(共25张PPT)
“
给我最大快乐的，不是已懂得知
识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登
。”
——高斯
北师大版义务教育教科书八年级下册
4.2提公因式法（1）
1、知道多项式的公因式的定义。
2、学会如何确定公因式
3、提公因式法因式分解的步骤
4、用提公因式法因式分解应注意的问题
学习目标
温故知新
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.
●
想一想:因式分解与整式乘法有何关系
因式分解与整式乘法互为逆运算
判断
下列各式哪些是整式乘法 哪些是因式分解
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy
(3).(5a-1)2=25a2-10a+1
(4).x2+4x+4=(x+2)2
(5).(a-3)(a+3)=a2-9
(6).2
πR+
2
πr=
2
π(R+r)
因式分解
整式乘法
整式乘法
因式分解
整式乘法
因式分解
下列由左边到右边的变形，哪些是分解因式
1)（a
+3)(a
–3)=
a2
–9
2）x
2
–y
2
+1=(x
+y
)(x
-y
)+1
3）6x2y3=3xy·2xy2
4）
a2
+
a
–
1=a(a
+
1-
)
5)
2πR-2πr
=2π(R-r)
不是
是
不是
不是
不是
不是
辨一辨
一块场地由三个长方形组成,这些长方形的长分别为
,
,
,
宽都是
,求这块场地的面积.
导学释疑
问：你是用什么方法计算的？这个式子的各项有相同的因数吗？
解：
如果一块场地由三个长方形组成,这三个长方形的长分别为a,b,c,宽都是m,那么这块场地的面积是多少？
变式题
ma+mb+mc=m(a+b+c).
m
a
b
c
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
相同因式m
多项式
ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式
xy+4x呢？多项式mb
+nb–b呢？
ma+mb+mc=m(a+b+c).
思考：认真观察等式两边各有什么特点？
中各项的公因式是什么？
多项式
多项式
中各项的公因式是什么？
你认为怎样确定一个多项式的公因式？
结论：（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；
（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；
（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．
例:
找
2
x
2
+
6
x
的公因式。
定系数
2
定字母
x
定指数
2
3
所以，公因式是
2
x
2
找一找:
下列各多项式的公因式是什么？
（3）
（a）
（a2）
（3mn）
（2xy）
(1)
3x+6y+3
(2)4ab-2ac+a
(3)
a
2
-
3a
3
(4)9
m
2n-6mn
(5)
6
x
2
y+8
xy
2
如果一个多项式的各项含有公因式，那么
就可以把这个公因式提出来，从而将多项式
化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的
方法叫做提公因式法。
你能尝试将多项式
因式分解吗？
2x +6x =2x ·1
+
2x ·3x=2x ﹙1＋3x﹚
把
3a2-9ab因式分解.
温馨提示
分两步
第一步，找出公因式；
第二步，提取公因式
，
(即将多项式化为两个因式的乘积)
例1
解：原式
=3a a-3a 3b
=3a(a-3b)
可以利用单项式除以单项式找到另一个因式
3a ÷3a=a
9ab÷3a=3b
例2
把
9x2–
6xy+3xz
因式分解.
=
3x·3x
-
3x·2y
+3x·z
解：原式
=
3x
(3x-2y+z)
用提公因式法分解因式步骤：
1、找公因式
2、把多项式各项分解成公因式与某个整式乘积的形式
3、提取公因式
小颖解的有误吗？
把
8
a
3
b2
–12ab
3
c
+
ab因式分解.
解：
8
a3b2
–12ab3c
+
ab
=
ab·8a b
-
ab·12b2
c
+ab·1
=
ab(8a2b
-
12b2c)
当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。
错误
巩固提升
利用提公因式法因式分解:
例3.
-24x +12x -28x
原式=
-(
)
=
-(4x·6x -4x·3x+4x·7)
=
-4x(6x -3x+7)
注意：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”,但是在提出“-”时，多项式的各项都要变号。
24x -12x +28x
1、确定公因式的方法
2、提公因式法因式分解步骤：
3、用提公因式法因式分解应注意的问题：
①找出公因式；②提公因式（
把多项式化为两个因式的乘积）
1)定系数
2)定字母
3)定指数
（1）、公因式要提尽；（2）、小心漏掉1;
（3）、提出负号时,要注意变号.
1.多项式-6ab +18a b -12a b c的公因式是
( )
A.-6ab c
B.-ab
C.-6ab
D.-6a b c
C
检测反馈
2、把下列各式因式分解：
2x -4x
(2)
(1)
(3)
(4)
-4a b +6a b-2ab
3x -9x +3x
7xm -21xm
已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.
解:
a2b+ab2
=ab·a+
ab·b
=ab(a+b)
=3
×
5
=15
巧妙计算
思考
二、你会把下列各式分解因式吗
1、a(x-3)+2b(x-3)
2、y(x+1)+y(x+1)
3、a(x-3)-2b(3-x)
拓展提升
一、提公因式法跟单项式乘多项式有什么关系？
作
业
必做题：习题4.2
1,2题
选做题：数学理解
3
谢
谢
大
家！4.2
提公因式法（一）教材分析
由于因式分解的主要目的是对多项式进行恒等变形，它的作用更多的是应用于多项式的计算和化简，比如在以后将要学习的分式运算、解分式方程、二次根式化简等中都要用到因式分解的知识。因此因式分解的概念和方法很重要。
本节是因式分解的第2小节，占两个课时，这是第一课时，它主要让学生经历从乘法的分配律的逆运算到提取公因式的过程，让学生体会数学的主要思想——类比思想，运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．如学生在接受提取公因式法时，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，由提取的公因式是单项式到提取的公因式是多项式时的分解方法，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．
本节课的让学生达到的学习目标
1、多项式的公因式的定义。
2、学会如何确定公因式
3、提公因式法因式分解的步骤
4、用提公因式法因式分解应注意的问题
本节课的教学重点、难点
教学重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来
教学难点：让学生识别多项式的公因式评测练习
一、填空题
1.单项式－12x12y3与8x10y6的公因式是________．
2.把4ab2-2ab+8a分解因式得________．
3.多项式18xn+1-24xn的公因式是_______.
二、选择题
1.多项式8xmyn-1-12x3myn的公因式是（
）
A．xmyn
B．xmyn-1
C．4xmyn
D．4xmyn-1
2.把多项式－4a3+4a2-16a分解因式（
）
A．-a(4a2-4a+16)
B．a(-4a2+4a－16)
C．-4(a3-a2+4a)
D．-4a(a2-a+4)
3.如果多项式-abc+ab2-a2bc的一个因式是-ab,那么另一个因式是（
）
A．c-b+5ac
B．c+b-5ac
C．c-b+ac
D．c+b-ac
三、请把下列各式分解因式
（1）x(x-y)-y(y-x)
（2）-12x3+12x2y-3xy2
（3）(x+y)2+mx+my
（4）a(x-a)(x+y)2-b(x-a)2(x+y)
（5）15×（a-b）2-3y（b-a）
（6）（a-3）2-（2a-6）
四、已知.a+b＝-4，ab＝2，求多项式4a2b+4ab2-4a-4b的值.课后反思
本节课的亮点
本节课的设计从以下几个环节:
温故知新-导学释疑-巩固提升-课堂检测-拓展延伸
对学生数学能力及数学思想方法的培养在初中数学教材中尽管没有专门章节进行训练，但始终渗透在整个初中数学的教学过程中．由于一些数学
( http: / / www.21cnjy.com"
\t
"_blank"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )问题的解决思路常常是相通的，类比思想可以教会学生由此及彼，灵活应用所学知识，它是初中数学一个重要的数学思想．
运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．如学生在接受提取公因式法时，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，由提取的公因式是单项式到提取的公因式是多项式时的分解方法，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解，没有斧凿的痕迹．
本节课注意的问题：
1、要关注所有的学生，尊重学生的个性差异。必须根据学生的个性特长，尽可能地设计符合学生实际、发展学生思维能力的各种课堂活动，创设让每一个学生都有施展才能的舞台，培养学生的思维品质，促进全体学生的发展，让每一个学生都能在课堂上有所收获。
2、在引入例题后，关于过程的书写和思路上每个学生能力层次不齐，应给予多一点的指导。
教学中那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略深层知识的真谛．因此数学思想的教学应与整个表层知识的讲授融为一体．4.2提公因式法（1）
一、学习目标
1、多项式的公因式的定义。
2、学会如何确定公因式
3、提公因式法因式分解的步骤
4、用提公因式法因式分解应注意的问题
二、教学重点、难点
教学重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来
教学难点：让学生识别多项式的公因式
三、教学过程：
第一环节
温故知新
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解
想一想:因式分解与整式乘法有何关系
因式分解与整式乘法互为逆运算
判断：
下列各式哪些是整式乘法 哪些是因式分解
(1).x -4y =(x+2y)(x-2y)(2).2x(x-3y)=2x -6xy
(3).(5a-1)
=25a -10a+1
(4).x +4x+4=(x+2)
(5).(a-3)(a+3)=a -9
(6).2
πR+
2
πr=
2
π(R+r)
辨别列运算是不是因式分解.下列由左边到右边的变形，哪些是分解因式
1)（a
+3)(a
–3)=
a –9
2）x
–y
+1=(x
+y
)(x
-y
)+1
3）6x y =3xy·2xy
4）
a
+
a
–
1=a(a
+
1-
)
5)
2πR-2πr
=2π(R-r)
第二环节
导学释疑
一块场地由三个长方形组成,这些长方形的长分别为
,
,
,宽都是
,求这块场地的面积.
问：你是用什么方法计算的？这个式子的各项有相同的因数吗？
变式题
如果一块场地由三个长方形组成,这三个长方形的长分别为a,b,c,宽都是m,那么这块场地的面积是多少？
想一想：多项式
ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式
xy+4x呢？多项式mb
+nb–b呢？
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
议一议：
多项式2x +6x 中各项的公因式是什么？
多项式2x y+6x y 各项的公因式是什么？
你认为怎样确定一个多项式的公因式？
结论：（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；
（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；
（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．
例1
找2x +6x 的公因式
找一找:
下列各多项式的公因式是什么？
(1)
3x+6y+3
(2)4ab-2ac+a
(3)
a
-
3a (4)9
m
n-6mn
(5)
6
x y+8
xy
你能尝试将多项式
因式分解吗？
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
例：把3a -9ab因式分解
温馨提示：分两步，第一步，找出公因式；第二步，提取公因式
，
(即将多项式化为两个因式的乘积)
尝试练习：
例2
把
9x –
6xy+3xz
因式分解.
总结：用提公因式法分解因式的步骤：1.找公因式
2.把多项式各项分解成公因式与某个整式乘积的形式
3.提取公因式
议一议：小颖解的有误吗？
第三环节
巩固提升:
利用提公因式法因式分解:
例3.
-24x +12x -28x
注意：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”,但是在提出“-”时，多项式的各项都要变号。
练一练
1、-2x +4x-6x
2、-2x -12xy +8xy
归纳总结：1、确定公因式的方法
1)定系数
2)定字母
3)定指数
2、提公因式法因式分解步骤：
①找出公因式；②提公因式（
把多项式化为两个因式的乘积）
3、用提公因式法因式分解应注意的问题：
（1）、公因式要提尽；（2）、小心漏掉1;
（3）、提出负号时,要注意变号.
第四环节
检测反馈：
1.多项式-6ab +18a b -12a b c的公因式是
( )
A.-6ab c
B.-ab
C.-6ab
D.-6a b c
2、把下列各式因式分解：
（1）
2x -4x
（2）24xm -16xm
(3)3x -9x +3x
(4)-4a b +6a b-2ab
3、巧妙计算
已知a+b=5,ab=3,求a b+ab 的值.
第五环节
拓展提升
思考
你会把下列各式分解因式吗
a(x-3)+2b(x-3)
2、y(x+1)+y(x+1)
布置作业：必做题：习题4.2
1,2题
选做题：数学理解
3
板书设计：
公因式的定义
找公因式的方法：1、
2、
3、
提取公因式的步骤
1、
2、
3、
提公因式法注意的事项。
