1.2 导数的运算
1.2.1 常见函数的导数
1．能利用导数定义，求几个常见函数的导数，领悟求导数算法的基本思想．(难点)
2．牢记常见函数的导数公式，并能应用公式求基本初等函数的导数．(重点)
3．掌握函数y＝ax(a>0，a≠1)与y＝logax(a>0，a≠1)的求导公式．(易混点)
[基础·初探]
教材整理 常见函数的导数
阅读教材P18～P20“练习”以上部分，完成下列问题．
基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝C(C为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α为常数)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝ax
f′(x)＝axln_a(a>0，且a≠1)
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝(a>0，且a≠1)
f(x)＝ln
x
f′(x)＝
f(x)＝sin
x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos
x
f′(x)＝－sin_x
1．判断正误：
(1)指数函数的导数还是同底数的指数函数．( )
(2)′＝cos
＝.( )
(3)若f(x)＝x5，则f′(x)＝5x4.( )
(4)若f(x)＝4x，则f′(x)＝x·4x－1.( )
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．若f(x)＝，则f′(－1)＝________.
【解析】 由y＝＝x，知f′(x)＝x－，
∴f′(－1)＝×(－1)－＝.
【答案】
3．已知f(x)＝ln
x，则f′(e)的值为________.
【导学号：01580006】
【解析】 f′(x)＝，∴f′(e)＝.
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问2：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问3：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
[小组合作型]
利用导数公式求函数的导数
求下列函数的导数：
(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.
【精彩点拨】 首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．
【自主解答】 (1)y′＝(x12)′＝12x11.
(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.
(3)y′＝()′＝(x)′＝x－.
(4)y′＝(3x)′＝3xln
3.
(5)y′＝(log5x)′＝.
1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．
2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．
3．要特别注意“与ln
x”，“ax与logax”，“sin
x与cos
x”的导数区别．
[再练一题]
1．若f(x)＝x3，g(x)＝log3x,
则f′(x)－g′(x)＝__________.
【解析】 ∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝，
∴f′(x)－g′(x)＝3x2－.
【答案】 3x2－
利用公式求函数在某点处的导数
质点的运动方程是s＝sin
t，
(1)求质点在t＝时的速度；
(2)求质点运动的加速度．
【精彩点拨】 (1)先求s′(t)，再求s′.
(2)加速度是速度v(t)对t的导数，故先求v(t)，再求导．
【自主解答】 (1)v(t)＝s′(t)＝cos
t，∴v＝cos
＝.
即质点在t＝时的速度为.
(2)∵v(t)＝cos
t，
∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos
t)′＝－sin
t.
1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．
2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．
[再练一题]
2．(1)求函数f(x)＝在(1,1)处的导数；
(2)求函数f(x)＝cos
x在处的导数．
【解】 (1)∵f′(x)＝′＝(x－)′＝－x－＝－，
∴f′(1)＝－＝－.
(2)∵f′(x)＝－sin
x，
∴f′＝－sin
＝－.
[探究共研型]
导数公式的应用
探究1 f(x)＝x，f(x)＝x2，f(x)＝均可表示为y＝xα(α为常数)的形式，其导数有何规律？
【提示】 ∵(x)′＝1·x1－1，(x2)′＝2·x2－1，()′＝′＝x－1，
∴(xα)′＝α·xα－1.
探究2 点P是曲线y＝ex上的任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
【提示】 如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，
∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得，最小距离为.
(2016·长沙高二检测)求过曲线f(x)＝cos
x上一点P且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．
【精彩点拨】 求导数f′(x0)→计算f′→所求直线斜率k＝－→
利用点斜式写出直线方程
【自主解答】 因为f(x)＝cos
x，所以f′(x)＝－sin
x，则曲线f(x)＝cos
x在点P的切线斜率为
f′＝－sin
＝－，
所以所求直线的斜率为，
所求直线方程为y－＝，
即y＝x－π＋.
求曲线方程或切线方程时，应注意：
(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；
(2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；
(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．
[再练一题]
3．若将上例中点P的坐标改为(π，－1)，求相应的直线方程．
【解】 ∵f(x)＝cos
x，∴f′(x)＝－sin
x，
则曲线f(x)＝cos
x在点P(π，－1)处的切线斜率为f′(π)＝－sin
π＝0，
即直线的斜率不存在，
所以所求直线方程为x＝π.
[构建·体系]
1．已知函数f(x)＝，则f′(2)＝________.
【解析】 ∵f′(x)＝′＝(x－2)′＝－2x－3
∴f′(2)＝－.
【答案】 －
2．下列结论中不正确的是________．
①若y＝3，则y′＝0；
②′＝cos
；
③′＝；
④若y＝x，则y′＝1.
【解析】 ①正确；②sin
＝，而′＝0，不正确；对于③，′＝(－x－)′＝x－＝，正确；④正确．
【答案】 ②
3．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.
【导学号：01580007】
【解析】 ∵f′(x)＝3ax2＋1，
∴f′(1)＝3a＋1.
又f(1)＝a＋2，
∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．
∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.
【答案】 1
4．(2016·烟台高二检测)已知函数y＝kx是曲线y＝ln
x的一条切线，则k＝__________.
【解析】 设切点为(x0，y0)，∵y′＝，∴k＝，
∴y＝·x，又点(x0，y0)在曲线y＝ln
x上，∴y0＝ln
x0，
∴ln
x0＝，∴x0＝e，∴k＝.
【答案】
5．求曲线y＝2x2－1的斜率为4的切线的方程．
【解】 设切点为P(x0，y0)，y′＝4x，
由题意知，当x＝x0时，y′＝4x0＝4，所以x0＝1.
当x0＝1时，y0＝1，∴切点P的坐标为(1,1)．
故所求切线的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
我还有这些不足：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________2.1.3 推理案例赏析
1.进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的紧密联系.利用合情推理和演绎推理进行简单的推理.(重点、难点)
2.两种推理形式的具体格式.(易混点)
[小组合作型]
归纳推理的应用
观察如图2 1 16所示的“三角数阵”：
图2 1 16
记第n行的第2个数为an(n≥2，n∈N
)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：
(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；
(2)依次写出a2、a3、a4、a5；
(3)归纳出an＋1与an的关系式.
【精彩点拨】 (1)观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果.
(2)由数阵可直接写出答案.
(3)写出a3－a2，a4－a3，a5－a4，从而归纳出(3)的结论.
【自主解答】 (1)由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数.
【答案】 6,16,25,25,16,6
(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11
(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4，
∴由此归纳：an＋1＝an＋n.
归纳推理的一般步骤
归纳推理的思想过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论.该过程包括两个步骤：
(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).
[再练一题]
1.观察下列各式：
＋＝1，＋＋＋＝12，＋＋＋＋＋＝39，….
则当n
【解析】 当n＝0，m＝1时，对应第1个式子＋＝1，此时1＝12－0＝m2－n2；当n＝2，m＝4时，对应第2个式子＋＋＋＝12，此时12＝42－22＝m2－n2；当n＝5，m＝8时，对应第3个式子＋＋…＋＝39，此时39＝82－52＝m2－n2.
由归纳推理可知＋＋…＋＋＝m2－n2.
【答案】 m2－n2
类比推理的应用
通过计算可得下列等式：
23－13＝3×12＋3×1＋1；
33－23＝3×22＋3×2＋1；
43－33＝3×32＋3×3＋1；
…
(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1.
将以上各等式两边分别相加，得
(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，
即12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1).
类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n3的值.
【导学号：01580039】
【精彩点拨】 解答本题要抓住各等式两边数的指数相类比.
【自主解答】 ∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1，
34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1，
44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1，
… …
(n＋1)4－n4＝4n3＋6n2＋4n＋1.
将以上各式两边分别相加，得
(n＋1)4－14
＝4×(13＋23＋…＋n3)＋6×(12＋22＋…＋n2)＋4×(1＋2＋…＋n)＋n，
∴13＋23＋…＋n3
＝
＝n2(n＋1)2.
1.解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比，从而产生解题方法的迁移，这是数学学习中很高的境界，需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法.
2.类比推理的步骤与方法
(1)弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别.
(2)把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚.
[再练一题]
2.半径为r的圆的面积S(r)＝π·r2，周长C(r)＝2π·r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(π·r2)′＝2π·r①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子②：________；②式可用语言叙述为________.
【解析】 因为半径为R的球的体积V(R)＝πR3，
表面积S(R)＝4πR2，
类比(πr2)′＝2πr，得′＝4πR2.
因此②式应为：′＝4πR2.
且②式用语言叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数.
【答案】 ′＝4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数
[探究共研型]
合情推理与演绎推理的综合应用
探究1 我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义.
【提示】 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积.
探究2 若{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，试写出{an}的通项公式及前n项和公式.
【提示】 由于{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，所以a2＝3，a3＝2，a4＝3，a5＝2，a6＝3，…，即{an}的所有奇数项都等于2，所有偶数项都等于3，因此{an}的通项公式为an＝
其前n项和公式Sn＝
探究3 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市.
由此可判断乙去过的城市为A，B，C三个城市中的哪一个？
【提示】 由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.
如图2 1 17所示，三棱锥A BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影.
图2 1 17
(1)求证：O为△BCD的垂心；
(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明.
【精彩点拨】 (1)利用线面垂直与线线垂直的转化证明O为△BCD的重心.
(2)先利用类比推理猜想出一个结论，再用演绎推理给出证明.
【自主解答】 (1)证明：∵AB⊥AD，AC⊥AD，
∴AD⊥平面ABC，
∴AD⊥BC，
又∵AO⊥平面BCD，
∴AO⊥BC，
∵AD∩AO＝A，
∴BC⊥平面AOD，
∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO，
∴O为△BCD的垂心.
(2)猜想：S＋S＋S＝S.
证明：连接DO并延长交BC于E，
连接AE，BO，CO，
由(1)知AD⊥平面ABC，
AE 平面ABC，
∴AD⊥AE，又AO⊥ED，
∴AE2＝EO·ED，
2＝·，
即S＝S△BOC·S△BCD.
同理可证：S＝S△COD·S△BCD，S＝S△BOD·S△BCD.
∴S＋S＋S△ABD＝S△BCD·(S△BOC＋S△COD＋S△BOD)＝S△BCD·S△BCD＝S.
合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).
[再练一题]
3.已知命题：“若数列{an}是等比数列，且an>0，则数列bn＝(n∈N
)也是等比数列”.类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论.
【解】 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：
若数列{an}是等差数列，则数列bn＝也是等差数列.
证明如下：
设等差数列{an}的公差为d，则bn＝＝＝a1＋(n－1)，
所以数列{bn}是以a1为首项，为公差的等差数列.
1.设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k＋1)＝f(k)＋________.
【导学号：01580040】
【解析】 k棱柱增加一条侧棱时，则这条侧棱和与之不相邻的k－2条侧棱可构成k－2个对角面，而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面.
所以f(k＋1)＝f(k)＋k－2＋1＝f(k)＋k－1.
【答案】 k－1
2.如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条.这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)＝________；f(n)＝________.(答案用数字或含n的式子表示)
【解析】 所有顶点确定的直线共有：棱数＋底边数＋对角线数，
即n＋n＋＝.f(4)＝4×2＋×2＝12，
f(n)＝n(n－2)＋×(n－2)＝.
【答案】 12
3.下面几种推理是合情推理的是________.(填序号)
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.
【解析】 ①是类比推理；②是归纳推理；④是归纳推理.所以①、②、④是合情推理.
【答案】 ①②④
图2 1 18
4.(2016·深圳二模)如图2 1 18所示，我们知道，圆环也可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S＝π(R2－r2)＝(R－r)×2π×，所以，圆环的面积等于以AB＝R－r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成圆的周长2π×为长的矩形面积.
请你将上述想法拓展到空间，并解决以下问题：
若将平面区域M＝{(x，y)|(x－d)2＋y2≤r2}(其中0【解析】 已知图中圆环的面积等于以AB＝R－r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成圆的周长2π×为长的矩形面积，由此拓展到空间，可知：将平面区域M＝{(x，y)|(x－d)2＋y2≤r2}(其中0【答案】 2π2r2d
5.在△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想.
【导学号：01580041】
【解】 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P ABC中，三个侧面PAB，PBC，PCA两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1”.
证明：设P在平面ABC的射影为O，延长CO交AB于M，记PO＝h，
由PC⊥PA，PC⊥PB，得PC⊥面PAB，
从而PC⊥PM，又∠PMC＝α，
cos
α＝sin∠PCO＝，cos
β＝，cos
γ＝.
∵VP ABC＝PA·PB·PC
＝·h，
∴h＝1，即cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
我还有这些不足：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________1.3.2 极大值与极小值
1．会求函数的极大值与极小值．(重点)
2．掌握函数极大(小)值与导数的关系．(难点)
3．理解函数在某点取得极值的充分条件和必要条件．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 函数极大(小)值的概念
阅读教材P30上半部分，完成下列问题．
函数极大(小)值的概念
设函数f(x)在x1附近有定义，且f(x1)比它附近点的函数值都要大，我们称f(x1)为函数f(x)的一个极大值；
设函数f(x)在x2附近有定义，且f(x2)比它附近点的函数值都要小，我们称f(x2)为函数f(x)的一个极小值．
函数的极大值、极小值统称为函数的极值．
判断正误：
(1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2个极值．( )
(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．( )
(3)函数f(x)＝有极值．( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)×
教材整理2 函数的极值与导数的关系
阅读教材P30下半部分，完成下列问题．
(1)极大值与导数之间的关系
x
x1左侧
x1
x1右侧
f′(x)
f′(x)>0
f′(x)＝0
f′(x)<0
f(x)
增?
极大值f(x1)
?减
(2)极小值与导数之间的关系
x
x2左侧
x2
x2右侧
f′(x)
f′(x)<0
f′(x)＝0
f′(x)>0
f(x)
?减
极小值f(x2)
增?
函数f(x)的定义域为开区间
(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图1 3 2所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点________个．
图1 3 2
【解析】 由图象可知：导函数f(x)＝0有4个，但只有b附近的根满足根的左边为负值，右边为正值，故函数f(x)只有一个极值点．
【答案】 1
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问2：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问3：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
[小组合作型]
求函数的极值
求下列函数的极值．
(1)f(x)＝x2－2x－1；
(2)f(x)＝－x3＋－6；
(3)f(x)＝|x|.
【自主解答】 (1)f′(x)＝2x－2，令f′(x)＝0，解得x＝1.
因为当x<1时，f′(x)<0，
当x>1时，f′(x)>0，
所以函数在x＝1处有极小值，
且y极小值＝－2.
(2)f′(x)＝x3－2x2＋x＝x(x2－2x＋1)＝x(x－1)2.
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝1.
所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
＋
f(x)
单调递减?
极小值
单调递增?
无极值
单调递增?
所以当x＝0时，函数取得极小值，且y极小值＝－6.
(3)f(x)＝|x|＝
显然函数f(x)＝|x|在x＝0处不可导，
当x>0时，f′(x)＝x′＝1>0，
函数f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增；
当x<0时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0，
函数f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减．
故当x＝0时，函数取得极小值，
且y极小值＝0.
1．讨论函数的性质要注意定义域优先的原则．
2．极值点与导数的关系
(1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点．
点x0是可导函数f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件：
①f′(x0)＝0；
②点x0两侧f′(x)的符号不同．
(2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x＝0点)，也可能不是极值点(如y＝，在x＝0处不可导，在x＝0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f′(x)＝0的根，也可能是不可导点．
[再练一题]
1．已知函数f(x)＝x2－2ln
x，则f(x)的极小值是__________.
【导学号：01580013】
【解析】 ∵f′(x)＝2x－，
且函数定义域为(0，＋∞)，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
∴当x＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1.
【答案】 1
利用函数的极值求参数
已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－时都取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若f(－1)＝，求f(x)的单调区间和极值．
【精彩点拨】 (1)求导函数f′(x)，则由x＝1和x＝－是f′(x)＝0的两根及根与系数的关系求出a，b.
(2)由f(－1)＝求出c，再列表求解．
【自主解答】 (1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
令f′(x)＝0，由题设知x＝1与x＝－为f′(x)＝0的解．
∴∴a＝－，b＝－2.
(2)由(1)知f(x)＝x3－x2－2x＋c，
由f(－1)＝－1－＋2＋c＝，得c＝1.
∴f(x)＝x3－x2－2x＋1.
∴f′(x)＝3x2－x－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增?
单调递减?
－
单调递增?
∴f(x)的递增区间为和(1，＋∞)，递减区间为.
当x＝－时，f(x)有极大值为f＝；
当x＝1时，f(x)有极小值为f(1)＝－.
已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
[再练一题]
2．已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围．
【解】 f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.
因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，
所以导数f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，
如图所示．
所以
解得m>3.故实数m的取值范围是(3，＋∞)．
[探究共研型]
函数极值的综合应用
探究1 导数为0的点都是极值点吗？
【提示】 不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．
探究2 函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图1 3 3所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？
图1 3 3
【提示】 一个．x1，x2，x3是极值点，其中x2是极小值点．x1，x3是极大值点．
探究3 函数y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？
【提示】 不一定，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数，就没有极值点．
已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．
【精彩点拨】 求出函数的极值，要使f(x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围．
【自主解答】 令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，
解得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f′(x)>0；
当－1当x>1时，f′(x)>0.
所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a；
当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a.
因为方程f(x)＝0有三个不同实根，
所以y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，图略．
由已知应有
解得－2方程f(x)＝0的根就是函数y＝f(x)的零点，是函数图象与x轴交点的横坐标，研究方程的根的问题可以转化为函数图象与x轴交点的问题．我们可以根据函数图象在坐标轴中的位置不同，结合极值的大小确定参数的范围．
[再练一题]
3．上例中，若方程f(x)＝0恰有两个根，则实数a的值如何求解？
【解】 由例题，知函数的极大值f(－1)＝2＋a，极小值f(1)＝－2＋a，
若f(x)＝0恰有两个根，则有2＋a＝0，或－2＋a＝0，
所以a＝－2或a＝2.
[构建·体系]
1．若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则a＝________，b＝________.
【解析】 f′(x)＝3x2＋2ax＋b两零点为－2,4，
∴
∴
【答案】 －3 －24
2．(2016·苏州检测)若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________.
【解析】 由f′(x)＝＝0，
∴x2＋2x－a＝0，x≠－1，
又f(x)在x＝1处取极值，
∴x＝1是x2＋2x－a＝0的根，∴a＝3.
【答案】 3
3．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围为________．
【答案】 (－∞，－1)
4．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
【解析】 f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
∵函数f(x)既有极大值又有极小值，
∴方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，
即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.
【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
5．求函数y＝x4－4x3＋5的极值．
【解】 y′＝4x3－12x2＝4x2(x－3)．
令y′＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,3)
3
(3，＋∞)
y′
－
0
－
0
＋
y
单调递减?
5
单调递减?
－22
单调递增?
故当x＝3时函数取得极小值，且y极小值＝f(3)＝－22.
我还有这些不足：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________3.3 复数的几何意义
1.了解复数的几何意义，并能简单应用.(重点)
2.理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别和联系.(易错点)
3.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 复数的几何意义
阅读教材P120，完成下列问题.
1.复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.
2.复数的几何意义
复数z＝a＋bi(a，b∈R)―→复平面内的点Z(a，b)―→向量.
复数z＝－1在复平面内，z所对应的点在第________象限.
【解析】 z＝－1＝i－1，
∴复数z对应的点为(－1,1)在第二象限.
【答案】 二
教材整理2 复数的模
阅读教材P121“例1”以上部分，完成下列问题.
1.定义
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|.
2.公式
|z|＝.
3.几何意义
复数z对应点Z到原点O的距离.
判断正误：
(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.( )
(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.( )
(3)复数的模一定是正实数.( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)×
教材整理3 复数加减法的几何意义
阅读教材P122图3 3 5以下部分，完成下列问题.
1.如图3 3 1所示，设向量，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，且和不共线.以，为两条邻边画 OZ1ZZ2.则向量与复数z1＋z2相对应；向量与复数z1－z2相对应.
图3 3 1
2.|z1－z2|＝，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.
复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是________.
【导学号：01580068】
【解析】 因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝(4,3)，＝(－2，－5)，又＝－＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量表示的复数是－6－8i.
【答案】 －6－8i
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问2：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问3：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
[小组合作型]
复数的几何意义
(1)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的第________象限.
(2)设复数z＝(m∈R)在复平面内对应的点为Z.
①若点Z在虚轴上，求m的值；
②若点Z位于第一象限，求m的取值范围.
【自主解答】 (1)实部为－2，虚部为1的复数在复平面内对应的点为(－2,1)，位于第二象限.
【答案】 二
(2)z＝＝＝＋i.
①∵点Z在虚轴上，∴＝0，则m＝－2.
②点Z位于第一象限，则m＋2>0且1－2m>0，
解之得－2故实数m的取值范围是.
复数可由复平面内的点或向量进行表示
1.复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题.
2.复数与复平面内向量的对应：复数实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题.
[再练一题]
1.实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z：
(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x－y－3＝0上.
【解】 因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数.
(1)当实数x满足即－3＜x＜2时，点Z位于第三象限.
(2)当实数x满足
即2＜x＜5时，点Z位于第四象限，
(3)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即3x＋6＝0，x＝－2时，点Z位于直线x－y－3＝0上.
复数加减法的几何意义
(1)向量对应的复数为1＋4i，向量对应的复数为－3＋6i，则向量＋对应的复数为________.
(2)若，对应的复数分别是7＋i,3－2i，则||＝________.
【精彩点拨】 利用复数加减法的几何意义求解.
【解析】 (1)(1＋4i)＋(－3＋6i)＝－2＋10i.即向量＋对应的复数为－2＋10i.
(2)对应复数为(3－2i)－(7＋i)＝－4－3i，
∴||＝|－4－3i|＝＝5.
【答案】 (1)－2＋10i (2)5
1.根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算，同样满足三角形和平行四边形法则.
2.复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.
[再练一题]
2.在复平面内，A、B、C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB、AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长.
【解】 由复数加减法几何意义：
对应复数z3－z1，
对应复数z2－z1，
对应复数z4－z1，
根据向量的平行四边形法则，得＝＋.
∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，
∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i，
∴AD的长为||＝|z4－z1|
＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2
.
[探究共研型]
复数的模及其几何意义
探究1 复平面内的虚轴的单位长度是1，还是i
【提示】 复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.
探究2 在复平面内，若复数|z|＝2，则复数z对应的点的轨迹是什么？
【提示】 复数z对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆.
已知复数z1＝－i，z2＝－＋i.
(1)求|z1|及|z2|的值并比较大小.
(2)设z∈C，满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形？
【精彩点拨】 (1)计算复数的模，首先确定复数的实部和虚部，然后代入模的计算公式；(2)根据复数及其模的几何意义，转化为判定复数对应点的坐标满足的条件.
【自主解答】 (1)由复数模的定义：
|z1|＝|－i|＝2，|z2|＝＝1.
∴|z1|>|z2|.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则1≤|z|≤2.
∴1≤x2＋y2≤4.
因为x2＋y2≥1表示圆x2＋y2＝1及其外部所有点组成的集合，x2＋y2≤4表示圆x2＋y2＝4及其内部所有点组成的集合.
∴满足条件的点Z(x，y)的集合是以O为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环，如图所示.
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模即向量的模，复数的模可以比较大小.
2.复数的模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可类比以原点为起点的向量的模来加深理解.
[再练一题]
3.(1)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝________.
(2)若z＝x＋yi，且|z|＝1，则复数Z在复平面内对应的点P的轨迹方程为________.
【导学号：01580069】
【解析】 (1)由z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)知，
z＝＝＝1＋i，则|z|＝.
(2)由复数模的几何意知|z|＝1表示点P到原点的距离为1，即＝1.所以点P的轨迹方程为x2＋y2＝1.
【答案】 (1) (2)x2＋y2＝1
[构建·体系]
1.复平面内表示复数i(1－2i)的点位于第________象限.
【解析】 i(1－2i)＝2＋i对应的点为(2,1)，位于第一象限.
【答案】 一
2.复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________.
【解析】 ∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，
∴解得x＞3.
【答案】 (3，＋∞)
3.已知复数z＝x－2＋yi(x，y∈R)的模是2，则点(x，y)的轨迹方程是____.
【解析】 ∵|z|＝2，
∴＝2，
∴(x－2)2＋y2＝8.
【答案】 (x－2)2＋y2＝8
4.已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________.
【解析】 ∵|z－2|
＝＝，
∴(x－2)2＋y2＝3.
由图可知最大值＝＝.
【答案】
5.已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
【解】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则|z|＝，
代入方程得，a＋bi＋＝2＋8i，
∴解得
∴z＝－15＋8i.
我还有这些不足：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 直接证明
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法的证明思路与步骤.(重点)
2.会用综合法、分析法证明一些数学问题.(重点、难点)
3.综合法、分析法的格式区别.(易混点)
[基础·初探]
教材整理 直接证明
阅读教材P82～P84“练习”以上部分，完成下列问题.
直接证明
直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明.
1.综合法
(1)定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法.
(2)推证过程：已知条件 … … 结论.
2.分析法
(1)定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.
(2)推证过程：结论 … … 已知条件.
1.判断正误：
(1)综合法是直接证明，分析法的过程是演绎推理.( )
(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.( )
(3)证明不等式“＋<＋”最合适的方法是分析法.( )
(4)在解决问题时，可用分析法寻找解题思路，再用综合法展现解题过程.( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2.命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos
2θ”的证明过程“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝－＝cos
2θ”应用了________(填“综合法”或“分析法”).
【解析】 从证明的过程可知，本题是从已知条件出发证得结果，故为综合法.
【答案】 综合法
3.在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足的条件为________.
【导学号：01580044】
【解析】 要证∠A为钝角，只需证cos
A＝<0即可，也就是b2＋c2【答案】 b2＋c2[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问2：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问3：_______________________________________________
解惑：____________________________________________
[小组合作型]
综合法的应用
(1)在△ABC中，
已知cos
Acos
B>sin
Asin
B，则△ABC的形状一定是__________.
(2)已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成一个首项为的等比数列，则|m－n|＝__________.
(3)下面的四个不等式：①a2＋b2＋3≥ab＋(a＋b)；②a(1－a)≤；③＋≥2；④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.其中恒成立的有__________.
【自主解答】 (1)∵cos
Acos
B>sin
Asin
B，
∴cos
Acos
B－sin
Asin
B>0，
∴cos(A＋B)>0，即cos(π－C)>0，∴cos
C<0，
又0(2)设方程的四个根分别为x1，x2，x3，x4，则由题意可知，
x1＝，x1x4＝x2x3＝2，∴x4＝4.
设公比为q，则x4＝x1q3，
∴4＝·q3，∴q＝2，∴x2＝1，x3＝2，
由根与系数的关系可得，m＝x1＋x4＝，n＝x2＋x3＝3，∴|m－n|＝.
(3)①a2＋b2＋3＝＋＋＋＋＋≥2＋2＋2＝ab＋(a＋b)(当且仅当a2＝b2＝3时，等号成立).
②a(1－a)＝－a2＋a＝－2＋≤.
③当a与b异号时，不成立.
④∵a2d2＋b2c2≥2abcd，∴(ac＋bd)2＝a2c2＋b2d2＋2abcd≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝(a2＋b2)(c2＋d2)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立.
【答案】 (1)钝角三角形 (2) (3)①②④
1.综合法处理问题的三个步骤
2.用综合法证明不等式时常用的结论
(1)ab≤2≤(a，b∈R)；
(2)a＋b≥2(a≥0，b≥0).
[再练一题]
1.综合法是( )
A.执果索因的逆推证法
B.由因导果的顺推证法
C.因果分别互推的两头凑法
D.原命题的证明方法
【答案】 B
分析法的应用
设a，b为实数，求证：≥(a＋b).
【精彩点拨】 待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键.
【自主解答】 当a＋b≤0时，∵≥0，
∴≥(a＋b)成立.
当a＋b>0时，用分析法证明如下：
要证≥(a＋b)，
只需证()2≥2，
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，
即证a2＋b2≥2ab.
∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
∴≥(a＋b)成立.
综上所述，不等式成立.
1.当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误.
2.逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解.
[再练一题]
2.已知a>0，－>1，求证：>.
【导学号：01580045】
【证明】 由已知－>1及a>0可知0，
只需证·>1，
只需证1＋a－b－ab>1，
只需证a－b－ab>0，即>1，
即－>1，这是已知条件，所以原不等式得证.
[探究共研型]
综合法与分析法的综合应用
探究1 综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
【提示】 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”.
探究2 综合法与分析法有什么区别？
【提示】 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因.
已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，
求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
【精彩点拨】 先求出角B，然后利用余弦定理转化为边之间的关系解决.
【自主解答】 法一：(分析法)
要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，
即证＋＝，
只需证＋＝3，
化简，得＋＝1，
即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，
所以只需证c2＋a2＝b2＋ac.
因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，
所以B＝60°，
所以cos
B＝＝，
即a2＋c2－b2＝ac成立.
∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立.
法二：(综合法)
因为△ABC的三内角A，B，C成等差数列，
所以B＝60°.
由余弦定理，
有b2＝c2＋a2－2accos
60°.
所以c2＋a2＝ac＋b2，
两边加ab＋bc，得
c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
两边同时除以(a＋b)(b＋c)，得
＋＝1，
所以＋＝3，
即＋＝，
所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.
[再练一题]
3.设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋≤＋＋xy.
【证明】 因为x≥1，y≥1，所以要证明x＋y＋≤＋＋xy，
只需证明xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
将上式中的右式减左式，得
[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]
＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]
＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)
＝(xy－1)(x－1)(y－1).
因为x≥1，y≥1，
所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，
从而可得不等式x＋y＋≤＋＋xy成立.
1.已知x>0，y>0，且＋＝1，则xy的最大值为______________.
【解析】 ∵1＝＋≥2＝.
∴xy≤3，当且仅当x＝，y＝2时等号成立.
【答案】 3
2.如果a>b，则实数a，b应满足的条件是__________.
【解析】 要使a>b，
只需使a>0，b>0，(a)2>(b)2，
即a>b>0.
【答案】 a>b>0
3.将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证__________，即证__________.由于__________显然成立，因此原不等式成立.
【解析】 用分析法证明≥ab的步骤为：要证≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立.
【答案】 a2＋b2－2ab≥0 (a－b)2≥0 (a－b)2≥0
4.设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________.
【导学号：01580046】
【解析】 因为a＋b＋c＝1，且a＞0，b＞0，c＞0，
所以＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋
≥3＋2＋2＋2
＝3＋6＝9.
当且仅当a＝b＝c时等号成立.
【答案】 9
5.已知a>0，b>0，试用分析法证明不等式＋≥＋.
【证明】 要证原不等式成立只需证：
a＋b≥(＋)，
即只需证()3＋()3≥(＋)，
只需证(＋)(a－＋b)≥(＋)，
只需证a－＋b≥，
即(－)2≥0，
而上式显然成立，故原不等式得证.
我还有这些不足：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________1.5 定积分
1.5.1 曲边梯形的面积
1.5.2 定积分
1．了解定积分的概念及“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法，求定积分．
2．理解定积分的几何意义，会求曲边梯形的面积．
[基础·初探]
教材整理1 曲边梯形的面积
阅读教材P41～P45“例2”以上部分，完成下列问题．
1．曲边梯形的面积
将已知区间[a，b]等分成n个小区间，当分点非常多(n很大)时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化(或变化非常小)，从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长．于是，可用f(xi)Δx来近似表示小曲边梯形的面积，这样，和式f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xn)Δx表示了曲边梯形面积的近似值．
图1 5 1
2．求曲边梯形的面积的步骤
求曲边梯形面积的过程可以用流程图表示为：
分割→以直代曲→作和→逼近
由直线x＝1，y＝0，x＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是________．
【解析】 将区间[0,1]四等分，得到4个小区间：，，，，
以每个小区间右端点的函数值为高，4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值
S＝3×＋3×＋3×＋13×＝.
【答案】
教材整理2 定积分
阅读教材P47“例1”以上部分，完成下列问题．
一般地，设函数f(x)在区间[a，b]上有定义，将区间[a，b]等分成n个小区间，每个小区间长度为Δx，在每个小区间上取一点，依次为x1，x2，…，xi，…，xn.作和Sn＝f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xi)Δx＋…＋f(xn)Δx.
如果当Δx→0(亦即n→＋∞)时，Sn→S(常数)，那么称常数S为函数f(x)在区间[a，b]上的定积分．记为S＝_f(x)dx.
其中，f(x)称为被积函数，[a，b]称为积分区间，a称为积分下限，b称为积分上限．
(x＋1)dx的值与直线x＝1，x＝2，y＝0，f(x)＝x＋1围成的梯形的面积有什么关系？
【解析】 由定积分的概念知：二者相等．
教材整理3 定积分的几何意义
阅读教材P48“例2”以上部分，完成下列问题．
一般地，定积分的几何意义是在区间[a，b]上曲线与x轴所围图形面积的代数和(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积．)
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f(x)dx＝f(t)dt.( )
(2)f(x)dx的值一定是一个正数．( )
(3)(x2＋2x)dx＝x2dx＋2xdx.( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问2：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问3：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
[小组合作型]
利用定积分的定义求曲边梯形的面积
求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积．
【精彩点拨】 按分割、以值代曲、作和、逼近四个步骤进行求解．
【自主解答】 (1)分割
将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，用分点，，…，把区间[0,1]等分成n个小区间：
，，…，，…，，
简写作(i＝1,2，…，n)．
每个小区间的长度为Δx＝－＝.过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.
(2)以直代曲
用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，为了计算方便，取ξi为小区间的左端点，用f(ξi)的相反数－f(ξi)＝－为其一边长，以小区间长度Δx＝为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为
ΔSi≈－f(ξi)Δx＝－·(i＝1,2，…，n)．
(3)作和
因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值，即
S＝Si≈－(ξi)Δx
＝·
＝－[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝－·n(n－1)(2n－1)＋·＝－＝－.
(4)逼近
当分割无限变细，即Δx→0时，n→∞，
此时－→.从而有
S＝.
所以由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积为.
由极限法求曲边梯形的面积的步骤
(1)分割．在区间[a，b]中等间隔地插入n－1个分点，将其等分成n个小区间[xi－1，xi](i＝1,2，…，n)，小区间的长度Δxi＝xi－xi－1.
(2)以直代曲．“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出小曲边梯形面积的近似值．
(3)作和．将n个小矩形的面积进行求和得Sn.
(4)逼近．当n→∞时，Sn→S，S即为所求．
[再练一题]
1．求由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝围成的图形的面积S.
【导学号：01580023】
【解】 (1)分割
在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间：，，…，，
记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝－＝.
分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如图)，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小曲边梯形面积的和为S＝Si，
(2)以值代曲
记f(x)＝.当n很大，即Δx很小时，在区间上，可以认为f(x)＝的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于
f.
从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间上，用小矩形面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔSi
≈ΔSi′＝fΔx＝
·＝
(i＝1,2，…，n)．
(3)作和
小曲边梯形的面积和Sn＝Si≈Si′＝＝＋＋…＋
＝n
＝n＝.
从而得到S的近似值S≈Sn＝.
(4)逼近
当分割无限变细，即Δx→0时，Sn→
所以由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝围成的图形的面积S为.
利用定积分的几何意义求定积分
利用定积分的几何意义求下列定积分．
(1)
dx；(2)(2x＋1)dx；
(3)
(x3＋3x)dx.
【精彩点拨】 对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的奇偶性求解．
【自主解答】 (1)曲线y＝表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图(1)所示．
其面积为S＝·π·32＝π.
由定积分的几何意义知dx＝π.
(2)曲线f(x)＝2x＋1为一条直线.(2x＋1)dx表示直线f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3围成的直角梯形OABC的面积，如图(2)．
其面积为S＝(1＋7)×3＝12.
根据定积分的几何意义知(2x＋1)dx＝12.
(3)∵y＝x3＋3x在区间[－1,1]上为奇函数，图象关于原点对称，
∴曲边梯形在x轴上方部分面积与x轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知(x3＋3x)dx＝0.
1．定积分几何意义的应用
(1)利用定积分的几何意义求f(x)dx的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及y＝0所围成的平面图形的形状．常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．
(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确．
2．奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分
(1)若奇函数y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续，则f(x)dx＝0.
(2)若偶函数y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续，则f(x)dx＝2f(x)dx.
[再练一题]
2．上例(1)中变为dx，如何求解？
【解】 由y＝，知x2＋y2＝9(y≥0)，x∈，
其图象如图所示：
由定积分的几何意义，知dx等于圆心角为60°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和．
S弓形＝××32－×3×＝，
S矩形＝|AB|×|BC|＝2××＝，
∴dx＝＋＝.
[探究共研型]
定积分性质的应用
探究1 怎样求分段函数的定积分？
【提示】 可先把每一段函数的定积分求出后再相加．
探究2 怎样求奇(偶)函数在区间[a，b]上的定积分？
【提示】 ①若奇函数y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续，
则－af(x)dx＝0；
②若偶函数y＝g(x)的图象在[－a，a]上连续，
则g(x)dx＝2g(x)dx.
利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积．
(1)y＝0，y＝，x＝2；
(2)y＝x－2，x＝y2.
【精彩点拨】 由定积分的几何意义，作出图形，分割区间表示．
【自主解答】 (1)曲线所围成的平面区域如图(1)所示．
设此面积为S，则S＝(－0)dx＝dx.
(1) (2)
(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示．
设面积为S，则S＝A1＋A2.
因为A1由y＝，y＝－，x＝1围成，
A2由y＝，y＝x－2，x＝1和x＝4围成，
所以A1＝[－(－)]dx＝2dx，
A2＝[－(x－2)]dx＝(－x＋2)dx.
故S＝2
dx＋(－x＋2)dx.
利用定积分的性质求定积分的技巧
灵活应用定积分的性质解题，可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数，把积分区间分割成可以求积分的几段，进而把未知的问题转化为已知的问题，在运算方面更加简洁．应用时注意性质的推广：
(1)[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx
＝f1(x)dx±f2(x)dx±…±fn(x)dx；
(2)f(x)dx＝∫c1af(x)dx＋f(x)dx＋…＋f(x)dx(其中a)．
[再练一题]
3．已知xdx＝，x2dx＝，求下列定积分的值．
(1)(2x＋x2)dx；(2)(2x2－x＋1)dx.
【解】 (1)(2x＋x2)dx
＝2xdx＋x2dx
＝2×＋＝e2＋.
(2)(2x2－x＋1)dx＝
2x2dx－xdx＋1dx，
因为已知xdx＝，x2dx＝，
又由定积分的几何意义知，1dx等于直线x＝0，x＝e，y＝0，y＝1所围成的图形的面积，
所以1dx＝1×e＝e，
故(2x2－x＋1)dx＝2×－＋e＝e3－e2＋e.
[构建·体系]
1．在计算由曲线y＝－x2以及直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1,1]n等分，则每个小区间的长度为__________.
【导学号：01580024】
【解析】 每个小区间长度为＝.
【答案】
2．在求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边三角形的面积时，把区间[0,2]等分成n个小区间，则第i个小区间是________．
【解析】 将区间[0,2]等分为n个小区间后，每个小区间的长度为，第i个小区间为.
【答案】
3．由y＝sin
x，x＝0，x＝，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________．
【解析】 ∵0＜x＜，∴sin
x＞0.
∴y＝sin
x，x＝0，x＝，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为sin
xdx.
【答案】 sin
xdx
4．若[f(x)＋g(x)]dx＝3，[f(x)－g(x)]dx＝1，则[2g(x)]dx＝________.
【解析】 [2g(x)]dx
＝[(f(x)＋g(x))－(f(x)－g(x))]dx
＝[f(x)＋g(x)]dx－[f(x)－g(x)]dx
＝3－1＝2.
【答案】 2
5．用定积分的几何意义求
dx.
【解】 由y＝可知x2＋y2＝4(y≥0)，其图象如图．
dx等于圆心角为60°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和．
S弓形＝××22－×2×2sin＝－.
S矩形＝|AB|·|BC|＝2.
∴dx＝2＋－＝＋.
我还有这些不足：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________章末分层突破
[自我校对]
①－1
②a＝c，b＝d
③＝a－bi
④Z(a，b)
⑤O
⑥(a＋c)＋(b＋d)I
⑦(a－c)＋(b－d)i
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
复数的概念
正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提.
两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.
求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义.
复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，
(1)z∈R；(2)z为虚数.
【精彩点拨】 根据复数的分类列方程求解.
【规范解答】 (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，
所以
由②得x＝4，经验证满足①③式.
所以当x＝4时，z∈R.
(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，
所以
由①得x>或x<.
由②得x≠4，由③得x>3.
所以当x>且x≠4时，z为虚数.
[再练一题]
1.(1)复数z＝|(－i)i|＋i5(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为________.
(2)设z＝＋i，则|z|＝________.
【导学号：01580071】
【解析】 (1)∵(－i)i＝i＋1，∴|(－i)i|＝|i＋1|＝2
∴z＝2＋i5＝2＋i，∴复数z的共轭复数为2－i.
(2)z＝＋i＝＋i＝＋i，则|z|＝＝.
【答案】 (1)2－i (2)
复数的四则运算
复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i看作一个字母(i2＝－1)，除法运算注意应用共轭的性质z·为实数.
(1)若i(x＋yi)＝3＋4i，(x，y∈R)，则复数x＋yi的模是________.
(2)已知(1＋2i)＝4＋3i，则的值为________.
【精彩点拨】 (1)先利用复数相等求x，y，再求模；
(2)先求，进而求z，再计算.
【规范解答】 (1)法一：因为i(x＋yi)＝3＋4i，所以x＋yi＝＝＝4－3i，故|x＋yi|＝|4－3i|＝＝5.
法二：因为i(x＋yi)＝3＋4i，所以－y＋xi＝3＋4i，所以x＝4，y＝－3，故|x＋yi|＝|4－3i|＝＝5.
法三：因为i(x＋yi)＝3＋4i，所以(－i)i(x＋yi)＝(－i)·(3＋4i)＝4－3i，即x＋yi＝4－3i，故|x＋yi|＝|4－3i|＝＝5.
(2)因为(1＋2i)＝4＋3i，所以＝＝＝2－i，所以z＝2＋i，所以＝＝＝＋i.
【答案】 (1)5 (2)＋i
[再练一题]
2.(1)(2014·四川高考)复数＝________.
(2)(2015·山东实验中学三模)2
014＝________.
【解析】 (1)＝＝(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i.
(2)2
014＝i2
014＝i2＝－1.
【答案】 (1)－2i (2)－1
复数的几何意义
1.复数的几何表示法：即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示.此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解.
2.复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变.
已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设z，()2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积；
(3)若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足|m－z|＝1，求|m|的最值.
【精彩点拨】 (1)设出z，列方程求解；(2)计算出()2，z－z2，求出对应点B，C，在坐标系中确定三角形，进而求面积；(3)求出复数m在复平面内对应点的轨迹，利用数形结合法求|m|的最值.
【规范解答】 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝(a2－b2)＋2abi，
∴
或
∴z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，()2＝－2i，z－z2＝1－i，则A(1,1)，B(0，－2)，C(1，－1).
∴S△ABC＝·2·1＝1.
当z＝－1－i时，()2＝－2i，z－z2＝－1－3i，
则A(－1，－1)，B(0，－2)，C(－1，－3)，
∴S△ABC＝·2·1＝1.
(3)由题知，z＝1＋i，对应点(1,1)在第一象限，|z|＝，又|m－z|＝|m－(1＋i)|＝1.
则复数m在复平面内所对应的点M的轨迹为以(1,1)为圆心，1为半径的圆，
所以，|m|最小值＝－1，|m|最大值＝＋1.
[再练一题]
3.(2015·山东实验中学三模)复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是________.
【解析】 z＝＝(1＋2i)(1＋i)＝－1＋3i，所以z在复平面内对应点的坐标是(－1,3).
【答案】 (－1,3)
转化与化归思想
一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法.
设z∈C，满足z＋∈R，z－是纯虚数，求z.
【精彩点拨】 本题关键是设出z代入题中条件进而求出z.
【规范解答】 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
z＋＝x＋yi＋
＝＋i，
∵z＋∈R，
∴y－＝0，
解得y＝0或x2＋y2＝1，
又∵z－＝x＋yi－＝＋yi是纯虚数.
∴
∴x＝，代入x2＋y2＝1中，求出y＝±，
∴复数z＝±i.
[再练一题]
4.满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由.
【解】 设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，
则z＋＝x＋yi＋＝x＋＋i，z＋3＝x＋3＋yi.
由已知，得因为y≠0，
所以解得或
所以存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足题设条件.
1.(2015·广东高考改编)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝________.
【解析】 ∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴＝2－3i.
【答案】 2－3i
2.(2015·安徽高考改编)设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于第________象限.
【解析】 ＝＝＝－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限.
【答案】 二
3.(2015·山东高考改编)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝_____.
【导学号：01580071】
【解析】 由已知得＝i(1－i)＝i＋1，则z＝1－i.
【答案】 1－i
4.(2015·重庆高考)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝____.
【解析】 ∵|a＋bi|＝＝，∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.
【答案】 3
5.(2016·山东高考改编)若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝________.
【解析】 法一：利用复数相等的定义及共轭复数的概念求解.
设z＝a＋bi(a，b∈R)，则2z＋＝2a＋2bi＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i.由复数相等的定义，得3a＝3，b＝－2，解得a＝1，b＝－2，∴z＝1－2i.
法二：利用共轭复数的性质求解.由已知条件2z＋＝3－2i①，得2＋z＝3＋2i②，解①②组成的关于z，的方程组，得z＝1－2i.
【答案】 1－2i
6.(2016·四川高考改编)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为________.
【解析】 Tr＋1＝Cx6－rir，由6－r＝4得r＝2.
故T3＝Cx4i2＝－15x4.
【答案】 －15x4
7.(2016·全国Ⅰ改编)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝________.
【解析】 ∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.
又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1.
∴|x＋yi|＝|1＋i|＝.
【答案】
8.(2016·全国Ⅲ改编)若z＝1＋2i，则＝________.
【导学号：01580072】
【解析】 因为z＝1＋2i，则＝1－2i，所以z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则＝＝i.
【答案】 i2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
第1课时 归纳推理
1．了解归纳推理的含义，能用归纳推理进行简单的推理．(重点、难点)
2．体会归纳推理在数学发现中的作用，归纳推理结论的真假．(易错点)
[基础·初探]
教材整理 归纳推理
阅读教材P63～P65“链接”以上部分，完成下列问题．
1．推理
从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．
2．归纳推理的特点
(1)归纳推理的定义
：
从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理．
(2)归纳推理的思维过程如图：
实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论．
3．归纳推理
(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．
(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．
(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．
1．判断正误：
(1)由个别到一般的推理为归纳推理．( )
(2)由归纳推理得出的结论一定正确．( )
(3)从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理．( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)√
2．如图2 1 1所示，第n个图形中，小正六边形的个数为______．
图2 1 1
【解析】 a1＝7，a2＝7＋5＝12，a3＝12＋5＝17，
∴an＝7＋5(n－1)＝5n＋2.
【答案】 5n＋2
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问2：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问3：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
[小组合作型]
数与式的归纳
(1)(2016·扬州高二调研)已知＝2·，＝3·，＝4·，＝2014·，则＝________.
(2)观察下列等式：
1＋1＝2×1，
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，
…
照此规律，第n个等式可为________．
【精彩点拨】 结合数与式子的特征，提炼结论．
【自主解答】 (1)由已知的3个等式知一般式为＝(n＋1)·.所以m＝2014，n＝20143－1，所以＝＝1.
(2)(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)．
【答案】 (1)1 (2)(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)
进行数、式中的归纳推理的一般规律
1．已知等式或不等式进行归纳推理的方法
(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；
(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；
(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；
(4)运用归纳推理得出一般结论．
2．数列中的归纳推理
在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．
(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；
(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；
(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．
[再练一题]
1．(1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(a∈N
)，则可归纳猜想{an}的通项公式为________．
(2)已知＜，＜，＜，…，推测猜想一般性结论为________．
【解析】 (1)由已知得a1＝1，a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝，…，由此可猜想an＝.
(2)每一个不等式的右边是不等式左边的分子、分母分别加了相同的正数，因此可猜测：＜(a，b，m均为正数，且a＞b)．
【答案】 (1)an＝
(2)＜(a，b，m均为正数，且a＞b)
图形中的归纳推理
(1)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图2 1 2的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是________.
【导学号：01580031】
图2 1 2
(2)根据图2 1 3中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为_____．
① ② ③ ④
图2 1 3
【精彩点拨】 (1)观察图案知，每多一块白色地面砖，则多5块黑色地面砖，从而每个图案中白色地面砖的块数，组成首项为6，公差为5的等差数列．
(2)先求出前4个图形中线段的数目，再归纳．
【自主解答】 (1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n－1)×5＝5n＋1.
(2)图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29－3＝509.
【答案】 (1)5n＋1 (2)509
归纳推理在图形中的应用策略
通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：
[再练一题]
2．如图2 1 4，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中的顶点个数为________．
图2 1 4
【解析】 第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n个图形共有(n＋2)(n＋3)个顶点．
【答案】 (n＋2)(n＋3)
[探究共研型]
归纳推理在数列中的应用
探究1 数列的通项an与序号n是一种什么关系？
【提示】 是一种对应关系，也是一种特殊的函数关系．
探究2 如何寻求an与n的关系？
【提示】 利用递推式写出数列的前几项化为统一的形式，再观察解决．
已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝.求出a1，a2，a3，a4，并推测an.
【精彩点拨】 由递推关系写出前4项，化为统一形式，观察即可．
【自主解答】 ∵Sn＝，∴a1＝，∴a＝1.
又∵an>0，∴a1＝1；
a1＋a2＝，即1＋a2＝，∴a2＝－1；
a1＋a2＋a3＝，
即＋a3＝，∴a3＝－；
a1＋a2＋a3＋a4＝，
∴＋a4＝，∴a4＝2－；
观察可得，an＝－.
在求数列的通项与前n项和时，经常用归纳推理得出结论．这就需要在进行归纳推理时要先转化为一个统一的形式，分出变化部分和不变部分，重点分析变化规律与n的关系，往往会较简捷地获得结论．
[再练一题]
3．已知数列{an}中，a2＝6，＝n.
(1)求a1，a3，a4；
(2)猜想数列{an}的通项公式．
【解】 (1)由a2＝6，＝1，得a1＝1.
由＝2，得a3＝15.
由＝3，得a4＝28.
故a1＝1，a3＝15，a4＝28.
(2)由a1＝1＝1×(2×1－1)；a2＝6＝2×(2×2－1)；a3＝15＝3×(2×3－1)；a4＝28＝4×(2×4－1)，
…
猜想an＝n(2n－1)．
[构建·体系]
1．已知f1(x)＝cos
x，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，则f2
014(x)＝________.
【解析】 f1(x)＝cos
x，f2(x)＝f1′(x)＝－sin
x，
f3(x)＝f2′(x)＝－cos
x，f4(x)＝f3′(x)＝sin
x，
f5(x)＝f4′(x)＝cos
x，…再继续下去会重复出现，周期为4，
∴f2
014(x)＝f2(x)＝－sin
x.
【答案】 －sin
x
2．根据三角恒等变换，可得到如下等式：
cos
θ＝cos
θ；
cos
2θ＝2cos2θ－1；
cos
3θ＝4cos3θ－3cos
θ；
cos
4θ＝8cos4θ－8cos2
θ＋1；
cos
5θ＝16cos5θ－20cos3
θ＋5cos
θ
依照规律猜想cos
6θ＝32cos6θ＋mcos4θ＋ncos2θ－1.
则m＋n＝________.
【解析】 根据三角恒等变换等式可知，各项系数与常数项的和是1，
即32＋m＋n－1＝1.
∴m＋n＝－30.
【答案】 －30
3．已知an＝n，把数列{an}的各项排成如下的三角形：
a1
a2 a3 a4
a5 a6 a7 a8 a9
……
记A(s，t)表示第s行的第t个数，则A(11,12)＝________.
【解析】 每行对应的元素个数分别为1,3,5，…，那么第10行最后一个数为a100，则第11行的第12个数为a112，
即A(11,12)＝a112＝112.
【答案】 112
4．(2016·苏州高二期末)当x>0时，x＋≥2＝2，
x＋＝＋＋≥3＝3，
x＋＝＋＋＋≥4＝4，根据上述不等式，在x>0的条件下，可归纳出一个一般性的不等式为________(直接写结论)．
【解析】 根据已知的3个不等式，找出规律知，一般性的不等式为x＋≥(n＋1)·＝n＋1.
【答案】 x＋≥n＋1
5．已知在数列{an}中，a1＝，an＋1＝.
(1)求a2，a3，a4，a5的值；
(2)猜想an.
【解】 (1)a2＝＝＝，
同理a3＝＝，a4＝，a5＝.
(2)由a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，可猜想an＝.
我还有这些不足：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________2.1.2 演绎推理
1．理解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单推理．(重点、难点)
2．演绎推理与合情推理的区别和联系．(易误点)
[基础·初探]
教材整理 演绎推理
阅读教材P70及P72“练习”以上部分，完成下列问题．
1．演绎推理
(1)含义：由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法．
(2)特点：(1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．
(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系．
(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．
2．三段论
“三段论”是演绎推理的一般模式
一般模式
常用格式
大前提
提供了一个一般性的原理
M是P
小前提
指出了一个特殊对象
S是M
结论
揭示了一般原理与特殊对象的内在联系
S是P
1．判断正误：
(1)演绎推理是由一般到特殊的推理．( )
(2)演绎推理的结论一定正确．( )
(3)“三段论”就是演绎推理．( )
(4)演绎推理得到的结论是否正确与大前提、小前提和推理形式有关．( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．“π是无限不循环小数，∴π是无理数．”以上推理的大前提是________.
【导学号：01580035】
【解析】 大前提为：无限不循环小数是无理数．
【答案】 无限不循环小数是无理数
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问2：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问3：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
[小组合作型]
把演绎推理写成三段论的形式
将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数．
(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°.
(3)通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．
【自主解答】 (1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)
75不能被2整除．(小前提)
75是奇数．(结论)
(2)三角形的内角和为180°.(大前提)
Rt△ABC是三角形．(小前提)
Rt△ABC的内角和为180°.(结论)
(3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列．(大前提)
通项公式an＝3n＋2，n≥2时，
an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提)
通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．(结论)
把演绎推理写成“三段论”的一般方法：
(1)用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系．
(2)在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
[再练一题]
1．将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；
(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B.
【解析】 (1)平行四边形的对角线互相平分，(大前提)
菱形是平行四边形，(小前提)
菱形的对角线互相平分．(结论)
(2)等腰三角形的两底角相等，(大前提)
∠A，∠B是等腰三角形的两底角，(小前提)
∠A＝∠B.(结论)
演绎推理在几何证明中的应用
如图2 1 13所示，D，E，F分别是BC，CA，AB边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：DE＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理．
图2 1 13
【精彩点拨】 用三段论的模式依次证明：(1)DF∥AE，(2)四边形AEDF为平行四边形，(3)DE＝AF.
【自主解答】 (1)同位角相等，两直线平行，(大前提)
∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)
所以DF∥AE.(结论)
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)
DE∥BA且DF∥EA，(小前提)
所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)
(3)平行四边形的对边相等，(大前提)
DE和AF为平行四边形的对边，(小前提)
所以DE＝AF.(结论)
1．用“三段论”证明命题的步骤
(1)理清楚证明命题的一般思路；
(2)找出每一个结论得出的原因；
(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．
2．几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．
[再练一题]
2．证明：如果梯形的两腰和一底相等，那么它的对角线必平分另一底上的两个角．
【解】 已知在梯形ABCD中(如图所示)，AB＝DC＝AD，AC和BD是它的对角线，求证：CA平分∠BCD，BD平分∠CBA.
证明：(1)等腰三角形的两底角相等，(大前提)
△DAC是等腰三角形，DC＝DA，(小前提)
∠1＝∠2.(结论)
(2)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，(大前提)
∠1和∠3是平行线AD，BC被AC
所截的内错角，(小前提)
∠1＝∠3.(结论)
(3)等于同一个量的两个量相等，(大前提)
∠2，∠3都等于∠1，(小前提)
∠2和∠3相等．即CA平分∠BCD.(结论)
④同理BD平分∠CBA.
[探究共研型]
演绎推理在代数中的应用
探究1 演绎推理的结论一定正确吗？
【提示】 演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论一定正确．
探究2 因为对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)是增函数，而y＝logx是对数函数，所以y＝logx是增函数．上面的推理形式和结论正确吗？
【提示】 推理形式正确，结论不正确．因为大前提是错误的．
已知a，b，m均为正实数，b【精彩点拨】 利用不等式的性质证明．
【自主解答】 因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)
b0，(小前提)
所以mb因为不等式两边同加上一个数，不等号方向不变，(大前提)
mb所以mb＋ab因为不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变，(大前提)
b(a＋m)0，(小前提)
所以<，即<.(结论)
代数问题中常见的利用三段论证明的命题
1．函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等．
2．导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等．
3．三角函数的图象与性质．
4．数列的通项公式、递推公式以及求和，数列的性质．
5．不等式的证明．
[再练一题]
3．“由(a2＋a＋1)x>3，得x>”的推理过程中，其大前提是_______.
【导学号：01580036】
【答案】 不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变．
[构建·体系]
1．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提：_______________________________________________；
小前提：_______________________________________________；
结论：_______________________________________________.
【答案】 一次函数的图象是一条直线
函数y＝2x＋5是一次函数
函数y＝2x＋5的图象是一条直线
2．“指数函数y＝ax(a>1)是增函数，y＝xα(α>1)是指函数，所以y＝xα(α>1)是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的命题序号是________．
①推理完全正确；②大前提不正确；③小前提不正确；④推理形式不正确．
【解析】 ∵y＝xα(α>1)是幂函数，而不是指数函数．
∴小前提错误．
【答案】 ③
3．“公差不为零的等差数列{an}的前n项和为关于n的没有常数项的二次函数，{bn}的前n项和为Sn＝n2＋3n.所以{bn}为等差数列”．上述推理中，下列说法正确的序号是________．
①大前提错误；②小前提错误；③结论错误；④正确．
【解析】 该推理过程中，大前提、小前提、结论都正确．
【答案】 ④
4．三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的．”中的小前提是序号________．
【解析】 该推理的大前提是①，小前提是③，结论是②.
【答案】 ③
5．用三段论的形式写出下列演绎推理．
(1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；
(2)y＝cos
x(x∈R)是周期函数．
【解】 (1)因为矩形的对角线相等，(大前提)
而正方形是矩形，(小前提)
所以正方形的对角线相等．(结论)
(2)因为三角函数是周期函数，(大前提)
而y＝cos
x(x∈R)是三角函数，(小前提)
所以y＝cos
x(x∈R)是周期函数．(结论)
我还有这些不足：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________章末分层突破
[自我校对]
①由部分到整体，由个别到一般
②类比推理
③演绎推理
④由一般到特殊
⑤综合法
⑥执果索因
⑦反证法
⑧数学归纳法
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
合情推理
1.归纳推理的特点及一般步骤
2.类比推理的特点及一般步骤
(2016·温州月考)下面四个图案都是由小正三角形构成的，设第n个图形中有n个正三角形，且所有小正三角形边上黑点的总数为f(n).
图2 1
(1)求f(2)，f(3)，f(4)，f(5)；
(2)找出f(n)与f(n＋1)的关系，并求出f(n)的表达式.
【精彩点拨】 (1)根据图案推导计算f(2)，f(3)，f(4)，f(5)及它们之间的关系.(2)利用(1)推导出的关系归纳出f(n)与f(n＋1)的关系，然后再求f(n)的表达式.
【规范解答】 (1)由题意有f(1)＝3，f(2)＝f(1)＋3＋3×2＝12，f(3)＝f(2)＋3＋3×4＝27，f(4)＝f(3)＋3＋3×6＝48，f(5)＝f(4)＋3＋3×8＝75.
(2)由题意及(1)知，f(n＋1)＝f(n)＋3＋3×2n＝f(n)＋6n＋3，
即f(n＋1)－f(n)＝6n＋3，所以f(2)－f(1)＝6×1＋3，
f(3)－f(2)＝6×2＋3，f(4)－f(3)＝6×3＋3，…，
f(n)－f(n－1)＝6×(n－1)＋3，
将上面n－1个式子相加，得
f(n)－f(1)＝6[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋3(n－1)
＝6×＋3(n－1)＝3n2－3，
又f(1)＝3，所以f(n)＝3n2.
[再练一题]
1.已知函数y＝sin4x＋cos4x(x∈R)的值域是，则
(1)函数y＝sin6
x＋cos6x(x∈R)的值域是___________________；
(2)类比上述结论，函数y＝sin2n
x＋cos2nx(n∈N
)的值域是__________.
【解析】 (1)y＝sin6x＋cos6x＝(sin2x＋cos2x)(sin4x－sin2
xcos2
x＋cos4
x)＝sin4x－sin2xcos2
x＋cos4x＝(sin2
x＋cos2
x)2－3sin2xcos2x＝1－sin2(2x)＝1－(1－cos
4x)
＝＋cos
4x∈.
(2)由类比可知，y＝sin2nx＋cos2nx的值域是[21－n,1].
【答案】 (1) (2)[21－n,1]
综合法与分析法
1.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式.
2.分析法和综合法是两种思路相反的推理方法.分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点.分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件.
设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.试用综合法和分析法分别证明.
【精彩点拨】 (1)综合法：根据a＋b＝1，分别求＋与的最小值.
(2)分析法：把变形为＝＋求证.
【规范解答】 法一：(综合法)
∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＝a＋b≥2，≤，ab≤，∴≥4.
又＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4，
∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立).
法二：(分析法)
∵a>0，b>0，a＋b＝1，
要证＋＋≥8，
只要证＋≥8，
只要证＋≥8，
即证＋≥4.
也就是证＋≥4.
即证＋≥2，
由基本不等式可知，当a>0，b>0时，
＋≥2成立，所以原不等式成立.
[再练一题]
2.(1)已知a，b，c为互不相等的非负数.
求证：a2＋b2＋c2>(＋＋).
(2)用分析法证明：2cos(α－β)－＝.
【证明】 (1)因为a2＋b2≥2ab，
b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，
又因为a，b，c为互不相等的非负数，
所以上面三个式子中都不能取“＝”，
所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，
因为ab＋bc≥2，bc＋ac≥2，
ab＋ac≥2，
又a，b，c为互不相等的非负数，
所以ab＋bc＋ac>(＋＋)，
所以a2＋b2＋c2>(＋＋).
(2)要证原等式成立，只需证：
2cos(α－β)sin
α－sin(2α－β)＝sin
β，①
因为①左边＝2cos(α－β)sin
α－sin[(α－β)＋α]
＝2cos(α－β)sin
α－sin(α－β)cos
α－cos(α－β)sin
α
＝cos(α－β)sin
α－sin(α－β)cos
α
＝sin
β＝右边，
所以①成立，即原等式成立.
反证法
反证法是间接证明的一种基本方法，用反证法证明时，假定原结论的对立面为真，从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定结论.反证法的思路：反设→归谬→结论.
设{an}是公比为q的等比数列.
(1)推导{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列.
【精彩点拨】 (1)利用等比数列的概念及通项公式推导前n项和公式；(2)利用反证法证明要证的结论.
【规范解答】 (1)设{an}的前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②
①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
∴Sn＝，∴Sn＝
(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N
，
(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，
a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，
∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.
∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，
∴q＝1，这与已知矛盾.
∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列.
[再练一题]
3.设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn.证明：数列{cn}不是等比数列.
【证明】 假设数列{cn}是等比数列，则
(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1).①
因为{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，
所以a＝an－1an＋1，b＝bn－1bn＋1.
代入①并整理，得
2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1
＝anbn，
即2＝＋，②
当p，q异号时，＋<0，与②相矛盾；
当p，q同号时，由于p≠q，
所以＋>2，与②相矛盾.
故数列{cn}不是等比数列.
数学归纳法
1.关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.
2.关注点二：由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n＝k时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明.
已知正数数列{an}(n∈N
)中，前n项和为Sn，且2Sn＝an＋，用数学归纳法证明：an＝－.
【规范解答】 (1)当n＝1时，a1＝S1＝，
所以a＝1(an>0)，所以a1＝1，又－＝1，
所以n＝1时，结论成立.
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N
)时，结论成立，即ak＝－.
当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk
＝－
＝－
＝－，
所以a＋2ak＋1－1＝0，
解得ak＋1＝－(an>0)，所以n＝k＋1时，结论成立.
由(1)(2)可知，对n∈N
都有an＝－.
[再练一题]
4.已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N
.
(1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小；
(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明.
【解】 (1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；
当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)当n＝3时，f(3)＝，g(3)＝，所以f(3)(2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明：
①当n＝1,2,3时，不等式显然成立；
②假设当n＝k(k≥3)时不等式成立，即
1＋＋＋＋…＋<－.
那么，当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝f(k)＋<－＋.
因为－
＝－＝<0，
所以f(k＋1)<－＝g(k＋1).
由①②可知，对一切n∈N
，都有f(n)≤g(n)成立.
转化与化归思想
转化与化归是数学思想方法的灵魂.在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化；数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化；反证法体现的是对立与统一的转化.
设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的a，b，c都为整数，已知f(0)，f(1)均为奇数，求证：方程f(x)＝0无整数根.
【精彩点拨】 假设方程f(x)＝0有整数根k，结合f(0)，f(1)均为奇数推出矛盾.
【规范解答】 假设方程f(x)＝0有一个整数根k，
则ak2＋bk＋c＝0，
∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c都为奇数，
∴a＋b必为偶数，ak2＋bk为奇数.
当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，则ak2＋bk＝4n2a＋2nb＝2n(2na＋b)必为偶数，与ak2＋bk为奇数矛盾；
当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与ak2＋bk为奇数矛盾.
综上可知，方程f(x)＝0无整数根.
[再练一题]
5.用数学归纳法证明：当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除.
【证明】 设n＝2m－1，m∈N
，则xn＋yn＝x2m－1＋y2m－1.
要证明原命题成立，只需证明x2m－1＋y2m－1能被x＋y整除(m∈N
).
(1)当m＝1时，x2m－1＋y2m－1＝x＋y能被x＋y整除.
(2)假设当m＝k(k∈N
)时命题成立，即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，那么当m＝k＋1时，
x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1＝x2k＋2－1＋y2k＋2－1＝x2k－1x2－x2k－1y2＋y2k－1y2＋x2k－1y2＝x2k－1(x2－y2)＋y2(x2k－1＋y2k－1)＝x2k－1(x－y)(x＋y)＋y2(x2k－1＋y2k－1).
因为x2k－1(x－y)(x＋y)与y2(x2k－1＋y2k－1)均能被x＋y整除，
所以当m＝k＋1时，命题成立.
由(1)(2)，知原命题成立.
1.(2015·山东高考)观察下列各式：
C＝40；
C＋C＝41；
C＋C＋C＝42；
C＋C＋C＋C＝43；
……
照此规律，当n∈N
时，
C＋C＋C＋…＋C＝________.
【解析】 观察每行等式的特点，每行等式的右端都是幂的形式，底数均为4，指数与等式左端最后一个组合数的上标相等，故有C＋C＋C＋…＋C＝4n－1.
【答案】 4n－1
2.(2015·福建高考)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N
)，其中xk(k＝1,2，…，n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0).
已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：
其中运算 定义为：0 0＝0,0 1＝1,1 0＝1,1 1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________.
【导学号：01580055】
【解析】 因为x2 x3 x6 x7＝0，所以x2，x3，x6，x7都正确.又因为x4 x5 x6 x7＝1，x1 x3 x5 x7＝1，故x1和x4都错误，或仅x5错误.因为条件中要求仅在第k位发生码元错误，故只有x5错误.
【答案】 5
3.(2016·北京高考)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则____.(填序号)
①乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
②乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
③乙盒中红球不多于丙盒中红球
④乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
【解析】 通过随机事件直接分析出现情况的可能性.
取两个球往盒子中放有4种情况：
①红＋红，则乙盒中红球数加1；
②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；
③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；
④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机.
③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响.
①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样.
综上，选(2).
【答案】 (2)
4.(2015·湖南高考)设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：
(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立.
【证明】 由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立.
(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0同理，0故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立.
5.(2015·福建高考)已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.
(1)求a＋b＋c的值；
(2)求a2＋b2＋c2的最小值.
【解】 (1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，
当且仅当－a≤x≤b时，等号成立.
又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，
所以f(x)的最小值为a＋b＋c.
又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.
(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式，得
(4＋9＋1)≥
2＝(a＋b＋c)2＝16，即a2＋b2＋c2≥.
当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立，故a2＋b2＋c2的最小值是.
6.(2016·北京高考)设数列A：a1，a2，…，aN(N≥2).如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有ak(1)对数列A：－2,2，－1,1,3，写出G(A)的所有元素；
(2)证明：若数列A中存在an使得an>a1，则G(A)≠ ；
(3)证明：若数列A满足an－an－1≤1(n＝2,3，…，N)，则G(A)的元素个数不小于aN－a1.
【导学号：01580056】
【解】 (1)G(A)的元素为2和5.
(2)因为存在an使得an＞a1，
所以{i∈N
|2≤i≤N，ai>a1}≠ .
记m＝min{i∈N
|2≤i≤N，ai>a1}，
则m≥2，且对任意正整数k因此m∈G(A).从而G(A)≠ .
(3)证明：当aN≤a1时，结论成立.
以下设aN>a1.
由(2)知G(A)≠ .
设G(A)＝{n1，n2，…，np)，n1记n0＝1，则an0＜an1＜an2＜…＜anp.
对i＝0,1，…，p，记Gi＝{k∈N
|ni＜k≤N，ak＞ani}.
如果Gi≠ ，取mi＝min
Gi，则对任何1≤k从而mi∈G(A)且mi＝ni＋1，
又因为np是G(A)中的最大元素，所以Gp＝ .
从而对任意np≤k≤N，ak≤anp，特别地，aN≤anp.
对i＝0,1，…，p－1，ani＋1－1≤ani.
因此ani＋1＝ani＋1－1＋(ani＋1－ani＋1－1)≤ani＋1.
因此G(A)的元素个数p不小于aN－a1.1.5.3 微积分基本定理
1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．
2．会利用微积分基本定理求函数的积分．
[基础·初探]
教材整理 微积分基本定理
阅读教材P49“例1”以上部分，完成下列问题．
对于被积函数f(x)，如果F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，即F′(x)dx＝F(b)－F(a)．
判断正误：
(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数．( )
(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )
(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问2：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问3：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
[小组合作型]
求简单函数的定积分
求下列定积分：
(1)(x2＋2x＋3)dx；
(2)(sin
x－cos
x)dx；
(3)
(cos
x－ex)dx.
【精彩点拨】 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解．
【自主解答】 (1)取F(x)＝＋x2＋3x，
则F′(x)＝x2＋2x＋3，
从而(x2＋2x＋3)dx＝F′(x)dx＝F(2)－F(1)＝.
(2)取F(x)＝－cos
x－sin
x，
则F′(x)＝sin
x－cos
x，
从而(sin
x－cos
x)dx＝F′(x)dx＝F(π)－F(0)＝2.
(3)取F(x)＝sin
x－ex，
则F′(x)＝cos
x－ex，
从而
(cos
x－ex)dx
＝F′(x)dx
＝F(0)－F(－π)
＝－1.
求简单的定积分关键注意两点
(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．
(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
[再练一题]
1.dx＝________.
【导学号：01580025】
【解析】 dx＝dx
＝－(ln
1＋1)＝ln
2－.
【答案】 ln
2－
求分段函数的定积分
计算下列定积分．
(1)f(x)＝求f(x)dx；
(2)|x2－1|dx.
【精彩点拨】 (1)按f(x)的分段标准，分成，，(2,4]三段求定积分，再求和．
(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．
【自主解答】 ＋(x－1)dx＝(－cos
x)＋x＋
＝1＋＋(4－0)＝7－.
(2)|x2－1|dx＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx
＝＋＝2.
1．本例(2)中被积函数f(x)含有绝对值号，可先求函数f(x)的零点，结合积分区间，分段求解．
2．分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．
3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．
[再练一题]
2．计算定积分：(|2x＋3|＋|3－2x|)dx.
【解】 设f(x)＝|2x＋3|＋|3－2x|，x∈[－3,3]，
则f(x)＝
所以(|2x＋3|＋|3－2x|)dx
＝－2×＋6×＋2×＝45.
[探究共研型]
利用定积分求参数
探究1 满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)惟一吗？
【提示】 不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值．
探究2 如何求对称区间上的定积分？
【提示】 在求对称区间上的定积分时，应首先考虑函数性质和积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便．
已知f(x)是一次函数，其图象过点(1,4)，且
f(x)dx＝1，求f(x)的解析式．
【精彩点拨】 设出函数解析式，由题中条件建立两方程，联立求解．
【自主解答】 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，因为函数的图象过点(1,4)，所以k＋b＝4.①
又f(x)dx＝(kx＋b)dx＝＝＋b，所以＋b＝1.②
由①②得k＝6，b＝－2，所以f(x)＝6x－2.
1．含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．
2．计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念．
[再练一题]
3．上例中，若把“已知f(x)是一次函数”改为“已知f(x)＝ax2＋bx(a≠0)”，其余条件不变，求f(x)的解析式．
【解】 ∵函数的图象过点(1,4)，∴a＋b＝4，①
又f(x)dx＝(ax2＋bx)dx＝＝＋，
∴＋＝1，②
由①②得a＝6，b＝－2，所以f(x)＝6x2－2x.
[构建·体系]
1.dx＝________.
【解析】 dx＝ln
x＝ln
e－ln
1＝1.
【答案】 1
2.(2sin
x－3ex＋2)dx＝________.
【解析】 (2sin
x－3ex＋2)dx＝(－2cos
x－3ex＋2x)＝7＋2π－3eπ.
【答案】 7＋2π－3eπ
3．计算x2dx＝________.
【解析】 由于′＝x2，所以x2dx＝x3＝.
【答案】
4．已知2≤(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为________．
【解析】 (kx＋1)dx＝＝(2k＋2)－＝k＋1，所以2≤k＋1≤4，解得≤k≤2.
【答案】
5．已知f(x)＝ax＋b，且－1f2(x)dx＝1，求f(a)的取值范围．
【解】 由f(x)＝ax＋b，－1f2(x)dx＝1，
得2a2＋6b2＝3,2a2＝3－6b2≥0，所以－≤b≤，
所以f(a)＝a2＋b＝－3b2＋b＋＝－32＋，所以－≤f(a)≤.
我还有这些不足：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________章末分层突破
[自我校对]
①导数的运算
②函数的和、差、积、商的导数
③单调性
④极大值与极小值
⑤最大值与最小值
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
导数的几何意义及其应用
利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，①
又y1＝f(x1)，②
由①②求出x1，y1的值，
即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
(1)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于________．
(2)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图1 1所示，则该函数的图象是________．(填序号)
图1 1
【精彩点拨】 (1)曲线在点(1,1)处的切线斜率即为该点处的导数．
(2)由导数值的大小变化，确定原函数的变化情况，从而得出结论．
【规范解答】 (1)y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y′＝2.
(2)从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．①中，在x＝0时变化率最小，故错误；③中，变化率是越来越大的，故错误；④中，变化率是越来越小的，故错误；②正确．
【答案】 (1)2 (2)②
[再练一题]
1．已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；
(3)求斜率为4的曲线的切线方程．
【解】 (1)∵P(2,4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，
∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x.
∴切线方程为y－＝x(x－x0)，
即y＝x·x－x＋.
∵点P(2,4)在切线上，
∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，
∴x＋x－4x＋4＝0.
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
(3)设切点为(x0，y0)，
则切线的斜率k＝x＝4，∴x0＝±2.
∴切点为(2,4)或.
∴斜率为4的曲线的切线方程为y－4＝4(x－2)和y＋＝4(x＋2)，
即4x－y－4＝0和12x－3y＋20＝0.
导数在研究函数单调性中的应用
利用导数的符号判断函数的增减性，进而确定函数的单调区间，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想．这部分内容要注意的是f(x)为增函数 f′(x)≥0且f′(x)＝0的根有有限个，f(x)为减函数 f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个．
已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)内单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【精彩点拨】 研究函数的单调性可通过判断导数的符号来解决．因为涉及参数a，所以要分类讨论．
【规范解答】 (1)由已知，得f′(x)＝3x2－a.
因为f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立．
因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上单调递增，所以a≤0.
故实数a的取值范围是a≤0.
(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)内恒成立，
得a≥3x2在x∈(－1,1)内恒成立．
因为－1因为当a＝3时，f′(x)＝3(x2－1)，
在x∈(－1,1)上，f′(x)<0，即f(x)在(－1,1)上单调递减，所以a≥3.
故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)内单调递减．
[再练一题]
2．设函数f(x)＝aln
x＋(a≠0)，讨论函数f(x)的单调性．
【解】 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋＝.
当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，
由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，
①当a＝－时，Δ＝0，f′(x)＝≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②当a＜－时，Δ＜0，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
③当－＜a＜0时，Δ＞0.
设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，
则x1＝，x2＝.
因为x1＝＝＞0，
所以，x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，
x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，
x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．
综上可得，当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－＜a＜0时，f(x)在，上单调递减，在上单调递增．
导数在求函数极值与最值中的应用
由函数的解析式能求出函数的极值和最值，反过来由函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围．另外，这部分内容可能会和恒成立问题、有解等问题联系到一起考查．
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[0，t](0(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．
【精彩点拨】 (1)由求出a，b即可．
(2)对t分0(3)构造函数g(x)＝f(x)－c转化为g(x)在[1,3]上有实根求解．
【规范解答】 (1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为：f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.
又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.
所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.
(2)由f(x)＝x3－3x2＋2，得f′(x)＝3x2－6x.
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
①当0②当2x
0
(0,2)
2
(2，t)
t
f′(x)
0
－
0
＋
f(x)
2
单调递减?
极小值－2
单调递增?
t3－3t2＋2
f(x)最小值＝f(2)＝－2，f(x)最大值为f(0)与f(t)中较大的一个．
f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0.
所以f(x)最大值＝f(0)＝2.
(3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，
g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
在x∈[1,2)上，g′(x)<0；在x∈(2,3]上，g′(x)>0.要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则解得－2[再练一题]
3．已知函数f(x)＝－x3＋12x＋m.
(1)若x∈R，求函数f(x)的极大值与极小值之差；
(2)若函数y＝f(x)有三个零点，求m的取值范围；
(3)当x∈[－1,3]时，f(x)的最小值为－2，求f(x)的最大值．
【解】 (1)f′(x)＝－3x2＋12.
当f′(x)＝0时，x＝－2或x＝2.
当f′(x)＞0时，－2＜x＜2.
当f′(x)＜0时，x＜－2或x＞2.
∴f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减，在(－2,2)上单调递增．
∴f(x)极小值＝f(－2)＝－16＋m.
f(x)极大值＝f(2)＝16＋m.
∴f(x)极大值－f(x)极小值＝32.
(2)由(1)知要使函数y＝f(x)有三个零点，必须即
∴－16＜m＜16.
∴m的取值范围为(－16,16)．
(3)当x∈[－1,3]时，由(1)知f(x)在[－1,2)上单调递增，f(x)在[2,3]上单调递减，f(x)的最大值为f(2)．
又f(－1)＝－11＋m，f(3)＝m＋9，
∴f(－1)＜f(3)，
∴在[－1,3]上f(x)的最小值为f(－1)＝－11＋m，
∴－11＋m＝－2，∴m＝9.
∴当x∈[－1,3]时，f(x)的最大值为
f(2)＝(－2)3＋12×2＋9＝25.
函数与方程的思想
函数的单调性是证明不等式的一种常用方法，证明时灵活构造函数关系，尽可能选择求导和判断导数符号都比较容易的函数，如果证明f(x)＞g(x)，x∈(a，b)，可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)与0的关系，若F′(x)＞0，则函数F(x)在(a，b)上是增函数．若F(a)≥0，则由增函数的定义，知当x∈(a，b)时，有F(x)＞F(a)≥0，即f(x)＞g(x)成立，同理可证明f(x)＜g(x)，x∈(a，b)．
设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)【精彩点拨】 (1)利用f′(1)＝0，f′(2)＝0，列方程组求解．
(2)转化为求函数f(x)的最大值问题．
【规范解答】 (1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b.
因为函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，
则有f′(1)＝0，f′(2)＝0，即解得
(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
则f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
当x∈[0,1)时，f′(x)>0；
当x∈[1,2]时，f′(x)<0；
当x∈(2,3]时，f′(x)>0.
所以当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝5＋8c，当x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝4＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c.
所以当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.
因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)所以9＋8c9.
故c的取值范围为c<－1或c>9.
[再练一题]
4．(2016·郑州高二检测)已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象相切于P点，求直线l的斜率k的取值范围．
【解】 (1)对函数f(x)求导，得f′(x)＝＝.
因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切．
所以即所以a＝4，b＝1，
所以f(x)＝.
(2)因为f′(x)＝，所以直线l的斜率
k＝f′(x0)＝＝4，令t＝，t∈(0,1]，则k＝4(2t2－t)＝82－，所以k∈.
1．(2015·全国卷Ⅱ改编)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________.
【导学号：01580027】
【解析】 设y＝g(x)＝(x≠0)，则g′(x)＝，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，
∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.
∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，
∴g(x)的图象的示意图如图所示．
当x>0，g(x)>0时，f(x)>0,0当x<0，g(x)<0时，f(x)>0，x<－1，
∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．
【答案】 (－∞，－1)∪(0,1)．
2．(2015·福建高考改编)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1，则下列结论中一定错误的是________．(填序号)
①f<；
②f>；
③f<；
④f>.
【解析】 令g(x)＝f(x)－kx＋1，则g(0)＝f(0)＋1＝0，
g＝f－k·＋1＝f－.
∵g′(x)＝f′(x)－k>0，∴g(x)在[0，＋∞)上为增函数．
又∵k>1，∴>0，∴g>g(0)＝0，
∴f－>0，即f>.
【答案】 ③
3．(2016·全国Ⅱ)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln
x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.
【解析】 求得(ln
x＋2)′＝，[ln(x＋1)]′＝.
设曲线y＝ln
x＋2上的切点为(x1，y1)，曲线y＝ln(x＋1)上的切点为(x2，y2)，
则k＝＝，所以x2＋1＝x1.
又y1＝ln
x1＋2，y2＝ln(x2＋1)＝ln
x1，
所以k＝＝2，
所以x1＝＝，y1＝ln＋2＝2－ln
2，
所以b＝y1－kx1＝2－ln
2－1＝1－ln
2.
【答案】 1－ln
2
4．(2016·全国Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．
【解析】 先利用函数奇偶性求出x>0时f(x)的解析式，再求切线方程．
因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ln
x－3x，所以f′(x)＝－3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.
【答案】 y＝－2x－1
5．(2015·湖南高考)(x－1)dx＝__________.
【解析】 (x－1)dx＝＝×22－2＝0.
【答案】 0
6．(2015·陕西高考)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为__________．
【解析】 y′＝ex，曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－(x>0)，曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－(m>0)，因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．
【答案】 (1,1)
7．(2016·江苏高考)已知函数f(x)＝ax＋bx(a>0，b>0，a≠1，b≠1)．
(1)设a＝2，b＝.
①求方程f(x)＝2的根；
②若对于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值．
(2)若01，函数g(x)＝f(x)－2有且只有1个零点，求ab的值.
【导学号：01580028】
【解】 (1)因为a＝2，b＝，所以f(x)＝2x＋2－x.
①方程f(x)＝2，即2x＋2－x＝2，亦即(2x)2－2×2x＋1＝0，所以(2x－1)2＝0，即2x＝1，解得x＝0.
②由条件知f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2.
因为f(2x)≥mf(x)－6对于x∈R恒成立，且f(x)>0，
所以m≤对于x∈R恒成立．
而＝f(x)＋≥2＝4，且＝4，
所以m≤4，故实数m的最大值为4.
(2)因为函数g(x)＝f(x)－2有且只有1个零点，而g(0)＝f(0)－2＝a0＋b0－2＝0，
所以0是函数g(x)的唯一零点．
因为g′(x)＝axln
a＋bxln
b，又由01知ln
a<0，ln
b>0，
所以g′(x)＝0有唯一解x0＝log.
令h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝(axln
a＋bxln
b)′＝ax(ln
a)2＋bx(ln
b)2，
从而对任意x∈R，h′(x)>0，所以g′(x)＝h(x)是(－∞，＋∞)上的单调增函数．
于是当x∈(－∞，x0)时，g′(x)当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)>g′(x0)＝0.
因而函数g(x)在(－∞，x0)上是单调减函数，在(x0，＋∞)上是单调增函数．
下证x0＝0.
若x0<0则x0<<0，于是g又g(loga2)＝aloga2＋bloga2－2>aloga2－2＝0，且函数g(x)在以和loga2为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和loga2之间存在g(x)的零点，记为x1.因为0所以loga2<0.
又<0，所以x1<0，与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾．
若x0>0，同理可得，在和logb2之间存在g(x)的非0的零点，与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾．
因此，x0＝0.
于是－＝1，故ln
a＋ln
b＝0，所以ab＝1.1.1.2 瞬时变化率——导数
1．结合实际背景理解函数的瞬时变化率——导数的概念及其几何意义．(重点、难点)
2．会求简单函数在某点处的导数及切线方程．(重点)
3．理解导数与平均变化率的区别与联系．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 曲线上一点处的切线
阅读教材P8～P9“例1”以上部分，完成下列问题．
设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线，随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．
判断正误：
(1)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( )
(2)过曲线外一点作已知曲线的切线有且只有一条．( )
【答案】 (1)× (2)×
教材整理2 瞬时速度与瞬时加速度
阅读教材P11～P12，完成下列问题．
(1)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．
(2)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．
1．判断正误：
(1)自变量的改变量Δx是一个较小的量，Δx可正可负但不能为零．( )
(2)瞬时速度是刻画某物体在某一时间段内速度变化的快慢．( )
【答案】 (1)√ (2)×
2．如果质点A按规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为________．
【解析】 ＝＝18＋3Δt，
当Δt→0时，＝18＋3×0＝18.
∴质点A在t＝3时的瞬时速度为18.
【答案】 18
教材整理3 导数
阅读教材P13～P14，完成下列问题．
1．函数在一点处的导数及其几何意义
(1)导数
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
(2)导数的几何意义
导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．
2．导函数
若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．
1．判断正误：
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．( )
(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点x＝x0处切线的斜率．( )
(3)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在．( )
(4)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在．( )
【解析】 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立．
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．已知f(x)＝2x＋5，则f(x)在x＝2处的导数为________．
【解析】 Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)＋5－(2×2＋5)＝2Δx，
∴＝2，∴f′(2)＝2.
【答案】 2
3．函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，若P点的横坐标为4，则f(4)＋f′(4)＝________.
【解析】 由导数的几何意义，f′(4)＝－2.
又f(4)＝－2×4＋9＝1.
故f(4)＋f′(4)＝1－2＝－1.
【答案】 －1
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问2：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问3：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
[小组合作型]
求瞬时速度、瞬时加速度
(1)以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为__________．
(2)某物体的运动方程为s＝2t3，则物体在第t＝1时的瞬时速度是__________．
【精彩点拨】 先求出，再求瞬时速度．
【自主解答】 (1)∵Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝v0Δt－gt0Δt－g(Δt)2，
∴＝v0－gt0－gΔt，
∴当Δt→0时，→v0－gt0，即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.
(2)∵当t＝1时，Δs＝2(1＋Δt)3－2×13
＝2[1＋(Δt)3＋3Δt＋3(Δt)2]－2
＝2＋2(Δt)3＋6Δt＋6(Δt)2－2
＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6Δt，
∴＝＝2(Δt)2＋6Δt＋6，
∴当Δt→0时，→6，则物体在第t＝1时的瞬时速度是6.
【答案】 (1)v0－gt0 (2)6
求运动物体瞬时速度的三个步骤：
(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
(2)求平均速度＝；
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度．
[再练一题]
1．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s)．
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；
(3)求t＝0到t＝2时的平均速度.
【导学号：01580003】
【解】 (1)＝
＝＝(3－Δt)，当Δt→0时，3－Δt→3
即物体的初速度为3
m/s.
(2)＝＝
＝
＝－Δt－1，
当Δt→0时，－Δt－1→－1，
即物体在t＝2时的瞬时速度为1
m/s，方向与初速度方向相反．
(3)＝＝＝1，
即t＝0到t＝2时的平均速度为1
m/s.
求函数在某点处的导数
求函数y＝在x＝2处的导数．
【精彩点拨】 求Δy→计算→当Δx→0，得导数
【自主解答】 令f(x)＝，
则Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－1＝，
∴＝，当Δx→0时，→－1，
∴函数y＝在x＝2处的导数为－1.
由导数的定义，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法：
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)Δx→0，得导数f′(x0)．
[再练一题]
2．求函数f(x)＝x－在x＝1处的导数．
【解】 ∵Δy＝(1＋Δx)－－
＝Δx＋1－＝Δx＋，
∴＝＝1＋，
当Δx→0时，1＋→2
∴函数在x＝1处的导数等于2.
[探究共研型]
导数的几何意义及其应用
探究1 若函数y＝f(x)在点x0处的导数存在，则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是什么？
【提示】 根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
探究2 曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点．
【提示】 不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．
探究3 函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系．
【提示】 区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．
联系：函数f(x)在x0处的导数就是导函数f′(x)在x＝x0时的函数值．
已知曲线f(x)＝.
(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程；
(2)求满足斜率为－的曲线的切线方程．
【精彩点拨】 (1)点A不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A(1,0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程．
(2)设出切点坐标，由该点斜率为－，求出切点，进而求出切线方程．
【自主解答】 (1)＝
＝，当Δx→0时，→－.
设过点A(1,0)的切线的切点为P，①
则f′(x0)＝－，即该切线的斜率为k＝－.
因为点A(1,0)，P在切线上，
所以＝－，②
解得x0＝.故切线的斜率k＝－4.
故曲线过点A(1,0)的切线方程为y＝－4(x－1)，
即4x＋y－4＝0.
(2)设斜率为－的切线的切点为Q，
由(1)知，k＝f′(a)＝－＝－，得a＝±.
所以切点坐标为或.
故满足斜率为－的曲线的切线方程为
y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)，
即x＋3y－2＝0或x＋3y＋2＝0.
1．求曲线过已知点的切线方程的步骤
2．若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程．
[再练一题]
3．已知抛物线y＝2x2，则抛物线在点(1,2)处的切线方程为________.
【导学号：01580004】
【解析】 因为＝＝＝4＋2Δx，当Δx→0时，4＋2Δx→4，所以f′(1)＝4.
所以切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.
【答案】 4x－y－2＝0
[构建·体系]
1．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3
s末的瞬时速度是________．
【解析】 ∵＝＝5＋Δt，
∴Δt→0，＝(5＋Δt)→5(m/s)．
【答案】 5
m/s
2．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2
s时的瞬时速度为8
m/s，则常数a＝________.
【解析】 因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，
所以＝4a＋aΔt，故当t＝2时，瞬时速度为Δt→0时→4a，所以4a＝8，所以a＝2.
【答案】 2
3．曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为________．
【解析】 ＝
＝＝，
令Δx→0时，→－.
∴切线方程为y＋1＝－(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.
【答案】 x＋2y＋4＝0
4．已知f′(1)＝－2，则当Δx→0时，→________.
【解析】 ＝2·
当Δx→0时，→f′(1)，
∴2·→2f′(1)
＝2×(－2)＝－4.
【答案】 －4
5．求曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1,0)的切线方程．
【解】 设切点为Q(a，a2＋1)，＝＝2a＋Δx，当Δx→0时，2a＋Δx→2a，所以所求切线的斜率为2a.因此，＝2a，解得a＝1±，所以所求的切线方程为y＝(2＋2)x－(2＋2)或y＝(2－2)x－(2－2)．
我还有这些不足：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________1.4 导数在实际生活中的应用
1．能应用导数解决实际问题．(重点)
2．审清题意，正确建立函数关系式．(难点)
3．忽视变量的实际意义，忽略函数定义域．(易错点)
[基础·初探]
教材整理 导数在生活中的应用
阅读教材P35～P38“练习”以上部分，完成下列问题．
1．导数的实际应用
导数在实际生活中有着广泛的应用，如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决．
2．用导数解决实际生活问题的基本思路
1．做一个容积为256
m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为____m.
【解析】 设底面边长为x
m，高为h
m，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为S
m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.S′＝2x－，令S′＝0，得x＝8，
因此h＝＝4(m)．
【答案】 4
2．某一件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为______元时，利润最大．
【解析】 利润为S(x)＝(x－30)(200－x)
＝－x2＋230x－6
000，S′(x)＝－2x＋230，
由S′(x)＝0，得x＝115，这时利润达到最大．
【答案】 115
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问2：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问3：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
[小组合作型]
面积、体积的最值问题
请你设计一个包装盒，如图1 4 1，ABCD是边长为60
cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．
图1 4 1
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
【精彩点拨】 弄清题意，根据“侧面积＝4×底面边长×高”和“体积＝底面边长的平方×高”这两个等量关系，用x将等量关系中的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值．
【自主解答】 设包装盒的高为h
cm，底面边长为a
cm.
由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1
800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.
1．解决面积、体积最值问题的思路
要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．
2．解决导数在实际应用时应注意的问题
(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域；
(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．
[再练一题]
1．将一张2×6
m
的矩形钢板按如图1 4 2所示划线，要求①至⑦全为矩形，且其中①与③，②与④分别是全等的矩形，且⑤＋⑥＝⑦，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以⑦为底，⑤⑥为盖的水箱，设水箱的高为x
m，容积为y
m3.
图1 4 2
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)x取何值时，水箱的容积最大．
【解】 (1)由水箱的高为x
m，
得水箱底面的宽为(2－2x)
m，长为＝(3－x)
m.
故水箱的容积为y＝2x3－8x2＋6x(0(2)由y′＝6x2－16x＋6＝0，
解得x＝(舍去)或x＝.
因为y＝2x3－8x2＋6x(0所以当x的值为时，水箱的容积最大．
用料最省、成本(费用)最低问题
位于A，B两点处的甲、乙两村合用一个变压器，如图1 4 3所示，若两村用同型号线架设输电线路，问变压器设在输电干线何处时，所需电线总长最短．
图1 4 3
【精彩点拨】 可设CD＝x，则CE＝3－x，利用勾股定理得出AC，BC的长，从而构造出所需电线总长度的函数．
【自主解答】 设CD＝x
km，则CE＝(3－x)km.
则所需电线总长
l＝AC＋BC＝＋(0≤x≤3)，
从而l′＝－.
令l′＝0，即－＝0，
解得x＝1.2或x＝－6(舍去)．
因为在[0,3]上使l′＝0的点只有x＝1.2，
所以根据实际意义，知x＝1.2就是我们所求的最小值点，即变压器设在DE之间离点D的距离为1.2
km处时，所需电线总长最短．
1．用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
2．利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．
[再练一题]
2．甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P＝v4－v3＋15v，
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值.
【导学号：01580020】
【解】 (1)Q＝P·
＝·
＝·400
＝－v2＋6
000(0(2)Q′＝－5v，
令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80，
当0当800，
∴v＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Q最小值＝Q(80)＝(元)．
[探究共研型]
利润最大、效率最高问题
探究 在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？
【提示】 根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
【精彩点拨】 (1)根据x＝5时，y＝11求a的值．
(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值．
【自主解答】 (1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)知，该商品每日的销售量
y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6，
从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)·(x－6)，
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增?
极大值42
单调递减?
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
1．经济生活中优化问题的解法
经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．
2．关于利润问题常用的两个等量关系
(1)利润＝收入－成本．
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
[再练一题]
3．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为：p＝24
200－x2，且生产x吨的成本为R＝50
000＋200x(元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？
【解】 每月生产x吨时的利润为
f(x)＝x－(50
000＋200x)
＝－x3＋24
000x－50
000(x≥0)，
由f′(x)＝－x2＋24
000＝0，解得x＝200或x＝－200(舍去)．
因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为f(200)＝－×2003＋24
000×200－50
000＝3
150
000(元)，故每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．
[构建·体系]
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是________．
【解析】 原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，
所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值为－1.
【答案】 －1
2．从边长为10
cm×16
cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________cm3.
【导学号：01580021】
【解析】 设盒子容积为y
cm3，盒子的高为x
cm.
则y＝(10－2x)(16－2x)x(0＝4x3－52x2＋160x，
∴y′＝12x2－104x＋160.
令y′＝0，得x＝2或x＝(舍去)，
∴ymax＝6×12×2＝144(cm3)．
【答案】 144
3．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝x3－x2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________．
【解析】 由题设知y′＝x2－39x－40，
令y′>0，解得x>40，或x<－1，
故函数y＝x3－x2－40x(x>0)在[40，＋∞)上递增，在(0,40]上递减．∴当x＝40时，y取得最小值．
由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.
【答案】 40
4．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产________千台．
【解析】 设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，
∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．
令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．
【答案】 6
5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
【解】 (1)若商品降价x元，则多卖的商品数为kx2件，
由题意知24＝k·22，得k＝6.
若记商品在一个星期的获利为f(x)，则依题意有
f(x)＝(30－x－9)·(432＋6x2)＝(21－x)(432＋6x2)，
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9
072，x∈[0,30]．
(2)根据(1)有f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,2)
2
(2,12)
12
(12,30)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
单调递减?
极小值
单调递增?
极大值
单调递减?
故x＝12时，f(x)取得极大值，因为f(0)＝9
072，f(12)＝11
664，f(0)＜f(12)，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．
我还有这些不足：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________3.2 复数的四则运算
第1课时 复数的加减与乘法运算
1.掌握复数代数形式的加减运算.(重点)
2.理解复数乘法运算法则，能进行复数的乘法运算.(重点、难点)
3.掌握共轭复数的概念及应用.(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 复数的加减法
阅读教材P113，完成下列问题.
1.复数的加法、减法法则
(1)条件：z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d均为实数).
(2)加法法则：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，减法法则：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
2.运算律
(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1.
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).
判断正误：
(1)复数与向量一一对应.( )
(2)复数与复数相加减后结果只能是实数.( )
(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小.( )
【答案】 (1)× (2)× (3)×
教材整理2 复数的乘法与共轭复数
阅读教材P114例1以下至P115练习以上部分，完成下列问题.
1.复数的乘法
(1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(2)乘法运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1z2＝z2z1
结合律
(z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
2.共轭复数
(1)定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.复数z＝a＋bi的共轭复数记作，即＝a－bi.
(2)关系：若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1，z2互为共轭复数 a＝c且b＝－d.
(3)当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，z＝，也就是说实数的共轭复数仍是它本身.
1.判断正误：
(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.( )
(2)若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.( )
(3)两个共轭虚数的差为纯虚数.( )
【答案】 (1)× (2)× (3)√
2.(2016·北京高考)设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________.
【导学号：01580062】
【解析】 (1＋i)(a＋i)＝a－1＋(a＋1)i.
∵其对应点在实轴上，
∴a＋1＝0，即a＝－1.
【答案】 －1
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问2：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问3：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
[小组合作型]
复数的加、减法运算
(1)＋(2－i)－＝________.
(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.
(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z.
【自主解答】 (1)＋(2－i)－＝＋i
＝1＋i.
【答案】 1＋i
(2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.
法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.
(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，又|z|＋z＝1＋3i，所以＋x＋yi＝1＋3i，由复数相等得解得所以z＝－4＋3i.
1.复数加、减运算法则的记忆
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.
(2)把i看作一个字母，类比多项式加、减中的合并同类项.
2.当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设z＝a＋bi(a，b∈R).
[再练一题]
1.复数z满足z－(1－i)＝2i，则z等于________.
【解析】 ∵z－(1－i)＝2i，
∴z＝1－i＋2i＝1＋i.
【答案】 1＋i
复数的乘法运算
(1)已知a，b∈R，i是虚数单位.若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝_______.
(2)复数(3＋2i)i＝________.
【精彩点拨】 (1)结合复数相等分别求出a，b的值，然后再做复数的乘法运算或直接运用完全平方公式进行运算.
(2)直接运用结合律复数的乘法运算.
【自主解答】 (1)∵a＋i＝2－bi，∴a＝2，b＝－1，
∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝22－2×2×i＋i2＝3－4i.
(2)(3＋2i)i＝3i＋2i2＝－2＋3i.
【答案】(1)3－4i (2)－2＋3i
1.两个复数代数形式乘法的一般方法
首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式.
2.常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
(3)(1±i)2＝±2i.
[再练一题]
2.若|z1|＝5，z2＝3＋4i，且z1·z2是纯虚数，则z1＝________.
【导学号：01580063】
【解析】 设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则|z1|＝＝5，即a2＋b2＝25，
z1·z2＝(a＋bi)·(3＋4i)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i.
∵z1·z2是纯虚数.
∴解得或
∴z1＝4＋3i或z1＝－4－3i.
【答案】 4＋3i或－4－3i
[探究共研型]
共轭复数的应用
探究1 两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚数吗？
【提示】 若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，则z＋＝2a∈R.因此，和一定是实数；而z－＝2bi.当b＝0时，两共轭复数的差是实数，而当b≠0时，两共轭复数的差是纯虚数.
探究2 若z1与z2是共轭复数，则|z1|与|z2|之间有什么关系？
【提示】 |z1|＝|z2|.
已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
【精彩点拨】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi；代入所给等式，利用复数的运算及复数相等的充要条件转化为方程组求解.
【自主解答】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
[再练一题]
3.已知复数z1＝(－1＋i)(1＋bi)，z2＝，其中a，b∈R.若z1与z2互为共轭复数，求a，b的值.
【解析】 z1＝(－1＋i)(1＋bi)＝－1－bi＋i－b＝(－b－1)＋(1－b)i，
z2＝＝＝＝＋i，
由于z1和z2互为共轭复数，所以有
解得
1.(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝________.
【解析】 (5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i.
【答案】 －11i
2.(2016·济南高二检测)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________.
【解析】 (3＋i)(1－2i)＝3－6i＋i－2i2＝5－5i.
【答案】 5－5i
3.(2016·开封高二检测)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为________.
【解析】 z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z2＋2的虚部为0.
【答案】 0
4.已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝______.
【解析】 ∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1＝2－i，设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，∵z1·z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.
【答案】 4＋2i
5.计算：
(1)(1－i)(1＋i)；(2)(2－i)2.
【解】 (1)法一：(1－i)(1＋i)
＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝＋i＋i＋i2
＝－1＋i.
法二：原式＝(1－i)(1＋i)
＝(1－i2)
＝2
＝－1＋i.
(2)(2－i)2＝(2－i)(2－i)
＝4－4i＋i2＝3－4i.
我还有这些不足：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________第2课时 类比推理
1．结合实例，理解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理．(重点、难点)
2．区别归纳推理与类比推理，了解合情推理的合理性．(易混点)
[基础·初探]
教材整理1 类比推理
阅读教材P67“例1”以上部分，完成下列问题．
根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．其思维过程为：
观察、比较→联想、类推→猜测新的结论
1．判断正误：
(1)类比推理是特殊到特殊的推理．( )
(2)类比推理的结论一定正确．( )
【答案】 (1)√ (2)×
2．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的________．
【解析】 “边的中点”类比为“各面的中心”．
【答案】 中心
教材整理2 合情推理
阅读教材P68“练习”以上部分，完成下列问题．
1．合情推理的含义
根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程称为合情推理．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．
2．合情推理的特点
(1)合情推理的结论超越了前提所包容的范围，带有猜想的成分，因此推理所得的结论未必正确；
(2)合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供证明的思路和方向的作用．
如图2 1 8所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N
)个点，每个图形总的点数记为an，则a6＝________，an＝________(n>1，n∈N
)．
图2 1 8
【解析】 依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2,3,4,5,6的图形特点归纳得an＝3n－3(n>1，n∈N
)．
【答案】 15 3n－3
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问2：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问3：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
[小组合作型]
数列中的类比推理
在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N
)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有什么样的等式成立？
【精彩点拨】 在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂．
【自主解答】 在等差数列{an}中，a10＝0，
∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，
即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1.
又由a10＝0，
得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n
＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，
∴a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1，
∴a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n，
若a9＝0，
同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a17－n，
相应的，在等比数列{bn}中，若b9＝1，
则可得b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N
)．
1．有关数列的类比推理必须寻找合适的类比对象，从等差、等比数列的定义、性质、通项公式与前n项和公式探求，充分挖掘事物的本质及内在联系．
2．类比推理的一般步骤为：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)；(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；(3)检验这个猜想．
[再练一题]
1．若数列{an}(n∈N
)是等差数列，则有数列bn＝(n∈N
)也是等差数列．类比上述性质，相应地：若数列{cn}(n∈N
)是等比数列，且cn>0，则数列dn＝________(n∈N
)也是等比数列．
【解析】 和类比积，高类比开方，因此dn＝
【答案】
类比推理在几何中的应用
如图2 1 9所示，在平面上，设ha，hb，hc分别是△ABC三条边上的高，P为△ABC内任意一点，P到相应三边的距离分别为pa，pb，pc，可以得到结论＋＋＝1.
图2 1 9
证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．
【精彩点拨】 三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．
【自主解答】 ＝＝，
同理，＝，＝.
∵S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△ABC，
∴＋＋＝＝1.
类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD中，设ha，hb，hc，hd分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P为该四面体内任意一点，P到相应四个面的距离分别为pa，pb，pc，pd，可以得到结论＋＋＋＝1.
证明如下：＝＝，
同理，＝，＝，＝.
∵VP BCD＋VP ACD＋VP ABD＋VP ABC＝VA BCD，
∴＋＋＋
＝＝1.
1．一般地，平面图形与空间图形类比如下：
平面图形
点
线
边长
面积
线线角
三角形
空间图形
线
面
面积
体积
二面角
四面体
2.类比推理的一般步骤
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；
(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．
[再练一题]
2．在上例中，若△ABC的边长分别为a，b，c，其对角分别为A，B，C，那么由a＝b·cos
C＋c·cos
B可类比四面体的什么性质？
【解】 在如图所示的四面体中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，
α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
猜想S＝S1·cos
α＋S2·cos
β＋S3·cos
γ.
[探究共研型]
类比推理在其他问题中的应用
探究1 鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．你认为该过程为归纳推理还是类比推理？
【提示】 类比推理．
探究2 在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)”时，有如下方法：
先改写第k项：k(k＋1)＝[k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k(k＋1)]，由此得
1×2＝(1×2×3－0×1×2)，
2×3＝(2×3×4－1×2×3)，
……
n(n＋1)＝[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]，
相加得1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)．
类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4＋…＋n(n＋2)”，其结果写成关于n的一次因式的积的形式为________．
【提示】 1×3＝×(1×2×9－0×1×7)，
2×4＝×(2×3×11－1×2×9)，
3×5＝×(3×4×13－2×3×11)，
……
n(n＋2)＝[n(n＋1)(2n＋7)－(n－1)n(2n＋5)]，
各式相加，得1×3＋2×4＋3×5＋…＋n(n＋2)＝n(n＋1)(2n＋7)．
已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率kPM，kPN都存在时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值，试写出双曲线－＝1(a>0，b>0)具有类似特征的性质，并加以证明．
【精彩点拨】 双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论→双曲线中的相应结论
→理论证明
【自主解答】 类似性质：若M，N为双曲线－＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率kPM，kPN都存在时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
证明如下：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则
N(－m，－n)．因为点M(m，n)是双曲线上的点，
所以n2＝m2－b2.同理y2＝x2－b2.
则kPM·kPN＝·＝＝·＝(定值)．
1．两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征．
2．进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征；然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想．
[再练一题]
3．三角形的面积为S＝(a＋b＋c)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为________．
【解析】 △ABC的内心为O，连结OA，OB，OC(图略)，将△ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a，b，c；类比：设四面体A BCD的内切球球心为O，连结OA，OB，OC，OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r，所以有V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r.
【答案】 (S1＋S2＋S3＋S4)r(S1，S2，S3，S4为四个面的面积，r为内切球的半径)
[构建·体系]
1．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
【解析】 由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.
【答案】 1∶8
2．正方形的面积为边长的平方，则在立体几何中，与之类比的图形是________，结论是________.
【导学号：01580033】
【答案】 正方体 正方体的体积为棱长的立方
3．在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有，，也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和．可类比得到的结论是________．
【解析】 因为等差数列{an}的公差d＝3，
所以(S30－S20)－(S20－S10)
＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)
＝10d＋10d＋…＋10＝100d＝300，
同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，
所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.
即结论为：数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.
【答案】 数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300
4．类比圆的下列特征，找出球的相关特征．
(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆；
(2)平面内不共线的3个点确定一个圆；
(3)圆的周长与面积可求．
【解】 (1)在空间中，与定点距离等于定长的点的集合是球；
(2)空间中不共面的4个点确定一个球；
(3)球的表面积与体积可求．
我还有这些不足：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________3.1 数系的扩充
1.理解复数的基本概念、复数的代数表示.(重点)
2.利用复数的代数形式进行分类和复数相等的充要条件的应用.(重点、难点)
3.实部、虚部的概念.(易混点)
[基础·初探]
教材整理1 复数的相关概念
阅读教材P109～P110“例1”以上部分，完成下列问题.
1.虚数单位
我们引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：
(1)i2＝－1；
(2)实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.
2.复数、复数集
(1)形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C.
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
判断正误：
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数.( )
(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数.( )
(3)bi是纯虚数.( )
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等.( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√
教材整理2 复数的分类与复数相等
阅读教材P110，完成下列问题.
1.复数的分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，z是实数；当b≠0时，z叫做虚数；当a＝0且b≠0时，z＝bi叫做纯虚数.
2.复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d.
1.①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；
③两个虚数不能比较大小.
其中正确命题的序号是__________.(填序号)
【解析】 当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错.
【答案】 ③
2.(2016·盐城检测)若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝________.
【导学号：01580058】
【解析】 由i2＝－1得xi－i2＝1＋xi，即1＋xi＝y＋2i，根据两个复数相等的充要条件得
故x＋yi＝2＋i.
【答案】 2＋i
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问2：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问3：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
[小组合作型]
复数的相关概念
(1)复数z＝4－3i的实部和虚部分别是________和________.
(2)复数z＝(m2－3m＋2)＋(m2＋m－2)i，当实数m为何值时，
①z为实数；②z为虚数；③z为纯虚数.
(3)当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为：①实数；②虚数；③纯虚数.
【自主解答】 (1)由复数的代数形式及实、虚部的概念知，复数z的实部和虚部分别为4和－3.
【答案】 4 －3
(2)①当m2＋m－2＝0，即m＝－2或m＝1时，z为实数.
②当m2＋m－2≠0，即m≠－2且m≠1时，z为虚数.
③当即m＝2时，z为纯虚数.
(3)①当即m＝2，
∴当m＝2时，复数z是实数.
②当m2－2m≠0，且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数.
③由解得m＝－3，
∴当m＝－3时，复数z是纯虚数.
判断与复数有关的命题是否正确的方法
1.举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答.
2.化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部.
[再练一题]
1.下列命题中是假命题的是________.(填序号)
①自然数集是非负整数集
②实数集与复数集的交集为实数集
③实数集与虚数集的交集是{0}
④纯虚数集与实数集的交集为空集
【解析】 复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共元素，③是假命题.
【答案】 ③
复数的分类及应用
(1)复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是________.
【导学号：01580059】
(2)已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，
①z为实数；②z为虚数；③z为纯虚数.
【精彩点拨】 依据复数的分类列出方程(不等式)组求解.
【自主解答】 (1)要使复数z为纯虚数，则∴a>0，a＝±b.
【答案】 a>0且a＝±b
(2)①要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.
②要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
③要使z为纯虚数，需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.
利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解.要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.
[再练一题]
2.若把上例(1)中的“纯虚数”改为“实数”，则结果如何？
【解】 复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，所以a≤0.
[探究共研型]
复数相等的充要条件
探究1 a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的充分条件吗？
【提示】 因为当a＝0且b≠0时，z＝a＋bi才是纯虚数，所以a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的必要不充分条件.
探究2 3＋2i＞3＋i正确吗？
【提示】 不正确，如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小.
(1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值；
(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值.
【精彩点拨】 根据复数相等的充要条件求解.
【自主解答】 (1)由复数相等的充要条件，
得
解得
(2)设方程的实根为x＝m，
则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
所以
解得a＝11或a＝－.
1.复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R，则z1＝z2 a＝c且b＝d.
2.复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法.转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是：
(1)等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式；
(2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；
(3)解方程组，求出相应的参数.
[再练一题]
3.已知x2＋y2－6＋(x－y－2)i＝0，求实数x，y的值.
【解】 由复数相等的条件得方程组
由②得x＝y＋2，代入①得y2＋2y－1＝0.
解得y1＝－1＋，y2＝－1－.
所以x1＝y1＋2＝1＋，x2＝y2＋2＝1－.
即或
[构建·体系]
1.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是__________.
【解析】 由题意，得a2＝2，－(2－b)＝3，所以a＝±，b＝5.
【答案】 ±，5
2.若关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有实数根，则实数m＝________.
【解析】 关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0可化为(x2＋x＋3m)＋(2x＋1)i＝0，∵方程有实数解.
∴解得m＝.
【答案】
3.已知z1＝m2－3m＋mi，z2＝4＋(5m＋4)i，其中m∈R，i为虚数单位，若z1＝z2，则m的值为________.
【解析】 由题意得m2－3m＋mi＝4＋(5m＋4)i，从而解得m＝－1.
【答案】 －1
4.(2016·河南调研)复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos
θ＋(λ＋3sin
θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为________.
【解析】 由复数相等的充要条件可得
化简得4－4cos2θ＝λ＋3sin
θ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sin
θ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sin
θ＋4＝4sin2θ－3sin
θ＝42－，因为sin
θ∈[－1,1]，所以4sin2
θ－3sin
θ∈.
【答案】
5.(2016·佛山高二检测)已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足M∩N≠ ，求整数a，b.
【解】 依题意得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①
或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，②
或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③
由①得a＝－3，b＝±2，
由②得a＝±3，b＝－2.
③中，a，b无整数解不符合题意.
综上所述得a＝－3，b＝2或a＝3，
b＝－2或a＝－3，b＝－2.
我还有这些不足：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________1.2.2 函数的和、差、积、商的导数
1.2.3 简单复合函数的导数
1．理解导数的四则运算法则，能运用运算法则求函数的导数．(重点)
2．能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．(难点)
3．积函数、商函数求导公式的正确运用．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 导数的四则运算法则
阅读教材P21，完成下列问题．
1．导数的四则运算法则
设两个函数f(x)，g(x)可导，则
和的导数
[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)
差的导数
[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)
积的导数
[Cf(x)]′＝C·f′(x)(C为常数)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
商的导数
′＝(g(x)≠0)
判断正误：
(1)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.( )
(2)已知函数y＝2sin
x－cos
x，则y′＝2cos
x＋sin
x．( )
(3)已知函数f(x)＝(x＋1)(x＋2)，则f′(x)＝2x＋1.( )
【解析】 (1)由f′(x)＝2x，则f(x)＝x2＋C.
(2)由y＝2sin
x－cos
x，
则y′＝(2sin
x)′－(cos
x)′＝2cos
x＋sin
x.
(3)由f(x)＝(x＋1)(x＋2)＝x2＋3x＋2，
所以f′(x)＝2x＋3.
【答案】 (1)× (2)√ (3)×
教材整理2 复合函数的导数
阅读教材P23，完成下列问题．
复合函数的概念
由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数
复合函数的求导法则
若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a
1．判断正误：
(1)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．( )
(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos
x．( )
【答案】 (1)√ (2)×
2．已知函数f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝____________.
【解析】 f′(x)＝2(2x＋a)(2x＋a)′＝4(2x＋a)，
∴f′(2)＝4(4＋a)＝20，∴a＝1.
【答案】 1
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问2：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问3：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
[小组合作型]
利用导数的运算法则求导数
(1)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln
x(e为自然对数的底数)，则f′(e)＝________.
(2)求下列函数的导数：
①f(x)＝(x＋2)(x－3)；②f(x)＝lg
x－3x；
③f(x)＝＋；④f(x)＝.
【自主解答】 (1)f′(x)＝2f′(e)＋，则f′(e)＝2f′(e)＋.∴f′(e)＝－.
【答案】 －
(2)①∵f(x)＝x2－x－6，
∴f′(x)＝(x2－x－6)′＝2x－1.
②f′(x)＝(lg
x)′－(3x)′＝－3xln
3.
③∵f(x)＝＝，
∴f′(x)＝′＝＝.
④∵f(x)＝＝1－，
∴f′(x)＝1′－′
＝－
＝.
1．解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．
2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．
[再练一题]
1．求下列函数的导数．
(1)y＝x－2＋x2；
(2)y＝3xex－2x＋e；
(3)y＝；
(4)y＝x2－sin
cos.
【自主解答】 (1)y′＝2x－2x－3.
(2)y′＝(ln
3＋1)·(3e)x－2xln
2.
(3)y′＝.
(4)∵y＝x2－sincos＝x2－sin
x，
∴y′＝2x－cos
x.
求简单复合函数的导数
求下列函数的导数．
(1)y＝e2x＋1；(2)y＝；
(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin
3x.
【精彩点拨】 先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．
【自主解答】 (1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.
(2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4
＝－6(2x－1)－4＝－.
(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝.
(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin
x的复合函数，函数y＝sin
3x可看作函数y＝sin
v和v＝3x的复合函数．
∴y′x＝(u3)′·(sin
x)′＋(sin
v)′·(3x)′
＝3u2·cos
x＋3cos
v
＝3sin2x
cos
x＋3cos
3x.
1．解答此类问题常犯两个错误
(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；
(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．
2．复合函数求导的步骤
[再练一题]
2．求下列函数的导数．
(1)y＝；
(2)y＝log2(2x2－1)．
【解】 (1)y＝
＝
＝＝1＋.
设y＝1＋，u＝1－x，
则y′＝yu′·ux′＝(1＋)′·(1－x)′
＝·(－1)＝－.
(2)设y＝log2u，u＝2x2－1，
则y′＝y′u·ux′＝·4x
＝.
[探究共研型]
导数法则的综合应用
探究 试说明复合函数y＝(3x＋2)2的导函数是如何得出的？
【提示】 函数y＝(3x＋2)2可看出函数y＝u2和u＝3x＋2的复合函数，
∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(3x＋2)′
＝6u＝6(3x＋2)．
已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝相切，求实数a的值．
【精彩点拨】 求出导数f′(1)，写出切线方程，由直线l与圆C相切，建立方程求解．
【自主解答】 因为f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)，
所以f′(1)＝2a－2，
所以切线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.
因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝＝，解得a＝.
关于复合函数导数的应用及其解决方法
(1)应用：复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．
(2)方法：先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用．
[再练一题]
3．若将上例中条件改为“直线l与圆C：x2＋y2＝相交”，求a的取值范围．
【解】 由例题知，直线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.
∵直线l与圆C：x2＋y2＝相交，
∴圆心到直线l的距离小于半径．
即d＝<.
解得a>.
[构建·体系]
1．函数y＝(2
017－8x)3的导数y′＝________.
【导学号：01580009】
【解析】 y′＝3(2
017－8x)2×(2
017－8x)′
＝3(2
017－8x)2×(－8)＝－24(2
017－8x)2.
【答案】 －24(2
017－8x)2
2．函数y＝x2cos
2x的导数为________．
【解析】 y′＝(x2)′cos
2x＋x2(cos
2x)′
＝2xcos
2x＋x2(－sin
2x)·(2x)′
＝2xcos
2x－2x2sin
2x.
3．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________.
【解析】 f′(x)＝·(3x－1)′＝，
∴f′(1)＝.
【答案】
4．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
【解析】 令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝(eax)·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.
【答案】 2
5．求下列函数的导数．
(1)y＝cos(x＋3)；(2)y＝(2x－1)3；(3)y＝e－2x＋1.
【解】 (1)函数y＝cos(x＋3)可以看做函数y＝cos
u和u＝x＋3的复合函数，
由复合函数的求导法则可得
yx′＝yu′·ux′＝(cos
u)′·(x＋3)′
＝－sin
u·1＝－sin
u＝－sin(x＋3)．
(2)函数y＝(2x－1)3可以看做函数y＝u3和u＝2x－1的复合函数，
由复合函数的求导法则可得
yx′＝yu′·ux′＝(u3)′·(2x－1)′
＝3u2·2＝6u2＝6(2x－1)2.
(3)y′＝e－2x＋1·(－2x＋1)′＝－2e－2x＋1.
我还有这些不足：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________第2课时 复数的乘方与除法
1.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立.(重点)
2.理解复数商的定义，能够进行复数除法运算.(重点、难点)
3.了解i幂的周期性.(易错点)
[基础·初探]
教材整理 复数的乘方与除法
阅读教材P115～P117“练习”以上部分，完成下列问题.
1.复数的乘方与in(n∈N
)的周期性
(1)复数范围内正整数指数幂的运算性质
设对任何z∈C及m，n∈N
，则zmzn＝zm＋n，(zm)n＝znm，(z1z2)n＝zz.
(2)虚数单位in(n∈N
)的周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.
2.复数的除法
把满足(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0)的复数x＋yi(x，y∈R)叫做复数a＋bi除以复数c＋di的商，且x＋yi＝＝＋i(c＋di≠0).
1.判断正误：
(1)两复数的商一定是虚数.( )
(2)i2
005＝i.( )
(3)复数的加、减、乘、除混合运算法则是先乘除、后加减.( )
(4)若z∈C，则z2＝2.( )
【答案】(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.复数＋i3＝________.
【解析】 ＝＝＝i，i3＝i2·i＝－i.
∴原式＝i－i＝0.
【答案】 0
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问2：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问3：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
[小组合作型]
i的运算特征
计算下列各式的值.
(1)1＋i＋i2＋…＋i2
014＋i2
015；
(2)2
014＋(1－i)2
014；
(3)i2
006＋(＋i)8－50.
【自主解答】 (1)1＋i＋i2＋…＋i2
014＋i2
015＝1＋i＋i2＋i3＝0.
(2)∵1－＝1＋＝1＋i，且(1±i)2＝±2i.
∴2
014＋(1－i)2
014
＝(1＋i)2
014＋[(1－i)2]1
007
＝(2i)1
007＋(－2i)1
007＝0.
(3)i2
006＋(＋i)8－50
＝i4×501＋2＋[2(1＋i)2]4－25
＝i2＋(4i)4－i25
＝－1＋256－i＝255－i.
1.虚数单位i的性质：
(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N
).
(2)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N
).
2.复数的乘方运算，要充分运用(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－i及乘方运算律简化运算.
[再练一题]
1.(1)已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点为_____.
【导学号：01580065】
【解析】 ∵i＋i2＋i3＋i4＝0，∴z＝＝＝i，对应的点为(0,1).
【答案】 (0,1)
(2)(2016·东北三省三校二模)i为虚数单位，复数z＝i2
012＋i2
015在复平面内对应的点位于第________象限.
【解析】 i2
012＝i503×4＝1，i2
015＝i503×4＋3＝－i，∴复数z＝1－i在复平面上对应点为(1，－1)，位于第四象限.
【答案】 四
复数的除法
(1)＝________.
(2)已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝________.
(3)i为虚数单位，2＝________.
【导学号：01580066】
【精彩点拨】 (1)直接利用除法法则计算；(2)转化为复数的除法计算；(3)先计算括号内的，再乘方运算.
【自主解答】 (1)＝＝＝－1＋2i；
(2)由(3－4i)z＝25，得z＝＝＝＝3＋4i；
(3)∵＝＝＝－i，
∴2＝(－i)2＝－1.
【答案】(1)－1＋2i (2)3＋4i (3)－1
1.两个复数代数形式的除法运算步骤
(1)把除式写为分式.
(2)分子、分母同时乘以分母的共轭复数.
(3)对分子、分母分别进行乘法运算.
(4)把运算结果化为复数的代数形式.
2.解题时注意以下常用结论
(1)＝i，＝－i，(1±i)2＝±2i.
(2)in，(－i)n的值是以4为周期的一列值.
(3)＝＝＝i.
[再练一题]
2.(1)i为虚数单位，复数＝________.
(2)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2＝________.
【解析】 (1)＝＝1＋i；
(2)＋z2＝＋(1＋i)2＝＋2i＝1＋i.
【答案】 (1)1＋i (2)1＋i
[探究共研型]
复数四则运算的综合应用
探究1 复数的四则运算顺序与实数的四则运算顺序相同吗？顺序是什么？
【提示】 相同，先乘除、后加减.
探究2 如何理解复数的除法运算法则？
【提示】 复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i).
计算：(1)＋(5＋i)2－2；
(2).
【精彩点拨】 解答较为复杂的复数相乘、除时，一方面要利用复数乘、除的运算法则、运算律，另一方面要注意观察式子中数据的特点，利用题目中数据的特点简化运算.
【自主解答】 (1)＋(5＋i)2－2
＝＋(25＋10i－1)－
＝i＋24＋10i－i＝24＋10i.
(2)原式＝
＝
＝
＝·(2i)2·i
＝－4i.
1.进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减.
2.复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用：
(1)＝＝＝i.利用此法可将一些特殊类型的计算过程简化；
(2)记住一些简单结论如＝－i，＝i，＝－i，(1±i)2＝±2i等.
[再练一题]
3.(1)设i是虚数单位，复数i3＋＝________.
(2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝________.
【解析】 (1)i3＋＝－i＋＝－i＋i－i2＝1.
(2)∵(z－2i)(2－i)＝5，∴z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝2＋i＋2i＝2＋3i.
【答案】 (1)1 (2)2＋3i
1.设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝________.
【解析】 z＝＝＝＝－1＋i.
【答案】 －1＋i
2.设i是虚数单位，复数的虚部为________.
【解析】 ＝＝3＋i.
【答案】 1
3.如果z1＝－2－3i，z2＝，则＝________.
【解析】 ∵z1＝－2－3i，z2＝，
∴＝＝
＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i＝4－3i.
【答案】 4－3i
4.已知i是虚数单位，计算＝________.
【导学号：01580067】
【解析】 ＝＝＝＝－－i.
【答案】 －－i
5.计算2－20.
【解】 2－20
＝[(1＋2i)·1＋(－i)5]2－i10
＝(1＋i)2－i10
＝1＋2i.
我还有这些不足：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________1.3.3 最大值与最小值
1．会求在指定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．(重点)
2．掌握含参数的最值问题的讨论．(难点)
3．掌握函数的极值与最值的联系与区别．(易混点)
[基础·初探]
教材整理 函数的最大(小)值与导数
阅读教材P32“例1”以上部分，完成下列问题．
1．函数的最大值与最小值．
(1)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值．
(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值．
函数的最大(小)值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大(小)值，那么函数的最大(小)值惟一．
2．利用导数求函数的最值
求可导函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求f(x)在区间(a，b)上的极值；
(2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．
1．判断正误：
(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( )
(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )
(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)×
2．函数f(x)＝2x－cos
x在(－∞，＋∞)上________．(填序号)
①无最值；
②有极值；
③有最大值；
④有最小值．
【解析】 f′(x)＝2＋sin
x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．
【答案】 ①
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问2：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问3：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
[小组合作型]
求函数在给定区间上的最值
求下列函数的最值：
(1)f(x)＝x3－x2－2x＋5，x∈[－2,2]；
(2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0,1]．
【精彩点拨】 首先利用函数求极值，再比较极值与端点值的大小，确定最值．
【自主解答】 (1)f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
x
－2
－
1
(1,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－1
?
?
?
7
从上表可知，函数f(x)在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1.
(2)f′(x)＝′－(ex)′＝－－ex＝－.
当x∈[0,1]时，f′(x)<0恒成立，
即f(x)在[0,1]上是减函数．
故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝－e；
当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0.
求函数最值的四个步骤
(1)求函数的定义域；
(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表；
(4)求极值、端点值，确定最值．
[再练一题]
1．(2016·盐城质检)函数y＝x＋2cos
x在区间上的最大值是________.
【导学号：01580015】
【解析】 ∵y′＝1－2sin
x，x∈，
令y′＝0，得x＝.
由于f(0)＝2，f＝＋，f＝，
∴函数的最大值为＋.
【答案】 ＋
由函数的最值确定参数的值
已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
【精彩点拨】 首先求出f′(x)．然后讨论a的正负，根据函数f(x)的单调性得出用a，b表示的函数的最值，从而列出关于a，b的方程组，求a，b.
【自主解答】 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
(1)当a>0，且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
单调递增?
b
单调递减?
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，
f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
1．本题的解题关键是利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值，同时由于系数a的符号对函数的单调性有直接的影响，且最值也受a的符号的影响，因此需要对a的符号进行分类讨论．
2．已知函数的最值求参数问题属于逆向探究题型，解决该类问题的基本方法是待定系数法，列出关于参数的方程(组)，从而求出参数的值，但在用参数表示最值时，需要根据参数的情况分类讨论．
[再练一题]
2．设【导学号：01580016】
【解】 f′(x)＝3x2－3ax，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0，a)
a
(a,1)
1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－1－a＋b
单调递增?
b
单调递减?
－＋b
单调递增?
1－a＋b
从上表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，
当x＝a时，f(x)取得极小值－＋b，
而f(0)>f(a)，又f(1)>f(－1)，
故只需比较f(0)与f(1)，f(－1)与f(a)的大小．
因为f(0)－f(1)＝a－1>0，
所以f(x)的最大值为f(0)＝b，所以b＝1.
又因为f(－1)－f(a)＝(a＋1)2(a－2)<0，
所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b
＝－a，
所以－a＝－，
所以a＝.
故所求函数的解析式是f(x)＝x3－x2＋1.
[探究共研型]
与最值有关的恒成立问题
如图1 3 6为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．
图1 3 6
探究1 观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．
【提示】 f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．
探究2 结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？
【提示】 存在．f(x)最小值＝f(a)，f(x)最大值＝f(x3)．
探究3 函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是其极值吗？
【提示】 不一定．也可能是区间端点的函数值．
设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
【精彩点拨】 (1)利用配方法，即可求出二次函数f(x)的最小值h(t)；
(2)构造函数g(t)＝h(t)－(－2t＋m)，只需使g(t)在(0,2)上的最大值小于零即可求得m的取值范围．
【自主解答】 (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
＋
0
－
g(t)
单调递增?
极大值1－m
单调递减?
∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)＝1－m.
h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0.∴m的取值范围为(1，＋∞)．
1．涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来解决．若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论．
2．不等式恒成立、能成立常见的转化策略
(1)a＞f(x)恒成立 a＞f(x)最大值，a＜f(x)恒成立 a(2)f(x)＞g(x)＋k恒成立 k＜[f(x)－g(x)]最小值；
(3)f(x)＞g(x)恒成立 f(x)最小值＞g(x)最大值；
(4)a＞f(x)能成立 a＞f(x)最小值，a＜f(x)能成立 a＜f(x)最大值．
[再练一题]
3．上例(2)若改为“存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立”，则实数m的取值范围如何求解？
【解】 令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t
0
(0,1)
1
(1,2)
2
g′(t)
＋
0
－
g(t)
－1－m
单调递增?
极大值1－m
单调递减?
－3－m
∴g(t)在[0,2]上有最小值g(2)＝－3－m，
存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立，
等价于g(t)的最小值g(2)<0.
∴－3－m<0，∴m>－3，
所以实数m的取值范围为(－3，＋∞)．
[构建·体系]
1．函数y＝x－sin
x，x∈的最大值是________．
【解析】 ∵y′＝1－cos
x≥0，∴y＝x－sin
x在上是增函数，∴y最大值＝π.
【答案】 π
2．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是________.
【导学号：01580017】
【解析】 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝2(舍去)．
当x∈[－1,0)时，f′(x)>0，f(x)递增；
当x∈(0,1]，f′(x)<0，f(x)递减；
∴x＝0时，f(x)取最大值2.
【答案】 2
3．函数f(x)＝ex(sin
x＋cos
x)在区间上的值域为________
.
【解析】 ∵x∈，∴f′(x)＝excos
x≥0，
∴f(0)≤f(x)≤f，即≤f(x)≤·e.
【答案】
4．(2016·安徽黄山一模)已知函数f(x)＝m－2ln
x(m∈R)，g(x)＝－，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f(x0)【解析】 由题意，不等式f(x)x，即<在[1，e]上有解，令h(x)＝，则h′(x)＝，当1≤x≤e时，h′(x)≥0，∴在[1，e]上，h(x)≥h(e)＝，∴<，∴m<.∴m的取值范围是.
【答案】
5．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)·(x－a)．
(1)求导数f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值．
【解】 (1)由原式得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，
∴f′(x)＝3x2－2ax－4.
(2)由f′(－1)＝0，得a＝，
此时有f(x)＝(x2－4)·，
f′(x)＝3x2－x－4.
由f′(x)＝0，得x＝或x＝－1.
又f＝－，f(－1)＝，
f(－2)＝0，f(2)＝0，
∴f(x)在[－2,2]上的最大值为，最小值为－.
我还有这些不足：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.1 单调性
1．利用导数研究函数的单调性．(重点)
2．含有字母参数的函数单调性的讨论，单调区间的求解．(难点)
3．由单调性求参数的取值范围．(易错点)
[基础·初探]
教材整理 函数的单调性与其导数的关系
阅读教材P28“例1”以上部分，完成下列问题．
1．函数的单调性与其导数的关系
(1)一般地，在某区间上函数y＝f(x)的单调性与导数有如下关系：
导数
函数的单调性
f′(x)>0
f(x)为该区间上的增函数
f′(x)<0
f(x)为该区间上的减函数
(2)如果在区间(a，b)内恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)在这个区间内是常数函数．
2．导数与函数图象间的关系
(1)导函数图象在x轴上方的区间为原函数的单调增区间，导函数图象在x轴下方的区间为原函数的单调减区间．
(2)一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数的图象就“平缓”一些．
1．判断正误：
(1)若函数f(x)在(a，b)上是增函数，则对任意x∈(a，b)，都有f′(x)>0.( )
(2)函数f(x)＝在其定义域上是单调减函数．( )
(3)函数f(x)＝x3－2x在(1，＋∞)上单调递增．( )
(4)若存在x∈(a，b)有f′(x)＝0成立，则函数f(x)为常数函数．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________．
【解析】 f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，
令f′(x)>0，解得x>2.
【答案】 (2，＋∞)
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问2：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问3：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
[小组合作型]
判断(证明)函数的单调性
(1)求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．
(2)判断函数f(x)＝在区间(0,2)上的单调性．
【精彩点拨】 求出导数f′(x)，然后判断导数的符号即可．
【自主解答】 (1)证明：由于f(x)＝ex－x－1，
所以f′(x)＝ex－1，
当x∈(0，＋∞)时，ex>1，即f′(x)＝ex－1>0.
故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数，
当x∈(－∞，0)时，ex<1，即f′(x)＝ex－1<0.
故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数．
(2)由于f(x)＝，
所以f′(x)＝＝.
由于0x2<1，x2>0.
故f′(x)＝>0.
∴函数f(x)在区间(0,2)上是单调递增函数．
1．利用导数证明函数f(x)在给定区间上的单调性，实质上就是证明f′(x)>0(或f′(x)<0)在给定区间上恒成立．
2．利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：(1)求f′(x)；(2)确定f′(x)在(a，b)内的符号；(3)得出结论．
[再练一题]
1．证明：函数y＝ln
x＋x在其定义域内为增函数．
【证明】 显然函数的定义域为{x|x>0}，
又f′(x)＝(ln
x＋x)′＝＋1，
当x>0时，f′(x)>1>0，
故y＝ln
x＋x在其定义域内为增函数．
求函数的单调区间
求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x2－ln
x；(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝－x3＋3x2.
【精彩点拨】 首先确定函数的定义域，再求导数，进而解不等式得单调区间．
【自主解答】 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2x－＝.
因为x>0，所以x＋1>0，由f′(x)>0，解得x>，所以函数f(x)的单调递增区间为；
由f′(x)<0，解得x<，又x∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为.
(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以ex>0，(x－2)2>0.
由f′(x)>0，解得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；
由f′(x)<0，解得x<3，又x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．
(3)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)．
当00，所以函数f(x)的单调递增区间为(0,2)；当x<0或x>2时，f′(x)<0，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．
利用导数求函数单调区间的步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围；当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．
(4)结合定义域写出单调区间．
[再练一题]
2．若函数f(x)＝x2－2x－4ln
x，则函数f(x)的单调递增区间为________.
【导学号：01580011】
【解析】 由已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－2－＝，
由f′(x)>0得x2－x－2>0，解得x<－1或x>2，
又x>0，所以函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．
【答案】 (2，＋∞)
[探究共研型]
已知函数的单调性求参数的取值范围
探究1 已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，如何求实数a的取值范围．
【提示】 由已知得f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.
探究2 若函数f(x)＝x＋＋ln
x(a∈R)在(1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．
【提示】 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－＋＝
由题意知，f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，
即x2＋x－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，
令g(x)＝x2＋x－a＝2－－a，
则g(x)＞2－a，从而2－a≥0，∴a≤2.
当a＝2时，f′(x)＞0在(1，＋∞)上恒成立，
因此实数a的取值范围是(－∞，2]．
已知关于x的函数y＝x3－ax＋b.
(1)若函数y在(1，＋∞)内是增函数，求a的取值范围；
(2)若函数y的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a的值．
【精彩点拨】 (1)函数在区间(1，＋∞)内是增函数，则必有y′≥0在(1，＋∞)上恒成立，由此即可求出a的取值范围．
(2)函数y的一个单调递增区间为(1，＋∞)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a的值．
【自主解答】 y′＝3x2－a.
(1)若函数y＝x3－ax＋b在(1，＋∞)内是增函数．
则y′＝3x2－a≥0在x∈(1，＋∞)时恒成立，
即a≤3x2在x∈(1，＋∞)时恒成立，
则a≤(3x2)最小值．
因为x>1，所以3x2>3.
所以a≤3，即a的取值范围是(－∞，3]．
(2)令y′>0，得x2>.
若a≤0，则x2>恒成立，即y′>0恒成立，
此时，函数y＝x3－ax＋b在R上是增函数，与题意不符．
若a>0，令y′>0，得x>或x<－.
因为(1，＋∞)是函数的一个单调递增区间，所以＝1，即a＝3.
1．解答本题注意：可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.
2．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；
(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．
[再练一题]
3．将上例(1)改为“若函数y在(1，＋∞)上不单调”，则a的取值范围又如何？
【解】 y′＝3x2－a，
当a<0时，y′＝3x2－a>0，函数在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意．
当a>0时，函数y在(1，＋∞)上不单调，即y′＝3x2－a＝0在区间(1，＋∞)上有根．由3x2－a＝0可得x＝或x＝－(舍去)．
依题意，有>1，∴a>3，
所以a的取值范围是(3，＋∞)．
[构建·体系]
1．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图1 3 1所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
图1 3 1
【解析】 当x＜0时，f(x)为增函数，f′(x)＞0，排除①，③；当x＞0时，f(x)先增后减再增，对应f′(x)先正后负再正．故选④.
【答案】 ④
2．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的有________(填序号)．
①y＝2－3x2；②y＝ln
x；③y＝；④y＝sin
x.
【解析】 显然，函数y＝2－3x2在区间(－1,1)上是不单调的；
函数y＝ln
x的定义域为(0，＋∞)，不满足题目要求；
对于函数y＝，其导数y′＝<0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y＝在区间(－1，1)上是减函数；
函数y＝sin
x在上是增函数，所以函数y＝sin
x在区间(－1,1)上也是增函数．
【答案】 ③
3．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．
【解析】 f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2.
【答案】 (1,2)
4．已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围为________．
【解析】 f′(x)＝，由题意得f′(x)≤0在(－2，＋∞)内恒成立，∴解不等式得a≤，但当a＝时，f′(x)＝0恒成立，不合题意，应舍去，所以a的取值范围是.
【答案】
5．已知函数f(x)＝ln
x，g(x)＝ax2＋2x，a≠0.
若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．
【解】 h(x)＝ln
x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，
所以h′(x)＝－ax－2.
因为h(x)在[1,4]上单调递减，
所以x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立，
所以a≥G(x)最大值，而G(x)＝2－1.
因为x∈[1,4]，所以∈，
所以G(x)最大值＝－(此时x＝4)，
所以a≥－.
当a＝－时，
h′(x)＝＋x－2＝
＝.
因为x∈[1,4]，所以h′(x)＝≤0，
即h(x)在[1,4]上为减函数．
故实数a的取值范围是.
我还有这些不足：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________1．1 导数的概念
1.1.1 平均变化率
1．通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率．(重点)
2．了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的情境中，说明平均变化率的实际意义．(难点)
3．平均变化率的正负．(易混点)
[基础·初探]
教材整理 函数的平均变化率
阅读教材P5～P7，完成下列问题．
1．函数平均变化
一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为.
2．平均变化率的意义
平均变化率的几何意义是经过曲线y＝f(x)上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线PQ的斜率．因此平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
1．判断正误：
(1)函数的平均变化率为零，说明函数没有发生变化．( )
(2)自变量的改变量x2－x1取值越小，越能准确体现函数的变化率．( )
(3)对山坡的上、下两点A，B中，可以近似刻画弯曲山路的陡峭程度．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)√
2．函数y＝2x＋2在[1,2]上的平均变化率是________.
【导学号：01580000】
【解析】 ＝2.
【答案】 2
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问2：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问3：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
[小组合作型]
求函数的平均变化率
(1)已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，f(x＋Δx)－f(x)的值为________．
(2)已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
【精彩点拨】 (1)由f(x＋Δx)－f(x)＝f(2＋0.1)－f(2)可得．
(2)求x2－x1→求f(x2)－f(x1)→计算
【自主解答】 (1)f(2＋Δx)－f(2)＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.
【答案】 0.41
(2)自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为
＝＝；
自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为
＝＝.
因为<，所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．
1．求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量x2－x1；
第二步，求函数值的增量f(x2)－f(x1)；
第三步，求平均变化率.
2．求平均变化率的一个关注点
求点x0附近的平均变化率，可用的形式．
[再练一题]
1．如图1 1 1，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________．
图1 1 1
【解析】 ∵kAB＝＝＝－1，
由平均变化率的意义知y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率为－1.
【答案】 －1
实际问题中的平均变化率
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
(1)求运动员在第一个0.5
s内高度h的平均变化率；
(2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率．
【精彩点拨】 (1)求函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10在区间[0,0.5]上的平均变化率；(2)求函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10在区间[1,2]上的平均变化率．
【自主解答】 (1)运动员在第一个0.5
s内高度h的平均变化率为＝4.05(m/s)．
(2)在1≤t≤2这段时间内，高度h的平均变化率为＝－8.2
(m/s)．
实际问题中的平均变化率与函数在某一区间上的平均变化率类似，首先求f(x2)－f(x1)，再求比值，当函数解析式没有给定时，先根据实际问题求出函数解析式，再重复上述步骤即可．
[再练一题]
2．一质点作直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)＝t2＋1，该质点在2到2＋Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于5，则Δt的取值范围是________．
【解析】 质点在2到2＋Δt之间的平均速度为＝＝＝4＋Δt，
又≤5，则4＋Δt≤5，所以Δt≤1，又Δt>0，所以Δt的取值范围是(0,1]．
【答案】 (0,1]
[探究共研型]
平均变化率的应用
探究1 函数y＝f(x)由x1变化到x2时的平均变化率是什么？
【提示】
探究2 平均变化率的大小说明什么意义？
【提示】 平均变化率的绝对值越大，表示函数值变化的越快，若平均变化率为负，则表示函数值在减小，若平均变化率为正，表示函数值在增加．
已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3.
(1)求半径r关于体积V的函数r(V)；
(2)比较体积V从0
L增加到1
L和从1
L增加到2
L半径r的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？
【精彩点拨】 (1)由体积V和半径r的关系反解即可．(2)分别求函数r(V)在区间[0,1]和[1,2]上的平均变化率，然后比较说明．
【自主解答】 (1)∵V＝πr3，∴r3＝，r＝，
即r(V)＝.
(2)函数r(V)在区间[0,1]上的平均变化率约为＝≈0.62(dm/L)，
函数r(V)在区间[1,2]上的平均变化率约为
＝－≈0.16(dm/L)．
显然体积V从0
L增加到1
L时，半径变化快，这说明气球刚开始膨胀的比较快，随着体积的增大，半径增加的越来越慢．
平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等．解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量．
平均变化率为正值，表示函数值在增加；平均变化率为负值，表示函数值在减小．
[再练一题]
3．为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25
m/s到0
m/s花了5
s，乙车从18
m/s到0
m/s花了4
s，试比较两辆车的刹车性能．
【解】 甲车速度的平均变化率为＝－5(m/s2)，
乙车速度的平均变化率为＝－4.5(m/s2)，
平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好．
[构建·体系]
1．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则的值为________.
【导学号：01580001】
【解析】 ＝＝4＋2Δx.
【答案】 4＋2Δx
2．质点运动规律s＝2t2＋5，则在时间(2,2＋Δt)中，相应的平均速度等于________．
【解析】 s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2＋5－(2×22＋5)＝2(Δt)2＋8Δt.
∴＝＝8＋2Δt.
【答案】 8＋2Δt
3．函数y＝x2－2x在x＝2附近的平均变化率是______________________．
【解析】 f(2＋Δx)－f(2)
＝(2＋Δx)2－2(2＋Δx)－(4－4)
＝(Δx)2＋2Δx，
∴＝＝Δx＋2.
【答案】 Δx＋2
4．质点运动规律s＝gt2，则在时间区间(3,3＋Δt)内的平均速度等于________．(g＝10
m/s2)
【解析】 g×(3＋Δt)2－g×32＝×10×[9＋6Δt＋(Δt)2]－45＝30Δt＋5(Δt)2，＝＝30＋5Δt.
【答案】 30＋5Δt
5．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为，则m的值为________．
【解析】 ∵m3－×13＝(m3－1)，
∴＝＝，
即m2＋m＋1＝7，解得m＝2或m＝－3(舍去)．
【答案】 2
我还有这些不足：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________2.2.2 间接证明
1.理解反证法的思考过程和特点，会运用反证法证明简单数学问题.(重点、难点)
2.利用反证法证明时，对结论的假设否定.(易错点)
[基础·初探]
教材整理 间接证明
阅读教材P85“例1”以上部分，完成下列问题.
1.间接证明：
(1)定义：不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法通常称为间接证明.
(2)常用方法：反证法.
2.反证法
(1)基本过程：
反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题).
(2)证题步骤：
1.判断正误：
(1)反证法属于间接证明问题的一种方法.( )
(2)反证法的实质是否定结论导出矛盾.( )
(3)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.( )
(4)用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设应该是至少两个钝角.( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，正确的反设是____.
【导学号：01580047】
【解析】 “至少有一个角不大于60°”的否定为“所有三角形的内角均大于60°”.
【答案】 假设三个内角均大于60°
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问2：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问3：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
[小组合作型]
利用反证法证明否定性命题
(1)用反证法证明：“若方程ax2＋bx＋c＝0，且a，b，c都是奇数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为________.
(2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，
，
不成等差数列.
【自主解答】 (1)要证明的结论是“方程没有整数根”，故应假设：方程存在实数根x0为整数.
【答案】 整数
(2)假设，
，
成等差数列，则＋＝2，
即a＋c＋2＝4b.
又a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，
即b＝，
所以a＋c＋2＝4，
所以a＋c－2＝0，即(－)2＝0，
所以＝，从而a＝b＝c，
所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾.
原假设错误，故，
，
不成等差数列.
1.用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法.
2.反证法证明问题的一般步骤
[再练一题]
1.(2016·晋州高二检测)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.求证：数列{Sn}不是等比数列.
【证明】 假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，
即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，
因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，
即q＝0，这与公比q≠0矛盾.
所以数列{Sn}不是等比数列.
用反证法证明存在性问题
已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
【精彩点拨】 “不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”.
【自主解答】 假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于.
∵a，b，c∈(0,1)，
∴1－a>0,1－b>0,1－c>0.
∴≥>＝.
同理>，>.
三式相加得
＋＋>，
即>，矛盾.
所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
应用反证法常见的“结论词”与“反设词”
当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂.这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：
结论词
反设词
结论词
反设词
至少有一个
一个也没有
对所有x成立
存在某个x0不成立
至多有一个
至少有两个
对任意x不成立
存在某个x0成立
至少有n个
至多有n－1个
p或q
綈p且綈q
至多有n个
至少有n＋1个
p且q
綈p或綈q
[再练一题]
2.已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数.
【证明】 假设a，b，c，d都是非负数，
因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1.
又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
所以ac＋bd≤1，
这与已知ac＋bd>1矛盾，
所以a，b，c，d中至少有一个是负数.
[探究共研型]
利用反证法证明唯一性命题
探究1 反证法解题的实质是什么？
【提示】 否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确.
探究2 应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用________.
①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论.
【提示】 反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果.
【答案】 ①②③
已知直线m与直线a和b分别交于A，B两点，且a∥b.求证：过a，b，m有且只有一个平面.
【精彩点拨】 “有且只有”表示“存在且惟一”，因此在证明时，要分别从存在性和惟一性两方面来考虑.
【自主解答】 因为a∥b，
所以过a，b有一个平面α.
又因为m∩a＝A，m∩b＝B，
所以A∈a，B∈b，
所以A∈α，B∈α.
又因为A∈m，B∈m，所以m α，
即过a，b，m有一个平面α，如图.
假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α，
则a α，b α，a β，b β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面矛盾.
因此，过a，b，m有且只有一个平面.
用反证法证明惟一性命题的一般思路
证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和惟一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“惟一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“惟一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其惟一性.
[再练一题]
3.若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.
【导学号：01580048】
【证明】 由于f(x)在[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，
所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0.
假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.
若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；
若n因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.
1.“x＝0且y＝0”的否定形式为________.
【解析】 “p且q”的否定形式为“綈p或綈q”.
【答案】 x≠0或y≠0
2.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是_______________________________________________.
【解析】 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是：没有一个面是三角形或四边形或五边形.
【答案】 没有一个面是三角形或四边形或五边形
3.设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号).
【解析】 假设a，b均不大于1，即a≤1，b≤1.
则①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a，b中至少有一个大于1”，故选③.
【答案】 ③
4.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误；
②所以一个三角形不能有两个直角；
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为__________.
【解析】 由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②.
【答案】 ③①②
5.若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根.
【证明】 假设三个方程中都没有两个相异实根，
则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.
相加得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c.这与a，b，c互不相等矛盾.
∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.
我还有这些不足：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________
2.3 数学归纳法
1.了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.(重点)
2.数学归纳法证明几何命题.(难点)
3.归纳递推的论证.(易错点)
[基础·初探]
教材整理 数学归纳法
阅读教材P88，完成下列问题.
数学归纳法公理
对于某些与正整数有关的数学命题，可以用数学归纳法公理：如果
(1)当n取第一个值n0(例如n0＝1,2等)时结论正确；
(2)假设当n＝k(k∈N
，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确.
那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.
1.判断正误：
(1)数学归纳法的两个步骤缺一不可.( )
(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.( )
(3)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( )
(4)应用数学归纳法证明2n＞n3时所取的第一个n的值为1.( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×
2.若f(n)＝1＋＋＋…＋，则当n＝1时f(n)为________.
【解析】 当n＝1时，f(n)＝1＋＋＝.
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问2：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问3：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
[小组合作型]
用数学归纳法证明等式
(1)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N
)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是________.(填序号)
①1；
②1＋2；
③1＋2＋3；
④1＋2＋3＋4.
(2)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N
)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为__________.
【自主解答】 (1)当n＝1时，左边应为1＋2＋3＋4，故选D.
(2)令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则f(k)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，
f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以＝＝2(2k＋1).
【答案】 (1)④ (2)2(2k＋1)
数学归纳法证题的三个关键点
1.验证是基础
找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.
2.递推是关键
数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.
3.利用假设是核心
在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.
[再练一题]
1.下面四个判断中，正确的是________.(填序号)
①式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N
)中，当n＝1时，式子的值为1；
②式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N
)中，当n＝1时，式子的值为1＋k；
③式子1＋＋＋…＋(n∈N
)中，当n＝1时，式子的值为1＋＋；
④设f(n)＝＋＋…＋(n∈N
)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋.
【解析】 ①中，n＝1时，式子＝1＋k；
②中，n＝1时，式子＝1；
③中，n＝1时，式子＝1＋＋；
④中，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－.
故正确的是③.
【答案】 ③
用数学归纳法证明不等式
(1)用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n≥2，n∈N
)的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是__________.
(2)证明：不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N
).
【精彩点拨】 (1)写出当n＝k时左边的式子，和当n＝k＋1时左边的式子，比较即可.
(2)在由n＝k到n＝k＋1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度.
【自主解答】 (1)当n＝k＋1时左边的代数式是＋＋…＋＋，增加了两项与，但是少了一项，故不等式的左边增加的式子是＋－＝.
【答案】
(2)①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立.
②假设当n＝k(k≥1且k∈N
)时，不等式成立，
即1＋＋＋…＋<2.
则当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋
<2＋＝
<＝＝2.
∴当n＝k＋1时，不等式成立.
由①②可知，原不等式对任意n∈N
都成立.
[再练一题]
2.试用数学归纳法证明上例(1)中的不等式.
【证明】 ①当n＝2时，＋＝>.
②假设当n＝k(k≥2且k∈N
)时不等式成立，
即＋＋…＋>，
那么当n＝k＋1时，
＋＋…＋
＝＋＋…＋＋＋＋－
＝＋＋－>＋＋－＝＋－
＝＋>.
这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立.
由①②可知，原不等式对任意大于1的正整数都成立.
归纳—猜想—证明
已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝且a1＝.
(1)求a2，a3；
(2)猜想数列{an}的通项公式，并证明.
【精彩点拨】 (1)令n＝2,3可分别求a2，a3.
(2)根据a1，a2，a3的值，找出规律，猜想an，再用数学归纳法证明.
【自主解答】 (1)a2＝＝，a1＝，
则a2＝，类似地求得a3＝.
(2)由a1＝，a2＝，a3＝，…，猜得：
an＝.
证明：①当n＝1时，由(1)可知等式成立；
②假设当n＝k时猜想成立，即ak＝，那么，当n＝k＋1时，由题设an＝，
得ak＝，ak＋1＝，
所以Sk＝k(2k－1)ak
＝k(2k－1)＝，
Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－.
因此，k(2k＋3)ak＋1＝，
所以ak＋1＝
＝.
这就证明了当n＝k＋1时命题成立.
由①②可知命题对任何n∈N
都成立.
1.“归纳—猜想—证明”的一般环节
2.“归纳—猜想—证明”的主要题型
(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和.
(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在.
(3)给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.
[再练一题]
3.已知函数y＝f(n)(n∈N
)，设f(1)＝2，且任意的n1，n2∈N
，有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2).
(1)求f(2)，f(3)，f(4)的值；
(2)试猜想f(n)的解析式，并用数学归纳法给出证明.
【解】 (1)因为f(1)＝2，
f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)，
所以f(2)＝f(1＋1)＝f(1)·f(1)＝22＝4，
f(3)＝f(2＋1)＝f(2)·f(1)＝22·2＝23＝8.
f(4)＝f(3＋1)＝f(3)·f(1)＝23·2＝24＝16.
(2)猜想：f(n)＝2n(n∈N
).
用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，f(1)＝21＝2，所以猜想正确.
②假设当n＝k(k≥1，k∈N
)时猜想正确，即f(k)＝2k，
那么当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k＋1，
所以，当n＝k＋1时，猜想正确.
由①②知，对任意的n∈N
，都有f(n)＝2n.
[探究共研型]
用数学归纳法证明整除性问题
探究1 数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1
【提示】 不一定，如证明n边形的内角和为(n－2)·180°时，第一个值为n0＝3.
探究2 数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系？
【提示】 第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得出不正确的结论.因为单靠步骤(1)，无法递推下去，即n取n0以后的数列命题是否正确，我们无法判定，同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了.
用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N
).
【精彩点拨】 在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑.
【自主解答】 (1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立；
(2)假设当n＝k(k∈N
，k≥1)时结论成立，
即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除.
则当n＝k＋1时，
(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3).
因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除，
所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，即n＝k＋1时结论也成立.
由(1)(2)知命题对一切n∈N
成立.
与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明，证明的关键在于第二步，根据归纳假设，将n＝k＋1时的式子进行增减项、倍数调整等变形，使之能与归纳假设联系起来.
[再练一题]
4.用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为__________.
【导学号：01580051】
【解析】 由n＝k成立推证n＝k＋1成立时必须用上归纳假设，∴(k＋1)3＋5(k＋1)＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.
【答案】 (k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6
1.(2016·成都高二检测)在用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N
)时，在验证当n＝1时，等式左边为________.
【答案】 1＋a＋a2
2.在用数学归纳法证明时，用到＋＋…＋，若设f(k)＝＋＋＋…＋(k∈N
)，则f(k＋1)－f(k)＝________.
【解析】 由题意f(k)＝＋＋…＋，
f(k＋1)＝＋＋…＋＋＋，
则f(k＋1)－f(k)
＝＋－
＝－.
【答案】 －
3.用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________.
【导学号：01580052】
【解析】 当n＝k＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更换为k＋1.
【答案】 1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2
4.对于不等式≤n＋1(n∈N
)，某人的证明过程如下：
1°当n＝1时，≤1＋1，不等式成立.
2°假设n＝k(k∈N
)时不等式成立，即＝＝(k＋1)＋1.
∴当n＝k＋1时，不等式成立.
上述证法________.(填序号)
①过程全都正确；
②n＝1验得不正确；
③归纳假设不正确；
④从n＝k到n＝k＋1的推理不正确.
【解析】 没用归纳假设.
【答案】 ④
5.用数学归纳法证明：对于任意正整数n，(n2－1)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝.
【证明】 (1)当n＝1时，左边＝12－1＝0，右边＝＝0，所以等式成立.
(2)假设当n＝k(k∈N
)时等式成立，即(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝.
那么当n＝k＋1时，有[(k＋1)2－1]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k·[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]
＝(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)(1＋2＋…＋k)
＝＋(2k＋1)
＝k(k＋1)[k(k－1)＋2(2k＋1)]
＝k(k＋1)(k2＋3k＋2)
＝.
所以当n＝k＋1时等式成立.
由(1)(2)知，对任意n∈N
等式成立.
我还有这些不足：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________