人教版七年级上册数学基础知识同步学案
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第一讲
有理数的意义
1
第二讲
数轴与相反数和绝对值
7
一．数轴和相反数
7
二．绝对值
13
第三讲
有理数的加减法和乘除法
19
一．有理数的加减法
19
二．有理数的乘除
26
第四讲
有理数的乘方及混合运算
33
第五讲
科学记数法与近似数
40
第六讲
整式的概念
45
第七讲
整式的加减（一）——合并同类项
52
第八讲
整式的加减（二）—去括号与添括号
58
第九讲
方程的意义
64
第十讲
一元一次方程的解法
70
第十一讲
实际问题与一元一次方程（一）
76
第十二讲
实际问题与一元一次方程（二）
83
第十三讲
几何图形
88
第十四讲
直线、射线、线段
95
第十五讲
角
104
第一讲
有理数的意义
【学习目标】
1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；
2．理解正数、负数、有理数的概念；
3.
掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．
【要点梳理】
要点一、正数与负数
像+3、+1.5、、+584等大于0的数，叫做正数；
像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．
要点诠释：
（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，
“+”常省略，但
“-”不能省略.
（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．
（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的“分水岭”．
要点二、有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类：
（2）按正数、负数与0的关系分类：
要点诠释：
（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.
（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如．
（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．
【典型例题】
类型一、正数与负数
1．若把向北走7km记为－7km，则＋10km表示的含义是（
）．
A．向北走10km
B．向西走10km
C．向东走10km
D．向南走10km
【答案】D
【解析】
“正”和“负”相对，－7km表示向北走7km，则＋10km表示向南走10
km，所以答案D
【总结升华】正负数表示具有相反意义的量.如果一个量为“正数”，则与其相反意义的量就是负数.
反之，当如果一个量为“负数”，则与其相反意义的量就是正数，且这两个量的单位相同．
举一反三：
【变式1】（2015 太仓市模拟）一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（ ）
A．50.0千克
B．50.3千克
C．49.7千克
D．49.1千克
【答案】D．
解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克．
【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________
表示，0元表示__________
.
(2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？
【答案】(1)-500元；既没有收入也没有支出.
(2)不是一对具有相反意义的量，不能表示.
【变式3】如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（
）．
A．－20m
B．－40m
C．20m
D．40m
【答案】B
2．体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0
这8名男生有百分之几达到标准？
他们共做了多少引体向上？
【答案与解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标，
而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：；
答：这8名男生有62.5%达到标准.
（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）
答：他们共做了引体向上56个.
【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么.
类型二、有理数的分类
【高清课堂：有理数的意义
356786
概念的应用例2】
3．下面说法中正确的是(
)．
A．
非负数一定是正数．
B．
有最小的正整数，有最小的正有理数．
C．一定是负数．
D
．正整数和正分数统称正有理数．
【答案】D
【解析】(A)不对，因为非负数还包括0；(B)
最小的正整数为1，但没有最小的正有理数；(C)不对，当为负数或0时，则为正数或0，而不是负数；(D)对
【总结升华】一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表示这个有理数.
举一反三：
【变式1】判断题：
（1）0是自然数，也是偶数．（
）
（2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（
）
（3）整数又叫自然数.（
）
（4）非负数就是正数，非正数就是负数.（
）
【答案】√，
，，
【变式2】下列四种说法，正确的是(
).
(A)所有的正数都是整数
(B)不是正数的数一定是负数
(C)正有理数包括整数和分数
(D)0不是最小的有理数
【答案】Ｄ
4．请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.
1,
0.0708,
-700,
-3.88,
0,
3.14159265,
，
.
正整数集合:{
…}，
负整数集合:{
…}，
整数集合:{
…}，
正分数集合:{
…}，
负分数集合:{
…}，分数集合:{
…}，
非负数集合：{
…}，非正数集合：{
…}.
【答案】正整数：
1；负整数：-700；整数：1，0，-700；正分数：0.0708，3.14159265，；
负分数：
-3.88，；
分数：0.0708，3.14159265，，-3.88，；
非负数：
1,0.0708，
3.14159265，0，；
非正数：-700,
-3.88,
0,
【解析】
【总结升华】填数的方法有两种：一种是逐个考察，一一进行填写；二是逐个填写相关的集合，从给出的数中找出属于这个集合的数.此外注意几个概念：非负数包括0和正数；非正数包括0和负数.
举一反三：
【变式】（2014秋 惠安县期末）在有理数、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有 个．
【答案】2.
类型三、探索规律
5．某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，.按此规律，那么请你推测第n组应该有种子是
粒.
【答案】
【解析】第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，，由此我们观察到的粒数与组数之间有一定关系：，，，，，按此规律，第n组应该有种子数（）粒.
【总结升华】研究一列数的排列规律时，其中的数与符号往往都与序数有关.
举一反三：
【变式1】有一组数列：2，-3，2，-3，2，-3，，根据这个规律，那么第2010个数是：
【答案】-3
【变式2】观察下列有规律的数：根据其规律可知第9个数是：
【答案】
【巩固练习】
一、选择题
1.
（2014 甘肃模拟）下列语句正确的（ ）个
（1）带“﹣”号的数是负数；
（2）如果a为正数，则﹣a一定是负数；
（3）不存在既不是正数又不是负数的数；
（4）0℃表示没有温度．
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
2.关于数“0”，以下各种说法中，错误的是
(
)
A．0是整数
B．0是偶数
C．0是正整数
D．0既不是正数也不是负数
3.如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是
(
)
A．前进-18米的意义是后退18米
B．收入-4万元的意义是减少4万元
C．盈利的相反意义是亏损
D．公元-300年的意义是公元后300年
4.一辆汽车从甲站出发向东行驶50千米，然后再向西行驶20千米，此时汽车的位置是
(
)
A．甲站的东边70千米处
B．甲站的西边20千米处
C．甲站的东边30千米处
D．甲站的西边30千米处
5．在有理数中，下面说法正确的是（
）
A．身高增长和体重减轻是一对具有相反意义的量
B．有最大的数
C．没有最小的数，也没有最大的数
D．以上答案都不对
6.下列各数是正整数的是
（
）
A．－1
B．2
C．0．5
D．
二、填空题
1．（2014秋 朝阳区期末）如果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可记作 ．
2．在数中，非负数是______________；非正数是
__________.
3．把公元2008年记作+2008，那么-2008年表示
.
4．既不是正数，也不是负数的有理数是
.
5．是正数而不是整数的有理数是
.
6．是整数而不是正数的有理数是
.
7．既不是整数，也不是正数的有理数是
.
8．一种零件的长度在图纸上是（）毫米，表示这种零件的标准尺寸是
毫米，加工要求最大不超过
毫米，最小不小于
毫米.
三、解答题
1．说出下列语句的实际意义.
（1）输出-12t
（2）运进-5t
（3）浪费-14元
（4）上升-2m
(5)向南走-7m
2．（2014秋 晋江市期末）下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置．
﹣28%，，﹣2014，3.14，﹣（+5），﹣0.
3．甲地海拔高度是40m，乙地海拔高度为30m，丙地海拔高度是-20m，哪个地方最高？哪个地方最低？最高的地方比最低的地方高多少？
4．观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律 请接着写出后面的两个数，你能说出第2011个数是什么吗
(1)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8，
，
，...
，...
(2)-1,,-,,,,,
,
,...
,...
第二讲
数轴与相反数和绝对值
一．数轴和相反数
【学习目标】
1．理解数轴的概念及三要素；
2．理解有理数与数轴上的点的关系，并会借助数轴比较两个数的大小；
3．会求一个数的相反数，并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义；
4.
掌握多重符号的化简.
【要点梳理】
要点一、数轴
1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
要点诠释：
（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.
（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．
（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．
2.
数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如.
要点诠释：
（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.
（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
要点二、相反数
1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.
要点诠释：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.
2.性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.
（2）互为相反数的两数和为0.
要点三、多重符号的化简
多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4
；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4
.
要点诠释：
（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5.
（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3.
【典型例题】
类型一、数轴的概念
1．如图所示是几位同学所画的数轴，其中正确的是
(
)
A．(1)(2)(3)
B．(2)(3)(4)
C．只有(2)
D．(1)(2)(3)(4)
【答案】C
【解析】对数轴的三要素掌握不清.（1）中忽略了单位长度，相邻两整点之间的距离不一致；（3）中负有理数的标记有错误；（4）图中漏画了表示方向的箭头.
【总结升华】数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可．
类型二、相反数的概念
2．（2015 宜宾）﹣的相反数是（ ）
A．5
B．
C．﹣
D.-5
【思路点拨】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数.
【答案】B
【总结升华】求一个数的相反数，只改变这个数的符号，其他部分都不变.
举一反三：
【高清课堂：数轴和相反数
例1（1）~（7）】
【变式1】填空：
(1)
－(－2.5)的相反数是
；(2)
是-100的相反数；(3)
是
的相反数；
(4)
的相反数是-1.1；(5)8.2和
互为相反数.（6）a和
互为相反数
.
（7）______的相反数比它本身大，
______的相反数等于它本身．
【答案】（1）－2.5；（2）100；（3）；（4）1.1；（5）-8.2；（6）-a；（7）负数，
0
.
【高清课堂：数轴和相反数
例2】
【变式2】下列说法中正确的有(
)
①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等．
A.
0个
B.1个
C.2个
D.3个或更多
【答案】B
【高清课堂：数轴和相反数
例1（8）】
3．已知互为相反数，则
．
【答案】2
【解析】根据互为相反数的两个数的性质，可知，代入上式可得：.
【总结升华】若互为相反数，则或.
类型三、多重符号的化简
4.化简下列各数中的符号．
（1）
（2）-(+5)
（3）-(-0.25)
（4）
（5）-[-(+1)]
（6）-(-a)
【答案】
(1)
（2）-(+5)＝-5
（3）-(-0.25)＝0.25
（4）
（5）-[-(+1)]＝-(-1)＝1
(6)-(-a)＝a
【解析】
(1)
表示的相反数，而的相反数是，所以
；
（2）-(+5)表示+5的相反数，即-5，
所以-(+5)=-5；
（3）-(-0.25)表示-0.25的相反数，而-0.25的相反数是0.25，所以-(-0.25)＝0.25；
（4）负数前面的“+”号可以省略，所以；
（5）先看中括号内-(+1)表示1的相反数，即-1，因此-[-(+1)]＝-(-1)而-(-1)表示-1的相反数，即1，所以-[-(+1)]＝-(-1)=1；(6)-(-a)表示-a的相反数，即a．
所以-(-a)=
a
【总结升华】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．
类型四、利用数轴比较大小
5．在数轴上表示2.5，0，，-1，-2.5，，3有理数，并用“＜”把它连接起来．
【答案与解析】如图所示，点A、B、C、D、E、F、G分别表示有理数2.5，0，，-1，-2.5，，3．
由上图可得：
∴
【总结升华】根据数轴的三要素先画好数轴，表示数的字母要依次对应有理数，然后根据在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，比较大小．
举一反三：
【变式1】（2014秋 埇桥区校级期中）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式不成立的是（ ）
A．b﹣a＞0
B．﹣b＜0
C．﹣a＞﹣b
D．﹣ab＜0
【答案】D
【高清课堂：数轴和相反数
例4（2）】
【变式2】填空：
大于且小于的整数有______个；
比小的非负整数是____________．
【答案】11；0，1，2，3
类型五、数轴与相反数的综合应用（数形结合的应用）
6．已知数轴上点A和点B分别表示互为相反数的两个数a，b(a＜b)并且A、B两点间的距离是，求a、b两数．
【思路点拨】因为a、b两数互为相反数(a＜b)，所以表示a，b的两点A、B离原点的距离相等，而A、B两点间的距离是，所以A、B两点到原点的距离就是．
【答案与解析】
解：由题意A、B两点到原点的距离都是：而a＜b，所以，．
【总结升华】(1)理解相反数的几何意义．
(2)从相反数的意义入手，明确互为相反数的两数关于原点对称．
举一反三：
【变式】填空：（1）数轴上离原点5个单位长度的点表示的数是________；（2）从数轴上观察，-3与3之间的整数有________个．
【答案】（1）±5，
提示：要注意两种情况，原点左右各一个点；（2）5，提示：画出数轴，容易看出-3和3之间的整数是-2，-1，0，1，2共5个．
【巩固练习】
一、选择题
1.（2015 江阴市模拟）﹣5的相反数是（ ）
A．5
B．-5
C．±5
D．﹣
2．下列说法正确的是(
)
A．数轴上一个点可以表示两个不同的有理数
B．数轴上的两个不同的点表示同一个有理数
C．有的有理数不能在数轴上表示出来
D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点
3．如图所示，在数轴上点A表示(
)
A．-2
B．2
C．±2
D．0
4．如图，有理数a，b在数轴上对应的点如下，则有(
)．
(A)a＞0＞b
(B)a＞b＞0
(C)a＜0＜b
(D)a＜b＜0
5.
一个数比它的相反数小，这个数是（
）
A.正数
B.负数
C.非正数
D.非负数
6.
如果，那么两个数一定是
（
）
A.都等于0
B.一正一负
C.互为相反数
D.互为倒数
二、填空题
1．________________的两个数，叫做互为相反数；零的相反数是________．
2.（2015春 岳池县期中）若3a﹣4b与7a﹣6b互为相反数，则a与b的关系为 ．
3.数轴上点A、B的位置如图所示，若点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为
4．数轴上离原点5个单位长度的点有______个，它们表示的数是
，它们之间的关系是
.
5．化简下列各数：
(1)________
；(2)________
；(3)________.
6.已知－1＜a＜0＜1＜b，请按从小到大的顺序排列－1，－a，0，1，－b为__________．
三、解答题
1．小敏的家、学校、邮局、图书馆坐落在一条东西走向的大街上，依次记为A、B、C、D，学校位于小敏家西150米，邮局位于小敏家东100米，图书馆位于小敏家西400米．
(1)用数轴表示A、B、C、D的位置(建议以小敏家为原点)．
(2)一天小敏从家里先去邮局寄信后．以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟．试问这时小敏约在什么位置 距图书馆和学校各约多少米
2.（2014秋 孟津县期中）已知：a是﹣（﹣5）的相反数，b比最小的正整数大4，c是最大的负整数．计算：3a+3b+c的值是多少？
3．化简下列各数，再用“<”连接.
(1)-(-54)
(2)-(+3.6)
(3)
(4)
4．已知3m-2与-7互为相反数，求m的值．
二．绝对值
【学习目标】
1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；
2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；
3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；
4.
理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.
【要点梳理】
要点一、绝对值
1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
要点诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
要点二、有理数的大小比较
1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小.
如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2.法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号
同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号
正数大于负数
－数为0
正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
要点诠释：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．
3.
作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4.
求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5.
倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.
【典型例题】
类型一、绝对值的概念
1．求下列各数的绝对值．
，-0.3，0，
【思路点拨】，-0.3，0，在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解．
【答案与解析】
解法一：因为到原点距离是个单位长度，所以．
因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|＝0.3．
因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0．
因为到原点的距离是个单位长度，所以．
解法二：因为，所以．
因为-0.3＜0，所以|-0.3|＝-(-0.3)＝0.3．
因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0．
因为，所以．
【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2)，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值．
2．（2015 毕节市）下列说法正确的是（ ）
A.
一个数的绝对值一定比0大
B.
一个数的相反数一定比它本身小
C.
绝对值等于它本身的数一定是正数
D.
最小的正整数是1
【答案】D．
【解析】A、一个数的绝对值一定比0大，有可能等于0，故此选项错误；
B、一个数的相反数一定比它本身小，负数的相反数，比它本身大，故此选项错误；
C、绝对值等于它本身的数一定是正数，0的绝对值也等于其本身，故此选项错误；
D、最小的正整数是1，正确．
【总结升华】此题主要考查了绝对值以及有理数和相反数的定义，正确掌握它们的区别是解题关键．
举一反三：
【变式1】求绝对值不大于3的所有整数．
【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3．
【变式2】（2015 镇江）已知一个数的绝对值是4，则这个数是 ．
【答案】±4.
【变式3】数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为
．
【答案】6或-6
类型二、比较大小
3．比较下列有理数大小：(1)-1和0；
(2)-2和|-3|
；(3)和
；（4）______
【答案】(1)0大于负数，即-1＜0；
(2)先化简|-3|＝3，负数小于正数，所以-2＜3，即-2＜|-3|；
(3)先化简，，，即．
(4)先化简，，这是两个负数比较大小：因为，，而，
所以，即＜
【解析】(2)、(3)、（4）先化简，再运用有理数大小比较法则．
【点评】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．
举一反三：
【高清课堂：绝对值比大小
356845
典型例题2】
【变式1】比大小：
______
；
-|-3.2|______-(+3.2)；
0.0001______－1000；
______－1.384；
－π______－3.14．
【答案】＞；=；＞；＞；＜
【变式2】下列各数中，比－1小的数是（
）
A．0
B．1
C．－2
D．2
【答案】C
【变式3】数a在数轴上对应点的位置如图所示，则a，-a，-1的大小关系是(
)．
A．-a＜a＜-1
B．-1＜-a＜a
C．a＜-1＜-a
D．a＜-a＜-1
【答案】C
类型三、绝对值非负性的应用
4.
已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n的值．
【思路点拨】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2-m｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m＝0，n-3＝0，所以m＝2，n＝3．
【答案与解析】因为|2-m|+|n-3|＝0
且|2-m|≥0，|n-3|≥0
所以|2-m|＝0，|n-3|＝0
即2-m＝0，n-3＝0
所以m＝2，n＝3
故m-2n＝2-2×3＝-4．
【总结升华】若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即|a|+|b|+…+|m|＝0时，则a＝b＝…＝m＝0．
类型四、绝对值的实际应用
5．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢 请说明理由．
【答案】
因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．
【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大．
【点评】绝对值越小，越接近标准.
举一反三：
【变式1】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L的误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表：
+0.0018
-0.0023
+0.0025
-0.0015
+0.0012
+0.0010
请用绝对值知识说明：
(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)
(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？
【答案】(1)绝对值不超过0.002的有4瓶，分别是检查结果为+0.0018，-0.0015，+0.0012，+0.0010的这四瓶．
(2)第6瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量．
【变式2】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻
【答案】小虫爬行的总路程为：
|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)
．
小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒)
．
【巩固练习】
一、选择题
1．（2015.常州）-3的绝对值是（
）．
A．
3 B．-3
C．
D．
2．下列判断中，正确的是(
)．
A.
如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；
B.
如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等；
C.任何数的绝对值都是正数；
D.如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数.
3．下列各式错误的是(
)．
A．
B．
C．
D．
4．2010年12月某日我国部分城市的平均气温情况如下表(记温度零上为正，单位℃)
城市
温州
上海
北京
哈尔滨
广州
平均气温
6
0
-9
-15
15
则其中当天平均气温最低的城市是(
)．
A．广州
B．哈尔滨
C．北京
D．上海
5．下列各式中正确的是(
)．
A．
B．
C．-3.7＜-5.2
D．0＞-2
6．若两个有理数a、b在数轴上表示的点如图所示，则下列各式中正确的是(
)．
A．a＞b
B．|a|＞|b|
C．-a＜-b
D．-a＜|b|
7．若|a|
+
a＝0，则a是(
)．
A.
正数
B.
负数
C.正数或0
D.负数或0
二、填空题
8．（2015 铜仁市）|﹣6.18|= ．
9.
若m，n互为相反数，则|
m
|________|
n
|；|
m
|=|
n
|，则m，n的关系是________．
10．已知|
x
|＝2，|
y
|＝5，且x＞y，则x＝________，y＝________．
11．满足3.5≤|
x
|
＜6的x的整数值是___________．
12.
式子|2x-1|+2取最小值时，x等于
.
13．数a在数轴上的位置如图所示．
则|a-2|＝__________．
14.
若，则
0；若，则
0；
若，则
0；若，则
；
若，则的取值范围是
．
15.在数轴上，与-1表示的点距离为2的点对应的数是
．
三、解答题
16．比较3a-2与2a+1的大小．
17．（2014秋 天水期末）如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a、b、c．
则：a﹣b 0，a+c 0，b﹣c 0．（用＜或＞或=号填空）
你能把|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|化简吗？能的话，求出最后结果．
17.【解析】
解：由数轴得，
a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c＜0，
∴|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|=﹣（a﹣b）﹣[﹣（a+c）]+[﹣（b﹣c）]
=﹣a+b+a+c﹣b+c
=2c．
18．某工厂生产某种圆形零件，从中抽出5件进行检验，比规定直径长的毫米数记作正数，比规定直径短的毫米数记作负数，检查结果记录如下：
零件
1
2
3
4
5
误差
-0.2
-0.3
+0.2
-0.1
+0.3
根据你所学的知识说明什么样的零件的质量好，什么样的零件的质量差，这5件中质量最好的是哪一件
第三讲
有理数的加减法和乘除法
一．有理数的加减法
【学习目标】
1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；
2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系，体会其中蕴含的转化的思想；
3．熟练地将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简
算，并且会解决简单的实际问题.
【要点梳理】
要点一、有理数的加法
1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数．
要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤：
(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．
(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．
(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．
3.运算律：
有理数加法运算律
加法交换律
文字语言
两个数相加，交换加数的位置，和不变
符号语言
a+b＝b+a
加法结合律
文字语言
三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
符号语言
(a+b)+c＝a+(b+c)
要点诠释：交换加数的位置时，不要忘记符号．
要点二、有理数的减法
1.定义：
已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+ ＝7，求？，减法是加法的逆运算．
要点诠释：（1）任意两个数都可以进行减法运算．
（2）
几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．
2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．
要点诠释：
将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：
要点三、有理数加减混合运算
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
【典型例题】
类型一、有理数的加法运算
1．计算：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【思路点拨】（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条：；（3）（5）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（4）用的是法则的第三条．
【答案与解析】
（1）；
（2）
（3）
（4）
（5）
【总结升华】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值．
举一反三：
【高清课堂：有理数的加减法
382681
有理数的加法例2】
【变式1】计算：(1)
-7+10;
(2)
(-)+(-7.3);
(3)
1+(-2);
(4)
7+(-3.8)+(-7.2)
【答案】（1）原式=；
（2）原式=；（3）原式=；
（4）原式=
【变式2】计算：
【答案】
【变式3】计算：
．
【答案】解法一：
→同号的数一起先加
．
解法二：
→同分母，互为相反数的数，或几个数可以凑整的数分别结合相加
．
类型二、有理数的减法运算
2．
(1)2-(-3)；
(2)0-(-3.72)-(+2.72)-(-4)；
(3)．
【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．
【答案与解析】本题可直接利用有理数的减法法则进行计算．
(1)2-(-3)＝2+3＝5
(2)原式＝0+3.72+(-2.72)+4＝(0+4)+(3.72-2.72)＝4+1＝5
（3）原式=
【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.
类型三、有理数的加减混合运算
3．计算：（1）-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72；
（2）11-12+13-15+16-18+17；
（3）
（4）
（5）；
（6）
【答案与解析】
（1）观察各个加数，可以发现-3.72与3.72互为相反数，把它们分为一组；
4.18、-2.93与-1.25的和为0，把它们分为一组可使计算简便．
解：-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72
＝(-3.72+3.72)+(4.18-2.93-1.25)-1.23
＝0+0-1.23＝-1.23
（2）把正数和负数分别分为一组．
解：11-12+13-15+16-18+17
＝(11+13+16+17)+(-12-15-18)
＝57+(-45)＝12
（3）仔细观察各个加数，可以发现两个小数的和是-1，两个整数的和是29，三个分数通分后也不难算．故把整数、分数、小数分别分为一组．
解：
（4）3.46和1.54的和为整数,把它们分为一组；-3.87与3.37的和为-0.5，把它们分为一组；与
易于通分，把它们分为一组；与同分母，把它们分为一组．
解：
（5）先把整数分离后再分组．
解：
注：带分数中的整数与分数分离时，如果这个数是负数，那么分离得到的整数与分数都是负数，例如
．
（6）如果按小数、整数分组，效果似乎不是很好．可先将小数和分数统一后再考虑分组．
解：
【总结升华】计算多个有理数相加时，必须先审题，分析特点，寻找规律，然后再去计算．注意在交换加数的位置时，要连同符号一起交换.
举一反三：
【变式】（2014 甘肃模拟）5.6+[0.9+4.4﹣（﹣8.1）]．
【答案】解：原式=5.6+0.9+4.4+8.1=19．
类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用
【高清课堂：有理数的加减法
382681
有理数加减的应用】
4．（2014秋 郑州期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国
古代数学史上经常研究这一神话．
（1）现有1，2，3，4，5，6，7，8，9共九个数字，请将它们分别填入图1的九个方格中，使得第行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都等于15；
（2）通过研究问题（1），利用你发现的规律，将3，5，﹣7，1，7，﹣3，9，﹣5，﹣1
这九个数字分别填入图2的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等．
【答案与解析】
解：（1）15÷3=5，
∴最中间的数是5，其它空格填写如图1；
（2）如图2所示．
【总结升华】本题考查了有理数加法，熟知“九宫图”的填法是解题的关键．
举一反三：
【变式】某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：
197，202，197，203，200，196，201，198．
计算出售的粮食总共多少千克
【答案】法一：以200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这8个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6
200×8+(-6)＝1594(千克)
答：出售的粮食共1594千克．
法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克)
答：出售的粮食共1594千克．
【巩固练习】
一、选择题
1．某市2009年元旦的最高气温为2℃，最低气温为-8℃，那么这天的最高气温比最低气温高(
)．
A．-10℃
B．-6℃
C．6℃
D．10℃
2.（2015 吉林）若等式0□1=﹣1成立，则□内的运算符号为（ ）
A．
+
B．
﹣
C．
×
D．
÷
3．两个有理数相加，和小于其中一个加数而大于另一个加数，需满足
（
）
A．两个数都是正数
B．两个数都是负数
C．一个是正数，另一个是负数
D．至少有一个数是零
4．下列说法中正确的是
A．正数加负数，和为0
B．两个正数相加和为正；两个负数相加和为负
C．两个有理数相加，等于它们的绝对值相加
D．两个数的和为负数，则这两个数一定是负数
5．下列说法正确的是(
)
A．零减去一个数，仍得这个数
B．负数减去负数，结果是负数
C．正数减去负数，结果是正数
D．被减数一定大于差
6．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为(25±0.1)kg，(25±0.2)kg，(25±0.3)kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差
(
)
A．0.8kg
B．0.6kg
C．0.5kg
D．0.4kg
7.
-3+5的相反数是(
)．
A．2
B．-2
C．-8
D．8
二、填空题
8.有理数
c在数轴上对应点位置如图所示，用“＞”或“＜”
（1）｜a｜______｜b｜；（2）a＋b＋c______0：
（3）a－b＋c______0；（4）a＋c______b；
（5）c－b______a．
9.
（2015 上海）计算：|﹣2|+2=________．
10．某月股票M开盘价20元，上午10点跌1.6元，下午收盘时又涨了0.4元，则股票这天的收盘价是_______．
11．列出一个满足下列条件的算式：(1)所有的加数都是负数，和为-5，________；(2)一个加数是0，和是-5________；(3)至少有一个加数是正整数，和是-5，________．
12.
数学活动课上，王老师给同学们出了一道题：规定一种新运算“☆”对于任意两个有理数a和b，有a☆b＝a-b+1，请你根据新运算，计算(2☆3)☆2的值是
.
13.如图所示，数轴上A、B两点所表示的有理数的和是_________．
三、解答题
14.计算题
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
15.
已知：|a|=2,|b|=3，求a+b的值．
16.
．（2014 永嘉县校级模拟）某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售，如果以每套儿童服装55元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣1，0，﹣2．（单位：元）
（1）当他卖完这八套儿童服装后是盈利还是亏损？
（2）盈利（或亏损）了多少钱？
二．有理数的乘除
【学习目标】
1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；
2.
理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；
3.
巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；
4.
培养观察、分析、归纳及运算能力.
【要点梳理】
要点一、有理数的乘法
1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同0相乘，都得0．
要点诠释：
(1)
不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．
（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．
2.
有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；
（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．
要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．
(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．
(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．
3.
有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．
要点诠释：
（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．
（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．
（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．
要点二、有理数的除法
1.倒数的意义：
乘积是1的两个数互为倒数．
要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的；
(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
2.
有理数除法法则：
法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即.
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.
要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．
（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．
（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．
要点三、有理数的乘除混合运算
由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．
要点四、有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．
【典型例题】
类型一、有理数的乘法运算
1．（2015 台湾）算式（﹣1）×（﹣3）×之值为何？（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拨】根据有理数的乘法法则，先确定符号，然后把绝对值相乘即可
【答案】D．
【解析】
解：原式=××=
.
【总结升华】本题考查的是有理数的乘法，掌握乘法法则是解题的关键，计算时，先确定符号，然后把绝对值相乘．
2．
(1)；
(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；
(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．
【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．
(1)；
(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；
(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．
【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时，积为0．
3.运用简便方法计算：
(1)
(2)(-0.25)×0.5×(-100)×4
(3)
【思路点拨】
(1)根据题目特点，可以把折成，再运用乘法分配律进行计算．(2)运用乘法结合律，把第1、4个因式结合在一起．(3)逆用乘法分配律：ab+ac＝a(b+c)．
【答案与解析】
解：(1)
（分配律）
(2)(-0.25)×0.5×(-100)×4
＝（-4×0.25）×[0.5×(-100)]
（交换律）
＝-1×(-50)＝50（结合律）
(3)
（逆用乘法的分配律）
【总结升华】首先要观察几个因数之间的关系和特点．适当运用“凑整法”进行交换和结合．
举一反三：
【变式1】（2014 玄武区一模）计算16.8×+7.6×的结果是 ．
【答案】7．
解：原式=8.4×
=（8.4+7.6）×
=16×
=7．
【高清课堂：有理数乘除
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多个有理数相乘例2】
【变式2】；
【答案】（
类型二、有理数的除法运算
4．计算：(1)(-32)÷(-8)
（2）
【答案与解析】
(1)(-32)÷(-8)＝+(32÷8)=
4
……用法则二进行计算．
(2)
……用法则一进行计算．
【总结升华】(1)乘法、除法的符号法则是一致的，两数相乘除，同号得正，异号得负；(2)除法的两个法则是一致的，应学会灵活选择．
举一反三：
【高清课堂：有理数乘除
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有理数除法（法则）】
【变式】计算：（1）
【答案】原式
类型三：有理数的乘除混合运算
5.计算：
【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算.
【总结升华】在有理数的乘除运算中，可将除法运算转化为乘法运算．乘除运算是同一级运算，应按从左到右的顺序进行．
举一反三：
【变式1】计算：(-9)÷(-4)÷(-2)
【答案】
(-9)÷(-4)÷(-2)＝-9÷4÷2＝
【变式2】计算：(1)
(2)
【答案】
(1)
(2)
类型四、有理数的加减乘除混合运算
6.
计算（1）；
（2）
【答案与解析】（1）
=6-2+9-5=8
（2）法1：原式=
法2：由（1）知：，所以
【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决．
举一反三：
【变式】
【答案】
原式
类型五：利用有理数的加减乘除，解决实际问题
7.气象统计资料表明，高度每增加1000米，气温就降低6℃．如果现在地面的气温是27℃，那么8000米的高空的气温大约是多少
【思路点拨】解决此题的关键是明确高度变化与气温变化的关系．由于“高度每增加1000米，气温就降低6℃”，8000米的高空比地面高度增加8000米，因此气温降低6×8＝48℃，由此便可求出高空的气温．
【答案与解析】
解：(℃)
因此8000米的高空的气温大约是-21℃．
【总结升华】本题是生活实际中的问题，关键是读懂题意，弄清各数量之间的关系，再列出正确的算式．
【巩固练习】
一、选择题
1．（2015 佛山）﹣3的倒数为（ ）
A．﹣
B．
C．
3
D．
﹣3
2.下列命题中，正确的是(
)．
A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0
B．若a·b＞0，则a＜0，b＜0
C．若a·b＝0，则a＝0且b＝0
D．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
3.
下列说法错误的是
（
）
A.一个数与1相乘仍得这个数.
B.互为相反数（除0外）的两个数的商为-1.
C．一个数与-1相乘得这个数的相反数.
D.互为倒数的两个数的商为1.
4.两个数之和为负，商为负，则这两个数应是
(
)
A．同为负数
B．同为正数
C．一正一负且正数的绝对值较大
D．一正一负且负数的绝对值较大
5.计算：的结果是
（
）
A．-8
B．8
C．-2
D．2
6.
在算式中的所在位置，填入下列哪种运算符号，计算出来的值最小（
）．
A．+
B．-
C．×
D．÷
7.
下列计算：①0-(-5)＝-5；②；③；④；⑤若，则x的倒数是6．其中正确的个数是（
）．
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题
8．（2015 镇江二模）（﹣6）×（﹣）= ．
9.若，则
0，
0，
0.
10.
若|a|＝5，b＝-2，且a÷b＞0，则a+b＝________．
11.在-2，3，4，-5这四个数中，任取两个数相乘所得积最大的是
，所得的商最小是
12.如果6个不等于0的数相乘得积为负数，则在这6个乘数中，正的乘数有
个
13.如果，那么
0.
14.
是一个简单的数值运算程序，当输入-1时，则输出的数值____．
三、解答题
15.计算：
(1)(-0.125)×(-18)×(-8)×0×(-1)
(2)
(3)(-6)×45+(-6)×55
（4）
16．（2014秋 朝阳区期末）计算：．
17.已知：a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的倒数等于它本身，则的结果是多少？
18.受金融危机的影响，华盛公司去年1～3月平均每月亏损15万元，4～6月平均每月盈利20万元，7～10月平均每月盈利17万元，11～12月平均每月亏损23万元这个公司决定：若平均每月盈利在3万元以上，则继续做原来的生产项目，否则要改做其他项目．请你帮助该公司进行决策是否要改做其他项目，并说明你的理由．
第四讲
有理数的乘方及混合运算
【学习目标】
1．理解有理数乘方的定义；
2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；
3.
进一步掌握有理数的混合运算.
【要点梳理】
要点一、有理数的乘方
定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．
即有：.在中，叫做底数，
n叫做指数.
要点诠释：
（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．
要点二、乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即
．
要点诠释：
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次幂都是非负数．
要点三、有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点诠释：
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．
(3)在运算过程中注意运算律的运用．
【典型例题】
类型一、有理数乘方
1.
把下列各式写成幂的形式：
(1)；
(2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5；
(3)．
【答案与解析】
(1)；
(2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5＝(-3.7)4×52；
(3)
【总结升华】乘方时，当底数是分数、负数时，应加上括号.
【高清课堂：有理数的乘方及混合运算
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有理数乘方的性质】
2．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
【答案与解析】
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
【总结升华】与不同，，
而表示的n次幂的相反数．
举一反三：
【变式1】计算：(1)(-4)4
(2)23
(3)
(4)(-1.5)2
【答案】
(1)(-4)4=(-4)×(-4)×(-4)×(-4)=256；
(2)23＝2×2×2=8；
(3)
(4)
(-1.5)2=(-1.5)×(-1.5)=2.25
【变式2】（2015 长沙模拟）比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（ ）
A．
它们底数相同，指数也相同
B．
它们底数相同，但指数不相同
C．
它们所表示的意义相同，但运算结果不相同
D．
虽然它们底数不同，但运算结果相同
【答案】D．
解：比较（﹣4）3=（﹣4）×（﹣4）×（﹣4）=﹣64，﹣43=﹣4×4×4=﹣64，
底数不相同，表示的意义不同，但是结果相同.
类型二、乘方的符号法则
3．不做运算，判断下列各运算结果的符号．
(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，，-(-2)2010
【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断，可得：
(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负．
【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．
举一反三：
【变式】计算：(-1)2009的结果是(
)．
A．-l
B．1
C．-2009
D．2009
【答案】A
类型三、有理数的混合运算
【高清课堂：有理数的乘方及混合运算
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典型例题1】
4.计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案与解析】
（1）法一：原式＝；
法二：原式=
（2）原式
(3)
原式=-32-3+66-9=22
(4)
原式
【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提．
举一反三：
【变式1】计算：
【答案】原式
【变式2】计算：
【答案】原式
【高清课堂：有理数的乘方及混合运算
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典型例题2（2）】
5.
（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
【解析】逆用分配律可得：，所以答案为：C
【总结升华】当几项均为幂的形式，逆用分配律提出共同的因数时，要提指数较小的幂的形式.
举一反三：
【变式】计算：
【答案】
类型四、探索规律
6.
（2014秋 埇桥区校级期中）你见过拉面馆的师傅拉面吗？他们用一根粗的面条，第1次把两头捏在一起抻拉得到两根面条，再把两头捏在一起抻拉，反复数次，就能拉出许多根细面条，如下图，第3次捏合抻拉得到
根面条，第5次捏合抻拉得到
根面条，第次捏合抻拉得到
根面条，要想得到64根细面条，需
次捏合抻拉.
第1次
第2次
第3次
【答案】8;
32;
;
6
【解析】由题意可知，每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的2倍，所以可得到：
第1次：；第2次：；第3次：；…；第次：.
第3次捏合抻拉得到面条根数：，即8根；第5次得到：，即32根；第次捏合抻拉得到；
因为，所以要想得到64根面条，需要6次捏合抻拉.
【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循．
举一反三：
【变式】已知21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，观察上面的规律，试猜想22008的末位数字是________．
【答案】6
【巩固练习】
一、选择题
1．（2015 郴州）计算（﹣3）2的结果是（ ）
A．﹣6
B．
6
C．
﹣9
D．
9
2.下列说法中，正确的是（
）
A．一个数的平方一定大于这个数；
B．一个数的平方一定是正数；
C．一个数的平方一定小于这个数；
D．一个数的平方不可能是负数.
3.下列各组数中，计算结果相等的是
(
)．
A．-23与(-2)3
B．-22与(-2)2
C．与
D．与
4．式子的意义是
（
）
A.
4与5商的立方的相反数
B.4的立方与5的商的相反数
C.4的立方的相反数除5
D.的立方
5．计算(-1)2+(-1)3＝(
)
A．-2
B．-
1
C．0
D．2
6．观察下列等式：71=7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649…由此可判断7100的个位数字是(
)
．
A．7
B．9
C．3
D．1
7．一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的绳子的长度为(
)
．
A．米
B．米
C．米
D．米
二、填空题
8．在(-2)4中，指数是________，底数是________，在-23中，指数是________，底数是________，在中底数是________，指数是________．
9.（2015 湖州）计算：23×（）2= ．
10.
；
；=
；
．
11.
,
12．
，
，
，……，
从而猜想：…….
13.
三、解答题
14.（2014秋 渭城区校级期末）﹣23+（﹣3）2﹣32×（﹣2）2．
15.
已知x的倒数和绝对值都是它本身，y、z是有理数，并且，求的值．
16.
探索规律：观察下面三行数，
2,
-4，
8，
-16，
32，
-64，…
①
-2，
-8，
4，
-20，
28，
-68，…
②
-1，
2，
-4，
8，
-16，
32，…
③
(1)
第①行第10个数是多少？
(2)
第②③行数与第①行数分别有什么关系？
(3)
取每行第10个数，计算这三个数的和.
第五讲
科学记数法与近似数
【学习目标】
1.理解科学记数法的意义，并会用科学记数法表示一个较大的数；
2.了解近似数的概念，能按精确度的要求取近似数，能根据近似数的不同形式确定其精确度；
3.体会近似数在生活中的实际应用.
【要点梳理】
要点一、科学记数法
把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝.
要点诠释：
（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=；
（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.
要点二、近似数及精确度
1.
近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.
要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.
2.
精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.
要点诠释：
（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.
（2）精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米.
【典型例题】
类型一、科学记数法
1.
用科学记数法表示：
(1)；（2）亿；（3）
【答案与解析】
解：（1）把写成时，，它是将原数的小数点向左移动9位得到的，即把原数缩小到，所以；
（2）亿=300
000
000
000，把亿写成时，，的值应比
300
000
000
000的整数位少1，因此
，所以3000亿=；
（3）写成时，“-”照写，其它和正数一样，所以.
【总结升华】带有文字单位的数先变为原数，再写成形式，的确定：n比这个数的整数位数少1.
举一反三：
【变式】（宁波市）据宁波市统计局公布的第六次人口普查数据，本市常住人口760．57万人，其中760．57万人用科学记数法表示为
（
）
A．7．605
7×105人
B．7．605
7×106人
C．7．605
7×107人
D．
0．760
57×107人
【答案】B
2.
把下列用科学记数法表示的数转化成原数.
（1）；
（2）；
（3）千米
【答案与解析】此题是对科学记数法的逆用
解：（1）；
（2）；
（3）千米=千米
【总结升华】将科学记数法表示的数转化为原数，方法简单：是几就将中的小数点向右移动几位.
类型二、近似数及精确度
3.
用四舍五入法，按括号中的要求把下列各数取近似数.
(1)0.0198
(精确到0.001)；
(2)0.34082(精确到千分位)；
(3)64.49
(精确到个位)；
（4）（精确到0.01）；
【答案与解析】精确到哪一位，应观察它的下一位是进还是舍.
解：（1）0.0198≈0.020；
（2）0.34082≈0.341；
（3）64.49≈64；
（4）≈1.67
【总结升华】近似数末位的0不能随便去掉，去掉了就会改变它的精确度.
举一反三：
【变式】用四舍五入法，按括号中的要求把下列各数取近似数
（1）万（精确到千位）；（2）12
341
000（精确到万位）.
【答案】
解：（1）万=或表示为万；
（2）12
341
000=.
4.下列由四舍五入得到的近似数，它们精确到哪一位.
（1）
（2）亿；
（3）
【答案与解析】
解：(1)
精确到百分位；
（2）亿精确到百万位；
（3）精确到千位.
【总结升华】一般的近似数，四舍五入到哪一位就说它精确到哪一位，例：精确到百分位，则百分位就是精确度；若是汉字单位“万、千、百”类近似数，精确度是由其最后一位数所在的数位确定的，但必须先把该数写成单位为“个”位的数再确定其精确度；用形如的数，其精确度看中最后一位数在原数中的数位.
类型三、近似数与精确数
5．测得某同学的身高约是1.66米，那么意味着他身高的精确值x所在范围是___________________．
【答案】
【解析】1.66是由四舍五入得到的数，若通过“入”得到1.66，则最小数应是1.655，若通过“舍”得到1.66，则最大数不存在，但能判断小于1.665，所以.
【总结升华】本类型题目的答案一般形式为：，
“精确度”是用来说明结果与实际数误差大小的，如精确到表示结果与实际数字相差不大于.
举一反三：
【变式】近似数的准确数的取值范围是_________________.
【答案】.
【巩固练习】
一、选择题
1.（浙江省）中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一，所以我们为中国节水，为世界节水．若每人每天浪费水0.32L，那么100万人每天浪费的水，用科学记数法表示为（
）．
A.3.2×107L
B.
3.2×106L
C.
3.2×105L
D.
3.2×104L
2.
“全民行动，共同节约”，我国13亿人口如果都响应国家号召每人每年节约1度电，一年可节约电1
300
000
000度，这个数用科学记数法表示，正确的是(
)．
A
.1.30×109
B.
1.3×109
C.
0.13×1010
D.
1.3×1010
3.已知：a＝1.1×105，b＝1.2×103，c＝5.6×104，d＝5.61×102，将a，b，c，d按从小到大顺序排列正确的是(
)．
A.
a＜b＜c＜d
B.
d＜b＜c＜a
C.
d＜c＜b＜a
D.
a＜c＜b＜d
4.下列说法正确的有(
)．
①近似数1.60和近似数1.6的精确度一样
②近似数6百和600精确度是相同的
③2.46万精确到万位
④317
500精确到千位可以表示为31.8万，也可表示为3.18×105
⑤0.050
2精确到万分位
⑥近似数8.4和0.8的精确度一样
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
5.
精确到百分位，约等于
（
）．
A.
0.39
B.
0.40
C.
0.4
D.
0.400
6.下列各近似数，精确到万位的是
（
）．
A.
3500
B.
4亿5千万
C.
3.5×104
D.
4×104
二、填空题
7.
对于由四舍五入取得的近似数1.30万与1.30×104精确度
（添“相同”或“不同”）.
8.
（1）某校有80个班；（2）光的速度为每秒30万km；（3）一星期有7天；（4）某人身高1.70m.这些数据中，准确数为
，近似数为
.
9.
6008000=
（用科学记数法表示），=
（把用科学记数法表示的数还原）.
10．近似数1.5万精确到
位.
11．近似数3.14×精确到
位.
12．近似数9.80千克精确到
克.
13.
一箱苹果的质量为11.52千克，将其精确到1千克后的近似数是
.
14.
近似数1.30是由数四舍五入得到的，则数的取值范围
.
三、解答题
15.
一箱苹果的质量为10.90千克，请分别按下面的要求取这箱苹果的近似数.
（1）、精确到10千克；
（2）、精确到1千克；
（3）、精确到0.1千克．
16.
下面各数都是由四舍五入法得到的近似数，它们分别精确到哪一位？
（1）、某运动员百米跑了10.30秒；
（2）、我国的国土面积为9.6×106平方千米；
（3）、小明的身高为1.605米.
17.
1光年就是光在1年（按365天算）的时间内传播的距离，光的速度是，以作单位，用科学记数法表示1光年，精确到万亿.
第六讲
整式的概念
【学习目标】
1．掌握单项式系数及次数的概念；
2.
理解多项式的次数及多项式的项、常数项及次数的概念；
3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式；
4.
能准确而熟练地列式子表示一些数量关系．
【要点梳理】
要点一、单项式
1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
要点诠释：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．
（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
要点诠释：（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；
（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；
（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成．
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：
（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；
（2）不能将数字的指数一同计算．
要点二、多项式
1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．
要点诠释：“几个”是指两个或两个以上．
2.
多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
要点诠释：（1）多项式的每一项包括它前面的符号．
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．
3.
多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
要点诠释：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．
（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．
要点三、
整式
单项式与多项式统称为整式．
要点诠释：（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．
即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．
【典型例题】
类型一、整式概念辨析
1．指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
，，，10，，，，，，
【答案与解析】单项式有：，10，，；
多项式有：，，，；
整式有：，，，10，，，，．
【总结升华】不是整式，因为分母中含有字母；
也不是多项式，因为不是单项式．
举一反三：
【高清课堂：整式的概念
例1】
【变式】下列代数式：，其中是单项式的是_______________，是多项式的是_______________.
【答案】①②③，④⑥
类型二、单项式
2．指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．
，，，，，a-3，，，
【答案与解析】，，，，，，是单项式，其中
的系数是，次数是3；的系数是-1，次数是1；的系数是，次数是4；
的系数是，次数是4；为非零常数，只有数字因式，系数是它本身，次数为0；
的系数仍按科学记数法表示为-3×108，次数是3；
只含有字母因数，系数是l，次数为字母指数之和为3．
【总结升华】（1）要区分数字因数、字母因数；（2）不能见了指数就相加，如中，的指数4不能相加，次数为4；（3）有分数线的，分子、分母的数字都是系数；（4）是常数，不能看作字母．
举一反三：
【变式1】单项式3x2y3的系数是 ．
【答案】3．
【变式2】下列结论正确的是(
)．
A．没有加减运算的代数式叫做单项式．
B．单项式的系数是3，次数是2．
C．单项式m既没有系数，也没有次数．
D．单项式的系数是-1，次数是4．
【答案】D
类型三、多项式
3.多项式，这个多项式的最高次项是什么？一次项的系数是什么？常数项是什么？这是几次几项式
【答案与解析】这个多项式中共有四项，分别为：，它们的次数分别为：3,6,1,0；
其中的次数是6，是最高次项，一次项的系数是-1，常数项是1，它是六次四项式．
【总结升华】确定多项式的次数时，分两步：（1）先求多项式中每一项的次数；（2）取这些次数中的最大的数即为多项式的次数．
4.
已知多项式．
(1)求多项式各项的系数和次数．
(2)如果多项式是七次五项式，求m的值．
【答案与解析】(1)依题意知此多项式是五项式，第一项的系数是-6，次数是3；第二项的系数是-7，次数是3m+1；第三项的系数是，次数是4；第四项系数是-l，次数3；第五项-5系数是-5，次数是0．
(2)由多项式是七次五项式，可得的次数是7，即3m-1+2＝7，解得m＝2．
【总结升华】对于单项式的次数为3m+1的认识会不太习惯，通过适量的练习，会对用字母表示多项式的次数或系数有较深地认识．
举一反三：
【高清课堂：整式的概念
------练习题---3】
【变式】多项式是关于的二次三项式，求a与b的差的相反数．
【答案】
类型四、整式的应用
5.
用整式填空：
(1)某商场将一种商品A按标价的9折出售(即优惠10%)仍可获利10%，若商场商品A的标价为a元，那么该商品的进价为________元(列出式子即可，不用化简)．
(2)甲商品的进价为1400元，若标价为a元，按标价的9折出售；乙商品的进价是400元，若标价为b元，按标价的8折出售，列式表示两种商品的利润率分别为甲：________
乙：________．
【答案】(1)；(2)甲商品的利润率为×100%，
乙商品的利润率为：
×100%．
【解析】本例属于实际生活问题，应分清“进价”、“标价”、“利润”、“利润率”、“打折”等问题，打几折就是标价的十分之几．
【总结升华】解答本例需弄清以下两个数量关系：(1)利润＝售价－进价;
(2)利润率＝．
举一反三：
【变式】（2014秋 栖霞市期末）对下列代数式作出解释，其中不正确的是（
）
A.
a﹣b：今年小明b岁，小明的爸爸a岁，小明比他爸爸小（a﹣b）岁
B.
a﹣b：今年小明b岁，小明的爸爸a岁，则小明出生时，他爸爸为（a﹣b）岁
C.
ab：长方形的长为acm，宽为bcm，长方形的面积为abcm2
D.
ab：三角形的一边长为acm，这边上的高为bcm，此三角形的面积为abcm2
【答案】D.
6.
（2015 重庆）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ）
A.
21
B.
24
C.27
D.
30
【答案】
B
【解析】观察图形得：
第1个图形有3+3×1=6个圆圈，
第2个图形有3+3×2=9个圆圈，
第3个图形有3+3×3=12个圆圈，
…
第n个图形有3+3n=3（n+1）个圆圈，
当n=7时，3×（7+1）=24，
故选B．
【总结升华】找规律问题一般应经历四个阶级“特例引路”、“对比分析”、“总结规律”、“反思检验”等．
【巩固练习】
一、选择题
1．（2014秋 章丘市校级期末）下面的说法正确的是（ ）
A.
﹣2不是代数式
B.
﹣a表示负数
C.
的系数是3
D.
x+1是代数式
2．已知单项式，下列说法正确的是(
)．
A．系数是-4，次数是3
B．系数是，次数是3
C．系数是，次数是3
D．系数是，次数是2
3．如果一个多项式的次数是3，那么这个多项式的任何一项的次数(
)．
A．都小于3
B．都等于3
C．都不小于3
D．都不大于3
4．下列式子：a+2b，，，，0中，整式的个数是(
)．
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
5.．关于单项式，下列结论正确的是(
)．
A．系数是-2，次数是4
B．系数是-2，次数是5
C．系数是-2，次数是8
D．系数是-23，次数是5
6．一组按规律排列的多项式：，，，，…，其中第10个式子是(
)．
A．
B．
C．
D．
二、填空题
7．代数式，，，，0，中是单项式的是________，是多项式的是________．
8.关于的多项式的次数是2，那么．
9．多项式2x2-3x+5是_
次______项式．
10．（2015 长春模拟）今年五．一假期，张老师一家四口开着一辆轿车去长春市净月潭森林公园度假．若门票每人a元，进入园区的轿车每辆收费20元，则张老师一家开车进入净月潭森林公园园区所需费用是
元（用含a的代数式表示）．
11．有一组单项式：，，，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个单项式：________．
12．关于x的二次三项式的一次项的系数为5，二次项的系数为-3，常数项为-4，按照x的次数逐渐降低排列，这个二次三项式为________．
13．某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒……按此规律，请你推测第n组应该取种子数是________粒．
14.
如图所示，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n，…，请你探究出前n行的点数和所满足的规律．若前n行点数和为930，则n＝________．
三、解答题
15．（2015 宜宾）如图，以点O为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、…、20，阴影部分是由第1个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，…，第19个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为多少？
16．已知单项式的次数与多项式的次数相同，求的值．
17．某电影院有20排座位，已知第一排有18个座位，后面一排都比前一排多2个座位，试用代数式表示出第n排的座位数，并求第19排的座位数．
18．已知多项式，
(1)请你按照上述规律写出该多项式的第5项，并指出它的系数和次数；
(2)这个多项式是几次几项式
第七讲
整式的加减（一）——合并同类项
【学习目标】
1．掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；
2.
掌握同类项的有关应用；
3.
体会整体思想即换元的思想的应用．
【要点梳理】
要点一、同类项
定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．
要点诠释：
(1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．
(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．
(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．
要点二、合并同类项
1.
概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．
要点诠释：合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意：
(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有．
(2)
合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算.
【典型例题】
类型一、同类项的概念
1．指出下列各题中的两项是不是同类项，不是同类项的说明理由．
（1）与；
（2）与；
（3）与；
（4）与
【答案与解析】本题应用同类项的概念与识别进行判断：
解：（1）（4）是同类项；（2）不是同类项，因为与所含字母的指数不相等；
（3）不是同类项，因为与所含字母不相同．
【总结升华】辨别同类项要把准“两相同，两无关”，“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同.
“两无关”是指：①与系数及系数的指数无关；②与字母的排列顺序无关．
举一反三：
【变式】下列每组数中，是同类项的是(
)
．
①2x2y3与x3y2
②-x2yz与-x2y
③10mn与
④(-a)5与(-3)5
⑤-3x2y与0.5yx2
⑥-125与
A．①②③
B．①③④⑥
C．③⑤⑥
D．只有⑥
【答案】C
2．（2014 咸阳模拟）已知﹣4xyn+1与是同类项，求2m+n的值．
【答案与解析】
解：由题意得：m=1，n+1=4，
解得：m=1，n=3．
∴2m+n=5．
【总结升华】考查了同类项定义．同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同，相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．
举一反三：
【高清课堂：整式加减（一）合并同类项
例1】
【变式】已知
和
是同类项，试求
的值．
【答案】
类型二、合并同类项
3．合并下列各式中的同类项：
(1)-2x2-8y2+4y2-5x2-5x+5x-6xy
(2)3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5
【答案与解析】
解：
(1)-2x2-8y2+4y2-5x2-5x+5x-6xy
＝(-2-5)x2+(-8+4)y2+(-5+5)x-6xy＝-7x2-4y2-6xy
(2)3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5
＝(3+5)x2y+(-4+2)xy2+(-3+5)＝8x2y-2xy2+2
【总结升华】(1)所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并；(2)在进行合并同类项时，可按照如下步骤进行：第一步：准确地找出多项式中的同类项(开始阶段可以用不同的符号标注),没有同类项的项每一步保留该项；第二步：利用乘法分配律的逆运用，把同类项的系数相加，结果用括号括起来，字母和字母的指数保持不变；第三步：写出合并后的结果．
举一反三：
【变式】（2015 玉林）下列运算中，正确的是（ ）
A.
3a+2b=5ab
B.
2a3+3a2=5a5
C.
3a2b﹣3ba2=0
D.
5a2﹣4a2=1
【答案】C
解：3a和2b不是同类项，不能合并，A错误；
2a3+和3a2不是同类项，不能合并，B错误；
3a2b﹣3ba2=0，C正确；
5a2﹣4a2=a2，D错误，
故选：C．
4．已知，求m+n-p的值．
【思路点拨】两个单项式的和一般情形下为多项式．而条件给出的结果中仍是单项式，这就意味着与是同类项．因此，可以利用同类项的定义解题．
【答案与解析】
解：依题意，得3+m＝4，n+1＝5，2-p＝-7
解这三个方程得：m＝1，n＝4，p＝9，
∴
m+n-p＝1+4-9＝-4．
【总结升华】要善于利用题目中的隐含条件．
举一反三：
【变式】若与的和是单项式，则
，
．
【答案】4，2
．
类型三、化简求值
5.
当时，分别求出下列各式的值．
（1）；
（2）
【答案与解析】（1）把当作一个整体，先化简再求值：
解：
又
所以，原式=
（2）先合并同类项，再代入求值．
解：
当p＝2，q＝1时，原式=．
【总结升华】此类先化简后求值的题通常的步骤为：先合并同类项，再代入数值求出整式的值．
举一反三：
【变式】先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中，．
【答案】
解:
(1)原式，
当时，原式＝．
(2)原式，
当，时，原式＝．
类型四、“无关”与“不含”型问题
6.李华老师给学生出了一道题：当x＝0.16，y＝-0.2时，求6x3-2x3y-4x3+2x3y-2x3+15的值．题目出完后，小明说：“老师给的条件x＝0.16，y＝-0.2是多余的”．王光说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”你认为他们谁说的有道理 为什么
【思路点拨】要判断谁说的有道理，可以先合并同类项，如果最后的结果是个常数，则小明说得有道理，否则，王光说得有道理．
【答案与解析】
解：
＝(6-4-2)x3+(-2+2)x3y+15
＝15
通过合并可知，合并后的结果为常数，与x、y的值无关，所以小明说得有道理．
【总结升华】本题在化简时主要用的是合并同类项的方法，在合并同类项时，要明白：同类项的概念是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项不是同类项的一定不能合并．
【巩固练习】
一、选择题
1．判断下列各组是同类项的有
(
)
．
(1)0.2x2y和0.2xy2；(2)4abc和4ac；(3)-130和15；(4)-5m3n2和4n2m3
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
2．下列运算正确的是(
)．
A．2x2+3x
2＝5x4
B．2x2-3x2＝-x2
C．6a3+4a4＝10a7
D．8ab2-8ba2＝0
3．（2015 柳州）在下列单项式中，与2xy是同类项的是（ ）
A．2x2y2
B．3y
C．xy
D．4x
4．在下列各组单项式中，不是同类项的是(
)．
A．和
B．-3和100
C．和
D．和
5．如果xy≠0，，那么a的值为(
)．
A．0
B．3
C．-3
D．
6.
买一个足球需要元，买一个篮球需要元，则买4个足球、7个篮球共需要（
）元．
A．
B．
C．
D．
7.计算a2+3a2的结果是（ ）．
A．3a2
B．4a2
C．3a4
D．4a4
二、填空题
8．写出的一个同类项
．
9.
已知多项式合并后的结果为零，则的关系为：
．
10．若与是同类项，则．
11.
合并同类项，得
．
12.在中没有同类项的项是
．
13.；．
14（2015 遵义）如果单项式﹣xyb+1与xa﹣2y3是同类项，那么（a﹣b）2015= ．
三、解答题
15.
（2014秋 嘉禾县校级期末）若单项式a3bn+1和2a2m﹣1b3是同类项，求3m+n的值．
16.化简下列各式：
（1）
（2）
（3）
（4）
17.
已知关于x，y的代数式中不含xy项，求k的值.
第八讲
整式的加减（二）—去括号与添括号
【学习目标】
1．掌握去括号与添括号法则，充分注意变号法则的应用；
2.
会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的化简及求值．
【要点梳理】
要点一、去括号法则
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
要点诠释：
(1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．
（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．
(3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．
（4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．
要点二、添括号法则
添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；
添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．
要点诠释：
(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．
(2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误：
如：，
要点三、整式的加减运算法则
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
要点诠释：
（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．
（2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来．
(3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．
【典型例题】
类型一、去括号
1．去括号：(1)d-2(3a-2b+3c)；(2)-(-xy-1)+(-x+y)．
【答案与解析】(1)d-2(3a-2b+3c)＝d-(6a-4b+6c)＝d-6a+4b-6c；
(2)-(-xy-1)+(-x+y)＝xy+1-x+y．
【总结升华】去括号时．若括号前有数字因数，应先把它与括号内各项相乘，再去括号．
举一反三
【变式1】去掉下列各式中的括号：
(1).
8m-(3n+5)；
(2).
n-4(3-2m)；(3).
2(a-2b)-3(2m-n).
【答案】(1).
8m-(3n+5)＝8m-3n-5.
(2).
n-4(3-2m)＝n-(12-8m)＝n-12+8m.
(3).
2(a-2b)-3(2m-n)＝2a-4b-(6m-3n)＝2a-4b-6m+3n.
【变式2】（2015 济宁）化简﹣16（x﹣0.5）的结果是（ ）
A．
﹣16x﹣0.5
B．
﹣16x+0.5
C．
16x﹣8
D．
﹣16x+8
【答案】D
类型二、添括号
2．在各式的括号中填上适当的项，使等式成立．
(1).
；
(2).
．
【答案】（1）.
，，，.
（2）.
，，，.
【解析】(1)
；
(2)
．
【总结升华】在括号里填上适当的项，要特别注意括号前面的符号，考虑是否要变号．
【高清课堂：整式的加减（二）--去括号与添括号
388394添括号练习】举一反三
【变式】
．
【答案】；；；.
类型三、整式的加减
3．（2014秋 上杭县校级月考）下面是小芳做的一道多项式的加减运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面．（﹣x2+3xy﹣y2）﹣（﹣x2+4xy﹣y2）=﹣x2+y2，阴影部分即为被墨迹弄污的部分．那么被墨汁遮住的一项应是 ．
【答案】﹣xy．
【解析】
解：根据题意得：﹣x2+3xy﹣y2+x2﹣4xy+y2+x2﹣y2=﹣xy，
【总结升华】整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．
类型四、化简求值
4.
先化简，再求各式的值：
【答案与解析】原式=,
当时，原式=.
【总结升华】化简求值题一般采用“一化二代三计算”，此类题的书写格式一般为：当……时，原式=？
举一反三
【变式1】先化简再求值：(-x2+5x+4)+(5x-4+2x2)，其中x＝-2．
【答案】
(-x2+5x+4)+(5x-4+2x2)＝-x2+5x+4+5x-4+2x2＝x2+10x.
当x＝-2，原式=(-2)2+10×(-2)＝-16．
【变式2】先化简，再求值：，其中化为相反数.
【答案】
因为互为相反数，所以
所以
5.
已知，，求整式的值．
【答案与解析】由，很难求出，的值，可以先把整式化简，然后把，分别作为一个整体代入求出整式的值．
原式
．
把，代入得，原式．
【总结升华】求整式的值，一般先化简后求值，但当题目中含未知数的部分可以看成一个整体时，要用整体代入法，即把“整体”当成一个新的字母，求关于这个新的字母的代数式的值，这样会使运算更简便．
举一反三
【变式】已知代数式的值为8，求的值．
【答案】∵
，∴
．
当时，原式＝．
6.
如果关于x的多项式的值与x无关．你知道a应该取什么值吗？试试看．
【答案与解析】所谓多项式的值与字母x无关，就是合并同类项，结果不含有“x”的项，所以合并同类项后，让含x的项的系数为0即可．注意这里的a是一个确定的数．
(8x2+6ax+14)-(8x2+6x+5)
＝8x2+6ax+14-8x2-6x-5
＝6ax-6x+9
＝(6a-6)x+9
由于多项式(8x2+6ax+14)-(8x2+6x+5)的值与x无关，可知x的系数6a-6＝0．
解得a＝1．
【总结升华】本例解题的题眼是多项式的值与字母x无关．“无关”意味着合并同类项后，其结果不含“x”的项．
【巩固练习】
一、选择题
1.（2015 江西模拟）计算：a﹣2（1﹣3a）的结果为（ ）
A．
7a﹣2
B．
﹣2﹣5a
C．
4a﹣2
D．
2a﹣2
2.下列各式中，去括号正确的是（
）
A．x＋2(y－1)＝x＋2y－1
B．x－2(y－1)＝x＋2y＋2
C．x－2(y－1)＝x－2y－2
D．x－2(y－1)＝x－2y＋2
3．计算-(a-b)+(2a+b)的最后结果为(
)．
A．a
B．a+b
C．a+2b
D．以上都不对
4.
(2010·山西)已知一个多项式与3x2+9x的和等于3x2+4x-1，则这个多项式是(
)
．
A．-5x-1
B．5x+1
C．-13x-1
D．13x+1
5．代数式的值(
)．
A．与x，y都无关
B．只与x有关
C．只与y有关
D．与x、y都有关
6．如图所示，阴影部分的面积是(
)．
A．
B．
C．6xy
D．3xy
二、填空题
7．添括号：
（1）.．
（2）.．
8.（2015 镇江一模）化简：5（x﹣2y）﹣4（x﹣2y）=________.
9．若则的值是________．
10．m＝-1时，-2m2-[-4m+(-m)2]＝________．
11．已知a＝-(-2)2，b＝-(-3)3，c＝-(-42)，则-[a-(b-c)]的值是________．
12．如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n(n是正整数)个图案中由________个基础图形组成．
三、解答题
13.
化简
(1).
（2015 宝应县校级模拟）2（3x2﹣2xy）﹣4（2x2﹣xy﹣1）
(2).
(3).
(4).
(5).
(6).
14.化简求值：
（1）.
已知：，求的值.
（2）.
,其中a
=
1,
b
=
3,
c
=
1.
（3）.
已知的值是6，求代数式
的值．
15.
有一道题目：当a=2,b=-2时，求多项式:3a3b3-2a2b+b-(4a3b3-a2b-b2)+(a3b3+a2b)-2b2+3的值.甲同学做题时把a=2错抄成a=-2，乙同学没抄错题，但他们做出的结果恰好一样。你能说明这是为什么吗？
第九讲
方程的意义
【学习目标】
1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；
2.
正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；
3.
理解并掌握等式的两个基本性质.
【要点梳理】
要点一、方程的有关概念
1．定义：含有未知数的等式叫做方程.
要点诠释：
判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．
2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
要点诠释：
判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；
②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．
3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.
4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.
要点二、一元一次方程的有关概念
定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
要点诠释：
“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．
要点三、等式的性质
1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.
2．等式的性质：
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：
如果，那么
(c为一个数或一个式子)
.
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：
如果，那么；如果，那么.
要点诠释：
（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；
(2)
等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，
如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立;
(3)
等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．
【典型例题】
类型一、方程的概念
1．下列各式哪些是方程？
①3x-2＝7；
②4+8＝12；
③3x-6；
④2m-3n＝0；
⑤3x2-2x-1＝0；
录
TOC
\o
"1-3"
\h
\u
第一讲
有理数的意义
1
第二讲
数轴与相反数和绝对值
7
一．数轴和相反数
7
二．绝对值
13
第三讲
有理数的加减法和乘除法
19
一．有理数的加减法
19
二．有理数的乘除
26
第四讲
有理数的乘方及混合运算
33
第五讲
科学记数法与近似数
40
第六讲
整式的概念
45
第七讲
整式的加减（一）——合并同类项
52
第八讲
整式的加减（二）—去括号与添括号
58
第九讲
方程的意义
64
第十讲
一元一次方程的解法
70
第十一讲
实际问题与一元一次方程（一）
76
第十二讲
实际问题与一元一次方程（二）
83
第十三讲
几何图形
88
第十四讲
直线、射线、线段
95
第十五讲
角
104
第一讲
有理数的意义
【学习目标】
1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；
2．理解正数、负数、有理数的概念；
3.
掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．
【要点梳理】
要点一、正数与负数
像+3、+1.5、、+584等大于0的数，叫做正数；
像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．
要点诠释：
（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，
“+”常省略，但
“-”不能省略.
（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．
（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的“分水岭”．
要点二、有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类：
（2）按正数、负数与0的关系分类：
要点诠释：
（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.
（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如．
（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．
【典型例题】
类型一、正数与负数
1．若把向北走7km记为－7km，则＋10km表示的含义是（
）．
A．向北走10km
B．向西走10km
C．向东走10km
D．向南走10km
【答案】D
【解析】
“正”和“负”相对，－7km表示向北走7km，则＋10km表示向南走10
km，所以答案D
【总结升华】正负数表示具有相反意义的量.如果一个量为“正数”，则与其相反意义的量就是负数.
反之，当如果一个量为“负数”，则与其相反意义的量就是正数，且这两个量的单位相同．
举一反三：
【变式1】（2015 太仓市模拟）一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（ ）
A．50.0千克
B．50.3千克
C．49.7千克
D．49.1千克
【答案】D．
解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克．
【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________
表示，0元表示__________
.
(2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？
【答案】(1)-500元；既没有收入也没有支出.
(2)不是一对具有相反意义的量，不能表示.
【变式3】如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（
）．
A．－20m
B．－40m
C．20m
D．40m
【答案】B
2．体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0
这8名男生有百分之几达到标准？
他们共做了多少引体向上？
【答案与解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标，
而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：；
答：这8名男生有62.5%达到标准.
（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）
答：他们共做了引体向上56个.
【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么.
类型二、有理数的分类
【高清课堂：有理数的意义
356786
概念的应用例2】
3．下面说法中正确的是(
)．
A．
非负数一定是正数．
B．
有最小的正整数，有最小的正有理数．
C．一定是负数．
D
．正整数和正分数统称正有理数．
【答案】D
【解析】(A)不对，因为非负数还包括0；(B)
最小的正整数为1，但没有最小的正有理数；(C)不对，当为负数或0时，则为正数或0，而不是负数；(D)对
【总结升华】一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表示这个有理数.
举一反三：
【变式1】判断题：
（1）0是自然数，也是偶数．（
）
（2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（
）
（3）整数又叫自然数.（
）
（4）非负数就是正数，非正数就是负数.（
）
【答案】√，
，，
【变式2】下列四种说法，正确的是(
).
(A)所有的正数都是整数
(B)不是正数的数一定是负数
(C)正有理数包括整数和分数
(D)0不是最小的有理数
【答案】Ｄ
4．请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.
1,
0.0708,
-700,
-3.88,
0,
3.14159265,
，
.
正整数集合:{
…}，
负整数集合:{
…}，
整数集合:{
…}，
正分数集合:{
…}，
负分数集合:{
…}，分数集合:{
…}，
非负数集合：{
…}，非正数集合：{
…}.
【答案】正整数：
1；负整数：-700；整数：1，0，-700；正分数：0.0708，3.14159265，；
负分数：
-3.88，；
分数：0.0708，3.14159265，，-3.88，；
非负数：
1,0.0708，
3.14159265，0，；
非正数：-700,
-3.88,
0,
【解析】
【总结升华】填数的方法有两种：一种是逐个考察，一一进行填写；二是逐个填写相关的集合，从给出的数中找出属于这个集合的数.此外注意几个概念：非负数包括0和正数；非正数包括0和负数.
举一反三：
【变式】（2014秋 惠安县期末）在有理数、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有 个．
【答案】2.
类型三、探索规律
5．某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，.按此规律，那么请你推测第n组应该有种子是
粒.
【答案】
【解析】第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，，由此我们观察到的粒数与组数之间有一定关系：，，，，，按此规律，第n组应该有种子数（）粒.
【总结升华】研究一列数的排列规律时，其中的数与符号往往都与序数有关.
举一反三：
【变式1】有一组数列：2，-3，2，-3，2，-3，，根据这个规律，那么第2010个数是：
【答案】-3
【变式2】观察下列有规律的数：根据其规律可知第9个数是：
【答案】
【巩固练习】
一、选择题
1.
（2014 甘肃模拟）下列语句正确的（ ）个
（1）带“﹣”号的数是负数；
（2）如果a为正数，则﹣a一定是负数；
（3）不存在既不是正数又不是负数的数；
（4）0℃表示没有温度．
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
2.关于数“0”，以下各种说法中，错误的是
(
)
A．0是整数
B．0是偶数
C．0是正整数
D．0既不是正数也不是负数
3.如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是
(
)
A．前进-18米的意义是后退18米
B．收入-4万元的意义是减少4万元
C．盈利的相反意义是亏损
D．公元-300年的意义是公元后300年
4.一辆汽车从甲站出发向东行驶50千米，然后再向西行驶20千米，此时汽车的位置是
(
)
A．甲站的东边70千米处
B．甲站的西边20千米处
C．甲站的东边30千米处
D．甲站的西边30千米处
5．在有理数中，下面说法正确的是（
）
A．身高增长和体重减轻是一对具有相反意义的量
B．有最大的数
C．没有最小的数，也没有最大的数
D．以上答案都不对
6.下列各数是正整数的是
（
）
A．－1
B．2
C．0．5
D．
二、填空题
1．（2014秋 朝阳区期末）如果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可记作 ．
2．在数中，非负数是______________；非正数是
__________.
3．把公元2008年记作+2008，那么-2008年表示
.
4．既不是正数，也不是负数的有理数是
.
5．是正数而不是整数的有理数是
.
6．是整数而不是正数的有理数是
.
7．既不是整数，也不是正数的有理数是
.
8．一种零件的长度在图纸上是（）毫米，表示这种零件的标准尺寸是
毫米，加工要求最大不超过
毫米，最小不小于
毫米.
三、解答题
1．说出下列语句的实际意义.
（1）输出-12t
（2）运进-5t
（3）浪费-14元
（4）上升-2m
(5)向南走-7m
2．（2014秋 晋江市期末）下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置．
﹣28%，，﹣2014，3.14，﹣（+5），﹣0.
3．甲地海拔高度是40m，乙地海拔高度为30m，丙地海拔高度是-20m，哪个地方最高？哪个地方最低？最高的地方比最低的地方高多少？
4．观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律 请接着写出后面的两个数，你能说出第2011个数是什么吗
(1)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8，
，
，...
，...
(2)-1,,-,,,,,
,
,...
,...
第二讲
数轴与相反数和绝对值
一．数轴和相反数
【学习目标】
1．理解数轴的概念及三要素；
2．理解有理数与数轴上的点的关系，并会借助数轴比较两个数的大小；
3．会求一个数的相反数，并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义；
4.
掌握多重符号的化简.
【要点梳理】
要点一、数轴
1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
要点诠释：
（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.
（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．
（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．
2.
数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如.
要点诠释：
（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.
（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
要点二、相反数
1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.
要点诠释：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.
2.性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.
（2）互为相反数的两数和为0.
要点三、多重符号的化简
多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4
；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4
.
要点诠释：
（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5.
（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3.
【典型例题】
类型一、数轴的概念
1．如图所示是几位同学所画的数轴，其中正确的是
(
)
A．(1)(2)(3)
B．(2)(3)(4)
C．只有(2)
D．(1)(2)(3)(4)
【答案】C
【解析】对数轴的三要素掌握不清.（1）中忽略了单位长度，相邻两整点之间的距离不一致；（3）中负有理数的标记有错误；（4）图中漏画了表示方向的箭头.
【总结升华】数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可．
类型二、相反数的概念
2．（2015 宜宾）﹣的相反数是（ ）
A．5
B．
C．﹣
D.-5
【思路点拨】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数.
【答案】B
【总结升华】求一个数的相反数，只改变这个数的符号，其他部分都不变.
举一反三：
【高清课堂：数轴和相反数
例1（1）~（7）】
【变式1】填空：
(1)
－(－2.5)的相反数是
；(2)
是-100的相反数；(3)
是
的相反数；
(4)
的相反数是-1.1；(5)8.2和
互为相反数.（6）a和
互为相反数
.
（7）______的相反数比它本身大，
______的相反数等于它本身．
【答案】（1）－2.5；（2）100；（3）；（4）1.1；（5）-8.2；（6）-a；（7）负数，
0
.
【高清课堂：数轴和相反数
例2】
【变式2】下列说法中正确的有(
)
①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等．
A.
0个
B.1个
C.2个
D.3个或更多
【答案】B
【高清课堂：数轴和相反数
例1（8）】
3．已知互为相反数，则
．
【答案】2
【解析】根据互为相反数的两个数的性质，可知，代入上式可得：.
【总结升华】若互为相反数，则或.
类型三、多重符号的化简
4.化简下列各数中的符号．
（1）
（2）-(+5)
（3）-(-0.25)
（4）
（5）-[-(+1)]
（6）-(-a)
【答案】
(1)
（2）-(+5)＝-5
（3）-(-0.25)＝0.25
（4）
（5）-[-(+1)]＝-(-1)＝1
(6)-(-a)＝a
【解析】
(1)
表示的相反数，而的相反数是，所以
；
（2）-(+5)表示+5的相反数，即-5，
所以-(+5)=-5；
（3）-(-0.25)表示-0.25的相反数，而-0.25的相反数是0.25，所以-(-0.25)＝0.25；
（4）负数前面的“+”号可以省略，所以；
（5）先看中括号内-(+1)表示1的相反数，即-1，因此-[-(+1)]＝-(-1)而-(-1)表示-1的相反数，即1，所以-[-(+1)]＝-(-1)=1；(6)-(-a)表示-a的相反数，即a．
所以-(-a)=
a
【总结升华】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．
类型四、利用数轴比较大小
5．在数轴上表示2.5，0，，-1，-2.5，，3有理数，并用“＜”把它连接起来．
【答案与解析】如图所示，点A、B、C、D、E、F、G分别表示有理数2.5，0，，-1，-2.5，，3．
由上图可得：
∴
【总结升华】根据数轴的三要素先画好数轴，表示数的字母要依次对应有理数，然后根据在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，比较大小．
举一反三：
【变式1】（2014秋 埇桥区校级期中）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式不成立的是（ ）
A．b﹣a＞0
B．﹣b＜0
C．﹣a＞﹣b
D．﹣ab＜0
【答案】D
【高清课堂：数轴和相反数
例4（2）】
【变式2】填空：
大于且小于的整数有______个；
比小的非负整数是____________．
【答案】11；0，1，2，3
类型五、数轴与相反数的综合应用（数形结合的应用）
6．已知数轴上点A和点B分别表示互为相反数的两个数a，b(a＜b)并且A、B两点间的距离是，求a、b两数．
【思路点拨】因为a、b两数互为相反数(a＜b)，所以表示a，b的两点A、B离原点的距离相等，而A、B两点间的距离是，所以A、B两点到原点的距离就是．
【答案与解析】
解：由题意A、B两点到原点的距离都是：而a＜b，所以，．
【总结升华】(1)理解相反数的几何意义．
(2)从相反数的意义入手，明确互为相反数的两数关于原点对称．
举一反三：
【变式】填空：（1）数轴上离原点5个单位长度的点表示的数是________；（2）从数轴上观察，-3与3之间的整数有________个．
【答案】（1）±5，
提示：要注意两种情况，原点左右各一个点；（2）5，提示：画出数轴，容易看出-3和3之间的整数是-2，-1，0，1，2共5个．
【巩固练习】
一、选择题
1.（2015 江阴市模拟）﹣5的相反数是（ ）
A．5
B．-5
C．±5
D．﹣
2．下列说法正确的是(
)
A．数轴上一个点可以表示两个不同的有理数
B．数轴上的两个不同的点表示同一个有理数
C．有的有理数不能在数轴上表示出来
D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点
3．如图所示，在数轴上点A表示(
)
A．-2
B．2
C．±2
D．0
4．如图，有理数a，b在数轴上对应的点如下，则有(
)．
(A)a＞0＞b
(B)a＞b＞0
(C)a＜0＜b
(D)a＜b＜0
5.
一个数比它的相反数小，这个数是（
）
A.正数
B.负数
C.非正数
D.非负数
6.
如果，那么两个数一定是
（
）
A.都等于0
B.一正一负
C.互为相反数
D.互为倒数
二、填空题
1．________________的两个数，叫做互为相反数；零的相反数是________．
2.（2015春 岳池县期中）若3a﹣4b与7a﹣6b互为相反数，则a与b的关系为 ．
3.数轴上点A、B的位置如图所示，若点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为
4．数轴上离原点5个单位长度的点有______个，它们表示的数是
，它们之间的关系是
.
5．化简下列各数：
(1)________
；(2)________
；(3)________.
6.已知－1＜a＜0＜1＜b，请按从小到大的顺序排列－1，－a，0，1，－b为__________．
三、解答题
1．小敏的家、学校、邮局、图书馆坐落在一条东西走向的大街上，依次记为A、B、C、D，学校位于小敏家西150米，邮局位于小敏家东100米，图书馆位于小敏家西400米．
(1)用数轴表示A、B、C、D的位置(建议以小敏家为原点)．
(2)一天小敏从家里先去邮局寄信后．以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟．试问这时小敏约在什么位置 距图书馆和学校各约多少米
2.（2014秋 孟津县期中）已知：a是﹣（﹣5）的相反数，b比最小的正整数大4，c是最大的负整数．计算：3a+3b+c的值是多少？
3．化简下列各数，再用“<”连接.
(1)-(-54)
(2)-(+3.6)
(3)
(4)
4．已知3m-2与-7互为相反数，求m的值．
二．绝对值
【学习目标】
1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；
2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；
3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；
4.
理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.
【要点梳理】
要点一、绝对值
1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
要点诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
要点二、有理数的大小比较
1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小.
如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2.法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号
同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号
正数大于负数
－数为0
正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
要点诠释：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．
3.
作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4.
求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5.
倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.
【典型例题】
类型一、绝对值的概念
1．求下列各数的绝对值．
，-0.3，0，
【思路点拨】，-0.3，0，在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解．
【答案与解析】
解法一：因为到原点距离是个单位长度，所以．
因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|＝0.3．
因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0．
因为到原点的距离是个单位长度，所以．
解法二：因为，所以．
因为-0.3＜0，所以|-0.3|＝-(-0.3)＝0.3．
因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0．
因为，所以．
【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2)，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值．
2．（2015 毕节市）下列说法正确的是（ ）
A.
一个数的绝对值一定比0大
B.
一个数的相反数一定比它本身小
C.
绝对值等于它本身的数一定是正数
D.
最小的正整数是1
【答案】D．
【解析】A、一个数的绝对值一定比0大，有可能等于0，故此选项错误；
B、一个数的相反数一定比它本身小，负数的相反数，比它本身大，故此选项错误；
C、绝对值等于它本身的数一定是正数，0的绝对值也等于其本身，故此选项错误；
D、最小的正整数是1，正确．
【总结升华】此题主要考查了绝对值以及有理数和相反数的定义，正确掌握它们的区别是解题关键．
举一反三：
【变式1】求绝对值不大于3的所有整数．
【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3．
【变式2】（2015 镇江）已知一个数的绝对值是4，则这个数是 ．
【答案】±4.
【变式3】数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为
．
【答案】6或-6
类型二、比较大小
3．比较下列有理数大小：(1)-1和0；
(2)-2和|-3|
；(3)和
；（4）______
【答案】(1)0大于负数，即-1＜0；
(2)先化简|-3|＝3，负数小于正数，所以-2＜3，即-2＜|-3|；
(3)先化简，，，即．
(4)先化简，，这是两个负数比较大小：因为，，而，
所以，即＜
【解析】(2)、(3)、（4）先化简，再运用有理数大小比较法则．
【点评】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．
举一反三：
【高清课堂：绝对值比大小
356845
典型例题2】
【变式1】比大小：
______
；
-|-3.2|______-(+3.2)；
0.0001______－1000；
______－1.384；
－π______－3.14．
【答案】＞；=；＞；＞；＜
【变式2】下列各数中，比－1小的数是（
）
A．0
B．1
C．－2
D．2
【答案】C
【变式3】数a在数轴上对应点的位置如图所示，则a，-a，-1的大小关系是(
)．
A．-a＜a＜-1
B．-1＜-a＜a
C．a＜-1＜-a
D．a＜-a＜-1
【答案】C
类型三、绝对值非负性的应用
4.
已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n的值．
【思路点拨】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2-m｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m＝0，n-3＝0，所以m＝2，n＝3．
【答案与解析】因为|2-m|+|n-3|＝0
且|2-m|≥0，|n-3|≥0
所以|2-m|＝0，|n-3|＝0
即2-m＝0，n-3＝0
所以m＝2，n＝3
故m-2n＝2-2×3＝-4．
【总结升华】若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即|a|+|b|+…+|m|＝0时，则a＝b＝…＝m＝0．
类型四、绝对值的实际应用
5．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢 请说明理由．
【答案】
因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．
【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大．
【点评】绝对值越小，越接近标准.
举一反三：
【变式1】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L的误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表：
+0.0018
-0.0023
+0.0025
-0.0015
+0.0012
+0.0010
请用绝对值知识说明：
(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)
(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？
【答案】(1)绝对值不超过0.002的有4瓶，分别是检查结果为+0.0018，-0.0015，+0.0012，+0.0010的这四瓶．
(2)第6瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量．
【变式2】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻
【答案】小虫爬行的总路程为：
|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)
．
小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒)
．
【巩固练习】
一、选择题
1．（2015.常州）-3的绝对值是（
）．
A．
3 B．-3
C．
D．
2．下列判断中，正确的是(
)．
A.
如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；
B.
如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等；
C.任何数的绝对值都是正数；
D.如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数.
3．下列各式错误的是(
)．
A．
B．
C．
D．
4．2010年12月某日我国部分城市的平均气温情况如下表(记温度零上为正，单位℃)
城市
温州
上海
北京
哈尔滨
广州
平均气温
6
0
-9
-15
15
则其中当天平均气温最低的城市是(
)．
A．广州
B．哈尔滨
C．北京
D．上海
5．下列各式中正确的是(
)．
A．
B．
C．-3.7＜-5.2
D．0＞-2
6．若两个有理数a、b在数轴上表示的点如图所示，则下列各式中正确的是(
)．
A．a＞b
B．|a|＞|b|
C．-a＜-b
D．-a＜|b|
7．若|a|
+
a＝0，则a是(
)．
A.
正数
B.
负数
C.正数或0
D.负数或0
二、填空题
8．（2015 铜仁市）|﹣6.18|= ．
9.
若m，n互为相反数，则|
m
|________|
n
|；|
m
|=|
n
|，则m，n的关系是________．
10．已知|
x
|＝2，|
y
|＝5，且x＞y，则x＝________，y＝________．
11．满足3.5≤|
x
|
＜6的x的整数值是___________．
12.
式子|2x-1|+2取最小值时，x等于
.
13．数a在数轴上的位置如图所示．
则|a-2|＝__________．
14.
若，则
0；若，则
0；
若，则
0；若，则
；
若，则的取值范围是
．
15.在数轴上，与-1表示的点距离为2的点对应的数是
．
三、解答题
16．比较3a-2与2a+1的大小．
17．（2014秋 天水期末）如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a、b、c．
则：a﹣b 0，a+c 0，b﹣c 0．（用＜或＞或=号填空）
你能把|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|化简吗？能的话，求出最后结果．
17.【解析】
解：由数轴得，
a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c＜0，
∴|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|=﹣（a﹣b）﹣[﹣（a+c）]+[﹣（b﹣c）]
=﹣a+b+a+c﹣b+c
=2c．
18．某工厂生产某种圆形零件，从中抽出5件进行检验，比规定直径长的毫米数记作正数，比规定直径短的毫米数记作负数，检查结果记录如下：
零件
1
2
3
4
5
误差
-0.2
-0.3
+0.2
-0.1
+0.3
根据你所学的知识说明什么样的零件的质量好，什么样的零件的质量差，这5件中质量最好的是哪一件
第三讲
有理数的加减法和乘除法
一．有理数的加减法
【学习目标】
1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；
2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系，体会其中蕴含的转化的思想；
3．熟练地将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简
算，并且会解决简单的实际问题.
【要点梳理】
要点一、有理数的加法
1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数．
要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤：
(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．
(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．
(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．
3.运算律：
有理数加法运算律
加法交换律
文字语言
两个数相加，交换加数的位置，和不变
符号语言
a+b＝b+a
加法结合律
文字语言
三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
符号语言
(a+b)+c＝a+(b+c)
要点诠释：交换加数的位置时，不要忘记符号．
要点二、有理数的减法
1.定义：
已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+ ＝7，求？，减法是加法的逆运算．
要点诠释：（1）任意两个数都可以进行减法运算．
（2）
几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．
2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．
要点诠释：
将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：
要点三、有理数加减混合运算
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
【典型例题】
类型一、有理数的加法运算
1．计算：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【思路点拨】（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条：；（3）（5）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（4）用的是法则的第三条．
【答案与解析】
（1）；
（2）
（3）
（4）
（5）
【总结升华】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值．
举一反三：
【高清课堂：有理数的加减法
382681
有理数的加法例2】
【变式1】计算：(1)
-7+10;
(2)
(-)+(-7.3);
(3)
1+(-2);
(4)
7+(-3.8)+(-7.2)
【答案】（1）原式=；
（2）原式=；（3）原式=；
（4）原式=
【变式2】计算：
【答案】
【变式3】计算：
．
【答案】解法一：
→同号的数一起先加
．
解法二：
→同分母，互为相反数的数，或几个数可以凑整的数分别结合相加
．
类型二、有理数的减法运算
2．
(1)2-(-3)；
(2)0-(-3.72)-(+2.72)-(-4)；
(3)．
【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．
【答案与解析】本题可直接利用有理数的减法法则进行计算．
(1)2-(-3)＝2+3＝5
(2)原式＝0+3.72+(-2.72)+4＝(0+4)+(3.72-2.72)＝4+1＝5
（3）原式=
【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.
类型三、有理数的加减混合运算
3．计算：（1）-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72；
（2）11-12+13-15+16-18+17；
（3）
（4）
（5）；
（6）
【答案与解析】
（1）观察各个加数，可以发现-3.72与3.72互为相反数，把它们分为一组；
4.18、-2.93与-1.25的和为0，把它们分为一组可使计算简便．
解：-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72
＝(-3.72+3.72)+(4.18-2.93-1.25)-1.23
＝0+0-1.23＝-1.23
（2）把正数和负数分别分为一组．
解：11-12+13-15+16-18+17
＝(11+13+16+17)+(-12-15-18)
＝57+(-45)＝12
（3）仔细观察各个加数，可以发现两个小数的和是-1，两个整数的和是29，三个分数通分后也不难算．故把整数、分数、小数分别分为一组．
解：
（4）3.46和1.54的和为整数,把它们分为一组；-3.87与3.37的和为-0.5，把它们分为一组；与
易于通分，把它们分为一组；与同分母，把它们分为一组．
解：
（5）先把整数分离后再分组．
解：
注：带分数中的整数与分数分离时，如果这个数是负数，那么分离得到的整数与分数都是负数，例如
．
（6）如果按小数、整数分组，效果似乎不是很好．可先将小数和分数统一后再考虑分组．
解：
【总结升华】计算多个有理数相加时，必须先审题，分析特点，寻找规律，然后再去计算．注意在交换加数的位置时，要连同符号一起交换.
举一反三：
【变式】（2014 甘肃模拟）5.6+[0.9+4.4﹣（﹣8.1）]．
【答案】解：原式=5.6+0.9+4.4+8.1=19．
类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用
【高清课堂：有理数的加减法
382681
有理数加减的应用】
4．（2014秋 郑州期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国
古代数学史上经常研究这一神话．
（1）现有1，2，3，4，5，6，7，8，9共九个数字，请将它们分别填入图1的九个方格中，使得第行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都等于15；
（2）通过研究问题（1），利用你发现的规律，将3，5，﹣7，1，7，﹣3，9，﹣5，﹣1
这九个数字分别填入图2的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等．
【答案与解析】
解：（1）15÷3=5，
∴最中间的数是5，其它空格填写如图1；
（2）如图2所示．
【总结升华】本题考查了有理数加法，熟知“九宫图”的填法是解题的关键．
举一反三：
【变式】某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：
197，202，197，203，200，196，201，198．
计算出售的粮食总共多少千克
【答案】法一：以200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这8个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6
200×8+(-6)＝1594(千克)
答：出售的粮食共1594千克．
法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克)
答：出售的粮食共1594千克．
【巩固练习】
一、选择题
1．某市2009年元旦的最高气温为2℃，最低气温为-8℃，那么这天的最高气温比最低气温高(
)．
A．-10℃
B．-6℃
C．6℃
D．10℃
2.（2015 吉林）若等式0□1=﹣1成立，则□内的运算符号为（ ）
A．
+
B．
﹣
C．
×
D．
÷
3．两个有理数相加，和小于其中一个加数而大于另一个加数，需满足
（
）
A．两个数都是正数
B．两个数都是负数
C．一个是正数，另一个是负数
D．至少有一个数是零
4．下列说法中正确的是
A．正数加负数，和为0
B．两个正数相加和为正；两个负数相加和为负
C．两个有理数相加，等于它们的绝对值相加
D．两个数的和为负数，则这两个数一定是负数
5．下列说法正确的是(
)
A．零减去一个数，仍得这个数
B．负数减去负数，结果是负数
C．正数减去负数，结果是正数
D．被减数一定大于差
6．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为(25±0.1)kg，(25±0.2)kg，(25±0.3)kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差
(
)
A．0.8kg
B．0.6kg
C．0.5kg
D．0.4kg
7.
-3+5的相反数是(
)．
A．2
B．-2
C．-8
D．8
二、填空题
8.有理数
c在数轴上对应点位置如图所示，用“＞”或“＜”
（1）｜a｜______｜b｜；（2）a＋b＋c______0：
（3）a－b＋c______0；（4）a＋c______b；
（5）c－b______a．
9.
（2015 上海）计算：|﹣2|+2=________．
10．某月股票M开盘价20元，上午10点跌1.6元，下午收盘时又涨了0.4元，则股票这天的收盘价是_______．
11．列出一个满足下列条件的算式：(1)所有的加数都是负数，和为-5，________；(2)一个加数是0，和是-5________；(3)至少有一个加数是正整数，和是-5，________．
12.
数学活动课上，王老师给同学们出了一道题：规定一种新运算“☆”对于任意两个有理数a和b，有a☆b＝a-b+1，请你根据新运算，计算(2☆3)☆2的值是
.
13.如图所示，数轴上A、B两点所表示的有理数的和是_________．
三、解答题
14.计算题
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
15.
已知：|a|=2,|b|=3，求a+b的值．
16.
．（2014 永嘉县校级模拟）某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售，如果以每套儿童服装55元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣1，0，﹣2．（单位：元）
（1）当他卖完这八套儿童服装后是盈利还是亏损？
（2）盈利（或亏损）了多少钱？
二．有理数的乘除
【学习目标】
1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；
2.
理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；
3.
巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；
4.
培养观察、分析、归纳及运算能力.
【要点梳理】
要点一、有理数的乘法
1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同0相乘，都得0．
要点诠释：
(1)
不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．
（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．
2.
有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；
（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．
要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．
(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．
(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．
3.
有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．
要点诠释：
（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．
（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．
（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．
要点二、有理数的除法
1.倒数的意义：
乘积是1的两个数互为倒数．
要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的；
(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
2.
有理数除法法则：
法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即.
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.
要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．
（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．
（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．
要点三、有理数的乘除混合运算
由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．
要点四、有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．
【典型例题】
类型一、有理数的乘法运算
1．（2015 台湾）算式（﹣1）×（﹣3）×之值为何？（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拨】根据有理数的乘法法则，先确定符号，然后把绝对值相乘即可
【答案】D．
【解析】
解：原式=××=
.
【总结升华】本题考查的是有理数的乘法，掌握乘法法则是解题的关键，计算时，先确定符号，然后把绝对值相乘．
2．
(1)；
(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；
(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．
【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．
(1)；
(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；
(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．
【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时，积为0．
3.运用简便方法计算：
(1)
(2)(-0.25)×0.5×(-100)×4
(3)
【思路点拨】
(1)根据题目特点，可以把折成，再运用乘法分配律进行计算．(2)运用乘法结合律，把第1、4个因式结合在一起．(3)逆用乘法分配律：ab+ac＝a(b+c)．
【答案与解析】
解：(1)
（分配律）
(2)(-0.25)×0.5×(-100)×4
＝（-4×0.25）×[0.5×(-100)]
（交换律）
＝-1×(-50)＝50（结合律）
(3)
（逆用乘法的分配律）
【总结升华】首先要观察几个因数之间的关系和特点．适当运用“凑整法”进行交换和结合．
举一反三：
【变式1】（2014 玄武区一模）计算16.8×+7.6×的结果是 ．
【答案】7．
解：原式=8.4×
=（8.4+7.6）×
=16×
=7．
【高清课堂：有理数乘除
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多个有理数相乘例2】
【变式2】；
【答案】（
类型二、有理数的除法运算
4．计算：(1)(-32)÷(-8)
（2）
【答案与解析】
(1)(-32)÷(-8)＝+(32÷8)=
4
……用法则二进行计算．
(2)
……用法则一进行计算．
【总结升华】(1)乘法、除法的符号法则是一致的，两数相乘除，同号得正，异号得负；(2)除法的两个法则是一致的，应学会灵活选择．
举一反三：
【高清课堂：有理数乘除
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有理数除法（法则）】
【变式】计算：（1）
【答案】原式
类型三：有理数的乘除混合运算
5.计算：
【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算.
【总结升华】在有理数的乘除运算中，可将除法运算转化为乘法运算．乘除运算是同一级运算，应按从左到右的顺序进行．
举一反三：
【变式1】计算：(-9)÷(-4)÷(-2)
【答案】
(-9)÷(-4)÷(-2)＝-9÷4÷2＝
【变式2】计算：(1)
(2)
【答案】
(1)
(2)
类型四、有理数的加减乘除混合运算
6.
计算（1）；
（2）
【答案与解析】（1）
=6-2+9-5=8
（2）法1：原式=
法2：由（1）知：，所以
【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决．
举一反三：
【变式】
【答案】
原式
类型五：利用有理数的加减乘除，解决实际问题
7.气象统计资料表明，高度每增加1000米，气温就降低6℃．如果现在地面的气温是27℃，那么8000米的高空的气温大约是多少
【思路点拨】解决此题的关键是明确高度变化与气温变化的关系．由于“高度每增加1000米，气温就降低6℃”，8000米的高空比地面高度增加8000米，因此气温降低6×8＝48℃，由此便可求出高空的气温．
【答案与解析】
解：(℃)
因此8000米的高空的气温大约是-21℃．
【总结升华】本题是生活实际中的问题，关键是读懂题意，弄清各数量之间的关系，再列出正确的算式．
【巩固练习】
一、选择题
1．（2015 佛山）﹣3的倒数为（ ）
A．﹣
B．
C．
3
D．
﹣3
2.下列命题中，正确的是(
)．
A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0
B．若a·b＞0，则a＜0，b＜0
C．若a·b＝0，则a＝0且b＝0
D．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
3.
下列说法错误的是
（
）
A.一个数与1相乘仍得这个数.
B.互为相反数（除0外）的两个数的商为-1.
C．一个数与-1相乘得这个数的相反数.
D.互为倒数的两个数的商为1.
4.两个数之和为负，商为负，则这两个数应是
(
)
A．同为负数
B．同为正数
C．一正一负且正数的绝对值较大
D．一正一负且负数的绝对值较大
5.计算：的结果是
（
）
A．-8
B．8
C．-2
D．2
6.
在算式中的所在位置，填入下列哪种运算符号，计算出来的值最小（
）．
A．+
B．-
C．×
D．÷
7.
下列计算：①0-(-5)＝-5；②；③；④；⑤若，则x的倒数是6．其中正确的个数是（
）．
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题
8．（2015 镇江二模）（﹣6）×（﹣）= ．
9.若，则
0，
0，
0.
10.
若|a|＝5，b＝-2，且a÷b＞0，则a+b＝________．
11.在-2，3，4，-5这四个数中，任取两个数相乘所得积最大的是
，所得的商最小是
12.如果6个不等于0的数相乘得积为负数，则在这6个乘数中，正的乘数有
个
13.如果，那么
0.
14.
是一个简单的数值运算程序，当输入-1时，则输出的数值____．
三、解答题
15.计算：
(1)(-0.125)×(-18)×(-8)×0×(-1)
(2)
(3)(-6)×45+(-6)×55
（4）
16．（2014秋 朝阳区期末）计算：．
17.已知：a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的倒数等于它本身，则的结果是多少？
18.受金融危机的影响，华盛公司去年1～3月平均每月亏损15万元，4～6月平均每月盈利20万元，7～10月平均每月盈利17万元，11～12月平均每月亏损23万元这个公司决定：若平均每月盈利在3万元以上，则继续做原来的生产项目，否则要改做其他项目．请你帮助该公司进行决策是否要改做其他项目，并说明你的理由．
第四讲
有理数的乘方及混合运算
【学习目标】
1．理解有理数乘方的定义；
2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；
3.
进一步掌握有理数的混合运算.
【要点梳理】
要点一、有理数的乘方
定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．
即有：.在中，叫做底数，
n叫做指数.
要点诠释：
（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．
要点二、乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即
．
要点诠释：
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次幂都是非负数．
要点三、有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点诠释：
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．
(3)在运算过程中注意运算律的运用．
【典型例题】
类型一、有理数乘方
1.
把下列各式写成幂的形式：
(1)；
(2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5；
(3)．
【答案与解析】
(1)；
(2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5＝(-3.7)4×52；
(3)
【总结升华】乘方时，当底数是分数、负数时，应加上括号.
【高清课堂：有理数的乘方及混合运算
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有理数乘方的性质】
2．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
【答案与解析】
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
【总结升华】与不同，，
而表示的n次幂的相反数．
举一反三：
【变式1】计算：(1)(-4)4
(2)23
(3)
(4)(-1.5)2
【答案】
(1)(-4)4=(-4)×(-4)×(-4)×(-4)=256；
(2)23＝2×2×2=8；
(3)
(4)
(-1.5)2=(-1.5)×(-1.5)=2.25
【变式2】（2015 长沙模拟）比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（ ）
A．
它们底数相同，指数也相同
B．
它们底数相同，但指数不相同
C．
它们所表示的意义相同，但运算结果不相同
D．
虽然它们底数不同，但运算结果相同
【答案】D．
解：比较（﹣4）3=（﹣4）×（﹣4）×（﹣4）=﹣64，﹣43=﹣4×4×4=﹣64，
底数不相同，表示的意义不同，但是结果相同.
类型二、乘方的符号法则
3．不做运算，判断下列各运算结果的符号．
(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，，-(-2)2010
【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断，可得：
(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负．
【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．
举一反三：
【变式】计算：(-1)2009的结果是(
)．
A．-l
B．1
C．-2009
D．2009
【答案】A
类型三、有理数的混合运算
【高清课堂：有理数的乘方及混合运算
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典型例题1】
4.计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案与解析】
（1）法一：原式＝；
法二：原式=
（2）原式
(3)
原式=-32-3+66-9=22
(4)
原式
【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提．
举一反三：
【变式1】计算：
【答案】原式
【变式2】计算：
【答案】原式
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典型例题2（2）】
5.
（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
【解析】逆用分配律可得：，所以答案为：C
【总结升华】当几项均为幂的形式，逆用分配律提出共同的因数时，要提指数较小的幂的形式.
举一反三：
【变式】计算：
【答案】
类型四、探索规律
6.
（2014秋 埇桥区校级期中）你见过拉面馆的师傅拉面吗？他们用一根粗的面条，第1次把两头捏在一起抻拉得到两根面条，再把两头捏在一起抻拉，反复数次，就能拉出许多根细面条，如下图，第3次捏合抻拉得到
根面条，第5次捏合抻拉得到
根面条，第次捏合抻拉得到
根面条，要想得到64根细面条，需
次捏合抻拉.
第1次
第2次
第3次
【答案】8;
32;
;
6
【解析】由题意可知，每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的2倍，所以可得到：
第1次：；第2次：；第3次：；…；第次：.
第3次捏合抻拉得到面条根数：，即8根；第5次得到：，即32根；第次捏合抻拉得到；
因为，所以要想得到64根面条，需要6次捏合抻拉.
【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循．
举一反三：
【变式】已知21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，观察上面的规律，试猜想22008的末位数字是________．
【答案】6
【巩固练习】
一、选择题
1．（2015 郴州）计算（﹣3）2的结果是（ ）
A．﹣6
B．
6
C．
﹣9
D．
9
2.下列说法中，正确的是（
）
A．一个数的平方一定大于这个数；
B．一个数的平方一定是正数；
C．一个数的平方一定小于这个数；
D．一个数的平方不可能是负数.
3.下列各组数中，计算结果相等的是
(
)．
A．-23与(-2)3
B．-22与(-2)2
C．与
D．与
4．式子的意义是
（
）
A.
4与5商的立方的相反数
B.4的立方与5的商的相反数
C.4的立方的相反数除5
D.的立方
5．计算(-1)2+(-1)3＝(
)
A．-2
B．-
1
C．0
D．2
6．观察下列等式：71=7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649…由此可判断7100的个位数字是(
)
．
A．7
B．9
C．3
D．1
7．一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的绳子的长度为(
)
．
A．米
B．米
C．米
D．米
二、填空题
8．在(-2)4中，指数是________，底数是________，在-23中，指数是________，底数是________，在中底数是________，指数是________．
9.（2015 湖州）计算：23×（）2= ．
10.
；
；=
；
．
11.
,
12．
，
，
，……，
从而猜想：…….
13.
三、解答题
14.（2014秋 渭城区校级期末）﹣23+（﹣3）2﹣32×（﹣2）2．
15.
已知x的倒数和绝对值都是它本身，y、z是有理数，并且，求的值．
16.
探索规律：观察下面三行数，
2,
-4，
8，
-16，
32，
-64，…
①
-2，
-8，
4，
-20，
28，
-68，…
②
-1，
2，
-4，
8，
-16，
32，…
③
(1)
第①行第10个数是多少？
(2)
第②③行数与第①行数分别有什么关系？
(3)
取每行第10个数，计算这三个数的和.
第五讲
科学记数法与近似数
【学习目标】
1.理解科学记数法的意义，并会用科学记数法表示一个较大的数；
2.了解近似数的概念，能按精确度的要求取近似数，能根据近似数的不同形式确定其精确度；
3.体会近似数在生活中的实际应用.
【要点梳理】
要点一、科学记数法
把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝.
要点诠释：
（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=；
（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.
要点二、近似数及精确度
1.
近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.
要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.
2.
精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.
要点诠释：
（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.
（2）精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米.
【典型例题】
类型一、科学记数法
1.
用科学记数法表示：
(1)；（2）亿；（3）
【答案与解析】
解：（1）把写成时，，它是将原数的小数点向左移动9位得到的，即把原数缩小到，所以；
（2）亿=300
000
000
000，把亿写成时，，的值应比
300
000
000
000的整数位少1，因此
，所以3000亿=；
（3）写成时，“-”照写，其它和正数一样，所以.
【总结升华】带有文字单位的数先变为原数，再写成形式，的确定：n比这个数的整数位数少1.
举一反三：
【变式】（宁波市）据宁波市统计局公布的第六次人口普查数据，本市常住人口760．57万人，其中760．57万人用科学记数法表示为
（
）
A．7．605
7×105人
B．7．605
7×106人
C．7．605
7×107人
D．
0．760
57×107人
【答案】B
2.
把下列用科学记数法表示的数转化成原数.
（1）；
（2）；
（3）千米
【答案与解析】此题是对科学记数法的逆用
解：（1）；
（2）；
（3）千米=千米
【总结升华】将科学记数法表示的数转化为原数，方法简单：是几就将中的小数点向右移动几位.
类型二、近似数及精确度
3.
用四舍五入法，按括号中的要求把下列各数取近似数.
(1)0.0198
(精确到0.001)；
(2)0.34082(精确到千分位)；
(3)64.49
(精确到个位)；
（4）（精确到0.01）；
【答案与解析】精确到哪一位，应观察它的下一位是进还是舍.
解：（1）0.0198≈0.020；
（2）0.34082≈0.341；
（3）64.49≈64；
（4）≈1.67
【总结升华】近似数末位的0不能随便去掉，去掉了就会改变它的精确度.
举一反三：
【变式】用四舍五入法，按括号中的要求把下列各数取近似数
（1）万（精确到千位）；（2）12
341
000（精确到万位）.
【答案】
解：（1）万=或表示为万；
（2）12
341
000=.
4.下列由四舍五入得到的近似数，它们精确到哪一位.
（1）
（2）亿；
（3）
【答案与解析】
解：(1)
精确到百分位；
（2）亿精确到百万位；
（3）精确到千位.
【总结升华】一般的近似数，四舍五入到哪一位就说它精确到哪一位，例：精确到百分位，则百分位就是精确度；若是汉字单位“万、千、百”类近似数，精确度是由其最后一位数所在的数位确定的，但必须先把该数写成单位为“个”位的数再确定其精确度；用形如的数，其精确度看中最后一位数在原数中的数位.
类型三、近似数与精确数
5．测得某同学的身高约是1.66米，那么意味着他身高的精确值x所在范围是___________________．
【答案】
【解析】1.66是由四舍五入得到的数，若通过“入”得到1.66，则最小数应是1.655，若通过“舍”得到1.66，则最大数不存在，但能判断小于1.665，所以.
【总结升华】本类型题目的答案一般形式为：，
“精确度”是用来说明结果与实际数误差大小的，如精确到表示结果与实际数字相差不大于.
举一反三：
【变式】近似数的准确数的取值范围是_________________.
【答案】.
【巩固练习】
一、选择题
1.（浙江省）中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一，所以我们为中国节水，为世界节水．若每人每天浪费水0.32L，那么100万人每天浪费的水，用科学记数法表示为（
）．
A.3.2×107L
B.
3.2×106L
C.
3.2×105L
D.
3.2×104L
2.
“全民行动，共同节约”，我国13亿人口如果都响应国家号召每人每年节约1度电，一年可节约电1
300
000
000度，这个数用科学记数法表示，正确的是(
)．
A
.1.30×109
B.
1.3×109
C.
0.13×1010
D.
1.3×1010
3.已知：a＝1.1×105，b＝1.2×103，c＝5.6×104，d＝5.61×102，将a，b，c，d按从小到大顺序排列正确的是(
)．
A.
a＜b＜c＜d
B.
d＜b＜c＜a
C.
d＜c＜b＜a
D.
a＜c＜b＜d
4.下列说法正确的有(
)．
①近似数1.60和近似数1.6的精确度一样
②近似数6百和600精确度是相同的
③2.46万精确到万位
④317
500精确到千位可以表示为31.8万，也可表示为3.18×105
⑤0.050
2精确到万分位
⑥近似数8.4和0.8的精确度一样
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
5.
精确到百分位，约等于
（
）．
A.
0.39
B.
0.40
C.
0.4
D.
0.400
6.下列各近似数，精确到万位的是
（
）．
A.
3500
B.
4亿5千万
C.
3.5×104
D.
4×104
二、填空题
7.
对于由四舍五入取得的近似数1.30万与1.30×104精确度
（添“相同”或“不同”）.
8.
（1）某校有80个班；（2）光的速度为每秒30万km；（3）一星期有7天；（4）某人身高1.70m.这些数据中，准确数为
，近似数为
.
9.
6008000=
（用科学记数法表示），=
（把用科学记数法表示的数还原）.
10．近似数1.5万精确到
位.
11．近似数3.14×精确到
位.
12．近似数9.80千克精确到
克.
13.
一箱苹果的质量为11.52千克，将其精确到1千克后的近似数是
.
14.
近似数1.30是由数四舍五入得到的，则数的取值范围
.
三、解答题
15.
一箱苹果的质量为10.90千克，请分别按下面的要求取这箱苹果的近似数.
（1）、精确到10千克；
（2）、精确到1千克；
（3）、精确到0.1千克．
16.
下面各数都是由四舍五入法得到的近似数，它们分别精确到哪一位？
（1）、某运动员百米跑了10.30秒；
（2）、我国的国土面积为9.6×106平方千米；
（3）、小明的身高为1.605米.
17.
1光年就是光在1年（按365天算）的时间内传播的距离，光的速度是，以作单位，用科学记数法表示1光年，精确到万亿.
第六讲
整式的概念
【学习目标】
1．掌握单项式系数及次数的概念；
2.
理解多项式的次数及多项式的项、常数项及次数的概念；
3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式；
4.
能准确而熟练地列式子表示一些数量关系．
【要点梳理】
要点一、单项式
1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
要点诠释：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．
（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
要点诠释：（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；
（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；
（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成．
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：
（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；
（2）不能将数字的指数一同计算．
要点二、多项式
1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．
要点诠释：“几个”是指两个或两个以上．
2.
多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
要点诠释：（1）多项式的每一项包括它前面的符号．
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．
3.
多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
要点诠释：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．
（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．
要点三、
整式
单项式与多项式统称为整式．
要点诠释：（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．
即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．
【典型例题】
类型一、整式概念辨析
1．指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
，，，10，，，，，，
【答案与解析】单项式有：，10，，；
多项式有：，，，；
整式有：，，，10，，，，．
【总结升华】不是整式，因为分母中含有字母；
也不是多项式，因为不是单项式．
举一反三：
【高清课堂：整式的概念
例1】
【变式】下列代数式：，其中是单项式的是_______________，是多项式的是_______________.
【答案】①②③，④⑥
类型二、单项式
2．指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．
，，，，，a-3，，，
【答案与解析】，，，，，，是单项式，其中
的系数是，次数是3；的系数是-1，次数是1；的系数是，次数是4；
的系数是，次数是4；为非零常数，只有数字因式，系数是它本身，次数为0；
的系数仍按科学记数法表示为-3×108，次数是3；
只含有字母因数，系数是l，次数为字母指数之和为3．
【总结升华】（1）要区分数字因数、字母因数；（2）不能见了指数就相加，如中，的指数4不能相加，次数为4；（3）有分数线的，分子、分母的数字都是系数；（4）是常数，不能看作字母．
举一反三：
【变式1】单项式3x2y3的系数是 ．
【答案】3．
【变式2】下列结论正确的是(
)．
A．没有加减运算的代数式叫做单项式．
B．单项式的系数是3，次数是2．
C．单项式m既没有系数，也没有次数．
D．单项式的系数是-1，次数是4．
【答案】D
类型三、多项式
3.多项式，这个多项式的最高次项是什么？一次项的系数是什么？常数项是什么？这是几次几项式
【答案与解析】这个多项式中共有四项，分别为：，它们的次数分别为：3,6,1,0；
其中的次数是6，是最高次项，一次项的系数是-1，常数项是1，它是六次四项式．
【总结升华】确定多项式的次数时，分两步：（1）先求多项式中每一项的次数；（2）取这些次数中的最大的数即为多项式的次数．
4.
已知多项式．
(1)求多项式各项的系数和次数．
(2)如果多项式是七次五项式，求m的值．
【答案与解析】(1)依题意知此多项式是五项式，第一项的系数是-6，次数是3；第二项的系数是-7，次数是3m+1；第三项的系数是，次数是4；第四项系数是-l，次数3；第五项-5系数是-5，次数是0．
(2)由多项式是七次五项式，可得的次数是7，即3m-1+2＝7，解得m＝2．
【总结升华】对于单项式的次数为3m+1的认识会不太习惯，通过适量的练习，会对用字母表示多项式的次数或系数有较深地认识．
举一反三：
【高清课堂：整式的概念
------练习题---3】
【变式】多项式是关于的二次三项式，求a与b的差的相反数．
【答案】
类型四、整式的应用
5.
用整式填空：
(1)某商场将一种商品A按标价的9折出售(即优惠10%)仍可获利10%，若商场商品A的标价为a元，那么该商品的进价为________元(列出式子即可，不用化简)．
(2)甲商品的进价为1400元，若标价为a元，按标价的9折出售；乙商品的进价是400元，若标价为b元，按标价的8折出售，列式表示两种商品的利润率分别为甲：________
乙：________．
【答案】(1)；(2)甲商品的利润率为×100%，
乙商品的利润率为：
×100%．
【解析】本例属于实际生活问题，应分清“进价”、“标价”、“利润”、“利润率”、“打折”等问题，打几折就是标价的十分之几．
【总结升华】解答本例需弄清以下两个数量关系：(1)利润＝售价－进价;
(2)利润率＝．
举一反三：
【变式】（2014秋 栖霞市期末）对下列代数式作出解释，其中不正确的是（
）
A.
a﹣b：今年小明b岁，小明的爸爸a岁，小明比他爸爸小（a﹣b）岁
B.
a﹣b：今年小明b岁，小明的爸爸a岁，则小明出生时，他爸爸为（a﹣b）岁
C.
ab：长方形的长为acm，宽为bcm，长方形的面积为abcm2
D.
ab：三角形的一边长为acm，这边上的高为bcm，此三角形的面积为abcm2
【答案】D.
6.
（2015 重庆）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ）
A.
21
B.
24
C.27
D.
30
【答案】
B
【解析】观察图形得：
第1个图形有3+3×1=6个圆圈，
第2个图形有3+3×2=9个圆圈，
第3个图形有3+3×3=12个圆圈，
…
第n个图形有3+3n=3（n+1）个圆圈，
当n=7时，3×（7+1）=24，
故选B．
【总结升华】找规律问题一般应经历四个阶级“特例引路”、“对比分析”、“总结规律”、“反思检验”等．
【巩固练习】
一、选择题
1．（2014秋 章丘市校级期末）下面的说法正确的是（ ）
A.
﹣2不是代数式
B.
﹣a表示负数
C.
的系数是3
D.
x+1是代数式
2．已知单项式，下列说法正确的是(
)．
A．系数是-4，次数是3
B．系数是，次数是3
C．系数是，次数是3
D．系数是，次数是2
3．如果一个多项式的次数是3，那么这个多项式的任何一项的次数(
)．
A．都小于3
B．都等于3
C．都不小于3
D．都不大于3
4．下列式子：a+2b，，，，0中，整式的个数是(
)．
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
5.．关于单项式，下列结论正确的是(
)．
A．系数是-2，次数是4
B．系数是-2，次数是5
C．系数是-2，次数是8
D．系数是-23，次数是5
6．一组按规律排列的多项式：，，，，…，其中第10个式子是(
)．
A．
B．
C．
D．
二、填空题
7．代数式，，，，0，中是单项式的是________，是多项式的是________．
8.关于的多项式的次数是2，那么．
9．多项式2x2-3x+5是_
次______项式．
10．（2015 长春模拟）今年五．一假期，张老师一家四口开着一辆轿车去长春市净月潭森林公园度假．若门票每人a元，进入园区的轿车每辆收费20元，则张老师一家开车进入净月潭森林公园园区所需费用是
元（用含a的代数式表示）．
11．有一组单项式：，，，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个单项式：________．
12．关于x的二次三项式的一次项的系数为5，二次项的系数为-3，常数项为-4，按照x的次数逐渐降低排列，这个二次三项式为________．
13．某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒……按此规律，请你推测第n组应该取种子数是________粒．
14.
如图所示，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n，…，请你探究出前n行的点数和所满足的规律．若前n行点数和为930，则n＝________．
三、解答题
15．（2015 宜宾）如图，以点O为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、…、20，阴影部分是由第1个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，…，第19个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为多少？
16．已知单项式的次数与多项式的次数相同，求的值．
17．某电影院有20排座位，已知第一排有18个座位，后面一排都比前一排多2个座位，试用代数式表示出第n排的座位数，并求第19排的座位数．
18．已知多项式，
(1)请你按照上述规律写出该多项式的第5项，并指出它的系数和次数；
(2)这个多项式是几次几项式
第七讲
整式的加减（一）——合并同类项
【学习目标】
1．掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；
2.
掌握同类项的有关应用；
3.
体会整体思想即换元的思想的应用．
【要点梳理】
要点一、同类项
定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．
要点诠释：
(1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．
(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．
(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．
要点二、合并同类项
1.
概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．
要点诠释：合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意：
(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有．
(2)
合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算.
【典型例题】
类型一、同类项的概念
1．指出下列各题中的两项是不是同类项，不是同类项的说明理由．
（1）与；
（2）与；
（3）与；
（4）与
【答案与解析】本题应用同类项的概念与识别进行判断：
解：（1）（4）是同类项；（2）不是同类项，因为与所含字母的指数不相等；
（3）不是同类项，因为与所含字母不相同．
【总结升华】辨别同类项要把准“两相同，两无关”，“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同.
“两无关”是指：①与系数及系数的指数无关；②与字母的排列顺序无关．
举一反三：
【变式】下列每组数中，是同类项的是(
)
．
①2x2y3与x3y2
②-x2yz与-x2y
③10mn与
④(-a)5与(-3)5
⑤-3x2y与0.5yx2
⑥-125与
A．①②③
B．①③④⑥
C．③⑤⑥
D．只有⑥
【答案】C
2．（2014 咸阳模拟）已知﹣4xyn+1与是同类项，求2m+n的值．
【答案与解析】
解：由题意得：m=1，n+1=4，
解得：m=1，n=3．
∴2m+n=5．
【总结升华】考查了同类项定义．同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同，相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．
举一反三：
【高清课堂：整式加减（一）合并同类项
例1】
【变式】已知
和
是同类项，试求
的值．
【答案】
类型二、合并同类项
3．合并下列各式中的同类项：
(1)-2x2-8y2+4y2-5x2-5x+5x-6xy
(2)3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5
【答案与解析】
解：
(1)-2x2-8y2+4y2-5x2-5x+5x-6xy
＝(-2-5)x2+(-8+4)y2+(-5+5)x-6xy＝-7x2-4y2-6xy
(2)3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5
＝(3+5)x2y+(-4+2)xy2+(-3+5)＝8x2y-2xy2+2
【总结升华】(1)所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并；(2)在进行合并同类项时，可按照如下步骤进行：第一步：准确地找出多项式中的同类项(开始阶段可以用不同的符号标注),没有同类项的项每一步保留该项；第二步：利用乘法分配律的逆运用，把同类项的系数相加，结果用括号括起来，字母和字母的指数保持不变；第三步：写出合并后的结果．
举一反三：
【变式】（2015 玉林）下列运算中，正确的是（ ）
A.
3a+2b=5ab
B.
2a3+3a2=5a5
C.
3a2b﹣3ba2=0
D.
5a2﹣4a2=1
【答案】C
解：3a和2b不是同类项，不能合并，A错误；
2a3+和3a2不是同类项，不能合并，B错误；
3a2b﹣3ba2=0，C正确；
5a2﹣4a2=a2，D错误，
故选：C．
4．已知，求m+n-p的值．
【思路点拨】两个单项式的和一般情形下为多项式．而条件给出的结果中仍是单项式，这就意味着与是同类项．因此，可以利用同类项的定义解题．
【答案与解析】
解：依题意，得3+m＝4，n+1＝5，2-p＝-7
解这三个方程得：m＝1，n＝4，p＝9，
∴
m+n-p＝1+4-9＝-4．
【总结升华】要善于利用题目中的隐含条件．
举一反三：
【变式】若与的和是单项式，则
，
．
【答案】4，2
．
类型三、化简求值
5.
当时，分别求出下列各式的值．
（1）；
（2）
【答案与解析】（1）把当作一个整体，先化简再求值：
解：
又
所以，原式=
（2）先合并同类项，再代入求值．
解：
当p＝2，q＝1时，原式=．
【总结升华】此类先化简后求值的题通常的步骤为：先合并同类项，再代入数值求出整式的值．
举一反三：
【变式】先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中，．
【答案】
解:
(1)原式，
当时，原式＝．
(2)原式，
当，时，原式＝．
类型四、“无关”与“不含”型问题
6.李华老师给学生出了一道题：当x＝0.16，y＝-0.2时，求6x3-2x3y-4x3+2x3y-2x3+15的值．题目出完后，小明说：“老师给的条件x＝0.16，y＝-0.2是多余的”．王光说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”你认为他们谁说的有道理 为什么
【思路点拨】要判断谁说的有道理，可以先合并同类项，如果最后的结果是个常数，则小明说得有道理，否则，王光说得有道理．
【答案与解析】
解：
＝(6-4-2)x3+(-2+2)x3y+15
＝15
通过合并可知，合并后的结果为常数，与x、y的值无关，所以小明说得有道理．
【总结升华】本题在化简时主要用的是合并同类项的方法，在合并同类项时，要明白：同类项的概念是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项不是同类项的一定不能合并．
【巩固练习】
一、选择题
1．判断下列各组是同类项的有
(
)
．
(1)0.2x2y和0.2xy2；(2)4abc和4ac；(3)-130和15；(4)-5m3n2和4n2m3
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
2．下列运算正确的是(
)．
A．2x2+3x
2＝5x4
B．2x2-3x2＝-x2
C．6a3+4a4＝10a7
D．8ab2-8ba2＝0
3．（2015 柳州）在下列单项式中，与2xy是同类项的是（ ）
A．2x2y2
B．3y
C．xy
D．4x
4．在下列各组单项式中，不是同类项的是(
)．
A．和
B．-3和100
C．和
D．和
5．如果xy≠0，，那么a的值为(
)．
A．0
B．3
C．-3
D．
6.
买一个足球需要元，买一个篮球需要元，则买4个足球、7个篮球共需要（
）元．
A．
B．
C．
D．
7.计算a2+3a2的结果是（ ）．
A．3a2
B．4a2
C．3a4
D．4a4
二、填空题
8．写出的一个同类项
．
9.
已知多项式合并后的结果为零，则的关系为：
．
10．若与是同类项，则．
11.
合并同类项，得
．
12.在中没有同类项的项是
．
13.；．
14（2015 遵义）如果单项式﹣xyb+1与xa﹣2y3是同类项，那么（a﹣b）2015= ．
三、解答题
15.
（2014秋 嘉禾县校级期末）若单项式a3bn+1和2a2m﹣1b3是同类项，求3m+n的值．
16.化简下列各式：
（1）
（2）
（3）
（4）
17.
已知关于x，y的代数式中不含xy项，求k的值.
第八讲
整式的加减（二）—去括号与添括号
【学习目标】
1．掌握去括号与添括号法则，充分注意变号法则的应用；
2.
会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的化简及求值．
【要点梳理】
要点一、去括号法则
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
要点诠释：
(1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．
（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．
(3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．
（4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．
要点二、添括号法则
添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；
添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．
要点诠释：
(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．
(2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误：
如：，
要点三、整式的加减运算法则
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
要点诠释：
（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．
（2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来．
(3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．
【典型例题】
类型一、去括号
1．去括号：(1)d-2(3a-2b+3c)；(2)-(-xy-1)+(-x+y)．
【答案与解析】(1)d-2(3a-2b+3c)＝d-(6a-4b+6c)＝d-6a+4b-6c；
(2)-(-xy-1)+(-x+y)＝xy+1-x+y．
【总结升华】去括号时．若括号前有数字因数，应先把它与括号内各项相乘，再去括号．
举一反三
【变式1】去掉下列各式中的括号：
(1).
8m-(3n+5)；
(2).
n-4(3-2m)；(3).
2(a-2b)-3(2m-n).
【答案】(1).
8m-(3n+5)＝8m-3n-5.
(2).
n-4(3-2m)＝n-(12-8m)＝n-12+8m.
(3).
2(a-2b)-3(2m-n)＝2a-4b-(6m-3n)＝2a-4b-6m+3n.
【变式2】（2015 济宁）化简﹣16（x﹣0.5）的结果是（ ）
A．
﹣16x﹣0.5
B．
﹣16x+0.5
C．
16x﹣8
D．
﹣16x+8
【答案】D
类型二、添括号
2．在各式的括号中填上适当的项，使等式成立．
(1).
；
(2).
．
【答案】（1）.
，，，.
（2）.
，，，.
【解析】(1)
；
(2)
．
【总结升华】在括号里填上适当的项，要特别注意括号前面的符号，考虑是否要变号．
【高清课堂：整式的加减（二）--去括号与添括号
388394添括号练习】举一反三
【变式】
．
【答案】；；；.
类型三、整式的加减
3．（2014秋 上杭县校级月考）下面是小芳做的一道多项式的加减运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面．（﹣x2+3xy﹣y2）﹣（﹣x2+4xy﹣y2）=﹣x2+y2，阴影部分即为被墨迹弄污的部分．那么被墨汁遮住的一项应是 ．
【答案】﹣xy．
【解析】
解：根据题意得：﹣x2+3xy﹣y2+x2﹣4xy+y2+x2﹣y2=﹣xy，
【总结升华】整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．
类型四、化简求值
4.
先化简，再求各式的值：
【答案与解析】原式=,
当时，原式=.
【总结升华】化简求值题一般采用“一化二代三计算”，此类题的书写格式一般为：当……时，原式=？
举一反三
【变式1】先化简再求值：(-x2+5x+4)+(5x-4+2x2)，其中x＝-2．
【答案】
(-x2+5x+4)+(5x-4+2x2)＝-x2+5x+4+5x-4+2x2＝x2+10x.
当x＝-2，原式=(-2)2+10×(-2)＝-16．
【变式2】先化简，再求值：，其中化为相反数.
【答案】
因为互为相反数，所以
所以
5.
已知，，求整式的值．
【答案与解析】由，很难求出，的值，可以先把整式化简，然后把，分别作为一个整体代入求出整式的值．
原式
．
把，代入得，原式．
【总结升华】求整式的值，一般先化简后求值，但当题目中含未知数的部分可以看成一个整体时，要用整体代入法，即把“整体”当成一个新的字母，求关于这个新的字母的代数式的值，这样会使运算更简便．
举一反三
【变式】已知代数式的值为8，求的值．
【答案】∵
，∴
．
当时，原式＝．
6.
如果关于x的多项式的值与x无关．你知道a应该取什么值吗？试试看．
【答案与解析】所谓多项式的值与字母x无关，就是合并同类项，结果不含有“x”的项，所以合并同类项后，让含x的项的系数为0即可．注意这里的a是一个确定的数．
(8x2+6ax+14)-(8x2+6x+5)
＝8x2+6ax+14-8x2-6x-5
＝6ax-6x+9
＝(6a-6)x+9
由于多项式(8x2+6ax+14)-(8x2+6x+5)的值与x无关，可知x的系数6a-6＝0．
解得a＝1．
【总结升华】本例解题的题眼是多项式的值与字母x无关．“无关”意味着合并同类项后，其结果不含“x”的项．
【巩固练习】
一、选择题
1.（2015 江西模拟）计算：a﹣2（1﹣3a）的结果为（ ）
A．
7a﹣2
B．
﹣2﹣5a
C．
4a﹣2
D．
2a﹣2
2.下列各式中，去括号正确的是（
）
A．x＋2(y－1)＝x＋2y－1
B．x－2(y－1)＝x＋2y＋2
C．x－2(y－1)＝x－2y－2
D．x－2(y－1)＝x－2y＋2
3．计算-(a-b)+(2a+b)的最后结果为(
)．
A．a
B．a+b
C．a+2b
D．以上都不对
4.
(2010·山西)已知一个多项式与3x2+9x的和等于3x2+4x-1，则这个多项式是(
)
．
A．-5x-1
B．5x+1
C．-13x-1
D．13x+1
5．代数式的值(
)．
A．与x，y都无关
B．只与x有关
C．只与y有关
D．与x、y都有关
6．如图所示，阴影部分的面积是(
)．
A．
B．
C．6xy
D．3xy
二、填空题
7．添括号：
（1）.．
（2）.．
8.（2015 镇江一模）化简：5（x﹣2y）﹣4（x﹣2y）=________.
9．若则的值是________．
10．m＝-1时，-2m2-[-4m+(-m)2]＝________．
11．已知a＝-(-2)2，b＝-(-3)3，c＝-(-42)，则-[a-(b-c)]的值是________．
12．如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n(n是正整数)个图案中由________个基础图形组成．
三、解答题
13.
化简
(1).
（2015 宝应县校级模拟）2（3x2﹣2xy）﹣4（2x2﹣xy﹣1）
(2).
(3).
(4).
(5).
(6).
14.化简求值：
（1）.
已知：，求的值.
（2）.
,其中a
=
1,
b
=
3,
c
=
1.
（3）.
已知的值是6，求代数式
的值．
15.
有一道题目：当a=2,b=-2时，求多项式:3a3b3-2a2b+b-(4a3b3-a2b-b2)+(a3b3+a2b)-2b2+3的值.甲同学做题时把a=2错抄成a=-2，乙同学没抄错题，但他们做出的结果恰好一样。你能说明这是为什么吗？
第九讲
方程的意义
【学习目标】
1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；
2.
正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；
3.
理解并掌握等式的两个基本性质.
【要点梳理】
要点一、方程的有关概念
1．定义：含有未知数的等式叫做方程.
要点诠释：
判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．
2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
要点诠释：
判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；
②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．
3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.
4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.
要点二、一元一次方程的有关概念
定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
要点诠释：
“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．
要点三、等式的性质
1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.
2．等式的性质：
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：
如果，那么
(c为一个数或一个式子)
.
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：
如果，那么；如果，那么.
要点诠释：
（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；
(2)
等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，
如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立;
(3)
等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．
【典型例题】
类型一、方程的概念
1．下列各式哪些是方程？
①3x-2＝7；
②4+8＝12；
③3x-6；
④2m-3n＝0；
⑤3x2-2x-1＝0；