1.2.2
全称量词和存在量词
1．命题“存在x0∈R,≤0”的否定是( )．
A．不存在x0∈R,＞0
B．存在x0∈R,≥0
C．对任意的x∈R,2x≤0
D．对任意的x∈R,2x＞0
2．已知命题p： x∈R，sin
x≤1，则( )．
A．p： x∈R，sin
x≥1
B．p： x∈R，sin
x≥1
C．p： x∈R，sin
x＞1
D．p： x∈R，sin
x＞1
3．下列四个命题中，为真命题的是( )．
A． n∈R，n2≥n
B． n∈R， m∈R，m·n＝m
C． n∈R， m∈R，m2＜n
D． n∈R，n2＜n
4．下列命题中真命题的个数为( )．
①末位是0的整数，可以被2整除；
②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
③正四面体中两侧面的夹角相等．
A．1
B．2
C．3
D．0
5．在下列命题中假命题的个数是( )．
①有的实数是无限不循环小数；
②有些三角形不是等腰三角形；
③有的菱形是正方形．
A．0
B．1
C．2
D．3
6．下列命题：
① α∈R，在[α，α＋π]上，函数y＝sin
x都能取到最大值1；
②若 a∈R且a≠0，f(x＋a)＝－f(x)对 x∈R成立，则f(x)为周期函数；
③ x∈(－，－)，使sin
x＜cos
x.
其中真命题的序号为__________．
7．设命题p： x∈R，满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0，命题q： x∈R，满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0，且p是q的必要而不充分条件，则a的取值范围是__________．
8．函数f(x)对一切实数x，y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0.
(1)f
(0)的值是__________；
(2)当f(x)＋2＜logax，x∈(0，)恒成立时，a的取值范围是__________．
9．判断下列命题的真假．
(1)每个指数函数都是单调函数；
(2)任何实数都有算术平方根；
(3) x∈Z,5x＋3是整数；
(4) x∈R，x2＋2x＋3＝0；
(5)存在两个相交平面垂直于同一条直线．
10．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：对所有的正实数m，为正数，且＜m；
(2)q：存在实数x，使得|x＋1|≤1或x2＞4.
参考答案
1．D 命题的否定是“对任意的x∈R,2x＞0”．
2．C
3．B 当0＜n＜1时，n2＜n，故选项A错．取m＝1，则n＞1，与 n∈R矛盾，故选项C错．当n＞1时，n2＞n，故选项D错． n＝1， m∈R，m·n＝m，故选B.
4．C 用偶数的定义判断①正确；用角平分线的性质判断②正确；用正四面体的概念及二面角的定义判断③正确．
5．A ①如π为实数，是无限不循环小数，故①是真命题，同理②③均为真命题．
6．② ①取α＝，在区间[，]上，函数y＝sin
x的最大值不是1，而是，故①为假命题．
②∵f(x＋a)＝－f(x)，∴f(x＋2a)＝－f(x＋a)＝f(x)，
∴f(x)的周期T＝2a(a≠0)，故②为真命题．
③在(－，－)上由三角函数线易知，有sin
x＞cos
x，故③为假命题．
7．(－∞，－4]∪[－，0) p：(x－3a)(x－a)＜0，
又a＜0，∴3a＜x＜a.
q：(x－3)(x＋2)≤0或(x＋4)(x－2)＞0，
∴x≥－2或x＜－4.
∵p是q的必要而不充分条件，
∴q是p的必要而不充分条件．
令A＝{x|3a＜x＜a}，B＝{x|x≥－2或x＜－4}，则AB.
∴a≤－4或3a≥－2，∴a≤－4或－≤a＜0.
8．(1)－2 (2)[，1) (1)由已知等式f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)·x对 x，y∈R恒成立，
可令x＝1，y＝0，得f(1)－f(0)＝2，又因为f(1)＝0，
所以f(0)＝－2.
(2)由(1)知f(0)＝－2，所以f(x)＋2＝f(x)－f(0)＝f(x＋0)－f(0)＝(x＋1)·x.
因为x∈(0，)，所以f(x)＋2∈(0，)．
要使x∈(0，)时，f(x)＋2＜logax恒成立，显然当a＞1时不成立(因为x∈(0，)，a∈(1，＋∞)时，logax＜0)，
所以解得≤a＜1.
9．解：(1)形如y＝ax(a＞0且a≠1)的函数是指数函数．a＞1时，y＝ax是增函数，0＜a＜1时，y＝ax是减函数，所以命题“每个指数函数都是单调函数”是真命题；
(2)－2是实数，但－2没有算术平方根，所以命题“任何实数都有算术平方根”是假命题．
(3) x∈Z,5x＋3都是整数，所以命题“ x∈Z,5x＋3是整数”是真命题．
(4)由于 x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以命题“ x∈R，x2＋2x＋3＝0”为假命题．
(5)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交平面垂直于同一条直线，所以命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”为假命题．
10．解：(1)p：存在正实数m，≤0或≥m.由于该命题不易判断真假，所以先判断原命题的真假，显然原命题是假命题．如m＝，则＝，＞，即＞m，故该命题为真命题．
(2)q：对 x∈R，都有|x＋1|＞1且x2≤4.由于x＝－1∈R，但|－1＋1|＝0＜1，所以q是假命题．1.1.2
命题的四种形式
1．命题“若函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是( )．
A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数
D．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数
2．有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题；
③“若x≤－3，则x2＋x－6＞0”的否命题；
④“若ab是无理数，则a，b是无理数”的逆命题．
其中真命题的个数是( )．
A．0
B．1
C．2
D．3
3．“若x2＝1，则x＝1”的否命题为( )．
A．若x2≠1，则x≠1
B．若x2＝1，则x≠1
C．若x2≠1，则x＝1
D．若x≠1，则x2≠1
4．有下列四个命题，其中真命题是( )．
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“相似的两个三角形的周长相等”的否命题；
③“对实数a，b，若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题；
④“若x＞2，则x＞1”的逆命题．
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
5．已知命题“若p则q”为真，则下列命题中一定为真的是( )．
A．若p则q
B．若q则p
C．若q则p
D．若q则p
6．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________．(把符合要求的命题序号都填上)
7．下列命题中的真命题为__________．
①“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题；②“矩形的对角线相等”的逆命题；③“若xy＝0，则x，y中至少有一个为0”的否命题．
8．把下列不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数f(x)＝3＋log2x(x＞0)的图象与g(x)的图象关于__________对称，则函数g(x)＝__________.(填上你认为可以成为真命题的一种情况即可)
9．把下列命题写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；
(2)对顶角相等．
10．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
参考答案
1．A 由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数．
2．B ①逆命题“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；
②因为原命题为假命题，所以其逆否命题也为假命题；
③否命题“若x＞－3，则x2＋x－6≤0”，取x＝5，但x2＋x－6＝24＞0，所以原命题的否命题为假命题；
④逆命题“若a，b是无理数，则ab是无理数”，若a＝()，b＝，则ab＝2是有理数，所以原命题的逆命题为假命题．
3．A 选项B为命题的否定，选项D为逆否命题，故选A.
4．C ①的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然为真．②的否命题为“不相似的两个三角形的周长不相等”，为假．③中的原命题为真，故其逆否命题也为真．④的逆命题为“若x＞1，则x＞2”，为假，因为当x＝时，x＞1，但x＜2.故只有①③为真．
5．B 互为逆否命题的两个命题的真假性相同．互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假性不相关．选项B和已知命题互为逆否命题，均为真命题，故选B.
6．② ①的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，显然不正确．
②的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，为真命题．
7．①③ ①中的否命题为：“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，为真命题．②中的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，为假命题，因为等腰梯形的对角线也相等．③中的否命题为“若xy≠0，则x，y都不为0”，为真命题．
8．y轴 3＋log2(－x)(x＜0) 该题将函数的图象和性质与命题综合在一起，要综合利用知识．可能情况有：x轴，－3－log2x；y轴，3＋log2(－x)；原点，－3－log2(－x)；直线y＝x,2x－3等．答案不唯一．
9．解：(1)原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0.
逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2.
否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0.
逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2.
(2)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．
逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．
否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等．
逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．
10．解：(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f
(－b)，则a＋b≥0.它为真命题，可证明原命题的否命题为真命题来证明它．
假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.
因为f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，
则f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，
所以f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．
故原命题的否命题为真命题．
因为否命题与逆命题互为逆否命题，
所以原命题的逆命题为真命题．
(2)逆否命题是：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0.它为真命题，可证明原命题为真命题来证明它．
因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．
所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，故原命题为真命题．
所以原命题的逆否命题为真命题．1.1.3
充分条件和必要条件
1．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的( )．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．“x＞0”是“x≠0”的( )．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．若a与b－c都是非零向量，则“a·b＝a·c”是“a⊥(b－c)”的( )．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的( )．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知p：|1－|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，且p是q的充分而不必要条件，则实数m的取值范围是__________．
7．已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，则使方程有两个大于1的实根的充要条件是__________．
8．使函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数的充分不必要条件为__________．
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝aqn＋b(a≠0，q≠0，q≠1)，求证：数列{an}是公比为q的等比数列的充要条件是a＋b＝0.
10．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．
参考答案
1．A 当x＝1时，必有x3＝x，但当x3＝x时，x∈{0,1，－1}．故选A.
2．B 由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，m⊥β，则α⊥β，反过来则不一定成立．所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要而不充分条件．
3．A 由“x＞0”可知“x≠0”，故为充分条件；但“x≠0”时可以有x＞0或x＜0，故为不必要条件，故选A.
4．
C 根据数量积的运算律，有a·b＝a·c a·b－a·c＝0 a·(b－c)＝0 a⊥(b－c)，故选C.
5．D 方法一：a2＞b2 (a＋b)(a－b)＞0，a＞b a－b＞0，
所以a2＞b2a＞b，且a＞ba2＞b2，故“a2＞b2”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．
方法二：(特值法)取a＝－1，b＝0满足a2＞b2，但a＜b，又取a＝0，b＝－1，满足a＞b，但a2＜b2，故“a2＞b2”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．故选D.
6．
(0,3] 解不等式|1－|≤2，得{x|－2≤x≤10}．
解不等式x2－2x＋1－m2≤0，
得1－m≤x≤1＋m(m＞0)．
即条件p：A＝{x|－2≤x≤10}，条件q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
“p是q的充分而不必要条件”等价于“q是p的充分而不必要条件”，
∴BA.∴1－m≥－2，且1＋m≤10(注意：两式不能同时取等号)，解得m≤3.
又m＞0，所以所求的m的取值范围为{m|0＜m≤3}．
7．k＜－2 设方程的两实根为x1，x2，使x1，x2都大于1的充要条件是
即
由韦达定理，得
解得k＜－2.
所以所求的充要条件为k＜－2.
8．a≤0 由函数f(x)＝|x－a|的图象知，函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数的充要条件为a≤1，所以使“函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件即求使“a≤1”成立的充分不必要条件，即填写形如a≤p，且p＜1即可．答案不唯一．
9．证明：充分性：即证a＋b＝0 数列{an}是公比为q的等比数列．
∵a＋b＝0，∴Sn＝aqn＋b＝aqn－a.
∴an＝Sn－Sn－1＝(aqn－a)－(aqn－1－a)＝a(q－1)qn－1(n＞1)．
∴＝＝q(n＞1)．
又∵a1＝aq－a，a2＝aq2－aq，
∴＝＝q.
∴数列{an}是公比为q的等比数列．
必要性：即证数列{an}是公比为q的等比数列 a＋b＝0.
∵数列{an}是公比为q的等比数列，
∴Sn＝＝－qn.
又∵Sn＝aqn＋b，∴a＝－，b＝.∴a＋b＝0.
综上可得，数列{an}是公比为q的等比数列的充要条件是a＋b＝0.
10．解：(1)a＝0时适合．
(2)当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a＜0；若方程有两个负的实根，则必须满足解得0＜a≤1.
综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根．因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.1.2.1
逻辑联结词“非”、“且”和“或”
1．命题“方程x2－1＝0的解是x＝±1”中使用的逻辑联结词的情况是( )．
A．没有使用逻辑联结词
B．使用逻辑联结词“且”
C．使用逻辑联结词“或”
D．使用逻辑联结词“非”
2．已知命题p：所有的有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )．
A．(p)∨q
B．p∧q
C．(p)∨(q)
D．(p)∧(q)
3．已知命题p： {0}，q：0∈ ，由它们构成的“p∧q”、“p∨q”、“p”形式的命题中，真命题有( )．
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
4．已知命题p，q，则“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的( )．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知命题p：函数f(x)＝sin(2x－)＋1，满足f(＋x)＝f(－x)，命题q：函数g(x)＝sin(2x＋θ)＋1可能是奇函数(θ为常数)，则命题“p∧q”、“p∨q”、“p”中，为真命题的个数为( )．
A．0
B．1
C．2
D．3
6．已知命题p：不等式ax＋b＞0的解集为{x|x＞－}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)＜0的解集为{x|a＜x＜b}，则“p∧q”、“p∨q”、“p”形式的复合命题中的真命题为__________．
7．已知a＞0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减，q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．如果p和q有且只有一个正确，求a的取值范围．
8．已知命题p：|x2－x|≥6，q：x∈Z，若“p且q”与“非q”同时为假命题，求x的值．
9．已知c＞0，设命题p：函数y＝cx在R上单调递减，命题q：不等式x＋|x－2c|＞1的解集为R.如果命题p和命题q有且仅有一个为真命题，求c的取值范围．
参考答案
1．C
2．C 不难判断命题p为真命题，q为假命题，根据真值表判断，只有选项C正确．
3．C 因为p为真，q为假，所以“p∨q”为真，“p∧q”为假，“p”为假，故选C.
4．B 命题“p或q”为真包括三种情况：p，q同真，p真q假，p假q真．当后两种情况之一成立时，有命题“p且q”为假；当命题“p且q”为真时，p，q同真，从而得命题“p或q”为真，故选B.
5．C 对命题p，y＝sin
x的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z)，令2x－＝kπ＋，得y＝sin(2x－)＋1的对称轴为x＝＋，k∈Z.取k＝0，故x＝适合，即f(＋x)＝f(－x)成立，所以p为真命题．
对命题q，若g(x)为奇函数，因为g(x)的定义域为R，则有g(0)＝0，即sin
θ＝－1，所以θ＝2kπ－，k∈Z，所以q为真命题．所以是真命题的为“p∧q”与“p∨q”，故选C.
6．p 因为命题p，q均为假命题，所以“p∨q”、“p∧q”均为假命题，只有“p”为真命题．
7．解：当0＜a＜1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；
当a＞1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减．
曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于两点等价于(2a－3)2－4＞0，即a＜或a＞.
(1)若p正确，q不正确，即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减，曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴不交于两点，
则a∈(0,1)∩([，1)∪(1，])，
即a∈[，1)．
(2)若p不正确，q正确，即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减，曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，
因此a∈(1，＋∞)∩((0，)∪(，＋∞))，
即a∈(，＋∞)．
综上，a的取值范围为[，1)∪(，＋∞)．
8．解：∵p且q为假，∴p，q至少有一个命题为假．
又“非q”为假，∴q为真，从而可知p为假．
由p为假且q为真，可得
即
∴∴
故x的取值为－1,0,1,2.
9．解：函数y＝cx在R上单调递减 0＜c＜1.
不等式x＋|x－2c|＞1的解集为R 函数y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1.
因为x＋|x－2c|＝
所以函数y＝x＋|x－2c|在R上的最小值为2c.
所以不等式x＋|x－2c|＞1的解集为R 2c＞1 c＞.
若p为真，且q为假，则0＜c≤；
若p为假，且q为真，则c≥1.
所以c的取值范围为(0，]∪[1，＋∞)．
