章末过关检测卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．sin
347°cos
148°＋sin
77°cos
58°的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：原式＝sin
13°cos
32°＋cos
13°sin
32°＝sin
45°＝.
答案：C
2．若函数f(x)＝－sin2
x＋(x∈R)，则f(x)是( )
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数
解析：f(x)＝－＋＝cos
2x.
答案：D
3．sin－cos的值是( )
A．0
B．－
C.
D．2
解析：原式＝2＝2sin＝－2sin＝－.
答案：B
4．函数f(x)＝sin
xcos
x＋cos
2x的最小正周期和振幅分别是( )
A．π，1
B．π，2
C．2π，1
D．2π，2
解析：
f(x)＝sin
2x＋cos
2x＝sin，振幅为1，T＝＝＝π.
答案：A
5．已知sin
＝，cos
＝－，则角α的终边所在的象限是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：sin
α＝2sin
cos
＝－<0，
cos
α＝2cos2
－1＝2×－1＝－<0.
所以α为第三象限角．
答案：C
6.的值为( )
A.
B.
C．1
D.
解析：原式＝
＝
＝
＝.
答案：A
7．设向量a＝(sin
15°，cos
15°)，b＝(cos
15°，sin
15°)，则a，b的夹角为( )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
解析：因为|a|＝|b|＝1，
且a·b＝sin
15°cos
15°＋cos
15°sin
15°＝sin
30°＝，
所以a，b的夹角θ，cos
θ＝＝.
又因为θ∈[0°，180°]，所以θ＝60°.
答案：B
8．在△ABC中，C＝120°，tan
A＋tan
B＝，则tan
Atan
B的值为( )
A. B. C. D.
解析：△ABC中，C＝120°，得A＋B＝60°，
所以(tan
A＋tan
B)＝tan(A＋B)(1－tan
Atan
B)＝(1－tan
Atan
B)＝.
所以tan
Atan
B＝.
答案：B
9．在△ABC中，cos
A＝，cos
B＝，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
解析：因为cos
A＝，所以sin
A＝.
同理sin
B＝.
因为cos
C＝－cos(A＋B)＝－cos
AcosB＋sin
Asin
B＝－×＋×＝－<0，
所以C为钝角．
答案：B
10．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设α∈，β∈，且tan
α＝，则( )
A．3α－β＝
B．2α－β＝
C．3α＋β＝
D．2α＋β＝
解析：由tan
α＝得＝，
即sin
αcos
β＝cos
α＋cos
αsin
β，
所以sin(α－β)＝cos
α＝sin.
因为α∈，β∈，
所以α－β∈，－α∈.
所以由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α.
所以2α－β＝.
答案：B
11．函数y＝sin
x＋cos
x＋2的最小值是( )
A．2－
B．2＋
C．3
D．1
解析：由y＝sin＋2，且0≤x≤，
所以≤x＋≤π.所以≤sin≤1.
所以3≤y≤＋2.
答案：C
12．(2014·天津卷)已知函数f(x)＝sin
ωx＋cos
ωx(ω>0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为( )
A.
B.
C．π
D．2π
解析：由题意得函数f(x)＝2sin(ω>0)，又曲线y＝f(x)与直线y＝1相邻交点距离的最小值是，由正弦函数的图象知，ωx＋＝和ωx＋＝对应的x的值相差，即＝，解得ω＝2，所以f(x)的最小正周期是T＝＝π.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上)
13．若cos
xcos
y＋sin
xsin
y＝，则cos(2x－2y)＝________．
解析：因为cos
xcos
y＋sin
xsin
y＝cos(x－y)＝，
所以cos
2(x－y)＝2cos2(x－y)－1＝－.
答案：－
14．(2015·江苏卷)已知tan
α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan
β的值为________．
解析：tan
β＝tan[(α＋β)－α]＝＝
＝3.
答案：3
15．设f(x)＝2cos2x＋sin
2x＋a，当x∈时，f(x)有最大值4，则a＝________．
解析：f(x)＝2cos2x＋sin
2x＋a＝cos
2x＋sin
2x＋a＋1＝2sin＋a＋1.
由x∈知，∈，
所以f(x)max＝3＋a＝4.所以a＝1.
答案：1
16．在△ABC中，若cos
A＝，则sin2＋cos
2A等于________．
解析：在△ABC中，＝－，
所以sin2＋cos
2A＝sin2＋cos
2A＝cos2
＋cos
2A＝＋2cos2
A－1＝－.
答案：－
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，且α－β∈，
α＋β∈，求cos
2β的值．
解：由sin(α－β)＝及α－β∈得：
cos(α－β)＝
－，
由sin(α＋β)＝－及α＋β∈得：
cos(α＋β)＝
.
所以cos
2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－1.
18．(本小题满分12分)(2014·江苏卷)已知α∈，sin
α＝.
(1)求sin的值；
(2)求cos的值．
解：由α∈且α＝，
所以cos
α＝－＝－.
(1)sin＝sincos
α＋cossin
α＝×＋×＝－.
(2)sin
2α＝2sin
αcos
α＝－，
cos
2α＝2sin2α－1＝，
所以cos＝coscos
2α＋sinsin
2α＝×＋×＝－.
19．(本小题满分12分)在斜△ABC中，sin
A＝－cos
Bcos
C且tan
Btan
C＝1－，求角A.
解：在三角形中，有A＋B＋C＝π，
所以sin
A＝sin(B＋C)．
所以－cos
Bcos
C＝sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C.
上式两边同时除以cos
Bcos
C，得tan
B＋tan
C＝－1.
又tan(B＋C)＝＝＝－.
因此tan
A＝.
又0
20．(本小题满分12分)设函数f＝cos2ωx＋sin
ωxcos
ωx＋a(其中ω>0，a∈R)．且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是.
(1)求ω的值；
(2)如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值．
解：(1)f＝cos2ωx＋sin
ωxcos
ωx＋a＝＋＋a＝sin＋＋a.
依题意得2ω·＋＝ ω＝.
(2)由(1)知，f(x)＝sin＋＋a，又当x∈时，x＋∈，
sin∈，从而f(x)在区间
上的最小值为＝－＋＋a，故a＝.
21．(本小题满分12分)设向量a＝(sin
x，cos
x)，b＝(cos
x，cos
x)，x∈R，函数f(x)＝a·(a＋b)．
(1)求函数f(x)的最大值与最小正周期；
(2)求使不等式f(x)≥成立的x的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝a·(a＋b)＝a·a＋a·b＝sin2x＋cos2x＋sin
xcos
x＋cos2x＝1＋sin
2x＋(cos
2x＋1)＝＋sin，
所以f(x)的最大值为＋，最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)≥ ＋sin≥，
则sin≥0.
所以2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，
解之得kπ－≤x≤kπ＋.
所以使f(x)≥成立的x的取值范围是
.
22．(本小题满分12分)(2014·福建卷)已知函数f(x)＝2cos
x(sin
x＋cos
x)．
(1)求f的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解：法一：(1)f＝2cos
＝－2cos
＝2.
(2)因为f(x)＝2sin
xcosx＋2cos2x＝sin
2x＋cos
2x＋1＝sin＋1，
所以T＝＝π，故函数f(x)的最小正周期为π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
法二：f(x)＝2sin
xcos
x＋2cos2x＝sin
2x＋cos
2x＋1＝sin＋1.
(1)f＝sin
＋1＝sin
＋1＝2.
(2)因为T＝＝π，所以函数f(x)的最小正周期为π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.第1章
三角函数
1.1
任意角、弧度
1.1.1
任意角
A级 基础巩固
1．下列命题中正确的是( )
A．终边与始边都相同的角一定相等
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．小于90°的角一定是锐角
D．大于或等于0°且小于90°的角一定是锐角
答案：B
2．已知下列各角：①787°；②－957°；③－289°；
④1
711°.其中在第一象限的角是( )
A．①②
B．②③ C．①③
D．②④
答案：C
3．若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α( )
A．是第三象限角
B．是第四象限角
C．即是第三象限角，又是第四象限角
D．不是任何象限的角
解析：因为点M(0，－3)在y轴负半轴上，所以角α的终边不在任何象限．
答案：D
4．已知α是第三象限角，则－α所在的象限是( )
A．四
B．三
C．二
D．一
解析：因为α是第三象限角，
所以k·360°＋180°<α则－k·360°－270°<－α<－k·360°－180°，k∈Z.
所以－α是第二象限角．
答案：C
5．终边与坐标轴重合的角α的集合是( )
A．
{α|α＝k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝k·90°，k∈Z}
解析：终边在坐标轴上的角为90°或90°的倍数角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．
答案：D
6．时针走过了2小时40分钟，则分针转过的角度是______．
答案：－960°
7．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．
解析：顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1
080°.
又50°＋(－1
080°)＝－1
030°，故所得的角为－1
030°.
答案：－1
030°
8．若α为锐角，则角－α＋k·360°(k∈Z)是第________象限角．
解析：α为锐角，则角α是第一象限角，
所以角－α是第四象限角，
又因为－α＋k·360°(k∈Z)与－α的终边相同，
所以－α＋k·360°(k∈Z)是第四象限角．
答案：四
9．在0°～360°间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角：
(1)－120°；
(2)660°；
(3)－950°08′.
解：(1)因为－120°＝240°－360°，
所以与－120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限的角；
(2)因为660°＝300°＋360°，
所以与660°终边相同的角是300°角，它是第四象限的角；
(3)因为－950°08′＝129°52′－3×360°，
所以与－950°08′角终边相同的角是129°52′角，它是第二象限的角．
10．已知锐角α的10倍与它本身的终边相同，求角α.
解：与角α终边相同的角连同角α在内的角的集合可表示{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
因为锐角α的10倍的终边与其终边相同，
所以10α＝α＋k·360°，k∈Z.
解得：α＝k·40°，k∈Z.
又α为锐角，所以α＝40°或80°.
B级 能力提升
11．下面说法正确的个数为
( )
(1)第二象限角大于第一象限角；
(2)三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
(3)钝角是第二象限角．
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：第二象限角如120°比第一象限角390°要小，故(1)错；
三角形的内角可能为直角，直角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故(2)错；
(3)中钝角是第二象限角是对的．
所以正确的只有1个．
答案：B
12．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<
180°}，则A∩B等于( )
A．{－36°，54°}
B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°}
D．{－126°，54°}
解析：令k＝－1，0，1，2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.
答案：C
13．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．
解析：根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内角为120°.
答案：120°，300°
14.如图所示，写出阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出
－950°12′是否是该集合中的角．
解：题图阴影部分(包括边界)的角的范围是k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z，
所求集合为{α|k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z}，
因为－950°12′＝－3×360°＋129°48′，
所以－950°12′不是该集合中的角．
15．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：
(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？
(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．
解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，则－又因为k∈Z，所以k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，
所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.
(2)集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，
所以β＝120°＋k·360°，k∈Z.第2章
平面向量
2.2
向量的线性运算
2.2.2
向量的减法
A级 基础巩固
1．若非零向量a，b互为相反向量，则下列说法错误的是( )
A．a∥b
B．a≠b
C．|a|≠|b|
D．b＝－a
解析：根据相反向量的定义：大小相等，方向相反，可知|a|＝|b|，C不正确．
答案：C
2．在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，则下列等式中不正确的是( )
A．a＋b＝c
B．a－b＝d
C．
b－a＝d
D．c－a＝b
解析：根据向量加法的平行四边形法则和三角形法则知，
＋＝，－＝，即a＋b＝c，b－a＝d.
所以A、C、D正确，B不正确．
答案：B
3．在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为( )
A．1
B．2
C.
D.
解析：作出菱形ABCD(如图所示)，则AC⊥BD，＝，
故|－|＝|－|＝||＝2||＝2×＝.
答案：D
4.如图所示，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
解析：因为D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，
所以＝，＝，＝，＝.
所以＋＋＝＋＋＝0，故A成立；
－＋＝＋－＝＋＝≠0，故B不成立；
＋－＝＋＝＋＝≠0，故C不成立；
－－＝－＝＋≠0，故D不成立．
答案：A
5．在△ABC中，||＝||＝||＝2，则|－|的值为______．
解析：－＝，则||＝||＝2.
答案：2
6．化简(＋)＋(－)＝________．
解析：(＋)＋(－)＝(＋)＋(＋)＝0＋＝.
答案：
7．在平行四边形ABCD中，若＝a，＝b，且|a＋b|＝|a－b|，则四边形ABCD的形状是________．
解析：由平行四边形法则知，|a＋b|，|a－b|分别表示对角线AC，BD的长，当||＝||时，平行四边形ABCD为矩形．
答案：矩形
8．在△ABC中，D是BC的中点，设＝c，＝b，＝a；＝d，则d－a＝________，d＋a＝________．
解析：根据题意画出图形，如图所示，
d－a＝－＝＋＝＝c；
d＋a＝＋＝＋＝＝b.
答案：c b
9．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是( )
A．[3，8]
B．(3，8)
C．[3，13]
D．(3，13)
解析：
因为||＝|－|，
又因为||－||≤|－|≤||＋||，
所以3≤|－|≤13，即3≤||≤13.
答案：C
10．如图所示，四边形ABCD中，＝a，＝b，＝a，则
＝________(用a，b，c表示)．
解析：＝＋＋＝－b＋a＋c＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
B级 能力提升
11.如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设＝a，＝b，＝c，求证：b＋c－a＝.
证明：法一：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以＝.
所以b＋c＝＋＝＋＝.
所以b＋c－a＝－＝＋＝.
法二：因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝.
所以c－a＝－＝－＝＋＝.
因为＝b，所以b＋c－a＝b＋＝＋＝.
12．如图所示， ABCD中，＝a，＝b.
(1)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？
(2)当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|
(3)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？
解：(1)由平行四边形法则，知a＋b＝，a－b＝.
因为a＋b与a－b所在直线垂直，所以AC⊥BD.
又因为四边形ABCD为平行四边形，
所以四边形ABCD为菱形，所以|a|＝|b|.
所以当|a|＝|b|时，a＋b与a－b所在直线互相垂直．
(2)假设|a＋b|＝|a－b|，即||＝||.
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以四边形ABCD是矩形．所以a⊥b，
所以当a与b垂直时，|a＋b|＝|a－b|.
(3)不可能．因为 ABCD的两条对角线不可能平行，
所以a＋b与a－b不可能为共线向量，更不可能为相等向量．
13．已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.
解：设＝a，＝b，
以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，如图所示．
则＝a＋b，＝a－b，
所以||＝||.
又四边形ABCD为平行四边形，
所以四边形ABCD为矩形，故AD⊥AB.
在Rt△DAB中，||＝6，||＝8，由勾股定理得
||＝
＝＝10.
所以|a－b|＝10.第2章
平面向量
2.5
向量的应用
A级 基础巩固
1．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于( )
A．(－1，－2)
B．(1，－2)
C．(－1，2)
D．(1，2)
解析：为使物体平衡，即合外力为零，即4个向量相加等于零向量，所以F4＝(0－(－2)－(－3)－4，0－(－1)－2－(－3))＝(1，2)．
答案：D
2．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为( )
A．平行四边形
B．矩形
C．等腰梯形
D．菱形
解析：由题意可知，∥，||＝||，且⊥，
所以四边形ABCD为菱形．
答案：D
3.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10牛顿，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米，则力F做的功为( )
A．100焦耳
B．50焦耳
C．50焦耳
D．200焦耳
解析：设小车位移为s，则|s|＝10米．
WF＝F·s＝|F||s|·cos
60°＝10×10×＝50(焦耳)．
答案：B
4．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC为( )
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．形状无法确定
解析：因为(＋)·(－)＝0，
所以－＝0，＝.
所以CA＝CB，△ABC为等腰三角形．
答案：C
5．O是平面ABC内的一定点，P是平面ABC内的一动点，若(－)·(＋)＝(－)·(＋)＝0，则O为△ABC的( )
A．内心
B．外心
C．重心
D．垂心
解析：因为(－)·(＋)＝0，则(－)·(＋)＝0，所以2－2＝0，所以||＝||.
同理可得||＝||，即||＝||＝||.
所以O为△ABC的外心．
答案：B
6．一艘船以5
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流的方向成30°角，则水流速度为________km/h.
解析：如图所示，船速|v1|＝5(km/h)，
水速为v2，实际速度|v|＝10(km/h)，
所以|v2|＝＝＝5(km/h)．
答案：5
7．在△ABC中，已知||＝||＝4，且·＝8，则这个三角形的形状是__________________．
解析：因为·＝4×4×cos
A＝8，
所以cos
A＝.所以∠A＝.
所以△ABC是正三角形．
答案：正三角形
8．过点A(2
015，2
016)且垂直于向量a＝(－1，1)的直线方程为______________．
解析：在直线上任取一点P(x，y)，则
＝(x－2
015，y－2
016)，依题意·a＝0，
所以－(x－2
015)＋y－2
016＝0，即x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
9．两个粒子a，b从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为va＝(4，3)，vb＝(2，10)．
(1)写出此时粒子b相对粒子a的位移v；
(2)计算v在va方向上的投影．
解：(1)v＝v
b－v
a＝(2，10)－(4，3)＝(－2，7)．
(2)|
v
|·cos〈v，v
a〉＝＝＝＝.
10.如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
解：设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b，
由已知|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，
则(a－b)2＝|a－b|2＝4，即a2－2a·b＋b2＝4，
则1－2a·b＋4＝4，所以a·b＝.
所以|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋4＝6，
所以|a＋b|＝.
故对角线AC的长为.
B级 能力提升
11．在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是( )
A. B. C. D.
解析：由＋＋＝，
得＋＋＋＝0，
即＝2，
所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．
故＝＝.
答案：C
12．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，且AB＝1，则·＝________．
解析：因为圆x2＋y2＝1的半径为1，AB＝1，
所以△AOB为正三角形．
所以·＝1×1·cos
60°＝.
答案：
13．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1，1)，M是圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且＝2，求点N的轨迹方程．
解：设M(x0，y0)，N(x，y)，
由＝2得(1－x0，1－y0)＝2(x－1，y－1)．
所以将
代入方程：(x0－3)2＋(y0－3)2＝4，
得x2＋y2＝1.
所以点N的轨迹方程为x2＋y2＝1.第3章
三角恒等变换
3.1
两角和与差的三角函数
3.1.1
两角和与差的余弦
A级 基础巩固
1．cos
78°cos
18°＋sin
78°sin
18°的值为( )
A. B. C. D.
解析：原式＝cos(78°－18°)＝cos
60°＝.
答案：A
2．已知α是锐角，sin
α＝，则cos等于( )
A．－
B.
C．－
D.
解析：因为α是锐角，sin
α＝，所以cos
α＝，
所以cos＝×－×＝.
答案：B
3.sin＋cos的值为( )
A.
B.
1
C.
D.
解析：原式＝2＝2
＝2cos＝2cos＝2×＝.
答案：C
4．已知cos
α＋cos
β＝，sin
α＋sin
β＝，则cos
(α－β
)＝( )
A．－
B．－
C.
D．1
解析：由cos
α＋cos
β＝，sin
α＋sin
β＝，
两边平方相加得
(cos
α＋cos
β)2＋(sin
α＋sin
β
)2＝＋＝1，
所以2＋2cos
αcos
β＋2sin
αsin
β＝1，
2(cos
αcos
β＋sin
αsin
β
)＝－1.
所以cos(α－β
)＝－.
答案：A
5．cos
75°cos
15°＋sin
75°sin
195°的值为________．
解析：原式＝cos
75°cos
15°＋sin
75°sin(180°＋15°)＝cos
75°·cos
15°－sin
75°sin
15°＝cos(75°＋15°)＝cos
90°＝0.
答案：0
6．已知cos＝，则cos
α＋sin
α的值为___________．
解析：因为cos
＝cos
cos
α＋sinsin
α＝cos
α＋sin
α＝.所以cos
α＋sin
α＝.
答案：
7．已知cos＝，则cos
α＝______________．
解析：由于0＜α－＜，且cos＝，
所以sin＝.
所以cos
α＝cos
＝coscos－sinsin＝×－×＝.
答案：
8．已知sin＝，且＜α＜，求cos
α的值．
解：因为sin＝，且＜α＜，
所以＜α＋＜π.
所以cos＝－
＝－.
所以cos
α＝cos＝coscos
＋sinsin
＝－×＋×＝.
9．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，求cos的值．
解：因为0<α<，－<β<0，
所以<＋α<π，<－<.
又因为cos＝，cos＝，
所以sin＝，sin＝.
所以cos＝cos＝
coscos＋sinsin＝
×＋×＝.
10．若sin
x＋cos
x＝cos(x＋φ)，则φ的一个可能值是( )
A．－
B．－
C.
D.
解析：对比公式特征知，cos
φ＝，sin
φ＝－，
故只有－适合．
答案：A
B级 能力提升
11.的值为________．
解析：原式＝
＝
＝－1.
答案：－1
12．已知函数f(x)＝cos，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若cos
θ＝，θ∈，求f.
解：(1)f＝cos＝cos
＝1.
(2)因为cos
θ＝，θ∈，
所以sin
θ＝－＝－.
所以f＝cos＝
＝－.
13．已知sin＝－，sin＝，其中＜α＜，＜β＜，求角α＋β的值．
解：因为＜α＜，所以－＜－α＜0.
因为＜β
＜，所以＜＋β＜.
由已知可得cos＝，cos＝－，
则cos(α＋β
)＝cos＝cos·cos＋sin
·sin＝×＋×＝－.
因为＜α＋β
＜π.
所以α＋β＝.第1章
三角函数
1.1
任意角、弧度
1.1.2
弧度制
A级 基础巩固
一、选择题
1．α＝－5
rad，则α的终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：－5＝－2π＋(2π－5)，
因为0<2π－5<，
所以α＝－5在第一象限．
答案：A
2．下列说法中，错误的是( )
A．半圆所对的圆心角是π
rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A、B、C均正确，D错误．
答案：D
3．一条弦长等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是( )
A．1 B. C. D．π
解析：因为弦长等于圆的半径，如图所示，则△ABC为正三角形，所以弦所对的圆心角为.
答案：C
4．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )
A.π
B.π
C.π
D.π
解析：240°＝π＝π，
所以弧长l＝|α|·r＝π·10＝π.
答案：A
5．把－表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )
A．－
B．－
C.
D.
解析：令－＝θ＋2kπ(k∈Z)，
则θ＝－－2kπ(k∈Z)，
取k≤0的值，k＝－1时，θ＝－，|θ|＝；
k＝－2时，θ＝，|θ|＝>；
k＝0时，θ＝－，|θ|＝>.
答案：A
6．若有一角和
rad角终边相同，则此角的集合可以表示为______________________________．
答案：
7.
rad＝________度，________rad＝－300°.
解析：＝＝15°，－300°＝－300×＝－.
答案：15 －
8．已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则扇形的面积是________．
解析：因为60°＝rad，
则扇形的面积S＝×·32＝π.
答案：π
9．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米；
(2)1
rad的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米．
解析：(1)因为|α|＝1°＝，l＝1，
所以r＝＝＝.
(2)因为l＝1，|α|＝1，所以r＝＝1.
答案：(1) (2)1
10．已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2弧度．
(1)求这个圆心角所对的弧长；
(2)求这个扇形的面积．
解：(1)如图所示，过O作OD⊥AB于点D，则D为AB的中点，
所以AD＝AB＝1，
∠AOD＝∠AOB＝1
rad，
所以扇形的半径OA＝.
由弧长公式l＝|α|r，得l＝2×＝.
(2)由扇形面积公式S＝lr，得
S＝×·＝.
B级 能力提升
11．集合M＝，N＝，则有( )
A．M＝N
B．M
N
C．M
N
D．M∩N＝
解析：因为集合M是表示终边在第一、第三象限的角平分线上的角的集合．集合N是表示终边在第一、第三象限或第二、第四象限的角平分线上的角的集合，所以M
N.
答案：C
12．在直径为10
cm的轮上有一长为6
cm的弦，P为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5秒钟后P转过的弧长为________．
解析：P到圆心O的距离OP＝＝4(cm)，又点P转过的角的弧度数α＝5×5＝25(rad)．
所以弧长为α·OP＝25×4＝100(cm)．
答案：100
cm
13．已知α＝2
000°.
(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0，2π))的形式；
(2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．
解：(1)α＝2
000°＝5×360°＋200°＝10π＋π.
(2)θ与α的终边相同，故θ＝2kπ＋π，k∈Z，
又θ∈(4π，6π)，所以k＝2时，θ＝4π＋π＝.
14．已知扇形的周长为40
cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＋2r＝40.
所以l＝40－2r.
所以S＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100.
所以当半径r＝10
cm时，扇形的面积最大，这个最大值为100
cm2，这时θ＝＝＝2
rad.
15．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.求α(∠AOB)所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
解：由⊙O的半径r＝10＝AB，
知△AOB是等边三角形，
所以α＝∠AOB＝60°＝.
所以弧长l＝a·r＝·10＝.
所以S扇形＝lr＝×·10＝.
而S△AOB＝×AB·5＝×10×5＝，
所以S＝S扇形－S△AOB＝50.第3章
三角恒等变换
3.1
两角和与差的三角函数
3.1.2
两角和与差的正弦
A级 基础巩固
1．sin
20°cos
10°－cos
160°sin
10°＝( )
A．－
B.
C．－ D.
解析：sin
20°cos
10°－cos
160°sin
10°＝sin
20°cos
10°＋
cos
20°·sin
10°＝sin(20°＋10°)＝sin
30°＝.
答案：D
2．sin
45°cos
15°＋cos
225°sin
15°的值为( )
A．－
B．－
C.
D.
解析：原式＝sin
45°cos
15°－cos
45°sin
15°＝sin(45°－15°)＝.
答案：C
3．在△ABC中，A＝，cos
B＝，则sin
C等于( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：由cos
B＝，且0＜B＜π，得sin
B＝.
又A＝，所以sin
C＝sin(A＋B)＝sincos
B＋cossin
B＝×＋×＝.
答案：A
4．在△ABC中，已知sin
(A－B)cos
B＋cos(A－B)sin
B≥1，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．无法确定
解析：因为sin(A－B)cosB＋cos
(A－B)sin
B＝sin
A≥1，
所以sin
A＝1.所以∠A＝90°.所以△ABC是直角三角形．
答案：C
5．化简：＝________．
解析：＝
＝＝
＝－1.
答案：－1
6．已知0≤x≤，若sin
x＋cos
x＝m，则m的取值范围是____．
解析：sin
x＋cos
x＝2sin，因为0≤x≤，所以≤x＋≤.所以1≤2sin≤2.所以1≤m≤2.
答案：[1，2]
7．已知＜α＜，0＜β＜，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β
)的值．
解：因为＜α＜π，所以
＜＋α＜π.
所以sin
＝
＝.
又因为0＜β
＜，π＜π＋β
＜π，
所以cos＝－
＝－.
所以sin(α＋β
)＝－sin(π＋α＋β
)＝－sin＝
－＝
－＝.
8．设方程12x2－πx－12π＝0的两根分别为α，β，求cos
αcos
β－sin
αcos
β－cos
αsin
β－sin
αsin
β的值．
解：由题意知α＋β＝，故原式＝cos(α＋β
)－sin(α＋β
)＝2sin＝2sin
＝2sin＝2＝2＝
.
B级 能力提升
9．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β
)＝sin(α－β
)，则角α的值为( )
A.
B．－
C．0
D．无法确定
解析：由题意得cos
αcos
β－sin
αsin
β＝sin
αcos
β－cos
αsin
β，即cos
α(cos
β＋sin
β
)＝sin
α(sin
β＋cos
β
)，
因为α，β均为锐角，
所以sin
β＋cos
β
≠0，所以cos
α＝sin
α，
所以α＝.
答案：A
10．已知sin
α－cos
β＝，cos
α－sin
β＝，则sin(α＋β)＝______．
解析：将条件等式两边平方相加得
sin2α＋cos2β－2sin
αcos
β＋cos2α＋sin2β－2cos
αsin
β＝＋，即2－2·sin(α＋β)＝，所以sin(α＋β)＝.
答案：
11．(2014·广东卷)已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.
解：(1)由f＝Asin＝Asin＝＝，可得A＝3.
(2)f(θ)－f(－θ)＝，
则3sin－3sin＝，
3－3＝，
所以sin
θ＝.
因为θ∈，所以cos
θ＝，
故f＝3sin
＝3sin＝3cos
θ＝.
12．已知α，β为锐角，cos
α＝，cos
β＝，求α＋β的值．
解：法一：因为α，β是锐角，cos
α＝，cos
β＝，
所以sin
α＝＝，sin
β＝＝.
sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β＝×＋×＝.
因为0<α<，cos
α＝<＝cos
，
所以由余弦函数性质可知<α<.
同理，<β<，所以<α＋β<π.所以α＋β＝.
法二：cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β＝×－×＝－.
因为α，β是锐角，所以0<α＋β<π.所以α＋β＝.
13．若函数f(x)＝(1＋tan
x)cos
x，0≤x<.
(1)把f(x)化成Asin(ωx＋φ)的形式；
(2)判断f(x)在上的单调性，并求f(x)的最大值．
解：(1)f(x)＝(1＋tan
x)·cos
x＝cos
x＋··cos
x＝cos
x＋sin
x＝2＝2＝2sin.
(2)因为0≤x<，所以≤x＋<，
由x＋≤，得x≤.
所以f(x)在上是单调增函数，在上是单调减函数．所以当x＝时，f(x)有最大值为2.第1章
三角函数
1.2
任意角的三角函数
1.2.1
任意角的三角函数
A级 基础巩固
一、选择题
1．若－<α<0，则点Q(cos
α，sin
α)位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：因为－<α<0，则cos
α>0，sin
α<0.
答案：D
2．已知角α的终边过点P，则cos
α＝( )
A. B.
C. D．±
解析：因为点P是单位圆上一点，
则cos
α＝x＝.
答案：B
3．若α是第四象限角，则sin
α和tan
α的大小的关系是( )
A．sin
α>tan
α
B．sin
αα
C．sin
α≥tan
α
D．不确定
解析：画出三角函数线即可判断出来，如图所示，sin
α＝MP，
tanα＝AT，
又|MP|<|AT|，故sin
α>tan
α.
答案：A
4．若sin
θ·cos
θ>0，则角θ是( )
A．第一或第二象限角
B．第一或第三象限角
C．第一或第四象限角
D．第二或第四象限角
解析：因为sin
θ·cos
θ>0，所以sin
θ与cos
θ同号，
由三角函数值在各象限内的符号知θ为第一或第三象限角．
答案：B
5．函数y＝的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为1＋sin
x≠0，所以sin
x≠－1.
又sin
＝－1，所以x≠＋2kπ，k∈Z.
答案：A
6．若α的终边过点P(2sin
30°，－2cos
30°)，则sin
α的值为________．
答案：－
7．若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a的值为________．
解析：由三角函数定义知，tan
420°＝－，
又tan
420°＝tan(360°＋60°)＝tan
60°＝，
所以－＝.所以a＝－4.
答案：－4
8．已知θ∈，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP，OM，AT，则它们从大到小的顺序为________．
解析：作图如下，因为θ∈，所以θ>，
根据三角函数线的定义可知AT>MP>OM.
答案：AT>MP>OM
9．函数y＝＋的定义域是_________________．
解析：因为所以即角x的终边落在第二象限内和两个半轴上．
所以2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
答案：(k∈Z)
10．已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin
α，cosα的值．
解：在射线y＝2x(x≥0)上任取一点P(a，2a)(a>0)．
则r＝|OP|＝＝a，
所以sin
α＝＝＝，
cos
α＝＝＝.
B级 能力提升
11．若α是第三象限角，则－＝( )
A．0 B．1 C．2 D．－2
解析：因为α是第三象限角，所以sin
α<0，cos
α<0，
所以－＝－1－(－1)＝0.
答案：A
12．已知角α的终边过点(－3cos
θ，4cos
θ)，其中θ∈，则cos
α＝________．
解析：因为θ∈，所以cos
θ<0.
所以点(－3cos
θ，4cos
θ)到原点的距离r＝－5cos
θ，
所以cos
α＝＝.
答案：
13．在(0，2π)内，满足＝－tan
α的α的取值范围是______．
解析：由＝－tan
α，知tan
α≤0，在单位圆中作出角α的正切线，如图所示，知＜α≤π或＜α＜2π.
答案：∪
14．已知P(－2，y)是角α终边上一点，且sin
α＝－，求cos
α与tan
α的值．
解：因为点P到原点的距离为r＝，
所以sin
α＝＝－，所以y2＋4＝5y2，所以y2＝1.
又易知y<0，所以y＝－1.所以r＝.
所以cos
α＝＝－，tan
α＝＝.
15．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin
α，cos
α，tan
α的值．
解：因为角α的终边在直线3x＋4y＝0上，所以在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，
则x＝4t，y＝－3t，
r＝＝＝5|t|，
当t>0时，r＝5t，
sin
α＝＝＝－，cos
α＝＝＝，
tan
α＝＝＝－；
当t<0时，r＝－5t，sin
α＝＝＝，
cos
α＝＝＝－，tan
α＝＝＝－.第2章
平面向量
2.2
向量的线性运算
2.2.3
向量的数乘
A级 基础巩固
1．4(a－b)－3(a＋b)－b等于( )
A．a－2b
B．a
C．a－6b
D．a－8b
解析：原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.
答案：D
2．设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有( )
(1)a与－λ
a的方向相反；
(2)|－λ
a|≥|a|；
(3)a与λ2a方向相同；
(4)|－2λ
a|＝2|λ|·|a|.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：由向量数乘的几何意义知(3)(4)正确．
答案：B
3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0.则( )
A.＝2
B.＝
C.＝3
D．2AO＝
解析：因为D为BC的中点，且2＋＋＝0，
所以＋＝2.
所以2＋2＝0.则＋＝0，因此＝.
答案：B
4．化简的结果是( )
A．2a－b
B．2b－a
C．b－a
D．a－b
解析：原式＝(a＋4b－4a＋2b)＝(6b－3a)＝2b－a.
答案：B
5．设四边形ABCD中，有＝且||＝||，则这个四边形是( )
A．平行四边形
B．矩形
C．等腰梯形
D．菱形
解析：因为＝，所以AB∥DC且AB≠DC.
所以四边形ABCD是梯形．又||＝||，
所以四边形ABCD是等腰梯形．
答案：C
6．已知|a|＝|b|，b与a的方向相反，若a＝λb，则λ＝________.
解析：因为|a|＝|b|，b与a的方向相反，
所以a＝－b.所以λ＝－.
答案：－
7．(2015·课标全国Ⅱ卷)设向量a，b不平行，向量λ
a＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
解析：因为λ
a＋b与a＋2b平行，
所以λ
a＋b＝t(a＋2b)，即λ
a＋b＝t
a＋2t
b.
所以解得
答案：
8．若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝__________________．
解析：由2－(c＋b－3y)＋b＝0，得2y－a－c－b＋y＋b＝0，即y－a－c＋b＝0，
所以y＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
9．已知两个非零向量e1和e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．
证明：因为＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，
所以＝＋＝(6e1＋23e2)＋(4e1－8e2)＝10e1＋15e2.
又因为＝2e1＋3e2，所以＝5.
所以，共线，且有公共点B.
所以A，B，D三点共线．
B级 能力提升
10．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：因为＋＋＝0，
所以＋＋＋＋＝0.
从而有＋＝－3＝3＝m，故有m＝3.
答案：B
11．已知|a|＝6，b与a的方向相反，且|b|＝3，a＝m
b，则实数m＝________．
解析：＝＝2，所以|a|＝2|b|.
又a与b的方向相反，所以a＝－2b.所以m＝－2.
答案：－2
12．已知非零向量e1，e2不共线，且＝e1＋e2，＝ke1＋
8e2，＝3(e1－e2)．若A，B，D三点共线，试确定实数k的值．
解：因为＝＋＝ke1＋8e2＋3(e1－e2)＝(k＋3)e1＋5e2，又A，B，D三点共线，
所以存在唯一实数λ，使得＝λ，
即e1＋e2＝λ[(k＋3)e1＋5e2]，
即[λ(k＋3)－1]e1＝(1－5λ)e2.
又e1，e2不共线，所以
则所以k＝2.
13．已知e，f为两个不共线的向量，且四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)将用e，f表示；
(2)求证：四边形ABCD为梯形．
(1)解：根据向量的线性运算法则，
有＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，
所以与同向，且的长度为长度的2倍．
所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，
所以四边形ABCD是梯形．第3章
三角恒等变换
3.3
几个三角恒等式
A级 基础巩固
1．函数y＝cos2＋sin2－1是( )
A．周期为2π的奇函数
B．周期为2π的偶函数
C．周期为π的奇函数
D．周期为π的偶函数
解析：y＝＋－1＝＝－sin
2xsin＝sin
2x.
所以是奇函数且周期T＝＝π.
答案：C
2．若sin(π－α)＝－且α∈，则sin等于( )
A．－ B．－
C.
D.
解析：由题意知sin
α＝－，α∈，
所以cos
α＝－.因为∈，
所以sin＝cos
＝－
＝－.
答案：B
3．若sin(α＋β
)cos
β－cos(α＋β
)sin
β＝0，则sin(α＋2β
)＋sin(α－2β
)等于( )
A．1
B．－1
C．0
D．±1
解析：因为sin(α＋β
)cos
β－cos(α＋β
)sin
β＝sin(α＋β－β
)＝sin
α＝0，所以sin(α＋2β
)＋sin
(α－2β
)＝2sin
αcos
2β＝0.
答案：C
4．若函数f(x)＝(1＋tan
x)cos
x，0≤x＜，则f(x)的最大值是( )
A．1
B．2
C.＋1
D.＋2
解析：f(x)＝(1＋tan
x)cos
x＝cos
x＝sin
x＋cos
x＝2sin.
因为0≤x＜，所以≤x＋≤π.
因此当x＋＝时，f(x)取到最大值2.
答案：B
5．已知α∈，
sin
α＝，则tan
2α＝__________.
解析：因为sin
α＝，α∈，
所以cos
α＝－＝－.
所以tan
α＝＝－.
所以tan
2α＝＝＝－.
答案：－
6．若A＋B＝120°，则sin
A＋sin
B的最大值是________．
解析：sin
A＋sin
B＝2sincos＝cos≤，所以最大值为.
答案：
7．(2014·山东卷)函数y＝sin
2x＋cos2
x的最小正周期为________．
解析：y＝sin
2x＋cos2x＝sin
2x＋cos
2x＋＝sin＋，
所以函数的最小正周期T＝＝π.
答案：π
8．函数y＝sincos
x的最小值是________．
解析：y＝sincos
x＝＝
＝sin－，
当sin＝－1时，y取得最小值为－.
答案：－
9．化简.
解：＝
＝
＝＝1.
10．已知tan＝3，求sin
2θ－2cos2θ的值．
解：由tan＝3，＝3，得
tan
θ＝，sin
2θ＝＝＝＝，
cos2θ＝＝＝＝，
所以原式＝－2×＝－.
B级 能力提升
11．已知cos
θ＝－，且180°＜θ
＜270°，则tan
＝_______．
解析：因为180°＜
θ＜270°，所以90°＜＜135°，
即是第二象限角，所以tan
＜θ.
所以tan
＝－
＝－＝－2.
答案：－2
12．已知－2cos(α＋β)＝2，求sin2β＋2cos
2α的值．
解：由－2cos(α＋β)＝2，
得sin(2α＋β)－2sin
αcos(α＋β)＝2sin
α，
sin(2α＋β)－2×[sin
(2α＋β)＋sin(－β)]＝2sin
α.
所以sin
β＝2sin
α.
所以sin2β＋2cos
2α＝4sin2α＋2(1－2sin2α)＝2.
13．(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝(sin
x＋cos
x)2＋cos
2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sin
xcos
x＋cos
2x＝1＋sin
2x＋cos
2x＝sin＋1，
所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝sin＋1.
当x∈时，2x＋∈，
由正弦函数y＝sin
x在上的图象知，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值＋1；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值0.
综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.章末过关检测卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．角α终边经过点(1，－1)，则cos
α＝( )
A．1 B．－1 C. D．－
解析：角α终边经过点(1，－1)，
所以cos
α＝＝.
答案：C
2．已知扇形的半径为r，周长为3r，则扇形的圆心角等于( )
A.
B．1
C.
D．3
解析：因为弧长l＝3r－2r＝r，
所以圆心角α＝＝1.
答案：B
3．(2014·四川卷)为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图象，只需把函数y＝sin
2x的图象上所有的点( )
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动1个单位长度
D．向右平行移动1个单位长度
解析：根据三角函数图象的平移和伸缩变换求解．y＝sin
2x的图象向左平移个单位长度得到函数y＝sin
2的图象，即函数y＝sin(2x＋1)的图象．
答案：A
4．如果函数f(x)＝sin(πx＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期是T，且当x＝2时取得最大值，那么( )
A．T＝2，θ＝
B．T＝1，θ＝π
C．T＝2，θ＝π
D．T＝1，θ＝
解析：T＝，当ωx＋θ＝2kπ＋(k∈Z)时取得最大值．由题意知T＝＝2，又当x＝2时，有2π＋θ＝2kπ＋，
所以θ＝2(k－1)π＋，0＜θ＜2π.所以k＝1.则θ＝.
答案：A
5．函数y＝2sin(3x＋φ)的一条对称轴为x＝，则φ＝( )
A.
B.
C.
D．－
解析：由y＝sin
x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，
可得3×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则φ＝kπ＋.
又|φ|<，所以取k＝0，得φ＝.
答案：C
6．已知cos＝，且α∈，则tan
α＝( )
A.
B.
C．－
D．±
解析：cos＝－sin
α＝，sin
α＝－，
因为α∈，所以cos
α＝－.所以tan
α＝.
答案：B
7．已知a＝tan，b＝cos，c＝sin，则a，b，c的大小关系是( )
A．b>a>c
B．a>b>c
C．b>c>a
D．a>c>b
解析：a＝tan＝－tan＝－，
b＝cosπ＝cos＝cos＝，
c＝sin＝sin＝－sin
＝－，
所以b>a>c.
答案：A
8．将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则φ的值可以是( )
A.
B.
C.
D.
解析：把P代入f(x)＝sin(2x＋θ)，
解得θ＝，所以g(x)＝sin.
把P代入得，φ＝kπ或φ＝kπ－.
答案：B
9．函数y＝的定义域是( )
A．(0，3]
B．(0，π)
C.∪
D.∪
解析：由y＝有意义，得0≤x≤3且x≠kπ＋(k∈Z)，且x≠kπ(k∈Z)，所以x≠0且x≠.
所以x∈∪.
答案：C
10．如图所示，函数y＝f(x)图象的一部分，则函数y＝f
(x)的解析式可能为( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝cos
D．y＝cos
解析：T＝－，所以T＝π，所以ω＝2，排除A、C.将f＝1代入可排除B.
答案：D
11．(2014·安徽卷)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin
x．当0≤x≤π时，f(x)＝0，则f＝( )
A.
B.
C．0
D．－
解析：因为f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin
x－sin
x＝f(x)，所以f(x)的周期T＝2π.
又因为当0≤x<π时，f(x)＝0，所以f＝0，
即f＝f＋sin＋sin＝0，
所以f＝.
所以f＝f＝f＝.
答案：A
12．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )
A．[0，5]
B．[5，10]
C．[10，15]
D．[15，20]
解析：因为10≤t≤15时，有π<5≤≤<π，
此时F(t)＝50＋4sin是增函数，即车流量在增加．
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)
13．(2015·四川卷)已知sin
α＋2cos
α＝0，则2sin
αcos
α－cos2α的值是________．
解析：由sin
α＋2cos
α＝0，得tan
α＝－2.
所以2sin
αcos
α－cos2α＝＝＝＝－1.
答案：－1
14．(2014·江苏卷)已知函数y＝cos
x与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．
解析：利用函数y＝cos
x与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)的交点横坐标，列方程求解．
由题意，得sin＝cos，
因为0≤φ<π，所以φ＝.
答案：
15．已知f(x)＝2sin－m在x∈上有两个不同的零点，则m的取值范围是________．
解析：f(x)有两个零点，即m＝2sin，在上有两个不同的实根．
当x∈时，2x－∈，
结合正弦曲线知m∈[1，2)．
答案：[1，2)
16．(2014·北京卷)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．
解析：因为f(x)在上具有单调性，
所以≥－.所以T≥.因为f＝f，
所以f(x)的一条对称轴为x＝＝.
又因为f＝－f，
所以f(x)的一个对称中心的横坐标为＝.
所以T＝－＝.所以T＝π.
答案：π
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知tan(2
013π＋α)＝3，试求：
的值．
解：由tan(2
013π＋α)＝3,
可得
tan
α＝3，
故＝
＝＝＝＝.
18．(本小题满分12分)已知函数y＝2acos＋b的定义域是，值域是[－5，1]，求a，b的值．
解：因为0≤x≤，所以－≤2x－≤.
所以－≤cos≤1.
当a>0时，－a＋b≤2acos＋b≤2a＋b.
由已知得，所以
当a<0时，2a＋b≤2acos＋b≤－a＋b.
由已知得，所以
19.(本小题满分12分)(2014·北京卷)函数f(x)＝3sin的部分图象如图所示．
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
(2)在f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)的最小正周期为π，x0＝，y0＝3.
(2)因为x∈，
所以2x＋∈.
于是，当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.
20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．
解：(1)因为x＝是函数y＝f(x)的图象的对称轴，
所以sin＝±1.
所以＋φ＝kπ＋，k∈Z.
因为－π<φ<0，所以φ＝－.
(2)由(1)知φ＝－，因此y＝sin.
由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.
所以kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z，
所以函数y＝sin的单调增区间为
，k∈Z.
21．(本小题满分12分)(2015·湖北卷)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．
解：(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
π
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数表达式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知
f(x)＝5sin，
因此g(x)＝5sin＝5sin.
因为y＝sin
x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，
令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，
即y＝g(x)图象的对称中心为，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为.
22．(本小题满分12分)2016年的元旦，N市从0时到24时的气温变化曲线近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A，ω>0，|φ|≤π)．从天气台得知：N市在2016年的第一天的气温为1到9度，其中最高气温只出现在下午14时，最低气温只出现在凌晨2时．
(1)
求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的表达式．
(2)若元旦当天M市的气温变化曲线也近似地满足函数y1＝A1sin(ω1x＋φ1)＋b1，且气温变化也为1到9度，只不过最高气温和最低气温出现的时间都比N市迟了4个小时．
①求早上7时，N市与M市的两地温差；
②若同一时刻两地的温差不超过2度，我们称之为温度相近，求2016年元旦当日，N市与M市温度相近的时长．
解：由已知可得：b＝5，A＝4，T＝24 ω＝.
又最低气温出现在凌晨2时，则有2ω＋φ＝2kπ－，
又|φ|≤π φ＝－π.
则所求的函数表达式为y＝4sin＋5.
(2)由已知得M市的气温变化曲线近似地满足函数
y1＝4sin＋5，
y－y1＝4
＝4
＝4sin.
①当x＝7时，y－y1＝4sin＝2.
②由|y－y1|≤2 －2≤4sin
≤2 2≤x≤6或14≤x≤18.
则2016年元旦当日，N市与M市温度相近的时长为8小时．第2章
平面向量
2.1
向量的概念及表示
A级 基础巩固
1．在下列判断中，正确的是( )
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线．
A．①②③
B．②③④
C．①②⑤
D．①③⑤
解析：由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③⑤正确，④不正确．
答案：D
2．数轴上点A，B分别对应－1，2，则向量的长度是( )
A．－1
B．2
C．1
D．3
解析：易知||＝2－(－1)＝3.
答案：D
3．下列命题中，正确的是( )
A．|a|＝1 a＝±1
B．|a|＝|b|且a∥b a＝b
C．a＝b a∥b
D．a∥0 |a|＝0
解析：两共线向量的模相等，但两向量不一定相等，0与任一向量平行．两向量相等，则一定共线(平行)．
答案：C
4.如图所示，在⊙O中，向量，，是( )
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
解析：O为⊙O的圆心，OA，OB，OC都为⊙O的半径，则，，的模相等，故C正确．
答案：C
5．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．等腰梯形
解析：由＝知四边形为平行四边形；由||＝||知四边形ABCD为菱形．
答案：C
6．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________．
解析：因为A，B，C三点不共线，所以与不共线，又因为m∥且m∥，所以m＝0.
答案：0
7．如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为始点和终点的向量中，与相等的向量有__________．
解析：因为各方格均为正方形，则有＝＝.
答案：，
8．下列说法中，正确的序号是________．
①若与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；
②任一向量与它的平行向量不相等；
③若四边形ABCD是平行四边形，则＝；
④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同．
解析：因为向量与是共线向量，它们的基线不一定是同一个，所以A，B，C，D也不一定在一条直线上，所以①错误；因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相等，即②错误；画出图形，可得＝，所以③正确；由共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以④不正确．
答案：③
9．已知点O固定，且||＝2，则A点构成的图形是( )
A．一个点
B．一条直线
C．一个圆
D．不能确定
解析：因为||＝2，所以终点A到起点O的距离为2.又因为点O固定，所以点A的轨迹是以O为圆心、2为半径的圆．
答案：C
B级 能力提升
10．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________．
解析：因为a与b为相等向量，所以a∥b，即①能够使a∥b成立；由于|a|＝|b|并没有确定a与b的方向，即②不能够使a∥b成立；因为a与b方向相反时，a∥b，即③能够使a∥b成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|＝0或|b|＝0时，a∥b能够成立．故使a∥b成立的条件是①③④.
答案：①③④
11．河中水流自西向东流速为10
km/h，小船自南岸A点出发，想要沿直线驶向正北岸的B点，并使它的实际速度达到每小时10
km，该小船行驶的方向为________，小船在静水中的速度为________．
解析：如下图所示：
设小船的静水速度为v，
则|v|＝＝20(km/h)．
sin
α＝＝，α＝30°，即小船行驶的速度大小为20
km/h，行驶的方向为北偏西30°.
答案：北偏西30° 20
km/h
12.如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，∠DAB＝60°，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为始点与终点的向量中．
(1)写出与平行的向量；
(2)写出与的模相等的向量．
解：(1)与平行的向量有：，，；
(2)与的模相等的向量有：，，，，，，，，.
13．如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
解：(1)画出所有的向量，共有，，，，，，，8个可能，如图所示．
(2)由(1)所画的图知：
①当点C在点C1或C2时，
||取得最小值＝；
②当点C在点C5或C6时，
||取得最大值＝.
所以||的最大值为，最小值为.章末过关检测卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2015·四川卷)向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝( )
A．2 B．3 C．4 D．6
解析：因为a∥b，所以2×6－4x＝0，解得x＝3.
答案：B
2．(＋)＋(＋)＋化简后等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：原式＝＋＋＋＋＝.
答案：C
3．(2015·课标全国Ⅱ卷)向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：法一：因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，
所以a2＝2，a·b＝－3，
从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.
法二：因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，
所以2a＋b＝(2，－2)＋(－1，2)＝(1，0)．
从而(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1.
答案：C
4．设点A(－1，2)，B(2，3)，C(3，－1)，且＝2－3，则点D的坐标为( )
A．(2，16)
B．(－2，－16)
C．(4，16)
D．(2，0)
解析：设D(x，y)，由题意可知＝(x＋1，y－2)，＝(3，1)，＝(1，－4)，
所以2－3＝2(3，1)－3(1，－4)＝(3，14)．
所以所以
答案：A
5．点C在线段AB上，且＝，若＝λ，则λ等于( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：因＝＝(－)，
所以＝－，即＝－＝λ.
所以λ＝－.
答案：C
6．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a，b的夹角为( )
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
解析：设向量a，b夹角为θ，
|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos
θ，
则cos
θ＝－.
又θ∈[0°，180°]，所以θ＝120°.
答案：B
7．(2015·陕西卷)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( )
A．|a·b|≤|a||b|
B．|a－b|≤||a|－|b||
C．(a＋b)2＝|a＋b|2
D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
解析：根据a·b＝|a||b|cos
θ，又cos
θ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A恒成立．当向量a和b方向不相同时，|a－b|>||a|－|b||，B不恒成立．根据|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝(a＋b)2，C恒成立.
根据向量的运算性质得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，D恒成立．
答案：B
8．(2015·课标全国Ⅰ卷)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )
A.＝－＋
B.＝－
C.＝＋
D.＝－
解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝－.
答案：A
9．已知向量a＝(1，
)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为，则实数m＝( )
A．2
B.
C．0
D．－
解析：因为a＝(1，)，b＝(3，m)，
所以|a|＝2，|b|＝，a·b＝3＋m.
又a，b的夹角为，
所以＝cos
，即＝.
所以＋m＝
，解得m＝.
答案：B
10．已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，|a＋b|＝，则|b|＝( )
A．0
B．2
C．5
D．25
解析：因为a＝(2，1)，则有|a|＝，又a·b＝10，
又由|a＋b|＝，
所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝50，
5＋2×10＋|b|2＝50，所以|b|＝5.
答案：C
11．(2015·安徽卷)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是( )
A．|b|＝1
B．a⊥b
C．a·b＝1
D．(4a＋b)⊥
解析：在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，
得|b|＝2.又|a|＝1，
所以a·b＝|a||b|cos
120°＝－1，所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0.
所以(4a＋b)⊥.
答案：D
12．在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝60°，AD是边BC上的高，则·的值等于( )
A．－
B.
C.
D．9
解析：分别以BC，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
根据已知条件可求得以下几点坐标：
A，D(0，0)，C，
所以＝，
＝.所以·＝.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上)
13．(2015·江苏卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
解析：因为
ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
所以
所以
所以
m－n＝2－5＝－3.
答案：－3
14．(2015·北京卷)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝____________；y＝________________．
解析：因为＝2，所以＝.
因为＝，所以＝(＋)．
因为＝－＝(＋)－＝－，又＝x＋y，所以x＝，y＝－.
答案： －
15．若两个向量a与b的夹角为θ，则称向量“a×b”为“向量积”，其长度|a×b|＝|a||b|·sin
θ，若已知|a|＝1，|b|＝5，a·b＝－4，则|a×b|＝________．
解析：由|a|＝1，|b|＝5，a·b＝－4得cos
θ＝－，
又θ∈[0，π]，所以sin
θ＝.
由此可得|a×b|＝1×5×＝3.
答案：3
16．(2014·湖北卷)若向量＝(1，－3)，||＝||，·＝0，则||＝________．
解析：因为＝(1，－3)，又||＝＝||，
又·＝0，所以∠AOB＝90°.
所以△AOB是等腰直角三角形，且||＝||＝2.
答案：2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)不共线向量a，b的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c＝a＋2b，求|c|的取值范围．
解：|c|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝17＋8cos
θ(其中θ为a与b的夹角)．
因为0°<θ<120°.
所以－θ<1，
所以<|c|<5.
所以|c|的取值范围为(，5)．
18.(本小题满分12分)如图所示，在△AOB中，点P在直线AB上，且满足＝2t＋t(t∈R)，求的值．
解：＝－，所以＝2t(－)＋t，
即(1＋2t)＝2t＋t，
得＝
＋
.
而P，A，B三点共线，所以存在实数λ使得＝λ，
即＝(1－λ)＋λ，
由平面向量基本定理，
所以＋＝(1－λ)＋λ＝1，解得t＝1，
所以＝2＋，
则＝2，故＝.
19．(本小题满分12分)设e1，e2是正交单位向量，如果＝2e1＋me2，＝ne1－e2，＝5e1－e2，若A，B，C三点在一条直线上，且m＝2n，求m，n的值．
解：以O为原点，e1，e2的方向分别为x，y轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy，
则＝(2，m)，＝(n，－1)，＝(5，－1)，
所以＝(3，－1－m)，＝(5－n，0)．
又因为A，B，C三点在一条直线上，所以∥，
所以3×0－(－1－m)·(5－n)＝0，与m＝2n构成方程组解得或
20．(本小题满分12分)已知向量a＝(－3，2)，b＝(2，1)，c＝(3，－1)，t∈R.
(1)求|a＋tb|的最小值及相应的t值；
(2)若a－tb与c共线，求实数t.
解：(1)因为a＝(－3，2)，b＝(2，1)，c＝(3，－1)，
所以a＋tb＝(－3，2)＋t(2，1)＝(－3＋2t，2＋t)．
所以|a＋tb|＝
＝
＝
≥
＝，
当且仅当t＝时取等号，
即|a＋t
b|的最小值为，此时t＝.
(2)因为a－tb＝(－3，2)－t(2，1)＝(－3－2t，2－t)，
又a－tb与c共线，c＝(3，－1)，
所以(－3－2t)·(－1)－(2－t)·3＝0.
解之可得t＝.
21．(本小题满分12分)已知向量，，满足条件＋＋＝0，||＝||＝||＝1.求证：△ABC为正三角形．
证明：因为＋＋＝0，
所以＋＝－.
所以(＋)2＝(－)2.
所以||2＋||2＋2·＝||2.
所以·＝－.
所以cos∠AOB＝＝－.
所以∠AOB＝120°.
同理∠AOC＝120°，∠COB＝120°.
即，，中任意两个夹角为120°.
故△ABC为正三角形．
22．(本小题满分12分)在四边形ABCD中，＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥.
(1)求x与y的关系式；
(2)若⊥，求x，y的值以及四边形ABCD的面积．
解：在四边形ABCD中，如图所示．
(1)因为＝＋＋＝(x＋4，y－2)，
所以＝－＝(－x－4，2－y)．
又因为∥，＝(x，y)，
所以x(2－y)－(－x－4)y＝0，
即x＋2y＝0.
(2)由于＝＋＝(x＋6，y＋1)，
＝＋＝(x－2，y－3)．
因为⊥，所以·＝0，
即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，
所以y2－2y－3＝0，所以y＝3或y＝－1.
当y＝3时，x＝－6，于是＝(－6，3)，＝(0，4)，
＝(－8，0)．
所以||＝4，||＝8.
所以S四边形ABCD＝||||＝16.
当y＝－1时，x＝2，于是有＝(2，－1)，＝(8，0)，
＝(0，－4)．
所以||＝8，||＝4，S四边形ABCD＝16.
综上可知或
四边形ABCD的面积为16.第3章
三角恒等变换
3.2
二倍角的三角函数
A级 基础巩固
1．sin
15°sin
75°
的值为( )
A. B. C. D.
解析：原式＝sin
15°cos
15°＝(2sin
15°cos
15°)＝sin
30°＝.
答案：C
2．已知sin
α＝，则cos
(π－2α)＝( )
A．－
B．－
C.
D.
解析：因为sin
α＝，
所以cos
(π－2α)＝－cos
2α＝－(1－2sin2
α)＝－1＋2×＝－.
答案：B
3.等于( )
A.cos
12°
B．2cos
12°
C．cos
12°－sin
12°
D．sin
12°－cos
12°
解析：＝＝
＝|sin
12°－cos
12°|＝cos
12°－sin
12°.
答案：C
4．已知cos＝，则sin
2α的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：因为cos＝，
所以sin
2α＝－cos＝－cos＝1－2cos2＝1－×2＝.
答案：A
5．若＝，则tan
2α＝________．
解析：由条件，得2sin
α＋2cos
α＝sin
α－cos
α，
所以sinα＝－3cos
α，则tan
α＝－3.
因此tan
2α＝＝＝.
答案：
6．已知sin＋cos＝，那么sin
θ＝______________，cos
2θ＝________________．
解析：因为sin＋cos＝，
所以＝.
1＋2sin
cos＝，所以sin
θ＝.
所以cos
2θ＝1－2sin2＝1－2×＝.
答案：
7．已知tan
α＝－，则＝________．
解析：＝＝
＝tan
α－＝－.
答案：－
8．(2015·广东卷)已知tan
α＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值．
解：(1)tan＝＝＝－3.
(2)
＝
＝
＝
＝
＝1.
9．化简：tan
70°cos
10°(tan
20°－1)．
解：原式＝·cos
10°·＝·
cos
10°·＝·cos
10°·＝－·＝－＝－1.
B级 能力提升
10．若α∈，且sin2
α＋cos
2α＝，则tan
α的值等于( )
A. B. C. D.
解析：因为sin2
α＋cos
2α＝，
所以sin2
α＋cos2
α－sin2
α＝cos2
α＝.
由于α∈，
则cos
α＝，α＝.
因此tan
α＝tan
＝.
答案：D
11．求值：sin
6°sin
42°sin
66°sin
78°＝________．
解析：原式＝sin
6°cos
48°cos
24°cos
12°
＝
＝
＝
＝.
答案：
12．函数y＝sin
2x＋sin2
x，x∈R
的最大值是________．
解析：y＝sin
2x＋＝＋＝sin＋.
所以函数的最大值为＋.
答案：＋
13．已知sin
(2α－β)＝，sin
β＝－，α∈，β∈，求sin
α的值．
解：π<2α<2π，0<－β<.
所以π<2α－β<.
又sin(2α－β)＝>0，所以2π<2α－β<.
所以cos(2α－β)＝.
因为－<β<0，sin
β＝－，
所以cos
β＝.
所以cos
2α＝cos[(2α－β)＋β)]＝×－×＝.
所以sin2α＝＝.所以sin
α＝.第1章
三角函数
1.3
三角函数的图象和性质
1.3.1
三角函数的周期性
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2014·陕西卷)函数f(x)＝cos的最小正周期是( )
A. B．π C．2π D．4π
答案：B
2．下列函数中，周期为π的函数是( )
A．y＝2sin
x
B．y＝cos
x
C．y＝sin
D．y＝cos
解析：根据公式T＝可知函数y＝cos的最小正周期是T＝＝π.
答案：D
3．f(x)是以2π为周期的奇函数，若f＝1，则f的值为( )
A．1
B．－1
C.
D．－
解析：因为f(x)是以2π为周期的奇函数，
所以f＝－f＝1，所以f＝－1，
故f＝f＝f＝－1.
答案：B
4．函数y＝4tan的最小正周期是____________．
答案：
5．函数y＝sin的最小正周期为________．
解析：由于y＝sin＝－sin，
所以函数的最小正周期T＝＝π.
答案：π
6．若函数f(x)＝2cos(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________．
解析：因为T＝＝＝π，所以ω＝2.
答案：2
7．设f(x)是定义在R上的以4为周期的奇函数，且f(1)＝－1，则f(2
015)＝________．
解析：因为f(x)是在R上以4为周期的奇函数．
所以f(2
015)＝f(504×4－1)＝f(－1)＝－f(1)．
又f(1)＝－1，
故f(2
015)＝－f(1)＝1.
答案：1
8．函数y＝cos(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是________．
解析：由于y＝cos(k>0)的最小正周期T＝.
依题意，得≤2，所以k≥4π.
由k∈N
，知k的最小值为13.
答案：13
9．若函数y＝cos(ω>0)的最小正周期为，则ω＝______．
解析：因为＝，所以ω＝10.
答案：10
10．求下列函数的最小正周期：
(1)f(x)＝－2sin；
(2)f(x)＝3cos(m≠0)．
解：(1)T＝＝12π，
即函数f(x)＝－2sin的最小正周期为12π.
(2)T＝，即函数f(x)＝3cos(m≠0)的最小正周期为.
B级 能力提升
11．设函数f(x)是周期为2T的函数，若f(x)定义域为R，且其图象关于直线x＝T对称，那么f(x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
解析：因为f(x)的图象关于x＝T对称，
所以f(T－x)＝f(T＋x)．①
又f(x)的周期为2T，
所以f(T＋x)＝f(T＋x－2T)＝f(x－T)．②
由①②有f(T－x)＝f
(x－T)．
令x－T＝t，则f(－t)＝f(t)对一切t∈R都成立，所以f(x)是偶函数．
答案：B
12．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为________．
解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.
又f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以函数f(x)是周期为4的周期函数，
所以f(6)＝f(2)．由f(2)＝－f(0)＝0，得f(6)＝0.
答案：0
13．已知f(n)＝cos，n∈N
，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)＝________．
解析：因为f(n)＝cos的周期T＝8.且f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝sin＋cos＋cos＋cos
π＝－1.
答案：－1
14．若函数f(x)的定义域为R，对一切实数x，都有f(5＋x)＝f(5－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，试判断f(x)是否是周期函数，若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由．
解：因为f(5＋x)＝f(5－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，
所以f(10－x)＝f(x)，f(14－x)＝f(x)．
所以f(14－x)＝f(10－x)．
令t＝10－x，则f(4＋t)＝f(t)，所以f(x)是周期函数，4是它的一个周期．
15．若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而周期性变化，如图所示，请回答下列问题：
(1)单摆运动的周期是多少？
(2)从点O算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从点A算起呢？
(3)当t＝11
s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？
解：(1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4
s.
(2)若从点O算起，到曲线上的点D表示完成了一次往复运动；若从点A算起，到曲线上的点E表示完成了一次往复运动．
(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11
s相对于静止位置的位移是0
cm.第1章
三角函数
1.3
三角函数的图象和性质
1.3.2
三角函数的图象与性质
第1课时正弦、余弦函数的图象与性质
A级 基础巩固
一、选择题
1．y＝sin
x－|sin
x|的值域是( )
A．[－1，0]
B．[0，1]
C．[－1，1]
D．[－2，0]
解析：y＝函数的值域为[－2，0]．
答案：D
2．函数y＝cos
x与函数y＝－cos
x的图象( )
A．关于直线x＝1对称
B．关于原点对称
C．关于x轴对称
D．关于y轴对称
解析：作出函数y＝cos
x与函数y＝－cos
x的简图(图略)，易知它们关于x轴对称．
答案：C
3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( )
A．y＝cos|x|
B．y＝cos|－x|
C．y＝sin
D．y＝－sin
解析：y＝cos|x|在上是减函数，排除A；
y＝cos|－x|＝cos|x|，排除B；
y＝sin＝－sin＝－cos
x是偶函数，且在(0，π)上单调递增，C符合题意；
y＝－sin
在(0，π)上是单调递减的，排除D.
答案：C
4．函数f(x)＝2sin，x∈[－π，0]的单调递增区间是( )
A.
B.
C.
D.
解析：令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋π，k∈Z，
又－π≤x≤0，所以－≤x≤0.
答案：D
5．函数y＝sin的图象( )
A．关于点对称
B．关于直线x＝对称
C．关于点对称
D．关于直线x＝对称
解析：令2x＋＝＋kπ，k∈Z，则x＝＋，k∈Z，排除B，D；令2x＋＝kπ，k∈Z，则x＝－＋，k∈Z，当k＝1时，对称中心为.
答案：A
6．函数y＝2sin的值域是________________．
解析：因为－≤x≤，所以0≤2x＋≤π.
所以0≤sin≤1.所以y＝2sin的值域为[0，2]．
答案：[0，2]
7．若函数f
(x)＝sin(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝________.
解析：因为f(x)是偶函数，所以＝＋kπ(k∈Z)．
所以φ＝π＋3kπ(k∈Z)．又φ∈[0，2π]，所以φ＝π.
答案：π
8．将cos
150°，sin
470°，cos
760°按从小到大排列为_______．
解析：cos
150°<0，sin
470°＝sin
110°＝cos
20°>0，
cos
760°＝cos
40°>0且cos
20°>cos
40°，
所以cos
150°760°470°.
答案：cos
150°760°470°
9．用五点法作函数y＝－2cos
x＋3(0≤x≤2π)的简图．
解：列表：
x
0
π
2π
－2cos
x
－2
0
2
0
－2
－2cos
x＋3
1
3
5
3
1
描点、连线得出函数y＝－2cos
x＋3(0≤x≤2π)的图象：
10．已知函数f(x)＝2cos.求f(x)的单调递增区间．
解：f(x)＝2cos＝2cos，
由2kπ－π≤－≤2kπ，k∈Z，
得4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
B级 能力提升
11．方程lg
x＝sin
x的解的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：作出y＝lg
x与y＝sin
x的图象，如下图所示，由图知有三个交点，所以方程有三个解．
答案：D
12．函数y＝的奇偶性为( )
A．奇函数
B．即是奇函数又是偶函数
C．偶函数
D．非奇非偶函数
解析：由题意知，1－sin
x≠0，即sin
x≠1，
所以函数的定义域为，
由于定义域关于原点不对称，所以该函数是非奇非偶函数．
答案：D
13．若函数f(x)＝sin
ωx
(0<ω<2)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于________．
解析：根据题意知f(x)在x＝处取得最大值1，
所以sin＝1，所以＝2kπ＋，k∈Z，即ω＝6k＋，k∈Z.又0<ω<2，所以ω＝.
答案：
14．若cos2θ＋2sin
θ＋m2－3<0恒成立，求实数m的取值范围．
解：由已知得：m2θ＋2＝(sin
θ－1)2＋1，
因为－1≤sin
θ≤1，所以－2≤sin
θ－1≤0.
所以0≤(sin
θ－1)2≤4.所以1≤(sin
θ－1)2＋1≤5.
所以m2<1.所以－1所以m的取值范围是(－1，1)．
15．设函数f(x)＝asin＋b.
(1)若a>0，若f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，f(x)的值域为[1，3]，求a，b的值．
解：(1)由于a>0，令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
(2)当x∈时，≤2x＋≤，
则≤sin≤1，
当a>0时，由f(x)的值域为[1，3]，
所以解之得
当a<0时，依题意得解之得
综上知或第1章
三角函数
1.3
三角函数的图象和性质
1.3.4
三角函数的应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin
160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )
A．60 B．70 C．80 D．90
解析：因为T＝＝，所以f＝＝80.
答案：C
2．与图中曲线对应的函数解析式是( )
A．y＝|sin
x|
B．y＝sin
|x|
C．y＝－sin
|x|
D．y＝－|sin
x|
解析：注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A，D.当x∈(0，π)时，sin|x|>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B，只有选项C满足．
答案：C
3．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至( )
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
解析：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，则乙的位置移到丙处．
答案：C
4.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A．2π
s
B．π
s
C．0.5
s
D．1
s
解析：单摆来回摆动一次，即完成一个周期，
所以T＝＝＝1
s，即单摆来回摆动一次所需的时间为1
s.
答案：D
5．用作调频无线电信号的载波以y＝asin(1.83×108πt)为模型，其中t的单位是秒，则此载波的周期为__________，频率为________．
解析：T＝＝≈1.09×10－8(s)，
f＝＝9.17×107(Hz)．
答案：1.09×10－8s 9.17×107Hz
6．已知某种交变电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5sin，t∈[0，＋∞)，则这种交变电流在0.5
s内往复运动的次数是________．
解析：周期T＝s，所以频率为每秒50次．所以0.5秒内往复运动的次数为25.
答案：25
7.如图所示，点P是半径为r的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ω(rad/s)做圆周运动，则点P的纵坐标y关于时间t的函数关系式为________________．
解析：当质点P从P0转到点P位置时，点P转过的角度为ωt，则∠POx＝ωx＋φ，由任意角的三角函数定义知点P的纵坐标y＝rsin(ωt＋φ)．
答案：y＝rsin(ωt＋φ)
8．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋n(A>0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，且直线y＝－为其图象的一条对称轴，如果|φ|<，那么此函数的解析式为________________．
解析：因为所以
又T＝＝，
所以ω＝4.所以y＝2sin(4x＋φ)＋2.
因为x＝－为其图象的一条对称轴，
所以4＋φ＝＋kπ(k∈Z)，
所以φ＝kπ＋π(k∈Z)．
因为|φ|<，所以φ＝－.
所以y＝2sin＋2.
答案：y＝2sin＋2
9．已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4，16]．
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)假若有一种细菌在15
℃到25
℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
解：(1)由于y＝10sin＋20，x∈[4，16]，
所以当x＝6时，函数有最小值，即最低温度为10
℃；
当x＝14时，函数有最大值，即最高温度为30
℃.
因此最大温差为30
℃－10
℃＝20
℃.
(2)令10sin＋20＝15，
可得sin＝－，而x∈[4，16]，
所以x＝.
令10sin＋20＝25，
可得sin＝，
而x∈[4，16]，所以x＝.
故该细菌的存活时间为－＝(小时)．
10.如图所示，弹簧挂着的小球作上下运动，时间t(s)与小球相对平衡位置(即静止时的位置)的高度h(cm)之间的函数关系是h＝2sin，t∈[0，＋∞)．
(1)以t为横坐标，H为纵坐标，画出函数在长度为一个周期闭区间的上简图；
(2)小球开始振动的位置在哪里？
(3)小球最高点、最低点的位置及各自距离平衡位置的距离分别是多少？
解：(1)画出h＝2sin的简图(长度为一个周期)．
①列表：
t
－
2t＋
0
π
π
2π
2sin
0
2
0
－2
0
②描点．
③连线：用平滑曲线依次连接各点即得h＝2sin的简图，如图所示．
(2)当t＝0时，h＝2sin＝.
即小球开始振动时的位置为(0，)．
(3)当t＝时，h＝2；当t＝时，h＝－2.
即最高点位置为，最低点位置为；
最高点、最低点各自到平衡位置的距离均为2
cm.
B级 能力提升
11．一种波的波形为函数y＝－sinx的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：函数y＝－sinx的周期T＝4且x＝3时y＝1取得最大值，因此t≥7.
答案：C
12．函数f(x)＝sin
x＋2|sin
x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．
解析：y＝f(x)＝sin
x＋
2|sin
x|＝
在同一平面直角坐标系内画y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示．
由图可知，当y＝f(x)与y＝k的图象有且仅有两个不同交点时，k的取值范围为1＜k＜3.
答案：(1，3)
13．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140
mmHg和60～90
mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80
mmHg为标准值．
设某人的血压满足函数式P(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)．
(1)求函数p(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．
解：(1)函数p(t)的最小正周期为T＝＝＝(min)．
(2)此人每分钟心跳的次数即频率为：f＝＝80.
(3)p(t)max＝115＋25＝140
mmHg，
p(t)min＝115－25＝90
mmHg，
即收缩压为140
mmHg，舒张压为90
mmHg，比正常值稍高．
14．如图所示，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)；
(2)估计当年3月1日动物种群数量．
解：(1)设动物种群数量y关于t的解析式为
y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，
则解得A＝100，b＝800.
又周期T＝2×(6－0)＝12，所以ω＝＝.
所以y＝100sin＋800.
又当t＝6时，y＝900，
所以900＝100sin＋800.
所以sin(π＋φ)＝1.所以sin
φ＝－1.
所以取φ＝－.
所以y＝100sin＋800.
(2)当t＝2时，y＝100sin＋800＝750，
即当年3月1日动物种群数量约是750.
15．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－2sin，t∈[0，24)．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11
℃，则在哪段时间实验室需要降温？
解：(1)因为f(t)＝10－2sin，
又0≤t<24，
所以≤t＋<，－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天最高温度为12
℃，最低温度为8
℃，最大温差为4
℃.
(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin>11，
即sin<－.
又0≤t<24，因此故在10时至18时实验室需要降温．第1章
三角函数
1.3
三角函数的图象和性质
1.3.3
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
A级 基础巩固
一、选择题
1．函数y＝3sin的振幅和周期分别为( )
A．3，4
B．3，
C.，4
D.，3
解析：由于函数y＝3sin，
所以振幅是3，周期是T＝＝4.
答案：A
2．(2015·山东卷)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin
4x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：由y＝sin＝sin
4得，
只需将y＝sin
4x的图象向右平移个单位长度．
答案：B
3．函数y＝sin在区间的简图是( )
答案：A
4．函数y＝2sin图象的一条对称轴方程为( )
A．x＝－
B．x＝－π
C．x＝
D．x＝
答案：B
5．将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后，所得的图象都关于y轴对称，则φ的最小值分别为( )
A.
B.
C.
D.
解析：函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度得到函数g(x)＝sin的图象，
于是2φ＋＝＋kπ，k∈Z，
所以φ＝＋，k∈Z，取k＝0，得φ的最小值为.
答案：A
6．函数y＝6sin的频率是________，图象最高点的坐标是________．
解析：由于T＝8π，则频率f＝＝，
当x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝8kπ＋
(k∈Z)时，函数取得最大值6.
答案： (k∈Z)
7．把函数y＝sin
x的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移个单位长度，则所得图象的解析式为________________．
解析：由题意y＝sin
x的图象y＝sin
2x的图象y＝sin2的图象，
则y＝sin＝cos
2x.
答案：y＝cos
2x
8．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ≤π)的图象如图所示，则φ＝________．
解析：由题意得＝2π－π，
所以T＝π，ω＝.
由x＝时，y＝－1，得－1＝sin，
又－<π＋φ<π，
所以π＋φ＝π.所以φ＝π.
答案：π
9．已知函数y＝3sin.
(1)用“五点法”画函数的图象；
(2)说出此图象是由y＝sin
x的图象经过怎样的变换得到的．
解：(1)列表：
x－
0
π
2π
x
y
0
3
0
－3
0
描点、连线，将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数一个周期内的图象，如图所示，再将这部分图象左右平移4kπ(k∈Z)个单位长度．
得函数y＝3sin的图象．
(2)法一：①把y＝sin
x图象上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象；
②把y＝sin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；
③将y＝sin图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin的图象．
法二：①把y＝sin
x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sinx的图象；
②把y＝sinx图象上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象；
③将y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin的图象．
10．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，已知它的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数f(x)的单调递减区间．
解：(1)函数的一条对称轴是直线x＝，2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，因为－π<φ<0，所以φ＝－.
(2)由(1)知，f(x)＝sin，
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递减区间为
(k∈Z)．
B级 能力提升
11．将函数f(x)＝sin
ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是( )
A.
B．1
C.
D．2
解析：函数f(x)＝sin
ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度，得到函数f(x)＝sin(其中ω>0)．
将代入得sin＝0，所以＝kπ(k∈Z)，
故得ω的最小值是2.
答案：D
12．(2014·福建卷)将函数y＝sin
x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A．y＝f(x)是奇函数
B．y＝f(x)的周期为π
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
D．y＝f(x)的图象关于点对称
解析：由题意知，f(x)＝cos
x，所以它是偶函数，A错误；它的周期为2π，B错误；它的对称轴是直线x＝kπ，k∈Z，C错误；它的对称中心是点，k∈Z，D正确．
答案：D
13.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数的解析式为f(x)＝__________．
解析：由图象可知：T＝－，解得T＝π，
所以ω＝2.又因为函数图象过点，
所以2sin＝2.
所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
因为－<φ<，所以φ＝－.
故f(x)＝2sin.
答案：2sin
14．已知函数f(x)＝1＋2sin，x∈.
(1)求f(x)的最大值和最小值；
(2)若不等式f(x)－m<2在x∈上恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)因为≤x≤，所以≤2x－≤.
故当2x－＝，即x＝时，f(x)max＝3；
当2x－＝，即x＝时，f(x)min＝2.
(2)由题设条件可知f(x)所以m＋2>3，即m>1，故m的取值范围是(1，＋∞)．
15.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)令g(x)＝f，试判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．
解：(1)由图象知A＝2.
f(x)的最小正周期T＝4×＝π，
故ω＝＝2.
将点代入f(x)的解析式得sin＝1，
又|φ|<，所以φ＝.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
(2)g(x)＝f＝2sin＝2sin＝2cos
2x，
因为g(x)的定义域为R，且g(－x)＝g(x)，故g(x)为偶函数．第2章
平面向量
2.3
向量的坐标表示
2.3.2
平面向量的坐标运算
A级 基础巩固
1．(2014·广东卷)已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a＝( )
A．(－2，1)
B．(2，－1)
C．(2，0)
D．(4，3)
解析：由题意得b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)．
答案：B
2．已知a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝( )
A．－9
B．9
C．3
D．－3
解析：因为a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，
若a∥b则－6×(－3)－2m＝0，解得m＝9.
答案：B
3．(2015·课标全国Ⅰ卷)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A．
(－7，－4)
B．(7，4)
C．(－1，4)
D．(1，4)
解析：法一：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
所以从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．
法二：＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，
＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．
答案：A
4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于( )
A．(1，－1)
B．(－1，1)
C．(－4，6)
D．(4，－6)
解析：因为4a，3b－2a，c对应有向线段首尾相接，
所以4a＋3b－2a＋c＝0.
故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．
答案：D
5．已知向量a＝，b＝(x，1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x的值为( )
A．4
B．8
C．0
D．2
解析：因为a＝，b＝(x，1)，
所以a－2b＝，2a＋b＝(16＋x，x＋1)．
又因为(a－2b)∥(2a＋b)，
所以(8－2x)(x＋1)－(16＋x)＝0.
则40－x2＝0，解得x＝±4，
又x>0，所以x＝4.
答案：A
6．设向量a，b满足a＝(1，－1)，|b|＝|a|，且b与a的方向相反，则b的坐标为________．
解析：因为向量a与b的方向相反，且|b|＝|a|，
所以b＝－a＝－(1，－1)＝(－1，1)．
答案：(－1，1)
7．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2，3)，若＝3a，则点B的坐标为________．
解析：＝(－1，－5)，＝3a＝(6，9)，
故＝＋＝(5，4)，故点B的坐标为(5，4)．
答案：(5，4)
8．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3，1)，且与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________．
解析：由题意得，点B的坐标为(3×2－1，1×2＋2)＝(5，4)，则＝(4，6)．又与a＝(1，λ)共线，则4λ－6＝0，则λ＝.
答案：
9．已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°.
(1)求向量的坐标；
(2)若B(，－1)，求的坐标．
解：(1)设点A(x，y)，则x＝4cos
60°＝2，
y＝4sin
60°＝6，即A(2，6)，＝(2，6)．
(2)＝(2，6)－(，－1)＝(，7)．
10．已知向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，求实数x的值．
解：因为a＝(1，2)，b＝(x，1)，
所以u＝a＋2b＝(1，2)＋2(x，1)＝(2x＋1，4)，
v＝2a－b＝2(1，2)－(x，1)＝(2－x，3)．
又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0.
解得x＝.
B级 能力提升
11．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设＝λ＋(1－λ)(λ∈R)，则λ的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：如图所示，
因为∠AOC＝45°，所以设C(x，－x)，则＝(x，－x)．
又因为A(－3，0)，B(0，2)，
所以λ＋(1－λ)＝(－3λ，
2－2λ)．
所以 λ＝.
答案：C
12．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则＝________．
解析：－＝＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，因为点Q是AC的中点，所以＝，所以＝＋＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)．因为＝2，
所以＝＋＝3＝3(－2，7)＝(－6，21)．
答案：(－6，21)
13．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
因为ka－b与a＋2b共线，
所以2(k－2)－(－1)×5＝0，解得k＝－.
(2)因为A，B，C三点共线，
所以＝λ，λ∈R，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
所以解得m＝.第1章
三角函数
1.3
三角函数的图象和性质
1.3.2
三角函数的图象与性质
第2课时
正切函数的图象与性质
A级 基础巩固
1．函数y＝tan的定义域是( )
A. B.
C.
D.
解析：x－≠kπ＋ x≠kπ＋，k∈Z.
答案：D
2．f(x)＝－tan的单调区间是( )
A.，k∈Z
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：令－＋kπ解得－＋kπ所以函数f(x)的减区间为，k∈Z.
答案：C
3．在下列给出的函数中，以π为周期且在内是增函数的是( )
A．y＝sin
B．
y＝cos
2x
C．y＝sin
D．y＝tan
解析：由函数周期为π可排除A.x∈时，2x∈(0，π)，2x＋∈，此时B、C中函数均不是增函数，D中在上递增，且周期为π.
答案：D
4．若直线x＝(－1≤k≤1)与函数y＝tan的图象不相交，则k＝( )
A.
B．－
C.或－
D．－或
解析：由题意得2×＋＝＋mπ，m∈Z.
则k＝＋m，m∈Z.
由于－1≤k≤1，所以k＝或－.
答案：C
5．函数y＝tan图象的对称中心为( )
A．(0，0)
B.
C.，k∈Z
D.
，k∈Z
解析：由函数y＝tan
x的对称中心为，k∈Z，
令3x＋＝，k∈Z，则x＝－(k∈Z)．
所以y＝tan图象的对称中心为，k∈Z.
答案：D
6．函数y＝lg(－tan
x)的定义域为____________________．
解析：因为－tan
x>0，所以tan
x<.
又因为tan
x＝时，x＝＋kπ(k∈Z)，
根据正切函数图象，得kπ－所以函数的定义域是.
答案：
7．若函数y＝tan(a≠0)的最小正周期为，则a＝______．
解析：因为＝，所以|a|＝.所以a＝±.
答案：±
8．函数y＝sin
x＋tan
x，x∈的最大值是________．
解析：因为函数y1＝sin
x与y2＝tan
x在x∈上都是递增函数，所以y＝sin
x＋tan
x在x∈上是单调递增函数，ymax＝sin＋tan＝.
答案：
9．求函数y＝tan
2x的定义域、值域和周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象．
解：定义域为；值域为R.
最小正周期T＝.
对应图象如图所示：
10．求函数y＝tan的定义域，单调区间及对称中心．
解：由5x＋≠kπ＋，得x≠＋，k∈Z.
函数定义域为.
由kπ－<5x＋得－函数的单调递增区间是，k∈Z，
由5x＋＝，得x＝－，k∈Z，
函数图象的对称中心坐标为，k∈Z.
B级 能力提升
11．函数f(x)＝tan
ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f的值是( )
A. B．0 C．1 D．2
解析：因为y＝tan
ωx的周期T＝，
所以y＝与y＝tan
ωx的图象相邻两交点间的距离为.
故＝，ω＝4，所以f(x)＝tan
4x.
所以f＝tan＝tan
π＝0.
答案：B
12．已知函数y＝tan
ωx在内是减函数，则( )
A．0<ω≤1
B．－1≤ω<0
C．ω≥1
D．ω≤－1
解析：由题意可知ω<0，又 .
故－1≤ω<0.
答案：B
13．f(x)＝asin
x＋btan
x＋1，满足f(5)＝7，则f(－5)＝________．
解析：因为f(5)＝asin
5＋btan
5＋1＝7，
所以asin
5＋btan
5＝6.
所以f(－5)＝asin(－5)＋btan(－5)＋1＝－(asin
5＋btan
5)＋1＝－5.
答案：－5
14．当x∈时，若使a－2tan的值总大于零，求a的取值范围．
解：因为x∈，所以0≤2x－≤.
又因为y＝tan
x在内单调递增，
所以0≤tan≤.
所以0≤2tan≤2.
由题意知a－2tan>0恒成立，
即a>2tan，x∈恒成立．
所以a>2.所以实数a的取值范围是(2，＋∞)．
15．已知函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1解：因为1因为k∈N
，所以k＝3.
则f(x)＝2tan，
由3x－≠＋kπ(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)，定义域不关于原点对称．
所以f(x)＝2tan是非奇非偶函数．
由－＋kπ<3x－<＋kπ(k∈Z)，
得－＋所以f(x)＝2tan的增区间为
，k∈Z.第1章
三角函数
1.2
任意角的三角函数
1.2.2
同角三角函数关系
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知α∈，且sin
α＝，则tan
α＝( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：由sin
α＝，α∈得
cos
α＝－＝－，所以tan
α＝＝－.
答案：B
2．sin2α＋cos4α＋sin2α
cos2α的化简结果是( )
A.
B.
C.
D．1
解析：sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.
答案：
D
3．已知tan
α＝，且0≤α≤π，则sin
α·cos
α的值为( )
A．±
B.
C.
D．±
解析：＝＝.
答案：B
4．若α∈[0，2π)，且有＋＝sin
α－cos
α，则角α的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为＋＝sin
α－cos
α，
所以sin
α≥0，且cos
α≤0.
又α∈[0，2π)，所以α∈.
答案：B
5．若sin
θ＝，cos
θ＝，则m的值为( )
A．0
B．8
C．0或8
D．3解析：由sin2θ＋cos2θ＝1得＋＝1，
解得m＝0或8.
答案：C
6．化简－的结果为________．
解析：－＝＝
＝＝－2tan2α.
答案：－2tan2α
7．若＝10，则tan
α的值为________．
解析：因为＝10，
所以4sin
α－2cos
α＝50cos
α＋30sin
α.
所以26sin
α＝－52cos
α，即sin
α＝－2cos
α.
所以tan
α＝－2.
答案：－2
8．若A为△ABC的一个内角，且sin
A＋cos
A＝，则△ABC的形状为________三角形．
解析：因为sin
A＋cos
A＝，则(sin
A＋cos
A)2＝.
所以sin
Acos
A＝－<0，则A为钝角．
故△ABC为钝角三角形．
答案：钝角
9．cos
α＋2sin
α＝－，则tan
α＝________．
解析：由
所以tan
α＝＝2.
答案：2
10．化简下列各式：
(1)
＋
；
(2)·.
解：(1)原式＝
＋
＝＋＝.
(2)原式＝·－
＝·＝
·＝
，
所以当x∈时，原式＝4；
当x∈时，原式＝－4.
B级 能力提升
11．若θ是△ABC的一个内角，且sin
θcos
θ＝－，则sin
θ－cos
θ的值为( )
A．－
B.
C．－
D.
解析：由题意知θ∈(0，π)，则sin
θ－cos
θ>0，
所以sin
θ－cos
θ＝＝＝.
答案：D
12．已知α是锐角，且tan
α是方程4x2＋x－3＝0的根，则sin
α＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为方程4x2＋x－3＝0的根为x＝或x＝－1，
又因为tan
α是方程4x2＋x－3＝0的根且α为锐角，
所以tan
α＝.所以cos
α＝sin
α.
代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＋sin2α＝1.
所以sin2α＝(α为锐角)，所以sin
α＝.
答案：B
13．使
＝成立的α的范围是________．
解析：
＝
＝＝，
所以sin
α<0.故2kπ－π<α<2kπ，k∈Z.
答案：{α|2kπ－π<α<2kπ，k∈Z}
14．化简：··.
解：原式＝··＝··sin
α＝··sin
α＝＝tan
α.
15．已知3sin
α－2cos
α＝0，求的值．
解：由3sin
α－2cos
α＝0，得tan
α＝.
＝＝＝.第2章
平面向量
2.4
向量的数量积
A级 基础巩固
1．已知|a|＝3，向量a与b的夹角为，则a在b方向上的投影为( )
A.
B.
C.
D.
解析：向量a在b方向上的投影为
|a|cos
θ＝3×cos
＝.
答案：D
2．
(2014·课标全国Ⅱ卷)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝( )
A．1
B．2
C．3
D．5
解析：因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，
|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，
两式相减得：4a·b＝4，所以a·b＝1.
答案：A
3．(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2，1)，则·＝( )
A．5
B．4
C．3
D．2
解析：由四边形ABCD为平行四边形，
知＝＋＝(3，－1)，
故·＝(2，1)·(3，－1)＝5.
答案：A
4．已知|e1|＝|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，则(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝( )
A．－1
B．1
C．－
D．－
解析：因为|e1|＝|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，
所以(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋7e1·e2－2e＝－6＋－2＝－.
答案：C
5．(2015·福建卷)设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于( )
A．－
B．－
C.
D.
解析：c＝a＋kb＝(1＋k，2＋k)，又b⊥c，
所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－.
答案：A
6．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，4)，且a∥b，则|a－b|＝________．
解析：因为a∥b，所以4＋2x＝0.
所以x＝－2，a－b＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6)．
所以|a－b|＝3.
答案：3
7．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a与b的夹角为60°，则实数m＝________．
解析：因为3a＋mb＋7c＝0，所以3a＋mb＝－7c，
所以(3a＋mb)2＝(－7c)2，
化简得9＋m2＋6m
a·b＝49.
又a·b＝|a||b|cos
60°＝，
所以m2＋3m－40＝0，解得m＝5或m＝－8.
答案：5或－8
8．已知＝(－2，1)，＝(0，2)，且∥，⊥，则点C的坐标是________．
解析：设C(x，y)，
则＝(x＋2，y－1)，＝(x，y－2)，＝(2，1)．
由∥，⊥，得
解得
所以点C的坐标为(－2，6)．
答案：(－2，6)
9．已知|a|＝1，|b|＝.
(1)若a∥b且同向，求a·b；
(2)若向量a·b的夹角为135°，求|a＋b|.
解：(1)若a∥b且同向则a与b夹角为0°，
此时a·b＝|a||b|＝.
(2)|a＋b|＝＝＝
＝1.
10．设平面三点A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)．
(1)试求向量2＋的模；
(2)若向量与的夹角为θ，求cos
θ.
解：(1)因为A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，
所以＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，
＝(2，5)－(1，0)＝(1，5)．
所以2＋＝2(－1，1)＋(1，5)＝(－1，7)．
所以|2＋|＝
＝5.
(2)由(1)知＝(－1，1)，＝(1，5)，
所以cos
θ＝＝.
B级 能力提升
11．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1，2)，B(4，1)，C(0，－1)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．以上均不正确
解析：＝(－1，－3)，＝(3，－1)．
因为·＝－3＋3＝0，所以AC⊥AB.
又因为||＝，||＝，所以AC＝AB.
所以△ABC为等腰直角三角形．
答案：C
12.如图所示，△ABC中∠C＝90°且AC＝BC＝4，点M满足＝3，则·＝________．
解析：·＝·＝·＝(－)·＝＝4.
答案：4
13．(2014·湖北卷)设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．
解析：由题意得，(a＋λb)·(a－λb)＝0，
则a2－λ2b2＝18－2λ2＝0，解得λ＝±3.
答案：±3
14．已知向量a＝(2，0)，b＝(1，4)．
(1)求|a＋b|的值；
(2)若向量ka＋b与a＋2b平行，求k的值；
(3)若向量ka＋b与a＋2b的夹角为锐角，求k的取值范围．
解：(1)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，
所以a＋b＝(3，4)．
则|a＋b|＝5.
(2)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，
所以ka＋b＝(2k＋1，4)，a＋2b＝(4，8)．
因为向量ka＋b与a＋2b平行，
所以8(2k＋1)＝16，则k＝.
(3)因为a＝(2，
0)，b＝(1，4)，
所以k
a＋b＝(2k＋1，4)，a＋2b＝(4，8)．
因为向量k
a＋b与a＋2b的夹角为锐角，
所以
解得k>－或k≠.
15．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|3a－b|＝.
(1)求|a＋3b|的值；
(2)求3a－b与a＋3b夹角的正弦值．
解：(1)由|3a－b|＝，得(3a－b)2＝5，
所以9a2－6a·b－b2＝5.
因为a2＝|a|2＝1，b2＝|b2|＝1，
所以9－6a·b＋1＝5.
所以a·b＝.
所以(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6×＋9×1＝15.
所以|a＋3b|＝.
(2)设3a－b与a＋3b的夹角为θ.
因为(3a－b)·(a＋3b)＝3a2＋8a·b－3b2＝3×1＋8×－3×1＝，
所以cos
θ＝＝＝.
因为0°≤θ
≤180°，
所以sin
θ＝＝
＝.
所以3a－b与a＋3b夹角的正弦值为.第3章
三角恒等变换
3.1
两角和与差的三角函数
3.1.3
两角和与差的正切
A级 基础巩固
1．若tan
α＝3，tan
β＝，则tan
(α－β
)等于( )
A.
B．－
C．3
D．－3
解析：tan(α－β
)＝＝＝.
答案：A
2．(2015·重庆卷)若tan
α＝，tan(α＋β)＝，则tan
β＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：tan
β＝tan[(α＋β)－α]＝＝.
答案：A
3．若A，B为锐角三角形的两个锐角，则tan
Atan
B的值( )
A．不大于1
B．小于1
C．等于1
D．大于1
解析：因为所以由tan(A＋B)＝<0.
所以1－tan
Atan
B<0，即tan
Atan
B>1.
答案：D
4．若tan
α＝2，则tan＝________．
解析：因为tan
α＝2，
所以tan＝＝＝－3.
答案：－3
5．已知tan
α＝，tan(α－β)＝－，则tan(β－2α)的值是_______．
解析：tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan[(α－β)＋α]＝
－＝－＝－.
答案：－
6．已知tan
α＝(1＋m)，(tan
αtan
β＋m)＋tan
β＝0，且α，β都是锐角，则α＋β＝________．
解析：tan
α·tan
β＝＝－m－tan
β.
tan(α＋β)＝＝＝，
又因为α，β为锐角，所以α＋β＝.
答案：
7．求值：tan
18°＋tan
42°＋tan
18°tan
42°.
解：由tan(42°＋18°)＝tan
60°＝，
得tan
42°＋tan
18°＝tan
60°(1－tan
42°tan
18°)，
即tan
42°＋tan
18°＝－tan
18°tan
42°.代入原式，
得tan
18°＋tan
42°＋tan
18°tan
42°＝.
8.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解：(1)由条件知cos
α＝，cos
β＝，
因α为锐角，故sin
α>0.
从而sin
α＝＝.
同理可得sin
β＝.
因此tan
α＝7，tan
β＝.
所以tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝－1.
又0<α<，0<β<，故0<α＋2β<.
从而由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝.
B级 能力提升
9．若tan(α＋β)＝，则tan＝，则tan＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：tan＝tan＝
＝＝.
答案：C
10．计算＝________．
解析：原式＝＝tan(45°－15°)＝.
答案：
11．已知sin＝，cos＝－，且α－为第二象限角，－β为第三象限角，求tan的值．
解：因为sin＝，且α－为第二象限角，
所以cos＝－.所以tan＝－.
又因为cos＝－，－β为第三象限角，
所以sin＝－，tan＝，
tan＝tan＝
＝＝－.
12．已知A＋B＝45°，求证：(1＋tan
A)(1＋tan
B)＝2
(A，B≠k·180°＋90°，k∈Z)，并应用此结论求(1＋tan
1°)(1＋tan
2°)
(1＋tan
3°)…(1＋tan
44°)的值．
证明：因为A＋B＝45°，且A，B≠k·180°＋90°，k∈Z，
所以(1＋tan
A)(1＋tan
B)＝1＋tan
A＋tan
B＋tan
Atan
B＝1＋tan(A＋B)(1－tan
Atan
B)＋tan
Atan
B＝2.
所以(1＋tan
1°)(1＋tan
44°)＝2，
(1＋tan
2°)(1＋tan
43°)＝2，
…
(1＋tan
22°)(1＋tan
23°)＝2.
所以(1＋tan
1°)(1＋tan
2°)(1＋tan
3°)…(1＋tan
44°)＝222.第2章
平面向量
2.3
向量的坐标表示
2.3.1
平面向量基本定理
A级 基础巩固
1．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是( )
A．不共线
B．共线
C．相等
D．不确定
解析：因为a＋b＝3e1－e2，且c＝6e1－2e2，
所以c＝2(a＋b)．所以a＋b与c共线．
答案：B
2．已知AD是△ABC的BC边上的中线，若＝a，＝b，则＝( )
A.(a－b)
B．－(a－b)
C．－(a＋b)
D.
(a＋b)
解析：如图所示，
因为＝＋＝2，
所以＝(a＋b)．
答案：D
3．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列说法正确的是( )
A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B．对空间任意向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内，λ1，λ2∈R
D．对于平面α内任意向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
解：B错，这样的a只能与e1，e2在同一平面内，不能是空间任一向量；C错，在平面α内任意向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D错，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是有无数对．
答案：A
4．已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有＝＋λ，则λ＝( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：因为A，B，D三点共线，
所以存在实数t，使＝t，则－＝t(－)．
所以＝＋t(－)＝(1－t)＋t.
所以解之得λ＝－.
答案：C
5．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________．
解析：因为a，b是一组基底，所以a与b不共线．
因为(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
所以解得所以x－y＝3.
答案：3
6．如果3e1＋4e2＝a，2e1＋3e2＝b，其中a，b为已知向量，则e1＝________，e2＝________．
解析：由解得
答案：3a－4b 3b－2a
7．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λ
e2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为___________．
解析：若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．
a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠k
b即得λ≠4.
答案：(－∞，4)∪(4，＋∞)
8．△ABC中，＝，EF∥BC，交AC于点F.设＝a，＝b，试用a，b表示.
解：依题意作图，如图所示．
因为＝，EF∥BC，
所以＝.
所以＝＋＝＋＝－＋(－)＝－＋＝－a＋b.
9．向量，，的终点A，B，C在一条直线上，且＝－3，设＝p，＝q，＝r，则以下等式成立的是( )
A．r＝－p＋q
B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q
D．r＝－q＋2q
解析：由＝－3，得－＝－3(－)，
2＝－＋3，＝－＋，
即r＝－p＋q.
答案：A
10.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
解析：设＝a，＝b，则＝(＋)＝a＋b，又＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ＝a＋b.
根据平面向量基本定理得消去λ，
得m＋n＝2.
答案：2
B级 能力提升
11．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用a，b表示c.
解：设c＝x
a＋y
b，
则7e1－4e2＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2.
由平面向量基本定理知
解得所以c＝a－2b.
12.如图所示，在△OAB中，＝a，＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且＝a，＝b，设与相交于点P，用向量a，b表示.
解：因为＝＋，＝＋，设＝m，
＝n，则＝＋m＝a＋m＝
(1－m)a＋mb.
＝＋n＝b＋n＝(1－n)b＋n
a.
因为a，b不共线，
所以 n＝，m＝.
所以＝a＋b.第1章
三角函数
1.2
任意角的三角函数
1.2.3
诱导公式
A级 基础巩固
一、选择题
1．若sin(π＋α)＝－，则sin(4π－α)的值是( )
A. B．－ C．－
D.
解析：因为sin(π＋α)＝－＝－sin
α，
所以sin
α＝，sin(4π－α)＝－sin
α＝－.
答案：B
2．下列各式不正确的是( )
A．sin(α＋180°)＝－sin
α
B．cos(－α＋β)＝－cos(α－β)
C．sin(－α－360°)＝－sin
α
D．cos(－α－β)＝cos(α＋β)
解析：cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B项错误．
答案：B
3．已知sin＝，则cos
α＝( )
A．－
B．－
C.
D.
解析：因为sin＝sin＝cos
α，
所以cos
α＝sin＝.
答案：C
4．设tan(5π＋α)＝m，则的值等于( )
A.
B.
C．－1
D．1
解析：因为tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]＝tan
α.
所以tan
α＝m.
所以原式＝＝＝＝
.
答案：A
5．若sin
(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为( )
A．－m
B.m
C．－m
D.m
解析：因为sin(π＋α)＋cos＝－m，
所以－sin
α－sin
α＝－m，则sin
α＝.
则cos＋2sin(2π－α)＝－sin
α－2sin
α＝－3sin
α＝－m.
答案：C
6．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)＝________．
解析：由sin(π＋α)＝－sin
α，得sin
α＝－.
故cos(α－2π)＝cos
α＝＝
＝.
答案：
7．已知tan
α＝，且α为第一象限角，则sin(π＋α)＋cos(π－α)＝________．
解析：因为tanα＝，α为第一象限角，
所以sin
α＝，cos
α＝.
所以sin(π＋α)＋cos(π－α)＝－sin
α－cosα＝－.
答案：－
8．在△ABC中，若cos(A＋B)>0，sin
C＝，则tan
C等于_______．
解析：在△ABC中，因为cos(A＋B)>0，
所以0所以角C是钝角．所以cos
C＝－＝－.
所以tan
C＝＝＝－.
答案：－.
9．计算下列各式的值：
(1)cos
＋cos
＋cos
＋cos
；
(2)sin
420°cos
330°＋sin(－690°)cos(－660°)．
解：(1)原式＝＋＝＋＝＋＝0.
(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋
30°)cos(－2×360°＋60°)＝sin
60°cos
30°＋sin
30°cos
60°＝×＋×＝1.
10．已知cos
α＝－，且α为第三象限角．
(1)求sin
α的值；
(2)求f(α)＝的值．
解：(1)因为cos
α＝－，且α为第三象限角，
所以sin
α＝－＝－
＝－.
(2)f(α)＝＝tan
αsin
α＝·sin
α＝＝－.
B级 能力提升
11．若cos
165°＝a，则tan
195°＝( )
A.
B．－
C.
D.
解析：cos
165°＝cos(180°－15°)＝－cos
15°＝a，
故cos
15°＝－a(a<0)，得sin
15°＝，
tan
195°＝tan(180°＋15°)＝tan
15°＝.
答案：B
12．设φ(x)＝sin2＋cos2＋tan(19π－x)，则φ＝________．
解析：因为φ(x)＝cos2x＋sin2x－tan
x＝1－tan
x，
所以φ＝1－tan＝1－.
答案：1－
13．已知sin(α＋π)＝，且sin
αcos
α<0，求
的值．
解：因为sin(α＋π)＝，所以sin
α＝－.
又因为sin
αcos
α<0.
所以cos
α>0，cos
α＝＝，
所以tan
α＝－.
所以原式＝＝＝－.
14．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan
β＝0.
证明：因为sin(α＋β)＝1，
所以α＋β＝2kπ＋(k∈Z)．
所以α＝2kπ＋－β(k∈Z)．
tan(2α＋β)＋tan
β＝tan＋tan
β＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tan
β＝tan(4kπ＋π－β)＋tan
β＝tan(π－β)＋tan
β＝－tan
β＋tan
β＝0.
所以tan(2α＋β)＋tan
β＝0得证．
15．已知sin
α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求的值．
解：因为5x2－7x－6＝0的两根为x＝2或x＝－，
所以sin
α＝－.
又因为α为第三象限角，
所以cos
α＝－＝－，所以tan
α＝.
所以原式＝＝tan
α＝.第2章
平面向量
2.2
向量的线性运算
2.2.1
向量的加法
A级 基础巩固
1．下列等式错误的是( )
A．a＋0＝a
B．a＋b＝b＋a
C．a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c
D.＋＝2
解析：根据运算律知，选项A、B、C显然正确，对于选项D，应为＋＝0.故D项错误．
答案：D
2．如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，
O是AC与BD的交点，则＋＋＝( )
A.
B．－
C.
D.
解析：＋＋＝＋＝＝－.
答案：B
3．在四边形ABCD中，若＝＋，则( )
A．四边形ABCD为矩形
B．四边形ABCD是菱形
C．四边形ABCD是正方形
D．四边形ABCD是平行四边形
解析：由向量加减法的平行四边形法则知四边形ABCD是平行四边形．
答案：D
4．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a方向相同
B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同
D．与向量b方向相反
解析：a∥b且|a|>|b|>0，所以当a，b同向时，a＋b的方向与a相同，当a，b反向时，因为|a|>|b|，所以a＋b的方向仍与a相同．
答案：A
5．在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是( )
A.＋＝
B.＋＝
C.＋＝
D.－＝
解析：由向量加减法法则知＋＝，＋＝，C项只有四边形ABCD是平行四边形时才成立.－＝.
答案：B
6．在△ABC中，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c＝________．
解析：由向量加法的三角形法则，得＋＝，
则a＋b＋c＝＋＋＝0.
答案：0
7.＋＋＋＋＝__________．
答案：0
8．已知△ABC是正三角形，则在下列各等式中不成立的是( )
A．|＋|＝|＋|
B．|＋|＝|＋|
C．|＋|＝|＋|
D．|＋＋|＝|＋＋|
解析：如图所示，作出正三角形ABC，AD，CE分别是三角形的中线，利用平行四边形法则：
|＋|＝2||，|＋|＝2||.
又因为△ABC为正三角形，
所以||＝||.故C项正确．A、D两项直接利用三角形法则判断也是正确的，只有B项不正确．
答案：B
9.如图所示，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°.则在下列各结论中，正确的结论个数为________．
①|＋|＝||
②|＋|＝||
③|＋|＝||
④||2＋||2＝||2
解析：以，为邻边作平行四边形ABDC，则ABDC为矩形，而矩形的对角线相等，故①③均正确，另外两个可直接求解也是正确的．
答案：4个
10．化简：(1)＋；
(2)＋＋.
解：(1)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝＋＋＝(＋)＋＝＋＝0.
B级 能力提升
11．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________．
解析：＋＝，
在菱形ABCD中，||＝||＝1，又∠DAB＝60°，
所以△ABD为等边三角形．所以||＝1.
答案：1
12.如图所示，用两根绳子把重为10
N的物体W吊在水平杆AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．
解：设，分别表示A，B处所受的力，
10
N的重力用表示，
则＋＝(如图所示)．
因为∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°，
所以||＝||cos
30°＝10×＝5(N)，
||＝||cos
60°＝10×＝5(N)．
故A和B处所受力的大小分别为5
N，5
N.
13.如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，P为平面内任意一点，求证：＋＋＋＝4.
证明：＝＋，①
＝＋，②
＝＋，③
＝＋，④
因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，
所以＝＝－，＝＝－.
①＋②＋③＋④，得4＝＋＋＋＋(＋)＋(＋)＝＋＋＋＋00，
所以＋＋＋＝4.