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课堂10分钟达标
1.命题“ x∈R,|x|+x2≥0”的否定是 ( )
A. x∈R,|x|+x2<0
B. x∈R,|x|+x2≤0
C. x0∈R,|x0|+<0
D. x0∈R,|x0|+≥0
【解析】选C.条件 x∈R的否定是 x0∈R,结论“|x|+x2≥0”的否定是“|x0|+<0”.
2.关于命题p:“ x∈R,x2+1≠0”的叙述,正确的是 ( )
A.p: x0∈R,x2+1≠0
B.p: x∈R,x2+1=0
C.p是真命题,p是假命题
D.p是假命题,p是真命题
【解析】选C.命题p:“ x∈R,x2+1≠0”的否定是“ x0∈R,+1=0”.所以p是真命题,p是假命题.
3.已知命题p: x∈R,2x<3x;命题q: x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是
( )
A.p∧q
B
.p∧q
C.p∧(q)
D.(p)∧(q)
【解析】选B.由指数函数的性质知,命题p是错误的.而命题q是正确的.
4.命题:“有的三角形是直角三角形”的否定是:_
_.
【解析】命题:“有的三角形是直角三角形”是特称命题,其否定是全称命题,按照特称命题改为全称命题的规则,即可得到该命题的否定.
答案:所有的三角形都不是直角三角形
5.命题“同位角相等”的否定为________,否命题为________.
【解析】全称命题的否定是特称命题,“若p,则q”的否命题是“若p,则q”.故否定为:有的同位角不相等.否命题为:若两个角不是同位角,则它们不相等.
答案:有的同位角不相等 若两个角不是同位角,则它们不相等
6.写出命题“已知a=(1,2),存在b=(x,1),使a+2b与2a-b平行”的否定,判断其真假并给出证明.
【解析】命题的否定:已知a=(1,2),则对任意的b=(x,1),a+2b与2a-b都不平行,是一个假命题.
证明如下:假设存在b=(x,1)使a+2b与2a-b平行,则a+2b=(1,2)+2(x,1)
=(2x+1,4).
2a-b=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3).
因为a+2b与2a-b平行,
所以存在λ∈R,使得a+2b=λ(2a-b).
即(2x+1,4)=λ(2-x,3).
所以 2x+1=(2-x).
解得x=.
这就是说存在b=使a+2b与2a-b平行,故已知命题为真命题,其否定为假命题.
7.【能力挑战题】已知命题“存在x0∈R,a-2ax0-3>0”是假命题,求实数a的取值范围.
【解析】因为命题“存在x0∈R,a-2ax0-3>0”的否定为“对于任意x∈R,ax2-2ax-3≤0恒成立”,由命题真,其否定假;命题假,其否定真可知该命题的否定是真命题.事实上,当a=0时,对任意的x∈R,不等式-3≤0恒成立;当a≠0时,借助二次函数的图象,数形结合,很容易知道不等式ax2-2ax-3≤0恒成立的等价条件是a<0且其判别式Δ=4a2+12a≤0,即-3≤a<0;
综上知,实数a的取值范围是[-3,0].
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课后提升作业
十六
抛物线的简单几何性质
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2015·陕西高考)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则抛物线焦点坐标为 ( )
A.(-1,0)
B.(1,0)
C.(0,-1)
D.(0,1)
【解析】选B.因为抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),所以=1,所以该抛物线焦点坐标为(1,0).
2.经过抛物线y2=2x的焦点且平行于直线3x-2y+5=0的直线l的方程是 ( )
A.6x-4y-3=0
B.3x-2y-3=0
C.2x+3y-2=0
D.2x+3y-1=0
【解析】选A.设直线l的方程为3x-2y+c=0,抛物线y2=2x的焦点F,
所以3×-2×0+c=0,
所以c=-,故直线l的方程是6x-4y-3=0.
3.(2016·衡水高二检测)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则p的值为 ( )
A.-2
B.2
C.-4
D.4
【解析】选D.椭圆+=1的右焦点为(2,0),
所以=2,所以p=4.
4.(2016·武汉高二检测)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为 ( )
A.-
B.-1
C.-
D.-
【解析】选C.因为抛物线C:y2=2px的准线为x=-,且点A(-2,3)在准线上,故-=-2,解得p=4,所以y2=8x,所以焦点F的坐标为(2,0),这时直线AF的斜率kAF==-.
5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos∠AFB=
( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选D.由得x2-5x+4=0,
所以x=1或x=4.不妨设A(4,4),B(1,-2),
则||=5,||=2,·=(3,4)·(0,-2)=-8,
所以cos∠AFB===-.
6.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,
l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为 ( )
A.18
B.24
C.36
D.48
【解析】选C.如图所示,设抛物线方程为y2=2px(p>0).
因为当x=时,|y|=p,所以p===6.
又P到AB的距离始终为p,所以S△ABP=×12×6=36.
【补偿训练】设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是 ( )
A.(0,2) B.[0,2]
C.(2,+∞)
D.[2,+∞)
【解析】选C.因为x2=8y,所以焦点F的坐标为(0,2),准线方程为y=-2.由抛物线的定义知|FM|=y0+2.
以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x2+(y-2)2=(y0+2)2.
由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交,
又圆心F到准线的距离为4,故4
所以y0>2.
7.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点，交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为(
)
A.2
B.4
C.6
D.8
【解析】选B.以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理可得.
设抛物线为y2=2px(p>0)，设圆的方程为x2+y2=r2，题目条件翻译如图：
设
点A(x0,2)在抛物线y2=2px上，所以8=2px0.①
点D在圆x2+y2=r2上，所以5+=r2.②
点A(x0,2)在圆x2+y2=r2上，所以x02+8=r2.③
联立①②③解得：p=4，焦点到准线的距离为p=4．
8.(2016·天津高二检测)若抛物线x2=2y上距离点A(0,a)的最近点恰好是抛物线的顶点,则a的取值范围是 ( )
A.a>0
B.0C.a≤1
D.a≤0
【解析】选C.设抛物线上任一点P的坐标为(x,y),则
|PA|2=d2=x2+(y-a)2=2y+(y-a)2=y2-(2a-2)y+a2=[y-(a-1)]2+(2a-1).
因为y∈[0,+∞),根据题意知,
(1)当a-1≤0,即a≤1,y=0时,=a2.这时dmin=|a|.
(2)当a-1>0,即a>1时,y=a-1时d2取到最小值,不符合题意.
综上可知a≤1.
【易错警示】忽视了y的取值范围是[0,+∞),只想到当点在y轴负半轴时,d最小,导致错选D,或胡乱猜测以致错选B.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.以双曲线-=1的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程为________.
【解析】由-=1知a2=4,b2=5,
所以c2=a2+b2=9,双曲线的右焦点为(3,0),
依题意,抛物线的焦点F(3,0),=3,
所以p=6,所以抛物线的方程为y2=12x.
答案:y2=12x
10.(2016·长春高二检测)已知点P是抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上射影是M,点A(4,6),则|PA|+|PM|的最小值是________.
【解题指南】将P到y轴的距离,转化为点P到焦点的距离,当A,P,F共线时,|PA|+|PM|最小.
【解析】由y2=4x,得p=2,
所以焦点F(1,0),如图,
|PM|=|PN|-=|PF|-1,
所以|PA|+|PM|
=|PA|+|PF|-1≥|AF|-1=-1=3-1.
答案:3-1
【补偿训练】抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点A是抛物线上一点,且
∠AFO=120°(O为坐标原点),AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是________.
【解析】如图,设A(x0,y0),过A作AH⊥x轴于H,
在Rt△AFH中,|FH|=x0-1,由∠AFO=120°,得∠AFH=60°,
故y0=|AH|=(x0-1).所以点A的坐标为(x0,(x0-1)),
将此代入抛物线方程可得3-10x0+3=0,
解得x0=3或x0=(舍),
故S△AKF=×(3+1)×2=4.
答案:4
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,求抛物线的标准方程.
【解题指南】由双曲线离心率求得其渐近线方程,从而求得交点A,B的坐标,即可得到三角形面积表达式,从而得到p的值,进而写出标准方程.
【解析】由已知得=2,所以=4,解得=,
即渐近线方程为y=±x.
而抛物线准线方程为x=-,
于是A,B,
从而△AOB的面积为·p·=,可得p=2.因为抛物线开口向右,所以其标准方程为y2=4x.
12.若直线l过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线交于A,B两点,且线段AB中点的横坐标为2,求线段AB的长.
【解析】因为抛物线方程为y2=4x,
所以抛物线的焦点为F(1,0),准线为:x=-1,
设线段AB的中点为M(2,y0),
则M到准线的距离为:|MN|=2-(-1)=3,过A,B分别作AC,BD与准线垂直,垂足分别为C,D.根据梯形中位线定理,可得|AC|+|BD|=2|MN|=6.再由抛物线的定义知:|AF|=|AC|,|BF|=|BD|.
所以|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=6.
即线段AB的长为6.
【能力挑战题】
已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点为F,准线为l,抛物线C上一点A的横坐标为3,且点A到准线l的距离为5.
(1)求抛物线C的方程.
(2)若P为抛物线C上的动点,求线段FP的中点M的轨迹方程.
【解析】(1)由题意得,3+=5,所以p=4,
所以抛物线的方程为y2=8x.
(2)由(1)知F(2,0),设P(x0,y0),M(x,y),
则即
而点P(x0,y0)在抛物线C上,=8x0,
所以(2y)2=8(2x-2),即y2=4(x-1),
此即为所求点M的轨迹方程.
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课时提升作业(十七)
抛物线方程及性质的应用
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.抛物线y=x2的焦点关于直线x-y-1=0的对称点的坐标是 ( )
A.(2,-1)
B.(1,-1)
C.
D.
【解析】选A.y=x2 x2=4y,焦点为(0,1),其关于x-y-1=0的对称点为(2,-1).
2.(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,点A,B是C的准线与E的两个交点,则=( )
A.3
B.6
C.9
D.12
【解析】选B.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),右焦点为(c,0),依题意得解得a=4,由b2=a2-c2=16-4=12,所以椭圆E的方程为+=1,因为抛物线C:y2=8x的准线为x=-2,将x=-2代入到+=1,解得A(-2,3),B(-2,-3),故=6.
3.已知抛物线C:x2=y,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.∪
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-∞,-)∪(,+∞)
【解析】选D.显然t≠0,直线AB的方程为y=x-1,代入抛物线方程得2tx2-4x+t=0.
由题意Δ=16-8t2<0,解得t<-或t>.
【补偿训练】设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线与抛物线有公共点,则直线斜率的取值范围是 ( )
A.
B.[-2,2]
C.[-1,1]
D.[-4,4]
【解析】选C.准线x=-2,Q(-2,0),设y=k(x+2),
由得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,
当k=0时,x=0,即交点为(0,0),当k≠0时,Δ≥0,
-1≤k<0或04.(2015·黄冈高二检测)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过点F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是 ( )
A.4 B.3 C.4 D.8
【解析】选C.由抛物线的定义知AF=AK,
又∠KAF=60°,所以△AFK是正三角形.
联立方程组
消去y得3x2-10x+3=0,
解得x=3或x=.由题意得A(3,2),
所以△AKF的边长为4,面积为×4×2=4.
5.(2015·成都高二检测)将两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则 ( )
A.n=0
B.n=1
C.n=2
D.n≥3
【解题指南】借助抛物线及正三角形的对称性求解本题,注意数形结合.
【解析】选C.根据抛物线的对称性,正三角形的两个顶点一定关于x轴对称,且过焦点的两条直线倾斜角分别为30°和150°,如图,所以正三角形的个数n=2.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.沿直线y=-2发出的光线经抛物线y2=ax反射后,与x轴相交于点A(2,0),则抛物线的准线方程为 (抛物线的光学性质:从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行).
【解析】由直线y=-2平行于抛物线的对称轴知A(2,0)为焦点,故准线方程为x=-2.
答案:x=-2
7.直线y=x-1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是 .
【解析】设直线y=x-1与抛物线y2=4x交于A(x1,y1),
B(x2,y2),其中点为P(x0,y0),
由题意得
消去y,整理得(x-1)2=4x,即x2-6x+1=0.
所以x0==3,y0=x0-1=2.所以P(3,2).
答案:(3,2)
【一题多解】=4x2,=4x1,-=4x2-4x1,=4.
所以y1+y2=4,即y0=2,因此x0=y0+1=3.故中点为P(3,2).
答案:(3,2)
8.(2015·吉林高二检测)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与抛物线的一个交点为B,若=,则p= .
【解析】由题知准线l为x=-(p>0),
过点M且斜率为的直线为y=(x-1),
则A,
设B(x,0),由=可知
M为AB的中点,又M(1,0),
所以
即
代入y2=2px可知,
p2+4p-12=0,
即p=2或p=-6(舍去).
答案:2
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.
(1)求实数b的值.
(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
【解题指南】利用直线l与抛物线C相切,联立方程,由Δ=0求实数b的值;由直线与圆相切求圆的方程.
【解析】(1)由得x2-4x-4b=0.(
)
因为直线l与抛物线C相切,
所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0.
解得b=-1.
(2)由(1)可知b=-1,故方程(
)为x2-4x+4=0.
解得x=2,代入x2=4y,得y=1,
故点A(2,1).
因为圆A与抛物线C的准线相切,
所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,
即r=|1-(-1)|=2,
所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
10.(2015·济南高二检测)如图,已知点P(-3,0),点Q在x轴上,点A在y轴上,且·=0,=2.当点A在y轴上移动时,求动点M的轨迹方程.
【解题指南】设出点M的坐标,利用·=0,=2,求动点M的轨迹方程.
【解析】设动点M(x,y),A(0,b),Q(a,0),
因为P(-3,0),
所以=(3,b),=(a,-b),=(x-a,y),
因为·=0,
所以(3,b)·(a,-b)=0,即3a-b2=0.①
因为=2,
所以(x-a,y)=2(a,-b),即x=3a,y=-2b.②
由①②得y2=4x.
所以动点M的轨迹方程为y2=4x.
【补偿训练】若动点P在y=2x2+1上移动,求点P与Q(0,-1)连线中点的轨迹方程.
【解析】设PQ中点为M(x,y),P(x0,y0),
则所以
又因为y0=2+1,所以2y+1=8x2+1.
即y=4x2为所求的轨迹方程.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2014·辽宁高考)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为 ( )
A. B. C. D.
【解题指南】由直线与C相切求B点的坐标,由斜率公式求直线BF的斜率.
【解析】选D.因为抛物线C:y2=2px的准线为x=-,且点A(-2,3)在准线上,所以p=4.设直线AB的方程为x+2=m(y-3),与抛物线方程y2=8x联立得到y2-8my+24m+16=0,由题易知Δ=0,解得m=-(舍)或m=2,这时B点的坐标为(8,8),而焦点F的坐标为(2,0),故直线BF的斜率kBF==.
2.(2014·四川高考)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是 ( )
A.2
B.3
C.
D.
【解析】选B.由题意可知,F.设A(,y1),B(,y2),
所以·=y1y2+=2,
解得y1y2=1或y1y2=-2.又因为A,B两点位于x轴两侧,所以y1y2<0,即y1y2=-2.
当≠时,AB所在直线方程为y-y1=(x-)=(x-),
令y=0,得x=-y1y2=2,即直线AB过定点C(2,0).
于是S△ABO+S△AFO=S△ACO+S△BCO+S△AFO=×2|y1|+×2|y2|+×|y1|=×(9|y1|+8|y2|)≥×2=3,当且仅当9|y1|=8|y2|且y1y2=-2时,等号成立.当=时,取y1=,y2=-,则AB所在直线的方程为x=2,此时求得S△ABO+S△AFO=2××2×+××=.而>3,故最小值为3.
【误区警示】本题在求解时常因忽略条件“点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧”导致解题错误.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.平面上有三个点A(-2,y),B,C(x,y),若AB⊥BC,则动点C的轨迹方程为 .
【解析】=-(-2,y)=,=(x,y)-=.因为AB⊥BC,所以·=0,所以·=0,即y2=8x.所以动点C的轨迹方程为y2=8x.
答案:y2=8x
4.(2015·漳州高二检测)已知过抛物线y2=4x焦点的一条弦AB,A(x1,y1),B(x2,y2),AB所在直线与y轴的交点坐标为(0,2),则+= .
【解析】弦AB是过焦点F(1,0)的弦,又过点(0,2),
所以其方程为x+=1,
2x+y-2=0与y2=4x联立得
y2+2y-4=0,y1+y2=-2,y1y2=-4,
+===.
答案:
【补偿训练】线段AB是抛物线y2=x的一条焦点弦,且|AB|=4,则线段AB的中点C到直线x+=0的距离是 .
【解析】线段AB的中点C到准线x=-的距离为|AB|长的一半,则中点C到直线x+=0的距离为.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.如图,过抛物线y2=x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB,AC,交抛物线于B,C两点,求证:直线BC的斜率是定值.
【证明】设kAB=k(k≠0),
因为直线AB,AC的倾斜角互补,
所以kAC=-k(k≠0),
AB的方程是y=k(x-4)+2.
由方程组
消去y后,整理得
k2x2+(-8k2+4k-1)x+16k2-16k+4=0.
因为A(4,2),B(xB,yB)的横坐标是上述方程的解,
所以4·xB=,
即xB=.
以-k代换xB中的k,得xC=,
所以kBC==
===-.
所以直线BC的斜率是定值.
【补偿训练】如图,已知△AOB的一个顶点为抛物线y2=2x的顶点O,A,B两点都在抛物线上,且∠AOB=90°.
(1)证明直线AB必过一定点.
(2)求△AOB面积的最小值.
【解析】(1)设OA所在直线的方程为y=kx(k≠0),则直线OB的方程为y=-x,
由解得或
即A点的坐标为.
同理由
解得B点的坐标为(2k2,-2k).
所以AB所在直线的方程为y+2k=(x-2k2),
化简并整理,得y=x-2.
不论实数k取任何不等于0的实数,当x=2时,恒有y=0.
故直线过定点P(2,0).
(2)由于AB所在直线过定点P(2,0),所以可设AB所在直线的方程为x=my+2.
由消去x并整理得y2-2my-4=0.
所以y1+y2=2m,y1y2=-4.
于是|y1-y2|====2.
S△AOB=×|OP|×(|y1|+|y2|)
=|OP|·|y1-y2|=×2×2=2.
所以当m=0时,△AOB的面积取得最小值为4.
6.(2014·安徽高考)如图,已知两条抛物线E1:y2=2p1x(p1>0)和E2:y2=2p2x(p2>0),过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点.
(1)证明:A1B1∥A2B2.
(2)过原点O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点.记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值.
【解题指南】(1)设出两条直线的方程,联立抛物线方程,求出点A1,A2,B1,B2的坐标,利用向量证明平行关系.
(2)利用两个相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解.
【解析】(1)设直线l1,l2的方程分别为y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),
则由 A1,
由 A2,
同理可得B1,B2,
所以=
=2p1,
=
=2p2,
故=,所以A1B1∥A2B2.
(2)由(1)知A1B1∥A2B2,同理可得B1C1∥B2C2,A1C1∥A2C2,所以△A1B1C1相似于
△A2B2C2,
因此=,又由(1)中的=知=,故=.
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课时提升作业(一)
命 题
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.下列语句中,是命题的是 ( )
A.π是无限不循环小数
B.3x≤5
C.什么是“绩效工资”
D.今天的天气真好呀!
【解析】选A.疑问句和祈使句不是命题,C,D不是命题,对于B无法判断真假,故只有A是命题.
2.(2015·武昌高二检测)“红豆生南国,春来发几枝 愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》诗,在这四句诗中,可以为命题的是 ( )
A.红豆生南国
B.春来发几枝
C.愿君多采撷
D.此物最相思
【解题指南】明确构成命题的两个条件:一必须是陈述句,二能够判断真假.
【解析】选A.“红豆生南国”是陈述句,所述事件在唐代是事实,所以本句是命题,且是真命题;“春来发几枝”是疑问句,“愿君多采撷”是祈使句,“此物最相思”是感叹句,都不是命题,故选A.
3.已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题,那么下列命题中真命题的个数为 ( )
①M中的元素都不是P的元素;
②M中有不属于P的元素;
③M中有属于P的元素;
④M中的元素不都是P的元素.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.因为命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题,因此M中有不属于P的元素,也可能有属于P的元素,故②④正确,因此选B.
【延伸探究】本题中“是假命题”若改为“是真命题”,其结论又如何呢
【解析】选A.③正确,①②④错误.
4.命题“6的倍数既能被2整除,也能被3整除”的结论是 ( )
A.这个数能被2整除
B.这个数能被3整除
C.这个数既能被2整除,也能被3整除
D.这个数是6的倍数
【解析】选C.“若p,则q”的形式:若一个数是6的倍数,则这个数既能被2整除,也能被3整除.所以该命题的结论是这个数既能被2整除,也能被3整除.
【误区警示】解答本题易出现分不清条件和结论而错选A或B的错误.
5.(2015·潍坊高二检测)“若x2-2x-8<0,则p”为真命题,那么p是 ( )
A.{x|-2B.{x|2C.{x|x>4或x<-2}
D.{x|x>4或x<2}
【解析】选A.解不等式x2-2x-8<0得不等式的解集为{x|-2二、填空题(每小题5分,共15分)
6.下列语句:
①四边形的内角和为360°;②0是最小的偶数吗
③两直线平行,同位角相等;④若两直线不平行,则它们相交.
其中,不是命题的序号为 ,真命题的序号为 .
【解析】②是疑问句,不是命题.其余都是命题.①③是真命题,若两直线不平行,则它们相交或为异面直线,④是假命题.
答案:② ①③
7.(2015·台州高二检测)把“正弦函数是周期函数”写成“若p,则q”的形式是 .
【解析】该命题的条件是函数为正弦函数,结论是周期函数,故“若p,则q”的形式为“若函数为正弦函数,则此函数是周期函数”.
答案:若函数为正弦函数,则此函数是周期函数
【延伸探究】判断本题中命题的真假.
【解析】因为正弦函数是周期函数,所以该命题为真命题.
8.(2015·西安高二检测)下列命题中,真命题是 (填序号).
①若a2=b2,则|a|=|b|;
②若M∩N=N,则M N;
③函数y=sinx,x∈[0,2π]是周期函数;
④若直线l与m异面,m与n异面,则l与n异面.
【解析】①是真命题.②中若M∩N=N,则N M,故是假命题.③周期函数的定义域应为R,故函数y=sinx,x∈[0,2π]不是周期函数,是假命题.④中l与m异面,m与n异面,则l与n可能异面,也可能平行或相交,故是假命题.
答案:①
【补偿训练】(2015·连云港高二检测)下列命题:①若xy=1,则x,y互为倒数;②平行四边形是梯形;③若x,y互为相反数,则x+y=0.其中真命题为 .
【解析】①是真命题,②平行四边形不是梯形,假命题,③为真命题.
答案:①③
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.判断下列语句是否为命题,并说明理由.
(1)指数函数是增函数吗
(2)x>.
(3)x=2和x=3是方程x2-5x+6=0的根.
(4)请把窗户关上.
(5)8>7.
(6)这是一棵大树.
【解题指南】从两个方面判断:一是看是否为陈述句,二是看能否判断真假.
【解析】(1)是疑问句,不是陈述句,所以不是命题.
(2)(6)不能判断真假,不是命题.
(3)(5)是陈述句且能判断真假,是命题.
(4)是祈使句,不是陈述句,所以不是命题.
10.判断下列命题的真假.
(1)形如a+b的数是无理数.
(2)负项等差数列的公差小于零.
(3)函数y=ax是指数函数.
(4)关于x的方程ax+1=x+2有惟一解.
【解析】(1)为假命题,如当a=1,b=时,a+b是有理数.
(2)为假命题,如数列-10,-8,-6,-4,-2,它的公差是2.
(3)当a>0且a≠1时,函数y=ax是指数函数,所以是假命题.
(4)关于x的方程ax+1=x+2即(a-1)x=1,当a=1时,方程无解;当a≠1时,方程有惟一解,所以是假命题.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·郑州高二检测)有下列命题:
①若xy=0,则|x|+|y|=0;②若a>b,c≠0,则ac>bc;③矩形的对角线互相垂直.
其中真命题共有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选A.①由x·y=0得到x=0或y=0,
所以|x|+|y|=0不正确,是假命题;
②当a>b,c≠0时,ac>bc不一定成立,所以是假命题;
③矩形的对角线不一定垂直,不正确,是假命题.
2.(2015·杭州高二检测)设l是直线,α,β是两个不同的平面,则下列为真命题的是 ( )
A.若l∥α,l∥β,则α∥β
B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β
C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥β
D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
【解析】选B.若l∥α,l∥β,则α∥β或α与β相交,选项A不正确;若l∥α,过l的平面与平面α交于直线m,则l∥m,又l⊥β,所以m⊥β,又m α,从而α⊥β,选项B正确;若α⊥β,l⊥α,则l∥β或l β,选项C不正确;若α⊥β,l∥α,则l⊥β或l∥β或l与β斜交,选项D不正确.
【补偿训练】(2015·广州高二检测)已知直线m,n互不重合,平面α,β互不重合,下列命题正确的是 ( )
A.若m∥α,m∥n,则n∥α
B.若m⊥α,m⊥n,则n∥α
C.若m⊥α,n⊥α,则m∥n
D.若α∩β=m,m∥n,则n∥α且n∥β
【解析】选C.若m∥α,m∥n,则n∥α或n α,故A不正确;若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n α,故B不正确;若m⊥α,n⊥α,则m∥n,故C正确;
若α∩β=m,m∥n,则n∥α且n∥β或直线n在其中一个平面内,所以D不正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.关于平面向量a,b,c,有下列三个命题:
①若a·b=a·c,则b=c.
②若a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则k=-3.
③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为60°.
其中真命题的序号为 .
【解析】①中由a·b=a·c得a·(b-c)=0,不一定有b=c,①错.
②中由条件得-2k=6,所以k=-3,正确.
③中由条件得以|a|,|b|,|a-b|为边长的三角形为等边三角形,所以a与a+b的夹角为30°,③错.
答案:②
4.(2015·济宁高二检测)命题:若a>0,则二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包括边界),条件p: ,结论q: ,是 命题.(填“真”或“假”)
【解题指南】本题主要利用线性规划的知识再结合命题的相关概念判断.
【解析】该命题的条件是a>0,结论是二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包括边界),又由a>0可知,直线x+ay-1=0的斜率小于0,截距大于0,把(0,0)代入,知原点不在x+ay-1≥0的区域内,故该命题是真命题.
答案:a>0 二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包括边界) 真
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假:
(1)实数的平方是非负数.
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形.
(3)角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
【解析】(1)若一个数是实数,则它的平方是非负数,真命题.
(2)若两个三角形等底等高,则这两个三角形是全等三角形,假命题.
(3)若一个点是一个角的平分线上的点,则该点到这个角的两边的距离相等,真命题.
6.判断“函数f(x)=2x-x2有三个零点”是否为命题.若是命题,是真命题还是假命题 说明理由.
【解析】这是可以判断真假的陈述句,所以是命题,且是真命题.
函数f(x)=2x-x2的零点即方程2x-x2=0的实数根,也就是方程2x=x2的实数根,即函数y=2x,y=x2的图象的交点的横坐标,易知指数函数y=2x的图象与抛物线y=x2有三个交点,所以函数f(x)=2x-x2有三个零点.
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课时提升作业(三)
四种命题间的相互关系
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2015·蚌埠高二检测)命题“若a,b都是奇数,则ab必为奇数”的等价命题是 ( )
A.如果ab是奇数,则a,b都是奇数
B.如果ab不是奇数,则a,b不都是奇数
C.如果a,b都是奇数,则ab不是奇数
D.如果a,b不都是奇数,则ab不是奇数
【解析】选B.因为a,b都是奇数的否定是a,b不都是奇数,
“ab必为奇数”的否定为“ab不为奇数”,
所以命题“若a,b都是奇数,则ab必为奇数”,
逆否命题是:若ab不是奇数,则a,b不都是奇数.
【补偿训练】(2015·日照高二检测)与命题“若a·b=0,则a⊥b”等价的命题是 ( )
A.若a·b≠0,则a不垂直于b
B.若a⊥b,则a·b=0
C.若a不垂直于b,则a·b≠0
D.若a·b≠0,则a⊥b
【解析】选C.原命题与其逆否命题为等价命题.
2.命题“若p,则q”是真命题,则下列命题一定是真命题的是 ( )
A.若p,则q
B.若q,则p
C.若q,则p
D.若q,则p
【解题指南】利用命题的等价关系判断.
【解析】选C.若“p,则q”的逆否命题是“若q,则p”,又因为互为逆否命题所以真假性相同.
所以“若q,则p”一定是真命题.
3.命题“若a>b,则ac2>bc2(a,b,c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 ( )
A.0
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.原命题“若a>b,则ac2>bc2(a,b,c∈R)”为假命题;逆命题“若ac2>bc2,则a>b(a,b,c∈R)”为真命题;否命题“若a≤b,则ac2≤bc2(a,b,c∈R)”为真命题;逆否命题“若ac2≤bc2,则a≤b(a,b,c∈R)”为假命题.
【补偿训练】已知命题p:若a>0,则方程ax2+2x=0有解,则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为 ( )
A.3
B.2
C.1
D.0
【解析】选B.易知原命题和逆否命题都是真命题,否命题和逆命题都是假命题.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.(2015·昆明高二检测)写出命题“若x∈A∪B,则x∈A或x∈B”的逆否命题为 .
【解析】否定命题“若x∈A∪B,则x∈A或x∈B”的结论做条件,
否定命题“若x∈A∪B,则x∈A或x∈B”的条件做结论,
得到命题“若x∈A∪B,则x∈A或x∈B”的逆否命题为:
若x A且x B,则x A∪B.
答案:若x A且x B,则x A∪B
5.(2015·广州高二检测)已知命题“若m-1【解析】由已知得,若11≤m≤2.
答案:[1,2]
三、解答题
6.(10分)(2015·泰安高二检测)判断命题“已知a,x为实数,如果关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,则a≥1”的逆否命题的真假.
【解析】逆否命题:已知a,x为实数,如果a<1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集,真命题.判断如下:
抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上,
判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.
因为a<1,所以4a-7<0,
即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点,
所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集,故逆否命题为真命题.
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·厦门高二检测)给出命题:已知a,b为实数,若a+b=1,则ab≤.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是 ( )
A.3
B.2
C.1
D.0
【解题指南】四种命题中原命题与逆否命题真假性一致,逆命题与否命题真假性一致,因此要判断一个命题的真假可判断其逆否命题的真假.
【解析】选C.由ab≤得:a+b=1,则有ab≤,原命题是真命题,所以逆否命题是真命题;逆命题:若ab≤,则a+b=1不成立,反例a=b=0满足ab≤但不满足a+b=1,所以逆命题是假命题,否命题也是假命题.
2.已知命题p:“若a>b>0,则loaA.0
B.1
C.2
D.4
【解析】选C.对于命题p,当a>b>0时,有loa>0,此时不一定有a>b>0,因此逆命题不正确,则命题p的否命题也不正确.因此一共有2个正确命题.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·包头高二检测)命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为 ,是 命题(填“真”或“假”).
【解题指南】求原命题的等价命题即为原命题的逆否命题,只需把原命题的条件与结论既交换又否定即可.
【解析】命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为“已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0”,是真命题.
答案:已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0 真
4.设有两个命题:
①关于x的不等式mx2+1≥0的解集是R;
②函数f(x)=logmx是减函数(m>0且m≠1).
如果这两个命题中有且只有一个真命题,则m的取值范围是 .
【解析】若①真,②假,则故m>1.
若①假,②真,则无解.
综上所述,m的取值范围是m>1.
答案:m>1
【延伸探究】本题中若两命题均为真命题,则m的取值范围是 .
【解析】若①②均真,则故0答案:0三、解答题
5.(10分)已知a,b,c∈R,证明:若a+b+c<1,则a,b,c中至少有一个小于.
【证明】原命题的逆否命题为:已知a,b,c∈R,若a,b,c都大于或等于,则a+b+c≥1.
由条件a≥,b≥,c≥,
得a+b+c≥1.
显然逆否命题为真命题,
所以原命题也为真命题.
即已知a,b,c∈R,若a+b+c<1,
则a,b,c中至少有一个小于.
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课堂10分钟达标
1.下列说法正确的是 ( )
A.对所有的正实数t,有B.存在实数x0,使-3x0-4=0
C.不存在实数x0,使x0<4且+5x0-24=0
D.存在实数x0,使得|x0+1|≤1且>4
【解析】选B.t=时,=,此时>t,所以A选项错;
由x2-3x-4=0,得x=-1或x=4,因此当x0=-1或x0=4时,-3x0-4=0,故B选项正确;
由x2+5x-24=0,得x=-8或x=3,所以C选项错;
由|x+1|≤1,得-2≤x≤0,由x2>4,得x<-2或x>2,所以D选项错.
2.下列命题不是“ x0∈R,>3”的表述方法的是 ( )
A.有一个x0∈R,使>3
B.有些x0∈R,使>3
C.任选一个x∈R,使x2>3
D.至少有一个x0∈R,使>3
【解析】选C.“任选一个x∈R,使x2>3”是全称命题,不能用符号“ ”表示.
3.给出下列四个命题:
①a⊥b a·b=0;②矩形都不是梯形;
③ x0,y0∈R,+≤1;
④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于-1.其中全称命题是________.
【解析】在②,④中含有全称量词“都”“任意”,为全称命题.③为特称命题.又①中的实质是:对任意a,b有a⊥b a·b=0,故①②④为全称命题.
答案:①②④
4.命题“ x∈(-1,1),2x+a=0”是真命题,则a的取值范围是________.
【解析】设f(x)=2x+a,则f(x)=2x+a在(-1,1)内有零点,
所以(a+2)(a-2)<0,解得-2答案:-25.命题p:已知a>0,函数y=ax在R上是减函数,命题q:方程x2+ax+1=0有两个正根,若p或q为真命题,p且q为假命题,则实数a的取值范围__________.
【解析】若命题p为真,即函数y=ax在R上是减函数,
所以0若命题q为真,方程x2+ax+1=0有两个正根,
即
因为p或q为真命题,p且q为假命题,
所以命题p与q中一真一假,
当p真q假时,则满足即0当p假q真时,则满足即a∈ ;
综上所述,a的取值范围为{a|0答案:{a|06.判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假:
(1) x0,x0-2≤0.
(2)三角形两边之和大于第三边.
(3)有些整数是偶数.
【解析】(1)特称命题.x0=1时,x0-2=-1≤0,故特称命题“ x0,x0-2≤0”是真命题.
(2)全称命题.三角形中,任意两边之和大于第三边.故全称命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题.
(3)特称命题.2是整数,2也是偶数.故特称命题“有些整数是偶数”是真命题.
7.【能力挑战题】若任意x∈R,函数f(x)=mx2+x-m-a的图象和x轴恒有公共点,求实数a的取值范围.
【解析】(1)当m=0时,f(x)=x-a与x轴恒相交,所以a∈R.
(2)当m≠0时,二次函数f(x)=mx2+x-m-a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ=1+4m(m+a)≥0恒成立,即4m2+4am+1≥0恒成立.
又4m2+4am+1≥0是一个关于m的二次不等式,恒成立的充要条件是Δ=(4a)2-16≤0,
解得-1≤a≤1.
综上所述,当m=0时,a∈R;
当m≠0时,a∈[-1,1].
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课后提升作业
九
椭圆及其标准方程
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.设F1,F2为定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则动点M的轨迹是
( )
A.椭圆
B.直线
C.圆
D.线段
【解析】选D.因为|MF1|+|MF2|=6=|F1F2|,所以动点M的轨迹是线段.
2.设椭圆的标准方程为+=1,若其焦点在x轴上,则k的取值范围是
( )
A.k>3
B.3C.4D.3【解析】选C.由题意得k-3>5-k>0,所以43.(2015·广东高考)已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m= ( )
A.2
B.3
C.4
D.9
【解析】选B.因为椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),所以c=4=,
所以m2=9,所以m=3.
4.若椭圆+=1的焦距为6,则m的值为 ( )
A.7
B.7或25
C.25
D.或5
【解析】选B.①设a2=16,b2=m,所以c2=16-m,
所以16-m=9,所以m=7;
②设a2=m,b2=16,则c2=m-16,所以m-16=9,
所以m=25.
【误区警示】忽视焦点位置,导致丟解
椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标准方程中x2和y2项分母的大小,如果x2项的分母大于y2项的分母,则椭圆的焦点在x轴上;反之,焦点在y轴上.由于本题中x2和y2项分母的大小不确定,因此需要进行分类讨论.
5.(2016·成都高二检测)如果椭圆的两个焦点为F1(-1,0)和F2(1,0),P是椭圆上的一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,那么椭圆的方程是 ( )
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
【解析】选C.因为|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,
所以|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,即a=2,c=1,
所以b2=a2-c2=3,因为焦点在x轴上,故选C.
6.已知椭圆+=1的两个焦点F1,F2,M是椭圆上一点,且|MF1|-|MF2|=1,则△MF1F2是 ( )
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等边三角形
【解题指南】利用条件和椭圆的定义解出|MF1|,|MF2|的长度,再判断.
【解析】选B.由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a=4,且已知|MF1|-|MF2|=1,所以|MF1|=,|MF2|=.又|F1F2|=2c=2.所以有|MF1|2=|MF2|2+|F1F2|2.因此∠MF2F1=90°,即△MF1F2为直角三角形.
7.(2016·合肥高二检测)设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2的面积等于 ( )
A.5
B.4
C.3
D.1
【解析】选B.由椭圆方程,得a=3,b=2,c=,
所以|PF1|+|PF2|=2a=6,又|PF1|∶|PF2|=2∶1,
所以|PF1|=4,|PF2|=2,由22+42=(2)2,
可知,△F1PF2是直角三角形,故△F1PF2的面积为
|PF1|·|PF2|=×4×2=4.
【补偿训练】椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=________;∠F1PF2的大小为________.
【解析】由椭圆定义,|PF1|+|PF2|=2a=6,
所以|PF2|=2,
cos∠F1PF2=
==-.
所以∠F1PF2=120°.
答案:2 120°
8.已知椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到x轴的距离为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由·=0,得MF1⊥MF2,
可设=m,=n,在△F1MF2中,
由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,
根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,
所以mn=2b2,即mn=2,
所以=mn=1.
设点M到x轴的距离为h,则:×|F1F2|×h=1,
又|F1F2|=2,所以h=.
【延伸探究】将本题中的椭圆方程改为+=1,其他条件不变,如何解答
【解析】设M到F1,F2的距离分别为r1,r2,则r1+r2=10.
又+=(2c)2=64,
所以(r1+r2)2-2r1r2=64即r1r2=18.令M到x轴的距离为h,
所以r1r2=×2c×h,解得h=.
【拓展延伸】揭秘焦点三角形
椭圆中的焦点三角形问题由于涉及知识面广,探究性强,综合性高,成为椭圆和解三角形、三角函数以及不等式等知识交汇的命题点,是命题的“焦点”.在解决与椭圆有关的焦点三角形问题中,常用到以下结论:
设F1,F2为椭圆焦点,M为椭圆上的点.
(1)|MF1|+|MF2|=2a.
(2)|MF1|·|MF2|≤=a2.
(3)|MF1|·|MF2|=2a2-.
(4)=b2tan(其中∠F1MF2=θ).
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2016·昆明高二检测)已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为________.
【解析】由已知,2a=8,2c=2,所以a=4,c=,所以b2=a2-c2=16-15=1,所以椭圆的标准方程为+x2=1.
答案:+x2=1
10.(2016·衡水高二检测)已知P是椭圆+=1上的一动点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹方程是________.
【解析】依题意,|PF1|+|PF2|=2a(a是常数且a>0).
又|PQ|=|PF2|,所以|PF1|+|PQ|=2a,
即|QF1|=2a.
由题意知,a=2,b=,c===1.
所以|QF1|=4,F1(-1,0),
所以动点Q的轨迹是以F1为圆心,4为半径的圆,
所以动点Q的轨迹方程是(x+1)2+y2=16.
答案:(x+1)2+y2=16
三、解答题
11.(10分)(2016·绵阳高二检测)求满足下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点在y轴上,焦距是4,且经过点M(3,2).
(2)c∶a=5∶13,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
【解析】(1)由焦距是4可得c=2,且焦点坐标为(0,-2),(0,2).
由椭圆的定义知,2a=+=8,所以a=4,所以b2=a2-c2=16-4=12.又焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为+=1.
(2)由题意知,2a=26,即a=13,又c∶a=5∶13,所以c=5,
所以b2=a2-c2=132-52=144,
因为焦点所在的坐标轴不确定,
所以椭圆的标准方程为+=1或+=1.
【补偿训练】1.已知椭圆的焦点在x轴上,且焦距为4,P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.
(1)求椭圆的方程.
(2)若△PF1F2的面积为2,求P点坐标.
【解析】(1)由题意知,2c=4,c=2.
且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,即2a=8,所以a=4.所以b2=a2-c2=16-4=12.又椭圆的焦点在x轴上,
所以椭圆的方程为+=1.
(2)设P点坐标为(x0,y0),
依题意知,|F1F2||y0|=2,
所以|y0|=,y0=±,
代入椭圆方程得+=1,得x0=±2,
所以P点坐标为(2,)或(2,-)或(-2,)或(-2,-).
2.F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,求△AF1F2的面积.
【解析】|F1F2|=2,|AF1|+|AF2|=6,
|AF2|=6-|AF1|,
|AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|·|F1F2|cos45°
=|AF1|2-4|AF1|+8,(6-|AF1|)2
=|AF1|2-4|AF1|+8,|AF1|=,
S=××2×=.
【能力挑战题】
如图,△ABC中底边BC=12,其他两边AB和AC上中线的和为30,求此三角形重心G的轨迹方程,并求顶点A的轨迹方程.
【解析】以BC边所在直线为x轴,BC边中点为原点,建立如图所示坐标系,
则B(6,0),C(-6,0),CE,BD为AB,AC边上的中线,则|BD|+|CE|=30.
由重心性质可知|GB|+|GC|
=(|BD|+|CE|)=20.
因为B,C是两个定点,G点到B,C距离和等于定值20,且20>12,
所以G点的轨迹是椭圆,B,C是椭圆焦点.
所以2c=|BC|=12,c=6,2a=20,a=10,
b2=a2-c2=102-62=64,
故G点的轨迹方程为+=1,去掉(10,0),(-10,0)两点.
又设G(x′,y′),A(x,y),则有+=1.
由重心坐标公式知
故A点轨迹方程为+=1,
即+=1,去掉(-30,0),(30,0)两点.
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课时提升作业(二十二)
函数的单调性与导数
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2015·汉中高二检测)设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是 ( )
【解析】选C.由y=f′(x)的图象可知f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,故应选C.
【补偿训练】函数f(x)=x-sinx是 ( )
A.奇函数且单调递增
B.奇函数且单调递减
C.偶函数且单调递增
D.偶函数且单调递减
【解析】选A.因为函数的定义域为R,
f(-x)=-x-sin(-x)=-(x-sinx)=-f(x),
所以函数f(x)是奇函数.又f′(x)=1-cosx≥0,
所以函数f(x)=x-sinx在R上是单调递增函数.
2.函数f(x)=的单调递减区间是 ( )
A.(e,+∞)
B.(1,+∞)
C.(0,e]
D.(0,1]
【解析】选A.函数的定义域为(0,+∞),由f′(x)=<0得:x>e,所以函数的单调递减区间是(e,+∞),故选A.
3.(2015·太原高二检测)若函数y=f(x)在R上可导,且满足不等式xf′(x)>-f(x)恒成立,且常数a,b满足aA.af(b)>bf(a)
B.af(a)>bf(b)
C.af(a)D.af(b)【解析】选C.令g(x)=xf(x),则g′(x)=f(x)+xf′(x),
因为xf′(x)>-f(x),所以f(x)+xf′(x)>0,即g′(x)>0,故g(x)在R上单调递增,因为a4.(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0)
D.(0,1)∪(1,+∞)
【解析】选A.记函数g(x)=,
则g′(x)=,
因为当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,
故当x>0时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减;
又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数,故函数g(x)是偶函数,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,
且g(-1)=g(1)=0.
当00,则f(x)>0;
当x<-1时,g(x)<0,则f(x)>0,
综上所述,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).
5.(2015·宣城高二检测)设f′(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是 ( )
【解题指南】分别以其中的一个图象为原函数的图象,另一个为导函数的图象,验证是否符合单调性与导函数的关系.
【解析】选D.D中,若上方的图象为原函数,则下方的导函数的函数值先正后负再为正值,而不是恒小于等于0,若下方的图象为原函数,则导函数的函数值同样有正有负,不能横大于等于0,故选D.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知函数f(x)=在(-2,+∞)内单调递减,则实数a的取值范围为 .
【解析】因为f(x)=,所以f′(x)=.
由函数f(x)在(-2,+∞)内单调递减知f′(x)≤0在(-2,+∞)内恒成立,
即≤0在(-2,+∞)内恒成立,因此a≤.
当a=时,f(x)=,此时函数f(x)为常数函数,
故a=不符合题意舍去.所以a的取值范围为a<.
故实数a的取值范围为.
答案:
【补偿训练】已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞,+∞)上是单调函数,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-]∪[,+∞)
B.[-,]
C.(-∞,-)∪(,+∞)
D.(-,)
【解析】选B.f′(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立且不恒为0,Δ=4a2-12≤0 -≤a≤.
7.函数f(x)=2x2-lnx的单调递减区间是 .
【解析】因为f′(x)=4x-,令f′(x)<0,
又函数的定义域为(0,+∞),
故函数的单调减区间为
答案:
8.设f(x)=-x3+x2+2ax.若f(x)在,+∞上存在单调递增区间,则a的取值范围为 .
【解题指南】本题可以转化为在上存在x值使f′(x)≥0成立,再利用
f′(x)的图象求取值范围.
【解析】f′(x)=-x2+x+2a,
由题意在上存在x使-x2+x+2a>0成立,
令g(x)=-x2+x+2a,则g>0,
解得:a>-.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2015·菏泽高二检测)设函数f(x)=ax3+bx2+c,其中a+b=0,a,b,c均为常数,曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x+y-1=0.
(1)求a,b,c的值.
(2)求函数f(x)的单调区间.
【解析】(1)因为f′(x)=3ax2+2bx,
所以f′(1)=3a+2b,又因为切线x+y=1的斜率为-1,所以3a+2b=-1,a+b=0,
解得a=-1,b=1,所以f(1)=a+b+c=c,
由点(1,c)在直线x+y=1上,可得1+c=1,即c=0,
所以a=-1,b=1,c=0.
(2)由(1)令f′(x)=-3x2+2x=0,
解得x1=0,x2=,
当x∈(-∞,0)时f′(x)<0;当x∈时f′(x)>0;
当x∈时f′(x)<0,
所以f(x)的增区间为,减区间为(-∞,0)和.
10.已知函数f(x)=x2+2alnx.
(1)求函数f(x)的单调区间.
(2)若函数g(x)=+f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围.
【解析】(1)f′(x)=2x+=,函数f(x)的定义域为(0,+∞).
①当a≥0时,f′(x)>0,f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
②当a<0时,f′(x)=.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下:
x
(0,)
(,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
递减
递增
由表格可知,函数f(x)的单调递减区间是(0,).
单调递增区间是(,+∞).
(2)由g(x)=+x2+2alnx得g′(x)=-+2x+,
由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数,则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立,
即-+2x+≤0在[1,2]上恒成立.即a≤-x2在[1,2]上恒成立.
令h(x)=-x2,在[1,2]上h′(x)=--2x
=-<0,
所以h(x)在[1,2]上为减函数,h(x)min=h(2)
=-,所以a≤-.
故实数a的取值范围为{a|a≤-}.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.若函数在R上可导,且满足f(x)A.2f(1)B.2f(1)>f(2)
C.2f(1)=f(2)
D.f(1)=f(2)
【解析】选A.由于f(x)所以′=恒成立,
因此在R上是单调递增函数,
所以>,即f(2)>2f(1),故选A.
2.(2015·兰州高二检测)已知f(x)满足f(4)=f(-2)=1,f′(x)为其导函数,且导函数y=f′(x)的图象如图所示,则f(x)<1的解集是 ( )
A.(-2,0)
B.(-2,4)
C.(0,4)
D.(-∞,2)∪(0,4)
【解析】选B.由导函数y=f′(x)的图象可知,当x<0时,函数f(x)单调递减,当x>0时,函数f(x)单调递增,且当x=0时有意义,
当x<0时,f(x)<1=f(-2),解得-2当x≥0时,f(x)<1=f(4),解得0≤x<4,
故不等式的解集为(-2,4).
【补偿训练】函数f(x)在R上可导,且f(x)=x2f′(2)-3x,则f(-1)与f(1)的大小关系是 ( )
A.f(-1)=f(1)
B.f(-1)>f(1)
C.f(-1)D.不确定
【解析】选B.
f′(2)是常数,
所以f′(x)=2xf′(2)-3,故f′(2)=2×2f′(2)-3,
即f′(2)=1,
所以f(x)=x2-3x,
故f(1)=1-3=-2,f(-1)=1+3=4.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·盐城高二检测)若函数f(x)=(mx-1)ex在(0,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是 .
【解析】因为f′(x)=(mx+m-1)ex,
由题意f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
令g(x)=mx+m-1,则,解得m≥1.
答案:[1,+∞)
4.若函数y=-x3+ax有三个单调区间,则a的取值范围是 .
【解题指南】利用函数有三个单调区间,转化方程y′=0根的情况确定a的取值范围.
【解析】y′=-4x2+a,函数y=-x3+ax有三个单调区间,则方程-4x2+a=0有两解,
故a>0.
答案:a>0
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2015·驻马店高二检测)已知函数f(x)=(ax2+x-1)ex,其中e是自然对数的底数,a∈R.
(1)若a=1,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
(2)若a=-1,求f(x)的单调区间.
【解析】(1)因为f(x)=(x2+x-1)ex,
所以f′(x)=(2x+1)ex+(x2+x-1)ex=(x2+3x)ex,
所以曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=4e.
又因为f(1)=e,所以所求切线方程为y-e=4e(x-1),即4ex-y-3e=0.
(2)f(x)=(-x2+x-1)ex,因为f′(x)=-x(x+1)ex,令f′(x)<0,
得x<-1或x>0,f′(x)>0得-1所以f(x)的减区间为(-∞,-1),(0,+∞),增区间为(-1,0).
6.(2015·四川高考)已知函数f(x)=-2xlnx+x2-2ax+a2,其中a>0.
(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性.
(2)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.
【解析】(1)由已知,函数的定义域为(0,+∞),
所以g(x)=f′(x)=2(x-1-lnx-a)
所以g′(x)=2-=,
当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增.
(2)由f′(x)=2(x-1-lnx-a)=0,解得a=x-1-lnx.
令φ(x)=-2xlnx+x2-2x(x-1-lnx)+(x-1-lnx)2=(1+lnx)2-2xlnx,
则φ(1)=1>0,φ(e)=2(2-e)<0.
于是,存在x0∈(1,e),使得φ(x0)=0,
令a0=x0-1-lnx0=u(x0),其中u(x)=x-1-lnx(x≥1),
由u′(x)=1-≥0知,函数u(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
故0=u(1)即a0∈(0,1),
当a=a0时,有f′(x0)=0,f(x0)=φ(x0)=0,
再由(1)知,f′(x)在区间(1,+∞)上单调递增,
当x∈(1,x0)时,f′(x)<0,从而f(x)>f(x0)=0,
当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,从而f(x)>f(x0)=0,
又当x∈(0,1]时,f(x)=(x-a0)2-2xlnx>0,
故x∈(0,+∞)时,f(x)≥0.
综上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.
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课后提升作业
十八
变化率问题 导数的概念
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.已知一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在时间[3,3+Δt]s内的平均速度是 ( )
A.5+Δt(m/s)
B.5+(Δt)2(m/s)
C.5(Δt)2+Δt(m/s)
D.5(Δt)2(m/s)
【解析】选A.因为Δs=1-(3+Δt)+(3+Δt)2-(1-3+32)=(Δt)2+5Δt,所以物体在时间[3,3+Δt]s内的平均速度是==Δt+5.
2.(2016·天津高二检测)如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率
是 ( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2
【解题指南】可直接求直线AB的斜率.
【解析】选B.===-1.
3.(2016·宝鸡高二检测)如果函数f(x)=ax+b在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a= ( )
A.-3
B.2
C.3
D.-2
【解析】选C.根据平均变化率的定义,
可知==a=3.
4.过曲线y=f(x)=图象上一点(2,-2)及邻近一点(2+Δx,-2+Δy)作割线,则当Δx=0.5时割线的斜率为 ( )
A.
B.
C.1
D.-
【解题指南】利用平均变化率的几何意义解题.
【解析】选B.=
===.
【补偿训练】已知函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,
1+Δy),则等于 ( )
A.4
B.4+2Δx
C.4+Δx
D.4Δx+(Δx)2
【解析】选B.因为f(x)=2x2-1,所以f(1+Δx)=
2(1+Δx)2-1=2(Δx)2+4Δx+1,f(1)=1,
所以==
==4+2Δx.
5.f(x)在x=x0处可导,
则 ( )
A.与x0,Δx有关
B.仅与x0有关,而与Δx无关
C.仅与Δx有关,而与x0无关
D.与x0,Δx均无关
【解析】选B.式子表示的意义是求f′(x0),即求f(x)在x0处的导数,它仅与x0有关,与Δx无关.
【补偿训练】设f(x)在x=x0处可导,则等于 ( )
A.-f′(x0)
B.f′(-x0)
C.f′(x0)
D.2f′(x0)
【解析】选A.
=
=-=-f′(x0).
6.函数y=x+在x=1处的导数是 ( )
A.2
B.
C.1
D.0
【解析】选D.Δy=(Δx+1)+-1-1
=Δx+,=1-,
==1-1=0,
所以,函数y=x+在x=1处的导数为0.
7.(2016·潮州高二检测)物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示,下列说法正确的是 ( )
A.在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
C.在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
【解析】选C.在0到t0范围内,甲、乙所走的路程相同,时间一样,所以平均速度相同,在t0到t1范围内,时间相同,而甲走的路程较大,所以甲的平均速度较大.
8.函数y=f(x)=x2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为k1,在区间[x0-Δx,x0]上的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系为 ( )
A.k1>k2
B.k1C.k1=k2
D.不确定
【解题指南】分别利用平均变化率公式求出k1与k2再进行比较.
【解析】选A.由题意k1=
==2x0+Δx,
k2==
=2x0-Δx.
由题意知:Δx>0,所以k1>k2.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.物体做匀速运动,其运动方程是s=vt,则该物体在运动过程中的平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是 .
【解析】物体做匀速运动,所以任何时刻的瞬时速度都是一样的.
答案:相等
10.(2016·武汉高二检测)在自行车比赛中,运动员的位移s与比赛时间t存在函数关系s=10t+5t2(s单位:m,t单位:s),则t=20s时的瞬时速度为 .
【解析】由导数的定义知
v==
=10+10t+5Δt.
当Δt趋于0时,v趋于10+10t,
在t=20s时的瞬时速度为v=10×20+10=210m/s.
答案:210m/s
【规律总结】做直线运动的物体,它的运动规律可以用函数s=s(t)描述,设Δt为时间改变量,在t0+Δt这段时间内,物体的位移(即位置)改变量是Δs=s(t0+
Δt)-s(t0),那么位移改变量Δs与时间改变量Δt的比就是这段时间内物体的平均速度,即==.
【补偿训练】若物体运动方程为s(t)=-2t2+t,则其初速度为 .
【解析】物体的初速度即t=0时的瞬时速度,==-2Δt+1,当Δt趋于0时,趋于1,即初速度为1.
答案:1
三、解答题
11.(10分)(2016·济南高二检测)已知质点M按规律s=3t2+2做直线运动(位移s单位:cm,时间t单位:s).
(1)当t=2,Δt=0.01时,求.
(2)求质点M在t=2时的瞬时速度.
【解析】==
=6t+3Δt.
(1)当t=2,Δt=0.01时,
=6×2+3×0.01=12.03cm/s.
(2)当Δt趋于0时,6t+3Δt趋于6t,
所以质点M在t=2时的瞬时速度为12cm/s.
【补偿训练】1.(2016·聊城高二检测)求函数y=在x=1处的导数.
【解析】Δy=-1,
==,
所以=
=,即函数y=在x=1处的导数为.
2.质点M按规律s(t)=at2+1做直线运动(位移s的单位:m,时间t的单位:s).问是否存在常数a,使质点M在t=2时的瞬时速度为8m/s
【解析】假设存在常数a,则Δs=s(2+Δt)-s(2)=a(2+Δt)2+1-a×22-1=4a+
4aΔt+a(Δt)2+1-4a-1
=4aΔt+a(Δt)2,
所以==4a+aΔt.
当Δt趋于0时,4a+aΔt趋于4a,4a=8,解得a=2.
所以存在常数a=2,使质点M在t=2时的瞬时速度为8m/s.
【规律总结】对于是否存在的探究性问题,可先假设其存在,然后按瞬时速度的定义求解即可.
3.路灯距地面8m,一个身高1.6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影C沿某直线离开路灯,
(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式.
(2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率.
【解析】(1)如图所示,设人从C点运动到B处的路程为xm,AB为身影长度,AB的长度为ym.
由于CD∥BE,则=,
即=,所以y=x.
(2)因为84m/min=1.4m/s,而x=1.4t.
所以y=x=×1.4t=t,t∈[0,+∞).
Δy=(10+Δt)-×10=Δt,
所以=.
即人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率为.
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课堂10分钟达标
1.函数f(x)=x3-3x(|x|<1) ( )
A.有最大值,但无最小值
B.有最大值,也有最小值
C.无最大值,但有最小值
D.既无最大值,也无最小值
【解析】选D.f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,所以f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,无最大值和最小值.
2.下列说法正确的是 ( )
A.函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值
B.闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值
C.若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值
D.若函数在给定区间上有最大、小值,则有且仅有一个最大值,一个最小值,但若有极值,则可有多个极值
【解析】选D.由极值与最值的区别知选D.
3.函数y=2x3-3x2-12x+5在[-2,1]上的最大值、最小值分别是 ( )
A.12,-8
B.1,-8
C.12,-15
D.5,-16
【解析】选A.y′=6x2-6x-12,由y′=0 x=-1或x=2(舍去).x=-2时y=1,x=-1时y=12,x=1时y=-8.所以ymax=12,ymin=-8.
4.函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为 ( )
A.0≤a<1
B.0C.-1D.0【解析】选B.因为f(x)=x3-3ax-a,
所以f′(x)=3x2-3a,
令f′(x)=0,可得a=x2,
又因为x∈(0,1),所以0【补偿训练】函数f(x)=ex-x在区间[-1,1]上的最大值是 ( )
A.1+
B.1
C.e+1
D.e-1
【解析】选D.f′(x)=ex-1.令f′(x)=0,得x=0.
当x∈[-1,0]时,f′(x)≤0;
当x∈[0,1]时,f′(x)≥0.
所以f(x)在[-1,0]上递减,在[0,1]上递增.
又因为f(-1)=+1,f(1)=e-1,
所以f(-1)-f(1)=2+-e<0,
所以f(-1)5.函数f(x)=x3-x2-x+a在区间[0,2]上的最大值是3,则a等于 .
【解析】f′(x)=3x2-2x-1,令f′(x)=0,
解得x=-(舍去)或x=1,又f(0)=a,f(1)=a-1,f(2)=a+2,则f(2)最大,即a+2=3,所以a=1.
答案:1
6.已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a).
(1)若f′(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
【解析】(1)f′(x)=3x2-2ax.
因为f′(1)=3-2a=3,
所以a=0.又当a=0时,f(1)=1,f′(1)=3,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为3x-y-2=0.
(2)令f′(x)=0,解得x1=0,x2=.
当≤0,即a≤0时,f(x)在[0,2]上单调递增,
从而f(x)max=f(2)=8-4a.
当≥2,即a≥3时,f(x)在[0,2]上单调递减,
从而f(x)max=f(0)=0.
当0<<2,即0f(x)在上单调递减,在上单调递增,
从而f(x)max=
综上所述,f(x)max=
7.【能力挑战题】已知对任意的实数m,直线x+y+m=0都不与曲线f(x)=x3-3ax(a∈R)相切.
(1)求实数a的取值范围.
(2)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象上是否存在一点P,使得点P到x轴的距离不小于,试证明你的结论.
【解题指南】(1)通过对函数y=f(x)求导,得导函数的值域,对任意m∈R,直线x+y+m=0都不与y=f(x)相切,
故-1 [-3a,+∞),从而求得实数a的取值范围.
(2)问题等价于当x∈[-1,1]时,|f(x)|max≥.构造函数g(x)=|f(x)|,g(x)在x∈[-1,1]上是偶函数,故只要证明当x∈[0,1]时|f(x)|max≥即可,然后分a≤0和0【解析】(1)f′(x)=3x2-3a∈[-3a,+∞).因为对任意m∈R,直线x+y+m=0都不与y=f(x)相切,所以-1 [-3a,+∞),-1<-3a,实数a的取值范围是a<.
(2)存在,证明:问题等价于当x∈[-1,1]时,|f(x)|max≥,
设g(x)=|f(x)|,则g(x)在x∈[-1,1]上是偶函数,故只要证明当x∈[0,1]时,|f(x)|max≥,
①当a≤0时,f′(x)≥0,f(x)在[0,1]上单调递增,且f(0)=0,g(x)=f(x),
g(x)max=f(1)=1-3a>1>;
②当0x
(-∞,-)
-
(-,)
(,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值2a
↘
极小值-2a
↗
f(x)在(0,)上递减,在(,1)上递增,
注意到f(0)=f()=0,且<<1,
所以x∈(0,)时,g(x)=-f(x),x∈(,1)时,g(x)=f(x),
所以g(x)max=max{f(1),-f()}.
由f(1)=1-3a≥及0此时-f()≤f(1)成立,
所以g(x)max=f(1)=1-3a≥,
由-f()=2a≥及0此时-f()≥f(1)成立.
所以g(x)max=-f()=2a≥,
所以在x∈[-1,1]上至少存在一个x0,使得|f(x0)|≥成立.
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课时提升作业(五)
充要条件的应用
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.设α,β∈,那么“α<β”是“tanαA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.在中,函数y=tanx为增函数,所以设α,β∈,那么“α<β”是“tanα2.(2015·北京高考)设a,b是非零向量,“a·b=|a||b|”是“a∥b”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由a·b=|a||b|得cos=1,=0,所以a与b同向.而a∥b包括同向与反向两种情况.
3.设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解题指南】利用不等式的性质验证充分性与必要性.
【解析】选D.当ab<0时,由a>b不一定推出a2>b2,反之也不一定成立.
4.(2015·湖北高考)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则 ( )
A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
C.p是q的充分必要条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
【解析】选A.若p:l1,l2是异面直线,由异面直线的定义知,l1,l2不相交,所以命题q:l1,l2不相交成立,即p是q的充分条件,反过来,若q:l1,l2不相交,则l1,l2可能平行,也可能异面,所以不能推出l1,l2是异面直线,即p不是q的必要条件.
5.(2015·烟台高二检测)已知a,b∈R,ab≠0,则“a>0,b>0”是“≥”
的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.当a>0,b>0时由基本不等式可得≥.
当且仅当a=b时取等号.
反之,当≥时,由有意义结合a,b≠0,可得a,b同号,即a>0,b>0或a<0,b<0,而当a<0,b<0时<0与≥矛盾.
故必有a>0,b>0成立,
故“a>0,b>0”是“≥”的充要条件.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2015·郑州高二检测)等差数列{an}的首项为a,公差为d,其前n项和为Sn,则数列{Sn}为递增数列的充要条件是 .
【解题指南】若{Sn}为递增数列,则Sn+1>Sn(n∈N
),据此转化求解.
【解析】由Sn+1>Sn(n∈N
) (n+1)a+d>na+d(n∈N
) dn+a>0(n∈N
) d≥0且d+a>0.因此数列{Sn}为递增数列的充要条件是d≥0且d+a>0.
答案:d≥0且d+a>0
7.(2015·三明高二检测)直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切的充要条件是 .
【解析】直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切 圆心(1,1)到直线x+y+m=0的距离等于
= |m+2|=2 m=-4或0.
答案:m=-4或0
【补偿训练】“x2-2x>0”的充要条件是 .
【解析】x2-2x>0 x·(x-2)>0 x>2或x<0.
答案:x>2或x<0
8.下列命题:
①“x>2且y>3”是“x+y>5”的充要条件;
②“b2-4ac<0”是“不等式ax2+bx+c<0解集为R”的充要条件;
③“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充分不必要条件;
④“xy=1”是“lgx+lgy=0”的必要而不充分条件.
其中真命题的序号为 .
【解析】①x>2且y>3时,x+y>5成立,反之不一定,如x=0,y=6,所以“x>2且y>3”是“x+y>5”的充分不必要条件;
②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2-4ac<0.故②为假命题;
③当a=2时,两直线平行,反之,两直线平行,=,所以a=2,
因此,“a=2”是“两直线平行”的充要条件;
④lgx+lgy=lg(xy)=0,
所以xy=1且x>0,y>0.
所以“lgx+lgy=0”成立,xy=1必成立,反之不然.
因此“xy=1”是“lgx+lgy=0”的必要而不充分条件.
综上可知,真命题是④.
答案:④
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.求方程3x2-10x+k=0有两个同号且不相等的实根的充要条件.
【解析】方程3x2-10x+k=0有两个同号且不相等的实根等价于解得0所以方程3x2-10x+k=0有两个同号且不相等的实根的充要条件010.(2015·南京师大附中高二检测)已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证:数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.
【证明】充分性:当q=-1时,a1=S1=p-1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1),且n=1时也成立.
于是==p(p≠0且p≠1),即{an}为等比数列.
必要性:当n=1时,a1=S1=p+q;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).
因为p≠0且p≠1,所以当n≥2时,==p,可知等比数列{an}的公比为p.
故==p,即p-1=p+q,解得q=-1.
综上可知,q=-1是数列{an}为等比数列的充要条件.
【误区警示】本题易弄错充分性与必要性而导致错误.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2014·福建高考)直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“△OAB的面积为”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
【解题指南】小集合推出大集合.
【解析】选A.直线过定点(0,1)在圆上,不妨设其为A点,而B点也在圆上,
S△OAB=·sin∠AOB=sin∠AOB,
因此∠AOB必为直角,所以S△OAB=的等价条件是k=±1.
2.(2015·西安高二检测)函数f(x)=a+sinx+cosx有零点的充要条件
为 ( )
A.a≤2
B.a≥-2
C.-2D.-2≤a≤2
【解析】选D.函数f(x)=a+sinx+cosx有零点 方程a+sinx+cosx=0有实数根 方程-a=sinx+cosx有实数根,由于-a=sinx+cosx=2sin(x+60°),
所以-2≤-a≤2,即-2≤a≤2.
【延伸探究】本题改为函数没有零点的充要条件为 .
【解析】函数f(x)=a+sinx+cosx有零点 方程a+sinx+cosx=0有实数根 方程-a=sinx+cosx有实数根.
由于-a=sinx+cosx=2sin(x+60°),
所以-2≤-a≤2,即-2≤a≤2.
所以函数f(x)=a+sinx+cosx没有零点的充要条件为a<-2或a>2.
答案:a<-2或a>2
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·佛山高二检测)数列{an}既是等差数列又是等比数列的充要条件为 .
【解析】依题意,an+1-an=d,且=q(d,q为常数),对一切正整数n都成立,则qan-an=d,所以an(q-1)=d对一切正整数n都成立,故d=0,q=1,数列{an}为常数列.
由于an=0不是等比数列,所以数列{an}既是等差数列又是等比数列的充要条件是数列{an}是非零常数列.
答案:数列{an}为非零常数列
4.(2015·广州高二检测)设函数f(x)=|log2x|,则f(x)在区间(m-2,2m)内有定义,且不是单调函数的充要条件是 .
【解析】由题意知函数f(x)=|log2x|
=
要使f(x)在区间(m-2,2m)内有定义且不是单调函数,
则0≤m-2<1<2m,所以2≤m<3.
答案:[2,3)
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2015·汕头高二检测)已知数列{an}的前n项和为Sn=(n+1)2+c,探究{an}是等差数列的充要条件.
【解析】当{an}是等差数列时,
因为Sn=(n+1)2+c,
所以当n≥2时,Sn-1=n2+c,
所以an=Sn-Sn-1=2n+1,
所以an+1-an=2为常数.
又a1=S1=4+c,
所以a2-a1=5-(4+c)=1-c,
因为{an}是等差数列,
所以a2-a1=2,所以1-c=2.
所以c=-1,反之,当c=-1时,Sn=n2+2n,
可得an=2n+1(n≥1,n∈N
)为等差数列,
所以{an}为等差数列的充要条件是c=-1.
6.(2015·烟台高二检测)设a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,证明:“a2=b(b+c)”是“A=2B”的充要条件.
【解题指南】从充分性与必要性两个方面证明.
【证明】充分性:由a2=b(b+c)=b2+c2-2bccosA可得1+2cosA==.
即sinB+2sinBcosA=sin(A+B).
化简,得sinB=sin(A-B).
由于sinB>0且在三角形中,
故B=A-B,
即A=2B.
必要性:若A=2B,
则A-B=B,sin(A-B)=sinB,
又sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB.
所以sin(A+B)=sinB(1+2cosA).
因为A,B,C为△ABC的内角,
所以sin(A+B)=sinC,
即sinC=sinB(1+2cosA).
所以=1+2cosA=1+=,即=.
化简得a2=b(b+c).
所以“a2=b(b+c)”是“A=2B”的充要条件.
【补偿训练】已知{an}为等差数列,且a1+a4=10,a1+a3=8,前n项和为Sn.求证:a1,ak,Sk+2成等比数列的充要条件是k=6.
【证明】设数列{an}的公差为d,由题意得解得所以an=2+2(n-1)=2n,
由此得Sn===n(1+n).
充分性:当k=6时,a1=2,ak=a6=12,Sk+2=S6+2=S8=8×9=72,
因为===,所以a1,a6,S6+2成等比数列,即a1,ak,Sk+2成等比数列.
必要性:由a1,ak,Sk+2成等比数列,得=a1Sk+2,从而(2k)2=2(k+2)(k+3),即k2-5k-6=0,解得k=-1(舍去)或k=6.
综上可知,k=6是a1,ak,Sk+2成等比数列的充要条件.
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课堂10分钟达标
1.命题“2017≥2016”使用逻辑联结词的情况是 ( )
A.使用了逻辑联结词“或”
B.使用了逻辑联结词“且”
C.使用了逻辑联结词“非”
D.以上都不对
【解析】选A.符号“≥”读作大于或等于,使用了逻辑联结词“或”.
2.如果命题“p∨q”为假命题,则 ( )
A.p、q均为假命题
B.p、q中至少有一个真命题
C.p、q均为真命题
D.p、q中只有一个真命题
【解析】选A.由真值表可以直接判断,也可逆向思维,若p,q中至少有一个真命题,则“p∨q”为真命题,从而选A.
3.已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则下列命题为真命题的是 ( )
A.(p)∨q
B.p∧q
C.(p)∧(q)
D.(p)∨(q)
【解析】选D.不难判断出命题p为真命题,而命题q是假命题,结合选项,只有“(p)∨(q)”为真命题.
4.若命题p:矩形的四个角都是直角,则p为:________.
【解析】“都是”的否定为“不都是”,所以p为:矩形的四个角不都是直角.
答案:矩形的四个角不都是直角
5.已知命题p:x2+2x-3>0,命题q:>1,若q且p为真,则x的取值范围是________.
【解析】因为x2+2x-3>0 (x+3)(x-1)>0
x<-3或x>1.又因为>1 <0
2答案:(-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞)
6.写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的新命题,并判断其真假.
(1)p:2是4的约数,q:2是6的约数.
(2)p:矩形的对角线相等,q:矩形的对角线互相平分.
(3)p:方程x2+x-1=0的两实数根的符号相同,q:方程x2+x-1=0的两实数根的绝对值相等.
【解析】(1)p或q:2是4的约数或2是6的约数,真命题;
p且q:2是4的约数且2也是6的约数,真命题;
非p:2不是4的约数,假命题.
(2)p或q:矩形的对角线相等或互相平分,真命题;
p且q:矩形的对角线相等且互相平分,真命题;
非p:矩形的对角线不相等,假命题.
(3)p或q:方程x2+x-1=0的两实数根的符号相同或绝对值相等,假命题;
p且q:方程x2+x-1=0的两个实数根的符号相同且绝对值相等,假命题;
非p:方程x2+x-1=0的两实数根符号不同,真命题.
7.【能力挑战题】设命题p:函数f(x)=(a-)x是R上的减函数,命题q:函数f(x)=x2-4x+3在[0,a]上的值域是[-1,3].若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求实数a的取值范围.
【解析】若命题p为真,则0因为p或q为真,p且q为假,得p,q中一真一假.
若p真,q假,则得若p假,q真,则得≤a≤4;
综上,实数a的取值范围为关闭Word文档返回原板块
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课时提升作业(十八)
变化率问题 导数的概念
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.物体自由落体运动方程为s(t)=gt2,若=g=9.8m/s,那么下面说法正确的是 ( )
A.9.8m/s是0～1s这段时间内的平均速度
B.9.8m/s是从1s到(1+Δt)s这段时间内的速度
C.9.8m/s是物体在t=1s这一时刻的速度
D.9.8m/s是物体从1s到(1+Δt)s这段时间内的平均速度
【解析】选C.=g=9.8m/s,表示物体自由落体在t=1s时的即时速度.故选C.
2.某物体的运动方程为s=5-2t2,则该物体在时间[1,1+d]上的平均速度
为 ( )
A.2d+4
B.-2d+4
C.2d-4
D.-2d-4
【解析】选D.平均速度为==-4-2d.故选D.
【补偿训练】(2015·郑州高二检测)已知f(x)=-x2+10,则f(x)在x=处的瞬时变化率是 ( )
A.3
B.-3
C.2
D.-2
【解题指南】表示出x=处的平均变化率后取极限得到瞬时变化率.
【解析】选B.因为=
=-Δx-3,
所以=-3.
3.一物体的运动方程是s=at2(a为常数),则该物体在t=t0时的瞬时速度
是 ( )
A.at0
B.-at0
C.at0
D.2at0
【解析】选A.因为==aΔt+at0,
所以=at0.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.(2015·蚌埠高二检测)已知函数f(x)=ax+b在区间[1,8]上的平均变化率为3,则实数a= .
【解析】平均变化率===a=3.
答案:3
5.物体沿直线运动过程中,位移s与时间t的关系式是s(t)=3t2+t.我们计算在t时刻的附近区间[t,t+Δt]内的平均速度== ,当Δt趋近于0时,平均速度趋近于确定的值,即瞬时速度,由此可得到t时刻的瞬时速度为 .
【解析】因为物体沿直线运动过程中,位移s与时间t的关系式是s(t)=3t2+t,所以在t时刻的附近区间[t,t+Δt]内的平均速度===6t+1+3Δt.
所以s′(t)=6t+1.
答案:6t+1+3Δt 6t+1
三、解答题
6.(10分)(2015·安阳高二检测)已知函数y=f(x)=3x2+2,求函数在x0=1,2,3附近Δx取时的平均变化率k1,k2,k3,并比较其大小.
【解题指南】分别求出平均变化率后比较大小.
【解析】函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为
=
==6x0+3Δx.
函数在[x0,x0+Δx]上的平均变化率为6x0+3Δx.
当x0=1,Δx=时,函数在[1,1.5]的平均变化率k1=6×1+3×0.5=7.5;
当x0=2,Δx=时,函数在[2,2.5]上的平均变化率k2=6×2+3×0.5=13.5;
当x0=3,Δx=时,函数在[3,3.5]上的平均变化率为k3=6×3+3×0.5=19.5;所以k1【补偿训练】已知自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=f(t)=gt2,计算t从3秒到3.1秒、3.001秒、3.0001秒各段时间内的平均速度(g=9.8m/s2).
【解题指南】先求出Δs,再求出=,即为各段时间内的平均速度.
【解析】设Δt=(t+d)-t指时间改变量,Δs=f(t+d)-f(t)指位移改变量.
则Δs=f(t+d)-f(t)=g(t+d)2-gt2=gtd+gd2,
===gt+gd,
所以t从3秒到3.1秒的平均速度=29.89(m/s);
t从3秒到3.001秒的平均速度=29.4049(m/s);
t从3秒到3.0001秒的平均速度=29.40049(m/s).
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·太原高二检测)物体的运动方程是S=-4t2+16t,在某一时刻的速度为零,则相应时刻为 ( )
A.t=1
B.t=2
C.t=3
D.t=4
【解析】选B.=-8t+16,令-8t+16=0,得t=2.
2.设f(x)在x=x0处可导,则等于 ( )
A.-f′(x0)
B.f′(-x0)
C.f′(x0)
D.2f′(x0)
【解析】选A.
=-
=-
=-f′(x0).
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.如图所示,水波的半径以1m/s的速度向外扩张,当半径为5m时,这水波面的圆面积的膨胀率是 m2/s.
【解题指南】求出在时刻t的水波面积,进而求出在时刻t0的瞬时膨胀率,代入半径求要求的膨胀率.
【解析】因为水波的半径以v=1m/s的速度向外扩张,
水波面积S=πr2=π(vt)2=πt2,
所以水波面积在时刻t0时的瞬时膨胀率S′(t0)=2πt.
当半径为5m时,t=5s,所以S′(5)=2π·5=10π,
即半径为5m时,这水波面积的膨胀率是10π,
答案:10π
4.已知一物体的运动方程是s=6t2-5t+7,则其在t= 时刻的速度为7.
【解析】=(6Δt+12t-5)
=12t-5=7,t=1.
答案:1
三、解答题
5.(10分)(2015·徐州高二检测)若一物体运动方程如下:(位移:m,时间:s)
s=
求:(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度.
(2)物体的初速度v0.
(3)物体在t=1时的瞬时速度.
【解析】(1)因为物体在t∈[3,5]内的时间变化量为
Δt=5-3=2,
物体在t∈[3,5]内的位移变化量为
Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48,
所以物体在t∈[3,5]上的平均速度为
==24(m/s).
(2)求物体的初速度v0即求物体在t=0时的瞬时速度.
因为物体在t=0附近的平均变化率为
=
=
=3Δt-18.
所以物体在t=0处的瞬时变化率为
=(3Δt-18)=-18.
即物体的初速度为-18m/s.
(3)物体在t=1时的瞬时速度即为函数在t=1处的瞬时变化率.
因为物体在t=1附近的平均变化率为
=
==3Δt-12.
所以物体在t=1处的瞬时变化率为
=(3Δt-12)=-12.
即物体在t=1时的速度为-12m/s.
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课堂10分钟达标
1.命题“若a2≤b2,则a≤b”的逆命题是 ( )
A.“若aB.“若a>b,则a2>b2”
C.“若a≤b,则a2≤b2”
D.“若a≥b,则a2≥b2”
【解析】选C.原命题“若a2≤b2,则a≤b”的逆命题为“若a≤b,则a2≤b2”.
2.命题“若a>b,则a-1>b-1”的逆否命题是 ( )
A.若a-1≤b-1,则a≤b
B.若aC.若a-1>b-1,则a>b
D.若a≤b,则a-1≤b-1
【解析】选A.命题“若p,则q”的逆否命题为“若q,则p”.
3.命题“若A∪B=B,则A B”的否命题是________.
【解析】原命题的否命题是“若A∪B≠B,则A B”.
答案:若A∪B≠B,则A B
4.给定下列命题:
①“若k>0,则方程x2+2x-k=0有实数根”的逆否命题;
②若f(x)=cosx,则f(x)为周期函数;
③“若A=B,则sinA=sinB”的逆命题;
④“若xy=0,则x,y中至少有一个为零”的否命题.
其中真命题的序号是________.
【解析】对于①,因为Δ=4-4(-k)=4+4k>0,所以原命题为真.所以①是真命题.
显然②是真命题.
③的逆命题:“若sinA=sinB,则A=B”.是假命题.
④的否命题:“若xy≠0,则x,y都不为零”.是真命题.
答案:①②④
5.写出命题“如果|x-2|+(y-1)2=0,则x=2且y=1”的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假.
【解析】逆命题:如果x=2且y=1,则|x-2|+(y-1)2=0;真命题.
否命题:如果|x-2|+(y-1)2≠0,则x≠2或y≠1;真命题.
逆否命题:如果x≠2或y≠1,则|x-2|+(y-1)2≠0;真命题.
【补偿训练】已知命题p:“若ac≥0,则二次方程ax2+bx+c=0没有实根”.
(1)写出命题p的否命题.
(2)判断命题p的否命题的真假,并证明你的结论.
【解析】(1)命题p的否命题为:“若ac<0,则二次方程ax2+bx+c=0有实根.”
(2)命题p的否命题是真命题.证明如下:
因为ac<0,
所以-ac>0 Δ=b2-4ac>0 二次方程ax2+bx+c=0有实根.
所以该命题是真命题.
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课时提升作业(十)
椭圆的简单几何性质
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是 ( )
A.(-1,0),(1,0)
B.(-6,0),(6,0)
C.(-,0),(,0)
D.(0,-),(0,)
【解析】选D.椭圆6x2+y2=6可化为x2+=1,
故椭圆长轴的端点坐标为(0,-),(0,).
2.椭圆+=1的短轴长为 ( )
A.
B.2
C.2
D.4
【解析】选C.由题意可知b2=2,所以b=,所以2b=2.
3.(2015·安阳高二检测)已知椭圆+=1有两个顶点在直线x+2y=2上,则此椭圆的焦点坐标是 ( )
A.(±,0)
B.(0,±)
C.(±,0)
D.(0,±)
【解析】选A.直线x+2y=2与坐标轴的交点为椭圆的顶点,
又因为椭圆的焦点在x轴上,所以a=2,b=1,
所以c==.
所以椭圆的焦点坐标是(±,0).
4.椭圆C1:+=1和椭圆C2:+=1(0A.等长的长轴
B.相等的焦距
C.相等的离心率
D.等长的短轴
【解题指南】依据椭圆的几何性质求解,注意变量的取值范围.
【解析】选B.依题意知椭圆C2的焦点在y轴上,对于椭圆C1:焦距=2=8,对于椭圆C2:焦距=2=8,故选B.
5.(2014·大纲版全国卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离
心率为,过F2的直线l交C于A,B两点,若△AF1B的周长为4,则C的方程
为 ( )
A.+=1
B.+y2=1
C.+=1
D.+=1
【解题指南】利用椭圆的定义,将△AF1B的周长转化为4a=4,确定出a的值,然后结合离心率确定c的值,从而求出椭圆方程.
【解析】选A.由椭圆的定义可知,AF1+AF2=2a,BF1+BF2=2a,
又因为AF1+AF2+BF1+BF2=4,
即4a=4,解得a=.
又=,
则c=1,b2=a2-c2=2,
所以椭圆的方程为+=1.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2015·冀州高二检测)椭圆+=1的半焦距是 .
【解析】因为a2=25,b2=16,
所以c2=25-16=9,所以c=3.
答案:3
7.以坐标轴为对称轴,且过点(5,0),离心率e=的椭圆的方程是 .
【解析】当焦点在x轴上时,
因为a=5,e==,
所以c=2,所以b2=a2-c2=25-20=5.
所以椭圆方程为+=1.
当焦点在y轴上时,因为b=5,e==,
所以=,所以a2=125.
所以椭圆的方程为+=1.
答案:+=1或+=1
【误区警示】本题常常因为忘记对焦点所在的位置讨论,导致漏解.
8.(2015·潍坊高二检测)若椭圆+=1的离心率e=,则k的值等于 .
【解析】当焦点在x轴上时,a=,b=2,c=,e===,解得k=;当焦点在y轴上时,a=2,b=,c=,e===,解得k=.所以k=或k=.
答案:或
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=,求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.
【解析】椭圆方程可化为+=1.
因为m-=>0,
所以m>,
即a2=m,b2=,c==.
由e=得=,所以m=1.
所以椭圆的标准方程为x2+=1.
所以a=1,b=,c=.
所以椭圆的长轴长为2,短轴长为1;
两焦点分别为F1,F2;
四个顶点分别为
A1(-1,0),A2(1,0),B1,B2.
10.(2015·安徽高考)设椭圆E的方程为+=1,点O为坐标原点,点A的坐标为,点B的坐标为,点M在线段AB上,满足=2,直线OM的斜率为.
(1)求E的离心率e.
(2)设点C的坐标为,N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.
【解题指南】(1)由kOM=和椭圆的离心率公式求得.
(2)根据点N关于直线AB的对称点S的中点T在直线AB上且kNS·kAB=-1联立方程组求得b的值.
【解析】(1)由题意可知点M的坐标是,又kOM=,所以=,进而得a=b,c==2b,故e==.
(2)直线AB的方程为+=1,点N的坐标为,
设点N关于直线AB的对称点S的坐标为,则NS的中点T的坐标为,又点T在直线AB上,且kNS·kAB=-1,从而有 b=3,所以a=3,
故椭圆的方程为+=1.
【补偿训练】已知F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,若·=0,椭圆的离心率等于,△AOF2的面积为2,求椭圆的方程.
【解析】因为·=0,
所以AF2⊥F1F2,
因为椭圆的离心率e==,
则b2=a2,设A(x,y)(x>0,y>0),
由AF2⊥F1F2知x=c,
所以A(c,y),代入椭圆方程得+=1,
所以y=,因为△AOF2的面积为2,
所以=x×y=2,
即c·=2,
因为=,所以b2=8,
所以a2=2b2=16,故椭圆的方程为+=1.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率
是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解题指南】由椭圆的几何性质建立关于a,b,c的等量关系,进而求其离心率.
【解析】选B.由题意知,2a+2c=2×2b,即a+c=2b.
所以a2+2ac+c2=4b2,又因为b2=a2-c2,
所以3a2-2ac-5c2=0,
所以5e2+2e-3=0
解得e=或-1(舍去).
2.(2015·东莞高二检测)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,以线段F1F2为边作正
△MF1F2,若边MF1的中点在此椭圆上,则此椭圆的离心率为 ( )
A.
B.-1
C.
D.-1
【解析】选D.如图,△F1PF2为直角三角形,
∠PF2F1=30°,
又|F1F2|=2c,所以|PF1|=c,|PF2|=c,
所以2a=|PF1|+|PF2|=(1+)c,
所以===-1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.经过点(2,-3)且与椭圆9x2+4y2=36有共同焦点的椭圆方程为 .
【解析】椭圆9x2+4y2=36可化为+=1,
则焦点为(0,-)与(0,).
设所求椭圆的方程为+=1(λ>0).
又椭圆过点(2,-3),
所以+=1,解得λ=10或λ=-2(舍去).
所以所求椭圆的方程为+=1.
答案:+=1
4.(2015·浙江高考)椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是 .
【解题指南】利用已知条件求出点Q的坐标,从而求出a,b,c的关系.
【解析】设F(c,0)关于直线y=x的对称点为Q(m,n),则有解得m=,n=,
所以Q在椭圆上,即有+=1,解得a2=2c2,所以离心率e==.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2015·成都高二检测)已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且=2.求椭圆C的离心率.
【解题指南】由=2,建立参数a,c的等量关系,求其离心率便可.
【解析】不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0),其中F是左焦点,B是上顶点,则F(-c,0),B(0,b),
设D(x,y),所以(-c,-b)=2(x+c,y),
所以
解得x=-c,y=-.
又因为点D在椭圆C上.
所以+=1.
整理得=,
所以e==.
【补偿训练】设P是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,F1,F2是椭圆的焦点,且
∠F1PF2=90°,求证:椭圆的离心率e≥.
【证明】方法一:因为点P是椭圆上的点,F1,F2是焦点,由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a, ①
在Rt△F1PF2中,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=4c2,
由①2,得|PF1|2+2|PF1||PF2|+|PF2|2=4a2,
所以|PF1|·|PF2|=2(a2-c2), ②
由①和②,知|PF1|,|PF2|是方程z2-2az+2(a2-c2)=0的两根,
且两根均在(a-c,a+c)之间.
令f(z)=z2-2az+2(a2-c2),则可得≥,即e≥.
方法二:由题意知c≥b,所以c2≥b2=a2-c2,
所以≥,故e≥.
6.(2015·潮州高二检测)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,椭圆左、右顶点分别为A,B,且A到椭圆两焦点的距离之和为4.设P为椭圆上不同于A,B的任一点,作PQ⊥x轴,Q为垂足.M为线段PQ的中点,直线AM交直线l:x=b于点C,D为线段BC的中点,连接OD(如图).
(1)求椭圆的方程.
(2)证明:△OMD是直角三角形.
【解析】(1)依题意,
所以椭圆的方程为+x2=1.
(2)证明如下:
依题,A(-1,0),B(1,0),直线l:x=1.
设点P(x0,y0),则点M,且4+=4,
直线AM:y=(x+1),
令x=1,得C,
所以D,
所以=,=x0-1,-=,
所以·=·
=x0(x0-1)+=,
因为4+=4,
所以·=0,所以∠OMD=90°,
故△OMD是直角三角形.
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课后提升作业
二
四种命题
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2016·重庆高二检测)已知直线l1:x+ay+1=0,直线l2:ax+y+2=0,则命题“若a=1或a=-1,则直线l1与l2平行”的否命题为 ( )
A.若a≠1且a≠-1,则直线l1与l2不平行
B.若a≠1或a≠-1,则直线l1与l2不平行
C.若a=1或a=-1,则直线l1与l2不平行
D.若a≠1或a≠-1,则直线l1与l2平行
【解析】选A.命题“若p,则q”的否命题为“若﹁p,则﹁q”,显然“a=1或a=-1”的否定为“a≠1且a≠-1”,“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”,所以选A.
【举一反三】若本题中条件不变,则原命题的逆命题是__________.
【解析】将原命题中条件与结论交换即可.即逆命题为“若直线l1与l2平行,则a=1或a=-1”.
答案:若直线l1与l2平行,则a=1或a=-1
2.(2016·银川高二检测)命题“若-1A.若x≥1或x≤-1,则x2≥1
B.若x2<1,则-1C.若x2>1,则x>1或x<-1
D.若x2≥1,则x≥1或x≤-1
【解析】选D.若原命题是“若p,则q”,则逆否命题为“若﹁q,则﹁p”,故此命题的逆否命题是“若x2≥1,则x≥1或x≤-1”.
3.(2016·吉林高二检测)命题“若△ABC有一内角为,则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题 ( )
A.与原命题同为假命题
B.与原命题的否命题同为假命题
C.与原命题的逆否命题同为假命题
D.与原命题同为真命题
【解析】选D.原命题显然为真,原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列,则△ABC有一内角为”,它是真命题.
4.下列命题的否命题为“邻补角互补”的是 ( )
A.邻补角不互补
B.互补的两个角是邻补角
C.不是邻补角的两个角不互补
D.不互补的两个角不是邻补角
【解题指南】解答本题只需求命题“邻补角互补”的否命题,因此把所给命题的条件与结论都否定,即为所求.
【解析】选C.“邻补角互补”与“不是邻补角的两个角不互补”互为否命题.
5.“在△ABC中,若∠C=90°,则∠B,∠A全是锐角”的否命题为 ( )
A.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B全不是锐角
B.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不全是锐角
C.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B中必有一个钝角
D.以上均不对
【解析】选B.否命题的条件与结论分别是原命题的条件与结论的否定,故选B.
【误区警示】解答本题易出现选A的错误,导致出现这种错误的原因是混淆了“全是”的否定是“不全是”,而非“全不是”.
6.若命题p的逆命题是q,命题p的逆否命题是r,则q是r的 ( )
A.逆命题
B.否命题
C.逆否命题
D.以上都不正确
【解题指南】设命题p为“若s,则t”的形式,分别写出q,r,再判断q与r条件与结论的关系,从而作出选择.
【解析】选B.设命题p为:“若s,则t”,则命题q为:若t,则s,命题r是:若
﹁t,则﹁s,由此知q为r的否命题.
7.(2016·济南高二检测)已知命题p:已知m≠0,若2a>2b,则am2>bm2,则其否命题为 ( )
A.已知m=0,若2a>2b,则am2>bm2
B.已知m≠0,若2a≤2b,则am2>bm2
C.已知m≠0,若2a>2b,则am2≤bm2
D.已知m≠0,若2a≤2b,则am2≤bm2
【解析】选D.命题p:已知m≠0,
若2a>2b,则am2>bm2,
则其否命题为:已知m≠0,
若2a≤2b,则am2≤bm2.
8.(2016·昆明高二检测)有下列命题:
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;
②“若x>y,则x2>y2”的逆否命题;
③“若x≤3,则x2-x-6>0”的否命题;
④“对顶角相等”的逆命题.
其中真命题的个数是 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.①的否命题为“若x+y≠0,则x,y不互为相反数”为真命题.
②的逆否命题为“若x2≤y2,则x≤y”为假命题,如x=0,y=-1时,02≤(-1)2,但0>-1.
③的否命题为“若x>3,则x2-x-6≤0”,为假命题.
④的逆命题是“相等的角是对顶角”,是假命题.
【拓展延伸】命题的四种形式及其真假的判断
(1)四种形式:写出命题的四种形式,需要确定原命题的条件和结论,交换条件与结论可得到逆命题,否定条件与结论可得到否命题,既交换条件与结论,又否定条件与结论可得到逆否命题.
(2)真假的判断:判断命题的真假时,需要结合命题所含的相关知识点进行推理判断,或用举反例法说明是假命题.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.“若a+是有理数,则a是无理数”的逆否命题为________________________,是________命题.(填“真”或“假”)
【解析】a+是有理数,令a+=b(b为有理数),
则a=b-(b为有理数),所以a是无理数.
所以原命题与逆否命题均为真命题.
答案:若a不是无理数,则a+不是有理数 真
10.(2016·长春高二检测)给定下列命题:
①若a>0,则方程ax2+2x=0有解.
②“等腰三角形都相似”的逆命题;
③“若x-是有理数,则x是无理数”的逆否命题;
④“若a>1且b>1,则a+b>2”的否命题.
其中真命题的序号是________.
【解析】显然①为真,②为假.对于③中,原命题“若x-是有理数,则x是无理数”为假命题,所以其逆否命题为假命题.
对于④中,“若a>1且b>1,则a+b>2”的否命题是“若a≤1或b≤1,则a+b≤2”为假命题.
答案:①
三、解答题
11.(10分)已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”.
(1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论.
(2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.
【解析】(1)逆命题:若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),
则a+b≥0,真命题.
用反证法证明:假设a+b<0,则a<-b,b<-a.
因为f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,
所以f(a)所以f(a)+f(b)这与题设相矛盾.
所以逆命题为真命题.
(2)逆否命题:若f(a)+f(b)因为互为逆否的命题真假性相同,
所以可证明原命题为真命题.
因为a+b≥0,所以a≥-b,b≥-a.
又因为f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,
所以f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),
所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
所以逆否命题为真.
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课后提升作业
一
命 题
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.下列语句中不是命题的是 ( )
A.一个数不是正数就是负数
B.二次函数不是偶函数
C.x>0
D.对于x∈R,总有x2>0
【解析】选C.能判断真假的陈述句是命题,只有x>0无法判断真假,不是命题.
2.(2016·太原高二检测)下列语句不是命题的是 ( )
A.5>8
B.若a是正数,则是正数
C.x∈{-1,0,1,2}
D.正弦函数是奇函数
【解析】选C.A,B,D中语句是陈述句且能判断真假,是命题.而C中,x∈{-1,0,1,2}不能判断真假,故不是命题.
【补偿训练】(2016·潍坊高二检测)“若x2-2x-8<0,则p”为真命题,那么p是
( )
A.{x|-2B.{x|2C.{x|x>4或x<-2}
D.{x|x>4或x<2}
【解析】选A.解不等式x2-2x-8<0,得不等式的解集为{x|-23.“若x>1,则p”为真命题,那么p不能是 ( )
A.x>-1
B.x>0
C.x>1
D.x>2
【解析】选D.大于1的实数不一定大于2.
4.命题“6的倍数既能被2整除,也能被3整除”的结论是 ( )
A.这个数能被2整除
B.这个数能被3整除
C.这个数既能被2整除,也能被3整除
D.这个数是6的倍数
【解析】选C.命题可改写为:若一个数是6的倍数,则这个数既能被2整除,也能被3整除.
【补偿训练】把命题“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”写为“若p,则q”的形式为__________.
【解析】若一条直线到圆心的距离等于半径,则它是圆的切线.
答案:若一条直线到圆心的距离等于半径,则它是圆的切线
5.(2016·合肥高二检测)设l是直线,α,β是两个不同的平面,则下列为真命题的是 ( )
A.若l∥α,l∥β,则α∥β
B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β
C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥β
D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
【解析】选B.若l∥α,l∥β,
则α∥β或α与β相交,选项A不正确;
若l∥α,过l的平面与平面α交于直线m,则l∥m,
又l⊥β,所以m⊥β,
又mα,从而α⊥β,选项B正确;
若α⊥β,l⊥α,则l∥β或lβ,选项C不正确;
若α⊥β,l∥α,则l⊥β或l∥β或l与β斜交,选项D不正确.
【补偿训练】(2015·烟台高二检测)设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;
②若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;
③设α和β相交于直线l,若α内一条直线垂直于l,则α和β垂直.
上面命题中,真命题的序号为________(写出所有真命题的序号).
【解析】由线面平行及面面平行的判定定理可知,
①②正确;当两平面斜交时,在α内的直线可以与交线垂直,故③不对.
答案:①②
6.(2016·衡水高二检测)给出命题“方程x2+ax+1=0没有实数根”,则使该命题为真命题的a的一个值可以是 ( )
A.4
B.2
C.1
D.-3
【解析】选C.方程无实根时,应满足Δ=a2-4<0.故a=1时适合条件.
7.给定下列命题:①若a>b,则2a>2b;②命题“若a,b是无理数,则a+b是无理数”是真命题;③命题“平行四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”的结论是“这个四边形的对角线垂直”;④直线x=是函数y=sinx图象的一条对称轴;⑤在
△ABC中,若·>0,则△ABC是钝角三角形.
其中为真命题的个数是 ( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
【解析】选B.①是真命题;②当a=,b=-时,a+b=0为有理数,故②为假命题;③中结论应为“这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”.故③为假命题;④是真命题;⑤·=||||cos(π-B)>0,所以cosB<0,所以B为钝角,故⑤为真命题.
8.(2016·重庆高二检测)已知下列命题:
(1)已知平面向量a,b,若a·b=0,则a⊥b.
(2)已知平面向量a,b,若a∥b,则a=λb(λ∈R).
(3)若两个平面同时垂直于一条直线,则这两个平面平行.
(4)若一个几何体的正视图、侧视图、俯视图完全相同,则该几何体是正方体.
其中真命题的个数是 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选A.对于(1),当a,b中有一个为零向量时,a⊥b不成立,故(1)是假命题;对于(2),当b=0,a≠0时,a=λb不成立,故(2)是假命题;(3)为真命题;对于(4),几何体还可以是球,故(4)为假命题.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2016·广州高二检测)判断下列语句,是命题的有________;其中是真命题的有__________.(只填序号)
①等边三角形是等腰三角形吗
②作三角形的一个内角平分线;
③在三角形中,大边对大角,小边对小角;
④若x+y为有理数,则x,y也都是有理数;
⑤x>8.
【解题指南】先根据命题的概念,判断所给语句是否为命题,若是,再判断真假.
【解析】①是疑问句.②是祈使句,①②不是命题.③是真命题.④是假命题.⑤不能判断真假,不是命题.
答案:③④ ③
【拓展延伸】判断语句是否为命题的方法
要判断一个语句是不是命题就要看它是否符合“可以判断真假”这个条件.
一般来说,疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.
数学中的定义、公理、定理等都是命题.
猜想类的,如“每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和(哥德巴赫猜想)”虽然目前不能确定真假,但随着科技发展总能确定其真假.这一类猜想可以作为命题.
10.设y=f(x)是定义在R上的函数,给定下列条件:
(1)y=f(x)为偶函数.
(2)y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
(3)T=2为y=f(x)的一个周期.
如果将上面的(1)(2)(3)中的任意两个作为条件,余下一个作为结论,那么构成的三个命题中,真命题有________个.
【解题指南】先写出相应的命题,然后判断真命题的个数.
【解析】①(1)(2)(3),由(2)知f(x)=f(2-x),
又f(x)=f(-x),所以f(-x)=f(2-x),
所以T=2为y=f(x)的一个周期.
②(1)(3)(2),由(3)知f(x)=f(2+x),
又f(x)=f(-x),所以f(-x)=f(2+x),
所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
③(2)(3)(1),由(2)知f(x)=f(2-x),
所以f(-x)=f(2+x),由(3)知f(x)=f(2+x),
所以f(x)=f(-x),即y=f(x)为偶函数.
答案:3
【延伸探究】若把条件中的“偶函数”改为“奇函数”,“关于直线x=1对称”改为“关于点(1,0)对称”,结论如何
【解析】①(1)(2)(3),由(2)知f(x)=-f(2-x),
又f(x)=-f(-x),所以f(-x)=f(2-x),
所以T=2为y=f(x)的一个周期.
②(1)(3)(2),
由(3)知f(x)=f(2+x),
又f(x)=-f(-x),
所以f(-x)=-f(2+x),
所以y=f(x)的图象关于点(1,0)对称.
③(2)(3)(1),
由(2)知f(x)=-f(2-x),
所以f(-x)=-f(2+x),
由(3)知f(x)=f(2+x),
所以f(x)=-f(-x),即y=f(x)为奇函数.故真命题仍有3个.
【补偿训练】命题:若a>0,则二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包括边界),条件p:__________,结论q:__________,是__________命题.(填“真”或“假”)
【解析】把握命题结构特征分析易得答案,本命题的条件是a>0,结论是二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包括边界),又由a>0可知,直线x+ay-1=0的斜率小于0,截距大于0,把(0,0)代入知原点不在x+ay-1≥0的区域内,故该命题是真命题.
答案:a>0 二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包括边界) 真
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.判断下列命题的真假,并说明理由:
(1)函数y=ax是指数函数.
(2)关于x的方程ax+1=x+2有唯一解.
【解题指南】(1)根据指数函数的定义判断,注意底数的取值范围.
(2)注意对参数进行分类讨论.
【解析】(1)当a>0且a≠1时,函数y=ax是指数函数,所以是假命题.
(2)关于x的方程ax+1=x+2即(a-1)x=1,
当a=1时,方程无解;
当a≠1时,方程有唯一解,所以是假命题.
12.指出下列命题中的条件p和结论q,并判断各命题的真假:
(1)若b2=ac,则a,b,c成等比数列.
(2)正角的正弦值是正数.
(3)函数f(x)=2|x|的图象关于y轴对称.
(4)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
【解析】(1)命题的条件p为“b2=ac”,结论q为“a,b,c成等比数列”,若a=b=0时,a,b,c不成等比数列,所以是假命题.
(2)命题的条件p为“一个角是正角”,结论q为“它的正弦值是正数”,由于
sinπ=0,所以是假命题.
(3)命题的条件p为“f(x)=2|x|”,结论q为“该函数的图象关于y轴对称”.由于f(-x)=f(x)=2|x|,
所以f(x)=2|x|是偶函数,所以函数的图象关于y轴对称,是真命题.
(4)命题的条件p为“两个正数”,结论q为“它们的算术平均数不小于它们的几何平均数”.基本不等式≥(a>0,b>0)一定成立,而表示两个正数的算术平均数,表示两个正数的几何平均数,所以此命题是真命题.
【能力挑战题】
已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0},B={x|x<0}.若A∩B= 是假命题,求实数m的取值范围.
【解析】设全集U={m|Δ=(-4m)2-4(2m+6)≥0}=.
若设方程x2-4mx+2m+6=0的两根分别为x1,x2,当两根均为非负实根时,有
因为关于U的补集是{m|m≤-1},
所以实数m的取值范围是{m|m≤-1}.
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课时提升作业(二十五)
生活中的优化问题举例
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( )
A.13万件
B.11万件
C.9万件
D.7万件
【解析】选C.y′=-x2+81,令导数y′=-x2+81>0,解得09,
在区间(0,9)上是增函数,在区间(9,+∞)上是减函数,所以在x=9处取极大值,也是最大值.
2.圆柱形金属饮料罐的体积一定,要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省,它的高与底面半径比为 ( )
A.2∶1
B.1∶2
C.1∶4
D.4∶1
【解题指南】设出高及底面半径,当饮料罐用料最省时,用体积表示出高及半径后求比值.
【解析】选A.
设圆柱形饮料罐的高为h,底面半径为R,
则表面积S=2πRh+2πR2.由V=πR2h,
得h=,则S(R)=2πR+2πR2
=+2πR2,令S′(R)=-+4πR=0,
解得R=,
从而h====2,
即h=2R,因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值,当饮料罐的高与底面直径相等,即h∶R=2∶1时所用材料最省.
3.已知球O的半径为R,圆柱内接于球,当内接圆柱的体积最大时,高等
于 ( )
A.R
B.R
C.R
D.R
【解析】选A.设球内接圆柱的高为h,圆柱底面半径为r,
则h2+(2r)2=(2R)2,得r2=R2-h2(0所以圆柱的体积为V(h)=πr2h=πh=πR2h-πh3(0求导数,得V′(h)=πR2-πh2
=π,
所以00;由此可得:V(h)在区间上是增函数;在区间上是减函数,所以当h=时,V(h)取得最大值.
4.(2015·益阳高二检测)某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)=x2(0A.30
B.40
C.50
D.60
【解题指南】V(x)是三次函数,其最值问题可用求导法.
【解析】选B.V′(x)=-x2+60x=-x(x-40),
因为00,此时V(x)单调递增;当40V′(x)<0,此时V(x)单调递减所以x=40是V(x)的极大值,即当箱子的体积最大时,箱子底面边长为40.
5.用长为90cm,宽为48
cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个大小相同的小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),当容器的体积最大时,该容器的高为 ( )
A.8cm
B.9cm
C.10cm
D.12cm
【解析】选C.设容器的高为xcm,容器的体积为V(x)cm3,
则V(x)=(90-2x)(48-2x)x
=4x3-276x2+4320x(0因为V′(x)=12x2-552x+4320,
由12x2-552x+4320=0得x=10或x=36(舍),
因为当00,当10所以当x=10时,V(x)在区间(0,24)内有唯一极大值,
所以容器高x=10cm时,容器体积V(x)最大.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.如果圆柱轴截面的周长l为定值,则体积的最大值为 .
【解析】设圆柱底面半径为R,高为H,圆柱轴截面的周长l为定值,
则4R+2H=l,所以H=-2R,
所以V=SH=πR2H=πR2(-2R)
=πR2-2πR3,
则V′=πRl-6πR2,
令V′=0,可得πRl-6πR2=0,
所以πR(l-6R)=0,
所以l-6R=0,所以R=,
当R<时V′>0,R>时,V′<0,故当R=时,V取极大值.
故当R=时,圆柱体积有最大值,圆柱体积的最大值是:V=πR2-2πR3=.
答案:
QUOTE
7.统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为y=x3-x+8,x∈(0,120],且甲、乙两地相距100千米,则当汽车以 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量最少.
【解析】当速度为x千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为h(x)升,
依题意得h(x)=·
=x2+-(0h′(x)=-=(0令h′(x)=0,得x=80.
当x∈(0,80)时,h′(x)<0,h(x)是减函数;
当x∈(80,120]时,h′(x)>0,h(x)是增函数.
所以当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25.
故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量最少,最少为11.25升.
答案:80
【补偿训练】甲乙两地相距240km,汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成,固定成本为160元,可变成本为v3元.为使全程运输成本最小,汽车应以 速度行驶.
【解析】设全程运输成本为y元,由题意,得
y==240,v>0,
y′=240.
令y′=0,得v=80.当v>80时,y′>0;
当0答案:80km/h
8.某厂生产某种产品x件的总成本c(x)=1200+x3(万元),已知产品单价的平
方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,产量定为
件时总利润最大.
【解析】设产品单价为p,则有p2=,将x=100,p=50代入,得k=250000,所以p=.
设总利润为L,L=L(x)
=x-(x>0),
即L(x)=x-1200-x3,
L′(x)=-,
令L′(x)=0,即-=0,得x=25,
因为x=25是函数L(x)在(0,+∞)上唯一的极值点,且是极大值点,从而是最大值点.
答案:25
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2015·泰安高二检测)某工厂共有10台机器,生产一种仪器元件,由于受生产能力和技术水平等因素限制,会产生一定数量的次品.根据经验知道,每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量x(万件)(4≤x≤12)之间满足关系:P=0.1x2-3.2lnx+3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元,但每产生1万件次品将亏损1万元.(利润=盈利-亏损)
(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元)表示为x的函数.
(2)当每台机器的日产量x(万件)为多少时所获得的利润最大,最大利润为多少
【解析】(1)由题意得,所获得的利润为y=10[2(x-P)-P]=20x-3x2+96lnx-90(4≤x≤12).
(2)由(1)知,y′==
当4≤x<6时,y′>0,函数在[4,6]上为增函数;当6所以当x=6时,函数取得极大值,且为最大值,最大利润为y=20×6-3×62+96ln6-90=96ln6-78(万元)
答:当每台机器的日产量为6万件时所获得的利润最大,最大利润为96ln6-78万元.
【补偿训练】某厂家拟对一商品举行促销活动,当该商品的售价为x元时,全年的促销费用为12(15-2x)(x-4)万元;根据以往的销售经验,实施促销后的年销售量t=12(x-8)2+万件,其中4(1)求出a的值.
(2)若每件该商品的成本为4元时,写出厂家销售该商品的年利润y万元与售价x元之间的关系.
(3)当该商品售价为多少元时,使厂家销售该商品所获年利润最大.
【解析】(1)由已知:当x=6元时,t=49万件,
所以49=12(6-8)2+,所以a=2.
(2)因为y=(x-4)·t-[12(15-2x)(x-4)]
所以y=(x-4)·-12(15-2x)(x-4)
=12(x-4)(x-8)2-12(15-2x)(x-4)+2
=12(x-4)(x-7)2+2(4(3)y′=12(x-7)2+24(x-4)(x-7)=36(x-7)(x-5),
令y′=0得x=7或x=5.
列表如下
x
(4,5)
5
(5,7)
7
(7,7.5)
y′
+
0
-
0
+
y
↗
极大值50
↘
极小值2
↗
故当x=5时,y最大=50,
故该商品售价为5元时厂家销售该商品所获年利润最大.
【误区警示】实际问题的求解不要忽视作答.
10.(2015·桂林高二检测)用长为18m的钢条围成一个长方体容器的框架,如果所制的容器的长与宽之比为2∶1,那么高为多少时容器的体积最大 并求出它的最大体积.
【解析】设长方体的宽为xm,则长为2xm,高为(4.5-3x)m.
由解得0故长方体的体积为
V(x)=2x2(4.5-3x)=9x2-6x3,从而V′(x)=18x-18x2=18x(1-x),
令V′(x)=0,解得x=1或x=0(舍去),
当00;
当1故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值,
从而最大体积为V(1)=9×12-6×13=3(m3),
此时容器的高为4.5-3=1.5(m).
因此,容器高为1.5m时容器的体积最大,最大体积为3m3.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.如图所示,半径为2的☉M切直线AB于点O,射线OC从OA出发绕着O点顺时针旋转到OB.旋转过程中,OC交☉M于点P.记∠PMO为x,弓形PnO的面积为S=f(x),那么f(x)的图象是下图中的 ( )
【解析】选A.由所给的图示可得,当0S扇形PnO-S△MPO=2x-2sinx,其导数为f′(x)=2-2cosx,由余弦函数的性质知,此值越来越大,即f(x)的图象上升得越来越快,由此可以排除B,C;再由所给图示的对称性知,弓形PnO的面积先是增加得越来越快,然后是增加得越来越慢,直到增加率为0,由此可以排除D,故选A.
2.将边长为1m的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=,则S的最小值是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解题指南】设剪成的小正三角形的边长为x,用x表示出梯形周长、梯形面积后代入求最值.
【解析】选A.设剪成的小正三角形的边长为x,则S==·(0设S(x)=·,则
S′(x)=·
=·.
由S′(x)=0,0当x∈时,S′(x)<0,S(x)单调递减;当x∈时,S′(x)>0,S(x)单调递增;
故当x=时,S的最小值是.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·亳州高二检测)某超市中秋前30天,月饼销售总量f(t)与时间t(0【解析】记g(t)==t++10(0g′(t)=1-=,
令g′(t)>0,得t>2,令g′(t)<0,得0所以函数g(t)在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,10)上单调递增,
又t∈Z,且g(3)=g(4)=17,
所以g(t)的最小值为17,即该超市前t天平均售出的月饼最少为17个.
答案:17个
4.有一杠杆,在它的一端距支点1m处挂一个49kg的物体,同时加力于杆的此端使杆保持水平平衡.若杠杆本身每米重2kg,则所加的力最小时杠杆的长度是 .
【解析】设杠杆长为xm,则根据题意和力的平衡关系,得
xF(x)=49×1+2x×,即F(x)=+x(x>0).
令F′(x)=-+1==0(x>0),得惟一的极值点x=7;
因为最省力的杠杆长确实存在,所以当杠杆长为7m时最省力.
答案:7m
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量y(单位:千套)与销售价格x(单位:元/套)满足关系式y=+4(x-6)2,其中2(1)求m的值.
(2)假设网校的员工工资,办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格x的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数)
【解析】(1)因为x=4时,y=21,
代入关系式y=+4(x-6)2,
得+16=21,解得m=10.
(2)由(1)可知,套题每日的销售量y=+4(x-6)2,
所以每日销售套题所获得的利润
f(x)=(x-2)=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2从而f′(x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2令f′(x)=0,得x=,或x=6(舍去)且在上,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;在上,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
所以x=是函数f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点,
所以当x=≈3.3时,函数f(x)取得最大值.
故当销售价格为3.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大.
6.(2015·江苏高考)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l1,l2所在的直线分别为y,x轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.
(1)求a,b的值.
(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;
②当t为何值时,公路l的长度最短 求出最短长度.
【解析】(1)由题意知,M点的坐标为(5,40),N点的坐标为(20,2.5),代入曲线C的方程y=可得:解得
(2)①由(1)知曲线C的方程为y=(5≤x≤20),y′=-,所以y′|x=t=-即为l的斜率.又当x=t时,y=,所以P点的坐标为,所以l的方程为y-=-(x-t).令x=0,得y=;令y=0,得x=t.所以f(t)=,其中5≤t≤20;
②由①知f(t)=,其中5≤t≤20.令g(t)=+=
t2+,所以g′(t)=t-=·=·.因为5≤t≤20,令g′(t)<0,得5≤t<10;令g′(t)=0,得t=10;g′(t)>0,得10【补偿训练】新晨投资公司拟投资开发某项新产品,市场评估能获得10～1000万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不低于1万元,同时不超过投资收益的20%.
(1)设奖励方案的函数模型为f(x),试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型f(x)的基本要求.
(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型:
①f(x)=+2;②f(x)=4lgx-2.
试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.
【解析】(1)由题意知,公司对奖励方案的函数模型f(x)的基本要求是:
当x∈[10,1000]时,
①f(x)是增函数;②f(x)≥1恒成立;③f(x)≤恒成立,
(2)①对于函数模型f(x)=+2:
当x∈[10,1000]时,f(x)是增函数,
则f(x)≥1显然恒成立,
而若使函数f(x)=+2≤在[10,1000]上恒成立,整理即29x≥300恒成立,而(29x)min=290,所以f(x)≤不恒成立.
故该函数模型不符合公司要求.
②对于函数模型f(x)=4lgx-2:
当x∈[10,1000]时,f(x)是增函数,
则f(x)min=f(10)=4lg10-2=2>1.
所以f(x)≥1恒成立.
设g(x)=4lgx-2-,则g′(x)=-.
当x≥10时,g′(x)=-≤=<0,
所以g(x)在[10,1000]上是减函数,
从而g(x)≤g(10)=4lg10-2-2=0.
所以4lgx-2-≤0,即4lgx-2≤,所以f(x)≤恒成立.
故该函数模型符合公司要求.
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课时提升作业(九)
椭圆及其标准方程
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.a=6,c=1的椭圆的标准方程是 ( )
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.以上都不对
【解析】选D.由a=6,c=1,所以b2=a2-c2=35,
当焦点在x轴上时,方程为+=1;
当焦点在y轴上时,方程为+=1.
2.已知F1,F2是定点,|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹
是 ( )
A.椭圆
B.直线
C.圆
D.线段
【解析】选D.因为|MF1|+|MF2|=8=|F1F2|,
所以点M的轨迹是线段F1F2.
3.(2015·漳州高二检测)如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是 ( )
A.a>3
B.a<-2
C.a>3或a<-2
D.a>3或-6【解析】选D.由于椭圆焦点在x轴上,
所以即
a>3或-6【误区警示】本题在求解时,常因忽略a+6>0导致错误.
4.已知椭圆+=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O为坐标原点,那么线段ON的长是 ( )
A.2
B.4
C.8
D.
【解题指南】借助三角形中位线的性质求解.
【解析】选B.设椭圆的另一个焦点为E,如图,
则|MF|+|ME|=10,
所以|ME|=8.
又ON为△MEF的中位线,
所以|ON|=|ME|=4.
5.(2015·荆州高二检测)已知椭圆的两焦点为F1(-2,0),F2(2,0),P为椭圆上的一点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项.该椭圆的方程是 ( )
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
【解析】选B.因为|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=2×4=8,
所以2a=8,所以a=4,
所以b2=a2-c2=16-4=12,
所以椭圆方程是+=1.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知a=4,b=3,椭圆焦点在x轴上,则椭圆的标准方程为 .
【解析】由题意可知,椭圆的标准方程为+=1.
答案:+=1
7.(2015·广东高考改编)已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m= .
【解题指南】本题考查了椭圆的几何性质,根据焦点在x轴上,判断出m2<25,进而根据焦点坐标,a2的值及m>0求得m.
【解析】由题意得:m2=25-42=9,
因为m>0,所以m=3.
答案:3
8.已知A(0,-1),B(0,1)两点,△ABC的周长为6,则△ABC的顶点C的轨迹方程是 .
【解析】因为2c=|AB|=2,所以c=1,
所以|CA|+|CB|=6-2=4=2a,
所以顶点C的轨迹是以A,B为焦点的椭圆(A,B,C不共线).
因此,顶点C的轨迹方程为+=1(y≠±2).
答案:+=1(y≠±2)
【误区警示】本题在求解时,常因为忽略A,B,C不共线导致增解.
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2015·临沂高二检测)设P是椭圆+=1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,若
∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.
【解析】由椭圆方程知,a2=25,b2=,
所以c2=,所以c=,2c=5.
在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°,
即25=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|. ①
由椭圆的定义得10=|PF1|+|PF2|,
即100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|. ②
②-①,得3|PF1|·|PF2|=75,
所以|PF1|·|PF2|=25,
所以=|PF1|·|PF2|·sin60°=.
10.已知动圆M过定点A(-3,0),并且内切于定圆B:(x-3)2+y2=64.求动圆圆心M的轨迹方程.
【解析】设动圆M的半径为r,
则|MA|=r,|MB|=8-r,
所以|MA|+|MB|=8,且8>|AB|=6,
所以动点M的轨迹是椭圆,且焦点分别是A(-3,0),B(3,0),且2a=8,
所以a=4,c=3,
所以b2=a2-c2=16-9=7.
所求动圆圆心M的轨迹方程是+=1.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·重庆高二检测)设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△PF1F2的面积等于 ( )
A.5
B.4
C.3
D.1
【解析】选B.由椭圆的标准方程得a=3,b=2,c=,
所以|PF1|+|PF2|=6.
又|PF1|∶|PF2|=2∶1,
所以|PF1|=4,|PF2|=2,
所以△F1PF2为直角三角形,
所以=×2×4=4.
2.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上.若P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,则点P到x轴的距离为 ( )
A.
B.3
C.
D.
【解析】选D.由题意,a2=16,b2=9,所以c2=7,c=.
因为△PF1F2为直角三角形.且b=3>=c.
所以F1或F2为直角三角形的直角顶点,
所以点P的横坐标为±,
设P(±,|y|),把x=±代入椭圆方程,知+=1,所以y2=,所以|y|=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·山师附中高二检测)已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是 .
【解题指南】解答本题应注意,方程表示椭圆,分母应取正值,焦点在y轴上,含y2项的分母较大,二者缺一不可.
【解析】由题意得
即
所以1答案:14.(2015·长沙高二检测)在平面直角坐标系中,A(4,0),B(-4,0),且=,则△ABC的顶点C的轨迹方程为 .
【解题指南】应用正弦定理及椭圆的定义求解.
【解析】由正弦定理,得
=,又|AB|=8,
所以|BC|+|AC|=10.
由椭圆定义可知,点C的轨迹是以点A,B为焦点的椭圆.
又因为a=×10=5,c=×8=4,
所以b2=a2-c2=25-16=9.又因为点A,B,C不共线,
所以点C的轨迹方程为+=1(y≠0).
答案:+=1(y≠0)
【误区警示】本题解答常因忽略了隐含条件——点A,B,C不共线导致忘记对x或y加以限制.
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2015·安阳高二检测)已知点P(6,8)是椭圆+=1(a>b>0)上一点,F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆的两焦点,若·=0.试求
(1)椭圆的方程.
(2)sin∠PF1F2的值.
【解析】(1)因为·=0,
所以-(c+6)(c-6)+64=0,所以c=10,
所以F1(-10,0),F2(10,0),
所以2a=|PF1|+|PF2|
=+=12,
所以a=6,b2=80.
所以椭圆方程为+=1.
(2)因为PF1⊥PF2,
所以=|PF1|·|PF2|=|F1F2|·yP=80,所以|PF1|·|PF2|=160,
又|PF1|+|PF2|=12,且点P(6,8)在第一象限内,
所以|PF2|=4,
所以sin∠PF1F2===.
6.(2015·东莞高二检测)在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于-.
(1)求动点P的轨迹方程.
(2)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问:是否存在点P,使得△PAB与△PMN的面积相等 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)因为点B与点A(-1,1)关于原点O对称,
所以点B的坐标为(1,-1).
设点P的坐标为(x,y),
由题意得·=-,
化简得x2+3y2=4(x≠±1).
故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4(x≠±1).
(2)方法一:设点P的坐标为(x0,y0),点M,N的坐标分别为(3,yM),(3,yN),
则直线AP的方程为y-1=(x+1),
直线BP的方程为y+1=(x-1),
令x=3得yM=,yN=.
于是△PMN的面积
S△PMN=|yM-yN|(3-x0)=,
又直线AB的方程为x+y=0,|AB|=2,
点P到直线AB的距离d=.
于是△PAB的面积S△PAB=|AB|·d=|x0+y0|,
当S△PAB=S△PMN时,得|x0+y0|=,
又|x0+y0|≠0,
所以(3-x0)2=|-1|,解得x0=.
因为+3=4,所以y0=±.
故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等,此时点P的坐标为.
方法二:若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等,
设点P的坐标为(x0,y0),
则|PA|·|PB|sin∠APB=|PM|·|PN|sin∠MPN.
因为sin∠APB=sin∠MPN,
所以=,
所以=,
即(3-x0)2=|-1|,解得x0=.
因为+3=4,所以y0=±,
故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等,此时点P的坐标为.
【补偿训练】在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AB=2,AC=,曲线E过C点,动点P在E上运动,且保持|PA|+|PB|的值不变,求曲线E的方程.
【解析】如图所示,以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系.
在Rt△ABC中,
BC==,
因为|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=+=2.
又|PA|+|PB|>|AB|,
所以由椭圆定义知,动点P的轨迹E为椭圆,a=,c=1,b=1.
所以所求的轨迹方程为+y2=1.
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课时提升作业(十六)
抛物线的简单几何性质
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.抛物线x2=-8y的通径为线段AB,O为抛物线的顶点,则AB长是 ( )
A.2
B.4
C.8 D.1
【解析】选C.由题意|AB|=2p=8.
2.(2015·兰州高二检测)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|= ( )
A.6
B.8
C.9
D.10
【解析】选B.由题意,p=2,故抛物线的准线方程是x=-1,
因为过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
所以|AB|=x1+x2+2,
又x1+x2=6,
所以|AB|=x1+x2+2=8.
3.(2015·阜新高二检测)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,点P为C的准线上一点,则△ABP的面积为 ( )
A.18
B.24
C.36
D.48
【解析】选C.不妨设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),由于l垂直于对称轴且过焦点,故直线l的方程为x=.代入y2=2px得y=±p,即|AB|=2p,又|AB|=12,故p=6,所以抛物线的准线方程为x=-3,故S△ABP=×6×12=36.
4.已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12,则该弦所在直线的倾斜角是 ( )
A.或
B.或
C.或
D.
【解题指南】设出直线的方程,利用抛物线的定义把弦长为12转化为x1+x2+3=12求解.
【解析】选B.抛物线的焦点为.由题意知弦所在直线的斜率存在.
设直线方程为y=k,与方程y2=6x联立得:
4k2x2-(12k2+24)x+9k2=0.
设直线与抛物线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).
所以x1+x2=,
所以x1+x2+3=+3=12.
所以k2=1,所以k=±1.
故弦所在直线的倾斜角是或π.
5.(2015·安庆高二检测)设抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A,B两点,则·的值是 ( )
A.
B.-
C.3
D.-3
【解题指南】直接应用结论“x1x2=,y1y2=-p2”求解.
【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题可知p=1,则·=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2=-p2=-.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2015·陕西高考)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p= .
【解题指南】利用抛物线和双曲线的简单性质,以及抛物线方程y2=2px中p的意义可以求解.
【解析】双曲线x2-y2=1的左焦点为(-,0),故抛物线y2=2px的准线为x=-,所以=,所以p=2.
答案:2
7.已知直线y=(x-2)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,点F为C的焦点,若=λ(||>||),则λ= .
【解析】如图,设AF=n,BF=m,
AA1⊥l,BB1⊥l,FN⊥AA1于N,BM⊥x轴于M.
则AN=n-4,FM=4-m.
又∠AFN=∠FBM=30°,
所以
所以所以λ==3.
答案:3
8.(2015·郑州高二检测)过抛物线x2=2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B两点,A,B在x轴上的正射影分别为D,C.若梯形ABCD的面积为12,则p= .
【解析】依题意,抛物线的焦点F的坐标为,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y-=x,代入抛物线方程得y2-3py+=0,故y1+y2=3p,|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+p=4p,直角梯形ABCD有一个内角为45°.
故|CD|=|AB|=×4p=2p,梯形面积为
(|BC|+|AD|)×|CD|=×3p×2p=3p2=12,解得p=2.
答案:2
【补偿训练】已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,|AF|=2,则|BF|= .
【解析】因为y2=4x,所以p=2,F(1,0),又因为|AF|=2,
所以xA+=2,所以xA+1=2,所以xA=1.即AB⊥x轴,点F为AB的中点,所以|BF|=|AF|=2.
答案:2
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.求抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离.
【解析】设抛物线y=x2上一点P(x0,y0)到直线l:x-y-2=0的距离为d,则d=
=
=.
当x0=时,dmin=.
【一题多解】由消去y,得x2-x-m=0,
令Δ=1+4m=0得m=-,
所以切线方程为x-y-=0,
所以最短距离为d==.
10.抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,且与双曲线实轴垂直,已知抛物线与双曲线的一个交点为A,求抛物线与双曲线的方程.
【解析】由题意知,抛物线焦点在x轴上,开口方向向右,可设抛物线方程为y2=2px(p>0),将交点A代入得p=2,故抛物线方程为y2=4x,因为双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),所以双曲线的焦点坐标为F1(-1,0)和F2(1,0),且c=1.
又点A也在双曲线上,因此由定义可得2a=|AF1|-|AF2|=
-=-=1,
所以a=,b==,
因此,双曲线的方程为4x2-=1.
【补偿训练】等腰直角三角形的直角顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上.若该三角形的斜边长为4,求此抛物线的方程.
【解析】如图,设等腰直角三角形OAB的顶点A,B在抛物线上.
根据抛物线的性质知A,B关于x轴对称.
由题意得A(2,2)在抛物线y2=2px上,
所以p=1,抛物线的方程为y2=2x.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·潍坊高二检测)边长为1的等边三角形AOB,O为原点,AB⊥x轴,以O为顶点,且过A,B的抛物线方程是 ( )
A.y2=x
B.y2=-x
C.y2=±x
D.y2=±x
【解析】选C.由抛物线的对称性及AB⊥x轴知,抛物线的焦点在x轴上.设方程为y2=nx(n≠0).
由题意知,可令OA的方程为y=x,且OA=1.
得A或A,
代入y2=nx,得n=±,
所以抛物线方程为y2=±x.
【补偿训练】已知直线l与抛物线y2=8x交于A,B两点,且l经过抛物线的焦点F,A点的坐标为(8,8),则线段AB的中点到准线的距离是 ( )
A.
B. C. D.25
【解析】选A.抛物线的焦点坐标为(2,0),直线l过焦点F,直线l的方程为y=(x-2).
由得B点的坐标为.
所以|AB|=|AF|+|BF|=2+8+2+=.
所以AB的中点到准线的距离为.
2.(2015·冀州高二检测)设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,点F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是 ( )
A.(0,2)
B.[0,2]
C.(2,+∞)
D.[2,+∞)
【解题指南】由直线与圆的位置关系建立参数p的不等关系,并借助抛物线的定义求解.
【解析】选C.圆心到抛物线准线的距离为p,即4,根据已知只要|FM|>4即可.根据抛物线定义,|FM|=y0+2.由y0+2>4,解得y0>2,故y0的取值范围是(2,+∞).
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·石家庄高二检测)已知点O为坐标原点,点F为抛物线y2=4x的焦点,点A是抛物线上一点,若·=-4,则点A的坐标是 .
【解析】因为抛物线的焦点为F(1,0),设A,
则=,=,
由·=-4,得y0=±2,
所以点A的坐标是(1,2)或(1,-2).
答案:(1,2)或(1,-2)
4.已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0).直线l与抛物线C相交于A,B两点,若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为 .
【解题指南】由于该问题是中点弦问题,故可利用“点差法”求解.
【解析】由题意知抛物线的方程为y2=4x,
设直线l与抛物线C的交点A(x1,y1),B(x2,y2),
则有x1≠x2,
两式相减得,-=4(x1-x2),
所以==1,
所以直线l的方程为y-2=x-2,即y=x.
答案:y=x
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.
【解题指南】先证明x轴是它们的公共对称轴,再求三角形边长.
【解析】如图所示,设正三角形OAB的顶点A,B在抛物线上,
且坐标分别为A(x1,y1),
B(x2,y2),则=2px1,
=2px2.
又OA=OB,所以x12+y12=+,
即-+2px1-2px2=0,
整理得(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.
因为x1>0,x2>0,2p>0,
所以x1=x2,由此可得|y1|=|y2|,
即线段AB关于x轴对称.
由此得∠AOx=30°,
所以y1=x1,与=2px1联立,
解得y1=2p.所以|AB|=2y1=4p.即三角形的边长为4p.
6.点M(m,4)(m>0)为抛物线x2=2py(p>0)上一点,F为其焦点,已知|FM|=5.
(1)求m与p的值.
(2)以M点为切点作抛物线的切线,交y轴于点N,求△FMN的面积.
【解析】(1)由抛物线定义知,|FM|=+4=5,所以p=2.所以抛物线的方徎为x2=4y,
又由M(m,4)在抛物线上,所以m=4.
故p=2,m=4.
(2)设过M点的切线方程为y-4=k(x-4),
代入抛物线方程消去y得,x2-4kx+16k-16=0,
其判别式Δ=16k2-64(k-1)=0,所以k=2,
切线方程为y=2x-4,
切线与y轴的交点为N(0,-4),抛物线的焦点F(0,1),
所以S△FMN=|FN|·m=×5×4=10.
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课后提升作业
十三
双曲线的简单几何性质
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.若实数k满足0A.实半轴长相等
B.虚半轴长相等
C.离心率相等
D.焦距相等
【解析】选D.因为02.等轴双曲线的一个焦点是F1(-6,0),则它的标准方程是 ( )
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
【解析】选B.设等轴双曲线方程为-=1(a>0),
所以a2+a2=62,所以a2=18,
故双曲线方程为-=1.
【补偿训练】以椭圆+=1的顶点为顶点,离心率为2的双曲线方程为 ( )
A.-=1
B.-=1
C.-=1或-=1
D.以上都不对
【解析】选C.当顶点为(±4,0)时,a=4,c=8,b=4,双曲线方程为-=1;当顶点为(0,±3)时,a=3,c=6,b=3,双曲线方程为-=1.
3.(2015·全国卷Ⅰ)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.由双曲线方程可知F1(-,0),F2(,0),
因为·<0,所以(--x0)(-x0)+(-y0)(-y0)<0.
即+-3<0,所以2+2+-3<0,<,
所以-4.(2016·浙江高考)已知椭圆C1：+y2=1(m>1)与双曲线C2：-y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则(
)
A．m>n且e1e2>1
B．m>n且e1e2<1
C．m1
D．m【解析】选A.由题意知m2-1=n2+1，即m2=n2+2，(e1e2)2=
，因为m2=n2+2，m>1,n>0,所以m>n,(e1e2)2>1，所以e1e2>1．
5.(2016·吉林高二检测)已知双曲线-=1的一个焦点在圆x2+y2-4x-5=0上,则双曲线的渐近线方程为 ( )
A.y=±x
B.y=±x
C.y=±x
D.y=±x
【解析】选B.因为方程表示双曲线,所以m>0,
因为a2=9,b2=m,所以c2=a2+b2=9+m,
所以c=.因为双曲线的一个焦点在圆上,
所以是方程x2-4x-5=0的根,
所以=5,所以m=16,
所以双曲线的渐近线方程为y=±x.
【补偿训练】(2015·安徽高考)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是 ( )
A.x2-=1
B.-y2=1
C.-x2=1
D.y2-=1
【解析】选C.由双曲线的焦点在y轴上,排除A,B;对于D,渐近线方程为y=±x,而对于C,渐近线方程为y=±2x.
6.若双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,则双曲线焦点F到渐近线的距离为
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选B.由已知可知双曲线的焦点在y轴上,
所以==.所以m=9.
所以双曲线的焦点为(0,±),焦点F到渐近线的距离为d=3.
7.(2016·郑州高二检测)双曲线-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.双曲线的渐近线为直线y=±x,即x±2y=0,顶点为(±2,0),所以所求距离为d==.
8.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线均与C:x2+y2-6x+5=0相切,则该双曲线离心率等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.圆的标准方程为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为C(3,0),半径r=2,双曲线的渐近线为y=±x,不妨取y=x,即bx-ay=0,因为渐近线与圆相切,所以圆心到直线的距离d==2,即9b2=4(a2+b2),所以5b2=4a2,b2=a2=c2-a2,即a2=c2,所以e2=,e=,选A.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程为________________.
【解析】根据双曲线渐近线方程为y=±x,可设双曲线的方程为-y2=m,把(4,)代入-y2=m,得m=1.
答案:-y2=1
【延伸探究】求双曲线方程的两个关注点
1.根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式.
2.利用渐近线与双曲线的位置关系,设有公共渐近线的双曲线系方程-=λ(λ≠0),这样可避免分类讨论,从而减少运算量,提高解题速度与准确性.
10.
(2016·北京高考)已知双曲线(a＞0,b＞0)的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为(,0)，则a=
，b=
.
【解题指南】焦点在x轴的双曲线的渐近线为y=±x，焦点(±c,0).
【解析】因为渐近线方程y=-2x，所以=2①.焦点(,0)
，所以c=.所以a2+b2=c2=5②.由①②联立解得a=1,b=2.
答案：1
2
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.设双曲线-=1(0【解题指南】由截距式得直线l的方程,再由双曲线中a,b,c的关系及原点到直线l的距离建立等式,从而求出离心率.
【解析】由l过两点(a,0),(0,b),得l的方程为bx+ay-ab=0.由原点到l的距离为c,得=c.
将b=代入,平方后整理,
得16-16×+3=0.令=x,
则16x2-16x+3=0,解得x=或x=.
由e=有e=.故e=或e=2.
因为0,
所以e=应舍去,故所求离心率e=2.
12.如图所示,双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,F1,F2分别为左、右焦点,双曲线的左支上有一点P,∠F1PF2=,且△PF1F2的面积为2,又双曲线的离心率为2,求该双曲线的标准方程.
【解析】设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),
F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0).
在△PF1F2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos
=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,
即4c2=4a2+|PF1|·|PF2|.又因为=2,
所以|PF1|·|PF2|sin=2.所以|PF1|·|PF2|=8,所以4c2=4a2+8,即b2=2.
又因为e==2,所以a2=.所以双曲线的标准方程为-=1.
【能力挑战题】已知双曲线-=1的右焦点为(2,0).
(1)求双曲线的方程.
(2)求双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积.
【解析】(1)因为双曲线的右焦点坐标为(2,0),
且双曲线方程为-=1,
所以c2=a2+b2=3+b2=4,所以b2=1,
所以双曲线的方程为-y2=1.
(2)因为a=,b=1,双曲线的渐近线方程为y=±x,
令x=-2,则y=±,
设直线x=-2与双曲线的渐近线的交点为A,B,
则|AB|=,记双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形面积为S,则S=××2=.
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课堂10分钟达标
1.若直线x=a与双曲线-y2=1有两个交点,则a的值可以是 ( )
A.4
B.2
C.1
D.-2
【解析】选A.因为双曲线-y2=1中,x≥2或x≤-2,
所以若x=a与双曲线有两个交点,
则a>2或a<-2,故只有A选项符合题意.
2.设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为 ( )
A.y=±x
B.y=±x
C.y=±2x
D.y=±x
【解析】选B.由题意知:2b=2,2c=2,则可求得a=,则双曲线方程为-y2=1,故其渐近线方程为y=±x.
3.已知双曲线-=1和椭圆+=1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数,那么以a,b,m为边长的三角形一定是 ( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
【解析】选B.由题意知·=1,化简得a2+b2=m2,所以以a,b,m为边长的三角形为直角三角形.
4.双曲线-=1上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项,则P点到左焦点的距离为________.
【解析】由a=4,b=3,得c=5,设左焦点为F1,右焦点为F2,则|PF2|=(a+c+c-a)=c=5,由双曲线的定义得|PF1|=2a+|PF2|=8+5=13.
答案:13
5.已知双曲线的中心是坐标原点,实轴在y轴上,离心率为2,且双曲线两支上的点的最近距离为4,则双曲线的标准方程为____________.
【解析】因为双曲线的实轴在y轴上,所以焦点在y轴上.
因为双曲线两支上的点的最近距离为4,
即两顶点之间的距离为4,所以a=2.
又因为离心率为2,所以c=4,
所以b2=c2-a2=12,所以双曲线的标准方程为-=1.
答案:-=1
6.求经过点且与双曲线4x2-y2=1仅有一个公共点的直线方程.
【解析】当直线斜率存在时,设所求直线方程为y-2=k,代入双曲线方程4x2-y2=1,
得(4-k2)x2-2kx-=0.
(1)当k=2时,直线方程为y=2x+1,与双曲线只有一个公共点.
(2)当k=-2时,直线方程为y=-2x+3,与双曲线只有一个公共点.
(3)当直线和双曲线相切时,仅有一个公共点,此时由得k=,可得直线方程为y=x+.
当k不存在时,直线x=也满足题意.
故经过点且与双曲线4x2-y2=1仅有一个公共点的直线有四条,它们的方程分别为y=2x+1,y=-2x+3,y=x+,x=.
7.【能力挑战题】设双曲线x2-=1上有两点A,B,AB中点M(1,2),求直线AB的方程.
【解析】方法一(用根与系数的关系解决)
显然直线AB的斜率存在.
设直线AB的方程为y-2=k(x-1),
即y=kx+2-k,由
得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0,
当Δ>0时,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则1==,
所以k=1,满足Δ>0,所以直线AB的方程为y=x+1.
方法二(用点差法解决)
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则
两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2).
因为x1≠x2,所以=,
所以kAB==1,
所以直线AB的方程为y=x+1,
代入x2-=1满足Δ>0.
所以直线AB的方程为y=x+1.
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课后提升作业
五
充要条件
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2015·安徽高考)设p:11,则p是q成立的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由q:2x>20x>0可知:由p能推出q,但由q不能得出p,所以p是q成立的充分不必要条件.
2.(2016·济南高二检测)设α,β∈,那么“α<β”是“tanαA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.在中,函数y=tanx为增函数,所以设α,β∈,那么“α<β”是“tanα3.若非空集合A,B,C满足A∪B=C,且B不是A的子集,则 ( )
A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C.“x∈C”是“x∈A”的充要条件
D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
【解析】选B.由A∪B=C知,x∈Ax∈C,x∈Cx∈A.
所以x∈C是x∈A的必要不充分条件.
4.(2016·石家庄高二检测)设a,b∈R,则“(a-b)a2<0”是“aA.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.因为a,b∈R,则(a-b)a2<0,
所以a由a所以根据充分必要条件的定义可以判断:
a,b∈R,则“(a-b)a2<0”是a5.（2016·北京高考）设a,b是向量，则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的(
)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选D.由|a+b|=|a-b|可得a⊥b.
所以“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条件.
6.(2015·陕西高考)“sinα=cosα”是“cos
2α=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.方法一:由cos2α=0得
cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=0,
得sinα=cosα或sinα=-cosα.
所以sinα=cosαcos
2α=0,
即“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件.
方法二:由sinα=cosα,得sin=0,
即α-=kπ,α=kπ+,k∈Z.
而cos
2α=0,得2α=kπ+,α=+,k∈Z.
所以sinα=cosαcos2α=0,即“sinα=cosα”是
“cos2α=0”的充分不必要条件.
【补偿训练】“α=+2kπ(k∈Z)”是“cos2α=”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.因为当α=+2kπ(k∈Z)时,
cos2α=cos=,所以“α=+2kπ(k∈Z)”是“cos
2α=”的充分条件.而当α=-时,cos2α=,但-≠+2kπ(k∈Z),所以“α=+2kπ(k∈Z)”不是“cos2α=”的必要条件.
7．(2016·浙江高考)已知函数f(x)=x2+bx，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由题意知f(x)=x2+bx=，最小值为-
，令t=x2+bx，则f(f(x))=f(t)=t2+bt=
，t≥-当b<0时，f(f(x))的最小值为-，所以“b<0”能推出“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”；当b=0时，f(f(x))=x4的最小值为0，f(x)的最小值也为0，所以“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”不能推出“b<0”.
8.“关于x的不等式x2-2ax+a>0对x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是
( )
A.0B.0≤a≤1
C.0D.a≥1或a≤0
【解析】选B.当关于x的不等式x2-2ax+a>0对x∈R恒成立时,应有Δ=4a2-4a<0,解得0二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2015·杭州高二检测)设m∈N
,一元二次方程x2-4x+m=0有整数根的充要条件是m=________.
【解题指南】先将根用m表示,再用整数等有关概念分析验证.
【解析】x==2±,因为x是整数,
即2±为整数,所以为整数,且m≤4,又m∈N
,取m=1,2,3,4.验证可得m=3,4符合题意,所以m=3,4时可以推出一元二次方程x2-4x+m=0有整数根.
答案:3或4
10.给定空间中的直线l及平面α,条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的______条件.
【解析】“直线l与平面α内无数条直线都垂直”中的“无数条直线”是“一组平行直线”时,不能推出线面垂直;由“直线l与平面α垂直”可以推出“直线l与平面α内无数条直线都垂直”.
答案:必要不充分
【延伸探究】本题条件中的两处“垂直”都变为“平行”,则结论如何
【解析】当直线lα时,不能推出l∥α,不是充分条件;由“直线l与平面α平行”可以推出“直线l与平面α内无数条直线都平行”,所以是必要不充分条件.
三、解答题
11.(10分)(2015·郑州高二检测)(1)是否存在实数m,使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件
(2)是否存在实数m,使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件
【解析】(1)欲使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件,则只要 {x|x<-1或x>3},即只需-≤-1,所以m≥2.
故存在实数m≥2,使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件.
(2)欲使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件,则只要{x|x<-1或x>3} ,这是不可能的.故不存在实数m,使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件.
【能力挑战题】
已知数列{an}的前n项和为Sn=(n+1)2+c,探究{an}是等差数列的充要条件.
【解析】当{an}是等差数列时,
因为Sn=(n+1)2+c,所以当n≥2时,Sn-1=n2+c,
所以an=Sn-Sn-1=2n+1,所以an+1-an=2为常数.
又a1=S1=4+c,所以a2-a1=5-(4+c)=1-c,
因为{an}是等差数列,
所以a2-a1=2,所以1-c=2.
所以c=-1,反之,当c=-1时,Sn=n2+2n,
可得an=2n+1(n≥1,n∈N
)为等差数列,
所以{an}为等差数列的充要条件是c=-1.
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课时提升作业(十五)
抛物线及其标准方程
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2014·安徽高考)抛物线y=x2的准线方程是 ( )
A.y=-1
B.y=-2
C.x=-1
D.x=-2
【解题指南】将抛物线化为标准形式即可得出.
【解析】选A.由y=x2得x2=4y,所以抛物线的准线方程是y=-1.
【补偿训练】(2014·陕西高考)抛物线y2=4x的准线方程为 .
【解析】根据抛物线的几何性质得抛物线y2=4x的准线方程为x=-1.
答案:x=-1
2.(2015·陕西高考)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则抛物线焦点坐标为 ( )
A.(-1,0)
B.(1,0)
C.(0,-1)
D.(0,1)
【解题指南】利用抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),求得=1,即可求出抛物线焦点坐标.
【解析】选B.因为抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),所以=1,所以该抛物线焦点坐标为(1,0).
3.(2015·长沙高二检测)过点F(0,3)且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为 ( )
A.y2=12x
B.y2=-12x
C.x2=12y
D.x2=-12y
【解析】选C.由题意知动圆圆心到点F(0,3)的距离等于到定直线y=-3的距离,故动圆圆心的轨迹是以点F为焦点,直线y=-3为准线的抛物线.故动圆圆心的轨迹方程为x2=12y.
【补偿训练】已知动点P(x,y)满足=,则P点的轨迹是( )
A.直线
B.圆
C.椭圆
D.抛物线
【解析】选D.由题意知,动点P到定点(1,2)和定直线3x+4y-10=0的距离相等,又点(1,2)不在直线3x+4y-10=0上,所以点P的轨迹是抛物线.
4.抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4,则点A与抛物线焦点的距离为 ( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选D.抛物线的准线为y=-1,所以点A到准线的距离为5,又因为点A到准线的距离与点A到焦点的距离相等,所以距离为5.
【一题多解】选D.因为y=4,所以x2=4·y=16,
所以x=±4,所以取A(4,4),焦点坐标为(0,1),
所以所求距离为==5.
5.(2015·山师附中高二检测)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( )
A.
B.2
C.
D.
【解析】选A.如图,由抛物线定义知|PA|+|PQ|=|PA|+|PF|,则所求距离之和的最小值转化为求|PA|+|PF|的最小值,则当A,P,F三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值.
又A(0,2),F,
所以(|PA|+|PF|)min=|AF|
==.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是 .
【解析】设Q,由|PQ|≥|a|得+t2≥a2,t2(t2+16-8a)≥0,t2+16-8a≥0,故t2≥8a-16恒成立,则8a-16≤0,a≤2,故a的取值范围是(-∞,2].
答案:(-∞,2]
7.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是 .
【解析】由抛物线的方程得==2,再根据抛物线的定义,可知所求距离为4+2=6.
答案:6
8.若点P到F(3,0)的距离比它到直线x+4=0的距离小1,则动点P的轨迹方程为 .
【解题指南】可以考虑运用直接法,设出P点坐标,列等式或考虑抛物线的定义.
【解析】由题意知点P到F(3,0)的距离比它到直线x=-4的距离小1,则应有P到(3,0)的距离与它到直线x=-3的距离相等.故P的轨迹为抛物线且以F(3,0)为焦点,所以=3,p=6,故抛物线方程为y2=12x.
答案:y2=12x
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知抛物线的焦点在x轴上,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离是5.
(1)求抛物线方程和m的值.
(2)求抛物线的焦点和准线方程.
【解析】(1)设抛物线方程为y2=-2px(p>0),
则焦点坐标F,准线方程x=.
由抛物线定义知,点M到焦点的距离等于5,
即点M到准线的距离等于5,
则3+=5,所以p=4,所以抛物线方程为y2=-8x,
又点M(-3,m)在抛物线上,
所以m2=24,所以m=±2,
所以所求抛物线方程为y2=-8x,m=±2.
(2)因为p=4,所以抛物线的焦点坐标为(-2,0),
准线方程是x=2.
【补偿训练】(2013·福建高考)如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,10),分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,…,A9和B1,B2,…,B9,连接OBi,过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(i∈N
,1≤i≤9).
求证:点Pi(i∈N
,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,并求抛物线E的方程.
【解析】依题意,过Ai(i∈N
,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线方程为x=i,
因为Bi(10,i),所以直线OBi的方程为y=x,
设Pi坐标为(x,y),由得:
y=x2,即x2=10y,
所以Pi(i∈N
,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x2=10y.
10.(2015·长春高二检测)如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.
(1)以抛物线的顶点为原点O,其对称轴所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图),求该抛物线的方程.
(2)若行车道总宽度AB为7米,请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)
【解析】如图所示
(1)依题意,设该抛物线的方程为x2=-2py(p>0),因为点C(5,-5)在抛物线上,可解得p=,所以该抛物线的方程为x2=-5y.
(2)设车辆高h米,则|DB|=h+0.5,
故D(3.5,h-6.5),
代入方程x2=-5y,解得h=4.05,所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为 ( )
A.
B.1
C.
D.
【解析】选C.根据抛物线定义与梯形中位线定理,得线段AB的中点到y轴的距离为(|AF|+|BF|)-=-=.
【补偿训练】抛物线y2=-2px(p>0)的焦点恰好与椭圆+=1的一个焦点重合,则p= ( )
A.1
B.2
C.4
D.8
【解析】选C.椭圆中a2=9,b2=5,所以c2=a2-b2=4,所以c=2,
所以F1(-2,0),F2(2,0),抛物线y2=-2px(p>0)的焦点F与F1重合,所以-=-2,所以p=4.
2.(2015·浙江高考)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.====
=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·深圳高二检测)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为-,那么|PF|= .
【解析】如图所示,
∠AFE=60°,
又F(2,0),所以E(-2,0),
所以=tan60°,
所以AE=4,
所以点P的坐标为(6,4),
所以|PF|=|PA|=6+2=8.
答案:8
4.(2014·湖南高考)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则= .
【解题指南】由正方形的边长给出点C,F的坐标,代入抛物线方程求解.
【解析】由题意可得C,
F,则=+1.
答案:+1
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.设点P是曲线y2=4x上的一个动点.
(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值.
(2)若B(3,2),点F是抛物线的焦点,求|PB|+|PF|的最小值.
【解析】(1)如图,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是x=-1,由抛物线的定义知:点P到直线x=-1的距离等于点P到焦点F的距离,于是,问题转化为在曲线上求一点P,使点P到点A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小.显然,连接AF交曲线于P点,故最小值为=.
(2)
如图,自B作BQ垂直准线于Q,交抛物线于P1,
此时,|P1Q|=|P1F|,
那么|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,
即|PB|+|PF|的最小值为4.
6.(2015·苏州高二检测)如图所示,花坛的水池中央有一喷泉,水管O′P=1m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下.若最高点距水面2m,P距抛物线的对称轴1m,则水池的直径至少应设计为多少米(精确到1m)
【解析】如图所示,建立平面直角坐标系.
设抛物线方程为x2=-2py(p>0).
依题意有P′(1,-1)在此抛物线上,
代入抛物线方程,得p=.
故得抛物线方程为x2=-y.
因为点B在抛物线上,将B(x,-2)代入抛物线方程得x=,
即|AB|=,则|AB|+1=+1,
因此所求水池的直径为2(1+)m,约为5m,
即水池的直径至少应设计为5m.
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课堂10分钟达标
1.已知点(2,3)在椭圆+=1上,则下列说法正确的是 ( )
A.点(-2,3)在椭圆外
B.点(3,2)在椭圆上
C.点(-2,-3)在椭圆内
D.点(2,-3)在椭圆上
【解析】选D.根据椭圆的对称性知,点(2,-3)在椭圆上.
2.过椭圆+y2=1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A,B两点,则|AB|等于 ( )
A.4
B.2
C.1
D.4
【解析】选C.因为+y2=1中a2=4,b2=1,所以c2=3,所以右焦点坐标F(,0),将x=代入+y2=1得,y=±,故|AB|=1.
3.直线y=x+1与椭圆x2+=1的位置关系是 ( )
A.相离
B.相切
C.相交
D.无法确定
【解析】选C.联立消去y,得3x2+2x-1=0,Δ=22+12=16>0,所以直线与椭圆相交.
4.若直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为________.
【解析】因为直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点,所以>2,所以m2+n2<4.即点P(m,n)在以原点为圆心,以2为半径的圆内,故直线mx+ny=4与椭圆+=1有两个交点.
答案:2
5.椭圆+=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标是________.
【解析】设椭圆的另一个焦点为F2,由题意知F2P垂直于x轴,不妨设P(3,y0),则有+=1,所以y0=±,点M的纵坐标为±.
答案:±
6.求过点(3,0)且斜率为的直线被椭圆+=1所截得的线段的长度.
【解析】过点(3,0)且斜率为的直线方程为y=(x-3).
设直线与椭圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
将直线方程代入椭圆方程得+=1,即x2-3x-8=0.所以x1+x2=3,x1x2=-8.
所以|AB|=·
==.
【补偿训练】已知椭圆E长轴的端点为A(-3,0),B(3,0),且椭圆上的点到焦点的最小距离是1.
(1)求椭圆E的标准方程.
(2)O为原点,P是椭圆E上异于A,B的任意一点,直线AP,BP分别交y轴于M,N,问·是否为定值,说明理由.
【解析】(1)根据条件可知椭圆的焦点在x轴,且a=3,
又a-c=1 c=2,所以b2=a2-c2=5.
故椭圆E的标准方程为+=1.
(2)设P(x0,y0),则5+9=45,且A(-3,0),B(3,0),
又直线PA:y=(x+3),直线PB:y=(x-3),
令x=0,得:=,=.
故·===5为定值.
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课时提升作业(六)
简单的逻辑联结词
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.若p是真命题,q是假命题,则 ( )
A.p∧q是真命题
B.p∨q是假命题
C.p是真命题
D.q是真命题
【解析】选D.根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确.
2.(2015·宝鸡高二检测)命题p:在△ABC中,∠C>∠B是sinC>sinB的充分不必要条件;命题q:a>b是ac2>bc2的充分不必要条件,则 ( )
A.p假q真
B.p真q假
C.p∨q为假
D.p∧q为真
【解题指南】利用正弦定理判定p的真假,利用不等式性质判定q的真假.
【解析】选C.p:△ABC中,∠C>∠B c>b sinC>sinB,
所以“∠C>∠B”是“sinC>sinB”的充要条件,
所以p为假命题.
q:当c=0时,由a>bac2>bc2,
由ac2>bc2 a>b,
所以“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件,
所以q为假命题,p∨q为假命题.
3.(2015·济宁高二检测)给出命题p:3≥3;q:函数f(x)=在R上的值域为[-1,1].在下列三个命题:“p∧q”“p∨q”“p”中,真命题的个数为 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.p为真命题.对于q,因为f(x)对应的函数值只有两个,即1或-1,所以f(x)的值域为{1,-1},
所以q为假命题,所以p∧q假,p∨q真,p假.
4.(2015·武汉高二检测)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 ( )
A.(p)∨(q)
B.p∨(q)
C.(p)∧(q)
D.p∨q
【解析】选A.依题意,p:“甲没有降落在指定范围”,q:“乙没有降落在指定范围”,因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(p)∨(q).
5.(2015·西安高二检测)p:点P在直线y=2x-3上,q:点P在曲线y=-x2上,则使“p∧q”为真命题的一个点P(x,y)是 ( )
A.(0,-3)
B.(1,2)
C.(1,-1)
D.(-1,1)
【解析】选C.点P(x,y)满足
可验证各选项,只有C正确.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2015·广州高二检测)在一次射击比赛中,甲、乙两位运动员各射击一次,设命题p:“甲的成绩超过9环”,命题q:“乙的成绩超过8环”,则命题“p∨(q)”表示 .
【解析】q表示乙的成绩没有超过8环,所以命题“p∨(q)”表示甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环.
答案:甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环
7.p:<0,q:x2-4x-5<0,若p且q为假命题,则x的取值范围是 .
【解析】p:x<3;q:-1因为p且q为假命题,
所以p,q中至少有一个为假,
所以x≥3或x≤-1.
答案:(-∞,-1]∪[3,+∞)
8.已知p:x2-x≥6,q:x∈Z.若“p∧q”“q”都是假命题,则x的值组成的集合为 .
【解析】因为“p∧q”为假,“q”为假,所以q为真,p为假.
故即
因此,x的值可以是-1,0,1,2.
答案:{-1,0,1,2}
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.分别指出下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题的真假.
(1)命题p:正方形的两条对角线互相垂直,命题q:正方形的两条对角线相等.
(2)命题p:“x2-3x-4=0”是“x=4”的必要不充分条件.
命题q:若函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于y轴对称,则φ=.
【解析】(1)因为p,q均为真命题,
所以p∧q,p∨q为真,p为假命题.
(2)由x2-3x-4=0,得x=4或x=-1.
所以命题p是真命题,
又函数f(x)的图象关于y轴对称,
所以φ=kπ+(k∈Z),则命题q是假命题.
由于p真,q假,
所以p,p∧q为假命题,p∨q为真命题.
【补偿训练】分别指出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”及“p”形式,并判断真假:
(1)p:2n-1(n∈Z)是奇数,q:2n-1(n∈Z)是偶数.
(2)p:a2+b2<0,q:a2+b2≥0.
(3)p:集合中的元素是确定的,q:集合中的元素是无序的.
【解析】(1)p∨q,2n-1(n∈Z)是奇数或是偶数;(真)
p∧q:2n-1(n∈Z)既是奇数又是偶数;(假)
p:2n-1(n∈Z)不是奇数.(假)
(2)p∨q:a2+b2<0,或a2+b2≥0;(真)
p∧q:a2+b2<0,且a2+b2≥0;(假)
p:a2+b2≥0.(真)
(3)p∨q:集合中的元素是确定的或是无序的;(真)
p∧q:集合中的元素是确定的且是无序的;(真)
p:集合中的元素不是确定的.(假)
10.(2015·郑州高二检测)已知a>0,a≠1.设p:函数y=loga(x+1)在(0,+∞)内单调递减;q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点.若p或q为真,p且q为假,求a的取值范围.
【解析】当0当a>1时,y=loga(x+1)在(0,+∞)内不是单调递减函数,故p真时0q真等价于(2a-3)2-4>0,即a<或a>.
又a>0,所以0.
因为p或q为真,p且q为假,
所以p,q中必定是一个为真一个为假.
(1)若p真,q假,则
≤a<1,即a∈.
(2)若p假,且q真,则
a>,即a∈.
综上可知,a的取值范围为∪.
【补偿训练】已知a>0且a≠1,设命题p:函数y=loga(x-1)在(1,+∞)上单调递减,命题q:曲线y=x2+(a-2)x+4与x轴交于不同的两点.若“p且q”为真命题,求实数a的取值范围.
【解析】由函数y=loga(x-1)在(1,+∞)上单调递减,知0若曲线y=x2+(a-2)x+4与x轴交于不同的两点,
则(a-2)2-16>0,即a<-2或a>6.
又a>0且a≠1,所以a>6.
又因为“p且q”为真命题,所以p为假命题,q为真命题,于是有所以a>6.
因此,所求实数a的取值范围是(6,+∞).
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2014·湖南高考)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题
①p∧q;②p∨q;③p∧(q);④(p)∨q中,真命题是 ( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
【解题指南】先判断p,q的真假,再利用“或、且、非”的真假判断求解.
【解析】选C.由不等式的性质,得p真,q假.由“或、且、非”的真假判断得到①假,②真,③真,④假.
2.(2015·佛山高二检测)已知p:x2-2x-3≥0,q:x∈Z,若p∧q,q同时为假命题,则满足条件的x的集合为 ( )
A.{x|x≤-1或x≥3,x Z}
B.{x|-1≤x≤3,x Z}
C.{x|x<-1或x∈Z}
D.{x|-1【解析】选D.p:x≥3或x≤-1,q:x∈Z,由p∧q,q同时为假命题知,p假q真,所以满足-1二、填空题(每小题5分,共10分)
3.已知p:不等式ax+b>0的解集为,q:关于x的不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|a【解析】因为p∨q为假命题,所以p,q均为假命题.p假 a≤0,q假 a≥b,则b≤a≤0.
答案:b≤a≤0
4.(2015·西安高二检测)命题p:“方程x2+2x+a=0有实数根”;命题q:“函数f(x)=(a2-a)x是增函数”,若“p∧q”为假命题,且“p∨q”为真命题,则实数a的取值范围是 .
【解题指南】先分别求出命题p,q为真的充要条件,再分别求出p,q为假的充要条件,利用分类讨论思想求解.
【解析】命题p:“方程x2+2x+a=0有实数根”的充要条件为Δ=4-4a≥0,即a≤1,则p为真时,a>1;命题q:“函数f(x)=(a2-a)x是增函数”的充要条件为a2-a>0,即a<0或a>1,则“q”为真命题时,0≤a≤1.
由“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,得p,q一真一假:
若p真q假,则0≤a≤1;若p假q真,则a>1.
所以实数a的取值范围是a≥0.
答案:a≥0
【延伸探究】若本题变为“q”为假命题且“p∨(q)”为真命题,其余条件不变,则实数a的取值范围是 .
【解析】由“q”为假命题且“p∨(q)”为真命题,得p真q真,所以实数a的取值范围是a<0.
答案:a<0
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2015·杭州高二检测)已知集合A={x|x2-3x+2≤0},集合B为函数y=x2-2x+a的值域,集合C={x|x2-ax-4≤0},命题p:A∩B≠ ;命题q:A C.
(1)若命题p为假命题,求实数a的取值范围.
(2)若命题p∧q为真命题,求实数a的取值范围.
【解题指南】(1)由命题p为假命题可得A∩B= ,可求a.
(2)由题意可得A∩B≠ 且A C,结合集合之间的基本运算可求a的范围.
【解析】因为y=x2-2x+a=(x-1)2+a-1≥a-1,
所以A={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2},B={y|y≥a-1},C={x|x2-ax-4≤0},
(1)由命题p为假命题可得A∩B= ,
所以a-1>2,所以a>3.
(2)因为命题p∧q为真命题,
所以p,q都为真命题,
即A∩B≠ 且A C,
所以可得0≤a≤3.
6.(2015·九江高二检测)已知命题p:不等式x2+kx+1≥0对于一切x∈R恒成立,命题q:已知方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个大于1的实数根,若p且q为假,p或q为真.求实数k的取值范围.
【解析】当p为真命题时,Δ=k2-4≤0,
所以-2≤k≤2.
当q为真命题时,令f(x)=x2+(2k-1)x+k2,方程有两个大于1的实数根
即所以k<-2.
要使p且q为假,p或q为真,则p真q假,
或者是p假q真.当p真q假时,-2≤k≤2,
当p假q真时,k<-2.综上:k≤2.
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课堂10分钟达标
1.已知f(x)=x3+3x+ln3,则f′(x)为 ( )
A.3x2+3x
B.3x2+3x·ln3+
C.3x2+3x·ln3
D.x3+3x·ln3
【解析】选C.f′(x)=3x2+3xln3.
2.函数y=的导数是 ( )
A.y′=-
B.y′=-sinx
C.y′=-
D.y′=-
【解析】选C.y′=′=
==-.
3.函数f(x)=xex的导函数f′(x)= .
【解析】f′(x)=ex+x·(ex)′=ex+xex=(1+x)ex.
答案:(1+x)ex
4.已知函数f(x)=x-4lnx,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 .
【解析】函数f(x)=x-4lnx,所以函数f′(x)=1-,切线的斜率为-3,切点为(1,1),
所以切线方程为:3x+y-4=0,
答案:3x+y-4=0
5.某物体做直线运动,其运动规律是s=t2+(t的单位:s,s的单位:m),则它在第4s末的瞬时速度应该为 m/s.
【解析】因为s′=2t-,
所以当t=4时,v=8-=(m/s).
答案:
6.求下列各函数的导数.
(1)y=xsinx+cosx.
(2)y=3x2-x+5.
【解题指南】本题求解时主要应用基本求导公式:(xn)′=nxn-1,(sinx)′=cosx,(cosx)′=-sinx,及求导法则:[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).
【解析】(1)y=xsinx+cosx,
所以y′=sinx+xcosx-sinx=xcosx.
(2)y=3x2-x+5,所以y′=6x-1.
7.【能力挑战题】曲线f(x)=-(x<0)与曲线g(x)=lnx公切线(切线相同)的条数为 .
【解析】f(x)=-的导数为f′(x)=,g(x)=lnx的导数为g′(x)=,
设公切线的切点为(x1<0),(x2,lnx2),则切线为y+=(x-x1),y-lnx2=(x-x2),两切线相同,
则有消去x2,
整理得+2ln(-x1)-1=0,
记h(x)=+2ln(-x)-1,
则h′(x)=-+=,
当x<0时,h′(x)<0,h(x)递减,且h(-e)=2--1>0,
h=-2e-3<0,
因此h(x)=0在(-∞,0)上只有一解,
即方程+2ln(-x1)-1=0只有一解,
因此所求公切线只有一条.
答案:1
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课后提升作业
七
全称量词 存在量词
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.下列语句不是全称命题的是 ( )
A.任何一个实数乘以零都等于零
B.自然数都是正整数
C.高二(一)班绝大多数同学是团员
D.每一个向量都有大小
【解析】选C.“高二(一)班绝大多数同学是团员”,即“高二(一)班有的同学不是团员”,是特称命题.
2.下列命题为特称命题的是 ( )
A.偶函数的图象关于y轴对称
B.正四棱柱都是平行六面体
C.不相交的两条直线是平行直线
D.存在实数大于等于3
【解析】选D.A,B,C三个选项都含有“所有”这个全称量词,只有D选项中有存在量词“存在”.
3.下列命题中,是真命题且是全称命题的是 ( )
A.对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2<0
B.菱形的两条对角线相等
C.x∈R,=x
D.对数函数在定义域上是单调函数
【解析】选D.C是特称命题,A,B都是全称命题,但为假命题,只有D既为全称命题又是真命题.
4.下列命题为真命题的是 ( )
A.对任意x∈R,都有cosx<2成立
B.存在x∈Z,使log2(3x-1)<0成立
C.对任意x>0,都有3x>3成立
D.存在x∈Q,使方程x-2=0有解
【解析】选A.A中,由于函数y=cosx的最大值是1,
又1<2,所以A是真命题;
B中,log2(3x-1)<00<3x-1<1C中,当x=1时,31=3,所以C是假命题;
D中,x-2=0x=Q,
所以D是假命题,故选A.
5.下列命题中是全称命题并且是真命题的是 ( )
A.每个二次函数的图象都开口向上
B.存在一条直线与两个相交平面都垂直
C.对任意实数c,若a+c≤b+c,则a≤b
D.存在一个实数x,使不等式x2-2x+3<0成立
【解析】选C.B,D是特称命题,故应排除;对于A,二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象开口向下,也应排除,故应选C.
6.(2016·海口高二检测)下列命题中真命题为 ( )
A.若sinA=sinB,则∠A=∠B
B.x∈R,都有x2+1>0
C.若lgx2=0,则x=1
D.x∈Z,使1<4x<3
【解析】选B.若sinA=sinB,不一定有∠A=∠B,A不正确,B正确;若lgx2=0,则x2=1,x=±1,C不正确,D不正确.
7.(2016·泰安高二检测)若命题“x∈R,x2+(a-1)x+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.[-1,3]
B.(-1,3)
C.(-∞,-1]∪[3,+∞)
D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
【解析】选D.依题意,关于x的不等式x2+(a-1)x+1<0有解,因此Δ=(a-1)2-4>0,即a2-2a-3>0,解得a<-1或a>3.
8.(2016·杭州高二检测)若存在x0∈R,使a+2x0+a<0,则实数a的取值范围是
( )
A.a<1
B.a≤1
C.-1D.-1【解析】选A.当a≤0时,显然存在x0∈R,使a+2x0+a<0;
当a>0时,由Δ=4-4a2>0,
解得-1综上所述,实数a的取值范围是a<1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.已知命题p:x∈R,x2-x+<0,命题q:x0∈R,sinx0+cosx0=,则p∨q,p∧q,﹁p,﹁q中是真命题的有________.
【解题指南】先判断p,q的真假,再判断p∨q,p∧q,﹁p,﹁q的真假.
【解析】因为x2-x+=≥0,
故p是假命题,所以﹁p为真命题,
而存在x0=使sinx0+cosx0=,故q是真命题,
﹁q为假命题,因此p∨q为真命题,p∧q为假命题.
答案:p∨q,﹁p
10.已知命题p:“x∈[0,1],a≥ex”,命题q:“x0∈R,+4x0+a=0”,若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是____________.
【解析】由命题“p∧q”是真命题得命题p,q都是真命题.
因为x∈[0,1],所以ex∈[1,e],
所以a≥e;x0∈R,+4x0+a=0,
即方程x2+4x+a=0有实数解,
所以Δ=42-4a≥0,
解得a≤4,取交集得a∈[e,4].
答案:[e,4]
【延伸探究】本题条件“若命题p∧q是真命题”改为“若命题p∧q是假命题”,其他条件不变,则实数a的取值范围是________.
【解析】若命题p∧q是假命题,则有三种情形:p真q假,p假q真,p假q假,直接求解比较复杂,可求原题结果的补集即得,[e,4]的补集是(-∞,e)∪(4,+∞).
答案:(-∞,e)∪(4,+∞)
三、解答题
11.(10分)已知函数f(x)=lg,若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.
【解析】根据f(x)>0得lg>lg1,
即x+-2>1在x∈[2,+∞)上恒成立,
分离参数,得a>-x2+3x在x∈[2,+∞)上恒成立,
设g(x)=-x2+3x,
则g(x)=-+,
当x∈[2,+∞)时,g(x)max=f(2)=2,所以a>2,
故a的取值范围是(2,+∞).
【补偿训练】(2016·武汉高二检测)已知ax-y+2a+1=0,当a∈时,恒有y>0,求x的取值范围.
【解析】因为ax-y+2a+1=0,
所以y=ax+2a+1.
当a∈时,恒有y>0,
即ax+2a+1>0在a∈时恒成立;
设f(a)=ax+2a+1,a∈;
则
即
解得-5所以x的取值范围是-5关闭Word文档返回原板块
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课堂10分钟达标
1.如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么 ( )
A.f′(x0)>0
B.f′(x0)<0
C.f′(x0)=0
D.f′(x0)不存在
【解析】选B.由x+2y-3=0知斜率k=-,
所以f′(x0)=-<0.
2.函数y=x2的导数为 ( )
A.x
B.2x
C.2
D.4
【解析】选B.=(2x+Δx)=2x.
3.曲线y=x3在点P处的切线斜率为3,则点P的坐标为 ( )
A.(-2,-8)
B.(1,1),(-1,-1)
C.(2,8)
D.
【解析】选B.因为y=x3,
所以y′=
=
=[(Δx)2+3x·Δx+3x2]=3x2.
令3x2=3,得x=±1,
所以点P的坐标为(1,1),(-1,-1).
4.函数f(x)=x-x3-1的图象在点(1,-1)处的切线与直线4x+ay+3=0垂直,则
a= ( )
A.8
B.-8
C.2
D.-2
【解析】选B.由导函数的定义可得函数f(x)的导数为f′(x)=1-3x2,所以
f′(1)=-2,所以在点(1,-1)处的切线的斜率为-2,
所以直线4x+ay+3=0的斜率为,
所以-=,所以a=-8.
5.若函数f(x)在某点处的切线方程为x-y+1=0,则函数在该点处的导数值为 .
【解析】由题意,函数在该点处的切线斜率k=1,
故在该点处的导数值为1.
答案:1
6.求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
【解析】
y′|x=1===2,
所以,所求切线的斜率为2,
因此,所求的切线方程为y-2=2(x-1).
即2x-y=0.
7.【能力挑战题】已知f(x)对任意实数x,y均满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,且
f′(0)=0,则f′(3)= .
【解析】令x=y=0,则f(0)=0.
所以f′=
=
==+6
=6+=6+f′(0)=6.
答案:6
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课时提升作业(二十)
几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知函数f(x)=ex(e是自然对数的底数),则函数f(x)的导函数f′(x)的大致图象为 ( )
【解析】选A.因为f(x)=ex,所以f′(x)=ex,底数e大于1的指数函数是R上的增函数,故选A.
2.(2015·泉州高二检测)函数f(x)=(2πx)2的导数是 ( )
A.f′(x)=4πx
B.f′(x)=4π2x
C.f′(x)=8π2x
D.f′(x)=16πx
【解析】选C.因为f(x)=4π2x2,所以f′(x)=8π2x.
3.质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s=,则质点在t=4时的速度
为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.s′=.
当t=4时,s′=·=.
4.曲线y=xn在x=2处的导数为12,则n= ( )
A.1
B.3
C.2
D.4
【解析】选B.y′=nxn-1,因为y′|x=2=12,
所以n·2n-1=12.检验知n=3时成立,所以选B.
5.(2015·惠州高二检测)设f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=
f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则f2015(x)= ( )
A.sinx
B.-sinx
C.cosx
D.-cosx
【解题指南】利用基本初等函数的导数公式求出前4个函数,寻找规律求f2015(x).
【解析】选D.由题意,f1=cosx,f2=-sinx,
f3=-cosx,f4=sinx,…,f2015(x)=-cosx.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2015·南京高二检测)曲线y=cosx在点A,处的切线方程为 .
【解析】因为y′=(cosx)′=-sinx,
所以y′=-sin=-,
所以在点A处的切线方程为y-=-,
即x+2y--=0.
答案:x+2y--=0
7.曲线y=在其上一点P处的切线的斜率为-4,则点P的坐标为 .
【解析】y′=′=-=-4,x=±,点P的坐标为,.
答案:或
8.(2015·汉中高二检测)设函数f(x)=logax,f′(1)=-1,则a= .
【解析】因为f′(x)=,
所以f′(1)==-1.
所以lna=-1.所以a=.
答案:
【补偿训练】函数f(x)=(a∈R),若其导数过点(2,4),则a的值为 .
【解析】因为f(x)=,所以f′(x)=-,又导数过点(2,4),所以-=4,所以a=-16.
答案:-16
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.若曲线y=在点(a,)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,求实数a的值.
【解题指南】表示出过点(a,)的直线,用a表示出三角形的面积,解方程求a.
【解析】因为y′=-·,
所以y′|x=a=-·,
所以在点(a,)处的切线方程为y-=-··(x-a).
令x=0,得y=,
令y=0,得x=3a,
所以×3a×=18,解得a=64.
10.(2015·榆林高二检测)已知曲线C:y=x3,
(1)求曲线C上点(1,1)处的切线方程.
(2)在(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点
【解析】(1)因为y′=3x2,
所以切线斜率k=3,
所以切线方程为y-1=3(x-1),
即3x-y-2=0.
(2)由
所以(x-1)(x2+x-2)=0,
所以x1=1,x2=-2,
所以公共点为(1,1)及(-2,-8),即其他公共点为(-2,-8).
【补偿训练】求过曲线y=sinx上的点P且与在这点处的切线垂直的直线方程.
【解析】因为y=sinx,
所以y′=(sinx)′=cosx.
所以y′=cos=,
所以经过这点的切线的斜率为,从而可知适合题意的直线的斜率为-.
所以由点斜式得适合题意的直线方程为
y-=-(x-),
即x+y--π=0.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·青岛高二检测)若曲线y=x2在点(a,a2)(a>0)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2,则a等于 ( )
A.2 B.4 C. D.
【解析】选A.y′=2x,则切线的斜率为2a,
所以曲线y=x2在点(a,a2)(a>0)处的切线方程为y-a2=2a·(x-a),即y=2ax-a2.
令x=0得y=-a2,令y=0得x=,
所以切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为
×a2×=2,解得a=2,故选A.
2.给出下列函数:
①f(x)=; ②f(x)=2x;
③f(x)=log2x; ④f(x)=sinx.
则满足关系式f′>f-f>f′的函数的序号是 ( )
A.①③
B.②④
C.①③④
D.②③④
【解题指南】分别求出相应的导数值,利用函数的单调性比较大小.
【解析】选C.①f′(x)=,所以f′=,
f-f=,f′=,
所以f′>f-f>f′;
②f′(x)=2xln2>0,导函数为单调增函数,
所以f′③f′(x)=,所以f′=,
f-f=log23,f′=,
所以f′>f-f>f′;
④f′(x)=cosx,所以f′=cos,
f-f
=sin-sin,f′=cos,
因为cos所以f′>f-f>f′.
【补偿训练】已知f(x)=lnx(x>0),f(x)的导数是f′(x),若a=f(7),
b=f′,c=f′,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.cB.aC.bD.b【解析】选B.f′(x)=,a=f(7)=ln7,
b=f′=2,c=f′=3,
因为ln7e2=2,
所以a二、填空题(每小题5分,共10分)
3.正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角
αl的取值范围是 .
【解析】因为(sinx)′=cosx,
因为kl=cosx,所以-1≤kl≤1,
所以αl∈∪.
答案:∪
【补偿训练】(2015·安阳高二检测)曲线y=lnx与x轴交点处的切线方程是 .
【解析】因为曲线y=lnx与x轴的交点为(1,0)
所以y′|x=1=1,切线的斜率为1,
所求切线方程为y=x-1.
答案:y=x-1
4.(2015·陕西高考)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为 .
【解题指南】利用y=ex在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率,进而求得切点坐标.
【解析】由f′(x)=ex,得f′(0)=e0=1.
又y=ex在(0,1)处的切线与y=(x>0)上点P处的切线垂直,所以点P处的切线斜率为-1.
又y′=-,设点P(x0,y0),所以-=-1,x0=±1,由x>0,得x0=1,y0=1,
所以点P的坐标为(1,1).
答案:(1,1)
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2015·西安高二检测)设曲线y=上有点P(x1,y1),与曲线切于点P的切线为m,若直线n过点P且与m垂直,则称n为曲线在点P处的法线.设n交x轴于点Q,又作PR⊥x轴于R,求RQ的长.
【解析】依题意,y′=,
因为n与m垂直,所以n的斜率为-2,
所以直线n的方程为y-y1=-2(x-x1).
令y=0,则-y1=-2(xQ-x1),所以xQ=+x1,
容易知道xR=x1,于是,|RQ|=|xQ-xR|=.
6.已知两条曲线y=sinx,y=cosx,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直 并说明理由.
【解析】由于y=sinx,y=cosx,设两条曲线的一个公共点为P(x0,y0),
所以两条曲线在P(x0,y0)处的斜率分别为
k1=y′=cosx0,k2=y′=-sinx0,
若使两条切线互相垂直,必须cosx0·(-sinx0)=-1,即sinx0·cosx0=1,也就是
sin
2x0=2,这是不可能的,所以两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直.
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课堂10分钟达标
1.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量Δx应满足 ( )
A.Δx>0
B.Δx<0
C.Δx=0
D.Δx≠0
【解析】选D.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量Δx要求Δx≠0.
2.函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+Δx时,Δy=( )
A.f(x0+Δx)
B.f(x0)+Δx
C.f(x0)·Δx
D.f(x0+Δx)-f(x0)
【解析】选D.Δy看作相对于f(x0)的“增量”,可用f(x0+Δx)-f(x0)代替.
3.函数在某一点的导数是 ( )
A.在该点的函数值的增量与自变量的增量的比值
B.一个函数
C.一个常数,不是变数
D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
【解析】选C.由导数定义可知,函数在某一点的导数,就是平均变化率的极限值.即它是一个常数,不是变数.
4.若一个质点按规律s=t2+8运动,则在一段时间[2,2.1]中相应的平均速度是 .
【解析】==4.1.
答案:4.1
5.若f′(a)=A,则= .
【解析】
=-
=+=2f′(a)=2A.
答案:2A
6.用导数在某一点处的定义,求函数y=f(x)=在x=1处的导数.
【解析】因为Δy=f(1+Δx)-f(1)=-
==,
所以=,
所以=
==-,
所以y′|x=1=f′(1)=-.
7.【能力挑战题】若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,且x0∈(a,b),若f′(x0)=4,则的值为 ( )
A.2
B.4
C.8
D.12
【解析】选C.=2
=2=2f′(x0)=8.
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课堂10分钟达标
1.设x∈R,则“x=1”是“x3=x”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.当x=1时,x3=x成立.若x3=x,x(x2-1)=0,得x=-1,0,1;不一定得到x=1.
2.对于函数y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.若y=f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),
所以|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,
所以y=|f(x)|的图象关于y轴对称,但若y=|f(x)|的图象关于y轴对称,如y=f(x)=x2,而它不是奇函数.
3.函数y=(2-a)x(a<2且a≠1)是增函数的充要条件是 ( )
A.1B.C.a<1
D.a<0
【解析】选C.由指数函数性质得,当y=(2-a)x(a<2且a≠1)是增函数时,2-a>1,解得a<1.
4.在平面直角坐标系xOy中,直线x+(m+1)y=2-m与直线mx+2y=-8互相垂直的充要条件是m=______.
【解析】直线x+(m+1)y=2-m与直线mx+2y=-8互相垂直可得:1·m+(m+1)·2=0 m=-.
答案:-
5.“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”成立的______条件(填“充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要”).
【解析】a=1且b=2 a+b=3,所以a+b≠3 a≠1或b≠2,而a+b=3a=1且b=2,所以a≠1或b≠2a+b≠3.
答案:必要不充分
6.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0),有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
【证明】必要性:由于方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根和一负根,所以Δ=b2-4ac>0,x1·x2=<0,所以ac<0.
充分性:由ac<0可得b2-4ac>0及x1·x2=<0,所以方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实根,且两根异号,即方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根和一负根.
7.【能力挑战题】设函数f(x)=x|x-a|+b.求证:f(x)为奇函数的充要条件是a2+b2=0.
【证明】充分性:若a2+b2=0,则a=b=0,所以f(x)=x|x|.因为f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x)对一切x∈R恒成立,所以f(x)是奇函数.
必要性:若f(x)是奇函数,则对一切x∈R,f(-x)=-f(x)恒成立,即-x|-x-a|+b=-x|x-a|-b.令x=0,得b=-b,所以b=0;令x=a,得a|2a|=0,所以a=0,即a2+b2=0.
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课后提升作业
十
椭圆的简单几何性质
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.椭圆(m+1)x2+my2=1的长轴长是 ( )
A.
B.
C.
D.-
【解析】选C.椭圆方程可简化为+=1,由题意知m>0,所以<,所以a=,所以椭圆的长轴长2a=.
2.已知椭圆C的左、右焦点的坐标分别是(-,0),(,0),离心率是,则椭圆C的方程为 ( )
A.+y2=1
B.x2+=1
C.+=1
D.+=1
【解析】选A.因为=,且c=,
所以a=,b==1,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
3.已知椭圆2x2+y2=2的两个焦点为F1,F2,且B为短轴的一个端点,则△F1BF2的外接圆方程为 ( )
A.x2+y2=1
B.(x-1)2+y2=4
C.x2+y2=4
D.x2+(y-1)2=4
【解析】选A.由2x2+y2=2得x2+=1,所以b=1,c=1.F1(0,-1),F2(0,1),取B(1,0),故△F1BF2外接圆方程为x2+y2=1.
4.F,A分别为椭圆的一个焦点和顶点,若椭圆的长轴长是6,且cos∠OFA=,则椭圆的标准方程为 ( )
A.+=1
B.+=1
C.+=1或+=1
D.+=1或+=1
【解析】选D.当焦点在x轴上时,cos∠OFA====.
因为2a=6,所以a=3,c=2,所以b2=a2-c2=9-4=5.
所以椭圆方程为+=1,
同理,当焦点在y轴上时,椭圆方程为+=1.
5.椭圆+=1的离心率为,则k的值为 ( )
A.-21
B.21
C.-或21
D.或21
【解析】选C.当椭圆的焦点在x轴上时,a2=9,b2=4+k,
得c2=5-k.由==,得k=-;
当焦点在y轴上时,a2=4+k,b2=9,得c2=k-5.由==,得k=21.
【误区警示】认真审题,防止丟解
在求椭圆方程或利用方程研究椭圆性质时,一定要注意椭圆的位置是否确定,若没有确定,则应该有两解.
6.(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(
)
【解析】选B.设椭圆的标准方程为=1(a>b>0)，右焦点F(c,0)，则直线l的方程为=1，即bx+cy-bc=0，由题意可知b，又a2=b2+c2，得b2c2=b2a2，所以e=
7.(2016·衡水高二检测)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是 ( )
A.(0,1)
B.
C.
D.
【解析】选C.设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a,b,c,因为·=0,
所以M点的轨迹是以原点O为圆心,半焦距c为半径的圆.
又M点总在椭圆内部,所以该圆内含于椭圆,即c8.椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆M上任一点,且·的最大值的取值范围是[c2,3c2],其中c=,则椭圆M的离心率e的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.设P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),则=(-c-x,-y),=(c-x,-y),
·=x2+y2-c2.又x2+y2可看作P(x,y)到原点的距离的平方,所以(x2+y2)max=a2,所以(·)max=b2,所以c2≤b2=a2-c2≤3c2,即≤e2≤,所以≤e≤.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2016·台州高二检测)若椭圆的两焦点为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,且△PF1F2的最大面积是12,则椭圆的短半轴长为________.
【解析】设P点到x轴的距离为h,则=|F1F2|h,
当P点在y轴上时,h最大,此时最大.
因为|F1F2|=2c=8,所以h=3,即b=3.
答案:3
10.(2016·嘉兴高二检测)已知椭圆+=1的左顶点为A1,右焦点为F2,点P为该椭圆上一动点,则当·取最小值时|+|的取值为__________.
【解析】由已知得a=2,b=,c=1,
所以F2(1,0),A1(-2,0),设P(x,y),
则·=(1-x,-y)·(-2-x,-y)
=(1-x)(-2-x)+y2.
又点P(x,y)在椭圆上,所以y2=3-x2,代入上式,
得·=x2+x+1=(x+2)2.
又x∈[-2,2],
所以当x=-2时,·取得最小值.
所以P(-2,0),求得|+|=3.
答案:3
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.
(1)求椭圆离心率的范围.
(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
【解析】(1)不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0),
|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.
在△PF1F2中,由余弦定理可知,
4c2=m2+n2-2mncos60°=(m+n)2-3mn
=4a2-3mn≥4a2-3·
=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号).
所以≥,即e≥.
又0(2)由(1)知mn=b2,所以=mnsin60°=b2,
即△PF1F2的面积只与短轴长有关.
12.已知椭圆x2+=1(0【解题指南】根据圆的性质,得圆心P为FC的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点,因此分别算出FC,BC的垂直平分线方程,得到它们的交点,代入直线x+y=0解出b2,即可得出此椭圆的方程.
【解析】设圆心P的坐标为(m,n),因为☉P过点F,B,C三点,所以圆心P既在FC的垂直平分线上,也在BC的垂直平分线上,FC的垂直平分线方程为x=.①
因为BC的中点为,kBC=-b,
所以BC的垂直平分线方程为y-=.②
由①,②联立,得x=,y=,即m=,n=.
因为P(m,n)在直线x+y=0上,所以+=0,
可得(1+b)(b-c)=0,
因为1+b>0,所以b=c,结合b2=1-c2得b2=,
所以椭圆的方程为x2+=1,即x2+2y2=1.
【能力挑战题】
设椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=,已知点P到这个椭圆上的点的最远距离为,求这个椭圆方程.
【解题指南】先设出椭圆的标准方程,根据离心率得到a,b的关系,再设M(x,y)为椭圆上的点,用两点间距离表示出|PM|,最后利用二次函数知识求解椭圆的标准方程.
【解析】设椭圆方程为+=1(a>b>0),M(x,y)为椭圆上的点,由=得a=2b,|PM|2=x2+=-3+4b2+3(-b≤y≤b),
若0,故矛盾.
若b≥,则当y=-时,4b2+3=7,b2=1,
从而a2=4.所求方程为+y2=1.
【补偿训练】已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2∶.
(1)求椭圆C的方程.
(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点.当||最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.
【解析】(1)由题意知
解得
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)设P(x0,y0),且+=1,
所以||2=(x0-m)2+
=-2mx0+m2+12=-2mx0+m2+12=(x0-4m)2-3m2+12.
所以||2为关于x0的二次函数,开口向上,对称轴为x0=4m.
由题意知,当x0=4时,||2最小,
所以4m≥4,所以m≥1.
又点M(m,0)在椭圆长轴上,所以1≤m≤4.
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课时提升作业(四)
充分条件与必要条件
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.使x>3成立的一个充分条件是 ( )
A.x>4
B.x>0
C.x>2
D.x<2
【解析】选A.只有x>4 x>3,其他选项均不可推出x>3.
2.已知命题“若p,则q”,假设其逆命题为真,则p是q的 ( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既不是充分条件也不是必要条件
D.无法判断
【解析】选B.原命题的逆命题:“若q,则p”,它是真命题,即q p,所以p是q的必要条件.
3.(2015·佛山高二检测)已知p:x2-x<0,那么命题p的一个充分条件是 ( )
A.1B.-1C.D.【解析】选C.x2-x<0 0【补偿训练】函数y=x2+bx+c在[0,+∞)上是单调函数的充分条件是 ( )
A.b>1
B.b<-1
C.b<0
D.b>-1
【解析】选A.当b>1时,y=x2+bx+c在[0,+∞)上显然是单调函数,故b>1是函数y=x2+bx+c在[0,+∞)上是单调函数的充分条件.
4.下列各小题中,p是q的充分条件的是 ( )
①p:m<-2,q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点;
②p:=1,q:y=f(x)是偶函数;
③p:cosα=cosβ,q:tanα=tanβ;
A.①
B.③
C.②③
D.①②
【解析】选D.①y=x2+mx+m+3有两个不同的零点,则Δ=m2-4(m+3)>0,得m>6或m<-2,所以p是q的充分条件;
②因为=1,所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数;
③当α=β=kπ+时,tanα,tanβ无意义,所以p是q的必要条件.
5.(2015·成都高二检测)已知α,β是两个不同的平面,则“平面α∥平面β”成立的一个充分条件是 ( )
A.存在一条直线l,l α,l∥β
B.存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥β
C.存在一条直线l,l⊥α,l⊥β
D.存在一个平面γ,γ∥α,γ⊥β
【解析】选C.A.存在一条直线l,l α,l∥β,此时α,β可能相交.
B.若存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥β,则α与β可能平行,可能相交.
C.若存在一条直线l,l⊥α,l⊥β,则α∥β成立,反之不一定成立,满足条件.
D.若存在一个平面γ,γ∥α,γ⊥β,则α⊥β,所以不满足题意.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.“b2=ac”是“a,b,c成等比数列”的 条件.(填“充分”或“必要”)
【解析】“b2=ac”“a,b,c成等比数列”,如b2=ac=0;而“a,b,c成等比数列” “b2=ac”.
答案:必要
7.(2015·济南高二检测)条件p:1-x<0,条件q:x>a,若p是q的充分条件,则a的取值范围是 .
【解析】p:x>1,若p是q的充分条件,则p q,即p对应集合是q对应集合的子集,故a≤1.
答案:(-∞,1]
8.下列式子:①x<1;②0【解题指南】本题中使x2<1成立的充分条件的范围比-1【解析】由于x2<1,即-1答案:②③④
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2015·成都高二检测)指出下列各组命题中p是q的什么条件,q是p的什么条件,并说明理由.
(1)p:|x|=|y|,q:x=y.
(2)在△ABC中,p:sinA>,q:A>.
【解析】(1)因为|x|=|y| x=y或x=-y,但x=y |x|=|y|,
所以p是q的必要条件,q是p的充分条件.
(2)因为0 A>,但A>sinA>.
所以p是q的充分条件,q是p的必要条件.
10.(2015·昆明高二检测)已知命题p:对数loga(-2t2+7t-5)(a>0,且a≠1)有意义,q:关于实数t的不等式t2-(a+3)t+(a+2)<0.
(1)若命题p为真,求实数t的取值范围.
(2)若命题p是q的充分条件,求实数a的取值范围.
【解析】(1)因为命题p为真,则对数的真数-2t2+7t-5>0,解得1所以实数t的取值范围是.
(2)因为命题p是q的充分条件,所以t1方法一:因为方程t2-(a+3)t+(a+2)=0的两根为1和a+2,
所以只需a+2≥,解得a≥.
即实数a的取值范围为.
方法二:令f(t)=t2-(a+3)t+(a+2),因为f(1)=0,
所以只需f≤0,解得a≥.
即实数a的取值范围为.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·西安高二检测)设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么 ( )
A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件
C.丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
D.无法判断
【解题指南】本题可根据条件列出它们之间的推出关系,进而判断选项中说法的正误.
【解析】选A.因为甲是乙的必要条件,所以乙 甲.
又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,所以丙 乙,但乙丙,如图.
综上,有丙 甲,但甲丙,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.
2.(2015·福州高二检测)集合A=,B={x|-a“A∩B≠ ”的充分条件,则实数b的取值范围是 ( )
A.[-2,0)
B.(0,2]
C.(-2,2)
D.[-2,2]
【解析】选C.A=={x|-1二、填空题(每小题5分,共10分)
3.设a,
b都是非零向量,则下列四个条件:①a=-
b;②a∥b;③a=2
b;④|a|=|
b
|,其中可作为使=成立的充分条件的有 .
【解析】=
a
= a与b共线且同向 a=λb且λ>0,只有③满足.
答案:③
4.已知m,n为不同的直线,α,β为不同的平面,若①m∥n,n∥α;②m⊥n,n⊥α;③m α,m∥β,α∥β;④m⊥β,α⊥β.则其中能使m∥α成立的充分条件有 .
【解析】①m∥n,n∥α,不能推得m∥α,m可能在平面α内;
②m⊥n,n⊥α,不能推得m∥α,m可能在平面α内;
③m α,m∥β,α∥β,能推得m∥α;
④m⊥β,α⊥β,不能推得m∥α,m可能在平面α内.
答案:③
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2015·青岛高二检测)已知p:x2-2x-3<0,若-ab恒成立的实数b的取值范围.
【解析】由于p:x2-2x-3<0 -1-a0).
依题意,得{x|-10),
所以解得a≥2,
则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b<2,
即(-∞,2).
6.(2015·宝鸡高二检测)已知集合A={y|y=x2-x+1,x∈},B={x||x-m|≥1},命题p:t∈A,命题q:t∈B,并且命题p是命题q的充分条件,求实数m的取值范围.
【解题指南】本题先根据已知条件表示出集合A,B,然后根据条件求出实数m的取值范围.
【解析】先化简集合A,由y=x2-x+1,配方,得
y=+.
因为x∈,
所以y∈.
所以A=.
由|x-m|≥1,
解得x≥m+1或x≤m-1.
所以B={x|x≥m+1或x≤m-1}.
因为命题p是命题q的充分条件,
所以A B.
所以m+1≤或m-1≥2,
解得m≤-或m≥3.
故实数m的取值范围是∪[3,+∞).
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课时提升作业(十九)
导数的几何意义
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么 ( )
A.f′(x0)>0
B.f′(x0)<0
C.f′(x0)=0
D.f′(x0)不存在
【解析】选B.切线x+2y-3=0的斜率k=-,
即f′(x0)=-<0.故应选B.
2.(2015·南安高二检测)抛物线y=x2在点M(,)处切线的倾斜角是 ( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】选B.y′=2x,故y′=1.故在点M处切线的倾斜角为45°.
【补偿训练】(2015·东营高二检测)曲线y=x2-3x的一条切线的斜率为1,则切点坐标为 .
【解析】设切点坐标为(x0,y0),
y′=
==(Δx+2x0-3)=2x0-3=1,
故x0=2,y0=-3x0=4-6=-2,故切点坐标为(2,-2).
答案:(2,-2)
3.(2015·汉中高二检测)设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a等于 ( )
A.2
B.
C.-
D.-2
【解析】选D.因为y=,
所以y′==-,
所以y′|x=3=-,由题意可知-a=2,
解得a=-2,故选D.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.(2015·福州高二检测)已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则= .
【解析】=(a·Δx+2a)=2a=2,所以a=1,
又3=a×12+b,所以b=2,即=2.
答案:2
5.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则
f(5)+f′(5)= .
【解题指南】f′(5)即在点P处切线的斜率,f(5)可利用直线方程求值.
【解析】f(5)+f′(5)=(-5+8)+(-1)=2.
答案:2
三、解答题
6.(10分)(2015·开封高二检测)若抛物线y=4x2上的点P到直线y=4x-5的距离最短,求点P的坐标.
【解题指南】利用与已知直线平行且过点P的切线斜率求出切点即为所求.
【解析】由点P到直线y=4x-5的距离最短知,过点P的切线方程与直线y=4x-5平行,设P(x0,y0),则
y′==
==(8x+4Δx)=8x,
由得
故所求的点为P.
【补偿训练】曲线y=-x2上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为 .
【解析】设与直线x-y+3=0平行的直线与曲线y=-x2切于点P(x0,y0),则由
y′==
=(-2x0-Δx)=-2x0,
由得
所以P,点P到直线x-y+3=0的距离d==.
答案:
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.曲线y=x3-3x在点(2,2)处的切线斜率是 ( )
A.9 B.6 C.-3 D.-1
【解析】选A.Δy=(2+Δx)3-3(2+Δx)-23+6=9Δx+6(Δx)2+(Δx)3,
=9+6Δx+(Δx)2,
=[9+6Δx+(Δx)2]=9,
由导数的几何意义可知,曲线y=x3-3x在点(2,2)处的切线斜率是9.
2.(2015·泰安高二检测)设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为 ( )
A.
B.[-1,0]
C.[0,1]
D.
【解题指南】根据倾斜角的取值范围可以得到曲线C在点P处切线斜率的取值范围,进而得到点P横坐标的取值范围.
【解析】选D.设点P的横坐标为x0,因为y=x2+2x+3,
由定义可求其导数y′=2x0+2,利用导数的几何意义得2x0+2=tanα(α为点P处切线的倾斜角),
又因为α∈,所以1≤2x0+2,
所以x0∈.故选D.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中,斜率最小的切线方程为 .
【解题指南】求出曲线在任一点处的切线斜率,配方求斜率的最小值.
【解析】设切点为P(x0,y0),
过点P的切线斜率k=
=
=3+6x0+6=3(x0+1)2+3.
当x0=-1时k有最小值3,此时点P的坐标为(-1,-14),其切线方程为3x-y-11=0.
答案:3x-y-11=0
4.若抛物线y=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,抛物线过点P的切线恰好过坐标原点,则c的值为 .
【解析】根据题意可知过点P处切线的斜率为f′=-5,
又直线OP的斜率为-,据题意有-=-5 c=4.
答案:4
三、解答题
5.(10分)(2015·银川高二检测)已知曲线y=f(x)=上两点P(2,-1),Q.
(1)求曲线在点P,Q处的切线的斜率.
(2)求曲线在P,Q处的切线方程.
【解析】将点P(2,-1)代入y=,得t=1,
所以y=.
y′=
=
=
==.
(1)曲线在点P处的切线斜率为y′|x=2==1;
曲线在点Q处的切线斜率为y′|x=-1=.
(2)曲线在点P处的切线方程为y-(-1)=x-2,
即:x-y-3=0,
曲线在点Q处的切线方程为y-=[x-(-1)],
即:x-4y+3=0.
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课后提升作业
十四
双曲线方程及性质的应用
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.若ab≠0,则ax-y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲线只可能是下图中的 ( )
【解析】选C.方程可化为y=ax+b和+=1.从B,D中的两椭圆看a,b∈(0,+∞),但B中直线有a<0,b<0矛盾,应排除;D中直线有a<0,b>0矛盾,应排除;再看A中双曲线的a<0,b>0,但直线有a>0,b>0,也矛盾,应排除;C中双曲线的a>0,b<0和直线中a,b一致.
2.(2016·德化高二检测)直线y=k(x+)与双曲线-y2=1有且只有一个公共点,则k的不同取值有 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选D.由已知可得,双曲线的渐近线方程为y=±x,顶点(±2,0),而直线恒过(-,0),故有两条与渐近线平行,有两条切线,共4条直线与双曲线有一个交点.
【补偿训练】(2016·天水高二检测)已知双曲线方程为x2-=1,过P(1,0)的直线L与双曲线只有一个公共点,则共有L ( )
A.4条
B.3条
C.2条
D.1条
【解析】选B.因为双曲线方程为x2-=1,所以P(1,0)是双曲线的右顶点,所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线,与双曲线只有一个公共点,另外还有两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线,所以符合要求的共有3条.
【拓展延伸】数形结合思想在研究直线与双曲线问题中的应用
①直线过定点时,根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.
②直线斜率一定时,通过平行移动直线,比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.
3.过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上,则双曲线的离心率为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.如图,不妨设F为右焦点,向渐近线y=x所作垂线的垂足为P,则由题意知|PO|=|PF|,所以∠POF=45°,即=1,所以双曲线的离心率e==.
4.(2016·唐山高二检测)已知双曲线-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其中一条渐近线方程为y=x,点P(,y0)在该双曲线上,则·= ( )
A.-12
B.-2
C.0
D.4
【解析】选C.由已知得,b2=2,c=2,点P为(,±1),左、右焦点坐标分别为(-2,0),(2,0),结合向量的乘法,易知选C.
5.设双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与函数y=x2+1的图象相切,则该双曲线的离心率等于 ( )
A.
B.2
C.
D.
【解析】选C.由双曲线-=1,得双曲线的渐近线方程为y=±x,与y=x2+1联立,得x2±x+1=0.所以Δ=-4=0,则b2=4a2.又c2=a2+b2,所以c2=5a2,则e==.
6.已知曲线-=1与直线x+y-1=0相交于P,Q两点,且·=0(O为原点),则-的值为 ( )
A.1
B.2
C.3
D.
【解析】选B.将y=1-x代入-=1,
得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=.
因为·=x1x2+y1y2
=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1,
所以-+1=0,
即2a+2ab-2a+a-b=0,
即b-a=2ab,
所以-=2.
7.(2015·天津高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆+y2=3相切,则双曲线的方程为 ( )
A.-=1
B.-=1
C.-y2=1
D.x2-=1
【解析】选D.由双曲线的渐近线bx-ay=0与圆(x-2)2+y2=3相切可知=,又因为c==2,所以有a=1,b=,故双曲线的方程为x2-=1.
8.斜率为2的直线l与双曲线-=1交于A,B两点,且|AB|=4,则直线l为
( )
A.y=2x+
B.y=2x-
C.y=2x±
D.以上都不对
【解析】选C.设直线l的方程为y=2x+m,代入双曲线方程中得:10x2+12mx+3m2+6=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.
因为|AB|=·=4,
所以·=4,
解得m=±,
所以直线l的方程为y=2x±.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2016·广州高二检测)过点P(-3,0)的直线l与双曲线-=1交于点A,B,设直线l的斜率为k1(k1≠0),弦AB的中点为M,OM的斜率为k2(O为坐标原点),则k1·k2=__________.
【解析】显然直线l的斜率存在.设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
所以-=1,-=1.
两式相减得-=0,
即k1==.
因为M,
所以k2=,所以k1·k2=.
答案:
10.
(2016·北京高考)双曲线=1(a＞0,b＞0)
的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a=
.
【解析】因为正方形OABC的边长为2，所以B(2,0)，渐近线为y=±x.所以c=2,a=b.又因为a2+b2=c2，所以a=b=2.
答案：2
【补偿训练】过双曲线-=1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为,这样的直线的条数为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【解析】选D.依题意可得右焦点F(5,0),
所以垂直x轴,过F的直线是x=5.
代入-=1,求得y=±,
所以此时弦长=+=.
不是垂直x轴的,如果直线与双曲线有两个交点,则弦长一定比它长,所以这里只有一条,
因为两个顶点距离=4,即左右两支上的点最短是4,所以如果是交于两支的话,弦长不可能为,所以只有1条.
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.焦点在x轴上的双曲线过点P(4,-3),且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,求此双曲线的标准方程.
【解析】因为双曲线焦点在x轴上,所以设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),F1(-c,0),F2(c,0).
因为双曲线过点P(4,-3),所以-=1.
又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,
所以·=0,即-c2+25=0.
所以c2=25.又c2=a2+b2,
所以可得a2=16或a2=50(舍去).
所以b2=9,所以所求的双曲线的标准方程是-=1.
12.(2016·黄石高二检测)已知双曲线3x2-y2=3,直线l过右焦点F2,且倾斜角为45°,与双曲线交于A,B两点,试问A,B两点是否位于双曲线的同一支上 并求弦AB的长.
【解题指南】联立方程后根据两根的符号确定两个交点的位置.
【解析】因为a=1,b=,c=2,
又直线l过点F2(2,0),且斜率k=tan
45°=1,
所以l的方程为y=x-2,
由
消去y并整理得2x2+4x-7=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
因为x1·x2=-<0,
所以A,B两点分别位于双曲线的左、右两支上.
因为x1+x2=-2,x1·x2=-,
所以|AB|=|x1-x2|
=·
=·=6.
【能力挑战题】
设双曲线C:-y2=1(a>0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A,B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围.
(2)若设直线l与y轴的交点为P,且=,求a的值.
【解析】(1)由双曲线C与直线l相交于两个不同的点得有两个不同的解,
消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,
所以
解得-又因为a>0,所以0因为双曲线的离心率e==,
又因为0且e≠.
所以双曲线C的离心率e的取值范围是∪(,+∞).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1).
因为=,所以(x1,y1-1)=(x2,y2-1),
由此可得x1=x2.因为x1,x2都是方程(1-a2)x2+2a2x-2a2=0的根,
且1-a2≠0,所以x1+x2=,x2=-,
x1x2=,=-,消去x2,
得a2=.又因为a>0,所以a=.
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课堂10分钟达标
1.若f(x)=x2-2x-4lnx,则f′(x)>0的解集为 ( )
A.(0,+∞)
B.(-1,0)∪(2,+∞)
C.(2,+∞)
D.(-1,0)
【解析】选C.函数的定义域为(0,+∞),f′(x)=2x-2-=.
令f′(x)>0,得x>2,所以f′(x)>0的解集为{x|x>2}.
2.命题甲:对任意x∈(a,b),有f′(x)>0;命题乙:f(x)在(a,b)内是单调递增的.则甲是乙的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.f(x)=x3在(-1,1)内是单调递增的,但f′(x)=3x2≥0(-13.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.y′=3x2+2x+m,由条件知y′≥0在R上恒成立,所以Δ=4-12m≤0,所以m≥.
4.函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调减区间是 .
【解析】因为f′(x)=3x2-30x-33=3(x+1)(x-11).
由f′(x)<0,得-1所以f(x)的单调减区间为(-1,11).
答案:(-1,11)
5.已知导函数y=f′(x)的图象如图所示,请根据图象写出原函数y=f(x)的单调递增区间是 .
【解析】从图象可知f′(x)>0的解为-15,所以f(x)的单调递增区间为(-1,2),(5,+∞).
答案:(-1,2),(5,+∞)
6.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调减区间为[-1,2],求b,c的值.
【解析】因为函数f(x)的导函数f′(x)=3x2+2bx+c,
由题设知-1所以-1,2是方程3x2+2bx+c=0的两个实根,所以-1+2=-b,(-1)×2=,即b=-,c=-6.
7.【能力挑战题】函数y=f(x)的图象如图所示,试画出导函数f′(x)图象的大致形状.
【解析】f′(x)图象的大致形状如图所示:
注:图象形状不唯一.
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课时提升作业(十二)
双曲线及其标准方程
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知F1(-8,3),F2(2,3)为定点,动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a=3和a=5时,P点的轨迹分别为( )
A.双曲线和一条直线
B.双曲线的一支和一条直线
C.双曲线和一条射线
D.双曲线的一支和一条射线
【解析】选D.易得|F1F2|=10.
当a=3时,2a=6,即2a<|F1F2|,
所以P点的轨迹为双曲线的一支(靠近点F2).
当a=5时,2a=10,即2a=|F1F2|,此时P,F1,F2共线.
所以P点的轨迹是以F2为起点的一条射线.
2.(2015·福建高考)若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于 ( )
A.11
B.9
C.5
D.3
【解析】选B.因为=2a,所以-=±6,所以=9或-3(舍去).
3.在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程的曲线是 ( )
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的双曲线
【解析】选D.方程mx2-my2=n可化为:
-=1,
因为mn<0,所以->0,
所以方程表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线.
4.(2015·吉首高二检测)椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则m的值是 ( )
A.±1
B.1
C.-1
D.不存在
【解析】选A.方法一:直接法:显然双曲线焦点在x轴上,
故4-m2=m2+2.
所以m2=1,即m=±1.
方法二:验证法:当m=±1时,m2=1,
对椭圆来说,a2=4,b2=1,c2=3.
对双曲线来说,a2=1,b2=2,c2=3,
故当m=±1时,它们有相同的焦点.
【误区警示】本题在求解时常常因为混淆椭圆与双曲线的数量关系导致错误.
5.(2015·三明高二检测)已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与
双曲线的左支交于A,B两点,线段AB的长为5,若2a=8,那么△ABF2的周长
是 ( )
A.16
B.18
C.21
D.26
【解题指南】借助双曲线的定义求解,注意点A,B的位置.
【解析】选D.|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,所以|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16,
所以|AF2|+|BF2|=16+5=21,
所以△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知点P(2,-3)是双曲线-=1(a>0,b>0)上一点,双曲线两个焦点间的距离等于4,则该双曲线方程是 .
【解析】由题意知c=2,设该双曲线方程是-=1,
把点P(2,-3)代入,得-=1,
解得a2=1或a2=16(舍).
所以该双曲线方程为x2-=1.
答案:x2-=1
7.若双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),则k= .
【解题指南】先化双曲线方程为标准形式,再借助a,b,c的关系求解.
【解析】方程可化为-=1,由焦点在y轴上,得a2=-,b2=-.
所以c2=-,
所以9=-,
所以k=-1.
答案:-1
8.(2015·潍坊高二检测)已知双曲线的两个焦点F1(-,0),F2(,0),P是双曲线上一点,且·=0,|PF1|·|PF2|=2,则双曲线的标准方程为 .
【解析】由题意可设双曲线方程为
-=1(a>0,b>0).
由·=0,得PF1⊥PF2.根据勾股定理得
|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,即|PF1|2+|PF2|2=20.
根据双曲线定义有|PF1|-|PF2|=±2a.
两边平方并代入|PF1|·|PF2|=2得
20-2×2=4a2,解得a2=4,从而b2=5-4=1,
所以双曲线方程为-y2=1.
答案:-y2=1
【拓展延伸】与双曲线定义相关问题的解法
利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题,一是要注意定义条件||PF1|-|PF2||=2a的变形的使用,特别是与|PF1|2+|PF2|2,|PF1|·|PF2|间的关系;二是要与三角形知识相结合,如勾股定理、余弦定理、正弦定理等,同时要注意整体思想的应用.
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.根据下列条件,求双曲线的标准方程.
(1)过点P,Q且焦点在坐标轴上.
(2)c=,经过点(-5,2),焦点在x轴上.
【解析】(1)设双曲线方程为-=1,
因为P,Q两点在双曲线上,
所以解得
所以所求双曲线方程为+=1,即-=1.
(2)因为焦点在x轴上,c=,
所以设所求双曲线方程为-=1(其中0<λ<6).
因为双曲线经过点(-5,2),所以-=1,
所以λ=5或λ=30(舍去),
所以所求双曲线的方程是-y2=1.
10.在周长为48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN=,求以M,N为焦点,且过点P的双曲线方程.
【解题指南】由双曲线定义可知||PM|-|PN||=2a,|MN|=2c,所以利用条件确定
△MPN的边长是关键.
【解析】因为△MPN的周长为48,且tan∠PMN=,所以设|PN|=3k,|PM|=4k,则|MN|=5k.
由3k+4k+5k=48得k=4.
所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.
以MN所在直线为x轴,以MN的中点为原点建立直角坐标系,如图所示.
设所求双曲线方程为-=1(a>0,b>0).
由|PM|-|PN|=4得2a=4,a=2,a2=4.
由|MN|=20得2c=20,c=10.
所以b2=c2-a2=96,所以所求双曲线方程为-=1.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·广州高二检测)椭圆+=1与双曲线y2-=1有公共点P,则P与双曲线两焦点连线构成的三角形的面积为 ( )
A.48
B.24
C.24
D.12
【解析】选B.由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,5)和F2(0,-5),又由椭圆与双曲线的定义可得
所以或
又|F1F2|=10,
所以△PF1F2为直角三角形,∠F1PF2=90°.
所以△PF1F2的面积
S=|PF1||PF2|=×6×8=24.
2.(2015·成都高二检测)若方程+=3表示焦点在y轴上的双曲线,则m的取值范围是 ( )
A.(1,2)
B.(2,+∞)
C.(-∞,-2)
D.(-2,2)
【解析】选C.由题意,方程可化为
-=3,
所以解得m<-2.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为 .
【解题指南】借助双曲线的定义,把|PF|+|PA|的最值问题转化为点共线问题.
【解析】设右焦点为F1(4,0),依题意,
|PF|=|PF1|+4,
所以|PF|+|PA|=|PF1|+4+|PA|
=|PF1|+|PA|+4≥|AF1|+4=5+4=9.
答案:9
4.(2015·昆明高二检测)已知动圆M与圆C1:(x+3)2+y2=9外切且与圆C2:(x-3)2+y2=1内切,则动圆圆心M的轨迹方程是 .
【解析】设动圆M的半径为r.
因为动圆M与圆C1外切且与圆C2内切,
所以|MC1|=r+3,|MC2|=r-1.
相减得|MC1|-|MC2|=4.
又因为C1(-3,0),C2(3,0),并且|C1C2|=6>4,
所以点M的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的右支,
且有a=2,c=3.
所以b2=5,所以所求的轨迹方程为-=1(x≥2).
答案:-=1(x≥2)
【误区警示】本题在求解时常常因为忽略限定条件“x≥2”导致错误.
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2015·济南高二检测)已知方程kx2+y2=4,其中k为实数,对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型.
【解题指南】解答本题可依据所学的各种曲线的标准形式的系数应满足的条件进行分类讨论.
【解析】(1)当k=0时,y=±2,表示两条与x轴平行的直线.
(2)当k=1时,方程为x2+y2=4,表示圆心在原点,半径为2的圆.
(3)当k<0时,方程为-=1,表示焦点在y轴上的双曲线.
(4)当0(5)当k>1时,方程为+=1,表示焦点在y轴上的椭圆.
【补偿训练】当0°≤α≤180°时,方程x2cosα+y2sinα=1表示的曲线如何变化
【解析】(1)当α=0°时,方程为x2=1,它表示两条平行直线x=±1.
(2)当0°<α<90°时,方程为+=1.
①当0°<α<45°时,0<<,它表示焦点在y轴上的椭圆.
②当α=45°时,它表示圆x2+y2=.
③当45°<α<90°时,>>0,它表示焦点在x轴上的椭圆.
(3)当α=90°时,方程为y2=1,它表示两条平行直线y=±1.
(4)当90°<α<180°时,方程为-=1,它表示焦点在y轴上的双曲线.
(5)当α=180°时,方程为x2=-1,它不表示任何曲线.
6.已知定点A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A,B的椭圆,求另一焦点F的轨迹方程.
【解析】设F(x,y)为轨迹上的任意一点,
因为A,B两点在以C,F为焦点的椭圆上,
所以|FA|+|CA|=2a,|FB|+|CB|=2a(其中a表示椭圆的长半轴长),
所以|FA|+|CA|=|FB|+|CB|,
所以|FA|-|FB|=|CB|-|CA|
=-=2.
所以|FA|-|FB|=2.
由双曲线的定义知,F点在以A、B为焦点,2为实轴长的双曲线的下半支上,
所以点F的轨迹方程是y2-=1(y≤-1).
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课后提升作业
十二
双曲线及其标准方程
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.已知F1(-5,0),F2(5,0)为定点,动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a=3和a=5时,P点的轨迹为 ( )
A.双曲线和一条直线
B.双曲线的一支和一条直线
C.双曲线和一条射线
D.双曲线的一支和一条射线
【解析】选D.当a=3时,|PF1|-|PF2|=6<|F1F2|,P的轨迹为双曲线的一支;当a=5时,|PF1|-|PF2|=10=|F1F2|,所以P的轨迹是一条射线.
2.(2015·福建高考)若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于 ( )
A.11
B.9
C.5
D.3
【解析】选B.因为=2a,
所以-=±6,
所以=9或-3(舍去).
【补偿训练】已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,线段AB的长为5,若2a=8,那么△ABF2的周长是 ( )
A.16 B.18 C.21 D.26
【解析】选D.|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,
所以|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16,
所以|AF2|+|BF2|=16+5=21,所以△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.
3.(2016·嘉兴高二检测)在平面内,已知双曲线C:-=1的焦点为F1,F2,则|PF1|-|PF2|=6是点P在双曲线C上的 ( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分又不必要条件
【解析】选B.点P在双曲线C上的充要条件为||PF1|-|PF2||=6,故|PF1|-|PF2|=6为点P在双曲线上的充分不必要条件.
4.设θ∈,则关于x,y的方程-=1所表示的曲线是 ( )
A.焦点在y轴上的双曲线
B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在x轴上的椭圆
【解析】选C.因θ∈,所以sinθ>0,cosθ<0,
且-cosθ>sinθ,所以方程为+=1,故方程表示焦点在y轴上的椭圆.
5.与椭圆+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是 ( )
A.-y2=1
B.-y2=1
C.-=1
D.x2-=1
【解析】选B.椭圆的焦点F1(-,0),F2(,0),
由双曲线定义知2a=||PF1|-|PF2||
=|-|
=|-|=2,所以a=,所以b2=c2-a2=1,所以双曲线方程为-y2=1.
【补偿训练】椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则m的值是 ( )
A.±1
B.1
C.-1
D.不存在
【解析】选A.验证法:当m=±1时,m2=1,
对椭圆来说,a2=4,b2=1,c2=3.
对双曲线来说,a2=1,b2=2,c2=3,
故当m=±1时,它们有相同的焦点.
直接法:显然双曲线焦点在x轴上,故4-m2=m2+2.
所以m2=1,即m=±1.
6.一动圆P过定点M(-4,0),且与已知圆N:(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心P的轨迹方程是 ( )
A.-=1(x≥2)
B.-=1(x≤2)
C.-=1
D.-=1
【解析】选C.由已知N(4,0),内切时,定圆N在动圆P的内部,有|PN|=|PM|-4,
外切时,有|PN|=|PM|+4,故||PM|-|PN||=4,
因此2a=4,2c=8,所以b2=12,
点P的轨迹是双曲线-=1.
【误区警示】本题易把“相切”理解为外切或内切,错选A或B.
7.已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点M在双曲线上,且MF1⊥x轴,则F1到直线F2M的距离为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由双曲线的方程知,a=,b=,
所以c=3,F1(-3,0),F2(3,0).
将x=-3代入双曲线的方程得y2=.
不妨设点M在x轴的上方,则M.
所以|MF1|=,|MF2|=.
设点F1到直线F2M的距离为d,
则有|MF1|·|F1F2|=|MF2|·d,所以d=.
8.已知双曲线中心在坐标原点,且一个焦点为F1(-,0),点P位于该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的方程是 ( )
A.-y2=1
B.x2-=1
C.-=1
D.-=1
【解析】选B.设双曲线方程为-=1,
因为c=,c2=a2+b2,所以b2=5-a2,所以-=1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2),则P点的坐标为(,4).
代入双曲线方程得-=1,解得a2=1或a2=25(舍去),所以双曲线方程为x2-=1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.已知双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),则k的值为________.
【解析】将双曲线方程化为kx2-y2=1,即-=1.
因为一个焦点是(0,3),所以焦点在y轴上,
所以c=3,a2=-,b2=-,
所以a2+b2=--=-=c2=9.所以k=-1.
答案:-1
10.设F1,F2是双曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且·=0,则|PF1|·|PF2|=________.
【解析】因为||PF1|-|PF2||=4,
又PF1⊥PF2,|F1F2|=2,所以|PF1|2+|PF2|2=20,
所以(|PF1|-|PF2|)2=20-2|PF1|·|PF2|=16,
所以|PF1|·|PF2|=2.
答案:2
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.已知双曲线-=1的左、右焦点分别是F1,F2,若双曲线上一点P使得∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.
【解题指南】在△PF1F2中,由余弦定理能得到|F1F2|,|PF1|,|PF2|三者满足的关系式,再结合双曲线的定义,求出|PF1|·|PF2|的值,进而求出△F1PF2的面积.
【解析】由-=1,得a=3,b=4,c=5.
由定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6,
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°,
所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,
所以|PF1|·|PF2|=64,
所以=|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=×64×=16.
【拓展延伸】双曲线的定义对于解题的主要作用
双曲线的定义对于解题具有双向作用:
(1)可用来判断平面内动点的轨迹是否为双曲线(或双曲线的一支).
(2)可以用来解决焦点三角形和焦点弦的有关问题.
12.在△ABC中,B(4,0),C(-4,0),动点A满足sinB-sinC=sinA,求动点A的轨迹方程.
【解析】设A点的坐标为(x,y),在△ABC中,由正弦定理,得===2R,代入sinB-sinC=sinA,
得-=·,
又|BC|=8,所以|AC|-|AB|=4.
因此A点的轨迹是以B,C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a=4,2c=8,所以a=2,c=4,b2=12.
所以A点的轨迹方程为-=1(x>2).
【能力挑战题】当0°≤α≤180°时,方程x2cosα+y2sinα=1表示的曲线如何变化
【解析】(1)当α=0°时,方程为x2=1,它表示两条平行直线x=±1.
(2)当0°<α<90°时,方程为+=1.
①当0°<α<45°时,0<<,它表示焦点在y轴上的椭圆;
②当α=45°时,它表示圆x2+y2=;
③当45°<α<90°时,>>0,它表示焦点在x轴上的椭圆.
(3)当α=90°时,方程为y2=1,它表示两条平行直线y=±1.
(4)当90°<α<180°时,方程为-=1,它表示焦点在y轴上的双曲线.
(5)当α=180°时,方程为x2=-1,它不表示任何曲线.
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课后提升作业
三
四种命题间的相互关系
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2016·济南高二检测)一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中 ( )
A.真命题与假命题的个数相同
B.真命题的个数一定是奇数
C.真命题的个数一定是偶数
D.真命题的个数可能是奇数,也可能是偶数
【解析】选C.因为原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假,所以真命题的个数一定是偶数.
2.(2015·烟台高二检测)与命题“若x=3,则x2-2x-3=0”等价的命题是 ( )
A.若x≠3,则x2-2x-3≠0
B.若x=3,则x2-2x-3≠0
C.若x2-2x-3≠0,则x≠3
D.若x2-2x-3≠0,则x=3
【解题指南】只需找其逆否命题即可.
【解析】选C.与其等价的命题为逆否命题:若x2-2x-3≠0,则x≠3.
3.命题“正数a的平方根不等于0”是命题“若一个数a的平方根不等于0,则a是正数”的 ( )
A.逆命题
B.否命题
C.逆否命题
D.否定
【解析】选A.两个命题的条件和结论互换,所以互为逆命题.
4.(2016·吉林高二检测)给出命题:“若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限”.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( )
A.3
B.2
C.1
D.0
【解析】选C.由已知原命题为真命题,则逆否命题为真命题.逆命题为“若函数y=f(x)的图象不过第四象限,则函数y=f(x)是幂函数”,为假命题,如f(x)=3x2.故否命题也为假命题.
5.已知命题“若ab≤0,则a≤0或b≤0”,则下列结论正确的是 ( )
A.真命题,否命题:“若ab>0,则a>0或b>0”
B.真命题,否命题:“若ab>0,则a>0且b>0”
C.假命题,否命题:“若ab>0,则a>0或b>0”
D.假命题,否命题:“若ab>0,则a>0且b>0”
【解析】选B.逆否命题“若a>0且b>0,则ab>0”,显然为真命题,又原命题与逆否命题等价,故原命题为真命题.否命题为“若ab>0,则a>0且b>0”.
6.(2016·石家庄高二检测)已知下列命题:
①“若xy=0,则x=0且y=0”的逆否命题;
②“正方形是菱形”的否命题;
③“若m>2,则不等式x2-2x+m>0的解集为R”.
其中真命题的个数为 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.对①,原命题是假命题,其逆否命题也是假命题;
对②,其否命题是:不是正方形的四边形不是菱形,是假命题;
对③,不等式x2-2x+m>0的解集为R,需满足Δ=4-4m<0,解得m>1.而m>2满足m>1.故只有③是真命题.
7.下列命题中正确的是 ( )
①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;
②“正多边形都相似”的逆命题;
③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题;
④“若x-3是无理数,则x是无理数”的逆否命题.
A.①②③④
B.①③④
C.②③④
D.①④
【解析】选B.①中否命题为“若x2+y2=0,则x=y=0”,正确;②中逆命题不正确;③中,Δ=1+4m,当m>0时,Δ>0,原命题正确,故其逆否命题正确;④中原命题正确,故逆否命题正确.
8.若一个命题的逆命题、否命题、逆否命题中有且只有一个是真命题,我们就把这个命题叫做“正向真命题”.给出以下命题:①函数y=x2(x∈R)是偶函数;②若两条直线相交,则它们的倾斜角一定不相等;③α,β,γ为三个不同的平面,若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;④若a·c=b·c,则a=b;⑤若m+n≤2,则m≤1或n≤1.其中是“正向真命题”的序号是 ( )
A.①⑤
B.②③
C.③④
D.②④
【解析】选A.①中命题是真命题,其逆命题为“若一个函数是偶函数,则这个函数是y=x2,是假命题,故它是“正向真命题”;②中命题是真命题,其逆命题为“若两条直线的倾斜角不相等,则它们一定相交”,也是真命题,所以②中命题不是“正向真命题”;③、④中命题都是假命题,所以它们都不是“正向真命题”;
⑤中命题的逆否命题是“若m>1且n>1,则m+n>2”是真命题,而它的否命题是“若m+n>2,则n>1且m>1”,显然不是真命题,所以这个命题是“正向真命题”.综上,是“正向真命题”的序号是①⑤.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题为____________命题,逆命题为__________命题.(填“真”或“假”)
【解析】逆否命题为:a,b都小于1,则a+b<2是真命题,
所以原命题是真命题,逆命题为:若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2,例如a=3,b=-3满足条件a,b中至少有一个不小于1,但此时a+b=0,故逆命题是假命题.
答案:真 假
10.(2016·郑州高二检测)已知命题“若1【解析】因为原命题与逆否命题的真假性相同,
所以由已知得原命题为真命题.
所以1≤m≤2.
答案:1≤m≤2
三、解答题
11.(10分)
a,b,c为三个人,命题A:“如果b的年龄不是最大的,那么a的年龄最小”和命题B:“如果c的年龄不是最小的,那么a的年龄最大”都是真命题,则a,b,c的年龄的大小顺序是否能确定 请说明理由.
【解析】能确定.理由如下:
显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的,因此应该从它的逆否命题来考虑.
①由命题A为真可知,当b不是最大时,则a是最小的,即若c最大,则a最小,所以c>b>a;而它的逆否命题也为真,即“若a不是最小,则b是最大”为真,所以b>a>c.总之由命题A为真可知:c>b>a或b>a>c.
②同理由命题B为真可知a>c>b或b>a>c.从而可知,b>a>c.所以三个人年龄的大小顺序为b最大,a次之,c最小.
【拓展延伸】感悟等价命题与反证法
本题实质是利用了“两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性”来解题的,即逆否证法.逆否证法实质是利用了命题的等价性,与反证法不同,反证法是通过否定命题的结论,引出矛盾,来肯定命题的.
【能力挑战题】
已知ad-bc=1,求证:a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1.
【证明】假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1,则2a2+2b2+2c2+2d2+2ab+2bc+2cd-2ad-2bc+2ad
=2,
即(a+b)2+(b+c)2+(c+d)2+(a-d)2+2ad-2bc=2,
若(a+b)2+(b+c)2+(c+d)2+(a-d)2=0,则a=b=c=d=0,于是ad-bc<1;
若(a+b)2+(b+c)2+(c+d)2+(a-d)2≠0,
则(a+b)2+(b+c)2+(c+d)2+(a-d)2为正数,所以必有ad-bc<1.
综上,命题“若a2+b2+c2+d2+ab+cd=1,则ad-bc≠1”成立,由原命题与它的逆否命题同真同假,知原命题也成立,从而原命题得证.
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课后提升作业
十七
抛物线方程及性质的应用
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2016·大理高二检测)过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有
( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.0条
【解析】选C.易知过点(0,1),斜率不存在的直线为x=0,满足与抛物线y2=4x只有一个公共点.当斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,再与y2=4x联立整理得k2x2+(2k-4)x+1=0,当k=0时,方程是一次方程,有一个解,满足一个交点;当k≠0时,由Δ=0可得k值有一个,即有一个公共点,所以满足题意的直线有3条.
2.抛物线y2=3x关于直线y=x对称的抛物线方程为 ( )
A.y2=x
B.x2=3y
C.x2=y
D.y2=3x
【解题指南】利用点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x)进行求解.
【解析】选B.因为点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x),所以y2=3x关于y=x对称的抛物线方程为x2=3y.
3.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是 ( )
A.
B.
C.
D.3
【解析】选A.设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为,当m=时,取得最小值为.
【一题多解】选A.设与4x+3y-8=0平行的直线l方程为:4x+3y+m=0,
由消去y得,3x2-4x-m=0,
由Δ=0得,16+12m=0,解得m=-.
所以l的方程为4x+3y-=0.
因此抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是d==.
4.(2016·成都高二检测)抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为 ( )
A.2
B.4
C.6
D.4
【解析】选D.根据题意知,△FPM为等边三角形,
|PF|=|PM|=|FM|,所以PM⊥抛物线的准线.
设P,则M(-1,m),
等边三角形边长为1+,
又由F(1,0),|PM|=|FM|,得1+=,
得m=2,
所以等边三角形的边长为4,其面积为4.
5.(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,点A,B是C的准线与E的两个交点,则= ( )
A.3
B.6
C.9
D.12
【解析】选B.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),
右焦点为(c,0),依题意得解得a=4,
由b2=a2-c2=16-4=12,
所以椭圆E的方程为+=1,
因为抛物线C:y2=8x的准线为x=-2,
将x=-2代入到+=1,
解得A(-2,3),B(-2,-3),故=6.
6.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为 ( )
A.x=1
B.x=-1
C.x=2
D.x=-2
【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得:①-②得,
(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2).
又因为y1+y2=4,所以===k=1,所以p=2.
所以所求抛物线的准线方程为x=-1.
7.(2016·兰州高二检测)斜率为1,过抛物线y=x2的焦点的直线被抛物线所截得的弦长为 ( )
A.8
B.6
C.4
D.10
【解析】选A.设弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),
易知直线方程为y=x+1,
直线方程与抛物线方程联立,消元得:x2-x-1=0,
所以x1+x2=4,x1x2=-4,
所以弦长l==8.
8.(2016·商丘高二检测)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为 ( )
A.
B.
C.1
D.2
【解析】选D.由题意知,抛物线的准线l:y=-1,
过A作AA1⊥l于A1,过B作BB1⊥l于B1,
设弦AB的中点为M,过M作MM1⊥l于M1,
则|MM1|=.
|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点),
即|AF|+|BF|≥6,|AA1|+|BB1|≥6,
2|MM1|≥6,|MM1|≥3,
故M到x轴的距离d≥2.
【拓展延伸】“两看两想”的应用
与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.
【补偿训练】已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( )
A.
B.3
C.
D.
【解析】选A.抛物线y2=2x的焦点为F,准线是l,由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离,因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值,可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值,不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(0,2)的距离.因此所求的最小值等于=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2016·临沂高二检测)直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k=________.
【解析】当k=0时,直线与抛物线有唯一交点,当k≠0时,联立方程消y得:k2x2+4(k-2)x+4=0,
由题意Δ=16(k-2)2-16k2=0,所以k=1.
答案:0或1
10.抛物线y2=x上的点到直线x-2y+3=0的距离最短的点的坐标是________.
【解析】设与直线x-2y+3=0平行的直线方程为x-2y+m=0,与抛物线方程y2=x联立成方程组消去x得y2-2y+m=0,令Δ=(-2)2-4m=0,解得m=1,代入y2-2y+m=0中得y2-2y+1=0,解得y=1,把y=1代入y2=x中,解得x=1,则所求点的坐标是(1,1).
答案:(1,1)
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2016·宁波高二检测)已知抛物线C:y2=4x,F是抛物线C的焦点,过点F的直线l与C相交于A,B两点,O为坐标原点.
(1)如果l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程.
(2)设|FA|=2|BF|,求直线l的方程.
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)因为y2=4x,所以F(1,0),
又因为直线l的斜率为1,
所以直线l的方程为y=x-1,
代入y2=4x,得x2-6x+1=0,
由根与系数的关系得易得AB的中点,
即圆心的坐标为(3,2),
又|AB|=x1+x2+p=8,
所以圆的半径r=4,
所以所求的圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16.
(2)因为|FA|=2|BF|,所以=2,
而=(x1-1,y1),=(1-x2,-y2),
所以
易知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,
则直线l的方程为y=k(x-1),
代入y2=4x,
得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
由根与系数的关系得
因为x1-1=2(1-x2),
所以或所以k=±2,
所以直线l的方程为y=±2(x-1).
【补偿训练】已知顶点在原点,焦点在x轴的负半轴的抛物线截直线y=x+所得的弦长|P1P2|=4,求此抛物线的方程.
【解析】设抛物线方程为y2=-2px(p>0),
把直线方程与抛物线方程联立得消元得x2+(3+2p)x+=0①,
判别式Δ=(3+2p)2-9=4p2+12p>0,
解得p>0或p<-3(舍去),
设P1(x1,y1),P2(x2,y2),
则①中由根与系数的关系得x1+x2=-(3+2p),
x1·x2=,
代入弦长公式得·=4,
解得p=1或p=-4(舍去),
把p=1代入抛物线方程y2=-2px(p>0)中,
得y2=-2x.
综上,所求抛物线方程为y2=-2x.
12.过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y0)(y0≠0)分别作斜率为-k和k的直线l1,
l2,设l1,
l2与抛物线y2=2px交于A,B两点,证明直线AB的斜率为定值.
【证明】设A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去x得
y2-y+-2px0=0,
由根与系数的关系得y0+y1=,
所以y1=-y0.①
同理y0+y2=-,所以y2=--y0.②
由①,②得y1+y2=-2y0,
所以kAB====-,
即直线AB的斜率为定值.
【能力挑战题】
已知抛物线方程为y2=-2px,其准线方程为x=,直线l:y=k(x+1)与抛物线交于A,B两个不同的点,O为坐标原点.
(1)求证:OA⊥OB.
(2)当△OAB的面积等于时,求k的值.
【解析】(1)因为抛物线y2=-2px的准线方程为x=,所以=,得p=,
即抛物线的方程为y2=-x,联立y=k(x+1),
消去x后,整理得:ky2+y-k=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由根与系数的关系得:y1+y2=-,y1y2=-1,
因为A,B两点在抛物线y2=-x上,
所以=-x1,=-x2,·=x1·x2,
所以kOA·kOB=·===-1,
所以OA⊥OB.
(2)设直线l与x轴交于N,由题意可得k≠0,
令y=0,则x=-1,即N(-1,0),
因为S△OAB=S△OAN+S△OBN=|ON|y1+|ON|y2
=×1×|y1-y2|=
==,
所以k=-或k=.
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课后提升作业
十一
椭圆方程及性质的应用
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:+=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为 ( )
A.1个
B.1个或2个
C.2个
D.0个
【解析】选C.因为直线过定点(3,-1)且+<1,所以点(3,-1)在椭圆的内部,故直线l与椭圆有2个公共点.
【补偿训练】直线y=k(x-2)+1与椭圆+=1的位置关系是 ( )
A.相离
B.相交
C.相切
D.无法判断
【解析】选B.直线y=k(x-2)+1过定点P(2,1),将P(2,1)代入椭圆方程,得+<1,所以P(2,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.
2.椭圆+=1的右焦点到直线y=x的距离是 ( )
A.
B.
C.1
D.
【解析】选B.椭圆的右焦点为F(1,0),由点到直线的距离公式得d==.
3.(2016·长沙高二检测)若直线y=x+与椭圆x2+=1(m>0且m≠1)只有一个公共点,则该椭圆的长轴长为 ( )
A.1
B.
C.2
D.2
【解析】选D.由得(1+m2)x2+2x+6-m2=0,由已知Δ=24-4(1+m2)(6-m2)=0,解得m2=5,所以椭圆的长轴长为2.
【补偿训练】直线y=x+m与椭圆+=1有两个公共点,则m的取值范围是
( )
A.(-5,5)
B.(-12,12)
C.(-13,13)
D.(-15,15)
【解析】选C.联立直线与椭圆方程,由判别式Δ>0,可得-134.(2016·济南高二检测)已知椭圆+=1的上焦点为F,直线x+y-1=0和x+y+1=0与椭圆分别相交于点A,B和C,D,则|AF|+|BF|+|CF|+|DF|= ( )
A.2
B.4
C.4
D.8
【解析】选D.如图,设F1为椭圆的下焦点,两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点,连结AF1,BF1.由椭圆的对称性可知,四边形AFDF1为平行四边形,
所以|AF1|=|FD|,同理|BF1|=|CF|,所以|AF|+|BF|+|CF|+|DF|
=|AF|+|BF|+|BF1|+|AF1|=4a=8.
5.(2016·马鞍山高二检测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B,若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|,则椭圆C的离心率e= ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.设椭圆C的焦距为2c(c由于直线AB的方程为ay+bx-ab=0,
所以=c,
因为b2=a2-c2,所以3a4-7a2c2+2c4=0,
解得a2=2c2或3a2=c2(舍),所以e=.
6.过点M的直线l与椭圆x2+2y2=2交于A,B两点,设线段AB中点为M,设直线l的斜率为k1(k1≠0).直线OM的斜率为k2,则k1k2的值为 ( )
A.2
B.-2
C.
D.-
【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),
则+2=2,①
+2=2,②
②-①得(x2-x1)(x2+x1)+2(y2-y1)(y2+y1)=0.
即=-,所以k1==-=1,
而k2==-,故k1k2=-.
7.(2016·重庆高二检测)椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M,N两点,过原点与线段MN中点所在直线的斜率为,则的值是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.联立方程组可得
(m+n)x2-2nx+n-1=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点P(x0,y0),
则x0==,
y0=1-x0=1-=.所以kOP===.
8.椭圆+=1上的点到直线x+2y-=0的最大距离是 ( )
A.3
B.
C.2
D.
【解析】选D.设与直线x+2y-=0平行的直线为x+2y+m=0,与椭圆联立得,(-2y-m)2+4y2-16=0,即4y2+4my+4y2-16+m2=0,得2y2+my-4+=0.
Δ=m2-8=0,即-m2+32=0,所以m=±4.所以两直线间距离最大是当m=4时,
dmax==.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2016·天津高二检测)直线l交椭圆+=1于A,B两点,AB的中点为M(2,1),则l的方程为________.
【解析】由点差法求出kAB=-,
所以l的方程为y-1=-(x-2).
化简得:3x+2y-8=0.
答案:3x+2y-8=0
【补偿训练】直线y=x+1被椭圆+=1所截得的线段的中点坐标为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由消去y,得3x2+4x-2=0.设直线与椭圆的交点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,所以y1+y2=x1+x2+2=.所以AB中点的坐标为.
10.(2016·邯郸高二检测)过椭圆+=1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为________.
【解析】由已知可得直线方程为y=2x-2,联立方程得交点坐标,不妨令A(0,-2),
B,所以S△AOB=·|OF|·|yA-yB|=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.
(1)求动点M的轨迹C的方程.
(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点.若A是PB的中点,求直线m的斜率.
【解题指南】由动点M的坐标,根据已知条件列方程即可;设出直线方程与椭圆方程联立,得出k与x1,x2的关系式,利用中点坐标即可得斜率.
【解析】(1)点M(x,y)到直线x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍,则|x-4|=2+=1.
所以,动点M的轨迹为椭圆,方程为+=1.
(2)P(0,3),设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知:2x1=0+x2,2y1=3+y2,椭圆的上下顶点坐标分别是(0,)和(0,-),经检验直线m不经过这两点,即直线m斜率k存在.设直线m的方程为:y=kx+3.联立椭圆和直线方程,整理得:
(3+4k2)x2+24kx+24=0x1+x2=,x1·x2=,+=+2==k=±,
所以直线m的斜率k=±.
12.已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.
(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围.
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.
【解析】(1)由题意得消y整理得:
5x2+2mx+m2-1=0.
因为直线与椭圆有公共点,
所以Δ=4m2-20(m2-1)=20-16m2≥0,
所以-≤m≤.
(2)设直线与椭圆交点A(x1,y1),B(x2,y2),
则由(1)得
所以|AB|=|x1-x2|=·=·
=.因为-≤m≤,所以0≤m2≤,
所以当m=0时,|AB|取得最大值,此时直线方程为y=x,即x-y=0.
【延伸拓展】解决与椭圆有关的最值问题常用的方法有以下几种
(1)利用定义转化为几何问题处理.
(2)利用数与形的结合,挖掘数学表达式的几何特征,进而求解.
(3)利用函数的最值,将其转化为函数的最值问题来处理,此时,应注意椭圆中x,y的取值范围,常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解.
【补偿训练】(2016·池州高二检测)已知动点P与平面上两定点A(-1,0),B(1,0)连线的斜率的积为定值-2.
(1)试求动点P的轨迹C的方程.
(2)设直线l:y=x+1与曲线C交于M,N两点,求|MN|.
【解析】(1)设点P(x,y),则依题意有·=-2,
整理得x2+=1,由于x≠±1,
所以求得的曲线C的方程为x2+=1(x≠±1).
(2)由消去y得:3x2+2x-1=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,
|MN|=|x1-x2|==.
【能力挑战题】
已知△ABC的顶点A,B在椭圆x2+3y2=4上,C在直线l:y=x+2上,且AB∥l.
(1)当AB边通过坐标原点O时,求AB的长及△ABC的面积.
(2)当∠ABC=90°,且斜边AC的长最大时,求AB所在直线的方程.
【解析】(1)因为AB∥l,且AB边通过点(0,0),
所以AB所在直线的方程为y=x.
设A,B两点坐标为(x1,y1),(x2,y2),
由得x=±1,
所以|AB|=|x1-x2|=2,
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离,
所以h=,所以S△ABC=|AB|·h=2.
(2)设AB所在直线方程为y=x+m.
由得4x2+6mx+3m2-4=0.
因为A,B在椭圆上,所以Δ=-12m2+64>0.
设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=,
所以|AB|=|x1-x2|=.
又因为BC的长等于点(0,m)到直线l的距离,即|BC|=.
所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=-(m+1)2+11.
所以当m=-1时,AC边最长.(这时Δ=-12+64>0)此时AB所在直线方程为y=x-1.
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课时提升作业(十一)
椭圆方程及性质的应用
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.椭圆+=1中,以点M(-1,2)为中点的弦所在的直线斜率为 ( )
A.
B.
C.
D.-
【解析】选B.设直线与椭圆交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=-2,
设直线为y=k(x+1)+2,
联立
得(9+16k2)x2+32k(k+2)x+16(k+2)2-144=0.
所以x1+x2=,
所以=-2.
解得k=.
2.已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为 ( )
A.3
B.2
C.2
D.4
【解析】选C.设椭圆方程为+=1(a>b>0),
联立得
(a2+3b2)y2+8b2y+16b2-a2b2=0,
由Δ=0得a2+3b2-16=0,
而b2=a2-4
代入得a2+3(a2-4)-16=0
解得a2=7,所以a=.
所以长轴长为2,选C.
【补偿训练】直线l:y=x+a与椭圆+y2=1相切,则a的值为 ( )
A.±5
B.5
C.±
D.
【解析】选C.用判别式等于零求解.
3.若点(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,则的最小值为 ( )
A.1
B.-1
C.-
D.以上都不对
【解析】选C.表示椭圆上的点(x,y)与定点(2,0)连线的斜率.
不妨设=k,则过定点(2,0)的直线方程为y=k(x-2).
由得(k2+4)x2-4k2x+4k2-4=0.
令Δ=(-4k2)2-4(k2+4)·(4k2-4)=0,得k=±,
所以kmin=-,即的最小值为-.
4.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为 ( )
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
【解析】选D.由椭圆+=1得,b2x2+a2y2=a2b2,
因为过点F的直线与椭圆+=1(a>b>0)交于A,B两点,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=-1,
则b2+
a2=
a2b2 ①,
b2+
a2=
a2b2 ②,
由①-②得b2(-)+
a2(-)=0,
化简得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0.
2b2(x1-x2)-2a2(y1-y2)=0,=,
又直线的斜率为k==,即=.
因为b2=a2-c2=a2-9,所以=,解得a2=18,b2=9.
故椭圆方程为+=1.
5.若直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,则过点(a,b)的直线与椭圆+=1的公共点个数为 ( )
A.0
B.1
C.2
D.需根据a,b的取值来确定
【解题指南】根据直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,可推断点(a,b)是以原点为圆心,2为半径的圆内的点,根据圆的方程和椭圆方程可知圆x2+y2=4内切于椭圆,进而可知点P是椭圆内的点,进而判断可得答案.
【解析】选C.因为直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,所以原点到直线ax+by+4=0的距离d=>2,所以a2+b2<4,所以点P(a,b)是在以原点为圆心,2为半径的圆内的点,因为椭圆的长半轴为3,短半轴为2,所以圆x2+y2=4内切于椭圆,所以点P是椭圆内的点,所以过点P(a,b)的一条直线与椭圆的公共点个数为2.故选C.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2015·清远高二检测)若过椭圆+=1内一点(2,1)的弦被该点平分,则该弦所在直线的方程是 .
【解析】设弦两端点A(x1,y1),B(x2,y2),
则+=1,
+=1,
两式相减并把x1+x2=4,y1+y2=2代入得,
=-,
所以所求直线方程为y-1=-(x-2),
即x+2y-4=0.
答案:x+2y-4=0
7.(2015·安阳高二检测)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为 .
【解析】据椭圆焦点在x轴上,可设椭圆方程为+=1(a>b>0).因为e=,所以=.
由△ABF2的周长为16得4a=16,
因此a=4,b=2,
所以椭圆方程为+=1.
答案:+=1
8.(2014·江西高考)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为 .
【解题指南】中点弦问题运用点差法求解.
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2).
则
即+=0,
因为=-,
所以a2=2b2,故c2=a2,即e=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.
(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围.
(2)求直线被椭圆截得的弦最长时直线的方程.
【解题指南】求m的取值范围,从方程角度看,需将问题转化为关于x的一元二次方程解的判断,而求弦最长时的直线方程,就是将弦长表示成关于m的函数,求出当弦长最大时的m值,从而确定直线方程.
【解析】(1)由消去y得,
5x2+2mx+m2-1=0,
因为直线与椭圆有公共点,
所以Δ=4m2-20(m2-1)≥0,解得-≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2).
由(1)知5x2+2mx+m2-1=0.
由根与系数的关系得x1+x2=-m,x1x2=.
所以|AB|=
=
==
=
=.
因为Δ=4m2-20(m2-1)>0,
所以-所以当m=0时,|AB|最大,此时直线方程为y=x.
【补偿训练】(2015·深圳高二检测)已知椭圆C的两焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),长轴长为6.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)已知过点(0,2)且斜率为1的直线交椭圆C于A,B两点,求线段AB的长度.
【解析】(1)由F1(-2,0),F2(2,0),长轴长为6,
得c=2,a=3,所以b=1,
所以椭圆方程为+=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由(1)可知椭圆方程为+=1 ①,
因为直线AB的方程为y=x+2 ②,
把②代入①,化简并整理得10x2+36x+27=0,
所以x1+x2=-,x1x2=.
所以|AB|==.
10.(2015·陕西高考)已知椭圆Ε:+=1(a>b>0)的半焦距为c,原点Ο到经过
两点,的直线的距离为c.
(1)求椭圆Ε的离心率.
(2)如图,ΑΒ是圆Μ:+=的一条直径,若椭圆Ε经过Α,Β两点,求椭圆Ε的方程.
【解析】(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到直线的距离d==,
由d=c,得a=2b=2,解得离心率=.
(2)由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2. ①
依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=.易知,AB不与x轴垂直,设其直线方程为y=k(x+2)+1,代入①得
(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.
由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=.
从而x1x2=8-2b2.
于是|AB|=|x1-x2|
==.
由|AB|=,得=,解得b2=3.
故椭圆E的方程为+=1.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.设F1,F2是椭圆C:+=1的焦点,在曲线C上满足·=0的点P的个数为 ( )
A.0个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选B.因为·=0,
所以PF1⊥PF2.
所以点P即为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点,且半径为c==2.
又b=2,所以点P为短轴的端点,有2个.
2.(2014·福建高考)设P,Q分别为圆x2+=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是 ( )
A.5
B.+
C.7+
D.6
【解题指南】两动点问题,可以化为一动一静,因此考虑与圆心联系.
【解析】选D.圆心M(0,6),设椭圆上的点为Q(x,y),
则===,
当y=-∈[-1,1]时,=5.所以=5+=6.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.如图,把椭圆+=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,…,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|= .
【解题指南】结合椭圆的对称性解题,注意定义的灵活应用.
【解析】设椭圆右焦点为F′,由椭圆的对称性知,
|P1F|=|P7F′|,|P2F|=|P6F′|,|P3F|=|P5F′|,
所以原式=(|P7F|+|P7F′|)+(|P6F|+|P6F′|)+(|P5F|+|P5F′|)+(|P4F|+
|P4F′|)=7a=35.
答案:35
4.(2014·辽宁高考)已知椭圆C:+=1,点M与点C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则+= .
【解析】根据题意,椭圆的左右焦点为F1(-,0),F2(,0),由于点M的不确定性,不妨令其为椭圆的左顶点M(-3,0),线段MN的中点为椭圆的上顶点H(0,2),则M关于C的焦点的对称点分别为A(-2+3,0),B(2+3,0),而点N(3,4),据两点间的距离公式得+=+
=12.
答案:12
【误区警示】在无法明确相关点的具体情况的时候,可以取特殊情形处理问题.避免对一般情况处理的复杂性.
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.
(1)求C的方程.
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,
l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
【解析】(1)由题意有=,+=1,
解得a2=8,b2=4,所以C的方程为+=1.
(2)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),
A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).
将y=kx+b代入+=1得
(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.
xM==,yM=kxM+b=.
于是直线OM的斜率kOM==-,
即kOM·k=-.
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
6.(2015·山东高考)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程.
(2)设椭圆E:+=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.
(i)求的值;
(ii)求△ABQ面积的最大值.
【解题指南】(1)由离心率e和点可求a,b,c.
(2)将直线y=kx+m与椭圆E和椭圆C联立消y,再根据二次方程根与系数的关系求解面积的最大值.
【解析】(1)因为点在椭圆C上,所以+=1.
又因为椭圆C的离心率为e==,所以2c=a,4c2=3a2,结合c2=a2-b2可解得a2=4,b2=1,即椭圆C的方程为+y2=1.
(2)(i)椭圆E:+=1.
设P(x0,y0)是椭圆C上任意一点,则+4=4.直线OP:y=x与椭圆E:+=1联立消y得x2=16,x2==4,
所以Q(-2x0,-2y0).即=2.
(ii)因为点P(x0,y0)在直线y=kx+m上,所以y0=kx0+m,点Q(-2x0,-2y0)到直线y=kx+m的距离为d==.
将y=kx+m与+=1联立消y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由Δ>0可得m2<4+16k2. ①
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,所以=.
直线y=kx+m与y轴交点为(0,m),所以△OAB面积S△OAB=|m|=
=,令=t,
则S△OAB=2=2.
将y=kx+m与+y2=1联立消y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由Δ≥0可得m2≤1+4k2. ②
由①②可知0【补偿训练】(2013·天津高考)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程.
(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若·+·=8,求k的值.
【解析】(1)设F(-c,0)(c>0),由=,知a=c,过点F且与x轴垂直的直线为x=-c,代入椭圆方程有+=1,解得y=±,于是=,解得b=,又a2-c2=b2,从而a=,c=1,所以椭圆的方程为+=1.
(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1),
由方程组消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.
可得x1+x2=-,x1x2=.
因为A(-,0),B(,0),所以·+·=(x1+,y1)·(-x2,-y2)
+(x2+,y2)·(-x1,-y1)
=6-2x1x2-2y1y2
=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)
=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2
=6+.
由已知得6+=8,解得k=±.
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课后提升作业
二十
几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2016·丽江高二检测)函数f(x)=,则f′(3)等于 ( )
A.
B.0
C.
D.
【解析】选A.因为f′(x)=()′=,
所以f′(3)==.
【规律总结】求函数在某点处导数的方法
函数f(x)在点x0处的导数等于f′(x)在点x=x0处的函数值.在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数,再将x0代入导函数求解,不能先代入后求导.
2.若y=lnx,则其图象在x=2处的切线斜率是 ( )
A.1
B.0
C.2
D.
【解析】选D.因为y′=,
所以当x=2时,y′=,
故图象在x=2处的切线斜率为.
3.已知函数f(x)=x3的切线的斜率等于3,则切线有 ( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.不确定
【解析】选B.因为f′(x)=3x2=3,
解得x=±1.
切点有两个,即可得切线有两条.
【补偿训练】若曲线y=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线4x-y+1=0,则点P0的一个坐标是 ( )
A.(0,-2)
B.(1,1)
C.(-1,-4)
D.(1,4)
【解析】选C.因为y′=3x2+1=4,所以x=±1,
所以y=0或-4,
所以P0的坐标为(1,0)或(-1,-4).
4.给出下列四个导数式:
①(x4)′=4x3;②(2x)′=2xln2;③(lnx)′=-;④′=.
其中正确的导数式共有 ( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
【解析】选A.根据导数的基本公式求导,再判断即可.
①(x4)′=4x3;②(2x)′=2xln2;③(lnx)′=;
④′=-,故①②正确.
【补偿训练】下列各式中正确的是 ( )
A.(lnx)′=x
B.(cosx)′=sinx
C.(sinx)′=cosx
D.(x-8)′=-x-9
【解析】选C.因为(lnx)′=,(cosx)′=-sinx,(x-8)′=-8x-9=-,所以A,B,D均不正确,C正确.
5.(2016·南宁高二检测)质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s=,则质点在t=4时的速度为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.s′=.
当t=4时,s′=·=.
6.函数y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为 ( )
A.e2
B.2e2
C.e2
D.
【解析】选D.因为y′|x=2=e2,
所以切线方程为y-e2=e2(x-2).
当x=0时,y=-e2,
当y=0时,x=1.
故切线与坐标轴围成三角形面积为×|-e2|×1=.
7.(2016·福州高二检测)设函数f(x)=logax,f′(1)=-1,则a= ( )
A.3
B.2
C.
D.e
【解析】选C.因为f′(x)=,
所以f′(1)==-1.
所以lna=-1.所以a=.
8.(2016·宝鸡高二检测)已知直线y=kx是曲线y=ex的切线,则实数k的值
为 ( )
A.
B.-
C.-e
D.e
【解析】选D.设切点为(x0,).y′=ex,
当x=x0时,y′=,
所以过切点的切线方程为y-=(x-x0),
即y=x+(1-x0),
又y=kx是切线,
所以所以
【延伸探究】若将本题中的曲线“y=ex”改为“y=lnx”,则实数k= ( )
A.
B.-
C.-e
D.e
【解析】选A.设切点为(x0,lnx0).y′=,
当x=x0时,y′=,
所以过切点的切线方程为y-lnx0=(x-x0),
即y=x+lnx0-1,
所以所以
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2016·兴义高二检测)设曲线y=xn+1(n∈N
)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lgxn,则a1+a2+…+a99的值为 .
【解析】y′=(n+1)xn,曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),
令y=0,得xn=.
an=lgxn=lg=lgn-lg(n+1),
则a1+a2+…+a99=lg1-lg2+lg2-lg3+…+lg99-lg100=-lg100=-2.
答案:-2
10.(2016·广州高二检测)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=lnx在x=e(e为自然对数的底数)处的切线与直线ax-y+3=0垂直,则实数a的值为 .
【解析】因为y=lnx的导数为y′=,
即曲线y=lnx在x=e处的切线斜率为k=,
由于切线与直线ax-y+3=0垂直,则a·=-1,
解得a=-e.
答案:-e
【补偿训练】函数f(x)=lnx的图象在x=1处的切线方程是 .
【解析】f′(x)=,f′(1)=1,所以切点为(1,0),根据点斜式写出方程:y=x-1.
答案:y=x-1
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.求下列函数的导数.
(1)y=x8. (2)y=. (3)y=.
(4)y=2x. (5)y=log2x. (6)y=cos.
【解题指南】(1)利用幂函数公式求导.(2)转化为幂函数求导.(3)转化为幂函数求导.(4)利用指数函数求导.(5)利用对数函数求导.(6)先化简再求导.
【解析】(1)y′=(x8)′=8x8-1=8x7.
(2)y′=′=(x-4)′=-4x-5.
(3)y′=()′=()′==.
(4)y′=(2x)′=2xln2.
(5)y′=(log2x)′=.
(6)因为y=cos=sinx,
所以y′=(sinx)′=cosx.
【规律总结】
1.公式记忆:对于公式(ax)′=axlna与(logax)′=记忆较难,又易混淆,要注意区分公式的结构特征,既要从纵的方面(lnx)′与(logax)′和(ex)′与(ax)′区分,又要从横的方面(logax)′与(ax)′区分,找出差异记忆公式.
2.求导注意点:
(1)应用导数公式时不需对公式说明,掌握这些公式的基本结构和变化规律直接应用即可.
(2)需要根据所给函数的特征,恰当地选择公式.
(3)对一些函数求导时,要弄清一些函数的内部关系,合理转化后再求导,如y=,y=,可以转化为y=,y=x-3后再求导.
【补偿训练】求下列函数的导数.
(1)y=a2(a为常数).
(2)y=x12.
(3)y=x-5.
(4)y=lgx.
【解析】(1)因为a为常数,所以a2为常数,所以y′=(a2)′=0.
(2)y′=(x12)′=12x11.
(3)y′=(x-5)′=-5x-6=-.
(4)y′=(lgx)′=.
12.(2016·烟台高二检测)求过曲线y=cosx上点P且与在这点的切线垂直的直线方程.
【解析】因为y=cosx,所以y′=-sinx,
曲线在点P处的切线斜率是
y′=-sin=-.
所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为,
所以所求的直线方程为y-=,
即2x-y-+=0.
【误区警示】已知与曲线上某点的切线垂直这一条件具有双重含义:一是所求直线与切线垂直;二是所求直线也过此点.在确定与切线垂直的直线方程时,应注意函数在切点处的导数y′是否为零,当y′=0时切线平行或重合于x轴,过切点P垂直于切线的直线斜率不存在.
【能力挑战题】
已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A,B两点,O是坐标原点,试在抛物线的弧AOB上求一点P,使△ABP的面积最大,并求最大值.
【解题指南】解答本题的关键点是注意到|AB|是定值,通过图形分析使△ABP的面积最大,只需点P到AB的距离最大,即点P是抛物线的平行于AB的切线的切点.
【解析】设P(x0,y0),过点P作与AB平行的直线为l,
如图,
设直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A(x1,y1),B(x2,y2),
联立方程组,得
得x2-12x+16=0,x1+x2=12,x1x2=16,
所以|AB|=|x1-x2|
===10,
要使△ABP的面积最大,只要点P到AB的距离最大,而P点是抛物线的弧AOB上的一点,因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点,
由图知点P在x轴上方,y=,y′=,
由题意知kAB=.所以kl==,即x0=1,
所以y0=1.所以P(1,1).
又点P到直线AB的距离d===,
所以S△PAB=×|AB|·d=×10×=5.
故所求点为P(1,1),△ABP的面积最大值为5.
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课后提升作业
四
充分条件与必要条件
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.使x>1成立的一个必要条件是 ( )
A.x>0
B.x>3
C.x>2
D.x<2
【解析】选A.只有x>1x>0,其他选项均不可由x>1推出,故选A.
2.(2016·大连高二检测)已知p:x2-x<0,那么命题p的一个充分条件是 ( )
A.0B.-1C.D.【解析】选C.x2-x<003.(2016·郑州高二检测)下列p是q的必要条件的是 ( )
A.p:a=1,q:|a|=1
B.p:a<1,q:|a|<1
C.p:aD.p:a>b,q:a>b+1
【解析】选D.要满足p是q的必要条件,即qp,只有q:a>b+1q:a-b>1p:a>b,故选D.
4.下列所给的p,q中,p是q的充分条件的个数是 ( )
①p:x>1,q:-3x<-3;②p:x>1,q:2-2x<2;
③p:x=3,q:sinx>cosx;④p:直线a,b不相交,q:a∥b.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解题指南】根据充分条件与必要条件的意义判断.
【解析】选C.①由于p:x>1q:-3x<-3,所以p是q的充分条件;
②由于p:x>1q:2-2x<2(即x>0),所以p是q的充分条件;
③由于p:x=3q:sinx>cosx,所以p是q的充分条件;
④由于p:直线a,b不相交q:a∥b,所以p不是q的充分条件.
5.(2016·武汉高二检测)如果A.B.≤a≤
C.a>或a<
D.a≥或a≤
【解析】选B.|x-a|<1a-1由题意知
(a-1,a+1),
则有且等号不同时成立,
解得≤a≤,故选B.
【补偿训练】(2016·上海高二检测)集合A=,B={x||x-b|<1},若“a=1”是“A∩B≠ ”的充分条件,则实数b的取值范围是______.
【解析】“a=1”是“A∩B≠ ”的充分条件的意思是说当a=1时,A∩B≠ ,现在A=(-1,1),B=(b-1,b+1),由A∩B≠ 得-1≤b-1<1或-1答案:(-2,2)
6.(2016·温州高二检测)已知集合A={x∈R|<2x<8},B=
,若x∈B成立的一个充分条件是x∈A,则实数m的取值范围是 ( )
A.m≥2
B.m≤2
C.m>2
D.-2【解析】选A.A=={x|-1因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A,
所以A B,所以3≤m+1,即m≥2.
7.
“x<0”是“ln(x+1)<0”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由ln(x+1)<0,得x+1>0且x+1<1,所以-1故“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件.
【补偿训练】若条件p:(x+1)2>4,条件q:x2-5x+6<0,则q是p的______条件.
【解析】因为(x+1)2>4,所以x<-3或x>1.又x2-5x+6<0,所以2答案:充分
8.(2016·广州高二检测)已知f(x)=x-x2,且a,b∈R,则“a>b>1”是“f(a)A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选A.画出函数f(x)=x-x2的图象,如图所示:
由图象得:f(x)在上递减,
所以a>b>1时,f(a)如f(0)=0二、填空题(每小题5分,共10分)
9.若【解析】|x-m|<1,即m-1由题意可知且等号不同时成立,
即-≤m≤,故实数m的取值范围是.
答案:
10.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ=”的__________________条件(填“充分”或“必要”).
【解题指南】先由f(x)是奇函数可以得到φ的取值,再由φ=判断f(x)是否为奇函数,最后再判断.
【解析】f(x)是奇函数φ=+kπ,k∈Z;φ=f(x)是奇函数,所以“f(x)是奇函数”是“φ=”的必要条件.
答案:必要
【补偿训练】“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的________条件(填“充分”或“必要”).
【解析】若m=,两直线斜率之积等于-1,得两条直线垂直;若两条直线垂直,可得(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0,解得m=-2或m=,故“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的充分条件.
答案:充分
三、解答题
11.(10分)(2016·潍坊高二检测)若p:-2【解析】若a=-1,b=,则Δ=a2-4b<0,关于x的方程x2+ax+b=0无实根,故pq.
若关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,不妨设这两个根为x1,x2,且0则x1+x2=-a,x1x2=b.于是0<-a<2,0所以,p是q的必要条件,但不是充分条件.
【一题多解】针对必要条件的判断给出下面另一种解法:设f(x)=x2+ax+b,因为关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,所以
即-2【拓展延伸】充分条件和必要条件的应用
(1)若p是q的充分条件,则pq,此时还可以得出q是p的必要条件;若p是q的必要条件,则qp,此时还可以得出q是p的充分条件.
(2)充分条件在解题中,通常作为一个条件来使用,结合有关知识点进行运算、化简、推导.
(3)必要条件一般在解答题中不出现,需要判断必要条件时,通常是由结论推导出此条件.
【能力挑战题】
已知全集U=R,非空集合A={x|(x-2)[x-(3a+1)]<0},B={x|(x-a2-2)(x-a)
<0}.p:x∈A,q:x∈B,若q是p的必要条件,求实数a的取值范围.
【解析】若q是p的必要条件,即pq,可知A B,
由a2+2>a,得B={x|a当3a+1>2,即a>时,A={x|2解得当3a+1=2,即a=时,A= ,符合题意;
当3a+1<2,即a<时,A={x|3a+1解得-≤a<;
综上,a∈.
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课时提升作业(二)
四
种
命
题
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的 ( )
A.逆命题
B.否命题
C.逆否命题
D.无关命题
【解析】选A.从两种命题的形式来看是条件与结论换位,因此为逆命题.
2.下列命题的否命题为“邻补角互补”的是 ( )
A.邻补角不互补
B.互补的两个角是邻补角
C.不是邻补角的两个角不互补
D.不互补的两个角不是邻补角
【解题指南】解答本题只需求命题“邻补角互补”的否命题,因此把所给命题的条件与结论都否定,即为所求.
【解析】选C.“邻补角互补”与“不是邻补角的两个角不互补”互为否命题.
【补偿训练】“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B全是锐角”的否命题
为 ( )
A.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B全不是锐角
B.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不全是锐角
C.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B中必有一个钝角
D.以上均不对
【解析】选B.否命题条件与结论分别是原命题的条件与结论的否定,故选B.
【误区警示】解答本题易出现选A的错误,导致出现这种错误的原因是混淆了“全是”的否定是“不全是”,而非“全不是”.
3.(2015·大连高二检测)下列四个命题:
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;
②“若a>b,则a2>b2”的逆否命题;
③“若x≤-3,则x2-x-6>0”的否命题;
④“对顶角相等”的逆命题.
其中真命题的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解题指南】明确各个命题的条件和结论,逐项验证即得正确答案.
【解析】选B.①否命题:若x+y≠0,则x,y不互为相反数,真命题.②逆否命题:若a2≤b2,则a≤b,假命题.③否命题:若x>-3,则x2-x-6≤0,假命题.④逆命题:相等的两个角是对顶角,假命题,故选B.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.(2015·西安高二检测)命题“若x>y,则x3>y3-1”的否命题是 .
【解析】“x>y”的否定是“x≤y”,
“x3>y3-1”的否定是“x3≤y3-1”.
答案:若x≤y,则x3≤y3-1
【补偿训练】命题“若a>b,则2a>2b-1”的逆否命题是 .
【解析】互换条件与结论,并进行否定,得其逆否命题“若2a≤2b-1,则a≤b”.
答案:若2a≤2b-1,则a≤b
5.(2015·南昌高二检测)给定下列命题:
①若a>0,则方程ax2+2x=0有解;
②“等腰三角形都相似”的逆命题;
③“若x-是有理数,则x是无理数”的逆否命题;
④“若a>1且b>1,则a+b>2”的否命题.
其中真命题的序号是 .
【解析】显然①为真,②为假.对于③中,原命题“若x-是有理数,则x是无理数”为假命题,所以逆否命题为假命题.
对于④中,“若a>1且b>1,则a+b>2”的否命题是“若a≤1或b≤1,则a+b≤2”为假命题.
答案:①
三、解答题
6.(10分)(2015·潍坊高二检测)写出命题“若a,b都是奇数,则a+b是偶数”的逆命题,否命题及逆否命题,并判断它们的真假.
【解析】逆命题:若a+b是偶数,则a,b都是奇数,是假命题;
否命题:若a,b不都是奇数,则a+b不是偶数,是假命题;
逆否命题:若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数,是真命题.
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·东营高二检测)命题:若a2+b2=0(a,b∈R),则a=b=0的逆否命题
是 ( )
A.若a≠b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0
B.若a=b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0
C.若a≠0且b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0
D.若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0
【解析】选D.“且”的否定为“或”,因此其逆否命题为“若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0”.
【补偿训练】命题“若函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数,则loga2<0”的逆否命题是 ( )
A.若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数
B.若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数
C.若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是增函数
D.若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是增函数
【解析】选A.命题“若p,则q”的逆否命题为“若q,则p”,“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”,不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数.”
2.(2015·南宁高二检测)已知命题“若ab≤0,则a≤0或b≤0”,则下列结论正确的是 ( )
A.真命题,否命题:“若ab>0,则a>0或b>0”
B.真命题,否命题:“若ab>0,则a>0且b>0”
C.假命题,否命题:“若ab>0,则a>0或b>0”
D.假命题,否命题:“若ab>0,则a>0且b>0”
【解析】选B.逆否命题“若a>0且b>0,则ab>0”,显然为真命题,又原命题与逆否命题等价,故原命题为真命题.否命题为“若ab>0,则a>0且b>0”,故选B.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.在空间中,给出下列两个命题:①若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线;②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.其中逆命题为真命题的是 .
【解析】①的逆命题:若空间四点中任意三点都不共线,则这四点不共面,是假命题;②的逆命题:若两条直线是异面直线,则这两条直线没有公共点,是真命题.
答案:②
4.有下列三个命题,其中真命题是 .
①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;②“相似三角形的周长相等”的逆命题;③“若b≤0,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题.
【解析】①逆命题是:“若x,y互为倒数,则xy=1”,是真命题;②逆命题是:“若两三角形的周长相等,则它们相似”,是假命题;③由b≤0得Δ=4b2-4(b2+b)≥0,所以③是真命题,其逆否命题也是真命题.
答案:①③
三、解答题
5.(10分)(2015·洛阳高二检测)给出命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a-1)x+a2-2≤0的解集不是空集,则a≤3”,判断其逆否命题的真假.
【解析】原命题的逆否命题为:已知a,x为实数,若a>3,则关于x的不等式x2+(2a-1)x+a2-2≤0的解集为空集.
真假判断如下:
因为抛物线y=x2+(2a-1)x+a2-2的开口向上,判别式Δ=(2a-1)2-4(a2-2)=-4a+9,
若a>3,则-4a+9<0,即抛物线y=x2+(2a-1)x+a2-2与x轴无交点.
所以关于x的不等式x2+(2a-1)x+a2-2≤0的解集为空集.
故原命题的逆否命题为真命题.
【补偿训练】(2015·苏州高二检测)在公比为q的等比数列{an}中,前n项的和为Sn,若Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列,则am,am+2,am+1成等差数列.
(1)写出这个命题的逆命题.
(2)判断公比q为何值时,逆命题为真 公比q为何值时,逆命题为假
【解题指南】解答本题首先需根据逆命题的概念正确写出逆命题,然后根据等差数列的性质判断何时为真命题,何时为假命题.
【解析】(1)逆命题:在公比为q的等比数列{an}中,前n项和为Sn,若am,am+2,am+1成等差数列,则Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.
(2)由{an}为等比数列,所以an≠0,q≠0.
由am,am+2,am+1成等差数列,得2am+2=am+am+1,
所以2am·q2=am+am·q,所以2q2-q-1=0.
解得q=-或q=1.
当q=1时,an=a1(n=1,2,…),
所以Sm+2=(m+2)a1,Sm=ma1,Sm+1=(m+1)a1,
因为2(m+2)a1≠ma1+(m+1)a1,
即2Sm+2≠Sm+Sm+1,
所以Sm,Sm+2,Sm+1不成等差数列.
即q=1时,原命题的逆命题为假命题.
当q=-时,2Sm+2=2·,
Sm+1=,Sm=,
所以2Sm+2=Sm+1+Sm,
所以Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.
即q=-时,原命题的逆命题为真命题.
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课堂10分钟达标
1.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为 ( )
A.(±13,0)
B.(0,±10)
C.(0,±13)
D.(0,±)
【解析】选D.由条件知,椭圆的焦点在y轴上,且a=13,b=10,所以c2=a2-b2=169-100=69,所以焦点坐标为(0,±).
2.椭圆+=1与+=1(0A.有相等的长、短轴
B.有相等的焦距
C.有相同的焦点
D.有相等的离心率
【解析】选B.对于椭圆+=1(0c2=(25-k)-(9-k)=16,
焦点在y轴上,所以它们有相等的焦距.
3.椭圆+=1的离心率为,则k的值为 ( )
A.4
B.-
C.4或-
D.不能确定
【解析】选C.当k+8>9时,e2===,k=4.
当k+8<9时,e2===,k=-.
4.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在y轴上,且长轴长为12,离心率为,则椭圆方程为__________.
【解析】因为椭圆的焦点在y轴上,
所以设椭圆的方程为+=1(a>b>0).
由得
由a2=b2+c2,得b2=32.故椭圆的方程为:+=1.
答案:+=1
5.在一椭圆中以焦点F1,F2为直径两端点的圆,恰好过短轴的两顶点,则此椭圆的离心率e等于________.
【解析】由题可知b=c,所以a2=b2+c2=2c2,a=c.
所以e==.
答案:
6.已知F1,F2为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,过F2作椭圆的弦AB,若△AF1B的周长为16,椭圆的离心率e=,求椭圆的方程.
【解析】由题意,得
所以a=4,c=2.
所以b2=a2-c2=4,所求椭圆方程为+=1.
7.【能力挑战题】在△ABC中,AB=BC,cosB=-,若以A,B为焦点的椭圆经过点C,求该椭圆的离心率e.
【解析】如图,设AB=BC=x,
由cosB=-及余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB
=x2+x2+2x2×=x2,所以AC=x.
因为椭圆以A,B为焦点,故2c=AB=x,c=,
又椭圆经过点C,所以AC+BC=x+x=2a,所以2a=x,a=x,所以e==,故该椭圆的离心率是.
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课堂10分钟达标
1.常数函数在任何一点处的切线是 ( )
A.上升的
B.下降的
C.垂直于y轴的
D.以上都有可能
【解析】选C.因为常数函数在任何一点处的导数都为零,所以其切线的斜率等于零,即任何一点处的切线垂直于y轴.
2.下列结论不正确的是 ( )
A.若y=3,则y′=0
B.若y=,则y′=-
C.若y=-,则y′=-
D.若y=3x,则y′=3
【解析】选B.y′=′=()′=-=-.
3.曲线y=x3在x=1处切线的倾斜角为 ( )
A.1
B.-
C.
D.
【解析】选C.因为y=x3,所以y′|x=1=1,所以切线的倾斜角α满足tanα=1,因为0≤α<π,所以α=.
4.曲线y=ex在点(0,1)处的切线方程为 .
【解析】y′=ex,所以曲线y=ex在点(0,1)处切线的斜率k=e0=1,所以切线方程为y-1=x-0即y=x+1.
答案:y=x+1
5.判断下列计算是否正确.
求y=cosx在x=处的导数,过程如下:
y′=′=-sin=-.
【解析】错误.应为y′=-sinx,
所以y′=-sin=-.
6.求下列函数的导数:
(1)y=sin.(2)y=x-1.
【解析】(1)因为函数y=sin=,所以y′=0.
(2)因为函数y=x-1=,所以y′=-.
7.【能力挑战题】求证双曲线y=上任意一点P处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值.
【证明】设双曲线y=上任意一点P(x0,y0),
因为y′=-,
所以点P处的切线方程为y-y0=-(x-x0).
令x=0,得y=y0+=;
令y=0,得x=x0+y0=2x0.
所以三角形的面积=|x|·|y|=2.
所以双曲线y=上任意一点P处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值2.
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课堂10分钟达标
1.抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是 ( )
A.1
B.2
C.4
D.8
【解析】选C.抛物线焦点到准线的距离是p=4.
2.顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线,过点(-1,2),则它的方程是 ( )
A.y=2x2或y2=-4x
B.y2=-4x或x2=2y
C.x2=-y
D.y2=-4x
【解析】选A.当抛物线的焦点在x轴上时,
因为抛物线过点(-1,2),
所以设抛物线的方程为y2=-2px(p>0).
所以22=-2p(-1).所以p=2.所以抛物线的方程为y2=-4x.当抛物线的焦点在y轴上时,
因为抛物线过点(-1,2),所以设抛物线的方程为x2=2py(p>0).
所以(-1)2=2p·2,所以p=.所以抛物线的方程为x2=y.
3.P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点,A,B,P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|,|BB1|,|PP1|,则有 ( )
A.|PP1|=|AA1|+|BB1|
B.|PP1|=|AB|
C.|PP1|>|AB|
D.|PP1|<|AB|
【解析】选B.如图所示,根据题意,PP1恰巧是梯形AA1B1B的中位线,故|PP1|=|AB|.
4.抛物线y2=x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________.
【解析】设抛物线上点的坐标为(x,±),此点到准线的距离为:x+,到顶点的距离为,由题意有x+=,所以x=,所以此点坐标为.
答案:
5.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p=________.
【解析】直线y=x-,故
所以x2-3px+=0,
|AB|=8=x1+x2+p,所以4p=8,p=2.
答案:2
6.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(m,-3)到焦点的距离为5,求m的值、抛物线方程和准线方程.
【解析】方法一:设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则焦点为F.
因为M(m,-3)在抛物线上且|MF|=5,
故
解得
所以抛物线方程为x2=-8y,m=±2,
准线方程为y=2.
方法二:如图所示
设抛物线方程为x2=-2py(p>0),
有焦点F,准线l:y=.
又|MF|=5,由定义知3+=5,所以p=4.
所以抛物线方程为x2=-8y,准线方程为y=2.
由m2=-8×(-3),得m=±2.
【补偿训练】已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点,O为坐标原点.若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线AB的方程.
【解析】由抛物线的性质知A,B关于x轴对称.
设A(x,y),则B(x,-y),焦点为F.
由题意知AF⊥OB,则有·=-1.
所以y2=x,2px=x.
所以x≠0.所以x=.
所以直线AB的方程为x=.
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课时提升作业(十四)
双曲线方程及性质的应用
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.直线l过点(,0)且与双曲线x2-y2=2仅有一个公共点,则这样的直线
有 ( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
【解题指南】先判断点与曲线的位置关系,再结合题意求解.
【解析】选C.点(,0)即为双曲线的右顶点,过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点,另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点,故这样的直线只有3条.
2.(2015·温州高二检测)已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为 ( )
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
【解题指南】中点弦问题,借助点差法求解.
【解析】选B.由c=3,设双曲线方程为-=1,
kAB==1,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则-=1,①
-=1,②
①-②,得-=0,
又N(-12,-15)为AB中点,
所以x1+x2=-24,y1+y2=-30.
所以=.
所以==1.
所以a2=4.
所以双曲线方程为-=1.
3.设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为 ( )
A.
B.
C.2
D.3
【解题指南】用a,b表示|AB|,由|AB|=4a求a,b的等量关系,进而求离心率.
【解析】选B.由题意不妨设l:x=-c,则|AB|=,
又|AB|=2×2a,故b2=2a2,
所以e===.
4.(2015·西安高二检测)过双曲线-=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若=,则双曲线的离心率是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.右顶点为A(a,0),则直线方程为x+y-a=0,可求得直线与两渐近线的交点坐标B,C,则
=,=.
又2=,所以2a=b,所以e=.
5.已知F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点,若的最小值为8a,则双曲线的离心率e的取值范围是 ( )
A.(1,+∞)
B.(1,2]
C.(1,]
D.(1,3]
【解析】选D.依题意知|PF1|-|PF2|=2a,==4a++|PF2|≥8a,当且仅当=|PF2|时等号成立.
此时|PF2|=2a,|PF1|=4a,
因为|PF1|+|PF2|≥2c.
所以6a≥2c,即1【误区警示】本题求解时常常忘记检验双曲线定义满足的条件导致范围扩大.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.直线y=x+4与双曲线x2-y2=1的交点坐标为 .
【解析】联立方程组得消去y得x2-(x+4)2=1,则x=-,代入y=x+4得y=.
故直线y=x+4与双曲线x2-y2=1的交点坐标为.
答案:
【补偿训练】过点(0,1)且斜率为1的直线交双曲线x2-=1于A,B两点,则|AB|= .
【解析】直线为y=x+1,与双曲线联立得得3x2-2x-5=0.
所以x1+x2=,x1x2=-,
所以|AB|=·=.
答案:
7.若直线y=kx与双曲线-=1相交,则k的取值范围为 .
【解题指南】借助双曲线与渐进线的关系,数形结合求解.
【解析】双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,若直线与双曲线相交,数形结合,得k∈.
答案:
8.(2015·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C左支上一点,A,当△APF周长最小时,该三角形的面积为 .
【解题指南】△APF周长最小时,P点是点A与双曲线C:x2-=1的左焦点的连线与双曲线的交点.
【解析】由已知a=1,b=2,c=3,所以F(3,0),F′(-3,0),又A,
所以|AF|==15,△APF周长l=|PA|+|PF|+|AF|,
又|PF|-|PF′|=2,所以|PF|=|PF′|+2,
所以l=|PA|+|PF′|+2+15≥|AF′|+17=32,当且仅当A,P,F′三点共线时,△APF周长最小,如图所示.
设P(x,y),直线AF′的方程为+=1,
联立得
消去x得y2+36y-96=0,
解得y=-8(舍)或y=2,则P(x,2).
因为S△APF=S△AF′F-S△PF′F=×6×6-×6×2=12.
答案:12
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.经过点M(2,2)作直线l交双曲线x2-=1于A,B两点,且M为AB中点.
(1)求直线l的方程.
(2)求线段AB的长.
【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程得-=1,-=1,两式相减得--=0,
(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0.
因为M为AB的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=4,所以4(x1-x2)-(y1-y2)=0,kl==4,所以l的方程为y-2=4(x-2),即y=4x-6.
(2)将y=4x-6代入到x2-=1中得3x2-12x+10=0,故x1+x2=4,x1x2=,所以
|AB|=
=.
【补偿训练】过点P(8,1)的直线与双曲线x2-4y2=4相交于A,B两点,且P是线段AB的中点,求直线AB的方程.
【解析】设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则-4=4,①
-4=4.②
①-②得
(x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0.
因为P是线段AB的中点,
所以x1+x2=16,y1+y2=2.
所以==2.
所以直线AB的斜率为2.
所以直线AB的方程为y-1=2(x-8),
即2x-y-15=0.
10.(2015·大连高二检测)双曲线的两条渐近线的方程为y=±x,且经过点(3,-2).
(1)求双曲线的方程.
(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|.
【解析】(1)因为双曲线的两条渐近线方程为y=±x,
所以可设双曲线的方程为2x2-y2=λ(λ≠0).
又因为双曲线经过点(3,-2),代入方程可得λ=6,
所以所求双曲线的方程为-=1.
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),
过F且倾斜角为60°的直线方程为y=(x-3),
联立
得x2-18x+33=0,
由根与系数的关系得x1+x2=18,x1x2=33,
所以|AB|=|x1-x2|
=·
=2=16,即弦长|AB|=16.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.已知F是双曲线-=1(a>0)的右焦点,O为坐标原点,设P是双曲线C上一点,则∠POF的大小不可能是 ( )
A.15°
B.25°
C.60°
D.165°
【解题指南】先求渐近线的夹角,再借助双曲线与渐近线的关系,数形结合求解.
【解析】选C.双曲线的渐近线方程为y=±x,所以渐近线的倾斜角为30°或
150°,所以∠POF不可能等于60°.
2.(2015·冀州高二检测)过双曲线-=1(a>0)右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同交点,则双曲线离心率的取值范围为 ( )
A.(,5)
B.(,)
C.(1,)
D.(5,5)
【解析】选B.由题意可知,从而4<<9,
所以e=∈(,).
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.已知A(1,2),B(-1,2),动点P满足⊥.若双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点,则双曲线离心率的取值范围是 .
【解题指南】先由直接法确定点P的轨迹(为一个圆),再由渐近线与该轨迹无公共点得到不等关系,进一步列出关于离心率e的不等式进行求解.
【解析】设P(x,y),由题设条件,得动点P的轨迹为(x-1)(x+1)+(y-2)·(y-2)=0(x≠±1),即x2+(y-2)2=1(x≠±1),它是以(0,2)为圆心,1为半径的圆(A,B两点除外).又双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,由题意,可得>1,即>1,所以e=<2,又e>1,故1答案:(1,2)
4.(2014·浙江高考)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>b>0)两条渐近线分别交于点A,B,若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 .
【解题指南】求出A,B的坐标,写出AB中点Q的坐标,因为|PA|=|PB|,所以PQ与已知直线垂直,寻找a与c的关系.
【解析】由双曲线的方程可知,它的渐近线方程为y=x与y=-x,分别与x-3y+m=0(m≠0)联立方程组,解得
A,B,设AB的中点为Q,
则Q,因为|PA|=|PB|,所以PQ与已知直线垂直,所以kPQ=-3,解得2a2=8b2=8(c2-a2),即=,=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.已知双曲线3x2-y2=3,直线l过其右焦点F2,且倾斜角为45°,与双曲线交于A,B两点,试问A,B两点是否位于双曲线的同一支上 并求弦AB的长.
【解析】因为直线l过点F2且倾斜角为45°,
所以直线l的方程为y=x-2.
代入双曲线方程,得2x2+4x-7=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2).
因为x1·x2=-<0,
所以A,B两点分别位于双曲线的左、右两支上.
因为x1+x2=-2,x1·x2=-,
所以|AB|=|x1-x2|
=·
=·=6.
6.(2015·北京高二检测)直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A,B.
(1)求实数k的取值范围.
(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F 若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
【解析】(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后,整理得,
(k2-2)x2+2kx+2=0.①
依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,故
解得k的取值范围是-2(2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则由①式得
②
假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0).
则由FA⊥FB得(x1-c)(x2-c)+y1y2=0,
即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.
整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0.③
把②式及c=代入③式化简得5k2+2k-6=0.
解得k=-或k=(舍去).
可知k=-时使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F.
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课时提升作业(七)
全称量词 存在量词
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2015·太原高二检测)下列命题中,既是真命题又是特称命题的是 ( )
A.存在一个α0,使tan(90°-α0)=tanα0
B.存在实数x0,使sinx0=
C.对一切α,sin(180°-α)=sinα
D.对一切α,β,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
【解析】选A.由命题是特称命题,排除C,D;在A中,当α=45°时,结论正确;B中,>1,所以不存在x0,使sinx0=.
【补偿训练】判断下列命题的真假.
(1)每一个奇数都是素数.
(2)对任意实数a,b,不等式|a|-|b|≤|a-b|成立.
(3)存在两条相交直线垂直于同一个平面.
(4)存在α0∈R,使得sin3α0=3sinα0.
【解析】(1)如9是奇数,但9的约数有1,3,9三个,故9不是素数,所以全称命题“每一个奇数都是素数”是假命题.
(2)对任意实数a,b都满足绝对值不等式的性质,故全称命题“对任意实数a,b,不等式|a|-|b|≤|a-b|成立”是真命题.
(3)由于垂直于同一个平面的两条直线互相平行,因此不存在两条相交直线垂直于同一个平面,所以特称命题“存在两条相交直线垂直于同一个平面”是假命题.
(4)当α0=0时,sin3α0=3sinα0成立,所以特称命题“存在α0∈R,使得
sin3α0=3sinα0”是真命题.
2.已知命题p: x0∈(-∞,0),2x0<3x0,命题q: x∈,cosx<1,则下列命题为真命题的是 ( )
A.p∧q
B.p∨(q)
C.(p)∧q
D.p∧(q)
【解析】选C.当x0<0时,2x0>3x0,
所以不存在x0∈(-∞,0),使得2x0<3x0成立,即p为假命题,显然 x∈,恒有cosx<1,所以命题q为真,所以(p)∧q是真命题.
3.(2015·南昌高二检测)已知命题p: x0∈R,+ax0+a<0,若命题p是假命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.[0,4]
B.(0,4)
C.(-∞,0)∪(4,+∞)
D.(-∞,0]∪[4,+∞)
【解析】选A.因为命题p: x0∈R,+ax0+a<0,命题p是假命题,则p是真命题,即方程x2+ax+a≥0恒成立,所以Δ=a2-4a≤0,解得0≤a≤4.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.下列语句是真命题的是 (填序号).
①所有的实数x都能使x2-3x+6>0成立;②存在一个实数x0,使不等式-3x0+6<0成立;③存在一个实数x0,使-3x0+6=0.
【解析】因为x2-3x+6=0中,Δ=(-3)2-4×6=-15<0,
所以x2-3x+6=0无解,x2-3x+6>0恒成立.
所以①正确,②③错误.
答案:①
5.(2015·无锡高二检测)若 x∈R,f(x)=(a2-1)x是单调减函数,则a的取值范围是 .
【解析】依题意有:
0答案:(-,-1)∪(1,)
【补偿训练】若“ x0∈R,=m”是真命题,则实数m的取值范围是 .
【解析】由于“ x0∈R,=m”是真命题,则实数m的取值集合就是指数函数f(x)=2x的值域,即(0,+∞).
答案:(0,+∞)
三、解答题
6.(10分)已知命题p:“ x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“ x0∈R,+2ax0+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,求实数a的取值范围.
【解析】由“p且q”是真命题,知p为真命题,q也为真命题.
若p为真命题,则a≤x2对于x∈[1,2]恒成立.所以a≤1.
若q为真命题,
则关于x的方程x2+2ax+2-a=0有实根,
所以Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a≥1或a≤-2.
综上,实数a的取值范围为a≤-2或a=1.
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·长沙高二检测)已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c,若x1满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是 ( )
A. x0∈R,f(x0)≤f(x1)
B. x0∈R,f(x0)≥f(x1)
C. x∈R,f(x)≤f(x1)
D. x∈R,f(x)≥f(x1)
【解析】选C.f(x)=ax2+bx+c=a+(a>0),因为2ax1+b=0,所以x1=-.
当x=x1时,函数f(x)取得最小值,
所以 x∈R,f(x)≥f(x1).
从而A,B,D为真命题,C为假命题.
2.下列四个命题中,真命题是 ( )
A. x∈R,x+≥2
B. x0∈R,x0+≥2
C. x0∈R,|x0+1|<0
D. x∈R,|x+1|>0
【解析】选B.当x=-1时,x+=-2,显然x+≥2不成立,故A错.当x=2时,x+=2>2,故B正确,对 x∈R,|x+1|≥0,故C错误,当x=-1时,|x+1|>0不成立,故D错.
【补偿训练】下列命题中真命题为 ( )
A.若sinA=sinB,则∠A=∠B
B. x∈R,都有x2+1>0
C.若lgx2=0,则x=1
D. x0∈Z,使1<4x0<3
【解析】选B.若sinA=sinB,不一定有∠A=∠B,A不正确,B正确;若lgx2=0,则x2=1,x=±1,C不正确,D不正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·山东高考)若“ x∈,tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为 .
【解题指南】本题考查正切函数的性质(单调性和闭区间上的最值).
【解析】由0≤x≤,可得0≤tanx≤1.由tanx≤m恒成立可知m≥1,即最小值是1.
答案:1
【补偿训练】(2015·南京高二检测)若命题“ x0∈R,使得x2+(a-1)x+1≤0”为假命题,则实数a的取值范围是 .
【解析】该命题p的否定是p:“ x∈R,x2+(a-1)x+1>0”,即关于x的一元二次不等式x2+(a-1)x+1>0的解集为R,由于命题p是假命题,所以p是真命题,所以Δ=(a-1)2-4<0,解得-1答案:(-1,3)
4.(2015·天津高二检测)已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2,若同时满足条件:① x∈R,f(x)<0或g(x)<0;② x0∈(-∞,-4),f(x0)g(x0)<0,则m的取值范围是 .
【解题指南】根据全称命题的真假以及函数、不等式的关系,结合条件对参数进行分类讨论,然后求交集即可.
【解析】由g(x)=2x-2<0,可得x<1,当x≥1时,g(x)<0不成立,满足条件①时,要使 x∈R,f(x)<0或g(x)<0,必须使x≥1时,f(x)=m(x-2m)(x+m+3)<0恒成立,
当m=0时,f(x)=m(x-2m)(x+m+3)=0不满足条件,所以二次函数f(x)必须开口向下,也就是m<0,要满足条件,必须使方程f(x)=0的两根2m,-m-3都小于1,即解得m∈(-4,0).
满足条件②时,因为x∈(-∞,-4)时,g(x)<0,所以要使 x0∈(-∞,-4)时,f(x0)g(x0)<0,只要 x0∈(-∞,-4)时,使f(x0)>0即可,只要使-4比2m,-m-3中较小的一个大即可,当m∈(-1,0)时,2m>-m-3,只要-4>-m-3,解得m>1与m∈(-1,0)的交集为空集;当m=-1时,两根为-2,-2>-4,不符合;当m∈(-4,-1)时,2m<-m-3,所以只要-4>2m,所以m∈(-4,-2).
综上所述,m∈(-4,-2)为所求.
答案:(-4,-2)
三、解答题
5.(10分)函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)=f(y)+(x+2y+1)x成立,且f(1)=0.
(1)求f(0)的值.
(2)当f(x)+2【解析】(1)由已知等式f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)·x,
令x=1,y=0,得f(1)-f(0)=2.
又因为f(1)=0,所以f(0)=-2.
(2)由(1)知f(0)=-2,
所以f(x)+2=f(x)-f(0)=f(x+0)-f(0)=(x+1)·x.
因为x∈,所以f(x)+2∈,
要使x∈时f(x)+2显然当a>1时不可能,
所以解得≤a<1.
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课堂10分钟达标
1.已知平面上定点F1,F2及动点M,命题甲:||MF1|-|MF2||=2a(a为常数),命题乙:M点轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,则甲是乙的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.根据双曲线的定义,乙 甲,但甲乙,
只有当2a<|F1F2|且a≠0时,其轨迹才是双曲线.
2.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为 ( )
A.x2-=1
B.-y2=1
C.y2-=1
D.-=1
【解析】选A.因为双曲线的焦点在x轴上,
所以设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).
由题知c=2,所以a2+b2=4.①
又点(2,3)在双曲线上,所以-=1.②
由①②解得a2=1,b2=3,所以所求双曲线的标准方程为x2-=1.
3.若方程-=1表示双曲线,则实数m满足 ( )
A.m≠1且m≠-3
B.m>1
C.m<-或m>
D.-3【解析】选C.因为方程-=1表示双曲线,而m2+1>0恒成立,所以m2-3>0,解得m<-或m>.
4.焦点在坐标轴上,中心在原点,且经过点P(2,3)和Q(-7,-6)的双曲线方程是________.
【解析】设双曲线的方程为mx2-ny2=1(mn>0),把P,Q两点的坐标代入,得
解得所以双曲线的标准方程是-=1.
答案:-=1
5.P是双曲线-=1上一点,F1,F2是双曲线的两个焦点,且|PF1|=17,则|PF2|的值为________.
【解析】在双曲线-=1中,a=8,b=6,故c=10,由P是双曲线上一点得,||PF1|-|PF2||=16,
所以|PF2|=1或|PF2|=33.
又|PF2|≥c-a=2,所以|PF2|=33.
答案:33
6.求与圆A:(x+5)2+y2=49和圆B:(x-5)2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程.
【解析】设点A,B分别为圆A,圆B的圆心,则|PA|-|PB|=7-1=6<10,
所以点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的一支.
设P点的坐标为(x,y).
因为2a=6,c=5,所以b=4.
故点P的轨迹方程是-=1(x>0).
7.【能力挑战题】设双曲线与椭圆+=1有相同的焦点,且与椭圆相交,一个交点A的纵坐标为4,求此双曲线的标准方程.
【解析】方法一:设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),
由题意知c2=36-27=9,c=3.
又点A的纵坐标为4,则横坐标为±,
于是有解得
所以双曲线的标准方程为-=1.
方法二:设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(±,4),
又两焦点分别为F1(0,3),F2(0,-3).
所以2a=|-|
=4,即a=2,b2=c2-a2=9-4=5,
所以双曲线的标准方程为-=1.
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课堂10分钟达标
1.命题“若p,则q”为真命题,则下列命题一定是真命题的是 ( )
A.若p,则q
B.若q,则p
C.若q,则p
D.若q,则p
【解析】选C.若“p,则q”的逆否命题是“若q,则p”,又互为逆否命题的真假性相同.所以“若q,则p”一定是真命题.
2.下列说法中正确的是 ( )
A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真
B.“a>b”与“a+c>b+c”不等价
C.“若a2+b2=0,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b全不为0,则a2+b2≠0”
D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真
【解析】选D.互为逆否关系的命题具有相同的真假性.
3.与命题“能被6整除的整数,一定能被2整除”同真同假的命题是 ( )
A.能被2整除的整数,一定能被6整除
B.不能被6整除的整数,一定不能被2整除
C.不能被6整除的整数,不一定能被2整除
D.不能被2整除的整数,一定不能被6整除
【解析】选D.其同真同假命题为原命题的逆否命题,故选D.
4.“不是等差数列的数列不是常数列”的逆否命题是__________命题(填“真”或“假”).
【解析】命题“不是等差数列的数列不是常数列”的逆否命题为“常数列是等差数列”,是真命题.
答案:真
5.有下列四个命题,其中真命题是________.
①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;②“相似三角形的周长相等”的否命题;③“若b≤0,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题;④“若A∪B=B,则A B”的逆否命题.
【解析】①逆命题是:“若x,y互为倒数,则xy=1”,是真命题;②逆命题是:“若两三角形的周长相等,则它们相似”,是假命题,所以原命题的否命题也是假命题;③由b≤0得Δ=4b2-4(b2+b)≥0,所以原命题是真命题,其逆否命题也是真命题;
④若A∪B=B,则A B,所以原命题是假命题,其逆否命题也是假命题,所以④是假命题.综上可知①③为真命题.
答案:①③
6.设命题p:若m<0,则关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有实根.
(1)写出命题p的逆命题、否命题、逆否命题.
(2)判断命题p及其逆命题、否命题、逆否命题的真假.(直接写出结论)
【解析】(1)p的逆命题:若关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有实根,则m<0.
p的否命题:若m≥0,则关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)无实根.
p的逆否命题:若关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)无实根,则m≥0.
(2)命题p及其逆否命题是真命题,命题p的逆命题和否命题是假命题.
7.【能力挑战题】若a2+b2=c2,求证:a,b,c不可能都是奇数.
【证明】若a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数.
得a2+b2为偶数,而c2为奇数,即a2+b2≠c2,
即原命题的逆否命题为真,故原命题也为真命题.
所以a,b,c不可能都是奇数.
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课后提升作业
二十四
函数的最大(小)值与导数
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2016·衡水高二检测)函数y=x-sinx,x∈的最大值是 ( )
A.π-1
B.-1
C.π
D.π+1
【解析】选C.因为y′=1-cosx,
当x∈时,y′>0,则函数y在区间上为增函数,
所以y的最大值为ymax=π-sinπ=π.
【补偿训练】函数f(x)=x2-lnx的最小值为 ( )
A.
B.1
C.0
D.不存在
【解析】选A.f′(x)=x-=,且x>0.
令f′(x)>0,得x>1;令f′(x)<0,得0所以f(x)在x=1处取得极小值也是最小值,
且f(1)=-ln1=.
2.函数f(x)=2+,x∈(0,5]的最小值为 ( )
A.2
B.3
C.
D.2+
【解析】选B.由f′(x)=-==0,得x=1,
且x∈(0,1)时,f′(x)<0;
x∈(1,5]时,f′(x)>0,
所以x=1时f(x)最小,最小值为f(1)=3.
3.已知函数f(x)=ax-lnx,当x∈(0,e](e为自然常数),函数f(x)的最小值为3,则a的值为 ( )
A.e
B.e2
C.2e
D.2e2
【解析】选B.由f(x)=ax-lnx得f′(x)=a-,
因为x∈(0,e],
所以当a≤时,f(x)在x∈(0,e]是减函数,
最小值为f(e)=ae-1≤0,不满足题意,
当a>,f(x)在是减函数,
是增函数,
所以最小值为f=1+lna=3 a=e2.
【补偿训练】(2015·大庆高二检测)若函数y=x3+x2+m在[-2,1]上的最大值为,则m等于 ( )
A.0
B.1
C.2
D.
【解题指南】先求出函数y=x3+x2+m在[-2,1]上的最大值,再依据题设条件可得到关于m的方程,解方程即得出m的值.
【解析】选C.y′=′
=3x2+3x=3x(x+1).
由y′=0,得x=0或x=-1.
因为f(0)=m,f(-1)=m+.
f(1)=m+,
f(-2)=-8+6+m=m-2,
所以f(1)=m+最大.所以m+=.所以m=2.
4.已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=lnx-ax,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于 ( )
A.
B.
C.
D.1
【解析】选D.因为f(x)是奇函数,
所以f(x)在(0,2)上的最大值为-1.
当x∈(0,2)时,f′(x)=-a,
令f′(x)=0得x=,
又a>,所以0<<2.
当00,f(x)在上单调递增;
当2>x>时,f′(x)<0,f(x)在上单调递减,
所以f(x)max=f=ln-a·=-1,
解得a=1.
5.设函数f(x)=x3--2x+5,若对任意x∈[-1,2],都有f(x)>m,则实数m的取值范围是 ( )
A.m<
B.m<7
C.m<
D.m<
【解析】选D.
f′(x)=3x2-x-2=0,
解得x=1或-,f(-1)=,
f=,
f(1)=,f(2)=7.所以m<.
【规律总结】简化法求最值
(1)求函数的最值,显然求极值是关键的一环.但仅仅是求最值,可用下面简化的方法求得.
①求出导数为零的点.
②比较这些点与端点处函数值的大小,
就可求出函数的最大值和最小值.
(2)若函数在闭区间[a,b]上连续单调,则最大、最小值在端点处取得.
6.(2016·大连高二检测)已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为 ( )
A.37
B.-37
C.5
D.-5
【解析】选B.因为f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),
所以f(x)在(-2,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,
因此,当x=0时,f(x)取得最大值,
即f(0)=m=3,然而f(-2)=-37,f(2)=-5,
因此f(x)min=f(-2)=-37.
7.(2016·武汉高二检测)函数f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是 ( )
A.20
B.18
C.3
D.0
【解析】选A.因为f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),
令f′(x)=0,得x=±1,
所以-1,1为函数的极值点.
又f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,
所以在区间[-3,2]上f(x)max=1,f(x)min=-19.
又由题设知在区间[-3,2]上f(x)max-f(x)min≤t,
从而t≥20,所以t的最小值是20.
8.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且f′(x)<
g′(x),则f(x)-g(x)的最大值为 ( )
A.f(a)-g(a)
B.f(b)-g(b)
C.f(a)-g(b)
D.f(b)-g(a)
【解析】选A.令u(x)=f(x)-g(x),则u′(x)=f′(x)-g′(x)<0,所以u(x)在[a,b]上为减函数,
所以u(x)的最大值为u(a)=f(a)-g(a).
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.函数f(x)=ex(sinx+cosx)在区间上的值域为 .
【解析】因为x∈,所以f′(x)=excosx≥0,
所以f(0)≤f(x)≤f.即≤f(x)≤.
答案:
【误区警示】解答本题易出现如下错误:一是导函数易求错;二是忽略函数的定义域区间.
【补偿训练】函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为 .
【解析】f′(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).
由f′(x)=0得x=3或x=-1.
又f(-4)=k-76,f(3)=k-27,
f(-1)=k+5,f(4)=k-20.
由f(x)max=k+5=10,得k=5,
所以f(x)min=k-76=-71.
答案:-71
10.(2016·沈阳高二检测)已知a≤+lnx对于x∈恒成立,则a的最大值为 .
【解析】设f(x)=+lnx,
则f′(x)=+=,
当x∈时,f′(x)<0,
故函数f(x)在上单调递减;
当x∈(1,2]时,f′(x)>0,
故函数f(x)在(1,2]上单调递增,
所以f(x)min=f(1)=0,
所以a≤0,即a的最大值为0.
答案:0
【规律总结】“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型,对于不能分离参数的恒成立问题,直接求含参函数的最值即可.一般地,可采用分离参数法.
λ≥f(x)恒成立 λ≥[f(x)]max;λ≤f(x)恒成立 λ≤[f(x)]min.
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2016·长沙高二检测)已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.
【解析】f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),
令f′(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).
(1)当a>0时,列表如下:
x
-1
(-1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
+
0
-
f(x)
-7a+b
↗
b
↘
-16a+b
由表可知,当x=0时,f(x)取极大值,
也就是函数在[-1,2]上的最大值,
所以f(0)=3,即b=3.
又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3所以f(2)=-16a+3=-29,所以a=2.
(2)当a<0时,同理可得,
当x=0时,f(x)取极小值,也就是函数在[-1,2]上的最小值,
所以f(0)=-29,即b=-29.
又f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29>f(-1),
所以f(2)=-16a-29=3,
所以a=-2.
综上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29.
【警示误区】分类讨论
由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值的变化.所以解决这类问题常需要分类讨论,并结合不等式的知识进行求解.
12.(2016·黄山高二检测)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.
(1)求f(x)的单调递减区间.
(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
【解题指南】(1)先求出函数f(x)的导函数f′(x),然后令f′(x)<0,解得的区间即为函数f(x)的单调递减区间.
(2)先求出端点的函数值f(-2)与f(2),比较f(2)与f(-2)的大小,然后根据函数f(x)在[-1,2]上单调递增,在[-2,-1]上单调递减,得到f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,建立等式关系求出a,从而求出函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值.
【解析】(1)f′(x)=-3x2+6x+9.
令f′(x)<0,解得x<-1或x>3,
所以函数f(x)的单调递减区间为
(-∞,-1),(3,+∞).
(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,
f(2)=-8+12+18+a=22+a,
所以f(2)>f(-2).
因为在(-1,3)上f′(x)>0,
所以f(x)在[-1,2]上单调递增,
又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减,
因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,
于是有22+a=20,解得a=-2.
故f(x)=-x3+3x2+9x-2,
因此f(-1)=1+3-9-2=-7,
即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.
【能力挑战题】
已知函数f(x)=x2+lnx(a∈R).
(1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值.
(2)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,求a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,f(x)=x2+lnx,
f′(x)=x+=;
对于x∈[1,e],有f′(x)>0,
所以f(x)在区间[1,e]上为增函数,
所以f(x)max=f(e)=1+,
f(x)min=f(1)=.
(2)令g(x)=f(x)-2ax
=x2-2ax+lnx,
在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,等价于g(x)<0在区间(1,+∞)上恒成立,
因为g′(x)=(2a-1)x-2a+
=
=.
①若a>,
令g′(x)=0,得x1=1,x2=,
当x2>x1=1,即在(x2,+∞)上有g′(x)>0,
此时g(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,
当x→+∞时,有x2-2ax→+∞,lnx→+∞,
g(x)∈[g(x2),+∞),不合题意;
当x2≤x1=1,即a≥1时,
同理可知,g(x)在区间(1,+∞)上是增函数,
当x→+∞时,有x2-2ax→+∞,lnx→+∞,
g(x)∈(g(1),+∞),也不合题意.
②若a≤,则2a-1≤0,
此时在区间(1,+∞)上恒有g′(x)<0,
从而g(x)在区间(1,+∞)上是减函数.
要使g(x)<0在此区间上恒成立,
只须满足g(1)=-a-≤0 a≥-,
即-≤a≤.
综上所述,a的取值范围是.
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课后提升作业
二十一
导数的运算法则
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2016·沈阳高二检测)已知f(x)=x-5+3sinx,则f′(x)等于 ( )
A.-5x-6-3cosx
B.x-6+3cosx
C.-5x-6+3cosx
D.x-6-3cosx
【解析】选C.f′(x)=-5x-6+3cosx.
【补偿训练】函数y=xsinx+的导数是 ( )
A.y=sinx+xcosx+
B.y=sinx-xcosx+
C.y=sinx+xcosx-
D.y=sinx-xcosx-
【解析】选A.因为y=xsinx+,
所以y′=′
=′+′
=x′sinx+x·(sinx)′+
=sinx+xcosx+.
2.(2016·临沂高二检测)已知函数f(x)=x2+cosx,f′(x)是函数f(x)的导函数,则f′(x)的图象大致是 ( )
【解析】选A.因为函数f(x)是偶函数,所以其导函数f′(x)=x-sinx是奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除B,D两项,又因为在原点右侧靠近于原点的区间上,sinx>x,所以f′(x)<0,所以靠近于原点的地方在原点的右侧,图象应该落在第四象限,排除C.
3.下列求导运算正确的是 ( )
A.′=1+
B.′=
C.′=3x·log3e
D.′=-2sinx
【解析】选B.因为′=x′+′=1-,所以A选项错误;
又′=,所以选项B正确;
又′=3xln3,所以选项C错误;
又′=(x2)′cosx+x2(cosx)′
=2xcosx-x2sinx,所以选项D错误.
4.已知曲线y=x2-2上一点P,则过点P的切线的倾斜角为 ( )
A.30°
B.45°
C.135°
D.165°
【解析】选B.由y=x2-2,得y′=x,由导数的几何意义知,曲线上过点P的切线的斜率为y′|x=1=1,因此过点P的切线的倾斜角为45°.
5.(2016·太原高二检测)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=
2xf′(e)+lnx,则f′(e)=( )
A.e-1
B.-1
C.-e-1
D.-e
【解析】选C.因为f(x)=2xf′(e)+lnx,
所以f′(x)=2f′(e)+,
所以f′(e)=2f′(e)+,
解得f′(e)=-=-e-1.
6.(2016·银川高二检测)已知曲线y=-3lnx的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为 ( )
A.3
B.2
C.1
D.
【解题指南】解决本题的关键是掌握导数的几何意义,正确求出导函数.
【解析】选A.定义域为,设切点为,
因为f′=y′=x-,
所以f′=x0-=,
解得x0=3或x0=-2(舍去)
【补偿训练】已知函数f(x)=lnx-ax2在点(2,f(2))处的切线的斜率是-,则a= .
【解析】由题意,得f′(x)=-2ax,则由导数的几何意义,知f′(2)=-4a=-,解得a=.
答案:
【误区警示】(1)“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的曲线的切线方程”是不相同的,后者A必为切点,前者未必是切点.(2)曲线在某点处的切线若有且只有一条,曲线过某点的切线往往不止一条,切线与曲线的公共点不一定只有一个.
7.函数f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,则的最小值是 ( )
A.10
B.9
C.8
D.3
【解析】选B.由题f′(x)=2ax+b,
又f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,
所以f′(1)=2a+b=2,所以a+=1,
所以=+==++5≥2+5=9,
当且仅当时“=”成立,
所以的最小值是9.
【补偿训练】设点P是曲线y=x3-x+b(b为实常数)上任意一点,P点处切线的倾斜角为α,则α的取值范围是 ( )
A.
B.
C.∪
D.∪
【解析】选D.y=x3-x+b,
所以y′=3x2-≥-,所以切线斜率k≥-,
所以tanα≥-,倾斜角α的范围为
∪.
8.(2016·聊城高二检测)设f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x),f2(x)=
f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N,则f2015(x)= ( )
A.sinx
B.-sinx
C.cosx
D.-cosx
【解析】选D.f1(x)=(sinx)′=cosx,f2(x)=(cosx)′=-sinx,f3(x)=
(-sinx)′=-cosx,f4(x)=(-cosx)′=sinx,f5(x)=(sinx)′=f1(x),
f6(x)=f2(x),…,fn+4(x)=fn(x),可知周期为4.2015=4×503+3,所以f2015(x)=f3(x)=-cosx.
【延伸探究】若将“f0(x)=sinx”改为“f0(x)=sinx+cosx,其他条件不变,则f2015(x)= .
【解析】f1(x)=f0′(x)=cosx-sinx,f2(x)
=(cosx-sinx)′=-sinx-cosx,
f3(x)=-cosx+sinx,f4(x)=sinx+cosx,以此类推,可得出fn(x)=fn+4(x).2015=4×503+3,
所以f2015(x)=f3(x)=-cosx+sinx.
答案:-cosx+sinx
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2016·南宁高二检测)已知函数f(x)=2lnx+8x,则
的值等于 .
【解析】f(x)=2lnx+8x,
所以f′=+8,
=-2
=-2f′=-20.
答案:-20
10.曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程的一般形式为 .
【解析】利用导数的几何意义求切线的斜率,k=y′|x=0=-5,点斜式写出切线方程y+2=-5x,即5x+y+2=0,所以答案应填:5x+y+2=0.
答案:5x+y+2=0
【补偿训练】(2016·南宁高二检测)曲线y=在点(-1,-1)处的切线方程为 .
【解析】由y=f(x)=得f′(-1)=2,所以所求切线的斜率为2,由点斜式可得y+1=2(x+1),整理得2x-y+1=0.
答案:2x-y+1=0
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.求下列函数的导数.
(1)y=(1-).
(2)y=cost(t为常数).
(3)y=.
【解析】(1)y=(1-)=1-+-1
=-,
故y′=′=′-′
=--.
(2)y=cost=cost=cost,
y′=′=cost.
(3)y==+=+,
y′=′=-.
【补偿训练】求下列函数的导数.
(1)y=.(2)y=(2x2-1)(3x+1).
【解题指南】(1)直接运用′=并令f(x)=ex,g(x)=x,分别求出f′(x),g′(x)代入即可得出所求的结果.
(2)直接运用[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x),并令f(x)=2x2-1,g(x)=3x+1,分别代入公式即得出所求的结果.
【解析】(1)y′=′===.
(2)因为y=(2x2-1)(3x+1)
=6x3+2x2-3x-1,
所以y′=(6x3+2x2-3x-1)′
=(6x3)′+(2x2)′-(3x)′-(1)′=18x2+4x-3.
【误区警示】利用积(或商)的导数运算法则时,注意避免以下错误:
①[f(x)g(x)]′=f′(x)g′(x);
②′=;
③′=.
12.已知函数f(x)=lnx,g(x)=x2+a(a为常数),直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且直线l与函数f(x)的切点的横坐标为1,求直线l的方程及a的值.
【解题指南】解题时应紧扣已知条件“直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切”,挖掘出“直线l在两个函数的切点处的导数值相同”这一隐含条件.
【解析】由f′(x),故直线l的斜率为1,切点为(1,f(1)),即(1,0).
所以l:y=x-1,①
又因为g′(x)|x=1=1,切点为,
所以l:y-=x-1,即y=x-+a②,
比较①和②得-+a=-1,所以a=-.
直线l的方程为y=x-1.
【一题多解】由f′(x),直线l的斜率为1,切点为(1,f(1)),即(1,0).所以l:y=x-1①,
又因为直线l与g(x)的图象相切,
联立方程组得,
消去y得x2-x+a+1=0.
所以Δ=1-2(a+1)=0,即a=-.
【能力挑战题】
若曲线C1:y=x2与曲线C2:y=aex(a>0)存在公共切线,试求a的取值范围.
【解析】y=x2在点的切线斜率为2x,y=aex在点的切线斜率为aex,如果两个曲线存在公共切线,由图象可知,a值越大,y=aex越靠近y轴,不可能有公切线,a值越小,y=aex越远离y轴,有公切线,只有当x2=aex,2x=aex,即x2=2x,求得x=0或2,x=0时,a=0,x=2时,a=最大,又因为a>0,所以a的取值范围为.
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课时提升作业(十三)
双曲线的简单几何性质
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2015·安徽高考)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的
是 ( )
A.x2-=1
B.-y2=1
C.-x2=1
D.y2-=1
【解析】选C.由题意可知选项A,B所表示的双曲线焦点在x轴上,所以A,B不正确;由选项C可知双曲线的渐近线方程为y=±2x,故选C.
2.(2015·海口高二检测)双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m等
于 ( )
A.-
B.-4
C.4
D.
【解析】选A.双曲线方程化为标准形式:
y2-=1,则有:a2=1,b2=-,
由题设条件知,2=,所以m=-.
【误区警示】本题在求解时常常因为忘记参数m的范围导致求解错误.
3.设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为 ( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【解析】选C.双曲线-=1的渐近线方程为3x±ay=0,对比3x±2y=0得a=2.
4.(2015·天津高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆+y2=3相切,则双曲线的方程为 ( )
A.-=1
B.-=1
C.-y2=1
D.x2-=1
【解析】选D.由双曲线的渐近线bx-ay=0与圆(x-2)2+y2=3相切可知=,又因为c==2,所以有a=1,b=,故双曲线的方程为x2-=1.
5.(2014·广东高考)若实数k满足0的 ( )
A.焦距相等
B.实半轴长相等
C.虚半轴长相等
D.离心率相等
【解析】选A.因为0所以曲线-=1与曲线-=1都表示焦点在x轴上的双曲线,且
25≠25-k,9-k≠9,
但a2+b2=34-k,故两双曲线的焦距相等.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2014·四川高考)双曲线-y2=1的离心率等于 .
【解题指南】本题主要考查双曲线的离心率,属于基本题.
【解析】e===.
答案:
7.(2015·北京高考)已知双曲线-y2=1(a>0)的一条渐近线为x+y=0,则a= .
【解题指南】先化成标准方程.当焦点在x轴时渐近线方程为y=±x;当焦点在y轴时,渐近线方程为y=±x.
【解析】双曲线的焦点在x轴上,所以渐近线方程为y=±x.所以=,即a=.
答案:
8.双曲线的离心率为,则双曲线的两条渐近线的夹角为 .
【解析】因为e==,所以=即a=b,
所以双曲线的渐近线方程为y=±x.
所以双曲线两条渐近线的夹角为90°.
答案:90°
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(1)求焦点在x轴上,过点(3,-),离心率为e=的双曲线的标准方程.
(2)求中心在原点,对称轴为坐标轴,一个焦点是(-4,0),一条渐近线是3x-2y=0的双曲线方程及离心率.
【解析】(1)焦点在x轴上,设方程为-=1,
则-=1,①
又e====,
得a2=4b2.②
由①②得a2=1,b2=,得双曲线的标准方程为x2-=1.
(2)因为双曲线的一条渐近线是3x-2y=0,
所以可设双曲线方程为-=λ(λ≠0).
因为其中一个焦点是(-4,0),
所以4λ+9λ=16.
所以λ=.
所以双曲线方程为-=1,离心率e==.
10.双曲线-=1(0【解题指南】写出直线l的方程,由点到直线的距离公式建立a,c的等量关系.
【解析】由l过两点(a,0),(0,b),
设l的方程为bx+ay-ab=0.
由原点到l的距离为c,得=c.
将b=代入,平方后整理,得
16-16×+3=0.令=x,
则16x2-16x+3=0,解得x=或x=.
因为e=,有e=.故e=或e=2.
因为0故e===>,
所以离心率e为2.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·全国卷Ⅱ)已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为 ( )
A.
B.2
C.
D.
【解析】选D.设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),如图所示,
|AB|=|BM|,∠ABM=120°,过点M作MN⊥x轴,垂足为N,
在Rt△BMN中,|BN|=a,|MN|=a,故点M的坐标为M(2a,a),
代入双曲线方程得a2=b2=c2-a2,即c2=2a2,所以e=.
2.(2014·天津高考)已知双曲线-=1的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为 ( )
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
【解析】选A.因为双曲线的一个焦点在直线l上,易知直线l过双曲线左焦点,所以0=-2c+10,即c=5,又因为渐近线平行于直线l:y=2x+10,故有=2,结合c2=a2+b2,得a2=5,b2=20,所以双曲线的标准方程为-=1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·淮南高二检测)已知双曲线-=1(b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,其一条渐近线方程为y=x,点P(,y0)在双曲线上,则·= .
【解析】由渐近线方程为y=x知,=1,
所以b=,
因为点P(,y0)在双曲线上,所以y0=±1,
y0=1时,P(,1),F1(-2,0),F2(2,0),
所以·=0,y0=-1时,P(,-1),·=0.
答案:0
4.(2015·吉林高二检测)已知点F是双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是 .
【解题指南】△ABE是锐角三角形隐含着∠AEF<45°,故由此解题事半功倍.
【解析】△ABE是等腰三角形,AE=BE,所以只需∠AEB为锐角,
所以∠AEF<45°,所以=AF所以e2-e-2<0,所以-1又因为e>1,所以1所以e∈(1,2).
答案:(1,2)
【补偿训练】双曲线+=1的离心率e∈(1,2),则k的取值范围是 .
【解析】双曲线方程可变为-=1,则a2=4,b2=-k,c2=4-k,e==,
又因为e∈(1,2),则1<<2,解得-12答案:(-12,0)
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.设F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,若双曲线上存在点A,使∠F1AF2=
90°且|AF1|=3|AF2|,求双曲线的离心率.
【解题指南】借助直角三角形的边角关系及双曲线的定义建立a,c的等量关系.
【解析】因为AF1⊥AF2,
所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=4c2.①
因为|AF1|=3|AF2|,
所以点A在双曲线的右支上.
则|AF1|-|AF2|=2a,
所以|AF2|=a,|AF1|=3a,代入到①式得(3a)2+a2=4c2,=.
所以e==.
6.中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4,离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程.
(2)若P为这两曲线的一个交点,求△F1PF2的面积.
【解题指南】由P为这两曲线的一个交点,故充分应用两曲线的定义解题是求解本题的关键.
【解析】(1)设椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1(a,b,m,n>0,且a>b),
则
解得a=7,m=3,所以b=6,n=2,
所以椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.
(2)不妨设F1,F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,
所以|PF1|=10,|PF2|=4,
所以cos∠F1PF2==,
所以sin∠F1PF2=.
所以=|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=·10·4·=12.
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课堂10分钟达标
1.直线y=2与抛物线y2=8x的公共点的个数为 ( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个
【解析】选B.直线y=2与抛物线y2=8x的对称轴平行,故直线与抛物线只有一个公共点.
2.抛物线y2=4x上与焦点相距最近的点的坐标是 ( )
A.(0,0)
B.(1,2)
C.(2,1)
D.以上都不是
【解析】选A.抛物线上过焦点的弦中,通径最短,y2=4x的焦点为(1,0).令x=1代入y2=4x中得y=±2,抛物线上的点(1,2)或(1,-2)到焦点的距离为2,而顶点(0,0)到焦点的距离为1,所以抛物线y2=4x上与焦点相距最近的点的坐标是(0,0).
3.过(1,1)作直线与抛物线y2=x只有一个公共点,这样的直线有 ( )
A.4条
B.3条
C.2条
D.1条
【解析】选C.由于点(1,1)在抛物线y2=x上,所以过点(1,1)作与抛物线只有一个公共点的直线,可作2条,一条是与抛物线对称轴平行的直线,另一条是与抛物线相切的直线.
4.已知点P为抛物线y2=2x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A的坐标是,则|PA|+|PM|的最小值是________.
【解析】抛物线y2=2x的焦点为F,点A在抛物线外部,显然P,A,F三点共线时,|PA|+|PM|有最小值,此时|PA|+|PM|=|PA|+|PF|-=|FA|-=.
答案:
5.已知F是抛物线y2=4x的焦点,过点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,设|FA|>|FB|,则=________.
【解析】抛物线y2=4x的焦点F(1,0),过F且斜率为1的直线方程为y=x-1,
设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得x2-6x+1=0,求得x1=3+2,x2=3-2,
故由抛物线的定义可得==3+2.
答案:3+2
6.过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,恰被Q所平分,求AB所在的直线方程.
【解析】方法一:设以Q为中点的弦AB端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),
则有=8x1,①
=8x2, ②
因为Q(4,1)是AB的中点,
所以x1+x2=8,y1+y2=2. ③
①-②,得(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2). ④
将③代入④得y1-y2=4(x1-x2),
即4=,所以AB所在直线的斜率k=4.
所以所求弦AB所在的直线方程为y-1=4(x-4),即4x-y-15=0.
方法二:设弦AB所在直线方程为y=k(x-4)+1.
由消去x,
得ky2-8y-32k+8=0,
此方程的两根就是线段端点A,B两点的纵坐标,由根与系数的关系和中点坐标公式,
得y1+y2=,又y1+y2=2,所以k=4.
所以所求弦AB所在的直线方程为4x-y-15=0.
【补偿训练】已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值.
(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.
【解析】(1)因为直线l的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan60°=.又F,所以直线l的方程为y=.
联立
消去y得x2-5x+=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=5,
而|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p,
所以|AB|=5+3=8.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=x1+x2+3,所以x1+x2=6,于是线段AB的中点M的横坐标是3.
又准线方程是x=-,所以M到准线的距离为3+=.
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课堂10分钟达标
1.下列语句不是命题的是 ( )
A.3是15的约数
B.x2+4x+5>0
C.4不小于2
D.5能被15整除吗
【解析】选D.D是疑问句,不符合命题的定义,不是命题,其余A,B,C均能判断真假,是命题.
2.下列命题是假命题的是 ( )
A.若a>b,则a-c>b-c
B.若a>b>c>0,则<
C.若ac2>bc2,则a>b
D.若a>b,则a2>b2
【解析】选D.由不等式的性质知A,B,C正确,对于D,若a>b,则a2>b2不一定成立,如-1>-2,但(-1)2<(-2)2.
3.下列命题中,是真命题的是 ( )
A.{x∈R|x2+1=0}不是空集
B.若x2=1,则x=1
C.空集是任何集合的真子集
D.x2-5x=0的根是自然数
【解析】选D.A中方程在实数范围内无解,故是假命题;B中若x2=1,则x=±1,故B是假命题;因空集是任何非空集合的真子集,故C是假命题;所以选D.
4.命题“函数y=2x+1是增函数”的条件是________,结论是________.
【解析】若p,则q:若函数是y=2x+1,则它是增函数.
答案:函数是y=2x+1 它是增函数
5.把下面不完整的命题补充完整,并使之成为真命题.
若函数f(x)=log3x的图象与g(x)的图象关于原点对称,则g(x)=__________.
【解析】设g(x)上任意一点坐标为P(x,y),则点P关于原点的对称点坐标为P1(-x,-y),则点P1在函数f(x)=log3x的图象上,即得g(x)=-log3(-x).
答案:-log3(-x)
6.判断下列语句是否是命题,并说明理由.
(1)李华长得很帅.
(2)2030年,人类能登上火星.
(3)1是素数.
(4)若x<0,则x>3.
【解析】(1)“帅”的标准没有明确的定义,何谓“帅”,是无法判断,模棱两可的,故不能判断真假.该语句不是命题.
(2)因为2030年还没有到来,所以该语句现在不能判断真假,但随着科技的进步,将来一定能判断真假,这类语句也能称之为命题.
(3)1既不是素数也不是合数,该语句判断为假,又是陈述句,故是命题.
(4)若x<0,则x>3,该语句是用式子表达的且能判断真假,故是命题.
7.【能力挑战题】判断“函数f(x)=2x-x2有三个零点”是否为命题.若是命题,是真命题还是假命题 说明理由.
【解析】这是一个可以判断真假的陈述句,所以是命题,且是真命题.函数f(x)=2x-x2的零点即方程2x-x2=0的实数根,也就是方程2x=x2的实数根,即函数y=2x,y=x2的图象的交点的横坐标,易知指数函数y=2x的图象与抛物线y=x2有三个交点,所以函数f(x)=2x-x2有三个零点.
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课时提升作业(二十四)
函数的最大(小)值与导数
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2015·绵阳高二检测)设函数f(x)=ax3+3bx(a,b为实数,a<0,b>0),当x∈[0,1]时,有f(x)∈[0,1],则b的最大值是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为f′(x)=3ax2+3b,所以令f′(x)=3ax2+3b=0,可得x=±,①≥1时,f(x)max=f(1)=1,所以b∈,②0<<1,f(x)max=f()=1,
f(1)≥0,所以b∈,所以b的最大值是.
【补偿训练】(2014·塘沽高二检测)函数y=在区间上的最小值为 ( )
A.2
B.e2
C.
D.e
【解析】选D.y′=,令y′=0,得x=1,
故f(x)min=f(1)=e.
2.函数f(x)=lnx-x在区间[0,e]上的最大值为 ( )
A.-1
B.1-e
C.-e
D.0
【解析】选A.令f′(x)=-1=0,解得x=1∈[0,e],
故当x=1时,函数取极大值,也是最大值,
f(x)max=f(1)=0-1=-1.
3.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3时取得极值,则a= ( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选D.f′(x)=3x2+2ax+3,
由题意x=-3是方程3x2+2ax+3=0的根,
故27-6a+3=0,解得a=5.
4.(2015·安庆高二检测)已知函数f(x)=-x3+2ax2+3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5,则在函数f(x)图象上的点(1,f(1))处的切线方程是 ( )
A.3x-15y+4=0
B.15x-3y-2=0
C.15x-3y+2=0
D.3x-y+1=0
【解题指南】首先由导函数的最大值可以求出a值,再求切线方程.
【解析】选B.因为f(x)=-x3+2ax2+3x,
所以f′(x)=-2x2+4ax+3=-2(x-a)2+2a2+3,
因为导数f′(x)的最大值为5,
所以2a2+3=5,因为a>0,所以a=1,
所以f′(1)=5,f(1)=,
所以在函数f(x)图象上的点(1,f(1))处的切线方程是y-=5(x-1),即15x-3y-2=0.
5.(2015·银川高二检测)已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是 ( )
A.-37
B.-29
C.-5
D.以上都不对
【解题指南】利用已知的最大值可以求出m值,再求函数的最小值.
【解析】选A.因为f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),
因此f(x)在(-2,0)上为增函数,在(0,2)上为减函数,
所以当x=0时,f(x)=m最大,
所以m=3,从而f(-2)=-37,f(2)=-5.
所以最小值为-37.
【补偿训练】若函数f(x)=2x2-lnx在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内存在最小值,则实数k的取值范围是 ( )
A.[1,+∞)
B.
C.[1,2)
D.
【解析】选B.因为f(x)的定义域为(0,+∞),
又f′(x)=4x-,由f′(x)=0,得x=.
根据函数在区间(k-1,k+1)内存在最小值,
可得函数在区间内是减函数,在区间内是增函数,
即函数f′(x)在区间内小于零,在区间内大于零.
故有解得1≤k<.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2014·湖州高二检测)当x∈[-1,1]时,函数f(x)=的值域是 .
【解析】f′(x)==,
故当-10,故当x=0时,函数取极小值,也是最小值,f(0)=0,又f(-1)=e,f(1)=.
故函数的值域为[0,e].
答案:[0,e]
7.函数f(x)=ax4-4ax2+b(a>0,1≤x≤2)的最大值为3,最小值为-5.则a= ,b= .
【解析】因为f′(x)=4ax3-8ax=4ax(x2-2),令f′(x)=0,解得x=0,-,.
因为∈[1,2],且当x=时,函数取极小值,
故f()=4a-8a+b=-4a+b=-5,
又f(1)=-3a+b,f(2)=b,a>0,
故f(2)=b=3,故a=2.
答案:2 3
8.若函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为 .
【解析】f′(x)==,当x>时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当-0,f(x)单调递增;当x=时,f(x)==,解得=<1不合题意,
所以f(x)max=f(1)==,所以a=-1.
答案:-1
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.
(1)求f(x)的单调递减区间.
(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
【解析】(1)f′(x)=-3x2+6x+9.
令f′(x)<0,解得x<-1或x>3,
所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)和(3,+∞).
(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,
f(2)=-8+12+18+a=22+a,
所以f(2)>f(-2).
因为在(-1,3)上f′(x)>0,所以f(x)在[-1,2]上单调递增,又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减,
因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,
于是有22+a=20,解得a=-2.
故f(x)=-x3+3x2+9x-2,
因此f(-1)=1+3-9-2=-7,
即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.
【补偿训练】已知函数f(x)=(x2+ax+b)ex在点(0,f(0))处的切线方程是y=-2x+1,其中e是自然对数的底数.
(1)求实数a,b的值.
(2)求函数f(x)在区间[-2,3]上的值域.
【解析】(1)由f(x)=(x2+ax+b)ex,得f′(x)=[x2+(a+2)x+a+b]ex,
因为函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程是y=-2x+1,
所以即解得a=-3,b=1.
(2)由(1)知f(x)=(x2-3x+1)ex,f′(x)=(x2-x-2)ex=(x+1)(x-2)ex,
令f′(x)=0,得x1=-1或x2=2.f(x)与f′(x)的关系如表:
x
-2
(-2,-1)
-1
(-1,2)
2
(2,3)
3
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
11e-2
↗
↘
-e2
↗
e3
由上表可知,函数f(x)在区间[-2,3]上的值域是[-e2,e3].
10.(2015·全国卷Ⅱ)已知f(x)=lnx+a(1-x).
(1)讨论f(x)的单调性.
(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.
【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-a.
若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
若a>0,则当x∈时,f′(x)>0;x∈时,f′(x)<0,
所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;
当a>0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln+a=-lna+a-1.
因此f>2a-2等价于lna+a-1<0,令g(a)=lna+a-1,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0.于是,当01时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.函数y=的最大值为 ( )
A.e-1
B.e
C.e2
D.
【解析】选A.函数的定义域为(0,+∞),
y′=,令y′=0,解得x=e,
易知当x=e时,函数取极大值,同时也是最大值,
故ymax==e-1.
2.(2015·重庆高二检测)函数f(x)=-x3+3x在区间(a2-12,a)上有最小值,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-1,)
B.(-1,2)
C.(-1,2]
D.(1,4)
【解析】选C.由题f′(x)=3-3x2,
令f′(x)>0解得-11,
由此得函数在(-∞,-1)上是减函数,在(-1,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,
故函数在x=-1处取到极小值-2,判断知此极小值必是区间(a2-12,a)上的最小值,
所以a2-12<-1又当x=2时,f(2)=-2,故有a≤2,
综上知a∈(-1,2].
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.定义在R上的可导函数f(x)=x2+2xf′(2)+15,在闭区间[0,m]上有最大值15,最小值-1,则m的取值范围是 .
【解析】函数f(x)=x2+2xf′(2)+15的导函数为f′(x)=2x+2f′(2),
所以f′(2)=4+2f′(2),
所以f′(2)=-4,
所以f(x)=x2-8x+15,且对称轴为x=4.
又因为在闭区间[0,m]上有最大值15,最小值-1,且f(0)=15,f(4)=-1,
所以[0,4] [0,m],且f(m)≤f(0)=15,
所以4≤m≤8.
答案:[4,8]
【补偿训练】(2014·大庆高二检测)已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f′(n)的最小值是 .
【解析】因为f′(x)=-3x2+2ax,
函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,
所以-12+4a=0,解得a=3,
所以f′(x)=-3x2+6x,
所以n∈[-1,1]时,f′(n)=-3n2+6n,当n=-1时,f′(n)最小,最小为-9,
当m∈[-1,1]时,f(m)=-m3+3m2-4,
f′(m)=-3m2+6m,
令f′(m)=0得m=0或m=2(舍去),
所以m=0时,f(m)最小为-4,
故f(m)+f′(n)的最小值为-9+(-4)=-13.
答案:-13
4.(2015·福州高二检测)已知函数f(x)的定义域为[-2,6],x与f(x)部分对应值如表,f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示.给出下列说法:
x
-2
0
5
6
f(x)
3
-2
-2
3
①函数f(x)在(0,3)上是增函数;
②曲线y=f(x)在x=4处的切线可能与y轴垂直;
③如果当x∈[-2,t]时,f(x)的最小值是-2,那么t的最大值为5;
④ x1,x2∈[-2,6],都有|f(x1)-f(x2)|≤a恒成立,则实数a的最小值是5.正确的个数是 .
【解析】由图象得:
x∈[-2,0]时,f′(x)<0,f(x)递减,-2≤f(x)≤3,
x∈(0,3)时,f′(x)>0,f(x)递增,f(x)>-2,
x∈(3,5)时,f′(x)<0,f(x)递减,f(x)>-2,
x∈[5,6]时,f′(x)>0,f(x)递增,-2≤f(x)≤3,
故①③④正确,②错误.
答案:3
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.已知M(-1,m),N(2,n)是二次函数f(x)=ax2(a>0)图象上两点,且MN=3.
(1)求a的值.
(2)求f(x)的图象在N点处切线的方程.
(3)设直线x=t与f(x)和曲线y=lnx的图象分别交于点P,Q,求PQ的最小值.
【解析】(1)由题意得:
解得a=1.
(2)由(1)可得:f(x)=x2,N(2,4),
所以f′(x)=2x,则f(x)的图象在N点处切线的斜率为4,
所以f(x)的图象在N点处的切线方程为y=4x-4,
(3)由题意可得:PQ=|t2-lnt|,t>0,
令g(t)=t2-lnt,t>0,
g′(t)=2t-=,t>0,
所以当t∈时,g′(t)<0,g(t)单调递减;
当t∈时,g′(t)>0,g(t)单调递增.
所以g(t)≥g=+ln2.
所以PQ的最小值为+ln2.
6.(2015·浙江高考)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).
(1)当b=+1时,求函数f(x)在[-1,1]上的最小值g(a)的表达式.
(2)已知函数f(x)在[-1,1]上存在零点,0≤b-2a≤1,求b的取值范围.
【解析】(1)当b=+1时,f(x)=+1,故其对称轴为x=-.
当a≤-2时,g(a)=f(1)=+a+2,
当-2当a>2时,g(a)=f(-1)=-a+2.
综上,g(a)=
(2)设s,t为方程f(x)=0的解,且-1≤t≤1,
则
由于0≤b-2a≤1,因此≤s≤(-1≤t≤1),
当0≤t≤1时,≤b≤,由于-≤≤0和-≤≤9-4,
所以-≤b≤9-4,
当-1≤t≤0时,≤b≤,
由于-2≤<0和-3≤<0,所以-3≤b<0
综上可知,b的取值范围是.
【补偿训练】已知g(x)=ex-x.
(1)求g(x)的最小值.
(2)若存在x∈(0,+∞),使不等式>x成立,求m的取值范围.
【解析】(1)因为g′(x)=ex-1,
由g′(x)=0,得x=0,
所以当x<0时,g′(x)<0,g(x)在(-∞,0)上为减函数,
当x>0时,g′(x)>0,g(x)在(0,+∞)上为增函数,
所以g(x)在x=0时有最小值g(0)=1.
(2)>x 2x-m>xg(x)
(因为g(x)=ex-x>0) 2x-m>xex-x2 m令h(x)=x2+2x-xex(x>0),
则h′(x)=2x+2-ex-xex=x(2-ex)+(2-ex)
=-(x+1)(ex-2),
所以当x>ln2时,h′(x)<0,当00,
所以h(x)max=h(ln2)=ln22,
要想存在正数x,使m所以所求的m的取值范围是m关闭Word文档返回原板块
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课后提升作业
六
简单的逻辑联结词
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.命题“2是3的约数或2是4的约数”中,使用的逻辑联结词的情况是 ( )
A.没有使用逻辑联结词
B.使用了逻辑联结词“且”
C.使用了逻辑联结词“或”
D.使用了逻辑联结词“非”
【解析】选C.命题可改写为“2是3的约数或是4的约数”.
2.(2016·厦门高二检测)命题“方程x2-4=0的解是x=±2”中,使用的逻辑联结词的情况是 ( )
A.没有使用联结词
B.使用了逻辑联结词“或”
C.使用了逻辑联结词“且”
D.使用了逻辑联结词“非”
【解析】选A.注意到虽然x=±2是x=2或x=-2的意思,但是“方程x2-4=0的解是x=±2”是一个命题,不是由“或”联结的命题,故没有使用逻辑联结词.
3.对于命题p和q,若p∧q为真命题,则下列四个命题:
①p∨q是真命题;②p∨﹁q是假命题;
③﹁p∧﹁q是假命题;④﹁p∨q是假命题.
其中真命题是 ( )
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
【解析】选C.因为p∧q为真,所以p与q都为真,所以﹁p∧﹁q为假,p∨q为真,所以只有①③正确.
4.命题p:“方程x2+2x+a=0有实数根”;命题q:“函数f(x)=(a2-a)x是增函数”,若“p∧q”为假命题,且“p∨q”为真命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.a>0
B.a≥0
C.a>1
D.a≥1
【解析】选B.当p真时,Δ=4-4a≥0,解得a≤1.当q真时,a2-a>0,解得a<0或a>1.
因为p∧q为假命题,p∨q为真命题,
所以p,q中一真一假.
(1)当p真q假时,得0≤a≤1.
(2)当p假q真时得a>1,
由(1)(2)得所求a的取值范围是a≥0,故选B.
5.命题p:函数y=loga(ax+2a)(a>0且a≠1)的图象必过定点(-1,1);命题q:如果函数y=f(x)的图象关于(3,0)对称,那么函数y=f(x-3)的图象关于原点对称,则有 ( )
A.“p且q”为真
B.“p或q”为假
C.p真q假
D.p假q真
【解题指南】首先验证命题p,q,然后再根据选项作出判断.
【解析】选C.由于将点(-1,1)代入y=loga(ax+2a)成立,故p真;由y=f(x)的图象关于(3,0)对称,知y=f(x-3)的图象关于(6,0)对称,故q假.
【补偿训练】若命题p:2m-1(m∈Z)是奇数;命题q:2m+1(m∈Z)是偶数,则下列说法正确的是 ( )
A.p∨q为真
B.p∧q为真
C.﹁p为真
D.﹁q为假
【解析】选A.命题p:“2m-1(m∈Z)是奇数”是真命题,而命题q:“2m+1(m∈Z)是偶数”是假命题,所以p∨q为真.
6.(2014·重庆高考)已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0;q:x>1是x>2的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是 ( )
A.p∧q
B.﹁p∧﹁q
C.﹁p∧q
D.p∧﹁q
【解析】选D.易知命题p为真命题,因为x>1无法推出x>2成立,所以命题q为假命题,故p∧q为假命题,﹁p∧﹁q为假命题,﹁p∧q为假命题,p∧﹁q为真命题.
【补偿训练】(2016·合肥高二检测)“p∨q是真命题”是“﹁p为假命题”的
( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.①p∨q是真命题p为真命题或q为真命题,不能得出﹁p是假命题,即p∨q是真命题不能得出﹁p是假命题;②﹁p是假命题p是真命题p∨q是真命题.由①②可知“p∨q是真命题”是“﹁p为假命题”的必要不充分条件.
7.(2016·武汉高二检测)在一次跳高比赛前,甲、乙两名运动员各试跳了一次,设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”,命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”,则命题(﹁p)∨(﹁q)表示 ( )
A.甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米
B.甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米
C.甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米
D.甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米
【解析】选D.﹁p表示“甲的试跳成绩不超过2米”,﹁q表示“乙的试跳成绩不超过2米”,故(﹁p)∨(﹁q)表示“甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米”.
8.(2016·衡阳高二检测)命题:关于x的方程x2+ax+2=0无实根,命题q:函数f(x)=logax在(0,+∞)上单调递增,若“p∧q”为假命题,“p∨q”真命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-2,1]∪[2,+∞)
B.(-2,2)
C.(-2,+∞)
D.(-∞,2)
【解题指南】(1)根据方程x2+ax+2=0无实根,判别式Δ<0,求出a的取值范围,得命题p成立的条件.
(2)根据函数f(x)=logax在(0,+∞)上单调递增,求出a的取值范围,得命题q成立的条件.
(3)由“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题知p与q一真一假,因此分类讨论,求出a的取值范围.
【解析】选A.因为方程x2+ax+2=0无实根,
所以Δ=a2-8<0,
所以-2所以p:-2因为函数f(x)=logax在(0,+∞)上单调递增,所以a>1.
所以q:a>1.
因为p∧q为假,p∨q为真,
所以p与q一真一假.
当p真q假时,-2当p假q真时,a≥2.
综上可知,实数a的取值范围为(-2,1]∪
[2,+∞).
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.命题p:{2}∈{2,3},q:{2} {2,3},则下列对命题的判断,正确的是________(填上所有正确的序号).
①p或q为真;②p或q为假;③p且q为真;④p且q为假;⑤非p为真;⑥非q为假.
【解析】由题可知p为假,q为真,所以p或q为真,p且q为假,非p为真,非q为假.
答案:①④⑤⑥
10.(2016·营口高二检测)设命题p:a20,命题p∧q为假,p∨q为真,则实数a的取值范围是______.
【解析】由a20恒成立知Δ=16a2-4<0,所以-答案:-