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8-3
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同的直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )
A．m∥β且l1∥α B．l1∥α且l2∥α
C．m∥β且n∥β
D．m∥l1且n∥l2
【解析】
m∥l1，且n∥l2 α∥β，但α∥β
/
m∥l1且n∥l2，
∴“m∥l1，且n∥l2”是“α∥β”的一个充分不必要条件．
【答案】
D
2．若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是( )
A．a平行于α内的所有直线
B．α内有无数条直线与a平行
C．直线a上的点到平面α的距离相等
D．α内存在无数条直线与a成90°角
【解析】
若直线a平行于平面α，则α内既存在无数条直线与a平行，也存在无数条直线与a异面且垂直，所以A不正确，B、D正确．又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以C正确．
【答案】
A
3．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．在平面内
D．不能确定
【解析】
如图，由＝得AC∥EF.
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\366.tif"
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\366.tif"
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又因为EF 平面DEF，AC 平面DEF，
所以AC∥平面DEF.
【答案】
A
4．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：
①若l与m为异面直线，l α，m β，则α∥β；
②若α∥β，l α，m β，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m.γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数为( )
A．3
B．2
C．1
D．0
【解析】
①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l、m；
②中l与m也可能异面；③中 l∥n，
同理，l∥m，则m∥n，正确．
【答案】
C
5．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\367.tif"
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\367.tif"
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A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
【解析】
①中易知NP∥AA′，MN∥A′B，
∴平面MNP∥平面AA′B可得出AB∥平面MNP(如图)．
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\368.tif"
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\368.tif"
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④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.
【答案】
B
6．在四面体A BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
【解析】
如图，取CD的中点E.
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\369.tif"
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\369.tif"
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则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.
所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.
【答案】
平面ABD与平面ABC
7．如图所示，ABCD A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________．
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\370.tif"
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\370.tif"
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【解析】
∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∴MN∥PQ.
∵M，N分别是A1B1，B1C1的中点，AP＝，
∴CQ＝，从而DP＝DQ＝，∴PQ＝a.
【答案】
a
8．在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的为________．
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\371.tif"
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\371.tif"
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①AC⊥BD；
②AC∥截面PQMN；
③AC＝BD；
④异面直线PM与BD所成的角为45°.
【解析】
∵PQMN是正方形，
∴MN∥QP，则MN∥平面ABC，
由线面平行的性质知MN∥AC，则AC∥截面PQMN，
同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，则AC⊥BD，
故①②正确．
又∵BD∥MQ，∴异面直线PM与BD所成的角即为∠PMQ＝45°，故④正确．
【答案】
③
9．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\372.tif"
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\372.tif"
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(1)求证：DE∥平面ABC；
(2)求三棱锥E BCD的体积．
【解析】
(1)证明：取BC中点G，连接AG，EG.
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\373.tif"
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\373.tif"
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因为E是B1C的中点，所以EG∥BB1，且EG＝BB1.
由直棱柱知，AA1綊BB1，而D是AA1的中点，所以EG綊AD，所以四边形EGAD是平行四边形．
所以ED∥AG.又DE 平面ABC，AG 平面ABC，
所以DE∥平面ABC.
(2)因为AD∥EG，EG 平面BCE，AD 平面BCE，
所以AD∥平面BCE，
所以VE BCD＝VD BEC＝VA BCE＝VE ABC，
由(1)知，DE∥平面ABC.
所以VE ABC＝VD ABC＝AD·BC·AG
＝×3×6×4＝12.
10．(2016·长沙模拟)一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M，N分别是AF，BC的中点)．
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\374A.tif"
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\374A.tif"
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\374.tif"
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\374.tif"
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(1)求证：MN∥平面CDEF；
(2)求多面体A CDEF的体积．
【解析】
由三视图可知：AB＝BC＝BF＝2，
DE＝CF＝2，∠CBF＝.
(1)证明：取BF的中点G，连接MG，NG，由M，N分别为AF，BC的中点可得，
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\375.tif"
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\375.tif"
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NG∥CF，MG∥AB∥EF，
且NG∩MG＝G，CF∩EF＝F，
∴平面MNG∥平面CDEF，
又MN 平面MNG，∴MN∥平面CDEF.
(2)取DE的中点H.∵AD＝AE，∴AH⊥DE，
在直三棱柱ADE BCF中，平面ADE⊥平面CDEF，
平面ADE∩平面CDEF＝DE，
AH 平面ADE，∴AH⊥平面CDEF.
∴多面体A CDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在△ADE中，AH＝.S矩形CDEF＝DE·EF＝4，
∴棱锥A CDEF的体积为
V＝·S矩形CDEF·AH＝×4×＝.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
11．(教材改编)对于平面α和共面的直线m，n，下列命题中为真命题的是( )
A．若m，n与平面α所成的角相等，则m∥n
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m α，n∥α，则m∥n
【解析】
正三棱锥P ABC的侧棱PA，PB与底面所成角相等，但PA与PB相交，应排除A；若m∥α，n∥α，则m与n平行或相交，应排除B；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n α，应排除C；因为m，n共面，设经过m，n的平面为β，因为m α，所以α∩β＝m.因为n∥α，所以n∥m.
【答案】
D
12．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\376.tif"
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【解析】
因为HN∥BD，HF∥DD1，
所以平面NHF∥平面B1BDD1，
故线段FH上任意点M与N相连，
都有MN∥平面B1BDD1.
【答案】
M∈线段FH
13．空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是________．
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\377.tif"
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【解析】
设＝＝k，∴＝＝1－k，
∴GH＝5k，EH＝4(1－k)，∴周长＝8＋2k.
又∵0
【答案】
(8，10)
14．平面α内有△ABC，AB＝5，BC＝8，AC＝7，梯形BCDE的底DE＝2，过EB的中点B1的平面β∥α，若β分别交EA，DC于A1，C1，求△A1B1C1的面积．
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\378.tif"
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\378.tif"
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【解析】
∵α∥β，∴A1B1∥AB，B1C1∥BC.
又因∠A1B1C1与∠ABC同向，∴∠A1B1C1＝∠ABC.
又∵cos∠ABC＝＝，
∴∠ABC＝60°＝∠A1B1C1.
又∵B1为EB的中点，∴B1A1是△EAB的中位线，
∴B1A1＝AB＝，
同理知B1C1为梯形BCDE的中位线，
∴B1C1＝(BC＋DE)＝5.
则S△A1B1C1＝A1B1·B1C1·sin
60°
＝··5·＝.
故△A1B1C1的面积为.
15．如图，四棱锥P ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD
为矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点．
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\379.tif"
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\379.tif"
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(1)求三棱锥A PDE的体积；
(2)AC边上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．
【解析】
(1)因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD.
又因ABCD是矩形，所以AD⊥CD.
因PD∩CD＝D，所以AD⊥平面PCD，
所以AD是三棱锥A PDE的高．
因为E为PC的中点，且PD＝DC＝4，
所以S△PDE＝S△PDC＝×＝4.
又AD＝2，所以VA PDE＝AD·S△PDE＝×2×4＝.
(2)取AC中点M，连接EM，DM，
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\380.tif"
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\380.tif"
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因为E为PC的中点，M是AC的中点，所以EM∥PA.
又因为EM 平面EDM，PA 平面EDM，
所以PA∥平面EDM.所以AM＝AC＝.
即在AC边上存在一点M，使得PA∥平面EDM，
AM的长为.
欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。
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9-7
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．(2014·安徽)抛物线y＝x2的准线方程是( )
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1
D．x＝－2
【解析】
∵y＝x2，∴x2＝4y.
∴准线方程为y＝－1.
【答案】
A
2．(2014·辽宁)已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－
B．－1
C．－
D．－
【解析】
∵点A(－2，3)在抛物线C的准线上，
∴＝2，∴p＝4.
∴抛物线的方程为y2＝8x，则焦点F的坐标为(2，0)．
又A(－2，3)，根据斜率公式得kAF＝＝－.
【答案】
C
3．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1
B．x＝－1
C．x＝2
D．x＝－2
【解析】
∵y2＝2px的焦点坐标为，
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，
即x＝y＋，将其代入y2＝2px，得y2＝2py＋p2，
即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
【答案】
B
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于( )
A．－4
B．4
C．p2
D．－p2
【解析】
①若焦点弦AB⊥x轴，
则x1＝x2＝，所以x1x2＝；
②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB：y＝k，
联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，
则x1x2＝.故y1y2＝－p2.故＝－4.
【答案】
A
5．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )
A．y2＝9x
B．y2＝6x
C．y2＝3x
D．y2＝x
【解析】
如图，分别过A、B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知：
|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，
∵|BC|＝2|BF|，
∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，
∴∠AFx＝60°，连接A1F，
则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，
则|KF|＝|A1F1|＝|AA1|＝|AF|，
即p＝，∴抛物线方程为y2＝3x，故选C.
【答案】
C
6．(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝( )
A．3
B．6
C．9
D．12
【解析】
根据已知条件求出椭圆的方程，|AB|＝2|yA|，只需求出|yA|即可．
抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，∴椭圆中c＝2，
又＝，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，
从而椭圆方程为＋＝1.
∵抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，
∴xA＝xB＝－2，
将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3，
由图象可知|AB|＝2|yA|＝6.故选B.
【答案】
B
7．(2015·陕西)若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________．
【解析】
利用抛物线的准线方程和双曲线的焦点坐标列方程求解．
抛物线的准线方程为x＝－，p>0，
双曲线的焦点为F1(－，0)，F2(，0)，
所以－＝－，p＝2.
【答案】
2
8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过M(1，0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若＝，则p＝________．
【解析】
如图，由AB的斜率为，
知∠α＝60°，又＝，
∴M为AB的中点．
过点B作BP垂直准线l于点P，
则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°.
∴|BP|＝|AB|＝|BM|.
∴M为焦点，即＝1，∴p＝2.
【答案】
2
9．如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程．
【解析】
设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，
则直线OB的方程为y＝－x，
由得x＝0或x＝.
∴A点坐标为，
同理得B点坐标为(2pk2，－2pk)，
由|OA|＝1，|OB|＝8，
可得
②÷①解方程组得k6＝64，即k2＝4.
则p2＝＝.
又p>0，则p＝，
故所求抛物线方程为y2＝x.
10．(2015·浙江)如图，已知抛物线C1：y＝x2，圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点P(t，0)(t＞0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．
(1)求点A，B的坐标．
(2)求△PAB的面积．
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．
【解析】
(1)由题意知直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y＝k(x－t)．
由消去y，整理得x2－4kx＋4kt＝0，
由于直线PA与抛物线相切，得k＝t.
因此，点A的坐标为(2t，t2)．
设圆C2的圆心为D(0，1)，点B的坐标为(x0，y0)．
由题意知：点B，O关于直线PD对称，
故解得
因此，点B的坐标为.
(2)由(1)知|AP|＝t·，
直线PA的方程为tx－y－t2＝0.
点B到直线PA的距离是d＝.
设△PAB的面积为S(t)，
则S(t)＝|AP|·d＝.
B组 专项能力提升
(时间：25分钟)
11．(2014·课标全国Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，x0等于( )
A．1
B．2
C．4
D．8
【解析】
由抛物线的定义，可得|AF|＝x0＋，
∵|AF|＝x0，∴x0＋＝x0，∴x0＝1.
【答案】
A
12．(2015·浙江)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】
先利用数形结合思想，把两个三角形的面积之比转化为两线段之比，即，再过点A，B向准线作垂线，利用抛物线的定义转化求解．
由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，
易知△BCF与△ACF的面积之比就等于.
由抛物线方程知焦点F(1，0)，
作准线l，则l的方程为x＝－1.
∵点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.
由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.
在△CAN中，BM∥AN，
∴＝＝.
【答案】
A
13．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x
的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为________．
【解析】
由y2＝4x知：焦点F(，0)，准线x＝－.
设P点坐标为(x0，y0)，
则x0＋＝4，∴x0＝3，
∴y＝4×3＝24，∴|y0|＝2，
∴S△POF＝××2＝2.
【答案】
2
14．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2，2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点．若·＝0，则k＝________．
【解析】
抛物线C的焦点为F(2，0)，
则直线方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，
消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则x1＋x2＝4＋，x1x2＝4.
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝，
y1y2＝k2x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16.
因为·＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)
＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)
＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋8＝0，
将上面各个量代入，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2.
【答案】
2
15．(2014·安徽)如图，已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1>0)和E2：y2＝2p2x(p2>0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点．
(1)证明：A1B1∥A2B2.
(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．
【解析】
(1)证明：设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)，由得A1eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2p1,k)，\f(2p1,k1)))，
由得A2eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2p2,k)，\f(2p2,k1))).
同理可得B1eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2p1,k)，\f(2p1,k2)))，B2eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2p2,k)，\f(2p2,k2))).
所以＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2p1,k)－\f(2p1,k)，\f(2p1,k2)－\f(2p1,k1)))
＝2p1eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)－\f(1,k)，\f(1,k2)－\f(1,k1))).
＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2p2,k)－\f(2p2,k)，\f(2p2,k2)－\f(2p2,k1)))＝2p2eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)－\f(1,k)，\f(1,k2)－\f(1,k1))).
故＝，所以A1B1∥A2B2.
(2)由(1)知A1B1∥A2B2，
同理可得B1C1∥B2C2，C1A1∥C2A2，
所以△A1B1C1∽△A2B2C2.因此＝.
又由(1)中的＝知＝，故＝eq
\f(p,p).
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2-6
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．(2014·福建)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\47.tif"
\
MERGEFORMATINET
【解析】
由题意得y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过(3，1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称．显然不符．故选B.
【答案】
B
2．(2015·湖南)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0，1)上是增函数
B．奇函数，且在(0，1)上是减函数
C．偶函数，且在(0，1)上是增函数
D．偶函数，且在(0，1)上是减函数
【解析】
方法一：函数f(x)的定义域为(－1，1)，
任取x∈(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，
则f(x)是奇函数．
又∵当x∈(0，1)时，f′(x)＝＋＝>0，
∴f(x)在(0，1)上是增函数．综上，选A.
方法二：同方法一知f(x)是奇函数．
当x∈(0，1)时，f(x)＝ln
＝ln
＝ln.
∵y＝(x∈(0，1))是增函数，y＝ln
x也是增函数，
∴f(x)在(0，1)上是增函数．综上，选A.
方法三：同方法一知f(x)是奇函数．
任取x1，x2∈(0，1)，且x1f(x1)－f(x2)＝ln(1＋x1)－ln(1－x1)－ln(1＋x2)＋ln(1－x2)＝ln
＝ln
.
∵(1－x1x2＋x1－x2)－(1－x1x2＋x2－x1)＝2(x1－x2)<0，
且(1＋x1)·(1－x2)>0，(1＋x2)(1－x1)>0，
∴0<<1，
∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)∴f(x)在(0，1)上是增函数．综上，选A.
【答案】
A
3．已知x＝ln
π，y＝log52，z＝e－，则( )
A．x B．zC．zD．y【解析】
∵x＝ln
π>ln
e，∴x>1.
∵y＝log52∵z＝e－＝>＝，∴综上可得，y【答案】
D
4．(2015·重庆)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是( )
A．－3，1]
B．(－3，1)
C．(－∞，－3]∪1，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
【解析】
由对数的真数大于0，构造不等式进行求解．
要使函数有意义，只需x2＋2x－3>0，
即(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1.
故函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
【答案】
D
5．设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，0)∪(0，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0，1)
【解析】
f(a)>f(－a) 或
或
a>1或－1【答案】
C
6．(2015·四川)lg
0.01＋log216的值是________．
【解析】
利用对数的运算法则求解．
lg
0.01＋log216＝lg
＋log224＝－2＋4＝2.
【答案】
2
7．已知函数f(x)＝则使函数f(x)的图象位于直线y＝1上方的x的取值范围是________．
【解析】
当x≤0时，3x＋1>1 x＋1>0，∴－1当x>0时，log2x>1 x>2，∴x>2.
综上所述，x的取值范围为－12.
【答案】
{x|－12}
8．(2015·浙江)若a＝log43，则2a＋2－a＝________．
【解析】
先化简a＝log43，再代入2a＋2－a，利用对数恒等式求值．
∵a＝log43＝log22
3＝log23＝log2，
∴2a＋2－a＝2log2＋2－log2＝＋2log2＝＋＝.
【答案】
9．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集．
【解析】
(1)要使函数f(x)有意义．
则解得－1故所求函数f(x)的定义域为{x|－1(2)由(1)知f(x)的定义域为{x|－1且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，
故f(x)为奇函数．
(3)因为当a>1时，f(x)在定义域{x|－1所以f(x)>0 >1，解得0所以使f(x)>0的x的解集是{x|010．已知函数y＝log(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上是增函数，求a的取值范围．
【解析】
函数y＝log(x2－ax＋a)是由函数y＝log
t和t＝x2－ax＋a复合而成．
因为函数y＝log
t在区间(0，＋∞)上单调递减，
而函数t＝x2－ax＋a在区间上单调递减，
又因为函数y＝log(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上是增函数，
所以
解得
即2≤a≤2(＋1)．
B组 专项能力提升
(时间：20分钟)
11．(2015·天津)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.5
3)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )
A．aB．aC．cD．c【解析】
先求得字母m的取值，再求得a，b，c的值并比较大小．
由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，
所以f(x)＝2|x|－1.
所以a＝f(log0.5
3)＝2|log0.5
3|－1＝2log23－1＝2，
b＝f(log25)＝2|log25|－1＝2log25－1＝4，
c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c【答案】
C
12．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝ln
x，则有( )
A．fB．fC．fD．f(2)【解析】
由f(2－x)＝f(x)知f(x)的图象关于直线x＝＝1对称，
又当x≥1时，f(x)＝ln
x，
所以离对称轴x＝1距离大的x的函数值大，
∵|2－1|>>，
∴f【答案】
C
13．(2015·浙江)计算：log2＝________，2log23＋log43＝________．
【解析】
利用对数恒等式及对数运算法则求解．
log2＝log2－log22
＝－1＝－；
2log23＋log43＝2log23·2log43
＝3×2log43＝3×2log2＝3.
【答案】
－ 3
14．(2016·甘肃省兰州市、张掖市高三联考)函数f(n)＝logn＋1(n＋2)(n∈N
)，定义使f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的数k(k∈N
)叫做企盼数，则在区间1，2
016]内这样的企盼数共有________个．
【解析】
∵logn＋1(n＋2)＝，
∴f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)
＝···…·＝
＝log2(k＋2)，
∵1
024＝210，2
048＝211，且log24＝2，
∴使f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的数有10－1＝9个．
【答案】
9
15．设f(x)＝|lg
x|，a，b为实数，且0(1)求方程f(x)＝1的解；
(2)若a，b满足f(a)＝f(b)，求证：ab＝1，>1.
(3)在(2)的条件下，求证：由关系式f(b)＝2f所得到的关于b的方程g(b)＝0，存在b0∈(3，4)，使g(b0)＝0.
【解析】
(1)由f(x)＝1得，lg
x＝±1，
所以x＝10或.
(2)证明：结合函数图象，由f(a)＝f(b)可判断a∈(0，1)，b∈(1，＋∞)．
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\49.tif"
\
MERGEFORMATINET
从而－lg
a＝lg
b，即ab＝1.
又＝>＝1.
故ab＝1，>1.
(3)证明：由已知可得b＝，
得4b＝a2＋b2＋2ab，得＋b2＋2－4b＝0，
g(b)＝＋b2＋2－4b，
因为g(3)<0，g(4)>0，根据零点存在性定理可知，函数g(b)在(3，4)内一定存在零点，即存在b0∈(3，4)，使g(b0)＝0.
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2-1
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．(2014·山东)函数f(x)＝的定义域为( )
A.
B．(2，＋∞)
C.∪(2，＋∞)
D.∪2，＋∞)
【解析】
由题意知
解得x>2或0【答案】
C
2．(2015·陕西)设f(x)＝则f(f(－2))＝( )
A．－1
B.
C.
D.
【解析】
在分段函数的定义域上赋值得到函数值．因为－2<0，所以f(－2)＝2－2＝>0，
所以f＝1－
＝1－＝.
【答案】
C
3．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\13.tif"
\
MERGEFORMATINET
【解析】
可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．
【答案】
B
4．设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于( )
A．－2x＋1
B．2x－1
C．2x－3
D．2x＋7
【解析】
f(x)＝g(x＋2)＝2(x＋2)＋3＝2x＋7.
【答案】
D
5．已知函数f(x)满足f＝log2，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝log2x
B．f(x)＝－log2x
C．f(x)＝2－x
D．f(x)＝x－2
【解析】
根据题意知x>0，所以f＝log2x，则f(x)＝log2＝－log2x.
【答案】
B
6．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1，4)，则a＝________．
【解析】
将已知点代入函数解析式即可求得a的值．
∵f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1，4)，
∴4＝a×(－1)3－2×(－1)，解得a＝－2.
【答案】
－2
7．(2016·浙江东阳中学月考)已知函数f(x)＝log2，f(a)＝3，则a＝________．
【解析】
由题意可得log2＝3，所以＝23，解得a＝－.
【答案】
－
8．(2015·浙江)已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝________，f(x)的最小值是________．
【解析】
∵f(－2)＝4，
∴f(f(－2))＝f(4)＝4＋－6＝－.
当x≤1时，f(x)min＝0；
当x>1时，f(x)＝x＋－6≥2
－6＝2－6，
此时x＝.∵2－6<0，∴综上，f(x)最小＝2－6.
【答案】
－ 2－6
9．已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数f(x)的解析式．
【解析】
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝0，
∴c＝0，即f(x)＝ax2＋bx.
又∵f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1.
∴(2a＋b)x＋a＋b＝(b＋1)x＋1，
∴解得∴f(x)＝x2＋x.
10．某人开汽车沿一条直线以60
km/h的速度从A地到150
km
远处的B地．在B地停留1
h后，再以50
km/h的速度返回A地，把汽车与A地的距离x(km)表示为时间t(h)(从A地出发开始)的函数，并画出函数的图象．
【解析】
x＝
图象如图所示．
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\14.tif"
\
MERGEFORMATINET
B组 专项能力提升
(时间：15分钟)
11．(2016·江西省适应性考试)已知函数f(x)＝的值域是－8，1]，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3]
B．－3，0)
C．－3，－1]
D．{－3}
【解析】
当0≤x≤4时，f(x)∈－8，1]；
当a≤x<0时，f(x)∈，
所以 －8，1]，－8≤－<－1，
即－3≤a<0.
【答案】
B
12．(2015·湖北)设x∈R，定义符号函数sgn
x＝则( )
A．|x|＝x|sgn
x|
B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn
x
D．|x|＝xsgn
x
【解析】
利用排除法逐项验证求解．
当x<0时，|x|＝－x，x|sgn
x|＝x，xsgn|x|＝x，
|x|sgn
x＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C，故选D.
【答案】
D
13．已知f(x)＋2f(－x)＝3x－2，则f(x)＝________．
【解析】
由f(x)＋2f(－x)＝3x－2，①
可得f(－x)＋2f(x)＝－3x－2，②
①－②×2得，
－3f(x)＝3x－2－2(－3x－2)＝9x＋2，
∴f(x)＝－3x－.
【答案】
－3x－
14．(2015·福建)若函数f(x)＝(a>0，且a≠1)的值域是4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
【解析】
由值域入手，分类讨论求出a的取值范围．
当x≤2时，y＝－x＋6≥4.
∵f(x)的值域为4，＋∞)，
∴当a>1时，3＋logax>3＋loga2≥4，
∴loga2≥1，∴1当0故a∈(1，2]．
【答案】
(1，2]
15．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫作刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系图．
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\15.tif"
\
MERGEFORMATINET
(1)求出y关于x的函数表达式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．
【解析】
(1)由题意及函数图象，得
解得m＝，n＝0，所以y＝＋(x≥0)．
(2)令＋≤25.2，得－72≤x≤70.
∵x≥0，∴0≤x≤70.
故行驶的最大速度是70千米/时．
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11-2
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A. B.
C.
D.
【解析】
列举出所有结果，并分析其中的勾股数，根据古典概型求解．
从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为.故选C.
【答案】
C
2．甲乙两人一起去游泰山，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】
最后一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，共有36种，他们选择相同的景点有6种，所以P＝＝，所以选D.
【答案】
D
3．(2015·广东)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )
A.
B.
C.
D．1
【解析】
根据古典概型的概率公式求解．
从15个球中任取2个球共有C种取法，其中有1个红球，1个白球的情况有C·C＝50(种)，所以P＝eq
\f(50,C)＝.
【答案】
B
4．(2014·江西)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】
掷两颗骰子，点数有以下情况：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，
共36种，其中点数之和为5的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种，故所求概率为＝.
【答案】
B
5．连掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量(m，n)与向量(－1，1)的夹角θ>90°的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】
∵(m，n)·(－1，1)＝－m＋n<0，∴m>n.
基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，…，(5，4)，(6，1)，…，(6，5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．∴P＝＝，故选A.
【答案】
A
6．若A、B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝________．
【解析】
因为A、B为互斥事件，
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，
故P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.
【答案】
0.3
7．(2014·江苏)从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．
【解析】
取两个数的所有情况有：{1，2}，{1，3}，{1，6}，{2，3}，{2，6}，{3，6}，共6种情况．
乘积为6的情况有：{1，6}，{2，3}，共2种情况．
所求事件的概率为＝.
【答案】
8．(2014·南昌二模)用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是________．
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\704.tif"
\
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【解析】
由于只有两种颜色，不妨将其设为1和2，若只用一种颜色有111；222.
若用两种颜色有122；212；221；211；121；112.
所以基本事件共有8种．
又相邻颜色各不相同的有2种，故所求概率为.
【答案】
9．(2014·济南模拟)设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．
(1)求使得事件“a⊥b”发生的概率；
(2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．
【解析】
(1)由题意知，m∈{1，2，3，4，5，6}，n∈{1，2，3，4，5，6}，
故(m，n)所有可能的取法共36种．
a⊥b，即m－3n＝0，即m＝3n，共有2种：(3，1)，(6，2)，
所以事件a⊥b的概率为＝.
(2)|a|≤|b|，即m2＋n2≤10，
共有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)6种，其概率为＝.
10．(2015·天津)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．
【解析】
(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2.
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．
因此，事件A发生的概率P(A)＝＝.
B组 专项能力提升
(时间：25分钟)
11．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】
如图所示，从正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选4个顶点，可以看作随机选2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有A、B，A、C，A、D，A、E，A、F，B、C，B、D，B、E，B、F，C、D，C、E，C、F，D、E，D、F，E、F，共15种．若要构成矩形，只要选相对顶点即可，有A、D，B、E，C、F，共3种，故其概率为＝.
INCLUDEPICTURE
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\
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【答案】
D
12．(2014·湖北)随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则( )
A．p1＜p2＜p3
B．p2＜p1＜p3
C．p1＜p3＜p2
D．p3＜p1＜p2
【解析】
随机掷两枚质地均匀的骰子，所有可能的结果共有36种．
事件“向上的点数之和不超过5”包含的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)共10种，其概率p1＝＝.
事件“向上的点数之和大于5”与“向上的点数之和不超过5”是对立事件，所以“向上的点数之和大于5”的概率p2＝.
因为朝上的点数之和不是奇数就是偶数，
所以“点数之和为偶数”的概率p3＝.故p1＜p3＜p2.
【答案】
C
13．(2015·南昌二模)2014年3月8日发生的马来西亚航空公司MH370失联事件，引起了全世界人们长达数周的密切关注．为了消除人们对航空安全的担忧，某航空公司决定对该公司所属的波音777 200，波音777 300，空客A350，空客A380四架客机进行集中安全大检查．若检测人员分两周对客机进行全方位的检测，每周检测两架客机，则波音777 200，波音777 300两架客机在同一周被检测的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】
设波音777 200，波音777 300，空客A350，空客A380四架客机分别记为A，B，C，D，检测人员分两周对客机进行全方位的检测，每周检测两架客机基本事件是：(A，B；C，D)，(A，C；B，D)，(A，D；B，C)；(B，C；A，D)，(B，D；A，C)，(C，D；A，B)，共6种．
其中波音777 200，波音777 300两架客机在同一周被检测即(A，B；C，D)，(C，D；A，B)，共2种，
所以波音777 200，波音777 300两架客机在同一周被检测的概率为P＝＝.
【答案】
B
14．(2014·课标全国Ⅰ)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．
【解析】
所有的基本事件共有A＝6个，
2本数学相邻的排法有AA＝4种．
故2本数学书相邻的概率为＝.
【答案】
15．(2015·四川)一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5.乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车．乘客P1因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位．
(1)若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；
(2)若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就座，求乘客P5坐到5号座位的概率．
【解析】
(1)余下两种坐法如下表所示：
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位号
3
2
4
1
5
3
2
5
4
1
(2)若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示：
于是，所有可能的坐法共8种．
设“乘客P5坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，所以P(A)＝＝.
答：乘客P5坐到5号座位的概率是.
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1-3
A组 专项基础训练
(时间：30分钟)
1．设命题p：函数y＝sin
2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos
x的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是( )
A．p为真
B．綈q为假
C．p∧q为假
D．p∨q为真
【解析】
p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．
【答案】
C
2．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )
A．綈p∨q
B．p∧q
C．綈p∧綈q
D．綈p∨綈q
【解析】
不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有綈p∨綈q为真命题．
【答案】
D
3．下列命题中的假命题是( )
A． x∈R，sin
x＝
B． x∈R，log2x＝1
C． x∈R，>0
D． x∈R，x2≥0
【解析】
因为 x∈R，sin
x≤1<，所以A是假命题；对于B， x＝2，log2x＝1；对于C，根据指数函数图象可知， x∈R，>0；对于D，根据二次函数图象可知， x∈R，x2≥0.
【答案】
A
4．(2015·浙江)命题“ n∈N
，f(n)∈N
且f(n)≤n”的否定形式是( )
A． n∈N
，f(n) N
且f(n)>n
B． n∈N
，f(n) N
或f(n)>n
C． n0∈N
，f(n0) N
且f(n0)>n0
D． n0∈N
，f(n0) N
或f(n0)>n0
【解析】
根据全称命题的否定是特称命题求解．
写全称命题的否定时，要把量词 改为 ，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．
【答案】
D
5．已知集合M＝{x|0A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】
因为M?N，所以a∈M a∈N，反之，则不成立，故“a∈N”是“a∈M”的必要而不充分条件．故选B.
【答案】
B
6．(2015·河南统考)已知命题p： x0∈R，使sin
x0＝；命题q： x∈R，都有x2＋x＋1>0，给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．
其中正确的结论是( )
A．②③
B．②④
C．③④
D．①②③
【解析】
∵>1，∴命题p是假命题．
∵x2＋x＋1＝＋≥>0，
∴命题q是真命题，由真值表可以判断“p∧q”为假，“p∧(綈q)”为假，“(綈p)∨q”为真，“(綈p)∨(綈q)”为真，所以只有②③正确，故选A.
【答案】
A
7．(2016·景德镇质检)若命题p：对于任意x∈－1，1]，有f(x)≥0，则对命题p的否定是________．
【答案】
存在x0∈－1，1]，使f(x0)<0
8．已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：>1，若“綈q且p”为真，则x的取值范围是____________．
【解析】
因为“綈q且p”为真，即q假p真，而q为真命题时，<0，得20，解得x>1或x<－3，
由解得x<－3或1所以x的取值范围是x<－3或1【答案】
(－∞，－3)∪(1，2]∪3，＋∞)
9．下列结论：
①若命题p： x∈R，tan
x＝1；命题q： x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p∧(綈q)”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．
【解析】
①中命题p为真命题，命题q为真命题，
所以p∧(綈q)为假命题，故①正确；
②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；
③正确．所以正确结论的序号为①③.
【答案】
①③
10．(2015·潍坊高三期末)已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根；命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．
【解析】
由p为真命题得，
则m>2.由q为真命题得，
Δ2＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0，
则1又∵“p或q”为真，“p且q”为假，
∴p与q一真一假．
①当p真q假时，解得m≥3；
②当p假q真时，解得1∴m的取值范围为m≥3或1B组 专项能力提升
(时间：20分钟)
11．(2015·山西康杰中学模拟)已知命题：p： x0∈R，x＋2x0＋2≤0，则綈p为( )
A． x0∈R，x＋2x0＋2>0
B． x0∈R，x＋2x0＋2<0
C． x∈R，x2＋2x＋2≤0
D． x∈R，x2＋2x＋2>0
【解析】
命题p为特称命题，其否定为“ x∈R，x2＋2x＋2>0”，故选D.
【答案】
D
12．(2015·唐山市二模)若命题“ x0∈R，使得x＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．2，6]
B．－6，－2]
C．(2，6)
D．(－6，－2)
【解析】
由题意知命题“ x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，因此Δ＝m2－4(2m－3)≤0，
即m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6.
则实数m的取值范围是2，6]．故选A.
【答案】
A
13．下列结论正确的个数是( )
(1)命题“ x0∈R，x＋1>3x0”的否定是“ x∈R，x2＋1≤3x”；
(2)函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π是“a＝1”的必要不充分条件；
(3)x2＋2x≥ax在x∈1，2]上恒成立 (x2＋2x)min≥(ax)max在x∈1，2]上恒成立；
(4)“平面向量a与b的夹角是钝角”的充分必要条件是“a·b<0”．
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】
(1)中命题“ x0∈R，x＋1>3x0”的否定是“ x∈R，x2＋1≤3x”为真命题；
(2)中如果函数f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos
2ax的最小正周期为π，那么由＝π得a＝±1；
由a＝1得f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos
2ax＝cos
2x，其最小正周期为π，所以(2)是真命题；
(3)是假命题，由x∈1，2]，可将x2＋2x≥ax化为a≤x＋2，所以原命题等价于a≤(x＋2)min；
(4)是假命题，因为a·b<0，有可能a与b的夹角是π.故选B.
【答案】
B
14．给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax2>－ax－1恒成立，命题q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围是______．
【解析】
若p为真命题，则a＝0或即0≤a<4；若q为真命题，则(－1)2－4a≥0，即a≤.
因为“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，
所以p，q中有且仅有一个为真命题．
若p真q假，则综上，实数a的取值范围为(－∞，0)∪.
【答案】
(－∞，0)∪
15．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解析】
(1)由x2－4ax＋3a2<0，得(x－3a)(x－a)<0.
又a>0，所以a当a＝1时，1实数x的取值范围是1由解得
即2所以q为真时实数x的取值范围是2若p∧q为真，则 2所以实数x的取值范围是(2，3)．
(2)綈p是綈q的充分不必要条件，
即綈p 綈q且綈q
/
綈p.
设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}，
则A?B.∴03，
∴1欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。
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9-2
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．(2016·济南模拟)已知两条直线l1：x＋y－1＝0，l2：3x＋ay＋2＝0且l1⊥l2，则a等于( )
A．－ B.
C．－3
D．3
【解析】
由l1⊥l2，可得1×3＋1×a＝0，
∴a＝－3.
【答案】
C
2．从点(2，3)射出的光线沿与向量a＝(8，4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为( )
A．x＋2y－4＝0
B．2x＋y－1＝0
C．x＋6y－16＝0
D．6x＋y－8＝0
【解析】
由直线与向量a＝(8，4)平行知：过点(2，3)的直线的斜率k＝，所以直线的方程为y－3＝(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0，2)，又点(2，3)关于y轴的对称点为(－2，3)，所以反射光线过点(－2，3)与(0，2)，由两点式知A正确．
【答案】
A
3．(教材改编)若A(－3，－4)，B(6，3)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则a等于( )
A．－
B.
C．－
D．－或－
【解析】
依题意，＝，
解得a＝－或a＝－.
【答案】
D
4．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )
A．0
B．2
C.
D．4
【解析】
∵＝≠－，
∴m＝8.∴直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，
两平行线之间的距离d＝＝2.
【答案】
B
5．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】
先根据已知条件分析△ABC的形状，然后确定外心的位置，最后数形结合计算外心到原点的距离．
在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助图形直接观察得出)，
INCLUDEPICTURE
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所以△ABC为等边三角形．
设BC的中点为D，点E为外心，
同时也是重心．所以|AE|＝|AD|＝，
从而|OE|＝＝
＝，故选B.
【答案】
B
6．(教材改编)与直线l1：3x＋2y－6＝0和直线l2：6x＋4y－3＝0等距离的直线方程是____________．
【解析】
l2：6x＋4y－3＝0化为3x＋2y－＝0，
所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x＋2y＋c＝0，
则：|c＋6|＝，
解得c＝－，所以l的方程为12x＋8y－15＝0.
【答案】
12x＋8y－15＝0
7．已知点A(－1，1)，B(2，－2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段AB相交(包含端点的情况)，则实数m的取值范围是____________．
【解析】
直线l：x＋my＋m＝0可化为x＋m(y＋1)＝0，
所以直线恒过定点P(0，－1)．
∵点A(－1，1)，B(2，－2)，
∴kPA＝－2，kPB＝－，
∵直线l：x＋my＋m＝0与线段AB相交(包含端点的情况)，
∴－≤－2或－≥－，
∴m≤或m≥2(经验证m＝0也符合题意)．
∴实数m的取值范围是∪2，＋∞)．
【答案】
∪2，＋∞)
8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________．
【解析】
由题意可知纸的折痕应是点(0，2)与点(4，0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7，3)与点(m，n)连线的中垂线，
于是解得故m＋n＝
【答案】
9．若直线l过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点，且|AB|＝5，求直线l的方程．
【解析】
过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.
解方程组
求得B点坐标为(1，4)，此时|AB|＝5，
即x＝1为所求．
设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，
解方程组得两直线交点为
(k≠－2，否则与已知直线平行)．
则B点坐标为.
由已知＋＝52，
解得k＝－，∴y＋1＝－(x－1)，
即3x＋4y＋1＝0.
综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
10．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
【解析】
依题意知：kAC＝－2，A(5，1)，
∴lAC为2x＋y－11＝0，
联立lAC、lCM得
∴C(4，3)．
设B(x0，y0)，AB的中点M为，
代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，
∴
∴B(－1，－3)，∴kBC＝，
∴直线BC的方程为y－3＝(x－4)，
即6x－5y－9＝0.
B组 专项能力提升
(时间：15分钟)
11．(2016·河北唐山模拟)已知过点P(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a等于( )
A．－ B．1
C．2
D.
【解析】
圆心为O(1，0)，
由于P(2，2)在圆(x－1)2＋y2＝5上，
∴P为切点，OP与P点处的切线垂直．∴kOP＝＝2，
又点P处的切线与直线ax－y＋1＝0垂直．
∴a＝kOP＝2，选C.
【答案】
C
12．(2014·四川)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的取值范围是( )
A．，2]
B．，2]
C．，4]
D．2，4]
【解析】
由动直线x＋my＝0知定点A的坐标为(0，0)，
由动直线mx－y－m＋3＝0知定点B的坐标为(1，3)，
且两直线互相垂直，故点P在以AB为直径的圆上运动．故当点P与点A或点B重合时，
|PA|＋|PB|取得最小值，
(|PA|＋|PB|)min＝|AB|＝.
当点P与点A或点B不重合时，
在Rt△PAB中，有|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.
因为|PA|2＋|PB|2≥2|PA||PB|，
所以2(|PA|2＋|PB|2)≥(|PA|＋|PB|)2，
当且仅当|PA|＝|PB|时取等号，
所以|PA|＋|PB|≤＝×＝2，所以≤|PA|＋|PB|≤2，
所以|PA|＋|PB|的取值范围是，2]．
【答案】
B
13．如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为________．
INCLUDEPICTURE
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【解析】
以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，设B(a，－2)，C(b，3)．
INCLUDEPICTURE
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∵AC⊥AB，∴ab－6＝0，ab＝6，b＝.
Rt△ABC的面积S＝·
＝·
＝
≥＝6.
【答案】
6
14．点P(2，1)到直线l：mx－y－3＝0(m∈R)的最大距离是________．
【解析】
直线l经过定点Q(0，－3)，如图所示．
INCLUDEPICTURE
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由图知，当PQ⊥l时，点P(2，1)到直线l的距离取得最大值|PQ|＝＝2，
所以点P(2，1)到直线l的最大距离为2.
【答案】
2
15．(2015·安徽安庆)在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．
【解析】
设平面上任一点M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，
当且仅当A，M，C共线时取等号，
同理|MB|＋|MD|≥|BD|，
当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交于一点M，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M为所求．
又kAC＝＝2，∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，
即2x－y＝0.①
又kBD＝＝－1，
∴直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0.②
由①②得∴∴M(2，4)．
【答案】
(2，4)
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10-1
A组 专项基础训练
(时间：25分钟)
1．(2015·四川)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
A．抽签法 B．系统抽样法
C．分层抽样法
D．随机数法
【解析】
根据条件按比例抽样得知抽样方法．
根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法．
【答案】
C
2．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )
A．6
B．8
C．10
D．12
【解析】
设样本容量为N，则N×＝6，∴N＝14，
∴高二年级所抽学生人数为14×＝8.
【答案】
B
3．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270，使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250
②5，9，100,
107,
111,
121,
180，195,
200,
265
③11,
38，65,
92，119,
146，173,
200,
227,
254
④30,
57,
84,
111,
138，165，192,
219,
246,
270
关于上述样本的下列结论中，正确的是( )
A．②、③都不能为系统抽样
B．②、④都不能为分层抽样
C．①、④都可能为系统抽样
D．①、③都可能为分层抽样
【解析】
因为③为系统抽样，所以选项A不对；因为②为分层抽样，所以选项B不对；因为④不为系统抽样，所以选项C不对，故选D.
【答案】
D
4．为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应为( )
A．13
B．19
C．20
D．51
【解析】
抽样间隔为46－33＝13，
故另一位同学的编号为7＋13＝20，选C.
【答案】
C
5．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3
500人，其中高三学生是高一学生的两倍，高二学生比高一学生多300人，现在按的抽样比例用分层抽样的方法抽取样本，则高一学生应抽取的人数为( )
A．8
B．11
C．16
D．10
【解析】
设高一学生有x人，则高三学生有2x人，
高二学生有(x＋300)人，学校共有4x＋300＝3
500(人)，
解得x＝800(人)，由此可得按的抽样比例用分层抽样的方法抽取样本，高一学生应抽取的人数为×800＝8(人)，故应选A.
【答案】
A
6．已知某商场新进3
000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否达标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则61组抽出的号码为________．
【解析】
每组袋数：d＝＝20，
由题意知这些号码是以11为首项，20为公差的等差数列，
a61＝11＋60×20＝1211.
【答案】
1211
7．将某班的60名学生编号为01，02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是________．
【解析】
编号组数为5，间隔为＝12，
因为在第一组抽得04号：
4＋12＝16，16＋12＝28，28＋12＝40，40＋12＝52，
所以其余4个号码为16，28，40，52.
【答案】
16，28，40，52
8．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．
【解析】
抽取比例与学生比例一致．
设应从高二年级抽取x名学生，则x∶50＝3∶10.
解得x＝15.
【答案】
15
9．某校共有学生2
000名，各年级男、女学生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为________.
一年级
二年级
三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
【解析】
依题意可知二年级的女生有380人，那么三年级的学生人数应该是2
000－373－377－380－370＝500，即总体中各个年级的人数比为3∶3∶2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64×＝16.
【答案】
16
10．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为123，则第2组中应抽出个体的号码是________．
【解析】
由题意可知，系统抽样的组数为20，间隔为8，设第1组抽出的号码为x，则由系统抽样的法则可知，第n组抽出个体的号码应该为x＋(n－1)×8，所以第16组应抽出的号码为x＋(16－1)×8＝123，解得x＝3，所以第2组中应抽出个体的号码为3＋(2－1)×8＝11.
【答案】
11
B组 专项能力提升
(时间：15分钟)
11．(2014·湖南)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则( )
A．p1＝p2B．p2＝p3C．p1＝p3D．p1＝p2＝p3
【解析】
由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p1＝p2＝p3.
【答案】
D
12．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间1，450]的人做问卷A，编号落入区间451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为( )
A．7
B．9
C．10
D．15
【解析】
由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为＝30，抽取的号码依次为9，39，69，…，939.落入区间451，750]的有459，489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729＝459＋(n－1)×30，解得n＝10.所以做问卷B的有10人．
【答案】
C
13．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．
【解析】
关键是确定样本的抽取比例．
男生人数为560×＝160.
【答案】
160
14．200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号分为40组，分别为1～5，6～10，…，196～200，第5组抽取号码为22，第8组抽取号码为________，若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．
【解析】
将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中应抽取x人，则＝，解得x＝20.
【答案】
37 20
15．一个总体中有90个个体，随机编号0，1，2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1，2，3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码是________．
【解析】
由题意知：m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.
【答案】
76
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2-2
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ln(x＋2) B．y＝－
C．y＝
D．y＝x＋
【解析】
∵函数y＝ln(x＋2)在(－2，＋∞)上为增函数，
∴在(0，＋∞)上也是增函数．
【答案】
A
2．(2016·辽宁五校联考)已知函数f(x)是定义在R上的单调递增函数，且满足对任意的实数x都有ff(x)－3x]＝4，则f(x)＋f(－x)的最小值等于( )
A．2
B．4
C．8
D．12
【解析】
由已知条件可知存在唯一实数k使f(k)＝4，且f(x)＝3x＋k，令x＝k，得f(k)＝3k＋k＝4.
可得k＝1，从而f(x)＝3x＋1，
∴f(x)＋f(－x)＝3x＋＋2≥2
＋2＝4，
当且仅当x＝0时取等号．故选B.
【答案】
B
3．(2014·天津)函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，－2)
【解析】
因为y＝logt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．
【答案】
D
4．已知f(x)为R上的减函数，则满足f>f(1)的实数x的取值范围是( )
A．(－∞，1)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，1)
D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
【解析】
依题意得<1，即>0，
所以x的取值范围是x>1或x<0.
【答案】
D
5．定义新运算“ ”：当a≥b时，a b＝a；当aA．－1
B．1
C．6
D．12
【解析】
由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，
当1∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．
∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.
【答案】
C
6．已知函数f(x)＝，则该函数的单调增区间为________．
【解析】
设t＝x2－2x－3，由t≥0，
即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.
所以函数的定义域为(－∞，－1]∪3，＋∞)．
因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，
所以函数在(－∞，－1]上单调递减，
在3，＋∞)上单调递增．
又因为y＝在0，＋∞)上单调递增．
所以函数f(x)的增区间为3，＋∞)．
【答案】
3，＋∞)
7．已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．
【解析】
由已知可得
解得－33.
所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．
【答案】
(－3，－1)∪(3，＋∞)
8．(2015·福建)若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．
【解析】
利用m，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间的子区间求解．
因为f(x)＝2|x－a|，
所以f(x)的图象关于直线x＝a对称．
又由f(1＋x)＝f(1－x)，知f(x)的图象关于直线x＝1对称，故a＝1，且f(x)的增区间是1，＋∞)，
由函数f(x)在m，＋∞)上单调递增，
知m，＋∞) 1，＋∞)，
所以m≥1，故m的最小值为1.
【答案】
1
9．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)，
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．
【解析】
(1)证明：设x2>x1>0，
则x2－x1>0，x1x2>0，
∵f(x2)－f(x1)＝－
＝－＝>0，
∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)∵f(x)在上的值域是，
又f(x)在上单调递增，∴f＝，f(2)＝2.
易得a＝.
10．已知函数f(x)＝－，x∈0，2]，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值．
【解析】
设x1，x2是区间0，2]上的任意两个实数，
且x1＝－＝－.
由0≤x1得x2－x1>0，(x1＋1)(x2＋1)>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故f(x)在区间0，2]上是增函数．
因此，函数f(x)＝－在区间0，2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f(0)＝－2，最大值是f(2)＝－.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
11．已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是( )
A．(0，3)
B．(0，3]
C．(0，2)
D．(0，2]
【解析】
由题意得解得0【答案】
D
12．函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex
D．f(x)＝ln(x＋1)
【解析】
由题意知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
A中，f(x)＝满足要求；
B中，f(x)＝(x－1)2在0，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；
C中，f(x)＝ex是增函数；
D中，f(x)＝ln(x＋1)是增函数．
【答案】
A
13．(2015·湖北)已知符号函数sgn
x＝f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a>1)，则( )
A．sgng(x)]＝sgn
x
B．sgng(x)]＝sgnf(x)]
C．sgng(x)]＝－sgn
x
D．sgng(x)]＝－sgnf(x)]
【解析】
分类比较x与ax的大小，根据f(x)的单调性确定g(x)的符号，从而确定sgng(x)]，再结合选项判断．
因为a>1，所以当x>0时，x因为f(x)是R上的增函数，
所以f(x)sgng(x)]＝－1＝－sgn
x；
同理可得当x<0时，g(x)＝f(x)－f(ax)>0，
sgng(x)]＝1＝－sgn
x；
当x＝0时，g(x)＝0，sgng(x)]＝0＝－sgn
x也成立．故C正确．
【答案】
C
14．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
【解析】
(1)证明：任取x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)任设1f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵a>0，x2－x1>0，
∴要使f(x1)－f(x2)>0，
只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.
综上所述，a的取值范围是(0，1]．
15．(2016·昆明模拟)已知函数f(x)＝，x∈1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
【解析】
(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，
设1≤x1则f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)，
∵1≤x10，2x1x2>2，
∴0<<，1－>0，
∴f(x2)－f(x1)>0，f(x1)∴f(x)在区间1，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在区间1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.
(2)在区间1，＋∞)上f(x)>0恒成立
x2＋2x＋a>0恒成立．
设y＝x2＋2x＋a，x∈1，＋∞)，
则函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间1，＋∞)上是增函数．
所以当x＝1时，y取最小值，即ymin＝3＋a，
于是当且仅当ymin＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，
故a>－3.
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9-3
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．“a＝1”是“方程x2＋y2－2x＋2y＋a＝0表示圆”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】
方程x2＋y2－2x＋2y＋a＝0表示一个圆，
则(－2)2＋22－4a>0，∴a<2，又a＝1 a<2，反之不成立，
∴“a＝1”是“方程x2＋y2－2x＋2y＋a＝0表示圆”的充分而不必要条件．
【答案】
A
2．点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25内弦AB的中点，则AB的方程为( )
A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x－y－3＝0
D．2x－y－5＝0
【解析】
由题意可知圆心Q(1，0)，故kPQ＝－1.
∴kAB＝1，∴AB的方程为y＋1＝1×(x－2)．
即x－y－3＝0.
【答案】
C
3．已知点A(－2，0)，B(0，2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是( )
A．3－
B．3＋
C．3－
D.
【解析】
圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1.
直线AB的方程为x－y＋2＝0，
圆心(1，0)到直线AB的距离d＝＝.
则点C到直线AB的最短距离为－1.
又|AB|＝2.
∴S△ABC的最小值为×2×＝3－.
【答案】
A
4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
【解析】
设圆上任一点坐标为(x0，y0)，
x＋y＝4，连线中点坐标为(x，y)，
则
代入x＋y＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
【答案】
A
5．若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为( )
A．1
B．5
C．4
D．3＋2
【解析】
由题意知圆心C(2，1)在直线ax＋2by－2＝0上，
∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，
∴＋＝(a＋b)＝3＋＋
≥3＋2
＝3＋2，
当且仅当＝，即b＝2－，a＝－1时，等号成立．
∴＋的最小值为3＋2.
【答案】
D
6．(2015·全国卷Ⅱ)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( )
A．2
B．8
C．4
D．10
【解析】
由已知三点求出圆的方程，然后求出M，N的坐标，进而求出|MN|.
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得
∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
令x＝0，得y＝－2＋2或y＝－2－2，
∴M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或M(0，－2－2)，N(0，－2＋2)，∴|MN|＝4，故选C.
【答案】
C
7．若方程x2＋y2－2x＋2my＋2m2－6m＋9＝0表示圆，则m的取值范围是________；当半径最大时，圆的方程为________．
【解析】
∵原方程可化为(x－1)2＋(y＋m)2＝－m2＋6m－8，
∴r2＝－m2＋6m－8＝－(m－2)(m－4)>0，∴2当m＝3时，r最大为1，圆的方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝1.
【答案】
28．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．
【解析】
∵圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，
∴其圆心为(－1，2)，且5－a>0，即a<5.
又圆关于直线y＝2x＋b成轴对称，
∴2＝－2＋b，∴b＝4.
∴a－b＝a－4<1.
【答案】
(－∞，1)
9．一圆经过A(4，2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．
【解析】
设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D.
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E.
由题意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0.①
又因为圆过点A、B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0.②
1＋9－D＋3E＋F＝0.③
解①②③组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.
10．已知圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9，6)，求圆C的方程．
【解析】
因为圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，
所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－＝－6，
其方程为y＋1＝－6(x－4)，即y＝－6x＋23.
又因为圆心在以(4，－1)，(9，6)两点为端点的线段的中垂线y－＝－，
即5x＋7y－50＝0上，
由解得圆心为(3，5)，
所以半径为＝，
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
11．过点P(1，1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )
A．x＋y－2＝0
B．y－1＝0
C．x－y＝0
D．x＋3y－4＝0
【解析】
当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．圆心O与P点连线的斜率k＝1，
∴过点P垂直于OP的直线方程为x＋y－2＝0.
【答案】
A
12．(2014·山东)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为____________．
【解析】
设圆C的圆心为(a，b)(b>0)，
由题意得a＝2b>0，且a2＝()2＋b2，
解得a＝2，b＝1.
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
【答案】
(x－2)2＋(y－1)2＝4
13．设P为直线3x＋4y＋3＝0上的动点，过点P作圆C；x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为________．
【解析】
依题意，圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心是点C(1，1)，半径是1，
易知|PC|的最小值等于圆心C(1，1)到直线3x＋4y＋3＝0的距离，即＝2，
而四边形PACB的面积等于
2S△PAC＝2×
＝|PA|·|AC|＝|PA|＝，
因此四边形PACB的面积的最小值是＝.
【答案】
14．已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝4在区域D内的弧长为________．
【解析】
作出可行域D及圆x2＋y2＝4，如图所示，
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\598.tif"
\
MERGEFORMATINET
图中阴影部分所在圆心角θ＝α－β所对的弧长即为所求．
易知图中两直线的斜率分别为、－，
得tan
α＝，tan
β＝－，
tan
θ＝tan(α－β)＝＝1，
得θ＝，得弧长l＝θ·R＝×2＝(R为圆的半径)．
【答案】
15．(2016·广东广州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
【解析】
(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.
则y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.
∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1.
∴P点的轨迹方程为y2－x2＝1.
(2)设P的坐标为(x0，y0)，
则＝，即|x0－y0|＝1.
∴y0－x0＝±1，即y0＝x0±1.
①当y0＝x0＋1时，由y－x＝1得(x0＋1)2－x＝1.
∴∴r2＝3.∴圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3.
②当y0＝x0－1时，由y－x＝1得(x0－1)2－x＝1.
∴∴r2＝3.
∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3.
综上所述，圆P的方程为x2＋(y±1)2＝3.
16．在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，－3)为△OAB的直角顶点，已知|AB|＝2|OA|，且点B的纵坐标大于0.
(1)求的坐标；
(2)求圆x2－6x＋y2＋2y＝0关于直线OB对称的圆的方程．
【解析】
(1)设＝(x，y)，由|AB|＝2|OA|，·＝0，
得解得或
若＝(－6，－8)，则yB＝－11与yB＞0矛盾．
∴舍去．即＝(6，8)．
(2)圆x2－6x＋y2＋2y＝0，
即(x－3)2＋(y＋1)2＝()2，
其圆心为C(3，－1)，半径r＝，
∵＝＋＝(4，－3)＋(6，8)＝(10，5)，
∴直线OB的方程为y＝x.
设圆心C(3，－1)关于直线y＝x的对称点的坐标为(a，b)，
则解得
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.
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6-2
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．(2015·武汉市调研)已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d等于( )
A．－1
B．－2
C．－3
D．－4
【解析】
方法一：由题意可得
解得a1＝5，d＝－3.
方法二：a1＋a7＝2a4＝－8，∴a4＝－4，
∴a4－a2＝－4－2＝2d，∴d＝－3.
【答案】
C
2．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( )
A．5
B．7
C．9
D．11
【解析】
方法一：利用等差数列的性质进行求解．
∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，
∴S5＝＝5a3＝5，故选A.
方法二：利用等差数列的通项公式和前n项和公式进行整体运算．
∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，
∴a1＋2d＝1，∴S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5，故选A.
【答案】
A
3．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于( )
A．0
B．37
C．100
D．－37
【解析】
设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，
则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)
＝d1＋d2，∴{an＋bn}为等差数列，
又a1＋b1＝a2＋b2＝100，∴{an＋bn}为常数列，
∴a37＋b37＝100.
【答案】
C
4．等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为( )
A．S4
B．S5
C．S6
D．S7
【解析】
∵∴
∴Sn的最大值为S5.
【答案】
B
5．在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是( )
A．24
B．48
C．60
D．84
【解析】
由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a10>0，a11<0，
∴T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18
＝S10－(S18－S10)＝60.
【答案】
C
6．(2015·浙江)已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________．
【解析】
根据已知条件，建立方程组求解．
∵a2，a3，a7成等比数列，∴a＝a2a7，
∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，
即2d＋3a1＝0.①
又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1.②
由①②解得a1＝，d＝－1.
【答案】
－1
7．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn取最大值时，n的值是________．
【解析】
依题意得2a6＝4，2a7＝－2，
a6＝2>0，a7＝－1<0；
又数列{an}是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n＝6.
【答案】
6
8．(2015·安徽)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．
【解析】
先判断数列{an}为等差数列，再由等差数列的前n项和公式求解即可．
由a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，
可知数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，
故S9＝9a1＋×＝9＋18＝27.
【答案】
27
9．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
【解析】
(1)设等差数列{an}的公差为d，
则an＝a1＋(n－1)d.
由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，
解得d＝－2.从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
(2)由(1)可知an＝3－2n，
所以Sn＝＝2n－n2.
由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，
即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N
，故k＝7.
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1<0，S2
015＝0.
(1)求Sn的最小值及此时n的值；
(2)求n的取值集合，使其满足an≥Sn.
【解析】
(1)设公差为d，则由S2
015＝0
2
015a1＋d＝0 a1＋1
007d＝0，
d＝－a1，a1＋an＝a1，
∴Sn＝(a1＋an)＝·a1
＝(2
015n－n2)．
∵a1<0，n∈N
，
∴当n＝1
007或1
008时，Sn取最小值504a1.
(2)an＝a1，
Sn≤an (2
015n－n2)≤a1.
∵a1<0，∴n2－2
017n＋2
016≤0，
即(n－1)(n－2
016)≤0，解得1≤n≤2
016.
故所求n的取值集合为{n|1≤n≤2
016，n∈N
}．
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
11．已知数列{an}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0的n的最大值为( )
A．11
B．19
C．20
D．21
【解析】
∵<－1，且Sn有最大值，
∴a10>0，a11<0，且a10＋a11<0，
∴S19＝＝19·a10>0，
S20＝＝10(a10＋a11)<0，
故使得Sn>0的n的最大值为19.
【答案】
B
12．(2015·北京)设{an}是等差数列，下列结论中正确的是( )
A．若a1＋a2>0，则a2＋a3>0
B．若a1＋a3<0，则a1＋a2<0
C．若0
D．若a1<0，则(a2－a1)(a2－a3)>0
【解析】
利用所给条件结合等差数列的相关知识直接判断．
设等差数列{an}的公差为d，
若a1＋a2>0，a2＋a3＝a1＋d＋a2＋d
＝(a1＋a2)＋2d，由于d正负不确定，因而a2＋a3符号不确定，故选项A错；
若a1＋a3<0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝(a1＋a3)－d，
由于d正负不确定，因而a1＋a2符号不确定，故选项B错；
若00，d>0，a2>0，a3>0，
∴a－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝d2>0，
∴a2>，故选项C正确；
若a1<0，则(a2－a1)(a2－a3)＝d·(－d)＝－d2≤0，故选项D错．
【答案】
C
13．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为________．
【解析】
∵{an}，{bn}为等差数列，
∴＋＝＋＝＝.
∵＝＝＝＝，∴＝.
【答案】
14．已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4(n∈N
)．
(1)求证：数列{an}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【解析】
(1)证明：当n＝1时，有2a1＝a＋1－4，
即a－2a1－3＝0，解得a1＝3(a1＝－1舍去)．
当n≥2时，有2Sn－1＝a＋n－5，
又2Sn＝a＋n－4，两式相减得2an＝a－a＋1，
即a－2an＋1＝a，也即(an－1)2＝a，
因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1.
若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1.
而a1＝3，
所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数相矛盾，
所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1，
因此数列{an}为等差数列．
(2)由(1)知a1＝3，d＝1，
所以数列{an}的通项公式an＝3＋(n－1)×1＝n＋2，
即an＝n＋2.
15．(2015·全国卷Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和．已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．
【解析】
(1)由a＋2an＝4Sn＋3，①
可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.②
②－①，得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，
即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．
由an>0，得an＋1－an＝2.
又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.
所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，
通项公式为an＝2n＋1.
(2)由an＝2n＋1可知
bn＝＝＝.
设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝.
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9-1
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则参数m满足的条件是( )
A．m≠－ B．m≠0
C．m≠0且m≠1
D．m≠1
【解析】
由
解得m＝1，
故m≠1时方程表示一条直线．
【答案】
D
2．直线xsin
＋ycos
＝0的倾斜角α是( )
A．－
B.
C.
D.
【解析】
∵tan
α＝－＝－tan
＝tan
π，
∵α∈0，π)，∴α＝π.
【答案】
D
3．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A.
B.
C.∪
D.∪
【解析】
∵直线的斜率k＝－，
∴－1≤k<0，则倾斜角的范围是.
【答案】
B
4．两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )
【解析】
化为截距式＋＝1，＋＝1.
假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A项符合．
【答案】
A
5．已知直线PQ的斜率为－，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率为( )
A.
B．－
C．0
D．1＋
【解析】
直线PQ的斜率为－，
则直线PQ的倾斜角为120°，
所求直线的倾斜角为60°，tan
60°＝.
【答案】
A
6．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈∪，则k的取值范围是____________．
【解析】
当≤α<时，
≤tan
α<1，∴≤k<1.
当≤α<π时，－≤tan
α<0.
∴k∈∪－，0)．
【答案】
－，0)∪
7．(2016·咸阳模拟)直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是____________．
【解析】
当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；
当a≠－1时，直线l的斜率为－，
只要－>1或－<0即可，
解得－10.
综上可知，实数a的取值范围是∪(0，＋∞)．
【答案】
∪(0，＋∞)
8．若ab>0，且A(a，0)、B(0，b)、C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________．
【解析】
根据A(a，0)、B(0，b)确定直线的方程为＋＝1，
又C(－2，－2)在该直线上，故＋＝1，
所以－2(a＋b)＝ab.又ab>0，故a<0，b<0.
根据基本不等式ab＝－2(a＋b)≥4，
从而≤0(舍去)或≥4，
故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时取等号．
即ab的最小值为16.
【答案】
16
9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－3，4)；
(2)斜率为.
【解析】
(1)设直线l的方程是y＝k(x＋3)＋4，
它在x轴，y轴上的截距分别是－－3，3k＋4，
由已知，得(3k＋4)＝±6，
解得k1＝－或k2＝－.
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是
y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.
∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
10．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．
【解析】
由题意可得kOA＝tan
45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点C，
由点C在y＝x上，且A，P，B三点共线得
解得m＝，所以A(，)．
又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
B组 专项能力提升
(时间：15分钟)
11．(2016·福州模拟)若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为( )
A．1
B．2
C．4
D．8
【解析】
∵直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，
∴a＋b＝ab，即＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b)＝2＋＋
≥2＋2
＝4，
当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．
∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.
【答案】
C
12．过点P(－2，3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线共有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
【解析】
设过点P(－2，3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的斜率为k，则有直线的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，它与坐标轴的交点分别为M(0，2k＋3)，N.
再由12＝|OM|·|ON|＝|2k＋3|×，
可得＝24，即4k＋＋12＝24，
或4k＋＋12＝－24.
解得k＝或k＝或k＝，
故满足条件的直线有3条．
【答案】
C
13．若直线l1：y＝k(x－6)与直线l2关于点(3，1)对称，则直线l2恒过定点________．
【解析】
直线l1：y＝k(x－6)恒过定点(6，0)，定点关于点(3，1)对称的点为(0，2)．
又直线l1：y＝k(x－6)与直线l2关于点(3，1)对称，故直线l2恒过定点(0，2)．
【答案】
(0，2)
14．已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．
【解析】
直线AB的方程为＋＝1，
设P(x，y)，则x＝3－y，
∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)＝－(y－2)2＋4]≤3.
即当P点坐标为时，xy取最大值3.
【答案】
3
15．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．
【解析】
b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，
如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时b分别取得最小值和最大值．
∴b的取值范围是－2，2]．
【答案】
－2，2]
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7-2
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．函数f(x)＝
的定义域为( )
A．－2，1] B．(－2，1]
C．－2，1)
D．(－∞，－2]∪1，＋∞)
【解析】
≥0 ≤0
－2【答案】
B
2．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A．(－3，1)∪(3，＋∞)
B．(－3，1)∪(2，＋∞)
C．(－1，1)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(1，3)
【解析】
由题意得或
解得－33.
【答案】
A
3．设a>0，不等式－cA．1∶2∶3
B．2∶1∶3
C．3∶1∶2
D．3∶2∶1
【解析】
∵－c0，∴－∵不等式的解集为{x|－2∴∴
∴a∶b∶c＝a∶∶＝2∶1∶3.
【答案】
B
4．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－2，2]
B．(－2，2)
C．(－∞，－2)∪2，＋∞)
D．(－∞，2]
【解析】
原不等式等价于(m－2)x2＋2(m－2)x－4<0，
①当m＝2时，对任意x不等式都成立；
②当m－2<0时，Δ＝4(m－2)2＋16(m－2)<0，
∴－2【答案】
A
5．(2015·山东)已知集合A＝{x|2A．(1，3)
B．(1，4)
C．(2，3)
D．(2，4)
【解析】
解出集合B中的不等式，再找出A和B的公共部分，可得它们的交集．
由题意知B＝{x|1所以A∩B＝{x|2【答案】
C
6．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为____________．
【解析】
由已知条件0<10x<，解得x＝－lg
2.
【答案】
{x|x<－lg
2}
7．若00的解集是____________．
【解析】
原不等式即(x－a)<0，
由0【答案】
8．(2015·广东)不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)
【解析】
利用一元二次不等式的解法求解．
由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－4【答案】
(－4，1)
9．(2015·云南大理月考)已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值．
【解析】
(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，
∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3>0，
即a2－6a－3<0，解得3－2∴不等式的解集为{a|3－2(2)∵f(x)>b的解集为(－1，3)，
∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3，
∴解得
10．某农贸公司按每担200元收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
【解析】
(1)降低税率后的税率为(10－x)%，
农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，
收购总金额为200a(1＋2x%)万元．
依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%
＝a(100＋2x)(10－x)(0(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．
依题意得a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，
化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2.
又∵0B组 专项能力提升
(时间：20分钟)
11．(2016·大连模拟)已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)>0的解集是(－1，3)，则不等式f(－2x)<0的解集是( )
A.∪
B.
C.∪
D.
【解析】
f(x)＝0的两个解是x1＝－1，x2＝3且a<0，
由f(－2x)<0得－2x>3或－2x<－1，
∴x<－或x>.
【答案】
A
12．(2015·天津)设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】
先求不等式的解集，再根据充分条件、必要条件的判断方法进行判断．
|x－2|<1 10 x>1或x<－2.
由于{x|11或x<－2}的真子集，
所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分而不必要条件．
【答案】
A
13．设0≤α≤π，不等式8x2－(8sin
α)x＋cos
2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为________．
【解析】
由题意，要使8x2－(8sin
α)x＋cos
2α≥0对x∈R恒成立，需Δ＝64sin2
α－32cos
2α≤0，化简得cos
2α≥.
又0≤α≤π，∴0≤2α≤或≤2α≤2π，
解得0≤α≤或≤α≤π.
【答案】
∪
14．设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈，f－4m2·f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是____________．
【解析】
依据题意得－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)在x∈上恒成立，
即－4m2≤－－＋1在x∈上恒成立．
当x＝时，函数y＝－－＋1取得最小值－，
所以－4m2≤－，即(3m2＋1)(4m2－3)≥0，
解得m≤－或m≥.
【答案】
15．求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立的x的取值范围．
【解析】
将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.
令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9.
因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立，所以
(1)若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去．
(2)若x≠3，则由一次函数的单调性，
可得即
解得x<2或x>4.
所以x的取值范围是{x|x<2或x>4}．
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4-2
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．α是第四象限角，tan
α＝－，则sin
α等于( )
A. B．－
C.
D．－
【解析】
∵tan
α＝＝－，
∴cos
α＝－sin
α，
又sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＋sin2α＝sin2α＝1.
又sin
α<0，∴sin
α＝－.
【答案】
D
2．若sin＝，则cos等于( )
A．－
B．－
C.
D.
【解析】
∵＋＝，
∴sin＝sin
＝cos＝.
则cos＝2cos2－1＝－.
【答案】
A
3．已知sin(π－α)＝－2sin，则sin
α·cos
α等于( )
A.
B．－
C.或－
D．－
【解析】
由sin(π－α)＝－2sin
得sin
α＝－2cos
α，
所以tan
α＝－2，
∴sin
α·cos
α＝＝＝－，
故选B.
【答案】
B
4．已知f(α)＝，则f的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
【解析】
∵f(α)＝＝cos
α，
∴f＝cos
＝cos＝cos
＝.
【答案】
A
5．函数y＝3cos(x＋φ)＋2的图象关于直线x＝对称，则φ的可能取值是( )
A.
B．－
C.
D.
【解析】
∵y＝cos
x＋2的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，
∴x＋φ＝kπ(k∈Z)，即x＝kπ－φ(k∈Z)，
令＝kπ－φ(k∈Z)得φ＝kπ－(k∈Z)，
在四个选项中，只有满足题意．
【答案】
A
6．如果sin
α＝，且α为第二象限角，则sin＝________．
【解析】
∵sin
α＝，且α为第二象限角，
∴cos
α＝－＝－
＝－，
∴sin＝－cos
α＝.
【答案】
7．(2016·浙江省东阳中学月考)已知α为钝角，sin＝，则sin＝________．
【解析】
由题意可得cos＝±，
又因为α为钝角，所以cos＝－，
所以sin＝cos
＝cos＝－.
【答案】
－
8．化简：＝________．
【解析】
原式＝＝＝1.
【答案】
1
9．已知sin
θ＝，<θ<π.
(1)求tan
θ的值；
(2)求的值．
【解析】
(1)∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴cos2θ＝.
又<θ<π，∴cos
θ＝－.
∴tan
θ＝＝－.
(2)由(1)知，＝＝－.
10．已知sin
θ，cos
θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根，求cos3＋sin3的值．(已知：a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2))
【解析】
由已知原方程的判别式Δ≥0，
即(－a)2－4a≥0，
∴a≥4或a≤0.
又∵
∴(sin
θ＋cos
θ)2＝1＋2sin
θcos
θ，
则a2－2a－1＝0，从而a＝1－或a＝1＋(舍去)，
因此sin
θ＋cos
θ＝sin
θcos
θ＝1－.
∴cos3＋sin3＝sin3θ＋cos3θ
＝(sin
θ＋cos
θ)(sin2θ－sin
θcos
θ＋cos2θ)
＝(1－)1－(1－)]＝－2.
B组 专项能力提升
(时间：20分钟)
11．已知sin
θ＝－，θ∈，则sin(θ－5π)·sin的值是( )
A.
B．－
C．－
D.
【解析】
∵sin
θ＝－，θ∈，
∴cos
θ＝＝.
∴原式＝－sin(π－θ)·(－cos
θ)＝sin
θcos
θ
＝－×＝－.
【答案】
B
12．(2016·西安模拟)已知2tan
α·sin
α＝3，－<α<0，则sin
α等于( )
A.
B．－
C.
D．－
【解析】
由2tan
α·sin
α＝3得，＝3，
即2cos2α＋3cos
α－2＝0，又－<α<0，
解得cos
α＝(cos
α＝－2舍去)，故sin
α＝－.
【答案】
B
13．(2016·韶关摸底考试)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x－y＝0上，则等于( )
A．－2
B．2
C．0
D.
【解析】
由题意可得tan
θ＝2，
原式＝＝＝2.
【答案】
B
14．已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin的值是________．
【解析】
cos＝cos
＝－cos＝－a.
sin＝sin＝cos＝a，
∴cos＋sin＝0.
【答案】
0
15．已知f(x)＝(n∈Z)．
(1)化简f(x)的表达式；
(2)求f＋f的值．
【解析】
(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，
f(x)＝
＝＝＝sin2x；
当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，
f(x)＝
＝
＝＝＝sin2x，
综上得f(x)＝sin2x.
(2)由(1)得f＋f
＝sin2＋sin2＝sin2＋sin2
＝sin2＋cos2＝1.
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12-3
A组 专项基础训练
(时间：25分钟)
1．(2014·福建)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于( )
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\763.tif"
\
MERGEFORMATINET
A．18 B．20
C．21
D．40
【解析】
由题意，得S＝0，n＝1；S＝0＋2＋1＝3<15，n＝2；
S＝3＋22＋2＝9<15，n＝3；S＝9＋23＋3＝20，n＝4，
因为20≥15，因此输出S.故选B.
【答案】
B
2．(2015·全国卷Ⅰ)执行如图的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝( )
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\764.tif"
\
MERGEFORMATINET
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】
逐次运行程序，直至输出n.
运行第一次：S＝1－＝＝0.5，m＝0.25，n＝1，S>0.01；
运行第二次：S＝0.5－0.25＝0.25，m＝0.125，n＝2，S>0.01；
运行第三次：S＝0.25－0.125＝0.125，m＝0.062
5，n＝3，S>0.01；
运行第四次：S＝0.125－0.062
5＝0.062
5，m＝0.031
25，n＝4，S>0.01；
运行第五次：S＝0.031
25，m＝0.015
625，n＝5，S>0.01；
运行第六次：S＝0.015
625，m＝0.007
812
5，n＝6，S>0.01；
运行第七次：S＝0.007
812
5，m＝0.003
906
25，n＝7，S<0.01.输出n＝7.故选C.
【答案】
C
3．(2015·北京)执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\765.tif"
\
MERGEFORMATINET
A．(－2，2)
B．(－4，0)
C．(－4，－4)
D．(0，－8)
【解析】
利用循环结构直接求解相关数据．
x＝1，y＝1，k＝0，s＝x－y＝0，t＝x＋y＝2，x＝s＝0，y＝t＝2，k＝1，不满足k≥3；
s＝x－y＝－2，t＝x＋y＝2，x＝－2，y＝2，k＝2，不满足k≥3；s＝x－y＝－4，t＝x＋y＝0，x＝－4，y＝0，k＝3，满足k≥3，输出的结果为(－4，0)．
【答案】
B
4．(2015·全国卷Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a＝( )
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\766.TIF"
\
MERGEFORMATINET
A．0
B．2
C．4
D．14
【解析】
逐次运行程序，直至程序结束得出a值．
a＝14，b＝18.
第一次循环：14≠18且14<18，b＝18－14＝4；
第二次循环：14≠4且14>4，a＝14－4＝10；
第三次循环：10≠4且10>4，a＝10－4＝6；
第四次循环：6≠4且6>4，a＝6－4＝2；
第五次循环：2≠4且2<4，b＝4－2＝2；
第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2，故选B.
【答案】
B
5．(2015·福建)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出y的值为( )
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\767.TIF"
\
MERGEFORMATINET
A．2
B．7
C．8
D．128
【解析】
根据框图的功能模拟运行即可得出答案．
由程序框图知，y＝
∵输入x的值为1，比2小，
∴执行的程序要实现的功能为9－1＝8，故输出y的值为8.
【答案】
C
6．运行如下所示的程序，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值为________．
【解析】
∵a＝2，b＝3，∴a应把b值赋给m，∴m的值为3.
【答案】
3
7．(2015·山东)执行下边的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是________．
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\768.tif"
\
MERGEFORMATINET
【解析】
输入x的值后，根据条件执行循环体可求出y的值．
当x＝1时，1<2，则x＝1＋1＝2；
当x＝2时，不满足x<2，则y＝3×22＋1＝13.
【答案】
13
8．(2015·江苏)根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________．
【解析】
根据程序语言执行算法，可得输出结果．
由程序可知，S＝1，I＝1，I<8；
S＝3，I＝4，I<8；S＝5，I＝7，I<8；
S＝7，I＝10，I>8，此时结束循环，输出S＝7.
【答案】
7
9．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值是________．
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\769.tif"
\
MERGEFORMATINET
【解析】
根据题意，本程序框图表示分段函数：
y＝由于输入的x值与输出的y值相等，
由x2＝x解得x＝0或x＝1，都满足x≤2；
由x＝2x－3解得x＝3，也满足2由＝x解得x＝±1，不在x>5内，舍去．
可见满足条件的x共三个：0，1，3.
【答案】
0，1，3
10．执行下边的程序框图，若p＝0.8，则输出的n＝________．
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\770.tif"
\
MERGEFORMATINET
【解析】
第一次，S＝，n＝2；
第二次，S＝＋，n＝3；
第三次，S＝＋＋，n＝4.
因为S＝＋＋>0.8，所以输出的n＝4.
【答案】
4
B组 专项能力提升
(时间：25分钟)
11．(2015·安徽)执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的n为( )
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\771.tif"
\
MERGEFORMATINET
A．3
B．4
C．5
D．6
【解析】
根据程序框图的功能求解即可．
a＝1，n＝1时，条件成立，进入循环体；
a＝，n＝2时，条件成立，进入循环体；
a＝，n＝3时，条件成立，进入循环体；
a＝，n＝4时，条件不成立，退出循环体，此时n的值为4.
【答案】
B
12．如图所示的程序框图中，令a＝tan
θ，b＝sin
θ，c＝cos
θ，若在集合中，给θ取一个值，输出的结果是sin
θ，则θ的值所在的范围是( )
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\772.tif"
\
MERGEFORMATINET
A.
B.
C.
D.
【解析】
依题意该程序为求解a＝tan
θ，b＝sin
θ，c＝cos
θ的最大值，
令
所以θ的值所在范围是.
【答案】
D
13．如图是求12＋22＋32＋…＋1002的值的程序框图，则正整数n＝________．
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\773.tif"
\
MERGEFORMATINET
【解析】
第一次判断执行后，i＝2，s＝12；
第二次判断执行后，i＝3，s＝12＋22，
而题目要求计算12＋22＋…＋1002，故n＝100.
【答案】
100
14．对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第i次观测得到的数据为ai，具体如下表所示：
i
1
2
3
4
5
6
7
8
ai
40
41
43
43
44
46
47
48
在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的程序框图(其中a是这8个数据的平均数)，则输出的S的值是________．
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\774.tif"
\
MERGEFORMATINET
【解析】
本题计算的是这8个数的方差，因为
a＝＝44，
所以S＝＝7.
【答案】
7
15．如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7
cm，腰长为2
cm，当一条垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从B点开始由左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x(0≤x≤7)，左边部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，画出程序框图，并写出程序．
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\775.tif"
\
MERGEFORMATINET
【解析】
过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，
垂足分别是G，H.
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\776.tif"
\
MERGEFORMATINET
∵四边形ABCD是等腰梯形，
底角是45°，AB＝2
cm，
∴BG＝AG＝DH＝HC＝2
cm.
又BC＝7
cm，∴AD＝GH＝3
cm，
∴y＝
程序框图如下：
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\777.tif"
\
MERGEFORMATINET
程序：
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3-3
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．(2015·安徽)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\116.tif"
\
MERGEFORMATINET
A．a>0，b<0，c>0，d>0 B．a>0，b<0，c<0，d>0
C．a<0，b<0，c>0，d>0
D．a>0，b>0，c>0，d<0
【解析】
根据函数的图象可知，该函数先增再减，再增，且极值点都大于0，函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上．
方法一：由图象知f(0)＝d>0.
因为f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0有两个不相等的正实根，
所以a>0，－＝－>0，所以b<0.
又f′(0)＝c>0，
所以a>0，b<0，c>0，d>0.
方法二：由图象知f(0)＝d>0，
首先排除选项D；
f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝3a(x－x1)(x－x2)
＝3ax2－3a(x1＋x2)x＋3ax1x2，
令x10，
所以a>0，排除C；
又c＝3ax1x2>0，2b＝－3a(x1＋x2)<0，
所以c>0，b<0，故选A.
【答案】
A
2．(2014·课标全国Ⅱ)若函数f(x)＝kx－ln
x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．2，＋∞)
D．1，＋∞)
【解析】
由于f′(x)＝k－，
f(x)＝kx－ln
x在区间(1，＋∞)单调递增 f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．
由于k≥，而0<<1，所以k≥1.
即k的取值范围为1，＋∞)．
【答案】
D
3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，2)
B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C．(－3，6)
D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
【解析】
∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，
由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根．
∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)>0，
即a2－3a－18>0.∴a>6或a<－3.
【答案】
B
4．若函数f(x)＝(a>0)在1，＋∞)上的最大值为，则a的值为( )
A.
B.
C.＋1
D.－1
【解析】
f′(x)＝＝，
若a>1，当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当10，f(x)单调递增，
当x＝时，令f(x)＝＝，＝<1，不合题意．
若0∴f(x)max＝f(1)＝＝，a＝－1，故选D.
【答案】
D
5．(2016·浙江省名校联考)设函数ht(x)＝3tx－2t，若有且仅有一个正实数x0，使得h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数t都成立，则x0等于( )
A．5
B.
C．3
D.
【解析】
∵h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数t都成立，
∴h7(x0)≥ht(x0)max.记g(t)＝ht(x0)＝3tx0－2t，
则g′(t)＝3x0－3t，令g′(t)＝0，得t＝x，
易得ht(x0)max＝g(x)＝x，
∴21x0－14≥x，将选项代入检验可知选D.
【答案】
D
6．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)＝ln
x－ax，当x∈(－2，0)时，f(x)的最小值为1，则a＝________．
【解析】
∵f(x)是奇函数，且当x∈(－2，0)时，
f(x)的最小值为1，
∴f(x)在(0，2)上的最大值为－1.
当x∈(0，2)时，f′(x)＝－a，令f′(x)＝0得x＝，
又a>，∴0<<2.
当x<时，f′(x)>0，f(x)在上单调递增；
当x>时，f′(x)<0，f(x)在上单调递减，
∴f(x)max＝f＝ln
－a·＝－1，解得a＝1.
【答案】
1
7．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________．
【解析】
设f(x)＝x3－3x＋c，对f(x)求导可得，
f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，可得x＝±1，
易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，
在(－1，1)上单调递减．
由题意知，f(1)＝0或f(－1)＝0，
若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；
若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.
【答案】
－2或2
8．设函数f(x)＝kx3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈－1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数k的值为________．
【解析】
若x＝0，则不论k取何值，f(x)≥0都成立；
当x>0，即x∈(0，1]时，
f(x)＝kx3－3x＋1≥0可化为k≥－.
设g(x)＝－，则g′(x)＝，
所以g(x)在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
因此g(x)max＝g＝4，从而k≥4；
当x<0即x∈－1，0)时，
f(x)＝kx3－3x＋1≥0可化为k≤－，
g(x)＝－在区间－1，0)上单调递增，
因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而k≤4，综上k＝4.
【答案】
4
10．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
【解析】
(1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，共耗油×＝17.5(升)．
因此，当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，
从甲地到乙地要耗油17.5升．
(2)当速度为x千米/小时时，
汽车从甲地到乙地行驶了小时，
设耗油量为h(x)升，
依题意得h(x)＝·
＝x2＋－(0h′(x)＝－＝(0令h′(x)＝0，得x＝80.
当x∈(0，80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；
当x∈(80，120)时，h′(x)>0，h(x)是增函数，
所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25.
易知h(80)是h(x)在(0，120]上的最小值．
故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为11.25升．
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
12．(2015·福建)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1，则下列结论中一定错误的是( )
A．f<
B．f>
C．f<
D．f>
【解析】
构造新函数并求导，利用函数单调性求解．
令g(x)＝f(x)－kx＋1，则g(0)＝f(0)＋1＝0，
g＝f－k·＋1＝f－.
∵g′(x)＝f′(x)－k>0，
∴g(x)在0，＋∞)上为增函数．
又∵k>1，∴>0，∴g>g(0)＝0，
∴f－>0，即f>.
【答案】
C
13．已知f(x)＝xex，g(x)＝－(x＋1)2＋a，若 x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】
f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)
当x>－1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x<－1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．
所以函数f(x)的最小值为f(－1)＝－.
而函数g(x)的最大值为a，则由题意，
可得－≤a即a≥－.
【答案】
14．(2015·陕西检测二)设函数f(x)＝ex－ax－1.
(1)若函数f(x)在R上单调递增，求a的取值范围；
(2)当a>0时，设函数f(x)的最小值为g(a)，求证：g(a)≤0.
【解析】
(1)由题意知f′(x)＝ex－a≥0对x∈R均成立，
又ex>0(x∈R)，故a的取值范围为a≤0.
(2)证明：由a>0，及f′(x)＝ex－a可得，
函数f(x)在(－∞，ln
a)上单调递减，
在(ln
a，＋∞)上单调递增，
故函数f(x)的最小值为g(a)＝f(ln
a)＝eln
a－aln
a－1＝a－aln
a－1，
则g′(a)＝－ln
a，故当a∈(0，1)时，g′(a)>0，
当a∈(1，＋∞)时，g′(a)<0，
从而可知g(a)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，又g(1)＝0，故g(a)≤0.
15．已知f(x)＝ax－ln
x，x∈(0，e]，g(x)＝，其中e是自然对数的底数，a∈R.
(1)讨论a＝1时，函数f(x)的单调性和极值；
(2)求证：在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋；
(3)是否存在正实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【解析】
(1)∵a＝1，
∴f(x)＝x－ln
x，f′(x)＝1－＝，
∴当0当10，此时f(x)单调递增．
∴f(x)的极小值为f(1)＝1.
(2)证明：∵f(x)的极小值为1，即f(x)在(0，e]上的最小值为1，∴f(x)]min＝1.
又g′(x)＝，
∴当00，g(x)在(0，e]上单调递增．
∴g(x)]max＝g(e)＝<，
∴f(x)]min－g(x)]max>，
∴在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋.
(3)假设存在正实数a，使f(x)＝ax－ln
x(x∈(0，e])有最小值3，
则f′(x)＝a－＝.
①当0<在上单调递增，
f(x)]min＝f＝1＋ln
a＝3，a＝e2，满足条件；
②当≥e时，f(x)在(0，e]上单调递减，
f(x)]min＝f(e)＝ae－1＝3，
a＝(舍去)，所以，此时f(x)无最小值．
综上，存在实数a＝e2，
使得当x∈(0，e]时f(x)有最小值3.
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12-2
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．若a、b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )
A．lg(1＋a2)>0 B．a2＋b2≥2(a－b－1)
C．a2＋3ab>2b2
D.<
【解析】
在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．
【答案】
B
2．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是( )
A．P>Q
B．P＝Q
C．PD．由a的取值确定
【解析】
∵P2＝2a＋7＋2·
＝2a＋7＋2，
Q2＝2a＋7＋2·
＝2a＋7＋2，
∴P2【答案】
C
3．对于平面α和共面的直线m，n.下列命题中的真命题是( )
A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m α，n∥α，则m∥n
D．若m、n与α所成的角相等，则m∥n
【解析】
对于平面α和共面的直线m，n，
设m，n确定的平面为β.
对于C，若m α，则α∩β＝m，
从而n∥α，可得m∥n，因此C正确．
【答案】
C
4．已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是( )
A．2
B．2
C．4
D．5
【解析】
因为＋＋2≥2
＋2
＝2≥4.
当且仅当＝且
＝，
即a＝b＝1时，取“＝”．
【答案】
C
5．(2014·山东)用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
【解析】
方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.
【答案】
A
6．下列条件：
①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0.
其中能使＋≥2成立的条件的个数是________．
【解析】
要使＋≥2，只要＞0，且＞0，
即a、b不为0且同号，故有3个．
【答案】
3
7．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个“整数对”是________．
【解析】
依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知每组中每个“整数对”的和为n＋1，且每组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到<60<，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各数对依次为(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，…，因此第60个“整数对”是(5，7)．
【答案】
(5，7)
8．凸函数的性质定理：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有≤f，已知函数y＝sin
x在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sin
A＋sin
B＋sin
C的最大值为________．
【解析】
∵f(x)＝sin
x在区间(0，π)上是凸函数，
且A、B、C∈(0，π)．
∴≤f＝f，
即sin
A＋sin
B＋sin
C≤3sin
＝，
所以sin
A＋sin
B＋sin
C的最大值为.
【答案】
9．已知非零向量a⊥b，求证：≤.
【证明】
∵a⊥b，∴a·b＝0，
要证≤，只需证：|a|＋|b|≤|a－b|，
平方得：|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，
只需证：|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，
即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．
10．已知四棱锥S ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝，SA＝1.
(1)求证：SA⊥平面ABCD；
(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．
【解析】
(1)证明：由已知得SA2＋AD2＝SD2，
∴SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，
∴SA⊥平面ABCD.
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\746.tif"
\
MERGEFORMATINET
(2)假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.
∵BC∥AD，BC 平面SAD.
∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，
∴平面FBC∥平面SAD.
这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，
∴假设不成立．
故不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
11．已知函数f(x)＝，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为( )
A．A≤B≤C
B．A≤C≤B
C．B≤C≤A
D．C≤B≤A
【解析】
∵≥≥，
又f(x)＝在R上是减函数．
∴f≤f()≤f，即A≤B≤C.
【答案】
A
12．设整数n≥4，集合X＝{1，2，3，…，n}，令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件xA．(y，z，w)∈S，(x，y，w) S
B．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S
C．(y，z，w) S，(x，y，w)∈S
D．(y，z，w) S，(x，y，w) S
【解析】
方法一：因为(x，y，z)∈S，则x，y，z的大小关系有3种情况，同理，(z，w，x)∈S，则z，w，x的大小关系也有3种情况，如图所示，由图可知，x，y，w，z的大小关系有4种可能，均符合(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S.故选B.
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\747.tif"
\
MERGEFORMATINET
方法二：(特殊值法)因为(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1，则(y，z，w)＝(3，4，1)∈S，(x，y，w)＝(2，3，1)∈S，故(y，z，w) S，(x，y，w) S的说法均错误，可以排除选项A、C、D，故选B.
【答案】
B
13．a2＋2＋与2的大小关系是________．
【答案】
a2＋2＋>2
14．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且00.
(1)证明：是函数f(x)的一个零点；
(2)试用反证法证明>c.
【证明】
(1)∵f(x)图象与x轴有两个不同的交点，
∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，
∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，
又x1x2＝，∴x2＝，
∴是f(x)＝0的一个根．
即是函数f(x)的一个零点．
(2)假设0，由00，
知f>0与f＝0矛盾，∴≥c，
又∵≠c，∴>c.
15．已知数列{an}满足：a1＝，＝，anan＋1<0(n≥1)，数列{bn}满足：bn＝a－a(n≥1)．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．
【解析】
(1)由题意可知，1－a＝(1－a)．
令cn＝1－a，则cn＋1＝cn.
又c1＝1－a＝，则数列{cn}是首项为c1＝，
公比为的等比数列，即cn＝·，
故1－a＝· a＝1－·.
又a1＝>0.anan＋1<0，
故an＝(－1)n－1
.
bn＝a－a
＝－
＝·.
(2)证明：用反证法证明．
假设数列{bn}存在三项br，bs，bt(r由于数列{bn}是首项为，公比为的等比数列，
于是有br>bs>bt，则只能有2bs＝br＋bt成立．
∴2·＝＋，
两边同乘以3t－121－r，
化简得3t－r＋2t－r＝2·2s－r3t－s.
由于r故上式不可能成立，导致矛盾．
故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列．
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4-3
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．函数f(x)＝lg|sin
x|是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为2π的偶函数
【解析】
f(x＋π)＝lg|sin(x＋π)|＝lg|sin
x|，
所以周期为π，对f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|－sin
x|＝lg|sin
x|，所以为偶函数，故选C.
【答案】
C
2．(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\151.tif"
\
MERGEFORMATINET
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
【解析】
由已知图象可求得ω与φ的值，然后利用余弦函数的单调区间求解．
由图象知，周期T＝2＝2，
∴＝2，∴ω＝π.
由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，
∴f(x)＝cos.
由2kπ<πx＋<2kπ＋π，
得2k－∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.故选D.
【答案】
D
3．将函数f(x)＝sin
ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是( )
A. B．1
C.
D．2
【解析】
根据题意平移后函数的解析式为
y＝sin
ω，
将代入得sin
＝0，则ω＝2k，k∈Z，且ω>0，
故ω的最小值为2.
【答案】
D
4．(2015·陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\152.tif"
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A．5
B．6
C．8
D．10
【解析】
分析三角函数图象，根据最小值求k，再求最大值．
根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.
【答案】
C
5．函数y＝cos
2x＋sin2x，x∈R的值域是( )
A．0，1]
B.
C．－1，2]
D．0，2]
【解析】
y＝cos
2x＋sin2x＝cos
2x＋＝.
∵cos
2x∈－1，1]，∴y∈0，1]．
【答案】
A
6．函数y＝cos的单调减区间为________．
【解析】
由y＝cos＝cos得
2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
故kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数的单调减区间为(k∈Z)．
【答案】
(k∈Z)
7．设函数f(x)＝3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．
【解析】
f(x)＝3sin的周期T＝2π×＝4，
f(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值，
故|x1－x2|的最小值为＝2.
【答案】
2
8．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图，则f＝________．
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\153.tif"
\
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【解析】
由题中图象可知，此正切函数的半周期等于－＝，
即最小正周期为，
所以ω＝2.由题意可知，图象过定点，
所以0＝Atan，
即＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)，
又|φ|<，所以φ＝.
又图象过定点(0，1)，所以A＝1.
综上可知，f(x)＝tan，
故有f＝tan＝tan
＝.
【答案】
9．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．
【解析】
(1)令2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ＋，k∈Z，
又－π<φ<0，则φ＝－.
(2)由(1)得：f(x)＝sin，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
因此y＝f(x)的单调增区间为，k∈Z.
10．设函数f(x)＝sin－2cos2＋1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈时，y＝g(x)的最大值．
【解析】
(1)f(x)＝sin
cos
－cos
sin
－cos
＝sin
－cos
＝sin，
故f(x)的最小正周期为T＝＝8.
(2)方法一：在y＝g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，
它关于x＝1的对称点(2－x，g(x))．
由题设条件，知点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图象上，
从而g(x)＝f(2－x)＝sin
＝sin＝cos.
当0≤x≤时，≤＋≤，
因此y＝g(x)在区间上的最大值为
g(x)max＝cos
＝.
方法二：区间关于x＝1的对称区间为，
且y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，
故y＝g(x)在上的最大值为
y＝f(x)在上的最大值．
由(1)知f(x)＝sin，
当≤x≤2时，－≤－≤.
因此y＝g(x)在上的最大值为
g(x)max＝sin
＝.
B组 专项能力提升
(时间：20分钟)
11．函数y＝sin(ωx＋φ)在区间上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】
函数y＝sin(ωx＋φ)的最大值为1，最小值为－1，由该函数在区间上单调递减，且函数值从1减小到－1，可知－＝为半周期，则周期为π，ω＝＝＝2，此时原函数式为y＝sin(2x＋φ)，又由函数y＝sin(ωx＋φ)的图象过点，且|φ|<.
代入可得φ＝，
因此函数为y＝sin，
令x＝0，可得y＝.
【答案】
A
12．(2016·池州月考)已知函数f(x)＝2msin
x－ncos
x，直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，则等于( )
A.
B.
C．－
D.
【解析】
由x＝是函数f(x)图象的对称轴易得
f(0)＝f，
∴－n＝2msin
－ncos
，
∴－n＝m＋，∴m＝－n，∴＝－.
【答案】
C
13．函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是______．
【解析】
由2x＋＝kπ(k∈Z)得，x＝－(k∈Z)．
∴函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是(k∈Z)．
【答案】
(k∈Z)
14．给出下列命题：
①函数f(x)＝4cos的一个对称中心为；
②已知函数f(x)＝min{sin
x，cos
x}，则f(x)的值域为；
③若α、β均为第一象限角，且α>β，则sin
α>sin
β.
其中所有真命题的序号是________．
【解析】
对于①，令x＝－π，
则2x＋＝－π＋＝－，有f＝0，
因此为f(x)的一个对称中心，①为真命题；
对于②，结合图象知f(x)的值域为，②为真命题；
对于③，令α＝390°，β＝60°，有390°>60°，
但sin
390°＝60°＝，故③为假命题，所以真命题为①②.
【答案】
①②
15．已知a>0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值；
(2)设g(x)＝f且lg
g(x)>0，求g(x)的单调区间．
【解析】
(1)∵x∈，∴2x＋∈.
∴sin∈，
∴－2asin∈－2a，a]．
∴f(x)∈b，3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，
∴b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得，f(x)＝－4sin－1，
g(x)＝f＝－4sin－1
＝4sin－1，
又由lg
g(x)>0，得g(x)>1，
∴4sin－1>1，∴sin>，
∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，
其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，
g(x)单调递增，即kπ∴g(x)的单调增区间为，k∈Z.
又∵当2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z时，
g(x)单调递减，即kπ＋∴g(x)的单调减区间为，k∈Z.
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8-2
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．(2015·湖北)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则( )
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【解析】
根据空间两条直线的位置关系和充要条件的定义进行判断．
若l1，l2异面，则l1，l2一定不相交；若l1，l2不相交，则l1，l2是平行直线或异面直线，故p q，q /
p，故p是q的充分不必要条件．
【答案】
A
2．(2014·辽宁)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
【解析】
方法一：若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，A错；
若m⊥α，n α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；
若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n α，C错；
若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n α，D错．
方法二：如图，在正方体ABCD A′B′C′D′中，用平面ABCD表示α.
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\330.tif"
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\330.tif"
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A项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，n∥α，但m与n是相交直线，故A错．
B项中，m⊥α，n α，
满足m⊥n，这是线面垂直的性质，故B正确．
C项中，若m为AA′，n为AB，
满足m⊥α，m⊥n，但n α，故C错．
D项中，若m为A′B′，n为B′C′，
满足m∥α，m⊥n，但n∥α，故D错．
【答案】
B
3．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是( )
A．(0，) B．(0，)
C．(1，)
D．(1，)
【解析】
此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为a的棱长一定大于0且小于.故选A.
【答案】
A
4．四棱锥P ABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】
因为四边形ABCD为正方形，故CD∥AB，
则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角，
即为∠PAB.
在△PAB内，PB＝PA＝，AB＝2，
利用余弦定理可知
cos∠PAB＝＝＝，故选B.
【答案】
B
5．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )
①P∈a，P∈α a α；
②a∩b＝P，b β a β；
③a∥b，a α，P∈b，P∈α b α；
④α∩β＝b，P∈α，P∈β P∈b.
A．①②
B．②③
C．①④
D．③④
【解析】
当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a α，∴①错；
a∩β＝P时，②错；
如图，∵a∥b，P∈b，∴P a，
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\331.tif"
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∴由直线a与点P确定唯一平面α，
又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，
∴β与α重合，∴b α，故③正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．
【答案】
D
6．(教材改编)如图所示，平面α，β，γ两两相交，a，b，c为三条交线，且a∥b，则a与c，b与c的位置关系是________．
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【解析】
∵a∥b，a α，b α，∴b∥α.
又∵b β，α∩β＝c，∴b∥c.∴a∥b∥c.
【答案】
a∥b∥c
7．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝________．
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【解析】
取CD的中点H，连接EH，HF.
在四面体CDEF中，CD⊥EH，CD⊥FH，
所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，
所以正方体的左、右两个侧面与EF平行，
其余4个平面与EF相交，即n＝4.
又因为CE与AB在同一平面内，
所以CE与正方体下底面共面，
与上底面平行，与其余四个面相交，
即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8.
【答案】
8
8．若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对．
【解析】
正方体如图，若要出现所成角为60°的异面直线，则直线为面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A′B，BC′，A′D，C′D，正方体的面对角线有12条，
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\334.tif"
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\334.tif"
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所以所求的黄金异面直线对共有＝24(对)．
【答案】
24
9．如图，空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E，F，G的平面交AD于点H.
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\335.tif"
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\335.tif"
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(1)求AH∶HD；
(2)求证：EH，FG，BD三线共点．
【解析】
(1)∵＝＝2，∴EF∥AC，
∴EF∥平面ACD，而EF 平面EFGH，
平面EFGH∩平面ACD＝GH，
∴EF∥GH，∴AC∥GH.
∴＝＝3，∴AH∶HD＝3∶1.
(2)证明：∵EF∥GH，且＝，＝，
∴EF≠GH，∴EFGH为梯形．
令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH 平面ABD，
又P∈FG，FG 平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴P∈BD.∴EH，FG，BD三线共点．
10．如图，在四棱锥O ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\336.tif"
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\336.tif"
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(1)求四棱锥O ABCD的体积；
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小．
【解析】
(1)由已知可求得，正方形ABCD的面积S＝4，
所以，四棱锥O ABCD的体积V＝×4×2＝.
(2)连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\337.tif"
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则∠EMD为异面直线OC与MD所成的角(或其补角)，
由已知，可得DE＝，EM＝，MD＝，
∵()2＋()2＝()2，∴△DEM为直角三角形，
∴tan∠EMD＝＝＝.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
11．(2015·广东)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
【解析】
根据条件确定相应的位置关系，再对照选项确定答案．由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．
【答案】
D
12．如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\338.tif"
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\338.tif"
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①GH与EF平行；
②BD与MN为异面直线；
③GH与MN成60°角；
④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
【解析】
还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.
【答案】
②③④
13．已知正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．
【解析】
如图，连接DF，
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\339.tif"
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\339.tif"
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则AE∥DF，
∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角．
设正方体棱长为a，
则D1D＝a，DF＝a，D1F＝a，
∴cos∠D1FD＝＝.
【答案】
14．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1，H，O三点共线．
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\340.tif"
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【证明】
连接BD，B1D1，
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\341.tif"
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\341.tif"
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则BD∩AC＝O，∵BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，B1D 平面BB1D1D，
则H∈平面BB1D1D，
∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.
即D1，H，O三点共线．
15．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\342.tif"
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【解析】
取AC的中点F，连接EF，BF，
在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD.
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\343.tif"
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\343.tif"
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∴∠BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角．
在Rt△EAB中，AB＝AC＝1，AE＝AD＝，∴BE＝.
在Rt△EAF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝.
在Rt△BAF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝.∴BE＝BF.
在等腰三角形EBF中，
cos∠FEB＝＝＝.
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.
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9-4
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．(2014·湖南)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于( )
A．21 B．19
C．9
D．－11
【解析】
圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.
又圆C1：x2＋y2＝1，
∴|C1C2|＝5.
又∵两圆外切，
∴5＝1＋，解得m＝9.
【答案】
C
2．(2015·重庆)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )
A．2
B．4
C．6
D．2
【解析】
根据直线与圆的位置关系求解．
由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，
∴圆心C(2，1)在直线x＋ay－1＝0上，
∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)．
∴|AC|2＝36＋4＝40.
又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36.
∴|AB|＝6.
【答案】
C
3．(2015·南昌二模)若圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，则ab的最大值为( )
A.
B．2
C．4
D．2
【解析】
圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)．
化为：(x－a)2＋y2＝9，圆心坐标为(a，0)，半径为3.
圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)，
化为x2＋(y＋b)2＝1，
圆心坐标为(0，－b)，半径为1，
∵圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，
∴＝3－1，
即a2＋b2＝4，ab≤(a2＋b2)＝2.
∴ab的最大值为2.
【答案】
B
4．(2015·山东)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．－或－
B．－或－
C．－或－
D．－或－
【解析】
利用直线与圆的位置关系建立等式求解．
由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，
由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．
设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.
由反射光线与圆相切，
则有d＝＝1，
解得k＝－或k＝－，故选D.
【答案】
D
5．(2015·广东)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
【解析】
根据两直线平行和直线与圆相切的特点求解．
∵所求直线与直线2x＋y＋1＝0平行，
∴设所求的直线方程为2x＋y＋m＝0.
∵所求直线与圆x2＋y2＝5相切，
∴＝，
∴m＝±5.
即所求的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.
【答案】
A
6．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是____________．
【解析】
由y＝3－，
得(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)．
∴曲线y＝3－是半圆，如图中实线所示．
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当直线y＝x＋b与圆相切时，＝2.
∴b＝1±2.
由图可知b＝1－2.
∴b的取值范围是1－2，3]．
【答案】
1－2≤b≤3
7．(2014·上海)已知曲线C：x＝－，直线l：x＝6，若对于点A(m，0)，存在C上的点P和l上的Q使得＋＝0，则m的取值范围为________．
【解析】
曲线C：x＝－，是以原点为圆心，
2为半径的圆，并且xP∈－2，0]，对于点A(m，0)，
存在C上的点P和l上的Q使得＋＝0，
说明A是PQ的中点，Q的横坐标x＝6，
∴m＝∈2，3]．
【答案】
2，3]
8．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________．
【解析】
方程x2＋y2＋2ay－6＝0与x2＋y2＝4.
相减得2ay＝2，则y＝.
由已知条件
＝，即a＝1.
【答案】
1
9．已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．
【解析】
(1)证明：∵圆C过原点O，∴|OC|2＝t2＋.
设圆C的方程是(x－t)2＋＝t2＋，
令x＝0，得y1＝0，y2＝；
令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，
∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝××|2t|＝4，
即△OAB的面积为定值．
(2)∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，
∴OC垂直平分线段MN.
∵kMN＝－2，∴kOC＝.
∴＝t，解得t＝2或t＝－2.
当t＝2时，圆心C的坐标为(2，1)，|OC|＝，
此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，
圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．
当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，|OC|＝，
此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>.
圆C与直线y＝－2x＋4不相交，
∴t＝－2不符合题意，舍去．
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
10．已知矩形ABCD的对角线交于点P(2，0)，边AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，点(－1，1)在边AD所在的直线上．
(1)求矩形ABCD的外接圆的方程；
(2)已知直线l：(1－2k)x＋(1＋k)y－5＋4k＝0(k∈R)，求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．
【解析】
(1)∵lAB：x－3y－6＝0且AD⊥AB，
点(－1，1)在边AD所在的直线上，
∴AD所在直线的方程是y－1＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋2＝0.
由得A(0，－2)．
∴|AP|＝＝2，
∴矩形ABCD的外接圆的方程是(x－2)2＋y2＝8.
(2)证明：直线l的方程可化为
k(－2x＋y＋4)＋x＋y－5＝0，
l可看作是过直线－2x＋y＋4＝0和x＋y－5＝0的交点(3，2)的直线系，
即l恒过定点Q(3，2)，
由(3－2)2＋22＝5<8知点Q在圆P内，
∴l与圆P恒相交．
设l与圆P的交点为M，N，
则|MN|＝2(d为P到l的距离)，
设PQ与l的夹角为θ，则d＝|PQ|·sin
θ＝sin
θ，
当θ＝90°时，d最大，|MN|最短．
此时l的斜率为PQ的斜率的负倒数，即－，
故l的方程为y－2＝－(x－3)，即x＋2y－7＝0.
B组 专项能力提升
(时间：25分钟)
11．若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
【解析】
因为圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2，
所以其圆心坐标为(－2，1)，半径为，
因为直线l与圆C相切．
所以＝，
解得k＝±1，因为k<0，所以k＝－1，
所以直线l的方程为x＋y－1＝0.
圆心D(2，0)到直线l的距离d＝＝<，
所以直线l与圆D相交．
【答案】
A
12．(2016·梅州一模)设曲线C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线上的点到直线l的距离为的点的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】
由(x－2)2＋(y＋1)2＝9，
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得圆心坐标为(2，－1)，半径r＝3，
圆心到直线l的距离d＝＝＝.
要使曲线上的点到直线l的距离为，
此时对应的点在直径上，故有两个点．
【答案】
B
13．(2015·安徽)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )
A．－2或12
B．2或－12
C．－2或－12
D．2或12
【解析】
方法一(代数法)：可由直线方程与圆的方程联立得到方程组，消去y得到关于x的一元二次方程，再用根的判别式求解；方法二(几何法)：可根据圆心到直线的距离等于圆的半径求解．
方法一：由3x＋4y＝b得y＝－x＋，
代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
并化简得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，
Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，
解得b＝2或12.
方法二：由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可知圆心坐标为(1，1)，半径为1，
所以＝1，
解得b＝2或12.
【答案】
D
14．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
【解析】
圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4，0)．
由题意知(4，0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，
即≤2.整理，得3k2－4k≤0.
解得0≤k≤.
故k的最大值是.
【答案】
15．(2014·重庆)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．
【解析】
圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为.
因为△ABC为等边三角形，
所以|AB|＝|BC|＝2，
所以＋12＝22，
解得a＝4±.
【答案】
4±
16．已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a)．
(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；
(2)若a＝，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求|AC|＋|BD|的最大值．
【解析】
(1)由条件知点M在圆O上，
所以1＋a2＝4，则a＝±.
当a＝时，点M为(1，)，kOM＝，k切＝－，
此时切线方程为y－＝－(x－1)．
即x＋y－4＝0，
当a＝－时，
点M为(1，－)，kOM＝－，k切＝.
此时切线方程为y＋＝(x－1)．
即x－y－4＝0.
所以所求的切线方程为
x＋y－4＝0或x－y－4＝0.
(2)设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2(d1，d2≥0)，则d＋d＝OM2＝3.
又有|AC|＝2eq
\r(4－d)，|BD|＝2eq
\r(4－d)，
所以|AC|＋|BD|＝2eq
\r(4－d)＋2eq
\r(4－d).
则(|AC|＋|BD|)2＝4×(4－d＋4－d＋2eq
\r(4－d)·eq
\r(4－d))
＝4×5＋2eq
\r(16－4（d＋d）＋dd)]
＝4×(5＋2eq
\r(4＋dd))．
因为2d1d2≤d＋d＝3，所以dd≤，
当且仅当d1＝d2＝时取等号，
所以
eq
\r(4＋dd)≤，
所以(|AC|＋|BD|)2≤4×＝40.
所以|AC|＋|BD|≤2，
即|AC|＋|BD|的最大值为2.
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2-8
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
A.，0 B．－2，0
C.
D．0
【解析】
当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，
解得x＝0；
当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，
解得x＝，
又因为x>1，所以此时方程无解．
综上函数f(x)的零点只有0，故选D.
【答案】
D
2．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】
(数形结合法)
∵a>0，∴a2＋1>1.
而y＝|x2－2x|的图象如图，
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\92.tif"
\
MERGEFORMATINET
∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．
【答案】
B
3．(2015·湖南四月调研)已知函数f(x)＝ln
x－的零点为x0，则x0所在的区间是( )
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，4)
【解析】
∵f(x)＝ln
x－在(0，＋∞)是增函数，
又f(1)＝ln
1－＝ln
1－2<0，
f(2)＝ln
2－<0，
f(3)＝ln
3－>0，
∴x0∈(2，3)，故选C.
【答案】
C
4．函数f(x)＝xcos
x2在区间0，4]上的零点个数为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
【解析】
由f(x)＝xcos
x2＝0，
得x＝0或cos
x2＝0.
又x∈0，4]，所以x2∈0，16]．
由于cos＝0(k∈Z)，
而在＋kπ(k∈Z)的所有取值中，
只有，，，，满足在0，16]内，
故零点个数为1＋5＝6.
【答案】
C
5．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则( )
A．aB．aC．bD．c【解析】
方法一：由于f(－1)＝－1＝－<0，
f(0)＝1>0，
且f(x)为R上的递增函数．
故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1，0)．
∵g(2)＝0，∴g(x)的零点b＝2；
∵h＝－1＋＝－<0，h(1)＝1>0，
且h(x)为(0，＋∞)上的增函数，
∴h(x)的零点c∈，因此a方法二：由f(x)＝0得2x＝－x；
由h(x)＝0得log2x＝－x作出函数y＝2x，
y＝log2x和y＝－x的图象(如图)．
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\93.tif"
\
MERGEFORMATINET
由图象易知a<0，0故a【答案】
B
6．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是________．
【解析】
∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2，3.
∴－2，3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，
∴f(x)＝x2－x－6.
∵不等式af(－2x)>0，
即－(4x2＋2x－6)>0 2x2＋x－3<0，
解集为.
【答案】
7．函数f(x)＝3x－7＋ln
x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________．
【解析】
由于ln
2e＝1，
所以f(2)<0，f(3)＝2＋ln
3，
由于ln
3>1，所以f(3)>0，
所以增函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，
故n＝2.
【答案】
2
8．(2015·湖北)函数f(x)＝4cos2
cos－2sin
x－|ln(x＋1)|的零点个数为________．
【解析】
先化简f(x)，把函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题求解．
f(x)＝4cos2
cos－2sin
x－|ln(x＋1)|
＝2(1＋cos
x)sin
x－2sin
x－|ln(x＋1)|
＝2sin
xcos
x－|ln(x＋1)|＝sin
2x－|ln(x＋1)|.
由f(x)＝0，得sin
2x＝|ln(x＋1)|.
设y1＝sin
2x，y2＝|ln(x＋1)|，
在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\94.tif"
\
MERGEFORMATINET
由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f(x)有两个零点．
【答案】
2
9．判断函数f(x)＝4x＋x2－x3在区间－1，1]上零点的个数，并说明理由．
【解析】
因为f(－1)＝－4＋1＋＝－<0，
f(1)＝4＋1－＝>0，
所以f(x)在区间－1，1]上有零点．
又f′(x)＝4＋2x－2x2＝－2，
当－1≤x≤1时，0≤f′(x)≤，
所以f(x)在－1，1]上单调递增．
所以f(x)在－1，1]上有且只有一个零点．
10．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间0，2]上有解，求实数m的取值范围．
【解析】
方法一：设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈0，2]，
①若f(x)＝0在区间0，2]上有一解，
∵f(0)＝1>0，则应有f(2)<0，
又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，
∴m<－.
②若f(x)＝0在区间0，2]上有两解，则
∴－≤m≤－1.
由①②可知m的取值范围是(－∞，－1]．
方法二：显然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，
01－m＝x＋，
又∵y＝x＋在(0，1]上单调递减，1，2]上单调递增，
∴y＝x＋在(0，2]的取值范围是2，＋∞)，
∴1－m≥2，∴m≤－1，
故m的取值范围是(－∞，－1]．
B组 专项能力提升
(时间：25分钟)
11．设函数f(x)的零点为x1，g(x)＝4x＋2x－2的零点为x2，若|x1－x2|≤0.25，则f(x)可以是( )
A．f(x)＝x2－1
B．f(x)＝2x－4
C．f(x)＝ln(x＋1)
D．f(x)＝8x－2
【解析】
选项A：x1＝±1；
选项B：x1＝2；
选项C：x1＝0；
选项D：x1＝＝.
∵g(x)为增函数，g(1)＝4＋2－2>0，
g(0)＝1－2<0，
g＝2＋1－2>0，
g＝＋－2<0，
∴x2∈.故选D.
【答案】
D
【解析】
利用函数的零点分段求解．
①当0x＝1，解得x＝.
②当1x＋2－x2单调递减，值域为(ln
2－2，1)，方程f(x)＋g(x)＝1无解，方程f(x)＋g(x)＝－1恰有一解．
③当x≥2时，f(x)＋g(x)＝ln
x＋x2－6单调递增，值域为ln
2－2，＋∞)，方程f(x)＋g(x)＝1恰有一解，方程f(x)＋g(x)＝－1恰有一解．
综上所述，原方程有4个实根．
【答案】
4
13．若方程＝k(x－2)＋3有两个不等的实根，则k的取值范围是________．
【解析】
作出函数y1＝和y2＝k(x－2)＋3的图象如图所示，函数y1的图象是圆心在原点，半径为2的圆在x轴上方的半圆(包括端点)，函数y2的图象是过定点P(2，3)的直线，因为点A(－2，0)，则kPA＝＝.直线PB是圆的切线，由圆心到直线的距离等于半径得，eq
\f(|3－2kPB|,\r(k＋1))＝2，得kPB＝.由图可知当kPBINCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\95.tif"
\
MERGEFORMATINET
【答案】
14．(2015·湖南)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
【解析】
将函数f(x)＝|2x－2|－b的零点个数问题转化为函数y＝|2x－2|的图象与直线y＝b的交点个数问题，数形结合求解．
由f(x)＝|2x－2|－b＝0
得|2x－2|＝b.
在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示，
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\96.tif"
\
MERGEFORMATINET
则当0【答案】
(0，2)
15．已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x>0)．
(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
【解析】
(1)方法一：∵g(x)＝x＋≥2＝2e，
等号成立的条件是x＝e，
故g(x)的值域是2e，＋∞)，
因而只需m≥2e，则y＝g(x)－m就有零点．
方法二：作出g(x)＝x＋(x>0)的大致图象如图．
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\97.tif"
\
MERGEFORMATINET
可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e.
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，
作出g(x)＝x＋(x>0)的大致图象如图．
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\98.tif"
\
MERGEFORMATINET
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.
∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，
最大值为m－1＋e2.
故当m－1＋e2>2e，
即m>－e2＋2e＋1时，
g(x)与f(x)有两个交点，
即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．
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2-5
A组 专项基础训练
(时间：30分钟)
1．函数f(x)＝ax－2＋1(a>0且a≠1)的图象必经过点( )
A．(0，1) B．(1，1)
C．(2，0)
D．(2，2)
【解析】
∵a0＝1，∴f(2)＝2，故f(x)的图象必过点(2，2)．
【答案】
D
2．已知a＝22.5，b＝2.50，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b
B．c>a>b
C．b>a>c
D．a>b>c
【解析】
a>20＝1，b＝1，c<＝1，∴a>b>c.
【答案】
D
3．函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为( )
A．(0，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．1，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
【解析】
令2x＝t，则函数y＝4x＋2x＋1＋1可化为y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2(t>0)．∵函数y＝(t＋1)2在(0，＋∞)上递增，
∴y>1.∴所求值域为(1，＋∞)．故选B.
【答案】
B
4．(2016·杭州质检)已知函数f(x)＝是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】
由题意得
∴【答案】
B
5．已知实数a，b满足等式2
015a＝2
016b，下列五个关系式：①0A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】
设2
015a＝2
016b＝t，如图所示，由函数图象，可得
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\38.tif"
\
MERGEFORMATINET
(1)若t>1，则有a>b>0；
(2)若t＝1，则有a＝b＝0；
(3)若0故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．
【答案】
B
6．(2015·山东)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是－1，0]，则a＋b＝________．
【解析】
利用指数函数的单调性建立关于a，b的方程组求解．
当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在－1，0]上为增函数，
由题意得无解．
当0由题意得解得所以a＋b＝－.
【答案】
－
7．已知正数a满足a2－2a－3＝0，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系为________．
【解析】
∵a2－2a－3＝0，∴a＝3或a＝－1(舍)．
函数f(x)＝3x在R上递增，由f(m)>f(n)，得m>n.
【答案】
m>n
8．(2016·江苏徐州一模)若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围是________．
【解析】
因为函数f(x)＝的定义域为R，
则 x∈R，2x2＋2ax－a－1≥0恒成立，
即 x∈R，x2＋2ax－a≥0恒成立，
利用一元二次不等式的判别式Δ≤0可知，
a的取值范围是－1，0]．
【答案】
－1，0]
9．已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时x的取值范围．
【解析】
(1)当a>0，b>0时，任意x1，x2∈R，x1则f(x1)－f(x2)＝a(2x1－2x2)＋b(3x1－3x2)．
∵2x1<2x2，a>0 a(2x1－2x2)<0，
3x1<3x2，b>0 b(3x1－3x2)<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，函数f(x)在R上是增函数．
当a<0，b<0时，同理，函数f(x)在R上是减函数．
(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0，
当a<0，b>0时，>－，则x>log1.5；
当a>0，b<0时，<－，则x10．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)．
(1)试确定f(x)；
(2)若不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】
(1)∵f(x)＝b·ax的图象过点A(1，6)，B(3，24)，
∴
②÷①得a2＝4，又a>0且a≠1，
∴a＝2，b＝3，∴f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知＋－m≥0在(－∞，1]上恒成立可转化为m≤＋在(－∞，1]上恒成立．
令g(x)＝＋，
则g(x)在(－∞，1]上单调递减，
∴m≤g(x)min＝g(1)＝＋＝，
故所求实数m的取值范围是.
B组 专项能力提升
(时间：25分钟)
11．(2016·惠州质检)设f(x)＝|3x－1|，cf(a)>f(b)，则下列关系式中一定成立的是( )
A．3c>3b
B．3b>3a
C．3c＋3a>2
D．3c＋3a<2
【解析】
画出函数f(x)的图象，
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\39.tif"
\
MERGEFORMATINET
易知c<0，a>0.
又f(c)>f(a)，
∴|3c－1|>|3a－1|，
∴1－3c>3a－1，∴3c＋3a<2.
【答案】
D
12．(2015·山东)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1)
B．(－1，0)
C．(0，1)
D．(1，＋∞)
【解析】
先根据函数的奇偶性求出a，再解含指数的不等式．
因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
化简可得a＝1，则>3，
即－3>0，即>0，
故不等式可化为<0，
即1<2x<2，解得0【答案】
C
13．函数y＝的图象大致为( )
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\40.tif"
\
MERGEFORMATINET
【解析】
y＝＝1＋，
当x>0时，e2x－1>0，且随着x的增大而增大，故y＝1＋>1随着x的增大而减小，即函数y在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减．又函数y是奇函数，故只有A正确．
【答案】
A
14．关于x的方程＝有负数根，则实数a的取值范围为________．
【解析】
由题意，得x<0，所以0<<1，
从而0<<1，解得－【答案】
15．(2016·陕西西安市高一期末)已知f(x)＝.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)证明f(x)是定义域内的递增函数；
(3)求f(x)的值域．
【解析】
(1)∵f(x)的定义域是R，
且f(－x)＝＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)证明：方法一：f(x)＝＝
＝1－.
任取x1f(x2)－f(x1)＝－
＝2·.
∵g(x)＝10x为增函数，
∴当x2>x1时，102x2－102x1>0.
又∵102x1＋1>0，102x2＋1>0，
∴f(x2)－f(x1)>0，
即f(x2)>f(x1)，
∴f(x)是增函数．
方法二：考虑复合函数的增减性．
f(x)＝＝1－.
∵y＝10x为增函数，∴y＝102x＋1为增函数，
∴y＝为减函数，
∴y＝－为增函数，
∴f(x)＝1－在定义域内为增函数．
(3)令y＝f(x)，由y＝，
解得102x＝.
∵102x>0，∴－1即f(x)的值域为(－1，1)．
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1-2
A组 专项基础训练
(时间：30分钟)
1．下列命题中为真命题的是( )
A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题
【解析】
对于A，其逆命题：若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|＝，必有x>y；对于B，其否命题：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题：若x≠1，则x2＋x－2≠0，因为x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A.
【答案】
A
2．“如果x、y∈R，且x2＋y2＝0，则x、y全为0”的否命题是( )
A．若x、y∈R且x2＋y2≠0，则x、y全不为0
B．若x、y∈R且x2＋y2≠0，则x、y不全为0
C．若x、y∈R且x、y全为0，则x2＋y2＝0
D．若x、y∈R且x、y不全为0，则x2＋y2≠0
【解析】
“x2＋y2＝0”的否定是“x2＋y2≠0”，“x、y全为0”的否定是“x，y不全为0”．
【答案】
B
3．(2015·河北唐山一模)已知命题p： x∈N，x3A．p假q真 B．p真q假
C．p假q假
D．p真q真
【解析】
由x3【答案】
A
4．(2015·四川)设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“loga3A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】
根据指数函数的单调性得出a，b的大小关系，然后进行判断．
∵3a>3b>3，∴a>b>1，此时loga33b>3，例如当a＝，b＝时，loga3b>1.故“3a>3b>3”是“loga3【答案】
B
5．(2016·九江质检)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是( )
A．“若xB．“若x>y，则x2>y2”
C．“若x≤y，则x2≤y2”
D．“若x≥y，则x2≥y2”
【解析】
根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．
【答案】
C
6．(2015·浙江)设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】
利用充分条件、必要条件的定义进行判断．
特值法：当a＝10，b＝－1时，a＋b>0，ab<0，故a＋b>0
/
ab>0；当a＝－2，b＝－1时，ab>0，但a＋b<0，所以ab>0
/
a＋b>0.故“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．
【答案】
D
7．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
【解析】
原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；
它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，
显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．
因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．
【答案】
C
8．(2015·天津)设x∈R，则“1A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】
先求不等式的解集，再判断充分条件、必要条件．
|x－2|<1 1由于{x|1【答案】
A
9．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．
【解析】
其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．
【答案】
2
10．“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件．
【解析】
x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，
即m≤，因为m< m≤，反之不成立．
故“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件．
【答案】
充分不必要
11．若xm＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．
【解析】
由已知易得{x|x2－2x－3>0}?{x|xm＋1}，又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，
∴或，∴0≤m≤2.
【答案】
0，2]
12．有下列几个命题：
①“若a>b，则a2>b2”的否命题；
②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
③“若x2<4，则－2其中真命题的序号是________．
【解析】
①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”错误．
②原命题的逆命题为：“x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确，
③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．
【答案】
②③
B组 专项能力提升
(时间：15分钟)
13．(2015·安徽)设p：11，则p是q成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】
利用充分必要条件的定义求解．
由2x>1，得x>0，所以p q，但q
/
p，所以p是q的充分不必要条件，故选A.
【答案】
A
14．(2015·湖南)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】
根据集合运算的性质进行判断．
∵A∩B＝A A B，∴“A∩B＝A”是“A B”的充要条件．
【答案】
C
15．命题“函数y＝f(x)的导函数为f′(x)＝ex＋－(其中e为自然对数的底数，k为实数)，且f(x)在R上不是单调函数”是真命题，则实数k的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】
当k＝－1时，f′(x)＝ex＋＋1≥2＋1＝3，
则f(x)在R上单调递增，不满足题意，应排除A；
当k＝－时，f′(x)＝ex＋＋2≥1＋2＝3，
所以f(x)在R上单调递增，不满足题意，应排除B；
当k＝1时，f′(x)＝ex＋－1≥2
－1＝2－1＝1，
则f(x)在R上单调递增，不满足题意，应排除D.选C.
【答案】
C
16．给定两个命题p、q，若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的________条件．
【解析】
若綈p是q的必要不充分条件，则q 綈p但綈p
/
q，其逆否命题为p 綈q但綈q
/
p，所以p是綈q的充分不必要条件．
【答案】
充分不必要
17．已知集合A＝，B＝{x|－1【解析】
A＝＝{x|－1∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，
∴A?B，∴m＋1>3，即m>2.
【答案】
(2，＋∞)
18．(2015·山东)若“ x∈，tan
x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
【解析】
利用正切函数的值域及不等式恒成立的条件求解．
由题意，原命题等价于tan
x≤m在区间上恒成立，即y＝tan
x在上的最大值小于或等于m，又y＝tan
x
在上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1.
【答案】
1
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5-4
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．(2014·福建)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于( )
A. B．2
C．3
D．4
【解析】
因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点，
所以点M是AC和BD的中点，
由平行四边形法则知＋＝2，＋＝2，
故＋＋＋＝4.
【答案】
D
2．(2016·广东“十校”第一次联考)平面四边形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD是( )
A．矩形
B．梯形
C．正方形
D．菱形
【解析】
＋＝0 ＝－＝ 四边形ABCD是平行四边形，(－)·＝·＝0 ⊥，所以平行四边形ABCD是菱形．
【答案】
D
3．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【解析】
由(＋)·＝||2，
得·(＋－)＝0，
即·(＋＋)＝0，2·＝0，
∴⊥，∴A＝90°.
又根据已知条件不能得到||＝||，
故△ABC一定是直角三角形．
【答案】
C
4．已知点A(－2，0)、B(3，0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【解析】
＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，
∴·＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，
∴y2＝x＋6.
【答案】
D
5．若函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且·＝0(O为坐标原点)，则A等于( )
A.
B.π
C.π
D.π
【解析】
由题意知M，N，
又·＝×π－A2＝0，∴A＝π.
【答案】
B
6．已知在△ABC中，＝a，＝b，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC＝________．
【解析】
∵·<0，∴∠BAC为钝角，
又S△ABC＝|a||b|sin∠BAC＝.
∴sin∠BAC＝，∴∠BAC＝150°.
【答案】
150°
7．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3，2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝________．
【解析】
由物理知识知：f1＋f2＋f3＋f4＝0，
故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1，2)．
【答案】
(1，2)
8．已知在平面直角坐标系中，O(0，0)，M(1，1)，N(0，1)，Q(2，3)，动点P(x，y)满足不等式0≤·≤1，0≤·≤1，则z＝·的最大值为________．
【解析】
∵＝(x，y)，＝(1，1)，＝(0，1)，
∴·＝x＋y，·＝y，
即在条件下，
求z＝2x＋3y的最大值，由线性规划知识，
当x＝0，y＝1时，zmax＝3.
【答案】
3
9．已知△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.
【证明】
建立如图所示的直角坐标系，
设A(a，0)，则B(0，a)，E(x，y)．
∵D是BC的中点，∴D.
又∵＝2，
即(x－a，y)＝2(－x，a－y)，
∴解得x＝，y＝a.
∵＝－(a，0)＝，
＝＝，
∴·＝－a×＋a×＝－a2＋a2＝0.
∴⊥，即AD⊥CE.
10．已知A，B，C三点的坐标分别为A(3，0)，B(0，3)，C(cos
α，sin
α)，其中α∈.
(1)若||＝||，求角α的值．
(2)若·＝－1，求tan的值．
【解析】
(1)∵＝(cos
α－3，sin
α)，
＝(cos
α，sin
α－3)，
∴||＝＝，
||＝.
由||＝||得sin
α＝cos
α，
又α∈，∴α＝π.
(2)由·＝－1，
得(cos
α－3)cos
α＋sin
α(sin
α－3)＝－1，
∴sin
α＋cos
α＝，∴sin＝>0.
由于<α<，∴<α＋<π，∴cos＝－.
故tan＝－.
B组 专项能力提升
(时间：20分钟)
11．(2014·浙江)记max{x，y}＝min{x，y}＝设a，b为平面向量，则( )
A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}
B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}
C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2
D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2
【解析】
由于|a＋b|，|a－b|与|a|，|b|的大小关系与夹角大小有关，故A，B错．当a，b夹角为锐角时，|a＋b|>|a－b|，此时，|a＋b|2>|a|2＋|b|2；当a，b夹角为钝角时，|a＋b|<|a－b|，此时，|a－b|2>|a|2＋|b|2；当a⊥b时，|a＋b|2＝|a－b|2＝|a|2＋|b|2，故选D.
【答案】
D
12．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD
是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2，1)，则·＝( )
A．5
B．4
C．3
D．2
【解析】
先利用向量的加法法则求出，再利用数量积坐标运算求解．
由四边形ABCD为平行四边形，
知＝＋＝(3，－1)，
故·＝(2，1)·(3，－1)＝5.
【答案】
A
13．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是________．
【解析】
由已知得＝－＝(3，1)，
＝－＝(2－m，1－m)．
若∥，则有3(1－m)＝2－m，解得m＝.
由题设知，＝(－3，－1)，＝(－1－m，－m)．
∵∠ABC为锐角，∴·＝3＋3m＋m>0，
可得m>－.
由题意知，当m＝时，∥.故当∠ABC为锐角时，实数m的取值范围是
∪.
【答案】
∪
14．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．
【解析】
方法一：以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设DC＝a，DP＝x.
∴D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，
＝(2，－x)，＝(1，a－x)，
∴＋3＝(5，3a－4x)，
|＋3|2＝25＋(3a－4x)2≥25，
∴|＋3|的最小值为5.
方法二：设＝x(0∴＝(1－x)，＝－＝－x，
＝＋＝(1－x)＋.
∴＋3＝＋(3－4x)，
|＋3|2＝2＋2××(3－4x)··＋(3－4x)2·2＝25＋(3－4x)22≥25，
∴|＋3|的最小值为5.
【答案】
5
15．如图所示，已知点F(1，0)，直线l：x＝－1，P为平面上的一动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且·＝·.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M.已知＝λ1，＝λ2，求λ1＋λ2的值．
【解析】
(1)设点P(x，y)，则Q(－1，y)，
由·＝·，得
(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，
化简得P的轨迹C的方程为y2＝4x.
(2)设直线AB的方程为x＝my＋1(m≠0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M，
联立方程消去x，得
y2－4my－4＝0，Δ＝(－4m)2＋16>0，
故由＝λ1，＝λ2，得
y1＋＝－λ1y1，y2＋＝－λ2y2，整理，得
λ1＝－1－，λ2＝－1－，
所以λ1＋λ2＝－2－＝－2－·
＝－2－·＝0.
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6-3
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．(2014·重庆)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
【解析】
设等比数列的公比为q，因为＝＝q3，
即a＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．故选D.
【答案】
D
2．(2014·大纲全国)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg
an}的前8项和等于( )
A．6 B．5
C．4
D．3
【解析】
数列{lg
an}的前8项和S8＝lg
a1＋lg
a2＋…＋lg
a8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a1·a8)4
＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4.
【答案】
C
3．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝( )
A．2
B．1
C.
D.
【解析】
方法一：根据等比数列的性质，结合已知条件求出a4，q后求解．
∵a3a5＝a，a3a5＝4(a4－1)，∴a＝4(a4－1)，
∴a－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝＝＝8，
∴q＝2，∴a2＝a1q＝×2＝，故选C.
方法二：直接利用等比数列的通项公式，结合已知条件求出q后求解．
∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，
将a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，
解得q＝2，∴a2＝a1q＝，故选C.
【答案】
C
4．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是( )
A．13
B．12
C．11
D．10
【解析】
设该等比数列为{an}，其前n项的积为Tn，
则由已知得a1·a2·a3＝3，an－2·an－1·an＝9，
(a1·an)3＝3×9＝33，
∴a1·an＝3，又Tn＝a1·a2·…·an－1·an，
Tn＝an·an－1·…·a2·a1，
∴T＝(a1·an)n，即7292＝3n，∴n＝12.
【答案】
B
5．设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于( )
A．150
B．－200
C．150或－200
D．400或－50
【解析】
依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，
即(S20－10)2＝10(70－S20)，
故S20＝－20或S20＝30；
又S20>0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，
故S40－S30＝80.S40＝150，故选A.
【答案】
A
6．(2015·湖南)设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝________．
【解析】
利用3S1，2S2，S3成等差数列，建立方程，求出等比数列{an}的公比q，再根据等比数列的通项公式写出an.
因为3S1，2S2，S3成等差数列，
所以4S2＝3S1＋S3，即4(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3.
化简，得＝3，即等比数列{an}的公比q＝3，
故an＝1×3n－1＝3n－1.
【答案】
3n－1
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，则对任意的n∈N
，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________．
【解析】
利用“特殊值”法，确定公比．
由题意知a3＋a2－2a1＝0，
设公比为q，则a1(q2＋q－2)＝0.
由q2＋q－2＝0解得q＝－2或q＝1(舍去)，
则S5＝＝＝11.
【答案】
11
8．(2014·江苏扬州中学期中测试)设等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝4，Sk＝63，则k＝________．
【解析】
设等比数列{an}公比为q，
由已知a1＝1，a3＝4，得q2＝＝4.
又{an}的各项均为正数，∴q＝2.
而Sk＝＝63，∴2k－1＝63，解得k＝6.
【答案】
6
9．(2015·福建)等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．
【解析】
(1)设等差数列{an}的公差为d.
由已知得
解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.
(2)由(1)可得bn＝2n＋n，
所以b1＋b2＋b3＋…＋b10
＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)
＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)
＝＋＝(211－2)＋55＝211＋53＝2
101.
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N
)．
(1)证明：数列{an}是等比数列；
(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N
)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．
【解析】
(1)证明：依题意Sn＝4an－3(n∈N
)，
n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1.
因为Sn＝4an－3，则Sn－1＝4an－1－3(n≥2)，
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，
整理得an＝an－1.
又a1＝1≠0，所以{an}是首项为1，
公比为的等比数列．
(2)因为an＝，
由bn＋1＝an＋bn(n∈N
)，得bn＋1－bn＝.
可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)
＝2＋＝3·－1(n≥2)，
当n＝1时也满足，
所以数列{bn}的通项公式为bn＝3·－1.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
11．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＋a4＝1，a5＋a6＋a7＋a8＝2，Sn＝15，则项数n为( )
A．12
B．14
C．15
D．16
【解析】
＝q4＝2，
由a1＋a2＋a3＋a4＝1，
得a1·＝1，∴a1＝q－1，
又Sn＝15，即＝15，
∴qn＝16，又∵q4＝2，∴n＝16.故选D.
【答案】
D
12．(2015·湖北)设a1，a2，…，an∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，an成等比数列；q：(a＋a＋…＋a)(a＋a＋…＋a)＝(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)2，则( )
A．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【解析】
利用充分条件和必要条件的概念，结合特殊值进行推理判断．
若p成立，设a1，a2，…，an的公比为q，
则(a＋a＋…＋a)(a＋a＋…＋a)
＝a(1＋q2＋…＋q2n－4)·a(1＋q2＋…＋q2n－4)
＝aa(1＋q2＋…＋q2n－4)2，
(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)2
＝(a1a2)2(1＋q2＋…＋q2n－4)2，
故q成立，故p是q的充分条件．
取a1＝a2＝…＝an＝0，
则q成立，而p不成立，故p不是q的必要条件，故选B.
【答案】
B
13．(2014·皖南八校联考)已知数列{an}是等比数列，a1，a2，a3依次位于下表中第一行，第二行，第三行中的某一格内，又a1，a2，a3中任何两个都不在同一列，则an＝________(n∈N
).
第一列
第二列
第三列
第一行
1
10
2
第二行
6
14
4
第三行
9
18
8
【解析】
观察题中的表格可知a1，a2，a3分别为2，6，18，
即{an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＝2·3n－1.
【答案】
2·3n－1
14．(2014·武汉市高三供题)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N
.
(1)证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
【解析】
(1)证明：由题设an＋1＝4an－3n＋1，
得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N
.
又a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为1，
且公比为4的等比数列．
(2)由(1)可知an－n＝4n－1，
于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n，
所以数列{an}的前n项和Sn＝＋.
15．(2015·北京)已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7，问b6与数列{an}的第几项相等？
【解析】
(1)设等差数列{an}的公差为d.
因为a4－a3＝2，所以d＝2.又因为a1＋a2＝10，
所以2a1＋d＝10，故a1＝4.
所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2(n＝1，2，…)．
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，所以q＝2，b1＝4.
所以b6＝4×26－1＝128.由128＝2n＋2得n＝63.
所以b6与数列{an}的第63项相等．
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9-8
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是( )
A．至多为1 B．2
C．1
D．0
【解析】
由题意知：>2，即<2，
∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，
故所求交点个数是2.
【答案】
B
2．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
【解析】
结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．
【答案】
C
3．已知抛物线C的方程为x2＝y，过A(0，－1)，B(t，3)两点的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B.∪
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
【解析】
直线AB的方程为y＝x－1，
与抛物线方程x2＝y联立得x2－x＋＝0，
由于直线AB与抛物线C没有公共点，
所以Δ＝－2<0，
解得t>或t<－.
【答案】
D
4．已知F为抛物线y2＝8x的焦点，过点F且斜率为1的直线l交抛物线于A，B两点，则||FA|－|FB||的值为( )
A．4
B．8
C．8
D．16
【解析】
依题意知F(2，0)，所以直线l的方程为y＝x－2，
联立方程，得消去y得x2－12x＋4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝4，x1＋x2＝12，
则||FA|－|FB||＝|(x1＋2)－(x2＋2)|＝|x1－x2|
＝＝＝8.
【答案】
C
5．(2014·上海长宁模拟)过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条
B．有且仅有两条
C．有无穷多条
D．不存在
【解析】
抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，
准线方程为x＝－1，设A，B的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
则A，B到直线x＝－1的距离之和为x1＋x2＋2.
设直线方程为x＝my＋1，代入抛物线y2＝4x，
则y2＝4(my＋1)，即y2－4my－4＝0，
∴x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2.
∴x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4.
∴A，B到直线x＝－2的距离之和x1＋x2＋2＋2≥6>5.
∴满足题意的直线不存在．
【答案】
D
6．(2014·成都模拟)过双曲线x2－＝1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若使得|AB|＝λ的直线l恰有3条，则λ＝________．
【解析】
∵使得|AB|＝λ的直线l恰有3条．
∴根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直．
此时A，B的横坐标为，代入双曲线方程，
可得y＝±2，故|AB|＝4.
∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4.
∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，综上可知，|AB|＝4时，有三条直线满足题意．
∴λ＝4.
【答案】
4
7．已知焦点为F的抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为________．
【解析】
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4，
那么|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2，
又|AF|＋|BF|≥|AB| |AB|≤6，
当AB过焦点F时取得最大值6.
【答案】
6
8．过椭圆＋＝1内一点P(3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．
【解析】
设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由于A、B两点均在椭圆上，
故eq
\f(x,16)＋eq
\f(y,4)＝1，eq
\f(x,16)＋eq
\f(y,4)＝1，
两式相减得＋＝0.
又∵P是A、B的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，
∴kAB＝＝－.
∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3)．
即3x＋4y－13＝0.
【答案】
3x＋4y－13＝0
9．(2015·安徽)设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.
(1)求E的离心率e.
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．
【解析】
(1)由题设条件知，点M的坐标为，
又kOM＝，从而＝，
进而得a＝b，c＝＝2b，
故e＝＝.
(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为＋＝1，点N的坐标为.
设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，
则线段NS的中点T的坐标为.
又点T在直线AB上，且kNS·kAB＝－1，
从而有
解得b＝3.
所以a＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.
B组 专项能力提升
(时间：25分钟)
11．(2014·四川)已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A．2
B．3
C.
D.
【解析】
设直线AB的方程为x＝ny＋m(如图)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵·＝2，
∴x1x2＋y1y2＝2.
又y＝x1，y＝x2，∴y1y2＝－2.
联立得y2－ny－m＝0，
∴y1y2＝－m＝－2，
∴m＝2，即点M(2，0)．
又S△ABO＝S△AMO＋S△BMO
＝|OM||y1|＋|OM||y2|＝y1－y2，
S△AFO＝|OF|·|y1|＝y1，
∴S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋y1
＝y1＋≥2
＝3，
当且仅当y1＝时，等号成立．
【答案】
B
12．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________．
【解析】
直线AF的方程为y＝－(x－2)，
联立
得y＝4，所以P(6，4)．
由抛物线的性质可知|PF|＝6＋2＝8.
【答案】
8
13．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C交于A，B两点，记直线FA，FB的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝________．
【解析】
由y2＝4x，得抛物线焦点F(1，0)，
联立得k2x2＋(2k－4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝1.
k1＋k2＝＋
＝
＝＝＝0.
【答案】
0
14．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，P为x轴上一动点，经过点P的直线y＝2x＋m(m≠0)与双曲线C有且只有一个交点，则双曲线C的离心率为________．
【解析】
由双曲线的方程可知：渐近线方程为y＝±x.
∵经过P的直线y＝2x＋m(m≠0)与双曲线C有且只有一个交点，
∴此直线与渐近线y＝x平行，
∴＝2.∴e＝＝
＝.
【答案】
15．(2015·天津)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c，0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，|FM|＝.
(1)求直线FM的斜率；
(2)求椭圆的方程；
(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．
【解析】
(1)由已知，有＝，
又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.
设直线FM的斜率为k(k>0)，
则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．
由已知，有＋＝，
解得k＝.
(2)由(1)得椭圆方程为＋＝1，
直线FM的方程为y＝(x＋c)，
两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，
解得x＝－c或x＝c.
因为点M在第一象限，所以点M的坐标为.
由|FM|＝
＝，
解得c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.
(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，
即t＝，则直线FP的方程为y＝t(x＋1)(x≠－1)，
与椭圆方程联立
消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6.
又由已知，得t＝
>，
解得－设直线OP的斜率为m，得m＝，
即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，
整理可得m2＝－.
①当x∈时，有y＝t(x＋1)<0，
因此m>0，于是m＝
，
得m∈.
②当x∈(－1，0)时，有y＝t(x＋1)>0，因此m<0，
于是m＝－
，得m∈.
综上，直线OP的斜率的取值范围是
∪.
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3-1
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．设f(x)＝xln
x，若f′(x0)＝2，则x0的值为( )
A．e2 B．e
C.
D．ln
2
【解析】
由f(x)＝xln
x得f′(x)＝ln
x＋1.
根据题意知ln
x0＋1＝2，
所以ln
x0＝1，因此x0＝e.
【答案】
B
2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln
x，则f′(1)等于( )
A．－e
B．－1
C．1
D．e
【解析】
由f(x)＝2xf′(1)＋ln
x，得f′(x)＝2f′(1)＋.
∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.
【答案】
B
3．(2014·大纲全国)曲线y＝xex－1在点(1，1)处切线的斜率等于( )
A．2e
B．e
C．2
D．1
【解析】
y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，
故曲线在点(1，1)处的切线斜率为y′|x＝1＝2.
【答案】
C
4．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是( )
A．2x－y＋3＝0
B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0
D．2x－y－1＝0
【解析】
对y＝x2求导得y′＝2x.
设切点坐标为(x0，x)，
则切线斜率为k＝2x0.
由2x0＝2得x0＝1，
故切线方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0.
【答案】
D
5．曲线y＝x3在点(1，1)处的切线与x轴及直线x＝1所围成的三角形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】
求导得y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，
所以曲线y＝x3在点(1，1)处的切线方程为
y－1＝3(x－1)，
结合图象易知所围成的三角形是直角三角形，
三个交点的坐标分别是，(1，0)，(1，1)，
于是三角形的面积为
××1＝，故选B.
【答案】
B
6．(2015·天津)已知函数f(x)＝axln
x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．
【解析】
f′(x)＝a＝a(1＋ln
x)．
由于f′(1)＝a(1＋ln
1)＝a，
又f′(1)＝3，所以a＝3.
【答案】
3
7．已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________．
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\111.tif"
\
MERGEFORMATINET
【解析】
根据导数的几何意义及图象可知，
曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，
又过点P(2，0)，
所以切线方程为x－y－2＝0.
【答案】
x－y－2＝0
8．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________．
【解析】
先用“导数法”求出切线方程，然后代入点(2，7)求出a的值．
∵f′(x)＝3ax2＋1，
∴f′(1)＝3a＋1.
又f(1)＝a＋2，
∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．
∵切线过点(2，7)，
∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.
【答案】
1
9．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．
【解析】
(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，
由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又∵点P0在第三象限，
∴切点P0的坐标为(－1，－4)．
(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，
∴直线l的斜率为－.
∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，
∴直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，
即x＋4y＋17＝0.
10．已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
【解析】
(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为y＋6＝13(x－2)
即y＝13x－32.
(2)设切点坐标为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，y0＝x＋x0－16，
∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.
又∵直线l过坐标点(0，0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，
整理得，x＝－8，
∴x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
得切点坐标(－2，－26)，
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
B组 专项能力提升
(时间：25分钟)
11．(2016·江西新余一中、宜春中学高三8月联考)函数f(x)＝excos
x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( )
A．0
B.
C．1
D.
【解析】
由f(x)＝excos
x，
得f′(x)＝excos
x－exsin
x.
所以f′(0)＝e0cos
0－e0sin
0＝1，
即倾斜角α满足tan
α＝1.
根据α∈0，π)，得α＝.
【答案】
B
12．若函数f(x)＝cos
x＋2xf′，则f与f的大小关系是( )
A．f＝f
B．f>f
C．fD．不确定
【解析】
依题意得f′(x)＝－sin
x＋2f′，
∴f′＝－sin
＋2f′，
∴f′＝，∴f′(x)＝－sin
x＋1.
∵当x∈时，f′(x)>0，
∴f(x)＝cos
x＋x是上的增函数，
又－<－<<，∴f【答案】
C
13．(2016·广州调研)已知曲线C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1，0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为________．
【解析】
设切点坐标为(t，t3－at＋a)．
由题意知，f′(x)＝3x2－a，
切线的斜率为k＝y′|x＝t＝3t2－a，①
所以切线方程为y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(x－t)．②
将点(1，0)代入②式得，
－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)，
解之得，t＝0或t＝.
分别将t＝0和t＝代入①式，
得k1＝－a和k2＝－a，
由题意，它们互为相反数得a＝.
【答案】
14．(2015·全国卷Ⅰ改编)已知函数f(x)＝x3＋ax＋，当a＝________时，x轴为曲线y＝f(x)的切线．
【解析】
设曲线y＝f(x)与x轴相切于点(x0，0)，
则f(x0)＝0，f′(x0)＝0，即
eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋ax0＋\f(1,4)＝0，,3x＋a＝0，))解得
因此，当a＝－时，x轴为曲线y＝f(x)的切线．
【答案】
－
15．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln
x)(a>0)．
若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值．并判断两条切线是否为同一条直线．
【解析】
根据题意有
曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，
曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a.
所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.
曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为
y－f(1)＝3(x－1)，得y＋1＝3(x－1)，
即切线方程为3x－y－4＝0.
曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为
y－g(1)＝3(x－1)，
得y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，
所以两条切线不是同一条直线．
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2-4
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．(2016·深圳市高三月考)如果函数f(x)＝x2－ax－3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a满足的条件是( )
A．a≥8 B．a≤8
C．a≥4
D．a≥－4
【解析】
函数图象的对称轴为x＝，由题意得≥4，解得a≥8.
【答案】
A
2．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\30.tif"
\
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【解析】
由f(x)的图象知：0【答案】
A
3．(2016·湖北黄冈中学质检)幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为( )
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\31.tif"
\
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A．－1B．－1C．－1D．－1【解析】
可作直线x＝2，观察直线x＝2和各图象交点的纵坐标可知2－1<2n<20<2m<21，∴－1【答案】
D
4．已知f(x)＝x，若0A．f(a)B．fC．f(a)D．f【解析】
因为函数f(x)＝x在(0，＋∞)上是增函数，
又0【答案】
C
5．(2016·中山调研)若函数f(x)＝x2－ax－a在区间0，2]上的最大值为1，则实数a等于( )
A．－1
B．1
C．2
D．－2
【解析】
∵函数f(x)＝x2－ax－a的图象为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得．
∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，
∴或解得a＝1.
【答案】
B
6．(2016·济南山师大附中高三期中)“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间2，＋∞)上为增函数”的________条件．
【解析】
函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间2，＋∞)上为增函数，则满足对称轴－＝2a≤2，即a≤1，所以“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．
【答案】
充分不必要
7．(2016·安徽安庆一模)若(a＋1)－<(3－2a)－，则实数a的取值范围是________．
【解析】
不等式(a＋1)－<(3－2a)－等价于a＋1>3－2a>0或3－2a解得a<－1或故a的取值范围是(－∞，－1)∪.
【答案】
(－∞，－1)∪
8．当α∈时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限．
【解析】
当α＝－1、1、3时，y＝xα的图象经过第一、三象限；当α＝时，y＝xα的图象经过第一象限．
【答案】
二、四
9．设函数y＝x2－2x，x∈－2，α]，求函数的最小值g(a)．
【解析】
∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1.
∴对称轴为直线x＝1，而x＝1不一定在区间－2，a]内，应进行讨论．
当－2则当x＝a时，ymin＝a2－2a；
当a≥1时，函数在－2，1]上单调递减，在1，a]上单调递增，则当x＝1时，ymin＝－1.
综上，g(a)＝
10．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x
的解集为(1，3)．若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的单调区间．
【解析】
∵f(x)＋2x>0的解集为(1，3)，
设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，
∴f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x
＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①
由方程f(x)＋6a＝0得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.②
∵方程②有两个相等的根，
∴Δ＝－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，解得a＝1或a＝－.
由于a<0，舍去a＝1.将a＝－代入①式得
f(x)＝－x2－x－＝－(x＋3)2＋，
∴函数f(x)的单调增区间是(－∞，－3]，
单调减区间是－3，＋∞)．
B组 专项能力提升
(时间：20分钟)
11．(2015·宁夏大学附中期中)若函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c>0)没有零点，则的取值范围是( )
A．2，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．1，＋∞)
D．(1，＋∞)
【解析】
∵函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c>0)没有零点，
∴b2－4ac<0，∴b2<4ac，
∵a，c>0，∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac≥4ac，∴(a＋c)2>b2，
又a，b，c>0，∴a＋c>b>0，∴>1，
∴的取值范围是(1，＋∞)，故选D.
【答案】
D
12．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且a>b>c，a＋b＋c＝0，集合A＝{m|f(m)<0}，则( )
A． m∈A，都有f(m＋3)>0
B． m∈A，都有f(m＋3)<0
C． m0∈A，使得f(m0＋3)＝0
D． m0∈A，使得f(m0＋3)<0
【解析】
由a>b>c，a＋b＋c＝0可知a>0，c<0，
且f(1)＝0，f(0)＝c<0，
即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，
当x>1时，f(x)>0.
由a>b，得1>，设方程ax2＋bx＋c＝0的另一个根为x1，
则x1＋1＝－>－1，即x1>－2，
由f(m)<0可得－2由抛物线的图象可知，f(m＋3)>0，选A.
【答案】
A
13．已知函数f(x)＝x－n2＋2n＋3(n＝2k，k∈N)在(0，＋∞)上单调递增，则n＝________．
【解析】
由题意知：－n2＋2n＋3>0，解得－1因为n为非负偶数，所以n＝0或2.
【答案】
0或2
14．对于实数a和b，定义运算“
”：a
b＝设f(x)＝(2x－1)
(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则m的取值范围是________．
【解析】
由题意得f(x)＝(2x－1)
(x－1)
＝
即f(x)＝
如图所示，关于x的方程f(x)＝m恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，即函数f(x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点，则0INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\32.tif"
\
MERGEFORMATINET
【答案】
15．(2015·山东阶段测试二)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过点(－2，1)，且方程f(x)＝0有且只有一个根，求f(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，当x∈－1，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．
【解析】
(1)因为f(－2)＝1，
即4a－2b＋1＝1，所以b＝2a.
因为方程f(x)＝0有且只有一个根，
所以Δ＝b2－4a＝0.
所以4a2－4a＝0，所以a＝1，所以b＝2.
所以f(x)＝(x＋1)2.
(2)g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2－(k－2)x＋1＝＋1－.
由g(x)的图象知：要满足题意，则≥2或≤－1，
即k≥6或k≤0，
∴所求实数k的取值范围为(－∞，0]∪6，＋∞)．
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9-6
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A. B．2
C.
D.
【解析】
结合图形，用a表示出点M的坐标，代入双曲线方程得出a，b的关系，进而求出离心率．
不妨取点M在第一象限，如图所示，
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\622.tif"
\
MERGEFORMATINET
设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，
∴M点的坐标为.
∵M点在双曲线上，
∴－＝1，a＝b，
∴c＝a，e＝＝.故选D.
【答案】
D
2．(2015·天津)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
【解析】
利用渐近线过已知点以及双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，列出方程组求解．
由双曲线的渐近线y＝x过点(2，)，
可得＝×2.①
由双曲线的焦点(－，0)在抛物线y2＝4x的准线x＝－上，
可得＝.②
由①②解得a＝2，b＝，
所以双曲线的方程为－＝1.
【答案】
D
3．(2015·湖南)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】
由渐近线过点(3，－4)可得的值，利用a，b，c之间的关系a2＋b2＝c2可消去b得a，c之间的关系，求出离心率e.
由双曲线的渐近线过点(3，－4)知＝，∴＝.
又b2＝c2－a2，∴＝，
即e2－1＝，∴e2＝，∴e＝.
【答案】
D
4．(2014·江西)过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
【解析】
由得
∴A(a，－b)．
由题意知右焦点到原点的距离为c＝4，
∴＝4，即(a－4)2＋b2＝16.
而a2＋b2＝16，∴a＝2，b＝2.
∴双曲线C的方程为－＝1.
【答案】
A
5．(2015·山东)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．
【解析】
先表示出直线的方程和点P的坐标，再将点P的坐标代入直线的方程可得关于a，b，c的方程，化简可以求出离心率．
如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\623.tif"
\
MERGEFORMATINET
又直线l过右焦点F(c，0)，
则直线l的方程为y＝(x－c)．
因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得－＝1，
化简得y＝－b或y＝b(点P在x轴下方，故舍去)，
故点P的坐标为(2a，－b)，
代入直线方程得－b＝(2a－c)，
化简可得离心率e＝＝2＋.
【答案】
2＋
6．(2014·北京)设双曲线C经过点(2，2)，且与－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为____________；渐近线方程为____________．
【解析】
设双曲线C的方程为－x2＝λ(λ≠0)，
将点(2，2)代入上式，得λ＝－3，
∴C的方程为－＝1，其渐近线方程为y＝±2x.
【答案】
－＝1 y＝±2x
7．(2014·浙江)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．
【解析】
双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
由得A，
由得B，
所以AB的中点C的坐标为.
设直线l：x－3y＋m＝0(m≠0)，
因为|PA|＝|PB|，所以PC⊥l，
所以kPC＝－3，化简得a2＝4b2.
在双曲线中，c2＝a2＋b2＝5b2，
所以e＝＝.
【答案】
8．(2015·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0，6)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．
【解析】
根据双曲线的定义等价转化|PF|，分析何时△APF的周长最小，然后用间接法计算S△APF.
由双曲线方程x2－＝1可知，
a＝1，c＝3，故F(3，0)，F1(－3，0)．
当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知
|PF|－|PF1|＝2，
所以|PF|＝|PF1|＋2，
从而△APF的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.
因为|AF|＝＝15为定值，
所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\624.tif"
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由题意可知直线AF1的方程为y＝2x＋6，
由
得y2＋6y－96＝0，
解得y＝2或y＝－8(舍去)，
所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F
＝×6×6－×6×2＝12.
【答案】
12
9．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；
(3)在(2)的条件下求△F1MF2的面积．
【解析】
(1)∵离心率e＝，∴双曲线为等轴双曲线，
可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
则由点(4，－)在双曲线上，
可得λ＝42－(－)2＝6，∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明：∵点M(3，m)在双曲线上，
∴32－m2＝6，∴m2＝3，
又双曲线x2－y2＝6的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)
＝(－3)2－(2)2＋m2＝9－12＋3＝0，
∴MF1⊥MF2，∴点M在以F1F2为直径的圆上．
(3)S△F1MF2＝×4×|m|＝6.
10．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．
【解析】
(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则a2＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得
∴k2≠且k2<1.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－.
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.
又∵·>2，得x1x2＋y1y2>2，
∴>2，即>0，解得由①②得故k的取值范围为∪.
B组 专项能力提升
(时间：25分钟)
11．(2015·湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则( )
A．对任意的a，b，e1>e2
B．当a>b时，e1>e2；当aC．对任意的a，b，e1D．当a>b时，e1e2
【解析】
分别表示出e1和e2，利用作差法比较大小．
由题意e1＝
＝
；
双曲线C2的实半轴长为a＋m，虚半轴长为b＋m，
离心率e2＝
＝
.
因为－＝，且a>0，b>0，m>0，a≠b，
所以当a>b时，>0，即>.
又>0，>0，
所以由不等式的性质依次可得>，
1＋>1＋，
所以
>
，
即e2>e1；同理，当a可推得e2综上，当a>b时，e1当ae2.
【答案】
D
12．(2015·重庆)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a＋，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )
A．(－1，0)∪(0，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－，0)∪(0，)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
【解析】
根据双曲线的性质和两直线的位置关系求解．
由题作出图象如图所示．
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\625.tif"
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由－＝1可知A(a，0)，F(c，0)．
易得B，C.
∵kAB＝＝，∴kCD＝.
∵kAC＝＝，∴kBD＝－.
∴lBD：y－＝－(x－c)，
即y＝－x＋＋，
lCD：y＋＝(x－c)，
即y＝x－－.
∴xD＝c＋.∴点D到BC的距离为.
∴∴b4b2，∴0<<1.
∴0<<1或－1<<0.
【答案】
A
13．(2015·江苏)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点，若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．
【解析】
先求双曲线的渐近线方程，再结合图形求c的最大值．
所求的c的最大值就是双曲线的一条渐近线x－y＝0与直线x－y＋1＝0的距离，此距离d＝＝.
【答案】
14．(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．
【解析】
方法一：设出双曲线方程，然后利用双曲线过点(4，)求解．
∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4，
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
方法二：∵渐近线y＝x过点(4，2)，而<2，
∴点(4，)在渐近线y＝x的下方，
在y＝－x的上方(如图)．
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\626.tif"
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∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
由已知条件可得解得
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
【答案】
－y2＝1
15．(2015·湖南)设F是双曲线C：－＝1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．
【解析】
根据题意建立a，c间的联系，再利用离心率公式计算．
不妨设F(－c，0)，PF的中点为(0，b)．
由中点坐标公式可知P(c，2b)．
又点P在双曲线上，
则－＝1，故＝5，即e＝＝.
【答案】
16．已知离心率为的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为2.
(1)求椭圆及双曲线的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为A、B，在第二象限内取双曲线上一点P，连接BP交椭圆于点M，连接PA并延长交椭圆于点N，若＝，求四边形ANBM的面积．
【解析】
(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
则根据题意知双曲线的方程为－＝1，
且满足解方程组得
∴椭圆的方程为＋＝1，双曲线的方程为－＝1.
(2)由(1)得A(－5，0)，B(5，0)，|AB|＝10，
设M(x0，y0)，则由＝得M为BP的中点，
所以P点坐标为(2x0－5，2y0)．
将M、P坐标代入椭圆和双曲线方程，
得eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,25)＋\f(y,9)＝1，,\f(（2x0－5）2,25)－\f(4y,9)＝1，))消去y0，得2x－5x0－25＝0.
解之，得x0＝－或x0＝5(舍去)．∴y0＝.
由此可得M，∴P(－10，3)．
当P为(－10，3)时，
直线PA的方程是y＝(x＋5)，
即y＝－(x＋5)，代入＋＝1，
得2x2＋15x＋25＝0.
∴x＝－或－5(舍去)，∴xN＝－，xN＝xM，MN⊥x轴．
∴S四边形ANBM＝2S△AMB＝2××10×＝15.
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7-4
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．下列不等式一定成立的是( )
A．lg>lg
x(x>0)
B．sin
x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
【解析】
当x>0时，x2＋≥2·x·＝x，
所以lg≥lg
x(x>0)，故选项A不正确；
运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，
而当x≠kπ，k∈Z时，sin
x的正负不定，
故选项B不正确；
由基本不等式可知，选项C正确；
当x＝0时，有＝1，故选项D不正确．
【答案】
C
2．若a>0，b>0，且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是( )
A. B．1
C．4
D．8
【解析】
由a>0，b>0，ln(a＋b)＝0得
故＋＝＝≥＝＝4.
当且仅当a＝b＝时上式取“＝”．
【答案】
C
3．已知x>0，y>0，且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为( )
A.
B．2
C.
D．2
【解析】
∵x>0，y>0，x＋2y≥2，
∴4xy－(x＋2y)≤4xy－2，∴4≤4xy－2，
即(－2)(＋1)≥0，∴≥2，∴xy≥2.
【答案】
D
4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(aA．aB．v＝
C.D．v＝
【解析】
设甲、乙两地相距s，
则小王往返两地用时为＋，
从而v＝＝.
∵0＝a，
∴<，即<，∴a【答案】
A
5．(2015·福建)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【解析】
将点的坐标代入直线的方程，得到a，b所满足的关系式，再利用基本不等式求最值．
将(1，1)代入直线＋＝1得＋＝1，a>0，b>0，
故a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，
等号当且仅当a＝b时取到，故选C.
【答案】
C
6．若对于任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
【解析】
＝，
因为x>0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，
则≤＝，
即的最大值为，故a≥.
【答案】
a≥
7．设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为________．
【解析】
＝5＋＋4x2y2
≥5＋2
＝9，当且仅当x2y2＝时“＝”成立．
【答案】
9
8．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________．
【解析】
设每次购买该种货物x吨，则需要购买次，
则一年的总运费为×2＝，
一年的总存储费用为x，所以一年的总运费与总存储费用为
＋x≥2
＝40，
当且仅当＝x，即x＝20时等号成立，
故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨．
【答案】
20
9．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设0【解析】
(1)y＝x＋＝－＋.
当x<时，有3－2x>0，
∴＋≥2
＝4，
当且仅当＝，即x＝－时取等号．
于是y≤－4＋＝－.故函数的最大值为－.
(2)∵00，
∴y＝＝·
≤·＝，当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，
∴当x＝1时，函数y＝的最大值为.
10．某单位决定投资3
200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
【解析】
设铁栅长为x(x>0)米，一侧砖墙长为y(y>0)米，
则顶部面积S＝xy，依题设，
得40x＋2×45y＋20xy＝3
200，
由基本不等式得3
200≥2＋20xy
＝120＋20xy＝120＋20S，
则S＋6－160≤0，即(－10)(＋16)≤0，
故0<≤10，从而0所以S的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，
解得x＝15，即铁栅的长应设计为15米．
B组 专项能力提升
(时间：20分钟)
11．(2015·江西南昌月考)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．0，2]
B．－2，0]
C．－2，＋∞)
D．(－∞，－2]
【解析】
∵2x＋2y≥2，且2x＋2y＝1，
∴2x＋y≤，∴x＋y≤－2.选D.
【答案】
D
12．(2015·浙江)已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．
【解析】
由内到外依次代入计算可得f(f(－3))，在分段函数的两段内分别计算最小值，取二者中较小的为f(x)的最小值．
∵f(－3)＝lg(－3)2＋1]＝lg
10＝1，
∴f(f(－3))＝f(1)＝1＋2－3＝0.
当x≥1时，x＋－3≥2
－3＝2－3，
当且仅当x＝，即x＝时等号成立，
此时f(x)min＝2－3<0；
当x<1时，lg(x2＋1)≥lg(02＋1)＝0，
此时f(x)min＝0.所以f(x)的最小值为2－3.
【答案】
0 2－3
13．规定记号“ ”表示一种运算，即a b＝＋a＋b(a、b为正实数)．若1 k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________．
【解析】
1 k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，
∴＝1或＝－2(舍去)．∴k＝1.
f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，
当且仅当＝，即x＝1时等号成立．
【答案】
1 3
14．已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为________．
【解析】
因为a>0，b>0，
所以由－－≤0恒成立得
m≤(3a＋b)＝10＋＋恒成立．
因为＋≥2
＝6，
当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋＋≥16，
所以m≤16，即m的最大值为16.
【答案】
16
15．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1≤t≤30，t∈N
)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)＝4＋，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)＝120－|t－20|.
(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N
)的函数关系式；
(2)求该城市旅游日收益的最小值．
【解析】
(1)W(t)＝f(t)g(t)＝(120－|t－20|)
＝
(2)当t∈1，20]时，401＋4t＋≥401＋2
＝441(t＝5时取最小值)．
当t∈(20，30]时，因为W(t)＝559＋－4t递减，
所以t＝30时，W(t)有最小值W(30)＝443，
所以t∈1，30]时，W(t)的最小值为441万元．
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5-3
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则a·b的值为( )
A．－ B.
C．－1
D．1
【解析】
依题意得(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2a·b＝1，
所以a·b＝－，选A.
【答案】
A
2．(2015·福建)设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于( )
A．－
B．－
C.
D.
【解析】
先求出向量c的坐标，再由向量的数量积求解．
c＝a＋kb＝(1＋k，2＋k)，又b⊥c，
所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－.
【答案】
A
3．向量与向量a＝(－3，4)的夹角为π，||＝10，若点A的坐标是(1，2)，则点B的坐标为( )
A．(－7，8)
B．(9，－4)
C．(－5，10)
D．(7，－6)
【解析】
∵与a＝(－3，4)反向，
∴可设＝(3λ，－4λ)，λ>0.
又||＝10，∴λ＝2，∴＝(6，－8)，
又A(1，2)，∴B点坐标为(7，－6)．
【答案】
D
4．(2015·四川)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝( )
A．20
B．15
C．9
D．6
【解析】
首先用向量，分别表示向量，，然后求数量积·.如图所示，由题设知：
＝＋＝＋，＝－，
∴·＝·
＝||2－||2＋·－·
＝×36－×16＝9.
【答案】
C
5．(2015·安徽)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)
①a为单位向量；
②b为单位向量；
③a⊥b;
④b∥；
⑤(4a＋b)⊥.
【解析】
根据向量的有关概念、线性运算及数量积求解．
∵2＝4|a|2＝4，∴|a|＝1，故①正确；
∵＝－＝(2a＋b)－2a＝b，
又△ABC为等边三角形，
∴||＝|b|＝2，故②错误；
∵b＝－，
∴a·b＝·(－)＝×2×2×cos
60°－×2×2＝－1≠0，故③错误；
∵＝b，故④正确；
∵(＋)·(－)＝2－2＝4－4＝0，
∴(4a＋b)⊥，故⑤正确．
【答案】
①④⑤
6．(2014·北京)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________．
【解析】
∵λa＋b＝0，∴λa＝－b，
∴|λa|＝|－b|＝|b|＝＝，∴|λ|·|a|＝.
又|a|＝1，∴|λ|＝.
【答案】
7．(2015·山东)过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝________．
【解析】
先根据图形求出向量和的夹角及模，再利用数量积公式求解．
如图所示，可知OA⊥AP，OB⊥BP，
OP＝＝2，又OA＝OB＝1，
可以求得AP＝BP＝，∠APB＝60°，
故·＝××cos
60°＝.
【答案】
8．已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________．
【解析】
由a·b<0，即2λ－3<0，
解得λ<，由a∥b得：6＝－λ，即λ＝－6.
因此λ的取值范围是λ<，且λ≠－6.
【答案】
(－∞，－6)∪
9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|和|a－b|.
【解析】
(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝61，解得a·b＝－6.
∴cos
θ＝＝＝－，又0≤θ≤π，∴θ＝.
(2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝13，∴|a＋b|＝.
|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝37.
∴|a－b|＝.
10．已知△ABC的内角为A，B，C，其对边分别为a，b，c，B为锐角，向量m＝(2sin
B，－)，n＝，且m∥n.
(1)求角B的大小；
(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值．
【解析】
(1)m∥n 2sin
B·＋cos
2B＝0
sin
2B＋cos
2B＝0 2sin＝0(B为锐角)
2B＝ B＝.
(2)cos
B＝ ac＝a2＋c2－4≥2ac－4 ac≤4.
S△ABC＝a·c·sin
B≤×4×＝.
故S△ABC的最大值为.
B组 专项能力提升
(时间：20分钟)
11．(2015·陕西)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( )
A．|a·b|≤|a||b|
B．|a－b|≤||a|－|b||
C．(a＋b)2＝|a＋b|2
D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
【解析】
根据平面向量的加减、模、数量积的定义和性质逐一判断各关系式．
根据a·b＝|a||b|cos
θ，
又cos
θ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A恒成立．
当向量a和b方向不相同时，
|a－b|>||a|－|b||，B不恒成立．
根据|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝(a＋b)2，C恒成立．
根据向量的运算性质得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，D恒成立．
【答案】
B
12．(2015·吉林长春质量检测二)已知平面向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝( )
A．1
B.
C．4＋
D．2
【解析】
∵|a|＝，|b|＝2，a·b＝－3，
∴|a＋2b|＝＝.故选B.
【答案】
B
13．(2015·山西四校联考)已知向量a，b满足(2a－b)·(a＋b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，则a与b的夹角为________．
【解析】
∵(2a－b)·(a＋b)＝6，∴2a2＋a·b－b2＝6，
又|a|＝2，|b|＝1，∴a·b＝－1，
∴cos〈a，b〉＝＝－，
又〈a，b〉∈0，π]，∴a与b的夹角为.
【答案】
π
14．(2015·山西运城5月)已知向量a＝，b＝，且x∈.
(1)求a·b及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．
【解析】
(1)a·b＝cos
cos
－sin
·sin
＝cos
2x.
∵a＋b＝，
∴|a＋b|＝
＝＝2|cos
x|.
∵x∈，∴cos
x>0，∴|a＋b|＝2cos
x.
(2)f(x)＝cos
2x－2cos
x＝2cos2
x－2cos
x－1
＝2－.
∵x∈，∴≤cos
x≤1，
∴当cos
x＝时，f(x)取得最小值－；
当cos
x＝1时，f(x)取得最大值－1.
15．(2016·青海同仁模拟)已知向量p＝(2sin
x，cos
x)，q＝(－sin
x，2sin
x)，函数f(x)＝p·q.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(C)＝1，c＝1，ab＝2，且a>b，求a，b的值．
【解析】
(1)f(x)＝－2sin2
x＋2sin
xcos
x
＝－1＋cos
2x＋2sin
xcos
x
＝sin
2x＋cos
2x－1＝2sin－1.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)∵f(C)＝2sin－1＝1，∴sin＝1，
∵C是三角形的内角，∴2C＋＝，即C＝.
∴cos
C＝＝，即a2＋b2＝7.
将ab＝2代入可得a2＋＝7，解得a2＝3或4.
∴a＝或2，∴b＝2或.∵a>b，∴a＝2，b＝.
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6-1
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式是an等于( )
A.
B．cos
C．cos
π
D．cos
π
【解析】
令n＝1，2，3，…逐一验证四个选项，易得D正确．
【答案】
D
2．(2015·福建南安一中上学期期末)已知数列{an}中，a1＝1，若an＝2an－1＋1(n≥2)，则a5的值是( )
A．7
B．5
C．30
D．31
【解析】
由题意得a2＝2a1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，
a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.
【答案】
D
3．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于( )
A．15
B．12
C．－12
D．－15
【解析】
由题意知，a1＋a2＋…＋a10
＝－1＋4－7＋10－…＋(－1)10×(3×10－2)
＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]＝3×5＝15.
【答案】
A
4．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则等于( )
A.
B.
C.
D．30
【解析】
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，
所以＝5×6＝30.
【答案】
D
5．(2016·嘉兴模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1an＝2n(n∈N
)，则a10等于( )
A．64
B．32
C．16
D．8
【解析】
因为an＋1an＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1，
两式相除得＝2.
又a1a2＝2，a1＝1，所以a2＝2，
则···＝24，即a10＝25＝32.
【答案】
B
6．若数列{an}满足关系：an＋1＝1＋，a8＝，则a5＝________．
【解析】
借助递推关系，则a8递推依次得到
a7＝，a6＝，a5＝.
【答案】
7．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N
，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝________．
【解析】
由题意知：a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，
∴an＝(n≥2)，∴a3＋a5＝＋＝.
【答案】
8．已知{an}是递增数列，且对于任意的n∈N
，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．
【解析】
因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N
，
都有an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，整理，
得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1)．(
)
因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(
)恒成立，只需λ>－3.
【答案】
(－3，＋∞)
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an＋an＋1，求数列{bn}的通项公式．
【解析】
(1)当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)
＝2n＋1－2n＝2n；
因为a1也适合此等式，所以an＝2n(n∈N
)．
(2)因为bn＝an＋an＋1，且an＝2n，an＋1＝2n＋1，
所以bn＝2n＋2n＋1＝3·2n.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
11．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6等于( )
A．3×44
B．3×44＋1
C．45
D．45＋1
【解析】
当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，
∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，
即an＋2＝4an＋1，
∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．
又a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝
∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44.
【答案】
A
12．对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1，2，…)”是“{an}为递增数列”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】
当an＋1>|an|(n＝1，2，…)时，
∵|an|≥an，∴an＋1>an，∴{an}为递增数列．
当{an}为递增数列时，若该数列为－2，0，1，
则a2>|a1|不成立，
即知：an＋1>|an|(n＝1，2，…)不一定成立．
综上知，“an＋1>|an|(n＝1，2，…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．
【答案】
B
13．已知数列，则0.98是它的第________项．
【解析】
＝0.98＝，∴n＝7.
【答案】
7
14．已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)判断数列{cn}的增减性．
【解析】
(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．
∴bn＝
(2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1
＝＋＋…＋，
∴cn＋1－cn＝＋－
＝－＝<0，
∴cn＋1∴数列{cn}为递减数列．
15．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N＋.
(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N＋，求a的取值范围．
【解析】
(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)．
即bn＋1＝2bn，又b1＝S1－3＝a－3，
因此，所求通项公式为
bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N＋.
(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N＋，
于是，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2
＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2
＝2n－2，
当n≥2时，an＋1≥an 12＋a－3≥0 a≥－9.
又a2＝a1＋3>a1.
综上，所求的a的取值范围是－9，3)∪(3，＋∞)．
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4-8
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．若点A在点B的北偏西30°，则点B在点A的( )
A．北偏西30° B．北偏西60°
C．南偏东30°
D．东偏南30°
【解析】
如图，点B在点A的南偏东30°.
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\185.tif"
\
MERGEFORMATINET
【答案】
C
2．(2016·合肥三检)如图，一栋建筑物AB的高为(30－10)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为( )
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\186.tif"
\
MERGEFORMATINET
A．30
m
B．60
m
C．30
m
D．40
m
【解析】
如图，在Rt△ABM中，
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\187.tif"
\
MERGEFORMATINET
AM＝＝＝＝20
m.
过点A作AN⊥CD于点N，
易知∠MAN＝∠AMB＝15°，
所以∠MAC＝30°＋15°＝45°，
又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，从而∠ACM＝30°.
在△AMC中，由正弦定理得＝，
解得MC＝40
m，
在Rt△CMD中，CD＝40×sin
60°＝60
m，
故通信塔CD的高为60
m.
【答案】
B
3．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18
km，速度为1
000
km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1
min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1
km，参考数据：≈1.732)( )
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\188.tif"
\
MERGEFORMATINET
A．11.4
km
B．6.6
km
C．6.5
km
D．5.6
km
【解析】
∵AB＝1
000×1
000×＝
m，
∴BC＝·sin
30°＝
m.
∴航线离山顶h＝×sin
75°≈11.4
km.
∴山高为18－11.4＝6.6
km.
【答案】
B
4．如图，两座相距60
m的建筑物AB，CD的高度分别为20
m、50
m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于( )
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\189.tif"
\
MERGEFORMATINET
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
【解析】
依题意可得AD＝20
m，
AC＝30
m，又CD＝50
m，
所以在△ACD中，由余弦定理得
cos∠CAD＝＝
＝＝，
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
【答案】
B
5．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A．10海里
B．10海里
C．20海里
D．20海里
【解析】
如图所示，易知，在△ABC中，
AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\190.tif"
\
MERGEFORMATINET
根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．
【答案】
A
6．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是____________．
【解析】
如图，依题意有甲楼的高度为
AB＝20·tan
60°＝20(米)，
又CM＝DB＝20(米)，∠CAM＝60°，
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\191.tif"
\
MERGEFORMATINET
所以AM＝CM·＝(米)，
故乙楼的高度为CD＝20－＝(米)．
【答案】
20米，米
7．(2014·课标全国Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100
m，则山高MN＝________m.
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\192.tif"
\
MERGEFORMATINET
【解析】
根据图示，AC＝100
m.
在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理得＝ AM＝100
m.
在△AMN中，＝sin
60°，
∴MN＝100×＝150
m.
【答案】
150
8．如图，在四边形ABCD花圃中，已知AD⊥CD，AD＝10
m，AB＝14
m，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为________m.
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\193.tif"
\
MERGEFORMATINET
【解析】
在△ABD中，设BD＝x，
则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，
即142＝x2＋102－2·10xcos
60°，
整理得x2－10x－96＝0，
解得x1＝16，x2＝－6(舍去)．
在△BCD中，由正弦定理：＝，
∴BC＝·sin
30°＝8.
【答案】
8
9．在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100
m后，又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高为50
m．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\194.tif"
\
MERGEFORMATINET
【解析】
在△ABC中，∠BAC＝15°，
∠CBA＝180°－45°＝135°，所以∠ACB＝30°.
又AB＝100
m，由正弦定理，得＝，
即BC＝.
在△BCD中，因为CD＝50，BC＝，
∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋θ，
由正弦定理，得＝，
解得cos
θ＝－1.
因此，山对于地平面的斜度的余弦值为－1.
10．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10
n
mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9
n
mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21
n
mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．
【解析】
如图所示，根据题意可知
AC＝10，∠ACB＝120°，
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\195.tif"
\
MERGEFORMATINET
设舰艇靠近渔轮所需的时间为t
h，并在B处与渔轮相遇，
则AB＝21t，BC＝9t，
在△ABC中，根据余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos
120°，
所以212t2＝102＋92t2＋2×10×9t×，
即360t2－90t－100＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．
所以舰艇靠近渔轮所需的时间为
h.
此时AB＝14，BC＝6.
在△ABC中，根据正弦定理得＝，
所以sin∠CAB＝＝，
即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去)．
即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.
所以舰艇以66.8°的方位角航行，需
h才能靠近渔轮．
B组 专项能力提升
(时间：25分钟)
11．某人向正东方向走x
km后，向右转150°，然后朝新方向走3
km，结果他离出发点恰好是
km，那么x的值为________．
【解析】
如图所示，设此人从A出发，
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\196.tif"
\
MERGEFORMATINET
则AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，
由余弦定理得()2＝x2＋32－2x·3·cos
30°，
整理，得x2－3x＋6＝0，解得x＝或2.
【答案】
或2
12．(2015·湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600
m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\197.tif"
\
MERGEFORMATINET
【解析】
先利用正弦定理求出BC，再在Rt△BCD中求CD.
由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，
∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600
m，故由正弦定理得＝，
解得BC＝300
m.
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan
30°
＝300×＝100(m)．
【答案】
100
13．(2016·潍坊模拟)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8
n
mile.此船的航速是________．
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\198.tif"
\
MERGEFORMATINET
【解析】
设航速为v
n
mile/h
在△ABS中，AB＝v，BS＝8，∠BSA＝45°，
由正弦定理得：＝，∴v＝32.
【答案】
32
n
mile/h
14．(2016·郑州模拟)在200
m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m.
【解析】
如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，
∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°.
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\199.tif"
\
MERGEFORMATINET
又AB＝200
m，∴AC＝
m.
在△ACD中，由余弦定理得，
AC2＝2CD2－2CD2·cos
120°＝3CD2，
∴CD＝AC＝
m.
【答案】
15．(2016·江西南昌模拟)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50
m/min.在甲出发2
min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1
min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130
m/min，山路AC长为1
260
m，经测量cos
A＝，cos
C＝.
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\200.tif"
\
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(1)求索道AB的长；
(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
【解析】
(1)在△ABC中，因为cos
A＝，cos
C＝，
所以sin
A＝，sin
C＝.
从而sin
B＝sinπ－(A＋C)]＝sin(A＋C)
＝sin
Acos
C＋cos
Asin
C＝×＋×＝.
由正弦定理＝，得
AB＝×sin
C＝×＝1
040
m.
所以索道AB的长为1
040
m.
(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t
m，
所以由余弦定理得
d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×
＝200(37t2－70t＋50)，
由于0≤t≤，即0≤t≤8，
故当t＝
min时，甲、乙两游客距离最短．
(3)由正弦定理＝，
得BC＝×sin
A＝×＝500
m.
乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550
m，
还需走710
m才能到达C.
设乙步行的速度为v
m/min，
由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，
所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3
min，乙步行的速度应控制在
(单位：m/min)范围内．
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4-7
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC等于( )
A．4 B．2
C.
D.
【解析】
由正弦定理得＝，
所以AC＝＝＝2.
【答案】
B
2．(2016·安庆模拟)在△ABC中，A∶B＝1∶2，sin
C＝1，则a∶b∶c
等于( )
A．1∶2∶3
B．3∶2∶1
C．1∶∶2
D．2∶∶1
【解析】
由sin
C＝1，∴C＝，
由A∶B＝1∶2，故A＋B＝3A＝，得A＝，B＝，
由正弦定理得，a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C
＝∶∶＝1∶∶2.
【答案】
C
3．(2015·广东)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos
A＝且bA．3
B．2
C．2
D.
【解析】
利用余弦定理求解．
由a2＝b2＋c2－2bccos
A，得4＝b2＋12－6b，
解得b＝2或4.又b【答案】
C
4．△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】
设AB＝a，
则由AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos
B知
7＝a2＋4－2a，
即a2－2a－3＝0，∴a＝3(负值舍去)．
∴BC边上的高为AB·sin
B＝3×＝.
【答案】
B
5．(2015·安徽)在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________．
【解析】
由三角形的内角和求得∠C的大小，再由正弦定理求解即可．
∠C＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得＝，
即＝，解得AC＝2.
【答案】
2
6．在△ABC中，若b＝5，B＝，sin
A＝，则a＝________．
【解析】
根据正弦定理应有＝，
∴a＝＝＝.
【答案】
7．在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos
C＝，则BC＝________．
【解析】
设BC＝x，
则由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos
C
得5＝25＋x2－2·5·x·，
即x2－9x＋20＝0，解得x＝4或x＝5.
【答案】
4或5
8．(2015·重庆)在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________．
【解析】
根据题意由正弦定理求出角A的度数，再求AC的长．
如图，在△ABD中，由正弦定理，得＝，
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\169.tif"
\
MERGEFORMATINET
∴sin∠ADB＝.
∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝180°－45°－120°＝15°.
∴∠BAC＝30°，∠C＝30°，∴BC＝AB＝.
在△ABC中，由正弦定理，得＝，∴AC＝.
【答案】
9．(2015·安徽)在△ABC中，∠A＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．
【解析】
设△ABC的内角∠BAC，
B，C所对边的长分别是a，b，c，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC
＝(3)2＋62－2×3×6×cos
＝18＋36－(－36)＝90，
所以a＝3.
又由正弦定理得sin
B＝＝＝，
由题设知0所以cos
B＝＝
＝.
在△ABD中，因为AD＝BD，
所以∠ABD＝∠BAD，
所以∠ADB＝π－2B，
故由正弦定理得
AD＝＝＝＝.
10．(2015·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2.
(1)求tan
C的值；
(2)若△ABC的面积为3，求b的值．
【解析】
(1)由b2－a2＝c2及正弦定理得
sin2B－＝sin2C，所以－cos
2B＝sin2C.
又由A＝，即B＋C＝π，得
－cos
2B＝sin
2C＝2sin
Ccos
C，
解得tan
C＝2.
(2)由tan
C＝2，C∈(0，π)，得
sin
C＝，cos
C＝.
因为sin
B＝sin(A＋C)＝sin，
所以sin
B＝.由正弦定理得c＝，
又因为A＝，bcsin
A＝3，
所以bc＝6，故b＝3.
B组 专项能力提升
(时间：20分钟)
11．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin
Asin
B＋bcos2A＝a，则等于( )
A．2
B．2
C.
D.
【解析】
∵asin
Asin
B＋bcos2A＝a，
∴sin
Asin
Asin
B＋sin
Bcos2A＝sin
A，
∴sin
B＝sin
A，∴＝＝.
【答案】
D
12．(2015·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．
【解析】
画出四边形ABCD，延长CD，BA，探求出AB的取值范围．
如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BFINCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\170.tif"
\
MERGEFORMATINET
在等腰三角形CFB中，∠FCB＝30°，
CF＝BC＝2，
∴BF＝＝－.
在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，
BE＝CE，BC＝2，＝，
∴BE＝×＝＋.
∴－【答案】
(－，＋)
13．(2015·福建)若△ABC中，AC＝，A＝45°，C＝75°，则BC＝________．
【解析】
由三角形的内角和求得∠B的大小，再由正弦定理求解即可．
∠B＝180°－75°－45°＝60°，
由正弦定理，得＝，
即＝，解得BC＝.
【答案】
14．(2015·四川)如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角．
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\171.tif"
\
MERGEFORMATINET
(1)证明：tan
＝；
(2)若A＋C＝180°，AB＝6，BC＝3，CD＝4，AD＝5，求tan
＋tan
＋tan
＋tan
的值．
【解析】
(1)证明：tan
＝＝＝.
(2)由A＋C＝180°，得C＝180°－A，D＝180°－B.
由(1)，有tan
＋tan
＋tan
＋tan
＝＋＋＋
＝＋.
连接BD(图略)．
在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos
A，
在△BCD中，有BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos
C，
所以AB2＋AD2－2AB·ADcos
A＝BC2＋CD2＋2BC·CDcos
A，
则cos
A＝
＝＝.
于是sin
A＝＝
＝.
连接AC，同理可得
cos
B＝＝＝，
于是sin
B＝＝
＝.
所以tan
＋tan
＋tan
＋tan
＝＋＝＋＝.
15．(2015·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知tan＝2.
(1)求的值；
(2)若B＝，a＝3，求△ABC的面积．
【解析】
(1)由tan＝2，得tan
A＝，
所以＝＝.
(2)由tan
A＝，A∈(0，π)，得
sin
A＝，cos
A＝.
由a＝3，B＝及正弦定理＝，得b＝3.
由sin
C＝sin(A＋B)＝sin，
得sin
C＝.
设△ABC的面积为S，则S＝absin
C＝9.
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6-4
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于( )
A．n2＋1－ B．2n2－n＋1－
C．n2＋1－
D．n2－n＋1－
【解析】
该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，
则Sn＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋
＝n2＋1－.
【答案】
A
2．已知函数f(n)＝n2cos
nπ，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于( )
A．0
B．－100
C．100
D．10
200
【解析】
f(n)＝n2cos
nπ＝＝(－1)n·n2，
由an＝f(n)＋f(n＋1)＝(－1)n·n2＋(－1)n＋1·(n＋1)2
＝(－1)nn2－(n＋1)2]＝(－1)n＋1·(2n＋1)，
得a1＋a2＋a3＋…＋a100
＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)
＝50×(－2)＝－100.
【答案】
B
3．数列a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20共有十项，且其和为240，则a1＋…＋ak＋…＋a10的值为( )
A．31
B．120
C．130
D．185
【解析】
a1＋…＋ak＋…＋a10＝240－(2＋…＋2k＋…＋20)
＝240－＝240－110＝130.
【答案】
C
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，则{|an|}的前n项和Tn等于( )
A．6n－n2
B．n2－6n＋18
C.
D.
【解析】
∵由Sn＝n2－6n得{an}是等差数列，
且首项为－5，公差为2.
∴an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7，
∴n≤3时，an<0，n>3时，an>0，
∴Tn＝
【答案】
C
5．数列an＝，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为( )
A．－10
B．－9
C．10
D．9
【解析】
数列的前n项和为
＋＋…＋＝1－＝＝，
∴n＝9，∴直线方程为10x＋y＋9＝0.
令x＝0，得y＝－9，∴在y轴上的截距为－9.
【答案】
B
6．(2016·西安模拟)数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N
)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝________．
【解析】
由an＋an＋1＝＝an＋1＋an＋2，∴an＋2＝an，
则a1＝a3＝a5＝…＝a21，a2＝a4＝a6＝…＝a20，
∴S21＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a20＋a21)
＝1＋10×＝6.
【答案】
6
7．已知数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N
)，a1＝－，Sn是数列{an}的前n项和，则S2
015＝________．
【解析】
由题意知，a1＝－，a2＝1，a3＝－，
a4＝2，a5＝－，a6＝3，…，
所以数列{an}的奇数项构成了首项为－，
公差为－1的等差数列，偶数项构成了首项为1，
公差为1的等差数列，通过分组求和可得
S2
015＝＋
＝－504.
【答案】
－504
8．设f(x)＝，若S＝f＋f＋…＋f，则S＝________．
【解析】
∵f(x)＝，
∴f(1－x)＝＝，
∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝1.
S＝f＋f＋…＋f，①
S＝f＋f＋…＋f，②
①＋②得，
2S＝＋
＋…＋＝2
014，
∴S＝＝1
007.
【答案】
1
007
9．(2015·湖北)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
【解析】
(1)由题意有
即
解得或
故或
(2)由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，
故cn＝，
于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋＋＋…＋＋.②
①－②可得
Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，
故Tn＝6－.
10．(2015·天津)已知数列{an}满足an＋2＝qan(q为实数，且q≠1)，n∈N
，a1＝1，a2＝2，且a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差数列．
(1)求q的值和{an}的通项公式；
(2)设bn＝，n∈N
，求数列{bn}的前n项和．
【解析】
(1)由已知，有(a3＋a4)－(a2＋a3)＝(a4＋a5)－(a3＋a4)，即a4－a2＝a5－a3，所以a2(q－1)＝a3(q－1)．
又因为q≠1，所以a3＝a2＝2.
由a3＝a1·q，得q＝2.
当n＝2k－1(k∈N
)时，an＝a2k－1＝2k－1＝2；
当n＝2k(k∈N
)时，an＝a2k＝2k＝2.
所以{an}的通项公式为an＝
(2)由(1)得bn＝＝，n∈N
.
设{bn}的前n项和为Sn，则
Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×，Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×，
上述两式相减，得Sn＝1＋＋＋…＋－
＝－＝2－－，
整理，得Sn＝4－，n∈N
.
所以，数列{bn}的前n项和为4－，n∈N
.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
11．已知数列2
008，2
009，1，－2
008，－2
009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2
014项之和S2
014等于( )
A．2
008
B．2
010
C．1
D．0
【解析】
由已知得an＝an－1＋an＋1(n≥2)，
∴an＋1＝an－an－1.
故数列的前8项依次为2
008，2
009，1，－2
008，－2
009，－1，2
008，2
009.
由此可知数列为周期数列，周期为6，且S6＝0.
∵2
014＝6×335＋4，∴S2
014＝S4
＝2
008＋2
009＋1＋(－2
008)＝2
010.
【答案】
B
12．1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2等于( )
A.
B．－
C．(－1)n＋1
D．以上答案均不对
【解析】
当n为偶数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2
＝－3－7－…－(2n－1)
＝－＝－；
当n为奇数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2
＝－3－7－…－2(n－1)－1]＋n2
＝－＋n2＝，
综上可得，原式＝(－1)n＋1.
【答案】
C
13．(2015·江苏)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N
)，则数列前10项的和为________．
【解析】
先利用累加法求an，再利用裂项法求的前10项和．
由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．
以上各式相加，得
an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝.
又∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．
∵当n＝1时也满足此式，
∴an＝(n∈N
)．∴＝＝2.
∴S10＝2×
＝2×＝.
【答案】
14．(2015·山东)设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.
【解析】
(1)因为2Sn＝3n＋3，
所以2a1＝3＋3，故a1＝3.
当n≥2时，2Sn－1＝3n－1＋3，
此时2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，
即an＝3n－1，
所以an＝
(2)因为anbn＝log3an，所以b1＝.
当n≥2时，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)·31－n.
所以T1＝b1＝；
当n≥2时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝＋1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n]，
所以3Tn＝1＋1×30＋2×3－1＋…＋(n－1)×32－n]，
两式相减，得
2Tn＝＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n
＝＋－(n－1)×31－n＝－，
所以Tn＝－.
经检验，n＝1时也适合．
综上可得Tn＝－.
15．(2015·浙江)已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N
)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N
)．
(1)求an与bn；
(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.
【解析】
(1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N
)．
由题意知：当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2.
当n≥2时，bn＝bn＋1－bn.
整理得＝，所以bn＝n(n∈N
)．
(2)由(1)知anbn＝n·2n，
因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，
所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1.
故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N
)．
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5-2
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A．(－7，－4) B．(7，4)
C．(－1，4)
D．(1，4)
【解析】
方法一：设出点C坐标，并利用＝(－4，－3)求出点C坐标，然后计算的坐标．
设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
所以从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．
故选A.
方法二：利用＝－求解．
＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，
＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．
故选A.
【答案】
A
2．(2015·全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
【解析】
方法一：将(2a＋b)·a展开后再进行坐标运算．
∵a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，∴a2＝2，a·b＝－3，
从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.
方法二：将2a＋b看做一个向量并求出其坐标后再与a计算数量积．
∵a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，
∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1，2)＝(1，0)，
从而(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1，故选C.
【答案】
C
3．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m，使得＋＝m成立，则m等于( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【解析】
∵＋＋＝0，∴M为△ABC的重心，
连接AM并延长交BC于D，则D为BC的中点．
∴＝.
又＝(＋)，∴＝(＋)，
即＋＝3，∴m＝3，故选B.
【答案】
B
4．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则( )
A．x＝，y＝
B．x＝，y＝
C．x＝，y＝
D．x＝，y＝
【解析】
由题意知＝＋，又＝2，
所以＝＋＝＋(－)
＝＋，所以x＝，y＝.
【答案】
A
5．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
【解析】
依据共线向量定理列方程组求解．
∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，
即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得
【答案】
6．若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．
【解析】
＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，
依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，
即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.
【答案】
7．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．
【解析】
若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线．
∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，
＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，
∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.
【答案】
k≠1
8．(2015·江西南昌一模)已知三角形ABC中，AB＝AC，BC＝4，∠BAC＝120°，＝3，若点P是BC边上的动点，则·的取值范围是________．
【解析】
因为AB＝AC，BC＝4，∠BAC＝120°，
所以∠ABC＝30°，AB＝.
因为＝3，所以＝.
设＝t，则0≤t≤1，
＝＋＝＋t，
又＝＋＝＋，
所以·＝(＋t)·
＝2＋t·＋·＋t2
＝＋t×4×cos
150°＋×4×cos
150°＋t×42
＝4t－，因为0≤t≤1，所以－≤4t－≤，
即·的取值范围是.
【答案】
9．已知A(1，1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
(2)若＝2，求点C的坐标．
【解析】
(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)．
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.
(2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)，
∴，解得，∴点C的坐标为(5，－3)．
10．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．
(1)设＝λ，将用λ，，表示；
(2)设＝x，＝y，证明：＋是定值．
【解析】
(1)＝＋＝＋λ＝＋λ(－)
＝(1－λ)＋λ.
(2)证明：一方面，由(1)，得
＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；①
另一方面，∵G是△OAB的重心，
∴＝＝×(＋)＝＋.②
而，不共线，∴由①②，得
解得∴＋＝3(定值)．
B组 专项能力提升
(时间：20分钟)
11．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，那么A，B，C三点共线的充要条件为( )
A．λ＋μ＝2
B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1
D．λμ＝1
【解析】
∵A，B，C三点共线，
∴存在实数t，满足＝t，
即λa＋b＝ta＋μtb，又a，b是不共线的向量，
∴，∴λμ＝1.
【答案】
D
12．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是( )
A. B.
C.
D.
【解析】
依题意，设＝λ，其中1<λ<，则有＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.
又＝x＋(1－x)，且，不共线，于是有x＝1－λ∈，即x的取值范围是.
【答案】
D
13．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
【解析】
利用平面向量的加、减法的运算法则将用，表示出来，对照已知条件，求出λ1，λ2的值即可．
由题意得＝－＝－
＝(－)＋＝－＋，
于是λ1＝－，λ2＝，故λ1＋λ2＝.
【答案】
14．设＝(－2，4)，＝(－a，2)，＝(b，0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________．
【解析】
由已知得＝(－a＋2，－2)，＝(b＋2，－4)，
又∥，所以(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)，
即整理得2a＋b＝2，
所以＋＝(2a＋b)＝
≥＝.
(当且仅当b＝a时，等号成立)．
【答案】
15．(2015·湖北襄阳阶段测试)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，||＝1，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点．
(1)若x＝π，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；
(2)若x∈，向量m＝，n＝(1－cos
x，sin
x－2cos
x)，求m·n的最小值及对应的x值．
【解析】
(1)设D(t，0)(0≤t≤1)，由题易知C，
所以＋＝，
所以|＋|2＝－t＋t2＋＝t2－t＋1
＝＋(0≤t≤1)，
所以当t＝时，|＋|最小，为.
(2)由题意得C(cos
x，sin
x)，m＝＝(cos
x＋1，sin
x)，
则m·n＝1－cos2
x＋sin2
x－2sin
xcos
x
＝1－cos
2x－sin
2x＝1－sin.
因为x∈，所以≤2x＋≤，
所以当2x＋＝，
即x＝时，sin取得最大值1，
所以m·n的最小值为1－，此时x＝.
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12-1
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．(教材改编)数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于( )
A．28 B．32
C．33
D．27
【解析】
5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，
推出x－20＝12，所以x＝32.
【答案】
B
2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理( )
A．结论正确
B．大前提不正确
C．小前提不正确
D．全不正确
【解析】
f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．
【答案】
C
3．下列推理是归纳推理的是( )
A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆
B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
【解析】
从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理，故应选B.
【答案】
B
4．给出下列三个类比结论：
①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；
②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin
αsin
β；
③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
其中正确结论的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】
(a＋b)n≠an＋bn(n≠1，a·b≠0)，故①错误．
sin(α＋β)＝sin
αsin
β不恒成立．
如α＝30°，β＝60°，sin
90°＝1，sin
30°·sin
60°＝，故②错误．
由向量的运算公式知③正确．
【答案】
B
5．若数列{an}是等差数列，则数列{bn}也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为( )
A．dn＝
B．dn＝
C．dn＝
eq
\r(n,\f(c＋c＋…＋c,n))
D．dn＝
【解析】
若{an}是等差数列，
则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，
∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，
即{bn}为等差数列；
若{cn}是等比数列，则
c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·q，
∴dn＝＝c1·q，
即{dn}为等比数列，故选D.
【答案】
D
6．仔细观察下面○和●的排列规律：○
●
○○
●
○○○
●
○○○○
●
○○○○○
●
○○○○○○
●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．
【解析】
进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，
则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)
＝，
易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14.
【答案】
14
7．在平面几何中，有“正三角形内切圆半径等于这个正三角形高的”．拓展到空间，类比平面几何的上述正确结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的________．
【解析】
设正三角形的边长为a，高为h，内切圆半径为r，由等面积法知3ar＝ah，所以r＝h；
同理，由等体积法知4SR＝HS，所以R＝H.
【答案】
8．(2015·福建)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N
)，其中xk(k＝1，2，…，n)称为第k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．
已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：
其中运算 定义为：0 0＝0，0 1＝1，1 0＝1，1 1＝0.
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________．
【解析】
根据校验方程组推理．
因为x2 x3 x6 x7＝0，所以x2，x3，x6，x7都正确．又因为x4 x5 x6 x7＝1，x1 x3 x5 x7＝1，故x1和x4都错误，或仅x5错误．因为条件中要求仅在第k位发生码元错误，故只有x5错误．
【答案】
5
9．已知等差数列{an}的公差d＝2，首项a1＝5.
(1)求数列{an}的前n项和Sn；
(2)设Tn＝n(2an－5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并归纳出Sn与Tn的大小规律．
【解析】
(1)∵a1＝5，d＝2，∴Sn＝5n＋×2＝n(n＋4)．
(2)∵Tn＝n(2an－5)＝n2(2n＋3)－5]＝4n2＋n.
∴T1＝5，T2＝4×22＋2＝18，T3＝4×32＋3＝39，
T4＝4×42＋4＝68，T5＝4×52＋5＝105.
S1＝5，S2＝2×(2＋4)＝12，S3＝3×(3＋4)＝21，
S4＝4×(4＋4)＝32，S5＝5×(5＋4)＝45.
由此可知S1＝T1，当2≤n≤5，n∈N时，Sn归纳猜想：当n＝1时，Sn＝Tn；当n≥2，n∈N时，Sn10．(2015·辽宁铁岭二模改编)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1写出类似的性质．
【解析】
类似的性质为：若M、N是双曲线－＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
证明：设点M、P的坐标分别为(m，n)、(x，y)，则N(－m，－n)．
因为点M(m，n)在已知双曲线上，所以n2＝m2－b2.
同理，y2＝x2－b2.则kPM·kPN＝·＝＝＝(定值)．
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
11．已知①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．根据“三段论”推理出一个结论．则这个结论是( )
A．正方形的对角线相等
B．矩形的对角线相等
C．正方形是矩形
D．其他
【解析】
根据演绎推理的特点，正方形与矩形是特殊与一般的关系，所以结论是正方形的对角线相等．
【答案】
A
12．设 是R的一个运算，A是R的非空子集．若对于任意a，b∈A，有a b∈A，则称A对运算 封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )
A．自然数集
B．整数集
C．有理数集
D．无理数集
【解析】
A错：因为自然数集对减法、除法不封闭；B错：因为整数集对除法不封闭；C对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．
【答案】
C
13．如图(1)若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N2，则三角形面积之比＝·.如图(2)，若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点P1、P2，点Q1、Q2和点R1、R2，则类似的结论为________________．
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【解析】
考查类比推理问题，由图看出三棱锥P1 OR1Q1及三棱锥P2 OR2Q2的底面面积之比为·，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为，
故体积之比为＝··.
【答案】
＝··
14．数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N
)．证明：
(1)数列是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
【证明】
(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
故＝2·，(小前提)
故是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)
(大前提是等比数列的定义这里省略了)
(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，
∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1
＝4an(n≥2)．(小前提)
又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)
∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)
15．(2015·汉中调研)对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－，请你根据这一发现．
(1)求函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心；
(2)计算f＋f＋f＋f＋…＋f.
【解析】
(1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，
由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝.
f＝×－×＋3×－＝1.
由题中给出的结论，可知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为.
(2)由(1)，知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为，
所以f＋f＝2，
即f(x)＋f(1－x)＝2.
故f＋f＝2，
f＋f＝2，
f＋f＝2，
…
f＋f＝2.
所以f＋f＋f＋f＋…＋f＝×2×2
012＝2
012.
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10-3
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( )
A.＝－10x＋200 B.＝10x＋200
C.＝－10x－200
D.＝10x－200
【解析】
由题意知回归方程斜率应为负，故排除B，D，
又销售量应为正值，故C不正确，故选A.
【答案】
A
2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
以下结论正确的是( )
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
【解析】
根据独立性检验的定义，由K2≈7.8>6.635可知我们有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选A.
【答案】
A
3．(2014·重庆)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )
A.＝0.4x＋2.3
B.＝2x－2.4
C.＝－2x＋9.5
D.＝－0.3x＋4.4
【解析】
因为变量x和y正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C和D.
因为样本点的中心在回归直线上，把点(3，3.5)分别代入选项A和B中的直线方程进行检验，可以排除B，故选A.
【答案】
A
4．(2015·深圳一模)相关变量x、y的样本数据如下表：
x
1
2
3
4
5
y
2
2
3
5
6
经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得线性回归方程为＝1.1x＋，则等于( )
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
【解析】
由题意，x＝＝3，
y＝＝3.6，
∵线性回归方程为＝1.1x＋，
∴3.6＝1.1×3＋，∴＝0.3.
【答案】
C
5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得线性回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元
B．65.5万元
C．67.7万元
D．72.0万元
【解析】
∵x＝＝，y＝＝42，
又＝x＋必过(x，y)，∴42＝×9.4＋，∴＝9.1.
∴线性回归方程为＝9.4x＋9.1.
∴当x＝6时，＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．
【答案】
B
6．以下四个命题，其中正确的序号是________．
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；
③在线性回归方程＝0.2x＋12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位；
④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．
【解析】
①是系统抽样；对于④，随机变量K2的观测值k越小，说明两个相关变量有关系的把握程度越小．
【答案】
②③
7．某班班主任对全班30名男生进行了“认为作业量多少”的调查，数据如下表：
认为作业多
认为作业不多
总计
喜欢玩电脑游戏
12
8
20
不喜欢玩电脑游戏
2
8
10
总计
14
16
30
该班主任据此推断男生认为作业多与喜欢玩电脑游戏有关系，则这种推断犯错误的概率不超过________．
【解析】
计算得K2的观测值为k＝≈4.286>3.841，则推断犯错误的概率不超过0.050.
【答案】
0.050
8．已知x，y之间的一组数据如下表：
x
2
3
4
5
6
y
3
4
6
8
9
对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y＝x＋1；②y＝2x－1；③y＝x－；④y＝x.则根据最小二乘法的思想求得拟合程度最好的直线是________(填序号)．
【解析】
由题意知x＝4，y＝6，∴＝eq
\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi－5x y,\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))x－5x2)＝，
∴＝y－x＝－，∴＝x－，∴填③.
【答案】
③
9．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在29.94，30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：
甲厂：
分组
29.86，29．90)
29.90，29．94)
29.94，29．98)
29.98，30．02)
30.02，30．06)
30.06，30．10)
30.10，30．14)
频数
12
63
86
182
92
61
4
乙厂：
分组
29.86，29．90)
29.90，29．94)
29.94，29．98)
29.98，30．02)
30.02，30．06)
30.06，30．10)
30.10，30．14)
频数
29
71
85
159
76
62
18
(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；
(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？
甲厂
乙厂
合计
优质品
非优质品
合计
附
【解析】
(1)甲厂抽查的500件产品中有360件优质品，从而估计甲厂生产的零件的优质品率为×100%＝72%；
乙厂抽查的500件产品中有320件优质品，从而估计乙厂生产的零件的优质品率为×100%＝64%.
(2)完成的2×2列联表如下：
甲厂
乙厂
合计
优质品
360
320
680
非优质品
140
180
320
合计
500
500
1
000
由表中数据计算得K2的观测值
k＝≈7.35>6.635，
所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
10．(2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\697.TIF"
\
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表中wi＝，w＝i.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程．
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为
【解析】
(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程．
＝y－d^
w＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，
因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.
(3)①由(2)知，当x＝49时，
年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6，
年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.
所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
B组 专项能力提升
(时间：20分钟)
11．(2015·东北三校联考)下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②设有一个回归方程＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；
③回归方程＝x＋必过(x，y)；
④有一个2×2列联表中，由计算得K2＝13.079，则有99.9%
的把握确认这两个变量间有关系．
其中错误的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】
一组数据都加上或减去同一个常数，数据的平均数有变化，方差不变(方差是反映数据的波动程度的量)，①正确；回归方程中x的系数具备直线斜率的功能，对于回归方程＝3－5x，当x增加一个单位时，y平均减少5个单位，②错误；由线性回归方程的定义知，线性回归方程＝x＋必过点(x，y)，③正确；因为K2＝13.079>10.828，故有99.9%的把握确认这两个变量有关系，④正确．故选B.
【答案】
B
12．(2015·河北唐山一模)为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得到了下表中的实验数据，计算得回归直线方程为＝0.85x－0.25.由以上信息，可得表中c的值为( )
天数x
3
4
5
6
7
繁殖数量y(千个)
2.5
3
4
4.5
c
A.5
B．5.5
C．6
D．6.5
【解析】
x＝＝5，
y＝＝，
代入回归直线方程中得＝0.85×5－0.25，解得c＝6.
【答案】
C
13．(2015·开封二模)在一次独立性检验中，得出2×2列联表如下：
y1
y2
合计
x1
200
800
1
000
x2
180
m
180＋m
合计
380
800＋m
1
180＋m
且最后发现，两个分类变量x和y没有任何关系，则m的可能值是( )
A．200
B．720
C．100
D．180
【解析】
计算K2＝
当m＝200时，
K2＝
≈103.37>3.841，此时两个分类变量x和y有关系；
当m＝720时，
K2＝＝0
由K2≤3.841知此时两个分类变量x和y没有任何关系，则m的可能值是720.
【答案】
B
14．(2015·上饶二模)某小卖部销售一品牌饮料的零售价x(元/瓶)与销售量y(瓶)的关系统计如下：
零售价x(元/瓶)
3.0
3.2
3.4
3.6
3.8
4.0
销量y(瓶)
50
44
43
40
35
28
已知关系符合线性回归方程＝x＋，其中＝－20，＝y－x.当单价为4.2元时，估计该小卖部销售这种品牌饮料的销量为________瓶．
【解析】
依题意可得x＝，y＝40，＝－20，
由＝y－x可得＝110，
所以＝－20x＋110，当x＝4.2时＝26.
【答案】
26
15．(2015·辽宁沈阳3月)某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：
积极参加班级工作
不太主动参加班级工作
合计
学习积极性高
18
7
25
学习积极性一般
6
19
25
合计
24
26
50
(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？
(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由．
【解析】
(1)随机抽查这个班的一名学生，有50种不同的抽查方法，由于积极参加班级工作的学生有24人，所以抽到积极参加班级工作的学生的抽法有24种，因此由古典概型概率的计算公式可得抽到积极参加班级工作的学生的概率是P1＝＝.
因为不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，所以抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是P2＝.
(2)K2＝≈11.538，
由于11.538>10.828，所以有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系．
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4-1
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．角α的终边过点P(－1，2)，则sin
α等于( )
A. B.
C．－
D．－
【解析】
由三角函数的定义，
得sin
α＝＝.
【答案】
B
2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为( )
A.
B.
C.
D．2
【解析】
设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，
所以r＝α·r，∴α＝.
【答案】
C
3．(2016·湖北三极联考)已知角x的终边上一点的坐标为，则角x的最小正值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】
因为sin
x＝cos
＝－，
cos
x＝sin
＝，
所以x＝－＋2kπ(k∈Z)，
故当k＝1时，x＝，
即角x的最小正值为.
【答案】
B
4．若α是第三象限角，则y＝＋的值为( )
A．0
B．2
C．－2
D．2或－2
【解析】
∵α是第三象限角，
∴2kπ＋π<α<2kπ＋π(k∈Z)，
∴kπ＋<∴角在第二象限或第四象限．
当在第二象限时，y＝－＝0，
当在第四象限时，y＝＋＝0，
综上，y＝0.
【答案】
A
5．给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；
④若sin
α＝sin
β，则α与β的终边相同；
⑤若cos
θ<0，则θ是第二或第三象限的角．
其中正确命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】
由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；
当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；
由于sin
＝sin
，但与的终边不相同，故④错；
当cos
θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．
综上可知只有③正确．
【答案】
A
6．设α为第二象限角，其终边上一点为P(m，)，且cos
α＝m，则sin
α的值为________．
【解析】
设P(m，)到原点O的距离为r，
则＝cos
α＝m，∴r＝2，sin
α＝＝＝.
【答案】
7．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos
α＝________．
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\137.tif"
\
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【解析】
由题意及图，易知A点的横坐标为－，
所以cos
α＝－.
【答案】
－
8．函数y＝＋
的定义域是____________．
【解析】
由题意知即
∴x的取值范围为＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.
【答案】
(k∈Z)
9．已知角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sin
θ＝m，试判断角θ所在的象限，并求cos
θ和tan
θ的值．
【解析】
由题意，得r＝，
所以sin
θ＝＝m.
因为m≠0，所以m＝±，
故角θ是第二或第三象限角．
当m＝时，r＝2，点P的坐标为(－，)，
角θ是第二象限角，
所以cos
θ＝＝＝－，
tan
θ＝＝＝－；
当m＝－时，r＝2，点P的坐标为(－，－)，
角θ是第三象限角，
所以cos
θ＝＝＝－，
tan
θ＝＝＝.
10．已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10
cm，求扇形的弧长l.
(2)若扇形的周长为20
cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若α＝，R＝2
cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
【解析】
(1)α＝60°＝，l＝10×＝(cm)．
(2)由已知得，l＋2R＝20，
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2
＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5时，S取得最大值25，
此时l＝10，α＝2.
(3)设弓形面积为S弓．由题知l＝
cm，
S弓＝S扇形－S三角形
＝××22－×22×sin
＝(cm2)．
B组 专项能力提升
(时间：20分钟)
11．若一扇形的圆心角为72°，半径为20
cm，则扇形的面积为( )
A．40π
cm2
B．80π
cm2
C．40
cm2
D．80
cm2
【解析】
∵72°＝，
∴S扇形＝αr2＝××202＝80π(cm2)．
【答案】
B
12．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为( )
A．1
B．－1
C．3
D．－3
【解析】
由α＝2kπ－(k∈Z)及终边相同的概念知，
角α的终边在第四象限，
又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，
所以sin
θ<0，cos
θ>0，tan
θ<0.
所以y＝－1＋1－1＝－1.
【答案】
B
13．在直角坐标系中，O是原点，A点坐标为(，－1)，将OA绕O逆时针旋转450°到B点，则B点的坐标为________．
【解析】
设B(x，y)，由题意知|OA|＝|OB|＝2，
∠BOx＝60°，且点B在第一象限，
∴x＝2cos
60°＝1，∴y＝2sin
60°＝，
∴B点的坐标为(1，)．
【答案】
(1，)
14．设MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：
①MP②OM<0③OM④MP<0其中正确的是________．
【解析】
角π在第二象限，OM<0，MP>0，
∴②正确．
【答案】
②
15．如图所示，动点P，Q从点A(4，0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求点P，点Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长．
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\141.tif"
\
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【解析】
设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，
则t·＋t·＝2π.
所以t＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．
设第一次相遇点为C，第一次相遇时P点和Q点已运动到终边在·4＝的位置，
则xC＝－cos
·4＝－2，
yC＝－sin
·4＝－2.
所以C点的坐标为(－2，－2)．
P点走过的弧长为π·4＝π，
Q点走过的弧长为π·4＝π.
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4-4
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．(2015·陕西西安八校联考)若函数y＝cos(ω∈N
)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为( )
A．1 B．2
C．4
D．8
【解析】
由题意知＋＝kπ＋(k∈Z) ω＝6k＋2(k∈Z)，
又ω∈N
，∴ωmin＝2，故选B.
【答案】
B
2．(2015·云南统考)已知函数①y＝sin
x＋cos
x，②y＝2·sin
xcos
x，则下列结论正确的是( )
A．两个函数的图象均关于点中心对称
B．两个函数的图象均关于直线x＝－轴对称
C．两个函数在区间上都是单调递增函数
D．两个函数的最小正周期相同
【解析】
设f(x)＝sin
x＋cos
x＝sin，
g(x)＝2sin
xcos
x＝sin
2x.
对于A、B，f＝0，g＝－≠0，
易知A、B都不正确．
对于C，由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
得f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，
由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，
得g(x)的单调递增区间为
(k∈Z)，易知C正确．
对于D，f(x)的最小正周期为2π，g(x)的最小正周期为π，D不正确．故选C.
【答案】
C
3．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)的一个单调递增区间是( )
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\160.tif"
\
MERGEFORMATINET
A.
B.
C.
D.
【解析】
由函数的图象可得T＝π－π，∴T＝π，
则ω＝2.又图象过点，∴2sin＝2，
∴φ＝－＋2kπ，k∈Z，∵|φ|<.
∴取k＝0，即得f(x)＝2sin，
其单调递增区间为，k∈Z，
取k＝0，即得选项D.
【答案】
D
4．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是( )
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\161.tif"
\
MERGEFORMATINET
A．－5安
B．5安
C．5安
D．10安
【解析】
由图象知A＝10，＝－＝，
∴ω＝＝100π.∴I＝10sin(100πt＋φ)．
为五点中的第二个点，
∴100π×＋φ＝.∴φ＝.∴I＝10sin，
当t＝秒时，I＝－5安．
【答案】
A
5．已知函数f(x)＝2sin
ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是( )
A.∪6，＋∞)
B.∪
C．(－∞，－2]∪6，＋∞)
D．(－∞，－2]∪
【解析】
当ω>0时，－ω≤ωx≤ω，
由题意知－ω≤－，即ω≥；
当ω<0时，ω≤ωx≤－ω，
由题意知ω≤－，∴ω≤－2.
综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪.
【答案】
D
6．设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则f的值为________．
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\162.tif"
\
MERGEFORMATINET
【解析】
取K，L中点N，则MN＝，因此A＝.
由T＝2得ω＝π.∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝，
∴f(x)＝cos
πx，∴f＝cos
＝.
【答案】
7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1，2，3，…，12，A>0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28
℃，12月份的月平均气温最低，为18
℃，则10月份的平均气温值为________℃.
【解析】
由题意得∴
∴y＝23＋5cos，
当x＝10时，y＝23＋5×＝20.5.
【答案】
20.5
8．已知函数f(x)＝cos
xsin
x(x∈R)，给出下列四个命题：
①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；
②f(x)的最小正周期是2π；
③f(x)在区间上是增函数；
④f(x)的图象关于直线x＝对称．
其中真命题是________．
【解析】
f(x)＝sin
2x，当x1＝0，x2＝时，
f(x1)＝－f(x2)，但x1≠－x2，故①是假命题；
f(x)的最小正周期为π，故②是假命题；
当x∈时，2x∈，故③是真命题；
因为f＝sin
π＝－，
故f(x)的图象关于直线x＝π对称，故④是真命题．
【答案】
③④
9．已知函数f(x)＝cos
x·cos.
(1)求f的值；
(2)求使f(x)<成立的x的取值集合．
【解析】
(1)f＝cos
·cos
＝－cos
·cos
＝－＝－.
(2)f(x)＝cos
xcos＝cos
x·
＝cos2x＋sin
xcos
x＝(1＋cos
2x)＋sin
2x
＝cos＋.
f(x)<等价于cos＋<，
即cos<0，
于是2kπ＋<2x－<2kπ＋，k∈Z.
解得kπ＋故使f(x)<成立的x的取值集合为
.
10．(2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．
【解析】
(1)根据表中已知数据，
解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
π
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数解析式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，
则g(x)＝5sin.
因为函数y＝sin
x图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，
令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z.
由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，
所以令＋－θ＝，解得θ＝－，k∈Z.
由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
B组 专项能力提升
(时间：20分钟)
11．将函数y＝sin(x＋φ)的图象F向左平移个单位长度后得到图象F′，若F′的一个对称中心为，则φ的一个可能取值是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】
图象F′对应的函数y＝sin，
则＋＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z，
当k＝1时，φ＝，故选D.
【答案】
D
12．(2016·黄冈市高三年级质量检测)已知A，B，C，D是函数y＝sin(ωx＋φ)一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为( )
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\163.tif"
\
MERGEFORMATINET
A．ω＝2，φ＝
B．ω＝2，φ＝
C．ω＝，φ＝
D．ω＝，φ＝
【解析】
因为在x轴上的投影为，又点A，
所以函数的四分之一个最小正周期为＋＝.
即函数的最小正周期为π，故ω＝＝2.
又点A是处于递增区间上的零点，
所以2×＋φ＝2kπ(k∈Z)，
则φ＝2kπ＋(k∈Z)．又因为0<φ<，所以φ＝.故选A.
【答案】
A
13．(2015·安徽)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是( )
A．f(2)B．f(0)C．f(－2)D．f(2)【解析】
根据三角函数的性质确定ω，φ的值，结合图象进行判断．
方法一：由题意，得T＝＝π，∴ω＝2，
∴f(x)＝Asin(2x＋φ)，
而当x＝时，2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴f(x)＝Asin.
当2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，
即x＝＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值．
下面只需判断2，－2，0与最近的最大值处的对称轴距离大小，距离越大，函数值越小．
当k＝0时，x＝，≈0.52，≈1.48，
当k＝－1时，x＝－，≈0.6，
∴f(2)方法二：将要比较的函数值化归到函数的同一单调区间上．
∵f(x)的最小正周期为π，∴f(－2)＝f(π－2)．
又当x＝时，f(x)取得最小值，
故当x＝时，f(x)取得最大值，是函数f(x)的一个递减区间．
又∵<π－2<2<，
∴f(π－2)>f(2)，即f(－2)>f(2)．
再比较0，π－2与对称轴x＝距离的大小．
∵－＝－2－＝－2>0，
∴f(0)>f(π－2)，即f(0)>f(－2)．
综上，f(0)>f(－2)>f(2)．故选A.
【答案】
A
14．(2015·福建)已知函数f(x)＝10sin
cos
＋10cos2.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移a(a>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2.求函数g(x)的解析式．
【解析】
(1)因为f(x)＝10sin
cos
＋10cos2
＝5sin
x＋5cos
x＋5＝10sin＋5，
所以函数f(x)的最小正周期T＝2π.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y＝10sin
x＋5
的图象，再向下平移a(a>0)个单位长度后得到g(x)＝10sin
x＋5－a的图象．
又已知函数g(x)的最大值为2，所以10＋5－a＝2，解得a＝13.
所以g(x)＝10sin
x－8.
15．已知函数f(x)＝sin
ωx·cos
ωx＋cos2ωx－(ω>0)，其最小正周期为.
(1)求f(x)的表达式；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
【解析】
(1)f(x)＝sin
ωx·cos
ωx＋cos2ωx－
＝sin
2ωx＋－＝sin，
由题意知f(x)的最小正周期T＝，T＝＝＝，
所以ω＝2，所以f(x)＝sin.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，
得到y＝sin的图象；
再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，
所以g(x)＝sin，
因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，
所以g(x)∈
又g(x)＋k＝0在区间上有且只有一个实数解，
即函数y＝g(x)与y＝－k在区间上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知
－≤－k<或－k＝1，
解得－所以实数k的取值范围是∪{－1}．
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2-3
A组 专项基础训练
(时间：30分钟)
1．(2015·北京)下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝x2sin
x B．y＝x2cos
x
C．y＝|ln
x|
D．y＝2－x
【解析】
根据偶函数的定义逐项判断．
因为y＝x2是偶函数，y＝sin
x是奇函数，y＝cos
x是偶函数，所以A选项为奇函数，B选项为偶函数；C选项中函数图象是把对数函数y＝ln
x的图象在x轴下方部分翻折到x轴上方，其余部分的图象保持不变，故为非奇非偶函数；D选项为指数函数y＝，是非奇非偶函数．
【答案】
B
2．(2016·临沂月考)已知f(x)在R上是奇函数，且f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于( )
A．－2
B．2
C．－98
D．98
【解析】
f(7)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
【答案】
A
3．(2015·福建)下列函数为奇函数的是( )
A．y＝
B．y＝|sin
x|
C．y＝cos
x
D．y＝ex－e－x
【解析】
根据定义判断．
对于D，f(x)＝ex－e－x的定义域为R，
f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，
故y＝ex－e－x为奇函数．
而y＝的定义域为{x|x≥0}，不具有对称性，
故y＝为非奇非偶函数．
y＝|sin
x|和y＝cos
x为偶函数．
【答案】
D
4．(2015·湖南月考二)已知f(x)是定义域为(－1，1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m－2)＋f(2m－3)>0，那么实数m的取值范围是( )
A.
B.
C．(1，3)
D.
【解析】
∵f(x)是定义域为(－1，1)的奇函数，
∴－1∴f(m－2)＋f(2m－3)>0可转化为
f(m－2)>－f(2m－3)，
∴f(m－2)>f(－2m＋3)，
∵f(x)是减函数，
∴m－2<－2m＋3，
∵∴1【答案】
A
5．定义两种运算：a b＝，a b＝，则f(x)＝是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既奇又偶函数
D．非奇非偶函数
【解析】
因为2 x＝，x 2＝，
所以f(x)＝＝＝，
该函数的定义域是－2，0)∪(0，2]，
且满足f(－x)＝－f(x)．
故函数f(x)是奇函数．
【答案】
A
6．函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________．
【解析】
∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝＋1，
∴当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，
即x<0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1.
【答案】
－－1
7．(2015·吉林长春质检三)已知定义在R上的偶函数f(x)在0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是________．
【解析】
由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，
解得x≥3或x≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪3，＋∞)．
【答案】
(－∞，1]∪3，＋∞)
8．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________．
【解析】
依据偶函数的定义列方程求解．
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，
∴－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，
∴xln
a＝0恒成立，∴ln
a＝0，即a＝1.
【答案】
1
9．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
【解析】
(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)
＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，
得：f(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\24.tif"
\
MERGEFORMATINET
当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，
则S＝4S△OAB＝4×＝4.
10．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
【解析】
(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)由(1)知f(x)在－1，1]上是增函数，
要使f(x)在－1，a－2]上单调递增．
结合f(x)的图象知
所以1B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
11．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)等于( )
A．2
B.
C.
D．a2
【解析】
∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
∴f(－2)＝－f(2)，g(－2)＝g(2)＝a，
∵f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，①
∴f(－2)＋g(－2)＝g(2)－f(2)＝a－2－a2＋2，②
由①、②联立，g(2)＝a＝2，f(2)＝a2－a－2＝.
【答案】
B
12．设奇函数f(x)的定义域为R，最小正周期T＝3，若f(1)≥1，f(2)＝，则a的取值范围是( )
A．a<－1或a≥
B．a<－1
C．－1D．a≤
【解析】
函数f(x)为奇函数，则f(1)＝－f(－1)．
由f(1)＝－f(－1)≥1，得f(－1)≤－1；
函数的最小正周期T＝3，则f(－1)＝f(2)，
由≤－1，解得－1【答案】
C
13．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈0，1]时，f(x)＝2x，则有
①2是函数f(x)的周期；
②函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.
其中所有正确命题的序号是________．
【解析】
在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，
则有f(t＋2)＝f(t)，
因此2是函数f(x)的周期，故①正确；
当x∈0，1]时，f(x)＝2x是增函数，
根据函数的奇偶性知，f(x)在－1，0]上是减函数，
根据函数的周期性知，函数f(x)在(1，2)上是减函数，
在(2，3)上是增函数，故②正确；
在区间－1，1]上，f(x)的最大值为f(1)＝f(－1)＝2，
f(x)的最小值为f(0)＝1，故③错误．
【答案】
①②
14．已知奇函数f(x)的定义域为－2，2]，且在区间－2，0]上递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围．
【解析】
∵f(x)的定义域为－2，2]．
∴有解得－1≤m≤.①
又f(x)为奇函数，且在－2，0]上递减，
∴f(x)在－2，2]上递减，
∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1) 1－m>m2－1，
即－2综合①②可知，－1≤m<1.
即实数m的取值范围是－1，1)．
15．(2016·西安检测)已知函数f(x)＝是奇函数，且f(1)＝2.
(1)求a，b的值；
(2)判断函数f(x)在(－∞，0)上的单调性．
【解析】
(1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－，
∴－ax＋b＝－ax－b，∴b＝0，
又f(1)＝2，∴＝2，∴a＋b＝1，∴a＝1.
(2)f(x)＝＝x＋，任取x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝(x1－x2)＋＝，
当x10，x1x2－1>0，
从而f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)在(－∞，－1]上为增函数．
同理，当－1f(x2)，
∴函数f(x)在(－1，0)上为减函数．
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12-4
A组 专项基础训练
(时间：30分钟)
1．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( )
A．－1 B．0
C．1
D．－1或1
【解析】
由复数z为纯虚数，得解得x＝－1，故选A.
【答案】
A
2．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是( )
A．1－2i
B．－1＋2i
C．3＋4i
D．－3－4i
【解析】
因为＝＋＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.
【答案】
D
3．(2015·安徽)设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】
利用复数的除法法则化简复数，再利用复数的几何意义进行判断．
＝＝＝－1＋i，
由复数的几何意义知－1＋i在复平面内的对应点为(－1，1)，该点位于第二象限，故选B.
【答案】
B
4．(2015·全国卷Ⅱ)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
【解析】
先将已知等式左边用复数的乘法法则化简，然后利用复数相等的定义求解．
∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，∴4a＋(a2－4)i＝－4i.
∴
解得a＝0.故选B.
【答案】
B
5．(2015·江西)z是z的共轭复数，若z＋z＝2，(z－z)i＝2(i为虚数单位)，则z等于( )
A．1＋i
B．－1－i
C．－1＋i
D．1－i
【解析】
方法一：设z＝a＋bi，a，b为实数，则z＝a－bi.
∵z＋z＝2a＝2，∴a＝1.
又(z－z)i＝2bi2＝－2b＝2，∴b＝－1.故z＝1－i.
方法二：∵(z－z)i＝2，∴z－z＝＝－2i.
又z＋z＝2，∴(z－z)＋(z＋z)＝－2i＋2，
∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.
【答案】
D
6．(2015·重庆)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________．
【解析】
根据复数的模和复数的乘法解决．
∵|a＋bi|＝＝，
∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.
【答案】
3
7．若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________．
【解析】
＝＝(3－b)＋(3＋b)i]
＝＋i.
∴解得∴a＋b＝3.
【答案】
3
8．复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是________．
【解析】
z＝(3m－2)＋(m－1)i，
其对应点(3m－2，m－1)在第三象限内，
故3m－2<0且m－1<0，∴m<.
【答案】
m<
9．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
【解析】
(z1－2)(1＋i)＝1－i z1＝2－i.
设z2＝a＋2i，a∈R，
则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.
10．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若z1＋z2是实数，求实数a的值．
【解析】
z1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i
＝＋(a2－10)＋(2a－5)]i
＝＋(a2＋2a－15)i.
∵z1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.
B组 专项能力提升
(时间：15分钟)
11．下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2；
p2：z2＝2i；
p3：z的共轭复数为1＋i；
p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为( )
A．p2，p3
B．p1，p2
C．p2，p4
D．p3，p4
【解析】
∵z＝＝－1－i，
∴|z|＝＝，
∴p1是假命题；∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命题；
∵z＝－1＋i，∴p3是假命题；
∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．
其中的真命题共有2个：p2，p4.
【答案】
C
12．设f(n)＝＋(n∈N
)，则集合{f(n)}中元素的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．无数个
【解析】
f(n)＝＋＝in＋(－i)n，
f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…
∴集合中共有3个元素．
【答案】
C
13．(2014·陕西)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A．真，假，真
B．假，假，真
C．真，真，假
D．假，假，假
【解析】
原命题正确，所以逆否命题正确．模相等的两复数不一定互为共轭复数，同时因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以逆命题和否命题错误．故选B.
【答案】
B
14．(2016·北京大兴区模拟)在复平面内，复数对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】
∵复数＝＝＝＋i，
∴复数对应的点的坐标是，
∴复数在复平面内对应的点位于第一象限．
【答案】
A
15．(2015·江苏)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．
【解析】
根据复数模的定义及性质求解．
∵z2＝3＋4i，∴|z2|＝|z|2＝|3＋4i|＝＝5，
∴|z|＝.
【答案】
16．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则b＝________，c＝________．
【解析】
∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，∴其共轭复数1－i也是方程的根．
由根与系数的关系知，
∴b＝－2，c＝3.
【答案】
－2 3
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9-5
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．“2A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】
若＋＝1表示椭圆．
则有
∴2故“2【答案】
B
2．(2015·福建)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A. B.
C.
D.
【解析】
根据椭圆的对称性可求得a的值，再根据短轴的端点到直线的距离求得b的取值范围，代入离心率公式即可得答案．
根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为
4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.
又d＝≥，所以1≤b＜2，
所以e＝＝＝.
因为1≤b＜2，
所以0＜e≤，故选A.
【答案】
A
3．(2014·福建)设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是( )
A．5
B.＋
C．7＋
D．6
【解析】
如图所示，设以(0，6)为圆心，以r为半径的圆的方程为x2＋(y－6)2＝r2(r>0)，与椭圆方程＋y2＝1联立得方程组，消掉x2得9y2＋12y＋r2－46＝0.
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\611.tif"
\
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令Δ＝122－4×9(r2－46)＝0，
解得r2＝50，即r＝5.
由题意易知P，Q两点间的最大距离为r＋＝6，故选D.
【答案】
D
4．椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.－2
【解析】
由题意知|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，
|F1B|＝a＋c，且三者成等比数列，
则|F1F2|2＝|AF1|·|F1B|，
即4c2＝a2－c2，a2＝5c2，所以e2＝，所以e＝.
【答案】
B
5．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C：＋＝1的左焦点为F(－c，0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为( )
A.
B．1
C．2
D．4
【解析】
圆M的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2，
则由题意得m2＋3＝4，即m2＝1(m<0)，
∴m＝－1，则圆心M的坐标为(1，0)．
由题意知直线l的方程为x＝－c，
又∵直线l与圆M相切，
∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2.
【答案】
C
6．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
【解析】
由椭圆的标准方程可求出其四个顶点的坐标，由圆心在x轴的正半轴上知该圆过上、下顶点和右顶点．
由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4，0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)三点．
设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(0＜m＜4，r＞0)，
则解得
所以圆的标准方程为＋y2＝.
【答案】
＋y2＝
7．(2014·辽宁)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________．
【解析】
椭圆＋＝1中，a＝3.
如图，设MN的中点为D，
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\612.tif"
\
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则|DF1|＋|DF2|＝2a＝6.
∵D，F1，F2分别为MN，AM，BM的中点，
∴|BN|＝2|DF2|，|AN|＝2|DF1|，
∴|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)＝12.
【答案】
12
8．(2015·四川改编)如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率是，过点P(0，1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点．当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2.则椭圆E的方程为________．
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\613.tif"
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【解析】
由已知，点(，1)在椭圆E上，
因此解得
所以椭圆E的方程为＋＝1.
【答案】
＋＝1
9．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
【解析】
(1)由题意有＝，＋＝1，
解得a2＝8，b2＝4.所以C的方程为＋＝1.
(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，
B(x2，y2)，M(xM，yM)．
将y＝kx＋b代入＋＝1，得
(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.
故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－.
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
10．(2014·重庆)如图，设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面积为.
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\614.tif"
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(1)求椭圆的标准方程；
(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．
【解析】
(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c2＝a2－b2.
由＝2，得|DF1|＝＝c.
从而S△DF1F2＝|DF1||F1F2|＝c2＝，
故c＝1.从而|DF1|＝，
由DF1⊥F1F2，得|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝，
因此|DF2|＝，所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝2，
故a＝，b2＝a2－c2＝1.
因此，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆＋y2＝1相交，
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\615.tif"
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P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，
y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2.
由圆和椭圆的对称性，
易知x1＝－x2，y1＝y2，|P1P2|＝2|x1|.
由(1)知F1(－1，0)，F2(1，0)，
所以＝(x1＋1，y1)，＝(－x1－1，y1)．
再由F1P1⊥F2P2，得－(x1＋1)2＋y＝0.
由椭圆方程得1－eq
\f(x,2)＝(x1＋1)2，
即3x＋4x1＝0，解得x1＝－或x1＝0.
当x1＝0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在．
当x1＝－时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.
由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，
知CP1⊥CP2，又|CP1|＝|CP2|，
故圆C的半径|CP1|＝|P1P2|＝|x1|＝.
B组 专项能力提升
(时间：25分钟)
11．(2014·大纲全国)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A.＋＝1
B.＋y2＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
【解析】
∵△AF1B的周长为4，∴4a＝4，
∴a＝，∵离心率为，∴c＝1，
∴b＝＝，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
【答案】
A
12．(2015·浙江)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F(c，0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．
【解析】
根据椭圆定义运用数形结合思想求解．
设椭圆的另一个焦点为F1(－c，0)，
如图，连接QF1，QF，设QF与直线y＝x交于点M.
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\616.tif"
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由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ.
又O为线段F1F的中点，
∴F1Q∥OM，
∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|.
在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，|OF|＝c，
可解得|OM|＝，|MF|＝，
故|QF|＝2|MF|＝，|QF1|＝2|OM|＝.
由椭圆的定义得|QF|＋|QF1|＝＋＝2a，
整理得b＝c，∴a＝＝c，
故e＝＝.
【答案】
13．已知F1，F2是椭圆C的左，右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30°，
则椭圆的离心率为________．
【解析】
在三角形PF1F2中，由正弦定理得
sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝.
设|PF2|＝1，则|PF1|＝2，|F2F1|＝.
∴离心率e＝＝.
【答案】
14．(2015·北京东城区一模)点P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为________．
【解析】
|PF1|＋|PF2|＝10，|F1F2|＝6，
S△PF1F2＝(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)·1＝8
＝|F1F2|·yP＝3yP.所以yP＝.
【答案】
15．(2015·安徽)设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.
(1)求E的离心率e.
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.
【解析】
(1)由题设条件知，点M的坐标为，
又kOM＝，从而＝.
进而a＝b，c＝＝2b，
故e＝＝.
(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得＝.
又＝(－a，b)，
从而有·＝－a2＋b2＝(5b2－a2)．
由(1)的计算结果可知a2＝5b2，
所以·＝0，故MN⊥AB.
16．(2015·重庆)如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\617.tif"
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(1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程；
(2)若|PQ|＝λ|PF1|，且≤λ<，试确定椭圆离心率e的取值范围．
【解析】
(1)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2.
设椭圆的半焦距为c，由于PF1⊥PF2，
因此2c＝|F1F2|＝
＝＝2，
即c＝，从而b＝＝1，
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)如图所示，由PF1⊥PQ，|PQ|＝λ|PF1|，得
|QF1|＝＝|PF1|.
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\618.tif"
\
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由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，
|QF1|＋|QF2|＝2a，
知|PF1|＋|PQ|＋|QF1|＝4a.
于是(1＋λ＋)|PF1|＝4a，
解得|PF1|＝，
故|PF2|＝2a－|PF1|＝.
由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝4c2，
从而＋＝4c2.
两边除以4a2，得
＋＝e2.
若记t＝1＋λ＋，则上式变成
e2＝＝8＋.
由≤λ<，并注意到t＝1＋λ＋关于λ的单调性，得3≤t<4，即<≤，
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2-7
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．函数y＝5x与函数y＝－的图象关于( )
A．x轴对称 B．y轴对称
C．原点对称
D．直线y＝x对称
【解析】
y＝－＝－5－x，可将函数y＝5x中的x，y分别换成－x，－y得到，故两者图象关于原点对称．
【答案】
C
2．(2015·浙江)函数f(x)＝cos
x(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( )
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\69.tif"
\
MERGEFORMATINET
【解析】
根据函数的奇偶性及特值法进行判断．
函数f(x)＝cos
x(－π≤x≤π且x≠0)为奇函数，排除选项A，B；当x＝π时，f(x)＝cos
π＝－π<0，排除选项C，故选D.
【答案】
D
3．(2016·揭阳模拟)设定义在－1，7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则关于函数y＝的单调区间表述正确的是( )
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\70.tif"
\
MERGEFORMATINET
A．在－1，1]上单调递增
B．在(0，1]上单调递减，在1，3)上单调递增
C．在5，7]上单调递增
D．在3，5]上单调递增
【解析】
由题图可知，f(0)＝f(3)＝f(6)＝0，
所以函数y＝在x＝0，x＝3，x＝6时无定义，故排除A、C、D，选B.
【答案】
B
4．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\71.tif"
\
MERGEFORMATINET
A．{x|－1B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1D．{x|－1【解析】
借助函数的图象求解该不等式．
令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图．
由得
∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\72.tif"
\
MERGEFORMATINET
【答案】
C
5．(2014·山东)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )
A.
B.
C．(1，2)
D．(2，＋∞)
【解析】
先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为.
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\73.tif"
\
MERGEFORMATINET
【答案】
B
6．已知f(x)＝，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为________．
【解析】
设g(x)上的任意一点A(x，y)，则该点关于直线x＝1的对称点为B(2－x，y)，而该点在f(x)的图象上．
∴y＝＝3x－2，即g(x)＝3x－2.
【答案】
g(x)＝3x－2
7．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．
【解析】
f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)的图象如图．
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\74.tif"
\
MERGEFORMATINET
令x＋2＝10－x，得x＝4.
当x＝4时，f(x)取最大值，
f(4)＝6.
【答案】
6
8．(2015·安徽)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．
【解析】
画出函数y＝|x－a|－1的图象与直线y＝2a，利用数形结合思想求解即可．
函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\75.tif"
\
MERGEFORMATINET
因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，
故2a＝－1，解得a＝－.
【答案】
－
9．已知函数f(x)＝.
(1)画出f(x)的草图；
(2)指出f(x)的单调区间．
【解析】
(1)f(x)＝＝1－，
函数f(x)的图象是由反比例函数y＝－的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图象如图所示．
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\76.tif"
\
MERGEFORMATINET
(2)由图象可以看出，函数f(x)有两个单调递增区间：
(－∞，－1)，(－1，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝2x，当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解，两个解？
【解析】
令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，
G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示．
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\77.tif"
\
MERGEFORMATINET
由图象看出，当m＝0或m≥2时，
函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；
当0B组 专项能力提升
(时间：20分钟)
11．(2016·唐山模拟)函数y＝e|ln
x|－|x－1|的图象大致是( )
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\78.tif"
\
MERGEFORMATINET
【解析】
函数的定义域为(0，＋∞)．
当0x－1＋x＝－1＋x；
当x≥1时，y＝eln
x＋1－x＝x＋1－x＝1，故选项D正确．
【答案】
D
12．函数y＝的图象与函数y＝2sin
πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )
A．2
B．4
C．6
D．8
【解析】
令1－x＝t，则x＝1－t.
由－2≤x≤4，知－2≤1－t≤4，所以－3≤t≤3.
又y＝2sin
πx＝2sin
π(1－t)＝2sin
πt.
在同一坐标系下作出y＝和y＝2sin
πt的图象．
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\79.tif"
\
MERGEFORMATINET
由图可知两函数图象在－3，3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称．
因此这8个交点的横坐标的和为0，
即t1＋t2＋…＋t8＝0.
也就是1－x1＋1－x2＋…＋1－x8＝0，
因此x1＋x2＋…＋x8＝8.
【答案】
D
13．(2014·天津)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．
【解析】
设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，
在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，
y2＝a|x－1|的图象如图所示．
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\80.tif"
\
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由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点，
所以，①(－3消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根x1，x2，
∴Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，
又∵x1＋x2＝a－3<0，x1·x2＝a>0，∴0②(x>1)有两组不同解．
消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两不等实根x3、x4，
∴Δ＝a2－10a＋9>0，又∵x3＋x4＝a－3>2，∴a>9.
综上可知，09.
【答案】
(0，1)∪(9，＋∞)
14．(2016·湖北重点中学联考)设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)是减函数，且图象过点(1，0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为________．
【解析】
y＝f(x＋1)向右平移1个单位得到y＝f(x)的图象，由已知可得f(x)的图象的对称轴为x＝1，过定点(2，0)，且函数在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，则f(x)的大致图象如图所示．
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\81.tif"
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不等式(x－1)f(x)≤0可化为或
由图可知符合条件的解集为(－∞，0]∪(1，2]．
【答案】
(－∞，0]∪(1，2]
15．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m的值；
(2)作出函数f(x)的图象；
(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；
(4)若方程f(x)＝a只有一个实数根，求a的取值范围．
【解析】
(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.
(2)f(x)＝x|x－4|
＝
f(x)的图象如图所示．
INCLUDEPICTURE
"F:\\人教数学\\82.tif"
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(3)f(x)的减区间是2，4]．
(4)从f(x)的图象可知，当a>4或a<0时，f(x)的图象与直线y＝a只有一个交点，方程f(x)＝a只有一个实数根，即a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．
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11-3
A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
1．(2014·陕西)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )
A. B.
C.
D.
【解析】
取两个点的所有情况为10种，
所有距离不小于正方形边长的情况有6种，
概率为＝.故选C.
【答案】
C
2．设p在0，5]上随机地取值，则方程x2＋px＋＋＝0有实根的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】
一元二次方程有实数根 Δ≥0，
而Δ＝p2－4＝(p＋1)(p－2)，
解得p≤－1或p≥2，故所求概率为
P＝＝.
【答案】
C
3．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为( )
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\715.tif"
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A.
B.
C.
D.
【解析】
由于倾斜角范围为0，π)，
故当0≤n≤8时，集合A中共有9个解，
分别为0，，，，，，，，.
其中当α为，，，时，此时α为钝角，
直线l的斜率小于零．故直线l的斜率小于零的概率P＝.
【答案】
7．(2015·安徽阜阳二模)一艘轮船从O点的正东方向10
km处出发，沿直线向O点的正北方向10
km处的港口航行，某台风中心在点O，距台风中心不超过r
km的位置都会受其影响，且r是区间5，10]内的一个随机数，则轮船在航行途中会遭受台风影响的概率是________．
【解析】
以O为圆心，r为半径作圆，
易知当r>5时，轮船会遭受台风影响，
所以P＝＝＝2－.
【答案】
2－
8．在区间1，5]和2，4]上分别各取一个数，记为m和n，则方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________．
【解析】
∵方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，
∴m>n.
如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m＝n恰好将矩形平分，
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\718.tif"
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∴所求的概率为P＝.
【答案】
9．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
【解析】
∵去看电影的概率P1＝＝，
去打篮球的概率P2＝＝，
∴不在家看书的概率为P＝＋＝.
【答案】
10．(2016·长沙模拟)已知向量a＝(－2，1)，b＝(x，y)．
(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；
(2)若x，y在连续区间1，6]上取值，求满足a·b<0的概率．
【解析】
(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，
所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)；
由a·b＝－1有－2x＋y＝－1，
所以满足a·b＝－1的基本事件为(1，1)，(2，3)，(3，5)，共3个；故满足a·b＝－1的概率为＝.
(2)若x，y在连续区间1，6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x，y)|1≤x≤6，1≤y≤6}；
满足a·b<0的基本事件的结果为
A＝{(x，y)|1≤x≤6，1≤y≤6且－2x＋y<0}；
画出图形如图，
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\719.tif"
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矩形的面积为S矩形＝25，
阴影部分的面积为S阴影＝25－×2×4＝21，
故满足a·b<0的概率为.
B组 专项能力提升
(时间：15分钟)
11．(2014·湖北)由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】
如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB，
平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD，
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\720.tif"
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易知C，故由几何概型的概率公式，
得所求概率P＝＝＝.
【答案】
D
12．(2016·上饶模拟)一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】
屋子的体积为5×4×3＝60米3，
捕蝇器能捕捉到的空间体积为×π×13×3＝.
故苍蝇被捕捉的概率是＝.
【答案】
C
13．(2014·辽宁)正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\721.tif"
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【解析】
正方形内空白部分面积为
eq
\a\vs4\al(∫)x2－(－x2)]dx＝eq
\a\vs4\al(∫)2x2dx＝·x3eq
\a\vs4\al(|)
＝－＝，
阴影部分面积为2×2－＝，
所以所求概率为＝.
【答案】
14．(2014·福建)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．
INCLUDEPICTURE
"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\722.tif"
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【解析】
由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，
故阴影部分面积为S＝2eq
\a\vs4\al(∫)(e－ex)dx＝2(ex－ex)|
＝2e－e－(0－1)]＝2.又该正方形面积为e2，
故由几何概型的概率公式可得所求概率为.
【答案】
15．平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3
cm，把一枚半径为1
cm的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________．
【解析】
如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为.
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"E:\\新建文件夹\\王月焕\\人教数学\\723.tif"
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【答案】
欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。
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7-1
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】
由同向不等式的可加性知“a>b且c>d” “a＋c>b＋d”，反之不对．
【答案】
A
2．若<<0，则下列结论不正确的是( )
A．a2C．a＋b<0
D．|a|＋|b|>|a＋b|
【解析】
∵<<0，∴b∴a2