2.3.1 数乘向量
学习目标
重点难点
1．在前面学习向量的加、减法的基础上，掌握数乘向量的定义及其几何意义．2．充分利用数乘向量的运算律进行简单的计算，进而把握好向量线性运算性质及其几何意义．3．掌握向量共线的判定定理及性质定理，并解决相关问题.
重点：1.数乘向量的定义、其几何意义及运算律．2．向量共线的判定定理及性质定理的理解和运用．难点：1.数乘向量的定义及几何意义．2．向量共线的判定定理及性质定理的运用．疑点：向量共线的判定定理及性质定理中为何规定a是非零向量.
1．数乘向量
(1)定义：实数λ和向量a的乘积是一个______，记作______．
(2)长度：|λa|＝______.
(3)方向：λa(a≠0)的方向
特别地，当λ＝0或a＝0时，0×a＝______或λ×0＝______.
(4)几何意义：
由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a的有向线段____或____．
当|λ|＞1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上____为原来的____倍；
当|λ|＜1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上____为原来的____倍．
(5)运算律
设λ，μ为实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝________；③λ(a＋b)＝______.
(6)向量的线性运算
向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，叫作向量的线性运算(或线性组合)．
实数和向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无意义，这一点可要注意！
预习交流1
向量的线性运算有哪几种？与先前学习的实数和代数式的运算有何联系与区别？
预习交流2
4(a－b)－3(a＋b)－b等于__________．
2．向量共线的判定定理和性质定理
(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得______，则向量b与非零向量a共线．
(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得______．
预习交流3
如图，已知点C在线段AB上，且||＝2||，则＝______，＝______.
答案：1．(1)向量 λa (2)|λ||a| (3)相同 相反 0
0 (4)伸长 压缩 伸长 |λ| 缩短 |λ| (5)②λa＋μa ③λa＋λb
预习交流1：提示：(1)向量的线性运算包括向量的加法、减法、实数与向量的积．
(2)向量线性运算的结果是向量，实数和代数式运算的结果是实数或代数式，尽管它们的运算律形式上相似，但其意义却迥然不同．因此在类比实数的运算律学习向量的有关运算律时务必经过严格证明后方可使用．
预习交流2：原式＝(4－3)a＋(－4－3－1)b＝a－8b.
2．(1)b＝λa (2)b＝λa
预习交流3： －
在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
1．向量的线性运算及线性表示
(1)计算下列各式：
①3(a－2b＋c)－(2c＋b－a)；
②(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)．
(2)设x，y是未知向量．
①解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0；
②解方程组
思路分析：要解决(1)中的问题，需要用到数乘向量的运算律．包括：数乘向量的分配律及向量加、减法的运算律，其运算过程类似于“合并同类项”．(2)是解关于未知向量的方程或方程组，它与解关于未知数的方程或方程组是类似的，在计算过程中应遵守向量加、减法及向量数乘的运算律．
1．计算下列各式：
(1)3(2a－b)－2(4a－3b)；
(2)(4a＋3b)－(3a－b)－b；
(3)2(3a－4b＋c)－3(2a＋b－3c)．
2．已知向量a，b
不共线．
(1)实数x，y满足等式3xa＋(10－y)b＝(4y＋7)a＋2xb，求出x，y的值；
(2)把满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b的向量x，y
用a，b表示出来．
向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用．在运算过程中要注意多观察，恰当分组，简化运算．
2．向量共线的判定定理与性质定理的应用
设两个非零向量e1和e2不共线．
(1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线；
(2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝2e1－ke2，且A，C，D三点共线，求k的值．
思路分析：(1)要证A，C，D三点共线，只需证存在实数λ，使＝λ即可．
(2)由于A，C，D三点共线，因此存在实数λ，使＝λ，因而可根据已知条件和向量相等条件得到关于λ，k的方程，从而求k.
已知两个非零向量a，b不共线，＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b.
(1)证明A，B，C三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线．
证明三点共线，往往要转化为证明过同一点的两条有向线段所在的向量共线；证明两向量共线，只需找出它们之间的线性关系．如果已知两个向量共线，要确定参数的值，需用向量共线的性质定理建立等式，然后根据向量相等的条件得到关于参数的方程，解之即可．
答案：活动与探究1：解：(1)①原式＝3a－6b＋3c－2c－b＋a＝4a－7b＋c.
②原式＝a－b－a－b＋a＋b
＝a＋b
＝0×a＋0×b＝0.
(2)①原方程可变为5x＋5a＋3x－3b＝0，
即8x＝－5a＋3b
，
∴x＝－a＋b.
②把第一个方程的－2倍与第二个方程相加，
得y＝－2a＋b，从而y＝－a＋b.
代入原来第二个方程得x＝－a＋b.
∴
迁移与应用：1.解：(1)原式＝6a－3b－8a＋6b＝－2a＋3b；
(2)原式＝a＋b－a＋b－b
＝a＋b＝－a；
(3)原式＝6a－8b＋2c－6a－3b＋9c＝(6－6)a－(8＋3)b＋(2＋9)c＝－11b＋11c.
2．解：(1)∵a，b为不共线向量，
要使等式3xa＋(10－y)b＝(4y＋7)a＋2xb成立，
则有解得
(2)
①×4＋②×3得y＝4a＋3b， ③
再将③代入①中，得x＝3a＋2b.
∴
活动与探究2：(1)证明：＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，
＝4e1＋e2＝(－8e1－2e2)＝，∴与共线．
又∵与有公共点C，∴A，C，D三点共线．
(2)解：＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2，∵A，C，D三点共线，
∴与共线，从而存在实数λ使得＝λ，即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，
∴解得λ＝，k＝.
迁移与应用：(1)证明：因为＝a＋2b－(a＋b)＝b，
＝a＋3b－(a＋b)＝2b，
于是，即与共线．
又与有公共点A，所以A，B，C三点共线．
(2)解：由于a，b为非零向量且不共线，
所以a＋kb≠0.
若ka＋b与a＋kb共线，则必存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，整理得(k－λ)a＝(λk－1)b，
因此解得或
即存在唯一实数λ＝1，使ka＋b与a＋kb同向共线，此时k＝1，或存在唯一实数λ＝－1，使ka＋b与a＋kb反向共线，此时，k＝－1，因此k＝±1都满足题意．
1．(2a－b)－(2a＋b)等于( )．
A．a－2b
B．－2b
C．0
D．b－a
2．已知λ，μ∈R，下面式子正确的是( )．
A．λa与a同向
B．0·a＝0
C．(λ＋μ)a＝λa＋μa
D．若b＝λa，则|b|＝λ|a|
3．点C在直线AB上，且＝3，则等于( )．
A．－2
B.
C．－
D．2
4．已知向量e1，e2不共线，且e1－2e2＝λe1＋4ke2，则实数λ＝______，k＝__________.
5．已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
答案：1．B
2．C 解析：当λ＜0时，λa与a反向，A错；
0·a＝0，B错；
若b＝λa，则|b|＝|λ||a|，D错．
3．D 解析：如图，，∴.
4．1 解析：由题意得∴
5．解：∵ke1＋e2和e1＋ke2共线，
∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)．
∴∴k＝±1.
用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．
知识精华
技能要领2.3.2 平面向量基本定理
问题导学
1．用基底表示向量
活动与探究1
如图所示，在ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，．
迁移与应用
设M，N，P是△ABC三边上的点，它们使＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来．
用基底表示向量的方法技巧
(1)熟练应用平行四边形法则和三角形法则以及线性运算；
(2)充分利用相等向量，相反向量和线段的比例关系进行转化；
(3)充分利用几何图形的性质，如平行、相似、全等、中位线等；
(4)充分利用首尾相接的各向量之和为0；
(5)注意a，b不共线，则0＝0·a＋0·b是唯一的；
(6)若直接利用基底表示比较困难，则利用“正难则反”的原则，采用方程思想来求解．
2．平面向量基本定理的应用
活动与探究2
平面内有一个△ABC和一点O(如图)，线段OA，OB，OC的中点分别为E，F，G；BC，CA，AB的中点分别为L，M，N，设＝a，＝b，＝c．
(1)试用a，b，c表示向量，，；
(2)证明：线段EL，FM，GN交于一点且互相平分．
迁移与应用
如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b．
(1)用a，b表示，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
利用平面向量基本定理解决几何问题：
(1)平面向量的基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，可以选择适当的基底．将相关量表示为向量形式，通过向量运算解答问题．
(2)常见类型有证明三点共线，证明直线平行，证明线段相等．
当堂检测
1．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值等于( )．
A．3
B．－3
C．0
D．2
2．已知ABCD为矩形，E是DC的中点，且＝a，＝b，则＝( )．
A．b＋a
B．b－a
C．a＋b
D．a－b
3．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么( )．
A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1，λ2是实数
C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内
D．对平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
4．D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列向量表达式：
①＝－a－b；
②＝a＋b；
③＝－a＋b；
④＋＋＝0．
其中正确的序号为________．
5．已知O是直线AB外一点，存在实数x，y使得＝x＋y，且x＋y＝1．求证：A，B，C三点共线．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
a＝λ1e1＋λ2e2 基底
预习交流1 提示：(1)不唯一．同一平面可以有无数组不同的基底，因此，对不同的基底，同一向量的分解是不唯一的，但基底给定时，向量的表示方法唯一．
(2)基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线的向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．
预习交流2 提示：可能不同．
预习交流3 B
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 解：设＝a，＝b，因为M，N分别为CD，BC的中点，所以＝b，＝a，
于是有
解得
即＝(2d－c)，
＝(2c－d)．
迁移与应用 解：＝－
＝－－
＝－－(－)
＝－＝b－a.
同理可得＝a－b，
＝－＝－(＋)
＝a＋b.
活动与探究2 解：(1)如题图，
∵＝a，＝(b＋c)，
∴＝－
＝(b＋c－a)．
同理：＝(a＋c－b)，
＝(a＋b－c)．
(2)设线段EL的中点为P1，
则＝(＋)
＝(a＋b＋c)．
设FM，GN的中点分别为P2，P3，同理可求得＝(a＋b＋c)，＝(a＋b＋c)．
∴＝＝.
即EL，FM，GN交于一点，且互相平分．
迁移与应用
(1)解：如图所示，延长AD到G，使＝2，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，
则＝a＋b，＝＝(a＋b)，
＝＝(a＋b)，
＝＝b，
＝－＝(a＋b)－a
＝(b－2a)，
＝－＝b－a
＝(b－2a)．
(2)证明：由(1)知，＝，∴，共线．
又，有公共点B，
∴B，E，F三点共线．
【当堂检测】
1．A 2．B 3．A
4．①②③④
5．证明：由x＋y＝1，＝x＋y，
得＝x＋(1－x)，
所以－＝x(－)，即＝x.
所以A，B，C三点共线．2.3.1 数乘向量
问题导学
1．数乘向量的定义理解
活动与探究1
已知a，b是两个非零向量，判断下列各说法是否正确，并说明理由．
(1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；
(2)－2a的方向与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的；
(3)－2a与2a是一对相反向量；
(4)a－b与－(b－a)是一对相反的向量．
迁移与应用
已知λ，μ∈R，则在以下各命题中，正确的命题共有( )．
(1)当λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反；
(2)当λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同；
(3)当λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同；
(4)当λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
数乘向量定义的几点说明：
(1)数乘向量仍是一个向量．λa中的实数λ叫做向量a的系数．
(2)实数与向量可以求积，但不能进行加减运算．
(3)
2．向量的线性运算及线性表示
活动与探究2
(1)计算下列各式：
①3(a－2b＋c)－(2c＋b－a)；
②(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)．
(2)设x，y是未知向量．
①解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0；
②解方程组
迁移与应用
1．计算下列各式：
(1)3(2a－b)－2(4a－3b)；
(2)(4a＋3b)－(3a－b)－b；
(3)2(3a－4b＋c)－3(2a＋b－3c)．
2．已知向量a，b不共线．
(1)实数x，y满足等式3xa＋(10－y)b＝(4y＋7)a＋2xb，求出x，y的值；
(2)把满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b的向量x，y用a，b表示出来．
向量的线性运算及解含未知向量方程(组)的方法：
(1)向量的线性运算要遵循数乘向量的运算律．
(2)多项式运算中去括号、合并同类项、提取公因式等方法仍然适应于向量的线性运算．
(3)解实数方程(组)的移项、加减消元、代入消元法可应用于解含未知向量的方程或方程组．
3．向量共线的判定定理与性质定理的应用
活动与探究3
设两个非零向量e1和e2不共线．
(1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线；
(2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝2e1－ke2，且A，C，D三点共线，求k的值．
迁移与应用
已知两个非零向量a，b不共线，＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b．
(1)证明A，B，C三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线．
活动与探究4
如图，ABCD为一个四边形，E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
迁移与应用
证明：连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半．
共线向量定理的应用
(1)共线向量的判定定理与性质定理，可直接用于判断两向量是否共线或根据向量共线确定参数的取值．
(2)共线向量的判定定理为证明三点共线和两直线平行提供了一种方法．
①证明三点共线，即转化为有公共点的两条有向线段表示的向量共线；
②证明两直线平行，则是转化为无公共点的两直线上的有向线段所表示的向量共线．
当堂检测
1．(2a－b)－(2a＋b)等于( )．
A．a－2b
B．－2b
C．0
D．b－a
2．已知λ，μ∈R，下面式子正确的是( )．
A．λa与a同向
B．0·a＝0
C．(λ＋μ)a＝λa＋μa
D．若b＝λa，则|b|＝λ|a|
3．点C在直线AB上，且＝3，则等于( )．
A．－2
B．
C．－
D．2
4．已知e1，e2不共线，a＝ke1＋e2，b＝e1＋ke2，当k＝________时，a，b共线．
5．如图所示，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，AC，BC的中点，求证：四边形BDEF为平行四边形．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)向量 λa (2)|λ||a| (3)相同 相反 0 0 (4)伸长 压缩 伸长 |λ| 缩短 |λ| (5)②λa＋μa ③λa＋λb
预习交流1 提示：(1)向量的线性运算包括向量的加法、减法、实数与向量的积．
(2)向量线性运算的结果是向量，实数和代数式运算的结果是实数或代数式，尽管它们的运算律形式上相似，但其意义却迥然不同．因此在类比实数的运算律学习向量的有关运算律时务必经过严格证明后方可使用．
预习交流2 原式＝(4－3)a＋(－4－3－1)b＝a－8b.
2．(1)b＝λa (2)b＝λa
预习交流3 提示：若a＝0，当b＝0时，λ的值不唯一；
当b≠0时，不存在λ使b＝λa.
预习交流4 －
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 解：(1)正确．
∵2＞0，∴2a与a的方向相同．又|2a|＝2|a|，
∴(1)正确．
(2)正确．
∵5＞0，∴5a与a方向相同，且|5a|＝5|a|.
而－2＜0，
∴－2a与a的方向相反，且|2a|＝2|a|.
∴－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的.
∴(2)正确．
(3)正确．
依据相反向量的定义及实数与向量乘积的定义进行判断．
(4)错误．
∵a－b与b－a是一对相反向量，
∴a－b与－(b－a)是一对相等向量．
∴(4)错误．
迁移与应用 D 解析：命题(1)(2)(3)(4)均正确，因为由λ与向量a的积λa的方向规定，易知(1)(2)正确，对于命题(3)(4)，当λμ＞0时，λ与μ同正或同负，所以λa与μa都与a同向或者都与a反向，所以λa与μa同向．当λμ＜0时，λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，所以λa与μa方向相反，故(3)(4)也正确，故选D.
活动与探究2 解：(1)①原式＝3a－6b＋3c－2c－b＋a＝4a－7b＋c.
②原式＝a－b－a－b＋a＋b
＝a＋
b
＝0×a＋0×b＝0.
(2)①原方程可变为5x＋5a＋3x－3b＝0，即8x＝－5a＋3b
，
∴x＝－a＋b.
②把第一个方程的－2倍与第二个方程相加，
得y＝－2a＋b，
从而y＝－a＋b.
代入原来第二个方程得
x＝－a＋b.
∴
迁移与应用 1．解：(1)原式＝6a－3b－8a＋6b＝－2a＋3b；
(2)原式＝a＋b－a＋b－b＝a＋b＝－a；
(3)原式＝6a－8b＋2c－6a－3b＋9c＝(6－6)a－(8＋3)b＋(2＋9)c＝－11b＋11c.
2．解：(1)∵a，b为不共线向量，
要使等式3xa＋(10－y)b＝(4y＋7)a＋2xb成立，
则有
解得
(2)
①×4＋②×3得y＝4a＋3b， ③
再将③代入①中，得x＝3a＋2b.
∴
活动与探究3 (1)证明：＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，
＝＋＝4e1＋e2
＝－(－8e1－2e2)
＝－，
∴与共线．
又∵与有公共点C，
∴A，C，D三点共线．
(2)解：＝＋＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2，
∵A，C，D三点共线，
∴与共线，从而存在实数λ使得＝λ，即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，
∴解得λ＝，k＝.
迁移与应用 (1)证明：因为＝－＝a＋2b－(a＋b)＝b，
＝－＝a＋3b－(a＋b)＝2b，
于是＝2，即与共线．
又与有公共点A，所以A，B，C三点共线．
(2)解：由于a，b为非零向量且不共线，所以a＋kb≠0.
若ka＋b与a＋kb共线，则必存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，整理得(k－λ)a＝(λk－1)b，
因此
解得或
即存在唯一实数λ＝1，使ka＋b与a＋kb同向共线，此时k＝1，或存在唯一实数λ＝－1，使ka＋b与a＋kb反向共线，此时，k＝－1，因此k＝±1都满足题意．
活动与探究4 证明：∵F，G分别为AB，AC的中点，
∴＝.
同理＝，∴＝.
同理＝.
∴四边形EFGH为平行四边形．
迁移与应用
证明：如图，设△ABC中，M，N分别为AB，AC的中点．
则＝－＝－
＝(－)＝.
可得∥且||＝||.
【当堂检测】
1．B 2．C 3．D 4．±1
5．证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴＝，＝，
＝－
＝－
＝(－)＝.
∴＝，
∴DE∥BF且DE＝BF，
即四边形BDEF为平行四边形．2.3
从速度的倍数到数乘向量
课堂导学
三点剖析
1.向量数乘的定义及其运算律
【例1】
在平行四边形ABCD中，=a,=b,求、.
思路分析：由平面几何的知识可知，对角线相等且互相平分，用已知向量可以表示所求向量；也可用所求向量表示已知向量.联立方程组，求得所求向量.
解：如右图，利用平行四边形的性质,得
==a,
==b.
∵=+=-,
∴=a-b.
又∵=+,=,
∴=a+b.
友情提示
把向量的加减同数乘结合起来，用来解决分向量的加减问题.
各个击破
类题演练
1
若O为平行四边形ABCD的中心，=4e1,=6e2,则3e2-2e1=_______.
解析:3e2=,2e1=,
∴3e2-2e1=-=(-)=(+)=.
答案：
变式提升
1
化简［(4a-3b)+b-(6a-7b)］=___________________.
解析：原式=（4a-3b+b-a+b）
=［(4-)a+(-3++)b］
=(a-b)=a-b.
答案：a-b
2.对向量数乘运算律的应用
【例2】
设x是未知向量，解方程2（x-a）-(b-3x+c)+b=0.
思路分析：向量方程与实数方程类似，我们可用和实数方程类似的方法来求解.
解：原方程化为2x-a-b+x-c+b=0，
x-a+b-c=0，
x=a-b+c，
∴x=a-b+c.
友情提示
向量的加、减、数乘混合运算与实数的加、减、乘混合运算十分类似，运算时完全可以按照实数运算的思路进行.
类题演练
2
设x为未知向量，解方程x+3a-b=0.
解析:原方程化为x+(3a-b)=0.
所以x=0-(3a-b),x=-3a+b.所以x=-9a+b.
变式提升
2
如右图所示,已知ABCD的边BC、CD上的中点分别为K，L，且=
e1,=
e2，试用e1,
e2表示，.
解析：设=x,则=x,=e1-x,=e1-x，又=x,由+=，得
x+e1-x=
e2,解方程，得x=e2-e1
即=e2-e1.
由=-，=e1-x,
得=e1+e2.
3.向量共线的应用
【例3】
已知两个非零向量e1和e2不共线，且ke1+
e2和e1+ke2共线，求实数k的值.
思路分析：因为ke1+e2和e1+ke2共线，所以一定存在实数λ，使得ke1+e2=λ(e1+ke2).
解：∵ke1+e2和e1+ke2共线，
∴存在实数λ，使得ke1+e2=λ(e1+ke2).
∴(k-λ)e1=(λk-1)e2.
∵e1和e2不共线，
∴
∴k=±1.
友情提示
本题从正反两方面运用了向量数乘的几何意义，利用共线得到关于k的方程，用待定系数法解决问题.
类题演练
3
a=e1+2e2,b=3e1-4e2,且e1、e2共线，则a与b（
）
A.共线
B.不共线
C.可能共线，也可能不共线
D.不能确定
解析：∵e1与e2共线，则存在实数e1=λe2,
∴a=e1+2e2=(λ+2)e2,b=3e1-4e2=(3λ-4)e2,
当3λ-4≠0时，a=b，故a与b共线.
当3λ-4=0时，b=0,a与b也共线.
答案：A
变式提升
3
设e1、e2是不共线的向量，已知向量=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A、B、D三点共线，求k的值.
解析：=-
=（2e1-e2）-(e1+3e2)
=
e1-4e2,
由题设A、B、D三点共线，故存在实数λ,使=λ,
所以2e1+ke2=λ(e1-4e2),
解得所以k=-8.
【例4】
如右图所示，在平行四边形ABCD中，=a,AB=b,M是AB的中点，点N是BD上一点，|BN|=|BD|.
求证：M、N、C三点共线.
思路分析：本题主要考查运用向量知识解决平面几何问题.要证三点共线（M、N、C），不妨证、具有一定的倍数关系.只要用已知条件a,b表示出，，问题就可以解决.
证明：∵=a,=b,
∴=-=a-b.
∴=+=b+
=b+(a-b)=a+b
=(2a+b).
又∵=+
=b+a=(2a+b),
∴=3.又与有共同起点，
∴M、N、C三点共线.
友情提示
几何中证明三点共线，可先在三点中选取起点和终点确定两个向量，看能否找到唯一的实数λ使两向量具有一定的倍数关系.
类题演练
4
已知两个非零向量e1和e2不共线，如果=2e1+3e2，=6e1+23e2，=4e1-8e2.求证：A、B、D三点共线.
证明：∵=++
=2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2
=12e1+18e2=6(2e1+3e2)
=6.
∴向量与向量共线.
又∵与有共同的起点A,
∴A、B、D三点共线.
变式提升
4
如右图，已知ABCD，E、F分别是和的中点，判断AE和CF是否平行.
解：设=a,=b,
∵E、F分别是DC、AB的中点，
∴=+=a+b,
=-a-b
=-(a+b)=-.
即存在实数λ=-1,使得=-.
所以与平行.2.3.2 平面向量基本定理
学习目标
重点难点
1．了解平面向量基本定理及其几何意义．2．理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决几何问题的重要思想方法．3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
重点：平面向量基本定理的理解和运用．难点：用平面向量基本定理解几何问题．疑点：1.基底不唯一，关键是不共线．2．基底给定时，分解形式唯一．λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量.
平面向量基本定理
定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2使________．不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组____．
预习交流1
在表示向量时，基底唯一吗？有什么特征？
预习交流2
同一非零向量在不同基底下的分解式相同吗？
预习交流3
若a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，则向量a写为λ1b＋λ2c的形式是______．
答案：a＝λ1e1＋λ2e2 基底
预习交流1：提示：(1)不唯一．同一平面可以有无数组不同的基底，因此，对不同的基底，同一向量的分解是不唯一的，但基底给定时，向量的表示方法唯一．
(2)基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线的向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．
预习交流2：提示：可能不同．
预习交流3：－b＋c
在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
1．用基底表示向量
如图所示，在ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，.
思路分析：本题直接用c，d表示，有一定的困难，可以换一个角度，先由，表示，，进而求出，.
在ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________.
平面向量基本定理揭示了平面内的每一个向量都可以由一组基底唯一表示，因此可结合向量的线性运算完成这种向量表示．注意以下几点：
(1)通常选取有公共点的两个不共线向量作为基底；
(2)注意共线向量基本定理的应用；
(3)注意a，b不共线，则0＝0·a＋0·b是唯一的；
(4)充分利用首尾相连的向量所表示的等量关系；
(5)利用同一向量的多种表示方法建立等量关系，也是常用技巧．
2．平面向量基本定理的应用
平面内有一个△ABC和一点O(如图)，线段OA，OB，OC的中点分别为E，F，G；BC，CA，AB的中点分别为L，M，N，设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示向量，，；
(2)证明：线段EL，FM，GN交于一点且互相平分．
思路分析：由题目的已知条件和要求证的问题可知本题主要考查平面向量基本定理及应用．(1)结合图形，利用向量的加、减法容易表示出向量，，；(2)要证三条线段交于一点，且互相平分，可考虑证明O点到三条线段中点的向量相等．
如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.
(1)用a，b表示，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
(1)利用平面向量基本定理解决平面几何问题的方法：
①选取一组基底；
②根据几何图形的特征用向量的相关知识解题．
(2)证明三点共线的步骤：①先证三点确定的向量共线；②两向量有公共点．
答案：活动与探究1：解：设＝a，＝b，因为M，N分别为CD，BC的中点，
所以＝b，＝a，
于是有解得
即＝(2d－c)，＝(2c－d)．
迁移与应用： 解析：如图所示，设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝a＋b，＝a＋b.
∵＝λ＋μ，
∴a＋b＝λ＋μ
＝a＋b.
∴解得∴λ＋μ＝.
活动与探究2：解：(1)如题图，
∵＝a，＝(b＋c)，
∴＝＝(b＋c－a)．
同理：＝(a＋c－b)，＝(a＋b－c)．
(2)设线段EL的中点为P1，
则＝()＝(a＋b＋c)．
设FM，GN的中点分别为P2，P3，
同理可求得＝(a＋b＋c)，＝(a＋b＋c)．
∴.
即EL，FM，GN交于一点，且互相平分．
迁移与应用：(1)解：如下图所示，延长AD到G，使=，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，
则=a+b，
，
，
，
，
．
(2)证明：由(1)知，，∴，共线．
又，有公共点B，∴B，E，F三点共线．
1．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值等于( )．
A．3
B．－3
C．0
D．2
2．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )．
A．e1＋e2和e1－e2
B．3e1－2e2和4e2－6e1
C．e1＋2e2和e2＋2e1
D．e2和e1＋e2
3．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么( )．
A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1，λ2是实数
C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内
D．对平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
4．在ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC中点，则＝________.(用a，b表示)
5．已知O是直线AB外一点，存在实数x，y使得＝x＋y，且x＋y＝1.求证：A，B，C三点共线．
答案：1．A 解析：由题意知
解得
∴x－y＝3.
2．B 解析：∵3e1－2e2＝－(4e2－6e1)，
∴3e1－2e2与4e2－6e1共线，故B中的向量不能作为基底．
3．A 解析：平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；C中的向量λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；而对平面α中的任一向量a，实数λ1，λ2是唯一的．
4．(b－a) 解析：如下图，＋(a＋b)＝(b－a)．
5．证明：由x＋y＝1，，
得，
所以＝x()，即.
所以A，B，C三点共线．
用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．
知识精华
技能要领
