )．
A．2i
B．i
C．－i
D．－2i
解析 设纯虚数，z＝bi(b∈R且b≠0)，则＝
＝＝，
由于其为实数，
∴b＝－2，故选D.
答案 D
7．复数z＝1＋cos
α＋isin
α(π<α<2π)的模为
( )．
A．2cos
B．－2cos
C．2sin
D．－2sin
解析 |z|＝＝
＝
＝2
∵π<α<2π，∴<<π，∴cos<0，
∴2＝－2cos.
答案 B
8．设a∈R，且(a＋i)2i为正实数，则a等于
( )．
A．2
B．1
C．0
D．－1
解析 (a＋i)2i＝(a2＋2ai－1)i＝－2a＋(a2－1)i＞0，
解得a＝－1.故选D.
答案 D
9．在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限，则实
数m的取值范围是
( )．
A．(0,3)
B．(－∞，－2)
C．(－2,0)
D．(3,4)
解析 整理得z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，对应点在第二象限，则解得3＜m＜4.
答案 D
10．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝
( )
A.
B.
C．1
D．2
解析 法一 由z＝＝，
得＝，
∴z·＝·＝＝.
法二 ∵z＝＝，
∴|z|＝＝＝.
∴z·＝|z|2＝.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共25分)
11．若复数z的虚部为3，模为5，则＝________.
解析 设z＝a＋3i(a∈R)，则a2＋9＝25，a2＝16，
a＝±4，z＝±4＋3i，
∴＝±4－3i.
答案 ±4－3i
12．设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i，则z的模为________．
解析 z＝＝2i，∴|z|＝2，故填2.
答案 2
13．关于x的方程3x2－x－1＝10i－ix－2ix2有实数根，则实数a的值为______．
解析 设方程的实根为x＝m，则原方程可变为：
＋(2m2＋m－10)i＝0，
由复数相等的定义得：
解②得m＝2或m＝－代入①，
解得a＝11或－.
答案 11或－
14．在复平面上，复数－3－2i，－4＋5i,2＋i，z分别对应点A，B，C，
D，且ABCD为平行四边形，则z＝________.
解析 由于＝，
∴2＋i－z＝(－4＋5i)－(－3－2i)，
∴z＝3－6i.
答案 3－6i
15．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝2的复数z＝________.
解析 法一 由题意＝zi－(－z)＝2，
即z＋zi＝2，设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则有x＋yi＋xi－y＝2，
∴
∴∴z＝1－i.
法二 ∵＝zi＋z＝2，
∴z(1＋i)＝2，∴z＝＝＝1－i.
答案 1－i
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(本小题满分13分)设复数z同时满足下列条件：
(1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限；(2)z＋2i＝8＋ai(a∈R)，试求a的取值范围．
解 设z＝x＋yi，则由条件(1)知x＜0，y＞0.
又z＋2i＝8＋ai，故
(x2＋y2－2y)＋2xi＝8＋ai，
∴消去x，得4(y－1)2＝36－a2.
∵y＞0，∴4(y－1)2≥0，
∴36－a2≥0，－6≤a≤6.
又2x＝a，x＜0，∴a＜0，∴－6≤a＜0.
故a的取值范围是[－6,0)．
17．(本小题满分13分)已知复数z＝1＋i，求实数a，b，使az＋2b＝(a＋2z)2.
解 ∵z＝1＋i，∴az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i.
而(a＋2z)2＝[(a＋2)＋2i]2＝(a＋2)2＋4(a＋2)i＋4i2
＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.
∵az＋2b＝(a＋2z)2，∴
解得或
18．(本小题满分13分)已知x、y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x、y.
解 设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2，代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，
根据复数相等得
解得或
或或
故所求复数为或
或或
19．(本小题满分12分)已知复数z满足|z＋2－2i|＝1，求|z－3－2i|的最大值\
与最小值．
解 由复数及其模的几何意义知：
满足|z＋2－2i|＝1，即|z－(－2＋2i)|＝1.
复数z所对应的点是以C(－2,2)为圆心，r＝1为半径的圆．而|z－3－2i|＝|z－(3＋2i)|的几何意义是：复数z对应的点与点A(3,2)的距离．由圆的知识可知|z－3－2i|的最小值为|AC|－r，最大值为|AC|＋r.
∴|z－3－2i|min＝－1＝4.
|z－3－2i|max＝＋1＝6.
20．(本小题满分12分)复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象
限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a、b的值．
解 z＝(a＋bi)＝
2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi.
由|z|＝4，得a2＋b2＝4，
∵复数0，z，对应的点构成正三角形，
∴|z－|＝|z|.
把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1.
又∵Z点在第一象限，∴a＜0，b＜0.
由①②得
故所求值为
a＝－，b＝－1.
21．(本小题满分12分)若z为复数，且∈R，求复数z满足的条件．
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)
则＝＝
＝
＝
＝
∵∈R，∴b(1－a2－b2)＝0，
∴b＝0或a2＋b2＝1.
即z∈R或|z|＝1.
因此复数z为实数或|z|＝1.(共21张PPT)
本章归纳整合
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第五章
数系的扩充与复数
1．对于复数z＝a＋bi必须满足a、b均为实数，才能得出实部为a，虚部为b.对于复数相等必须先化为代数形式才能比较实部与虚部．
要点归纳
2．熟练掌握并能灵活运用以下结论．
当实数a为何值时，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i.
(1)为实数；(2)为纯虚数；
(3)对应的点在第一象限内；
(4)复数z对应的点在直线x－y＝0.
专题一 复数的概念及几何意义
【例1】
点评 在复平面内，实数全部落在实轴即x轴上，纯虚数在除原点外的虚轴即y轴上，而其他复数均在四个象限内．在第一象限a＞0，b＞0；第二象限a＜0，b＞0；第三象限a＜0，b＜0；第四象限a＞0，b＜0.
答案 A
专题二 复数的四则运算
答案 A
点评 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．在进行复数四则运算时，要把i的幂写成最简单的形式．
专题三 复数模的最值问题
点评 复数的模是复数的一个重要概念，也是高考重点考查的对象之一，关于复数模的最值常用的方法有：
(1)设出代数形式，利用求模公式，把模表示成实数范围内的函数，然后利用函数最值来求．
(2)利用不等式||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
(3)利用几何法求解．
3．已知z∈C，|z|＝1，求|z2－z＋1|的最值．
专题四 数学思想方法在复数中的应用
点评 本章常用的数学思想方法主要有：(1)数形结合(如复数本身的几何意义及四则运算的几何意义等)；(2)方程的思想：主要体现在复数相等的充要条件及点的轨迹等．(3)化归思想、整体思想．
如果虚数z满足z3＝8，求z3＋z2＋2z＋2的值．
解 (整体法)∵z3＝8，∴(z－2)(z2＋2z＋4)＝0.
又∵z为虚数，∴z2＋2z＋4＝0，
∴z3＋z2＋2z＋2＝z3＋(z2＋2z＋4)－2＝8＋0－2＝6.
4．5．3 复数的四则运算
1．复数(3＋i)(－i)等于
( )
A．1－3i
B．1＋3i
C．3＋i
D．3－i
答案 A
2．i是虚数单位，＝
( )．
A.－i
B.＋i
C.＋i
D.－i
解析 ＝＝＝＋i.
答案 B
3．设a是实数，且＋是实数，则a等于
( )
A.
B．1
C.
D．2
解析 ∵＋＝＋
＝＋i为实数，∴＝0，∴a＝1.
答案 B
4．如果复数z＝(b∈R)的实部和虚部互为相反数，则b＝________.
解析 ∵＝＝，
∴2－2b＝b＋4，∴b＝－.
答案 －
5．复数z与(z＋2)2－8i均为纯虚数，则z＝________.
解析 设z＝yi(y≠0且y∈R)
则(yi＋2)2－8i＝－y2＋4yi＋4－8i＝－y2＋4＋(4y－8)i为纯虚数．∴y＝－2，∴z＝－2i.
答案 －2i
6．计算下列各式：
(1)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i；
(2)－.
解 (1)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝53＋23i.
(2)原式＝－
＝3－＝i－i＝0.
7．(2011·课标全国)＝
( )．
A．2－i
B．1－2i
C．－2＋i
D．－1＋2i
解析 ＝＝＝－2＋i.
答案 C
8．(2011·重庆)复数＝
( )．
A．－－i
B．－＋i
C.－i
D.＋i
解析 ＝＝
＝＝＝＝.
答案 C
9．(2011·江苏)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i，则z的实部为________．
解析 z＋1＝＝＝＝2＋3i，
∴z＝1＋3i，z的实部为1.
答案 1
10．(2011·天津)复数＝________.
解析 ＝＝＝2－i.
答案 2－i
11．已知－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p、q的值．
解 ∵－3＋2i方程2x2＋px＋q＝0的一个根，
∴2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0
即(10－3p＋q)＋(2p－24)i＝0.
∴解得
12．(创新拓展)解关于x的方程
①x2＋2x＋3＝0；②x2＋6x＋13＝0.
解 ①设x＝a＋bi(a，b∈R)，
则x2＋2x＋3＝a2－b2＋2abi＋2a＋2bi＋3
＝(a2－b2＋2a＋3)＋(2ab＋2b)i＝0.
∵a，b∈R，∴a2－b2＋2a＋3＝0且2ab＋2b＝0.
∴或
∴x＝－1＋i或x＝－1－i
②设x＝a＋bi(a，b∈R)，
则x2＋6x＋13＝a2－b2＋2abi＋6a＋6bi＋13
＝a2－b2＋6a＋13＋(2ab＋6b)i＝0.
∵a，b∈R，∴a2－b2＋6a＋13＝0且2ab＋6b＝0.
∴或
∴x＝－3＋2i或x＝－3－2i
