2.2.2
双曲线的简单几何性质
1．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝( )．
A．－
B．－4
C．4
D．
2．已知双曲线－＝1(a＞)的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为( )．
A．
B．
C．
D．
3．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是( )．
A．(－，)
B．(－，)
C．[－，]
D．[－，]
4．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )．
A．－＝1
B．－＝1
C．－＝1
D．－＝1
5．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )．
A．y＝±x
B．y＝±2x
C．y＝±x
D．y＝±x
6．若点P在双曲线x2－＝1上，则点P到双曲线的渐近线的距离的取值范围是__________．
7．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
8．双曲线与圆x2＋y2＝17有公共点A(4，－1)，圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，则双曲线的标准方程是__________．
9．已知双曲线C：－y2＝1.
(1)求双曲线C的渐近线方程；
(2)已知点M的坐标(0,1)，P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点，记λ＝·，求λ的取值范围．
参考答案
1．A ∵曲线mx2＋y2＝1是双曲线，∴m＜0，排除选项C，D；将m＝－代入已知方程，变为y2－＝1，虚轴长为4，而实轴长为2，满足题意，故选A.
2．B ∵a＞，∴＜1.
∴渐近线y＝x的倾斜角小于45°.
∴＝tan＝.
∴a＝，∴c＝＝2.
∴e＝＝＝.
3．C 由题意知，焦点F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.当过F点的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.
4．B 由方程组
得a＝2，b＝2.
又∵双曲线的焦点在y轴上，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
5．C 由题意知：2b＝2,2c＝2，则可求得a＝，则双曲线方程为－y2＝1，故其渐近线方程为y＝±x.
6．(0，] 双曲线的一条渐近线方程是3x－y＝0，由渐近线的性质，知当P点是双曲线的一个顶点时，P点到渐近线的距离最大，双曲线的顶点坐标是(±1,0)，
则P点到渐近线的距离的最大值为＝.
7． ∵双曲线的渐近线为y＝±x，且A(3,0)，F(5,0)，
∴直线BF的方程为y＝(x－5)
(由于两条渐近线关于x轴对称，因此设与任何一渐近线平行的直线均可)．
代入双曲线方程，得－×(x2－10x＋25)＝1.
解得x＝，∴y＝－.
又∵|AF|＝c－a＝2，
∴S△AFB＝|AF|·|y|＝×2×＝.
8．－＝1 ∵点A与圆心O的连线的斜率为－，
∴过点A的圆的切线的斜率为4.
∴双曲线的渐近线方程为y＝±4x.
设双曲线方程为x2－＝λ(λ≠0)．
∵点A(4，－1)在双曲线上，
∴16－＝λ，∴λ＝.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
9．解：(1)由－y2＝0，得所求渐近线方程为y－x＝0，y＋x＝0.
(2)设点P的坐标为(x0，y0)，
则点Q的坐标为(－x0，－y0)．
所以λ＝·＝(x0，y0－1)·(－x0，－y0－1)＝－x－y＋1＝－x＋2.
∵|x0|≥，∴λ的取值范围是(－∞，－1]．2.2.1
双曲线的定义与标准方程
1．到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是( )．
A．椭圆
B．线段
C．双曲线
D．两条射线
2．双曲线－＝1的焦距为( )．
A．3
B．4
C．3
D．4
3．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中为双曲线的是( )．
A．|PF1|－|PF2|＝±3
B．|PF1|－|PF2|＝±4
C．|PF1|－|PF2|＝±5
D．|PF1|2－|PF2|2＝±4
4．已知方程－＝1的图形是双曲线，那么k的取值范围是( )．
A．k＞5
B．k＞5，或－2＜k＜2
C．k＞2，或k＜－2
D．－2＜k＜2
5．设P为双曲线x2－＝1上一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为( )．
A．6
B．12
C．12
D．24
6．如图，从双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|与b－a的大小关系为__________．
7．在△ABC中，已知B(4,0)，C(－4,0)，点A运动时满足sin
B－sin
C＝sin
A，则A点的轨迹方程是__________．
8．中心在原点，两对称轴都在坐标轴上，并且经过P(3，)和Q(，5)两点的双曲线方程是______．
9．设点P到点M(－1,0)，N(1,0)的距离之差为2m(m≠0)，到x轴、y轴的距离之比为2，求m的取值范围．
10．如图，M(－2,0)和N(2,0)是平面上的两点，动点P满足||PM|－|PN||＝2.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设d为点P到直线l：x＝的距离，若|PM|＝2|PN|2，求的值．
参考答案
1．D ∵||MF1|－|MF2||＝6，而F1(－3,0)、F2(3,0)之间的距离为6，即|F1F2|＝6，
故||MF1|－|MF2||＝|F1F2|.
∴M点的轨迹为分别以F1，F2为端点的两条射线．
2．B 由c2＝a2＋b2＝10＋2＝12，得2c＝4.
3．A 由题意，知|F1F2|＝4，根据双曲线的定义，有||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，观察各选项，只有选项A符合双曲线的定义．
4．B ∵方程的图形是双曲线，
∴(k－5)(|k|－2)＞0.
即或
解得k＞5，或－2＜k＜2.故选B.
5．B 由已知，得解得
∵|F1F2|＝2c＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2.
∴△PF1F2是以F1F2为斜边的直角三角形，
∴＝|PF1|·|PF2|＝12.
6．|MO|－|MT|＝b－a 设双曲线的右焦点为F′，连接PF′，OT.
在Rt△OTF中，|FO|＝c，|OT|＝a，∴|TF|＝b.
由三角形中位线定理及双曲线的定义，知|MO|－|MT|＝|PF′|－(|PF|－b)＝b－(|PF|－|PF′|)＝b－a.
7．－＝1(x＞2) ∵sin
B－sin
C＝sin
A，
∴由正弦定理，得b－c＝a，即|AC|－|AB|＝|BC|，
∴|AC|－|AB|＝4.
∴点A的轨迹是以C，B为焦点的双曲线的右支(除去点(2,0))，其方程为－＝1(x＞2)．
8．－＝1 设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
∵点P，Q在双曲线上，∴
解得
∴所求双曲线方程为－＝1.
9．解：设点P的坐标为(x，y)．
依题设，得＝2，即y＝±2x
(x≠0)．①
因此，点P(x，y)，M(－1,0)，N(1,0)三点不共线，知||PM|－|PN||＜|MN|＝2.
∵||PM|－|PN||＝2|m|＞0，
∴0＜|m|＜1.
因此，点P在以M，N为焦点的双曲线上，
故－＝1.②
将①代入②式，得x2＝.
∵1－m2＞0，∴1－5m2＞0.解得0＜|m|＜，即m的取值范围为(－，0)∪(0，)．
10．解：(1)由双曲线的定义，知点P的轨迹是以M，N为焦点，2a＝2的双曲线．
因此c＝2，a＝1，从而b2＝c2－a2＝3.
所以双曲线的方程为x2－＝1.
(2)设P(x，y)，由|PN|≥1，知|PM|＝2|PN|2≥2|PN|＞|PN|，故点P在双曲线的右支上，所以x≥a＝1.
由双曲线方程，有y2＝3x2－3.
因此|PM|＝＝＝＝2x＋1.
|PN|＝＝＝.
从而由|PM|＝2|PN|2，得2x＋1＝2(4x2－4x＋1)，即8x2－10x＋1＝0.
所以x＝(舍去x＝)．
所以|PM|＝2x＋1＝，d＝x－＝.故＝×＝1＋.2.3.1
抛物线的定义与标准方程
1．已知5＝|3x＋4y－12|是动点M所满足的坐标方程，则动点M的轨迹是( )．
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．以上都不对
2．在抛物线y2＝2px上，且横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为( )．
A．0.5
B．1
C．2
D．4
3．抛物线y＝4x2上一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为( )．
A．
B．
C．
D．0
4．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )．
A．y2＝±4x
B．y2＝±8x
C．y2＝4x
D．y2＝8x
5．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是( )．
A．
B．
C．
D．3
6．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________．
7．抛物线的焦点F在x轴上，点A(m，－3)在抛物线上，且|AF|＝5，则抛物线的标准方程为__________．
8．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是__________．
9．过抛物线y2＝2px(p＞0)上一定点P(x0，y0)(y0＞0)作两条直线，分别交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数．
参考答案
1．C 由题意得＝，即动点M到直线3x＋4y－12＝0的距离等于它到原点(0,0)的距离．由抛物线的定义可知，动点M的轨迹是以原点(0,0)为焦点，以直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．
2．C 解析：由题意，得4＋＝5.
∴p＝2.
3．B 设点M(x，y)，把抛物线的方程化为x2＝y，
则有|MF|＝y＋＝y＋＝1，
∴y＝.
4．B y2＝ax的焦点坐标为(，0)，则过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2(x－)，令x＝0，
得y＝－.
∴×·＝4，
∴a2＝64，
∴a＝±8.
5．A 设直线4x＋3y＋m＝0与抛物线y＝－x2相切，
则由消去y，得3x2－4x－m＝0，令Δ＝0，得m＝－.
∴直线4x＋3y－8＝0与直线4x＋3y＋m＝0间的距离d＝＝.
即所求的最小距离为.
6．y2＝16x 双曲线的右顶点为(4,0)，设抛物线方程为y2＝2px，(p＞0)，则＝4，
∴p＝8.故y2＝16x.
7．y2＝±2x或y2＝±18x 设抛物线的标准方程为y2＝2px或y2＝－2px(p＞0)．
∵A点在抛物线上，
∴(－3)2＝2pm或(－3)2＝－2pm.
∴m＝±.①
又|AF|＝＋|m|＝5，②
把①代入②可得＋＝5，
即p2－10p＋9＝0.
∴p＝1或p＝9.
∴所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
8．＋＝1(y≠0) 设抛物线的焦点为F(x，y)，如图，A，B到准线的距离为|AA′|，|BB′|，点F在与切线垂直的直线上(过切点)，四边形AA′B′B为梯形，
∴|AA′|＋|BB′|＝2r＝4.又由抛物线的定义，得|FA|＝|AA′|，|FB|＝|BB′|，
则|FA|＋|FB|＝4，
故点F在以A，B为焦点的椭圆上，
且2a＝4，c＝1，
∴b2＝a2－c2＝3，
故焦点的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
9．解：(1)令y＝，则x＝.
又抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，
由抛物线的定义得，所求距离为－(－)＝.
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.
由y＝2px1，y＝2px0，相减得
(y1－y0)(y1＋y0)＝2p(x1－x0)．
∴kPA＝＝(x1≠x0)．
同理可得kPB＝(x2≠x0)．
由PA，PB的倾斜角互补，知kPA＝－kPB，
即＝－.
∴y1＋y2＝－2y0，
故＝－2.
证明：设直线AB的斜率为kAB，由y＝2px1，y＝2px2，
相减可得kAB＝＝(x1≠x2)．
将y1＋y2＝－2y0(y0＞0)代入，
得kAB＝＝－(p＞0，y0＞0)．
∴kAB是非零常数，即直线AB的斜率是非零常数．2.3.2
抛物线的简单几何性质
1．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝( )．
A．4
B．8
C．8
D．16
2．若抛物线y2＝2px(p＞0)上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的距离为( )．
A．1
B．2
C．4
D．
6
3．抛物线上一点(－5,2)到焦点F(x,0)的距离为6，则抛物线的标准方程是( )．
A．y2＝－2x，y2＝－18x
B．y2＝－4x，y2＝－36x
C．y2＝－4x
D．y2＝－36x
4．边长为1的等边△AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )．
A．y2＝x
B．y2＝－x
C．y2＝±x
D．y2＝±x
5．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )．
A．
B．1
C．
D．
6．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )．
A．y2＝±4x
B．y2＝±8x
C．y2＝4x
D．y2＝8x
7．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
能使这条抛物线方程为y2＝10x的条件是________(要求填写合适条件的序号)．
8．已知抛物线E：y2＝x与圆M：(x－4)2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B，C，D四个点，求r的取值范围．
参考答案
1．B 直线AF的方程为y＝－(x－2)，联立得y＝4，所以P(6,4)．
由抛物线的性质可以知道|PF|＝6＋2＝8.
2．C 依题意，得＋6＝8，∴p＝4，∴焦点到准线的距离为p＝4.
3．C 由已知，得＝6，
∴x2＋10x＋9＝0，∴x＝－1或－9.
∴焦点为F(－1,0)或F(－9,0)．
∴p＝2或18.∴抛物线的方程为y2＝－4x或y2＝－36x.显然，若抛物线的方程为y2＝－36x，则它的准线为x＝9.
而点A(－5,2)到x＝9的距离为14，由抛物线的定义可知与题意不符，∴抛物线的标准方程为y2＝－4x.
4．C ∵△AOB为边长等于1的正三角形，
∴O到AB的距离为，A，B到x轴的距离均为.
当抛物线的焦点在x轴的正半轴上时，
设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．
∵抛物线过点(，)，
∴()2＝2p·.∴2p＝.
∴抛物线的方程为y2＝x.
当抛物线的焦点在x轴的负半轴上时，
设抛物线的方程为y2＝－2px(p＞0)．
∵抛物线过点(－，)，
∴()2＝－2p·(－)．∴2p＝.
∴抛物线的方程为y2＝－x.
5．C 如图，由抛物线的定义，知|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝3.
设点C为线段AB的中点，
所以|CD|＝(|AM|＋|BN|)＝，
所以中点C的横坐标为－＝，
即线段AB的中点到y轴的距离为.
6．B 抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F的坐标为(，0)，则直线l的方程为y＝2(x－)，它与y轴的交点为A(0，－)，所以△OAF的面积为|OA|·|OF|＝||·||＝4，解得a＝±8.所以抛物线的方程为y2＝±8x.
7．②⑤ 本题主要考查抛物线的基础知识，考查分析和探索问题的能力．
由抛物线方程y2＝10x知它的焦点在x轴上，所以②适合．
又∵它的焦点坐标为F(，0)，原点O(0,0)，
设点P(2,1)，可得kPO·kPF＝－1，
∴⑤也合适．而①显然不合适，通过计算可知③④不合题意．
∴应填序号为②⑤.
8．解：将抛物线E：y2＝x与圆M：(x－4)2＋y2＝r2(r＞0)的方程联立，消去y2，整理得x2－7x＋16－r2＝0.(
)
抛物线E：y2＝x与圆M：(x－4)2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B，C，D四个点的充要条件是：方程(
)有两个不相等的正根．
所以由解得r∈(，4)．
即r的取值范围是(，4)．2.1.2
椭圆的简单几何性质
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )．
A．5,3,0.8
B．10,6,0.8
C．5,3,0.6
D．10,6,0.6
2．(2010·广东高考)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )．
A．
B．
C．
D．
3．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若，则椭圆的离心率是( )．
A．
B．
C．
D．
4．已知椭圆C：＋＝1与椭圆＋＝1有相同的离心率，则椭圆C可能是( )．
A．＋＝m2(m≠0)
B．＋＝1
C．＋＝1
D．以上都不可能
5．
若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )．
A．2
B．3
C．6
D．8
6．曲线＋＝xy关于__________对称．
7．已知椭圆C：＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆C的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则a2＝________，b2＝________.
8．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆的离心率的取值范围是__________．
9．如图所示，已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
参考答案
1．B
2．B 因为2a,2b,2c成等差数列，
所以2b＝a＋c.
又b2＝a2－c2，
所以(a＋c)2＝4(a2－c2)．
所以a＝c.
所以e＝＝.
3．D 解析：如图，设点B的坐标为(x，y)．
由于BF⊥x轴，故x＝－c，，
设P(0，t)，∵＝2，
∴(－a，t)＝2(－c，－t)．
∴a＝2c，∴.
当点B在第三象限时，
同理可得.
4．A 椭圆＋＝1的离心率为.
把＋＝m2(m≠0)写成＋＝1，
则a2＝8m2，b2＝4m2，∴c2＝4m2.
∴＝＝.∴e＝.
而＋＝1的离心率为，
＋＝1的离心率为.
5．C 由题意，得F(－1,0)，设点P(x0，y0)，
则y＝3(1－)(－2≤x0≤2)，
所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋y＝x＋x0＋3(1－)＝(x0＋2)2＋2.
所以当x0＝2时，·取得最大值为6.
6．原点 同时以－x代x，以－y代y，方程不变，所以曲线关于原点对称．
7．25 9 ∵椭圆＋＝1的长轴长为10，椭圆＋＝1的短轴长为6，∴a2＝25，b2＝9.
8．(0，) ∵·＝0，
∴点M(x，y)的轨迹是以点O为圆心，F1F2为直径的圆，轨迹方程为x2＋y2＝c2.
由题意知椭圆上的点在圆x2＋y2＝c2外部．
设点P为椭圆上任意一点，则|OP|＞c恒成立．
由椭圆的性质，知|OP|≥b，其中b为椭圆短半轴长．
∴b＞c.∴c2＜b2＝a2－c2.
∴a2＞2c2.∴()2＜.
∴e＝＜.又0＜e＜1，
∴0＜e＜.
9．解：设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由椭圆方程，知a2＝4，b2＝1，则c2＝3，
所以有F(，0)，
所以直线l的方程为y＝x－.
将其代入＋y2＝1，化简整理，得5x2－8x＋8＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|AB|＝|x1－x2|＝·
＝×＝.2.4
圆锥曲线的应用
1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )．
A．2
B．6
C．4
D．12
2．P是双曲线－＝1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|＝17，则|PF2|的值是( )．
A．33
B．16
C．10
D．8
3．探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60
cm，灯深是40
cm，则光源到反光镜顶点的距离是( )．
A．11.25
cm
B．5.625
cm
C．20
cm
D．10
cm
4．一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2＝2y(0≤y≤20)，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的范围为( )．
A．0＜r≤1
B．0＜r＜1
C．0＜r≤2
D．0＜r＜2
5．如图，南北方向的公路l，A地在公路的正东2
km处，B地在A地东偏北30°方向2km处，河流沿岸PQ(曲线)上任一点到公路l和到A地的距离相等，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向A，B两地转运货物，经测算从M到A，M到B修建公路的费用均为a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是( )．
A．(2＋)a万元
B．2(＋1)a万元
C．5a万元
D．6a万元
6．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1
m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2
m，P距抛物线的对称轴1
m，则水池的直径至少应设计为__________m．(精确到1
m)
7．如图，已知椭圆x2＋2y2＝98及点P(0,
5)，则点P到椭圆的最大距离及最小距离的和是__________．
参考答案
1．C (数形结合)由椭圆的定义知椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a＝4，所以选C.
2．A 在双曲线－＝1中，a＝8，b＝6，故c＝10.
由P是双曲线上一点，
得||PF1|－|PF2||＝16.
∴|PF2|＝1，或|PF2|＝33.
由|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，得|PF2|＝33.
3．B 建立如图所示的坐标系，设y2＝2px(p＞0)，由题意，得点A(40,30)在抛物线上，代入，得p＝11.25.
故|OF|＝＝5.625(cm)，故光源到反光镜顶点的距离即为5.625(cm)．
4．A 设玻璃球的球心O′(0，r)，O(x，y)为抛物线上一点，
则|OO′|＝＝＝.
∵y≥0，∴当y＝0时，|OO′|为最小，
故r－1≤0，∴0＜r≤1.
5．C 建立如图所示的直角坐标系，连接AB，分别过点M，B，A作直线MM′⊥l，BB′⊥l，AA′⊥l，垂足分别为M′，B′，A′，过点B作BB1⊥AA′，垂足为B1.
由已知，可得
|AB1|＝|AB|·cos
30°
＝＝3(km)．
又|AA′|＝2
km，可得|BB′|＝3＋2＝5(km)．
由抛物线的定义，可得|AM|＝|MM′|.
∴修路费用为(|AM|＋|MB|)a＝(|MM′|＋|MB|)a≥|BB′|a＝5a(万元)，故选C.
6．5 如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，依题意，有P′(1，－1)在此抛物线上，代入得p＝，故得抛物线的方程为x2＝－y.
又B在抛物线上，将B(x，－2)代入抛物线的方程，得x＝，
即|AB|＝，则水池的半径应为|AB|＋1＝＋1.
因此所求水池的直径为2(1＋)，约为5
m，即水池的直径至少应设计为5
m.
7．2(1＋) 解析一：∵02＋2×52＜98，
∴点P(0,5)在椭圆内部．
设以P(0,5)为圆心和椭圆相切的圆的方程为
x2＋(y－5)2＝r2.①
把椭圆方程x2＋2y2＝98代入①，得r2＝－(y＋5)2＋148(－7≤y≤7)．
∴当y＝－5时，rmax2＝148，即rmax＝2，
当y＝7时，r
min2＝4，即rmin＝2.故点P到椭圆的最大距离为2，最小距离为2.
∴其和为2(1＋)．
解析二：设点M(x，y)为椭圆上任一点，则x2＋2y2＝98，
可得|PM|＝＝＝＝.
又∵－7≤y≤7，∴y＝－5时，有|PM|max＝＝2，
y＝7时，有|PM|min＝＝2.
故点P到椭圆的最大距离为2，最小距离为2.其和为2(1＋)．2.1.1
椭圆的定义与标准方程
1．椭圆x2＋＝1的一个焦点是(0，)，那么k等于( )．
A．－6
B．6
C．＋1
D．1－
2．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )．
A．(0，＋∞)
B．(0,2)
C．(1，＋∞)
D．
(0,1)
3．方程＋＝10化简的结果是( )．
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
4．椭圆＋＝1的焦点坐标为( )．
A．(±4,0)
B．(0，±4)
C．(±3,0)
D．(0，±3)
5．椭圆＋＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的( )．
A．7倍
B．5倍
C．4倍
D．3倍
6．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
7．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝__________，∠F1PF2的大小为__________．
8．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，则动圆圆心M的轨迹方程是__________．
9．已知A，B两点的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为m(m＜0)，求点M的轨迹方程并判断其轨迹的形状．
10．求焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点的椭圆的标准方程．
参考答案
1．B 由焦点坐标为(0，)，知焦点在y轴上，∴k－1＝()2.
∴k＝6.
2．D ∵x2＋ky2＝2，∴＋＝1.
∵焦点在y轴上，∴∴0＜k＜1.
3．B 此题可从椭圆的定义入手．方程表示动点(x，y)到(2,0)与(－2,0)的距离之和等于10，且10大于两定点的距离4，故该动点(x，y)的轨迹为椭圆．∴2a＝10，即a＝5.又c＝2，∴b2＝a2－c2＝21.∴方程为＋＝1.
4．D 根据椭圆的方程形式，知椭圆的焦点在y轴上，且c＝＝3.故焦点坐标为(0，±3)．
5．A 不妨设F1(－3,0)，F2(3,0)，P(x，y)，由题意，知＝0，即x＝3，代入椭圆方程，得y＝±，故P点坐标为(3，±)，即|PF2|＝.由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
∴|PF1|＝，即|PF1|＝7|PF2|.
6．8 由椭圆的定义知(|BF1|＋|BF2|)＋(|AF1|＋|AF2|)＝4a＝20.又∵|AB|＝|AF1|＋|BF1|，|F2A|＋|F2B|＝12，
∴|AB|＋12＝20.∴|AB|＝8.
7．2 120° 解析：∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|PF2|＝6－|PF1|＝2.
在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝
＝，
∴∠F1PF2＝120°.
8．＋＝1 设动圆M和定圆B内切于点C，动圆圆心M到定点A(－3,0)，定圆B的圆心B(3,0)的距离之和恰好又等于定圆B的半径长，即
|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝|BC|＝8.
所以动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，并且2a＝8,2c＝6，所以b＝＝.
所以动圆圆心M的轨迹方程是＋＝1.
9．解：设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(－1,0)，
所以直线AM的斜率为kAM＝(x≠－1)．
同理，直线BM的斜率为kBM＝(x≠1)．
由已知，有×＝m(x≠±1)，
化简得点M的轨迹方程为x2＋＝1(x≠±1)．
当m＝－1时，M的轨迹方程为x2＋y2＝1(x≠±1)，M的轨迹是单位圆去掉两个点(±1,0)．
当－1＜m＜0时，M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆去掉两个点(±1,0)．
当m＜－1时，M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆去掉两个点(±1,0)．
10．解法一：(1)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
依题意，有
解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
依题意，有
解得
因为a＜b，所以方程无解．
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
解法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)．
依题意，有解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
