湖南省衡阳市祁东县第二中学2016-2017学年高一下学期火箭班选拔考试数学试卷 Word版含答案

祁东二中2017年高一选拔考试试题
数
学
时量120分钟,
分值150分,
考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
一、选择题：.(
共12小题，每小题5分，共60分)
1.设集合，．若，则（
）
A．
B．
C．
D．
2.
某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
（A）60
（B）30
（C）20
（D）10
3.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为24，则输出的值为
（A）0
（B）1（C）2（D）3
4.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则
A.乙可以知道两人的成绩
B.丁可能知道两人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
5.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
A
B
C
D
6.
已知函数则的单调递增区间。
A.
B.
C..
D.
7.设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则
（A），
（B），
（C），
（D），
8.
已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为
（A）
（B）
（C）
（D）
9.
已知边长为1的正三角形的中心为O,
过O的直线与边AB,AC分别交于点M,N两点，则的取值范围为(
)
A.[15,18]
B.
[12,16]
C.
[9,18]
D.
[10,18]
10.
旅行社为去广西桂林的某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为10000元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在20或20以下，飞机票每人收费800元；若旅游团的人数多于20，则实行优惠方案，每多一人，机票费每张减少10元，但旅游团的人数最多为75，则该旅行社可获得利润的最大值为（
）
A．12000元
B．12500元
C．15000元
D．20000元
11.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋(y－3)2＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是
A,
C.
D.
12.如图，在同一个平面内，向量,,,的模分别为1,1，，与的夹角为，且tan=7，与的夹角为45°。若=m+n（m，nR），则m+n=
A.1
B.2
C.3
D.4
二.
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表如下：
气温(℃)
18
13
10
－1
用电量(度)
24
34
38
64
由表中数据得线性回归方程＝x＋中的＝－2，预测当气温为－4
℃时，用电量可能为__________度．
14.
在区间[0，π]上随机取一个实数x，使得sin
x∈的概率为________．
15.
已知函数在区间（其中）上单调递增，则实数的取值范围是
16.
设函数则满足的x的取值范围是_____
三.
解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分10分）的内角的对边分别为
,已知．(1)求
(2)若
,
面积为2,求
18.某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示：
组号
分组
频数
频率
第1组
[160，165)
5
0.050
第2组
[165，170)
①
0.350
第3组
[170，175)
30
②
第4组
[175，180)
20
0.200
第5组
[180，185]
10
0.100
合计
100
1.00
(1)请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图．
(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试．
(3)在(2)的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．
19.（本小题满分12分）
如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCＥ与四面体ACDE的体积比．
20.
现有半径为、圆心角为的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件，如图所示．其中分别在上，在上，且，，．记，五边形的面积为．
（1）试求关于的函数关系式；
（2）求的最大值．
21.
（本小题满分12分）
已知，函数．（1）若，求的单调递增区间；
（2）函数在上的值域为，求，需要满足的条件．
22.（12分）
如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”；
（1）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，试写出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；
（2）已知y=f（x）具有“P（0）性质”，当x≤0时，f（x）=（x+t）2，t∈R，求y=f（x）在上的最大值；
（3）设函数y=g（x）具有“P（±1）性质”，且当﹣≤x≤时，g（x）=|x|，求：当x∈R时，函数g（x）的解析式，若y=g（x）与y=mx（m∈R）交点个数为1001个，求m的值．
祁东二中2017年高一选拔考试参考答案
数
学
时量120分钟,
分值150分,
命题人
谭
扬
答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卷上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
祝各位同学考试顺利！
一、选择题：.(
共12小题，每小题5分，共60分)
CDCDD
B
A
CAC
BC
二.
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
68
14.
.
15.
16.
(-，
)
三.
解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分10分）
（1）由题设及，故
上式两边平方，整理得
解得
（2）由，故
又
由余弦定理及得
所以b=2
18.
(1)①由题可知，第2组的频数为0.35×100＝35人，②第3组的频率为＝0.300，
频率分布直方图如图所示，
(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：
第3组：×6＝3人，
第4组：×6＝2人，
第5组：×6＝1人，
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．
(3)设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，
则从这六位同学中抽取两位同学有
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共15种，
其中第4组的2位同学B1，B2中至少有一位同学入选的有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共’有9种，所以第4组至少有一名学生被考官A面试的概率为＝.
19.解：
（1）取AC的中点O连结DO，BO.
因为AD=CD，所以AC⊥DO.
又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.
从而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.
（2）连结EO.
由（1）及题设知∠ADC=90°，所以DO=AO.
在Rt△AOB中，.
又AB=BD，所以
，故∠DOB=90°.
由题设知△AEC为直角三角形，所以.
又△ABC是正三角形，且AB=BD，所以.
故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1:1.
20.
解：（1）设是中点，连，由，可知,,
，，又,,，可得△≌△，
故，可知，
…………2分
又,,所以,故
，在△中，有，
可得
………4分
所以
………6分
（2）
……………8分
(其中)
……………………10分
当，即时，取最大值1．
又，所以的最大值为．
……………12分
21.
（本小题满分12分）
【解析】（1）因为，，如图．所以的单调递增区间为，．
（2）因为在上的值域为，所以，即，
（i）当时，，所以时，，又，所以，得，此时，而，所以得，所以
（ii）当时，，所以，①当时，，所以，得，；②当时，,所以，所以，所以或，不成立．由（i）、（ii）可知或
（22）（本小题满分12分）
22.（1）由sin（x+a）=sin（﹣x）得sin（x+a）=﹣sinx，
根据诱导公式得a=2kπ+π（k∈Z）．
∴y=sinx具有“P（a）性质”，其中a=2kπ+π（k∈Z）．
（2）∵y=f（x）具有“P（0）性质”，
∴f（x）=f（﹣x）．
设x≥0，则﹣x≤0，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x+t）2=（x﹣t）2
∴f（x）=
当t≤0时，∵y=f（x）在递增，
∴x=1时ymax=（1﹣t）2，
当0＜t＜时，y=f（x）在上递减，在上递增，且f（0）=t2＜f（1）=（1﹣t）2，
∴x=1时ymax=（1﹣t）2，
当t≥时，
∵y=f（x）在上递减，在上递增，且f（0）=m2≥f（1）=（1﹣m）2，
∴x=0时，ymax=t2，
综上所述：当t＜时，ymax=f（1）=（1﹣t）2，
当t≥ymax=f（0）=t2，
（3）∵y=g（x）具有“P（±1）性质”，
∴g（1+x）=g（﹣x），g（﹣1+x）=g（﹣x），
∴g（x+2）=g（1+1+x）=g（﹣1﹣x）=g（x），从而得到y=g（x）是以2为周期的函数．
又≤x≤设，则﹣≤x﹣1≤，
g（x）=g（x﹣2）=g（﹣1+x﹣1）=g（﹣x+1）=|﹣x+1|=|x﹣1|=g（x﹣1）．
再设n﹣≤x≤n+（n∈z），
当n=2k（k∈z），则2k﹣≤x≤2k+，则﹣≤x﹣2k≤，
g（x）=g（x﹣2k）=|x﹣2k|=|x﹣n|；
当n=2k+1（k∈z），则2k+1﹣≤x≤2k+1+，则≤x﹣2k≤
g（x）=g（x﹣2k）=|x﹣2k﹣1|=|x﹣n|；
∴g（x）=
∴对于n﹣≤x≤n+，（n∈z），都有g（x）=|x﹣n|，而n+1﹣＜x+1＜n+1+，
∴g（x+1）=|（x+1）﹣（n+1）|=|x﹣n|=g（x），
∴y=g（x）是周期为1的函数．
①当m＞0时，要使y=mx与y=g（x）有1001个交点，只要y=mx与y=g（x）在有一个交点．
∴y=mx过（，），从而得m=
②当m＜0时，同理可得m=﹣
③当m=0时，不合题意．
综上所述m=±