第六章
反比例函数
6．1反比例函数
学习目标：
1．理解反比例函数的概念，会求比例系数．
2．感受反比例函数是刻画世界数量关系的一种有效模型，能够列出实际问题中的反比例函数关系．
3．通过学习反比例函数，培养学生合作交流和探索的能力．
【重点与难点】
一、重点：理解反比例函数的概念，会求比例系数．
二、难点：正确列出实际问题中的反比例函数关系．
第一部分《课前学》
【温故而知新】
提出问题
请回忆，什么是函数？你学过什么函数？它的解析式是什么？确定解析式的方法是什么？
第二部分《课上学》
一、情景导入（生活中的数学）（独立思考）
1、从高官寨镇到章丘市区全程45千米，某同学从高官寨镇乘坐公交车去章丘市区，公交车行驶所需要的时间t（h）与行驶的平均速度v(km/h)之间有怎样的关系？变量t是v的函数吗？为什么？
2、某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y（单位：m
）随宽x（单位：m
）的变化而变化。y与x有怎样的关系？变量y是x的函数吗？为什么？
3、我们知道,电流I,电阻R,电压U之间满足关系式
＿＿＿＿
，当U=220V时：
(1)你能用含有R的代数式表示I吗
(2)利用写出的关系式完成下表:
R/Ω
20
40
80
100
I/A
解释生活中的现象：（观察图片）
二、探究新知（先独立思考，后小组交流）
观察以上关系式：
，
，
它们有哪些共同特征？有哪些不同之处？
1、形成概念：形如
（
）的函数，称为反比例函数，其中x是自变量，y是因变量。
思考：系数k为什么不能等于0？
2、
概念深化
（1）当x=50时，
y=
（2）当x=-100时，y=
（3）x的值能不能为0？为什么？
结论：
（4）某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长
（单位：m）随宽
（单位：m）的变化而变化。
此时
x
可以取－100吗？为什么？
结论：
3、概念再深化（先独立思考，再与组内成员交流。）
根据已有知识对于反比例函数解析式
(k≠0)
还可以改写为怎样的形式？
成果展示：
请总结它们的各自特征：（独立思考后在组内合作完成）
三、概念辨析
1、下列关系式中，y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少
2、关系式xy+4=0中y是x的函数吗？若是，比例系数k等于多少？若不是，请说明理由。
3、如果函数为反比例函数，那么k=
,此时函数解析式为
。
4、已知函数是反比例函数，则m=
.
5、
当m取什么值时，函数是反比例函数？
探究活动二
例题：已知y是x的反比例函数,当x=2时,y=6.
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）求当x=4时y的值.
归纳:待定系数法确定反比例函数解析式的步骤：
举一反三：变式：y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：
x
-1
y
4
-2
（1）写出这个反比例函数的表达式；（2）根据函数表达式完成上表.
方法总结：
四、当堂检测
1．下列函数中，是反比例函数的是（
）
2．已知函数
y＝kxk－2
是反比例函数，求
k
的值．
3、已知反比例函数的图象经过点A（m,1）求m的值。
4、反比例函数与一次函数都经过点A（-2，m），求反比例函数的解析式。
5、已知
y
是
x
的反比例函数，并且当
x=2
时，
y=6．
（1）写出
y
关于
x
的函数解析式；（2）当
x=4
时，求
y
的值.（3）当
y
=8
时，求x
的值.
五、总结反思
通过本节课的学习你有哪些收获？
第三部分《课后学》
（一）必做题
1．下列函数中，与x成反比例函数关系的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．在下列关系式中：① ② ③ ④ ⑤ ⑥
⑦ ⑧其中是的反比例函数的有：
；它们的比例系数分别是
．
3．若为反比例函数关系式，则=
_________．
4．已知是的反比例函数，且当=3时，=8，求：
（1）与的函数关系式；（2）当时，的值；（3）当时，的值．
5．一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米／时的平均速度从甲地出发，则6小时可到达乙地．（1）写出时间t
（时）关于速度v（千米／时）的函数关系式，说明比例系数的实际意义．（2）若这辆汽车需在5小时内从甲地到乙地，则此时汽车的平均速度至少应是多少
（二）选做题：
1．若梯形的下底长为，上底长为下底长的，高为，面积为60，则与的函数关系是_________．
（不考虑的取值范围）
2．已知－3与+2
成反比例，且=2时，=7,求：
（1）与的函数关系式． （2）求=5时，的值．(共22张PPT)
北京师范大学出版社
初中数学
九年级上册
请大家回忆一下什么是函数？
你学过什么函数？它的解析式是什么？
若两个变量
x,y之间的对应关系可以用y=kx+b(k、b为常数，k≠0)，则称y为x的一次函数
在某变化过程中有两个变量x,y,若给定其中一个变量x的值，y都有唯一确定的值与它对应，则称y
是x的函数。
本节课学习内容
学习目标
1、理解反比例函数的概念，会求比例系数。
2、感受反比例函数是刻画世界数量关系的一种有效模型。
3、通过学习反比例函数，培养学生合作交流和探索的能力。
生活中的数学
1、从高官寨镇到章丘市区全程45千米，某同学从高官寨镇乘坐公交车去章丘市区，公交车行驶所需要的时间t（h）与行驶的平均速度v(km/h)之间有怎样的关系？变量t是v的函数吗？为什么？
一、情境引入
2、某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y（单位：m
）随宽x（单位：m
）的变化而变化。y与x有怎样的关系？变量y是x的函数吗？为什么？
变量y与x之间的关系式是：
物理中的数学
欧姆定律
我们知道,电流I,电阻R,电压U之间满足关系式
＿＿＿＿
，当U=220V时：
(1)你能用含有R的代数式表示I吗
(2)利用写出的关系式完成下表:
当R越来越大时,I怎样变化 当R越来越小呢
(3)变量I是R的函数吗 为什么
U=IR
11
5.5
2.75
2.2
R/Ω
20
40
80
100
I/A
解释生活中的现象
亮度可调节的台灯
观察以上
函数关系式：
它们在形式上具有哪些共同特征？
有哪些不同之处？
都可以写成
的形式，其中k≠0,k为常数.
二、探究新知
（先独立思考，后小组交流）
1、形成概念
一般的，如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成
（
为常数，
）的形式，那么称y是x的函数。
思考：
系数
为什么不等于0？
20
－10
对于反比例函数
议一议
2、概念深化
①当
=50时，
=_____
②当
=－100时，
=_____
③
的值能不能取０？为什么？
函数
(
)中,自变量
的取值范围是不为0的一切实数。
形如
的函数成为反比例函数，
其中x是自变量，y是因变量。
④某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长
（单位：m）随宽
（单位：m）的变化而变化。
注意：在实际问题中，自变量的取值还需考虑它的实际意义。
函数关系式为：
，此时
可以取－100吗？为什么？
3、概念再深化
根据已有知识，对于反比例函数解析式
还可以改写为怎样的形式？
先独立思考，再与组内成员交流。
成果展示
总结三种解析式的各自特征：
1、等号左边为因变量y
2、等号右边为分式，分母为自变量x的单项式且次数为1次
3、等号右边分子为常数k且k≠0
1、等号左边为因变量y
2、等号右边为k与x负指数幂的乘积，次数为-1次
1、等号左边为自变量x与因变量y的乘积
2、等号右边为常数k且k≠0
1、下列关系式中，y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？
（1）y=
4
x
（2）y=-
1
2x
（3）y=1-x
（4）xy=1
（5）y=
x
2
(6)
y=x2
(7)
y=x-1
（8）y=
1
x
-1
y是x的反比例函数，比例系数为k（k≠0）
y=
k
x
y=kx-1
xy=k
记住这些形式
关系式xy+4=0中y是x的反比例函数吗 若是，比例系数k等于多少？若不是，请说明理由。
1、如果函数
为反比例函数，那么k=
，
此时函数的解析式为
.
y=
k
x2k+3
-1
2、已知函数y=3xm-7是反比例函数,则
m
=
___
.
6
分析:
｛
m2-2=-1
m+1≠0
即：m=1
｛
m=±1
m≠-1
解得
3、当m取什么值时，函数
是x的反比例函数？
三、概念辨析
例题：已知y是x的反比例函数,当x=2时,y=6.
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）求当x=4时y的值.
用待定系数法求函数的解析式其步骤是：
1.解设函数关系式。
2.将已知条件代入关系式，建立方程（组）。
3.解这个方程（组）,求出系数;
4.写出函数关系式。
待定系数法确定表达式
探究活动二
变式：y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：
x
-1
y
4
-2
（1）写出这个反比例函数的表达式；
（2）根据函数表达式完成上表.
1
2
-
1
2
2
-4
1
举一反三
随时牵挂待定系数法
方法总结
因为反比例函数
只有一个待定系数k，只需要一组x,y的对应值代入即可求得k值。
1．下列函数中，是反比例函数的是(
)
D
2．已知函数
y＝kxk－2
是反比例函数，求
k
的值．
四、当堂检测（在学案中完成）
k=1
m=2
4、反比例函数
与一次函数
都经过点A(-2,m),求反比例函数的解析式。
5、已知
y
是
x
的反比例函数，并且当
x=2
时，
y=6．
（1）写出
y
关于
x
的函数解析式；
（2）当
x=4
时，求
y
的值.
（3）当
y
=8
时，求x
的值.
五、总结反思
１、反比例函数：若y是x的反比例函数，则 ；
若 ，则y是x的反比例函数。有三种表达形式。
二、方法
（掌握待定系数法）
一、知识点
（反比例函数的概念）
三、应用
１、用函数关系式解题
２、通过题目求函数解析式
注意：
知识的升华
成功！
驶向胜利的彼岸
1、必做题：导学案课后作业部分
2、选做题：导学案选做题部分
六、作业设计评测练习
一、当堂检测
1．下列函数中，是反比例函数的是（
）
2．已知函数
y＝kxk－2
是反比例函数，求
k
的值．
3、已知反比例函数的图象经过点A（m,1）求m的值。
4、反比例函数与一次函数都经过点A（-2，m），求反比例函数的解析式。
5、已知
y
是
x
的反比例函数，并且当
x=2
时，
y=6．
（1）写出
y
关于
x
的函数解析式；（2）当
x=4
时，求
y
的值.（3）当
y
=8
时，求x
的值.
二、课后作业
（一）必做题
1．下列函数中，与x成反比例函数关系的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．在下列关系式中：① ② ③ ④ ⑤ ⑥
⑦ ⑧其中是的反比例函数的有：
；它们的比例系数分别是
．
3．若为反比例函数关系式，则=
_________．
4．计划修建铁路1200千米，那么铺轨天数（天）与每日铺轨量（千米/天）之间的关系式是 ，
（填“是”或“不是”）的反比例函数．
5．已知是的反比例函数，且当=3时，=8，求：
（1）与的函数关系式；（2）当时，的值；（3）当时，的值．
6．一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米／时的平均速度从甲地出发，则6小时可到达乙地．（1）写出时间t
（时）关于速度v（千米／时）的函数关系式，说明比例系数的实际意义．（2）若这辆汽车需在5小时内从甲地到乙地，则此时汽车的平均速度至少应是多少
（二）选做题：
1．若梯形的下底长为，上底长为下底长的，高为，面积为60，则与的函数关系是_________．
（不考虑的取值范围）
2．已知－3与+2
成反比例，且=2时，=7,求：
（1）与的函数关系式． （2）求=5时，的值．课后反思
一、本课的亮点
1.创造性的使用教材，重视激发学生的学习兴趣。
兴趣是最好的老师，有兴趣学生才有好的发展。本节课在导入环节，选择互动游戏，把学生从课外拉进课内，激发学生探索数学的热情；在应用中，以学生比较喜欢的篮球为背景，让学生体验数学在生活中的应用价值。
2.采用启发式教学，循序渐进。
温故而知新，让学生体会新旧知识的联系，同时渗透数学的转化思想，从一般到特殊的思想，从而轻松化解难点。
3.师生关系融洽，小组活动充分。
学生是学习的主人，在教学中突出学生的自主学习，设计形式多样、有广度的学生活动，让学生在观察、猜想、探索、交流与合作中学习。
4、课堂学习学生参与度高。
本节课采用注重讲练结合，练习形式多样。如同桌互查提高效率，学生板书纠正问题，同桌互相出题检测等，这些设计尽可能的让每一位学生参与到学习中来，作业的分层设计，有利于不同层次的学生，有不同的发展。
二、今后教学中应注意的问题
1．学生活动任务要更具体，更详细，这样每一位同学都知道应该做什么，小组活动的效率就会提高。
2．坚持启发式教学，反对注入式；
3．加强教学的计划性；
4，多采用计算机辅助
教学，效果好.教材分析
一、教学内容
函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出来的数学概念，是研究现实世界变化规律的重要内容和数学模型，学生曾在七年级下册和八年级上册学习过“变量之间的关系”和“一次函数”等内容，对函数已有了初步的认识，在此基础上讨论反比例函数可以进一步领悟函数的概念并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验，为后继学习二次函数等产生积极的影响。
二、教学目的：
（1）从现实情境和学生已有的知识经验出发，讨论两个变量之间的相互关系，加深对函数概念的理解。
（2）经历抽象反比例函数概念的进程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。
（3）体会数学从实践中来又到实际中去的研究、应用过程。培养学生的观察能力，及数学地发现问题，解决问题的能力。
三、重点、难点、关键
（1）理解和领会反比例函数的概念；
（2）难点：领悟反比例函数的概念；
（3）关键：从现实情意和所学的知识入手，探索两个变量之间的相依关系。
四、教学方法：小组合作、探究式
