第三章
3.3
3.3.1几何概型
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知函数f(x)＝2x，若从区间[－2,2]上任取一个实数x，则使不等式f(x)>2成立的概率为( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] 这是一个几何概型，其中基本事件的总数构成的区域对应的长度是2－(－2)＝4，由f(x)>2可得x>1，所以满足题设的基本事件构成的区域对应的长度是2－1＝1，则使不等式f(x)>2成立的概率为.
2．一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为45秒．当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 设看到黄灯亮为事件A，构成事件A的“长度”等于5，试验的全部结果所构成的区域长度是30＋5＋45＝80，所以P(A)＝＝.
3．已知ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点P，则取到的点P到O的距离大于1的概率为( B )
A．
B．1－
C．
D．1－
[解析] 如图所示，设取到的点P到O的距离大于1为事件M，则点P应在阴影部分内，阴影部分的面积为2×1－×π×12＝2－，所以P(M)＝＝1－.
4．一只小狗在图所示的方砖上走来走去，最终停在涂色方砖的概率为( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由题意知，这是一个与面积有关的几何概型题．这只小狗在任何一个区域的可能性一样，图中有大小相同的方砖共9块，显然小狗停在涂色方砖的概率为.故选C．
5．平面上有一组平行线且相邻平行线的距离为3
cm，把一枚半径为1
cm硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 如图，要使硬币不与平行直线l1、l4中任何一条相碰，则应使硬币的中心在两平行线l2、l3之间，故所求概率为P＝.
6．某人从甲地去乙地共走了500
m，途中要过一条宽为x
m的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为( B )
A．16
m
B．20
m
C．8
m
D．10
m
[解析] 物品在途中任何一处丢失的可能性是相等的，所以符合几何概型的条件．找到的概率为，即掉到河里的概率为，则河流的宽度占总距离的，所以河宽为500×＝20(m)．
二、填空题
7.如图，在边长为1的正方形中随机撒1
000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为__0.18__.
[解析] 由几何概型的概率可知，所求概率P＝＝＝0.18，∴.S阴＝0.18.
8．设有一均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间
[0,1]上的数字，另一半均匀地刻上区间[1,3]上的数字，旋转它，则它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于上的概率是 .
[解析] 由题意，记事件A为“陀螺停止时，其圆周上触及桌面的刻度位于”．设圆的周长为C，则P(A)＝＝.
三、解答题
9．某同学向如图所示的正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分内的概率.
[解析] 由于是随机投掷飞镖，故可认为飞镖落在正方形内任一点的机会是均等的，因此落在阴影部分的概率应等于三角形面积与正方形面积的比，如图所示．
记“飞镖落在阴影内”为事件A，则P(A)＝＝.
10．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
[解析] 设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”，
当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.
(1)基本事件共有12个：(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,0)、(1,1)、(1,2)、(2,0)、(2,1)、(2,2)、(3,0)、(3,1)、(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含9个基本事件，故事件A发生的概率为P(A)＝＝.
(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}．
构成事件A的区域为
{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}即如右图的阴影区域所示，
所以所求的概率为P(A)＝＝.
B级 素养提升
一、选择题
1．在1
000
mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2
mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率( B )
A．0
B．0.002
C．0.004
D．1
[解析] 由于取水样的随机性，所求事件A：“在取出的2mL水样中有草履虫”，属于几何概型．
∴P(A)＝＝＝0.002.
2．在长为12
cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20
cm2的概率为( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 本题考查几何概型．
设AC＝x
cm，则BC＝(12－x)
cm，∴x(12－x)＝20，解得x＝2或x＝10，故所求概率P＝＝.
3．一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体六个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] 根据几何概型知识，概率为体积之比，即P＝＝.选A．
4．已知直线y＝x＋b在y轴上的截距在区间[－2,3]内，则直线在y轴上的截距b大于1的概率是( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由几何概型的概率公式知，所求概率P＝＝.
二、填空题
5．如果在一个5万平方千米的海域里有表面积达40平方千米的大陆架贮藏着石油，假如在这个海域里随意选定一个点探，则钻到石油的概率是__0.000_8__.
[解析] 如图，设Ω为海域，A为贮藏着石油的大陆架，由于选点的随机性，可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的，因而所求概率自然认为等于贮油海域的面积与整个海域面积之比，即P＝＝＝0.000
8.
6．如图所示，设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径倍的概率是 .
[解析] 由图可知，符合条件的点应在与点A相对的另一半圆弧BC上，＝.
三、解答题
7．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10
min的概率.
[解析] ∵假设他在0
min～60
min这段时间的任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件．
设事件A＝“等待时间不多于10
min”，事件A发生是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内，所以μA＝60－50＝10，μΩ＝60.所以P(A)＝＝＝.
8．设有一个正方形网络，其中每个最小正方形的边长都等于6
cm.现用直径等于2
cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线有公共点的概率.
[解析] 如图所示，硬币落下后与格线无公共点时，硬币中心应在如图所示的阴影部分(边长为4
cm的正方形)内，其概率为＝，故硬币落下后与格线有公共点的概率为1－＝.
C级 能力拔高
在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率.
[解析] 如图设事件A＝“作射线OC，使∠AOC和∠BOC都不小于30°”，μA＝90－30－30＝30，μΩ＝90，由几何概率公式得P(A)＝＝＝.第三章
3.1
3.1.2事件与基本事件空间
一、选择题
1．给出下列四个命题：
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；
②“当x为某一实数时，可使x2≤0”是不可能事件；
③“明天津市要下雨”是必然事件；
④“从100个灯泡中取出5个，5个全是次品”是随机事件．
其中正确命题的个数是( C )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] ①④是正确的，故选C．
2．为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组，小明要任意选报其中的2个，则基本事件的个数为( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 基本事件有{数学，计算机}、{数学，航空模型}、{计算机，航空模型}，共3个，故选C．
3．下列事件中，随机事件是( C )
A．向区间(0,1)内投点，点落在(0,1)区间
B．向区间(0,1)内投点，点落在(1,2)区间
C．向区间(0,2)内投点，点落在(0,1)区间
D．向区间(0,2)内投点，点落在(－1,0)区间
[解析] A为必然事件，B、D为不可能事件．
4．同时抛掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为所得点数之和为8，则事件A包含的基本事件总数是( C )
A．3
B．4
C．5
D．6
[解析] 事件A包含的是本事件为(2,6)、(3,5)、(4,4)、(5,3)、(6,2)共5个．
5．将一枚质地均匀的硬币向上抛掷10次，其中“正面朝上恰好有5次”是( B )
A．必然事件
B．随机事件
C．不可能事件
D．无法确定
[解析] “正面朝上恰好有5次”是可能发生也可能不发生的事件，故该事件为随机事件．
6．先后抛掷均匀的一分、二分硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个基本事件的是( A )
A．“至少一枚硬币正面向上”
B．“只有一枚硬币正面向上”
C．“两枚硬币都是正面向上”
D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”
[解析] “至少一枚硬币正面向上”包括“1分向上，2分向下”、“1分向下，2分向上”、“1分、2分都向上”三个基本事件，故选A．
二、填空题
7．下列事件：
(1)射击运动员杜丽在某次射击训练中射中10环；
(2)太阳从东方升起；
(3)高一(1)班有三位同学的生日在同一天；
(4)一个三角形较长的边对的角小，较短的边对的角大；
(5)从若干把外形相同的不同钥匙中随意抽出一把，恰好打开门锁.
其中是随机事件的是__(1)(3)(5)__(填序号)．
[解析] (2)是必然事件，(4)是不可能事件，(1)(3)(5)是随机事件.
8．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取3面，事件“三面旗帜的颜色与号码均不相同”所包含的基本事件的个数是__6__.
[解析] “三面旗帜的颜色与号码均不相同”的基本事件有(1红，2黄，3蓝)、(1红，2蓝，3黄)、(1黄，2红，3蓝)、(1黄，2蓝，3红)、(1蓝，2黄，3红)、(1蓝，2红，3黄)，共6个．
三、解答题
9．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y).
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验的基本事件总数；
(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个基本事件？“x<3且y>1”呢？
(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个基本事件？“x＝y”呢？
[解析] (1)这个试验的基本事件空间为
Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
(2)由(1)知这个试验的基本事件总数为16.
(3)“x＋y＝5”包含以下4个基本事件：(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)；“x<3且y>1”包含以下6个基本事件：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,2)、(2,3)、(2,4)．
(4)“xy＝4”包含以下3个基本事件：(1,4)、(2,2)、(4,1)；“x＝y”包含以下4个基本事件：(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)．
10．一个盒子中装有4个完全相同的球，分别标有号码1,2,3,5，从中任取两球.
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验的基本事件总数；
(3)写出“取出的两球上的数字之和是6”这一事件所包含的基本事件．
[解析] (1)记i＝“取出的球的标号为i”，则这个试验的基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,5)，(2,3)，(2,5)，(3,5)}．
(2)由(1)知，基本事件的总数是6.
(3)“取出的两球上的数字之和是6”包含1个基本事件：(1,5)．第三章
3.4概率的应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．从一篮鸡蛋中取1个，如果其重量小于30克的概率是0.30，重量在[30,40]克的概率是0.50，则重量不小于30克的概率是( D )
A．0.30
B．0.50
C．0.80
D．0.70
[解析] 由题意得1个鸡蛋其重量不小于30克的概率是1－0.30＝0.70.
2．调查运动员服用兴奋剂的时候，应用Warner随机化方法调查300名运动员，得到80个“是”的回答，由此，我们估计服用过兴奋剂的人占这群人的( A )
A．3.33%
B．53%
C．5%
D．26%
[解析] 应用Warner随机化方法调查300名运动员，我们期望有150人回答了第一个问题，而在这150人中又有大约一半的人即75人回答了“是”．其余5个回答“是”的人服用过兴奋剂，由此估计这群人中服用兴奋剂的大约占≈3.33%，故选A．
3．4名学生与班主任站成一排照相，班主任站在正中间的概率是( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] 5人站一排有5个位置，班主任站在任一位置等可能，∴P＝.
4．甲、乙乒乓球队各有运动员三男两女，其中甲队一男与乙队一女是种子选手，现在两队进行混合双打比赛，则两个种子选手都上场的概率是( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] 每队选一男一女上场，不同的上场结果(即基本事件总数)有3×2×3×2＝36种，而两个种子选手都上场的情况有2×3＝6种．∴概率为P＝＝.
5．x是[－4,4]上的一个随机数，则使x满足x2＋x－2<0的概率为( B )
A．
B．
C．
D．0
[解析] x2＋x－2<0的解集为(－2,1)，区间的长度为3，区间[－4，4]的长度为8，∴所求概率P＝.
6．袋子中有四个小球，分别写有“神”、“十”、“飞”、“天”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“飞”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1、2、3、4表示取出小球上分别写有“神”、“十”、“飞”、“天”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 21 34
据此估计，直到第二次就停止概率为( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由随机模拟产生的随机数可知，直到第二次停止的有13、43、23、13、13共5个基本事件，故所求的概率为P＝＝.
二、填空题
7．在3名女生和2名男生中安排2人参加一项交流活动，其中至少有一名男生参加的概率为__0.7__.
[解析] 从5名学生中抽取2人的方法共有10种，“至少有一名男生参加”包括“两名都是男生”和“一名女生一名男生”两种情况，共7个基本事件，故所求概率为＝0.7.
8．口袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一个，摸出红球或白球的概率为0.75，摸出白球或黑球的概率为0.60，那么口袋中共有白球、红球、黑球各__35,40,25__个.
[解析] 黑球个数为100×(1－0.75)＝25个；红球个数100×(1－0.60)＝40个，白球个数100－25－40＝35个．
三、解答题
9．今有长度不等的电阻丝放在一起，已知长度在84～85
mm间的有三条，长度在85～86
mm间的有四条，长度在86～87
mm间的有五条，从中任取一条，求：
(1)长度在84～86
mm间的概率；
(2)长度在85～87
mm间的概率．
[解析] 取到长度在84～85
mm的电阻丝的概率为，取到长度在85～86
mm的电阻丝的概率为，取到长度在86～87
mm的电阻丝的概率为.
(1)P1＝＋＝.
(2)P2＝＋＝.
10．柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，记事件A表示“取出的鞋配不成对”；事件B表示“取出的鞋都是同一只脚的”；事件C表示“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但配不成对”.
(1)请列出所有的基本事件；
(2)分别求事件A、事件B、事件C的概率．
[解析] (1)设3双不同的鞋分别为x1x2、y1y2、z1z2.
∴随机地取出2只的所有基本事件有：(x1，x2)、(x1，y1)、(x1，y2)、(x1，z1)、(x1，z2)、(x2，y1)、(x2，y2)、(x2，z1)、(x2，z2)、(y1，y2)、(y1，z1)、(y1，z2)、(y2，z1)、(y2，z2)、(z1，z2)共15个．
(2)由(1)得事件A包含的基本事件分别有(x1，y1)、(x1，y2)、(x1，z1)、(x1，z2)、(x2，y1)、(x2，y2)、(x2，z1)、(x2，z2)、(y1，z1)、(y1，z2)、(y2，z1)、(y2，z2)共12个，
∴P(A)＝＝.
事件B包含的基本事件分别有(x1，y1)、(x1，z1)、(x2，y2)、(x2，z2)、(y1，z1)、(y2，z2)共6个，∴P(B)＝＝.
事件C包含的基本事件分别有(x1，y2)、(x1，z2)、(x2，y1)、(x2，z1)、(y1，z2)、(y2，z1)共6个，∴P(C)＝＝.
B级 素养提升
一、选择题
1．甲、乙、丙、丁四人做相互传递球练习，第一次甲传给其他三人中的一人(假设每个人得到球的概率相同)，第二次由拿球者再传给其他三人中的一人，这样共传了三次，则第三次球仍传回到甲手中的概率为( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 本题可用树形图进行解决，如图所示，共有27种结果，第三次球传回到甲手中的结果有6种．故所求概率为P＝＝.
2．有大小相同的五个球，上面标有1,2,3,4,5，现从中任取两球，则这两球的序号不相邻的概率为( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 从五个小球中任取两球的基本事件共有10种．其中序号相邻的有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，共4种，所求概率P＝1－＝＝.
3．抛掷质地均匀的甲、乙两颗骰子，设出现的点数分别为a、b，则满足<|b－a2|<6－a的概率为( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 基本事件总数为36个，满足<|b－a2|<6－a的基本事件有(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,1)、(2,2)、(2,6)共7个，故所求概率为P＝.
4．一只蚂蚁在一直角边长为1
cm的等腰直角三角形ABC(∠B＝90°)的边上爬行，则蚂蚁距A点不超过1
cm的概率为( D )
A．
B．
C．2－
D．2－
[解析] 如图，E为斜边AC上的点，且AE＝1
cm，则蚂蚁应在线段AE及边AB上爬行，所求概率P＝＝2－，故选D．
二、填空题
5．从甲、乙、丙、丁四人中选两名代表，甲被选中的概率是 .
[解析] 从甲、乙、丙、丁四人中选两名代表，所有可能的结果如图所示．
如图知，所有可能的结果有6种，记“甲被选中”为事件A，则A含有3种可能结果．
∴P(A)＝＝.
6.取一个边长为2a的正方形及其内切圆如图，随机向正方形内丢一粒豆子，豆子落入圆内的概率为 .
[解析] 记“豆子落入圆内”为事件A，则P(A)＝＝＝＝.
三、解答题
7．已知直线Ax＋By＋1＝0，若A、B从－3，－1,0,2,7这5个数中选取不同的两个数，求斜率小于0的直线的概率.
[解析] 直线方程变形为y＝－x－(B≠0)，记“斜率小于0”为事件M，其中包含：①A、B同取正值记为事件M1；②A、B同取负值记为事件M2，且M1、M2为互斥事件．事件总个数为5×4＝20.
∴P(M1)＝＝，
P(M2)＝＝.∴由互斥事件概率的加法公式，得P(M)＝＋＝.
8．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，测评为优秀；若3杯选对2杯测评为良好；否则测评为合格．假设此人对A和B饮料没有鉴别能力.
(1)求此人被评为优秀的概率；
(2)求此人被评为良好及以上的概率．
[解析] 将5杯饮料编号为：1、2、3、4、5，编号1、2、3表示A饮料，编号4、5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)、(124)、(125)、(134)、(135)、(145)、(234)、(235)、(245)、(345)，
共有10种．
令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件，则
(1)P(D)＝.
(2)P(E)＝，P(F)＝P(D)＋P(E)＝.
C级 能力拔高
1．在1L高产小麦种子中混入了一粒带锈病的种子，从中随机取出10
mL，含有小麦锈病种子的概率是多少？
[解析] 由于带锈病的种子在1
L小麦种子中的位置是随机的，所以随机取出10
mL时，取到带锈病种子的概率只与所取种子样品的体积有关，这符合几何概型的条件．
设事件A＝“取出的10
mL麦种含有带小麦锈病的种子”．μA＝10(mL)，μΩ＝1(L)＝1
000(mL)，
∴P(A)＝＝＝0.01.
2．有2个人在一座11层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，求2个人在不同层离开的概率.
[解析] 解法一：2人中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，即每人都可以从第二层到第十一层的任何一层离开，因此每人有10种离开的方法，所以共有不同的离开方法，即基本事件总数为n＝10×10＝100.
记“两个人在不同层离开”为事件A，下面求A包含的基本事件数．第一个离开时有10种方法，第二人离开时有9种方法，故共有不同离开方法是m＝10×9＝90.
∴由古典概型概率公式得P(A)＝＝＝0.9.
解法二：2个人在不同层离开和在同一层离开是对立事件．而2个人同楼层离开即从第二层到第十一层一共10种离开方法．∴P(A)＝1－＝1－0.1＝0.9.第三章
3.2
3.2.2概率的一般加法公式（选学）
A级 基础巩固
一、选择题
1．某小组有5名同学，其中男生3名，现选举2名代表，至少有一名女生当选的概率是( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 记3名男生分别为A1，A2，A3,2名女生分别为B1，B2，从5名同学中任选2名的所有情况为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)共10种，至少有1名女生当选的情况有7种，故所求概率P＝.
2．下列命题中是错误命题的个数为( C )
①对立事件一定是互斥事件；
②A、B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
③若事件A、B、C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 互斥不一定对立，对立必互斥①正确；
只有A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，∴②错误；
事件A、B、C两两互斥，则有P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)，但A∪B∪C不一定是必然事件，例如基本事件空间是由两两互斥的事件A、B、C、D组成且事件D与A∪B∪C为对立事件，P(D)≠0时，③不对．
3．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 将骰子(均匀的)连掷三次共有6×6×6＝216(种)可能结果，点数依次成等差数列的情况有(6,5,4)、(6,4,2)、(5,4,3)、(5,3,1)、(4,3,2)、(3,2,1)、(1,3,5)、(1,2,3)、(2,3,4)、(2,4,6)、(3,4,5)、(4,5,6)、(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)、(4,4,4)、(5,5,5)、(6,6,6)，共18种可能情况，所以所求概率为＝.
4．从数字1、2、3中任取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数大于21的概率是( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 从数字1、2、3中任取两个不同数字组成一个两位数，基本事件为12、13、21、23、31、32共6个．其中大于21的有23、31、32共3个，∴所求概率为＝.
二、填空题
5．从甲口袋中摸出一白球的概率为，从乙口袋中摸出一白球的概率为，从两口袋中各摸出一球，都是白球的概率为，则从两口袋中各摸出一球，至少有一个白球的概率为 .
[解析] “至少有一个白球”是事件A＝“从甲口袋中摸出的是白球”和B＝“从乙口袋中摸出的是白球”的并事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.
6．甲、乙两人对同一目标各进行一次射击，两人击中目标的概率都是0.8，两人都未击中的概率为0.04，则目标被两人同时击中的概率为__0.64__.
[解析] 目标被击中即甲击中或乙击中，P(甲)＝0.8，P(乙)＝0.8，∴P(甲且乙)＝0.64.
三、解答题
7．100个产品中有93个产品长度合格，90个产品重量合格，其中长度、重量都合格的有85个．现从中任取一产品，记A为：“产品长度合格”，B为：“产品重量合格”，求产品的长度、重量至少有一项合格的概率.
[解析] P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝.而A∪B为：“产品的长度、重量至少有一项合格”
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝0.98.
B级 素养提升
一、选择题
1．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A＝{出现的点数是1,2}，事件B＝{出现的点数是2,3,4}，则事件{出现的点数是2}可以记为( B )
A．A∪B
B．A∩B
C．A B
D．A＝B
[解析] A∪B＝{出现的点数是1,2,3,4}，A∩B＝{出现的点数是2}，故选B．
2．对于任意事件M和N，有( D )
A．P(M∪N)＝P(M)＋P(N)
B．P(M∪N)>P(M)＋P(N)
C．P(M∪N)
D．P(M∪N)≤P(M)＋P(N)
[解析] 本题主要考查对概率加法公式的理解．当M和N是互斥事件时，P(M∪N)＝P(M)＋P(N)；当M和N不是互斥事件时，P(M∪N)二、填空题
3．100张卡片上分别写有1、2、3、…、100，计算下列事件的概率.
(1)任取其中1张，这张卡片上写的是偶数的概率为 ；
(2)任取其中1张，这张卡片上写的数是5的倍数的概率为 ；
(3)任取其中1张，这张卡片上写的数是偶数且是5的倍数的概率为 ；
(4)任取其中1张，这张卡片上写的数是偶数或是5的倍数的概率为 .
[解析] 从100张卡片中任取一张，共有100种取法．
(1)其中偶数有50个，故取得偶数的概率为.
(2)其中是5的倍数的有20个，故是5的倍数的概率是＝.
(3)既是偶数又是5的倍数的有10个，故既是偶数又是5的倍数的概率为.
(4)记事件A为“取出偶数”，事件B为“取出的数是5的倍数”，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.
4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对成品任意抽查一件抽得正品的概率为__0.96__.
[解析] 本题主要考查对立事件的概率．记“抽出的产品为正品”为事件A，“抽出的产品为乙级品”为事件B，“抽出的产品为丙级品”为事件C，则事件A、B、C彼此互斥，且A与B∪C是对立事件，所以P(A)＝1－P(B∪C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.
三、解答题
5．甲，乙两门高射炮同时向一敌机开炮，已知甲击中敌机的概率为0.6，甲、乙同时击中敌机的概率为0.48，求敌机被击中的概率.
[解析] 设事件A为：“甲击中敌机”，事件B为：“乙击中敌机”，则A∪B为：“敌机被击中”＝“甲，乙至少有一门击中敌机”，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.6＋0.8－0.48＝0.92.
C级 能力拔高
从1,2,3，…，10中任选一个数，求下列事件的概率：
(1)它是偶数；
(2)它能被3整除；
(3)它是偶数且能被3整除的数；
(4)它是偶数或能被3整除．
[解析] 基本事件空间Ω＝{1,2,3,4，…，10}，总基本事件个数m＝10.
(1)设“是偶数”为事件A，即A＝{2,4,6,8,10}，
∴P(A)＝＝.
(2)设“能被3整除”为事件B，即B＝{3,6,9}，
∴P(B)＝.
(3)设“是偶数且能被3整除”为事件C，即C＝{6}，
∴P(C)＝.
(4)设“是偶数或能被3整除”为事件D，即D＝A∪B，根据概率的加法公式得
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)
＝P(A)＋P(B)－P(C)＝＋－＝.第三章
3.1
3.1.1随机现象
一、选择题
1．下列事件中，随机现象的个数为( C )
(1)方程ax＋b＝0有一个实数根；
(2)2016年5月15日，去美国旅游的人数为1万；
(3)在常温下，锡块熔化；
(4)若a>b，那么ac>bc.
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] (1)(2)(4)是随机现象，(3)是不可能现象．
2．下列现象是必然现象的是( D )
A．一天内进入超市的顾客数
B．一顾客在超市中购买的商品数
C．一棵麦穗上长着的麦粒数
D．CCTV1明天19：00播放《新闻联播》
[解析] 选项D是必然现象．
3．下列现象中，随机现象的个数为( B )
①明天是阴天；
②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；
③明年长江武汉段的最高水位是29.8m；
④一个三角形的大边对小角，小边对大角
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[解析] ①③是随机现象，②④是不可能发生的现象，故选B．
4．“抛掷一个均匀的正方体玩具(它的每一面上分别标有数字1、2、3、4、5、6)，它落地时向上的数字是2”是( C )
A．不可能现象
B．必然现象
C．随机现象
D．无法确定
[解析] 抛掷一个均匀的正方体玩具(它的每一面上分别标有数字1、2、3、4、5、6)，它落地时向上的数字可能是1、2、3、4、5、6，故选C．
5．一个口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从口袋中任意摸出一个球，得到白球”这个现象是( B )
A．必然现象
B．随机现象
C．不可能事件
D．不能确定是哪种现象
[解析] 从口袋中任意摸出一个球，可能是白球，也可能是黑球，故选B．
6．下列现象中，是随机现象的是( D )
①从10个玻璃杯(其中8个正品，2个次品)中任取3个，3个都是次品；
②同一门大炮向同一个目标发射多发炮弹，其中50%的炮弹击中目标；
③某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意在键盘上按了一个数字，恰巧是朋友的电话号码；
④跳水运动员吴敏霞在2012年伦敦奥运会上夺得冠军．
A．②③④
B．①③
C．①②③
D．②③
[解析] ①是不可能发生的现象，④是必然现象，②③是随机现象．
二、填空题
7．给出下列现象：
①明天进行的某场足球赛的比分为3∶1；
②下周一某地的最高气温与最低气温相差10℃；
③同时掷两颗骰子，向上一面的两个点数之和不小于2；
④射击一次，命中靶心；
⑤当x是实数时，x2＋4x＋4<0.
其中，必然现象有__③__，不可能现象有__⑤__，随机现象有__①②④__.
[解析] ③是必然现象，⑤是不可能现象，①②④是随机现象.
8．一天中，从北京开往沈阳的7列列车全都正点到达，该试验现象中，一次试验是指__一列列车从北京到达沈阳__，共有__七__次试验.
[解析] 一列列车从北京到达沈阳就是一次试验，共有七次试验．
三、解答题
9．判断下列现象是必然现象还是随机现象.
(1)在20个同类产品中，有18个正品、2个次品
，从中任意抽3个，则至少有一个是正品；
(2)方程x2＋2＝0无实数根．
[解析] (1)由于20个产品中只有2个次品，所以任取3个产品至少有一个正品，故(1)是必然现象．
(2)∵x2＋2>0恒成立，故(2)是必然现象．
10．下列现象中，一次试验各指什么？它们各有几次试验？
(1)一天中，从北京飞往上海的3次航班，全部正点到达；
(2)抛8次质地均匀的硬币，硬币落地时有5次正面向上．
[解析] (1)一飞机从北京飞往上海，就是一次试验，共有3次试验．
(2)抛一次硬币，就是一次试验，共有8次试验．第三章
3.3
3.3.2随机数的含义与应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．随机摸拟法产生的区间[0,1]上的实数( D )
A．不是等可能的
B．0出现的机会少
C．1出现的机会少
D．是均匀分布的
[解析] 用随机模拟法产生的区间[0,1]上的实数是均匀分布的，每一个数产生的机会是均等的．
2．用函数型计算器能产生0～1之间的均匀随机数，其按键的顺序为( C )
A．
B．
C．
D．
3．将[0,1]内的随机数a1转化为[－2,6]内的随机数a2，需实施的变换为( C )
A．a2＝a1
8
B．a2＝a1
8＋2
C．a2＝a1
8－2
D．a2＝a1
6
[解析] 将[0,1]内的随机数a1转化为[－2,6]内的随机数a2，需进行的变换为a2＝a1
[6－(－2)]＋(－2)＝a1
8－2.
4．一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] P＝＝.
5．若x可以在－4≤x≤2的条件下任意取值，则x是负数的概率是( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 记事件“x是负数”为事件A，∵x可以在－4≤x≤2的条件下任意取值，∴UΩ＝6，UA＝4，
∴P(A)＝＝.
6．在集合P＝{m|关于x的方程x2＋mx－m＋＝0至多有一个实根(相等的根只能算一个)}中，任取一个元素x，使得式子lgx有意义的概率是( A )
A．
B．
C．0
D．1
[解析] Δ＝m2－4≤0，∴－5≤m≤3.
∴集合P＝{x|－5≤x≤3}，对于x∈P，
当0二、填空题
7．假设你在如图所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率是 .
[解析] 设⊙O的半径为R，则⊙O的面积为πR2，即
μΩ＝πR2.
记事件A为“黄豆落到阴影区域”，
μA＝×2R×R＝R2.
∴由几何概型求概率的公式，得
P(A)＝＝＝.
8．用计算机来模拟所设计的实验，并通过这个试验的结果来确定一些量的方法称为__计算机随机模拟法或蒙特卡罗法__.
三、解答题
9．利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y＝log3x与x＝3及x轴围成的图形)的面积.
[解析] 如图所示，作矩形，设事件A“随机向矩形内投点，所投的点落在阴影部分”．
S1：用计数器n记录做了多少次投点试验，用计数器m记录其中有多少次(x，y)满足y＜log3x(即点落在阴影部分)．首先置n＝0，m＝0；
S2：用变换rand(
)
3产生0～3之间的均匀随机数x表示所投的点的横坐标；用函数rand(
)产生0～1之间的均匀随机数y表示所投的点的纵坐标；
S3：判断点是否落在阴影部分，即是否满足y＜log3x.如果是，则计数器m的值加1，即m＝m＋1；如果不是，m的值保持不变；
S4：表示随机试验次数的计数器n的值加1，即n＝n＋1.如果还要判断试验，则返回步骤S2继续执行；否则，程序结束．
程序结束后事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值．设阴影部分的面积为S，矩形的面积为3.由几何概型计算公式得P(A)＝，所以＝.所以S＝即为阴影部分面积的近似值．
B级 素养提升
一、选择题
1．利用抛硬币产生随机数1和2，出现正面表示产生的随机数为1，出现反面表示产生的随机数为2，小王抛两次，则出现的随机数之和为3的概率为( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] 抛掷硬币两次，所发生的情况有(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)，即(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)共4种情况．其中出现的随机数之和为3的情况有2种，故所求概率P＝＝.
2.在利用随机模拟法计算如图阴影部分(曲线y＝()x与x轴，x＝±1围成的部分)的面积时，需要经过伸缩变换得到哪两个区间上的均匀随机数( B )
A．[－1,1]，[0,1]
B．[－1,1]，[0,2]
C．[0,1]，[0,2]
D．[0,1]，[0,1]
[解析] 用变换rand()
2－1产生－1～1之间的均匀随机数，x表示所投的点的横坐标；用变换rand()
2产生0～2之间的均匀随机数，y表示所投点的纵坐标．
二、填空题
3．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是__9__.
[解析] 由于每个点落在正方形内每个位置的可能性相同，则＝，所以＝，所以S阴影＝9.
4．两艘轮船都要停靠同一泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．设两船停靠泊位的时间分别为1
h与2
h，则有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是 .
[解析] 用两个变量代表两船时间，找出两变量的取值和满足的条件，设x、y分别代表第一艘船、第二艘船到达泊位的时间，由题意0≤x≤24,0≤y≤24，y－x≤1，x－y≤2，如图所示阴影部分表示必须有一艘船等待，则概率P＝＝
三、解答题
5．在长为24
cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形．用随机模拟法估算该正方形的面积介于25
cm2与64
cm2之间的概率.
[解析] 设事件A＝“正方形的面积介于25
cm2与64
cm2之间”．
(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数a1＝rand(
)；
(2)经过伸缩变换a＝a1
24得到一组[0,24]上的均匀随机数；
(3)统计出试验总次数N和[5,8]内的随机数个数N1(即满足5≤a≤8的个数)；
(4)计算频率fn(A)＝即为概率P(A)的近似值．
C级 能力拔高
1．如图所示，向边长为2的正方形内投飞镖，求飞镖落在中央边长为1的正方形中的概率.
[解析] 产生的随机数在0～1之间，是一维的；而大正方形内所有点的集合为Ω＝{(x，y)|－2＜x＜2，－2＜y＜2}，点为二维数组，矛盾非常尖锐，为此，需要产生两个随机数x，y，且－2＜x＜2，－2＜y＜2.当－1＜x＜1且－1＜y＜1时，认为飞镖落入中央小正方形内．
由几何概型概率计算公式得P＝＝.
用计算机随机模拟这个试验，步骤如下：
S1 用计数器n记录了多少次投飞镖的试验，用计数器m记录其中有多少次投在中央的小正方形内，置n＝0，m＝0；
S2 用函数rand(
)
4－2产生两个－2～2的随机数x、y，x表示所投飞票的横坐标，y表示所投飞镖的纵坐标；
S3 判断(x，y)是否落在中央的小正方形内，也就是看是否满足|x|＜1，|y|＜1，如果是，则m的值加1，即m＝m＋1；否则m的值保持不变；
S4 表示随机试验次数的记录器n加1，即n＝n＋1，如果还需要继续试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序结束．
程序结束后飞镖投在小正方形发生的频率作为概率的近似值．
2．在长为14
cm的线段AB上任取一点M，以A为圆心，以线段AM为半径作圆．用随机模拟法估算该圆的面积介于9π
cm2到16π
cm2之间的概率.
[解析] 设事件A表示“圆的面积介于9π
cm2到16π
cm2之间”．
(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数a1＝RAND；
(2)经过伸缩变换a＝14a1得到一组[0,14]上的均匀随机数；
(3)统计出试验总次数N和[3,4]内的随机数个数N1(即满足3≤a≤4的个数)；
(4)计算频率fn(A)＝，即为概率P(A)的近似值．第三章 概率
学业质量标准检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( A )
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排头”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
[解析] A中的事件不能同时发生，为互斥事件，B、C、D中的事件都有可能同时发生．
2．老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学(其中男同学30名，女同学20名)采取分层抽样的方法，抽取一个容量为10的样本进行研究，则女同学甲被抽到的概率为( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 因为在分层抽样中，任何个体被抽到的概率均相等，所以女同学甲被抽到的概率P＝＝，故应选C．
3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.则事件“抽到的是二等品或三等品”的概率为( D )
A．0.7
B．0.65
C．0.35
D．0.3
[解析] 由题意知事件A、B、C互为互斥事件，记事件D＝“抽到的是二等品或三等品”，则P(D)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＝0.3，故选D．
4．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，集合B＝{(x，y)|x＋y＋a＝0}，若A∩B≠ 的概率为1，则a的取值范围是( A )
A．[－，]
B．(－，]
C．[－，)
D．(－，－)
[解析] 依题意知，直线x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＝1恒有公共点．故≤1，解得－≤a≤.
5．在400
mL自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2
mL水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( A )
A．0.005
B．0.004
C．0.001
D．0.002
[解析] 发现大肠杆菌的概率为P＝＝0.005.
6．口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率为( A )
A．0.7
B．0.5
C．0.3
D．0.6
[解析] 任意摸出一球，事件A＝“摸出红球”，事件B＝“摸出黄球”，事件C＝“摸出白球”，则A、B、C两两互斥．
由题设P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4，
P(A∪C)＝P(A)＋P(C)＝0.9，
又P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，
∴P(A)＝0.4＋0.9－1＝0.3，
∴P(B∪C)＝1－P(A)＝1－0.3＝0.7.
7．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为( B )
A．
B．
C．
D．无法计算
[解析] 设阴影区域的面积为S，又正方形的面积为4，由几何概型的概率公式知＝，∴S＝.
8．中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸就不得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌机会(翻过的牌不能再翻)，某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] P＝＝＝.
9．设p在[0,5]上随机地取值，则关于x的方程x2＋px＋1＝0有实数根的概率为( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 0≤p≤5且方程有实根满足p2－4≥0，则2≤p≤5，所以对应的概率为P＝＝.
10．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是( C )
A．恰有2件一等品
B．至少有一件一等品
C．至多有一件一等品
D．都不是一等品
[解析] 将3件一等品编号为1,2,3；2件二等品编号为4,5.从中任取2件有10种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率为P1＝；恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)，故恰有2件一等品的概率为P2＝，其对立事件是“至多有1件一等品”，概率为P3＝1－P2＝1－＝.
11．某人射击4枪，命中3枪，3枪中有且只有2枪连中的概率是( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 4枪命中3枪共有4种可能，其中有且只有2枪连中有2种可能，所以P＝＝.
12．如图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为的正方形ABCD，向半圆内任投一点，则该点落在正方形内的概率为( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 设事件A为“该点落在正方形内”，则SG＝，SG1＝()2＝，
∴P(A)＝＝＝.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上．)
13．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没有击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}．其中彼此互斥的事件是__A与B，A与C，C与B，B与D__，互为对立事件的是__B与D__.
[解析] 事件“两次都击中飞机”发生，则A与D都发生．
事件“恰有一次击中飞机”发生，则C与D都发生．
A与B，A与C，B与C，B与D都不可能同时发生，B与D中必有一个发生．
14．某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛．甲乙两队夺取冠军的概率分别是和，该市足球队夺得全省足球冠军的概率为 .
[解析] 某市甲队夺取冠军与乙队夺取冠军是互斥事件，分别记为事件A、B，该市甲、乙两支球队夺取全省足球冠军是事件A∪B发生，根据互斥事件的加法公式得到P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
15．为了调查新疆阿克苏野生动物保护区内鹅喉羚的数量，调查人员逮到这种动物400只作过标记后放回．一个月后，调查人员再次逮到该种动物800只，其中作过标记的有2只，估算该保护区有鹅喉羚__160_000__只.
[解析] 设保护区内有鹅喉羚x只，每只鹅喉羚被逮到的概率是相同的，所以＝，解得x＝160
000.
16．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3
cm的圆面，中间有边长为1
cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油正好落入孔中的概率为 (油滴的大小忽略不计).
[解析] 记事件A为“油正好落入孔中”，由题意可知μA＝1
cm2,
μΩ＝
cm2，所以由几何概型的概率计算公式可得P(A)＝＝.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)高一军训时，某同学射击1次，命中10环、9环、8环的概率分别是0.13,0.28,0.31.
(1)求射击1次，命中10环或9环的概率；
(2)求射击1次，至少命中8环的概率．
[解析] 设事件“射击1次，命中k环”为事件Ak(k∈N且k≤10)且事件Ak两两互斥．由题意，知P(A10)＝0.13，P(A9)＝0.28，P(A8)＝0.31.
(1)记“射击1次，命中10环或9环”的事件为A，那么P(A)＝P(A10)＋P(A9)＝0.13＋0.28＝0.41.
(2)记“射击1次，至少命中8环”的事件为B，那么P(B)＝P(A10)＋P(A9)＋P(A8)＝0.13＋0.28＋0.31＝0.72.
18．(本题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
[解析] (1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝＝.
(2)基本事件同(1)．用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝.
19．(本题满分12分)(2015·陕西文，19)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
[解析] (1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率是.
(2)称相邻两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)这样在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16对，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.
20．(本题满分12分)某校夏令营有3名男同学A、B、C和3名女同学X、Y、Z，其年级情况如下表：
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)
(1)用表中字母列举出所有可能的结果；
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．
[解析] (1)从6名同学中选出2人所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．
(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}共6种．
因此事件M发生的概率P(M)＝＝.
21．(本题满分12分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，将得到的点故分别记为a，b.
(1)求直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率；
(2)将a，b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．
[解析] 先后两次抛掷一颗骰子，将得到的点故分别记为a、b，事件总数为6×6＝36.
(1)因为直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切，所以有＝1
即：a2＋b2＝25，由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，
所以，满足条件的情况只有a＝3、b＝4和a＝4、b＝3两种情况，
所以，直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率是＝.
(2)∵三角形的一边长为5，
∴当a＝1时，b＝5，当a＝2时，b＝5，
当a＝3时，b＝3、5，当a＝4时，b＝4、5，
当a＝5时，b＝1、2、3、4、5、6，
当a＝6时，b＝5、6.
∴满足条件的情况共有14种．
故三条线段能围成等腰三角形的概率为＝.
22．(本题满分12分)沙糖橘是柑橘类的名优品种，因其味甜如砂糖故名．某果农选取一片山地种植沙糖橘，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量(单位：kg)，获得的所有数据按照区间(40,45]，(45,50]，(50,55]，(55,60]进行分组，得到频率分布直方图如图．已知样本中产量在区间(45,50]上的果树株数是产量在区间(50,60]上的果树株数的倍.
(1)求a、b的值；
(2)从样本中产量在区间(50,60]上的果树里随机抽取两株，求产量在区间(55,60]上的果树至少有一株被抽中的概率．
[解析] (1)样本中产量在区间(45,50]上的果树有a×5×20＝100a(株)，
样本中产量在区间(50,60]上的果树有(b＋0.02)×5×20＝100(b＋0.02)(株)，
依题意，有100a＝×100(b＋0.02)．即a＝(b＋0.02)．①
根据频率分布直方图可知
(0.02＋b＋0.06＋a)×5＝1，②.
解①②组成的方程组得a＝0.08，b＝0.04.
(2)样本中产量在区间(50,55]上的果树有0.04×5×20＝4(株)，分别记为A1，A2，A3，A4，产量在区间(55,60]上的果树有0.02×5×20＝2(株)，分别记为B1，B2.
从这6株果树中随机抽取两株共有15种情况：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)．
其中产量在(55,60]上的果树至少有一株被抽中共有9种情况：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)．
记“从样本中产量在区间(50,60]上的果树里随机抽取两株，产量在区间(55,60]上的果树至少有一株被抽中为事件M，则P(M)＝＝.第三章
3.1
3.1.4概率的加法公式
一、选择题
1．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
上述各对事件中，是对立事件的是( C )
A．①
B．②④
C．③
D．①③
[解析] 两数可能“全为偶数”“一偶数一奇数”或“全是奇数”，共三种情况，利用对立事件的定义可知③正确．
2．从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件是( B )
A．至少有一个红球；至少有一个白球
B．恰有一个红球；都是白球
C．至少有一个红球；都是白球
D．至多有一个红球；都是红球
[解析] 对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取2个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件．
3．若把一副扑克牌中的4个K随机分给甲、乙、丙、丁四人，每人得到1张扑克牌，则事件“甲分到红桃K”与事件“乙分到梅花K”是( D )
A．对立事件
B．不可能事件
C．互斥但非对立事件
D．以上都不对
[解析] 由题意，对一次试验(即分一次牌)，有可能“甲分到红桃K”和“乙分到梅花K”同时发生．
4．从1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中任取两个数，分别有下列事件：
①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；
②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
其中为互斥事件的是( C )
A．①
B．②④
C．③
D．①③
[解析] 所取两个数可能都是奇数，也可能都是偶数，还可能一个奇数一个偶数，故只有③中两个事件互斥．
二、填空题
5．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则甲胜的概率为 ，甲不输的概率为 .
[解析] “甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以甲胜的概率为1－(＋)＝，“甲不输”是“乙胜”的对立事件，所以甲不输的概率为1－＝.
6．如果事件A和B是互斥事件，且事件A∪B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件B的对立事件的概率为__0.8__.
[解析] 根据题意有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝4P(B)＝0.8，∴P(B)＝0.2，则事件B的对立事件的概率为1－0.2＝0.8.
三、解答题
7．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额(元)
0
1
000
2
000
3
000
4
000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
(1)若每辆车的投保金额均为2
800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4
000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4
000元的概率．
[解析] (1)设A表示事件“赔付金额为3
000元”，B表示事件“赔付金额为4
000元”，以频率估计概率得
P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.
由于投保金额为2
800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3
000元和4
000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4
000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1
000＝100辆，而赔付金额为4
000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆．
所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4
000元的频率为＝0.24.
由频率估计概率得P(C)＝0.24.
8．如果从不包括大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心(事件A)的概率是，取到方片(事件B)的概率是，问：
(1)取到红色牌(事件C)的概率是多少？
(2)取到黑色牌(事件C)的概率是多少？
[解析] (1)因为取到红心(事件A)与取到方片(事件B)不能同时发生，所以A与B是互斥事件，具有C＝A∪B，故由互斥事件的概率的加法公式得P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
(2)因为取一张牌时，取到红色牌(事件C)与取到黑色牌(事件D)不可能同时发生，所以C与D也是互斥事件．又由于事件C与事件D必有一者发生，即C∪D为必然事件，所以C与D为对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－＝.
B级 素养提升
一、选择题
1．一个战士在一次射击中，命中环数大于8，大于5，小于4，小于6这四个事件中，互斥事件有( B )
A．2对
B．4对
C．6对
D．3对
[解析] 按照互斥事件的定义，两个事件不可能同时发生，所以命中环数大于8与命中环数小于4是互斥事件；命中环数大于8与命中环数小于6是互斥事件；命中环数大于5与命中环数小于4是互斥事件．命中环数大于5与命中环数小于6也是互斥事件，故选B．
2．在第3,6,16路车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公交车)，有一位乘客需要在5分钟之内赶到厂里，他可乘3路或6路车，已知3路车、6路车在5分钟之内到此站的概率分别为0.20和0.60，则此乘客在5分钟内能乘到所需要的车的概率是( C )
A．0.20
B．0.60
C．0.80
D．0.12
[解析] 由题意知他乘3路和乘6路是互斥事件，故5分钟内能乘到所需要的车的概率是0.20＋0.60＝0.80.
3．某家庭电话，有人时打进的电话响第一声时被接的概率为，响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为，则电话在响前四声内被接的概率为( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 电话在响前四声内被接的概率为P＝＋＋＋＝.
4．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( D )
A．0.09
B．0.20
C．0.25
D．0.45
[解析] 由图可知，抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45.
二、填空题
5．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是__0.3__.
[解析] P＝1－0.42－0.28＝0.3.
6．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 .
[解析] 设事件A为“甲夺得冠军”，事件B为“乙夺得冠军”，则P(A)＝，P(B)＝，因为事件A和事件B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
三、解答题
7．在某一时期内，一条河流某处的最高水位在各个范围内的概率如下：
年最高水位(单位：m)
[8,10)
[10,12)
[12,14)
[14,16)
[16,18)
概率
0.1
0.28
0.38
0.16
0.08
计算在同一时期内，河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率：
(1)[10,16)(m)；(2)[8,12)(m)；(3)[14,18)(m)．
[解析] 记河流年最高水位在“[8,10)”为事件A，“[10,12)”为事件B，“[12,14)”为事件C，“[14,16)”为事件D，“[16,18)”为事件E，则A、B、C、D、E为互斥事件，由互斥事件的概率的加法公式，得
(1)最高水位在[10,16)的概率为
P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.
(2)最高水位在[8,12)的概率为
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.
(3)最高水位在[14,18]的概率为
P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.
C级 能力拔高
1．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3，设各车主至多购买一种保险.
(1)求该地1位车主购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)求该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
[解析] 记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；
B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险；
C表示事件：该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种；
D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；
(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，
P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2)D＝，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.
2．围棋是一种策略性两人棋类游戏，已知围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，从中随机取出2粒，都是黑子的概率是，都是白子的概率是.
(1)求从中任意取出2粒恰好是同一色的概率；
(2)求从中任意取出2粒恰好是不同色的概率．
[解析] (1)设“从中任意取出2粒都是黑子”为事件A，“从中任意取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，事件A与B互斥，则
P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，
即任意取出2粒恰好是同一色的概率是.
(2)设“从中任意取出2粒恰好是不同色”为事件D，则事件D与事件C是对立事件．
由(1)，知P(C)＝，
所以任意取出2粒恰好是不同色的概率P(D)＝1－P(C)＝1－＝.第三章
3.2
3.2.1古典概型
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2016·北京文)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 设5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊，从甲、乙、丙、丁、戊5人中选2人，有(甲、乙)，(甲、丙)，(甲、丁)，(甲、戊)，(乙、丙)，(乙、丁)，(乙，戊)，(丙、丁)，(丙、戊)，(丁，戊)，共10种情况，其中甲被选中的情况有(甲，乙)，(甲、丙)，(甲、丁)，(甲、戊)，共4种，所以甲被选中的概率为＝.
2．从1、2、3、4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 从1、2、3、4中任取2个不同的数有以下六种情况：{1,2}、{1,3}、{1,4}、{2,3}、{2,4}、{3,4}，满足取出的2个数之差的绝对值为2的有{1,3}、{2,4}，故所求概率是＝.
3．有五条线段，长度分别为1,3,5,7,9.从这五条线段中任取三条，则所取三条线段不能构成一个三角形的概率为( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 从这五条线段中任取三条，所有基本事件为(1,3,5)，(1,3,7)，(1,3,9)，(1,5,7)，(1,5,9)，(1,7,9)，(3,5,7)，(3,5,9)，(3,7,9)，(5,7,9)共10个，其中不能构成三角形的有(1,3,5)，(1,3,7)，(1,3,9)，(1,5,7)，(1,5,9)，(1,7,9)，(3,5,9)，共7个，所以所取三条线段不能构成一个三角形的概率为.
4．在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车)，有一位乘客等候第4路或第8路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由题知，在该问题中基本事件总数为5，一位乘客等车这，事件包含2个基本事件，故所求概率为P＝.
5．从{1,2,3,4,5}中随机选一个数a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率为( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 从{1,2,3,4,5}中随机选一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，所得情况有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(5,1)、(5,2)、(5,3)共15种，b>a的情况有(1,2)、(1,3)、(2,3)，共3种，∴所求的概率为＝.
6．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，这个集合恰好是集合{a，b，c}的子集的概率是( C )
A．1
B．
C．
D．
[解析] 集合{a，b，c，d，e}的所有子集有25＝32，集合{a，b，c}的所有子集有23＝8，故所求概率为＝.
二、填空题
7．盒子里共有大小相同的3只白球、1只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们的颜色不同的概率是 .
[解析] 记3只白球分别为A、B、C,1只黑球为m，若从中随机摸出两只球有AB、AC、Am、BC、Bm、Cm有6种结果，其中颜色不同的结果为Am、Bm、Cm有3种结果，故所求概率为＝.
8．4张卡片上分别写有数字1、2、3、4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 .
[解析] 由题意知，基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，记“取出的2张卡片上的数字之和为奇数”为事件A，∴A＝{(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)}，∴P(A)＝＝.
三、解答题
9．小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1、A2、A3、A4、A5、A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋.
(1)写出数量积X的所有可能取值；
(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．
[解析] (1)X的所有可能取值为－2、－1、0、1.
(2)数量积为－2的有·，共1种；
数量积为－1的有·、·、·、·、·、·，共6种；
数量积为0的有·、·、·、·，共4种；
数量积为1的有·、·、·、·，共4种．
故所有可能的情况共有15种．
所以小波去下棋的概率为p1＝；
因为去唱歌的概率为p2＝，所以小波不去唱歌的概率p＝1－p2＝1－＝.
10．(1)从含有两件正品a、b和一件次品c的3件产品中每次任取一件，取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)将(1)中条件“取出后不放回”改为“每次取出后放回”其余不变，再求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
[解析] (1)基本事件空间Ω＝{(a，b)，(a，c)，(b，c)，(b，a)，(c，a)，(c，b)}，其中(a，b)中的a表示第一次取出的产品，b表示第2次取出的产品，Ω中有6个基本事件，它们的出现都是等可能的，事件A＝“取出的两件产品中，恰好有一件次品”包含4个基本事件，∴P(A)＝＝.
(2)有放回的连续取两件，基本事件空间Ω＝{(a，a)，(a，b)，(a，c)，(b，b)，(b，a)，(b，c)，(c，c)，(c，a)，(c，b)}中共9个等可能的基本事件，事件B＝“恰有一件次品”包含4个基本事件，∴P(B)＝.
B级 素养提升
一、选择题
1．(2015·广东文，7)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有1件次品的概率为( B )
A．0.4
B．0.6
C．0.8
D．1
[解析] 5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，恰有一件次品，有6种，分别是(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，设事件A＝“恰有一件次品”，则P(A)＝＝0.6，故选B．
2．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] 记3个兴趣小组分别为1,2,3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此P(A)＝＝.
3．从所有3位正整数中任取一数，则此数以2为底的对数也是正整数的概率为( B )
A．
B．
C．
D．以上全不对
[解析] 三位的正整数共有900个，若以2为底的对数也是正整数(设为n)，则100≤2n≤999，∴n＝7、8、9共3个，故P＝＝.
4．有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿拼排3块分别写有“20”，“12”和“伦敦”的字块，如果婴儿能够排成“20 12 伦敦”或者“伦敦 20 12”，则他们就给婴儿奖励．假设婴儿能将字块挨着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 3块字块的排法为“20 12 伦敦”，“20 伦敦 12”，“12 20 伦敦”，“12 伦敦 20”，“伦敦 20 12”，“伦敦 12 20”，共6种，婴儿能得到奖励的情况有2种，故所求概率P＝＝.
二、填空题
5．从集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，从集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为 .
[解析] 点P(m，n)的所有结果有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共6种情况，每种结果等可能出现，属于古典概型，记“点P在圆x2＋y2＝9内部”为事件A即m2＋n2<9，则A包含的结果有(2,1)，(2,2)共2种
∴P(A)＝＝.
6．在平面直角坐标系中，从五个点A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 .
[解析] 如下图所示，则从这五点中任取三点的全部结果为：ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE，共10个．
而事件M“任取三点构不成三角形”只有ACE、BCD
2个，故构成三角形的概率P()＝1－P(M)＝1－＝.
三、解答题
7．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a、b、c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a、b、c不完全相同”的概率．
[解析] (1)由题意，(a，b，c)所有的可能为
(1,1,1)、(1,1,2)、(1,1,3)、(1,2,1)、(1,2,2)、(1,2,3)、(1,3,1)、(1,3,2)、(1,3,3)、(2,1,1)、(2,1,2)、(2,1,3)、(2,2,1)、(2,2,2)、(2,2,3)、(2,3,1)、(2,3,2)、(2,3,3)，(3,1,1)、(3,1,2)、(3,1,3)、(3,2,1)、(3,2,2)、(3,2,3)、(3,3,1)、(3,3,2)、(3,3,3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
则事件A包括(1,1,2)、(1,2,3)、(2,1,3)，共3种．
所以P(A)＝＝.
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，
则事件包括(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)，共3种．
所以P(B)＝1－P()＝1－＝.
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
C级 能力拔高
1.右面茎叶图中记录了甲组3名同学寒假假期内去图书馆A学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆B学习的次数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认．
(1)如果x＝7，求乙组同学去图书馆B学习次数的平均数和方差；
(2)如果x＝9，从学习次数大于8的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率.
[解析] (1)当x＝7时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆B学习的次数是7、8、9、12，
所以其平均数为＝＝9，
方差为s2＝[(7－9)2＋(8－9)2＋(9－9)2＋(12－9)2]＝.
(2)记甲组3名同学为A1、A2、A3，他们去图书馆A学习的次数依次为9、12、11；乙组4名同学为B1、B2、B3、B4，他们去图书馆B学习的次数依次为9、8、9、12；从学习次数大于8的学生中任选两名学生，所有可能的结果有15个，它们是A1A2、A1A3、A1B1、A1B3、A1B4、A2A3、A2B1、A2B3、A2B4、A3B1、A3B3、A3B4、B1B3、B1B4、B3B4.
用C表示“选出的两名同学恰好在两个图书馆学习且学习的次数和大于20”这一事件，则C中的结果有5个，它们是A1B4、A2B4、A2B3、A2B1、A3B4.
故选出的两名同学恰好分别在两个图书馆里学习且学习的次数和大于20的概率为P(C)＝＝.
2．小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y，
(1)在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点共有几个？试求点(x，y)落在直线x＋y＝7上的概率；
(2)规定：若x＋y≥10，则小王赢；若x＋y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个游戏规则公平吗？请说明理由．
[解析] (1)因x，y都可取1,2,3,4,5,6，故以(x，y)为坐标的点共有36个．
记点(x，y)落在直线x＋y＝7上为事件A，事件A包含的点有：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)6个，所以事件A的概率P(A)＝＝.
(2)记x＋y≥10为事件B，x＋y≤4为事件C，用数对(x，y)表示x，y的取值．则事件B包含(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共6个数对；
事件C包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6个数对．
由(1)知基本事件总数为36个，所以P(B)＝＝，P(C)＝＝，
所以小王、小李获胜的可能性相等，游戏规则是公平的．第三章
3.1
3.1.3频率与概率
A级 基础巩固
一、选择题
1．每道选择题有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的．某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选择支正确的概率是，我每题都选择第一个选择支，则一定有3道题选择结果正确”这句话( B )
A．正确
B．错误
C．不一定
D．无法解释
[解析] 3道题选择结果可能都正确，也可能都错误，还可能仅1道题正确，或仅2道题正确．
2．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1
000次，那么第999次出现正面朝上的概率是( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1
000次，每一次出现正面朝上的概率均为.
3．成语“千载难逢”意思是说某事( C )
A．一千年中只能发生一次
B．一千年中一次也不能发生
C．发生的概率很小
D．为不可能事件，根本不会发生
[解析] 根据概率的意义可知选项A、B、D都不正确．
4．一个保险推销员对人们说：“人有可能得病，也有可能不得病，因此，得病与不得病的概率各占50%.”他的说法( B )
A．正确
B．不正确
C．有时正确，有时不正确
D．应由气候条件确定
[解析] 在大多数时候，人是不得病的．得病与不得病的概率不相等，故选B．
5．下列结论正确的是( C )
A．事件A的概率为P(A)，则必有0B．事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现在胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%
D．某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖
[解析] A不正确，因为0≤P(A)≤1；若A是必然事件，则P(A)＝1，故B不正确；对于D，奖券中奖率为50%，若某人购买此券10张，则可能会有5张中奖，所以D不正确，故选C．
6．给出下列三个说法，其中正确的个数为( A )
①设有一批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此出现正面的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
[解析] 频率是事件发生的次数m与试验次数n的比值；当n很大时，可以将事件发生的频率作为事件发生的概率的近似值，故选A．
二、填空题
7．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了__500__次试验.
[解析] 设共进行了n次试验，
则＝0.02，解得n＝500.
8．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次10环，3次9环，4次8环，1次脱靶，在这次练习中，这个人中靶的频率是__0.9__，中9环的概率是__0.3__.
[解析] 打靶10次，9次中靶，故中靶的概率为＝0.9，其中3次中9环，故中9环的频率是＝0.3.
三、解答题
9．某出版社对某教辅图书的写作风格进行了5次“读者问卷调查”，结果如下：
被调查人数n
1
001
1
000
1
004
1
003
1
000
满意人数m
999
998
1
002
1
002
1
000
满意频率
(1)计算表中的各个频率；
(2)读者对此教辅图书满意的概率P(A)约是多少？
(3)根据(1)(2)说明读者对此教辅图书满意情况．
[解析] (1)表中各个频率依次是0.998、0.998、0.998、0.999,1.
(2)由第(1)问的结果，知某出版社在5次“读者问卷调查”中，收到的反馈信息是“读者对某教辅图书满意的概率约是P(A)＝0.998.”
用百分数表示就是P(A)＝99.8%.
(3)由(1)、(2)可以看出，读者对此教辅图书满意程度较高，且呈上升趋势．
10．为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量.
[解析] 设保护区中天鹅的数量约为n，假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一一定量的天鹅，设事件A＝{带有记号的天鹅}，则P(A)＝①，
第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的统计定义可知P(A)＝②，
由①②两式，得＝，解得n＝1
500，
所以该自然保护区中天鹅的数量约为1
500只．
B级 素养提升
一、选择题
1．从16个同类产品(其中有14个正品、2个次品)中任意抽取3个，下列事件中概率为1的是( C )
A．3个都是正品
B．3个都是次品
C．3个中至少有一个是正品
D．3个中至少有一个是次品
[解析] 16个同类产品中，只有2个次品，抽取3个产品，A是随机事件，B是不可能事件，C是必然事件，D是随机事件，又必然事件的概率为1，∴选C．
2．下列说法中，不正确的是( B )
A．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8
B．某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.7
C．某人射击10次，击中靶心的频率是，则他击中靶心5次
D．某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心的次数为4
[解析] 某人射击10次，击中靶心7次，则他击中靶心的频率为0.7，故选项B错误．
3．设某厂生产的某产品的次品率为2%，估算该厂生产8
000件产品中合格品的件数可能为( B )
A．160
B．7
840
C．7
998
D．7
800
[解析] 次品率为2%，则8
000件产品中可能有160件次品，所以合格品可能为8
000－160＝7
840(件)．
4．一袋中有红球5个、黑球4个，现从中任取5个球，至少有1个红球的概率为( D )
A．
B．
C．
D．1
[解析] 这是一个必然事件，其概率为1.
二、填空题
5．一个口袋装有白球、红球共100个，若摸出一个球为白球的概率为，则估计这100个球内，有白球__75__个.
[解析] 白球个数为100×＝75(个)．
6．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看周杰伦的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，我就去；如果落地后两面一样，你就去！”你认为这个游戏__公平__．(“公平”或“不公平”)
[解析] 向空中同时抛两枚同样的一元硬币，落地后的结果有“正正”、“反正”、“正反”、“反反”四种情况，其中“一正一反”和“两面一样”的概率都是，因此游戏是公平的．
三、解答题
7．某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩如下表：
射击次数
100
120
150
100
150
160
150
击中飞碟数
81
95
123
82
119
127
121
击中飞碟的频率
(1)将各次击中飞碟的频率填入表中；
(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少？
[解析] 利用频率公式依次计算出击中飞碟的频率．
(1)射中次数100，击中飞碟数是81，故击中飞碟的频率是＝0.81，同理可求得下面的频率依次是0.792、0.820、0.820、0.793、0.794、0.807.
(2)击中飞碟的频率稳定在0.81，故这个运动员击中飞碟的概率约为0.81.
C级 能力拔高
1．在一个试验中，一种血清被注射到500只豚鼠体内．最初，这些豚鼠中有150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞．被注射这种血清之后，具有圆形细胞的豚鼠没有被感染，50只具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染．根据实验结果估计，分别具有圆形细胞、椭圆形细胞、不规则形状细胞的豚鼠被这种血清感染的概率.
[解析] (1)记“具有圆形细胞的豚鼠被感染”为事件A，则由题意可知，A为不可能事件，所以P(A)＝0.
(2)记“具有椭圆形细胞的豚鼠被感染”为事件B，则由题意，得P(B)＝＝＝0.2.
(3)记“具有不规则形状细胞的豚鼠被感染”为事件C，则由题意可知，C为必然事件，P(C)＝1.
2．某种彩票的抽奖是从写在36个球上的36个号码中随机摇出7个．有人统计了过去中特等奖的号码，声称某一号码在历次特等奖中出现的次数最多，它是一个幸运号码，人们应该买这一号码；也有人说，若一个号码在历次特等奖中出现的次数最少，由于每个号码出现的机会相等，应该买这一号码，你认为他们的说法对吗？
[解析] 体育彩票中标有36个号码的36个球大小、重量是一致的，严格地说，为了保证公平，每次用的36个球，应该只允许用一次，除非能保证用过一次后，球没有磨损、变形．因此，当把这36个球看成每次抽奖中只用了一次时，不难看出，以前抽奖的结果对今后抽奖的结果没有任何影响，上述两种说法都是错的．