【苏教版】2017-2018学年高中数学必修5学案（23份打包，Word版，含解析）

2.1　数列
1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．(难点)
2．理解数列的通项公式及简单应用．(重点)
3．数列与集合、函数等概念的区别与联系．(易混点)
[基础·初探]
教材整理1　数列的概念与分类
阅读教材P31，完成下列问题．
1．数列的概念
按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．
2．数列的表示方法
数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中a1称为数列{an}的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，…，an称为第n项．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}．(　　)
(2)数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列．(　　)
(3)数列的第5项为.(　　)
(4)数列0,2,4,6，…是无穷数列．(　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
教材整理2　数列的通项公式
阅读教材P32～P33的有关内容，完成下列问题．
1．数列与函数的关系
数列可以看成以正整数集N
(或它的有限子集{1,2，…，k})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．
2．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列可以用通项公式来描述，也可以通过列表或图象来表示．
1．数列1,3,5,7,9，…的一个通项公式可以是________．
【解析】　1,3,5,7,9，…的一个通项公式可以是an＝2n－1，n∈N
.
【答案】　an＝2n－1，n∈N
2．若数列{an}的通项公式为an＝3n－2，则a5＝________.
【解析】　∵an＝3n－2，∴a5＝3×5－2＝13.
【答案】　13
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问2：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问3：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
[小组合作型]
根据数列的前n项写出通项公式
　写出下列数列的一个通项公式．
(1)，2，，8，，…；
(2)9,99,999,9
999，…；
(3)，，，，…；
(4)－，，－，，….
【精彩点拨】　观察―→归纳an与n的关系―→验证结论―→得出答案
【自主解答】　(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，，…，所以它的一个通项公式为an＝(n∈N
)．
(2)各项加1后，变为10,100,1
000,10
000，….此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an＝10n－1(n∈N
)．
(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n－1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n表示，综上，原数列的通项公式为an＝(n∈N
)．
(4)这个数列的前4项的绝对值都等于项数与项数加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n(n∈N
)．
用观察法求数列的通项公式的一般规律
1．一般数列通项公式的求法
2．对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k处理符号问题．
3．对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．
[再练一题]
1．写出下列数列的一个通项公式．
(1)3,5,9,17,33，…；
(2)，，，，，…；
(3)，－1，，－，，－，….
【导学号：91730020】
【解】　(1)中3可看做21＋1,5可看做22＋1,9可看做23＋1,17可看做24＋1,33可看做25＋1，….
所以an＝2n＋1.
(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列为21,22,23,24，…，
所以an＝.
(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律第1,2两项可分别改写为，－，所以an＝(－1)n＋1.
通项公式的简单应用
　已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n.
(1)写出数列的前3项；
(2)判断45是否为{an}中的项？3是否为{an}中的项？
【精彩点拨】　(1)令n＝1,2,3求解即可；
(2)令an＝45或an＝3解n便可．
【自主解答】　(1)在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3项分别为：1,6,15.
(2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，
解得n＝5或n＝－(舍去)，
故45是数列{an}中的第5项．
令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，
解得n＝－1或n＝，即方程没有正整数解，
故3不是数列中的项．
1．如果已知数列的通项公式，只要将相应项数代入通项公式，就可以写出数列中的指定项．
2．判断某数是否为数列中的一项，步骤如下：
(1)将所给的数代入通项公式中；
(2)解关于n的方程；
(3)若n为正整数，说明所给的数是该数列的项；若n不是正整数，则不是该数列的项．
[再练一题]
2．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N
)．
(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？
【解】　(1)令an＝0，得n2－21n＝0，∴n＝21或n＝0(舍去)，∴0是数列{an}中的第21项．
令an＝1，得＝1，
而该方程无正整数解，
∴1不是数列{an}中的项．
(2)假设存在连续且相等的两项为an，an＋1，
则有an＝an＋1，
即＝，
解得n＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．
[探究共研型]
数列的性质
探究1　数列是特殊的函数，能否利用函数求最值的方法求数列的最大(小)项？
【提示】　可以借助函数的性质求数列的最大(小)项，但要注意函数与数列的差异，数列{an}中，n∈N
.
探究2　如何定义数列{an}的单调性？
【提示】　对于数列的单调性的判断一般要通过比较an＋1与an的大小来判断，若an＋1>an，则数列为递增数列，若an＋1　设数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn(n∈N
)．数列{an}是单调递增的，求实数k的取值范围．
【精彩点拨】　利用二次函数的单调性，求得k的取值范围．
【自主解答】　∵an＝n2＋kn，其图象的对称轴为n＝－，
∴当－≤1，即k≥－2时，
{an}是单调递增数列．
另外，当1<－<2且－1<2－，
即－3∴k的取值范围是(－3，＋∞)．
1．函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调．
2．求数列的最大(小)项，还可以通过研究数列的单调性求解，一般地，若则an为最大项；若则an为最小项．
[再练一题]
3．已知数列{an}的通项公式是an＝－2n2＋9n＋3(n∈N
)，求它的最大项.
【导学号：91730021】
【解】　由题意知，－2n2＋9n＋3＝－22＋.
由于函数f(x)＝－22＋在上是增函数，在上是减函数，故当n＝2时，f(n)＝－2n2＋9n＋3取得最大值13，所以数列{an}的最大项为a2＝13.
[构建·体系]
1．已知下列数列：
(1)2
010,2
012,2
014,2
016,2
018；
(2)0，，，…，，…；
(3)1，，，…，，…；
(4)1，－，，…，，…；
(5)1,0，－1，…，sin
，…；
(6)9,9,9,9,9,9.
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(将合理的序号填在横线上)
【解析】　(1)是有穷递增数列；
(2)是无穷递增数列；
(3)是无穷递减数列；
(4)是摆动数列，也是无穷数列；
(5)是摆动数列，也是无穷数列；
(6)是常数列，也是有穷数列．
【答案】　(1)(6)　(2)(3)(4)(5)　(1)(2)　(3)　(6)　(4)(5)
2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为________．
【解析】　这个数列的前4项都比序号大1，所以它的一个通项公式为an＝n＋1.
【答案】　an＝n＋1
3．下列有关数列的表述：
①数列的通项公式是唯一的；
②数列0,1,0，－1与数列－1,0,1,0是相同的数列；
③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；
④数列中的数是按一定次序排列的．
其中说法正确的是________．
【解析】　如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，但一个数列可以没有通项公式，也可以有几个通项公式，如：数列1，－1,1，－1，1，－1，…的通项公式可以是an＝(－1)n＋1，也可以是an＝cos(n－1)π，故①错；由数列的概念知数列0,1,0，－1与数列－1,0,1,0是不同的数列，故②错；易知③④是正确的．
【答案】　③④
4．用火柴棒按图2 1 1的方法搭三角形：
图2 1 1
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式是________.
【导学号：91730022】
【解析】　a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1.
【答案】　an＝2n＋1
5．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N
)，
(1)写出此数列的前3项；
(2)试问和是不是它的项？如果是，是第几项？
【解】　(1)a1＝＝1，a2＝＝，a3＝＝.
(2)令＝，则n2＋3n－40＝0，解得n＝5或n＝－8.
又n∈N
，故n＝－8舍去，所以是数列{an}的第5项．
令＝，则4n2＋12n－27＝0，解得n＝或n＝－.
又n∈N
，所以不是数列{an}的项．
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
学业分层测评(六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．将正整数的前5个数排列如下：
①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2.
那么可以称为数列的有________．
【解析】　由数列定义，①②③④均为按一定次序排列的一列数，故均为数列．
【答案】　①②③④
2．数列1,3,6,10，x,21,28，…中x的值是________．
【解析】　观察数列的特点可知，从第2项起，每一项与前一项的差分别为2,3,4，…，依次增加1，故x为15.
【答案】　15
3．下列各式能成为数列1,3,6,10，…的一个通项公式的是________．
①an＝n2－n＋1；②an＝；③an＝；④an＝n2＋1.
【解析】　令n＝1,2,3,4，分别代入①②③④检验即可．排除①②④，从而确定答案为③.
【答案】　③
4．数列的通项公式为an＝则a2·a3等于________．
【解析】　由an＝
得a2＝2，a3＝10，所以a2·a3＝20.
【答案】　20
5．已知数列，，2，，…，则2是这个数列的第________项.
【导学号：91730023】
【解析】　数列的通项为an＝.
∵2＝＝，
∴2是数列的第7项．
【答案】　7
6．根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有________个点．
(1)　(2)
　(3)　　(4)
图2 1 2
【解析】　由图形可得，图形中的点数为1,4,9,16，…，则其通项公式为an＝n2，
故第n个图形中的点数为n2.
【答案】　n2
7．若数列{an}的通项公式an＝3－2n，则a2n＝______，＝________.
【解析】　∵an＝3－2n，∴a2n＝3－22n，
＝＝.
【答案】　3－22n　
8．已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N
)，则数列{an}的前30项中，最大项和最小项分别是________．
①a10，a9；②a1，a9；③a1，a30；④a9，a30.
【解析】　通项公式变形为：
an＝＝1＋，
显然当n＝10和n＝9时，an分别取最大值和最小值．
【答案】　①
二、解答题
9．已知数列{an}中，a1＝3，a10＝21，通项an相应的函数是一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式，并求出a2
017；
(2)若{bn}是由a2，a4，a6，a8，…组成，试归纳{bn}的一个通项公式．
【解】　(1)由题意可设an＝kn＋b，
又a1＝3，a10＝21，
∴解得
∴an＝2n＋1(n∈N
)，
a2
017＝2×2
017＋1＝4
035.
(2)∵{bn}是由{an}的偶数项组成，
∴bn＝a2n＝2×2n＋1＝4n＋1(n∈N
)．
10．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N
)．
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内．
【解】　(1)an＝＝＝.
令n＝10，得第10项a10＝.
(2)令＝，得9n＝300.
此方程无正整数解，故不是该数列中的项．
(3)证明：因为an＝＝＝1－，
又n∈N
，所以0<<1.
所以0所以数列中的各项都在区间(0,1)内．
[能力提升]
1．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N
都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5的值为______.
【导学号：91730024】
【解析】　由a1·a2·a3·…·an＝n2，
∴a1a2＝4，a1a2a3＝9，∴a3＝，
同理a5＝，
∴a3＋a5＝.
【答案】　
图2 1 3
2．如图2 1 3，五角星魅力无穷，一动点由A处按图中数字由小到大的顺序依次运动，当第一次运动结束回到A处时，数字为6，按此规律无限运动，则数字2
016应在________处．
【解析】　设a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，a5＝5，a6＝1分别对应点A，B，C，D，E，A，故动点运动的周期为5，
∵a2
016＝a2
015＋1＝a5×403＋1＝a1＝1，故应在A处．
【答案】　A
3．已知数列{an}满足am·n＝am·an(m，n∈N
)，且a2＝3，则a8＝________.
【解析】　由am·n＝am·an，得a4＝a2·2＝a2·a2＝9，
a8＝a2·4＝a2·a4＝3×9＝27.
【答案】　27
4．设函数f(x)＝log2x－logx2(0)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)判断数列{an}的单调性．
【解】　(1)由f(x)＝log2x－logx2，
可得f(2an)＝an－＝2n，
所以a－2nan－1＝0，解得an＝n±.
因为0故an＝n－.
(2)法一：(作商比较)
＝
＝<1.
因为an<0，所以an＋1>an.故数列{an}是递增数列．
法二：(作差比较)
an＋1－an＝n＋1－－n＋＝＋1－＝>0.
所以数列{an}是递增数列．3.3.3　简单的线性规划问题
1．了解线性规划的意义．
2．了解线性规划的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．(重点)
3．会利用线性规划求目标函数的最值．(难点)
[基础·初探]
教材整理　线性规划的有关概念
阅读教材P87～P89，完成下列问题．
1．可行域：约束条件所表示的平面区域．
2．最优解：在约束条件下，使目标函数取得最大值、最小值的解．
3．求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．
1．若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值和最小值分别为________．
【解析】　可行域为直角三角形ABC(如图)，
由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，由图象可知，
当直线y＝－2x＋z过点B(2,0)和点A(1,0)时，
z分别取到最大值4和最小值2.
【答案】　4,2
2．在约束条件下，目标函数z＝10x＋y的最优解是________．
【解析】　作可行域如图，平移直线y＝－10x可知，z＝10x＋y的最优解是(1,0)，(0，－1)．
【答案】　(1,0)，(0，－1)
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问2：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问3：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
[小组合作型]
求线性目标函数的最值
　已知关于x，y的二元一次不等式组
(1)求函数u＝3x－y的最大值和最小值；
(2)求函数z＝x＋2y的最大值和最小值．
【精彩点拨】　作出可行域―→平移目标函数―→求最值
【自主解答】　(1)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图(1)所示．
(1)
由u＝3x－y，得y＝3x－u，得到斜率为3，在y轴上的截距为－u，随u变化的一族平行线，由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距－u最大，即u最小．
解方程组得C(－2,3)，
∴umin＝3×(－2)－3＝－9.
当直线经过可行域上的B点时，截距－u最小，即u最大，
解方程组得B(2,1)，
∴umax＝3×2－1＝5.
∴u＝3x－y的最大值是5，最小值是－9.
(2)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图(2)所示．
(2)
由z＝x＋2y，得y＝－x＋z，得到斜率为－，在y轴上的截距为z，随z变化的一族平行线．
由上图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距z最小，即z最小，解方程组
得A(－2，－3)，
∴zmin＝－2＋2×(－3)＝－8.
当直线与直线x＋2y＝4重合时，截距z最大，即z最大，∴zmax＝x＋2y＝4，
∴z＝x＋2y的最大值是4，最小值是－8.
求线性目标函数的最大(小)值的两种基本题型：
(1)目标函数z＝Ax＋By＋C，当B>0时，z的值随直线在y轴上截距的增大而增大．
(2)目标函数z＝Ax＋By＋C，当B<0时，z的值随直线在y轴上截距的增大而减小．
提醒：将目标函数所表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．
[再练一题]
1．(2015·福建高考改编)若变量x，y满足约束条件则z＝2x－y的最小值等于________．
【解析】　作可行域如图，
由图可知，当直线z＝2x－y过点A时，z值最小．
由
得点A，
zmin＝2×(－1)－＝－.
【答案】　－
线性规划的实际应用
　某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，求该企业在一个生产周期内可获得的最大利润．
【精彩点拨】　根据题目设出未知数，列出线性约束条件．设出目标函数，画出可行域，利用平移法求目标函数的最大值．
【自主解答】　设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系
A原料
B原料
甲产品x吨
3x
2x
乙产品y吨
y
3y
则有
目标函数z＝5x＋3y，作出可行域如图所示．
把z＝5x＋3y变形为y＝－x＋得到斜率为－，在y轴上的截距为，随z变化的一族平行直线，由图可以看出，当直线y＝－x＋经过可行域上的A点时，截距最大，即z最大．
解方程组得A的坐标为x＝3，y＝4，
∴zmax＝5×3＋3×4＝27.
故可获得最大利润为27万元．
解答线性规划应用题的一般步骤：
(1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺；
(2)转化——设元．写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题；
(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题；
(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．
[再练一题]
2．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元．那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
【解】　设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z＝2.5x＋4y，且x，y满足
即
让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移．
由此可知z＝2.5x＋4y在B(4,3)处取得最小值．
因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．
[探究共研型]
求非线性目标函数的最值
探究1　设P(x，y)是可行域内的任意一点，则目标函数z＝的几何意义是什么？z＝呢？
【提示】　z＝＝表示可行域内的点(x，y)与点(－b，－a)连线的斜率，z＝＝表示可行域内的点(0,0)与点(x，y)连线的斜率．
探究2　设P(x，y)是可行域内的任意一点，则目标函数z＝(x－a)2＋(y－b)2的几何意义是什么？z＝呢？
【提示】　z＝(x－a)2＋(y－b)2表示可行域内的点(x，y)与(a，b)间的距离的平方的最值，z＝表示点(x，y)与原点(0,0)间的距离．
　已知实数x，y满足不等式
(1)求ω＝的取值范围；
(2)求ω＝的取值范围．
【精彩点拨】　(1)ω＝表示的是可行域内的点与(－1,1)点连线的斜率．
(2)ω＝表示的是可行域内的点与(2,2)点的距离．
【自主解答】　
(1)先作出可行域(如图)，目标函数表示的是可行域中P(x，y)与M(－1,1)连线的斜率，由图形易求得kMA＝－.
当P在可行域中很远很远的地方时，kMP有一种与直线x－y＝0的斜率1相等的趋势，但是永远也取不到1，因此ω＝的取值范围为.
(2)ω＝表示的是可行域中的点到(2,2)的距离，而(2,2)又在可行域中，且恰为直线x－y＝0与2x－y－2＝0的交点，因此ωmin＝0，无最大值．
故ω＝的取值范围是
[0，＋∞)．
非线性目标函数最值问题的求解方法
1．非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．
2．常见代数式的几何意义主要有：
(1)表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；
表示点(x，y)与点(a，b)的距离．
(2)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．
这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．
[再练一题]
3．已知求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
(2)z＝的取值范围.
【导学号：91730063】
【解】　(1)作出可行域如图所示，A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．
z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0,5)的距离的平方，过M作AC的垂线，易知垂足在AC上，
故MN＝＝＝，
∴MN2＝2＝，
∴z的最小值为.
(2)z＝2·表示可行域内点(x，y)与定点Q连线斜率的2倍，
∵kQA＝，kQB＝，
∴z的取值范围是.
[构建·体系]
1．图3 3 7中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数z＝6x＋8y，取得最大值的点的坐标是________．
图3 3 7
【解析】　由z＝6x＋8y，变形为y＝－x＋，得到斜率为－，在y轴上截距为，随z变化的一族平行直线，由题图可知，过(0,5)点时，
z＝6x＋8y取最大值．
【答案】　(0,5)
2．(2016·山东高考)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是________．
【解析】　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x2＋y2表示区域内点到原点距离的平方，由得A(3，－1)，由图易得(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.
【答案】　10
3．若变量x，y满足约束条件且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是________．
【解析】　画出可行域，如图所示．由图可知，当目标函数过A点时有最大值；过B点时有最小值．联立得方程组 故A(4,4)；对x＋y＝8，令y＝0，则x＝8，故B(8,0)，所以a＝5×4－4＝16，b＝5×0－8＝－8，则a－b＝16－(－8)＝24.
【答案】　24
4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为________．
(1)甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱；
(2)甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱；
(3)甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱；
(4)甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱．
【解析】　设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，
由题意可知
甲、乙两车间每天总获利为z＝280x＋200y.
画出可行域如图所示．
点M(15,55)为直线x＋y＝70和直线10x＋6y＝480的交点，由图象知在点M(15,55)处z取得最大值．
【答案】　(2)
5．已知x，y满足条件求：
(1)4x－3y的最大值和最小值；
(2)x2＋y2的最大值和最小值．
【解】　(1)不等式组
表示的公共区域如图阴影所示：
其中A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)，
设z＝4x－3y.直线4x－3y＝0经过原点(0,0)．
作一族与4x－3y＝0平行的直线l：4x－3y＝t.
则当l过C点时，t值最小；当l过B点时，t值最大．
∴z最大值＝4×(－1)－3×(－6)＝14，
z最小值＝4×(－3)－3×2＝－18.
故4x－3y的最大值为14，最小值为－18.
(2)设u＝x2＋y2，则为点(x，y)到原点(0,0)的距离．结合不等式组所表示的区域，不难知道：点B到原点的距离最大；而当(x，y)在原点时，距离为0.
∴u最大值＝(－1)2＋(－6)2＝37，
u最小值＝0，
x2＋y2的最大值为37，最小值为0.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
学业分层测评(十八)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．(2015·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为________．
【解析】　画出可行域(如图所示)．
∵z＝3x＋y，
∴y＝－3x＋z.
∴直线y＝－3x＋z在y轴上截距最大时，即直线过点B时，z取得最大值．
由解得B(1,1)，
∴zmax＝3×1＋1＝4.
【答案】　4
2．若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为________．
【解析】　画出可行域，如图所示，
由解得A(－2,2)，
设z＝2x－y，
把z＝2x－y变形为y＝2x－z，
则直线经过点A时z取得最小值，
所以zmin＝2×(－2)－2＝－6.
【答案】　－6
3．给出平面区域如图3 3 8所示，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为________．
图3 3 8
【解析】　由于直线y＝－ax＋z的斜率－a<0，因此，要使z＝ax＋y取最大值的最优解有无穷多个，这些解必在线段AC上．
∴－a＝－，即a＝.
【答案】　
4．若实数x，y满足则的取值范围是________.
【导学号：91730064】
【解析】　可看作可行域中的点与原点构成直线的斜率，结合图形可解，≥kOA＝.
【答案】　
5．某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1
600元/辆和2
400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为________．
【解析】　
设租A型车x辆，B型车y辆，租金为z，则
画出可行域(图中阴影区域中的整数点)，则目标函数z＝1
600x＋2
400y在点N(5,12)处取得最小值36
800.
【答案】　36
800
6．设D为不等式组所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．
【解析】　作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B(1,0)到直线2x－y＝0的距离最小，d＝＝<1，
故最小距离为.
【答案】　
7．若实数x，y满足则z＝3x＋2y的最小值是________．
【解析】　由已知不等式组作可行域，如图阴影部分所示，
令x＋2y＝k，
则y＝－x＋，
问题由求k的最小值转化为求直线y＝－x＋的纵截距的最小值．
显然当直线y＝－x＋过原点O时，截距最小，此时kmin＝0，z＝3x＋2y的最小值为1.
【答案】　1
8．设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________.
【解析】　画出可行域如图．
其中A(2,3)，B(2,0)，C(4,4)．
当k＝0时，显然不符合题意；
当k>0时，最大值在点C处取得，此时12＝4k＋4，即k＝2；
当k<0时，最大值在点A处或C处取得，此时12＝2k＋3或12＝4k＋4，即k＝>0(舍)或k＝2>0(舍)，故k＝2.
【答案】　2
二、解答题
9．已知实数x，y满足约束条件(a∈R)，目标函数z＝x＋3y只有当时取得最大值，求a的取值范围．
【解】　直线x－ay－1＝0过定点(1,0)，画出区域让直线x－ay－1＝0绕着(1,0)旋转得到不等式所表示的平面区域．平移直线x＋3y＝0，观察图象知必须使直线x－ay－1＝0的斜率>0才满足要求，故a>0.
10．某公司计划2015年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
【解】　设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，
由题意得
即
目标函数为z＝3
000x＋2
000y.作出可行域如图所示：
作直线l：3
000x＋2
000y＝0，
即3x＋2y＝0.
平移直线l，由图可知当l过点M时，目标函数z取得最大值．
由得M(100,200)．
∴zmax＝3
000×100＋2
000×200＝700
000(元)．
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
[能力提升]
1．已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a等于________．
【解析】　由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC内部及边界部分，由目标函数z＝2x＋y的几何意义为直线l：y＝－2x＋z在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点A(1，－2a)时，目标函数z＝2x＋y的最小值为1，则2－2a＝1，a＝.
【答案】　
2．(2014·浙江高考)当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】　作可行域如图所示，
设z＝ax＋y，若a≤0，平移可知不成立，故a>0，解得B(2,1)，解得A(1,0)，由a×1＋0＝1得a＝1，由a×2＋1＝4得a＝，
∴a∈.
【答案】　
3．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为________．
【解析】　由线性约束条件画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z＝·＝x＋y，将其化为y＝－x＋z，结合图形可知，目标函数的图象过点(，2)时，
z最大，将点(，2)代入z＝x＋y得z的最大值为4.
【答案】　4
4．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．
(1)若＋＋＝0，求||；
(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
【解】　(1)法一　∵＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)，
∴解得
即＝(2,2)，故||＝2.
法二　∵＋＋＝0，
则(－)＋(－)＋(－)＝0，
∴＝(＋＋)＝(2,2)，
∴||＝2.
(2)∵＝m＋n，
∴(x，y)＝(m＋2n,2m＋n)，
∴
两式相减得，m－n＝y－x，
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.1.2　余弦定理
第1课时　余弦定理(1)
1．掌握余弦定理的两种形式及证明余弦定理的向量方法．(重点)
2．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　余弦定理
阅读教材P13“思考”以上部分，完成下列问题．
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
即a2＝b2＋c2－2bccos_A，
b2＝c2＋a2－2cacos_B，
c2＝a2＋b2－2abcos_C.
1．在△ABC中，若b＝1，c＝，A＝，则a＝________.　
【解析】　a＝＝1.
【答案】　1
2．在△ABC中，若a＝5，c＝4，cos
A＝，则b＝________.　
【解析】　由余弦定理可知
25＝b2＋16－2×4bcos
A，
即b2－b－9＝0，
解得b＝6.
【答案】　6
教材整理2　余弦定理的变形
阅读教材P13“思考”以下内容～P14，完成下列问题．
1．余弦定理的变形
cos
A＝，
cos
B＝，
cos
C＝.
2．余弦定理与勾股定理的关系
在△ABC中，c2＝a2＋b2 C为直角；c2>a2＋b2 C为钝角；c21．在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，则B＝________.
【解析】　cos
B＝＝＝，
∴B＝60°.
【答案】　60°
2．在△ABC中，若b2＋c2－a2<0，则△ABC必为________三角形.
【导学号：91730008】
【解析】　∵cos
A＝<0，
∴A∈(90°，180°)．∴△ABC必为钝角三角形．
【答案】　钝角
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问2：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问3：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
[小组合作型]
已知两边及一角解三角形
　在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，解此三角形．
【精彩点拨】　法一：直接利用余弦定理求边、求角；法二：先利用正弦定理求角，再利用余弦定理求边．
【自主解答】　法一：由余弦定理知
b2＝a2＋c2－2accos
B，
∴2＝3＋c2－2·c，
即c2－c＋1＝0，解得c＝或c＝.
当c＝时，由余弦定理得
cos
A＝＝＝.
∵0°当c＝时，由余弦定理得cos
A＝＝＝－.
∵0°故c＝，A＝60°，C＝75°或c＝，A＝120°，C＝15°.
法二：由正弦定理＝，得
sin
A＝＝·＝.
又∵a>b，∴A>B，∴A＝60°或120°.
当A＝60°时，得C＝75°.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos
C
＝3＋2－2××＝2＋，
∴c＝＝.
或用正弦定理求边c，由＝得c＝＝＝＝.
当A＝120°时，得C＝15°，同理可求c＝，
故A＝60°，C＝75°，c＝，
或A＝120°，C＝15°，c＝.
已知两边及一角，求第三边和其他角，存在两种情况：
(1)已知两边及其中一边的对角，可利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用方程的思想求得第三边，再求出其他角，可免去判断取舍的麻烦．
(2)已知两边及其夹角，直接利用余弦定理求出第三边，然后利用正弦定理求出另外两角．
[再练一题]
1．在△ABC中，若b＝3，c＝3，B＝30°，解此三角形.
【导学号：91730009】
【解】　法一　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos
B，
得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos
30°，
∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.
当a＝3时，A＝30°，
∴C＝120°；
当a＝6时，由正弦定理得
sin
A＝＝＝1，
∴A＝90°，
∴C＝60°.
法二　由bcsin
30°＝3×＝知本题有两解．
由正弦定理得sin
C＝＝＝，
∴C＝60°或120°.
当C＝60°时，A＝90°，
由勾股定理a＝＝＝6；
当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，
∴a＝3.
综上所述，当a＝3时，A＝30°，C＝120°；当a＝6时，A＝90°，C＝60°.
已知三边或三边关系解三角形
　已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求三角形的各角大小．
【精彩点拨】　设a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k，代入cos
A，cos
B，cos
C求解．
【自主解答】　设a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k>0)，
由余弦定理得cos
A＝＝＝，∴A＝45°.
同理可得cos
B＝，B＝60°.
∴C＝180°－A－B＝75°.
1．已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．
2．若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边解三角形．
[再练一题]
2．已知△ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝，求△ABC的最大内角．
【解】　∵c>a，c>b，∴角C最大．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos
C，
即37＝9＋16－24cos
C，∴cos
C＝－.
∵0°∴△ABC的最大内角为120°.
[探究共研型]
用余弦定理判定三角形的形状
探究1　若△ABC是锐角三角形，则其边长a，b，c满足什么条件？
【提示】　若△ABC是锐角三角形，则
即
探究2　若a2＋b2【提示】　若a2＋b2　若钝角△ABC的三边长分别为a，a＋1，a＋2，求实数a的取值范围．
【精彩点拨】　首先a，a＋1，a＋2需满足构成三角形的条件，其次要满足a＋2对应的角为钝角．
【自主解答】　由题意知，a＋2是三角形的最大边，
故
即
解得1用余弦定理判断三角形的形状
1．在△ABC中，若a22．在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90°；反之，若A＝90°，则a2＝b2＋c2.
3．在△ABC中，若a2>b2＋c2，则90°b2＋c2.
提醒：①判断三角形形状时，要灵活选用公式，做到事半功倍．②注意题目中的隐含条件，防止增解或漏解．
[再练一题]
3．若2,3，x是锐角三角形的三边，求实数x的取值范围．
【解】　由题意可知
即
∴[构建·体系]
1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝________.
【解析】　由余弦定理得cos
∠BAC＝＝＝－.∵0<∠BAC<π，∴∠BAC＝π.
【答案】　π
2．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝________.　
【解析】　∵c2＝1＋4－2×1×2cos
60°
＝1＋4－2
＝3，
∴c＝.
【答案】　
3．若△ABC的三边长为2,3,4，则该三角形是______三角形．(填“锐角”“直角”或“钝角”)
【解析】　∵22＋32－42＝4＋9－16<0，
∴该三角形是钝角三角形．
【答案】　钝角
4．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝______.
【导学号：91730010】
【答案】　1
5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＋c2＝a2＋bc，求：
(1)A的大小；
(2)2sin
Bcos
C－sin(B－C)的值．
【解】　(1)由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos
A，
故cos
A＝＝＝，所以A＝.
(2)2sin
Bcos
C－sin(B－C)
＝2sin
Bcos
C－(sin
Bcos
C－cos
Bsin
C)
＝sin
BcosC＋cos
Bsin
C
＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin
A＝.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
学业分层测评(三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为________．
【解析】　∵c∵cos
C＝
＝＝，
又C∈(0°，180°)．
∴C＝30°.
【答案】　30°
2．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos
B＝________.
【解析】　∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，∴cos
B＝＝＝.
【答案】　
3．三角形的两边长分别为3
cm,5
cm，其夹角的余弦是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是________cm2.
【解析】　∵5x2－7x－6＝0的两根为－，2，
设已知两边夹角为C，则cos
C＝－(∵cos
C＝2>1，舍去)．
∴sin
C＝＝，∴S△ABC＝×3×5×＝6
cm2.
【答案】　6
4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________．
【解析】　设顶角为C，∵l＝5c，∴a＝b＝2c，
由余弦定理，得cos
C＝
＝＝.
【答案】　
5．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是________．
【解析】　由题可知，边长为7的边所对角为中间角，设为θ，则
cos
θ＝＝，
∴θ＝60°，∴最大角＋最小角＝120°.
【答案】　120°
6．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos
B＝－，则b＝________.
【解析】　由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accos
B，
∴b2＝22＋c2－2ac×，∴b2＝4＋(7－b)2＋(7－b)，
∴b＝4.
【答案】　4
7．在△ABC中，a＝1，b＝2，cos
C＝，则c＝______，sin
A＝________.
【解析】　在△ABC中，由余弦定理得cos
C＝，把a＝1，b＝2，cos
C＝代入可得c＝2.
因为cos
C＝，所以sin
C＝＝.
再由正弦定理得＝，解得sin
A＝.
【答案】　2　
8．(2016·南京高二检测)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin
A＝5sin
B，则角C＝________.
【导学号：91730011】
【解析】　∵3sin
A＝5sin
B，
∴3a＝5b，
又b＋c＝2a，∴3c＝7b，
∴a∶b∶c＝5∶3∶7.
设a＝5x，b＝3x，c＝7x，则
cos
C＝
＝－.
又C∈(0，π)，
∴C＝.
【答案】　
二、解答题
9．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.
(1)求角C的大小；
(2)求AB的长．
【解】　(1)cos
C＝cos[π－(A＋B)]
＝－cos(A＋B)＝－，
又∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，
∴
∴AB2＝a2＋b2－2abcos
120°
＝(a＋b)2－ab＝10，
∴AB＝.
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知c＝2，acos
B－bcos
A＝.
(1)求bcos
A的值；
(2)若a＝4，求△ABC的面积．
【解】　(1)∵acos
B－bcos
A＝，根据余弦定理得，
a·－b·＝，
∴2a2－2b2＝7c，又∵c＝2，∴a2－b2＝7，
∴bcos
A＝＝－.
(2)由acos
B－bcos
A＝及bcos
A＝－，得acos
B＝.
又∵a＝4，∴cos
B＝，
∴sin
B＝＝，
∴S△ABC＝acsin
B＝.
[能力提升]
1．(2016·无锡高二检测)在△ABC中，若(a2＋c2－b2)tan
B＝ac，则角B的值为________．
【解析】　由(a2＋c2－b2)tan
B＝ac得＝×，即cos
B＝×，
∴sin
B＝，又∵B为△ABC的内角，
∴B为或.
【答案】　或
2．在△ABC中，AB＝，BC＝1，cos
C＝，则·＝________.
【解析】　在
△ABC中，由余弦定理得
|A|2＝||2＋||2－2||·||cos
C，
即2＝||2＋1－2||×，
∴||2－||－1＝0，∴||＝2，
∴·＝||||cos(180°－C)
＝－||||cos
C
＝－1×2×＝－.
【答案】　－
3．若△ABC是钝角三角形，a＝3，b＝4，c＝x，则x的取值范围是________．
【解析】　∵b>a，∴A不可能为钝角．
当B为钝角时，
即
解得1当C为钝角时，
即解得5综上，x的取值范围是(1，)∪(5,7)．
【答案】　(1，)∪(5,7)
4．已知四边形ABCD中，AB＝2，BC＝CD＝4，AD＝6，且D＝60°，试求四边形ABCD的面积．
【解】　连结AC，在△ACD中，由AD＝6，CD＝4，D＝60°，可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos
D＝62＋42－2×6×4cos
60°＝28，
在△ABC中，由AB＝2，BC＝4，AC2＝28，
可得cos
B＝＝
＝－.又0°故B＝120°.
所以四边形ABCD的面积
S＝S△ACD＋S△ABC
＝AD·CDsin
D＋AB·BCsin
B
＝×6×4sin
60°＋×2×4sin
120°
＝8.章末分层突破
[自我校对]
①分式不等式的解法
②选点法
③一正、二定、三相等
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
不等式的解法
1.一元二次不等式的求解流程
(1)一化：化二次项系数为正数．
(2)二判：判断对应方程的根．
(3)三求：求对应方程的根．
(4)四画：画出对应函数的图象．
(5)五解集：根据图象写出不等式的解集．
2．含参数的一元二次不等式的分类和讨论步骤
(1)对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零的讨论，特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式来求解．
(2)对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况加以讨论．
(3)若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根x1，x2表示的形如a(x－x1)(x－x2)的形成时，往往需要对其根分x1>x2，x1＝x2，x1　解不等式：>1(a≠1)．
【精彩点拨】　先化分式不等式为整式不等式，再就a的取值讨论不等式的解法．
【规范解答】　原不等式可化为－1>0，
即(a－1)(x－2)>0，(
)
当a>1时，(
)即为(x－2)>0，
而－2＝－－1<0.
∴<2，此时，x>2或x<.
当a<1时，(
)即为(x－2)<0，
而2－＝.
若02，此时2若a＝0，则(x－2)2<0，此时无解；
若a<0，则<2，此时综上所述：
当a>1时，不等式的解集为；
当0当a＝0时，不等式的解集为 ；
当a<0时，不等式的解集为.
[再练一题]
1．解不等式x2－2ax＋2≤0.
【解】　对于方程x2－2ax＋2＝0，因为Δ＝4a2－8，所以当Δ<0，即－当Δ＝0，即a＝±时，x2－2ax＋2＝0有两个相等的实根，
当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}，
当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}；
当Δ>0，即a>或a<－时，x2－2ax＋2＝0有两个不相等的实根，分别为x1＝a－，x2＝a＋，且x1综上，当a>或a<－时，解集为{x|a－≤x≤a＋}；当a＝时，解集为{x|x＝}；当a＝－时，解集为{x|x＝－}；当－简单的线性规划问题
1.线性规划在实际中的类型
(1)给定一定数量的人力、物力资源，如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；
(2)给定一项任务，怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少．
2．解答线性规划应用题的步骤
(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数．
(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域．
(3)移：在线性目标函数所表示的一族平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．
(4)求：通过解方程组求出最优解．
(5)答：作出答案．
　某厂用甲、乙两种原料生产A，B两种产品，制造1
t
A,1
t
B产品需要的各种原料数，可得到的利润以及工厂现有各种原料数如下表：
(1)在现有原料条件下，生产A，B两种产品各多少时，才能使利润最大？
(2)每吨B产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？
【精彩点拨】　先用二元一次不等式组表示约束条件，并画出可行域，再利用图解法求最优解．
【规范解答】　
(1)生产A，B两种产品分别为x
t，y
t，则利润z＝5x＋3y，x，y满足作出可行域如图：当直线5x＋3y＝z过点B时，z取最大值37，即生产A产品
t，B产品
t时，可得最大利润．
(2)设每吨B产品利润为m万元，则目标函数是z＝5x＋my，直线斜率k＝－，
又kAB＝－2，kCB＝－，要使最优解仍为B点，
则－2≤－≤－，解得≤m≤15，
则B产品的利润在万元/t与15万元/t之间时，原最优解仍为生产A产品
t，B产品
t，若B产品的利润超过15万元/t，则最优解为C(0,6)，即只生产B产品6
t，若B产品利润低于万元/t，则最优解为A(7,0)，即只生产A产品7
t.
[再练一题]
2．实数x，y满足不等式组则W＝的取值范围是________.
【导学号：91730074】
【解析】　连线的斜率问题．画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数W＝表示阴影部分的点与定点A(－1,1)的连线的斜率，由图可知，点(－1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故－≤W<1.
【答案】　
基本不等式及其应用
基本不等式通常用来求最值问题：一般用a＋b≥2(a>0，b>0)解“定积求和，和最小”问题，用ab≤2解“定和求积，积最大”问题．一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量等方法，构造定值成立的条件，和对等号能否成立的验证．
若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用基本不等式解决实际问题．
　设函数f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；
(2)当0【精彩点拨】　(1)将原函数变形，利用基本不等式求解．
(2)利用函数的单调性求解．
【规范解答】　(1)把a＝2代入f(x)＝x＋，
得f(x)＝x＋＝(x＋1)＋－1.
∵x∈[0，＋∞)，∴x＋1>0，>0，
∴x＋1＋≥2，
当且仅当x＋1＝，即x＝－1时，f(x)取最小值．
此时，f(x)min＝2－1.
(2)当0则当且仅当x＋1＝时取等号，
此时x＝－1<0(不合题意)，
因此，上式等号取不到．
设x1>x2≥0，
则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2).
∵x1>x2≥0，∴x1－x2>0，x1＋1>1，x2＋1≥1，
∴(x1＋1)(x2＋1)>1，而0∴<1，∴f(x1)－f(x2)>0，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)min＝f(0)＝a.
[再练一题]
3．东海水晶制品厂去年的年产量10万件，每件水晶产品的销售价为100元，从今年起，工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本，预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本投入n关系g(n)＝，若水晶产品销售价格不变，第n次投入后的平均利润为f(n)万元．
(1)求f(n)；
(2)从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？
【解】　(1)第n次投入后，产量10＋n万件，售价100元，固定成本元，科技成本投入100n万元，
∴f(n)＝(10＋n)－100n(n∈N
)．
(2)由(1)知f(n)＝(10＋n)－100n
＝1
000－80≤520(万元)，
当＝，即n＝8时，利润最高，最高利润520万元．
答：从今年算起第8年利润最高为520万元.
等价转化思想
转化与化归，就是转化已知和所求，对于恒成立问题，一般是探求字母参数的取值范围，经常采用分离参数的方法，转化为字母参数与函数的最值关系问题．
对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种：
1．变更主元法
根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元．
2．分离参数法
若f(a)若f(a)>g(x)恒成立，则f(a)>g(x)max.
3．数形结合法
利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．
　若x2－2ax＋2≥a在x∈[－1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．
【精彩点拨】　可联系二次函数，利用对称轴与所给区间的关系讨论a，也可结合二次函数的图象构造a的不等式组．
【规范解答】　法一：设f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.
(1)当a∈(－∞，－1)时，结合图象知，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.
要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得a≥－3.
又a<－1，∴－3≤a<－1.
(2)当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，解得－2≤a≤1.
又a≥－1，∴－1≤a≤1.
综上所述，所求a的取值范围为[－3,1]．
法二：由已知得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2－2ax＋2－a，
即Δ＝(－2a)2－4(2－a)≤0或
解得－3≤a≤1.
[再练一题]
4．若关于x的不等式<2对任意的x恒成立，求实数m的取值范围．
【解】　法一：∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，
∴<2等价于2x2－8x＋6－m>0，
要使2x2－8x＋6－m>0恒成立，则只需要Δ<0，
即64－8(6－m)<0，∴m<－2，
∴m的取值范围是m<－2.
法二：结合法一，不等式2x2－8x＋6－m>0对任意的x恒成立，则只需m<2x2－8x＋6对任意的x恒成立，
∵2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，
∴2x2－8x＋6在x∈R上的最小值为－2，∴m<－2.
1．(2015·江苏高考)不等式2x2－x＜4的解集为______．
【解析】　∵2x2－x＜4，∴2x2－x＜22，
∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，∴－1＜x＜2.
【答案】　{x|－1＜x＜2}
2．(2016·全国卷Ⅲ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
【解析】　不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．
由得A.
当直线z＝x＋y过点A时，zmax＝1＋＝.
【答案】　
3．(2015·山东高考)定义运算“ ”：x y＝(x，y∈R，xy≠0)．当x>0，y>0时，x y＋(2y) x的最小值为________．
【解析】　因为x?y＝，所以(2y)?x＝.又x>0.y>0，故x?y＋(2y)?x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时，等号成立．
【答案】　
4．(2016·浙江高考改编)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝________.
【解析】　作出可行域，如图所示．
由
得A′(2，－2)．
由
得B′(－1,1)．
由于直线x＋y＝0与直线x＋y－2＝0平行，所以可行域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影AB的长度|AB|＝|A′B′|＝＝3.
【答案】　3
5．(2016·江苏高考)已知实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是________．
【解析】　根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x，y)为阴影区域内的动点．d＝可以看做坐标原点O与可行域内的点(x，y)之间的距离．数形结合，知d的最大值是OA的长，d的最小值是点O到直线2x＋y－2＝0的距离．由可得A(2,3)，
所以dmax＝＝，dmin＝＝.所以d2的最小值为，最大值为13.所以x2＋y2的取值范围是.
【答案】　
章末综合测评(三)
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)
1．若不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，那么a＋b＝________.
【解析】　因为x2－2x－3<0的解集为A＝{x|－1【答案】　－3
2．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5
kg，乙材料1
kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5
kg，乙材料0.3
kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2
100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150
kg，乙材料90
kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
【解析】　设生产产品A
x件，产品B
y件，则
目标函数z＝2
100x＋900y.
作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．
当直线z＝2
100x＋900y经过点(60,100)时，z取得最大值，zmax＝2
100×60＋900×100＝216
000(元)．
【答案】　216
000
3．利用基本不等式求最值，下列运用正确的是________．
①y＝|x|2＋≥2＝4≥0；
②y＝sin
x＋≥2＝4(x为锐角)；
③已知ab≠0，＋≥2＝2；
④y＝3x＋≥2＝4.
【解析】　①错，右侧不为定值；②错，sin
x＝，则sin
x＝2>1；③错，与为负时不成立．
【答案】　④
4．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b.这两年的平均增长率为x，则x与的大小关系为________.
【导学号：91730075】
【解析】　由题意可知A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)≤A2，∴x≤.
【答案】　x≤
5．(2016·南京高二检测)若0≤x≤1,0≤y≤2，且2y－x≥1，则z＝2y－2x＋4的最小值为________．
【解析】　
由已知作出可行域(如图)，
由z＝2y－2x＋4，得y＝x－2＋，
当x＝1，y＝1时，zmin＝4.
【答案】　4
6．设M＝a＋(2【解析】　M＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，
此时a－2＝1，a＝3，
而24，
N＝log≤log＝4，
∴M>N.
【答案】　M>N
7．在如图1所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值是________．
图1
【解析】　若最优解有无数个，则y＝－x＋与其中一条边平行，而三边的斜率分别为，－1,0，与－对照可知a＝－3或1，又因z＝x＋ay取得最小值，则a＝－3.
【答案】　－3
8．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2
m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是________．
(1)6.5
m；(2)6.8
m；(3)7
m；(4)7.2
m.
【解析】　设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故答案为(3)．
【答案】　(3)
9．方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是________．
【解析】　令f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m，
要使f(x)＝0的两根都大于2，
则
解得
故答案为(－5，－4]．
【答案】　(－5，－4]
10．已知等比数列{an}各项均为正数，公比q≠1，设P＝，Q＝，则P与Q的大小关系是________．　
【解析】　∵{an}是等比数列，
∴a2·a9＝a4·a7，
∴≥＝.
又q≠1，∴a2≠a9，
∴>，
∴P>Q.
【答案】　P>Q
11．已知函数f(x)＝若f(f(1))>3a2，则a的取值范围是________．
【解析】　f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a，若f(f(1))>3a2，则9＋6a>3a2，即a2－2a－3<0，解得－1【答案】　(－1,3)
12．已知x，y，z∈(0，＋∞)，且满足x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．
【解析】　由题意知y＝，所以＝＝＋≥＋＝＋＝3，
当且仅当x2＝9z2时等号成立，
所以的最小值为3.
【答案】　3
13．(2016·苏州高二检测)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么不等式f(x＋2)<5的解集是________.
【导学号：91730076】
【解析】　因为f(x)为偶函数，所以f(|x＋2|)＝f(x＋2)，
则f(x＋2)<5可化为f(|x＋2|)<5，
即|x＋2|2－4|x＋2|<5，
(|x＋2|＋1)(|x＋2|－5)<0，
所以|x＋2|<5，解得－7【答案】　(－7,3)
14．设m>1，在约束条件下，目标函数z＝x＋5y的最大值为4，则m的值为________．
【解析】　不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，把目标函数化为y＝－x＋，显然当y＝－x＋过点A时取到最大值．
此时z＝4，即y＝－x＋.
由得A.
把A代入y＝mx得，
m＝，∴m＝1.
【答案】　1
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)解关于x的不等式：<0(a∈R)．
【解】　原不等式等价于(x－a)(x－a2)<0.
(1)当a＝0时，原不等式为x2<0，
∴x∈ .
(2)当a＝1时，原不等式为(x－1)2<0，
∴x∈ .
(3)当0a2，
∴原不等式的解集为{x|a2(4)当a<0或a>1时，a2>a，
∴原不等式的解集为{x|a综上，当a＝0或a＝1时，不等式解集为 ；
当0当a<0或a>1时，不等式解集为{x|a16．(本小题满分14分)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．
(1)若不等式的解集是{x|x<－3或x>－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集是R，求k的取值范围．
【解】　(1)因为不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，所以－3，－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根且k<0.
由根与系数的关系得
解得k＝－.
(2)因为不等式的解集为R，
所以即
所以k<－.
即k的取值范围是.
17．(本小题满分14分)画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：
(1)指出x，y的取值范围；
(2)平面区域内有多少个整点？
(3)求z＝x－2y的最大值．
【解】　(1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集点，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x∈，y∈[－3,8]．
(2)由图形及不等式组知当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点．所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．
(3)平移直线y＝x－，所以当直线过点时z值最大．所以zmax＝3－2×(－3)＝9.
18．(本小题满分16分)(2016·江苏高考改编)在锐角三角形ABC中，若sin
A＝2sin
Bsin
C，求tan
Atan
Btan
C的最小值．
【解】　在锐角三角形ABC中，
∵sin
A＝2sin
Bsin
C，
∴sin(B＋C)＝2sin
Bsin
C，
∴sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C＝2sin
Bsin
C，等号两边同除以cos
Bcos
C，得tan
B＋tan
C＝2tan
Btan
C.
∴tan
A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝＝.①
∵A，B，C均为锐角，
∴tan
Btan
C－1>0，∴tan
Btan
C>1.
由①得tan
Btan
C＝.
又由tan
Btan
C>1得>1，∴tan
A>2.
∴tan
Atan
Btan
C＝
＝
＝(tan
A－2)＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当tan
A－2＝，即tan
A＝4时取得等号．
故tan
Atan
Btan
C的最小值为8.
19．(本小题满分16分)规定：max(a，b，c)与min(a，b，c)分别表示a，b，c中的最大数与最小数，若正系数二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，试证：
(1)max(a，b，c)≥f(1)；
(2)min(a，b，c)≤f(1)．
【证明】　由题意知a，b，c>0，f(1)＝a＋b＋c，Δ＝b2－4ac≥0.
(1)若b≥f(1)，结论显然成立；
下面证明当b记f(1)＝a＋b＋c＝d.，由b2－4ac≥0，可知ac≤d，所以a2＋d2≥a2＋ac＝a(a＋c)>ad，
即>0，解得aa>d.若ad，c>d.
因此，必有a>f(1)或b>f(1)或
c>f(1)，于是max(a，b，c)≥f(1)．
(2)若a≤f(1)，结论显然成立；
下面证明当a>f(1)时，结论也成立．
因为b＋c＝d－acd，
所以c＋整理为<0，
解得c因此，必有a≤f(1)或c20．(本小题满分16分)(2016·南京高二检测)某个集团公司下属的甲、乙两个企业在2016年1月的产值都为a万元，甲企业每个月的产值与前一个月相比增加的产值相等，乙企业每个月的产值与前一个月相比增加的百分数相等，到2017年1月两个企业的产值再次相等．
(1)试比较2016年7月甲、乙两个企业产值的大小，并说明理由．
(2)甲企业为了提高产能，决定投入3.2万元买台仪器，并且从2017年2月1日起投入使用．从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元，(n∈N
)，求前n天这台仪器的日平均耗资(含仪器的购置费)，并求日平均耗资最少时使用的天数？
【解】　(1)设从2016年1月到2017年1月甲企业每个月的产值分别为a1，a2，a3，…，a13，乙企业每个月的产值分别为b1，b2，…，b13，由题意{an}成等差数列，{bn}成等比数列，所以a7＝(a1＋a13)，b7＝，因为a1＝b1，a13＝b13，从而a7＝(a1＋a13)>＝＝b7，
所以到7月份甲企业的产值比乙企业的产值要大．
(2)设一共使用了n天，n天的平均耗资P(n)＝
＝
＝＋＋≥2＋＝(元)，
当且仅当＝时，取得最小值，此时n＝800，即日平均耗资最少时使用了800天．
模块综合测评
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)
1．在△ABC中，a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a＝2，A＝，B＝，则b等于________．
【解析】　由正弦定理得b＝＝＝.
【答案】　
2．已知等比数列{an}的公比q为正数，且a5·a7＝4a，a2＝1，则a1＝________.
【解析】　∵{an}成等比数列，∴a5·a7＝a，
∴a＝4a，
∴q2＝4，∴q＝±2.
又q>0，∴q＝2.
∴a1＝＝.
【答案】　
3．设x>0，y>0，下列不等式中等号不成立的是________．
①x＋y＋≥4；②(x＋y)≥4；
③≥4；④≥2.
【解析】　④中，＝＋.
因为≥2，故应用不等式时，等号不成立．
【答案】　④
4．等差数列{an}满足a＋a＋2a4a7＝9，则其前10项之和为________．
【解析】　由a＋a＋2a4a7＝9，可知a4＋a7＝±3.
∴S10＝＝＝±15.
【答案】　±15
5．已知点A(3，－1)，B(－1,2)在直线ax＋2y－1＝0的同侧，则实数a的取值范围为________．
【解析】　由题意可知，
(3a－3)(－a＋3)>0，
即(a－1)(a－3)<0，
∴1【答案】　(1,3)
6．已知2a＋1<0，关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是________．
【解析】　x2－4ax－5a2>0，即(x－5a)(x＋a)>0，
而方程(x－5a)(x＋a)＝0的根为x1＝－a，x2＝5a.
∵2a＋1<0，则a<－，∴－a>5a，∴原不等式的解集为{x|x<5a或x>－a}．
【答案】　{x|x<5a或x>－a}
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c，成等比数列，且c＝2a，则cos
B＝________.
【解析】　由已知可知b2＝ac.
又c＝2a，
∴cos
B＝＝＝＝.
【答案】　
8．(2016·南通高二检测)已知数列1，a1，a2,4等差数列，且实数列1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值为________.
【导学号：91730077】
【解析】　∵a1＋a2＝1＋4＝5，b＝1×4＝4，但b2＝1×q2>0，
∴b2＝2，故＝.
【答案】　
9．台风中心从A地以20
km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30
km内的地区为危险区，城市B在A的正东40
km处，B城市处于危险区内持续的时间为________小时．
【解析】　设t小时后，B市处于危险区内，则由余弦定理得(20t)2＋402－2×20t×40cos
45°≤302.化简得4t2－8t＋7≤0，∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.
从而|t1－t2|＝＝1.
【答案】　1
10．设x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为________．
【解析】　首先画出线性约束条件
的可行域(如图阴影部分)，是一个三角形，然后在可行域内平行移动目标函数z＝3x－y，当经过x＋2y＝4与x－y＝1的交点(2,1)时，目标函数取得最大值z＝3×2－1＝5.
【答案】　5
11．已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么数列的前n项和为________．　
【解析】　观察数列{an}可知，
an＝＋＋…＋＝＝，
∴＝＝4，
∴的前n项和为：
4＋4＋…＋4
＝4
＝4
＝.
【答案】　
12．(2016·镇江高二检测)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则＋的最小值为________.
【导学号：91730078】
【解析】　∵二次函数f(x)＝ax2－x＋c(x∈R)的值域[0，＋∞)，∴a>0，
且＝0，
∴ac＝，
∴c>0，
∴＋＝＋＋＋≥2＋2＝2＋8＝10，当且仅当a＝c时取等号．
【答案】　10
13．(2016·南京高二检测)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin
A－sin
B)＝(c－b)sin
C，则△ABC面积的最大值为________．
【解析】　∵＝＝＝2R，a＝2，又(2＋b)(sin
A－sin
B)＝(c－b)sin
C可化为(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c，
∴a2－b2＝c2－bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴＝＝＝cos
A，
∴A＝60°.
∵△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos
60°
＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(当且仅当b＝c时取得“＝”)，
∴S△ABC＝·bc·sin
A≤×4×＝.
【答案】　
14．设{an}是等比数列，公比q＝，Sn为{an}的前n项和．记Tn＝，n∈N
.设Tn0为数列{Tn}的最大项，则n0＝________.
【解析】　根据等比数列的通项公式
Sn＝，
故Tn＝
＝＝，
令qn＝()n＝t，则函数g(t)＝t＋，当t＝4时函数g(t)取得最小值，此时n＝4，而＝<0，故此时Tn最大，所以n0＝4.
【答案】　4
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acos
C＋asin
C－b－c＝0.
(1)求A；
(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.
【解】　(1)由acos
C＋asin
C－b－c＝0及正弦定理得
sin
Acos
C＋sin
Asin
C－sin
B－sin
C＝0.
因为B＝π－A－C，
所以sin
Asin
C－cos
Asin
C－sin
C＝0.
由于sin
C≠0，所以sin＝.
又0(2)△ABC的面积S＝bcsin
A＝，故bc＝4.
而a2＝b2＋c2－2bccos
A，故b2＋c2＝8.
解得b＝c＝2.
16．(本小题满分14分)已知数列{an}的前n项和Sn与通项an满足Sn＝－an.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设f(x)＝log3x，bn＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)，Tn＝＋＋…＋，求T2017.
【解】　(1)当n＝1时，a1＝.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，又Sn＝－an，∴an＝an－1，即数列{an}是首项为，公比为的等比数列，故an＝n.
(2)由已知得f(an)＝log3n＝－n，
∴bn＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)＝－1－2－3－…－n＝－，∴＝－2，∴Tn＝－2
＝－2.
∴T2
017＝－2＝－.
17．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16.
(1)求不等式g(x)<0的解集；
(2)若对一切x>2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．
【解】　(1)g(x)＝2x2－4x－16<0，
∴(2x＋4)(x－4)<0，∴－2∴不等式g(x)<0的解集为{x|－2(2)∵f(x)＝x2－2x－8，
当x>2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，
∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，
即x2－4x＋7≥m(x－1)，
∴对一切x>2，均有不等式≥m成立．
而＝(x－1)＋－2
≥2－2＝2(当x＝3时等号成立)．
∴实数m的取值范围是(－∞，2]．
18．(本小题满分16分)(2016·苏州高二检测)已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
【解】　(1)设等差数列{an}的公差为d，依题意，2,2＋d,2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，
化简得d2－4d＝0，
解得d＝0或d＝4.
当d＝0时，an＝2；
当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.
(2)当an＝2时，Sn＝2n.显然2n<60n＋800，
此时不存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立．
当an＝4n－2时，Sn＝＝2n2.
令2n2>60n＋800，
即n2－30n－400>0，
解得n>40或n<－10(舍去)，
此时存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值为41.
综上，当an＝2时，不存在满足题意的n；
当an＝4n－2时，存在满足题意的n，其最小值为41.
19．(本小题满分16分)设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为f(n)(n∈N
)．
(1)求f(1)，f(2)的值及f(n)的表达式；
(2)设bn＝2nf(n)，Sn为{bn}的前n项和，求Sn.
【解】　(1)f(1)＝3，f(2)＝6.
当x＝1时，y＝2n，可取格点2n个；
当x＝2时，y＝n，可取格点n个，
∴f(n)＝3n.
(2)由题意得：bn＝3n·2n，
Sn＝3·21＋6·22＋9·23＋…＋3(n－1)·2n－1＋3n·2n，
∴2Sn＝3·22＋6·23＋…＋3(n－1)·2n＋3n·2n＋1，
∴－Sn＝3·21＋3·22＋3·23＋…＋3·2n－3n·2n＋1
＝3(2＋22＋…＋2n)－3n·2n＋1
＝3·－3n·2n＋1
＝3(2n＋1－2)－3n·2n＋1，
∴－Sn＝(3－3n)2n＋1－6，
∴Sn＝6＋(3n－3)2n＋1.
20．(本小题满分16分)小王在年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为25－x万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．
(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)
【解】　(1)设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元，
则y＝25x－－50(0即y＝－x2＋20x－50(0由－x2＋20x－50>0，
解得10－5而2<10－5<3，
故从第3年开始运输累计收入超过总支出．
(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，
所以销售二手货车后，小王的年平均利润为
＝[y＋(25－x)]
＝(－x2＋19x－25)
＝19－，
而19－≤19－2＝9，
当且仅当x＝5时取得等号，
即小王应当在第5年底将大货车出售，才能使年平均利润最大．章末分层突破
[自我校对]
①2Rsin
A　②2Rsin
B　③2Rsin
C
④sin
A∶sin
B∶sin
C
⑤两角与任一边
⑥两边与其中一边的对角
⑦　⑧
⑨　⑩三边
两边与它们的夹角　 高度
距离　 角度　 三角形面积
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
　利用正、余弦定理解三角形
解三角形的类型及一般方法：
(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π，求C，由正弦定理求a，b.
(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．
(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意可能有多种解的情况．
(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.
　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a－b)cos
C＝ccos
B，△ABC的面积S＝10，c＝7.
(1)求角C；
(2)求a，b的值．
【精彩点拨】　由正弦定理及三角恒等变换求(1)；结合余弦定理求(2)．
【规范解答】　(1)∵(2a－b)cos
C＝ccos
B，
∴(2sin
A－sin
B)cos
C＝sin
Ccos
B，
2sin
Acos
C－sin
Bcos
C＝cos
Bsin
C，
即2sin
Acos
C＝sin(B＋C)，
∴2sin
Acos
C＝sin
A.
∵A∈(0，π)，∴sin
A≠0，∴cos
C＝，
∴C＝.
(2)由S＝absin
C＝10，C＝，
得ab＝40.①
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos
C，
即c2＝(a＋b)2－2ab，
∴72＝(a＋b)2－2×40×，
∴a＋b＝13.②
由①②得a＝8，b＝5或a＝5，b＝8.
[再练一题]
1．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin
Asin
B＋bcos2A＝a.
(1)求；
(2)若c2＝b2＋a2，求B.
【解】　(1)由正弦定理，得asin
B＝bsin
A，
又asin
Asin
B＋bcos2A＝a，
∴bsin2A＋bcos2A＝a，即b＝a，因此＝.
(2)由c2＝b2＋a2及余弦定理，得
cos
B＝＝，(
)
又由(1)知，b＝a，∴b2＝2a2，
因此c2＝(2＋)a2，c＝a＝a.
代入(
)式，得cos
B＝，
又0＜B＜π，所以B＝.
判断三角形的形状
判断三角形的形状，主要有两种方法：
方法一：将已知式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边之间的相应关系，从而判断三角形的形状．
方法二：将已知式所有的边和角转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角之间的关系，从而判断出三角形的形状，这时要注意使用“A＋B＋C＝π”这个结论．
在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取出公因式，以免漏解．
　已知△ABC中，sin
A＝，试判断△ABC的形状．
【精彩点拨】　若化A＝180°－(B＋C)，利用三角变换较为繁琐，因而可考虑利用正、余弦定理化为边的关系，利用三角恒等变形进行求解．
【规范解答】　由正弦定理和余弦定理，得＋＝，
∴b＋c＝＋，
∴＝，
∴＝，
∴(b2＋c2－a2)＝0.
∵＋≠0，∴b2＋c2－a2＝0，
∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．
[再练一题]
2．在△ABC中，acos
A＋bcos
B＝ccos
C，试判断三角形的形状．
【解】　由余弦定理知cos
A＝，cos
B＝，cos
C＝，代入已知条件得
a·＋b·＋c·＝0，
通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(c2＋a2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，
展开整理得(a2－b2)2＝c4.
∴a2－b2＝±c2，
即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形.
正、余弦定理在实际中的应用
正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常见的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题，解决的基本思路是画出正确的示意图把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求．
　如图1 1所示，在塔底B处测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB为20
m，求山高CD.(精确到0.1
m)
图1 1
【精彩点拨】　CD可放到△BCD中，要求CD，已知∠DBC＝60°，∠CDB＝90°，所以只需求BD或CB，在△ABC中，AB的长度已知，三个内角都可以求出，所以可求得CB，则CD＝CB·sin
60°.
【规范解答】　由条件知∠DBC＝60°，∠ECA＝45°，
∴∠ABC＝90°－60°＝30°，∠ACB＝60°－45°＝15°，
∠CAB＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝135°.
在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴BC＝＝＝.
在Rt△BCD中，
CD＝BC·sin∠CBD＝×≈47.3(m)．
∴山高CD约为47.3
m.
[再练一题]
3．如图1 2所示，一辆汽车从A市出发沿海岸一条直公路以100
km/h的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东方向距A市500
km且与海岸距离为300
km的海上B处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件交送给这辆汽车的司机．
图1 2
(1)快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中；
(2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角；
(3)若快艇每小时最快行驶75
km，快艇应如何行驶才能尽快把稿件交到司机手中，最快需要多长时间．
【解】　(1)如图(1)所示，设快艇以v
km/h的速度从B处出发，沿BC方向，t小时后与汽车在C处相遇．
(1)
在△ABC中，AB＝500，AC＝100t，BC＝vt，
BD为AC边上的高，BD＝300.
设∠BAC＝α，则sin
α＝，cos
α＝，
由余弦定理BC2＝AC2＋AB2－2AB·ACcos
α，
∴v2t2＝(100t)2＋5002－2×500×100t·，
整理得：v2＝－＋10
000
＝250
000＋10
000－＝250
0002＋3
600.
当＝，即t＝(h)时，v＝3
600，
即快艇至少以60
km/h的速度行驶时才能把稿件送到司机手中．
(2)当v＝60
km/h时，在△ABC中，
AB＝500，AC＝100×＝625，BC＝60×＝375，
由余弦定理cos∠ABC＝＝0，
∴∠ABC＝90°，故快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成角为90°.
(3)如图(2)所示，设快艇以75
km/h的速度沿BE行驶，t
h后与汽车在E处相遇．在△ABE中，AB＝500，
(2)
AE＝100t，BE＝75t，cos∠BAE＝.
由余弦定理
(75t)2＝5002＋(100t)2－2×500×100t×，
整理得t＝4或t＝(舍)，
当t＝4时，AE＝400，BE＝300，AB2＝AE2＋BE2，
所以快艇应以垂直于海岸向北行驶才能尽快把稿件交到司机手中，最快需要4
h.
转化和化归思想的应用
本章主要讲解应用正、余弦定理解三角形，其中应用两个定理解题的过程渗透着边角互化的思想，如正弦定理中的“a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C”等，对所解(证)问题合理转化是求解斜三角形的关键．
　在锐角△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，且a＝2bsin
A，求cos
A＋sin
C的取值范围．
【精彩点拨】　a＝2bsin
Asin
A＝2sin
Bsin
A―→sin
B―→求B.
cos
A＋sin
C―→cos
A＋sin(π－A－B)―→Asin(A＋φ)―→求范围．
【规范解答】　设R为△ABC外接圆的半径．
∵a＝2bsin
A，
∴2Rsin
A＝4Rsin
Bsin
A，sin
A>0，
∴sin
B＝，∵B为锐角，∴B＝.
令y＝cos
A＋sin
C
＝cos
A＋sin
＝cos
A＋sin
＝cos
A＋sin
cos
A＋cos
sin
A
＝cos
A＋sin
A＝sin.
由锐角△ABC知，－B∴∵∴∴即∴cos
A＋sin
C的取值范围是.
[再练一题]
4．在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，证明：＝.
【证明】　由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos
A，
b2＝a2＋c2－2accos
B，
得a2－b2＝b2－a2＋2c(acos
B－bcos
A)，
即a2－b2＝c(acos
B－bcos
A)，
变形得＝
＝cos
B－cos
A，
由正弦定理＝＝，
得＝，＝，
∴＝＝.
1．(2016·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos
A＝，cos
C＝，a＝1，则b＝________.
【解析】　因为A，C为△ABC的内角，且cos
A＝，cos
C＝，
所以sin
A＝，sin
C＝，
所以sin
B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin
Acos
C＋cos
Asin
C＝×＋×＝.
又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝＝×＝.
【答案】　
2．(2015·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．　
【解析】　如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF在等腰三角形CFB中，∠FCB＝30°，
CF＝BC＝2，∴BF＝＝－.
在等腰三角形ECB中，
∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，
BE＝CE，BC＝2，＝，
∴BE＝×＝＋.
∴－【答案】　(－，＋)
3．(2016·北京高考)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.
(1)求∠B的大小；
(2)求cos
A＋cos
C的最大值．
【解】　(1)由余弦定理及题设得，
cos
B＝＝＝.
又因为0<∠B<π，所以∠B＝.
(2)由(1)知∠A＋∠C＝.
cos
A＋cos
C＝cos
A＋cos
＝cos
A－cos
A＋sin
A
＝cos
A＋sin
A＝cos.
因为0＜∠A＜，
所以当∠A＝时，cos
A＋cos
C取得最大值1.
4．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos
C(acos
B＋bcos
A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【解】　(1)由已知及正弦定理得
2cos
C(sin
Acos
B＋sin
Bcos
A)＝sin
C，
即2cos
Csin(A＋B)＝sin
C，
故2sin
Ccos
C＝sin
C.
可得cos
C＝，所以C＝.
(2)由已知得absin
C＝.
又C＝，所以ab＝6.
由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos
C＝7，
故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.
所以△ABC的周长为5＋.
5．(2015·江苏高考)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60 .
(1)求BC的长；
(2)求sin
2C的值．
【解】　(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos
A＝4＋9－2×2×3×＝7，所以BC＝.
(2)由正弦定理知，＝，
所以sin
C＝·sin
A＝＝.
因为AB＜BC，所以C为锐角，
则cos
C＝＝＝.
因此sin
2C＝2sin
C·cos
C＝2××＝.
章末综合测评(一)
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)
1．(2015·安徽高考)在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________.
【解析】　∠C＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝2.
【答案】　2
2．在△ABC中，已知c＝6，a＝4，B＝120°，则b＝________.
【解析】　由b2＝16＋36－2×4×6cos
120°，
得b＝2.
【答案】　2
3．在△ABC中，a＝4，b＝4，A＝30°，则B＝________.
【解析】　sin
B＝＝＝.
又aA，∴B＝60°或120°.
【答案】　60°或120°
4．在△ABC中，化简bcos
C＋ccos
B＝________.
【解析】　利用余弦定理，得bcos
C＋ccos
B＝b·＋c·＝a.
【答案】　a
5．在△ABC中，若sin
A∶sin
B∶sin
C＝2∶3∶4，则cos
C＝________.
【解析】　∵sin
A∶sin
B∶sin
C＝a∶b∶c，
∴a∶b∶c＝2∶3∶4.
设a＝2k，b＝3k，c＝4k，则
cos
C＝＝－.
【答案】　－
6．在△ABC中，若A＝60°，b＝16，S△ABC＝220，则a＝________.
【解析】　由bcsin
A＝220，可知c＝55.
又a2＝b2＋c2－2bccos
A＝2
401，
∴a＝49.
【答案】　49
7．在△ABC中，若sin
A＝，a＝10，则边长c的取值范围是________．
【解析】　∵＝＝，
∴c＝sin
C，∴0【答案】　
8．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是________．(填序号)
【导学号：91730018】
(1)a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；
(2)b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；
(3)a＝5，c＝2，A＝90°，无解；
(4)a＝30，b＝25，A＝150°，有一解．
【解析】　(1)中，∵＝，
∴sin
B＝＝1，
∴B＝90°，即只有一解；
(2)中，sin
C＝＝，且c>b，
∴C>B，故有两解；
(3)中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，
∴b＝＝＝，即有解，故(1)(2)(3)都不正确．所以答案为(4)．
【答案】　(4)
9．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos
2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝________.
【解析】　化简23cos2A＋cos
2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cos
A＝.由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos
A，代入数据解方程，得b＝5.
【答案】　5
10．在△ABC中，若＝＝，那么△ABC是________三角形．
【解析】　由正弦定理得，＝＝，
∴sin
＝sin
＝sin
.∵0<，，<，
∴＝＝，即A＝B＝C，∴△ABC是等边三角形．
【答案】　等边
11．如图1所示，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，的模为2，的模为3，的模为1，那么的模为________．
图1
【解析】　由三角形内角平分线的性质得
||∶||＝||∶||，
故||＝.
【答案】　
12．如图2所示，在山底测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1
000
m至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________m.
图2
【解析】　由题可知，∠SAB＝45°－30°＝15°，又∠SBD＝15°，∴∠ABS＝45°－15°＝30°，AS＝1
000.
由正弦定理可知＝，∴BS＝2
000sin
15°，∴BD＝BS·sin
75°＝2
000sin
15°cos
15°＝1
000sin
30°＝500，且DC＝1
000sin
30°＝500，∴BC＝DC＋BD＝1
000
m.
【答案】　1
000
13．已知角A，B，C是三角形ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m＝，n＝，m⊥n，且a＝2，cos
B＝，则b＝________.
【解析】　∵m·n＝0，
∴2sin
cos－2cos2＝0，∵cos
≠0，
∴tan
＝，∴＝30°，∴A＝60°，
∵＝，sin
B＝＝，
∴b＝＝＝.
【答案】　
14．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＋＝6cos
C，则＋的值是________．
【解析】　∵＋＝6cos
C，
∴＝6·，
即a2＋b2＝c2，
∴＋
＝tan
C
＝
＝＝4.
【答案】　4
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知b2＝ac，且a2－c2＝ac－bc，求角A的大小及.
【解】　由b2＝ac及a2－c2＝ac－bc，得b2＋c2－a2＝bc.
在△ABC中，cos
A＝＝.
∵0°＜A＜180°，∴A＝60°.
在△ABC中，由正弦定理得sin
B＝.
又∵b2＝ac，A＝60°，
∴＝＝sin
60°＝.
16．(本小题满分14分)(2016·扬州高二检测)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos
B＝.
(1)若b＝4，求sin
A的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．
【解】　(1)∵cos
B＝>0，且0∴sin
B＝＝.
由正弦定理得＝，
sin
A＝＝＝.
(2)∵S△ABC＝acsin
B＝4，
∴×2×c×＝4，∴c＝5.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos
B＝22＋52－2×2×5×＝17，∴b＝.
17．(本小题满分14分)(2016·南京高二检测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
(1)求的值；
(2)若cos
B＝，△ABC的周长为5，求b的长．
【解】　(1)由正弦定理，设＝＝＝k，
则＝
＝，
所以＝，
即(cos
A－2cos
C)sin
B
＝(2sin
C－sin
A)cos
B，
化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．
又A＋B＋C＝π，所以sin
C＝2sin
A.
因此＝2.
(2)由＝2，得c＝2a，
由余弦定理及cos
B＝得b2＝a2＋c2－2accos
B＝a2＋4a2－4a2×＝4a2，
所以b＝2a.
又a＋b＋c＝5，从而a＝1，
因此b＝2.
18．(本小题满分16分)在△ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin
A＝(2b＋c)sin
B＋(2c＋b)sin
C.
(1)求A的大小；
(2)若sin
B＋sin
C＝1，试判断△ABC的形状.
【导学号：91730019】
【解】　(1)由2asin
A＝(2b＋c)sin
B＋(2c＋b)sin
C，得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
即a2＝b2＋c2＋bc，
∴b2＋c2－a2＝－bc，
∴2bccos
A＝－bc，
∴cos
A＝－，又A∈(0，π)，
∴A＝.
(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin
Bsin
C，
又sin
B＋sin
C＝1，得sin
B＝sin
C＝.
又B，C∈，故B＝C.
所以△ABC是等腰三角形．
19．(本小题满分16分)(2016·镇江高二检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(A－B)cos
B－sin(A－B)sin(A＋C)＝－.
(1)求sin
A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．
【解】　(1)由cos(A－B)cos
B－sin(A－B)sin(A＋C)＝－，得cos(A－B)cos
B－sin(A－B)sin
B＝－，
则cos(A－B＋B)＝－，即cos
A＝－.
又0A＝.
(2)由正弦定理，有＝，
所以sin
B＝＝.
由题知a>b，则A>B，故B＝.
根据余弦定理，有(4)2＝52＋c2－2×5c×，
解得c＝1或c＝－7(负值舍去)．
故向量在方向上的投影为||cos
B＝.
20．(本小题满分16分)如图3，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.
现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50
m/min.在甲出发2
min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1
min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130
m/min，山路AC长为1
260
m，经测量，cos
A＝，cos
C＝.
图3
(1)求索道AB的长；
(2)问乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3
min，乙步行的速度应控制在什么范围内？
【解】　(1)在△ABC中，因为cos
A＝，cos
C＝，
所以sin
A＝，sin
C＝.
从而sin
B＝sin
＝sin(A＋C)
＝sin
Acos
C＋cos
Asin
C
＝×＋×＝.
由＝，得
AB＝×sin
C＝×＝1
040(m)．
所以索道AB的长为1
040
m.
(2)设乙出发t
min后，甲、乙两游客距离为d
m，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t
m，所以由余弦定理得
d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×
＝200(37t2－70t＋50)，
因0≤t≤，即0≤t≤8，
故当t＝
min时，甲、乙两游客距离最短．
(3)由＝，得BC＝×sin
A＝×＝500(m)．
乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710
m才能到达C.
设乙步行的速度为v
m/min，由题意得－3≤－≤3，
解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3
min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．1.3　正弦定理、余弦定理的应用
1．巩固正、余弦定理的应用，熟练掌握解三角形的步骤与过程．(重点)
2．能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．(难点)
3．方向角与方位角的区分及应用．(易混点)
[基础·初探]
教材整理　方位角
阅读教材P18例2的有关内容，完成下列问题．
方位角是从指北方向顺时针转到目标方向线的角．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方位角和方向角是同一个概念．(　　)
(2)从A处望B处的仰角为
α，从B处望A处的俯角为β，则α＝β.(　　)
(3)从C地看A，B二人的方位角分别为30°，45°，则∠ACB为75°.(　　)
(4)甲看乙南偏东30°，则乙看甲北偏西30°.(　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问2：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问3：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问4：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
[小组合作型]
正、余弦定理在物理学中的应用
　如图1 3 1，墙上有一个三角形灯架OAB，灯所受的重力为10
N，且OA，OB都是细杆，只受沿杆方向的力．试求杆OA，OB所受的力．
图1 3 1
【精彩点拨】　先借助向量的合成与分解画出图示，然后借助正弦定理求解．
【自主解答】　如图，作＝F，将F沿A到O，O到B两个方向进行分解，即作 OCED，则＝＝F1，＝F2.由题设条件可知，||＝10，∠OCE＝50°，∠OEC＝70°，所以∠COE＝180°－50°－70°＝60°.
在△OCE中，由正弦定理，
得＝，＝，
因此，|F1|＝≈11.3，
|F2|＝≈12.3.
答：灯杆OA所受的拉力为11.3
N，灯杆OB所受的压力为12.3
N.
在运用正弦定理、余弦定理解决力的合成与分解问题时，通常涉及平行四边形，根据题意，选择一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．
[再练一题]
1．作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡．已知F1＝30
N，F2＝50
N，F1与F2之间的夹角是60°，求F3的大小与方向(精确到0.1°)．
【解】　F3应和F1，F2的合力F平衡，所以F3和F在同一直线上，并且大小相等，方向相反．如图，在△OF1F中，由余弦定理，得
F＝＝70(N)，
再由正弦定理，得
sin∠F1OF＝＝，
所以∠F1OF≈38.2°，从而∠F1OF3≈141.8°.
答：F3为70
N，F3和F1间的夹角为141.8°.
正、余弦定理在几何中的应用
　如图1 3 2，某公园内有一块边长为2的等边△ABC的三角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两份，点D在AB上，点E在AC上．设AD＝x(x≥0)，DE＝y，求用x表示y的函数关系式．
图1 3 2
【精彩点拨】　由S△ADE＝S△ABC得出AE，再在△ADE中由余弦定理求DE.
【自主解答】　∵AB＝BC＝AC＝2，∴S△ABC＝×2×2sin
60°＝，
∴S△ADE＝S△ABC＝.
又S△ADE＝AD·AEsin
60°＝x·AE，
由x·AE＝，得AE＝.
在△ADE中，由余弦定理得
y2＝x2＋－2·x··cos
60°
＝x2＋－2，
∴y＝.
又由AE<2可知<2，即x>1，
∴1∴y关于x的函数为：
y＝(11．求解此类问题的关键是利用正、余弦定理建模，求解时，要分清已知哪些条件，如何把待求和已知化归到同一个三角形中．
2．函数建模时，要注意函数的定义域，如本题(2)中隐含“AE＝∈(0,2)”．
[再练一题]
2.如图1 3 3所示，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝θ，△BCD是正三角形．
图1 3 3
(1)将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数；
(2)求S的最大值及此时θ角的值．
【解】　(1)△ABD的面积S1＝×1×1×sin
θ＝sin
θ，由于△BCD是正三角形，则△BCD的面积S2＝BD2.
在△ABD中，由余弦定理可知BD2＝12＋12－2×1×1×cos
θ＝2－2cos
θ，
于是四边形ABCD的面积S＝sin
θ＋(2－2cos
θ)，
∴S＝＋sin，0<θ<π.
(2)由S＝＋sin及0<θ<π，
得－<θ－<，
当θ－＝，即θ＝时，S取得最大值1＋.
[探究共研型]
正、余弦定理在测量学中的应用
探究1　如图1 3 4，A，B两点在河的对岸，且不可到达，如何测量其两点间的距离？
图1 3 4
【提示】　在河岸这边选取点C，D，测得CD＝a，∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝δ，则在△ACB和△ACD中应用正弦定理可求AC，BC的长，进而在△ACB中应用余弦定理求AB.
探究2　如图1 3 5，如何测量山顶塔AB的高？(测量者的身高忽略不记)
图1 3 5
【提示】　测量者在山下先选择一基点P，测出此时山顶的仰角α，前进a米后，再测出此时山顶的仰角β，则借助直角三角形的边角关系可求塔顶距地面的高h，进而利用AB＝h－H求解．
　(2015·湖北高考)如图1 3 6，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600
m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.
图1 3 6
【精彩点拨】　先利用正弦定理求出BC，再在Rt△BCD中求CD.
【自主解答】　由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600
m，故由正弦定理得＝，解得BC＝300
m.
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan
30°＝300×
＝100(m)．
【答案】　100
1．解决测量高度问题的一般步骤
(1)画图：根据已知条件画出示意图；
(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形；
(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．
2．测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达．解决此问题的方法是，选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．
[再练一题]
3．为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内，飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图1 3 7中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．
图1 3 7
【解】　①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N的俯角α2，β2；A，B的距离d(如图所示)
②第一步：计算AM.
在△ABM中，由正弦定理，
得AM＝.
第二步：计算AN.
在△ABN中，由正弦定理，得AN＝.
第三步：计算MN.在△AMN中，由余弦定理，得
MN＝.
[构建·体系]
1．已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的________．(填序号)
(1)北偏东10°；(2)北偏西10°；
(3)南偏东10°；(4)南偏西10°.
【解析】　如图，因为△ABC为等腰三角形，所以∠CBA＝(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故答案为(2)．
【答案】　(2)
2．如图1 3 8，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60
m，则树的高度为________.
【导学号：91730015】
图1 3 8
【解析】　由正弦定理，得＝，
∴PB＝＝，
∴h＝PB·sin
45°＝·sin
45°
＝(30＋30)m.
【答案】　(30＋30)m
3．一艘船以4
km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2
km/h，则经过
h，该船实际航程为________．
【解析】　v实＝＝2(km/h)．所以实际航程为2×＝6(km)．
【答案】　6
km
4．某市在“旧城改造”工程中，计划在如图1 3 9所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮价格为a元/m2，则购买这种草皮需要________元．
图1 3 9
【解析】　∵S△＝×20×30×sin
150°＝×20×30×＝150(m2)，
∴购买这种草皮需要150a元．
【答案】　150a
5．如图1 3 10，A，B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距40
m的C，D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？
图1 3 10
【解】　在△ACD中，应用正弦定理得
AC＝
＝＝＝20(1＋)(m)，
在△BCD中，应用正弦定理得BC＝＝＝40(m)．
在△ABC中，由余弦定理得AB＝＝20(m)．
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
学业分层测评(五)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．(2016·镇江高二检测)在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于________．
【解析】　由余弦定理得cos
A＝＝，
∴sin
A＝，
∴S△ABC＝bcsin
A＝×3×8×＝6.
【答案】　6
2．有一长为10
m的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸________
m.
【解析】　如图，在△ABC中，由正弦定理可知：＝，
∴x＝10(m)．
【答案】　10
3．江岸边有一炮台高30
m，江中有两条船，由炮台顶部测得这两条船的俯角分别为45°和60°，而且这两条船与炮台底部连线成30°角，则这两条船相距________
m.
【导学号：91730016】
【解析】　设炮台顶为A，底为D，两船分别为B，C，
由题意知∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30
m，
∴DB＝30
m，DC＝10
m，
在△BCD中，由正弦定理知，BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cos
30°＝300，
∴BC＝10
m，
即这两条船相距10
m.
【答案】　10
4．(2016·南京高二检测)为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)，如图1 3 11所示，且B＋D＝180°，则AC的长为________
km.
图1 3 11
【解析】　在△ABC中，由余弦定理得AC2＝82＋52－2×8×5cos
B，在△ACD中，由余弦定理得AC2＝32＋52－2×3×5cos
D，由cos
D＝－cos
B，并消去AC2得cos
B＝，所以AC＝7.
【答案】　7
5.如图1 3 12所示，甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________(填角度)的方向前进．
图1 3 12
【解析】　由题意知，AC＝BC，∠ABC＝120°，
由正弦定理知，
＝，
∴sin
∠CAB＝，
∴∠CAB＝30°，
∴∠CAD＝60°－30°＝30°.
【答案】　30°
6．若两人用大小相等的力F提起重为G的货物，且保持平衡，则两力的夹角θ的余弦为________．
【解析】　
如图，由平行四边形法则可知，
||＝G，
在△AOB中，由余弦定理可得
||2＝F2＋F2－2F·Fcos(π－θ)．
∵||＝G，
∴2F2(1＋cos
θ)＝G2，
∴cos
θ＝.
【答案】　
7．如图1 3 13所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别是75°，30°，此时气球的高是60
m，则河流的宽度BC等于________
m.
图1 3 13
【解析】　由题意可知，AC＝＝120.
∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，所以sin
∠ABC＝sin
105°＝sin(60°＋45°)＝sin
60°cos
45°＋cos
60°sin
45°＝.
在△ABC中，由正弦定理得＝，
于是BC＝＝＝120(－1)(m)．
【答案】　120(－1)
8.如图1 3 14，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．
图1 3 14
【解析】　∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)
＝cos∠BAD＝，
∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，
∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3，
∴BD＝.
【答案】　
二、解答题
9．如图1 3 15所示，有两条直线AB和CD相交成80°角，交点是O，甲、乙两人同时从点O分别沿OA，OC方向出发，速度分别是4
km/h，4.5
km/h,3小时后两人相距多远(精确到0.1
km)
图1 3 15
【解】　经过3小时后，甲到达点P，OP＝4×3＝12(km)，乙到达点Q，OQ＝4.5×3＝13.5(km)，依余弦定理，知
PQ＝
≈16.4(km)．
10．如图1 3 16，在△ABC中，已知BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sin
B＝，求BC边上的高AD.
图1 3 16
【解】　在△ABC中，由已知设AB＝7x，AC＝8x，由正弦定理，得＝，
∴sin
C＝×＝，∴C＝60°(C＝120°舍去，否则由8x>7x，知B也为钝角，不符合要求)．
由余弦定理，得(7x)2＝(8x)2＋152－2×8x×15cos
60°，
∴x2－8x＋15＝0.
∴x＝3或x＝5，∴AB＝21或AB＝35.
在△ABC中，AD＝ABsin
B＝AB，
∴AD＝12或AD＝20.
[能力提升]
1.如图1 3 17，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2
min，从D沿着DC走到C用了3
min.若此人步行的速度为每分钟50
m，则该扇形的半径为________m.
图1 3 17
【解析】　连结OC，在三角形OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×＝17
500，
∴OC＝50.
【答案】　50
2．如图1 3 18所示，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10
m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________
m.
图1 3 18
【解析】　在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，由正弦定理，得＝，BC＝＝10.在Rt△ABC中，tan
60°＝，AB＝BCtan
60°＝10(m)．
【答案】　10
3．甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是________小时.
【导学号：91730017】
【解析】　设行驶x
h后甲到点C，乙到点D，两船相距y
km，则∠DBC＝180°－60°＝120°.
∴y2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6xcos
120°＝28x2－20x＋100
＝282－＋100，
∴当x＝时，y2有最小值，即两船相距最近．
【答案】　
4．如图1 3 19，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cos
B＝，cos
∠ADC＝－.
图1 3 19
(1)求sin
∠BAD的值；
(2)求AC边的长．
【解】　(1)因为cos
B＝，所以sin
B＝.
又cos
∠ADC＝－，所以sin
∠ADC＝.
所以sin
∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin
∠ADCcos
B－cos
∠ADCsin
B＝×－×＝.
(2)在△ABD中，由正弦定理，得＝，即＝，解得BD＝2.
故DC＝2，从而在△ADC中，由余弦定理，得
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC
＝32＋22－2×3×2×＝16，所以AC＝4.2.3.3　等比数列的前n项和
第1课时　等比数列的前n项和
1．掌握等比数列前n项和公式；能用公式解决一些简单问题．(重点)
2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．(难点)
3．不对q分析范围而错用求和公式．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1　等比数列的前n项和公式
阅读教材P55～P56，完成下列问题．
设数列{an}为等比数列，首项为a1，公比为q，则其前n项和S
n＝
1．在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝________.
【解析】　∵q≠1，
∴S3＝＝＝26，
∴q2＋q－12＝0，
∴q＝3或－4.
【答案】　3或－4
2．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为________．
【解析】　∵a5＝a1q4，∴q4＝24.∵q>0，∴q＝2，
∴S7＝＝127.
【答案】　127
教材整理2　等比数列前n项和的性质
阅读教材P62第8题，完成下列问题．
等比数列前n项和的性质
(1)等比数列{an}中，Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn.
(2)等比数列{an}中，若项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q.
(3)设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．
①当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k不是等比数列；
②当q≠－1或k为奇数时，数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k(k∈N
)是等比数列．
在等比数列{an}中，若Sn是其前n项和，且S4＝3，S8＝9，则S12＝________.
【解析】　∵S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，∴3,6，S12－9成等比数列，∴3(S12－9)＝36，∴S12＝21.
【答案】　21
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问2：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问3：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
[小组合作型]
等比数列前n项和的基本运算
　在等比数列{an}中，
(1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；
(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5；
(3)若q＝2，S4＝1，求S8.
【精彩点拨】　利用公式Sn＝＝求解．
【自主解答】　(1)由公式Sn＝及条件得189＝，解得a1＝3，又由an＝a1·qn－1，
得96＝3·2n－1，
解得n＝6.
(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得
即
∵a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷①得，
q3＝，即q＝，∴a1＝8，
∴a4＝a1q3＝8×3＝1，
S5＝＝＝.
(3)设首项为a1，
∵q＝2，S4＝1，
∴＝1，
即a1＝，
∴S8＝＝＝17.
1．等比数列的前n项和公式和通项公式中共涉及a1，an，q，n，Sn五个基本量，已知其中三个量，可以求出另外的两个量，我们可以简称为“知三求二”．
2．已知an时用Sn＝较简便，而Sn＝在将已知量表示为最基本元素a1和q的表达式中发挥着重要作用．
[再练一题]
1．求下列等比数列前8项的和．
(1)，，，…；
(2)a1＝27，a9＝，q<0.
【导学号：91730041】
【解】　(1)因为a1＝，q＝，所以S8＝＝.
(2)由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8.
又由q<0，可得q＝－.
所以S8＝＝.
等比数列前n项和的性质及应用
　在等比数列{an}中，若前10项的和S10＝10，前20项的和S20＝30，求前30项的和S30.
【精彩点拨】　法一：由列方程组求得q值，整体代换求S30；
法二：利用前n项和的性质，连续10项之和成等比数列，求S30.
【自主解答】　法一：设数列{an}的首项为a1，公比为q，显然q≠1，则
两式相除得1＋q10＝3，∴q10＝2.
∴S30＝＝(1＋q10＋q20)
＝10×(1＋2＋4)＝70.
法二：∵S10，S20－S10，S30－S20仍成等比数列，
又∵S10＝10，S20＝30，
∴S30－30＝，即S30＝70.
要注意等比数列前n项和性质的使用条件，条件不具备时，性质不一定成立，如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…满足(S2m－Sm)2＝Sm·(S3m－S2m)，但Sm，S2m－Sm，S3m－S2m不一定成等比数列，只有在一定的限制条件下才成等比数列．
[再练一题]
2．(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝________.
(2)等比数列
{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
【解析】　(1)设公比为q，则＝＝1＋q3＝3，所以q3＝2，于是＝＝＝.
(2)S奇＝－80，S偶＝－160，∴q＝＝2.
【答案】　(1)　(2)2
[探究共研型]
等比数列前n项和的实际应用
探究1　银行储蓄中的按“复利”计算是什么意思？并举例说明．
【提示】　所谓“复利”，即把上期的本利和作为下一期的本金．如把a万元现金存入银行，按年息P%计算，n年后的本利和为a(1＋P%)n－1万元．
探究2　“分期付款”是怎么一回事？
【提示】　(1)分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；
(2)到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和．
　借贷10
000元，以月利率为1%，每月以复利计算借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)
【精彩点拨】　结合分期付款的定义求解本题．
【自主解答】　一方面，借款10
000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104·(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．
另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝＝a[1.016－1]×102(元)．
由S1＝S2，得a＝.
∵1.016＝1.061，
∴a≈1
739.
故每月应支付1
739元．
解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．
[再练一题]
3．在一次人才招聘会上，A，B两家公司分别开出的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1
500元，以后每一年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资为2
000元，以后每年月工资在上一年月工资基础上递增5%.设某人年初被A，B两家公司同时录取，试问：
(1)若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？
(2)该人打算在一家公司连续工作10年，仅从工资收入总量作为应聘标准(不计其他因素)，该人应该选择哪家公司？为什么？
【解】　(1)设该人在A，B两家公司第n年的月工资分别为an，bn.
由已知，得{an}构成等差数列，以1
500为首项，230为公差，an＝230n＋1
270.
{bn}构成等比数列，以2
000为首项，以(1＋5%)为公比，bn＝2
000(1＋5%)n－1.
(2)若该人在A公司连续工作10年，则他的工资收入总额为S10＝12(a1＋a2＋…＋a10)＝12×＝304
200(元)；
若该人在B公司连续工作10年，则他的工资收入总额为S′10＝12(b1＋b2＋…＋b10)＝12×≈301
869(元)．
由于在A公司总收入多，因此该人应选择A公司．
[构建·体系]
1．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a5＝－2，a8＝16，则S6等于________.
【导学号：91730042】
【解析】　∵q3＝＝(－2)3，∴q＝－2，
∴a1＝(－2)×(－2)－4＝(－2)－3，
∴S6＝＝.
【答案】　
2．等比数列的公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和等于________．
【解析】　∵(S8－S4)∶S4＝24＝16，
∴(S8－10)∶10＝16，
∴S8＝170.
【答案】　170
3．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和为________米(结果保留到个位)．
【解析】　小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×8
＝299≈300(米)．
【答案】　300
4．(2015·安徽高考)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．
【解析】　设等比数列的公比为q，则有解得或
又{an}为递增数列，∴∴Sn＝＝2n－1.
【答案】　2n－1
5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q.
【解】　当q＝1时，Sn＝na1，
∴S3＋S6＝3a1＋6a1＝9a1＝S9≠2S9；
当q≠1时，＋＝2×，得2－q3－q6＝2－2q9，
∴2q9－q6－q3＝0，解得q3＝－，
或q3＝1(舍去)，∴q＝－.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
学业分层测评(十二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和S10＝________.
【解析】　因为3an＋1＋an＝0，所以＝－，所以数列{an}是以－为公比的等比数列．
因为a2＝－，所以a1＝4，所以S10＝＝3(1－3－10)．
【答案】　3(1－3－10)
2．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.
【导学号：91730043】
【解析】　因为a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且数列{an}是递增的等比数列，所以a1＝1，a3＝4，q＝2，所以S6＝＝63.
【答案】　63
3．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为________．　
【解析】　易知公比q≠1.
由9S3＝S6，得9·＝，
解得q＝2.
∴是首项为1，公比为的等比数列，
∴其前5项和为＝.
【答案】　
4．已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a＝______.
【解析】　∵Sn＝Aqn－A，∴a＝－1.
【答案】　－1
5．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝________.
【解析】　设等比数列{an}的公比为q，因为S3＝a2＋10a1，a5＝9，
所以
解得
所以a1＝.
【答案】　
6．在等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝，a3＝，则＋＋＋＋＝________.
【解析】　设数列{an}的公比为q，则＝a3
∴＋＋1＋q＋q2＝，
∴＋＋＋＋
＝＝31.
【答案】　31
7．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N
)等于________．
【解析】　每天植树的棵树构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn＝＝＝2n＋1－2.由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102.由于26＝64,27＝128，则n＋1≥7，即n≥6.
【答案】　6
8．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为________．
【解析】　由题意可知，q≠1，
∴Sn＝.
又∵Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，
∴2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，
即2－2qn＝2－qn＋1－qn＋2，
即2＝q＋q2，
∴q＝－2(q＝1不合题意舍去)．
【答案】　－2
二、解答题
9．已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.
(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．
【解】　(1)证明：因为an＝×n－1＝，
Sn＝＝，
所以Sn＝.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.
所以{bn}的通项公式为bn＝－.
10．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长.设n年内(本年度为第1年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式．
【解】　第1年投入800万元，第2年投入800×万元，…，第n年投入800×n－1万元，所以，总投入an＝800＋800×＋…＋800×n－1＝4
000×(万元)．
同理，第1年收入400万元，第2年收入400×万元，…，第n年收入400×n－1万元．所以，总收入bn＝400＋400×＋…＋400×n－1＝1
600×.
[能力提升]
1．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1,
则a＋a＋a＋…＋a等于________．
【解析】　∵Sn＝，∴　∴
∵{an}为等比数列，∴{a}也为等比数列，∴a＋a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．
【答案】　(4n－1)
2．等比数列1，a，a2，a3，…(a≠0)的前n项和Sn＝________.
【导学号：91730044】
【解析】　当a＝1时，Sn＝n；当a≠1时，Sn＝.即Sn＝
【答案】　
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________．
【解析】　由已知4S2＝S1＋3S3，
即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)，
∴a2＝3a3，∴{an}的公比q＝＝.
【答案】　
4．已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N
)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：Sn＋≤(n∈N
)．
【解】　(1)设等比数列{an}的公比为q，由－2S2，S3,4S4成等差数列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.
又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为an＝×n－1＝(－1)n－1×.
(2)证明：Sn＝1－n，
Sn＋＝1－n＋
＝
当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，
所以Sn＋≤S1＋＝.
当n为偶数时，
Sn＋随n的增大而减小，
所以Sn＋≤S2＋＝.
故对于n∈N
，有Sn＋≤.第2课时　等差数列的性质
1．理解等差中项的概念，并能利用等差中项判断一个数列是否为等差数列．
(重点、难点)
2．掌握等差数列的有关性质，能运用等差数列的性质解题．(重点)
3．了解一次函数同等差数列通项公式间的关系．(重点)
[基础·初探]
教材整理1　等差数列与一次函数
阅读教材P39“例3”及“思考”的有关内容，完成下列问题．
1．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是关于n的常函数；当d≠0时，an是关于n的一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
2．等差数列通项公式的推广：在等差数列{an}中，已知a1，d，am，an(m≠n)，则d＝＝，从而有an＝am＋(n－m)d.
1．若{an}是等差数列，若a2＝3，a8＝5，则公差d＝________，an＝________.
【解析】　∵d＝＝＝，∴an＝a2＋(n－2)×＝3＋＝.
【答案】　　
2．若点(1，an)，(2，an＋1)在直线y＝x＋3上，则an＋1与an的关系为________．
【解析】　由题意可知∴an＋1－an＝1,
即an＋1＝an＋1.
【答案】　an＋1＝an＋1
教材整理2　等差数列的性质
阅读教材P41第11题～第16题，完成下列问题．
1．等差中项
如果a，A，b这三个数成等差数列，那么A＝.我们把A＝叫做a和b的等差中项．
2．等差数列的性质
(1)项的运算性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
)，则am＋an＝ap＋aq.
(2)等差数列的项的对称性
在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
(3)若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k}
公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N
)
{pan＋qbn}
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
(4){an}的公差为d，则d>0 {an}为递增数列；d<0 {an}为递减数列；d＝0 {an}为常数列．
1．若数列{an}是等差数列，且a5＝10，a9＝14，则a7＝________.
【解析】　a7＝＝＝12，即a7＝12.
【答案】　12
2．在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________.
【解析】　由a7＋a9＝a4＋a12，得a12＝a7＋a9－a4＝16－1＝15.
【答案】　15
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问2：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问3：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
[小组合作型]
等差中项及其应用
　已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N
，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求p，q的值．
【精彩点拨】　由x1，x4，x5成等差数列得出一个关于p，q的等式，结合x1＝3推出2p＋q＝3，从而得p，q.
【自主解答】　由x1＝3，得2p＋q＝3，①
又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4得，
3＋25p＋5q＝25p＋8q，②
由①②得，q＝1，p＝1.
在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N
)，即an＝，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．
[再练一题]
1．在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列.
【导学号：91730027】
【解】　(1)∵－1，a，b，c,7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，
∴b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，
∴a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5，
∴该数列为－1,1,3,5,7.
等差数列的性质及应用
　(1)等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，求2a9－a10的值；
(2)数列{an}为等差数列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an}的通项公式；
(3)在等差数列{an}中，a15＝8，a60＝20，求a75的值．
【精彩点拨】　(1)利用等差中项求解；
(2)利用m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq求解；
(3)利用d＝求解．
【自主解答】　(1)由等差数列的性质，得
a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，
∴a8＝24，又2a9＝a8＋a10，
∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.
(2)∵a2＋a8＝2a5，∴3a5＝9，
∴a5＝3，∴a2＋a8＝a3＋a7＝6，①
又a3a5a7＝－21，
∴a3a7＝－7.②
由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1.
∴a3＝－1，d＝2，或a3＝7，d＝－2.
由通项公式的变形公式an＝a3＋(n－3)d，
得an＝2n－7或an＝－2n＋13.
(3)∵a60＝a15＋(60－15)d，
∴d＝＝，
∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.
解决本类问题一般有两种方法：
一是运用等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；
二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想．
[再练一题]
2．已知等差数列{an}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66，求a2，a3，a4.
【解】　∵{an}为等差数列，∴2a3＝a2＋a4，∴3a3＝18，∴a3＝6，设公差为d，则(6－d)×6×(6＋d)＝66，
∴d2＝25，∴d＝±5，
∴或
[探究共研型]
等差数列的设法与求解
探究1　若三个数成等差数列，如何设这三个数使计算较为方便？
【提示】　设等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d，这样计算较为方便．
探究2　若四个数成等差数列，如何设这四个数使计算较为方便？
【提示】　设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，计算较为方便．
　(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；
(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
【精彩点拨】　(1)根据三个数成等差数列，可设这三个数为a－d，a，a＋d(d为公差)；
(2)四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．
【自主解答】　(1)法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d，
则这三个数分别为a－d，a，a＋d.
依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，
所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，
化简得d2＝16，于是d＝±4，
故三个数为－2,2,6或6,2，－2.
法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，
即d2＝16，于是d＝±4，
故三个数为－2,2,6或6,2，－2.
(2)法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
法二：若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，
依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，
把a＝1－d代入a(a＋3d)＝－8，
得＝－8，即1－d2＝－8，
化简得d2＝4，所以d＝2或－2.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，所以d＝2，
故所求的四个数为－2,0,2,4.
利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a，－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
[再练一题]
3．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．
【解】　设这三个数为a－d，a，a＋d，由已知，得
由①得a＝6，代入②得d＝±2.
∵该数列是递增的，∴d＝－2舍去，
∴这三个数为4,6,8.
[构建·体系]
1．在等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为________．
【解析】　由等差中项的性质知a3＝＝5，又a4＝7，∴公差d＝a4－a3＝7－5＝2.
【答案】　2
2．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为________．
【解析】　∵a1＋a9＝2a5，∴a5＝5.
【答案】　5
3．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.
【导学号：91730028】
【解析】　根据等差中项的性质，得a2＋a8＝a4＋a6＝a3＋a7＝2a5＝37，
∴a2＋a4＋a6＋a8＝4a5＝74.
【答案】　74
4．在－1和8之间插入两个数a，b(a【解析】　由题意，解得
【答案】　2　5
5．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．
【解】　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题设得
∴
解得或
所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
学业分层测评(八)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则角B等于________．
【解析】　∵A，B，C成等差数列，∴B是A，C的等差中项，则有A＋C＝2B，又∵A＋B＋C＝180°，
∴3B＝180°，从而B＝60°.
【答案】　60°
2．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项是________．
【解析】　因为a＝＝－，
b＝＝＋，所以＝.
【答案】　
3．在等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝________.
【解析】　由等差数列的性质，可得a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11，
∴36＝2(a5＋a8)，
故a5＋a8＝18.
【答案】　18
4．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.
【导学号：91730029】
【解析】　∵{an}，{bn}都是等差数列，∴{an＋bn}也是等差数列，其公差为＝＝7，
∴a5＋b5＝7＋(5－1)×7＝35.
【答案】　35
5．(2016·泰州高二检测)若等差数列的前三项依次是，，，那么这个数列的第101项是________．　
【解析】　由已知得2×＝＋，
解得x＝2，
∴a1＝，d＝，
∴a101＝＋100×＝8.
【答案】　8
6．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m＝________.
【解析】　由等差数列性质a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.
【答案】　8
7．(2016·镇江高二检测)已知数列－1，a1，a2，－4与数列1，b1，b2，b3，－5各自成等差数列，则＝________.
【解析】　设数列－1，a1，a2，－4的公差是d，则a2－a1＝d＝＝－1，b2＝＝－2，故知＝.
【答案】　
8．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)＝________.
【解析】　由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝，∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan
＝tan
＝－.
【答案】　－
二、解答题
9．已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列．
【证明】　∵，，成等差数列，∴＝＋，
即2ac＝b(a＋c)．
∵＋＝＝＝＝＝.
∴，，成等差数列．
10．(2016·扬州高二检测)若三个数a－4，a＋2,26－2a适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列．
【解】　显然a－4(1)若a－4，a＋2,26－2a成等差数列，则(a－4)＋(26－2a)＝2(a＋2)，∴a＝6，相应的等差数列为：2,8,14.
(2)若a－4,26－2a，a＋2成等差数列，
则(a－4)＋(a＋2)＝2(26－2a)，
∴a＝9，相应的等差数列为：5,8,11.
(3)若26－2a，a－4，a＋2成等差数列，则(26－2a)＋(a＋2)＝2(a－4)，
∴a＝12，相应的等差数列为：2,8,14.
[能力提升]
1．(2016·南京高二检测)在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为________．　
【解析】　∵a2＋a10＝a4＋a8＝2a6，
∴a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，
∴a7－a8＝(a6＋d)－(a6＋2d)＝a6＝×16＝8.
【答案】　8
2．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.
【导学号：91730030】
【解析】　设最上面一节的容积为a1，公差为d，则有
即
解得
则a5＝，故第5节的容积为升．
【答案】　
3．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，
那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．　
【解析】　第n行的第一个数是n，第n行的数构成以n为公差的等差数列，则其第n＋1项为n＋n·n＝n2＋n.
【答案】　n2＋n
4．已知{an}满足a1＝1，且an＋1＝(n∈N
)．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【解】　(1)证明：∵an＋1＝，
∴＝＝3＋，
即－＝3.
即是首项为＝1，公差为3的等差数列．
(2)由(1)得数列的通项公式为＝1＋(n－1)×3＝3n－2，
所以数列{an}的通项公式为an＝(n∈N
)．2.2　等差数列
2.2.1　等差数列的概念
2.2.2　等差数列的通项公式
第1课时　等差数列的概念及通项公式
1．理解等差数列的概念，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系．(重点)
2．会推导等差数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等差数列问题．
(重点)
3．等差数列的证明及其应用．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　等差数列的概念
阅读教材P35“思考”以上内容，完成下列问题．
如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列．(×)
(2)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列．(×)
(3)一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列．(×)
(4)一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列．(√)
教材整理2　等差数列的通项公式
阅读教材P37～P38例1的有关内容，完成下列问题．
对于等差数列{an}的第n项an，有an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.
1．若{an}是等差数列，且a1＝1，公差d＝3，则an＝________.
【解析】　∵a1＝1，d＝3，∴an＝1＋(n－1)×3＝3n－2.
【答案】　3n－2
2．若{an}是等差数列，且a1＝2，d＝1，若an＝7，则n＝________.
【解析】　∵a1＝2，d＝1，
∴an＝2＋(n－1)×1＝n＋1.
由an＝7，即n＋1＝7，得n＝6.
【答案】　6
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问2：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问3：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
[小组合作型]
等差数列的判定与证明
判断下列数列是否为等差数列．
(1)在数列{an}中，an＝3n＋2；
(2)在数列{an}中，an＝n2＋n.
【精彩点拨】　作差an＋1－an―→代数运算―→利用等差数列定义判断
【自主解答】　(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N
)．由n的任意性知，这个数列为等差数列．
(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．
1．定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法，其步骤为：
(1)作差an＋1－an；
(2)对差式进行变形；
(3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．
2．应注意等差数列的公差d是一个定值，它不随n的改变而改变．
[再练一题]
1．已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn(p，q∈R，且p，q为常数)，记bn＝an＋1－an.求证：对任意实数p和q，数列{bn}是等差数列．
【证明】　∵an＋1－an＝2pn＋p＋q，
∴an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q，
∴bn＋1－bn＝(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)
＝2p为一个常数，
故数列{bn}是等差数列．
等差数列的通项公式
　已知数列{an}是等差数列，且a5＝10，a12＝31.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若an＝13，求n的值．
【精彩点拨】　建立首项a1和d的方程组求an；由an＝13解方程得n.
【自主解答】　(1)设{an}的首项为a1，公差为d，则由题意
可知解得∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5.
(2)由an＝13，得3n－5＝13，解得n＝6.
1．从方程的观点看等差数列的通项公式，an＝a1＋(n－1)d中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”．
2．已知数列的其中两项，求公差d，或已知一项、公差和其中一项的序号，求序号的对应项时，通常应用变形an＝am＋(n－m)d.
[再练一题]
2．已知递减等差数列{an}前三项的和为18，前三项的积为66.求该数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？
【解】　依题意得
∴
解得或
∵数列{an}是递减等差数列，
∴d<0.故取a1＝11，d＝－5.
∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16，
即等差数列{an}的通项公式为
an＝－5n＋16.
令an＝－34，即－5n＋16＝－34，
得n＝10.
∴－34是数列{an}的第10项．
[探究共研型]
等差数列的应用
探究1　若数列{an}满足＝＋1且a1＝1，则a5如何求解？
【提示】　由＝＋1可知－＝1.
∴{}是首项＝1，公差d＝1的等差数列．
∴＝1＋(n－1)×1＝n，
∴an＝n2，
∴a5＝52＝25.
探究2　某剧场有20排座位，第一排有20个座位，从第2排起，后一排都比前一排多2个座位，则第15排有多少个座位？
【提示】　设第n排有an个座位，由题意可知
an－an－1＝2(n≥2)．
又a1＝20，
∴an＝20＋(n－1)×2＝2n＋18.
∴a15＝2×15＋18＝48.
即第15排有48个座位．
　某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
【精彩点拨】　分析题意，明确题中每年获利构成等差数列，把实际问题转化为等差数列问题，利用等差数列的知识解决即可．
【自主解答】　由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，……，每年获利构成等差数列{an}，且当an<0时，该公司会出现亏损．
设从第1年起，第n年的利润为an，则an－an－1＝－20，n≥2，n∈N
.所以每年的利润可构成一个等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20.
所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由an＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．
1．在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．
2．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．
[再练一题]
3．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：
时间t(s)
1
2
3
…
？
…
60
距离s(cm)
9.8
19.6
29.4
…
49
…
？
(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？
(2)利用建立的模型计算，甲虫1
min能爬多远？它爬行49
cm需要多长时间？
【解】　(1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．因为a1＝9.8，d＝9.8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s＝9.8t.
(2)当t＝1
min＝60
s时，
s＝9.8t＝9.8×60＝588
cm.
当s＝49
cm时，t＝＝＝5
s.
[构建·体系]
1．下列数列中是等差数列的为________(填序号)．
①6,6,6,6,6；②－2，－1,0,1,2；③5,8,11,14；
④0,1,3,6,10.
【解析】　①②③是等差数列，④不是等差数列．
【答案】　①②③
2．若数列1，a,9是等差数列，则a的值为________．
【解析】　由1，a,9成等差数列可知，
a－1＝9－a，∴2a＝1＋9，
∴a＝5.
【答案】　5
3．若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2，则an＝________.
【解析】　由an＋1＝an＋2，得an＋1－an＝2，
∴{an}是首项a1＝1，d＝2的等差数列，
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
【答案】　2n－1
4．设数列{an}的公差为d，则数列a3，a6，a9，…，a3n是________数列，其公差为________.
【导学号：91730025】
【解析】　a3n－a3(n－1)＝3d.
【答案】　等差　3d
5．梯子的最高一级宽33
cm，最低一级宽110
cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．
【解】　用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知，
得a1＝33，a12＝110，n＝12.
由通项公式，得a12＝a1＋(12－1)d，
即110＝33＋11d，解得d＝7.
因此，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103.
所以梯子中间各级的宽度从上到下依次是40
cm,47
cm,54
cm,61
cm,68
cm,75
cm,82
cm,89
cm,96
cm,103
cm.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
学业分层测评(七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知等差数列{an}的通项公式是an＝3n，则其公差是________．
【解析】　an－an－1＝3n－3(n－1)＝3.
【答案】　3
2．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列为________(填序号)．
(1)是公差为2的等差数列；
(2)是公差为5的等差数列；
(3)是首项为5的等差数列；
(4)是公差为n的等差数列．
【解析】　∵an＝2n＋5，
∴an＋1－an＝2(n＋1)＋5－2n－5＝2.
又a1＝2×1＋5＝7，
故(1)正确．
【答案】　(1)
3．等差数列3,7,11，…的第4项是________．
【解析】　由题意可知7－3＝a4－11，∴a4＝15.
【答案】　15
4．已知数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列，若an＝2
017，则项的序号n等于________．
【解析】　由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d得2
017＝1＋(n－1)·3，解得n＝673.
【答案】　673
5．已知数列{an}为等差数列a3＝，a7＝－，则a15＝________.
【解析】　法一　由
得
解得a1＝，d＝－.
∴a15＝a1＋(15－1)d
＝＋14×＝－.
法二　由a7＝a3＋(7－3)d，
即－＝＋4d，解得d＝－.
∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－.
【答案】　－
6．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．
【解析】　设an＝－24＋(n－1)d，
由
解得【答案】　
7．黑白两种颜色的正六边形地面砖按图2 2 1的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖________块．
图2 2 1
【解析】　显然构成一个等差数列，且首项a1＝6，公差d＝4，∴第n个图案中有an＝6＋4(n－1)＝4n＋2块白色地面砖．
【答案】　4n＋2
8．已知两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，则它们的公共项的个数有________．
【解析】　设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an}，
则a1＝11.
∵数列5,8,11…与3,7,11…的公差分别为3和4，
∴{an}的公差d＝3×4＝12，
∴an＝11＋12(n－1)＝12n－1.
又∵5,8,11，…与3,7,11…的第100项分别为302和399，
∴an＝12n－1≤302，即n≤25.5.
又n∈N
，
∴两数列有25个相同的项．
【答案】　25
二、解答题
9．若等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．
【解】　由题意知
∴
解得∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
故数列{an}的通项公式an＝2n.
10．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【解】　(1)证明：∵bn＋1－bn＝－
＝－＝－
＝＝，
又∵b1＝＝，
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
(2)由(1)可知bn＝＋(n－1)×＝，
又由bn＝可知，an＝2＋＝2＋.
[能力提升]
1．若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是________(填序号)．
①{an＋3}；②；③{an＋1－an}；④{2an}；⑤.
【解析】　∵{an}成等差数列，
∴an＋1－an＝d(常数)．
∴{an＋3}，{an＋1－an}，{2an}均是等差数列，
{a}，未必是等差数列．
【答案】　①③④
2．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝________.
【导学号：91730026】
【解析】　由题设可得－＋1＝0，
即－＝1，所以数列是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式＝n，所以an＝n2.
【答案】　n2
3．如果有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，那么称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{cn}中，c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2＝________.
【解析】　因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19，又{cn}为21项的对称数列，所以c2＝c20＝19.
【答案】　19
4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
【解】　(1)数列是等差数列，理由如下：
∵a1＝2，an＋1＝，
∴＝＝＋，
∴－＝，
即是首项为＝，
公差为d＝的等差数列．
(2)由上述可知
＝＋(n－1)d＝，∴an＝.第2课时　一元二次不等式的应用
1．掌握含字母参数的一元二次不等式的解法．(重点)
2．会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．(难点)
3．会以一元二次不等式为数学模型，求解相应的实际问题．(重点)
[小组合作型]
含参数的一元二次不等式的解法
　(1)解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.
(2)解关于x的不等式：ax2－(a－1)x－1<0(a∈R)．
【精彩点拨】　(1)解相应方程的根―→比较讨论两根大小―→得解集
【自主解答】　(1)方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，则当a<－1时，原不等式解集为{x|a－1时，原不等式解集为{x|－1(2)原不等式可化为：
(ax＋1)(x－1)<0，
当a＝0时，x<1；
当a>0时，(x－1)<0，
∴－当a＝－1时，x≠1；
当－11，(x－1)>0，
∴x>－或x<1；
当a<－1时，－<1，
∴x>1或x<－.
综上，原不等式的解集是：
当a＝0时，{x|x<1}；
当a>0时，；
当a＝－1时，{x|x≠1}；
当－1；
当a<－1时，.
含字母参数的一元二次不等式分类讨论的顺序：
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
[再练一题]
1．解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0(a∈R)．
【解】　Δ＝a2－16，下面分情况讨论：
(1)当Δ<0，即－4(2)当Δ≥0，即a≥4或a≤－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为
x1＝(－a－)，
x2＝(－a＋)．
当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；
当a>4或a<－4时，原不等式的解集为
；
当a＝4时
，原不等式的解集为
{x|x∈R，且x≠－1}.
一元二次不等式的实际应用
　某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10
000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
【精彩点拨】　(1)利用“年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量”．
(2)解“y>(12－10)×10
000”即可．
【自主解答】　(1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10
000×(1＋0.6x)(0整理得y＝－6
000x2＋2
000x＋20
000(0(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有
即
解得0所以投入成本增加的比例应在范围内．
解不等式应用题的一般步骤：
(1)认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系；
(2)引入数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化；
(3)求解不等式；
(4)还原实际问题．
[再练一题]
2．某校园内有一块长为800
m，宽为600
m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．
【解】　设花卉带的宽度为x
m，则中间草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m.根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0故所求花卉带宽度的范围为(0,100]m.
[探究共研型]
不等式的恒成立问题
探究1　一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是R的等价条件是什么？
【提示】　
探究2　不等式f(x)≤a恒成立，x∈[m，n]的等价条件是什么？
【提示】　f(x)≤a，x∈[m，n]恒成立 f(x)的最大值≤a，x∈[m，n]．
　设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
【精彩点拨】　(1)分m＝0和m≠0两类，结合函数图象求解．
(2)利用函数最值或分离变量m，求范围．
【自主解答】　(1)要使mx2－mx－1<0恒成立，
若m＝0，显然－1<0.
若m≠0， －4∴－4(2)法一　要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立．
就要使m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．
令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)是增函数，
∴g(x)的最大值为g(3)＝7m－6<0，
∴0当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)是减函数，
∴g(x)的最大值为g(1)＝m－6<0，得m<6，
∴m<0.
综上所述，m<.
法二　当x∈[1,3]时，f(x)<－m＋5恒成立，
即当x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立．
∵x2－x＋1＝2＋>0，
又m(x2－x＋1)－6<0，
∴m<
＝.
又x∈[1,3]，
∴2＋≥2＋＝7，
∴m<.
有关不等式恒成立求参数的取值范围问题，通常处理方法有两种：
(1)考虑能否分离参数，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参数的不等式；
(2)若参数不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次、二次函数)，并结合图象建立参数的不等式求解．
[再练一题]
3．若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任何实数x恒成立，求实数m的取值范围．
【解】　由题意可知当m＋1＝0，即m＝－1时，原不等式可化为2x－6<0，不符合题意，应舍去；
当m＋1≠0时，由(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任何实数x恒成立，
则有
解得m<－.
综上所述，实数m的取值范围是.
[构建·体系]
1．若a<0，则关于x的不等式(x－5a)(x＋a)>0的解集为________.
【导学号：91730057】
【解析】　∵a<0，∴－a>5a，
∴(x－5a)(x＋a)>0的解集为
{x|x>－a或x<5a}．
【答案】　{x|x>－a或x<5a}
2．关于x的不等式x(x＋m)－2<0的解集为(－1，n)，则实数m，n的值分别为__________．
【解析】　不等式x(x＋m)－2<0，即x2＋mx－2<0，
由题意得解得m＝－1，n＝2.
【答案】　－1,2
3．如果关于x的不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围是________．
【解析】　当k＝0时，－<0显然成立．
当k≠0时，由题意得
∴即－3综上可知－3【答案】　(－3,0]
4．已知不等式ax2＋2x－4>0的解集为空集，则a的取值范围是__________．
【解析】　由题意知，对x∈R恒成立，解得a≤－.
【答案】　
5．已知a>0，解关于x的不等式(x－2)(ax－2)>0.
【解】　当a>0时，原不等式化为(x－2)·>0.
(1)当0(2)当a＝1时
,2＝，原不等式的解集为{x|x≠2}；
(3)当a>1时，两根的大小顺序为2>，原不等式的解集为.
综上所述，
当0；
当a＝1时，原不等式的解集为；
当a>1时，原不等式的解集为.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
学业分层测评(十六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．若实数a，b满足a＋b<0，则不等式<0的解集为________．
【解析】　原不等式等价于(x＋a)(b－x)<0 (x－b)(x＋a)>0.
又a＋b<0，∴b<－a.
∴原不等式的解集为{x|x>－a或x【答案】　{x|x>－a或x2．若关于x的不等式2x2－8x－4－a>0在1【解析】　令f(x)＝2x2－8x－4－a＝2(x－2)2－12－a数形结合知只需f(4)>0即可，
即2×42－8×4－4－a>0，解得a<－4.
【答案】　(－∞，－4)
3．若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则实数m的取值范围是________．
【解析】　令f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，
则x∈(0,1]时，
f(x)min＝f(1)＝12－4×1＝－3，
∴m≤－3.
【答案】　(－∞，－3]
4．若f(x)＝的定义域为R，则实数k的取值范围是________.
【导学号：91730058】
【解析】　由题意知，kx2－6kx＋8≥0对任意实数x恒成立．
当k＝0时，8≥0显然成立，
当k≠0时，需满足：
解得0【答案】　
5．不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集为 ，则实数a的取值范围是__________．
【解析】　∵x2－2x－(a2－2a－4)≤0的解集为 ，
∴Δ＝4＋4(a2－2a－4)<0，
∴a2－2a－3<0，
∴－1【答案】　(－1,3)
6．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3
000＋20x－0.1x2(0【解析】　y－25x＝－0.1x2－5x＋3
000≤0，∴x2＋50x－30
000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)．
【答案】　150
7．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0(k≠0)的解，则k的取值范围是________．
【解析】　因为x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0(k≠0)的解，所以k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2且k≠0.
【答案】　k≥4或k≤2且k≠0
8．在R上定义运算 ：x y＝x(1－y)．若不等式(x－a) (x＋a)<1对任意实数x成立，则a的取值范围是__________.
【导学号：91730059】
【解析】　由题意可知，(x－a) (x＋a)＝(x－a)·(1－x－a)，
∴原不等式可化为(x－a)(1－x－a)<1.
即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x都成立，
所以只需Δ＝(－1)2－4(－a2＋a＋1)<0.
解得－【答案】　
二、解答题
9．已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，求实数a的取值范围．
【解】　①a＝－2时，原不等式 －1≥0无解．
②当
－2由①②知－2≤a<.
10．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．
(1)求a，b的值；
(2)解不等式>0(c为常数)．
【解】　(1)由题知a>0，且1，b为方程ax2－3x＋2＝0的两根，
即∴a＝1，b＝2，
(2)不等式等价于(x－c)(x－2)>0，
当c>2时
，其解集为{x|x>c或x<2}，
当c<2时，其解集为{x|x>2或x当c＝2时，其解集为{x|x≠2}．
[能力提升]
1．关于x的不等式组有解，则实数a的取值范围是________．
【解析】　由已知得若不等式组有解，
∴2a＋4>a2＋1，
即a2－2a－3<0，
∴－1【答案】　(－1,3)
2．对任意a∈[－2,3]，不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0恒成立，则x的取值范围为________．
【解析】　设f(a)＝x2＋(a－6)x＋9－3a
＝(x－3)a＋x2－6x＋9，
由已知条件得
即
∴
∴x<0或x>5.
【答案】　(－∞，0)∪(5，＋∞)
3．若a＋1>0，则不等式x≥的解集为________．
【解析】　∵x≥＝＝x－1－，
∴1≥－，
∴≥0，∴(x＋a)(x－1)≥0.
又a＋1>0，∴1>－a，
∴原不等式的解集为{x|x≥1或x≤－a}．
【答案】　{x|x≥1或x≤－a}
4．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每一小时可获得的利润是100元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3
000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
【解】　(1)根据题意，得200≥3
000，即5x－14－≥0，又1≤x≤10，所以5x2－14x－3≥0，解得3≤x≤10.
(2)设利润为y元，则y＝·100＝9×104.故当x＝6时，ymax＝457
500，即甲厂以6千克/小时的速度生产该产品获得的利润最大，最大利润为457
500元．1.1　正弦定理
第1课时　正弦定理(1)
1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，了解正弦定理的推导过程．
(重点)
2．掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形的度量问题．(难点)
3．解三角形时增解或漏解．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1　正弦定理
阅读教材P5～P7“思考”以上部分，完成下列问题．
三角形的各边和它所对角的正弦之比相等．
即＝＝.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦定理适用于所有三角形．(　　)
(2)在△ABC中，a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C．(　　)
(3)＝＝＝2R，其中R为△ABC的外接圆的半径．(　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)√
教材整理2　解斜三角形
阅读教材P7例1～P8，完成下列问题．
1．解斜三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的________个元素(至少有一个是________)，求其余未知元素的过程．
【答案】　三　边
2．利用正弦定理可以解决的两类解斜三角形的问题
(1)已知________，求其他两边和一角；
(2)已知________与其中一边的________，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．
【答案】　两角与任一边　两边　对角
1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin
A＝，则sin
B＝________.
【解析】　根据＝，有＝，得sin
B＝.
【答案】　
2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝________.
【导学号：91730000】
【解析】　由正弦定理可知，＝，所以AC＝＝＝2.
【答案】　2
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问2：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问3：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
[小组合作型]
已知两角及任一边解三角形
　在△ABC中，已知A＝45°，B＝30°，c＝10，求a，b，C.
【精彩点拨】　利用正弦定理求解．
【自主解答】　由正弦定理得，＝，
即a＝＝＝＝10(－1)．
由＝得，
b＝＝＝5(－)．
已知两角与一边求解三角形问题的基本解法
1．若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．
2．若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．
[再练一题]
1．在△ABC中，若tan
A＝，C＝150°，BC＝1，求AB，AC的值．
【解】　∵tan
A＝，∴sin
A＝，cos
A＝.
由正弦定理得
AB＝＝＝.
又A＋B＋C＝180°，∴B＝180°－A－C＝30°－A.
∴sin
B＝sin(30°－A)
＝sin
30°cos
A－cos
30°sin
A
＝×－×＝.
∴AC＝＝＝.
已知两边与其中一边的对角，解三角形
　在△ABC中，分别根据下列条件解三角形．
(1)a＝1，b＝，A＝30°；
(2)a＝，b＝1，B＝120°.
【精彩点拨】　(1)先求sin
B＝，再利用大边对大角求B，进而求C及c.
(2)先求sin
A＝的值再进行判断．
【自主解答】　(1)根据正弦定理，sin
B＝＝＝.
∵b>a，∴B>A＝30°，∴B＝60°或120°.
当B＝60°时，
C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋60°)＝90°，
∴c＝＝＝2；
当B＝120°时，
C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋120°)＝30°，
c＝＝＝1.
(2)根据正弦定理，sin
A＝＝＝>1.
因为sin
A≤1.所以A不存在，即无解．
利用正弦定理解三角形，若已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．
[再练一题]
2．在△ABC中，c＝，C＝，a＝2，求A，B，b.
【解】　∵＝，
∴sin
A＝＝＝.
∵c>a，∴C>A，∴A＝，
∴B＝π－－＝.
∵＝，
∴b＝＝
＝＝＋1.
[探究共研型]
判断三角形解的情况
探究1　在△ABC中，若A>B，则sin
A>sin
B吗？反之呢？
【提示】　由A>B，得a>b，∴sin
A>sin
B，反之，亦然．
探究2　在△ABC中，若A<90°，则a，b满足什么条件时，此△ABC有且只有一解？
【提示】　当a＝bsin
A或a>b时，△ABC的解是唯一的．
探究3　探究2中的△ABC会有两解吗？
【提示】　当bsin
A　不解三角形，判断下列三角形解的个数．
(1)a＝5，b＝4，A＝120°；
(2)a＝7，b＝14，A＝150°；
(3)a＝9，b＝10，A＝60°；
(4)a＝1，b＝2，A＝30°.
【精彩点拨】　根据已知条件画图，依据高和图形判断解的个数．
【自主解答】　(1)如图(1)，∵A为钝角，且a＞b，
∴三角形有一解．
　　
(1)　　　　　　　　　(2)
(2)如图(2)，∵A为钝角，且a＜b，∴无解．
(3)如图(3)，∵h＝bsin
A＝5，而5＜9＜10，
∴三角形有两解．
　　
(3)　　　　　　　　　　(4)
(4)如图(4)，∵h＝bsin
A＝1，∴a＝h，∴三角形有一解．
三角形解的各种情况汇总
已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况如下：
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
①a＝bsin
A且absin
AaA
a>b
a≤b
解的个数
一解
两解
无解
一解
无解
[再练一题]
3．根据下列条件判断△ABC解的情况．
(1)已知b＝4，c＝8，B＝30°；
(2)已知b＝6，c＝9，B＝45°；
(3)已知B＝30°，b＝，c＝2.
【解】　(1)由正弦定理，得sin
C＝＝＝1，
又由c>b知C>B，∴30°∴C＝90°，故有一解．
(2)∵sin
C＝＝＝>1，
故无解．
(3)由正弦定理，得sin
C＝＝＝，
又c>b，∴30°∴C＝45°或C＝135°，故有两解．
[构建·体系]
1．在△ABC中，下列等式中总能成立的是________(填序号)．
①asin
A＝bsin
B；②bsin
C＝csin
A；
③absin
C＝bcsin
B；④asin
C＝csin
A.
【解析】　由正弦定理＝，得asin
C＝csin
A，故④正确．
【答案】　④
2．在△ABC中，A＝30°，a＝3，则△ABC外接圆的半径是________.
【导学号：91730001】
【解析】　由＝2R，可知R＝＝3.
【答案】　3
3．在△ABC中，A＝30°，B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.
【解析】　C＝180°－(A＋B)＝180°－(120°＋30°)＝30°.
由正弦定理＝，得
a＝＝＝＝4.
由＝，得
c＝＝＝＝4.
∴a＋c＝8.
【答案】　8
4．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，则＝________.
【解析】　设a＝4k，b＝3k，c＝5k，
则由正弦定理得＝＝1.
【答案】　1
5．在△ABC中，
(1)已知c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B；
(2)已知a＝，b＝，B＝45°，求A，C和c.
【解】　(1)由内角和定理得B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°，
由正弦定理＝＝，
得a＝＝＝10，
b＝＝＝20sin
75°＝20×
＝5(＋1)．
(2)由正弦定理＝，得sin
A＝＝＝，
又a>b，∴A＝60°或120°，
①当A＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝75°，
c＝＝＝.
②当A＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝15°，
c＝＝＝.
故A＝60°，C＝75°，c＝或A＝120°，C＝15°，c＝.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
学业分层测评(一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sin
A∶sin
B的值是________．
【解析】　由正弦定理可知，sin
A∶sin
B＝a∶b＝5∶3.
【答案】　5∶3
2．在△ABC中，若A＝75°，B＝60°，c＝2，则b＝________.
【解析】　在△ABC中，C＝180°－A－B＝45°，
∴b＝＝＝.
【答案】　
3．在△ABC中，若＝，则C的值为________．　
【解析】　由正弦定理可知，＝，
又＝，
∴＝，
即tan
C＝1,0°∴C＝45°.
【答案】　45°
4．(2015·北京高考)在△ABC中，a＝3，b＝，∠A＝，则∠B＝________.
【解析】　在△ABC中，根据正弦定理＝，有＝，可得sin
B＝.因为∠A为钝角，所以∠B＝.
【答案】　
5．在△ABC中，已知a＝4，b＝4，A＝60°，则c＝________.
【导学号：91730002】
【解析】　由＝，得sin
B＝sin
A＝×＝.
∵b∴B＝45°，C＝180°－A－B＝75°，
∴c＝a＝4×
＝2(＋)．
【答案】　2(＋)
6．在△ABC中，已知a＝18，b＝16，A＝150°，则满足条件的三角形有________个．
【解析】　A＝150°>90°，∵a>b，∴满足条件的三角形有1个．
【答案】　1
7．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的长为________．
【解析】　易得A＝75°，∴B为最小角，即b为最短边，
∴由＝，得b＝.
【答案】　
8．(2016·苏州高二检测)在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝________.
【解析】　由A∶B∶C＝1∶2∶3，可知A＝，B＝，C＝.
∴a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C＝∶∶1
＝1∶∶2.
【答案】　1∶∶2
二、解答题
9．在△ABC中，若a＝2，A＝30°，讨论当b为何值时(或在什么范围内)，三角形有一解，有两解或无解？
【解】　当a30°，即b>4时，
无解；
当a≥b或a＝bsin
A，即b≤2或b＝4时，有一解；
当bsin
A10．在△ABC中，b＝2a，B＝A＋60°，求角A.
【解】　根据正弦定理＝，把b＝2a代入得＝，
∴sin
B＝2sin
A.
又∵B＝A＋60°，
∴sin(A＋60°)＝2sin
A，
展开得－sin
A＋cos
A＝0，
∴sin(A－30°)＝0，
解得A＝30°.
[能力提升]
1．(2016·南通高二检测)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin
B＝b，则角A等于________．
【解析】　由正弦定理可得，2asin
B＝b可化为2sin
Asin
B＝sin
B，又sin
B≠0，即sin
A＝，又△ABC为锐角三角形，得A＝.
【答案】　
2．(2014·广东高考)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcos
C＋ccos
B＝2b，则＝________.
【解析】　因为bcos
C＋ccos
B＝2b，
所以sin
Bcos
C＋sin
Ccos
B＝2sin
B，
故sin(B＋C)＝2sin
B.
故sin
A＝2sin
B，则a＝2b，即＝2.
【答案】　2
3．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是____________.
【导学号：91730003】
【解析】　因为三角形有两解，所以asinB即x<2【答案】　(2,2)
4．在△ABC中，acos＝bcos，判断△ABC的形状．
【解】　法一　∵acos＝bcos，
∴asin
A＝bsin
B.
由正弦定理可得a·＝b·，
∴a2＝b2，
即a＝b，∴△ABC为等腰三角形．
法二　∵acos＝bcos，
∴asin
A＝bsin
B.
由正弦定理可得2Rsin2A＝2Rsin2B，
即sin
A＝sin
B.
∴A＝B.(A＋B＝π不合题意舍去)
故△ABC为等腰三角形．3.2　一元二次不等式
第1课时　一元二次不等式的解法
1．能从实际情境中抽象出一元二次不等式，掌握一元二次不等式的解法．
(重点)
2．掌握分式不等式的解法．(重点)
3．能借助“三个二次”的关系解决与一元二次不等式有关的解集问题．
(难点)
[基础·初探]
教材整理　一元二次不等式
阅读教材P75～P77练习以上的有关内容，完成下列问题．
1．一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式．
2．一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2且x1有两个相等的实数根x1＝x2
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|x>x2或xR
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1

1．下列不等式中是一元二次不等式的是________．(填序号)
①(m＋1)x2－3x＋1<0；②2x2－x>2；③－x2＋5x＋6≥0；④(x＋a)(x＋a＋1)<0
【解析】　③④符合一元二次不等式的定义；对于①，当m＋1＝0时，不是一元二次不等式；②是指数不等式．
【答案】　③④
2．不等式x2＋x－2<0的解集为________．
【解析】令f(x)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，画出函数图象可知，当－2【答案】　{x|－2[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问2：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问3：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
[小组合作型]
一元二次不等式的基本解法
　解下列不等式．
(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；
(3)－x2＋6x－10>0.
【精彩点拨】　移项，化一边为0―→二次项系数化为正数―→
验根是否存在―→求根―→求不等式的解集
【自主解答】　(1)Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝，作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示．用阴影描出原不等式的解，由图可得原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0，Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝，作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为
.
(3)原不等式可化为x2－6x＋10<0，
∵Δ＝－4<0，∴方程x2－6x＋10＝0无实根，
又∵二次项系数大于0，∴x2－6x＋10>0恒成立．
∴原不等式的解集为 .
解一元二次不等式的步骤：
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
[再练一题]
1．求下列一元二次不等式的解集．
(1)x2－5x>6；(2)4x2－4x＋1≤0；(3)(5－x)(x＋1)≥0.
【解】　(1)由x2－5x>6，得x2－5x－6>0，
∴(x－6)(x＋1)>0，
∴x>6或x<－1.
∴不等式的解集为{x|x>6或x<－1}．
(2)∵4x2－4x＋1＝(2x－1)2≥0，
∴4x2－4x＋1≤0的解集为.
(3)由(5－x)(x＋1)≥0，
得(x－5)(x＋1)≤0，
∴－1≤x≤5，
∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}.
“三个二次”间对应关系的应用
　若不等式ax2＋5x－2>0的解集是，求不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集.
【导学号：91730053】
【精彩点拨】　利用不等式解集的端点值为对应方程的根，求出a的值，再解不等式即可．
【自主解答】　由已知条件可知a<0，且，2是相应方程ax2＋5x－2＝0的两个根，由根与系数关系得，
解得a＝－2.
∴ax2－5x＋a2－1>0化为2x2＋5x－3<0，
化为(2x－1)(x＋3)<0，
解得－3所以不等式的解集为.
“三个二次”之间的内在联系
[再练一题]
2．若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
【解】　由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a<0，
又×2＝<0，则c>0.
又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∴－＝，
∴＝－.
又＝－，
∴b＝－a，c＝－a，
∴不等式cx2＋bx＋a<0变为x2＋x＋a<0，
即2ax2＋5ax－3a>0.
又∵a<0，
∴2x2＋5x－3<0，
所求不等式的解集为.
[探究共研型]
分式不等式的解法
探究1　“≥0”与“(2x－1)(3x＋1)≥0”是同解不等式吗？为什么？
【提示】　不是．因为前者3x＋1≠0，而后者3x＋1可以为0.
探究2　不等式“>1”与不等式“x＋1>x－5”是同解不等式吗？为什么？
【提示】　不是．因为“x－5”的符号不定，故>1不等价于x＋1>x－5.
　解下列不等式．
(1)<0；
(2)≤1；(3)<0.
【精彩点拨】　移项→通分→等价变形→解一元二次不等式
【自主解答】　(1)∵<0，
∴(x－3)(x＋2)<0，∴－2∴原不等式的解集为{x|－2(2)∵≤1，∴－1≤0，
∴≤0，即≥0.
此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，
解得x<或x≥4.
∴原不等式的解集为.
(3)由<0，得>0，
此不等式等价于(x－1)>0，
解得x<－或x>1，
∴原不等式的解集为.
分式不等式的解题策略
解分式不等式要先通过移项、通分转化为以下类型再进行求解：
(1)>0型，>0 f(x)g(x)>0；
(2)<0型，<0 f(x)g(x)<0；
(3)≥0型，≥0
(4)≤0型，≤0
[再练一题]
3．解下列不等式．
(1)<0；(2)≥1.
【解】　(1)由<0，得>0，此不等式等价于(x＋2)(x－1)>0，∴原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．
(2)移项得－1≥0，
整理得≥0，
它的同解不等式为
∴x≥4或x<－3.
∴原不等式的解集为{x|x<－3或x≥4}．
[构建·体系]
1．不等式2x2－x－1>0的解集是__________．
【解析】　∵(2x＋1)(x－1)>0，∴x<－或x>1.
【答案】　∪(1，＋∞)
2．不等式－6x2－x＋2≤0的解集为__________．
【解析】　－6x2－x＋2≤0 6x2＋x－2≥0 (2x－1)·(3x＋2)≥0 x≤－或x≥.
【答案】　∪
3．不等式≥0的解集是__________．
【解析】　∵∴x>1或x≤－1.
【答案】　(－∞，－1]∪(1，＋∞)
4．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7【导学号：91730054】
【解析】　由题意可知，－7，－1是方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根，
∴(－7)×(－1)＝，∴a＝3.
【答案】　3
5．求函数f(x)＝＋lg(3＋2x－x2)的定义域．
【解】　要使函数f(x)有意义，则x满足不等式组
由①得x≥1或x≤－，
由②得－1∴
∴1≤x<3，
∴函数f(x)的定义域为[1,3)．
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
学业分层测评(十五)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为________．
【解析】　由方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，知函数y＝ax2＋bx＋c的零点为2，－1，
又∵a<0，∴函数y＝ax2＋bx＋c的图象是开口向下的抛物线，
∴不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|－1≤x≤2}．
【答案】　{x|－1≤x≤2}
2．不等式组的解集为________．
【解析】　∵x2－1<0的解集为{x|－1x2－3x<0的解集为{x|0∴的解集为{x|0【答案】　{x|03．不等式≤0的解集为________．
【解析】　不等式≤0等价于
解得≤x<2.
【答案】　
4．下列不等式中解集为实数集R的是__________．(填序号)
①x2＋4x＋4>0；②>0；③x2－x＋1≥0；
④－1<.
【解析】　①不等式可化为(x＋2)2>0，∴解集为{x|x≠－2}；②不等式解集为{x|x≠0}；③由Δ＝1－4<0，∴不等式解集为R；④由定义域要求x≠0，∴解集为{x|x≠0}．
【答案】　③
5．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a<0的解集是________．
【解析】　由题意知，－，－是方程ax2－bx－1＝0的两实根，
∴
解得a＝－6，b＝5，
∴x2－bx－a<0 x2－5x＋6<0 2【答案】　(2,3)
6．不等式<1的解集为{x|x<1或x>2}，那么a的值为________.
【导学号：91730055】
【解析】　<1化为－1<0，
即<0，
等价于[(a－1)x＋1](x－1)<0，
∴(a－1)x2－(a－2)x－1<0，
∴1,2是方程(a－1)x2－(a－2)x－1＝0的两个根．
∴解得a＝.
【答案】　
7．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于__________．
【解析】　由题意知x1，x2是方程x2－2ax－8a2＝0的两根，所以x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，则(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2，又x2－x1＝15，可得36a2＝152，又a>0，则a＝.
【答案】　
8．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是__________．
【解析】　f(1)＝12－4×1＋6＝3，不等式即为
f(x)>3.
①当x≥0时，不等式即为
解得
即x>3或0≤x<1；
②当x<0时，
不等式即为
解得－3综上，原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．
【答案】　(－3,1)∪(3，＋∞)
二、解答题
9．解不等式x2－3|x|＋2≤0.
【解】　x2－3|x|＋2≤0 |x|2－3|x|＋2≤0
(|x|－1)·(|x|－2)≤0 1≤|x|≤2.
当x≥0时，1≤x≤2；
当x<0时，－2≤x≤－1.
∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤－1，或1≤x≤2}．
10．已知函数f(x)
＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)【解】　由函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，可知对于x2＋ax＋b＝0，有Δ＝a2－4b＝0，即b＝，所以f(x)＝x2＋ax＋b＝x2＋ax＋＝2，由f(x)＝2又不等式f(x)所以－＝2＝6，解得c＝9.
[能力提升]
1．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为________．
【解析】　由题知，一元二次不等式f(x)>0的解集为，即－1<10x< x<－lg
2.
【答案】　{x|x<－lg
2}
2．已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为__________.
【导学号：91730056】
【解析】　设x<0，则－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－4(－x)]＝－x2－4x，又f(0)＝0，所以f(x)＝当x≥0时，由x2－4x>x，解得x>5；当x<0时，由－x2－4x>x，解得－5x的解集为(－5,0)∪(5，＋∞).
【答案】　(－5,0)∪(5，＋∞)
3．若不等式ax2＋bx＋1>0的解集是
，则≥0的解集为__________．
【解析】　由题知－，是方程ax2＋bx＋1＝0的两根．
∴－×＝，－＋＝－，∴a＝－6，b＝1.
把a＝－6，b＝1代入≥0得
≥0，∴解集为.
【答案】　
4．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．
(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；
(2)若A RB，求实数m的取值范围．
【解】　由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}，
(1)∵A∩B＝[0,3]，
∴
∴
∴m＝2.
(2) RB＝{x|xm＋2}．
∵A RB，∴m－2>3或m＋2<－1，
∴m>5或m<－3.
故m的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．第2课时　余弦定理(2)
1．理解余弦定理，能用余弦定理确定三角形的形状．
2．熟练边角互化．(重点)
[基础·初探]
教材整理　射影定理和平行四边形的性质定理
阅读教材P16～P17，完成下列问题．
1．射影定理
在△ABC中，
(1)bcos
C＋ccos
B＝a；
(2)ccos
A＋acos
C＝b；
(3)acos
B＋bcos
A＝c.
2．平行四边形性质定理
平行四边形两条对角线平方的和等于四边平方的和．
特别地，若AM是△ABC中BC边上的中线，则AM＝.
1．在△ABC中，若BC＝3，则ccos
B＋bcos
C＝________.　
【解析】　ccos
B＋bcos
C＝BC＝3.
【答案】　3
2．若△ABC中，AB＝1，AC＝3，∠A＝60°，则BC边上的中线AD＝________.
【解析】　在△ABC中，由余弦定理可知BC＝.
∴AD＝
＝
＝.
【答案】　
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问2：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问3：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
[小组合作型]
利用正、余弦定理解决实际问题
　某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10
n
mile/h的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14
n
mile/h的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
【精彩点拨】　先画出示意图，再借助正、余弦定理求解．
【自主解答】　如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x
h后在B处追上走私船，则CB＝10x，AB＝14x，AC＝9，∠ACB＝75°＋45°＝120°，由余弦定理，得(14x)2＝92＋(10x)2－2×9×10xcos
120°，
化简得32x2－30x－27＝0，
即x＝或x＝－(舍去)，
∴巡逻艇需要1.5
h才追赶上该走私船．
∴BC＝10x＝15，AB＝14x＝21.
在△ABC中，由正弦定理，得
sin∠BAC＝＝×＝.
∴∠BAC＝38°13′，或∠BAC＝141°47′(钝角不合题意，舍去)，
∴38°13′＋45°＝83°13′.
答：巡逻艇应该沿北偏东83°13′方向去追，经过1.5
h才追赶上该走私船．
准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、方位角等，将要求解的问题归纳到一个或几个三角形中，通过合理运用余弦定理等解三角形的有关知识，建立数学模型，然后正确求解．
[再练一题]
1．两船同时从A港出发，甲船以20
n
mile/h的速度向北偏东80°的方向航行，乙船以12
n
mile/h的速度向北偏西40°方向航行，求一小时后，两船相距多少n
mile.
【解】　一小时后甲船到B处，乙船到C处，如图，△ABC中，AB＝20，AC＝12，∠CAB＝40°＋80°＝120°，
由余弦定理，得BC2＝202＋122－2×20×12·cos
120°＝784，∴BC＝28(n
mile)．
即一小时后，两船相距28
n
mile.
利用正、余弦定理判断三角形的形状
　在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos
Asin
B＝sin
C，试确定△ABC的形状.
【导学号：91730012】
【精彩点拨】　(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab求C；
2cos
Asin
B＝sin
C求A与B的关系．
【自主解答】　∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
∴a2＋b2－c2＝ab，
∴2abcos
C＝ab，
∴cos
C＝，
∴C＝.
法一：又2cos
Asin
B＝sin
C＝sin(A＋B)
＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B，
∴sin
Acos
B－cos
Asin
B＝0，
∴sin(A－B)＝0，
∴A＝B，
∴A＝B＝C＝，
∴△ABC为等边三角形．
法二：由2cos
Asin
B＝sin
C可知
2b×＝c，
即b2＝a2，∴a＝b，
∴A＝B＝C＝，
∴△ABC为等边三角形．
利用正、余弦定理判定三角形形状的策略
[再练一题]
2．在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．
【解】　法一　根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos
B.
∵B＝60°，2b＝a＋c，
∴2＝a2＋c2－2accos
60°，
整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.
又∵2b＝a＋c，∴2b＝2a，即b＝a.
∴△ABC是正三角形．
法二　根据正弦定理，
2b＝a＋c可转化为
2sin
B＝sin
A＋sin
C.
又∵B＝60°，∴A＋C＝120°，∴C＝120°－A，
∴2sin
60°＝sin
A＋sin(120°－A)，
整理得sin(A＋30°)＝1，∴A＝60°，
C＝60°，∴△ABC是正三角形．
[探究共研型]
利用正、余弦定理度量平面图形
探究1　在△ABC中，若AD⊥BC，则ABcos
B＋ACcos
C的值为多少？
【提示】　如图，易知ABcos
B＝BD，ACcos
C＝CD，又BD＋CD＝BC，
故ABcos
B＋ACcos
C＝BC.
探究2　在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线，则BD与DC有什么关系？
【提示】　BD∶DC＝AB∶AC.
探究3　在△ABC中，若AD是BC边上的中线，则AD与AB，AC，BC间存在怎样的等量关系？
【提示】　4AD2＝2(AB2＋AC2)－BC2.
　(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
【精彩点拨】　(1)利用正弦定理和三角形的面积公式求解即可．(2)利用余弦定理和(1)中得到的结论求解．
【自主解答】　(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.
因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.
由正弦定理，得＝＝.
(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.
在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.
故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6.
由(1)，知AB＝2AC，所以AC＝1.
1．平面几何中的面积、长度问题常借助正、余弦定理求解，合理转化已知条件是求解此类问题的关键．
2．求解此类问题要特别注意隐含条件的挖掘，如(1)中隐含角平分线的性质定理；(2)中隐含着∠ADB＋∠ADC＝180°.
[再练一题]
3.如图1 2 1，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，求AD的长度．
图1 2 1
【解】　在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝2，
由余弦定理，得cos
C＝＝，
∴sin
C＝.
在△ADC中，由正弦定理得，
＝，
∴AD＝×＝.
[构建·体系]
1．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4bsin
A，则cos
B＝________.
【解析】　∵a＝4bsin
A，由正弦定理知sin
A＝4sin
Bsin
A，∴sin
B＝，cos
B＝＝＝.
【答案】　
2．若平行四边形两邻边的长分别是和，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长分别是________．
【解析】　两条对角线的长分别为
＝和
＝.
【答案】　　
3．已知A，B两地的距离为10
km，B，C两地的距离为20
km，经测量，∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为________
km.
【导学号：91730013】
【解析】　AC2＝102＋202－2×10×20×cos
120°，
∴AC＝10.
【答案】　10
4．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为________．
【解析】　∵b2＝a2＋c2－2accos
60°＝a2＋c2－ac，
∴a2＋c2－ac＝ac，
∴a2－2ac＋c2＝0，∴a＝c.
又∵B＝60°，∴△ABC为正三角形．
【答案】　正三角形
5．如图1 2 2所示，在四边形ABCD中，BC＝20，DC＝40，
B＝105°，C＝60°，D＝150°，求：
图1 2 2
(1)AB的长；
(2)四边形ABCD的面积．
【解】　(1)连结BD，
因为∠ABC＝105°，C＝60°，
∠ADC＝150°，
所以A＝360°－105°－60°－150°＝45°.
在△BCD中，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos
C
＝202＋402－2×20×40×＝1
200，
于是BD＝20.
因为BD2＋BC2＝CD2，所以∠CBD＝90°.
所以∠ABD＝105°－90°＝15°，∠ADB＝180°－45°－15°＝120°.
在△ABD中，＝，
所以AB＝＝＝30.
(2)因为sin
15°＝sin(45°－30°)＝，
所以四边形ABCD的面积S四边形ABCD＝S△DBC＋S△DBA＝×20×20＋×20×30×＝50(9＋)．
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
学业分层测评(四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．在△ABC中，若B＝60°，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．
【解析】　在△ABD中，∠ABD＝60°，AB＝1，BD＝2，由余弦定理得AD2＝3，故AD＝.
【答案】　
2．如图1 2 3所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a
km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为________
km.
图1 2 3
【解析】　∵CA＝CB＝a，
∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，
∴AB2＝AC2＋CB2－2×AC×CBcos
∠ACB，
即AB2＝a2＋a2＋a2＝3a2，
∴AB＝a.
【答案】　a
3．如图1 2 4所示，某人向正东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是________．
图1 2 4
【解析】　由余弦定理：x2＋9－3x＝13，整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4或x＝－1(舍去)．
【答案】　4
4．在钝角△ABC中，a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围为________．
【解析】　在钝角△ABC中，由于最大边为c，所以角C为钝角．所以c2>a2＋b2＝1＋4＝5，即c>，又因c【答案】　(，3)
5．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是________．
【解析】　设直角三角形三边为a，b，c，且a2＋b2＝c2，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，
∴c＋x所对的最大角变为锐角．
【答案】　锐角三角形
6．(2016·南通高二检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若S△ABC＝，则角C的大小为________.
【导学号：91730014】
【解析】　∵S△ABC＝，
∴absin
C＝×2abcos
C，
∴tan
C＝1，又C∈(0，π)，
∴C＝.
【答案】　
7．(2016·扬州高二检测)在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC＝6，则A·B等于________．
【解析】　由余弦定理得cos
B＝＝＝.
∴·＝－·B＝－||·||·cos
B＝－7×5×＝－19.
【答案】　－19
8．在△ABC中，若sin2A≤sin2B＋sin2C－sin
Bsin
C，则A的取值范围是________．
【解析】　由正弦定理，得a2≤b2＋c2－bc，
即b2＋c2－a2≥bc，
∴2bccos
A≥bc，
∴cos
A≥.
又A∈(0，π)且y＝cos
x在(0，π)上是减函数，故A∈.
【答案】　
二、解答题
9．△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cos
A＝.
(1)求·；
(2)若c－b＝1，求a的值．
【解】　由cos
A＝，得sin
A＝＝.
又bcsin
A＝30，
∴bc＝156.
(1)·＝bccos
A＝156×＝144.
(2)a2＝b2＋c2－2bccos
A＝(c－b)2＋2bc(1－cos
A)＝1＋2×156×＝25，∴a＝5.
10．(2016·苏州高二检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，并且a2＝b(b＋c)．
(1)求证：A＝2B.
(2)若a＝b，判断△ABC的形状．
【解】　(1)证明：由a2＝b(b＋c)得
a2＝b2＋bc，
又cos
B＝＝＝，
∴2sin
Acos
B＝sin
B＋sin
C
＝sin
B＋sin(A＋B)
即sin
B＝sin(A－B)，
∴B＝A－B或A－B＝π－B，
∴A＝2B或A＝π不成立，
故A＝2B.
(2)∵a＝b，∴＝.
又由a2＝b(b＋c)可得c＝2b，
∴cos
B＝＝＝，
所以B＝30°，A＝2B＝60°，C＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
[能力提升]
1．(2015·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos
A＝－，则a的值为________．
【解析】　在△ABC中，由cos
A＝－可得sin
A＝，
所以有解得
【答案】　8
2．如图1 2 5，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin
C＝________.
图1 2 5
【解析】　设AB＝a，则AD＝a，BD＝，BC＝2BD＝，cos
A＝＝＝，∴sin
A＝＝.由正弦定理知sin
C＝·sin
A＝×＝.
【答案】　
3．在△ABC中，若lg
a－lg
c＝lg
sin
A＝－lg，并且A为锐角，则△ABC为________三角形．
【解析】　∵lg
a－lg
c＝lg
sin
A＝－lg，
∴＝sin
A＝.
∵A为锐角，∴A＝45°，∵sin
C＝sin
A＝×sin
45°＝1，∴C＝90°.
【答案】　直角
4.如图1 2 6所示，甲船以30
n
mile/h的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20
n
mile，当甲船航行20
min到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10
n
mile.求乙船的航行速度．
图1 2 6
【解】　如图所示，连结A1B2，由已知A2B2＝10，A1A2＝30×＝10，
∴A1A2＝A2B2，
又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，
∴△A1A2B2是等边三角形，
∴A1B2＝A1A2＝10.
由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，在△A1B2B1中，由余弦定理得，B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos
45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200.
∴B1B2＝10.
因此，乙船速度的大小为×60＝30(海里/时)．
答：乙船每小时航行30海里．3.1　不等关系
1．了解现实世界和日常生活中的一些不等关系，了解不等式(组)的实际背景．
2．会用不等式(组)表示不等关系．(重点)
3．会比较数(或式)的大小．(难点)
[基础·初探]
教材整理　不等关系
阅读教材P73～P74，完成下列问题．
在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况．
1．人类能听到的声音频率x不低于80
Hz且不高于2
000
Hz，用不等式表示为________．
【解析】　“不低于80
Hz”即“≥80
Hz”；“不高于2
000
Hz”即“≤2
000
Hz”．
【答案】　80
Hz≤x≤2
000
Hz
2．某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不高于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，用不等式组表示上述关系为________．
【答案】　
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问2：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问3：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
[小组合作型]
用不等式表示不等关系
　某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2
000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
【精彩点拨】　总收入＝单价×销售量，总收入－成本＝利润．
【自主解答】　设杂志社的定价为x元，则销售的总收入为x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式x≥20.
用不等式表示不等关系的注意事项
1．利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示．
2．在用不等式表示实际问题时一定要注意单位统一．
[再练一题]
1．一个两位数，个位数字为a，十位数字为b，且这个两位数大于50，可用不等关系表示为________．
【解析】　该两位数为10b＋a，由题意可知10b＋a>50.
【答案】　10b＋a>50
用不等式组表示不等关系
　某矿山车队有4辆载重为10
t的甲型卡车和7辆载重为6
t的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运
360
t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
【精彩点拨】　
【自主解答】　设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，
则即
用不等式组表示实际问题中的不等关系时，要做到：
(1)阅读要用心，读懂题意，寻找不等关系的根源，这是解决实际问题的基本的一步．
(2)对题中关键字、关键句要留心，多加注意．
(3)要将所有不等关系都表示为不等式．
[再练一题]
2．如图3 1 1，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L大于宽W的4倍，写出L与W的关系．
图3 1 1
【解】　由题意，得
[探究共研型]
实数大小的比较
探究1　如果a，b之间的大小关系分别为a>b，a＝b，a【提示】　若a>b，则a－b>0，反之也成立；
若a＝b，则a－b＝0，反之也成立；
若a探究2　若a>b，则>1吗？反之呢？
【提示】　若a>b，当b<0时，<1，即a>bD \>1；
若>1，则－1>0，即>0，
∴a－b>0，b>0或a－b<0，b<0，
即>1D \a>b，反之也不成立．
　已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
【精彩点拨】　作差―→因式分解判号―→下结论
【自主解答】　x3－1－(2x2－2x)
＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)
＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)，
∵x<1，∴x－1<0，
又∵2＋>0，
∴(x－1)<0，
∴x3－1<2x2－2x.
1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法
(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．
(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．
2．作商法比较大小的步骤及适用范围
(1)作商法比较大小的三个步骤：
①作商变形；
②与1比较大小；
③得出结论．
(2)作商法比较大小的适用范围：
①要比较的两个数同号；
②比较“幂、指数、对数、含绝对值”的两个数的大小时，常用作商法．
[再练一题]
3．若m>2，比较mm与2m的大小．
【解】　∵＝m，
又m>2，∴>1，
∴m>0＝1，
∴mm>2m.
[构建·体系]
1．用不等式表示a与b的平方和是非负数，应为________．　
【解析】　a与b的平方和应表示为a2＋b2，非负数即≥0，故a2＋b2≥0.
【答案】　a2＋b2≥0
2．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120
km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10
m，用不等式表示为________．
【解析】　由题意可知v≤120，d≥10，即
【答案】　
3．b
g糖水中有a
g糖(b>a>0)，若再添上m
g糖(m>0)，则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式为________.
【导学号：91730050】
【解析】　变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了．
【答案】　>
4．已知m＝x2＋2x，n＝3x－2，则m与n的大小关系是________．
【解析】　∵m－n＝x2－x＋2＝2＋，又2≥0，
∴m－n>0，∴m>n.
【答案】　m>n
5．某用户计划购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．问：软件数与磁盘数应满足什么条件？
【解】　设软件数为x，磁盘数为y，由题意得
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
学业分层测评(十四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．某工厂八月份的产量比九月份的产量少；甲物体比乙物体重；A容器不小于B容器的容积．若前一个量用a表示，后一个量用b表示，则上述事实可表示为________；________；________.
【答案】　ab　a≥b
2．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量T满足关系为________.
【导学号：91730051】
【解析】　“限重”即不超过的意思，即T≤40.
【答案】　T≤40
3．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式组表示就是________．
【解析】　“不低于”即≥，“高于”即>，
“超过”即“>”，
∴x≥95，y>380，z>45.
【答案】　
4．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2
000元，设木工x人，瓦工y人，满足工人工资预算条件的数学关系式为________．
【答案】　
5．《铁路旅行常识》规定：“随同成人旅行身高1.2～1.5米的儿童，享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米时，应买全价票，每一成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．……”
设身高为h(米)，请用不等式表示下表中的不等关系
文字表述
身高在1.2～1.5米之间
身高超过1.5米
身高不足1.2米
符号表示
【解析】　身高在1.2～1.5米之间可表示为1.2≤h≤1.5，
身高超过1.5米可表示为h>1.5，
身高不足1.2米可表示为h<1.2.
【答案】　1.2≤h≤1.5　h>1.5　h<1.2
6．若a∈R，则与的大小关系是________．
【解析】　∵－＝＝≤0，∴≤.
【答案】　≤
7．一辆汽车原来每天行驶x
km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19
km，那么在8天内它的行程就超过2
200
km，写成不等式为____________________；如果它每天行驶的路程比原来少12
km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________________．
【解析】　如果该汽车每天行驶的路程比原来多19
km，那么在8天内它的行程为8(x＋19)km，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2
200
km”可以用不等式8(x＋19)>2
200来表示；如果它每天行驶的路程比原来少12
km，那么它原来行驶8天的路程现在所花的时间为，因此，不等关系“它原来行驶8天的路程现在就得花9天多的时间”可以用不等式>9来表示．
【答案】　8(x＋19)>2
200　>9
8．设n>1，n∈N，A＝－，B＝－，则A与B的大小关系为________．
【解析】　∵A＝－＝，
B＝－＝，
∵0<＋<＋，
∴A>B.
【答案】　A>B
二、解答题
9．某帐篷厂为支援某地震灾区，由于帐篷规格的需要，要把长度为4
000
mm的钢管截成500
mm和600
mm两种．按照生产的要求，600
mm钢管的数量不能超过500
mm钢管的数量的3倍．写出满足上述所有不等关系的不等式．
【解】　假设截得500
mm的钢管x根，截得600
mm的钢管y根，根据题意需用不等式组来表示，则有
即
10．设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
【解】　∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当x＝y＝且z＝1时取等号．
[能力提升]
1．已知a≠0，b≠0，且a＋b>0，则＋与＋的大小关系是________．
【解析】　＋－＝＋＝(a－b)
＝.
∵a＋b>0，(a－b)2≥0，a2b2>0，
∴≥0，
∴＋≥＋.
【答案】　＋≥＋
2．若a>0且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，则M，N的大小关系为________.
【导学号：91730052】
【解析】　当a>1时，a3＋1>a2＋1，此时，y＝loga
x为(0，＋∞)上的增函数，∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)；
当0此时，y＝logax为(0，＋∞)上的减函数，∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，
∴当a>0且a≠1时，总有M>N.
【答案】　M>N
3．如图3 1 2所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b(a≠b)的不等式表示出来________．
(1)　　　　　　　　　(2)
图3 1 2
【解析】　(1)中面积显然比(2)大，又(1)的面积S1＝a2＋b2＝(a2＋b2)，(2)的面积S2＝ab，所以有(a2＋b2)>ab.
【答案】　(a2＋b2)>ab
4．用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的(k∈N
)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且每一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实例中提炼出一个不等式组．
【解】　依题意得，第二次钉子没有全部钉入木板，第三次全部钉入木板，则不等式组为(k∈N
)．2.2.3　等差数列的前n项和
1．掌握等差数列的前n项和公式，并能运用公式解决一些简单问题．(重点)
2．体会等差数列前n项和公式与二次函数间的关系．(难点)
3．等差数列前n项和的最值的判断．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1　等差数列的前n项和公式
阅读教材P42，完成下列问题．
1．等差数列的前n项和公式
已知条件
首项a1和末项an
首项a1和公差d
选用公式
Sn＝
Sn＝na1＋
2.推导等差数列的前n项和的方法是倒序相加法．
1．在等差数列{an}中，a1＝1，a30＝30，则S30＝________.
【解析】　S30＝＝＝465.
【答案】　465
2．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n＝________.
【解析】　∵a1＝1，a3＋a5＝2a4＝14，∴a4＝7，∴d＝2，
∴Sn＝n＋×2＝100，∴n＝10.
【答案】　10
教材整理2　等差数列前n项和的性质
阅读教材P48第8题～第12题，完成下列问题．
等差数列前n项和常用性质
(1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差数列．
(2)S奇表示奇数项之和，S偶表示偶数项之和，公差为d.
①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，
＝.
②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝.
(3)前n项Sn是关于n的二次函数，不具有常数项．
①当a1>0，d<0时，Sn有最大值．
②当a1<0，d>0时，Sn有最小值．
1．若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝________.
【解析】　设a3＋a6＋a9＝x，则45,39，x成等差数列，∴45＋x＝39×2，∴x＝33.
【答案】　33
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn＝n2－10n，则当n＝________时，Sn最小．
【解析】　Sn＝n2－10n＝(n－5)2－25，∴当n＝5时，Sn最小，为－25.
【答案】　5
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问2：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问3：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
[小组合作型]
与等差数列Sn有关的基本量的计算
　在等差数列{an}中，
(1)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d；
(3)d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
【精彩点拨】　(1)(2)利用Sn＝求解；
(3)利用Sn＝na1＋d求解．
【自主解答】　(1)由题意，得
Sn＝＝＝－5，
解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，
∴d＝－.
(2)由已知，得S8＝＝＝172，
解得a8＝39.
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，
∴d＝5.
(3)由
得
解方程组得或
等差数列的基本计算方法与技巧
1．公式Sn＝中涉及四个量：Sn，n，a1，an；公式Sn＝na1＋d中也涉及四个量：Sn，n，a1，d.结合等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，对于等差数列中的五个量：Sn，n，a1，an，d，已知其中的三个可以求另外的两个量．简称“知三求二”．
2．在进行等差数列基本量的互求时，要注意求和公式和通项公式的恰当选取，注意方程思想及等差数列性质的应用．
[再练一题]
1．已知等差数列{an}中，
(1)a1＝，d＝－，Sm＝－15，求m及am；
(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1
022，求d；
(3)S5＝24，求a2＋a4.
【解】　(1)Sm＝m·＋·＝－15，
整理，得m2－7m－60＝0，解得m＝12或m＝－5(舍去)，
∴am＝a12＝＋(12－1)×＝－4.
(2)由Sn＝＝
＝－1
022，得n＝4.
又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171.
(3)法一　设等差数列的首项为a1，公差为d，则S5＝5a1＋d＝24，得5a1＋10d＝24，即a1＋2d＝，
∴a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2×＝.
法二　由S5＝＝24，得a1＋a5＝.
∴a2＋a4＝a1＋a5＝.
等差数列前n项和的最值
　在等差数列{an}中，公差为d，若a1＝25，且S9＝S17，求数列{an}的前多少项和最大？
【精彩点拨】　
【自主解答】　法一　由
得解得d＝－2.
则Sn＝25n＋(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169，
∴数列{an}的前13项和最大．
法二　同法一解得d＝－2，∴an＝25＋(－2)(n－1)＝－2n＋27.
令an>0，即－2n＋27>0，解得n<13.5，
即数列{an}的前13项均为正数，第13项以后均为负数，
∴数列{an}的前13项和最大．
法三　∵a1＝25，S9＝S17，∴公差d<0.
又Sn＝na1＋d＝n2＋n，设a＝，b＝a1－，则Sn＝an2＋bn(a<0)，其图象是二次函数f(x)＝ax2＋bx图象上一群孤立的点．
∵S9＝S17，即f(9)＝f(17)，
∴二次函数f(x)的图象的对称轴为x＝＝13，且开口向下，
∴当x＝13时，f(x)取得最大值，
∴数列{an}的前13项和最大．
等差数列前n项和的最值问题的三种解法
1．利用an：当a1>0，d<0时，前n项和有最大值．可由an≥0，且an＋1≤0，求得n的值；当a1<0，d>0，前n项和有最小值，可由an≤0，且an＋1≥0，求得n的值．
2．利用Sn：由Sn＝n2＋n(d≠0)，利用二次函数配方法求得最值时n的值．
3．利用二次函数的图象的对称性．
[再练一题]
2．在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值.
【导学号：91730031】
【解】　法一　∵an＝2n－14，
∴a1＝－12，d＝2，
∴a1∴当n＝6或n＝7时，Sn取到最小值．
易求S7＝－42，∴(Sn)min＝－42.
法二　∵an＝2n－14，
∴a1＝－12，
∴Sn＝＝n2－13n
＝2－，
∴当n＝6或n＝7时，Sn最小，
且(Sn)min＝－42.
[探究共研型]
等差数列前n项和的性质及应用
探究1　设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，d是其公差，那么Sm，S2m－Sm，S3m－S2m是否成等差数列？如果是，其公差是多少？
【提示】　由Sm＝a1＋a2＋…＋am，S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝a1＋md＋a2＋md＋…＋am＋md＝Sm＋m2d.
同理S3m－S2m＝a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m＝S2m－Sm＋m2d.
所以Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，并且公差为m2d.
探究2　设Sn，Tn分别为两个等差数列{an}和{bn}的前n项和，那么与有怎样的关系？请证明．
【提示】　＝.
证明：∵S2n－1＝(2n－1)(a1＋a2n－1)
＝·2an＝(2n－1)an；
同理T2n－1＝(2n－1)bn；
∴＝＝.
即＝.
　(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m.
(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值．
【精彩点拨】　(1)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列求解．
(2)利用＝求解．
【自主解答】　(1)法一　在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30,70，S3m－100成等差数列，
∴2×70＝30＋(S3m－100)，
∴S3m＝210.
法二　在等差数列中，，，成等差数列，
∴＝＋，
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
(2)＝＝＝.
1．对等差数列{an}的前n项和Sn，等差数列{bn}的前n项和Tn，＝是很重要的性质，解类似题目时注意运用．
2．求解等差数列的有关问题时，注意利用等差数列的性质以简化运算过程．
[再练一题]
3．(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝________.
(2)在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为________．
【解析】　(1)由S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，
可得＝.
(2)∵S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1
＝，
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝.
又∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，
∴＝＝，解得n＝10.
【答案】　(1)　(2)10
[构建·体系]
1．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝________.
【解析】　S11＝，∵a1＋a11＝a4＋a8＝16，
∴S11＝＝＝88.
【答案】　88
2．等差数列{an}中，S10＝4S5，则＝________.
【解析】　∵S10＝4S5，
∴10a1＋d＝4(5a1＋×5×4d)，
∴d＝2a1，∴＝.
【答案】　
3．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值为________．
【解析】　等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.
【答案】　－1
4．在等差数列{an}中，已知a3∶a5＝，则S9∶S5的值是________.
【导学号：91730032】
【解析】　＝＝＝×＝×＝.
【答案】　
5．已知{an}是等差数列，其中a10＝30，a20＝50.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an－20，求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．
【解】　(1)由a10＝30，a20＝50，
得
解得a1＝12，d＝2，所以an＝2n＋10.
(2)由bn＝an－20，得bn＝2n－10，
所以，当n<5时，bn<0；
当n>5时，bn>0；
当n＝5时，bn＝0.
由此可知，数列{bn}的前4项或前5项的和最小．
易知T4＝T5＝－20，故数列{bn}的前n项和Tn的最小值为－20.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
学业分层测评(九)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于________．
【解析】　∵S5＝5a3＝25，∴a3＝5，∵a2＝3，
∴d＝a3－a2＝2，
∴a7＝3＋5×2＝13.
【答案】　13
2．已知等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10＝________.
【解析】　由a＋a＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)2＝9，
∵an<0，∴a3＋a8＝－3，
∴S10＝＝
＝＝－15.
【答案】　－15
3．(2016·南京高二检测)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝________.
【解析】　由等差数列前n项和公式知S8＝＝4(a1＋a8)＝4(a7＋a2)，又S8＝4a3，∴4(a7＋a2)＝4a3，
∴－2＋a2＝a3，∴公差d＝－2，∴a9＝a7＋2d＝－6.
【答案】　－6
4．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为________.
【导学号：91730033】
【解析】　∵S奇＝6a1＋×2d＝30，∴a1＋5d＝5，
S偶＝5a2＋×2d＝5(a1＋5d)＝25，
∴a中＝S奇－S偶＝5.
【答案】　5
5．首项为正数的等差数列的前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝________时，Sn取到最大值．
【解析】　∵S3＝S8，∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0，∵a1>0，∴a1>a2>a3>a4>a5>a6＝0，a7<0.
故当n＝5或6时，Sn最大．
【答案】　5或6
6．(2015·安徽高考)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．
【解析】　由a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，故S9＝9a1＋×＝9＋18＝27.
【答案】　27
7．已知等差数列{an}的前4项和为25，后4项和为63，前n项和为286，则项数n为________．
【解析】　∵a1＋a2＋a3＋a4＝25，an－3＋an－2＋an－1＋an＝63，
而a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，
∴4(a1＋an)＝88，∴a1＋an＝22.
∴Sn＝＝11n＝286，∴n＝26.
【答案】　26
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5【解析】　∵an＝
∴an＝2n－10.
由5<2k－10<8，
得7.5【答案】　8
二、解答题
9．已知{an}为等差数列，Sn是{an}的前n项和，S7＝7，S15＝75.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和Tn.
【解】　(1)证明：设等差数列{an}的公差为d，由题意，得解得
则Sn＝－2n＋×1，
∴＝－2＋(n－1)．
∵－＝，
∴数列是等差数列．
(2)由(1)知数列是以－2为首项，为公差的等差数列．
∴Tn＝－2n＋×＝n2－n.
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
【解】　(1)∵a3＝12，∴a1＝12－2d，
∵S12>0，S13<0，
∴即
∴－(2)∵S12>0，S13<0，
∴
∴
∴a6>0.
又由(1)知d<0，
∴数列前6项为正，从第7项起为负，
∴数列前6项和最大．
[能力提升]
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝________.
【解析】　由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，得am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以等差数列的公差为d＝am＋1－am＝3－2＝1，
由
得
解得
【答案】　5
2．(2016·如东高二检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＝1，且对任意正整数n都有＝，则Sn＝________.
【导学号：91730034】
【解析】　由等差数列的通项公式可得，a2n＝1＋(2n－1)d，an＝1＋(n－1)d.
∵＝，对任意n都成立，
∴＝对任意n都成立，
当n＝1时，有＝3，解得d＝2，
∴Sn＝n×1＋×2＝n2.
【答案】　n2
3．若数列{an}是等差数列，首项a1>0，a2
003＋a2
004>0，a2
003·a2
004<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n＝________.
【解析】　由条件可知数列单调递减，
故知a2
003>0，a2
004<0，
故S4
006＝
＝2
003(a2
003＋a2
004)>0，
S4
007＝＝4
007×a2
004<0，
故使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是4
006.
【答案】　4
006
4．(2016·无锡高二检测)在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22，求数列{|an|}的前n项和．
【解】　由已知得
得
∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53.
∴当n≤17，n∈N
时，an>0；
当n≥18，n∈N
时，an<0.
∴当n≤17，n∈N
时，
|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝－n2＋n；
当n≥18，n∈N
时
|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an
＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an)
＝n2－n＋884.
∴当n≤17，n∈N
时，{|an|}的前n项和为－n2＋n，
当n≥18，n∈N
时，{|an|}的前n项和为n2－n＋884.第2课时　数列求和
1．掌握一些数列常见的求和方法，如倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法、奇偶分析法等．(重点、难点)
2．在求和过程中，体会转化与化归思想的应用．
3．错位相减时的项数计算．(易错点)
[基础·初探]
教材整理　数列求和的方法
阅读教材P55～P57，P62第12题，第13题，P70第13题，完成下列问题．
1．分组求和法
若cn＝an＋bn，{an}，{bn}，{cn}前n项和分别为An，Bn，Cn，则Cn＝An＋Bn，以此可以对数列{an}分组求和．
2．错位相减法求和
设数列{an}为等比数列且公比q≠1，则
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn.
两式相减，(1－q)Sn＝a1(1－qn)，
∴Sn＝(q≠1)．
这种求和的方法叫错位相减法．
3．裂项相消法求和
将某些特殊数列的每一项拆成两项的差，并使它们求和的过程中出现相同的项，且这些相同的项能够相互抵消，从而达到将求n个数的和的问题转化为求少数的几项的和的目的．这种求和的方法叫裂项相消法．
4．数列{an}的an与Sn的关系：数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则an＝
1．若an＝，则数列{an}的前10项和S10＝________.
【解析】　∵an＝＝－，
∴S10＝＋＋…＋＝.
【答案】　
2．数列1，2，3，4，…的前n项和是________．
【解析】　Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＝＋1－.
【答案】　＋1－
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问2：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问3：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
[小组合作型]
分组求和
　求和：Sn＝2＋2＋…＋2.
【精彩点拨】　先分析通项an＝2＝x2n＋＋2，再分组求和，注意x的取值范围．
【自主解答】　当x≠±1时，
Sn＝2＋2＋…＋2
＝＋＋…＋
＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋
＝＋＋2n
＝＋2n；
当x＝±1时，Sn＝4n.
综上知，Sn＝
分组求和法的求和策略
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将其每一项拆开，可分为几个等差、等比或常数列，然后分别求和，再将其合并即可．像这种数列求和方法称为分组求和法，运用这种方法的关键是将通项变形．
[再练一题]
1．已知数列1＋1，＋4，＋7，…，＋3n－2，…，求其前n项的和．
【解】　设Sn＝(1＋1)＋＋＋…＋将其每一项拆开再重新组合得，
Sn＝＋(1＋4＋7＋…＋3n－2)，
当a＝1时，Sn＝n＋＝；
当a≠1时，
Sn＝＋＝＋.
错位相减法求和
　已知数列{an}，a1＝1，an＝2·3n－2(n≥2)，求数列{nan}的前n项和Tn.
【精彩点拨】　利用错位相减法求Tn，但本题需注意n的范围．
【自主解答】　Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan.
当n＝1时，T1＝1；
当n≥2时，Tn＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n·3n－2，①
3Tn＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n·3n－1，②
①－②得：
－2Tn＝1＋(4－3)＋2(31＋32＋…＋3n－2)－2n·3n－1
＝2＋2·－2n·3n－1
＝－1＋(1－2n)·3n－1，
∴Tn＝＋3n－1(n≥2)．
又∵T1＝a1＝1也满足上式，
∴Tn＝＋3n－1(n∈N
)．
1．若cn＝an·bn，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则{cn}的前n项和可用错位相减法求得．
2．用错位相减法求和时应注意：①两式相减后除首、末项外的中间的项转化为一个等比数列求和．②注意两式相减后所得式子第一项后是加号，最后一项前面是减号．
[再练一题]
2．求数列的前n项和Sn.
【解】　Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，
Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋n×，①
Sn＝1×＋2×＋…＋(n－1)×＋n×，②
①－②得，Sn＝＋＋＋…＋－n×
＝－n×
＝1－－n×，
∴Sn＝2－－.
裂项相消法求和
　求和：＋＋＋…＋，n≥2.
【精彩点拨】　由＝＝
逐项裂项相消求和．
【自主解答】　∵＝＝，
∴原式＝
＝
＝－.
1．裂项相消法的裂项方法
(1)＝；
(2)若{an}为等差数列，公差为d，则＝；
(3)＝－.
2．如果数列的通项公式可转化为f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂项相消法求和．
[再练一题]
3．求和：1＋＋＋…＋.
【导学号：91730045】
【解】　∵＝＝2，
∴原式＝2
＝2
＝.
[探究共研型]
数列求和的综合应用
探究1　如何求数列{(－1)n}的前n项的和？
【提示】　分n为奇、偶数两类分别求数列{(－1)n}的和．
探究2　若数列{an}的前n项和为Sn，则an与Sn间存在怎样的关系？如何由Sn求通项an
【提示】　由Sn＝a1＋a2＋…＋an可知
Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)，
∴an＝Sn－Sn－1(n≥2)，
又a1＝S1，
∴an＝
　已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令
bn＝(－1)n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.
【精彩点拨】　(1)由S＝S1S4列出关于a1的方程，求a1，从而求出an.
(2)对bn进行裂项，并对n为奇数和偶数分类求和．
【自主解答】　(1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋×2＝2a1＋2，
S4＝4a1＋×2＝4a1＋12，
由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，
所以an＝2n－1.
(2)bn＝(－1)n－1＝(－1)n－1·＝(－1)n－1.
当n为偶数时，
Tn＝－＋…＋－＝1－＝.
当n为奇数时，
Tn＝－＋…－＋＝1＋＝.
所以Tn＝
奇偶性分析适用的数列往往是与(－1)n有关的摆动数列，常用的思路有两个：一是邻项相并，二是利用Sn＝S奇＋S偶，两种思路都要考虑奇数项、偶数项的项数．
[再练一题]
4．求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)．
【解】　当n为奇数时，
Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1)
＝2·＋(－2n＋1)＝－n.
当n为偶数时，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)]＝2·＝n.
∴Sn＝(－1)nn(n∈N
)．
[构建·体系]
1．数列{an}的通项公式an＝2n＋2n－1，则其前n项和Sn＝________.
【解析】　Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]
＝＋＝2n＋1－2＋n2.
【答案】　2n＋1＋n2－2
2．已知an＝(－1)nn，则S2
017＝________.
【解析】　∵a1＋a2＝1，a3＋a4＝1，…，a2
015＋a2
016＝1，a2
017＝－2
017.
∴S2
017＝1
008－2
017＝－1
009.
【答案】　－1
009
3．已知an＝，则Sn＝________.
【解析】　∵an＝＝－，
∴Sn＝－＋－＋…＋－＝－.
【答案】　－
4．若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是________.
【导学号：91730046】
【解析】　当n＝1时，a1＝S1＝a1＋，
解得a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝an－an－1，
整理可得an＝－an－1，即＝－2，
故数列{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，故an＝(－2)n－1.
【答案】　an＝(－2)n－1
5．求和：Sn＝＋＋＋…＋.
【解】　当a＝1时，Sn＝n(n＋1)；
当a≠1时，
Sn＝＋＋＋…＋，
aSn＝1＋＋＋＋…＋，
(1－a)Sn＝－1－－－－…－＋
＝－1－＋，
∴Sn＝(a≠1)，
∴Sn＝
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
学业分层测评(十三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，那么它的通项公式为an＝________.
【解析】　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n；
当n＝1时，a1＝S1＝2也适合上式，∴an＝2n(n∈N
)．
【答案】　2n(n∈N
)
2．数列{an}的通项公式an＝，若前n项的和为10，则项数n为________．
【解析】　∵an＝＝－，
∴Sn＝－1＝10，∴n＝120.
【答案】　120
3．若数列{an}的通项公式为an＝(－1)n，则其前9项的和S9＝________.
【解析】　S9＝(－1＋1)＋(－1＋1)＋(－1＋1)＋…＋(－1＋1)－1＝－1.
【答案】　－1
4．若{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5＝________.
【解析】　∵an＝＝－，
∴S5＝1－＋－＋－＋－＋－＝1－＝.
【答案】　
5．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N
)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
【解析】　由an＝2n－10(n∈N
)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，∴当n≤5时，an≤0，当n>5时，an>0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.
【答案】　130
6．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝________.
【导学号：91730047】
【解析】　a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9(3×9－2)＋(－1)10(3×10－2)]＝3×5＝15.
【答案】　15
7．(2016·南京高二检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为________．
【解析】　由题意可知
∴a1＝1，d＝1，
∴an＝n，
∴＝＝－.
∴数列的前100项和为＋＋…＋＝1－＝.
【答案】　
8．6＋66＋666＋…66…6
＝________.
【解析】　设an＝66…66＝(10n－1)，
∴Sn＝(101＋102＋…＋10n)－n＝·－n＝.
【答案】　
二、解答题
9．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.
【解】　(1)因为S1＝a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，所以Sn＝2n－1，
又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2，
所以an＝
(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，
所以a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝，
所以a1＋a3＋…＋a2n＋1
＝1＋＝.
10．(2015·浙江高考)已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N
)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N
)．
(1)求an与bn；
(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.
【解】　(1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N
)．
由题意知：
当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2.
当n≥2时，bn＝bn＋1－bn，整理得＝，
所以bn＝n(n∈N
)．
(2)由(1)知anbn＝n·2n，
因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，
所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，
故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N
)．
[能力提升]
1．古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？________.(填数字)
【解析】　远望巍巍塔七层，说明该数列共有7项，即n＝7.红光点点倍加增，说明该数列是公比为2的等比数列．共灯三百八十一，说明7项之和S7＝381.请问尖头几盏灯，就是求塔顶几盏灯，即求首项a1.
代入公式Sn＝，
即381＝，∴a1＝＝3.
∴此塔顶有3盏灯．
【答案】　3
2．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝________.
【导学号：91730048】
【解析】　∵an＋1＝an＋ln，∴an＋1－an
＝ln＝ln＝ln(n＋1)－ln
n.
又a1＝2，∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋[ln
2－ln
1＋ln
3－ln
2＋ln
4－ln
3＋…＋ln
n－ln(n－1)]＝2＋ln
n－ln
1＝2＋ln
n.
【答案】　2＋ln
n
3．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于________．
【解析】　a1＋a2＋a3＋…＋a100
＝[f(1)＋f(2)]＋[f(2)＋f(3)]＋…＋[f(100)＋f(101)]
＝(12－22)＋(－22＋32)＋(32－42)＋…＋(－1002＋1012)
＝－3＋5－7＋9－…－99＋101＝2×50＝100.
【答案】　100
4．n2(n≥4)个正数排成n行n列：
a11　a12　a13　a14　…　a1n
a21　a22　a23　a24　…　a2n
a31　a32　a33　a34　…　a3n
…　
…　…　
…　…　…
an1　an2　an3　an4　…　an
n
其中第一行的数成等差数列，每一列中的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a24＝1，a42＝，a43＝，求a11＋a22＋a33＋…＋an
n.
【解】　设第一行的公差为d，各列公比为q，则得a1k＝a11＋(k－1)d，
a24＝a14q＝(a11＋3d)q＝1，①
a42＝a12q3＝(a11＋d)q3＝，②
a43＝a13q3＝(a11＋2d)q3＝，③
由①②③，解得a11＝d＝q＝.
∴akk＝a1kqk－1＝[a11＋(k－1)d]qk－1＝.
设Sn＝a11＋a22＋a33＋…＋an
n，
则Sn＝＋＋＋…＋，④
Sn＝＋＋＋…＋，⑤
④－⑤得，
Sn＝＋＋＋…＋－＝1－.
∴Sn＝2－，
即a11＋a22＋a33＋…＋an
n＝2－.章末分层突破
[自我校对]
①an－an－1＝d(n≥2)
②a1＋(n－1)d
③
④na1＋d
⑤am＋an＝ap＋aq＝2ak
⑥(n≥2)
⑦aman＝apaq＝a
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
　等差(比)数列公式与性质的应用
等差、等比数列从定义，通项公式，前n项和公式，及性质可比较如下：
等差数列
等比数列
定义
an＋1－an＝d(常数)(n∈N
)
＝q(非零常数)(n∈N
)
an
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1
Sn
Sn＝
Sn＝
Sn＝na1＋d
Sn＝
性质
(1)an＝am＋(n－m)d或d＝(n≠m)
an＝amqn－m或qn－m＝(n，m∈N
)
(2)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}(p，q为常数)仍是等差数列
若{an}，{bn}是等比数列，则{an·bn}，等仍是等比数列
(3)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
)，则am＋an＝ap＋aq；特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap
若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
)，则am·an＝ap·aq；特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a
(4)设Sn是等差数列{an}的前n项和，则①Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成的数列是等差数列；②也是一个等差数列
设Sn是等比数列{an}的前n项和，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k满足(S2k－Sk)2＝Sk·(S3k－S2k)
在解题过程中，既要注意到两类数列的可类比性，又要注意到二者的区别，切忌混用误用．
　(1)已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，
a3,2a2成等差数列，则＝________.
(2)已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝________.
【精彩点拨】　(1)先由a1，a3,2a2成等差数列求公比q，进而求的值．
(2)利用等比数列的性质求a4，由等差中项求a7，进而求S5.
【规范解答】　(1)∵a1，a3,2a2成等差数列，
∴2×a3＝a1＋2a2，即a3＝a1＋2a2.
设等比数列{an}的公比为q且q>0，
则a3＝a1q2，a2＝a1q，
∴a1q2＝a1＋2a1q，
∴q2＝1＋2q，解得q＝1＋或q＝1－(舍)，
＝＝q2＝(＋1)2＝3＋2.
(2)由等比数列性质可知a2·a3＝a1·a4，
∵a2·a3＝2a1，
∴a1·a4＝2a1，而a1≠0，
∴a4＝2.
由已知a4＋2a7＝2×，
∴a7＝，
∴q3＝＝，
∴q＝，
∴a1＝＝＝16，
∴S5＝＝＝31.
【答案】　(1)3＋2
　(2)31
[再练一题]
1．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{bn}中的b3，b4，b5.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列．
【解】　(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.
依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.
所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.
依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)，故{bn}的第3项为5，公比为2，由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝.
所以{bn}是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝·2n－1＝5·2n－3.
(2)证明：数列{bn}的前n项和Sn＝＝5·2n－2－，即Sn＋＝5·2n－2，
所以S1＋＝，＝＝2.
因此是以为首项，公比为2的等比数列.
数列通项公式的求法
1.形如an＋1＝an＋f(n)(n∈N
)的递推数列，可用累加法求通项公式：an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝a1＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)．
2．形如an＋1＝f(n)·an(n∈N
)的递推数列，可用累乘法求通项公式：an＝a1···…·＝a1·f(1)·f(2)·…·f(n－1)．
3．形如an＋1＝pan＋q(pq≠0，且p≠1)的递推数列，可构造等比数列，其中该等比数列的首项是a1＋，公比为p.
4．形如an＋1＝pan＋qn的递推数列，可在递推公式两边同除以qn＋1，得＝·＋，转化为形如an＋1＝pan＋q的形式求解．
　已知数列{an}分别满足以下条件，求通项公式an.
(1)a1＝1，an＋1－an＝n(n∈N
)；
(2)数列{an}的前n项和为Sn＝an－3.
【精彩点拨】　(1)已知a1且an＋1－an＝n，故用累加法；
(2)条件是关于an，Sn的关系式，利用n≥2时，an＝Sn－Sn－1消去Sn转化为an与an－1的关系．
【规范解答】　(1)∵an＋1－an＝n，
∴a2－a1＝1，
a3－a2＝2，
a4－a3＝3，
……
an－an－1＝n－1.
将以上各式叠加，得an－a1＝1＋2＋…＋(n－1)＝.
∴an＝a1＋＝1＋＝.
(2)∵Sn＝an－3，
∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
∴＝3(n≥2)．
而当n＝1时，有a1＝a1－3，∴a1＝6，
∴{an}是以6为首项，3为公比的等比数列，
∴an＝6×3n－1＝2×3n.
[再练一题]
2．根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．
(1)a1＝1，nan＋1＝(n＋2)an；
(2)a1＝2，an＋1＝2an＋3.
【解】　(1)∵nan＋1＝(n＋2)an，
∴＝，
∴an＝··…··a1
＝··…··1
＝(n∈N
)．
(2)∵an＋1＝2an＋3，
∴an＋1＋3＝2(an＋3)，
∴＝2，
∴{an＋3}是以2为公比的等比数列，
∴an＋3＝5×2n－1，
∴an＝5×2n－1－3(n∈N
).
数列求和
求数列的和是数列运算的重要内容之一．数列求和可分为特殊数列求和与一般数列求和，特殊数列就是指等差或等比数列，非等差或非等比数列称为一般数列．对于特殊数列的求和，要恰当的选择、准确的应用求和公式，采用公式法直接求和；对于一般的数列求和，可采用分组化归法、并项转化法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分段求和法等．
　设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N
.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
【精彩点拨】　(1)利用an与Sn的关系求解；
(2)利用错位相减法求解．
【规范解答】　(1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N
.①
当n≥2时，
a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，②
①－②得
3n－1an＝，即an＝(n≥2)．(
)
又a1＝，满足(
)式，
∴an＝.
(2)∵bn＝，∴bn＝n·3n，
∴Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，③
∴3Sn＝32＋2×33＋3×34＋…＋(n－1)3n＋n×3n＋1，④
③－④得
－2Sn＝3＋32＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1，
即Sn＝＋.
[再练一题]
3．等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求＋＋…＋.
【解】　由题意可知，
Sn＝3n＋×2＝n2＋2n，
∴＝＝＝，
∴＋＋…＋＝
＝
＝－.
分类讨论思想在解数列题中的应用
分类讨论思想就是指在解决一些问题时，按一种模式、一个标准不能清晰、准确地表示，需根据不同情况分别说明．本章中，当数列所给的对象不宜进行统一研究或推理时，需通过分类讨论来解决．如运用等比数列求和公式时，需对q分q＝1和q≠1且q≠0两种情况进行讨论．
　已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．
(1)求q的值；
(2)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．
【精彩点拨】　(1)利用等差、等比数列的有关性质求q；
(2)作差比较，判断差的正、负、零情况．
【规范解答】　(1)依题意，得2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q.
∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1或q＝－.
(2)若q＝1，则Sn＝2n＋＝，bn＝n＋1，
当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝，
故当n≥2时，Sn＞bn；
若q＝－，则Sn＝，bn＝－n＋，
当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝－，
∴当2≤n≤9时，Sn＞bn，当n＝10时，Sn＝bn，
当n≥11时，Sn＜bn.
[再练一题]
4．在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．
(1)求d，an；
(2)若d＜0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.
【解】　(1)由题意得，a1·5a3＝(2a2＋2)2，由a1＝10，{an}为公差为d的等差数列得，d2－3d－4＝0，
解得d＝－1或d＝4.
所以an＝－n＋11(n∈N
)或an＝4n＋6(n∈N
)．
(2)设数列{an}的前n项和为Sn.
因为d＜0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11，
所以当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n；
当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.
综上所述，
|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|
＝
1．(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．
【解析】　设等比数列{an}的公比为q，则由a1＋a3＝10，a2＋a4＝q(a1＋a3)＝5，知q＝.又a1＋a1q2＝10，∴a1＝8.
故a1a2…an＝aq1＋2＋…＋(n－1)＝23n·
＝23n－＋＝2－＋n.
记t＝－＋＝－(n2－7n)，
结合n∈N
可知n＝3或4时，t有最大值6.
又y＝2t为增函数，从而a1a2…an的最大值为26＝64.
【答案】　64
2．(2016·北京高考)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.
【解析】　∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝0.
∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2.
∴S6＝6a1＋d＝6.
【答案】　6
3．(2015·江苏高考)设数列满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N
)，则数列前10项的和为______．
【解析】　由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝.
又∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．
∵当n＝1时也满足此式，∴an＝(n∈N
)．
∴＝＝2.
∴S10＝2×＝2×＝.
【答案】　
4．(2016·浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N
，则a1＝________，S5＝________.
【解析】　∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，
∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋＝3，
∴数列是公比为3的等比数列，
∴＝3.
又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，
∴S5＋＝×34＝×34＝，
∴S5＝121.
【答案】　1　121
5．(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)若S5＝，求λ.
【解】　(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，
故λ≠1，a1＝，故a1≠0.
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，
即an＋1(λ－1)＝λan.
由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.
因此{an}是首项为，公比为的等比数列，
于是an＝n－1.
(2)由(1)得Sn＝1－n.
由S5＝得1－5＝，即5＝.
解得λ＝－1.
章末综合测评(二)
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)
1．(2016·江苏高考)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．
【解析】　法一：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知S5＝5a1＋d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2d.所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a＝－3，化简得d2－6d＋9＝0，所以d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.
法二：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知＝5a3＝10，所以a3＝2.
所以由a1＋a3＝2a2，得a1＝2a2－2，代入a1＋a＝－3，化简得a＋2a2＋1＝0，所以a2＝－1.
公差d＝a3－a2＝2＋1＝3，故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.
【答案】　20
2．(2016·全国卷Ⅰ改编)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝________.
【解析】　法一：∵{an}是等差数列，设其公差为d，
∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.
又∵a10＝8，∴∴
∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.
法二：∵{an}是等差数列，
∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.
在等差数列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差数列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5.
故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.
【答案】　98
3．已知数列{an}的前n项和为Sn＝kn2，若对所有的n∈N
，都有an＋1>an，则实数k的取值范围是________．
【解析】　由Sn＝kn2，得an＝k(2n－1)．
∵an＋1>an，∴{an}是递增数列，
∴k>0.
【答案】　(0，＋∞)
4．已知数列{an}，an≠0，若a1＝3,2an＋1－an＝0，则a6等于________．
【解析】　因为2an＋1－an＝0，an≠0，所以＝，所以数列{an}是首项为a1＝3，公比为q＝的等比数列，所以an＝a1qn－1＝3×n－1，所以a6＝3×6－1＝.
【答案】　
5．数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.
【解析】　设等差数列的公差为d，则a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d，
∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，
解得d＝－1，
∴q＝＝＝1.
【答案】　1
6．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式an＝________.
【解析】　当n＝1时，S1＝2a1－1，
∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)，
∴an＝2an－1，∴{an}是等比数列，
∴an＝2n－1，n∈N
.
【答案】　2n－1，n∈N
7．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．
【解析】　设三边为a，aq，aq2(q>1)，
则(aq2)2＝(aq)2＋a2，∴q2＝，
较小锐角记为θ，则sin
θ＝＝.
【答案】　
8．(2016·徐州高二检测)若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，已知＝，则＝________.
【解析】　＝＝＝＝＝.
【答案】　
9．下列关于星星的图案构成一个数列，则该数列的一个通项公式是________．
图1
【解析】　从题图中可观察图案的构成规律：
n＝1时，有1个；n＝2时，有3个；
n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；……
第n个图案比第n－1(n≥2)个图案增加了n个星星．
∴an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
【答案】　an＝
10．等比数列{an}的公比q<0，已知a2＝1，an＋2＝an＋1＋2an，则{an}的前2
016项和等于________．
【解析】　由an＋2＝an＋1＋2an，得qn＋1＝qn＋2qn－1，
即q2－q－2＝0，又q<0，解得q＝－1，
又a2＝1，∴a1＝－1，
S2
016＝＝0.
【答案】　0
11．设数列{an}的通项公式为an＝2n－7(n∈N
)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
【解析】　∵an＝2n－7，
∴a1＝－5，a2＝－3，a3＝－1，a4＝1，
a5＝3，…，a15＝23，
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝(5＋3＋1)＋(1＋3＋5＋…＋23)＝9＋＝153.
【答案】　153
12．把正偶数按下列方法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，其中每一组都比它的前一组多一个数，那么第11组的第2个数是________．
【解析】　按照题中的分组方法，前10组共有1＋2＋…＋10＝＝55个偶数，故第10组的最后一个偶数为110，所以第11组的第2个数是114.
【答案】　114
13．某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为a1
元/m2，顶层由于景观好价格为a2
元/m2，第二层价格为a
元/m2，从第三层开始每层在前一层价格上加价
元/m2，则该商品房各层的平均价格为________元/m2.
【解析】　设第二层到第22层的价格构成数列{bn}，则{bn}是等差数列，b1＝a，公差d＝，共21项，所以其和为S21＝21a＋·＝23.1a，故平均价格为(a1＋a2＋23.1a)元/m2.
【答案】　(a1＋a2＋23.1a)
14．给出数阵：
0　　1　　…　　9
1　　2　　…　　10
　

　 　
　
9　
…　　…　　…
其中每行、每列均为等差数列，则此数阵所有数的和为________.
【导学号：91730049】
【解析】　设b1＝0＋1＋2＋…＋9，b2＝1＋2＋3＋…＋10，…，b10＝9＋10＋…＋18，则{bn}是首项b1＝45，公差d＝10的等差数列，∴S10＝45×10＋×10＝900.
【答案】　900
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)(2015·北京高考)已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？
【解】　(1)设等差数列{an}的公差为d.
因为a4－a3＝2，所以d＝2.
又因为a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4.
所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2(n＝1,2，…)．
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，
所以q＝2，b1＝4.
所以b6＝4×26－1＝128.
由128＝2n＋2得n＝63，
所以b6与数列{an}的第63项相等．
16．(本小题满分14分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
(1)设bn＝.证明：数列{bn}是等差数列．
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
【解】　(1)证明：由已知an＋1＝2an＋2n，得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.
∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1.
∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)由(1)知，bn＝n，＝bn＝n.
∴an＝n·2n－1.
∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，两边乘以2得，2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，
两式相减得，－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，
∴Sn＝(n－1)·2n＋1.
17．(本小题满分14分)数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，n∈N
.
(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列．
(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.
【解】　(1)∵点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，
∴an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1(n≥2，且n∈N
)．
∴an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，
即an＋1＝4an，n≥2.
又a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t＋1，
∴当t＝1时，a2＝4a1，数列{an}是等比数列．
(2)在(1)的结论下，an＋1＝4an，an＋1＝4n，an＝4n－1，所以bn＝log4an＋1＝n.
cn＝an＋bn＝4n－1＋n,
那么Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝＋.
18．(本小题满分16分)已知{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和．
(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；
(2)当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，am＋k，an＋k，al＋k也成等差数列．
【解】　(1)由已知，an＝aqn－1，因此
S1＝a，S3＝a(1＋q＋q2)，S4＝a(1＋q＋q2＋q3)．
当S1，S3，S4成等差数列时，S4－S3＝S3－S1，可得aq3＝aq＋aq2，
化简得q2－q－1＝0，
解得q＝.
(2)证明：若q＝1，则{an}的每项an＝a，此时am＋k，an＋k，al＋k显然构成等差数列．
若q≠1，由Sm，Sn，Sl构成等差数列可得Sm＋Sl＝2Sn，即＋＝，
整理得qm＋ql＝2qn，
因此，am＋k＋al＋k＝aqk－1(qm＋ql)＝2aqn＋k－1＝2an＋k，
所以am＋k，an＋k，al＋k也成等差数列．
19．(本小题满分16分)设{an}是正数组成的数列，其前n项和Sn，并且对于所有的n∈N
，都有8Sn＝(an＋2)2.
(1)写出数列{an}的前3项；
(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程)；
(3)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<对所有n∈N
都成立的最小正整数m的值．
【解】　(1)当n＝1时，8a1＝(a1＋2)2，
∴a1＝2；
当n＝2时，8(a1＋a2)＝(a2＋2)2，
∴a2＝6；
当n＝3时，8(a1＋a2＋a3)＝(a3＋2)2，
∴a3＝10.
(2)∵8Sn＝(an＋2)2，
∴8Sn－1＝(an－1＋2)2(n>1)，
两式相减得：8an＝(an＋2)2－(an－1＋2)2，
即a－a－4an－4an－1＝0，
也即(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0.
∵an>0，∴an－an－1＝4，
即{an}是首项为2，公差为4的等差数列，
∴an＝2＋(n－1)·4＝4n－2.
(3)bn＝＝＝＝.
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝
＝＝－<.
∵Tn<
对所有n∈N
都成立，
∴≥，即m≥10，
故m的最小值是10.
20．(本小题满分16分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2
000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．
(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；
(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4
000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．
【解】　(1)由题意得a1＝2
000(1＋50%)－d
＝3
000－d，
a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4
500－d，
an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.
(2)由(1)得an＝an－1－d
＝－d
＝2an－2－d－d
＝…
＝n－1a1－d.
整理得an＝n－1(3
000－d)－2d
＝n－1(3
000－3d)＋2d.
由题意，am＝4
000，即m－1(3
000－3d)＋2d＝4
000，
解得d＝
＝.
故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4
000万元．第2课时　等比数列的性质
1．掌握等比数列的性质，能应用其性质解题．(重点)
2．了解等比数列与指数函数的关系．(重点)
[基础·初探]
教材整理1　等比数列与指数函数的关系
阅读教材P53，完成下列问题．
如果数列{an}是等比数列，则an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，故q≠1时点(n，an)均在函数y＝a1qx－1的图象上．
若等比数列{an}的通项公式an＝2n＋p，则p＝________.
【解析】　结合等比数列{an}的图象特点，可知p＝0.
【答案】　0
教材整理2　等比数列的性质
阅读教材P54第12题，P55第14题，第16题，完成下列问题．
等比数列的性质
(1)如果m＋n＝k＋l，则有am·an＝ak·al.
(2)如果m＋n＝2k，则有am·an＝a.
(3)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N
)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．
(4)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|.
(5)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝….
1．在等比数列{an}中，若a5＝1，则a2·a8＝________.
【解析】　a2·a8＝a＝1.
【答案】　1
2．在等比数列{an}中，a1a2＝3，a5a6＝27，则a3a4＝________.
【解析】　∵a1a2，a3a4，a5a6成等比数列，
∴(a3a4)2＝(a1a2)·(a5a6)
＝3×27
＝81，
∴a3a4＝±9.
【答案】　±9
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问2：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问3：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问4：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
[小组合作型]
等比数列的性质
　在等比数列{an}中，
(1)若a3a5a7a9a11＝243，求的值；
(2)若an>0，且a3a6＝32，求log2a1＋log2a2＋…＋log2a8的值．
【精彩点拨】　利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N
)，则am·an＝ap·aq＝a求解．
【自主解答】　(1)∵a3，a5，a7，a9，a11成等比数列，
∴a3a5a7a9a11＝a＝243＝35，
∴a7＝3.
又＝＝a7，
∴＝3.
(2)log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝log2a1·a2·…·a8＝log2(a1·a8)4
＝log2(a3a6)4＝log2324＝log2220＝20.
等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题，应充分发挥项的“下标”的“指引”作用，以使运算简便．
[再练一题]
1．(1)在各项均为正数的等比数列{an}中，a3·a9＝4，a6·a10＋a3·a5＝41，求a4＋a8的值；
(2)在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，求a7.
【解】　(1)∵{an}为等比数列，且3＋9＝4＋8,6＋10＝2×8,3＋5＝2×4，
∴a3·a9＝a4·a8＝4，a6·a10＝a，a3·a5＝a，
∴a6·a10＋a3·a5＝a＋a＝41，又a4·a8＝4，
∴(a4＋a8)2＝41＋2×4＝49，且an>0，
∴a4＋a8＝7.
(2)∴a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，
∴∴a5>0，a9>0.
又∵a＝a5·a9＝1，且a7＝a5·q2>0，∴a7＝1.
灵活设项求解等比数列
　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
【精彩点拨】　解答此类题目主要是利用性质和已知巧设，再构造方程或方程组求解．
【自主解答】　法一：设这四个数依次为a－d，a，a＋d，，
由条件得
解得或
∴当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
法二：设这四个数依次为－a，，a，aq(a≠0)，
由条件得
解得或
∴当q＝2，a＝8时，所求四个数为0,4,8,16；
当q＝，a＝3时，所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
灵活设项求解等比数列的技巧
1．三数成等比数列，一般可设为，a，aq.
2．四数成等比数列，一般可设为，，aq，aq3或a，aq，aq2，aq3.
3．五数成等比数列，一般可设为，，a，aq，aq2.
[再练一题]
2．三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数.
【导学号：91730038】
【解】　设三个数依次为，a，aq，
∵·a·aq＝512，∴a＝8.
∵＋(aq－2)＝2a，
∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝，
∴这三个数为4,8,16或16,8,4.
[探究共研型]
等差数列与等比数列的综合应用
探究1　若{an}是正项等比数列，则{log2an}是什么数列？
【提示】　{log2an}是等差数列，由log2an＋1－log2an＝log2可知．
探究2　若{an}是等差数列，则{2an}是什么数列？
【提示】　{2an}是等比数列，由＝2an＋1－an可知．
　设{an}是公差大于0的等差数列，bn＝an，已知b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，
(1)求证：数列{bn}是等比数列；
(2)求等差数列{an}的通项an.
【精彩点拨】　(1)证明为同一常数；(2)先求bn，由bn求an.
【自主解答】　(1)证明：设{an}的公差为d(d＞0)，
∵＝an＋1－an＝d为常数，
且b1＝a1＞0，
∴{bn}为以a1为首项，公比为d的等比数列．
(2)∵b1b2b3＝，
∴b＝，
∴b2＝，
∴
∴或
∵q＝d∈(0,1)，
∴b1＞b3，
∴∴bn＝2n－3，
∴an＝2n－3，(n∈N
)．
等差数列与等比数列的转化
1．若数列{an}为等差数列，则数列{man}(m>0，m≠1)为等比数列．
2．若数列{an}为等比数列，且an>0，则数列{logban}(b>0，b≠1)为等差数列．
[再练一题]
3．已知{xn}为各项不为1的正项等比数列，{yn}满足yn·logxna＝2(a＞0且a≠1)，设y4＝17，y7＝11.
则数列{yn}的前多少项的和最大？最大值是多少？
【解】　yn＝＝2logaxn，且{xn}为等比数列，
∵yn－1＋yn＋1＝2logaxn－1＋2logaxn＋1
＝2loga(xn－1·xn＋1)＝2logax＝4logaxn＝2yn，n≥2，n∈N
，
∴{yn}为等差数列．
又y4＝17，y7＝11＝y4＋3d，∴d＝－2，
∴yn＝y4－2(n－4)＝25－2n(n∈N
)．
由yn≥0，知n≤12.
故{yn}的前12项和最大，其最大值为＝144.
[构建·体系]
1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是________．
①a1，a3，a9成等比数列；②a2，a3，a6成等比数列；③a2，a4，a8成等比数列；④a3，a6，a9成等比数列．
【解析】　∵3＋9＝2×6，∴a＝a3·a9，∴a3，a6，a9成等比数列．
【答案】　④
2．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝________.
【解析】　∵{an}成等比数列，∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，
∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)·(a7a8a9)＝50，
∴a4a5a6＝±5，
又an>0，∴a4a5a6＝5.
【答案】　5
3．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6＝________.
【导学号：91730039】
【解析】　∵{an}为等比数列，∴a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比数列，∴a5＋a6＝＝4.
【答案】　4
4．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________.
【解析】　因为数列{an}为等比数列，所以a5a6＝a4a7.
又∵a5a6＋a4a7＝18，
∴a5a6＝a1a10＝a4a7＝a3a8＝a2a9＝9，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2a3…a10)＝log395＝log3310＝10.
【答案】　10
5．已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数．
【解】　依题意可设这四个数分别为：，4－d,4,4＋d，则由前三个数和为19，可列方程得，
＋4－d＋4＝19，整理得，d2－12d－28＝0，解得d＝－2或d＝14.
∴这四个数分别为：25，－10,4,18或9,6,4,2.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
学业分层测评(十一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．若a，b，c既成等差数列，又成等比数列，则公比为________．
【解析】　由已知得
∴2b＝a＋，即a2＋b2＝2ab，
∴(a－b)2＝0，
∴a＝b≠0，
∴q＝＝1.
【答案】　1
2．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1a15＝________.
【解析】　∵lg(a3a8a13)＝lg
a＝6，
∴a＝106 a8＝102＝100.
又a1a15＝a＝10
000.
【答案】　10
000
3．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝________.
【解析】　∵{an}为等比数列，∴a5a6＝a4a7＝－8，联立可解得或　∴q3＝－或q3＝－2，故a1＋a10＝＋a7·q3＝－7.
【答案】　－7
4．在各项均为正数的等比数列{an}中，an＋1【导学号：91730040】
【解析】　设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋1∴＝＝2＝.
【答案】　
5．已知数列{an}是等比数列，且a2a6＝2a4，则a3a5＝________.
【解析】　∵a2a6＝2a4，
由等比数列的性质可知，a2a6＝a3a5＝a，
∴a＝2a4，∴a4＝2，∴a3a5＝4.
【答案】　4
6．互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，a＋3b＋c＝10，则a＝________.
【解析】　由题意知a＋c＝2b，
∴5b＝10，b＝2，
∴a＋c＝4.
∵＝，∴a2＝bc，∴a2＝2c，
∴a2＋2a－8＝0，解得a＝2或a＝－4.
当a＝2时，a＝b＝2不合题意，∴a＝－4.
【答案】　－4
7．(2016·南京高二检测)已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q＝________.
【解析】　设等差数列为{an}，公差为d，d≠0，则a＝a2·a6，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，化简得d2＝－2a1d.∵d≠0，∴d＝－2a1，
∴a2＝－a1，a3＝－3a1，
∴q＝＝3.
【答案】　3
8．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________.
【解析】　设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12可得q9＝3，又an－1·anan＋1＝aq3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14.
【答案】　14
二、解答题
9．数列{an}是等比数列，
(1)若已知a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值；
(2)若a2＝2，a6＝16，求a10；
(3)若a3＝－2，a7＝－16，求a5.
【解】　(1)∵a3a4a5＝8，∴a＝8，a4＝2.
∴a2a3a4a5a6＝(a2·a6)·(a3·a5)·a4＝a·a·a4＝32.
(2)∵a2·a10＝a，
∴a10＝＝＝128.
(3)∵a3·a7＝a，∴a5＝±＝±4.
又∵a5＝a3q2<0，
∴a5＝－4.
10．若a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，试判断△ABC的形状．
【解】　∵角A，B，C成等差数列，
∴A＋C＝2B，又△ABC中，A＋B＋C＝π，∴B＝.
又∵边a，b，c成等比数列，
∴b2＝ac，由余弦定理
∴cos
B＝＝＝cos＝，
∴a2＋c2－ac＝ac，
∴(a－c)2＝0，∴a＝c，
∴△ABC为等边三角形．
[能力提升]
1．若正数a，b，c成公比大于1的等比数列，则当x>1时，下列关于logax，logbx，logcx的说法正确的是________(填序号)．
①成等差数列；②成等比数列；
③各项倒数成等差数列；④各项倒数成等比数列．
【解析】　a，b，c成等比数列，则＝，
即b2＝ac,2logxb＝logxa＋logxc，
即＝＋，
即，，成等差数列．
【答案】　③
2．(2016·启东高二检测)设{an}是公比为q的等比数列，其前n项积为Tn，并满足条件a1>1，a99a100－1>0，<0，给出下列结论：
①0其中正确的编号为________．
【解析】　根据等比数列的性质，如果等比数列的公比是负值，在其连续两项的乘积是负值，根据a99a100－1>0，可知该等比数列的公比是正值，再根据<0，可知a99，a100一个大于1，一个小于1，因为a1>1，所以数列不会是单调递增的，只能单调递减，所以01，a100<1，又a99·a101＝a<1，①③正确；T198＝a1a2…a99a100…a197·a198＝(a99a100)99>1，②不正确；T199＝a1a2…a100…a198a199＝(a100)199<1，故④正确．
【答案】　①③④
3．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)．若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
【解析】　∵bn＝an＋1，
∴an＝bn－1，
而{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，
∴{an}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中．
∵{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，
∴{an}中的连续四项为－24,36，－54,81，
∴q＝－＝－，
∴6q＝－9.
【答案】　－9
4．若{an}是公差d≠0的等差数列，{bn}是公比q≠1的等比数列，已知a1＝b1＝1，且a2＝b2，a6＝b3.
(1)求d和q；
(2)是否存在常数a，b，使对一切n∈N
都有an＝logabn＋b成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
【解】　(1)由题意得
解得d＝3，q＝4.
(2)假设存在常数a，b.
由(1)得an＝3n－2，bn＝4n－1，
代入an＝logabn＋b，
得3n－2＝loga4n－1＋b，
即(3－loga4)n＋(loga4－b－2)＝0对n∈N
都成立，
∴
∴
所以存在常数a＝，b＝1使等式成立．3.4.2　基本不等式的应用
1．掌握基本不等式及变形的应用．
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
3．能应用基本不等式解决生活中的应用问题．
[基础·初探]
教材整理　基本不等式与最值
阅读教材P99～P101，完成下列问题．
已知a≥0，b≥0，在运用基本不等式时，要注意：
(1)和a＋b一定时，积ab有最大值；
(2)积ab一定时，和a＋b有最小值；
(3)取等号的条件
.
1．设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值为________．
【解析】　∵x，y∈(0，＋∞)，
∴xy≤2＝400，
当且仅当x＝y＝20时等号成立．
【答案】　400
2．把总长为16
m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________
m2.
【解析】　设一边长为x
m，则另一边长为(8－x)m，则面积S＝x(8－x)≤2＝16，
当且仅当x＝8－x，即x＝4时等号成立．
【答案】　16
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问2：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问3：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
[小组合作型]
利用基本不等式求条件最值
　(1)已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值是________．
(2)若x＋2y＝1，且x>0，y>0，则＋的最小值为________.
【导学号：91730069】
【精彩点拨】　注意条件“＋＝1”及“x＋2y＝1”的作用．
【自主解答】　(1)∵＋＝1，x>0，y>0，
∴x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋
≥10＋2
＝16.
当且仅当＝，即x＝4，y＝12时等号成立．
(2)∵x＋2y＝1，x>0，y>0，
∴＋＝(x＋2y)
＝8＋2＋＋
≥10＋2
＝18.
当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立．
【答案】　(1)16　(2)18
解决含有两个变量的代数式的最值时，常用“变量”替换，“1”的替换，构造不等式求解．
[再练一题]
1．(1)已知正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．
(2)已知点M(a，b)在直线x＋y＝1上，则的最小值为________．
【解析】　(1)法一　由ab＝a＋b＋3，得b＝.
由b>0，得>0.∵a>0，∴a>1.
∴ab＝a·＝
＝
＝(a－1)＋＋5≥2＋5＝9.
当且仅当a－1＝，即a＝3时，取等号，此时b＝3.
∴ab的取值范围是[9，＋∞)．
法二　由于a，b为正数，∴a＋b≥2，
∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，即()2－2－3≥0，∴≥3，故ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，取等号．
∴ab的取值范围是[9，＋∞)．
(2)因为点M(a，b)在直线x＋y＝1上，所以a＋b＝1，因为a2＋b2≥＝，
当且仅当a＝b＝时等号成立，
所以≥＝，
所以的最小值为.
【答案】　(1)[9，＋∞)　(2)
利用基本不等式解实际应用题
　某单位用2
160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2
000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
【精彩点拨】　根据题目列函数关系式，利用基本不等式求最值并确定取得最值的条件，得出结论．
【自主解答】　设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为＝.
∴每平方米的平均综合费用y＝560＋48x＋＝560＋48.
当x＋取最小值时，y有最小值．
∵x>0，∴x＋≥2＝30，
当且仅当x＝，即x＝15时，上式等号成立．
所以当x＝15时，y有最小值2
000元．
因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．
在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)根据实际背景写出答案．
[再练一题]
2．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元．且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．
(1)写出4辆车运营的总利润y(万元)与运营年数x(x∈N
)的函数关系式；
(2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？
【解】　(1)依题意，每辆车x年总收入为100x万元，
总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x)
＝200＋x(x＋1)·16(万元)．
∴y＝4
＝16(－2x2＋23x－50)．
(2)年平均利润为
＝16
＝16.
又x∈N
，
∴x＋≥2＝10，
当且仅当x＝5时，等号成立，
此时≤16×(23－20)＝48.
∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元．
[探究共研型]
形如y＝x＋的最值问题
探究　可以用基本不等式求函数y＝x＋(x≥4)的最小值吗？为什么？
【提示】　∵x≥4，
∴y＝x＋≥2＝4，
当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，
又x≥4，故不可以用基本不等式求其最小值．
由于y＝x＋在[4，＋∞)上单调递增，故当x＝4时，
ymin＝4＋＝5.
　已知a>0，求函数y＝的最小值．
【精彩点拨】　分“a>1”和“0【自主解答】　∵y＝＝＋.
(1)当0即x2＋a＝1，x＝±时取等号ymin＝2.
(2)当a>1时，令＝t，则t≥，
∴y＝f(t)＝t＋，利用单调性可知f(t)在[，＋∞)上是增函数，
∴y≥f()＝，
当且仅当t＝，即x＝0时等号成立．
∴ymin＝.
综上所述，当0ymin＝2；
当a>1时，ymin＝.
1．利用基本不等式求最值的前提条件是：一正、二定、三相等．
2．在等号不成立时，常借助函数的单调性求其最值．
[再练一题]
3．已知两正数x，y满足x＋y＝1，求z＝的最小值．
【解】　由x＋y＝1知x2＋y2＋2xy＝1，
∴x2＋y2＝1－2xy.
从而有z＝＝(x2y2＋x2＋y2＋1)＝(2＋x2y2－2xy)，
令xy＝t，
则z＝＋t－2，
再令f(t)＝＋t，可以证明f(t)＝＋t在上单调递减，
故当t＝时，f(t)＝＋t取最小值，
∴当x＝y＝时，z＝取最小值.
1．已知x，y都是正数，
(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________；
(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．
【解析】　(1)x＋y≥2＝2，即x＋y的最小值是2，当且仅当x＝y＝时取最小值．
(2)xy≤2＝2＝，
即xy的最大值是.
当且仅当x＝y＝时，xy取最大值．
【答案】　(1)2　(2)
2．已知x>0，则2－x－的最大值是________．
【解析】　∵x>0，∴x＋≥4，
∴2－x－＝2－≤2－4＝－2，
当且仅当x＝，即x＝2时取等号．
∴2－x－的最大值为－2.
【答案】　－2
3．已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的取值范围是________.
【导学号：91730070】
【解析】　∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴＋＝＋＝2＋＋
≥2＋2
＝4.
当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立．
【答案】　4
4．建造一个容积为8
m3，深为2
m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．
【解析】　设水池的造价为y元，长方形底的一边长为x
m，
由于底面积为4
m2，所以另一边长为
m.
那么y＝120·4＋2·80·
＝480＋320
≥480＋320·2＝1
760(元)．
当x＝2，即底为边长为2
m的正方形时，水池的造价最低，为1
760元．
【答案】　1
760
5．设x，y＞0，且x＋y＝4，若不等式＋≥m恒成立，求实数m的最大值．
【解】　＋＝(x＋y)
＝≥＝(5＋4)＝.
当且仅当＝，且x＋y＝4，即x＝，y＝时，上式取“＝”．
故min＝.
∵＋≥m恒成立，∴m≤，
∴mmax＝.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
学业分层测评(二十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．设0【解析】　∵00，
∴y＝x(3－2x)＝2·x
≤22＝，当且仅当x＝－x，即x＝时，取“＝”，
∴函数y＝x(3－2x)的最大值为.
【答案】　
2．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________.
【导学号：91730071】
【解析】　∵x2＋y2＋xy＝1，
∴(x＋y)2＝1－xy≤1－2，
∴(x＋y)2≤，∴x＋y≤.
【答案】　
3．设x，y满足x＋4y＝40，且x，y∈(0，＋∞)，则lg
x＋lg
y的最大值是________．
【解析】　∵x＋4y＝40，且x，y∈(0，＋∞)，
∴4xy≤2＝(20)2＝400，当且仅当x＝4y时等号成立．
∴lg
x＋lg
y＝lg(xy)＝lg
(x·4y)≤lg
＝2.
【答案】　2
4．已知x≥，则f(x)＝的最小值为________．
【解析】　f(x)＝＝
＝≥1.
当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立．
【答案】　1
5．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为________．
【解析】　∵点P(x，y)在直线AB上，
∴x＋2y＝3，
∴2x＋4y≥2＝2
＝4.
【答案】　4
6．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两次费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
【解析】　设仓库距离车站为x千米，则y1＝，y2＝k2x.由题意可知，
2＝，8＝k2·10，
∴k1＝20，k2＝，
∴y＝＋x.
∵＋x≥2＝8，
当且仅当＝x，即x＝5时取等号．
∴x＝5千米时，y取得最小值．
【答案】　5
7．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________.
【导学号：91730072】
【解析】　因为x>0，所以x＋≥2，
当且仅当x＝1时取等号，所以有＝≤＝，
即的最大值为，故a≥.
【答案】　
8．汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g(即每小时的汽油消耗量，单位：L/h)与汽车行驶的平均速度v(单位：km/h)之间有函数关系：g＝(v－50)2＋5(0【解析】　设每千米汽油平均消耗量为y，则y＝g·＝
＝
＝v＋－≥2－＝(当且仅当v＝，即v＝50时，取“＝”)．
∴当v＝50
km/h时，汽油的使用效率最高．
【答案】　50
二、解答题
9．设a＋b＝2，b>0，求＋的最小值．
【解】　因为＋＝＋≥＋2＝＋1≥－＋1＝，当且仅当＝，a<0，即a＝－2，b＝4时取等号，故＋的最小值是.
10．某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图3 4 1所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3
000平方米，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米．
图3 4 1
(1)分别写出用x表示y和S的函数关系式(写出函数定义域)；
(2)怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？
【解】　(1)由已知xy＝3
000,2a＋6＝y，则y＝(6≤x≤500)，
S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)·＝(x－5)(y－6)＝3
030－6x－(6≤x≤500)．
(2)S＝3
030－6x－≤3
030－2
＝3
030－2×300＝2
430，
当且仅当6x＝，即x＝50时，“＝”成立，此时x＝50，y＝60，Smax＝2
430.
即设计x＝50米，y＝60米时，运动场地面积最大，最大值为2
430平方米．
[能力提升]
1．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为________．　
【解析】　由x2－3xy＋4y2－z＝0，得z＝x2－3xy＋4y2.
所以＝＝≤＝1，当且仅当＝，即x＝2y时取等号，
此时z＝2y2，max＝1.
＋－＝＋－＝－＋
＝－2＋1≤1，当y＝1时，取等号．
【答案】　1
2．若a＞b＞0，则代数式a2＋的最小值为________．
【解析】　依题意得a－b＞0，所以代数式a2＋≥a2＋＝a2＋≥
2＝4，当且仅当即a＝，
b＝时取等号，因此a2＋的最小值是4.
【答案】　4
3．设a>b>c，且＋≥恒成立，则m的取值范围是________.
【导学号：91730073】
【解析】　由a>b>c，知a－b>0，a－c>0，b－c>0，
∴原不等式等价于＋≥m.
要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可．
＋＝＋
＝2＋＋≥2＋2＝4.
当且仅当＝，即2b＝a＋c时，等号成立．
∴m≤4，即m∈(－∞，4]．
【答案】　(－∞，4]
图3 4 2
4．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图3 4 2所示，要求∠ACB＝60°，BC长度大于1，且AC比AB长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？
【解】　设BC＝a(a>1)，AC＝b，
则AB＝b－0.5，
∵(b－0.5)2＝b2＋a2－2abcos
60°，
∴－b＋0.25＝a2－ab，
整理得b＝.
令a－1＝t(t>0)，
∴a＝t＋1，
∴b＝＝＝t＋＋2≥2＋2＝2＋
.
综上，当BC＝1＋米时AC最短，为2＋米．3．4　基本不等式≤(a≥0，b≥0)
3．4.1　基本不等式的证明
1．理解基本不等式的内容及证明．(重点)
2．能运用基本不等式证明简单的不等式．(重点)
3．能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　算术平均数与几何平均数
阅读教材P96，完成下列问题．
对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．
若两个正数a，b的算术平均数为2，几何平均数为2，则a＝________，b＝________.
【解析】　由题意可知
∴
∴a＝2，b＝2.
【答案】　2　2
教材整理2　基本不等式
阅读教材P97～P98，完成下列问题．
如果a，b是正数，那么≤(当且仅当a＝b时取“＝”)，我们把不等式≤(a≥0，b≥0)称为基本不等式．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意a，b∈R，都有a＋b≥2成立．(　　)
(2)不等式a2＋4≥4a成立的条件是a＝2.(　　)
【答案】　(1)×　(2)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问2：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问3：_________________________________________________
解惑：__________________________________________________
[小组合作型]
用基本不等式证明不等式
　已知a，b，c为不全相等的正数．
(1)求证：a＋b＋c≥＋＋；
(2)求证：＋＋≥a＋b＋c.
【精彩点拨】　(1)利用a＋b≥2，a＋c≥2，b＋c≥2求证；
(2)利用＋b≥2；＋c≥2；＋a≥2求证．
【自主解答】　(1)∵a>0，b>0，c>0，
∴a＋b≥2，a＋c≥2，b＋c≥2.
又a，b，c为不全相等的正数，
∴a＋b＋c≥＋＋.
又a，b，c互不相等，
故等号不能同时取到，
所以a＋b＋c>＋＋.
(2)∵a，b，c，，，均大于0，
∴＋b≥2＝2a，
当且仅当＝b时等号成立．
＋c≥2＝2b，
当且仅当＝c时等号成立．
＋a≥2＝2c，
当且仅当＝a时等号成立．
相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，
∴＋＋≥a＋b＋c.
利用基本不等式证明不等式的条件要求：
(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．
(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到．
[再练一题]
1．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.
求证：＋＋≥9.
【证明】　法一　∵a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋
＝＋＋
＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．
法二　∵a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝(a＋b＋c)
＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．
[探究共研型]
应用基本不等式应注意的问题
探究1　不等式“x＋≥2＝2”成立吗？为什么？
【提示】　不成立．如当x<0时，x＋<0，显然不成立．
探究2　当x<0时，能否应用基本不等式求解，x＋的范围是多少？
【提示】　可以，当x<0时，－x>0，
∴x＋＝－
≤－2＝－2.
当且仅当－x＝－，即x＝－1时等号成立，
∴x＋∈(－∞，－2]．
探究3　当x≥0时，如何求“x＋”的最小值？
【提示】　x＋＝(x＋1)＋－1≥2－1＝2－1＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝0时等号成立．
　求函数y＝(x>－1)的最小值，并求相应的x值．
【精彩点拨】　y＝y＝(x＋1)＋＋b求最小值
【自主解答】　y＝＝＝(x＋1)＋＋5，
∵x>－1，∴x＋1>0，
∴y≥2＋5
＝4＋5
＝9.
当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立．
∴函数y＝(x>－1)的最小值为9，此时x＝1.
1．基本不等式使用的条件为“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可．在解题过程中，为了达到使用基本不等式的条件，往往需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个应用基本不等式的情境．
2．应用基本不等式求函数最值，常见类型如下：
(1)构造积为定值，利用基本不等式求最值；
(2)构造和为定值，利用基本不等式求最值．
[再练一题]
2．(1)已知0(2)已知x>，求函数y＝4x－2＋的最小值.
【导学号：91730065】
【解】　(1)∵0∴1－3x>0，
∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)≤
2＝，
当且仅当x＝时，函数y＝x(1－3x)取得最大值.
(2)∵x>，∴4x－5>0，
∴y＝4x－2＋＝4x－5＋＋3
≥2＋3＝5.
当且仅当4x－5＝，
即x＝时取等号．
∴当x＝时，y取最小值为5.
1．a＋1≥2(a>0)中等号成立的条件是________．
【解析】　等号成立的条件是两项相等，即a＝1.
【答案】　a＝1
2．函数f(x)＝2x＋(x>0)有最小值为________．
【解析】　2x＋≥2＝8，当且仅当x＝2时等号成立．
【答案】　8
3．已知x，y为正实数，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________.
【导学号：91730066】
【解析】　∵x>0，y>0，∴1＝x＋4y≥2＝4，
∴xy≤，
当且仅当x＝，y＝时，等号成立．
∴(xy)max＝.
【答案】　
4．设b>a>0，且a＋b＝1，则四个数，2ab，a2＋b2，b中最大的是________．
【解析】　∵b>a>0，∴a2＋b2>2ab.
又∵a＋b＝1，∴b>.
又b＝b(b＋a)＝b2＋ab>b2＋a2，
故b最大．
【答案】　b
5．已知a，b，c，d都是正实数．
求证：＋≥4.
【证明】　∵a，b，c，d都是正实数，
∴＋＝＋＋＋
＝＋
≥2＋2＝4.
当且仅当a＝b且c＝d时取“＝”．
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
学业分层测评(十九)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．给出下面四个推导过程：
①因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2＝2；
②因为x，y∈(0，＋∞)，
所以lg
x＋lg
y≥2
；
③因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2＝4；
④因为x，y∈R，xy<0，所以＋
＝－≤－2＝－2.
其中正确的推导过程为________．
【解析】　②③错误，①④正确，对于②，lg
x，lg
y不一定为正数；对于③，a∈R，也失去了应用基本不等式的前提．
【答案】　①④
2．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
【导学号：91730067】
【解析】　∵x>0，∴f(x)＝4x＋≥2＝4.
当且仅当4x＝，即x＝时等号成立．
由题意可知＝3，即a＝36.
【答案】　36
3．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是________．
(1)a2＋b2>2ab；(2)a＋b≥2；(3)＋>；(4)＋≥2.
【解析】　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴(1)错误．对于(2)(3)，当a<0，b<0时，明显错误．对于(4)，∵ab>0，
∴＋≥2＝2.
【答案】　(4)
4．已知函数y＝2＋3x2＋，当x＝________时，函数有最________值，为________．
【解析】　∵x2>0，
∴y＝2＋3x2＋≥2＋2＝14，
当且仅当3x2＝，即x＝±时，取等号．
【答案】　±　小　14
5．下列函数中最小值为4的是________．
①y＝x＋；②y＝sin
x＋(0x＋4logx
10.
【解析】　对于③，y＝3x＋4·3－x≥2＝4，当且仅当3x＝2时取等号．
【答案】　③
6．设a，b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是________．
【解析】　∵a＋b＝3，
∴2a＋2b≥2＝2＝4.
当且仅当2a＝2b，即a＝b＝时等号成立．
【答案】　4
7．已知m＝a＋(a＞2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是________．
【解析】　m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a－2＝，即a＝3时，“＝”成立，故m∈[4，＋∞)，由b≠0，得b2≠0，
∴2－b2＜2，∴22－b2＜4，即n∈(0,4)，综上易得m＞n.
【答案】　m＞n
8．若a>b>1，P＝，Q＝(lg
a＋lg
b)，R＝lg，则P，Q，R的大小关系为________．
【解析】　∵a>b>1，∴lg
a>lg
b>0，
∴<(lg
a＋lg
b)，即P又>，∴lg>lg＝(lg
a＋lg
b)，
∴R>Q，
即R>Q>P.
【答案】　R>Q>P
二、解答题
9．已知a，b是正数，试比较与的大小．
【解】　∵a>0，b>0，∴＋≥2>0，
∴≤＝，即≤.
10．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
(1)＋＋≥8；
(2)≥9.
【证明】　(1)＋＋＝＋＋＝2.
∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立)．
(2)法一　∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋＝1＋＝2＋，同理，1＋＝2＋，
∴＝·
＝5＋2≥5＋4＝9，
∴≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立)．
法二　＝1＋＋＋.
由(1)知，＋＋≥8，
故＝1＋＋＋≥9.
[能力提升]
1．若x>0，y>0，且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是________.
【导学号：91730068】
(1)≤；(2)＋≥1；(3)≥2；
(4)≥1.
【解析】　若x>0，y>0，由x＋y＝4，得＝1，
∴＋＝(x＋y)
＝≥(2＋2)＝1，
当且仅当x＝y＝2时，等号成立．
【答案】　(2)
2．若不等式x2－ax＋1≥0对一切x∈(0,1]恒成立，则a的取值范围是________．
【解析】　x2－ax＋1≥0，x∈(0,1]恒成立 ax≤x2＋1，x∈(0,1]恒成立 a≤x＋，x∈(0,1]恒成立．
∵x∈(0,1]，x＋≥2，∴a≤2.
【答案】　(－∞，2]
3．设0【解析】　∵0∴logab<0，logba<0，－logab>0，
∴(－logab)＋(－logba)
＝(－logab)＋≥2，
∴logab＋logba≤－2.
【答案】　－2
4．已知x>y>0，xy＝1，求的最小值．
【解】　∵xy＝1，
∴＝
＝＝(x－y)＋≥
2＝2.
当且仅当
即时取等号．3.3　二元一次不等式组与简单的线性规划问题
3.3.1　二元一次不等式表示的平面区域
3.3.2　二元一次不等式组表示的平面区域
1．了解二元一次不等式的几何意义，会画二元一次不等式表示的平面区域．(重点)
2．能从实际情境中抽象出二元一次不等式组，能用平面区域表示二元一次不等式组．(难点)
3．二元一次不等式(组)与平面区域的等价转化．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1　二元一次不等式表示的平面区域
阅读教材P82～P83的有关内容，完成下列问题．
1．一般地，直线y＝kx＋b把平面分成两个区域：y>kx＋b表示直线上方的平面区域；y2．任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式．若适合，则该点所在的一侧为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为不等式所表示的平面区域．
3．若直线不过原点，一般选原点检验．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点(0,1)在直线y＝－x＋2的上方．(　　)
(2)若P(x0，y0)位于不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域内，则Ax0＋By0＋C>0.(　　)
(3)不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域不包括边界直线．(　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×
教材整理2　二元一次不等式组表示的平面区域
阅读教材P84～P86的有关内容，完成下列问题．
二元一次不等式组表示的平面区域，是构成不等式组的各个不等式所表示平面区域的公共部分．
表示图3 3 1中阴影部分的二元一次不等式组是________．
图3 3 1
【解析】　写出各边所在直线方程，逐一检验．
【答案】　
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问2：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问3：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问4：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
[小组合作型]
二元一次不等式表示的平面区域
　画出下列二元一次不等式表示的平面区域．
(1)2x＋y－10<0；
(2)y≥－2x＋3.
【精彩点拨】　画直线―→特殊点定域―→平面区域
【自主解答】　(1)先画出直线2x＋y－10＝0(画成虚线)．
取原点(0,0)，代入2x＋y－10，
∵2×0＋0－10<0，
∴原点在2x＋y－10<0表示的平面区域内，
不等式2x＋y－10<0表示的平面区域如图所示．
(2)先画出直线2x＋y－3＝0(画成实线)．
取原点(0,0)，代入2x＋y－3，
∵2×0＋0－3<0，
∴原点不在2x＋y－3≥0表示的平面区域内，不等式y≥－2x＋3所表示的平面区域如图所示．
画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法，其一般步骤是：
(1)“直线定界”，即画出边界直线Ax＋By＋C＝0，若有等号，则画实线；若无等号，则画虚线．
(2)“特殊点定域”，即取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，根据Ax0＋By0＋C的符号确定出相应的不等式表示的平面区域．一般地，当C＝0时，常把(1,0)或(0,1)作为特殊点；当C≠0时，取(0,0)作为特殊点．
[再练一题]
1．画出不等式3x＋2y＋6>0表示的区域．
【解】　如图：
第一步：画出直线3x＋2y＋6＝0(注意应画成虚线)，
第二步：直线不过原点，把原点坐标(0,0)代入3x＋2y＋6得6>0，
∴不等式表示的区域为原点所在的一侧．
二元一次不等式组表示的平面区域的面积
　求由不等式组确定的平面区域的面积．
【精彩点拨】　作图→图形分割→求面积之和→求周长
【自主解答】　作出由不等式组所确定的平面区域(阴影部分)，
其四个顶点为O(0,0)，B(3,0)，A(0,5)，P(1,4)．
过P点作y轴的垂线，垂足为C，
于是点C的坐标为(0,4)．
则AC＝|5－4|＝1，PC＝|1－0|＝1，OC＝4，OB＝3，AP＝，PB＝＝2.
得S△ACP＝AC·PC＝，S梯形COBP＝(CP＋OB)·OC＝8，
所以面积＝S△ACP＋S梯形COBP＝.
求不等式组表示的平面区域面积的步骤
先画出不等式组表示的平面区域，然后根据平面区域的形状求面积．
(1)若图形为规则图形，则直接用面积公式求解；
(2)若图形为不规则图形，可采取分割方法，将区域划为几个规则图形后再求解．
[再练一题]
2．若不等式组(a∈R)所表示的平面区域的面积等于2，则a＝________.
【解析】　由题意知不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，设为△ABC，则A(1,0)，B(0,1)，C(1,1＋a)且a>－1，∵S△ABC＝2，
∴(1＋a)×1＝2，解得a＝3.
【答案】　3
[探究共研型]
由平面区域求不等式(组)
探究1　如图3 3 2，如何求解直线l的方程？
图3 3 2
【提示】　可利用截距式(或两点式)求其方程为x＋y＝1.
探究2　如图3 3 2中的平面区域如何表示？
【提示】　由于边界是实线，且点(0,0)不在该区域内，故其表示x＋y≥1的部分组成的平面区域．
　在△ABC中，A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，写出△ABC(包括边界)内部所对应的二元一次不等式组．
【精彩点拨】　先由两点式求方程，画出草图，再由图写出不等式组．
【自主解答】　如图，直线AB的方程为x＋2y－1＝0(可用两点式或点斜式写出)．
直线AC的方程为2x＋y－5＝0，
直线BC的方程为x－y＋2＝0，
把(0,0)代入2x＋y－5＝－5<0，
∴AC左下方的区域为2x＋y－5<0.
把(0,0)代入x＋2y－1＝－1<0，
而(0,0)不在三角形区域内．
∴AB右上方的区域为x＋2y－1>0.
同理BC右下方的区域为x－y＋2>0.
又∵包含边界，
∴不等式组应为
在已知平面区域的前提下，用不等式(组)表示已知平面区域，可在各条直线外任取一点，将其坐标代入Ax＋By＋C，判断其正负，确定每一个不等式．
[再练一题]
3．写出图3 3 3中平面区域所对应的不等式组．
图3 3 3
【解】　直线AC的方程为y＝2x，直线AB的方程为y＝x，直线BC的方程为y＝－x＋3，利用点检验可知阴影区域对应的不等式组为
[构建·体系]
1．不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内的一个点是________．
①(0,0)；②(1,1)；③(0,2)；④(2,0)．
【解析】　把各点分别代入3x＋2y<6，不满足该不等式的即为答案．经检验点(2,0)满足题意．
【答案】　
④
2．不等式组表示的平面区域是________．
图3 3 4
【解析】　由题意可知x＋3y＋6＝0是实线，x－y＋2＝0是虚线，故③正确．
【答案】　③
3．图3 3 5中的平面区域(阴影部分)，用不等式表示为________.
【导学号：91730060】
图3 3 5
【解析】　直线过(4,0)，两点，
故直线为2x＋3y－8＝0，
则阴影部分表示为2x＋3y－8≥0.
【答案】　2x＋3y－8≥0
4．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是__________．
【解析】　2×(－2)－3t＋6<0，∴t>.
【答案】　
5．求不等式组表示的平面区域的面积及平面区域内的整点坐标．
【解】　画出平面区域如图阴影部分所示，平面区域图形为直角三角形，
面积S＝×4×3＝6.
当x＝1时，代入4x＋3y≤12，
得y≤，
∴整点为(1,2)，(1,1)．
当x＝2时，代入4x＋3y≤12，
得y≤，
∴整点为(2,1)．
综上可知，平面区域的面积为6，平面区域内的整点坐标为(1,1)，(1,2)和(2,1)．
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
学业分层测评(十七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知点P1(0,0)，P2(2,1)，P3，则在3x－5y－1≥0表示的平面区域内的点是__________．
【解析】　将P1，P2，P3坐标代入检验，3×0－5×0－1＝－1<0,3×2－5×1－1＝0,3×－5×0－1>0，故P2，P3在区域内．
【答案】　P2，P3
2．满足不等式(x－y)(x＋2y－2)>0的点P(x，y)所在的平面区域是________．
图3 3 6
【解析】　原不等式等价于
或表示的区域是对顶区域．
【答案】　②
3．设P(x，y)，其中x，y∈N，则满足2x＋y≤6的点的个数为________．
【解析】　由题意知，即求的整数解，
作出平面区域如图所示，只有7＋5＋3＋1＝16个点．
【答案】　16
4．已知点(－1,2)和点(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是________．
【解析】　由题意可知
(－3＋2－a)(9－3－a)<0，
∴－1【答案】　(－1,6)
5．不等式组表示的平面区域的形状为________．
【解析】　如图所示的阴影部分，
不等式组表示的平面区域是边长为的正方形．
【答案】　正方形
6．由直线x＋y＋2＝0，x＋2y＋1＝0和2x＋y＋1＝0围成的三角形区域(包括边界)用不等式组表示为________．
【解析】　
画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如图所示．
取原点(0,0)，将x＝0，y＝0代入x＋y＋2，得2>0，代入x＋2y＋1，得1>0；代入2x＋y＋1，得1>0.
结合图形可知，三角形区域用不等式组可表示为
【答案】　
7．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x－y＋a>0表示的平面区域内，则a的取值范围为________．
【解析】　根据题意，分以下两种情况：
①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内，则无解；
②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，则
∴－1综上所述，－1【答案】　(－1,0]
8．若点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y－3<0表示的平面区域内，则实数m的值为________.
【导学号：91730061】
【解析】　由点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离d＝＝4，得m＝7或m＝－3.又点P在不等式2x＋y－3<0表示的平面区域内，当m＝－3时，点P的坐标为(－3,3)，则2×(－3)＋3－3<0，符合题意；当m＝7时，点P的坐标为(7,3)，则2×7＋3－3>0，不符合题意，舍去，综上，m＝－3.
【答案】　－3
二、解答题
9．画出不等式组所表示的平面区域，并求其面积．
【解】　如图所示，其中的阴影部分便是要表示的平面区域．
由
得A(1,3)，同理得B(－1,1)，C(3，－1)．
所以|AC|＝＝2，
而点B到直线2x＋y－5＝0的距离d＝＝，
所以S△ABC＝|AC|·d＝×2×＝6.
10．利用平面区域求不等式组的整数解．
【解】　先画出平面区域，再用代入法逐个验证．
把x＝3代入6x＋7y≤50，得y≤，
又∵y≥2，∴整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)；
把x＝4代入6x＋7y≤50，得y≤，
∴整点有(4,2)，(4,3)；
把x＝5代入6x＋7y≤50，得y≤，
∴整点有(5,2)；
把x＝6代入6x＋7y≤50，得y≤2，整点有(6,2)；
把x＝7代入6x＋7y≤50，得y≤，与y≥2不符．
∴整数解共有7个，分别为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)．
[能力提升]
1．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．
【解析】　如图，直线y＝a只能在阴影区域上下移动，最高到虚线(但不包括)，最低到y＝5，∴5≤a<7.
【答案】　[5,7)
2．不等式组所表示的平面区域为D，若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是________．
【解析】　满足约束条件的平面区域如图所示：
因为y＝a(x＋1)过定点(－1,0)．
所以当y＝a(x＋1)过点B(0,4)时，对应a＝4，
当y＝a(x＋1)过点A(1,1)时，对应a＝.又因为直线y＝a(x＋1)与平面区域D有公共点，所以≤a≤4.
【答案】　
3．若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是________.
【导学号：91730062】
【解析】　由图可知，不等式组所表示的平面区域为△ABC边界及内部，y＝kx＋恰过点C，y＝kx＋将区域平均分成面积相等的两部分，故过AB的中点D，＝k×＋，k＝.
【答案】　
4．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0相交于P，Q两点，且P，Q关于直线x＋y＝0对称，则不等式组表示的平面区域的面积是多少？
【解】　根据题意知直线y＝kx＋1与直线x＋y＝0垂直，故k＝1，又据圆的几何性质可知圆心在直线x＋y＝0上，解得m＝－1，故线性约束条件即为
画出线性可行域，如图易求得三角形面积
S＝×1×＝.第2课时　正弦定理(2)
1．利用正弦定理判断三角形的形状，计算三角形的面积．(重点)
2．正弦定理与三角恒等变换的综合应用．(难点)
3．利用正弦定理解题时，忽略隐含条件而致误．(易错点)
[基础·初探]
教材整理　正弦定理的应用
阅读教材P9～P12，完成下列问题．
1．正弦定理的深化与变形
(1)＝＝＝________＝________.
(2)a＝________，b＝________，c＝________.
(3)＝________，＝________，＝________.
(4)a∶b∶c＝________：________：________.
【答案】　(1)2R　　
(2)2Rsin
A　2Rsin
B　2Rsin
C　(3)　　　(4)sin
A　sin
B　sin
C
2．三角形面积公式
S△ABC＝________＝________＝________.
【答案】　absin
C　bcsin
A　acsin
B
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在有些三角形中，a＝sin
A，b＝sin
B，c＝sin
C．(　　)
(2)在△ABC中，＝.(　　)
(3)在△ABC中，a＝2，b＝1，C＝30°，则S△ABC＝1.(　　)
【解析】　由正弦定理＝＝可知(1)，(2)正确；又S△ABC＝×2×1×sin
30°＝，故(3)错误．
【答案】　(1)√　(2)√　(3)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问2：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问3：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问4：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
[小组合作型]
求三角形的面积
　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝30°，c＝2，b＝2，求△ABC的面积S.
【精彩点拨】　先求C，再求A，最后利用S△ABC＝bcsin
A求解．
【自主解答】　由正弦定理得sin
C＝＝＝.又∵c>b，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，A＝90°，∴S＝bcsin
A＝2；当C＝120°时，A＝30°，∴S＝bcsin
A＝，∴△ABC的面积S为2或.
求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用．另外也要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数值求角时出现增根错误．
[再练一题]
1．在△ABC中，cos
A＝－，cos
B＝.
(1)求sin
C的值；
(2)设BC＝5，求△ABC的面积.
【导学号：91730004】
【解】　(1)在△ABC中，0A＋B＋C＝π，
由cos
A＝－，得sin
A＝，
由cos
B＝，得sin
B＝，
∴sin
C＝sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝×＋×＝.
(2)在△ABC中，由正弦定理得，
AC＝＝＝，
∴S△ABC＝×BC×AC×sin
C＝×5××＝.
利用正弦定理判断三角形的形状
　在△ABC中，已知a2tan
B＝b2tan
A，试判断△ABC的形状．
【精彩点拨】　根据正弦定理可以把问题转化为角的问题，借助三角恒等变换知识化简得到角与角的等量关系，再进一步判断．
【自主解答】　由已知得＝.
由正弦定理得＝，
即sin
Acos
A＝sin
Bcos
B，亦即sin
2A＝sin
2B.
∴2A＝2B或2A＝π－2B，
∴A＝B或A＝－B，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
根据边角关系判断三角形形状的途径
根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；
(2)化角为边，并常用正弦定理实施边、角转换．
[再练一题]
2．在△ABC中，若sin
A＝2sin
Bcos
C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
【解】　法一：在△ABC中，根据正弦定理：＝＝＝2R.
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴2＝2＋2，即a2＝b2＋c2.
∴A＝90°，∴B＋C＝90°.
由sin
A＝2sin
Bcos
C，得sin
90°＝2sin
Bcos(90°－B)，
∴sin2B＝，∵B是锐角，
∴sin
B＝，∴B＝45°，C＝45°.
∴△ABC是等腰直角三角形．
法二：在△ABC中，根据正弦定理：
sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝.
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形且A＝90°.
∵A＝180°－(B＋C)，sin
A＝2sin
Bcos
C，
∴sin(B＋C)＝2sin
Bcos
C，
∴sin
Bcos
C－cos
Bsin
C＝0，
即sin(B－C)＝0，∴B－C＝0，即B＝C，
∴△ABC是等腰直角三角形．
[探究共研型]
正弦定理在生产实际中的应用
探究1　如图1 1 1，如何测量河两侧A，B两点间的距离？
图1 1 1
【提示】　如图，在B侧选一条基线BC，测得BC＝a，∠ABC＝α，∠ACB＝β，
则由正弦定理可知
＝，
即AB＝.
探究2　你能画出下列各角吗？
(1)南偏西30°；(2)仰角30°，俯角45°.
【提示】　
　如图1 1 2，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.
图1 1 2
【精彩点拨】　先求出∠CBD，利用正弦定理求BC，再在△ABC中，求AB.
【自主解答】　在△BCD中，∠BCD＝α，∠BDC＝β，
∴∠CBD＝180°－(α＋β)，
∴＝，
即＝，
∴BC＝·s.
在△ABC中，由于∠ABC＝90°，∴＝tan
θ，
∴AB＝BC·tan
θ＝·s.
解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．
[再练一题]
3．一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北方向，0.5
h后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向．若货轮的速度为30
n
mile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向时，求A，D两处的距离．
【解】　如图所示，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝90°＋30°＝120°，∴∠ACB＝180°－45°－120°＝15°，AB＝30×0.5＝15(n
mile)．
由正弦定理，得
＝，
∴AC＝＝
＝×15(n
mile)．
在△ACD中，∵∠A＝∠D＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝AC＝15(3＋)(n
mile)．
∴A，D两处之间的距离是15(3＋)n
mile.
答：A，D两处的距离为15(3＋)n
mile.
[构建·体系]
1．在△ABC中，AB＝，BC＝1，B＝30°，则△ABC的面积S△ABC＝________.
【解析】　S△ABC＝×AB×BC×sin
B＝××1×＝.
【答案】　
2．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是________三角形．
【解析】　由正弦定理＝＝＝2R可知a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C.
由＝＝可知
tan
A＝tan
B＝tan
C，
即A＝B＝C，
∴△ABC为等边三角形．
【答案】　等边
3．如图1 1 3所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50
m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为________
m.
【导学号：91730005】
图1 1 3
【解析】　由题意可知∠ABC＝180°－105°－45°＝30°，由正弦定理，得AB＝＝＝50(m)．
【答案】　50
4．在△ABC中，－－＝________.
【解析】　由正弦定理可知＝＝，
故－－＝0.
【答案】　0
5．如图1 1 4，A，B是海平面上的两个点，相距800
m．在A点测得山顶C的仰角为30°，∠BAD＝105°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足．求山高CD.
图1 1 4
【解】　在△ABD中，由正弦定理，得
AD＝＝＝800，
在Rt△ACD中，
CD＝AD·tan
30°＝800×＝(m)．
答：山高CD为
m.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
学业分层测评(二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知△ABC的面积为且b＝2，c＝2，则A＝______.
【解析】　∵S△ABC＝bcsin
A，b＝2，c＝2，
∴×2×2sin
A＝，
∴sin
A＝.
又A∈(0，π)，
∴A＝或.
【答案】　或
2．海上有A，B两个小岛相距10
n
mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是________
n
mile.
【解析】　如图所示，
易知C＝45°，
由正弦定理得＝，
∴BC＝＝5.
【答案】　5
3．(2016·苏州高二检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为________.
【导学号：91730006】
【解析】　由正弦定理知，＝，结合条件得c＝＝2.
又sin
A＝sin(π－B－C)＝sin(B＋C)＝sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C＝，
所以△ABC的面积S＝bcsin
A＝＋1.
【答案】　＋1
4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝________.
【解析】　由正弦定理得＝，∵B＝2A，a＝1，b＝，
∴＝.
∵A为三角形的内角，∴sin
A≠0，∴cos
A＝.
又0＜A＜π，∴A＝，∴B＝2A＝.
∴C＝π－A－B＝，即△ABC为直角三角形，
由勾股定理得c＝＝2.
【答案】　2
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则的值为________．
【解析】　由正弦定理得，原式＝＝22－1＝2×2－1＝.
【答案】　
6．(2016·泰州高二检测)在△ABC中，a＝2bcos
C，则这个三角形一定是________三角形．
【解析】　由a＝2bcos
C可知
sin
A＝2sin
Bcos
C，
∴sin(B＋C)＝2sin
Bcos
C，
∴sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C＝2sin
Bcos
C，
∴sin(B－C)＝0，
∴B＝C，∴b＝c，
∴△ABC为等腰三角形．
【答案】　等腰
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin
B·cos
C＋csin
Bcos
A＝b，且a>b，则B＝________.
【解析】　根据正弦定理将边化角后约去sin
B，得sin(A＋C)＝，所以sin
B＝，又a>b，所以A>B，所以B＝.
【答案】　
8．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为________．
【解析】　设最小角为α，则最大角为120°－α，
∴＝，
∴2sin(120°－α)＝(＋1)sin
α，
∴sin
α＝cos
α，∴α＝45°，
∴最大角为120°－45°＝75°.
【答案】　75°
二、解答题
9．一船以每小时15
km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4
h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，求这时船与灯塔的距离．
【解】　如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，
∴∠ABC＝45°，AC＝60.根据正弦定理，
得BC＝＝＝30(km)．
10．在△ABC中，∠A的平分线交BC于D，用正弦定理证明：＝.
【证明】　如图，由题意可知，∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，
在△ABD中，由正弦定理得
＝，①
在△ADC中，由正弦定理得
＝，②
又sin∠1＝sin∠2，sin∠3＝sin∠4，
故得＝.
[能力提升]
1．在△ABC中，＝，则△ABC的形状一定是________．
【解析】　在△ABC中，∵＝，
∴acos
A＝bcos
B，由正弦定理，
得2Rsin
Acos
A＝2Rsin
Bcos
B，
∴sin
2A＝sin
2B，
∴2A＝2B或2A＋2B＝180°，
∴A＝B或A＋B＝90°.
故△ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
【答案】　等腰或直角三角形或等腰直角三角形
2．(2016·南京高二检测)在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，则的取值范围为________．
【解析】　在锐角三角形ABC中，A，B，C均小于90°，
即∴30°由正弦定理知：
＝＝＝2cos
B∈(，)，
故的取值范围是(，)．
【答案】　(，)
3．△ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的周长为________(用B表示).
【导学号：91730007】
【解析】　在△ABC中，A＋B＋C＝π可知C＝－B.
由正弦定理得
＝＝，
∴AB＝2sin，
AC＝2sin
B，
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝2·＋3＝3＋6sin.
【答案】　3＋6sin
4．(2016·如东高二检测)在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A.
(1)求cos
A的值；
(2)求c的值．
【解】　(1)因为a＝3，b＝2，B＝2A，
所以在△ABC中，由正弦定理得＝，
所以＝，
故cos
A＝.
(2)由(1)知cos
A＝，所以sin
A＝＝.
又B＝2A，所以cos
B＝2cos2
A－1＝，
所以sin
B＝＝.
在△ABC中，sin
C＝sin(A＋B)
＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝，
所以c＝＝5.2.3　等比数列
2.3.1　等比数列的概念
2.3.2　等比数列的通项公式
第1课时　等比数列的概念及通项公式
1．理解等比数列的概念，能在具体情景中，发现数列的等比关系．(重点)
2．会推导等比数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等比数列问题．
(重点)
3．会证明一个数列是等比数列．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　等比数列的概念
阅读教材P49的有关内容，完成下列问题．
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)等比数列中，各项与公比均不为零．(　　)
(2)数列a，a，…，a一定是等比数列．(　　)
(3)等比数列{an}中，a1，a3，a5一定同号．(　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√
教材整理2　等比数列的通项公式
阅读教材P51～P52，完成下列问题．
如果数列{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，那么它的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)．
1．在等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16，则an＝________.
【解析】　∵a4＝a1q3，∴q3＝8，∴q＝2，
∴an＝a1qn－1＝2·2n－1＝2n.
【答案】　2n
2．在等比数列{an}中，已知a1＝3，q＝3，若an＝729，则n＝________.
【解析】　∵an＝a1qn－1，a1＝3，q＝3，
∴729＝3·3n－1＝3n，
∴n＝6.
【答案】　6
教材整理3　等比中项
阅读教材P54第11题，完成下列问题．
1．若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项，且满足G2＝ab.
2．若数列{an}是等比数列，对任意的正整数n(n≥2)，都有a＝an－1·an＋1.
1．若2是b－1，b＋1的等比中项，则b＝________.
【解析】　∵(b－1)(b＋1)＝(2)2，∴b2－1＝8，∴b2＝9，∴b＝±3.
【答案】　±3
2．若1，a,4成等比数列，则a＝________.
【解析】　∵1，a,4成等比数列，
∴a2＝1×4＝4，
∴a＝±2.
【答案】　±2
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问2：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问3：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
[小组合作型]
等比数列的判定与证明
　设数列{an}满足a1＝1，an＋2an－1＋3＝0(n≥2)．判断数列{an＋1}是否是等比数列？
【精彩点拨】　只需证明＝非零常数即可．
【自主解答】　由题意知an＋1＋2an＋3＝0(n≥2)成立，∴an＋1＝－2an－3，
∴＝＝－2(常数)．
又a1＋1＝2，
∴数列{an＋1}是以2为首项，以－2为公比的等比数列．
要判断一个数列{an}是等比数列，其依据是＝q(q是非零常数)或＝q，对一切n∈N
且n≥2恒成立．
[再练一题]
1．判断下列数列是否为等比数列．
(1)1，－1,1，－1，…；
(2)1,2,4,6,8，…；
(3)a，ab，ab2，ab3，….
【解】　(1)是首项为1，公比为－1的等比数列．
(2)≠，不是等比数列．
(3)当ab≠0时，是等比数列，公比为b，首项为a；
当ab＝0时，不是等比数列．
等比数列的通项公式
　(1)若{an}为等比数列，且2a4＝a6－a5，则公比为________．
(2)在等比数列{an}中，若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，则n＝________.
【导学号：91730035】
【解析】　(1)∵a6＝a4q2，a5＝a4q，∴2a4＝a4q2－a4q，∴q2－q－2＝0，∴q1＝－1，q2＝2.
(2)法一　因为
由得q＝，从而a1＝32，又an＝1，
所以32×n－1＝1，
即26－n＝20，所以n＝6.
法二　因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝.
由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.
【答案】　(1)－1或2　(2)6
等比数列基本量的求法
a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，法一是常规解法，先求a1，q，再求an，法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a1和q，这也是常见的方法．
[再练一题]
2．(1)若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是________．
(2)一个各项均为正数的等比数列，每一项都等于它后面两项的和，则公比q＝________.
【解析】　(1)∵a5＝a1q4，a1＝5，∴q＝－3，∴a5＝405.
(2)由题意，an＝an＋1＋an＋2，即
an＝anq＋anq2，∴q2＋q－1＝0，
∴q＝.∵q>0，∴q＝.
【答案】　(1)405　(2)
[探究共研型]
等比中项
探究1　三个数满足G2＝xy，则x，G，y成等比数列吗？
【提示】　不一定．如0,0,0这三个数不成等比数列．
探究2　任何两个非零常数都有等比中项吗？
【提示】　不是．只有同号的两个数才有等比中项．
　在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数．
【精彩点拨】　法一：利用等比数列的通项公式求解；
法二：先设出这三个数，再利用等比中项求解．
【自主解答】　法一：依题意，a1＝4，a5＝，由等比数列的通项公式，得
q4＝＝，q＝±.
因此，插入的3项依次为2,1，或－2,1，－.
法二：此等比数列共5项，a3是a1与a5的等比中项，因此a3＝±＝±1.
a2是a1与a3的等比中项，a4是a3与a5的等比中项，因为一个正数和一个负数没有等比中项，所以a3＝1，a2＝±＝±2，
a1＝±＝±.
因此，插入的3项依次为2,1，或－2,1，－.
注意等比数列中各项的符号特点是隔项符号必须相同．从而，对于数a，b的等比中项G，G2＝ab一定成立，但G的符号不一定正负都可取，如等比数列{an}中，三项分别为a1，a4，a7，则a4是a1与a7的等比中项，此时a4可取正值，也可取负值；而对于下面的三项a2，a4，a6，也有a4是a2与a6的等比中项，此时a4只能与a2和a6同号．
[再练一题]
3．已知a，－，b，－，c这五个数成等比数列，求a，b，c的值．
【解】　由题意知
b2＝×＝6，
∴b＝±.
当b＝时，ab＝2，解得a＝；
bc＝2＝10，解得c＝7.
同理，当b＝－时，a＝－，
c＝－7.
综上所述，a，b，c的值分别为，，7或－，－，－7.
[构建·体系]
1．下列各组数能组成等比数列的是________(填序号)．
①，，；②lg
3，lg
9，lg
27；
③6,8,10；④3，－3，9.
【解析】　＝＝－.
【答案】　④
2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数n＝________.
【解析】　由等比数列的通项公式，得128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6.
【答案】　6
3．在等比数列{an}中，a1＝，q＝－2，则a4与a10的等比中项是________.
【导学号：91730036】
【解析】　a4与a10的等比中项为a7，a7＝×(－2)6＝8.
【答案】　8
4．已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________.
【解析】　a4－a3＝a2q2－a2q＝a2(q2－q)＝2(q2－q)＝4，∴q2－q－2＝0，
∴q＝2，或q＝－1(舍去)．
【答案】　2
5．在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求这3个数．
【解】设插入的三个数为a2，a3，a4，由题意得243，a2，a3，a4,3成等比数列．
设公比为q，则3＝243·q5－1，
解得q＝±.
当q＝时，a2＝81，a3＝27，a4＝9；
当q＝－时，a2＝－81，a3＝27，a4＝－9.
因此，所求三个数为81,27,9或－81,27，－9.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
学业分层测评(十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．在等比数列{an}中，a4＝2，a7＝8，则an＝________.
【解析】　因为
所以
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2.
【答案】　2
2．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于________．
【解析】　由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.
【答案】　－24
3．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝________，ac＝________.
【解析】　∵b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c必同号．
∴ac＝b2＝9.
【答案】　－3　9
4．在等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则公比q＝________.
【解析】　由a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384，两式相除得，q7＝128，所以q＝2.
【答案】　2
5．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝________.
【解析】　∵{an}为等比数列，
∴＝q＝2.
又∵a1＋a2＝3，
∴a1＝1.
故a7＝1·26＝64.
【答案】　64
6．若{an}是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为________．
①{a}；②{a2n}；③；④{lg|an|}．
【解析】　考查等比数列的定义，验证第n＋1项与第n项的比是否为常数．
【答案】　①②③
7．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________．
【解析】　设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5，∴q5＝，∴q＝，
∴这4个数依次为80,40,20,10.
【答案】　80,40,20,10
8．在等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an＝________.
【导学号：91730037】
【解析】　记数列{an}的公比为q，由a5＝－8a2，得a1q4＝－8a1q，即q＝－2.由|a1|＝1，得a1＝±1，当a1＝－1时，a5＝－16a2＝－2，符合题意，故an＝a1qn－1＝(－2)n－1.
【答案】　(－2)n－1
二、解答题
9．在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项，公比．
【解】　设该数列的公比为q.
由已知，得
所以解得
故首项a1＝1，公比q＝3.
10．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…)．
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求an.
【解】　(1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，
a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
下面证明{an－n}是等比数列：
由a2＝－4，a3＝－15可知，an≠n.
∵
＝＝
＝3(n＝1,2,3，…)．
又a1－1＝－2，∴{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列．
(2)由(1)知an－n＝－2·3n－1，
∴an＝n－2·3n－1.
[能力提升]
1．在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则等于________．
【解析】　由题意知a3是a1和a9的等比中项，
∴a＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，
得a1＝d，∴＝＝.
【答案】　
2．已知{an}是等比数列，an>0，又知a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5＝________.
【解析】　∵a2a4＝a，a4a6＝a，∴a＋2a3a5＋a＝25，∴(a3＋a5)2＝25，又∵an>0，∴a3＋a5＝5.
【答案】　5
3．若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的通项公式是________．
【解析】　由an＝2Sn－3，得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，两式相减得an－an－1＝2an(n≥2)，
∴an＝－an－1(n≥2)，＝－1(n≥2)．
故{an}是公比为－1的等比数列，
令n＝1，得a1＝2a1－3，
∴a1＝3，故an＝3·(－1)n－1.
【答案】　an＝3·(－1)n－1
4．互不相等的3个数之积为－8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列．
【解】　设这3个数分别为，a，aq，则a3＝－8，即a＝－2.
(1)若－2为－和－2q的等差中项，
则＋2q＝4，∴q2－2q＋1＝0，
解得q＝1，与已知矛盾，舍去；
(2)若－2q为－和－2的等差中项，
则＋1＝2q，∴2q2－q－1＝0，解得q＝－或q＝1(与已知矛盾，舍去)，
∴这3个数组成的等比数列为4，－2,1；
(3)若－为－2q和－2的等差中项，则q＋1＝，
∴q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1(与已知矛盾，舍去)，
∴这3个数组成的等比数列为1，－2,4.
故这3个数组成的等比数列为4，－2,1或1，－2,4.