学业分层测评(二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．设函数f(x)在x＝x0处可导，当h无限趋近于0时，对于的值，以下说法中正确的是_____________________________________．
①与x0，h都有关；②仅与x0有关而与h无关；
③仅与h有关而与x0无关；④与x0，h均无关．
【解析】 导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0处及其附近的函数值有关，与h无关．
【答案】 ②
2．函数f(x)＝x2在x＝3处的导数等于________．
【解析】 ＝＝6＋Δx，
令Δx→0，得f′(3)＝6.
【答案】 6
3．已知物体的运动方程为s＝－t2＋8t(t是时间，s是位移)，则物体在t＝2时的速度为________．
【解析】 Δs＝－(2＋Δt)2＋8(2＋Δt)－＝6Δt－(Δt)2，
则＝6－Δt，
当Δt→0时，→6.
【答案】 6
4．如图1 1 6，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别是(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝________，当Δx→0时，→_______.
图1 1 6
【解析】 f(f(0))＝f(4)＝2.由函数在某点处的导数的几何意义知，当Δx→0时，→－2，即直线AB的斜率．
【答案】 2 －2
5．抛物线y＝x2在点Q(2,1)处的切线方程为________．
【解析】 ＝＝1＋Δx.
当Δx→0时，→1，即f′(2)＝1，
由导数的几何意义知，点Q处切线斜率k＝f′(2)＝1.
∴切线方程为y－1＝x－2.即x－y－1＝0.
【答案】 x－y－1＝0
6．已知函数y＝f(x)的图象如图1 1 7所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是________．(用“<”连接)
图1 1 7
【解析】 由图象易知，点A，B处的切线斜率kA，kB满足kA
【答案】 f′(A)7．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处切线斜率为16，则点P坐标为________．
【解析】 设点P的坐标为(x0，y0)，则
＝
＝4(x0＋1)＋2Δx，
当Δx→0时，→4(x0＋1)，即f′(x0)＝4(x0＋1)，
由导数的几何意义知
f′(x0)＝16，
所以x0＝3，y0＝30，
所以点P的坐标为(3,30)．
【答案】 (3,30)
8．已知函数y＝f(x)的图象如图1 1 8所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是__________(填序号)．
图1 1 8
【解析】 由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时f′(x)＝0，当x>0时f′(x)<0，故②符合．
【答案】 ②
二、解答题
9．函数f(x)＝ax3－bx在点(1，－1)处的切线方程为y＝k(x＋2)，求a，b的值.
【导学号：01580005】
【解】 因为点(1，－1)在切线y＝k(x＋2)上，所以k＝－.
＝
＝a(Δx)2＋3aΔx＋3a－b，
当Δx→0时，→3a－b，
即f′(1)＝3a－b，所以3a－b＝－ ①
又由f(1)＝－1.得a－b＝－1 ②
由①②得，a＝，b＝.
10．若一物体运动方程如下(位移s的单位：m，时间t的单位：s)：
s＝求：
(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
【解】 (1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为
Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]内的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵物体在t＝0附近的平均变化率为
＝＝3Δt－18，
当Δt→0时，→－18，
∴物体在t＝0时的瞬时速度(初速度)为－18
m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
∵物体在t＝1附近的平均变化率为
＝＝3Δt－12，
当Δt→0时，→－12，
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为－12m/s.
[能力提升]
1．一直线运动的物体，从时间t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，那么Δt趋于0时，下列命题正确的是________(填序号)．
①为从时间t到t＋Δt时物体的平均速度；
②为在t时刻物体的瞬时速度；
③为当时间为Δt时物体的速度；
④为在时间t＋Δt时物体的瞬时速度．
【解析】 由瞬时速度的定义知，当Δt→0时，为在t时刻物体的瞬时速度．
【答案】 ②
2．若点(0,1)在曲线f(x)＝x2＋ax＋b上，且f′(0)＝1，则a＋b＝________.
【解析】 ∵f(0)＝1，∴b＝1.
又＝＝Δx＋a.
∴当Δx→0时，→a，则f′(0)＝a＝1.
所以a＋b＝1＋1＝2.
【答案】 2
3．设P为曲线y＝f(x)＝x2＋2x＋3上的一点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P的横坐标的取值范围是________．
【解析】 设P(x0，y0)，＝＝2x0＋2＋Δx.
当Δx→0时，→2x0＋2，即在点P处切线的斜率k＝2x0＋2.因为切线的倾斜角的取值范围是，所以0≤k≤1.即0≤2x0＋2≤1.所以－1≤x0≤－.
【答案】
4．已知直线x－y－1＝0与曲线y＝ax2相切，则a＝________.
【解析】 ＝＝2ax＋aΔx，
当Δx→0时，2ax＋aΔx→2ax，
设切点为(x0，y0)，则2ax0＝1，
且y0＝x0－1＝ax，解得x0＝2，a＝.
【答案】
5．已知曲线y＝上两点P(2，－1)，Q.
求：(1)曲线在点P、Q处的切线的斜率；
(2)曲线在点P、Q处的切线方程．
【解】 将P(2，－1)代入y＝，
得t＝1，∴y＝，设f(x)＝，
∵＝
＝
＝，
∴当Δx→0时，→.
∴f′(x)＝.
(1)由导数的几何意义，知
曲线在点P处的切线斜率f′(2)＝1.
曲线在点Q处的切线斜率f′(－1)＝.
(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0，
曲线在点Q处的切线方程为y－＝[x－(－1)]，即x－4y＋3＝0.章末综合测评(三)
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中的横线上)
1.若复数z满足zi＝1－i，则z＝________.
【解析】 法一：由zi＝1－i得z＝＝－1＝－1－i.
法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，由zi＝1－i，
得(a＋bi)i＝1－i，即－b＋ai＝1－i.
由复数相等的充要条件得即
∴z＝－1－i.
【答案】 －1－i
2.在复平面内，复数z＝i(1＋3i)对应的点位于第________象限.
【解析】 ∵z＝i(1＋3i)＝i＋3i2＝－3＋i，
∴复数z对应的点为(－3,1)在第二象限.
【答案】 二
3.(2015·全国卷Ⅱ改编)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝________.
【解析】 ∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，∴4a＋(a2－4)i＝－4i.
∴解得a＝0.
【答案】 0
4.设z为纯虚数，且|z－1－i|＝1，则z＝________.
【解析】 设z＝bi(b∈R，b≠0)，则
|z－1－i|＝|(b－1)i－1|，
∴(b－1)2＋1＝1，∴b＝1，则z＝i.
【答案】 i
5.(2016·辽宁三校高二期末)复数z满足方程|z－(－1＋i)|＝4，那么复数z在复平面内对应的点P的轨迹方程是________.
【解析】 设z＝x＋yi，由|z－(－1＋i)|＝4得|(x＋1)＋(y－1)i|＝4，即＝4，则(x＋1)2＋(y－1)2＝16.
【答案】 (x＋1)2＋(y－1)2＝16
6.在复平面内，若复数(－6＋k2)－(k2－4)i所对应的点位于第三象限，则实数k的取值范围是________.
【解析】 由已知得∴4∴k∈(－，－2)∪(2，).
【答案】 (－，－2)∪(2，)
7.设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为________.
【导学号：01580073】
【解析】 a＋bi＝＝＝＝5＋3i，依据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3.从而a＋b＝8.
【答案】 8
8.a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝________.
【解析】 ＝＝1－ai，
则＝|1－ai|＝＝2，所以a2＝3.又a为正实数，所以a＝.
【答案】
9.已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)且＋＝，则复数z在复平面对应的点位于第________象限.
【解析】 ∵a，b∈R且＋＝，
即＋＝，
∴5a＋5ai＋2b＋4bi＝15－5i，
即解得
∴z＝7－10i.
∴z对应的点位于第四象限.
【答案】 四
10.若z＝a－i(a∈R且a>0)的模为，则复数z的共轭复数＝________.
【解析】 ∵＝，且a>0，
∴a＝1，则z＝1－i，∴＝1＋i.
【答案】 1＋i
11.已知复数z＝，则|z|＝________.
【解析】 z＝＝
＝＝－＋i，则|z|＝＝.
【答案】
12.若复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点Z(x，y)的轨迹方程是________.
【解析】 由|z|2－2|z|－3＝0，
得(|z|＋1)(|z|－3)＝0.
∵|z|＋1>0，∴|z|－3＝0，则|z|＝3.故x2＋y2＝9.
【答案】 x2＋y2＝9
13.已知z1＝1＋2i，z2＝m＋(m－1)i，且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为______.
【解析】 z1z2＝(1＋2i)[m＋(m－1)i]＝[m－2(m－1)]＋[2m＋(m－1)]i＝(2－m)＋(3m－1)i，所以2－m＝3m－1，即m＝，且能使2－m＝3m－1>0，满足题意.
【答案】
14.(2016·阜宁调研)若复数z＝i＋i2
014，则＋的模等于________.
【解析】 z＝i＋i2014＝i＋i2＝－1＋i，则＝－1－i，
∴＋＝(－1－i)＋＝－1－i－5(1＋i)＝－6－6i，
∴|＋|＝|－6－6i|＝6，即＋的模为6.
【答案】 6
二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分14分)已知z，w为复数，(1＋3i)z为实数，w＝，且|w|＝5，求ω.
【解】 设ω＝x＋yi(x，y∈R)，
由ω＝，得z＝ω(2＋i)＝(x＋yi)(2＋i).
依题意，得(1＋3i)z＝(1＋3i)(x＋yi)(2＋i)＝(－x－7y)＋(7x－y)i.
∵(1＋3i)z为实数.
∴7x－y＝0.①
又|ω|＝5，∴x2＋y2＝50.②
由①②得或
∴ω＝1＋7i或ω＝－1－7i.
16.(本小题满分14分)已知z＝，
(1)求|z|；
(2)若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a，b的值.
【解】 (1)z＝＝＝＝＝1－i.
∴|z|＝.
(2)把z＝1－i代入z2＋az＋b＝1＋i，
(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，
得：a＋b－(2＋a)i＝1＋i，
∴
解得
所以实数a，b的值分别为－3,4.
17.(本小题满分14分)已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)z为纯虚数.
(1)求复数z；
(2)若ω＝，求复数ω的模|ω|.
【解】 (1)(1＋3i)(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i，
∵(1＋3i)z是纯虚数，
∴3－3b＝0且9＋b≠0，
则b＝1，
从而z＝3＋i.
(2)ω＝＝＝＝－i.
∴|ω|＝＝.
18.(本小题满分16分)已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos
2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数为z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值.
【解】 (1)z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋i(cos
2θ－1)＝－1－2sin2θ·i.
(2)点P的坐标为(－1，－2sin2θ).
由点P的直线y＝x上得－2sin2θ＝－，
∴sin2θ＝，
又θ∈(0，π)，∴sin
θ>0，
因此sin
θ＝，
∴θ＝或θ＝π.
19.(本小题满分16分)已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i.
(1)求点C，D对应的复数；
(2)求 ABCD的面积.
【解】 (1)∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
∴向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又＝＋，
∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
∵＝，
∴向量对应的复数为3－i，
即＝(3，－1).
设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
∴
解得
∴点D对应的复数为5.
(2)∵·＝||||cos
B，
∴cos
B＝＝＝＝.
∴sin
B＝，
∴S ABCD＝||||sin
B＝××＝7，
∴平行四边形ABCD的面积为7.
20.(本小题满分16分)(2015·启东中学月考)已知z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位).
(1)若复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限内，求实数a的取值范围；
(2)若复数z1＝cos
θ＋isin
θ(0≤θ≤π)，求|z－z1|的取值范围.
【解】 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i，＝×(x＋yi)(2＋i)＝×[(2x－y)＋(x＋2y)i]，∵z＋2i，均为实数，∴解之得∴z＝4－2i.
(1)(z＋ai)2＝[4＋(a－2)i]2＝16－(a－2)2＋8(a－2)i＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i.
∵(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限内
∴解之得2即实数a的取值范围是(2,6).
(2)z－z1＝(4－cos
θ)－(2＋sin
θ)i，
则|z－z1|2＝(4－cos
θ)2＋[－(2＋sin
θ)]2＝21＋4sin(θ－φ)，
∴21－4<|z－z1|2<21＋4，
∴2－1<|z－z1|<2＋1.学业分层测评(三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知f(x)＝x2，则f′(－2)＝________.
【解析】 f′(x)＝2x，∴f′(－2)＝2×(－2)＝－4.
【答案】 －4
2．若函数f(x)＝，则f′(8)＝________.
【解析】 f′(x)＝(x)′＝x－，则f′(8)＝×(23)－＝×2－2＝.
【答案】
3．已知f(x)＝xz(z为常数)，若f′(－1)＝－4，则z的值是________．
【解析】 f′(x)＝zxz－1，由f′(－1)＝－4，得z·(－1)z－1＝－4，所以z＝4.
【答案】 4
4．点P在曲线y＝上，曲线在该点处的切线倾斜角为135°，则点P的坐标为________．
【解析】 y′＝(4x－2)′＝－8x－3，
设点P(x0，y0)，依题意得
－8x＝tan
135°＝－1，∴x0＝2.
又P(x0，y0)在曲线y＝上，∴y0＝1.
【答案】 (2,1)
5．曲线y＝x2的平行于直线x－y＋1＝0的切线方程为________．
【解析】 ∵y′＝x，设切点坐标为，
∴x0＝1，则y0＝，切点为，切线的斜率为1，
∴切线方程为：y－＝x－1，即x－y－＝0.
【答案】 x－y－＝0
6．已知f(x)＝，g(x)＝mx，且g′(2)＝，则m＝________.
【解析】 ∵f′(x)＝－，∴f′(2)＝－，
又g′(x)＝m，∴g′(2)＝m，
由g′(2)＝，∴m＝－4.
【答案】 －4
7．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N
，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．
【解析】 由y＝x2(x>0)得，y′＝2x，
∴函数y＝x2(x>0)在点(ak，a)处的切线方程为：
y－a＝2ak(x－ak)，
令y＝0，得x＝，即ak＋1＝，
∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.
【答案】 21
8．(2016·南京高二检测)已知函数y＝f(x)的图象在M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__________.
【解析】 依题意知，f(1)＝×1＋2＝，
f′(1)＝，∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3.
【答案】 3
二、解答题
9．求下列函数的导数
(1)y＝；(2)y＝sin；
(3)y＝2sin
cos
；(4)y＝logx2－logx.
【解】 (1)y′＝()′＝(x)′＝x＝x.
(2)∵y＝sin
＝cos
x，
∴y′＝(cos
x)′＝－sin
x.
(3)∵y＝2sin
cos
＝sin
x，
∴y′＝(sin
x)′＝cos
x.
(4)∵y＝logx2－logx＝logx，
∴y′＝(logx)′＝＝－.
10．求证：双曲线xy＝1上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．
【证明】 由xy＝1，得y＝，从而y′＝－.
在双曲线xy＝1上任取一点P，
则在点P处的切线斜率k＝－.
切线方程为y－＝－(x－x0)，
即y＝－x＋.
设该切线与x轴、y轴分别相交于A，B两点，
则A(2x0,0)，B，
故S△OAB＝|OA|·|OB|＝|2x0|·＝2.
所以双曲线上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．
[能力提升]
1．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln
x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.
【导学号：01580008】
【解析】 f′(x)＝2x，g′(x)＝，由f′(x)－g′(x)＝1，得2x－＝1，解之得x1＝－，x2＝1.∵x>0，∴x＝1.
【答案】 1
2．设f0(x)＝sin
x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2
016(x)＝________.
【解析】 由题意f1(x)＝cos
x，f2(x)＝－sin
x，f3(x)＝－cos
x，f4(x)＝sin
x，f5(x)＝cos
x，…，则可知周期为4.从而f2
016(x)＝f4(x)＝sin
x.
【答案】 sin
x
3．设曲线y＝xn＋1(n∈N
)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg
xn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．
【解析】 ∵y′＝(n＋1)xn，∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，则xn＝.故an＝lg＝lg
n－lg
(n＋1)．所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg
1－lg
2)＋(lg
2－lg
3)＋…＋(lg
98－lg
99)＋(lg
99－lg
100)＝lg
1－lg
100＝－2.
【答案】 －2
4．已知曲线C：y＝x2－2x＋3，直线l：x－y－4＝0，在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最短，并求出最短距离．
【解】 设与直线l：x－y－4＝0平行，且与曲线C：y＝x2－2x＋3相切的直线为x－y＋k＝0
设P(x0，y0)，y′＝2x－2
∴2x0－2＝1，解得x0＝
y0＝2－2×＋3＝，∴P
∴k＝－＝
∴d＝＝
综上所述，点P为，最短距离为d＝.学业分层测评(十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝________.
【解析】 ∵f(x)＝x2＋2f(x)dx，
∴f(x)dx＝－.
【答案】 －
2.(cos
x＋1)dx＝________.
【导学号：01580026】
【解析】 ∵(sin
x＋x)′＝cos
x＋1，
∴(cos
x＋1)dx＝(sin
x＋x)
＝(sin
π＋π)－(sin
0＋0)＝π.
【答案】 π
3．将曲边y＝ex，x＝0，x＝2，y＝0所围成的图形面积写成定积分的形式________．
【答案】 exdx
4．定积分3tdx(t为大于0的常数)的几何意义是________．
【答案】 由直线y＝3t，x＝2，x＝3，y＝0所围成的矩形的面积．
5．由曲线y＝x2－4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积(如图1 5 3)是________．(写成定积分形式)
图1 5 3
【答案】 dx
6．设a＝xdx，b＝x2dx，c＝x3dx，则a，b，c的大小关系是________．
【解析】 根据定积分的几何意义，易知x3dxb>c.
【答案】 a>b>c
7．计算定积分
dx＝________.
【解析】 由于dx
＝2dx表示单位圆的面积π，
所以dx＝π.
【答案】 π
8．(2016·河北衡水中学三模)如图1 5 4由曲线y＝2－x2，直线y＝x及x轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．
图1 5 4
【解析】 把阴影部分分成两部分(y轴左侧部分和右侧部分)求面积．
＝2－＋2－－
＝＋.
【答案】 ＋
二、解答题
9．计算下列定积分．
(1)dx；
【解】 (1)∵dx＝dx
＝[ln
x－ln(x＋1)]＝ln
.
10．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，f(1)＝4，f′(1)＝1，f(x)dx＝，求f(x)．
【解】 因为f(1)＝4，所以a＋b＋c＝4，①
f′(x)＝2ax＋b，
因为f′(1)＝1，所以2a＋b＝1，②
f(x)dx＝
＝a＋b＋c＝，③
由①②③可得a＝－1，b＝3，c＝2.
所以f(x)＝－x2＋3x＋2.
[能力提升]
1．设f(x)＝则f(x)dx＝________.
【解析】 f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx
＝x3＋＝.
【答案】
2．(2016·长沙高二检测)f(x)＝sin
x＋cos
x，
【解析】
＝－
＝sin＋sin＝1＋1＝2.
【答案】 2
3．已知f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝__________.
【解析】 因为f(1)＝lg
1＝0，
且3t2dt＝t3|＝a3－03＝a3，
所以f(0)＝0＋a3＝1，所以a＝1.
【答案】 1
4．计算：
(2|x|＋1)dx＝__________.
【解析】
(2|x|＋1)dx＝
(－2x＋1)dx＋
(2x＋1)dx＝(－x2＋x)|＋(x2＋x)|
＝－(－4－2)＋(4＋2)＝12.
【答案】 12
5．已知f(x)＝
(12t＋4a)dt，F(a)＝[f(x)＋3a2]dx，求函数F(a)的最小值．
【解】 因为f(x)＝
(12t＋4a)dt＝(6t2＋4at)|
＝6x2＋4ax－(6a2－4a2)＝6x2＋4ax－2a2，
F(a)＝[f(x)＋3a2]dx＝(6x2＋4ax＋a2)dx
＝(2x3＋2ax2＋a2x)|＝2＋2a＋a2
＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1≥1.
所以当a＝－1时，F(a)的最小值为1.学业分层测评(十二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝，可推知扇形面积公式S扇＝________.
【解析】 扇形的弧长类比三角形的底，扇形的半径类比三角形的高，所以S扇形＝.
【答案】
2．(2015·晋州模拟)数列{an}是正项等差数列，若bn＝，则数列{bn}也为等差数列，类比上述结论，正项等比数列{cn}，若dn＝________，则数列{dn}也为等比数列．
【解析】 ∵根据等差数列构造的新的等差数列是由原来的等差数列和下标一致的数字倍的和，除以下标的和，∴根据等比数列构造新的等比数列，乘积变化为乘方c1cc…c，原来的除法变为开方(c1cc…c).
【答案】 (c1cc…c)
3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“|m·n|＝|m|·|n|”类比得“|a·b|＝|a|·|b|”；
④“＝”类比得“＝”．
以上的式子中，类比得到的结论正确的序号是________．
【解析】 ①②均正确，③④不正确．
【答案】 ①②
4．已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是________.
【导学号：01580034】
【解析】 原问题的解法为等面积法，即正三角形的面积S＝ah＝3×ar r＝h.
类比，用等体积法，V＝Sh＝4×r·S r＝h.
【答案】 正四面体的内切球的半径是高的
5．(2016·日照模拟)已知双曲正弦函数sh
x＝和双曲余弦函数ch
x＝与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类比的正确结论________．
【解析】 类比结论为ch(x－y)＝ch
xch
y－sh
xsh
y.
证明：右边＝·－·
＝(ex＋y＋ex－y＋e－x＋y＋e－x－y－ex＋y＋ex－y＋e－x＋y－e－x－y)
＝[2ex－y＋2e－(x－y)]＝＝ch(x－y)＝左边．
【答案】 ch(x－y)＝ch
xch
y－sh
xsh
y(答案不惟一)
6．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为________．
【解析】 结合等差数列的特点，类比等比数列中b1b2b3…b9＝29可得，在{an}中，若a5＝2，则有a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.
【答案】 a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9
7．(2016·日照高二检测)二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，观察发现V′＝S.已知四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝________.
【解析】 因为V＝8πr3，所以W＝2πr4，满足W′＝V.
【答案】 2πr4
8．(2016·安徽阜阳一中检测)对于等差数列{an}有如下命题：“若{an}是等差数列，a1＝0，s，t是互不相等的正整数，则有(s－1)at＝(t－1)as”类比此命题，给出等比数列{bn}相应的一个正确命题是：“________”．
【解析】 首先，需要类比写出b1＝1，然后写出bt＝qt－1，bs＝qs－1，即可发现：b＝b.
【答案】 若{bn}为等比数列，b1＝1，s、t是互不相等的正整数，则有b＝b.
二、解答题
9．如图2 1 10，在三棱锥S—ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分别为α1，α2，α3，三侧面△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1，S2，S3.类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．
图2 1 10
【解】 在△DEF中，
由正弦定理，
得＝＝.
于是，类比三角形中的正弦定理，
在四面体S ABC中，
猜想＝＝成立．
10．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋.那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
【解】 证明：如图所示，由射影定理，AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，
∴＝
＝＝.
又BC2＝AB2＋AC2，
∴＝＝＋.
猜想四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD.
则＝＋＋.
证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ACD.
∴AB⊥AF，在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋.
∴＝＋＋.
[能力提升]
1．下面使用类比推理恰当的序号是________．(填序号)
①“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“a·c＝b·c，则a＝b”；
②“(a·b)·c＝a·(b·c)”类推出“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
③“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“＝＋(c≠0)”；
④“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”．
【解析】 ①②④均错．
【答案】 ③
2．(2016·温州高二检测)如图2 1 11所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________．
图2 1 11
【解析】 如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)，
所以＝(c，b)，＝(－a，b)．
又因为⊥，
所以·＝b2－ac＝0，
所以c2－a2－ac＝0，所以e2－e－1＝0，
所以e＝或e＝(舍去)．
【答案】
3．在平面几何里，由勾股定理：设△ABC的两条边BC，AC互相垂直，则BC2＋AC2＝AB2.
拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积和底面积的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A BCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两垂直，则________”．
【解析】 线的关系类比到面的关系，猜测S＝S＋S＋S.证明如下：
如图作AE⊥CD连接BE，则BE⊥CD，
S＝CD2·BE2＝CD2(AB2＋AE2)＝(AC2＋AD2)(AB2＋AE2)＝(AC2AB2＋AD2AB2＋AC2AE2＋AD2AE2)
＝(AC2AB2＋AD2AB2＋CD2AE2)＝S＋S＋S
【答案】 S＝S＋S＋S
4．我们知道三角形的性质：如图2 1 12，过△ABC的底边AB上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC，AC于A1，B1，则＋为定值1.那么你能类比此性质，猜想四面体中所具有的性质吗？试证明你的猜想是否正确．
图2 1 12
【解】 猜想的性质为：如图①，过四面体V－ABC的底面ABC上任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面的交点，则＋＋为定值1.
①
证明如下：
设平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB＝L，则△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△LCV.
所以＋＋＝＋＋.
②
如图②，在底面△ABC中，由于AM，BN，CL相交于一点O，用面积法易证得＋＋＝1.
所以＋＋为定值1.学业分层测评(六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．
【解析】 由题意得，f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．当x<0时，f′(x)>0；当02时，f′(x)>0.故当x＝2时取得极小值．
【答案】 2
2．(2016·南通质检)若函数f(x)＝x·2x在x0处有极值，则x0＝________.
【解析】 f′(x)＝2x＋x·2xln
2＝2x(1＋xln
2)，
由已知f′(x0)＝0，∴2x0(1＋x0ln
2)＝0，
即1＋x0ln
2＝0.∴x0＝－.
【答案】 －
3．设a∈R，若函数y＝ex－ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为________．
【解析】 y′＝ex－a，令y′＝0得x＝ln
a，令ln
a>0，则a>1.
【答案】 (1，＋∞)
4．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于________．
【解析】 y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．
令y′＝0得x1＝0，x2＝4.
x，y′，y之间的关系如下表
x
(－∞，0)
0
(0,4)
4
(4，＋∞)
y′
－
0
＋
0
－
y
?
极小值
?
极大值
?
由表可知y极大值＝f(4)＝32＋m＝13.
∴m＝－19.
【答案】 －19
5．已知函数f(x)＝x3＋(3－5cos
α)x2－3x在x＝1处有极值，则cos
2α＝________.
【解析】 ∵f′(x)＝3x2＋2(3－5cos
α)x－3，
且f(x)在x＝1处有极值．
∴f′(1)＝3＋2(3－5cos
α)－3＝0，∴cos
α＝，
因此cos
2α＝2cos2α－1＝－.
【答案】 －
6．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图1 3 4所示，则下列说法中正确的是________．(填序号)
图1 3 4
①当x＝时函数取得极小值；
②f(x)有两个极值点；
③当x＝2时函数取得极小值；
④当x＝1时函数取得极大值．
【解析】 由图象可知，当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；
当x∈(1,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.
∴f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时，函数取得极大值，故只有①不正确．
【答案】 ②③④
7．已知函数f(x)＝x4＋9x＋5，则f(x)的图象在(－1,3)内与x轴的交点的个数为________．
【解析】 f′(x)＝4x3＋9，易知f′(x)在(－1,3)上单调递增，则f′(x)>f′(－1)＝5>0，所以f(x)在(－1,3)上单调递增，∵f(－1)·f(3)<0.∴f(x)的图象在(－1，3)内与x轴的交点个数为1.
【答案】 1
8．(2016·石家庄高二检测)若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________．
【解析】 ∵f′(x)＝3x2＋2x－a，
函数f(x)在区间(－1,1)上恰有一个极值点，
即f′(x)＝0在(－1,1)内恰有一个根．
又函数f′(x)＝3x2＋2x－a的对称轴为x＝－.
∴应满足∴
∴1≤a<5.
【答案】 [1,5)
二、解答题
9．已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数y的极小值.
【导学号：01580014】
【解】 (1)y′＝3ax2＋2bx.
由题意，知即
解得
(2)由(1)知y＝－6x3＋9x2.
所以y′＝－18x2＋18x＝－18x(x－1)．
令y′＝0，解得x1＝1，x2＝0.
所以当x<0时，y′<0；当00；
当x>1时，y′<0.
所以当x＝0时，y有极小值，其极小值为0.
10．(2016·太原高二检测)已知函数f(x)＝，若函数在区间(其中a>0)上存在极值，求实数a的取值范围．
【解】 因为f(x)＝，x>0，
则f′(x)＝－，
当00，
当x>1时，f′(x)<0.
所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以函数f(x)在x＝1处取得极大值．
因为函数f(x)在区间(其中a>0)上存在极值，
所以解得[能力提升]
1．已知函数f(x)＝－k，若x＝2是函数f(x)的惟一一个极值点，则实数k的取值范围为_________________．
【解析】 f′(x)＝－k＝(x>0)．设g(x)＝，
则g′(x)＝，则g(x)在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．
∴g(x)在(0，＋∞)上有最小值，为g(1)＝e，结合g(x)＝与y＝k的图象可知，要满足题意，只需k≤e.
【答案】 (－∞，e]
2．函数f(x)＝aln
x＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＋b＝________.
【解析】 f′(x)＝＋2bx＋3＝(x>0)，
∵函数的极值点为x1＝1，x2＝2，
∴x1＝1，x2＝2是方程f′(x)＝＝0的两根，
即为2bx2＋3x＋a＝0的两根，
∴由根与系数的关系知
解得
故a＋b＝－.
【答案】 －
3．已知函数f(x)＝x(ln
x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
【解析】 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln
x＋1－2ax.
已知函数f(x)＝x(ln
x－ax)有两个极值点，其等价于ln
x＋1－2ax＝0有两个不相等的实数根，亦等价于函数h(x)＝ln
x的图象与函数g(x)＝2ax－1的图象两个交点．
以下研究临界状态：①如图．
当函数h(x)＝ln
x与函数g(x)＝2ax－1的图象相切时，设切点为A(m，ln
m)，其中m>0，则函数h(x)的图象在点A处的切线的斜率k＝，
∴2a＝.
又∵直线g(x)＝2ax－1过点(0，－1)，
∴k＝，
∴＝.
解得m＝1，∴当两线相切时，a＝.
②当a＝0时，h(x)与g(x)的图象只有一个交点．
∴所求a的取值范围是.
4．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图1 3 5所示，给出下列判断：
图1 3 5
①函数y＝f(x)在区间内单调递增；
②函数y＝f(x)在区间内单调递减；
③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；
④当x＝2时，函数y＝f(x)取极小值；
⑤当x＝－时，函数y＝f(x)取极大值．
则上述判断中正确的是________．(填序号)
【解析】 当x∈(－3，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，①错；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(2,3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，②错；当x＝2时，函数y＝f(x)取极大值，④错；当x＝－时，函数y＝f(x)不取极值，⑤错．
【答案】 ③
5．设f(x)＝a(x－5)2＋6ln
x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
【解】 (1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln
x(x>0)，
故f′(x)＝2a(x－5)＋.
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)．
由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln
x(x>0)，
f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.
当03时，f′(x)>0，
故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；
当2故f(x)在(2,3)上为减函数．
由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln
2，
在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln
3.学业分层测评(四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．函数y＝－2exsin
x的导数y′＝________.
【解析】 y′＝(－2ex)′sin
x＋(－2ex)·(sin
x)′
＝－2exsin
x－2excos
x＝－2ex(sin
x＋cos
x)．
【答案】 －2ex(sin
x＋cos
x)
2．函数f(x)＝xe－x的导数f′(x)＝________.
【解析】 f′(x)＝x′·e－x＋x(e－x)′＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x.
【答案】 (1－x)e－x
3．函数f(x)＝cos，则f′(3π)＝________.
【解析】 因为f′(x)＝－sin·′
＝－sin，
所以f′(3π)＝－sin＝－sin
＝.
【答案】
4．曲线C：f(x)＝ex＋sin
x＋1在x＝0处的切线方程是________．
【解析】 ∵f′(x)＝ex＋cos
x，∴k＝f′(0)＝2，切点为(0,2)，切线方程为y＝2x＋2.
【答案】 y＝2x＋2
5．(2016·东营高二检测)设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)＝________.
【解析】 f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，则f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.
【答案】 －4
6．(2016·佛山高二检测)若曲线y＝kx＋ln
x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.
【解析】 y′＝k＋，则曲线在点(1，k)处的切线的斜率为k＋1，∴k＋1＝0，∴k＝－1.
【答案】 －1
7．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．
【解析】 设直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)的切点为(x0，y0)，则y0＝x0＋1，y0＝ln(x0＋a)．
又y′＝＝及导数的几何意义，
∴＝1，
即x0＋a＝1.
因此，y0＝ln(x0＋a)＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.
【答案】 2
8．(2016·广州高二检测)若函数为y＝sin4x－cos4x，则y′＝________________.
【解析】 ∵y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＝－cos
2x，
∴y′＝(－cos
2x)′＝－(－sin
2x)·(2x)′
＝2
sin
2x.
【答案】 2sin
2x
二、解答题
9．求下列函数的导数．
(1)y＝；(2)y＝esin
x；
(3)y＝sin；(4)y＝5log2(2x＋1)．
【解】 (1)设y＝u，u＝1－2x2，
则y′＝(u)′(1－2x2)′＝·(－4x)
＝(1－2x2)(－4x)＝.
(2)设y＝eu，u＝sin
x，
则yx′＝yu′·ux′＝eu·cos
x＝esin
xcos
x.
(3)设y＝sin
u，u＝2x＋，
则yx′＝yu′·ux′＝cos
u·2＝2cos.
(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，
则y′＝yu′·ux′＝＝.
10．求曲线y＝2sin2x在点P处的切线方程．
【解】 因为y′＝(2sin2x)′＝2×2sin
x×(sin
x)′
＝2×2sin
x×cos
x＝2sin
2x，
所以y′|x＝＝2sin＝.
所以过点P的切线方程为y－＝，
即x－y＋－＝0.
[能力提升]
1．若f(x)＝，则f′等于________．
【解析】
∵f′(x)＝
＝＝，
∴f′＝＝.
【答案】
2．(2014·江西高考)若曲线y＝xln
x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________.
【导学号：01580010】
【解析】 令f(x)＝xln
x，则f′(x)＝ln
x＋1，设P(x0，y0)，则f′(x0)＝ln
x0＋1＝2，∴x0＝e，此时y0＝eln
e＝e，∴点P的坐标为(e，e)．
【答案】 (e，e)
3．已知函数y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线为y＝2x－1，则函数g(x)＝x2＋f(x)在(2，g(2))处的切线方程为________．
【解析】 由题意知，f(2)＝3，f′(2)＝2，则g(2)＝4＋f(2)＝7.∵g′(x)＝2x＋f′(x)，∴g′(2)＝4＋f′(2)＝6.∴函数g(x)在(2，g(2))处的切线方程为y－7＝6×(x－2)，即6x－y－5＝0.
【答案】 6x－y－5＝0
4．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程．
【解】 (1)f′(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，
所以f′(1)＝1－＝0，解得a＝e.
(2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f′(x)＝1－.
设切点为(x0，y0)，
∵f(x0)＝x0－1＋＝kx0－1，①
f′(x0)＝1－＝k，②
①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0.
若k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e.
∴l的直线方程为y＝(1－e)x－1.学业分层测评(十六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.(2016·西安高二检测)△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB>∠APC，求证：∠BAP<∠CAP.用反证法证明时的假设为________.
【答案】 ∠BAP≥∠CAP
2.(2016·无锡高二期末)用反证法证明命题“在一个三角形的三个内角中，至少有两个锐角”时，假设命题的结论不成立的正确叙述是“在一个三角形的三个内角中，________个锐角.”
【解析】 “至少有两个”的否定是“至多有一个”.
【答案】 至多有一个
3.(2014·山东高考改编)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是________.
【解析】 因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”.
【答案】 方程x3＋ax＋b＝0没有实根
4.命题“a，b是实数，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________.
【导学号：01580049】
【解析】 “a＝b＝1”是“a＝1且b＝1”，
又因“p且q”的否定为“綈p或綈q”，
所以“a＝b＝1”的否定为“a≠1或b≠1”.
【答案】 a≠1或b≠1
5.若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是______________.
【解析】 若两个方程均无实根，则
解得
∴－2因此两方程至少有一个有实根时，应有a≤－2或a≥－1.
【答案】 {a|a≤－2或a≥－1}
6.用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b为实数)”，其反设为____________.
【解析】 “a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”，即a，b不全为0.
【答案】 a，b不全为0
7.若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a>b与a③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立.
其中正确的是________(填序号).
【解析】 因为a，b，c不全相等，所以①正确；②显然正确，③中的a≠c，b≠c，a≠b可以同时成立，所以③错.
【答案】 ①②
8.完成反证法证题的全过程.
题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数.
证明：假设p为奇数，则__________均为奇数.①
因7个奇数之和为奇数，故有
(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)为__________.②
而(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝__________.③
②与③矛盾，故p为偶数.
【解析】 由假设p为奇数可知(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数，
故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，
这与0为偶数矛盾.
【答案】 ①a1－1，a2－2，…，a7－7 ②奇数 ③0
二、解答题
9.已知x，y，z均大于零，求证：x＋，y＋，z＋这三个数中至少有一个不小于4.
【证明】 假设x＋，y＋，z＋都小于4，
即x＋<4，y＋<4，z＋<4，
于是得＋＋<12，
而＋＋＝＋＋≥2
＋2
＋2
＝12，
这与＋＋<12矛盾，
因此假设错误，即x＋，y＋，z＋中至少有一个不小于4.
10.等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N
)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
【解】 (1)设公差为d，
由已知得
∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋).
(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
∵p，q，r∈N
，
∴
∴2＝pr，(p－r)2＝0，
∴p＝r，这与p≠r矛盾.
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
[能力提升]
1.实数a，b，c不全为0等价于________.
【答案】 a，b，c中至少有一个不为0.
2.设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋与2的大小关系是________.
【解析】 假设a＋，b＋，c＋均小于2，
则a＋＋b＋＋c＋<6.①
又∵a＋≥2，b＋≥2，c＋≥2，
∴a＋＋b＋＋c＋≥6，②
①与②矛盾，∴假设不成立
∴a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2.
【答案】 a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2
3.(2016·九江高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________.
【导学号：01580050】
【解析】 因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说的对，同时甲、乙中只有一人说的对，假设乙说的对，这样丙就说的错，丁就说的对，也就是甲也说的对，与甲说的错矛盾，所以乙说的错，从而知甲、丙说的对，所以丙为获奖歌手.
【答案】 丙
4.(2016·南昌模拟)若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a(1)
设g(x)＝x2－x＋是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值；
(2)是否存在常数a，b(a>－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
【解】 (1)由已知得g(x)＝(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，
所以函数在区间[1，b]上单调递增.
由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b，
即b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.
因为b>1，所以b＝3.
(2)假如函数h(x)＝在区间[a，b](a>－2)上是“四维光军”函数，
因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，
所以有即
解得a＝b，这与已知矛盾，故不存在.学业分层测评(七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．函数f(x)＝＋x(x∈[1,3])的最小值是________．
【解析】 f′(x)＝－＋1＝，
当x∈[1,3]时，f′(x)>0，f(x)是增函数，
∴f(x)在x∈[1,3]上的最小值为f(1)＝.
【答案】
2．函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0,2]上的最大值是3，则a的值为________．
【解析】 f′(x)＝3x2－2x－1，x∈[0,2]，
令f′(x)＝0，得x＝1.
又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，
∴f(x)在[0,2]上的最大值为a＋2＝3，∴a＝1.
【答案】 1
3．(2016·南通高二检测)若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝______.
【解析】 ∵f′(x)＝3x2－3，
∴当x>1或x<－1时，f′(x)>0，
当－1∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增．
∴f(x)最小值＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n.
又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)∴f(x)最大值＝f(3)＝18－a＝m，
∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.
【答案】 20
4．若对任意的x>0，恒有ln
x≤px－1(p>0)，则p的取值范围是________.
【导学号：01580018】
【解析】 原不等式化为ln
x－px＋1≤0，
令f(x)＝ln
x－px＋1，只需f(x)最大值≤0.
由f′(x)＝－p知f(x)在上单调递增，在上单调递减．
∴f(x)最大值＝f＝－ln
p，
由f(x)最大值≤0，得p≥1.
【答案】 [1，＋∞)
5．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln
x的图象分别交于点M，N，则当MN达到最小时t的值为_______________．
【解析】 设h(x)＝x2－ln
x，
易知h′(x)＝2x－＝，x>0，
x＝是h(x)在x∈(0，＋∞)内惟一极小值点，
且h＝－ln
>0，则|MN|最小值＝h(x)最小值，
∴MN达到最小时，t＝.
【答案】
6．(2016·扬州质检)已知函数f(x)＝ln
x－(m∈R)在区间[1，e]上取得最小值4，则m＝________.
【解析】 f′(x)＝＋＝(x>0)．当m≥0时，f′(x)>0，f(x)在[1，e]上为增函数，f(x)最小值＝f(1)＝－m＝4，则m＝－4.与m≥0矛盾．当m<0时，若－m<1，即m>－1，f(x)最小值＝f(1)＝－m＝4，则m＝－4，与m>－1矛盾，若－m∈[1，e]，即－e≤m≤－1，f(x)最小值＝f(－m)＝ln(－m)＋1＝4，解得m＝－e3，与－e≤m≤－1矛盾．若－m>e.即m<－e时，f(x)最小值＝f(e)＝1－＝4.解得m＝－3e符合题意．
【答案】 －3e
7．(2016·常州高二检测)已知函数f(x)＝＋2ln
x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________________．
【解析】 由＋2ln
x≥2恒成立，得a≥x2·2(1－ln
x)恒成立．
令h(x)＝2x2(1－ln
x)，则h′(x)＝2x(1－2ln
x)
∵x>0，∴当00；当x>时，h′(x)<0.
∴h(x)最大值＝h()＝e.∴a≥e.即实数a的取值范围是[e，＋∞)．
【答案】 [e，＋∞)
8．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．
【解析】 f′(x)＝＝，当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当－0，f(x)单调递增，当x＝时，f(x)＝＝，＝<1，不合题意．
∴f(x)最大值＝f(1)＝＝，a＝－1.
【答案】 －1
二、解答题
9．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
【解】 易知f(x)的定义域为.
(1)f′(x)＝＋2x＝
＝.
当－0；
当－1当x>－时，f′(x)>0，
从而f(x)在区间，上单调递增，在区间上单调递减．
(2)由(1)知f(x)在区间上的最小值为f＝ln
2＋.
又因为f－f＝ln＋－ln－
＝ln＋＝<0，
所以f(x)在区间上的最大值为
f＝＋ln.
10．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)≥2
017对于 x∈[－2,2]恒成立，求a的取值范围．
【解】 (1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.
由f′(x)<0，得x<－1或x>3，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．
(2)由f′(x)＝0，－2≤x≤2，得x＝－1.
因为f(－2)＝2＋a，f(2)＝22＋a，f(－1)＝－5＋a，
故当－2≤x≤2时，f(x)最小值＝－5＋a.
要使f(x)≥2
017对于 x∈[－2,2]恒成立，只需f(x)最小值＝－5＋a≥2
017，解得a≥2
022.
[能力提升]
1．已知函数f(x)＝ln
x－x＋1，x∈(0，＋∞)，函数f(x)的最大值是________．
【解析】 f(x)的定义域(0，＋∞)，且f′(x)＝－1.令f′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
极大值
?
从上表可知，
函数f(x)在x＝1处取得极大值0.
又f(x)在(0，＋∞)上有惟一极大值．
∴x＝1时，f(x)有最大值为0.
【答案】 0
2．(2016·无锡质检)若关于x的不等式x2＋≥m对任意x∈恒成立，则m的取值范围是________________．
【解析】 设y＝x2＋，则y′＝2x－＝，
当x≤－时，y′<0，所以y＝x2＋在区间内是减函数，
∴当x＝－时，y取得最小值为－.
∵x2＋≥m恒成立，
∴m≤－.
【答案】
3．(2016·汕头质检)已知f(x)＝xex，g(x)＝－(x＋1)2＋a，若存在x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)，则实数a的取值范围是________．
【解析】 f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，当x>－1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x<－1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，即最小值为f(－1)＝－.函数g(x)的最大值为a，若存在x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立．则有g(x)的最大值大于或等于f(x)的最小值，即a≥－.
【答案】
4．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________.
【导学号：01580019】
【解析】 函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex与y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln
2)上递增，在(ln
2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln
2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex与y＝a有交点，只需a≤2ln
2－2即可．
【答案】 (－∞，2ln
2－2]
5．设函数f(x)＝ex－e－x，若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求实数a的取值范围．
【解】 令g(x)＝f(x)－ax，
由g′(x)＝f′(x)－a＝ex＋e－x－a，
由于ex＋e－x＝ex＋≥2(当且仅当x＝0时等号成立，)
所以当a≤2时，g′(x)＝ex＋e－x－a≥2－a≥0，故g(x)在(0，＋∞)上为增函数．
所以当x≥0时，g(x)≥g(0)＝0，即f(x)≥ax，
当a>2时，方程g′(x)＝0的根为
x1＝ln<0，x2＝ln>0，
此时，若x∈(0，x2)，则g′(x)<0，故g(x)在区间(0，x2)内为减函数，所以x∈(0，x2)时，g(x)即f(x)综上所述，满足条件的实数a的取值范围为a≤2.学业分层测评(八)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件．
【解析】 因为y′＝－x2＋81，令y′＝0，得x＝9.
当00；
当x>9时，y′<0.
故当x＝9时，函数有极大值，也是最大值．
【答案】 9
2．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．
【解析】 设半径为r，则高h＝，
∴S＝2πr·h＋πr2＝2πr·＋πr2＝＋πr2.
令S′＝2πr－＝0，得r＝3，
∴当r＝3时，用料最省．
【答案】 3
3．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为________．
【解析】 设直棱柱的底面边长为a，高为h，
依题意，a2·h＝V，∴ah＝.
因此表面积S＝3ah＋2·a2＝＋a2.
∴S′＝a－，由S′＝0，得a＝.
易知当a＝时，表面积S取得最小值．
【答案】
4．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8
300－170p－p2.则最大毛利润为______元．(毛利润＝销售收入－进货支出)
【解析】 设毛利润为L(p)由题意知：
L(p)＝pQ－20Q＝(8
300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11
700p－166
000，
所以，L′(p)＝－3p2－300p＋11
700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23
000.
因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23
000元．
【答案】 23
000
5．为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a＝________，b＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)．
图1 4 4
【解析】 设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝，其中k(k>0)为比例系数．依题意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)得b＝.
于是y＝＝＝.(0令y′＝＝0
得a＝6或a＝－10(舍去)．
∵只有一个极值点，∴此极值点即为最值点．
当a＝6时，b＝3，即当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
6．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为______.
【导学号：01580022】
【解析】 设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x米，其他两边的边长均为y米，则xy＝512.
则所用材料l＝x＋2y＝2y＋(y>0)，
求导数，得l′＝2－.
令l′＝0，解得y＝16或y＝－16(舍去)．
当016时，l′>0.所以y＝16是函数l＝2y＋(y>0)的极小值点，也是最小值点．此时，x＝＝32.
所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省．
【答案】 32米 16米
7．如图1 4 5，将边长为1
m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝，则s的最小值是________．
图1 4 5
【解析】 设DE＝x，则梯形的周长为3－x，
梯形的面积为(x＋1)·(1－x)＝(1－x2)，
∴s＝＝·，x∈(0,1)，
设h(x)＝，h′(x)＝.
令h′(x)＝0，得x＝或x＝3(舍)，
∴h(x)最小值＝h＝8，
∴s最小值＝×8＝.
【答案】
8．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10
km/h时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为__________km/h.
【解析】 设轮船的速度为x
km/h时，燃料费用为Q元，则Q＝kx3(k≠0)．
因为6＝k×103，所以k＝，所以Q＝x3.
所以行驶每千米的费用总和为
y＝·＝x2＋(x>0)．
所以y′＝x－.令y′＝0，解得x＝20.
因为当x∈(0,20)时，y′<0，此时函数单调递减；
当x∈(20，＋∞)时，y′>0，此时函数单调递增，
所以当x＝20时，y取得最小值，
即此轮船以20
km/h的速度行驶时，每千米的费用总和最小．
【答案】 20
二、解答题
9．如图1 4 6，一矩形铁皮的长为8
cm，宽为5
cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？
图1 4 6
【解】
设小正方形的边长为
x
cm，则盒子底面长为(8－2x)
cm，宽为(5－2x)
cm，
V＝(8－2x)(5－2x)x＝4x3－26x2＋40x，
V′＝12x2－52x＋40，
令V′＝0，得x＝1或x＝(舍去)，
V极大值＝V(1)＝18，在定义域内仅有一个极大值，
所以V最大值＝18，即当小正方形的边长为1
cm时，盒子容积最大．
10．(2016·银川高二检测)一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？
【解】 设每次进书x千册(0x
(0,15)
15
(15,150)
y′
－
0
＋
y
单调递减?
极小值
单调递增?
所以当x＝15时，y取得极小值，且极小值惟一，故当x＝15时，y取得最小值，此时进货次数为＝10(次)．
即该书店分10次进货，每次进15千册书，所付手续费与库存费之和最少．
[能力提升]
1．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米．
【解析】 设广场的长为x米，则宽为米，于是其周长为y＝2(x>0)，所以y′＝2，令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800.当0200时，y′>0.所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800米．
【答案】 800
2．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20
cm，要使其体积最大，则高为________cm.
【解析】 设该漏斗的高为x
cm，体积为V
cm3，则底面半径为
cm，V＝πx(202－x2)＝π(400x－x3)(00；当【答案】
3．现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．为了使全程运输成本最小，轮船行驶速度应为________海里/时．
【解析】 设轮船行驶速度为x海里/时，运输成本为y元．依题意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，x∈(0，35]．
则y′＝300－，x∈(0,35]．
又当0＜x≤35时，y′<0，
所以y＝＋300x在(0,35]上单调递减，
故当x＝35时，函数y＝＋300x取得最小值．
故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶．
【答案】 35
4．如图1 4 7，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是__________．
图1 4 7
【解析】 设CD＝x，则点C的坐标为，
点B的坐标为，
∴矩形ABCD的面积
S＝f(x)＝x·
＝－＋x，x∈(0,2)．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍)，x2＝，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
故当x＝时，f(x)取最大值.
【答案】
5．(2016·广州高二检测)如图1 4 8所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40
km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50
km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？
图1 4 8
【解】 设C点距D点x
km，则AC＝50－x(km)，
所以BC＝＝(km)．
又设总的水管费用为y元，
依题意，得y＝3a(50－x)＋5a(0y′＝－3a＋.
令y′＝0，解得x＝30.
在(0,50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30
km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．
故供水站建在A，D之间距甲厂20
km处，可使水管费用最省.学业分层测评(十九)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________.
【解析】 (－1＋i)(2－i)＝－2＋3i－i2＝－1＋3i.
【答案】 －1＋3i
2.复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z·－z－1＝________.
【导学号：01580063】
【解析】 ∵z＝1＋i，∴＝1－i，
∴z·＝(1＋i)(1－i)＝2，
∴z·－z－1＝2－(1＋i)－1＝－i.
【答案】 －i
3.设复数z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，若z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝________.
【解析】 ∵z1＋z2＝x＋2i＋(3－yi)＝(x＋3)＋(2－y)i，∴(x＋3)＋(2－y)i＝5－6i(x，y∈R)，由复数相等定义，得x＝2且y＝8，
∴z1－z2＝2＋2i－(3－8i)＝－1＋10i.
【答案】 －1＋10i
4.复数z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭复数是________.
【解析】 ∵z＝i(i＋1)＝i2＋i＝－1＋i，
∴＝－1－i.
【答案】 －1－i
5.复数z＝－ai，a∈R，且z2＝－i，则a的值为_____________.
【解析】 ∵z2＝2＝－ai，
∴－ai＝－i；(a∈R)，∴
∴a＝.
【答案】
6.(2016·苏北四市质检)设复数z1＝2－i，z2＝m＋i(m∈R，i为虚数单位)，若z1·z2为实数，则m的值为________.
【解析】 z1·z2＝(2－i)(m＋i)＝(2m＋1)＋(2－m)i.∵z1·z2是实数，∴m＝2.
【答案】 2
7.(2016·南京盐城一模)若复数z＝(1＋i)(3－ai)(i为虚数单位)为纯虚数，则实数a＝________.
【解析】 (1＋i)(3－ai)＝(a＋3)＋(3－a)i，
∵z为纯虚数，∴a＝－3.
【答案】 －3
8.设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，若z1z2∈R，则x等于________.
【解析】 ∵z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，
∴z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝(x－2)＋(x＋2)i.
∵z1z2∈R，∴x＋2＝0，即x＝－2.
【答案】 －2
二、解答题
9.计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；
(2)(1＋i).
【解】 (1)原式＝1－i2＋(－1)＋i＝1＋i.
(2)原式＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝－－i＋i－
＝－＋i.
10.已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i，若z2＋az＋b＝1－i(a，b∈R)，求b＋ai的共轭复数.
【导学号：01580064】
【解】 z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i，
由z2＋az＋b＝1－i，得
(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
∴a＋b＋i(a＋2)＝1－i(a，b∈R)，
∴
解之得
则b＋ai＝4－3i
则b＋ai的共轭复数是4＋3i.
[能力提升]
1.(2014·江苏高考)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________.
【解析】 z＝(5＋2i)2＝21＋20i，故z的实部为21.
【答案】 21
2.已知z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t＝________.
【解析】 2＝t－i，z1·2＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i是实数，∴4t－3＝0，∴t＝.
【答案】
3.已知－1＋i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，则复数z＝p＋qi(p，q∈R)等于________.
【解析】 (－1＋i)2＋p(－1＋i)＋q＝0，整理得(q－p)＋(p－2)i＝0，
∴
∴p＝q＝2.
故z＝p＋qi＝2＋2i.
【答案】 2＋2i
4.已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R).设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝__________，z2＝__________.
【解析】 z＝z1－z2
＝－
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i，
∴解得
∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i.
【答案】 5－9i －8－7i
5.是z的共轭复数.若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，求z.
【解】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
∵z＋＝2a＝2，∴a＝1.
又(z－)i＝2bi2＝－2b＝2.
∴b＝－1.
故z＝1－i.学业分层测评(二十一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是________.
【解析】 ∵复数6＋5i，－2＋3i对应点分别为A，B，
∴点A(6,5)，B(－2,3).
∴中点C(2,4)，其对应复数2＋4i.
【答案】 2＋4i
2.(2016·启东中学月考)若复数z＝a2－1＋(a＋1)i.(a∈R)是纯虚数，则|z|＝________.
【解析】 由题意得解得a＝1，则z＝2i，故|z|＝2.
【答案】 2
3.复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)位于第________象限.
【解析】 ∵z＝i·(1＋i)＝－1＋i，∴复数z对应复平面上的点是(－1,1)，该点位于第二象限.
【答案】 二
4.已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的值是________.
【导学号：01580070】
【解析】 由复数的几何意义，知
3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
∴3－2i＝y－x＋(2x－y)i.
根据复数相等的定义，得
解得∴x＋y＝5.
【答案】 5
5.已知i为虚数单位，复数z＝－＋i的共轭复数为，则＋|z|＝________.
【解析】 ＝－－i，|z|＝1，∴＋|z|＝－i.
【答案】 －i
6.已知|z－3|＝1，则|z－i|的最大值为________.
【解析】 由|z－3|＝1知z表示以(3,0)为圆心，1为半径的圆，|z－i|表示点(0,1)到圆上的距离，则|z－i|的最大值为＋1.
【答案】 ＋1
7.(2016·江西师大附中三模)设复数z＝－1－i(i是虚数单位)，z的共轭复数为，则|(1－z)·|＝________.
【解析】 ＝－1＋i，则|(1－z)·|＝|(2＋i)·(－1＋i)|＝|－3＋i|＝.
【答案】
8.复数z＝x＋1＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝3，则点Z(x，y)的轨迹是________.
【解析】 ∵|z|＝3，
∴＝3，即(x＋1)2＋(y－2)2＝32.故点Z(x，y)的轨迹是以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆.
【答案】 以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆
二、解答题
9.已知复数z＝1＋ai(a∈R)，ω＝cos
α＋isin
α，α∈(0,2π)，若z＝＋2i，且|z－w|＝，求角α的值.
【解】 由题意知1＋ai＝1＋(2－a)i，
则a＝2－a，即a＝1，∴z＝1＋i.
由|z－w|＝得(1－cos
α)2＋(1－sin
α)2＝5，
整理得sin
α＋cos
α＝－1，
∴sin＝－，
∵0<α<2π，∴<α＋<π，
∴α＋＝或α＋＝，
∴α＝π或α＝.
10.已知复数z满足(z－2)i＝a＋i(a∈R).
(1)求复数z；
(2)a为何值时，复数z2对应的点在第一象限.
【解】 (1)由(z－2)i＝a＋i，
得z－2＝＝1－ai，
∴z＝3－ai.
(2)由(1)得z2＝9－a2－6ai，
∵复数z2对应的点在第一象限，
∴解得－3故当a∈(－3,0)时，z2对应的点在第一象限.
[能力提升]
1.在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么对应的复数为________.
【解析】 由＝＋，知
对应的复数为(－2＋i)＋(1＋5i)＝－1＋6i，
又＝－，
∴对应的复数为(3＋2i)－(－1＋6i)＝4－4i.
【答案】 4－4i
2.(2016·宜昌模拟)已知复数z满足(1＋i)z＝1－i，其中i为虚数单位，则|z|＝________.
【解析】 由(1＋i)z＝1－i得z＝＝－i，∴|z|＝1.
【答案】 1
3.(2016·镇江二模)在复平面内，复数z＝＋i2
014表示的点所在的象限是________.
【解析】 z＝＋i2
014＝＋i2＝－＋i，对应点的坐标为，故在第二象限.
【答案】 第二象限
4.已知O为坐标原点，O1对应的复数为－3＋4i，O2对应的复数为2a＋i(a∈R).若O1与O2共线，求a的值.
【解】 因为O1对应的复数为－3＋4i，O2对应的复数为2a＋i，所以O1＝(－3,4)，O2＝(2a,1).因为O1与O2共线，所以存在实数k使O2＝k1，即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，
所以所以
即a的值为－.学业分层测评(十四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．如图2 1 19所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是________.
【导学号：01580042】
图2 1 19
【解析】 由图形中数字，不难得出每行两头数字均为1，其它数字均为其肩上两数字之和，∴a＝3＋3＝6.
【答案】 6
2．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：
23＝ 33＝ 43＝….
仿此，若m3的“分裂数”中有一个是2
015，则m＝________.
【解析】 根据分裂特点，设最小数为a1，
则ma1＋×2＝m3，∴a1＝m2－m＋1.
∵a1为奇数，又452＝2
025，
∴猜想m＝45.
验证453＝91
125＝.
【答案】 45
3．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：________________________.
【解析】 平面几何中的线与立体几何中的面相类比，可得：夹在两个平行平面间的平行线段相等．
【答案】 夹在两个平行平面间的平行线段相等
4．观察下面不等式：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，猜想第n个不等式为________．
【解析】 当n≥2时，则不等式左端就为1＋＋＋…＋，而右端的分母正好是n，分子是2n－1，因此可以猜想，n≥2时，满足的不等式为1＋＋＋…＋<.
故可归纳式子为：1＋＋＋…＋<(n≥2)．
【答案】 1＋＋＋…＋<(n≥2)
5．若a1，a2，a3，a4∈R＋，有以下不等式成立：
≥，≥，≥.由此推测成立的不等式是_______________________________________________．
(要注明成立的条件)
【答案】 ≥(a1，a2，a3，…，an∈R＋)
6．观察下列各式：55＝3
125,56＝15
625,57＝78
125，…则52
015的末四位数字为________．
【解析】 ∵55＝3
125,56＝15
625,57＝78
125，
58末四位数字为0
625,59末四位数字为3
125，
510末四位数字为5
625,511末四位数字为8
125，
512末四位数字为0
625，…，
由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现，
∴52
015＝54×503＋3末四位数字为8
125.
【答案】 8
125
7．(2016·湖北调研)如图2 1 20①②③④所示，它们都是由小圆圈组成的图案．现按同样的排列规则进行排列，记第n个图形包含的小圆圈个数为f(n)，则
图2 1 20
(1)f(5)＝________；
(2)f(2
015)的个位数字为________．
【解析】 观察规律可知：f(5)＝4×5＋1＝21，f(2
015)＝2
014×2
015＋1，它的个位数字是1.
【答案】 (1)21 (2)1
8．(2016·江西稳派调研)将2n按如表所示的规律填在5列的数表中，设22
015排在数表的第n行，第m列，则第m－1列中的前n个数的和Sn＝________.
21
22
23
24
28
27
26
25
29
210
211
212
216
215
214
213
…
…
…
…
…
【解析】 由于2
015＝4×503＋3，故22
015位于表格的第504行第4列，所以n＝504，m＝4.所以Sn＝＝.
【答案】
二、解答题
9．数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N
)，证明：
(1)数列是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
【导学号：01580043】
【证明】 (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
故＝2·，数列是以1为首项，2为公比的等比数列．
(2)由(1)知＝4·(n≥2)．
∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1＝4an(n≥2)．
又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝4＝4a1，
∴对任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.
10．在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a.类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明．
【解】 类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值a.
证明：设M是正四面体P ABC内任意一点，M到面ABC，面PAB，面PAC，面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4.
由于正四面体四个面的面积相等，故有：VP ABC＝VM ABC＋VM PAB＋VM PAC＋VM PBC
＝·S△ABC·(d1＋d2＋d3＋d4)，
而S△ABC＝a2，VP ABC＝a3，
故d1＋d2＋d3＋d4＝a(定值)．
[能力提升]
1．(2016·盐城高二期终)已知＝2，＝3，＝4，…类比这些等式，若＝6(a，b均为正实数)，则a＋b＝______.
【解析】 类比已知的3个等式，知a＝6，b＝62－1＝35.所以a＋b＝41.
【答案】 41
2．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则等于________．
【解析】 如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM＝，此时点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等体积法有4××r＝×× r＝，故AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶OM＝∶＝3.
【答案】 3
3．(2016·湖北宜昌高三模拟)观察下列等式：
①sin
2θ＝cos
θ·2sin
θ；
②sin
4θ＝cos
θ(4sin
θ－8sin3θ)；
③sin
6θ＝cos
θ(6sin
θ－32sin3θ＋32sin5θ)；
④sin
8θ＝cos
θ(8sin
θ－80sin3θ＋192sin5θ－128sin7θ)；
⑤sin
10θ＝cos
θ(10sin
θ－160sin3θ＋msin5θ－1
024sin7θ＋nsin9θ)．
则可以推测(1)n＝________，(2)m＝________.
【解析】 由给定等式的规律可知奇数式的最后一项系数为正数．数值为2n，n的值与sin
θ的次数相同，所以式子⑤中n＝29＝512.另一特征为括号中所有系数的和奇数式与θ的系数相等，偶数式与θ的系数相反，所以⑤式中10－160＋m－1
024＋512＝10，∴m＝672.
【答案】 512 672
【答案】 14
5．设f(x)＝，g(x)＝(其中a>0，a≠1)．
(1)请你推测g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示．
(2)如果(1)中获得一个结论，请你推测能否推广并加以证明．
【解】 (1)由题意可得f(2)＝，f(3)＝，g(2)＝，g(3)＝.
则f(3)·g(2)＋g(3)·f(2)
＝＝.
又g(5)＝，
因此，g(5)＝f(3)·g(2)＋g(3)·f(2)．
(2)g(5)＝f(3)·g(2)＋g(3)·f(2)，
即g(3＋2)＝f(3)·g(2)＋g(3)·f(2)．
于是猜测g(x＋y)＝f(x)·g(y)＋g(x)·f(y)．
证明：∵f(x)＝，g(x)＝，
∴g(x＋y)＝，
g(y)＝，f(y)＝，
所以f(x)·g(y)＋g(x)·f(y)
＝·＋·
＝＝g(x＋y)．
故g(x＋y)＝f(x)·g(y)＋g(x)·f(y).学业分层测评(十七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N
)，那么f(n＋1)－f(n)等于________.
【解析】 f(n＋1)－f(n)＝1＋＋＋…＋＋＋＋－f(n)＝＋＋.
【答案】 ＋＋
2.(2016·无锡高二期末)用数学归纳法证明不等式“＋＋＋…＋＞”，当n＝1时，不等式左边的项为：________.
【解析】 不等式左边分子是1，分母是从n＋1一直到3n＋1的分数之和，当n＝1时，n＋1＝2,3n＋1＝4，左边项为＋＋.
【答案】 ＋＋
3.用数学归纳法证明：“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取值________.
【导学号：01580053】
【解析】 ∵当n＝1时，21＝12＋1；当n＝2时，22＜22＋1，当n＝3时，23＜32＋1；当n＝4时，24＜42＋1；当n≥5时，2n＞n2＋1恒成立.
∴n0＝5.
【答案】 5
4.若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，n∈N
，则f(k＋1)－f(k)＝______________.
【解析】 f(k)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2，
f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，
则f(k＋1)－f(k)＝(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
【答案】 (2k＋1)2＋(2k＋2)2
5.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an＝________.
【解析】 a1＝1＝，a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝.
【答案】
6.用数学归纳法证明≥n(a，b是非负实数，n∈N
)时，假设n＝k命题成立之后，证明n＝k＋1时命题也成立的关键是两边同乘以________.
【解析】 要想办法出现ak＋1＋bk＋1，两边同乘以，右边也出现了要证的k＋1.
【答案】
7.以下是用数学归纳法证明“n∈N
时，2n＞n2”的过程，证明：(1)当n＝1时，21＞12，不等式显然成立.
(2)假设当n＝k(k∈N
)时不等式成立，即2k＞k2.
那么，当n＝k＋1时，2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
即当n＝k＋1时不等式也成立.
根据(1)和(2)，可知对任何n∈N
不等式都成立.其中错误的步骤为________(填序号).
【解析】 在2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1中用了k2≥2k＋1，这是一个不确定的结论.如k＝2时，k2＜2k＋1.
【答案】 (2)
8.用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是_____.
【解析】 当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12.
当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，
所以左边添加的式子为(k＋1)2＋k2.
【答案】 (k＋1)2＋k2
二、解答题
9.用数学归纳法证明：当n∈N
时，1＋22＋33＋…＋nn＜(n＋1)n.
【证明】 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2,1＜2，不等式成立.
(2)假设当n＝k(k∈N
)时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋kk＜(k＋1)k，
那么，当n＝k＋1时，左边＝1＋22＋33＋…＋kk＋(k＋1)k＋1＜(k＋1)k＋(k＋1)k＋1＝(k＋1)k(k＋2)＜(k＋2)k＋1＝[(k＋1)＋1]k＋1＝右边，即左边＜右边，
即当n＝k＋1时不等式也成立.
根据(1)和(2)，可知不等式对任意n∈N
都成立.
10.已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝0.试猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明.
【解】 由an＋1＝，a1＝0，得
a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，
a5＝＝，….
归纳上述结果，可得猜想an＝(n＝1,2,3，…).
下面用数学归纳法证明这个猜想：
(1)当n＝1时，猜想显然成立.
(2)假设当n＝k时猜想成立，即ak＝，
那么，当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝＝，
即当n＝k＋1时，猜想也成立.
根据(1)和(2)，可知猜想an＝对所有正整数都成立，即为数列{an}的通项公式.
[能力提升]
1.用数学归纳法证明“当n为正偶数时xn－yn能被x＋y整除”第一步应验证n＝________时，命题成立；第二步归纳假设应写成________.
【解析】 由于n为正偶数，第一步应检验n＝2时，命题成立.
第二步，应假设n＝2k(k∈N
)时命题成立，即n＝2k(k∈N
)时x2k－y2k能被x＋y整除.
【答案】 2 假设n＝2k(k∈N
)时x2k－y2k能被x＋y整除
2.用数学归纳法证明：凸n边形对角线的条数f(n)＝n(n－3)(n≥4)时，f(k＋1)与f(k)的关系是_______________________________________________.
【解析】 假设n＝k(k≥4，k∈N
)时成立，则f(k)＝k(k－3)，
当n＝k＋1时，多出一条边，实际上增加的对角线条数为k＋1－2＝k－1条，所以f(k＋1)＝f(k)＋k－1.
【答案】 f(k＋1)＝f(k)＋k－1
3.用数学归纳法证明：“1＋＋＋…＋＜n(n＞1)”，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是________.
【解析】 当n＝k＋1时，左边是1＋＋＋…＋＋＋…＋增加的是＋＋…＋，共有2k＋1－1－2k＋1＝2k项，故左边应增加的项的项数是2k.
【答案】 2k
4.用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为__________.
【导学号：01580054】
【解析】 当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2.
【答案】 25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2
5.设函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.
(1)求f(0)的值；
(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；
(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N
)的表达式，并用数学归纳法加以证明.
【解】 (1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0 f(0)＝0.
(2)f(1)＝1，f(2)＝f(1＋1)＝1＋1＋2＝4，
f(3)＝f(2＋1)＝4＋1＋2×2×1＝9，
f(4)＝f(3＋1)＝9＋1＋2×3×1＝16.
(3)猜想f(n)＝n2，下面用数学归纳法证明.
当n＝1时，f(1)＝1满足条件.
假设当n＝k(k∈N
)时成立，即f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2k＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，从而可得当n＝k＋1时满足条件，所以对任意的正整数n，都有f(n)＝n2.学业分层测评(一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．函数f(x)＝在[2,6]上的平均变化率为________．
【解析】 ＝＝－.
【答案】 －
2．函数f(x)＝log2x在区间[2,4]上的平均变化率是________．
【解析】 函数的平均变化率是＝＝.
【答案】
3．已知某质点的运动规律为s(t)＝5t2(单位：m)，则在1
s到3
s这段时间内，该质点的平均速度为________m/s.
【解析】 ＝＝20(m/s)．
【答案】 20
4．在雨季潮汛期间，某水位观测员观察千岛湖水位的变化，在24
h内发现水位从102.7
m上涨到105.1
m，则水位涨幅的平均变化率是________m/h.
【解析】 ＝0.1(m/h)．
【答案】 0.1
5．已知函数f(x)＝ax＋b在区间[1,8]上的平均变化率为3，则实数a＝________.
【解析】 对于一次函数，在其定义域内的任一区间上的平均变化率相等．与一次函数对应直线的斜率相等．故a＝3.
【答案】 3
6．已知某物体运动的速度与时间之间的关系式是v(t)＝t＋t3，则该物体在时间间隔内的平均加速度为________．
【解析】 平均加速度＝.
【答案】
7．设某产品的总成本函数为C(x)＝1
100＋，其中x为产量数，生产900个单位到1
000个单位时总成本的平均变化率为________．
【解析】 C(1
000)－C(900)＝
则＝＝.
【答案】
8．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图1 1 2所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，其三者的大小关系是________．
图1 1 2
【解析】 ∵1＝＝kMA，
2＝＝kAB，
3＝＝kBC，
由图象可知：kMA∴3>2>1.
【答案】 3>2>1
二、解答题
9．假设在生产8到30台机器的情况下，生产x台机器的成本是c(x)＝x3－6x2＋15x(元)，而售出x台的收入是r(x)＝x3－3x2＋12x(元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？
【解】 依题意，生产并售出x台所获得的利润是
L(x)＝r(x)－c(x)＝3x2－3x(元)，
∴x取值从10台至20台的平均利润为
＝
＝87(元)，
故所求平均利润为87元．
10．2015年冬至2016年春，某国北部某省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图1 1 3所示，据图回答：
图1 1 3
(1)2015年11月至2015年12月间，小麦受旱面积变化大吗？
(2)哪个时间段内，小麦受旱面积增幅最大？
(3)从2015年11月到2016年2月，与从2016年1月到2016年2月间，试比较哪个时间段内，小麦受旱面积增幅较大？
【解】 (1)在2015年11月至2015年12月间，Δs变化不大，即小麦受旱面积变化不大．
(2)由图形知，在2016年1月至2016年2月间，平均变化率较大，故小麦受旱面积增幅最大．
(3)在2015年11月至2016年2月间，平均变化率为，
在2016年1月至2016年2月间，平均变化率为＝sB－sC，
显
然kBC>kAB，即sB－sC>，
∴在2016年1月至2016年2月间，小麦受旱面积增幅较大．
[能力提升]
1．如图1 1 4是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________.
【导学号：01580002】
图1 1 4
【解析】 由函数f(x)的图象知，
f(x)＝所以，函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝.
【答案】
2．已知曲线y＝－1上两点A，B，当Δx＝1时，直线AB的斜率为________．
【解析】 ∵Δx＝1,2＋Δx＝3，
∴f(2＋Δx)－f(2)＝－
＝－＝－.
kAB＝＝－.
【答案】 －
3．函数y＝x3＋2在区间[1，a]上的平均变化率为21，则a＝________.
【解析】 ＝＝a2＋a＋1＝21.
解之得a＝4或a＝－5.
又∵a>1，∴a＝4.
【答案】 4
4．(2016·泰安检测)巍巍泰山为我国五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？
图1 1 5
【解】 山路从A到B高度的平均变化率为
hAB＝＝＝，
山路从B到C高度的平均变化率为
hBC＝＝＝，
∵hBC>hAB，
∴山路从B到C比从A到B要陡峭得多.学业分层测评(十五)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.命题“函数f(x)＝x－xln
x在区间(0,1]上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln
x求导得f′(x)＝－ln
x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln
x>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法.
【答案】 综合法
2.已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是x________y.
【解析】 要比较x，y的大小.∵x>0，y>0，
只需比较x2，y2的大小，即与a＋b的大小.
∵a，b为不相等的正数，∴2∴则x2【答案】 <
3.已知sin
θ＋cos
θ＝且≤θ≤，则cos
2θ＝______________.
【解析】 由sin
θ＋cos
θ＝得1＋2sin
θcos
θ＝.则2sin
θcos
θ＝－，∵≤θ≤，∴sin
θ>0，cos
θ<0.
∴sin
θ－cos
θ＝＝.∴sin
θ＝，
∴cos
2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝－.
【答案】 －
4.(2016·南京高二期末)已知函数f(x)＝ex－ax在区间(0,1)上有极值，则实数a的取值范围是________.
【解析】 函数f(x)＝ex－ax在区间(0,1)上有极值，就是导函数f′(x)＝ex－a在区间(0,1)上有零点.即方程ex－a＝0在区间(0,1)上有解.所以a＝ex∈(1，e).
【答案】 (1，e)
5.已知f(x)＝是奇函数，那么实数a的值等于________.
【解析】 函数的定义域为R，函数为奇函数，当x＝0时f(0)＝0，即＝0，
∴a＝1.
【答案】 1
6.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则＝________.
【解析】 ∵a1·a9＝a，即a1·(a1＋8d)＝(a1＋2d)2，
∴4d(a1－d)＝0，∵d≠0，∴a1＝d，
∴＝＝.
【答案】
7.(2016·济南高二检测)已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，函数g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m＝________.
【解析】 因为f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，所以m2－4＝0，m＝±2.
由题意知g′(x)＝－3x2＋4x＋m≤0恒成立，
则Δ＝42－4×(－3)×m≤0，解得m≤－，故m＝－2.
【答案】 －2
8.如图2 2 1，四棱柱ABCD A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可).
图2 2 1
【解析】 要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.
【答案】 AC⊥BD(或底面为菱形)
二、解答题
9.已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥4S.
【证明】 要证a2＋b2＋c2≥4S，
只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2abcos
C)≥2
absin
C，即证a2＋b2≥2absin(C＋30°)，因为2absin(C＋30°)≤2ab，
只需证a2＋b2≥2ab，
显然上式成立.所以a2＋b2＋c2≥4S.
10.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，且2cos
2B－8cos
B＋5＝0，求证：△ABC为正三角形.
【证明】 ∵2cos
2B－8cos
B＋5＝0，
∴4cos2B－8cos
B＋3＝0，
∴cos
B＝或cos
B＝(舍去)，
∴B＝60°.
∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴cos
B＝＝＝，
∴a＝c.
又∵B＝60°，
∴△ABC为正三角形.
[能力提升]
1.如果a＋b>a＋b，则实数a，b应满足的条件是________.
【解析】 a＋b>a＋b a－a>b－b a(－)>b(－) (a－b)(－)>0
(＋)(－)2>0，
故只需a≠b且a，b都不小于零即可.
【答案】 a≥0，b≥0且a≠b
2.已知△ABC的两顶点A、B是双曲线－＝1的左右两个焦点，顶点C在双曲线的右支上，则＝________.
【解析】 ∵A、B是双曲线－＝1的左右两个焦点，C在双曲线的右支上，
∴|AB|＝2＝10，|CA|－|CB|＝6，
由正弦定理，得＝＝－.
【答案】 －
3.使不等式＋2>1＋成立的正整数p的最大值是________.
【解析】 由＋2>1＋，得<＋2－1，
即p<(＋2－1)2，
所以p<12＋4－4－2，
由于12＋4－4－2≈12.7，因此使不等式成立的正整数p的最大值是12.
【答案】 12
4.(2016·唐山高二检测)已知a，b，c是不全相等的正数，且0＋logx
＋logx
【证明】 要证明logx＋logx＋logx只需要证明logx而已知0abc.
∵a，b，c是不全相等的正数，
∴≥>0，≥>0，≥>0，
∴··>＝abc.
即··>abc成立.
∴logx＋logx＋logx(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝________.
【解析】 从给出的式子特点观察可推知等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.
【答案】 123
2．经计算发现下列不等式：＋<2，＋<2，＋<2，…根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：________.
【解析】 ∵＝10，
＝10，＝10，
∴不难得出，若a＋b＝20，＋<2.
【答案】 若a＋b＝20，则＋<2
3．观察下列等式：
12＝1
12－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
…，
照此规律，第n个等式可为________．
【解析】 12＝1，
12－22＝－(1＋2)，
12－22＋32＝1＋2＋3，
12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，
…，
12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n)＝(－1)n＋1.
【答案】 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1
4．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2
041，…，则72
013的末两位数字为________.
【导学号：01580032】
【解析】 因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2
401,75＝16
807，76＝117
649，…，
所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.
又2
013＝4×503＋1，
所以72
013的末两位数字与71的末两位数字相同，为07.
【答案】 07
5．设函数f(x)＝(x>0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f((f1(x))＝，
f3(x)＝f((f2(x))＝，
f4(x)＝f((f3(x))＝，
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N
且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
【解析】 函数结果的分母中x项系数所组成的数列为1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1.
分母中常数项依次为2,4,8,16，…，其通项为2n.
又函数中，分子都是x.
∴当n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝.
【答案】
6．(2016·青岛高二检测)容易计算2×5＝10,22×55＝1
210，222×555＝123
210，2
222×5
555＝12
343
210.根据此规律猜想22…2×55…5所得结果由左向右的第八位至第十位的三个数字依次为________．
【解析】 由已知可归纳出22…2×55…5＝
123
456
789
876
543
210，所得结果由左向右的第八位至第十位的三个数字依次为898.
【答案】 898
7．(2016·东北三校高二联考)某种平面分形图如图2 1 5所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图．
图2 1 5
则n级分形图中共有________条线段．
【解析】 分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图中有3＝3×2－3条线段，二级分形图中有9＝3×22－3条线段，三级分形图中有21＝3×23－3条线段，按此规律得n级分形图中的线段条数an＝3·2n－3(n∈N
)．
【答案】 3·2n－3(n∈N
)
8．把正整数按一定的规则排成了如图2 1 6所示的三角形数表，设aij(i，j∈N
)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j行．如a42＝8，若aij＝2
009.则i和j的和为________．
1
2 4
3 5 7
6 8 10 12
9 11 13 15 17
14 16 18 20 22 24
… … … … … … …
【解析】 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2
009＝2×1
005－1，所以2
009为第1
005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1
024，故2
009在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1
923,2
009＝1
923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.
【答案】 107
二、解答题
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1且Sn－1＋＋2＝0(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．
【解】 当n＝1时，S1＝a1＝1；
当n＝2时，＝－2－S1＝－3，∴S2＝－；
当n＝3时，＝－2－S2＝－，∴S3＝－；
当n＝4时，＝－2－S3＝－，∴S4＝－.
猜想：Sn＝－(n∈N
)
10．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图2 1 6所示的三角形数：
图2 1 6
将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：
(1)b2
014是数列{an}的第几项？
(2)用k表示b2k－1.
【解】 (1)an＝1＋2＋…＋n＝，
b1＝＝a4，b2＝＝a5，
b3＝＝a9，b4＝＝a10，
b5＝＝a14，
b6＝＝a15，
…
b2
014＝＝a5
035.
即b2
014是数列{an}的第5
035项．
(2)由(1)知
b2k－1＝＝.
[能力提升]
1．已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N
，则f2
014(x)的表达式为________．
【解析】 由f1(x)＝ f2(x)＝f＝＝；又可得f3(x)＝f(f2(x))＝＝，故可猜想f2
014(x)＝.
【答案】
2．观察下列等式：×＝1－，×＋×＝1－，×＋×＋×＝1－，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N
，×＋×＋…＋×＝________.
【解析】 观察所给等式知，第n个等式的右边为1－.
【答案】 1－
3．已知sin230°＋sin290°＋sin2150°＝，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝.通过观察上述两等式的规律，请写出一个一般性的命题：___________________.
【答案】 sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝
4．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图2 1 6①②③④所示为她们刺绣的最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形数越多，刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
图2 1 6
(1)求f(5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3)求＋＋＋…＋的值．
【解】 (1)f(5)＝41.
(2)f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
……
由上式规律，得f(n＋1)－f(n)＝4n.
∴f(n＋1)＝f(n)＋4n，
f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)
＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)
＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4
＝2n2－2n＋1.
(3)当n≥2时，＝＝，
∴＋＋＋…＋
＝1＋＋＋…＋
＝1＋＝－.模块综合测评
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把正确答案填在题中的横线上)
1.已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝________.
【解析】 |z|＝＝＝|i＋2|＝.
【答案】
2.若f(x)＝sin
α－cos
x(α是常数)，则f′(α)＝________.
【解析】 f′(x)＝(sin
α－cos
x)′＝sin
x，
∴f′(α)＝sin
α.
【答案】 sin
α
3.(2016·重庆一中高二期末)复数z满足zi－2i＋1＝0(其中i为虚数单位)，则z＝________.
【解析】 由zi－2i＋1＝0得z＝＝＝2＋i.
【答案】 2＋i
4.若f(x)＝x2－2x－4ln
x，则f′(x)>0的
解集为________.
【解析】 f′(x)＝2x－2－>0，>0.
∵x>0，∴(x－2)(x＋1)>0.
∴x>2.
【答案】 (2，＋∞)
5.(2016·淄博质检)设复数z＝＋(m2＋2m－15)i为实数，则实数m的值是________.
【解析】 由题意知m2＋2m－15＝0，解之得m＝3或m＝－5.当m＝－5时，无意义，所以m＝3.
【答案】 3
6.函数y＝ln
x(x>0)的图象与直线y＝x＋a相切，则a等于________.
【导学号：01580074】
【解析】 y′＝(ln
x)′＝(x>0)，
又y＝ln
x的图象与直线y＝x＋a相切，
∴＝，∴x＝2，
因此，切点P(2，ln
2)在直线y＝x＋a上，
∴ln
2＝1＋a，∴a＝ln
2－1.
【答案】 ln
2－1
7.观察下列的图形中小正方形的个数，则第10个图形中有________个小正方形.
图1
【解析】 第n个图形中有小正方形1＋2＋…＋(n＋1)＝(个)，故第10个图形中有66个小正方形.
【答案】 66
8.用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋，n>1)”时，由n＝k(k>1，k∈N
)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是________.
【解析】 令f(n)＝1＋＋＋…＋，
∴f(k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋，
因此应增加的项为＋＋…＋，共2k项.
【答案】 2k
9.(2016·天津高考)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________.
【解析】 因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1，所以＝2.
【答案】 2
10.(2016·咸阳模拟)[]表示不超过的最大整数.
S1＝[]＋[]＋[]＝3，
S2＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝10，
S3＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21，
……
那么Sn＝________.
【解析】 S1＝[]＋[]＋[]＝1×3，
S2＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝2×5，
S3＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝3×7，
观察式子规律，可以得出Sn＝[]＋[]＋[]＋…＋[]＝n(2n＋1).
【答案】 n(2n＋1)
11.(2014·湖南高考改编)若0①ex2－ex1>ln
x2－lnx1；
②ex2－ex1x2－lnx1；
③x2ex1>x1ex2；
④x2ex1【导学号：01580075】
【解析】 设f(x)＝ex－ln
x(0令f′(x)＝0，得xex－1＝0，根据函数y＝ex与y＝的图象可知两函数图象交点x0∈(0,1)，因此函数f(x)在(0,1)上不是单调函数，故①②不正确.令g(x)＝(0>x1ex2.即③正确.
【答案】 ③
12.函数y＝x2－ln
x的单调递减区间是________.
【解析】 y′＝x－＝＝(x>0)令y′<0，∵x>0，∴0x的单调递减区间是(0,1).
【答案】 (0,1)
13.(2016·大连测试)已知函数f(x)＝ex－2x－1(其中e为自然对数的底数)，则y＝f(x)的图象大致为________(填序号).
图2
【解析】 依题意得f′(x)＝ex－2.当x2时，f′(x)<0，f(x)是减函数，f(x)>f(ln
2)＝1－2ln
2；当x>ln
2时，f′(x)>0，f(x)是增函数，因此对照图象知③正确.
【答案】 ③
14.观察下列推理过程：
∵＝2＝－，
∴tan
α－＝－，
∴tan
2α－＝－，
∴tan
4α－＝－，
…
由此可化简：tan
＋2tan
＋4tan
＋8tan
＋16tan
＝________.
【解析】 由推理过程得tan
α＝－，2tan
2α＝－，
4tan
4α＝－，8tan
8α＝－，
16tan
16α＝－，将这五个等式相加，得
tan
α＋2tan
2α＋4tan
4α＋8tan
8α＋16tan
16α＝－，令α＝，可得原式＝－.
【答案】 －
二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15.复数z1＝＋(a2－10)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数a的值.
【解】 1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i
＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i
＝＋(a2＋2a－15)i.
∵1＋z2是实数，
∴a2＋2a－15＝0，
解得a＝－5或a＝3.
∵a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.
16.(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.
(1)当a＝－时，讨论f(x)的单调性；
(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围.
【解】 (1)当a＝－时，f(x)＝x3－3x2＋3x＋1，
f′(x)＝3x2－6x＋3.
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝＋1.
当x∈(－∞，
－1)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，－1)上是增函数；
当x∈(－1，＋1)时，f′(x)＜0，f(x)在(－1,
＋1)上是减函数；
当x∈(＋1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(＋1，＋∞)上是增函数.
(2)由f(2)≥0，得a≥－.
当a≥－，x∈(2，＋∞)时，
f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3
＝3(x－2)＞0，
所以f(x)在(2，＋∞)上是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0.
综上，a的取值范围是.
17.(本小题满分14分)设等差数列{an}的公差为d，Sn是{an}中从第2n－1项开始的连续2n－1项的和，即
S1＝a1，
S2＝a2＋a3，
S3＝a4＋a5＋a6＋a7，
……
Sn＝a2n－1＋a2n－1＋1＋…＋a2n－1，
……
若S1，S2，S3成等比数列，问：数列{Sn}是否成等比数列？请说明你的理由.
【解】 ∵S1，S2，S3成等比数列，
∴S1＝a1≠0，且S1·S3＝S，
由S1·S3＝S，得a1(a4＋a5＋a6＋a7)＝(a2＋a3)2，
即a1(4a1＋18d)＝(2a1＋3d)2,2a1d＝3d2.∴d＝0或a1＝d.
当d＝0时，Sn＝2n－1a1≠0，
＝＝2(常数)，n∈N
，{Sn}成等比数列；
当a1＝d时，
Sn＝a2n－1＋a2n－1＋1＋a2n－1＝2n－1a2n－1＋d
＝2n－1[a1＋(2n－1－1)d]＋d
＝2n－1＝d·4n－1≠0，
＝＝4(常数)，n∈N
，{Sn}成等比数列.
综上所述，若S1，S2，S3成等比数列，则{Sn}成等比数列.
18.(本小题满分16分)已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋ax3＋x2－b(x∈R)，其中a，b∈R，若函数g(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围.
【解】 (1)因为f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，
所以－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，
所以－1而m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数，m＝1时，
f(x)＝x4是偶函数，
所以f(x)＝x4.
(2)由(1)知g(x)＝x4＋ax3＋x2－b，
则g′(x)＝x(x2＋3ax＋9)，显然x＝0不是方程x2＋3ax＋9＝0的根.
为使g(x)仅在x＝0处有极值，
必须x2＋3ax＋9≥0恒成立，
即有Δ＝9a2－36≤0，解不等式得a∈[－2,2].
这时，g(0)＝－b是唯一极值，所以a∈[－2,2].
19.(本小题满分16分)在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝.
(1)求a1，a2，a3；
(2)由(1)猜想到数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.
【解】 (1)由S1＝a1＝，得a＝1，
因为an>0，所以a1＝1.
由S2＝a1＋a2＝，得a＋2a2－1＝0，所以a2＝－1，
由S3＝a1＋a2＋a3＝，
得a＋2a3－1＝0，所以a3＝－.
(2)猜想an＝－(n∈N
).
证明：①当n＝1时，
a1＝－＝1，命题成立；
②假设n＝k(k≥1，k∈N
)时，
ak＝－成立，
则n＝k＋1时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk
＝－，
即ak＋1
＝
－
＝－，
所以a＋2ak＋1－1＝0.
所以ak＋1＝－，
则n＝k＋1时，命题成立.
则①②知，n∈N
，an＝－.
20.(本小题满分16分)设函数f(x)＝aexln
x＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.
(1)求a，b；
(2)证明：f(x)>1.
【解】 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝aexln
x＋ex－ex－1＋ex－1.
由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e.故a＝1，b＝2.
(2)证明：由(1)知，f(x)＝exln
x＋ex－1，
从而f(x)>1等价于xln
x>xe－x－.
设函数g(x)＝xln
x，则g′(x)＝1＋ln
x.
所以当x∈时，g′(x)<0；
当x∈时，g′(x)>0.
故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为
g＝－.
设函数h(x)＝xe－x－，则h′(x)＝e－x(1－x).
所以当x∈(0,1)时，h′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.
故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.
综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.学业分层测评(十三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．“所有金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电”这种推理方法属于________．
【答案】 演绎推理
2．“若∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°”若将其恢复成完整的三段论后，大前提是________________.
【导学号：01580037】
【答案】 两直线平行，同旁内角互补
3．已知函数f(x)＝a－，若f(x)为奇函数，则a＝______________.
【解析】 ∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，即f(0)＝a－＝0，∴a＝.
【答案】
4．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：
甲说：“我们四人都没考好．”
乙说：“我们四人中有人考得好．”
丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”
丁说：“我没考好．”
结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的________两人说对了．
【解析】 甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确，故答案为乙，丙．
【答案】 乙，丙
5．若不等式ax2＋2ax＋2<0的解集为空集，则实数a的取值范围为________．
【解析】 ①a＝0时，有2<0，显然此不等式解集为 .②a≠0时需有
所以0综上可知实数a的取值范围是[0,2]．
【答案】 [0,2]
6．(2016·聊城高二检测)已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N
(m，n∈N
)，且对任意m，n∈N
都有：
①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，②f(m＋1,1)＝2f(m,1)．
给出以下三个结论：
(1)f(1,5)＝9.(2)f(5,1)＝16.(3)f(5,6)＝26
其中正确结论为________．
【解析】 由条件可知，
因为f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，
且f(1,1)＝1，
所以f(1,5)＝f(1,4)＋2＝f(1,3)＋4＝f(1,2)＋6
＝f(1,1)＋8＝9.
又因为f(m＋1,1)＝2f(m,1)，
所以f(5,1)＝2f(4,1)＝22f(3,1)
＝23f(2,1)＝24f(1,1)＝16，
所以f(5,6)＝f(5,1)＋10＝24f(1,1)＋10＝26.
故(1)(2)(3)均正确．
【答案】 (1)(2)(3)
7．(2016·“江南十校”联考)已知两定点M(－1,0)，N(1,0)，若直线上存在点P，使|PM|＋|PN|＝4，则该直线为“A型直线”，给出下列直线，其中是“A型直线”的是________(填序号)．
①y＝x＋1；②y＝2；③y＝－x＋3；④y＝－2x＋3.
【解析】 由题意知点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程是＋＝1.①直线与坐标轴的交点(0,1)，(－1,0)都在椭圆内，易知直线与椭圆相交，交点即为P，故为“A型直线”；同理④也为“A型直线”；②直线显然与椭圆没有交点(2>)，所以不是“A型直线”；③把y＝－x＋3代入＋＝1并整理得7x2－24x＋24＝0.Δ＝(－24)2－4×7×24<0，所以y＝－x＋3不是“A型直线”．
【答案】 ①④
8．“如图2 1 14，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD”．
图2 1 14
证明：在△ABC中，
因为CD⊥AB，AC>BC，①
所以AD>BD，②
于是∠ACD>∠BCD.③
则在上面证明的过程中错误的是________(填序号)．
【解析】 由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．
【答案】 ③
二、解答题
9．用三段论证明通项公式为an＝cqn(c，q为常数，且cq≠0)的数列{an}是等比数列．
【证明】 设an＋1，an是数列中任意相邻两项，则从第二项起，后项与前项的比是同一个常数的数列叫等比数列(大前提)，
因为＝＝q(常数)(小前提)，
所以{an}是等比数列．(结论)
10．已知a>0且函数f(x)＝＋是R上的偶函数，求a的值．
【解】 由于f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对x∈R恒成立，即＋＝＋，所以＋a·2x＝＋，整理得(2x－2－x)＝0，必有a－＝0.又因为a>0，所以a＝1.
[能力提升]
1．在R上定义运算 ：x y＝x(1－y)，若不等式(x－a) (x＋a)<1对任意实数x都成立，则a的取值范围是________．
【解析】 由定义，得(x－a)(1－x－a)<1，
∴x2－x＋a－a2＋1>0对x∈R恒成立，
故Δ＝1－4(a－a2＋1)<0，
∴－【答案】
2．若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N
)，且f(1)＝2，则＋＋…＋＝________.
【导学号：01580038】
【解析】 ∵f(a＋b)＝f(a)f(b)，a，b∈N
令b＝1，则＝f(1)＝2.
∴＝＝…＝＝2，
∴原式＝2＋2＋…＋＝2
016.
【答案】 2
016
3．在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图2 1 15中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.
图2 1 15
(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是_______________________________________________；
(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则
S＝________(用数值作答)．
【解析】 (1)由图可知四边形DEFG是直角梯形，高为，下底为2，上底为，所以梯形面积S＝＝3.由图知N＝1，L＝6.
(2)取相邻四个小正方形组成一个正方形，其面积S＝4，N＝1，L＝8，结合△ABC，四边形DEFG可列方程组：
解得S＝1×71＋×18－1＝79.
【答案】 (1)3,1,6 (2)79
4．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N
.
(1)证明：数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn；
(3)证明：不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N
皆成立．
【解】 (1)证明：因为an＋1＝4an－3n＋1，
所以an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N
.
又a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
(2)由(1)可知an－n＝4n－1，于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n.
所以数列{an}的前n项和Sn＝＋.
(3)证明：对任意的n∈N
，
Sn＋1－4Sn＝＋－
4＝－(3n2＋n－4)≤0.
所以不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N
皆成立.章末综合测评(二)
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中的横线上)
1.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点.因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是f(x)＝x3的极值点.以上推理中________错误.
【解析】 大前提是错误的，若f′(x0)＝0，x＝x0不一定是函数f(x)的极值点.
【答案】 大前提
2.下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________.
图1
【解析】 由图形可知，着色三角形的个数依次为：1,3,9,27，…，故an＝3n－1.
【答案】 3n－1
3.(2016·日照联考)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N
)，计算得f(22)＞2，f(23)＞，f(24)＞3，f(25)＞，由此推测，当n≥2时，有________.
【解析】 因为f(22)＞，f(23)＞，f(24)＞，f(25)＞，所以推测，当n≥2时，f(2n)＞.
【答案】 f(2n)＞
4.已知圆x2＋y2＝r2(r＞0)的面积为S＝πr2，由此类比椭圆＋＝1(a＞b＞0)的面积最有可能是________.
【解析】 将圆看作椭圆的极端情况，即a＝b情形.
∴类比S圆＝πr2，得椭圆面积S＝πab.
【答案】 πab
5.已知a＞0，b＞0，m＝lg，n＝lg，则m与n的大小关系为________.
【解析】 ∵(＋)2＝a＋b＋2＞a＋b＞0，
∴＋＞＞0，则＞.
∴lg＞lg，则m＞n.
【答案】 m＞n
6.已知数列{an}为等差数列，数列{bn}是各项均为正数的等比数列，且公比q＞1，若a1＝b1，a2
013＝b2
013，则a1
007与b1
007的大小关系是________.
【解析】 由2a1
007＝a1＋a2
013，得a1
007＝.
又b＝b1·b2
013，得b1
007＝，
∵a1＝b1＞0，a2
013＝b2
013＞0，且a1≠a2
013，
∴a1
007＞b1
007.
【答案】 a1
007＞b1
007
7.利用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＞(n＞1，n∈N
)的过程中，第一步的代数式为____________________.
【解析】 第一步：n＝2时，左边为＋，故代数式为＋＞.
【答案】 ＋＞
8.(2016·江西一模)观察下列等式：
(1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2，
(1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4，
(1＋x＋x2)3＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6，
(1＋x＋x2)4＝1＋4x＋10x2＋16x3＋19x4＋16x5＋10x6＋4x7＋x8，
由以上等式推测：对于n∈N
，若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a2＝________.
【解析】 观察知，a2为数列1,3,6,10，…中的第n项，而1＝＝，3＝＝，6＝＝，10＝＝，…，归纳得a2＝.
【答案】
9.将全体正整数排成一个三角形数阵：
图2
根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行从左到右的第三个数是________.
【解析】 前n－1行共有正整数1＋2＋3＋…＋(n－1)＝个，
∴第n行第3个数是＋3＝.
【答案】
10.(2016·东北三校二模)观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n个等式为________.
【解析】 由题知13＝12；
13＋23＝2；
13＋23＋33＝2；
13＋23＋33＋43＝2；
…
∴13＋23＋33＋43＋…＋n3＝2.
【答案】 13＋23＋33＋43＋…＋n3＝2
11.已知点A(x1,3x1)，B(x2,3x2)是函数y＝3x的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论＞3成立.运用类比思想方法可知，若点A(x1，tan
x1)，B(x2，tan
x2)是函数y＝tan
x的图象上任意不同两点，则类似地有____________成立.
【解析】 因为y＝tan
x图象是上凸的，因此线段AB的中点的纵坐标总是小于函数y＝tan
x图象上的点的纵坐标，即有＜tan
成立.
【答案】 ＜tan
12.定义映射f：A→B，其中A＝{(m，n)|m，n∈R}，B＝R，已知对所有的有序正整数对(m，n)满足下述条件：
①f(m,1)＝1；②若n＞m，则f(m，n)＝0；③f(m＋1，n)＝n[f(m，n)＋f(m，n－1)].则f(2,2)＝________，f(n,2)＝________.
【解析】 根据定义得f(2,2)＝f(1＋1,2)＝2[f(1,2)＋f(1,1)]＝2f(1,1)＝2×1＝2.
f(3,2)＝f(2＋1,2)＝2[f(2,2)＋f(2,1)]＝2×(2＋1)＝6＝23－2，
f(4,2)＝f(3＋1,2)＝2[f(3,2)＋f(3,1)]＝2×(6＋1)＝14＝24－2，f(5,2)＝f(4＋1,2)＝2[f(4,2)＋f(4,1)]＝2×(14＋1)＝30＝25－2，所以根据归纳推理可知f(n,2)＝2n－2.
【答案】 2 2n－2
13.(2014·陕西高考)观察分析下表中的数据：
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是_______________________________________________.
【解析】 观察表中数据，并计算F＋V分别为11,12,14，又其对应E分别为9,10,12，易观察并猜想F＋V－E＝2.
【答案】 F＋V－E＝2
14.(2016·北京顺义区统考)数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规则排列：
；，；，，；，，，；…，，…，….
则a15＝______；若存在正整数k，使Sk－1＜10，Sk＞10，则ak＝________.
【解析】 从题中可看出分母n＋1出现n次，当分母为n＋1时，分子依次是1,2,3，…n共n个，由于1＋2＋3＋4＋5＝15.因此a15＝.计算分母为n＋1的各分数的和，依次为，1，，2，，3，…，而＋1＋＋2＋＋3＝10.5＞10，但＋1＋＋2＋＝7.5＜10，再计算＋＋＋＋＝2，而7＋2＝9＜10，故ak＝.
【答案】
二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分14分)用反证法证明：如果x＞，那么x2＋2x－1≠0.
【导学号：01580057】
【证明】 假设x2＋2x－1＝0，
则x＝－1±.
容易看出－1－＜，
下面证明－1＋＜.
要证：－1＋＜，
只需证：＜，
只需证：2＜.
上式显然成立，故有－1＋＜.
综上，x＝－1±＜.
而这与已知条件x＞相矛盾，
因此假设不成立，也即原命题成立.
16.(本小题满分14分)设数列{an}的前n项和Sn＝(n∈N
)，a2＝2.
(1)求{an}的前三项a1，a2，a3；
(2)猜想{an}的通项公式，并证明.
【解】 (1)由Sn＝得a1＝1，又由a2＝2，得a3＝3.
(2)猜想：an＝n.证明如下：①当n＝1时，猜想成立.
②假设当n＝k(k≥2)时，猜想成立，即ak＝k，
那么当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk
＝－.
＝－.
所以ak＋1＝－＝k＋1，
所以当n＝k＋1时，猜想也成立.
根据①②知，对任意n∈N
，都有an＝n.
17.(本小题满分14分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若，，成等差数列.
(1)比较与的大小，并证明你的结论；
(2)求证：角B不可能是钝角.
【解】 (1)＜.证明如下：
要证＜，只需证＜.
∵a，b，c＞0，∴只需证b2＜ac.
∵，，成等差数列，
∴＝＋≥2，∴b2≤ac.
又a，b，c均不相等，∴b2＜ac.
故所得大小关系正确.
(2)法一：假设角B是钝角，则cos
B＜0.
由余弦定理得，
cos
B＝≥＞＞0，
这与cos
B＜0矛盾，故假设不成立.
所以角B不可能是钝角.
法二：假设角B是钝角，则角B的对边b为最大边，即b＞a，b＞c，所以＞＞0，＞＞0，则＋＞＋＝，这与＋＝矛盾，故假设不成立.
所以角B不可能是钝角.
18.(本小题满分16分)(2016·南通月考)诺贝尔奖的发放方式为：每年一次，把奖金总额平均分成6份，奖励在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出了最有益贡献的人.每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增.假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：2002年诺贝尔奖发奖后基金总额约为19
800万美元.设f(x)表示为第x(x∈N
)年诺贝尔奖发奖后的基金总额(2002年记为f(1)).
(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；
(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2012年度诺贝尔各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由.(参考数据：1.031
29≈1.32)
【解】 (1)由题意知：f(2)＝f(1)(1＋6.24%)－f(1)·6.24%＝f(1)(1＋3.12%)，f(3)＝f(2)(1＋6.24%)－f(2)·6.24%＝f(1)·(1＋3.12%)2，
∴f(x)＝19
800·(1＋3.12%)x－1(x∈N
).
(2)2011年诺贝尔奖发奖后基金总额为f(10)＝19
800×(1＋3.12%)9＝26
136万美元，∴2012年度诺贝尔奖各项奖金额为××f(10)×6.24%≈136万美元，与150万美元相比少了约14万美元.
所以新闻“2012年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”不真，是假新闻.
19.(本小题满分16分)(2016·南通三模)各项均为正数的数列{xn}对一切n∈N
均满足xn＋<2.
证明：(1)xn(2)1－【证明】 (1)因为xn>0，xn＋<2，
所以0<<2－xn，
所以xn＋1>，且2－xn>0.
因为－xn＝＝≥0，
所以≥xn，
所以xn≤(2)下面先证明xn≤1.
假设存在自然数k，使得xk>1，则一定存在自然数m，使得xk>1＋.
因为xk＋<2，xk＋1>>＝.
xk＋2>>>，…，xk＋m－1>＝2，
与题设xk＋<2矛盾，所以xk≤1.
若xk＝1，则xk＋1>xk＝1，根据上述证明可知存在矛盾.
所以xk<1成立.
下面用数学归纳法证明：xn>1－.
①当n＝1时，由题设x1>0可知结论成立；
②假设n＝k时，xk>1－，
当n＝k＋1时，由(1)得，xk＋1>>＝＝1－，
故xn>1－.
20.(本小题满分16分)在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N
).
(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此归纳出{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；
(2)证明：＋＋＋…＋<.
【解】 (1)由条件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1，由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.
猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.
用数学归纳法证明：
①当n＝1时，由上可得结论成立.
②假设当n＝k时，结论成立，即
ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，
那么当n＝k＋1时，
ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝＝(k＋2)2.
所以当n＝k＋1时，结论也成立.
由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数n都成立.
(2)＝<.
当n≥2时，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)>2(n＋1)n.
＋＋＋…＋
<＋
＝＋
＝＋
<＋＝.
综上，原不等式成立.学业分层测评(九)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．当n→＋∞时，表示成定积分为________．
【解析】 根据定积分的几何意义，
当n→＋∞时，
表示曲线y＝sin
x，x＝0，x＝π，y＝0所围成图形的面积，所以表示成定积分为sin
xdx.
【答案】 sin
xdx
2.dx＝________.
【解析】 定积分dx等于直线y＝与x＝0，x＝2，y＝0围成三角形的面积S＝×2×1＝1.
【答案】 1
3．已知xdx＝2，则
xdx＝________.
【解析】 xdx表示直线y＝x，x＝0，x＝t，y＝0所围成图形的面积，而表示直线y＝x，x＝0，x＝－t，y＝0所围成图形面积的相反数，所以xdx＝－2.
【答案】 －2
4．若cos
xdx＝1，则由x＝0，x＝π，f(x)＝sin
x及x轴围成的图形的面积为________．
【解析】 由正弦函数与余弦函数的图象，知f(x)＝sin
x，x∈[0，π]的图象与x轴围成的图形的面积，等于g(x)＝cos
x，x∈的图象与x轴围成的图形的面积的2倍，所以答案应为2.
【答案】 2
5．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：
(1)S＝________(图1 5 2(1))；
(2)S＝________(图1 5 2(2))；
(3)S＝________(图1 5 2(3))．
(图1) (图2)
图(3)
图1 5 2
【答案】
6．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为__________．
【解析】 ∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.
∴物体运动的路程近似值S＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.
【答案】 55
7．物体运动的速度和时间的函数关系式为v(t)＝2t(t的单位：h，v的单位：km/h)，近似计算在区间[2,8]内物体运动的路程时，把区间6等分，则过剩近似值(每个ξi均取值为小区间的右端点)为__________km.
【解析】 以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度，可得过剩近似值为s＝(2×3＋2×4＋2×5＋2×6＋2×7＋2×8)×1＝66(km)．
【答案】 66
8．汽车以v＝(3t＋2)m/s做变速直线运动时，第1
s到第2
s间的1
s内经过的路程是________m.
【解析】 由题意知，所求路程为直线x＝1，x＝2，y＝0与y＝3x＋2所围成的直角梯形的面积，故S＝×(5＋8)×1＝6.5(m)．
【答案】 6.5
二、解答题
9．(2016·深圳高二检测)有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？
【解】 在时间区间[0,2]上等间隔地插入n－1个分点，将它分成n个小区间，记第i个小区间为(i＝1,2，…，n)，其长度为Δt＝－＝.每个时间段上行驶的路程记为Δsi(i＝1,2，…，n)，则显然有s＝si，取ξi＝(i＝1,2，…，n)．于是Δsi≈Δs′i＝v·Δt
＝·，
sn＝si＝·＋4
＝8＋4.
从而得到s的近似值s≈sn.
令n→∞，则Sn→12，故S＝12
所以这段时间内行驶的路程为12
km.
10．利用定积分的几何意义，求dx的值．
【解】 y＝(－1≤x≤1)表示圆x2＋y2＝1在x轴上方的半圆(含圆与x轴的交点)．根据定积分的几何意义，知
dx表示由曲线y＝与直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积，
所以dx＝S半圆＝π.
[能力提升]
1．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.
【解析】 分别以小区间左、右端点的纵坐标为高，求所有小矩形面积之和．
S1＝(02＋1＋0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1)×0.4＝3.92；
S2＝(0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1＋22＋1)×0.4＝5.52.
【答案】 3.92 5.52
2．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2，在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为________．
【解析】 将区间[0，a]n等分，记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，此区间长为，用小矩形面积2·
近似代替相应的小曲边梯形的面积，则2·＝·(12＋22＋…＋n2)＝近似地等于速度曲线v(t)＝t2与直线t＝0，t＝a，t轴围成的曲边梯形的面积．依题意得当n→＋∞时，→9，∴＝9，解得a＝3.
【答案】 3
【解析】 当x∈(0，π]时，sin
x≥0；
当x∈时，sin
x<0.
∴由定积分的性质可得
【答案】 ③
4．计算dx＝________.
【解析】 dx表示以原点为圆心，
4为半径的圆的面积，
∴dx＝π·42＝4π.
【答案】 4π
5．已知函数f(x)＝求f(x)在区间[－2,2π]上的积分．
【解】 由定积分的几何意义知x3dx＝0，
2xdx＝＝π2－4，
cos
xdx＝0.
由定积分的性质得
f(x)dx＝x3dx＋2xdx＋cos
xdx＝π2－4.学业分层测评(五)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．函数y＝x2－ln
x的单调递减区间为________．
【解析】 函数的定义域为(0，＋∞)，且y′＝x－≤0，由y′≤0，得x≤，∴0∴函数y＝x2－ln
x的单调减递区间为(0,1]．
【答案】 (0,1]
2．若函数y＝sin
x＋ax为R上的增函数，则实数a的取值范围是________．
【解析】 y′＝cos
x＋a，令y′≥0，可得a≥－cos
x，故a≥1.
【答案】 [1，＋∞)
3．已知f(x)＝＋ln
x，则f(e)，f(2)与f(3)的大小关系是________．
【解析】 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∴f′(x)＝＋>0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故f(3)>f(e)>f(2)．
【答案】 f(3)>f(e)>f(2)
4．若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则k的取值范围是________．
【解析】 由题意知h′(x)＝2＋≥0在(1，＋∞)上恒成立，得k≥－2x2，
∴k≥－2.
【答案】 [－2，＋∞)
5．已知函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1在R上不是单调函数，则实数m的取值范围是________.
【导学号：01580012】
【解析】 f′(x)＝3x2＋2x＋m.
∵f(x)在R上不单调，∴f′(x)有两个相异零点，
∴Δ＝4－12m>0，∴m<.
【答案】
6．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，2)，则b＝________，c＝________.
【解析】 f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－1【答案】 － －6
7．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为________．
【解析】 令f(x)－2x－4＝g(x)，
则g′(x)＝f′(x)－2.
∴g′(x)>0，则g(x)在R上是增函数．
又f(－1)＝2，∴g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，
从而g(x)>g(－1) x>－1.
【答案】 {x|x>－1}
8．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是__________．
【解析】 若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.
【答案】 (0，＋∞)
二、解答题
9．(2016·吉林高二检测)定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋3同时满足以下条件：
①f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数；
②f(x)的导函数是偶函数；
③f(x)在x＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直．
求函数y＝f(x)的解析式．
【解】 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
因为f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数，
所以f′(－1)＝3a－2b＋c＝0.①
由f(x)的导函数是偶函数，得b＝0，②
又f(x)在x＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直，所以f′(0)＝c＝－1，③
由①②③得a＝，b＝0，c＝－1，
即f(x)＝x3－x＋3.
10．若函数f(x)＝x3－mx2＋2m2－5的单调递减区间是(－9,0)，求m的值及函数的其他单调区间．
【解】 因为f′(x)＝3x2－2mx，
所以f′(x)<0，即3x2－2mx<0.
由题意，知3x2－2mx<0的解集为(－9,0)，
即方程3x2－2mx＝0的两根为x1＝－9，x2＝0.
由根与系数的关系，得－＝－9，即m＝－.
所以f′(x)＝3x2＋27x.
令3x2＋27x>0，解得x>0或x<－9.
故(－∞，－9)，(0，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间．
综上所述，m的值为－，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－9)，(0，＋∞)．
[能力提升]
1．函数f(x)＝x－2sin
x在(0，π)上的单调递增区间为________．
【解析】 令f′(x)＝1－2cos
x>0，则cos
x<，
又x∈(0，π)，解得【答案】
2．若函数f(x)＝kx－ln
x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是________．
【解析】 依题意得，f′(x)＝k－≥0在
(1，＋∞)上恒成立，即k≥在(1，＋∞)上恒成立，
∵x>1，∴0<<1，
∴k≥1.
【答案】 [1，＋∞)
3．(2016·亳州高二检测)若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围为________．
【解析】 f′(x)＝3x2＋2x＋m，由于f(x)是R上的单调函数，所以f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．
由于导函数的二次项系数3>0，所以只能有f′(x)≥0恒成立．
由上述讨论可知，要使f′(x)≥0恒成立，只需使方程3x2＋2x＋m＝0的判别式Δ＝4－12m≤0，故m≥.
经检验，当m＝时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．
所以实数m的取值范围是m≥.
【答案】
4．已知函数f(x)为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f(x)>xf′(x)，则不等式x2f－f(x)<0的解集为________．
【解析】 令φ(x)＝，则φ′(x)＝<0.
∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，
又x2f即<，∴φ<φ(x)．
故>x.又∵x>0，∴0【答案】 (0,1)
5．设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.
(1)若a＝，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．
【解】 (1)a＝时，f(x)＝x(ex－1)－x2，
f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，
f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．
(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．
令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.
若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，
而g(0)＝0，从而当x≥0时，g(x)≥0，即f(x)≥0.
若a>1，则当x∈(0，ln
a)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，
而g(0)＝0，从而当x∈(0，ln
a)时，g(x)<0，即f(x)<0.
综合得，a的取值范围为(－∞，1].学业分层测评(十八)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.复数(1－)i的实部为________.
【解析】 ∵复数(1－)i＝0＋(1－)i，∴实部为0.
【答案】 0
2.若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________.
【导学号：01580060】
【解析】 ∴x＝－1.
【答案】 －1
3.若复数z1＝a＋2i，z2＝bi，a，b均为实数，且z1＝z2，则a－b＝________.
【解析】 由z1＝z2，得a＝0，b＝2，∴a－b＝－2.
【答案】 －2
4.以复数z＝3i＋2和复数z2＝2i2－1的实部之和为虚部，虚部之和为实部的新复数是________.
【解析】 z2＝2i2－1＝－3，则新复数的实部为3，虚部为－1，所以新复数为3－i.
【答案】 3－i
5.(2014·湖南高考)复数(i为虚数单位)的实部等于________.
【解析】 ＝＝－3－i，其实部为－3.
【答案】 －3
6.设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
【解析】 复数m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数的充要条件是
解得即m＝－2.
故m＝－2时，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数.
【答案】 －2
7.若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值为________.
【解析】 ∴x＝－2.
【答案】 －2
8.有下列说法：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③1－ai(a∈R)是一个复数；
④纯虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为－i；
⑥i是方程x4－1＝0的一个根；
⑦i是一个无理数.
其中正确的有________(填序号).
【解析】 若两个复数相等，则有它们的实部、虚部均相等，故①正确；若虚部不相等，则两个复数一定不相等，故②正确；因满足形如a＋bi(a，b∈R)的数均为复数，故③正确；纯虚数的平方，如i2＝－1，故④错误；－1的平方根不止一个，因为(±i)2＝－1，故⑤错误；∵i4－1＝0成立，故⑥正确；i是虚数，而且是纯虚数，故⑦错误.综上，①②③⑥正确.
【答案】 ①②③⑥
二、解答题
9.已知m∈R，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)，
(1)写出复数z的代数形式.
(2)当m为何值时，z＝0？当m为何值时，z是纯虚数？
【解】 (1)复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i，
即复数z的代数形式为z＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(2)若z＝0，则
解得m＝2.
若z为纯虚数，则
解得
即m＝－.
10.已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实数根，求实数k的值.
【解】 设x0是方程的实数根，代入方程并整理得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
由两个复数相等的充要条件得
解得或
∴实数k的值为±2.
[能力提升]
1.设x，y∈R，且满足(x＋y)＋(x－2y)i＝(－x－3)＋(y－19)i，则x＋y＝________.
【解析】 由复数相等的充要条件得
解之得所以x＋y＝1.
【答案】 1
2.若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，则实数m＝________.
【解析】 由纯虚数的定义知，
log2(m2－3m－3)＝0且log2(m－2)≠0.
∴解得m＝4.
【答案】 4
3.已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2，则a的值为________.
【导学号：01580061】
【解析】 由z1>z2知，z1、z2都为实数，所以
解之得a＝0.此时，z1＝1>z2＝0.
【答案】 0
4.(2016·全国Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是________.
【解析】 由题意知即－3＜m＜1.故实数m的取值范围为(－3,1).
【答案】 (－3,1)
5.若复数z＝＋i(m∈R)是虚数，则实数m的取值范围是________.
【解析】 ∵复数z＝＋i(m∈R)是虚数.
∴解得m>1或m<0且m≠－2.
故实数的取值范围是(－∞，－2)∪(－2,0)∪(1，＋∞).
【答案】 (－∞，－2)∪(－2,0)∪(1，＋∞)章末综合测评(一)
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中的横线上)
1．函数f(x)＝在点(1，－2)处的切线方程为________．
【解析】 f′(x)＝，则f′(1)＝1，故函数f(x)在点(1，－2)处的切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.
【答案】 x－y－3＝0
2．若函数f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为________．
【解析】 f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，则f′(1)＝12－2f′(1)·1－1，
解得f′(1)＝0.
【答案】 0
3．函数f(x)＝的导数为________．
【解析】 f′(x)＝′＝
＝＝－.
【答案】 －
4．f(x)＝2x3－3x2＋a的极大值为6，则a＝________.
【解析】 f′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)，
令f′(x)＝0，
则x＝0或x＝1.
∴f(x)在(－∞，0)上递增，在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增，
∴f(x)极大值＝f(0)＝a，∴a＝6.
【答案】 6
5．若a>2，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在区间(0,2)恰好有________个零点．
【解析】 f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)，令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝2a>4，∴x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数．
∵f(0)＝1>0，f(2)＝－4a<0，∴f(0)f(2)<0，
∴f(x)在(0,2)内有且只有一个零点．
【答案】 1
6．(2016·长沙雅礼中学质检)函数f(x)＝x－ln
x的单调递减区间是_______．
【解析】 令f′(x)＝1－＝≤0，得x∈(0,1]，∴函数f(x)的单调递减区间是(0,1]．
【答案】 (0,1]
7．(2016·汕头检测)曲线y＝x3＋x在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为________．
【解析】 ∵y′＝x2＋1，
∴曲线在点处的切线斜率为k＝12＋1＝2，
故曲线在点处的切线方程为y－＝2(x－1)，
∴该切线与两坐标轴的交点分别是，.
故所求三角形的面积是××＝.
【答案】
8．(2016·唐山检测)已知a>0，函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在区间[－2,2]上单调递减，则4a＋b的最大值为______.
【导学号：01580029】
【解析】 ∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∵函数f(x)在区间[－2,2]上单调递减，
∴即即4a＋b≤－12，∴4a＋b的最大值为－12.
【答案】 －12
9．已知函数f(x)＝，g(x)＝aln
x，a∈R.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，则a＝________，切线方程为________．
【解析】 f′(x)＝，g′(x)＝(x>0)，
由已知得解得a＝，x＝e2，
∴两条曲线交点的坐标为(e2，e)，
切线的斜率为k＝f′(e2)＝，
∴切线方程为y－e＝(x－e2)，即x－2ey＋e2＝0.
【答案】 x－2ey＋e2＝0
10．(2016·郑州联考)已知f(x)＝x2＋2xf′(2
015)＋2
015ln
x，则f′(2
015)＝________.
【解析】 由题意得f′(x)＝x＋2f′(2
015)＋，所以f′(2
015)＝2
015＋2f′(2
015)＋，
即f′(2
015)＝－(2
015＋1)＝－2
016.
【答案】 －2
016
11．(2015·河北石家庄模拟)若对于曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)的任意切线l1，总存在曲线g(x)＝ax＋2cos
x的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为________．
【解析】 易知函数f(x)＝－ex－x的导数为f′(x)＝－ex－1，设l1与曲线f(x)＝－ex－x的切点为(x1，f(x1))，则l1的斜率k1＝－ex1－1.易知函数g(x)＝ax＋2cos
x的导数为g′(x)＝a－2sin
x，设l2与曲线g(x)＝ax＋2cos
x的切点为(x2，g(x2))，则l2的斜率k2＝a－2sin
x2.由题设可知k1·k2＝－1，从而有(－ex1－1)(a－2sin
x2)＝－1，∴a－2sin
x2＝，故由题意知对任意实数x1，总存在x2使得上述等式成立，则函数y＝的值域是y＝a－2sin
x值域的子集，则(0,1) [a－2，a＋2]，则∴－1≤a≤2.
【答案】 [－1,2]
12．已知函数f(x)＝mx3＋nx2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行，若f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，则实数t的取值范围是________．
【解析】 f′(x)＝3mx2＋2nx，且f(x)在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行．
∴解之得
因此f′(x)＝3x2＋6x.
令f′(x)≤0，得－2≤x≤0.
∴f(x)的单调减区间为[－2,0]．
依题意t≥－2且t＋1≤0，∴－2≤t≤－1.
【答案】 [－2，－1]
13．(2016·浙江六校联考)函数y＝ln
x＋x2的图象与函数y＝3x－b的图象有3个不同的交点，则实数b的取值范围是________．
【解析】 函数y＝ln
x＋x2的图象与函数y＝3x－b的图象有3个不同的交点，等价于ln
x＋x2＝3x－b有3个不同的解，等价于b＝3x－ln
x－x2有3个不同的解，
对f(x)＝3x－ln
x－x2求导，得f′(x)＝3－－2x，易知函数在，(1，＋∞)上递减，在上递增，所以只要满足f214．当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】 当x＝0时，3≥0恒成立，a∈R.
当0设h(x)＝，
则h′(x)＝＝，
∵x∈(0,1]，∴h′(x)>0，h(x)递增，
∴h(x)最大值＝h(1)＝－6，
∴a≥－6.
当－2≤x＜0时，a≤.
易知h(x)＝在[－2，－1)上递减，
在(－1,0)上递增．
∴h(x)最小值＝h(－1)＝－2，
∴a≤－2.
综上，－6≤a≤－2.
【答案】 －6≤a≤－2
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ax2－ax＋b，f(1)＝2，f′(1)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在(1,2)处的切线方程．
【解】 (1)f′(x)＝2ax－a，
由已知得
解得
∴f(x)＝x2－2x＋.
(2)∵f′(1)＝1，∴f(x)在(1,2)处切线的斜率为1，
故所求切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.
16．(本小题满分14分)(2016·北京高考)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间．
【解】 (1)因为f(x)＝xea－x＋bx，
所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.
依题设，即
解得
(2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex.
由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号．
令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.
所以，当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，
从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．
综上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
17．(本小题满分14分)设函数f(x)＝a2ln
x－x2＋ax(a>0)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．
【解】 (1)∵f(x)＝a2ln
x－x2＋ax，其中x>0，
∴f′(x)＝－2x＋a
＝－，
由于a>0，∴f(x)的增区间为(0，a)，减区间(a，＋∞)．
(2)由题意得，f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e，
由(1)知f(x)在[1，e]上单调递增，
要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立，
只要
解得a＝e.
18．(本小题满分16分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12
000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
【解】 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又据题意200πrh＋160πr2＝12
000π，
所以h＝(300－4r2)，
从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因r>0，又由h>0可得0故函数V(r)的定义域为(0,5)．
(2)因V(r)＝(300r－4r3)，(0故V′(r)＝(300－12r2)．
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因r2＝－5不在定义域内，舍去)．
当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；
当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.
(1)求a，b的值；
(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．
【解】 (1)因为f(x)＝ax3＋bx＋c，
故f′(x)＝3ax2＋b，
由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，
故有
即
化简得
解得a＝1，b＝－12.
(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c；
f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)．
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；
当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．
由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x2＝2处取得极小值f(2)＝c－16.
由题设条件知16＋c＝28，得c＝12.
此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4，
因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.
20．(本小题满分16分)(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a＞0)交于M，N两点．
(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.
【导学号：01580030】
【解】 (1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)，或M(－2，a)，N(2，a)．
又y′＝，故y＝在x＝2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，
即x－y－a＝0.
y＝在x＝－2处的导数值为－，C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，
即x＋y＋a＝0.
故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.
(2)存在符合题意的点．证明如下：
设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.
将y＝kx＋a代入C的方程，得x2－4kx－4a＝0.
故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.
从而k1＋k2＝＋
＝＝.
当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，
故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意．学业分层测评(二十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.(2016·盐城期末)设复数z满足iz＝－3＋i(i为虚数单位)，则z的实部为________.
【解析】 由iz＝－3＋i得，z＝＝1＋3i，则z的实部为1.
【答案】 1
2.(2016·吉林一中高二期末)复数的共轭复数是________.
【解析】 ∵＝＝－1－2i.
∴的共轭复数是－1＋2i.
【答案】 －1＋2i
3.复数＝________.
【解析】 原式＝＝＝－－i.
【答案】 －－i
4.设i是虚数单位，则等于________.
【解析】 (1)∵＝－＝＝－i，
∴＝i3·(－i)＝－i4＝－1.
【答案】 －1
5.(2015·全国卷Ⅰ改编)设复数z满足＝i，则|z|＝________.
【解析】 由＝i，得z＝＝＝＝i，所以|z|＝|i|＝1.
【答案】 1
6.(2014·北京高考)若(x＋i)i＝－1＋2i，(x∈R)，则x＝________.
【解析】 由(x＋i)i＝－1＋2i，得x＝－i＝－i＝2.
【答案】 2
7.设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值是________.
【解析】 ＝＝，由纯虚数定义，则2－a＝0，∴a＝2.
【答案】 2
8.已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝__________.
【解析】 ∵＝b＋i，
∴a＋2i＝(b＋i)i＝－1＋bi，
∴a＝－1，b＝2，
∴a＋b＝1.
【答案】 1
二、解答题
9.计算：(1)＋6；
(2)＋2＋.
【解】 (1)原式＝＋i66
＝i＋i2＝i－1.
(2)原式＝＋＋
＝i＋＋
＝i＋(－i)＋0＝0.
10.(1)若＝－i，求实数a的值.
(2)若复数z＝，求＋3i.
【解】 (1)依题意，得2＋ai＝－i(1＋i)＝2－i，
∴a＝－，
(2)∵z＝＝
＝i(1＋i)＝－1＋i，
∴＝－1－i，
∴＋3i＝－1＋2i.
[能力提升]
1.复数z满足(1＋2i)·＝4＋3i，则z＝________.
【解析】 ∵＝＝＝＝2－i.
∴复数＝2－i，∴z＝2＋i.
【答案】 2＋i
2.(2014·浙江高考)已知i是虚数单位，计算＝__________.
【解析】 ＝＝·＝＝－－i.
【答案】－－i
3.当z＝－，z100＋z50＋1的值等于________.
【解析】 z2＝2＝－i.
∴z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1
＝(－i)2＋(－i)＋1＝－i.
【答案】 －i
4.已知z为复数，为实数，为纯虚数，求复数z.
【解】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝＝(a－1＋bi)·(－i)＝b－(a－1)i.
因为为实数，所以a－1＝0，即a＝1.
又因为＝＝为纯虚数，
所以a－b＝0，且a＋b≠0，所以b＝1.
故复数z＝1＋i.