6．2.1 直接证明：分析法与综合法
1．要证明＋<2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )
A．综合法
B．分析法
C．反证法
D．归纳法
答案 B
2．已知a，b，c是三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出
四个命题：
①a∥b，b∥α，则a∥α；②a，b α，a∥β，b∥β，则α∥β；③a⊥α，a∥β，则α⊥β；④a⊥α，b∥α，则a⊥b.
其中正确的命题个数是
( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 ①中a∥α需a α，此条件不一定成立；②中α∥β时需a，b相交，此条件不一定成立；③中β内平行于a的直线一定垂直于α，正确；④中a与b所成角为90°，正确．
答案 B
3．设x，y∈R，且4xy＋4y2＋x＋6＝0，则x的取值范围是
( )
A．－3≤x≤2
B．－2≤x≤3
C．x≤－2或x≥3
D．x≤－3或x≥2
解析 已知等式视为y的一元二次方程，则Δ＝(4x)2－4×4(x＋6)≥0，∴x≤－2或x≥3.
答案 C
4.如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底
面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．
解析 从结论出发，找一个使A1C⊥B1D1成立的充分条件．因而可以是：AC⊥BD.
答案 AC⊥BD
5．等式“＝”的证明过程“等式两边同时乘以
得，左边＝·＝＝＝1，右边＝1，左边＝右边，故原等式成立”应用了________的证明方法．(填“综合法”或“分析法”)
答案 综合法
6．已知函数f(x)＝·x3.
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)求证：f(x)>0.
(1)解 ∵2x－1≠0，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．
∵f(－x)－f(x)＝(－x)3－x3
＝(－x)3－x3
＝·x3－x3－·x3－x3＝x3－x3＝0，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)证明 由题意知x≠0，
当x>0时，∵2x－1>0，x3>0，∴f(x)>0；
当x<0时，∵－x>0，∴f(－x)＝f(x)>0，
∴f(x)>0.综上所述，f(x)>0.
7．p＝＋，q＝·(m、n、a、b、c、d均为正数)，
则p、q的大小为
( )
A．p≥q
B．p≤q
C．p＞q
D．不确定
解析 q＝
≥
＝＋＝p.
答案 B
8．若sin
α＋sin
β＋sin
γ＝0，cos
α＋cos
β＋cos
γ＝0，则cos(α－β)＝
( )．
A．1
B．－1
C.
D．－
解析 sin
α＋sin
β＝－sin
γ，cos
α＋cos
β＝－cos
γ，
两式两边分别平方相加得cos(α－β)＝－.
答案 D
9．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关
系是________．
解析 ∵x2＝＝
＝＋<＋＝a＋b.＝()2＝y2，
∴x
答案 x10．补足下面用分析法证明基本不等式≤的步骤．
要证明≤，
只需要证2≤a＋b，
只要证________，只要证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．
答案 a＋b－2≥0，(－)2≥0，(－)2≥0
11．已知a>0，求证：
－≥a＋－2.
证明 要证
－≥a＋－2，
只要证
＋2≥a＋＋.
∵a>0，故只要证2≥2，
即a2＋＋4
＋4≥a2＋2＋
＋2
＋2，
从而只要证2
≥，
只要证4≥2，
即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，
故原不等式成立．
12．(创新拓展)证明在△ABC中，a，b，c成等差数列的充要条件是acos2
＋ccos2＝b.
证明 在△ABC中，acos2＋c·cos2＝
a·＋c·＝
a(1＋cos
C)＋c(1＋cos
A)＝3b
a＋c＋acos
C＋ccos
A＝3b
a＋c＋a＋c＝3b
a＋c＋＋＝3b
a＋c＋b＝3b a＋c＝2b
a，b，c成等差数列．所以命题成立．4．2.1 几个幂函数的导数
4．2.2 一些初等函数的导数表
1．曲线y＝x3在点P处的切线的斜率为3，则P点的坐标为
( )．
A．(－2，－8)
B．(－1，－1)，(1,1)
C．(2,8)
D.
解析 y′＝3x2，由3x2＝3，得x＝1或x＝－1，
∴P点坐标为(1,1)或(－1，－1)．
答案 B
2．下列结论：①(cos
x)′＝sin
x；②′＝cos；③若y＝，则y′|x＝3
＝－；④(e3)′＝e3.其中正确的个数为
( )．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析 (cos
x)′＝－sin
x，①错，sin＝，′＝0.②错，′＝－，∴y′|x＝3＝－，③正确，e3为常数，(e3)′＝0，④错．
答案 B
3．(2011·山东)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标为
( )．
A．－9
B．－3
C．9
D．15
解析 y′＝3x2，则y′|x＝1＝3，所以曲线在P点处的切线方程为y－12＝3(x－1)．
即y＝3x＋9，它在y轴上的截距为9.
答案 C
4．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线f(x)＝x2上的两点，则平行于直线PQ的曲线
y＝x2的切线方程是________________．
解析 y＝x2的导数为y′＝2x，设切点为M(x0，y0)，
则y′|x＝x0＝2x0，又kPQ＝＝1，
又切线平行于PQ，∴k＝y′|
x＝x0＝2x0＝1，∴x0＝.
∴切点M，
∴切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
答案 4x－4y－1＝0
5．曲线y＝sin
x在点A处的切线方程为________．
解析 y′＝cos
x，y′|x＝＝，所以曲线在A点处的切线方程为y－＝.即x－2y＋－＝0.
答案 x－2y＋－＝0
6．已知直线y＝kx是曲线y＝ln
x的切线，求k.
解 设切点为P(x0，y0)，又y′＝(ln
x)′＝.
∴点P处的切线斜率为，
∴k＝，x0＝，∴P.
又点P在直线y＝kx上，∴ln
＝k·＝1.
∴＝e，即k＝.
7．(2011·江西)曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线的斜率为
( )．
A．1
B．2
C．e
D.
解析 y′＝ex，y′|x＝0＝1.所以，所求切线的斜率为1.
答案 A
8．设f0(x)＝cos
x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈
N，则f2
011(x)等于
( )．
A．sin
x
B．－sin
x
C．cos
x
D．－cos
x
解析 f0(x)＝cos
x，f1(x)＝－sin
x，f2(x)＝－cos
x，
f3(x)＝sin
x，f4(x)＝cos
x，…，
由此看出，四个一循环，具有周期性，T＝4.∵2
011＝4×502＋3，∴f2
011(x)＝f3(x)＝sin
x.
答案 A
9．曲线y＝log2x的一条切线的斜率为，则切点坐标为________．
解析 y′＝，由＝，得x＝1.所以切点坐标为(1,0)．
答案 (1,0)
10．函数y＝－2sin的导数为________．
解析 y＝－2sin
＝sin
x，故y′＝cos
x.
答案 cos
x
11．求过曲线y＝ex上的点P(1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程．
解 y′＝ex，∴曲线在点P处的切线的斜率为e1＝e.
∴过P点与曲线在点P处的切线垂直的直线的斜率为－.
∴所求方程为y－e＝－(x－1)，即x＋ey－e2－1＝0.
12．(创新拓展)求过点(2,0)且与曲线y＝x3相切的直线方程．
解 设切点坐标为(x0，x)，则由于y′＝3x2，所以切线斜率为3x，切线方程为y－x＝3x(x－x0)，它过点(2,0)，
∴0－x＝3x(2－x0)
∴x0＝0或x0＝3.
若x0＝0，则切点坐标为(0,0)，切线方程为y＝0.
若x0＝3，则切点坐标为(3,27)，切线方程为y－27＝3×32(x－3)，即27x－y－54＝0.
所以，所求直线方程为y＝0或27x－y－54＝0.5．1 解方程与数系的扩充
5．2 复数的概念
1．“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”是“a＝0”的什么条件
( )
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
答案 A
2．以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是( )
A．2－2i
B．2＋i
C．－＋
D.＋i
解析 ∵2i－的虚部为2，i＋2i2的实部为－2，
∴所求复数为2－2i.
答案 A
3．下列命题中，假命题是
( )
A．两个复数可以比较大小
B．两个实数可以比较大小
C．两个虚数不可以比较大小
D．虚数和实数不可以比较大小
解析 两个不全是实数的复数不能比较大小．
答案 A
4．已知a，b∈R，且a－1＋2ai＝－4＋bi，则b＝________.
解析 依题意，有得
答案 －6
5．如果复数a＋bi是虚数，则下列式子成立的个数为________．
(1)a＝0；(2)b＝0；(3)a≠0；(4)b≠0.
解析 (1)(3)都不一定正确，(2)不正确，只有(4)正确．
答案 1
6．实数m取什么值时，复数z＝m＋1＋(m－1)i是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解 (1)当m－1＝0，即m＝1时，复数z是实数．
(2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数．
(3)当m＋1＝0，且m－1≠0，即m＝－1时，复数z是纯虚数．
7．复数1＋i＋i2等于
( )
A．1
B．i
C．－i
D．0
解析 ∵i2＝－1，∴1＋i＋i2＝i.
答案 B
8．复数(3m－2)＋(m－1)i是虚数，则m满足
( )．
A．m≠1
B．m≠
C．m＝1
D．m＝
解析 m－1≠0，即m≠1.
答案 A
9．方程x2＋4＝0的根为________．
解析 x2＝－4＝(2i)2＝(－2i)2.
答案 ±2i
10．复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则x＝________.
解析 由题意知∴x＝－1.
答案 －1
11．已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x、y的值；
解 由复数相等的条件，得
解得或
12．(创新拓展)求实数x分别取什么值时，复数z＝lg(x2－2x－2)＋(x2＋3x＋
2)i是：
(1)实数；(2)纯虚数．
解 (1)要使z是实数，必须且只需解得x＝－1或x＝－2.
(2)要使z是纯虚数，必须且只需解得x＝3.5．4 复数的几何表示
1．若点P对应的复数z满足|z|≤1，则P的轨迹是
( )
A．直线
B．线段
C．圆
D．单位圆以及圆内
答案 D
2．若z1＝(x－2)＋yi与z2＝3x＋i(x，y∈R)互为共轭复数，则z1对应的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析 ∵z1与z2互为共轭复数，∴∴z1＝－3－i.
答案 C
3．当A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析 0，m－1<0，点在第四象限．
答案 D
4．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)对应的点在虚轴上，则a的值为
________．
解析 a2－2a＝0，∴a＝0或a＝2.
答案 0或2
5．复数z＝3＋4i对应的点Z关于原点的对称点为Z1，则向量对应的复数
为________．
解析 由题意知，Z点的坐标为(3,4)
点Z关于原点的对称点Z1(－3，－4)
所以向量对应的复数为－3－4i.
答案 －3－4i
6．已知复数z1＝3和z2＝－5＋5i对应的向量分别为＝a，＝b，求向
量a与b的夹角．
解 设a，b的夹角为α，a＝(3,0)，b＝(－5,5)，
则cos
α＝＝＝－，
∵0≤α≤π，∴α＝.
7．(2011·山东)复数z＝在复平面内对应的点所在象限是
( )．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析 ＝＝，
其对应点为，在第四象限．
答案 D
8．(2011·课标全国)复数的共轭复数为
( )．
A．－i
B.i
C．－i
D．i
解析 ＝＝＝i，其共轭复数为－i.
答案 C
9．(2011·上海)若复数z＝1－2i，则z＋z＝________.
解析 z＋z＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i＝5＋1－2i＝6－2i.
答案 6－2i
10．在复平面内复数对应点的坐标为________，复数的模为________．
解析 ＝＝＝－1＋i，
对应点为(－1,1)，对应向量的坐标为(－1,1)，其模为.
答案 (－1,1)，
11．已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第二象限，求实数
x的取值范围．
解 ∵复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第二象限，
∴x满足解得2∴x∈(2,5)．
12．(创新拓展)(2011·上海)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i，复数z2的虚
部为2，且z1z2为实数，求z2及|z2|.
解 z1＝＋2＝＋2＝＋2＝2－i，
设z2＝a＋2i(a∈R)，
则z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，
由于z1z2为实数，
∴4－a＝0.∴a＝4.
∴z2＝4＋2i
|z2|＝＝2.4．3.1 利用导数研究函数的单调性
1．已知y＝f(x)，x∈[0,1]，且f′(x)>0，则下列关系式一定成立的是( )．
A．f(0)<0
B．f(1)>0
C．f(1)>f(0)
D．f(1)解析 f′(x)>0，说明f(x)在[0,1]上单调递增，故f(1)>f(0)，选C.
答案 C
2．下列函数中在区间(－1,1)上是减函数的是
( )．
A．y＝－3x2＋3
B．y＝ln
|x|
C．y＝
D．y＝sin
x
答案 C
3．函数f(x)＝xln
x的单调递减区间是
( )．
A.
B.
C.
D．(e，＋∞)
解析 ∵f′(x)＝ln
x＋1，
∴由f′(x)<0，即ln
x＋1<0得ln
x<－1＝ln
e－1，
∴0答案 C
4．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．
解析 f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，令f′(x)＜0，得－1＜x＜11，所以单调减区间为(－1,11)．
答案 (－1,11)
5．函数f(x)的导数y＝f′(x)的图象如图所示，则
函数f(x)的单调递增区间是______．
答案 [－1,0]和[2，＋∞)
6．求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝x3－x；(2)y＝ex－x＋1.
解 (1)f′(x)＝3x2－1＝(x＋1)(x－1)，
令f′(x)>0，则x∈和，
令f′(x)<0，则x∈.
∴f(x)＝x3－x的单调增区间为和；单调减区间为.
(2)y′＝ex－1，令y′>0，即ex－1>0，
则x∈(0，＋∞)，
令y′<0，即ex－1<0，则x∈(－∞，0)，
∴y＝ex－x＋1的单调增区间(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)．
7．函数f(x)＝xcos
x－sin
x在下面哪个区间内是增函数
( )．
A.
B．(π，2π)
C.
D．(2π，3π)
解析 f′(x)＝cos
x－xsin
x－cos
x＝－xsin
x，
当x∈(π，2π)时，f′(x)>0.
答案 B
8．(2011·辽宁)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，
则f(x)>2x＋4的解集为
( )．
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－∞，＋∞)
解析 设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，则m′(x)＝f′(x)－2>0，
∴m(x)在R上是增函数，
∴m(－1)＝f(－1)－[2×(－1)＋4]＝0，
∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}．
即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．
答案 B
9．使y＝sin
x＋ax在R上是增函数的a的取值范围为________．
解析 y′＝cos
x＋a≥0，
∴a≥－cos
x在R上恒成立，
又cos
x∈[－1,1]，∴a≥1.
答案 [1，＋∞)
10．函数y＝x(a>0)的单调增区间为________，单调减区间为_______．
解析 函数的定义域为[0，a]，y′＝，由y′>0结合0≤x≤a，得0由y′<0结合x∈[0，a]得∴y的增区间为，减区间为.
答案
11．若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．
解 f′(x)＝3ax2－2x＋1，
∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
∴f′(x)≥0即3ax2－2x＋1≥0在R上恒成立．
∴∴a≥.
∴a的取值范围为.
12．(创新拓展)(2011·福建)已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b
＋axln
x，f(e)＝2.
①求b；②求函数f(x)的单调区间．
解 ①f(e)＝2，即－ae＋b＋aeln
e＝2，∴b＝2.
②由①知f(x)＝－ax＋axln
x＋2，f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝－a＋a＝aln
x.
当a>0时，由f′(x)>0知x>1，由f′(x)<0知0当a<0时，由f′(x)>0知01.
所以a>0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；
a<0时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)．4.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值
1．三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象如下图，则它的导数f′(x)\
的图象最可能是
( )．
答案 C
2．函数f(x)＝x3－3x＋3，当x∈时，函数f(x)的最小值是
( )．
A.
B．－5
C．1
D.
答案 C
3．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于(1,0)点，则f(x)的极值为
( )．
A．极大值为，极小值为0
B．极大值为0，极小值为－
C．极小值为－，极大值为0
D．极小值为0，极大值为
答案 A
4．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，
m，则M－m＝________.
答案 32
5．若函数f(x)＝x3＋ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵f(x)＝x3＋ax
∴f′(x)＝3x2＋a，
由题意，得Δ＝02－4×3×a>0，∴a<0.
答案 a<0
6．已知函数f(x)＝x3－ax－1
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；
(3)证明 f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．
(1)解 f′(x)＝3x2－a，由3x2－a≥0在R上恒成立，即a≤3x2在R上恒成立，
易知当a≤0时，f(x)＝x3－ax－1在R上是增函数，
∴a≤0.
(2)解 由3x2－a<0在(－1,1)上恒成立，∴a>3x2.
但当x∈(－1,1)时，0<3x2<3，
∴a≥3，即当a≥3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．
(3)证明 取x＝－1，得f(－1)＝a－2，a－2)
在f(x)＝x3－ax－1的图象上，且在直线y＝a的下方.
∴f(x)的图象不可能总在直线y＝a的上方．
7．函数y＝ax3－2x在[2,8]上是减函数，则
( )．
A．a＝
B．a＝0
C．a≤
D．a<0
答案 C
8．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围为
( )．
A．(－2,2)
B．[－2,2]
C．[2，＋∞)
D．(－∞，－2]
解析 y′＝3x2－3，由y′＝0，得x＝1或x＝－1.
当x<－1时，y′>0；当－11时，y′>0.
所以y＝x3－3x在(－∞，－1)上递增，(－1,1)上递减，(1，＋∞)上递增．
当x＝－1时，y取得极大值(－1)3－3×(－1)＝2；
当x＝1时，y取得极小值13－3×1＝－2.
因此，a的取值范围为－2答案 A
9．设函数f(x)＝x3－－2x＋5，若对任意的x∈[－1,2]，都有f(x)>m，则实
数m的取值范围为________．
解析 f′(x)＝3x2－x－2，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－.
f(－1)＝，f＝，f(1)＝，f(2)＝7，
∴f(x)的最小值为，∴m<.
答案
10．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取
值范围为________．
解析 f′(x)＝3x2－3a2(a>0)，
由f′(x)>0，得x>a或x<－a，
由f′(x)<0，得－a所以f(x)在(－∞，－a)上递增，(－a，a)上递减，(a，＋∞)上递增．
当x＝－a时，f(x)取得极大值f(－a)＝2a3＋a>0；
当x＝a时，f(x)取得极小值f(a)＝－2a3＋a<0.
又a>0，∴a>.
答案
11．(2011·重庆)设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)
的图象关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.
①求实数a，b的值；②求函数f(x)的极值．
解 ①∵f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，
∴f′(x)＝6x2＋2ax＋b.
由题意知，－＝－且6×12＋2a×1＋b＝0，
∴a＝3，b＝－12.
②由①知，f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1.
∴f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)
由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－2.
由f′(x)>0，得x>1或x<－2，由f′(x)<0，得－2∴f(x)在(－∞，－2)上递增，(－2,1)上递减，(1，＋∞)上递增．
∴当x＝－2时，f(x)取得极大值f(－2)＝21，当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝－6.
12．(创新拓展)(2011·天津)已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，其
中t∈R.
①当t＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
②当t≠0时，求f(x)的单调区间．
解 ①t＝1时，f(x)＝4x3＋3x2－6x，f′(x)＝12x2＋6x－6，f′(0)＝－6，又f(0)＝0.
∴曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－0＝－6(x－0)，即6x＋y＝0.
②t≠0时，f′(x)＝12x2＋6tx－6t2＝6(2x2＋tx－t2)＝6(x＋t)(2x－t)．若t>0，则由f′(x)>0得x<－t或x>，f′(x)<0得－t∴f(x)在(－∞，－t)上递增，在上递减．
在上递增，
若t<0，则由f′(x)>0得x<或x>－t，由f′(x)<0得∴f(x)在上递增，上递减，(－t，＋∞)上递增．6．2.2 间接证明：反证法
1．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是
( )
A．有两个内角是直角
B．有三个内角是直角
C．至少有两个内角是直角
D．没有一个内角是直角
答案 C
2．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用
( )
①结论相反判断，即假设 ②原命题的条件 ③公理、定理、定义等 ④原结论
A．①②
B．①②④
C．①②③
D．②③
答案 C
3．如果两个实数之和为正数，则这两个数
( )
A．一个是正数，一个是负数
B．两个都是正数
C．至少有一个是正数
D．两个都是负数
解析 假设两个数都是负数，则其和必为负数．
答案 C
4．用反证法证明命题：“若a，b∈R，且a2＋|b|＝0，则a，b全为0”时，
应假设为________．
解析 “a，b全为0”即是“a＝0，且b＝0”．因此它的否定为“a≠0，或b≠0”
答案 若a≠0，或b≠0
5．和两异面直线AB，CD都相交的直线AC，BD的位置关系是________．
解析 假设AC与BD共面于α，则点A，C，B，D都在α内，
∴AB与CD共面于α，这与AB，CD异面的条件矛盾．
∴AC与BD异面．
答案 异面
6．已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．
证明 (反证法)假设a不是偶数，即a是奇数．
设a＝2n＋1(n∈Z)，则a2＝4n2＋4n＋1.
∵4(n2＋n)是偶数，
∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．
由上述矛盾可知，a一定是偶数．
7．以下各数不能构成等差数列的是
( )
A．4,5,6
B．1,4,7
C.，，
D.，，
解析 显然A，B，C选项中，给出的三数均能构成等差数列，故选D.事实上，，，不能构成等差数列，证明如下：假设，，成等差数列，则2＝＋ 12＝7＋2 5＝2 25＝40.这是不可能的．
答案 D
8．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是
( )．
A．假设至少有一个钝角
B．假设至少有两个钝角
C．假设没有一个钝角
D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
答案 B
9．用反证法证明：“a，b至少有一个为0”，应假设________．
答案 a，b全为为0
10．已知函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对任意的x1，x2∈[0,1]
且x1≠x2，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|<，若用反证法证明该题，则反设应为________．
解析 根据已知和反证法的要求，反设应为：存在x1，x2∈[0,1]且x1≠x2，虽然|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，
但|f(x1)－f(x2)|≥.
答案 存在x1，x2∈[0,1]且x1≠x2，
虽然|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，
但|f(x1)－f(x2)|≥
11．已知数列{an}满足a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，λ∈R，n∈N＋，对任意λ
∈R，证明：数列{an}不是等比数列．
证明 假设存在一个实数λ，使{an}为等比数列，则有a＝a1a3，即2＝λ，
即：λ2－4λ＋9＝λ2－4λ，∴9＝0，矛盾．
所以，数列{an}不是等比数列．
12．(创新拓展)用反证法证明：如果x>，那么x2＋2x－1≠0.
证明 假设x2＋2x－1＝0
则(x＋1)2＝2
∴x＝－1±
此时x<与已知x>矛盾，
故假设不成立．
∴原命题成立．6．1.1 归 纳
1．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○
●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是
( )
A．白色
B．黑色
C．白色可能性大
D．黑色可能性大
答案 A
2．由集合{a1}，{a1，a2}，{a1，a2，a3}，…的子集个数归纳出集合{a1，
a2，a3，…，an}的子集个数为
( )
A．n
B．n＋1
C．2n
D．2n－1
解析 集合{a1}的子集有 ，{a1}共2个；{a1，a2}的子集有 ，{a1}，{a2}，{a1，a2}共4个；集合{a1，a2，a3}的子集共8个，猜测n个元素的集合的子集有2n个，故选C.
答案 C
3．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于
( )
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1111
1234×9＋5＝11111
12345×9＋6＝111111
A．1111110
B．1111111
C．1111112
D．1111113
解析 由数塔运算积的知识易得B为真．
答案 B
4．n个连续自然数按规律排列下表：
0 3
→
4
7
→
8 11…
↓
↑ ↓
↑
↓
↑
1
→
2 5
→
6
9
→
10
根据规律，从2010到2012箭头方向依次为________．
解析 观察特例规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数例，由2,3,4知2010到2012为↑→，故答案为↑→.
答案 ↑→
5．已知
＝2
，
＝3
，
＝4
，…，
若
＝6
(a，b均为实数)，推测a＝________，b＝________.
答案 6 35
6．设Sn＝＋＋＋…＋，写出S1，S2，S3，S4的值，归
纳并猜想出结果，并给出证明．
解 n＝1,2,3,4时，S1＝，S2＝，S3＝，S4＝.
猜想：Sn＝.
证明如下：＝－，
∴Sn＝＋＋＋…＋
＝1－＝.
7．设n是自然数，则(n2－1)[1－(－1)n]的值
( )
A．一定是零
B．不一定是整数
C．一定是偶数
D．是整数但不一定是偶数
解析 当n＝1时，值为0，
当n＝2时，值为0，
当n＝3时，值为2，
当n＝4时，值为0，
当n＝5时，值为6.
答案 C
8．(2011·江西)观察下列各式：55＝3
125,56＝15
625,57＝78
125，…，则52
011
的末四位数字为
( )．
A．3
125
B．5
625
C．0
625
D．8
125
解析 55＝3
125,56＝15
625,57＝78
125,58的末四位数字为0
625,59的末四位数字为3
125,510的末四位数字为5
625，511的末四位数字为8
125,512的末四位数字为0
625，…，
由上可得末四位数字周期为4，呈现规律性交替出现，∴52
011＝54×501＋7末四位数字为8
125.
答案 D
9．(2011·山东)设函数f(x)＝(x>0)，观察f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f[f1(x)]＝，
f3(x)＝f[f2(x)]＝，
f4(x)＝f[f3(x)]＝，…
根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝________.
解析 先求分母中x项系数组成数列的通项公式，由1,3,7,15…，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1，又函数结果分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为bn＝2n.
∴fn(x)＝.
答案
10．(2011·陕西)观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
…
照此规律，第n个等式为________．
解析 ∵1＝12,2＋3＋4＝9＝32，
3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，
所以第n个等式为
n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
答案 n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
11．观察以下等式：
sin230°＋cos260°＋sin
30°·cos
60°＝，
sin240°＋cos270°＋sin
40°·cos
70°＝，
sin215°＋cos245°＋sin
15°·cos
45°＝.
…
写出反映一般规律的等式，并给予证明．
解 反映一般规律的等式是(表述形式不唯一)：
sin2α＋cos2(α＋30°)＋
sin
α·cos(α＋30°)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin
α·cos(α＋30°)
＝sin2α＋(cos
α·cos
30°－sin
α·sin
30°)2
＋sin
α·(cos
αcos
30°－sin
α·sin
30°)
＝sin2α＋2＋sin
α
·cos
α－sin2α
＝sin2α＋
cos2α＋sin2α－sin
α·cos
α＋sin
α·cos
α－sin2α＝(sin2α＋cos2α)＝.
12．(创新拓展)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，n∈N＋，求a2，a3，a4
并猜想数列的通项公式，并给出证明．
解 {an}中a1＝1，a2＝＝，
a3＝＝＝，
a4＝＝，…，
所以猜想{an}的通项公式an＝(n∈N＋)．此猜想正确．
证明如下：因为a1＝1，an＋1＝，
所以＝＝＋，
即－＝，所以数列是以＝1为首项，
公差为的等差数列，
所以＝1＋(n－1)＝＋，
即通项公式an＝(n∈N＋)．4．5.3 定积分的概念
1．下列命题不正确的是
( )．
A．若f(x)是连续的奇函数，则
f(x)dx＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则f(x)dx>0
D．若f(x)在[a，b]上连续且f(x)dx>0，则f(x)在[a，b]上恒正
答案 D
2．直线x＝1，x＝－1，y＝0及曲线y＝x3＋sin
x围成的平面图形的面积可
表示为
( )．
A.
(x3＋sin
x)dx
B．2(x3＋sin
x)dx
C．2
(x3＋sin
x)dx
D.(x3＋sin
x)dx
答案 B
3．已知[f(x)＋g(x)]dx＝18，g(x)dx＝10，则f(x)dx等于
( )．
A．8
B．10
C．18
D．不确定
答案 A
4．根据定积分的几何意义，用积分表示如图所示各图的阴影部分的面积，
S＝________.
答案 [f1(x)－f2(x)]dx(两图积分式相同)
5．由定积分的几何意义，定积分sin
xdx表示________．
答案 由直线x＝0，x＝，y＝0和曲线y＝sin
x围成的曲边梯形的面积
6．根据定积分的几何意义推出下列积分的值．
(1)
xdx； (2)
cos
xdx.
解 若x∈[a，b]时，f(x)≥0，则f(x)dx的几何意义是表示由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x)围成的平面图形的面积；若x∈[a，b]时，f(x)≤0，则f(x)dx表示所围成的图形面积的负值．
(1)如图①，
xdx＝－A1＋A1＝0.
(2)如图②，cos
xdx＝A1－A2＋A3＝0.
7．已知定积分f(x)dx＝8，则f(x)为奇函数，则
f(x)dx＝
( )．
A．0
B．16
C．12
D．8
答案 A
8．和式＋＋…＋，当n→∞时的极限值用定积分式子可表示为( )．
A.dx
B.dx
C.0dx
D.dx
答案 B
9.x2dx＝，x2dx＝，则x2dx＝________.
答案
10．图1，图2用定积分可表示为________，________.
答案
f(x)dx－f(x)dx，－
f(x)dx
11．有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为ρ(x)＝2x(取细棒所在直
线为x轴，细棒的一端为原点)，棒长为l，试用定积分表示细棒的质量m，并求出m的值．
解 细棒的质量m＝ρ(x)dx＝2xdx.而2xdx表示由直线y＝2x，x＝l，x＝0及x轴所围成的图形面积，如图所示．
∴2xdx＝×l×2l＝l2.
即m＝l2.
12．(创新拓展)求定积分
x2dx的值．
解 将区间[－1,2]等分成n个区间，则每个区间的长度为.
每个小区间的面积ΔSi＝2.
面积和Sn＝2
＝
＝
＝3＋－9
当n→∞时，Sn→3＋×2－9＝3.
∴x2dx＝3.4.1.3 导数的概念和几何意义
1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线
( )．
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴斜交
答案 B
2．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )．
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
解析 分别作出A、B两点的切线，由图可知kB>kA，即f′(xB)>f′(xA)．
答案 B
3．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为
( )．
A．4
B．16
C．8
D．2
解析 在点A处的切线的斜率即为曲线y＝2x2在x＝2时的导数，由导数定义可求y′＝4x.
答案 C
4．抛物线y＝x2＋x＋2上点(1,4)处的切线的斜率是________，该切线方程
为________________．
解析 Δy＝(1＋d)2＋(1＋d)＋2－(12＋1＋2)＝3d＋d2，故y′|x＝1＝li
＝
(3＋d)＝3.
∴切线的方程为y－4＝3(x－1)，
即3x－y＋1＝0.
答案 3 3x－y＋1＝0
5．若曲线y＝x2－1的一条切线平行于直线y＝4x－3，则这条切线方程为
________________．
解析 ∵f′(x)＝
＝
＝
＝
(2x＋d)＝2x.
设切点坐标为(x0，y0)，则由题意知f′(x0)＝4，即2x0＝4，∴x0＝2，代入曲线方程得y0＝3，故该切线过点(2,3)且斜率为4.所以这条切线方程为y－3＝4(x－2)，即4x－y－5＝0.
答案 4x－y－5＝0
6．求曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．
解 ∵f′(3)＝
＝li
＝
(d2＋9d＋27)＝27，
∴曲线在点(3,27)处的切线方程为y－27＝27(x－3)，
即27x－y－54＝0.
此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)．
∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝×2×54＝54.
7．已知函数f(x)在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为
( )．
A．f(x)＝(x－1)2＋3(x－1)
B．f(x)＝2(x－1)
C．f(x)＝2(x－1)2
D．f(x)＝x－1
解析 分别求四个选项的导函数分别为f′(x)＝2(x－1)＋3；f′(x)＝2；f′(x)＝4(x－1)；f′(x)＝1.
答案 A
8．(2011·重庆)曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为
( )．
A．y＝3x－1
B．y＝－3x＋5
C．y＝3x＋5
D．y＝2x
解析
＝－Δx2＋3.
Δx→0时，－Δx2＋3→3.
∴f′(1)＝3.即曲线在(1,2)处的切线斜率为3.
所以切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1.
答案 A
9．函数y＝f(x)图象在M(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)
＝________.
解析 由已知切点在切线上．
∴f(1)＝×1＋2＝.
切线的斜率f′(1)＝.∴f(1)＋f′(1)＝3.
答案 3
10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程为x－y＋1＝0，则a，b的
值分别为________，________.
解析 ∵点(0，b)在切线x－y＋1＝0上，
∴－b＋1＝0，b＝1.
又＝＝a＋Δx，
∴f′(0)＝a＝1.
答案 1 1
11．已知曲线y＝x3＋1，求过点P(1,2)的曲线的切线方程．
解 设切点为A(x0，y0)，则y0＝x＋1.
＝＝Δx2＋3x0Δx＋3x.
∴f′(x0)＝3x，切线的斜率为k＝3x.
点(1,2)在切线上，∴2－(x＋1)＝3x(1－x0)．∴x0＝1或x0＝－.
当x0＝1时，切线方程为3x－y－1＝0，
当x0＝－时，切线方程为3x－4y＋5＝0.
所以，所求切线方程为3x－y－1＝0或3x－4y＋5＝0.
12．(创新拓展)求垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切
的直线方程．
解 设切点为P(a，b)，函数y＝x3＋3x2－5的导数为y′＝3x2＋6x.故切线的斜率k＝y′|x＝a＝3a2＋6a＝－3，得a＝－1，代入y＝x3＋3x2－5得，b＝－3，即P(－1，－3)．故所求直线方程为y＋3＝－3(x＋1)，即3x＋y＋6＝0.4．4 生活中的优化问题举例
1．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边
长为
( )
A.
B.
C.
D．2
解析 设底面边长为x，则表面积S＝x2＋V(x>0)，
S′＝(x3－4V)，令S′＝0，得唯一极值点x＝.
答案 C
2．某公司生产一种产品，固定成本为20
000元，每生产一单位的产品，成
本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是
( )．
A．150
B．200
C．250
D．300
解析 ∵总利润P(x)＝
由P′(x)＝0，得x＝300，故选D.
答案 D
3．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平
方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，则x为多少时，银行可获得最大收益
( )．
A．0.016
B．0.032
C．0.024
D．0.048
解析 依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，其中x∈(0,0.048)．
所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(0由于y′＝0.096kx－3kx2，令y′＝0得x＝0.032或x＝0(舍去)，
又当00；
当0.032所以当x＝0.032时，y取得最大值，即当存款利率为0.032时，银行可获得最大收益．
答案 B
4．正三棱柱体积为16，当其表面积最小时，底面边长a＝________.
解析 表面积：S＝a2＋(a>0)，
S′＝a－，
令S′＝0，得唯一极值点，
a＝＝4.
答案 4
5．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出
(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．
解析 利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6
000，S′(x)＝－2x＋230.由S′(x)＝0得x＝115，这时利润达到最大．
答案 115
6．(2011·福建)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单
位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3①求a的值；②若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解 ①因为x＝5时，y＝11，
∴＋10＝11，∴a＝2.
②由①知，y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3∴f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．
当30；4∴f(x)在(3,4)上递增，(4,6)上递减．
当x＝4时，f(x)取得最大值，f(4)＝42.
即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得利润最大．
7．(2011·北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，
若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品
( )．
A．60件
B．80件
C．100件
D．120件
解析 设每件产品的平均费用为y，
则y＝＋.y′＝－＋＝.
当x>80时，y′>0；当x<80时，y′<0.
所以当x＝80时，y取得最小值．
答案 B
8．(2011·湖南)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln
x的图象分别交于点M，
N，则当|MN|达到最小时t的值为
( )．
A．1
B.
C.
D.
解析 |MN|＝y＝t2－ln
t(t>0)，
y′＝2t－＝.
当0时，y′>0.
∴y在上递减，上递增，
∴t＝时，|MN|取得最小值．
答案 D
9．用总长为14.8
m的钢条做一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底
面的一边比另一边长0.5
m，那么高为________时容器的容积最大？
解析 设容器底面的一边为x，则另一边长为x＋0.5，高为3.2－2x，
则V＝x(x＋0.5)(3.2－2x)．
V′＝－6x2＋4.4x＋1.6.
令V′＝0得x＝1.
∴x＝1时，V取得最大值．
∴高为3.2－2×1＝1.2(m)
答案 1.2
m
10．将长为l的铁丝剪成2段，各围成长宽之比为2∶1及3∶2的矩形，则面
积之和的最小值为________．
解析 设前者宽为x，面积之和为y，
则y＝2x·x＋(l－6x)(l－6x)＝x2－lx＋l2，
y′＝x－l.令y′＝0得，x＝l.
∴y的最小值为y|x＝l＝l2.
答案 l2
11．(2011·江苏)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60
cm的
正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形，斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．
①某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
②某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
解 设包装盒的高为h
cm，底面边长为a
cm.
则a＝x，h＝＝(30－x)，0①S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1
800，
所以，当x＝15时，S取得最大值．
②V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
令V′＝0得x＝0或x＝20.
当00；当20所以，当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝.
即包装盒的高与底面边长的比值为.
12．(创新拓展)(2011·山东)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度
单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.
假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．
①写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
②求该容器的建造费用最小时的r.
解 ①设容器的容积为V，
由题意知V＝πr2l＋πr3，
又V＝，
∴l＝＝.
由于l≥2r，
∴≥2r，
∴0所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c
＝2πr××3＋4πr2c
因此，y＝4π(c－2)r2＋，0②由①知y′＝8π(c－2)r－＝，
由于c>3，
∴c－2>0.
由y′＝0得r＝
若0<
<2，即c>时，
此时0时，y′<0，0.
∴r＝时，y取得极小值．
若
≥2，即30∴r＝2时，y取得极小值．
总之，当3当c>时，建造费用最小时，r＝
.4．5.4 微积分基本定理
1．由曲线y＝x3，直线x＝0，x＝1及y＝0所围成的曲边梯形的面积为( )．
A．1
B.
C.
D.
解析 曲边梯形面积A＝x3dx＝＝.
答案 D
2．2dx的值是
( )．
A.
B.＋1
C．－
D．0
答案 B
3．若(2x＋k)dx＝2－k，则实数k的值为
( )．
A.
B．－
C．1
D．0
解析 ∵(2x＋k)dx＝(x2＋kx)＝1＋k＝2－k，
∴k＝.
答案 A
4．如果f(x)dx＝1，f(x)dx＝－1，则f(x)dx＝________.
解析 f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＝－1，
即1＋f(x)dx＝－1，∴f(x)d(x)＝－2.
答案：－2
5．f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，那么f(x)的解析式是________．
解析 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则
(ax＋b)dx＝axdx＋bdx
＝ax2|＋bx|＝a＋b＝5.①
x(ax＋b)dx＝(ax2＋bx)dx
＝ax3|＋bx2|＝a＋b＝.②
由①②解得a＝4，b＝3.故f(x)＝4x＋3.
答案 f(x)＝4x＋3
6．求定积分
解 取F(x)＝e2x，
则F′(x)＝′＝·e2x·(2x)′＝e2x，
7．(2011·福建)(ex＋2x)dx等于
( )．
A．1
B．e－1
C．e
D．e＋1
解析 (ex＋2x)dx＝(ex＋x2)＝(e＋1)－(e0＋0)＝e.
答案 C
8．(2011·课标全国)由曲线y＝，y＝x－2及y轴所围成的图形的面积等于( )．
A．－
B．4
C.
D．6
解析 y＝与y＝x－2的交点坐标为(4,2)．
如图阴影部分为y＝，y＝x－2及y轴围成的图形其面积S＝
(－x＋2)dx
＝＝.
答案 C
9．(2011·陕西)设f(x)＝若f[f(1)]＝1，则a＝________.
解析 3t2dt＝t3＝a3
∴f(1)＝lg
1＝0.
∴f(0)＝0＋a3＝a3.
即f[f(1)]＝a3，
∴a3＝1，a＝1.
答案 1
10．一物体以v＝
m/s的速度沿直线运动，该物体开始运动后10
s内
所经过的路程为________m.
11．若f(x)＝ax＋b(a≠0)，且f(x)dx＝1.
求证：[f(x)]2dx＞1.
证明 由于f(x)dx＝(ax＋b)dx
＝2＋a2＝1＋a2＞1.
12．(创新拓展)物体A以速度v＝3t2＋1在一直线上运动，在物体A出发的
同时，在此直线上物体B在物体A的正前方5
m处以v＝10t的速度与A同向运动．问两物体何时相遇？相遇时物体A走过的路程是多少？
解 设A追上B时，所用时间为t0，
依题意知sA＝sB＋5，6．1.2 类 比
1．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较合适
( )．
A．三角形
B．梯形
C．平行四边形
D．矩形
答案 C
2．给出下面四个类比结论
( )．
①实数a，b，若ab＝0则a＝0或b＝0；类比向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0
②实数a，b，有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；类比向量a，b，有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
③实数a，有|a|2＝a2，类比向量a，有|a|2＝a2
④实数a，b有a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比向量a，b有a2＋b2＝0，则a＝b＝0
其中类比结论正确的命题个数为
( )．
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 D
3．三角形的面积S＝(a＋b＋c)·r，其中a，b，c为三角形的边长，r为三角
形内切圆的半径，利用类比推理；可以得出四面体的体积为( )．
A．V＝abc
B．V＝Sh
C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r
D．V＝(ab＋bc＋ac)h
答案 C
4．如图(1)有面积关系＝，则图(2)有体积关系
＝________.
答案
5．类比平面几何中“三角形任两边之和大于第三边”，得空间相应的结
论为________．
解析 平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象，从而有结论．
答案 三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
6．如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA、SB、
SC和底面ABC，所成的角分别为α1、α2、α3，三侧面SBC，SAC，SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．
解 在△DEF中(如图)，由正弦定理得
＝＝.
于是，类比三角形中的正弦定理，
在四面体S－ABC中，
我们猜想＝＝成立．
7．在等差数列{an}中，若an＞0，公差d≠0，则有a4a6＞a3a7，类比上述性
质，在等比数列{bn}中，若bn＞0，公比q≠1，则关于b5，b7，b4，b8的一个不等关系正确的是
( )．
A．b5b7＞b4b8
B．b7b8＞b4b5
C．b5＋b7＜b4＋b8
D．b7＋b8＜b4＋b5
答案 C
8．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0 a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0 a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d a＝c，b＝d”；
③“若a，b∈R，则a－b>0 a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0 a>b”．
其中类比得到的结论正确的个数是
( )．
A．0
B．1
C．2
D．3
解析 ①②是正确的，③是错误的，因为复数不能比较大小，如a＝5＋6i，b＝4＋6i，虽然满足a－b＝1>0，但复数a与b不能比较大小．
答案 C
9．定义：ab，bc，cd，da的运算分别对应下图中的(1)(2)(3)(4)
则图中甲、乙运算式可表示为________．
答案 db，ca
10．.(2010·广东汕头)在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线
段的比为＝，把这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中(如图所示)，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是________．
解析 △ABC中作ED⊥AC于D，EF⊥BC于F，则ED＝EF.
∴＝＝，
类比：在三棱锥A－BCD中，过直线AB作一平面垂直于CD，并交CD于点H，则∠AHB是二面角A－CD－B的平面角，连结EH，则EH是∠AHB的角平分线．
∴＝＝.
答案 ＝
11．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和Sn，则有如下性质：
①通项：an＝am＋(n－m)d；
②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m、n、p、q∈N＋)；
③若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(m、n、p∈N＋)；
④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列．
类比上述性质，在等比数列{bn}中，写出相类似的性质，并判断所得结论的真假．
解 在等比数列{bn}中，公比为q，前n项和为Sn，则可以得到：
①通项：bn＝bm·qn－m(真命题)；
②若m＋n＝p＋q，则bm·bn＝bp·bq(m，n，p，q∈N＋)(真命题)；
③若m＋n＝2p，则bm·bn＝b(m，n，p∈N＋)(真命题)；
④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列(真命题)．
12．(创新拓展)(2011·福建)设V为全体平面向量构成的集合，若映射f：
V→R满足：
对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f[λa＋(1－λ)b]＝λf(a)＋(1－λ)f(b)，则称映射f具有性质p.
现给出如下映射：
①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V；
②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V；
③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.
分析映射①②③是否具有性质p.
解 a＝(x1y1)，b＝(x2，y2)，
λa＋(1－λ)b＝(λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2)．
对于①，f1(m)＝x－y
∴f(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]－[λy1＋(1－λ)y2]
＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)．
λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)
f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)．
∴①具有性质p.
对于②，f2(m)＝x2＋y，设a＝(0,0)，b＝(1,2)，
λa＋(1－λ)b＝(1－λ，2(1－λ))，
f(λa＋(1－λ)b)＝(1－λ)2＋2(1－λ)＝λ2－4λ＋3，
而λf(a)＋(1－λ)b＝λ(02＋0)＋(1－λ)(12＋2)＝3(1－λ)．
又λ∈R，∴f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)不恒成立
故②不具有性质p.
对于③，f3(m)＝x＋y＋1，
f(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]＋[λy1＋(1－λ)y2]＋1
＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋1，
又λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(x1＋y1＋1)＋(1－λ)(x2＋y2＋1)
＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋λ＋(1－λ)
＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋1.
∴f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)
③具有性质p.6．1.3 演绎推理
6．1.4 合情推理与演绎推理的关系
1．下列表述正确的是
( )
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③
B．②③④
C．②④⑤
D．①③⑤
解析 归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．
答案 D
2．“因对数函数y＝logax是增函数(大前提)，而y＝logx是对数函数(小前
提)，所以y＝logx是增函数(结论)．”上面推理的错误是
( )
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
答案 A
3．对a＞0，b＞0，a＋b≥2.若x＋≥2
，则x＋≥2，以上推理
过程中的错误为
( )．
A．大前提
B．小前提
C．结论
D．无错误
答案 B
4．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提：________________________________________________.
小前提：_________________________________________________.
结论：_________________________________________________.
答案 一次函数的图象是一条直线 函数y＝2x＋5是一次函数 函数y＝2x＋5的图象是一条直线
5．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，满足(1)f(9)＝2；(2)对 a，b∈(0，＋
∞)，有f(ab)＝f(a)＋f(b)，则f＝________.
解析 由题设f(b)＝f＝f(a)＋f，
所以f＝f(b)－f(a)．取a＝b＝1，得f(1)＝0.
又f(9)＝f(3×3)＝f(3)＋f(3)＝2，∴f(3)＝1，
∴f＝f(1)－f(3)＝0－1＝－1.
答案 －1
6．将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)所有的金属都导电，树枝不导电，所以树枝不是金属；
(2)在一个标准大气压下，冰的融点是0℃.一个标准大气压下气温升到0
℃，冰会融解；
(3)直角三角形中a2＋b2＝c2，在△ABC中AC2＋BC2＝AB2，所以△ABC是直角三角形；
(4)两直线平行，同位角相等，如果∠A和∠B是两平行直线的同位角，那么∠A＝∠B.
解 (1)所有的金属都导电，(大前提)
树枝不导电，(小前提)
树枝不是金属．(结论)
(2)在一个标准大气压下，冰的融点是0℃，(大前提)
一个标准大气压下气温升到0℃，(小前提)
冰融解．(结论)
(3)直角三角形中a2＋b2＝c2，(大前提)
△ABC中AC2＋BC2＝AB2，(小前提)
△ABC是直角三角形．(结论)
(4)两直线平行，同位角相等，(大前提)
∠A和∠B是两平行直线的同位角，(小前提)
∠A＝∠B.(结论)
7．函数f(x)＝x3＋sin
x＋1(x∈R)若f(a)＝2，则f(－a)的值为
( )．
A．3
B．0
C．－1
D．－2
解析 f(a)＝a3＋sin
a＋1，f(－a)＝－a3－sin
a＋1
∴f(a)＋f(－a)＝2，f(－a)＝2－f(a)＝2－2＝0.
答案 B
8．设x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三数( )
A．至少有一个不大于2
B．都小于2
C．至少有一个不小于2
D．都大于2
解析 ∵x、y、z＞0，∴x＋≥2，y＋≥2，z＋≥2，
∴a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6，
因此a，b，c至少有一个不小于2.
答案 C
9．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，
在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：
___________________________________________________________，
这个命题的真假是________________________________．
答案 夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题
10．在平面内，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为
1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
答案 1∶8
11．先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：
已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求证：a＋a≥.
证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，f(x)对一切实数x∈R，恒有f(x)≥0，则Δ＝4－8(a＋a)≤0，
∴a＋a≥.
(1)已知a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，请写出上述结论的推广式；
(2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明．
(1)解 已知a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，
则a＋a＋…＋a≥.
(2)证明 构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2
＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a
＝nx2－2x＋a＋a＋…＋a，
f(x)对一切实数x∈R，恒有f(x)≥0，
则Δ＝4－4n(a＋a＋…＋a)≤0，
∴a＋a＋…＋a≥.
12．(创新提高)已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈
N＋)，
求出a1，a2，a3，a4，猜想{an}的通项公式并给出证明
解 由Sn＝a＋an(n∈N＋)．
可得a1＝a＋a1，解得a1＝1，
S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2，
同理a3＝3，a4＝4，猜想an＝n.
证明 Sn＝a＋an①
Sn－1＝a＋an－1，(当n≥2时)②
①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0，
∵an＋an－1≠0，∴an－an－1＝1，
又a1＝1，故数列{an}是首项a1＝1，公差d＝1的等差数列，
故an＝n.4．1.2 问题探索——求作抛物线的切线
1．已知曲线y＝2x2上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于( )．
A．2
B．4
C．6＋6d＋2d2
D．6
答案 B
2．已知曲线y＝x2－2上的一点P，则过点P的切线的倾斜角为( )．
A．30°
B．45°
C．135°
D．165°
答案 B
3．如果曲线y＝2x2＋x＋10的一条切线与直线y＝5x＋3平行，则切点坐标为
( )．
A．(－1，－8)
B．(1,13)
C．(1,12)或(－1,8)
D．(1,7)或(－1，－1)
答案 B
4．若曲线y＝x2＋1在曲线上某点处的斜率为2，则曲线上该切点的坐标为
________
答案 (1,2)
5．曲线y＝x2＋2在点P(1,3)处的切线方程为________．
解析 ＝Δx＋2，
当Δx→0时，Δx＋2→2.
所以曲线y＝x2＋2在点P(1,3)处的切线斜率为2，其方程为y－3＝2(x－1)．
即为2x－y＋1＝0.
答案 2x－y＋1＝0
6．抛物线y＝x2在点P处的切线与直线2x－y＋4＝0平行，求点P的坐标及切
线方程．
解 设点P(x0，y0)，
＝＝d＋2x0，
d→0时，d＋2xo→2x0.
抛物线在点P处的切线的斜率为2x0，
由于切线平行于2x－y＋4＝0，∴2x0＝2，x0＝1
即P点坐标为(1,1)
切线方程为y－1＝2(x－1)，即为2x－y－1＝0.
7．曲线y＝在点P(3,1)处的切线斜率为
( )．
A．－
B．0
C.
D．1
解析 ＝＝.
当Δx→0时，→.
答案 C
8．曲线y＝－在点(1，－1)处的切线方程为
( )．
A．y＝x－2
B．y＝x
C．y＝x＋2
D．y＝－x－2
解析 ＝＝，
当Δx→0时，→1.
曲线y＝－在点(1，－1)处的切线的斜率为1，切线方程为y＋1＝1(x－1)，即y＝x－2.
答案 A
9．曲线f(x)＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率为________．
解析
＝＝Δx＋7，
当Δx→0时，Δx＋7→7，
所以，f(x)在A处的切线的斜率为7.
答案 7
10．曲线f(x)＝x2＋3x在点A处的切线的斜率为7，则A点坐标为________．
解析 设A点坐标为(x0，x＋3x0)，
则
＝
＝Δx＋(2x0＋3)Δx，
当Δx→0时，Δx＋(2x0＋3)→2x0＋3，
∴2x0＋3＝7，∴x0＝2.x＋3x0＝10.A点坐标为(2,10)．
答案 (2,10)
11．已知抛物线y＝x2＋1，求过点P(0,0)的曲线的切线方程．
解 设抛物线过点P的切线的切点为Q
(x0，x＋1)．
则＝Δx＋2x0.
Δx→0时，Δx＋2x0→2x0.
∴＝2x0，∴x0＝1或x0＝－1.
即切点为(1,2)或(－1,2)．
所以，过P(0,0)的切线方程为y＝2x或y＝－2x.即2x－y＝0或2x＋y＝0.
12．(创新拓展)直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，求切点
的坐标及a的值．
解 设切点A(x0，y0)，
＝＝3x－2x0＋(3x0－1)d＋d2→3x－2x0(d→0)．
故曲线上点A处切线斜率为3x－2x0，∴3x－2x0＝1，
∴x0＝1或x0＝－，代入C的方程得
或代入直线l，
当时，a＝0(舍去)，当时，a＝，
即切点坐标为，a＝.6．3 数学归纳法
1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证
n＝
( )．
A．1
B．2
C．3
D．0
解析 因为是证明凸n边形，首先可先构成n边形，故选C.
答案 C
2．满足1·2＋2·3＋3·4＋…＋n(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然数等于( )．
A．1
B．1或2
C．1,2,3
D．1,2,3,4
解析 用排除法，将4,3依次代入，所以选C.
答案 C
3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步
是
( )．
A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确
B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确
C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确
D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N＋)
解析 因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第k＋1个正奇数即n＝2k＋1正确．
答案 B
4．用数学归纳法证明≥n(a，b是非负实数，n∈N＋)时，假设n
＝k命题成立之后，证明n＝k＋1命题也成立的关键是________________．
解析 要想办法出现ak＋1＋bk＋1，两边同乘以，右边也出现了要证的k＋1.
答案 两边同乘以
5．用数学归纳法证明 1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N
)的过程如下：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥1)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N
，等式都成立．上述证明的错误是____________．
答案 未用归纳假设
6．平面内有n(n∈N＋，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过
同一点，证明：交点的个数f(n)＝.
证明 (1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，
又f(2)＝×2×(2－1)＝1，
∴当n＝2时，命题成立．
(2)假设n＝k，∈N＋，且(k>2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)＝k(k－1)，
那么，当n＝k＋1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)＝k(k－1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，
即f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)＋k
＝k(k－1＋2)＝k(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－1]，
这表明，当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)、(2)可知，对n∈N＋(n≥2)命题都成立．
7．在数列{an}中，an＝1－＋－＋…＋－则ak＋1＝
( )．
A．ak＋
B．ak＋－
C．ak＋
D．ak＋－
解析 a1＝1－，a2＝1－＋－，…，an＝1－＋－＋…＋－，ak＝1－＋－＋…＋－，所以，ak＋1＝ak＋－.
答案 D
8．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3，(n∈N＋)能被9整除”，要利
用归纳法假设证n＝k＋1时的情况，只需展开
( )．
A．(k＋3)3
B．(k＋2)3
C．(k＋1)3
D．(k＋1)3＋(k＋2)3
解析 假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3.＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故应选A.
答案 A
9．观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋
>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n个不等式为________(n∈N＋)．
解析 3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，
可猜测：1＋＋＋…＋>.
答案 1＋＋＋…＋>
10．楼梯共有n级，每步只能跨上1级或2级，走完该n级楼梯共有f(n)
种不同的走法，则f(n)，f(n－1)，f(n－2)的关系为________．
答案 f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)
11．用数学归纳法证明对n∈N＋都有＋＋＋…＋＝.
证明 ①当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边．
∴n＝1时，等式成立．
②假设＋＋…＋＝，
则n＝k＋1时，＋＋…＋＋
＝＋
＝＝
＝＝＝.
∴n＝k＋1时，等式成立．
由①②知＋＋…＋＝.
12．(创新拓展)已知，n∈N＋，An＝2n2，Bn＝3n，试比较An与Bn的大小，
并加以证明．
解 当n＝1时：A1＝2，B1＝3，有A1当n＝2时：A2＝8，B2＝9，有A2当n＝3时：A3＝18，B3＝27，有A3由上可归纳出当n∈N＋时，都有An下面用数学归纳法证明(下面只证n≥2时成立)：
(1)当n＝2时，由上可知不等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋，且k≥1)时不等式成立，即2k2<3k，
则3k＋1＝3×3k＝3k＋3k＋3k>2k2＋2k2＋2k2.
由于2k2≥4k (k≥2)，2k2>2，
所以3k＋1>2k2＋2k2＋2k2>2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，
这表明，当n＝k＋1时，不等式也成立．
综合(1)、(2)可知，n∈N＋，n≥2时，都有An综上可知n∈N＋时，An4．5.1 曲边梯形的面积
4．5.2 计算变力所做的功
1．把区间[1,3]n等分，所得每个小区间的长度Δx等于
( )．
A.
B.
C.
D.
答案 B
2．如果汽车在一段时间内的函数为v(t)＝20t,0≤t≤5，若将时间段[0,5]平
均分成5份，且分别用每个小区间左端点函数值近似代替在该小区间内的平均速度，则汽车在这段时间内走过的距离约为
( )．
A．200
B．210
C．190
D．220
答案 A
3．关于近似替代下列说法正确的是
( )．
A．在分割后的每个小区间上，只能用左端点的函数值近似替代
B．在分割后的每个小区间上，只能用右端点的函数值近似替代
C．在分割后的每个小区间上，只能用其中点的函数值近似替代
D．在分割后的每个小区间上，可以用任意一点的函数值近似替代
答案 D
4．由直线x＝0，x＝1，y＝0和y＝3x围成的图形的面积为________．
答案
5．一物体的速度与时间的关系式为v＝t2，则在从开始到1秒内运动的路
程为________．
答案
6．求抛物线f(x)＝1＋x2与直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S.
解 ①分割
把区间[0,1]等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，其长度Δx＝，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积分别记为ΔSi(i＝1,2，…，n)
②近似代替
用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积．
ΔSi＝fΔx＝(i＝1,2，…，n)．
③求和
Si＝
＝
＝＝1＋.
④取极限
当n→∞时，Si→1＋＝.
因此S＝.
7．函数f(x)＝x2在区间上
( )．
A．f(x)的值变化很小
B．f(x)的值变化很大
C．f(x)的值不变化
D．当n很大时，f(x)的值变化很小
解析 当n很大时，区间的长度越小，f(x)的值变化很小．
答案 D
8．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值可以用下列哪个值近似
地代替
( )．
A．f
B．f
C．f
D．f(0)
解析 当n很大时，f(x)＝x2在上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，也可以用左端点或右端点的函数值近似代替．
答案 C
9．由直线y＝x＋1，y＝0，x＝0，x＝2围成的四边形的面积为________．
答案 4
10．求由曲线y＝x2与直线x＝1，x＝2，y＝0围成的曲边梯形的面积时，
把区间分成5等份，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．
答案 1.02
11．求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积．
解 (1)化整为零，插入等分点．
将曲边梯形分成n个小曲边梯形，用分点
，，…，把区间[0,1]等分成n个小区间，，…，，…，.
简写作：(i＝1,2，…，n)．
每个小区间的长度为Δx＝－＝.
过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：
ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.
(2)以直代曲，估计误差．
用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积．
在小区间上任取一点xi(i＝1,2，…，n)，
为了计算方便，取xi为小区间的左端点，用xi对应的函数值f(xi)＝为一边，以小区间长度Δx＝为邻边的小矩形面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为：
ΔSi≈f(xi)·Δx＝·(i＝1,2，…，n)．
(3)积零成整，精益求精．
因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和，就是曲边梯形面积S的近似值．即：
S＝Si≈(xi)Δx＝·＝－.①
当分点数目越多，即Δx越小时，和式①的值就越接近曲边梯形的面积S.因此，当n趋于＋∞时，即Δx趋于0时，和式①的极限值就是所求曲边梯形的面积．
Δx趋于0时，S趋于－(负号表示图象在x轴下方)．所以，由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形的面积是.
12．(创新拓展)设力F作用在质点m上使m沿x轴从x＝1运动到x＝10，已知F
＝x2＋1且力的方向和x轴的正向相同，求F对质点m所作的功．
解 将区间[1,10]n等分，则各小区间的长度为.
在上取xi＝1＋i.
∴Fi＝x＋1＝2＋1，Wi＝Fi＝
＝＋i2＋i.
i＝18＋×＋×＝18＋＋81.
当n→∞时，i→18＋×2＋81＝342.
所以F对质点所作的功为342.4．1.1 问题探索——求自由落体的瞬时速度
1．设物体的运动方程s＝f(t)，在计算从t到t＋d这段时间内的平均速度时，
其中时间的增量d
( )．
A．d>0
B．d<0
C．d＝0
D．d≠0
答案 D
2．一物体运动的方程是s＝2t2，则从2
s到(2＋d)
s这段时间内位移的增量为
( )．
A．8
B．8＋2d
C．8d＋2d2
D．4d＋2d2
解析 Δs＝2(2＋d)2－2×22＝8d＋2d2.
答案 C
3．一物体的运动方程为s＝3＋t2，则在时间段[2,2.1]内相应的平均速度为
( )．
A．4.11
B．4.01
C．4.0
D．4.1
解析 ＝＝4.1.
答案 D
4．质点运动规律s＝2t2＋1，则从t＝1到t＝1＋d时间段内运动距离对时间
的变化率为________．
解析 ＝＝4＋2d.
答案 4＋2d
5．已知某个物体走过的路程s(单位：m)是时间t(单位：s)的函数：s＝－t2＋1.
(1)t＝2到t＝2.1；
(2)t＝2到t＝2.01；
(3)t＝2到t＝2.001.
则三个时间段内的平均速度分别为________，________，________，估计该物体在t＝2时的瞬时速度为________．
答案 －4.1
m/s －4.01
m/s －4.001
m/s －4
m/s
6．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时，需在2
s内完成刹车，其位
移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为：s(t)＝－3t3＋t2＋20，求：
(1)开始刹车后1
s内的平均速度；
(2)刹车1
s到2
s之间的平均速度；
(3)刹车1
s时的瞬时速度．
解 (1)刹车后1
s内平均速度
1＝＝
＝－2(m/s)．
(2)刹车后1
s到2
s内的平均速度为：
2＝
＝
＝－18(m/s)．
(3)从t＝1
s到t＝(1＋d)s内平均速度为：
3＝
＝
＝＝－7－8d－3d2→－7(m/s)(d→0)
即t＝1
s时的瞬时速度为－7
m/s.
7．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的方程
为s＝t2，则t＝2时，此木块水平方向的瞬时速度为
( )．
A．2
B．1
C.
D.
解析 ＝＝＋Δt→(Δt→0)．
答案 C
8．质点M的运动方程为s＝2t2－2，则在时间段[2,2＋Δt]内的平均速度为
( )．
A．8＋2Δt
B．4＋2Δt
C．7＋2Δt
D．－8＋2Δt
解析 ＝＝8＋2Δt.
答案 A
9．自由落体运动的物体下降的距离h和时间t的关系式为h＝gt2，则从t＝0
到t＝1时间段内的平均速度为________，在t＝1到t＝1＋Δt时间段内的平均速度为________，在t＝1时刻的瞬时速度为________．
解析 ＝g.
＝g＋gΔt.
当Δt→0时，g＋gΔt→g.
答案 g g＋gΔt g
10．自由落体运动的物体下降距离h和时间t的关系式为h＝gt2，t＝2时的
瞬时速度为19.6，则g＝________.
解析 ＝2g＋gΔt.
当Δt→0时，2g＋gΔt→2g.
∴2g＝19.6，g＝9.8.
答案 9.8
11．甲、乙二人平时跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时间的关
系分别如图①、②所示．问：
(1)甲、乙二人平时跑步哪一个跑得快？
(2)甲、乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得快(设Δs为s的增量)
解 (1)由题图①在(0，t]时间段内，甲、乙跑过的路程s甲(2)由题图②知，在终点附近[t－d，t)时间段内，路程增量Δs乙>Δs甲，所以>即快到终点时，乙的平均速度大于甲的平均速度，所以乙比甲跑得快．
12．(创新拓展)质量为10
kg的物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律做直线运动，
求运动开始后4秒时物体的动能．
解
＝＝3Δt＋25，
当Δt→0时，3Δt＋25→25.即4秒时刻的瞬时速度为25.
∴物质的动能为mv2＝×10×252＝3
125(J)
答案 运动开始后4秒时的动能为3
125
J4.3.2 函数的极大值和极小值
1．函数f(x)＝x＋在x>0时有
( )．
A．极小值
B．极大值
C．既有极大值又有极小值
D．极值不存在
解析 ∵f′(x)＝1－，由f′(x)>0，
得x>1或x<－1，又∵x>0，∴x>1.
由得0在(1，＋∞)内f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)有极小值f(1)，但无极大值．
答案 A
2．函数y＝1＋3x－x3有
( )．
A．极小值－1，极大值1
B．极小值－2，极大值3
C．极小值－2，极大值2
D．极小值－1，极大值3
解析 y′＝3－3x2，令y′＝0，解得x＝±1.x<－1或x>1时，y′<0；－10.可得f(1)＝3是极大值，f(－1)＝－1是极小值．
答案 D
3．函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，
则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点
( )．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析 f(x)的极小值点左边有f′(x)<0，极小值点右边有f′(x)>0，因此f′(x)的图象在原点O左侧第一个与x轴的交点符合条件，且只有1个极小值点，故选A.
答案 A
4．已知函数y＝aln
x＋bx2＋x在x＝1和x＝2处有极值，则a＝________，b
＝________.
解析 ∵f′(x)＝＋2bx＋1，由于f′(1)＝0，f′(2)＝0.
∴解得a＝－，b＝－.
答案 － －
5．函数y＝cos
2x在(0，π)内的极______值是______．
解析 y′＝(cos
2x)′＝－2sin
2x，令y′＝0，得x＝，又当x∈时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)＞0.故y＝cos
2x在(0，π)内的极小值是－1.
答案 小 －1
6．(2011·四川)已知f(x)＝x＋，h(x)＝，设F(x)＝f(x)－h(x)，求F(x)的
单调区间与极值．
解 F(x)＝f(x)－h(x)＝x＋－(x≥0)．
F′(x)＝－x－＝.
令F′(x)＝0得x＝.
当x∈时，F′(x)<0；x∈时，F′(x)>0.
故当x∈时，F(x)是减函数；x∈时，F(x)是增函数．
F(x)在x＝时，有极小值，F＝.
7．下列函数中，x＝0是其极值点的是
( )．
A．y＝－x3
B．y＝cos2x
C．y＝tan
x－x
D．y＝
解析 显然x＝0不是y＝－x3，y＝的极值点．
又y′＝(cos2x)′＝2cos
x(－sin
x)＝－sin
2x.
显然x＝0时，y′＝0，在x0的左右附近y′正、负变化．
∴x0＝0是y＝cos2x的极大值点．
答案 B
8．(2011·浙江)函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的
一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是
( )．
解析 设h(x)＝f(x)ex，则h′(x)＝(2ax＋b)ex＋(ax2＋bx＋c)ex＝(ax2＋2ax＋bx＋b＋c)ex，由x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，得h′(－1)＝0.
即a－2a－b＋b＋c＝0，∴c＝a.
f(x)＝ax2＋bx＋a.若方程ax2＋bx＋a＝0有两个根x1，x2，则x1x2＝1.D图中一定不满足该条件．
答案 D
9．(2011·广东)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．
解析 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
当x∈(0,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2，＋∞)∪(－∞，0)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(－∞，0)上是增函数，(0,2)上是减函数，(2，＋∞)上是增函数．
所以x＝2时，f(x)取得极小值．
答案 2
10．已知函数f(x)＝x·2x取得极小值时，x＝________.
解析 f′(x)＝2x＋x·2xln
2＝2x(1＋xln
2)，
令f′(x)＝0得x＝－log2e，
当x>－log2e时，f′(x)>0；
当x<－log2e时，f′(x)<0.
∴x＝－log2e时，f(x)取得极小值．
答案 －log2e
11．(2011·安徽)设f(x)＝，其中a为正实数．
①当a＝时，求f(x)的极值点；②若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．
解 f′(x)＝＝
①当a＝时，f′(x)＝.由f′(x)＝0得x＝或x＝.
当x<时，f′(x)>0；当时，f′(x)>0.
∴f(x)在上是增函数，上是减函数，上是增函数．
∴x＝是极大值点，x＝是极小值点．
②若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号．由于a>0，又ex>0，(1＋ax2)2>0.
∴ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立．即Δ＝4a2－4a≤0.
∴0所以a的范围为(0,1]．
12．(创新拓展)(2011·重庆)设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝
2a，f′(2)＝－b，其中a，b∈R.
①求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；②设g(x)＝f′(x)e－x，求g(x)的极值．
解 ①f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
∵f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，
∴3＋2a＋b＝2a,12＋4a＋b＝－b.
∴a＝－，b＝－3.
∴f(x)＝x3－x2－3x＋1.
从而f(1)＝－.
又f′(1)＝2a＝－3，
∴f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＋＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.
②g(x)＝(3x2－3x－3)e－x，
∴g′(x)＝(6x－3)e－x－
e－x(3x2－3x－3)＝(－3x2＋9x)e－x.
令g′(x)＝0得x＝0或x＝3.
当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0；
当x∈(0,3)时，g′(x)>0；
当x∈(3，＋∞)时，g′(x)<0.
∴g(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0,3)上是增函数，在(3，＋∞)上是减函数．
∴当x＝0时，g(x)取得极小值g(0)＝－3；当x＝3时，g(x)取得极大值g(3)＝15e－3.4．2.3 导数的运算法则
1．已知f(x)＝sin
x－cos
x，则f′等于
( )．
A．0
B.
C.
D．1
解析 f′(x)＝cos
x＋sin
x，∴f′＝＋.
答案 C
2．函数y＝(5x－4)3的导数是
( )．
A．3(5x－4)2
B．9(5x－4)2
C．15(5x－4)2
D．12(5x－4)2
解析 已知函数由y＝u3和u＝5x－4复合而成．
答案 C
3．一点P在曲线y＝x3－x＋上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的
取值范围是
( )．
A.
B.∪
C.
D.
解析 ∵y′＝3x2－1，∴tan
α＝3x2－1≥－1.
∴α∈∪.
答案 B
4．函数y＝x2sin
x的导数是________．
答案 2xsin
x＋x2cos
x
5．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.
解析 ∵f′(x)＝2(2x＋a)×2＝4(2x＋a)，∴f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1.
答案 1
6．在曲线y＝x3＋x－1上求一点P，使过P点的切线与直线4x－y＝0平行．
解 ∵y′＝3x2＋1，根据导数的几何意义，曲线在P(x0，y0)处的切线的斜率k＝y′|x＝x0，
即3x＋1＝4，∴x0＝±1.
当x0＝1时，y0＝1，此时切线为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3；当x0＝－1时，y0＝－3，此时切线为y＋3＝4(x＋1)，即y＝4x＋1.
综上可得P点坐标为(1,1)或(－1，－3)．
7．设y＝－2exsin
x，则y′等于
( )．
A．－2ex(cos
x＋sin
x)
B．－2exsin
x
C．2exsin
x
D．－2excos
x
解析 y′＝－2[ex(sin
x)′＋(ex)′sin
x]
＝－2(excos
x＋exsin
x)＝－2ex(cos
x＋sin
x)．
答案 A
8．(2011·江西)若f(x)＝x2－2x－4ln
x，则f′(x)>0的解集为
( )．
A．(0，＋∞)
B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－1,0)
解析 f(x)有意义的x取值为x>0，
f′(x)＝2x－2－＝＝.
∴f′(x)>0的解集为{x|x>2}．
答案 C
9．若函数f(x)＝cos2，则f′＝________.
解析 f(x)＝，
f′(x)＝＝－3sin.
∴f′＝－3sin＝0.
答案 0
10．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
解析 y′＝aeax，y′|x＝0＝a.
由题意知，a×＝－1，∴＝2.
答案 2
11．(2011·湖北)设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈
R，a，b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.
求a，b的值，并求出切线l的方程．
解 f′(x)＝3x2＋4ax＋b，g′(x)＝2x－3，
由于曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线，∴f′(2)＝g′(2)，f(2)＝g(2)＝0，
∴∴a＝－2，b＝5.
所以，所求切线的斜率为g′(2)＝1，
切线方程为y－0＝1(x－2)，即x－y－2＝0.
12．(创新拓展)(2011·课标全国)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点
(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.求a，b.
解 f′(x)＝－.
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，
所以即
∴a＝1，b＝1.5．3 复数的四则运算
1．复数(3＋i)(－i)等于
( )
A．1－3i
B．1＋3i
C．3＋i
D．3－i
答案 A
2．i是虚数单位，＝
( )．
A.－i
B.＋i
C.＋i
D.－i
解析 ＝＝＝＋i.
答案 B
3．设a是实数，且＋是实数，则a等于
( )
A.
B．1
C.
D．2
解析 ∵＋＝＋
＝＋i为实数，∴＝0，∴a＝1.
答案 B
4．如果复数z＝(b∈R)的实部和虚部互为相反数，则b＝________.
解析 ∵＝＝，
∴2－2b＝b＋4，∴b＝－.
答案 －
5．复数z与(z＋2)2－8i均为纯虚数，则z＝________.
解析 设z＝yi(y≠0且y∈R)
则(yi＋2)2－8i＝－y2＋4yi＋4－8i＝－y2＋4＋(4y－8)i为纯虚数．∴y＝－2，∴z＝－2i.
答案 －2i
6．计算下列各式：
(1)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i；
(2)－.
解 (1)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝53＋23i.
(2)原式＝－
＝3－＝i－i＝0.
7．(2011·课标全国)＝
( )．
A．2－i
B．1－2i
C．－2＋i
D．－1＋2i
解析 ＝＝＝－2＋i.
答案 C
8．(2011·重庆)复数＝
( )．
A．－－i
B．－＋i
C.－i
D.＋i
解析 ＝＝
＝＝＝＝.
答案 C
9．(2011·江苏)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i，则z的实部为________．
解析 z＋1＝＝＝＝2＋3i，
∴z＝1＋3i，z的实部为1.
答案 1
10．(2011·天津)复数＝________.
解析 ＝＝＝2－i.
答案 2－i
11．已知－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p、q的值．
解 ∵－3＋2i方程2x2＋px＋q＝0的一个根，
∴2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0
即(10－3p＋q)＋(2p－24)i＝0.
∴解得
12．(创新拓展)解关于x的方程
①x2＋2x＋3＝0；②x2＋6x＋13＝0.
解 ①设x＝a＋bi(a，b∈R)，
则x2＋2x＋3＝a2－b2＋2abi＋2a＋2bi＋3
＝(a2－b2＋2a＋3)＋(2ab＋2b)i＝0.
∵a，b∈R，∴a2－b2＋2a＋3＝0且2ab＋2b＝0.
∴或
∴x＝－1＋i或x＝－1－i
②设x＝a＋bi(a，b∈R)，
则x2＋6x＋13＝a2－b2＋2abi＋6a＋6bi＋13
＝a2－b2＋6a＋13＋(2ab＋6b)i＝0.
∵a，b∈R，∴a2－b2＋6a＋13＝0且2ab＋6b＝0.
∴或
∴x＝－3＋2i或x＝－3－2i