5．1 解方程与数系的扩充
5．2 复数的概念
1．“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”是“a＝0”的什么条件
( )
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
答案 A
2．以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是( )
A．2－2i
B．2＋i
C．－＋
D.＋i
解析 ∵2i－的虚部为2，i＋2i2的实部为－2，
∴所求复数为2－2i.
答案 A
3．下列命题中，假命题是
( )
A．两个复数可以比较大小
B．两个实数可以比较大小
C．两个虚数不可以比较大小
D．虚数和实数不可以比较大小
解析 两个不全是实数的复数不能比较大小．
答案 A
4．已知a，b∈R，且a－1＋2ai＝－4＋bi，则b＝________.
解析 依题意，有得
答案 －6
5．如果复数a＋bi是虚数，则下列式子成立的个数为________．
(1)a＝0；(2)b＝0；(3)a≠0；(4)b≠0.
解析 (1)(3)都不一定正确，(2)不正确，只有(4)正确．
答案 1
6．实数m取什么值时，复数z＝m＋1＋(m－1)i是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解 (1)当m－1＝0，即m＝1时，复数z是实数．
(2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数．
(3)当m＋1＝0，且m－1≠0，即m＝－1时，复数z是纯虚数．
7．复数1＋i＋i2等于
( )
A．1
B．i
C．－i
D．0
解析 ∵i2＝－1，∴1＋i＋i2＝i.
答案 B
8．复数(3m－2)＋(m－1)i是虚数，则m满足
( )．
A．m≠1
B．m≠
C．m＝1
D．m＝
解析 m－1≠0，即m≠1.
答案 A
9．方程x2＋4＝0的根为________．
解析 x2＝－4＝(2i)2＝(－2i)2.
答案 ±2i
10．复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则x＝________.
解析 由题意知∴x＝－1.
答案 －1
11．已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x、y的值；
解 由复数相等的条件，得
解得或
12．(创新拓展)求实数x分别取什么值时，复数z＝lg(x2－2x－2)＋(x2＋3x＋
2)i是：
(1)实数；(2)纯虚数．
解 (1)要使z是实数，必须且只需解得x＝－1或x＝－2.
(2)要使z是纯虚数，必须且只需解得x＝3.5．4 复数的几何表示
1．若点P对应的复数z满足|z|≤1，则P的轨迹是
( )
A．直线
B．线段
C．圆
D．单位圆以及圆内
答案 D
2．若z1＝(x－2)＋yi与z2＝3x＋i(x，y∈R)互为共轭复数，则z1对应的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析 ∵z1与z2互为共轭复数，∴∴z1＝－3－i.
答案 C
3．当A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析 0，m－1<0，点在第四象限．
答案 D
4．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)对应的点在虚轴上，则a的值为
________．
解析 a2－2a＝0，∴a＝0或a＝2.
答案 0或2
5．复数z＝3＋4i对应的点Z关于原点的对称点为Z1，则向量对应的复数
为________．
解析 由题意知，Z点的坐标为(3,4)
点Z关于原点的对称点Z1(－3，－4)
所以向量对应的复数为－3－4i.
答案 －3－4i
6．已知复数z1＝3和z2＝－5＋5i对应的向量分别为＝a，＝b，求向
量a与b的夹角．
解 设a，b的夹角为α，a＝(3,0)，b＝(－5,5)，
则cos
α＝＝＝－，
∵0≤α≤π，∴α＝.
7．(2011·山东)复数z＝在复平面内对应的点所在象限是
( )．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析 ＝＝，
其对应点为，在第四象限．
答案 D
8．(2011·课标全国)复数的共轭复数为
( )．
A．－i
B.i
C．－i
D．i
解析 ＝＝＝i，其共轭复数为－i.
答案 C
9．(2011·上海)若复数z＝1－2i，则z＋z＝________.
解析 z＋z＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i＝5＋1－2i＝6－2i.
答案 6－2i
10．在复平面内复数对应点的坐标为________，复数的模为________．
解析 ＝＝＝－1＋i，
对应点为(－1,1)，对应向量的坐标为(－1,1)，其模为.
答案 (－1,1)，
11．已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第二象限，求实数
x的取值范围．
解 ∵复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第二象限，
∴x满足解得2∴x∈(2,5)．
12．(创新拓展)(2011·上海)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i，复数z2的虚
部为2，且z1z2为实数，求z2及|z2|.
解 z1＝＋2＝＋2＝＋2＝2－i，
设z2＝a＋2i(a∈R)，
则z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，
由于z1z2为实数，
∴4－a＝0.∴a＝4.
∴z2＝4＋2i
|z2|＝＝2.第五章
数系的扩充与复数
章末质量评估
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．a＝0是复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的
( )．
A．必要条件
B．充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件
解析 a＝0 /
a＋bi(a，b∈R)为纯虚数，a＋bi(a，b∈R)为纯虚数 a＝0.
答案 A
2．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1＋z2在复平面内对应的点位于
( )．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案 D
3．设O是原点，向量，
对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向
量对应的复数是
( )．
A．－5＋5i
B．－5－5i
C．5＋5i
D．5－5i
答案 D
4．i是虚数单位，＝
( )．
A．1＋i
B．－1＋i
C．1－i
D．－1－i
解析 ∵i3＝－i，∴＝＝＝1－i.
答案 C
5．设a，b为实数，若复数＝1＋i，则
( )．
A．a＝，b＝
B．a＝3，b＝1
C．a＝，b＝
D．a＝1，b＝3
解析 依题意得：a＋bi＝＝＋i，
∴a＝，b＝.
答案 A
6．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于
( )．
A．2i
B．i
C．－i
D．－2i
解析 设纯虚数，z＝bi(b∈R且b≠0)，则＝
＝＝，
由于其为实数，
∴b＝－2，故选D.
答案 D
7．复数z＝1＋cos
α＋isin
α(π<α<2π)的模为
( )．
A．2cos
B．－2cos
C．2sin
D．－2sin
解析 |z|＝＝
＝
＝2
∵π<α<2π，∴<<π，∴cos<0，
∴2＝－2cos.
答案 B
8．设a∈R，且(a＋i)2i为正实数，则a等于
( )．
A．2
B．1
C．0
D．－1
解析 (a＋i)2i＝(a2＋2ai－1)i＝－2a＋(a2－1)i＞0，
解得a＝－1.故选D.
答案 D
9．在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限，则实
数m的取值范围是
( )．
A．(0,3)
B．(－∞，－2)
C．(－2,0)
D．(3,4)
解析 整理得z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，对应点在第二象限，则解得3＜m＜4.
答案 D
10．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝
( )
A.
B.
C．1
D．2
解析 法一 由z＝＝，
得＝，
∴z·＝·＝＝.
法二 ∵z＝＝，
∴|z|＝＝＝.
∴z·＝|z|2＝.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共25分)
11．若复数z的虚部为3，模为5，则＝________.
解析 设z＝a＋3i(a∈R)，则a2＋9＝25，a2＝16，
a＝±4，z＝±4＋3i，
∴＝±4－3i.
答案 ±4－3i
12．设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i，则z的模为________．
解析 z＝＝2i，∴|z|＝2，故填2.
答案 2
13．关于x的方程3x2－x－1＝10i－ix－2ix2有实数根，则实数a的值为______．
解析 设方程的实根为x＝m，则原方程可变为：
＋(2m2＋m－10)i＝0，
由复数相等的定义得：
解②得m＝2或m＝－代入①，
解得a＝11或－.
答案 11或－
14．在复平面上，复数－3－2i，－4＋5i,2＋i，z分别对应点A，B，C，
D，且ABCD为平行四边形，则z＝________.
解析 由于＝，
∴2＋i－z＝(－4＋5i)－(－3－2i)，
∴z＝3－6i.
答案 3－6i
15．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝2的复数z＝________.
解析 法一 由题意＝zi－(－z)＝2，
即z＋zi＝2，设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则有x＋yi＋xi－y＝2，
∴
∴∴z＝1－i.
法二 ∵＝zi＋z＝2，
∴z(1＋i)＝2，∴z＝＝＝1－i.
答案 1－i
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(本小题满分13分)设复数z同时满足下列条件：
(1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限；(2)z＋2i＝8＋ai(a∈R)，试求a的取值范围．
解 设z＝x＋yi，则由条件(1)知x＜0，y＞0.
又z＋2i＝8＋ai，故
(x2＋y2－2y)＋2xi＝8＋ai，
∴消去x，得4(y－1)2＝36－a2.
∵y＞0，∴4(y－1)2≥0，
∴36－a2≥0，－6≤a≤6.
又2x＝a，x＜0，∴a＜0，∴－6≤a＜0.
故a的取值范围是[－6,0)．
17．(本小题满分13分)已知复数z＝1＋i，求实数a，b，使az＋2b＝(a＋2z)2.
解 ∵z＝1＋i，∴az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i.
而(a＋2z)2＝[(a＋2)＋2i]2＝(a＋2)2＋4(a＋2)i＋4i2
＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.
∵az＋2b＝(a＋2z)2，∴
解得或
18．(本小题满分13分)已知x、y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x、y.
解 设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2，代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，
根据复数相等得
解得或
或或
故所求复数为或
或或
19．(本小题满分12分)已知复数z满足|z＋2－2i|＝1，求|z－3－2i|的最大值\
与最小值．
解 由复数及其模的几何意义知：
满足|z＋2－2i|＝1，即|z－(－2＋2i)|＝1.
复数z所对应的点是以C(－2,2)为圆心，r＝1为半径的圆．而|z－3－2i|＝|z－(3＋2i)|的几何意义是：复数z对应的点与点A(3,2)的距离．由圆的知识可知|z－3－2i|的最小值为|AC|－r，最大值为|AC|＋r.
∴|z－3－2i|min＝－1＝4.
|z－3－2i|max＝＋1＝6.
20．(本小题满分12分)复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象
限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a、b的值．
解 z＝(a＋bi)＝
2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi.
由|z|＝4，得a2＋b2＝4，
∵复数0，z，对应的点构成正三角形，
∴|z－|＝|z|.
把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1.
又∵Z点在第一象限，∴a＜0，b＜0.
由①②得
故所求值为
a＝－，b＝－1.
21．(本小题满分12分)若z为复数，且∈R，求复数z满足的条件．
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)
则＝＝
＝
＝
＝
∵∈R，∴b(1－a2－b2)＝0，
∴b＝0或a2＋b2＝1.
即z∈R或|z|＝1.
因此复数z为实数或|z|＝1.5．3 复数的四则运算
1．复数(3＋i)(－i)等于
( )
A．1－3i
B．1＋3i
C．3＋i
D．3－i
答案 A
2．i是虚数单位，＝
( )．
A.－i
B.＋i
C.＋i
D.－i
解析 ＝＝＝＋i.
答案 B
3．设a是实数，且＋是实数，则a等于
( )
A.
B．1
C.
D．2
解析 ∵＋＝＋
＝＋i为实数，∴＝0，∴a＝1.
答案 B
4．如果复数z＝(b∈R)的实部和虚部互为相反数，则b＝________.
解析 ∵＝＝，
∴2－2b＝b＋4，∴b＝－.
答案 －
5．复数z与(z＋2)2－8i均为纯虚数，则z＝________.
解析 设z＝yi(y≠0且y∈R)
则(yi＋2)2－8i＝－y2＋4yi＋4－8i＝－y2＋4＋(4y－8)i为纯虚数．∴y＝－2，∴z＝－2i.
答案 －2i
6．计算下列各式：
(1)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i；
(2)－.
解 (1)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝53＋23i.
(2)原式＝－
＝3－＝i－i＝0.
7．(2011·课标全国)＝
( )．
A．2－i
B．1－2i
C．－2＋i
D．－1＋2i
解析 ＝＝＝－2＋i.
答案 C
8．(2011·重庆)复数＝
( )．
A．－－i
B．－＋i
C.－i
D.＋i
解析 ＝＝
＝＝＝＝.
答案 C
9．(2011·江苏)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i，则z的实部为________．
解析 z＋1＝＝＝＝2＋3i，
∴z＝1＋3i，z的实部为1.
答案 1
10．(2011·天津)复数＝________.
解析 ＝＝＝2－i.
答案 2－i
11．已知－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p、q的值．
解 ∵－3＋2i方程2x2＋px＋q＝0的一个根，
∴2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0
即(10－3p＋q)＋(2p－24)i＝0.
∴解得
12．(创新拓展)解关于x的方程
①x2＋2x＋3＝0；②x2＋6x＋13＝0.
解 ①设x＝a＋bi(a，b∈R)，
则x2＋2x＋3＝a2－b2＋2abi＋2a＋2bi＋3
＝(a2－b2＋2a＋3)＋(2ab＋2b)i＝0.
∵a，b∈R，∴a2－b2＋2a＋3＝0且2ab＋2b＝0.
∴或
∴x＝－1＋i或x＝－1－i
②设x＝a＋bi(a，b∈R)，
则x2＋6x＋13＝a2－b2＋2abi＋6a＋6bi＋13
＝a2－b2＋6a＋13＋(2ab＋6b)i＝0.
∵a，b∈R，∴a2－b2＋6a＋13＝0且2ab＋6b＝0.
∴或
∴x＝－3＋2i或x＝－3－2i
