13.1.2 线段的垂直平分线的性质 课件
文档属性
| 名称 | 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 课件 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-10-26 11:40:14 | ||
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文档简介
课件37张PPT。人教版八年级数学 上册13.1 轴对称 （第2课时）学习目标：
1．理解线段垂直平分线的性质和判定．
2．能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问
题．
3．会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，
了解作图的道理．
学习重点：
线段垂直平分线的性质．
课件说明 你能用不同的方法验证
这一结论吗？探索并证明线段垂直平分线的性质 如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是
l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距
离之间的数量关系． 相等． 探索并证明线段垂直平分线的性质 请在图中的直线l 上任取一点，那么这一点与线段
AB 两个端点的距离相等吗？ 线段垂直平分线上的点与这条
线段两个端点的距离相等． 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点
P 在l 上．
求证：PA =PB．探索并证明线段垂直平分线的性质 命题：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距
离相等．”探索并证明线段垂直平分线的性质用符号语言表示为：
∵ CA =CB，l⊥AB，
∴ PA =PB．探索并证明线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
相等．提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.8课堂练习 练习1 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线
交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等
于______．
解：∵ AD⊥BC，BD =DC，
∴ AD 是BC 的垂直平分线，
∴ AB =AC．
∵ 点C 在AE 的垂直平
分线上，
∴ AC =CE．课堂练习 练习2 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的
垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？
AB+BD与DE 有什么关系？ ∴ AB =AC =CE．
∵ AB =CE，BD =DC，
∴ AB +BD =CD +CE．
即 AB +BD =DE ．例1、如图，在△ABC中，ED垂直平分AB，
1) 若BD＝10，则AD= 。
2) 若∠A＝50°，则∠ABD＝ 。3) 若AC＝14，△BCD的周长为24，则BC= 。
1050°10 高 速 公 路AB 在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么?生活中的数学L探索并证明线段垂直平分线的判定 反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的
垂直平分线上呢？ 点P 在线段AB 的垂直平分线上． 已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平
分线上．探索并证明线段垂直平分线的判定证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，
垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵ PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．探索并证明线段垂直平分线的判定 用数学符号表示为：
∵ PA =PB，
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上． 与一条线段两个端点距离相
等的点，在这条线段的垂直平分
线上． 这些点能组成什么几何图形？ 探索并证明线段垂直平分线的判定 你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？
能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？ 在线段AB 的垂直平分线l 上的
点与A，B 的距离都相等；反过来，
与A，B 的距离相等的点都在直线l
上，所以直线l 可以看成与两点A、
B 的距离相等的所有点的集合．性质：在线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离都相等。判定：与线段两个端点距离相等的点都在线段的垂直平分线上。线段垂直平分线的集合定义： 线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合。辨析：线段垂直平分线的性质与判定定理的区别二者是互逆定理，线段垂直平分线的性质定理的已知条件是线段垂直平分线，结论是垂直平分线上的点与这条线段两端点的距离相等．
线段垂直平分线的判定定理的已知条件是一个点与一线段两端点的距离相等，结论是这个点在线段的垂直平分线上．
线段垂直平分线的性质是解决线段相等问题的一种重要方法；线段垂直平分线的判定可用来证明两线的位置关系（垂直平分）．知识反馈1、∵ ，
∴AB＝AC（ _______________________ ）
2、∵ _______________________ ，
∴ A在线段BC的中垂线上（ _____________________ _______ ）AD为BC的中垂线AB＝AC线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。3、如图， NM是线段AB的中垂线,
下列说法正确的有： 。
①AB⊥MN,②AD=DB， ③MN⊥AB， ④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线①②③解：∵ AB =AC，
∴ 点A 在BC 的垂直平分线．
∵ MB =MC，
∵ 点M 在BC 的垂直平分线上，
∴ 直线AM 是线段BC 的垂直
平分线．课堂练习 练习3 如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段
BC 的垂直平分线吗？ 在⊿ABC中，PD，PE分别是AB，AC的垂直平分线，并相交于点P，求证：点P也在BC的垂直平分线上。知识应用PDEABC∴点P在BC的垂直平分线上。
（和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。）证明：连结PB。∵ PD是AB的垂直平分线（已知） ∴ PA=PB（线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等）∵ PA=PC（已知） ∴ PB=PC（等量代换）· 某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。ABC思考：生活中的数学尺规作图 如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线
的垂线？CAB已知：直线AB和AB上一点C（如图）
求作：AB的垂线，使它经过点C作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁。（2）以点C为圆心，CK为半径作弧，交AB于点D和E。（3）分别以点D和点E为圆心，大于1/2DE的长为半径作 弧，两弧相交于点F。（4）作直线CF。
直线CF就是所求作的垂线。 问题思考：既然轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线，那么轴对称图形的对称轴如何来作呢？如何作出线段的垂直平分线？ 由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质可知，只要作出到线段两端点距离相等的两点并连接即可．
如图，已知线段AB，用直尺和圆规作AB 的垂直平分线.⑴分别以点A、B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；
⑵作直线CD .
CD即为所求的直线.CD尺规作图结论：对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.1.下图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴． AB作法：（1）找出五角星的一对
对应点A和B，连接AB．
（2）作出线段AB的垂直平分线n．
则n就是这个五角星的一条对称轴． n用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴． 【跟踪训练】 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？说说理由.
码头应建在线段的垂直平分线与A，B一侧的河岸边的交点上．理由是线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．应用新知，解决问题如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个
公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽
车站应建在什么地方？【提示】连接AB，作AB的垂直平分线，则与公路的
交点就是要建的公共汽车站.有A，B，C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.ABC【提示】学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处.1.（临沂·中考）正方形ABCD边长为a，点E，F分别是对角线BD上的两点，过点E，F分别作AD，AB的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于 ．
【解析】运用轴对称、转化的思想，阴
影部分面积等于正方形面积的一半，即 .
答案：2.如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长.DCBEA点此播放教学视频 随堂练习1、如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED= cm;如果∠ECD=600,那么∠EDC= 0.7602、如图所示，在△ABC中，AB=AC＝32，MN是AB的垂直平分线，且有BC=21，
求△BCN的周长。课堂小结 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。布置作业教科书习题13.1第6、9题． 在数学的领域中,提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要.
——康托尔
1．理解线段垂直平分线的性质和判定．
2．能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问
题．
3．会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，
了解作图的道理．
学习重点：
线段垂直平分线的性质．
课件说明 你能用不同的方法验证
这一结论吗？探索并证明线段垂直平分线的性质 如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是
l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距
离之间的数量关系． 相等． 探索并证明线段垂直平分线的性质 请在图中的直线l 上任取一点，那么这一点与线段
AB 两个端点的距离相等吗？ 线段垂直平分线上的点与这条
线段两个端点的距离相等． 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点
P 在l 上．
求证：PA =PB．探索并证明线段垂直平分线的性质 命题：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距
离相等．”探索并证明线段垂直平分线的性质用符号语言表示为：
∵ CA =CB，l⊥AB，
∴ PA =PB．探索并证明线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
相等．提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.8课堂练习 练习1 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线
交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等
于______．
解：∵ AD⊥BC，BD =DC，
∴ AD 是BC 的垂直平分线，
∴ AB =AC．
∵ 点C 在AE 的垂直平
分线上，
∴ AC =CE．课堂练习 练习2 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的
垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？
AB+BD与DE 有什么关系？ ∴ AB =AC =CE．
∵ AB =CE，BD =DC，
∴ AB +BD =CD +CE．
即 AB +BD =DE ．例1、如图，在△ABC中，ED垂直平分AB，
1) 若BD＝10，则AD= 。
2) 若∠A＝50°，则∠ABD＝ 。3) 若AC＝14，△BCD的周长为24，则BC= 。
1050°10 高 速 公 路AB 在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么?生活中的数学L探索并证明线段垂直平分线的判定 反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的
垂直平分线上呢？ 点P 在线段AB 的垂直平分线上． 已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平
分线上．探索并证明线段垂直平分线的判定证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，
垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵ PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．探索并证明线段垂直平分线的判定 用数学符号表示为：
∵ PA =PB，
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上． 与一条线段两个端点距离相
等的点，在这条线段的垂直平分
线上． 这些点能组成什么几何图形？ 探索并证明线段垂直平分线的判定 你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？
能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？ 在线段AB 的垂直平分线l 上的
点与A，B 的距离都相等；反过来，
与A，B 的距离相等的点都在直线l
上，所以直线l 可以看成与两点A、
B 的距离相等的所有点的集合．性质：在线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离都相等。判定：与线段两个端点距离相等的点都在线段的垂直平分线上。线段垂直平分线的集合定义： 线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合。辨析：线段垂直平分线的性质与判定定理的区别二者是互逆定理，线段垂直平分线的性质定理的已知条件是线段垂直平分线，结论是垂直平分线上的点与这条线段两端点的距离相等．
线段垂直平分线的判定定理的已知条件是一个点与一线段两端点的距离相等，结论是这个点在线段的垂直平分线上．
线段垂直平分线的性质是解决线段相等问题的一种重要方法；线段垂直平分线的判定可用来证明两线的位置关系（垂直平分）．知识反馈1、∵ ，
∴AB＝AC（ _______________________ ）
2、∵ _______________________ ，
∴ A在线段BC的中垂线上（ _____________________ _______ ）AD为BC的中垂线AB＝AC线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。3、如图， NM是线段AB的中垂线,
下列说法正确的有： 。
①AB⊥MN,②AD=DB， ③MN⊥AB， ④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线①②③解：∵ AB =AC，
∴ 点A 在BC 的垂直平分线．
∵ MB =MC，
∵ 点M 在BC 的垂直平分线上，
∴ 直线AM 是线段BC 的垂直
平分线．课堂练习 练习3 如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段
BC 的垂直平分线吗？ 在⊿ABC中，PD，PE分别是AB，AC的垂直平分线，并相交于点P，求证：点P也在BC的垂直平分线上。知识应用PDEABC∴点P在BC的垂直平分线上。
（和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。）证明：连结PB。∵ PD是AB的垂直平分线（已知） ∴ PA=PB（线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等）∵ PA=PC（已知） ∴ PB=PC（等量代换）· 某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。ABC思考：生活中的数学尺规作图 如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线
的垂线？CAB已知：直线AB和AB上一点C（如图）
求作：AB的垂线，使它经过点C作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁。（2）以点C为圆心，CK为半径作弧，交AB于点D和E。（3）分别以点D和点E为圆心，大于1/2DE的长为半径作 弧，两弧相交于点F。（4）作直线CF。
直线CF就是所求作的垂线。 问题思考：既然轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线，那么轴对称图形的对称轴如何来作呢？如何作出线段的垂直平分线？ 由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质可知，只要作出到线段两端点距离相等的两点并连接即可．
如图，已知线段AB，用直尺和圆规作AB 的垂直平分线.⑴分别以点A、B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；
⑵作直线CD .
CD即为所求的直线.CD尺规作图结论：对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.1.下图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴． AB作法：（1）找出五角星的一对
对应点A和B，连接AB．
（2）作出线段AB的垂直平分线n．
则n就是这个五角星的一条对称轴． n用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴． 【跟踪训练】 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？说说理由.
码头应建在线段的垂直平分线与A，B一侧的河岸边的交点上．理由是线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．应用新知，解决问题如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个
公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽
车站应建在什么地方？【提示】连接AB，作AB的垂直平分线，则与公路的
交点就是要建的公共汽车站.有A，B，C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.ABC【提示】学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处.1.（临沂·中考）正方形ABCD边长为a，点E，F分别是对角线BD上的两点，过点E，F分别作AD，AB的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于 ．
【解析】运用轴对称、转化的思想，阴
影部分面积等于正方形面积的一半，即 .
答案：2.如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长.DCBEA点此播放教学视频 随堂练习1、如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED= cm;如果∠ECD=600,那么∠EDC= 0.7602、如图所示，在△ABC中，AB=AC＝32，MN是AB的垂直平分线，且有BC=21，
求△BCN的周长。课堂小结 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。布置作业教科书习题13.1第6、9题． 在数学的领域中,提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要.
——康托尔