第三章
空间向量与立体几何
3.1
空间向量及其运算
3.1.4
空间向量的正交分角及其坐标表示
A级 基础巩固
一、选择题
1．设向量a，b，c不共面，则下列可作为空间的一个基底的是( )
A．{a＋b，b－a，a}
B．{a＋b，b－a，b}
C．{a＋b，b－a，c}
D．{a＋b＋c，a＋b，c}
解析：由已知及向量共面定理，易知a＋b，b－a，c不共面，故可作为空间的一个基底．
答案：C
2．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标是(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，
c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(12，14，10)
B．(10，12，14)
C．(14，12，10)
D．(4，3，2)
解析：＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k.
答案：A
3．设命题p：a，b，c是三个非零向量，命题q：{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当三个非零向量a，b，c共面时，a，b，c不能构成空间的一个基底，但是当{a，b，c}为空间的一个基底时，必有a，b，c都是非零向量，因此p /
q，而q p，故命题p是命题q的必要不充分条件．
答案：B
3．设命题p：a，b，c是三个非零向量，命题q：{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当三个非零向量a，b，c共面时，a，b，c不能构成空间的一个基底，但是当{a，b，c}为空间的一个基底时，必有a，b，c都是非零向量，因此p /
q，而q p，故命题p是命题q的必要不充分条件．
答案：B
4.如图，在四面体O-ABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则＝( )
A.a－b＋c
B．－a＋b＋c
C.a＋b－c
D.a＋b－c
解析：连接ON，＝－＝(＋)－＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.
答案：B
二、填空题
6．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，则向量a，b的坐标分别为________．
解析：a，b的坐标即为i，j，k前面的系数，故a的坐标为(2，－4，5)，b的坐标为(1，2，－3)．
答案：(2，－4，5)，(1，2，－3)
7．已知A，B，C，D，E是空间五点，若，，与，，均不能构成空间的一个基底，则有下列结论：
①，，不能构成空间的一个基底；
②，，不能构成空间的一个基底；
③，，不能构成空间的一个基底；
④，，能构成空间的一个基底．
其中正确的有________个．
解析：由题意，知空间五点A，B，C，D，E共面，故①②③正确，④错误．
答案：3
8.三棱锥P-ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC中点，以{，，}为基底，则的坐标为________．
解析：如图所示，建立空间直角坐标系．
＝(1，0，0)，＝(0，0，1)，
＝(0，1，0)．
＝－＝(＋)－(＋)＝－，
即＝.
答案：
三、解答题
9．在空间直角坐标系中，给定点M(1，－2，
3)，求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标．
解：M(1，－2，3)关于坐标平面xOy，xOz，yOz对称的点的坐标分别为(1，－2，－3)，(1，2，3)，(－1，－2，3)；M(1，－2，3)关于x轴、y轴、z轴对称的点的坐标分别为(1，2，－3)，(－1，－2，－3)，(－1，2，3)；M(1，－2，3)关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，2，－3)．
10．如图所示，在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，用基底{a，b，
c}表示以下向量：
(1)；
(2)；
(3).
解：连接AC，AD′.
(1)
＝(＋′)＝(＋＋)＝(a＋b＋c.)
(2)＝(＋)＝(＋2＋AA′)＝(a＋2b＋c)．
(3)＝(＋)＝[(＋＋)＋(＋)]＝(＋2＋2)＝a＋b＋c.
B级 能力提升
1．若向量，，的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量，，成为空间一组基底的关系是( )
A.＝＋＋
B.＝＋
C.＝＋＋
D.＝2－
答案：C
2．设a，b，c是三个不共面的向量，现在从①a＋b；②a－b；③a＋c；④b＋c；⑤a＋b＋c中选出使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为________(填序号)．
解析：构成基底只要三向量不共面即可，这里只要含有向量c即可，故③④⑤都是可以选择的．
答案：③④⑤ (不唯一，也可以有其他的选择)
3.如图所示，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝1，OB＝2，OC＝3，E，F分别为AC，BC的中点，建立以，，方向上的单位向量为正交基底的空间坐标系O-xyz，求EF中点P的坐标．
解：令Ox，Oy，Oz轴方向上的单位向量分别为i，j，k.因为＝＋＝(＋)＋＝(＋)＋×＝(＋)＋(－)＝＋＋＝i＋×2j＋×3k＝i＋j＋k.
所以P点的坐标为.
PAGE第二章
圆锥曲线与方程
2.2
椭圆
2.2.1
椭圆及其标准方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．若F1，F2是两个定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
解析：因为|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，所以点M的轨迹是线段F1F2.
答案：D
2．已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于( )
A．4
B．5
C．7
D．8
解析：焦距为4，则m－2－(10－m)＝2，所以m＝8.
答案：D
3．在△ABC中，若B，C的坐标分别是(－2，0)、(2，0)，中线AD的长度是3，则A点的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝3
B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝9(y≠0)
D．x2＋y2＝9(x≠0)
解析：易知BC中点D即为原点O，所以|OA|＝3，所以点A的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆，又因为在△ABC中，A，B，C三点不共线，所以y≠0.
答案：C
4．在△ABC中，A(－4，0)，B(4，0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0)
D.＋＝1(y≠0)
答案：D
5．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．a＞3
B．a＞3或a＜－2
C．a＜－2
D．a＞3或－6＜a＜－2
解析：由于椭圆焦点在x轴上，
所以即 a＞3或－6＜a＜－2.
答案：D
二、填空题
6．已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两焦点F1，F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________．
解析：由椭圆定义及标准方程知|PF1|＋|PF2|＝14.
且|PF1|2＋|PF2|2＝100，
联立可得|PF1|·|PF2|＝48.
答案：48
7．已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两焦点F1，F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________．
解析：由椭圆定义及标准方程知|PF1|＋|PF2|＝14.
且|PF1|2＋|PF2|2＝100，
联立可得|PF1|·|PF2|＝48.
答案：48
8．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________．
解析：由题意知，|AC|＝8，|AB|＋|BC|＝10.
所以＝＝＝.
答案：
三、解答题
9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；
(2)焦距是10，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
解：(1)由焦距是4可得c＝2且焦点坐标为(0，－2)，(0，2)．
由椭圆的定义知2a＝＋＝8，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.
又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知2c＝10，2a＝26，所以c＝5，a＝13，
所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点所在的坐标轴不确定，
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
10．一个动圆与已知圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．
解：两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3，0)，r1＝1；Q2(3，0)，r2＝9.
设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，如图所示，
由题意有|MQ1|＝1＋R，|MQ2|＝9－R，
所以|MQ1|＋|MQ2|＝10＞|Q1Q2|＝6.
由椭圆的定义可知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3，所以b2＝a2－c2＝25－9＝16.
故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.
B级 能力提升
1．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2＝2∶1，则△F1PF2的面积等于( )
A．5
B．4
C．3
D．1
答案：B
2．a∈，若方程x2sin
α＋y2cos
α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是________．
解析：方程x2sin
α＋y2cos
α＝1可化为
＋＝1.
因为椭圆的焦点在y轴上，所以＞＞0.
又因为α∈，所以sin
α＞cos
α＞0，所以＜α＜.
答案：
3．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上任意一点．
(1)若∠F1PF2＝，求△PF1F2的面积；
(2)求|PF1|·|PF2|的最大值．
解：(1)由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝20，①
在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，即122＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|.②
①2－②，并整理，得|PF1|·|PF2|＝.
所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|·sin＝.
(2)由＋＝1可知，a＝10，c＝6.
所以|PF1|＋|PF2|＝20，
所以|PF1|·|PF2|≤＝100.当且仅当|PF1|＝|PF2|＝10时，等号成立．
所以|PF1|·|PF2|的最大值是100.
PAGE第三章
空间向量与立体几何
3.1
空间向量及其运算
3.1.2
空间向量的数乘运算
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列命题中正确的是( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线．
B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面．
C．零向量没有确定的方向．
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
答案：C
2．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，设a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则( )
A．a∥e1
B．a∥e2
C．a与e1、e2共面
D．以上三种情况皆有可能
答案：C
3．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则( )
A．m，n，p共线
B．m与p共线
C．n与p共线
D．m，n，p共面
解析：由于(a＋b)＋(a－b)＝2a，即m＋n＝2p，
即p＝m＋n，又m与n不共线，所以m，n，p共面．
答案：D
4．下列命题中，不正确的命题个数为( )
①＋＋＋＝0；
②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；
③若a、b共面，则a、b所在的直线在同一平面内；
④若＝＋，则P、A、B三点共线．
A．1
B．2 C．3
D．4
答案：C
5.已知空间四边形OABC，其对角线为OB和AC，M，N分别是边OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使MG＝2GN，用向量，，表示向量是( )
A.＝＋＋
B.＝＋＋
C.＝＋＋
D.＝＋＋
解析：因为MG＝2GN，M，N分别是边OA，CB的中点，
所以＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋＋(－)＝＋＋.
答案：A
二、填空题
6．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则A、B、C、D中一定共线的三点是________．
解析：
＝＋＝2a＋4b＝2
所以A、B、D三点共线．
答案：A、B、D
7．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则A，B，C，D中一定共线的三点是________．
解析：＝＋＝2a＋4b＝2
所以A、B、D三点共线．
答案：A、B、D
8．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由＝＋＋λ确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________．
解析：由P与A，B，C三点共面，所以＋＋λ＝1，解得λ＝.
答案：
三、解答题
9．已知M，G分别是空间四边形ABCD的两边BC，CD的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋(＋)；
(3)－(＋)．
解：(1)如图所示，＋＋＝＋＝.
(2)取BD的中点H，连接MG，GH.
因为M，G分别为BC，CD的中点，
所以BMGH为平行四边形，
所以(＋)＝＋＝，
从而＋(＋)＝＋＝.
(3)分别取AB，AC的中点S，N，
连接SM，AM，MN，
则ASMN为平行四边形，
所以(＋)＝＋＝，
所以－(＋)＝－＝.
10.如图，已知E，F，
G，H分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．用向量法证明E，F，G，H四点共面．
证明：如图，连接BG，EG，
则＝，＝，＝
(＋)，
所以＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋.
所以E，F，G，H四点共面．
B级 能力提升
1．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x的值为( )
A．1
B．0
C．3
D.
答案：D
2．如图所示，在四面体O ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．
解析：＝＋＝a＋＝a＋(－)＝a＋＝a＋×(＋)＝a＋b＋c.
答案：a＋b＋c
3．如图所示，四边形ABCD和四边形ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断与是否共线．
解：因为M、N分别是AC、BF的中点，而四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，
所以＝＋＋＝＋＋.
又因为＝＋＋＋＝－＋－－，
所以＋＋＝－＋－－.
所以＝＋2＋＝2(＋＋)．
所以＝2.所以∥，即与共线．
PAGE第三章
空间向量与立体几何
3.2
立体几何中的向量方法
第2课时
空间向量与垂直关系
A级 基础巩固
一、选择题
1．若直线l的方向向量a＝(1，0，2)，平面α的法向量为u＝(－2，0，－4)，则( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．l α
D．l与α斜交
解析：所以u＝－2a，所以a∥u，所以l⊥α.
答案：B
2．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是( )
A.·＝0
B.·＝0
C.·＝0
D.·＝0
解析：因为PA⊥平面ABCD，
所以BD⊥PA.
又AC⊥BD，所以BD⊥平面PAC，
所以PC⊥BD.
故选项B正确，选项A和D显然成立，
故选C.
答案：
C
3．若平面α、β的法向量分别为a＝(－1，2，4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为( )
A．10
B．－10
C.
D．－
解析：因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，
所以a·b＝(－1，2，4)×(x，－1，－2)＝0，
解得x＝－10.
答案：B
4．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则( )
A．l∥α
B．l α
C．l⊥α
D．l α或l∥α
解析：因为a·b＝0，
所以a⊥b，故选D.
答案：D
5．已知A(3，0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2，4，－2)，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
解析：＝(－3，－2，－5)，＝(－1，4，－1)，则·＝－3×(－1)－2×4＋5＝0.所以⊥，故△ABC为直角三角形．又||≠||，故选C.
答案：C
二、填空题
6．若l的方向向量为(2，1，m)，平面α的法向量为，且l⊥α，则m＝________．
解析：由l⊥α得，＝＝，即m＝4.
答案：4
7．平面α，β的法向量分别为(－1，2，4)，(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为________．
解析：因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直，
则有－x－2－8＝0，所以x＝－10.
答案：－10
8．在直角坐标系O-xyz中，已知点P(2cos
x＋1，2cos
2x＋2，0)和点Q(cos
x，－1，3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．
解析：由OP⊥OQ，得·＝0，
即(2cos
x＋1)·cos
x＋(2cos
2x＋2)·(－1)＝0.
所以cos
x＝0或cos
x＝.因为x∈[0，π]，所以x＝或.
答案：或
三、解答题
9．在正方体ABCD A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：OB1⊥平面PAC.
证明：如图，建立空间直角坐标系，不妨设正方体棱长为2，则A(2，0，0)，P(0，0，1)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，O(1，1，0)．
于是＝(1，1，2)，＝(－2，2，0)，＝(－2，0，1)，
由于·＝－2＋2＋0＝0
及·＝－2＋0＋2＝0.
所以⊥，⊥，
所以OB1⊥AC，OB1⊥AP.
又AC∩AP＝A，所以OB1⊥平面PAC.
10．三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，
AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC中点．
证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
证明：法一：如图，建立空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，)，C1(0，1，)，
因为D为BC的中点，
所以D点坐标为(1，1，0)，
所以＝(－2，2，0)，
＝(1，1，0)，＝(0，0，)，
因为·＝－2＋2＋0＝0，·＝0＋0＋0＝0，
所以⊥，⊥，所以BC⊥AD，BC⊥AA1，
又AD∩AA1＝A，所以BC⊥平面ADA1，
而BC 平面BCC1B1，
所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.
法二：同法一，得
＝(0，0，)，＝(1，1，0)，
＝(－2，2，0)，＝(0，－1，)，
设平面A1AD的法向量n1＝(x1，y1，z1)，
平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
由得
令y1＝－1得x1＝1，z1＝0，
所以n1＝(1，－1，0)．
由解
令y2＝1，得x2＝1，
z2＝，
所以n2＝.
所以n1·n2＝1－1＋0＝0，所以n1⊥n2.
所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.
B级 能力提升
1．在正方体ABCD A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC
B．BD
C．A1D
D．A1A
答案：B
2．已知点A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，1)，(2，1，1)，点P的坐标为(x，0，z)，若⊥，⊥，则点P的坐标为________．
解析：因为＝(－1，－1，1)，
＝(2，0，1)，＝(－x，1，－z)，
由·＝0，·＝0，得
则x＝，z＝－，所以P.
答案：
3.在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE.
解：如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，P(0，1，a)，则A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，
E，C1(0，1，1)，
＝(0，1，0)，＝(－1，1，a－1)，
＝，＝(0，1，1)．
设平面A1B1P的一个法向量为
n1＝(x1，y1，z1)，
则
所以x1＝(a－1)
z1，y1＝0.
令z1＝1，得x1＝a－1，
所以n1＝(a－1，0，1)．
设平面C1DE的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则
令y2＝1，得x2＝－2，z2＝－1，
所以n2＝(－2，1，－1)．
因为平面A1B1P⊥平面C1DE，
所以n1·n2＝0，即－2(a－1)－1＝0，得a＝.
所以当P为CC1的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE.
PAGE第一章
常用逻辑用语
1.3
简单的逻辑联结词
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知命题p：3≥3，q：3>4，则下列判断正确的是( )
A．
p∨q为真，p∧q
为真，綈p为假
B．p∨q为真，p∧q
为假，綈p为真
C．p∨q为假，p∧q
为假假，綈p为假
D．p∨q为真，p∧q
为假，綈p为假
解析：因为p为真命题，q为假命题，所以p∨q
为真，p∧q为假，綈p为假，应选D。
答案：D
2．已知p，q为两个命题，则“p∨q是假命题”是“綈p为真命题”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：“p∨q”为假，则p与q均是假命题，綈
p为真命题，又因为綈p为真命题，则p为假命题．但若q为真命题，则推不出p∨q是假命题．
答案：A
3．已知p： {0}，q：{1}∈{1，2}．由它们构成的新命题“p∧q”“p∨q”“綈p”中，真命题有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：容易判断命题p： {0}是真命题，命题q：{1}∈{1，2}是假命题，所以p∧q是假命题．p∨q是真命题，綈p是假命题．
答案：A
4．已知命题p：a2＋b2<0(a，b∈R)；命题q：(a－2)
2＋|b－3|≥0(a，b∈R)，下列结论正确的是( )
A．“p∨q”为真
B．“p∧q”为真
C．“綈p”为假
D．“綈q”为真
解析：显然p假q真，故“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真，“綈q”为假．
答案：A
5．命题p：“方程x2＋2x＋a＝0有实数根”；命题q：“函数f(x)＝(a2－a)x是增函数”，若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．a>0
B．a≥0
C．a>1
D．a≥1
解析：命题p：“方程x2＋2x＋a＝0有实数根”的充要条件为Δ＝4－4a≥0，即a≤1，则綈p：a>1；
命题q：“函数f(x)＝(a2－a)x是增函数”的充要条件为a2－a>0，即a<0或a>1，
则綈q：0≤a≤1.
由“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，得p，q一真一假；
若p真q假，则0≤a≤1；若p假q真，则a>1.所以实数a的取值范围是a≥0.
答案：B
二、填空题
6．命题p：方向相同的两个向量共线，q：方向相反的两个向量共线，则命题“p∨q”为________________．
解析：方向相同的两个向量共线或方向相反的两个向量共线，即“方向相同或相反的两个向量共线”．
答案：方向相同或相反的两个向量共线
7．命题“若a＜b，则2a＜2b”的否命题为________________，命题的否定为________________．
解析：命题“若a＜b，则2a＜2b”的否命题为“若a≥b，
则2a≥2b”，命题的否定为“若a＜b，则2a≥2b”．
答案：若a≥b，则2a≥2b 若a＜b，则2a≥2b
8．对于函数：①f(x)＝|x＋2|；②f(x)＝(x－2)2；③f(x)＝cos(x－2)有命题p：f(x＋2)是偶函数；命题q：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．能使p∧q为真命题的所有函数的序号是________．
答案：②
三、解答题
9．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z，若p∧q和綈q都是假命题，求x的取值集合．
解：因为綈q是假命题，所以q为真命题．又p∧q为假命题，所以p为假命题．
因此x2－x<6且x∈Z，解之得－2
所以x的取值集合是{－1，0，1，2}．
10．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：(1)由x2－4ax＋3a2＜0得(x－3a)(x－a)＜0，
又a＞0，所以a＜x＜3a.
当a＝1时，1＜x＜3，即p为真时，实数x的取值范围是1＜x＜3.
由，得2＜x≤3，
则q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3.
若p∧q为真，则p真且q真，
所以实数x的取值范围是2＜x＜3.
(2)綈p是綈q的充分不必要条件，
即綈p 綈q，
且綈q
綈p.
设A＝{x|綈p}，B＝{x|綈q}，则A?B，
又A＝{x|綈p}＝{x|x≤a或x≥3a}，
B＝{x|綈q}＝{x≤2或x＞3}，
则0＜a≤2，且3a＞3，
所以实数a的取值范围是1＜a≤2.
B级 能力提升
1．已知命题：p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数；
p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，
则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，
q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是( )
A．q1，q3
B．q2，q3
C．q1，q4
D．q2，q4
答案：C
2．已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：＞1，若綈q且p为真，则x的取值范围是____________________________________．
解析：因为綈q且p为真，即q假p真，而q为真命题时，＜0，即2＜x＜3，所以q假时有x≥3或x≤2.
p为真命题时，由x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3.
由得x≥3或1＜x≤2或x＜－3.
所以x的取值范围是x≥3或1＜x≤2或x＜－3.
答案：(－∞，－3)∪(1，2]∪[3，＋∞)
3．已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1＞0的解集为R，若“p或q”与“非q”同时为真命题，求实数a的取值范围．
解：命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于
解得a≤－1.
命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1＞0的解集为R，等价于a＝0或即
因为“p或q”与“非q”同时为真命题，即p真且q假，
所以解得a≤－1.
故实数a的取值范围是(－∞，－1]，
由于 解得0＜a＜4，所以0≤a＜4.
PAGE第二章
圆锥曲线与方程
2.1
曲线与方程
2.1.1
曲线与方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列选项中方程与其表示的曲线正确的是( )
解析：对于A，x2＋y2＝1表示一个整圆；对于B，x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝0，表示两条相交直线；对于D，由lg
x＋lg
y＝0知x＞0，y＞0.
答案：C
2．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是( )
A．两个点
B．四个点
C．两条直线
D．四条直线
解析：由已知所以即或或或
答案：B
3．方程x2＋xy＝x表示的曲线是( )
A．一个点
B．一条直线
C．两条直线
D．一个点和一条直线
解析：由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0.
由此知方程x2＋xy＝x表示两条直线．
答案：C
4．方程y＝表示的曲线为图中的( )
A B C D
解析：y＝，x≠0，为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，B.
又因为当x>0时，y＝>0；
当x<0时，y＝－>0，所以排除D.
答案：C
5．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”，以下不是“好曲线”的是( )
A．x＋y＝5
B．x2＋y2＝9
C.＋＝1
D．x2＝16y
解析：因为M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差为8，
所以M的轨迹是以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线的右支，方程为－＝1(x≥4)．
A：直线x＋y＝5过点(5，0)，满足题意；
B：x2＋y2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；
C：＋＝1的右顶点为(5，0)，满足题意；
D：方程代入－＝1，可得y－＝1，即y2－9y＋9＝0，所以y＝3，满足题意．故选B.
答案：B
二、填空题
6．已知点A(a，2)既是曲线y＝mx2上的点，也是直线x－y＝0上的点，则m＝________．
解析：根据点A在曲线y＝mx2上，也在直线x－y＝0上，
则所以
答案：
7．已知A
(0，1)，B(1，0)，则线段AB的垂直平分线的方程是________．
解析：设点M(x，y)是线段AB的垂直平分线上任意一点，也就是点M属于集合P＝{M||MA|＝|MB|}，
由两点间距离公式得＝，化简得，y＝x.
答案：y＝x
8．下列命题正确的是________(填序号)．
①方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线；
②到x轴距离为5的点的轨迹方程是y＝5；
③曲线2x2－3y2－2x＋m＝0通过原点的充要条件是m＝0.
答案：③
三、解答题
9．方程x2(x2－1)＝y2(y2－1)所表示的曲线C.若点M(m，)与点N在曲线C上，求m，n的值．
解：将点M(m，)与点N代入方程
x2(x2－1)＝y2(y2－1)，
得所以m＝±，
n＝±或±.
10．求方程(x＋y－1)＝0所表示的曲线．
解：依题意可得或x－1＝0，
即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1.
综上可知，原方程所表示的曲线是射线x＋y－1＝0(x≥1)和直线x＝1.
B级 能力提升
1．已知定点P(x0，y0)不在直线l：f(x，y)＝0上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示( )
A．过点P且垂直于l的直线
B．过点P且平行于l的直线
C．不过点P但垂直于l的直线
D．不过点P但平行于l的直线
答案：B
2．设平面点集A＝{(x，y)|(y－x)≥0}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为________．
答案：
3．已知P(x0，y0)是曲线f(x，y)＝0和曲线g(x，y)的交点，求证：点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上．
证明：因为P是曲线f(x，y)＝0和曲线g(x，y)＝0的交点，
所以P在曲线f(x，y)＝0上，即f(x0，y0)＝0，且P在曲线g(x，y)＝0上，
即g(x0，y0)＝0，
所以f(x0，y0)＋λg(x0，y0)＝0＋λ·0＝0，
所以点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上．
PAGE第一章
常用逻辑用语
1.1
命题及其关系
1.1.1
命题
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列语句是命题的是( )
①三角形的内角和等于180°；②2>3；③偶数是自然数；④x>2；⑤这座山真险啊！
A．①②③
B．①③④
C．①②⑤
D．②③⑤
解析：①②③是命题，④中x>2无法判断真假，⑤是感叹句，所以④⑤不是命题．
答案：A
2．下列命题中，是真命题的是( )
A．a>b，c>d ac>bd
B．aC.< a>b
D．a>b，cb－d
解析：可以通过举反例的方法说明A，B，C为假命题．
答案：D
3．下列命题中真命题的个数为( )
①若x2＝1，则x＝1；
②若x＝y，则＝；
③若a＞b，则a＋c＞b＋c；
④梯形的对角线一定不垂直．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：只有③正确．
答案：A
4．给出下列命题：
①四个非零实数a，b，c，d满足ad＝bc，则a，b，c，d成等比数列；
②若整数a能被2整除，则a是偶数；
③在△ABC中，若A>30°，则sin
A>.
其中为假命题的序号是( )
A．②
B．①②
C．②③
D．①③
解析：①中，若a＝－1，b＝，c＝2，d＝－5满足ad＝bc，但a，b，c，d不成等比数列，故是假命题；③中，若150°A<，故是假命题．
答案：D
5．下列命题中，是真命题的是( )
A．若a3＋b3＝0，则a2＋b2＝0
B．若a＞b，则ac＞bc
C．若M∩N＝M，则N M
D．若M N，则M∩N＝M
解析：A.取a＝1，b＝－1，推不出a2＋b2＝0，A不成立；B.c≤0时，不成立；C.M∩N＝M M N，C不成立；D成立．
答案：D
二、填空题
6．命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”，写成“若p，则q”的形式为________．
解析：条件是整数的末位数字是4，结论是它一定能被2整除．
答案：若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除
7．已知下列命题：
①面积相等的三角形是全等三角形；
②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
③若a＞b，则ac2＞bc2；
④矩形的对角线互相垂直．
其中假命题的个数是________．
解析：①②③④全为假命题．
答案：4
8．给出下列三个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行．
其中，是真命题的是________(填序号)．
答案：②
三、解答题
9．判断下列命题的真假．
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a≠0)有最大值；
(2)正项等差数列的公差大于零；
(3)函数y＝的图象关于原点对称．
解：(1)假命题．当a＞0时，抛物线开口向上，有最小值．
(2)假命题．反例：若此数列为递减数列，如数列20，17，14，11，8，5，2，它的公差是－3.
(3)真命题．y＝是奇函数，所以其图象关于(0，0)对称．
10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．
(1)乘积为1的两个实数互为倒数；
(2)奇函数的图象关于原点对称；
(3)与同一直线平行的两个平面平行．
解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”，它是真命题．
p：两个实数乘积为1；q：两个实数互为倒数．
(2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．
p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．
(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．
p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．
B级 能力提升
1．已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是( )
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a、b相交，则α、β相交
D．若α、β相交，则a、b相交
解析：易知选项A、B、C都正确，对于D，α、β相交时，a、b一定不平行，但不一定相交，有可能异面，故D为假命题．
答案：D
2．给定下列命题：
①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；
②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；
③对角线相等的四边形是矩形；
④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.
其中真命题的序号是________．
解析：易知①②④正确，对于③，对角线相等且平分时的四边形是矩形，只满足相等不是矩形．故③错误．
答案：①②④
3．判断“函数f(x)＝2x－x2有三个零点”是否为命题．若是命题，是真命题还是假命题？说明理由．
解：这是一个可以判断真假的陈述句，所以是命题，且是真命题．
函数f(x)＝2x－x2的零点即方程2x－x2＝0的实数根，也就是方程2x＝x2的实数根，即函数y＝2x，y＝x2的图象的交点的横坐标，易知指数函数y＝2x的图象与抛物线y＝x2有三个交点，所以函数f(x)＝2x－x2有三个零点．第二章
圆锥曲线与方程
2.4
抛物线
2.4.1
抛物线及其标准方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．抛物线y＝4x2的准线方程为( )
A．x＝－1
B．y＝－1
C．x＝－
D．y＝－
答案：D
2．抛物线y2＝4x的焦点坐标是( )
A．(0，2)
B．(0，1)
C．(2，0)
D．(1，0)
解析：由题意，y2＝4x的焦点坐标为(1，0)．
答案：D
3．经过点(2，4)的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝8x
B．x2＝y
C．y2＝8x或x2＝y
D．无法确定
解析：由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y2＝2px(p>0)或x2＝2p′y(p′>0)，将点(2，4)代入可得p＝4或p′＝，所以所求抛物线的标准方程为y2＝8x或x2＝y.
答案：C
4．过点F(0，3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )
A．y2＝12x
B．y2＝－12x
C．x2＝12y
D．x2＝－12y
解析：由题意，知动圆圆心到点F(0，3)的距离等于到定直线y＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，所以所求的抛物线方程为x2＝12y.
答案：C
5．已知点P是抛物线y2＝4x上一点，设点P到此抛物线准线的距离是d1，到直线x＋2y－12＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是( )
A．5
B．4
C.
D.
答案：C
二、填空题
6．已知抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则抛物线的标准方程为________．
答案：y2＝16x或x2＝－8y
7．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
解析：因为|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，
所以xA＋xB＝.
所以线段AB的中点到y轴的距离为＝.
答案：
8．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为________．
答案：2
三、解答题
9．已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：法一：设动点M(x，y)，设⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，
所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，
所以＝3，所以p＝6.
所以圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
法二：设动点M(x，y)，则点M的轨迹是集合
P＝{M||MA|＝|MN|}，
即＝|x＋3|，化简得y2＝12x.
所以圆心M的轨迹方程为y2＝12x.
10.如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标．
解：如图，作PQ⊥l于Q，由定义知，
抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|＋|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|＋d的最小值的问题．
将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.
因为>2，所以A在抛物线内部．
设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为.即|PA|＋|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.
所以P坐标为(2，2)．
B级 能力提升
1．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝16x
B．y2＝－16x
C．y2＝8x
D．y2＝－8x
答案：A
2．抛物线y＝－x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．
解析：将抛物线方程化成标准方程为
x2＝－4y，
可知焦点坐标为(0，－1)，
因为－3＜－，
所以点E(1，－3)在抛物线的内部，如图所示，设抛物线的准线为l，过M点作MP⊥l于点P，
过点E作EQ⊥l于点Q，由抛物线的定义可知，
|MF|＋|ME|＝|MP|＋|ME|≥|EQ|，
当且仅当点M在EQ上时取等号，
又|EQ|＝1－(－3)＝4，故距离之和的最小值为4.
答案：4
3.一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处．已知接收天线的口径(直径)为4.8
m，深度为0.5
m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点与原点重合．
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，
由已知条件可得，
点A的坐标是(0.5，2.4)，
代入方程，得2.42＝2p×0.5，
所以p＝5.76.
所以所求抛物线的标准方程是y2＝11.52x，
焦点坐标是(2.88，0)
PAGE第二章
圆锥曲线与方程
2.3
双曲线
2.3.2
双曲线的简单几何性质
第1课时
双曲线的简单几何性质
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为( )
A. B. C. D．5
解析：如图所示，点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，当点P与双曲线右支顶点M重合时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝.
答案：C
2．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则椭圆C的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：双曲线C的渐近线方程为－＝0及点P(2，1)在渐近线上，所以－＝0，
即a2＝4b2，①
又a2＋b2＝c2＝25，②
解①②得b2＝5，a2＝20，故选A.
答案：A
3．双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是( )
A．y＝±3x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
解析：令x2－＝0，则y＝±x.
答案：C
4．双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r等于( )
A.
B．2
C．3
D．6
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆心坐标为(3，0)，由题意知圆心到渐近线的距离等于圆的半径r，
即r＝＝＝.
答案：A
5．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为x－2y＝0，则它的离心率为( )
A.
B.
C.
D．2
解析：由题意知，这条渐近线的斜率为，即＝，
而e＝＝
＝＝.
答案：A
二、填空题
6．与双曲线x2－＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是__________________________________________．
解析：依题意设双曲线的方程x2－＝λ(λ≠0)，
将点(2，2)代入求得λ＝3，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
7．双曲线＋＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是________．
解析：双曲线方程可变为－＝1，
则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝，
又因为e∈(1，2)，则1＜＜2，解得－12＜k＜0.
答案：(－12，0)
8．若双曲线中心在原点，焦点在y轴，离心率e＝，则其渐近线方程为_______________________________________________．
答案：y＝±x
三、解答题
9．焦点在x轴上的等轴双曲线的焦点到渐近线的距离是，求此双曲线的标准方程．
解：设双曲线方程为x2－y2＝a2(a＞0)，则它的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为(a，0)，(－a，0)．
所以＝，a＝.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
10．设双曲线－＝1(b>a>0)的半焦距为c，直线l过
(a，0)，(0，
b)两点．已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率．
解：直线l的方程为＋＝1，
即bx＋ay－ab＝0，
于是有＝c，
即4ab＝c2，
两边平方得，16a2b2＝3c4，
所以16a2(c2－a2)＝3c4，
3c4－16a2c2＋16a4＝0，
即3e4－16e2＋16＝0，解得e2＝4或e2＝，
因为b>a>0，所以>1，
e2＝＝1＋>2，故e2＝4，
所以e＝2.
B级 能力提升
1．已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P(1，3)，离心率为的双曲线的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：因为离心率为，
所以e2＝＝＝1＋＝2，即a＝b，
所以双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
又点P(1，3)在双曲线上，则λ＝1－9＝－8，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
答案：D
2．求与双曲线－＝1共渐近线且过A(3，－3)的双曲线的方程_____________________________________________________．
解析：设与－＝1共渐近线且过A(3，－3)的双曲线的方程为－＝λ，则－＝λ，
从而有λ＝，所求双曲线的方程为－＝1.
答案：－＝1
3．设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，求双曲线的离心率．
解：因为AF1⊥AF2，
所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝4c2.①
因为|AF1|＝3|AF2|，
所以点A在双曲线的右支上．
则|AF1|－|AF2|＝2a，
所以|AF2|＝a，|AF1|＝3a，
代入到①式得(3a)2＋a2＝4c2，＝.
所以e＝＝.
PAGE第二章
圆锥曲线与方程
2.3
双曲线
2.3.2
双曲线的简单几何性质
第2课时
双曲线方程及性质的应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知双曲线－＝1的一条渐近线为y＝x，则实数a的值为( )
A. B．2 C. D．4
解析：由题意，得＝，所以a＝4.
答案：D
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则双曲线的离心率等于( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
3．双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A.
B.
C．1
D.
答案：B
4．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )
A．(－，)
B．(－，)
C.
D．[－，]
解析：由题意知，F(4，0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，当过F点的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知应选C.
答案：C
5．若双曲线的一个焦点为(0，－13)，且离心率为，则其标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13.
又＝，
所以a＝5，b＝＝12，
故其标准方程为－＝1.
答案：D
二、填空题
6．已知F是双曲线－＝1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，若A(1，4)，则|PF|＋|PA|的最小值是________．
解析：因为A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′(4，0)，于是由双曲线的定义得|PF|－|PF′|＝2a＝4.
而|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5.两式相加得|PF|＋|PA|≥9，当且仅当A，P，F′三点共线时，等号成立．
由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，易求得最小值为|AF1|＝5，
故所求最小值为9.
答案：9
7．设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线离心率的最大值为________．
解析：依据双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，
又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF1|＋|PF2|＝≥2c，
所以e＝≤，emax＝.
答案：
8．若双曲线E：－y2＝1(a＞0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．则k的取值范围为________．
答案：(1，)
三、解答题
9．过双曲线－＝1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．
(1)求|AB|；
(2)求△AOB的面积．
解：(1)由双曲线的方程得a＝，b＝，
所以c＝＝3，F1(－3，0)，F2(3，0)．
直线AB的方程为y＝(x－3)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由，得5x2＋6x－27＝0
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－，
所以|AB|＝|x1－x2|＝
×＝
×＝.
(2)直线AB方程变形为x－3y－3＝0
所以原点O到直线AB的距离为
d＝＝
所以S△AOB＝|AB|·d＝××＝.
10．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点为F(－2，0)．
(1)求双曲线方程；
(2)设Q是双曲线上一点，且过点F，Q的直线l与y轴交于点M，若||＝2||，求直线l的方程．
解：(1)由题意可设所求的双曲线方程
为－＝1(a＞0，b＞0)，
则有e＝＝2，c＝2，所以a＝1，则b＝，
所以所求的双曲线方程为x2－＝1.
(2)因为直线l与y轴相交于M且过焦点F(－2，0)，
所以l的斜率一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋2)，
令x＝0，得M(0，2k)，
因为||＝2||且M，Q，F共线于l，
所以＝2或＝－2.
当＝2时，xQ＝－，yQ＝k，
所以Q的坐标为，
因为Q在双曲线x2－＝1上，
所以－＝1，所以k＝±，
所以直线l的方程为y＝±(x＋2)．
当＝－2时，同理求得Q(－4，－2k)，
代入双曲线方程得，
16－＝1，所以k＝±，
所以直线l的方程为y＝±(x＋2)，
综上，所求的直线l的方程为y＝±(x＋2)或y＝±(x＋2)．
B级 能力提升
1．P是双曲线－＝1上的点，F1、F2是其焦点，双曲线的离心率是，且∠F1PF2＝90°，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值(a＞0，b＞0)等于( )
A．4
B．7
C．6
D．5
答案：B
2．如果双曲线－＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________．
解析：如图，
因为OA＝AF，F(c，0)，
所以xA＝，因为A在右支上且不在顶点处，
所以>a，所以e＝>2.
答案：(2，＋∞)
3．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
解：(1)因为e＝.
所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
因为过点(4，－)，所以λ＝16－10＝6，
所以双曲线的方程为x2－y2＝6，即－＝1.
(2)由(1)可知，双曲线中a＝b＝，
所以c＝2.
所以F1(－2，0)，F2(2，0)．
所以＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)．
所以·＝(3＋2)(3－2)＋m2＝－3＋m2.
因为M在双曲线上，所以9－m2＝6，
所以－3＋m2＝0.所以·＝0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，△F1MF2的高h＝|m|＝，所以S△F1MF2＝×4×＝6.
PAGE第三章
空间向量与立体几何
3.2
立体几何中的向量方法
第1课时
空间向量与平行关系
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15
B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15
D．x＝6，y＝
解析：因为l1∥l2，所以a∥b，所以＝＝ x＝6，y＝.
答案：D
2．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(1，2，3)
B．(1，3，2)
C．(2，1，3)
D．(3，2，1)
解析：＝(2，4，6)＝2(1，2，3)．
答案：A
3．若平面α与β的法向量分别是a＝(1，0，－2)，b＝(－1，0，2)，则平面α与β的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．相交不垂直
D．无法判断
解析：因为a＝(1，0，－2)＝－(－1，0，2)＝－b，
所以a∥b，所以α∥β.
答案：A
4．平面α的一个法向量为(1，2，0)，平面β的一个法向量为(2，－1，0)，则平面α与平面β的位置关系是( )
A．平行
B．相交但不垂直
C．垂直
D．不能确定
解析：因为(1，2，0)·(2，－1，0)＝0，所以两法向量垂直，从而两平面也垂直．
答案：C
5．若向量a＝(1，－2，1)，b＝(1，0，2)，则下列向量可作为向量a，b所在平面的一个法向量的是( )
A．(4，－1，2)
B．(－4，－1，2)
C．(－4，1，2)
D．(4，－1，－2)
答案：B
二、填空题
6．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y，2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________．
解析：因为α∥β，所以u1∥u2.所以＝＝.
所以y＝1，z＝－4.所以y＋z＝－3.
答案：－3
7．已知直线l的方向向量v＝(2，－1，3)，且过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y＝________，z＝________．
解析：因为＝(－1，2－y，z－3)，∥v，
故＝＝，故y＝，z＝.
答案：
8．已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，则平面ACB1的一个法向量为________．
解析：建立空间直角坐标系，如图所示，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，
所以＝(－1，1，0)，＝(0，1，1)．设平面ACB1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由n⊥，n⊥，得令x＝1，得n＝(1，1，－1)．
答案：(1，1，－1)(答案不唯一)
三、解答题
9.如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，
M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
证明：法一：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M，N，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，于是＝，＝(1，0，1)，
＝(1，1，0)，
设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)，
则n·＝0，且n·＝0，得
取x＝1，得y＝－1，z＝－1，所以n＝(1，－1，－1)．
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，
所以⊥n.又MN 平面A1BD，
所以MN∥平面A1BD.
法二：因为＝－＝－＝(－)＝，
所以∥，而MN 平面A1BD，DA1 平面A1BD，
所以MN∥平面A1BD.
10.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM∥平面BDE.
证明：建立如图所示的空间直角坐标系，
设AC∩BD＝N，连接NE，
则点N、E的坐标分别是
、(0，0，1)．
所以＝.
又点A、M的坐标分别是(，，0)、
，
所以＝.
所以＝，且A NE，所以NE∥AM.
又因为NE 平面BDE，AM 平面BDE，
所以AM∥平面BDE.
B级 能力提升
1．已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点中在平面α内的是( )
A．(1，－1，1)
B.
C.
D.
答案：B
2．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是________．
解析：因为＝λ＋μ(λ，μ∈R)，所以与，共面．所以AB∥平面CDE或AB 平面CDE.
答案：AB∥平面CDE或AB 平面CDE
3.如图，四棱柱P ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若
不存在，说明理由．
解：分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
所以P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，
设E(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)，＝(0，2，－1)，
因为∥，
所以y(－1)－2(z－1)＝0，①
因为＝(0，2，0)是平面PAB的法向量，
又＝(－1，y－1，z)
由CE∥面PAB，
所以⊥，所以(－1，y－1，z)·(0，2，0)＝0.
所以y＝1，代入①得z＝，所以E是PD的中点，
所以存在E点为PD中点时，CE∥平面PAB.
PAGE第二章
圆锥曲线与方程
2.4
抛物线
2.4.2
抛物线的简单几何性质
第2课时
抛物线方程及性质的应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．若抛物线y2＝－4px(p＞0)的焦点为F，准线为l，则p表示( )
A．点F到y轴的距离
B．点F到准线l的距离
C．点F的横坐标
D．点F到抛物线上一点的距离
解析：由抛物线定义，知抛物线y2＝－4px(p＞0)的焦点到准线的距离为2p，所以p表示点F到y轴的距离．
答案：A
2．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( )
A．抛物线
B．双曲线
C．椭圆
D．圆
解析：由题意，知圆C的圆心到点(0，3)的距离比到直线y＝0的距离大1，即圆C的圆心到点(0，3)的距离与到直线y＝－1的距离相等，根据抛物线的定义，知所求轨迹是一条抛物线．
答案：A
3．过点(2，4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
解析：由题意，知点(2，4)在抛物线y2＝8x上，所以过点(2，4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．
答案：B
4．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
5．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条
B．有且仅有两条
C．有无穷多条
D．不存在
解析：由定义|AB|＝5＋2＝7，
因为|AB|min＝4，所以这样的直线有且仅有两条．
答案：B
二、填空题
6．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点．若△ABF为等腰直角三角形，则p＝________．
解析：由题意，知△ABF的边长为2p，
故点B，代入双曲线方程，得p＝2.
答案：2
7．已知点P(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋4的最小值为________．
解析：z＝x2＋y2＋4＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，
因为y2＝4x≥0，所以x∈[0，＋∞)，
所以当x＝0时，zmin＝4.
答案：4
8．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为________．
答案：
三、解答题
9.如图，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，
试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大．并求出这个最大面积．
解：由解得或
所以A(4，4)，B(1，－2)，所以|AB|＝3.
设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则有
d＝＝eq
\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)－y0－4))＝|(y0－1)2－9|.
因为－2＜y0＜4，所以(y0－1)2－9＜0.
所以d＝[9－(y0－1)2]．
从而当y0＝1时，dmax＝，
Smax＝××3＝.
因此，当P为时，△PAB的面积取得最大值，最大值为.
10．已知抛物线的焦点F在x轴的正半轴上，点A(m，－3)在抛物线上，且|AF|＝5，求抛物线的标准方程．
解：因为抛物线的焦点F在x轴正半轴上，可设抛物线标准方程为y2＝2px(p>0)．
因为A(m，－3)在抛物线上，且|AF|＝5，
所以＝5，解得p＝1或p＝9，
故抛物线的标准方程为：y2＝2x或y2＝18x.
B级 能力提升
1．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是( )
A. B. C. D．25
解析：抛物线的焦点坐标为(2，0)，由题意可得直线l的方程为y＝(x－2)．
由得B点的坐标为.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝2＋8＋2＋＝.
所以AB的中点到准线的距离为.
答案：A
2．已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是________．
解析：因为抛物线的焦点为F(1，0)，
设Aeq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,4)，y0))，则＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,4)，y0))，＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y,4)，－y0))，
由·＝－4，得y0＝±2，
所以点A的坐标是(1，2)或(1，－2)．
答案：(1，2)或(1，－2)
3．已知抛物线y2＝2x.
(1)设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；
(2)设点A的坐标为(a，0)，求抛物线上的点到点A的距离的最小值d，并写出d＝f(a)的函数表达式．
解：(1)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)，则|PA|2＝＋y2＝＋2x＝＋.
因为x≥0，且在此区间上|PA|2随着x的增大而增大，
所以当x＝0时，|PA|min＝，
故距离点A最近的点P的坐标为(0，0)，最短距离是.
(2)同(1)求得d2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋2x
＝[x－(a－1)]2＋(2a－1)．
当a－1≥0，即a≥1时，d＝2a－1，
解得dmin＝，
此时x＝a－1；
当a－1＜0，即a＜1时，d＝a2，
解得dmin＝|a|，此时x＝0.
所以d＝f(a)＝
PAGE第一章
常用逻辑用语
1.4
全称量词与存在量词
1.4.1
全称量词
1.4.2
存在量词
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列命题中，不是全称命题的是( )
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．自然数都是正整数
C．每一个向量都有大小
D．一定存在没有最大值的二次函数
解析：D选项是特称命题．
答案：D
2．下列命题中特称命题的个数是( )
(1)至少有一个偶数是质数．
(2) x0∈R，log2x0>0.
(3)有的实数大于零．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：(1)中含有存在量词“至少”，所以是特称命题．
(2)中含有存在量词符号“ ”，所以是特称命题．
(3)中含有存在量词“有的”，所以是特称命题．
答案：D
3．下列命题不是“ x0∈R，x20>3”的表述方法的是( )
A．有一个x0∈R，使x20>3
B．对有些x0∈R，使x20>3
C．任选一个x0∈R，使x20>3
D．至少有一个x0∈R，使x20>3
解析：选项C中“任选一个”是全称量词，没有“ ”的含义．
答案：C
4．下列特称命题中，假命题是( )
A． x0∈R，x20－2x0－3＝0
B．至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除
C．存在两个相交平面垂直于同一直线
D． x0∈{x|x是无理数}，x20是有理数
解析：垂直于同一直线的两个平面是平行的，所以找不到两个相交平面垂直于同一直线．
答案：C
5．若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0，则实数a的取值范围是( )
A．a＜1
B．a≤1
C．－1＜a＜1
D．－1＜a≤1
答案：A
二、填空题
6．若命题p：“ x∈[0，1]，a≥ex”为真命题，则a的取值范围是________．
解析：因为函数y＝ex在[0，1]上为增函数，
所以1≤y≤e，
若p为真，则a≥(ex)max＝e.
答案：[e，＋∞)
7．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x＞0；④对于任意实数x，2x＋1是奇数．其中特称命题为________(填序号)．
答案：②③
8．若 x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________．
解析：依题意有：
0＜a2－1＜1
－＜a＜－1或1＜a＜.
答案：(－，－1)∪(1，)
三、解答题
9．首先判断下列命题是全称命题还是特称命题，然后写出命题的否定，并判断其真假．
(1)有些素数是奇数；
(2)所有的矩形都是平行四边形；
(3)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根；
(4) x0∈R，x20＋2x0＋5>0.
解：(1)是特称命题，其否定为：所有的素数都不是奇数，假命题．
(2)是全称命题，其否定为：存在一个矩形，不是平行四边形，假命题．
(3)是全称命题，其否定为：存在实数m，使得x2＋2x－m＝0没有实数根，
因为Δ＝4＋4m<0，即当m<－1时，一元二次方程没有实根，所以其否定是真命题．
(4)是特称命题，其否定为： x∈R，x2＋2x＋5≤0，因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥4，所以命题的否定是假命题．
10．关于x的函数y＝x2－(a＋1)x＋2a对于任意a∈[－1，1]的值都有y>0，求实数x的取值范围．
解：设f(a)＝x2－(a＋1)x＋2a，则有f(a)＝(2－x)a＋x2－x，a∈[－1，1]，因为a∈[－1，1]时，y＝f(a)>0恒成立，则
(1)当x＝2时，f(a)＝2>0显然成立；
(2)当x≠2时，由f(a)>0在a∈[－1，1]上恒成立，得即解得x>或x<－.
综上可得：x>或x<－.
B级 能力提升
1．四个命题：① x∈R，x2－3x＋2＞0恒成立；② x∈Q，x2＝2；③ x∈R，x2＋1＝0；④ x∈R，4x2＞2x－1＋3x2.其中真命题的个数为( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
答案：A
2．若命题“ x∈R，使得x2＋(1－a)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围为______________．
解析：由题意可知，Δ＝(1－a)2－4＞0，
解得a＜－1或a＞3.
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
3．若 x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．
解：(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，
所以a∈R.
(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．
又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.
综上所述，当m＝0时，a∈R；
当m≠0，a∈[－1，1]．
PAGE第二章
圆锥曲线与方程
2.3
双曲线
2.3.1
双曲线及其标准方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知M(－2，0)、N(2，0)，|PM|－|PN|＝3，则动点P的轨迹是( )
A．双曲线
B．双曲线左边一支
C．双曲线右边一支
D．一条射线
解析：由双曲线的定义知动点P的轨迹是双曲线右支．
答案：C
2．设点P在双曲线－＝1上，若F1、F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于( )
A．22
B．16
C．14
D．12
解析：由双曲线定义知|PF2|－|PF1|＝6，
又|PF1|∶|PF2|＝1∶3，由两式得|PF1|＝3，
|PF2|＝9，进而易得周长为22.
答案：A
3．平面内动点P(x，y)与A(－2，0)，B(2，0)两点连线的斜率之积为，动点P的轨迹方程为( )
A.＋y2＝1
B.－y2＝1
C.＋y2＝1(x≠±2)
D.－y2＝1(x≠±2)
解析：依题意有kPA·kPB＝，即·＝(x≠±2)，
整理得－y2＝1(x≠±2)．
答案：D
4．若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )
A．－1B．m>－1
C．m>3
D．m<－1
解析：依题意应有m＋1>0，即m>－1.
答案：B
5．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是( )
A．m－a
B.(m－a)
C．m2－a2
D.－
解析：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2.①
由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2.②
①2－②2得4|PF1|·|PF2|＝4(m－a)，
所以|PF1|·|PF2|＝m－a.
答案：A
二、填空题
6．已知双曲线两个焦点的坐标为F1(0，－5)，F2(0，5)，双曲线上一点P到F1，F2的距离之差的绝对值等于6.则双曲线的标准方程为________．
解析：因为双曲线的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
因为2a＝6，2c＝10，所以a＝3，c＝5.
所以b2＝52－32＝16.
所以所求双曲线标准方程为－＝1.
答案：－＝1
7．在平面直角坐标系xOy中，方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为________．
解析：将方程化为－＝1，若表示焦点在x轴上的双曲线，则有k－1>0且3－k>0，即1答案：(1，3)
8．若双曲线以椭圆＋＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为________．
解析：椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且a＝4，b＝3，c＝，所以焦点为(±，0)，左右顶点为(±4，0)．于是双曲线经过点(±，0)，焦点为(±4，0)，则a′＝，c′＝4，所以b′2＝9，所以双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
三、解答题
9．双曲线C与椭圆＋＝1有相同焦点，且经过点(，4)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若F1，F2是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且∠F1PF2＝120°，求△F1PF2的面积．
解：(1)椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，
设双曲线的方程为－＝1，则a2＋b2＝32＝9.①
又双曲线经过点(，4)，所以－＝1，②
解①②得a2＝4，b2＝5或a2＝36，b2＝－27(舍去)，
所以所求双曲线C的方程为－＝1.
(2)由双曲线C的方程，知a＝2，b＝，C＝3.
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|m－n|＝2a＝4，
平方得m2－2mn＋n2＝16.①
在△F1PF2中，由余弦定理得(2c)2＝m2＋n2－2mncos
120°＝m2＋n2＋mn＝36.②
由①②得mn＝，
所以△F1PF2的面积为S＝mnsin
120°＝.
10．如图，已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：设动圆M的半径为r，则由已知得，|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，
所以|MC1|－|MC2|＝2，
又C1(－4，0)，C2(4，0)，
所以|C1C2|＝8.所以2＜|C1C2|.
根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4，0)、C2(4，0)为焦点的双曲线的右支．
因为a＝，c＝4，所以b2＝c2－a2＝14.
所以点M的轨迹方程是－＝1(x≥)．
B级 能力提升
1．已知方程(1＋k)x2－(1－k)y2＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为( )
A．－1＜k＜1
B．k＞1
C．k＜－1
D．k＞1或k＜－1
答案：A
2．已知曲线x2－y2＝1的两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|＋|PF2|＝________．
解析：由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4.
在△F1PF2中，由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos
60°
即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(2)2＝8，
所以|PF1|·|PF2|＝4.
所以(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝(4＋2|PF1|·|PF2|)＋2|PF1|·|PF2|＝20.
所以|PF1|＋|PF2|＝2
答案：2
3．已知双曲线的方程为x2－＝1，如图，点A的坐标为(－，0)，B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值．
解：设点D的坐标为(，0)，则点A，D是双曲线的焦点，
由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2.
所以|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|，
又B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，圆的圆心为C(0，)，半径为1，
故|BD|≥|CD|－1＝－1，
从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥＋1，
当点M，B在线段CD上时取等号，即|MA|＋|MB|的最小值为＋1.
PAGE第二章
圆锥曲线与方程
2.4
抛物线
2.4.2
抛物线的简单几何性质
第1课时
抛物线的简单几何性质
A级 基础巩固
一、选择题
1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( )
A．1 B．2 C．4 D．8
解析：y2＝8x的焦点到准线的距离p＝4.
答案：C
2．以抛物线y2＝2px(p＞0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．以上三种均有可能
答案：B
3．过抛物线y2＝2px的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则∠A1FB1＝( )
A．90°
B．45°
C．30°
D．60°
答案：A
4．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A．y2＝8x
B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x
D．x2＝8y或x2＝－8y
解析：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，由题意可得p＝4，所以其方程为y2＝8x或y2＝－8x.
答案：C
5．(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝( )
A.
B．1
C.
D．2
解析：因为抛物线方程是y2＝4x，所以F(1，0)．
又因为PF⊥x轴，所以P(1，2)，
把P点坐标代入曲线方程y＝(k>0)，即＝2，所以k＝2.
答案：D
二、填空题
6．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．
答案：6
7．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．
解析：由y2＝4x知，抛物线的焦点F(1，0)，当x＝1时，y＝±2，所以A(1，2)，B(1，－2)，此时AB⊥x轴，所以|BF|＝|AF|＝2.
答案：2
8．已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2＝6x上，O是坐标原点，则△AOB的边长为________．
解析：设△AOB边长为a，则A，
所以＝6×a.所以a＝12.
答案：12
三、解答题
9．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则称AB为抛物线的焦点弦．
求证：(1)y1y2＝－p2；x1x2＝；
(2)＋＝.
证明：(1)如图所示．
抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，
准线方程：x＝－.
设直线AB的方程为x＝ky＋，把它代入y2＝2px，
化简，得y2－2pky－p2＝0.
所以y1y2＝－p2，
所以x1x2＝eq
\f(y,2p)·eq
\f(y,2p)＝＝＝.
(2)根据抛物线定义知PA＝AA1＝x1＋，FB＝BB1＝x2＋，
所以＋＝＋＝＋＝＝＝＝.
10．已知P为抛物线y2＝4x上的动点，过P分别作y轴与直线x－y＋4＝0的垂线，垂足分别为A，B，求|PA|＋|PB|的最小值．
解：如图，延长PA交准线l于A′，焦点F(1，0)，＝1.
|PA|＋|PB|＝|PA′|－1＋|PB|＝|PF|＋|PB|－1
当F，P，B共线时，|PA|＋|PB|最小，即转化为F到x－y＋4＝0的距离减去1.
此时d＝＝，
所以|PA|＋|PB|的最小值为－1.
综上所述，|PA|＋|PB|最小值为－1.
B级 能力提升
1．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为( )
A．y2＝9x
B．y2＝6x
C．y2＝3x
D．y2＝x
答案：C
2．已知AB为抛物线y＝x2上的动弦，且|AB|＝a(a为常数且a≥1)，则弦AB的中点M离x轴的最近距离为________．
解析：如图所示，设A，M，B点的纵坐标分别为y1，y2，y3，A，M，B三点在抛物线准线上的射影分别为A′，M′，B′.
由抛物线的定义，
|AF|＝|AA′|＝y1＋，
|BF|＝|BB′|＝y3＋.
所以y1＝|AF|－，y3＝|BF|－.
又M是线段AB的中点，
所以y2＝(y1＋y3)＝≥
×＝(2a－1)．
等号成立的条件是A，F，B三点共线，即AB为焦点弦．
又|AB|＝a≥1，所以AB可以取为焦点弦，即等号可以成立，所以中点M到x轴的最近距离为(2a－1)．
答案：(2a－1)
3．在抛物线y＝4x2上求一点，使这点到直线y＝4x－5的距离最短．
解：法一：设抛物线上任意一点坐标为P(x，4x2)，
则点P到直线y＝4x－5的距离是：
d＝＝＝＝，
所以当x＝时，d取最小值．
此时y＝4x2＝4×＝1，所以所求点的坐标.
法二：由数形结合可知，所求点应为与直线y＝4x－5平行且与抛物线y＝4x2相切时的切点．
设平行于直线y＝4x－5的切线为y＝4x＋b.
由消去y得，4x2－4x－b＝0.
因为直线与抛物线相切，所以Δ＝(－4)2－4×4(－b)＝0，解得b＝－1.
所以当b＝－1时，x1＝x2＝，
代入y＝4x2得y＝1.
所以所求点的坐标为.
PAGE第三章
空间向量与立体几何
3.1
空间向量及其运算
3.1.5
空间向量运算的坐标表示
A级 基础巩固
一、选择题
1．△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)
，B(5，－6，2)，C(1，3，－
1)，则AC边上的高BD等于( )
A．5 B. C．4 D．2
解析：设＝λ，又＝(0，4，－3)，
则＝(0，4λ，－3λ)．
又因为＝(4，－5，0)，所以＝(－4，4λ＋5，－3λ)．
由·＝0，得λ＝－，所以＝.
所以||＝5.
答案：A
2．已知a＝(2，－3，1)，则下列向量中与a平行的是( )
A．(1，1，1)
B．(－2，－3，5)
C．(2，－3，5)
D．(－4，6，－2)
解析：若b＝(－4，6，－2)，则b＝－2(2，－3，1)＝－2a，所以a∥b.
答案：D
3．已知a＝(1，5，－2)，b＝(m，2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为( )
A．0
B．6
C．－6
D．±6
解析：因为a⊥b，所以1×m＋5×2－2(m＋2)＝0，
解得m＝6.
答案：B
4.如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，B1E1＝A1B1，则等于( )
A．(0，，－1)
B．(－，0，1)
C．(0，－，1)
D．(，0，－1)
解析：因为B(1，1，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)．
所以E1，所以＝.故选C.
答案：C
5．若a＝(x，2，0)，b＝(3，2－x，x2)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是( )
A．x<－4
B．－4C．0D．x>4
解析：依题意得cos〈a，b〉＝<0，
所以a·b<0，即3x＋2(2－x)<0，解得x<－4.
答案：A
二、填空题
6．若a＝(x，3，1)，b＝(2，y，4)，且a＝zb，则c＝(x，y，z)＝________．
解析：由a＝zb，得所以
答案：
7．已知向量a＝(－1，0，1)，b＝(1，2，3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________．
解析：因为(ka－b)⊥b，所以(ka－b)·b＝0，
所以ka·b－|b|2＝0，
所以k(－1×1＋0×2＋1×3)－()2＝0，
解得k＝7.
答案：7
8．若a＝(2，2，0)，b＝(1，3，z)，〈a，b〉＝，则z等于________．
解析：cos〈a，b〉＝cos＝＝
＝.
所以z＝±.
答案：±
三、解答题
9．已知a＝4e1＋3e2－e3，b＝5e1－4e2＋2e3，其中{e1，e2，e3}是一组正交单位基底，试求a·b及a，b之间夹角的余弦值．
解：由题意知a＝(4，3，－1)，b＝(5，－
4，2)，所以a·b＝(4，3，－1)×(5，－4，2)＝4×5＋3×(－4)＋(－1)×2＝6.
又因为|a|＝＝，
|b|＝＝＝3，
所以cos〈a，b〉＝＝＝，
所以a·b＝6，a与b夹角的余弦值为.
10．已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，3，1)，求：
(1)(a－2b)·(2a＋b)；
(2)以a，b为邻边的平行四边形的面积．
解：(1)a－2b＝(3，－2，－3)－2(－1，3，1)＝(5，－8，－5)，
2a＋b＝2(3，－2，－3)＋(－1，3，1)＝(5，－1，－5)．
所以(a－2b)·(2a＋b)＝(5，－8，－5)·(5，－1，－5)＝5×5＋(－8)×(－1)＋(－5)×(－5)＝58.
(2)因为cos〈a，b〉＝＝＝－，
所以sin〈a，b〉＝＝＝.
所以S ＝|a|·|b|sin〈a，b〉＝××＝7.
所以以a，b为邻边的平行四边形的面积为7.
B级 能力提升
1．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则等于( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
2．已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则与的夹角θ的大小是________．
解析：因为＝(－2，－1，3)，＝(－1，3，－2)，
所以cos〈，〉＝＝
＝＝－，
又0°≤〈，〉≤180°，所以θ＝〈，〉＝120°.
答案：120°
3．在正方体ABCD A1B1C1D1中，已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点．
证明：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；
(2)A1G⊥平面EFD.
证明：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0，0，0)
、B(1，0，0)、C(1，1，0)
，D(0，1，0)、A1(0，0，1)，B1(1，0，1)、C1(1，1，1)、D1(0，1，1)，由中点性质得E、F，G、H.
(1)则＝(1，0，1)，＝，
＝
因为＝2，·＝1×＋1×＝0，
所以∥，⊥.即AB1∥GE，AB1⊥EH.
(2)因为＝，＝，
＝，所以·＝－＋0＝0，
·＝＋0－＝0，
所以A1G⊥DF，A1G⊥DE.
又DF∩DE＝D，所以A1G⊥平面EFD.
PAGE第二章
圆锥曲线与方程
2.1
曲线与方程
2.1.2
求曲线的方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．平面内有两定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|＋|＝4，则点P的轨迹是( )
A．线段 B．半圆 C．圆 D．直线
解析：以AB的中点为原点，以AB所在的直线为x轴建立直角坐标系，则A(－2，0)、B(2，0)．设P(x，
y)，则＋＝2＝2(－x，－y)．所以x2＋y2＝4.
答案：C
2．若点M到两坐标轴的距离的积为2
015，则点M的轨迹方程是( )
A．xy＝2
015
B．xy＝－2
015
C．xy＝±2
015
D．xy＝±2
015(x＞0)
解析：设M(x，y)，则由题意知：|x|·|y|＝2
015，
所以xy＝±2
015.
答案：C
3．与点A(－1，0)和点B(1，0)的连线的斜率之积为－1的动点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝1
B．y2＋y2＝1(x≠±1)
C．y＝
D．x2＋y2＝9(x≠0)
答案：B
4．已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝2
B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2)
D．x2＋y2＝4(x≠±2)
解析：设P(x，y)，因为△MPN为直角三角形，
所以|MP|2＋|NP|2＝|MN|2，
所以(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，
整理得，x2＋y2＝4.
因为M，N，P不共线，所以x≠±2，
所以轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．
答案：D
5．已知A(－1，0)，B(2，4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是( )
A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0
B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0
D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
解析：由两点式，得直线AB的方程是＝，即4x－3y＋4＝0，线段AB的长度|AB|＝＝5.设C点的坐标为(x，y)，则×5×＝10，
即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.
答案：B
二、填空题
6．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为________．
答案：x2＋y2＝4
7．动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－，则动点P的轨迹方程为________．
答案：x2＋2y2－2＝0(x≠±)
8．已知为A(0，－1)，当B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是__________________________________．
解析：设点B(x0，y0)，则y0＝2x＋1.①
设线段AB中点为M(x，y)，则x＝，y＝，从而得x0＝2x，y0＝2y＋1.代入①式，得2y＋1＝2×(2x)2＋1即y＝4x2.
答案：y＝4x2
三、解答题
9．一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍，求动点P的轨迹方程．
解：设动点P坐标为(x，y)，则动点P到直线x＝8的距离d＝|x－8|，到点A的距离|PA|＝，
由已知d＝2|PA|得：
|x－8|＝2，化简得：
3x2＋4y2＝48.
故动点的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.
10．若动点P在y＝2x2＋1上移动，求点P与点Q(0，－1)连线的中点的轨迹方程．
解：设PQ的中点为M(x，y)，P(x0，y0)，
则所以
又因为点P在y＝2x2＋1上，
所以y0＝2x20＋1，
所以2y＋1＝8x2＋1，
所以y＝4x2即为所求的轨迹方程．
B级 能力提升
1．曲线f(x，y)＝0关于直线x－y－3＝0对称的曲线方程为( )
A．f(x－3，y)＝0
B．f(y＋3，x)＝0
C．f(y－3，x＋3)＝0
D．f(y＋3，x－3)＝0
解析：设P′(x，y)为对称曲线上任意一点，它关于直线x－y－3＝0对称点的坐标为(x′，y′)，
依据题意有
又(x′，y′)适合方程f(x，y)＝0，
故所求对称曲线方程为f(y＋3，x－3)＝0.
答案：D
2．直线＋＝1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是_______．
解析：(参数法)直线＋＝1与x、y轴交点为A(a，0)，B(0，2－a)，设AB中点为M(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1.因为a≠0，a≠2，所以x≠0，x≠1.
答案：x＋y＝1(x≠0，x≠1)
3．已知B(－3，0)、C(3，0)，△ABC中BC边上的高的长为3，求△ABC的垂心H的轨迹方程．
解：设H的坐标为(x，y)，则A点的坐标为(x，3)或(x，－3)，
当A的坐标为(x，3)时，
因为AB⊥CH，
所以kAB·kCH＝－1，
即·＝－1(x≠±3)．
化简，整理，得y＝－x2＋3(x≠±3)．
又x＝±3，y＝0时也适合此方程，
所以方程y＝－x2＋3为所求轨迹方程．
当A的坐标为(x，－3)时，同理可得H的轨迹方程为y＝x2－3.
总之，△ABC的垂心H的轨迹方程是y＝－x2＋3或
y＝x2－3.
PAGE第三章
空间向量与立体几何
3.2
立体几何中的向量方法
第3课时
空间向量与空间角
A级 基础巩固
一、选择题
1．三棱锥A BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A BD C的大小为( )
A.
B.
C.或
D.或
解析：只需搞清二面角的范围是[0，π]．
答案：C
2．直三棱柱ABC A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：建立如图所示的空间直角坐标系C xyz，设BC＝2，则B(0，2，0)，A(2，0，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，所以＝(1，－1，2)，＝(－1，0，2)，故与所成角θ的余弦值cos
θ＝＝＝.
答案：C
3．若平面α的一个法向量n＝(2，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(1，2，3)，则l与α所成角的正弦值为( )
A.
B.
C．－
D.
解析：设l与α所成的角为θ，则sin
θ＝|cos〈n，a〉|＝＝＝.
答案：B
4．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成角是( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，C(1，，0)，
＝(1，，－1)，
平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，
所以cos〈，n〉＝＝－，
所以〈·n〉＝120°，
所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°，
所以斜线PC与平面ABCD所成角为30°.
答案：A
5．如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是( )
A.
B.
C.
D.
解析：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)．
因O为A1C1的中点，所以O，
＝，
设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则有
即
取n＝(1，0，1)
所以O到平面ABC1D1的距离为d＝＝＝.
答案：B
二、填空题
6．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中点，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则
O(1，1，0)，P(2，x，2)，B(2，2，0)，M(0，2，1)，
＝(1，x－1，2)，＝(－2，0，1)．
所以·＝0，所以直线BM与OP所成角为.
答案：
7．已知直线l1的一个方向向量为v1＝(1，－1，2)，直线l2的一个方向向量为v2＝(3，－3，0)，则两直线所成角的余弦值为________．
解析：cos〈v1，v2〉＝＝＝.
答案：
8．若两个平面α，β的法向量分别为u＝(1，0，1)，v＝(－1，1，0)，则这两个平面所成的锐二面角的度数是________．
解析：因为u＝(1，0，1)，v＝(－1，1，0)，所以|u|＝，|v|＝，u·v＝－1.所以cos〈u，v〉＝－.所以〈u，v〉＝120°，故两平面所成的锐二面角为60°.
答案：60°
三、解答题
9．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
解：(1)建立以D为坐标原点，
DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，
＝，＝，
设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)，
则n·＝0，且n·＝0，所以
令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)，
所以点D到平面PEF的距离为
d＝＝＝，
因此，点D到平面PEF的距离为.
(2)因为＝，
所以点A到平面PEF的距离为d＝＝＝，
所以AC到平面PEF的距离为.
10．正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，a)，C1，
法一：取A1B1的中点M，
则M，连接AM、MC1，
有＝，＝(0，a，0)，
＝(0，0，a)．
所以·＝0，·＝0，
所以⊥，⊥，
则MC1⊥AB，MC1⊥AA1，
又AB∩AA1＝A，
所以MC1⊥平面ABB1A1.
所以∠C1AM是AC1与侧面A1ABB1所成的角．
由于＝，＝，
所以·＝0＋＋2a2＝，
||＝
＝a，||＝
＝a，
所以cos〈，〉＝＝.
所以〈，〉＝30°，
即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.
法二：＝(0，a，0)，＝(0，0，a)，
＝.
设侧面ABB1A1的法向量n＝(λ，x，y)，
所以n·＝0且n·＝0.
所以ax＝0且ay＝0.
所以x＝y＝0.故n＝(λ，0，0)．
因为＝，
所以cos〈，n〉＝＝－.
所以|cos〈，n〉|＝.
所以AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.
B级 能力提升
1．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则O(1，1，0)，E(0，2，1)，F(1，0，0)，D1(0，0，2)．故＝(－1，1，1)，＝(－1，0，2)，cos〈，〉＝＝＝，故OE与FD1所成角的余弦值是.
答案：B
2．正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A BD C的正弦值为________．
解析：取BC中点O，连接AO，DO，建立如图所示的坐标系．设BC＝1，
则A，B，D.
所以＝，＝，＝.
由于＝为平面BCD的法向量．
设平面ABD的法向量n＝(x，y，z)，则
所以
取x＝1，则y＝－，z＝1，
所以n＝(1，－，1)，
所以cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝.
答案：
3.如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，
BE∥CF，∠BCF＝∠CEF＝90°，AD＝，EF＝2.
(1)求证：AE∥平面DCF；
(2)当AB的长为何值时，二面角A EF C的大小为60°？
解：建系如图，
设AB＝a，BE＝b，CF＝c，
则C(0，0，0)，D(0，0，a)，F(0，c，0)，A(，0，a)，E(，b，0)，B(，0，0)，
(1)证明：＝(，b，0)－(，0，a)
＝(0，b，－a)，
＝(0，0，a)，＝(0，c，0)，
设＝λ＋μ，则(0，b，－a)＝(0，μc，λa)，
所以μ＝，λ＝－1，所以＝－＋，
又AE 平面DCF，所以AE∥面DCF.
(2)因为＝(－，c－b，0)，＝(，b，0)
且·＝0，||＝2.
所以
解得b＝3，c＝4，
所以E(，3，0)，F(0，4，0)．
设n＝(1，y，z)与平面AEF垂直，
则n·＝0，n·＝0，解得n＝.
又因为BA⊥平面BEFC，＝(0，0，a)，
所以cos〈n，〉＝＝＝，
得到a＝，
所以当AB为时，二面角A EF C的大小为60°.
PAGE第一章
常用逻辑用语
1.1
命题及其关系
1.1.2
四种命题
1.1.3
四种命题间的相互关系
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知命题p：“若ab＝1，则a＋b≥2”，则下列说法正确的是( )
A．命题p的逆命题是“若ab≠1，则a＋b<2”
B．命题p的逆命题是“若a＋b<2，则ab≠1”
C．命题p的否命题是“若ab≠1，则a＋b<2”
D．命题p的否命题是“若a＋b≥2，则ab＝1”
解析：“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，否命题是“若 p，则 q”.
答案：C
2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|
b
|”的逆命题是( )
A．若a≠－b，则|a|≠|
b
|
B．若a＝－b，则|a|≠|
b
|
C．若|a|≠|
b
|，则a≠－b
D．若|a|＝|
b
|，则a＝－b
解析：原命题的条件是a＝－b，作为逆命题的结论；原命题的结论是|a|＝|
b
|，作为逆命题的条件，即得逆命题，“若|a|＝|
b
|，则a＝－b.”
答案：D
3．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
解析：“方程x2＋x－m＝0有实根”的否定是“方程x2＋x－m＝0没有实根”；“m>0”的否定即“m≤0”，故命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．
答案：D
4．下列四个命题中，真命题为( )
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则关于x的方程x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
答案：C
5．与命题“在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq”为互逆命题的是( )
A．在等差数列{an}中，若m＋n≠p＋q，则am＋an≠ap＋aq
B．在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q
C．在等差数列{an}中，若am＋an≠ap＋aq，则m＋n≠p＋q
D．在等差数列{an}中，若m＋n≠p＋q，则am＋an＝ap＋aq
答案：B
二、填空题
6．命题“若AB＝AC，则△ABC是等腰三角形”的逆否命题为________(填“真命题”或“假命题”)．
解析：逆否命题：“若△ABC不是等腰三角形，则AB≠AC”，为真命题．
答案：真命题
7．下列命题：
①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；
②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；
③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；
④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题．
其中是真命题的是________(填序号)．
解析：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“x、y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题是“若a＞b，则ac2＞bc2”，是假命题．所以真命题是①②③.
答案：①②③
8．有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；
②“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；
③“对顶角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是________．
答案：1
三、解答题
9．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．
解：因为m>0，所以12m>0，所以12m＋4>0.
所以方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.
所以原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．
又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．
10．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
解：(1)逆命题：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，
则a＋b≥0，真命题．假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f(a)所以f(a)＋f(b)所以逆命题为真命题．
(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)因为原命题与其逆否命题等价，
所以可证明原命题为真命题．
因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.
又因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．
所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，
即原命题为真命题．所以逆否命题为真命题．
B级 能力提升
1．原命题为“若A．真、真、真
B．假、假、真
C．真、真、假
D．假、假、假
解析：答案：A
2．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题为________命题，逆命题为________命题(填“真”或“假”)．
解析：逆否命题为：a，b都小于1，则a＋b<2是真命题．
所以原命题是真命题，逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，例如a＝3，b＝－3满足条件a，b中至少有一个不小于1，但此时a＋b＝0，故逆命题是假命题．
答案：真 假
3．设0证明：假设(1－a)b>，所以>，
(1－b)c>，所以>，
(1－c)a>，所以>.
相加得<＋＋≤＋＋＝左右矛盾，故假设不成立．
所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不同时大于.
PAGE第三章
空间向量与立体几何
3.1
空间向量及其运算
3.1.3
空间向量的数量积运算
A级 基础巩固
一、选择题
1．对于a，b，c向量和实数λ，下列命题中真命题是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
答案：B
2．下列命题中，正确的命题个数为( )
①m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R)；②a·(b＋c)＝(b＋c)·a；③(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：三个命题都正确．
答案：D
3．已知非零向量a、b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是( )
A．垂直
B．共线
C．不垂直
D．以上都可能
解析：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，所以a、b垂直．
答案：A
4．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝( )
A．13
B.
C．2
D.
解析：|a＋3b|＝＝＝
＝.
答案：A
5．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝，则向量a与b之间的夹角〈a，b〉为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．以上都不对
答案：C
二、填空题
6．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
解析：因为a＋b＋c＝0，所以(a＋b＋c)2＝0，
所以a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
所以a·b＋b·c＋c·a＝＝－13.
答案：－13
7．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝
135°，m⊥n，则λ＝________．
解析：由m⊥n，
得(a＋b)·(a＋λb)＝0，
所以a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，
所以18＋(λ＋1)·3×4cos
135°＋16λ＝0，
即4λ＋6＝0，所以λ＝－.
答案：－
8．如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
答案：90°
三、解答题
9.已知在四面体OACB中，OB＝OC，
AB＝AC，求证：OA⊥BC.
证明：因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，
所以△OAC≌△OAB.
所以∠AOC＝∠AOB.
因为·＝·(－)＝·－·＝||||·cos∠AOC－||||·cos∠AOB＝0，
所以⊥，所以OA⊥BC.
10.如图，正三棱柱ABC A1B1C1中，底面边长为.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
(1)证明：＝＋，＝＋.
因为BB1⊥平面ABC，
所以·＝0，·＝0.
又△ABC为正三角形，
所以〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.
因为·＝(＋)·(＋)＝·＋，＋2＋·＝||·||·cos〈·〉＋2＝－1＋1＝0，
所以AB1⊥BC1.
(2)解：结合(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.
又||＝
＝
＝||，
所以cos〈，〉＝＝.
所以||＝2，即侧棱长为2.
B级 能力提升
1．已知空间向量a，b，c，两两夹角为60°，其模都为1，则|a－b＋2c|＝( )
A.
B．5
C．6
D.
解析：因为|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
所以a·b＝b·c＝a·c＝，a2＝b2＝c2＝1.
所以|a－b＋2c|＝＝
＝
＝
＝.
答案：A
2．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．
解析：由题意知
即
λ2＋2λ－2<0.所以－1－<λ<－1＋.
答案：(－1－，－1＋)
3．已知平行六面体ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
(1)求线段AC1的长；
(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值．
解：(1)如图所示，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝1，|c|＝2.
a·b＝0，a·c＝b·c＝2×1×cos
120°＝－1.
因为＝＋＋＝a＋b＋c，
所以||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋22－2－2＝2.所以||＝.
即AC1长为.
(2)因为＝a＋b＋c，
＝b－c，
所以·＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－b·c＋b·c－c2＝1＋12－22＝－2.
又|A1D|2＝(b－c)2＝b2＋c2－2b·c＝1＋4＋2＝7，
所以||＝，
所以cos〈，〉＝＝＝－.
故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为－.
PAGE第二章
圆锥曲线与方程
2.2
椭圆
2.2.2
椭圆的简单几何性质
第1课时
椭圆的简单几何性质
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知点(3，2)在椭圆＋＝1上，则( )
A．点(－3，－2)不在椭圆上
B．点(3，－2)不在椭圆上
C．点(－3，2)在椭圆上
D．无法判断点(－3，－2)，(3，－2)，(－3，2)是否在椭圆上
解析：由椭圆的对称性知(－3，2)必在椭圆上．
答案：C
2．椭圆C1：＋＝1和椭圆C2：＋＝1(0A．等长的长轴
B．相等的焦距
C．相等的离心率
D．等长的短轴
解析：依题意知椭圆C2的焦点在y轴上，对于椭圆C1：焦距＝2＝8，对于椭圆C2：焦距＝2＝8.
答案：B
3．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为( )
A．1 B. C. D.
解析：由题意得a2＝2，b2＝m，
所以c2＝2－m，又＝，
所以＝，所以m＝.
答案：B
4．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF1⊥x轴，直线AB与y轴交于点P，其中＝2，则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：如图，△ABF1∽△APO，
则＝，即＝.
所以a＝2c.，所以e＝＝.
答案：D
5．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|的值为( )
A.
B.
C.
D．4
答案：C
二、填空题
6．已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于，则此椭圆的标准方程是________．
解析：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，焦距为2c，则b＝1，
a2＋b2＝()2，即a2＝4.
所以椭圆的标准方程是＋y2＝1或＋x2＝1.
答案：＋y2＝1或＋x2＝1
7．已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为________．
解析：当k＋8＞9时，e2＝＝＝，k＝4；
当k＋8＜9时，e2＝＝＝，k＝－.
答案：4或－
8．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
解析：因为x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线．所以椭圆的右焦点为(1，0)，即c＝1.
设P，则kOP＝，因为OP⊥AB，所以kAB＝－2，则直线AB的方程为y＝－2(x－1)，它与y轴的交点为(0，2)．所以b＝2，a2＝b2＋c2＝5，
故椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
三、解答题
9．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)离心率是，长轴长是6；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
解：(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．
由已知得2a＝6，e＝＝，所以a＝3，c＝2.
所以b2＝a2－c2＝9－4＝5.
所以椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(2)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2上的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
所以c＝b＝3，所以a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
10．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F1(－c，0)，A(－a，0)，B(0，b)是椭圆的两个顶点．若F1到直线AB的距离为，求椭圆的离心率．
解：依题意，直线AB的方程为＋＝1，
即bx－ay＋ab＝0.
所以焦点F1到AB的距离d＝，
所以＝b.
两边平方，整理得8c2－14ac＋5a2＝0.
两边同除以a2，得8e2－14e＋5＝0，
所以e＝或e＝(舍去)．因此离心率为.
B级 能力提升
1．已知F1(－3，0)，F2(3，0)是椭圆＋＝1(a>b>0)两个焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2＝α，且当α＝时，△F1PF2的面积最大，则椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：因为当点P在短轴端点时，
S△F1PF2最大，
所以∠PF1F2＝，所以tan＝，
因为c＝3，所以b＝，
所以a2＝b2＋c2＝12，所以椭圆方程为＋＝1.
答案：A
2．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D．1
解析：记|F1F2|＝2c，则由题设条件，
知|PF1|＝，|PF2|＝，
则椭圆的离心率e＝＝＝＝.
答案：B
3．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P(－，1)在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足＋＝0.
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C上任一动点N(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为N1(x1，y1)，求3x1－4y1的取值范围．
解：(1)因为点P(－，1)在椭圆上，所以＋＝1.①
又因为＋＝0，M在y轴上，
所以M为PF2的中点，所以－＋c＝0，c＝.
所以a2－b2＝2，②
联立①②，解得b2＝2(b2＝－1舍去)，所以a2＝4.
故所求椭圆C的方程为＋＝1.
(2)因为点N(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为N1(x1，y1)，
所以解得
所以3x1－4y1＝－5x0.
因为点N(x0，y0)在椭圆C：＋＝1上，所以－2≤x0≤2，
所以－10≤－5x0≤10，即3x1－4y1的取值为[－10，10]．
PAGE第一章
常用逻辑用语
1.2
充分条件与必要条件
1.2.1
充分条件与必要条件
A级 基础巩固
一、选择题
1．“x>0”是“>0”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．既是充分条件又是必要条件
解析：x>0显然能推出>0，而>0，不能推出x>0.
答案：A
2．
“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos
2α＝”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件又是必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：“α＝＋2kπ(k∈Z)” “cos
2α＝”，“cos
2α＝” /
“α＝＋2kπ”(k∈Z)．因为α还可以等于2kπ－(k∈Z)，所以选A.
答案：A
3．“x<0”是“ln(x＋1)<0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由ln(x＋1)<0得－1答案：B
4．已知集合M＝{2，m}，N＝{1，2，3}，则“m＝3”是“M N”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若m＝3，则M＝{2，3}，显然M N；但当M N时，m＝1或m＝3，故“m＝3”是“M N”的充分不必要条件．
答案：A
5．设x、y是两个实数，命题：“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )
A．x＋y＝2
B．x＋y＞2
C．x2＋y2＞2
D．xy＞1
答案：B
二、填空题
6．不等式(a＋x)(1＋x)＜0成立的一个充分不必要条件是－2＜x＜－1，则a的取值范围是________．
解析：由已知，得{x|－2＜x＜－1}?{x|(x＋a)(x＋1)＜0}，
所以－a＜－2 a＞2.
答案：a＞2
7．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则对于下列条件：
①α⊥β，α∩β＝l，m⊥l；
②α∩γ＝m，α⊥β，γ⊥β；
③α⊥γ，β⊥γ，m⊥α；
④n⊥α，n⊥β，m⊥α.
其中为m⊥β的充分条件的是________(将你认为正确的所有序号都填上)．
答案：②④
8．“x＝1”是“方程x3－3x＋2＝0的根”的________条件(填“充分”“必要”)．
答案：充分
三、解答题
9．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．那么：
(1)s是q的什么条件？
(2)r是q
的什么条件？
(3)p是q的什么条件？
解：(1)因为q s，s r q，所以s是q的充要条件．
(2)因为r q，q s r，所以r是q的充要条件．
(3)因为q s r p，所以p是q的必要条件．
10．已知命题p：α＝β；命题q：tan
α＝tan
β，判断p是q的什么条件？
解：当α＝β＝时，显然tan
α与tan
β无意义，即p /
q，故p不是q的充分条件；又α＝，β＝时，tan
α＝tan
β，所以q /
p，所以p不是q的必要条件，综上，p既不是q的充分条件，也不是必要条件．
B级 能力提升
1．对任意实数a，b，c，在下列命题中，真命题是( )
A．“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac＞bc”是“a＞b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
答案：B
2．
“函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的一个充分条件可以是________．
答案：a＝1(或a＝－1)
3．已知a、b为不等于0的实数，判断“＞1”是“a＞b”的什么条件，并证明你的结论．
解：由条件“＞1”可得＞0，
若b＞0，则a＞b；
若b＜0，则a＜b，所以“＞1”
“a＞b”，
“＞1”不是“a＞b”的充分条件．
反过来，a＞b a－b＞0，也不能推出＞1 ＞0，“＞1”也不是“a＞b”的必要条件．
所以“＞1”既不是“a＞b”的充分条件，也不是“a＞b”的必要条件．
PAGE第三章
空间向量与立体几何
3.1
空间向量及其运算
3.1.1
空间向量及其加减运算
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列说法中正确的是( )
A．任意两个空间向量都可以比较大小
B．方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的空间向量可以比较大小
C．空间向量的大小与方向有关
D．空间向量的模可以比较大小
解析：由向量概念可知只有D正确．
答案：D
2．在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，与向量相等的向量共有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．
4
答案：C
3．已知空间向量、、、，则下列结论正确的是( )
A.＝＋
B.－＋＝
C.＝＋＋
D.＝－
解析：－＋＝＋＋＝＋＝.
答案：B
4．已知正方形ABCD的边长为1，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|等于( )
A．0
B．3
C．2＋
D．2
解析：利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，|a＋b＋c|＝2||＝2.
答案：D
5．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，下列选项中化简后为零向量的是( )
A.＋＋
B.－＋
C.＋＋
D.＋－
解析：在C选项中，＋＋＝(＋)＋＝＋＝0.
答案：C
二、填空题
6．两个非零向量的长度相等是两个向量相等的_______条件．
答案：必要不充分
7.如图，在以长、宽、高分别为AB＝4，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD-A1B1C1D1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中．
(1)单位向量共有________个．
(2)写出模为的所有向量________．
解析：(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．
(2)由于长方体的左、右两侧的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.
答案：(1)8 (2)，，，，，，，
8．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝________(用a，b，c表示)．
解析：＝－＝－(＋)＝－a＋b－c.
答案：－a＋b－c
三、解答题
9．在长方体ABCD A1B1C1D1中，画出表示下列向量的有向线段．
(1)＋＋；
(2)＋－.
解：如图(1)＋＋＝＋＝.
(2)＋－＝＋－＝－＝.
图中，为所求．
10．已知平行六面体ABCD A′B′C′D′.
求证：＋＋＝2.
证明：因为平行六面体的六个面均为平行四边形．
所以＝＋，＝＋，＝＋，
所以＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝2(＋＋)．
又因为＝，＝，
所以＋＋＝＋＋＝＋＝，所以＋＋＝2.
B级 能力提升
1．如图，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，则下列向量相等的是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
答案：D
2．已知点M是△ABC的重心，则＋＋＝________．
解析：设D为AB的中点，则＋＝2，
又M为△ABC的重心，则＝－2，
所以＋＋＝0.
答案：0
3．已知点G是△ABC的重心，O是空间任意一点，若＋＋＝λ，求λ的值．
解：连接CG并延长交AB于D，
则D为AB中点，且CG＝2GD，
所以＋＋
＝＋＋＋＋＋＝3＋＋＋＝3＋2＋＝3－＋＝3.
所以λ＝3.
PAGE第一章
常用逻辑用语
1.4
全称量词与存在量词
1.4.3
含有一个量词的命题的否定
A级 基础巩固
一、选择题
1．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为( )
A．所有实数的平方都不是正数
B．有的实数的平方是正数
C．至少有一个实数的平方不是正数
D．至少有一个实数的平方是正数
解析：全称命题的否定是特称命题，所以“所有实数的平方都是正数”的否定是“至少有一个实数的平方不是正数”．
答案：C
2．已知命题p：任意的x∈R，x＞sin
x，则p的否定形式为( )
A．綈p：存在x∈R，x＜sin
x
B．綈p：任意x∈R，x≤sin
x
C．綈p：存在x∈R，x≤sin
x
D．綈p：任意x∈R，x＜sin
x
答案：C
3．命题“ x∈R， x∈N
，使得n≥x2”的否定形式是( )
A． x∈R， x∈N
，使得nB． x∈R， x∈N
，使得nC． x∈R， x∈N
，使得nD． x∈R， x∈N
，使得n解析： 的否定是 ， 的否定是 ，n≥x2的否定是n答案：D
4．命题“ x0∈R，使得f
(x0)＝x0”的否定是( )
A． x∈R，都有f(x)＝x
B．不存在x∈R，使得f(x)≠x
C． x∈R，都有f(x)≠x
D． x∈R，使得f(x0)≠x0
解析：命题的否定为 x∈R，都有f(x)≠x.
答案：C
5．已知命题p： x∈R，x2－2x＋1＞0；命题q： x∈R，sin
x＝1.则下列判断正确的是( )
A．綈q是假命题
B．q假命题
C．綈p是假命题
D．p是真命题
答案：A
二、填空题
6．已知命题p： x∈R，x2－3x＋3
≤0，则綈p为________．
答案： x∈R，x2－3x＋3＞0
7．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定是________．
解析：由题意知，原命题的否定是“过平面外一点与已知平行的直线中，有些直线是不在同一平面内的”．
答案：“过平面外一点与已知平面平行的直线中，有些直线是不在同一平面内的”
8．已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题“ x0>0，f(x0)<0”为真，则m的取值范围是________．
解析：由条件知所以m<－2.
答案：(－∞，－2)
三、解答题
9．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1，2]，使不等式x2＋2ax＋2－a＞0成立”为真，试求参数a的取值范围．
解：由已知得綈p： x∈[1，2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立．
所以设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，
则所以
解得a≤－3，
因为綈p为假，所以a＞－3，
即a的取值范围是(－3，＋∞)．
10．已知命题p： m∈[－1，1]，不等式a2－5a－3≥；命题q:
x，使不等式x2＋ax＋2＜0.若p或q是真命题，綈q是真命题，求a的取值范围．
解：根据p或q是真命题，綈q是真命题，得p是真命题，q是假命题．
因为m∈[－1，1]，所以
∈[2，3]，
因为 m∈[－1，1]，
不等式a2－5a－3≥
，
所以a2－5a－3≥3，所以a≥6或a≤－1.
故命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.
又命题q： x，使不等式x2＋ax＋2＜0，
所以Δ＝a2－8＞0，
所以a＞2或a＜－2，
从而命题q为假命题时，－2≤a≤2，
所以命题p为真命题，q为假命题时，
a的取值范围为－2≤a≤－1.
B级 能力提升
1．已知命题p：“a＝1”是“ x＞0，x＋≥2”的充要条件，命题q： x0∈R，x2＋x－1＞0.则下列结论中正确的是( )
A．命题“p∧q”是真命题；
B．命题“p∧綈q”是真命题；
C．命题“綈p∧q”是真命题；
D．命题“綈p∨綈q”是假命题．
答案：C
2．已知命题p： x＞0，总有(x＋1)ex＞1，则綈p为________．
解析：利用全称命题的否定是特称命题求解．
“ x＞0，总有(x＋1)ex＞1”的否定是“ x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤1”．
答案： x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤1
3．写出命题“已知a＝(1，2)，存在b＝(x，1)，使a＋2b与2a－b平行”的否定，判断其真假并给出证明．
解：命题的否定：已知a＝(1，2)，则对任意的b＝(x，1)，a＋2b与2a－b都不平行，是一个假命题．
证明如下：假设存在b＝(x，1)使a＋2b与2a－b平行，则a＋2b＝(1，2)＋2(x，1)＝(2x＋1，4)．
2a－b＝2(1，2)－(x，1)＝(2－x，3)．
因为a＋2b与2a－b平行，
所以存在λ∈R，使得a＋2b＝λ(2a－b)．
即(2x＋1，4)＝λ(2－x，3)．
所以 2x＋1＝(2－x)．
解得x＝.
这就是说存在b＝使a＋2b与2a－b平行，故已知命题为真命题，其否定为假命题．
PAGE第二章
圆锥曲线与方程
2.2
椭圆
2.2.2
椭圆的简单几何性质
第2课时
椭圆方程及性质的应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．相切或相交
解析：把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，
得＋(3－x)2＝1，
即5x2－24x＋32＝0.
因为Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，
所以直线与椭圆相离．
答案：C
2.如图，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为x－2y＋2＝0，所以y＝x＋1，即＝，
即
＝，所以＝，＝.
答案：D
3．椭圆＋＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )
A．8，2
B．5，4
C．5，1
D．9，1
解析：因为a＝5，c＝4，所以最大距离为a＋c＝9，
最小距离为a－c＝1.
答案：D
4．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为( )
A.
B.
C.
D.
解析：由消去y整理得7x2＋12x＋8＝0，
由弦长公式得|AB|＝×＝.
答案：B
5．已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过其中心的一条弦，则△ABF的面积最大值为( )
A．6
B．15
C．20
D．12
解析：S＝|OF|·|y1－y2|≤|OF|·2b＝12.
答案：D
二、填空题
6．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由联立得：3x2－4x＝0，
可知：A(0，－1)，B，又F1(－1，0)，
所以|F1A|＋|F1B|＝＋＝.
答案：
7．已知椭圆方程是＋＝1，则以A(1，1)为中点的弦MN所在的直线方程为________．
解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则＋＝1，①
＋＝1，②
①－②得＝－，
所以k＝＝－＝－＝－.
所以直线l的方程为y－1＝－(x－1)，
即4x＋9y－13＝0.
答案：4x＋9y－13＝0
8．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________________．
答案：＋＝1
三、解答题
9.在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．
解：设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，代入＋＝1，
并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，
Δ＝9m2－16(m2－7)＝0 m2＝16 m＝±4，
故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，
显然y＝x－4距l最近，且最短距离d＝＝，切点为P.
10．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，＝2.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)如果|AB|＝，求椭圆C的方程．
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由题意知，y1<0，y2>0.
(1)直线l的方程为y＝(x－c)，其中c＝，
联立得(3a2＋b2)y2＋2b2cy－3b4＝0，
解得y1＝，y2＝，
因为＝2，所以－y1＝2y2，
即＝2·，
得离心率e＝＝.
(2)因为|AB|＝|y2－y1|，
所以·＝.
由＝，得b2＝a2，b＝a，
代入上式得a＝，所以a＝3，b＝，
故椭圆C的方程为＋＝1.
B级 能力提升
1．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
答案：D
2．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交C于点B，若＝3，则||＝________．
解析：设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
所以c2＝1，即c＝1，所以右焦点F(1，0)．
所以由＝3得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
所以1＝3(x0－1)且n＝3y0.
所以x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入＋y2＝1，得×＋＝1.
解得n2＝1，所以||＝＝＝.
答案：
3．如图所示，点A、B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
解：(1)由已知可得点A(－6，0)，F(4，0)，
设点P的坐标是(x，y)，则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)．
由已知得
则2x2＋9x－18＝0，
即得x＝或x＝－6.
由于y＞0，只能x＝，于是y＝.
所以点P的坐标是.
(2)直线AP的方程是x－y＋6＝0.
设点M的坐标是
(m，0)，
则M到直线AP的距离是，
于是＝|m－6|，
又－6≤m≤6，解得m＝2，
设椭圆上的点(x，y)到点M的距离d，有
d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝＋15，
由于－6≤x≤6.
所以当x＝时，d取最小值.
PAGE第一章
常用逻辑用语
1.2
充分条件与必要条件
1.2.2
充要条件
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知集合A为数集，则“A∩{0，
1}＝{0}”是“A＝{0}的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：因为“A∩{0，1}＝{0}”得不出“A＝{0}”，而“A＝{0}”
能得出“A∩{0，1}＝{0}”，
所以“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件．
答案：B
2．“x2＞2
013”是“x2＞2
012”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由于“x2＞2
013”时，一定有“x2＞2
012”，反之不成立，
所以“x2＞2
013”是“x2＞2
012”的充分不必要条件．
答案：A
3．在等比数列{an}中，a1＝1，则“a2＝4”是“a3＝16”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：数列{an}中，a1＝1，a2＝4，则a3＝16成立，反过来若a1＝1，a3＝16，则a2＝±4，故不成立，所以“a2＝4”是“a3＝16”的充分不必要条件．
答案：A
4．“m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：(m＋2)x＋3my＋1＝0与(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直的充要条件是(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，
即(m＋2)(4m－2)＝0.
所以m＝－2，或m＝.
故为充分不必要条件．
答案：B
5．已知条件p：x2－3x－4≤0；条件q：x2－6x＋9－m2≤0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是( )
A．[－1，1]
B．[－4，4]
C．(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析：p：－1≤x≤4，q：3－m≤x≤3＋m(m>0)或3＋m≤x≤3－m(m<0)，
依题意，或
解得m≤－4或m≥4.
答案：C
二、填空题
6．给定空间中直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的________条件．
解析：“直线l与平面α内两条相交直线都垂直” “直线l与平面α垂直”．
答案：充要条件
7．已知α，β角的终边均在第一象限，则“α>β”是“sin
α>sin
β”的________(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”
“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)．
解析：若α＝370°>β＝30°，而sin
αβ，所以“α>β”推不出“sin
α>sin
β”，若sin
30°>sin
370°，而30°<370°，所以sin
α>sin
β推不出α>β.
答案：既不充分也不必要条件
8．已知p：x2－4x－5>0，q：x2－2x＋1－λ2>0，若p是q的充分不必要条件，则正实数λ的取值范围是________．
解析：命题p成立，x2－4x－5>0，得x>5或x<－1；命题q成立，x2－2x＋1－λ2>0(λ>0)得x>1＋λ或x<1－λ，由于p是q的充分不必要条件，所以1＋λ≤5，1－λ≥－1，等号不能同时成立，解得λ≤2，由于λ>0，因此0<λ≤2.
答案：(0，2]
三、解答题
9．已知条件p：|x－1|＞a和条件q：2x2－3x＋1＞0，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.
解：依题意a＞0.由条件p：|x－1|＞a得x－1＜－a，或x－1＞a，所以x＜1－a，或x＞1＋a，由条件q：2x2－3x＋1＞0得x＜，或x＞1.
要使p是q的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，应有
解得a≥.
令a＝1，则p：x＜0，或x＞2，
此时必有x＜，或x＞1.
即p q，反之不成立．
所以，使p是q的充分不必要条件的最小正整数a＝1.
10．已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
证明：(1)必要性．
因为a＋b＝1，所以a＋b－1＝0.
所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝
(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
(2)充分性．
因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
即(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
又ab≠0，所以a≠0且b≠0.
因为a2－ab＋b2＝＋b2＞0.
所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0
B级 能力提升
1．已知函数f(x)＝则“a≤－2”是“f(x)在R上单调递减”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：C
2．设集合A＝{x|x(x－1)＜0}，B＝{x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)．
解析：由于A＝{x|0＜x＜1}，则A B，所以“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
3．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x||x－1|≤m}．
(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出m的范围．
(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件？若存在，求出m的范围．
解：(1)由题意x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S.
由x2－8x－20≤0 －2≤x≤10，
所以P＝[－2，10]．
由|x－1|≤m 1－m≤x≤1＋m，
所以S＝[1－m，1＋m]．
要使P＝S，则
所以所以这样的m不存在．
(2)由题意x∈P是x∈S的必要条件，则S P.
由|x－1|≤m，可得1－m≤x≤m＋1，
要使S P，则所以m≤3.
故m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．
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