2.5
从力做的功到向量的数量积
典题精讲
例1若|a|=1，|b|=，(a-b)⊥a，则向量a与b的夹角为（
）
A.30°
B.45°
C.90°
D.135°
思路解析：设a与b的夹角为θ，∵（a-b）·a=0.
∴|a|2-b·a=0.
∴b·a=1.∴cosθ==.
又∵0°≤θ≤180°，
∴θ=45°.
答案：B
绿色通道：求向量a与b的夹角的步骤：
（1）计算b·a，|a|，|b|；
（2）计算cos〈a，b〉；
（3）根据范围确定夹角的大小.
变式训练1已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.
思路分析：求a与b的夹角余弦值，只要求出a·b与|a|、|b|即可.
解：∵（a+3b）⊥（7a－5b）,
∴（a+3b）·（7a－5b）=0.
∴7a2+16a·b－15b2=0.①
又∵（a－4b）⊥（7a－2b）,
∴（a－4b）·（7a－2b）=0.
∴7a2－30a·b+8b2=0.②
①－②得46a·b=23b2，即有a·b=b2=|b|2.
代入①式，得7|a|2+8|b|2－15|b|2=0，
故有|a|2=|b|2，即|a|=|b|.
∴cos〈a，b〉=.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉=60°，
即a与b的夹角为60°.
变式训练2已知△ABC中，a=5，b=8，·=-20，试求C.
有个同学求解如下：
解：如图2-5-4，∵||=a=5，||=b=8，
图2-5-4
∴cos∠C=.
又∵0°≤∠C≤180°，
∴∠C=120°.
这位同学的解答正确吗？如果你是他的数学老师，你会给他写什么批语？
思路解析：这位同学的解答不正确，其原因就在于没能正确理解向量夹角的定义.由于BC与两向量的起点并不同，故∠C≠〈，〉,而是∠C＋〈,〉=180°，则cos〈,
〉=.
又∵0°≤〈,〉≤180°，∴〈,〉=120°.
∴∠C=60°.
所以这位同学的解答不正确，∠C=60°；批语是：如果你再理解了向量夹角的定义，那么这道题就能做对了，请你再试试吧.
例2已知向量a、b不共线，且|2a+b|=|a+2b|，求证：（a+b）⊥（a－b）.
思路分析：可以证明（a+b）与（a－b）垂直，转化为证明（a+b）与（a－b）的数量积为零.也可以利用向量线性运算的几何意义来证明.
证法一：
∵|2a+b|=|a+2b|，
∴（2a+b)2=（a+2b)2.
∴4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2.
∴a2=b2.
∴（a+b）·（a－b）=a2－b2=0.
又a与b不共线，a+b≠0，a－b≠0，
∴（a+b）⊥（a－b）.
证法二：如图2-5-5所示，在平行四边形OCED中，设=a，=b,A、B、N、M分别是OC、OD、DE、EC的中点.
图2-5-5
则有2a+b=+=+=，
a+2b=+=+=,
a+b=,a-b==.
∵|2a+b|=|a+2b|，∴||=||.
∴△OMN是等腰三角形.
可证F是MN的中点.
∴⊥.
∴⊥.
∴⊥.
∴（a+b）⊥（a－b）.
绿色通道：证明向量垂直的两种方法：①应用化归思想，转化为证明这两个向量的数量积为0.②应用向量加减法的几何意义来证明.
变式训练向量a、b均为非零向量，且|a|=|b|，求证：(a-b)⊥(a＋b）.
思路分析：转化为证明向量(a-b)和(a＋b)的数量积为0；或应用向量加减法的几何意义来证明.
证法一：如图2-5-6所示，在平行四边形OACB中,
图2-5-6
设=a,=b,则a-b=，a+b=，
∴||=||.
∴四边形OAＣB是菱形.
∴OC⊥BA.∴⊥，
即(a-b)⊥(a＋b）.
证法二：∵|a|=|b|，
∴(a-b)·(a＋b）=a2-b2=|a|2-|b|2=0.
∵a、b均为非零向量,
∴a-b≠0，a＋b≠0.
∴(a-b)⊥(a＋b）.
问题探究
问题（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，化简||2+||2-2||·||cos〈,〉；
（2）在等边△ABC中，化简||2+||2-2||·||cos〈,〉；
（3）由（1）和（2）你发现了什么结论，并加以证明.
导思:归纳、猜想、证明是人类认识世界和发现世界的主要手段，观察式子的结构特点，结合向量的数量积便可发现结论.
探究：（1）∵∠BAC=90°，∴cos〈,〉=0.
∴||2+||2-2||||cos〈,〉=||2+||2=||2.
(2)∵||2=||2=||2,〈,〉=60°，
∴||2+||2-2||||cos〈,〉=||2+||2-||2=||2=||2.
(3)可发现如下结论：在△ABC中，有
||2+||2-2||||cos〈,〉=||2；
||2+||2-2||||cos〈,〉=||2；
||2+||2-2||||cos〈,〉=||2.
可以用语言叙述：三角形任一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.此结论称为余弦定理.
证明：如图2-5-7，在△ABC中，有-=,
图2-5-7
∴(-)2=.
∴+-2·=,
即||2+||2-2||||cos〈,〉=||2.
同理可证：||2+||2-2||||cos〈,〉=||2;
||2+||2-2||||cos〈,〉=||2.2.6
平面向量数量积的坐标表示
典题精讲
例1湖北高考卷，理1)已知向量a=（,1），b是不平行于x轴的单位向量，且a·b=，则b等于（
）
A.（,）
B.（,
）
C.（）
D.(1,0)
思路解析：方法一（待定系数法）：设b=(x,y)(x≠y)，则依题意有解得
方法二（代入验证法）：将四个选项逐一验证，仅有选项B符合题意.
答案：B
绿色通道：
已知向量的坐标时，通常利用向量数量积的坐标表示来解决有关向量问题.
变式训练1已知|a|=,b=(-2,3),且a⊥b，则a的坐标为_______________.
思路解析：利用向量的长度公式和垂直的条件列出关于向量ab的坐标的方程，然后求解.
设a=(x,y)，则x2+y2=52.由a⊥b得-2x+3y=0.由以上两个条件得
答案：(6，4)或(-6，-4)
变式训练2
已知向量a与b同向，b=(1,2),a·b=10.
(1)求向量a的坐标；
(2)若c=(2,-1)，求(b·c)a.
思路分析：由向量a与b同向可得a=λb，且λ＞0.
解：(1)∵向量a与b同向，b=（1，2），∴a=λb=（λ，2λ）.又∵a·b=10，
∴有λ+4λ=10.解得λ=2＞0.符合向量a与b同向的条件,
∴a=（2，4）.
(2)∵b·c=1×2+2×(-1)=0,
∴(b·c)a=0.
例2(湖北高考卷，理19)如图2-6-2，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段以点A为中点，问与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个最大值.
图2-6-2
思路分析：可以用分解向量法和建立直角坐标系法解决.
解法一（基向量法）：
∵⊥，∴·=0.
∵=-,=-,=-,
∴·=(-)·(-)
=·-·-·+·=-a2-·+·
=-a2+·(-)=-a2+·=-a2+a2cosθ.
故当cosθ=1即θ=0(与方向相同)时,
·最大,其最大值为0.
解法二（坐标法）：
以A为原点，以AB所在直线为x轴建立如图2-6-3所示的平面直角坐标系.
设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a.
设点P的坐标为（x,y）,则Q（-x,-y）.
图2-6-3
∴=(x-c,y),
=(-x,-y-b),
=(-c,b),
=(-2x,-2y).
∴·=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.
∵cosθ=
∴cx-by=a2cosθ.∴·=-a2+a2cosθ.
故当cosθ=1,即θ=0,(与方向相同)时,·最大,其最大值为0.
绿色通道
解决向量问题的两种方法：①基向量法：选择不共线（最好垂直）的两个向量为平面向量基底，其他向量均用基底表示，将问题转化为向量的分解及其有关运算或其他问题；②坐标法：选择互相垂直的两个向量的基线为坐标轴，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解决向量的有关问题.
变式训练1如图2-6-4，正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，试求cos〈,〉的值.
思路分析：最优解法坐标法.
解法一（坐标法）：如图2-6-4所示.
图2-6-4
以OA和OC分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，
则有A=(1,0)，C=(0,1),B=(1,1)，
∴=（1，），OE=（，1），
故cos∠DOE=.
解法二(基向量法)：以和为基向量建立平面向量基底.设=a,=b，
则有|a|=|b|=1，〈a,b〉=，a·b=0.
∴=+=+=+=a+b，
+=+=a+b.
∴||=，
||2=,
·=(a+b)·(a+b)=a2+a·b＋b2=1.
∴cos∠DOE=.
变式训练2已知a,b是两个非零向量，同时满足|a|=|b|=|a-b|，求a与a+b的夹角.
思路分析：可以由条件求出a·(a+b)及|a+b|代入夹角公式.也可以运用向量加法的几何意义，构造平行四边形求解.
解法一：根据|a|=|b|，有|a|2=|b|2，
又由|b|=|a-b|，得|b|2=|a|2-2a·b+|b|2，
∴a·b=|a|2.
而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=3|a|2,
∴|a+b|=|a|.
设a与a+b的夹角为θ，则
cosθ=，∴θ=30°.
解法二：设向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，
∵|a|=|b|，∴x12+y12=x22+y22.
由|b|=|a-b|，得x1x2+y1y2=(x12+y12)，即a·b=(x12+y12).
由|a+b|2=2(x12+y12)+2×
(x12+y12)=3(x12+y12)得
|a+b|=(x12+y12).
设a与a+b的夹角为θ，则
cosθ=，
∴θ=30°.
解法三：在平面内任取一点O，作=a，=b，以，为邻边作平行四边形.
∵|a|=|b|，即||=||.
∴OACB为菱形，OC平分∠AOB，
这时=a+b，=a-b.而|a|=|b|=|a-b|，
即||=||=||.
∴△AOB为正三角形，
则∠AOB=60°，于是∠AOC=30°，
即a与a+b的夹角为30°.
问题探究
问题在直角坐标系中，将单位向量旋转90°到向量的位置，这两个向量有何关系？这两个向量的坐标之间有什么特殊联系？这种联系有什么作用？
导思：探究方法：画图，结合图形观察，通过归纳、猜想、证明得到它们之间的关系.
探究：如图2-6-5所示，在单位圆中，设=(a1,a2)，=(x,y)，
图2-6-5
∵⊥，且||=||=1，
∴有
整理得或
即当按逆时针方向旋转90°时，=(-a2,a1)，当按顺时针方向旋转90°时，=(a2,-a1).也就是把原向量的横、纵坐标交换，并在其中一个前添加负号.这一结论可以证明三角函数的诱导公式.
例如：求证：cos(α+90°)=-sinα,sin(α+90°)=cosα.
证明：设α的终边与单位圆交于点A，
则A(cosα,sinα)，所以=(cosα,sinα).
∴||=1，即是单位向量.
当按逆时针方向旋转90°后到，
则点B(cos(α+90°),sin(α+90°))，
由结论可得B(-sinα,cosα).
∴(cos(α+90°),sin(α+90°))=(-sinα,cosα).
∴cos(α+90°)=-sinα，
sin(α+90°)=cosα.2.4
平面向量的坐标
典题精讲
例1(全国高考卷Ⅲ，理14)已知向量=（k,12),=(4,5),=(-k,10)，且A、B、C三点共线，则k=______________.
思路解析：由于A、B、C三点共线，则∥,又=(4,5)-(k,12)=(4-k,-7)，=(4,5)-(-k,10)=(4+k,-5),所以有(4-k)(-5)-(4+k)(-7)=0，解得k=-.
答案：-
绿色通道：向量共线的几何表示与坐标表示形式不同但实质一样，在解决具体问题时要注意选择使用；三点共线问题通常化归为向量共线问题来解决.
变式训练1(浙江高考卷，文4)已知向量a=（3，4），b=(sinα,cosα)，且a∥b，则tanα的值为（
）
A.
B.-
C.
D.-
思路解析：根据两个向量平行的坐标表示，转化为同角三角函数之间的关系.因为a∥b，且a=（3，4），b=（sinα,cosα)，所以3cosα-4sinα=0，则有3cosα=4sinα，显然cosα≠0.于是tanα==.
答案：A
变式训练2(全国高考卷Ⅱ，文1)已知向量a=（4，2），向量b=(x,3)，且a∥b，则x的值为（
）
A.9
B.6
C.5
D.3
思路解析：由题意，得12－2x=0，解得x=6.
答案：B
例2（经典回放）若向量a=（1，1），b=（1，-1），c=（-1，2），则c等于（
）
A.-a+b
B.a-b
C.-a-b
D.-a+b
思路解析：由于条件中只给出a、b、c的坐标，故可考虑从“数”的角度出发用a、b表示c.又a、b不共线，则一定存在实数x、y，使c=xa+yb，然后用向量坐标建立x、y的方程组.
设c=xa+yb，即（-1，2）=（x，x）+（y，-y）=（x+y，x-y）.
∴解得
答案：B
绿色通道：向量通过坐标形式可转化为数的范围内的运算，故可与代数中的方程、不等式、函数等知识产生联系.本题的解答中运用了待定系数法，渗透了方程思想.之所以能用待定系数法是因为有平面向量基本定理作保障.
变式训练1已知点A、B的坐标分别为（2，-2）、（4，3），向量p=（2k－1，7），且p∥，则k的值是（
）
A.
B.
C.-
D.
思路解析：∵A（2，－2），B（4，3），∴=（2，5）.又p∥，∴14-5（2k-1）=0，即k=.
答案：B
变式训练2已知四边形ABCD是平行四边形，其顶点A、B、C的坐标分别是A（-2，1）、B（-1，3）、C（3，4），求D点的坐标.
思路分析：欲求D点坐标可设出D点坐标，然后建立关于坐标的方程组.
解：设D点坐标为（x，y），由题意，可知=（1，2），=（3-x，4-y）.
∵四边形为平行四边形，
∴=，即
即D点坐标为（2，2）.
问题探究
问题已知平面直角坐标系内两定点A、B，点P是线段所在直线上某一点，试用向量法探索点P的坐标.
导思：线段的两个端点和其上的一个点共线，由此转化为向量共线的问题.
探究：在数学上，我们把分线段成两部分的点称为定比分点，当=λ时，称点P分有向线段的比为λ.
∴+λ=0，
∴(-)+λ(-)=0，
∴=.
如图2-4-1所示，如果在直角坐标系中，设O为坐标原点，P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)
图2-4-1
因为=λ，所以+λ=0.
于是有(-)+λ(-)=0,
即(1+λ)
=+λ.
所以=.
则有(x,y)=,
即
所以P点的坐标为(,)，
此公式就叫做线段的定比分点的坐标公式.特别是当λ=1即点P是线段的中点时，点P的坐标为(,)，此坐标又称为线段的中点坐标公式.下面探讨其应用.
例1：设△ABC的重心（三条中线的交点）为G，并且A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),求G的坐标.
思路分析：求出BC中点坐标，再用定比分点的坐标公式得G的坐标.
解：设点G(x,y)，BC的中点为D，
由题意得,则
即
∴G的坐标是().
上面的结论称为三角形重心坐标公式.可以作为结论直接应用.
例2：已知M（2，7）和A（6，3），若点P在直线上，且=，求点P的坐标.
思路分析：有三种思路：利用定比分点的坐标公式，利用线段的长度关系，待定系数法.
解法一（利用定比分点的坐标公式）：
设P（x,y)，由定比分点坐标公式得
x=,
y=.
即P(3,6).
解法二（利用两点间的距离公式）：
设P(x,y)，
由题意，得||=4||,||=||.
则有
解方程组得即P(3,6).
解法三：设P(x,y)，则=(2-x,7-y),=(x-6,y-3).
∵=，
∴(2-x,7-y)=(x-6,y-3).
∴
解方程组，得x=3,y=6，
即P(3,6).
通过上面三种解法可见，利用定比分点的坐标公式解决有关的线段问题，非常方便、快捷，应引起我们重视.2.3
从速度的倍数到数乘向量
典题精讲
例1(安徽高考卷，理14)在ABCD中，=a，=b，=3,M为的中点，则=___________________.（用a,b表示）
思路解析：把向量放在△AMN中，利用三角形法则转化为向量a,b的线性表示.如图2-3-4所示，由=3，得=，
图2-3-4
∴=(a＋b）.在△ABM中，=a＋b，则=-=
(a＋b)-(a＋b)=
a＋b.
答案：a＋b
绿色通道：用已知向量（通常是向量基底）表示其他向量时，尽量把未知向量放入相关的三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则来解决.要培养画图意识，自觉应用数形结合的思想方法找到解题思路.
变式训练1如图2-3-5所示，ABCD的两条对角线交于点M，且=a，=b，用a，b表示，，和.
图2-3-5
思路分析：把,,和放入三角形中，利用三角形法则或平行四边形法则来解决.
解：在ABCD中，∵=+=a+b,
=-=a-b,
∴=-=-(a+b)=-a-b，
==（a-b)=a-b,
==a+b，
=-=-a+b.
变式训练2如图2-3-6，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知=c，=d，试用c,d表示和.
图2-3-6
思路分析：本题可将c,d看作基底，即用基底表示和.
解：设=a，=b，则由M、N分别为DC、BC的中点可得
=b，=a.
从△ABN和△ADM中可得，
解得
即=（2d-c)，=（2c-d).
例2如果向量=i-2j,=i+mj,其中向量i、j不共线，试确定实数m的值，使A、B、C三点共线.
思路分析：向量、有一个公共点，如果它们共线，那么一个向量可以用另一个向量线性表示.
解：∵A、B、C三点共线，即、共线，
∴存在实数λ使得=λ,即i-2j=λ(i+mj).
∴i-2j=λi+λmj.
于是解得m=-2，
即m=-2时，A、B、C三点共线.
绿色通道：三点共线问题通常化归为向量共线问题来解决.
变式训练1(2005山东高考卷，理7)已知向量a、b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是（
）
A.A、B、D
B.A、B、C
C.B、C、D
D.A、C、D
思路解析：=+=++=（a+2b）+(-5a+6b)+(7a-2b)=3a+6b=3,
∴A、B、D三点共线.
答案：A
变式训练2已知两个非零向量e1和e2不共线，且ke1+e2和e1+ke2共线，求实数k的值.
思路分析：因为ke1+e2和e1+ke2共线，所以一定存在实数λ,使得ke1+e2=λ(e1+ke2).
解：∵ke1+e2和e1+ke2共线，
∴存在实数λ，使得ke1+e2=λ(e1+ke2).
∴(k-λ)e1=(λk-1)e2.
∵e1和e2不共线，
∴
∴k=±1.
问题探究
问题1点O是平面上一定点，Ａ、Ｂ、Ｃ是平面上不共线的三点，动点Ｐ满足=+λ(),λ∈［0,+∞).试探求点P的轨迹是否一定过定点？若过定点，定点是什么点？
导思：思路一画图并结合向量加法的几何意义；思路二转化为向量共线来探求.
探究：∵=+λ()，
∴-=λ().
∴=λ().
设=,=，
如图2-3-7所示，
图2-3-7
则与共线且同向，与共线且同向；和均是单位向量.
设＋=，则四边形ADGE是菱形，=λ.
∴点G在∠BAC的平分线上.
又∵λ∈［0,+∞)，
∴点P在射线AG上.
∴点P的轨迹是∠BAC的平分线上，一定过△ABC的内心.2.2
从位移的合成到向量的加法
典题精讲
例1下面给出了四个式子：
①++；②+++；③-+-；④.
其中值为0的是（
）
A.①②
B.①③
C.①③④
D.①②③
思路解析：++=+=0；+++=(+)+(+)=
+=;
-+-=+=0；==0.
答案：C
绿色通道：(1)解决向量的加减法的有关问题时，要结合几何图形的特征，善于应用+=和-=解决.
(2)化简含有向量的关系式一般有两种方法：①利用几何方法通过作图实现化简；②利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量.
变式训练如图2-2-4，已知四边形ABCD是梯形，AB∥CD，E、F、G、H分别是AD、BC、AB与CD的中点，则等于（
）
图2-2-4
A.+
B.+
C.
D.
思路解析：连结交于点M，则有==+=.
答案：C
例2用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.
思路分析：要证四边形是平行四边形，只需证一组对边平行且相等.根据向量相等的意义，只需证其一组对边对应向量相等即可.此问题是纯文字叙述的问题，首先应转化为符号语言描述.
答案:已知：如图2-2-5所示，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O，且AO=OC,DO=OB.
图2-2-5
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：根据向量加法的三角形法则，有=+,
=+.
又∵=，=,
∴+=+.∴=.
∴∥，=,
即AB与DC平行且相等.∴四边形ABCD是平行四边形.
绿色通道：用向量法解决应用问题的步骤为：（1）将应用问题中的量抽象成向量；（2）化归为向量问题，进行向量运算；(3)将向量问题还原为应用问题.
变式训练一艘船以5
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船的实际速度.
思路分析：可以用向量表示速度，然后用向量加法合成速度即可.
解：如图2-2-6，设表示水流速度，表示船垂直于对岸方向行驶的速度，表示船的实际速度，
图2-2-6
则∠AOC=30°，||=5
km/h.
∵四边形OACB为矩形，
∴||=，
||=,
即水流速度是km/h，船的实际速度为10
km/h.
问题探究
问题1已知向量a、b，试探索|a+b|与|a|+|b|的大小.
导思：利用向量加法的几何意义来分析.因为向量包含长度和方向，所以在比较向量长度的大小时，要考虑其方向.
探究：（1）当a、b至少有一个为零向量时，有a+b=0+a或a+b=0+b，
∴|a+b|=|0+a|=|a|+|b|或|a+b|=|0+b|=|a|+|b|.
∴|a+b|=|a|+|b|.
（2）当a、b均为非零向量时，作=a,=b,则a+b=.
图2-2-7
若a、b不共线，如图2-2-7所示，
则点O、A、B不共线，则点O、A、B构成△OAB.
由三角形任意两边之和大于第三边得||+||＞||.
即|a+b|＜|a|+|b|.
若a、b同向共线时，如图2-2-8所示，
图2-2-8
则点O、A、B共线.此时||+||=||,即|a+b|=|a|+|b|.
当a、b异向共线时，如图2-2-9所示,
图2-2-9
则点O、A、B共线.
此时如图2-2-9（甲）所示，有||=||+||，则|a|=|a+b|+|b|.
如图2-2-9（乙）所示，有||+||=||，则|a|+|a+b|=|b|.
∴|a+b|＜|a|+|b|.
综上所得,|a+b|≤|a|＋|b|.
由本题还可得结论：|a+b|≥||a|－|b||.
∴对于向量a、b，有如下结论：
||a|－|b||≤|a+b|≤|a|＋|b|.
下面看此结论的应用.
例如：已知|a|=8，|b|=12，则|a+b|的最大值是__________，最小值是__________.
思路分析：由题意，得|12－8|≤|a+b|≤12＋8，4≤|a+b|≤20.
答案：20
42.7
向量应用举例
典题精讲
例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.
思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.
答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：
||2＋||2=2||2＋2||2.
证法一：如图2-7-1所示，设=a,
=b，
∴=＋=a＋b，=-=b-a.
图2-7-1
∴||2=（a+b）2=a2+2a·b+b2，
||2=（b-a）2=a2-2a·b＋b2.
∴||2＋||2=2a2+2b2.
又∵2||2＋2||2=2||2＋2||2=2a2+2b2，
∴||2＋||2=2||2＋2||2,
即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.
证法二：如图2-7-2所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.
设A（0，0）、D（a，b）、B（c，0），
∴=＋
图2-7-2
=＋=（c,0）+(a，b)=(a+c,b)，
=-
=-=(a,b)-(c,0)=(a-c,b).
∴||2=（c+a）2+b2，
||2=（a-c）2+b2.
∴||2＋||2=2a2+2c2+2b2.
又∵2||2＋2||2=2||2＋2||2=2a2+2c2+2b2，
∴||2＋||2=2||2＋2||2，
即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.
绿色通道：
1.向量法解决几何问题的步骤：
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种），研究几何元素之间的关系；
③把运算结果“翻译”成几何关系.
这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜（建算译）.
2.平面几何经常涉及距离、夹角的问题.而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模及向量的夹角.因此,我们可以用向量方法解答几何问题.在具体问题中,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素,然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等几何元素之间的关系,最后将结论转化为几何问题.
变式训练
如图2-7-3所示，AC、BD是梯形ABCD的对角线，BC＞AD，E、F分别为BD、AC的中点.试用向量证明：EF∥BC.
图2-7-3
思路分析：证明EF∥BC，转化为证明EF∥BC，选择向量基底或建立坐标系均可解决.
证法一（基向量法）：设=a，=b，则有=-=b-a.
∵∥，
∴存在实数λ＞1使=λ=λb.
∵E为BD的中点，
∴==
(b-a）.
∵F为AC的中点，
∴=+=+=+(-）=(+）=(-）=
(λb-a）.
∴=-=
(λb-a）-
(b-a）=（λ-）b.
∴=［（λ-）·］.
∴∥.
EF∥BC.
证法二(坐标法)：如图2-7-4所示，以为x轴，以B为原点建立平面直角坐标系.则B(0,0)，设A（a,b）,D(c,b),C(d,0).
图2-7-4
∴E()，F().
∴=()-()=()，=(d,0).
∵×0-d×0=0.
∴∥.
∴EF∥BC.
例2如图2-7-5，一艘船从A点出发以km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2
km/h，求船的实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）.
图2-7-5
思路分析：船的实际航行速度是船的速度与水流速度的合速度，用平行四边形法则合成即可.
解：如图2-7-5所示，设=a表示船垂直于对岸行驶的速度，=b表示水流的速度，以、为邻边作平行四边形ABCD，则就是船的实际航行速度,即=a+b，
∵|a|=，|b|=2,a·b=0，
∴||2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=16，即||=4.
∵·=（a+b）·b=a·b+b2=4，
∴cos〈,〉=.
又∵0°≤〈,〉≤180°，
∴〈,〉=60°,
即船的实际航行速度的大小为4
km/h，方向与水的流速间的夹角为60°.
绿色通道：
用向量法解决物理问题的步骤：（类似于用向量方法解决平面几何问题的步骤）
①把物理问题中的量用向量来表示；
②将物理问题转化为向量问题，通过向量运算解决数学问题；
③把结果还原为物理问题.
变式训练如图2-7-6所示，用两根绳子把重10
N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW=150°，∠BCW=120°,求A和B处所受力的大小.（忽略绳子的质量）
思路分析：由于力和重量都是向量，求A和B处所受力的大小转化为求向量的模||和||.A和B处所受力的合力是10
N，即物体W的重量，用平行四边形法则解决.
图2-7-6
解：由题意，得四边形CEWF是矩形，
则有+=,⊥|，|=10,∠FCW=60°.
∴·=0，
∴||2=（+）2=||2+2·+||2.
∴||2+||2=100.①
又∵·=0，〈，〉=60°，
∴·=·（+）=+·=.
∴cos〈，〉==.
∴||=||=5,|
|=,
即A和B处所受力分别是N和5
N.
例3（2006湖南高三百校第二次考试卷，文9）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ(+),λ∈［0，+∞),则P的轨迹一定通过△A的（
）
A.外心
B.垂心
C.内心
D.重心
思路解析：=+λ(+)可以化为=λ(+).所以∥（+）.又+所在直线平分.所以所在直线也平分.所以P的轨迹一定通过△ABC的重心.
答案：D
绿色通道：判断图形的特点，主要从已知出发，利用向量运算的几何意义或由已知向量的关系判断出线线的位置关系或等量关系，从而对图形的特殊性作出判断.要作出准确判断，还要结合几何图形即数形结合.另外还要掌握三角形和特殊四边形的性质，例如三角形的四心（内心、外心、重心、垂心）的定义和性质，四边相等的四边形是菱形，对角线相等且相互平分的四边形是矩形等.
变式训练1在四边形ABCD中,·=0,且=,则四边形ABCD是（
）
A.梯形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
思路解析：由·=0，得AB⊥BC,又=,
∴与平行且相等.从而四边形ABCD是矩形.
答案：C
变式训练2（2005全国高考卷Ⅰ，文12）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·=·=·，则点O是△ABC的（
）
A.三个内角的角平分线的交点
B.三条边的垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
思路解析：由·=·，得·-·=0.∴·（-）=0，即·=0,∴⊥.同理可证⊥,⊥.∴OB⊥CA,OA⊥CB,OC⊥AB.
答案：D
问题探究
问题1一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起，结果造成小孩胳臂受伤，试一试你能用向量知识加以解释吗？
导思：这是日常生活中司空见惯的事情，解决这个题目的关键是首先建立数学模型，然后根据数学知识来解决，针对小孩的两条胳膊画出受力图形，然后通过胳膊受力分析，建立数学模型：
|F1|=,θ∈［0,π］来确定何种情景时，小孩的胳膊容易受伤.
图2-7-7
探究：设小孩的体重为G，两胳膊受力分别为F1，F2，且F1=F2，两胳膊的夹角为θ,胳膊受力分析如图2-7-7（不计其他因素产生的力），不难建立向量模型：|F1|=，θ∈［0,π］，当θ=0时|F1|=；当θ=时，|F1|=|G|；又∈(0,)时，|F1|单调递增，故当θ∈(0,
)时，F1∈(,|G|),当θ∈（，π）时，|F1|＞|G|.此时，悬空拎起小孩容易造成小孩受伤.2.1
从位移、速度、力到向量
典题精讲
例1下列说法正确的是（
）
A.∥就是的基线平行于的基线
B.长度相等的向量叫相等向量
C.零向量长度等于0
D.共线向量是在同一条直线上的向量
思路解析：∥包含的基线与的基线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同,故B错；按定义，零向量长度等于0，故C正确；共线向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错.
答案：C
绿色通道：熟知向量的基本概念，弄清向量基本概念之间的区别与联系是解决向量概念辨析题的基础.
变式训练下列命题正确的是（
）
A.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
思路解析：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确；假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，这与a与b不共线矛盾，所以有a与b都是非零向量，选C.
答案：C
例2如图2-1-1，四边形ABCD与ABEC都是平行四边形.
图2-1-1
（1）用有向线段表示与向量相等的向量；
（2）用有向线段表示与向量共线的向量.
思路分析：寻找相等向量和共线向量可以从大小和方向两个方面来考虑.
答案：（1）与向量相等的向量是，.
（2）与向量共线的向量是，，，，，.
绿色通道：用有向线段表示向量是数形结合思想的具体运用，利用图形的直观性，向量之间的关系(共线向量、相等向量等)可通过图形的几何特征得到.
变式训练某人从A点出发向西走了200
m到达B点，然后改变方向向西偏北60°走了450
m到达C点，最后又改变方向向东走了200
m到达D点.
（1）作出向量、、
(用1
cm表示100
m)；
（2）求||.
解：（1）作出向量、、
(如图2-1-2).
图2-1-2
（2）∵||=||，且与方向相同，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴||=||=450
m.
问题探究
问题1（1）在正方形ABCD中，和相等吗？
（2）在平行四边形ABCD中，和相等吗？
（3）在梯形ABCD中，∥，那么和相等吗？
（4）在四边形ABCD中，和相等吗？
（5）当=时，试探索四边形ABCD有什么特殊性？
导思：从两个向量相等的定义上来分析.
探究：（1）在正方形ABCD中，和的方向相同，长度相等，故=；
（2）在平行四边形ABCD中，和的方向相同，长度相等，故=；
（3）在梯形ABCD中，∥，则∥且方向相同，但是||≠||，故和不相等；
（4）在四边形ABCD中，和的方向不一定相同，长度也不一定相等，故和不一定相等；
（5）如图2-1-3所示，在四边形ABCD中，=，
图2-1-3
则有和方向相同且长度相等，
∴AB∥DC，并且AB=DC.
∴四边形ABCD是平行四边形，
即当=时，四边形ABCD是平行四边形.
