章末综合测评(二) 平面解析几何初步
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)
1．直线l：x－y＋1＝0的倾斜角为________．
【解析】 l：y＝x＋，k＝，∴α＝30°.
【答案】 30°
2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．
【解析】 直线方程为y＝x,
圆的方程化为x2＋(y－2)2＝22，∴r＝2，圆心(0,2)到直线y＝x的距离为d＝1，
∴半弦长为＝，∴弦长为2.
【答案】 2
3．(2016·常州高一检测)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝1的位置关系是__________．
【解析】 圆心(0,1)到直线l的距离d＝＝<1＝r.故直线l与圆C相交．
【答案】 相交
4．关于x的方程＝(x－2)＋3解的个数为________个.
【导学号：60420097】
【解析】 作出y＝和y＝(x－2)＋3＝x＋2的图象．可看出直线与半圆有两个公共点．
【答案】 2
5．若直线l与直线3x＋y－1＝0垂直，且它在x轴上的截距为－2，则直线l的方程为________．
【解析】 因为直线3x＋y－1＝0的斜率为－3，所以直线l的斜率为.又直线在x轴上的截距为－2，即直线l与x轴的交点为(－2,0)，所以直线l的方程为y－0＝(x＋2)，即x－3y＋2＝0.
【答案】 x－3y＋2＝0
6．(2016·南京高一检测)若曲线(x－1)2＋(y－2)2＝4上相异两点P，Q关于直线kx－y－2＝0对称，则k的值为__________．
【解析】 依题意得，圆心(1,2)在直线kx－y－2＝0上，于是有k－4＝0，解得k＝4.
【答案】 4
7．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则的最小值为________．
【解析】 的最小值为原点到直线3x＋4y＝15的距离：d＝＝3.
【答案】 3
8．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和B(x，－1,6)的距离为，则x的值为________．
【解析】 (x＋3)2＋(－1－4)2＋(6－0)2＝86，
解得x＝2或－8.
【答案】 2或－8
9．直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.
【解析】 依题意，不妨设直线y＝x＋a与单位圆相交于A，B两点，则∠AOB＝90°.如图，此时a＝1，b＝－1.
满足题意，所以a2＋b2＝2.
【答案】 2
10．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．
【解析】 设平面上的点为P，易知ABCD为凸四边形，设对角线AC与BD的交点为P′，则|PA|＋|PC|≥|AC|＝|AP′|＋|P′C|，|PB|＋|PD|≥|BD|＝|BP′|＋|P′D|，当且仅当P与P′重合时，上面两式等号同时成立，由AC和BD的方程解得P′(2,4)．
【答案】 (2,4)
11．若直线l1：ax＋3y＋1＝0与l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0平行，则l1与l2距离为________．
【解析】 由l1∥l2可知＝≠，
解得a＝－3或a＝2(舍)，
∴a＝－3.
∴l1：－3x＋3y＋1＝0，即x－y－＝0，
l2：2x－2y＋1＝0，即x－y＋＝0，
∴l1与l2间的距离d＝＝.
【答案】
12．若圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程是__________．
【解析】 由圆C的方程x2＋y2＋4x－4y＋4＝0可得圆心C(－2,2)，由题意知直线l过OC的中点(－1,1)，又直线OC的斜率为－1，故直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.
【答案】 x－y＋2＝0
13．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为________．
【解析】 设P(3,1)，圆心C(1,0)，切点为A、B，则P、A、C、B四点共圆，且PC为圆的直径，∴四边形PACB的外接圆方程为(x－2)2＋2＝，①
圆C：(x－1)2＋y2＝1，②
①－②得2x＋y－3＝0，此即为直线AB的方程．
【答案】 2x＋y－3＝0
14．设集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r>0)}，当A∩B＝B时，r的取值范围是________．
【解析】 ∵A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r>0)}均表示圆及其内部的点，由A∩B＝B可知两圆内含或内切．∴≤2－r，即0
【答案】 (0,2－]
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)已知圆C的方程为：x2＋y2－2x－4y＋m＝0，
(1)求m的取值范围；
(2)若直线x－2y－1＝0与圆C相切，求m的值．
【解】 (1)由圆的方程的要求可得，22＋42－4m＞0，∴m＜5.
(2)圆心(1,2)，半径r＝，
因为圆和直线相切，所以有＝，
所以m＝.
16．(本小题满分14分)
直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4,3)到直线l的距离为3，求直线l的方程．
【解】 若l在两坐标轴上截距为0，
设l：y＝kx，即kx－y＝0，则＝3.
解得k＝－6±.此时l的方程为y＝x；
若l在两坐标轴上截距不为0，
设l：＋＝1，
即x＋y－a＝0，则＝3.
解得a＝1或13.
此时l的方程为x＋y－1＝0或x＋y－13＝0.
综上，直线l的方程为y＝x或x＋y－1＝0或x＋y－13＝0.
17．(本小题满分14分)一个长方体的8个顶点坐标分别为(0,0,0)，(0,1,0)，(3,0,0)，(3,1,0)，(3,1,9)，(3,0,9)，(0,0,9)，(0,1,9)．
(1)在空间直角坐标系中画出这个长方体；
(2)求这个长方体外接球的球心坐标；
(3)求这个长方体外接球的体积．
【解】 (1)如图．
(2)因为长方体的体对角线长是其外接球的直径，
所以球心坐标为，即.
(3)因为长方体的体对角线长d＝＝，
所以其外接球的半径r＝＝.
所以其外接球的体积V球＝πr3＝π3＝.
18．(本小题满分16分)已知圆C的圆心与P(0,1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y＋1＝0与圆C相交于E，F两点，且|AB|＝4.
(1)求圆C的标准方程；
(2)设直线l：mx－y＋1－m＝0(m∈R)与圆C的交点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程．
【解】 (1)点P(0,1)是关于直线y＝x＋1的对称点，即圆心C的坐标为(0,1)，
圆心C到直线3x＋4y＋1＝0的距离为d＝＝1.
所以r2＝12＋22＝5，得圆C的方程为x2＋(y－1)2＝5.
(2)联立得
消去y，得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0.
由于Δ＝4m4－4(1＋m2)(m2－5)＝16m2＋20>0，故l与圆C必交于两点．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则
消去m，得2＋(y0－1)2＝.
∴M点的轨迹方程为2＋(y－1)2＝.
19．(本小题满分16分)(2016·盐城月考)已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．
【解】 (1)由题意知，圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2.
又|QC|＝＝4>2，
∴|MQ|max＝4＋2＝6，|MQ|min＝4－2＝2.
(2)因为表示直线MQ的斜率，
所以设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
由题意知直线MQ与圆C有交点，
所以≤2，
解得2－≤k≤2＋，
所以的最大值为2＋，最小值为2－.
20．(本小题满分16分)如图1，已知△ABC中A(－8,2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程．
图1
【解】 设B(x0，y0)，则AB中点E的坐标为，由条件可得：
得
解得即B(6,4)，
同理可求得C点的坐标为(5,0)．
故所求直线BC的方程为＝，
即4x－y－20＝0.学业分层测评(十二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．下列说法中，正确的是________．
①直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan
α；
②直线的斜率为tan
α，则此直线的倾斜角为α；
③若直线的倾斜角为α，则sin
α>0；
④任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan
α.
【解析】 α＝90°时，①不成立；α不一定符合倾斜角的范围，故②错；当α＝0°时，sin
α＝0，故③错；④正确．
【答案】 ④
2．若三点A(2,3)，B(3,2)，C共线，则实数m的值为__________．
【解析】 根据斜率公式得kAB＝－1，kAC＝.
∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，∴＝－1.
∴m＝.
【答案】
3．已知直线l的倾斜角为α，且0°≤α<135°，则直线l的斜率的取值范围是__________________．
【解析】 设直线l的斜率为k，当0°≤α<90°时，
k＝tan
α≥0；当α＝90°时，无斜率；当90°<α<135°时；k＝tan
α<－1，∴直线l的斜率k的取值范围是
(－∞，－1)∪[0，＋∞)．
【答案】 (－∞，－1)∪[0，＋∞)
4．若直线l过原点，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是________.
【导学号：60420050】
【解析】 倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x轴和y轴．
【答案】 90°≤α<180°或α＝0°
5．已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1,1)与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是________．
【解析】 直线PA的斜率kPA＝2，直线PB的斜率kPB＝，结合图象，可知直线l的斜率k的取值范围是k≥2或k≤.
【答案】 k≥2或k≤
6．若过点P(3－a,2＋a)和点Q(1,3a)的直线的倾斜角α为钝角，则实数a的取值范围是__________．
【解析】 k＝tan
α＝＝，
∵α为钝角，
∴<0，
∴1【答案】 (1,2)
7．已知直线l1的倾斜角为α，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角用α表示为________．
【解析】 设l2的倾斜角为θ，当α＝0°时，θ＝0°；
当0°<α<180°时，θ＝180°－α.
【答案】 0°或180°－α
8．已知过点(－，1)和点(0，b)的直线的倾斜角α满足30°≤α<60°，则b的取值范围是________．
【解析】 因为30°≤α<60°，所以≤k<，
又k＝，
所以≤<，解得2≤b<4.
【答案】 2≤b<4
二、解答题
9．△ABC的三个顶点为A(1,1)，B(2,2)，C(1,2)，试求△ABC三边所在直线的斜率和倾斜角．
【解】 由各点坐标知，三边所在直线的斜率分别为kAB＝＝1，kAC不存在，kBC＝＝0，故相应的三条直线的倾斜角分别为45°，90°，0°.
10．过点M(0，－3)的直线l与以点A(3,0)，B(－4，1)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
【解】 如图所示，(1)直线l过点A(3,0)时，即为直线MA，倾斜角α1为最小值，
∵tan
α1＝＝1，
∴α1＝45°.
(2)直线l过点B(－4,1)时，即为直线MB，倾斜角α2为最大值，
∵tan
α2＝＝－1，
∴α2＝135°.
所以直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°.
当α＝90°时，直线l的斜率不存在；
当45°≤α<90°时，直线l的斜率k＝tan
α≥1；
当90°<α≤135°时，直线l的斜率k＝tan
α≤－1.
所以直线l的斜率k的取值范围是
(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
[能力提升]
1．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．
【解析】 ∵k＝且直线的倾斜角为钝角，
∴<0，
解得－2【答案】 (－2,1)
2．直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是__________．
【解析】 依题意，作出图形，kAO＝2，kAB＝0，
由数形结合可知kl∈[0,2]．
【答案】 [0,2]
3．若点P(x，y)在线段AB：y＝1(－2≤x≤2)上运动，则的取值范围是________．
【解析】
如图所示，的几何意义为点(x，y)与(0,0)连线的斜率，∴≥或≤－.
【答案】 ∪
4．光线从点A(2,1)射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点B(4,3)，求点Q的坐标及入射光线的斜率．
【解】 点B(4,3)关于y轴的对称点B′(－4,3)，kAB′＝＝－，从而入射光线的斜率为－.设Q(0，y)，则k入＝kQA＝＝－，
解得y＝，即Q的坐标为.学业分层测评(十六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．经过两点A(2,3)，B(－1，x)的直线l1与斜率为－1的直线l2平行，则实数x的值为________．
【解析】 直线l1的斜率k1＝＝，由题意可知＝－1，∴x＝6.
【答案】 6
2．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是________三角形．
【解析】 ∵kAB＝＝－，kAC＝＝，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∠A为直角．
【答案】 直角
3．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是________．
【解析】 ∵l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，不妨设斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1，
∴l1⊥l2.
【答案】 垂直
4．若点A(0,1)，B(，4)在直线l1上，直线l1⊥l2，则l2的倾斜角为________.
【导学号：60420066】
【解析】 由题意可知kAB＝＝.
又l1⊥l2，从而l2的斜率为－.
由tan
α＝－，得α＝150°.
【答案】 150°
5．已知直线l的倾斜角为π，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝________.
【解析】 l的斜率为－1，则l1的斜率为1，
kAB＝＝1，得a＝0.由l1∥l2，
得－＝1，即b＝－2，所以a＋b＝－2.
【答案】 －2
6．设点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，有下面四个结论：
①PQ∥SR；②PQ⊥PS；③PS∥QS；④PR⊥QS.
其中正确的结论是________．
【解析】 由斜率公式知，
kPQ＝＝－，
kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，
∴PQ∥SR，PS⊥PQ，PR⊥QS.
而kPS≠kQS，∴PS与QS不平行．
故结论正确的为①②④.
【答案】 ①②④
7．△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－a,0)，(a,0)(a>0)，边AC，BC所在直线的斜率之积等于k.
①若k＝－1，则△ABC是直角三角形；
②若k＝1，则△ABC是直角三角形；
③若k＝－2，则△ABC是锐角三角形；
④若k＝2，则△ABC是锐角三角形．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
【解析】 由kAC·kBC＝k＝－1，知AC⊥BC，∠C＝，①正确，②不正确．
由kAC·kBC＝k＝－2，知∠C为锐角，kAC与kBC符号相反，③正确，④不正确．
【答案】 ①③
8．过点(m，n)且与直线nx－my＋mn＝0平行的直线一定恒过点__________.
【导学号：60420067】
【解析】 过点(m，n)且与直线nx－my＋mn＝0平行的直线方程为m(y－n)＝n(x－m)，即nx－my＝0，此直线恒过定点(0,0)．
【答案】 (0,0)
二、解答题
9．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线．
(1)倾斜角为135°；
(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；
(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．
【解】 (1)由kAB＝
＝tan
135°＝－1，
解得m＝－或1.
(2)由kAB＝，且＝3，
故＝－，解得m＝或－3.
(3)令＝＝－2，
解得m＝或－1.
10．如图2 1 9，在平行四边形OABC中，点C(1,3)，A(3,0)，
图2 1 9
(1)求AB所在直线的方程；
(2)过点C做CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．
【解】 (1)点O(0,0)，点C(1,3)，∴直线OC的斜率为kOC＝＝3.
AB∥OC，kAB＝3，AB所在直线方程为y＝3x－9.
(2)在 OABC中，AB∥OC，
∵CD⊥AB，∴CD⊥OC.
∴CD所在直线的斜率为kCD＝－.
∴CD所在直线方程为y－3＝－(x－1)，
即x＋3y－10＝0.
[能力提升]
1．若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则l的倾斜角为________．
【解析】 kPQ＝＝－1，kPQ·kl＝－1，
∴l的斜率为1，倾斜角为45°.
【答案】 45°
2．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．
【解析】 由两点的斜率公式可得：kPQ＝＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.
【答案】 －1
3．已知直线l1过点A(1,1)，B(3，a)，直线l2过点M(2,2)，N(3＋a,4)．
(1)若l1∥l2，则a的值为________；
(2)若l1⊥l2，则a的值为________．
【解析】 设直线l1的斜率为k1，
则k1＝＝.
(1)若l1∥l2，则直线l2的斜率k2＝.
又k2＝＝，
∴＝，解得a＝±.
又当a＝±时，kAM≠kBM，
∴A，B，M三点不共线，
∴a＝±均适合题意．
(2)若l1⊥l2，
①当k1＝0，即a＝1时，k2＝1，
此时k1·k2＝0≠－1，不符合题意．
②当k1≠0时，则l2的斜率存在，
此时·＝－1，
解得a＝0，故l1⊥l2时，a＝0.
【答案】 (1)± (2)0
4．(2016·南京高一检测)如图2 1 10所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD＝5
m，宽AB＝3
m，其中一条小路为AC，另一条小路过点D.问如何在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM互相垂直？
图2 1 10
【解】 以点B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的直角坐标系．由AD＝5，AB＝3可得C(5,0)，D(5,3)，A(0,3)．
法一：直线AC的方程为＋＝1，
即3x＋5y－15＝0.
设过点D(5,3)且与直线AC垂直的直线方程为5x－3y＝t，则t＝25－9＝16，即过点D(5,3)且与直线AC垂直的直线方程为5x－3y－16＝0.令y＝0，得x＝＝3.2，即BM＝3.2
m时，两条小路AC与DM互相垂直．
法二：设点M的坐标为(x,0)，
∵AC⊥DM，∴kAC·kDM＝－1.
∴·＝－1，
解得x＝5－＝＝3.2，
即BM＝3.2
m时，两条小路AC与DM互相垂直．学业分层测评(十五)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．在直角坐标系中，直线x＋3y－3＝0的斜率是________．
【解析】 直线x＋3y－3＝0化为斜截式得y＝－x＋1，故直线的斜率为－.
【答案】 －
2．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a＝________，b＝________.
【导学号：60420062】
【解析】 由ax＋by－1＝0在y轴上截距为－1，
∴＝－1，b＝－1.又x－y－＝0的倾斜角为60°.
∴直线ax＋by－1＝0的斜率－＝tan
120°，
∴a＝－.
【答案】 － －1
3．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若l经过原点和第二、四象限，则A，B，C应满足________．
【解析】 l过原点，则C＝0，又过二、四象限，
则－<0，即>0即AB>0.
【答案】 AB>0且C＝0
4．若方程(a2－a－2)x＋(a2＋a－6)y＋a＋1＝0表示垂直于y轴的直线，则a为________．
【解析】 因为方程表示垂直于y轴的直线，所以a2－a－2＝0且a2＋a－6≠0，解得a＝－1.
【答案】 －1
5．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________．
【解析】 该方程类似于直线的一般方程，若它表示一条直线，则x，y的系数不同时为0.解2m2＋m－3＝0，得m＝－或m＝1；解m2－m＝0，得m＝1或m＝0.综上可知实数需满足m≠1.
【答案】 m≠1
6．直线mx＋my＋x－y－3m－1＝0恒过定点，则此定点是________．
【解析】 mx＋my＋x－y－3m－1＝0，
(x＋y－3)m＋(x－y－1)＝0，
则得
【答案】 (2,1)
7．已知直线x－2y＋2k＝0与两坐标轴围成的三角形面积不大于1，则实数k的取值范围是________．
【解析】 令x＝0，则y＝k；令y＝0，则x＝－2k，所以直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是S＝|－2k|·|k|≤1，即k2≤1，所以－1≤k≤1.
【答案】 [－1,1]
8．直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是________．
【解析】 当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；
当a≠－1时，直线l的斜率为－，只要－>1或－<0即可，解得－10.综上可知，实数a的取值范围是∪(0，＋∞)．
【答案】 ∪(0，＋∞)
二、解答题
9．求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程．
【解】 (1)当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y＝kx，
将(－5,2)代入y＝kx中，得k＝－，
此时直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.
(2)当横截距、纵截距都不是零时，
设所求直线方程为＋＝1，将(－5,2)代入所设方程，
解得a＝－，此时直线方程为x＋2y＋1＝0.
综上所述，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.
10．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别求m的值．
(1)在x轴上的截距为1；
(2)斜率为1；
(3)经过定点P(－1，－1)．
【解】 (1)∵直线过点P′(1,0)，
∴m2－2m－3＝2m－6，
解得m＝3或m＝1.
又∵m＝3时，直线l的方程为y＝0，不符合题意，
∴m＝1.
(2)由斜率为1，得解得m＝.
(3)直线过定点P(－1，－1)，
则－(m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝2m－6，
解得m＝或m＝－2.
[能力提升]
1．对于直线l：ax＋ay－＝0(a≠0)，下列说法正确的是________(填序号)．
(1)无论a如何变化，直线l的倾斜角大小不变；
(2)无论a如何变化，直线l一定不经过第三象限；
(3)无论a如何变化，直线l必经过第一、二、三象限；
(4)当a取不同数值时，可得到一组平行直线．
【解析】 对于(3)，当a>0时，直线l：ax＋ay－＝0(a≠0)的斜率小于0，则直线l必经过第四象限，故(3)是错误的．
【答案】 (1)(2)(4)
2．已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0都通过点P(2,3)，则经过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线的方程为________．
【解析】 依题意得2a1＋3b1＋1＝0，这说明Q1(a1，b1)在直线2x＋3y＋1＝0上．
同理，Q2(a2，b2)也在直线2x＋3y＋1＝0上．
因为两点确定一条直线，所以经过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程为2x＋3y＋1＝0.
【答案】 2x＋3y＋1＝0
3．斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程为________.
【导学号：60420063】
【解析】 设直线方程为y＝x＋b，
令y＝0，得x＝－b，
∴＝6，
∴b＝±3，所以所求直线方程为3x－4y－12＝0或3x－4y＋12＝0.
【答案】 3x－4y－12＝0或3x－4y＋12＝0
4．已知直线l的方程为y＝ax＋2a＋1.
(1)求直线l恒过的一个定点；
(2)如果当x∈(－1,1)时，y>0恒成立，求a的取值范围．
【解】 (1)原方程可化为y－1＝a(x＋2)，所以直线l恒过定点(－2,1)．
(2)令y＝f(x)＝ax＋2a＋1，
∵f(x)>0对x∈(－1,1)恒成立，且方程y＝ax＋2a＋1表示直线，∴即解得a≥－.
故满足题意的a的取值范围为a≥－.学业分层测评(三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是________．(填序号)
(1)正三角形的直观图仍然是正三角形；
(2)平行四边形的直观图一定是平行四边形；
(3)正方形的直观图是正方形；
(4)圆的直观图是圆．
【解析】 由斜二测画法可知，平面图形中的垂直关系变成相交关系，故(1)(3)错误；又圆的直观图为椭圆，故(4)错误．
【答案】 (2)
2．如图1 1 36为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是________．
图1 1 36
①
② ③ ④
【解析】 根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直．
【答案】 ③
3．如图1 1 37所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是________．
图1 1 37
【解析】 由题图可知，在△ABC中，AB⊥BC，AC为斜边，AD为直角边上的一条中线，显然斜边AC最长．
【答案】 AC
4．如图1 1 38所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为________．
图1 1 38
【解析】 由直观图与原图形中边OB长度不变，得S原图形＝2S直观图，得·OB·h＝2××2·O′B′，∵OB＝O′B′，∴h＝4.
【答案】 4
5．如图1 1 39所示，正方形O′A′B′C′的边长为1
cm，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为________cm.
【导学号：60420011】
图1 1 39
【解析】 由于平行性不变，O′A′∥B′C′，故在原图形中，OABC，∴四边形OABC为平行四边形，且对角线OB⊥OA，对角线OB＝2，则AB＝＝3.
∴原图形的周长为l＝3×2＋1×2＝8.
【答案】 8
6．如图1 1 40所示，为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
图1 1 40
【解析】 画出直观图，BC对应B′C′，且B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，故顶点B′到x′轴的距离为.
【答案】
7.如图1 1 41是△AOB用斜二测画法画出的直观图△A′O′B′，则△AOB的面积是________．
图1 1 41
【解析】 由题图易知△AOB中，底边OB＝4，
又∵底边OB的高线长为8，
∴面积S＝×4×8＝16.
【答案】 16
8．如图1 1 42所示，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．
图1 1 42
【解析】 由四边形OPQR的直观图可知该四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.
【答案】 10
二、解答题
9．用斜二测画法画长、宽、高分别是4
cm,3
cm,2
cm的长方体ABCD A′B′C′D′的直观图．
【解】 画法：第一步，画轴，如图(1)，画x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°.
(1) (2)
第二步，画底面，以点O′为中点，在x′轴上取线段MN，使MN＝4
cm；
在y′轴上取线段PQ，使PQ＝
cm，分别过点M和N作y′轴的平行线，过点P和Q作x′轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面．
第三步，画侧棱，过A，B，C，D各点分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2
cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
第四步，成图，顺次连结A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就可以得到长方体的直观图(如图(2))．
10．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图1 1 43，∠ABC＝45°，DC⊥AD，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求这块菜地的面积．
图1 1 43
【解】 在直观图①中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，
①
则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，
∴BE＝，而四边形AECD为矩形，AD＝1，
②
∴EC＝AD＝1.∴BC＝BE＋EC＝＋1.
由此可得原图形如图②，在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝＋1，
且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，
∴这块菜地的面积S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′＝××2＝2＋.
[能力提升]
1．利用斜二测画法画边长为1
cm的正方形的直观图，正确的是图1 1 44中的________(填序号)．
① ② ③ ④
图1 1 44
【解析】 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.故④正确．
【答案】 ④
2．如图1 1 45，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则以下说法正确的是__________(填序号).
【导学号：60420012】
图1 1 45
(1)△ABC是钝角三角形；
(2)△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形；
(3)△ABC是等腰直角三角形；
(4)△ABC是等边三角形．
【解析】 将其恢复成原图，设A′C′＝2，则可得OB＝2O′B′＝1，AC＝A′C′＝2，故△ABC是等腰直角三角形．
【答案】 (3)
3.如图1 1 46，在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2
cm，则在xOy坐标系中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________
cm2.
图1 1 46
【解析】 由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2
cm，OC＝4
cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)．
【答案】 矩形 8
4．已知△ABC的面积为a2，它的水平放置的直观图为△A′B′C′是一个正三角形，根据给定的条件作出△A′B′C′的原图形，并计算△A′B′C′的面积．
【解】 (1)取B′C′所在的直线为x′轴，过B′C′中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴，建立坐标系x′O′y′；
(2)过A′点作A′M′∥y′轴交x′轴于M′点，在△A′B′C′中，设它的边长为x，∵O′A′＝x，∠A′M′O′＝45°，∴O′A′＝O′M′＝x，故A′M′＝x；
(3)在直角坐标系xOy中，在x轴上O点左右两侧，
取到点O距离为的点B，C，
在x轴O点左侧取到原点O距离为x的点M，过M在x轴上方作y轴的平行线并截取MA＝x，连结AB，AC，则△ABC为△A′B′C′的原图形，由S△ABC＝a2，得x×x＝a2，∴x＝a，故△A′B′C′的面积为a2.学业分层测评(四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．经过空间任意三点可以作________个平面．
【解析】 若三点不共线，只可以作一个平面；若三点共线，则可以作出无数个平面．
【答案】 一个或无数
2．下面是四个命题的叙述(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)：
①∵A α，B α，∴AB α；
②∵A∈α，B∈α，∴AB∈α；
③∵A α，a α，∴A a.
其中，命题叙述方式和推理都正确的命题是________．
【解析】 ①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为AB α；③正确．
【答案】 ③
3．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中________．
①必有三点共线；②必有三点不共线；③至少有三点共线；④不可能有三点共线．
【解析】 如图(1)(2)所示，①③④均不正确，只有②正确，如图(1)中A，B，D不共线．
(1) (2)
【答案】 ②
4．设平面α与平面β相交于l，直线a α，直线b β，a∩b＝M，则M________l.
【解析】 因为a∩b＝M，a α，b β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.
【答案】 ∈
5．如图1 2 10所示，ABCD A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是________．
图1 2 10
①A，M，O三点共线；
②A，M，O，A1四点共面；
③A，O，C，M四点共面；
④B，B1，O，M四点共面．
【解析】 因为A，M，O三点既在平面AB1D1内，又在平面AA1C内，故A，M，O三点共线，从而易知①②③均正确．
【答案】 ④
6．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．
【解析】
∵AC∥BD，
∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，
则α∩β＝直线CD.
∵l∩α＝O，∴O∈α.
又∵O∈AB β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线．
【答案】 共线
7．如图1 2 11所示的正方体中，P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________．(把正确图形的序号都填上)
图1 2 11
【解析】 图形①中，连结MN，PQ，则由正方体的性质得MN∥PQ.根据推论3可知两条平行直线可以确定一个平面，故图形①正确．分析可知图形②④中这四点均不共面．③中四点恰是正六边形的四点，故③正确．
【答案】 ①③
8．如图1 2 12所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，平面A1C与平面BDPQ的交线是__________.
【导学号：60420015】
图1 2 12
【解析】 因为N∈平面A1C，且N∈平面BDPQ；同理M∈平面A1C，且M∈平面BDPQ，所以平面A1C与平面BDPQ的交线是MN.
【答案】 MN
二、解答题
9.如图1 2 13，点A 平面BCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH与FG交于点K，求证：点K在直线BD上．
图1 2 13
【证明】 ∵EH∩FG＝K，
∴K∈EH，K∈FG.
∵E∈AB，H∈AD，
∴EH 平面ABD，∴K∈平面ABD.
同理，K∈平面BCD.
又∵平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴K在直线BD上．
10．如图1 2 14，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：D1，E，F，B共面．
图1 2 14
【证明】 因为D1，E，F三点不共线，所以D1，E，F三点确定一个平面α.由题意得，D1E与DA共面于平面A1D且不平行，如图．
分别延长D1E与DA相交于G，所以G∈直线D1E，所以G∈平面α.同理设直线D1F与DC的延长线交于H，则H∈平面α.
又点G，B，H均在平面AC内，且点E是AA1的中点，AA1∥DD1，所以AG＝AD＝AB，所以△AGB为等腰三角形，所以∠ABG＝45°.同理∠CBH＝45°.又∠ABC＝90°，所以G，B，H共线于GH，又GH 平面α，所以B∈平面α，所以D1，E，F，B共面．
[能力提升]
1．(2016·聊城高一检测)如图1 2 15，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．
图1 2 15
【解析】 因D，E两点都在α内，也都在平面ABC内，
故DE是△ABC与平面α的交线．
又∵P在α内，也在平面ABC内，
故P点在△ABC与平面α的交线DE上．
【答案】 P∈DE
2．平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，点P∈β且P l，又MN∩l＝R，过M，N，R三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝________.
【解析】 如图，MN γ，R∈MN，∴R∈γ.
又R∈l，∴R∈β.又P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.
【答案】 直线PR
3．正方体ABCD A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么过P，Q，R的截面图形是__________．
【解析】 如图所示，取C1D1的中点E，连结RE，REPQ，∴P，Q，E，R共面．
再取BB1，DD1的中点F，G.
∵PF∥AB1∥QR且GE∥C1D∥QR，GE∥PF，综上E，G，F，P，Q，R共面，
∴截面图形为正六边形．
【答案】 正六边形
4．在棱长是a的正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.
(1)画出交线l；
(2)设l∩A1B1＝P，求PB1的长；
(3)求点D1到l的距离．
【解】 (1)如图，延长DM交D1A1的延长线于点Q，则点Q是平面DMN与平面A1B1C1D1的一个公共点．连结QN，则直线QN就是两平面的交线l.
(2)∵M是AA1的中点，MA1∥DD1，
∴A1是QD1的中点．
又∵A1P∥D1N，∴A1P＝D1N.
∵N是D1C1的中点，∴A1P＝D1C1＝，
∴PB1＝A1B1－A1P＝a.
(3)过点D1作D1H⊥PN于点H，则D1H的长就是点D1到l的距离．
∵QD1＝2A1D1＝2a，D1N＝，
∴QN＝＝a，
∴D1H＝＝＝a，
即点D1到l的距离是a.学业分层测评(七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．下列语句中正确的是________．(填序号)
①l⊥α l与α相交；
②m α，n α，l⊥m，l⊥n l⊥α；
③l∥m，m∥n，l⊥α n⊥α.
【解析】 ①正确，由线面垂直的定义可知；②不正确，没有明确直线m，n的情况；③正确，∵l∥m，m∥n，∴l∥n，又l⊥α，∴n⊥α.
【答案】 ①③
2．已知PA垂直平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________．
【解析】 如图，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.
∵PC⊥BD，且PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC，
∴AC⊥BD.
【答案】 菱形
3．已知△ABC在平面α内，∠A＝90°，DA⊥平面α，则AC与BD的位置关系是________．
【解析】 ∵DA⊥α，∴DA⊥AC.
又AC⊥AB，AB∩DA＝A，
∴AC⊥平面ABD，∴AC⊥BD.
【答案】 垂直
4．如图1 2 66，在正三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角的大小是________．
图1 2 66
【解析】 取AC的中点D，连结DB，C1D，则可证得∠BC1D即为BC1与侧面ACC1A1所成的角，在△ABC中，易得BD＝.
在△DCC1中，易得DC1＝，
在Rt△BC1D中，tan∠BC1D＝＝，
即∠BC1D＝30°.
【答案】 30°
5．对于四面体A BCD，给出下列四个命题：
①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；
②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；
④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD.
其中真命题的序号是________.
【导学号：60420025】
【解析】 对于命题①，取BC的中点E，连结AE，DE，
则BC⊥AE，BC⊥DE，且AE∩DE＝E，
∴BC⊥平面ADE.∵AD 平面ADE，
∴BC⊥AD.
对于④，过A向平面BCD作垂线AO，如图所示．
连结BO与CD交于E，则CD⊥BE，同理CF⊥BD，∴O为△BCD的重心，连结DO，则BC⊥DO，BC⊥AO，且AO∩DO＝O，
∴BC⊥平面AOD，
∴BC⊥AD.
【答案】 ①④
6．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是__________．
【解析】 如图所示，作PD⊥BC于D，连结AD.
∵PA⊥△ABC，∴PA⊥BC，且PA∩PD＝P，
∴BC⊥平面PAD，∴AD⊥BC.
在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4，
在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝＝4.
【答案】 4
7．如图1 2 67，直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝90°，M为线段BB1上的一动点，则直线AM与直线BC的位置关系为__________．
图1 2 67
【解析】 ∵AA1⊥平面ABC，∴BC⊥AA1，
∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，又AB∩AA1＝A，
∴BC⊥平面AA1B1B，又AM 平面AA1B1B，
∴AM⊥BC.
【答案】 垂直
8．如图1 2 68所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．
图1 2 68
【解析】 ∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥QD.
又∵PQ⊥QD，且PA∩PQ＝P，∴QD⊥平面PAQ，
∴AQ⊥QD，即Q在以AD为直径的圆上，当圆与BC相切时，点Q只有一个，故BC＝2AB＝2.
【答案】 2
二、解答题
9.如图1 2 69，在四棱锥P ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD.
图1 2 69
(1)证明：PA∥平面BDE；
(2)证明：AC⊥平面PBD.
【证明】 (1)设AC∩BD＝H，连结EH，
在△ADC中，
因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，
所以H为AC的中点，
又由题设，E为PC的中点，
故EH∥PA，又EH 平面BDE，
且PA 平面BDE，
所以PA∥平面BDE.
(2)因为PD⊥平面ABCD，
AC 平面ABCD，
所以PD⊥AC.
由(1)可得，DB⊥AC，又PD∩DB＝D，
故AC⊥平面PBD.
10．如图1 2 70，已知矩形ABCD，SA⊥平面AC，AE⊥SB于点E，EF⊥SC于点F.
图1 2 70
(1)求证：AF⊥SC；
(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.
【证明】 (1)∵SA⊥平面AC，BC 平面AC，∴SA⊥BC.
∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC.
又AB∩SA＝A，
∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE，
又SB⊥AE，SB∩BC＝B，
∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC.
又EF⊥SC，EF∩AE＝E，
∴SC⊥平面AEF.
又AF 平面AEF，
∴AF⊥SC.
(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC.
又AD⊥DC，SA∩AD＝A，
∴DC⊥平面SAD，∴DC⊥AG.
又由(1)有SC⊥平面AEF，AG 平面AEF，
∴SC⊥AG，
又SC∩DC＝C，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD.
[能力提升]
1．如图1 2 71所示，PA⊥平面ABC，M，N分别为PC，AB的中点，使得MN⊥AC的一个条件为__________．
图1 2 71
【解析】 取AC中点Q，连结MQ，NQ，
则MQ∥AP，NQ∥BC，
由已知条件易得MQ⊥AC，若AC⊥BC，
则NQ⊥AC，
所以AC⊥平面MNQ，
所以AC⊥MN.
【答案】 AC⊥BC
2．如图1 2 72，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面是边长为2的菱形，且∠ABC＝45°，PA＝AB，则直线AP与平面PBC所成角的正切值为________．
图1 2 72
【解析】 作AE⊥BC于点E，则BC⊥平面PAE，可知点A在平面PBC上的射影在直线PE上，故∠APE为所求的角．AE＝ABsin
45°＝，∴tan
∠APE＝＝.
【答案】
3．已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α于A，EB⊥β于B，a α，a⊥AB，则直线a与l的位置关系是________.
【导学号：60420026】
【解析】 由EA⊥α，
EB⊥β知l⊥EA，l⊥EB，
从而l⊥平面EAB，
而a⊥AB，a⊥EA，
∴a⊥平面EAB，∴l∥a.
【答案】 平行
4．如图1 2 73，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
图1 2 73
(1)证明：CD⊥AE；
(2)证明：PD⊥平面ABE.
【证明】 (1)在四棱锥P ABCD中，
因PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，故PA⊥CD.
又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.
而AE 平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
又∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD.而PD 平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，AB⊥平面PAD.
又∵PD 平面PAD，∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.学业分层测评(八)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．有下列命题：
①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；
②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；
③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；
④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.
其中正确的有________(填序号)．
【解析】 由面面平行的定义、性质得③正确．
【答案】 ③
2．已知夹在两平行平面α，β之间的线段AB的长为6，AB与α所成的角为60°，则α与β之间的距离为________．
【解析】 过B作BC⊥α于C，则∠BAC＝60°，在Rt△ABC中，BC＝AB·sin
60°＝3.
【答案】 3
3．设直线l，m，平面α，β，则由l⊥α，m⊥β且l∥m，能得出α与β的位置关系是________．
【答案】 平行
4．如图1 2 83，AE⊥平面α，垂足为E，BF⊥α，垂足为F，l α，C，D∈α
，AC⊥l，则当BD与l______时，平面ACE∥平面BFD.
图1 2 83
【解析】 l⊥平面ACE，故需l⊥平面BFD.
【答案】 垂直
5．已知平面α∥β∥γ，两条相交直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和D，E，F，已知AB＝6，＝，则AC＝________.
【导学号：60420028】
【解析】 ∵α∥β∥γ，∴＝.
由＝，得＝，即＝，
而AB＝6，
∴BC＝9，∴AC＝AB＋BC＝15.
【答案】 15
6．若平面α∥平面β，且α，β间的距离为d，则在平面β内，下列说法正确的是________(填序号)．
①有且只有一条直线与平面α的距离为d；
②所有直线与平面α的距离都等于d；
③有无数条直线与平面α的距离等于d；
④所有直线与平面α的距离都不等于d.
【解析】 由两平行平面间的距离可知，②③正确．
【答案】 ②③
7．如图1 2 84所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.
图1 2 84
【解析】 ∵HN∥BD，HF∥DD1，
HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，
故线段FH上任意点M与N连结，有MN∥平面B1BDD1.
【答案】 M∈线段FH
8．如图1 2 85，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．
图1 2 85
【解析】 取CD的中点H，连结EH，FH.在正四面体CDEF中，由于CD⊥EH，CD⊥HF，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，则平面EFH与正方体的左右两侧面平行，则EF也与之平行，与其余四个平面相交．
【答案】 4
二、解答题
9．如图1 2 86所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．
图1 2 86
(1)求证：平面MNG∥平面ACD；
(2)求S△MNG∶S△ACD.
【解】 (1)证明：连结BM，BN，BG并延长交AC，AD，CD分别于点P，F，H.
∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，
∴＝＝＝2.
连结PF，FH，PH，有MN∥PF.
又PF 平面ACD，MN 平面ACD.
∴MN∥平面ACD.
同理MG∥平面ACD.又MG∩MN＝M，
∴平面MNG∥平面ACD.
(2)由(1)可知＝＝，
∴MG＝PH.
又PH＝AD，∴MG＝AD.
同理NG＝AC，MN＝CD.
∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3.
∴S△MNG∶S△ACD＝1∶9.
10.如图1 2 87，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？
图1 2 87
【解】 如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.
假设平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，
所以BQ∥D1M∥AP.因为P为DD1的中点，所以M为AA1的中点，所以Q为CC1的中点，故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
[能力提升]
1．如图1 2 88，在多面体ABC A1B1C1中，如果在平面AB1内，∠1＋∠2＝180°，在平面BC1内，∠3＋∠4＝180°，那么平面ABC与平面A1B1C1的位置关系是________．
图1 2 88
【解析】 在平面AB1内，∠1＋∠2＝180°知A1B1∥AB，在平面BC1内，∠3＋∠4＝180°，知B1C1∥BC，所以平面ABC与平面A1B1C1平行．
【答案】 平行
2．已知平面α∥平面β，直线m α，直线n β，点A∈m，点B∈n，记点A，B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则a，b，c之间的大小关系为__________.
【导学号：60420029】
【解析】 在如图所示的棱长为1的正方体中，上、下底面分别记为α，β.直线m即直线AD1，直线n即直线BD.显然点A，B之间的距离为a＝，点A到直线n的距离为b＝，直线m和n的距离为c＝1，则c【答案】 c3．在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点．点P在对角线BD1上，且BP＝BD1，给出下列四个命题：
图1 2 89
①MN∥平面APC；②C1Q∥平面APC；
③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面APC.
其中正确命题的序号为______________．
【解析】 E，F分别为AC，MN的中点，G为EF与BD1的交点，显然△D1FG∽△BEG，故＝＝，即BG＝BD1.又BP＝BD1，故点G与点P重合，所以平面APC和平面ACMN重合，MN 平面APC，故命题①不正确，命题④也不正确．
【答案】 ②③
4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，如图1 2 90所示．
图1 2 90
(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；
(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明A1E＝EF＝FC.
【解】 (1)证明：因为在正方体ABCD A1B1C1D1中，ADB1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.
又因为C1D 平面C1BD，AB1 平面C1BD.
所以AB1∥平面C1BD.
同理可证，B1D1∥平面C1BD.
又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1 平面AB1D1，B1D1 平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.
(2)如图所示，连结A1C1，交B1D1于点O1；连结AO1，与A1C交于点E.
又因为AO1 平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，
所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点．
连结AC，交BD于O；连结C1O，与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．
下面证明A1E＝EF＝FC.
因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，
平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，
平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F，
在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，
所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；
同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，即FC＝EF，
所以A1E＝EF＝FC.学业分层测评(十七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．直线l1：x＋by＝1与直线l2：x－y＝a的交点坐标为(0,2)，则a＝________，b＝________.
【解析】 将点(0,2)代入x＋by＝1，得b＝，
将点(0,2)代入x－y＝a，得a＝－2.
【答案】 －2
2．已知a为常数，则直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点坐标为________．
【解析】 由
得
所以交点坐标为.
【答案】
3．已知P1(a1，b1)与P2(a2，b2)是直线y＝kx＋1(k为常数)上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是________．
①无论k，P1，P2如何，总是无解；
②无论k，P1，P2如何，总有唯一的解；
③存在k，P1，P2，使之恰有两解；
④存在k，P1，P2，使之有无穷多解．
【解析】 由题意，直线y＝kx＋1一定不过原点O，P1，P2是直线y＝kx＋1上不同的两点，则OP1与OP2不平行
，因此a1b2－a2b1≠0，所以二元一次方程组一定有唯一解．
【答案】 ②
4．若三条直线x＋y＋4＝0，x－y＋1＝0和x＋by＝0相交于一点，则b的值是__________．
【解析】 联立解得将点代入x＋by＝0，解得b＝－.
【答案】 －
5．直线l过直线2x－y＋4＝0与x－3y＋5＝0的交点，且垂直于直线y＝x，则直线l的方程是________.
【导学号：60420071】
【解析】 由解得交点坐标为，故直线l过点，斜率为－2，所以直线l的方程为y－＝－2，即为10x＋5y＋8＝0.
【答案】 10x＋5y＋8＝0
6．直线(a＋2)y＋(1－a)x－3＝0与直线(a＋2)y＋(2a＋3)x＋2＝0不相交，则a＝________.
【解析】 要使两直线不相交，则它们平行，当a＋2＝0时，即a＝－2，两直线为x＝1，x＝2，此时两直线平行，符合题意．
当a＋2≠0时，－＝－，解得a＝－.
所以a＝－2或a＝－.
【答案】 －2或－
7．直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0(k∈R)所经过的定点是________．
【解析】 方程整理为k(2x－y－1)－(x＋3y－11)＝0(k∈R)．
由题意知
解得即直线过定点(2,3)．
【答案】 (2,3)
8．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是__________．
【解析】
如图，直线2x＋3y－6＝0过点A(3,0)，B(0,2)，直线l必过点C(0，－)，当直线l过点A时，两直线的交点在x轴上，此时直线l的斜率为kAC＝，倾斜角为30°，当直线l绕点C逆时针旋转时，交点进入第一象限，倾斜角无限趋近于90°，从而得出结果．
【答案】
二、解答题
9．当0【解】
如图，直线l1：a(x－2)－2(y－2)＝0.
∴过定点B(2,2)．
直线l2：(2x－4)＋a2(y－2)＝0，
由2x－4＝0和y－2＝0，得l2也过定点B(2,2)．
∵l1与y轴交于点A(0,2－a)，
l2与x轴交于点C(a2＋2,0)．
∴S四边形OABC＝S△AOB＋S△BOC＝(2－a)×2＋×(a2＋2)×2
＝a2－a＋4＝2＋.
∴当a＝时，S取最小值.
即四边形OABC的面积最小时，a的值为.
10．已知过原点的直线l与两直线l1：4x＋y＋6＝0，l2：3x－5y－6＝0交点的横坐标分别为xA，xB，且xA＋xB＝0，求直线l的方程．
【解】 若l的斜率不存在，则l的方程为x＝0，
∴xA＝xB＝0，满足xA＋xB＝0的要求，
∴l的方程可以是x＝0.
若l的斜率存在，设为k，则l的方程为y＝kx.
由得xA＝－；
由得xB＝.
由xA＋xB＝0 －＋＝0 k＝－.
∴l的方程为y＝－x，即x＋6y＝0.
∴l的方程为x＝0或x＋6y＝0.
[能力提升]
1．若直线y＝x与直线y＝x－5的交点在直线y＝kx＋3上，则k＝________.
【解析】 由解得x＝y＝，将代入y＝kx＋3，得＝＋3，解得k＝.
【答案】
2．三条直线x－2y＋1＝0，x＋3y－1＝0和ax＋2y－3＝0共有两个不同的交点，则a＝__________.
【解析】 由于直线l1：x－2y＋1＝0，l2：x＋3y－1＝0有一交点，要使三条直线有两个不同的交点，则必使l3：ax＋2y－3＝0与l1平行或与l2平行．所以a＝－1或a＝.
【答案】 －1或
3．直线l经过2x－3y＋2＝0和3x－4y－2＝0的交点且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线l的方程为________．
【解析】 解方程组得两直线交点坐标为(14,10)．又由三角形为等腰直角三角形知所求直线斜率k＝±1，即可写出所求的直线方程．
【答案】 x－y－4＝0或x＋y－24＝0
4．已知△ABC中，顶点A(0,1)，AB边上的高线CD所在直线的方程是x＋2y－4＝0，AC边上的中线BM所在直线的方程为2x＋y－3＝0，求△ABC的顶点B，C及垂心H的坐标．
【解】 ∵AB边上的高线CD的方程为x＋2y－4＝0，
∴kCD＝－，kAB＝2，
直线AB的方程为y＝2x＋1，
由得
即B.
设C(m，n)，则由已知条件得
得
∴C(2,1)．
∴BC边所在直线的方程为＝，即2x＋3y－7＝0，
∴BC上的高线AE所在直线的方程为
y＝，
即3x－2y－3＝0，
由得H.学业分层测评(一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．下列说法中正确的个数是________．
①棱柱的面中，至少有两个面互相平行；②棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面；③棱柱中一条侧棱的长叫做棱柱的高；④棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形．
【解析】 棱柱的面中，有两个底面，所以至少有两个面互相平行，故①正确．棱柱中两个互相平行的平面可能是棱柱的侧面，②错误．棱柱中一条侧棱的长不一定是棱柱的高，③错误．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面可能是平行四边形，④错误．
【答案】 1
2．下面图形所表示的几何体中，不是棱锥的为______(填序号)．
图1 1 11
【解析】 结合棱锥的定义可知，①不符合其定义，故填①.
【答案】 ①
3．在正方体上任意选择4个顶点，它们可以确定的几何图形或几何体为________．(写出所有正确结论的编号)
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．
【解析】
在正方体ABCD A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可以确定：①矩形，如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如A CB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A A1DC，所以填①③④⑤.
【答案】 ①③④⑤
4．一个无盖的正方体盒子展开后的平面图形如图1 1 12所示，A，B，C是展开图上的三点，在正方体盒子中三角形ABC的形状为__________．(“等边三角形”“等腰三角形”或“直角三角形”)
图1 1 12
【解析】 由题图知，分别连接A，B，C三点，AB，BC，CA是正方体盒子的面对角线，所以△ABC为等边三角形．
【答案】 等边三角形
5．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60
cm，则每条侧棱长为________
cm.
【解析】 由棱柱有10个顶点知此棱柱有5条侧棱，又棱柱侧棱长相等，故每条侧棱长为12
cm.
【答案】 12
6．一个截面经过棱锥各条侧棱的中点，则截得棱台的上、下底面积之比是________.
【导学号：60420003】
【解析】
如图，由于A1是SA的中点，
则＝＝，
故＝2＝.
【答案】 1∶4
7．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图1 1 13)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为________．
图1 1 13
【解析】 两个不能并列相邻，②④错误；两个不能并列相邻，③错误，故选①.也可通过实物制作检验来判定．
【答案】 ①
8．所有棱长都相等的正四棱锥和正三棱锥的一个面重合后暴露的面的个数为________个．
【解析】 如图(1)(2)所示分别是所有棱长都相等的正四棱锥和正三棱锥．图(3)是它们拼接而成的一个几何体．故暴露的面数为7个．
(1) (2) (3)
【答案】 7
二、解答题
9．观察图1 1 14中的几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的．
(1) (2) (3)
图1 1 14
【解】 图(1)是由一个四棱柱在它的上、下底面上向内挖去一个三棱柱组成的几何体．
图(2)是由一个四棱柱和一个底面与四棱柱上底面重合的四棱锥组成．
图(3)是一个三棱台和一个上底面与三棱台的下底面重合的三棱柱组成．
10．如图1 1 15，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
图1 1 15
(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？
(3)每个面的三角形面积为多少？
【解】 (1)如图，折起后的几何体是三棱锥．
(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形．
(3)S△PEF＝a2，S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2，S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)2－a2－a2－a2＝a2.
[能力提升]
1．在正五棱柱中，不在同一侧面且不在同一底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线有________条.
【导学号：60420004】
【解析】 正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，5个平面共可得到10条对角线．
【答案】 10
2．用一个平面去截一个几何体，如果截面是三角形，则这个几何体可能是__________．
【解析】 用平行于底面的平面去截三棱柱，截面是三角形，用同样的方法去截三棱锥、三棱台，所得截面均为三角形．
【答案】 答案不唯一，如三棱锥、三棱柱、三棱台等
3．如图1 1 16，M是棱长为2
cm的正方体ABCD A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________
cm.
图1 1 16
【解析】 由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2
cm,3
cm，故两点之间的距离是
cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1
cm,4
cm，故两点之间的距离是
cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是
cm.
【答案】
4.如图1 1 17所示，已知三棱台ABC A′B′C′.
图1 1 17
(1)把它分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示；
(2)把它分成三个三棱锥并用字母表示．
【解】 (1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′ AB″C″，多面体是B′C′ BCC″B″.
(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′ ABC，B′ A′BC，C′ A′B′C.
① ②学业分层测评(十一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．(2016·苏州高二检测)若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此正三棱锥的体积为__________．
【解析】 设此正三棱锥的高为h，则h2＋2＝1，所以h2＝，h＝，故此三棱锥的体积V＝××()2×＝.
【答案】
2．一个正四棱台形油槽可以装煤油190
L，假如它的上、下底边长分别等于60
cm和40
cm，它的深度是________
cm.
【解析】 设深度为h，则V＝(402＋40×60＋602)，
即190
000＝×7
600，所以h＝75.
【答案】 75
3．如图1 3 11，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________.
【导学号：60420042】
图1 3 11
【解析】 将该几何体补上一个同样的几何体，变为一个高为a＋b的圆柱，则所求几何体的体积为V＝＝×πr2·(a＋b)＝.
【答案】
4．(2015·江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．
【解析】 设新的底面半径为r，由题意得
×π×52×4＋π×22×8＝×π×r2×4＋π×r2×8，
∴r2＝7，∴r＝.
【答案】
5．(2015·山东高考改编)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________．
【解析】 过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－·π·CE2·DE＝π×12×2－π×12×1＝.
【答案】
6．将一铜球放入底面半径为16
cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高了9
cm，则这个铜球的半径为__________cm.
【解析】 设铜球的半径为R
cm，则有πR3＝π×162×9，解得R＝12.
【答案】 12
7．如图1 3 12，在直三棱柱ABC A1B1C1中，如果AB＝AC＝，BB1＝BC＝6，E，F为侧棱AA1上的两点，且EF＝3，那么多面体BB1C1CEF的体积为________．
图1 3 12
【解析】 在△ABC中，BC边上的高h＝＝2，
V柱＝BC·h·BB1＝×6×2×6＝36，
∴VE ABC＋VF A1B1C1＝V柱＝6，故VBB1C1CEF＝36－6＝30.
【答案】 30
8．如图1 3 13所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则以A(B)，C，D，O为顶点的四面体的体积是__________．
图1 3 13
【解析】 显然，折叠后OA是该四面体的高，且OA为2，而△COD的面积为4，所以四面体的体积为.
【答案】
二、解答题
9．如图1 3 14所示，A为直线y＝x上的一点，AB⊥x轴于点B，半圆的圆心O′在x轴的正半轴上，且半圆与AB，AO相切，已知△ABO绕x轴旋转一周形成的几何体的体积为9π，求阴影部分旋转成的几何体的体积．
图1 3 14
【解】 阴影部分绕x轴旋转一周所得几何体是圆锥挖去一个内切球．其体积为V＝V圆锥－V球．
设A点坐标为(x，y)，则
解得
于是∠AOB＝30°，从而OO′＝2R，
3R＝x＝3，R＝.
∴V＝9π－πR3＝9π－π()3
＝5π.
10．直三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝AA1，∠CAB＝.
(1)证明：CB1⊥BA1；
(2)已知AB＝2，BC＝，求三棱锥C1 ABA1的体积．
【解】 (1)如图，连结AB1，
∵ABC A1B1C1是直三棱柱，∠CAB＝，
∴AC⊥平面ABB1A1，故AC⊥BA1.
又∵AB＝AA1，
∴四边形ABB1A1是正方形，
∴BA1⊥AB1，又CA∩AB1＝A，
∴BA1⊥平面CAB1，故CB1⊥BA1.
(2)∵AB＝AA1＝2，BC＝，
∴AC＝A1C1＝1，
由(1)知A1C1⊥平面ABA1，
∴VC1 ABA1＝S△ABA1·A1C1＝×2×1＝.
[能力提升]
1．(2014·山东高考)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
【解析】 设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.
由题意，得×6××2××h＝2，∴h＝1，
∴斜高h′＝＝2，∴S侧＝6××2×2＝12.
【答案】 12
2．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为________．
【解析】
法一：如图，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4r＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝.故球的表面积为S球＝4πr＝4πRr.
法二：如图，设球心为O，球的半径为r1，连结OA，OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高．由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即r＝Rr，故r1＝，故球的表面积为S球＝4πRr.
【答案】 4πRr
3．如图1 3 15，在直三棱柱ABC A1B1C1中，E是AB的中点，D是AA1的中点，则三棱锥D B1C1E的体积与三棱柱ABC A1B1C1的体积之比是__________.
【导学号：60420043】
图1 3 15
【解析】 设C1到平面A1B的距离为h，由已知得，S△DB1E＝AB·A1A，所以V三棱锥D B1C1E＝S△DB1Eh＝×·AB·A1A·h＝AB·A1A·h＝VABC A1B1C1，即V三棱锥D B1C1E∶VABC A1B1C1＝1∶4.
【答案】 1∶4
4．(2015·全国卷Ⅱ)如图1 3 16，长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
图1 3 16
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
【解】 (1)交线围成的正方形EHGF如图所示．
(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.
因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.
于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6.
故S四边形A1EHA＝×(4＋10)×8＝56，
S四边形EB1BH＝×(12＋6)×8＝72.
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，
所以其体积的比值为.学业分层测评(九)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．(2014·浙江高考改编)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的序号是__________．
(1)若m⊥n，n∥α，则m⊥α；
(2)若m∥β，β⊥α，则m⊥α；
(3)若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α；
(4)若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.
【解析】 (1)中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m α，错误；
(2)中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m α，错误；
(3)中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；
(4)中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m α，错误．
【答案】 (3)
2．如图1 2 98，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1 BD C的大小为________．
图1 2 98
【解析】 如图，取BD中点O，连结OC，OC1，
∵AB＝AD＝2，∴CO⊥BD，CO＝.
∵CD＝BC，∴C1D＝C1B，∴C1O⊥BD.
∴∠C1OC为二面角C1 BD C的平面角，
∴tan∠C1OC＝＝＝，
∴∠C1OC＝30°，即二面角C1 BD C的大小为30°.
【答案】 30°
3．下列四个命题：
①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；
②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；
③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；
④如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．
其中真命题的序号是________.
【导学号：60420033】
【解析】 根据空间点、线、面间的位置关系，过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，故①正确；过平面外一点有无数条直线与该平面平行，故②不正确；根据平面与平面平行的性质定理知③正确；根据两个平面垂直的性质知④正确．从而正确的命题有①③④.
【答案】 ①③④
4．如图1 2 99所示，在三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B PA C的大小为________．
图1 2 99
【解析】 ∵PA⊥平面ABC，BA，CA 平面ABC，
∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即为二面角B PA C的平面角．又∠BAC＝90°，故二面角B PA C的大小为90°.
【答案】 90°
5．已知三棱锥D ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则二面角D BC A的大小为________．
【解析】
如图，由题意知AB＝AC＝BD＝CD＝，BC＝AD＝2.
取BC的中点E，连结DE，AE，则AE⊥BC，DE⊥BC，所以∠DEA为所求二面角的平面角．易得AE＝DE＝，又AD＝2，AD2＝AE2＋DE2，所以∠DEA＝90°.
【答案】 90°
6．如图1 2 100所示，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是________．
图1 2 100
【解析】 连结B′C，则△AB′C为等边三角形，设AD＝a，
则B′C＝AC＝a，B′D＝DC＝a，
所以B′C2＝B′D2＋DC2，
所以∠B′DC＝90°.
【答案】 90°
7．四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两垂直的共有________对．
【解析】 因为AD⊥AB，AD⊥PA且PA∩AB＝A，可得AD⊥平面PAB.同理可得BC⊥平面PAB、AB⊥平面PAD、CD⊥平面PAD，由面面垂直的判定定理可得，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，共有5对．
【答案】 5
8．已知平面α，β，且α∩β＝AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．若PC＝PD＝1，CD＝，则平面α与平面β的位置关系是________．
【解析】
因为PC⊥α，AB α，所以PC⊥AB.
同理PD⊥AB.又PC∩PD＝P，故AB⊥平面PCD.
设AB与平面PCD的交点为H，连结CH，DH.
因为AB⊥平面PCD，所以AB⊥CH，AB⊥DH，
所以∠CHD是二面角C AB D的平面角．
又PC＝PD＝1，CD＝，
所以CD2＝PC2＋PD2＝2，
即∠CPD＝90°.在平面四边形PCHD中，∠PCH＝∠PDH＝∠CPD＝90°，所以∠CHD＝90°，故平面α⊥平面β.
【答案】 垂直
二、解答题
9.如图1 2 101，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2，BC＝6.
图1 2 101
求证：平面PBD⊥平面PAC.
【证明】 ∵PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
∴BD⊥PA.
又tan∠ABD＝＝，tan∠BAC＝＝，
∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.
又∵BD 平面PBD，平面PBD⊥平面PAC.
10．如图1 2 102，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点．
图1 2 102
(1)求证：平面MNF⊥平面NEF；
(2)求二面角M EF N的平面角的正切值．
【解】 (1)证明：连结MN，
∵N，F均为所在棱的中点，∴NF⊥平面A1B1C1D1.
而MN 平面A1B1C1D1，∴NF⊥MN.
又∵M，E均为所在棱的中点，
∴△C1MN和△B1NE均为等腰直角三角形，
∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°，∴∠MNE＝90°，
∴MN⊥NE.又NF∩NE＝N，∴MN⊥平面NEF.
而MN 平面MNF，∴平面MNF⊥平面NEF.
(2)在平面NEF中，过点N作NG⊥EF于点G，连结MG.
由(1)得知MN⊥平面NEF.又EF 平面NEF，∴MN⊥EF.
又MN∩NG＝N，∴EF⊥平面MNG，∴EF⊥MG.
∴∠MGN为二面角M EF N的平面角．
设该正方体的棱长为2.
在Rt△NEF中，NG＝＝＝，
∴在Rt△MNG中，tan∠MGN＝＝＝.
∴二面角M EF N的平面角的正切值为.
[能力提升]
1．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出下列四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：__________.
【解析】 由面面垂直的判定定理可知，由m⊥n，m⊥α，n⊥β可推出α⊥β；由面面垂直的性质定理可知，由m⊥α，n⊥β，α⊥β可推出m⊥n.
【答案】 ①③④ ②(或②③④ ①)
2．如图1 2 103，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC.底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.
【导学号：60420034】
图1 2 103
【解析】 ∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D，
∴为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)即可，设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2a.
【答案】 a或2a
3．如果一个三棱锥的三个侧面两两垂直，则顶点在底面内的射影是底面三角形的________心．
【解析】
三侧面两两垂直，
则三条侧棱也两两垂直，
∴PC⊥平面PAB，
∴AB⊥PC，
作PO⊥平面ABC于点O，
则AB⊥PO，∴AB⊥平面POC，
∴AB⊥OC，
同理，OB⊥AC，∴O为△ABC的垂心．
【答案】 垂
4．如图1 2 104，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.
图1 2 104
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB；
(3)若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．
【证明】 (1)∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BG⊥平面PAD.
(2)如图，连结PG.
∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.
由(1)知BG⊥AD，
又PG 平面PGB，BG 平面PGB，且PG∩BG＝G，
∴AD⊥平面PGB.
∵PB 平面PGB，∴AD⊥PB.
(3)当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：
F为PC的中点时，在△PBC中，FE∥PB，又在菱形ABCD中，GB∥DE，
而FE 平面DEF，DE 平面DEF，FE∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PGB.
易知PG⊥平面ABCD，而PG 平面PGB，
∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.学业分层测评(二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．下列说法正确的是________．
①平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形；
②平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形；
③过圆锥顶点与底面圆心的截面是等腰三角形；
④过圆台上底面中心的截面是等腰梯形．
【解析】 由圆柱、圆锥、圆台的性质知③正确．
【答案】 ③
2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是________．
【解析】 连结正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥的组合体．
【答案】 两个圆锥的组合体
3．在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是________．
图1 1 24
【解析】 一个六棱柱中挖去一个等高的圆柱．
【答案】 一个六棱柱中挖去一个圆柱
4．线段y＝2x(0≤x≤2)绕x轴旋转一周所得的图形是________．
【解析】 由线段y＝2x(0≤x≤2)绕x轴旋转一周所得的图形是圆锥的侧面．
【答案】 圆锥的侧面
5．如图1 1 25所示，将梯形ABCD绕底边AB所在直线旋转一周，由此形成的几何体是由简单几何体__________构成的.
【导学号：60420008】
图1 1 25
【解析】 旋转体要注意旋转轴，可以想象一下旋转后的几何体，由旋转体的结构特征知它中间是圆柱，两头是圆锥．
【答案】 圆锥、圆柱
6．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面可能的图形是________．
① ② ③ ④
图1 1 26
【解析】 当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.
【答案】 ①②③
7．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径为________．
【解析】 如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π，8π，∴两个截面圆的半径分别为r1＝，r2＝2.∵球心到两个截面的距离d1＝，d2＝，∴d1－d2＝－＝1，∴R2＝9，∴R＝3.
【答案】 3
8．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是__________．
【解析】 因为圆柱的轴截面的一边是底面直径，另一邻边为圆柱的高，所以应满足＝2r(r为底面圆半径)，∴r＝，故底面面积为πS.
【答案】 πS
二、解答题
9．轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为16
cm2，求其底面周长和高．
【解】 如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD，由题意知，四边形ABCD为正方形，设圆柱的底面半径为r，则AB＝AD＝2r.
其面积S＝AB×AD＝2r×2r＝4r2＝16
cm2，
解得r＝2
cm.
所以其底面周长C＝2πr＝2π×2＝4π(cm)，高2r＝4
cm.
10.从一个底面半径和高都是R的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图1 1 27所示的几何体，如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积．
图1 1 27
【解】 轴截面如图所示，被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O1C＝R，设圆锥的截面圆的半径O1D为x.因为OA＝AB＝R，所以△OAB是等腰直角三角形．又CD∥OA，则CD＝BC，所以x＝l，故截面面积S＝πR2－πl2＝π(R2－l2)．
[能力提升]
1．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是________．
【解析】 如图以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．
【答案】 一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥
2．边长为5
cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到点G的最短距离是________cm.
【导学号：60420009】
【解析】 如图所示，E′F＝×2π×＝π(cm)，
∴最短距离E′G＝＝(cm)．
【答案】
3．在半径为13的球面上有A，B，C三点，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，则球心到经过这三个点的截面的距离为________．
【解析】 由线段的长度知△ABC是以AB为斜边的直角三角形，所以其外接圆的半径r＝＝5，所以d＝＝12.
【答案】 12
4．如图1 1 28所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求：
图1 1 28
(1)绳子的最短长度的平方f(x)；
(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；
(3)f(x)的最大值．
【解】 将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA′的长度L就是圆O的周长，
∴L＝2πr＝2π.
∴∠ASM＝×360°＝×360°＝90°.
(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝(0≤x≤4)．
f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)．
(2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，在△SAM中，
∵S△SAM＝SA·SM＝AM·SR，
∴SR＝＝(0≤x≤4)，
即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4)．
(3)∵f(x)＝x2＋16(0≤x≤4)是增函数，
∴f(x)的最大值为f(4)＝32.学业分层测评(十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．下列有四个结论，其中正确的是________．
(1)各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；
(2)三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥；
(3)底面是正三角形的棱锥是正三棱锥；
(4)顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥．
【解析】 (1)不正确，正棱锥必备两点，一是底面为正多边形，二是顶点在底面内的射影是底面的中心；(2)缺少第一个条件；(3)缺少第二个条件；而(4)可推出以上两个条件，故正确．
【答案】 (4)
2．一个正四棱柱的对角线的长是9
cm，全面积等于144
cm2，则这个棱柱的侧面积为________
cm2.
【解析】 设底面边长，侧棱长分别为a
cm，l
cm，
∴∴S侧＝4×4×7＝112
cm2.
【答案】 112
3．斜三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面两边所成角都是60°，那么这个斜三棱柱的侧面积是________.
【导学号：60420037】
【解析】 由题意可知S侧＝2×5×2＋5×4＝20＋20.
【答案】 20＋20
4．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________．
【解析】 ∵l＝，∴S侧＝π(R＋r)l＝2πl2＝32π，∴l＝4.
【答案】 4
5．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则正三棱台的侧面积S1与底面积之和S2的大小关系为__________．
【解析】 斜高h′
＝＝，
S1＝×(3×2＋3×4)×＝9，S2＝×22＋×42＝5，
∴S1>S2.
【答案】 S1>S2
6．圆锥侧面展开图的扇形周长为2m，则全面积的最大值为________．
【解析】 设圆锥底面半径为r，母线为l，则有2l＋2πr＝2m.
∴S全＝πr2＋πrl＝πr2＋πr(m－πr)＝(π－π2)r2＋πmr.
∴当r＝＝时，S全有最大值.
【答案】
7．正六棱柱的高为5，最长的对角线为13，则它的侧面积为__________．
【解析】 如图，连结A1D1，AD1，则易知AD1为正六边形最长的对角线，
由棱柱的性质，得AA1⊥A1D1，
在Rt△AA1D1中，AD1＝13，AA1＝5，A1D1＝＝12，由正六棱柱的性质A1B1＝A1D1＝6，
S棱柱侧面积＝6×6×5＝180.
【答案】 180
8．如图1 3 2，在正方体ABCD A1B1C1D1中，三棱锥D1 AB1C的表面积与正方体的表面积的比为________．
图1 3 2
【解析】 设正方体棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D1 AB1C为四面体，每个面都是边长为的正三角形，其表面积为4×××＝2，所以三棱锥D1 AB1C的表面积与正方体的表面积的比为1∶.
【答案】 1∶
二、解答题
9.如图1 3 3所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′.
图1 3 3
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；
(2)若大棱锥PO的侧棱为12
cm，小棱锥底面边长为4
cm，求截得棱台的侧面积和全面积．
【解】 (1)设正六棱锥的底面边长为a，侧棱长为b，则截面的边长为，
∴S大棱锥侧＝c1h1＝×6a×
＝3a
，
S小棱锥侧＝c2h2＝×3a×
＝a
，
S棱台侧＝(c1＋c2)(h1－h2)＝(6a＋3a)×
＝a
，∴S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.
(2)S侧＝(c1＋c2)(h1－h2)＝144(cm2)，
S上＝6××4×4×sin
60°＝24(cm2)，
S下＝6××8×8×sin
60°＝96(cm2)，
∴S全＝S侧＋S上＋S下
＝144＋120(cm2)．
10．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392
cm2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．
【解】 法一：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x
cm和3x
cm.即A′O′＝x
cm，AO＝3x
cm(O′，O分别为上、下底面圆心)，过A′作AB的垂线，垂足为点D.
在Rt△AA′D中，∠AA′D＝45°，AD＝AO－A′O′＝2x
cm，所以A′D＝AD＝2x
cm，又S轴截面＝(A′B′＋AB)·A′D＝×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7.
综上，圆台的高OO′＝14
cm，母线长AA′＝OO′＝14
cm，上、下底面的半径分别为7
cm和21
cm.
法二：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x
cm和3x
cm，延长AA′，BB′交OO′的延长线于点S(O′，O分别为上、下底面圆心)．
在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，所以SO＝AO＝3x
cm，
又SO′＝A′O′＝x
cm，所以OO′＝2x
cm.
又S轴截面＝×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7.
综上，圆台的高OO′＝14
cm，母线长AA′＝OO′＝14
cm，上、下底面的半径分别为7
cm，21
cm.
[能力提升]
1．用长、宽分别是3π和π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的表面积是________．
【解析】 S＝3π2＋2·π·2＝3π2＋π或S＝3π2＋2·π·2＝3π2＋π.
【答案】 3π2＋π或3π2＋π
2．如图1 3 4，三棱锥S ABC中底面△ABC为正三角形，边长为a，侧面SAC也是正三角形，且侧面SAC⊥底面ABC，则三棱锥的侧面积为________.
【导学号：60420038】
图1 3 4
【解析】 取AC的中点M，连结SM，MB.
∵△SAC，△ABC为全等正三角形，
∴SM⊥AC，BM⊥AC，
且SM＝BM＝a，△SAB≌△SCB.
又∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC.
SM 平面SAC，∴SM⊥平面ABC.
过M作ME⊥BC于点E，连结SE，则SE⊥BC.
在Rt△BMC中，ME·BC＝MB·MC，
∴ME＝a，可求SE＝＝a.
∴S△SBC＝BC·SE＝a2，
∴S侧＝S△SAC＋2S△SBC＝a2.
【答案】 a2
3．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥，三棱锥，三棱柱的高分别为h1，h2，h，则h1∶h2∶h＝__________.
【解析】 由题意可把三棱锥A1 ABC与四棱锥A1 BCC1B1拼成如图所示的三棱柱ABC A1B1C1.不妨设棱长均为1，则三棱锥与三棱柱的高均为.而四棱锥A1 BCC1B1的高为，则h1∶h2∶h＝∶∶＝∶2∶2.
【答案】 ∶2∶2
4．如图1 3 5所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6
m铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01
m2)．
图1 3 5
【解】 由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为＝1.2－2r，∴塑料片面积S＝πr2＋2πr(1.2－2r)＝－3πr2＋2.4πr＝－3π(r2－0.8r)＝－3π(r－0.4)2＋0.48π.∴当r＝0.4时，S有最大值0.48π，约为1.51平方米．章末综合测评(一) 立体几何初步
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)
1．(2016·常州期末)给出下列命题：
(1)若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；
(2)若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；
(3)若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；
(4)若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．
其中真命题的序号为__________．
【解析】 (1)因为两个平面平行，所以两个平面没有公共点，即其中一个平面内的直线与另一个平面也没有公共点，由直线与平面平行的判定定理可得直线与该平面平行，所以(1)正确．
(2)因为该直线与其中一个平面垂直，那么该直线必与其中两条相交直线垂直，又两个平面平行，故另一个平面也必定存在两条相交直线与该直线垂直，所以该直线与另一个平面也垂直，故(2)正确．
(3)错，反例：该直线可以在另一个平面内．
(4)错，反例：其中一个平面内也存在直线与另一个平面平行．
综上：(1)(2)为真命题．
【答案】 (1)(2)
2．(2016·南京高一检测)在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形)．
【解析】 若有AC⊥BD，则A1C1⊥B1D1.
又∵CC1⊥B1D1，A1C1∩CC1＝C1，
∴B1D1⊥平面A1C1C，∴B1D1⊥A1C，故条件可填AC⊥BD.
【答案】 AC⊥BD(答案不唯一)
3．棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各个面引垂线，垂线段分别为d1，d2，d3，d4，则d1＋d2＋d3＋d4的值为________．
【解析】 设四面体的高为h，
则h＝＝，
Sh＝S(d1＋d2＋d3＋d4)，
∴d1＋d2＋d3＋d4＝h＝.
【答案】
4．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为__________．
【解析】 设圆锥的体积为x，则＝3，解得x＝54.
【答案】 54
5．已知正四棱锥O ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________.
【导学号：60420045】
【解析】 V四棱锥O ABCD＝××h＝，得h＝，
∴OA2＝h2＋2＝＋＝6.
∴S球＝4πOA2＝24π.
【答案】 24π
6．(2015·福建高考改编)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的________条件．
【解析】 ∵m⊥α，若l∥α，则必有l⊥m，即l∥α l⊥m.
但l⊥mD /l∥α，∵l⊥m时，l可能在α内．
故“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．
【答案】 必要不充分
7．如图1所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于________．
图1
【解析】 ∵B1C1⊥平面A1ABB1，
MN 平面A1ABB1，
∴B1C1⊥MN，又∠B1MN为直角．
∴B1M⊥MN，而B1M∩B1C1＝B1.
∴MN⊥平面MB1C1.又MC1 平面MB1C1，
∴MN⊥MC1，∴∠C1MN＝90°.
【答案】 90°
8．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是________．
①若l∥α，l∥β，则α∥β；②若l⊥α，l⊥β，则α∥β；③若l⊥α，l∥β，则α∥β；④若α⊥β，l∥α，则l⊥β.
【解析】 对于①，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误；
对于②，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故正确；
对于③，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故错误；
对于④，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β，l∥β，l β，故错误．故选②.
【答案】 ②
9．如图2，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝，若BD＝6
cm，梯形EFGH的面积为28
cm2，则平行线EH，FG间的距离为__________cm.
图2
【解析】 由题知，EH＝BD＝3
cm，FG＝BD＝4
cm.
设平行线EH，FG之间距离为d，则×(3＋4)×d＝28，
解得d＝8
cm.
【答案】 8
10．在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD，四边形ABCD是正方形，E是PD的中点，则AE与PC的位置关系为________．
【解析】 易知CD⊥AE，AE⊥PD，则AE⊥平面PCD，所以AE⊥PC.
【答案】 垂直
11．正方体ABCD A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是________．
①点H是△A1BD的垂心；
②AH⊥平面CB1D1；
③AH的延长线经过点C1；
④直线AH和BB1所成的角为45°.
【解析】 因为AH⊥平面A1BD，BD 平面A1BD，
所以BD⊥AH.又BD⊥AA1，且AH∩AA1＝A.
所以BD⊥平面AA1H.
又A1H 平面AA1H.
所以A1H⊥BD，同理可证BH⊥A1D，
所以点H是△A1BD的垂心，①正确．
因为平面A1BD∥平面CB1D1，
所以AH⊥平面CB1D1，②正确．
易证AC1⊥平面A1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC1和AH重合．故③正确．
因为AA1∥BB1，所以∠A1AH为直线AH和BB1所成的角．
因为∠A1AH≠45°，故④错误．
【答案】 ④
12．如图3所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：
图3
①BC⊥PC；
②OM∥平面APC；
③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．
其中正确的序号是________．
【解析】 对于①，∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，
∴BC⊥平面PAC.
又PC 平面PAC，∴BC⊥PC，故①正确；
对于②，∵点M为线段PB的中点，
∴OM∥PA.
∵PA 平面PAC，∴OM∥平面PAC，故②正确；
对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故③正确．
【答案】 ①②③
13．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A BD C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③二面角A BC D的度数为60°；
④AB与CD所成的角是60°.
其中正确结论的序号是________．
【解析】 如图(1)(2)所示，取BD的中点O，连结AO，OC，易知AO⊥BD且CO⊥BD，AO∩OC＝O，故BD⊥平面AOC，∴BD⊥AC，故①正确．
设正方形ABCD的边长为1，易知AO＝OC＝.又由题意可知∠AOC＝90°，故AC＝1.
所以AC＝AD＝DC，所以△ACD是等边三角形，故②正确．
取BC的中点E，连结OE，AE，则∠AEO即为二面角A BC D的平面角，
∴tan∠AEO＝＝，
(3)
故③不正确．
对于④，如图(3)所示，
取AC的中点F，连结OF，EF，OE，则OE∥CD，EF∥AB，则∠FEO即为异面直线AB与CD所成的角．又在△AOC中，OF＝，故EF＝OE＝OF，∴AB与CD所成的角为60°，故④正确．
综上可知①②④正确．
【答案】 ①②④
14．如图4所示，三棱锥A BCD的底面是等腰直角三角形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝BD＝2，E是棱CD上的任意一点，F，G分别是AC，BC的中点，则在下面命题中：
①平面ABE⊥平面BCD；
②平面EFG∥平面ABD；
③四面体FECG体积的最大值是.
其中为真命题的是__________(填序号).
【导学号：60420046】
图4
【解析】 ①正确，因为AB⊥平面BCD，且AB 平面ABE，由面面垂直的判定定理可知平面ABE⊥平面BCD；②错，若两平面平行，则必有AD∥EF，而点E是棱CD上任意一点，故该命题为假命题；③正确，由已知易得GF⊥平面GCE，且GF＝AB＝1，而S△GCE＝GC·CE·sin
45°＝CE≤1，故VF GCE＝S△GCE·FG≤.故正确的命题为①③.
【答案】 ①③
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)如图5，正方体ABCD A′B′C′D′的棱长为a，连结A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：
图5
(1)三棱锥A′ BC′D的表面积与正方体表面积的比值；
(2)三棱锥A′ BC′D的体积．
【解】 (1)∵ABCD A′B′C′D′是正方体，
∴六个面是互相全等的正方形，
∴A′C′＝A′B＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝a，
∴S三棱锥＝4××(a)2＝2a2，S正方体＝6a2，
∴＝.
(2)显然，三棱锥A′ ABD，C′ BCD，D A′D′C′，B A′B′C′是完全一样的，
∴V三棱锥A′ BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′ ABD
＝a3－4××a2×a＝a3.
16．(本小题满分14分)如图6所示，长方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为AB，A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，并说明理由．
图6
【解】 直线MN∥平面A1BC1.
证明如下：
∵M 平面A1BC1，N 平面A1BC1.
∴MN 平面A1BC1.
如图，取A1C1的中点O1，
连结NO1，BO1.
∵NO1D1C1，MBD1C1，
∴NO1MB，
∴四边形NO1BM为平行四边形，
∴MN∥BO1.又∵BO1 平面A1BC1，
∴MN∥平面A1BC1.
17．(本小题满分14分)如图7，圆锥的轴截面SAB为等腰直角三角形，Q为底面圆周上一点．
图7
(1)若QB的中点为C，求证：平面SOC⊥平面SBQ；
(2)若∠AOQ＝120°，QB＝，求圆锥的表面积．
【解】 (1)∵SQ＝SB，OQ＝OB，C为QB的中点，
∴QB⊥SC，QB⊥OC.
∵SC∩OC＝C，
∴QB⊥平面SOC.
又∵QB 平面SBQ，
∴平面SOC⊥平面SBQ.
(2)∵∠AOQ＝120°，QB＝，
∴∠BOQ＝60°，即△OBQ为等边三角形，
∴OB＝.
∵△SAB为等腰直角三角形，
∴SB＝，
∴S侧＝·π＝3π，
∴S表＝S侧＋S底＝3π＋3π＝(3＋3)π.
18．(本小题满分16分)如图8所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
图8
(1)求证：PA∥平面BDE；
(2)求证：平面PAC⊥平面BDE；
(3)若二面角E BD C为30°，求四棱锥P ABCD的体积．
【解】
(1)证明：连结OE，如图所示．
∵O，E分别为AC，PC的中点，
∴OE∥PA.
∵OE 平面BDE，PA 平面BDE，∴PA∥平面BDE.
(2)证明：∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD.
在正方形ABCD中，BD⊥AC.
又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面PAC.
又∵BD 平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE.
(3)取OC中点F，连结EF.∵E为PC中点，
∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO.
又∵PO⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，
∴EF⊥BD，
∵OF⊥BD，OF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFO，
∴OE⊥BD，
∴∠EOF为二面角E BD C的平面角，
∴∠EOF＝30°.
在Rt△OEF中，OF＝OC＝AC＝a，
∴EF＝OF·tan
30°＝a，∴OP＝2EF＝a.
∴VP ABCD＝×a2×a＝a3.
19．(本小题满分16分)(2016·扬州期末)如图9，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F为线段AC上一点．
(1)求证：BD⊥EF；
(2)若EF∥平面PBD，求的值．
图9
【解】 (1)因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PA⊥BD.
又四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.
又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.
又EF 平面PAC，所以BD⊥EF.
(2)设AC与BD交于点O，连结PO.
因为EF∥平面PBD，平面PAC∩平面PBD＝PO，且EF 平面PAC，所以EF∥PO.又E是PC的中点，
所以OF＝FC，所以AF＝3FC，即＝3.
20．(本小题满分16分)如图10(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图10(2)．
(1) (2)
图10
(1)求证：DE∥平面A1CB；
(2)求证：A1F⊥BE；
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.说明理由．
【解】 (1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，
∴DE∥BC.
又∵DE 平面A1CB，BC 平面A1CB，
∴DE∥平面A1CB.
(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC，
∴DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD＝D，
∴DE⊥平面A1DC，而A1F 平面A1DC，
∴DE⊥A1F.
又∵A1F⊥CD，DE∩CD＝D，
∴A1F⊥平面BCDE，BE 平面BCDE，∴A1F⊥BE.
(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.
理由如下：
如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.
又∵DE∥BC，∴DE∥PQ，
∴平面DEQ即为平面DEP.
由(2)知，DE⊥平面A1DC，A1C 平面A1DC，
∴DE⊥A1C.
又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
∴A1C⊥DP.又DE∩DP＝D，∴A1C⊥平面DEP.
从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q(中点)，使得A1C⊥平面DEQ.学业分层测评(十三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．下列关于方程y＝k(x－2)的说法正确的是______．(填序号)
①表示通过点(－2,0)的所有直线；②表示通过点(2,0)的所有直线；③表示通过点(2,0)且不垂直于x轴的直线；④通过(2,0)且除去x轴的直线．
【解析】 直线x＝2也过(2,0)，但不能用y＝k(x－2)表示．
【答案】 ③
2．斜率与直线y＝2x＋1的斜率互为负倒数，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是________．
【解析】 直线y＝2x＋1的斜率为2，
∴所求直线的斜截式方程为y＝－x＋4.
【答案】 y＝－x＋4
3．方程y＝ax＋表示的直线可能是图2 1 2中的________．(填序号)
① ②
③ ④
图2 1 2
【解析】 直线y＝ax＋的斜率是a，在y轴上的截距.当a>0时，斜率a>0，在y轴上的截距>0，则直线y＝ax＋过第一、二、三象限，四个都不符合；当a<0时，斜率a<0，在y轴上的截距<0，则直线y＝ax＋过第二、三、四象限，仅有②符合．
【答案】 ②
4．直线kx－y＋1＝3k，当k变化时，所有直线都通过一个定点，则这个定点的坐标是________.
【导学号：60420054】
【解析】 直线方程可化为y－1＝k(x－3)，∴直线过定点(3,1)．
【答案】 (3,1)
5．直线经过点(1,2)，在y轴上截距的取值范围是(0,3)，则其斜率k的取值范围是__________．
【解析】 设直线l的方程为：y＝kx＋b.由已知2＝k＋b，∴b＝2－k，
∴0<2－k<3，
∴－1【答案】 (－1,2)
6．如图2 1 3所示，在同一直角坐标系中，正确的表示直线l1：y＝ax与l2：y＝x＋a图象的大致情况的是________．
(1) (2) (3) (4)
图2 1 3
【解析】 直线l2：y＝x＋a的斜率为1，则倾斜角为45°，故(2)(4)不正确；若a>0，直线l1：y＝ax的图象在一、三象限，直线l2的图象应在一、二、三象限，故(1)不正确；若a<0，直线l1的图象在二、四象限，直线l2的图象在一、三、四象限，故(3)正确.
【答案】 (3)
7．直线y＝kx＋b经过二、三、四象限，则斜率k和纵截距b满足的条件为k________0，b________0(填“>”或“<”)．
【解析】 由图象(略)知，直线y＝kx＋b过二、三、四象限时k<0，b<0.
【答案】 < <
8．已知直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________．
【解析】 令y＝0，则x＝－2k.令x＝0，则y＝k，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝|k|·|－2k|＝k2.
由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，所以k的取值范围是k≥1或k≤－1.
【答案】 k≥1或k≤－1
二、解答题
9．已知△ABC在第一象限中，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：
(1)AB边所在直线的方程；
(2)AC边，BC边所在直线的方程．
【解】 (1)∵A(1,1)，B(5,1)，
∴直线AB的方程是y＝1.
(2)由图可知，kAC＝tan
60°＝，
∴直线AC的方程是y－1＝(x－1)，
即x－y－＋1＝0.
∵kBC＝tan(180°－45°)＝－1，
∴直线BC的方程是y－1＝－(x－5)，
即x＋y－6＝0.
10．已知等腰△ABC的顶点A(－1,2)，AC的斜率为，点B(－3,2)，求直线AC，BC及∠A的平分线所在直线的方程．
【解】 直线AC的方程：y＝x＋2＋.
∵AB∥x轴，AC的倾斜角为60°，
∴BC的倾斜角为30°或120°.
当α＝30°时，BC的方程为y＝x＋2＋，
∠A平分线的倾斜角为120°，
∴所在直线方程为y＝－x＋2－.
当α＝120°时，BC的方程为y＝－x＋2－3.
∠A平分线的倾斜角为30°，
∴所在直线方程为y＝x＋2＋.
[能力提升]
1．直线l过点P(－1,1)，且与直线l′：2x－y＋3＝0及x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，则直线l的方程为__________．
【解析】 根据题意可知，所求直线l的斜率是－2.又因为直线l过点P(－1,1)，所以直线l的方程为2x＋y＋1＝0.
【答案】 2x＋y＋1＝0
2．直线y＝ax－的图象如图2 1 4所示，则a＝________.
图2 1 4
【解析】 由图象知，直线斜率为－1，在y轴上的截距为1，故a＝－1.
【答案】 －1
3．直线l1过点P(－1,2)，斜率为－，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2，求直线l1和l2的方程．
【解】 直线l1的方程是y－2＝－(x＋1)．
∵k1＝－＝tan
α1，
∴α1＝150°.
如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30°，得到直线l2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，
∴k2＝tan
120°＝－，
∴l2的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－2＋＝0.
4．过点P(4,6)作直线l分别交x，y轴的正半轴于A，B两点，
(1)当△AOB的面积为64时，求直线l的方程；
(2)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程.
【导学号：60420055】
【解】 设直线l的方程为y－6＝k(x－4)(k<0)．
令x＝0，y＝6－4k，令y＝0，x＝4－.
(1)S＝×(6－4k)×＝64，
解得k＝－或k＝－.
故直线l的方程为x＋2y－16＝0或9x＋2y－48＝0.
(2)S＝×(6－4k)×＝24－8k－，
∴8k2＋(S－24)k＋18＝0.
由Δ＝(S－24)2－4×8×18≥0，得S≥48或S≤0.
∴面积的最小值为48，此时k＝－.
∴直线l的方程为y－6＝－(x－4)．
即3x＋2y－24＝0.学业分层测评(十九)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．以A(1,2)，B(3,0)的中点为圆心，以为半径的圆的方程为________．
【解析】 AB中点为(2,1)，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
【答案】 (x－2)2＋(y－1)2＝5
2．点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是________．
【解析】 ∵(－2)2＋(－2)2＝8>4，
∴P点在圆外．
【答案】 P在圆外
3．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．
【解析】 由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
【答案】 x2＋(y－1)2＝1
4．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为________．
【解析】 已知圆的圆心为(－2,0)，它关于P(0,0)的对称点为(2,0)，所以关于P对称的圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.
【答案】 (x－2)2＋y2＝5
5．直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是__________.
【导学号：60420079】
【解析】 ∵直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．
【答案】 相交
6．若过点A(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围为__________．
【解析】 圆的方程化为(x－a)2＋y2＝3－2a，
∵过点A(a，a)可作圆的两条切线，
∴点A(a，a)在圆外，
可得解得a<－3或1【答案】 (－∞，－3)∪
7．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程是________________．
【解析】 设直线端点为B(x0,0)，C(0，y0)，
则＝2，∴x0＝4，＝－3，∴y0＝－6，
r＝＝，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
【答案】 (x－2)2＋(y＋3)2＝13
8．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
【解析】 设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1′(2，－3)，
那么|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C′1C2|＝＝5.
而|PM|＝|PC1|－1，|PN|＝|PC2|－3，
∴|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.
【答案】 5－4
二、解答题
9．已知平面直角坐标系中有四个点A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)，这四个点能否在同一个圆上？为什么？
【解】 设经过A，B，C三点的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
代入三点的坐标得
解方程组，得
所以经过A，B，C三点的圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.
将D点坐标代入圆的标准方程的左边，
得(－1－1)2＋(2－3)2＝5，所以点D在圆上，所以A，B，C，D四点在同一个圆上．
10．如图2 2 2所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为6
m，行车道总宽度BC为2
m，侧墙EA，FD高为2
m，弧顶高MN为5
m.
图2 2 2
(1)建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；
(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5
m．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．
【解】 (1)法一 以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1
m为单位长度建立直角坐标系．
则有E(－3，0)，F(3，0)，M(0,3)．
由于所求圆的圆心在y轴上，所以设圆的方程为(x－0)2＋(y－b)2＝r2，
∵F(3，0)，M(0,3)都在圆上，
∴
解得b＝－3，r2＝36.
所以圆的方程是x2＋(y＋3)2＝36.
法二 以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1
m为单位长度建立直角坐标系．设所求圆的圆心为G，半径为r，则点G在y轴上，
在Rt△GOE中，|OE|＝3，|GE|＝r，|OG|＝r－3，
由勾股定理，r2＝(3)2＋(r－3)2，解得r＝6，
则圆心G的坐标为(0，－3)，
圆的方程是x2＋(y＋3)2＝36.
(2)设限高为h，作CP⊥AD，交圆弧于点P，
则|CP|＝h＋0.5.
将点P的横坐标x＝代入圆的方程，得2＋(y＋3)2＝36，解得y＝2，或y＝－8(舍)．
所以h＝|CP|－0.5＝(y＋|DF|)－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(m)．
即车辆的限制高度为3.5
m.
[能力提升]
1．(2015·全国卷Ⅱ改编)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为________．
【解析】
在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC为等边三角形．设BC的中点为D，点E为外心，同时也是重心．所以|AE|＝|AD|＝，从而|OE|＝＝＝.
【答案】
2．(2016·徐州高一检测)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，
且与y轴相切，则圆C的方程为__________________.
【导学号：60420080】
【解析】 设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，由题意得解得∴圆C的方程为(x－2)2＋(y±)2＝4.
【答案】 (x－2)2＋(y±)2＝4
3．已知实数x，y满足y＝，则t＝的取值范围是______________．
【解析】
y＝表示上半圆，t可以看作动点(x，y)与定点(－1，－3)连线的斜率．
如图，A(－1，－3)，B(3,0)，C(－3,0)，则kAB＝，kAC＝－，
∴t≤－或t≥.
【答案】 t≤－或t≥
4．已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
【解】 (1)原方程表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆，设＝k，即y＝kx，
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时＝，解得k＝±.故的最大值为，最小值为－.
(2)设y－x＝b，即y＝x＋b，
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取最大值和最小值，
此时＝，即b＝－2±.
故y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，
故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，
(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.学业分层测评(二十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为________．
【解析】 方程表示圆 1＋1－4k>0 k<.
【答案】
2．圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为________．
【解析】 ∵(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，
∴r＝＝，
∴m＝.
【答案】
3．动圆x2＋y2－2x－k2＋2k－2＝0的半径的取值范围是____________．
【解析】 圆的半径r＝＝
＝≥.
【答案】 [，＋∞)
4．(2015·湖南高考)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝__________.
【解析】
如图，过点O作OD⊥AB于点D，则|OD|＝＝1.
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠OBD＝30°，
∴|OB|＝2|OD|＝2，即r＝2.
【答案】 2
5．圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3,1)，则直线AB的方程为________．
【解析】 圆(x－2)2＋y2＝9，圆心C(2,0)，半径为3.AB⊥CP，kCP＝＝1，
∴kAB＝－1，
∴直线AB的方程为y－1＝－1(x－3)，即x＋y－4＝0.
【答案】 x＋y－4＝0
6．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积的最小值是________．
【解析】 直线AB的方程为x－y＋2＝0，圆心到直线AB的距离为d＝＝，
所以圆到直线AB的最小距离为－1，
S△ABC＝×AB×＝×2×＝3－.
【答案】 3－
7．(2016·无锡高一检测)若圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0关于直线l1：x－y＋4＝0和直线l2：x＋3y＝0都对称，则D＋E的值为__________.
【导学号：60420083】
【解析】 ∵l1，l2过圆心，
∴
∴∴D＋E＝4.
【答案】 4
8．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是________．
【解析】 圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则圆心在直线上，求得a＋b＝1，ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－2＋≤，ab的取值范围是.
【答案】
二、解答题
9．设A(－c,0)，B(c,0)(c>0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0)，求P点的轨迹．
【解】 设动点P的坐标为(x，y)，
由＝a(a>0)，得＝a2，
化简得(1－a2)x2＋2c(1＋a2)x＋(1－a2)c2＋(1－a2)·y2＝0.
当a＝1时，
方程化为x＝0；
当a≠1时，方程化为2＋y2＝2.
所以当a＝1时，点P的轨迹为y轴；
当a≠1时，点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆．
10．(2016·常州高一检测)已知过点A(0,1)，且方向向量为a＝(1，k)的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M，N两点．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若O为坐标原点，且O·O＝12，求k的值．
【解】 (1)∵直线l过点A(0,1)且方向向量a＝(1，k)，∴直线l的方程为y＝kx＋1.
由<1，
得(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴O·O＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1.
∴＋8＝12，
∴＝4，解得k＝1.
[能力提升]
1．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程是________．
【解析】 设P(x，y)，则PM⊥PN.
又kPM＝＝(x≠－2)，
kPN＝＝(x≠2)，∵kPM·kPN＝－1，
∴·＝－1，
即x2－4＋y2＝0，即x2＋y2＝4(x≠±2)．
当x＝2时，不能构成以MN为斜边的直角三角形，因此不成立，同理当x＝－2时，也不成立．故点P的轨迹方程是x2＋y2＝4(x≠±2)．
【答案】 x2＋y2＝4(x≠±2)
2．若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积最大时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝__________.
【导学号：60420084】
【解析】 若方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0表示圆，则有k2＋4－4k2>0，解得0≤k2<，而此时圆的半径r＝＝.要使圆的面积最大，只需r最大，即当k＝0时，r取得最大值为1，此时直线方程为y＝－x＋2，由倾斜角与斜率的关系知，k＝tan
α＝－1，又因为0°≤α<180°，所以α＝135°.
【答案】 135°
3．若光线从点A(1,1)出发，则经y轴反射到圆C：(x－5)2＋(x－7)2＝4的最短路程等于________．
【解析】 ∵A(1,1)关于y轴对称点为A′(－1,1)，
∴所求的最短路程为A′C－2，A′C＝＝6，
∴所求的最短路程为6－2.
【答案】 6－2
4．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．
【解】 (1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9，
∴r2＝－7t2＋6t＋1>0，
由二次函数的图象解得－(2)由(1)知，
r＝＝，
∴当t＝∈时，rmax＝，此时圆的面积最大，
所对应的圆的方程是2＋2＝.
(3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)·(4t2)＋16t4＋9<0时，
点P恒在圆内，∴8t2－6t<0，∴0(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．直线l过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l的方程为________________．
【解析】 由直线的两点式方程得＝，整理得x－y＋3＝0.
【答案】 x－y＋3＝0
2．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程________．
①可以写成两点式或截距式；
②可以写成两点式或斜截式或点斜式；
③可以写成点斜式或截距式；
④可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式．
【解析】 由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．
【答案】 ②
3．直线＋＝1过第一、二、三象限，则a________0，b________0.
【解析】 因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a<0，b>0.
【答案】 < >
4．若直线l过定点(－1，－1)和(2,5)，且点(2
017，a)在l上，则a的值为________．
【解析】 ∵(－1，－1)，(2,5)，(2
017，a)三点共线，
∴＝，∴a＝4
035.
【答案】 4
035
5．经过点A(2,1)，在x轴上的截距为－2的直线方程是________.
【导学号：60420059】
【解析】 由题意知直线过两点(2,1)，(－2,0)，由两点式方程可得所求直线的方程为＝，即x－4y＋2＝0.
【答案】 x－4y＋2＝0
6．两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是________．
图2 1 5
【解析】 化为截距式＋＝1，＋＝1.
假定l1，判断a，b，确定l2的位置．
【答案】 ①
7．已知A(3,0)，B(0,4)，动点P(x0，y0)在线段AB上移动，则4x0＋3y0的值等于________．
【解析】 AB所在直线方程为＋＝1，则＋＝1，即4x0＋3y0＝12.
【答案】 12
8．直线mx＋ny＋p＝0(mn≠0)在两坐标轴上的截距相等，则m，n，p满足的条件是________．
【解析】 当p＝0时，直线在两轴上的截距相等，
当p≠0时，因mn≠0，∴－＝－，
即m＝n.
【答案】 p＝0或p≠0且m＝n
二、解答题
9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－3,4)；
(2)斜率为.
【解】 (1)设直线l的方程是y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，
由已知，得(3k＋4)＝±6，
解得k1＝－或k2＝－.
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是
y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.
∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
10．已知直线l过点P(－5，－4)且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l的方程．
【解】 设直线l的方程为＋＝1，
则有解得或
故直线l的方程为－＝1或－＋＝1.
即2x－5y－10＝0或8x－5y＋20＝0.
[能力提升]
1．过点P(2，－1)，在x轴和y轴上的截距分别为a，b，且满足a＝3b，则直线的方程为__________．
【解析】 当b＝0时，设直线方程为y＝kx，
则2k＝－1，
所以k＝－，所以直线方程为y＝－x，即x＋2y＝0.
当b≠0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得b＝－.
所以直线方程为－x－3y＝1，即x＋3y＋1＝0.
【答案】 x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0
2．已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的取值范围是______．
【解析】 如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)．
由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝，
所以∈.
【答案】
3．已知两点A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy的最大值为________．
【解析】 由A，B，P三点共线，得＝，
即y＝－(x－3)，x∈[0,3]．
∴xy＝x·＝－(x2－3x)
＝－2＋3.
当x＝时，xy取得最大值3，此时x＝，y＝2，即点P.
【答案】 3
4．直线l与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差的绝对值为3，求直线l的方程．
【解】 由题意可知，设直线l与两坐标轴的交点分别为(a,0)，(0，b)，且有a＞0，b＞0，根据题中两个条件，
可得
解得或
所以直线l的方程为＋y＝1或x＋＝1.学业分层测评(五)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．下列说法正确的有__________(填序号)．
①两条异面直线指的是不同在一个平面内的两条直线；
②两条异面直线指的是分别在某两个平面内的两条直线；
③两条异面直线指的是既不平行又不相交的两条直线；
④两条异面直线指的是平面内的一条直线和平面外的一条直线．
【解析】 ①只说明两直线不同在一个平面内，没有说明平面的任意性；②把两条直线放到特定的两个平面内，也不具有任意性；③从反面肯定了两直线的异面；④中的两条直线可能在同一平面内．故填③.
【答案】 ③
2．如图1 2 23，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若MN＝6，则BD＝________.
图1 2 23
【解析】 连结AM并延长交BC于E，连结AN并延长交CD于F，则E，F分别为BC，CD的中点，连结EF.由题意知，＝＝，
∴EF＝×6＝9，∴BD＝2EF＝18.
【答案】 18
3．如图1 2 24，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形有________．
① ② ③ ④
图1 2 24
【解析】 ①中GH∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，∴GH，MN必相交．
【答案】 ②④
4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形的形状是__________.
【导学号：60420018】
【解析】 易证四边形EFGH为平行四边形，又∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°.
∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．
【答案】 矩形
5．如果l和n是异面直线，那么和l，n都垂直的直线有________条．
【解析】 l和n是异面直线，则和l，n都垂直相交的直线有一条m，与m平行的直线和l，n都垂直．
【答案】 无数
6．如图1 2 25，四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是________．
图1 2 25
【解析】 因四棱柱ABCD A1B1C1D1中AA1∥DD1.又AB∥CD，所以∠A1AB与∠D1DC相等．又由于侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，所以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等．
【答案】 ∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B
7．如图1 2 26，三棱柱ABC A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是________．
图1 2 26
①CC1与B1E是异面直线；
②C1C与AE共面；
③AE，B1C1是异面直线；
④AE与B1C1所成的角为60°.
【解析】 CC1与B1E共面，CC1与AE异面，故①②错；AE与BC垂直，BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，故④错．
【答案】 ③
8．如图1 2 27，过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作________条．
图1 2 27
【解析】 连结AC1，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD，AA1所成的角也都相等．故这样的直线l可以作4条．
【答案】 4
二、解答题
9．如图1 2 28，E，F分别是长方体ABCD A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．
图1 2 28
【证明】 如图，设Q是DD1的中点，连结EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQA1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1B1C1，
∴EQB1C1(平行公理)，∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1EC1Q.
又∵Q，F是矩形DD1C1C的两边的中点，∴QDC1F，∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1QDF.又∵B1EC1Q，∴B1EDF，∴四边形B1EDF是平行四边形．
10．如图1 2 29所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角．
图1 2 29
【解】 因为D，E分别是VB，VC的中点，所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角，又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，于是∠ABC＝45°，故异面直线DE与AB所成的角为45°.
[能力提升]
1．一个正方体纸盒展开后如图1 2 30，在原正方体纸盒中有下列结论：
图1 2 30
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.
以上结论中正确的是________(填序号)．
【解析】
把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
【答案】 ①③
2．如图1 2 31，正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是棱C1C与BC的中点，则直线EF与直线D1C所成的角的大小是__________．
图1 2 31
【解析】 如图，连结BC1，A1B.
∵BC1∥EF，A1B∥CD1，则∠A1BC1即为EF与D1C所成的角．
又∵∠A1BC1为60°，
∴直线EF与D1C所成的角为60°.
【答案】 60°
3．如图1 2 32所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为________．
图1 2 32
【解析】 如图，取AC的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，
∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．
在Rt△ABC中，BC＝，AB＝AC，∴AB＝AC＝1，在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，∴BE＝.
在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝.
在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝.
在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝，
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.
【答案】
4．如图1 2 33所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝.
图1 2 33
(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；
(2)求的值.
【导学号：60420019】
【解】 (1)证明：∵AA′∩BB′＝O，且＝＝，
∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.
(2)∵A′B′∥AB，A′C′∥AC且边AB和A′B′，AC和A′C′方向都相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′，
同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，
∴△ABC∽△A′B′C′且＝＝，
∴＝2＝.学业分层测评(二十一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是________．
【解析】 l过定点A(1,1)，∵12＋12－2×1＝0，∴点A在圆上，
∵直线x＝1过点A且为圆的切线，又l的斜率存在，
∴l与圆一定相交．
【答案】 相交
2．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为______________．
【解析】 由圆的性质可知，此弦与过点P的直径垂直，故kAB＝－＝1.故所求直线方程为x－y－3＝0.
【答案】 x－y－3＝0
3．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝________.
【解析】 由题意知圆心为(1,0)，由圆的切线与直线ax－y＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x＋ay＋c＝0，由切线x＋ay＋c＝0过点P(2,2)，∴c＝－2－2a，∴＝，解得a＝2.
【答案】 2
4．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，a＝________.
【解析】 因为圆的半径为2，且截得弦长的一半为，所以圆心到直线的距离为1，即＝1，解得a＝±－1，因为a>0，所以a＝－1.
【答案】 －1
5．(2016·苏州高一检测)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，且与直线x－y－3＝0相切，则圆C的半径为__________．
【解析】 设圆心为(2，b)，则半径r＝.又＝，解得b＝1，r＝.
【答案】
6．在圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上且到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有________个．
【解析】 圆心为(－1，－2)，半径r＝2，而圆心到直线的距离d＝＝，故圆上有3个点满足题意．
【答案】 3
7．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y＋c＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为2，则c＝__________.
【导学号：60420087】
【解析】 圆心到直线的距离为d＝，因为弦AB的长为2，所以4＝3＋2，所以c＝±5.
【答案】 ±5
8．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若MN≥2，则k的取值范围是________．
【解析】 设圆心为C，弦MN的中点为A，当MN＝2时，AC＝＝＝1.
∴当MN≥2时，圆心C到直线y＝kx＋3的距离d≤1.
∴≤1，∴(3k＋1)2≤k2＋1.
∴－≤k≤0.
【答案】
二、解答题
9．(1)圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程；
(2)已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．
【解】 (1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，
∴2r＝＝4，∴r＝2，
∴＝r＝2，即|2a＋b＋15|＝10，①
＝r＝2，即|2a＋b－5|＝10，②
又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，
∴＝，
由①②③解得
∴所求圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.
(2)设圆心坐标为(3m，m)．
∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，
∴圆心到直线y＝x的距离为＝|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，
∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4和直线l：kx－y－4k＋3＝0，
(1)求证：不论k取何值，直线和圆总相交；
(2)求当k取何值时，圆被直线l截得弦最短，并求此最短值．
【解】 (1)证明：由圆的方程(x－3)2＋(y－4)2＝4得圆心(3,4)，半径r＝2，由直线方程得l：y－3＝k(x－4)，即直线l过定点(4,3)，而(4－3)2＋(3－4)2＝2<4，所以(4,3)点在圆内．
故直线kx－y－4k＋3＝0与圆C总相交．
(2)因为直线经过定点P(4,3)，
所以当PC与直线l垂直时，圆被直线截得的弦最短，
设直线与圆的交点为A，B，
则由勾股定理得2＝r2－|CP|2＝4－2＝2，
所以AB＝2，
又因为PC与直线kx－y－4k＋3＝0垂直，
直线PC的斜率为kPC＝＝－1，
所以直线kx－y－4k＋3＝0的斜率为k＝1.
所以当k＝1时，圆被直线截得的弦最短，最短弦的长为2.
[能力提升]
1．直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝有两个公共点，则b的取值范围是________．
【解析】 如图，直线夹在l1与l2之间，不含l2含l1，故1≤b＜.
【答案】 [1，)
2．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则半径r的取值范围是________．
【解析】 由已知圆心(3，－5)到直线4x－3y＝2的距离d＝5，又d－1【答案】 (4,6)
3．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A，B为切点，C为圆心，那么四边形PABC面积的最小值是________.
【导学号：60420088】
【解析】 当CP垂直于直线3x＋4y＋8＝0时，切线长最短，四边形PABC的面积最小，此时：
CP＝＝＝3.
又r＝1，∴切线长为＝2，
∴S＝2××2×1＝2.
【答案】 2
4．已知曲线C：x2＋y2－4ax＋2ay－20＋20a＝0.
(1)证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；
(2)当a≠2时，证明：曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；
(3)若曲线C与x轴相切，求a的值．
【解】 (1)证明：曲线C的方程可变形为(x2＋y2－20)＋(－4x＋2y＋20)a＝0.
由解得
点(4，－2)满足C的方程，
故曲线C过定点(4，－2)．
(2)证明：配方得(x－2a)2＋(y＋a)2＝5(a－2)2，
∵当a≠2时，5(a－2)2>0，
∴C的方程表示圆心是(2a，－a)，半径是|a－2|的圆．
设圆心坐标为(x，y)，则有
消去a得y＝－x，
故圆心必在直线y＝－x上．
(3)由题意知|a－2|＝|a|，解得a＝.学业分层测评(二十四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且PA＝PB，则点P的坐标为________．
【解析】 设P(0,0，c)，
由题意得＝
，
解得c＝3，∴点P的坐标为(0,0,3)．
【答案】 (0,0,3)
2．已知平行四边形ABCD，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3，7，－5)，则顶点D的坐标为__________．
【解析】 由平行四边形对角线互相平分的性质知，AC的中点即为BD的中点，AC的中点M.设D(x，y，z)，则＝，4＝，－1＝，∴x＝5，y＝13，z＝－3，
∴D(5,13，－3)．
【答案】 (5,13，－3)
3．△ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图2 3 13所示，则BC边上的中线的长是________．
图2 3 13
【解析】 BC的中点坐标为(1,1,0)．
又A(0,0,1)，
∴AM＝＝.
【答案】
4．点B是点A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，则AB＝________.
【解析】 点B的坐标为B(2，－3，－5)，
∴AB＝＝10.
【答案】 10
5．在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________．
【解析】 设P(x，y，z)，由题意可知
∴x2＋y2＋z2＝，
∴＝.
【答案】
6.
图2 3 14
在如图2 3 14所示的空间直角坐标系中，长方体的顶点C′的坐标为(4,4,2)，E，F分别为BC，A′B′的中点，则EF的长为________．
【解析】 由C′(4,4,2)知，B(4,0,0)，C(4,4,0)，A′(0,0,2)，B′(4,0,2)．由中点坐标公式得，E(4,2,0)，F(2,0,2)，
∴EF＝＝2.
【答案】 2
7．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使点M到点N(6,5,1)的距离最小，则M点坐标为________.
【导学号：60420095】
【解析】 设M点坐标为(x,1－x,0)，
则MN＝
＝≥(当x＝1时，取“＝”)，
∴M(1,0,0)．
【答案】 (1,0,0)
8．已知正方体不在同一表面上的两顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是__________．
【解析】 设正方体的棱长为a，
则a＝AB＝＝4，
所以a＝4，V＝43＝64.
【答案】 64
二、解答题
图2 3 15
9．如图2 3 15，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，DE⊥AC，垂足为E，求B1E的长．
【解】 如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
则D(0,0,0)，B1(2,4,2)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，设点E的坐标为(x，y,0)，
在坐标平面xOy内，直线AC的方程为＋＝1，
即2x＋y－4＝0，DE⊥AC，
直线DE的方程为x－2y＝0.
由得
∴E.
∴B1E＝＝，
即B1E的长为.
10．如图2 3 16(1)，已知矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4.将矩形ABCD沿对角线BD折起，使得面BCD⊥面ABD.现以D为坐标原点，射线DB为y轴的正方向，建立如图2 3 16(2)所示空间直角坐标系，此时点A恰好在xDy平面内，试求A，C两点的坐标．
图2 3 16
【解】 由题意知，在直角坐标系D xyz中，B在y轴的正半轴上，A，C分别在xDy平面、yDz平面内．
在xDy平面内过点A作AE垂直y轴于点E，则点E为点A在y轴上的射影．
在Rt△ABD中，由AD＝3，AB＝4，得AE＝，从而ED＝＝.
∴A，
同理，在yDz平面内过点C作CF垂直y轴于点F，则点F为点C在y轴上的射影，CF＝，DF＝，
∴C.
[能力提升]
图2 3 17
1．在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．建立如图2 3 17所示的空间直角坐标系．
(1)点D，N，M的坐标为________，________，________.
(2)MD＝________，MN＝________.
【解析】 (1)因为D是原点，则D(0,0,0)．
由AB＝BC＝2，D1D＝3，
得A(2,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,3)，C1(0,2,3)．
∵N是AB的中点，∴N(2,1,0)．
同理可得M(1,2,3)．
(2)由两点间距离公式，得
MD＝＝，
MN＝＝.
【答案】 (1)(0,0,0) (2,1,0) (1,2,3)
(2)
2．已知△ABC的三个顶点坐标是A(3,1,1)，B(－5,2,1)，C(－4,2,3)，则它在yOz平面上的射影所组成的△A′B′C′的面积是________．
【解析】 A，B，C三点在yOz平面上的射影为A′(0,1,1)，B′(0,2,1)，C′(0,2,3)，△A′B′C′是以B′为直角的Rt△，
∴S△A′B′C′＝×1×2＝1.
【答案】 1
3．三棱锥各顶点的坐标分别为(0,0,0)，(1,0,0)，(0,2,0)，(0,0,3)，则三棱锥的体积为________．
【解析】 V＝S·h＝××1×2×3＝1.
【答案】 1
图2 3 18
4．在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC＝2，CB＝CC1＝4，E，F，M，N分别是A1B1，AB，C1B1，CB的中点，如图2 3 18建立空间直角坐标系．
(1)在平面ABB1A1中找一点P，使△ABP为正三角形；
(2)能否在MN上求得一点Q，使△AQB为直角三角形？若能，请求出点Q的坐标，若不能，请予以证明．
【解】 (1)因为EF是AB边的中垂线，在平面AB1内只有EF上的点与A，B两点的距离相等，则P必在EF上，
设P(1,2，z)，则由|PA|＝|AB|，得
＝，
即＝，
∴z2＝15.
∵z∈[0,4]，
∴z＝.
故平面ABB1A1中的点P(1,2，)，
使△ABP为正三角形．
(2)设MN上的点Q(0,2，z)，
由△AQB为直角三角形，其斜边的中线长必等于斜边长的一半，
∴|QF|＝|AB|，即＝，
∴z＝2(0故MN上的点Q(0,2,2)使得△AQB为直角三角形．学业分层测评(二十三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．若点P(a，b，c)既在平面xOy内，又在平面yOz内，则a＋c＝________.
【解析】 点P在平面xOy与平面yOz的交线Oy上，由其上点的特征知a＝0，c＝0，b∈R.
【答案】 0
2．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，关于下列叙述：
①点P关于x轴对称的点的坐标是P1(x，－y，z)；
②点P关于yOz平面对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；
③点P关于y轴对称的点的坐标是P3(x，－y，z)；
④点P关于原点对称的点的坐标是P4(－x，－y，－z)．
其中叙述正确的序号是________．
【解析】 由图形几何性质知①②③错，④正确．
【答案】 ④
3.
图2 3 3
如图2 3 3所示，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB＝4，BC＝1，BE＝3，CF＝4，按图建立空间直角坐标系，则G的坐标为________．
【解析】 ∵长方体的对面互相平行，且被截面AEFG所截，
∴交线AG∥EF.又∵BE＝3，CF＝4，
∴DG＝1，故G的坐标为(0,0,1)．
【答案】 (0,0,1)
4.
图2 3 4
如图2 3 4，在正方体ABCD A1B1C1D1中，已知点B1的坐标为(a，a，a)，则点D1的坐标为________．
【解析】 由点B1的坐标为(a，a，a)知点D1的坐标为(0,0，a)．
【答案】 (0,0，a)
5．已知点M到三个坐标平面的距离都是1，且点M的三个坐标同号，则点M的坐标为________．
【解析】 根据点M到三个坐标平面的距离均为1，结合点的对称性，知M(1,1,1)或(－1，－1，－1)．
【答案】 (1,1,1)或(－1，－1，－1)
6．已知点P′在x轴正半轴上，OP′＝2，PP′在xOz平面上，且垂直于x轴，PP′＝1，则点P′和P的坐标分别为________，________.
【导学号：60420093】
【解析】 由于P′在x轴的正半轴上，故点P′的坐标为(2,0,0)，又PP′在xOz平面上，且垂直于x轴，故P点坐标为(2,0，±1)．
【答案】 (2,0,0) (2,0，±1)
7.
图2 3 5
正方体ABCD A′B′C′D′的棱长为1，且|BP|＝|BD′|，建立如图2 3 5所示的空间直角坐标系，则P点的坐标为________．
【解析】 如图所示，过P分别作平面xOy和z轴的垂线，垂足分别为E，H，过E分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为F，G，由于|BP|＝|BD′|，所以|DH|＝|DD′|＝，|DF|＝|DA|
＝，|DG|＝|DC|＝，所以P点的坐标为.
【答案】
8.
图2 3 6
如图2 3 6,
M OAB是棱长为a的正四面体，顶点M在底面OAB上的射影为H，则M的坐标是________．
【解析】 由M OAB是棱长为a的正四面体知B，A(0，a,0)，O(0,0,0)．
又点H为△OAB的中心知H，
从而得M的坐标是.
【答案】
二、解答题
9．在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．
【解】 如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1，
连结BO，OO1，可得BO⊥AC，BO⊥OO1，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
∵各棱长均为1，
∴OA＝OC＝O1C1＝O1A1＝，OB＝.
∵A，B，C均在坐标轴上，
∴A，B，C.
∵点A1，C1均在yOz平面内，
∴A1，C1.
∵点B1在xOy面内的射影为点B，且BB1＝1，
∴B1.
图2 3 7
10．如图2 3 7，已知长方体ABCD A1B1C1D1，AB＝2，AA1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于点E，F为A1B1的中点，请建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标．
【解】 ∵ABCD A1B1C1D1为长方体，
∴可以以顶点A为原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
∵AD⊥平面AA1B1B，∴∠ABD就是直线BD与平面AA1B1B所成的角，∠ABD＝30°，
∴Rt△BAD中，由AB＝2，AE⊥BD，∠ABD＝30°可解得AD＝AB·tan
30°＝2×＝，BD＝2AD＝，AE＝1.
过点E在平面ABCD内作AB的垂线EM，垂足为点M，∴Rt△AEM中，EM＝AE·sin
60°＝，
AM＝AE·cos
60°＝.
又长方体ABCD A1B1C1D1中，
AA1＝1，F为A1B1的中点，
∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，A1(0,0,1)，
B1(2,0,1)，C，D，
E，F(1,0,1)．
[能力提升]
1．空间两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点的位置关系是________．
【解析】 由A，B两点的坐标可知关于y轴对称．
【答案】 关于y轴对称
2．在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴的对称点在坐标平面xOz上的射影的坐标为________．
【解析】 点M关于y轴的对称点是M′(－4,7，－6)，点M′在坐标平面xOz上的射影是(－4,0，－6)．
【答案】 (－4,0，－6)
3.
图2 3 8
如图2 3 8所示，四棱锥P ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.试建立适当的空间直角坐标系，则写出A，B，C，D，P，E的坐标．
A________，B________，C________，
D________，P________，E________.
【解析】
如图所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，AP所在直线为z轴，与过点A与AB垂直的直线AG所在直线为y轴，建立空间直角坐标系．
则相关各点的坐标分别是A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D，P(0,0,2)，E.
【答案】 (0,0,0) (1,0,0) (0,0,2) (答案不唯一)
4.
图2 3 9
如图2 3 9所示，AF，DE分别是圆O，圆O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8，BC是圆O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标．
【解】
因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，
所以OE⊥平面ABC.
又AF 平面ABC，BC 平面ABC，
所以OE⊥AF，OE⊥BC，
又BC是圆O的直径，
所以OB＝OC，
又AB＝AC＝6，
所以OA⊥BC，BC＝6.
所以OA＝OB＝OC＝OF＝3.
如图所示，以O为原点，以OB，OF，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
所以A(0，－3，0)，B(3，0,0)，C(－3，0,0)，D(0，－3，8)，E(0,0,8)，F(0,3，0)．学业分层测评(二十二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x－10y－7＝0的位置关系是________．
【解析】 圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0的圆心是C1(－2,2)，半径长r1＝1；圆x2＋y2－4x－10y－7＝0的圆心是C2(2,5)，半径长r2＝6，则|C1C2|＝5＝r2－r1，故两圆内切．
【答案】 内切
2．两圆相交于点A(1,3)，B(m，－1)，两圆的圆心均在直线l：x－y＋c＝0上，则m＋c＝________.
【解析】 由题意可知，AB⊥l，由于kl＝1，故kAB＝－1，
即＝－1，解得m＝5.又AB的中点在直线l上，故3－1＋c＝0，解得c＝－2，所以m＋c＝5－2＝3.
【答案】 3
3．两圆x2＋y2＝r2与(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是__________．
【解析】 由题意，得2r＝＝，
∴r＝.
【答案】
4．圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4相切，则m的值为________.
【导学号：60420090】
【解析】 圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径长为3，圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径长为2.当C1，C2外切时有＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5；当C1，C2内切时有＝3－2，即m2＋3m＋2＝0，解得m＝－1或m＝－2.
【答案】 －5，－2，－1,2
5．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是________________．
【解析】 动圆圆心的轨迹是以已知圆的圆心(5，－7)为圆心，以3或5为半径的圆．
【答案】 (x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
6．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋3＝0的公切线有且仅有________条．
【解析】 C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，
C2：(x－2)2＋(y－1)2＝2.
圆心距d＝C1C2＝＝.
d>r1＋r2＝1＋，
∴两圆C1与C2相外离有4条公切线．
【答案】 4
7．点P在圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则PQ的最小值是__________．
【解析】 若两圆相交或相切，则最小值为0；若两圆外离，则最小值为C1C2－r1－r2.(x－4)2＋(y－2)2＝9的圆心为C1(4,2)，半径r1＝3；(x＋2)2＋(y＋1)2＝4的圆心为C2(－2，－1)，半径r2＝2.又C1C2＝3，显然两圆外离，所以PQ的最小值是3－5.
【答案】 3－5
8．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋64＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________.
【导学号：60420091】
【解析】 依题意，已知曲线为一个圆，其标准方程为(x－6)2＋(y－6)2＝8，所以所求圆的圆心在直线y＝x上，直径为已知圆圆心到直线x＋y－2＝0的距离减去已知圆半径，即－2＝3，设所求圆的圆心为(a，b)，
则
得a＝b＝，
所以所求圆的标准方程为
2＋2＝.
【答案】 2＋2＝
二、解答题
9．圆C的半径为3，圆心C在直线2x＋y＝0上且在x轴的下方，x轴被圆C截得的弦长BD为2.
(1)求圆C的方程；
(2)若圆E与圆C关于直线2x－4y＋5＝0对称，试判断两圆的位置关系．
【解】 (1)设圆心坐标为(a，－2a)，则圆的方程为(x－a)2＋(y＋2a)2＝9，
作CA⊥x轴于点A，在Rt△ABC中，CB＝3，AB＝，
∴CA＝2，
所以|－2a|＝2 a＝±1，
又因为点C在x轴的下方，所以a＝1，
即C(1，－2)，
所以圆的方程为：(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
(2)点C(1，－2)到直线的距离为
d＝＝＝＞3，
所以圆C与直线2x－4y＋5＝0相离．
而圆E与圆C关于直线2x－4y＋5＝0对称，
所以圆E与直线2x－4y＋5＝0也相离，故两圆相离．
10．设M＝{(x，y)|y＝，a>0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－)2＝a2，a>0}，且M∩N≠ ，求a的最大值和最小值．
【解】 M＝{(x，y)|y＝，a>0}，即{(x，y)|x2＋y2＝2a2，y≥0}，表示以原点O为圆心，半径等于a的半圆(位于横轴或横轴以上的部分)．
N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－)2＝a2，a>0}，表示以O′(1，)为圆心，半径等于a的一个圆．
再由M∩N≠ ，可得半圆和圆有交点，故半圆和圆相交或相切．
当半圆和圆相外切时，由OO′＝2＝a＋a，
求得a＝2－2；
当半圆和圆相内切时，由OO′＝2＝a－a，
求得a＝2＋2，
故a的取值范围是[2－2,2＋2]，
a的最大值为2＋2，最小值为2－2.
[能力提升]
1．(2016·镇江高一检测)圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝截得的弦长是__________．
【解析】 圆C1，C2方程相减得公共弦所在的直线方程为x＋y－1＝0，则圆心C3(1,1)到直线的距离d＝＝，所以所求弦长为2＝2×＝.
【答案】
2．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝________.
【解析】 依题意，可设圆心坐标为(a，a)，半径为r，其中r＝a>0，因此圆的方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝×＝8.
【答案】 8
3．过点A(4，－1)，且与圆x2＋y2＋2x－6y＋5＝0相切于点B(1,2)的圆的方程是________．
【解析】 圆x2＋y2＋2x－6y＋5＝0的圆心为(－1,3)，半径为，所以两圆的圆心连线的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
设要求的圆的圆心为(x，y)，
则＝，
化简得x－y－2＝0即圆心所在直线方程，联立两条直线方程得圆心坐标为(3,1)，半径为，即所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5.
【答案】 (x－3)2＋(y－1)2＝5
4．(2016·无锡高一检测)已知半径为5的动圆C的圆心在直线l：x－y＋10＝0上．
(1)若动圆C过点(－5,0)，求圆C的方程；
(2)是否存在正实数r，使得动圆C满足与圆O：x2＋y2＝r2相外切的圆有且仅有一个？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
【解】 (1)依题意，可设动圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝25，其中圆心(a，b)满足a－b＋10＝0.
又因为动圆过点(－5,0)，故(－5－a)2＋(0－b)2＝25.
解方程组
得或
故所求圆C的方程为(x＋10)2＋y2＝25或(x＋5)2＋(y－5)2＝25.
(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d＝＝5.
当r满足r＋5当r满足r＋5＝d，即r＝5－5时，动圆C中有且仅有一个圆与圆O：x2＋y2＝r2相外切；当r满足r＋5>d，即r>5－5时，与圆O：x2＋y2＝r2相外切的圆有两个．
综上，当r＝5－5时，动圆C中满足与圆O：x2＋y2＝r2相外切的圆有且仅有一个．学业分层测评(六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB α，CD α，则CD与平面α内的直线的位置关系只能是________．
【解析】 由条件知CD∥α，故CD与α内的直线平行或异面．
【答案】 平行或异面
2．若直线l不平行于平面α，且l α，则下列四个命题正确的是________．
①α内的所有直线与l异面；
②α内不存在与l平行的直线；
③α内存在唯一的直线与l平行；
④α内的直线与l相交．
【解析】 依题意，直线l∩α＝A(如图)，α内的直线若经过点A，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l是异面直线．
【答案】 ②
3．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB∥平面MNP的图形的序号是__________.
【导学号：60420022】
图1 2 44
【解析】 过AB的体对角面与面MNP平行，故①成立；④中易知AB∥NP，故④也成立．
【答案】 ①④
4．P是△ABC所在平面外一点，E，F，G分别是AB，BC，PC的中点，则图1 2 45中与过E，F，G的截面平行的线段有________条．
图1 2 45
【解析】 由题意知EF∥AC，FG∥PB，∴AC∥平面EFG，PB∥平面EFG，即有2条与平面EFG平行的线段．
【答案】 2
5．正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，M是A1B1的中点，N是AB上的点，且AN∶NB＝1∶2，过D1，M，N的平面交AD于点G，则NG＝__________.
【解析】 过D1，M，N的平面与AD的交点G位置如图，其中AG∶GD＝2∶1，AG＝a，AN＝a，在Rt△AGN中，NG＝
＝a.
【答案】 a
6．如图1 2 46，四边形ABCD是矩形，P 平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F，则四边形BCFE的形状一定是______．
图1 2 46
【解析】 ∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.∵AD 平面PAD，∴BC∥平面PAD.∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，∴BC∥EF.∵AD＝BC，AD≠EF，
∴BC≠EF，∴四边形BCFE为梯形．
【答案】 梯形
7．如图1 2 47，三棱锥A BCD中E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，则当EFGH是菱形时，AE∶EB＝________.
图1 2 47
【解析】 ∵AC∥平面EFGH，
∴EF∥AC，HG∥AC.
∴EF＝HG＝·m.
同理，EH＝FG＝·n，
∴·m＝·n，
∴AE∶EB＝m∶n.
【答案】 m∶n
8．如图1 2 48，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，若AB∥α，则CD与EF的位置关系是________．
图1 2 48
【解析】 ∵ AB∥CD，
同理可证AB∥EF，∴EF∥CD.
【答案】 平行
二、解答题
9．如图1 2 49，已知A1B1C1 ABC是正三棱柱，D是AC的中点．求证：AB1∥平面DBC1.
图1 2 49
【证明】 ∵A1B1C1 ABC是正三棱柱，
∴四边形B1BCC1是矩形．
连结B1C交BC1于点E，
则B1E＝EC.
连结DE，在△AB1C中，
∵AD＝DC，B1E＝EC，∴DE∥AB1.
又∵AB1 平面DBC1，DE 平面DBC1，
∴AB1∥平面DBC1.
10．如图1 2 50，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为BB1上不同于B，B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.求证：AC∥FG.
图1 2 50
【证明】 ∵AC∥A1C1，而AC 平面A1EC1，A1C1 平面A1EC1.
∴AC∥平面A1EC1.
而平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，AC 平面AB1C，
∴AC∥FG.
[能力提升]
1．如图1 2 51所示，A是平面BCD外一点，E，F，H分别是BD，DC，AB的中点，设过这三点的平面为α，则在下图中的6条直线AB，AC，AD，BC，CD，DB中，与平面α平行的直线有________________条．
图1 2 51
【解析】 如图，过F作FG∥AD交AC于G，显然平面EFGH就是平面α.
在△BCD中，EF∥BC，EF α，BC α，
∴BC∥α.同理，AD∥α.
所以在所给的6条直线中，与平面α平行的有2条．
【答案】 2
2．如图1 2 52，正方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
图1 2 52
【解析】 因为直线EF∥平面AB1C，EF 平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC，又因为点E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得：EF＝AC，又因为在正方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2，所以EF＝.
【答案】
3．在四面体A BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是____________________．
【解析】 连结AM并延长交CD于E，连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点，由＝得MN∥AB，因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.
【答案】 平面ABC，平面ABD
4．已知直线l是过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与平面ABCD所在平面的交线．
图1 2 53
求证：B1D1∥l.
【证明】 ∵BB1DD1，
∴四边形BDD1B1是平行四边形，
∴B1D1∥BD.
∵B1D1 平面ABCD，BD 平面ABCD，
∴B1D1∥平面ABCD，
∵平面AB1D1∩平面ABCD＝l，B1D1 平面AB1D1，
∴B1D1∥l.学业分层测评(十八)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．△ABC三个顶点的坐标A(－3,2)，B(3,2)，C(4,0)，则AB边的中线CD的长为________．
【解析】 AB的中点坐标为D(0,2)，∴CD＝＝2.
【答案】 2
2．已知点A(－1,4)，B(2,5)，点C在x轴上，且|AC|＝|BC|，则点C的坐标为________．
【解析】 设C(x,0)，则由|AC|＝|BC|，得＝，解得x＝2，所以C(2,0)．
【答案】 (2,0)
3．分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________．
【解析】 两直线方程为x＝－2，x＝3，
d＝|3－(－2)|＝5.
【答案】 5
4．过点P(2,3)，且与原点距离最大的直线的方程为__________．
【解析】 此直线为过P(2,3)且与OP垂直的直线，kOP＝，故直线方程为y－3＝－(x－2)，即2x＋3y－13＝0.
【答案】 2x＋3y－13＝0
5．与直线2x＋y＋2＝0平行且距离为的直线方程为______________．
【解析】 设所求直线方程为2x＋y＋m＝0.
由两平行线间的距离公式得＝，
∴|m－2|＝5，即m＝7或m＝－3.
即所求直线方程为2x＋y＋7＝0或2x＋y－3＝0.
【答案】 2x＋y＋7＝0或2x＋y－3＝0
6．将一张画有平面直角坐标系且两轴单位长度相同的纸折叠一次，使点A(2,0)与点B(－2,4)重合，若点C(5,8)与点D(m，n)重合，则m＋n的值为________．
【解析】 点A(2,0)与点B(－2,4)的垂直平分线为折叠线，直线AB必与直线CD平行，即kAB＝kCD，
∴＝＝－1，整理得m＋n＝13.
【答案】 13
7．已知A(3，－1)，B(5，－2)，点P在直线x＋y＝0上，若使PA＋PB取最小值，则P点坐标是________.
【导学号：60420074】
【解析】 ∵点A(3，－1)关于x＋y＝0的对称点为A′(1，－3)，A′B的直线方程为：x－4y－13＝0，
联立得
得点P的坐标是.
【答案】
8．已知两点M(1,0)，N(－1,0)，点P为直线2x－y－1＝0上的动点，则使PM2＋PN2取最小值时点P的坐标为________．
【解析】 因为P为直线2x－y－1＝0上的点，所以可设P的坐标为(m,2m－1)，由两点的距离公式得PM2＋PN2＝(m－1)2＋(2m－1)2＋(m＋1)2＋(2m－1)2＝10m2－8m＋4，m∈R.
令f(m)＝10m2－8m＋4
＝102＋≥，
所以m＝时，PM2＋PN2最小，
故P.
【答案】
二、解答题
9．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d，求：
(1)d的变化范围；
(2)当d取最大值时，两条平行直线的方程．
【解】
(1)如图，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，为d＝AB＝＝3，当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0(2)当d取最大值3时，两条平行线都垂直于AB，所以k＝－＝－＝－3，
故所求的平行直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
10．直线l过点P(1,0)，且被两条平行线l1：3x＋y－6＝0，l2：3x＋y＋3＝0所截得的线段长为9，求l的方程．
【解】 若l的斜率不存在，则方程为x＝1，
由得A(1,3)．
由得B(1，－6)．
∴|AB|＝9，符合要求．
若l的斜率存在，设为k，则l的方程为y＝k(x－1)．
由得A，
由得B.
∴|AB|＝
＝9.
由|AB|＝9，得＝1，∴k＝－.
∴l的方程为y＝－(x－1)，即4x＋3y－4＝0.
综上所述，l的方程为x＝1或4x＋3y－4＝0.
[能力提升]
1．已知平行四边形两条对角线的交点为(1,1)，一条边所在直线的方程为3x－4y＝12，则这条边的对边所在的直线方程为____________________.
【导学号：60420075】
【解析】 设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，
由题意可得
＝，
解得m＝14或m＝－12(舍)，
所以所求的直线方程为3x－4y＋14＝0.
【答案】 3x－4y＋14＝0
2．一直线过点P(2,0)，且点Q到该直线的距离等于4，则该直线的倾斜角为________．
【解析】 当过P点的直线垂直于x轴时，Q点到直线的距离等于4，此时直线的倾斜角为90°，当过P点的直线不垂直于x轴时，直线斜率存在，
设过P点的直线为y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0.
由d＝＝4，解得k＝.
∴直线的倾斜角为30°.
【答案】 90°或30°
3．一束光线自点A(－2,1)入射到x轴上，经反射后，反射光线与直线y＝x平行，则入射光线与x轴的交点是__________．
【解析】 如图，因为A(－2,1)关于x轴的对称点为A′(－2，－1)，
又反射光线与直线y＝x平行，
所以反射光线的斜率k＝1，
则反射光线的方程为y＋1＝1·(x＋2)，即y＝x＋1.
令y＝0，得x＝－1，
所以入射光线与x轴的交点是(－1,0)．
【答案】 (－1,0)
4．已知点P(a，b)在线段AB上运动，其中A(1,0)，B(0,1)．试求(a＋2)2＋(b＋2)2的取值范围．
【解】
由(a＋2)2＋(b＋2)2联想两点间距离公式，设Q(－2，－2)，
又P(a，b)
则PQ＝，于是问题转化为PQ的最大、最小值．
如图所示，当P与A或B重合时，PQ取得最大值：
＝.
当PQ⊥AB时，PQ取得最小值，此时PQ为Q点到直线AB的距离，由A，B两点坐标可得直线AB的方程为x＋y－1＝0.
则Q点到直线AB的距离d＝＝＝，∴≤(a＋2)2＋(b＋2)2≤13.