(共18张PPT)
北师大版七年级数学下册第一章
两个班原来都有一
块边长为a米
的正方形卫生区
咦，你们两个人的要求不是一样的吗？
6班要求再增加一块边长为b米的正方形卫生区。
5班要求将原卫生区的边长增加b米,扩充为一个边长为（a+b)米的大正方形。
1
“引”公式，激情引趣
6班
5班
a2+b2
(a+b)2
≠
1
“引”公式，激情引趣
b
a
b
a
b
a
b
a
法1
利用多项式乘法
(a+b)2=(a+b)(a+b)
=a2+ab+ba+
b2
=a2+2ab+b2
2
“证”公式，以形推数
a
b
b
a
=
+
+
(a+b)2
=
+
+
a2
2ab
b2
2
“证”公式，以形推数
法2
利用“数形结合”
完全平方和公式
(a+b)2=a2+2ab+b2
两数和的平方，等于这两数的平方和，
加上这两数积的2倍。
a
b
b
合作交流，探求新知
2
http://cweihua.blog.
利用数形结合
法3
2
“证”公式，以形推数
利用多项式乘法
(a-b)
=(a-b)(a-b)
法1
2
利用化归思想
(a-b)
=[a+(-b)]
法2
2
2
合作交流，探求新知
http://cweihua.blog.
2
“证”公式，以形推数
（a－b）2=a2
－
2ab
＋
b2
两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍。
完全平方差公式
(a+b)
=a
+2ab+b
(a-
b)
=a
-2ab+b
2
2
2
2
2
2
http://cweihua.blog.
两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。
3
“说”公式，提炼提升
两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍。
记忆口诀：首平方，尾平方，两倍乘积中间放，中间符号看前方.
公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式。
解：
(1)
(5m+n)2=
=x2
例1
(1)
(5m+n)2
(2)
(3x-0.5)2
(5m)2
+2 (5m)
n
+n2
-4xy
+4y2
4
“练”公式，学以致用
(3x-0.5)2=(3x)2-2 3x 0.5+0.52
=25m2+10mn+n2
=9x2-3x+0.25
纠
错
练
习
指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1)
(2a 1)2＝2a2 2a+1;
(2)
(2a+1)2＝4a2
+1；
解:
(1)
第一数平方时,
未添括号;
第一数与第二数乘积的2倍
少乘了一个2
;
应改为:
(2a 1)2＝
(2a)2 2 2a 1+1;
(2)
少了第一数与第二数乘积的2倍
(丢了一项);
应改为:
(2a+1)2＝
(2a)2+2 2a 1
+1;
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让我们来做游戏
下面的计算中有些地方用纸牌盖上了，我们来比一比谁能最快地说出纸牌下盖的是什么式子。
(1)（3x+2y)2=9x2+12xy+4y2
(2)(5m-4n)2=25m2-40mn+16n2
(3)(4a+3b)
2=16a2+24ab+9b2
(4)(2x-8y)2=4x2-32xy+64y2
9x2
+16n2
+24ab
-32xy
1.（2016 怀化）下列计算正确的是（ ）
A．（x+y）2=x2+y2
B．（x﹣y）2=x2﹣2xy﹣y2
C．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1
D．（x﹣1）2=x2﹣1
中考在线
2.（2016·武汉）运用乘法公式计算(x＋3)2的结果是（
）
A．x2＋9
B．x2－6x＋9
C．x2＋6x＋9
D．x2＋3x＋9
1、小兵计算一个二项整式的平方式时,得到
正确结果是4x2+
+25y2,但中间一项
不慎被污染了,这一项应是(
)
A
10xy
B
20xy
C±10xy
D±20xy
D
5
“拓”公式，挑战自我
2、
计算：（-3x-5y)2
公式集锦
（a＋b）（a
－
b）=a2
－
b2
（a＋b）2=a2
＋
2ab
＋
b2
（a－b）2=a2
－
2ab
＋
b2
平方差公式和完全平方公式都是重要的整式乘法公式。
作业
导学案25页当堂检测
数缺形时少直观，
形少数时难入微。
数形结合百般好，
隔离分家万事非。
———华罗庚
(a±b)2=a2±2ab+b2评测练习
1.（2016 怀化）下列计算正确的是（ ）
A．（x+y）2=x2+y2
B．（x﹣y）2=x2﹣2xy﹣y2
C．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1
D．（x﹣1）2=x2﹣1
2.（2016·武汉）运用乘法公式计算(x＋3)2的结果是（
）
A．x2＋9
B．x2－6x＋9
C．x2＋6x＋9
D．x2＋3x＋9
3.小兵计算一个二项整式的平方式时,得到正确结果是4x2+
+25y2,但中间一项
不慎被污染了,这一项应是(
)
A
10xy
B
20xy
C±10xy
D±20xy
4.计算：（-3x-5y)2第一章
整式的乘除
6．完全平方公式第一课时
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生通过对本章前几节课的学习，已经学习了整式的乘法、平方差公式，这些知识的学习为本节课的学习奠定了基础.
学生活动经验基础：在平方差公式一节的学习中，学生已经经历了探索和应用的过程，获得了一些数学活动的经验，培养了一定的符号感和推理能力；同时在相关知识的学习过程中，学生经历了很多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识以及与同伴合作交流的能力.
二、教学任务分析
教科书在学生已经学习了整式乘法以及平方差公式的基础上，提出了本课的具体学习任务：经历探索完全平方公式的过程，并能运用公式进行简单的计算.但这仅仅是这堂课外显的具体教学目标，或者说是一个近期目标.整式是初中数学研究范围内的一块重要内容，整式的运算又是整式中的一大主干，乘法公式则是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结.同时，乘法公式的推导是初中数学中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处.而且乘法公式是后继学习的必备基础，不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更是以后学习分解因式、分式运算的重要基础，同时也具有培养学生逐渐养成严密的逻辑推理能力的作用.
三、教学目标
1．知识与技能：理解公式的本质，从不同的层次上理解完全平方公式，并会运用公式进行简单的计算，了解完全平方公式的几何背景
2．过程与方法：经历探索完全平方公式的过程，并从推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力，培养学生的数形结合意识.
3．情感与态度：在学习中使学生体会学习数学的乐趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美.
四、教学过程设计
第一环节
“引”公式，激情引趣
活动：
5班要求将原卫生区的边长增加b米,扩充为一个边长为（a+b)米的大正方形。
6班要求再增加一块边长为b米的正方形卫生区。
(a+b)2
a2+b2
目的：通过学生生活中的具体实例让学生体会数学来源于生活，数学就在我们身边。让学生亲身体会5班和6班的卫生区确实不相等，通过图形直观的体会5班比6班面积要大。
第二环节
“证”公式，以形推数
活动：
1、先利用多项式乘以多项式法则
(a+b)2=(a+b)(a+b)
=a2+ab+ba+
b2
=a2+2ab+b2
2、利用几何图形验证完全平方公式，体现了数形结合思想
目的：通过用代数和几何两种方法让学生自己证明完全平方公式，让学生体会到数学的魅力。并从中建立了数形结合的意识，从而在学生的自主探索过程中验证了完全平方公式，使学生有了一个直观认识。在整个过程中老师只是在提出问题和引导学生解决问题，学生的自主性得到了充分的体现，课堂气氛平等融洽。
3、说公式，公式的语言叙述
(a+b)2=a2+2ab+b2
两数和的平方，等于这两数的平方和，
加上这两数积的2倍。
第三环节
“证”公式，以形推数
活动：1.
(a－b)2=？你是怎样做的？.
2.你能自己设计一个图形解释这一公式吗？
3.分析完全平方差公式的结构特点，并用语言来描述完全平方差公式.
结构特点：左边是二项式两数差的平方；
右边是两数的平方和减去这两数乘积的两倍.
语言描述：两数差的平方，等于这两数的平方和减去这两数积的两倍。
目的：第一个活动是让学生从代数运算的角度，推导出两数差的完全平方公式，培养学生有条理的思考和语言表达能力.
第二个活动使学生再次从几何的角度来验证两数差的完全平方公式.从而学生经历了几何解释到代数运算，再到几何解释的过程，学生的数形结合意识得以培养，并且从不同的角度推导出了公式，并且加以巩固。
第三个活动在前面的基础上，加以总结，使得学生从形式上初步地认识了完全平方公式.
第四环节
“说”公式，提炼提升
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。
两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍。
记忆口诀：首平方，尾平方，两倍乘积中间放，中间符号看前方.
目的：让学生在充分交流的基础上，自己会用数学符合和语言叙述两种表述方法更好地理解公式。
第五环节“练”公式，学以致用
活动：
例1：用完全平方公式计算：
(1)
(5m+n)2
(2)
(3x-0.5)2
纠错练习：指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1)
(2a 1)2＝2a2 2a+1;
(2)
(2a+1)2＝4a2
+1；
做游戏：
(1)（3x+2y)2=9x2+12xy+4y2
(2)(5m-4n)2=25m2-40mn+16n2
(3)(4a+3b)
2=16a2+24ab+9b2
(4)(2x-8y)2=4x2-32xy+64y2
中考在线：
1.（2016 怀化）下列计算正确的是（ ）
A．（x+y）2=x2+y2
B．（x﹣y）2=x2﹣2xy﹣y2
C．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1
D．（x﹣1）2=x2﹣1
2.（2016·武汉）运用乘法公式计算(x＋3)2的结果是（
）
A．x2＋9
B．x2－6x＋9
C．x2＋6x＋9
D．x2＋3x＋9
目的：应用完全平方公式进行简单的计算。体会公式在解题中的应用，进一步熟悉公式。并通过小组交流，自我检验，巩固反馈。考察个人的实际运用能力，并及时查漏补缺.
第六环节
“拓”公式，挑战自我
活动：
1、小兵计算一个二项整式的平方式时,得到正确结果是4x2+
+25y2,但中间一项
不慎被污染了,这一项应是(
)
A
10xy
B
20xy
C±10xy
D±20xy
2、
计算：（-3x-5y)2
目的：本活动是对课本内容的补充，从而使得学生从更深的一个角度来认识完全平方公式，防止解题时中间项的符号出现问题，并能在解题中通过灵活的变形来运用公式，解决问题。
第七环节
课堂小结
活动：
1、这节课你都学到了哪些知识？
2、你又见到了哪种数学思想的应用？
目的：课堂小结并不只是课堂知识点的回顾，要尽量让学生畅谈自己的切身感受，教师对于发言进行鼓励，进一步梳理本节所学，更要有所思考，达到对所学知识巩固的目的.
第八环节
布置作业:
导学案：25页当堂检测
教学设计反思
1.
本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而人为的主观裁断时间安排，其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们的应用公式的本领.因此，不但不可以省，而且还要充分挖掘，以使不同程度的学生都有事情做且乐此不疲，更加充分的参与其中.对于这一点，教师一定要转变观念.
2.
在完全平方公式的探求过程中，学生表现出观察角度的差异：有些学生只是侧重观察某个单独的式子，把它孤立地看，而不知道将几个式子联系地看；有些学生则既观察入微，又统揽全局，表现出了较强的观察力.教师要善于抓住这个契机，适当对学生进行学法指导，培养他们“既见树木，又见森林”的优良观察品质.
3.
对于公式使用的条件既要把握好“度”，又要把握好“方向”.对于公式中的字母取值范围，不必过分强调（实际上，这个范围限定的太小了）；而对于公式的特点，则应当左右兼顾，特别是公式的左边，它是正确应用公式的前提，却往往不被重视，结果造成几个类似公式的混淆，给正确解题设置了障碍.
4.
教无定法，教师应根据本班的实际情况灵活安排教学步骤，切实把关注学生的发展放在首位来考虑，并依此制定合理而科学的教学计划.如，对于较好的班级，则可以优先发展，采取居高临下的教学思路，先整体把握再对比击破，或是将其纳入整体结构系统，采取类比的学习方式；而对于基础较薄弱的班级，则应以提高学习兴趣、教会学习、培养成功体验为主，千万不可拔苗助长，以防物极必反.
.教材分析
整式是初中数学研究范围内的一块重要内容，整式的运算又是整式中的一大主干，乘法公式则是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结.同时，乘法公式的推导是初中数学中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处.而且乘法公式是后继学习的必备基础，不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更是以后学习分解因式、分式运算的重要基础，同时也具有培养学生逐渐养成严密的逻辑推理能力的作用.本节内容主要研究的是完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用。完全平方公式是初中代数的一个重要组成部分，是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，而且公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过对公式的学习来简化某些整式的运算，且在以后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、勾股定理、二次函数求最大值（最小值）及图形面积计算都有举足轻重的作用。课后反思
1.
本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而人为的主观裁断时间安排，其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们的应用公式的本领.因此，不但不可以省，而且还要充分挖掘，以使不同程度的学生都有事情做且乐此不疲，更加充分的参与其中，对于这一点，教师一定要转变观念。
2.
在完全平方公式的探求过程中，学生表现出观察角度的差异：有些学生只是侧重观察某个单独的式子，把它孤立地看，而不知道将几个式子联系地看；有些学生则既观察入微，又统揽全局，表现出了较强的观察力.教师要善于抓住这个契机，适当对学生进行学法指导，培养他们“既见树木，又见森林”的优良观察品质。
3.
对于公式使用的条件既要把握好“度”，又要把握好“方向”.对于公式中的字母取值范围，不必过分强调（实际上，这个范围限定的太小了）；而对于公式的特点，则应当左右兼顾，特别是公式的左边，它是正确应用公式的前提，却往往不被重视，结果造成几个类似公式的混淆，给正确解题设置了障碍。
4.
教无定法。教师应根据本班的实际情况灵活安排教学步骤，切实把关注学生的发展放在首位来考虑，并依此制定合理而科学的教学计划.如，对于较好的班级，则可以优先发展，采取居高临下的教学思路，先整体把握再对比击破，或是将其纳入整体结构系统，采取类比的学习方式；而对于基础较薄弱的班级，则应以提高学习兴趣、教会学习、培养成功体验为主，千万不可拔苗助长，以防物极必反。
