(共18张PPT)
北师大版
初中数学
七年级下册
第一章
第五节
平方差公式
小明家刚买了新房子，小明问爸爸新房子有多大，爸爸说房子东西长10.2米，南北长9.8米。爸爸话音刚落，小明就说出了房子的面积是99.96米。爸爸很惊讶！问小明怎么算得那么快？小明笑着说，我们数学课上刚学过。
同学们想知道其中的道理吗？
知识回顾
1、多项式乘多项式法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
（m+b)(n+a)=mn+ma+bn+ba
2、两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？请你举例说明。
探究规律
计算下列各题：
（1）(x+2)(x－2)
（2）(1+3a)(1－3a)
（3）(x+5y)(x－5y)
（4）(2y+z)(2y－z)
观察以上算式及其运算结果，
你有什么发现？
再举两例验证你的发现。
平方差公式：
(a+b)(a b)＝a2 b2
=x2-4
=1-9a2
=x2-25y2
=4y2-z2
初
识
平
方
差
公
式
(a+b)(a b)=a2 b2
(1)公式左边两个二项式必须是
相同两数的和与差相乘；
且左边两括号内的第一项相等、
第二项符号相反[互为相反数(式)];
(2)公式右边是这两个数的平方差；
即右边是左边括号内的第一项的平方
减去第二项的平方.
(3)
公式中的
a和b
可以代表数，
也可以是代数式．
特征
结构
例题解析
学一学
例1
利用平方差公式计算：
(1)
(5+6x)(5 6x)；(2)
(x+2y)(x 2y);
解:
(1)
(5+6x)(5 6x)=
5
5
第一数a
52
平方
6x
6x
第二数b
平方
要用括号把这个数整个括起来，
注意
当“第一(二)数”是一分数或是数与字母的乘积时,
再平方;
(
)2
6x
=
25
最后的结果又要去掉括号。
36x2
;
(2)
(x+2y)
(x 2y)
=
x
x
x2
(
)2
2y
2y
2y
=
x2
4y2
;
(1)
(a+b)( a b)
；
(2)
(a b)(b a)
;
(3)
(a+2b)(2b+a);
(4)
(a b)(a+b)
;
(5)
( 2x+y)(y 2x).
(不能)
小试牛刀
下列式子可用平方差公式计算吗
为什么
如果能够，怎样计算
(第一个数不完全一样
)
(不能)
(不能)
(能)
(a2
b2)=
a2
+
b2
;
(不能)
练一练
判断下面计算是否正确
（1）
（
）
（2）(3x－y)(－3x+y)=9x2－y2
（
）
（3）(m+n)(－m－n)=m2－n2
（
)
×
×
×
随堂练习
(1)(a+2)(a 2)；
(2)(3a
+2b)(3a 2b)
;
1、计算：
(3)( x+1)( x 1);
(4)( 4k+3)( 4k 3)
.
例2
利用平方差公式计算：
（1）
（2）(-ab
+8
)(-ab
－8)
练一练
利用平方差公式计算：
（1）
（2）(－mn+3)(－mn－3)
（3）
(an+b)(an b)
想一想
(a b)( a b)=？你是怎样做的？
计算
1、
(5m－n)(－5m－n)
2、(a+b)(a－b)(a2+b2)
小明家刚买了新房子，小明问爸爸新房子有多大，爸爸说房子东西长10.2米，南北长9.8米。爸爸话音刚落，小明就说出了房子的面积是99.96米。爸爸很惊讶！问小明怎么算得那么快？小明笑着说，我们数学课上刚学过。
同学们想知道其中的道理吗？
学以致用
(10+0.2)(10-0.2)=102-0.04=100-0.04=99.96
自我检测
利用平方差公式计算：
（1）(－x－1)(1－x)
（2）(0.3x+2y)(0.3x－2y)
（3）
课堂小结
分享你的收获，
交流你的困惑。
试用语言表述平方差公式
(a+b)(a b)=a2 b2。
应用平方差公式
时要注意一些什么？
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
变成公式标准形式后，再用公式。
或提取两“ ”号中的“ ”号，
运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，
找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式；
要利用加法交换律，
对于不符合平方差公式标准形式者，
作业
1.
必做题：教材习题1.9
2.
选做题：
你能用图形来验证平方差公吗？
制作单位：
七
中
录制时间：
2017年3月课后反思
平方差公式是特殊形式的多项式与多项式相乘的一种简便计算，它在代数运算和恒等变形中有广泛地应用.运用平方差公式计算一定要看是否符合公式的特征：(a－b)(a+b)=a2－b2，公式中的字母a，b不仅可以代表具体的数字，字母
，单项式，也可以代表多项式.引导学生经历探索平方差公式的过程，指导学生发现公式的特点：
1、左边为两数的和乘以两数的差，即在左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，右边为这两个数的平方差.
公式中的a,b不仅可以表示具体的数字，还可以是单项式，多项式等代数式.
提醒学生利用平方公式计算，首先观察是否符合公式的特点，公式中的a和b分别是什么，注意负号和括号等细节.本节课从复习旧知识入手，在教学设计时提供充分探索与交流的空间，使学生进一步经历观察，实验、猜测、推理、交流、反思等活动，培养学生类比的思想方法，让学生学会一些探究的基本方法与思路，并体会到数学教材的在内容安排上螺旋上升的特点.采用合作学习、组内交流的学习方式，让学生自己当老师，一方面让其他学生容易接受，另一方面可增强学生的自信心和学习数学的兴趣，让学生在探究中，经历知识产生发展的过程，体会“做数学”的乐趣.一、独学：计算下列各题：
（1）(x+2)(x－2)
（2）(1+3a)(1－3a)
（3）(x+5y)(x－5y)
（4）(2y+z)(2y－z)
观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？再举两例验证你的发现。
二、学习新知
例题：利用平方差公式计算：
（1）(5+6x)(5－6x)
（2）
(a+2)(a－2)
（3）
(x－2y)(x+2y)
(4)
(3a+2b)(3a－2b)
二对学
1、
小试牛刀下列式子可用平方差公式计算吗
为什么
如果能够，怎样计算
1)
(a+b)(a b)
；
(2)
(a b)(b a)
;
(3)
(a+2b)(2b+a);
(4)
(a b)(a+b)
;
(5)
(2x+y)(y 2x).
2、判断正误
(
1)
=
(
)
（2）(3x－y)(－3x+y)=9x2－y2
（
）
（3）(m+n)(－m－n)=m2－n2
（
)
3、随堂练习
1)(a+2)(a 2)；
(2)(3a
+2b)(3a 2b)
;
(3)( x+1)( x 1)
;
(4)( 4k+3)( 4k 3)
.
探究二例题：利用平方差公式计算：
（1）(-m+
n
)(-m
－
n)
（2）
（1）（2）(－mn+3)(－mn－3)
三、拓展提升
议一议
(a b)( a b)=？你是怎样做的？
1、
(5m－n)(－5m－n)
2、
(a+b)(a－b)(a2+b2)
当堂检测
（1）(－x－1)(1－x)
（2）(0.3x+2y)(0.3x－2y)
（3）1.5
平方差公式（第1课时）
课时安排说明:
《平方差公式》共分两课时，第一课时，主要是利用多项式乘法法则推导平方差公式，运用公式进行计算；第二课时，主要是了解平方差公式的几何背景，运用公式进行稍复杂的计算和数的简便运算.
学生起点分析
学生的知识技能基础：七年级上册，学生已经学过数的运算、字母表示数等内容，具备类比数的运算得到式的运算知识基础和基本方法.本章前面幂的运算、整式乘法等知识的学习，为本节课奠定了基础，提供可供类比得到新知识的方法.
学生活动经验基础：学生在七年级上学期，已经经历具体问题符号化的过程，积累自主探究、合作学习的经验，培养了一定的符号感和推理能力.同时在整式运算等相关知识的学习过程中，学生经历了许多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识和从具体问题情境中抽象出数量关系和变化规律的能力.但学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、数学符号化能力有限，理解平方差公式的推导过程和结构特点可能会有一定困难.所以教学中应尽可能多地让学生动手操作，突出平方差公式的探索过程，自主探索出平方差公式的基本形式，并用语言表述其结构特征，进一步发展学生的合情推理能力和合作学习能力.
教学任务分析
学生已经学过“有理数及运算”“字母表示数”“合并同类项”“去括号”“整式乘法”等内容，经历了实际问题符号化的过程，具有一定的符号感.平方差公式是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，让学生经历从一般到特殊的过程.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便运算，而且为后续的因式分解、分式运算、解一元二次方程等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.基于此教材提出了本节课的具体学习任务：经历探索平方差公式的过程，了解公式的几何背景，并能运用平方差公式，进行简单的计算，以及实际问题的解决.本节课的教学目标是：
1.知识与技能：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算，进一步发展符号感和推理能力.
2.过程与方法：通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用.在平方差公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力.
3.情感与态度：在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心.
教学过程设计
基于对教材以及教学任务的分析，本节课设计了六个教学环节：1、复习旧知、引入新课；2、探究规律、发现结论；3、典例分析、巩固提高；4、观察思考、拓展延伸；5、当堂达标、自我检测；6、课堂小结、布置作业.
第一环节
复习旧知、引入新课
活动内容：回顾整式乘法中多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.符号表示：（m+b)(n+a)=
mn+ma+bn+ba
两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？请你举例说明
活动目的：平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，它的得出可以直接利用多项式乘以多项式法则，设计这一环节的目的，是在复习上节课知识的基础上，为本节课的学习做好知识准备.
实际教学效果：在复习过程中，学生从知识和心理等方面，做好探究新知识的准备，从而为本节课平方差的探究学习奠定了基础.第2题是上节课的预习作业的一部分，可以让学生将举的例子写在黑板上，与下一环节结合使用.
第二环节
探究规律、发现结论
活动内容：
1.提出问题
计算下列各题
（x+2）（x－2）；
（2）（1+3a）（1－3a）
（3）
（x+5y）（x－5y）；（4）（2y+z）（2y－z）
观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？
活动目的：在上一环节的基础上，引入形式特殊的多项式乘以多项式，使学生在计算过程中发现规律，体会规律的一般性，提出自己的猜想，并尝试用数学语言进行描述.
实际教学效果：问题提出后，学生能够主动地去寻找解决问题的方法.利用多项式与多项式的乘法法则展开后，中间两项是同类项，且系数互为相反数，所以和为零，只剩下这两个数的平方差了.观察学生所列的以及这四个算式的特征，初步得到猜想，总结规律.
活动内容：
2.验证猜想
类比活动一中归纳的规律，学生自己再举一些类似的多项式相乘的情形，并计算验证自己的猜想.
活动目的：在“活动1”中，学生通过计算能够初步感受结果的“平方差”形式，但仅仅这样就总结、得到结论，部分学生难免心存疑惑，因此让学生再次举例验证.学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件.这样就让学生经历从特殊到一般的探究结论的过程，从而验证猜想，得到规律.
实际教学效果：预习作业中学生举例主要是从结果为两项的角度出发，这里的举例学生需要同时考虑公式两边的特征.在这一活动中让学生充分经历“观察——猜想——验证”的过程，学生举的例子可能涉及以下形式：
1、
（－x+y）（－x－y）
2、
（ab+c）（ab－c）
3、
教师安排学生合作学习，分组验证，经历平方差公式推导归纳的过程，从而突出了本节课的重点，得到平方差公式：
(a+b)(a b)＝a2 b2
两数和与两数差的积，等于它们的平方差.
第三环节
典例分析、巩固提高
活动内容：
巩固练习
判断下面计算是否正确
（1）=
（
）
（2）（3x－y）（－3x+y）=9x2－y2
（
）
（3）（m+n）（－m－n）=m2－n2
（
）
活动目的：通过判断题的设计，让学生进一步加深对平方差公式形式的理解.
实际教学效果：学生在平方差公式的基础上，结合判断题的题样，重新审视平方差公式，进一步理解如何确定平方差公式中的a和b.
活动内容：
例1
利用平方差公式计算：
（5+6x）（5－6x）；
（2）（x－2y）（x+2y）
（－m+n）（－m－n）
巩固练习
利用平方差公式计算：
（1）
（a+2）（a－2）；
（2）（3a+2b）（3a－2b）
活动目的：在深刻理解公式的基础上，借助例题训练学生正确应用公式计算，体会公式在简化运算中的作用，并通过巩固练习，进一步强化技能.
实际教学效果：此环节的设计注意层次的递进，符合学生的认知过程.在计算过程中，让学生分析公式中的a和b，相对应本题中的哪部分，有意识地培养他们有条理的思考和语言表达能力.
活动内容：
例2
利用平方差公式计算：
；
（2）（ab+8）（ab－8）
巩固练习
利用平方差公式计算：
（1）；
（2）（－mn+3）（－mn－3）
活动目的：例2是对例1内容的拓展与延伸，使学生从不同的角度来认识平方差公式，从符合平方差公式运算的不同形式的多项式相乘中，确定平方差公式中的a和b，巩固平方差公式，进一步体字母a、b可以是数，也可以是整式，加深对字母含义广泛性的理解.
实际教学效果：例2中的第1题和巩固练习中的第1题，学生在确定公式中a和b时，有一定难度，教师应引导学生仔细观察题目，分析题目当中谁相当于公式当中的a与b，同时提醒学生，不要漏掉负号和括号，帮助学生突破难点.
第四环节
观察思考、拓展延伸
活动内容：
想一想
（a b）（－a b）=？你是怎样做的？
练一练
计算
1、（5m－n）（－5m－n）
2、（a+b）（a－b）（a2+b2）
活动目的：“想一想”目的，是让学生体会平方差公式和多项式乘法之间的关系，可以利用整式乘法解决，也可以利用平方差公式，体会新、旧知识之间的联系，并通过“练一练”，进一步感受平方差公式在简化计算中的优越性.
实际教学效果：学生在处理“想一想”时，部分学生可能没看出可应用平方差公式，从而采用多项式乘多项式计算，教师应给与肯定.通过不同方法在黑板的展示，让学生自己经历选择方法的过程，加深对平方差公式的理解和应用.
第五环节
当堂达标、自我检测
活动内容：
利用平方差公式计算：
（－x－1）（1－x）
（0.3x+2y）（0.3x－2y）
活动目的：为学生提供自我检测的机会，教师针对学生反馈情况，及时调整授课，查漏补缺.
第六环节
课堂小结、布置作业
活动内容：
1.平方差公式：（a+b）（a－b）=a2－b2
公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；
右边是两数的平方差.
应用平方差公式的注意事项：
1）注意平方差公式的适用范围
2）字母a、b可以是数，也可以是整式
3）注意计算过程中的符号和括号
活动目的：通过课堂小结对课堂知识点的回顾，让学生分享自己在学习过程中，遇到的挫折以及积累的经验，提出自己存在的困惑，大家一起解决，从而达到巩固所学知识目的.
布置作业
1.
必做题：教材习题1.9
2.
选做题：你能用图形来验证平方差公式吗？
教学设计反思
平方差公式是特殊形式的多项式与多项式相乘的一种简便计算，它在代数运算和恒等变形中有广泛地应用.运用平方差公式计算一定要看是否符合公式的特征：(a－b)(a+b)=a2－b2，公式中的字母a，b不仅可以代表具体的数字，字母
，单项式，也可以代表多项式.引导学生经历探索平方差公式的过程，指导学生发现公式的特点：
左边为两数的和乘以两数的差，即在左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，右边为这两个数的平方差.
公式中的a,b不仅可以表示具体的数字，还可以是单项式，多项式等代数式.
提醒学生利用平方公式计算，首先观察是否符合公式的特点，公式中的a和b分别是什么，注意负号和括号等细节.本节课从复习旧知识入手，在教学设计时提供充分探索与交流的空间，使学生进一步经历观察，实验、猜测、推理、交流、反思等活动，培养学生类比的思想方法，让学生学会一些探究的基本方法与思路，并体会到数学教材的在内容安排上螺旋上升的特点.采用合作学习、组内交流的学习方式，让学生自己当老师，一方面让其他学生容易接受，另一方面可增强学生的自信心和学习数学的兴趣，让学生在探究中，经历知识产生发展的过程，体会“做数学”的乐趣.教材分析
（1） 教材的地位和作用
平方差公式是多项式乘法的后续学习及再创造活动的结果，体现教材从一般——特殊的意图，教材为学生在数学活动
( http: / / www.21cnjy.com"
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"欢迎登陆21世纪教育网 )中“获得数学”的思想方法、能力素质提供了良好的契机，是学生感受数学再创造的好素材，同时对平方差公式在整式乘法、因式分解及其代数运算中起着举足轻重的作用，是今后学习的坚实基础。
（2） 教学目标
知识与技能：
理解和掌握平方差公式，并能灵活运用公式进行简单运算。
过程与方法：
经历平方差公式的探索，体会观察发现—归纳验证—应用拓展这一数学方法，培养学生分析、归纳能力。
情感态度与价值观：
感悟具体到抽象的探究方法（一般到特殊）；通过几何验证感知数形结合思想。在应用中，激发学生学习兴趣和信心。
（3） 教学重点、难点
教学重点：理解、掌握平方差公式并能正确运用公式。
教学难点：明确公式的结构特征及对公式的变式运用。
