本课是九年级下册第一章第一节《锐角三角函数》的第一课时.先由学生基于生活经验直观感受、判断梯子的倾斜程度，然后通过不易于判断的个例呈现给学生，引导学生进行简单的演算、比较、推理，教师采用教育技术实验的方法，借助几何画板，通过几何直观，帮助学生真正领会到直角三角形中边与角之间确实存在着一定的关系，最终探索出直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比是随锐角的变化而变化的.说明在直角三角形中，用一个锐角的对边与邻边的的比来定义正切是合理的.在问题解决的过程中，要渗透数形结合等数学思想方法，发展学生的几何直观能力和符号感.由于不同学生对问题的理解是不一样的，教师应尊重学生间的差异，不要急于否定学生的答案，而要鼓励学生开展讨论，给学生提供成果展示的机会，培养学生的交流能力及学习数学的自信心.教学反思
本课时结合学生身边的数学现象，依据初中学生身心发展的特点，通过图片及梯子陡度引入新课，激发了学生的求知欲.为了突破教学难点，教学活动中运用了直观教学、ppt演示和验证、几何推理等方法，既直观的呈现了知识的内在联系，培养了学生的几何直观能力，又唤起和加深学生对教学内容的体会和理解.本课中，对梯子的倾斜程度、坡角、坡度（坡比）的认识，让学生更进一步体验了数学的实用性，加深了数学和实际生活的联系，使学生学习数学不再感到恐惧和陌生.(共35张PPT)
第一章直角三角形的边角关系
1.锐角三角函数（1）
北京师范大学出版社
初中数学
九年级下册
中国传统房梁
益智七巧板
帆船帆板
铅直高度
水平距离
梯子与地面的夹角（倾斜角）
水平宽度
铅直高度
α
梯子在上升变陡过程中，倾斜角、铅直高度、水平宽度发生了怎样的变化？
实践出新知
铅直高度
水平宽度
α
梯子在上升变陡过程中，倾斜角、铅直高度、水平宽度发生了怎样的变化？
实践出新知
铅直高度
水平宽度
α
梯子在上升变陡过程中，倾斜角、铅直高度、水平宽度发生了怎样的变化？
实践出新知
铅直高度
水平宽度
α
梯子在上升变陡过程中，倾斜角、铅直高度、水平宽度发生了怎样的变化？
实践出新知
铅直高度
水平宽度
你能利用这三个数据的变化来描述梯子的陡度吗？
α
倾斜角越大----梯子越陡
实践出新知
实例1:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
E
D
F
┐
A
C
B
┐
5m
6m
2m
2m
E
D
F
┐
A
C
B
┐
2m
2.5m
5m
5m
实例2:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
E
D
F
┐
A
C
B
┐
3m
2m
4m
3m
E
D
F
┐
A
C
B
┐
4m
2m
6m
3m
铅直高度
水平宽度
你能利用这三个数据的变化来描述梯子的陡度吗？
α
倾斜角越大
实践出新知
铅直高度与水平
宽度的比越大
梯子越陡
A
3
α
C
B
B1
C1
A1
α
C2
B2
A2
α
∵∠A=∠A
∠AC1B1=∠AC2B2
∴Rt△AC1B1∽Rt△AC2B2
比一比
2
A
3
α
C
B
A4
C4
B4
β
α
B3
C3
A3
2
说一说
A
a
b
α
C
B
B1
C1
A1
α
C2
B2
A2
α
直角三角形中，若∠A确定，则∠A的对边与邻边的比随之确定
议一议
=
=
=
A
C
B
∠A的邻边
的对边
∠A
Rt ABC中，锐角A的对边与邻边之比叫做∠A的正切,记作tanA(或tan∠A),即
当锐角A变化时，tanA的值也随之变化
定义新知
其他记法
tan∠BAC
tan∠1
tan∠α
tanα
判断：
1.
如图
(1)
(
).
A
B
C
(1)
┍
A
B
C
7m
10m
(2)
2．如图
(2)
(
).
3．如图
(2)
(
).
错
对
错
4、如图(2)
tanA=0.7m
(
)
错
正切值没有单位
A
9
12
C
B
A
13
5
C
B
tanA=
tanA=
tanB=
tanB=
∠A与∠B互余时，tanA
tanB=1
12
┍
┌
A
C
B
D
1.如图,
∠ACB=90°CD⊥AB.tan∠ACD=
tanB=_______
2.如图,
∠ACB=90°,BC=0.4,tan∠A=
AC=_______
C
B
A
梯子的倾斜程度与tanα有怎样的关系呢？
水平宽度
铅直高度
α
铅直高度
水平宽度
α
实践出新知
铅直高度
水平宽度
α
实践出新知
铅直高度
水平宽度
α
实践出新知
铅直高度
水平宽度
tanα的值越大,∠α越大，
梯子越陡.
α
实践出新知
下图表示两个自动扶梯,那一个自动扶梯比较陡
解:甲梯中,
β
乙
5m
┌
13m
6m
┐
8m
α
甲
乙梯中,
∵
tanα>
tanβ,
∴甲梯更陡.
数学与生活
若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离B1
C1
,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？
A
C1
C2
B2
B1
正切值的大小只与
角的大小有关
数学与生活
正切也经常用来描述山坡的坡度.
坡面与水平面的夹角称为坡角
┌
α
水平宽度
铅直高度
坡角
坡度（坡比）i=
坡角越大，坡度（坡比）越大，山坡越陡
100m
60m
┌
α
例，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,求该山坡的坡度i
解:在Rt△ABC中,BC=20米
∵坡度i＝１：
∴
则AC=
米.
又∵AB2=BC2+AC2
∴AB=√202+(
)2=40米
例2
如图，拦水坝的坡度i＝１： ，若坝高
BC=２０米，求坝面ＡＢ的长。
A
C
B
A
C
B
5
5
1.在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，tanA的值（
）A、扩大100倍
B、缩小100倍
C、不变
D、不能确定
2.如图,
∠ACB=90°CD⊥AB.tanB=_______
=_______=________
3.山坡在水平方向上前进100米，高度就上升25米，那么山坡的坡度为_______
4.等腰 ABC中，AB=AC=5,BC=6,则
tanB=_______
当堂检测
D
┍
┌
A
C
B
D
C
CD\BD
AD\CD
AC\BC
1\4
4\3
回顾与思考：
通过本节课的学习你有哪些收获？
必做：1.导学案1.1（1）
2.若tanA=2/3，借助直尺与量角器估算∠A的度数
（结果保留到1°）
选做：直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE,则tan∠CBE的值是多少？
C
B
A
6
8
C
B
A
E
D第一章直角三角形的边角关系
锐角三角函数(第1课时》
教学目标分
知识与技能
经历探索直角三角形中边角关系的过程理解正切的意义和现实生活的联系
能眵
的比,表
物体的倾斜程度、坡
够根据直角三角形的边角关系,用正切进行简单的计算
过程与方法:
体验数形之间的联
学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题
体会解决问题的策略的多样性,发展学生的几何直观能力和符号感,发展学生
察、分析、发现问题的能力
情感态度与价值观
本节课程的学习,促使学生更加热爱生活,理解数学源于生活又为生活服务
进一步锻炼学生用数学的观点来解释身边的事物,形成良好的数学思维习惯和思
教学重点:理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,密切数学与生活的联系
教学难点:理解正切的意义,并用它来表示两边的比
教学过程分析
活动内容1:从学生身边的直角三角形入手,图片展示并引入按下来的主角-梯子
活动内容2:观察梯
幻灯片展示梯子变陡的过程,并捉出问题“怎样用倾斜角,铅直高度,水平宽度
来描述梯子变陡的过程
学生較易得出“倾斜角越大梯子越陡”引导学生用边来描述梯子的陡度
图1-1和图1—2中,这里摆放的两个梯子,你能辨别出那一个比较陡一些吗 你
是如何判断的 能单独由一条边来判断梯子陡度吗
下图中,这里摆放的两个梯子,你能辨别出那一个比较
第二组图呢 你觉得应该综合两边的什么运算来比较陡度 用图
来验证
5你能总结出什么结论:铅直高度与水平宽度的比越大梯子越陡
活动
学生发现不仅用角度可以描述梯子陡度,用两边的比值也可以描述
梯子的陡度,进一步加强角度和边之问的联系
第二环节探宠新知
活动内容1:比一比
(1)展示一组有一个内角相等的直角三角形,提出问题
组只有锐角相等
有直角相等的三角形
提出问题
学生讨论总结:在直角三角形中,若∠A确定则∠A的对边与邻边的比随之确定
活动目的
通过由特殊—一般的过程,使学生进一步明确直角三角形中边与角的关联,并
吉结论:在直角三角形中,若∠A确定则∠A的对边与邻边的比随之确定
活动内容
锐角一旦确定
的比也随之确
数学上,我们把这个确定的比叫做一个锐角的正切如图1-5,我们把∠A的对边与
邻边的比,叫做∠A的正切(an),记作tanA
∠A的对边
∠A的邻边
∠A的邻边
切的其他常用
牛刀小试:使学生再次重申
角形中,②正切值没有单位@相对的直角
请同学们思考,梯子的倾斜程庋与tanA的值有关吗
nA的值越大,梯子越陡
活动目的:通过探宄梯子的倾斜程度与tanA的值的关系,渗透
数学
切的意义和与现实生活的联系
笫三环节应用与拓展
活动内容
例题1:图1-6表示甲、乙两个手扶电梯,哪个手扶电梯比较陡
活动目的:通过计
切值判断梯子的倾斜程度,这是对第二环节中得出结论的直接
运用,旨在巩固正切的定义以及发展学生的数学应用意识.体验数形之间的联系,逐步
习利用数形结合的思想分析问题和解决问题,提高解决实际问题的能力
活动内容
认识坡角、坡度(坡比
面与水平面的夹角
坡度(坡比):坡面的铅垂高度与水平宽度的比,即坡度(坡比)就是坡角的正切
有一山坡在水平方向上每前进100m米就升
么山坡的坡角是&,坡度(坡比)就是
坡角、坡度(坡比
坡度
角的正切.体会数学与实际生活的联系
笫四环节当堂检測
活动内容评测练习
（1）山坡在水平方向上前进100米，高度就上升25米，那么山坡的坡度为
（2）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm，AB＝20cm，则tanA=
，
tanB=
．
（3）在△ABC中，∠C＝90°，∠A=300，则tanA=
，tanB=
(4)
在△ABC中，∠C＝90°AC=6,tanA=2,则BC=
，AB=
（5）如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗？
（6）如图，某人从山脚下的点A走了20m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为15m，求山的坡度．
（7）如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1∶1.5的斜坡AD，求DB的长．(结果保留根号)
3
A
D
