第1章
立体几何初步
1.1
空间几何体
1.1.3
中心投影和平行投影
A级 基础巩固
1．已知△ABC，若选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得三角形与△ABC( )
A．全等
B．相似
C．不相似
D．以上都不对
解析：根据中心投影的概念判断是相似．
答案：B
2．下列命题正确的是( )
A．矩形的平行投影一定是矩形
B．梯形的平行投影一定是梯形
C．两条相交直线的投影可能平行
D．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点
解析：因为当平面图形与投射线平行时，所得投影是线段，故A，B错．又因为点的平行投影仍是点，所以相交直线的投影不可能平行，故C错．由排除法可知，选项D正确．
答案：D
3．(2014·福建卷)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )
A．圆柱
B．圆锥
C．四面体
D．三棱柱
解析：由三视图知识，知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形．
答案：A
4．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
解析：在各自的三视图中：①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．
答案：D
5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
解析：所给几何体的侧视图是矩形，里面从右上到左下加对角线．
答案：D
6．一个图形的平行投影是一条线段，这个图形不可能是下列图形中的________(填序号)．
①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体．
解析：①的平行投影是线段或点；②的平行投影是直线或点；对于③④，当图形所在面与投影面垂直时，其正投影为线段；⑤的平行投影显然不可能是线段．故填②⑤.
答案：②⑤
7．两条相交直线的平行投影是___________________________．
解析：当两条相交直线所在平面与投影线不平行时，平行投影是两条相交直线；当平行时，其投影是一条直线．
答案：两条相交直线或一条直线
8．图①和图②为两个几何体的三视图，根据三视图可以判断这两个几何体分别为________、________．
解析：根据三视图的形状联想几何体的结构．
答案：圆台 四棱锥
9．如图所示的长方体和圆柱的三视图是否正确？
解：均不正确．画一个物体的三视图，不仅要确定其形状，而且要确定线段的长短关系．长方体和圆柱的正确三视图如图所示：
B级 能力提升
10．(2014·江西卷)一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是( )
解析：该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，故选B.
答案：B
11．画简单组合体的三视图时，下列说法错误的是________(填序号)．
①主视图与俯视图长相同；
②主视图与左视图高平齐；
③俯视图与左视图宽相等；
④俯视图画在左视图的正下方．
解析：由画图时遵循“长对正、高平齐、宽相等”，易知①②③正确．
答案：④
12．下列实例中，不是中心投影的是________(填序号)．
①工程图纸；②小孔成像；③相片；④人的视觉．
解析：由中心投影和平行投影的定义知，小孔成像、相片、人的视觉为中心投影，工程图纸为平行投影．
答案：①
13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是________(填图序)．
解析：由三视图可知该几何体上部分是一个圆台，下部分是一个圆柱，故填图④.
答案：图④
14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为________、________．
解析：从左视图中得到高为2，正三棱柱的底面正三角形的高为2，可得边长为4.
答案：2 4
15．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，左视图是一个面积为的矩形，则该正方体的主视图的面积等于________．
解析：由题意可知，该正方体是斜放的，其俯视图恰好是正方形，而左视图和主视图都是正方体的对角面，故该正方体的主视图的面积等于.
答案：
16．在一个仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来，如图所示，则这堆正方体货箱共有________个．
解析：由主视图可知货箱有3层，由左视图可知货箱前后有3排，由俯视图可知货箱有3列，则货箱的具体分布情况如图所示，其中小正方形的数字表示此位置上面货箱的个数．因此这堆正方体货箱共有3＋1＋1＋2＋1＋1＝9(个)．
答案：9
PAGE第2章
平面解析几何初步
2.1
直线与方程
2.1.2
直线的方程
A组 基础巩固
1．直线x＋y－3＝0的倾斜角的大小是( )
A．45°
B．135°
C．1
D．－1
解析：直线x＋y－3＝0，即y＝－x＋3，它的斜率等于－1，故它的倾斜角为135°.
答案：B
2．直线y＝mx－3m＋2(m∈R)必过定点( )
A．(3，2)
B．(－3，2)
C．(－3，－2)
D．(3，－2)
解析：由y＝mx－3m＋2，得y－2＝m(x－3)．所以直线必过点(3，2)．
答案：A
3．经过点(－1，1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是( )
A．x＝－1
B．y＝1
C．y－1＝(x＋1)
D．y－1＝2(x＋1)
解析：由方程知，已知直线的斜率为，所以所求直线的斜率是，由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝(x＋1)．
答案：C
4．直线＋＝1过第一、第二、第三象限，则( )
A．a>0，b>0
B．a>0，b<0
C．a<0，b>0
D．a<0，b<0
解析：因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、第二、第三象限，故a<0，b>0.
答案：C
5．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为( )
A．－2
B．2
C．－3
D．3
解析：由已知得m2－4≠0，且＝1，
解得m＝3或m＝2(舍去)．
答案：D
6．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为( )
A.，1
B.，－1
C．－，1
D．－，－1
解析：原方程化为＋＝1，所以＝－1.所以b＝－1.又因为ax＋by－1＝0的斜率k＝－＝a，且x－y－＝0的倾斜角为60°，所以k＝tan
120°.所以a＝－.
答案：D
7．直线ax＋3my＋2a＝0(m≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k等于( )
A．－3
B．3
C.
D．－
解析：由点(1，－1)在直线上可得a－3m＋2a＝0(m≠0)，
解得m＝a，故直线方程为ax＋3ay＋2a＝0
(a≠0)，
所以x＋3y＋2＝0，其斜率k＝－.
答案：D
8．下列三个说法中正确的有________(填序号)．
①任何一条直线在y轴上都有截距；
②直线在y轴上的截距一定是正数；
③直线的斜截式方程可以表示任何不垂直于x轴的直线．
解析：因为当直线垂直于x轴时，直线在y轴上的截距不存在，所以①错误．直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为0，所以②错误．不垂直于x轴的任何直线都有斜率，所以都能用直线的斜截式方程表示，所以③正确．
答案：③
9．直线3x－2y－4＝0的截距式方程是________．
解析：直线方程化为3x－2y＝4，所以x－＝1.
所以＋＝1.
答案：＋＝1
10．已知三角形的顶点是A(8，5)，B(4，－2)，C(－6，3)，求经过每两边中点的三条直线的方程．
解：设AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，如图所示．
根据中点坐标公式得D，E，F(1，4)．
由两点式得DE的直线方程为＝，
整理得2x－14y＋9＝0，这就是直线DE的方程．
由两点式得EF的直线方程为＝，
整理得7x－4y＋9＝0，这就是直线EF的方程．
由两点式得DF的直线方程为＝，
整理得x＋2y－9＝0，这就是直线DF的方程．
11．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定实数m的值．
(1)在x轴上的截距是－3；
(2)斜率是－1.
解：(1)令y＝0，所以＝－3.
所以2m－6＝－3m2＋6m＋9，即3m2－4m－15＝0.
所以m＝－或m＝3.
当m＝3时，m2－2m－3＝0.
此时方程为y＝0不符合题设条件，从而m＝－.
(2)由＝1，所以m2＋3m＋2＝0.
所以m＝－2或m＝－1(舍去)．
故m＝－2.
B级 能力提升
12．过点A(3，－1)，B(5，4)的直线方程的两点式为__________，一般式为__________________．
答案：＝ 5x－2y－17＝0
13．已知△ABC的一个顶点为A(3，－1)，AB被y轴垂直平分，AC被直线y＝x垂直平分，则直线BC的方程是________．
解析：A(3，－1)关于y轴的对称点为B(－3，－1)，A(3，－1)关于直线y＝x的对称点为C(－1，3)，
所以BC的方程为＝，即2x－y＋5＝0.
答案：2x－y＋5＝0
14．过点P(1，1)作直线l与两坐标轴相交，所得三角形面积为2，则这样的直线l有________条．
解析：设l为y＝k(x－1)＋1即为y＝kx－k＋1，
则×＝2，解得k＝3±2或k＝－1.
答案：3
15．过点
(a，0)，(0，b)，(1，3)，且a，b均为正整数的直线方程为________________________．
解析：设所求直线方程为：＋＝1，
则＋＝1(a，b∈N
)，
所以a＝∈N
，故或
所求方程为x＋y－4＝0或3x＋y－6＝0.
答案：x＋y－4＝0或3x＋y－6＝0
16.某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李重量x(kg)之间的关系用直线AB的方程表示．如图所示，试求：(1)直线AB的方程；
(2)旅客最多可免费携带多少行李．
解：(1)由题图知，点A(60，6)，B(80，10)．
所以直线AB的方程是x－5y－30＝0.
(2)依题意，令y＝0，得x＝30.
故旅客最多可免费携带30
kg行李．
PAGE第2章
平面解析几何初步
2.1
直线与方程
2.1.5
平面上两点间的距离
A组 基础巩固
1．已知A(－1，0)，B(5，
6)，C(3，4)，则的值为( )
A. B. C．3 D．2
解析：由两点间的距离公式，得
|AC|＝＝4，
|CB|＝＝2，
故＝＝2.
答案：D
2．直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1，5，则|PQ|等于( )
A．4
B．4
C．2
D．2
解析：由题意易知P(1，1)，Q(5，
5)，
所以|PQ|＝＝4.
答案：B
3．已知点A(－2，－1)，B(a，3)且|AB|＝5，则a等于( )
A．1
B．－5
C．1或－5
D．其他值
解析：由两点间距离公式得，(a＋2)2＋(3＋1)2＝52，
所以(a＋2)2＝9.所以a＝1或a＝－5.
答案：C
4．与两点A(－2，2)，B(2，4)等距离，且在坐标轴上的点的坐标是________________．
解析：设点P(a，0)或(0，b)由两点间的距离公式计算．
答案：和(0，3)
5．光线从点A(－3，5)射到直线l：3x－4y＋4＝0以后，再反射到一点B(2，15)．
(1)求入射线与反射线的方程；
(2)求这条光线从A到B的长度．
解：(1)设点A关于直线l的对称点为A1(x0，y0)，由直线AA1与已知直线垂直，且AA1中点也在直线上，则有
解得x0＝3，y0＝－3，
即A1(3，－3)．
于是反射光线方程为＝，
即18x＋y－51＝0.
同理B1(14，－1)，入射光线方程为6x＋17y－67＝0.
(2)光线从A到B的长度，利用线段的垂直平分线性质，即得AP＋PB＝A1P＋PB＝A1B＝＝5.
B级 能力提升
6．x轴上任一点到定点(0，2)，(1，1)距离之和的最小值是( )
A.
B．2＋
C.
D.＋1
解析：作点(1，1)关于x轴的对称点(1，－1)，则距离之和最小值为＝.
答案：C
7．直线y＝3x－4关于点P(2，－1)对称的直线l的方程是( )
A．y＝3x－10
B．y＝3x－18
C．y＝3x＋4
D．y＝4x＋3
解析：在直线上任取两点A
(1，－1)，B(0，－4)，则其关于点P的对称点A′，B′可由中点坐标公式求得为A′(3，－1)，B′(4，2)．由两点式可求得方程为y＝3x－10.
答案：A
8．已知A(－3，8)，B(2，2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标是( )
A．(－1，0)
B．(1，0)
C.
D.
解析：如图所示，A关于x轴的对称点为A′(－3，－8)，则A′B与x轴的交点即为M，求得M的坐标为(1，0)．
答案：B
9．已知A(5，2a－1)、B(a＋1，a－4)，则AB的最小值是________．
解析：由两点间的距离公式得
AB＝＝
＝≥.
答案：
10．点A(－3，1)，C(1，y)关于点B(－1，－3)对称，则AC＝______．
解析：由已知得＝－3，所以y＝－7，即C(1，－7)，
所以|AC|＝＝4.
答案：4
11．直线x－2y＋1＝0关于直线y－x＝1对称的直线方程是____．
解析：设所求直线上任一点的坐标为(x，y)，则它关于y－x＝1对称的点为(y－1，x＋1)，且在直线x－2y＋1＝0上，
所以y－1－2(x＋1)＋1＝0，化简得2x－y＋2＝0.
答案：
2x－y＋2＝0
12．甲船在某港口东50
km，乙船在同一港口的东14
km，南18
km处，那么甲、乙两船的距离是________．
解析：以某港口为坐标原点建系后得甲船坐标为(50，0)，乙船坐标为(14，－18)，由两点间距离公式得甲、乙两船的距离为＝18.
答案：18
km
13．已知点A(a＋1，
2)与点B(5，a)的距离为2，求a的值．
解：由已知得|AB|＝＝2，
即(a－4)2＋(a－2)2＝4，化简整理得a2－6a＋8＝0，
解之得a＝2或a＝4.
14．已知0求证：＋＋＋≥2，并求等号成立的条件．
证明：设四边形OABC是正方形，O(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，设P(x，y)为正方形内一点，如图所示，
|PO|＝，|PA|＝，
|PB|＝，PC＝，
OB＝，AC＝.
因为PO＋PB≥BO，PA＋PC≥AC，
所以PO＋PB＋PA＋PC≥BO＋AC，
即＋＋＋
≥2.当且仅当PO＋PB＝BO，
且PA＋PC＝AC时，等号成立．此时点P既在OB上，
又在AC上，因此，点P是正方形的中心，即x＝y＝.
PAGE第2章
平面解析几何初步
2.1
直线与方程
2.1.1
直线的斜率
A组 基础巩固
1．已知直线经过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为( )
A．3 B．－2 C．2 D．不存在
解析：kAB＝＝－2.
答案：B
2．过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A．1
B．4
C．1或3
D．1或4
解析：由斜率公式得＝1，解得m＝1.
答案：A
3．下列说法正确的是( )
A．直线和x轴的正方向所成的正角，叫作这条直线的倾斜角
B．直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α≤180°
C．和x轴平行的直线，它的倾斜角为180°
D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率
解析：直线的倾斜角为直线向上的方向与x轴的正方向所成的角，故A不正确；直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°，故B项不正确；和x轴平行的直线，它的倾斜角为0°，故C不正确．
答案：D
4．斜率为的直线的倾斜角为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．150°
解析：设直线的倾斜角为α，由题意得tan
α＝，所以α＝30°.
答案：A
5．设A(t，－t＋3)，B(2，t－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数t
的值为________．
解析：由题意得kBC＝，所以kAC≠0.
故kAC＝＝－1.
于是＝－，解得t＝4.
答案：4
6．若直线x＝1的倾斜角为α，则α为________．
解析：直线x＝1与y轴平行，故α＝90°.
答案：90°
7．直线l经过原点O和点P(－1，－1)，则它的倾斜角是________．
解析：过点P作PA⊥x轴，垂足为A，
则在Rt△POA中，∠POA＝45°，即倾斜角是45°.
答案：45°
8．下列叙述正确的是________(填序号)．
①若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；
②若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应；
③与y轴垂直的直线的斜率为0；
④与x轴垂直的直线的斜率不存在．
解析：每一条直线都有倾斜角且倾斜角唯一，但并不是每一条直线都有斜率；与y轴垂直的直线的倾斜角为0°，其斜率为0；与x轴垂直的直线的倾斜角为90°，其斜率不存在．
答案：①③④
9．直线l的斜率为k，倾斜角是α，－1解析：由已知－1α<1，0°≤α<180°，求α.
答案：
10．已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，如图所示，则k1，k2，k3的大小关系为________．
解析：由题图可知直线l1的倾斜角为钝角，所以k1＜0.直线l2与直线l3的倾斜角均为锐角，且直线l2倾斜角较大，所以k2＞k3＞0.
答案：k1＜k3＜k2
11．已知P(3，－1)，M(6，2)，N(－，)，直线l过点P，若直线l与线段MN相交，求直线l的倾斜角的取值范围．
解：考虑临界状态：令直线PM的倾斜角为α1，
直线PN的倾斜角为α2，
由已知得tan
α1＝1，tan
α2＝－，
故直线PM的倾斜角为45°.直线PN的倾斜角为150°，
依据倾斜角定义并结合图形可知符合条件的直线l的倾斜角的取值范围为45°≤α≤150°.
B级 能力提升
12．已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋5的倾斜角的2倍，则直线l的斜率为( )
A．1 B. C. D．－
解析：直线y＝x＋5的斜率为，则其倾斜角为30°，故直线l的倾斜角为60°，所以kl＝.
答案：C
13．若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值等于________．
解析：因为A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)三点共线，
所以kAB＝kAC.
所以＝.所以a－2＝.
所以a＝.
所以＋＝＋＝＝＝.
答案：
14．若过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围．
解：直线PQ的倾斜角为钝角，则意味着直线的斜率小于0，
由kPQ＝＝＜0，
解得－2＜a＜1，故a的取值范围是(－2，1)．
15．已知A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)，D(－1，b)四点共线，求a，b的值．
解：因为A，B，C，D四点共线，
所以直线AB，AC，AD的斜率相等．
又kAB＝＝2，kAC＝，kAD＝，
所以2＝＝，解得a＝4，b＝－3.
PAGE第1章
立体几何初步
1.3
空间几何体的表面积和体积
1.3.2
空间几何体的体积
A组 基础巩固
1.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1-ACD的体积是( )
A.
B.
C.
D．1
解析：三棱锥D1-ADC的体积V＝S△ADC·D1D＝××AD·DC·D1D＝×＝.
答案：A
2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.
B.
C．200
D．240
解析：先将三视图还原为空间几何体，再根据体积公式求解．由三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为2，下底长为8，高为4，故面积为S＝＝20.
又棱柱的高为10，所以体积V＝Sh＝20×10＝200.
答案：C
3．(2014·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )
A．72
cm3
B．90
cm3
C．108
cm3
D．138
cm3
解析：先根据三视图画出几何体，再利用体积公式求解．
该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示．
V＝V三棱柱＋V长方体＝×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm3)．
答案：B
4．已知直角三角形的两直角边长为a，b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为( )
A．a∶b
B．b∶a
C．a2∶b2
D．b2∶a2
解析：以长为a的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V＝πb2a，以长为b的直角边所在直线旋转得到的圆锥体积V＝πa2b.
所以πb2a∶πa2b＝b∶a.
答案：B
5．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( )
A.π
B.
C．4π
D．32π
解析：由题意可知，6a2＝24，所以a＝2.
设正方体外接球的半径为R，则
a＝2R，所以R＝，所以V球＝πR3＝4π.
答案：C
6．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( )
A．1∶9
B．1∶27
C．1∶3
D．1∶1
解析：＝eq
\f(4πr,4πr)＝＝＝.
答案：A
7．(2014·天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
解析：根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4
m，高为2
m
的圆锥，下部是一个底面直径为2
m，高为4
m的圆柱．
故该几何体的体积V＝π·22×2＋π·12×4＝π(m3)．
答案：π
8.已知高为3的直棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图所示)，则三棱锥B1-ABC的体积为________．
解析：因为S△ABC＝×12＝，B1到底面ABC的距离即为三棱锥的高等于3，
所以VB1－ABC＝S△ABC·h＝××3＝.
答案：
9．圆锥的母线长为l，高为l，则过圆锥顶点的最大截面面积为________．
解析：易得圆锥底面半径为l，故轴截面的顶角为π，从而过圆锥顶点的最大截面是顶角为的等腰直角三角形．
答案：l2
B级 能力提升
10．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．8－2π
B．8－π
C．8－
D．8－
解析：这是一个正方体切掉两个圆柱后得到的几何体，如图所示，几何体的高为2，
V＝23－×π·12×2×2＝8－π.
答案：B
11．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为( )
A．4π(r＋R)2
B．4πr2R2
C．4πRr
D．π(R＋r)2
解析：如图所示，设球的半径为r1，
则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.
由勾股定理得4r＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝.故球的表面积为S球＝4πr＝4πRr.
答案：C
12．如图所示，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边A1B1作一个平行于对棱AB的平面A1B1EF，这个平面分三棱台成两部分的体积之比为________．
解析：设棱台的高为h，上底面积为S，则下底面积为4S.
所以V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，V柱A1B1C1-FEC＝Sh.
所以＝＝.
答案：3∶4或4∶3
13．把一个圆分为两个扇形，一个顶角为120°，另一个顶角为240°，把它们卷成两个圆锥，则两个圆锥的体积之比为________．
解析：设圆的半径为R，则第一个圆锥底面周长为C1＝，
所以r1＝.同理，C2＝，所以r2＝.又母线为R，
所以h1＝R，h2＝R.
所以V1＝πr12h1＝πR3，V2＝πrh2＝πR3.
故V1∶V2＝1∶.
答案：1∶
14.如图所示，在等腰三角形ABC中，E，F分别为两腰AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G分别为垂足，若将三角形ABC绕AD旋转一周所得的圆锥的体积为V，求其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V的比值．
解：由题意画出图形，如图所示，设圆锥的高为h，底面半径为r，则圆柱的高为，底面半径为.
所以＝1－＝
1－＝1－＝.
15.如图所示，在边长为23的正方形中，剪下了一个扇形和一个圆，以此扇形和圆分别作圆锥的侧面和底面，求所围成的圆锥的体积．
解：设扇形半径为x，圆的半径为r，则扇形弧长等于圆的周长，即×2x＝2r，所以x＝4r.
又AC＝x＋r＋r＝23，所以r＝＝5－2.
所以圆锥的高h＝＝r＝×(5－2)．
所以圆锥体积V＝πr2·h＝π·(5－2)2××(5－2)＝×(5－2)3π.
PAGE模块综合检测卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是M(1，2)，则直线PQ的方程是( )
A．x＋2y－3＝0
B．x＋2y－5＝0
C．2x－y＋4＝0
D．2x－y＝0
解析：由题意知kOM＝＝2，
所以kPQ＝－.
所以直线PQ的方程为：
y－2＝－(x－1)，
即：x＋2y－5＝0.
答案：B
2．直线l通过两直线7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交点，且点(5，1)到l的距离为，则l的方程是( )
A．3x＋y＋4＝0
B．3x－y＋4＝0
C．3x－y－4＝0
D．x－3y－4＝0
解析：由得交点(2，2)．
设l的方程为y－2＝k(x－2)，
即kx－y＋2－2k＝0，
所以＝，解得k＝3.
所以l的方程为3x－y－4＝0.
答案：C
3．在坐标平面xOy上，到点A(3，2，5)，B(3，5，1)距离相等的点有( )
A．1个
B．2个
C．不存在
D．无数个
解析：在坐标平面xOy内，设点P(x，y，0)，
依题意得＝，
整理得y＝－，x∈R，
所以符合条件的点有无数个．
答案：D
4．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )
A．2 B．4 C．6 D．2
解析：圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
圆心为C(2，1)，半径为r＝2，
因此2＋a·1－1＝0，a＝－1，即A(－4，－1)，
|AB|＝＝＝6.
答案：C
5．已知两点A(－2，0)，B(0，2)．点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是( )
A．3－
B．3＋
C．3－
D.
解析：lAB：x－y＋2＝0，
圆心(1，0)到l的距离d＝＝，
所以AB边上的高的最小值为－1.
所以Smin＝×2×＝3－.
答案：A
6．若点P(－4，－2，3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )
A．7
B．－7
C．－1
D．1
答案：D
7．一个多面体的三视图如左下图所示，则该多面体的体积为( )
A.
B.
C．6
D．7
解析：该几何体是正方体去掉两个角所形成的多面体，如图所示，其体积为V＝2×2×2－2×××1×1×1＝.
答案：A
8．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( )
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
解析：如图所示，取A1B1的中点M，连接GM，HM.由题意易知EF∥GM，且△GMH为正三角形．所以异面直线EF与GH所成的角即为GM与GH的夹角∠HGM.而在正三角形GMH中∠HGM＝60°.
答案：B
9．若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是( )
A.
B.∪
C.
D.∪
解析：C1：(x－1)2＋y2＝1，
C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)．
如图所示，当m＝0时，C2：y＝0，此时C1与C2显然只有两个交点；
当m≠0时，要满足题意，需圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝m(x＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m＝±，
即直线处于两切线之间时满足题意，
则－答案：B
10．已知实数x，y满足x2＋y2＝4，则S＝x2＋y2－6x－8y＋25的最大值和最小值分别为( )
A．49，9
B．7，3
C.，
D．7，
解析：函数S＝x2＋y2－6x－8y＋25化为(x－3)2＋(y－4)2＝S，它是以点C(3，4)为圆心，半径为的圆，当此圆和已知圆x2＋y2＝4外切和内切时，对应的S的值即为要求的最小值和最大值．当圆C与已知圆x2＋y2＝4相外切时，对应的S为最小值，此时两圆圆心距等于两圆半径之和，即5＝＋2，求得Smin＝9；当圆C与已知圆x2＋y2＝4相内切时，对应的S为最大值，此时两圆圆心距等于两圆半径之差，即5＝－2，求得Smax＝49.
答案：A
11．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析：圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则圆心在直线上，求得a＋b＝1，ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－＋≤，ab的取值范围是，故选A.
答案：A
12．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25
B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
解析：设动圆圆心为P，已知圆的圆心为A(5，－7)，则外切时|PA|＝5，内切时|PA|＝3，所以P的轨迹为以A为圆心，3或5为半径的圆，选D.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)
13．若函数y＝ax＋8与y＝－x＋b的图象关于直线y＝x对称，则a＋b＝________．
解析：直线y＝ax＋8关于y＝x对称的直线方程为x＝ay＋8，
所以x＝ay＋8与y＝－x＋b为同一直线，
故得所以a＋b＝2.
答案：2
14．圆x2＋(y＋1)2＝3绕直线kx－y－1＝0旋转一周所得的几何体的表面积为________．
解析：由题意，圆心为(0，－1)，又直线kx－y－1＝0恒过点(0，－1)，所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径，所以S＝4π()2＝12π.
答案：12π
15．过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
解析：借助圆的几何性质，确定圆的最短弦的位置，利用半径、弦心距及半弦长的关系求弦长．
设A(3，1)，易知圆心C(2，2)，半径r＝2，
当弦过点A(3，1)且与|CA|＝＝.
所以半弦长＝＝＝.
所以最短弦长为2.
答案：2
16．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm3.
解析：由三视图可知该几何体为一个直三棱柱被截去了一个小三棱锥，如图所示．三棱柱的底面为直角三角形，且直角边长分别为3和4，三棱柱的高为5，故其体积V1＝×3×4×5＝30(cm3)，小三棱锥的底面与三棱柱的上底面相同，高为3，故其体积V2＝××3×4×3＝6(cm3)，
所以所求几何体的体积为30－6＝24(cm3)．
答案：24
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知两条直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m，n的值，使：
(1)l1与l2相交于点(m，－1)；
(2)l1∥l2；
(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
解：(1)因为l1与l2相交于点(m，－1)，
所以点(m，－1)在l1，l2上．
将点(m，－1)代入l2，得2m－m－1＝0，解得m＝1.
又因为m＝1，把(1，－1)代入l1，所以n＝7.
故m＝1，n＝7.
(2)要使l1∥l2，则有
解得或
(3)要使l1⊥l2，则有m·2＋8×m＝0，得m＝0.
则l1为y＝－，由于l1在y轴上的截距为－1，
所以－＝－1，即n＝8.故m＝0，n＝8.
18．(本小题满分12分)有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72
cm，要剪下来一个扇环形ABCD，作圆台容器的侧面，并且在余下的扇形OCD内能剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台容器的下底面(大底面)．
(1)AD应取多长？
(2)容器的容积为多大？
解：(1)如图①和图②所示，设圆台上、下底面半径分别为r，R，AD＝x，则OD＝72－x.
图①
图②
由题意得
所以R＝12，r＝6，x＝36，
所以AD＝36
cm.
(2)圆台所在圆锥的高H＝＝12，
圆台的高h＝＝6，小圆锥的高h′＝6，
所以V容＝V大锥－V小锥＝πR2H－πr2h′＝504π.
19．(本小题满分12分)如图所示，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，
AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：
(1)平面EFG∥平面ABC；
(2)BC⊥SA.
证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，
垂足为F，所以F是SB的中点．
又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.
因为EF 平面ABC，AB 平面ABC，所以EF∥平面ABC.
同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，
所以平面EFG∥平面ABC.
(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF 平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.
因为BC 平面SBC，所以AF⊥BC.
又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF 平面SAB，AB 平面SAB.所以BC⊥平面SAB.
因为SA 平面SAB，所以BC⊥SA.
20．(本小题满分12分)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解：(1)设AP中点为M(x，y)，
由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)．
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，
设O为坐标原点，连接ON，
则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2.
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
21．(本小题满分12分)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求证：C1F∥平面ABE；
(3)求三棱锥E-ABC的体积．
(1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，
BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.
又因为AB⊥BC，
所以AB⊥平面B1BCC1.
又AB 平面ABE，
所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)证明：如图所示，取AB的中点G，连接EG，FG.
因为E，F分别是A1C1，BC的中点，
所以FG∥AC，且FG＝AC.
因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，
所以FG∥EC1，且FG＝EC1，
所以四边形FGEC1为平行四边形．所以C1F∥EG.
又因为EG 平面ABE，C1F 平面ABE，
所以C1F∥平面ABE.
(3)解：因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，
所以AB＝＝.
所以三棱锥E-ABC的体积
V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.
22．(本小题满分12分)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
解：(1)圆C1的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
所以圆C1的圆心坐标为(3，0)．
(2)设动直线l的方程为y＝kx.
联立 (k2＋1)x2－6x＋5＝0，
则Δ＝36－4(k2＋1)×5>0 k2<.
设A，B两点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x1＋x2＝ AB中点M的轨迹C的参数方程为
即轨迹C的方程为＋y2＝，(3)联立 (1＋k2)x2－(3＋8k)x＋16k2＝0.
令Δ＝(3＋8k)2－4(1＋k2)16k2＝0 k＝±.
又因为轨迹C(即圆弧)的端点与点(4，0)决定的直线斜率为±.
所以当直线y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为∪.
PAGE第2章
平面解析几何初步
2.2
圆与方程
2.2.2
直线与圆的位置关系
A组 基础巩固
1．直线x＋2y－1＝0与圆2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是( )
A．相离
B．相切
C．相交但直线不过圆心
D．相交且直线过圆心
解析：圆心坐标为，半径长r＝，圆心到直线的距离d＝答案：C
2．若直线ax＋by＝1与圆C：x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆C的位置关系是( )
A．P在圆内
B．P在圆外
C．P在圆上
D．不确定
解析：因为直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，
所以圆心到直线的距离d＝<1，
所以a2＋b2>1.
答案：B
3．过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1相切，则直线l的倾斜角是( )
A．0°
B．45°
C．0°或45°
D．0°或60°
解析：设过点P的直线方程为y＝k(x＋)－1，则由直线与圆相切知＝1，解得k＝0或k＝，故直线l的倾斜角为0°或60°.
答案：D
4．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( )
A.
B．2
C.
D．2
解析：直线的方程为y＝x，圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心(0，2)到直线的距离d＝＝1，
知所求弦长为d＝2＝2.
答案：D
5．过点(1，1)的直线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．2
B．4
C．2
D．5
解析：当圆心和点(1，1)的连线与AB垂直时，弦心距最大，|AB|最小；易知弦心距的最大值为＝，故|AB|的最小值为2＝4.
答案：B
6．由直线y＝x＋1上的点向圆C：x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )
A．1
B．2
C.
D．3
解析：圆C的方程可变为：(x－3)2＋y2＝1，圆心C(3，0)，半径为1.直线y＝x＋1上点P(x0，y0)到圆心C的距离|PC|与切线长d满足d＝＝eq
\r(（x0－3）2＋y－12)＝eq
\r(2x－4x0＋9)＝≥
.
答案：C
7．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意可得，圆心坐标为(a，0)，半径r＝，圆心到直线的距离d＝≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1，所以a的取值范围是－3，1]．
答案：－3，1]
8．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为2，则a＝________．
解析：因为AB＝2，R＝2，所以圆心(1，2)到直线ax－y＋3＝0的距离为＝1，即＝1，所以a＝0.
答案：0
B级 能力提升
9．若过点A(4，0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为( )
A．－，
]
B．(－，3)
C.
D.
解析：设直线为y＝k(x－4)，
即kx－y－4k＝0，圆心(2，0)到直线的距离
d＝＝，
d应满足d≤r，即≤1，解得k∈.
答案：C
10．设直线l过点P(－2，0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是( )
A．±1
B．±
C．±
D．±
解析：设l：y＝k(x＋2)即kx－y＋2k＝0.
又l与圆相切，所以＝1.所以k＝±.
答案：C
11．直线(x＋1)a＋(y＋1)b＝0与圆x2＋y2＝2的位置关系是____________．
解析：直线方程为ax＋by＋a＋b＝0过定点(－1，－1)，
又(－1，－1)在圆x2＋y2＝2上，故直线和圆相切或相交．
答案：相切或相交
12．在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________．
解析：因为直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)恒过点(2，－1)，
所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，
此时半径r＝＝，
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
答案：(x－1)
2＋y2＝2
13．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是________________________．
解析：设所求直线的方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，则＝，所以c＝±5，故所求直线的方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.
答案：2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
14．一条光线从点A(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为_______________．
解析：圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为C(－3，2)，半径r＝1.如图所示，作点A(－2，－3)关于y轴的对称点B(2，－3)．
由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点B(2，－3)．
设反射光线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为
y－(－3)＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.
由反射光线与圆相切可得＝1，
即|5k＋5|＝，整理得12k2＋25k＋12＝0，
即(3k＋4)(4k＋3)＝0，解得k＝－或k＝－.
答案：k＝－或k＝－
15．当b取何值时，直线y＝x＋b与曲线y＝；
(1)有一个公共点；
(2)有两个公共点；
(3)没有公共点．
解：由y＝得，y2＝1－x2(y≥0)，
即x2＋y2＝1(y≥0)．
由此可知，曲线y＝是x2＋y2＝1位于x轴上方的半圆，当直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相切时，b＝±，
故知直线与半圆y＝相切时，b＝.
将点(1，0)的坐标代入直线方程y＝x＋b得，0＝1＋b，解得b＝－1；将点(－1，0)的坐标代入直线方程y＝x＋b得，0＝－1＋b，解得b＝1.
如图所示，可知：
(1)当b＝或－1≤b＜1时，直线与曲线只有一个公共点；
(2)当1≤b＜时，直线与曲线有两个公共点；
(3)当b
＜－1或b＞时，直线与曲线没有公共点．
16．已知圆(x－1)2＋(y＋1)2＝R2，直线4x＋3y＝11，问当圆半径R取何值时，圆上：
(1)有一点到直线的距离等于1；
(2)有两点到直线的距离等于1；
(3)有三点到直线的距离等于1；
(4)有四点到直线的距离等于1.
解：圆心C(1，－1)到直线4x＋3y－11＝0的距离
d＝＝2.
(1)当R＝1时，圆上仅有一个点到直线的距离等于1；
(2)当1＜R＜3时，圆上有两个点到直线的距离等于1；
(3)当R＝3时，圆上有三个点到直线的距离等于1；
(4)当R＞3时，圆上有四个点到直线的距离等于1.
PAGE第1章
立体几何初步
1.1
空间几何体
1.1.4
直观图画法
A组 基础巩固
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( )
A．原来相交的线段仍相交
B．原来垂直的线段仍垂直
C．原来平行的线段仍平行
D．原来共点的线段仍共点
解析：根据斜二测画法可知，原来垂直的线段未必垂直．
答案：B
2．建立坐标系，得到的两个正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )
解析：由斜二测画法规则易知A、B、D中的直观图全等．
答案：C
3．利用斜二测画法画边长为1
cm的正方形的直观图，正确的是( )
解析：正方形的直观图应为平行四边形且平行于y′轴的线段的长度减半，故只有C正确．
答案：C
4．下图为一平面图形的直观图，因此平面图形可能是( )
解析：根据直观图，平面图形的一边在x′轴上，另一边与y′轴平行，故此平面图形是左边为直角腰的直角梯形．
答案：C
5．如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′C′＝
A′B′，那么△ABC是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
解析：由直观图看出，三角形中有两边分别和两轴平行且相等，由斜二测画法知原图中相应两边与两轴平行，即有两边垂直且不等，所以原三角形为直角三角形．
答案：B
6．利用斜二测画法得到的：
①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形；⑤梯形的直观图是梯形．以上结论，正确的是________(填序号)．
解析：因平行性不改变，故②正确，①也正确，梯形的两底保持平行且不相等，故⑤也正确；平行于y轴的线段，长度变为原来的一半，故③④不正确．
答案：①②⑤
7．如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是________(填序号)．
①
② ③ ④
解析：根据斜二测画法知，在y轴上的线段长度为直观图中相应线段长度的2倍，可知①正确．
答案：①
B级 能力提升
8.如图所示，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边
O′B′＝1，则这个平面图形的面积是( )
A．2
B．1
C.
D．4
解析：设这个平面图形为△OAB.因为O′B′＝1，所以O′A′＝.所以在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OB＝1，OA＝2，所以S△AOB＝×1×2＝.
答案：C
9.如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1
cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )
A．8
cm
B．6
cm
C．2(1＋)cm
D．2(1＋)cm
解析：根据直观图的画法，原几何图形如图所示，
四边形OABC为平行四边形，OB＝2，OA＝1，AB＝3，从而原图周长为8
cm.
答案：A
10．有一个长为5
cm，宽为4
cm的矩形，则其直观图的面积为________．
解析：该矩形的面积为S＝5×4＝20(cm2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得直观图的面积为S′＝S＝5cm2.
答案：5
11．画出水平放置的等腰梯形的直观图．
解：等腰梯形及其直观图如图①和图②所示．
(1)如图①所示，取AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，画出对应的直观图中的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)．
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴并使C′D′＝CD.
(3)连接B′C′，D′A′，如图②所示，所得到的四边形A′B′C′D′即是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．
12．下图是已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
解：(1)画轴，如图①所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画圆台的两底面．画出底面⊙O假设交x轴于A，B两点，在z轴上取点O′，使OO′等于三视图中相应高度，过点O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′.利用O′x′与O′y′画出底面⊙O′，设⊙O′交x′轴于A′，B′两点．
(3)成图，连接A′A，B′B.去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得到给出三视图所表示的直观图，如图②所示．
13．如果一个水平放置的图形的斜二测画法得到的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是多少？
解：由题意，知原图形为直角梯形，且上底为1，下底为1＋，高为2，所以实际图形的面积＝＝2＋.
PAGE章末过关检测卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( )
A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面
解析：无论l在α内，还是与α平行或相交，都可在α内找到一条直线与l垂直．
答案：C
2．对两条异面直线a与b，必存在平面α，使得( )
A．a α，b α
B．a α，b∥α
C．a⊥α，b⊥α
D．a α，b⊥α
解析：已知两条异面直线a和b，可以在直线a上任取一点A，则A b.过点A作直线c∥b，则过a，c确定平面α，且使得a α，b∥α.
答案：B
3．已知直线m，n和平面α，β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则( )
A．n⊥β
B．n∥β或n β
C．n⊥α
D．n∥α或n α
解析：在平面β内作直线l垂直于α，β的交线，则由α⊥β得直线l⊥α.又因为m⊥α，所以l∥m.若m β，要满足题中限制条件，显然只能n∥α或n α；同理m β，仍有n∥α或n α.综上所述，D正确．
答案：D
4．已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题正确的是( )
A．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
C．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
D．若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n
解析：对于A，m与n还可能平行或相交或异面；对于C，m与n还可能相交或异面；对于D，m与n还可能相交或异面．
答案：B
5．(2015·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )
A．8
cm3
B．12
cm3
C.
cm3
D.
cm3
解析：该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2
cm的正方体，体积V1＝2×2×2＝8(cm3)；上面是底面边长为2
cm，高为2
cm的正四棱锥，体积V2＝×2×2×2＝(cm3)，所以该几何体的体积V＝V1＋V2＝(cm3)．
答案：C
6．(2015·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )
A．2＋
B．4＋
C．2＋2
D．5
解析：该三棱锥的直观图如图所示，且过点D作DE⊥BC，交BC于点E，连接AE，则BC＝2，EC＝1，AD＝1，ED＝2，
S表＝S△BCD＋S△ACD＋S△ABD＋S△ABC＝×2×2＋××1＋××1＋×2×＝2＋2.
答案：C
7．(2015·课标全国Ⅰ卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( )
A．1
B．2
C．4
D．8
解析：由题意知，2r·2r＋·2πr·2r＋πr2＋πr2＋·4πr2＝4r2＋5πr2＝16＋20π，解得r＝2.
答案：B
8．(2015·广东卷)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )
A．大于5
B．等于5
C．至多等于4
D．至多等于3
解析：当n＝3时显然成立，故排除A、B；由正四面体的四个顶点，两两距离相等，得n＝4时成立．
答案：C
9．如左下图所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8
cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6
cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )
A.cm3
B.cm3
C.cm3
D.cm3
解析：作出该球轴截面的图象，如图所示，依题意BE＝2，AE＝CE＝4，
设DE＝x，故AD＝2＋x，因为AD2＝AE2＋DE2，解得x＝3，故该球的半径AD＝5，所以V＝πR3＝(cm3)．
答案：A
10.如图所示，等边三角形ABC的边长为4，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将△AMN折起，使得平面AMN与平面MNCB所成的二面角为30°，则四棱锥A-MNCB的体积为( )
A.
B.
C.
D．3
解析：如图所示，作出二面角A-MNB的平面角∠AED，AO为△AED底边ED上的高，也是四棱锥A-MNCB的高．
由题意，得AO＝.
V＝××3＝.
答案：A
11．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是( )
A．1∶2
B．2∶3
C．1∶3
D．1∶4
答案：B
12．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD的长度为( )
A．13
B.
C．12
D．15
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)
13．已知正四棱锥O-ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．
解析：设正四棱锥的高为h，则×()2h＝，解得高h＝.底面正方形的对角线长为×＝，所以OA＝＝，所以球的表面积为4π()2＝24π.
答案：24π
14．(2014·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．
解析：根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥P-ABC，由三视图的形状特征及数据，可推知PA⊥平面ABC，且PA＝2.底面为等腰三角形，AB＝BC，设D为AC中点，AC＝2，则AD＝DC＝1，且BD＝1，易得AB＝BC＝，所以最长的棱为PC，PC＝＝2.
答案：2
15．(2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．
解析：底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为π·52×4＋π·22×8＝.设新的圆锥和圆柱的底面半径为r，则π·r2·4＋π·r2×8＝r2＝，解得r＝.
答案：
16．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．
解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，
则2πr1h1＝2πr2h2，所以＝，
又＝eq
\f(πr,πr)＝，
所以＝.
所以＝eq
\f(πrh1,πrh2)＝eq
\f(r,r)·＝eq
\f(r,r)·＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2014·课标全国Ⅱ卷)如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)设AP＝1，AD＝，三棱锥P-ABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离．
(1)证明：如图所示，设BD与AC的交点为O，连接EO.因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD的中点．
又E为PD的中点，
所以EO∥PB.
因为EO 平面AEC，PB 平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
(2)解：由V＝PA·AB·AD＝AB，又V＝，可得AB＝.作AH⊥PB交PB于点H.由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH.
故AH⊥平面PBC.
在Rt△PAB中，由勾股定理可得PB＝，
所以AH＝＝.
所以A到平面PBC的距离为.
18．(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BCD＝60°.已知PB＝PD＝2，PA＝.
(1)证明：PC⊥BD；
(2)若E为PA的中点，求三棱锥P-BCE的体积．
(1)证明：如图所示，连接BD，AC交于点O.
因为PB＝PD，
所以PO⊥BD.
又因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.而AC∩PO＝O，
所以BD⊥面PAC.所以BD⊥PC.
(2)解：由(1)知BD⊥面PAC.
由已知得BD＝2，AC＝2，PO＝.
所以S△PEC＝S△PAC＝××2×＝.
所以VP-BCE＝VB-PEC＝·S△PEC·BO＝××1＝.
19．(本小题满分12分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．
解：设扇形的半径和圆锥的母线都为l，圆锥的底面半径为r，
则πl2＝3π，l＝3；×3＝2πr，r＝1；
S表面积＝S侧面＋S底面＝πrl＋πr2＝4π，
V＝Sh＝×π·12×2＝π.
20．(本小题满分12分)一个几何体按比例绘制出的三视图如图所示(单位：m)．
(1)试画出其直观图；
(2)求它的体积．
解：(1)几何体的直观图如图所示．
(2)由直观图知，该几何体可看成底面立起来的四棱柱，其体积为V＝×(1＋2)×1×1＝(m3)．
21.(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
(1)求三棱锥E-PAD的体积；
(2)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
(3)求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF.
(1)解：因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AD，
所以三棱锥E-PAD的体积为V＝S△PAD·AB＝××1××1＝.
(2)解：当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．
因为在△PBC中，E，F分别为BC，PB的中点，
所以EF∥PC.又EF 平面PAC，而PC 平面PAC，
所以EF∥平面PAC.
(3)证明：因为PA⊥平面ABCD，BE 平面ABCD，
所以EB⊥PA.
因为EB⊥AB，AB∩AP＝A，AB，AP 平面PAB，
所以EB⊥平面PAB.
又因为AF 平面PAB，
所以AF⊥BE.
因为PA＝AB＝1，点F是PB的中点，所以AF⊥PB.
因为PB∩BE＝B，PB，BE 平面PBE，
所以AF⊥平面PBE.
因为PE 平面PBE，所以AF⊥PE.
22．(本小题满分12分)(2014·广东卷)如图①所示，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，按图②方式折叠，折痕EF//DC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.
(1)证明：CF⊥平面MDF；
(2)求三棱锥M-CDE的体积．
(1)证明：如图所示，因为PD⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以PD⊥AD.
又因为ABCD是矩形，
CD⊥AD，PD与CD交于点D，
所以AD⊥平面PCD.
又CF 平面PCD，
所以AD⊥CF，即MD⊥CF.
又MF⊥CF，MD∩MF＝M，
所以CF⊥平面DMF.
(2)解：因为PD⊥DC，BC＝2，CD＝1，∠PCD＝60°，
所以PD＝，由(1)知FD⊥CF，
在直角三角形DCF中，CF＝CD＝.
过点F作FG⊥CD，
得FG＝FGsin
60°＝×＝，
所以DE＝FG＝，故ME＝PE＝－＝.
所以MD＝＝
＝.
S△CDE＝DE·DC＝××1＝.
故VM
-
CDE＝MD·S△CDE＝××＝.
PAGE第1章
立体几何初步
1.2
点、线、面之间的位置关系
1.2.1
平面的基本性质
A组 基础巩固
1．下列有关平面的说法正确的是( )
A．平行四边形是一个平面
B．任何一个平面图形都是一个平面
C．平静的太平洋面就是一个平面
D．圆和平行四边形都可以表示平面
解析：我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，故A项不正确；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故B项不正确；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C项不正确；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面．
答案：D
2.如图所示，用符号语言可表示为( )
A．α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B．α∩β＝m，n∈a，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n α，A m，A n
D．α∩β＝m，n∈a，A∈m，A∈n
解析：α与β交于m，n在α内，m与n交于A.
答案：A
3．下列说法正确的是( )
A．经过三点确定一个平面
B．两条直线确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．不共面的四点可以确定4个平面
解析：对于A，若三点共线，则错误；对于B项，若两条直线既不平行，也不相交，则错误；对于C项，空间四边形就不只确定一个平面．
答案：D
4．一条直线和直线外的三点所确定的平面有( )
A．1个或3个
B．1个或4个
C．1个，3个或4个
D．1个，2个或4个
解析：若三点在同一直线上，且与已知直线平行或相交，或该直线在由该三点确定的平面内，则均确定1个平面；若三点有两点连线和已知直线平行时可确定3个平面；若三点不共线，且该直线在由该三点确定的平面外，则可确定4个平面．
答案：C
5.如图所示，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，C∈β，C l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过点________．
解析：根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．
答案：C和D
6．空间任意四点可以确定________个平面．
解析：若四点共线，可确定无数个平面；若四点共面不共线，可确定一个平面；若四点不共面，可确定四个平面．
答案：1个或4个或无数
7．下列命题说法正确的是________(填序号)．
①空间中两两相交的三条直线确定一个平面；
②一条直线和一个点能确定一个平面；
③梯形一定是平面图形．
解析：根据三个公理及推论知①②均不正确．
答案：③
8．下列各图的正方体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则使这四个点共面的图形是________(把正确图形的序号都填上)．
解析：①中PS∥RQ，③中SR∥PQ，由推论3知四点共面．
答案：①③
9．点A在直线l上但不在平面α内，则l与α的公共点有__________个．
答案：0或1
10．根据下列条件，画出图形：平面α∩平面β＝AB，直线CD α，CD∥AB，E∈CD，直线EF∩β＝F，F AB.
解：由题意画出图形如图所示．
B级 能力提升
11．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E，则B，E，D1三点的关系是________________________．
解析：连接AC、A1C1、AC1，(图略)则E为A1C与AC1的交点，故E为AC1的中点．又ABC1D1为平行四边形，所以B，E，D1三点共线．
答案：共线
12．下列叙述中，正确的是________(填序号)．
①若点P在直线l上，点P在直线m上，点P在直线n上，则l，m，n共面；
②若点P在直线l上，点P在直线m上，则l，m共面；
③若点P不在直线l上，点P不在直线m上，点P不在直线n上，则l，m，n不共面；
④若点P不在直线l上，点P不在直线m上，则l，m不共面；
⑤若点P在直线l上，点P不在直线m上，则l，m不共面．
解析：因为P∈l，P∈m，所以l∩m＝P.由推论2知，l，m共面．
答案：②
13.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．
证明：因为MN∩EF＝Q，
所以Q∈直线MN，Q∈直线EF.
又因为M∈直线CD，N∈直线AB，
CD 平面ABCD，AB 平面ABCD，
所以M，N 平面ABCD.所以MN 平面ABCD.所以Q∈平面ABCD.
同理，可得EF 平面ADD1A1.
所以Q∈平面ADD1A1.
又因为平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，
所以Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．
14．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，AB的中点，求证：D1E，CF，DA三线共点．
证明：如图所示，连接EF，A1B，D1C，
因为E，F为AA1，AB的中点，
所以EF綊A1B.
又因为A1B綊D1C，所以EF綊D1C.
故直线D1E，CF在同一个平面内，且D1E，CF不平行，则D1E，CF必相交于一点，设该点为M.
又因为M∈平面ABCD且M∈平面ADD1A1，
所以M∈AD，即D1E、CF、DA三线共点．
15.如图所示，在四面体ABCD中，E，G，H，F分别为BC，AB，AD，CD上的点，EG∥HF，且HF证明：因为EG∥HF，
所以E，F，H，G四点共面，
又HF如图所示，延长GH和EF交于一点O，
因为GH在平面ABD内，EF在平面BCD内，
所以点O既在平面ABD内，又在平面BCD内．
所以点O在这两个平面的交线上，而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条．
所以点O在直线BD上．
所以GH和EF的交点在BD上，
即EF，GH，BD交于一点．
16.已知：如图所示，a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：a，b，c，l四线共面．
证明：因为a∥b，所以a，b确定一个平面α.
因为A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.
所以AB α，即l α.同理，
由b∥c，得b，c确定一个平面β，可证l β.
所以l，b α，l，b β.
因为l∩b＝B，所以l，b只能确定一个平面．
所以α与β重合．故c在平面α内．
所以a，b，c，l四线共面．
PAGE章末过关检测卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( )
A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面
解析：无论l在α内，还是与α平行或相交，都可在α内找到一条直线与l垂直．
答案：C
2．对两条异面直线a与b，必存在平面α，使得( )
A．a α，b α
B．a α，b∥α
C．a⊥α，b⊥α
D．a α，b⊥α
解析：已知两条异面直线a和b，可以在直线a上任取一点A，则A b.过点A作直线c∥b，则过a，c确定平面α，且使得a α，b∥α.
答案：B
3．已知直线m，n和平面α，β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则( )
A．n⊥β
B．n∥β或n β
C．n⊥α
D．n∥α或n α
解析：在平面β内作直线l垂直于α，β的交线，则由α⊥β得直线l⊥α.又因为m⊥α，所以l∥m.若m β，要满足题中限制条件，显然只能n∥α或n α；同理m β，仍有n∥α或n α.综上所述，D正确．
答案：D
4．已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题正确的是( )
A．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
C．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
D．若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n
解析：对于A，m与n还可能平行或相交或异面；对于C，m与n还可能相交或异面；对于D，m与n还可能相交或异面．
答案：B
5．(2015·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )
A．8
cm3
B．12
cm3
C.
cm3
D.
cm3
解析：该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2
cm的正方体，体积V1＝2×2×2＝8(cm3)；上面是底面边长为2
cm，高为2
cm的正四棱锥，体积V2＝×2×2×2＝(cm3)，所以该几何体的体积V＝V1＋V2＝(cm3)．
答案：C
6．(2015·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )
A．2＋
B．4＋
C．2＋2
D．5
解析：该三棱锥的直观图如图所示，且过点D作DE⊥BC，交BC于点E，连接AE，则BC＝2，EC＝1，AD＝1，ED＝2，
S表＝S△BCD＋S△ACD＋S△ABD＋S△ABC＝×2×2＋××1＋××1＋×2×＝2＋2.
答案：C
7．(2015·课标全国Ⅰ卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( )
A．1
B．2
C．4
D．8
解析：由题意知，2r·2r＋·2πr·2r＋πr2＋πr2＋·4πr2＝4r2＋5πr2＝16＋20π，解得r＝2.
答案：B
8．(2015·广东卷)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )
A．大于5
B．等于5
C．至多等于4
D．至多等于3
解析：当n＝3时显然成立，故排除A、B；由正四面体的四个顶点，两两距离相等，得n＝4时成立．
答案：C
9．如左下图所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8
cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6
cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )
A.cm3
B.cm3
C.cm3
D.cm3
解析：作出该球轴截面的图象，如图所示，依题意BE＝2，AE＝CE＝4，
设DE＝x，故AD＝2＋x，因为AD2＝AE2＋DE2，解得x＝3，故该球的半径AD＝5，所以V＝πR3＝(cm3)．
答案：A
10.如图所示，等边三角形ABC的边长为4，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将△AMN折起，使得平面AMN与平面MNCB所成的二面角为30°，则四棱锥A-MNCB的体积为( )
A.
B.
C.
D．3
解析：如图所示，作出二面角A-MNB的平面角∠AED，AO为△AED底边ED上的高，也是四棱锥A-MNCB的高．
由题意，得AO＝.
V＝××3＝.
答案：A
11．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是( )
A．1∶2
B．2∶3
C．1∶3
D．1∶4
答案：B
12．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD的长度为( )
A．13
B.
C．12
D．15
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)
13．已知正四棱锥O-ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．
解析：设正四棱锥的高为h，则×()2h＝，解得高h＝.底面正方形的对角线长为×＝，所以OA＝＝，所以球的表面积为4π()2＝24π.
答案：24π
14．(2014·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．
解析：根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥P-ABC，由三视图的形状特征及数据，可推知PA⊥平面ABC，且PA＝2.底面为等腰三角形，AB＝BC，设D为AC中点，AC＝2，则AD＝DC＝1，且BD＝1，易得AB＝BC＝，所以最长的棱为PC，PC＝＝2.
答案：2
15．(2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．
解析：底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为π·52×4＋π·22×8＝.设新的圆锥和圆柱的底面半径为r，则π·r2·4＋π·r2×8＝r2＝，解得r＝.
答案：
16．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．
解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，
则2πr1h1＝2πr2h2，所以＝，
又＝eq
\f(πr,πr)＝，
所以＝.
所以＝eq
\f(πrh1,πrh2)＝eq
\f(r,r)·＝eq
\f(r,r)·＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2014·课标全国Ⅱ卷)如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)设AP＝1，AD＝，三棱锥P-ABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离．
(1)证明：如图所示，设BD与AC的交点为O，连接EO.因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD的中点．
又E为PD的中点，
所以EO∥PB.
因为EO 平面AEC，PB 平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
(2)解：由V＝PA·AB·AD＝AB，又V＝，可得AB＝.作AH⊥PB交PB于点H.由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH.
故AH⊥平面PBC.
在Rt△PAB中，由勾股定理可得PB＝，
所以AH＝＝.
所以A到平面PBC的距离为.
18．(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BCD＝60°.已知PB＝PD＝2，PA＝.
(1)证明：PC⊥BD；
(2)若E为PA的中点，求三棱锥P-BCE的体积．
(1)证明：如图所示，连接BD，AC交于点O.
因为PB＝PD，
所以PO⊥BD.
又因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.而AC∩PO＝O，
所以BD⊥面PAC.所以BD⊥PC.
(2)解：由(1)知BD⊥面PAC.
由已知得BD＝2，AC＝2，PO＝.
所以S△PEC＝S△PAC＝××2×＝.
所以VP-BCE＝VB-PEC＝·S△PEC·BO＝××1＝.
19．(本小题满分12分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．
解：设扇形的半径和圆锥的母线都为l，圆锥的底面半径为r，
则πl2＝3π，l＝3；×3＝2πr，r＝1；
S表面积＝S侧面＋S底面＝πrl＋πr2＝4π，
V＝Sh＝×π·12×2＝π.
20．(本小题满分12分)一个几何体按比例绘制出的三视图如图所示(单位：m)．
(1)试画出其直观图；
(2)求它的体积．
解：(1)几何体的直观图如图所示．
(2)由直观图知，该几何体可看成底面立起来的四棱柱，其体积为V＝×(1＋2)×1×1＝(m3)．
21.(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
(1)求三棱锥E-PAD的体积；
(2)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
(3)求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF.
(1)解：因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AD，
所以三棱锥E-PAD的体积为V＝S△PAD·AB＝××1××1＝.
(2)解：当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．
因为在△PBC中，E，F分别为BC，PB的中点，
所以EF∥PC.又EF 平面PAC，而PC 平面PAC，
所以EF∥平面PAC.
(3)证明：因为PA⊥平面ABCD，BE 平面ABCD，
所以EB⊥PA.
因为EB⊥AB，AB∩AP＝A，AB，AP 平面PAB，
所以EB⊥平面PAB.
又因为AF 平面PAB，
所以AF⊥BE.
因为PA＝AB＝1，点F是PB的中点，所以AF⊥PB.
因为PB∩BE＝B，PB，BE 平面PBE，
所以AF⊥平面PBE.
因为PE 平面PBE，所以AF⊥PE.
22．(本小题满分12分)(2014·广东卷)如图①所示，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，按图②方式折叠，折痕EF//DC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.
(1)证明：CF⊥平面MDF；
(2)求三棱锥M-CDE的体积．
(1)证明：如图所示，因为PD⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以PD⊥AD.
又因为ABCD是矩形，
CD⊥AD，PD与CD交于点D，
所以AD⊥平面PCD.
又CF 平面PCD，
所以AD⊥CF，即MD⊥CF.
又MF⊥CF，MD∩MF＝M，
所以CF⊥平面DMF.
(2)解：因为PD⊥DC，BC＝2，CD＝1，∠PCD＝60°，
所以PD＝，由(1)知FD⊥CF，
在直角三角形DCF中，CF＝CD＝.
过点F作FG⊥CD，
得FG＝FGsin
60°＝×＝，
所以DE＝FG＝，故ME＝PE＝－＝.
所以MD＝＝
＝.
S△CDE＝DE·DC＝××1＝.
故VM
-
CDE＝MD·S△CDE＝××＝.
PAGE第1章
立体几何初步
1.2
点、线、面之间的位置关系
1.2.3
直线与平面的位置关系
A组 基础巩固
1．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线( )
A．只有一条，不在平面α内
B．只有一条，在平面α内
C．有两条，不一定都在平面α内
D．有无数条，不一定都在平面α内
解析：如图所示，
因为l∥平面α，P∈α，
所以直线l与点P确定一个平面β，
α∩β＝m.
所以P∈m.所以l∥m且m是唯一的．
答案：B
2．三棱锥S-ABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )
A．EF与BC相交
B．EF与BC平行
C．EF与BC异面
D．以上均有可能
解析：由线面平行的性质定理可知EF∥BC.
答案：B
3.如图所示，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( )
A．MN∥PD
B．MN∥PA
C．MN∥AD
D．以上均有可能
解析：因为MN∥平面PAD，MN 平面PAC，
平面PAD∩平面PAC＝PA，
所以MN∥PA.
答案：B
4．下列说法中正确的个数是( )
①若直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内任意一条直线垂直，则l⊥α；
③若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：对③，不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的．正确的是①②.
答案：B
5．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( )
A．有且只有一个
B．至多一个
C．有一个或无数个
D．不存在
解析：若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．
答案：B
6．(2014·浙江卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面成立的是( )
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
解析：根据条件确定相应的位置关系，再对照选项确定答案．
A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以
m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m α，错误．
答案：C
7．线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
解析：如图所示，AC⊥α，AB∩α＝B，
则BC是AB在平面α内的射影，
则BC＝AB，所以∠ABC＝60°，
它是AB与平面α所成的角．
答案：C
8．设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题：
①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；
②若PA，PB，PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；
③若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则PA＝PB＝PC；
④若PA＝PB＝PC，则H是△ABC的外心．
其中正确命题的序号是________．
解析：根据线面垂直的定义及有关垂心、外心的概念来判断．
答案：①②③④
9．给出下列命题：
①垂直于同一平面的两条直线互相平行；
②垂直于同一直线的两个平面互相平行；
③过一点和已知平面垂直的直线只有一条；
④过一点和已知直线垂直的平面只有一个．
其中正确的命题的序号是________．
解析：由线面垂直的性质知①②③④均正确．
答案：①②③④
10.如图所示，四面体PABC中，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，则图中直角三角形有________．
解析：因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥AC，PA⊥AB.
所以△PAC、△PAB均为直角三角形，且底面△ABC也是直角三角形．由BC⊥AB，BC⊥PA
知
BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB.
所以△PBC也是直角三角形，故直角三角形有4个．
答案：4个
11．以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)：
①若a∥b，b α，则a∥α；
②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a∥b，b∥α，则a∥α；
④若a∥α，b α，则a∥b.
其中正确命题的个数是________．
解析：用定理来判定线面平行需满足三个条件．
答案：0
12.如图所示，△BCD是等腰直角三角形，斜边CD的长等于点P到BC的距离，D是P在平面BCD上的射影．
(1)求PB与平面BCD所成的角；
(2)求BP与平面PCD所成的角．
解：(1)因为PD⊥平面BCD，
所以BD是PB在平面BCD内的射影．
所以∠PBD为PB与平面BCD所成的角．
因为BD⊥BC，由三垂线定理得BC⊥BP，
又因为CD的长等于点P到BC的距离，
所以BP＝CD.
设BC＝a，则BD＝a，BP＝CD＝a，
所以在Rt△BPD中，cos∠DBP＝.
所以∠DBP＝45°，
即PB与平面BCD所成角为45°.
(2)如图所示，过点B作BE⊥CD于点E，连接PE.
由PD⊥平面BCD得PD⊥BE，又PD∩CD＝D，
所以BE⊥平面PCD.
所以∠BPE为BP与平面PCD所成的角．
在Rt△BEP中，由(1)知：
BE＝a，BP＝a，
所以∠BPE＝30°，即BP与平面PCD所成角为30°.
B组 能力提升
13．点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：如图所示，由线面平行的判定定理可知，BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.
答案：C
14．如果一条直线垂直于一个平面内的下列情况：
①三角形的两边；②梯形的两边；
③圆的两条直径；④正六边形的两边．
不能保证该直线与平面垂直的是( )
A．①②
B．②
C．②④
D．①②④
解析：三角形的两边及圆的两条直径一定相交，而梯形的两边及正六边形的两边可能平行，故②④不能保证该直线与平面垂直．
答案：C
15．如果平面α外有两点A，B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是________．
解析：由题知，当A、B在平面α同侧时，直线AB和平面α平行；当A，B在平面α异侧时，直线AB和平面α相交．
答案：平行或相交
16.如右图，已知：M，N分别是△ADB和△ADC的重心，点A不在平面α内，B，D，C在平面α内．求证：MN∥α.
证明：如图所示，连接AM，AN并延长分别交BD，CD于点P，Q，连接PQ.
因为M，N分别是△ADB，△ADC的重心，
所以＝＝2.
所以MN∥PQ.
又PQ α，MN α，
所以MN∥α.
17.如图所示，在底面是菱形的四棱锥
P-ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE：ED＝2∶1.那么，在棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？证明你的结论．
证明：如图所示，
当F为PC的中点时，BF∥面AEC.
取PE的中点M，连接FM，有FM∥CE. ①
由EM＝PE＝ED知：E是MD的中点，
连接BM，BD，设BD∩AC＝O，
则O为BD的中点，连OE，
所以BM∥OE. ②
由①②知：平面BFM∥平面ACE.
又BF 平面BFM，
所以BF∥平面AEC.
因此当F为PC中点时满足题意．
PAGE第2章
平面解析几何初步
2.1
直线与方程
2.1.4
两条直线的交点
A组 基础巩固
1．直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为( )
A．12
B．10
C．－8
D．－6
解析：将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0可求得m＝5，将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0，得n＝5，所以m＋n＝10.
答案：B
2．两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值为( )
A．－24
B．6
C．±6
D．24
解析：在2x＋3y－k＝0中，令x＝0得y＝，
将代入x－ky＋12＝0，解得k＝±6.
答案：C
3．直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
解析：首先联立
解得交点坐标为(4，－2)，
代入方程ax＋2y＋8＝0得a＝－1.
答案：B
4．若两条直线2x－my＋4＝0和2mx＋3y－6＝0的交点在第二象限，则m的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析：解出两直线的交点坐标为.
由交点在第二象限，得解得m∈.
答案：C
5．已知直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，求直线l倾斜角的取值范围．
解：由
于是有所以k>.
故直线l的倾斜角的取值范围是(30°，90°)．
6．当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过一个定点，这个定点是________．
解析：将直线方程化为a(x＋2)＋(－x－y＋1)＝0，
当即时等式成立，即直线过定点(－2，3)．
答案：(－2，3)
7．若直线x＋my＋1＝0和直线(m－2)x＋3y＋m＝0相交，则m的取值范围是______________________．
解析：两条直线相交，即两直线不重合也不平行，
所以m(m－2)－1×3≠0.所以m2－2m－3≠0.
所以m≠－1且m≠3.
答案：(－∞，－1)∪(－1，3)∪(3，＋∞)
8．已知直线x＋a2y＋6＝0和直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，求a的值．
解：由3a－a2(a－2)＝0得：a(a＋1)(a－3)＝0.所以a＝0或a＝－1或a＝3.其中当a＝3时，两直线重合；当a＝0或－1时，两直线平行，没有公共点．故a＝0或－1.
9．已知直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x－2y＋4＝0，那么方程x＋y＋1＋λ(x－2y＋4)＝0(λ为任意实数)表示的直线有什么特点？
解：设直线l1与l2的交点坐标为P(x0，y0)，
则x0＋y0＋1＝x0－2y0＋4＝0，
所以x0＋y0＋1＋λ(x0－2y0＋4)＝0＋λ·0＝0.
由解得故P(－2，1)．
又x＋y＋1＋λ(x－2y＋4)＝0是关于x，y的二元一次方程，
所以方程x＋y＋1＋λ(x－2y＋4)＝0表示过直线l1与l2交点(－2，1)的直线系(不含直线x－2y＋4＝0)．
10．当实数m为何值时，三条直线l1：3x＋my－1＝0，l2：3x－2y－5＝0，l3：6x＋y－5＝0不能围成三角形．
解：当三条直线交于一点或其中有两条直线互相平行时，它们不能围成三角形．
由解得
将x＝1，y＝－1代入l1的方程中，得m＝2.
即m＝2时，三条直线共点．
由－6－3m＝0，即m＝－2时，l1∥l2；
由3－6m＝0，即m＝时，l1∥l3.
所以当m＝±2或m＝时，l1，l2，l3不能围成三角形．
B级 能力提升
11．求过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且过点(4，0)的直线方程为________________．
解析：设所求直线方程为2x－y＋4＋λ(x－y＋5)＝0(λ∈R)，
则2×4－0＋4＋λ(4－0＋5)＝0，即λ＝－.
所以所求直线方程为2x－y＋4－(x－y＋5)＝0，
即2x＋y－8＝0.
答案：2x＋y－8＝0
12．经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为____________．
解析：首先将直线l1与l2的方程联立方程组，解得x＝1，y＝3.
则两直线交点为(1，3)，而直线2x－y－1＝0的斜率为2，
所以所求直线斜率为－，
则所求直线方程为y－3＝－(x－1)，即x＋2y－7＝0.
答案：x＋2y－7＝0
13．求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．
解：由方程组得
因为直线l和直线3x＋y－1＝0平行，
所以直线l的斜率k＝－3.
所以直线l的方程为y－＝－3，
即15x＋5y＋16＝0.
14．已知两直线l1：2x－y＋7＝0，l2：x＋y－1＝0，A(m，n)是l1和l2的交点．
(1)求m，n的值；
(2)求过点A且垂直于直线l1的直线l3的方程；
(3)求过点A且平行于直线l：2x－3y－1＝0的直线l4的方程．
解：(1)因为A(m，n)是l1和l2的交点，
所以解得
(2)由(1)得A(－2，3)．因为kl1＝2，l3⊥l1，所以kl3＝－，
由点斜式得l3：y－3＝－(x＋2)，即l3：x＋2y－4＝0.
(3)因为l4∥l，所以kl4＝kl＝，
由点斜式得l4：y－3＝(x＋2)，即2x－3y＋13＝0.
PAGE第2章
平面解析几何初步
2.2
圆与方程
2.2.3
圆与圆的位置关系
A级 基础巩固
1．两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
解析：圆C1：x2＋y2＝9的圆心为C1(0，0)，半径长为r1＝3；
圆C2：x2＋y2－8x＋6y＋9＝0化为(x－4)2＋(y＋3)2＝16，
圆心为C2(4，－3)，半径长为r2＝4，
圆心距|C1C2|＝＝5.
因为|r1－r2|<|C1C2|答案：B
2．已知0A．外切
B．相交
C．外离
D．内含
解析：设圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圆心为O′，则O′(1，－1)．
圆x2＋y2＝r2的圆心O(0，0)，
两圆的圆心距离dOO′＝
＝.
显然有|r－|<<＋r.所以两圆相交．
答案：B
3．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为( )
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：⊙O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，O1(3，－8)，r＝11，
⊙O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2，4)，R＝8，
所以|O1O2|＝＝13.
所以r－R<|O1O2|所以两圆相交．所以公切线有2条．
答案：C
4．(2014·湖南卷)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )
A．21
B．19
C．9
D．－11
解析：将圆C2的方程化为标准方程，利用圆心距等于两圆半径之和求解．
圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.
又圆C1：x2＋y2＝1，所以|C1C2|＝5.
又因为两圆外切，所以5＝1＋，解得m＝9.
答案：C
5．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x±4)
2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x±4)2＋(y－6)2＝36
解析：因为半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则b＝6.
再由＝5，可以解得a＝±4，
故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.
答案：D
6．圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0公共弦长为( )
A.
B.
C．2
D．2
解析：x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x＋y－15＝0，圆x2＋y2＝50的圆心(0，0)到2x＋y－15＝0的距离d＝3，
因此，公共弦长为2＝2.
答案：C
7．若圆C1：x2＋y2＋m＝0与圆C2：x2＋y2－6x＋8y＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________．
解析：因为圆C1以原点为圆心，而圆C2过原点，所以两圆无公共点必有圆C2内含于圆C1，从而－m>100，即m<－100.
答案：(－∞，－100)
8．圆x2＋y2－2x－1＝0关于直线x－y＋3＝0对称的圆的方程是________．
解析：已知圆方程为(x－1)
2＋y2＝2，
则该圆圆心关于直线x－y＋3＝0的对称点为(－3，4)，半径也是.
答案：(x＋3)2＋(y－4)2＝2
9．过两圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点(3，1)的圆的方程是________．
解析：设所求圆方程为(x2＋y2－x－y－2)＋λ(x2＋y2＋4x－4y－8)＝0，
又过点(3，1)代入求出λ＝－.
答案：x2＋y2－x＋y＋2＝0
10．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有________条．
解析：易判知两圆相外切，故有3条公切线．
答案：3
11．已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－1＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋2y－7＝0相交于A，B两点，求公共弦AB的长．
解：由方程消去二次项得6x－6y＋6＝0，即x－y＋1＝0为所求的公共弦AB所在的直线的方程．
圆C1即：(x＋2)2＋(y－2)2＝9，
所以C1(－2，2)到直线AB的距离d＝＝
.
又圆C1半径r＝3，故弦长|AB|＝2
＝3.
B级 能力提升
12．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是( )
A．5
B．1
C．3－5
D．3＋5
解析：圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4，2)；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝3－5.
答案：C
13．若直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆x2＋y2－4x－2y＋4＝0的周长，则mn的最大值是________．
解析：由直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆x2＋y2－4x－2y＋4＝0的周长，知直线过圆的圆心(2，1)，所以2m＋2n－4＝0，m＋n＝2.
所以mn＝m(2－m)＝－(m－1)2＋1≤1.
答案：1
14．一束光线从点A(－1，1)出发经x轴反射，到达圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程是________．
解析：圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1.
关于x轴的对称圆C′：(x－2)2＋(y＋3)2＝1.
所以A(－1，1)到C′的圆心C′(2，－3)的距离|AC′|＝5.
所以从A发出的光线经x轴反射到圆C上一点的最短距离等于A到圆C′的圆心C′的距离减去半径长1.即dmin＝5－1＝4.
答案：4
15．求圆C1：x2＋y2＋2kx＋k2－1＝0与圆C2：x2＋y2＋2(k＋1)y＋k2＋2k＝0的圆心距的最小值及相应的k值，并指出此时两圆的位置关系．
解：两圆的圆心C1(－k，0)，C2(0，－k－1)，
所以圆心距|C1C2|＝＝，
当k＝－时，C1C2有最小值.
此时，两圆的方程为C1：＋y2＝1，
C2：x2＋＝1，由|r1－r2|＜d＜r1＋r2，可知两圆相交．
16．已知两定圆O1：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆O2：(x＋5)2＋(y＋3)2＝4，动圆P恒将两定圆的周长平分．试求动圆圆心P的轨迹方程．
解：设动圆P的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，即x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.
将此方程分别与圆O1，圆O2的方程相减得公共弦所在的直线方程为：(2－2a)x＋(2－2b)y＋a2＋b2－r2－1＝0.(10＋2a)x＋(6＋2b)y＋30－a2－b2＋r2＝0.由于圆P平分两定圆的周长，所以公共弦分别过两圆圆心，从而有：
消去r2得：12a＋8b＋35＝0.
用(x，y)替换(a，b)，得点P的轨迹方程为：12x＋8y＋35＝0.
PAGE第1章
立体几何初步
1.1
空间几何体
1.1.2
圆柱、圆锥、圆台和球
A级 基础巩固
1．下列说法正确的是( )
A．直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥
B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
解析：圆锥是直角三角形绕直角边所在直线旋转得到的，如果绕斜边旋转就不是圆锥，A不正确；夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故B不正确；通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线，故D不正确．
答案：C
2．下列说法正确的是( )
A．直线绕定直线旋转形成柱面
B．半圆绕定直线旋转形成球体
C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的
解析：两直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A不正确；半圆以直径所在直线为轴旋转形成球体，故B不正确；C不符合棱台的定义．
答案：D
3．下列命题中，正确的是( )
A．平行于圆锥的一条母线的截面是等腰三角形
B．平行于圆台的一条母线的截面是等腰梯形
C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形
D．过圆台一个底面中心的截面是等腰梯形
解析：A中的截面是抛物面，故错误；B中截面只过一个底面时，不成立；而D中截面不过另一个底面时，也不成立；因为圆锥的母线相等，所以过圆锥顶点的截面是等腰三角形，故C成立．
答案：C
4．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤
解析：一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．
答案：D
5．给出以下命题：
①空间中到定点的距离等于定长r的点的集合，构成半径为r的球；
②空间中到定点的距离等于定长r的点的集合，构成半径为r的球面；
③一个圆面绕其直径所在直线旋转180°所形成的曲面围成的几何体是球；
④球面的对称轴有无数条，对称中心有无数个．
其中正确的是________(填序号)．
解析：由球的定义知，①错误，②正确，③正确；④错误，因为球面的对称中心只有一个，即球心．
答案：②③
6．半圆绕着直径所在直线旋转一周所得的几何图形是______．
解析：注意球与球面、半圆与半圆面的区别．
答案：球面
7．如图所示，一个圆环面绕着过圆心的直线l旋转180°，想象并说出它形成的几何体的结构特征．试着说出它的名称为________．
解析：旋转形成的几何体是由两个同心球构成的，即大球中挖去一个同心的小球．
答案：空心球
8．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如下图所示，则截面的可能图形是________(填图序)．
解析：当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能得出④.
答案：图①、图②、图③
B级 能力提升
9．下面平面图形中能旋转而形成如图所示的几何体的是( )
解析：此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成，是由A中的平面图形旋转而形成的．
答案：A
10．用一个平面截半径为25
cm的球，截面圆的面积是49π
cm2，则球心到截面的距离为________．
解析：球的半径R＝25(cm)，截面圆的半径r＝7(cm)，则球心到截面的距离d＝＝24(cm)．
答案：24
cm
11．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为________．
解析：如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意易知其母线长即△ABC的边长，且S△ABC＝AB2，所以＝AB2.
所以AB＝2.
故所求圆锥的母线长为2.
答案：2
12．指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．
图① 图②
解：(1)图中的几何体是由六棱柱中挖去一个圆柱构成的．(2)图中的几何体是由圆锥、圆柱、圆台构成的．
13．已知圆柱的底面圆的半径是20
cm，高是15
cm，则平行于圆柱的轴且与此轴相距12
cm的截面面积是________cm2.
解析：圆柱的底面如图所示，
设所求截面的底边长为x
cm，
由题意得＝202－122，解得x＝32，
所以S截面＝32×15＝480(cm2)．
答案：480
14．把四个半径为R的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高处离桌面的距离．
解：如图所示，由于四个半径为R的球两两相切，故四个球的球心构成一个棱长为2R的正四面体O4-O1O2O3，因为底面等边三角形O1O2O3的高为×2R，所以该棱锥的高
OO4＝＝R.
所以上层小球最高处离桌面的距离
d＝R＋R＋R＝R.
PAGE第1章
立体几何初步
1.3
空间几何体的表面积
1.3.1
空间几何体的表面积
A组 基础巩固
1．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于( )
A．6 B．6π C．3π D．6π
解析：因为圆台的母线长为＝，
所以S圆台侧＝π(1＋2)·＝3π.
答案：C
2．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为( )
A．372
B．360
C．292
D．280
解析：由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．因为下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积为8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，又因为长方体表面积重叠一部分，所以几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360.
答案：B
3．(2014·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )
A．90
cm2
B．129
cm2
C．132
cm2
C．138
cm2
解析：该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为6
cm，4
cm，3
cm，直三棱柱的底面是直三角形，边长分别为3
cm，4
cm，5
cm，
所以表面积S＝2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋＝99＋39＝138(cm2)．
答案：D
4．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )
A．4π
B．3π
C．2π
D．π
解析：底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π·1×1＝2π.
答案：C
5．圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于( )
A．72
B．42π
C．67π
D．72π
解析：S圆台表＝S圆台侧＋S上底＋S下底＝π(3＋4)·6＋π·32＋π·42＝67π.
答案：C
6．长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面(对角面)的面积为10，则此长方体的侧面积为________．
解析：设长方体的长与宽分别为a、b，则a·b＝12且·2＝10，解得a＝4，b＝3，故长方体的侧面积为2×(4＋3)×2＝28.
答案：28
7．一个正六棱柱的侧面都是正方形，底面边长为a，则它的表面积是________．
解析：正六棱柱的侧面积为六个边长为a的正方形的面积之和，为6a2；底面积为两个正六边形的面积之和，等于2×6×a2＝3a2，故所求正六棱柱的表面积为6a2＋3a2.
答案：6a2＋3a2
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_____．
解析：如图所示：该几何体为长为4，宽为3，高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1，高为1的圆柱后剩下的部分．
所以S表＝(4×1＋3×4＋3×1)×2＋2π·1×1－2π·12＝38.
答案：38
9．将圆心角为120°，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积为________．
解析：由圆心角为120°知扇形面积是其所在圆面积的三分之一，故有，πR2＝3π，所以R2＝9.
所以l＝3×π＝2π.
所以r＝1.所以S圆锥表＝3π＋πr2＝4π.
答案：4π
10．圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为8∶3，求圆台的全面积．
解：如图所示，设两底面半径分别为8r和3r，
又圆台的高是12，母线长为13，可列式：(8r－3r)
2＋122＝132，解得r＝1，故两底面半径分别为8和3，代入表面积公式：S圆台表＝π(R2＋r2＋Rl＋rl)＝216π.
B级 能力提升
11．已知由半圆的四分之三截成的扇形的面积为B，由这个扇形围成一个圆锥，若圆锥的表面积为A，则A∶B等于( )
A．11∶8
B．3∶8
C．8∶3
D．13∶8
解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
则2πr＝πl，则l＝r，
所以B＝×＝πr2，
A＝πr2＋πr2＝πr2，
得A∶B＝11∶8.
答案：A
12．(2015·福建改编)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．
解析：由题中三视图可知，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，所以其表面积为S表面积＝S侧面积＋2S下底面积＝(1＋1＋2＋2)×2＋2××(1＋2)×1＝11＋2.
答案：11＋2
PAGE章末知识整合
一、数形结合思想
“数形结合”是把代数中的“数”与几何中的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法，是人们的一种普遍思维习惯在数学上的具体表现．数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”和以“数”解“形”．
解析几何研究问题的主要方法——坐标法，就是数形结合的典范．在本章的学习中主要体现在以下两个方面：
(1)直线的方程中有很多概念，如距离、倾斜角、斜率等都很容易转化成“形”，因此题目中涉及这些问题时可以尝试用数形结合来解决．
(2)与圆有关的最值问题、直线与圆的交点个数、圆与圆的位置关系等都可能用到数形结合思想．
例1] 已知圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：x2＋(y－8)2＝4，直线y＝x＋b在两圆之间(不与圆相交或相切)，求实数b的取值范围．
解：画出示意图如图所示，
直线y＝x＋b，即x－2y＋2b＝0.
当直线与圆C1相切时，＝2，
解得b＝±3；
当直线与圆C2相切时，＝2，解得b＝5或b＝11.
结合图形可知3规律总结
圆是一种几何特征非常明显的图形．在解圆的有关问题时，一般要根据题意在平面直角坐标系中画出图形，然后充分利用图形解决问题．
变式训练]
1．设点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，则的最大值为________．
解析：因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，
所以表示点(1，1)与该圆上任意一点的距离．
易知点(1，1)在圆x2＋(y＋4)2＝4外，如图所示，所以的最大值为
＋2＝＋2.
答案：＋2
2．已知点A(3，1)，在直线y＝x和y＝0上各找一点M和N，使△AMN的周长最短，并求出最短周长．
解：由点A(3，1)及直线y＝x，可求得点A关于y＝x的对称点B(1，3)，同理可得点A关于y＝0的对称点C(3，－1)，如图所示．
则AM＋AN＋MN＝BM＋CN＋MN≥BC，当且仅当B，M，N，C四点共线时，△AMN的周长最短，为BC＝2.
由点B(1，3)，C(3，－1)可得直线BC的方程为2x＋y－5＝0.
由得
故点M的坐标为.
对于2x＋y－5＝0，令y＝0，得x＝，
故点N的坐标为.
故点M与点N即所求，此时△AMN的周长最短，且最短周长为2.
二、分类讨论思想
分类讨论思想是数学的基本思想之一，其实质就是把整体问题化为部分问题，从而增加题设的条件来解决问题．
例2] 过点P(－1，0)，Q(0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线方程．
解：(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；
(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y＝kx＋2.
令y＝0，分别得x＝－1，x＝－.
由题意＝1，即k＝1.
所以这两条直线的方程分别为y＝x＋1，y＝x＋2，
即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.
综上可知，所求的直线方程分别为
x＝－1，x＝0或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.
规律总结
研究直线要善于从斜率的角度去考虑问题，即从斜率存在和斜率不存在两个方面分类讨论．这是隐含在题中的一个分类因素，易被忽视，也是犯“对而不全”错误的根源之一．
变式训练]
3．已知直线l：4x－ysin
θ＋1＝0，求它的斜率及斜率的取值范围．
解：直线l的方程中y的系数是－sin
θ，而sin
θ的值域是－1，1]，sin
θ的值可取零，但sin
θ＝0的直线的斜率不存在，故视sin
θ为研究对象，分类讨论．
(1)当sin
θ＝0，即θ＝kπ(k∈Z)时，
直线l的斜率不存在，倾斜角α＝；
(2)当sin
θ≠0，即θ≠kπ(k∈Z)时，
直线l的斜率k＝ k的取值范围为(－∞，－4]∪4，＋∞)．
三、函数与方程思想
函数与方程思想在圆中应用较广泛，求圆的方程、直线与圆的交点及圆与圆的交点等都要用到函数与方程思想．
例3] 已知过点(3，0)的直线l与圆x2＋y2＋x－6y＋3＝0相交于P，Q两点，且OP⊥OQ(其中O为坐标原点)，求直线l的方程．
分析：已知OP⊥OQ，若设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2＋y1y2＝0，由点P，
Q在圆及直线l上，可联立方程，借助根与系数的关系求解．
解：设直线l的方程为x＋ay－3＝0，由题意知a≠0.
由(
)
消去y，得x2＋＋x－6×＋3＝0，
即(a2＋1)x2＋(a2＋6a－6)x＋3a2－18a＋9＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2＝.①
由方程组(
)消去x，得(3－ay)2＋y2＋3－ay－6y＋3＝0，即(a2＋1)y2－(7a＋6)y＋15＝0，
所以y1y2＝.②
依题意知OP⊥OQ，所以x1x2＋y1y2＝0.
将①②代入，得＋＝0.
整理，得a2－6a＋8＝0，解得a＝2或a＝4，经检验知a＝2和a＝4都满足题意，
所以直线l的方程为x＋2y－3＝0或x＋4y－3＝0.
规律总结
函数思想的实质是用联系和变化的观点提出问题的数学特征，建立各变量间的函数关系．通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决．
方程的思想多用于曲线方程的求解和两直线位置关系的判定．
变式训练]
4．已知直线l：y＝x和两个定点A(1，1)，B(2，2)，问直线l上是否存在一点P，使得|PA|2＋|PB|2取得最小值，若存在，求出点P的坐标和|PA|2＋|PB|2的最小值；若不存在，说明理由．
解：假设存在一点P，使得|PA|2＋|PB|2取得最小值，设此点为P(2x0，x0)，则|PA|2＋|PB|2＝(2x0－1)2＋(x0－1)2＋(2x0－2)2＋(x0－2)2＝10x－18x0＋10.
因为x0∈R，所以当x0＝，
即点P的坐标为时，
PA2＋PB2可取得最小值，且最小值为.
四、转化与化归思想
把代数问题几何化、几何问题代数化，可使较复杂问题直观化、具体化、简单化，从而使问题快速得到解决．
例4] 已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值和最小值．
解：设y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)表示曲线段AB.由的几何意义可知，它表示定点P(－2，－3)和曲线段AB上任一点(x，y)的连线的斜率k，如图所示，可知kPA≤k≤kPB.
由已知可得A(1，1)，B(－1，5)，
所以kPA＝＝，kPB＝＝8.
所以≤k≤8，故的最大值是8，最小值是.
规律总结
对于形如k＝的分式函数y＝的值域问题，可利用定点与动点的相对位置，转化为求直线斜率的范围，利用数形结合进行求解．
变式训练]
5．已知实数x，y满足x＋y＋1＝0，求x2＋y2－2x－2y＋2的最小值．
解：原式可化为(x－1)2＋(y－1)2，其几何意义为点P(x，y)和点Q(1，1)间距离的平方，而点P(x，y)在直线x＋y＋1＝0上．
设d为点Q到直线x＋y＋1＝0的距离，
由|PQ|≥d得≥，
即x2＋y2－2x－2y＋2≥，故所求最小值为.
PAGE模块综合检测卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线x－＝0的倾斜角是( )
A．45° B．60° C．90° D．不存在
答案：C
2．已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|＝2，则实数x的值是( )
A．－3或4
B．－6或2
C．3或－4
D．6或－2
答案：D
3．一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积为( )
A．27π
B．18π
C．9π
D．54π
解析：设正方体的棱长为a，球的半径为r，
则6a2＝54，所以a＝3.
又因为2r＝a，
所以r＝a＝，
所以S表＝4πr2＝4π·＝27π.
答案：A
4．在同一个平面直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是( )
答案：C
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．12
B．18
C．24
D．30
解析：因为三个视图中直角较多，所以可以在长方体中对几何体进行分析还原，在长方体中计算其体积．
由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的．在长方体中分析还原，如图①所示，故该几何体的直观图如图②所示．在图①中，V棱柱ABC-A1B1C1＝S△ABC·AA1＝×4×3×5＝30，V棱锥P-A1B1C1＝S△A1B1C1·PB1＝××4×3×3＝6.故几何体ABC-PA1C1的体积为30－6＝24.故选C.
答案：C
6．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5－4
B.－1
C．6－2
D.
解析：先求出圆心坐标和半径，再结合对称性求解最小值，设P(x，0)，C1(2，3)关于x轴的对称点为C1′(2，－3)，那么|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C′1C2|＝＝5.
而|PM|＝|PC1|－1，|PN|＝|PC2|－3，
所以|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC
2|－4≥5－4.
答案：A
7．直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析：法一：可联立方程组利用弦长公式求|MN|，再结合|MN|≥2可得答案．
法二：利用圆的性质知，圆心到直线的距离的平方加上弦长一半的平方等于半径的平方，求出|MN|，再结合|MN|≥2可得答案．
答案：B
8．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
解析：如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.
若l4＝DC1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.
答案：D
9.如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为( )
A．90°
B．45°
C．60°
D．30°
解析：如图所示，取BC的中点H，连接EH，FH，则∠EFH为所求，
可证△EFH为直角三角形，
EH⊥EF，FH＝2，EH＝1，
从而可得∠EFH＝30°.
答案：D
10．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx－y＝0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：由
得(1＋k2)·x2＋2kx＝0.
因为两点恰好关于y轴对称，
所以x1＋x2＝－＝0，
所以k＝0.
答案：A
11．已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为( )
A．－4
B．20
C．0
D．24
解析：垂足(1，c)是两直线的交点，且l1⊥l2，
故－·＝－1，
所以a＝10.l：10x＋4y－2＝0.
将(1，c)代入，得c＝－2；
将(1，－2)代入l2，得b＝－12.
则a＋b＋c＝10＋(－12)＋(－2)＝－4.
答案：A
12．过点A与B(7，0)的直线l1与过点(2，1)，(3，k＋1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k等于( )
A．－3
B．3
C．－6
D．6
解析：由题意知l1⊥l2，
所以kl1·kl2＝－1，即－k＝－1，k＝3.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)
13．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．
解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时b分别取得最小值和最大值．
所以b的取值范围是－2，2]．
答案：－2，2]
14．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2－(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．
解析：根据“半径、弦长AB的一半、圆心到直线的距离”满足勾股定理可建立关于a的方程，解方程求a.
圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为.
因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝2.所以＋12＝22.解得a＝4±.
答案：4±
15．如图所示，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三种说法：
①△DBC是等边三角形；②AC⊥BD；③三棱锥D-ABC的体积是.
其中正确的序号是________(写出所有正确说法的序号)．
解析：取AC的中点E，连接DE，BE，
则DE⊥AC，BE⊥AC，且DE⊥BE.
又DE＝EC＝BE，所以DC＝DB＝BC，
故△DBC是等边三角形．
又AC⊥平面BDE，
故AC⊥BD.
又VD-ABC＝S△ABC·DE＝××1×1×＝，故③错误．
答案：①②
16．已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l的方程是_________________________．
解析：因为(－4＋1)2＋(－3＋2)2＝10<25，
所以点P在圆内．当l的斜率不存在时，l的方程为x＝－4，将x＝－4代入圆的方程，得y＝2或y＝－6，
此时弦长为8.当l的斜率存在时，设l的方程为y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0，
当弦长为8时，圆心到直线的距离为
＝3，则＝3，
解得k＝－.则直线l的方程为y＋3＝－(x＋4)，
即4x＋3y＋25＝0.
答案：4x＋3y＋25＝0或x＝－4
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
17．(本小题满分10分)求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．
解：法一：由方程组得
因为直线l和直线3x＋y－1＝0平行，
所以直线l的斜率k＝－3.
所以根据点斜式有y－＝－3，
故所求直线方程为15x＋5y＋16＝0.
法二：因为直线l过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点，
所以设直线l的方程为2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0.
因为直线l与直线3x＋y－1＝0平行，
所以＝≠，解得λ＝.
从而所求直线方程为
15x＋5y＋16＝0.
18．(本小题满分12分)如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为30°，求该三棱柱的体积．
解：因为CC1∥AA1，
所以∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，
即∠BC1C＝30°.
在Rt△BC1C中，BC＝CC1·tan
∠BC1C＝6×＝2，
从而S△ABC＝BC2＝3，
因此该三棱柱的体积为V＝S△ABC·AA1＝3×6＝18.
19．(本小题满分12分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：
(1)直线BC1∥平面EFPQ；
(2)直线AC1⊥平面PQMN.
证明：(1)连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，
知AD1∥BC1.
因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.
从而BC1∥FP.
而FP 平面EFPQ，且BC1 平面EFPQ，
故直线BC1∥平面EFPQ.
(2)如图所示，连接AC，BD，则AC⊥BD.
由CC1⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，可得CC1⊥BD.
又AC∩CC1＝C，
所以BD⊥平面ACC1.
而AC1 平面ACC1，
所以BD⊥AC1.
因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，
所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.
同理可证PN⊥AC1.
又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.
20．(本小题满分12分)右图是某几何体的三视图，请你指出这个几何体的结构特征，并求出它的表面积与体积．
解：此几何体是一个组合体，下半部是长方体，上半部是半圆柱，其轴截面的大小与长方体的上底面大小一致．
表面积为S，则
S＝32＋96＋48＋4π＋16π＝176＋20π.
体积为V，则V＝8×4×6＋×22×8π＝192＋16π.
所以几何体的表面积为(176＋20π)cm2，体积为(192＋16π)cm3.
21．(本小题满分12分)已知点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上运动，N(4，0)，点P(x，y)为线段MN的中点．
(1)求点P(x，y)的轨迹方程；
(2)求点P(x，y)到直线3x＋4y－86＝0的距离的最大值和最小值．
解：(1)因为点P(x，y)是MN的中点，
所以故
将用x，y表示的x0，y0代入到x＋y＝4中得(x－2)2＋y2＝1.此式即为所求轨迹方程．
(2)由(1)知点P的轨迹是以Q(2，0)为圆心，以1为半径的圆．点Q
到直线3x＋4y－86＝0的距离d＝＝16.故点P到直线3x＋4y－86＝0的距离的最大值为16＋1＝17，
最小值为16－1＝15.
22.(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
解：(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在，设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3.
由题意，得＝1，解得k＝0或k＝－，
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，
设圆心C(a，2(a－2))，
所以圆C的方程为(x－a)2＋y－2(a－2)]2＝1.
设点M(x，y)，因为MA＝2MO，
所以＝2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4.所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，
则|2－1|≤CD≤2＋1，
即1≤≤3.
整理，得－8≤5a2－12a≤0.
由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；
由5a2－12a≤0，得0≤a≤.
所以点C的横坐标a的取值范围为.
PAGE第2章
空间直角坐标系
2.3
空间直角坐标系
2.3.2
空间两点间的距离
A级 基础巩固
1．若A(1，3，－2)、B(－2，3，2)，则A、B两点间的距离为( )
A.
B．25
C．5
D.
解析：|AB|＝＝5.
答案：C
2．已知A(1，2，3)，B(3，3，m)，C(0，－1，0)，D(2，－1，－1)，则( )
A．|AB|>|CD|
B．|AB|<|CD|
C．|AB|≤|CD|
D．|AB|≥|CD|
解析：|AB|＝＝，
|CD|＝＝.因为(m－3)2≥0，
所以|AB|≥|CD|.
答案：D
3．已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|＝2，则实数x的值是( )
A．－3或4
B．6或2
C．3或－4
D．6或－2
解析：因为|AB|＝＝＝2.
所以x＝6或x＝－2.
答案：D
4．设点P在x轴上，它到点P1(0，，3)的距离为到点P2(0，1，－1)的距离的两倍，则点P的坐标为( )
A．(1，0，0)
B．(－1，0，0)
C．(1，0，0)或(0，－1，0)
D．(1，0，0)或(－1，0，0)
解析：因为点P在x轴上，所以设点P的坐标为(x，0，0)．
由题意，知|PP1|＝2|PP2|，
所以＝
2，
解得x＝±1.
所以所求点为(1，0，0)或(－1，0，0)．
答案：D
5．在x轴上与点A(－4，1，7)和点B(3，5，－2)等距离的点的坐标为________．
解析：设x轴上的点的坐标为(x，0，0)，则由距离公式得：
(x＋4)2＋(－1)2＋(－7)2＝(x－3)2＋(－5)2＋22.
解得x＝－2.
答案：(－2，0，0)
6．设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，AB的中点M，则|CM|＝________．
解析：由中点公式得M，
所以|CM|＝
＝.
答案：
7．已知空间三点A(0，0，3)，B(4，0，0)，C(4，5，0)，求△ABC的周长．
解：因为|AB|＝＝5，
|BC|＝＝5，
|AC|＝＝5，
所以△ABC的周长为10＋5.
B级 能力提升
8．已知点A(1，－3，2)，B(－1，0，3)，在z轴上求一点M，使得|AM|＝|MB|，则M的竖坐标为( )
A．－1
B．－2
C．－3
D．－4
解析：设M(0，0，z)，
则＝，
解之得z＝－2.
答案：B
9．已知A(1－t，1，t)，B(2，t，t)(t∈R)，则A，B两点间距离的最小值是( )
A.
B．2
C.
D．1
解析：由两点间的距离公式，得
|AB|＝＝，
当t＝0时，|AB|取最小值为.
答案：A
10．一束光线自点P(1，1，1)出发，被xOy平面反射到达点Q(3，3，6)被吸收，那么光所走的距离是( )
A.
B.
C.
D.
解析：P关于xOy面对称的点为P′(1，1，－1)，则光线所经过的路程为|P′Q|＝＝.
答案：D
11．已知点A(－3，1，4)关于原点的对称点为B，则线段AB的长为________．
解析：|AB|＝2|OA|＝2＝2.
答案：2
12．已知A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)，则△ABC是________三角形(填三角形的形状)．
解析：|AB|＝＝.
|AC|＝＝，
|BC|＝＝，
所以|AC|＝|BC|，由三边长度关系知能构成三角形，
所以△ABC是等腰三角形．
答案：等腰
13．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________．
解析：设点P(a，b，c)，则它在三个坐标轴上的射影为
P1(a，0，0)、P2(0，b，0)、P3(0，0，c)，
由已知得b2＋c2＝1，c2＋a2＝1，a2＋b2＝1.
所以2(a2＋b2＋c2)＝3.
故|PO|＝＝＝.
答案：
14.如图所示，已知三棱锥P-ABC在某个空间直角坐标系中，B(m，m，0)，C(0，2m，0)，P(0，0，2n)．
(1)画出这个空间直角坐标系，并指出AB与x轴的正方向的夹角；
(2)若M为BC的中点，n＝m，求直线AM与其在平面PBC内的投影所成的角．
解：(1)如图所示，以A为坐标原点O，以AC为Oy轴，以AP为Oz轴，建立空间直角坐标系，此时AB与Ox轴的正向夹角为30°.
(2)连接AM，PM，
因为AB＝AC＝2m，PB＝PC＝2，
又M为BC中点，
所以AM⊥BC，PM⊥BC.
所以∠AMP为AM与其在面PBC内的射影所成的角．
又n＝m，所以PA＝AM＝m.
所以AM与其在面PBC内的射影所成角为45°.
PAGE第2章
平面解析几何初步
2.2
圆与方程
2.2.1
圆的方程
A组 基础巩固
1．圆心是O(－3，4)，半径长为5的圆的方程为( )
A．(x－3)2＋(y＋4)2＝5
B．(x－3)2＋(y＋4)2＝25
C．(x＋3)2＋(y－4)2＝5
D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25
解析：将O(－3，4)，r＝5代入圆的标准方程可得．
答案：D
2．以点(2，－
1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3
B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9
解析：由已知，得圆的半径长r＝＝＝3，
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
答案：C
3．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5
B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5
D．(x－1)2＋(y－2)2＝5
解析：直线方程变为(x＋1)a－x－y＋1＝0.
由得所以C(－1，2)，
所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.
答案：C
4．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形是( )
A．以(a，
b)为圆心的圆
B．以(－a，－b)为圆心的圆
C．点(a，b)
D．点(－a，－b)
解析：配方，得(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，所以方程表示点(－a，－b)．
答案：D
5．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径长分别为( )
A．(4，－6)，16
B．(2，－3)，4
C．(－2，3)，4
D．(2，－3)，16
解析：由x2＋y2＋4x－6y－3＝0，得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，
故圆心为(－2，3)，半径长为4.
答案：C
6．点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围为________．
解析：由(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以2＋2a2<4.
所以a2<1.
答案：(－1，1)
7．若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m＝0外，则m的取值范围是________．
解析：由题意可知
解得0答案：
8．点P(a，10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是________．
解析：>，即点P(a，10)在圆外．
答案：在圆外
9．点P与圆x2＋y2＝1的位置关系是________．
解析：将点P坐标代入得＋＝＝＝1，所以点P在圆上．
答案：在圆上
10．△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1，5)，B(－2，－
2)，C(5，5)，求其外接圆的方程．
解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
因圆过A，B，C三点，故得
解得D＝－4，E＝－2，F＝－20，
所以△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.
B级 能力提升
11．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是( )
A．m<
B．m<0
C．m>
D．m≤
解析：由D2＋E2－4F>0，
得(－1)2＋12－4m>0，即m<.
答案：A
12．圆x2＋y2－2x－1＝0关于直线2x－y＋3＝0对称的圆的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－2)2＝
B．(x－3)2＋(y＋2)2＝
C．(x＋3)2＋(y－2)2＝2
D．(x－3)2＋(y＋2)2＝2
解析：由x2＋y2－2x－1＝0，得(x－1)2＋y2＝2，
则圆心为(1，0)，半径长r＝.
设圆心(1，0)关于直线2x－y＋3＝0的对称点为P′(x1，y1)，
则由解得
故x2＋y2－2x－1＝0关于直线2x－y＋3＝0对称的圆的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝2.
答案：C
13．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是________．
解析：设P(x，y)是轨迹上任一点，
圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1，0)，
则|PA|2＋1＝|PB|2，
所以(x－1)2＋y2＝2.
答案：(x－1)2＋y2＝2
14．已知点M与两个定点A(1，0)，B(3，2)的距离的比值为，求点M的轨迹．
解：在给定的坐标系中，设M(x，y)是满足条件的任意一点，则＝.
由两点间的距离公式，得＝.
两边平方并化简，得x2＋y2－x＋y－＝0，
配方得＋＝.
所以所求轨迹是圆心为，半径为的圆．
15．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为________．
解析：因为所求圆的圆心与圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心(－2，0)关于原点(0，0)对称，所以所求圆的圆心为(2，0)，半径为，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.
答案：(x－2)2＋y2＝5
16．已知圆：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，求实数m的值．
解：将原点坐标(0，0)代入圆的方程，得2m2－6m＋4＝0，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.
当m＝1时，原方程为x2＋y2＝0，不表示圆，故舍去．
当m＝2时，原方程为x2＋y2－2x＋2y＝0表示圆，故所求的实数m的值为2.
17.如图所示，已知点A(0，2)和圆C：(x－6)2＋(y－4)2＝8，M和P分别是x轴和圆C上的动点，求|AM|＋|MP|的最小值．
解：如图所示，先作点A关于x轴的对称点A′(0，－2)，连接A′和圆心C，A′C交x轴于点M，交圆C于点P，这时|AM|＋|MP|最小．
因为A′(0，－2)，C(6，4)，
所以|A′C|＝＝
6.
所以|A′P|＝|A′C|－R＝6－2＝4(R为圆的半径)．
所以|AM|＋|MP|的最小值是4.
PAGE第1章
立体几何初步
1.2
点、线、面之间的位置关系
1.2.2
空间两条直线的位置关系
A组 基础巩固
1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A．一定平行
B．一定相交
C．一定异面
D．相交或异面
解析：可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾)．
答案：D
2．a，b为异面直线是指( )
①a∩b＝ ，且a不平行于b；②a 平面α，b 平面α，且a∩b＝ ；③a 平面α，b 平面β，且α∩β＝ ；④不存在平面α能使a α，且b α成立．
A．①②③
B．①③④
C．②③
D．①④
解析：②③中的a，b有可能平行，①④符合异面直线的定义．
答案：D
3．下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是( )
解析：易知选项A，B中PQ∥RS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C中RS与PQ是异面直线．
答案：C
4．下列命题中，其中正确的为________(填序号)．
①若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行；
②若两条直线都和第三条直线相交，那么这两条直线互相平行；
③若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行；
④若两条直线都和第三条直线异面，则这两条直线互相平行；
⑤若两条直线都和第三条直线有公共点，那么这两条直线不可能互相平行．
解析：根据两条直线的位置关系，知只有③正确．
答案：③
5．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR＝______．
解析：由等角定理可知，当∠ABC的两边和∠PQR的两边分别平行并且方向相同时，∠PQR＝30°；当∠ABC的两边和∠PQR的两边分别平行并且方向相反时，∠PQR＝150°.故填30°或150°.
答案：30°或150°
6.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线．
(1)∠DBC的两边与∠________的两边分别平行并且方向相同；
(2)∠DBC的两边与∠________的两边分别平行并且方向相反．
解析：(1)B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行并且方向相同．
(2)D1B1∥BD，D1A1∥BC并且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行并且方向相反．
答案：(1)D1B1C1 (2)B1D1A1
7．两条异面直线指的是________(填序号)．
①空间中不相交的两条直线；
②分别位于两个不同平面内的两条直线；
③某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线；
④不同在任何一个平面内的两条直线．
解析：根据异面直线定义来判定．选项①中两条直线可以平行，选项②③可以借助正方体(如下图所示)，A′B′与AB这两条直线平行．
答案：④
8.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．
解析：如图所示，连接BC1，BA1，A1C1，
因为EF∥BA1，GH∥BC1，
所以异面直线EF与GH所成的角即为BC1与BA1所成的角，即∠A1BC1，
又因为A1B＝BC1＝A1C1，所以∠A1BC1＝60°.
答案：60°
9．已知空间四边形ABCD各边长与对角线都相等，求AB与CD所成的角的大小．
解：如图所示，分别取AC，AD，BC的中点P，M，N.连接PM，PN，由三角形的中位线性质知PN∥AB，PM∥CD，于是∠MPN(或其补角)就是异面直线AB和CD所成的角．连接MN，AN，DN，设AB＝2，所以PM＝PN＝1.而AN＝DN＝，则MN⊥AD，AM＝1，
得MN＝，所以MN2＝MP2＋NP2.
所以∠MPN＝90°，即异面直线AB，CD所成的角是90°.
B级 能力提升
10．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边形中点的四边形一定是( )
A．空间四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
解析：如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形，
又因为E，F分别为AB，BC的中点，
所以EF∥AC.又FG∥BD，
所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．
而AC与BD所成的角为90°，所以∠EFG＝90°.
故四边形EFGH为矩形．
答案：B
11.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中(如图所示)，l 平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是( )
A．l与AD平行
B．l与AD不平行
C．l与AC平行
D．l与BD垂直
解析：假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，这与l与B1C1不平行矛盾，所以l与AD不平行．
答案：A
12．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
③若a 平面α，b 平面β，则a，b一定是异面直线；
④若a，b与c成等角，则a∥b.
上述命题中正确的命题是________(只填序号)．
解析：由公理4知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；a α，b β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故③不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故④不正确．
答案：①
13.如图所示，若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2
，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的正切值是________．
解析：因为BC∥AD，
所以∠CBD1为异面直线BD1与AD所成角，连CD1.
则由正四棱柱性质可知∠BCD1＝90°.
又因为BC＝CD＝2，DD1＝4，
所以CD1＝2.
所以tan∠CBD1＝＝，
即BD1与AD所成角的正切值是.
答案：
14.如图所示，木工师傅沿长方体木块ABCD-A1B1C1D1中棱BC和上底面的中心E将长方体木块锯开，问怎样画线？
解：在面A1B1C1D1内过点E作B1C1的平行线，与A1B1，C1D1分别相交于F、G，连接BF，CG即可．
15.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点．
(1)求直线AB1和CC1所成的角的大小；
(2)求直线AB1和EF所成的角的大小．
解：(1)如图所示，连接DC1，
所以DC1∥AB1.
所以∠CC1D就是AB1和CC1所成的角．
因为∠CC1D＝45°，
所以AB1和CC1所成的角是45°.
(2)如图所示，连接DA1，
因为EF∥A1D，AB1∥DC1，
所以∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角．
因为△A1DC1是等边三角形，
所以∠A1DC1＝60°.
即直线AB1和EF所成的角是60°.
PAGE第1章
立体几何初步
1.2
点、线、面之间的位置关系
1.2.4
平面与平面的位置关系
A级 基础巩固
1．平面α内有两条直线a，b都平行于平面β，则α与β的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．重合
D．不能确定
解析：两条直线不一定相交，所以两个平面的位置关系不能确定．
答案：D
2．若平面α∥平面β，直线a α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数多条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
解析：因为平面α∥平面β，直线a α，点B∈β，设直线a与点B确定的平面为γ，则α∩γ＝a，设β∩γ＝b，且B∈b，则a∥b，所以过点B与a平行的直线只有直线b.
答案：D
3．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( )
A．0个
B．1个
C．无数个
D．1个或无数个
解析：当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．
答案：D
4．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )
A．m⊥n，m∥α，n∥β
B．m⊥n，α∩β＝m，n α
C．m∥n，n⊥β，m α
D．m∥n，m⊥α，n⊥β
解析：因为m∥n，n⊥β，所以m⊥β.
又m α，所以α⊥β.
答案：C
5．过空间一点引和二面角两个面垂直的射线，则该两条射线夹角和二面角的平面角的大小关系是( )
A．相等
B．互补
C．相等或互补
D．以上都不对
解析：由二面角的平面角的做法之“垂面法”可知，当二面角为锐角时相等，为钝角时互补．
答案：C
6．已知三条互相平行的直线a，b，c，且a α，b β，c β，则两个平面α，β的位置关系是________．
解析：如图①所示，满足a∥b∥c，a α，b β，c β，此时α与β相交．如图②所示，亦满足条件a∥b∥c，a α，b β，c β，此时α与β平行．故填相交或平行．
图① 图②
答案：相交或平行
7．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是______(填序号)．
①若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β；
②若α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β；
③若α⊥β，l α，则l⊥β；
④若α⊥β，α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β.
解析：①中缺少了条件l α，故①错误．
②中缺少了条件α⊥β，故②错误．
③中缺少了条件α∩β＝m，l⊥m，故③错误．
④具备了面面垂直的性质定理中的全部条件，故④正确．
答案：④
8．下列说法中正确的是________(填序号)．
①二面角是两个平面相交所组成的图形；
②二面角是指角的两边分别在两个平面内的角；
③角的两边分别在二面角的两个面内，则这个角就是二面角的平面角；
④二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱．
解析：由二面角的平面角的定义可知④正确．
答案：④
9．如果一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面分别平行，则这两个二面角的大小关系是________．
解析：可作出这两个二面角的平面角，易知这两个二面角的平面角的两边分别平行，故这两个二面角相等或互补．
答案：相等或互补
B级 能力提升
10．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．
解析：分点P在两面中间和点P在两面的一侧两种情况来计算．
答案：24或
11.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动时，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.
解析：取B1C1的中点R，连接FR，NR，
可证面FHNR∥面B1BDD1，
所以当M∈线段FH时，有MN 面FHNR.
所以MN∥面B1BDD1.
答案：M∈线段FH
12.如图所示，在棱长为
2
cm的正方体
ABCD-A1B1C1D1
中，A1B1的中点是
P
，问过点
A1
作与截面
PBC1
平行的截面也是三角形吗？并求该截面的面积．
解：如图所示，取AB的中点M，取C1D1的中点N，连接A1M，A1N，CM，CN.
由于A1N綊PC1綊MC，
所以四边形A1MCN是平行四边形．
由于A1N∥PC1，A1N 平面PBC1，
则A1N∥平面PBC1.
同理，A1M∥平面PBC1.
于是，平面A1MCN∥平面PBC1.
过A1有且仅有一个平面与平面PBC1平行．
故过点A1作与截面PBC1平行的截面是平行四边形A1MCN.
因为A1M＝MC，A1N綊MC,
所以四边形A1MCN是菱形，连接MN.
因为MB綊NC1，所以四边形MBC1N是平行四边形，所以MN＝BC1＝2
cm.
在菱形A1MCN中，A1M＝
cm，
所以A1C＝2
＝2(cm)．
所以S菱形A1MCN＝×A1C·MN＝×2×2＝2(cm2)．
13.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
证明：(1)在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，连接BD，则△ABD为正三角形．
因为G为AD的中点，所以BG⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以BG⊥平面PAD.
(2)连接PG，因为△PAD为正三角形，G为AD中点，所以PG⊥AD.
由(1)知BG⊥AD，因为PG∩BG＝G，
所以AD⊥平面PBG.
又因为PB 平面PBG，
所以AD⊥PB.
14.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，其棱长为1.求证：平面AB1C∥平面A1C1D.
证明：法一： AA1綊CC1 AA1C1C为平行四边形 AC∥A1C1.
平面AB1C∥平面A1C1D.
法二：易知AA1和CC1确定一个平面ACC1A1，于是，
A1C1∥AC.
A1C1∥平面AB1C.
平面AB1C∥平面A1C1D.
15．在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，AB＝BC，能否在侧棱BB1上找到一点E，使得截面A1EC⊥侧面AA1C1C？若能找到，指出点E的位置；若不能找到，说明理由．
解：如图所示，作EM⊥A1C于点M.
因为截面A1EC⊥侧面AA1C1C，
所以EM⊥侧面AA1C1C.
取AC的中点N，因为AB＝BC，
所以BN⊥AC.
又因为平面ABC⊥侧面AA1C1C，
所以BN⊥侧面AA1C1C.所以BN∥EM
.
因为平面BEMN∩侧面AA1C1C＝MN，
BE∥侧面AA1C1C，所以BE∥MN∥A1A
.
因为AN＝NC，所以A1M＝MC.
又因为四边形BEMN为矩形，所以BE＝MN＝A1A.
故BE＝BB1，即E为BB1的中点．
PAGE章末知识整合
一、函数与方程思想
函数与方程思想是一种重要的数学思想．在立体几何中，若一个量未知求另一个量的最值时，可利用函数思想去解决．
例1] 如图所示，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径，AA1＝AC＝CB＝2.
(1)证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；
(2)设E，F分别为AC，BC上的动点，且CE＝BF＝x(0(1)证明：因为BB1⊥平面ABC，AC 平面ABC，
所以BB1⊥AC.
因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC，
又BC∩BB1＝B，所以AC⊥平面B1BCC1，
而AC 平面A1ACC1，
所以平面A1ACC1⊥平面B1BCC1.
(2)解：因为CE＝BF＝x，所以CF＝2－x.
VC-EC1F＝VC1-ECF＝S△ECF·CC1＝·x·(2－x)·2＝(2x－x2)＝－(x－1)2＋1]，
又0规律总结
将几何中的最值问题转化为二次函数是立体几何与代数相结合的典范，应体会此方法思想的应用技巧．
变式训练]
1．圆锥的底面半径为2
cm，高为4
cm，求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值．
解：如图所示，为圆柱和圆锥的轴截面，设所求圆柱的底面半径为r，母线长为l，S圆柱侧＝2π·lr.
因为＝，所以l＝4－2r.
所以S圆柱侧＝2π·lr＝2π·r·(4－2r)
＝－4π(r－1)2＋4π≤4π.
所以当r＝1时，圆柱的侧面积最大且Smax＝4π
cm2.
二、转化与化归思想的应用
转化与化归就是处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决的问题，最终使问题得到解答的一种数学思想．转化与化归思想是立体几何中重要且常用的数学思想．
例2] 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.
(1)求证：AC⊥平面B1D1DB；
(2)求AB1与平面B1D1DB所成的角；
(3)求三棱锥B-ACB1的体积．
分析：(1)证明AC⊥BB1且AC⊥BD即可．
(2)结合(1)求解，关键是先作出所求的角．
(3)利用VB-ACB1＝VC-ABB1求解．
(1)证明：因为BB1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以BB1⊥AC.
又AC⊥BD，BB1∩BD＝B，所以AC⊥平面B1D1DB.
(2)解：设AC与DB的交点为O，连接B1O，
由(1)知AC⊥平面B1D1DB，
所以B1O就是AB1在平面B1D1DB上的射影．
所以∠AB1O就是所求的角．
因为AB1＝，AO＝，∠AOB1＝90°，
所以∠AB1O＝30°.
(3)解：VB-ACB1＝VC-ABB1＝CB·S△ABB1＝.
规律总结
(1)空间中线线、线面、面面三者之间相互转化的关系如下：
线线平行 线面平行 面面平行；
线线垂直 线面垂直 面面垂直．
有关线面位置关系的论证往往就通过这种联系和转化得到解决．
(2)通过添加辅助线或辅助面将立体几何问题转化为平面几何问题．
(3)空间角的求解．通常将空间的角(异面直线的夹角、直线与平面所成的角、二面角)转化为平面内两条相交直线的夹角，通过三角形求解，即立体问题平面化．
变式训练]
2．已知圆柱的高为5π，底面半径为2，轴截面为矩形A1ABB1，在母线AA1上有一点P，且PA＝π，在母线BB1上取一点Q，使B1Q＝2π，则圆柱侧面上P，Q两点间的最短距离为________．
解析：如图甲所示，沿圆柱的母线AA1剪开得矩形(如图乙所示)，过点P作PE∥AB交BB1于点E，令PA＝a，B1Q＝b，
则PE＝AB＝×2πR＝πR＝2π，QE＝h－a－b＝2π.
所以PQ＝＝＝4π.
答案：4π
三、整体思想的应用
整体思想在代数式的化简与求值、解方程
(组)、几何证明等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形(体)等都是整体思想在解数学问题中的具体运用．
例3] 一个长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，求这个长方体的一条对角线长．
分析：要求长方体对角线长，只要求长方体的一个顶点上的三条棱的长即可．
解：设此长方体的长、宽、高分别为x、y、z，对角线长为l，则由题意得：
由4(x＋y＋z)＝24得x＋y＋z＝6，从而由长方体对角线性质得：
l＝＝＝
＝5.
规律总结
整体思想就是在探究数学问题时，研究问题的整体形式、整体结构或对问题的数的特征、形的特征、结构特征做出整体性处理．整体思想的含义很广，根据问题的具体要求，可以对代数式做整体变换，或整体代入，也可以对图形做整体处理．
变式训练]
3.如图所示，长方体三个面的对角线长分别是a，
b，c，求长方体对角线AC′的长．
解：设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，由题意得：
对角线AC′＝，
而
由①②③得：x2＋y2＋z2＝，
所以对角线：AC′＝＝.
四、分类讨论思想的应用
由于图形的类型或位置不确定引起分类讨论．
例4] 用互相平行且距离为27的两个平面截球，两个截面圆的半径分别为r1＝15，r2＝24，试求球的表面积．
分析：应分两个平行截面位于球心的同侧或两侧进行讨论．
解：设球的半径为R，球心O到两平行截面的距离为OO1＝d1，OO2＝d2.
(1)当两个平行截面位于球心O的两侧时，如图①所示，
则eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R2＝152＋d，,R2＝242＋d，,d1＋d2＝27，))解得d1＝20，d2＝7，R＝25.
故S球＝4πR2＝2
500π.
图① 图②
(2)当两个平行截面位于球心O的同侧时，如图②所示，
则eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R2＝152＋d，,R2＝242＋d，,d1－d2＝27，))解得d1＝20，d2＝－7，不符合题意，即这种情况不存在．
综上可知，球的表面积2
500π.
规律总结
当在已知条件下存在多种可能的情况时，须分类讨论每一种可能的情况，综合得出结果．本题虽然第(2)种情形不成立，但也必须考虑到．
变式训练]
4．一张长为10
cm，宽为5
cm的纸，以它为侧面卷成一个圆柱，求该圆柱的体积．
解：有两种情况：(1)以5
cm的边为圆柱的母线，则形成的圆柱的底面周长为10
cm，故底面半径为r＝cm，
因此V圆柱＝πr2h＝π··5＝(cm3)．
(2)以10
cm的边为圆柱的母线，
则形成的圆柱的底面周长为5
cm，故底面半径为r＝cm，
因此V圆柱＝πr2h＝π··10＝(cm3)．
故圆柱的体积为cm3或cm3.
PAGE第2章
平面解析几何初步
2.1
直线与方程
2.1.3
两条直线的平行与垂直
A组 基础巩固
1．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0
B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0
D．x＋2y－1＝0
解析：由题意，得所求直线斜率为，且过点(1，0)．故所求直线方程为y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.
答案：A
2．已知 ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，则顶点D的坐标为( )
A．(3，4)
B．(4，3)
C．(3，1)
D．(3，8)
解析：设D(m，n)，由题意得AB∥DC，AD∥BC，则有
kAB＝kDC，kAD＝kBC，
所以解得
所以点D的坐标为(3，4)．
答案：A
3．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝( )
A．－1 B．1 C. D．－
解析：由两直线垂直，得×＝－1，解得m＝1.
答案：B
4．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )
A．y＝x＋4
B．y＝2x＋4
C．y＝－2x＋4
D．y＝－x＋4
解析：因为直线y＝2x＋1的斜率为2，
所以与其垂直的直线的斜率是－.
所以直线的斜截式方程为y＝－x＋4.
答案：D
5．以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以A点为直角顶点的直角三角形
D．以B点为直角顶点的直角三角形
解析：kAB＝＝－，kAC＝＝，
所以kAB·kAC＝－1.所以AB⊥AC，∠A为直角．
答案：C
6．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为________．
解析：kAB＝，因为过AB的直线与2x＋y－1＝0平行，
所以＝－2，解得m＝－8.
答案：－8
7．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋5＝0平行，则k＝________．
解析：因为l1∥l2，所以－2(k－3)－2(4－k)(k－3)＝0，解得k＝3或k＝5.经检验k＝3或k＝5时，l1∥l2.
答案：3或5
8．已知点A(－4，2)，B(6，－4)，C(12，6)，D(2，12)，下面四个结论中正确的是________(填序号)．
①AB∥CD;
②AB⊥AD;
③AB⊥BD;
④AC⊥BD.
解析：由题意得kAB＝－，kAD＝，kCD＝－，kAC＝，kBD＝－4，所以kAB＝kCD，kAB·kAD＝－1，kAC·kBD＝－1.
所以AB∥CD，AB⊥AD，AC⊥BD，①②④正确．
又kAB·kBD≠－1，所以③错误．
答案：①②④
9．已知直线l1经过点A(－2，0)和点B(1，3a)，直线l2经过点M(0，－1)和点N(a，－2a)，若l1⊥l2，试确定实数a的值．
解：(1)当直线l1，l2的斜率都存在，即a≠0时，
直线l1，l2的斜率分别是k1＝a，k2＝.
因为l1⊥l2，所以a·＝－1.所以a＝1.
(2)当a＝0时，k1＝0，k2不存在，此时l1⊥l2.
综合(1)(2)知，若l1⊥l2，则实数a的值为1或0.
10．若已知直线l1上的点满足ax＋2y＋6＝0，直线l2上的点满足x＋(a－1)y＋a2－1＝0(a≠0)，当a为何值时：(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.
解：k1＝－，k2＝－.
(1)l1∥l2时，k1＝k2，即－＝－，
解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，l1的方程为2x＋2y＋6＝0，即x＋y＋3＝0，l2的方程为x＋y＋3＝0，则l1与l2重合．
所以a＝－1.
(2)l1⊥l2时，由k1k2＝－1，得＝－1，
解得a＝.
综上可知，a＝－1时，l1∥l2；a＝时，l1⊥l2.
B级 能力提升
11．在直角坐标平面内有两个点A(4，2)，B(1，－2)，在x轴上有点C，使∠ACB＝90°，则点C的坐标是________．
解析：设C(x0，0)，由AC⊥BC，得·＝－1，
所以x0＝0或x0＝5.
答案：(0，0)或(5，0)
12．若点A(1，2)在直线l上的射影为B(－1，4)，则直线l的方程是________________．
解析：因为AB⊥l，kAB＝＝－1，所以kl＝1.
又l过点B，所以l：y－4＝x＋1，即直线l的方程为x－y＋5＝0.
答案：x－y＋5＝0
13．已知两点A(2，0)，B(3，4)，直线l过点B，且交y轴于点C(0，y)，O是坐标原点，且O，A，B，C四点共圆，那么y的值是________．
解析：由题意知，AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，
即·＝－1，解得y＝.
答案：
14．过点A与B(7，0)的直线l1与过点(2，1)，(3，k＋1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个过原点的圆，则实数k为________．
解析：若l1和l2与坐标轴围成的四边形内接于一个过原点的圆，则l1⊥l2，而kl1＝＝－，
kl2＝＝k.而kl1·kl2＝－1，得k＝3.
答案：3
15．已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l1，l2和两坐标轴围成的梯形的面积是4，求l2的方程．
解：因为l1∥l2，所以设l2的方程为x＋y－m＝0.
设l1与x轴，y轴分别交于点A，D，l2与x轴，y轴分别交于点B，C，易得：A(1，0)，D(0，1)，B(m，0)，C(0，m)．
又l2在l1的上方，所以m＞0.
S梯形＝SRt△OBC－SRt△OAD，
所以4＝m·m－×1×1.
所以m2＝9，m＝3.
故l2的方程是x＋y－3＝0.
PAGE第1章
立体几何初步
1.1
空间几何体
1.1.1
棱柱、棱锥和棱台
A级 基础巩固
1．下列图中属于棱柱的有( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
解析：根据棱柱的定义，第一行中前两个和第二行中后两个为棱柱．
答案：C
2．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线( )
A．20条
B．15条
C．12条
D．10条
解析：由题意五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有2条，五棱柱的对角线共有2×5＝10(条)．
答案：D
3．下面图形所表示的几何体中，不是棱锥的为( )
解析：判断一个几何体是否是棱锥，关键看它是否满足以下条件：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，且是有一个公共顶点的三角形．故A不是棱锥；B是四棱锥；C，
D是五棱锥．
答案：A
4．关于棱柱的下列说法中正确的是________(填序号)．
①所有的棱都相等；
②至少有两个面的形状完全相同；
③相邻两个面的交线叫作侧棱．
解析：①错误，因为侧棱与底面上的棱不一定相等；②正确，根据棱柱的结构特征知，棱柱的两个底面一定是全等的，故棱柱中至少有两个面的形状完全相同；③错误，因为底面和侧面的公共边不是侧棱．
答案：②
5．观察如图所示的正六棱柱，共有________对平行平面，能作为棱柱底面的有________对．
解析：观察图中的正六棱柱，可知共有4对平行平面，其中能作为棱柱底面的只有1对．
答案：4 1
6．下列说法正确的是________(填序号)．
①底面是正方形的棱锥是正四棱锥；
②各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥；
③底面是正三角形，其余各个面是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥；
④正四面体是正三棱锥．
解析：根据定义判定．
答案：④
7．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多有______个．
解析：从长方体中寻找四棱锥模型．
答案：4
8．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？
解：不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面是有一个公共顶点的三角形”，如图所示的几何体并不是棱锥．
9．下列三个命题，其中正确的有________个．
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
解析：由棱台定义知3个命题均不正确．
答案：0
B级 能力提升
10.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图所示)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为( )
解析：两个不能并列相邻，B、D错误；两个不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定．
答案：A
11．下列说法不正确的是________(填序号)．
①有些棱台的侧棱都相等；
②四棱锥有五个顶点；
③三棱台的上、下底面是相似三角形；
④有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的几何体是棱台．
解析：根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥仅有一个顶点，则②不正确；显然①③正确；举反例：将两个相同的四棱台的上底面重合上下放置，得到的几何体不是棱台，④不正确．
答案：②④
12．下列图中的几何体是棱台的是________(填序号)．
解析：①③都不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故①③不满足题意．②中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故②不满足题意．④符合棱台的定义．
答案：④
13.如图所示是一个正方体的表面展开图，把它折回成正方体后，下列命题中，正确命题的序号是________．
①点H与点C重合；
②点D，M与点R重合；
③点B与点Q重合；
④点A与点S重合．
解析：把面EFNM作为该正方体的底面，将展开图还原为正方体，如图所示，然后逐个检验，便可得到命题②④是正确的．
答案：②④
14．一个长方体过同一顶点的三个面的面积分别为，，，这个长方体的对角线的长是________．
解析：设三边分别为a，b，c，则ab＝，bc＝，ca＝，解得：a＝，b＝1，c＝，所以对角线长为＝＝.
答案：
15．两个完全相同的长方体，长、宽、高分别为5
cm，4
cm，3
cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，求最长的对角线的长度．
解：当一个长方体放在另一个长方体的上方时，这时新的长方体的对角线长
d1＝＝(cm)；
当一个长方体放在另一个长方体的右边时，这时新的长方体的对角线长
d2＝＝5(cm)；
当一个长方体放在另一个长方体的前方时，这时新的长方体的对角线长
d3＝＝7(cm)．
综上可知，新长方体中，最长的对角线的长度为5
cm.
16.如图所示，已知正四棱锥V-ABCD的底面面积为16，一条侧棱长为2，点E是BC的中点，计算它的高和斜高．
解：因为正方形ABCD的面积为16，
所以边长为4，OB＝2.
又侧棱长为2，
所以VO＝＝6.
又OE＝2，所以斜高VE＝＝2.
故它的高为6，斜高为2.
PAGE第2章
平面解析几何初步
2.3
空间直角坐标系
2.3.1
空间直角坐标系
A级 基础巩固
1．点P(－2，0，3)位于( )
A．y轴上
B．z轴上
C．xOz平面内
D．yOz平面内
解析：因为点P在y轴上的坐标为0，所以点P位于xOz平面内．
答案：C
2．在空间直角坐标系中，P(2，3，4)，Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是( )
A．关于x轴对称
B．关于yOz平面对称
C．关于坐标原点对称
D．以上都不对
解析：三坐标均相反时，两点关于原点对称．
答案：C
3．在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)关于x轴对称的点的坐标为( )
A．(－1，2，3)
B．(1，－2，－3)
C．(－1，－2，3)
D．(－1，2，－3)
解析：关于x轴对称，x不变，y，z相反，故P(1，2，3)关于x轴对称点的坐标为P′(1，－2，－3)．
答案：B
4．点P(2，3，4)关于yOz平面对称的点的坐标为( )
A．(－2，3，4)
B．(－2，－3，4)
C．(2，－3，－4)
D．(－2，3，－4)
解析：关于yOz平面对称的点，在y轴上，z轴上的坐标不变，在x轴上的坐标变为原来的相反数．
答案：A
5．已知ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，－5)，则点D的坐标为________．
解析：连接AC，BD交于点P，则P为AC与BD的中点，由点A，C坐标求得中点P，再由B(2，－5，1)求得点D的坐标为(5，13，－3)．
答案：(5，13，－3)
6．若x轴上一点A到z轴上一点B的距离为4，并且AB的中点到平面xOy的距离为1，则点A的坐标为________．
解析：设A(a，0，0)，B(0，0，c)，则AB中点P，
所以＝1.
所以|c|＝2.
又a2＋c2＝16，所以a2＝12，a＝±2.
答案：(±2，0，0)
7．有下列叙述：
①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；
②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0，b，c)；
③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0，0，c)；
④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a，0，c)．
其中正确叙述的序号是________．
解析：根据空间直角坐标系中坐标轴及坐标面上点的特点知②③④正确．
答案：②③④
8.如右图所示，空间直角坐标系中OABC-D′A′B′C′是棱长为2的正方体．其中，E，F，G，H分别为边AB，BB′，C′D′，AA′的中点，则坐标为(0，1，2)的点是________．
解析：点的横坐标为0，所以点在平面yOz上，竖坐标为2.
所以点在正方体的上底面上．又纵坐标为1，故点为D′C′的中点G.
答案：G点
9．在空间直角坐标系中，点P(2，－4，6)关于y轴对称的点P′的坐标为________．
解析：点P(2，－4，6)关于y轴对称的点P′的坐标为(－2，－4，－6)．
答案：(－2，－4，－6)
10．点M(2，－3，1)关于点P(1，1，1)的对称点是________．
解析：点M(a，b，c)关于点P(1，1，1)的对称点是(2－a，2－b，2－c)．
答案：(0，5，1)
B级 能力提升
11．如图所示，三棱锥O-ABC为一个正方体截下的一角，OA＝a，OB＝b，OC＝c，建立如图所示的坐标系，则△ABC的重心G的坐标是________．
解析：因为A(a，0，0)，B(0，0，b)，C(0，c，0)，
所以G.
答案：
12．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，给出下面命题：
①点P关于x轴的对称点的坐标是(x，－y，－z)；
②点P关于平面yOz的对称点的坐标是(x，－y，－z)；
③点P关于y轴的对称点的坐标是(x，－y，z)；
④点P关于原点的对称点的坐标是(－x，－y，－z)．
其中正确命题的序号是________．
解析：点P关于x轴、平面yOz、y轴、原点的对称点的坐标分别是(x，－y，－z)，(－x，y，z)，(－x，y，－z)，(－x，－y，－z)，故只有命题①④正确．
答案：①④
13．在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，建立适当的空间直角坐标系，并写出各点的坐标．
解：如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1，
连接BO，OO1，可得BO⊥AC，BO⊥OO1.
以OB，OC，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．因为各棱长均为1，
所以OA＝OC＝O1C1＝O1A1＝，OB＝.
因为A，B，C均在坐标轴上，
所以A，B，C.
因为点A1，C1均在yOz平面内，
所以A1，C1.
因为点B1在xOy平面内的射影为点B，且BB1＝1，
所以B1.
14．如图所示，已知一长方体ABCD-A1B1C1D1的对称中心在坐标原点O，顶点A的坐标为(－2，－3，－1)，求其他7个顶点的坐标．
解：因为A(－2，－3，－1)，根据长方体各顶点的对称关系，
不难求得B(－2，3，－1)，C(2，3，－1)，D(2，－3，－1)．
点A1，B1，C1，D1与点A，B，C，D分别关于平面xOy对称，可得到A1(－2，－3，1)，B1(－2，3，1)，C1(2，3，1)，D1(2，－3，1)．
PAGE第2章
平面解析几何初步
2.1
直线与方程
2.1.6
点到直线的距离
A组 基础巩固
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
A．1 B. C．2 D.
解析：由点到直线的距离公式，得d＝＝.
答案：D
2．已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为( )
A．0或－
B.或－6
C．－或
D．0或
解析：由题意知直线mx＋y＋3＝0与AB平行或过AB的中点，则有－m＝或m·＋＋3＝0，
所以m＝或m＝－6.
答案：B
3．点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为( )
A．(8，0)
B．(－12，0)
C．(8，0)或(－12，0)
D．(－8，0)或(12，0)
解析：设点P的坐标为(x，0)，则根据点到直线的距离公式可得＝6，
解得x＝8或x＝－12.
所以点P的坐标为(8，0)或(－12，0)．
答案：C
4．经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：设所求直线l的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，
即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0，
因为原点到直线的距离d＝＝1，
所以λ＝±3，即直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0.
所以和原点相距为1的直线的条数为2.
答案：C
5．两直线x＋y－2＝0和2x＋2y－3＝0的距离等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：把2x＋2y－3＝0化为x＋y－＝0，由两直线间的距离公式，得d＝＝.
答案：B
6．已知两直线3x＋2y－3＝0与6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离等于( )
A．4
B.
C.
D.
解析：因为3x＋2y－3＝0与6x＋my＋1＝0互相平行，
所以－＝－.
所以m＝4.
所以6x＋my＋1＝0为6x＋4y＋1＝0，
即3x＋2y＋＝0.
所以两平行线间的距离
d＝＝＝.
答案：D
7．与直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程为( )
A．2x＋y＝0
B．2x＋y－2＝0
C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0
D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0
解析：设与直线平行的直线方程为2x＋y＋C＝0，
由两平行线间的距离公式得＝，
所以|C－1|＝1.所以C＝0或C＝2.
答案：D
8．已知点A(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离小于1，则a的取值范围是________．
解析：由点到直线的距离公式得＜1，
解方程得－－1＜a＜－1.又a＞0，故0＜a＜－1.
答案：(0，－1)
9．已知在△ABC中，A(3，2)，B(－1，5)，点C在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积为10，则点C的坐标为________．
解析：由AB＝5，△ABC的面积为10得点C到直线AB的距离为4.设点C的坐标为(t，3t＋3)，再由距离公式可求得．
答案：(－1，0)或
B级 能力提升
10．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是原点，则|OP|的最小值是( )
A.
B．2
C.
D．2
解析：|OP|的最小值即为O到直线x＋y－4＝0的距离，所以d＝＝2.
答案：B
11．两平行线分别经过点A(3，0)，B(0，4)，它们之间的距离d满足的条件是( )
A．0B．0C．0D．3≤d≤5
解析：当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大为|AB|＝5，所以0答案：B
12．△PQR的顶点P(2，－4)，Q(－1，2)，R(3，4)，则△PQR的面积是________．
解析：由已知得PQ＝＝3，
kPQ＝＝－2，
所以lPQ：y＋4＝－2(x－2)，即2x＋y＝0.
所以R到lPQ的距离为d＝＝
.
故S△PQR＝PQ·d＝×3×＝15.
答案：15
13．若直线3x＋4y＋12＝0和6x＋8y－11＝0间的距离为一圆的直径，则此圆的面积为________．
解析：将直线3x＋4y＋12＝0化为6x＋8y＋24＝0，用两平行直线间的距离公式得圆的直径为＝，半径为，故圆的面积为π.
答案：π
14．两条平行线l1，l2分别过点(1，0)与(0，5)，设l1，l2之间的距离为d，则d的取值范围是________．
解析：设A(1，0)，B(0，5)，则|AB|＝＝.显然当l1与l2均和AB垂直时d最大，且dmax＝|AB|＝.
因为l1∥l2，所以d＞0.
所以0＜d≤.
答案：(0，
]
15．正方形中心为M(－1，0)，一条边所在的直线方程为x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．
解：由已知设所求正方形相邻两边方程为3x－y＋p＝0和x＋3y＋q＝0，该正方形的中心为(－1，0)，
因为中心(－1，0)到四边距离相等，
所以＝＝.
解得p1＝－3，p2＝9和q1＝－5，q2＝7.
所以所求方程为3x－y－3＝0，3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0.
16．已知△ABC中，A(1，1)，B(m，)，C(4，2)(1＜m＜4)，求m为何值时，△ABC的面积S最大．
解：因为A(1，1)，C(4，2)，
所以AC＝＝.
又直线AC的方程为x－3y＋2＝0，
根据点到直线的距离公式，可得点B(m，)到直线AC的距离d＝，
所以S＝|AC|·d＝|m－3＋2|＝.
因为1＜m＜4，
所以1＜＜2 －＜－＜.
所以0≤＜.
所以S＝.
所以当－＝0，即m＝时，S最大．
故当m＝时，△ABC的面积S最大．
PAGE章末过关检测卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若直线过点(1，2)，(4，2＋)，则此直线的倾斜角是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：直线斜率为k＝＝，故倾斜角为30°.
答案：A
2．直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标为( )
A．(－2，1)
B．(2，1)
C．(1，－2)
D．(1，2)
解析：直线mx－y＋2m＋1＝0可化为
(x＋2)m＋1－y＝0，
令得
答案：A
3．直线x＋ky＝0，2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0交于一点，则k的值是( )
A.
B．－
C．2
D．－2
解析：解方程组得则点(－1，－2)在直线x＋ky＝0上，得k＝－.
答案：B
4．若坐标原点在圆x2＋y2－2mx＋2my＋2m2－4＝0的内部，则实数m的取值范围是( )
A．(－1，1)
B.
C．(－，)
D．(－，)
解析：由题设把原点代入方程
02＋02－2m·0＋2m·0＋2m2－4<0，
所以－答案：D
5．两圆x2＋y2＋4x－4y＝0与x2＋y2＋2x－12＝0的公共弦长等于( )
A．4
B．2
C．3
D．4
解析：公共弦方程为x－2y＋6＝0，
圆x2＋y2＋2x－12＝0的圆心(－1，0)，半径r＝，d＝.
所以弦长＝2×＝4.
答案：D
6．与圆(x＋2)2＋y2＝2相切，且在x轴与y轴上的截距相等的直线条数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：当截距均为0时，即直线过原点易知有两条切线；当截距不为0时，设切线为＋＝1，即x＋y－a＝0，由圆心(－2，0)到切线的距离等于半径，解得a＝－4，即此时切线为x＋y＋4＝0，故共有3条．
答案：C
7．(2014·安徽卷)过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析：法一 如图所示，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B.由题意知|OP|＝2，|OA|＝1，则sin
α＝，所以α＝30°，∠BPA＝60°.故直线l的倾斜角的取值范围是.故选D.
法二 设过点P的直线方程为y＝k(x＋)－1，则由直线和圆有公共点知≤1.
解得0≤k≤.故直线l的倾斜角的取值范围是.
答案：D
8．以A(－2，－2)，B(－3，1)，C(3，5)，D(7，－7)为顶点的四边形是( )
A．正方形
B．矩形
C．平行四边形
D．梯形
答案：D
9．垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是( )
A．x＋y－＝0
B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－1＝0
D．x＋y＋＝0
答案：A
10．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x－y－＝0或2x－y－＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
解析：设所求切线方程为2x＋y＋c＝0，依题有＝，解得c＝±5，所以所求切线的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.
答案：D
11．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积是球的表面积的( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
12．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )
A．120°
B．150°
C．180°
D．240°
解析：S底＋S侧＝3S底，2S底＝S侧，即2πr2＝πrl，得2r＝l.设侧面展开图的圆心角为θ，则＝2πr，所以θ＝180°.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中的横线上)
13．直线5x＋12y＋13＝0与直线10x＋24y＋5＝0的距离是________．
解析：把5x＋12y＋13＝0化为10x＋24y＋26＝0，由平行线之间的距离公式d＝＝.
答案：
14．在z轴上与点A(－4，1，7)和点B(3，5，－2)等距离的点C的坐标为________．
解析：设C点的坐标为(0，0，z)，
由|AC|＝|BC|，得|AC|2＝|BC|2.
于是有16＋1＋(7－z)2＝9＋25＋(－2－z)2，
解得z＝.
故点C的坐标为.
答案：
15．已知圆O：x2＋y2＝5，直线l：xcos
θ＋ysin
θ＝1.设圆O到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k＝________．
解析：圆心O到直线xcos
θ＋ysin
θ＝1距离d＝1，即直线与圆相交．因为半径r＝＞2，所以O上到直线l的距离等于1的点的个数为4个，所以k＝4.
答案：4
16．直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________．
解析：作出图象，如图所示．
依题意，不妨设直线y＝x＋a与单位圆相交于A，B两点，则∠AOB＝90°，
此时a＝1，b＝－1，满足题意，
所以a2＋b2＝2.
答案：2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
17．(本小题满分10分)求经过A(－2，3)，B(4，－1)的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式、截距式和一般式．
解：过A，B两点的直线方程是＝，
点斜式为：y＋1＝－(x－4)，
斜截式为：y＝－x＋，
截距式为：＋＝1，
一般式为：2x＋3y－5＝0.
18．(本小题满分12分)点A(0，2)是圆x2＋y2＝16内的定点，B，C是这个圆上的两个动点，若BA⊥CA，求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．
解：设点M(x，y)．M是弦BC的中点，故OM⊥BC，
又因为∠BAC＝90°，所以|MA|＝|BC|＝|MB|.
因为|MB|2＝|OB|2－|OM|2，
所以|OB|2＝|MO|2＋|MA|2，即42＝(x2＋y2)＋(x－0)2＋(y－2)2]，化简为x2＋y2－2y－6＝0，即x2＋(y－1)2＝7.
所以所求轨迹为以(0，1)为圆心，以为半径的圆．
19．(本小题满分12分)若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，求圆C的方程．
解：如图所示，因为圆C经过坐标原点O和点A(4，0)，
所以圆心必在线段OA的中垂线上，
所以圆心的横坐标为2，
设圆心坐标为C(2，b)，b＜0，半径为R.
因为圆与直线y＝1相切，
所以R＝1－b，且b2＋22＝
R2＝(1－b)2.解得b＝－，
所以圆心为，半径R＝1－b＝1－＝.
所以圆的方程为(x－2)2＋＝.
20．(本小题满分12分)已知实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求x＋y的最大值和最小值．
解：设x＋y＝t，则直线y＝－x＋t与圆(x－3)2＋(y－3)2＝6有公共点．
所以≤.
所以6－2≤t≤6＋2.
因此x＋y最小值为6－2，最大值为6＋2.
21．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0(m∈R)．
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)设直线l与圆C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB的长．
解：(1)直线l可变形为y－1＝m(x－1)，
因此直线l过定点D(1，1)，
又＝1<，
所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交．
(2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m，
又k＝tan
120°＝－，即m＝－.
此时，圆心C(0，1)到直线l：x＋y－－1＝0的距离
d＝＝，又圆C的半径r＝，
所以|AB|＝2＝2
＝.
22．(本小题满分12分)已知圆C的圆心在直线l1：2x－y＋1＝0上，与直线3x－4y＋9＝0相切，且截直线l2：4x－3y＋3＝0所得的弦长为2，求圆C的方程．
解：设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则
即
即化简，得4a2＋25＝25(a－1)2.
解得a＝0或a＝.因此或
故所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝1或
＋＝.
PAGE
