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学业分层测评(二十二) 数量积的坐标表示
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．设a＝(1，－2)，b＝(3,1)，c＝(－1,1)，则(a＋b)·(a－c)等于________．
【解析】 a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3)，
∴(a＋b)·(a－c)＝2×4＋(－1)×(－3)＝11.
【答案】 11
2．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为________．
【解析】 依题意得a＋b＝(3，k＋2)，由a＋b与a共线，得3×k－1×(k＋2)＝0，解得k＝1，所以a·b＝2＋2k＝4.
【答案】 4
3．(2016·南通高一检测)已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为________.
【导学号：06460065】
【解析】 ∵a＝(2,3)，b＝(－4,7)，∴a·b＝2×(－4)＋3×7＝13，|a|＝，|b|＝，∴cos
θ＝＝，
∴a在b上的射影为|a|cos
θ＝×＝.
【答案】
4．已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，则向量a，b的夹角为________．
【解析】 由于2a＋b＝(4,2)，则b＝(4,2)－2a＝(2,0)，
则a·b＝2，|a|＝，|b|＝2.
设向量a，b的夹角为θ，则cos
θ＝＝.
又θ∈0，π]，所以θ＝.
【答案】
5．(2016·南京高一检测)已知O是坐标原点，A，B是坐标平面上的两点，且向量＝(－1,2)，＝(3，m)．若△AOB是直角三角形，则m＝________.
【解析】 在Rt△AOB中，＝(4，m－2)，
若∠OAB为直角时，·＝0，可得m＝4；
若∠AOB为直角时，·＝0，可得m＝；
若∠OBA为直角时，无解．
【答案】 或4
6．设a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，则实数t的值为________．
【解析】 a＋tb＝(4，－3)＋t(2,1)＝(4＋2t，t－3)，
(a＋tb)·b＝(4＋2t)×2＋(t－3)×1＝5t＋5.
|a＋tb|＝＝.
由(a＋tb)·b＝|a＋tb||b|cos
45°，
得5t＋5＝·，
即t2＋2t－3＝0，
∴t＝－3或t＝1，经检验t＝－3不合题意，舍去．
∴t＝1.
【答案】 1
7．已知a＝(4,2)，则与a垂直的单位向量b＝________.
【解析】 设b＝(x，y)，
则由得或
【答案】 或
8．(2016·盐城高一检测)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝________.
【解析】 不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)．又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，∴m＝－，n＝－，∴c＝.
【答案】
二、解答题
9．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．
(1)求a与b的夹角的余弦；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．
【解】 (1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，
|a|＝＝5，|b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)，
又(a－λb)⊥(2a＋b)，
∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝.
10．已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．
【解】 设a与b的夹角为θ，|a|＝＝，|b|＝，a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
(1)因为a与b的夹角为直角，
所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－.
(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos
θ<0且cos
θ≠－1，即a·b<0且a与b不反向．
由a·b<0，得1＋2λ<0，故λ<－，由a与b共线，得λ＝2，故a与b不可能反向，
所以λ的取值范围为.
(3)因为a与b的夹角为锐角，所以cos
θ>0且cos
θ≠1，
即a·b>0且a，b不同向．
由a·b>0，得λ>－，由a与b同向，得λ＝2，
所以λ的取值范围为∪(2，＋∞)．
能力提升]
1．(2016·泰州高一检测)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.
【解析】 ∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝，|b|2＝1，∵b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝t＋(1－t)＝1－t＝0，∴t＝2.
【答案】 2
2．以原点O及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使A＝90°，则的坐标为________．
【解析】 设＝(x，y)，由||＝||，得＝.①
由⊥，得5x＋2y＝0②
联立①②，解得x＝－2，y＝5或x＝2，y＝－5.
故＝(－2,5)或＝(2，－5)．
【答案】 (－2,5)或(2，－5)
3．如图2 4 3，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
图2 4 3
【解析】 以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(x,2)．故＝(，0)，＝(x,2)，＝(，1)，＝(x－，2)，∴·＝x.又·＝，
∴x＝1，∴＝(1－，2)，
∴·＝－2＋2＝.
【答案】
4．已知＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)．
(1)求使·取得最小值时的；
(2)对于(1)中求出的点C，求cos∠ACB.
【解】 (1)因为点C是直线OP上一点，
所以向量与共线，设＝t，则＝(2t，t)．
＝－＝(1－2t,7－t)，
＝－＝(5－2t,1－t)．
·＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)
＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.
当t＝2时，·取得最小值，此时＝(4,2)．
(2)当＝(4,2)时，＝(－3,5)，＝(1，－1)，
所以||＝，||＝，·＝－8.
所以cos∠ACB＝＝－.
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学业分层测评(五)
三角函数的诱导公式(一～四)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．cos＝________.
【解析】 cos＝cos＝.
【答案】
2．若sin(π＋α)＝，α∈，则tan
α＝________.
【解析】 ∵sin(π＋α)＝－sin
α＝，
∴sin
α＝－，又α∈，
∴α＝－，tan
α＝tan＝－.
【答案】 －
3．(2016·南京高一检测)已知α∈，tan(π－α)＝－，则sin
α＝________.
【解析】 由于tan(π－α)＝－tan
α＝－，则tan
α＝，
解方程组
得sin
α＝±，又α∈，所以sin
α＞0，
所以sin
α＝.
【答案】
4．已知sin＝，则sin的值为________．
【解析】 sin＝sin
＝sin＝.
【答案】
5．设tan(5π＋α)＝m(α≠kπ＋，k∈Z)，则的值为________．
【解析】 ∵tan(5π＋α)＝m，∴tan
α＝m，原式＝＝＝＝.
【答案】
6．已知f(x)＝sin
x，下列式子中成立的是________(填序号)．
①f(x＋π)＝sin
x；②f(2π－x)＝sin
x；
③f(－x)＝－sin
x；④f(π－x)＝f(x)．
【解析】 正确的是③④，f(－x)＝sin(－x)＝－sin
x，
f(π－x)＝sin(π－x)＝sin
x＝f(x)．
【答案】 ③④
7．tan
300°＋sin
450°＝________.
【解析】 tan
300°＋sin
450°＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)
＝tan(－60°)＋sin
90°＝－tan
60°＋sin
90°＝1－.
【答案】 1－
8．(2016·苏州高一检测)若cos
100°＝k，则tan
80°的值为________.
【导学号：06460014】
【解析】 cos
80°＝－cos
100°＝－k，且k＜0.于是sin
80°＝＝，从而tan
80°＝－.
【答案】 －
二、解答题
9．若cos(α－π)＝－，
求的值．
【解】 原式＝
＝＝
＝－tan
α.
∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos
α
＝－，
∴cos
α＝，∴α为第一象限角或第四象限角．
当α为第一象限角时，cos
α＝，
sin
α＝＝，
∴tan
α＝＝，∴原式＝－.
当α为第四象限角时，cos
α＝，
sin
α＝－＝－，
∴tan
α＝＝－，∴原式＝.
综上，原式＝±.
10．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos
A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
【解】 由条件得sin
A＝sin
B，cos
A＝cos
B，
平方相加得2cos2A＝1，cos
A＝±，
又∵A∈(0，π)，∴A＝或π.
当A＝π时，cos
B＝－＜0，
∴B∈，
∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．
∴A＝，cos
B＝，∴B＝，
∴C＝π.
能力提升]
1．(2016·盐城高一检测)已知sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，则sin
αcos
α的值为________．
【解析】 ∵sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，即
sin
α－3cos
α＝0，∴tan
α＝3，
∴sin
αcos
α＝＝＝.
【答案】
2．(2016·南通高一检测)已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为________．
【解析】 由于tan
600°＝tan(360°＋240°)＝tan
240°
＝tan(180°＋60°)＝tan
60°＝，
又tan
600°＝，
∴＝，即a＝－.
【答案】 －
3．已知α∈(0，π)，若cos(－α)－sin(－α)＝－，则tan
α＝________.
【解析】 cos(－α)－sin(－α)＝cos
α＋sin
α＝－，①
∴(cos
α＋sin
α)2＝1＋2sin
αcos
α＝，
∴2sin
αcos
α＝－<0，
又∵sin
α>0，∴cos
α<0，
∴(sin
α－cos
α)2＝1－2sin
αcos
α＝，
∴sin
α－cos
α＝，②
由①②得sin
α＝，cos
α＝－，
∴tan
α＝－.
【答案】 －
4．已知tan
α，是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，且3π＜α＜，求cos(2π－α)＋sin(2π＋α)的值．
【解】 因为tan
α，是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，
所以tan
α·＝×(3k2－13)＝1，
可得k2＝.
因为3π＜α＜，所以tan
α＞0，
sin
α＜0，cos
α＜0，
又tan
α＋＝－＝k，
所以k＞0，故k＝，
所以tan
α＋＝＋＝＝，
所以sin
αcos
α＝，
所以(cos
α＋sin
α)2＝1＋2sin
αcos
α＝1＋2×＝.
因为cos
α＋sin
α＜0，
所以cos
α＋sin
α＝－，
所以cos(2π－α)＋sin(2π＋α)
＝cos
α＋sin
α＝－.
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学业分层测评(二十八) 几个三角恒等式
(建议用时：45分钟)
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一、填空题
1．有下列关系式：
①sin
5θ＋sin
3θ＝2sin
8θcos
2θ；
②cos
3θ－cos
5θ＝－2sin
4θsin
θ；
③sin
3θ－sin
5θ＝－cos
4θcos
θ；
④sin
5θ＋cos
3θ＝2sin
4θcos
θ；
⑤sin
xsin
y＝cos(x－y)－cos(x＋y)]．
其中正确的等式有________．(填序号)
【解析】 只有⑤正确．
【答案】 ⑤
2．若A＋B＝120°，则sin
A＋sin
B的最大值是________．
【解析】 sin
A＋sin
B＝2sincos
＝cos≤，∴最大值为.
【答案】
3．函数y＝sin＋sin的最大值是________．
【解析】 y＝2sin
xcos＝sin
x≤1，∴最大值为1.
【答案】 1
4．求的值为________．
【解析】 原式＝＝－
＝－2cos
30°＝－2×＝－.
【答案】 －
5．若α是第三象限角且sin(α＋β)cos
β－sin
βcos(α＋β)＝－，则tan＝________.
【导学号：06460083】
【解析】 易知sin
α＝－，α为第三象限角，
∴cos
α＝－.
∴tan
＝＝
＝＝＝－5.
【答案】 －5
6．若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β＝________.
【解析】 cos(α＋β)cos(α－β)＝(cos
2α＋cos
2β)
＝(2cos2α－1)＋(1－2sin2β)]＝cos2α－sin2β.
∴cos2α－sin2β＝.
【答案】
7．若cos2α－cos2β＝m，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________.
【解析】 sin(α＋β)sin(α－β)＝－(cos
2α－cos
2β)＝－(2cos2α－1－2cos2β＋1)＝cos2β－cos2α＝－m.
【答案】 －m
8．函数y＝sincos
x的最小值是________．
【解析】 y＝sincos
x＝sin2x－＋sin－
＝＝sin－，
当sin＝－1时，y取得最小值为－.
【答案】 －
二、解答题
9．化简：(－π<α<0)．
【解】 原式＝
＝
＝
＝.
因为－π<α<0，所以－<<0，
所以sin
<0，
所以原式＝＝cos
α.
10．求函数f(x)＝sin
x的最小正周期与最值．
【解】 f(x)＝sin
x
＝sin
x·2cossin
＝－sin
xcos
＝－
＝－sin＋.
∴最小正周期为T＝＝π.
∵sin∈－1,1]，
∴f(x)max＝，f(x)min＝－.
能力提升]
1．sin220°＋cos280°＋sin
20°cos
80°的值是________．
【解析】 原式＝＋＋(sin
100°－sin
60°)＝1－(cos
40°＋cos
20°)＋cos
10°－＝1－cos
30°cos
10°＋cos
10°－＝.
【答案】
2．直角三角形中两锐角为A和B，则sin
Asin
B的最大值为________．
【解析】 ∵A＋B＝，sin
Asin
B＝cos(A－B)－cos
(A＋B)]＝cos(A－B)，
又－＜A－B＜，∴0＜cos(A－B)≤1，
∴sin
Asin
B有最大值.
【答案】
3．若cos
α＝－，α是第三象限的角，则＝________.
【解析】 ∵α是第三象限角，
∴为第二、四象限角，∴tan＜0，
∴tan＝－
＝－
＝－3，
∴原式＝＝－.
【答案】 －
4．如图3 3 1，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
图3 3 1
【解】 在直角三角形OBC中，OB＝cos
α，BC＝sin
α.
在直角三角形OAD中，＝tan
60°＝.
∴OA＝DA＝sin
α，
∴AB＝OB－OA＝cos
α－sin
α.
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AB·BC＝sin
α
＝sin
αcos
α－sin2α
＝sin
2α－(1－cos
2α)
＝sin
2α＋cos
2α－
＝－
＝sin－.
∵0<α<，
∴当2α＋＝，
即α＝时，取最大值.
∴当α＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.
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学业分层测评(十七) 向量的数乘
(建议用时：45分钟)
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一、填空题
1．已知λ∈R，则下列说法错误的是________．(填序号)
①|λa|＝λ|a|；②|λa|＝|λ|a；③|λa|＝|λ||a|；
④|λa|>0.
【解析】 当λ<0时，①式不成立；当λ＝0或a＝0时，④式不成立；又|λa|∈R，而|λ|a是数乘向量，故②必不成立．
【答案】 ①②④
2．化简为________．
【解析】 原式＝＝(2a＋6b)＝a＋b.
【答案】 a＋b
3．若＝，则＝________.
【解析】 ∵＝，∴点A，B，C三点共线，且与同向，∵＝(如图)，
∴＝，又与反向，∴＝－.
【答案】 －
4．在△ABC中，已知＝3，则＝________(用，表示)．
【解析】 ∵＝3，
∴－＝3(－)，
∴＝＋.
【答案】 ＋
5．(2016·苏州高一检测)设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则k＝________.
【导学号：06460050】
【解析】 ∵m与n共线，
∴存在实数λ，使得m＝λn，
∴－e1＋ke2＝λ(e2－2e1)，
∴
∴λ＝，k＝.
【答案】
6．已知向量a，b且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是________．
【解析】 ∵＝＋＝2a＋4b＝2，
∴A，B，D三点共线．
【答案】 A，B，D
7．若O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，＝2e1，＝3e2，则＝________.(用e1，e2表示)
【解析】 ∵＝，
∴＝－＝3e2－2e1.
又∵＝2，
∴＝e2－e1.
【答案】 e2－e1
8．(2016·南通高一检测)已知平面内有一点P及一个△ABC，若＋＋＝，则下列说法正确的是________．(填序号)
①点P在△ABC外部；②点P在线段AB上；
③点P在线段BC上；④点P在线段AC上．
【解析】 ＋＋＝－，
∴2＋＝0.
如图，易知P在线段AC上．
【答案】 ④
二、解答题
9．如图2 2 23所示，已知在 ABCD中，点M为AB的中点，点N在BD上，且3BN＝BD.
图2 2 23
求证：M，N，C三点共线．
【证明】 设＝a，＝b，则＝＋＝－a＋b，
＝＝－a＋b，＝a，＝＝b，
∴＝＋＝a＋b，
＝＋＝a－a＋b
＝，
∴＝，∴∥，
又M为公共点，∴M，N，C三点共线．
10．如图2 2 24，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若＝a，＝b，试用a，b表示和.
图2 2 24
【解】 连接CN.∵AN∥DC，且AN＝DC＝AB，
∴四边形ANCD为平行四边形，
∴＝－＝－b.
∵＋＋＝0，
∴＝－－＝b－a，
＝－＝＋＝a－b.
能力提升]
1．若＝5e，＝－7e，且||＝||，则四边形ABCD的形状是________．
【解析】 ∵＝5e，＝－7e，∴＝－，
∴与平行且方向相反，易知||＞||.
又∵||＝||，∴四边形ABCD是等腰梯形．
【答案】 等腰梯形
2．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为________．
【解析】 由＋＋＝0可知，M是△ABC的重心．
取BC的中点D，则＋＝2.
又M是△ABC的重心，∴＝2，∴＝，
∴＋＝3，即m＝3.
【答案】 3
3．在△ABC中，＝2，＝m＋n，则m＝________，n＝________.
【解析】 －＝2－2，∴3＝＋2，∴＝＋.
【答案】
4．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，其中e1，e2为两个非零不共线向量．问：是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？
【解】 d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2.
要使c∥d，则应存在实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2＝k(2e1－9e2)＝2ke1－9ke2，
∵e1，e2不共线，
∴∴λ＝－2μ.
故存在这样的实数λ，μ，满足λ＝－2μ，
就能使d与c共线.
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学业分层测评(九)
正弦、余弦的图象与性质
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．函数y＝2cos
x－1的最大值是________，最小值是________．
【解析】 ∵cos
x∈－1,1]，
∴y＝2cos
x－1∈－3,1]．
∴最大值为1，最小值为－3.
【答案】 1 －3
2．函数y＝cos
x在区间－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
【解析】 y＝cos
x在－π，0]上为增函数，在0，π]上为减函数，所以a∈(－π，0]．
【答案】 (－π，0]
3．函数f(x)＝7sin是________(填“奇函数”或“偶函数”)．
【解析】 f(x)＝7sin＝7sin
＝－7cos
x，
∴f(x)是偶函数．
【答案】 偶函数
4．y＝的定义域为________，单调递增区间为________．
【解析】 ∵sin
x≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.
当x∈0，π]时，y＝在上单调递增，
∴其递增区间为，k∈Z.
【答案】 2kπ，π＋2kπ]，k∈Z ，k∈Z
5．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ＝________.
【解析】 由题意，当x＝时，
f(x)＝sin＝±1，
故＋φ＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝kπ＋(k∈Z)．
【答案】 kπ＋(k∈Z)
6．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是________．(只填序号)
【导学号：06460026】
①函数f(x)的最小正周期为2π；②函数f(x)在区间上是增函数；③函数f(x)的图象关于直线x＝0对称；④函数f(x)是奇函数．
【解析】 ∵y＝sin＝－cos
x，∴T＝2π，即①正确．y＝cos
x在上是减函数，则y＝－cos
x在上是增函数，即②正确．由图象知y＝－cos
x的图象关于x＝0对称，即③正确．y＝－cos
x为偶函数，即④不正确．
【答案】 ④
7．(2016·南京高一检测)若函数f(x)＝sin
ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
【解析】 因为当0≤ωx≤时，函数f(x)是增函数，
当≤ωx≤π时，函数f(x)为减函数，
即当0≤x≤时，函数f(x)为增函数，
当≤x≤时，函数f(x)为减函数，
所以＝，所以ω＝.
【答案】
8．(2016·连云港高一检测)函数y＝cos2x－4cos
x＋5的值域为________．
【解析】 令t＝cos
x，由于x∈R，故－1≤t≤1.
y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，
当t＝－1时，即cos
x＝－1时函数有最大值10；
当t＝1，即cos
x＝1时函数有最小值2.
所以该函数的值域是2,10]．
【答案】 2,10]
二、解答题
9．比较下列各组三角函数值的大小：
(1)sin
250°与sin
260°；(2)cos与cos；
(3)sin
11°，cos
10°，sin
168°.
【解】 (1)∵函数y＝sin
x在上单调递减，且90°＜250°＜260°＜270°，∴sin
250°＞sin
260°.
(2)cos＝cos＝cos
，
cos
＝cos＝cos.
∵函数y＝cos
x在0，π]上单调递减，
且0＜＜＜π，∴cos＞cos
，
∴cos＞cos
.
(3)sin
168°＝sin(180°－12°)＝sin
12°，
cos
10°＝sin(90°－10°)＝sin
80°.
又因为y＝sin
x在x∈上是增函数，
所以sin
11°＜sin
12°＜sin
80°，
即sin
11°＜sin
168°＜cos
10°.
10．(2016·苏州高一检测)已知函数f(x)＝2cos3x＋.
(1)求f(x)的单调递增区间．
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值．
【解】 (1)令2kπ－π≤3x＋≤2kπ(k∈Z)，
解得－≤x≤－(k∈Z)，
∴f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)．
(2)当3x＋＝2kπ－π(k∈Z)时，f(x)取最小值－2.
即x＝－(k∈Z)时，f(x)取最小值－2.
能力提升]
1．若f(x)＝2sin
ωx(0＜ω＜1)在区间上的最大值是，则ω＝________.
【解析】 由题意知0≤x≤时，0≤ωx≤＜，
f(x)取最大值2sin＝时，sin＝，＝，ω＝.
【答案】
2．若函数f(x)＝sin(φ∈0,2π])是偶函数，则φ＝________.
【解析】 ∵f(x)为偶函数，∴＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝3kπ＋(k∈Z)．
又∵φ∈0,2π]，∴φ＝.
【答案】
3．(2016·南通高一检测)函数y＝2sin(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为________．
【解析】 周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2，
∴y＝2sin.
由－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－π≤x≤kπ＋，k∈Z.
【答案】 (k∈Z)
4．已知ω是正数，函数f(x)＝2sin
ωx在区间上是增函数，求ω的取值范围．
【解】 由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋≤x≤＋，
∴f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
根据题意，
得 ，
从而有解得0＜ω≤.
故ω的取值范围是.
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章末综合测评(二) 平面向量
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)
1．已知作用在点A(1,1)的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标是________．
【解析】 ∵F＝(8,0)，∴终点坐标为(8,0)＋(1,1)＝(9,1)．
【答案】 (9,1)
2.－＋＋＝________.
【解析】 原式＝＋＋＝0＝
.
【答案】
3．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，若c＝λa＋μb，则λ，μ的值分别是________．
【解析】 ∵c＝λa＋μb，
∴(－1,2)＝(λ，λ)＋(μ，－μ)，
∴∴
【答案】 ，－
4．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与向量同向的单位向量的坐标是________．
【解析】 ＝(3，－4)，||＝5，∴e＝＝(3，－4)＝.
【答案】
5．(2016·镇江高一检测)已知向量a＝(3x,1)，b＝(2，－5)，若a∥b，则x＝________.
【解析】 ∵a∥b，∴－15x＝2，x＝－.
【答案】 －
6．若|a|＝1，|b|＝2，a·b＝－1，则|a－b|＝________.
【解析】 ∵|a|＝1，|b|＝2，a·b＝－1
∴|a－b|＝＝＝.
【答案】
7．平面向量a，b中，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝________.
【解析】 设b＝(x，y)，则
∴即b＝.
【答案】
8．(2016·扬州高一检测)下列5个说法：
①共线的单位向量是相等向量；
②若a，b，c满足a＋b＝c时，则以|a|，|b|，|c|为边一定能构成三角形；
③对任意的向量，必有|a＋b|≤|a|＋|b|；
④(a·b)c＝c(b·c)；
⑤(a＋b)·c＝a·c＋b·c.其中正确的是________．
【解析】 共线也有可能反向，故①不正确；若|a|＝0，显然不能构成三角形，故②不正确；由数量积的性质知④不正确；由向量加法的三角形法则知③正确；由数量积的性质知⑤正确．
【答案】 ③⑤
9．(2016·南京高一检测)已知a＝(1，n)，b＝(－1，n)，且2a－b与b垂直，则|a|等于________．
【解析】 2a－b＝(3，n)，∵(2a－b)·b＝0，∴n2－3＝0，∴n2＝3，∴|a|2＝1＋n2＝4，∴|a|＝2.
【答案】 2
10．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为________．
【解析】 ∵a∥b，∴2×(－2)－(－1)x＝0，解得x＝4，
∴b＝(4，－2)，∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)．
∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，
即6－3(－2－y)＝0，解得y＝－4，
∴＝(y－x，x－y)＝(－8,8)，∴||＝8.
【答案】 8
11．(2016·泰州高一检测)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是________．
(1)|b|＝1；(2)a⊥b；(3)a·b＝1；(4)(4a＋b)⊥.
【解析】 如图△ABC是边长为2的等边三角形．
由已知b＝－2a＝－＝，
显然(1)(2)(3)错，(4a＋b)·＝2·＋||2＝2×2×2×cosπ＋22＝0，∴(4a＋b)⊥.
【答案】 (4)
12．如图1，非零向量＝a，＝b，且BC⊥OA，C为垂足，若＝λa，则λ＝________.
图1
【解析】 ＝－＝λa－b，∵⊥，∴a·(λa－b)＝0，则λ＝.
【答案】
13．已知向量a＝(6,2)，b＝，直线l过点A(3，－1)且与向量a＋2b垂直，则直线l的方程为________．
【解析】 ∵a＋2b＝(－2,3)，
在l上任取一点P(x，y)，则有⊥(a＋2b)，
∴·(a＋2b)＝0，
∴(x－3，y＋1)·(－2,3)＝0，
∴2x－3y－9＝0.
【答案】 2x－3y－9＝0
14．已知＝(2,2)，＝(4,1)，O为坐标原点，在x轴上求一点P，使·有最小值，则P点坐标为________．
【解析】 设P(x,0)，∴·＝(x－2，－2)·(x－4，－1)＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，当x＝3时，·有最小值，∴P(3,0)．
【答案】 (3,0)
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，
(1)如图①，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用a，b分别表示，.
(2)如图②，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用a，b表示.
图2
【解】 (1)＝＋＝＋＝－＝－a＋b.
＝＋＝－＝a－b.
(2)＝－＝b－a，
∵O是BD的中点，G是DO的中点，
∴＝＝(b－a)，
∴＝＋＝a＋(b－a)
＝a＋b.
16．(本小题满分14分)已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
【解】 (1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.
整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
∴a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，|a－b|＝＝2.
17．(本小题满分14分)(2016·无锡高一检测)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
【解】 (1)由题设，知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.故所求的两条对角线长分别为4，2.
(2)由题设，知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－.
18．(本小题满分16分)设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
【解】 由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，
得＜0，
即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0.
整理得：2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＜0.(
)
∵|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°.
∴e1·e2＝2×1×cos
60°＝1
∴(
)式化简得：2t2＋15t＋7＜0.
解得：－7＜t＜－.
当向量2te1＋7e2与e1＋te2夹角为180°时，
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)．
对比系数得，
∴
∴所求实数t的取值范围是
∪.
19．(本小题满分16分)设作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，F1与F2的夹角为π，如图3所示．
求：(1)F3的大小；
(2)∠F3OF2的大小．
【解】 (1)F1、F2、F3三个力处于平衡状态，
故F1＋F2＋F3＝0.
即F3＝－(F1＋F2)．
∴|F3|＝|F1＋F2|＝
＝
＝＝.
(2)如图所示，以F2所在直线为x轴，合力作用点为坐标原点，建立直角坐标系，将向量F1，F3正交分解，设∠MOF3＝θ，
由受力平衡知
即
将数值代入得
∴θ＝.
于是得∠F3OF2＝π－＝π.
20．(本小题满分16分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，且点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin
θ，t)，θ∈.
(1)若⊥a，且||＝||，求向量；
(2)若向量与向量a共线，当k＞4，且tsin
θ取最大值4时，求·.
【解】 (1)因为＝(n－8，t)，且⊥a，
所以8－n＋2t＝0，即n＝8＋2t.
又||＝||，
所以5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，解得t＝±8.
则n＝24或－8，
所以＝(24,8)或(－8，－8)．
(2)因为＝(ksin
θ－8，t)，与a共线，
所以t＝－2ksin
θ＋16.
又tsin
θ＝(－2ksin
θ＋16)sin
θ
＝－2k2＋，
当k＞4时，1＞＞0，
所以当sin
θ＝时，tsin
θ取得最大值；
由＝4，得k＝8，此时θ＝，
故＝(4,8)，
所以·＝8×4＋8×0＝32.
图3
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学业分层测评(二十一) 数量积的定义
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．e1，e2是两个平行的单位向量，则e1·e2＝________.
【解析】 ∵e1∥e2，∴e1，e2的夹角为0°或180°，∴e1·e2＝|e1||e2|cos
θ＝±1.
【答案】 ±1
2．已知|a|＝8，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则向量b在a方向上的投影为________．
【解析】 ∵|a|＝8，|b|＝4，b在a方向上的投影为|b|cos
120°＝4×cos
120°＝4×＝－2.
【答案】 －2
3．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角θ为120°，则a·a＋a·b＝________.
【解析】 ∵|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，
∴a·b＝|a||b|cos
120°＝－.
又a·a＝|a|2＝1，
∴a·a＋a·b＝1－＝.
【答案】
4．在△ABC中，||＝13，||＝5，||＝12，则·的值是________．
【解析】 ∵||＝13，||＝5，||＝12，
∴||2＝||2＋||2，
∴△ABC为直角三角形．
又cos∠ABC＝，
∴·＝||||cos(π－∠ABC)
＝13×5×
＝－25.
【答案】 －25
5．若向量|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|＝________.
【解析】 ∵|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，∴a2－2a·b＋b2＝4，即|a|2－2a·b＋|b|2＝4，
得1－2a·b＋4＝4，∴2a·b＝1.于是|a＋b|＝＝＝＝.
【答案】
6．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝________.
【解析】 ∵|a＋b|＝，|a－b|＝，
∴
①－②得a·b＝1.
【答案】 1
7．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a－4b的模为________．
【导学号：06460062】
【解析】 ∵|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，∴a·b＝2×1×cos
60°＝1，
∴|a－4b|＝
＝
＝
＝2.
【答案】 2
8．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________.
【解析】 由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos
，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.
【答案】 －8或5
二、解答题
9．(2016·南通高一检测)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求|a＋b|；
(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．
【解】 (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，
∴|a＋b|＝
＝＝.
(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，
∴向量a在向量a＋b方向上的投影为＝＝.
10．已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角？
【解】 ∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)
＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2
＝2k＞0，∴k＞0.
但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去．
综上，k的取值范围为k＞0且k≠1.
能力提升]
1．(2016·镇江高一检测)定义：|a×b|＝|a|·|b|·sin
θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于________．
【解析】 由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cos
θ＝－，sin
θ＝，
∴|a×b|＝|a|·|b|·sin
θ＝2×5×＝8.
【答案】 8
2．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为________．
【解析】 ∵(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝0，
∴a·b＝－|b|2，设a与b的夹角为θ，
∴cos
θ＝＝＝－，
∵θ∈0，π]，∴θ＝120°.
【答案】 120°
3．(2016·苏州高一检测)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
【解析】 设||＝x(x＞0)，则·＝x，
所以·＝(＋)·＝1－x2＋x＝1，解得x＝，即AB的长为.
【答案】
4．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|＞1(k∈R)，求k的取值范围．
【解】 (1)证明：∵|a|＝|b|
＝|c|＝1且a，b，c之间的夹角均为120°，
∴(a－b)·c＝a·c－b·c
＝|a||c|cos
120°－|b||c|cos
120°＝0，∴(a－b)⊥c.
(2)∵|ka＋b＋c|＞1，∴(ka＋b＋c)·(ka＋b＋c)＞1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c＞1.
∵a·c＝a·b＝b·c＝cos
120°＝－，
∴k2－2k＞0，解得k＜0或k＞2.
即k的取值范围是k＜0或k＞2.
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学业分层测评(十五) 向量的加法
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．若a与b是互为相反向量，则a＋b＝________.
【解析】 由题意可知，a＋b＝0.
【答案】 0
2．下列等式不成立的是________．
①0a＝a；②a＋b＝b＋a；
③＋＝2；④＋＝.
【解析】 ∵，是互为相反向量，
∴＋＝0，故③错误．
【答案】 ③
3．(2016·南通高一检测)在 ABCD中，||＝3，||＝4，则：
(1)||________7(填“＞”“＜”或“≥”“≤”)；
(2)若||＝5，则此四边形为________．
【解析】 (1)三角形两边之和大于第三边；
(2)由||2＋||2＝||2，可知△ABC为直角三角形，所以应填“矩形”．
【答案】 (1)＜ (2)矩形
4．在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是________．
图2 2 6
①＝，＝；
②＋＝；
③＋＝＋；
④＋＋＝.
【解析】 因为＋＝，＋＝，
所以＋＝＋.
【答案】 ③
5．设E是平行四边形ABCD外一点，如图2 2 7所示，化简下列各式：
图2 2 7
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________；
(4)＋＋＋＝________.
【解析】 (1)＋＝；
(2)＋＋＝＋＋＝＋＝0；
(3)＋＋＝＋＋＝；
(4)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝.
【答案】 (1) (2)0 (3) (4)
6．某人在静水中游泳，速度为4
km/h.如要他向垂直于河对岸的方向游向河对岸，水的流速为4
km/h，他实际沿________方向前进，速度为________．
【解析】 如图所示，∵OB＝4，OA＝4，
∴OC＝8，∴∠COA＝60°.
【答案】 与水流方向成60°
8
km/h(答案不唯一)
7．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，向量||＝1，则|＋|＝________.
【导学号：06460044】
【解析】 在△ABD中，AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，△ABD是等边三角形，则BD＝1，则|＋|＝||＝1.
【答案】 1
8．(2016·苏州高一检测)已知△ABC是正三角形，给出下列等式：
①|＋|＝|＋|；
②|＋|＝|＋|；
③|＋|＝|＋|；
④|＋＋|＝|＋＋|.
其中正确的有________．(写出所有正确等式的序号)
【解析】 ＋＝，＋＝，
而||＝||，故①正确；
||≠|＋|，故②不正确；
画图(图略)可知③，④正确．
【答案】 ①③④
二、解答题
9．如图2 2 8所示，两个力F1和F2同时作用在一个质点O上，且F1的大小为3
N，F2的大小为4
N，且∠AOB＝90°，试作出F1和F2的合力，并求出合力的大小．
图2 2 8
【解】 如图所示，表示力F1，表示力F2，以OA，OB为邻边作 OACB，
则是力F1和F2的合力．
在△OAC中，||＝3，||＝||＝4，且OA⊥AC，则||＝＝5，
即合力的大小为5
N.
10．已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点．求证：＋＝＋.
【证明】 如图所示，在四边形CDEF中，＋＋＋＝0，
∴＝－－－
＝＋＋.①
在四边形ABFE中，
＋＋＋＝0，∴＝＋＋.②
①＋②得
＋＝＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)．
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴＋＝0，＋＝0，
∴＋＝＋.
能力提升]
1．(2016·南京高一检测)下列命题中正确命题的个数为________．
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同；
②△ABC中，必有＋＋＝0；
③若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；
④若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
【解析】 ①假命题，当a＋b＝0时，命题不成立；②真命题；
③假命题，当A，B，C三点共线时，也可以有＋＋＝0；
④假命题，只有当a与b同向时才相等．
【答案】 1
2．若|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的取值范围是________．
【解析】 当a与b同向时，|a＋b|取最大值13；
当a与b反向时，|a＋b|取最小值3.
【答案】 3,13]
3．设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的序号是________．
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.
【解析】 ∵a＝(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＝0，∴①③⑤正确．
【答案】 ①③⑤
4．如图2 2 9所示，∠AOB＝∠BOC＝120°，||＝||＝||，求＋＋.
图2 2 9
【解】 如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，由向量加法的平行四边形法则知＋＝O.
由||＝||，∠AOB＝120°，
知∠BOD＝60°，||＝||.
又∠COB＝120°，且||＝||，
∴＋＝0，
故＋＋＝0.
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学业分层测评(十二)
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．已知f(x)＝sin(3x＋φ)的图象的一个对称中心是，则φ＝________.
【解析】 把x＝－π代入sin(3x＋φ)＝0，
得sin＝0，
∴φ－π＝kπ，又|φ|＜，所以令k＝－2，得φ＝－2π＋π＝－.
【答案】 －
2．三角函数式：
①y＝3sin；②y＝3sin；
③y＝3sin；④y＝3cos.
其中在上的图象如图1 3 11所示的函数是________．
图1 3 11
【解析】 代入，检验．
【答案】 ①②④
3．(2016·南京高一检测)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图1 3 12所示，则ω＝________；φ＝________.
图1 3 12
【解析】 T＝－＝，∴T＝＝π，
∴ω＝2.
当x＝时，2×＋φ＝，∴φ＝－.
【答案】 2 －
4．点P是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋m(ω＞0，|φ|＜)的图象的一个对称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为，则正确的序号有________.
【导学号：06460035】
①f(x)的最小正周期是π；②f(x)的值域为0,4]；③f(x)的初相φ＝；④f(x)在上单调递增．
【解析】 由题意，且函数的最小正周期为T＝4×＝2π，故ω＝＝1.代入①式得φ＝kπ＋(k∈Z)，又|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin＋2.故函数f(x)的值域为1,3]，初相为，排除①②③项，选④项．
【答案】 ④
5.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图1 3 13所示，f＝－，则f(0)＝________.
图1 3 13
【解析】 由图象可得最小正周期为π，于是f(0)＝f，注意到π与关于对称，所以f＝－f＝.
【答案】
6．设函数f(x)＝2sin.若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．
【解析】 f(x)的周期T＝4，|x1－x2|的最小值为2.
【答案】 2
7．(2016·南通高一检测)若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，则f＝________.
【解析】 由于函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，
则函数f(x)的图象关于直线x＝对称，则f是函数f(x)的最大值或最小值，则f＝－3或3.
【答案】 ±3
8．(2016·苏州高一检测)设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论：①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数，所有正确结论的编号为________．
【解析】 ∵T＝π，∴ω＝2.又2×＋φ＝kπ＋，
∴φ＝kπ＋.∵φ∈，∴φ＝，
∴y＝sin.由图象及性质可知②④正确．
【答案】 ②④
二、解答题
9．(2016·无锡高一检测)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的周期为π，且图象上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的最值．
【解】 (1)由最低点为M得A＝2.由T＝π，得ω＝＝＝2.由点M是图象的一个最低点，得2sin＝－2，即sin＝－1，＋φ＝2kπ－(k∈Z)，φ＝2kπ－(k∈Z)．又φ∈，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.
(2)∵x∈，∴2x＋∈，∴当2x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最小值1；当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值.
能力提升]
1．(2016·南通高一检测)方程2sin＋2a－1＝0在0，π]上有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．
【解析】 ∵x∈0，π]，x＋∈，2sinx＋∈－，2]．
画出函数图象可知，当≤1－2a＜2时，原方程有两个不相等的实数根，故－＜a≤.
【答案】
2．(2016·常州高一检测)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一段图象如图1 3 14所示．
图1 3 14
(1)求f(x)的解析式；
(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
【解】 (1)A＝3，＝＝5π，故ω＝.
由f(x)＝3sin的图象过点得sin＝0，
又|φ|＜，故φ＝－，∴f(x)＝3sin.
(2)设把f(x)的图象向左至少平移m(m＞0)个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．
由f(x＋m)＝3sin
＝3sin为偶函数，知－＝kπ＋，即m＝kπ＋.
∵m＞0，∴m取最小值.
故至少把f(x)的图象向左平移个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数.
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学业分层测评(三) 任意角的三角函数
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．已知sin
α＝，cos
α＝－，则角α终边在第________象限．
【解析】 由sin
α＝＞0得，角α的终边在第一或第二象限；由cos
α＝－＜0得，角α的终边在第二或第三象限，故角α的终边在第二象限．
【答案】 二
2．若角α的终边落在y＝－x上，则tan
α的值为________．
【解析】 设P(a，－a)是角α上任意一点，
若a>0，P点在第四象限，tan
α＝＝－1，
若a<0，P点在第二象限，tan
α＝＝－1.
【答案】 －1
3．有三个结论：①与的正弦线相等；②与的正切线相等；③与的余弦线相等．其中正确的是________．
【解析】 在单位圆中画出相应角的正弦线、正切线，余弦线，分析可知①正确，②正确，③错误．
【答案】 ①②
4．在△ABC中，若sin
A·cos
B·tan
C＜0，则△ABC是________三角形．
【解析】 ∵A，B，C是△ABC的内角，∴sin
A＞0.
∵sin
A·cos
B·tan
C＜0，∴cos
B·tan
C＜0，
∴cos
B和tan
C中必有一个小于0，
即B，C中必有一个钝角，故△ABC是钝角三角形．
【答案】 钝角
5．(2016·扬州高一检测)如果α的终边过点P(2sin
30°，－2cos
30°)，则sin
α的值等于________．
【解析】 ∵P(1，－)，∴r＝＝2，
∴sin
α＝－.
【答案】 －
6．(2016·南通高一检测)在(0,2π)内，使sin
α＞cos
α成立的α的取值范围是________．
【解析】 如图所示，当α∈时，恒有MP＞OM，而当α∈∪时，则是MP＜OM.
【答案】
7．若α为第二象限角，则－＝________.
【解析】 由已知sin
α>0，cos
α<0，
∴－＝－＝1＋1＝2.
【答案】 2
8．(2016·无锡高一检测)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin
α＞0，cos
α≤0，则α的取值范围是________．
【解析】 因为cos
α≤0，sin
α＞0，所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上．
因为α的终边过点(3a－9，a＋2)，
所以所以－2＜a≤3.
【答案】 (－2,3]
二、解答题
9．判断下列各式的符号：
(1)sin
340°cos
265°；
(2)(θ为第二象限角).
【导学号：06460008】
【解】 (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，
∴sin
340°＜0，cos
265°＜0，
∴sin
340°cos
265°＞0.
(2)∵θ为第二象限角，
∴0＜sin
θ＜1＜，－＜－1＜cos
θ＜0，
∴sin(cos
θ)＜0，cos(sin
θ)＞0，
∴＜0.
10．已知＝－，且lg
cos
α有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin
α的值．
【解】 (1)由＝－可知sin
α＜0，
∴α是第三或第四象限角或终边在y轴的负半轴上的角．
由lg
cos
α有意义可知cos
α＞0，
∴α是第一或第四象限角或终边在x轴的正半轴上的角．
综上可知角α是第四象限的角．
(2)∵|OM|＝1，∴2＋m2＝1，
解得m＝±.
又α是第四象限角，故m＜0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知
sin
α＝＝＝＝－.
能力提升]
1．(2016·南京高一检测)若α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．(填序号)
①sin
；②cos
；③tan
；④cos
2α.
【解析】 由α为第四象限角，得2kπ＋＜α＜2kπ＋2π(k∈Z)，故kπ＋＜＜kπ＋π(k∈Z)．
当k＝2n(n∈Z)时，∈，
此时，是第二象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，∈，此时，是第四象限角．
故无论落在第二还是第四象限，tan
＜0恒成立．
又4kπ＋3π＜2α＜4kπ＋4π，(k∈Z)．
故cos
2α有可能为正也有可能为负．
【答案】 ③
2．若角α的终边与直线y＝3x重合，且sin
α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝，则m－n等于________．
【解析】 由题意得
∴∴m－n＝2.
【答案】 2
3．点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动π弧长到达点Q，则点Q的坐标为________．
【解析】 设Q(cos
α，sin
α)，由＝α·1可知α＝，
所以Q，即Q.
【答案】
4．已知：cos
α＜0，tan
α＜0.
(1)求角α的集合；
(2)试判断角是第几象限角；
(3)试判断sin
，cos
，tan
的符号．
【解】 (1)因为cos
α＜0，所以角α的终边位于第二或第三象限或x轴负半轴上．因为tan
α＜0，所以角α的终边位于第二或第四象限，所以角α的终边只能位于第二象限．故角α的集合为
.
(2)因为＋2kπ＜α＜π＋2kπ(k∈Z)，
所以＋kπ＜＜＋kπ(k∈Z)．
当k＝2n(n∈Z)时，
＋2nπ＜＜＋2nπ(n∈Z)．
所以是第一象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)，
＋2nπ＜＜＋2nπ(n∈Z)，
所以是第三象限角．
(3)当为第一象限角时，
sin
＞0，cos
＞0，tan
＞0.
当为第三象限角时，
sin
＜0，cos
＜0，tan
＞0.
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学业分层测评(十三) 三角函数的应用
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，则最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为________．
【解析】 最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为一个周期T＝
s＝
s.
【答案】
s
2．如图1 3 20所示，为一质点作简谐运动的图象，则下列判断错误的是________．
①该简谐运动的振动周期为0.7
s；
②该简谐运动的振幅为5
cm；
③该质点在0.1
s和0.5
s时振动速度最大；
④该质点在0.3
s和0.7
s时的加速度为零．
图1 3 20
【解析】 由图象知，振幅为5
cm，＝(0.7－0.3)s＝0.4
s，故T＝0.8
s，故①错误；该质点在0.1
s和0.5
s离开平衡位置最远，而不能说振动速度最大，故③错误；该质点在0.3
s和0.7
s时正好回到平衡位置，而不是加速度为零，故④错误．
【答案】 ①③④
3．如图1 3 21是一机械振动的传播图，图中甲、乙、丙、丁四点经半个周期后到最低点的是________．
图1 3 21
【解析】 半个周期后，丁由最高点到最低点．
【答案】 丁
4．已知某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50
m，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过t
min后，点P的高度h＝40·sin＋50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70
m以上的时间将持续________分钟.
【导学号：06460038】
【解析】 依题意，即40sin＋50≥70，
即cost≤－，从而在一个周期内持续的时间为≤t≤，4≤t≤8，即持续时间为4分钟．
【答案】 4
5．已知受噪声干扰的正弦波信号的相关信号图形如图1 3 22所示，此图可以视为y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，此函数解析式是________．
图1 3 22
【解析】 由已知，信号最大、最小时的波动幅度分别为3和－3.
∴A＝3.由图象知，
＝－＝，
∴T＝π，∴ω＝＝＝2，
∴y＝3sin(2x＋φ)．
由图象知，点是第三个关键点，
∴×2＋φ＝π，∴φ＝，
∴所求函数解析式为y＝3sin.
【答案】 y＝3sin
6．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是________．
【解析】 由题意可知，y＝sin(ωt＋φ)．
又t＝0时，A，
∴φ＝，
又由T＝12可知，ω＝＝，
∴y＝sin.
令2kπ－≤t＋≤2kπ＋，k∈Z,12k－5≤t≤12k＋1，k∈Z，∵0≤t≤12，∴令k＝0,1，得0≤t≤1或7≤t≤12，
故动点A的纵坐标y关于t的函数的单调递增区间为0,1]，7,12]．
【答案】 0,1]，7,12]
7．如图1 3 23所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24
h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________．
图1 3 23
【解析】 将其看成y＝Asin(ωx＋φ)的图象，由图象知：A＝6，T＝12，
∴ω＝＝，下面确定φ，将(6,0)看成函数第一特殊点，则×6＋φ＝0，∴φ＝－π.
∴函数关系式为：
y＝6sin＝－6sinx.
【答案】 y＝－6sinx
8．(2016·南京高一检测)为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图1 3 24所示的坐标系，设秒针针尖位置P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为________．
图1 3 24
①y＝sin；②y＝sin；
③y＝sin；④y＝sin.
【解析】 由题意可得，sin
φ＝，∴函数的初相是φ＝，排除④.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针方向旋转，即T＝＝60，ω＜0，所以|ω|＝，即ω＝－，故选③.
【答案】 ③
二、解答题
9．已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈4,16]．
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)假若有一种细菌在15
℃到25
℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
【解】 (1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，即最高温度为30
℃，当x＝6时函数取最小值，即最低温度为10
℃，所以，最大温差为30
℃－10
℃＝20
℃.
(2)令10sin＋20＝15，
可得sin＝－，而x∈4,16]，
所以x＝.
令10sin＋20＝25，
可得sin＝，
而x∈4,16]，所以x＝.
故该细菌的存活时间为：－＝小时．
能力提升]
1．一个大风车的半径为8
m,12分钟旋转一周，它的最低点离地面2
m(如图1 3 25所示)，则风车翼片的一个端点离地面的距离h(米)与时间t(分钟)之间(h(0)＝2)的函数关系式为________．
图1 3 25
【解析】 那么，风车上翼片端点所在位置P可由函数x(t)、y(t)来刻画，而且h(t)＝y(t)＋2.所以，只需要考虑y(t)的解析式．
又设P的初始位置在最低点即y(0)＝0.
在Rt△O1PQ中，cos
θ＝，y(t)＝－8cos
θ＋8.
而＝，
所以θ＝t，y(t)＝－8cos
t＋8，h(t)＝－8cos
t＋10.
【答案】 h(t)＝－8cos
t＋10
2．下表是某地某年月平均气温(单位：华氏).
月份
1
2
3
4
5
6
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
73.0
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
以月份为x轴，x＝月份－1，以平均气温为y轴．
(1)描出散点图；
(2)用正弦曲线去拟合这些数据；
(3)这个函数的周期是多少？
(4)估计这个正弦曲线的振幅A；
(5)下面四个函数模型中，最适合这些数据的是．
①＝cos；②＝cos；
③＝cos；④＝sin.
【解】 (1)(2)如图所示；
(3)1月份的气温最低，为21.4华氏，7月份气温最高，为73.0华氏，据图知，＝7－1＝6，∴T＝12.
(4)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，
∴A＝25.8.
(5)∵x＝月份－1，∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，代入①，得＝＞1≠cos
，∴①错误；代入②，得＝＜0≠cos
，∴②错误；同理④错误，③正确．
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学业分层测评(十) 正切函数的图象与性质
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．下列正确命题的序号为________．
①y＝tan
x为增函数；
②y＝tan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为；
③在x∈－π，π]上y＝tan
x是奇函数；
④在上y＝tan
x的最大值是1，最小值为－1.
【解析】 函数y＝tan
x在定义域内不具有单调性，故①错误；函数y＝tan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为，故②错误；当x＝－，时，y＝tan
x无意义，故③错误；由正切函数的图象可知④正确．
【答案】 ④
2．比较大小：tan
________tan
.
【解析】 tan
＝tan＝tan
.
∵y＝tan
x在上是增函数且0＜＜＜，
∴tan
＜tan
，即tan
＜tan
.
【答案】 ＜
3．函数f(x)＝的定义域为________．
【解析】 函数有意义，则
∴x≠且x≠＋，∴x≠，k∈Z.
【答案】
4．函数y＝6tan的对称中心为________．
【解析】 y＝6tan
＝－6tan，
由6x－＝，k∈Z得x＝＋，k∈Z，
故对称中心为，k∈Z.
【答案】 (k∈Z)
5．函数y＝的值域为________．
【解析】 ∵－≤x≤且x≠0，
∴－1≤tan
x≤1且tan
x≠0，
∴≥1或≤－1，
故所求函数的值域为(－∞，－1]∪1，＋∞)．
【答案】 (－∞，－1]∪1，＋∞)
6．函数y＝3tan的最小正周期是，则ω＝________.
【解析】 由＝，可知ω＝±2.
【答案】 ±2
7．已知函数y＝tan
ωx在内是减函数，则ω的取值范围是________．
【解析】 ∵y＝tan
ωx在内是减函数，
∴T＝≥π，
∴|ω|≤1.
∵y＝tan
x在内为增函数，
∴ω<0，∴－1≤ω<0.
【答案】 －1≤ω<0
8．若f(x)＝tan，试比较f(－1)，f(0)，f(1)，并按从小到大的顺序排列：________.
【解析】 ∵f(x)＝tan在上单调递增，
且T＝π，∴f(1)＝f(1－π)，
又－＜1－π＜－1＜0＜，
∴f(1－π)＜f(－1)＜f(0)，即f(1)＜f(－1)＜f(0)．
【答案】 f(1)＜f(－1)＜f(0)
二、解答题
9．设函数f(x)＝tan.
(1)求函数f(x)的定义域、周期和单调区间；
(2)求不等式－1≤f(x)≤的解集．
【导学号：06460029】
【解】 (1)由－≠＋kπ，k∈Z得x≠＋2kπ，
∴f(x)的定义域是.
∵ω＝，∴周期T＝＝2π.
由－＋kπ<－<＋kπ，k∈Z得
－＋2kπ∴函数f(x)的单调递增区间是－＋2kπ，＋2kπ(k∈Z)．
(2)由－1≤tan≤，得－＋kπ≤－≤＋kπ，k∈Z，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴不等式－1≤f(x)≤的解集是
.
10．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两交点的距离为，且图象关于点M对称，求f(x)的解析式．
【解】 由题意可知，函数f(x)的最小正周期T＝，即＝，∴ω＝2，
从而f(x)＝tan(2x＋φ)．
∵函数y＝f(x)的图象关于点M对称，
∴2×＋φ＝π，k∈Z，
即φ＝＋(k∈Z)．
∵0＜φ＜，∴φ只能取.
故f(x)＝tan.
能力提升]
1．已知函数y＝，则下列说法中：①周期是π且有一条对称轴x＝0；②周期是2π且有一条对称轴x＝0；③周期是2π且有一条对称轴x＝π；④非周期函数但有无数条对称轴．
上述结论正确的有________(填以上所有正确的结论的序号)．
【解析】 如图是函数的图象，由图象可知函数周期为2π，对称轴为x＝kπ(k∈Z)．
【答案】 ②③
2．函数f(x)＝tan
ωx(ω＞0)的图象相邻的两支截直线y＝所得线段长为，则f的值是________．
【解析】 T＝，∴＝，∴ω＝4，∴f(x)＝tan
4x，∴f＝0.
【答案】 0
3．函数y＝tan
x＋sin
x－|tan
x－sin
x|在区间内的图象是________．(只填相应序号)
图1 3 6
【解析】 当＜x＜π时，tan
x＜sin
x，y＝2tan
x＜0；
当x＝π时，y＝0；当π＜x＜π时，
tan
x＞sin
x，y＝2sin
x.
故填④.
【答案】 ④
4．已知f(x)＝x2＋2x·tan
θ－1，x∈－1，]，其中θ∈.求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间－1，]上是单调函数．
【解】 函数f(x)＝(x＋tan
θ)2－1－tan2θ的图象的对称轴为直线x＝－tan
θ.
∵y＝f(x)在－1，]上是单调函数，
∴－tan
θ≤－1或－tan
θ≥，即tan
θ≥1或tan
θ≤－.
因此，θ角的取值范围是∪1.3.3 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
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学业分层测评(十一)
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．函数y＝cos
x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos
ωx，则ω的值为________．
【解析】 y＝cos
xy＝cos
x.
【答案】
2．将y＝cos
2x的图象向右平移个单位，得到的图象对应的解析式为________．
【解析】 y＝cos
2x→y＝cos
2＝cos.
【答案】 y＝cos
3．将函数y＝cos向右平移________个单位长度得到y＝sin
x的图象．
【解析】 y＝sin
x＝cos＝cos，
y＝cos的图象变换为y＝cos的图象应向右平移个单位．
【答案】
4．将函数y＝sin
2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是________．
【解析】 y＝sin
2xy＝sin
2
＝sin＝cos
2xy＝cos
2x＋1.
【答案】 y＝cos
2x＋1
5．某同学给出了以下论断：
①将y＝cos
x的图象向右平移个单位，得到y＝sin
x的图象；
②将y＝sin
x的图象向右平移2个单位，可得到y＝sin(x＋2)的图象；
③将y＝sin(－x)的图象向左平移2个单位，得到y＝sin(－x－2)的图象；
④函数y＝sin的图象是由y＝sin
2x的图象向左平移个单位而得到的．
其中正确的结论是________(将所有正确结论的序号都填上)．
【解析】 由图象平移变换可知①③正确．
【答案】 ①③
6．用“五点法”画函数y＝2sin(ω＞0)在一个周期内的简图时，五个关键点是，，，，，则ω＝________.
【解析】 周期T＝－＝π，∴＝π，ω＝2.
【答案】 2
7．函数y＝3sin的相位和初相分别是________．
【解析】 y＝3sin化为y＝3sin，相位x＋，初相.
【答案】 x＋，
8．(2016·南京高一检测)设ω>0，函数y＝sinωx＋＋2的图象向右平移π个单位后与原图象重合，则ω的最小值为________．
【解析】 由题意知是函数周期的整数倍，又ω>0，
∴·k＝π，∴ω＝k(k∈Z)，
∴ω的最小值为.
【答案】
二、解答题
9．用“五点法”画函数y＝3sin，x∈的图象.
【导学号：06460032】
【解】 ①列表：
2x＋
0
π
2π
x
－
3sin
0
3
0
－3
0
②描点：在坐标系中描出下列各点：
，，，，.
③连线：用光滑曲线将所描五个点顺次连接起来，得函数y＝3sin，x∈的简图，如图所示．
10．已知函数f(x)＝sin(x∈R)．
(1)求f(x)的单调减区间．
(2)经过怎样的图象变换使f(x)的图象关于y轴对称？(仅叙述一种方案即可)
【解】 (1)由已知函数化为y＝－sin.
欲求函数的单调递减区间，只需求y＝sin2x－的单调递增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋π(k∈Z)，
∴原函数的单调减区间为(k∈Z)．
(2)f(x)＝sin＝cos
＝cos＝cos
2.
∵y＝cos
2x是偶函数，图象关于y轴对称，
∴只需把y＝f(x)的图象向右平移个单位长度即可．
[能力提升]
1．将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y＝2sin的图象，则f(x)＝________.
【解析】 将y＝2sin的图象向左平移个单位长度，得函数y＝2sin＝2sin4x＋的图象，再向下平移一个单位长度，得函数y＝2sin－1的图象，即f(x)＝2sin4x＋－1.
【答案】 2sin－1
2．某同学用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在一个周期内简图时，列表如下：
ωx＋φ
0
π
2π
x
y
0
2
0
－2
0
则A＝________，ω＝________，φ＝________.
【解析】 由表格得A＝2，π－＝，
∴ω＝3，∴ωx＋φ＝3x＋φ.
当x＝时，3x＋φ＝＋φ＝0，∴φ＝－.
【答案】 2 3 －
3．要得到函数y＝cos
x的图象，只需将函数y＝sin图象上的所有点的________．
①横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度；
②横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度；
③横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度；
④横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度．
【解析】 y＝cos
x＝sin.
法一：y＝sin＝sin
2(x＋)y＝sin
2y＝sin.
法二：y＝siny＝siny＝sin.
【答案】 ②
4．已知f(x)＝2sin
2x，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a＜b)满足：y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b－a的最小值．
【解】 f(x)＝2sin
2x，
g(x)＝2sin＋1＝2sin＋1.
g(x)＝0 sin＝－
x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z，
即g(x)的零点相离间隔依次为和，
故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，则b－a的最小值为14×＋15×＝.
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www.学业分层测评(二) 弧度制
(建议用时：45分钟)
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一、填空题
1．下列命题中，是假命题的序号为________．
①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；
②1°的角是周角的，1
rad的角是周角的；
③1
rad的角比1°的角要大；
④用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．
【解析】 ①②③正确，④错误，角的大小与圆的半径无关．
【答案】 ④
2．下列各式正确的是________．
①－270°＝－；②405°＝；
③335°＝；④705°＝.
【解析】 －270°＝－270×＝－；
405°＝405×＝；
335°＝335×＝；
705°＝705×＝.故①②④正确．
【答案】 ①②④
3．下列表示中不正确的是________．
①终边在x轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}；
②终边在y轴上的角的集合是；
③终边在坐标轴上的角的集合是；
④终边在直线y＝x上的角的集合是α＋2kπ，k∈Z.
【解析】 ④错误，终边在直线y＝x上的角的集合是.
【答案】 ④
4．(2016·南通高一检测)如图1 1 10所示，图中公路弯道处的弧长l＝________(精确到1
m)．
图1 1 10
【解析】 根据弧长公式，l＝αr＝×45≈47(m)．
【答案】 47
m
5．(2016·泰州高一检测)已知扇形的周长是6
cm，面积为2
cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．
【解析】 设圆心角为α，半径为r，弧长为l，
则解得r＝1，l＝4或r＝2，l＝2，
∴α＝＝1或4.
【答案】 1或4
6．已知角α的终边与的终边相同，在0,2π)内终边与角的终边相同的角为________.
【导学号：06460005】
【解析】 由题意得α＝2kπ＋(k∈Z)，
故＝＋(k∈Z)，
又∵0≤<2π，所以当k＝0,1,2时，
有＝，π，π满足题意．
【答案】 ，π，π
7．(2016·扬州高一检测)如图1 1 11，已知圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是________．
图1 1 11
【解析】 ∵40°＝40×＝，30°＝30×＝，
∴S＝r2·＋r2·＝.
【答案】
8．(2016·镇江高一检测)圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对圆心角的弧度数为________．
【解析】 设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，弧长等于R的圆心角的弧度数为α＝＝.
【答案】
二、解答题
9．已知α＝2
000°.
(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈0,2π))的形式．
(2)θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．求θ.
【解】 (1)α＝2
000°＝5×360°＋200°＝10π＋π.
(2)θ与α的终边相同，故θ＝2kπ＋π，k∈Z，
又θ∈(4π，6π)，
所以k＝2时，θ＝4π＋π＝π.
10．如图1 1 12所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．
图1 1 12
【解】 (1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成．故满足条件的角的集合为
.
(2)若将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为α＋2kπ，k∈Z.
(3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转π
rad而得到，所以满足条件的角的集合为.
(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π
rad后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为.
能力提升]
1．(2016·泰州高一检测)已知某上
( http: / / www.21cnjy.com )午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课铃声响起时，时钟的时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是________．
【解析】 8点时，时钟的时针正
( http: / / www.21cnjy.com )好指向8，分针正好指向12，由于时钟的每两个数字之间的圆心角是30°，即，故此时时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是×4＝.
【答案】
2．若角α的终边与的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.
【解析】 与α终边相同的角的集合为α.∵α∈(－4π，4π)，∴－4π＜2kπ＋＜4π，
化简得：－＜k＜，∵k∈Z，∴k＝－2，－1,0,1，
∴α＝－π，－π，，π.
【答案】 －π，－π，，π
3．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________.
【解析】 如图所示，
∴A∩B＝－4，－π]∪0，π]．
【答案】 －4，－π]∪0，π]
4．用30
cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
【解】 设扇形的圆心角为α，半径为r，面积为S，弧长为l，则有l＋2r＝30，∴l＝30－2r，
从而S＝·l·r＝(30－2r)·r
＝－r2＋15r＝－2＋.
又∵r＞0，且l＝30－2r＞0，∴0＜r＜15，
∴当半径r＝
cm时，l＝30－2×＝15(cm)，扇形面积的最大值是
cm2，这时α＝＝2
rad，
∴当扇形的圆心角为2
rad，半径为
cm时，面积最大，最大面积为
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章末综合测评(三) 三角恒等变换
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)
1．若sin＝，则cos
2α＝________.
【解析】 由sin＝，得cos
α＝，所以cos
2α＝2cos2
α－1＝－.
【答案】 －
2．若sin
αsin
β＝1，则cos(α－β)＝________.
【解析】 ∵sin
αsin
β＝1，∴sin
α＝－1，sin
β＝－1或sin
α＝1，sin
β＝1.由sin2α＋cos2α＝1得cos
α＝0.
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝0＋1＝1.
【答案】 1
3．sin
163°sin
223°＋sin
253°sin
313°＝________.
【解析】 原式＝－sin
17°cos
47°＋cos
17°sin
47°
＝sin(47°－17°)
＝sin
30°
＝
【答案】
4．化简：·＝________.
【解析】 原式＝·＝tan
2α.
【答案】 tan
2α
5．若α∈，sin
α＝，则tan
2α＝________.
【解析】 ∵α∈，sin
α＝，
∴cos
α＝－，∴tan
α＝－，
∴tan
2α＝＝－.
【答案】 －
6．(2016·南通高一检测)化简：
cos2－sin2＝________.
【解析】 原式＝－
＝
＝
＝
＝cos
x.
【答案】 cos
x
7．已知sin－cos
＝－，450°＜α＜540°，则tan＝________.
【解析】 已知等式两边平方得sin
α＝，450°＜α＜540°，
∴cos
α＝－，∴tan＝＝2.
【答案】 2
8．tan
19°＋tan
41°＋tan
19°tan
41°的值为________．
【解析】 tan
19°＋tan
41°＝tan
60°(1－tan
19°tan
41°)
＝－tan
19°tan
41°
∴原式＝－tan
19°tan
41°＋tan
19°tan
41°＝.
【答案】
9．设a＝sin
14°＋cos
14°，b＝sin
16°＋cos
16°，c＝，则a，b，c的大小关系是________．
【解析】 a＝sin
59°，b＝sin
61°，c＝sin
60°，
所以a＜c＜b.
【答案】 a＜c＜b
10．为了得到函数y＝sin
3x＋cos
3x的图象，可以将函数y＝cos
3x的图象向________平移________个单位．
【解析】 y＝sin
3x＋cos
3x＝cos
＝cos
3
故将y＝cos
3x的图象向右平移个单位得到y＝sin
3x＋cos
3x的图象．
【答案】 右
11．函数y＝sin
xcos
x＋cos2x－图象的对称轴方程为________．
【解析】 ∵y＝sin
2x＋cos
2x＝sin
∴由2x＋＝kπ＋得x＝＋(k∈Z)．
【答案】 x＝＋，k∈Z
12．(2016·苏州高一检测)已知点Psin
π，cos
π落在角θ的终边上，且θ∈0,2π)，则tan的值为________．
【解析】 由题意知，点P在第四象限，且落在角θ的终边上，所以tan
θ＝－1，所以tan＝＝＝2－.
【答案】 2－
13．设α，β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝，tan
＝，则cos
β的值为________．
【解析】 由tan
＝，得sin
α＝＝＝，∵α∈(0，π)，∴cos
α＝，
由sin(α＋β)＝α，α，β∈(0，π)，α＋β∈，∴cos(α＋β)＝－.
cos
β＝cos(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α＝－.
【答案】 －
14．已知函数f(x)＝sin＋sin＋cos
x＋a在区间上的最大值为2，则常数a的值为________．
【解析】 f(x)＝2sin
xcos
＋cos
x＋a＝sin
x＋cos
x＋a＝2sin＋a，又－≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，∴a＋2＝2，则a＝0.
【答案】 0
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)已知sin
α＝cos
2α，α∈，求sin
2α.
【解】 ∵sin
α＝1－2sin2α，即2sin2α＋sin
α－1＝0，
∴sin
α＝－1或sin
α＝.
又∵α∈，∴sin
α＝，α＝.
∴cos
α＝.∴sin
2α＝2××＝.
16．(本小题满分14分)求－sin
10°－tan
5°的值．
【解】 原式＝－2sin
10°·
＝－2sin
10°·
＝－2cos
10°＝
＝＝.
17．(本小题满分14分)已知向量a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，|a－b|＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若0＜α＜，－＜β＜0，且sin
β＝－，求sin
α的值．
【解】 (1)a－b＝(cos
α－cos
β，sin
α－sin
β)，
|a－b|2＝(cos
α－cos
β)2＋(sin
α－sin
β)2＝2－2cos(α－β)，∴＝2－2cos(α－β)，
∴cos(α－β)＝.
(2)由0＜α＜，－＜β＜0且sin
β＝－，
可知cos
β＝，且0＜α－β＜π，
∵cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝.
∴sin
α＝sin(α－β＋β)
＝sin(α－β)cos
β＋cos(α－β)sin
β
＝×＋×
＝.
18．(本小题满分16分)已知cos＝－，sin＝且α∈，β∈.
求：(1)cos
；(2)tan(α＋β)．
【解】 (1)∵＜α＜π，0＜β＜，
∴＜α－＜π，－＜－β＜，
∴sin＝＝，
cos＝＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin2
＝×＋×
＝.
(2)又α＋β∈，∴∈，且cos＜0，故tan＜0，∴tan＝－.
∴tan(α＋β)＝＝.
19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝cos
x(sin
x＋cos
x)－.
(1)若0＜α＜，且sin
α＝，求f(α)的值．
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
【解】 f(x)＝sin
xcos
x＋cos2x－
＝sin
2x＋－
＝sin
2x＋cos
2x＝sin.
(1)∵0＜α＜，sin
α＝，∴α＝.
从而f(α)＝sin＝sin＝.
(2)T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得
kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
20．(本小题满分16分)如图1，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y＞x＞0.
图1
(1)将十字形的面积表示成θ的函数；
(2)求十字形的最大面积．
【解】 (1)设S为十字形面积，
则S＝2xy－x2＝2sin
θcos
θ－cos2θ.
(2)S＝2sin
θcos
θ－cos2θ＝sin
2θ－cos
2θ－
＝×－
＝sin(2θ－φ)－(设φ为锐角且tan
φ＝)
当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝时，S最大．
即当θ＝＋时，十字形取得最大面积－.
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(建议用时：45分钟)
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一、填空题
1．与405°终边相同的角的集合为________．
【解析】 与405°角终边相同的角，可表示为k·360°＋45°，k∈Z.
【答案】 {α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}
2．(2016·如东高一检测)下面各组角中，终边相同的有________．(填序号)
①390°，690°；②－330°，750°；③480°，－420°；
④3
000°，－840°.
【解析】 －330°＝－360°＋30°，750°＝2×360°＋30°，均与30°角终边相同．
【答案】 ②
3．在－390°，－885°，1
351°，2
016°这四个角中，其中第四象限内的角有________.
【导学号：06460002】
【解析】 －390°＝－360°－30°，显然终边落在第四象限；
－885°＝－720°－165°，其角的终边落在第三象限；
1
351°＝1
080°＋271°，其角的终边落在第四象限；
2
016°＝2
160°－144°，其角的终边落在第三象限，
故满足题意的角有－390°，1
351°.
【答案】 －390°，1
351°
4．(2016·泰州高一检测)下列命题正确的是________(填序号)．
①三角形的内角必是第一、二象限角；
②始边相同而终边不同的角一定不相等；
③第四象限角一定是负角；
④钝角比第三象限角小．
【解析】 只有②正确．对于①，如A＝90°不在任何象限；对于③，如330°在第四象限但不是负角；对于④，钝角不一定比第三象限角小．
【答案】 ②
5．(2016·南京高一检测)已知角α＝－3
000°，则与α终边相同的最小正角是________．
【解析】 与α终边相同的角的集合为{θ|
( http: / / www.21cnjy.com )θ＝k·360°－3
000°，k∈Z}，与θ终边相同的最小正角是当k＝9时，θ＝9×360°－3
000°＝240°，所以与α终边相同的最小正角为240°.
【答案】 240°
6．(2016·宿迁高一检测)若角α的终边与240°角的终边相同，则的终边在第________象限．
【解析】 角α满足的集合为{α|α＝k·360°＋240°，k∈Z}，故有，
∴终边落在第二象限或第四象限．
【答案】 二或四
7．若α是第四象限角，则180°－α是第________象限角．
【解析】 如图所示，α是第四象限角，则－α是第一象限角，∴180°－α是第三象限角．
【答案】 三
8．已知α是第二象限角，且7α与2α的终边相同，则α＝________.
【解析】 7α＝k·360°＋2α(k∈Z
( http: / / www.21cnjy.com ))，∴α＝k·72°，又α为第二象限角，∴在0°～360°内符合条件的角为144°，故α＝k·360°＋144°(k∈Z)．
【答案】 α＝k·360°＋144°(k∈Z)
二、解答题
9．(2016·无锡高一检测)将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α＜360°)的形式，并指出是第几象限角．
(1)420°；(2)－510°；(3)1
020°.
【解】 (1)420°＝360°＋60°，
而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角．
(2)－510°＝－2×360°＋210°，
而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角．
(3)1
020°＝2×360°＋300°，
而300°是第四象限角，故1
020°是第四象限角．
10．写出终边在如图1 1 5所示阴影部分(包括边界)的角的集合．
图1 1 5
【解】 先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则
(1){α|k·360°＋30°≤α≤k·360°＋150°，k∈Z}．
(2){α|k·360°－210°≤α≤k·360°＋30°，k∈Z}．
能力提升]
1．下列说法中正确的是________．(填序号)
①120°角与420°角的终边相同；
②若α是锐角，则2α是第二象限的角；
③－240°角与480°角都是第三象限的角；
④60°角与－420°角的终边关于x轴对称．
【解析】 对于①，420°＝360°＋60
( http: / / www.21cnjy.com )°，所以60°角与420°角终边相同，所以①不正确；对于②，α＝30°角是锐角，而2α＝60°角也是锐角，所以②不正确；对于③，480°＝360°＋120°，所以480°角是第二象限角，所以③不正确；对于④，－420°＝－360°－60°，又60°角与－60°角终边关于x轴对称，故④正确．
【答案】 ④
2．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角所表示的范围(阴影部分)正确的是________．
图1 1 6
【解析】 令k＝0得，45°≤α≤90°，排除②④，
令k＝－1得，－135°≤α≤－90°，排除①.
故填③.
【答案】 ③
3．已知集合M＝{第一象限角}，N＝{锐角}，P＝{小于90°的角}，则以下关系式你认为正确的是________(填序号)．
①M?P；②M∩P＝N；③N∪P P.
【解析】 对于①：390°是第一象限角，但390°>90°.
对于②：－330°是第一象限角且－330°<90°，但－330°不是锐角．
对于③：锐角一定小于90°，所以N?P，
故N∪P P.
【答案】 ③
4．若α是第一象限角，问－α，2α，是第几象限角？
【解】 ∵α是第一象限角，∴k·360°＜α＜k·360°＋90°(k∈Z)．
(1)－k·360°－90°＜－α＜－k·360°(k∈Z)，
∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角．
(2)2k·360°＜2α＜2k·360°＋180°(k∈Z)，
∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二
象限角或终边在y轴的非负半轴上．
(3)k·120°＜＜k·120°＋30°(k∈Z)．
法一：(分类讨论)当k＝3n(n∈Z)时，
n·360°＜＜n·360°＋30°(n∈Z)，
∴是第一象限角；
当k＝3n＋1(n∈Z)时，n·360°＋120°＜＜n·360°＋150°(n∈Z)，∴是第二象限角；
当k＝3n＋2(n∈Z)时，n·360°＋240°＜＜n·360°＋270°(n∈Z)，∴是第三象限角．
综上可知：是第一、二或第三象限角．
法二：(几何法)如图，先将
( http: / / www.21cnjy.com )各象限分成3等份，再从x轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为终边所落在的区域，故为第一、二或第三象限角.高考资源网（
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学业分层测评(二十) 向量平行的坐标表示
(建议用时：45分钟)
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一、填空题
1．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝________.
【解析】 ∵a∥b，∴m＋4＝0，
∴m＝－4，
∴b＝(－2，－4)，
∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)，
＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．
【答案】 (－4，－8)
2．已知a＝(－1，x)与b＝(－x,2)共线，且方向相同，则实数x＝________.
【解析】 设a＝λb，则(－1，x)＝(－λx,2λ)，所以有解得或
又a与b方向相同，则λ＞0，所以λ＝，x＝.
【答案】
3．若A(－1,2)，B(3,1)，C(－2，m)，三点共线，则m＝________.
【解析】 ∵A，B，C三点共线，
＝(4，－1)，＝(－5，m－1)，
∴4(m－1)＝－5×(－1)，
∴m＝.
【答案】
4．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k＝________.
【解析】 a－c＝(3－k，－6)，b＝(1,3)，
∵(a－c)∥b，∴＝，∴k＝5.
【答案】 5
5．(2016·南通高一检测)若a＝(2cos
α，1)，b＝(sin
α，1)，且a∥b，则tan
α＝________.
【解析】 ∵a∥b，∴2cos
α＝sin
α，
∴tan
α＝2.
【答案】 2
6．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)，且与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________.
【解析】 设B(x，y)，则由题意可知
∴
∴＝(4,6)．
又∥a，∴4λ＝6，
∴λ＝.
【答案】
7．已知向量m＝(2,3)，n＝(－1,2)，若am＋bn与m－2n共线，则等于________.
【导学号：06460059】
【解析】 am＋bn＝(2a,3a)＋(－b,2b)＝(2a－b,3a＋2b)，m－2n＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)，
∵am＋bn与m－2n共线，
∴b－2a－12a－8b＝0，∴＝－.
【答案】 －
8．已知两点M(7,8)，N(1，－6)，P点是线段MN的靠近点M的三等分点，则P点的坐标为________．
【解析】 设P(x，y)，如图：
∴＝3，
∴(－6，－14)＝3(x－7，y－8)，
∴解得
【答案】
二、解答题
9．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
【解】 (1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)∵A，B，C三点共线，
∴＝λ，λ∈R，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴
解得m＝.
10．如图2 3 19所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，求直线AC与BD交点P的坐标．
图2 3 19
【解】 设P(x，y)，则＝(x－1，y)，＝(5,4)，＝(－3,6)，＝(4,0)．
由B，P，D三点共线可得＝λ＝(5λ，4λ)．
又∵＝－＝(5λ－4,4λ)，
由于与共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0，
解之得λ＝，∴＝＝，
∴P的坐标为.
能力提升]
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，且(a＋λb)∥c，则λ等于________．
【解析】 a＋λb＝(1,2)＋(λ，0)＝(1＋λ，2)，
因为(a＋λb)∥c，所以4(1＋λ)－6＝0，故λ＝.
【答案】
2．设a＝(6,3a)，b＝(2，x2－2x)，且满足a∥b的实数x存在，则实数a的取值范围是________．
【解析】 a∥b，∴6(x2－2x)－2×3a＝0，即a＝x2－2x，
∴a＝(x－1)2－1≥－1.
【答案】 －1，＋∞)
3．已知向量＝(1,3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．
【解析】 由A，B，C能构成三角形知，A，B，C三点不共线，
∴与不共线，
∴≠λ(λ为实数)．
∵＝－＝(1，－4)，＝－＝(m，m－5)，
∴(1，－4)≠λ(m，m－5)，
即≠，∴m≠1.
【答案】 m≠1
4．如图2 3 20，在 OABP中，过点P的直线与线段OA，OB分别相交于点M，N，若＝x，＝y(0＜x＜1)．
图2 3 20
(1)求y＝f(x)的解析式；
(2)令F(x)＝＋x，判断F(x)的单调性，并给出你的证明．
【解】 (1)＝＝－，则＝－＝x－y，
＝－＝(－)－x
＝－(1＋x)＋.
又∥，有x－y(1＋x)＝0，
即y＝f(x)＝(0＜x＜1)．
(2)F(x)在(0,1)上单调递减，证明如下：
设0＜x1＜x2＜1，则
F(x1)＝＋x1＝＋x1＋1，F(x2)＝＋x2＋1，
∴F(x2)－F(x1)＝－＋(x2－x1)＝＋x2－x1
＝.
又0＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，x1x2－1＜0，
∴F(x2)－F(x1)＜0，即F(x2)＜F(x1)，
∴F(x)在(0,1)上为减函数.
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学业分层测评(二十七) 二倍角的三角函数
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．cos275°＋cos215°＋cos
75°cos
15°的值等于________．
【解析】 ∵75°＋15°＝90°，∴cos
75°＝sin
15°，
∴原式＝sin215°＋cos215°＋sin
15°cos
15°
＝1＋sin
30°
＝1＋×
＝
【答案】
2．若cos
xcos
y＋sin
xsin
y＝，则cos(2x－2y)＝________.
【解析】 cos
xcos
y＋sin
xsin
y＝cos(x－y)＝，
∴cos(2x－2y)＝2cos2(x－y)－1＝2×－1＝－.
【答案】 －
3．已知sin
2α＝，α∈，则cos
α－sin
α＝________.
【解析】 ∵<α<，∴cos
α－sin
α<0，
cos
α－sin
α＝－＝－
＝－＝－.
【答案】 －
4．(2016·南京高一检测)若tan
θ＋＝4，则sin
2θ＝________.
【解析】 由tan
θ＋＝＋＝＝4，得sin
θcos
θ＝，则sin
2θ＝2sin
θcos
θ＝2×＝.
【答案】
5．若α∈，且sin2α＋cos
2α＝，则tan
α的值等于________．
【解析】 ∵sin2α＋cos
2α＝，∴sin2α＋cos2α－sin2α＝，
∴cos2α＝.
又α∈，
∴cos
α＝，sin
α＝.
∴tan
α＝.
【答案】
6．已知tan＝，tan＝－，则tan(α＋β)＝________.
【导学号：06460080】
【解析】 ∵tan＝tan
＝
＝＝，
∴tan(α＋β)＝＝＝.
【答案】
7．(2016·苏州高一检测)已知cos＝，则sin
2x＝________.
【解析】 ∵sin
2x＝cos＝2cos2－1
∴sin
2x＝2×－1＝－.
【答案】 －
8．若f(x)＝2tan
x－，则f＝________.
【解析】 f(x)＝2tan
x－＝2＋2
＝2＝＝＝.
∴f＝＝8.
【答案】 8
二、解答题
9．若<α<2π，化简：.
【解】 ∵<α<2π，∴<<π.
∴原式＝＝
＝＝＝＝－cos
.
10．已知cos
x＝－，x∈(－π，0)．
(1)求sin
2x的值；
(2)求tan的值．
【解】 (1)∵cos
x＝－，x∈(－π，0)，
∴sin
x＝－.
∴sin
2x＝2sin
xcos
x＝.
(2)由(1)得tan
x＝
∴tan
2x＝＝.
∴tan＝
＝
＝－7.
能力提升]
1．(2016·扬州高一检测)函数y＝cos
2x＋2sin
x的最大值为________．
【解析】 y＝cos
2x＋2sin
x＝－2sin2x＋2sin
x＋1，
设t＝sin
x(－1≤t≤1)，则原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－22＋，
∴当t＝时，函数取得最大值.
【答案】
2．(2016·无锡高一检测)若sin＝，则cos＝________.
【解析】 ∵＋＝，
∴sin＝cos＝
∴cos＝2cos2－1
＝2×－1
＝－.
【答案】 －
3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos
2θ＝________.
【解析】 由三角函数的定义可知tan
θ＝2，∴cos
2θ＝cos2θ－sin2θ
＝＝＝＝－.
【答案】 －
4．在平面直角坐标系xOy中，点P在角α的终边上，点Q(sin2θ，－1)在角β的终边上，且·＝－.
(1)求cos
2θ的值；
(2)求sin(α＋β)的值．
【解】 (1)因为·＝－，
所以sin2θ－cos2θ＝－，
即(1－cos2θ)－cos2θ＝－，
所以cos2θ＝，
所以cos
2θ＝2cos2θ－1＝.
(2)因为cos2θ＝，所以sin2θ＝，
所以点P，点Q，
又点P在角α的终边上，
所以sin
α＝，cos
α＝.
同理sin
β＝－，cos
β＝，
所以sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β
＝×＋×
＝－.
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学业分层测评(十八) 平面向量基本定理
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD的交点，有下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是________．
【解析】 如图所示，与为不共线向量，可以作为基底.与为不共线向量，可以作为基底.与，与均为共线向量，不能作为基底．
【答案】 ①③
2．已知向量a和b不共线，实线x，y满足向量等式(2x－y)a＋4b＝5a＋(x－2y)b，则x＋y的值等于________．
【解析】 由平面向量基本定理得解得∴x＋y＝1.
【答案】 1
3．(2016·苏州高一检测)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________.
【解析】 ∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
又∵＝＋λ，∴λ＝.
【答案】
4．若e1，e2是表示平面所有向量的一组基底，且a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则k的值为________．
【解析】 易知a∥b，故设3e1－4e2＝λ(6e1＋ke2)，
∴∴k＝－8.
【答案】 －8
5．如图2 3 7所示，平面内的两条直线OP1和OP2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若＝a＋b，且点P落在第Ⅰ部分，则a________0，b________0.(填“＞”或“＜”)
图2 3 7
【解析】 由向量的分解可知，a＜0，b＞0.
【答案】 ＜ ＞
6．设e1，e2是不共线向量，e1＋2e2与me1＋ne2共线，则＝________.
【解析】 由e1＋2e2＝λ(me1＋ne2)，得mλ＝1且nλ＝2，
∴＝2.
【答案】 2
7．(2016·南京高一检测)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
【导学号：06460053】
【解析】 设＝b，＝a，则＝b－a，
＝b－a，＝b－a，代入＝λ＋μ，
得b－a＝b－a，
即解得λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.
【答案】
8．如图2 3 8，在△ABC中，＝a，＝b，＝c，三边BC，CA，AB的中点依次为D，E，F，则＋＋＝________.
图2 3 8
【解析】 原式＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝0.
【答案】 0
二、解答题
9．如图2 3 9，在 ABCD中，＝a，＝b，E，F分别是AB，BC的中点，G点使＝，试以a，b为基底表示向量与.
图2 3 9
【解】 ＝＋＝＋
＝＋＝a＋b.
＝＋＋
＝－＋＋
＝－a＋b＋a＝－a＋b.
10．设e1，e2为两个不共线的向量，a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，试用b，c为基底表示向量a.
【解】 设a＝λ1b＋λ2c，λ1，λ2∈R，则
－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，
即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2，
∴∴∴a＝－b＋c.
能力提升]
1．如图2 3 10，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝________.
图2 3 10
【解析】 ∵＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝b＋a.
【答案】 b＋a
2.如图2 3 11，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
图2 3 11
【解析】 设＝λ，
＝－＝m＋－＝m－，
λ＝λ(－)＝λ＝λ－，
∴∴m＝λ＝.
【答案】
3．点M是△ABC所在平面内的一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为________．
【解析】 如图，分别在，上取点E，F，
使＝，＝，
在上取点G，使＝，
则EG∥AC，FG∥AE，
∴＝＋＝，
∴M与G重合，∴＝＝.
【答案】
4．如图2 3 12，△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点，若＝x，＝y，试问：＋是否为定值？
图2 3 12
【解】 设＝a，＝b，
则＝xa，＝yb，
＝＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－xa＝a＋b，
＝－＝yb－xa＝－xa＋yb.
∵与共线，∴存在实数λ，使＝λ，
∴a＋b＝λ(－xa＋yb)＝－λxa＋λyb.
∵a与b不共线，
∴
消去λ，得＋＝4，∴＋为定值.
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学业分层测评(四) 同角三角函数关系
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．(2016·南通高一检测)若sin
θ＝－，tan
θ＜0，则cos
θ＝________.
【解析】 ∵sin
θ＝－＜0，tan
θ＜0，∴θ为第四象限角，∴cos
θ＝
＝.
【答案】
2．化简：(1＋tan2α)·cos2α＝________.
【解析】 原式＝·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.
【答案】 1
3．已知sin
α＝，则sin4α－cos4α＝________.
【解析】 ∵sin
α＝，
∴sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)(sin2α＋cos2α)
＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1
＝2×2－1
＝－.
【答案】 －
4．已知α是第二象限角，tan
α＝－，则cos
α＝________.
【导学号：06460011】
【解析】 ∵tan
α＝＝－，∴cos
α＝－2sin
α.
又sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1，
又α为第二象限角，∴cos
α＜0，
∴cos
α＝－.
【答案】 －
5．(2016·扬州高一检测)化简：＝________.
【解析】 ＝＝|sin
4|，
∵π<4<，∴sin
4<0，∴|sin
4|＝－sin
4.
【答案】 －sin
4
6．(2016·泰州高一检测)已知＝，则等于________．
【解析】 由1－sin2x＝cos2x，
可得＝－＝－.
【答案】 －
7．若sin
α＋cos
α＝，则tan
α＋的值为________．
【解析】 tan
α＋＝＋＝.
又sin
α＋cos
α＝，
∴sin
αcos
α＝，
∴tan
α＋＝2.
【答案】 2
8．已知0<α<π，sin
α·cos
α＝－，则sin
α－cos
α的值等于________．
【解析】 ∵sin
α·cos
α<0,0<α<π，
∴sin
α>0，cos
α<0，∴sin
α－cos
α>0，
∵(sin
α－cos
α)2＝1－2sin
αcos
α＝，
∴sin
α－cos
α＝.
【答案】
二、解答题
9．已知tan
x＝2，求：
(1)的值；
(2)sin2x＋cos2x的值．
【解】 (1)＝＝＝－3.
(2)sin2x＋cos2x＝
＝＝＝.
10．已知tan2
α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
【证明】 因为tan2α＝2tan2β＋1，
所以tan2α＋1＝2tan2β＋2，
所以＋1＝2，
所以＝，
所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，即sin2β＝2sin2α－1.
能力提升]
1．(2016·无锡高一检测)若角α的终边在直线x＋y＝0上，则＋＝________.
【解析】 ∵＋＝＋.
又角α的终边落在x＋y＝0上，故角α的终边在第二、四象限．
当α在第二象限时，
原式＝＋＝0，
当α在第四象限时，原式＝＋＝0.
【答案】 0
2．(2016·常州高一检测)化简：＝________.
【解析】 原式＝
＝
＝＝－1.
【答案】 －1
3．若A∈(0，π)，且sin
A＋cos
A＝，则＝________.
【解析】 (sin
A＋cos
A)2＝，∴1＋2sin
Acos
A＝，∴2sin
Acos
A＝－<0，
∵A∈(0，π)，∴sin
A>0，cos
A<0，∴(sin
A－cos
A)2＝1－2sin
Acos
A＝，∴sin
A－cos
A＝，
∴sin
A＝，cos
A＝－，故＝.
【答案】
4．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋2m＝0的两根为sin
θ和cos
θ(θ∈(0，π))，求：
(1)m的值．
(2)＋的值.
(3)方程的两根及此时θ的值．
【解】 (1)由根与系数的关系可知，
sin
θ＋cos
θ＝，①
sin
θ·cos
θ＝m.②
将①式平方得1＋2sin
θ·cos
θ＝，
所以sin
θ·cos
θ＝，
代入②得m＝.
(2)＋＝＋＝＝sin
θ＋cos
θ＝.
(3)因为已求得m＝，所以原方程化为2x2－(＋1)x＋＝0，解得x1＝，x2＝.
所以或
又因为θ∈(0，π)，所以θ＝或.
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学业分层测评(二十三) 向量的应用
(建议用时：45分钟)
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一、填空题
1．已知一物体在共点力F1＝(2,2)，F2＝(3,1)的作用下产生位移s＝，则共点力对物体所做的功为________．
【解析】 对于合力F＝(5,3)，
其所做的功为W＝F·s＝＋＝7.
【答案】 7
2．若A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状为________．
【解析】 ＝(1,1)，＝(－3,3)，·＝0，
即⊥，故△ABC为直角三角形．
【答案】 直角三角形
3．点P在平面上做匀速直线运动，速度v＝(4，－3)，设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为________(速度单位：m/s，长度单位：m)．
【解析】 5秒后点P的坐标为(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．
【答案】 (10，－5)
4.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图2 5 5，已知物体重力大小为10
N，则每根绳子的拉力大小是________．
图2 5 5
【解析】 因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10
N.
【答案】 10
N
5．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的________．
【解析】 由·＝·＝·，可得·－·＝0，(－)·＝0，即·＝0，⊥，同理可证⊥，⊥.所以O是△ABC的垂心，即三条高的交点．
【答案】 垂心
6．等腰直角三角形ABC中，C＝90°，且A(－1,2)，C(1,1)，则B的坐标为________．
【解析】 设B的坐标为(x，y)，
则＝(x－1，y－1)，又＝(2，－1)．
由题意知：||＝||，且·＝0，
∴
解得或
【答案】 (0，－1)或(2,3)
7．如图2 5 6，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，则对角线AC的长为________．
【导学号：06460068】
图2 5 6
【解析】 ∵＝＋，
∴2＝2＋2＋2·，①
又＝－，
∴2＝2＋2－2·，②
∴①＋②得
2＋2＝2(2＋2)．
又AD＝1，AB＝2，BD＝2，
∴AC＝.
【答案】
8．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为________．
【解析】 如图，|F1|＝|F2|＝.
∵|F1|＝|F2|＝|G|，∴2cos
＝1，∴θ＝120°.
【答案】 120°
二、解答题
9．如图2 5 7所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线，试用向量证明：AC⊥BD.
图2 5 7
【证明】 ∵＝＋，＝－，
∴·＝(＋)·(－)
＝||2－||2＝0.
∴⊥.
∴AC⊥BD.
10．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是圆C上的任一点，点N在线段MA的延长线上，且＝2，求点N的轨迹方程．
【解】 设N(x，y)，M(x0，y0)．
因为＝2，所以(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，
所以即
又因为点M(x0，y0)在圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4上，
所以(x0－3)2＋(y0－3)2＝4，
所以(2x)2＋(2y)2＝4，即x2＋y2＝1，
所以点N的轨迹方程为x2＋y2＝1.
能力提升]
1．在四边形ABCD中，若＝，且|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状是________．
【解析】 ＝，∴∥，
且||＝||，
∴四边形ABCD是平行四边形，
|＋|＝||，|－|＝||，
∴||＝||，
∴平行四边形是矩形．
【答案】 矩形
2．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则·＝________.
【解析】 如图，在△AOB中，
|AB|＝，|OA|＝|OB|＝1，
∴∠AOB＝120°，
∴·＝||||cos
120°＝－.
【答案】 －
3．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．
【解析】 以α，β为邻边的平行四边形的面积为：
S＝|α||β|sin
θ＝|β|sin
θ＝，
所以sin
θ＝，又因为|β|≤1，所以≥，
即sin
θ≥且θ∈0，π]，所以0∈.
【答案】
4．在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的角平分线的方程．
【解】 ＝(3,4)，＝(－8,6)，∠A的角平分线的一个方向向量为：＋＝＋＝.
设∠A的角平分线上任一点N(x，y)，则＝(x－4，y－1)，则与所求方向向量平行，
∴所求直线方程为：(x－4)＋(y－1)＝0，整理得7x＋y－29＝0.
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学业分层测评(二十六) 两角和与差的正切
(建议用时：45分钟)
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一、填空题
1．若0＜α＜，0＜β＜，且tan
α＝2，tan
β＝3，则tan(α＋β)＝________.
【解析】 ∵tan
α＝2，tan
β＝3，∴tan(α＋β)＝＝＝－1.
【答案】 －1
2．已知tan
α＋tan
β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan
α·tan
β等于________．
【解析】 tan(α＋β)＝＝＝4，∴1－tan
α·tan
β＝，tan
αtan
β＝.
【答案】
3．已知A，B都是锐角，且tan
A＝，sin
B＝，则A＋B＝________.
【解析】 ∵B∈，sin
B＝，∴cos
B＝.
∴tan
B＝.
∴tan(A＋B)＝＝＝1.
又α，β∈，∴α＋β∈(0，π)．
∴α＋β＝.
【答案】
4．已知tan
α，tan
β是方程x2＋6x＋7＝0的两个实根，则tan(α－β)的值等于________．
【解析】 由已知tan
α＝－3＋，tan
β＝－3－或tan
α＝－3－，tan
β＝－3＋，
∴tan(α－β)＝＝±.
【答案】 ±
5．(2016·扬州高一检测)若tan＝2，则＝________.
【导学号：06460077】
【解析】 由tan＝＝2，得tan
α＝，
∴＝＝＝.
【答案】
6.＝________.
【解析】 原式＝＝
＝tan(55°－25°)＝tan
30°＝.
【答案】
7．(2016·泰州高一检测)在△ABC中，若0Btan
C<1，则△ABC是________三角形．
【解析】 易知tan
B>0，tan
C>0，B，C为锐角．
<1，∴cos
Bcos
C>sin
Bsin
C.
∴cos
Bcos
C－sin
Bsin
C>0，∴cos(B＋C)>0，故A为钝角．
【答案】 钝角
8．(2016·南京高一检测)已知sin
α＝，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tan
β的值为________．
【解析】 ∵sin
α＝，α是第二象限角，
∴cos
α＝－，∴tan
α＝－.
∴tan
β＝
＝＝＝7.
【答案】 7
二、解答题
9．求下列各式的值：
(1)tan
17°＋tan
28°＋tan
17°tan
28°；
(2)tan
70°－tan
10°－tan
70°tan
10°.
【解】 (1)因为tan(17°＋28°)＝，
所以tan
17°＋tan
28°＝tan
45°(1－tan
17°tan
28°)
＝1－tan
17°tan
28°，
所以tan
17°＋tan
28°＋tan
17°tan
28°＝1.
(2)因为tan
60°＝tan(70°－10°)
＝，
所以tan
70°－tan
10°＝＋tan
10°tan
70°，
所以tan
70°－tan
10°－tan
10°tan
70°＝.
10．若△ABC的三内角满足：2B＝A＋C，且A＜B＜C，tan
Atan
C＝2＋，求角A，B，C的大小．
【解】 由题意知：
解之得：B＝60°且A＋C＝120°，
∴tan(A＋C)＝tan
120°
＝－＝
又∵tan
Atan
C＝2＋，
∴tan
A＋tan
C＝tan(A＋C)·(1－tan
Atan
C)
＝tan
120°(1－2－)
＝－(－1－)＝3＋.
∵tan
A，tan
C可作为一元二次方程
x2－(3＋)x＋(2＋)＝0的两根，
又∵0＜A＜B＜C＜π，
∴tan
A＝1，tan
C＝2＋.
即A＝45°，C＝75°.
所以A，B，C的大小分别为45°，60°，75°.
能力提升]
1．化简tan
10°tan
20°＋tan
20°tan
60°＋tan
60°tan
10°的值等于________．
【解析】 ∵tan
30°＝tan(10°＋20°)＝＝.
∴tan
10°＋tan
20°＝(1－tan
10°tan
20°)
∴tan
10°tan
20°＋tan
20°tan
60°＋tan
60°tan
10°
＝tan
10°tan
20°＋tan
60°(tan
10°＋tan
20°)
＝tan
10°tan
20°＋×(1－tan
10°tan
20°)
＝tan
10°tan
20°＋1－tan
10°tan
20°
＝1.
【答案】 1
2．已知tan
α，tan
β是关于x的一元二次方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则＝________.
【解析】 ∵tan
α，tan
β是关于x的一元二次方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，∴tan
α＋tan
β＝－6，tan
α·tan
β＝2.
则＝
＝＝
＝－2.
【答案】 －2
3．已知α、β均为锐角，且tan
β＝，则tan(α＋β)＝________.
【解析】 ∵tan
β＝，
∴tan
α＋tan
β＝1－tan
αtan
β
∴tan(α＋β)＝＝1.
【答案】 1
4．如图3 1 2，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
图3 1 2
求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．
【解】 由已知得cos
α＝，cos
β＝，又α，β是锐角．
则sin
α＝＝，sin
β＝＝.
所以tan
α＝＝7，tan
β＝＝.
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)tan(α＋2β)＝tan(α＋β)＋β]＝＝＝－1，
又α，β是锐角，则0＜α＋2β＜，所以α＋2β＝.
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学业分层测评(六)
三角函数的诱导公式(五～六)
(建议用时：45分钟)
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一、填空题
1．如果cos
α＝，且α是第四象限角，那么cosα＋＝________.
【解析】 由已知得，sin
α＝－＝－，
所以cos＝－sin
α＝－＝.
【答案】
2．(2016·天水高一检测)已知角α的终边经过点P0(－3，－4)，则cos的值为________．
【解析】 易知|OP|＝5，所以sin
α＝＝－，
所以cos＝sin
α＝－.
【答案】 －
3．已知sin＝，则cos＝________.
【解析】 ∵－＝，
∴cos＝cos＝－sin
＝－.
【答案】 －
4．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________.
【导学号：06460017】
【解析】 原式＝·(－sin
α)·cos(－α)
＝·(－sin
α)·cos
α＝·(－sin
α)·cos
α＝－sin2α.
【答案】 －sin2α
5．代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是________．
【解析】 ∵(A＋45°)＋(45°－A)＝90°，∴sin(45°－A)＝cos(45°＋A)，
∴sin2(A－45°)＝sin2(45°－A)＝cos2(45°＋A)，
∴sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)＝1.
【答案】 1
6．若cos＋sin(π＋θ)＝－m，则cos＋2sin(6π－θ)的值是________．
【解析】 由已知条件知(－sin
θ)＋(－sin
θ)＝－m，
∴sin
θ＝，
cos＋2sin(6π－θ)＝(－sin
θ)＋2·(－sin
θ)＝－3sin
θ＝－.
【答案】 －
7．已知tan
θ＝2，则＝________.
【解析】 ＝
＝＝＝＝－2.
【答案】 －2
8．在△ABC中，sin＝3sin(π－A)，且cos
A＝－cos(π－B)，则C＝________.
【解析】 由已知cos
A＝3sin
A，∴tan
A＝，
又∵A∈(0，π)∴A＝.
又cos
A＝－·(－cos
B)＝cos
B，由cos
A＝知cos
B＝，∴B＝，
∴C＝π－(A＋B)＝.
【答案】
二、解答题
9．已知sin(5π－θ)＋sin＝，求sin4－θ＋cos4的值．
【解】 ∵sin(5π－θ)＋sin
＝sin(π－θ)＋sin＝sin
θ＋cos
θ＝，
∴sin
θcos
θ＝(sin
θ＋cos
θ)2－1]
＝＝，
∴sin4＋cos4
＝cos4θ＋sin4θ
＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－2×2＝.
10．已知cos＝2sin，
求的值．
【解】 ∵cos＝2sin，
∴－sin
α＝－2cos
α，∴tan
α＝2，
∴
＝
＝＝
＝＝
＝＝＝－.
能力提升]
1．若f(sin
x)＝3－cos
2x，则f(cos
30°)＝________.
【解析】 f(cos
30°)＝f(sin
60°)＝3－cos
120°＝3＋cos
60°＝或f(cos
30°)＝f(sin
120°)＝3－cos
240°＝3－cos
120°＝.
【答案】
2．计算sin2
1°＋sin2
2°＋…＋sin288°＋sin289°＝________.
【解析】 ∵1°＋89°＝90°，2°＋88°＝90°，…，44°＋46°＝90°，
∴sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，
sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，
…
sin244°＋sin246°＝sin244°＋cos244°＝1，
∴sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°
＝44＋sin245°
＝44＋2
＝.
【答案】
3．(2016·盐城高一检测)已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是________．
【解析】 ∵(75°＋α)＝(α－15°)＋90°，
∴sin(α－15°)＝sin(75°＋α)－90°]
＝－cos(75°＋α)
＝－.
又(75°＋α)＋(105°－α)＝180°，
∴cos(105°－α)＝cos180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－，
∴原式＝－－＝－.
【答案】 －
4．(2016·南京高一检测)已知f(α)＝
.
(1)化简f(α)；
(2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝，求tan
A－sin
A的值．
【解】 (1)f(α)＝
＝cos
α.
(2)由(1)可知f(A)＝cos
A＝，
又A是△ABC的内角，
∴0°＜A＜90°，
∴sin
A＝，tan
A＝，
∴tan
A－sin
A＝－＝.
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学业分层测评(二十五) 两角和与差的正弦
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一、填空题
1．已知cos
αcos
β－sin
αsin
β＝0，那么sin
αcos
β＋cos
αsin
β的值为________．
【解析】 由cos
αcos
β－sin
αsin
β＝0得
cos(α＋β)＝0，
∴α＋β＝＋kπ，k∈Z.
∴sin
αcos
β＋cos
αsin
β＝sin(α＋β)＝sin＝±1.
【答案】 ±1
2．若M＝sin
12°cos
57°－cos
12°sin
57°，N＝cos
10°cos
55°＋sin
10°sin
55°，则M＋N＝________.
【解析】 M＝sin
12°cos
57°－cos
12°sin
57°
＝sin(12°－57°)＝sin(－45°)＝－.
N＝cos
10°cos
55°＋sin
10°sin
55°＝cos(10°－55°)
＝cos(－45°)＝.
∴M＋N＝0.
【答案】 0
3．若锐角α，β满足cos
α＝，cos(α＋β)＝，则sin
β的值是________．
【解析】 ∵α，β∈，cos
α＝，cos(α＋β)＝.
∴sin
α＝，
∴0＜α＋β＜π，∴sin(α＋β)＝.
∴sin
β＝sin
＝sin(α＋β)cos
α－cos(α＋β)sin
α
＝×－×
＝
【答案】
4．在△ABC中，2cos
Bsin
A＝sin
C，则△ABC的形状一定是________．
【解析】 在△ABC中，C＝π－(A＋B)，
∴2cos
Bsin
A＝sinπ－(A＋B)]
＝sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B.
∴－sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝0.
即sin(B－A)＝0.∴A＝B.
【答案】 等腰三角形
5．(2016·南通高一检测)要使sin
α－cos
α＝有意义，则实数m的取值范围是________．
【解析】 ∵sin
α－cos
α＝2sin.
∴2sin＝.
∴sin＝
∴≤1，解得－1≤m≤.
【答案】
6．化简：＝________.
【解析】
＝
＝＝＝－1.
【答案】 －1
7．若8sin
α＋5cos
β＝6,8cos
α＋5sin
β＝10，则sin(α＋β)＝________.
【导学号：06460074】
【解析】 由8sin
α＋5cos
β＝6，两边平方，
得64sin2α＋80sin
αcos
β＋25cos2β＝36.①
由8cos
α＋5sin
β＝10，两边平方，
得64cos2α＋80cos
α
sin
β＋25sin2β＝100.②
由①＋②，得64＋25＋80(sin
αcos
β＋cos
αsin
β)＝136.
∴sin(α＋β)＝.
【答案】
8．cossin
α＋coscos
α＝________.
【解析】 因为cos＝sin，
所以原式＝sincos
α＋cossin
α
＝sin＝sin
＝.
【答案】
二、解答题
9．已知cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，且＜β＜α＜π，求sin
2α.
【解】 ∵＜β＜π，
∴－π＜－β＜－.
∵＜α＜π，
∴－＜α－β＜.
又∵β＜α，∴0＜α－β＜，
则sin＝.
∵sin(α＋β)＝－，π＜α＋β＜π，
∴cos(α＋β)＝－.
∴sin
2α＝sin
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝×＋×＝－.
10．(2016·南京高一检测)若函数f(x)＝(1＋tan
x)·cos
x,0≤x＜.
(1)把f(x)化成Asin(ωx＋φ)的形式；
(2)判断f(x)在上的单调性，并求f(x)的最大值．
【解】 (1)f(x)＝(1＋tan
x)·cos
x
＝cos
x＋··cos
x
＝cos
x＋sin
x
＝2
＝2
＝2sin.
(2)∵0≤x＜，∴≤x＋＜，
由x＋≤，得x≤.
∴f(x)在上是单调增函数，
在上是单调减函数．
∴当x＝时，f(x)有最大值为2.
能力提升]
1．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin
φcos(x＋φ)的最大值为________．
【解析】 ∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin
φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)＋φ]－2sin
φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos
φ＋cos(x＋φ)sin
φ－2sin
φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos
φ－cos(x＋φ)sin
φ
＝sin(x＋φ)－φ]＝sin
x，
∴f(x)的最大值为1.
【答案】 1
2．(2016·苏州高一检测)已知cos＋sin
α＝，则sin的值是________．
【解析】 ∵cos
α·＋sin
α·＋sin
α＝，
∴sin
α＋cos
α＝，
∴＝，
∴sin＝，∴sin＝sin
＝－sin＝－.
【答案】 －
3．sin
50°(1＋tan
10°)＝________.
【解析】 原式＝sin
50°
＝sin
50°·
＝2sin
50°·＝
＝
＝＝＝1.
【答案】 1
4．已知sin
α＝，cos
β＝－，且α，β为相邻象限的角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．
【解】 ∵sin
α＝＞0，cos
β＝－，且α，β为相邻象限的角，∴α为第一象限角且β为第二象限角；或α为第二象限角且β为第三象限角．
①当α为第一象限角且β为第二象限角时，cos
α＝，sin
β＝，
∴sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β＝×＋×＝.
∴sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β
＝×－×
＝＝－.
②当α为第二象限角且β为第三象限角时，∵sin
α＝，cos
β＝－，
∴cos
α＝－，sin
β＝－，
∴sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β
＝×＋×＝
sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β
＝×－×＝－，
综上可知，sin(α＋β)＝，
sin(α－β)＝－.
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学业分层测评(十四) 向量的概念及表示
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．已知非零向量a∥b，若非零向量c∥a，则c与b必定________．
【解析】 平行向量主要考虑方向相同或相反，依题意可知，c，b同向或者反向，所以c与b必定平行(或共线)．
【答案】 平行(或共线)
2．如图(1)，某人想要从点A出发绕阴影部分走一圈，他可按图(2)中提供的向量行走，则这些向量的排列顺序为________．
图2 1 7
【答案】 a e d c b
3．已知a，b为两个向量，给出以下4个条件：
①|a|＝|b|；②a与b的方向相反；③|a|＝0或|b|＝0；④a与b都是单位向量．
由条件________一定可以得到a与b平行．
【解析】 长度相等或都是单位向量不能得到a∥b，但方向相反或其中一个为零向量可以说明a∥b.故填②③.
【答案】 ②③
4．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
【解析】 ∵与不共线，且m∥，m∥，
∴m＝0.
【答案】 0
5．如图2 1 8所示，已知AD＝3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有________．
图2 1 8
【解析】 满足条件的向量有以下几类：
模长为2的向量有：，，，；
模长为3的向量有：，.
【答案】 ，，，，，
6．给出以下5个条件：
①a＝b；
②|a|＝|b|；
③a与b的方向相反；
④|a|＝0或|b|＝0；
⑤a与b都是单位向量．
其中能使a与b共线的是________．(填所有正确的序号)
【解析】 根据相等向量一定是共线向量知①正确；
|a|＝|b|但方向可以任意，∴②不成立；
a与b反向必平行或重合，∴③成立；
由|a|＝0或|b|＝0，得a＝0或b＝0.根据0与任何向量共线，得④成立；两单位向量的模相等但方向不定，∴⑤不成立．
【答案】 ①③④
7．如图2 1 9，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD与BC的中点，则在以A，B，C，D四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量方向相反的向量为________．
图2 1 9
【解析】 ∵AB∥EF，CD∥EF，
∴与方向相反的向量为，.
【答案】 ，
8．如图2 1 10所示，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．
图2 1 10
(1)与向量相等的向量有________；
(2)若||＝3，则向量的模等于________．
【解析】 相等向量既模相等，又方向相同，所以与相等的向量有，.
若||＝3，
则||＝||＝3，
所以，||＝2×3＝6.
【答案】 (1)， (2)6
二、解答题
9．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
图2 1 11
(1)在如图2 1 11所示的坐标系中画出，，，；
(2)求B地相对于A地的方位.
【导学号：06460041】
【解】 (1)向量，，，如图所示．
(2)由题意知＝，
∴AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，则B地相对于A地的方位是“北偏东60°，6千米”．
10．如图2 1 12所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．
图2 1 12
(1)写出与相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)向量与是否相等？
【解】 (1)与相等的向量有：，，.
(2)与共线的向量有：，，，，，，，，.
(3)向量与不相等，因为与的方向相反，所以它们不相等．
能力提升]
1．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________
.
【解析】 结合菱形的性质可知||＝×2＝2.
【答案】 2
2．如图2 1 13所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，连结相应分点，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与平行且长度为2的向量个数有________．
图2 1 13
【解析】 图中共有4个边长为2的正方形，每个正方形中有符合条件的向量2个(它们分别是连接左下和右上顶点的向量，方向相反)，故满足条件的向量共有8个．
【答案】 8个
3．如图2 1 14所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集M＝{O，A，B，C，D}，向量的集合T＝{|P，Q∈M，且P，Q不相等}，则集合T有________个元素．
图2 1 14
【解析】 以矩形ABCD的四个顶点及它的对角线交点O五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有5×4＝20(个)．但这20个向量不是各不相等的，它们有12个向量各不相等，即为()，()，()，()，()，()，()，()，，，，，由元素的互异性知T中有12个元素．
【答案】 12
4．如图2 1 15，在正方形ABCD中，M，N分别为AB和CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等的向量分别有多少对？
图2 1 15
【解】 不妨设正方形的边长为2，则以A，B，C，D，M，N为起点和终点的向量中：①模为2的相等向量共有8对，＝，＝，＝，＝，＝，＝，
＝，＝.
②模为1的相等向量有12对，其中与同向的有，，，这四个向量组成相等的向量有6对，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，同理与反向的也有6对．
③模为的相等向量共有4对，＝，＝，＝，＝.
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学业分层测评(二十四) 两角和与差的余弦
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．cos(x＋27°)cos(18°－x)－sin(18°－x)sin(x＋27°)等于________．
【解析】 原式＝cos(x＋27°＋18°－x)＝cos
45°＝.
【答案】
2．若x∈0，π]，sin
sin
＝cos
cos
，则x的值是________．
【解析】 ∵cos
cos
－sin
sin
＝0，
∴cos＝0，∴cos
x＝0，∵x∈0，π]∴x＝.
【答案】
3．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cos
αcos
β的值为________．
【解析】 cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β＝，
cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝－
∴2cos
αcos
β＝0.
∴cos
αcos
β＝0.
【答案】 0
4．(2016·苏州高一检测)已知cos
α＝－，α∈，sin
β＝－，β是第三象限角，则cos(β－α)的值是________.
【导学号：06460071】
【解析】 ∵cos
α＝－，α∈，
∴sin
α＝＝.
又sin
β＝－，β是第三象限角，
∴cos
β＝－＝－.
cos(β－α)＝cos
βcos
α＋sin
βsin
α
＝×＋×
＝－＝－.
【答案】 －
5．在△ABC中，若sin
Asin
B＜cos
Acos
B，则△ABC一定为________三角形．
【解析】 由sin
Asin
B＜cos
Acos
B得
cos(A＋B)＞0，
∴cos
C＜0.
∴∠C＞90°，∴△ABC为钝角三角形．
【答案】 钝角
6．化简＝________.
【解析】 ＝
＝＝.
【答案】
7．已知向量a＝(cos
75°，sin
75°)，b＝(cos
15°，sin
15°)，则|a－b|＝________.
【解析】 |a|＝1，|b|＝1，a·b＝cos
75°
cos
15°＋sin
75°
sin
15°＝cos(75°－15°)＝cos
60°＝.
∴|a－b|＝＝＝1.
【答案】 1
8．(2016·南京高一检测)若sin
α－sin
β＝1－，cos
α－cos
β＝，则cos(α－β)的值为________．
【解析】 ∵(sin
α－sin
β)2＋(cos
α－cos
β)2＝2－2cos(α－β)＝2＋2，∴cos(α－β)＝.
【答案】
二、解答题
9．设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos的值．
【解】 ∵α∈，β∈，
∴α－∈，－β∈，
∴sin＝＝＝，
cos＝＝＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
10．若cos(α－β)＝，cos
2α＝，并且α，β均为锐角且α＜β，求α＋β的值．
【解】 ∵α＜β，cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝－.
∵α为锐角，cos
2α＝，
∴sin
2α＝.
∴cos(α＋β)＝cos2α－(α－β)]
＝cos
2αcos(α－β)＋sin
2αsin(α－β)
＝×＋×
＝－.
∵0＜α，β＜，∴0＜α＋β＜π.
∴α＋β＝.
能力提升]
1．已知点P(1，)是角α终边上一点，则cos(30°－α)＝________.
【解析】 由已知sin
α＝，cos
α＝，
cos(30°－α)＝cos
30°
cos
α＋sin
30°sin
α＝×＋×＝.
【答案】
2.
(2016·南通高一检测)如图3 1 1，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A，B两点，如果点A的纵坐标为，点B的横坐标为，则cos(α－β)＝________.
图3 1 1
【解析】 易知sin
α＝，cos
β＝，又因为α，β为锐角，∴cos
α＝，sin
β＝，∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝×＋×＝.
【答案】
3．已知sin＝，则cos
α＋sin
α＝________.
【解析】 sin＝cos＝cos
＝coscos
α＋sinsin
α
＝cos
α＋sin
α
＝(cos
α＋sin
α)＝
∴cos
α＋sin
α＝.
【答案】
4．已知函数f(x)＝2cos(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．
【解】 (1)∵f(x)＝2cos，ω＞0的最小正周期T＝10π＝，∴ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝2cos，
而α，β∈，f＝－，f＝，
∴2cos＝－，
2cos＝，
即cos＝－，cos
β＝，
于是sin
α＝，cos
α＝，sin
β＝，
∴cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β＝×－×＝－.
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学业分层测评(十九) 平面向量的坐标运算
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．若点P的坐标为(2
016,2)，向量＝(1，－3)，则点Q的坐标为________．
【解析】 ∵＝－，
∴＝＋
＝(2
016,2)＋(1，－3)
＝(2
017，－1)．
【答案】 (2
017，－1)
2．(2016·如东高一检测)若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则＝________.
【解析】 ＝＋
＝－
＝(2,3)－(4,7)
＝(－2，－4)．
【答案】 (－2，－4)
3．已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，则点B的坐标为________．
【解析】 设B点坐标为(x，y)，
则＝(x＋1，y－5)，
∵＝3a，
∴(x＋1，y－5)＝3(2,3)＝(6,9)，
∴∴
【答案】 (5,14)
4．若向量a＝(x＋3，y－4)与相等，已知A(1,2)和B(3,2)，则x，y的值分别为________．
【解析】 ∵＝(3,2)－(1,2)＝(2,0)＝(x＋3，y－4)，
∴解得
【答案】 －1,4
5．已知a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)，则a＝________，b＝________.
【解析】 由a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)，
∴2a＝(1,3)＋(5,7)＝(6,10)，∴a＝(3,5)，
2b＝(1,3)－(5,7)＝(－4，－4)，∴b＝(－2，－2)．
【答案】 (3,5) (－2，－2)
6.已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝2，∠xOA＝150°，则向量的坐标为________．
图2 3 16
【解析】 过点A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C，设A(x，y)，则x＝||cos
150°＝－，y＝||sin
150°＝1.
所以的坐标为(－，1)．
【答案】 (－，1)
7．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则P点的坐标为________.
【导学号：06460056】
【解析】 设P(x，y)，则
＝(x－3，y＋2)，
＝(－8,1)＝，
∴
∴
∴P点的坐标为.
【答案】
8．已知边长为单位长的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴，y轴的正向上，则向量2＋3＋的坐标为________．
【解析】 ∵＝(1,0)，＝(0,1)，
＝＋＝(1,1)，
∴2＋3＋
＝2(1,0)＋3(0,1)＋(1,1)＝(3,4)．
【答案】 (3,4)
二、解答题
9．(1)已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，其中A(1,2)，B(3,2)，求x的值；
(2)已知点P1(2，－1)，P2(0,5)，点P在线段P1P2上且||＝2||，求P点的坐标．
【解】 (1)∵＝(2,0)，又∵a＝，∴∴x＝－1.
(2)设P(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，
＝(－x,5－y)，
∵点P在线段P1P2上且||＝2||，
∴＝2，
∴∴
∴P.
10．已知△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N是AB，AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求.
【解】 因为A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，
所以＝(－4，－3)，＝(－3，－5)．
又因为D是BC的中点，有＝(＋)＝，而M，N分别为AB，AC的中点，所以F为AD的中点，
故有＝＝－＝.
能力提升]
1．(2016·南通高一检测)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝________.
【解析】 由向量的平行四边形法则可知
＝＋，
∴＝－
＝(1,3)－(2,4)
＝(－1，－1)，
∴＝－
＝(－1，－1)－(2,4)
＝(－3，－5)．
【答案】 (－3，－5)
2．(2016·苏州高一检测)已知P1(5，－1)，P2(－3,1)，点P(x,2)分所成的比为λ，则x的值为________．
【解析】 ∵y＝，
∴2＝，
解得λ＝－3.
所以x＝＝＝－
＝－7.
【答案】 －7
3．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N等于________．
【解析】 令(1,2)＋λ1(3,4)
＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，
即(1＋3λ1,2＋4λ1)
＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，
∴
解得
故M与N只有一个公共元素是(－2，－2)．
【答案】 {(－2，－2)}
4．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图2 3 7所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，求的值．
图2 3 7
【解】 以向量a和b的交点为原点建直角坐标系，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，根据c＝λa＋μb (－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－，故＝4.
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学业分层测评(七) 三角函数的周期性
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．下列函数中，周期为的是________．(填序号)
①y＝sin；②y＝sin
2x；③y＝cos
；
④y＝cos(－4x)．
【解析】 ①T＝＝4π；
②T＝＝π；
③T＝＝8π；
④T＝＝.
【答案】 ④
2．下列各图形是定义在R上的四个函数的图象的一部分，其中是周期函数的是________．(填序号)
图1 3 1
【解析】 根据周期函数图象特征可知①②③都是周期函数；④不是周期函数．
【答案】 ①②③
3．函数y＝2cos(ω＜0)的最小正周期为4π，则ω＝________.
【解析】 由周期公式可知4π＝ |ω|＝，由ω＜0，可知ω＝－.
【答案】 －
4．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________.
【解析】 ∵f(x＋5)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，
∴f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，
∴f(4)＝f(4－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，
∴f(4)－f(4)＝－2＋1＝－1.
【答案】 －1
5．函数y＝sin的周期不大于4，则正整数k的最小值为________．
【解析】 由T＝得T＝＝.
∵T≤4，∴≤4，∴k≥π，
∴正整数k的最小值为4.
【答案】 4
6．设函数f(x)(x∈R)是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈时，f(x)＝sin
x；当x∈时，f(x)＝cos
x，则f＝________.
【导学号：06460020】
【解析】 ∵T＝π，x∈时，f(x)＝cos
x，
∴f＝f＝f＝cos
＝cos＝－cos
＝－.
【答案】 －
7．若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．
【解析】 T＝，又T∈(1,3)，∴1<<3，若ω∈N
，则ω＝3,4,5,6，∴ω的最大值为6.
【答案】 6
8．已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x＋3)＝，且f(1)＝，则f(2
014)＝________.
【解析】 ∵f(x＋3)＝，
∴f(x＋6)＝＝f(x)，
∴f(x)的周期T＝6，
∴f(2
014)＝f(335×6＋4)＝f(4)．
又f(4)＝f(1＋3)＝＝2，
∴f(2
014)＝2.
【答案】 2
二、解答题
9．已知函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数．
(1)求f(4)的值；
(2)若－2≤x≤－1时，f(x)＝sin＋1，求2≤x≤3时，f(x)的解析式．
【解】 (1)∵函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，∴f(0)＝0，
∴f(4)＝f(4＋0)＝f(0)＝0.
(2)设2≤x≤3，则－2≤－4＋x≤－1，
∴f(－4＋x)＝sin＋1＝sinx＋1，
∴f(x)＝f(－4＋x)＝sinx＋1.
10．若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而周期性变化，如图1 3 2所示，请回答下列问题：
(1)单摆运动的周期是多少？
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？
(3)当t＝11
s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？
图1 3 2
【解】 (1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4
s.
(2)若从O点算起，到曲线上的D点表示完成了一次往复运动；若从A点算起，到曲线上的E点表示完成了一次往复运动．
(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11
s相对于静止位置的位移是0
cm.
能力提升]
1．已知函数f(x)＝sin
，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2
016)＝________.
【解析】 f(x)的周期T＝＝6，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝sin
＋sin
＋sin
π＋sin
＋sin
＋sin
2π＝0.
原式＝336f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＝0.
【答案】 0
2．设f(x)是定义在R上且最小正周期为π的函数，在某一周期上f(x)＝求
f－的值．
【解】 ∵f(x)的周期为，
∴f＝f＝f.
∵0＜＜π，∴f＝sin
＝sin＝，
即f＝.
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学业分层测评(十六) 向量的减法
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．在平行四边形ABCD中，－的结论正确的是________．
①；②；③；④.
【解析】 ∵－＝，
又ABCD为平行四边形，
∴＝.
∴①④正确．
【答案】 ①④
2．已知两向量a和b，如果a的方向与b的方向垂直，那么|a＋b|________|a－b|.(填写“＝”“≤”或“≥”)
【解析】 以a，b为邻边的平行四边形是矩形，
矩形的对角线相等．由加减法的几何意义知
|a＋b|＝|a－b|.
【答案】 ＝
3．化简下列向量式，结果为0的个数是________．
①－＋；②＋＋－；③－－；④＋－.
【导学号：06460047】
【解析】 ①－＋＝0.
②＋＋－＝＋＝0.
③－(＋)＝0.
④＋－＝0.
【答案】 4
4．如图2 2 15所示，在正方形ABCD中，已知＝a，＝b，＝c，则图中能表示a－b＋c的向量是________．
图2 2 15
【解析】 由已知得
a－b＝－＝，c＝，
∴a－b＋c＝＋＝.
【答案】
5．(2016·南通高一检测)如图2 2 16，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，若用a，b表示向量，则＝________.
图2 2 16
【解析】 ＝－＝－
＝－－
＝－a－b.
【答案】 －a－b
6．已知|a|＝7，|b|＝2，若a∥b，则|a－b|＝________.
【解析】 ∵a∥b，当a与b同向时，|a－b|＝|7－2|＝5，
当a与b反向时，|a－b|＝|7＋2|＝9.
【答案】 5或9
7．下列四个式子，不能化简为的序号是________．
①(＋)－；②(－)＋(－)；
③－＋；④＋－.
【解析】 ①原式＝＋(－)＝＋＝；
②原式＝＋－(＋)＝＋－＝；
③原式＝＋＝；
④原式＝＋＋≠，
∴只有④不能化为.
【答案】 ④
8．(2016·南京高一检测)如图2 2 17，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列各式不正确的是________．
图2 2 17
①＋＋＝0；
②－＋＝0；
③＋－＝0；
④－－＝0.
【解析】 ①＋＋＝＋＋＝－＋＋＝＋＝＋＝0；
②－＋＝(＋)－＝－≠0；
③＋－＝＋(－)＝＋≠0；
④－－＝(－)－＝－＝＋≠0.
【答案】 ②③④
二、解答题
9．如图2 2 18，已知向量a和向量b，用三角形法则作a－b＋a.
图2 2 18
【解】 作法：作向量＝a，向量＝b，则
向量＝a－b.
如图所示：作向量＝a，
则＝a－b＋a.
10．已知△OAB中，＝a，＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积．
【解】 由已知得||＝||，以，为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，如图，有＝a＋b，＝a－b，
由于|a|＝|b|＝|a－b|，即OA＝OB＝BA，
∴△OAB为正三角形，|a＋b|＝||＝2×＝2，
∴S△OAB＝×2×＝.
能力提升]
1．如图2 2 19，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，则＝________.
图2 2 19
【解析】 因为＝a，＝b，＝c，所以＝－＝c－b，又＝，所以＝＋＝a＋c－b.
【答案】 a＋c－b
2．(2016·山西晋中四校联考)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
【解析】 如图．
∵四边形ABCD为平行四边形，且E、F分别为CD、BC的中点，
∴＝＋＝(－)＋(－)
＝(＋)－(＋)＝(＋)－，
∴＝(＋)，∴λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.
【答案】
3．边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为________．
【解析】 如图所示，|－|＝|＋|＝||，
又||＝1，||＝1，∠ABC′＝120°，
∴在△ABC′中，||＝2||cos
30°＝.
【答案】
4．已知a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|.
求.
【解】 设＝a，＝b，
则＝－＝a－b.
∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴BA＝OA＝OB，
∴△OAB为正三角形．
设其边长为1，则|a－b|＝||＝1，|a＋b|＝2×＝，
∴＝＝.
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