【苏教版】2017-2018学年高中数学必修4学案（31份打包，Word版，含解析）

2.4　向量的数量积
第1课时　数量积的定义
1．了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念．(易错点)
2．理解平面向量数量积的含义及其几何意义．(重点)
3．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　向量的数量积
阅读教材P83的有关内容，完成下列问题．
　已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos
θ叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos
θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
已知|a|＝3，|b|＝6，则
(1)若a与b夹角为0°，则a·b＝________；
(2)若a与b的夹角为60°，则a·b＝________；
(3)若a与b的夹角为90°，则a·b＝________.
【解析】　(1)若a∥b，则a与b的夹角为0°，
∴a·b＝|a||b|cos
0°＝|a||b|＝18.
(2)a·b＝|a||b|cos
60°＝3×6×＝＝9.
(3)a·b＝|a||b|cos
90°＝3×6×0＝0.
【答案】　(1)18　(2)9　(3)0
教材整理2　两个向量的夹角
阅读教材P83的有关内容，完成下列问题．
1．定义：已知两个非零向量a，b，如图2 4 1所示．作＝a，＝b，则∠AOB称为向量a与b的夹角．
图2 4 1
2．范围：0°≤θ≤180°.
3．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．
4．当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.
试指出图2 4 2中向量的夹角，
图①中向量与的夹角________；
图②中向量与的夹角________；
图③中向量与的夹角________；
图④中向量与的夹角________．
图2 4 2
【答案】　θ　0°　180°　θ
教材整理3　向量的数量积的运算律及性质
阅读教材P84及P85链接完成下列问题．
1．向量数量积的运算律：已知向量a，b，c和实数λ.
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
2．数量积的性质：
(1)a·a＝|a|2或|a|＝；
(2)|a·b|≤|a||b|；
(3)a⊥b a·b＝0.
3．数量积的几何意义：
a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos
θ的乘积．
已知|a|＝3，|b|＝5，a与b的夹角为45°，则a在b上的投影为________；b与a上的投影为________．
【解析】　a在b上的投影为|a|cos
45°＝3×＝；
b在a上的投影为|b|cos
45°＝5×＝.
【答案】　　
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：　
[小组合作型]
向量数量积的运算及几何意义
　已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：
(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．
【精彩点拨】　借助数量积的定义及运算律求解(1)(2)(3)．
【自主解答】　(1)a·b＝|a||b|cos
120°＝2×3×＝－3.
(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.
(3)(2a－b)(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2
＝2|a|2＋5|a||b|cos
120°－3|b|2
＝8－15－27
＝－34.
1．求平面向量数量积的步骤：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|cos
θ.要特别注意书写时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．
2．较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．
[再练一题]
1．已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)·；(2)·；
(3)·.
【解】　(1)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos
60°＝1×1×＝.
(2)∵与的夹角为120°，
∴·＝||||cos
120°
＝1×1×＝－.
(3)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos
60°＝1×1×＝.
求向量的模
　已知向量＝a，＝b，∠AOB＝60°，且|a|＝|b|＝4.求|a＋b|，|a－b|，|3a＋b|.
【精彩点拨】　根据已知条件将向量的模利用|a|＝转化为数量积的运算求解．
【自主解答】　∵a·b＝|a|·|b|cos∠AOB＝4×4×＝8，
∴|a＋b|＝＝
＝＝4，
|a－b|＝＝
＝＝4，
|3a＋b|＝＝
＝＝4.
1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
2．一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．
[再练一题]
2．已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，则|b|＝________.
【解析】　因为|2a＋b|＝，
所以(2a＋b)2＝10，
所以4a2＋4a·b＋b2＝10，
又因为向量a与b的夹角为45°，且|a|＝1，
所以4|a|2＋4|a||b|cos
45°＋|b|2＝10，故4×12＋4×1×|b|×＋|b|2＝10，
整理得|b|2＋2|b|－6＝0，
解得|b|＝或|b|＝－3(舍去)，故|b|＝.
【答案】　
求向量的夹角
　已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
【精彩点拨】　解答本题可由已知中两个条件的垂直得到两个等式，从而得到a，b之间的关系，再由cos
θ＝求得夹角．
【自主解答】　由已知，得(a＋3b)·(7a－5b)＝0，
即7a2＋16a·b－15b2＝0，①
(a－4b)·(7a－2b)＝0，
即7a2－30a·b＋8b2＝0，②
①②两式相减，得2a·b＝b2，
∴a·b＝b2，
代入①②中任一式，得a2＝b2，
设a，b的夹角为θ，
则cos
θ＝＝＝，
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
1．求向量a，b夹角的流程图：
→→→
2．若两非零向量a，b的夹角为锐角 a·b＞0且a·b≠|a||b|；两非零向量a，b的夹角为钝角 a·b＜0且a·b≠－|a||b|.
[再练一题]
3．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角θ.
【解】　∵e1，e2为单位向量且夹角为60°，
∴e1·e2＝1×1×cos
60°＝.
∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)
＝－2－e1·e2＋1＝－2－＋1＝－，
|a|＝＝＝＝，
|b|＝＝
＝＝，
∴cos
θ＝＝－×＝－.
又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.
[探究共研型]
数量积的几何意义
探究1　设非零向量a，b，试用数量积“a·b”及|a|，|b|表示a在b上的投影．
【提示】　a在b上的投影为|a|cos
θ，
又cos
θ＝，∴|a|cos
θ＝.
探究2　数量积a·b＝|a||b|cos
θ的几何意义是什么？
【提示】　数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos
θ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影|a|cos
θ的乘积．
　已知a·b＝－9，a在b方向上的投影为－3，b在a方向上的投影为－，求a与b的夹角θ.
【导学号：06460060】
【精彩点拨】　分别列出a在b方向上的投影和b在a方向上的投影，解方程组便可．
【自主解答】　由题意可知
∴|a|＝6，|b|＝3，
∴cos
θ＝＝＝－，
又0≤θ≤π，∴θ＝.
1．投影是个数量，可正、可负、可为零．
2．计算投影时要分清“谁是投影线”，即a在b上的投影为|a|cos
θ＝；b在a上的投影为|b|cos
θ＝.
[再练一题]
4．在△ABC中，已知||＝5，||＝4，||＝3，求：
(1)·；
(2)在方向上的投影；
(3)在方向上的投影．
【解】　∵||＝5，||＝4，||＝3，
∴△ABC为直角三角形，且C＝90°，
∴cos
A＝＝，cos
B＝＝.
(1)·＝－·＝－5×4×＝－16；
(2)||·cos〈，〉＝＝＝；
(3)||·cos〈，〉＝＝
＝＝－4.
[构建·体系]
1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝________.
【解析】　m·n＝|m||n|cos
135°＝4×6×＝－12.
【答案】　－12
2．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在b方向上的投影为________．
【解析】　|a|cos
θ＝＝.
【答案】　
3．设|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝______.
【解析】　(a＋λb)·(a－λb)＝a2－λ2b2＝9－25λ2＝0，
∴λ＝±.
【答案】　±
4．下面给出的关系式中正确的有________．
①0·a＝0；
②a·b＝b·a；
③a2＝|a|2；
④a·b≤|a||b|；
⑤(a·b)2＝a2·b2.
【解析】　①②③正确；④|a|·|b|≥a·b，⑤(a·b)2＝a2·b2·cos2θ.
【答案】　①②③④
5．已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|.
【导学号：06460061】
【解】　(1)∵(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝，|a|＝1，
∴b2＝a2－＝1－＝，∴|b|＝，
∴cos
θ＝＝＝，又θ∈[0，π]，
∴θ＝，故a与b的夹角为.
(2)|a＋b|＝＝＝.
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评(二十一)　数量积的定义
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．e1，e2是两个平行的单位向量，则e1·e2＝________.
【解析】　∵e1∥e2，∴e1，e2的夹角为0°或180°，∴e1·e2＝|e1||e2|cos
θ＝±1.
【答案】　±1
2．已知|a|＝8，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则向量b在a方向上的投影为________．
【解析】　∵|a|＝8，|b|＝4，b在a方向上的投影为|b|cos
120°＝4×cos
120°＝4×＝－2.
【答案】　－2
3．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角θ为120°，则a·a＋a·b＝________.
【解析】　∵|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，
∴a·b＝|a||b|cos
120°＝－.
又a·a＝|a|2＝1，
∴a·a＋a·b＝1－＝.
【答案】　
4．在△ABC中，||＝13，||＝5，||＝12，则·的值是________．
【解析】　∵||＝13，||＝5，||＝12，
∴||2＝||2＋||2，
∴△ABC为直角三角形．
又cos∠ABC＝，
∴·＝||||cos(π－∠ABC)
＝13×5×
＝－25.
【答案】　－25
5．若向量|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|＝________.
【解析】　∵|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，∴a2－2a·b＋b2＝4，即|a|2－2a·b＋|b|2＝4，
得1－2a·b＋4＝4，∴2a·b＝1.于是|a＋b|＝＝＝＝.
【答案】　
6．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝________.
【解析】　∵|a＋b|＝，|a－b|＝，
∴
①－②得a·b＝1.
【答案】　1
7．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a－4b的模为________．
【导学号：06460062】
【解析】　∵|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，∴a·b＝2×1×cos
60°＝1，
∴|a－4b|＝
＝
＝
＝2.
【答案】　2
8．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________.
【解析】　由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos
，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.
【答案】　－8或5
二、解答题
9．(2016·南通高一检测)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求|a＋b|；
(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．
【解】　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，
∴|a＋b|＝
＝＝.
(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，
∴向量a在向量a＋b方向上的投影为＝＝.
10．已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角？
【解】　∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)
＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2
＝2k＞0，∴k＞0.
但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去．
综上，k的取值范围为k＞0且k≠1.
[能力提升]
1．(2016·镇江高一检测)定义：|a×b|＝|a|·|b|·sin
θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于________．
【解析】　由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cos
θ＝－，sin
θ＝，
∴|a×b|＝|a|·|b|·sin
θ＝2×5×＝8.
【答案】　8
2．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为________．
【解析】　∵(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝0，
∴a·b＝－|b|2，设a与b的夹角为θ，
∴cos
θ＝＝＝－，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝120°.
【答案】　120°
3．(2016·苏州高一检测)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
【解析】　设||＝x(x＞0)，则·＝x，
所以·＝(＋)·＝1－x2＋x＝1，解得x＝，即AB的长为.
【答案】　
4．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|＞1(k∈R)，求k的取值范围．
【解】　(1)证明：∵|a|＝|b|
＝|c|＝1且a，b，c之间的夹角均为120°，
∴(a－b)·c＝a·c－b·c
＝|a||c|cos
120°－|b||c|cos
120°＝0，∴(a－b)⊥c.
(2)∵|ka＋b＋c|＞1，∴(ka＋b＋c)·(ka＋b＋c)＞1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c＞1.
∵a·c＝a·b＝b·c＝cos
120°＝－，
∴k2－2k＞0，解得k＜0或k＞2.
即k的取值范围是k＜0或k＞2.2.2　向量的线性运算
2.2.1　向量的加法
1．理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义．(重点)
2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算．(重点、易错点)
3．了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　向量的加法
阅读教材P63第1,2自然段及P64思考前的有关内容，完成下列问题．
1．向量加法的定义
求两个向量和的运算叫做向量的加法．
图2 2 1
2．向量加法的运算法则
(1)三角形法则：
已知向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.
图2 2 2
(2)平行四边形法则：
已知两个不共线的非零向量a，b，作＝a，＝b，以OA，OC为邻边作 OABC，则以O为起点的对角线上的向量＝a＋b，如图．这个法则叫做向量加法的平行四边形法则．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量相加就是两个向量的模相加．(　　)
(2)两个向量相加，结果有可能是个数量．(　　)
(3)向量加法的平行四边形法则适合任何两个向量相加．(　　)
【解析】　(1)错误，向量相加，结果仍是一个向量；(2)错误，向量相加与向量长度、方向都有关；(3)错误，向量加法的平行四边形法则适合有相同起点的向量相加．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×
教材整理2　向量加法的运算律
阅读教材P63，完成下列问题．
(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
(3)a＋00a＝a.
(4)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
1．化简：＋＋＋＝________.
【解析】　(＋)＋＋
＝(＋)＋
＝＋
＝
【答案】　
2.＋＋＝________.
【解析】　＋＋＝＋＝0.
【答案】　0
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：　
[小组合作型]
向量的加法运算
　(1)在正六边形ABCDEF中，＝a，＝b，则＝________，＝________，＝________.
(2)＋＋＋＋＝________.
【精彩点拨】　(1)结合正六边形的性质及向量的平行四边形法则求解．
(2)由向量加法的三角形法则求解．
【自主解答】　(1)如图，连结FC交AD于点O，连结OB，由平面几何知识得四边形ABOF，四边形ABCO均为平行四边形．
根据向量的平行四边形法则，有＝＋＝a＋b.
在平行四边形ABCO中，＝＋＝a＋a＋b＝2a＋b.＝2＝2a＋2b.
而＝＝a＋b，
由三角形法则得：＝＋＝b＋a＋b＝a＋2b.
(2)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝0.
【答案】　(1)2a＋b　2a＋2b　a＋2b　(2)0
1．解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.
2．运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．
[再练一题]
1．四边形ABCD是边长为1的正方形，＝a，＝b，＝c，作向量a＋b＋c，并求|a＋b＋c|.
【导学号：06460042】
【解】　如图，延长AC到E，使AC＝CE，则＝，
∴a＋b＋c＝＋＋＝，
即为所求作的向量．
∵四边形ABCD是边长为1的正方形，∴||＝，
∴||＝2||＝2.
故|a＋b＋c|＝2.
利用向量证明几何问题
　在 ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上，取点F，E，使BE＝DF(如图2 2 3)．用向量的方法证明：四边形AECF也是平行四边形．
图2 2 3
【精彩点拨】　要证AECF是平行四边形，只要证＝.
【自主解答】　因为＝＋，＝＋，
又因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝.
因为FD＝BE，且与的方向相同，所以＝.
所以＋＝＋，即＝，所以AE与FC平行且相等，所以四边形AECF是平行四边形．
用向量证明几何问题的一般步骤：
1 要把几何问题中的边转化成相应的向量；
2 通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系.
[再练一题]
2．已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且＝，＝D，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【证明】　如图，
＝＋，＝＋，
又∵＝，＝，
∴＝.
即AB∥CD，且||＝||，
∴四边形ABCD是平行四边形．
[探究共研型]
向量加法在实际问题中的应用
探究1　速度、位移等物理量是向量吗？为什么？
【提示】　是向量．因为它们既有大小，又有方向，具有向量的两个要素．
探究2　利用向量加法解决实际问题的关键是什么？
【提示】　关键是把实际问题向量模型化，并借助向量加法知识解决实际问题．
　已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10
km/h，问：
(1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？
(2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东30°有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流)
【精彩点拨】　(1)结合向量共线知识求解；
(2)借助三角形的边角关系求解．
【自主解答】　(1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20
km/h；小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0
km/h，此时小船是静止的．
(2)如图所示，设表示水流的速度，表示小船实际过河的速度．
设MC⊥MA，
||＝||＝10，∠CMN＝30°.
∵＋＝，
∴四边形MANB为菱形．
则∠AMN＝60°，
∴△AMN为等边三角形．
在△MNB中，||＝||＝||＝10，∴∠BMN＝60°，而∠CMN＝30°，∴∠CMB＝30°，
所以小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西30°.
解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际问题→转化为数学问题→正确画出示意图→用向量表示实际量→向量运算→回扣实际问题—作出解答.
[再练一题]
3．小雨滴在无风时以4
m/s的速度匀速下落．一阵风吹来，使得小雨滴以3
m/s的速度向东移动．那么小雨滴将以多大的速度落地？方向如何？(提示：tan
37°＝)
【解】　如图，设表示小雨滴无风时下落的速度，表示风的速度，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则就是小雨滴实际飞行的速度．
在Rt△OAC中，||＝4
m/s，||＝3
m/s，
所以||＝＝5
m/s.
且tan∠AOC＝＝，即∠AOC≈37°.
所以小雨滴实际飞行速度为5
m/s，方向约为南偏东37°.
[构建·体系]
1．在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b＝________.
【解析】　a＋b＝＋＝.
【答案】　
2．如图2 2 4所示，在平行四边形ABCD中，＋＋＝________.(填序号)
图2 2 4
①；②；③；④.
【解析】　∵四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，
∴＋＋＝＋＋＝＋＝.
【答案】　③
3．在四边形中，若＝＋，则四边形ABCD一定是________．
【解析】　结合平行四边形法则可知，ABCD一定是平行四边形．
【答案】　平行四边形
4．设a表示“向东走5
km”，b表示“向南走5
km”，则a＋b表示________.
【导学号：06460043】
【解析】　如图所示，
＝a＋b，||＝5，||＝5，且AB⊥BC，则||＝5，∠BAC＝45°.
【答案】　向东南走5
km
5．如图2 2 5所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.
图2 2 5
求证：＋＝＋.
【证明】　∵＝＋，
＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
又∵BP＝QC且与方向相反，
∴＋＝0，∴＋＝＋，
即＋＝＋.
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评(十五)　向量的加法
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．若a与b是互为相反向量，则a＋b＝________.
【解析】　由题意可知，a＋b＝0.
【答案】　0
2．下列等式不成立的是________．
①0a＝a；②a＋b＝b＋a；
③＋＝2；④＋＝.
【解析】　∵，是互为相反向量，
∴＋＝0，故③错误．
【答案】　③
3．(2016·南通高一检测)在 ABCD中，||＝3，||＝4，则：
(1)||________7(填“＞”“＜”或“≥”“≤”)；
(2)若||＝5，则此四边形为________．
【解析】　(1)三角形两边之和大于第三边；
(2)由||2＋||2＝||2，可知△ABC为直角三角形，所以应填“矩形”．
【答案】　(1)＜　(2)矩形
4．在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是________．
图2 2 6
①＝，＝；
②＋＝；
③＋＝＋；
④＋＋＝.
【解析】　因为＋＝，＋＝，
所以＋＝＋.
【答案】　③
5．设E是平行四边形ABCD外一点，如图2 2 7所示，化简下列各式：
图2 2 7
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________；
(4)＋＋＋＝________.
【解析】　(1)＋＝；
(2)＋＋＝＋＋＝＋＝0；
(3)＋＋＝＋＋＝；
(4)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝.
【答案】　(1)　(2)0　(3)　(4)
6．某人在静水中游泳，速度为4
km/h.如要他向垂直于河对岸的方向游向河对岸，水的流速为4
km/h，他实际沿________方向前进，速度为________．
【解析】　如图所示，∵OB＝4，OA＝4，
∴OC＝8，∴∠COA＝60°.
【答案】　与水流方向成60°
8
km/h(答案不唯一)
7．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，向量||＝1，则|＋|＝________.
【导学号：06460044】
【解析】　在△ABD中，AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，△ABD是等边三角形，则BD＝1，则|＋|＝||＝1.
【答案】　1
8．(2016·苏州高一检测)已知△ABC是正三角形，给出下列等式：
①|＋|＝|＋|；
②|＋|＝|＋|；
③|＋|＝|＋|；
④|＋＋|＝|＋＋|.
其中正确的有________．(写出所有正确等式的序号)
【解析】　＋＝，＋＝，
而||＝||，故①正确；
||≠|＋|，故②不正确；
画图(图略)可知③，④正确．
【答案】　①③④
二、解答题
9．如图2 2 8所示，两个力F1和F2同时作用在一个质点O上，且F1的大小为3
N，F2的大小为4
N，且∠AOB＝90°，试作出F1和F2的合力，并求出合力的大小．
图2 2 8
【解】　如图所示，表示力F1，表示力F2，以OA，OB为邻边作 OACB，
则是力F1和F2的合力．
在△OAC中，||＝3，||＝||＝4，且OA⊥AC，则||＝＝5，
即合力的大小为5
N.
10．已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点．求证：＋＝＋.
【证明】　如图所示，在四边形CDEF中，＋＋＋＝0，
∴＝－－－
＝＋＋.①
在四边形ABFE中，
＋＋＋＝0，∴＝＋＋.②
①＋②得
＋＝＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)．
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴＋＝0，＋＝0，
∴＋＝＋.
[能力提升]
1．(2016·南京高一检测)下列命题中正确命题的个数为________．
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同；
②△ABC中，必有＋＋＝0；
③若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；
④若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
【解析】　①假命题，当a＋b＝0时，命题不成立；②真命题；
③假命题，当A，B，C三点共线时，也可以有＋＋＝0；
④假命题，只有当a与b同向时才相等．
【答案】　1
2．若|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的取值范围是________．
【解析】　当a与b同向时，|a＋b|取最大值13；
当a与b反向时，|a＋b|取最小值3.
【答案】　[3,13]
3．设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的序号是________．
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.
【解析】　∵a＝(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＝0，∴①③⑤正确．
【答案】　①③⑤
4．如图2 2 9所示，∠AOB＝∠BOC＝120°，||＝||＝||，求＋＋.
图2 2 9
【解】　如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，由向量加法的平行四边形法则知＋＝O.
由||＝||，∠AOB＝120°，
知∠BOD＝60°，||＝||.
又∠COB＝120°，且||＝||，
∴＋＝0，
故＋＋＝0.第2课时　向量平行的坐标表示
1．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(重点)
2．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．(重点)
3．掌握三点共线的判断方法．(难点)
[基础·初探]
教材整理　向量平行的坐标表示
阅读教材P79～P81的有关内容，完成下列问题．
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0；反过来，如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b.
1．若a＝(2,3)，b＝(x,6)，且a∥b，则x＝________.
【解析】　∵a∥b，∴2×6－3x＝0，即x＝4.
【答案】　4
2．已知四点A(－2，－3)，B(2,1)，C(1,4)，D(－7，－4)，则与的关系是________．(填“共线”或“不共线”)
【解析】　＝(2,1)－(－2，－3)＝(4,4)，＝(－7，－4)－(1,4)＝(－8，－8)，因为4×(－8)－4×(－8)＝0，所以∥，即与共线．
【答案】　共线
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：　
[小组合作型]
向量平行的判定
　已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)，判断与是否平行？如果平行，它们的方向相同还是相反？
【导学号：06460057】
【精彩点拨】　根据已知条件求出和，然后利用两向量平行的条件判断．
【自主解答】　∵A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)，
∴＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，
＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．
∵(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4＜0，
∴与平行且方向相反．
判定用坐标表示的两向量a＝ x1，y1 ，b＝ x2，y2 是否平行，即判断x1y2－x2y1＝0是否成立，若成立，则平行；否则，不平行.
[再练一题]
1．已知A，B，C三点坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝，＝，求证：∥
.
【证明】　设点E，F的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
依题意有，＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．
∵＝，∴(x1＋1，y1)＝(2,2)，
∴点E的坐标为，
同理点F的坐标为，
∴＝.
又×(－1)－4×＝0，
∴∥.
利用向量共线求参数的值
　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
【精彩点拨】　充分利用向量共线的条件解题．
【自主解答】　法一：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b)．
即(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，
所以解得k＝λ＝－.
当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，
因为λ＝－<0，所以ka＋b与a－3b反向．
法二：由题知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)．
因为ka＋b与a－3b平行，
所以(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，
解得k＝－.
这时ka＋b＝＝－(a－3b)．
所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
1．对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路：一是利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解；二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．
2．利用x1y2－x2y1＝0求解向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．
[再练一题]
2．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，求实数x的值．
【解】　因为a＝(1,1)，b＝(2，x)，
所以a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)，
由a＋b与4b－2a平行，得6(x＋1)－3(4x－2)＝0，解得x＝2.
[探究共研型]
共线向量与定比分点公式
探究1　若点P(x，y)是线段P1P2的中点，且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，试用P1，P2的坐标表示点P的坐标．
【提示】　P，因为＝，
所以(x－x1，y－y1)＝(x2－x1，y2－y1)，
∴x＝，y＝.
探究2　若＝λ，则点P的坐标如何表示？
【提示】　P，推导方法类同于探究1.
　已知两点A(3，－4)，B(－9,2)在直线AB上，求一点P使||＝
||.
【精彩点拨】　分“＝±”两类分别求点P的坐标．
【自主解答】　设点P的坐标为(x，y)，
①若点P在线段AB上，则＝，
∴(x－3，y＋4)＝(－9－x,2－y)，
解得x＝－1，y＝－2，∴P(－1，－2)．
②若点P在线段BA的延长线上，
则＝－，
∴(x－3，y＋4)＝－(－9－x,2－y)，
解得x＝7，y＝－6，∴P(7，－6)．
综上可得点P的坐标为(－1，－2)或(7，－6)．
1．向量具有大小和方向两个要素，因此共线向量模间的关系可以等价转化为向量间的等量关系，但要注意方向性．
2．本例也可以直接套用定比分点公式求解．
[再练一题]
3.如图2 3 18所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．
图2 3 18
【解】　设＝t＝t(4,4)＝(4t,4t)，
则＝－＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，
＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
由，共线的条件知
(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，解得t＝.
∴＝(4t,4t)＝(3,3)，∴P点坐标为(3,3)．
[构建·体系]
1．下列各组向量中，共线的是________．
①a＝(－2,3)，b＝(4,6)；
②a＝(2,3)，b＝(3,2)；
③a＝(1，－2)，b＝(7,14)；
④a＝(－3,2)，b＝(6，－4)．
【解析】　∵在④中，b＝(6，－4)，a＝(－3,2)，
∴b＝－2(－3,2)＝－2a，
∴a与b共线．
【答案】　④
2．已知a＝(－1,2)，b＝(2，y)，若a∥b，则y＝________.
【解析】　∵a∥b，∴＝，∴y＝－4.
【答案】　－4
3．若P1(1,2)，P(3,2)，且＝2，则P2的坐标为________.
【导学号：06460058】
【解析】　设P2(x，y)，则＝(2,0)，
＝(x－3，y－2)，2＝(2x－6,2y－4)．
由＝2可得解得
【答案】　(4,2)
4．下列说法正确的是______________．(填序号)
①存在向量a与任何向量都是平行向量；
②如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则＝；
③如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则x1y2－x2y1＝0；
④如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且＝，则a∥b.
【解析】　①当a是零向量时，零向量与任何向量都是平行向量；②不正确，当y1＝0或y2＝0时，显然不能用＝来表示；③④正确．
【答案】　①③④
5．给定两个向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若a＋2b与2a－2b共线，求λ的值．
【解】　∵a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，
2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，
又a＋2b与2a－2b共线，
∴2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，∴λ＝.
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评(二十)　向量平行的坐标表示
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝________.
【解析】　∵a∥b，∴m＋4＝0，
∴m＝－4，
∴b＝(－2，－4)，
∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)，
＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．
【答案】　(－4，－8)
2．已知a＝(－1，x)与b＝(－x,2)共线，且方向相同，则实数x＝________.
【解析】　设a＝λb，则(－1，x)＝(－λx,2λ)，所以有解得或
又a与b方向相同，则λ＞0，所以λ＝，x＝.
【答案】　
3．若A(－1,2)，B(3,1)，C(－2，m)，三点共线，则m＝________.
【解析】　∵A，B，C三点共线，
＝(4，－1)，＝(－5，m－1)，
∴4(m－1)＝－5×(－1)，
∴m＝.
【答案】　
4．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k＝________.
【解析】　a－c＝(3－k，－6)，b＝(1,3)，
∵(a－c)∥b，∴＝，∴k＝5.
【答案】　5
5．(2016·南通高一检测)若a＝(2cos
α，1)，b＝(sin
α，1)，且a∥b，则tan
α＝________.
【解析】　∵a∥b，∴2cos
α＝sin
α，
∴tan
α＝2.
【答案】　2
6．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)，且与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________.
【解析】　设B(x，y)，则由题意可知
∴
∴＝(4,6)．
又∥a，∴4λ＝6，
∴λ＝.
【答案】　
7．已知向量m＝(2,3)，n＝(－1,2)，若am＋bn与m－2n共线，则等于________.
【导学号：06460059】
【解析】　am＋bn＝(2a,3a)＋(－b,2b)＝(2a－b,3a＋2b)，m－2n＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)，
∵am＋bn与m－2n共线，
∴b－2a－12a－8b＝0，∴＝－.
【答案】　－
8．已知两点M(7,8)，N(1，－6)，P点是线段MN的靠近点M的三等分点，则P点的坐标为________．
【解析】　设P(x，y)，如图：
∴＝3，
∴(－6，－14)＝3(x－7，y－8)，
∴解得
【答案】　
二、解答题
9．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
【解】　(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)∵A，B，C三点共线，
∴＝λ，λ∈R，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴
解得m＝.
10．如图2 3 19所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，求直线AC与BD交点P的坐标．
图2 3 19
【解】　设P(x，y)，则＝(x－1，y)，＝(5,4)，＝(－3,6)，＝(4,0)．
由B，P，D三点共线可得＝λ＝(5λ，4λ)．
又∵＝－＝(5λ－4,4λ)，
由于与共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0，
解之得λ＝，∴＝＝，
∴P的坐标为.
[能力提升]
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，且(a＋λb)∥c，则λ等于________．
【解析】　a＋λb＝(1,2)＋(λ，0)＝(1＋λ，2)，
因为(a＋λb)∥c，所以4(1＋λ)－6＝0，故λ＝.
【答案】　
2．设a＝(6,3a)，b＝(2，x2－2x)，且满足a∥b的实数x存在，则实数a的取值范围是________．
【解析】　a∥b，∴6(x2－2x)－2×3a＝0，即a＝x2－2x，
∴a＝(x－1)2－1≥－1.
【答案】　[－1，＋∞)
3．已知向量＝(1,3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．
【解析】　由A，B，C能构成三角形知，A，B，C三点不共线，
∴与不共线，
∴≠λ(λ为实数)．
∵＝－＝(1，－4)，＝－＝(m，m－5)，
∴(1，－4)≠λ(m，m－5)，
即≠，∴m≠1.
【答案】　m≠1
4．如图2 3 20，在 OABP中，过点P的直线与线段OA，OB分别相交于点M，N，若＝x，＝y(0＜x＜1)．
图2 3 20
(1)求y＝f(x)的解析式；
(2)令F(x)＝＋x，判断F(x)的单调性，并给出你的证明．
【解】　(1)＝＝－，则＝－＝x－y，
＝－＝(－)－x
＝－(1＋x)＋.
又∥，有x－y(1＋x)＝0，
即y＝f(x)＝(0＜x＜1)．
(2)F(x)在(0,1)上单调递减，证明如下：
设0＜x1＜x2＜1，则
F(x1)＝＋x1＝＋x1＋1，F(x2)＝＋x2＋1，
∴F(x2)－F(x1)＝－＋(x2－x1)＝＋x2－x1
＝.
又0＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，x1x2－1＜0，
∴F(x2)－F(x1)＜0，即F(x2)＜F(x1)，
∴F(x)在(0,1)上为减函数.1.2　任意角的三角函数
1.2.1　任意角的三角函数
1．理解三角函数的定义，会使用定义求三角函数值．(重点、易错点)
2．会判断给定角的三角函数值的符号．(重点)
3．会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　任意角三角函数的定义
阅读教材P11～P12第一自然段的有关内容，完成下列问题．
在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝>0)，那么
名称
定义
定义域
正弦
sin
α＝
R
余弦
cos
α＝
R
正切
tan
α＝
sin
α，cos
α，tan
α分别称为正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数．
若角α的终边经过点P，则
sin
α＝________；cos
α＝________；tan
α＝________.
【解析】　由题意可知
|OP|＝＝1，
∴sin
α＝＝－；
cos
α＝＝；
tan
α＝＝－1.
【答案】　－　　－1
教材整理2　三角函数值的符号
阅读教材P12第二自然段的有关内容，完成下列问题．
三角函数在各象限符号：
图1 2 1
(1)若α在第三象限，则sin
αcos
α________0；(填“＞”，“＜”)
(2)若α在第二象限，则sin
αtan
α________0.(填“＞”“＜”)
【解析】　(1)∵α在第三象限，
∴sin
α＜0，cos
α＜0，
∴sin
αcos
α＞0.
(2)∵α在第二象限，
∴sin
α＞0，tan
α＜0.
∴sin
αtan
α＜0.
【答案】　(1)＞　(2)＜
教材整理3　三角函数线
阅读教材P12第三自然段～P14例1以上部分的内容，完成下列问题．
1．有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段．
2．三角函数线
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)α一定时，单位圆的正弦线一定．(　　)
(2)在单位圆中，有相同正弦线的角必相等．(　　)
(3)α与α＋π有相同的正切线．(　　)
【解析】　结合三角函数线可知(1)(3)正确，(2)错误．
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：　
[小组合作型]
三角函数的定义及应用
　在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－2x上，求sin
α，cos
α，tan
α的值．
【精彩点拨】　以α的终边分别在第二、四象限为依据，分别取特殊点求sin
α，cos
α，tan
α的值．
【自主解答】　当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P(－1,2)，则r＝＝，
所以sin
α＝＝，cos
α＝＝－，tan
α＝＝－2.
当α的终边在第四象限时，
在α终边上取一点P′(1，－2)，
则r＝＝，
所以sin
α＝＝－，cos
α＝＝，tan
α＝＝－2.
1．已知角α的终边在直线上的问题，常分两类情况分别计算sin
α，cos
α，tan
α的值．
2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
[再练一题]
1．已知角α的终边上有一点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin
α＋cos
α的值.
【导学号：06460006】
【解】　∵x＝－3a，y＝4a，
∴r＝＝5|a|.
当a＞0时，r＝5a，角α为第二象限角，
∴sin
α＝＝＝，
cos
α＝＝＝－，
∴2sin
α＋cos
α＝2×－＝1.
当a＜0时，r＝－5a，角α为第四象限角，
∴sin
α＝＝＝－，
cos
α＝＝＝，
∴2sin
α＋cos
α＝2×＋＝－1.
三角函数值的符号
　判断下列各式的符号：
(1)α是第四象限角，sin
α·tan
α；
(2)sin
3·cos
4·tan.
【精彩点拨】　先确定各角所在象限，再判定各个三角函数值符号，然后判定三角函数式的符号．
【自主解答】　(1)∵α是第四象限角，
∴sin
α<0，tan
α<0，
∴sin
α·tan
α>0.
(2)
∵<3<π，π<4<，
∴sin
3>0，cos
4<0.
又∵－＝－6π＋，
∴tan>0，
∴sin
3·cos
4·tan<0.
对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理.
[再练一题]
2．确定下列式子的符号：
(1)tan
108°·cos
305°；(2)；
(3)tan
120°·sin
269°.
【解】　(1)∵108°是第二象限角，∴tan
108°＜0.
∵305°是第四象限角，∴cos
305°＞0.
从而tan
108°·cos
305°＜0.
(2)∵是第二象限角，是第四象限角，是第二象限角，
∴cos
＜0，tan＜0，sin
＞0.
从而＞0.
(3)∵120°是第二象限角，∴tan
120°＜0，
∵269°是第三象限角，∴sin
269°＜0.
从而tan
120°sin
269°＞0.
[探究共研型]
应用三角函数线解三角不等式
探究1　在单位圆中，满足sin
α＝的正弦线有几条？试在图中明确．
图1 2 2
【提示】　两条，如图所示，MP1与NP2都等于.
探究2　满足sin
α≥的角的范围是多少？试在上述单位圆中给予明确．
【提示】　如图中阴影部分所示，所求角α的取值范围为α≤α≤2kπ＋，k∈Z.
　求函数f(x)＝＋ln的定义域．
【精彩点拨】　借助单位圆解不等式组
便可．
【自主解答】　由题意，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴.
求三角函数定义域时，一般应转化为求不等式 组 的解的问题.利用数轴或三角函数线是解三角不等式常用的方法.解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围，再取公共部分.
[再练一题]
3．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：
(1)sin
α≥；(2)cos
α≤－.
【解】　(1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为.
(2)作直线x＝－交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为.
[构建·体系]
1．若角α的终边经过点P(－2,2)，则sin
θ＝________.
【解析】　由题意可知，OP＝＝，
∴sin
θ＝＝.
【答案】　
2．若sin
α＜0，tan
α＞0，则α为第________象限角．
【解析】　由sin
α＜0可知α的终边落在第三、四象限及y轴的负半轴上．
由tan
α＞0可知α的终边落在第一、三象限内．
故同时满足sin
α＜0，tan
α＞0的角α为第三象限角．
【答案】　三
3．角α的终边经过点P(－b,4)且cos
α＝－，则b的值为________.
【导学号：06460007】
【解析】　由三角函数的定义可知
＝－，
∴解得b＝3.
【答案】　3
4．利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“＞”或“＜”连接)：
(1)sin
________sin
；
(2)cos
________cos
；
(3)tan
________tan
.
【解析】　借助单位圆中的三角函数线易得sin
＞sin
；cos
＞cos
；tan
＜tan
.
【答案】　(1)＞　(2)＞　(3)＜
5．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin
α，cos
α，tan
α的值．
【解】　∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，r＝＝＝5|t|，
当t＞0时，r＝5t，sin
α＝＝＝－，cos
α＝＝＝，tan
α＝＝＝－.
当t＜0时，r＝－5t，sin
α＝＝＝，cos
α＝＝＝－，tan
α＝＝＝－.
综上可知，sin
α＝－，cos
α＝，tan
α＝－；
或sin
α＝，cos
α＝－，tan
α＝－.
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评(三)　任意角的三角函数
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知sin
α＝，cos
α＝－，则角α终边在第________象限．
【解析】　由sin
α＝＞0得，角α的终边在第一或第二象限；由cos
α＝－＜0得，角α的终边在第二或第三象限，故角α的终边在第二象限．
【答案】　二
2．若角α的终边落在y＝－x上，则tan
α的值为________．
【解析】　设P(a，－a)是角α上任意一点，
若a>0，P点在第四象限，tan
α＝＝－1，
若a<0，P点在第二象限，tan
α＝＝－1.
【答案】　－1
3．有三个结论：①与的正弦线相等；②与的正切线相等；③与的余弦线相等．其中正确的是________．
【解析】　在单位圆中画出相应角的正弦线、正切线，余弦线，分析可知①正确，②正确，③错误．
【答案】　①②
4．在△ABC中，若sin
A·cos
B·tan
C＜0，则△ABC是________三角形．
【解析】　∵A，B，C是△ABC的内角，∴sin
A＞0.
∵sin
A·cos
B·tan
C＜0，∴cos
B·tan
C＜0，
∴cos
B和tan
C中必有一个小于0，
即B，C中必有一个钝角，故△ABC是钝角三角形．
【答案】　钝角
5．(2016·扬州高一检测)如果α的终边过点P(2sin
30°，－2cos
30°)，则sin
α的值等于________．
【解析】　∵P(1，－)，∴r＝＝2，
∴sin
α＝－.
【答案】　－
6．(2016·南通高一检测)在(0,2π)内，使sin
α＞cos
α成立的α的取值范围是________．
【解析】　如图所示，当α∈时，恒有MP＞OM，而当α∈∪时，则是MP＜OM.
【答案】　
7．若α为第二象限角，则－＝________.
【解析】　由已知sin
α>0，cos
α<0，
∴－＝－＝1＋1＝2.
【答案】　2
8．(2016·无锡高一检测)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin
α＞0，cos
α≤0，则α的取值范围是________．
【解析】　因为cos
α≤0，sin
α＞0，所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上．
因为α的终边过点(3a－9，a＋2)，
所以所以－2＜a≤3.
【答案】　(－2,3]
二、解答题
9．判断下列各式的符号：
(1)sin
340°cos
265°；
(2)(θ为第二象限角).
【导学号：06460008】
【解】　(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，
∴sin
340°＜0，cos
265°＜0，
∴sin
340°cos
265°＞0.
(2)∵θ为第二象限角，
∴0＜sin
θ＜1＜，－＜－1＜cos
θ＜0，
∴sin(cos
θ)＜0，cos(sin
θ)＞0，
∴＜0.
10．已知＝－，且lg
cos
α有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin
α的值．
【解】　(1)由＝－可知sin
α＜0，
∴α是第三或第四象限角或终边在y轴的负半轴上的角．
由lg
cos
α有意义可知cos
α＞0，
∴α是第一或第四象限角或终边在x轴的正半轴上的角．
综上可知角α是第四象限的角．
(2)∵|OM|＝1，∴2＋m2＝1，
解得m＝±.
又α是第四象限角，故m＜0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知
sin
α＝＝＝＝－.
[能力提升]
1．(2016·南京高一检测)若α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．(填序号)
①sin
；②cos
；③tan
；④cos
2α.
【解析】　由α为第四象限角，得2kπ＋＜α＜2kπ＋2π(k∈Z)，故kπ＋＜＜kπ＋π(k∈Z)．
当k＝2n(n∈Z)时，∈，
此时，是第二象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，∈，此时，是第四象限角．
故无论落在第二还是第四象限，tan
＜0恒成立．
又4kπ＋3π＜2α＜4kπ＋4π，(k∈Z)．
故cos
2α有可能为正也有可能为负．
【答案】　③
2．若角α的终边与直线y＝3x重合，且sin
α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝，则m－n等于________．
【解析】　由题意得
∴∴m－n＝2.
【答案】　2
3．点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动π弧长到达点Q，则点Q的坐标为________．
【解析】　设Q(cos
α，sin
α)，由＝α·1可知α＝，
所以Q，即Q.
【答案】　
4．已知：cos
α＜0，tan
α＜0.
(1)求角α的集合；
(2)试判断角是第几象限角；
(3)试判断sin
，cos
，tan
的符号．
【解】　(1)因为cos
α＜0，所以角α的终边位于第二或第三象限或x轴负半轴上．因为tan
α＜0，所以角α的终边位于第二或第四象限，所以角α的终边只能位于第二象限．故角α的集合为
.
(2)因为＋2kπ＜α＜π＋2kπ(k∈Z)，
所以＋kπ＜＜＋kπ(k∈Z)．
当k＝2n(n∈Z)时，
＋2nπ＜＜＋2nπ(n∈Z)．
所以是第一象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)，
＋2nπ＜＜＋2nπ(n∈Z)，
所以是第三象限角．
(3)当为第一象限角时，
sin
＞0，cos
＞0，tan
＞0.
当为第三象限角时，
sin
＜0，cos
＜0，tan
＞0.第2课时　三角函数的诱导公式(五～六)
1．能借助单位圆中的三角函数定义推导诱导公式五、六．(难点)
2．掌握六组诱导公式，能灵活运用诱导公式解决三角函数式的求值、化简、证明等问题．(重点)
[基础·初探]
教材整理1　诱导公式五
阅读教材P20的有关内容，完成下列问题．
终边关于直线y＝x对称的角的诱导公式(公式五)：
sin＝cos_α；
cos＝sin_α.
(1)若sin
α＝，则cos＝________；
(2)若cos
α＝，则sin＝________.
【解析】　(1)cos＝sin
α＝.
(2)sin＝cos
α＝.
【答案】　(1)　(2)
教材整理2　诱导公式六
阅读教材P21，完成下列问题．
　＋α型诱导公式(公式六)：
sin＝cos_α；
cos＝－sin_α.
(1)已知sin
α＝，则cos＝________.
(2)已知cos＝，则sin
α＝________.
【解析】　(1)∵sin
α＝，∴cos＝－sin
α＝－.
(2)∵cos＝－sin
α＝，
∴sin
α＝－.
【答案】　(1)－　(2)－
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：　
[小组合作型]
给值求值
　(1)已知sin＝，则cos的值是________．
(2)已知sin＝，则cos的值是______．
(3)已知sin(π＋A)＝－，则cos的值是______．
【精彩点拨】　从已知角和待求角间的关系入手，活用诱导公式求值．
【自主解答】　(1)∵＋＝，
∴＋α＝－，
∴cos＝cos
＝sin＝.
(2)∵sin＝，∴sin＝－.
又∵＋＝，
∴cos＝cos＝sin＝－.
(3)sin(π＋A)＝－sin
A＝－，
cos＝cos
＝－cos＝－sin
A＝－.
【答案】　(1)　(2)－　(3)－
1．给值求值型问题，若已知条件或待求式较复杂，有必要根据诱导公式化到最简，再确定相关的值．
2．巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有－α，＋α；＋α，－α；＋α，－α等．常见的互补关系有＋θ，－θ；＋θ，－θ等．
[再练一题]
1．已知cos＝，求sin的值．
【解】　∵α＋＝＋，
∴sin＝sin
＝cos＝.
利用诱导公式化简求值
　已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限的角，且cos＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
【精彩点拨】　利用诱导公式直接化简得(1)，(3)；结合同角三角函数关系求(2)．
【自主解答】　(1)f(α)＝＝－cos
α.
(2)∵cos＝－sin
α，
∴sin
α＝－，
又α是第三象限的角，
∴cos
α＝－＝－，
∴f(α)＝.
(3)f＝－cos
＝－cos
＝－cos＝－cos
＝－.
用诱导公式化简求值的方法：
1 对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少.?
2 对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名.即“奇变偶不变，符号看象限”.
[再练一题]
2．已知sin(180°＋α)＝－，0°<α<90°，求的值．
【导学号：06460015】
【解】　由sin(180°＋α)＝－sin
α＝－，0°<α<90°，得sin
α＝，cos
α＝，
所以原式＝
＝＝＝2.
[探究共研型]
三角形中的诱导公式
探究1　△ABC中，其内角和为π，你能写出几个其同名三角函数的等量关系吗？
【提示】　sin(A＋B)＝sin
C，cos(A＋B)＝－cos
C，tan(A＋B)＝－tan
C等．
探究2　你能写出几个异名三角函数的等量关系吗？
【提示】　sin
＝cos
，cos
＝sin等．
　在△ABC中，sin＝sin，试判断△ABC的形状．
【精彩点拨】　
―→
【自主解答】　∵A＋B＋C＝π，
∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.
又∵sin＝sin，
∴sin＝sin，
∴sin＝sin，
∴cos
C＝cos
B.
又B，C为△ABC的内角，∴C＝B，
∴△ABC为等腰三角形．
涉及三角形中的化简求值或证明问题，常以“A＋B＋C＝π”为切入点，充分结合三角函数的诱导公式求解.
[再练一题]
3．在△ABC中，下列表达式为常数的是________．
①sin(A＋B)＋sin
C；②cos(B＋C)－cos
A；
③；④.
【解析】　∵A＋B＋C＝π，∴＝－，
∴sin＝sin＝cos
，
∴＝＝1.
【答案】　③
[构建·体系]
1．若cos
40°＝a，则sin
50°＝________.
【解析】　∵sin
50°＝cos
40°，∴sin
50°＝a.
【答案】　a
2．若cos(π＋α)＝，则sin＝________.
【解析】　∵cos(π＋α)＝－cos
α＝，
∴cos
α＝－，
∴sin＝cos
α＝－.
【答案】　－
3．cos＝，则cos＝________.
【解析】　∵cos＝cos
＝－cos＝，
∴cos＝－.
【答案】　－
4．已知cos＝－，α是第二象限角，则sin＝________.
【导学号：06460016】
【解析】　∵cos＝－sin
α＝－，
∴sin
α＝.
又α是第二象限角，∴cos
α＝－，
∴sin＝sin＝sin
＝cos
α＝－.
【答案】　－
5．若sin
α＝，求＋
的值．
【解】　＋
＝＋
＝＋
＝＋＝.
∵sin
α＝，∴＝10.
即原式＝10.
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评(六)
三角函数的诱导公式(五～六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．如果cos
α＝，且α是第四象限角，那么cosα＋＝________.
【解析】　由已知得，sin
α＝－＝－，
所以cos＝－sin
α＝－＝.
【答案】　
2．(2016·天水高一检测)已知角α的终边经过点P0(－3，－4)，则cos的值为________．
【解析】　易知|OP|＝5，所以sin
α＝＝－，
所以cos＝sin
α＝－.
【答案】　－
3．已知sin＝，则cos＝________.
【解析】　∵－＝，
∴cos＝cos＝－sin
＝－.
【答案】　－
4．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________.
【导学号：06460017】
【解析】　原式＝·(－sin
α)·cos(－α)
＝·(－sin
α)·cos
α＝·(－sin
α)·cos
α＝－sin2α.
【答案】　－sin2α
5．代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是________．
【解析】　∵(A＋45°)＋(45°－A)＝90°，∴sin(45°－A)＝cos(45°＋A)，
∴sin2(A－45°)＝sin2(45°－A)＝cos2(45°＋A)，
∴sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)＝1.
【答案】　1
6．若cos＋sin(π＋θ)＝－m，则cos＋2sin(6π－θ)的值是________．
【解析】　由已知条件知(－sin
θ)＋(－sin
θ)＝－m，
∴sin
θ＝，
cos＋2sin(6π－θ)＝(－sin
θ)＋2·(－sin
θ)＝－3sin
θ＝－.
【答案】　－
7．已知tan
θ＝2，则＝________.
【解析】　＝
＝＝＝＝－2.
【答案】　－2
8．在△ABC中，sin＝3sin(π－A)，且cos
A＝－cos(π－B)，则C＝________.
【解析】　由已知cos
A＝3sin
A，∴tan
A＝，
又∵A∈(0，π)∴A＝.
又cos
A＝－·(－cos
B)＝cos
B，由cos
A＝知cos
B＝，∴B＝，
∴C＝π－(A＋B)＝.
【答案】　
二、解答题
9．已知sin(5π－θ)＋sin＝，求sin4－θ＋cos4的值．
【解】　∵sin(5π－θ)＋sin
＝sin(π－θ)＋sin＝sin
θ＋cos
θ＝，
∴sin
θcos
θ＝[(sin
θ＋cos
θ)2－1]
＝＝，
∴sin4＋cos4
＝cos4θ＋sin4θ
＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－2×2＝.
10．已知cos＝2sin，
求的值．
【解】　∵cos＝2sin，
∴－sin
α＝－2cos
α，∴tan
α＝2，
∴
＝
＝＝
＝＝
＝＝＝－.
[能力提升]
1．若f(sin
x)＝3－cos
2x，则f(cos
30°)＝________.
【解析】　f(cos
30°)＝f(sin
60°)＝3－cos
120°＝3＋cos
60°＝或f(cos
30°)＝f(sin
120°)＝3－cos
240°＝3－cos
120°＝.
【答案】　
2．计算sin2
1°＋sin2
2°＋…＋sin288°＋sin289°＝________.
【解析】　∵1°＋89°＝90°，2°＋88°＝90°，…，44°＋46°＝90°，
∴sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，
sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，
…
sin244°＋sin246°＝sin244°＋cos244°＝1，
∴sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°
＝44＋sin245°
＝44＋2
＝.
【答案】　
3．(2016·盐城高一检测)已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是________．
【解析】　∵(75°＋α)＝(α－15°)＋90°，
∴sin(α－15°)＝sin[(75°＋α)－90°]
＝－cos(75°＋α)
＝－.
又(75°＋α)＋(105°－α)＝180°，
∴cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－，
∴原式＝－－＝－.
【答案】　－
4．(2016·南京高一检测)已知f(α)＝
.
(1)化简f(α)；
(2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝，求tan
A－sin
A的值．
【解】　(1)f(α)＝
＝cos
α.
(2)由(1)可知f(A)＝cos
A＝，
又A是△ABC的内角，
∴0°＜A＜90°，
∴sin
A＝，tan
A＝，
∴tan
A－sin
A＝－＝.
1.3　三角函数的图象和性质2.2.3　向量的数乘
1．掌握向量数乘的运算及其几何意义．(重点)
2．理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理．
3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
[基础·初探]
教材整理1　向量的数乘定义
阅读教材P68第一、二、三个自然段，完成下列问题．
　一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0.
实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)λa＝0，则λ＝0.(　　)
(2)对于非零向量a，向量－3a与向量3a方向相反．(　　)
(3)对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍．(　　)
【解析】　(1)若λa＝0，则λ＝0或a＝0，(1)错误．
(2)正确．
(3)|－6a|＝6|a|，|3a|＝3|a|，(3)正确．
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√
教材整理2　向量数乘的运算律
阅读教材P68倒数第2自然段，完成下列问题．
1．λ(μa)＝(λμ)a；
2．(λ＋μ)a＝λa＋μa；
3．λ(a＋b)＝λa＋λb.
1．5×(－4a)＝________.
【解析】　5×(－4a)＝5×(－4)a＝－20a.
【答案】　－20a
2．a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则a＋b＝________.
【解析】　a＋b＝(e1＋2e2)＋(3e1－2e2)＝4e1.
【答案】　4e1
教材整理3　向量共线定理
阅读教材P70，完成下列问题．
如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.
1．已知e1和e2不共线，则下列向量a，b共线的序号是________．
①a＝2e1，b＝2e2；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
【解析】　∵e1与e2不共线，∴①不正确；
对于②有b＝－2a；对于③有a＝4b；④不正确．
【答案】　②③
2．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)．
则与________.
【解析】　∵＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，
∴与共线．
【答案】　共线
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：　
[小组合作型]
向量数乘的基本运算
　计算：
(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；
(2)－；
(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．
【精彩点拨】　利用向量线性运算的法则化简，先去括号，再将共线向量合并．
【自主解答】　(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
(2)原式＝－a＋b＋a
＝a＋b－a－b－a－b－a＝0.
(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c
＝6a＋2b.
向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解.
[再练一题]
1．若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则－3＋(2b－a)＝________.
【解析】　原式＝a－b－3a－2b＋2b－a
＝－a－b
＝－(3i－4j)－(5i＋4j)
＝(－11－5)i＋j
＝－16i＋j.
【答案】　－16i＋j
向量的共线问题
　已知非零向量e1，e2不共线.
(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线．
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
【精彩点拨】　对于(1)，欲证A，B，D共线，只需证存在实数λ，使＝λ即可；对于(2)，若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则一定存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)．
【自主解答】　(1)证明：∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5，
∴，共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，
由于e1与e2不共线，只能有∴k＝±1.
1．证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据．
2．若A，B，C三点共线，则向量，，在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系．而向量共线定理是实现线性关系的依据．
[再练一题]
2．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．
【解】　＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.
因为A，B，D三点共线，故存在实数λ，使得＝λ，
即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2.
由向量相等的条件，得解得k＝－8，所以k＝－8.
[探究共研型]
向量共线的有关结论
探究1　已知O为平面ABC内任一点，若A，B，C三点共线，是否存在α，β∈R，使＝αO＋β，其中α＋β＝1
【提示】　存在，因A，B，C三点共线，则存在λ∈R，使＝λ，
∴－＝λ(－)，
∴＝(1－λ)＋λ.
令1－λ＝α，λ＝β，则
＝α＋β，且α＋β＝1.
探究2　已知O为平面ABC内任一点，若存在α，β∈R，使＝α＋β，α＋β＝1，那么A，B，C三点是否共线？
【提示】　共线，因为存在α，β∈R，使＝α＋β，且α＋β＝1，
∴β＝1－α，∴＝α＋(1－α)，
∴＝α＋－α，
∴－＝α(－)，
∴＝α，∴A，B，C三点共线．
　如图2 2 20所示，已知△OAB中，点C是以A为对称中心的B点的对称点，D是把分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于E，设＝a，＝b.
(1)用a和b表示向量，；
(2)若＝λ，求实数λ的值.
【导学号：06460048】
图2 2 20
【精彩点拨】　由已知得A为BC中点，D为OB的三等分点，由向量的线性运算法则可解第(1)问，第(2)问可由向量共线定理解决．
【自主解答】　(1)依题意，A是BC中点，
∴2＝＋，
即＝2－＝2a－b，
＝－＝－
＝2a－b－b＝2a－b.
(2)若＝λ，
则＝－＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b.
∵与共线，∴存在实数k，使＝k，
∴(λ－2)a＋b＝k，解得λ＝.
用已知向量表示未知向量的求解思路：
1 先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；
2 然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理，用已知向量表示未知向量；
3 求解过程体现了数学上的化归思想.
[再练一题]
3.如图2 2 21，在 OADB中，设＝a，＝b，＝，＝.试用a，b表示，及.
图2 2 21
【解】　由题意知，在 OADB中，＝＝＝(－)＝(a－b)＝a－b.
则＝＋＝b＋a－b＝a＋b，
＝＝(＋)＝(a＋b)＝a＋b，
＝－＝(a＋b)－a－b＝a－b.
[构建·体系]
1．已知m∈R，下列说法正确的是________．
①若ma＝0，则必有a＝0；
②若m≠0，a≠0，则ma与a方向相同；
③m≠0，a≠0，则|ma|＝m|a|；
④若m≠0，a≠0，则ma与a共线．
【解析】　①错．若ma＝0，则m＝0或a＝0.
②错．m＞0时，ma与a同向，m＜0时，ma与a反向．
③错．∵|ma|＝|m||a|，∴m＞0时，|ma|＝m|a|；m＜0时|ma|＝－m|a|.
【答案】　④
2.△ABC中，E，F分别是AB、AC的中点，且＝a，＝b，则＝________(用a，b表示)．
图2 2 22
【解析】　＝－＝－＝(b－a)．
【答案】　(b－a)
3．平面向量a，b共线的等价条件是________．(填序号)
①a，b方向相同；
②a，b两向量中至少有一个为零向量；
③存在λ∈R，b＝λa；
④存在不全为0的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0.
【解析】　由两个非零向量a，b共线的条件，即由向量共线定理可知，①②③不是a，b共线的等价条件，④是．
【答案】　④
4．若|a|＝3，b与a反向，|b|＝2，则a＝________b.
【解析】　∵b与a反向，∴a＝λb，λ＜0.
又|a|＝3，|b|＝2，∴|a|∶|b|＝|λ|，
∴λ＝－，
∴a＝－b.
【答案】　－
5．计算：
(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；
(2)；
(3)(m＋n)(a－b)－(m＋n)(a＋b)．
【导学号：06460049】
【解】　(1)原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c
＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c＝6a＋4b.
(2)原式＝[(a＋4b)－(4a－2b)]＝(－3a＋6b)＝2b－a.
(3)原式＝(m＋n)a－(m＋n)b－(m＋n)a－(m＋n)b＝－2(m＋n)b.
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评(十七)　向量的数乘
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知λ∈R，则下列说法错误的是________．(填序号)
①|λa|＝λ|a|；②|λa|＝|λ|a；③|λa|＝|λ||a|；
④|λa|>0.
【解析】　当λ<0时，①式不成立；当λ＝0或a＝0时，④式不成立；又|λa|∈R，而|λ|a是数乘向量，故②必不成立．
【答案】　①②④
2．化简为________．
【解析】　原式＝＝(2a＋6b)＝a＋b.
【答案】　a＋b
3．若＝，则＝________.
【解析】　∵＝，∴点A，B，C三点共线，且与同向，∵＝(如图)，
∴＝，又与反向，∴＝－.
【答案】　－
4．在△ABC中，已知＝3，则＝________(用，表示)．
【解析】　∵＝3，
∴－＝3(－)，
∴＝＋.
【答案】　＋
5．(2016·苏州高一检测)设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则k＝________.
【导学号：06460050】
【解析】　∵m与n共线，
∴存在实数λ，使得m＝λn，
∴－e1＋ke2＝λ(e2－2e1)，
∴
∴λ＝，k＝.
【答案】　
6．已知向量a，b且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是________．
【解析】　∵＝＋＝2a＋4b＝2，
∴A，B，D三点共线．
【答案】　A，B，D
7．若O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，＝2e1，＝3e2，则＝________.(用e1，e2表示)
【解析】　∵＝，
∴＝－＝3e2－2e1.
又∵＝2，
∴＝e2－e1.
【答案】　e2－e1
8．(2016·南通高一检测)已知平面内有一点P及一个△ABC，若＋＋＝，则下列说法正确的是________．(填序号)
①点P在△ABC外部；②点P在线段AB上；
③点P在线段BC上；④点P在线段AC上．
【解析】　＋＋＝－，
∴2＋＝0.
如图，易知P在线段AC上．
【答案】　④
二、解答题
9．如图2 2 23所示，已知在 ABCD中，点M为AB的中点，点N在BD上，且3BN＝BD.
图2 2 23
求证：M，N，C三点共线．
【证明】　设＝a，＝b，则＝＋＝－a＋b，
＝＝－a＋b，＝a，＝＝b，
∴＝＋＝a＋b，
＝＋＝a－a＋b
＝，
∴＝，∴∥，
又M为公共点，∴M，N，C三点共线．
10．如图2 2 24，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若＝a，＝b，试用a，b表示和.
图2 2 24
【解】　连接CN.∵AN∥DC，且AN＝DC＝AB，
∴四边形ANCD为平行四边形，
∴＝－＝－b.
∵＋＋＝0，
∴＝－－＝b－a，
＝－＝＋＝a－b.
[能力提升]
1．若＝5e，＝－7e，且||＝||，则四边形ABCD的形状是________．
【解析】　∵＝5e，＝－7e，∴＝－，
∴与平行且方向相反，易知||＞||.
又∵||＝||，∴四边形ABCD是等腰梯形．
【答案】　等腰梯形
2．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为________．
【解析】　由＋＋＝0可知，M是△ABC的重心．
取BC的中点D，则＋＝2.
又M是△ABC的重心，∴＝2，∴＝，
∴＋＝3，即m＝3.
【答案】　3
3．在△ABC中，＝2，＝m＋n，则m＝________，n＝________.
【解析】　－＝2－2，∴3＝＋2，∴＝＋.
【答案】　　
4．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，其中e1，e2为两个非零不共线向量．问：是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？
【解】　d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2.
要使c∥d，则应存在实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2＝k(2e1－9e2)＝2ke1－9ke2，
∵e1，e2不共线，
∴∴λ＝－2μ.
故存在这样的实数λ，μ，满足λ＝－2μ，
就能使d与c共线.2.3.2　平面向量的坐标运算
第1课时　平面向量的坐标运算
1．掌握向量的坐标表示．(重点)
2．掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．(重点)
3．正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．(易混点)
[基础·初探]
教材整理1　平面向量的坐标表示
阅读教材P76～P77例1，完成下列问题．
平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量的基本定理知，有且只有一对有序实数x，y，使得a＝xi＋yj.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)．
如图2 3 13，在正方形ABCD中，O为中心，且＝(－1，－1)，则＝________；＝________；＝________.
图2 3 13
【解析】　如题干图，＝－＝－(－1，－1)＝(1,1)，
由正方形的对称性可知，B(1，－1)，
所以＝(1，－1)，
同理＝(－1,1)．
【答案】　(1，－1)　(1,1)　(－1,1)
教材整理2　平面向量的坐标运算
阅读教材P77～P79的有关内容，完成下列问题．
1．已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．
2．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．
1．若a＝(－1,2)，b＝(3,4)，则a＋b＝________；a－b＝________；3a＝________；－5b＝________.
【解析】　a＋b＝(2,6)，a－b＝(－4，－2)，3a＝(－3,6)，－5b＝(－15，－20)．
【答案】　(2,6)　(－4，－2)　(－3,6)　(－15，－20)
2．若A(0,1)，B(1,0)，则＝________，＝________.
【解析】　＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)．
＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)．
【答案】　(1，－1)　(－1,1)
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：　
[小组合作型]
平面向量的坐标表示
　在直角坐标系xOy中，向量a，b的位置如图2 3 14，|a|＝4，|b|＝3，且∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，分别求向量a，b的坐标．
图2 3 14
【精彩点拨】　借助三角函数的定义求a，b的坐标．
【自主解答】　设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，由于向量a相对于x轴正方向的转角为45°，
所以a1＝|a|cos
45°＝4×＝2，a2＝|a|sin
45°＝4×＝2.
可以求得向量b相对于x轴正方向的转角为120°，
所以b1＝|b|cos
120°＝3×＝－，
b2＝|b|sin
120°＝3×＝.
故a＝(2，2)，b＝.
求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算.
[再练一题]
1．在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图2 3 15所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别求它们的坐标．
图2 3 15
【解】　设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，则
a1＝|a|cos
45°＝2×＝，
a2＝|a|sin
45°＝2×＝；
b1＝|b|cos
120°＝3×＝－，
b2＝|b|sin
120°＝3×＝；
c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2，
c2＝|c|sin(－30°)＝4×＝－2.
因此a＝(，)，b＝，c＝(2，－2)．
平面向量的坐标运算
　已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求，，＋，2＋.
【精彩点拨】　直接利用平面向量的坐标运算求解．
【自主解答】　∵A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，
∴＝(3，－1)，＝(－3,2)，
＋＝(0,1)，
2＋＝(6，－2)＋＝.
平面向量坐标的线性运算的方法：
1 若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.
2 若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.
3 向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
[再练一题]
2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N的坐标和的坐标．
【解】　因为A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
所以＝(1,8)，＝(6,3)．
设M(x，y)，则＝(x＋3，y＋4)．
由＝3得(x＋3，y＋4)＝3(1,8)，
即解得即M(0,20)．
同理可得N(9,2)，所以＝(9，－18)．
[探究共研型]
向量的坐标与点的坐标
探究1　点的坐标与向量的坐标有何区别？
【提示】　(1)向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．
(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．
(3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y)．
探究2　向量与其终点坐标是一一对应关系吗？
【提示】　不是一一对应关系，当且仅当向量的起点为坐标原点时，向量坐标与其终点的坐标是一一对应关系．
　已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，试问：
(1)当t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第三象限？
(2)四边形OABP是否能成为平行四边形？若能，则求出t的值．若不能，说明理由.
【导学号：06460054】
【精彩点拨】　(1)由已知点的坐标表示出向量，的坐标，从而知道的坐标，即点P的坐标，然后分类讨论即可．
(2)若四边形OABP为平行四边形，则＝.
【自主解答】　(1)＝(3,3)，
＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)，
则P(1＋3t,2＋3t)．
若P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－；
若P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－；
若P在第三象限，则所以t＜－.
(2)因为＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)，
若OABP是平行四边形，则＝，
所以此方程组无解；
故四边形OABP不可能是平行四边形．
已知含参的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用点的位置确定其横纵坐标满足的条件，建立关于参数的方程 组 或不等式 组 ，求解即可.
[再练一题]
3．已知A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，＝＋λ(λ∈R)，点P在第三象限，则λ的取值范围为________．
【解析】　设P(x，y)，
则＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)．
又因为＝＋λ＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
所以(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
即解得
因为点P在第三象限，所以
解得λ<－1.
【答案】　(－∞，－1)
[构建·体系]
1．下列说法正确的有________．(填序号)
①向量的坐标即此向量终点的坐标；
②位置不同的向量其坐标可能相同；
③一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标；
④相等的向量坐标一定相同．
【解析】　我们所学的向量是自由向量，位置不同，可能是相同的向量，同时相等的向量坐标一定相同．故正确的说法是②④.
【答案】　②④
2．若向量a＝(3,2)，b＝(0,1)，则向量2b－a的坐标为________．
【解析】　2b－a＝(0,2)－(3,2)＝(－3,0)．
【答案】　(－3,0)
3．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是________．
【解析】　∵＝－
＝(－5，－1)－(3，－2)
＝(－8,1)，
∴＝.
【答案】　
4．(2015·全国卷Ⅰ改编)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝________.
【解析】　∵＝(3,1)
∴＝－
＝(－4，－3)－(3,1)
＝(－7，－4)．
【答案】　(－7，－4)
5．已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－，求点C，D及的坐标.
【导学号：06460055】
【解】　设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．
∵＝，＝－，
∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)＝(1,2)，
(－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)＝(1,2)，
则有和
解得和
∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．
因此＝(－2，－4)．
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评(十九)　平面向量的坐标运算
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．若点P的坐标为(2
016,2)，向量＝(1，－3)，则点Q的坐标为________．
【解析】　∵＝－，
∴＝＋
＝(2
016,2)＋(1，－3)
＝(2
017，－1)．
【答案】　(2
017，－1)
2．(2016·如东高一检测)若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则＝________.
【解析】　＝＋
＝－
＝(2,3)－(4,7)
＝(－2，－4)．
【答案】　(－2，－4)
3．已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，则点B的坐标为________．
【解析】　设B点坐标为(x，y)，
则＝(x＋1，y－5)，
∵＝3a，
∴(x＋1，y－5)＝3(2,3)＝(6,9)，
∴∴
【答案】　(5,14)
4．若向量a＝(x＋3，y－4)与相等，已知A(1,2)和B(3,2)，则x，y的值分别为________．
【解析】　∵＝(3,2)－(1,2)＝(2,0)＝(x＋3，y－4)，
∴解得
【答案】　－1,4
5．已知a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)，则a＝________，b＝________.
【解析】　由a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)，
∴2a＝(1,3)＋(5,7)＝(6,10)，∴a＝(3,5)，
2b＝(1,3)－(5,7)＝(－4，－4)，∴b＝(－2，－2)．
【答案】　(3,5)　(－2，－2)
6.已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝2，∠xOA＝150°，则向量的坐标为________．
图2 3 16
【解析】　过点A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C，设A(x，y)，则x＝||cos
150°＝－，y＝||sin
150°＝1.
所以的坐标为(－，1)．
【答案】　(－，1)
7．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则P点的坐标为________.
【导学号：06460056】
【解析】　设P(x，y)，则
＝(x－3，y＋2)，
＝(－8,1)＝，
∴
∴
∴P点的坐标为.
【答案】　
8．已知边长为单位长的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴，y轴的正向上，则向量2＋3＋的坐标为________．
【解析】　∵＝(1,0)，＝(0,1)，
＝＋＝(1,1)，
∴2＋3＋
＝2(1,0)＋3(0,1)＋(1,1)＝(3,4)．
【答案】　(3,4)
二、解答题
9．(1)已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，其中A(1,2)，B(3,2)，求x的值；
(2)已知点P1(2，－1)，P2(0,5)，点P在线段P1P2上且||＝2||，求P点的坐标．
【解】　(1)∵＝(2,0)，又∵a＝，∴∴x＝－1.
(2)设P(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，
＝(－x,5－y)，
∵点P在线段P1P2上且||＝2||，
∴＝2，
∴∴
∴P.
10．已知△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N是AB，AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求.
【解】　因为A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，
所以＝(－4，－3)，＝(－3，－5)．
又因为D是BC的中点，有＝(＋)＝，而M，N分别为AB，AC的中点，所以F为AD的中点，
故有＝＝－＝.
[能力提升]
1．(2016·南通高一检测)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝________.
【解析】　由向量的平行四边形法则可知
＝＋，
∴＝－
＝(1,3)－(2,4)
＝(－1，－1)，
∴＝－
＝(－1，－1)－(2,4)
＝(－3，－5)．
【答案】　(－3，－5)
2．(2016·苏州高一检测)已知P1(5，－1)，P2(－3,1)，点P(x,2)分所成的比为λ，则x的值为________．
【解析】　∵y＝，
∴2＝，
解得λ＝－3.
所以x＝＝＝－
＝－7.
【答案】　－7
3．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N等于________．
【解析】　令(1,2)＋λ1(3,4)
＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，
即(1＋3λ1,2＋4λ1)
＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，
∴
解得
故M与N只有一个公共元素是(－2，－2)．
【答案】　{(－2，－2)}
4．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图2 3 7所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，求的值．
图2 3 7
【解】　以向量a和b的交点为原点建直角坐标系，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，根据c＝λa＋μb (－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－，故＝4.3.1.3　两角和与差的正切
1．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(重点)
2．能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点)
3．熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)
[基础·初探]
教材整理　两角和与差的正切公式
阅读教材P114～P115的全部内容，完成下列问题．
T(α－β)：tan(α－β)＝.
T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
1．tan
15°＝________；tan
75°＝________.
【解析】　tan
15°＝tan(45°－30°)＝＝＝＝2－.
tan
75°＝＝＝2＋.
【答案】　2－　2＋
2．设α，β为锐角，且tan
α，tan
β是方程6x2－5x＋1＝0的根，则tan(α＋β)＝________.
【解析】　tan
α＋tan
β＝，tan
α·tan
β＝.
tan(α＋β)＝＝1.
【答案】　1
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：　
[小组合作型]
条件求值问题
　已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求tan
2α，tan
2β，tan.
【导学号：06460075】
【精彩点拨】　2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，tan可以用tan
2α表示出来．
【自主解答】　tan
2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝＝
＝－，
tan
2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]
＝＝
＝，
tan＝＝
＝.
求解此类问题的关键是明确已知角和待求角的关系；求解时要充分借助诱导公式、角的变换技巧等实现求值.倘若盲目套用公式，可能带来运算的繁杂.
[再练一题]
1．已知tan(α＋β)＝，tan＝，求tan.
【解】　tan＝tan
＝＝＝.
给值求角
　已知tan
α，tan
β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，求α＋β.
【精彩点拨】　利用根与系数的关系求tan
α＋tan
β及tan
αtan
β的值，进而求出tan(α＋β)的值，然后由α＋β的取值范围确定α＋β的值．
【自主解答】　因为tan
α，tan
β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，所以tan
α＋tan
β＝－3＜0，tan
αtan
β＝4＞0，
所以tan
α＜0，tan
β＜0.又因为α，β∈，
所以α，β∈，所以－π＜α＋β＜0.
又因为tan(α＋β)＝＝＝，
所以α＋β＝－.
1．给值求角的一般步骤：
(1)求角的某一三角函数值；
(2)确定角的范围；
(3)根据角的范围写出所求的角．
2．选取函数时，应遵照以下原则：
(1)已知正切函数值，选正切函数；
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
[再练一题]
2．已知tan(α－β)＝，tan
β＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________.
【解析】　由于tan
α＝tan[(α－β)＋β]
＝
＝＝，所以α∈，
又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝＝1，
而β∈，所以2α－β∈(－π，0)，
故2α－β＝－.
【答案】　－
[探究共研型]
T(α±β)公式的变形及应用
探究1　你能结合T(α±β)的公式完成下列空格吗？
(1)T(α＋β)的变形：
tan
α＋tan
β＝__________________________________________________.
tan
α＋tan
β＋tan
αtan
βtan(α＋β)＝________.
tan
αtan
β＝_____________________________________________________.
(2)T(α－β)的变形：
tan
α－tan
β＝___________________________________________________.
tan
α－tan
β－tan
αtan
βtan(α－β)＝________.
tan
αtan
β＝_____________________________________________________.
【提示】　(1)tan
α＋tan
β＝tan(α＋β)(1－tan
αtan
β)
tan
α＋tan
β＋tan
αtan
βtan(α＋β)＝tan(α＋β)
tan
αtan
β＝1－
(2)tan
α－tan
β＝tan(α－β)(1＋tan
αtan
β)
tan
α－tan
β－tan
αtan
βtan(α－β)＝tan(α－β)
tan
αtan
β＝－1
探究2　结合T(α±β)公式想一想下列式子如何化简？
(1)＝________；(2)＝________.
【提示】　(1)＝＝tan
(2)＝＝tan
　已知△ABC中，tan
B＋tan
C＋tan
Btan
C＝，且tan
A＋tan
B＝tan
Atan
B－1，试判断△ABC的形状．
【精彩点拨】　充分结合T(α±β)的公式及变形求解．
【自主解答】　∵tan
A＋
tan
B
＝tan
Atan
B－1，
∴(tan
A＋tan
B)＝tan
Atan
B－1，
∴＝－，
∴tan(A＋B)＝－.
又∵0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，
∴C＝，
∵tan
B＋tan
C＋tan
Btan
C＝，
tan
C＝，
∴tan
B＋＋tan
B＝，tan
B＝，
∴B＝，∴A＝，
∴△ABC为等腰钝角三角形．
1．公式T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan
α·tan
β，tan
α＋tan
β(或tan
α－tan
β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．
2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．
[再练一题]
3．求下列各式的值：
(1)；
(2)tan
23°＋tan
37°＋tan
23°tan
37°.
【解】　(1)＝
＝
＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan
45°＝－1.
(2)∵tan(23°＋37°)＝tan
60°＝＝，
∴tan
23°＋tan
37°＝(1－tan
23°tan
37°)，
∴原式＝(1－tan
23°tan
37°)＋tan
23°tan
37°＝.
[构建·体系]
1.＝________.
【解析】　原式＝＝tan(45°－15°)
＝tan
30°＝.
【答案】　
2．计算＝________.
【解析】　原式＝tan(51°－6°)＝tan
45°＝1.
【答案】　1
3．若tan
α＝，tan(α－β)＝－1，则tan
β＝________.
【解析】　tan
β＝tan[α－(α－β)]
＝＝＝.
【答案】　
4．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan
α)(1＋tan
β)＝________.
【解析】　tan
45°＝tan(20°＋25°)＝＝1，
∴tan
20°＋tan
25°＝1－tan
20°
tan
25°，
∴(1＋tan
α)(1＋tan
β)
＝1＋tan
20°＋tan
25°＋tan
20°tan
25°
＝1＋1－tan
20°tan
25°＋tan
20°tan
25°＝2.
【答案】　2
5．已知A，B，C为锐角三角形ABC的内角．求证：tan
A＋tan
B＋tan
C＝tan
Atan
Btan
C.
【导学号：06460076】
【证明】　∵A＋B＋C＝π，
∴A＋B＝π－C.
∴tan(A＋B)＝
＝－tan
C.
∴tan
A＋tan
B＝－tan
C＋tan
Atan
Btan
C.
即tan
A＋tan
B＋tan
C＝tan
Atan
Btan
C.
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评(二十六)　两角和与差的正切
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．若0＜α＜，0＜β＜，且tan
α＝2，tan
β＝3，则tan(α＋β)＝________.
【解析】　∵tan
α＝2，tan
β＝3，∴tan(α＋β)＝＝＝－1.
【答案】　－1
2．已知tan
α＋tan
β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan
α·tan
β等于________．
【解析】　tan(α＋β)＝＝＝4，∴1－tan
α·tan
β＝，tan
αtan
β＝.
【答案】　
3．已知A，B都是锐角，且tan
A＝，sin
B＝，则A＋B＝________.
【解析】　∵B∈，sin
B＝，∴cos
B＝.
∴tan
B＝.
∴tan(A＋B)＝＝＝1.
又α，β∈，∴α＋β∈(0，π)．
∴α＋β＝.
【答案】　
4．已知tan
α，tan
β是方程x2＋6x＋7＝0的两个实根，则tan(α－β)的值等于________．
【解析】　由已知tan
α＝－3＋，tan
β＝－3－或tan
α＝－3－，tan
β＝－3＋，
∴tan(α－β)＝＝±.
【答案】　±
5．(2016·扬州高一检测)若tan＝2，则＝________.
【导学号：06460077】
【解析】　由tan＝＝2，得tan
α＝，
∴＝＝＝.
【答案】　
6.＝________.
【解析】　原式＝＝
＝tan(55°－25°)＝tan
30°＝.
【答案】　
7．(2016·泰州高一检测)在△ABC中，若0Btan
C<1，则△ABC是________三角形．
【解析】　易知tan
B>0，tan
C>0，B，C为锐角．
<1，∴cos
Bcos
C>sin
Bsin
C.
∴cos
Bcos
C－sin
Bsin
C>0，∴cos(B＋C)>0，故A为钝角．
【答案】　钝角
8．(2016·南京高一检测)已知sin
α＝，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tan
β的值为________．
【解析】　∵sin
α＝，α是第二象限角，
∴cos
α＝－，∴tan
α＝－.
∴tan
β＝
＝＝＝7.
【答案】　7
二、解答题
9．求下列各式的值：
(1)tan
17°＋tan
28°＋tan
17°tan
28°；
(2)tan
70°－tan
10°－tan
70°tan
10°.
【解】　(1)因为tan(17°＋28°)＝，
所以tan
17°＋tan
28°＝tan
45°(1－tan
17°tan
28°)
＝1－tan
17°tan
28°，
所以tan
17°＋tan
28°＋tan
17°tan
28°＝1.
(2)因为tan
60°＝tan(70°－10°)
＝，
所以tan
70°－tan
10°＝＋tan
10°tan
70°，
所以tan
70°－tan
10°－tan
10°tan
70°＝.
10．若△ABC的三内角满足：2B＝A＋C，且A＜B＜C，tan
Atan
C＝2＋，求角A，B，C的大小．
【解】　由题意知：
解之得：B＝60°且A＋C＝120°，
∴tan(A＋C)＝tan
120°
＝－＝
又∵tan
Atan
C＝2＋，
∴tan
A＋tan
C＝tan(A＋C)·(1－tan
Atan
C)
＝tan
120°(1－2－)
＝－(－1－)＝3＋.
∵tan
A，tan
C可作为一元二次方程
x2－(3＋)x＋(2＋)＝0的两根，
又∵0＜A＜B＜C＜π，
∴tan
A＝1，tan
C＝2＋.
即A＝45°，C＝75°.
所以A，B，C的大小分别为45°，60°，75°.
[能力提升]
1．化简tan
10°tan
20°＋tan
20°tan
60°＋tan
60°tan
10°的值等于________．
【解析】　∵tan
30°＝tan(10°＋20°)＝＝.
∴tan
10°＋tan
20°＝(1－tan
10°tan
20°)
∴tan
10°tan
20°＋tan
20°tan
60°＋tan
60°tan
10°
＝tan
10°tan
20°＋tan
60°(tan
10°＋tan
20°)
＝tan
10°tan
20°＋×(1－tan
10°tan
20°)
＝tan
10°tan
20°＋1－tan
10°tan
20°
＝1.
【答案】　1
2．已知tan
α，tan
β是关于x的一元二次方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则＝________.
【解析】　∵tan
α，tan
β是关于x的一元二次方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，∴tan
α＋tan
β＝－6，tan
α·tan
β＝2.
则＝
＝＝
＝－2.
【答案】　－2
3．已知α、β均为锐角，且tan
β＝，则tan(α＋β)＝________.
【解析】　∵tan
β＝，
∴tan
α＋tan
β＝1－tan
αtan
β
∴tan(α＋β)＝＝1.
【答案】　1
4．如图3 1 2，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
图3 1 2
求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．
【解】　由已知得cos
α＝，cos
β＝，又α，β是锐角．
则sin
α＝＝，sin
β＝＝.
所以tan
α＝＝7，tan
β＝＝.
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝＝－1，
又α，β是锐角，则0＜α＋2β＜，所以α＋2β＝.1.3.2　三角函数的图象与性质
第1课时　正弦、余弦函数的图象
1．了解正弦函数、余弦函数的图象．
2．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．(重点)
3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理　正弦曲线、余弦曲线
阅读教材P26～P28图1 3 3以上的部分，完成下列问题．
1．正弦曲线、余弦曲线
正弦函数y＝sin
x(x∈R)和余弦函数y＝cos
x(x∈R)的图象分别叫正弦曲线和余弦曲线．
图1 3 3
2．“五点法”画图
画正弦函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
画余弦函数y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
3．正弦、余弦曲线的联系
依据诱导公式cos
x＝sin，要得到y＝cos
x的图象，只需把y＝sin
x的图象向左平移个单位长度即可．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦曲线的图象向左右无限延展．(　　)
(2)y＝sin
x与y＝cos
x的图象形状相同，只是位置不同．(　　)
(3)余弦曲线向右平移个单位得到正弦曲线．(　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：　
[小组合作型]
利用“五点法”作简图
　用“五点法”作出下列函数的图象．
(1)y＝sin
x－1，x∈[0,2π]．
(2)y＝2＋cos
x，x∈[0,2π]．
(3)y＝－1－cos
x，x∈[0,2π]．
【精彩点拨】　先分别取出相应函数在[0,2π]上的五个关键点，再描点连线．
【自主解答】　(1)列表如下：
x
0
π
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
sin
x－1
－1
0
－1
－2
－1
描点连线，如图(1)所示．
图(1)
(2)列表如下：
x
0
π
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
2＋cos
x
3
2
1
2
3
描点连线，如图(2)所示．
图(2)
(3)列表：
x
0
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
－1－cos
x
－2
－1
0
－1
－2
描点作图，如图(3)所示：
图(3)
1．“五点法”中的五点即y＝sin
x或y＝cos
x的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．
2．列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节．
[再练一题]
1．用“五点法”作出函数y＝3＋2cos
x在一个周期内的图象.
【导学号：06460021】
【解】　按五个关键点列表；描点并将它们用光滑的曲线连接起来．
x
0
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
3＋2cos
x
5
3
1
3
5
利用正、余弦曲线解三角不等式
　利用正弦曲线，求满足＜sin
x≤的x的集合．
【精彩点拨】　作出正弦函数y＝sin
x在一个周期内的图象，然后借助图象求解．
【自主解答】　首先作出y＝sin
x在[0,2π]上的图象，如图所示，
作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin
x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和；作直线y＝，该直线与y＝sin
x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和.观察图象可知，在[0,2π]上，当＜x≤，或≤x＜时，不等式＜sin
x≤成立，
所以＜sin
x≤的解集为
x＋2kπ或＋2kπ≤x＜＋2kπ，k∈Z.
利用正弦曲线、余弦曲线解三角不等式的一般步骤为：
1 画出正弦函数y＝sin
x或余弦函数y＝cos
x在[0，2π]上的图象；
2 写出适合不等式的在区间[0，2π]上的解集；
3 把此解集推广到整个定义域上去.
[再练一题]
2．求函数y＝的定义域．
【解】　为使函数有意义，需满足
即
正弦函数图象如图所示，
∴定义域为∪
.
[探究共研型]
正、余弦函数图象的应用
探究1　你能借助图象的变换作出y＝|sin
x|的图象吗？试画出其图象．
【提示】　先画出y＝sin
x的图象，然后将其x轴下方的对称到x轴的上方(x轴上方的保持不变)即可得到y＝|sin
x|的图象，如图．
探究2　方程|sin
x|＝a，a∈R在[0,2π]上有几解？
【提示】　当a＜0时，方程|sin
x|＝a无解；
当a＝0时，方程|sin
x|有三解；
当0＜a＜1时，方程|sin
x|＝a有四解；
当a＝1时，方程|sin
x|＝a有两解；
当a＞1时，方程|sin
x|＝a无解．
　在同一坐标系中，作函数y＝sin
x和y＝lg
x的图象，根据图象判断出方程sin
x＝lg
x的解的个数．
【精彩点拨】　―→―→
―→
【自主解答】　建立坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sin
x的图象．
描出点，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连结得到y＝lg
x的图象，如图所示．
由图象可知方程sin
x＝lg
x的解有3个．
利用三角函数图象能解决求方程解的个数问题，也可利用方程解的个数 或两函数图象的交点个数 求参数的范围问题.
[再练一题]
3．函数f(x)＝sin
x＋2|sin
x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
【解】　f(x)＝的图象如图所示，故由图象知1＜k＜3.
[构建·体系]
1．函数y＝sin
x与函数y＝－sin
x的图象关于________对称．
【解析】　在同一坐标系中画出函数y＝sin
x与函数y＝－sin
x的图象，可知它们关于x轴对称．
【答案】　x轴
2．函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点有________个.
【导学号：06460022】
【解析】　如图，函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－有两个交点．
【答案】　2
3．函数y＝cos
x＋4，x∈[0,2π]与直线y＝4的交点坐标为________．
【解析】　作出函数y＝cos
x＋4，x∈[0,2π]的图象(图略)，容易发现它与直线y＝4的交点坐标为，4，.
【答案】　，
4．sin
x＞0，x∈[0,2π]的解集是________．
【解析】　如图所示是y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象，
由图可知满足sin
x＞0，x∈[0,2π]的解集是(0，π)．
【答案】　(0，π)
5．用“五点法”作出y＝(0≤x≤2π)的简图．
【解】　y＝＝|cos
x|(x∈[0,2π])．
列表：
x
0
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
|cos
x|
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
描点作图，如图．
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评(八)　正弦、余弦函数的图象
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．函数y＝－sin
x的大致图象是________(填序号)．
图1 3 4
【解析】　y＝－sin
x的图象与y＝sin
x的图象关于x轴对称．故选①.
【答案】　①
2．若cos
x＝1－2m，且x∈R，则m的范围是________．
【解析】　∵cos
x∈[－1,1]，∴－1≤1－2m≤1，
解得0≤m≤1.
【答案】　0≤m≤1
3．关于三角函数的图象，有下列说法：
①y＝sin|x|与y＝sin
x的图象关于y轴对称；
②y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同；
③y＝|sin
x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
④y＝cos
x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．
其中正确的序号是________.
【导学号：06460023】
【解析】　对②，y＝cos(－x)＝cos
x，y＝cos|x|＝cos
x，故其图象相同；对④，y＝cos(－x)＝cos
x，故其图象关于y轴对称，由作图可知①③均不正确．
【答案】　②④
4．函数y＝的定义域是________．
【解析】　由题意可得，
即
∴0＜sin
x≤1，
由正弦函数图象可得{x|2kπ＜x＜(2k＋1)π，k∈Z}．
【答案】　{x|2kπ＜x＜(2k＋1)π，k∈Z}
5．函数y＝的定义域是________．
【解析】　2cos
x＋1≥0，cos
x≥－，结合图象知x∈，k∈Z.
【答案】　，k∈Z
6．函数y＝sin
x的图象与函数y＝cos
x的图象在[0,2π]内的交点坐标为________．
【解析】　在同一坐标系内画出两函数的图象，(图略)
易知，交点坐标为和.
【答案】　和
7．函数f(x)＝3＋2cos
x的图象经过点，则b＝________.
【解析】　由f＝3＋2cos
＝3＋2×＝b，得b＝4.
【答案】　4
8．设0≤x≤2π，且|cos
x－sin
x|＝sin
x－cos
x，则x的取值范围为________．
【解析】　由|cos
x－sin
x|＝sin
x－cos
x得
sin
x－cos
x≥0，
即sin
x≥cos
x.
又x∈[0,2π]，结合图象可知，
≤x≤，
所以x∈.
【答案】　
二、解答题
9．利用图象变换作出函数y＝sin|x|，x∈[－2π，2π]的简图．
【解】　∵y＝sin|x|＝为偶函数，∴首先用五点法作出函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象；x∈[－2π，0]的图象，只需将x∈[0,2π]的图象作出关于y轴对称的图象．如图所示．
10．作出函数y＝－sin
x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：①sin
x＞0；②sin
x＜0.
(2)直线y＝与y＝－sin
x的图象有几个交点？
【解】　利用“五点法”作图，如图．
(1)根据图象可知在x轴上方的部分－sin
x＞0，在x轴下方的部分－sin
x＜0，所以当x∈(－π，0)时，sin
x＜0；
当x∈(0，π)时，sin
x＞0.
(2)画出直线y＝，知有两个交点．
[能力提升]
1．已知y＝cos
x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝1围成一个封闭的平面图形，该图形的面积是________．
【解析】　由题意画出图形(图略)，由于余弦函数图象关于点和点成中心对称，可得y＝cos
x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝1围成的封闭图形的面积为2π×1＝2π.
【答案】　2π
2．已知函数f(x)＝则不等式f(x)＞的解集是________．
【解析】　在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和函数y＝的图象，如图所示．
当f(x)＞时，函数f(x)的图象位于函数y＝的图象上方，此时有－＜x＜0或＋2kπ＜x＜＋2kπ(k∈N)．
【答案】　x
3．函数y＝cos
x＋|cos
x|，x∈[0,2π]的大致图象为________．(填序号)
图1 3 5
【解析】　y＝cos
x＋|cos
x|
＝
【答案】　④
4．判断方程x2－cos
x＝0的根的个数．
【解】　设f(x)＝x2，g(x)＝cos
x，在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图象，如图所示．
由图知f(x)和g(x)的图象有两个交点，则方程x2－cos
x＝0有两个根．3.2　二倍角的三角函数
1．会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．(重点)
2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．(难点)
[基础·初探]
教材整理　倍角公式
阅读教材P119～P120的全部内容，完成下列问题．
(1)sin
2α＝2sin_αcos_α；
(2)cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan
2α＝.
1．若sin
α＝，则cos
2α＝________.
【解析】　∵cos
2α＝1－2sin2α，sin
α＝，
∴cos
2α＝1－2×＝.
【答案】　
2．若tan
α＝3，则tan
2α＝________.
【解析】　∵tan
α＝3，∴tan
2α＝＝＝－.
【答案】　－
3．若sin
2α＝－sin
α，且sin
α≠0，则cos
α＝________.
【解析】　∵sin
2α＝2sin
αcos
α，∴2sin
αcos
α＝－sin
α，又sin
α≠0，∴cos
α＝－.
【答案】　－
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：　
解惑：　
[小组合作型]
直接应用二倍角公式求值
　已知sin
2α＝，＜α＜，求sin
4α，cos
4α，tan
4α的值．
【精彩点拨】　先由α的范围求2α的范围，并求出cos
2α的值，进而求出sin
4α，cos
4α及tan
4α的值．
【自主解答】　由＜α＜，得＜2α＜π.
又因为sin
2α＝，
cos
2α＝－
＝－＝－.
于是sin
4α＝2sin
2αcos
2α
＝2××＝－；
cos
4α＝1－2sin22α
＝1－2×2＝；
tan
4α＝＝＝－.
对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式
对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍角；6α是3α的二倍角；4α是2α的二倍角；3α是α的二倍角；是的二倍角；是的二倍角；…，?又如α＝2·，＝2·，….
[再练一题]
1．已知sin
α＋cos
α＝，0＜α＜π，求sin
2α，cos
2α，tan
2α的值.
【导学号：06460078】
【解】　∵sin
α＋cos
α＝，
∴sin2α＋cos2α＋2sin
αcos
α＝.
∴sin
2α＝－且sin
αcos
α＝－＜0.
∵0＜α＜π，∴sin
α＞0，cos
α＜0.
∴sin
α－cos
α＞0.
∴sin
α－cos
α＝＝.
∴cos
2α＝cos2α－sin2α
＝(sin
α＋cos
α)(cos
α－sin
α)
＝×＝－.
∴tan
2α＝＝.
逆用二倍角公式化简求值
　化简：.
【精彩点拨】　→→
【自主解答】　原式＝
＝
＝＝＝1.
1．三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．
2．解决此类非特殊角的求值问题，其关键是利用公式转化为特殊角求值，要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系，能否用二倍角公式求值，是否是互余关系，能否进行正弦与余弦的互化；要充分根据已知式的结构形式，选择公式进行变形并求值．
[再练一题]
2．求下列各式的值：
(1)2sincos；
(2)1－2sin2750°；
(3)；
(4)coscos.
【解】　(1)原式＝sin＝sin＝.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos
1
500°
＝cos(60°＋4×360°)＝cos
60°＝.
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan
300°＝tan(360°－60°)
＝－tan
60°＝－.
(4)原式＝coscos＝cossin
＝·＝sin＝×＝.
[探究共研型]
活用“倍角”关系巧解题
探究1　已知cos的值，如何求sin
2x的值？
【提示】　可利用sin
2x＝cos＝2cos2－x－1求解．
探究2　当题设条件中含有“±x”及“2x”这样的角时，如何快速解题？
【提示】　可借助角的互余关系及诱导公式，实现倍角关系的转换．
　已知sin＝，0＜x＜，求的值．
【精彩点拨】　先由sin求cos，再求sin即可．
【自主解答】　∵＋＝，
∴sin＝cos＝，
又0＜x＜，∴＜x＋＜，
∴sin＝.
∴＝
＝
＝2sin＝.
当遇到±x这样的角时可利用角的互余关系和诱导公式，将条件与结论沟．cos
2x＝sin＝2sin·cos.类似这样的变换还有：
(1)cos
2x＝sin＝2sincos＋x；
(2)sin
2x＝cos＝2cos2－1；
(3)sin
2x＝－cos＝1－2cos2等．
[再练一题]
3．已知cos＝，求的值．
【解】　∵＝
＝＝2sin
xcos
x＝sin
2x
又sin
2x＝－cos
＝1－2cos2＝1－2×＝.
[构建·体系]
1．若sin＝，则cos
α＝________.
【解析】　cos
α＝1－2sin2＝1－2×＝.
【答案】　
2．若＝，则tan
2α＝________.
【解析】　由＝得，tan
α＝－3.
∴tan
2α＝＝＝.
【答案】　
3．cos2－sin2＝________.
【解析】　原式＝cos＝cos
＝.
【答案】　
4.＝________.
【导学号：06460079】
【解析】　原式＝·＝×tan
15°＝×tan(60°－45°)
＝×
＝×＝×＝.
【答案】　
5．已知cos
2θ＝，＜θ＜π，
(1)求tan
θ；(2)求.
【解】　(1)由cos
2θ＝，得1－2sin2θ＝，sin2θ＝，
∵＜θ＜π，∴sin
θ＝，cos
θ＝－，∴tan
θ＝＝－.
(2)＝＝2.
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评(二十七)　二倍角的三角函数
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．cos275°＋cos215°＋cos
75°cos
15°的值等于________．
【解析】　∵75°＋15°＝90°，∴cos
75°＝sin
15°，
∴原式＝sin215°＋cos215°＋sin
15°cos
15°
＝1＋sin
30°
＝1＋×
＝
【答案】　
2．若cos
xcos
y＋sin
xsin
y＝，则cos(2x－2y)＝________.
【解析】　cos
xcos
y＋sin
xsin
y＝cos(x－y)＝，
∴cos(2x－2y)＝2cos2(x－y)－1＝2×－1＝－.
【答案】　－
3．已知sin
2α＝，α∈，则cos
α－sin
α＝________.
【解析】　∵<α<，∴cos
α－sin
α<0，
cos
α－sin
α＝－＝－
＝－＝－.
【答案】　－
4．(2016·南京高一检测)若tan
θ＋＝4，则sin
2θ＝________.
【解析】　由tan
θ＋＝＋＝＝4，得sin
θcos
θ＝，则sin
2θ＝2sin
θcos
θ＝2×＝.
【答案】　
5．若α∈，且sin2α＋cos
2α＝，则tan
α的值等于________．
【解析】　∵sin2α＋cos
2α＝，∴sin2α＋cos2α－sin2α＝，
∴cos2α＝.
又α∈，
∴cos
α＝，sin
α＝.
∴tan
α＝.
【答案】　
6．已知tan＝，tan＝－，则tan(α＋β)＝________.
【导学号：06460080】
【解析】　∵tan＝tan
＝
＝＝，
∴tan(α＋β)＝＝＝.
【答案】　
7．(2016·苏州高一检测)已知cos＝，则sin
2x＝________.
【解析】　∵sin
2x＝cos＝2cos2－1
∴sin
2x＝2×－1＝－.
【答案】　－
8．若f(x)＝2tan
x－，则f＝________.
【解析】　f(x)＝2tan
x－＝2＋2
＝2＝＝＝.
∴f＝＝8.
【答案】　8
二、解答题
9．若<α<2π，化简：.
【解】　∵<α<2π，∴<<π.
∴原式＝＝
＝＝＝＝－cos
.
10．已知cos
x＝－，x∈(－π，0)．
(1)求sin
2x的值；
(2)求tan的值．
【解】　(1)∵cos
x＝－，x∈(－π，0)，
∴sin
x＝－.
∴sin
2x＝2sin
xcos
x＝.
(2)由(1)得tan
x＝
∴tan
2x＝＝.
∴tan＝
＝
＝－7.
[能力提升]
1．(2016·扬州高一检测)函数y＝cos
2x＋2sin
x的最大值为________．
【解析】　y＝cos
2x＋2sin
x＝－2sin2x＋2sin
x＋1，
设t＝sin
x(－1≤t≤1)，则原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－22＋，
∴当t＝时，函数取得最大值.
【答案】　
2．(2016·无锡高一检测)若sin＝，则cos＝________.
【解析】　∵＋＝，
∴sin＝cos＝
∴cos＝2cos2－1
＝2×－1
＝－.
【答案】　－
3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos
2θ＝________.
【解析】　由三角函数的定义可知tan
θ＝2，∴cos
2θ＝cos2θ－sin2θ
＝＝＝＝－.
【答案】　－
4．在平面直角坐标系xOy中，点P在角α的终边上，点Q(sin2θ，－1)在角β的终边上，且·＝－.
(1)求cos
2θ的值；
(2)求sin(α＋β)的值．
【解】　(1)因为·＝－，
所以sin2θ－cos2θ＝－，
即(1－cos2θ)－cos2θ＝－，
所以cos2θ＝，
所以cos
2θ＝2cos2θ－1＝.
(2)因为cos2θ＝，所以sin2θ＝，
所以点P，点Q，
又点P在角α的终边上，
所以sin
α＝，cos
α＝.
同理sin
β＝－，cos
β＝，
所以sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β
＝×＋×
＝－.1.1.2　弧度制
1．了解弧度制．
2．会进行弧度与角度的互化．(重点、难点)
3．掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式．(难点、易错点)
[基础·初探]
教材整理1　弧度制的概念
阅读教材P7的有关内容，完成下列问题．
1．角度制：规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
2．弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1_rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大．(　　)
(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等．(　　)
(3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度．(　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×
教材整理2　角度制与弧度制的换算
阅读教材P8的全部内容，完成下列问题．
1．角度制与弧度制的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2πrad
2π
rad＝360°
180°＝πrad
π
rad＝180°
1°＝rad≈0.017
45
rad
1
rad＝度≈57.30°
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
角度
0°
1°
30°
45°
60°
90°
弧度
0
角度
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
π
2π
3.任意角的弧度数与实数的对应关系
正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.
(1)＝________；(2)－＝________；
(3)－120°＝________rad；(4)210°＝________rad.
【解析】　(1)＝×180°＝108°；
(2)－＝－×180°＝－30°；
(3)－120°＝－120×＝－π；
(4)210°＝210×＝.
【答案】　(1)108°　(2)－30°　(3)－　(4)
教材整理3　扇形的弧长公式及面积公式
阅读教材P9的全部内容，完成下列问题．
1．弧度制下的弧长公式：
如图1 1 7，l是圆心角α所对的弧长，r是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝，弧长l＝|α|r.特别地，当r＝1时，弧长l＝|α|.
图1 1 7
2．扇形面积公式：
在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r，圆心角为α的扇形的面积为S＝·πr2＝lr.
　若扇形的圆心角为，半径r＝1，则该扇形的弧长为________，面积为________．
【解析】　∵α＝，r＝1，
∴弧长l＝α·r＝×1＝，
面积S＝lr＝××1＝.
【答案】　　
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：　
[小组合作型]
角度制与弧度制的互化
　把下列弧度化成角度或角度化成弧度；
(1)－450°；(2)；(3)－；(4)112°30′.
【精彩点拨】　利用“180°＝π”实现角度与弧度的互化．
【自主解答】　(1)－450°＝－450×
rad＝－
rad；
(2)
rad＝×＝18°；
(3)－
rad＝－×＝－240°；
(4)112°30′＝112.5°＝112.5×
rad＝
rad.
角度制与弧度制换算的要点：
[再练一题]
1．把下列角度化成弧度或弧度化成角度：
(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－.
【解】　(1)72°＝72×
rad＝
rad；
(2)－300°＝－300×
rad＝－
rad；
(3)2
rad＝2×＝≈114.60°；
(4)－
rad＝－×＝－40°.
用弧度制表示角的集合
　用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图1 1 8所示).
【导学号：06460003】
图1 1 8
【精彩点拨】　先写出边界角的集合，再借助图形写区间角的集合．
【自主解答】　用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，
(1)，
(2)，
(3).
表示角的集合，单位制要统一，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋2kπ k∈Z ”中，α必须是用弧度制表示的角，在“α＋k·360°， k∈Z ”中，α必须是用角度制表示的角.
[再练一题]
2．如图1 1 9，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．
①　　　　　　　　②
图1 1 9
【解】　(1)如题图①，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)，
所以阴影部分内的角的集合为
.
(2)如题图②，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为＋2kπ(k∈Z)．
不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，
则M1＝，M2＝α＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z.
所以阴影部分内的角的集合为
M1∪M2＝α＋2kπ或＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z.
[探究共研型]
扇形的弧长及面积问题
探究1　公式l＝|α|r中，“α”可以为角度制角吗？
【提示】　公式l＝|α|r中，“α”必须为弧度制角．
探究2　在扇形的弧长l，半径r，圆心角α，面积S中，已知其中几个量可求其余量？举例说明．
【提示】　已知任意两个量可求其余两个量，如已知α，r，可利用l＝|α|r，求l，进而求S＝lr；
又如已知S，α，可利用S＝|α|r2，求r，进而求l＝|α|r.
　一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？
【精彩点拨】　→→→
【自主解答】　设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则l＝αr，
依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，
∴α＝.
由l＝20－2r>0及r>0得0∴S扇形＝αr2＝··r2＝(10－r)r
＝－(r－5)2＋25(0∴当r＝5时，扇形面积最大为S＝25.
此时l＝10，α＝2，
故当扇形半径r＝5，圆心角为2
rad时，
扇形面积最大．
灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.
[再练一题]
3．已知扇形OAB的圆心角为120°，半径为6，求扇形的弧长和面积．
【解】　∵α＝120×＝.
又r＝6，
∴弧长l＝αr＝×6＝4π.
面积S＝lr＝×4π×6＝12π.
[构建·体系]
1．将下列各角的弧度(角度)化为角度(弧度)：
(1)＝________；(2)－＝________；
(3)920°＝________；(4)－72°＝________.
【解析】　(1)＝×180°＝24°.
(2)－＝－×180°＝－216°.
(3)920°＝920×＝π
rad.
(4)－72°＝－72×＝－
rad.
【答案】　(1)24°　(2)－216°　(3)π
rad
(4)－
rad
2．(2016·北京高一检测)半径长为2的圆中，扇形的圆心角为2弧度，则扇形的面积为________．
【解析】　S＝lr＝r2·α＝×4×2＝4.
【答案】　4
3．圆的半径变为原来的3倍，而所对的弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍．
【解析】　设圆最初半径为r1，圆心角为α1，弧长为l，圆变化后的半径为r2，圆心角为α2，则
α1＝，α2＝.
又r2＝3r1，
∴＝＝＝.
【答案】　
4．用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为________．
【解析】　若角α的终边落在x轴的上方，
则2kπ＜α＜2kπ＋π，k∈Z.
【答案】　
5．设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－.
(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在[－720°，0°)范围内找出与它们终边相同的所有角．
【导学号：06460004】
【解】　(1)∵180°＝π
rad，
∴α1＝－570°＝－570×＝－
＝－2×2π＋，
α2＝750°＝750×＝＝2×2π＋.
∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限．
(2)β1＝＝×＝108°，
设θ＝108°＋k·360°(k∈Z)，则由－720°≤θ＜0°，
即－720°≤108°＋k·360°＜0°，
得k＝－2，或k＝－1.
故在[－720°，0°)范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°.
β2＝－＝－60°，
设γ＝－60°＋k·360°(k∈Z)，则由－720°≤－60°＋k·360°＜0°，得k＝－1，或k＝0.
故在[－720°，0°)范围内，与β2终边相同的角是－420°.
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评(二)　弧度制
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．下列命题中，是假命题的序号为________．
①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；
②1°的角是周角的，1
rad的角是周角的；
③1
rad的角比1°的角要大；
④用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．
【解析】　①②③正确，④错误，角的大小与圆的半径无关．
【答案】　④
2．下列各式正确的是________．
①－270°＝－；②405°＝；
③335°＝；④705°＝.
【解析】　－270°＝－270×＝－；
405°＝405×＝；
335°＝335×＝；
705°＝705×＝.故①②④正确．
【答案】　①②④
3．下列表示中不正确的是________．
①终边在x轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}；
②终边在y轴上的角的集合是；
③终边在坐标轴上的角的集合是；
④终边在直线y＝x上的角的集合是α＋2kπ，k∈Z.
【解析】　④错误，终边在直线y＝x上的角的集合是.
【答案】　④
4．(2016·南通高一检测)如图1 1 10所示，图中公路弯道处的弧长l＝________(精确到1
m)．
图1 1 10
【解析】　根据弧长公式，l＝αr＝×45≈47(m)．
【答案】　47
m
5．(2016·泰州高一检测)已知扇形的周长是6
cm，面积为2
cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．
【解析】　设圆心角为α，半径为r，弧长为l，
则解得r＝1，l＝4或r＝2，l＝2，
∴α＝＝1或4.
【答案】　1或4
6．已知角α的终边与的终边相同，在[0,2π)内终边与角的终边相同的角为________.
【导学号：06460005】
【解析】　由题意得α＝2kπ＋(k∈Z)，
故＝＋(k∈Z)，
又∵0≤<2π，所以当k＝0,1,2时，
有＝，π，π满足题意．
【答案】　，π，π
7．(2016·扬州高一检测)如图1 1 11，已知圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是________．
图1 1 11
【解析】　∵40°＝40×＝，30°＝30×＝，
∴S＝r2·＋r2·＝.
【答案】　
8．(2016·镇江高一检测)圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对圆心角的弧度数为________．
【解析】　设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，弧长等于R的圆心角的弧度数为α＝＝.
【答案】　
二、解答题
9．已知α＝2
000°.
(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式．
(2)θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．求θ.
【解】　(1)α＝2
000°＝5×360°＋200°＝10π＋π.
(2)θ与α的终边相同，故θ＝2kπ＋π，k∈Z，
又θ∈(4π，6π)，
所以k＝2时，θ＝4π＋π＝π.
10．如图1 1 12所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．
图1 1 12
【解】　(1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成．故满足条件的角的集合为
.
(2)若将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为α＋2kπ，k∈Z.
(3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转π
rad而得到，所以满足条件的角的集合为.
(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π
rad后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为.
[能力提升]
1．(2016·泰州高一检测)已知某中学上午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课铃声响起时，时钟的时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是________．
【解析】　8点时，时钟的时针正好指向8，分针正好指向12，由于时钟的每两个数字之间的圆心角是30°，即，故此时时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是×4＝.
【答案】　
2．若角α的终边与的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.
【解析】　与α终边相同的角的集合为α.∵α∈(－4π，4π)，∴－4π＜2kπ＋＜4π，
化简得：－＜k＜，∵k∈Z，∴k＝－2，－1,0,1，
∴α＝－π，－π，，π.
【答案】　－π，－π，，π
3．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________.
【解析】　如图所示，
∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．
【答案】　[－4，－π]∪[0，π]
4．用30
cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
【解】　设扇形的圆心角为α，半径为r，面积为S，弧长为l，则有l＋2r＝30，∴l＝30－2r，
从而S＝·l·r＝(30－2r)·r
＝－r2＋15r＝－2＋.
又∵r＞0，且l＝30－2r＞0，∴0＜r＜15，
∴当半径r＝
cm时，l＝30－2×＝15(cm)，扇形面积的最大值是
cm2，这时α＝＝2
rad，
∴当扇形的圆心角为2
rad，半径为
cm时，面积最大，最大面积为
cm2.章末分层突破
[自我校对]
①正角、负角和零角
②弧长
③扇形面积
④正弦
⑤余弦
⑥正切
　
任意角的三角函数概念
三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：
(1)任意角和弧度制．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．
(2)任意角的三角函数．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．
　(1)已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sin
α＋cos
α的值是________．
(2)函数y＝＋的定义域是________．
【精彩点拨】　(1)根据三角函数的定义求解，注意讨论m的正负．
(2)利用三角函数线求解．
【规范解答】　(1)r＝|OP|＝＝5|m|.
当m>0时，sin
α＝＝＝，cos
α＝＝＝－，
∴2sin
α＋cos
α＝.
当m<0时，sin
α＝＝＝－，cos
α＝＝＝，
∴2sin
α＋cos
α＝－.
故2sin
α＋cos
α的值是或－.
(2)由得
如图，结合三角函数线知：
解得2kπ≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴函数的定义域为
.
【答案】　(1)或－
(2)
[再练一题]
1．若θ是第四象限角，试判断sin(cos
θ)·cos(sin
θ)的符号．
【解】　∵θ为第四象限角，
∴0＜cos
θ＜1＜，－＜－1＜sin
θ＜0.
∴sin(cos
θ)＞0，cos(sin
θ)＞0.
∴sin(cos
θ)·cos(sin
θ)＞0.
同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系和诱导公式是三角恒等变换的主要依据，主要应用方向是三角函数式的化简、求值和证明．常用以下方法技巧：
(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．
(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再化简变形．
(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式．
　已知cos
θ＝m，|m|≤1，求sin
θ、tan
θ的值．
【精彩点拨】　以角θ的终边所在位置为依据分别讨论求解．
【规范解答】　(1)当m＝0时，θ＝2kπ±，k∈Z；当θ＝2kπ＋时，sin
θ＝1，tan
θ不存在；当θ＝2kπ－时，sin
θ＝－1，tan
θ不存在．
(2)当m＝1时，θ＝2kπ，k∈Z，sin
θ＝tan
θ＝0.
当m＝－1时，θ＝2kπ＋π，k∈Z，sin
θ＝tan
θ＝0.
(3)当θ在第一、二象限时，
sin
θ＝，tan
θ＝.
(4)当θ在第三、四象限时，
sin
θ＝－，tan
θ＝－.
[再练一题]
2．已知＝1，则sin2θ＋3sin
θcos
θ＋2cos2θ的值是________．
【解析】　由已知得＝1，
即tan
θ＝1，
于是sin2θ＋3sin
θcos
θ＋2cos2θ
＝＝＝3.
【答案】　3
三角函数的图象与性质
三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．具体要求：
(1)用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令ωx＋φ＝0，，π，，2π.
(2)对于y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．
(3)已知函数图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法．
　已知函数f(x)＝2sin＋a，a为常数．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
(3)若x∈时，f(x)的最小值为－2，求a的值．
【精彩点拨】　→
→
【规范解答】　(1)f(x)＝2sin＋a，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(3)当x∈时，2x－∈，
所以x＝0时，f(x)取得最小值，
即2sin＋a＝－2，故a＝－1.
[再练一题]
3．如图1 1所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的部分图象．
图1 1
(1)求此函数的解析式；
(2)分析该函数的图象是如何通过y＝sin
x的图象变换得来的．
【解】　(1)由图象知，A＝＝，k＝＝－1，T＝2×＝π，
∴ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)－1.
当x＝时，2×＋φ＝，∴φ＝，
∴所求函数的解析式为y＝sin－1.
(2)把y＝sin
x的图象向左平移个单位，得到y＝sin的图象，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的，得到y＝sin的图象，再保持横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到y＝·sin的图象，最后把函数y＝sin2x＋的图象向下平移1个单位，得到y＝sin－1的图象．
数形结合思想
数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、判断图象交点的个数、求参数范围等题目中．
本章中，常常利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象解答三角问题，是典型的“以形助数”的方法，而利用三角公式证明三角函数中的几何性质问题，又是典型的“以数助形”的解题策略．
　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R在一个周期内的简图如图1 2所示，求函数g(x)＝f(x)－lg
x零点的个数．
图1 2
【精彩点拨】　→→
→
【规范解答】　显然A＝2.
由图象过(0,1)点，则f(0)＝1，
即sin
φ＝，
又|φ|＜，则φ＝.
又是图象上的点，则f＝0，
即sin＝0，由图象可知，是图象在y轴右侧部分与x轴的第二个交点．
∴ω＋＝2π，
∴ω＝2，因此所求函数的解析式为f(x)＝2sin.
在同一坐标系中作函数y＝2sin和函数y＝lg
x的示意图如图所示：
∵f(x)的最大值为2，令lg
x＝2，得x＝100，令π＋kπ＜100(k∈Z)，得k≤30(k∈Z)，而π＋31π＞100，∴在区间(0,100]内有31个形如(k∈Z,0≤k≤30)的区间，在每个区间上y＝f(x)与y＝lg
x的图象都有2个交点，故这两个函数图象在上有2×31＝62个交点，另外在上还有1个交点，∴方程f(x)－lg
x＝0共有实根63个，
∴函数g(x)＝f(x)－lg
x共有63个零点．
[再练一题]
4．若集合M＝，N＝θ，求M∩N.
【解】　首先作出正弦函数与余弦函数以及直线y＝的图象，如图①②.结合图象得集合M，N分别为：
M＝，N＝.
得M∩N＝.
1．(2016·全国卷Ⅲ改编)若tan
α＝，则cos2α＋2sin
2α＝________.
【解析】　因为tan
α＝，则cos2α＋2sin
2α＝＝＝＝.
【答案】　
2．(2014·大纲全国卷改编)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos
α＝________.
【解析】　因为角α的终边经过点(－4,3)，
所以x＝－4，y＝3，r＝5，所以cos
α＝＝－.
【答案】　－
3．(2016·全国卷Ⅱ改编)若将函数y＝2sin
2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为________．
【解析】　将函数y＝2sin
2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin
2＝2sin的图象．由2x＋＝kx＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即平移后图象的对称轴为x＝＋(k∈Z)．
【答案】　x＝＋(k∈Z)
4．(2015·福建高考改编)若sin
α＝－，且α为第四象限角，则tan
α
的值等于________．
【解析】　方法一：因为α为第四象限的角，故cos
α＝＝＝，所以tan
α＝＝＝－.
方法二：因为α是第四象限角，且sin
α＝－，所以可在α的终边上取一点P(12，－5)，则tan
α＝＝－.
【答案】　－
5．(2015·全国卷Ⅰ改编)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图1 3所示，则f(x)的单调递减区间为________．
图1 3
【解析】　由图象知，周期T＝2＝2，
∴＝2，∴ω＝π.
由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，
∴f(x)＝cos.
由2kπ<πx＋<2kπ＋π，得2k－∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
【答案】　，k∈Z
6．(2016·江苏高考)定义在区间[0,3π]上的函数y＝sin
2x的图象与y＝cos
x的图象的交点个数是________．
【解析】　(方法一)函数y＝sin
2x的最小正周期为＝π，y＝cos
x的最小正周期为2π，在同一坐标系内画出两个函数在[0,3π]上的图象，如图所示．通过观察图象可知，在区间[0,3π]上两个函数图象的交点个数是7.
(方法二)联立两曲线方程，得两曲线交点个数即为方程组解的个数，也就是方程sin
2x＝cos
x解的个数．方程可化为2sin
xcos
x＝cos
x，即cos
x(2sin
x－1)＝0，
∴cos
x＝0或sin
x＝.
①当cos
x＝0时，x＝kπ＋，k∈Z，∵x∈[0,3π]，∴x＝，π，π，共3个；
②当sin
x＝时，∵x∈[0,3π]，
∴x＝，π，π，π，共4个．
综上，方程组在[0,3π]上有7个解，故两曲线在[0,3π]上有7个交点．
【答案】　7
7．(2014·江苏高考)已知函数y＝cos
x与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．
【解析】　由题意，得sin＝cos，
因为0≤φ<π，所以φ＝.
【答案】　
章末综合测评(一)　三角函数
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)
1．若sin
α＜0且tan
α＞0，则α是第________象限角．
【解析】　∵sin
α＜0，tan
α＞0，
∴α是第三象限角．
【答案】　三
2．已知圆的半径是6
cm，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是________．
【解析】　15°化为弧度为，设扇形的弧长为l，
则l＝6×＝，其面积S＝lR＝××6＝.
【答案】　
3．cos
675°＝________.
【解析】　cos
675°＝cos(675°－720°)＝cos(－45°)
＝cos
45°＝.
【答案】　
4．把－表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ的值是________．
【解析】　∵－＝－2π－，∴－与－是终边相同的角，且此时＝是最小的．
【答案】　－
5．角α，β的终边关于x轴对称，若α＝30°，则β＝________.
【解析】　画出图形，可知β的终边与－α的终边相同，故β＝－30°＋k·360°，k∈Z.
【答案】　－30°＋k·360°，k∈Z
6．(2016·南通高一检测)函数y＝cos，x∈的值域是________．
【解析】　由0≤x≤，得≤x＋≤，
∴－≤cos≤.
【答案】　
7．设α是第二象限角，则·等于________．
【解析】　因为α是第二象限角，
所以·
＝·
＝·
＝·＝－1.
【答案】　－1
8．(2014·重庆高考)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin
x的图象，则f＝________.
【解析】　将y＝sin
x的图象向左平移个单位长度可得y＝sin的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y＝sin的图象，故f(x)＝sin.所以f＝sin×＋＝sin
＝.
【答案】　
9．(2016·如皋高一检测)若3sin
α＋cos
α＝0，则的值为________．
【解析】　由3sin
α＋cos
α＝0，得tan
α＝－，
∴＝
＝＝＝.
【答案】　
10．(2016·南京高一检测)已知点P(tan
α，sin
α－cos
α)在第一象限，且0≤α≤2π，则角α的取值范围是________．
【解析】　∵点P在第一象限，
∴
由①知0＜α＜或π＜α＜，　③
由②知sin
α＞cos
α.
作出三角函数线知，在[0,2π]内满足sin
α＞cos
α的α∈.　④
由③，④得α∈∪.
【答案】　∪
11．(2016·苏州高一检测)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图1所示，则f＝________.
图1
【解析】　由图象知T＝π，
∴T＝，A＝2，
又∵T＝，∴ω＝3，将点代入y＝2sin(3x＋φ)得：sin＝0，取φ＝－π，
∴f(x)＝2sin，
∴f＝2sin＝2sin
π＝0.
【答案】　0
12．化简：＝________.
【解析】　原式＝
＝＝
＝cos
20°－sin
20°.
【答案】　cos
20°－sin
20°
13.如图2为一半径是3
m的水轮，水轮圆心O距离水面2
m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则ω＝________，A＝________.
图2
【解析】　由题意知，半径即是振幅，A＝3，因为水轮每分钟旋转4圈，即周期为T＝＝15
s，所以ω＝＝.
【答案】　　3
14．(2016·泰州高一检测)关于函数f(x)＝2sin3x－π，有下列命题：
①其最小正周期为π；
②其图象由y＝2sin
3x向左平移个单位而得到；
③其表达式可以写成f(x)＝2cos；
④在x∈为单调递增函数．
则其中真命题为________．(需写出所有真命题的序号)
【解析】　①由f(x)＝2sin得T＝，故①正确．
②y＝2sin
3x向左平移个单位得y＝2sin3x＋π，故②不正确．
③由f(x)＝2sin
＝2sin
＝－2sin
＝2sin
＝2cos，
故③正确．
④由2kπ－≤3x－π≤2kπ＋(k∈Z)得kπ＋≤x≤kπ＋π(k∈Z)，
∴f(x)＝2sin的单调递增区间为(k∈Z)．
当k＝0时，增区间为，
故④正确．
【答案】　①③④
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)(1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，求2sin
α＋cos
α的值；
(2)已知角α终边上一点P与x轴的距离与y轴的距离之比为3∶4，求2sin
α＋cos
α的值．
【解】　(1)∵r＝＝5，
∴sin
α＝＝－，cos
α＝＝，
∴2sin
α＋cos
α＝－＋＝－.
(2)当点P在第一象限时，
sin
α＝，cos
α＝，2sin
α＋cos
α＝2；
当点P在第二象限时，
sin
α＝，cos
α＝－，2sin
α＋cos
α＝；
当点P在第三象限时，
sin
α＝－，cos
α＝－，2sin
α＋cos
α＝－2；
当点P在第四象限时，sin
α＝－，cos
α＝，2sin
α＋cos
α＝－.
16．(本小题满分14分)已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)．
(1)求的值；
(2)求sin2α＋2sin
αcos
α－cos2α＋2的值．
【解】　由已知，得－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，
∴－sin(π－α)＝2cos(－α)，
∴sin
α＝－2cos
α.
∵cos
α≠0，∴tan
α＝－2.
(1)原式＝＝
＝＝＝－.
(2)原式＝＋2
＝＋2
＝＋2＝.
17．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝3sin.
(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；
图3
(2)写出f(x)的值域、周期、对称轴、单调区间．
【解】　(1)列表如下：
x＋
0
π
2π
x
－
sin
0
1
0
－1
0
3sin
0
3
0
－3
0
描点画图如图所示．
(2)由上图可知：值域为[－3,3]，周期为2π，
对称轴为，
单调增区间为(k∈Z)，
单调减区间为(k∈Z)．
18．(本小题满分16分)(2016·天津十二区联考二)函数f(x)＝cos(πx＋φ)的部分图象如图4所示．
图4
(1)求φ及图中x0的值；
(2)设g(x)＝f(x)＋f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
【解】　(1)由题图得f(0)＝，
所以cos
φ＝，
因为0＜φ＜，故φ＝.
由于f(x)的最小正周期等于2，所以由题图可知1＜x0＜2.
故＜πx0＋＜，
由f(x0)＝得cos＝，
所以πx0＋＝，解得x0＝.
(2)因为f
＝cos
＝cos
＝－sin
πx，
所以g(x)＝f(x)＋f
＝cos－sin
πx
＝cos
πxcos
－sin
πxsin
－sin
πx
＝cos
πx－sin
πx－sin
πx＝cos
πx－sin
πx
＝sin.
当x∈时，－≤－πx≤，
所以－≤sin≤1，
故－πx＝，即x＝－时，g(x)取得最大值；
当－πx＝－，即x＝时，g(x)取得最小值－.
19．(本小题满分16分)(2016·宿迁高一检测)已知函数y＝asin＋b在x∈上的值域为[－5,1]，求a，b的值．
【解】　由题意知a≠0.∵x∈，
∴2x＋∈，
∴sin∈.
当a＞0时，解得
当a＜0时，
解得
综上，a＝4，b＝－3或a＝－4，b＝－1.
20．(本小题满分16分)(2016·南通高一检测)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的一系列对应值如下表：
x
－
y
－1
1
3
1
－1
1
3
(1)根据表格提供的数据求出函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的周期为，当x∈时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
【解】　(1)设f(x)的最小正周期为T，得T＝－＝2π.由T＝，得ω＝1.
又解得
令ω·＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z.
又|φ|＜，解得φ＝－，
∴f(x)＝2sin＋1.
(2)∵函数y＝f(kx)＝2sin＋1的周期为，又k＞0，∴k＝3.
令t＝3x－，∵x∈，∴t∈.
如图，sin
t＝s在上有两个不同的解的条件是s∈，∴方程f(kx)＝m在x∈时，恰有两个不同的解的条件是m∈，即实数m的取值范围是[＋1,3).2.3　向量的坐标表示
2.3.1　平面向量基本定理
1．理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义．(重点)
2．在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量．(重点)
3．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　平面向量基本定理
阅读教材P74～P75第一自然段的内容，完成下列问题．
1．定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2．基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)同一平面内只有不共线的两个向量可以作为基底．(　　)
(2)0能与另外一个向量a构成基底．(　　)
(3)平面向量的基底不是唯一的．(　　)
【解析】　平面内任意一对不共线的向量都可以作为基底，故(2)是错误的．(1)，(3)正确．
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√
教材整理2　平面向量的正交分解
阅读教材P75第二自然段的有关内容，完成下列问题．
一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量a的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．
如图2 3 1，在△ABC中，P为BC边上一点，且＝.
图2 3 1
(1)用，为基底表示＝________；
(2)用，为基底表示＝________.
【解析】　(1)∵＝＋，
＝＝，＝－，
∴＝＋＝＋－＝＋.
(2)＝＋＝＋.
【答案】　＋　＋
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：　
[小组合作型]
基底的概念理解
　设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是________．
①e1＋e2和e1－e2；②3e1－4e2和6e1－8e2；③e1＋2e2和2e1＋e2；④e1和e1＋e2；⑤2e1－e2和e1－e2.
【精彩点拨】　验证所给向量是否共线，若共线则不能构成基底．
【自主解答】　由题意，知e1，e2不共线，易知②中，3e1－4e2＝(6e1－8e2)，即3e1－4e2与6e1－8e2共线，
∴②不能作基底．⑤中，2e1－e2＝2，
∴2e1－e2与e1－e2共线，不能作基底．
【答案】　②⑤
向量的基底是指平面内不共线的向量，事实上，若e1，e2是基底，则必有e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2(e1＋e2)等均不能构成基底．
[再练一题]
1．若向量a，b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底．
【解】　设存在实数λ使得c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0.
由于a，b不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底．
用基底表示向量
　如图2 3 2所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来．
图2 3 2
【精彩点拨】　以，为基底表示向量，，，注意三角形法则的应用．
【自主解答】　＝－＝－＝a－b，
＝－＝－－＝－b－(a－b)＝－a＋b，
＝－＝－(＋)＝(a＋b)．
1．若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法三角形法则或平行四边形法则，结合数乘运算，找到所求向量与基底的关系．
2．若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的两不共线向量作为基底，然后用上述方法求解．
[再练一题]
2．如图2 3 3所示，已知 ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.
【导学号：06460051】
图2 3 3
【解】　设＝a，＝b，则
由得
∴
∴＝－＝(2e1－e2)，
∴＝e2－e1；
＝＝e2－e1.
[探究共研型]
平面向量基本定理与向量共线定理的应用
探究1　平面内的任一向量都可以表示成两个不共线向量的线性组合吗？
【提示】　是的．
探究2　若e1，e2不共线，且λe1＋μe2＝0，则λ，μ满足什么关系？
【提示】　λ＝μ＝0.
　如图2 3 4，在△ABC中，点M是BC的中点，N在AC上上且AN＝2NC，AM与BN交于点P，求AP∶PM的值．
图2 3 4
【精彩点拨】　选取基底，→表示，→设＝λ，＝μ→由＝＋求λ，μ的值．
【自主解答】　设＝a，＝b，
则＝(a＋b)，＝－a＋b.
∵A，P，M共线，∴设＝λ，
∴＝(a＋b)，
同理设＝μ，
∴＝－μa＋μb.
∵＝＋，
∴a＝(a＋b)－，
∴a＝b.
∵a与b不共线，∴
∴λ＝，μ＝，
∴＝，＝，
∴AP∶PM＝4∶1.
1．充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注意方程思想的应用．
2．用基底表示向量也是用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握．
[再练一题]
3．如图2 3 5，平行四边形ABCD中，H为CD的中点，且AH与BD交于I，求AI∶IH的值．
图2 3 5
【解】　设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝a－b.
设＝λ，＝μ，
∴＝λ＝a＋λb，
又＝＋＝b＋μ(a－b)＝μa＋(1－μ)b，
故∴λ＝1，∴λ＝.
∴AI∶IH＝2∶1.
[构建·体系]
1．对于下列说法中：
①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
③零向量不可作为基底中的向量．
其中正确的说法是________．
【解析】　由平面向量基本定理直接就可推知②③正确．
【答案】　②③
2．如图2 3 6所示，△ABC中，若D，E，F依次是AB的四等分点，则以＝e1，＝e2为基底时，＝________.
图2 3 6
【解析】　＝e1，＝e2，∴＝e1－e2.
∵＝，∴＝(e1－e2)，
∴＝＋＝e2＋(e1－e2)＝e1＋e2.
【答案】　e1＋e2
3．向量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝________，μ＝________.
【解析】　由条件可知
解得
【答案】　　－
4．设一直线上三点A，B，P满足＝m(m≠－1)，O是直线所在平面内一点，则用，表示为________.
【导学号：06460052】
【解析】　由＝m，得－＝m(－)，
∴＋m＝＋m，∴＝
＝＋.
【答案】　＝＋
5．已知G为△ABC的重心，设＝a，＝b.试用a，b表示向量.
【解】　连结AG并延长，交BC于点D，则D为BC的中点，
＝＝(＋)
＝
＝＋
＝＋(－)
＝＋＝a＋b.
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评(十八)　平面向量基本定理
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD的交点，有下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是________．
【解析】　如图所示，与为不共线向量，可以作为基底.与为不共线向量，可以作为基底.与，与均为共线向量，不能作为基底．
【答案】　①③
2．已知向量a和b不共线，实线x，y满足向量等式(2x－y)a＋4b＝5a＋(x－2y)b，则x＋y的值等于________．
【解析】　由平面向量基本定理得解得∴x＋y＝1.
【答案】　1
3．(2016·苏州高一检测)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________.
【解析】　∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
又∵＝＋λ，∴λ＝.
【答案】　
4．若e1，e2是表示平面所有向量的一组基底，且a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则k的值为________．
【解析】　易知a∥b，故设3e1－4e2＝λ(6e1＋ke2)，
∴∴k＝－8.
【答案】　－8
5．如图2 3 7所示，平面内的两条直线OP1和OP2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若＝a＋b，且点P落在第Ⅰ部分，则a________0，b________0.(填“＞”或“＜”)
图2 3 7
【解析】　由向量的分解可知，a＜0，b＞0.
【答案】　＜　＞
6．设e1，e2是不共线向量，e1＋2e2与me1＋ne2共线，则＝________.
【解析】　由e1＋2e2＝λ(me1＋ne2)，得mλ＝1且nλ＝2，
∴＝2.
【答案】　2
7．(2016·南京高一检测)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
【导学号：06460053】
【解析】　设＝b，＝a，则＝b－a，
＝b－a，＝b－a，代入＝λ＋μ，
得b－a＝b－a，
即解得λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.
【答案】　
8．如图2 3 8，在△ABC中，＝a，＝b，＝c，三边BC，CA，AB的中点依次为D，E，F，则＋＋＝________.
图2 3 8
【解析】　原式＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝0.
【答案】　0
二、解答题
9．如图2 3 9，在 ABCD中，＝a，＝b，E，F分别是AB，BC的中点，G点使＝，试以a，b为基底表示向量与.
图2 3 9
【解】　＝＋＝＋
＝＋＝a＋b.
＝＋＋
＝－＋＋
＝－a＋b＋a＝－a＋b.
10．设e1，e2为两个不共线的向量，a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，试用b，c为基底表示向量a.
【解】　设a＝λ1b＋λ2c，λ1，λ2∈R，则
－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，
即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2，
∴∴∴a＝－b＋c.
[能力提升]
1．如图2 3 10，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝________.
图2 3 10
【解析】　∵＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝b＋a.
【答案】　b＋a
2.如图2 3 11，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
图2 3 11
【解析】　设＝λ，
＝－＝m＋－＝m－，
λ＝λ(－)＝λ＝λ－，
∴∴m＝λ＝.
【答案】　
3．点M是△ABC所在平面内的一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为________．
【解析】　如图，分别在，上取点E，F，
使＝，＝，
在上取点G，使＝，
则EG∥AC，FG∥AE，
∴＝＋＝，
∴M与G重合，∴＝＝.
【答案】　
4．如图2 3 12，△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点，若＝x，＝y，试问：＋是否为定值？
图2 3 12
【解】　设＝a，＝b，
则＝xa，＝yb，
＝＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－xa＝a＋b，
＝－＝yb－xa＝－xa＋yb.
∵与共线，∴存在实数λ，使＝λ，
∴a＋b＝λ(－xa＋yb)＝－λxa＋λyb.
∵a与b不共线，
∴
消去λ，得＋＝4，∴＋为定值.第3课时　正切函数的图象与性质
1．了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质．(重点)
2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．(难点、易错点)
[基础·初探]
教材整理　正切函数的图象与性质
阅读教材P32～P33的全部内容，完成下列问题．
解析式
y＝tan
x
图象
定义域
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
在开区间(k∈Z)上都是增函数
对称性
无对称轴，对称中心为(k∈Z)
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数在定义域上是单调递增函数．(　　)
(2)正切函数的对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z.(　　)
(3)正切函数的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.(　　)
【解析】　(1)×.正切函数在，k∈Z上是单调递增函数．
(2)×.正切函数不是轴对称图形．
(3)×.正切函数的对称中心为，k∈Z.
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：　
[小组合作型]
正切函数的定义域
　求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝.
【精彩点拨】　(1)分母不为0，且tan有意义；
(2)被开方数非负，且tan
x有意义．
【自主解答】　(1)若使得y＝有意义，
则
∴
∴函数y＝的定义域为
.
(2)由题意得tan
x－3≥0，
∴tan
x≥，
∴kπ＋≤x＜kπ＋(k∈Z)，
∴y＝的定义域为
.
求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan
x有意义，即x≠kπ＋ k∈Z ，而对于构建的三角函数不等式，常利用三角函数的图象求解.
[再练一题]
1．求函数y＝的定义域.
【导学号：06460027】
【解】　(1)要使函数y＝有意义，
则有
∴
∴
∴函数y＝的定义域为
.
正切函数的单调性及应用
　(1)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)．
①tan
________tan
；
②tan
________tan.
(2)求函数y＝tan的单调增区间．
【精彩点拨】　(1)把各角化归到同一单调区间内再利用函数的单调性进行比较．
(2)把x＋视为一个整体，利用y＝tan
x的单调区间求解．
【自主解答】　(1)①tan
＝tan＝tan
，
∵0＜<＜，且y＝tan
x在上是增函数，
∴tan
.
②tan
＝tan＝tan
，tan＝tan
，
∵0＜<＜，且y＝tan
x在上是增函数，∴tan
【答案】　①＜　②＜
(2)由kπ－所以函数y＝tan的单调增区间为(k∈Z)．
1．求y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋求得x的范围即可．比较两个同名函数的大小，应保证自变量在同一单调区间内．
2．运用正切函数单调性比较大小时，先把各角转化到同一个单调区间内，再运用单调性比较大小．
[再练一题]
2．求函数y＝3tan的单调区间．
【解】　y＝3tan＝－3tan.
由kπ－＜x－＜kπ＋(k∈Z)，
得2kπ－＜x＜2kπ＋π(k∈Z)，
∴函数y＝3tan的单调递减区间是
(k∈Z)．
[探究共研型]
正切函数的图象及应用
探究1　如何由y＝tan
x的图象画出y＝|tan
x|的图象？
【提示】　只须保持y＝tan
x的图象在x轴上方的不动，x轴下方的关于x轴对称便可得出y＝|tan
x|的图象．
探究2　如何由y＝tan
x的图象画出y＝tan|x|的图象．
【提示】　把y＝tan
x(x≥0)的图象关于y轴对称便可以得出y＝tan|x|的图象．
　根据函数y＝|tan
x|的图象，判断其单调区间、奇偶性、周期性．
【精彩点拨】　→→
【自主解答】　由y＝|tan
x|得，
y＝
其图象如图．
由图象可知，函数y＝|tan
x|是偶函数，
单调递增区间为(k∈Z)，
单调递减区间为(k∈Z)，周期为π.
作由正切函数复合而成的简单函数图象可用两种方法：
1 直接描点法，要注意定义域；
2 图象变换法，即以y＝tan
x的图象为基础，采用反转对称平移等变换，作出函数的图象.
[再练一题]
3．将本例中的函数y＝|tan
x|改为y＝tan
|x|解答同样的问题．
【解】　由y＝tan
|x|得
y＝
根据y＝tan
x的图象，作出y＝tan
|x|的图象如图：
由图象可知，函数y＝tan
|x|是偶函数，单调增区间为，(k＝0,1,2，…)；
单调减区间为，(k＝0，－1，－2，…)，不具有周期性．
[构建·体系]
1．函数y＝4tan的最小正周期为________．
【解析】　T＝＝2π.
【答案】　2π
2．函数y＝tan的定义域是________．
【解析】　解x－≠kπ＋(k∈Z)得
x≠kπ＋π(k∈Z)．
【答案】　
3．函数y＝tan
x在上的值域为________．
【解析】　∵－≤x≤，∴－1≤tan
x≤.
【答案】　[－1，]
4．不等式tan
x≥1的解集是________．
【解析】　由正切函数图象(图略)可知，
kπ＋≤x＜kπ＋(k∈Z)．
【答案】　(k∈Z)
5．求下列函数的单调区间：
(1)y＝tan；
(2)y＝tan
2x＋1.
【导学号：06460028】
【解】　(1)由－＋kπ＜x－＜＋kπ(k∈Z)，
解得－＋kπ＜x＜π＋kπ(k∈Z)，
∴函数y＝tan的单调增区间是－＋kπ，＋kπ(k∈Z)．
(2)令－＋kπ＜2x＜＋kπ(k∈Z)，
∴－＋＜x＜＋(k∈Z)，
∴函数y＝tan
2x＋1的单调增区间是－＋，＋(k∈Z)．
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评(十)　正切函数的图象与性质
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．下列正确命题的序号为________．
①y＝tan
x为增函数；
②y＝tan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为；
③在x∈[－π，π]上y＝tan
x是奇函数；
④在上y＝tan
x的最大值是1，最小值为－1.
【解析】　函数y＝tan
x在定义域内不具有单调性，故①错误；函数y＝tan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为，故②错误；当x＝－，时，y＝tan
x无意义，故③错误；由正切函数的图象可知④正确．
【答案】　④
2．比较大小：tan
________tan
.
【解析】　tan
＝tan＝tan
.
∵y＝tan
x在上是增函数且0＜＜＜，
∴tan
＜tan
，即tan
＜tan
.
【答案】　＜
3．函数f(x)＝的定义域为________．
【解析】　函数有意义，则
∴x≠且x≠＋，∴x≠，k∈Z.
【答案】　
4．函数y＝6tan的对称中心为________．
【解析】　y＝6tan
＝－6tan，
由6x－＝，k∈Z得x＝＋，k∈Z，
故对称中心为，k∈Z.
【答案】　(k∈Z)
5．函数y＝的值域为________．
【解析】　∵－≤x≤且x≠0，
∴－1≤tan
x≤1且tan
x≠0，
∴≥1或≤－1，
故所求函数的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
【答案】　(－∞，－1]∪[1，＋∞)
6．函数y＝3tan的最小正周期是，则ω＝________.
【解析】　由＝，可知ω＝±2.
【答案】　±2
7．已知函数y＝tan
ωx在内是减函数，则ω的取值范围是________．
【解析】　∵y＝tan
ωx在内是减函数，
∴T＝≥π，
∴|ω|≤1.
∵y＝tan
x在内为增函数，
∴ω<0，∴－1≤ω<0.
【答案】　－1≤ω<0
8．若f(x)＝tan，试比较f(－1)，f(0)，f(1)，并按从小到大的顺序排列：________.
【解析】　∵f(x)＝tan在上单调递增，
且T＝π，∴f(1)＝f(1－π)，
又－＜1－π＜－1＜0＜，
∴f(1－π)＜f(－1)＜f(0)，即f(1)＜f(－1)＜f(0)．
【答案】　f(1)＜f(－1)＜f(0)
二、解答题
9．设函数f(x)＝tan.
(1)求函数f(x)的定义域、周期和单调区间；
(2)求不等式－1≤f(x)≤的解集．
【导学号：06460029】
【解】　(1)由－≠＋kπ，k∈Z得x≠＋2kπ，
∴f(x)的定义域是.
∵ω＝，∴周期T＝＝2π.
由－＋kπ<－<＋kπ，k∈Z得
－＋2kπ∴函数f(x)的单调递增区间是－＋2kπ，＋2kπ(k∈Z)．
(2)由－1≤tan≤，得－＋kπ≤－≤＋kπ，k∈Z，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴不等式－1≤f(x)≤的解集是
.
10．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两交点的距离为，且图象关于点M对称，求f(x)的解析式．
【解】　由题意可知，函数f(x)的最小正周期T＝，即＝，∴ω＝2，
从而f(x)＝tan(2x＋φ)．
∵函数y＝f(x)的图象关于点M对称，
∴2×＋φ＝π，k∈Z，
即φ＝＋(k∈Z)．
∵0＜φ＜，∴φ只能取.
故f(x)＝tan.
[能力提升]
1．已知函数y＝，则下列说法中：①周期是π且有一条对称轴x＝0；②周期是2π且有一条对称轴x＝0；③周期是2π且有一条对称轴x＝π；④非周期函数但有无数条对称轴．
上述结论正确的有________(填以上所有正确的结论的序号)．
【解析】　如图是函数的图象，由图象可知函数周期为2π，对称轴为x＝kπ(k∈Z)．
【答案】　②③
2．函数f(x)＝tan
ωx(ω＞0)的图象相邻的两支截直线y＝所得线段长为，则f的值是________．
【解析】　T＝，∴＝，∴ω＝4，∴f(x)＝tan
4x，∴f＝0.
【答案】　0
3．函数y＝tan
x＋sin
x－|tan
x－sin
x|在区间内的图象是________．(只填相应序号)
图1 3 6
【解析】　当＜x＜π时，tan
x＜sin
x，y＝2tan
x＜0；
当x＝π时，y＝0；当π＜x＜π时，
tan
x＞sin
x，y＝2sin
x.
故填④.
【答案】　④
4．已知f(x)＝x2＋2x·tan
θ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数．
【解】　函数f(x)＝(x＋tan
θ)2－1－tan2θ的图象的对称轴为直线x＝－tan
θ.
∵y＝f(x)在[－1，]上是单调函数，
∴－tan
θ≤－1或－tan
θ≥，即tan
θ≥1或tan
θ≤－.
因此，θ角的取值范围是∪1.3.3　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象2.5　向量的应用
1．会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题．
2．会用向量方法解决某些简单的几何问题．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理　向量的应用
阅读教材P91～P92的全部内容，完成下列问题．
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若△ABC是直角三角形，则有·＝0.(　　)
(2)若∥，则直线AB与CD平行．(　　)
(3)在物体的运动过程中，力越大，做功越多．(　　)
【解析】　(1)可能·＝0或·＝0，故错误．
(2)∥，AB，CD亦可能在一条直线上，故错误．
(3)W＝F·s＝|F|·|s|cos
θ，故错误．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：　
[小组合作型]
向量在物理中的应用
　如图2 5 1所示，在重300
N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小．
图2 5 1
【精彩点拨】　解决本题的关键是把力的问题转化为向量问题解决，注意力的合成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则．
【自主解答】　如图，作平行四边形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.
在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.
||＝||cos
30°＝300×
＝150(N)，
||＝||sin
30°＝×300＝150(N)．
故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150
N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150
N.
1．解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成．
2．解题时要明确各个力之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型．
[再练一题]
1．已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．
(1)求F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．
【解】　(1)＝(－13，－15)，
W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．
∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99
J和－3
J.
(2)W＝F·＝(F1＋F2)·
＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)
＝(9，－1)·(－13，－15)
＝9×(－13)＋(－1)×(－15)
＝－117＋15＝－102(J)．
∴合力F对质点所做的功为－102
J.
向量在平面几何中的应用
　如图2 5 2所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
【导学号：06460066】
图2 5 2
【精彩点拨】　法一，选取基底，并证明·＝0.
法二，建立平面直角坐标系证明·＝0.
【自主解答】　法一：设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，
又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，
所以·＝·
＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0，
故⊥，即AF⊥DE.
法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)．
因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以⊥，即AF⊥DE.
用向量法证明平面几何问题的方法，有两种常见思路：
(1)向量的线性运算法：
→→
→
(2)向量的坐标运算法：
→→
→
但比较以上两种方法，易于知道，如果题目建系比较方便，坐标法更好用．
[再练一题]
2．如图2 5 3，已知O为△ABC所在平面内一点，且满足||2＋||2＝||2＋||2＝||2＋||2，求证：O为△ABC的垂心．
图2 5 3
【证明】　设＝a，＝b，＝c，
则＝c－b，＝a－c，＝b－a，
由题设：||2＋||2＝||2＋||2＝||2＋||2，
化简：a2＋(c－b)2＝b2＋(a－c)2＝c2＋(b－a)2，得c·b＝a·c＝b·a，
从而·＝(b－a)·c＝b·c－a·c＝0，∴⊥.
同理⊥，⊥，
所以O为△ABC的垂心．
[探究共研型]
平面向量在解析几何中的应用
探究1　如何利用向量求经过点P0(x0，y0)，且与a＝(1，k)平行的直线l的方程？
【提示】　设直线l上任意一点P(x，y)，则＝(x－x0，y－y0)．
由题意可知∥a，∴y－y0＝k(x－x0)．
探究2　如何利用向量求经过点P0(x0，y0)，且与a＝(1，k)垂直的直线l的方程？
【提示】　设直线l上任意一点P(x，y)，则＝(x－x0，y－y0)．
由题意可知⊥a，∴(x－x0)＋k(y－y0)＝0.
　已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．
(1)求直线DE，EF，FD的方程；
(2)求AB边上的高线CH所在直线方程．
【精彩点拨】　(1)先求出D，E，F的坐标，再借助共线知识求方程，(2)借助数量积求解．
【自主解答】　(1)由已知得点
D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，
设M(x，y)是直线DE上任意一点，
则∥.＝(x＋1，y－1)，＝(－2，－2)，
∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，
即x－y＋2＝0为直线DE的方程．
同理可求，直线EF，FD的方程分别为
x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.
(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则⊥，∴·＝0.
又＝(x＋6，y－2)，＝(4,4)，
∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，
即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．
利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题，均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再利用向量法则进行坐标运算，使问题得以解决.
[再练一题]
3．已知点A(2，－1)．
(1)求过点A与向量a＝(5,1)平行的直线方程；
(2)求过点A与向量a＝(5,1)垂直的直线方程．
【解】　(1)设所求直线上任一点P(x，y)，则＝(x－2，y＋1)．
由题意知∥a，即(x－2)－5(y＋1)＝0，即x－5y－7＝0.
故过点A与向量a＝(5,1)平行的直线方程为x－5y－7＝0.
(2)设所求直线上任一点P(x，y)，则＝(x－2，y＋1)．
由题意知，⊥a，即·a＝0，
即5(x－2)＋(y＋1)＝0，即5x＋y－9＝0.
故过点A与向量a＝(5,1)垂直的直线方程为5x＋y－9＝0.
[构建·体系]
1．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4＝________.
【解析】　由题意知f4＝－(f1＋f2＋f3)
＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]
＝－(－1，－2)＝(1,2)．
【答案】　(1,2)
2．飞机以300
km/h的速度向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分速度大小是________km/h.
【解析】　由速度的分解可知水平方向的分速度大小为300×cos
30°＝150(km/h)．
【答案】　150
3．在OA为边，OB为对角线的矩形中，＝(－3,1)，＝(－2，k)，则实数k＝________.
【导学号：06460067】
【解析】　如图所示，由于＝(－3,1)，＝(－2，k)，所以＝－＝(1，k－1)．在矩形中，由⊥得·＝0，所以(－3,1)·(1，k－1)＝0，即－3×1＋1×(k－1)＝0，解得k＝4.
【答案】　4
4．过点A(3，－2)且垂直于向量n＝(5，－3)的直线方程是________．
【解析】　设P(x，y)为直线上的任意一点，
∴＝(x－3，y＋2)，⊥n，
∴5(x－3)－3(y＋2)＝0，
即5x－3y－21＝0.
【答案】　5x－3y－21＝0
5．如图2 5 4，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点(不与A，B重合)，求证：∠APB＝90°.(用向量方法证明)
图2 5 4
【证明】　连结OP，
设向量＝a，＝b，
则＝－a且＝－＝a－b，
＝－＝－a－b，
∴·＝b2－a2＝|b|2－|a|2＝0，
∴⊥，即∠APB＝90°.
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评(二十三)　向量的应用
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知一物体在共点力F1＝(2,2)，F2＝(3,1)的作用下产生位移s＝，则共点力对物体所做的功为________．
【解析】　对于合力F＝(5,3)，
其所做的功为W＝F·s＝＋＝7.
【答案】　7
2．若A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状为________．
【解析】　＝(1,1)，＝(－3,3)，·＝0，
即⊥，故△ABC为直角三角形．
【答案】　直角三角形
3．点P在平面上做匀速直线运动，速度v＝(4，－3)，设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为________(速度单位：m/s，长度单位：m)．
【解析】　5秒后点P的坐标为(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．
【答案】　(10，－5)
4.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图2 5 5，已知物体重力大小为10
N，则每根绳子的拉力大小是________．
图2 5 5
【解析】　因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10
N.
【答案】　10
N
5．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的________．
【解析】　由·＝·＝·，可得·－·＝0，(－)·＝0，即·＝0，⊥，同理可证⊥，⊥.所以O是△ABC的垂心，即三条高的交点．
【答案】　垂心
6．等腰直角三角形ABC中，C＝90°，且A(－1,2)，C(1,1)，则B的坐标为________．
【解析】　设B的坐标为(x，y)，
则＝(x－1，y－1)，又＝(2，－1)．
由题意知：||＝||，且·＝0，
∴
解得或
【答案】　(0，－1)或(2,3)
7．如图2 5 6，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，则对角线AC的长为________．
【导学号：06460068】
图2 5 6
【解析】　∵＝＋，
∴2＝2＋2＋2·，①
又＝－，
∴2＝2＋2－2·，②
∴①＋②得
2＋2＝2(2＋2)．
又AD＝1，AB＝2，BD＝2，
∴AC＝.
【答案】　
8．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为________．
【解析】　如图，|F1|＝|F2|＝.
∵|F1|＝|F2|＝|G|，∴2cos
＝1，∴θ＝120°.
【答案】　120°
二、解答题
9．如图2 5 7所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线，试用向量证明：AC⊥BD.
图2 5 7
【证明】　∵＝＋，＝－，
∴·＝(＋)·(－)
＝||2－||2＝0.
∴⊥.
∴AC⊥BD.
10．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是圆C上的任一点，点N在线段MA的延长线上，且＝2，求点N的轨迹方程．
【解】　设N(x，y)，M(x0，y0)．
因为＝2，所以(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，
所以即
又因为点M(x0，y0)在圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4上，
所以(x0－3)2＋(y0－3)2＝4，
所以(2x)2＋(2y)2＝4，即x2＋y2＝1，
所以点N的轨迹方程为x2＋y2＝1.
[能力提升]
1．在四边形ABCD中，若＝，且|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状是________．
【解析】　＝，∴∥，
且||＝||，
∴四边形ABCD是平行四边形，
|＋|＝||，|－|＝||，
∴||＝||，
∴平行四边形是矩形．
【答案】　矩形
2．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则·＝________.
【解析】　如图，在△AOB中，
|AB|＝，|OA|＝|OB|＝1，
∴∠AOB＝120°，
∴·＝||||cos
120°＝－.
【答案】　－
3．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．
【解析】　以α，β为邻边的平行四边形的面积为：
S＝|α||β|sin
θ＝|β|sin
θ＝，
所以sin
θ＝，又因为|β|≤1，所以≥，
即sin
θ≥且θ∈[0，π]，所以0∈.
【答案】　
4．在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的角平分线的方程．
【解】　＝(3,4)，＝(－8,6)，∠A的角平分线的一个方向向量为：＋＝＋＝.
设∠A的角平分线上任一点N(x，y)，则＝(x－4，y－1)，则与所求方向向量平行，
∴所求直线方程为：(x－4)＋(y－1)＝0，整理得7x＋y－29＝0.3.1　两角和与差的三角函数
3.1.1　两角和与差的余弦
1．能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．(难点)
2．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．(重点)
3．能用两角和与差的余弦公式化简、求值．(重点)
[基础·初探]
教材整理　两角和与差的余弦公式
阅读教材P103～P104完成下列问题．
1．两角差的余弦公式
C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.
2．两角和的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)α，β∈R时，cos(α－β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β.(　　)
(2)cos
105°＝cos
45°
cos
60°－sin
45°sin
60°.(　　)
(3)cos
30°cos
120°＋sin
30°sin
120°＝0.(　　)
(4)coscos＋sinsin＝cos
2α.(　　)
【解析】　正确运用公式．(1)中加减号错误．(2)(3)(4)正确．
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：　
[小组合作型]
公式的直接应用
　已知sin
α＝，α∈，cos
β＝－，β是第三象限角，求cos(α－β)的值．
【精彩点拨】　由sin
α求cos
α；由cos
β求sin
β，套用cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β公式求值．
【自主解答】　∵α∈，sin
α＝，∴cos
α＝－.
又β是第三象限角，cos
β＝－，∴sin
β＝－.
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
＝×＋×
＝－.
解决条件求值问题的关键是：找出已知条件与待求式之间的角、运算及函数的差异，一般可适当变换已知条件，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换待求式，便于将已知条件及求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
[再练一题]
1．已知sin
α＝，α∈，求cos的值．
【解】　∵sin
α＝，α∈，
∴cos
α＝－.
∴cos＝cos
αcos
＋sin
αsin
＝－×＋×
＝.
公式的逆用
　计算：(1)cos
15°cos
105°＋sin
15°sin
105°；
(2)cos(35°－α)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)．
【精彩点拨】　从所求式子的形式，角的特点入手，化简求值．
【自主解答】　(1)cos
15°cos
105°＋sin
15°sin
105°
＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝0.
(2)原式＝cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)
＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]
＝cos(－60°)＝cos
60°＝.
1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．
2．在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值．
[再练一题]
2．求下各式的值
(1)cos
75°cos
15°－sin
75°sin
195°；
(2)cos
24°cos
36°－sin
24°cos
54°.
【解】　(1)cos
75°cos
15°－sin
75°sin
195°
＝cos
75°cos
15°＋sin
75°sin
15°
＝cos(75°－15°)＝cos
60°＝.
(2)原式＝cos
24°cos
36°－sin
24°·sin
36°
＝cos(24°＋36°)＝cos
60°＝.
[探究共研型]
给值求值(角)问题
探究1　角“α＋β”，“β”及“α”间存在怎样的等量关系？
【提示】　α＋β＝α＋β；α＝(α＋β)－β；β＝(α＋β)－α.
探究2　已知cos(α＋β)和sin
β的值，如何求cos
α的值？
【提示】　由α＝(α＋β)－β可知，cos
α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos
β＋sin(α＋β)sin
β，故可先求出sin(α＋β)及cos
β的值，代入上式求得cos
α的值．
　已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，求cos.
【导学号：06460069】
【精彩点拨】　已知α＋β，β－的正弦值，可用同角三角函数的基本关系式，结合α，β的范围求其余弦值，所以可利用角变换α＋＝(α＋β)－来求值．
【自主解答】　∵α，β∈，∴(α＋β)∈.
∴cos(α＋β)＝＝.
又∈，
∴cos＝－.
∴cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝×＋×＝－.
1．利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．
2．在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等．
[再练一题]
3．α，β为锐角，cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝，求cos
α的值．
【解】　∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π.
又∵cos(α＋β)＝，∴0＜α＋β＜，
∴0＜2α＋β＜π.
又∵cos(2α＋β)＝，∴0＜2α＋β＜，
∴sin(α＋β)＝，sin(2α＋β)＝，
∴cos
α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]
＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)
＝×＋×＝.
[构建·体系]
1．cos
75°＝________；cos
15°＝________.
【解析】　cos
75°＝cos(30°＋45°)＝cos
30°cos
45°－sin
30°sin
45°＝.
cos
15°＝cos(45°－30°)＝cos
45°cos
30°＋sin
30°sin
45°＝.
【答案】　　
2．cos
45°cos
15°＋sin
15°sin
45°的值为________．
【解析】　cos
45°cos
15°＋sin
15°sin
45°＝cos(45°－15°)＝cos
30°＝.
【答案】　
3．化简＝________.
【解析】　原式＝
＝
＝＝cos
15°＝cos(45°－30°)
＝cos
45°cos
30°＋sin
45°sin
30°
＝×＋×＝.
【答案】　
4．若sin
α＝，α∈，则cos
的值为________.
【导学号：06460070】
【解析】　∵α∈，sin
α＝，
∴cos
α＝－.
∴cos＝coscos
α＋sinsin
α
＝×＋×＝－.
【答案】　－
5．已知cos＝，求cos
α.
【解】　由于0＜α－＜，cos＝，
所以sin＝.
所以cos
α＝cos
＝coscos－sin·sin＝×－×＝.
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评(二十四)　两角和与差的余弦
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．cos(x＋27°)cos(18°－x)－sin(18°－x)sin(x＋27°)等于________．
【解析】　原式＝cos(x＋27°＋18°－x)＝cos
45°＝.
【答案】　
2．若x∈[0，π]，sin
sin
＝cos
cos
，则x的值是________．
【解析】　∵cos
cos
－sin
sin
＝0，
∴cos＝0，∴cos
x＝0，∵x∈[0，π]∴x＝.
【答案】　
3．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cos
αcos
β的值为________．
【解析】　cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β＝，
cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝－
∴2cos
αcos
β＝0.
∴cos
αcos
β＝0.
【答案】　0
4．(2016·苏州高一检测)已知cos
α＝－，α∈，sin
β＝－，β是第三象限角，则cos(β－α)的值是________.
【导学号：06460071】
【解析】　∵cos
α＝－，α∈，
∴sin
α＝＝.
又sin
β＝－，β是第三象限角，
∴cos
β＝－＝－.
cos(β－α)＝cos
βcos
α＋sin
βsin
α
＝×＋×
＝－＝－.
【答案】　－
5．在△ABC中，若sin
Asin
B＜cos
Acos
B，则△ABC一定为________三角形．
【解析】　由sin
Asin
B＜cos
Acos
B得
cos(A＋B)＞0，
∴cos
C＜0.
∴∠C＞90°，∴△ABC为钝角三角形．
【答案】　钝角
6．化简＝________.
【解析】　＝
＝＝.
【答案】　
7．已知向量a＝(cos
75°，sin
75°)，b＝(cos
15°，sin
15°)，则|a－b|＝________.
【解析】　|a|＝1，|b|＝1，a·b＝cos
75°
cos
15°＋sin
75°
sin
15°＝cos(75°－15°)＝cos
60°＝.
∴|a－b|＝＝＝1.
【答案】　1
8．(2016·南京高一检测)若sin
α－sin
β＝1－，cos
α－cos
β＝，则cos(α－β)的值为________．
【解析】　∵(sin
α－sin
β)2＋(cos
α－cos
β)2＝2－2cos(α－β)＝2＋2，∴cos(α－β)＝.
【答案】　
二、解答题
9．设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos的值．
【解】　∵α∈，β∈，
∴α－∈，－β∈，
∴sin＝＝＝，
cos＝＝＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
10．若cos(α－β)＝，cos
2α＝，并且α，β均为锐角且α＜β，求α＋β的值．
【解】　∵α＜β，cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝－.
∵α为锐角，cos
2α＝，
∴sin
2α＝.
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos
2αcos(α－β)＋sin
2αsin(α－β)
＝×＋×
＝－.
∵0＜α，β＜，∴0＜α＋β＜π.
∴α＋β＝.
[能力提升]
1．已知点P(1，)是角α终边上一点，则cos(30°－α)＝________.
【解析】　由已知sin
α＝，cos
α＝，
cos(30°－α)＝cos
30°
cos
α＋sin
30°sin
α＝×＋×＝.
【答案】　
2.
(2016·南通高一检测)如图3 1 1，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A，B两点，如果点A的纵坐标为，点B的横坐标为，则cos(α－β)＝________.
图3 1 1
【解析】　易知sin
α＝，cos
β＝，又因为α，β为锐角，∴cos
α＝，sin
β＝，∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝×＋×＝.
【答案】　
3．已知sin＝，则cos
α＋sin
α＝________.
【解析】　sin＝cos＝cos
＝coscos
α＋sinsin
α
＝cos
α＋sin
α
＝(cos
α＋sin
α)＝
∴cos
α＋sin
α＝.
【答案】　
4．已知函数f(x)＝2cos(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．
【解】　(1)∵f(x)＝2cos，ω＞0的最小正周期T＝10π＝，∴ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝2cos，
而α，β∈，f＝－，f＝，
∴2cos＝－，
2cos＝，
即cos＝－，cos
β＝，
于是sin
α＝，cos
α＝，sin
β＝，
∴cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β＝×－×＝－.3.3　几个三角恒等式
1．能运用所学知识，推导积化和差与和差化积公式、万能公式．(重点)
2．能利用所学公式进行三角恒等变换．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1　降幂公式
阅读教材P121例3，完成下列问题．
sin2α＝，
cos2α＝，
tan2α＝.
1．若cos
α＝－，且π＜α＜，则cos
＝________.
【解析】　∵π＜α＜，∴＜＜，
∴cos＝－＝－.
【答案】　－
2．若tan
＝3，则cos
α＝________.
【解析】　∵tan2＝＝9，
∴cos
α＝－.
【答案】　－
教材整理2　积化和差与和差化积公式
阅读教材P126链接以上内容，完成下列问题．
　
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin
Acos
B．(　　)
(2)cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sin
Acos
B．(　　)
(3)cos(α＋β)cos(α－β)＝cos2
α－cos2
β.(　　)
【解析】　(1)正确．
(2)cos(A＋B)－cos(A－B)＝－2sin
Asin
B，故错．
(3)cos(α＋β)cos(α－β)＝(cos
2α＋cos
2β)，故错．
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×
教材整理3　万能公式
阅读教材P126～P127的“链接”内容，完成下列问题．
设tan
＝t，则sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝.
1．若tan
α＝3，则sin
2α＝________，cos
2α＝________.
【解析】　∵tan
α＝3，∴sin
2α＝＝，cos
2α＝＝－.
【答案】　　－
2．若tan
α＝1，则tan
＝________.
【解析】　tan
α＝，∴tan2
＋2tan
－1＝0，
解得tan
＝－1±.
【答案】　－1±
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：　
[小组合作型]
应用和差化积或积化和差求值
　求sin220°＋cos250°＋sin
20°·cos
50°
的值．
【精彩点拨】　先降幂；再和差化积，或积化和差求解．
【自主解答】　原式＝＋＋(sin
70°－sin
30°)
＝1＋(cos
100°－cos
40°)＋sin
70°－
＝＋(－2sin
70°sin
30°)＋sin
70°＝－sin
70°＋sin
70°＝.
套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来.
[再练一题]
1．已知cos
α－cos
β＝，sin
α－sin
β＝－，求sin(α＋β)的值.
【导学号：06460081】
【解】　∵cos
α－cos
β＝，∴－2sinsin＝.①
又∵sin
α－sin
β＝－，
∴2cossin＝－.②
∵sin≠0，∴由①②，得－tan＝－，
即tan＝.
∴sin(α＋β)＝＝＝＝.
万能公式的应用
　设tan
＝t，求证：＝(t＋1)．
【精彩点拨】　利用万能公式，分别用t表示sin
θ，cos
θ，代入待证等式的左端即可证明．
【自主解答】　由sin
θ＝及cos
θ＝，得1＋sin
θ＝＝，
1＋sin
θ＋cos
θ＝＝，
故＝(t＋1)．
在万能代换公式中不论α的哪种三角函数 包括sin
α与cos
α 都可以表示成tan
＝t的“有理式”，将其代入式子中，就可将代数式表示成t的函数，从而就可以进行相关代数恒等式的证明或三角式的求值.
[再练一题]
2．已知cos
θ＝－，且180°＜θ＜270°，求tan.
【解】　∵180°＜θ＜270°，∴90°＜＜135°，∴tan＜0.
由cos
θ＝，得＝－，
解得tan2＝4.
又tan＜0，∴tan＝－2.
[探究共研型]
函数f(x)＝asin2ωx＋bsin
ωxcos
ωx＋ccos2ωx的性质
探究1　要研究上述f(x)的性质必需把f(x)化成什么形式？
【提示】　把f(x)化成Asin(ωx＋φ)＋B的形式．
探究2　在上述转化过程中，要用到哪些公式？
【提示】　降幂公式：sin2α＝，cos2α＝.
辅助角公式：asin
α＋bcos
α＝sin(α＋θ)，其中tan
θ＝.
　求函数f(x)＝5cos2x＋sin2x－4sin
xcos
x，x∈的最小值，并求其单调减区间．
【精彩点拨】　→→→
【自主解答】　f(x)＝5·＋·－2sin
2x
＝3＋2cos
2x－2sin
2x
＝3＋4
＝3＋4
＝3＋4sin
＝3－4sin，
∵≤x≤，
∴≤2x－≤.
∴sin∈.
∴当2x－＝，即x＝时，
f(x)取最小值为3－2.
∵y＝sin在上单调递增，
∴f(x)在上单调递减．
1．研究函数性质的一般步骤：
(1)对函数式化简；
(2)借用函数图象，运用数形结合法研究函数的性质．
2．对三角函数式化简的常用方法：
(1)降幂化倍角；
(2)升幂角减半；
(3)利用f(x)＝asin
x＋bcos
x＝sin(x＋φ)，化为“一个角”的函数．
[再练一题]
3．已知函数f(x)＝sin＋2sin2(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
【解】　(1)∵f(x)＝sin
2·＋1－cos
2
＝2＋1
＝2sin＋1
＝2sin＋1，∴T＝＝π.
(2)当f(x)取得最大值时，
sin＝1，
有2x－＝2kπ＋(k∈Z)，
即x＝kπ＋(k∈Z)，
∴所求x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
[构建·体系]
1．sin
37.5°cos
7.5°＝________.
【解析】　原式＝[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]
＝(sin
45°＋sin
30°)＝×＝.
【答案】　
2．化简：＝________.
【解析】　原式＝＝
＝tan
20°.
【答案】　tan
20°
3．已知sin
α＝，cos
α＝，则tan
等于________．
【导学号：06460082】
【解析】　因为sin
α＝>0，cos
α＝>0，
所以α的终边落在第一象限，的终边落在第一、三象限．
所以tan
>0，故tan
＝＝＝－2.
【答案】　－2
4．已知tan
α＝－，则sin
2α的值等于________．
【解析】　sin
2α＝＝
＝＝－.
【答案】　－
5．已知函数f(x)＝2cos2x＋2sin
xcos
x＋3，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在上的最小值与最大值．
【解】　(1)f(x)＝2cos2x＋2sin
xcos
x＋3
＝cos
2x＋sin
2x＋4＝2sin＋4.
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)∵0＜x≤，∴＜2x＋≤，
当x＝时，2x＋＝，函数f(x)取得最小值为5.
当x＝时，2x＋＝，函数f(x)取得最大值为6.
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评(二十八)　几个三角恒等式
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．有下列关系式：
①sin
5θ＋sin
3θ＝2sin
8θcos
2θ；
②cos
3θ－cos
5θ＝－2sin
4θsin
θ；
③sin
3θ－sin
5θ＝－cos
4θcos
θ；
④sin
5θ＋cos
3θ＝2sin
4θcos
θ；
⑤sin
xsin
y＝[cos(x－y)－cos(x＋y)]．
其中正确的等式有________．(填序号)
【解析】　只有⑤正确．
【答案】　⑤
2．若A＋B＝120°，则sin
A＋sin
B的最大值是________．
【解析】　sin
A＋sin
B＝2sincos
＝cos≤，∴最大值为.
【答案】　
3．函数y＝sin＋sin的最大值是________．
【解析】　y＝2sin
xcos＝sin
x≤1，∴最大值为1.
【答案】　1
4．求的值为________．
【解析】　原式＝＝－
＝－2cos
30°＝－2×＝－.
【答案】　－
5．若α是第三象限角且sin(α＋β)cos
β－sin
βcos(α＋β)＝－，则tan＝________.
【导学号：06460083】
【解析】　易知sin
α＝－，α为第三象限角，
∴cos
α＝－.
∴tan
＝＝
＝＝＝－5.
【答案】　－5
6．若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β＝________.
【解析】　cos(α＋β)cos(α－β)＝(cos
2α＋cos
2β)
＝[(2cos2α－1)＋(1－2sin2β)]＝cos2α－sin2β.
∴cos2α－sin2β＝.
【答案】　
7．若cos2α－cos2β＝m，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________.
【解析】　sin(α＋β)sin(α－β)＝－(cos
2α－cos
2β)＝－(2cos2α－1－2cos2β＋1)＝cos2β－cos2α＝－m.
【答案】　－m
8．函数y＝sincos
x的最小值是________．
【解析】　y＝sincos
x＝sin2x－＋sin－
＝＝sin－，
当sin＝－1时，y取得最小值为－.
【答案】　－
二、解答题
9．化简：(－π<α<0)．
【解】　原式＝
＝
＝
＝.
因为－π<α<0，所以－<<0，
所以sin
<0，
所以原式＝＝cos
α.
10．求函数f(x)＝sin
x的最小正周期与最值．
【解】　f(x)＝sin
x
＝sin
x·2cossin
＝－sin
xcos
＝－
＝－sin＋.
∴最小正周期为T＝＝π.
∵sin∈[－1,1]，
∴f(x)max＝，f(x)min＝－.
[能力提升]
1．sin220°＋cos280°＋sin
20°cos
80°的值是________．
【解析】　原式＝＋＋(sin
100°－sin
60°)＝1－(cos
40°＋cos
20°)＋cos
10°－＝1－cos
30°cos
10°＋cos
10°－＝.
【答案】　
2．直角三角形中两锐角为A和B，则sin
Asin
B的最大值为________．
【解析】　∵A＋B＝，sin
Asin
B＝[cos(A－B)－cos
(A＋B)]＝cos(A－B)，
又－＜A－B＜，∴0＜cos(A－B)≤1，
∴sin
Asin
B有最大值.
【答案】　
3．若cos
α＝－，α是第三象限的角，则＝________.
【解析】　∵α是第三象限角，
∴为第二、四象限角，∴tan＜0，
∴tan＝－
＝－
＝－3，
∴原式＝＝－.
【答案】　－
4．如图3 3 1，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
图3 3 1
【解】　在直角三角形OBC中，OB＝cos
α，BC＝sin
α.
在直角三角形OAD中，＝tan
60°＝.
∴OA＝DA＝sin
α，
∴AB＝OB－OA＝cos
α－sin
α.
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AB·BC＝sin
α
＝sin
αcos
α－sin2α
＝sin
2α－(1－cos
2α)
＝sin
2α＋cos
2α－
＝－
＝sin－.
∵0<α<，
∴当2α＋＝，
即α＝时，取最大值.
∴当α＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.章末分层突破
[自我校对]
①坐标
②平行四边形
③|a|＝
④cos
θ＝
向量的线性运算
向量的线性运算包括向量的加法运算、减法运算及数乘运算，其中平面向量基本定理及向量共线定理是考查的重点，解题时要结合图形灵活构造三角形或平行四边形．
　如图2 1所示，在△ABC中，点M为AB的中点，且＝，与相交于点E，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示.
图2 1
【精彩点拨】　先由C，E，M三点共线 ＝μ＋(1－μ)，由B，E，N三点共线 ＝λ＋(1－λ)，再由，不共线求λ，μ的值．
【规范解答】　∵＝＝b，＝＝a，由N，E，B三点共线知存在实数λ满足＝λ＋(1－λ)＝λb＋(1－λ)a.
由C，E，M三点共线知存在实数μ满足＝μ＋(1－μ)＝a＋(1－μ)b.
∴解得
∴＝a＋b.
[再练一题]
1．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋2b与2a－4b平行，求实数k的值．
【解】　∵ka＋2b＝(k－6,2k＋4)，2a－4b＝(14，－4)，
由(ka＋2b)∥(2a－4b)得
(k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0，
解得k＝－1.
向量的数量积运算
数量积的运算是向量运算的核心，利用向量的数量积可以解决以下问题：
1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
平行问题
a∥b x1y2－x2y1＝0
垂直问题
a⊥b x1x2＋y1y2＝0
2.求向量的模及夹角问题，
(1)设a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝；
(2)两向量a，b夹角θ的余弦(0≤θ≤π)，
cos
θ＝＝.
　设向量＝a，＝b，且||＝||＝4，∠AOB＝60°.
(1)求|a＋b|，|a－b|；
(2)求a＋b与a的夹角θ1，a－b与a的夹角θ2.
【精彩点拨】　利用|a±b|＝求解；利用cos
θ＝求夹角．
【规范解答】　(1)∵|a＋b|2＝(a＋b)(a＋b)＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝16＋2×4×4cos
60°＋16＝48，
∴|a＋b|＝4，
∴|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝16，
∴|a－b|＝4.
(2)∵(a＋b)·a＝|a|2＋a·b＝16＋4×4cos
60°＝24，
∴cos
θ1＝＝＝.
∵θ∈[0°，180°]，∴θ1＝30°.
∵(a－b)·a＝|a|2－a·b＝16－4×4cos
60°＝8，
∴cos
θ2＝＝＝.
∵θ2∈[0°，180°]，∴θ2＝60°.
[再练一题]
2．已知c＝ma＋nb，c＝(－2，2)，a⊥c，b与c的夹角为，b·c＝－4，|a|＝2，求实数m，n的值及a与b的夹角．
【解】　∵c＝(－2，2)，∴|c|＝4，
又a⊥c，∴a·c＝0.
∵b·c＝|b||c|cos
＝|b|×4×＝－4，
∴|b|＝2，
又c＝ma＋nb，∴c2＝ma·c＋n·b·c，
∴16＝－4n，∴n＝－4.
又a·c＝ma2＋na·b，
∴0＝8m－4a·b.①
又b·c＝ma·b＋n·b2，
∴ma·b＝12.②
由①②得m＝±，
∴a·b＝±2
∴cos
θ＝＝±，∵θ∈[0，π]
∴θ＝或.
向量的应用
平面向量的应用主要体现在两个方面：一是在平面几何中的应用，向量的加减运算、向量的相等、平行、数乘向量、距离、夹角和向量的数量积之间有密切的联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题；二是在物理学中的应用，主要解决力、位移、速度等问题．
　如图2 2，在等腰直角△ABC中，角C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.
图2 2
【精彩点拨】　欲证AD⊥CE，即证·＝0.由于已有·＝0，故考虑选此两向量为基底，从而应用此已知条件．另外，如果进一步考虑到此组基底是垂直关系，还可以建立直角坐标系．
【规范解答】　法一：记＝a，＝b，
则＝b－a，且a·b＝0，|a|＝|b|.
因为＝－＝b－a.
＝－＝(b－a)＋a＝b＋a，所以
·＝·＝b2－a2＝0.
可得AD⊥CE.
法二：建立如图所示的直角坐标系，不妨设AC＝BC＝2，
则C(0,0)，A(2,0)，B(0,2)，
因为D是CB的中点，则D(0,1)．
所以＝(－2,1)，＝(－2,2)
又＝＋＝＋＝(2,0)＋(－2,2)＝，所以·＝(－2,1)·＝(－2)×＋＝0，因此AD⊥CE.
[再练一题]
3.如图2 3，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1，求：
图2 3
(1)|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况．
(2)当|F1|≤2|G|时，θ角的取值范围．
(3)当|F1|＝2|F2|时，求角θ的值．
【解】　(1)由力的平衡原理知，G＋F1＋F2＝0，作向量＝F1，＝F2，＝－G，则＋＝，∴四边形OACB为平行四边形，如图．
由已知∠AOC＝θ，∠BOC＝，
∴||＝，||＝||＝||tan
θ.
即|F1|＝，|F2|＝|G|tan
θ，θ∈.
由此可知，当θ从0逐渐增大趋向于时，|F1|，|F2|都逐渐增大．
(2)当|F1|≤2|G|时，有≤2|G|，
∴cos
θ≥，又θ∈.∴θ∈.
(3)当|F1|＝2|F2|时，＝2|G|tan
θ，∴＝，∴sin
θ＝.
∴θ＝.
数形结合思想
平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合思想．引入向量的坐标表示，使向量运算代数化，将“数”和“形”紧密地结合起来．运用数形结合思想可解决共线、平行、垂直、夹角、距离、面积等问题．
　已知向量＝(2,0)，＝(2,2)，＝(cos
α，sin
α)，则与夹角的范围是________．
【精彩点拨】　结合的坐标给出点A的轨迹，并由直线与圆的知识求与夹角的范围．
【规范解答】　建立如图所示的直角坐标系．
∵＝(2,2)，＝(2,0)，＝(cos
α，sin
α)，
∴点A的轨迹是以C(2,2)为圆心，为半径的圆．
过原点O作此圆的切线，切点分别为M，N，连结CM，CN，如图所示，则向量与的夹角范围是∠MOB≤〈，〉≤∠NOB.
∵||＝2，
∴||＝||＝||，
知∠COM＝∠CON＝，但∠COB＝.
∴∠MOB＝，∠NOB＝，
故≤〈，〉≤.
【答案】　
[再练一题]
4．已知船在静水中的速度大小为5
m/s，且船在静水中的速度大小大于水流速度大小，河宽为20
m，船垂直到达对岸用的时间为5
s，则水流速度大小为________m/s.
【解析】　设船在静水中的速度为v1，水流速度为v2，船的实际速度为v3，建立如图所示的平面直角坐标系．|v1|＝5
m/s，
|v3|＝＝4
m/s，则v3＝(0,4)，v1＝(－3,4)，
v2＝v3－v1＝(0,4)－(－3,4)＝(3,0)．
∴|v2|＝3
m/s，即水流的速度大小为3
m/s.
【答案】　3
1．(2015·江苏高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为______．
【解析】　∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴∴∴m－n＝2－5＝－3.
【答案】　－3
2．(2015·全国卷Ⅰ改编)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝________.
【解析】　方法一：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
所以从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．
方法二：＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，
＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
【答案】　(－7，－4)
3．(2015·北京高考)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.
【解析】　∵＝2，∴＝.
∵＝，∴＝(＋)，
∴＝－＝(＋)－
＝－.
又＝x＋y，∴x＝，y＝－.
【答案】　　－
4．(2014·江苏高考)如图2 4，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．
图2 4
【解析】　由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以·＝2，即2－·－2＝2.又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.
【答案】　22
5．(2016·全国卷Ⅱ改编)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝________.
【解析】　(方法1)因为a＝(1，m)，b＝(3，－2)，所以a＋b＝(4，m－2)．
因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，所以12－2(m－2)＝0，解得m＝8.
(方法2)因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即a·b＋b2＝3－2m＋32＋(－2)2＝16－2m＝0，解得m＝8.
【答案】　8
6．(2016·四川高考改编)在平面内，定点A，B，C，D满足||＝||＝||，·＝·＝·＝－2，动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是________．
图(1)
【解析】　法一：∵||＝||＝||，
∴点A，B，C在以点D为圆心的圆上．
又∵·＝·＝·＝－2，
∴，，两两夹角相等，均为120°，如图(1)所示．
设圆D的半径为r，则·＝r·r·cos
120°＝－2，∴r＝2.
∵＝，∴M为PC的中点．
∵||＝1，
∴点P在以点A为圆心，1为半径的圆上．
由上知△ABC为等边三角形，边长为2.
设AC的中点为O，连接DO，OM，则点B，D，O三点共线，
则||＝3，＝＋＝＋.
∴2＝2＝2＋·＋2
＝9＋3×1×cos〈，〉＋＝＋3cos〈，〉
≤＋3＝，当与同向时取等号，即||2的最大值是.
法二：∵||＝||＝||，
∴点A，B，C在以点D为圆心的圆上．
∵·＝·＝·＝－2，
∴，，两两夹角相等，均为120°.
由·＝||2×cos
120°＝－2，得||＝2.
以D为坐标原点，DA所在直线为x轴建立平面直角坐标系如图(2)所示，则B(－1，)，C(－1，－)，A(2,0)．
图(2)
由＝知M为PC的中点．
∵||＝1，
∴点P在以点A为圆心，1为半径的圆上．
设点P的坐标为(2＋cos
θ，sin
θ)，其中θ为以点A为顶点，以x轴正方向为始边逆时针旋转到AP所成的角，
则M，
＝，
∴||2＝＋
＝
＝≤＝.
∴||2的最大值为.
【答案】　
7．(2016·全国卷Ⅲ改编)已知向量＝，＝，则∠ABC＝________.
【解析】　因为＝，＝，所以·＝＋＝.又因为·＝||||·cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.
【答案】　30°
8．(2016·天津高考改编)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为________．
【解析】　如图所示，＝＋.
又D，E分别为AB，BC的中点，
且DE＝2EF，所以＝，＝＋＝，
所以＝＋.
又＝－，
则·＝·(－)
＝·－2＋2－·
＝2－2－·.
又||＝||＝1，∠BAC＝60°，
故·＝－－×1×1×＝.
【答案】　
9．(2016·山东高考改编)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为________．
【解析】　∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋|n|2＝0，
∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0.
又4|m|＝3|n|，∴t×|n|2×＋|n|2＝0，
解得t＝－4.
【答案】　－4
10．(2016·江苏高考)如图2 5，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是________．
图2 5
【解析】　由题意，得·＝(＋)·(＋)
＝(＋)·(－＋)＝2－2
＝||2－||2＝－1，①
·＝(＋)·(＋)
＝(＋3)·(－＋3)
＝92－2
＝9||2－||2＝4.②
由①②得||2＝，||2＝.
∴·＝(＋)·(＋)
＝(＋2)·(－＋2)＝42－2
＝4||2－||2＝4×－＝.
【答案】　
章末综合测评(二)　平面向量
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)
1．已知作用在点A(1,1)的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标是________．
【解析】　∵F＝(8,0)，∴终点坐标为(8,0)＋(1,1)＝(9,1)．
【答案】　(9,1)
2.－＋＋＝________.
【解析】　原式＝＋＋＝0＝
.
【答案】　
3．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，若c＝λa＋μb，则λ，μ的值分别是________．
【解析】　∵c＝λa＋μb，
∴(－1,2)＝(λ，λ)＋(μ，－μ)，
∴∴
【答案】　，－
4．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与向量同向的单位向量的坐标是________．
【解析】　＝(3，－4)，||＝5，∴e＝＝(3，－4)＝.
【答案】　
5．(2016·镇江高一检测)已知向量a＝(3x,1)，b＝(2，－5)，若a∥b，则x＝________.
【解析】　∵a∥b，∴－15x＝2，x＝－.
【答案】　－
6．若|a|＝1，|b|＝2，a·b＝－1，则|a－b|＝________.
【解析】　∵|a|＝1，|b|＝2，a·b＝－1
∴|a－b|＝＝＝.
【答案】　
7．平面向量a，b中，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝________.
【解析】　设b＝(x，y)，则
∴即b＝.
【答案】　
8．(2016·扬州高一检测)下列5个说法：
①共线的单位向量是相等向量；
②若a，b，c满足a＋b＝c时，则以|a|，|b|，|c|为边一定能构成三角形；
③对任意的向量，必有|a＋b|≤|a|＋|b|；
④(a·b)c＝c(b·c)；
⑤(a＋b)·c＝a·c＋b·c.其中正确的是________．
【解析】　共线也有可能反向，故①不正确；若|a|＝0，显然不能构成三角形，故②不正确；由数量积的性质知④不正确；由向量加法的三角形法则知③正确；由数量积的性质知⑤正确．
【答案】　③⑤
9．(2016·南京高一检测)已知a＝(1，n)，b＝(－1，n)，且2a－b与b垂直，则|a|等于________．
【解析】　2a－b＝(3，n)，∵(2a－b)·b＝0，∴n2－3＝0，∴n2＝3，∴|a|2＝1＋n2＝4，∴|a|＝2.
【答案】　2
10．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为________．
【解析】　∵a∥b，∴2×(－2)－(－1)x＝0，解得x＝4，
∴b＝(4，－2)，∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)．
∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，
即6－3(－2－y)＝0，解得y＝－4，
∴＝(y－x，x－y)＝(－8,8)，∴||＝8.
【答案】　8
11．(2016·泰州高一检测)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是________．
(1)|b|＝1；(2)a⊥b；(3)a·b＝1；(4)(4a＋b)⊥.
【解析】　如图△ABC是边长为2的等边三角形．
由已知b＝－2a＝－＝，
显然(1)(2)(3)错，(4a＋b)·＝2·＋||2＝2×2×2×cosπ＋22＝0，∴(4a＋b)⊥.
【答案】　(4)
12．如图1，非零向量＝a，＝b，且BC⊥OA，C为垂足，若＝λa，则λ＝________.
图1
【解析】　＝－＝λa－b，∵⊥，∴a·(λa－b)＝0，则λ＝.
【答案】　
13．已知向量a＝(6,2)，b＝，直线l过点A(3，－1)且与向量a＋2b垂直，则直线l的方程为________．
【解析】　∵a＋2b＝(－2,3)，
在l上任取一点P(x，y)，则有⊥(a＋2b)，
∴·(a＋2b)＝0，
∴(x－3，y＋1)·(－2,3)＝0，
∴2x－3y－9＝0.
【答案】　2x－3y－9＝0
14．已知＝(2,2)，＝(4,1)，O为坐标原点，在x轴上求一点P，使·有最小值，则P点坐标为________．
【解析】　设P(x,0)，∴·＝(x－2，－2)·(x－4，－1)＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，当x＝3时，·有最小值，∴P(3,0)．
【答案】　(3,0)
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，
(1)如图①，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用a，b分别表示，.
(2)如图②，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用a，b表示.
图2
【解】　(1)＝＋＝＋＝－＝－a＋b.
＝＋＝－＝a－b.
(2)＝－＝b－a，
∵O是BD的中点，G是DO的中点，
∴＝＝(b－a)，
∴＝＋＝a＋(b－a)
＝a＋b.
16．(本小题满分14分)已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
【解】　(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.
整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
∴a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，|a－b|＝＝2.
17．(本小题满分14分)(2016·无锡高一检测)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
【解】　(1)由题设，知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.故所求的两条对角线长分别为4，2.
(2)由题设，知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－.
18．(本小题满分16分)设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
【解】　由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，
得＜0，
即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0.
整理得：2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＜0.(
)
∵|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°.
∴e1·e2＝2×1×cos
60°＝1
∴(
)式化简得：2t2＋15t＋7＜0.
解得：－7＜t＜－.
当向量2te1＋7e2与e1＋te2夹角为180°时，
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)．
对比系数得，
∴
∴所求实数t的取值范围是
∪.
19．(本小题满分16分)设作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，F1与F2的夹角为π，如图3所示．
求：(1)F3的大小；
(2)∠F3OF2的大小．
【解】　(1)F1、F2、F3三个力处于平衡状态，
故F1＋F2＋F3＝0.
即F3＝－(F1＋F2)．
∴|F3|＝|F1＋F2|＝
＝
＝＝.
(2)如图所示，以F2所在直线为x轴，合力作用点为坐标原点，建立直角坐标系，将向量F1，F3正交分解，设∠MOF3＝θ，
由受力平衡知
即
将数值代入得
∴θ＝.
于是得∠F3OF2＝π－＝π.
20．(本小题满分16分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，且点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin
θ，t)，θ∈.
(1)若⊥a，且||＝||，求向量；
(2)若向量与向量a共线，当k＞4，且tsin
θ取最大值4时，求·.
【解】　(1)因为＝(n－8，t)，且⊥a，
所以8－n＋2t＝0，即n＝8＋2t.
又||＝||，
所以5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，解得t＝±8.
则n＝24或－8，
所以＝(24,8)或(－8，－8)．
(2)因为＝(ksin
θ－8，t)，与a共线，
所以t＝－2ksin
θ＋16.
又tsin
θ＝(－2ksin
θ＋16)sin
θ
＝－2k2＋，
当k＞4时，1＞＞0，
所以当sin
θ＝时，tsin
θ取得最大值；
由＝4，得k＝8，此时θ＝，
故＝(4,8)，
所以·＝8×4＋8×0＝32.
图33.1.2　两角和与差的正弦
1．能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．(难点)
2．能利用公式解决简单的化简求值问题．(重点)
[基础·初探]
教材整理　两角和与差的正弦公式
阅读教材P107～P109，完成下列问题．
1．两角和的正弦公式：
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.
2．两角差的正弦公式：
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)sin
150°＝sin
120°＋sin
30°.(　　)
(2)sin
60°cos
30°＋cos
60°sin
30°＝.(　　)
(3)α，β∈R时，sin(α－β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β.(　　)
(4)sin
54°
cos
24°－sin
36°sin
24°＝sin
30°.(　　)
【解析】　(1)公式错误．
(2)原式＝sin(60°＋30°)＝sin
90°＝1.
(3)sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β.
(4)原式＝sin
54°cos
24°－cos
54°sin
24°
＝sin(54°－24°)＝sin
30°.
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：　
[小组合作型]
运用公式求值
　求下列各式的值：
(1)sin
163°sin
223°＋sin
253°sin
313°；
(2).
【导学号：06460072】
【精彩点拨】　(1)从角和“形”入手，转化成两角和(差)的正弦求值．
(2)注意角的差异与变换：55°＝(60°－5°)，85°＝90°－5°.
【自主解答】　(1)原式＝sin
163°sin
223°＋sin(90°＋163°)sin(90°＋223°)
＝sin
163°sin
223°＋cos
163°cos
223°
＝cos(223°－163°)＝cos
60°＝.
(2)原式＝
＝
＝＝1.
1．对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径
(1)化为特殊角的三角函数值；
(2)化为正负相消的项，消去求值；
(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．
2．在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．
[再练一题]
1．求下列各式的值：
(1)sin
165°；(2)sin
14°cos
16°＋sin
76°cos
74°；
(3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)．
【解】　(1)法一　sin
165°＝sin(90°＋75°)＝cos
75°＝cos(45°＋30°)
＝cos
45°cos
30°－sin
45°sin
30°＝.
法二　sin
165°＝sin(180°－15°)＝sin
15°
＝sin(45°－30°)＝sin
45°cos
30°－cos
45°sin
30°＝.
(2)法一　sin
14°cos
16°＋sin
76°cos
74°＝sin
14°cos
16°＋cos
14°sin
16°＝sin(14°＋16°)
＝sin
30°＝.
法二　sin
14°cos
16°＋sin
76°cos
74°＝cos
76°cos
16°＋sin
76°sin
16°
＝cos(76°－16°)＝cos
60°＝.
(3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－cos(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°)cos
60°＋cos(θ＋15°)sin
60°＋cos(θ＋15°)cos
30°－sin(θ＋15°)sin
30°－cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)－sin(θ＋15°)－cos(θ＋15°)＝0.
给值求值
　已知0＜β＜，＜α＜，cos＝，sin＝，求cos(α＋β)的值．
【精彩点拨】　注意－＝＋(α＋β)，可通过求出＋β和－α的正，余弦值来求cos(α＋β)．
【自主解答】　由0＜β＜，＜α＜π得
－＜－α＜0，π＜π＋β＜π.
∴cos＝－，
sin＝－，
cos(α＋β)＝sin
＝sin
＝sincos－cossin
＝×－×＝－.
解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来.
1 当“已知角”有两个时“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
2 当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
3 角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式.
[再练一题]
2．已知α，β是锐角，且sin
α＝，cos(α＋β)＝－，求sin
β的值．
【解】　∵α是锐角，且sin
α＝，
∴cos
α＝＝＝.
又∵cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，
∴sin(α＋β)＝＝.
∴sin
β＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cos
α－cos(α＋β)sin
α
＝×－×＝.
[探究共研型]
形如asin
x＋bcos
x的函数的化简及应用
探究1　把sin
x＋cos
x化成Asin(ωx＋φ)的形式.
【提示】　sin
x＋cos
x＝cossin
x＋sincos
x＝sin.
探究2　sin
x＋cos
x如何化成Asin(ωx＋φ)的形式.
【提示】　sin
x＋cos
x＝2＝2sin.
　已知函数f(x)＝2sin－2cos
x，x∈，求函数f(x)的值域．
【精彩点拨】　先将函数f(x)化简为f(x)＝asin
x＋bcos
x的形式，然后化为f(x)＝sin(x＋φ)的形式解决．
【自主解答】　f(x)＝2sin－2cos
x
＝sin
x－cos
x＝2sin，
∵≤x≤π，∴≤x－≤.
∴≤sin≤1.
∴函数f(x)的值域为[1,2]．
asin
x＋bcos
x?
＝
令cos
φ＝，sin
φ＝，则有
asin
x＋bcos
x＝ cos
φsin
x＋sin
φcos
x ＝sin x＋φ ，其中tan
φ＝，φ为辅助角.
[再练一题]
3．把下列各式化成Asin(ωx＋φ)的形式，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜.
(1)sin
x＋cos
x；
(2)sin
x－cos
x；
(3)sin
x－cos
x.
【解】　(1)sin
x＋cos
x＝
＝sin.
(2)sin
x－cos
x＝
＝sin.
(3)sin
x－cos
x＝
＝sin
.
[构建·体系]
1．(2015·全国卷Ⅰ改编)sin
20°cos
10°－cos
160°sin
10°＝________.
【答案】　
2.等于________．
【解析】　原式＝＝＝sin
30°＝.
【答案】　
3．若cos
α＝－，α是第三象限角，则sin＝________.
【导学号：06460073】
【解析】　∵cos
α＝－，α是第三象限角，
∴sin
α＝－，
∴sin＝sin
αcos＋cos
αsin
＝－×＋×＝－.
【答案】　－
4．若α是锐角，且满足sin＝，则sin
α的值为________．
【解析】　∵α是锐角，∴0＜α＜，
∴－＜α－＜，
又sin＝，
∴cos＝.
∴sin
α＝sin
＝sincos＋cossin
＝×＋×
＝.
【答案】　
5．若函数f(x)＝sin＋cos.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的值域．
【解】　∵f(x)＝sin＋cos
＝sin
2xcos＋cos
2xsin＋cos
2xcos
－sin
2xsin
＝sin
2x＋cos
2x＋cos
2x－sin
2x＝cos
2x
(1)T＝＝π.
(2)∵cos
2x∈[－1,1]，∴f(x)∈[－1,1]．
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评(二十五)　两角和与差的正弦
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知cos
αcos
β－sin
αsin
β＝0，那么sin
αcos
β＋cos
αsin
β的值为________．
【解析】　由cos
αcos
β－sin
αsin
β＝0得
cos(α＋β)＝0，
∴α＋β＝＋kπ，k∈Z.
∴sin
αcos
β＋cos
αsin
β＝sin(α＋β)＝sin＝±1.
【答案】　±1
2．若M＝sin
12°cos
57°－cos
12°sin
57°，N＝cos
10°cos
55°＋sin
10°sin
55°，则M＋N＝________.
【解析】　M＝sin
12°cos
57°－cos
12°sin
57°
＝sin(12°－57°)＝sin(－45°)＝－.
N＝cos
10°cos
55°＋sin
10°sin
55°＝cos(10°－55°)
＝cos(－45°)＝.
∴M＋N＝0.
【答案】　0
3．若锐角α，β满足cos
α＝，cos(α＋β)＝，则sin
β的值是________．
【解析】　∵α，β∈，cos
α＝，cos(α＋β)＝.
∴sin
α＝，
∴0＜α＋β＜π，∴sin(α＋β)＝.
∴sin
β＝sin
＝sin(α＋β)cos
α－cos(α＋β)sin
α
＝×－×
＝
【答案】　
4．在△ABC中，2cos
Bsin
A＝sin
C，则△ABC的形状一定是________．
【解析】　在△ABC中，C＝π－(A＋B)，
∴2cos
Bsin
A＝sin[π－(A＋B)]
＝sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B.
∴－sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝0.
即sin(B－A)＝0.∴A＝B.
【答案】　等腰三角形
5．(2016·南通高一检测)要使sin
α－cos
α＝有意义，则实数m的取值范围是________．
【解析】　∵sin
α－cos
α＝2sin.
∴2sin＝.
∴sin＝
∴≤1，解得－1≤m≤.
【答案】　
6．化简：＝________.
【解析】　
＝
＝＝＝－1.
【答案】　－1
7．若8sin
α＋5cos
β＝6,8cos
α＋5sin
β＝10，则sin(α＋β)＝________.
【导学号：06460074】
【解析】　由8sin
α＋5cos
β＝6，两边平方，
得64sin2α＋80sin
αcos
β＋25cos2β＝36.①
由8cos
α＋5sin
β＝10，两边平方，
得64cos2α＋80cos
α
sin
β＋25sin2β＝100.②
由①＋②，得64＋25＋80(sin
αcos
β＋cos
αsin
β)＝136.
∴sin(α＋β)＝.
【答案】　
8．cossin
α＋coscos
α＝________.
【解析】　因为cos＝sin，
所以原式＝sincos
α＋cossin
α
＝sin＝sin
＝.
【答案】　
二、解答题
9．已知cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，且＜β＜α＜π，求sin
2α.
【解】　∵＜β＜π，
∴－π＜－β＜－.
∵＜α＜π，
∴－＜α－β＜.
又∵β＜α，∴0＜α－β＜，
则sin＝.
∵sin(α＋β)＝－，π＜α＋β＜π，
∴cos(α＋β)＝－.
∴sin
2α＝sin
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝×＋×＝－.
10．(2016·南京高一检测)若函数f(x)＝(1＋tan
x)·cos
x,0≤x＜.
(1)把f(x)化成Asin(ωx＋φ)的形式；
(2)判断f(x)在上的单调性，并求f(x)的最大值．
【解】　(1)f(x)＝(1＋tan
x)·cos
x
＝cos
x＋··cos
x
＝cos
x＋sin
x
＝2
＝2
＝2sin.
(2)∵0≤x＜，∴≤x＋＜，
由x＋≤，得x≤.
∴f(x)在上是单调增函数，
在上是单调减函数．
∴当x＝时，f(x)有最大值为2.
[能力提升]
1．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin
φcos(x＋φ)的最大值为________．
【解析】　∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin
φcos(x＋φ)
＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin
φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos
φ＋cos(x＋φ)sin
φ－2sin
φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos
φ－cos(x＋φ)sin
φ
＝sin[(x＋φ)－φ]＝sin
x，
∴f(x)的最大值为1.
【答案】　1
2．(2016·苏州高一检测)已知cos＋sin
α＝，则sin的值是________．
【解析】　∵cos
α·＋sin
α·＋sin
α＝，
∴sin
α＋cos
α＝，
∴＝，
∴sin＝，∴sin＝sin
＝－sin＝－.
【答案】　－
3．sin
50°(1＋tan
10°)＝________.
【解析】　原式＝sin
50°
＝sin
50°·
＝2sin
50°·＝
＝
＝＝＝1.
【答案】　1
4．已知sin
α＝，cos
β＝－，且α，β为相邻象限的角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．
【解】　∵sin
α＝＞0，cos
β＝－，且α，β为相邻象限的角，∴α为第一象限角且β为第二象限角；或α为第二象限角且β为第三象限角．
①当α为第一象限角且β为第二象限角时，cos
α＝，sin
β＝，
∴sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β＝×＋×＝.
∴sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β
＝×－×
＝＝－.
②当α为第二象限角且β为第三象限角时，∵sin
α＝，cos
β＝－，
∴cos
α＝－，sin
β＝－，
∴sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β
＝×＋×＝
sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β
＝×－×＝－，
综上可知，sin(α＋β)＝，
sin(α－β)＝－.章末分层突破
[自我校对]
①C(α＋β)
②C2α
③S(α＋β)
④S2α
⑤T(α－β)
⑥T2α
　
求值问题
三角函数求值主要有三种类型，即
(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式．
(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角，要注意角的范围．
(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．
　已知tan
α＝4，cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，求cos
β的值．
【精彩点拨】　由tan
α求sin
α，由cos(α＋β)求sin(α＋β)，再利用cos
β＝cos[(α＋β)－α]展开求解．
【规范解答】　因为α，β均为锐角，
所以0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＝－，
所以＜α＋β＜π，
且sin(α＋β)＝.因为tan
α＝4，
所以sin
α＝，cos
α＝.
所以cos
β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α＝.
[再练一题]
1．已知sinsin＝，α∈，求的值．
【解】　∵sinsin＝，
∴sincos＝，
sin＝，即cos
2α＝.
又α∈，2α∈(π，2π)，
∴sin
2α＝－
＝－＝－.
∴＝
＝＝－.
化简与证明
三角函数式的化简与证明要遵循“三看”原则
(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．
　求证：＝.
【精彩点拨】　先对原式进行等价变形，同时注意应用“二倍角”的正弦、余弦、正切公式．
【规范解答】　证明原不等式成立，即证明
1＋sin
4θ－cos
4θ＝tan
2θ(1＋sin
4θ＋cos
4θ)成立．
∵tan
2θ(1＋sin
4θ＋cos
4θ)
＝(2cos22θ＋2sin
2θcos
2θ)
＝2sin
2θ(cos
2θ＋sin
2θ)
＝2sin
2θcos
2θ＋2sin22θ
＝sin
4θ＋1－cos
4θ.
∴＝.
[再练一题]
2．化简：.
【解】　原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝＝2.
三角恒等变换的综合应用
1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
2．把形如y＝asin
x＋bcos
x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．
　设向量a＝(sin
x，sin
x)，b＝(cos
x，sin
x)，x∈.
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
【精彩点拨】　分别表示两向量的模，利用相等求解x的值；利用数量积运算及辅助角公式化为一个角的一种函数求解．
【规范解答】　(1)由|a|2＝(sin
x)2＋sin2
x＝4sin2x，
|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.
又x∈，从而sin
x＝，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝sin
x·cos
x＋sin2x
＝sin
2x－cos
2x＋＝sin＋，
当x＝∈时，sin取最大值1.
所以f(x)的最大值为.
[再练一题]
3．已知函数f(x)＝cos2－sincos－.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝，求sin
2α的值．
【解】　(1)f(x)＝cos2－sincos－＝(1＋cos
x)－sin
x－＝cos.
所以f(x)的最小正周期为2π，值域为.
(2)由(1)知f(α)＝cos＝，
所以cos＝.
所以sin
2α＝－cos
＝－cos
＝1－2cos2＝1－＝.
转化与化归思想在三角变换中的应用
在三角函数的化简、求值中，常常对条件和结论进行合理的变换，通过转化沟通已知与未知的关系，角的转化、函数名称的转化、常数代换、幂的升降变换、结构变化等技巧在解题中经常用到，应熟练掌握．
　已知tan
α＝，tan
β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
【精彩点拨】　先求tan(2α－β)的值，再结合2α－β的范围求2α－β的值．
【规范解答】　∵tan
α＝＞0，
∴α∈，2α∈(0，π)，
∴tan
2α＝＝＝＞0，
∴2α∈，
又∵tan
β＝－＜0，β∈(0，π)，
∴β∈，
∴tan(2α－β)＝
＝＝1，
又∵2α∈，β∈，
∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－π.
[再练一题]
4．已知＜α＜，0＜β＜，cos＝，sin＝，求sin(α＋β)的值．
【解】　∵＜α＜，0＜β＜，
∴－＜－α＜0，＜＋β＜π，
∴sin＝－
＝－＝－，cos
＝－＝－，
∴sin(α＋β)＝－cos
＝－cos＝
＝－＝.
1．(2015·重庆高考改编)若tan
α＝2tan，则＝________.
【解析】　∵cos＝cos＝sin，
∴原式＝＝＝.
又∵tan
α＝2tan，∴原式＝＝3.
【答案】　3
2．(2016·全国卷Ⅱ改编)若cos＝，则sin
2α＝________.
【解析】　因为cos＝，
所以sin
2α＝cos＝cos
2
＝2cos2－1＝2×－1＝－.
【答案】　－
3．(2016·四川高考)cos2－sin2＝________.
【解析】　cos2－sin2＝cos
＝.
【答案】　
4．(2016·浙江高考)已知2cos2x＋sin
2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________.
【解析】　∵2cos2x＋sin
2x＝1＋cos
2x＋sin
2x＝1＋sin，
∴1＋sin＝Asin(ωx＋φ)＋b，∴A＝，b＝1.
【答案】　　1
5．(2015·江苏高考)已知tan
α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan
β的值为________．
【解析】　tan
β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝3.
【答案】　3
6．(2016·江苏高考)在△ABC中，AC＝6，cos
B＝，C＝.
(1)求AB的长；(2)求cos的值．
【解】　(1)因为cos
B＝，0所以sin
B＝＝＝.
由正弦定理知＝，
所以AB＝＝＝5.
(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，
于是cos
A＝－cos(B＋C)＝－cos
＝－cos
Bcos
＋sin
Bsin
.
又cos
B＝，sin
B＝，
故cos
A＝－×＋×＝－.
因为0A＝＝.
因此，cos＝cos
Acos
＋sin
Asin
＝－×＋×＝.
章末综合测评(三)　三角恒等变换
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)
1．若sin＝，则cos
2α＝________.
【解析】　由sin＝，得cos
α＝，所以cos
2α＝2cos2
α－1＝－.
【答案】　－
2．若sin
αsin
β＝1，则cos(α－β)＝________.
【解析】　∵sin
αsin
β＝1，∴sin
α＝－1，sin
β＝－1或sin
α＝1，sin
β＝1.由sin2α＋cos2α＝1得cos
α＝0.
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝0＋1＝1.
【答案】　1
3．sin
163°sin
223°＋sin
253°sin
313°＝________.
【解析】　原式＝－sin
17°cos
47°＋cos
17°sin
47°
＝sin(47°－17°)
＝sin
30°
＝
【答案】　
4．化简：·＝________.
【解析】　原式＝·＝tan
2α.
【答案】　tan
2α
5．若α∈，sin
α＝，则tan
2α＝________.
【解析】　∵α∈，sin
α＝，
∴cos
α＝－，∴tan
α＝－，
∴tan
2α＝＝－.
【答案】　－
6．(2016·南通高一检测)化简：
cos2－sin2＝________.
【解析】　原式＝－
＝
＝
＝
＝cos
x.
【答案】　cos
x
7．已知sin－cos
＝－，450°＜α＜540°，则tan＝________.
【解析】　已知等式两边平方得sin
α＝，450°＜α＜540°，
∴cos
α＝－，∴tan＝＝2.
【答案】　2
8．tan
19°＋tan
41°＋tan
19°tan
41°的值为________．
【解析】　tan
19°＋tan
41°＝tan
60°(1－tan
19°tan
41°)
＝－tan
19°tan
41°
∴原式＝－tan
19°tan
41°＋tan
19°tan
41°＝.
【答案】　
9．设a＝sin
14°＋cos
14°，b＝sin
16°＋cos
16°，c＝，则a，b，c的大小关系是________．
【解析】　a＝sin
59°，b＝sin
61°，c＝sin
60°，
所以a＜c＜b.
【答案】　a＜c＜b
10．为了得到函数y＝sin
3x＋cos
3x的图象，可以将函数y＝cos
3x的图象向________平移________个单位．
【解析】　y＝sin
3x＋cos
3x＝cos
＝cos
3
故将y＝cos
3x的图象向右平移个单位得到y＝sin
3x＋cos
3x的图象．
【答案】　右　
11．函数y＝sin
xcos
x＋cos2x－图象的对称轴方程为________．
【解析】　∵y＝sin
2x＋cos
2x＝sin
∴由2x＋＝kπ＋得x＝＋(k∈Z)．
【答案】　x＝＋，k∈Z
12．(2016·苏州高一检测)已知点Psin
π，cos
π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则tan的值为________．
【解析】　由题意知，点P在第四象限，且落在角θ的终边上，所以tan
θ＝－1，所以tan＝＝＝2－.
【答案】　2－
13．设α，β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝，tan
＝，则cos
β的值为________．
【解析】　由tan
＝，得sin
α＝＝＝，∵α∈(0，π)，∴cos
α＝，
由sin(α＋β)＝α，α，β∈(0，π)，α＋β∈，∴cos(α＋β)＝－.
cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α＝－.
【答案】　－
14．已知函数f(x)＝sin＋sin＋cos
x＋a在区间上的最大值为2，则常数a的值为________．
【解析】　f(x)＝2sin
xcos
＋cos
x＋a＝sin
x＋cos
x＋a＝2sin＋a，又－≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，∴a＋2＝2，则a＝0.
【答案】　0
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)已知sin
α＝cos
2α，α∈，求sin
2α.
【解】　∵sin
α＝1－2sin2α，即2sin2α＋sin
α－1＝0，
∴sin
α＝－1或sin
α＝.
又∵α∈，∴sin
α＝，α＝.
∴cos
α＝.∴sin
2α＝2××＝.
16．(本小题满分14分)求－sin
10°－tan
5°的值．
【解】　原式＝－2sin
10°·
＝－2sin
10°·
＝－2cos
10°＝
＝＝.
17．(本小题满分14分)已知向量a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，|a－b|＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若0＜α＜，－＜β＜0，且sin
β＝－，求sin
α的值．
【解】　(1)a－b＝(cos
α－cos
β，sin
α－sin
β)，
|a－b|2＝(cos
α－cos
β)2＋(sin
α－sin
β)2＝2－2cos(α－β)，∴＝2－2cos(α－β)，
∴cos(α－β)＝.
(2)由0＜α＜，－＜β＜0且sin
β＝－，
可知cos
β＝，且0＜α－β＜π，
∵cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝.
∴sin
α＝sin(α－β＋β)
＝sin(α－β)cos
β＋cos(α－β)sin
β
＝×＋×
＝.
18．(本小题满分16分)已知cos＝－，sin＝且α∈，β∈.
求：(1)cos
；(2)tan(α＋β)．
【解】　(1)∵＜α＜π，0＜β＜，
∴＜α－＜π，－＜－β＜，
∴sin＝＝，
cos＝＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin2
＝×＋×
＝.
(2)又α＋β∈，∴∈，且cos＜0，故tan＜0，∴tan＝－.
∴tan(α＋β)＝＝.
19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝cos
x(sin
x＋cos
x)－.
(1)若0＜α＜，且sin
α＝，求f(α)的值．
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
【解】　f(x)＝sin
xcos
x＋cos2x－
＝sin
2x＋－
＝sin
2x＋cos
2x＝sin.
(1)∵0＜α＜，sin
α＝，∴α＝.
从而f(α)＝sin＝sin＝.
(2)T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得
kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
20．(本小题满分16分)如图1，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y＞x＞0.
图1
(1)将十字形的面积表示成θ的函数；
(2)求十字形的最大面积．
【解】　(1)设S为十字形面积，
则S＝2xy－x2＝2sin
θcos
θ－cos2θ.
(2)S＝2sin
θcos
θ－cos2θ＝sin
2θ－cos
2θ－
＝×－
＝sin(2θ－φ)－(设φ为锐角且tan
φ＝)
当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝时，S最大．
即当θ＝＋时，十字形取得最大面积－.第2课时　正弦、余弦的图象与性质
1．掌握y＝sin
x，y＝cos
x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)
2．掌握y＝sin
x，y＝cos
x的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点)
3．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(重点、易错点)
[基础·初探]
教材整理　正弦函数、余弦函数的图象与性质
阅读教材P28～P29的全部内容，完成下列问题.
函数
正弦函数y＝sin
x，x∈R
余弦函数y＝cos
x，x∈R
图象
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
最值
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，取得最大值＝1；当x＝2kπ－(k∈Z)时，取得最小值－1
当x＝2kπ(k∈Z)时，取得最大值1；当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，取得最小值－1
周期性
周期函数，T＝2π
周期函数，T＝2π
奇偶性
奇函数，图象关于原点对称
偶函数，图象关于y轴对称
单调性
在(k∈Z)上是增函数；在2kπ＋，2kπ＋(k∈Z)上是减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函数；在[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上是减函数
对称性
关于x＝kπ＋(k∈Z)成轴对称，关于(kπ，0)(n∈Z)成中心对称
关于x＝kπ(k∈Z)成轴对称，关于kπ＋，0(k∈Z)成中心对称
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝sin是奇函数．(　　)
(2)y＝cos
x是周期为π的偶函数．(　　)
(3)y＝sin
x在上单调递减．(　　)
(4)y＝cos
x的值域为(－1,1)．(　　)
【解析】　(1)×.∵y＝sin＝cos
x，∴是偶函数．
(2)×.y＝cos
x的周期为2π.
(3)×.y＝sin
x在上单调递增．
(4)×.y＝cos
x的值域为[－1,1]．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：　
[小组合作型]
求三角函数的单调区间
　求下列函数的单调递增区间：
(1)y＝cos
2x；
(2)y＝2sin.
【导学号：06460024】
【精彩点拨】　(1)借助y＝cos
x的单调性求解；
(2)解答本题要先用诱导公式将x的系数化为正数，再确定所求的单调区间后求解．
【自主解答】　(1)令z＝2x，由y＝cos
z的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z可知
－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，
∴－＋kπ≤x≤kπ，k∈Z，
∴单调递增区间为，k∈Z.
(2)y＝2sin
＝－2sin，
令z＝x－，
则y＝－2sin
z.
因为z是x的一次函数，所以要取y＝－2sin
z的递增区间，即取sin
z的递减区间，即2kπ＋≤z≤2kπ＋(k∈Z)，
∴2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴函数y＝2sin的递增区间为2kπ＋，2kπ＋(k∈Z)．
求函数y＝Asin ωx＋φ A>0，ω≠0 的单调区间的一般步骤：
1 当ω>0时，把“ωx＋φ”看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋ k∈Z 解出x的范围，即为函数递增区间；由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋ k∈Z 解出x的范围，即为函数递减区间.
2 当ω<0时，可先用诱导公式转化为y＝－sin －ωx－φ ，则y＝sin －ωx－φ 的递增区间即为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间.?余弦函数y＝Acos ωx＋φ A>0，ω≠0 的单调性讨论同上.
[再练一题]
1.求函数y＝2sin，x∈[－π，0]的单调减区间．
【解】　当2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋时，函数单调递减，
解得：kπ＋≤x≤kπ＋.
∵x∈[－π，0]，
∴取k＝－1，此时－π＋≤x≤－π＋，
即－≤x≤－.
故函数y＝2sin，x∈[－π，0]的单调减区间为.
比较三角函数值的大小
　用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin与sin；
(2)sin
196°与cos
156°；
(3)cos与cos.
【精彩点拨】　先把异名函数同名化，再把异单调区间内的角化为同一单调区间内，最后借助单调性比较大小．
【自主解答】　(1)∵－＜－＜－＜，
又∵函数y＝sin
x在上是增函数，
∴sin＞sin.
(2)sin
196°＝sin(180°＋16°)＝－sin
16°，
cos
156°＝cos(180°－24°)＝－cos
24°＝－sin
66°，
∵0°＜16°＜66°＜90°，
∴sin
16°＜sin
66°；
从而－sin
16°＞－sin
66°，
即sin
196°＞cos
156°.
(3)cos＝cos
π
＝cos＝cosπ，
cos＝cos
π
＝cos＝cos.
∵0＜＜π＜π，且y＝cos
x在[0，π]上是减函数，
∴cos
π＜cos
，即cos＜cos.
比较三角函数值的大小时，若函数名不同，一般应先化为同名三角函数，再运用诱导公式把它们化到同一单调区间上，以便运用函数的单调性进行比较.注意，有些时候，可以先用式子的符号进行分类比较大小.
[再练一题]
2．比较下列各组数值的大小：
(1)sin
2与cos
1；(2)sin与sin.
【解】　(1)因为cos
1＝sin，
sin
2＝sin(π－2)，
又0<－1<π－2<且y＝sin
x在上是递增的，
从而sin即cos
12.
(2)∵cos
＝sin
，0<1，
即0<1<，
又∵y＝sin
x在上是增函数，
∴sin[探究共研型]
与三角函数有关的值域问题
探究1　如何求函数y＝sin
x，x∈上的值域？
【提示】　借助函数y＝sin
x在上的单调性求解．
因为x∈时，y＝sin
x是单调递增函数，
所以sin≤sin
x≤sin，即－≤sin
x≤，∴其值域为.
探究2　如何求形如y＝asin
x＋b(a，b≠0)的值域？
【提示】　令t＝sin
x，则t∈[－1,1]，从而转化为y＝at＋b，t∈[－1,1]型的值域问题．
探究3　如何求形如y＝asin2x＋bsin
x＋c的值域？
【提示】　令sin
x＝t，t∈[－1,1]，从而y＝at2＋bt＋c，t∈[－1,1]，即转化为给定区间的二次函数值域问题．
　(1)求函数y＝2sin的最大值和最小值；
(2)求函数y＝－2cos2x＋2sin
x＋3，x∈的值域．
【精彩点拨】　(1)由x的范围 2x＋的范围 借助单调性求y＝2sin的最值；
(2)由x的范围 sin
x的范围 函数的值域．
【自主解答】　(1)∵－≤x≤，
∴0≤2x＋≤，
∴0≤sin≤1，
∴当sin＝1时，取得最大值2；
当sin＝0时，取得最小值0.
(2)y＝－2(1－sin2x)＋2sin
x＋3
＝2sin2x＋2sin
x＋1
＝22＋.
∵x∈，∴≤sin
x≤1.
当sin
x＝1时，取得最大值5；
当sin
x＝时，取得最小值.
∴函数y＝－2cos2x＋2sin
x＋3的值域为.
1．求形如y＝Asin
x＋B或y＝Acos
x＋B型的三角函数的最值问题，一般运用三角函数的有界性求最值．求最值时要注意三角函数的定义域，尤其要注意题目中是否给定了区间．
2．求解形如y＝asin2x＋bsin
x＋c(或y＝acos2x＋bcos
x＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin
x(或cos
x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin
x(或cos
x)的有界性．
[再练一题]
3．(2016·南通高一检测)已知函数f(x)＝2asin2x－＋b的定义域为，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．
【解】　∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，
∴－≤sin≤1.
若a＞0，则
解得
若a＜0，则
解得
综上知
或
[构建·体系]
1．函数y＝sin
2x的奇偶性为________．
【解析】　∵sin(－2x)＝－sin
2x，
∴函数y＝sin
2x为奇函数．
【答案】　奇函数
2．函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴是________(任写一条)．
【解析】　令x－＝kπ＋，∴x＝kπ＋(k∈Z)．
【答案】　x＝－
3．将cos
150°，sin
470°，cos
760°按从小到大排列为______.
【导学号：06460025】
【解析】　cos
150°＜0，sin
470°＝sin
110°＝cos
20°＞0，
cos
760°＝cos
40°＞0且cos
20°＞cos
40°，所以cos
150°＜cos
760°＜sin
470°.
【答案】　cos
150°＜cos
760°＜sin
470°
4．函数f(x)＝sin在区间上的最小值是________．
【解析】　∵0≤x≤，∴0≤2x≤π，
∴－≤2x－≤，
∴－≤sin≤1，∴f(x)取最小值－.
【答案】　－
5．求函数y＝sin的单调区间．
【解】　y＝sin＝－sin.
因为2x－是关于x的增函数，所以只需要考虑y＝－sin关于2x－的单调性即可．
当2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)时，y＝sin2x－为增函数，y＝sin为减函数，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
即函数y＝sin的单调减区间为
(k∈Z)；
同理，令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
求得函数y＝sin的单调增区间为
(k∈Z)．
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评(九)
正弦、余弦的图象与性质
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．函数y＝2cos
x－1的最大值是________，最小值是________．
【解析】　∵cos
x∈[－1,1]，
∴y＝2cos
x－1∈[－3,1]．
∴最大值为1，最小值为－3.
【答案】　1　－3
2．函数y＝cos
x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
【解析】　y＝cos
x在[－π，0]上为增函数，在[0，π]上为减函数，所以a∈(－π，0]．
【答案】　(－π，0]
3．函数f(x)＝7sin是________(填“奇函数”或“偶函数”)．
【解析】　f(x)＝7sin＝7sin
＝－7cos
x，
∴f(x)是偶函数．
【答案】　偶函数
4．y＝的定义域为________，单调递增区间为________．
【解析】　∵sin
x≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.
当x∈[0，π]时，y＝在上单调递增，
∴其递增区间为，k∈Z.
【答案】　[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z　，k∈Z
5．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ＝________.
【解析】　由题意，当x＝时，
f(x)＝sin＝±1，
故＋φ＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝kπ＋(k∈Z)．
【答案】　kπ＋(k∈Z)
6．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是________．(只填序号)
【导学号：06460026】
①函数f(x)的最小正周期为2π；②函数f(x)在区间上是增函数；③函数f(x)的图象关于直线x＝0对称；④函数f(x)是奇函数．
【解析】　∵y＝sin＝－cos
x，∴T＝2π，即①正确．y＝cos
x在上是减函数，则y＝－cos
x在上是增函数，即②正确．由图象知y＝－cos
x的图象关于x＝0对称，即③正确．y＝－cos
x为偶函数，即④不正确．
【答案】　④
7．(2016·南京高一检测)若函数f(x)＝sin
ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
【解析】　因为当0≤ωx≤时，函数f(x)是增函数，
当≤ωx≤π时，函数f(x)为减函数，
即当0≤x≤时，函数f(x)为增函数，
当≤x≤时，函数f(x)为减函数，
所以＝，所以ω＝.
【答案】　
8．(2016·连云港高一检测)函数y＝cos2x－4cos
x＋5的值域为________．
【解析】　令t＝cos
x，由于x∈R，故－1≤t≤1.
y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，
当t＝－1时，即cos
x＝－1时函数有最大值10；
当t＝1，即cos
x＝1时函数有最小值2.
所以该函数的值域是[2,10]．
【答案】　[2,10]
二、解答题
9．比较下列各组三角函数值的大小：
(1)sin
250°与sin
260°；(2)cos与cos；
(3)sin
11°，cos
10°，sin
168°.
【解】　(1)∵函数y＝sin
x在上单调递减，且90°＜250°＜260°＜270°，∴sin
250°＞sin
260°.
(2)cos＝cos＝cos
，
cos
＝cos＝cos.
∵函数y＝cos
x在[0，π]上单调递减，
且0＜＜＜π，∴cos＞cos
，
∴cos＞cos
.
(3)sin
168°＝sin(180°－12°)＝sin
12°，
cos
10°＝sin(90°－10°)＝sin
80°.
又因为y＝sin
x在x∈上是增函数，
所以sin
11°＜sin
12°＜sin
80°，
即sin
11°＜sin
168°＜cos
10°.
10．(2016·苏州高一检测)已知函数f(x)＝2cos3x＋.
(1)求f(x)的单调递增区间．
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值．
【解】　(1)令2kπ－π≤3x＋≤2kπ(k∈Z)，
解得－≤x≤－(k∈Z)，
∴f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)．
(2)当3x＋＝2kπ－π(k∈Z)时，f(x)取最小值－2.
即x＝－(k∈Z)时，f(x)取最小值－2.
[能力提升]
1．若f(x)＝2sin
ωx(0＜ω＜1)在区间上的最大值是，则ω＝________.
【解析】　由题意知0≤x≤时，0≤ωx≤＜，
f(x)取最大值2sin＝时，sin＝，＝，ω＝.
【答案】　
2．若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.
【解析】　∵f(x)为偶函数，∴＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝3kπ＋(k∈Z)．
又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝.
【答案】　
3．(2016·南通高一检测)函数y＝2sin(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为________．
【解析】　周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2，
∴y＝2sin.
由－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－π≤x≤kπ＋，k∈Z.
【答案】　(k∈Z)
4．已知ω是正数，函数f(x)＝2sin
ωx在区间上是增函数，求ω的取值范围．
【解】　由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋≤x≤＋，
∴f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
根据题意，
得 ，
从而有解得0＜ω≤.
故ω的取值范围是.2.2.2　向量的减法
1．理解向量减法的意义及减法法则．(重点)
2．掌握向量减法的几何意义．(难点)
3．能熟练地进行向量的加、减运算．(易混点)
[基础·初探]
教材整理　向量的减法
阅读教材P66～P67的全部内容，完成下列问题．
1．向量减法的定义
若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的差，记为a－b，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．
2．向量的减法法则
以O为起点，作向量＝a，＝b，则＝a－b，即当向量a，b起点相同时，从b的终点指向a的终点的向量就是a－b.
图2 2 10
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)－＝.(　　)
(2)若－b与a同向，则a－b与a同向．(　　)
(3)向量的减法不满足结合律．(　　)
(4)＝－.(　　)
【解析】　(1)×.－＝；
(2)√.－b与a同向，则a－b＝－b＋a与a同向．
(3)×.如(a－b)＋c＝a＋(c－b)．
(4)√.
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：　
[小组合作型]
向量减法的运算
　化简下列式子：
(1)－－－；
(2)(－)－(－).
【导学号：06460045】
【精彩点拨】　充分利用向量减法的运算律求解．
【自主解答】　(1)原式＝＋－(＋)
＝－＝0.
(2)(－)－(－)
＝－－＋
＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＝0.
运用向量减法法则运算的常用方法：
1 可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算.
2 运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有共同的起点.
3 引入点O，逆用向量减法的三角形法则，将各向量起点统一.
[再练一题]
1．化简：－＋－＝________.
【解析】　原式＝(－)＋＋
＝＋
＝0.
【答案】　0
用已知向量表示其它向量
　如图2 2 11所示，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示：
图2 2 11
(1)－；(2)＋；
(3)－.
【精彩点拨】　寻找图中已知向量和所表示向量之间的关系，然后利用向量的加(减)法解决．
【自主解答】　(1)－＝＝－，
∵＝d，＝b，
∴－＝d－b.
(2)∵＋＝(－)＋(－)，
＝a，＝b，＝c，＝f，
∴＋＝b＋f－a－c.
(3)－＝＝－，
∵＝f，＝d，
∴－＝f－d.
用几个基本向量表示某个 些 向量的技巧：
1 首先，观察待表示向量的位置；
2 其次，寻找 或作 相应的平行四边形和三角形；
3 再次，运用法则找关系；
4 最后，化简结果.
[再练一题]
2．如图2 2 12，解答下列各题：
图2 2 12
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
【解】　由题意知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则
(1)＝＋＋＝d＋e＋a.
(2)＝－＝－－＝－b－c.
(3)＝＋＋＝e＋a＋b.
(4)＝－＝－(＋)＝－c－d.
[探究共研型]
|a－b|与a，b之间的关系
探究1　若a与b共线，怎样作出a－b
【提示】　①当a与b同向且|a|≥|b|时，在给定的直线l上作出差向量a－b；
＝a，＝b，则＝a－b；
②当a与b同向且|a|≤|b|时，在给定的直线l上作出差向量a－b：
＝a，＝b，则＝a－b；
③若a与b反向，在给定的直线l上作出差向量a－b：
＝a，＝b，则B＝a－b.
探究2　结合探究1的图示及向量的减法法则，探究|a－b|与a，b之间的大小关系？
【提示】　当a与b不共线时，有：||a|－|b||＜|a－b|＜|a|＋|b|；
当a与b同向且|a|≥|b|时，有：|a－b|＝|a|－|b|；
当a与b同向且|a|≤|b|时，有：|a－b|＝|b|－|a|.
　已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.
【精彩点拨】　|a＋b|＝|a－b|→判断a与b的位置关系→求|a－b|的值．
【自主解答】　如图，设＝a，
＝b，以AB，AD为邻边作 ABCD.
则＝a＋b，＝a－b，
所以||＝||.
又四边形ABCD为平行四边形，
所以四边形ABCD为矩形．
故AD⊥AB.
在Rt△DAB中，
||＝6，||＝8，
由勾股定理得
||＝
＝＝10，
所以|a－b|＝10.
1．以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量＝a，＝b，则两条对角线表示的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．
2．正确理解向量加(减)法的几何意义，恰当构造几何图形，是求解此类问题的关键．
[再练一题]
3．已知向量a，b，满足|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，求|a－b|.
【解】　在 ABCD中，使＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b，
由于|a|＝|b|＝1，所以ABCD为菱形，且AC⊥BD，交点为O，∴AO＝，AB＝1，OB＝＝，
∴BD＝2BO＝1，即|a－b|＝1.
[构建·体系]
1．化简－＋等于________．
【解析】　－＋
＝＋
＝0.
【答案】　0
2．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
【解析】　若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0.
又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1.
∵a与－b共线，∴|a－b|＝2.
【答案】　0　2
3．在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是________.
【导学号：06460046】
①－＝0；
②－＝；
③－＝；
【解析】　∵ABCD是平行四边形，
∴＝，
∴－＝0，故①正确；
又＝，∴－＝－＝，
故②正确；
又－＝≠，故③错误．
【答案】　①②
4．如图2 2 13，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝________.
图2 2 13
【解析】　由三角形法则可知
＝－
＝(＋)－
＝a＋c－b.
【答案】　a＋c－b
5．如图2 2 14所示， ABCD中，＝a，＝b.
图2 2 14
(1)用a，b表示，；
(2)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？
(3)当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|
(4)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？
【解】　(1)＝＋＝b＋a，＝－＝a－b.
(2)由(1)知，a＋b＝，a－b＝.
若a＋b与a－b所在直线垂直，
则AC⊥BD.又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形，即应满足|a|＝|b|.
(3)假设|a＋b|＝|a－b|，
即||＝||.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，∴a⊥b，
∴当a与b垂直时，|a＋b|＝|a－b|.
(4)不可能，∵ ABCD的两条对角线不可能平行，
∴a＋b与a－b不可能为共线向量，也就是不可能为相等向量．
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评(十六)　向量的减法
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．在平行四边形ABCD中，－的结论正确的是________．
①；②；③；④.
【解析】　∵－＝，
又ABCD为平行四边形，
∴＝.
∴①④正确．
【答案】　①④
2．已知两向量a和b，如果a的方向与b的方向垂直，那么|a＋b|________|a－b|.(填写“＝”“≤”或“≥”)
【解析】　以a，b为邻边的平行四边形是矩形，
矩形的对角线相等．由加减法的几何意义知
|a＋b|＝|a－b|.
【答案】　＝
3．化简下列向量式，结果为0的个数是________．
①－＋；②＋＋－；③－－；④＋－.
【导学号：06460047】
【解析】　①－＋＝0.
②＋＋－＝＋＝0.
③－(＋)＝0.
④＋－＝0.
【答案】　4
4．如图2 2 15所示，在正方形ABCD中，已知＝a，＝b，＝c，则图中能表示a－b＋c的向量是________．
图2 2 15
【解析】　由已知得
a－b＝－＝，c＝，
∴a－b＋c＝＋＝.
【答案】　
5．(2016·南通高一检测)如图2 2 16，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，若用a，b表示向量，则＝________.
图2 2 16
【解析】　＝－＝－
＝－－
＝－a－b.
【答案】　－a－b
6．已知|a|＝7，|b|＝2，若a∥b，则|a－b|＝________.
【解析】　∵a∥b，当a与b同向时，|a－b|＝|7－2|＝5，
当a与b反向时，|a－b|＝|7＋2|＝9.
【答案】　5或9
7．下列四个式子，不能化简为的序号是________．
①(＋)－；②(－)＋(－)；
③－＋；④＋－.
【解析】　①原式＝＋(－)＝＋＝；
②原式＝＋－(＋)＝＋－＝；
③原式＝＋＝；
④原式＝＋＋≠，
∴只有④不能化为.
【答案】　④
8．(2016·南京高一检测)如图2 2 17，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列各式不正确的是________．
图2 2 17
①＋＋＝0；
②－＋＝0；
③＋－＝0；
④－－＝0.
【解析】　①＋＋＝＋＋＝－＋＋＝＋＝＋＝0；
②－＋＝(＋)－＝－≠0；
③＋－＝＋(－)＝＋≠0；
④－－＝(－)－＝－＝＋≠0.
【答案】　②③④
二、解答题
9．如图2 2 18，已知向量a和向量b，用三角形法则作a－b＋a.
图2 2 18
【解】　作法：作向量＝a，向量＝b，则
向量＝a－b.
如图所示：作向量＝a，
则＝a－b＋a.
10．已知△OAB中，＝a，＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积．
【解】　
由已知得||＝||，以，为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，如图，有＝a＋b，＝a－b，
由于|a|＝|b|＝|a－b|，即OA＝OB＝BA，
∴△OAB为正三角形，|a＋b|＝||＝2×＝2，
∴S△OAB＝×2×＝.
[能力提升]
1．如图2 2 19，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，则＝________.
图2 2 19
【解析】　因为＝a，＝b，＝c，所以＝－＝c－b，又＝，所以＝＋＝a＋c－b.
【答案】　a＋c－b
2．(2016·山西晋中四校联考)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
【解析】　如图．
∵四边形ABCD为平行四边形，且E、F分别为CD、BC的中点，
∴＝＋＝(－)＋(－)
＝(＋)－(＋)＝(＋)－，
∴＝(＋)，∴λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.
【答案】　
3．边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为________．
【解析】　如图所示，|－|＝|＋|＝||，
又||＝1，||＝1，∠ABC′＝120°，
∴在△ABC′中，||＝2||cos
30°＝.
【答案】　
4．已知a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|.
求.
【解】　设＝a，＝b，
则＝－＝a－b.
∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴BA＝OA＝OB，
∴△OAB为正三角形．
设其边长为1，则|a－b|＝||＝1，|a＋b|＝2×＝，
∴＝＝.1.2.3　三角函数的诱导公式
第1课时　三角函数的诱导公式(一～四)
1．能借助单位圆中的三角函数定义推导出诱导公式一～四．(难点)
2．掌握诱导公式一～四，会运用诱导公式化简、求值与证明．(重点)
[基础·初探]
教材整理1　诱导公式(一)
阅读教材P18“公式一”的有关内容，完成下列问题．
终边相同的角的诱导公式(公式一)：
sin(α＋2kπ)＝sin_α(k∈Z)；
cos(α＋2kπ)＝cos_α(k∈Z)；
tan(α＋2kπ)＝tan_α(k∈Z)．
(1)sin
＝________；(2)cos＝________；
(3)tan＝________.
【解析】　(1)sin＝sin＝sin＝.
(2)cos＝cos＝cos＝.
(3)tan＝tan＝tan＝1.
【答案】　(1)　(2)　(3)1
教材整理2　诱导公式(二)
阅读教材P18“公式二”的有关内容，完成下列问题．
终边关于x轴对称的角的诱导公式(公式二)：
sin(－α)＝－sin_α；
cos(－α)＝cos_α；
tan(－α)＝－tan_α.
(1)sin＝________；(2)cos
330°＝________；
(3)tan＝________.
【解析】　(1)sin＝－sin＝－.
(2)cos
330°＝cos(360°－30°)＝cos(－30°)＝cos
30°＝.
(3)tan＝－tan＝－1.
【答案】　(1)－　(2)　(3)－1
教材整理3　诱导公式(三)
阅读教材P19“公式三”的有关内容，完成下列问题．
终边关于y轴对称的角的诱导公式(公式三)：
sin(π－α)＝sin_α；
cos(π－α)＝－cos_α；
tan(π－α)＝－tan_α.
(1)sin＝________；(2)cosπ＝________；
(3)tan
1
560°＝________.
【解析】　(1)sin＝sin＝sin＝.
(2)cos＝cos＝－cos＝－.
(3)tan(4×360°＋120°)＝tan
120°＝tan(180°－60°)
＝－tan
60°＝－.
【答案】　(1)　(2)－　(3)－
教材整理4　诱导公式(四)
阅读教材P19“公式四”的有关内容，完成下列问题．
终边关于原点对称的角的诱导公式(公式四)：
sin(π＋α)＝－sin_α；
cos(π＋α)＝－cos_α；
tan(π＋α)＝tan_α.
(1)sin
225°＝________；(2)cos＝________；
(3)tan
＝________.
【解析】　(1)sin
225°＝sin(180°＋45°)＝－sin
45°＝－.
(2)cos＝cos＝－cos＝－.
(3)tan＝tan
＝tan
＝tan＝.
【答案】　(1)－　(2)－　(3)
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：　
[小组合作型]
给角求值
　求下列各式的值：
(1)sin·cos·tan；
(2)cos(－2
640°)＋sin
1
665°；
(3).
【导学号：06460012】
【精彩点拨】　利用诱导公式先把任意角的三角函数化为锐角三角函数，再求值．
【自主解答】　(1)原式＝sin·cos·tan
＝－sincostan
＝－costan
＝－
＝－××1＝.
(2)原式＝cos[240°＋(－8)×360°]＋sin(225°＋4×360°)＝cos
240°＋sin
225°
＝cos(180°＋60°)＋sin(180°＋45°)
＝－cos
60°－sin
45°＝－.
(3)原式＝
＝＝
＝
＝－1.
　利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤：
[再练一题]
1．求下列各三角函数式的值：
(1)sin
1
320°；(2)cos；(3)tan(－945°)．
【解】　(1)sin
1
320°＝sin(4×360°－120°)
＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)
＝－sin
60°＝－.
(2)cos＝cos＝cos
＝－cos＝－.
(3)tan(－945°)＝－tan
945°
＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan
225°
＝－tan(180°＋45°)＝－tan
45°＝－1.
化简求值
　化简下列各式：
(1)；
(2).
【精彩点拨】　利用诱导公式一，二，四将函数值化为α角的三角函数值或锐角的三角函数值，再约分化简．
【自主解答】　(1)原式＝
＝＝1.
(2)原式＝
＝
＝
＝＝＝.
1．三角函数式的化简方法：
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．
(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数．
2．含有kπ＋α的三角函数式的化简：
用诱导公式进行化简，碰到kπ＋α的形式时，常对k分奇数、偶数进行讨论，其目的在于将不符合诱导公式条件的问题，通过分类使之符合条件，达到能利用公式的目的．
[再练一题]
2.(k∈Z)．
【解】　(1)当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝
＝
＝＝－1；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝
＝＝
＝－1.综上，原式＝－1.
[探究共研型]
给值求值问题
探究1　“α－15°”与“165°＋α”间存在怎样的关系？你能用α－15°表示“165°＋α”吗？
【提示】　由165°＋α－(α－15°)＝180°可知165°＋α＝180°＋(α－15°)．
探究2　若tan(α－15°)＝－1，则tan(165°＋α)等于多少？
【提示】　由探究1可知tan(165°＋α)＝tan[180°＋(α－15°)]＝tan(α－15)°＝－1.
　求值．
(1)已知sin＝－，求sin的值．
(2)已知cos＝，求cos的值．
【精彩点拨】　(1)－＝2π；
(2)－＝π.
【自主解答】　(1)∵－＝2π，
∴sin＝sin
＝sin＝－.
(2)∵－＝π，
∴cos＝cos
＝－cos＝－.
对于给值求值问题，要注意观察题目条件中的角与所求问题中的角之间的联系，然后选择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值.
[再练一题]
3．已知cos＝，求cos－sin2α－的值．
【解】　cos－sin2
＝cos－sin2
＝－cos－
＝cos2－cos－1
＝2－－1＝－.
[构建·体系]
1．sin
585°＝________.
【解析】　sin
585°＝sin(360°＋225°)＝sin
225°
＝sin(180°＋45°)＝－sin
45°＝－.
【答案】　－
2．tan
＝________.
【解析】　tan＝tan＝tan
＝－tan＝－.
【答案】　－
3．sin2(2π－α)＋cos(π＋α)cos(π－α)＋1＝________.
【解析】　原式＝sin2α＋cos
α·cos
α＋1
＝1＋1＝2.
【答案】　2
4．化简：sin(－α)cos(π＋α)tan(2π＋α)＝________.
【解析】　原式＝(－sin
α)·(－cos
α)·tan
α
＝sin2α.
【答案】　sin2α
5．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，求cos(α－2π)的值.
【导学号：06460013】
【解】　∵sin(π＋α)＝，∴sin
α＝－，
又α是第四象限角，
∴cos
α＝＝＝，
∴cos(α－2π)＝cos
α＝.
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评(五)
三角函数的诱导公式(一～四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．cos＝________.
【解析】　cos＝cos＝.
【答案】　
2．若sin(π＋α)＝，α∈，则tan
α＝________.
【解析】　∵sin(π＋α)＝－sin
α＝，
∴sin
α＝－，又α∈，
∴α＝－，tan
α＝tan＝－.
【答案】　－
3．(2016·南京高一检测)已知α∈，tan(π－α)＝－，则sin
α＝________.
【解析】　由于tan(π－α)＝－tan
α＝－，则tan
α＝，
解方程组
得sin
α＝±，又α∈，所以sin
α＞0，
所以sin
α＝.
【答案】　
4．已知sin＝，则sin的值为________．
【解析】　sin＝sin
＝sin＝.
【答案】　
5．设tan(5π＋α)＝m(α≠kπ＋，k∈Z)，则的值为________．
【解析】　∵tan(5π＋α)＝m，∴tan
α＝m，原式＝＝＝＝.
【答案】　
6．已知f(x)＝sin
x，下列式子中成立的是________(填序号)．
①f(x＋π)＝sin
x；②f(2π－x)＝sin
x；
③f(－x)＝－sin
x；④f(π－x)＝f(x)．
【解析】　正确的是③④，f(－x)＝sin(－x)＝－sin
x，
f(π－x)＝sin(π－x)＝sin
x＝f(x)．
【答案】　③④
7．tan
300°＋sin
450°＝________.
【解析】　tan
300°＋sin
450°＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)
＝tan(－60°)＋sin
90°＝－tan
60°＋sin
90°＝1－.
【答案】　1－
8．(2016·苏州高一检测)若cos
100°＝k，则tan
80°的值为________.
【导学号：06460014】
【解析】　cos
80°＝－cos
100°＝－k，且k＜0.于是sin
80°＝＝，从而tan
80°＝－.
【答案】　－
二、解答题
9．若cos(α－π)＝－，
求的值．
【解】　原式＝
＝＝
＝－tan
α.
∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos
α
＝－，
∴cos
α＝，∴α为第一象限角或第四象限角．
当α为第一象限角时，cos
α＝，
sin
α＝＝，
∴tan
α＝＝，∴原式＝－.
当α为第四象限角时，cos
α＝，
sin
α＝－＝－，
∴tan
α＝＝－，∴原式＝.
综上，原式＝±.
10．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos
A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
【解】　由条件得sin
A＝sin
B，cos
A＝cos
B，
平方相加得2cos2A＝1，cos
A＝±，
又∵A∈(0，π)，∴A＝或π.
当A＝π时，cos
B＝－＜0，
∴B∈，
∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．
∴A＝，cos
B＝，∴B＝，
∴C＝π.
[能力提升]
1．(2016·盐城高一检测)已知sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，则sin
αcos
α的值为________．
【解析】　∵sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，即
sin
α－3cos
α＝0，∴tan
α＝3，
∴sin
αcos
α＝＝＝.
【答案】　
2．(2016·南通高一检测)已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为________．
【解析】　由于tan
600°＝tan(360°＋240°)＝tan
240°
＝tan(180°＋60°)＝tan
60°＝，
又tan
600°＝，
∴＝，即a＝－.
【答案】　－
3．已知α∈(0，π)，若cos(－α)－sin(－α)＝－，则tan
α＝________.
【解析】　cos(－α)－sin(－α)＝cos
α＋sin
α＝－，①
∴(cos
α＋sin
α)2＝1＋2sin
αcos
α＝，
∴2sin
αcos
α＝－<0，
又∵sin
α>0，∴cos
α<0，
∴(sin
α－cos
α)2＝1－2sin
αcos
α＝，
∴sin
α－cos
α＝，②
由①②得sin
α＝，cos
α＝－，
∴tan
α＝－.
【答案】　－
4．已知tan
α，是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，且3π＜α＜，求cos(2π－α)＋sin(2π＋α)的值．
【解】　因为tan
α，是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，
所以tan
α·＝×(3k2－13)＝1，
可得k2＝.
因为3π＜α＜，所以tan
α＞0，
sin
α＜0，cos
α＜0，
又tan
α＋＝－＝k，
所以k＞0，故k＝，
所以tan
α＋＝＋＝＝，
所以sin
αcos
α＝，
所以(cos
α＋sin
α)2＝1＋2sin
αcos
α＝1＋2×＝.
因为cos
α＋sin
α＜0，
所以cos
α＋sin
α＝－，
所以cos(2π－α)＋sin(2π＋α)
＝cos
α＋sin
α＝－.1.3　三角函数的图象和性质
1.3.1　三角函数的周期性
1．理解周期函数的定义．(难点)
2．知道正弦函数、余弦函数的最小正周期．(重点)
3．会求函数y＝sin(ωx＋φ)和y＝cos(ωx＋φ)的周期．(重点)
[基础·初探]
教材整理1　周期函数的定义
阅读教材P24～P25例1以上的部分内容，完成下列问题．
1．周期函数的定义：
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
2．最小正周期：
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．
3．正弦函数、余弦函数的周期：
正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)周期函数都一定有最小正周期．(　　)
(2)周期函数的周期只有唯一一个．(　　)
(3)周期函数的周期可以有无数多个．(　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√
教材整理2　正、余弦函数的周期
阅读教材P25例2及其后面的部分内容，完成下列问题．
函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期：
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝.
1．函数y＝sin的周期是________．
【解析】　T＝＝2.
【答案】　2
2．函数f(x)＝－2cos(4x＋30°)的周期是________．
【解析】　T＝＝.
【答案】　
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：　
[小组合作型]
求三角函数的周期
　求下列函数的最小正周期．
(1)f(x)＝2sin；
(2)f(x)＝2cos；
(3)f(x)＝sin；
(4)f(x)＝－2cos(a≠0)．
【精彩点拨】　直接利用周期公式求解．
【自主解答】　(1)T＝＝6π，∴最小正周期为6π.
(2)T＝＝π，∴最小正周期为.
(3)T＝＝4π，∴最小正周期为4π.
(4)T＝＝，∴最小正周期为.
利用公式求y＝Asin ωx＋φ 或y＝Acos ωx＋φ 的最小正周期时，要注意ω的正负，公式可记为T＝.
[再练一题]
1．已知f(x)＝cos的最小正周期为，则ω＝________.
【解析】　由题意可知＝，ω＝±10.
【答案】　±10
[探究共研型]
周期性的应用
探究1　若函数f(x)满足f(x＋a)＝(f(x)≠0，a＞0)，则f(x)是否是周期函数？若是，求其周期．
【提示】　∵f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝＝＝f(x)，
∴T＝2a，即f(x)是周期函数，且最小正周期为2a.
探究2　若f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)，(a＞0)，则f(x)是周期函数吗？若是，求其最小正周期．
【提示】　∵f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴f(x)的周期为2a.
　定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin
x，求f的值.
【导学号：06460018】
【精彩点拨】　
【自主解答】　∵f(x)的最小正周期是π，
∴f＝f＝f.
∵f(x)是R上的偶函数，
∴f＝f＝sin＝，
∴f＝.
函数的周期性与其它性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解.
[再练一题]
2．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝________.
【解析】　∵f(x＋2)＝，
∴f(x＋4)＝＝f(x)，
∴周期T＝4，
∴f(5)＝f(1＋4)＝f(1)＝－5，
∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1－4)＝f(－1)＝f(－1＋4)
＝f(3)＝f(2＋1)＝＝－.
【答案】　－
[构建·体系]
1．函数y＝3sin的最小正周期为________．
【解析】　T＝＝π.
【答案】　π
2．若函数y＝cos(ω＞0)的最小正周期是π，则ω＝________.
【导学号：06460019】
【解析】　T＝＝π，ω＝±2.∵ω＞0，∴ω＝2.
【答案】　2
3．今天是星期三，从明天算起，第167天是________．
【解析】　T＝7，又167＝23×7＋6，
故第167天是星期三的前一天，星期二．
【答案】　星期二
4．若f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝2，则f(4)＝________.
【解析】　f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＝2.
【答案】　2
5．已知函数f(x)＝sin，其中k≠0，当自变量x在任何两个整数间(包括整数本身)变化时，至少含有1个周期，求k的最小正整数值．
【解】　f(x)＝sin，k＞0的最小正周期T＝＝，
又T≤1，
∴≤1，
即k≥20π≈20×3.14＝62.8，
∴k的最小正整数值为63.
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评(七)　三角函数的周期性
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．下列函数中，周期为的是________．(填序号)
①y＝sin；②y＝sin
2x；③y＝cos
；
④y＝cos(－4x)．
【解析】　①T＝＝4π；
②T＝＝π；
③T＝＝8π；
④T＝＝.
【答案】　④
2．下列各图形是定义在R上的四个函数的图象的一部分，其中是周期函数的是________．(填序号)
图1 3 1
【解析】　根据周期函数图象特征可知①②③都是周期函数；④不是周期函数．
【答案】　①②③
3．函数y＝2cos(ω＜0)的最小正周期为4π，则ω＝________.
【解析】　由周期公式可知4π＝ |ω|＝，由ω＜0，可知ω＝－.
【答案】　－
4．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________.
【解析】　∵f(x＋5)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，
∴f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，
∴f(4)＝f(4－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，
∴f(4)－f(4)＝－2＋1＝－1.
【答案】　－1
5．函数y＝sin的周期不大于4，则正整数k的最小值为________．
【解析】　由T＝得T＝＝.
∵T≤4，∴≤4，∴k≥π，
∴正整数k的最小值为4.
【答案】　4
6．设函数f(x)(x∈R)是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈时，f(x)＝sin
x；当x∈时，f(x)＝cos
x，则f＝________.
【导学号：06460020】
【解析】　∵T＝π，x∈时，f(x)＝cos
x，
∴f＝f＝f＝cos
＝cos＝－cos
＝－.
【答案】　－
7．若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．
【解析】　T＝，又T∈(1,3)，∴1<<3，若ω∈N
，则ω＝3,4,5,6，∴ω的最大值为6.
【答案】　6
8．已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x＋3)＝，且f(1)＝，则f(2
014)＝________.
【解析】　∵f(x＋3)＝，
∴f(x＋6)＝＝f(x)，
∴f(x)的周期T＝6，
∴f(2
014)＝f(335×6＋4)＝f(4)．
又f(4)＝f(1＋3)＝＝2，
∴f(2
014)＝2.
【答案】　2
二、解答题
9．已知函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数．
(1)求f(4)的值；
(2)若－2≤x≤－1时，f(x)＝sin＋1，求2≤x≤3时，f(x)的解析式．
【解】　(1)∵函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，∴f(0)＝0，
∴f(4)＝f(4＋0)＝f(0)＝0.
(2)设2≤x≤3，则－2≤－4＋x≤－1，
∴f(－4＋x)＝sin＋1＝sinx＋1，
∴f(x)＝f(－4＋x)＝sinx＋1.
10．若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而周期性变化，如图1 3 2所示，请回答下列问题：
(1)单摆运动的周期是多少？
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？
(3)当t＝11
s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？
图1 3 2
【解】　(1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4
s.
(2)若从O点算起，到曲线上的D点表示完成了一次往复运动；若从A点算起，到曲线上的E点表示完成了一次往复运动．
(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11
s相对于静止位置的位移是0
cm.
[能力提升]
1．已知函数f(x)＝sin
，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2
016)＝________.
【解析】　f(x)的周期T＝＝6，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝sin
＋sin
＋sin
π＋sin
＋sin
＋sin
2π＝0.
原式＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＝0.
【答案】　0
2．设f(x)是定义在R上且最小正周期为π的函数，在某一周期上f(x)＝求
f－的值．
【解】　∵f(x)的周期为，
∴f＝f＝f.
∵0＜＜π，∴f＝sin
＝sin＝，
即f＝.1.1　任意角、弧度
1.1.1　任意角
1．了解任意角的概念．
2．理解象限角的概念及终边相同的角的含义．(重点)
3．掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　任意角的概念
阅读教材P5前五个自然段的有关内容，完成下列问题．
1．角的概念：一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
2．角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：
类型
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转所形成的角
负角
按顺时针方向旋转所形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角
如图1 1 1，则α＝________，β＝________.
图1 1 1
【解析】　α是按逆时针方向旋转的，为240°，β是按顺时针方向旋转的，为－120°.
【答案】　240°　－120°
教材整理2　象限角与轴线角
阅读教材P5最后一自然段的有关内容，完成下列问题．
1．象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．
2．轴线角：终边在坐标轴上的角．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)180°是第二象限角．(　　)
(2)－45°是第一象限角．(　　)
(3)第一象限内的角都小于第二象限内的角．(　　)
【解析】　(1)×.180°是轴线角．
(2)×.－45°是第四象限角．
(3)×.如375°＞120°，而375°和120°分别是第一、二象限内的角．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×
教材整理3　终边相同的角
阅读教材P6“思考”及“例1”的有关内容，完成下列问题．
与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
1．与30°角终边相同的角的集合可表示为________．
【解析】　由终边相同角的表示可知，满足题意的角的集合为{β|β＝k·360°＋30°，k∈Z}．
【答案】　{β|β＝k·360°＋30°，k∈Z}
2．将－885°化成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________．
【解析】　设－885°＝k·360°＋α，易得－885°＝(－3)×360°＋195°.
【答案】　(－3)×360°＋195°
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：　
[小组合作型]
角的概念辨析
　(1)下列结论：
①第一象限角是锐角；②锐角是第一象限角；③第二象限角大于第一象限角；④钝角是第二象限角；⑤小于90°的角是锐角；⑥第一象限角一定不是负角．
其中正确的结论是________(填序号)．
(2)如图1 1 2所示，射线OA绕端点O逆时针旋转45°到OB的位置，再顺时针旋转90°到OC的位置，则∠AOC＝________.
图1 1 2
【精彩点拨】　(1)根据任意角、象限角的概念进行判断，正确区分第一象限角、锐角和小于90°的角．
(2)→→
【自主解答】　(1)①400°角是第一象限角，但不是锐角，故①不正确；②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，②正确；③120°角是第二象限角，400°角是第一象限角，故第二象限角不一定大于第一象限角，③不正确；④钝角是大于90°且小于180°的角，终边落在第二象限，故是第二象限角，④正确；⑤0°角是小于90°的角，但不是锐角，故⑤不正确；⑥－300°角是第一象限角，但－300°角是负角，故⑥不正确．
(2)由角的定义可知∠AOC＝45°＋(－90°)＝－45°.
【答案】　(1)②④　(2)－45°
1．解决此类问题的关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别．
2．判断结论正确与否时，若结论正确，需要严格的推理论证，若要说明结论错误，只需举出反例即可．
[再练一题]
1．时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为________，分针转过的角的度数为________．
【解析】　时针每小时转30°，分针每小时转360°，由于旋转方向均为顺时针方向，故转过的角度均为负值，又3小时20分等于3小时，故时针转过的角度为－3×30°＝－100°；分针转过的角度为－3×360°＝－1
200°.
【答案】　－100°　－1
200°
终边相同的角与象限角
　已知α＝2
016°.
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ＜720°.
【精彩点拨】　―→
―→
【自主解答】　(1)用2
016°除以360°商为5，余数为216°，∴k＝5，∴α＝5×360°＋216°(β＝216°)，
∴α为第三象限角．
(2)∵θ＝k·360°＋216°，k∈Z，又－360°≤θ＜720°，∴k＝－1,0,1，∴θ＝－144°，216°，576°.
1．把任意角化为k·360°＋α(k∈Z且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．
2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
3．终边相同的角常用的三个结论：
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
[再练一题]
2．在0°～360°之间，求出与下列各角终边相同的角，并判断是第几象限角．
(1)－736°；(2)904°18′.
【导学号：06460000】
【解】　(1)－736°＝－3×360°＋344°，344°是第四象限角，
∴344°与－736°是终边相同的角，且－736°为第四象限角．
(2)904°18′＝2×360°＋184°18′，184°18′是第三象限角，
∴184°18′与904°18′是终边相同的角，且904°18′为第三象限角．
[探究共研型]
区域角的表示
探究1　第一象限内的角的集合能否用{α|0°＜α＜90°}表示？为什么？
【提示】　不能，第一象限内的角未必是(0°，90°)的角，其可能是负角，也可能是大于360°的角，其表示为{α|k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z}．
探究2　终边落在x轴上的角如何表示？
【提示】　{α|α＝k·180°，k∈Z}．
探究3　若角α，β满足β＝α＋k·180°，k∈Z，则角α，β的终边存在怎样的关系？
【提示】　角α，β的终边落在同一条直线上．
图1 1 3
　写出终边落在阴影部分的角的集合．
【精彩点拨】　法一：先写出30°及105°终边相同角的集合，再写出其对称区域内角的集合，最后合并便可．
法二：分别写出与30°及105°的终边在同一直线上的角的集合，合并求解便可．
【自主解答】　法一：设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成：
①{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}．
②{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}，
∴角α的集合应当是集合①与②的并集：
{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α＜(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α＜(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|n·180°＋30°≤α＜n·180°＋105°，n∈Z}．
法二：与30°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}．
与180°－75°＝105°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋105°，k∈Z}，
结合图形可知，阴影部分的角的集合为{α|k·180°＋30°≤α＜k·180°＋105°，k∈Z}．
1．本题的求解注意实线边界与虚线边界的差异．
2．解答此类问题应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角(或终边在同一条直线上的角)写出符合条件的所有角的集合，最后借助图形表示出区域角的范围．
[再练一题]
3．如图1 1 4所示：
图1 1 4
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
【解】　(1)终边在OA的最小正角为150°，故终边在OA的角的集合为{α|α＝k·360°＋150°，k∈Z}．
同理，终边在OB上的最大负角为－45°，
故终边在OB的角的集合为{β|β＝k·360°＋－45°，k∈Z}．
(2)由题图知，阴影部分区域表示为
{x|k·360°＋－45°≤x≤k·360°＋150°，k∈Z}．
[构建·体系]
1．－210°为第________象限角．
【解析】　－210°＝(－1)×360°＋150°，150°是第二象限角．
【答案】　二
2．钟表经过4小时，时针转过的度数为________，分针转过的度数为________．
【解析】　分针和时针均按顺时针方向旋转，其中分针连续转过4周，时针转过周．
【答案】　－120°　－1
440°
3．下列四个角中与30°角终边相同的角是________．
①－30°；②210°；③390°；④－360°.
【解析】　∵390°＝360°＋30°，∴390°角与30°角的终边相同．
【答案】　③
4．在0°≤α＜360°中与－120°角终边相同的角为________．
【解析】　∵－120°＝－360°＋240°，
∴在0°～360°内与－120°终边相同的角为240°.
【答案】　240°
5．(2016·南通高一检测)已知角β的终边在直线x－y＝0上．
(1)写出角β的集合S；
(2)写出S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素．
【导学号：06460001】
【解】　(1)如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合为：S1＝{β|β＝k·360°＋60°，k∈Z}，S2＝{β|β＝k·360°＋240°，k∈Z}，
所以，角β的集合S＝S1∪S2
＝{β|β＝k·360°＋60°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝2k·180°＋60°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{β|β＝n·180°＋60°，n∈Z}．
(2)由于－360°≤β＜720°，即－360°≤60°＋n·180°＜720°，n∈Z，解得－≤n＜，n∈Z，
所以n＝－2，－1,0,1,2,3.
所以S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素为：
2×180°－60°＝－300°；
1×180°－60°＝－120°；
0×180°－60°＝60°；
1×180°＋60°＝240°；
2×180°＋60°＝420°；
3×180°＋60°＝600°.
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评(一)　任意角
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．与405°终边相同的角的集合为________．
【解析】　与405°角终边相同的角，可表示为k·360°＋45°，k∈Z.
【答案】　{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}
2．(2016·如东高一检测)下面各组角中，终边相同的有________．(填序号)
①390°，690°；②－330°，750°；③480°，－420°；
④3
000°，－840°.
【解析】　－330°＝－360°＋30°，750°＝2×360°＋30°，均与30°角终边相同．
【答案】　②
3．在－390°，－885°，1
351°，2
016°这四个角中，其中第四象限内的角有________.
【导学号：06460002】
【解析】　－390°＝－360°－30°，显然终边落在第四象限；
－885°＝－720°－165°，其角的终边落在第三象限；
1
351°＝1
080°＋271°，其角的终边落在第四象限；
2
016°＝2
160°－144°，其角的终边落在第三象限，
故满足题意的角有－390°，1
351°.
【答案】　－390°，1
351°
4．(2016·泰州高一检测)下列命题正确的是________(填序号)．
①三角形的内角必是第一、二象限角；
②始边相同而终边不同的角一定不相等；
③第四象限角一定是负角；
④钝角比第三象限角小．
【解析】　只有②正确．对于①，如A＝90°不在任何象限；对于③，如330°在第四象限但不是负角；对于④，钝角不一定比第三象限角小．
【答案】　②
5．(2016·南京高一检测)已知角α＝－3
000°，则与α终边相同的最小正角是________．
【解析】　与α终边相同的角的集合为{θ|θ＝k·360°－3
000°，k∈Z}，与θ终边相同的最小正角是当k＝9时，θ＝9×360°－3
000°＝240°，所以与α终边相同的最小正角为240°.
【答案】　240°
6．(2016·宿迁高一检测)若角α的终边与240°角的终边相同，则的终边在第________象限．
【解析】　角α满足的集合为{α|α＝k·360°＋240°，k∈Z}，故有，
∴终边落在第二象限或第四象限．
【答案】　二或四
7．若α是第四象限角，则180°－α是第________象限角．
【解析】　如图所示，α是第四象限角，则－α是第一象限角，∴180°－α是第三象限角．
【答案】　三
8．已知α是第二象限角，且7α与2α的终边相同，则α＝________.
【解析】　7α＝k·360°＋2α(k∈Z)，∴α＝k·72°，又α为第二象限角，∴在0°～360°内符合条件的角为144°，故α＝k·360°＋144°(k∈Z)．
【答案】　α＝k·360°＋144°(k∈Z)
二、解答题
9．(2016·无锡高一检测)将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α＜360°)的形式，并指出是第几象限角．
(1)420°；(2)－510°；(3)1
020°.
【解】　(1)420°＝360°＋60°，
而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角．
(2)－510°＝－2×360°＋210°，
而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角．
(3)1
020°＝2×360°＋300°，
而300°是第四象限角，故1
020°是第四象限角．
10．写出终边在如图1 1 5所示阴影部分(包括边界)的角的集合．
图1 1 5
【解】　先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则
(1){α|k·360°＋30°≤α≤k·360°＋150°，k∈Z}．
(2){α|k·360°－210°≤α≤k·360°＋30°，k∈Z}．
[能力提升]
1．下列说法中正确的是________．(填序号)
①120°角与420°角的终边相同；
②若α是锐角，则2α是第二象限的角；
③－240°角与480°角都是第三象限的角；
④60°角与－420°角的终边关于x轴对称．
【解析】　对于①，420°＝360°＋60°，所以60°角与420°角终边相同，所以①不正确；对于②，α＝30°角是锐角，而2α＝60°角也是锐角，所以②不正确；对于③，480°＝360°＋120°，所以480°角是第二象限角，所以③不正确；对于④，－420°＝－360°－60°，又60°角与－60°角终边关于x轴对称，故④正确．
【答案】　④
2．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角所表示的范围(阴影部分)正确的是________．
图1 1 6
【解析】　令k＝0得，45°≤α≤90°，排除②④，
令k＝－1得，－135°≤α≤－90°，排除①.
故填③.
【答案】　③
3．已知集合M＝{第一象限角}，N＝{锐角}，P＝{小于90°的角}，则以下关系式你认为正确的是________(填序号)．
①M?P；②M∩P＝N；③N∪P P.
【解析】　对于①：390°是第一象限角，但390°>90°.
对于②：－330°是第一象限角且－330°<90°，但－330°不是锐角．
对于③：锐角一定小于90°，所以N?P，
故N∪P P.
【答案】　③
4．若α是第一象限角，问－α，2α，是第几象限角？
【解】　∵α是第一象限角，∴k·360°＜α＜k·360°＋90°(k∈Z)．
(1)－k·360°－90°＜－α＜－k·360°(k∈Z)，
∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角．
(2)2k·360°＜2α＜2k·360°＋180°(k∈Z)，
∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二
象限角或终边在y轴的非负半轴上．
(3)k·120°＜＜k·120°＋30°(k∈Z)．
法一：(分类讨论)当k＝3n(n∈Z)时，
n·360°＜＜n·360°＋30°(n∈Z)，
∴是第一象限角；
当k＝3n＋1(n∈Z)时，n·360°＋120°＜＜n·360°＋150°(n∈Z)，∴是第二象限角；
当k＝3n＋2(n∈Z)时，n·360°＋240°＜＜n·360°＋270°(n∈Z)，∴是第三象限角．
综上可知：是第一、二或第三象限角．
法二：(几何法)如图，先将各象限分成3等份，再从x轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为终边所落在的区域，故为第一、二或第三象限角.1.2.2　同角三角函数关系
1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tan
α＝.(重点)
2．能正确运用上述关系式进行化简、求值和证明．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理　同角三角函数的基本关系
阅读教材P16～P17的有关内容，完成下列问题．
1．平方关系：sin2α＋cos2_α＝1.
2．商数关系：tan
α＝.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．(　　)
(2)对任意角α，＝tan
都成立．(　　)
(3)若sin
α＝，则cos
α＝.(　　)
【解析】　(1)√.符合同角三角函数的关系．
(2)×.等式＝tan
的条件是
即α≠π＋2kπ，k∈Z.
(3)×.因为α的范围不明，故cos
α＝±＝±.
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×
2．已知α是第二象限角，且cos
α＝－，则tan
α＝________.
【解析】　∵α是第二象限角，∴sin
α＞0.
又sin2α＋cos2α＝1，∴sin
α＝＝＝，
∴tan
α＝＝－2.
【答案】　－2
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：　
[小组合作型]
利用同角基本关系式求值
　已知sin
α＝－，求cos
α，tan
α的值．
【精彩点拨】　
【自主解答】　因为sin
α＜0，sin
α≠－1，所以α是第三或第四象限角．
由sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝1－sin2α＝1－2＝.
如果α是第三象限角，那么cos
α＜0.
于是cos
α＝－＝－，
从而tan
α＝＝×＝.
如果α是第四象限角，那么cos
α＝，tan
α＝－.
同角三角函数的基本关系式揭示了同角三角函数之间的关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意角所在象限，必要时必须进行讨论.
[再练一题]
1．已知tan
α＝，且α是第三象限角，求sin
α，cos
α的值．
【解】　由tan
α＝＝，
得sin
α＝cos
α.①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得cos2α＋cos2α＝1，
即cos2α＝.
又α是第三象限角，
∴cos
α＝－，sin
α＝cos
α＝－.
三角函数式的化简、求值
　化简：·.
【精彩点拨】　―→
【自主解答】　原式＝·
＝·
＝·
＝·
＝·
＝
＝±1.
化简三角函数式的常用方法：
1 切化弦，即把非正、余弦函数都化成正、余弦函数，从而减少函数种类以便化简.
2 对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
3 对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的.
[再练一题]
2．化简下列各式：
(1)tan
α，其中α是第二象限角．
(2)＋0＜α＜.
【导学号：06460009】
【解】　(1)原式＝tan
α
＝tan
α
＝tan
α·＝－1.
(2)原式＝＋
＝＋
∵0＜α＜，
∴0＜＜.
∴0＜sin
＜cos
.
∴原式＝cos
－sin
＋sin
＋cos
＝2cos
.
三角函数式的证明
　求证：＝.
【精彩点拨】　从左边利用“1＝sin2x＋cos2x”及平方差公式推右边便可．
【自主解答】　∵(sin
x＋cos
x)2＝1＋2sin
xcos
x，
∴左边＝
＝
＝
＝＝右边．
在计算、化简或证明三角恒等式时，常用的技巧有：减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切 如：已知tan
α，求关于sin
α，cos
α的齐次式的问题 ；“1”的代换 1＝sin2α＋cos2α ；多项式运算技巧的运用 如因式分解、通分、整体代换等 ；条件或结论的重新整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函数式的应用.
[再练一题]
3．证明下列三角恒等式：
(1)＝；
(2)＝.
【证明】　(1)左边＝＝＝＝.
右边＝＋＝＋＝.
∴左边＝右边，等式恒成立．
(2)左边＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝＝右边．
所以原等式成立．
[探究共研型]
“sin
α±cos
α”同“sin
αcos
α”间的关系
探究1　已知sin
α±cos
α的值，能求sin
αcos
α的值吗？反之呢？
【提示】　设sin
α±cos
α＝m，则(sin
α±cos
α)2＝m2，
即1±2sin
αcos
α＝m2，所以sin
αcos
α＝±.
反之也可以，利用(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α，开方便可．
探究2　已知sin
α＋cos
α的值，如何求sin
α－cos
α或cos
α－sin
α的值？
【提示】　设sin
α＋cos
α＝t，则1＋2sin
αcos
α＝t2，
从而2sin
αcos
α＝t2－1
∴1－2sin
αcos
α＝2－t2
从而(sin
α－cos
α)2＝2－t2，
对上式开方便可得出“sin
α－cos
α”或“cos
α－sin
α”的值．
　(2016·南京高一检测)已知sin
α＋cos
α＝，且0＜α＜π，
求：(1)sin
αcos
α的值；
(2)求sin
α－cos
α的值．
【精彩点拨】　
【自主解答】　(1)∵sin
α＋cos
α＝，
∴(sin
α＋cos
α)2＝，
∴1＋2sin
αcos
α＝，
即sin
αcos
α＝－.
(2)∵(sin
α－cos
α)2＝1－2sin
αcos
α
＝1＋＝.
又∵0＜α＜π，且sin
αcos
α＜0，
∴sin
α＞0，cos
α＜0，∴sin
α－cos
α＞0，
∴sin
α－cos
α＝.
1．已知sin
θ±cos
θ求sin
θcos
θ，只需平方便可．
2．已知sin
θcos
θ求sin
θ±cos
θ时需开方，此时要根据已知角θ的范围，确定sin
θ±cos
θ的正负．
[再练一题]
4．已知sin
αcos
α＝，且π＜α＜，则cos
α－sin
α的值为________．
【解析】　∵(cos
α－sin
α)2＝1－2sin
αcos
α
＝1－2×＝.
又π＜α＜，∴cos
α＜sin
α，
∴cos
α－sin
α＜0，∴cos
α－sin
α＝－.
【答案】　－
[构建·体系]
1．已知α是第二象限的角，sin
α＝，则cos
α＝________.
【解析】　cos
α<0，故cos
α＝－＝－.
【答案】　－
2．已知sin
α＋cos
α＝，则sin
αcos
α＝________.
【解析】　由sin
α＋cos
α＝，两边平方得(sin
α＋cos
α)2＝1＋2sin
αcos
α＝，∴sin
αcos
α＝－.
【答案】　－
3．若＝2，则tan
α＝________.
【解析】　∵＝2，∴＝2，
∴tan
α＋1＝4tan
α－2，即3tan
α＝3，∴tan
α＝1.
【答案】　1
4．化简：cos4α＋sin2α·cos2α＋sin2α＝________.
【解析】　cos4α＋sin2αcos2α＋sin2α＝cos2α(cos2α＋sin2α)＋sin2α＝cos2α＋sin2α＝1.
【答案】　1
5．求证：－＝.
【导学号：06460010】
【证明】　左边＝
＝
＝
＝＝＝右边．
∴原式成立．
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评(四)　同角三角函数关系
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．(2016·南通高一检测)若sin
θ＝－，tan
θ＜0，则cos
θ＝________.
【解析】　∵sin
θ＝－＜0，tan
θ＜0，∴θ为第四象限角，∴cos
θ＝
＝.
【答案】　
2．化简：(1＋tan2α)·cos2α＝________.
【解析】　原式＝·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.
【答案】　1
3．已知sin
α＝，则sin4α－cos4α＝________.
【解析】　∵sin
α＝，
∴sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)(sin2α＋cos2α)
＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1
＝2×2－1
＝－.
【答案】　－
4．已知α是第二象限角，tan
α＝－，则cos
α＝________.
【导学号：06460011】
【解析】　∵tan
α＝＝－，∴cos
α＝－2sin
α.
又sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1，
又α为第二象限角，∴cos
α＜0，
∴cos
α＝－.
【答案】　－
5．(2016·扬州高一检测)化简：＝________.
【解析】　＝＝|sin
4|，
∵π<4<，∴sin
4<0，∴|sin
4|＝－sin
4.
【答案】　－sin
4
6．(2016·泰州高一检测)已知＝，则等于________．
【解析】　由1－sin2x＝cos2x，
可得＝－＝－.
【答案】　－
7．若sin
α＋cos
α＝，则tan
α＋的值为________．
【解析】　tan
α＋＝＋＝.
又sin
α＋cos
α＝，
∴sin
αcos
α＝，
∴tan
α＋＝2.
【答案】　2
8．已知0<α<π，sin
α·cos
α＝－，则sin
α－cos
α的值等于________．
【解析】　∵sin
α·cos
α<0,0<α<π，
∴sin
α>0，cos
α<0，∴sin
α－cos
α>0，
∵(sin
α－cos
α)2＝1－2sin
αcos
α＝，
∴sin
α－cos
α＝.
【答案】　
二、解答题
9．已知tan
x＝2，求：
(1)的值；
(2)sin2x＋cos2x的值．
【解】　(1)＝＝＝－3.
(2)sin2x＋cos2x＝
＝＝＝.
10．已知tan2
α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
【证明】　因为tan2α＝2tan2β＋1，
所以tan2α＋1＝2tan2β＋2，
所以＋1＝2，
所以＝，
所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，即sin2β＝2sin2α－1.
[能力提升]
1．(2016·无锡高一检测)若角α的终边在直线x＋y＝0上，则＋＝________.
【解析】　∵＋＝＋.
又角α的终边落在x＋y＝0上，故角α的终边在第二、四象限．
当α在第二象限时，
原式＝＋＝0，
当α在第四象限时，原式＝＋＝0.
【答案】　0
2．(2016·常州高一检测)化简：＝________.
【解析】　原式＝
＝
＝＝－1.
【答案】　－1
3．若A∈(0，π)，且sin
A＋cos
A＝，则＝________.
【解析】　(sin
A＋cos
A)2＝，∴1＋2sin
Acos
A＝，∴2sin
Acos
A＝－<0，
∵A∈(0，π)，∴sin
A>0，cos
A<0，∴(sin
A－cos
A)2＝1－2sin
Acos
A＝，∴sin
A－cos
A＝，
∴sin
A＝，cos
A＝－，故＝.
【答案】　
4．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋2m＝0的两根为sin
θ和cos
θ(θ∈(0，π))，求：
(1)m的值．
(2)＋的值.
(3)方程的两根及此时θ的值．
【解】　(1)由根与系数的关系可知，
sin
θ＋cos
θ＝，①
sin
θ·cos
θ＝m.②
将①式平方得1＋2sin
θ·cos
θ＝，
所以sin
θ·cos
θ＝，
代入②得m＝.
(2)＋＝＋＝＝sin
θ＋cos
θ＝.
(3)因为已求得m＝，所以原方程化为2x2－(＋1)x＋＝0，解得x1＝，x2＝.
所以或
又因为θ∈(0，π)，所以θ＝或.第2课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
1．能由三角函数的图象求出解析式．(重点，易错点)
2．掌握y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质．(重点)
[基础·初探]
教材整理　y＝Asin(ωx＋φ)的性质
阅读教材P37～P38的有关内容，完成下列问题．
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质如下：
定义域
R
值域
[－A，A]
周期性
T＝
奇偶性
φ＝kπ，k∈Z时是奇函数；φ＝＋kπ，k∈Z时是偶函数；当φ≠(k∈Z)时是非奇非偶函数
单调性
单调增区间可由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得到，单调减区间可由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得到
1．最大值为，周期为，初相为的函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)解析式可以为________．
【解析】　由题意可知A＝，＝，∴ω＝6，又φ＝，故其解析式可以为y＝sin.
【答案】　y＝sin
2．已知f(x)＝Asin(A＞0，ω＞0)在一个周期内，当x＝时，取得最大值2；当x＝时，取得最小值－2，则f(x)＝________.
【解析】　由题意可知，A＝2，又＝－＝，
∴T＝π，∴ω＝＝2，
∴f(x)＝2sin.
【答案】　2sin
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：　
[小组合作型]
由图象求三角函数的解析式
　如图1 3 7是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式.
【导学号：06460033】
图1 3 7
【精彩点拨】　观察图象可知A＝3，对于ω，φ可由一个周期内的图象确定．
【自主解答】　法一：(逐一定参法)
由图象知振幅A＝3，又T＝－＝π，∴ω＝＝2.
由点，令－×2＋φ＝0，
得φ＝，∴y＝3sin.
法二：(待定系数法)
由图象知A＝3，又图象过点和，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，有解得
∴y＝3sin.
1．利用代点法求参数A，ω，φ时，须分清代入的点是相应“五点法”作图中的第几个点：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象曲线的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象曲线的“谷点”)为ωx＋φ＝π；“第五点”为ωx＋φ＝2π.
2．运用逆向思维的方法，先确定函数的基本函数式y＝Asin
ωx，根据图象平移规律也可以确定相关的参数．
[再练一题]
1．如图1 3 8所示，是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的图象的一部分，求f(x)的表达式．
图1 3 8
【解】　由图象可知函数的最大值为4，最小值为0，
所以A＝＝2，k＝＝2.
又＝2－(－2)＝4，所以T＝8＝，则ω＝.
由图象可得点(－2,4)是第二个关键点，
则由×(－2)＋φ＝，可得φ＝π.
综上所述，函数的解析式为f(x)＝2sin＋2.
[探究共研型]
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
探究1　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的奇偶性与哪个量有关？当其取何值时为偶函数？当其取何值时为奇函数？
【提示】　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的奇偶性与参数φ有关，当φ＝＋kπ，k∈Z时，其为偶函数，当φ＝kπ，k∈Z时，其为奇函数．
探究2　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的对称轴方程如何表示，对称中心呢？
【提示】　由ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z，求对称轴方程，由ωx＋φ＝kπ，k∈Z，求对称中心．
探究3　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，相邻对称轴之间相差多少个周期？相邻零点呢？
【提示】　均相差半个周期．
　已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
【精彩点拨】　由f(x)为偶函数求φ，由对称中心及单调性求ω.
【自主解答】　∵f(x)在R上是偶函数，
∴当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值．
即sin
φ＝±1，得φ＝kπ＋，k∈Z，
又0≤φ≤π，∴φ＝.
由图象关于M对称可知，
sin＝0，则ω＋＝kπ，k∈Z，
解得ω＝k－，k∈Z.
又f(x)在上是单调函数，
∴T≥π，即≥π，∴ω≤2，又ω＞0，
∴当k＝1时，ω＝；当k＝2时，ω＝2.
1．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最小值．
2．熟知y＝Asin(ωx＋φ)的图象和相关性质是解决y＝Asin(ωx＋φ)类综合题的关键．
[再练一题]
2．关于函数f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0，可得x1－x2必是π的整数倍；
②y＝f(x)的解析式可改写成y＝4cos；
③y＝f(x)的图象关于点对称；
④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称．
其中正确的命题的序号为________．
【解析】　如图所示为f(x)＝y＝4sin的图象，函数图象与x轴的交点均匀分布，相邻的两个交点的距离为，故命题①不正确；其次，与x轴的每一个交点，都是函数图象的一个对称中心，所以③正确；再次，函数图象的对称轴都必须经过图象的最高点(波峰)或最低点(波谷)，所以直线x＝－不是对称轴，故④不正确；最后由诱导公式可知cos＝sin2x－＋＝sin，所以命题②正确．
【答案】　②③
[构建·体系]
1．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图象________(填正确序号)．
①关于点对称；②关于直线x＝对称；
③关于点对称；④关于直线x＝对称．
【解析】　由T＝＝π，解得ω＝2，
则f(x)＝sin，
则该函数图象关于点对称．
【答案】　①
2．已知函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图1 3 9所示，则ω＝________，φ＝________.
图1 3 9
【解析】　由图象知＝－＝，
∴T＝π，ω＝2.
且2×＋φ＝kπ＋π(k∈Z)，φ＝kπ－(k∈Z)．
又|φ|＜，∴φ＝－.
【答案】　2　－
3．已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝________.
【导学号：06460034】
【解析】　由题意可知，T＝2×＝2π，
∴ω＝＝1，
∴f(x)＝sin(x＋φ)．
又f＝sin＝±1，∴＋φ＝＋kπ，k∈Z，
∴φ＝＋kπ，k∈Z.
又0＜φ＜π.
取k＝0可得φ＝.
【答案】　
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象如图1 3 10，则它的振幅A＝________；最小正周期T＝________.
图1 3 10
【解析】　由图象可知最大值为3，最小值为0，故振幅为，半个周期为－＝，故周期为π.
【答案】　　π
5．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．
【解】　(1)由题意知A＝
，
T＝4×＝π，
ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)．
又∵sin＝1，
∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z，
又∵φ∈，
∴φ＝，
∴y＝sin.
(2)列出x，y的对应值表：
x
－
π
π
π
2x＋
0
π
π
2π
y
0
0
－
0
描点、连线，如图所示：
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评(十二)
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知f(x)＝sin(3x＋φ)的图象的一个对称中心是，则φ＝________.
【解析】　把x＝－π代入sin(3x＋φ)＝0，
得sin＝0，
∴φ－π＝kπ，又|φ|＜，所以令k＝－2，得φ＝－2π＋π＝－.
【答案】　－
2．三角函数式：
①y＝3sin；②y＝3sin；
③y＝3sin；④y＝3cos.
其中在上的图象如图1 3 11所示的函数是________．
图1 3 11
【解析】　代入，检验．
【答案】　①②④
3．(2016·南京高一检测)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图1 3 12所示，则ω＝________；φ＝________.
图1 3 12
【解析】　T＝－＝，∴T＝＝π，
∴ω＝2.
当x＝时，2×＋φ＝，∴φ＝－.
【答案】　2　－
4．点P是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋m(ω＞0，|φ|＜)的图象的一个对称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为，则正确的序号有________.
【导学号：06460035】
①f(x)的最小正周期是π；②f(x)的值域为[0,4]；③f(x)的初相φ＝；④f(x)在上单调递增．
【解析】　由题意，且函数的最小正周期为T＝4×＝2π，故ω＝＝1.代入①式得φ＝kπ＋(k∈Z)，又|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin＋2.故函数f(x)的值域为[1,3]，初相为，排除①②③项，选④项．
【答案】　④
5.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图1 3 13所示，f＝－，则f(0)＝________.
图1 3 13
【解析】　由图象可得最小正周期为π，于是f(0)＝f，注意到π与关于对称，所以f＝－f＝.
【答案】　
6．设函数f(x)＝2sin.若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．
【解析】　f(x)的周期T＝4，|x1－x2|的最小值为2.
【答案】　2
7．(2016·南通高一检测)若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，则f＝________.
【解析】　由于函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，
则函数f(x)的图象关于直线x＝对称，则f是函数f(x)的最大值或最小值，则f＝－3或3.
【答案】　±3
8．(2016·苏州高一检测)设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论：①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数，所有正确结论的编号为________．
【解析】　∵T＝π，∴ω＝2.又2×＋φ＝kπ＋，
∴φ＝kπ＋.∵φ∈，∴φ＝，
∴y＝sin.由图象及性质可知②④正确．
【答案】　②④
二、解答题
9．(2016·无锡高一检测)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的周期为π，且图象上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的最值．
【解】　(1)由最低点为M得A＝2.由T＝π，得ω＝＝＝2.由点M是图象的一个最低点，得2sin＝－2，即sin＝－1，＋φ＝2kπ－(k∈Z)，φ＝2kπ－(k∈Z)．又φ∈，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.
(2)∵x∈，∴2x＋∈，∴当2x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最小值1；当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值.
[能力提升]
1．(2016·南通高一检测)方程2sin＋2a－1＝0在[0，π]上有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．
【解析】　∵x∈[0，π]，x＋∈，2sinx＋∈[－，2]．
画出函数图象可知，当≤1－2a＜2时，原方程有两个不相等的实数根，故－＜a≤.
【答案】　
2．(2016·常州高一检测)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一段图象如图1 3 14所示．
图1 3 14
(1)求f(x)的解析式；
(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
【解】　(1)A＝3，＝＝5π，故ω＝.
由f(x)＝3sin的图象过点得sin＝0，
又|φ|＜，故φ＝－，∴f(x)＝3sin.
(2)设把f(x)的图象向左至少平移m(m＞0)个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．
由f(x＋m)＝3sin
＝3sin为偶函数，知－＝kπ＋，即m＝kπ＋.
∵m＞0，∴m取最小值.
故至少把f(x)的图象向左平移个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数.1.3.4　三角函数的应用
1．会用三角函数解决一些简单的实际问题．(重点)
2．体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(难点)
[小组合作型]
三角函数在物理学中的应用
　已知电流I＝Asin(ωt＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜在一个周期内的图象如图1 3 15.
图1 3 15
(1)根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
【导学号：06460036】
【精彩点拨】　可先由图象确定电流I的解析式，再由函数的性质确定ω的值．
【自主解答】　(1)由图知，A＝300.
＝－＝，
∴T＝，∴ω＝＝150π.
I＝300sin(150πt＋φ)．
由为第一个关键点，
∴150π·＋φ＝0，∴φ＝，
∴所求解析式为I＝300sin，t∈[0，＋∞)．
(2)由题意T≤，即≤，
∴ω≥300π≈942，
∴所求ω的最小正整数值是943.
1．三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流强度、单摆、弹簧振子等随时间变化的问题，解决这类问题必须要清楚振幅、频率、周期、初相、相位的实际意义和表示方法．
2．将图形语言转化成符号语言，根据图形信息利用待定系数法，求函数模型y＝Asin(ωx＋φ)中的未知参数后，再由解析式及性质解决具体问题．
[再练一题]
1．弹簧振子以O点为平衡位置，在B，C间做简谐运动，B，C相距20
cm，某时刻振子处在B点，经0.5
s振子首次达到C点．求：
(1)振动的振幅、周期和频率；
(2)振子在5
s内通过的路程及这时位移的大小．
【解】　(1)设振幅为A，则2A＝20(cm)，A＝10(cm)．设周期为T，则＝0.5(s)，T＝1(s)，f＝1(Hz)．
(2)振子在1T内通过的距离为4A，
故在t＝5
s内通过的路程为5T，即
s＝5×4A＝20A＝20×10
cm＝200
cm＝2
m.
5
s末物体处在B点，所以它相对平衡位置的位移为10
cm.
三角函数在实际生活中的应用
　如图1 3 16所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
图1 3 16
【精彩点拨】　→→
→.
【自主解答】　(1)可以用余弦函数来表示该函数的关系式，由已知，可设y＝40.5－40cos
ωt，t≥0，由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝.所以y＝40.5－40cost(t≥0)．
(2)设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，由60.5＝40.5－40cost0，得cost0＝－，所以t0＝或t0＝，解得t0＝8或4.所以t＝8分钟时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．
解三角函数应用问题的基本步骤
[再练一题]
2．如图1 3 17，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
图1 3 17
(1)求这一天6～14时的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
【解】　(1)由图可知：这段时间的最大温差是20
℃；
(2)从图可以看出：从6～14是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，∴＝14－6＝8，∴T＝16.
∵T＝，∴ω＝.
又∵∴
∴y＝10sin＋20.
将点(6,10)代入得：sin＝－1，
∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z，取φ＝，
∴y＝10sin＋20(6≤x≤14)．
[探究共研型]
三角函数的数据拟合问题
探究1　在利用已收集到的数据解决实际问题时，我们首先要对数据如何处理？
【提示】　先画样本数据散点图，通过分析其变化趋势确定合适的函数模型．
探究2　当散点图具有什么特征时，可以用正(余)弦函数模型来解决实际问题．
【提示】　当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正(余)弦函数模型来解决实际问题．
　某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：小时)而周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.0
1.4
1.0
0.6
1.0
1.4
0.9
0.5
1.0
(1)试在图中描出所给点；
(2)观察图，从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b，y＝Acos(ωt＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
图1 3 18
【精彩点拨】　―→―→
【自主解答】　(1)描出所给点如图所示：
(2)由(1)知选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适．
令A＞0，ω＞0，|φ|＜π.
由图知，A＝0.4，b＝1，T＝12，
所以ω＝＝.
把t＝0，y＝1代入y＝0.4sin＋1，得φ＝0.
故所求拟合模型的解析式为
y＝0.4sint＋1(0≤t≤24)．
(3)由y＝0.4sint＋1≥0.8，
则sint≥－，
则－＋2kπ≤≤＋2kπ(k∈Z)，
即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，
注意到t∈[0,24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24.
再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．
用三角函数解决实际问题的关键在于如何把实际问题三角函数模型化，而散点图起了关键的作用.解决这类题目的步骤如下：
1 搜集实际问题的数据，作出“散点图”；
2 观察散点图，用三角函数模型拟合散点图，得到函数模型；
3 通过图象或解析式研究函数的性质；
4 用得到的性质解决提出的实际问题.
[再练一题]
3．某港口的水深y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是水深数据：
t/h
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/m
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
根据上述数据描出的曲线如图1 3 19所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y＝Asin
ωt＋b的图象．
图1 3 19
(1)试根据以上数据，求出y＝Asin
ωt＋b的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5
m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7
m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略进出港所用的时间)
【解】　(1)由拟合曲线可知，函数y＝Asin
ωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12
h，因此，＝12，ω＝.
又∵当t＝0时，y＝10；
当t＝3时，取最大值13.
∴b＝10，A＝13－10＝3.
∴所求函数表达式为y＝3sin
x＋10.
(2)由于船的吃水深度为7
m，船底与海底的距离不少于4.5
m，故船舶在航行时水深y应大于等于7＋4.5＝11.5(m)．
由拟合曲线可知，一天24
h，水深y变化两个周期．
令y＝3sin
x＋10≥11.5,
可得sin
x≥.
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴12k＋1≤x≤12k＋5(k∈Z)．
取k＝0，则1≤x≤5；
取k＝1，则13≤x≤17；
取k＝2时，则25≤x≤29(不合题意)．
从而可知，该船在1点到5点或者13点到17点两个时间段可安全进港；船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1点进港，而下午的17点前离港，在港内停留的时间最长为16个小时．
[构建·体系]
1．电流I随时间t变化的关系式是I＝Asin
ωt，t∈[0，＋∞)，若ω＝10π
rad/s，A＝5，则电流I变化的周期是________，当t＝
s时，电流I＝________.
【解析】　由已知得I＝5sin
10πt，
∴T＝＝.
当t＝
s时，I＝50sin
10π·＝5sin
＝.
【答案】　　
2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋bA＞0，ω＞0，|φ|＜的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为________.
【导学号：06460037】
【解析】　由题意，可得A＝＝2，b＝＝7，周期T＝＝2×(7－3)＝8，∴ω＝，
∴f(x)＝2sin＋7.
∵当x＝3时，y＝9，
∴2sin＋7＝9，
即sin＝1.
∵|φ|<，∴φ＝－.
∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈Z)．
【答案】　f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈Z)
3．某地一天内的温度变化曲线满足y＝3sin(0.2x＋25)＋15，则在一天内，该地的最大温差是________．
【解析】　因为函数y＝3sin(0.2x＋25)＋15的振幅为A＝3，可以判断该地的最大温差是2A＝6.
【答案】　6
4．一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示：
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y
－4.0
－2.8
0.0
2.8
4.0
2.8
0.0
－2.8
－4.0
则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间关系的一个三角函数为________．
【解析】　由样本数据可知，T＝0.8，且该物体的位移y和时间t之间的位置关系近似的用y＝－Acos
ωt来表示．
又A＝0.4，ω＝＝＝π.
∴y＝－0.4cost.
【答案】　y＝－0.4cos
t
5．弹簧上挂的小球作上下振动，它在时间t(s)内离开平衡位置的位移h(cm)由下列函数关系式决定：h＝3sin.
(1)以t为横坐标，h为纵坐标作出图象(0≤t≤π)；
(2)求小球开始振动时的位置；
(3)经过多长时间，小球往返一次？
(4)每秒内小球往返几次？
【解】　(1)所求函数图象如图所示：
(2)当t＝0时h＝(cm)；
(3)T＝π≈3.14(s)，即每经过3.14
s小球往返振动一次；
(4)由(3)可知，每秒内小球往返次．
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评(十三)　三角函数的应用
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，则最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为________．
【解析】　最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为一个周期T＝
s＝
s.
【答案】　
s
2．如图1 3 20所示，为一质点作简谐运动的图象，则下列判断错误的是________．
①该简谐运动的振动周期为0.7
s；
②该简谐运动的振幅为5
cm；
③该质点在0.1
s和0.5
s时振动速度最大；
④该质点在0.3
s和0.7
s时的加速度为零．
图1 3 20
【解析】　由图象知，振幅为5
cm，＝(0.7－0.3)s＝0.4
s，故T＝0.8
s，故①错误；该质点在0.1
s和0.5
s离开平衡位置最远，而不能说振动速度最大，故③错误；该质点在0.3
s和0.7
s时正好回到平衡位置，而不是加速度为零，故④错误．
【答案】　①③④
3．如图1 3 21是一机械振动的传播图，图中甲、乙、丙、丁四点经半个周期后到最低点的是________．
图1 3 21
【解析】　半个周期后，丁由最高点到最低点．
【答案】　丁
4．已知某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50
m，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过t
min后，点P的高度h＝40·sin＋50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70
m以上的时间将持续________分钟.
【导学号：06460038】
【解析】　依题意，即40sin＋50≥70，
即cost≤－，从而在一个周期内持续的时间为≤t≤，4≤t≤8，即持续时间为4分钟．
【答案】　4
5．已知受噪声干扰的正弦波信号的相关信号图形如图1 3 22所示，此图可以视为y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，此函数解析式是________．
图1 3 22
【解析】　由已知，信号最大、最小时的波动幅度分别为3和－3.
∴A＝3.由图象知，
＝－＝，
∴T＝π，∴ω＝＝＝2，
∴y＝3sin(2x＋φ)．
由图象知，点是第三个关键点，
∴×2＋φ＝π，∴φ＝，
∴所求函数解析式为y＝3sin.
【答案】　y＝3sin
6．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是________．
【解析】　由题意可知，y＝sin(ωt＋φ)．
又t＝0时，A，
∴φ＝，
又由T＝12可知，ω＝＝，
∴y＝sin.
令2kπ－≤t＋≤2kπ＋，k∈Z,12k－5≤t≤12k＋1，k∈Z，∵0≤t≤12，∴令k＝0,1，得0≤t≤1或7≤t≤12，
故动点A的纵坐标y关于t的函数的单调递增区间为[0,1]，[7,12]．
【答案】　[0,1]，[7,12]
7．如图1 3 23所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24
h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________．
图1 3 23
【解析】　将其看成y＝Asin(ωx＋φ)的图象，由图象知：A＝6，T＝12，
∴ω＝＝，下面确定φ，将(6,0)看成函数第一特殊点，则×6＋φ＝0，∴φ＝－π.
∴函数关系式为：
y＝6sin＝－6sinx.
【答案】　y＝－6sinx
8．(2016·南京高一检测)为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图1 3 24所示的坐标系，设秒针针尖位置P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为________．
图1 3 24
①y＝sin；②y＝sin；
③y＝sin；④y＝sin.
【解析】　由题意可得，sin
φ＝，∴函数的初相是φ＝，排除④.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针方向旋转，即T＝＝60，ω＜0，所以|ω|＝，即ω＝－，故选③.
【答案】　③
二、解答题
9．已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)假若有一种细菌在15
℃到25
℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
【解】　(1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，即最高温度为30
℃，当x＝6时函数取最小值，即最低温度为10
℃，所以，最大温差为30
℃－10
℃＝20
℃.
(2)令10sin＋20＝15，
可得sin＝－，而x∈[4,16]，
所以x＝.
令10sin＋20＝25，
可得sin＝，
而x∈[4,16]，所以x＝.
故该细菌的存活时间为：－＝小时．
[能力提升]
1．一个大风车的半径为8
m,12分钟旋转一周，它的最低点离地面2
m(如图1 3 25所示)，则风车翼片的一个端点离地面的距离h(米)与时间t(分钟)之间(h(0)＝2)的函数关系式为________．
图1 3 25
【解析】　那么，风车上翼片端点所在位置P可由函数x(t)、y(t)来刻画，而且h(t)＝y(t)＋2.所以，只需要考虑y(t)的解析式．
又设P的初始位置在最低点即y(0)＝0.
在Rt△O1PQ中，cos
θ＝，y(t)＝－8cos
θ＋8.
而＝，
所以θ＝t，y(t)＝－8cos
t＋8，h(t)＝－8cos
t＋10.
【答案】　h(t)＝－8cos
t＋10
2．下表是某地某年月平均气温(单位：华氏).
月份
1
2
3
4
5
6
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
73.0
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
以月份为x轴，x＝月份－1，以平均气温为y轴．
(1)描出散点图；
(2)用正弦曲线去拟合这些数据；
(3)这个函数的周期是多少？
(4)估计这个正弦曲线的振幅A；
(5)下面四个函数模型中，最适合这些数据的是．
①＝cos；②＝cos；
③＝cos；④＝sin.
【解】　(1)(2)如图所示；
(3)1月份的气温最低，为21.4华氏，7月份气温最高，为73.0华氏，据图知，＝7－1＝6，∴T＝12.
(4)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，
∴A＝25.8.
(5)∵x＝月份－1，∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，代入①，得＝＞1≠cos
，∴①错误；代入②，得＝＜0≠cos
，∴②错误；同理④错误，③正确．第2课时　数量积的坐标表示
1．理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算．(重点)
2．能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式．(重点)
3．能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1　平面向量数量积的坐标运算
阅读教材P86“思考”以上内容，完成下列问题．
若两个向量为a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
1．已知a＝(1，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝________.
【解析】　∵a＝(1，－1)，b＝(2,3)，
∴a·b＝1×2－3＝－1.
【答案】　－1
2．已知a＝(－2，x)，b＝(0,1)，若a·b＝3，则x＝________.
【解析】　∵a＝(－2，x)，b＝(0,1)，
∴a·b＝x＝3.
【答案】　3
教材整理2　向量的长度、夹角、垂直的坐标表示
阅读教材P86“思考”～P87“例2”以上部分内容，完成下列问题．
1．向量的模：设a＝(x，y)，则a2＝x2＋y2，即|a|＝.
2．向量的夹角公式：设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它们的夹角为θ，则cos
θ＝＝
.
特别地，若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；反之，若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.
1．已知a＝(－5,5)，b＝(0，－3)，则|a|＝________，a与b的夹角为________．
【解析】　∵a·b＝－15，
|a|＝＝5，|b|＝3，
∴cos
θ＝＝＝－，
又θ∈[0，π]，
∴θ＝.
【答案】　5　
2．已知a＝(3,1)，b＝(x，－5)，若a⊥b，则x＝________.
【解析】　∵a⊥b，∴a·b＝0，
∴3x－5＝0，
∴x＝.
【答案】　
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：　
[小组合作型]
数量积的坐标运算
　已知a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)，求(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a＋b)；(3)(a·b)·c.
【精彩点拨】　先求相关向量的坐标，再代入坐标运算表达式求解．
【自主解答】　(1)a·b＝1×2＋3×5＝17.
(2)∵a＋b＝(3,8)，
2a＋b＝(4,11)，
∴(a＋b)·(2a＋b)＝12＋88＝100.
(3)(a·b)·c＝17c＝(34,17)．
利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件，找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算，列出方程组来进行求解.
[再练一题]
1．已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求a·(b·c)及(a·b)·c.
【解】　(1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，
∴a＝(2,4)．
(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝1×2＋2×4＝10，
∴a·(b·c)＝0a＝0，
(a·b)·c＝10(2，－1)＝(20，－10)．
向量的夹角
　已知A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC的余弦值．
【精彩点拨】　先求，，再代入向量夹角公式求∠BAC的余弦值．
【自主解答】　∵＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)，
＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)，
·＝3×(－1)＋3×6＝15.
又||＝＝3，
||＝＝，
∴cos∠BAC＝＝＝.
已知a，b的坐标求夹角时，应先求出a，b及|a|，|b|，再代入夹角公式，由夹角的余弦值确定夹角的大小.
[再练一题]
2．已知向量a＝(－1,2)，b＝(2，－4)，|c|＝，若(c－b)·a＝，则a与c的夹角为________．
【解析】　∵a·b＝－10，
∴(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝，
∴c·a＝－.
设a与c的夹角为θ，则
cos
θ＝＝＝－.
又θ∈[0°，180°]，
∴θ＝120°.
【答案】　120°
[探究共研型]
向量平行与垂直的综合应用
探究1　已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则其坐标间满足什么等量关系？a⊥b呢？
【提示】　a∥b x1y2－x2y1＝0；
a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
探究2　在△ABC中，已知点A，B，C的坐标，如何用向量法求BC边上的高的大小？
【提示】　设高AD交边BC于点D，由B，D，C三点共线及·＝0可求点D的坐标，进而可求||.
　已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．
【导学号：06460063】
【精彩点拨】　设D(x，y)，由＝λ及·＝0可求D，进而求||.
【自主解答】　设点D坐标为(x，y)，
则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)，
∵D在直线BC上，即与共线，
∴存在实数λ，使＝λ，
即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)，
∴
∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①
又∵AD⊥BC，∴·＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，
即2x＋y－3＝0.②
由①②可得
即D点坐标为(1,1)，＝(－1,2)，
∴||＝＝，
即||＝，D(1,1)．
1．向量的垂直问题主要借助于结论：a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0，把几何问题转化为代数问题．它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握．
2．两个向量共线的坐标表示与两个向量垂直的坐标表示截然不同，不能混淆．
[再练一题]
3．已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b和c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m与向量n的夹角的大小．
【解】　(1)∵a∥b，∴3x－36＝0，
∴x＝12.
∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，∴y＝－3，
∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，
n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)，
设m，n的夹角为θ，则cos
θ＝
＝
＝＝－.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝，即m，n的夹角为.
[构建·体系]
1．已知a＝(－1,3)，b＝(2，－1)，则a与b的夹角为________．
【解析】　cos
θ＝
＝＝－，又θ∈[0,2π]，∴θ＝.
【答案】　
2．已知a＝(4,7)，b＝(－5，－2)，则|a－b|＝________.
【解析】　因为a－b＝(9,9)，所以|a－b|＝＝9.
【答案】　9
3．向量m＝(x－5,1)，n＝(4，x)，m⊥n，则x＝________.
【解析】　4(x－5)＋x＝0，∴x＝4.
【答案】　4
4．设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中正确的是________．
①|a|＝|b|；②a·b＝；
③a－b与b垂直；④a∥b.
【解析】　由题知|a|＝＝1，|b|＝＝，
a·b＝1×＋0×＝，
(a－b)·b＝a·b－|b|2＝－＝0，
故a－b与b垂直．
【答案】　③
5．已知三点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度．
【导学号：06460064】
【解】　(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)．
则·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)∵⊥，四边形ABCD为矩形，∴＝.
设C点的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)，
从而有即
∴C点的坐标为(0,5)．
∵＝(－4,2)，∴||＝2，
即矩形ABCD的对角线的长度为2.
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评(二十二)　数量积的坐标表示
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．设a＝(1，－2)，b＝(3,1)，c＝(－1,1)，则(a＋b)·(a－c)等于________．
【解析】　a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3)，
∴(a＋b)·(a－c)＝2×4＋(－1)×(－3)＝11.
【答案】　11
2．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为________．
【解析】　依题意得a＋b＝(3，k＋2)，由a＋b与a共线，得3×k－1×(k＋2)＝0，解得k＝1，所以a·b＝2＋2k＝4.
【答案】　4
3．(2016·南通高一检测)已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为________.
【导学号：06460065】
【解析】　∵a＝(2,3)，b＝(－4,7)，∴a·b＝2×(－4)＋3×7＝13，|a|＝，|b|＝，∴cos
θ＝＝，
∴a在b上的射影为|a|cos
θ＝×＝.
【答案】　
4．已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，则向量a，b的夹角为________．
【解析】　由于2a＋b＝(4,2)，则b＝(4,2)－2a＝(2,0)，
则a·b＝2，|a|＝，|b|＝2.
设向量a，b的夹角为θ，则cos
θ＝＝.
又θ∈[0，π]，所以θ＝.
【答案】　
5．(2016·南京高一检测)已知O是坐标原点，A，B是坐标平面上的两点，且向量＝(－1,2)，＝(3，m)．若△AOB是直角三角形，则m＝________.
【解析】　在Rt△AOB中，＝(4，m－2)，
若∠OAB为直角时，·＝0，可得m＝4；
若∠AOB为直角时，·＝0，可得m＝；
若∠OBA为直角时，无解．
【答案】　或4
6．设a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，则实数t的值为________．
【解析】　a＋tb＝(4，－3)＋t(2,1)＝(4＋2t，t－3)，
(a＋tb)·b＝(4＋2t)×2＋(t－3)×1＝5t＋5.
|a＋tb|＝＝.
由(a＋tb)·b＝|a＋tb||b|cos
45°，
得5t＋5＝·，
即t2＋2t－3＝0，
∴t＝－3或t＝1，经检验t＝－3不合题意，舍去．
∴t＝1.
【答案】　1
7．已知a＝(4,2)，则与a垂直的单位向量b＝________.
【解析】　设b＝(x，y)，
则由得或
【答案】　或
8．(2016·盐城高一检测)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝________.
【解析】　不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)．又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，∴m＝－，n＝－，∴c＝.
【答案】　
二、解答题
9．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．
(1)求a与b的夹角的余弦；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．
【解】　(1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，
|a|＝＝5，|b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)，
又(a－λb)⊥(2a＋b)，
∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝.
10．已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．
【解】　设a与b的夹角为θ，|a|＝＝，|b|＝，a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
(1)因为a与b的夹角为直角，
所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－.
(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos
θ<0且cos
θ≠－1，即a·b<0且a与b不反向．
由a·b<0，得1＋2λ<0，故λ<－，由a与b共线，得λ＝2，故a与b不可能反向，
所以λ的取值范围为.
(3)因为a与b的夹角为锐角，所以cos
θ>0且cos
θ≠1，
即a·b>0且a，b不同向．
由a·b>0，得λ>－，由a与b同向，得λ＝2，
所以λ的取值范围为∪(2，＋∞)．
[能力提升]
1．(2016·泰州高一检测)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.
【解析】　∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝，|b|2＝1，∵b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝t＋(1－t)＝1－t＝0，∴t＝2.
【答案】　2
2．以原点O及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使A＝90°，则的坐标为________．
【解析】　设＝(x，y)，由||＝||，得＝.①
由⊥，得5x＋2y＝0②
联立①②，解得x＝－2，y＝5或x＝2，y＝－5.
故＝(－2,5)或＝(2，－5)．
【答案】　(－2,5)或(2，－5)
3．如图2 4 3，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
图2 4 3
【解析】　以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(x,2)．故＝(，0)，＝(x,2)，＝(，1)，＝(x－，2)，∴·＝x.又·＝，
∴x＝1，∴＝(1－，2)，
∴·＝－2＋2＝.
【答案】　
4．已知＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)．
(1)求使·取得最小值时的；
(2)对于(1)中求出的点C，求cos∠ACB.
【解】　(1)因为点C是直线OP上一点，
所以向量与共线，设＝t，则＝(2t，t)．
＝－＝(1－2t,7－t)，
＝－＝(5－2t,1－t)．
·＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)
＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.
当t＝2时，·取得最小值，此时＝(4,2)．
(2)当＝(4,2)时，＝(－3,5)，＝(1，－1)，
所以||＝，||＝，·＝－8.
所以cos∠ACB＝＝－.2.1　向量的概念及表示
1．了解向量的实际背景，理解平面向量的概念．(重点)
2．理解零向量、单位向量、相等向量、共线(平行)向量、相反向量的含义．(重点、难点)
3．理解向量的几何表示．(重点)
[基础·初探]
教材整理1　向量的定义及表示
阅读教材P59图2 1 2以上部分内容，完成下列问题.
定义
既有大小又有方向的量称为向量
表示方法
(1)几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，以A为起点、B为终点的向量记为；(2)字母表示：用小写字母a，b，c表示
模
向量的大小称为向量的长度(或称为模)，记作||
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有向线段就是向量．(　　)
(2)向量就是有向线段．(　　)
(3)有向线段可以用来表示向量．(　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√
2．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有________(填序号)．
【解析】　一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．
【答案】　①⑥⑦⑧
教材整理2　向量的有关概念及其表示
阅读教材P59图2 1 2以下内容至P60例2以上内容，完成下列问题.
名称
定义
表示方法
零向量
长度为0的向量
记作0
单位向量
长度等于1个单位长度的向量
平行向量(或共线向量)
方向相同或相反的非零向量
a与b平行(或共线)，记作a∥b
相等向量
长度相等且方向相同的向量
a与b相等，记作a＝b
相反向量
长度相等且方向相反的向量
a的相反向量记作－a
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a＝b，b＝c，则a＝c.(　　)
(2)若a∥b，则a与b的方向一定相同或相反．(　　)
(3)若非零向量∥，那么AB∥CD.(　　)
(4)向量可以比较大小．(　　)
【解析】　(1)正确．
(2)0与任何向量共线，但0方向任意，故(2)错误．
(3)∥，A，B，C，D可能共线，故(3)错误．
(4)因为向量有方向性，故向量不能比较大小．
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：　
[小组合作型]
向量的概念
　给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
②向量的模一定是正数；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．
其中正确命题的序号是________．
【精彩点拨】　解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假．
【自主解答】　①错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．
②错误.0的模为零．
③正确．对于一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．
④错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反即可，并不要求两个向量、必须在同一直线上．
【答案】　③
1．在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)．
2．涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量．
3．对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可．
[再练一题]
1．判断下列命题是否正确，并说明理由：
(1)若向量a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；
(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；
(4)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；
(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．
【解】　(1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．
(3)正确．∵|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.
(4)不正确．依据规定：0与任一向量平行．
(5)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定.
向量的表示
　一辆汽车从A点出发，向西行驶了100千米到达点B，然后又改变方向向西偏北50°行驶了200千米到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D.
(1)作出向量，，；
(2)求||.
【精彩点拨】　解答本题应首先确定指向标，然后再根据行驶方向确定有关向量，进而求解．
【自主解答】　(1)如图：
(2)
由题意，易知与方向相反，故与共线，即AB∥CD.
又∵||＝||，∴在四边形ABCD中，AB綊CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴||＝||＝200(千米)．
用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点.必要时，需依据直角三角形知识，求出向量的方向或长度 模 ，选择合适的比例关系作出向量.
[再练一题]
2．在如图2 1 1的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
图2 1 1
【解】　(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略)．
(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆(作图略)．
[探究共研型]
共线向量
探究1　两向量平行，则两向量所在的直线平行吗？
【提示】　不一定平行．
探究2　若向量a与b平行(或共线)，则向量a与b相等吗？反之，若向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)吗？
【提示】　向量a与b平行(或共线)，则向量a与b不一定相等；向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)．
探究3　向量平行具备传递性吗？举例说明．
【提示】　向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，这是因为，当b＝0时，a，c可以是任意向量，但若b≠0，必有a∥b，b∥c a∥c.
　如图2 1 2，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点．
图2 1 2
(1)写出图中所示向量与向量长度相等的向量；
(2)写出图中所示向量与向量相等的向量；
(3)分别写出图中所示向量与向量，共线的向量.
【导学号：06460039】
【精彩点拨】　结合相等向量、共线向量的概念，对(2)(3)作出判断，结合正三角形的性质对(1)作出判断．
【自主解答】　(1)与长度相等的向量是，，，，，，，.
(2)与相等的向量是，.
(3)与共线的向量是，，；与共线的向量是，，.
1．寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
[再练一题]
3．如图2 1 3，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，
图2 1 3
(1)图中与共线的向量有________；
(2)图中与相等的向量有________；
(3)图中与模相等的向量有________；
(4)图中与相等的向量有________；
(5)图中与互为相反向量的有________．
【解析】　(1)∵AB∥CD，A，B，E三点共线，
∴与，，共线．
(2)∵AB＝BE，且与方向相同，∴＝.
(3)∵AB＝BC＝CD＝DA＝BE，
∴||＝||＝||＝||＝||.
(4)∵EC綊BD，∴＝.
(5)∵||＝||，且与方向相反，
∴与互为相反向量．
【答案】　(1)，、　(2)　(3)，，，　(4)　(5)
[构建·体系]
1．下列说法正确的是________．
①零向量的长度为零；
②零向量与任一向量都是共线向量；
③零向量没有方向；
④零向量的方向是任意的．
【解析】　零向量的方向是任意的，不能说零向量没有方向，③错．
【答案】　①②④
2．下列命题中，正确的是________．
①a，b是两个单位向量，则a与b相等；
②若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
③两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同；
④共线的单位向量必是相等向量．
【解析】　若a与b中有一个是零向量，则a与b共线．
【答案】　②
3．如图2 1 4，已知正方形ABCD边长为2，O为其中心，则||＝________.
图2 1 4
【解析】　由于正方形的对角线长为2，∴||＝.
【答案】　
4．如图2 1 5所示，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.在以A，B，C，D，E，F，O为起点或终点的向量中：
图2 1 5
(1)模与a的模相等的向量有________个．
(2)长度与a的长度相等，方向相反的向量有________．
(3)与a共线的向量有________．
(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．________.
【解】　(1)满足条件的向量有23个．
(2)长度与a的长度相等，方向相反的向量有，，，.
(3)与a共线的向量有，，，，，，，，.
(4)与a相等的有，，；与b相等的有，，；与c相等的有，，.
【答案】　(1)23　(2)，，，　(3)，，，，，，，，　(4)与a相等的有，，；与b相等的有，，；与c相等的有，，
5．在如图2 1 6所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
图2 1 6
(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°；
②，使||＝4，点B在点A正东；
③，使||＝6，点C在点B北偏东30°.
【导学号：06460040】
【解】　(1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示．
(2)由于点B在点A正东方向处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示．
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评(十四)　向量的概念及表示
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知非零向量a∥b，若非零向量c∥a，则c与b必定________．
【解析】　平行向量主要考虑方向相同或相反，依题意可知，c，b同向或者反向，所以c与b必定平行(或共线)．
【答案】　平行(或共线)
2．如图(1)，某人想要从点A出发绕阴影部分走一圈，他可按图(2)中提供的向量行走，则这些向量的排列顺序为________．
图2 1 7
【答案】　a　e　d　c　b
3．已知a，b为两个向量，给出以下4个条件：
①|a|＝|b|；②a与b的方向相反；③|a|＝0或|b|＝0；④a与b都是单位向量．
由条件________一定可以得到a与b平行．
【解析】　长度相等或都是单位向量不能得到a∥b，但方向相反或其中一个为零向量可以说明a∥b.故填②③.
【答案】　②③
4．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
【解析】　∵与不共线，且m∥，m∥，
∴m＝0.
【答案】　0
5．如图2 1 8所示，已知AD＝3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有________．
图2 1 8
【解析】　满足条件的向量有以下几类：
模长为2的向量有：，，，；
模长为3的向量有：，.
【答案】　，，，，，
6．给出以下5个条件：
①a＝b；
②|a|＝|b|；
③a与b的方向相反；
④|a|＝0或|b|＝0；
⑤a与b都是单位向量．
其中能使a与b共线的是________．(填所有正确的序号)
【解析】　根据相等向量一定是共线向量知①正确；
|a|＝|b|但方向可以任意，∴②不成立；
a与b反向必平行或重合，∴③成立；
由|a|＝0或|b|＝0，得a＝0或b＝0.根据0与任何向量共线，得④成立；两单位向量的模相等但方向不定，∴⑤不成立．
【答案】　①③④
7．如图2 1 9，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD与BC的中点，则在以A，B，C，D四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量方向相反的向量为________．
图2 1 9
【解析】　∵AB∥EF，CD∥EF，
∴与方向相反的向量为，.
【答案】　，
8．如图2 1 10所示，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．
图2 1 10
(1)与向量相等的向量有________；
(2)若||＝3，则向量的模等于________．
【解析】　相等向量既模相等，又方向相同，所以与相等的向量有，.
若||＝3，
则||＝||＝3，
所以，||＝2×3＝6.
【答案】　(1)，　(2)6
二、解答题
9．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
图2 1 11
(1)在如图2 1 11所示的坐标系中画出，，，；
(2)求B地相对于A地的方位.
【导学号：06460041】
【解】　(1)向量，，，如图所示．
(2)由题意知＝，
∴AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，则B地相对于A地的方位是“北偏东60°，6千米”．
10．如图2 1 12所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．
图2 1 12
(1)写出与相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)向量与是否相等？
【解】　(1)与相等的向量有：，，.
(2)与共线的向量有：，，，，，，，，.
(3)向量与不相等，因为与的方向相反，所以它们不相等．
[能力提升]
1．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________
.
【解析】　结合菱形的性质可知||＝×2＝2.
【答案】　2
2．如图2 1 13所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，连结相应分点，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与平行且长度为2的向量个数有________．
图2 1 13
【解析】　图中共有4个边长为2的正方形，每个正方形中有符合条件的向量2个(它们分别是连接左下和右上顶点的向量，方向相反)，故满足条件的向量共有8个．
【答案】　8个
3．如图2 1 14所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集M＝{O，A，B，C，D}，向量的集合T＝{|P，Q∈M，且P，Q不相等}，则集合T有________个元素．
图2 1 14
【解析】　以矩形ABCD的四个顶点及它的对角线交点O五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有5×4＝20(个)．但这20个向量不是各不相等的，它们有12个向量各不相等，即为()，()，()，()，()，()，()，()，，，，，由元素的互异性知T中有12个元素．
【答案】　12
4．如图2 1 15，在正方形ABCD中，M，N分别为AB和CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等的向量分别有多少对？
图2 1 15
【解】　不妨设正方形的边长为2，则以A，B，C，D，M，N为起点和终点的向量中：①模为2的相等向量共有8对，＝，＝，＝，＝，＝，＝，
＝，＝.
②模为1的相等向量有12对，其中与同向的有，，，这四个向量组成相等的向量有6对，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，同理与反向的也有6对．
③模为的相等向量共有4对，＝，＝，＝，＝.1.3.3　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
第1课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
1．理解y＝Asin(ωx＋φ)中，A，ω，φ对图象的影响．(重点)
2．掌握y＝sin
x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．(难点、易错点)
[基础·初探]
教材整理1　函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
阅读教材P34有关内容，完成下列问题．
设物体做简谐运动时，位移s和时间t的关系为s＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，其中A是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；往复振动一次所需的时间T＝称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f＝＝称为振动的频率；ωt＋φ称为相位，t＝0时的相位φ称为初相．
简谐运动y＝sin的振幅为________，周期为________，频率为________，初相为________．
【解析】　由简谐运动的相关概念可知，
A＝，T＝＝6，f＝＝，初相φ＝－.
【答案】　　6　　－
教材整理2　图象变换
阅读教材P34～P37的有关内容，完成下列问题．
1．φ对函数y＝sin(x＋φ)的图象的影响(相位变换)：
y＝sin
x图象y＝sin(x＋φ)图象．
2．A对函数y＝Asin
x图象的影响(振幅变换)：
y＝sin
x图象各点纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)得到y＝Asin
x图象．
3．ω对函数y＝sin
ωx的图象的影响(周期变换)：
y＝sin
x图象各点横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到y＝sin
ωx图象．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)将y＝sin
x的图象向右平移个单位，得到y＝sin的图象．(　　)
(2)将y＝sin
x图象上所有点的横坐标变为原来的，得到y＝sin
x的图象．(　　)
(3)将y＝sin
x图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2sin
x的图象．(　　)
【解析】　(1)×.y＝sin
xy＝sin.
(2)×.y＝sin
xy＝sin
2x.
(3)√.y＝sin
xy＝2sin
x.
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：　
[小组合作型]
作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
　作出函数y＝2sin＋3的图象并指出它的周期、频率、相位、初相及单调区间．
【导学号：06460030】
【精彩点拨】　―→
―→
【自主解答】　“五点法”作图．
(1)列表如下：
x
π
π
π
π
x－
0
π
π
2π
y
3
5
3
1
3
(2)描点．
(3)作图，如图所示：
周期为T＝2π，频率为f＝＝，相位为x－，初相为－，最大值为5，最小值为1，函数的减区间为，k∈Z，
增区间为，k∈Z.
1．用五点法作y＝Asin(ωx＋φ)的图象，应先令ωx＋φ分别为0，，π，π，2π，然后解出自变量x的对应值，作出一周期内的图象．
2．若在一个定区间内作图象，则要首先确定该区间端点处的相位，再确定两个端点之间的最值点、零点．即“五点法”演变成了“4＋2”作图．
[再练一题]
1．画出f(x)＝3sin在长度为一个周期的闭区间上的简图．
【解】　列表：
4x＋
0
π
2π
x
－
f(x)
0
3
0
－3
0
图象如图所示：
[探究共研型]
三角函数的图象变换
探究1　将函数y＝sin
x的图象经过怎样变换，可以得到函数y＝3sin的图象？
【提示】　先把函数y＝sin
x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sinx＋的图象；再把曲线上各点的横坐标变为原来的倍，得到函数y＝sin的图象；然后把曲线上各点的纵坐标变为原来的3倍，就得到函数y＝3sin的图象．
探究2　将函数y＝sin
2x的图象向左平移个单位，可以得到哪个函数的图象？
【提示】　y＝sin
2x
y＝sin
2＝sin(2x＋π)＝－sin
2x.
　要得到函数y＝sin的图象，只要将y＝sin
2x的图象________．
①向左平移个单位；②向右平移个单位；
③向左平移个单位；④向右平移个单位．
【精彩点拨】　利用平移变换求解，注意平移只是“单纯的变量x加减．”
【自主解答】　∵y＝sin＝sin
2，
∴只需将y＝sin
2x的图象向左平移个单位便可得到y＝sin的图象．
【答案】　③
已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤：
1 将两个函数解析式化简成y＝Asin
ωx与y＝Asin ωx＋φ ，即A，ω及名称相同的结构.
2 找到ωx→ωx＋φ，变量x“加”或“减”的量，即平移的单位为.
3 明确平移的方向.
[再练一题]
2．把函数y＝f(x)的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y＝2sin，求f(x)的解析式．
【解】　y＝2sin
y＝3sin
y＝3sin
y＝3sin＝3sin＝3cos
x，
∴f(x)＝3cos
x.
[构建·体系]
1．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T＝________，初相φ＝________.
【解析】　由题意可知f(0)＝2sin
φ＝1，∴sin
φ＝，
又|φ|＜，φ＝，∴f(x)＝2sin，
∴T＝＝6，φ＝.
【答案】　6　
2．把函数y＝sin
x的图象向左平移个单位得到一个函数图象，则该函数的解析式是________．
【解析】　y＝sin
xy＝sin＝cos
x.
【答案】　y＝cos
x
3．将函数y＝sin
x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________．
【解析】　将函数图象上所有点向右平移个单位，得y＝sin，再将各点横坐标伸长到原来的2倍，用x代替y＝sin中的x，∴y＝sin.
【答案】　y＝sin
4．将函数y＝sin的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为________．
【解析】　由y＝sin向左平移个单位得y＝sin
＝sin
＝sin＝cos
2x.
【答案】　y＝cos
2x
5．已知函数y＝3sin.
(1)用“五点法”画函数的图象；
(2)说出此图象是由y＝sin
x的图象经过怎样的变换得到的？
(3)求此函数的周期、振幅、初相；
(4)求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间．
【导学号：06460031】
【解】　(1)列表：
x－
0
π
2π
x
y
0
3
0
－3
0
描点连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数一个周期内的图象，如图所示，
再将这部分图象左右平移4kπ(k∈Z)个单位长度，
得函数y＝3sin的图象．
(2)法一：①把y＝sin
x图象上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象；
②把y＝sin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；
③将y＝sin图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sinx－的图象．
法二：①把y＝sin
x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sinx的图象；
②把y＝sinx图象上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象；
③将y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sinx－的图象．
(3)周期T＝＝＝4π，振幅A＝3，初相是－.
(4)令x－＝＋kπ，k∈Z，
解得x＝＋2kπ，k∈Z，
即函数的对称轴是直线x＝＋2kπ，k∈Z.
令x－＝kπ，k∈Z，
解得x＝2kπ＋，k∈Z，
即函数的对称中心为，k∈Z.
令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，
即函数的单调递增区间为(k∈Z)．
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评(十一)
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．函数y＝cos
x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos
ωx，则ω的值为________．
【解析】　y＝cos
xy＝cos
x.
【答案】　
2．将y＝cos
2x的图象向右平移个单位，得到的图象对应的解析式为________．
【解析】　y＝cos
2x→y＝cos
2＝cos.
【答案】　y＝cos
3．将函数y＝cos向右平移________个单位长度得到y＝sin
x的图象．
【解析】　y＝sin
x＝cos＝cos，
y＝cos的图象变换为y＝cos的图象应向右平移个单位．
【答案】　
4．将函数y＝sin
2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是________．
【解析】　y＝sin
2xy＝sin
2
＝sin＝cos
2xy＝cos
2x＋1.
【答案】　y＝cos
2x＋1
5．某同学给出了以下论断：
①将y＝cos
x的图象向右平移个单位，得到y＝sin
x的图象；
②将y＝sin
x的图象向右平移2个单位，可得到y＝sin(x＋2)的图象；
③将y＝sin(－x)的图象向左平移2个单位，得到y＝sin(－x－2)的图象；
④函数y＝sin的图象是由y＝sin
2x的图象向左平移个单位而得到的．
其中正确的结论是________(将所有正确结论的序号都填上)．
【解析】　由图象平移变换可知①③正确．
【答案】　①③
6．用“五点法”画函数y＝2sin(ω＞0)在一个周期内的简图时，五个关键点是，，，，，则ω＝________.
【解析】　周期T＝－＝π，∴＝π，ω＝2.
【答案】　2
7．函数y＝3sin的相位和初相分别是________．
【解析】　y＝3sin化为y＝3sin，相位x＋，初相.
【答案】　x＋，
8．(2016·南京高一检测)设ω>0，函数y＝sinωx＋＋2的图象向右平移π个单位后与原图象重合，则ω的最小值为________．
【解析】　由题意知是函数周期的整数倍，又ω>0，
∴·k＝π，∴ω＝k(k∈Z)，
∴ω的最小值为.
【答案】　
二、解答题
9．用“五点法”画函数y＝3sin，x∈的图象.
【导学号：06460032】
【解】　①列表：
2x＋
0
π
2π
x
－
3sin
0
3
0
－3
0
②描点：在坐标系中描出下列各点：
，，，，.
③连线：用光滑曲线将所描五个点顺次连接起来，得函数y＝3sin，x∈的简图，如图所示．
10．已知函数f(x)＝sin(x∈R)．
(1)求f(x)的单调减区间．
(2)经过怎样的图象变换使f(x)的图象关于y轴对称？(仅叙述一种方案即可)
【解】　(1)由已知函数化为y＝－sin.
欲求函数的单调递减区间，只需求y＝sin2x－的单调递增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋π(k∈Z)，
∴原函数的单调减区间为(k∈Z)．
(2)f(x)＝sin＝cos
＝cos＝cos
2.
∵y＝cos
2x是偶函数，图象关于y轴对称，
∴只需把y＝f(x)的图象向右平移个单位长度即可．
[能力提升]
1．将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y＝2sin的图象，则f(x)＝________.
【解析】　将y＝2sin的图象向左平移个单位长度，得函数y＝2sin＝2sin4x＋的图象，再向下平移一个单位长度，得函数y＝2sin－1的图象，即f(x)＝2sin4x＋－1.
【答案】　2sin－1
2．某同学用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在一个周期内简图时，列表如下：
ωx＋φ
0
π
2π
x
y
0
2
0
－2
0
则A＝________，ω＝________，φ＝________.
【解析】　由表格得A＝2，π－＝，
∴ω＝3，∴ωx＋φ＝3x＋φ.
当x＝时，3x＋φ＝＋φ＝0，∴φ＝－.
【答案】　2　3　－
3．要得到函数y＝cos
x的图象，只需将函数y＝sin图象上的所有点的________．
①横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度；
②横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度；
③横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度；
④横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度．
【解析】　y＝cos
x＝sin.
法一：y＝sin＝sin
2(x＋)y＝sin
2y＝sin.
法二：y＝siny＝siny＝sin.
【答案】　②
4．已知f(x)＝2sin
2x，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a＜b)满足：y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b－a的最小值．
【解】　f(x)＝2sin
2x，
g(x)＝2sin＋1＝2sin＋1.
g(x)＝0 sin＝－
x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z，
即g(x)的零点相离间隔依次为和，
故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，则b－a的最小值为14×＋15×＝.