课件27张PPT。人教版 必修1第三章 函数的应用3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型(二)1．能根据数据正确选择最适合的函数模型研究相应简单应用问题．
2．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；掌握其重要结论并且用于解决实际问题之中．
3．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
y＝ax(a＞1)y＝xn(n＞0)y＝logax(a＞1)logax0＜x＜ax0y＝2x，y＝x2，y＝log2x答案：y＝logax(0＜a＜1) y＝xn(n＜0)
y＝ax(0＜a＜1) logax0＜x＜ax01．建立函数模型时常用的分析方法有哪些？解析：建立函数模型常用的分析方法有：关系分析法．即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法；列表分析法，即通过列表的方式探求问题的数学模型的方法；图象分析法，即通过对图象中的数量关系进行分析来建立问题的数学模型的方法． 2．高中与建立函数模型有关的应用题，常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键在哪？
1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据(见下表)．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是 ( )
答案：B2．客车从甲地以60 km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是( )
C题型一 增长率模型例1 某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出函数y关于x的解析式．1．一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素质量ω的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期．精确到0.1.已知
lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)．题型二 利用图形给出函数模型例2 电信局为了满足客户的不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案的应付电话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)．试问(注：图中MN∥CD)：
(1)若通话2小时，按方案A、B各付话费多少元？
(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？
(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？2．某种消费品专卖店，已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q(百件)与销售价p(元/件)的关系用下图中一条折线表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其他费用为每月13 200元．
(1)试求该店每月销售量q(百件)与销售价p(元/件)的关系；
(2)若该店只安排40名职工，求
每月的利润S的最大值，并指出此
时该种消费品的销售价是多少．题型三 分段函数模型例3 某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了a km，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(b＜a)，当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为( )解析：由题意可知，s是关于时间t的一次函数，所以其图象特征是直线上升，由于中间休息了一段时间，该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段．然后原路返回，图象下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升．
答案：C
点评：(1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值：
(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏．3．某人从甲地去乙地，一开始跑步前进，后来步行，图中横轴表示走的时间，纵轴表示此人与乙地的距离，则较符合该走法的图是( )
课件38张PPT。1.四种函数模型的性质增增增增快慢2.三种增长函数模型的比较
(1)指数函数和幂函数．
一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长____于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax____xn.
(2)对数函数和幂函数．
对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长____于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax____xn.快＞慢＜(3)指数函数、对数函数和幂函数．
在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是____函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越____，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有______＜xn＜______.增快logaxax[答案] B
[解析] 设该商品原价为a，则四年后的价格为a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.9216a，
所以a－0.9216a＝0.0784a
＝7.84%a，
故变化的情况是减少了7.84%.[答案] D
[解析] 由题意可知y＝(1＋10.4%)x.[答案] C
[解析] (排除法)当x＝1时，否定B项；当x＝2时，否定D，当x＝3时，否定A项；故选C.[答案] D
[解析] 由几类不同增长的函数特性可知，y＝32x呈指数“爆炸式”增长，速度最快．[答案] (1)3.6 (2)6 (3)y＝1.2t(t≥3)命题方向一 考查函数模型的增长差异 [思路分析] (1)从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．
[解析] 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速率不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．
[答案] y2
[规律总结] 解决本题的关键是如何确定变量间的关系是指数函数关系，不能仅仅根据自变量较大时对应的函数值，还要看函数值的变化趋势．试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？
(2)各函数增长速度快慢有什么不同？
[解析] (1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大．
(2)由图表可以看出：各函数增长速度快慢不同，其中f(x)＝2x的增长速度最快，而且越来越快；其次为f(x)＝x2，增长的幅度也在变大；而f(x)＝2x＋7增长速度不变；增长速度最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小．[规律总结]
对于三种函数增长的几点说明：
(1)对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快．
(2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝logax增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0，a＞1)．
(3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn.命题方向二 巧用图象比较大小 命题方向三 函数模型的选择 [思路分析] 本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型．[规律总结] 本题是对数据进行函数模拟，选择最符合客观实际的模拟函数．一般思路为：先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适当的几种函数模型后，再加以验证．函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，须借助计算器或计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须符合实际．[点评]
不同的函数增长模型能刻画现实世界中不同的变化规律：
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；
(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．
因此，需抓住题中蕴含的科学的信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．[答案] C[答案] D
[解析] 代入检验，排除A、B、C，故选D.[答案] D
[解析] 本题考查对常见函数模型不同增长特点的理解．四种函数模型中只有对数型函数具有初期利润增长迅速、后来增长越来越慢的特点，故选D.课件28张PPT。2.三种增长函数模型的比较
(1)指数函数和幂函数
一般地,对于指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0),通过探索可以发现,在区间(0,+∞)上,无论n比a大多少,尽管在x的一定变化范围内,ax会小于xn,但由于ax的增长速度快于xn的增长速度,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有ax>xn.
(2)对数函数和幂函数
对于对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0),在区间(0,+∞)上,随着x的增大,logax增长得越来越慢,图象就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内,logax可能会大于xn,但由于logax的增长速度慢于xn的增长速度,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有logax
在区间(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a>1),y=logax
(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有logaxA.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3 C.y3,y2,y1 D.y1,y3,y2
解析:通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知,对数型函数的增长速度越来越慢,变量y3随x的变化符合此规律;指数型函数的增长是爆炸式增长,y2随x的变化符合此规律;幂函数型函数的增长速度越来越快,y1随x的变化符合此规律,故选C.
答案:C思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)函数y=x2比y=2x增长的速度更快些. ( )
(2)当a>1,n>0时,在区间(0,+∞)上,对任意的x,总有logax(3)能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0,b>1)表达的函数模型,称为指数型函数模型,也常称为“爆炸型”函数模型. ( )
答案:(1)× (2)× (3)√探究一 比较函数增长的差异?
【例1】分析指数函数y=2x与对数函数y=log2x在区间[1,+∞)上的增长情况.
解:指数函数y=2x,当x由x1=1增加到x2=3时,x2-x1=2,y2-y1=23-21=6;
对数函数y=log2x,当x由x1=1增加到x2=3时,x2-x1=2,而y2-y1=log23-log21≈1.585.
由此可知,在区间[1,+∞)上,指数函数y=2x随着x的增长函数值的增长速度较快,而对数函数y=log2x的增长速度较慢.变式训练 已知a,b,c,d四个物体沿同一方向同时开始运动,假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是 f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果运动的时间足够长,那么运动在最前面的物体一定是( )?
A.a B.b C.c D.d解析:根据四种函数的变化特点,指数函数是一个变化最快的函数.当运动的时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数函数关系运动的物体.
答案:D探究二体会指数函数的增长速度?
【例2】甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会捐款给某灾区,捐款方式如下:
甲公司:在10天内,每天捐款5万元给灾区;乙公司:在10天内,第1天捐款1万元,以后每天比前一天多捐款1万元;丙公司:在10天内,第1天捐款0.1万元,以后每天捐款都比前一天翻一番.
你觉得哪个公司最慷慨?
分析:分别计算三个公司在10天内的捐款总数,捐款总数越大的公司越慷慨.变式训练 某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资的函数模型为y=k1x,B产品的利润与投资的函数模型为y=k2xα(利润和投资的单位为百万元),其关系分别如图①,图②所示.?(1)分别求出A,B两种产品的利润与投资的函数关系式;
(2)该企业已筹集到资金1千万元,并准备全部投入到A,B两种产品的生产中,问怎样分配这1千万元,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少?(精确到万元)1.当a>1时,有下列结论:
①指数函数y=ax,当a越大时,其函数值的增长越快;
②指数函数y=ax,当a越小时,其函数值的增长越快;
③对数函数y=logax,当a越大时,其函数值的增长越快;
④对数函数y=logax,当a越小时,其函数值的增长越快.
其中正确的结论是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
答案:B2.已知y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1
解析:在同一平面直角坐标系中画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>y3.
答案:B课件22张PPT。第三章 函数的应用人教版 必修1好教育云平台 http://www.jtyhjy.com/edu/home_index.action3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前
一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回
报比前 一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案呢？ 比较三种方案每天回报量
(2) 比较三种方案一段时间内的总回报量 哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。思考 我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。解：设第x天所得回报为y元，则
方案一：每天回报40元； y=40 (x∈N*)方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回 报10元； y=10x (x∈N*)方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。 y=0.4×2x-1 (x∈N*)分析图112-1有人认为投资1~4天选择方案一；5~8天选择方案二；9天以后选择方案三？从每天的回报量来看： 第1~4天，方案一最多： 每5~8天，方案二最多： 第9天以后，方案三最多；三种方案的累计回报表 投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案。解决实际问题的步骤：实际问题读懂问题抽象概括数学问题演算推理数学问题的解还原说明实际问题的解例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的方案 ：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励且奖金y（单位：万元）随销售利润 x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：
， ， ，
其中哪个模型能符合公司的要求？ （1）奖金总数不超过5万元（2）奖金不超过利润的25%分析：选择的模型需要满足的要求如下：xyoy=5y=0.25x首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万对于模型 ,在区间[10,1000]上递增，令0.25x=5，
可得x=20,因此当x>20时，y>5，所以该模型不符合要求；对于模型 ,根据图像令y=5，利用计算器可知在区间（805，806）内有一个点 满足 ，它在区间[10,1000]上递增， 故当 时，y>5,所以该模型也不符合要求。(1)、由函数图象可以看出，
它在区间[10,1000]上递增，
而且当x=1000时，
y=log71000+1≈4.55<5,所
以它符合资金不超过5万元的要求。模型y=log7x+1令f(x)= log7x+1-0.25x， x∈ [10,1000].利用计算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的，因此 f(x)即 log7x+1<0.25x所以，当x∈ [10,1000]，从上节课的两个例子中可以看到，这三类
函数的增长是有差异的，那么，这种差异
的具体情况到底怎么样呢？结论1：一般地，对于指数函数
y=ax (a>1)和幂函数y=xn (n>0)，通过探索可以发现：在区间(0,+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.结论2：一般地，对于对数函数y=logax (a>1)和幂函数y=xn (n>0)，通过探索可以发现：在区间(0,+∞)上，随着x的增大，logax增大得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样。尽管在x的一定变化范围内， logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax1)，y=logax (a>1)和y=xn (n>0)都是增函数。(2)、随着x的增大， y=ax (a>1)的增长速度越来越快，会远远大于y=xn (n>0)的增长速度。(3)、随着x的增大，y=logax (a>1)的增长速度越来越慢，会远远小于y=xn (n>0)的增长速度。总存在一个x0，当x>x0时，就有logaxy＝x2＋7和y＝2x的图象
如图.试比较x2＋7与2x的
大小.5040302010510y＝x2＋7y＝2xxyO例2 已知函数y＝x2和y＝log2(x＋1)的图象
如图，试比较x2与log2(x＋1)的大小.4321-124xyOy＝x2y＝log2(x＋1)（1）读题理解题意
（2）挖掘数量关系，建立数学模型
（3）求解数学问题
（4）回归实际，进行答题2、求解数学应用问题的一般步骤：小 结1、几种不同增长的函数体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同类型函数的含义与差异性利用数据表格，函数图像确定函数模型课件20张PPT。人教版 必修1第三章 函数的应用3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型1.了解指数函数、对数函数、线性函数 (一次函数) 的增长差异.
2.理解对数增长、直线上升、指数爆炸。
3.了解函数的建模过程。 在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气． 材料：澳大利亚兔子数“爆炸”假如某公司每天向你投资1万元，共投资30天.公司要求你给他的回报是：第一天给公司1分钱，第二天给公司2分钱，以后每天给的钱都是前一天的2倍，共30天，你认为这样的交易对你有利吗？投资天数、回报金额日 回 报累计回报40404040401010+10
=10×210+10+10
=10×310+10+10+10
=10×410+10+10+10+10
=10×50.40.4×20.4×2×2
=0.4×220.4×2×2×2
=0.4×230.4×2×2×2×2
=0.4×24y=40 (x∈N*)y=10x (x∈N*)y=0.4×2x-1 (x∈N*)三种方案每天回报表oxy2040608010012014042681012我们看到，底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多.从中你对“指数爆炸”的含义有什么新的理解？例1累计回报表投资1~6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8~10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，应选择方案三。解答如下：公司30天内为你的总投资为:情景问题解答假如某公司每天给你投资1万元，共投资30天。公司要求你给他的回报是：第一天给公司1分钱，第二天给公司2分钱，以后每天给的钱都是前一天的2倍，共30天，你认为这样的交易对你有利吗？你30天内给公司的回报为:0.01+0.01×2+0.01×22+…+0.01×229
=10737418.23
≈1074(万元)30万元实际应用问题分析、联想、抽象、转化构建数学模型解答数学问题审 题数学化寻找解题思路还原（设）（列）（解）（答）解答例1的过程实际上就是建立函数模型的过程，
建立函数模型的程序大概如下：一次函数，对数型函数，指数函数。①例2涉及了哪几类函数模型？②你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗?例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求？①销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且
部门销售利润一般不会超过公司总的利润1000万元，
所以销售利润x可用不等式表示为____________.③依据这个模型进行奖励时，奖金不超过利润的25%，
所以奖金y可用不等式表示为______________.②依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，
所以奖金y可用不等式表示为__________.10≤x≤10000≤y≤50≤y≤25%x通过观察图象，你认为哪个模型符合公司的奖励方案？①对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增,
当x>20时,y>5,因此该模型不符合要求;②对于模型y=1.002x,它在区间[10,1000]上递增,
观察图象并结合计算可知,当x>806时,y>5,因此
该模型不符合要求;③对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1000]上递增,
观察图象并结合计算可知,当x=1000时,
y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过
5万元的要求；按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%呢？解：当x∈[10,1000]时,要使y≤0.25x成立,
令f(x)= log7x+1－0.25x,当x∈[10,1000]时,
是否有f(x) ≤0恒成立? 即当x∈[10,1000]时,f(x)= log7x+1－0.25x的
图象是否在x轴下方?
作f(x)= log7x+1－0.25x的图象如下：只需log7x+1≤0.25x成立，即log7x+1－0.25x ≤0。根据图象观察,f(x)=log7x+1－0.25x的图象在区间[10,1000]内的确在x轴的下方.这说明,按模型y=log7x+1奖励,奖金不会超过利润的25%.实际应用问题审 题（设）分析、联想、抽象、转化构建数学模型数学化（列）寻找解题思路（解）解答数学问题还原（答）