学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．下列命题：
①所有的菱形都是平行四边形；
②每一个三角形的内角和都是180°；
③有些偶数不能被5整除；
④一切平行四边形的对边都平行且相等；
⑤至少有一个x，使得2x＞1.
其中是存在性命题的为________(填序号)．
【解析】 ①②④是全称命题，③⑤是存在性命题．
【答案】 ③⑤
2．下列全称命题中真命题的个数为________个．
①负数没有对数；
②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；
③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；
④ x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
【解析】 容易判断①②③正确，④中，当x＝y＝0时不成立．
【答案】 ①②③
3．用符号“ ”或“ ”表示下面含有量词的命题．
(1)实数的平方大于或等于0：_______________________________________；
(2)存在一对实数，使3x－2y＋1≥0成立：_____________________________.
【答案】 (1) x∈R，x2≥0 (2) x0，y0∈R,3x0－2y0＋1≥0
4．(2016·扬州高二检测)命题“ x＞0，x2＋x＞0”的否定是________．
【解析】 因为全称命题的否定是存在性命题，所以命题“ x＞0，x2＋x＞0”的否定是“ x＞0，x2＋x≤0”．
【答案】 x＞0，x2＋x≤0
5．(2016·威海高二检测)已知命题p： x∈R，x＞sin
x，则p的否定形式为________．
【解析】 因为存在性命题的否定是全称命题，所以命题p： x∈R，x＞sin
x的否定形式为： x∈R，x≤sin
x.
【答案】 x∈R，x≤sin
x
6．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】 因为x>3时，x>a恒成立，所以a≤3.
【答案】 (－∞，3]
7．若命题“ x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________.
【导学号：09390015】
【解析】 由条件知，“ x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”为真命题，即(a－1)2－4<0，解得－1
【答案】 －18．对下列命题的否定说法错误的是________．
①p：能被2整除的数是偶数，非p：存在一个能被2整除的数不是偶数；
②p：有些矩形是正方形，非p：所有的矩形都不是正方形；
③p：有的三角形为正三角形，非p：所有的三角形不都是正三角形；
④p： x∈R，x2＋x＋2≤0，非p： x∈R，x2＋x＋2>0.
【解析】 根据含有一个量词的命题的否定知③错误．
【答案】 ③
二、解答题
9．写出下列命题的否定并判断其真假．
(1)p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；
(2)p：每一个非负数的平方都是正数；
(3)p：存在一个三角形，它的内角和不等于180°；
(4)p：有的四边形没有外接圆；
(5)p：某些梯形的对角线互相平分．
【解】 (1)非p：存在一个末位数字是0或5的整数不能被5整除，假命题．
(2)非p：存在一个非负数的平方不是正数，真命题．
(3)非p：任意三角形的内角和都等于180°，真命题．
(4)非p：所有的四边形都有外接圆，假命题．
(5)非p：所有梯形的对角线都不互相平分，真命题．
10．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a＞0成立”为真，试求参数a的取值范围．
【解】 法一 由题意知，x2＋2ax＋2－a＞0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则只需f(1)＞0或f(2)＞0，即1＋2a＋2－a＞0或4＋4a＋2－a＞0.
整理得a＞－3或a＞－2，
即a＞－3.故参数a的取值范围为(－3，＋∞)．
法二 非p： x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a＞0无解，
令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，
则即解得a≤－3.
故命题p中，a＞－3.
即参数a的取值范围为(－3，＋∞)．
[能力提升]
1．已知命题p：“a＝1”是“ x>0，x＋≥2”的充要条件，命题q： x∈R，x2＋x－1>0.则下列结论中正确的是________．
①命题“且q”是真命题；②命题“且非q”是真命题；③命题“非且q”是真命题；④命题“非p或非q”是假命题．
【解析】 当a＝1时，x>0有x＋≥2成立，取a＝2时x>0有x＋≥2>2，故p是假命题；q是真命题，故①错误，②错误，③正确，④错误．
【答案】 ③
2．(2015·山东高考)若“ x∈，tan
x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
【解析】 由题意，原命题等价于tan
x≤m在区间上恒成立，即y＝tan
x在上的最大值小于或等于m，又y＝tan
x在上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1.
【答案】 1
3．给出下列三个结论：
①若命题p为真命题，命题非q为真命题，则命题“p且q”为真命题；
②命题“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题为“若xy≠0，则x≠0或y≠0”；
③命题“ x∈R,2x＞0”的否定是“ x∈R,2x≤0”．
则以上结论正确的命题为________(填序号)．
【解析】 非q为真，则q为假，所以p且q为假命题，所以①错误；“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题为“若x≠0且y≠0，则xy≠0”，所以②错误；③正确．
【答案】 ③
4．(2016·武汉高二检测)设命题p： x∈R，x2＋x＞a；命题q： x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，如果命题p真且命题q假，求a的取值范围．
【解】 ∵命题p为真命题，
∴ x∈R，x2＋x＞a；
∵(x2＋x)min＝－，∴a＜－.
∵命题q为假命题，∴ x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0，
∴Δ＝4a2－4×(2－a)＜0 a2＋a－2＜0 －2＜a＜1.
综上，a的取值范围是.模块综合测评
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)
1．若空间三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)共线，则p＋q＝________.
【解析】 易得＝(1，－1,3)，＝(p－1，－2，q＋4)．∵∥，∴＝＝，∴p＝3，q＝2，p＋q＝5.
【答案】 5
2．设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若非p是非q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.
【导学号：09390093】
【解析】 先列出命题非p和非q：|4x－3|>1和x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)>0，分别解得非p：x>1或x<；非q：x>a＋1或x【答案】 0≤a≤
3．已知双曲线－＝1上一点P到它的右焦点的距离为8，那么点P到它的右准线的距离是________．
【解析】 设到右准线的距离为d，则＝，所以d＝.
【答案】
4．设a∈R，则a＞1是＜1的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”)
【解析】 由＜1，得＜0，即a＜0或a＞1，所以a＞1是＜1的充分不必要条件．
【答案】 充分不必要
5．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是________.
【导学号：09390094】
【解析】 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，
双曲线的渐近线方程为x－y＝0或x＋y＝0，
则焦点到渐近线的距离d1＝＝或d2＝＝.
【答案】
6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ＝________.
【解析】 由题意得c＝ta＋μb＝t(2，－1,3)＋μ(－1,4，－2)＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，即(7,5，λ)＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，
∴解得
【答案】
7．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是________(填序号)．
①＝＋＋；②＝2－－；③＝＋＋；④＝＋＋；⑤
＝5－3－.
【解析】 对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若满足向量关系式＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，则四点M，A，B，C共面．所以④⑤满足题意．
【答案】 ④⑤
8．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是________．
【解析】 因为方程＋＝1表示双曲线，所以k<0，所以a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，因为e∈(1,2)，所以∈(1,4)，解得k∈(－12,0)．
【答案】 (－12,0)
9．如图1所示，正方体ABCD A′B′C′D′中，M是AB的中点，则sin〈，〉＝________.
图1
【解析】 设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD′所在直线为z轴建系．易得B′(1,1,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，A(1,0,0)，故M，＝，＝(1,1,1)，得cos〈，〉＝，
所以sin〈，〉＝.
【答案】
10．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程是________．
【解析】 如图所示，设直线MP与直线NP分别与动圆C切于点E，F，则PE＝PF，ME＝MB，NF＝NB.从而PM－PN＝ME－NF＝MB－NB＝4－2＝2设对应的双曲线方程为－＝1，则a＝1，c＝3，b2＝8.故P点的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．
【答案】 x2－＝1(x>1)
11．在四面体O ABC中，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，若＝＋＋，则使G与M，N共线的x的值为________．
【解析】 若G，M，N共线，则存在实数λ使＝λ，
即－＝λ(－)，
∴＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)·＋λ·(＋)＝＋＋，
∴∴x＝1.
【答案】 1
12．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点________．
【解析】 抛物线y2＝8x，p＝4，其准线方程为x＝－2，焦点为F(2,0)，设动圆圆心为P，由已知点P到准线x＋2＝0的距离为其半径r，且点P在抛物线上，∴点P到焦点F的距离也为r，
∴动圆必过定点F(2,0)．
【答案】 (2,0)
13．如果椭圆＋＝1的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是________．
【解析】 设弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程，得9x＋36y＝9×36,9x＋36y＝9×36
，两式相减，得9(x1＋x2)(x1－x2)＋36(y1＋y2)(y1－y2)＝0，由中点坐标公式＝4，＝2，所以k＝＝－，所以所求直线方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.
【答案】 x＋2y－8＝0
14．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若FQ＝2，则直线的斜率等于________．
【解析】 设直线l的方程为y＝k(x＋1)，联立消去y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，由根与系数的关系，xA＋xB＝－，于是xQ＝＝－1，把xQ带入y＝k(x＋1)，得到yQ＝，根据FQ＝＝2，解得k＝±1.
【答案】 ±1
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)已知p：－2≤x≤10；q：x2－2x＋1≤m2(m＞0)．若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【解】 由x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，得1－m≤x≤1＋m，
∴非q：A＝{x|x＜1－m或x＞1＋m}，非p：B＝{x|x＜－2或x＞10}，
∵非p是非q的必要不充分条件，且m＞0，∴A B，
∴，即m≥9，注意到当m＝9时，③中等号成立，而②中等号不成立，∴m的取值范围是m≥9.
16．(本小题满分14分)在四棱锥V ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.
(1)证明：AB⊥平面VAD；
(2)求二面角A VD B的平面角的余弦值．
【解】 取AD的中点O作为坐标原点，由题意知，VO⊥底面ABCD，则可建立如图所示的空间直角坐标系．
设AD＝2，则A(1,0,0)，D(－1，0,0)，B(1,2,0)，V(0,0，)．
(1)证明：易得＝(0,2,0)，＝(1,0，－)．
∵·＝(0,2,0)·(1,0，－)＝0，
∴⊥，即AB⊥VA.
又AB⊥AD，AD∩VA＝A，∴AB⊥平面VAD.
(2)易得＝(1,0，)．设E为DV的中点，连结EA，EB，则E，∴＝，＝.
∵·＝·(1,0，)＝0，
∴⊥，即EB⊥DV.
同理得EA⊥DV，∴∠AEB为所求二面角的平面角，
∴cos〈，〉＝＝.
故所求二面角的平面角的余弦值为.
17．(本小题满分14分)椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过点F1与椭圆交于A，B两点．
(1)求△ABF2的周长；
(2)若l的倾斜角为，求△ABF2的面积.
【导学号：09390095】
【解】 (1)由椭圆的定义，得AF1＋AF2＝2a，BF1＋BF2＝2a，又AF1＋BF1＝AB，
所以，△ABF2的周长＝AB＋AF2＋BF2＝4a.
又因为a2＝4，所以a＝2，故△ABF2的周长为8.
(2)由条件，得F1(－1,0)，因为AB的倾斜角为，所以AB的斜率为1，
故直线AB的方程为y＝x＋1.
由消去x，得7y2－6y－9＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，解得y1＝，y2＝，
所以S△ABF2＝F1F2·|y1－y2|＝×2×＝.
18．(本小题满分16分)在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E为BB1的中点．
图2
(1)证明：AC⊥D1E；
(2)求DE与平面AD1E所成角的正弦值．
【解】 (1)证明：连结BD，∵ABCD A1B1C1D1是长方体，
∴D1D⊥平面ABCD,
又AC 平面ABCD，∴D1D⊥AC，
在长方形ABCD中，AB＝BC，∴BD⊥AC，又BD∩D1D＝D，
∴AC⊥平面BB1D1D,
而D1E 平面BB1D1D，∴AC⊥D1E.
(2)如图，建立空间直角坐标系D xyz，
则A(1,0,0)，D1(0,0,2)，E(1,1,1)，B(1,1,0)，＝(0,1,1)，＝(－1,0,2)，＝(1,1,1)．
设平面AD1E的法向量为n＝(x，y，z)，
则∴令z＝1，
则n＝(2，－1,1)，
cos〈n，〉＝＝＝，
所以DE与平面AD1E所成角的正弦值为.
19．(本小题满分16分)如图3，已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且A1P＝λA1B1.
图3
(1)证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN；
(2)当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正切值．
(3)是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由．
【解】 以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，M，N.
∵＝λ＝λ(1,0,0)＝(λ，0,0)，∴P(λ，0,1)，
∴＝，＝.
(1)证明：∵＝，∴·＝0＋－＝0，
∴⊥，∴无论λ取何值，总有AM⊥PN.
(2)∵m＝是平面ABC的一个法向量，
∴sin
θ＝|cos〈m·〉|＝＝，又θ∈，∴当λ＝时，sin
θ取得最大值，即θ取得最大值，此时sin
θ＝，cos
θ＝，∴tan
θ＝2.
(3)假设存在点P满足题意，设n＝(x，y，z)是平面PMN的法向量，由
得
令x＝3，得y＝1＋2λ，z＝2－2λ，
∴n＝(3,1＋2λ，2－2λ)，由(2)知平面ABC的一个法向量为m＝(0,0,1)，
∴|cos〈m，n〉|＝＝，化简得4λ2＋10λ＋13＝0(
)，
∵Δ＝100－4×4×13＝－108<0，
∴方程(
)无解，
∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°.
20．(本小题满分16分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点A(，1)．直线y＝x＋m交椭圆C于B，D
(不与点A重合)两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【解】 (1)∵e＝＝，＋＝1，a2＝b2＋c2，
∴a＝2，b＝，c＝，∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)设B(x1，y1)，D(x2，y2)，
由 x2＋mx＋m2－2＝0，
∴Δ＝8－2m2＞0 －2＜m＜2，x1＋x2＝－m，x1x2＝m2－2.
∵BD＝
|x1－x2|＝，
设d为点A到直线BD：y＝x＋m的距离，∴d＝
，∴S△ABD＝BD·d＝≤.
当且仅当m＝±∈(－2,2)时，等号成立，
∴当m＝±时，△ABD的面积最大，最大值为.学业分层测评
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一、填空题
1．已知a＝(1,4,3)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则x＝________，y＝________.
【解析】 由l1∥l2，得＝＝，解得x＝12，y＝9.
【答案】 12 9
2．设直线l1的方向向量为a＝(2，－1,2)，直线l2的方向向量为b＝(1,1，m)，若l1⊥l2，则m＝________.
【解析】 ∵l1⊥l2，∴2－1＋2m＝0，∴m＝－.
【答案】 －
3．若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为________．
【解析】 因为α⊥β，那么它们的法向量也互相垂直，则有－x－2－8＝0，所以x＝－10.
【答案】 －10
4．设A是空间任意一点，n为空间任一非零向量，则适合条件·n＝0的点M的轨迹是________．
【解析】 ·n＝0称为一个平面的向量表示式，这里考查的是基本概念．
【答案】 过点A且与向量n垂直的平面
5．已知直线l1的方向向量为a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量为b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是________．
【解析】 因为|a|＝6，所以4＋16＋x2＝36，即x＝±4，当x＝4时，a＝(2,4,4)，由a·b＝0，得4＋4y＋8＝0，解得y＝－3，此时x＋y＝4－3＝1；当x＝－4时，a＝(2,4，－4)，由a·b＝0，得4＋4y－8＝0，解得y＝1，此时x＋y＝－4＋1＝－3.
综上，得x＋y＝－3或x＋y＝1.
【答案】 －3或1
6．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的单位法向量坐标为________.
【导学号：09390081】
【解析】 设单位法向量n0＝(x，y，z)，＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．
由n0·＝0，且n0·＝0得解得或
【答案】 或
7．已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，则平面α的一个法向量是________．
【解析】 ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，
∴＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)．
设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，
依题意，应有n·＝0，n·＝0，
即解得
令y＝1，则x＝2.
∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．
【答案】 (2,1,0)
8．已知点A，B，C的坐标分别是(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若⊥，⊥，则点P的坐标为________．
【解析】 ∵A(0,1,0)，B(－1,0,1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，
∴＝(－1，－1,1)，＝(2,0,1)，＝(－x,1，－z)．
∵⊥，⊥，
∴·＝(－x,1，－z)·(－1，－1,1)＝0，
·＝(－x,1，－z)·(2,0,1)＝0，
∴
∴
∴点P的坐标为.
【答案】
二、解答题
9．在正方体ABCD A1B1C1D1中，证明：是平面A1BC1的法向量．
【证明】 建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)，B1(1,1,1)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，于是＝(1,1,1)，＝(0，－1,1)，＝(－1,0,1)，由于·＝－1＋1＝0，·＝－1＋1＝0.
∴⊥，⊥，∵BA1∩BC1＝B，∴DB1⊥平面A1BC1，即是平面A1BC1的法向量．
10．已知ABCD A1B1C1D1是长方体，建立空间直角坐标系如图3 2 5.AB＝3，BC＝4，AA1
＝2，
图3 2 5
(1)求平面B1CD1的一个法向量；
(2)设M(x，y，z)是平面B1CD1内的任意一点，求x，y，z满足的关系式．
【解】 (1)在题图所示的空间直角坐标系A xyz中各点坐标为B1(3,0,2)，C(3,4,0)，D1(0,4,2)，
由此得＝(0,4，－2)，＝(－3,0,2)，
设平面B1CD1的一个法向量为a＝(x，y，z)，
则a⊥，a⊥，从而a·＝0，a·＝0，
所以0·x＋4·y－2·z＝0，－3·x＋0·y＋2·z＝0，
解方程组
得
不妨取z＝6，则y＝3，x＝4.
所以a＝(4,3,6)就是平面B1CD1的一个法向量．
(2)由题意可得，＝(x－3，y，z－2)，
因为a＝(4,3,6)是平面B1CD1的一个法向量，
所以a⊥，从而a·＝0，
即4(x－3)＋3y＋6(z－2)＝0,4x＋3y＋6z＝24，
所以满足题意的关系式是4x＋3y＋6z＝24.
[能力提升]
1．若不重合的两个平面的法向量分别是a＝(3，－3，－3)，b＝(－1,1,1)，则这两个平面的位置关系是________．
【解析】 ∵a＝(3，－3，－3)，b＝(－1,1,1)，
∴a＝－3b，a∥b.
∴这两个平面平行．
【答案】 平行
2．已知平面α内有一个点A(－1,1,0)，α的一个法向量为n＝(－1,1,1)，则下列各点中，在平面α内的是________(填序号)．
①(1,3,2)；②(0,0,2)；③(1,2,1)；④.
【解析】 设平面α内任意点P(x，y，z)，则＝(x＋1，y－1，z)，故n·＝－x－1＋y－1＋z＝0，即x－y－z＋2＝0，把各点坐标代入检验，可知②③符合．
【答案】 ②③
3．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，若＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则给出下列结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的一个法向量；④∥.其中正确的结论是________.
【导学号：09390082】
【解析】 ·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则⊥，即AP⊥AB；
·＝(－1)×4＋2×2＋0＝0，则⊥，即AP⊥AD，又AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量．由于＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)，
∴≠≠，所以与不平行．
【答案】 ①②③
4．如图3 2 6，四棱锥P ABCD中，PD＝AD＝DC，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，F在PB上，问F在何位置时，为平面DEF的一个法向量？
图3 2 6
【解】 建系如图，设DA＝2，
则D(0,0,0)，P(0,0,2)，C(0,2,0)．
∴E(0,1,1)，∵B(2,2,0)，
∴＝(2,2，－2)．
设F(x，y，z)，＝λ，
∴(x，y，z－2)＝λ(2,2，－2)，
∴
∴F(2λ，2λ，2－2λ)，
∴＝(2λ，2λ，2－2λ)．
∵·＝0，∴4λ＋4λ－2(2－2λ)＝0，∴λ＝，
∴F为PB的一个三等分点(靠近P点)．学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．若两平面α，β的法向量分别为u＝(2，－3,4)，ν＝，则α与β的位置关系是________．
【解析】 ∵u＝－3ν，∴u∥ν，∴α∥β.
【答案】 平行
2．若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为________．
【解析】 ∵α⊥β，∴－x－2－8＝0，∴x＝－10.
【答案】 －10
3．在正方体ABCD A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，则B1C与平面ODC1的关系是________.
【导学号：09390084】
【解析】 ∵＝＋＝＋＋＋＝＋，∴，，共面．又∵B1C不在平面ODC1内，∴B1C∥平面ODC1.
【答案】 平行
4．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是________．
【解析】 ∵＝λ＋μ(λ，μ∈R)，∴与，共面，∴AB∥平面CDE或AB 平面CDE.
【答案】 AB∥平面CDE或AB 平面CDE
5．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则(x，y，z)等于________．
【解析】 ·＝3＋5－2z＝0，故z＝4.·＝x－1＋5y＋6＝0，且·＝3(x－1)＋y－12＝0，得x＝，y＝－.
【答案】
6．如图3 2 13，在正方体ABCD A1B1C1D1中，P为A1B1上任意一点，则DP与BC1始终________(填“垂直”或“平行”)．
图3 2 13
【解析】 因为·＝(＋)·＝(＋)·＝·＋·＝·＝·(＋)＝·＋·＝0，
所以⊥，即DP与BC1始终垂直．
【答案】 垂直
7．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是________三角形．
【解析】 求得＝(5,1，－7)，＝(2，－3,1)，因为·＝0，所以⊥，所以△ABC是直角三角形．
【答案】 直角
8．如图3 2 14所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系为________．
图3 2 14
【解析】 以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz，依题意，可得D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)．
∴＝(，2,0)－(0,1，)＝(，1，－)，＝(，2,0)－(2，0,0)＝(－，2,0)，∴·＝(，1，－)·(－，2,0)＝0，即⊥，∴AM⊥PM.
【答案】 垂直
二、解答题
9．已知四棱锥P ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PD⊥底面ABCD，
图3 2 15
且PD＝DA＝CD＝2AB＝2，M点为PC的中点．
(1)求证：BM∥平面PAD；
(2)在平面PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD.
【解】 (1)证明：因为PD⊥底面ABCD，CD∥AB，CD⊥AD.
所以以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz(如图所示)．
由于PD＝CD＝DA＝2AB＝2，所以D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，M(0,1,1)，所以＝(－2,0,1)，＝(0,2,0)，因为DC⊥平面PAD，所以是平面PAD的法向量，又因为·＝0，且BM 平面PAD，所以BM∥平面PAD.
(2)设N(x,0，z)是平面PAD内一点，则＝(x，－1，z－1)，＝(0,0,2)，＝(2,1,0)，若MN⊥平面PBD，则即所以在平面PAD内存在点N，使MN⊥平面PBD.
10．如图3 2 16所示，在四棱锥P ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：
图3 2 16
(1)CM∥平面PAD；
(2)平面PAB⊥平面PAD.
【证明】 以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz.
∵PC⊥平面ABCD，
∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，
∴∠PBC＝30°.
∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4，
∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，
∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)，＝，
(1)法一：令n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，
则
即
∴
令y＝2，得n＝(－，2,1)．
∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0，
∴n⊥，又CM 平面PAD，∴CM∥平面PAD.
法二：∵＝(0,1，－2)，＝(2，4，－2)，
令＝x＋y，
则方程组有解为
∴＝－＋，由共面向量定理知与，共面．又∵CM 平面PAD，∴CM∥平面PAD.
(2)取AP的中点E，连结BE，则E(，2,1)，
＝(－，2,1)，
∵PB＝AB，∴BE⊥PA.
又∵·＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0，
∴⊥，∴BE⊥DA，又PA∩DA＝A，
∴BE⊥平面PAD.又∵BE 平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD.
[能力提升]
1．空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是________________．
【导学号：09390085】
【解析】 由题意得，＝(－3，－3,3)，＝(1,1，－1)，∴＝－3，∴与共线．又与没有公共点．∴AB∥CD.
【答案】 平行
2.如图3 2 17，四棱锥P ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系________．
图3 2 17
【解析】 以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则E，F，∴＝，平面PBC的一个法向量n＝(0,1,1)．∵＝－n，∴∥n，
∴EF⊥平面PBC.
【答案】 垂直
3．已知空间两点A(－1,1,2)，B(－3,0,4)，直线l的方向向量为a，若|a|＝3，且直线l与直线AB平行，则a＝________.
【解析】 设a＝(x，y，z)，∵＝(－2，－1,2)，且l与AB平行，∴a∥，
∴＝＝，∴x＝2y，z＝－2y.
又∵|a|＝3，∴|a|2＝x2＋y2＋z2＝4y2＋y2＋4y2＝9，∴y＝±1，∴a＝(2,1，－2)或(－2，－1,2)．
【答案】 (2,1，－2)或(－2，－1,2)
4．如图3 2 18所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE＝a，点M在线段EF上．当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．
图3 2 18
【解】 法一：当EM＝a时，AM∥平面BDF，以点C为原点，CA，CB，CF所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
则C(0,0,0)，B(0，a,0)，A(a,0,0)，D，F(0,0，a)，E(a,0，a)，因为AM 平面BDF，所以AM∥平面BDF 与，共面，所以存在实数m，n，使＝m＋n，设＝t.因为＝(－a,0,0)，＝(－at,0,0)，所以＝＋＝(－at,0，a)，
又＝，＝(0，a，－a)，从而(－at,0，a)＝m(0，a，－a)＋n
成立，
需
解得t＝，
所以当EM＝a时，AM∥平面BDF.
法二：当EM＝a时，AM∥平面BDF，在梯形ABCD中，
设AC∩BD＝N，连结FN，
则CN∶NA＝1∶2，
因为EM＝a，
而EF＝AC＝a，
所以EM∶MF＝1∶2，
所以MF綊AN，所以四边形ANFM是平行四边形，所以AM∥NF，又因为NF 平面BDF，AM 平面BDF，所以AM∥平面BDF.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.
【解析】 ∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，
∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.
【答案】 2
2．在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，向量，，两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于________.
【导学号：09390077】
【解析】 设＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c，
2＝a2＋b2＋c2＋2a·c＋2b·c＋2c·a＝25，因此||＝5.
【答案】 5
3．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为________．
【解析】 ＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，
∴cos〈，〉＝＝，
∴〈，〉＝60°.
【答案】 60°
4．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝________.
【解析】 a·b＝2×3×cos
60°＝3，∴|2a－3b|＝＝＝.
【答案】
5．如图3 1 32,120°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在两个半平面内，且都垂直于AB.若AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________．
图3 1 32
【解析】 ∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴·＝0，
·＝0.
又∵二面角为120°，
∴〈，〉＝60°，
∴＝||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝164，
∴||＝2.
【答案】 2
6．如图3 1 33，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD，则异面直线BF与ED所成角的大小是________．
图3 1 33
【解析】 分别以AB，AD，AF为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M.
则＝(－1,0,1)，＝(0,1，－1)，
∴cos〈，〉＝＝＝－，
∴〈，〉＝120°.
所以异面直线BF与ED所成角的大小为180°－120°＝60°.
【答案】 60°
7．如图3 1 34所示，已知直线AB⊥平面α，BC α，BC⊥CD，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，则A，D两点间的距离为________．
图3 1 34
【解析】 ∵＝＋＋，
∠DCF＝30°，DF⊥平面α，
∴∠CDF＝60°，
∴||2＝(＋＋)2
＝4＋4＋4＋2×2×2×cos
120°
＝8，
∴||＝2.
【答案】 2
8．若＝(－4,6，－1)，＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥，a⊥，则a＝________.
【解析】 设a＝(x，y，z)，由题意有代入坐标可解得：
或
【答案】 或
二、解答题
9.如图3 1 35，已知正方体ABCD A′B′C′D′，CD′与DC′相交于点O，连接AO，求证：
图3 1 35
(1)AO⊥CD′；
(2)AC′⊥平面B′CD′.
【证明】 (1)因为＝＋＝＋(＋)，
因为＝－，
所以·
＝(＋＋2)·(－)＝(·－·＋·－·＋2·－2·)＝(||2－||2)＝0，所以⊥，故AO⊥CD′.
(2)因为·＝(＋＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·＋·＋·，
可知·＝0，·＝0，
·＝0，·＝||2，
·＝－||2，·＝0，
所以·＝||2－||2＝0，
所以⊥，所以AC′⊥B′C.
同理可证，AC′⊥B′D′.
又B′C，B′D′ 平面B′CD′，B′C∩B′D′＝B′，所以AC′⊥平面B′CD′.
10.如图3 1 36，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F，G分别为AB，SC，SD的中点．若AB＝a，SD＝b，
图3 1 36
(1)求||；
(2)求cos〈，〉．
【解】 如图，建立空间直角坐标系D xyz，则
A(a,0,0)，S(0,0，b)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，F，G，
＝，＝，＝(－a,0,0)．
(1)||＝
＝
.
(2)cos〈，〉＝
＝＝.
[能力提升]
1．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为________.
【导学号：09390078】
【解析】 b－a＝(1＋t,2t－1,0)，∴|b－a|＝＝，
∴当t＝时，|b－a|取得最小值.
【答案】
2．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，则以，为边的平行四边形的面积为________．
【解析】 由题意可得，＝(－2，－1,3)，＝(1，－3，2)，
∴cos〈，〉＝＝＝＝.
∴sin〈，〉＝，∴以，为边的平行四边形的面积S＝2×||·||·sin〈，〉＝14×＝7.
【答案】 7
3．如图3 1 37所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于________．
图3 1 37
【解析】 法一：因为＝＋＋，
所以2＝2＋2＋2＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos
60°＝144，
所以||＝12，即PC＝12.
法二：如图所示，建立空间直角坐标系，
则P(0,0,6)，C(0,6，0)，
∴PC＝＝12.
【答案】 12
4．如图3 1 38所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．
图3 1 38
(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求MN的长．
【解】 (1)证明：设＝p，＝q，＝r.
由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°.
∴＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)，
∴·＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2)＝(a2cos
60°＋a2cos
60°－a2)＝0.
∴MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.
(2)由(1)可知，＝(q＋r－p)，
∴||2＝2＝(q＋r－p)2＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]
＝＝×2a2＝，
∴||＝a，∴MN的长为a.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．设双曲线C的两个焦点为(－，0)，(，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为________．
【解析】 由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，
且c＝，a＝1，则b2＝c2－a2＝1，
所以双曲线C的方程为x2－y2＝1.
【答案】 x2－y2＝1
2．双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为________．
【解析】 e＝＝，
当＝时，e＝；当＝时，e＝.
【答案】 或
3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为________．
【解析】 方程可化为y2－＝1.
由条件知2＝2×2，解得m＝－.
【答案】 －
4．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率为________．
【解析】 由2a＋2c＝4b，得a＋c＝2b＝2，即a2＋2ac＋c2＝4c2－4a2，得5a2＋2ac－3c2＝0，(5a－3c)·(a＋c)＝0，即5a＝3c，e＝＝.
【答案】
5．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程是________．
【解析】 双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，则焦点在x轴上，且a＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c∶b＝5∶4，解得c＝5，b＝4，则双曲线的标准方程是－＝1.
【答案】 －＝1
6．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为________.
【导学号：09390037】
【解析】 由题意知e1＝，e2＝，
∴e1·e2＝·＝＝.
又∵a2＝b2＋c，c＝a2＋b2，∴c＝a2－b2，
∴＝＝1－4，即1－4＝，
解得＝±，∴＝.
令－＝0，解得bx±ay＝0，∴x±y＝0.
【答案】 x±y＝0
7．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于________．
【解析】 双曲线的一条渐近线方程为－＝0，即bx－ay＝0，焦点(c,0)到该渐近线的距离为＝＝，故b＝，结合＝2，c2＝a2＋b2得c＝2，则双曲线C的焦距为2c＝4.
【答案】 4
8．y＝kx＋2与双曲线－＝1右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是________．
【解析】 由消去y得(1－4k2)x2－16kx－25＝0，
∴∴－【答案】
二、解答题
9．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，过点P(3，－1)，一条渐近线与直线3x－y＝2平行，求双曲线的标准方程．
【解】 ①若双曲线的焦点在x轴上，则由渐近线方程y＝3x得＝3，∴b＝3a.故可设双曲线的标准方程为－＝1，又双曲线过点P(3，－1)，
∴－＝1，解得a2＝，∴b2＝80，
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
②若双曲线的焦点在y轴上，则由渐近线方程y＝3x得＝3，∴a＝3b.故可设双曲线的标准方程为－＝1.
∵点P(3，－1)在双曲线上，∴－＝1，解得9b2＝－80，不合题意．
综上所述，所求双曲线的标准方程是－＝1.
10．直线l在双曲线－＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求l的方程．
【解】 设直线l的方程为y＝2x＋m，
由得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.(
)
设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由根与系数的关系，
得x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2＋2)．
又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m，
∴y1－y2＝2(x1－x2)，
∴AB2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2
＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]
＝5.
∵AB＝4，∴m2－6(m2＋2)＝16.
∴3m2＝70，m＝±.
由(
)式得Δ＝24m2－240，
把m＝±代入上式，得Δ>0，
∴m的值为±.
∴所求l的方程为y＝2x±.
[能力提升]
1．如图2 3 2，F1和F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|长为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________.
【导学号：09390038】
图2 3 2
【解析】 连接AF1，
∵|F1F2|＝2c，且△AF2B为等边三角形，
又|OF1|＝|OA|＝|OF2|，∴△AF1F2为直角三角形，
又∵∠AF2F1＝×60°＝30°，
∴|AF2|＝c，|AF1|＝c.
由双曲线的定义知c－c＝2a，∴e＝＝＝＋1.
【答案】 ＋1
2．过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为________．
【解析】 由直线方程x＝a和渐近线方程y＝x联立解得A(a，b)．由以C的右焦点为圆心，4为半径的圆过原点O，可得c＝4，即右焦点F(4,0)．由该圆过A点，可得|FA|2＝(a－4)2＋b2＝a2＋b2－8a＋16＝c2－8a＋16＝c2，所以8a＝16，则a＝2，所以b2＝c2－a2＝16－4＝12.
故双曲线C的方程为－＝1.
【答案】 －＝1
3．已知F1，F2为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则AP＋AF2的最小值为________．
【解析】 首先根据定义，得AF2＝AF1－2a.
∵AP＋AF2＝AP＋AF1－2a＝AP＋AF1－2，
∴要求AP＋AF2的最小值，只需求AP＋AF1的最小值．由图可知，当F1，A，P三点共线时，AP＋AF1＝PF1取得最小值，最小值为，∴AP＋AF2的最小值为－2.
【答案】 －2
4．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
【解】 (1)联立方程组
消去y并整理得，(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
则
解得－∴若l与C有两个不同交点，实数k的取值范围为
(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
(2)法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
对于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
由根与系数的关系，
得x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴AB＝|x1－x2|
＝·
＝.
又∵点O(0,0)到直线y＝kx－1的距离d＝，
∴S△AOB＝·AB·d＝＝，
即2k4－3k2＝0，解得k＝0或k＝±.
∴实数k的值为±或0.
法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(1)得x1＋x2＝－，x1x2＝－.又直线l过点D(0，－1)，
∴S△OAB＝S△OAD＋S△OBD＝|x1|＋|x2|
＝|x1－x2|＝，
∴(x1－x2)2＝(2)2，即2＋＝8，
解得k＝0或k＝±.
由(1)知上述k的值符合题意，
∴实数k的值为0或±.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的________________条件．
【解析】 φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝sin
2x过点(0,0)．而当y＝sin(2x＋φ)过原点时，φ＝kπ(k∈Z)．故填充分不必要．
【答案】 充分不必要
2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A B”的________条件．
【解析】 a＝3时，A＝{1,3} {1,2,3}，反之不成立．故“a＝3”是“A B”的充分不必要条件．
【答案】 充分不必要
3．对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；
②“a>b”是“a2>b2”的充分条件；
③“a<5”是“a<3”的必要条件；
④“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件．
其中真命题的序号为________．
【解析】 ①c＝0时，ac＝bcDa＝b，错；②2>－3时，22<(－3)2，故a>bDa2>b2，错；③x<3<5，故a<3 a<5，对；④a＋5是无理数 a是无理数，对．
【答案】 ③④
4．已知α，β是不同的两个平面，直线a α，直线b β，a与b无公共点，q：α∥β，则p是q的________条件．
【解析】 α∥β a，b无公共点，反之不成立．故p是q的必要不充分条件．
【答案】 必要不充分
5．(2016·吉林高二检测)数列{an}中，“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的________条件．
【解析】 因为“a1＜a2＜a3”D
“数列{an}是递增数列”，且“数列{an}是递增数列” “a1＜a2＜a3”，故“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件．
【答案】 必要不充分条件
6．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是________(填序号).
【导学号：09390007】
①b≥0；②b＞0；③b＜0；④b≤0.
【解析】 ∵函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数，∴根据二次函数的性质得出：－≤0，b≥0，∴函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是b≥0，故填①.
【答案】 ①
7．如果x，y是实数，那么“x≠y是“cos
x≠cos
y”的________条件．
【解析】 设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos
x≠cos
y}，则集合A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，集合B的补集D＝{(x，y)|cos
x＝cos
y}．显然C?D，所以B?A，于是“x≠y”是“cos
x≠cos
y”的必要不充分条件．
【答案】 必要不充分
8．若条件p：|x|≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
【解析】 由题意可知p：－2≤x≤2，q：x≤a.p是q的充分不必要条件，∴a≥2.
【答案】 a≥2
二、解答题
9．若方程x2－mx＋2m＝0有两根，求其中一根大于3，一根小于3的充要条件．
【解】 方程x2－mx＋2m＝0对应的二次函数f(x)＝x2－mx＋2m，
则方程x2－mx＋2m＝0有两根，其中一根大于3，一根小于3的充要条件是f(3)<0，即32－3m＋2m<0，
解得m>9.
故其中一根大于3，一根小于3的充要条件是(9，＋∞)．
10．已知p：x2－4x－5≤0，q：|x－3|(a>0)．若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解】 解不等式x2－4x－5≤0，得－1≤x≤5，解不等式|x－3|(a>0)，得－a＋34.所以实数a的取值范围是(4，＋∞)．
[能力提升]
1．“a＝0”是“直线l1：x－2ay－1＝0与l2：2x－2ay－1＝0平行”的________条件．
【解析】 (1)∵a＝0，∴l1：x－1＝0，l2：2x－1＝0，∴l1∥l2，即a＝0 l1∥l2.
(2)若l1∥l2，当a≠0时，l1：y＝x－，l2：y＝x－.
令＝，方程无解．当a＝0时，l1：x－1＝0，l2：2x－1＝0，显然l1∥l2.∴l1∥l2 a＝0.
【答案】 充要
2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的________条件.
【导学号：09390008】
【解析】 若函数f(x)在[0,1]上是增函数，则根据f(x)是偶函数可知f(x)在[－1,0]上是减函数，结合f(x)的周期为2可知f(x)在[3,4]上是减函数．反过来，若函数f(x)为[3,4]上的减函数，则根据f(x)的周期为2，可知f(x)为[－1,0]上的减函数．因此“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件．
【答案】 充要
3．“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的________条件．
【解析】 ①当k>4，b<5时，一次函数y＝(k－4)x＋b－5的大致图象如图．
②若一次函数y＝(k－4)x＋b－5交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，当x＝0时，y＝b－5<0，∴b<5.
当y＝0时，x＝>0.∵b<5，∴k>4.
故“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋(b－5)的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的充要条件．
【答案】 充要
4．已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
【证明】 必要性：∵a＋b＝1，即b＝1－a，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.
充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2≠0，故a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________．
【解析】 由{a，b，c}是空间的一个基底知，a，b，c不共面．
由空间向量基本定理得x＝y＝z＝0.
【答案】 x＝y＝z＝0
2．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b＝________.
【解析】 b＝a－(a－b)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．
【答案】 (2，－4,2)
3．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则＝＝是a∥b的________条件．
【解析】 设＝＝＝k，易知a∥b，即条件具有充分性．又若b＝0时，b＝(0,0,0)，显然有a∥b，但条件＝＝显然不成立，所以条件不具有必要性．
【答案】 充分不必要
4．若{a，b，c}是空间的一个基底，向量m＝a＋b，n＝a－b，则向量a，b，c中与m，n可以构成空间向量另一个基底的向量是________．
【解析】 显然a或b均与m，n共面，c与m，n不共面，故为c.
【答案】 c
5．如图3 1 20所示，设O为 ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，则x＝_________，y＝________.
图3 1 20
【解析】 ∵＝－＝－＝(＋)－＝＋－＝＋(－)－＝＋－，∴x＝，y＝－.
【答案】 －
6．已知a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a∥b，则x＝________，y＝________.
【解析】 ∵a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，又∵a∥b，显然y≠0，∴＝＝，∴x＝，y＝－.
【答案】 －
7．底面为正方形的四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，点E，F分别是BC和PD的中点，若PA＝AB＝2，则向量的坐标为________．
【解析】 建立空间直角坐标系，如图所示．
则E(2,1,0)，F(0,1,1)，∴＝(－2,0,1)．
【答案】 (－2,0,1)(答案不惟一)
8．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，点M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，用基底向量，，表示向量为________．
图3 1 21
【解析】 ＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝＋(＋)－
＝＋＋.
【答案】 ＋＋
二、解答题
9．如图3 1 22所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，O为AC的中点．
图3 1 22
(1)化简：－－；
(2)设E是棱DD1上的点且＝，若＝x＋y＋z，试求x，y，z的值．
【解】 (1)∵＋＝，
∴－－
＝－(＋)
＝－＝－＝.
(2)∵＝＋
＝＋
＝＋(＋)
＝＋＋
＝－－.
即x＝，y＝－，z＝－.
10．如图3 1 23，在长方体ABCD A1B1C1D1中，DA＝DC＝4，DD1＝3，点P是线段BD1上一动点，E是BC的中点，当点P在什么位置时，PE∥A1B
图3 1 23
【解】 以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则A1(4,0,3)，B(4,4,0)，C(0,4,0)，D1(0,0,3)．
∵E为BC的中点，
∴E(2,4,0)．
∴＝(4,4,0)－(4,0,3)＝(0,4，－3)，
＝(0,0,3)－(4,4,0)＝(－4，－4,3)，＝(4,4,0)－(2,4,0)＝(2,0,0)．
设＝λ，则＝＋＝＋λ.
∵＝(2,0,0)，λ＝(－4λ，－4λ，3λ)，
∴＝(2－4λ，－4λ，3λ)．
由PE∥A1B，得∥，
∴
∴λ＝.
此时点P为BD1的中点．
故当点P为BD1的中点时，PE∥A1B.
[能力提升]
1．有以下命题：
①如果向量a，b与任何向量均不能构成空间向量的一组基底，那么a，b的关系是不共线；
②O，A，B，C为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，则点O，A，B，C一定共面；
③已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量a＋b，a－b，c也是空间的一个基底．
其中正确的命题是________.
【导学号：09390074】
【解析】 ①错误，当a，b共线时，才可与任何向量不能构成空间向量的一组基底；②由于，，不构成空间的一个基底，故，，共面，即O，A，B，C四点共面，即②正确；③如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，则a＋b＝，a－b＝，显然，，不共面，也是基底，③正确．
【答案】 ②③
2．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且＝，则C点坐标为________．
【解析】 设C点坐标为(x，y，z)，则＝(x－4，y－1，z－3)．
∵＝(－2，－6，－2)，
∴＝(－2，－6，－2)＝，
∴解得
【答案】
3．一个向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，则p在{a＋b，a－b，c}下的坐标为________．
【解析】 设p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc，
则p＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
又p＝a＋2b＋3c，
∴∴x＝，y＝－，z＝3.
∴p在{a＋b，a－b，c}下的坐标为.
【答案】
4．如图3 1 24所示，M，N分别是四面体O ABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量，，表示和.
图3 1 24
【解】 ＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝＋×(＋)
＝＋＋.
＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝＋×(＋)
＝＋＋.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝________.
【解析】 抛物线y2＝4x的焦点是(1,0)，直线ax－y＋1＝0过焦点，∴a＋1＝0，∴a＝－1.
【答案】 －1
2．已知椭圆的准线方程为y＝±4，离心率为，则椭圆的标准方程为________.
【导学号：09390053】
【解析】 由题意＝＝4，∴a＝4e＝2.
∵e＝＝，
∴c＝1，b2＝a2－c2＝3.
由准线方程是y＝±4可知，
椭圆的焦点在y轴上，标准方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
3．已知抛物线y2＝2px的准线与双曲线x2－y2＝2的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为________．
【解析】 双曲线的左准线为x＝－1，
抛物线的准线为x＝－，所以＝1，所以p＝2.
故抛物线的焦点坐标为(1,0)．
【答案】 (1,0)
4．(2015·全国卷Ⅰ改编)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝________.
【解析】 抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴椭圆中c＝2，
又＝，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，
从而椭圆方程为＋＝1.
∵抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，
∴xA＝xB＝－2，
将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3，
由图象可知|AB|＝2|yA|＝6.
【答案】 6
5．若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点到右准线的距离等于3a，则双曲线的离心率为________．
【解析】 由题意知，＋c＝3a，即a2＋c2＝3ac，
∴e2－3e＋1＝0，解得e＝.
【答案】
6．设双曲线－＝1的右焦点为F(3,0)，P(4，2)是双曲线上一点，若双曲线的右准线为x＝m，则实数m的值是________．
【解析】 法一：由题意可知解得b2＝，a2＝，
故右准线x＝＝，即m＝.
法二：由题意PF＝＝3，
根据椭圆的第二定义得＝＝e.
又m＝，
∴＝＝.
∵c＝3，
∴e2＝，
∴2＝，
∴m2－11m＋16＝0，
∴m＝，
∵m∴m＝.
【答案】
7．已知椭圆＋＝1上有一点P，它到左、右焦点距离之比为1∶3，则点P到两准线的距离分别为________．
【解析】 设P(x，y)，左、右焦点分别为F1，F2，由椭圆方程，可得a＝10，b＝6，c＝8，e＝＝，则PF1＋PF2＝2a＝20.
又3PF1＝PF2，∴PF1＝5，PF2＝15.
设点P到两准线的距离分别为d1，d2，可得d1＝＝，d2＝＝.故点P到两准线的距离分别为，.
【答案】 ，
8．已知点P在双曲线－＝1上，并且P到双曲线的右准线的距离恰是P到双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么P的横坐标是________．
【解析】 记实半轴、虚半轴、半焦距的长分别为a，b，c，离心率为e，点P到右准线l的距离为d，则a＝4，b＝3，c＝5，e＝＝，右准线l的方程为x＝＝.如果P在双曲线右支上，则PF1＝PF2＋2a＝ed＋2a.从而，PF1＋PF2＝(ed＋2a)＋ed＝2ed＋2a>2d，这不可能；故P在双曲线的左支上，则PF2－PF1＝2a，PF1＋PF2＝2d.两式相加得2PF2＝2a＋2d.
又PF2＝ed，从而ed＝a＋d.故d＝＝＝16.因此，P的横坐标为－16＝－.
【答案】 －
二、解答题
9．已知椭圆的一个焦点是F(3,1)，相应于F的准线为y轴，l是过F且倾斜角为60°的直线，l被椭圆截得的弦AB的长是，求椭圆的方程．
【解】 设椭圆离心率为e，M(x，y)为椭圆上任一点，
由统一定义＝e，得＝e，
整理得(x－3)2＋(y－1)2＝e2x2.①
∵直线l的倾斜角为60°，∴直线l的方程为y－1＝(x－3)，②
①②联立得(4－e2)x2－24x＋36＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理得x1＋x2＝，
∴AB＝e(x1＋x2)＝e·＝，∴e＝，
∴椭圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝x2，
即＋＝1.
10．已知定点A(－2，)，点F为椭圆＋＝1的右焦点，点M在椭圆上运动，求AM＋2MF的最小值，并求此时点M的坐标．
【解】 ∵a＝4，b＝2，∴c＝＝2，
∴离心率e＝.
A点在椭圆内，设M到右准线的距离为d，
则＝e，即MF＝ed＝d，右准线l：x＝8，
∴AM＋2MF＝AM＋d.
∵A点在椭圆内，
∴过A作AK⊥l(l为右准线)于K，交椭圆于点M0.
则A，M，K三点共线，即M与M0重合时，AM＋d最小为AK，其值为8－(－2)＝10.
故AM＋2MF的最小值为10，此时M点坐标为(2，)．
[能力提升]
1．已知点F1，F2分别是椭圆x2＋2y2＝2的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|1＋2|的最小值是________.
【导学号：09390054】
【解析】 椭圆x2＋2y2＝2的标准方程是＋y2＝1，
∴a＝，b＝1.
∵1＋2＝2，
∴|＋|＝2||.
∵b≤||≤a，
∴1≤||≤，
∴|1＋2|的最小值是2.
【答案】 2
2．过圆锥曲线C的一个焦点F的直线l交曲线C于A，B两点，且以AB为直径的圆与F相应的准线相交，则曲线C为________．
【解析】 设圆锥曲线的离心率为e，M为AB的中点，A，B和M到准线的距离分别为d1，d2和d，圆的半径为R，d＝，R＝＝＝.由题意知R>d，则e>1，圆锥曲线为双曲线．
【答案】 双曲线
3．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)恒过定点A(1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值为________．
【解析】 ∵A(1,2)在椭圆上，∴＋＝1，
∴b2＝，则椭圆中心到准线距离的平方为2＝＝＝＝.
令a2－5＝t>0，
f(t)＝＝t＋＋9≥9＋4.
当且仅当t＝时取“＝”，
∴≥
＝＋2，
∴min＝＋2.
【答案】 ＋2
4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点．
(1)求证：PF⊥l；
(2)若|PF|＝3，且双曲线的离心率e＝，求该双曲线的方程．
【解】 (1)证明：右准线为l2：x＝，由对称性不妨设渐近线l为y＝x，则P，又F(c,0)，
∴kPF＝＝－.
又∵kl＝，∴kPF·kl＝－·＝－1.
∴PF⊥l.
(2)∵|PF|的长即F(c,0)到l：bx－ay＝0的距离，
∴＝3，即b＝3，又e＝＝，
∴＝，∴a＝4.故双曲线方程为－＝1.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．(2016·徐州高二检测)双曲线－＝1上一点P到一个焦点的距离是10，那么点P到另一个焦点的距离是________．
【解析】 据题意知|PF1－PF2|＝|PF1－10|＝8，∴PF1＝18或2.
【答案】 18或2
2．双曲线－＝1的焦距是________．
【解析】 由题意，得c＝＝4，∴焦距为2c＝8.
【答案】 8
3．已知双曲线－＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________.
【解析】 设F′是双曲线的右焦点，连接PF′(图略)，因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以|MO|＝|PF′|.
又|FN|＝＝5，且由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－|PF′|＝(|PF|－|PF′|)－|FN|＝×8－5＝－1.
【答案】 －1
4．焦点分别是(0，－2)，(0,2)，且经过点P(－3,2)的双曲线的标准方程是________．
【解析】 由题意，焦点在y轴上，且c＝2，可设双曲线方程为－＝1(0因此所求双曲线标准方程为y2－＝1.
【答案】 y2－＝1
5．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则PF1＋PF2的值为________．
【解析】 不妨设P在双曲线的右支上，因为PF1⊥PF2，所以(2)2＝PF＋PF，又因为|PF1－PF2|＝2，所以(PF1－PF2)2＝4，可得2PF1·PF2＝4，则(PF1＋PF2)2＝PF＋PF＋2PF1·PF2＝12，所以PF1＋PF2＝2.
【答案】 2
6．已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为5，则点M到左焦点的距离是________.
【导学号：09390032】
【解析】 由于双曲线－＝1的右焦点为F(5,0)，将xM＝5代入双曲线可得|yM|＝，即双曲线上一点M到右焦点的距离为，故利用双曲线的定义可求得点M到左焦点的距离为2a＋|yM|＝6＋＝.
【答案】
7．(2016·江西九江模拟)已知F1，F2是双曲线－＝1的左，右焦点，P是双曲线右支上一点，M是PF1的中点，若OM＝1，则PF1的值为________．
【解析】 因为M是PF1的中点，所以PF2＝2OM＝2，又由双曲线的定义知：PF1－PF2＝2a＝8，所以PF1＝10.
【答案】 10
8．(2016·云南玉溪模拟)若圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为________.
【导学号：09390033】
【解析】 解方程组得或
∵圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，
∴A(0，－3)，B(0,3)，且a＝3,2c＝18，
∴b2＝2－32＝72，
∴双曲线方程为－＝1.
【答案】 －＝1
二、解答题
9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)a＝4，经过点A；
(2)经过点(3,0)，(－6，－3)．
【解】 (1)当焦点在x轴上时，
设所求标准方程为－＝1(b＞0)，
把A点的坐标代入，得b2＝－×＜0，不符合题意；
当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b＞0)，
把A点的坐标代入，得b2＝9，
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，
∴解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
10．已知F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，P是双曲线左支上的点，且PF1·PF2＝32，试求△F1PF2的面积．
【解】 双曲线的标准方程为－＝1，可知a＝3，b＝4，c＝＝5.由双曲线的定义，
得|PF2－PF1|＝2a＝6，将此式两边平方，得PF＋PF－2PF1·PF2＝36，
∴PF＋PF＝36＋2PF1·PF2＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝＝＝0，
∴∠F1PF2＝90°，
∴S△F1PF2＝PF1·PF2＝×32＝16.
[能力提升]
1．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上一点，且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积为________．
【解析】 由题意知PF1－PF2＝2a＝2，
∴PF2－PF2＝2，
∴PF2＝6，PF1＝8.
又F1F2＝10，
∴△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝90°，
∴S△PF1F2＝×6×8＝24.
【答案】 24
2．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为_____．
【解析】 对于椭圆C1，∵长轴长2a1＝26，∴a1＝13，
又离心率e1＝＝，∴c1＝5.
由题意知曲线C2为双曲线，且与椭圆C1共焦点，
∴c2＝5.
又2a2＝8，∴a2＝4，b2＝＝3，又焦点在x轴上，
故曲线C2的标准方程为－＝1.
【答案】 －＝1
3．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·＝0，PF1·PF2＝2，则双曲线的标准方程为________．
【解析】 由题意可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
由·＝0，得PF1⊥PF2.
根据勾股定理得
PF＋PF＝(2c)2，即PF＋PF＝20.
根据双曲线定义，有PF1－PF2＝±2a.
两边平方并代入PF1·PF2＝2，得
20－2×2＝4a2，解得a2＝4，从而b2＝5－4＝1.
故双曲线的标准方程是－y2＝1.
【答案】 －y2＝1
4．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图2 3 1所示的P处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA，PB送到矩形灾民区ABCD中去，已知PA＝100
km，PB＝150
km，BC＝60
km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．
图2 3 1
【解】 矩形灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样远近．依题意，界线是第三类点的轨迹．
设M为界线上的任一点，则PA＋MA＝PB＋MB，MA－MB＝PB－PA＝50(定值)，
∴界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分．
如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设所求双曲线方程的标准形式为－＝1(a>0，b>0)，∵a＝25,2c＝|AB|
＝＝50，
∴c＝25，b2＝c2－a2＝3
750，
故双曲线的标准方程为－＝1.
注意到点C的坐标为(25，60)，故y的最大值为60，此时x＝35，故界线的曲线方程为－＝1(25≤x≤35，y>0)．学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．抛物线y＝2x2的焦点坐标是________．
【解析】 ∵抛物线y＝2x2的标准方程是x2＝y，∴2p＝，p＝，＝，
∴焦点坐标是.
【答案】
2．抛物线y2＝10x的焦点到准线的距离是________．
【解析】 ∵2p＝10，p＝5，∴焦点到准线的距离为5.
【答案】 5
3．以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且准线经过P(－2，－4)的抛物线方程为________．
【解析】 若抛物线的准线为x＝－2，则抛物线的方程为y2＝8x；若抛物线的准线为y＝－4，则抛物线的方程为x2＝16y.
【答案】 y2＝8x或x2＝16y
4．已知抛物线y＝4x2上一点M到焦点的距离为1，则点M的坐标是________.
【导学号：09390042】
【解析】 设M(x0，y0)，把抛物线y＝4x2化为标准方程，得x2＝y.
则其准线方程为y＝－，由抛物线的定义，可知y0－＝1，得y0＝，代入抛物线的方程，得x＝×＝，解得x0＝±，则M的坐标为.
【答案】
5．抛物线x2＝2y上的点M到其焦点F的距离MF＝，则点M的坐标是________．
【解析】 设点M(x，y)，抛物线准线为y＝－，由抛物线定义，
y－＝，y＝2，所以x2＝2y＝4，x＝±2，所以点M的坐标为(±2,2)．
【答案】 (±2,2)
6．已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，AF＋BF＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
【解析】 如图，由抛物线的定义知，AM＋BN＝AF＋BF＝3，CD＝，所以中点C的横坐标为－＝，即C到y轴的距离为.
【答案】
7．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程为________．
【解析】 设动圆半径为r，动圆圆心O′(x，y)到点(2,0)的距离为r＋1.O′到直线x＝－1的距离为r，∴O′到(2,0)的距离与O′到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知动圆圆心的轨迹方程为y2＝8x.
【答案】 y2＝8x
8．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)．若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．
【解析】 由题意可求出线段OA的垂直平分线交x轴于点，此点为抛物线的焦点，故准线方程为x＝－.
【答案】 x＝－
二、解答题
9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值．
【解】 法一：由题意可设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则焦点为F，
因为点M在抛物线上，且MF＝5，所以有
解得或
故所求的抛物线方程为y2＝－8x，m的值为±2.
法二：由题可设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则焦点为F，准线方程为x＝，
根据抛物线的定义，点M到焦点的距离等于5，也就是M到准线的距离为5，
则3＋＝5，
∴p＝4，
∴抛物线方程为y2＝－8x.
又点M(－3，m)在抛物线上，
∴m2＝24，∴m＝±2.
10．求焦点在x轴上，且焦点在双曲线－＝1上的抛物线的标准方程．
【解】 由题意可设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，
则焦点为.
∵焦点在双曲线－＝1上，
∴＝1，求得m＝±4，
∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
[能力提升]
1．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是________.
【导学号：09390043】
【解析】 圆心到抛物线准线的距离为p＝4，根据已知，只要FM>4即可．
根据抛物线定义，FM＝y0＋2，由y0＋2>4，解得y0>2.故y0的取值范围是(2，＋∞)．
【答案】 (2，＋∞)
2．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为________．
【解析】 因为抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F的坐标为，所以直线l的方程为y＝2，它与y轴的交点为A，则△OAF的面积为·＝4，解得a＝±8，故抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.
【答案】 y2＝8x或y2＝－8x
3．已知点P是抛物线y2＝4x上的点，设点P到抛物线准线的距离为d1，到圆(x＋3)2＋(y－3)2＝1上的一动点Q的距离为d2，则d1＋d2的最小值是________．
【解析】 由抛物线的定义得P到抛物线准线的距离为d1＝PF，d1＋d2的最小值即为抛物线的焦点F(1,0)到圆(x＋3)2＋(y－3)2＝1上的一动点Q的距离的最小值，最小值为F与圆心的距离减半径，即为4，故填4.
【答案】 4
4．如图2 4 1所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．
图2 4 1
(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？(精确到0.1米)
【解】 如图所示：
(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，
因为点C(5，－5)在抛物线上，所以p＝.
所以该抛物线的方程为x2＝－5y.
(2)设车辆高h，则DB＝h＋0.5，
故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4.1米.章末综合测评(一) 常用逻辑用语
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)
1．命题“1＜3＜4”使用的逻辑联结词是________.
【解析】 “1＜3＜4”的含义为“3＞1且3＜4”，所以使用了逻辑联结词“且”．
【答案】 且
2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则它的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．
【解析】 原命题正确，所以逆否命题正确；逆命题“若y＝f(x)的图象不过第四象限，则它是幂函数”是假命题．故否命题也是假命题．
【答案】 1
3．(2015·浙江高考改编)设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的________条件．
【解析】 取a＝3，b＝－2，知“a＋b>0”D“ab>0”，
取a＝－3，b＝－2知“ab>0”D“a＋b>0”，
故“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．
【答案】 既不充分也不必要
4．设命题p： x∈R，x2＋2x＋a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】 据题意知，Δ＝4－4a≤0，解得a≥1.
【答案】 [1，＋∞)
5．命题“ x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是________．
【解析】 改为 ，否定结论，即 x∈R，|x|＋x2<0.
【答案】 x∈R，|x|＋x2<0
6．(2016·湛江高二检测)设命题p和命题q，“p或q”的否定是真命题，则必有________．
①p真q真；②p假q假；③p真q假；④p假q真．
【解析】 因为“p或q”的否定是真命题，所以“p或q”是假命题，则p假q假．
【答案】 ②
7．给出以下命题：
① x∈R，有x4>x2；
② α∈R，使得sin
3α＝3sin
α；
③ a∈R，对 x∈R，使得x2＋2x＋a<0.
其中真命题为________(填序号)．
【解析】 ①错，如x＝0时不成立；②对，如α＝0时sin
0＝0；③错，因为y＝x2＋2x＋a开口向上．
【答案】 ②
8．(2016·邯郸高二检测)“0＜a＜b”是“a＞b”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”)．
【解析】 当0＜a＜b时，根据指数函数y＝αx(0＜α＜1)是减函数，可得
a＞b；反之，当a＞b时，可得a＜b.所以“0＜a＜b”是“a＞b”的充分不必要条件．
【答案】 充分不必要条件
9．已知命题“若x＞m，则x2－3x＋2＞0”的逆否命题是真命题，则实数m的取值范围是________．
【解析】 因为命题“若x＞m，则x2－3x＋2＞0”的逆否命题是真命题，所以原命题是真命题，解不等式x2－3x＋2＞0，得x＜1或x＞2，所以m≥2，实数m的取值范围是[2，＋∞)．
【答案】 [2，＋∞)
10．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①且q；②p或q；③且(非q)；④(非p)或q中，其中真命题是________．
【解析】 p为真q为假，根据“或”、“且”、“非”命题的真假判断知②③为真命题．
【答案】 ②③
11．(2016·江苏扬州中学高三模拟)已知p：－40.若非p是非q的充分条件，则实数a的取值范围是________.
【导学号：09390017】
【解析】 p：a－4【答案】 [－1,6]
12．已知命题p： x∈R，x－2＞lg
x，命题q： x∈R，x2＞0，下列说法正确的是________．
①p是真命题；②q是真命题；③命题p或q是假命题；④命题且q是真命题；⑤命题且(非q)是真命题；⑥命题p或(非q)是假命题．
【解析】 对于命题p： x∈R，x－2＞lg
x，例如当x＝10时成立，故命题p是真命题；对于命题q： x∈R，x2＞0，当x＝0时命题不成立，故命题q是假命题．所以命题且(非q)是真命题，即①⑤正确．
【答案】 ①⑤
13．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的________条件．
【解析】 将直线l的方程化为一般式得kx－y＋1＝0，所以圆O：x2＋y2＝1的圆心到该直线的距离d＝.又弦长为2＝，所以S△OAB＝··＝＝，解得k＝±1.因此可知“k＝1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．
【答案】 充分不必要
14．下列叙述中错误的是________．
①命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为假命题；
②“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件；
③若“p或q”为假命题，则“(非p)且(非q)”也为假命题；
④若命题p： x∈R，x2＋x＋1≠0，则非p： x0∈R，x＋x0＋1＝0.
【解析】 对于①，命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”是假命题，因此该命题的逆否命题也是假命题；对于②，由x>2可得x2－3x＋2＝(x－1)·(x－2)>0，反过来，由x2－3x＋2>0不能得知x>2，因此“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件；对于③，若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题，所以“(非p)且(非q)”是真命题；对于④，命题p： x∈R，x2＋x＋1≠0，则非p： x0∈R，x＋x0＋1＝0.综上所述，应填③.
【答案】 ③
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)命题：若一个三角形的一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形．试写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
【解】 逆命题：若△ABC为直角三角形，则△ABC的一个内角为直角，是真命题．否命题：若△ABC没有一个内角为直角，则△ABC不是直角三角形，是真命题．逆否命题：若△ABC不是直角三角形，则△ABC没有一个内角为直角，是真命题．
16．(本小题满分14分)判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假．
(1)对数函数都是单调函数；
(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
(3) x∈{x|x＞0}，x＋≥2；
(4) x∈Z，log2x＞2.
【解】 (1)本题隐含了全称量词“所有的”，可表述为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在性命题，且为真命题．
(3)命题中含有全称量词“ ”，是全称命题，且为真命题．
(4)命题中含有存在量词“ ”，是存在性命题，且为真命题．
17．(本小题满分14分)分别写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题，并判断它们的真假．
(1)p：所有的平行四边形的对角线相等，
q：所有的平行四边形的对角线互相平分；
(2)p：方程x2－16＝0的两根的符号不同，
q：方程x2－16＝0的两根的绝对值相等．
【解】 (1)p或q：所有的平行四边形的对角线相等或互相平分．
且q：所有的平行四边形的对角线相等且互相平分．
非p：有些平行四边形的对角线不相等．
因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真．
(2)p或q：方程x2－16＝0的两根符号不同或绝对值相等．
且q：方程x2－16＝0的两根符号不同且绝对值相等．
非p：方程x2－16＝0的两根符号相同．
因为p真q真，所以“p或q”、“p且q”均为真，“非p”为假．
18．(本小题满分16分)(2016·大庆高二检测)已知命题p：|4－x|≤6，q：x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
【解】 非p：|4－x|＞6，解得x＞10或x＜－2，记A＝{x|x＞10或x＜－2}，
q：x2－2x＋1－a2≥0，解得x≥1＋a或x≤1－a，记B＝{x|x≥1＋a或x≤1－a}．
而非p q，∴A?B，即∴0＜a≤3.
19．(本小题满分16分)(2016·湖北荆门调研)已知条件p：函数f(x)＝(2a－5)x在R上是减函数；条件q：在x∈(1,2)时，不等式x2－ax＋2<0恒成立，若p或q是真命题，求实数a的取值范围．
【解】 若p真，则0<2a－5<1，故若q真，由x2－ax＋2<0，得ax>x2＋2.
∵1＝x＋在x∈(1,2)上恒成立．
又当x∈(1,2)时，x＋∈[2，3)，∴a≥3.
∵p或q是真命题，故p真或q真，∴有综上，a的取值范围为.
20．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋1，g(x)＝mx.
(1)若“存在实数x0，使得f(x0)≤0”是假命题，求实数m的取值范围；
(2)是否存在实数m，使得：对任意实数x，f(x)与g(x)至少有一个为正数？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解】 (1)因为“存在实数x0，使得f(x0)≤0”是假命题，所以“对于任意实数x，使得f(x)>0”是真命题，即对于任意实数x，f(x)>0恒成立．
①当m＝0时，不成立；
②当m>0时，Δ＝4(4－m)2－8m<0，
∴2(2)当m≤0时，依题意显然不符合；
当m>0时，则只要f(x)>0在(－∞，0)上恒成立， 0或 4≤m<8.
综上可知，0(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2－6，则点P的轨迹方程是________．
【解析】 ＝(3－x，－y)，＝(－2－x，－y)，
∴·＝(3－x)·(－2－x)＋y2＝x2－x－6＋y2＝x2－6，∴y2＝x.
【答案】 y2＝x
2．“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是“方程f(x，y)＝0是曲线C的方程”的__________条件．
【解析】 “方程f(x，y)＝0是曲线C的方程
” “曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，反之不成立．
【答案】 必要不充分
3．平面内有两定点A，B，且AB＝4，动点P满足|＋|＝4，则点P的轨迹方程是________．
【解析】 以AB的中点为原点，以AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设A(－2,0)，B(2,0)．∵|＋|＝|2|＝4，
∴||＝2.
设P(x，y)，∴＝2，即x2＋y2＝4，
∴点P的轨迹方程是x2＋y2＝4.
【答案】 x2＋y2＝4
4．已知定点F(1,0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且·＝0，延长MP到点N，使得||＝||，则点N的轨迹方程是__________________．
【解析】 由于||＝||，则P为MN的中点．设N(x，y)，则M(－x,0)，P，由·＝0，得·＝0，所以(－x)·1＋·＝0，则y2＝4x，即点N的轨迹方程是y2＝4x.
【答案】 y2＝4x
5．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是________．
【解析】 由两点式，得直线AB的方程是＝，即4x－3y＋4＝0，AB＝＝5.设C点的坐标为(x，y)，则×5×＝10，
即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.
【答案】 4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
6．(2016·沈阳高二检测)已知AB＝3，A，B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，＝＋，则动点P的轨迹方程是________.
【导学号：09390060】
【解析】 设P(x，y)，A(x0,0)，B(0，y0)．∵AB＝3，∴x＋y＝9，＝(x，y)＝＋＝(x0,0)＋(0，y0)＝.
所以即又x＋y＝9，所以x2＋9y2＝9，即＋y2＝1.
【答案】 ＋y2＝1
7．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．
【解析】 如图，AD＝AE＝8，BF＝BE＝2，CD＝CF，
所以CA－CB＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．
【答案】 －＝1(x>3)
8．已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若＝，则点P的轨迹方程是________．
【解析】 ∵＝，∴R，A，P三点共线，且A为RP的中点，设P(x，y)，R(x1，y1)，则由＝，得(1－x1，－y1)＝(x－1，y)，则即x1＝2－x，y1＝－y，将其代入直线y＝2x－4中，得y＝2x，∴点P的轨迹方程为y＝2x.
【答案】 y＝2x
二、解答题
9．已知点Q在椭圆C：＋＝1上，点P满足＝(＋)(其中O为坐标原点，F1为椭圆C的左焦点)，求点P的轨迹方程．
【解】 因为点P满足＝(＋)，所以P是线段
QF1的中点，设P(x，y)，由于F1为椭圆C：＋＝1的左焦点，则F1(－，0)，故Q，由点Q在椭圆C：＋＝1上，则点P的轨迹方程为＋＝1，故点P的轨迹方程为＋＝1.
10．如图2 6 4，过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
图2 6 4
【解】 法一：设点M的坐标为(x，y)．
∵M为线段AB的中点，
∴A的坐标为(2x,0)，B的坐标为(0,2y)．
∵l1⊥l2，且l1，l2过点P(2,4)，
∴PA⊥PB，kPA·kPB＝－1.
而kPA＝(x≠1)，kPB＝，∴·＝－1(x≠1)．
整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)．
∵当x＝1时，A，B的坐标分别为(2,0)，(0,4)，
∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0.
综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
法二：设M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连结PM.
∵l1⊥l2，∴2PM＝AB.
而PM＝，
AB＝，
∴2＝，
化简，得x＋2y－5＝0，即为所求轨迹方程．
法三：∵l1⊥l2，OA⊥OB，
∴O，A，P，B四点共圆，且该圆的圆心为M，
∴MP＝MO，∴点M的轨迹为线段OP的垂直平分线．
∵kOP＝＝2，OP的中点坐标为(1,2)，
∴点M的轨迹方程是y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0.
[能力提升]
1．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________．
【解析】 设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形，
∴MP2＋NP2＝MN2，
∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，整理得x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2，
∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．
【答案】 x2＋y2＝4(x≠±2)
2．P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，＝1＋2，则动点Q的轨迹方程是________．
【解析】 由＝1＋2，又1＋2＝＝2＝－2，
设Q(x，y)，则＝－
＝－(x，y)＝，
即P点坐标为，又P在椭圆上，
则有＋＝1，即＋＝1.
【答案】 ＋＝1
3．设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2＋2y2＝4交于A，B两点，P是l上满足·＝1的点，则点P的轨迹方程是________．
【解析】 如图，设P点的坐标为(x，y)，则由方程x2＋2y2＝4得2y2＝4－x2，
∴y＝±，
∴A，B两点的坐标分别为
，.
又·＝1，
∴·＝1，
即y2－＝1，
∴＋＝1.
又直线l与椭圆交于两点，∴－2∴点P的轨迹方程为＋＝1(－2【答案】 ＋＝1(－24．过点A(2,1)的直线l与椭圆＋y2＝1相交，求l被截得的弦的中点的轨迹方程．
【解】 法一：设直线l的斜率为k，则l的方程为y－1＝k(x－2)，设弦两端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，中点为M(x，y)，则把l方程代入椭圆方程消去y，得
(1＋2k2)x2＋4k(1－2k)x＋2(1－2k)2－2＝0，
Δ＝16k2(1－2k)2－8(1＋2k2)[(1－2k)2－1]>0，得－2k2＋4k>0，
∴0∵中点满足消去k得轨迹方程x2＋2y2－2x－2y＝0，
所以弦的中点的轨迹方程为x2＋2y2－2x－2y＝0(椭圆内部)．
法二：设弦两端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，中点为M(x，y)，
由得＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴＝－×，又∵kPQ＝kAM，∴＝－×，∴2y(y－1)＝－x(x－2)，即x2＋2y2－2x－2y＝0，所以弦的中点的轨迹方程为x2＋2y2－2x－2y＝0(椭圆内部)．学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．若椭圆＋＝1(0＜a＜36)的焦距为4，则a＝________.
【解析】 ∵0＜a＜36，∴36－a＝22，∴a＝32.
【答案】 32
2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是________．
【解析】 方程可化为＋＝1，易知a＝5，b＝3，c＝4，
∴长轴长为10，短轴长为6，离心率为.
【答案】 10,6，
3．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则a2＝________，b2＝________.
【解析】 因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9.
【答案】 25 9
4．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．
【解析】 由题意得2a＝12，＝，所以a＝6，c＝3，b＝3.
故椭圆方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
5．椭圆＋＝1的离心率为，则实数m的值为________.
【导学号：09390028】
【解析】 当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，且m＞4，则e2＝＝1－＝1－＝，∴m＝；
当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，且0＜m＜4，
则e2＝＝1－＝1－＝，∴m＝3.
【答案】 3或
6．椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F到过顶点A(－a，0)，B(0，b)的直线的距离等于，则椭圆的离心率为________．
【解析】 由题意知直线AB的方程为＋＝1，即bx－ay＋ab＝0.
左焦点为F(－c,0)，则＝.
∴(a－c)＝，
∴7(a－c)2＝a2＋b2＝a2＋a2－c2＝2a2－c2，即5a2－14ac＋8c2＝0，
∴8e2－14e＋5＝0，解得e＝或e＝.
又∵0【答案】
7．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5
h的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至1
700
km，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200
km，月球的半径约是1
800
km，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．
图2 2 4
【解析】 可设小椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，由已知得
2a＝1
700＋2×1
800＋200，
∴a＝2
750.
又a＋2c＝1
700＋1
800，∴c＝375.
∴e＝＝＝.
【答案】
8．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为30°的直线，交椭圆于A，B两点，则弦长AB＝________.
【解析】 椭圆左焦点为(－，0)，
∴直线方程为y＝(x＋)，
由得5x2＋4x－8＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴弦长AB＝＝.
【答案】
二、解答题
9．若椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，点P是椭圆上的一点，P在x轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P与中心O的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于－，试求椭圆的离心率及其方程．
【解】 令x＝－c，代入＋＝1(a>b>0)，
得y2＝b2＝，∴y＝±.
设P，椭圆的右顶点A(a,0)，上顶点B(0，b)．
∵OP∥AB，∴kOP＝kAB，∴－＝－，
∴b＝c.而a2＝b2＋c2＝2c2，∴a＝c，∴e＝＝.
又∵a－c＝－，解得a＝，c＝，∴b＝，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
10．设直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点．
(1)求实数b的取值范围；
(2)当b＝1时，求|AB|.
【解】 (1)将y＝x＋b代入＋y2＝1，
消去y，整理得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.①
因为直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点，
所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2＞0，
解得－＜b＜.
所以b的取值范围为(－，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
当b＝1时，方程①为3x2＋4x＝0.
解得x1＝0，x2＝－.
所以y1＝1，y2＝－.
所以|AB|＝＝.
[能力提升]
1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为________．
【解析】 根据题意，因为△AF1B的周长为4，所以AF1＋AB＋BF1＝AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝4，所以a＝.又因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
2．若A为椭圆x2＋4y2＝4的右顶点，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积为________.
【导学号：09390029】
【解析】 由题意得，该三角形的两直角边关于x轴对称，且其中一边在过点A(2,0)，斜率为1的直线上，且此直线的方程为y＝x－2，代入x2＋4y2＝4，得5x2－16x＋12＝0，解得x1＝2，x2＝.把x＝代入椭圆方程，得y＝±，∴三角形的面积S＝××＝.
【答案】
3．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若【解析】 因为又因为b2＝a2－c2，所以＝＝＝＝1－e，所以<1－e<，解得【答案】
4．(2016·绍兴高二检测)如图2 2 5，F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的上顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.
图2 2 5
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知△AF1B的面积为40，求a，b的值．
【解】 (1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，
所以e＝
.
(2)法一：a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程为y＝－(x－c)，
将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B，
所以|AB|＝·＝c.
由S△AF1B＝|AF1|·|AB|·sin∠F1AB＝a·c·＝a2＝40，
解得a＝10，b＝5.
法二：设|AB|＝t.因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.
由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t，
再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos
60°，可得t＝a.
由S△AF1B＝a·a·＝a2＝40知，a＝10，b＝5.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．抛物线上一点P到焦点的距离与到准线的距离之和为8，则P到准线的距离为________．
【解析】 由抛物线的定义可知点P到焦点与准线的距离相等，又因为二者之和为8，故P到准线的距离为4.
【答案】 4
2．下列说法中正确的是________(填序号)．
①已知F1(－6,0)，F2(6,0)，到F1，F2两点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆；
②已知F1(－6,0)，F2(6,0)，到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆；
③到点F1(－6,0)，F2(6,0)两点的距离之和等于点M(10,0)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆；
④到点F1(－6,0)，F2(6,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．
【解析】 根据椭圆的定义PF1＋PF2>F1F2可知选③.
【答案】 ③
3．已知A(1,0)，B(3,0)，动点P满足|PA－PB|＝a，且点P的轨迹是双曲线，则实数a的取值范围是________．
【解析】 因为AB＝2，且点P的轨迹是双曲线，则|PA－PB|＝a＜2，即0＜a＜2.
【答案】 (0,2)
4．已知双曲线的焦点为F1，F2，双曲线上一点P满足|PF1－PF2|＝2.若点M也在双曲线上，且MF1＝4，则MF2＝________.
【解析】 由双曲线的定义可知，|MF1－MF2|＝2.又MF1＝4，∴|4－MF2|＝2，解得MF2＝2或6.
【答案】 2或6
5．已知点A(－1,0)，B(1,0)．曲线C上任意一点P满足2－2＝4(||－||)≠0.则动点P的轨迹是________.
【导学号：09390020】
【解析】 由条件可化简为PA＋PB＝4，因为4>2＝AB，
所以曲线C是椭圆．
【答案】 椭圆
6．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为______．(填“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”)
【解析】 由题意P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹为一条抛物线．
【答案】 抛物线
7．已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：|MF1－MF2|＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的________条件．
【解析】 根据双曲线的定义，乙 甲，但甲D乙，只有当0<2a<|F1F2|时，其轨迹才是双曲线．故甲是乙的必要不充分条件．
【答案】 必要不充分
8．△ABC的顶点A(0，－4)，B(0,4)，且4(sin
B－sin
A)＝3sin
C，则顶点C的轨迹是________．
【解析】 运用正弦定理，将4(sin
B－sin
A)＝3sin
C转化为边的关系，即4＝3×，则AC－BC＝AB＝6【答案】 以A，B为焦点的双曲线的上支去掉点(0,3)
二、解答题
9．已知动点M的坐标(x，y)满足方程2(x－1)2＋2(y－1)2＝(x＋y＋6)2，试确定动点M的轨迹．
【解】 方程可变形为＝1，
∵表示点M到点(1,1)的距离，
表示点M到直线x＋y＋6＝0的距离．
又由＝1知点M到定点(1,1)的距离等于点M到直线x＋y＋6＝0的距离．
由抛物线的定义知点M的轨迹是抛物线．
10．一炮弹在某处爆炸，在F1(－5
000,0)处听到爆炸声的时间比在F2(5
000,0)处晚
s，已知坐标轴的单位长度为1
m，声速为340
m/s，爆炸点应在什么样的曲线上？
【解】 由声速为340
m/s，可知F1，F2两处与爆炸点的距离差为340×＝6
000(m)，且小于F1F2＝10
000(m)，
因此爆炸点在以F1，F2为焦点的双曲线上，
又因为爆炸点离F1处比F2处更远，所以爆炸点应在靠近F2处的一支双曲线上．
[能力提升]
1．已知点P(x，y)的坐标满足－＝±4，则动点P的轨迹是________．
【解析】 方程表示点到(1,1)和(－3，－3)两点的距离差，∵4<，∴点P的轨迹是双曲线．
【答案】 双曲线
2．已知椭圆上一点P到两焦点F1，F2的距离之和为20，则PF1·PF2的最大值为________.
【导学号：09390021】
【解析】 由条件知PF1＋PF2＝20，∴PF1·PF2≤2＝2＝100.当且仅当PF1＝PF2时取得等号．
【答案】 100
3．如图2 1 1，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是________．
图2 1 1
【解析】 连结FP，∵M，F关于直线CD对称，∴PF＝PM，∴PF＋PO＝OP＋PM＝OM(定值)．
∵OM>OF，∴点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆．
【答案】 以F，O为焦点的椭圆
4．在△ABC中，B(－6,0)，C(0,8)，且sin
B，sin
A，sin
C成等差数列．
(1)顶点A的轨迹是什么？
(2)指出轨迹的焦点和焦距．
【解】 (1)由sin
B，sin
A，sin
C成等差数列，得sin
B＋sin
C＝2sin
A．由正弦定理可得AB＋AC＝2BC.
又因为BC＝10，所以AB＋AC＝20，且20>BC，
所以点A的轨迹是椭圆(除去直线BC与椭圆的交点)．
(2)椭圆的焦点为B，C，焦距为10.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知命题p：x∈A∩B，则非p是________．
【解析】 根据数集的定义知，非p是x A或x B.
【答案】 x A或x B
2．若p是真命题，q是假命题，则下列说法正确的是________．
①p且q是真命题；②p或q是假命题；③非p是真命题；④非q是真命题．
【解析】 ∵p真q假，∴非q为真命题．
【答案】 ④
3．命题p：已知x，y为实数，若x2＋y2＝0，则x，y都为0；命题q：若a2>b2，则a>b.给出下列命题：
①p且q；②p或q；③非p；④非q.
其中，真命题是________．(填所有真命题的序号)
【解析】 p真q假，所以p或q为真，非q为真．
【答案】 ②④
4．由命题p：6是12的约数，q：6是24的约数，构成的
(1)“p或q”形式的命题是_________________________________________；
(2)“p且q”形式的命题是_________________________________________；
(3)“非p”形式的命题是__________________________________________．
【答案】 (1)6是12或24的约数
(2)6是12的约数且是24的约数
(3)6不是12的约数
5．(2016·沈阳高二检测)设命题p：若a＞b，则＜；命题q：＜0 ab＜0.给出下列四个复合命题：①p；②q；③p或q；④p且q.其中真命题的个数有________个.
【导学号：09390010】
【解析】 令a＝1，b＝－2，则＞，所以命题p是假命题；命题q显然是真命题，所以命题p或q是真命题，命题p且q是假命题，所以真命题的个数为2.
【答案】 2
6．若命题“p且(非q)”为真，则在命题“p且q”、“p或q”、“q”、“非p”中，真命题的个数有________个．
【解析】 ∵“p且(非q)”为真，∴p真q假．
∴p或q为真．
【答案】 1
7．设命题p：函数y＝sin
2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos
x的图象关于直线x＝对称，则下列判断：
①p为真；②非q为假；
③p且q为假；④p或q为真．
其中正确的是________(填序号)．
【解析】 由题意得命题p是假命题，命题q是假命题，因此只有③正确．
【答案】 ③
8．设有两个命题：p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，q：函数y＝－(5－2a)x在R上是减函数，若“且q”为真命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】 对于p：Δ＝4a2－16<0，即－21，即a<2.因为且q为真命题，所以实数a的取值范围是－2【答案】 －2二、解答题
9．分别指出下列各组命题构成的“p且q”、“p或q”、“非p”形式的命题的真假．
(1)p：一次函数是单调函数，q：一次函数是奇函数；
(2)p：9是素数，q：9是奇数；
(3)p：函数y＝x2－2x＋2没有零点，q：不等式x2－2x＋1≥0恒成立；
(4)p：四条边相等的四边形是正方形，q：有一个角是直角的四边形是正方形．
【解】 (1)∵p是真命题，q为假命题．
∴p且q为假命题，p或q为真命题，非p为假命题．
(2)∵p是假命题，q是真命题．
∴p且q是假命题，p或q为真命题，非p为真命题．
(3)∵p是真命题，q是真命题．
∴p且q与p或q都是真命题，非p是假命题．
(4)∵p是假命题，q是假命题．
∴p且q与p或q都是假命题，非p是真命题．
10．(2016·哈尔滨高二检测)设p：2∈{x||x－a|＞1}；q：曲线
y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．
【解】 ∵2∈{x||x－a|＞1}，∴|2－a|＞1，
∴p：a＞3或a＜1，
∵q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，
∴Δ＞0，即(2a－3)2－4＞0，
∴q：a＜或a＞，
由p或q为真命题，p且q为假命题，知p，q一真一假，若p真q假，则≤a＜1；若p假q真，则＜a≤3.
∴实数a的取值范围是.
[能力提升]
1．(2016·杭州高二检测)命题p：直线y＝2x与直线x＋2y＝0垂直；命题q：异面直线在同一个平面上的射影可能为两条平行直线，则命题p且q为________命题(填“真”或“假”)．
【解析】 直线y＝2x与直线x＋2y＝0的斜率分别为k1＝2，k2＝－，所以k1k2＝－1，即两直线垂直，所以命题p为真命题；正方体ABCD A1B1C1D1中直线AD1和B1C是异面直线，在平面ABCD上的射影分别为AD，BC，且AD∥BC，所以命题q为真命题，所以命题p且q为真命题．
【答案】 真
2．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可用符号表示为________．
【解析】 依题意得非p：甲没有降落在指定范围，非q：乙没有降落在指定范围，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(非p)或(非q)．
【答案】 (非p)或(非q)(或填非(p且q))
3．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x－2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1或p2，q2：p1且p2，q3：(非p1)或p2和q4：p1且
(非p2)中，真命题有________．
【解析】 ∵y＝2x在R上为增函数，y＝2－x在R上为减函数，∴y＝2x－
2－x在R上为增函数，∴p1为真命题，p2为假命题，故q1：p1或p2为真命题，q2：p1且
p2为假命题，q3：(非p1)或p2为假命题，q4：p1且
(非p2)为真命题．故真命题是q1，q4.
【答案】 q1，q4
4．已知p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根．q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R.若“p或q”与“非q”同时为真命题，求实数a的取值范围.
【导学号：09390011】
【解】 p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于
解得a≤－1.
q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，等价于a＝0或
由于
解得0因为“p或q”与“非q”同时为真命题，
即p真且q假，所以解得a≤－1.
故实数a的取值范围是(－∞，－1].章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上)
1．抛物线y＝－x2的准线方程是________．
【解析】 把抛物线方程化为标准形式得x2＝－8y，所以抛物线的准线方程为y＝2.
【答案】 y＝2
2．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．
【解析】 焦点在x轴上，则标准方程中a2>a＋6，解得a>3或a<－2.又a2>0，a＋6>0，所以a>3或－6【答案】 a>3或－63．双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r等于________．
【解析】 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，得r＝.
【答案】
4．若F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与椭圆＋＝1的共同的左、右焦点，点P是两曲线的一个交点，且△PF1F2为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是________.
【导学号：09390068】
【解析】 不妨设PF1＞PF2，则PF1＝F1F2＝8，由双曲线及椭圆的定义，可知即得2a＝6，a＝3.
又a2＋b2＝16，所以b2＝7，故双曲线的渐近线方程为y＝±x.
【答案】 y＝±x
5．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．
【解析】 易知抛物线y2＝8x的准线x＝－2与x轴的交点为Q(－2,0)，于是，可设过点Q(－2,0)的直线l的方程为y＝k(x＋2)(由题可知k是存在的)，联立 k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0.当k＝0时，易知符合题意；当k≠0时，其判别式为Δ＝(4k2－8)2－16k4＝－64k2＋64≥0，可解得－1≤k≤1，且k≠0，综上可知，－1≤k≤1.
【答案】 [－1,1]
6．(2015·天津高考改编)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为______________．
【解析】 由双曲线的渐近线y＝x过点(2，)，可得＝×2.①
由双曲线的焦点(－，0)在抛物线y2＝4x的准线x＝－上，可得＝.②
由①②解得a＝2，b＝，所以双曲线的方程为－＝1.
【答案】 －＝1
7．设F1，F2为曲线C1：＋＝1的焦点，P是曲线C2：－y2＝1与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为________．
【解析】 由题意知，|F1F2|＝2＝4，设P点坐标为(x，y)．
由得
则S△PF1F2＝|F1F2|·|y|＝×4×＝.
【答案】
8．已知抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线－＝1有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为________．
【解析】 由抛物线的定义知，AF＝2c，∴＝2c.
∴c2－a2＝2ac，
∴e2－2e－1＝0.
又∵e>1，
∴e＝＋1.
【答案】 ＋1
9．直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是________．
【解析】 如图，分别过点A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为点M，N，由抛物线的定义知，AM＋BN＝AF＋BF＝AB＝8.又四边形AMNB为直角梯形，故AB中点到准线的距离即为梯形的中位线的长度4，而抛物线的准线方程为x＝－，所以4＝2＋，即p＝4，所以抛物线的方程是y2＝8x.
【答案】 y2＝8x
10．已知抛物线y＝2px2(p>0)的焦点为F，点P在抛物线上，过点P作PQ垂直抛物线的准线，垂足为点Q，若抛物线的准线与对称轴相交于点M，则四边形PQMF的面积为________．
【解析】 由点P在抛物线上，得p＝，故抛物线的标准方程为x2＝4y，点F(0,1)，准线为y＝－1，∴FM＝2，PQ＝1＋＝，MQ＝1，则直角梯形PQMF的面积为××1＝.
【答案】
11．已知椭圆方程＋＝1，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为________．
【解析】 因为双曲线
－＝1(a＞0，b＞0)的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，所以c＝2，a＝1，所以双曲线的离心率为2.
【答案】 2
12．已知长为1＋的线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且＝，则点P的轨迹C的方程为________．
【解析】 设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，＝，又＝(x－x0，y)，＝(－x，y0－y)，所以x－x0＝－x，y＝(y0－y)，得x0＝x，y0＝(1＋)y，因为|AB|＝1＋，即x＋y＝(1＋)2，所以2＋[(1＋)y]2＝(1＋)2，化简得＋y2＝1.
∴点P的轨迹方程为＋y2＝1.
【答案】 ＋y2＝1
13．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若AF＝3，则BF＝________.
【解析】 由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)．又∵|AF|＝3，由抛物线定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，∴点A的横坐标为2.
将x＝2代入y2＝4x，得y2＝8，由图知，y＝2，
∴A(2,2)，∴直线AF的方程为y＝2(x－1)．
由解得或
知点B的坐标为，
∴BF＝－(－1)＝.
【答案】
14．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为________．
【解析】 因为椭圆的离心率为，所以e＝＝，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2.双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝±b，y＝±b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4×b×b＝b2＝16，所以b2＝5，a2＝20，所以椭圆方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y＝x，且过点(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求·.
【解】 (1)∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
∴设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
把(4，－)代入双曲线方程得42－(－)2＝λ，
∴λ＝6，∴所求双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)由(1)知双曲线方程为x2－y2＝6，
∴双曲线的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)．
∵点M在双曲线上，∴32－m2＝6，∴m2＝3.
∴·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)
＝(－3)2－(2)2＋m2＝－3＋3＝0.
16．(本小题满分14分)已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程；
(2)设直线l交曲线C于A，B两点，线段AB的中点为D(2，－1)，求直线l的一般式方程.
【导学号：09390069】
【解】 (1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：
－x＝1(x＞0)，化简得y2＝4x(x＞0)．
即曲线C的方程为y2＝4x(x＞0)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
①－②得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，易知l的斜率k存在，
故(y1＋y2)＝4，即－2k＝4，所以k＝－2，故l的一般式方程为2x＋y－3＝0.
17．(本小题满分14分)如图1，抛物线关于x轴对称，它的顶点是坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
图1
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
【解】 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．
∵点P(1,2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)．
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
∴kPA＝－kPB.
由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得
y＝4x1，①
y＝4x2，②
∴＝－，∴y1＋2＝－(y2＋2)，
∴y1＋y2＝－4.
②－①，得kAB＝＝＝－1(x1≠x2)．
18．(本小题满分16分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程．
【解】 依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
∵点P在抛物线上，
∴6＝2p×，解得2p＝4，
∴所求抛物线的方程为y2＝4x.
∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，
∴c＝1，则a2＋b2＝1，又点P在双曲线上，
∴－＝1，
解方程组
得或
∴所求双曲线的方程为4x2－y2＝1.
19．(本小题满分16分)如图2所示，已知直线l：y＝kx－2与抛物线C：x2＝－2py(p>0)交于A，B两点，O为坐标原点，＋＝(－4，－12)．
图2
(1)求直线l和抛物线C的方程；
(2)抛物线上一动点P从点A到点B运动时，求△ABP面积的最大值．
【解】 (1)由得x2＋2pkx－4p＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2pk，
y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4.
因为＋＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(－2pk，－2pk2－4)＝(－4，－12)，
所以解得
所以直线l的方程为y＝2x－2，抛物线C的方程为x2＝－2y.
(2)设点P(x0，y0)，依题意，抛物线过点P的切线与直线l平行时，△ABP的面积最大．
设切线方程是y＝2x＋t，
由得x2＋4x＋2t＝0，
∴Δ＝42－4×2t＝0，∴t＝2.
此时，点P到直线l的距离为两平行线间的距离，
d＝＝.由得x2＋4x－4＝0，
AB＝·＝·＝4.
∴△ABP面积的最大值为×4×＝8.
20．(本小题满分16分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足＋＝t(O为坐标原点)，当|－|＜时，求实数t的取值范围．
【解】 (1)由题意知，e＝＝，
所以e2＝＝＝，即a2＝2b2.
又因为b＝＝1，所以a2＝2，b2＝1.
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知，直线AB的斜率存在．设AB：y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，由得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.
Δ＝64k4－4(2k2＋1)(8k2－2)＞0，k2＜，
x1＋x2＝，x1x2＝.
∵＋＝t，∴(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，x＝＝，
y＝＝[k(x1＋x2)－4k]＝.
∵点P在椭圆上，∴＋2＝2，
∴16k2＝t2(1＋2k2)．
∵|－|＜，∴|x1－x2|＜，
∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＜，
∴(1＋k2)＜，
∴(4k2－1)(14k2＋13)＞0，∴k2＞，
∴＜k2＜.∵16k2＝t2(1＋2k2)，∴t2＝＝8－，
∴－2＜t＜－或＜t＜2，∴实数t的取值范围为∪.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．下列命题中，假命题是________(填序号)．
①若与共线，则A，B，C，D不一定在同一直线上；
②只有零向量的模等于0；
③共线的单位向量都相等．
【解析】 ①②正确．共线的单位向量方向不一定相同，③错误．
【答案】 ③
2．下列结论中，正确的是________(填序号)．
①若a，b，c共面，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc；
②若a，b，c不共面，则不存在实数x，y，使a＝xb＋yc；
③若a，b，c共面，b，c不共线，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc.
【解析】 要注意共面向量定理给出的是一个充要条件．所以第②个命题正确．但定理的应用又有一个前提；b，c是不共线向量，否则即使三个向量a，b，c共面，也不一定具有线性关系，故①不正确，③正确．
【答案】 ②③
3．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量＝＋＋λ确定的点P与A，B，C共面，那么λ＝________.
【解析】 ∵P与A，B，C共面，∴＝α＋β，
∴＝α(－)＋β(－)，即＝＋α－α＋β－β＝(1－α－β)＋α＋β，∴1－α－β＋α＋β＝1.因此＋＋λ＝1，解得λ＝.
【答案】
4．如图3 1 7，已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________(用向量a，b，c表示)．
图3 1 7
【解析】 设G为BC的中点，连结EG，FG，则＝＋＝＋
＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c)
＝3a＋3b－5c.
【答案】 3a＋3b－5c
5．如图3 1 8，平行六面体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.
图3 1 8
【解析】 ＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋，∴x＝－1，y＝1，z＝，∴x＋y＋z＝.
【答案】
6．如图3 1 9，在三棱锥A BCD中，若△BCD是正三角形，E为其重心，则＋－－化简的结果为________.
【导学号：09390071】
图3 1 9
【解析】 ∵E为△BCD的重心，
∴DE＝DF，＝.
∴＋－－＝＋－－
＝－－＝－＝0.
【答案】 0
7．i，j，k是三个不共面的向量，＝i－2j＋2k，＝2i＋j－3k，＝λi＋3j－5k，且A，B，C，D四点共面，则λ的值为________．
【解析】 若A，B，C，D四点共面，则向量，，共面，故存在不全为零的实数a，b，c，
使得a＋b＋c＝0，
即a(i－2j＋2k)＋b(2i＋j－3k)＋c(λi＋3j－5k)＝0，
∴(a＋2b＋λc)i＋(－2a＋b＋3c)j＋(2a－3b－5c)k＝0.
∵i，j，k不共面，
∴
∴
【答案】 1
8．有四个命题：
①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；
②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；
③若＝x＋y，则P，M，A，B共面；
④若P，M，A，B共面，则＝x＋y.
其中真命题是________(填序号)．
【解析】 由共面向量定理知，①正确；若p与a，b共面，当a与b共线且p与a和b不共线时，就不存在实数组(x，y)使p＝xa＋yb成立，故②错误；同理③正确，④错误．
【答案】 ①③
二、解答题
9．如图3 1 10所示，ABCD A1B1C1D1中，ABCD是平行四边形．若＝，＝2，若＝b，＝c，＝a，试用a，b，c表示.
图3 1 10
【解】 如图，连结AF，则＝＋.由已知ABCD是平行四边形，
故＝＋＝b＋c，＝＋＝－a＋c.
由已知，＝2，∴＝＋＝－＝－＝c－(c－a)＝(a＋2c)，
又＝－＝－(b＋c)，∴＝＋
＝－(b＋c)＋(a＋2c)＝(a－b＋c)．
10．如图3 1 11所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形．
图3 1 11
【证明】 ∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴＝，＝，
则＝－
＝－＝
＝(－)＝
＝(－)＝，
∴∥且||＝||≠||.
又F不在直线EH上，
∴四边形EFGH是梯形．
[能力提升]
1．平面α内有点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足＝＋x＋y，＝2x＋＋y，则x＋3y＝________.
【解析】 由点A，B，C，D共面得x＋y＝，又由点B，C，D，E共面得2x＋y＝，联立方程组解得x＝，y＝，所以x＋3y＝.
【答案】
2．已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若＋＋＝λ，则λ＝________.
【解析】 如图，取AB的中点D，
＝＋
＝＋
＝＋·(＋)
＝＋[(－)＋(－)]
＝＋＋.
∴＋＋＝3.
【答案】 3
3．(2016·贵港高二检测)在下列命题中：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；
③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数是______．
【解析】 a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故②不正确；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确．综上可知，四个命题中正确的个数为0.
【答案】 0
4．如图3 1 12，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，AB＝2EF，H为BC的中点．求证：FH∥平面EDB.
图3 1 12
【证明】 因为H为BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋＋＋)＝(2＋＋＋)．
因为EF∥AB，CD∥AB，且AB＝2EF，所以2＋＝0，所以＝(＋)＝＋.
因为与不共线，由共面向量定理知，，，共面．
因为FH 平面EDB，
所以FH∥平面EDB.章末综合测评(三) 空间向量与立体几何
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)
1．已知空间直角坐标系中有点A(－2,1,3)，B(3,1,0)，则||＝________.
【解析】 ∵＝(5,0，－3)，
∴||＝＝.
【答案】
2．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a与b为共线向量，则x＝________，y＝________.
【解析】 由题意得＝＝，∴x＝，y＝－.
【答案】 －
3．下列有关空间向量的四个命题中，错误命题为________．
①空间中有无数多组不共面的向量可作为向量的基底；②向量与平面平行，则向量所在的直线与平面平行；③平面α的法向量垂直于α内的每个向量；④空间中的任一非零向量都可惟一地表示成空间中不共面向量的线性组合的形式．
【解析】 若向量与平面平行，则向量所在的直线与平面平行或在平面内，故②错误．
【答案】 ②
4．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝________.
【解析】 由已知得，＝＝，
∴8＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝.
【答案】 －2或
5．△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0，)，B，C(－1,0，)，则角A的大小为________．
【解析】 ＝，＝(－1,0,0)，则cos
A＝＝＝，故角A的大小为30°.
【答案】 30°
6．已知正方体ABCD A1B1C1D1的中心为O，则下列各命题中，真命题是________．
①＋与＋是一对相反向量；
②－与－是一对相反向量；
③＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量；
④－与－是一对相反向量．
【解析】 ①∵四边形ADC1B1为平行四边形，O为对角线交点，
∴＋与＋是一对相反向量，∴①真；
②∵－＝，－＝，＝，
∴－＝－，
∴②假；
③如图，设正方形ABCD的中心为O1，正方形A1B1C1D1的中心为O2，则＋＋＋＝4，＋＋＋＝4，
∵与是相反向量，∴③真；
④－＝，－＝，
∵与是相反向量，∴④真．
【答案】 ①③④
7．在空间直角坐标系O xyz中，已知A(1，－2,3)，B(2,1，－1)，若直线AB交平面xOz于点C，则点C的坐标为________．
【解析】 设点C的坐标为(x,0，z)，则＝(x－1,2，z－3)，＝(1,3，－4)，因为与共线，所以＝＝，解得所以点C的坐标为.
【答案】
8．二面角α l β等于120°，A，B是棱l上两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于________．
【解析】 设＝a，＝b，＝c，由已知条件，|a|＝1，|b|＝1，|c|＝1，〈a，b〉＝90°，〈b，c〉＝90°，〈a，c〉＝120°.
||2＝|＋＋|2＝|－c＋b＋a|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝4，
则||＝2.
【答案】 2
9．已知点A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取最小值时，点Q的坐标为________.
【导学号：09390091】
【解析】 由题意可知＝λ，故可设Q(λ，λ，2λ)，则·＝6λ2－16λ＋10＝62－，∴当λ＝时，·取得最小值，此时点Q的坐标为.
【答案】
10．在空间中，已知平面α过点A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点C(0,0，a)(a>0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________.
【解析】 平面xOy的法向量为n＝(0,0,1)，＝(－3，4,0)，＝(－3,0，a)，设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，则
则3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝，故cos〈n，u〉＝＝.
又∵a>0，∴a＝.
【答案】
11．空间四边形ABCD中，连结AC，BD，若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－的化简结果是________．
【解析】 如图，延长DE交BC于F，易知F是BC中点，则＋－－＝－＋－·＝＋－＝＋＋＝＋＝0.
【答案】 0
12．已知动点P是棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1的体对角线BD1上一点，记＝λ.当∠APC为钝角时，则λ的取值范围为________．
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系D xyz，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，所以＝(1,1，－1)，由题意，可设＝λ＝(λ，λ，－λ)，连结D1A，D1C，则＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，所以＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)，显然∠APC不是平角，当∠APC为钝角时，cos∠APC＝cos?，?＝<0.
由此得出λ∈.
【答案】
13．在△ABC中，若∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AB＝8，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一点，则PM的最小值为________．
【解析】 建立如图所示的坐标系，则C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,4，0)，P(0,0,4)，设M(x，y,0)，则＝(x－4，y,0)，＝(－4,4，0)，易知＝λ，即(－4,4，0)＝λ(x－4，y,0)，
∴得x＋y－4＝0，所以y＝4－x，＝(x，y，－4)＝(x,4－x，－4)，||2＝x2＋(4－x)2＋16＝4(x－3)2＋28，∵0≤x≤4，
∴当x＝3时，||min＝2.
【答案】 2
14．如图1所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为________．
图1
【解析】 由题图易知A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A′(a,0，a)．
∴F，E.
∴EF＝＝＝a.
【答案】 a
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)如图2，平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．
图2
【解】 ∵＝＋＋，
∴||＝
＝.
∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
∴〈，〉＝90°，〈，〉＝〈，〉＝60°，
∴||
＝
＝.
16．(本小题满分14分)如图3，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD.
图3
【证明】 设＝a，＝b，＝c.
则a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0.
而＝＋＝＋(＋)＝c＋(a＋b)，
＝－＝b－a，
＝＋＝(＋)＋＝(a＋b)－c，
∴·＝·(b－a)
＝c·(b－a)＋(a＋b)·(b－a)
＝c·b－c·a＋(b2－a2)
＝(|b|2－|a|2)＝0.
∴⊥，
∴A1O⊥BD.
同理可证⊥.
∴A1O⊥OG.
又OG∩BD＝O且A1O 平面BDG，
∴A1O⊥平面GBD.
17．(本小题满分14分)如图4，正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.
图4
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：CF⊥平面BDE.
【证明】 (1)设AC与BD交于点G.
∵EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1，
∴四边形AGEF为平行四边形，∴AF∥EG.
∵EG 平面BDE，AF 平面BDE，
∴AF∥平面BDE.
(2)连结FG，∵正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直，且CE⊥AC，
∴CE⊥平面ABCD.
如图，以C为原点，CD，CB，CE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则C(0,0,0)，A(，，0)，B(0，，0)，
D(，0,0)，E(0,0,1)，F，
∴＝，＝(0，－，1)，＝(－，0,1)，
∴·＝0－1＋1＝0，·＝－1＋0＋1＝0，
∴⊥，⊥，
∴CF⊥BE，CF⊥DE.
又∵BE∩DE＝E，
∴CF⊥平面BDE.
18．(本小题满分16分)在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，现将△ABC沿着与平面ABC垂直的方向平移到△A1B1C1的位置，已知AA1＝2，分别取A1B1，A1A的中点P，Q.
(1)求的模；
(2)求cos〈，〉，cos〈，〉的值，并比较〈，〉与〈，〉的大小；
(3)求证：AB1⊥C1P.
【解】 (1)以C为原点，建立空间直角坐标系，如图，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C1(0,0,2)，P，Q(1,0,1)，B1(0，1,2)，A1(1,0,2)，
∴＝(1，－1,1)，＝(0,1,2)，＝(1，－1，2)，＝(－1,1,2)，＝，
∴||＝＝.
(2)∵·＝0－1＋2＝1，||＝，
||＝＝，
∴cos〈，〉＝＝＝.
又∵·＝0－1＋4＝3，||＝＝，|CB1|＝＝，
∴cos〈，〉＝＝＝.
∵0<<<1，
∴〈，〉∈，〈，〉∈，
又∵y＝cos
x在内单调递减，
∴〈，〉>〈，〉．
(3)证明：∵·＝(－1,1，－2)·＝0，
∴⊥，即AB1⊥C1P.
19．(本小题满分16分)如图5，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.
图5
(1)证明：PC⊥平面BED；
(2)设二面角A PB C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小.
【导学号：09390092】
【解】 如图，设AC∩BD＝O，以O为坐标原点，OC，OD所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，则A(－，0,0)，C(，0,0)，P(－，0,2)．
设BD＝2a，则B(0，－a,0)，D(0，a,0)．
(1)证明：＝(2，0，－2)，＝(0,2a,0)．
由PE＝2EC，得E，则＝.
所以·＝(2，0，－2)·＝0，
·＝(2，0，－2)·(0,2a,0)＝0，
即⊥，⊥.
又因为BE∩BD＝B，所以PC⊥平面BED.
(2)设平面PAB的法向量n＝(x1，y1，z1)．
易得＝(0,0,2)，＝(，－a,0)．
由得
取x1＝1，可得n＝.
设平面PBC的法向量m＝(x2，y2，z2)．
易得＝(，a,0)，＝(－2，0,2)．
由得
取x2＝1，可得m＝.
因为二面角A PB C为90°，
所以m·n＝0，即1×1＋×＋×0＝0，解得a＝.
所以＝(，，－2)，平面PBC的一个法向量为m＝(1，－1，)，所以PD与平面PBC所成角的正弦值为＝，所以PD与平面PBC所成角的大小为.
20．(本小题满分16分)如图6，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．
图6
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
(3)若二面角A B1E A1的大小为30°，求AB的长．
【解】 (1)证明：以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图．设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0，1,1)，E，B1(a,0,1)，
故＝(0,1,1)，＝，＝(a,0,1)，＝.
∵·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0.
∴B1E⊥AD1.
(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0)．又设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)．
由得
取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝.
要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，即－az0＝0，解得z0＝.
又∵DP 平面B1AE，
∴存在一点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.
(3)连结A1D，B1C，由长方体ABCD A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D.
∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C.
又由(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1.
∴AD1⊥平面DCB1A1.
∴是平面A1B1E的一个法向量，此时＝(0,1,1)．
设与平面B1AE的法向量n所成的角为θ，则cos
θ＝＝.
∵二面角A B1E A1的大小为30°.
∴|cos
θ|＝cos
30°，
即＝，解得a＝2，
即AB的长为2.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．如图2 6 2所示，方程y＝表示的曲线是________．
图2 6 2
【解析】 y＝＝所以图②满足题意．
【答案】 ②
2．方程(x＋y－1)＝0表示的曲线是________．
【解析】 方程(x＋y－1)＝0等价于或x－y－3＝0.
即x＋y－1＝0(x≥2)或x－y－3＝0，故方程(x＋y－1)＝0表示射线x＋y－1＝0(x≥2)和直线x－y－3＝0.
【答案】 射线x＋y－1＝0(x≥2)和直线x－y－3＝0
3．条件甲“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，条件乙“曲线C是方程f(x，y)＝0的图形”，则甲是乙的________条件．
【解析】 在曲线的方程和方程的曲线定义中，下面两个条件缺一不可：(1)曲线上点的坐标都是方程的解，(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上．很显然，条件甲满足(1)而不一定满足(2)．所以甲是乙的必要不充分条件．
【答案】 必要不充分
4．在平面直角坐标系中，方程|x2－4|＋|y2－4|＝0表示的图形是________．
【解析】 易知|x2－4|≥0，|y2－4|≥0，由|x2－4|＋|y2－4|＝0，得解得表示的图形为(2,2)，(2，－2)，(－2,2)，(－2，－2)四个点．
【答案】 (2,2)，(2，－2)，(－2,2)，(－2，－2)四个点
5．下列命题正确的是________(填序号)．
①方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线；
②△ABC的顶点坐标分别为A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则中线AO的方程是x＝0；
③到x轴距离为5的点的轨迹方程是y＝5；
④曲线2x2－3y2－2x＋m＝0通过原点的充要条件是m＝0.
【解析】 对照曲线和方程的概念，①中的方程需满足y≠2；②中“中线AO的方程是x＝0(0≤y≤3)”；而③中动点的轨迹方程为|y|＝5，从而只有④是正确的．
【答案】 ④
6．下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是________________(填序号).
【导学号：09390057】
①y＝与y2＝x；②y＝x与＝1；
③y2－x2＝0与|y|＝|x|；④y＝lg
x2与y＝2lg
x.
【解析】 ①中y＝时，y≥0，x≥0，而y2＝x时，x≥0，y∈R，故不表示同一曲线；②中＝1时，y≠0，而y＝x中y＝0成立，故不表示同一曲线；④中定义域不同，故只有③正确．
【答案】 ③
7．点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________.
【解析】 由题意可知点(1，－2)是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一组解，即1＋4－2a＋5＝0，解得a＝5.
【答案】 5
8．已知定点P(x0，y0)不在直线l：f(x，y)＝0上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的直线是________(填序号)．
①过点P且垂直于l的直线；
②过点P且平行于l的直线；
③不过点P但垂直于l的直线；
④不过点P但平行于l的直线．
【解析】 点P的坐标(x0，y0)满足方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0，因此方程表示的直线过点P.又∵f(x0，y0)为非零常数，∴方程可化为f(x，y)＝f(x0，y0)，方程表示的直线与直线l平行．
【答案】 ②
二、解答题
9．分析下列曲线上的点与方程的关系．
(1)求第一、三象限两轴夹角平分线上点的坐标满足的关系；
(2)作出函数y＝x2的图象，指出图象上的点与方程y＝x2的关系；
(3)说明过点A(2,0)平行于y轴的直线l与方程|x|＝2之间的关系．
【解】 (1)第一、三象限两轴夹角平分线l上点的横坐标x与纵坐标y相等，即y＝x.
①l上点的坐标都是方程x－y＝0的解；
②以方程x－y＝0的解为坐标的点都在l上．
(2)函数y＝x2的图象如图所示是一条抛物线，这条抛物线上的点的坐标都满足方程y＝x2，即方程y＝x2对应的曲线是如图所示的抛物线，抛物线的方程是y＝x2.
(3)如图所示，直线l上点的坐标都是方程|x|＝2的解，然而坐标满足方程|x|＝2的点不一定在直线l上，因此|x|＝2不是直线l的方程．
10．证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x2＋y2＝25，并判断点M1(3，－4)，M2(－2，2)是否在这个圆上．
【解】 ①设M(x0，y0)是圆上任意一点，因为点M到原点的距离等于5，所以＝5，也就是x＋y＝25，即(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解．
②设(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解，那么x＋y＝25，两边开方取算术平方根，得＝5，即点M(x0，y0)到原点的距离等于5，点M(x0，y0)是这个圆上的点．
由①②可知，x2＋y2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．
把点M1(3，－4)代入方程x2＋y2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M1在这个圆上；把点M2(－2，2)代入方程x2＋y2＝25，左右两边不相等，(－2，2)不是方程的解，所以点M2不在这个圆上．
[能力提升]
1．已知0≤α<2π，点P(cos
α，sin
α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为________．
【解析】 由(cos
α－2)2＋sin2α＝3，得cos
α＝.又0≤α<2π，∴α＝或.
【答案】 或
2．方程(x2＋y2－4)＝0的曲线形状是____________(填序号)．
图2 6 3
【解析】 由题意可得x＋y＋1＝0或
它表示直线x＋y＋1＝0和圆x2＋y2－4＝0在直线x＋y＋1＝0右上方的部分．
【答案】 ③
3．由方程(|x|＋|y|－1)(x2＋4)＝0表示的曲线所围成的封闭图形的面积是________．
【解析】 表示的曲线为|x|＋|y|＝1，其图形如图所示，为一正方形，S＝()2＝2.
【答案】 2
4．已知点P(x0，y0)是曲线f(x，y)＝0和曲线g(x，y)＝0的交点，求证：点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上．
【证明】 因为P是曲线f(x，y)＝0和曲线g(x，y)＝0的交点，所以P在曲线f(x，y)＝0上，即f(x0，y0)＝0，P在曲线g(x，y)＝0上，即g(x0，y0)＝0，所以f(x0，y0)＋λg(x0，y0)＝0＋λ0＝0，故点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．抛物线焦点在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5，则该抛物线的方程是________．
【解析】 设抛物线的标准方程为y2＝2ax(a≠0)，设A(m，－3)．
由抛物线定义得5＝AF＝，
又(－3)2＝2am，
∴a＝±1或a＝±9，
故所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
【答案】 y2＝±2x或y2＝±18x
2．抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若AB＝4，则焦点到弦AB的距离为________．
【解析】 由题意我们不妨设A(x,2)，则(2)2＝4x，∴x＝3，∴直线AB的方程为x＝3，抛物线的焦点为(1,0)，∴焦点到弦AB的距离为2.
【答案】 2
3．在抛物线y2＝16x内，过点(2,1)且被此点平分的弦AB所在直线的方程是________.
【导学号：09390047】
【解析】 显然斜率不存在时的直线不符合题意．设直线斜率为k，则直线方程为y－1＝k(x－2)①，由消去x得ky2－16y＋16(1－2k)＝0，∴y1＋y2＝＝2(y1，y2分别是A，B的纵坐标)，∴k＝8，代入①得y＝8x－15.
【答案】 y＝8x－15
4．已知过抛物线Γ：x＝－的焦点F的直线交抛物线Γ于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝－7，则AB的值为________．
【解析】 因为x＝－，所以y2＝－2x，所以抛物线Γ的准线方程为x＝，根据抛物线的定义知AF＝－x1，BF＝－x2，所以AB＝AF＋BF＝1－(x1＋x2)＝1－(－7)＝8.
【答案】 8
5．直线y＝k(x＋1)与抛物线y2＝8x有两个交点，则实数k的取值范围是________．
【解析】 联立直线与抛物线方程，得所以ky2－8y＋8k＝0.
由题意得解得－＜k＜，且k≠0.
所以实数k的取值范围是(－，0)∪(0，)．
【答案】 (－，0)∪(0，)
6．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，P是E的准线l上一点，Q是直线PF与E的一个交点．若＝，则直线PF的方程为________.
【导学号：09390048】
【解析】 抛物线E：y2＝4x的焦点F(1,0)，设Q到l的距离为d，则QF＝d.
∵＝，∴||＝||＝d，∴直线的倾斜角为45°或135°，∴直线的斜率为±1，
∴直线的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
【答案】 x＋y－1＝0或x－y－1＝0
7．如图2 4 3是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2
m，水面宽4
m．水位下降1
m后，水面宽_____________
m.
图2 4 3
【解析】 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意A(2，－2)，代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面宽为2
m.
【答案】 2
8．设点A的坐标为(a,0)(a∈R)，则曲线y2＝2x上的点到A点的距离的最小值为________.
【导学号：09390049】
【解析】 设抛物线上的点到A点的距离为d，抛物线上任一点的坐标为(x，y)，则d2＝(x－a)2＋y2＝x2－(2a－2)x＋a2
＝[x－(a－1)]2＋(2a－1)．
因为x∈[0，＋∞)，所以当a－1≥0，即a≥1时，d＝2a－1，dmin＝；
当a－1<0，即a<1时，当x＝0时，d＝a2，dmin＝|a|.
【答案】 (a≥1)或|a|(a<1)
二、解答题
9．已知抛物线y2＝2px
(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程．
【解】 设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，则直线OB的方程为y＝－x，
由得x＝0(舍)或x＝，
∴A点坐标为，B点坐标为(2pk2，－2pk)，
由|OA|＝1，|OB|＝8，
可得
解方程组得k6＝64，即k2＝4.
则p2＝＝，又p>0，则p＝，
故所求抛物线方程为y2＝x.
10．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
【解】 (1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝，由抛物线定义得，|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，
所以p＝4，从而抛物线方程为y2＝8x.
(2)由于p＝4,4x2－5px＋p2＝0可化简为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4，4)；设C(x3，y3)，则＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)，又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
[能力提升]
1．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积为________．
【解析】 由条件，不妨设lOA为y＝x，解方程组得x＝2p，所以A(2p,2p)．故S△AOB＝·2·(2p)·(2p)＝4p2.
【答案】 4p2
2．过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别为m，n，则＋＝________.
【解析】 由焦点弦性质，知＋＝，抛物线的标准方程为x2＝y(a>0)，∴2p＝，p＝，
∴＋＝4a，即＋＝4a.
【答案】 4a
3．已知抛物线y＝x2与双曲线－x2＝1(a＞0)有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线，则·的最小值为________．
【解析】 抛物线y＝x2的焦点F为(0,2)，则双曲线－x2＝1中，c＝2，则a2＝3.
即双曲线方程为－x2＝1，设P(m，n)，则n2－3m2＝3，
则·＝(m，n)·(m，n－2)＝m2＋n2－2n＝－1＋n2－2n＝－2n－1＝2－，所以当n＝时，·的最小值为3－2.
【答案】 3－2
4．如图2 4 4，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.
图2 4 4
【证明】 法一：设直线AB的方程为y＝k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C.联立方程，得
消去x，得y2－－p2＝0，∴y1y2＝－p2，kOA＝，kOC＝＝.
又∵y＝2px1，∴kOC＝＝kOA，∴AC经过原点O.
当k不存在时，AB⊥x轴，同理可得kOA＝kOC，所以AC经过原点O.
法二：因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，由于直线AB斜率不确定，所以经过点F的直线AB的方程可设为x＝my＋，代入抛物线方程消去x得y2－2pmy－p2＝0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2＝－p2.
因为BC∥x轴，且点C在准线x＝－上，所以点C的坐标为，故直线CO的斜率为k＝＝＝，即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.
法三：如图，过A作AD⊥l，D为垂足，则AD∥EF∥BC，
设AC与EF相交于点N，则＝＝，
＝.由抛物线的定义可知AF＝AD，BF＝BC，∴EN＝＝＝NF.
即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．曲线x2＋y2＝9与曲线x2＝8y的交点坐标是________．
【解析】 由得y2＋8y－9＝0，
解得y＝1或y＝－9.
∵y≥0，∴y＝1，代入x2＝8y，
∴x2＝8，x＝±2，
∴交点坐标为(±2，1)．
【答案】 (±2，1)
2．抛物线x2＝－4y与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A，B两点，则AB＝________.
【解析】 由直线AB过焦点且垂直于对称轴知，AB为通径，
所以AB＝2p＝4.
【答案】 4
3．直线l与抛物线y2＝4x交于A，B两点，AB中点坐标为(3,2)，则直线l的方程是________．
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝4x1，y＝4x2，
相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)，
又因为y1＋y2＝4，所以kAB＝＝1.
所以直线l的方程为y－2＝x－3，即x－y－1＝0.
【答案】 x－y－1＝0
4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F(，0)为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为________.
【导学号：09390064】
【解析】 由题意，得解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
5．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线有__________条．
【解析】 设该抛物线焦点为F，则AB＝AF＋FB＝xA＋＋xB＋＝xA＋xB＋1＝3＞2p＝2.所以符合条件的直线有且仅有两条．
【答案】 2
6．曲线y＝x2－x＋2和y＝x＋m有两个不同的公共点，则实数m的取值范围是________．
【解析】 由消去y
，得x2－2x＋2－m＝0.若有两个不同的公共点，则Δ＝4－4(2－m)>0，∴m>1.
【答案】 (1，＋∞)
7．直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若AB＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于________．
【解析】 直线4kx－4y－k＝0，即y＝k，即直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝x1＋x2＋＝4，故x1＋x2＝，则弦AB的中点的横坐标是，弦AB的中点到直线x＋＝0的距离是＋＝.
【答案】
8．已知直线y＝2x＋b与曲线xy＝2相交于A，B两点，若AB＝5，则实数b等于________.
【导学号：09390065】
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立方程组消去y，整理得2x2＋bx－2＝0.①
∵x1，x2是关于x的方程①的两根，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－1.
又AB＝，其中k＝2，代入则有AB＝·＝5，
∴b2＝4，则b＝±2.
故所求b的值为±2.
【答案】 ±2
二、解答题
9．如图2 6 7,
斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
图2 6 7
【解】 设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由椭圆方程知a2＝4，b2＝1，c2＝3，所以F(，0)，直线l的方程为y＝x－.将其代入x2＋4y2＝4，化简整理，得5x2－8x＋8＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
所以AB＝|x1－x2|
＝·
＝×＝.
10．直线l：y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1有两个不同的交点，
(1)求a的取值范围；
(2)设交点为A，B，是否存在直线l使以AB为直径的圆恰过原点，若存在，就求出直线l的方程；若不存在，则说明理由．
【解】 (1)由方程组可得(3－a2)x2－2ax－2＝0，
由方程有两实数根，
则
解得－＜a＜且a≠±，
故所求a的取值范围是(－，－)∪(－，)∪(，)．
(2)设交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(1)知，x1＋x2＝，x1x2＝，
由题意可得，
OA⊥OB(O是坐标原点),
则有x1x2＋y1y2＝0，
而y1y2＝(ax1＋1)(ax2＋1)＝a2x1x2＋a(x1＋x2)＋1，
∴
(a2＋1)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0，
于是可得(a2＋1)＋a·＋1＝0，
解得a＝±1，且满足(1)的条件，
所以存在直线l使以AB为直径的圆恰过原点，直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1.
[能力提升]
1．过点P(4,1)的直线l与椭圆＋＝1有且只有一个公共点，则直线l的方程为________．
【解析】 若直线l不存在斜率，则方程为x＝4；把x＝4带入轨迹方程可得y＝±1，即直线l和椭圆有两个公共点，不合题意．∴设直线l的斜率为k，则方程为y＝kx－4k＋1，带入轨迹方程并整理得(1＋2k2)x2＋4k(1－4k)x＋16(2k2－k－1)＝0.
∵直线l与椭圆只有一个公共点，
∴Δ＝16k2(1－4k)2－64(1＋2k2)(2k2－k－1)＝0，解得k＝－2，
∴直线l的方程为y＝－2x＋9.
【答案】 y＝－2x＋9
2．双曲线x2－4y2＝λ(λ≠0)截直线x－y－3＝0所得弦长为，则双曲线方程为________．
【解析】 联立方程消去y得3x2－24x＋(36＋λ)＝0，
设直线被双曲线截得的弦为AB，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么
所以AB＝＝＝＝，
解得λ＝4，所求双曲线方程是－y2＝1.
【答案】 －y2＝1
3．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．
【解析】 根据题意，设椭圆方程为＋＝1(b＞0)，则将x＝－y－4代入椭圆方程，
得4(b2＋1)y2＋8b2y－b4＋12b2＝0，∵椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，
∴Δ＝(8b2)2－4×4(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)·(b2－3)＝0，∴b2＝3，长轴长为2＝2.
【答案】 2
4．在平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
(1)求M的方程；
(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
【解】 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1，①
＋＝1，②
①－②得
＋＝0.
设P(x0，y0)，因为P为AB的中点，且OP的斜率为，所以y0＝x0，即y1＋y2＝(x1＋x2)，
又因为＝－1，所以a2＝2b2，即a2＝2(a2－c2)，即a2＝2c2，又因为直线x＋y－＝0过椭圆右焦点，∴c＝，
所以a2＝6，所以M的方程为＋＝1.
(2)因为CD⊥AB，直线AB的方程为x＋y－＝0，所以设直线CD的方程为y＝x＋m，将x＋y－＝0代入＋＝1，得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，
不妨令A(0，)，B，所以可得AB＝.
将y＝x＋m代入＋＝1，得3x2＋4mx＋2m2－6＝0，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，则x3＋x4＝－，x3x4＝，
则CD＝·＝.
又因为Δ＝16m2－12(2m2－6)＞0，即－3＜m＜3，所以当m＝0时，CD取得最大值4，所以四边形ACBD面积的最大值为AB·CD＝.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为________．
【解析】 ∵＝(2，－2，－1)，＝(－2，－3，－3)，∴cos〈，〉＝＝＝，
∴直线AB，CD所成角的余弦值为.
【答案】
2．在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是________.
【导学号：09390088】
【解析】 依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N.
∴＝，＝，
∴cos〈，〉＝＝，
故异面直线AM与CN所成角的余弦值为.
【答案】
3．已知点E，F分别在正方体ABCD A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．
【解析】 如图，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)．
所以A(1,0,0)，E，F，
所以＝，＝，
则即
取x＝1，则y＝－1，z＝3，故n2＝(1，－1,3)，
所以cos〈n1，n2〉＝＝，
所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cos
α＝，sin
α＝，所以tan
α＝.
【答案】
4．已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________．
【解析】 以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则＝(0,1,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，所以有
令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ，
则sin
θ＝|cos〈n，〉|＝＝.
【答案】
5．已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的余弦值是________．
【解析】 以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1,0,0)，E，F，D1(0,0,1)．
所以＝(－1,0,1)，＝.
设平面AEFD1的法向量为n＝(x，y，z)，则
取y＝1，则n＝(2,1,2)，而平面ABCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，
∴cos〈n，u〉＝.
【答案】
6．在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱长AA1和BB1的中点，则sin〈C，〉＝________.
【解析】 建立如图直角坐标系，设正方体的棱长为2.可知C＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)，cos〈C，〉＝－，
∴sin〈C，〉＝.
【答案】
7.
如图3 2 28，在四面体A BCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2，∠ABC＝∠DCB＝，则二面角A BC D的大小为________．
图3 2 28
【解析】 二面角A BC D的大小等于AB与CD所成角的大小.＝＋＋，而2＝2＋2＋2－2||·||·cos
〈，〉，即12＝1＋4＋9－2×2cos〈，〉，
∴cos〈，〉＝，∴AB与CD所成角为，即二面角A BC D的大小为.
【答案】
8．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为________．
【解析】 ∵·＝·(－)＝·－·
＝||·||cos
－||·||·cos
＝||(||－||)＝0.
∴cos〈，〉＝＝0.
【答案】 0
二、解答题
9．如图3 2 29，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝，连结CE并延长交AD于F.
图3 2 29
(1)求证：AD⊥平面CFG；
(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．
【解】 (1)证明：在△ABD中，因为E是BD中点，
所以EA＝EB＝ED＝AB＝1，
故∠BAD＝，∠ABE＝∠AEB＝，
因为△DAB≌△DCB，所以△EAB≌△ECB，
从而有∠FED＝∠BEC＝∠AEB＝，
所以∠FED＝∠FEA，
故EF⊥AD，AF＝FD.
因为PG＝GD，所以FG∥PA.
又PA⊥平面ABCD，
所以GF⊥AD，故AD⊥平面CFG.
(2)以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D(0，，0)，P，故＝，＝，＝.
设平面BCP的一个法向量n1＝(1，y1，z1)，
则
解得
即n1＝.
设平面DCP的一个法向量n2＝(1，y2，z2)，
则
解得
即n2＝.
从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为
cos
θ＝＝＝.
10．如图3 2 30，在几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA⊥AB，M是EC的中点，EA＝DA＝AB＝2CB.
图3 2 30
(1)求证：DM⊥EB；
(2)求异面直线AB与CE所成角的余弦值；
(3)求二面角M BD A的余弦值．
【解】 以直线AE，AB，AD为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A xyz，设CB＝a，
则A(0,0,0)，E(2a,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a，a)，D(0,0,2a)，
所以M，
(1)证明：＝，＝(－2a,2a,0)，
∴·＝a·(－2a)＋a·2a＋0＝0，
∴⊥，即DM⊥EB.
(2)＝(0,2a,0)，＝(2a，－2a，－a)，
设异面直线AB与CE所成的角为θ，
则cos
θ＝＝＝，
即异面直线AB与CE所成角的余弦值为.
(3)∵DA⊥平面EAB，AD 平面DAB，
∴平面DAB⊥平面EAB.
∵EA 平面EAB，平面EAB∩平面DAB＝AB，
EA⊥AB.
∴EA⊥平面DAB.
∴＝(2a,0,0)是平面DAB的一个法向量．
设平面MBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
＝，＝(0，－2a,2a)，
则即
令z＝a，则n＝，
设二面角M BD A的平面角为α，
则cos
α＝＝＝.
即二面角M BD A的余弦值为.
[能力提升]
1．如图3 2 31，在三棱锥V ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.当θ＝时，则异面直线AC与VD所成角的余弦值是________．
图3 2 31
【解析】 由于AC＝BC＝2，D是AB的中点，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)．
当θ＝时，在Rt△VCD中，CD＝，故V(0,0，)．
所以＝(－2,0,0)，＝(1,1，－)，
所以cos〈，〉＝＝＝－，
所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为.
【答案】
2．如图3 2 32，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为________.
【导学号：09390089】
图3 2 32
【解析】 不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2.
可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，
∴＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)，
∴cos〈，〉＝＝＝＝>0.
∴与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，
∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.
【答案】
3．在三棱锥O ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值是________．
【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，设OA＝OB＝OC＝1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，M，故＝(－1，1,0)，＝(－1,0,1)，＝.
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则由得
令x＝1，得n＝(1,1,1)．
故cos〈n，〉＝＝，
所以OM与平面ABC所成角的正弦值为，其正切值为.
【答案】
4．如图3 2 33，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，BC＝，PA＝AC＝1，求二面角A PB C的余弦值．
图3 2 33
【解】 建立如图所示的空间直角坐标系C xyz，取PB的中点D，连结DC，则DC⊥PB，作AE⊥PB于E.
则向量与的夹角的大小为二面角A PB C的大小．
∵A(1,0,0)，B(0，，0)，C(0,0,0)，P(1,0,1)，又D为PB的中点，
∴D.
在Rt△PAB中，＝＝，
∴E，
∴＝，
＝，
∴·＝.
又||＝，||＝1，
∴cos〈·〉＝＝＝，
即二面角A PB C的余弦值为.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．给出下列语句：
①空集是任何集合的真子集；
②三角函数是周期函数吗？
③一个数不是正数就是负数；
④老师写的粉笔字真漂亮！
⑤若x∈R，则x2＋4x＋5>0.
其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．
【答案】 ①③⑤ ⑤
2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．
【解析】 同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．
【答案】 若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3
3．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的________命题．
【解析】 不妨设p：若A则B；则q：若B则A；那么q的否命题r为：若非B则非A.故p是r的逆否命题．
【答案】 逆否
4．命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题的个数有________个．
【解析】 由x2－8x＋15＝0，得x＝3或5.所以原命题正确，而逆命题和否命题不正确，逆否命题是正确的，故真命题有1个．
【答案】 1
5．命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为________．
【答案】 若a≤b，则2a≤2b－1
6．命题“若实数a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆命题是________，是________命题．(填“真”或“假”)
【解析】 “若p则q”的逆命题是“若q则p”．
【答案】 若b2＝ac，则实数a，b，c成等比数列 假
7．(2016·聊城高二检测)原命题为“若＜an，n∈N
，则{an}为递减数列”，其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是________个.
【导学号：09390004】
【解析】 由【答案】 3
8．给出下列命题：
①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；
②命题“在△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三边形”的逆命题；
③命题“若a>b>0，则>>0”的逆否命题；
④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．
其中真命题的序号为________．
【解析】 ①否命题为“若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根”，是真命题；
②逆命题为“若△ABC为等边三角形，则AB＝BC＝CA”，是真命题；
③因为命题“若a>b>0，则>>0”是真命题，故其逆否命题为真命题；
④逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R，则m>1”，是假命题．
【答案】 ①②③
二、解答题
9．写出命题“若xy＝0，则x＝0”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．
【解】 (1)逆命题：若x＝0，则xy＝0，显然是真命题；
(2)否命题：若xy≠0，则x≠0，因为逆命题和否命题互为逆否命题，逆命题为真命题，所以否命题也是真命题；
(3)逆否命题：若x≠0，则xy≠0，为假命题，例如x＝2，y＝0，满足x≠0，但xy＝0，所以逆否命题为假命题．
10．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．
【解】 ∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.
∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.
∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．
又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．
[能力提升]
1．(2016·上海高三模拟)原命题“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”和它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数共有________个．
【解析】 若c＝0，则原命题不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；由ac2>bc2知c2>0，∴由不等式的基本性质得a>b，∴逆命题为真．由等价命题同真同假知否命题也为真，∴有2个真命题．
【答案】 2
2．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则－1＜x＜2”的逆否命题为真命题，则实数m的取值范围是________．
【解析】 因为命题“若m－1＜x＜m＋1，则－1＜x＜2”的逆否命题为真命题，所以原命题也是真命题，则解得0≤m≤1，则实数m的取值范围是[0,1]．
【答案】 [0,1]
3．下列四个命题：
①“如果x2－x－6≥0，则x＞2”的否命题；
②“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为真命题；
③命题“若x＝y，则sin
x＝sin
y”的逆否命题为假命题．
其中真命题的序号是________．
【解析】 对于①，命题的否命题为“如果x2＋x－6＜0，则x≤2”，由x2＋x－6＜0，得－3＜x＜2，能得到x≤2，是真命题；对于②，“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”为假命题，例如a＝2≥1，b＝－1，则a＋b＝1＜2，故②是假命题；对于③，命题“若x＝y，则sin
x＝sin
y”为真命题，所以它的逆否命题为真命题，故③错误．
【答案】 ①
4．已知命题p：函数f(x)＝x2＋mx＋1有两个不等的负零点；命题q：函数g(x)＝4x2＋4(m－2)x＋1无零点．若命题p和q只有一个为真命题，求实数m的取值范围．
【解】 ∵命题p：函数f(x)＝x2＋mx＋1有两个不等的负零点，
∴方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根，
∴解得m>2.
又∵命题q：函数g(x)＝4x2＋4(m－2)x＋1无零点，
∴方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0没有实数根，
∴Δ＝16(m－2)2－16<0，解得1若命题p为真，命题q为假，则m≥3.
若命题p为假，命题q为真，则1综上可知，实数m的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞).学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．(2016·聊城高二检测)椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|
PF1|＝3，则PF2＝___________________________________________.
【解析】 方程＋＝1中，a＝4，则PF1＋PF2＝8，
∴PF2＝2a－PF1＝8－3＝5.
【答案】 5
2．椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为________．
【解析】 ∵2c＝2，∴c＝1，∴m－4＝1或4－m＝1，
∴m＝3或5.
【答案】 3或5
3．(2016·无锡高二检测)设F1，F2是椭圆＋＝1(a>5)的两个焦点，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为________.
【导学号：09390023】
【解析】 易知|F1F2|＝8＝2c，即c＝4，∴a2＝25＋16＝41，∴a＝，因为弦AB过点F1，所以△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝4.
【答案】 4
4．若方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是________．
【解析】 ∵方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，将方程改写为＋＝1，∴有
解得0【答案】 (0,1)
5．设P是椭圆＋＝1上一点，点P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是________三角形(填“直角”“锐角”或“钝角”)
【解析】 不妨设PF1>PF2，由条件知PF1－PF2＝2，又PF1＋PF2＝2a＝8，解得PF1＝5，PF2＝3.
又∵F1F2＝2c＝2＝4，∴F1F＋PF＝PF，
故△PF1F2是直角三角形．
【答案】 直角
6．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为________．
【解析】 根据椭圆定义有
因此|PF1|＝4，|PF2|＝3.又因为|F1F2|＝5，因此△PF1F2为直角三角形，S△PF1F2＝×3×4＝6.
【答案】 6
7．过点(，－)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
【解析】 椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由椭圆的定义知，2a＝
＋，
解得a＝2.
由c2＝a2－b2，可得b2＝4，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
8．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是________．
【解析】 设椭圆的另一焦点为F2，由条件可知PF2∥OM，∴PF2⊥x轴．设P点纵坐标为y，则由＋＝1，得y＝±，
∴点M的纵坐标为±.
【答案】 ±
二、解答题
9．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥，若△PF1F2的面积为9，求b的值．
【解】 如图所示，PF1⊥PF2，F1F2＝2c，
根据椭圆的定义可知，PF1＋PF2＝2a，
在Rt△F1PF2中，PF＋PF＝4c2.
又S△PF1F2＝PF1·PF2＝9，即PF1·PF2＝18.
∴(PF1＋PF2)2＝PF＋PF＋2PF1·PF2＝4c2＋36＝4a2，
∴4a2－4c2＝36，即a2－c2＝9，即b2＝9，∴b＝3.
10．求符合下列条件的参数的值或取值范围．
(1)若方程x2＋ky2＝2表示焦点在x轴上的椭圆，求k的取值范围；
(2)若椭圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点为(0，)，求k的值．
【解】 (1)原方程可化为＋＝1.
∵其表示焦点在x轴上的椭圆，∴解得k>1.故k的取值范围是k>1.
(2)原方程可化为＋＝1.
由题意得
即
故k的值为－1或－.
[能力提升]
1．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4，0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则的值为________.
【导学号：09390024】
【解析】 由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x轴上，且半焦距c＝＝＝4,2a＝10.
∴A(－4,0)和C(4,0)是椭圆的左、右焦点．
∵点B在椭圆上，
∴|BA|＋|BC|＝2a＝10，
∴＝
＝＝＝(R为△ABC外接圆的半径)．
【答案】
2．已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5,3，过P且与x轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，则椭圆的方程为________．
【解析】 由题意知椭圆焦点在x轴上，设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由已知条件得解得a＝4，c＝2，b2＝12.
故所求方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
3．(2016·漳州模拟)“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆”的________条件．
【解析】 由方程mx2＋ny2＝1，得＋＝1，所以要使方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆，则即m>0，n>0且m≠n.所以，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件．
【答案】 必要不充分
4．已知椭圆的标准方程为＋＝1(m>0)，焦距为6，求实数m的值．
【解】 ①当椭圆焦点在x轴上时，
由2c＝6，得c＝3.
由椭圆的标准方程为＋＝1(m>0)，
得a2＝25，b2＝m2，
所以m2＝25－9＝16.
因为m>0，所以m＝4.
②当椭圆焦点在y轴上时，由2c＝6，得c＝3.
由椭圆的标准方程为＋＝1(m>0)，
得a2＝m2，b2＝25，
所以m2＝25＋9＝34.
因为m>0，所以m＝.
综上所述，实数m的值为4或.