3.1.1
问题探索—求自由落体的瞬时速度
1．一物体的运动方程为s(t)＝2t，则当t＝0时物体的运动速度为( )．
A．0
B．1
C．2
D．4
2．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝t2，则当t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )．
A．2
B．1
C．
D．
3．物体的运动规律是s(t)＝t2＋6，则在t＝1时，物体的运动速度是( )．
A．2
B．6
C．3
D．4
4．一物体的运动方程为s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )．
A．3
B．4
C．4.1
D．0.41
5．一辆汽车按规律s＝at2＋1作直线运动行驶，s的单位为m，若这辆汽车在t＝3
s时的瞬时速度为18
m/s，则a的值是( )．
A．3
B．4
C．6
D．8
6．已知f(x)＝，则当x趋于0时，f(x)的极限是__________．
7．当x趋于1时，的极限值是__________．
8．物体的运动方程是s＝6＋5t2，求
(1)物体在3
s到4
s内的平均速度；
(2)物体在t＝3
s这一时刻的瞬时速度．(其中s的单位是m，t的单位是s)
9．若一物体的运动方程满足s＝求物体在t＝1和t＝3时的瞬时速度．
参考答案
1．C
2．C ＝
＝＝d＋.
当d趋于0时，d＋趋于，
∴t＝2时，瞬时速度为.
3．A 物体在[1,1＋d]上的平均速度为
＝＝2＋d.
d趋于0时，2＋d趋于2，
所以物体在t＝1时的运动速度为2.
4．C
5．A 由瞬时速度的定义及计算方法可得该汽车在t时刻的瞬时速度为2at
m/s，当t＝3
s时，瞬时速度为18
m/s，所以6a＝18，所以a＝3.故选A.
6．2 当x趋于0时，x＋1趋于1，则趋于2.
∴当x趋于0时，f(x)的极限为2.
7．1 ＝＝x2(x≠1)，当x趋于1时，x2趋于1，即所求的极限值为1.
8．解：(1)物体在3
s到4
s的平均速度为＝35(m/s)．
(2)v(3，d)＝
＝＝30＋5d.
d趋于0时，30＋5d趋于30，所以物体在t＝3
s这一时刻的瞬时速度为30
m/s.
9．解：(1)当t＝1时，s＝3t2＋2，平均速度：＝＝3d＋6.
当d趋于0时，3d＋6趋于6，故物体在t＝1时的瞬时速度为6.
(2)当t＝3时，s＝29＋3
(t－3)2，
平均速度：
＝＝3d，
当d趋于0时，3d趋于0，故物体在t＝3时的瞬时速度为0.3.1.2
问题探索—求作抛物线的切线
1．若f(x)＝3x，则f(x)在x＝1处的切线的斜率是( )．
A．0
B．1
C．2
D．3
2．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a的值是( )．
A．1
B．
C．－
D．－1
3．过点P(2,5)的曲线y＝x2＋1的切线方程是( )．
A．x－4y－3＝0
B．4x－y－3＝0
C．3x－y－4＝0
D．x－y－3＝0
4．曲线y＝在点P(，2)处的切线方程是( )．
A．4x＋y＋4＝0
B．x＋4y＋4＝0
C．4x＋y－4＝0
D．x＋4y－4＝0
5．过点Q(3,5)，且与曲线y＝x2相切的直线方程是( )．
A．y＝2x－1或y＝10x－25
B．y＝2x－1
C．y＝10x－25
D．y＝2x＋1或y＝10x＋25
6．抛物线y＝f(x)＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率k是__________．
7．曲线f(x)＝x3在点P(2,8)处的切线方程是__________．
8．P是抛物线y＝x2上一点，若过点P的切线与直线y＝－x＋1垂直，则过P点的切线方程是__________．
9．已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程．
(2)第(1)问中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
10．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求：
(1)它们的交点；
(2)抛物线在交点处的切线方程．
参考答案
1．D
2．A 设f(x)＝ax2，则＝＝da＋2a.
当d趋于0时，da＋2a趋于2a.∴2a＝2.∴a＝1.
3．B ∵点P(2,5)在曲线y＝x2＋1上，
∴＝d＋4.
当d趋于0时，d＋4趋于4.
∴所求切线的方程是y－5＝4(x－2)，
即4x－y－3＝0.
4．C ∵点P(，2)在曲线y＝上，
∴＝.
当d趋于0时，趋于－4.
∴切线方程为y－2＝－4(x－)，即4x＋y－4＝0.
5．A ∵Q(3,5)不在曲线y＝x2上，
∴设所求切线的切点为A(x0，y0)．
∴y0＝x02.又＝2x0＋d，
且当d趋于0时，2x0＋d趋于2x0.
∴＝＝2x0.∴x0＝1或x0＝5.
∴切点为(1,1)或(5,25)，
∴所求切线的斜率为2或10.
∴所求切线的方程是y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，
即y＝2x－1或y＝10x－25.
6．7 ∵A(2,10)在抛物线f(x)＝x2＋3x上，
∴＝＝7＋d.
当d趋于0时，7＋d趋于7.∴k＝7.
7．y＝12x－16 ∵P(2,8)在曲线f(x)＝x3上，
∴＝＝12＋6d＋d2.
当d趋于0时，12＋6d＋d2趋于12.
∴切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16.
8．y＝2x－1 设P(x0，x02)，则＝2x0＋d，
当d趋于0时，2x0＋d趋于2x0.
∵切线与直线y＝－x＋1垂直，
∴2x0×(－)＝－1.
∴x0＝1.∴切点为P(1,1)，k＝2.
∴过P点的切线方程是y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1.
9．解：(1)将x＝1代入y＝x3，得y＝1，
∴切点为P(1,1)．又＝3＋3d＋d2，
且当d趋于0时，3＋3d＋d2趋于3，∴k＝3.
∴过P点的切线方程为y－1＝3(x－1)，
即3x－y－2＝0.
(2)由得x1＝1，x2＝－2，
∴公共点为P1(1,1)，P2(－2，－8)，说明切线与曲线C的公共点除了切点P1(1,1)外，还有另外一个公共点P2(－2，－8)．
10．解：(1)由得x2＋4＝10＋x，即x2－x－6＝0.
∴x＝－2或x＝3.
代入直线的方程得y＝8或y＝13.
∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)和(3,13)．
(2)设抛物线上任意一点M(x，x2＋4)，再另任取一点N(x＋d，(x＋d)2＋4)，d≠0，
则kMN＝＝2x＋d.
当d趋于0时，kMN趋于2x，即过点M(x，x2＋4)的切线斜率为2x.
∴在点(－2,8)处的切线的斜率为－4，在点(3,13)处的切线的斜率为6.
∴所求切线方程为y－8＝－4(x＋2)和y－13＝6(x－3)，即4x＋y＝0和6x－y－5＝0.3.4
生活中的优化问题举例
1．甲工厂八年来某产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图所示，现有四种说法：
①前三年该产品产量的增长速度越来越快；
②前三年该产品产量的增长速度越来越慢；
③第三年后该产品停止生产；
④第三年后该产品的产量保持不变．
其中说法正确的有( )．
A．①④
B．②④
C．①③
D．②③
2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20
cm，要使其体积最大，则其高为( )．
A．cm
B．100
cm
C．20
cm
D．cm
3．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )．
A．
B．
C．
D．2
4．某公司生产某种产品，固定成本为20
000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产量是( )．
A．100
B．150
C．200
D．300
5．用总长14.8
m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面一边比另一边长0.5
m，那么高为多少时容器的容积最大？此时的高和它的最大容积分别是( )．
A．1.2
m,1.8
m3
B．1.1
m,1.8
m3
C．1.8
m,1.2
m3
D．1.2
m,2.1
m3
6．某厂生产某种商品x单位的利润是L(x)＝500＋x－0.001x2，生产__________单位这种商品时利润最大，最大利润是__________．
7．做一个无盖的圆柱形水桶，若要求体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为__________．
8．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10
海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问：轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？此时的速度为__________，般行1海里所需的费用总和为__________．
参考答案
1．B
2．A 如图，设底面半径为r，高为h，则有
＝sin
θ，＝cos
θ，
∴V(θ)＝πr2·h＝8
000πsin2θcos
θ.
∴V′(θ)＝16
000πsin
θcos2θ－8
000πsin3θ.
令V′(θ)＝0，解得tan
θ＝，得唯一极值点．
∴cos
θ＝.∴h＝.
3．C 设底面边长为x，则表面积S＝x2＋(x＞0)，
所以S′＝(x3－4V)．
令S′＝0，得唯一极值点x＝.
4．D 设总利润为y，则y＝f(x)＝
当x∈(400，＋∞)时，f′(x)＝－100≠0，此时y无最值．
当x∈[0,400]时，f′(x)＝－x＋300.
令f′(x)＝0，得x＝300.
由f′(x)在x＝300处由正变负，
故y在x＝300处有唯一极值点．
又f(0)＜0，f(400)＜0，∴f(300)为最大值．
5．A 设容器底面短边长为x
m，则另一边长为(x＋0.5)
m，高为＝3.2－2x.
由3.2－2x＞0和x＞0，得0＜x＜1.6.
设容器的容积为y
m3，则有y＝f(x)＝x(0.5＋x)·(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0＜x＜1.6)．
∴f′(x)＝－6x2＋4.4x＋1.6.
令f′(x)＝0，有－6x2＋4.4x＋1.6＝0，
解得x1＝1，x2＝－(不合题意，舍去)．
当x＝1时，y取最大值，y最大＝－2＋2.2＋1.6＝1.8(m3)，这时高为3.2－2×1＝1.2(m)．
∴当高为1.2
m时容器的容积最大为1.8
m3.
6．500 750 L′(x)＝1－0.002x.令L′(x)＝0，得x＝500，此时L(500)＝750.
由已知，L(x)在其定义域[0，＋∞)上只有一个极值点，所以生产500单位这种商品时利润最大，最大利润为750.
7．3 设底面半径为R，母线长为l，
则V＝πR2l＝27π.
∴l＝.要使用料最省，只需使圆柱的表面积最小．
∴S表＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π·，
∴由S表′＝2πR－＝0，得R＝3.因为S表有唯一极值点，故当R＝3时，S表最小．
8．20海里/小时 4.92元 设速度为每小时v海里时燃料费是每小时p元，那么由题设的比例关系，得p＝k·v3，其中k为比例常数，它可以由v＝10，p＝6求得，即k＝＝0.006.于是有p＝0.006v3.
又设当船的速度为每小时v海里时，航行1海里所需的总费用为q元，那么因每小时所需的总费用是0.006v3＋96(元)，而航行1海里所需时间为小时，所以航行1海里的总费用
q＝(0.006v3＋96)＝0.006v2＋.
所以q′＝0.012v－＝(v3－8
000)．
令q′＝0，解得v＝20.
又当v＜20时，q′＜0；当v＞20时，q′＞0，
所以当v＝20时q取得最小值，
即当速度为20海里/小时时，航行1海里所需费用的总和最小，qmin＝0.006×20＋＝4.92(元)．3.1.3
导数的概念和几何意义
1．质点的运动规律为s＝2t2＋1，其中s表示路程，t表示时间，则在某时间段[1,1＋d]中，质点运动的路程s对时间t的平均变化率为( )．
A．4
B．d
C．4＋d
D．4＋2d
2．函数y＝f(x)＝＋1在x＝1处的导数是( )．
A．
B．1
C．
D．4
3．函数y＝f(x)＝x2的导函数是( )．
A．x
B．2x
C．x2
D．2x2
4．曲线f(x)＝x3＋2x＋1在点P(1,4)处的切线方程是( )．
A．5x－y＋1＝0
B．x－5y－1＝0
C．5x－y－1＝0
D．x－5y＋1＝0
5．函数f(x)＝x3＋4x＋1，则f′(x)＝( )．
A．3x2＋4
B．4x2＋3
C．x3＋4x
D．x2＋4
6．对于函数y＝x2，在x＝__________处的导数值等于其函数值．
7．曲线y＝f(x)＝2x－x3在点(1,1)处的切线方程为__________．
8．曲线y＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x＝a所围成的三角形的面积为，则a＝__________.
9．直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，求a的值及切点的坐标．
10．已知直线l1为曲线y＝f(x)＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．
参考答案
1．D 平均变化率为＝
＝4＋2d.
2．A ＝
＝＝，
当d趋于0时，趋于.∴f′(1)＝.
3．B ＝
＝2x＋d，
当d趋于0时，2x＋d趋于2x，∴f′(x)＝2x.
4．C 因为P(1,4)在曲线上，所以在曲线上取另一点Q(1＋d，f(1＋d))，计算PQ的斜率为
k(1，d)＝
＝
＝＝d2＋3d＋5.
当d趋于0时，d2＋3d＋5趋于5，所以所求切线的斜率为5，
∴切线方程为y－4＝5(x－1)，即5x－y－1＝0.
5．A
＝
＝3x2＋4＋3xd＋d2.
当d趋于0时，3x2＋4＋3xd＋d2趋于3x2＋4，
∴f′(x)＝3x2＋4.
6．0或2 设x＝x0，则
＝＝d＋2x0.
当d趋于0时，d＋2x0趋于2x0.
由题意得：2x0＝x02.∴x0＝0或x0＝2.
7．x＋y－2＝0 ＝
＝－1－3d－d2.
当d趋于0时，－1－3d－d2趋于－1，
∴f′(1)＝－1，即所求切线的斜率为－1.
∴所求切线的方程为y－1＝－1×(x－1)，
即x＋y－2＝0.
8．±1 ＝＝3a2＋3ad＋d2，当d趋于0时，3a2＋3ad＋d2趋于3a2.
∴曲线在点(a，a3)处的切线的斜率为3a2.
∴曲线在点(a，a3)处的切线方程为y－a3＝3a2(x－a)．
∴切线与x轴的交点为(a,0)．
∴|a－a|·|a3|＝，解得a＝±1.
9．解：设直线l和曲线C相切于点P(x0，y0)．
令f(x)＝x3－x2＋1，则
＝
＝d2＋3x0d＋3x02－2x0－d.
当d趋于0时，有f′(x0)＝3x02－2x0.
由题意知3x02－2x0＝1，解得x0＝－或1.
于是切点坐标为(－，)或(1,1)．
当切点为(－，)时，＝－＋a，∴a＝.
当切点为(1,1)时，1＝1＋a，∴a＝0(舍去)．
∴a的值为，切点坐标为(－，)．
10．解：(1)由导数的概念，得k1＝f′(1)＝3，
∴直线l1的方程为y＝3x－3.
设直线l2与曲线y＝x2＋x－2的切点为B(b，b2＋b－2)，则k2＝f′(b)＝2b＋1，
∵l1⊥l2，∴(2b＋1)×3＝－1，解得b＝－.
∴直线l2的方程为y＝－x－.
(2)解方程组得
∴直线l1与l2的交点坐标为(，－)．
又∵l1，l2与x轴的交点坐标分别为(1,0)，(－，0)，
∴所求三角形的面积S＝××|－|＝.3.3.1
利用导数研究函数的单调性
1．f(x)＝5x2－2x的单调增区间为( )．
A．(，＋∞)
B．(－∞，)
C．(－，＋∞)
D．(－∞，－)
2．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为( )．
A．(－1,0)
B．(－1,11)
C．(0,11)
D．(－1,33)
3．函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，下列判断正确的是( )．
A．函数y＝f
(x)在区间(－3，－)内单调递增
B．函数y＝f(x)在区间(－，3)内单调递减
C．函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增
D．函数y＝f(x)在区间(－2,2)内单调递减
4．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )．
5．设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且f(x)＋xf′(x)＞x2.下面的不等式在R上恒成立的是( )．
A．f(x)＞0
B．f(x)＜0
C．f(x)＞x
D．f(x)＜x
6．设函数f(x)＝(x＞0且x≠1)，则函数f(x)的单调增区间是__________，单调减区间是__________．
7．求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝3x2－2ln
x.
8．
已知函数f
(x)＝(a＋1)ln
x＋ax2＋1.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)设a≤－2，证明：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.
参考答案
1．A f′(x)＝10x－2.令f′(x)＞0，得x＞，故选A.
2．B f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)．
由(x－11)(x＋1)＜0，得单调减区间为(－1,11)．
3．C 由图可知在区间(－2,2)和(4,5)内，f′(x)＞0，故函数y＝f(x)在区间(－2,2)和(4,5)内递增；在区间(－3，－2)和(2,4)内，f′(x)＜0，故函数f(x)在区间(－3，－
2)和(2,4)内单调递减，故选C.
4．A 因为函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)在区间[a，b]上是增函数，所以f(x)在区间[a，b]上各点处的斜率k是递增的，由图易知选A.注意选项C中，y′＝k为常数．
5．A 由题意，f(x)＋xf′(x)＞x2≥0，
∴G(x)＝xf(x)在R上为增函数，且G(0)＝0.
于是有x＞0时，G(x)＝xf(x)＞0，
∴f(x)＞0.当x＜0时，G(x)＝xf(x)＜0，
∴f(x)＞0.∴f(x)＞0在x∈R上恒成立．
6．(0，) (，1)和(1，＋∞) f′(x)＝()′＝.
令f′(x)＞0，即－＞0，得1＋ln
x＜0，即x＜.
令f′(x)＜0，即－＜0，得1＋ln
x＞0，即x＞.
又x＞0且x≠1，
∴函数的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，1)和(1，＋∞)．
7．解：(1)f′(x)＝1－3x2.
令1－3x2＞0，解得－＜x＜.
因此，函数f(x)的单调增区间为(－，)．
令1－3x2＜0，解得x＜－或x＞.
因此，函数f(x)的单调减区间为(－∞，－)，(，＋∞)．
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－＝2·.
令f′(x)＞0，即2·＞0，
解得－＜x＜0或x＞.
又∵x＞0，∴x＞.
令f′(x)＜0，即2·＜0，
解得x＜－或0＜x＜.
又∵x＞0，∴0＜x＜.
∴f(x)的单调增区间为(，＋∞)，单调减区间为(0，)．
8．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋2ax＝.
当a≥0时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调增加；
当a≤－1时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调减少；
当－1＜a＜0时，令f′(x)＝0，解得x＝，
则当x∈(0，)时，f′(x)＞0，
当x∈(，＋∞)时，f′(x)＜0.
故f(x)在(0，)上单调增加，在(，＋∞)上单调减少．
(2)证明：不妨假设x1≥x2.
由于a≤－2，故f(x)在(0，＋∞)上单调减少．
所以|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|等价于f(x2)－f(x1)≥4x1－4x2，
即f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1.
令g(x)＝f(x)＋4x，则g′(x)＝＋2ax＋4＝.
于是g′(x)≤＝≤0.
从而g(x)在(0，＋∞)上单调减少，
故g(x1)≤g(x2)，
即f(x1)＋4x1≤f(x2)＋4x2，
故对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.3.2.1
几个幂函数的导数
3.2.2
一些初等函数的导数表
1．下列各式中，正确的是( )．
A．(logax)′＝
B．(logax)′＝
C．(3x)′＝3x
D．(3x)′＝3xln
3
2．若f(x)＝2
009，则f′(2
009)等于( )．
A．2
009
B．2
008
C．0
D．1
3．若f(x)＝，且f′(x0)＝－1，则x0的值为( )．
A．－1
B．1
C．0
D．1或－1
4．已知f(x)＝，则f′(1)等于( )．
A．
B．
C．－
D．－
5．若f(x)＝logax，且f′(2)＝，则a等于( )．
A．2
B．3
C．4
D．6
6．设直线y＝x＋b是曲线y＝ln
x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为__________．
7．曲线y＝f(x)＝lg
x在点(1,0)处的切线方程为__________．
8．设f0(x)＝sin
x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N＋，则f2
009(x)＝__________.
9．如图所示，质点P在半径为1
m的圆上，沿逆时针做匀角速运动，角速度为1
rad/s，设A为起始点，求时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度．
10．设直线l1与曲线y＝相切于点P，直线l2过点P且垂直于l1，若l2交x轴于Q点，又作PK垂直于x轴于点K，求KQ的长．
参考答案
1．D 2.C
3．D ∵f′(x)＝－，
∴由f′(x0)＝－1，得－＝－1，∴x0＝±1.
4．C f′(x)＝(x－)′＝－x－，∴f′(1)＝－.
5．B f′(x)＝，则f′(2)＝＝，∴a＝3.
6．ln
2－1 ∵(ln
x)′＝＝，∴切点的横坐标为x＝2.
∴切点为(2，ln
2)，代入y＝x＋b中，得ln
2＝×2＋b.
∴b＝ln
2－1.
7．xlg
e－y－lg
e＝0 ∵f′(x)＝(lg
x)′＝，
∴f′(1)＝＝lg
e.
∴切线方程为y＝lg
e(x－1)，即xlg
e－y－lg
e＝0.
8．cos
x f0(x)＝sin
x，f1(x)＝f0′(x)＝(sin
x)′＝cos
x，
f2(x)＝f1′(x)＝(cos
x)′＝－sin
x，
f3(x)＝f2′(x)＝(－sin
x)′＝－cos
x，
f4(x)＝f3′(x)＝(－cos
x)′＝sin
x，
f5(x)＝f4′(x)＝(sin
x)′＝cos
x.
由此继续求导下去，可发现从f1(x)开始，每4个循环一次，所以f2
009(x)＝f4×502＋1(x)＝f1(x)＝cos
x.
9．解：时刻t时，∠POA＝1·t＝t(rad)，
∴∠MPO＝∠POA＝t(rad)．
∴OM＝OPsin∠MPO＝1·sin
t＝sin
t．∴点M的运动方程为y＝sin
t．∴v＝(sin
t)′＝cos
t(m/s)，即时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度为cos
t
m/s.
10．解：设切点P(x0，y0)，交点Q(xQ，yQ)，k(xK，yk)，
令f(x)＝y＝，则f′(x)＝()′＝，
∴f′(x0)＝＝kl1.
由l1与l2垂直，得kl2＝－2.
于是直线l2的方程为y－y0＝－2(x－x0)．
令y＝0，则－y0＝－2(x－x0)，
∴－＝－2(x－x0)，
∴x＝＋x0，即xQ＝＋x0.而xK＝x0，
于是|KQ|＝|xQ－xK|＝|＋x0－x0|＝.3.2.3
导数的运算法则
1．设f(x)＝xln
x，若f′(x0)＝2，则x0的值是( )．
A．e2
B．e
C．
D．ln
2
2．函数f(x)＝的导数是( )．
A．(x＞0)
B．(x＞0)
C．(x＞0)
D．(x＞0)
3．下列求导运算，其中正确的有( )．
①(2x3－cos
x)′＝6x2＋sin
x；
②(2－)′＝；
③[(3＋x2)(2－x3)]′＝2x(2－x3)＋3x2(3＋x2)；
④()′＝；
⑤()′＝；
⑥(tan
x)′＝.
A．①②③⑤
B．②④⑤⑥
C．①②⑤⑥
D．①②③④⑤⑥
4．已知函数f(x)＝x(x2＋1)(x3＋2)…(x2
010＋2
009)，则f′(0)＝( )．(注：1×2×3×…×n＝n！)
A．2
009!
B．2
010!
C．n!
D．x!
5．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为( )．
A．(2,15)
B．(－15,2)
C．(2，－15)
D．(－2,15)
6．线y＝f
(x)＝在原点处的切线的倾斜角是__________．
7．若曲线f(x)＝ax5＋ln
x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是__________．
8．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr，①
(1)①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．
对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：__________；②
(2)②式可用语言叙述为__________．
9．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a，b，c的值．
10．求经过原点与曲线y＝f(x)＝相切的切线方程．
参考答案
1．B ∵f′(x)＝(xln
x)′＝ln
x＋1，
∴f′(x0)＝ln
x0＋1＝2，∴x0＝e.
2．C ∵f(x)＝，
∴f′(x)＝
3．C ③中，[(3＋x2)(2－x3)]′＝2x(2－x3)－3x2(3＋x2)．④中，′＝，故③④错误，①②⑤⑥正确．
4．A 设g(x)＝(x2＋1)(x3＋2)…(x2
010＋2
009
)，
则g(0)＝1×2×3×…×2
009＝2
009！.
又∵f(x)＝xg(x)，∴f′(x)＝g(x)＋xg′(x)．
∴f′(0)＝g(0)＋0×g′(0)＝g(0)＝2
009！！.
5．D ∵y′＝3x2－10，设切点P(x0，y0)(x0＜0)，则点P处的切线斜率k＝3x02－10＝2，∴x0＝－2.
∴x0＝－2(x0＜0)．∴点P的坐标为(－2,15)．
6． f′(x)＝＝，
当x＝0时，f′(0)＝＝1.
∴tan
θ＝1，∴θ＝为所求的倾斜角．
7．(－∞，0) ∵f′(x)＝55ax4＋，x∈(0，＋∞)，
∴由题意，知5ax4＋＝0在(0，＋∞)上有解，
即a＝－在(0，＋∞)上有解．
∵x∈(0，＋∞)，
∴－∈(－∞，0)．∴a∈(－∞，0)．
8．′＝4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数 半径为R的球的体积为V＝πR3，表面积为S＝4πR2.因为V′＝′＝4πR2＝S，所以有′＝4πR2，用语言叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数．
9．解：因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，
所以a＋b＋c＝1.①
又y′＝2ax＋b，曲线在点(2，－1)处的切线的斜率为1，
所以4a＋2b＋c＝－1，②
4a＋b＝1.③
联立①②③，解得a＝3，b＝－11，c＝9.
10．解：设切点为M(x1，y1)，则y1＝.
又y′＝′＝＝，
∴f′(x1)＝.
设所求切线方程为y＝kx，则y1＝kx1.
由得
解出x1＝－3或x1＝－15，得y1＝3或y1＝.
故切点为(－3,3)或(－15，)，斜率为－1或－，
所以所求切线方程为x＋y＝0或x＋25y＝0.3.3.3
三次函数的性质：单调区间和极值
1．下列命题：①一个函数的极大值总比极小值大；②函数导数为0的点不一定是极值点；③一个函数的极大值可以比最大值大；④一个函数的极值点可在其不可导点处达到．其中正确命题的序号是( )．
A．①④
B．②④
C．①②
D．③④
2．函数f(x)＝x3＋x在区间[－1,1]上( )．
A．最小值为－1，最大值为2
B．最小值为－2，最大值为2
C．最小值为－1，最大值为1
D．最小值为0，最大值为1
3．函数f(x)＝2－x2－x3的极值情况是( )．
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．既无极大值，也无极小值
D．既有极大值又有极小值
4．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )．
A．－2
B．0
C．2
D．4
5．若f(x)＝x3＋mx2＋5x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是__________．
6．函数f(x)＝9＋3x－x3的极小值为__________．
7．函数f(x)＝4x2(x－2)在x∈[－2,2]上的最大值和最小值分别为__________，__________.
8．已知函数f(x)＝x3－3ax2－9a2x＋a3.
(1)设a＝1，求函数f
(x)的极值；
(2)若a＞，且当x∈[1,4a]时，|f′(x)|≤12a恒成立，试确定a的取值范围．
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调区间；
(2)设函数f(x)在区间(－，－)内是减函数，求a的取值范围．
参考答案
1．B
2．B ∵f′(x)＝3x2＋1＞0，∴f(x)为增函数．
∴f(x)的最小值为f(－1)＝－2，f(x)的最大值为f(1)＝2.
3．D f′(x)＝－3x2－2x＝－3x(x＋)．
令f′(x)＝0，则x＝0或－.
当x∈(－∞，－)时，f′(x)＜0；
当x∈(－，0)时，f′(x)＞0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0.
∴f(x)在x＝－处取得极小值，
f(x)在x＝0处取得极大值．
4．C f′(x)＝3x2－6x.
令f′(x)＝0，得x＝0或2(舍去)．
∵f(0)＝2，f(1)＝0，f(－1)＝－2，
∴f(x)最大值＝2.
5．[－，] f′(x)＝3x2＋2mx＋5.
由题意，知(2m)2－4×3×5≤0，得－≤m≤.
6．7 f′(x)＝3－3x2＝－3(x－1)(x＋1)，
当x＜－1时，f′(x)＜0，
当－1＜x＜1时，f′(x)＞0，
当x＞1时，f′(x)＜0，
∴f(x)在x＝－1处取得极小值，f(－1)＝9－3＋1＝7.
7．0 －64 令f′(x)＝12x2－16x＝0，∴x＝0或x＝.
当x∈(－2,0)时，f′(x)＞0；
当x∈(0，)时，f′(x)＜0；
当x∈(，2)时，f′(x)＞0.
故f(x)在x＝0时取得极大值，在x＝时取得极小值．
又∵f(0)＝0，f(－2)＝－64，f(2)＝0，
f()＝－，
∴函数的最大值为0，最小值为－64.
8．解：(1)当a＝1时，对函数f(x)求导数，得
f′(x)＝3x2－6x－9.
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
列表讨论f(x)，f′(x)的变化情况：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值6
极小值－26
所以，f(x)的极大值是f(－1)＝6，极小值是f(3)＝－26.
(2)f′(x)＝3x2－6ax－9a2的图象是一条开口向上的抛物线，关于x＝a对称．
若＜a≤1，则f′(x)在[1,4a]上是增函数，
从而f′(x)在[1,4a]上的最小值是f′(1)＝3－6a－9a2，最大值是f′(4a)＝15a2.
由|f′(x)|≤12a，得－12a≤3x2－6ax－9a2≤12a，于是有f′(1)＝3－6a－9a2≥－12a，且f′(4a)＝15a2≤12a.
由f′(1)≥－12a，得－≤a≤1，
由f′(4a)≤12a，得0≤a≤.
所以a∈(，1]∩[－，1]∩[0，]，即a∈(，]．
若a＞1，则|f′(a)|＝12a2＞12a.
故当x∈[1,4a]时，|f′(x)|≤12a不恒成立．
所以使|f′(x)|≤12a(x∈[1,4a])恒成立的a的取值范围是(，]．
9．解：(1)f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，f′(x)＝3x2＋2ax＋1，
当Δ＝(2a)2－3×4＝4a2－12≤0，即－≤a≤时，f′(x)≥0恒成立，
此时f(x)为单调递增函数，单调区间为(－∞，＋∞)．
当Δ＝(2a)2－3×4＝4a2－12＞0，即a＞或a＜－时，函数f′(x)存在零解，
此时，当x＜时，f′(x)＞0，
当x＞时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；
当＜x＜时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．
综上，若－≤a≤，则函数f(x)在x∈R时，单调递增；若a＞或a＜－，当x＜或x＞时，函数f(x)单调递增；当＜x＜时，函数f(x)单调递减．
(2)若函数在区间(－，－)内是减函数，则说明f′(x)＝3x2＋2ax＋1＝0的两根在区间(－，－)外，因此f′(－)≤0，且f′(－)≤0，由此可以解得a≥2.
因此a的取值范围是[2，＋∞)．3.3.2
函数的极大值和极小值
1．下列四个函数①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x，在x＝0处取得极小值的函数是( )．
A．①②
B．②③
C．③④
D．①③
2．(2011·福建高考)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )．
A．2
B．3
C．6
D．9
3．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的( )．
A．极大值为0，极小值为－
B．极大值为，极小值为0
C．极小值为－，极大值为0
D．极小值为0，极大值为
4．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围为__________．
5．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是__________．
6．
将边长为1的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是__________．
7．已知函数f(x)＝x－＋a(2－ln
x)，a＞0，讨论f(x)的单调性．
8．设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围；
(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．
参考答案
1．B ①与④在R上是增函数，取不到极值，由极值定义，结合图象知②③在x＝0处取得极小值．
2．D 由题意，得f′(x)＝12x2－2ax－2b.
∵函数f(x)在x＝1处有极值，
∴f′(1)＝0.∴12－2a－2b＝0，即a＋b＝6.
又∵a＞0，b＞0，由基本不等式得a＋b≥2，
∴ab≤()2＝()2＝9，故ab的最大值是9.
3．B ∵f(x)与x轴切于点(1,0)，
f′(x)＝3x2－2px－q，
∴f′(1)＝3－2p－q＝0.
又f(1)＝1－p－q＝0，∴p＝2，q＝－1.
∴f(x)＝x3－2x2＋x.
∴f′(x)＝3x2－4x＋1.
令3x2－4x＋1＝0，解得x1＝1，x2＝.
当x＜时，f′(x)＞0；
当＜x＜1时，f′(x)＜0；
当x＞1时，f′(x)＞0.
故x＝时，取得极大值；x＝1时，取得极小值0.
4．(0，) f(x)在(0,1)上存在极值点转换为f′(x)＝3x2－6b＝0在(0,1)上有解，即b＝，x∈(0,1)有解，转化为函数y＝，x∈(0,1)上的值域问题，所以b∈(0，)．
5．(－∞，－1)∪(2，＋∞) f(x)为三次函数，f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)为二次函数，要使f(x)既有极大值又有极小值，需f′(x)＝0有两个不相等的实数根，化简f′(x)＝0有x2＋2ax＋(a＋2)＝0，从而有Δ＝(2a)2－4(a＋2)＞0，解得a＜－1或a＞2.即a∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
6． 设剪成的另一块正三角形的边长为x.
则S＝＝·(0＜x＜1)，
所以S′＝·
＝－·.
令S′＝0，得x＝或3(舍去)．
∴x＝是S的极小值点且是最小值点．
∴Smin＝·＝.
7．解：f(x)的定义域是(0，＋∞)，导函数f′(x)＝1＋－＝.
设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.
当Δ＜0，即0＜a＜2时，对一切x＞0都有f′(x)＞0.
此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．
当Δ＝0，即a＝2时，仅对x＝有f′(x)＝0，对其余的x＞0都有f′(x)＞0.
此时f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数．
当Δ＞0，即a＞2时，方程g(x)＝0有两个不同的实根
x1＝，x2＝，0＜x1＜x2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递减
此时f(x)在(0，上单调递增，在上单调递减，在，＋∞)上单调递增．
8．解：(1)f′(x)＝3x2－6，
令f′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝.
因为当x＞或x＜－时，f′(x)＞0；
当－＜x＜时，f′(x)＜0.
所以f
(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间为(－，)．
当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；当x＝时，f(x)有极小值5－4.
(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示，所以当5－4＜a＜5＋4时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根．
(3)f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)．
因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立．
令g
(x)＝x2＋x－5，g(x)在(1，＋∞)上是增函数．
所以g(x)＞g(1)＝－3.所以k的取值范围是k≤－3.
