课件11张PPT。人教版 必修1第三章 函数的应用3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点求下列方程的实数根，画出相应函数的简图，并求出函数图象与x轴交点的坐标,完成表格.方 程x2-2x+1=0x2-2x+3=0y=x2-2x-3y= x2-2x+1 函 数函
数
的
图
象方程的实根x2-2x-3=0y=x2-2x+3方程ax2 +bx+c=0
(a>0)的根函数y= ax2 +bx
+c(a>0)的图象判别式
△ =b2－4ac△＞0△=0△＜0函数图象与 x
轴的交点有两个相等的
实数根x1 = x2没有实数根( x1, 0 ) , ( x2, 0 )( x1, 0 )没有交点两个不相等
的实数根x1 , x2一、函数零点的概念 对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x
叫做函数y=f(x)的零点. 方程 f(x)=0 有实数根函数的图象与x轴有交点函数零点的求法：
（1）代数法：求方程f(x)=0的根；
（2）几何法：利用函数的图象求解.
例1 判断下列函数是否有零点，若存在请
求出零点. 若函数y=f(x), x∈[a,b]，在开区间(a,b)内一定存在零点，应满足什么条件？(1) f(a)f(b)>0(2) f(a)f(b)<0(3) f(a)f(b)=0 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是
连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，
那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点. 即存在 c∈(a,b) ，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的根.零点存在性定理答案 B方程的根
与函数的
零点一个关系：函数零点与方程根的关系.
一个定理：函数零点存在性定理.三种题型：
求函数的零点；
判断零点个数；
求零点所在区间.
两种思想：
函数方程思想；
数形结合思想.课件47张PPT。人教版 必修1第三章 函数的应用3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点一、函数的零点
1.定义
若实数x是函数y=f(x)的零点，则需满足条件_______.
2.方程的根、函数的图象、函数的零点三者之间的关系
方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有_____?函数
y=f(x)有_____.f(x)=0交点零点思考：函数y=x2有零点吗?
提示：∵x=0时，y=0，
∴函数有零点，是0.二、函数零点的判断
条件:(1)函数y=f(x)在区间________上的图象是连续不断的一
条曲线;
(2)_____________.
结论：函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在_________,使
得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.［a,b］f(a)·f(b)<0c∈(a,b)判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)只要方程有实数根，则相对应的函数图象一定与x轴有交点.( )
(2)若函数f(x)在区间［2,6］上有f(2)·f(6)<0，则函数在此区间内有零点.( )
(3)设f(x)在区间［a,b］上是连续的且是单调函数,且f(a)·f(b)<0,则方程f(x)=0在闭区间［a,b］内有唯一实数根.( )提示：(1)正确，方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标，即函数的零点，故此说法正确.
(2)错误.不知道该函数在此区间内的图象是否连续.
(3)正确. 由函数是连续的且f(a)·f(b)<0知，f(x)=0在［a,b］上至少有一实数根,又f(x)在［a,b］上单调,从而可知必有唯一实数根.
答案：(1)√ (2)× (3)√【知识点拨】
1.对函数零点概念的认识
(1)函数的零点的本质是方程f(x)=0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,函数值为零.
(2)函数是否有零点是针对对应方程是否有实数根而言的,若方程没有实数根,则函数没有零点,反映在图象上就是函数图象与x轴无交点,如函数y=3, y=x2+1就没有零点.(3)方程有几个解,则其对应的函数就有几个零点. 如果方程有二重实数根，可以称函数有二重零点.若函数y=f(x)有零点,则零点一定在其定义域内.2.从三方面正确把握函数零点存在的判断方法
(1)并不是所有的函数都有零点，如函数
(2)一个函数y=f(x)在区间［a,b］内若具备两个条件：
①函数在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线;
②f(a)·f(b)<0.则该函数在(a,b)内有零点，反之则不一定成
立.
(3)对于任意的一个函数，即使它的图象是连续不断的，当它
通过零点时，函数值也不一定变号，如函数y=x2有零点0，但
显然当它通过零点时函数值没有变号.类型 一 求函数的零点
【典型例题】
1.函数f(x)=x2－3x－4的零点是( )
A.1，-4 B.4，-1 C.1，3 D.不存在
2.函数f(x)=ax+b有一个零点是2，求函数g(x)=bx2－ax的零点.【解题探究】1.函数的零点的本质是什么？
2.函数的零点与方程的根有何对应关系?
探究提示：
1.函数的零点的本质是方程f(x)=0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数.
2.函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根.【解析】1.选B.令x2－3x－4=0，得x=4或x=－1.
2.f(x)=ax+b有一个零点是2，得2a+b=0，则g(x)=bx2－ax=
－2ax2－ax，令－2ax2－ax=0，则g(x)的零点为0和【拓展提升】函数零点的两种求法
(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根.
(2)几何法:画出函数y=f(x)的图象,则图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.【变式训练】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.
(1)f(x)=x2+2x+4.
(2)f(x)=2x-3.
【解析】(1)令x2+2x+4=0，由于Δ=22-4×1×4=-12<0，所以方程x2+2x+4=0无实数根，所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点.
(2)令2x-3=0，解得x=log23，所以函数f(x)=2x-3的零点是log23.类型 二 函数零点个数的判定
【典型例题】
1.若函数f(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,+∞)，且f(x)为偶函数，又f(x)在(0,+∞)上是减函数，f(2)=0，则函数f(x)的零点有( )
A.一个 B.两个
C.至少两个 D.无法判断2.二次函数f(x)=ax2+bx+c中，a·c<0，则函数的零点个数
是( )
A.1 B.2 C.0 D.无法确定
3.求函数f(x)=ln(x－1)+0.01x的零点的个数.【解题探究】1.偶函数图象有何特征？函数图象与函数零点个数有何关系？
2.对于二次函数的零点个数的判定，解决此问题的关键点是什么？
3.题3中能否直接求出函数零点的个数？若不能，可以考虑利用什么来判断零点的个数？探究提示：
1.偶函数的图象关于y轴对称，函数图象与x轴交点个数与对应方程的根的个数相等，方程的根的个数与相应函数零点个数相等，所以函数图象与x轴交点个数与函数零点个数相等.
2.解决关于二次函数的零点个数的判定问题，关键是利用判别式来判断相应方程的根的个数.
3.不能.根据零点的含义，可以借助函数的图象来判断零点的个数.【解析】1.选B.依据给出的函数性质，易知f(－2)=0，画出函数的大致图象如图：
可知f(x)有两个零点.2.选B.∵Δ=b2－4ac，a·c<0，∴Δ>0，∴方程ax2+bx+c=0有两个根，故函数有两个零点.
3.方法一:因为f(3)=ln2+0.03>0, f(1.5)=-ln2+0.015<0,所以f(3)·f(1.5)<0,
说明函数f(x)=ln(x－1)+0.01x在区间(1.5,3)内有零点.又y=ln(x－1)与y=0.01x在(1,+∞)上都是增函数,所以f(x)在(1,+∞)上是增函数,所以该函数只有一个零点.方法二:在同一坐标系内作出h(x)=ln(x－1)和g(x)=-0.01x的图象,如图.
由图象知h(x)=ln(x－1)和g(x)=-0.01x有且只有一个交点,即f(x)=ln(x－1)+0.01x有且只有一个零点.【互动探究】若题2中二次函数改为“f(x)=cx2+bx+a”，条件“a·c<0”不变，则函数的零点个数是______.
【解析】∵Δ=b2－4ac，a·c<0，∴Δ>0，∴函数有两个零点.
答案：2【拓展提升】确定函数零点个数的方法
(1)分解因式法:可转化为一元n次方程根的个数问题，一般采用分解因式法来解决.
(2)判别式法:可转化为一元二次方程根的个数问题，通常用判别式法来判断根的个数.
(3)图象法:指数函数和对数函数零点个数问题一般用图象法来解决.
(4)单调性法:常规方法不易判断时,可利用函数的单调性来判断函数零点的个数.类型 三 判断函数零点所在区间
【典型例题】
1.已知函数f(x)=x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是( )
A.(3,4) B.(2,3)
C.(1,2) D.(0,1)2.已知函数f(x)在区间［a,b］上单调且图象连续，且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a,b)上( )
A.至少有三个零点 B.可能有两个零点
C.没有零点 D.必有唯一零点
【解题探究】1.函数零点存在性定理的两个必备条件是什么？常采用怎样的策略来解决函数零点所在区间问题？
2.函数在区间(a,b)上存在唯一零点应具备什么条件？探究提示：
1.两个必备条件是：(1)函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线.(2)f(a)·f(b)<0.确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反.
2.除应具备函数零点存在的两个条件外，还需要函数在此区间上单调.【解析】1.选C.
∵f(0)=－1<0，f(1)=-1<0，f(2)=5>0，∴f(1)·f(2)<0，此零点一定在(1,2)内.
2.选D.
函数f(x)在区间［a,b］上单调且图象连续，故其图象与x轴至多有一个交点，又f(a)·f(b)<0，所以必有一个交点.【拓展提升】判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代：将区间端点代入函数求出函数的值.
(2)判：把所得函数值相乘，并进行符号判断.
(3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点.【变式训练】方程2x+x=0在下列哪个区间内有实数根( )
A.(－2,－1) B.(0,1)
C.(1,2) D.(－1,0)
【解析】选D.
令f(x)=2x+x，∵f(－1)·f(0)=( )×1<0，
∴f(x)=2x+x的零点在区间(－1,0)内，故2x+x=0在区间(－1,0)
内有实数根.【典型例题】
1.已知函数f(x)=(x－a)(x－b)+1(a
是( )
A.mC.m2.方程x2－3x+a=0的两根均大于1，求实数a的取值范围.一元二次方程的区间根问题【解析】1.选B.由函数f(x)=(x－a)(x－b)+1，可得f(a)=f(b)=1.又m，n是方程f(x)=0的两个根，故可画出函数的大致图象如图：
所以应该有a则x1+x2=3,x1x2=a，要使两根都大于1，
需满足：
将x1+x2=3,x1x2=a代入不等式组得：2＜a≤方法二：设f(x)=x2-3x+a,
则其图象开口向上，且与x轴的交点均在点(1，0)右侧，
所以有
解得2＜a≤【拓展提升】解决一元二次方程根的分布问题的方法
(1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题.
(2)结合草图考虑三个方面：①Δ与0的大小关系；②对称轴与所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系.
(3)写出由题意得到的不等式(组).
(4)由得到的不等式(组)去验证图象是否符合题意.
这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点.在写不等式(组)时，要注意条件的完备性.【易错误区】忽视函数零点的存在性定理的条件致误
【典例】(2012·衡阳高一检测)函数f(x)=x+ 的零点的个数
为( )
A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选A.函数f(x)的定义域为{x|x≠0}①，
当x>0时，f(x)>0；
当x<0时，f(x)<0，
但此函数在定义域内的图象不连续，
所以函数没有零点，故选A.【类题试解】1.函数 的零点的个数
为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.当x≤0时，令x2+2x－3=0，解得x=-3；当x>0
时，令－2+lnx=0，解得x=e2，所以函数
有2个零点.2.函数y=log2(x2+1)的零点是______.
【解析】令log2(x2+1)=0,即x2+1=1,∴x=0.
答案：0【防范措施】
明确定理成立的条件
零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数在区间［a,b］
上的图象是连续不断的一条曲线; 二是f(a)·f(b)<0.这两个
条件缺一不可.如果其中一个条件不成立，那么就不能在区间
［a,b］上使用该定理，如本例f(x)=x+ 在［-1，1］上不连
续，故不能在区间［-1,1］上直接使用零点存在性定理.1.函数f(x)=－2x+m的零点为4，则实数m的值为( )
A.-6 B.8 C. D.
【解析】选B.
f(x)=－2x+m的零点为4，所以－2×4+m=0，m=8.2.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点，则实数a的取值范围是( )
A.a<1 B.a>1 C.a≤1 D.a≥1
【解析】选B.
函数f(x)=x2+2x+a没有零点，即方程x2+2x+a=0没有实数根，所以Δ=4－4a<0，得a>1.3.函数f(x)=x3－2x2+3x的零点有( )
A.一个 B.两个
C.三个 D.无零点
【解析】选A.
令x3－2x2+3x=x(x2－2x+3)=0，
∵方程x2-2x+3=0的Δ=(-2)2-4×3<0,
∴x2-2x+3=0没有实数根，故方程x3-2x2+3x=0有实数根x=0，所以f(x)=x3－2x2+3x只有一个零点.4.函数 的零点是______.
【解析】令 得，x=－2.
答案：－25.函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为______.
【解析】因为f(x)为偶函数，所以其零点互为相反数，故四个零点之和为0.
答案：06.若函数f(x)=2x2-ax+3有一个零点为 求f(x)的所有零点.
【解析】f(x)=2x2-ax+3有一个零点为 所以 是方程
2x2-ax+3=0的一个根，则 解得a=5，所以
f(x)=2x2-5x+3，令f(x)=0,得x= 或x=1,所以f(x)的零点为
1.课件46张PPT。1.函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系210212.函数的零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使_______成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与______的交点的______就是函数y＝f(x)的零点．
(3)结论：方程f(x)＝0有______?函数y＝f(x)的图象与x轴有______?函数y＝f(x)有______．
[知识点拨] 并非所有的函数都有零点，例如，函数f(x)＝x2＋1，由于方程x2＋1＝0无实数根，故该函数无零点．f(x)＝0x轴横坐标实数根交点零点3．函数零点的判定定理
[知识点拨] 判断函数y＝f(x)是否存在零点的方法：
(1)方程法：判断方程f(x)＝0是否有实数解．
(2)图象法：判断函数y＝f(x)的图象与x轴是否有交点．
(3)定理法：利用零点的判定定理来判断．连续不断＜[答案] B
[解析] f(x)＝－2x＋m的零点为4，所以－2×4＋m＝0，m＝8.[答案] B
[解析] 函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，即方程x2＋2x＋a＝0没有实数根，所以Δ＝4－4a＜0，得a＞1.[答案] 3
[解析] 令2x－6＝0，解得x＝3.[答案] 1
[解析] 由f(a)·f(b)<0知f(x)＝0在[a，b]上至少有一个实数根，又f(x)在[a，b]上为单调函数，从而可知必有唯一实数根．命题方向一 求函数的零点 [规律总结] 1.正确理解函数的零点：
(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点?方程f(x)＝0的实根?函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．函数零点的求法：
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．命题方向二 判断函数零点所在的区间 [规律总结] 判断函数零点所在区间的方法：
一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．命题方向三 函数零点个数的判断
[规律总结] 判断函数零点个数的主要方法：
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．
(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．
(4)转化成两个函数图象的交点问题．命题方向四 函数零点的应用 ②当f(0)＝0时，m＝0，方程化为x2＋x＝0，
根为x1＝0，x2＝－1，满足题意；
③当f(1)＝0时，m＝－2，方程可化为x2＋3x－4＝0，
根为x1＝1，x2＝－4，满足题意．
综上所述：实数m的取值范围为[－2,0]．
[规律总结] 1.解决一元二次方程根的分布问题，要利用数形结合，结合判别式、对称轴、区间端点的函数值的正负等情况进行求解．2．二次函数零点的分布问题
二次函数零点的分布即一元二次方程根的分布，一般为下面两个方面的问题：
(1)一个区间内只有一个根；(2)一个区间内有两个根．
由于我们在初中学过方程根的情况，有时可以根据判别式及根与系数的关系判断，但在多数情况下，还要结合图象，从对称轴、判别式、区间端点的函数值等方面去探究．具体解法如下表：设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)对应的方程的根为x1、x2.[错解] 错解一：由题意，得f(1)＝2>0，f(4)＝2>0，因此函数f(x)＝x2－5x＋6在[1,4]上没有零点，即零点个数是0.
错解二：∵f(1)＝2>0，f(2.5)＝－0.25<0，∴函数在(1,2.5)内有一个零点；
又∵f(4)＝2>0，f(2.5)＝－0.25<0，∴函数在(2.5，4)内有一个零点，∴函数在[1,4]上有两个零点．[错因分析] 对于错解一，是错误地类比零点存在定理，f(a)·f(b)>0时，(a，b)中的零点情况是不确定的，而错解二出现了逻辑错误，当f(a)·f(b)<0时，(a，b)中存在零点，但个数不确定．
[思路分析] 要想准确地判断函数零点的个数，要么把它们全部求出来，要么利用函数图象来判断，这才是正确的方法．
[正解] 由题意，得x2－5x＋6＝0，∴x＝2，x＝3，
∴函数的零点是2,3
∴函数在[1,4]上的零点的个数是2.
[答案] D
[解析] 从图中观察知，只有D中函数图象与x轴没有交点，故选D.
[规律总结] 根据函数零点的概念，函数有零点，即函数的图象与x轴有交点．函数图象与x轴有几个交点，函数就有几个零点．[答案] A
[解析] 函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，
当x＞0时，f(x)＞0；当x＜0时，f(x)＜0，
但此函数在定义域内的图象不连续，
所以函数没有零点，故选A.课件40张PPT。第三章 函数的应用人教版 必修1好教育云平台 http://www.jtyhjy.com/edu/home_index.action3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点[问题1] 填表：[提示] (－1,0)，(3,0) (1,0) 无交点
[问题2] 方程的根与对应函数的图象与x轴的交点有什么关系？
[提示] 方程的根等于对应函数的图象与x轴的交点的横坐标．1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点)
2．会求函数的零点．(重点)
3．掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)1．零点的定义
对于函数y＝f(x)，把_____________________，叫做函数y＝f(x)的零点．f(x)＝0的实数x函数的零点2．方程的根与函数的零点的关系函数零点概念的理解
(1)函数y＝f(x)有零点，则零点一定在其定义域内．
(2)若c是函数y＝f(x)的零点，则有f(c)＝0.
(3)函数的零点不是点，是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，即零点是个实数．思维启迪函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是____________的一条曲线，并且有__________________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得__________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．连续不断f(a)·f(b)<0f(c)＝0函数零点的判定零点存在性定理的适用条件
(1)判断零点是否存在是在闭区间[a，b]上进行的；
(2)函数y＝f(x)在[a，b]上的图象应是连续无间断的一条曲线；
(3)f(a)·f(b)<0是关键条件，即两端点的函数值必须异号；思维启迪(4)由于函数f(x)在两端点的函数值f(a)，f(b)异号，则函数y＝f(x)的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个根c.2．方程0.9x－x＝0的实数解的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析： 设f(x)＝0.9x－x，则f(x)为减函数，值域为R，故f(x)有1个零点，∴方程0.9x－x＝0有一个实数解．
答案： B4．当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．[思路探究]
1．函数的零点的本质是什么？
2．函数的零点与方程的根有何对应关系？求函数的零点函数零点的求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．规律方法判断函数零点的所在区间[思路探究]
1．函数零点存在性定理的两个必备条件是什么？常采用怎样的策略来解决函数零点所在区间问题？
2．函数在区间(a，b)上存在唯一零点应具备什么条件？判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代：将区间端点代入函数求出函数的值．
(2)判：把所得函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．规律方法求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．[思路探究]
能否直接求出函数零点的个数？若不能，可以考虑利用什么来判断零点的个数？判断函数零点的个数确定函数零点个数的方法
(1)分解因式法：可转化为一元n次方程根的个数问题，一般采用分解因式法来解决．
(2)判别式法：可转化为一元二次方程根的个数问题，通常用判别式法来判断根的个数．
(3)图象法：指数函数和对数函数零点个数问题一般用图象法来解决．
(4)单调性法：常规方法不易判断时，可利用函数的单调性来判断函数零点的个数．规律方法3．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4若函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[0,4]上至少有一个零点，求实数a的取值范围．课件32张PPT。人教版 必修1第三章 函数的应用3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点1.对函数图象与x轴交点与方程根的关系，简单的了解即可．
2．对函数零点的概念要理解，函数零点的求法一定要掌握．
3．零点存在性及函数零点个数的判定是本节重点，在高者中经常出现，应引起高度重视.1．方程的根与函数的零点
(1)函数零点的概念．
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫函数y＝f(x)的零点．函数的零点是一个实数．(2)方程的根与函数零点的关系．
求函数y＝f(x)的零点，就是求方程f(x)＝0的实数根．方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
2．函数零点的判断
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．1．函数的零点就是点，任何函数都有零点，对吗？
提示：函数的零点不是点，而是对应方程的根；并不是任何函数都有零点，如函数y＝x2＋x＋1就没有零点．
2．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么在(a，b)上零点的个数是多少？什么情况下在(a，b)上有且只有一个零点？若f(a)f(b)>0，在区间(a，b)上就没有零点吗？提示：当f(a)f(b)<0时，则在(a，b)上一定有零点，但不一定说明有几个，可以有若干个，至少有一个．但并不是说当f(a)f(b)>0时，在(a，b)上就没有零点，当f(a)f(b)>0时，(a，b)上亦可能有零点．并且当f(a)f(b)<0时，(a，b)上也不一定只有一个零点，若另有f(x)在(a，b)上单调，可说明f(x)在(a，b)上有一个零点．答案：B2．函数y＝x2－3x＋1的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．不确定
答案：C
3．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上( )
A．至少有三个零点 B．可能有两个零点
C．没有零点 D．必有唯一的零点
答案：D4．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( )
A．a<1 B．a>1
C．a≤1 D．a≥1
解析：函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，就是方程x2＋2x＋a＝0没有实数根，故判别式Δ＝4－4a<0，解得a>1.
答案：B5．已知函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函数所有零点之和为__________．
解析：∵f(x)为偶函数，
∴f(x)的图象关于y轴对称，
∴f(x)的零点也关于y轴对称，
∴即零点之和为0.
答案：0类型一 函数零点的概念及求法
[例1] 求函数y＝－x2－2x＋3的零点，并指出y>0，y<0时，x的取值范围．[解] 如图1所示，解二次方程－x2－2x＋3＝0，得x1＝－3，x2＝1，
∴函数y＝－x2－2x＋3的零点为－3,1.
y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，画出这个函数的简图，从图象上可以看出当－30；当x<－3或x>1时，y<0.
∴函数y＝－x2－2x＋3的零点是－3,1.当y>0时，x的取值范围是(－3,1)；
当y<0时，x的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
[点评] 函数的零点即对应方程的根．本题借助零点和二次函数的图象得出不等式ax2＋bx＋c>0(<0)的解集，体现了数形结合的思想方法．变式体验1 (1)若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a、b的值．
(2)若f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，则函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．类型二 函数零点的判断
[例2] 判断下列函数在给定区间上是否存在零点．
(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；
(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；
(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．
[分析] 零点的存在性判断可依据零点的存在性定理，有时也可以结合图象进行判断．[解] (1)法1：∵f(1)＝－20<0，f(8)＝64－24－18＝22>0.
∴f(1)·f(8)<0，∴f(x)在[1,8]内存在零点．
法2：令x2－3x－18＝0，得x＝6或x＝－3.又6∈[1,8]．
∴函数f(x)在[1,8]内存在零点．
(2)∵f(－1)＝－1<0，f(2)＝8－2－1＝5>0，
∴f(－1)·f(2)<0，
∴函数f(x)在[－1,2]内存在零点．变式体验2 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
解：解法1：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，
f(2)＝4＋lg3－2＝2＋lg3>0，
∴f(x)在(0,2)上必定存在实根，又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个实根．
解法2：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的叠合图．
由图象知y＝lg(x＋1)和y＝2－2x有且只有一个交点，
即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．点评：判断函数零点个数的方法主要有：
①用计算器或计算机计算并描点作出函数f(x)＝g(x)－h(x)的图象，由图象、函数的单调性及零点的判断方法作出判定，如本例法一；
②由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的叠合图，利用图象判定方程根的个数，如本例法二；在实际运用中，大多数选用法二．类型三 函数零点的应用
[例3] 函数y＝x2＋2px＋1的零点一个大于1，一个小于1，求p的取值范围．
[分析] 二次函数的零点即函数图象与x轴的交点，因此借助二次函数图象，利用数形结合法来研究．[解] 解法1：记f(x)＝x2＋2px＋1，则函数f(x)的图象开口向上，当f(x)的零点一个大于1，一个小于1时，即f(x)与x轴的交点一个在(1,0)的左方，另一个在(1,0)的右方，
∴必有f(1)<0，即12＋2p＋1<0.
∴p<－1.
∴p的取值范围为(－∞，－1)．变式体验3 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的值．
分析：设出二次方程对应的函数，画出相应的示意图，然后用函数的性质加以限制，通过解不等式组来解决．1．对于函数零点的概念，应注意以下几点问题：
(1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．
(2)函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．2．对函数零点的判定定理的理解
(1)函数零点的判定定理是一个存在性定理，也就是说，当函数y＝f(x)在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，而不是只有一个，即方程f(x)＝0在(a，b)上至少有一个根．例如，如图4(1)所示，f(x)＝x3－3x2＋2x，有f(－1)＝－6<0，f(3)＝6>0，但f(x)＝0在(－1,3)内有三个根：x1＝0，x2＝1，x3＝2.3．函数零点的求法：
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．