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课题：13.3.1等腰三角形的性质
教学目标：
掌握等腰三角形的性质，并能运用等腰三角形的性质进行证明和计算.
重点：
等腰三角形的性质及应用．
难点：
等腰三角形的性质及应用．
教学流程：
一、知识回顾
问题：什么是等腰三角形？
答案：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边.两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.21教育网
二、探究
操作1：如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？21·cn·jy·com
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答案：AB＝AC，是等腰三角形.
操作2：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
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答案：重合的线段：AB=AC；BD=CD；AD=AD
重合的角：∠B=∠C；∠BAD=∠CAD；∠ADB=∠ADC
思考：由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？
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归纳：等腰三角形的性质：
性质1：等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）
符号语言：
∵AB ＝AC，
∴∠B=∠C.
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（简写成“三线合一”）
符号语言：
∵AB=AC， ∠BAD=∠CAD，
∴BD＝CD，AD⊥BC.
或
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD=∠CAD.
或
∵AB=AC，BD＝CD，
∴∠BAD=∠CAD， AD⊥BC.
追问：如何证明第一个性质呢？
已知：如图，△ABC 中，AB =AC．
求证：∠B =∠C．
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证明：作底边的中线AD．
∵
∴ △ABD ≌△ACD（SSS）．
∴ ∠B =∠C．
∴等腰三角形的两个底角相等.
追问2：你还有其他的辅助线作法吗？你能用同样的方法证明性质2吗？
练习：
1．若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角度数为( )
A．50° B．55° C．65° D．70°
答案：C
2．如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC＝90°，AB＝AC，若∠1＝20°，则∠2的度数为( )21世纪教育网版权所有
A．25° B．65° C．70° D．75°
答案：B
3．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( )
A．过顶点的直线
B．底边的垂线
C．顶角的角平分线所在的直线
D．腰上的高所在的直线
答案：C
归纳：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴．
三、应用提高
如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．
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解：∵AB=AC，AD=BD=BC，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，
∠A=∠ABD(等边对等角)，
设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x，
在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得 x=36°，
∴△ABC中，∠A=36 °,∠ABC=∠C=72 °．
四、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1.等腰三角形有哪些性质的？
2.本节课你学到了哪些证明线段相等或角相等的方法？
五、达标测评
1．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为( )
A．35° B．40° C．45° D．50°
答案：A
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为( )
A．35° B．45° C．55° D．60°
答案：C
3．如图，△ABC的周长为32，且AB＝AC，AD⊥BC于点D，△ACD的周长为24，则AD的长为____．21cnjy.com
答案：8
4．如图，在△ABC中，D在BC上，若AD＝BD，AB＝AC＝CD，求∠BAC的度数．
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解：∵AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∵AB＝AC＝CD，
∴∠B＝∠C，∠ADC＝∠DAC.
设∠B＝∠BAD＝∠C＝x，
则∠ADC＝∠DAC＝2x，
在△ACD中，有
∠ADC +∠DAC+∠C=2x＋2x＋x＝180 ° ，
解得x＝36 ° ，
∴∠BAC＝3x＝108°.
六、布置作业
教材81页习题13.3第1、2题．
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【义务教育教科书人教版八年级上册】
13.3.1等腰三角形的性质
学校：________
教师：________
知识回顾
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
什么是等腰三角形？
相等的两边都叫做腰，另一边叫做 底边.
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
探究
如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？
A
B
C
等腰三角形
探究
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
重合的线段
重合的角
AB=AC
BD=CD
AD=AD
∠B=∠C
∠BAD=∠CAD
∠ADB=∠ADC
由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？
探究
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（简写成“三线合一”）
等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）
如何证明第一个性质呢？
探究
已知：如图，△ABC 中，AB =AC．
求证：∠B =∠C．
证明：作底边的中线AD．
∵ AB =AC，
BD =CD，
AD =AD，
∴ △ABD ≌△ACD（SSS）．
∴ ∠B =∠C．
∴等腰三角形的两个底角相等.
你能用同样
的方法证明
性质2吗？
探究
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（简写成“三线合一”）
等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）
符号语言:
∵AB ＝AC，
∴∠B=∠C.
符号语言:
∵AB=AC，
∴
AD⊥BC.
BD＝CD.
∠BAD=∠CAD.
练习
1．若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角度数为( )
A．50° B．55° C．65° D．70°
C
2．如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC＝90°，AB＝AC，若∠1＝20°，则∠2的度数为( )
A．25° B．65°
C．70° D．75°
B
练习
3．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( )
A．过顶点的直线
B．底边的垂线
C．顶角的角平分线所在的直线
D．腰上的高所在的直线
C
等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴．
应用提高
如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．
解：∵AB=AC，AD=BD=BC，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，
∠A=∠ABD(等边对等角)，
设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x，
在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得 x=36°，
∴△ABC中，∠A=36 °,∠ABC=∠C=72 °．
今天我们学习了哪些知识？
体验收获
1.等腰三角形有哪些性质的？
2.本节课你学到了哪些证明线段相等或角相等的方法？
达标测评
1．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为( )
A．35°
B．40°
C．45°
D．50°
A
达标测评
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为( )
A．35°
B．45°
C．55°
D．60°
C
达标测评
3．如图，△ABC的周长为32，且AB＝AC，AD⊥BC于点D，△ACD的周长为24，则AD的长为____．
8
达标测评
4．如图，在△ABC中，D在BC上，若AD＝BD，AB＝AC＝CD，求∠BAC的度数．
解：∵AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∵AB＝AC＝CD，
∴∠B＝∠C，∠ADC＝∠DAC.
设∠B＝∠BAD＝∠C＝x，
则∠ADC＝∠DAC＝2x，
在△ACD中，有
∠ADC +∠DAC+∠C=2x＋2x＋x＝180 ° ，
解得x＝36 ° ，
∴∠BAC＝3x＝108°.
布置作业
教材81页习题13.3第1、2题．登陆21世纪教育 助您教考全无忧
13.3.1等腰三角形的性质
班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________
一、选择题(每小题6分，共30分)
1. 如图所示，在三角形 中，， 为 的中点，，则 的度数为
A. B. C. D.
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第1题图 第3题图
2. 下列叙述正确的是
A. 等腰三角形两腰上的高相等
B. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
C. 顶角相等的两个等腰三角形全等
D. 两腰相等的两个等腰三角形全等
3. 如图，在 中，，且 为 上一点，，则 的度数为
A. B. C. D.
4. 如图，， 是 的边 上的两点，且 ，则 的度数为
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第4题图 第5题图
A. B. C. D.
5. 已知一足够长的钢架，，现要在其内部焊上等长的钢条（相邻钢条首尾相接）来加固钢架，如图是已焊上的两根钢条 和 ，且 .照此焊接下去，在该钢架内部最多能焊接钢条 21世纪教育网版权所有
A. 根 B. 根 C. 根 D. 根
二、填空题(每小题6分，共30分)
6. 如图，在 中，， 为 上的一点，且 ，．则 度．
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第6题图 第7题图 第8题图
7. 如图所示，，，，则 ， ， ， ， ， ．
8. 如图，在 中，，，以 为圆心， 的长为半径作圆弧，交 于点 ，连接 ，则 ．21教育网
9. 若 ，则以 ， 为边长的等腰三角形的周长为 ．
10. 如图所示，将一个等腰三角形（底角大于 ）沿对称轴对折后，剪掉一个 的角，展开后得到如图所示的形状．若 ，则 ．
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三、解答题(每小题20分，共40分)
11．已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，O是底边BC上的中点，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：AD=AE．21cnjy.com
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12．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
求证：（1）△ABD≌△ACD；（2）BE=CE．
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参考答案
1. C
【解析】， 为 的中点，
是 的平分线，．
，
．
．
2. A
3. B 【解析】，
．
，
．
，
．
，
．
．
4. C
【解析】由 ，得 为等边三角形，
．
由 ，，得 与 为等腰三角形．
，．
．
．
5. C
【解析】
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，
.
.
，
.
.
同理，， .
.
第 个三角形将有两个底角等于 ，不符合三角形内角和定理，故只能焊 根．
6.
7.，，，，，
8.
9. 或
【解析】，
，．
当 为腰时，三角形的边长为 ，，，能够成三角形，周长为 ；
当 为腰时，三角形的边长为 ，，，能够成三角形，周长为 ．
故答案为 或 ．
10.
【解析】由题意得 ，
故 ．
11.证明见解析
【解析】证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ODB=∠OEC=90°．
∵O是底边BC上的中点，
∴OB=OC，
在△OBD与△OCE中， ( http: / / www.21cnjy.com )
∴△OBD≌△OCE（AAS）．
∴BD=CE．
∵AB=AC，
∴AB﹣BD=AC﹣CE．
即AD=AE．
12.证明见解析
证明：（1）∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△ABD和△ACD中， ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABD≌△ACD（SSS）；
（2）由（1）知△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE，
在△ABE和△ACE中， ( http: / / www.21cnjy.com )
∴△ABE≌△ACE （SAS），
∴BE=CE（全等三角形的对应边相等）．
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