专题10.2
双曲线
【三年高考】
1.
【2017高考江苏】在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点，，其焦点是，则四边形的面积是
▲
．
2.
【2016高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，双曲线的焦距是
▲
.
【答案】
【解析】
试题分析：．故答案应填：
【考点】双曲线性质
【名师点睛】本题重点考查双曲线几何性质，而双曲线的几何性质与双曲线的标准方程息息相关，明确双曲线标准方程中各个量的对应关系是解题的关键，揭示焦点在x轴，实轴长为，虚轴长为，焦距为，渐近线方程为，离心率为．
2．【2012江苏，理8】在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为__________．
【答案】2
【解析】根据双曲线方程的结构形式可知，此双曲线的焦点在x轴上，且a2＝m，b2＝m2＋4，故c2＝m2＋m＋4，于是，解得m＝2，经检验符合题意．
4.【2017课标II，理9】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（
）
A．2
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【考点】
双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式
【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)。
5.
【2017天津，理5】已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
（A）
（B）（C）（D）
【答案】
【考点】
双曲线的标准方程
【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于的方程，解方程组求出，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为，（2）与共渐近线的双曲线可设为，（3）等轴双曲线可设为等，均为待定系数法求标准方程.
6.【2017北京，理9】若双曲线的离心率为，则实数m=_________.
【答案】2
【解析】
试题分析：
，所以
，解得
.
【考点】双曲线的方程和几何性质
【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意、、的关系，否则很容易出现错误．以及当焦点在轴时，哪些量表示
，根据离心率的公式计算.
7.【2017课标1，理】已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.
【答案】
【解析】试题分析：
【考点】双曲线的简单性质.
【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是；③双曲线的顶点到渐近线的距离是.
8.
【2017课标3，理5】已知双曲线C：
(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
试题分析：双曲线C：
(a＞0,b＞0)的渐近线方程为
，
椭圆中：
，椭圆，即双曲线的焦点为
，
据此可得双曲线中的方程组：
，解得：
，
则双曲线
的方程为
.
故选B.
【考点】
双曲线与椭圆共焦点问题；待定系数法求双曲线的方程.
【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.
10.【2017山东，理14】在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为
.
【答案】
【考点】1.双曲线的几何性质.2.抛物线的定义及其几何性质.
【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.
2.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．
10．【2016高考新课标1卷改编】已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：表示双曲线,则
∴,由双曲线性质知：,其中是半焦距
∴焦距,解得,∴．
考点：双曲线的性质
【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c不是c,这一点易出错.
11．【2016高考新课标2理数改编】已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：因为垂直于轴，所以，因为，即，化简得，故双曲线离心率.
考点：双曲线的性质.离心率.
【名师点睛】区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.双曲线的离心率e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0，1)．
12．【2016高考天津理数】已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的
圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：根据对称性，不妨设A在第一象限，，∴，
∴，故双曲线的方程为．
考点：双曲线渐近线
【名师点睛】求双曲线的标准方程关注点：
(1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．
(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．
①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)．
②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．
13．【2016高考山东理数】已知双曲线E：
（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.
【答案】2
【解析】
试题分析：假设点A在第一象限，点B在第二象限，则，，所以，，由，得离心率或（舍去），所以E的离心率为2.
考点：双曲线的几何性质
【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.本题解答，利用特殊化思想，通过对特殊情况的讨论，转化得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好的考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及基本运算能力等.
14.【2016年高考北京理数】双曲线（，）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则_______________.
【答案】2
考点：双曲线的性质
【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.
15．【2015高考福建，理3】若双曲线
的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则
等于_______________.
【答案】9
【解析】由双曲线定义得，即，解得．
16.【2015高考广东，理7】已知双曲线：的离心率，且其右焦点，则双曲线的方程为___________.
【答案】
【解析】因为所求双曲线的右焦点为且离心率为，所以，，所以所求双曲线方程为．
【2018年高考命题预测】
纵观2017各地高考试题，可以看出，对双曲线的考查以选择、填空为主，主要侧重以下几点：(1)双曲线定义的应用；（2）求双曲线的标准方程．(3)以双曲线的方程为载体，研究与参数a，b，c，e及渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是考查的重点和热点，高考题中以选择、填空题为主，分值为5分，难度为容易题和中档题，个别省份以解答题形式考查双曲线的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，分值为12分左右，难度较大．2018年高考仍会延续这种情形，以双曲线的方程与性质为主．备考时应熟练掌握双曲线的定义、求双曲线标准方程的方法，能灵活运用双曲线定义及几何性质确定基本元素.另外，要深入理解参数的关系、渐近线及其几何意义，应注意与向量、直线、圆等知识的综合.
【2018年高考考点定位】
高考对双曲线的考查有两种主要形式：一是考双曲线的定义与标准方程；二是考查双曲线的几何性质；三是考查直线与双曲线的简单位置关系，从涉及的知识上讲，常平面几何、平面向量、方程数学、不等式等知识相联系，字母运算能力和逻辑推理能力是考查是的重点.
【考点1】双曲线的定义与标准方程
【备考知识梳理】
1.双曲线的定义：把平面内与两定点的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：().
注意：（1）当时，轨迹是直线去掉线段.(2)当时，轨迹不存在.
2.双曲线的标准方程：（1）
焦点在轴上的双曲线的标准方程为；焦点在y轴上的双曲线的标准方程为.给定椭圆，要根据的正负判定焦点在哪个坐标轴上，焦点在分母为正的那个坐标轴上.
(2)双曲线中关系为：.
【规律方法技巧】
1.利用双曲线的定义可以将双曲线上一点到两焦点的距离进行转化，对双曲线上一点与其两焦点构成的三角形问题，常用双曲线的定义与正余弦定理去处理.
2.求双曲线的标准方程方法
(1)定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到两定点的距离之差（或距离之差的绝对值）为常数（常数小于两点之间的距离），符合双曲线的定义，该曲线是以这两定点为焦点，定值为实轴长的双曲线，从而求出双曲线方程中的参数，写出双曲线的标准方程，注意是距离之差的绝对值是双曲线的两只，是距离之差是双曲线的一只，要注意是哪一只.
(2)待定系数法，用待定系数法求双曲线标准方程，一般分三步完成，①定性-确定它是双曲线；②定位-判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；③定量-建立关于基本量的关系式，解出参数即可求出双曲线的标准方程.
3.若双曲线的焦点位置不定，应分焦点在x轴上和焦点在y轴上，也可设双曲线的方程为，其中异号且都不为0，可避免分类讨论和繁琐的计算.
4.若已知双曲线的渐近线方程为，则可设双曲线的标准方程为（）可避免分类讨论.
【考点针对训练】
1.以抛物线y2＝4x的焦点为焦点，以直线y＝±x为渐近线的双曲线标准方程为________．
【答案】－＝1．
【解析】由题意设双曲线的标准方程为，y2＝4x的焦点为，则双曲线的焦点为；y＝±x为双曲线的渐近线，则，又因，所以，故双曲线标准方程为－＝1．
2.已知双曲线的左、右焦点分别为，为的右支上一点，且，则的面积等于___________．
【答案】48
【解析】由题意得，所以，根据双曲线的定义得，是等腰三角形，边上的高为，所以的面积等于．
【考点2】双曲线的几何性质
【备考知识梳理】
1.双曲线的几何性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
焦点
(±c,0)
(0，±c)
焦距
|F1F2|＝2c(c2＝a2+b2)
范围
|x|≥a；y∈R
x∈R；|y|≥a
顶点
实轴顶点(±a,0)，虚轴顶点(0，±b)
实轴顶点(0，±a)，虚轴顶点(±b,0)
对称性
曲线关于x轴、y轴、原点对称
曲线关于x轴、y轴、原点对称
离心率
e＝∈(1，+)，其中c＝
渐近线
2.等轴双曲线：
实轴与虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，，其标准方程为，离心率为，渐近线为.
【规律方法技巧】
1.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图像进行分析，围绕双曲线中的“六点”（两个顶点、两个焦点、虚轴的两个端点），“四线”（两条对称轴，两条渐近线），“两形”（中心、焦点、虚轴端点构成的特征三角形，双曲线上一点与两个交点构成的三角形），研究它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
2.双曲线取值范围实质实质是双曲线上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用.
3.求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出的等式或不等式，结合化出关于的式子，再利用，化成关于的等式或不等式，从而解出的值或范围.离心率与的关系为：=.
4.双曲线的渐近线方程为，可变形为，即，所以双曲线的渐近线方程可以看作把其标准方程中的1换为0得来的.
4.椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为，是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值.
5.
双曲线上一点到双曲线一个焦点的距离的取值范围为[).
【考点针对训练】
1.双曲线的离心率为
▲
．
【答案】
【解析】由题意得
2.双曲线的焦点到渐近线的距离为
.
【答案】4
【解析】焦点，渐近线，即，则．
【考点3】直线与双曲线的位置关系
【备考知识梳理】
设双曲线的方程为，直线，将直线方程与双曲线方程联立，消去y得到关于x的方程.
若≠0，当△＞0时，直线与双曲线有两个交点.当△=0时，直线与双曲线有且只有一个公共点，此时直线与双曲线相切.
当△＜0时，直线与双曲线无公共点.
（2）当=0时，直线与双曲线只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行.
【规律方法技巧】
1.
直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础．
2．直线y＝kx＋b(k≠0)与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝
|x1－x2|＝
·＝·|y1－y2|＝·.
3．对中点弦问题常用点差法和参数法.
【考点针对训练】
1.如图，双曲线的中心在坐标原点，分别是双曲线虚轴的上、下顶点，是双曲线的左顶点，为双曲线的左焦点，直线与相交于点．若双曲线的离心率为2，则的余弦值是
_____________.
【答案】
【解析】可设双曲线方程为，即得，，，，所以直线方程为，直线方程为，又，把和的直线方程联立解得，又，所以，即，所以有，，则，，，又
2.如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、．若为等边三角形，则双曲线的离心率为_________________.
【答案】
【解析】根据双曲线的定义，可得，∵是等边三角形，即，
∴，即，又∵，∴，
∵中，，，，∴，即，
解之得：，由此可得双曲线的离心率为．
【两年模拟详解析】
1.
【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为
▲
.
【答案】
【解析】双曲线渐近线方程为，所以
2.【镇江市2017届高三年级第一次模拟】双曲线的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为
．
【答案】
【解析】由题意得
3.
【2017年第三次全国大联考江苏卷】直线过双曲线一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为_____________．
【答案】
【解析】由题意得，，所以双曲线方程为．
4.【2017年第一次全国大联考江苏卷】在平面直角坐标系中，与双曲线有相同渐近线，且位于轴上的焦点到渐近线距离为的双曲线的标准方程为____________．
【答案】
【解析】与双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程可设为，因为双曲线焦点在轴上，故又焦点到渐近线距离为，所以，所求方程为.
5.
【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为
.
【答案】
6.
【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】经过双曲线的左焦点与圆相切的直线，交双曲线的两条渐近线于两点，若，则双曲线的离心率为
．
【答案】或
【解析】由题意不妨设圆的切线过焦点，借助图形可得其斜率，方程为与渐近线联立可解得交点横坐标为；方程为与渐近线联立可解得交点横坐标为，所以，则由题设，即也即，所以，即，解之得或，所以或，故答案为：或．
7.
【泰州市2016届高三第一次模拟考试】在平面直角坐标系中，双曲线的实轴长为
．
【答案】
【解析】由双曲线方程得，，则实轴长为
8．【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px(p＞0)
的焦点为F，双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于A，B两点(A，B异于坐标原点O)．若直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是 .
【答案】
【解析】由题意得：一条渐近线过点，因此斜率为，双曲线的渐近线方程是．
9.【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】设F是双曲线的一个焦点，点P在双曲线上，且线段PF的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为
．
【答案】
【解析】不妨设，则点，从而有
10．【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】若双曲线过点，则该双曲线的虚轴长为
▲
．
【答案】
【解析】由题意得，因此双曲线的虚轴长为
11．【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】以双曲线的右焦点为圆心，为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为
▲
.
【答案】
【解析】由题意得
12.
中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆：都相切,则双曲线C的离心率是_______________.
【答案】或2
13.已知F2，F1是双曲线的上，下两个焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为______.
【答案】2
【解析】设点F2关于渐近线的对称点为，由已知得，解得，又以F1为圆心，|OF1|为半径的圆的方程为，把点M的坐标代入上式得，又，所以，解得.
14.设分别是双曲线的左、右焦点，是的右支上的点，射线平分,过原点作的平行线交于点,若,则的离心率为____________.
【答案】
【解析】设交轴于点，，则，,由于,得,即,则，所以，
又是的角平分线，则有，代入整理得，所以的离心率为.
【一年原创真预测】
1.
若双曲线的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为，直线恰好经过点，则双曲线方程为
.
【答案】．
【解析】设，圆的圆心为，则是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，以为直径的圆的方程为，即，两圆方程相减，即得的方程为，则直线与坐标轴的交点为.又因为焦点在轴上，则，，所以双曲线方程为.
【入选理由】本题考查求双曲线的方程，圆的方程，圆的公共弦，以及平面几何等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，而此题巧妙地利用了平面几何知识，避免了烦琐的运算，故选此题.
2.已知双曲线一条渐近线的倾斜角的取值范围，则该双曲线的离心率的取值范围是________________.
【答案】
【解析】因为一条渐近线的倾斜角的取值范围，所以所以离心率取值范围为.
【入选理由】本题主要考查了双曲线的几何性质等基础知识，意在考查分析问题，解决问题的能力，基本运算能力，推理能力，及转化思想．，是高考常考题型，
故选此题.
3.
点为双曲线的右焦点，点为双曲线左支上一点，线段与圆相切于点，且，则双曲线的离心率等于__________.
【答案】
【入选理由】本题考查双曲线方程、圆的方程、双曲线的简单几何性质、切线等基础知识，意在考查数形结合思想和综合分析问题解决问题的能力，试题形式新颖，故选此题.
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-专题1.1
集合
【三年高考】
1．【2017高考江苏1】已知集合
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，若
( http: / / www.21cnjy.com )，则实数
( http: / / www.21cnjy.com )的值为
▲
．
【答案】1
【解析】由题意
( http: / / www.21cnjy.com )，显然
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )，此时
( http: / / www.21cnjy.com )，满足题意，故答案为1．
【考点】集合的运算、元素的互异性
【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．
（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．
（3）防范空集．在解决有关
( http: / / www.21cnjy.com )等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑
( http: / / www.21cnjy.com )时是否成立，以防漏解．
2．【2016高考江苏1】已知集合
( http: / / www.21cnjy.com )则
( http: / / www.21cnjy.com )
.
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】
试题分析：
( http: / / www.21cnjy.com )．故答案应填：
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】集合运算
【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易
( http: / / www.21cnjy.com )出错的地方是审错题意，属于基本题，难度不大.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心而出错，二是明确江苏高考对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解.
2．【2015高考江苏1】已知集合
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，则集合
( http: / / www.21cnjy.com )中元素的个数为_______.
【答案】5
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com ),，则集合
( http: / / www.21cnjy.com )中元素的个数为5个.
【考点定位】集合运算
3．【2014江苏1】已知集合
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )
.
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】由题意得
( http: / / www.21cnjy.com ).
4.【2017课标II，理】设集合
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )。若
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )（
）
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】C
【解析】
【考点】
交集运算，元素与集合的关系
【名师点睛】集合中元素的三个特性中的互异性
( http: / / www.21cnjy.com )对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性。两个防范：一是不要忽视元素的互异性；二是保证运算的准确性。
5．【2017课标3，理1】已知集合A=，B=
( http: / / www.21cnjy.com )，则A
( http: / / www.21cnjy.com )B中元素的个数为
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】B
【解析】
试题分析：集合中的元素为点集，由题意，结合A表示以
( http: / / www.21cnjy.com )
为圆心，
( http: / / www.21cnjy.com )
为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线
( http: / / www.21cnjy.com )
上所有的点组成的集合，圆
( http: / / www.21cnjy.com )
与直线
( http: / / www.21cnjy.com )
相交于两点
( http: / / www.21cnjy.com )
，
( http: / / www.21cnjy.com )
，则
( http: / / www.21cnjy.com )中有两个元素.故选B.
【考点】
交集运算；集合中的表示方法.
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合
( http: / / www.21cnjy.com )元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
6.【2017北京，理1】若集合A={x|–2
3}，则A
( http: / / www.21cnjy.com )B=
（A）{x|–2（B）{x|–2（C）{x|–1（D）{x|1【答案】A
【解析】
试题分析：利用数轴可知
( http: / / www.21cnjy.com )，故选A.
【考点】集合的运算
【名师点睛】集合分为有限集
( http: / / www.21cnjy.com )合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示，若集合是无限集合就用描述法表示，注意代表元素是什么，集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.
7.【2017浙江，1】已知
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】A
【考点】集合运算
【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．
8.【2017天津，理1】设集合，则
( http: / / www.21cnjy.com )
（A）
( http: / / www.21cnjy.com )
（B）
( http: / / www.21cnjy.com )
（C）
( http: / / www.21cnjy.com )
（D）
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )
,选B.
【考点】
集合的运算
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.
9．【2017课标1，理1】已知集合A={x|x<1}，B={x|
( http: / / www.21cnjy.com )}，则
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】A
【解析】
试题分析：由
( http: / / www.21cnjy.com )可得
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，故选A.
【考点】集合的运算，指数运算性质.
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.
10．【2016高考新课标1理数改编】设集合
( http: / / www.21cnjy.com )
,
( http: / / www.21cnjy.com ),则
( http: / / www.21cnjy.com ) ．
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
考点：集合的交集运算
【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,
( http: / / www.21cnjy.com )一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.
11.【2016高考新课标3理数改编】设集合
，则
( http: / / www.21cnjy.com ) ．
【答案】（0，2]
( http: / / www.21cnjy.com )
[3,+
( http: / / www.21cnjy.com )）
【解析】
试题分析：由
( http: / / www.21cnjy.com )解得
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )．
考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．
【技巧点拨】研究集合的关系，处理集
( http: / / www.21cnjy.com )合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．
12.【2016年高考四川理数改编】设集合
( http: / / www.21cnjy.com )，Z为整数集，则
( http: / / www.21cnjy.com )中元素的个数是 ．
【答案】5
【解析】
试题分析：由题意，
( http: / / www.21cnjy.com )，故其中的元素个数为5.
考点：集合中交集的运算.
【名师点睛】集合的概念及运算一直是
( http: / / www.21cnjy.com )高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.
13.【2016高考山东理数改编】设集合
( http: / / www.21cnjy.com )
则
( http: / / www.21cnjy.com )= ．
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】
试题分析：
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com ).
考点：1.指数函数的性质；2.解不等式；3.及集合的运算.
【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是
( http: / / www.21cnjy.com )一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与求函数值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.
14.【2016高考新课标2理数改编】已知集合
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
则
( http: / / www.21cnjy.com ) ．
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】
试题分析：集合
( http: / / www.21cnjy.com )，而
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com ).
考点：
集合的运算.
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简在计算，常常借助数轴或韦恩图处理.
15.【2016年高考北京理数改编】已知集合
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com ) ．
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】
试题分析：由
( http: / / www.21cnjy.com )，得
( http: / / www.21cnjy.com ).
考点：集合交集.
【名师点睛】1．
首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )三者是不同的．
2．集合中的元素具有三性—
( http: / / www.21cnjy.com )—确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．
3．数形结合常使集合间的
( http: / / www.21cnjy.com )运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn图实施，对连续的数集间的运算，常利用数轴进行，对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．
4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．
16.【2016高考浙江理数改编】已知集合
( http: / / www.21cnjy.com )
则
( http: / / www.21cnjy.com ) ．
【答案】(
-2,3
]
【解析】
试题分析：根据补集的运算得
( http: / / www.21cnjy.com )．
考点：1、一元二次不等式；2、集合的并集、补集．
【易错点睛】解一元二次不等式时，
( http: / / www.21cnjy.com )的系数一定要保证为正数，若
( http: / / www.21cnjy.com )的系数是负数，一定要化为正数，否则很容易出错．
【2018年高考命题预测】
纵观2017各地高考试题,集合是每年高
( http: / / www.21cnjy.com )考考试的重点,
每年高考必考的知识,江苏高考题型一般是填空题,占5分,主要是考查集合的概念,
集合的关系及集合的运算,而集合的运算是高考考试的重点，且集合在历年的高考中考查的形式与内容几乎没有变化,故在2017年的高考备考中同学们只需要稳扎稳打,加强常规题型的练习,关于集合2018高考备考主要有以下几点建议:
1.涉及本单元知识点的高考题,综合性
( http: / / www.21cnjy.com )大题不多.所以在复习中不宜做过多过高的要求,只要灵活掌握小型综合题型(如集合与映射,集合与自然数集,集合与不等式,集合与方程等,充分条件与必要条件与三角、立几、解几中的知识点的结合等)
；
2.重视“数形结合”渗透.“数缺形
( http: / / www.21cnjy.com )时少直观,形缺数时难入微”.当你所研究的问题较为抽象时,当你的思维陷入困境时,当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时,一个很好的建议便是：画个图,如集合中的韦恩图!利用图形的直观性,可迅速地破解问题,乃至最终解决问；
3.强化“分类思想”应用.注意空集
( http: / / www.21cnjy.com )的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如A
( http: / / www.21cnjy.com )B,则有A=
( http: / / www.21cnjy.com )或A≠
( http: / / www.21cnjy.com )两种可能,此时应分类讨论；
4.集合作为一种数学工具,在函数、方程、
( http: / / www.21cnjy.com )不等式、排列组合及曲线与方程等方面都有广泛的运用,高考题中常以上面内容为载体,以集合的语言为表现形式,考查学生的数学思想、数学方法和数学能力,题型常以解答题的形式出现.
【2018年高考考点定位】
高考对集合的考查有两种主要形式：一是
( http: / / www.21cnjy.com )直接考查集合的概念；二是以集合为工具考查集合语言和集合思想的运用.从涉及的知识上讲,常与映射、函数、方程、不等式等知识相联系,小题目综合化是这部分内容的一种趋势.
【考点1】集合的概念
【备考知识梳理】
1．集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个总体，这个总体就叫集合，其中每一个对象叫元素.
2．集合中元素的三个特性：
确定性、互异性、无序性．
3．集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种,表示符号为
“
( http: / / www.21cnjy.com )”或“
( http: / / www.21cnjy.com )”．
4．集合的表示常见的有四种方法．
（1）自然语言描述法，（2）列举法，（3）描述法，（4）Venn图法.
5．常见的特殊集合：（1）非负整数集（即自然数集）N（包括零）（2）正整数集N
或
( http: / / www.21cnjy.com )
(3)整数集Z
(包括负整数、零和正整数)
（4）有理数集
( http: / / www.21cnjy.com )
(5)实数集R
6．集合的分类：
①按元素个数分：有限集,无限集；
②按元素特征分；数集,点集.
③空集
：不含任何元素的集合
【规律方法技巧】
1.集合运算的互异性应用规律:凡是出现含参数的集合,必须首先考虑集合的互异性,即集合中元素不相等,例如集合
( http: / / www.21cnjy.com ),则有
( http: / / www.21cnjy.com ).
2.理清两类关系,不要混淆：(1)元素与集合的关系,用
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )表示
(2)集合与集合的关系,用
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ),=表示
3.注意集合中元素的本质:
集合
( http: / / www.21cnjy.com )中的元素是数,而
( http: / / www.21cnjy.com )中的元素是抛物线上点的坐标.
4.韦恩图的作用:掌握集合间的关系和集合运算的韦恩图表示,并会利用韦恩图解决与集合间的关系和集合运算相关的问题.
【考点针对训练】
1.设集合
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，则实数
( http: / / www.21cnjy.com )的值为
．
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】因为
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )
2.集合
( http: / / www.21cnjy.com )，若
( http: / / www.21cnjy.com )，则a+b=
.
【答案】3
【解析】
试题分析：因为
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com ),则b=2,所以a+b=3.
【考点2】集合间的关系
【备考知识梳理】
描述关系
文字语言
符号语言
集合间的基本关系
相等
集合
( http: / / www.21cnjy.com )与集合
( http: / / www.21cnjy.com )中的所有元素都相同
( http: / / www.21cnjy.com )
子集
( http: / / www.21cnjy.com )中任意一元素均为
( http: / / www.21cnjy.com )中的元素
( http: / / www.21cnjy.com )
真子集
( http: / / www.21cnjy.com )中任意一元素均为
( http: / / www.21cnjy.com )中的元素,且
( http: / / www.21cnjy.com )中至少有一个元素
( http: / / www.21cnjy.com )中没有
( http: / / www.21cnjy.com )
空集
空集是任何集合的子集
( http: / / www.21cnjy.com )
空集是任何非空集合的真子集
( http: / / www.21cnjy.com )
【规律方法技巧】
1.注意子集与相等之间的关系:
( http: / / www.21cnjy.com )且
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ).
2.
判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．
3.注意空集的特殊性:空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集.在解题时,若未明确说明集合非空时,要考虑到集合为空集的可能性.例如：
( http: / / www.21cnjy.com ),则需考虑
( http: / / www.21cnjy.com )和
( http: / / www.21cnjy.com )两种可能的情况.
4．已知两集合间的关系求参数时，关键是
( http: / / www.21cnjy.com )将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn图帮助分析．
5.子集个数的运算方法:若集合
( http: / / www.21cnjy.com )有
( http: / / www.21cnjy.com )个元素,则集合
( http: / / www.21cnjy.com )的子集有
( http: / / www.21cnjy.com )个,真子集有
( http: / / www.21cnjy.com )个,非空真子集有
( http: / / www.21cnjy.com )个.
【考点针对训练】
1.已知全集
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )的子集个数为
．
【答案】2
2.设集合，集合
( http: / / www.21cnjy.com )，若
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )
.
【答案】1
【解析】由题意
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )．
【考点3】集合运算
【备考知识梳理】
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U,则集合A的补集为 UA
文字语言
一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合叫做A、B的交集．
记作A∩B(读作”A交B”)．
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A、B的并集.记作：A∪B(读作”A并B”)．
设
( http: / / www.21cnjy.com )是一个集合，A是
( http: / / www.21cnjy.com )的一个子集，由
( http: / / www.21cnjy.com )中所有不属于A的元素组成的集合，叫做
( http: / / www.21cnjy.com )中子集A的补集.
图形表示
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
意义
{x|x∈A,或x∈B}
{x|x∈A,且x∈B}
( http: / / www.21cnjy.com )
性质
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
，
( http: / / www.21cnjy.com )
.
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )．
注:全集：如果集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集.通常用U来表示．
重要结论:
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )．
【规律方法技巧】
1.
集合的基本运算包括集合间
( http: / / www.21cnjy.com )的交、并、补集运算，解决此类运算问题一般应注意以下几点：一是看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提．二是对集合化简．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．三是注意数形结合思想的应用．集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
2.子集关系与交并补运算的关系:①
( http: / / www.21cnjy.com ),②
( http: / / www.21cnjy.com ).
3.熟记交并补的运算法则:如A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB),
CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)等.
【考点针对训练】
1.已知集合
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )
.
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】因为
( http: / / www.21cnjy.com )为奇数集，所以
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
2.已知全集
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，那么
( http: / / www.21cnjy.com )
．
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )．
【两年模拟详解析】
1.
【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】已知集合
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ),则集合
( http: / / www.21cnjy.com )中元素的个数为__________．
【答案】5
【解析】由题意可得：
( http: / / www.21cnjy.com )，即集合
( http: / / www.21cnjy.com )中元素的个数为5个.
2.
【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知集合
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )
．
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )
3.
【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】已知集合
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )
▲
.
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )
4.
【镇江市2017届高三年级第一次模拟】已知集合
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，则集合
( http: / / www.21cnjy.com )的元素的个数为
．
【答案】5
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )的元素的个数为5
5.
【2017年第二次全国大联考江苏卷】已知集合
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】因为
( http: / / www.21cnjy.com ),所以
( http: / / www.21cnjy.com )
6.
【2017年第三次全国大联考江苏卷】已知集合
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )_____________．
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】因为
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )
7.
【2017年第一次全国大联考江苏卷】已知
( http: / / www.21cnjy.com )集合
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )____________．
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】因为
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )
8.
【2016—2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）】已知集合
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
．
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
9.
【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】已知全集为
( http: / / www.21cnjy.com )，集合
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】因为
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )．
10.
【2017年高考原创押题预测卷02（江苏卷）】已知集合
( http: / / www.21cnjy.com )，则集合
( http: / / www.21cnjy.com )中所有元素之和是
.
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
11.
【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】已知集合，若
( http: / / www.21cnjy.com )，则实数
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围是．
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】因为
( http: / / www.21cnjy.com )，由题设
( http: / / www.21cnjy.com )，借助数轴可得
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )，故实数
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围是
( http: / / www.21cnjy.com )．
12.
【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】已知集合
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )
.
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )
13．【南京市2016届高三年级第三次
( http: / / www.21cnjy.com )模拟考试】已知全集U＝{－1，2，3，a}，集合M＝{－1，3}．若 UM＝{2，5}，则实数a的值为
．
【答案】5
【解析】因为
( http: / / www.21cnjy.com ),所以
( http: / / www.21cnjy.com )
14.
【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】已知集合M＝{0，2，4}，N＝{x|x＝
( http: / / www.21cnjy.com )，a∈M}，则集合M∩N＝
．
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】因为
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )
15．【江苏省扬州中学2016届高三4月质
( http: / / www.21cnjy.com )量监测】已知集合M＝{0,
1,
2}，N＝{x|x＝2a,
a∈M
}，则集合M∩N＝___________．
【答案】{0,2}
【解析】
试题分析：因为
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )．
16.
【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】设集合A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则A∪B＝ ．
【答案】{x|－2＜x＜1}
【解析】A∪B＝{x|－2＜x＜0}∪{x|－1＜x＜1}={x|－2＜x＜1}.
17．【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】已知集合
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )
__________．
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
【一年原创真预测】
1.
已知集合
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，若
( http: / / www.21cnjy.com )，则实数
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围是
．
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】由
( http: / / www.21cnjy.com )得
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )，因
( http: / / www.21cnjy.com ),故
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com ).
【入选理由】此题综合考查了简单指数不等式解法、集合间的包含关系,是一道综合题,比较典型.
2.
设集合
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )
.
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】
试题分析：
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )．
【入选理由】此题考查了集合的的补集与并集运算,意在考查学生的理解基本概念的能力，比较基础,符合江苏高考试题的特点.
3.
定义集合
( http: / / www.21cnjy.com ),若
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )的子集个数有_________个.
【答案】4
【解析】由题意，得
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )的子集个数为
( http: / / www.21cnjy.com )个.
【入选理由】此题不仅考查了新定义型集合的理解与集合的运算，意在考查学生的理解能力与基本运算能力，此题难度不大，构思巧妙，故选此题.专题1
直线方程和圆的方程
【三年高考】
1．【2015江苏高考，10】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为
【答案】
【考点定位】直线与圆位置关系
2．【2014江苏，理9】在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为
.
【答案】
【解析】圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为，所求弦长为．
【考点】直线与圆相交的弦长问题．
3．【2012江苏，理12】在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是__________．
【答案】
4.
【2016高考新课标2理数改编】圆的圆心到直线的距离为1，则a＝ ．
【答案】
【解析】
试题分析：圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：
，解得．
考点：
圆的方程、点到直线的距离公式.
【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断．
若d>r，则直线与圆相离；
若d＝r，则直线与圆相切；
若d(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．
如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；
如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；
如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．
提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．
5.
【2016高考新课标3理数】已知直线：与圆交于两点，过
分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.
【答案】4
考点：直线与圆的位置关系．
【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．
6．【2016高考山东文数改编】已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是 ．
【答案】相交
【解析】
试题分析：
由（）得（），所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以，解得，圆的圆心为，半径为，所以，，，因为，所以圆与圆相交．
考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.
【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.
7.【2016高考北京文数改编】圆的圆心到直线的距离为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知．
考点：直线与圆的位置关系
【名师点睛】点到直线(即)的距离公式记忆容易，对于知求，很方便.
8．【2016高考上海文科】已知平行直线，则的距离________.
【答案】
【解析】试题分析：
利用两平行线间距离公式得
考点：两平行线间距离公式.
【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.
9．【2016高考浙江文数】已知，方程表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.
【答案】；5．
【解析】
试题分析：由题意，，时方程为，即，圆心为，半径为5，时方程为，不表示圆．
考点：圆的标准方程.
【易错点睛】由方程表示圆可得的方程，解得的值，一定要注意检验的值是否符合题意，否则很容易出现错误．
10.【2016高考天津文数】已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线
的距离为，则圆C的方程为__________.
【答案】
【解析】
试题分析：设，则，故圆C的方程为
考点：直线与圆位置关系
【名师点睛】求圆的方程有两种方法：
(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a，b，r的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D，E，F的方程组求解．
(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．
11．【2015高考新课标2，理7】过三点，，的圆交y轴于M，N两点，则________.
【答案】4
12.【2015高考陕西，理15】设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为
．
【答案】
【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：．
13.【2015高考湖北，理14】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方），
且．（Ⅰ）圆的标准方程为
；
（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①；
②；
③．其中正确结论的序号是
.
（写出所有正确结论的序号）
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③
【解析】（Ⅰ）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为.（Ⅱ）联立方程组，解得或，因为在的上方，所以，，
令直线的方程为，此时，，所以，，，，因为，，所以.
所以，，正确结论的序号是①②③.
14．【2014陕西高考理第12题】若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.
【答案】
【解析】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为.
所以圆的标准方程为：,故答案为.
【2018年高考命题预测】
纵观近几年各地高考试题，对直线方程和圆的方程这部分的考查，主要考查直线的方程、圆的方程，从题型来看，高考中一般以选择题和填空的形式考查，难度较低，部分省份会在解答题中，这部分内容作为一问，和作为进一步研究其他问题的基础出现，难度较高，虽然全国各地对这部分内容的教材不同，故对这部分内容的侧重点不同，但从直线方程和圆的方程的基础知识，解析几何的基本思想的考查角度来说，有共同之处，恰当地关注图形的几何特征，提高解题效率．对直线方程的考查．一般会和倾斜角、斜率、直线方向向量或者其他知识结合．平面内两条直线的位置关系的考查，属于简单题，主要以两条直线平行、垂直为主，以小题的形式出现．对圆的方程的考查，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，关注确定圆的条件．预测2018年对这一部分考查不会有太大变化．
【2018年高考考点定位】
高考对直线的方程和圆的方程的考查有二种主要形式：一是考查直线的方程；二是考查平面内两条直线的位置关系；三是考查圆的方程．
【考点1】直线的方程
【备考知识梳理】
1、直线的倾斜角和斜率
(1)直线的的斜率为k，倾斜角为α，它们的关系为：k＝tanα；(2)若Ａ（x1,y1），Ｂ（x２,y２），则．2.直线的方程
a.点斜式：；
b.斜截式：；c.两点式：；
d.截距式：；e.一般式：，其中A、B不同时为0.【规律方法技巧】
1.
斜率的定义是，其中是切斜角，故可结合正切函数的图象研究切斜角的范围与斜率的取值范围以及斜率的变化趋势．
2.
直线的方向向量也是体现直线倾斜程度的量，若是直线的方向向量，则（）．
3.平行或者垂直的两条直线之间的斜率关系要倍加注意.
3.直线的五种直线方程，应注意每个方程的适用范围，解答完后应检验不适合直线方程的情形是否也满足已知条件．
【考点针对训练】
1.已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为________
【答案】
【解析】由题意得：直线可设为，又过直线和的交点，所以直线的方程为
2.过点引直线，使点，到它的距离相等，则这条直线的方程为
．
【答案】
【解析】显然直符合题意，此直线过线段的中点，又，时方程为，化简为，因此所求直线方程为或．
【考点2】两条直线的位置关系
【备考知识梳理】
（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：①l1//l2
k1=k2；②l1l2
k1k2=－1；③（2）若
当时，平行或重合，代入检验；当时，相交；当时，．【规律方法技巧】
1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法
与直线垂直和平行的直线方程可设为：
(1)垂直：；
(2)平行：.
2．转化思想在对称问题中的应用
对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法．
【考点针对训练】
1.若直线l1：x＋2y－4＝0与l2：mx＋(2－m)y－3＝0平行，则实数m的值为
．
【答案】
【解析】由题意得：
2.已知直线，直线，且，则的值为____.
【答案】-1或-2
【解析】根据两直线平形当斜率存在时，需满足斜率相等，纵截距不等，所以当时，显然两直线平行，符合题意；当时，，，若平行需满足且，解得：，综上，答案为-1或-2.
【考点3】几种距离
【备考知识梳理】
(1)两点间的距离：
平面上的两点间的距离公式：.
(2)点到直线的距离：点到直线的距离.
(3)两条平行线间的距离：两条平行线与间的距离.
【规律方法技巧】
1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式．
2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA|＝|PB|这一条件的转化处理．
【考点针对训练】
1.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是
．
【答案】2
【解析】由题意，，所以直线方程为，即，.
2.已知直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a 1）y+a2 1=0，若l1⊥l2，则a=
，若
l1∥l2，则a=
，此时l1和l2之间的距离为
．
【答案】，
1，；
【考点4】圆的方程
【备考知识梳理】
标准式：，其中点（a，b）为圆心，r>0，r为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小． 一般式：，其中为圆心为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D、E、F．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程．【规律方法技巧】
1．二元二次方程是圆方程的充要条件
“A=C≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程表示圆的必要条件．
二元二次方程表示圆的充要条件为“A=C≠0、B=0且”，它可根据圆的一般方程推导而得．
2．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．
3．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在任一弦的中垂线上．
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
【考点针对训练】
1．已知圆的圆心为抛物线的焦点,且与直线相切,则该圆的方程为_________________.
【答案】
【解析】抛物线的焦点为（1,0），所以圆的圆心为（1,0），圆心到直线的距离，所以所求圆的方程为．
2．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为______________________.
【答案】
【解析】直线与直线两条平行线的距离，圆的半径，
由，得，由，得，直径的两个端点，，因此圆心坐标，圆的方程．
【两年模拟详解析】
1．【2017届江苏省如东高级中学高三2月摸底】在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数__________．
【答案】
2．【2016届湖南省长沙市长郡中学高三下第六次月考理科】
若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则
．
【答案】18
【解析】试题分析：由题意得：圆心到两直线距离相等，且等于，因此或，即18
考点：直线与圆位置关系
3．【2016届江苏省扬州中学高三12月月考】已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是
．
【答案】
【解析】
试题分析：设圆心，半径为，根据圆被轴所截得的弦长为得：，又切点是，所以，且，所以解得或，从而或，，所以答案应填：．
考点：1、直线与圆相切；2、直线与圆相交；3、圆的标准方程．
4．【2017届南京市、盐城市高三年级第二次模拟】在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为______.
【答案】
【解析】
由题意得，直线的斜率为，且经过点,
直线的斜率为，且经过点，且直线
所以点落在以为直径的圆上，其中圆心坐标，半径为，
则圆心到直线的距离为，
所以点到直线的最大距离为。
5．【江苏省苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三三模】在平面直角坐标系中，圆．若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是____．
【答案】
(或)
【解析】由于圆存在以为中点的弦，且，所以,如图，过点作圆的两条切线，切点分别为，圆上要存在满足题意的点，只需，即，连接，
，由于，
，
，解得.
【点睛】已知圆的圆心在直线上，半径为，若圆存在以为中点的弦，且，说明，就是说圆上存在两点，使得.过点作圆的两条切线，切点分别为，圆上要存在满足题意的点，只需，即，则只需，列出不等式解出的范围.
6．【2016届江苏省南京市高三第三次学情调研】若直线l1：x＋2y－4＝0与l2：mx＋(2－m)y－3＝0平行，则实数m的值为____
【答案】
【解析】试题分析：由题意得：
考点：两直线位置关系
7．【东台市2017届高三5月模拟】过点作直线与圆交于、两点，若点恰好是线段的中点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】由圆x2+y2=1的参数方程,可设N(cosθ,sinθ)，
由M点恰好是线段NE的中点,可得，
代入圆方程,可得，
化简可得4cosθ+2tsinθ= 1 t2，
由辅助角公式可得，
由|sin(θ+φ)| 1,可得，
即为t4 2t2 15 0,即有 3 t2 5，
解得.
则实数的取值范围是.
8．【2016-2017学年江苏省泰兴中学高三12月阶段性检测】直线与圆相交于两点,若,则实数k的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意，因为,所以圆心(2,3)到直线的距离,求解可得，故答案为.
9．【苏锡常镇四市2017届高三教学情况调研（二）】已知直线：
，圆：
，当直线被圆所截得的弦长最短时，实数__________．
【答案】
【解析】直线
过定点
，圆
，当直线被圆所截得的弦长最短时，
10．【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研】在平面直角坐标系中，圆：.若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是__________．
【答案】(或)
【解析】由于原C存在以G位中点的弦AB，且AB=2GO，故
，
如图所示，过点O作圆C的两条切线，切点分别为B,D，圆上要存在满足题意的点A，只需
，即
，连结CB，由
可得：
，
.
11．【南通市2017届高三第三次调研】在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，为圆上一动点，则的最大值是____．
【答案】2
【解析】设点P（x,y）,则=
而表示圆上一点与点的斜率，所以当过点的直线与圆相切时取得最值，设直线：由d=r得所以的最大值时，故=
点睛：首先根据问题将的表达式列出来，做最值问题的小题，首先得明确问题表达式，然后根据函数或者基本不等式求解最值，本题解题关键在于，写出表达式后要将其化为斜率的定义求法来理解从而求得结论
12．【南通市2017年高考数学全真模拟试题（一）】在平面直角坐标系中，若直线与圆和圆都相切，且两个圆的圆心均在直线的下方，则直线的斜率为__________．
【答案】7
点睛：此题主要考查直线与圆的位置关系，三角函数定义，两角和差的正切公式，以及数形结合法等有关方面的知识，属于中高档题型，也是高频考点.用数形结合的方法解决解析几何问题时，一方面要发挥图形的直观、形象的作用，另一方面则要注意画图的准确性、完整性和对图形观察的细致，并注意结合数学运算来完成.
13．【2016-2017学年苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）】在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，其中点在第一象限，且，则直线的方程为______________．
【答案】
【解析】由题意，设直线与圆联立，可得，设，则，，，联立解得，则直线的方程为，故答案为.
14．【2017届江苏南京市盐城高三一模】如图，在平面直角坐标系中，分别在轴与直线上从左向右依次取点、，，其中是坐标原点，使都是等边三角形，则的边长是
.
【答案】512
【解析】
试题分析：设与轴交点为P，则依次类推得的边长为
考点：归纳推理
15．【2017届江苏如东高级中学等四校高三12月联考】在平面直角坐标系中，已知圆：，直线与圆相交于，两点，且，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
试题分析：设中点为，则,又直线与圆相交于，两点，所以，而，所以，即的取值范围为
考点：直线与圆位置关系
【思路点睛】（1）向量加法与弦中点，向量减法与弦长的关系，是本题综合向量与圆中弦长的切入点；
（2）涉及圆中弦长问题，
一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和；（3）直线与圆位置关系，一般利用圆心到直线距离与半径大小关系进行判断
16.【江苏省如东高级中学2016届高三上学期期中考试数学试题】已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为________
【答案】
【解析】由题意得：直线可设为，又过直线和的交点，所以直线的方程为
17．【江苏省如东高级中学2016届高三上学期期中考试数学试题】在平面直角坐标系xOy中，已知点，点B是圆上的点，点M为AB中点，若直线上存在点P，使得，则实数的取值范围为________
【答案】
【解析】因为点M为AB中点，所以,即点M轨迹为以原点为圆心的单位圆，当PM为单位圆切线时，取最大值，即，从而，因此原点到直线距离不大于2，即
18．【扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题】已知圆O：，若不过原点O的直线与圆O交于、两点，且满足直线、、的斜率依次成等比数列，则直线的斜率为
.
【答案】
【解析】设，代入圆的方程，化简得：设，得，
，由得解得．
19．【泰州市2016届高三第一次模拟考试】已知直线与圆相交于两点，若，则
．
【答案】
【解析】圆心，半径为1，圆心到直线距离，而，得，解得．
20．【江苏省扬州中学高三数学月考试卷】m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5必过定点_________．
【答案】(9,－4)
【解析】把直线方程整理得，所以，解得，所以定点为．
21．【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】过点的直线与圆相交于两点，若点恰好是线段的中点，则直线的方程为
.
【答案】
【解析】如果直线与轴平行，则,不是中点，则直线与轴不平行；设，圆心到直线的距离，令中点为，则，在中,得，解得，则直线的方程为．
【一年原创真预测】
1.
若圆C:关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是____________.
【答案】4
【入选理由】本题考查圆的性质，二次函数的最值等基础知识，意在考查学生的分析问题的能力和计算能力．本题有一定的难度，将点向圆所作的切线长转化为二次函数最值，这是该题难点和亮点之一，是一个好题，故选此题．
2.
过的光线经轴上点反射后，经过不等式组所表示的区域，则的取值范围
.
【答案】
【解析】依题意不等式组所表示的平面区域如图所示：
可得，作出的关于轴的对称点，由图可知，求出与轴的交点为，故的取值范围为
【入选理由】本题考查线性规划的应用，直线的对称问题，直线方程等基础知识知识，意在考查画图、用图以及计算能力.本题将直线的方程，对称问题，线性规划巧妙地结合起来，构思巧妙，故选此题．
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-专题2
圆与点、直线、圆的位置关系
【三年高考】
1．【2016高考江苏】如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点
（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；
（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；
（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
试题分析：（1）求圆的标准方程，关键是确定圆心与半径：根据直线与x轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径（2）本题实质已知弦长求直线方程，因此应根据垂径定理确定等量关系，求直线方程（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，解对应参数取值范围
(2)因为直线l||OA，所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，
则圆心M到直线l的距离
因为
而
所以，解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
(3)设
因为,所以
……①
因为点Q在圆M上，所以
…….②
将①代入②，得.
于是点既在圆M上，又在圆上，
从而圆与圆有公共点，
所以
解得.
因此，实数t的取值范围是.
考点：直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算
【名师点睛】直线与圆中三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以为主元，揭示在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆位置关系.
2．【2013江苏，理17】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.
【答案】(1)
y＝3或3x＋4y－12＝0.；(2)
【解析】
解：(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在.
设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，
由题意，＝1，解得k＝0或，
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
设点M(x，y)，因为MA＝2MO，
所以，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，
即.
由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；
由5a2－12a≤0，得0≤a≤.
所以点C的横坐标a的取值范围为.
3．【2016高考山东文数改编】已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是 ．
【答案】相交
【解析】
考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.
【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.
4．【2016高考新课标Ⅲ文数】已知直线：与圆交于两点，过分别
作的垂线与轴交于两点，则_____________.
【答案】4
【解析】
试题分析：由，得，代入圆的方程，并整理，得，解得，所以，所以．又直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．
考点：直线与圆的位置关系．
【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．
5．【2016高考新课标1文数】设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若,则圆C的面积为
.
【答案】
考点：直线与圆
【名师点睛】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径r、弦长l、圆心到弦的距离d之间的关系：在求圆的方程时常常用到.
6．【2015高考重庆，理8】已知直线l：x+ay-1=0（aR）是圆C：的对称轴.过点A（-4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=_______________.
【答案】6
【解析】圆标准方程为，圆心为，半径为，因此，，即，.
7.【2015高考广东，理5】平行于直线且与圆相切的直线的方程是_______.
【答案】或
【解析】依题可设所求切线方程为，则有，解得，所以所求切线的直线方程为或．
8.【2015高考山东，理9】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为___________.
【答案】或
【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点
，设反射光线所在直线的斜率为
，则反身光线所在直线方程为：
，即：.
又因为光线与圆相切，
所以，
,
整理：
，解得：
，或．
9.【2015高考广东，理20】已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．
（1）求圆的圆心坐标；
（2）求线段的中点的轨迹的方程；
（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点：若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）由得，∴
圆的圆心坐标为；
（2）设，∵
点为弦中点即，∴
即，∴
线段的中点的轨迹的方程为；
（3）由（2）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，，又直线：过定点，
当直线与圆相切时，由得，又，结合上图可知当时，直线：与曲线只有一个交点．
【2018年高考命题预测】
纵观近几年各地高考试题，对圆与点、直线、圆的位置关系这部分的考查，主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系，从题型来看，高考中一般以选择题和填空的形式考查，难度较低，部分省份会与其他圆锥曲线部分结合起来，综合考察．直线和圆是两个基本图形，对它们的研究，既可以从几何的角度来探索它们的位置关系，又可以从方程角度来解决一些度量问题，体现用代数方法研究几何问题的思想，同时又是研究圆锥曲线的基础，所以对这部分内容的复习要倍加关注．对直线与圆位置关系的考查．一般会涉及弦长、距离的的计算和圆的切线问题和直线与圆位置关系的判定，还可能会考查轨迹问题和与圆有关的最值问题，其中渗透数形结合思想和转化与化归思想的运用．圆与圆位置关系的考查，属于简单题，主要涉及位置关系的判定和长度问题．预测2018年直线与圆的位置关系可能涉及，新课标卷可能会出一道选择题．
【2018年高考考点定位】
高考对圆与直线、圆位置关系的考查有三种主要形式：一是考查直线与圆的位置关系；二是考查圆的切线问题；三是与圆有关的弦长问题；四是考查圆与圆的位置关系；五是考查与圆有关的最值问题；六是考查与圆有关的轨迹问题，注意几何法在解题中的重大作用．
【考点1】点、直线、圆与圆的位置关系
【备考知识梳理】
1．直线与圆的位置关系有三种：（1）若，；（2）；（3）．还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断：（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交；（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切d=rΔ＝0；相交d0；相离d>rΔ<0．
2.
两圆位置关系的判定方法：设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，．；；；；；
判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决
【规律方法技巧】
1.直线与圆的位置关系问题，既可以用几何判断，也可以用代数判断，通常利用几何判断较为简洁，即圆心到直线的距离与圆的半径比较．
2.点与圆的位置关系判断，只需将点的坐标代入圆的方程左边，当左边大于右边时，点在圆外；当左边小于右边时，点在园内；当左边等于右边时，点在圆上．
3．圆与圆的位置关系判定，既可以利用圆心距与两圆半径和差比较，也可以利用两圆的公切线条数来判定，两圆相切注意分内切或外切讨论．
4.
若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．
【考点针对训练】
1.若是圆的弦，的中点是,则直线的方程是
．
【答案】
2.已知实数满足，则直线恒过定点
，该直线被圆所截得弦长的取值范围为
.
【答案】；
【解析】∵，∴，直线恒过定点；当圆心与点得连线与直线垂直时，所截弦最短，此时弦长为，当直线经过圆心时，所截弦最长，此时弦长为6，所以所截得弦长的取值范围为.
【考点2】圆的切线问题
【备考知识梳理】
过切点和圆心的直线垂直于切线，即圆心到直线的距离等于半径
【规律方法技巧】
1.直线与圆相切的判定以及与切线有关的参数问题都可以利用圆心到切线距离等于半径列方程判断或求解；涉及切线长的问题，可以利用勾股定理求．
2.对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在情形．
3.
圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．
【考点针对训练】
1.在平面直角坐标系中，过点的直线与圆相切于点，与圆相交于点，且，则正数的值为
．
【答案】
【解析】由题意得，，又，所以圆圆心到直线距离为，从而，因此正数的值为
2.若经过点的直线与圆相切，则圆心坐标是
；半径为
；切线在轴上的截距是
．
【答案】，，
【解析】根据题意，圆的方程可化为，所以其圆心坐标为，半径为，设圆的切线方程为，即，应用圆心到直线的距离为半径，得，整理得，即，解得，所以直线在
轴上的截距是．
【考点3】弦长问题
【备考知识梳理】
求圆的弦长的常用方法
(1)几何法：设圆的半径为，弦心距为，弦长为l，则.
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：.
注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．
【规律方法技巧】
处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形．
【考点针对训练】
1.若直线截半圆所得的弦长为，则
．
【答案】
【解析】由于圆心到直线的距离为
，所以，解答，又当时与半圆没有两个交点，不符合题意，故．
2.已知圆的圆心在直线上，则
；圆被直线截得的弦长为____________.
【答案】2；8.
【考点4】与圆有关的最值问题
【备考知识梳理】
与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想.归纳起来常见的命题角度有：
1 斜率型最值问题；
2 截距型最值问题；
3 距离型最值问题；
【规律方法技巧】
解决与圆有关的最值问题关键在于能正确认识所给问题的含义，明确几何意义，结合几何图形
数形结合法求解与圆有关的最值问题：
(1)形如t＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
(3)形如t＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．
【考点针对训练】
1.已知圆的圆心为，点是直线上的点，若该圆上存在点使得，则实数的取值范围为_________．
【答案】
【解析】因为圆的圆心为，半径为2，若点是直线上的点，在该圆上存在点使得，所以，解得，故实数的取值范围为．
2．圆上的点到直线的距离的最小值是______________.
【答案】4
【解析】先求圆心到直线的距离，再减去半径即可．圆的圆心坐标（0，0），到直线3x+4y-25=0的距离是，所以圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离的最小值是5-1=4．
【考点5】与圆有关的轨迹问题
【备考知识梳理】
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下做法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
【规律方法技巧】
利用圆的定义或者探讨曲线上点的坐标满足的方程，从而得到动点运动的轨迹为圆，进而利用圆的相关性质解题．
【考点针对训练】
1．已知是圆（为圆心）上一动点，线段的垂直平分线交直线于，则动点的轨迹方程为
【答案】
【解析】由已知得，
，由双曲线的定义，动点的轨迹就是以
为焦点，以2为实轴长的双曲线，即
，故其方程为
2．已知圆与直线则圆C的圆心轨迹方程为
，直线与圆的位置关系是______．
【答案】；相交、相切或相离
【解析】因为圆（），所以圆的圆心的参数方程为（为参数，且），消去参数，得：，所以圆的圆心轨迹方程是．圆的圆心坐标是，半径是，圆心到直线的距离
，所以当时，直线与圆相交，当时，直线与圆相切，当时，直线与圆相离，所以答案应填：；相交、相切或相离．
【两年模拟详解析】
1．【湖南省浏阳一中2017届高三高考适应性考试（6月）】已知直线与直线相互垂直，点到圆的最短距离为3，则______________.
【答案】2
【解析】依题意，
①；
②；联立两式，解得
，故
.
2．【辽宁省实验中学2017届高三下学期第六次模拟（理）】已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，其中为切点，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】==
因为圆心到直线的距离，所以，，，当时取最小值。所以填。
3．【2017届上海市黄浦区高三4月模拟】已知圆和两点，若圆上至少存在一点，使得，则的取值范围是________．
【答案】；
【解析】由于两点在以原点为圆心，为半径的圆上，若圆上至少存在一点，使得，则两圆有公共点，设圆心距为，，则，则，则的取值范围是.
4．【河北省衡水中学2017届高三高考猜题卷（一）（文）】如果圆上总存在到原点的距离的点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】圆心到原点的距离为
，圆上总存在到原点的距离的点，则
，则
或.
5．【山东省淄博市2017届高三第二次模拟考试（理）】过点的直线与圆相交于，两点，当时，直线的方程为__________．
【答案】
【点睛】直线与圆相交的弦长问题，我们常用垂径定理解决，而不用弦长公式，这样可以简化运算。
6．【湖南省长沙市一中2017届高三模拟（二）（文）】在平面直角坐标系中，已知圆：，点，若圆上存在点，满足，则实数的取值范围是__________．
【答案】[0,3]
【解析】设M(x,y),则,，
∵|MA|=2|MO|,∴x2+(y+3)2=4(x2+y2)，
整理得：x2+(y-1)2=4，
M的轨迹是以N(0,1)为圆心，以2为半径的圆N，
又∵M在圆C上，
∴圆C与圆N有公共点，
∴1 |CN| 3，
即1 3，
解得0 a 3.
实数的取值范围是[0,3].
7．【四川省师范大学附中2017届高三下学期5月模拟（理）】已知圆，圆上的点到直线的最短距离为，若点在直线位于第一象限的部分，则的最小值为__________．
【答案】
8．【福建省宁德市2017届高三第三次质量检查（文）】已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，若，则__________．
【答案】
【解析】
如图，圆的圆心为(0,0)，半径，
因为弦，所以直线经过圆心，所以.
直线的方程为.所以直线的倾斜角.
在中，
.
.
9．【黑龙江哈尔滨市第六中学2017届高三下学期第三次模拟（文）】在平面直角坐标系中，点是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别是，则的取值范围为__．
【答案】
【解析】圆心（1,1）半径为1，要使AB的长度最小，则最小，即最小，即PC最小，由点到直线的距离公式可得：
，则=60°，=120°，即AB=，当P在无限远取值时，
趋近180°，此时AB趋近直径2，故的取值范围为
点睛：利用直线和圆的位置关系，求出两个极端位置的AB的值，是解题关键
10．【河北省保定市2017届高三二模文】在平面直角坐标系中，设圆的圆心为.
（1）求过点且与圆相切的直线的方程；
（2）若过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点，，以、为邻边作平行四边形，问是否存在常数，使得平行四边形为矩形？请说明理由.
【答案】（1），（2）
【解析】试题分析：（1）设切线方程为：，由圆心到直线的距离等于半径，可解得。（2）设直线方程为：与圆组方程组，由韦达定理与弦长公式，求得|，，由矩形的对角线相等|，可解得，注意要检验判别式。
试题解析：（1）由题意知，圆心坐标为，半径为2，设切线方程为：，
所以，由解得
所以，所求的切线方程为，
（2）假设存在满足条件的实数，则设，，
联立得
，（或由（1）知）
且，
且
，
，
，
又
要使矩形，则
所以
存在常数，使得平行四边形为矩形
11．【黑龙江省大庆第一中学2017届高三考前冲刺模拟（文）】已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴上且在直线的上方．
（Ⅰ）求圆的标准方程；
（Ⅱ）过点的直线与圆交于两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）;
（Ⅱ）当点的坐标为时，能使得成立.
【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆心，由圆与直线相切，求出
，得到圆C的标准方程；（Ⅱ）当直线轴，在轴正半轴上任一点，都可使轴平分；
当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立直线与圆的方程，消去，得到一个关于的二次方程，由韦达定理，求出
，因为,求出的值.
试题解析：（Ⅰ）设圆心，
则（舍去）．
所以圆的标准方程为．
（Ⅱ）当直线轴，在轴正半轴上任一点，都可使轴平分；
当直线斜率存在时，
设直线方程为，
联立圆的方程和直线的方程得，
，
故，
若轴平分，则
.
当点的坐标为时，能使得成立．
点睛：本题主要考查了求圆的方程、直线与圆位置关系等，属于中档题.考查了学生的计算能力.
12．【江西省抚州市临川区第一中学2017届高三4月模拟（理）】已知动圆与圆外切，与圆内切．
（1）试求动圆圆心的轨迹方程；
（2）过定点且斜率为的直线与（1）中轨迹交于不同的两点，试判断在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）;（2）．
【解析】【试题分析】（１）先运用两圆的位置关系建立等式，再运用椭圆的定义进行分析探求；（２）建立直线的方程与椭圆方程联立，借助坐标之间的关系分析探求：
（1）由得，由得，设动圆的半径为，两圆的圆心分别为，则，∴，根据椭圆的定义可知，点的轨迹为以为焦点的椭圆，∴，
∴，
∴动圆圆的轨迹方程为．
（2）存在，直线的方程为，设，
的中点为．假设存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形，则，
由，得，
，∴，
，
∵，∴，即，
∴，
当时，
，∴；
当时，
，∴．
因此，存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形，且实数的取值范围为．
点睛：本题旨在考查椭圆的定义及几何性质，同时考查直线与椭圆的位置关系等知识的综合运用。求解解答本题的第一问时，先运用两圆的位置关系建立等式，然后在运用椭圆的定义进行分析可知动点的轨迹是椭圆，进而求得其标准方程使得问题获解；求解第二问时先建立直线的方程为，再与椭圆方程联立消去未知数，借助坐标之间的关系分析探求得到，及，
，再运用得到，即，最后解出，进而分类运用基本不等式探求出其范围使得问题获解。
13．【河南省洛阳市2017届高三第三次统考（5月）
（文）】已知椭圆的离心率为，右焦点为，上顶点为，且的面积为（是坐标原点）.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上的一点，过的直线与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限，切点为，证明：
为定值.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）离心率，
，和得到
，求解方程；（2）设，根据两点间距离求,再根据弦长公式求，利用点在椭圆上化简得到定值.
试题解析：解：（1）设椭圆的半焦距为，由已知得
.
∴椭圆的方程为.
（2）以短轴为直径的圆的方程为，.
设，则.
∴
.
又与圆相切于，
∴
.
∴.
14．【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意得：，因此由两圆有交点得：
15．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】在平面直角坐标系xOy中，圆M：(x－a)2＋(y＋a－3)2＝1(a＞0)，点N为圆M上任意一点．若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为
．
【答案】3
【解析】由题意得圆N与圆M内切或内含，即，又，所以，，因此a的最小值为3
16．【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】若直线与圆始终有公共点，则实数的取值范围是
．
【答案】
【解析】因为，所以由题意得：
17．【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】已知经过点的两个圆都与直线，相切，则这两圆的圆心距等于
.
【答案】
【解析】设，则，因为过点，所以，同理又，同理，即为方程两个根，因此
18．【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】在平面直角坐标系中，圆，圆，若圆
上存在点满足：过点向圆作两条切线切点为，的面积为1，则正数的取值范围是
.
【答案】
19.
【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】已知线段的长为，动点满足（为常数），且点总不在以点为圆心，为半径的圆内，则负数的最大值是
.
【答案】
【解析】设
，则由得，因此，解得，即负数的最大值是．
20．【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】
如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB．问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？
【答案】当A，B两点离道路的交点都为2－
(百米)时，小道AB最短．
【解析】如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy．
设A(a，0)，B(0，b)(0＜a＜1，0＜b＜1)，
则直线AB方程为，即bx＋ay－ab＝0．
因为AB与圆C相切，所以．
化简得
ab－2(a＋b)＋2＝0，即ab＝2(a＋b)－2．
因此
因为0＜a＜1，0＜b＜1，所以0＜a＋b＜2，
于是AB＝2－(a＋b)．
又ab＝2(a＋b)－2≤，
解得0＜a＋b≤4－2，或a＋b≥4＋2．
因为0＜a＋b＜2，所以0＜a＋b≤4－2，
所以AB＝2－(a＋b)
≥2－(4－2)＝2－2，
当且仅当a＝b＝2-时取等号，
所以AB最小值为2－2，此时a＝b＝2-．
答：当A，B两点离道路的交点都为2－
(百米)时，小道AB最短．
21．【南通市2016届高三下学期第三次调研考试】某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形为中心在圆心的矩形，现计划将矩形区域设计为可推拉的窗口.
（1）若窗口为正方形，且面积大于（木条宽度忽略不计），求四根木条总长的取值范围；
（2）若四根木条总长为，求窗口面积的最大值.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）设一根木条长为，则正方形的边长为
因为，所以，即
又因为四根木条将圆分成9个区域，所以
所以;
（2）（方法一）设所在木条长为，则所在木条长为
因为，所以
设，
令，得，或（舍去），或（舍去）
列表如下：
+
0
-
极大值
所以当时，，即
22．【江苏省如东高级中学2016届高三上学期期中考试数学试题】如图，地图上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C，与地面的接触点为G.与圆形标志物在同一平面内的地面上点P处有一个观测点，且PG=50m.在观测点正前方10m处（即PD=10m）有一个高位10m（即ED=10m）的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A到F的圆弧.
(1)若圆形标志物半径为25m，以PG所在直线为X轴，G为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C和直线PF的方程；
(2)若在点P处观测该圆形标志的最大视角（即）的正切值为,求该圆形标志物的半径.
【答案】（1），（2）
【解析】（1）圆.
直线方程：.
设直线方程：，
因为直线与圆相切，所以，解得.
所以直线方程：，即.
设直线方程：，圆.
因为，所以.
所以直线方程：，即.
因为直线与圆相切，所以，
化简得，即.
故.
【一年原创真预测】
1.
在平面直角坐标系中，设点为圆：上的任意一点，点，其中，则线段长度的最小值为__________.
【答案】
【解析】由，消去得，因此在直线上运动，线段的最小值是圆心到直线的距离减去半径，即.
【入选理由】本题考查直线与圆的位置关系、最值等基础知识，意在考查学生的分析问题的能力和计算能力．本题将长度的最小值转化为圆上一点到直线的最小值，出题很妙，故选此题.
2.
直线与圆相交于(其中为实数),且
(是坐标原点),则点与点之间距离的最大值为________．
【答案】
【入选理由】本题考查了本题考查直线和圆的位置关系、两点之间距离公式等基础知识，意在考查数形结合思想的运用和函数与方程思想和基本运算能力．此题利用圆的性质，得是等边三角形，利用点到直线的距离，得到（），从而将点与点之间距离转化为二次函数，这是本题的一个亮点，故选此题.
3.
已知不等式组表示平面区域,过区域中的任意一个点,作圆的两条切线且切点分别为,当最大时,
的值为____________.
【答案】
【解析】如图所示，画出平面区域，当最大时，最大，故最大，故最小即可，其最小值为点到直线的距离，故，此时，且，故．
【入选理由】本题考查本题考查线性规划，圆的性质，点到直线距离，解直角三角形，平面向量数量积等基础知识，意在考查数形结合思想和综合分析问题解决问题的能力．本题是一个综合题，这体现高考小题综合化的理念，故选此题.
L
D
x
y
O
C
E
F
PAGE
-
1
-专题3
基本初等函数
【三年高考】
1．【2017课标1，理11】设x、y、z为正数，且，则
A．2x<3y<5z
B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x
D．3y<2x<5z
【答案】D
【考点】指、对数运算性质
【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，在用这个常数表示出对应的，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式和0与1的对数表示.
2．【2017天津，理6】已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】
【考点】
指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
3．【2017北京，理8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
（A）1033
（B）1053
（C）1073
（D）1093
【答案】D
【解析】
试题分析：设
，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.
【考点】对数运算
【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是时，两边取对数，对数运算公式包含，，.
4．【2016高考新课标3理数改编】已知，，，则大小关系是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：因为，，所以．
考点：幂函数的图象与性质．
【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．
5．【2016高考浙江理数】已知a>b>1.若logab+logba=，ab=ba，则a=
，b=
.
【答案】
【解析】
试题分析：设，因为，
因此
考点：1、指数运算；2、对数运算．
【易错点睛】在解方程时，要注意，若没注意到，方程的根有两个，由于增根导致错误．
6【2016高考天津理数】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数a满足
，则a的取值范围是______.
【答案】
考点：利用函数性质解不等式
【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：
(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．
(2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．
7．【2016高考天津理数】已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（
）
（A）（0，]
（B）[，]
（C）[，]{}（D）[，）{}
【答案】C
【解析】
试题分析：由在上递减可知，由方程恰好有两个不相等的实数解，可知，，又∵时，抛物线与直线相切，也符合题意，∴实数的去范围是，故选C.
考点：函数性质综合应用
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
8．【2016高考浙江文数改编】已知函数满足：且.则下列四个命题中正确的命题是 ．
①.若，则；②若，则；③若，则；④若，则
【答案】②
考点：函数的奇偶性.
【思路点睛】先由已知条件可得的解析式，再由的解析式判断的奇偶性，进而对选项逐个进行排除．
9．【2015高考山东，文2】设则的大小关系是_________.
【答案】
【解析】由在区间是单调减函数可知，，又，故.
10.
【2015高考北京，理7】如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是_____.
【答案】
【解析】如图所示，把函数的图象向左平移一个单位得到的图象时两图象相交，不等式的解为，用集合表示解集
11.
【2015高考天津，理7】已知定义在
上的函数
（为实数）为偶函数，记
，则
的大小关系为____________.
【答案】
【解析】因为函数为偶函数，所以，即，所以，所以.
12．【2015高考四川，理15】已知函数，（其中）.对于不相等的实数，设，.现有如下命题：
（1）对于任意不相等的实数，都有；
（2）对于任意的a及任意不相等的实数，都有；
（3）对于任意的a，存在不相等的实数，使得；
（4）对于任意的a，存在不相等的实数，使得.
其中的真命题有
（写出所有真命题的序号）.
【答案】①④
【解析】设.对（1），从的图象可看出，恒成立，故正确.对（2），直线CD的斜率可为负，即，故不正确.对（3），由m=n得，即.令，则.由得：，作出的图象知，方程不一定有解，所以不一定有极值点，即对于任意的a，不一定存在不相等的实数，使得，即不一定存在不相等的实数，使得.故不正确.对（4），由m=－n得，即.令，则.由得：，作出的图象知，方程必一定有解，所以一定有极值点，即对于任意的a，一定存在不相等的实数，使得，即一定存在不相等的实数，使得.故正确.所以（1）（4）
【2018年高考命题预测】
纵观2015－2017高考试题，对基本初等函数的考查，大部分是以基本初等函数的性质为依托，结合运算推理解决问题，高考中一般以选择题和填空的形式考查.幂函数新课标要求较低，只要求掌握幂函数的概念，图像与简单性质，仅限于几个特殊的幂函数，关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题．二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点．题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现.指数函数在历年的高考题中占据着重要的地位.从近几年的高考形势来看，对指数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题.为此，我们要熟练掌握指数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数进行变形处理.高考题目形式多以指数函数为载体的复合函数来考察函数的性质.同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大.对数函数在历年的高考题中占据着重要的地位.从近几年的高考形势来看，对对数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题.为此，我们要熟练掌握对数运算法则，明确算理，能对常见的对数型函数进行变形处理.高考题目形式多以对数函数为载体的复合函数来考察函数的性质.同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大.基本初等函数是考察函数、方程、不等式很好的载体，预测2018年会继续加强对基本初等函数图象和性质的考察.尤其注意以基本初等函数为模型的抽象函数的考察，这种题型只给出定义域内满足某些运算性质的法则，往往集定义域、值域、单调性、奇偶性与一身，全面考察学生对函数概念和性质的理解.
【2018年高考考点定位】
高考对基本初等函数的考查有三种主要形式：一是比较大小；二是基本初等函数的图象和性质；三是基本初等函数的综合应用，其中经常以分段函数为载体考察函数、方程、不等式等知识的相联系.
【考点1】指数值、对数值的比较大小
【备考知识梳理】
指数函数，当时，指数函数在单调递增；当时，指数函数在单调递减.
对数函数，当时，对数函数在单调递增；当时，对数函数在单调递减.
幂函数图象永远过（1,1），且当时，在时，单调递增；当时，在时，单调递减.
【规律方法技巧】
指数值和对数值较大小，若指数值有底数相同或指数相同，可以考虑构造指数函数和幂函数和对数函数，通过考虑单调性，进而比较函数值的大小；其次还可以借助函数图象比较大小.若底数和指数不相同时，可考虑选取中间变量，指数值往往和1比较；对数值往往和0、1比较.
【考点针对训练】
1.设则a，b，c的大小关系是______________________.
【答案】
【解析】由题化简所给式子判断a，b，c范围即可得到其大小；．
2.设，且，则的大小关系是 ．
【答案】
【解析】∵，，∴，∴指数函数为减函数，∴．
【考点2】指数函数的图象和性质
【备考知识梳理】
y＝ax
a>1
0图像
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
当x>0时，y>1；x<0时，0当x>0时，01
过定点(0,1)
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
【规律方法技巧】
研究指数函数性质时，一定要首先考虑底数的范围，分和两种情况讨论，因为两种情况单调性不同，相应地图象也不同.
2、与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．
3、一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解．
【考点针对训练】
1.已知函数，其在区间上单调递增，则的取值范围为 ．
【答案】
2．函数在上恒成立，则的取值范围是
．
【答案】（，+∞）
【解析】由题意得，令，则，因此，从而
【考点3】对数的运算性质和对数函数的图象和性质
【备考知识梳理】
1．对数的定义
如果，那么数叫做以为底的对数，记作其中叫做对数的底数，叫做真数．
2．对数的性质与运算及换底公式
(1)对数的性质：
①；②；③
(2)对数的换底公式
基本公式
(a，c均大于0且不等于1，b>0)．
(3)对数的运算法则：
如果，，那么
①，
②，
③
()．
3．对数函数的图像与性质
a>1
0图像
定义域
(0，＋∞)
值域
R
定点
过点(1,0)
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
函数值
当0当x>1时，y>0；
正负
当00
当x>1时，y<0；
【规律方法技巧】
研究对数函数性质时，一定要首先考虑底数的范围，分和两种情况讨论，因为两种情况单调性不同，相应地图象也不同，同时要注意定义域.
2、对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
3、一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．
【考点针对训练】
1.若，且，则___________.
【答案】2
【解析】∵，∴，∴，
∴，∴，
∴.
2.已知函数（）的图像如图所示，则的值是
．
【答案】
【解析】由题意得
【考点4】二次函数的图象和性质
【备考知识梳理】
二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
单调性
在x∈上单调递减；在x∈上单调递增
在x∈上单调递减在x∈上单调递增
对称性
函数的图象关于x＝－对称
【规律方法技巧】
1、分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置．对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点，函数图象的最高点与最低点等．
2、抛物线的开口，对称轴位置定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论.
【考点针对训练】
1．在区间上存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是
．
【答案】
【解析】由二次函数图像知：当时，，即；当时，，即；综上实数的取值范围是
2．已知，
若
且（a,b,c），则实数的取值范围是
．
【答案】
【考点5】幂函数的图象和性质
【备考知识梳理】
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)幂函数的图象比较
(3)幂函数的性质比较
特征
函数性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R且x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R且y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
增
x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减
增
增
x∈(0，＋∞)
时，减；x∈(－∞，0)时，减
【规律方法技巧】
1．幂函数，其中为常数，其本质特征是以幂的底为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．
2．在上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
【考点针对训练】
1.已知幂函数图像过点，则该幂函数的值域是_____________．
【答案】
【解析】设幂函数的解析式为因为幂函数图像过点，所以，所以该幂函数的解析式为．
2.设幂函数的图象经过点，则
.
【答案】
【解析】函数为幂函数必有：，再将点的坐标带入幂函数解析式中得：，所以，所以答案为：.
【两年模拟详解析】
1.
【镇江市2017届高三年级第一次模拟】已知函数与函数的图象共有（）个公共点：，
，…
，，则
．
【答案】2
【解析】函数与函数的图象都关于对称，共有2个公共点：所以
2.
【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】设函数在是定义在上的周期为的奇函数，若，则实数的取值范围为．
【答案】
【解析】由题设可得，因，故，即，解之得，故答案为：．
3.
【云南师大附中2017届高考适应性月考（八）】若偶函数在上单调递减，
，
，
，则的大小关系是
.
【答案】
【解析】因为函数为偶函数，所以，
，因为偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，
，所以．
4．【山东日照2017届高三下学期二模】函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为 ．
【答案】
5．【四川省成都市9校2017届高三第四次联合】已知函数（，
为自然对数的底数）与的图象上存在关于直线对称的点，则实数取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为函数与（为自然对数的底数）的图象上存在关于直线对称的点，所以函数与的图象有公共点，则有解，即有解，令，则在成立，
在上成立，即在单调递减，在上单调递增，且，所以.
6．【2016届山东省济宁市高三下学期3月模拟】定义在上的奇函数满足，且在上，则
.
【答案】
【解析】
由题意可得，即函数是周期为4的周期函数，又是上的奇函数，在上，故
6.
【2016届四川南充高中高三4月模拟三】已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是
.
【答案】
7.【淮阴中学2015-2016学年度第一学期期中考试】已知函数的图象过定点A，若点A也在函数的图象上，则=
.
【答案】-1
【解析】易知点A（2，0），又因点A在函数的图像上，所以,所以,则．
8．【如东高级中学2016届高三上学期期中考试】已知为正实数，函数，且对任意的，都有，则实数的取值范围为________
【答案】
【解析】当时，，即因此；当时，，即因此；综上实数的取值范围为
9．【江苏省通东中学2015-2016第一阶段高三数学月考试卷】已知函数，则
．
【答案】0
10．【江苏省启东中学2015～2016学年度第一学期第一次阶段测试】函数是上的奇函数，满足，当时，，则
．
【答案】
【解析】由题意，又是奇函数，所以．
11．【江苏省清江中学2016届高三上学期周练数学试题】已知函数，则函数的值域为
．
【答案】
【解析】因为函数是分段函数，因此值域也需要分段求，当x>0，转化为对勾函数；当时，根据指数函数的单调性即可．
,
∴当x>0时，
,
当时，
，综上函数的值域是.
12．【江苏省淮阴中学2015-2016学年度第一学期期中考试】(本小题满分14分)计算题
(1)求值：
(2)求不等式的解集：①
②
【答案】（1）-5；（2）；。
【解析】(1)
.
(2)
①
，∴，∴，∴，解集为.
②
，∴，∴，∴，解集为.
13．【江苏省淮阴中学2015-2016学年度第一学期期中考试】(本小题满分16分)已知，m是是实常数，
(1)当m=1时，写出函数的值域；
(2)当m=0时，判断函数的奇偶性，并给出证明；
(3)若是奇函数，不等式有解，求a的取值范围.
【答案】（1）函数的值域为(1,3)；（2）
为非奇非偶函数；（3）。
【解析】(1)当m=1时，，定义域为R，，，即函数的值域为(1,3).
(2)
为非奇非偶函数.
当m=0时，，因为，所以不是偶函数；又因为，所以不是奇函数；即为非奇非偶函数.
(3)因为是奇函数，所以恒成立，即对恒成立，化简整理得，即.
(若用特殊值计算m，须验证，否则，酌情扣分。)
下用定义法研究的单调性：
设任意，且
，
所以函数在R上单调递减.
∵
有解，且函数为奇函数，∴有解，又因为函数在R上单调递减，所以有解，即有解，又因为函数的值域为(-1,1)，所以,即.
【一年原创真预测】
1.
若函数（且）的图像经过定点，且过点的直线被抛物线截的弦长为，则直线的斜率为___________________.
【答案】
【解析】由已知可知则,设将直线方程与抛物线方程联立，可得，得，所以截的弦长，解得.
【入选理由】本题主要考了对数函数的性质，同时考查了直线与抛物线的位置关系,重点考查学生的分析和解决问题的能力.此题难度不大，综合性较强，体现高考小题综合化的特点，故选此题.
2.函数的定义域为，如果存在区间,使得在区间上的值域仍为，那么我们就把函数叫做“保值函数”.若函数为“保值函数”，则实数的取值范围为____.
【答案】
【解析】由题意可知：若为“保值函数”，则有：即函数的图象与直线有两个不同的交点；如图所示，当函数的图象与直线相切时，
由，从而有，解得：，故要使函数的图象与直线有两个不同的交点必须且只需：．
【入选理由】本题考查新定义下函数的值域问题，指数函数的图象和性质，考查学生运用数形结合思想的能力和逻辑思维和推理的能力.本题通过新定，来研究指数函数的性质，出题角度新，故选此题.
3.设函数，在（1,2）内有交点，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】由于在区间上单调递减，故时，，时，，函数，在区间内有交点，作出的图像，可知实数的取值范围是.
【入选理由】本题考查考查函数的交点等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解，数形结合思想的能力和逻辑思维和推理的能力.此题初看似乎无从下手，但对题目变形后，利用单调性，求出函数的值域，从而可求，难度不大，但题目灵活，故选此题.
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-专题10.1
椭圆
【三年高考】
1．【2017江苏】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为8．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）．
试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c．
因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，，
解得，于是，因此椭圆E的标准方程是．
因为，，所以直线的斜率为，直线的斜率为，
从而直线的方程：，
①
直线的方程：．
②
由①②，解得，所以．
因为点在椭圆上，由对称性，得，即或．
又在椭圆E上，故．
由，解得；，无解．
因此点P的坐标为．
【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系
【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上（点的坐标满足曲线方程）等．
2.
【2014江苏，理17】如图在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左右焦点，顶点的坐标是，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接.
（1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程；
（2）若，求椭圆离心率的值.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般要找到关系的两个等量关系，本题中椭圆过点，可把点的坐标代入标准方程，得到一个关于的方程，另外，这样两个等量关系找到了；（2）要求离心率，就是要列出关于的一个等式，题设条件是，即，，要求，必须求得的坐标，由已知写出方程，与椭圆方程联立可解得点坐标，则，由此可得，代入可得关于的等式，再由可得的方程，可求得.
试题解析：（1）由题意，，，，又，∴，解得．∴椭圆方程为．
（2）直线方程为，与椭圆方程联立方程组，解得点坐标为，则点坐标为，，又，由得，即，∴，化简得．
3．【2013江苏，理12】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为(a＞0，b＞0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若，则椭圆C的离心率为__________．
【答案】
【解析】设椭圆C的半焦距为c，由题意可设直线BF的方程为，即bx＋cy－bc＝0.于是可知，.
∵，∴，即.
∴a2(a2－c2)＝6c4.∴6e4＋e2－1＝0.∴e2＝.
∴.
4．【2017浙江，2】椭圆的离心率是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
试题分析：，选B．
【考点】
椭圆的简单几何性质
【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．
5.【2017课标3，理10】已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2
为直径的圆与直线相切，则C的离心率为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【考点】
椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系
【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式e＝
；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).
6．【2017课标1，理20】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
【解析】
试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.
又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.
因此，解得.
故C的方程为.
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.
【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中为告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据题设关系进行化简.
7．【2016高考新课标1文数改编】直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：如图,由题意得在椭圆中,
在中,,且,代入解得
,所以椭圆得离心率得．
考点：椭圆的几何性质
【名师点睛】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等式,再转化为关于a,c的齐次方程,方程两边同时除以a的最高次幂,转化为关于e的方程,解方程求e
.
8．【2016高考新课标Ⅲ文数改编】已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意设直线的方程为，分别令与得点，，由，得，即，整理，得，所以椭圆离心率为．
考点：椭圆方程与几何性质．
【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得的值，进而求得的值；（2）建立的齐次等式，求得或转化为关于的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出．
9．【2016高考北京文数】（本小题14分）
已知椭圆C：过点A（2,0），B（0,1）两点.
（I）求椭圆C的方程及离心率；
（Ⅱ）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据两顶点坐标可知a,b的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；（Ⅱ）四边形的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线的值求乘积为定值即可.
试题解析：（I）由题意得，，．
所以椭圆的方程为．
又，
所以离心率．
（II）设（，），则．
又，，所以，
直线的方程为．
令，得，从而．
直线的方程为．
令，得，从而．
所以四边形的面积
．
从而四边形的面积为定值．
考点：椭圆方程，直线和椭圆的关系，运算求解能力.
【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.
10．【2016高考山东文数】(本小题满分14分)
已知椭圆C:（a>b>0）的长轴长为4，焦距为2.
（I）求椭圆C的方程；
(Ⅱ)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.
(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明为定值.
(ii)求直线AB的斜率的最小值.
【答案】(Ⅰ)
.(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线AB
的斜率的最小值为
.
【解析】
试题分析：(Ⅰ)分别计算即得.
(Ⅱ)(i)设，
利用对称点可得
得到直线PM的斜率，直线QM的斜率，即可证得.
(ii)设，分别将直线PA的方程，直线QB的方程与椭圆方程
联立，
应用一元二次方程根与系数的关系得到、及用表示的式子，进一步应用基本不等式即得.
试题解析：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，
由题意知，
所以，
所以椭圆C的方程为.
(Ⅱ)(i)设，
由，可得
所以
直线PM的斜率
，
直线QM的斜率.
此时，所以为定值.
(ii)设，
直线PA的方程为，
直线QB的方程为.
联立
，
整理得.
由可得
，
所以，
同理.
所以，
，
所以
由，可知，
所以
，等号当且仅当时取得.
此时，即，符号题意.
所以直线AB
的斜率的最小值为
.
考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式.
【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到参数的解析式或方程是关键，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分析问题解决问题的能力等.
11．【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为
.
【答案】
【解析】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为.
12．【2015高考安徽，理20】设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为.
（I）求E的离心率e；
（II）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.
【解析】（I）由题设条件知，点的坐标为，又，从而，进而得，故.
（II）由题设条件和（I）的计算结果可得，直线的方程为，点的坐标为，设点关于直线的对称点的坐标为，则线段的中点的坐标为.又点在直线上，且,从而有解得，所以，故椭圆的方程为.
13.【2015高考重庆，理21】如题（21）图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且
（1）若，求椭圆的标准方程
（2）若求椭圆的离心率
【解析】
(1)由椭圆的定义，设椭圆的半焦距为c，由已知，因此即从而，故所求椭圆的标准方程为.
(2)解法一：如图(21)图，设点P在椭圆上，且，则，求得由,得,从而由椭圆的定义，,从而由，有，又由，知，因此，于是解得.
解法二：如图(21)图由椭圆的定义，,从而由，有，又由，知，因此,,从而
由,知，因此
14.【2015高考湖北，理21】一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子在滑槽AB内作往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
【解析】（Ⅰ）设点，，依题意，，且，所以，且，即且
由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即所求的曲线的方程为
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有.
当直线的斜率存在时，设直线，
由
消去，可得.因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，
所以，即.
①
又由
可得；同理可得.由原点到直线的距离为和，可得.
②
将①代入②得，.
当时，；
当时，.因，则，，所以，当且仅当时取等号.所以当时，的最小值为8.
15.【2015高考陕西，理20】（本小题满分12分）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，
的直线的距离为．
（I）求椭圆的离心率；
（II）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．
【解析】（I）过点，的直线方程为，则原点到直线的距离，由，得，解得离心率.
(II)解法一：由（I）知，椭圆的方程为.
(1)
依题意，圆心是线段的中点，且.易知，不与轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得，设则由，得解得.从而.于是.由，得，解得.故椭圆的方程为.
解法二：由（I）知，椭圆的方程为.
(2)
依题意，点，关于圆心对称，且.设则，，两式相减并结合得.易知，不与轴垂直，则，所以的斜率因此直线方程为，代入(2)得所以，.于是.由，得，解得.故椭圆的方程为.
【2018年高考命题预测】
纵观2017各地高考试题，对椭圆的考查，重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，高考中以选择题、填空、解答题的第一小题的形式考查椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，为容易题或中档题，以解答题的第二问的形式考查直线与椭圆的位置关系，一般是难题，分值一般为5-12分.
展望2018年高考，对椭圆的考查，仍重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，仍以选择题、填空、解答题的第一小题的形式考查椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，难度仍为容易题或中档题，以解答题的第二问的形式考查直线与椭圆的位置关系，难度仍难题，分值保持在5-12分.在备战2018年高考中，要熟记椭圆的定义，会利用定义解决椭圆上一点与椭圆的焦点构成的三角形问题，会根据题中的条件用待定系数法、定义法等方法求椭圆的标准方程，会根据条件研究椭圆的几何性质，会用舍而不求思想处理直线与椭圆的位置关系，重点掌握与椭圆有关的最值问题、定点与定值问题、范围问题的处理方法，注意题中向量条件的转化与向量方法应用.
【2018年高考考点定位】
高考对椭圆的考查有三种主要形式：一是直接考查椭圆的定义与标准方程；二是考查椭圆的几何性质；三是考查直线与椭圆的位置关系，从涉及的知识上讲，常平面几何、直线方程与两直线的位置关系、圆、平面向量、函数最值、方程、不等式等知识相联系，字母运算能力和逻辑推理能力是考查是的重点.
【考点1】椭圆的定义与标准方程
【备考知识梳理】
1.椭圆的定义：把平面内与两定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：().
注意：（1）当时，轨迹是线段.(2)当时，轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程：（1）
焦点在轴上的椭圆的标准方程为；焦点在y轴上的椭圆的标准方程为.给定椭圆，要根据的大小判定焦点在那个坐标轴上，焦点在分母大的那个坐标轴上.(2)椭圆中关系为：.
【规律方法技巧】
1.利用椭圆的定义可以将椭圆上一点到两焦点的距离进行转化，对椭圆上一点与其两焦点构成的三角形问题，常用椭圆的定义与正余弦定理去处理.
2.求椭圆的标准方程方法
(1)定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到两定点的距离之和为常数（常数大于两点之间的距离），符合椭圆的定义，该曲线是以这两定点为焦点，定值为长轴长的椭圆，从而求出椭圆方程中的参数，写出椭圆的标准方程.
(2)待定系数法，用待定系数法求椭圆标准方程，一般分三步完成，①定性-确定它是椭圆；②定位判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；③定量-建立关于基本量的关系式，解出参数即可求出椭圆的标准方程.
3.若若椭圆的焦点位置不定，应分焦点在x轴上和焦点在y轴上，也可设椭圆方程为，可避免分类讨论和繁琐的计算.
【考点针对训练】
1.
已知椭圆
的焦距为2,过M（1,1）斜率为-直线交曲线C于且M是线段AB的中点，则椭圆的标准方程为_____________.
【答案】
【解析】由题知，2c=2，c=1，即，①
设A，，则=2，=2，③，④，
③-④得===0，
∴===-⑤，由①⑤解得，，故椭圆C的标准方程为，.
2.在直角坐标系中，O为坐标原点，设直线经过点，且与轴交于点F（2，0）.
（Ⅰ）求直线的方程；
（Ⅱ）如果一个椭圆经过点P，且以点F为它的一个焦点，求椭圆的标准方程.
【解析】（Ⅰ）由于直线经过点和F（2，0），
则根据两点式得，所求直线的方程为
即从而直线的方程是
（Ⅱ）设所求椭圆的标准方程为，由于一个焦点为F（2，0），
则①，
又点在椭圆上，
则②
由①②解得所以所求椭圆的标准方程为
【考点2】椭圆的几何性质
【备考知识梳理】
1.椭圆的几何性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
焦点
(±c,0)
(0，±c)
焦距
|F1F2|＝2c(c2＝a2－b2)
范围
|x|≤a；|y|≤b
|x|≤b；|y|≤a
顶点
长轴顶点(±a,0)，短轴顶点(0，±b)
长轴顶点(0，±a)，短轴顶点(±b,0)
对称性
曲线关于x轴、y轴、原点对称
曲线关于x轴、y轴、原点对称
离心率
e＝∈(0，1)，其中c＝
2.点与椭圆关系（1）点在椭圆内；（2）点在椭圆上；（3）点在椭圆外.
【规律方法技巧】
1.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图像进行分析，即使不画图形，思考时也要联想到图像.当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
2.椭圆取值范围实质实质是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用.
3.求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出的等式或不等式，结合化出关于的式子，再利用，化成关于的等式或不等式，从而解出的值或范围.离心率与的关系为：=.
4.椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离的取值范围为[].
4.椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为，是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值.
【考点针对训练】
1.椭圆上横坐标为2的点到右焦点的距离为________
【答案】
【解析】横坐标为2的点到右焦点的距离为
2.椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为___________．
【答案】
【解析】设关于直线的对称点的坐标为，则，所以，，将其代入椭圆方程可得，化简可得，解得．
【考点3】直线与椭圆的位置关系
【备考知识梳理】
直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，若判别式Δ＞0，则直线与椭圆交；若△=0，则直线与椭圆相切；若△＜0，则直线与椭圆相离.
【规律方法技巧】
1.
直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础．
2．直线y＝kx＋b(k≠0)与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝
|x1－x2|＝
·＝·|y1－y2|＝·.
3．对中点弦问题常用点差法和参数法.
【考点针对训练】
1.已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别为．
（Ⅰ）若为等边三角形,求椭圆的方程;
（Ⅱ）若椭圆的短轴长为,过点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程．
【解析】（Ⅰ）设椭圆的方程为．根据题意知,
解得,
故椭圆的方程为．
（Ⅱ）容易求得椭圆的方程为．当直线的斜率不存在时,其方程为,不符合题意;
当直线的斜率存在时,设直线的方程为．由
得．设,则
对任意都成立，
，因为,所以,即
,
解得,即．
故直线的方程为或．
2.在平面直角坐标系中，设点，以线段为直径的圆经过原点．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否恒过一定点，并证明你的结论．
【解析】（Ⅰ）由题意可得，所以，即，即，即动点的轨迹的方程为；
（Ⅱ）设直线的方程为,，则．由消整理得，
则，即．
．
直线，，，，即
所以，直线恒过定点．
【两年模拟详解析】
1.
【镇江市2017届高三年级第一次模拟】已知椭圆的左、右焦点分别为，是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则
．
【答案】
【解析】
2.
【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线交椭圆于、两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为
．
【答案】
【解析】设椭圆的左、右焦点分别为，
将代入椭圆方程可得，故可设，由,
可得，即有，即，
可得，代入椭圆方程可得，，
由，即有，解得，故.
3.
【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右顶点分别为，，过右焦点的直线与椭圆交于，两点（点在轴上方）.
（1）若，求直线的方程；
（2）设直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）
【解析】
解:(1)
因为，，所以，所以的坐标为（1,0），
设，，直线的方程为，
代入椭圆方程，得，
则，．
若，则，
解得，故直线的方程为．
（2）由（1）知，，，
所以，
所以，
故存在常数，使得．
4.【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知椭圆：（）的左焦点为，左准线方程为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线交椭圆于，两点.
①若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足，.求证：为定值；
②若（为原点），求面积的取值范围.
【答案】（1）（2）①②
【解析】
解：（1）由题设知，，，
，，
：.
（2）①由题设知直线的斜率存在，设直线的方程为，则.
设，，直线代入椭圆得，整理得，
，，.
由，知，，
（定值）.
②当直线，分别与坐标轴重合时，易知的面积，
当直线，的斜率均存在且不为零时，设：，：，
设，，将代入椭圆得到，
，，同理，，
的面积
.
令
，
，
令，则
.
综上所述，.
5.
【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】(本小题满分14分)
在平面直角坐标系中，已知圆经过椭圆的焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线交椭圆于两点，为弦的中点，，记直线的斜率分别为，当时，求的值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
解：（1）因，所以椭圆的焦点在轴上，
又圆经过椭圆的焦点，所以椭圆的半焦距，
……………3分
所以，即，所以椭圆的方程为.
……………6分
（2）方法一：设，，，
联立，消去，得，
所以，又，所以，
所以，，
……………10分
则.
…………14分
方法二：设，，，
则，
两式作差，得，
又，，∴，∴，
又，在直线上，∴，∴，①
又在直线上，∴，②
由①②可得，.
……………10分
以下同方法一.
6.【镇江市2017届高三年级第一次模拟】已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线交椭圆于两点，线段的中点为，为坐标原点，且，
求面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1
【解析】
解：（1）由已知得，，
解得，，
……2分
椭圆的方程是.
……4分
（2）设l与x轴的交点为，直线，与椭圆交点为，，
联立，，得，
，
∴
，，
∴
，即，
……6分
由，得，
……10分
则S△POQ，
令，
……12分
设，则，
……14分
当且仅当，即，S△POQ，
……15分
所以△面积的最大值为1.
……16分
7.【2017年第二次全国大联考江苏卷】（本小题满分16分）已知椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若为椭圆上两不同点,线段的中点为.当三角形面积等于时，求的取值范围.
【解析】解：（1）设椭圆的焦距为.
则
，
因此椭圆方程为.………………………4分
（2）①若直线垂直轴，则由
，即………………………6分
②若直线不垂直轴，设直线
由
得
所以
，………………………8分
因此
，当且仅当时取等号.
…………12分
此时
，
因此
，.
综合①②得的取值范围为.………………………16分
8.【2017年第三次全国大联考江苏卷】（本小题满分16分）
已知椭圆的离心率为，上、下顶点分别为．为直线上一个动点(与轴交点除外)，直线交椭圆于另一个点
（1）求椭圆方程；
（2）若直线的斜率分别为求证：为定值；
（3）求的取值范围．
【解析】（1）由题意得，因此椭圆方程为．……………………2分
（2）设，则，
因此，
因为，所以为定值．………………………8分
（3）由（2）得
，
因为，且，所以……………16分
9.【2017年第一次全国大联考江苏卷】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，设椭圆的左、右焦点分别为,右顶点为，上顶点为，离心率为.椭圆上一点满足：在轴上方，且轴.
（1）若∥，求的值；
（2）连结并延长交椭圆于另一点.若，求的取值范围.
【解析】（1）设椭圆的焦距为.
因为轴，则可设.
因为在椭圆上，所以，解得，即.……………2分
因为∥，所以，即.……………4分
所以.……………6分
（2）设，.
由（1）知，又,故，，
由得，，且.
解得，所以，……………9分
因为点在椭圆上，所以，变形得，
因为，所以，……………13分
因为，所以，
解不等式得，
所以的取值范围为.……………16分
10.
【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】已知是椭圆：与双曲线的一个公共焦点，A，B分别是，在第二、四象限的公共点．若，则的离心率是
．
【答案】
【解析】设双曲线的实轴长为，为椭圆：与双曲线的另一个公共焦点，则由对称性知,因此由得．
11．【江苏省苏中三市2016届高三第二次调研测试】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的离心率为．为椭圆上异于顶点的一点，点满足．
（1）若点的坐标为，求椭圆的方程；（2）设过点的一条直线交椭圆于两点，且，直线的斜率之积，求实数的值．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）因为，而，
所以．
代入椭圆方程，得，①
又椭圆的离心率为，所以，②
由①②，得，
故椭圆的方程为．
（2）设，
因为，所以．
因为，所以，
即
于是，
代入椭圆方程，得，
即，③
因为在椭圆上，所以．
④
因为直线的斜率之积为，即，结合②知． ⑤
将④⑤代入③，得，
解得．
12．【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点.
（1）求椭圆的方程;
（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由;
（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）因为左顶点为，所以，又，所以.
又因为，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）直线的方程为，由消元得，.
化简得，，
所以，.
当时，，
所以.因为点为的中点，所以的坐标为，
则.
直线的方程为，令，得点坐标为，
假设存在定点，使得，
则，即恒成立，
所以恒成立，所以即
因此定点的坐标为.
（3）因为，所以的方程可设为，
由得点的横坐标为，
由，得
，
当且仅当即时取等号，
所以当时，的最小值为．
13．【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】(本小题满分16分)
已知点P是椭圆C上的任一点，P到直线l1：x＝－2的距离为d1，到点F(－1，0)的距离为d2，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B(A，B都在x轴上方)，且
∠OFA＋∠OFB＝180 ．
（ⅰ）当A为椭圆C与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程；
（ⅱ）是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总过该定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）＋y2＝1（2）（ⅰ）y＝x＋1（ⅱ）(－2，0)
【解析】（1）设P(x，y)，则d1＝|x＋2|，d2＝，
化简得：＋y2＝1，
∴椭圆C的方程为：＋y2＝1
（2）（ⅰ）由（1）知A(0，1)，又F(－1，0)，∴kAF＝1，
∵∠OFA＋∠OFB＝180 ，∴kBF＝－1，
∴直线BF方程为：y＝－1(x＋1)＝－x－1
代入＋y2＝1得：3x2＋4x＝0，
解得x＝0或x＝－，
∴B(－，).，kAB＝
∴直线AB的方程为：y＝x＋1
（ⅱ）由于∠OFA＋∠OFB＝180 ，所以kAF＋kBF＝0
设直线AB方程为：y＝kx＋b，代入＋y2＝1
得：(k2＋)x2＋2kbx＋b2－1＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)
则x1＋x2＝－，x1x2＝
所以，kAF＋kBF＝＝0
所以，(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝2kx1x2＋(k＋b)(x1＋x2)＋2b
＝2k×－(k＋b)×＋2b＝0
∴b－2k＝0，
所以直线AB方程为：y＝k(x＋2)
所以直线l总经过定点M(－2，0)
【一年原创真预测】
1.
椭圆，椭圆的左、右焦点分别为,椭圆上的点到中心的最短距离为，且椭圆上的点到左焦点的最长距离为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线交于A，B两点．若AB的中点坐标的纵坐标为，求的面积.
【解析】（Ⅰ）由题意可得：，所以椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）直线与椭圆交点坐标分别为联立可得，所以，，又因为的中点的纵坐标为，所以，所以直线方程为：，所以点到直线的距离为，，所以的面积为.
【入选理由】本题考椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，三角形面积公式等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力，直线与椭圆的位置关系，面积问题，是高考考查的热点，故选此题.
2.
椭圆C:的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点的直线与椭圆C交于E,F两点，O为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率．
【解析】（1）．由椭圆的离心率为得，.设
，
，
，.所以.椭圆C的方程为.
（2）由为直角三角形，若，设，则.
①
依题意直线斜率存在，
，联立
得.根据根与系数关系可以知道代入①整理得，得
，
若,设直角顶点为，
，，，满足，所以可以得到或.
【入选理由】本题考查椭圆标准方程，直线和椭圆位置关系，求直线方程等基础知识，意在考查综合分析问题解决问题的能力和基本运算能力，此题是一个常规题，也是是高考考查的重点，故选此题.
3.
已知直角坐标系中，以为中心，点为焦点的椭圆经过第一象限的点,的面积为，且.
(1)当取最小值时，求椭圆的标准方程；
(2)在(1)的条件下，设点分别为椭圆的左、右顶点，点是椭圆的下顶点，点在椭圆上（与点均不重合），点在直线上，若直线的方程为，且，试求直线的方程．
【解析】(1)设()，，得,，．，，则
,，易得
在上递增,当时，有最小值，此时，，.由点在椭圆上，且，得，则椭圆E方程为：．
(2)由(1)知：，，,直线：经过点，求得，设,则,
,，又,所以，
,
,
,又直线过点，故所求方程为：.
【入选理由】本题考椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力，此题第一问出题比较新，构思比较巧，故选此题.
y
x
O
B
F
D
x
D
O
M
N
y
·
l
T
P
O
y
x
Q
第17题图
（第18题）
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1
-专题12.1
算法初步
【三年高考】
1．【2017江苏，4】右图是一个算法流程图，若输入的值为,则输出的的值是
▲
.
【答案】
【考点】循环结构流程图
【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
2.
【2016高考江苏】右图是一个算法的流程图，则输出的a的值是
.
【答案】9
【解析】
试题分析：第一次循环：，第二次循环：，
此时，循环结束，输出的a的值是9，故答案应填：9
【考点】循环结构流程图
【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起始条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
3．【2015江苏高考，4】根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________.
【答案】7
【解析】第一次循环：;第二次循环：;第三次循环：;结束循环，输出
【考点定位】循环结构流程图
4．【2017课标3，理7】执行右图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】D
【考点】
流程图
【名师点睛】利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用；赋值语句赋值号左边只能是变量，不能是表达式，右边的表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式.
5.【2017课标II，理8】执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【解析】
试题分析：阅读流程图，初始化数值
循环结果执行如下：
第一次：
；
第二次：
；
第三次：
；
第四次：
；
第五次：
；
第六次：
；
结束循环，输出
。故选B。
【考点】
流程图
【名师点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构。
(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题。
(3)按照题目的要求完成解答并验证。
6.【2017课标1，理8】右面程序框图是为了求出满足3n 2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入
A．A>1
000和n=n+1
B．A>1
000和n=n+2
C．A1
000和n=n+1
D．A1
000和n=n+2
【答案】D
【解析】
【考点】程序框图
【名师点睛】解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义.本题巧妙的设置了两个空格需要填写，所以需要抓住循环的重点，偶数该如何增量，判断框内如何进行判断可以根据选项排除.
7.【2017天津，理3】阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为24，则输出的值为
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
【答案】
【考点】
程序框图
【名师点睛】识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．
8.【2017山东，理6】执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的的值为，第二次输入的的值为，则第一次、第二次输出的的值分别为
（A）0，0
（B）1，1
（C）0，1
（D）1，0
【答案】D
【解析】试题分析：第一次
；第二次，选D.
【考点】程序框图，直到型循环结构
【名师点睛】识别算法框图和完善算法框图是高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答．对框图的考查常与函数和数列等相结合，进一步强化框图问题的实际背景．
9．【2017北京，理3】执行如图所示的程序框图，输出的s值为
（A）2
（B）
（C）
（D）
【答案】C
【解析】
【考点】循环结构
【名师点睛】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错.
10．【2016高考新课标1卷改编】执行右面的程序框图,如果输入的,则输出x,y的值满足是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：当时,,不满足；
,不满足；,满足；输出．
考点：程序框图与算法案例
【名师点睛】程序框图基本是高考每年必考知识点,一般以客观题形式出现,难度不大,求解此类问题一般是把人看作计算机,按照程序逐步列出运行结果.
11.【2016高考新课标3理数改编】执行下图的程序框图，如果输入的，那么输出的 ．
【答案】4
考点：程序框图．
【注意提示】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．
12．【2016年高考四川理数改编】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为 ．
【答案】18
【解析】
试题分析：程序运行如下
结束循环，输出．
考点：1.程序与框图；2.秦九韶算法；3.中国古代数学史.
【名师点睛】程序框图是高考的热点之一，几乎是每年必考内容，多半是考循环结构，基本方法是将每次循环的结果一一列举出来，与判断条件比较即可．
13.【2016高考新课标2理数改编】中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，依次输入的为2，2，5，则输出的 ．
【答案】17
【解析】
试题分析：由题意，当，输入，则，循环；输入，则，循环；输入，，结束.故输出的．
考点：
程序框图，直到型循环结构.
【名师点睛】直到型循环结构：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环．当型循环结构：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环．
14.【2016年高考北京理数改编】执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出的值为 ．
【答案】2
【解析】
试题分析：输入，则，；
进入循环体，，否，，，否，，，此时，输出，则.
考点：算法与程序框图
【名师点睛】解决循环结构框图问题，要先找出控制循环的变量的初值、步长、终值(或控制循环的条件)，然后看循环体，循环次数比较少时，可依次列出，循环次数较多时，可先循环几次，找出规律，要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误.
15．【2016高考山东理数】执行右边的程序框图，若输入的a,b的值分别为0和9，则输出的i的值为________.
【答案】3
【解析】
试题分析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；满足条件，结束循环，此时，.
考点：循环结构的程序框图
【名师点睛】自新课标学习算法以来，程序框图成为常见考点，一般说来难度不大，易于得分.题目以程序运行结果为填空内容，考查考生对各种分支及算法语言的理解和掌握，本题能较好的考查考生应用知识分析问题解决问题的能力等.
16.【2015高考北京，理3改编】执行如图所示的程序框图，输出的结果为 ．
【答案】
17.【2015高考陕西，理8改编】根据右边的图，当输入为时，输出的 ．
【答案】10
【解析】初始条件：；第1次运行：；第2次运行：；第3次运行：；；第1003次运行：；第1004次运行：．不满足条件，停止运行，所以输出的．
【2018年高考命题预测】
算法初步是新课标新增内容．主要学习算法概念和程序框图，理解算法的基本结构、基本算法语句，理解古代算法案例，体会蕴含的算法思想，增强有条理的思考与表达能力，提高逻辑思维能力．纵观2016各地高考试题，命题主要集中在算法的三种基本逻辑结构的框图表示，程序框图与其它知识结合是新的热点．题目的位置也靠前，属于中低档题，估计2018年高考难度在中低档，可能变换一种考法，比如告诉输出结果，考查判断语句等是命题演变的趋势.
算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础.算法初步虽然是新课标增加的内容，但与前面的知识有着密切的联系，并且与实际问题的联系也非常密切.因此，在高考中算法初步知识将与函数、数列、三角、概率、实际问题等知识点进行整合，是高考试题命制的新“靓”点.这样试题就遵循了“在知识网络交汇处设计试题”的命制原则，既符合高考命题“能力立意”的宗旨，又突出了数学的学科特点.这样做，可以从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，可以揭示数学各知识之间得到的内在联系，可以使考查达到必要的深度.考查形式与特点是：（1）选择题、填空题主要考查算法的含义、流程图、基本算法语句等内容，一般在每份试卷中有1～2题，多为中档题出现.
(2)在解答题中可通过让学生读程序框图去解决其它问题，此类试题往往是与数列题结合在一起，具有一定的综合性，可以考查学生的识图能力及对数列知识的掌握情况.复习建议：一般地讲，算法是人们解决问题的固定步骤和方法．在本模块中，我们应重点掌握的是在数值计算方面的算法． 高考新课程标准数学考试大纲对《算法初步》的要求是：（1）算法的含义、流程图：①了解算法的含义，了解算法的思想；②理解流程图的三种基本逻辑结构：顺序结构、选择结构、循环结构．（2）基本算法语句：理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、选择语句、循环语句的含义．注意的是，考纲对算法的含义和算法的思想的要求是“了解”，而对流程图和基本算法语句的要求是“理解”．由此可见，复习中应把重点放在流程图和基本算法语句上，要对这两方面的内容重点掌握、多加练习．表达算法的方法有自然语言、流程图和基本算法语句三种．自然语言描述算法只是学习算法的一个过渡，流程图和基本算法语句才是学习的重点，同时也是难点，尤其是选择结构和循环结构，在复习中是重中之重．
【2018年高考考点定位】
高考对算法的考查有两种主要形式：一是直接考查程序框图；二是程序语言运用.从涉及的知识上讲，算法初步知识与函数、数列、三角、概率、实际问题等知识点进行整合，小题目综合化是这部分内容的一种趋势.学——
【考点1】算法与程序框图
【备考知识梳理】
（1）算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等.在数学中，现代意义的算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序和步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成
（2）描述算法可以用不同的方式.例如：可以用自然语言和数学语言加以叙述，也可以借助形式语言（算法语言）给出精锐的说明，也可以用程序框图直观的显示算法全貌.
①自然语言就是人们日常使用的语言，可以是人之间来交流的语言、术语等，通过分步的方式来表达出来的解决问题的过程.
其优点为：好理解，当算法的执行都是先后顺序时比较容易理解；
缺点是：表达冗长，且不易表达清楚步骤间的重复操作、分情况处理现象、先后顺序等问题.
②程序框图
程序框图是用规定的图形符号来表达算法的具体过程.
优点是：简捷形象、步骤的执行方向直观明了
③程序语言
程序语言是将自然语言和框图所表达的解决问题的步骤用特定的计算机所识别的低级和高级语言编写而成.特点：能在计算机上执行，但格式要求严格
（3）算法的特征：①确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、“不重不漏”.“不重”是指不是可有可无的、甚至无用的步骤，“不漏”
是指缺少哪一步都无法完成任务.②逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣.分工明确，“前一步”是“后一步”的前提，
“后一步”是“前一步”的继续.③有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制的持续进行.
2．程序框图
（1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形；
（2）构成程序框的图形符号及其作用
程序框
名称
功能
起止框
表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少的.
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置.
处理框
赋值、计算.算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内.
判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”.
流程线
算法进行的前进方向以及先后顺序
循环框
用来表达算法中重复操作以及运算
连结点
连接另一页或另一部分的框图
注释框
帮助编者或阅读者理解框图
（3）程序框图的构成
一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字
3．几种重要的结构
（1）顺序结构
顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的.它是由若干个依次执行的步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构.
见示意图和实例：
顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤.如在示意图中，A框和B框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作.
（2）条件结构
如下面图示中虚线框内是一个条件结构，此结构中含有一个判断框，算法执行到此判断给定的条件P是否成立，选择不同的执行框（A框、B框）.无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能既执行A框又执行B框，也不可能A框、B框都不执行.A框或B框中可以有一个是空的，即不执行任何操作
见示意图
（3）循环结构
在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构.即从算法某处开始，按照一定条件重复执行某一处理过程.重复执行的处理步骤称为循环体.
循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构.
①当型循环结构，如左下图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，返回来再判断条件P是否成立，如果仍然成立，返回来再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次返回来判断条件P不成立时为止，此时不再执行A框，离开循环结构.继续执行下面的框图.
②直到型循环结构，如右下图所示，它的功能是先执行重复执行的A框，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则返回来继续执行A框，再判断条件P是否成立.以次重复操作，直到某一次给定的判断条件P时成立为止，此时不再返回来执行A框，离开循环结构.继续执行下面的框图
见示意图
【规律方法技巧】
1.
识别程序框图运行和完善程序框图的步骤
识别运行程序框图和完善程序框图是高考的热点．解答这一类问题，第一，要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行程序框图，理解框图所解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答．对程序框图的考查常与数列和函数等知识相结合，进一步强化框图问题的实际背景．
2.
．解决程序框图问题要注意几个常用变量：
(1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如.
(2)累加变量：用来计算数据之和，如.
(3)累乘变量：用来计算数据之积，如.
3.
程序框图问题的解法
(1)解答程序框图的相关问题，首先要认清程序框图中每个“框”的含义，然后按程序框图运行的箭头一步一步向前“走”，搞清每走一步产生的结论．
(2)要特别注意在哪一步结束循环，解答循环结构的程序框图，最好的方法是执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误．
4.判断条件的注意事项
解决此类问题应该注意以下三个方面：一是搞清判断框内的条件由计数变量还是累加变量来表示；二是要注意判断框内的不等式是否带有等号，这直接决定循环次数的多少；三是要准确利用程序框图的赋值语句与两个变量之间的关系，把握程序框图的整体功能，这样可以直接求解结果，减少运算的次数．
5.画程序框图的规则如下：
（1）一个完整的程序框图必须有起止框，用来表示程序的开始和结束.
（2）使用标准的图形符号表示操作，带箭头的流程线表示算法步骤的先后顺序，框图一般按从上到下、从左到右的方向画
（3）算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的处理框中.
（4）如果一个流程由于纸面等原因需要分开画.要在断开处画上连结点，并标出连结的号码.如图一.实际上它们是同一点，只是化不才分开画.用连结点可避免流程线的交叉或过长，使流程图清晰.
（5）注释框不是流程图必需的部分，只是为了提示用户一部分框图的作用以及对某些框图的操作结果进行说明.它帮助阅读流程图的用户更好的理解流程图的来龙去脉.
（6）在图形符号内用于描述的语言要非常简练清楚
【考点针对训练】
1.如图所示，程序框图的输出值 ．
【答案】
【解析】根据题中所给的框图，可知输出的结果为．
2.执行如图所示的程序框图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是 ．
【答案】4
【考点2】算法与程序框图
【备考知识梳理】
1．输入语句
输入语句的格式：INPUT
“提示内容”；
变量
例如：INPUT
“x=”；
x功能：实现算法的输入变量信息（数值或字符）的功能.
要求：
（1）输入语句要求输入的值是具体的常量；
（2）提示内容提示用户输入的是什么信息，必须加双引号，提示内容
“原原本本”的在计算机屏幕上显示，提示内容与变量之间要用分号隔开；
（3）一个输入语句可以给多个变量赋值，中间用“，”分隔；输入语句还可以是“提示内容1”；变量1，“提示内容2”；变量2，“提示内容3”；变量3，……”的形式.例如：INPUT“a=，b=，c=，”；a，b，c.
2．输出语句
输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式
例如：PRINT“S=”；S
功能：实现算法输出信息（表达式）
要求：
（1）表达式是指算法和程序要求输出的信息；
（2）提示内容提示用户要输出的是什么信息，提示内容必须加双引号，提示内容要用分号和表达式分开.
（3）如同输入语句一样，输出语句可以一次完成输出多个表达式的功能，不同的表达式之间可用“，”分隔；输出语句还可以是“提示内容1”；表达式1，“提示内容2”；表达式2，“提示内容3”；表达式3，……”的形式；例如：PRINT
“a,b,c:”；a,b,c.
3．赋值语句
赋值语句的一般格式：变量=表达式
赋值语句中的“＝”称作赋值号
作用：赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；
要求：
（1）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式.如：2=x是错误的；
（2）赋值号的左右两边不能对换.赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量.如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的，如x=5是对的，5=x是错的，A+B=C是错的，C=A+B是对的.
（3）不能利用赋值语句进行代数式的演算.（如化简、因式分解、解方程等），如
这是实现不了的.在赋值号右边表达式中每一个变量的值必须事先赋给确定的值.在一个赋值语句中只能给一个变量赋值.不能出现两个或以上的“=”.但对于同一个变量可以多次赋值.
4．条件语句
（1）“IF—THEN—ELSE”语句
格式：
IF
条件
THEN
语句1
ELSE
语句2
END
IF
说明：在“IF—THEN—ELSE”语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件时执行的操作内容；“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；END
IF表示条件语句的结束.计算机在执行“IF—THEN—ELSE”语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果符合条件，则执行THEN后面的“语句1”；若不符合条件，则执行ELSE后面的“语句2”.
（2）“IF—THEN”语句
格式：
IF
条件
THEN
语句
END
IF
说明：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作内容，条件不满足时，直接结束判断过程；END
IF表示条件语句的结束.计算机在执行“IF—THEN”语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果符合条件就执行THEN后边的语句，若不符合条件则直接结束该条件语句，转而执行其它后面的语句
5．循环语句
（1）当型循环语句
当型（WHILE型）语句的一般格式为：
WHILE
条件
循环体
WEND
说明：计算机执行此程序时，遇到WHILE语句，先判断条件是否成立，如果成立，则执行WHILE和WEND之间的循环体，然后返回到WHILE语句再判断上述条件是否成立，如果成立，再执行循环体，这个过程反复执行，直到一次返回到WHILE语句判断上述条件不成立为止，这时不再执行循环体，而是跳到WEND语句后，执行WEND后面的语句.因此当型循环又称“前测试型”循环，也就是我们经常讲的“先测试后执行”、“先判断后循环”.
（2）直到型循环语句
直到型（UNTIL型）语句的一般格式为：
DO
循环体
LOOP
UNTIL
条件
说明：计算机执行UNTIL语句时，先执行DO和LOOP
UNTIL之间的循环体，然后判断
“LOOP
UNTIL”后面的条件是否成立，如果条件成立，返回DO语句处重新执行循环体.这个过程反复执行，直到一次判断
“LOOP
UNTIL”后面的条件不成立为止，这时不再返回执行循环体，而是跳出循环体执行“LOOP
UNTIL
条件”下面的语句.
因此直到型循环又称“后测试型”循环，也就是我们经常讲的“先执行后测试”、“先循环后判断”.
【规律方法技巧】
1.涉及具体问题的算法时，要根据题目进行选择，以简单、程序短、易于在计算机上执行为原则.注意条件语句的两种基本形式及各自的应用范围以及对应的程序框图.条件语句与算法中的条件结构相对应，语句形式较为复杂，要会借助框图写出程序.利用循环语句写算法时，要分清步长、变量初值、终值，必须分清循环次数是否确定，若确定，两种语句均可使用，当循环次数不确定时用while语句.
2.
条件语句的主要功能是来实现算法中的条件结构.
因为人们对计算机运算的要求不仅仅是一些简单的代数运算，而是经常需要计算机按照条件进行分析、比较、判断，并且按照判断后的不同情况进行不同的操作和处理.如果是要解决像“判断一个数的正负”、“比较数之间的大小”，“对一组数进行排序”、“求分段函数的函数值”等很多问题，计算机就需要用到条件语句.条件结构的差异，造成程序执行的不同.当代入x的数值时，“程序一”先判断外层的条件，依次执行不同的分支，才有可能判断内层的条件；而“程序二”中执行了对“条件1”的判断，同时也对“条件2”进行判断，是按程序中条件语句的先后依次判断所有的条件，满足哪个条件就执行哪个语句.
3.
赋值语句在程序运行时给变量赋值；“=”的右侧必须是表达式，左侧必须是变量；一个语句只能给一个变量赋值；有计算功能；将一个变量的值赋给另一个变量时，前一个变量的值保持不变；可先后给一个变量赋多个不同的值，但变量的取值只与最后一次赋值有关.
关于赋值语句，有以下几点需要注意：
①赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如是错误的．
②赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如，表示用的值替代变量的原先的取值，不能改写为.因为后者表示用的值替代变量的值．
③在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现两个或多个“＝”．
4.
学习了循环语句的两种格式，我们来挖掘一下应用循环语句编写程序的“条件三要素”.
第一、循环语句中的变量一般需要进行一定的初始化操作.
第二、循环语句在循环的过程中需要有“结束”的机会.
程序中最忌“死循环”.所谓的“死循环”就是指该循环条件永远成立，没有跳出循环体的机会.
第三、在循环中要改变循环条件的成立因素
程序每执行一次循环体，循环条件中涉及到的变量就会发生改变，正在步步逼近满足跳出循环体的条件.
【考点针对训练】
1.执行右边的伪代码后，输出的结果是
．
【答案】28
【解析】i=1,x=4;1<10成立，x=6,i=4;4<10成立，x=14,i=7;7<10成立，x=28,i=10;10<10不成立，所以输出的x的值为28。
2.如图所示的程序执行后输出的结果为
．
【答案】
【解析】根据算法语句可知，符合条件，；符合条件，；
，直到时，不符合条件，输出，结束．
【两年模拟详解析】
1.
【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】如图是一个算法的流程图，则输出的的值为__________．
【答案】6
【解析】阅读流程图，当时，，一直进行循环，
当时，，
此时跳出循环结构，输出
.
2.
【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前个自然数平方和的一般公式.下图是一个求前个自然数平方和的算法流程图，若输入的值为1，则输出的值为
．
【答案】14
【解析】第一次循环:
;
第二次循环:
;
第三次循环:
;结束循环,输出
3.
【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】如图是一个算法流程图，则输出的x的值是▲
..
【答案】9
【解析】第一次循环：，第二次循环：
结束循环，输出
4.
【2017年第二次全国大联考江苏卷】运行如图所示的流程图，其结果为
【答案】
【解析】由程序框图，的初始值为，执行循环时依次为；；；.满足判断条件，退出循环，输出．
5.
【2017年第三次全国大联考江苏卷】若表示正整数除以正整数后的余数为，则执行该程序框图输出的______．
【答案】
6.
【2017年第一次全国大联考江苏卷】运行如图所示的伪代码，其结果为____________．
【答案】
【解析】由题意得：第一次循环;第二次循环;第三次循环;第四次循环;直至第次循环;结束循环，输出
7.
【2016—2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）】下图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是
．
【答案】
8.
【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为（
）
【答案】0.8
【解析】运行程序可知：
，
第1次循环：是，是，；
第2次循环：是，是，；
第3次循环：是，否，；
第4次循环：是，否，.
第5次循环：是，是，，
此时和第1次循环时的值相等.
的值将以4为周期重复出现，
于是运行至第2017=4×504+1次循环：是，是，；
然后第2018次循环：是，是，；
第2019次循环：不满足，否，输出，退出循环程序，故此时输出的.
9.
【2017年高考原创押题预测卷02（江苏卷）】执行如图所示的算法流程图，则输出的结果的值为
【答案】.
10.
【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中位居民的月均用水量分别为（单位：吨）．根据如图所示的程序框图，若，且分别为，则输出的结果为．
【答案】
【解析】设，当时，；当时，，当时，循环结束，输出．
11.
【苏北四市2016届高三第二次调研】运行如图所示的伪代码，则输出的结果为
．
【答案】9
【解析】第一次循环，,第二次循环，，第三次循环，，第四次循环，，则
12．【江苏省清江中学数学模拟试卷】某程序框图如图所示，若判断框内为，则输出的S=
.
【答案】57
【解析】循环体中的值依次为；，，，由于判断框为为，因此此时输出为．
13．【江苏省清江中学2016届高三上学期周练数学试题】执行如图所示的程序框图，若输出s的值为11，则输入自然数n的值是
．
【答案】4
【解析】执行程序框图，写出每次循环得到的s，i的值，当i=5时由题意，此时应该不满足条件i≤n，输出s的值为11，故应该n的值为4.
执行程序框图，
输入n
i=0，s=1
满足条件i≤n，有s=1，i=1
满足条件i≤n，有s=2，i=2
满足条件i≤n，有s=4，i=3
满足条件i≤n，有s=7，i=4
满足条件i≤n，有s=11，i=5
由题意，此时应该不满足条件i≤n，输出s的值为11．
故答案为：4
14．【扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题】.如图，若输入的值为，则相应输出的值为
.
【答案】
【解析】,由流程图得
15．【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】运行如图所示的伪代码，其结果为
.
【答案】17
【解析】第一次循环，I=1，S=1+1=2；第二次循环，I=3，S=2+3=5；第三次循环，I=5，S=5+5=10；第四次循环，I=7，S=10+7=17，结束循环输出S=17
16．【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】执行如图所示的程序框图，则输出的值为__________．
【答案】4
【解析】第一次循环：；第二次循环：，第三次循环：，结束循环，输出
17．【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】右图是一个算法流程图，则输出的的值是
．
【答案】
【解析】第一次循环，，第二次循环，，第三次循环，，结束循环，输出
18．【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】执行如图所示的流程图，则输出的k的值为
．
【答案】
【解析】第一次循环，第二次循环，第三次循环，第四次循环，结束循环，输出
19．【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】右边程序输出的结果是___________．
【答案】10
【解析】第一次循环：,第二次循环：,第三次循环：,输出的结果是10.
20．【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】如图是一个算法流程图，则输出的S的值是
．
【答案】
【解析】第一次循环：，第一次循环：，结束循环，输出
21．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】执行如图所示的伪代码，输出的结果是
．
【答案】8
【解析】第一次循环：，第二次循环：，第三次循环：，输出
22.【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】某算法流程图如右图所示，该程序运行后，若输出的，则实数等于
．
【答案】
【解析】第一次循环，第二次循环，第三次循环，结束循环输出
23．【江苏省苏北三市2016届高三最后一次模拟考试】执行如图所示的流程图，则输出的值为
.
【答案】3
【解析】第一次循环：，第二次循环：，第三次循环：，结束循环，输出
【一年原创真预测】
1.执行如下图所示的程序框图，则输出的值为 ．
【答案】5
【入选理由】本题考查算法与程序框图等基础知识，意在考查读懂算法语句，进行简单计算的能力．本题属于常规题，难度适中，故选此题．
2.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是___．
【答案】12
【解析】；；；
，即输出的结果为12.
【入选理由】本题主要考查循环结构的程序框图的输出功能.按照程序框图中的运算步骤逐步实施运算，并不断检验是否满足输出的条件即可．本题立意新，综合性强，难度适中，故选此题．
3.设为等差数列，其中，阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出结果为
．
【答案】16
【解析】设等比数列公比为，则，所以，程序在执行过程中，的值依次为：；；；……，
，，程序结束，输出
．
【入选理由】本题考查算法与程序框图，等比数列，数列求和等基础知识，意在考查读懂算法语句，进行简单计算的能力．高考对算法的考查主要是程序框图，试题以选择题或填空题的形式出现，主要考查程序框图运行的输出结果或判断条件的确定．本题中与数列交汇命题、立意新颖、难度适中，故选此题．
A
示意图
输入n
flag=1
p
A
B
Y
N
A
成立
不成立
P
当型循环结构
直到型循环结构
成立
不成立
P
A
S←2,
I←1
While
S←
I←I+1
End
While
Print
S
第4题图
S←1
For
I
From
1
To
7
step
2
S←S
+
I
End
For
Print
S
第4题图
k←1
开始
输出k
结束
S＞16
S←1
Y
N
S←S＋3k－1
k←k＋1
（第5题图）
S←1
For
I
From
1
To
5
Step
2
S←S＋I
End
For
Print
S
（第5题）
S←1
I←2
While
S≤100
I←I＋2
S←S×I
End
While
Print
I
（第5题图）
（第7题）
结束
开始
n
←
1
x
←
a
x
←
2x
1
输出x
N
n≤3
n←
n
1
Y
PAGE
-
1
-专题2.1
函数的概念及其表示
【三年高考】
1.
【2016江苏高考6】函数y=的定义域是
▲
.
【答案】
【解析】
试题分析：要使函数式有意义，必有，即，解得．故答案应填：
【考点】函数定义域
【名师点睛】函数定义域的考查，一般是多知识点综合考查，先“列”后“解”是常规思路.列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发，而解则与一元二次不等式、指（对）数不等式、三角不等式等联系在一起.
2．【2016江苏高考17】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.
（1）若则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？
【答案】（1）312（2）
【解析】
试题分析：（1）明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解；（2）先根据体积关系建立函数解析式，，然后利用导数求其最值.
(2)设A1B1=a(m)，PO1=h(m)，则0因为在中，
所以，即
于是仓库的容积，
从而.
令，得
或（舍）.
当时，
，V是单调增函数；
当时，，V是单调减函数.
故时，V取得极大值，也是最大值.
因此，当m时，仓库的容积最大.
【考点】函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积
【名师点睛】对应用题的训练，一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点等方面进行强化，注重培养将文字语言转化为数学语言的能力，强化构建数学模型的几种方法.而江苏高考的应用题往往需结合导数知识解决相应的最值问题，因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要求，需熟练掌握.
3.
【2011江苏，理11】已知实数，函数，若，则的值为
。
【答案】
【解析】本题考查了函数的概念及函数和方程的关系，是A级要求，
中档题。由题意得，当时，
，，解之得，不合舍去；当时，，，解之得。本题只要根据题意对分类，把问题化为方程问题求解即可，而无需画图，否则较易错。要分析各类问题的特点，恰当转化是解决问题的关键，要培养相关的意识。
4.
【2012江苏，理5】函数的定义域为__________．
【答案】(0，]
【解析】要使函数有意义，则需解得0＜x≤，故f(x)的定义域为(0，].
5.
【2017课标3，理15】设函数则满足的x的取值范围是_________.
【答案】
写成分段函数的形式：，
函数
在区间
三段区间内均单调递增，
且：
，
据此x的取值范围是：
.
【考点】
分段函数；分类讨论的思想
【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
6.【2016高考新课标1文数改编】函数在的图像大致为是下列图象是的
【答案】④
考点：函数图像与性质
【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项.
7．【2016高考新课标2文数改编】下列函数中，在①y=x
②y=lgx③y=2x④中，定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是 ．
【答案】④
【解析】
试题分析：，定义域与值域均为，只有④满足，故填④．
考点：
函数的定义域、值域，对数的计算.
【名师点睛】基本初等函数的定义域、值域问题，应熟记图象，运用数形结合思想求解.
8．【2015高考湖北，文6】函数的定义域为__________________.
【答案】
【解析】由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件：，解之得，即函数的定义域为.
9.【2015高考浙江，理10】已知函数，则
，的最小值是
．
【答案】，.
【解析】，当时，，当且仅当时，等
号成立，当时，，当且仅当时，等号成立，故最小值为.
10.
【2016高考北京文数】函数的最大值为_________.
【答案】2
【解析】
试题分析：，即最大值为2.
考点：函数最值,数形结合
【名师点睛】求函数值域的常用方法：①单调性法，如(5)；②配方法，如(2)；③分离常数法，如(1)；④数形结合法；⑤换元法(包括代数换元与三角换元)，如(2)，(3)；⑥判别式法，如(4)；⑦不等式法，如(4)，(5)；⑧导数法，主要是针对在某区间内连续可导的函数；⑨图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，如(6)；对于二元函数的值域问题，如(5)，其解法要针对具体题目的条件而定，有些题目可以将二元函数化为一元函数求值域，有些题目也可用不等式法求值域．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．
11.
【2016高考浙江文数】设函数f(x)=x3+3x2+1．已知a≠0，且f(x)–f(a)=(x–b)(x–a)2，x∈R，则实数a=_____，b=______．
【答案】－2；1．
考点：函数解析式.
【思路点睛】先计算，再将展开，进而对照系数可得含有，的方程组，解方程组可得和的值．
12.【2015高考上海，理20】如图，，，三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地.
（1）求与的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过？说明理由.
【答案】（1），（2），不超过.
【解析】解：（1）．
记乙到时甲所在地为，则千米．
在中，，
所以（千米）.
（2）甲到达用时小时；乙到达用时小时，从到总用时小时．
当时，
；
当时，.
所以.
因为在上的最大值是，在上的最大值是，所以在上的最大值是，不超过.
【2018年高考命题预测】
纵观以往高考试题，此部分知识在江苏高考命题中多以填空题的形式出现，或与导数结合出一个解答题，主要考查函数的定义域和值域，以及求函数解析式，求函数值，与最值，分段函数求值等．函数作为基础知识，单独命题不多，常以本节知识求函数解析式考查立体几何，解析几何，数列，向量，三角函数等内容最值等问题.具体对函数概念的考察，一般不会以具体形式出现，而是考察通过映射理解函数的本质，体会蕴含在其中的函数思想．对函数定义域的考察，据其内容的特点，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，而且一般是一个具体的函数，故难度较低．对函数值域的考察，多以基本初等函数为背景，若在填空题中出现，则难度较低；若出现在解答题中，则会利用导数工具求解，难度较大．对函数表示的考察，通过具体问题（几何问题和实际应用）为背景，寻求变量间的函数关系，再求函数的定义域和值域，进而研究函数的性质，寻求问题的结果．对分段函数的考察是重点和热点，往往会以工具的形式和其他知识点结合起来考，以新颖的题型考察函数知识，所以难度会大点．预测2018年可能会有考查函数概念和函数性质的题目出现．
【2018年高考考点定位】
高考对函数概念及其表示的考查有三种主要形式：一是考察函数的概念；二是简单函数的定义域和值域；三是函数的解析表示法；其中经常以分段函数为载体考察函数、方程、不等式等知识的相联系.
【考点1】函数的概念与映射的概念
【备考知识梳理】
1.近代定义：
设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为
2.传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x,y,，若对于每一个确定的x的值，都有唯一确定的值y与之对应，则x是自变量，y是x的函数．
3.符号表示集合到集合的一个映射，它有以下特点：
(1)对应法则有方向性,
与不同;
(2)集合中任何一个元素,在下在集合中都有唯一的元素与对应;
(3)象不一定有原象,象集与间关系是.
【规律方法技巧】
1.
判定一条曲线是函数图象的方法：作与x轴垂直的直线，若直线与曲线最多有一个交点，则该曲线是函数的图象．
2.
分段函数求值：给定自变量求函数值时，要确定自变量所属区间，从而代入相应的函数解析式；分段函数知道函数值或函数值范围求自变量或自变量取值范围时，要分类讨论并和相应的自变量区间求交集，进而得结果．
3.判断一个对应是否为映射，关键看是否满足“集合中元素的任意性，集合中元素的唯一性”．
【考点针对训练】
1.给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②是函数；③函数的图象是一条直线；④与是同一个函数．其中正确的有_______________个.
【答案】1
2.下列对应法则f为A上的函数的个数有_________个.
①；
②；
③
【答案】1
【解析】对于①，当时，，故①所给的对应法则不是到的映射，当然它不是上的函数关系；对于②当时，，故②所给的对应法则不是到的映射，当然它不是上的函数关系；对于③对于中的任一个数，按照对应法则，在中都有唯一元素0和它对应，故③所给的对应法则是到的映射，这两个数集之间的关系是集合上的函数关系．
【考点2】函数的表示
【备考知识梳理】
1．表示函数的方法有列表法、图象法、解析式法，最常用的方法是解析式法，尤其在实际问题中需要建立函数式，首先要选定变量，然后寻找等量关系，求得函数的解析式，还要注意定义域．
2.
若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用分段函数来表示．
【规律方法技巧】
求函数的解析式的常用方法：
1.代入法：如已知求时，有.
2.待定系数法：已知的函数类型，要求的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可.
3.拼凑法：已知的解析式，要求的解析式时，可从的解析式中拼凑出“”，即用来表示，，再将解析式的两边的用代替即可.
4.换元法：令，在求出的解析式，然后用代替解析式中所有的即可.
5.方程组法：已知与满足的关系式，要求时，可用代替两边的所有的，得到关于的方程组，解之即可得出.
6.赋值法：给自变量赋予特殊值，观察规律，从而求出函数的解析式.
7.若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解．
8.应用题求解析式可用待定系数法求解．
注意：求函数解析式一定要注意函数的定义域，否则极易出错．
【考点针对训练】
1.已知一次函数满足，求.
【答案】或
【解析】(待定系数法)∵是一次函数，∴设，
则
∵，∴解得或
∴或.
2.定义在内的函数满足，求
【答案】，
【解析】(消去法)当时，有，①
以代替得，②
由①②消去得，，.
【考点3】分段函数及其应用
【备考知识梳理】
1．分段函数是一个函数，而不是几个函数；
2．分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集；
【规律方法技巧】
1.因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．
2.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则．
【考点针对训练】
3.已知函数，那么的值是_____________________.
【答案】2
【解析】表示当自变量
时对应的函数值；根据分段函数的定义,当
时,；
因为
,
所以.
4.设函数若，则实数的取值范围是______
【答案】
【考点4】定义域和值域
【备考知识梳理】
在实际问题中，通过选择变量，写出函数解析式，进而确定定义域和值域，再研究函数的性质是函数思想解决实际问题的体现，定义域就是使得实际问题或者具体问题有意义的自变量的取值范围，值域就是与定义域相应的函数值的取值范围．
1.
函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围.
2．求函数定义域的步骤：①写出使函数有意义的不等式（组）；②解不等式（组）；③写出函数的定义域（注意用区间或集合的形式写出）
3.在函数中与自变量相对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域..函数的值域与最值均在定义域上研究.函数值域的几何意义是对应函数图像上纵坐标的变化范围.
4.函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但只确定了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域．在函数概念的三要素中，值域是由定义域和对应关系所确定的，因此，在研究函数值域时，既要重视对应关系的作用，又要特别注意定义域对值域的制约作用．
【规律方法技巧】
1.求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解析式，应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式，就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.
2.求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.
3.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.
4.对于复合函数求定义域问题，若已知的定义域，则复合函数的定义域由不等式得到.
5.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.
6.与定义域有关的几类问题
第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；
第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；
第三类是不给出函数的解析式，而由的定义域确定函数的定义域或由的定义域确定函数的定义域．
第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．
7.函数值域的求法:
利用函数的单调性:若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.
利用配方法:形如型,用此种方法,注意自变量x的范围.
利用三角函数的有界性,如.
利用“分离常数”法:形如y=
或
(至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.
利用换元法:形如型,可用此法求其值域.
利用基本不等式法:
导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域
8.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
9.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部
分剔除.
【考点针对训练】
1.已知的定义域为，则函数的定义域为
.
【答案】
【解析】令，知的定义域为，所以，即，解得，所以所求函数的定义域为.
2.若函数的定义域为R，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】函数的定义域为R，所以对恒成立，因此有，解得，即的取值范围为.
3.函数的定义域是，则其值域是
__________.
【答案】
【解析】当时，，此时.当时，，
此时，，即，
综上函数的值域为.
4.已知函数，试判断此函数在上的单调性，并求此函数在上的最大值和最小值.
【答案】最大值和最小值分别为2和
【解析】设、是区间［2,6］上的任意两个实数,且,
则
=-
==.由于，得，,于是,即.
所以函数是区间［2,6］上的减函数.
因此函数在区间［2,6］的两个端点上分别取得最大值与最小值,
故函数在上的最大值和最小值分别为2和.
【两年模拟详解析】
1．函数的定义域为______．
【答案】
【解析】由
，可得
，所以，函数的定义域为，故答案为.
2．函数的定义域是______________
【答案】
【解析】由题意得
，即定义域是
3．函数的定义域为__________．
【答案】[1，3）
【解析】函数有意义，则：
，求解关于实数x的不等式组可得函数的定义域为[1，3）.
点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
4．若函数在(a，b＋4)(b＜－2)上的值域为(2，＋∞)，则ab
＝______．
【答案】8；
【解析】将已知函数变形为，又∵，∴，
∴函数在上为减函数，
∴，又∵值域为，
∴，
趋向于，∴，
∴，故答案为8.
点睛：本题考查的是函数的最值应用问题．在解答的过程当中当中充分体现了函数的变形技巧、单调性的分析以及问题转化的能力．值得同学们体会反思；在解答时可以先将函数变形为，然后利用b的范围获得函数的单调性，又由于在上的值域为，所以结合边界值的特点即可获得、的值，从而问题即可获得解答.
5．已知函数将集合（为常数）中元素由小到大排列，则前6个元素的和为________.
【答案】52
6．函数的定义域是_______________．（用区间表示）
【答案】
【解析】∵函数，
∴，
即，
解得；
即0∴f(x)的定义域是.
故答案为：
.
7．对于函数，若存在一个区间，使得，则称为的一个稳定区间，相应的函数的“局部稳定函数”，给出下列四个函数：①；②；③；④，所有“局部稳定函数”的序号是__________．
【答案】①②
【解析】“局部稳定函数”的定义可以转换为：函数与至少有两个不同的交点，在交点所构成的区间内具有连续性，在交点所确定的区间之内单调递增或单调递减，
很明显①②满足题意，
函数与相切，
函数与没有交点，
综上可得所有“局部稳定函数”的序号是①②.
点睛：学习能力型问题必将成为以后高考考核的重点，它题目新颖，考察全面，摆脱了以往只考察学生记忆、计算等方面知识.而这类题型是考察学生的阅读理解力、知识迁移能力和归纳概括能力等，是考察学生素质能力的典型题目，应引起广大师生的关注，学习有两个过程：一个是“从薄到厚”，一个是“从厚到薄”.前者是知识不段丰富、积累的过程，是“量”的积累；“从厚到薄”则是质的飞跃.在这里正是应用到了“从厚到薄”.而这类问题涉及知识面广、开放度高、灵活性强，能够很好地考核考生利用所学知识分析问题和解决问题的能力，需要平时结合所学的知识多联想和多类比，注意知识的活学活用，才能够处理好这类问题.
8．若,则__________．
【答案】
【解析】因为，所以，应填答案。
9.函数的定义域为
．
【答案】
【解析】由题意得，定义域为
10.函数的定义域为
.
【答案】
【解析】由题意得，即定义域为
11.某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30
km(忽略内、外环线长度差异)．
(1)
当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10
min，求内环线列车的最小平均速度；
(2)
新调整的方案要求内环线列车平均速度为25
km/h，外环线列车平均速度为30
km/h.现内、外环线共有18列列车全部投入运行，问：要使内、外环线乘客的最长候车时间之差最短，则内、外环线应各投入几列列车运行？
【答案】（1）20
km/h.（2）内环线投入10列，外环线投入8列
【解析】(1)
设内环线列车运行的平均速度为v
km/h，由题意可知，?v≥20.所以，要使内环线乘客最长候车时间为10
min，列车的最小平均速度是20
km/h.
(2)
设内环线投入x列列车运行，则外环线投入(18－x)列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为t1、t2
min，则t1＝，t2＝.于是有t=|t1－t2|＝在（0,9）递减，在（10，17）递增.又，所以x＝10，所以当内环线投入10列，外环线投入8列列车运行时，内、外环线乘客最长候车时间之差最短.
12.函数的定义域为
.
【答案】[-2，4)
【解析】要使函数有意义需有，，解得，所以函数的定义域为[-2，4)
13.从集合A到集合B的映射，若A={-2，-1,0,1,2}，则B中至少有
个元素；
【答案】3
【解析】根据映射的定义可得，,,,所以象集为，故集合B中至少有3个元素.
14.使得函数的值域为的实数对有
对.
【答案】2
【解析】
试题分析：，
当时，在上递减，则，即，
解得：或（舍）；
当时，在上递增，则，即，
解得：，，又，所以无解；
15.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
若集合，则实数的取值范围为
▲
.
【答案】
【解析】①时，满足
②时，，由图像知，
综上，实数的取值范围为
16.函数的值域为
▲
．
【答案】
【解析】，因此值域为
17.设定义在正整数集上，且，,则
.
【答案】
【解析】以代入，得：，
即，，
则，
，
，
，
上面所有式子相加，
得：，
即.
18.设定义在R上的函数满足，若，则
.
【答案】
【解析】由，得，所以，即是周期函数且周期为4，所以．
19.已知i是虚数单位，是全体复数构成的集合，若映射R满足:
对任意，以及任意R
,
都有,
则称映射具有性质.
给出如下映射:
①
R
,
,
iR;
②
R
,
,
iR;
③
R
,
,
iR;
其中,
具有性质的映射的序号为________________.
【答案】①
③
【解析】设，（，，，），则，对于①，，而，具有性质；对于②，，而，因为
，所以不具有性质；对于③，，而，具有性质．所以具有性质的映射的序号为①
③．
20.函数的最大值为
.
【答案】
【一年原创真预测】
1.已知函数在上的最大值分别为，则=
．
【答案】1
【解析】因为，所以函数的图象关于点对称，因此=1
【入选理由】本题考查函数最值、对称性等基础知识，意在考查学生的基本运算能力.函数的最值是高考考试的重点，本题巧妙的通过对称性来解，要比直接去求简单得多，此题体现出题人构思巧妙，不失一个好题，故选此题.
2.
设函数的定义域为，如果对于任意的，存在唯一的，使得成立（其中为常数），则称函数在上为一个“度”函数.则下列函数①②③④中是“度”函数的为 ．
【答案】③
【解析】由已知，称函数在D上为一个“度”函数，则有，即.故可利用关于的方程是否存在唯一解进行判断.①由，得，显然当时，不存在，故不是“度”函数；②由，得，即，显然当时，无解，故该函数不是一个“3度”函数；③由，得，即，对任意的，的解都是唯一的.故该函数是一个“3度”函数.④由，得，显然当时，无解，故该函数不是一个“3度”函数.故只有③满足题意.
【入选理由】本题考查新定义函数问题，考查对新定义的理解与应用能力以及基本的逻辑推理能力等．新定义问题是考查学生接受新事物能力，一般紧扣住题意即可，往往学生对新知识理解不到位容易出错，故选此题.
3.
已知，对，使成立，则a的取值范围是_______________________.
【答案】[-1，1]
【解析】由题意知函数的值域是函数的值域的子集；因为当时，
当时,，所以函数的值域是
所以，解得：.
【入选理由】分段函数在自变量的不同范围内解析式不同，本题转化为函数的值域是函数值域的子集．本题是分段函数的灵活应用，解题关键是转化，试题立意较新，故选此题
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-专题1
空间几何体
【三年高考】
1．【2017江苏】如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是
▲
．
【答案】
【解析】设球半径为，则．故答案为．
【考点】圆柱的体积、球的体积
【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
2.
【2014江苏，理8】设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是
.
【答案】
【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为，，则，，又，所以，则.
3.
【2013江苏，理8】如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝__________.
【答案】1∶24
【解析】由题意可知点F到面ABC的距离与点A1到面ABC的距离之比为1∶2，S△ADE∶S△ABC＝1∶4.
因此V1∶V2＝＝1∶24..
4.
【2012江苏，理7】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3
cm，AA1＝2
cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为__________cm3.
【答案】6
【解析】由已知可得，＝＝＝×3×3×2＝6(cm3)．
5．【2017课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【考点】
圆柱的体积公式
【名师点睛】(1)求解以空间几何体的体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.
6．【2017天津，理10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为
.
【答案】
【解析】设正方体边长为
，则
，
外接球直径为.
【考点】
球
【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.
7．【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5
cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.
【答案】
【解析】
【考点】简单几何体的体积
【名师点睛】对于三棱锥最值问题，肯定需要用到函数的思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决.
8．【2016高考新课标3理数改编】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，
，，，则的最大值是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：要使球的体积最大，必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为．
考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积．
【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．
9．【2016高考上海理数】如图，在正四棱柱中，底面的边长为3，与底面所成角的正切值为，则该正四棱柱的高等于____________.
【答案】
【解析】
试题分析：
由题意得.
考点：1.正四棱柱的几何特征；2.直线与平面所成的角.
【名师点睛】涉及立体几何中的角的问题，往往要将空间问题转化成平面问题，做出角，构建三角形，在三角形中解决问题；也可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求解，应根据具体情况选择不同方法，本题难度不大，能较好地考查考生的空间想象能力、基本计算能力等.
10．【2016高考新课标1卷改编】如图,某几何体是一个球被切掉左上角的,.若该几何体的体积是,则它的表面积是 ．
【答案】
考点：三视图及球的表面积与体积
11．【2015高考新课标1，文6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有___________________斛.
【答案】22
【解析】设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22.
12.【2015高考安徽，文19】如图，三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，.
（Ⅰ）求三棱锥P-ABC的体积；
（Ⅱ）证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值.
【解析】（Ⅰ）由题设＝1,
，可得.
由面
，可知是三棱锥的高,又，所以三棱锥的体积；
（Ⅱ）证：在平面内，过点B作，垂足为，过作交于，连接.
由面知，所以.由于，故面，又面，所以.在直角中，，从而.由，得.
【2018年高考命题预测】
纵观2017各地高考试题，对简单几何体的考查，主要考查简单几何体的概念、求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题.即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解.从高考试题来看，球的组合体问题是高考必考内容之一，每年都涉及，试题难度在中等，有时在压轴题的位置，从整体上来看，试题难度理科比文科要大，主要考查学生的画图能力，空间想象能力，运算能力及逻辑推理能力，预测2017年高考题中，理科仍然以球的组合体为主，文科也会与组合体有关，考查组合体的体积与表面积有关的问题．从高考试题来看，空间几何体的表面积、体积等问题是高考的热点，题型既有填空题，又有解答题，难度为中、低档．客观题主要考查表面积、体积或由几何体的表面积、体积得出某些量；主观题考查较全面，考查线、面位置关系，及表面积、体积公式，无论是何种题型都考查学生的空间想象能力．预测2018年高考仍将以空间几何体的面积、体积为主要考查点，重点考查学生的空间想象能力、运算能力及逻辑推理能力．复习建议：与几何体的侧面积和体积有关的计算问题，根据基本概念和公式来计算，要重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用
【2018年高考考点定位】
高考对空间几何体的考查，主要考查简单几何体的概念、求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题.即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，以选择、填空题的形式考查，有时也会在解答题中出现.
【考点1】空间几何体
【备考知识梳理】
1．柱、锥、台、球的结构特征
（1）柱：棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.
棱柱与圆柱统称为柱体；
（2）锥：棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.
底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……
圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面.
棱锥与圆锥统称为锥体
（3）台：棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点.
圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴
圆台和棱台统称为台体.
（4）球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径.
(5)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．
(6)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．
2.几种常凸多面体间的关系
3.一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质
名称
棱柱
直棱柱
正棱柱
图形
定
义
有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体
侧棱垂直于底面的棱柱
底面是正多边形的直棱柱
侧棱
平行且相等
平行且相等
平行且相等
侧面的形状
平行四边形
矩形
全等的矩形
对角面的形状
平行四边形
矩形
矩形
平行于底面的截面的形状
与底面全等的多边形
与底面全等的多边形
与底面全等的正多边形
名称
棱锥
正棱锥
棱台
正棱台
图形
定义
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体
底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分
由正棱锥截得的棱台
侧棱
相交于一点但不一定相等
相交于一点且相等
延长线交于一点
相等且延长线交于一点
侧面的形状
三角形
全等的等腰三角形
梯形
全等的等腰梯形
对角面的形状
三角形
等腰三角形
梯形
等腰梯形
平行于底的截面形状
与底面相似的多边形
与底面相似的正多边形
与底面相似的多边形
与底面相似的正多边形
其他性质
高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等
两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等
几种特殊四棱柱的特殊性质
名称
特殊性质
平行六面体
底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分
直平行六面体
侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分
长方体
底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分
正方体
棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分
【规律方法技巧】
1.
注意特殊的四棱柱的区别：直四棱柱、正四棱柱、长方体、正方体、平行六面体、直平行六面体．
2.
棱台的各侧棱延长线交于一点是判断棱台的主要依据，两底面平行且是相似多边形．
3．注意还台为锥的解题方法的运用，将台体还原为锥体可利用锥体的性质．注意正棱锥中的四个直角三角形为：高、斜高及底面边心距组成一个直角三角形；高、侧棱与底面外接圆半径组成一个直角三角形；底面的边心距、外接圆半径及半边长组成一个直角三角形；侧棱、斜高及底边一半组成一个直角三角形．
4.将几何体展开为平面图形时，要注意在何处剪开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一条母线剪开.
5.常见的特殊几何体的性质
（1）平行六面体：
①底面是平行四边形的四棱柱.
②{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}；
③平行六面体的任何一个面都可以作为底面；
④平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；
⑤平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和.
（2）长方体：
①长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和；
②若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为，则cos2+
cos2+cos2=1；
③若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则cos2+cos2+cos2=2.
（3）正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥.
①正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等；
②正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的内切圆的半径）、侧棱、侧棱在底面的射影（底面的外接圆的半径）、底面的半边长可组成四个直角三角形；
③若正棱锥的侧面与底面所成的角为，则.
（4）正四面体：侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体.
①设正四面体的棱长为，则高为，斜高为，对棱间的距离为，体积为.
②正四面体与其截面:如图所示点E为PA的中点，连接EB和EC.点F为BC中点，连接EF.则截面EBC⊥PA,
EBC⊥面PAB,
EBC⊥面PAC.
EF为相对棱的公垂线，其长度为相对棱的距离；
③正四面体可补形为正方体，如图所示，四面体B-ACD即为正四面体.各个棱为正方体的面对角线.正方体的棱长是正四面体棱长的.利用这个补形为解题带来很大的方便.
6.
几何体中计算问题的方法与技巧：①在正棱锥中，正棱锥的高、侧面等腰三角形的斜高与侧棱构成两个直角三角形，有关计算往往与两者相关；②正四棱台中要掌握对角面与侧面两个等腰梯形中关于上底、下底及梯形高的计算，另外，要能将正三棱台、正四棱台的高与其斜高，侧棱在合适的平面图形中联系起来；③研究圆柱、圆锥、圆台等问题，主要方法是研究其轴截面，各元素之间的关系，数量都可以在轴截面中得到；④多面体及旋转体的侧面展开图是将立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段．
【考点针对训练】
1．在体积为的四面体中，平面，，，，则长度的所有值为
▲
．
【答案】或
2.底面边长为2
m，高为1
m的正三棱锥的全面积为
m2.
【答案】；
【解析】由条件得斜高为
(m)．从而全面积
(m2)．
【考点2】空间几何体的表面积与体积
【备考知识梳理】
1．多面体的面积和体积公式
名称
侧面积()
全面积()
体
积
()
棱柱
棱柱
直截面周长×
+2
·=·
直棱柱
·
棱锥
棱锥
各侧面积之和
+
·
正棱锥
棱台
棱台
各侧面面积之和
++
(++)
正棱台
表中表示面积，分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长.
2．旋转体的面积和体积公式
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
侧
全
(即)
表中、分别表示母线、高，表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，分别表示圆台
上、下底面半径，表示半径.
【规律方法技巧】
1.
求体积常见方法
①直接法（公式法）直接根据相关的体积公式计算；②转移法：利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积；③分割法求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；④补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；⑤四面体体积变换法；⑥利用四面体的体积性质：（ⅰ）底面积相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅱ）高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅲ）用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方.
求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体.补形：三棱锥三棱柱平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是1：2：3和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等.
2.
求体积常见技巧
当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．
(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．
(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积．
(3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．
3.组合体的表面积和体积的计算方法
实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、锥、台、球，而是由柱、锥、台、球或其一部分组成的组合体，解决这类组合体的表面积或体积的基本方法就是“分解”，将组合体分解成若干部分，每部分是柱、锥、台、球或其一个部分，分别计算其体积，然后根据组合体的结构，将整个组合体的表面积或体积转化为这些“部分的表面积或体积”的和或差．
[易错提示] 空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”．多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和．对于简单的组合体的表面积，一定要注意其表面积是如何构成的，在计算时不要多算也不要少算，组合体的表面积要根据情况决定其表面积是哪些面积之和．
4.求解几何体体积的策略及注意问题
(1)与三视图有关的体积问题关键是准确还原几何体及弄清几何体中的数量关系．
(2)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高．
(3)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．
(4)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征．
【考点针对训练】
1.如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6．若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A—A1EF的体积是
．
【答案】
【解析】因为点E到面距离等于点B到面距离，等于，因此三棱锥A—A1EF的体积是
2.如图，在三棱柱中，面为矩形，，，为的中点，与交于点，面．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，求三棱锥的体积．
【考点3】球与几何体的组合体
【备考知识梳理】
1.组合体：由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体.
【规律方法技巧】
1.
几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为，球的半径为，
①正方体的外接球，则；
②正方体的内切球，则；
③球与正方体的各棱相切，则.
(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为，外接球的半径为，则.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图.
3.解决与球有关的切、接问题的方法：
(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．
(2)若球面上四点中两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．
4.求解球与多面体的组合问题时，其关键是确定球心的位置，可以根据空间几何体的对称性判断球心的位置，然后通过作出辅助线或辅助平面确定球的半径和多面体中各个几何元素的关系，达到求解解题需要的几何量的目的．
【考点针对训练】
1.在三棱锥中,平面，，，,则此三棱锥外接球的体积为
．
【答案】
2.已知矩形的周长为，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为
．
【答案】
【解析】设正六棱柱的的底面边长为，高为，则，所以，正六棱柱的体积，，令，解得，令得，即函数在是增函数，在是减函数，所以在时取得最大值，此时．易知正六棱柱的外接球的球心是其上下中心连线的中点，如图所示，外接球的半径为所以外接球的表面积为
【两年模拟详解析】
1．【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】如图，在正三棱柱中，已知，点在棱上，则三棱锥的体积为__________．
【答案】
【解析】三棱锥的底，点P到底面的距离为△ABC的高：，故三棱锥的体积
.
2.
【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，则该直四棱柱的侧面积为
．
【答案】
【解析】侧棱长为
，因为侧面为矩形，所以侧面积为
3.
【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】将矩形绕边旋转一周得到一个圆柱，，，圆柱上底面圆心为，为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥体积的最大值是
▲
.
【答案】4
【解析】
4．【镇江市2017届高三年级第一次模拟】若圆锥底面半径为，高为，则其侧面积为
．
【答案】
【解析】圆锥母线为，侧面积为
5.
【2017年第二次全国大联考江苏卷】已知正四棱锥的所有棱长都为，则此四棱锥体积为
【答案】
【解析】由题意得四棱锥的斜高为,
四棱锥的高为，因此四棱锥体积为
6.
【2017年第一次全国大联考江苏卷】已知四棱锥的底面四边形的外接圆半径为，且此外接圆圆心到点距离为，则此四棱锥体积的最大值为____________．
【答案】
【解析】由题意得四棱锥的高,
底面四边形面积最大值为，因此四棱锥体积最大值为
7．【2017年高考原创押题预测卷02（江苏卷）】如图，在直三棱柱中，若四边形是边长为的正方形，且是的中点，则三棱锥的体积为
.
【答案】
【解析】由题意知，又，，所以平面，故.
8．【2017年第三次全国大联考江苏卷】已知一个圆锥的底面半径为，侧面积是底面积的倍，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为_____________．
【答案】
9.
【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】已知正六棱锥底面边长为，侧棱长为，则此六棱锥体积为
【答案】12
【解析】由题意得六棱锥的高为，体积为
10.
【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】在三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥DABE的体积为V1，PABC的体积为V2，则＝____________．
【答案】
【解析】
11.
【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】设棱长为的正方体的体积和表面积分别为，，底面半径和高均为的圆锥的体积和侧面积分别为，，若，则的值为
．
【答案】
【解析】因为，所以，因此
12.【江苏省苏北三市2016届高三最后一次模拟考试】已知圆锥的母线长为10，侧面积为，则此圆锥的体积为
.
【答案】
【解析】由题意得：，因此圆锥的体积为
13.【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】已知正三棱柱的各条棱长均为，圆柱的底面直径和高均为，若它们的体积相等，则的值为
.
【答案】
【解析】正三棱柱的体积为，圆柱的，因此
14.【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】设分别为三棱锥的棱的中点，三棱锥的体积记为，三棱锥的体积记为，则=
.
【答案】
【解析】三棱锥的体积等于三棱锥的体积的一半，等于三棱锥的体积的四分之一.
【一年原创真预测】
1.
已知球内接圆锥的侧面积为，体积为，则该球的体积为_______________.
【答案】
【解析】设圆锥的高为，底面半径为，球的半径为,由题知
=，=，解得=3，=9，由球的性质及圆锥的性质知，球心一定在内接圆锥的高上，故，解得=5，∴球的体积==.
【入选理由】本题主要考查空间几何体与球的组合体，即圆锥的侧面积与体积公式、球的体积公式、球与圆锥的切接问题,这类题是高考考查球及其组合体的常考题型，有两类重要组合模型，即球的内接与球的外切．而此题是内接问题,故选此题.
2.
如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变,
则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为___________.
【答案】
【入选理由】本题考查球的体积，组合体等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，本题立意新,将实际问题转化为几何问题,考查知识基础，综合性强，是高考出题方向，故选此题.
3.
如图，已知平面，，是直线上的两点，是平面内的两点，且，DA=4,AB=6,CB=8,P是平面上的一动点，且有，则四棱锥体积的最大值是
【答案】48
【解析】因，，故，，所以,
因，故，即，从而,
作于H,则由条件可得，设，则，
从而由得，故当时，，
因,故棱锥体积的最大值
【入选理由】本题考查几何体的体积，意在考查学生的空间想象能力和基本计算能力.几何体的体积和表面积是填空题中的考查热点．本题要求体积的最大值，要求考生选择一个参数，把到平面的距离（棱锥的高）用此参数表示出来，从而求得最大值，本题通考查了空间想象能力.而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向，故选此题.
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-专题12.2
推理与证明
【三年高考】
1.
【2017课标II，理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（
）
A.乙可以知道四人的成绩
B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
【答案】D
【解析】
【考点】合情推理
【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理。数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向。合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确。而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)。
2.
【2017北京，文14】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；
（ⅱ）女学生人数多于教师人数；
（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．
②该小组人数的最小值为__________．
【答案】6,12
【解析】设男生数，女生数，教师数为
，则
第一小问：
第二小问：
【考点】1.不等式的性质；2.推理.
【名师点睛】本题主要考查了命题的逻辑分析、简单的合情推理,
题目设计巧妙，解题时要抓住关键,逐步推断,本题主要考查考生分析问题，解决问题的能力，同时注意不等式关系以及正整数这个条件.
3.
【2017课标II，文23】已知。证明：
（1）；
（2）。
【答案】(1)证明略；
(2)证明略。
【解析】
(2)因为
所以，因此。
【考点】
基本不等式；配方法。
【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题。若不等式恒等变形之后若与二次函数有关，可用配方法。
4.
【2016山东文12】观察下列等式：
；
；
；
；
……
照此规律，
_________．
【答案】
【解析】通过观察这一系列等式可以发现，等式右边最前面的数都是，接下来是和项数有关的两项的乘积，经归纳推理可知是，所以第个等式右边是.
5．【2016四川文18（1）】在中，角，，所对的边分别是，，，且
证明：；
【答案】证明见解析．
【解析】
根据正弦定理，可设，则，，.
代入中，有，
可变形得
在中，由，有，所以
6．【2016浙江文16（1）】在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．
证明：；
【答案】证明见解析．
7．【2016全国甲文16】有三张卡片，分别写有和，和，和.
甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是”，则甲的卡片上的数字是_______.
【答案】
【解析】
由题意得：丙不拿，若丙，则乙，甲满足；若丙，则乙，甲不满足，故甲.
8．【2016上海文22】对于无穷数列与，记，，若同时满足条件：
①，均单调递增；②且，则称与是无穷互补数列．
（1）若，，判断与是否为无穷互补数列，并说明理由；
（2）若=且与是无穷互补数列，求数列的前项的和；
（3）若与是无穷互补数列，为等差数列且，求与的通项公式．
【答案】（1）与不是无穷互补数列；（2）180；（3），．
【解析】（1）易知，，
而，，所以，从而与不是无穷互补数列．
（2）由题意，因为，所以．
数列的前项的和为．
（3）设的公差为，，则．
由，得或．
若，则，，与“与是无穷互补数列”矛盾，
因为此时不是无穷数列；
若，则，，．
综上所述，，．
9．【2015高考山东，理11】观察下列各式：
……
照此规律，当nN时，
.
【答案】
【解析】因为第一个等式右端为：
；第二个等式右端为：
；第三个等式右端为：
由归纳推理得：第
个等式为：
所以答案应填：
【2018年高考命题预测】
纵观2017各地高考试题，高考对本部分知识的考查主要在合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及到，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新的高考中都会涉及和渗透，但单独出题的可能性较小；预计2017年高考将会有题目用到推理证明的方法。推理与证明是数学的基础思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，推理一般包括合情推理与演绎推理，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测结论和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养.证明包括直接证明与间接证明，其中数学归纳法是将无穷的归纳过程，根据归纳原理转化为有限的特殊（直接验证和演绎推理相结合）的过程，要很好地掌握其原理并灵活运用.推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立体几何等多个知识点，需要采用多种数学方法才能解决问题，如：函数与方程思想、化归思想、分类讨论思想等，对学生的知识与能力要求较高，是对学生思维品质和逻辑推理能力，表述能力的全面考查，可以弥补选择题与填空题等客观题的不足，是提高区分度，增强选拔功能的重要题型，因此在最近几年的高考试题中，推理与证明问题正在成为一个热点题型，并且经常作为压轴题出现.复习建议：推理证明题主要和其它知识结合到一块，属于知识综合题，解决此类题目时要建立合理的解题思路；
【2018年高考考点定位】
高考的考查：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法（理等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及到，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新的高考中都会涉及和渗透，但单独出题的可能性较小；
【考点1】合情推理与演绎推理
【备考知识梳理】
1.合情推理
(1)定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理叫做合情推理．
(2)合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：
①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；
归纳推理的分类
常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类
a.数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；
b.形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．
②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
类比推理的分类:类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法
a.类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；
b.类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；
c.类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．
2.演绎推理
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫做演绎推理．演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真.
(2)模式：三段论
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
(3)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．
【规律方法技巧】
1.
归纳推理与类比推理之区别：(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．
(2)类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质．在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质．
2.演绎推理问题的处理方法
从思维过程的指向来看，演绎推理是以某一类事物的一般判断为前提，而作出关于该类事物的判断的思维形式，因此是从一般到特殊的推理．数学中的演绎法一般是以三段论的格式进行的．三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成，大前提是一个一般性原理，小前提给出了适合于这个原理的一个特殊情形，结论则是大前提和小前提的逻辑结果．
3.应用合情推理应注意的问题：
(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．
(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质．
注意：归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．
4.归纳推理与类比推理的步骤
(1)归纳推理的一般步骤：
①通过观察个别情况发现某些相同性质；
②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)；
③检验猜想．
→→
(2)类比推理的一般步骤：
①找出两类事物之间的相似性或一致性；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)；
③检验猜想．
→→
5.演绎推理的结构特点
(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．
(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提．一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
6.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论,归纳推理所得的结论不一定可靠，但它是由特殊到一般，由具体到抽象的认知过程，是发现一般规律的重要方法．
类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质.在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质.类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则会犯机械类比的错误．
演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确，一定要注意推理过程的正确性与完备性.
【考点针对训练】
1.定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和．如：，，，
依此类推可得：，其中，．设，则的最小值为
【答案】
【解析】因为
依此类推可得：
所以，即．又，把看成点连线的斜率，结合，．在满足条件的整点中，连线的斜率最小为故最小值为．
2.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线（点法式）方程为，化简得．类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面（点法式）方程为
．
【答案】
【解析】类比可得：，即
【考点2】直接证明与间接证明
【备考知识梳理】
1．直接证明
(1)综合法：
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法.
框图表示：→→→…→
(2)分析法：
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．
分析法的思维特点是：执果索因；
分析法的书写格式：
要证明命题Q为真，只需要证明命题为真，
从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有……
这只需要证明命题P为真，而已知P为真，故命题Q必为真
框图表示：→→→…→.
2．间接证明
反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的，即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法.
【规律方法技巧】
1.
明晰三种证题的一般规律
(1)综合法证题的一般规律：
用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论．
(2)分析法证题的一般规律：
分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件．应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．
(3)反证法证题的一般规律：
反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A，或者是非A.即在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现．
2.综合法证题的思路：
3.分析法证题的技巧：
(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．
(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，从而使原命题得证．
4.反证法证明问题的一般步骤:
(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)
(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)
(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)
注意：可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论.
5.反证法是一种重要的间接证明方法，适用反证法证明的题型有：(1)易导出与已知矛盾的命题；(2)否定性命题；(3)唯一性命题；(4)至少至多型命题；(5)一些基本定理；(6)必然性命题等.
【考点针对训练】
1.用反证法证明命题：“若，则中至少有一个大于1”时，下列假设中正确的是 ．
A．假设都大于1
B．假设都不大于1
C．假设中至多有一个大于1
D．假设中至多有两个大于1
【答案】都不大于1.
【解析】中至少有一个大于1的否定为都不大于1.
2.
求证：是等比数列，并求的通项公式；
（2）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）由知，，
又是以为首项，为公比的等比数列，
（2），
，
两式相减得:，
,
若n为偶数，则
若n为奇数，则,
【两年模拟详解析】
1.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是（
）
A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数
B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数
C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数
D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数
【答案】B
【解析】对于A，小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确；对于C和D，均为大前提错误；故选B．
2.某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．
甲说：我在1日和3日都有值班;
乙说：我在8日和9日都有值班；
丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是 ．
【答案】6日和11日
【解析】这12天的日期之和，，甲、乙、丙的各自的日期之和是，对于甲，剩余2天日期之和22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日；对于乙，剩余2天日期之和是9，可能是2日，7日，可能是4日，5日，因此丙必定值班的日期是6日和11日，故答案为C.
3.观察下列不等式：
,
,
,
……
照此规律，第五个不等式为
．
【答案】．
【解析】观察已知的三个不等式:左边都是1加上中的一个,两个或三个,可猜测第五个不等式的左边肯定是:1加上
;右边是一个分数分子依次为:3,5,7,
可猜测第五个不等式的右边分子应为:11;
右边是一个分数分母依次为:2,3,4,
可猜测第五个不等式的右边分母应为:6;
故知第五个不等式应为:，故答案为：．
4.已知：，观察下列式子：类比有，则的值为
．
【答案】
【解析】根据题意，对给出的等式变形可得：，
=
类比有，∴．
5.如下图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为，由下往上的六个点：，，，，，的横、纵坐标分别对应数列（）的前项，如下表所示：
按如此规律下去，则
．
【答案】1007
【解析】，，，，，，，，，这个数列的规律是奇数项为偶数项为，故，，故．
6.把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵，然后，擦去第奇数行中的奇数和第偶数行中的偶数，得到如图乙所示的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列．若902，则
．
【答案】436
【解析】首先由，，因此902在甲图中的第31行第二个数，前30行共去年的数的个数为，还剩下个数，第31行的第一个数为91去掉，因此902是第436个数，即在乙图中，902对应的．
7.记集合T
=
{0，1，2，3，4，5，6}，，将M中的元素按从大到小的顺序排成数列{bi}，并将bi按如下规则标在平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）处：点（1，0）处标b1，点（1，）处标b2，点（0，）处标b3，点处标b4，点（，0）标b5，点（，1）处标b6，点（0，1）处标b7，…，以此类推．
（Ⅰ）标b50处的格点坐标为
；
（Ⅱ）b50
=
．
【答案】（1）（4，2）
（2）
（或填）
【解析】（1）观察已知中点（1，0）处标b1，即b1×1，点（2，1）处标b9，即b3×3，点（3，2）处标b25，即b5×5，…，由此推断，点（n，n-1）处标b（2n-1）×（2n-1），∵49=7×7时，n=4，故b49处的格点的坐标为（4，3），
从而b50处的格点的坐标为（4，2）；
（2）由已知……
……
由此推断所以故答案为：（4，2），
8.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”.四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是
．
【答案】丙
【解析】若甲是获奖歌手，则四句全是假话，不合题意；
若乙是获奖歌手，则甲、乙、丁都是真话，丙说假话，不合题意；
若丁是获奖歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，不合题意；
当丙是获奖歌手时，甲、丙说了真话，乙、丁说了假话，符合题意.故答案为丙.
9.在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α＋cos2β＝1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝
_．
【答案】2；
【解析】设长方体的棱长分别为a，b，c，如图所示，所以AC1与下底面所成角为∠C1AC，记为α，所以cos2α=，同理cos2
β=，cos2γ=，所以cos2α＋cos2β＋cos2γ=2.
10.对于函数，部分与的对应关系如下表：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3
7
5
9
6
1
8
2
4
数列满足，且对任意，点都在函数的图象上，则的值为 ．
【答案】7549
11.在平面中，△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比.将这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB交于E，则类比的结论为＝________．
【答案】
【解析】由已知条件得图（1）中：点到边和边的距离相等，因此；类比知在图（2）中：点到平面和平面的距离相等，所以.
12.将2n按如表的规律填在5列的数表中，设排在数表的第n行，第m列，则第m列中的前n个数的和＝___________.
…
…
…
…
…
【答案】
【解析】由于2014=4×503+2，故位于表格的第504行第3列，所以n=504，m=3.所以．
13.在平面几何中，有这样一个定理：过三角形的内心作一直线，将三角形分成的两部分的周长比等于其面积比.请你类比写出在立体几何中，有关四面体的相似性质：
.
【答案】过四面体的内切球的球心作截面交三条棱于三点，则分成的两部分体积之比等于表面积之比.
【解析】设四面体的内切球的球心为，过作截面交三条棱于点，记内切圆半径为，则也表示点到各面的距离，利用体积的“割补法”知：
从而.
【一年原创真预测】
1.
已知数列满足为数列的前项和，若，则 ．
【答案】224．
【解析】由题意，得是周期为5的周期数列，．
【入选理由】本题主要考查数列的递推关系，归纳推理，周期数列及数列前项和等基础知识，意在考查学生基本运算能力和简单的逻辑推理能力．归纳和类比是两种重要的思维形式，是高考的热点，通常以选择题或填空题的形式考查．本题以数列知识为背景，考查归纳推理，题目不难，但具有较好的代表性，故押此题．
2.设O是坐标原点，AB是圆锥曲线的一条不经过点O且不垂直于坐标轴的弦，M是弦AB的中点，分别表示直线AB,OM的斜率。在圆中，，在椭圆中，类比上述结论可得
.
【答案】
【入选理由】本题主要考查椭圆与直线位置关系问题，类比推理等基础知识，意在考查学生简单的逻辑推理能力．归纳和类比是两种重要的思维形式，是高考的热点，通常以选择题或填空题的形式考查．本题以直线与圆为背景类比出椭圆的性质，题目不难，但具有较好的代表性，故押此题．
3.观察下面的算式：
根据以上规律，把（为自然数且）写成这种和式形式，和式中最大的数为
．
【答案】．
【解析】观察可知这种和式的结构特征：它是把（为自然数且）写成项的等差数列的和，其中首项为，公差为2，所以末项为，即和式中最大的数为．
【入选理由】本题主要考查归纳推理等基础知识，意在考查学生的合情推理能力和基本运算能力．能用归纳和类比进行简单的推理是高考对合情推理的基本要求．相比较而言，归纳推理是高考的一个热点．本题体现了归纳推理的思想，需从所给的式子对中总结归纳出其规律，进而推导出个式子即可．题目不难，体现了高考的热点，故选此题．
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1
-专题2.2
函数的基本性质
【三年高考】
1.
【2016高考江苏11】设
是定义在R上且周期为2的函数，在区间[)上，
其中
若
，则的值是
.
【答案】
【解析】，
因此
【考点】分段函数，周期性质
【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否可以取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数分界点处的函数值.
2．【2017北京，文5】已知函数，则
（A）是偶函数，且在R上是增函数
（B）是奇函数，且在R上是增函数
（C）是偶函数，且在R上是减函数
（D）是奇函数，且在R上是增函数
【答案】B
【解析】
【考点】函数的性质
【名师点睛】本题属于基础题型，根据奇偶性的定义与的关系就可以判断函数的奇偶性，判断函数单调性的方法，1.平时学习过的基本初等函数的单调性；2.函数图象判断函数的单调性；3.函数的四则运算判断，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，判断函数的单调性；4.导数判断函数的单调性.
3．【2017课标II，文8】函数
的单调递增区间是
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】函数有意义，则：
，解得：
或
，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为
.
故选D.
【考点】复合函数单调区间
【名师点睛】求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.
4.
【2017山东，文10】若函数(e=2.71828,是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有M性质,下列函数中具有M性质的是
A
.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由A,令,,则在R上单调递增,具有M性质,故选A.
【考点】导数的应用
【名师点睛】(1)确定函数单调区间的步骤：①
确定函数f(x)的定义域；②求f′(x)；③解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间．
(2)根据函数单调性确定参数范围的方法：①利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集．②转化为不等式的恒成立问题,即“若函数单调递增,则f′(x)≥0；若函数单调递减,则f′(x)≤0”来求解．
5.
【2017天津，文8】已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是
（A）（B）（C）（D）
【答案】
【解析】
【考点】1.分段函数；2.函数图形的应用；3.不等式恒成立.
【名师点睛】一般不等式恒成立求参数1.可以选择参变分离的方法，转化为求函数最值的问题；2.也可以画出两边的函数图象，根据临界值求参数取值范围；3.也可转化为的问题，转化讨论求函数的最值求参数的取值范围.
6.
【2017课标II，文14】已知函数是定义在上的奇函数，当时，,
则
________．
【答案】12
(2)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.
7.
.【2017课标3，文16】设函数则满足的x的取值范围是__________.
【答案】
【考点】分段函数解不等式
【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.
8.【2017山东，文14】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当
时,,则f(919)=
.
【答案】
【解析】
【考点】函数奇偶性与周期性
【名师点睛】与函数奇偶性有关问题的解决方法
①已知函数的奇偶性,求函数值
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
②已知函数的奇偶性求解析式
将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式．
③已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值
常常利用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程求解．
④应用奇偶性画图象和判断单调性
利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．
9．【2016年高考四川理数】在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为；
当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题：
①若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A
②单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”关于y轴对称；
④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.
【答案】②③
【解析】
试题分析：对于①，若令，则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故①错误；对于②，设曲线关于轴对称，则与方程表示同一曲线，其伴随曲线分别为与也表示同一曲线，又曲线与曲线的图象关于轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为，其伴随点为仍在单位圆上，故②正确；对于④，直线上任一点的伴随点是，消参后点轨迹是圆，故④错误.所以正确的为序号为②③.
考点：对新定义的理解、函数的对称性.
【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决．
10．【2016高考山东理数改编】已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，
；当
时，；当
时，
.则f(6)=
．
【答案】2
【解析】
试题分析：当时，,所以当时，函数是周期为
的周期函数，所以，又函数是奇函数，所以．
考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.
【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.
11．【2016年高考北京理数】设函数.
①若，则的最大值为______________；
②若无最大值，则实数的取值范围是________.
【答案】，.
【解析】
考点：1.分段函数求最值；2.数形结合的数学思想.
【名师点睛】1.分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．
12．【2016高考上海理数改编】设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，则命题①②的真假是①为 ，②为 ．
【答案】假，真
【解析】
试题分析：①不成立，可举反例
,
,
②
前两式作差，可得
结合第三式，可得,
也有
∴②正确
故①为假，②真.
考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.
【名师点睛】本题主要考查抽象函数下函数的单调性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于灵活选择方法，如结合选项应用“排除法”，通过举反例应用“排除法”等.
本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.
13．【2016高考新课标2文数改编】已知函数f(x)（x∈R）满足f(x)=f(2-x)，若函数y=|x2-2x-3|
与y=f(x)
图像的交点为（x1,y1），(x2,y2)，…，（xm,ym），则 ．
【答案】m
【解析】
试题分析：因为都关于对称，所以它们交点也关于对称，当为偶数时，其和为，当为奇数时，其和为.
考点：
函数的奇偶性，对称性.
【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心.
14．【2016高考四川文科】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则=
.
【答案】-2
考点：1.函数的奇偶性；2.函数的周期性.
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性．属于基础题，在涉及函数求值问题中，可利用周期性，化函数值的自变量到已知区间或相邻区间，如果是相邻区间再利用奇偶性转化到已知区间上，再由函数式求值即可．
15．【2014江苏，理10】已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为
.
【答案】
【解析】据题意解得．
16.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】已知是定义在上的奇函数.
当时，，则不等式的解集用区间表示为
.
[答案]
[解析]∵当时，，令，，∴，又是定义在上的奇函数，∴，∴，即时，.
要，则
或或，解得或，
∴不等式的解集用区间为.
17．【2012江苏，理10】设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若，则a＋3b的值为__________．
【答案】－10
【解析】根据题意，可得
即
解得
故.
18．【2015高考山东，文8】若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为______.
【答案】
【解析】由题意，即所以，，由得，.
12.【2015高考广东，理3改编】判断下列函数的奇偶性：
①： ；②： ；③： ；④： ．
【答案】既不是奇函数也不是偶函数，奇函数，偶函数，偶函数．
【解析】记，则，，那么，，所以既不是奇函数也不是偶函数，依题可知②③④依次是奇函数、偶函数、偶函数．
【2018年高考命题预测】
纵观2015－2017各地高考试题，对函数性质的考查是高考命题的主线索，不管是何种函数，都要与函数性质联系起来，主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性以及几方面的综合，高考中一般以选择题和填空的形式考查，或者结合导数研究函数性质的大题.单调性（区间）问题，热点有：（1）确定函数单调性（区间）；（2）应用函数单调性求函数值域（最值）、比较大小、求参数的取值范围、解（或证明）不等式；函数单调性，此部分知识在高考命题中以选择题和填空题的形式出现，或与导数结合出一个解答题，主要考查函数的单调性，求函数的单调区间，以及求函数值域（最值），确定参数范围，作为把关题存在.函数奇偶性与函数的周期性，此部分知识在高考命题中多以选择题和填空题的形式出现，一般难度不大，只要会判断简单函数的奇偶性，而函数的周期性，有时和数列结合出些周期数列问题，可用归纳推理得到.即对函数单调性的考察.在函数值的比较大小，求函数的值域，解相关的不等式方面有着重要的应用.对函数奇偶性的考察，一个是图形一个是方程的形式.对函数周期性的考察，周期性主要研究函数值有规律的出现，在解决三角函数里面体现的更明显．而且"奇偶性"+"关于直线x=k"对称，求出函数周期的题型逐年增加.2017年函数性质的复习，首先要在定义上下功夫，其次要从数形结合的角度认识函数的单性质，深化对函数性质几何特征的理解和运用，同时要注意以下方面：
1.性质通过数学语言给出的
这类问题一般没有解析式，也没有函数方程，有的是常见的函数性质语言比如:单调递增，奇函数等等，它通常和不等式联立在一起考查，处理方式主要是通过它所给的性质画出函数的草图然后解决就可以了.
2.性质通过方程和不等式给出的
这类问题通常是考查的抽象函数有关问题，抽象函数因其没有解析式，其性质以方程（或不等式）给出而成为解题依据.
所以在解题时要搞清楚常见方程和不等式所告诉的含义是什么.
3.
性质通过解析式给出的
这类问题有解析式，但考虑的方向不是代人求值问题，而是通过观察解析的特点，从而得到函数的性质，用性质去解决相关问题，考虑的性质一般是先看看函数的对称性，再看看单调性，进一步作出相关的草图就可以解决了.
【2018年高考考点定位】
高考对函数性质的考查有三种主要形式：一是考察单调性，可以从函数图象、单调性定义、导数来理解；二是考察奇偶性，要从图象和定义入手，尤其要注意抽象函数奇偶性的判断；三是对称性和周期性结合，用以考察函数值重复出现的特征以及求解析式.
【考点1】函数的单调性
【备考知识梳理】
1.单调性定义：一般地，设函数的定义域为.
区间.
如果对于区间内的任意两个值当时，都有那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间．
如果对于区间内的任意两个值当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间．
2.利用图象判断函数单调性：在定义域内的某个区间上，若函数图象从左向右呈上升趋势，则函数在该区间内单调递增；若函数图象从左向右呈下降趋势，则函数在该区间单调递减．
【规律方法技巧】
一．判断函数单调性的方法：
定义及变形：设是函数定义域内某个区间内的任意两个不等的自变量，若，则函数在该区间内单调递减；若，则函数在该区间内单调递增.
常见结论:
（1）增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数；
（2）函数与函数的单调性相反；
（3）时，函数与的单调性相反（）；
时，函数与的单调性相同（）.
二．单调区间的求法
1.利用基本初等函数的单调区间；
2.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.
3.复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.
4.导数法：不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递增区间，不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递减区间.
【注】函数的多个递增区间或递减区间不能合并，在表示的时候一般将各区间用逗号或“和”字进行连接.
三．对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意、在所给区间内比较与的大小，或与的大小（要求与同号）．有时根据需要，需作适当的变形：如或等.
【考点针对训练】
1.已知偶函数在区间上单调增加，则的x的取值范围
.
【答案】
【解析】因为是偶函数，所以不等式得，又在上是增函数，所以，解得．
2.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是
.
【答案】.
【考点2】函数的奇偶性
【备考知识梳理】
1．函数的奇偶性的定义：
对于函数定义域内定义域内任意一个，若有，则函数为奇函数；若有，那么函数为偶函数
2.奇偶函数的性质：
⑴
定义域关于原点对称；
⑵
偶函数的图象关于轴对称；
⑶
奇函数的图象关于原点对称；
⑷
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇．
⑸
为偶函数．
⑹
若奇函数的定义域包含，则．
【规律方法技巧】
1．利用定义判断函数奇偶性的步骤：
2．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式
(奇函数)或
(偶函数))是否成立．
3．通过函数图象的对称关系也可以判断奇偶性．若图象关于原点对称，则函数是奇函数；若图象关于轴对称，则函数是偶函数．
4．抽象函数奇偶性的判断方法：
(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现)；
(2)巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑；
(3)找出与的关系，得出结论．
5．已知函数的奇偶性求函数的解析式．
抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于的方程，从而可得的解析式．
6．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．
7．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
【考点针对训练】
1.已知函数是定义在R上的奇函数，当x<0时，，那么不等式的解集是
.
【答案】
【解析】设，则。因为当x<0时，且函数为奇函数，所以，故.当时，等价于,解得;当时，等价于,解得;显然x=0时，满足不等式。综上，不等式的解集为
2.下列幂函数中：①；②；③；④；其中既是偶函数，又在区间上单调递增的函数是
.（填相应函数的序号）.
【答案】③
【解析】函数的定义域为，所以函数不是偶函数，故函数不符合题意；函数定义域为,显然为偶函数，但在区间单调递减，所以函数不符合题意；函数定义域为R，为偶函数且在区间单调递增，故函数符合题意；函数定义域为R，为奇函数且在R上单调递增，故函数④不符合题意。综上知，符合题意的幂函数为
【考点3】周期性和对称性
【备考知识梳理】
1．周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
3.关于函数周期性常用的结论
(1)若满足，则，所以是函数的一个周期()；
(2)若满足，则
＝，所以是函数的一个周期()；
(3)若函数满足，同理可得是函数的一个周期().
（4）如果是R上的周期函数，且一个周期为T，那么．
（5）函数图像关于轴对称．
（6）函数图像关于中心对称．
（7）函数图像关于轴对称，关于中心对称．
【规律方法技巧】
1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝计算．递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．
2．判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想．
【考点针对训练】
1.设定义在R上的函数满足，若，则
.
【答案】
【解析】由，得，所以，即是周期函数且周期为4，所以．
2．定义在R上的函数满足 ，当时，单调递增，如果且，则 与0的大小关系是
.
【答案】
【解析】∵，∴函数的图象关于对称，∵当时，单调递增，
∴函数在R上单调递增且，∵，∴，∵，
∴不妨设，则，，且，由函数的对称性，∴.
【两年模拟详解析】
1．【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】设函数在是定义在上的周期为的奇函数，若，则实数的取值范围为．
【答案】
【解析】由题设可得，因，故，即，解之得，故答案为：．
2．已知是偶函数，则_________．
【答案】－1
3．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意得，因为函数在上单调递减，则
且，综合可得实数的取值范围
是.
【点睛】本题考查了分段函数的单调性的应用，属于中档题，分段函数在定义域上单调递减时，每段函数都要递减，但要注意分界点处函数值的处理，在分界点处函数是可以连续的，即两个函数值是可以相等的，因此在处理分界处的函数值是容易出现错误的，做题时要注意考虑完全.
4．设且若定义在区间内的函数是奇函数，则的取值范围是________
【答案】
5．已知函数是定义在R上的奇函数,
在区间上单调递减，且.
若实数满足,
则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】因为函数是定义在R上的奇函数,
在区间上单调递减，
根据对称性，所以函数在区间上也单调递减．
又易推出．
从而根据函数的性质作出图象，
即可求得的解集为．
等价于，
故或，解得或．
点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.
6．设函数,
，则函数的递减区间是________．
【答案】
【解析】
,如图所示，其递减区间是．
7．函数是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称．若实数满足不等式，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】∵函数y=f(x 20)的图象关于点(20,0)对称，
∴函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称，
即函数y=f(x)为奇函数，
则f( x)= f(x)，
则不等式f(x2 6x)+f(y2 8y+24)<0可化为：
f(x2 6x)< f(y2 8y+24)=f( y2+8y 24)，
又由函数y=f(x)是定义在R上的增函数，
∴x2 6x< y2+8y 24，
即x2 6x+y2 8y+24<0，
即(x 3)2+(y 4)2<1，
则(x,y)点在以(3,4)为圆心，以1为半径的圆内，
目标函数
表示坐标原点与圆上的点连线的斜率，
据此可得：则的取值范围是.
点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．
(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．
(3)本题错误率较高．出错原因是，很多学生无从入手，缺乏数形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题．
8．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式是f(x)＝________．
【答案】－2x2＋4
【解析】f(x)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2，
由已知条件ab＋2a＝0.又f(x)的值域为(－∞，4]，则因此f(x)＝－2x2＋4.
点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式.
9．已知函数y＝f(x)是偶函数，对于x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立．当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有
>0，给出下列命题：
①
f(3)＝0；
②
直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴；
③
函数y＝f(x)在[－9，－6]上为单调递减函数；
④
函数y＝f(x)在[－9，9]上有4个零点．
其中正确的命题是____________．(填序号)
【答案】①②③④
10.
【淮宿连徐2016届高三第二次调研】定义在上的奇函数满足当时，（，为常数），若，则的值为
．
【答案】4
【解析】由“定义在上的奇函数”，得，，
11．【淮阴中学2015-2016学年度第一学期期中考试】函数的单调减区间是
.
【答案】
【解析】由可得，函数的定义域为，而函数在时单调递增，在时单调递减，所以由复合函数的单调性知，函数的单调递减区间为．
12．【如东高级中学2016届高三上学期期中考试】设函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，则满足不等式的取值范围是________
【答案】
【解析】由题意得：．
【一年原创真预测】
1.已知函数，则对任意实数，与0的大小关系为_______________.
【答案】
【解析】由已知易得是奇函数且在R上点到递增对任意实数，必与同号，即与同号，故
【入选理由】本题考查函数的性质、单调性、奇偶性，意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力．本题初次接触会有茫然无头绪的感觉，但是能从题干提取函数性质的信息，就会有豁然开朗的感觉，此题构思巧妙，的确是一个好题，故选此题.
2.若函数满足对任意，都有，如图表示该函数在区间上的图像，则＋＝（
）
【答案】3
【入选理由】本题考查函数的周期性，考查数形结合思想，意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力．此题立意新，通过数形结合，找出函数值，再利用周期性求解，难度不大，体现小题综合性的高考出题方向，故选此题.
3.已知，若不等式对于任意恒成立，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】由，又，故．设函数，则．因为，所以，，所以当时，，故函数在上单调递增．所以当时，．因为对于任意，都有成立，所以对于任意，都有成立．所以．
【入选理由】本题考查导数与函数的单调性，利用导数求函数的最值，不等式恒成立等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力．利用导数研究函数的单调性，是高考常考的题型，而恒成立问题高考多次考查，此题是单调性的应用，比较典型，故选此题.
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-专题2.4
函数图象与方程
【三年高考】
1．【2017高考江苏】设是定义在上且周期为1的函数，在区间上，其中集合，，则方程的解的个数是
▲
．
【答案】8
【解析】由于，则需考虑的情况，
在此范围内，且时，设，且互质，
若，则由，可设，且互质，
因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此，
因此不可能与每个周期内对应的部分相等，
只需考虑与每个周期的部分的交点，
画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，
且处，则在附近仅有一个交点，
因此方程的解的个数为8．
【考点】函数与方程
【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
2.
【2015高考江苏，13】已知函数，，则方程实根的个数为
【答案】4
【考点定位】函数与方程
2．【2014江苏，理13】已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是
.
【答案】
【解析】作出函数的图象，可见，当时，，，方程在上有10个零点，即函数和图象与直线在上有10个交点，由于函数的周期为3，因此直线与函数的应该是4个交点，则有．
4．【2017山东，理10】已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】B
【考点】函数的图象、函数与方程及函数性质的综合应用.
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
5．【2016高考山东理数】已知函数
其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.
【答案】
【解析】
试题分析：
画出函数图象如下图所示：
由图所示，要有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即，解得
考点：1.函数的图象与性质；2.函数与方程；3.分段函数
【名师点睛】本题主要考查二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.
6．【2016高考天津文数】已知函数在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
试题分析：由函数在R上单调递减得，又方程恰有两个不相等的实数解，所以，因此的取值范围是
考点：函数综合
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
7．【2015高考上海，理7】方程的解为
．
【答案】
【解析】设，则
8.【2015高考北京，理7】如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是______.
【答案】
【解析】如图所示，把函数的图象向左平移一个单位得到的图象时两图象相交，不等式的解为，用集合表示解集
9.
【2015高考天津，文8】已知函数,函数,则函数的零点的个数为________.
【答案】2
【解析】当时,所以,,此时函数
的小于零的零点为
;当
时,
,函数无零点;当
时,
,,函数大于2的零点为,综上可得函数的零点的个数为2.
10.【2015高考天津，理8】已知函数
函数
，其中，若函数
恰有4个零点，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由得，所以，即
,所以恰有4个零点等价于方程有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知.
【2018年高考命题预测】
纵观2015－2017高考试题，对函数图象与方程这部分的考查，主要以基本初等函数或者基本初等函数经过四则运算后的函数为背景，考查图象的变换或者根据函数解析式，通过考察函数的性质来判断函数图象；其次是方程的根或函数零点的问题.从近几年的高考试题来看，图象的辨识与对称性以及利用图象研究函数的性质，方程，不等式的解是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题，主要考查基本初等函数的图象的应用以及数形结合思想．而函数的零点、方程根的问题也是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题主要考查相应函数的图象与性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点方程根的基础上，又注重考查函数方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．具体对函数图象的考查，主要包括三个方面，“识图”、“作图”、“用图”，其中包含函数图象的变换（平移、伸缩、对称）以及从已知图象提取信息的能力.对方程的考查，实质是对函数与方程思想的考查.一是借助有关基本初等函数的图象，把方程根的问题转化为求函数图象交点问题，把根的个数问题转化为函数图象交点个数问题；二是通过建立函数关系式，把方程问题转化为讨论函数性质的问题；三是直接解方程.
所以函数图象与方程式密不可分的整体，方程问题最终归根于一“算”二“看”，所谓“算”就是通过代数的方程，经过对方程的等价变形，直到得到结果位置；所谓“看”就是数形结合，把根转化为交点问题处理，预测2018年仍然会有函数图象与方程的题目出现，而且会加大对函数图象和性质的考查力度，同学们在复习时要多加注意，多总结多质疑．预测2018年高考很有可能以函数的零点、方程根的存在问题，将以识图、用图为主要考向，重点考查函数图象的性质以及方程、不等式与图象的综合问题．
【2018年高考考点定位】
高考对函数图象与方程的考查有二种主要形式：一是考察基本初等函数的图象、图象变换和提取信息能力；二是通过研究函数图象的交点，进而得方程根的分布.
【考点1】作函数图象
【备考知识梳理】
（１）描点法作函数图象，应注意在定义域内依据函数的性质，选取关键的一部分点连接而成.
（２）图象变换法，包括有平移变换、伸缩变换、对称翻折变换.
的图像的画法：先画时，再将其关于对称，得轴左侧的图像.
的图像画法：先画的图象，然后位于轴上方的图象不变，位于轴下方的图象关于
轴翻折上去.
的图象关于对称；的图象关于点对称.
的图象关于轴对称的函数图象解析式为；关于轴对称的函数解析式为；关于原点对称的函数解析式为.
(3)熟记基本初等函数的图象，以及形如的图象
【规律方法技巧】
画函数图象的方法
(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；
(2)图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
【考点针对训练】
1.已知函数.若，且，则的取值范围是
.
【答案】(3，＋∞)
【解析】画出的图象如图：
∵，且，∴且，∴即，
∴，∵在上为减函数，∴，
∴的取值范围是.
2．函数和在同一直角坐标系下的图像大致是下列图象中的 ．
【答案】（D）
【考点2】识图与辨图
【备考知识梳理】
1．通过分析函数解析式特征，定性研究函数具有的性质或者经过的特殊点，从而判断函数大致图象．
2.
根据已知图象，通过分析函数图象特征，得出函数具有的某些特征，进而去研究函数．
【规律方法技巧】
2.
识图常用方法
(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
(3)函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
【考点针对训练】
1..函数的大致图象为
【答案】①
【解析】令，则，即函数的图像关于原点对称，排除选项③,④;当时，，排除选项②；所以选①.
2．在下列A、B、C、D四个图象中，大致为函数的图象的是 ．
【答案】A
【解析】首先注意到函数是偶函数，所以其图象关于y轴对称，因此排除B和D，再当x=5时，y=25-52=7>0,故排除C，从而选A．
【考点3】判断方程根的个数有关问题
【备考知识梳理】
方程的根的个数等价于函数的图象与轴的交点个数，若函数的图象不易画出，可以通过等价变形，转化为两个熟悉的函数图象的交点个数问题．
【规律方法技巧】
函数零点个数的判断方法．
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
【考点针对训练】
1.设是定义在上的奇函数，且，设
若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】
因为是定义在上的奇函数，所以，则有，所以，可以作出的图象（如图1），再由图像变换可以得到图2.
“函数有且只有一个零点”等价于“函数与函数只有一个交点”，数形结合可以得到
2．设函数，函数，则方程实数根的个数是_____________个.
【答案】2
【考点4】与方程根有关问题
【备考知识梳理】
（１）方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点．
（２）如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有那么，函数在区间内有零点，即存在，使得f
(c)
=
0，这个c也就是方程f
(x)
=
0的根
【规律方法技巧】
已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．
【考点针对训练】
1.已知函数，关于x的函数有8个不同的零点，则实数b的范围为
.
【答案】
【解析】如图作出函数的图象，因此只有在时直线与的图象有四个交点，所以要满足关于x的函数有8个不同的零点，则方程在上有两个不等实根，，解得．
2.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于___________________.
【答案】6
【解析】函数的图像关于直线x=1对称，函数的图像也关于直线x=1对称，画出图像，
两图像共有6个交点，关于直线x=1对称，所以它们的交点的横坐标之和等于6．
【两年模拟详解析】
1.
【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围为
．
【答案】
【解析】与相切时
（正舍），与相切时
，与不相切.由图可知实数的取值范围为
2．【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】已知函数，关于的方程（）有四个不同的实数解，，，则的取值范围为
．
【答案】（0,1）
【解析】函数的图象如图所示，关于的方程恰有四个互不相等的实根，即函数的图象与直线有四个不同的交点，则，不妨设从左向右的交点的横坐标分别为.当时，由对数函数的性质知，，当时，由的对称性知，又，则，，所以，所以，，故答案为.
3．【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】已知定义在R上的函数f
(x)存在零点，且对任意m,n∈R都满足f
[m·f
(m)＋f
(n)]＝f
2(m)＋n，若关于x的方程＝1－logax（a＞0,a≠1）恰有三个不同的根，则实数a的取值范围是
【答案】a＞3
【解析】∵f
(x)存在零点，∴令f
(x0)＝0
∴令m＝x0
∴f
[x0·f
(x0)＋f
(n)]＝f
2(x0)＋n
∴f
[
f
(n)]＝n∴＝1－logax恰有三个不同的根，∴函数y=logax与函数y＝1－有三个不同的交点，因此．
4．【江苏省苏中三市2016届高三第二次调研测试】已知是定义在上的偶函数，且对于任意的，满足，若当时，，则函数在区间上的零点个数为
▲
．
【答案】
【解析】由题意作出在区间上的图像，与直线的交点共有个，故函数在区间上的零点个数为
5．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】设函数f(x)＝，g(x)＝f(x)－b．若存在实数b，使得函数g(x)恰有3个零点，则实数a的取值范围为
▲
．
【答案】(－1－，2)
【解析】令，则，所以当时，，当时，
因此要使函数g(x)恰有3个零点，须且，即实数a的取值范围为(－1－，2)
6．【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】已知函数（为的导函数）.若方程有四个不等的实根，则的取值范围是
.
【答案】或
7．【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】若函数的图象上有且只有两点，使得函数的图象上存在两点，且与、与分别关于坐标原点对称，则实数的取值集合是
▲
.3
【答案】{}
【解析】由题意得有且只有两交点，即与有两零点，因为，或，由图可知时满足条件.
8．【江苏省淮阴中学2015-2016学年度第一学期期中考试】设是函数的零点，且，，则k=
.
【答案】-1
【解析】易知函数单调递增，且,所以根据零点存在定理知，在区间（-1，0）之间有一个零点，故k=-1.
9．【江苏省淮阴中学2015-2016学年度第一学期期中考试】已知函数，若a.
【答案】（27,81）
【解析】
函数f(x)的图像如上图，结合图像并由已知a10．【江苏省如东高级中学2016届高三上学期期中考试数学试题】已知函数若函数有四个零点，则实数的所有可能取值构成的集合是________
【答案】
【解析】
因此：当时，；当时，；当时，；当时，；，因为函数有四个零点，因此，实数的所有可能取值构成的集合是
【一年原创真预测】
1.已知函数是定义域为，且关于对称.
当时，
，若关于的方程
（），有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是____________________.
【答案】
【解析】作出的图象如下，
又∵函数关于对称，所以函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，且关于x的方程，a∈R有且仅有6个不同实数根，等价于或，a∈R共有且仅有6个不同实数根；而方程由偶函数的对称性可知，有四个不同的实数根，所以必须且只需方程，a∈R有且仅有2个不同实数根，由图可知或；故．
【入选理由】本题主要考查函数零点与方程根之间的关系，以及零点判定定理的应用,体现了分类讨论和数形结合的数学思想,意在考查学生的分析和计算能力.函数零点，方程的根是高考考查的重点与难点，故选此题.
2.已知函数，，设为实数，若存在实数，使，则实数的取值范围为________________.
【答案】
【解析】当时，，当时，，故，所以只需要即
【入选理由】本题主要考查函数的性质、方程的根等基础知识，意在考查学生转化与化归能力.将方程的根转化为函数的值域问题，此题构思较好，难度不大，故选此题．
3.
已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围为
.
【答案】
【解析】的图像如图所示，显然当时，直线与的图像只有一个交点；当时，直线与的图像在第一象限一定存在一个交点，若直线与的图像有三个交点，则直线与的图像在第三象限有两个交点；先研究直线与的图像在第三象限的相切情况；设直线与的图像在第三象限相切于点，则斜线方程为，代入，得，解得，此时；所以直线与的图像有三个交点，则.
【入选理由】本题考查转化与化归、数形结合的思想方法，将方程恰有3个不同的实数根转化为两个函数与的图象有3个交点.，意在考查数形结合的数学思想,学生的分析和计算能力.给出方程的根的个数，求参数的范围，像这一类题比较少见，故选此题.
y
x
O
-4
4
2
1
x
yx
-11
Ox
PAGE
-
1
-专题10.4
圆锥曲线的综合应用
【三年高考】
1.
【2015江苏高考，18】（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于
点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.
【答案】（1）（2）或．
【解析】
试题解析：（1）由题意，得且，
解得，，则，
所以椭圆的标准方程为．
（2）当轴时，，又，不合题意．
当与轴不垂直时，设直线的方程为，，，
将的方程代入椭圆方程，得，
则，的坐标为，且
．
若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意．
从而，故直线的方程为，
则点的坐标为，从而．
因为，所以，解得．
此时直线方程为或．
【考点定位】椭圆方程，直线与椭圆位置关系
2．【2014江苏，理17】如图在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左右焦点，顶点的坐标是，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接.
（1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程；
（2）若，求椭圆离心率的值.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般要找到关系的两个等量关系，本题中椭圆过点，可把点的坐标代入标准方程，得到一个关于的方程，另外，这样两个等量关系找到了；（2）要求离心率，就是要列出关于的一个等式，题设条件是，即，，要求，必须求得的坐标，由已知写出方程，与椭圆方程联立可解得点坐标，则，由此可得，代入可得关于的等式，再由可得的方程，可求得.
试题解析：（1）由题意，，，，又，∴，解得．∴椭圆方程为．
（2）直线方程为，与椭圆方程联立方程组，解得点坐标为，则点坐标为，，又，由得，即，∴，化简得．
3.
【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。
求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。
【答案】(1)
。
(2)证明略。
【解析】
（2）由题意知。设,则
，
。
由得，又由（1）知，故
。
所以，即。又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F。
【考点】
轨迹方程的求解；直线过定点问题。
【名师点睛】求轨迹方程的常用方法有：
(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0。
(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程。
(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。
(4)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程。
4.【2017山东，理21】在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.
【答案】（I）.
（Ⅱ）的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.
（Ⅱ）设，联立方程
得，由题意知，且，
所以
.
由题意可知圆的半径为
由题设知，所以因此直线的方程为.
联立方程得，因此
.
【考点】1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3.
二次函数的图象和性质.
【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
5.
【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
【答案】（1）不会；（2）详见解析
【解析】试题分析：（1）设，由AC⊥BC得；由韦达定理得，矛盾，所以不存在（2）可设圆方程为,因为过，所以
，令
得，即弦长为3.
令得，所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为，所以
所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值
解法2：设过A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D，
由可知原点O在圆内，由相交弦定理可得，
又，所以，
所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为，为定值.
【考点】圆一般方程，圆弦长
【名师点睛】：直线与圆综合问题的常见类型及解题策略
(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：
(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
6.
【2017天津，文20】已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为.
（I）求椭圆的离心率；
（II）设点在线段上，，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，，且直线与直线间的距离为，四边形的面积为.
（i）求直线的斜率；
（ii）求椭圆的方程.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）（ⅰ）
（ⅱ）
【解析】
试题解析：（Ⅰ）解：设椭圆的离心率为e.由已知，可得.又由，可得，即.又因为，解得.
所以，椭圆的离心率为.
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为，则直线FP的斜率为.
由（Ⅰ）知，可得直线AE的方程为，即，与直线FP的方程联立，可解得，即点Q的坐标为.
由已知|FQ|=，有，整理得，所以，即直线FP的斜率为.
【考点】1.椭圆方程；2.椭圆的几何性质；3.直线与椭圆的位置关系.
【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题重点考察了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，利用的关系，确定椭圆离心率是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，一般都是根据根与系数的关系解题，但本题需求解交点坐标，再求解过程逐步发现四边形的几何关系，从而求解面积，计算结果，本题计算量比较大.
7.
【2017北京，文19】已知椭圆C的两个顶点分别为A( 2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据条件可知，以及
，求得椭圆方程；（Ⅱ）设，则，根据条件求直线的方程，并且表示直线的方程，并求两条直线的交点，根据
，根据坐标表示面积比值.
试题解析：（Ⅰ）设椭圆的方程为.
由题意得解得.
所以.
所以椭圆的方程为.
由点在椭圆上，得.
所以.
又，
，
所以与的面积之比为.
【考点】1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.
【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，重点考察了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，利用的关系，确定椭圆方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，一般都是根据根与系数的关系解题，但本题需求解交点坐标，再根据面积的几何关系，从而求解面积比值，计算结果，本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
8.
【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．
（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；
（Ⅱ）求的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由两点求斜率公式可得AP的斜率为，由，得AP斜率的取值范围；（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程，得Q的横坐标，进而表达与的长度，通过函数求解的最大值．
解得点Q的横坐标是，因为|PA|==
|PQ|=
，所以|PA||PQ|=
令，因为，所以
f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k=时，取得最大值．
【考点】直线与圆锥曲线的位置关系
【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达与的长度，通过函数求解的最大值．
9．【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值,并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（）（II）
【解析】
试题分析：根据可知轨迹为椭圆,利用椭圆定义求方程；（II）分斜率是否存在设出直线方程,当直线斜率存在时设其方程为,根据根与系数的关系和弦长公式把面积表示为x斜率k的函数,再求最值.
试题解析：（Ⅰ）因为,,故,
所以,故.
又圆的标准方程为,从而,所以.
由题设得,,,由椭圆定义可得点的轨迹方程为：
（）.
（Ⅱ）当与轴不垂直时,设的方程为,,.
由得.
则,.
所以.
过点且与垂直的直线：,到的距离为,所以
.故四边形的面积
.
可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.
当与轴垂直时,其方程为,,,四边形的面积为12.
综上,四边形面积的取值范围为.
考点：圆锥曲线综合问题
【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成,
.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.
10．【2016高考山东理数】（本小题满分14分）
平面直角坐标系中，椭圆C： 的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.
（I）求椭圆C的方程；
（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
（i）求证：点M在定直线上;
（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求
的最大值及取得最大值时点P的坐标.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（i）见解析；（ii）的最大值为，此时点的坐标为
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点求方程；（Ⅱ）（i）由点P的坐标和斜率设出直线l的方程和抛物线联立，进而判断点M在定直线上；（ii）分别列出，面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点P的坐标.
试题解析：
（Ⅰ）由题意知，可得：.
因为抛物线的焦点为，所以，
所以椭圆C的方程为.
（Ⅱ）（i）设，由可得，
所以直线的斜率为，
因此直线的方程为，即.
设，联立方程
得，
由，得且，
因此,
将其代入得，
因为，所以直线方程为.
联立方程，得点的纵坐标为，
即点在定直线上.
（ii）由（i）知直线方程为，
令得，所以，
又，
所以，
，
所以，
令，则，
当，即时，取得最大值，此时，满足，
所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.
考点：1.椭圆、抛物线的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3.
二次函数的图象和性质.
【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
11．【2016高考北京文数】已知椭圆C：过点A（2,0），B（0,1）两点.
（I）求椭圆C的方程及离心率；
（Ⅱ）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据两顶点坐标可知a,b的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；（Ⅱ）四边形的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线的值求乘积为定值即可.
试题解析：（I）由题意得，，．
所以椭圆的方程为．
又，
所以离心率．
（II）设（，），则．
又，，所以，
直线的方程为．
令，得，从而．
直线的方程为．
令，得，从而．
所以四边形的面积
．
从而四边形的面积为定值．
考点：椭圆方程，直线和椭圆的关系，运算求解能力.
【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.
12.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线，抛物线
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证：线段PQ的中点坐标为；
②求p的取值范围.
【答案】（1）（2）①详见解析，②
【解析】
试题分析：（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程（2）①利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证，②利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：，解出p的取值范围.
试题解析：解：（1）抛物线的焦点为
由点在直线上，得，即
所以抛物线C的方程为
（2）设，线段PQ的中点
因为点P和Q关于直线对称，所以直线垂直平分线段PQ,
于是直线PQ的斜率为，则可设其方程为
①由消去得
因为P
和Q是抛物线C上的相异两点，所以
从而，化简得.
方程（
）的两根为，从而
因为在直线上，所以
因此，线段PQ的中点坐标为
②因为在直线上
所以，即
由①知，于是，所以
因此的取值范围为
考点：直线与抛物线位置关系
【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：
(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；
(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；
(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
13.【2016高考天津理数】（本小题满分14分）
设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中
为原点，为椭圆的离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由，得，再利用，可解得，（Ⅱ）先化简条件：，即M再OA中垂线上，，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H，最后根据，列等量关系解出直线斜率.取值范围
试题解析：（1）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.
（2）（Ⅱ）解：设直线的斜率为（），则直线的方程为.设，由方程组，消去，整理得.
解得，或，由题意得，从而.
由（Ⅰ）知，，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.
设，由方程组消去，解得.在中，，即，化简得，即，解得或.
所以，直线的斜率的取值范围为.
考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程
【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：
(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；
(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；
(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
14.【2016高考新课标3理数】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．
（I）若在线段上，是的中点，证明；
（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设出与轴垂直的两条直线，然后得出的坐标，然后通过证明直线与直线的斜率相等即可证明结果了；（Ⅱ）设直线与轴的交点坐标，利用面积可求得，设出的中点，根据与轴是否垂直分两种情况结合求解．
试题解析：由题设.设，则，且
.
记过两点的直线为，则的方程为.
.....3分
（Ⅰ）由于在线段上，故.
记的斜率为，的斜率为，则，
所以.
......5分
（Ⅱ）设与轴的交点为，
则.
由题设可得，所以（舍去），.
设满足条件的的中点为.
当与轴不垂直时，由可得.
而，所以.
当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为.
....12分
考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．
【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．
15.【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆（a＞1）.
（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；
（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值
范围.
【答案】（I）；（II）．
【解析】
试题分析：（I）先联立和，可得，，再利用弦长公式可得直线被椭圆截得的线段长；（II）先假设圆与椭圆的公共点有个，再利用对称性及已知条件可得任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点时，的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．
试题解析：（I）设直线被椭圆截得的线段为，由得
，
故
，．
因此
．
（II）假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足
．
记直线，的斜率分别为，，且，，．
由（I）知，
，，
故
，
所以．
由于，，得
，
因此
，
①
因为①式关于，的方程有解的充要条件是
，所以．
因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为
，
由得，所求离心率的取值范围为．
考点：1、弦长；2、圆与椭圆的位置关系；3、椭圆的离心率．
【思路点睛】（I）先联立和，可得交点的横坐标，再利用弦长公式可得直线被椭圆截得的线段长；（II）利用对称性及已知条件可得任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点时，的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．
16．【2016高考新课标2理数】已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，．
（Ⅰ）当时，求的面积；
（Ⅱ）当时，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.
试题解析：（I）设，则由题意知，当时，的方程为，.
由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.
将代入得.解得或，所以.
因此的面积.
（II）由题意，，.
将直线的方程代入得.
由得，故.
由题设，直线的方程为，故同理可得，
由得，即.
当时上式不成立，
因此.等价于，
即.由此得，或，解得.
因此的取值范围是.
考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.
【名师点睛】由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．
17【2016年高考北京理数】（本小题14分）
已知椭圆C：
（）的离心率为
，，，，的面积为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N.
求证：为定值.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据离心率为，即，的面积为1，即，椭圆中列方程求解；（2）根据已知条件分别求出，的值，求其乘积为定值.
试题解析：（1）由题意得解得.
所以椭圆的方程为.
（2）由（Ⅰ）知，，
设，则.
当时，直线的方程为.
令，得.从而.
直线的方程为.
令，得.从而.
所以
.
当时，，
所以.
综上，为定值.
考点：1.椭圆方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系.
【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.
18．【2016年高考四川理数】（本小题满分13分）
已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线与椭圆E有且只有一个公共点T.
（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；
（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l’平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数，使得，并求的值.
【答案】（Ⅰ），点T坐标为（2,1）；（Ⅱ）.
【解析】
试题解析：（I）由已知，，即，所以，则椭圆E的方程为.
由方程组
得.①
方程①的判别式为，由，得，
此方程①的解为，
所以椭圆E的方程为.
点T坐标为（2,1）.
（II）由已知可设直线
的方程为，
有方程组
可得
所以P点坐标为（
），.
设点A，B的坐标分别为
.
由方程组
可得.②
方程②的判别式为，由，解得.
由②得.
所以
，
同理，
所以
.
故存在常数，使得.
考点：椭圆的标准方程及其几何性质.
【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得，再把用表示出来，并代入刚才的，这种方法是解析几何中的“设而不求”法．可减少计算量，简化解题过程．
19．【2016高考上海理数】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点。
（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率.
【答案】（1）．（2）.
【解析】
试题分析：（1）设．根据是等边三角形，得到，解得．
（2）（2）设，，直线与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据与双曲线交于两点，可得，且．
设的中点为．由，计算，从而．
得出的方程求解．
试题解析：（1）设．
由题意，，，，
因为是等边三角形，所以，
即，解得．
故双曲线的渐近线方程为．
（2）由已知，，．
设，，直线．显然．
由，得．
因为与双曲线交于两点，所以，且．
设的中点为．
由即，知，故．
而，，，
所以，得，故的斜率为．
考点：1.双曲线的几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.平面向量的数量积.
【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用的关系，确定双曲线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与双曲线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
20.
【2015高考陕西，文20】如图，椭圆经过点，且离心率为.
(I)求椭圆的方程；
(II)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为2.
【解析】
(I)由题意知，综合，解得，所以，椭圆的方程为.
【2018年高考命题预测】
纵观2017各地高考试题，由定义法求曲线的方程、由已知条件直接求曲线的方程、直线与圆锥曲线、圆锥曲线间的综合等是高考的热点，题型大多为解答题，难度为中档题或难题，主要考查求曲线轨迹方程的方法，圆锥曲线的定义与性质应用，各圆锥曲线间的联系，直线与圆锥曲线间的位置关系及弦长问题、最值问题、定点定值的探索问题等，其中直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系是考查的重点和热点，考查的知识点多，能力要求高，尤其是运算变形能力，分析问题与解决综合问题的能力，是高考中区分度较大的题目.2018年求曲线的方程和研究曲线的性质、直线与圆锥曲线、圆锥曲线间的综合等仍是高考的热点，题型大多为解答题，难度为仍中档题或难题，仍主要考查求曲线轨迹方程的方法，圆锥曲线的定义与性质应用，各圆锥曲线间的联系，直线与圆锥曲线间的位置关系及弦长问题、最值问题、定点定值的探索问题等，其中直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系仍是考查的重点和热点，考查的知识点仍然较多，能力要求高，尤其是运算变形能力，分析问题与解决综合问题的能力，仍是高考中区分度较大的题目，在备考时，熟练掌握求曲线方程的常用方法，掌握直线与圆锥曲线问题的常见题型与解法，加大练习力度，提高运算能力和综合运用知识分析解决问题能力，要特别关注与向量、导数等知识的结合，关注函数思想、数形结合思想及分类讨论思想等数学思想在解题中的应用．
【2018年高考考点定位】
高考对圆锥曲线综合问题的考查有三种主要形式：一是考查求曲线方程；二是考查圆锥曲线间的知识运用；三是直线与圆锥曲线的位置关系，这是高考中考查的重点和难点，主要涉及的题型为中点弦问题、最值与取值范围问题、定点与定值问题、探索性问题，从涉及的知识上讲，常与平面向量、函数与导数、方程、不等式等知识相联系，考查知识点多，运算量大，能力要求高，难度大是这种题型的一大特征.
【考点1】求轨迹方程
【备考知识梳理】
1．曲线与方程
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程叫做这条曲线的方程；这条曲线叫做这个方程的曲线.
2．直接法求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系——建立适当的坐标系．
(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．
(3)列式——列出动点P所满足的关系式．
(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
【规律方法技巧】
1.
求轨迹方程的常用方法一般分为两大类，一类是已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数——待定系数法；另一类是不知曲线类型常用的方法有：
(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0；
(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
(3)代入法(相关点法)：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；
(4)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．
2.
求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等
【考点针对训练】
1.A和B是抛物线上除去原点以外的两个动点，是坐标原点且满足，，则动点的轨迹方程为_______________.
【答案】
【解析】设，，，则，①，，②，当直线垂直于x轴时，，当直线的斜率存在时，由题意可知斜率k不会为0，设，
联立，得，∴，，，∵，∴，即，③，
∵，即，④，又∵点M满足，⑤，由③④⑤得：，
而满足上式，∴点M的轨迹方程为：．
2.在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为、，动点满足:直线与直线的斜率之积为．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设为动点的轨迹的左右顶点，为直线上的一动点（点不在x轴上），连[交的轨迹于点，连并延长交的轨迹于点，试问直线是否过定点？若成立，请求出该定点坐标，若不成立，请说明理由．
【解析】（1）已知，设动点的坐标，所以直线的斜率，直线的斜率（），又，所以，即．
（2）设，又，则，故直线的方程为：，代入椭圆方程并整理得：.由韦达定理：即，，同理可解得：
故直线的方程为，即，故直线恒过定点．
【考点2】圆锥曲线间的综合
【备考知识梳理】
1.要熟记椭圆的定义、标准方程与几何性质.
2.要熟练掌握双曲线的定义、标准方程与几何性质.
3.要熟练掌握抛物线的定义、标准方程与几何性质.
【规律方法技巧】
1.
解圆锥曲线间的综合问题时，要结合图像进行分析，理清所涉及到圆锥曲线间基本量之间的关系，实现不同曲线间基本量的转化.
2.熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单几何性质是解题的关键.
【考点针对训练】
1.已知椭圆（）与双曲线（，）有相同的焦点和，若是、的等比中项，是与的等差中项，则椭圆的离心率是_______________.
【答案】
【解析】根据题意，椭圆（）与双曲线（，）有相同的焦点和，所以有又是、的等比中项，所以
是与的等差中项，所以由（1），（3）得代入（1）得代入（2）得：则椭圆的离心率是
2.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则
．
【答案】4
【解析】设，，则，又，所以，，即，，因此
【考点3】直线与圆锥曲线位置关系的综合问题
【备考知识梳理】
1.将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y得到关于x的方程.
若≠0，当△＞0时，直线与圆锥曲线有两个交点.
当△=0时，直线与圆锥曲线有且只有一个公共点，此时直线与双曲线相切.
当△＜0时，直线与圆锥曲线无公共点.
（2）当=0时，若圆锥曲线为双曲线，则直线与双曲线只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行；若圆锥曲线为抛物线，则直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线的对称轴平行.
（3）设直线与圆锥曲线的交点A（，），B（，），则，.
2.
直线y＝kx＋b(k≠0)与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝
|x1－x2|＝
·＝·|y1－y2|＝·.
【规律方法技巧】
1.在处理直线与圆锥曲线的位置关系问题时，常用设而不求法，即常将圆锥曲线与直线联立，消去（或）化为关于（或）的一元二次方程，设出直线与圆锥曲线的交点坐标，则交点的横（纵）坐标即为上述一元二次方程的解，利用根与系数关系，将，表示出来，注意判别式大于零不能丢，然后根据问题，再通过配凑将其化为关于与的式子，将，代入再用有关方法取处理，注意用向量法处理共线问题、垂直问题及平行问题.
2.再处理直线与圆锥曲线位置关系问题时，首先确定直线的斜率，若不能确定，则需要分成直线斜率存在与不存在两种情况讨论，也可以将直线方程设为，避免分类讨论.
3.定点与定值问题处理方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定点（定值），再证明这个定点（定值）与变量无关.
(2)直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）.
4.最值问题常见解法有两种：
（1）几何法：若题中的条件与结论有明显的几何特征和意义，则考虑利用图形的几何性质来解决，如三角不等式、圆锥曲线的定义等.
(2)代数法：利用相关知识和方法结合题中的条件，建立目标函数，利用函数的性质、不等式或导数知识求出这个函数的最值.
5.参数范围问题常见解法有两种：
（1）不等式法：利用题意结合图形列出所讨论参数满足的不等式（组），通过解不等式（组）解出参数的范围，注意判别式大于0不能遗漏.
(2)函数最值法：利用题中条件和相关知识，将所讨论参数表示为某个变量的函数，通过讨论这个函数的值域求出该参数的范围.
6.对探索性问题，先假设存在，依此为基础推理，若推出矛盾，则不存在，求出值，则存在.
7.
直线与圆锥曲线位置关系中的中点弦问题常用点差法和参数法.
【考点针对训练】
1.直线l：x－y＝0与椭圆＋y2＝1相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为_____．
【答案】
2.已知抛物线C：的焦点为F，直线与轴的交点为P，与C的交点为Q，且．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）点在抛物线C上，是否存在直线与C交于点，使得△
是以为斜边的直角三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由．
【解析】（Ⅰ）设，代入，得．由题设得，解得（舍去）或，∴C的方程为．
（Ⅱ）由知，点，假设存在满足条件的直线，设，联立方程组得，
由题意得，，代入得，解得（舍）或，．
【两年模拟详解析】
1.【2016—2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）】在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为，离心率为
，椭圆的右顶点为.
（1）求该椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于两个不同点，求证：直线的斜
率之积为定值.
解：（1）由题所以，.
……2分
所以椭圆C的方程为
……4分
（2）当直线PQ的斜率不存在时，不合题意；
……5分
当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为，……6分
代入
得，
……8分
设，，则：
，，，
……9分
所以，，
……11分
又
=1.
所以直线AP，AQ的斜率之和为定值1.
……16分
2.【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】（本小题满分16分）已知过点且离心率为的椭圆的中心在原点，焦点在轴上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆的左准线与轴的交点，过点的直线与椭圆相交于两点，记椭圆的左，右焦点分别为，上下两个顶点分别为.当线段的中点落在四边形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）依题意，设椭圆的方程为（）,焦距为，
由题设条件知，，即，所以，由椭圆过点，则有，解得，，故椭圆的方程为．·······7分
（2）椭圆的左准线方程为,所以点的坐标为（-4,0），
显然直线的斜率存在，所以直线的方程为．
设点的坐标分别为，线段的
中点为，
由
得
，
①
·······9分
由，
解得
，
②
·······11分
因为是方程①的两根，所以，
于是，
·······12分
∵，所以点不可能在轴的右边．
又直线方程分别为，
所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为
，即
·······14分
解得，此时②也成立．故直线斜率的取值范围是．
······16分
3.【2017年高考原创押题预测卷02（江苏卷）】（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为.
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若直线与圆切于第一象限，且与坐标轴交于点，当长最小时，求直线的方程；
（Ⅲ）设是圆上任意两点，点关于轴的对称点为，若直线分别交轴于点和，问是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）圆心到直线的距离，----------（2分）
又半弦长为，则该圆的半径，所以圆的方程为；------（4分）
（Ⅱ）设直线，即，--------------（5分）
则，由题设可得，即，---------（6分）
又因，故，即，------------（7分）
故（当且仅当时取等号），此时所求直线的方程为.------（8分）
（Ⅱ）设，由题意，则，直线，----------------（10分）
令，解之得，∴；------（12分）
又因为则，直线，--------------（13分）
令可得，∴------（14分）
，--------------（15分）
由于，故，∴为定值2.-----（16分）
4.【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，设经过点的直线交椭圆于两点，且满足，若椭圆的离心率．
（Ⅰ）设，直线的斜率为，求椭圆的长轴长（用表示）；
（Ⅱ）设，记的面积，求的解析表达式及其最大值，并求取得最大值时椭圆的方程．
【解析】（Ⅰ）设（），则，故椭圆方程，将直线代入并整理可得，------------（2分）
则由根与系数的关系可得；-------------------（3分）
设直线与椭圆的两个交点，则，故由题设可得，即，代入可得，代入可得，-----------（6分）则，则长轴长；---------（8分）
(Ⅱ)
设直线与椭圆的两个交点，由(Ⅰ)知，则弦，---（11分）
将代入可得，又坐标原点到直线的距离，-------------------（13分）
则．
因为（当且仅当时取等号），所以，-------（15分）
将代入可得，即，此时椭圆方程为．------------------------------（16分）
5.【南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟】（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1经过点(b，2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(1，0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求
的值；
（3）记直线l与y轴的交点为P．若＝，求直线l的斜率k．
解：（1）因为椭圆
＋＝1经过点(b，2e)，所以＋＝1．
因为e2＝＝，所以＋＝1．
因为a2＝b2＋c2，所以
＋＝1．
……………………
2分
整理得
b4－12b2＋32＝0，解得b2＝4或b2＝8(舍)
．
所以椭圆C的方程为＋＝1．
……………………
4分
（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为T(1，0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)．
联立直线l与椭圆方程
eq
\b\lc\{(\a\al(y＝k(x－1)，,＋＝1，))
消去y，得
(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0，
所以eq
\b\lc\{(\a\al(x1＋x2＝，,x1x2＝．))
………………
6分
因为MN∥l，所以直线MN方程为y＝kx，
联立直线MN与椭圆方程eq
\b\lc\{(\a\al(y＝kx，,＋＝1，))
消去y得
(2k2＋1)x2＝8，解得x2＝．
因为MN∥l，所以
＝．
……………………
8分
因为
(1－x1)·(x2－1)＝－[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝
，
(xM－xN)2＝4x2＝，
所以
＝＝·＝．
…………………
10分
（3）在y＝k(x－1)中，令x＝0，则y＝－k，所以P(0，－k)，
从而
＝(－x1,－k－y1)，
＝(x2－1，y2)．
因为
＝，所以－x1＝(x2－1)，即x1＋x2＝．……………………
12分
由(2)知，
eq
\b\lc\{(\a\al(x1＋x2＝，,x1x2＝．))
由eq
\b\lc\{(\a\al(x1＋x2＝，,x1＋x2＝，))解得
x1＝，x2＝．
………………
14分
因为x1x2＝，
所以
×＝，
整理得
50k4－83k2－34＝0，解得k2＝2或k2＝－
(舍)
．
又因为k＞0，所以k＝．
……………………
16分
6.【2017南通扬州泰州苏北四市高三二模】（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点．
（1）若点的坐标为，求a，b的值；
（2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且，求直线AB的斜率．
解：（1）因为椭圆的离心率为，
所以，即．①
又因为点在椭圆上，
所以．
②
……
3分
由①②解得．
因为，所以．
……
5分
（2）法一：由①知，，所以椭圆方程为，即．
设直线OC的方程为，，．
由得，
所以．因为，所以．
……
8分
因为，所以．可设直线的方程为．
由得，
所以或，得．
……
11分
因为，所以，于是，
即，所以．
所以直线AB的斜率为．
……
14分
7.【2017南通扬州泰州苏北四市高三二模】（本小题满分16分）
一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．
（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截
成功；（参考数据：°，）
（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．
解：（1）设缉私艇在处与走私船相遇（如图甲），
依题意，．
……
2分
在△中，由正弦定理得，
．
因为°，所以°．
从而缉私艇应向北偏东方向追击．
……
5分
在△中，由余弦定理得，
，
解得．
又B到边界线l的距离为．
因为，所以能在领海上成功拦截走私船．
……
8分
（2）如图乙，以为原点，正北方向所在的直线为轴建立平面直角坐标系．
则，设缉私艇在处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私
船相遇，则，即．
整理得，，
……
12分
所以点的轨迹是以点为圆心，
为半径的圆．
因为圆心到领海边界线：的距离为1.55，大于圆半径，
所以缉私艇能在领海内截住走私船．
……
14分
答：（1）缉私艇应向北偏东方向追击；
（2）缉私艇总能在领海内成功拦截走私船．
……
16分
8.【苏北四市2016-2017学年度高三年级第一学期期末调研】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到左准线的距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为椭圆的左顶点，为椭圆上位于轴上方的点，直线交轴于点
，过点作的垂线，交轴于点．
（ⅰ）当直线的斜率为时，求的外接圆的方程；
（ⅱ）设直线交椭圆于另一点，求的面积的最大值．
【解析】（1）由题意，得
解得
则，
所以椭圆的标准方程为．
………………………………………4分
（2）由题可设直线的方程为，，则，
所以直线的方程为，则．
(i)当直线的斜率为，即时，，，，
因为，所以圆心为，半径为，
所以的外接圆的方程为．……………………………8分
(ii)联立
消去并整理得，，
解得或，所以，……………………10分
直线的方程为，同理可得，，
所以，关于原点对称，即过原点．
所以的面积，……14分
当且仅当，即时，取“”．
所以的面积的最大值为．…………………………………………16分
9.【扬州市2016—2017学年度第一学期期末检测】（本小题满分16分）
如图，椭圆，圆，过椭圆的上顶点的直线:分别交圆、椭圆于不同的两点、，设．
（1）若点点求椭圆的方程；
（2）若，求椭圆的离心率的取值范围．
【解析】（1）由在圆上得
又点在椭圆上得
解得
椭圆的方程是
--------------------------------------5分
（2）由得或
--------------------------------------7分
由得或
--------------------------------------9分
，，，
即
，即，又
--------------------------------------16分
10.【南通市、泰州市2017届高三第一次调研测试】（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线
于点Q，求的值；
【解析】解：（1）由题意得：，………………2分
解得：，所以椭圆的标准方程为；……4分
（2）由题意知OP的斜率存在，
当OP的斜率为0时，，所以=1，……6分
当OP的斜率不为0时，设直线OP的方程为，
由得：，解得：，所以，
所以，…………………………………………………………9分
因为，所以直线OQ的方程为，
由得：，所以，……………………12分
所以=，
综上，可知=1.………………………………………………14分
11.
【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为
．
【答案】
【解析】抛物线的焦点为，双曲线渐近线为，所求距离为．
12.
【江苏省清江中学2016届数学模拟试卷】已知双曲线的准线经过椭圆的焦点，则
.
【答案】
【解析】双曲线中，，其准线为，所以，．
13.【江苏省如东高级中学2016届高三上学期期中考试数学试题】若直线与椭圆交于点C,D,点M为CD的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且，则________
【答案】
14．【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，△ABC的顶点C在双曲线的右支上，则的值是
．
【答案】
【解析】由正弦定理得
15．【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】Z若点P在曲线C1：y2＝8x上，点Q在曲线C2：(x－2)2＋y2＝1上，点O为坐标原点，则
的最大值是
．
【答案】
【解析】圆C2的圆心恰好为抛物线的焦点F，
|PQ|的最小值为|PF|－1＝xp＋－1＝xp＋1，
∵|OP|2＝∴
令t＝xp＋1≥1
∴y＝
∴时，ymax＝．
16．【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】在平面直角坐标系中，双曲线与抛物线有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为
.
【答案】
【解析】由题意得，而双曲线渐近线的方程为即[]
17．【扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题】如图，已知椭圆（）的左、右焦点为、，是椭圆上一点，在上，且满足（），，为坐标原点.
（1）若椭圆方程为，且，求点的横坐标；
（2）若，求椭圆离心率的取值范围
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）求点坐标，一般方法为待定系数法，即列两个独立条件，解方程组就可.M满足直线的方程及直线的方程，而直线的斜率为斜率，因此可由点斜式写出直线的方程为：，而直线与OP垂直，因此由OP斜率的负倒数得直线斜率，也可由点斜式写出直线的方程，联立两方程解出点的横坐标为（2）求椭圆离心率，只需得到关于a,b,c的一个关系式：本题可用a,b,c表示出点P的坐标，再根据点P坐标的取值范围得到a,b,c的一个关系式，设，则点，所以由得，又，解得，而，因此
试题解析：（1）
直线的方程为：，直线的方程为：
…………4分
由解得：
点的横坐标为
…………6分
（2）设
，
即
…………9分
联立方程得：，消去得：
解得：或
…………12分
解得：
综上，椭圆离心率的取值范围为．
…………15分
18．【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】(本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中，点C在椭圆M：
(a＞b＞0)上．若点A(－a，0)，B(0，)，且．
（1）求椭圆M的离心率；
（2）设椭圆M的焦距为4，P，Q是椭圆M上不同的两点，线段PQ的垂直平分线为直线l，且直线l不与y轴重合．
①若点P(－3，0)，直线l过点(0，－)，求直线l的方程；
②若直线l过点(0，－1)
，且与x轴的交点为D，求D点横坐标的取值范围．
【答案】（1）（2）①y＝－x＋或y＝x＋，②(－，0)∪(0，)．
（2）①因为c＝2，所以a2＝9，b2＝5，所以椭圆的方程为，
设Q
(x0，y0)，则……①
………………………………………………6分
因为点P(－3，0)，所以PQ中点为，
因为直线l过点(0，－)，直线l不与y轴重合，所以x0≠3，
所以＝－1，
………………………………………………8分
化简得x02＝9－y02－y0．……②
将②代入①化简得y02－y0＝0，解得y0＝0（舍），或y0＝．
将y0＝代入①得x0＝±，所以Q为(±，)，
所以PQ斜率为1或，直线l的斜率为－1或，
所以直线l的方程为y＝－x＋或y＝x＋．……………………………………………10分
②设PQ：y＝kx+m，则直线l的方程为：y＝－x－1，所以xD＝－k．
将直线PQ的方程代入椭圆的方程，消去y得(5＋9k2)x2＋18kmx＋9m2－45＝0．…………①，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，中点为N，
xN＝，代入直线PQ的方程得yN＝，…………………………12分
代入直线l的方程得9k2＝4m－5．
……②
又因为△＝(18km)2－4(5＋9k2)
(9m2－45)＞0，
化得m2－9k2－5＜0．
………………………………………………14分
将②代入上式得m2－4m＜0，解得0＜m＜4，
所以－＜k＜，且k≠0，所以xD＝－k∈(－，0)∪(0，)．
综上所述，点D横坐标的取值范围为(－，0)∪(0，)．…………………………16分
19．【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】如图，已知点F1,F2是椭圆Cl：＋y2
＝1的两个焦点，椭圆C2：＋y2
＝经过点F1,F2，点P是椭圆C2上异于F1,F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A，B和C，D．设AB、CD的斜率分别为
（1）试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
（2）求|AB|·|CD|的最大值．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）因为点是椭圆的两个焦点，故的坐标是；
而点是椭圆上的点，将的坐标带入的方程得，
设点，直线和分别是.
（1），
又点是椭圆上的点，故
（2）
联合（1）（2）两式得
，故为定值．
（Ⅱ）直线的方程可表示为：
()
（3）
结合方程（4）和椭圆的方程，得到方程组
由方程组消y得
（4）
设,依韦达定理知，方程(4）的两根满足：
,
.(5)
同理可求得
(6)
,
由（5）（6）两式得：
当且仅当时等号成立.故的最大值等于.
20．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】(本小题满分14分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
(a＞b＞0)的离心率为，点(2，1)在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与圆O：x2＋y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．
①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；
②求证：
OP⊥OQ．
【答案】（1）（2）①，②详见解析
【解析】（1）由题意，得，，解得a2＝6，b2＝3．
所以椭圆的方程为
··································································2分
（2）①解法一
椭圆C的右焦点F(，0)．
设切线方程为y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，
所以，解得k＝±，所以切线方程为y＝±
(x－)．·······················4分
由方程组解得或
所以PQ＝．
·································6分
因为O到直线PQ的距离为，所以△OPQ的面积为．
因为椭圆的对称性，当切线方程为y＝－
(x－)时，△OPQ的面积也为．
综上所述，△OPQ的面积为．
·································8分
②解法二
消去y得5x2－8x＋6＝0．
设P(x1，y1)
，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝．
由椭圆定义可得，PQ＝PF＋FQ＝2a－e(
x1＋x2)＝2×－×＝．···············6分
②
(i)若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x＝或x＝－．
当x＝时，P
(，)，Q(，－)．
因为＝0，所以OP⊥OQ．
当x＝－时，同理可得OP⊥OQ．
·································10分
(ii)
若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0．
因为直线与圆相切，所以，即m2＝2k2＋2．
将直线PQ方程代入椭圆方程，得(1＋2k2)
x2＋4kmx＋2m2－6＝0.
设P(x1，y1)
，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝－，x1x2＝．·································12分
因为＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
＝(1＋k2)×＋km×(－)＋m2．
将m2＝2k2＋2代入上式可得＝0，所以OP⊥OQ．
综上所述，OP⊥OQ．
·····································14分
21．【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】（本小题满分16分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左，右焦点分别是，，右顶点、上顶点分别为，，原点到直线的距离等于﹒
（1）若椭圆的离心率等于，求椭圆的方程；
（2）若过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，且在第二象限，直线交轴于点﹒试判断以为直径的圆与点的位置关系，并说明理由﹒
【答案】（1）（2）点在以为直径的圆上﹒
【解析】由题意，得点，，直线的方程为，即﹒
由题设，得，化简，得﹒①
…………2分
（1）∵，∴，即﹒②
由①②，解得﹒
…………5分
所以，椭圆的方程为﹒
…………6分
（2）点在以为直径的圆上﹒
由题设，直线与椭圆相切且的斜率存在，设直线的方程为：，
由，得，（
）
…………8分
则，
化简，得，所以，
，
∵点在第二象限，∴﹒
…………10分
把代入方程（
）
，得，
解得，从而，所以﹒
…………11分
从而直线的方程为：，
令，得，所以点
﹒
…………12分
从而，，
…………13分
从而
，
又∵，，
∴﹒
…………15分
所以点在以为直径的圆上﹒
…………16分
22．【江苏省苏北三市2016届高三最后一次模拟考试】（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知点在椭圆上，到椭圆的两个焦点的距离之和为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点是椭圆上的两点，且四边形是平行四边形，求点的坐标.
【答案】（1）（2）点，；或，．
【解析】（1）由题意知，，.
………………………………………………2分
解得，所以椭圆的方程为.
…………………………4分
（2）设，，则的中点坐标为，的中点坐标为．
因为四边形是平行四边形，所以即………………6分
由点，是椭圆的两点，所以………………8分
解得或
……………………………………………………………12分
由得由得
所以，点，；或，．……………………14分
23．【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，长轴长为4，过椭圆的左顶点作直线，分别交椭圆和圆于相异两点.
（1）若直线的斜率为，求的值；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由条件，，解得
所以椭圆的方程为，圆的方程为
（方法二）由得，所以
所以;
（2）（方法一）若，则
设直线，由得，
即，所以，得
所以，即，同理
所以，由题意：，所以.
（方法二）由方法一知，
由题意：，所以.
【一年原创真预测】
1.
若双曲线（，）的渐近线与抛物线相切，则此双曲线的离心率是
____________.
【答案】3
【解析】双曲线（，）的渐近线方程是，由，消去，得，即，因为双曲线的渐近线与抛物线相切，所以，即，所以双曲线的离心率．
【入选理由】本题考查双曲线简单性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查学生的基本运算能力，分析问题解决问题的能力，此题综合性较强，试题形式新颖，故选此题.
2.
已知是椭圆和双曲线的公共焦点P是它们的一个公共点，且，则离心率倒数之和的最大值是为______________.
【答案】
【入选理由】本题主要考查圆锥曲线定义及求基本不等式，意在考查学生的基本运算能力、分析问题解决问题的能力，转化与化归能力，本题是求变形而来，增加了不等式，使试题更加综合，可作为提高题，有一定难度，同时离心率是高考常考题，故选此题.
3.
在平面直角坐标系中，点是圆上一动点，轴于点，记满足的动点的轨迹为.
(Ⅰ
)求轨迹的方程；
(Ⅱ
)是曲线与轴正半轴的交点,
曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.
【解析】(Ⅰ)设，则点，且.……①
∵，∴.②
将②代入①，得，∴轨迹的方程为.
(Ⅱ)由题意可知，直角边，不可能垂直或平行于轴，故可设所在直线的方程为，不妨设，则直线所在的方程为，联立方程消去整理得，解得，将代入可得，故点.所以．同理可得，由，得，所以，则，解得或．当的斜率时，的斜率为；当的斜率时，的斜率为；当的斜率时，的斜率为．综上所述，符合条件的三角形有个.
【入选理由】本题考查求曲线方程，椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，几何问题构建代数方法解决等基础知识，意在考查学生转化与化归能力，综合分析问题解决问题的能力，推理能力和运算能力．此题为探索性命题，是常考题型，故选此题.
A
B
C
图甲
y
公海
领海
A
B
图乙
60
l
x
PAGE
-
1
-专题7.1
不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用
【三年高考】
1．【201.7高考江苏】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是
▲
．
【答案】30
【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立．
【考点】基本不等式求最值
【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
2.【2015高考江苏，7】不等式的解集为________.
【答案】
【解析】由题意得：，解集为
3.【2013江苏，理11】已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)＞x的解集用区间表示为__________．
【答案】(－5,0)∪(5，＋∞)．
【解析】∵函数f(x)为奇函数，且x＞0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝∴原不等式等价于或
由此可解得x＞5或－5＜x＜0.
故应填(－5,0)∪(5，＋∞)．.
4.
【2017山东，理7】若，且，则下列不等式成立的是
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】B
【考点】1.指数函数与对数函数的性质.2.基本不等式.
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.
5．【2017天津，理8】已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】
（当时取等号），
所以，
综上．故选A．
【考点】不等式、恒成立问题
【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.
6．【2017天津，理12】若，
，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
，（前一个等号成立条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时取得，则当且仅当时取等号）.
【考点】均值不等式
【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1）
，当且仅当时取等号；（2）
，
，当且仅当时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.
7．【2016高考浙江理数改编】已知a，b，c是实数，则下列命题①“若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2<100”；
②“若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2<100”；③“若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2<100”；④“若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2<100”中正确的是 ．
【答案】④
考点：不等式的性质．
【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．
8．【2016高考上海理数】设x,则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
试题分析：
由题意得：，即，故解集为.
考点：绝对值不等式的基本解法.
【名师点睛】解绝对值不等式，关键是去掉绝对值符号，进一步求解，本题也可利用两边平方的方法.本题较为容易.
9.【2015高考陕西，理9】设，若，，，则的大小关系是_____________.
【答案】
10.【2015高考湖北，理10】设，表示不超过的最大整数.
若存在实数，使得，，…，
同时成立，则正整数的最大值是_________.
【答案】4
【解析】因为表示不超过的最大整数.由得，由得，由得，所以，所以，由得，所以，由得，与矛盾，故正整数的最大值是4.
11.【2015高考四川，理9】如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为__________.
【答案】18
12.【2015高考天津，文12】已知
则当a的值为
时取得最大值.
【答案】4
【2018年高考命题预测】
纵观2017各地高考试题，对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查，主要考查不等式性质、不等关系、二次不等式解法、基本不等式及其应用，高考中一般会以小题形式形式考查，个别省市在大题中考查不等式的应用．对不等式性质的考查，要注意不等式性质运用的条件，以及与函数交汇考查单调性，一般是选填题，属于容易题．对不等关系的考查，要培养将实际问题抽象为不等关系的能力，从而利用数学的方法解决，一般是选填题，部分省市在大题中出现，属于容易题或中档题．对不等式解法的考查，主要是二次不等式的解法，往往与集合知识交汇考查，注意含参数的二次不等式的解法.对基本不等式及其应用的考查，会涉及求函数的最值问题，或者将实际问题抽象出数学最优化问题，利用基本不等式求解．
不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系，通常以不等式与函数、三角、向量、数列、解析几何、数列的综合问题的形式出现，尤其是以导数或向量为背景的导数（或向量）、不等式、函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题．问题多属于中档题甚至是难题，对不等式的知识，方法与技巧要求较高．预测2018年可能有一道选择或者填空出现，考查不等式的解法，或不等式的性质，或基本不等式，也可能与导数结合出一道解答题．
【2018年高考考点定位】
高考对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查有以下几种主要形式：一是考查不等式的性质；二是不等式关系；三是不等式解法；四是基本不等式及应用，其中经常与函数、方程等知识的相联系．
【考点1】不等式性质
【备考知识梳理】
1．不等式的基本性质：（1）
（2）
（3），
（4）
2．不等式的运算性质：（１）加法法则：
（２）减法法则：，（３）乘法法则：
（４）除法法则：，（５）乘方法则：
（６）开方法则：
【规律方法技巧】
1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．
2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．
【考点针对训练】
1.如果,那么下列不等式①②③④成立的是 ．
【答案】④
【解析】因，故，①错，④正确，，②错；，③错．
2.
设，则下列不等式①②③④成立的是
.
【答案】④
【解析】取，代入可知①②③错，又∵，∴，故选④.
【考点2】不等关系
【备考知识梳理】
在日常生产生活中,不等关系更为普遍,利润的优化、方案的设计等方面都蕴含着不等关系，再比如几何中的两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等等，用数学中的不等式表示这些不等关系，建立数学模型，利用数学知识解决现实生活的不等关系.
【规律方法技巧】
区分不等关系与不等式的异同，不等关系强调的是关系，可用符号表示，而不等式则是表现两者的不等关系，可用等式子表示，不等关系是通过不等式表现．
【考点针对训练】
1.若a，b，c为实数，且，则下列不等式①②③④正确的是 ．
【答案】④
【解析】试题分析：因为,所以即，均不成立；当时，不成立；故填④.
2.已知定义域为R的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是______________.
【答案】
【考点3】一元二次不等式解法
【备考知识梳理】
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
二次函数（）的图象
有两相异实根
有两相等实根
无实根
【规律方法技巧】
1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；
2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；
3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；
4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；
5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数.
【考点针对训练】
1.已知关于的不等式的解集为．
（1）求的值；
（2）当时，解关于的不等式（用表示）．
的解集为，当时，所求不等式的解集为，当时，所求不等式的解集为.
2.若不等式对任意满足的实数恒成立，则实数的最大值为
．
【答案】
【考点4】基本不等式及应用
【备考知识梳理】
如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
推论：（）
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
推论：（，）；
3、
【规律方法技巧】
1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．
2.
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
①
一正：函数的解析式中，各项均为正数；
②
二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③
三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.
若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值.
【考点针对训练】
1.已知正数a，b，c满足3a－b＋2c＝0，则的最大值为
．
【答案】
【解析】，当且仅当时取等号，故的最大值为
2.设实数满足，则的最小值是
．
【答案】
【解析】令，则，所以，则．
【两年模拟详解析】
1．【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】已知对于任意的，都有，则实数的取值范围是__________．
【答案】(或)
【解析】整理不等式可得：
.
问题等价于在区间上，过点斜率为的直线恒在抛物线的上方，注意到点三点共线，据此可得实数a的取值范围是，即1
2．【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知，均为正数，且，则的最小值为
．
【答案】7
【解析】
，所以
（当且仅当
时取等号）
而
（当且仅当
时取等号），因此
（当且仅当
时取等号），即的最小值为7.
3．【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】在中，所对的边分别为，若，则面积的最大值为
▲
．
【答案】
【解析】，
而，
所以，当且仅当时取等号
4.
【镇江市2017届高三年级第一次模拟】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为
．
【答案】
【解析】当时，，所以或，解得或，解集为
5.
【镇江市2017届高三年级第一次模拟】不等式（且）对任意恒成立，则实数的取值范围为
．
【答案】
【解析】，所以，又
，当且仅当时取等号，因此或
6.
【镇江市2017届高三年级第一次模拟】已知不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围为
．
【答案】
【解析】不等式恒成立等价于直线上任一点到曲线上任一点距离最小值不小于，易得直线与曲线相切，所以
7.
【2017年第二次全国大联考江苏卷】对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是____________.
【答案】
8.
【2017年第二次全国大联考江苏卷】实数满足，使取得最大值的最优解有两个，则的最小值为
【答案】
【解析】如下图所示，画出不等式组所表示的区域，∵取得最大值的最优解有两个，∴，∴当，或，时，有最小值．
9.
【2017年第二次全国大联考江苏卷】在锐角三角形中，若依次成等差数列，则的取值范围为
．
【答案】
【解析】由题意得
因为锐角三角形，所以，因此，
（当且仅当时取等号），从而.
10.
【2017年第二次全国大联考江苏卷】已知
且,则的最小值为
【答案】
【解析】由得,可设,因此,当且仅当时取等号,即的最小值为.
11.
【2017年第三次全国大联考江苏卷】已知，则的最大值为_____________．
【答案】
【解析】令，则，因为
，当且仅当时取等号，所以，即的最大值为（当且仅当时取等号）．
12．【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】若，满足不等式则的最大值是
．
【答案】 2
【解析】在直角坐标系内作出不等式组，所表示的可行域如图阴影部分（含边界），其中表示可行域内点
与原点连线的斜率，由图可知，斜率最大，，所以最大值为2．
13．【2017年高考原创押题预测卷02（江苏卷）】已知且满足，则的最小值为
.
【答案】
【解析】由题设可得点分别在曲线上.设点，则问题转化为求曲线上的动点与直线上的动点之间的距离的最小值的平方问题.设点是曲线的切点，因，故在点处的切线的斜率，由题意，即时，也即当切线与已知直线平行时，此时切点到已知直线的距离最近，最近距离，也即的最小值为.
14.
【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】设，点在过点的直线上，则的最大值为．
【答案】
15.
【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】设是正实数，满足，则的最小值为
．
【答案】
【解析】，，令当且仅当时取“=”，
则的最小值为
16．【江苏省清江中学数学模拟试卷】不等式的解集为
.
【答案】
【解析】当时，，，所以，当时，，，所以，因此原不等式的解集为．
17．【江苏省清江中学数学模拟试卷】已知x，y是正整数，，则t的最小值为
.
【答案】8
【解析】由题意只要考虑是正数，即的情形，因为，所以，当时，，所以．
18【江苏省清江中学2016届高三上学期周练数学试题】已知实数，若以，，为三边长能构成一个三角形，则实数的范围为
．
【答案】
【解析】根据已知条件得：
，
对于任意
都成立；
∴由①得，
令，
∴在上单调递增；
由②得，令
，
∴在单调递增；
，
综上即λ的取值范围为
19．【扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题】.已知且，则的最小值为
.
【答案】3
【解析】令，又得，解得，即，，当且仅当时取“=”
20．【镇江市2016届高三年级第一次模拟考试】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－log2x，则不等式f(x)<0的解集是________．
【答案】(－2，0)∪(2，＋∞)．
【解析】当x<0时，,
f(x)<0,即，解得；当x>0时，f(x)＝1－log2x，f(x)<0,即，解得，综上所述，不等式f(x)<0的解集是(－2，0)∪(2，＋∞)．
21．【泰州市2016届高三第一次模拟考试】若正实数满足，则的最大值为
．
【答案】
【解析】令，则，
因此，当时，，因此的最大值为．
22．【江苏歌风中如皋办高三数学九月月考】若实数满足，且，则的最小值为
.
【答案】4
【解析】由已知，，又，所以
（当且仅当时取等号），所以最小值为4.
【一年原创真预测】
1.若正实数满足，则的最大值为
.
【答案】
【解析】由题可得,因为
,当且仅当时,
取得最大值.
【入选理由】】本题考查基本不等式和指数运算等基础知识，意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力，以及学生逻辑推理能力.本题是基本不等式与指数函数结合，难度不大，故选此题.
2.若关于的不等式对任意实数恒成立，则的最大值为_________.
【答案】
【入选理由】本题考查不等式恒成立问题，利用导数判断函数的单调性，函数的极值与最值问题等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力．本题是一个综合题，考查了不等式的性质的应用，同时又是一个函数性质题，有一定的难度，但构思比较巧，故选此题.
3.已知，对任意，若不等式恒成立，则的取值范围是___________.
【答案】，或
【入选理由】本题考查向量的模，二次函数最值，不等式恒成立等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力．本题是一个综合题，巧妙的把向量，二次函数，不等式有机的结合在一起，难度中等，此题的解题妙处就在把向量的模的问题转化为二次函数来处理，的确是一个好题，故选此题.
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-
1
-专题11.1
概率
【三年高考】
1．【2017江苏，7】
记函数的定义域为.在区间上随机取一个数,则的概率是
▲
.
【答案】
【考点】几何概型概率
【名师点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
2．【2016高考江苏】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是
.
【答案】
【解析】基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为
【考点】古典概型
【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查，属于简单题.江苏对古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往利用对立事件的概率公式进行求解.
3．【2015江苏高考，5】袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.
【答案】
【考点定位】古典概型概率
4．【2017课标1，理】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【考点】几何概型
【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算.
5．【2017山东，理8】从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
【考点】古典概型
【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.江苏对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.
6．【2017天津，文3】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为
（A）（B）（C）（D）
【答案】
【解析】
试题分析：选取两支彩笔的方法有种，含有红色彩笔的选法为种，由古典概型公式，满足题意的概率值为.本题选择C选项.
【考点】古典概型
【名师点睛】本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式.，属于基础题．解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，利用排列组合有关知识，正确找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数代入公式.
7．【2017课标II，文11】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【考点】古典概型概率
【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
8．【2016高考新课标1卷改编】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：如图所示,画出时间轴：
小明到达的时间会随机的落在图中线段中,而当他的到达时间落在线段或时,才能保证他等车的时间不超过10分钟根据几何概型,所求概率．
考点：几何概型
【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度由：长度、面积、体积等.
9．【2016高考新课标2理数改编】从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为，所以.
考点：
几何概型.
【名师点睛】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．
10．【2016高考山东理数改编】在上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为
.
【答案】
【解析】
试题分析：直线y=kx与圆相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即，解得，而，所以所求概率P=.
考点：1.直线与圆的位置关系；2.
几何概型.
【名师点睛】本题是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，几何概型概率的计算问题，涉及圆心距的计算，与弦长相关的问题，往往要关注“圆的特征直角三角形”，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等
11．【2016高考新课标Ⅲ文数改编】小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：开机密码的可能有，，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是．
考点：古典概型．
【解题反思】对古典概型必须明确判断两点：①对于每个随机试验来说，所有可能出现的试验结果数必须是有限个；②出现的各个不同的试验结果数其可能性大小必须是相同的．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式得出的结果才是正确的．
12．【2016高考天津文数改编】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：甲不输概率为
考点：概率
【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.运用概率加法的前提是事件互斥，不输包含赢与和，两种互斥，可用概率加法.对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.
13．【2016高考北京文数改编】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：所求概率为．
考点：古典概型
【名师点睛】如果基本事件的个数比较少，可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来，然后再求出事件A中的基本事件数，利用公式求出事件A的概率，这是一个形象直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏.
如果基本事件个数比较多，列举有一定困难时，也可借助两个计数原理及排列组合知识直接计算m，n，再运用公式求概率.
14．【2016高考四川文科】从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b，则为整数的概率=
.
【答案】
考点：古典概型.
【名师点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的总数，本题中所给数都可以作为对数的底面，因此所有对数的个数就相当于4个数中任取两个的全排列，个数为，而满足题意的只有2个，由概率公式可得概率．在求事件个数时，涉及到排列组合的应用，涉及到两个有理的应用，解题时要善于分析．
15.【2016高考上海文科】某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.
【答案】
【解析】试题分析：
将4种水果每两种分为一组，有种方法，则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相同的概率为.
考点：.古典概型
【名师点睛】本题主要考查古典概型概率的计算.解答本题，关键在于能准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用概率的计算公式求解.本题能较好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.
16．【2015高考新课标1，文4改编】如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为 ．
【答案】
【解析】从中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为．
17.【2015高考山东，文7改编】在区间上随机地取一个数,则事件“”发生的概率为 ．
【答案】
【解析】由得，，所以，由几何概型概率的计算公式得，．
【2018年高考命题预测】
概率问题是每年高考必考内容.文科考查等可能事件的概率计算公式,互斥事件的概率加法公式，对立事件的概率减法公式,相互独立事件的概率乘法公式,事件在n次独立重复试验种恰好发生k次的概率计算公式等五个基本公式的应用‘试题多为课本例题,习题拓展加工的基础题或中档题.只要我们理解和掌握五个概率公式及其应用,夯实基础,借助排列组合知识和化归转化思想方法,就能顺利解答高考概率与统计试题.概率统计试题在试卷中的题型逐年发生变化，2017年高考数学试卷中，出现概率与统计解答题的有多套，最多的概率与统计问题的分值占整个卷面分值的12%，且本部分题多为中低档题，重点考查基本概念及运算，预测2018年的高考在概率一道填空题，难度低，可以说是送分题．
【2018年高考考点定位】
本节内容高考的重点就是利用等可能事件的概率计算公式,互斥事件的概率加法公式，对立事件的概率减法公式,相互独立事件的概率乘法公式,等基本公式的应用,
重点考查学生的抽象概括能力，分析问题，解决问题的能力及分类讨论的数学思想方法.题型既有选择题也有填空题,难度中等偏下.
【考点1】随机事件的概率
【备考知识梳理】
事件A的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P（A）.由定义可知0≤P（A）≤1,显然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.
等可能性事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是.如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率P（A）=.使用公式P（A）=计算时,确定m、n的数值是关键所在,其计算方法灵活多变,没有固定的模式,可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗漏.
【规律方法技巧】
求解等可能性事件A的概率一般遵循如下步骤：（1）先确定一次试验是什么,此时一次试验的可能性结果有多少，即求出A.（2）再确定所研究的事件A是什么,事件A包括结果有多少,即求出m.（3）应用等可能性事件概率公式P=计算.
【考点针对训练】
1．高考将至，凭借在五大学科竞赛的卓越表现，我校共有25人获得北大、清华保送及降分录取优惠政策，具体人数如下表．若随机从这25人中任选2人做经验交流，在已知恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的条件下，至少有1人是参加数学竞赛的概率为 ．
学科
数学
信息
物理
化学
生物
北大
4
2
5
4
1
清华
2
1
0
4
2
【答案】
2.从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知体重的平均值为
kg；若要从体重在[
60
,
70），[70
，80)
,
[80
,
90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人选两人当正负队长，则这两人身高不在同一组内的概率为
．
【答案】（1）64．5；（2）；
【解析】（1）由题可知，体重的平均值为；（2）在[60,70),[70,80),[80,90)三组男生中抽取的人数之比为3:2:1，故这三组男生抽取的人数分别为6,4,2，所有的选法有种，这两个人身高不在同一组内的选法有种，故两人身高不在同一组的概率为．
【考点2
】互斥事件有一个发生的概率
【备考知识梳理】
事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的，因此当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥），且有P（A+）=P（A）+P（）=1.
当计算事件A的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有P（A）=1－P（）.
对于n个互斥事件A1，A2，…，An，其加法公式为P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）.
概率加法公式仅适用于互斥事件，即当A、B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），否则公式不能使用.
【规律方法技巧】
如果某事件A发生包含的情况较多，而它的对立事件（即A不发生）所包含的情形较少，利用公式P（A）=1－P（）计算A的概率则比较方便.这不仅体现逆向思维，同时对培养思维的灵活性是非常有益的.
求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率.
【考点针对训练】
1．国家射击队的某队员射击一次，命中7~10环的概率如下表所示：
命中环数
10
9
8
7
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
求该射击队员射击一次
（1）射中9环或10环的概率； （2）至少命中8环的概率；（3）命中不足8环的概率.
解：记事件“射击一次，命中k环”为Ak（k∈N，k≤10），则事件Ak彼此互斥.
2分
（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事
件的加法公式得 P（A）=P（A9）+P（A10）=0.32+0.28=0.60.
5分
（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生.由互斥
事件概率的加法公式得P（B）=P（A8）+P（A9）+P（A10）=0.18+0.28+0.32=0.78.
9分
（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件：即表
示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得 P（）=1-P（B）=1-0.78=0.22.
2.随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是____．
【答案】
【解析】分别以三角形的三个顶点为圆心，1为半径作圆，则在三角形内部且在三圆外部的区域即为与三角形三个顶点距离不小于1的部分，即.
【考点3】相互独立事件同时发生的概率
【备考知识梳理】
1.事件A与B的积记作A·B，A·B表示这样一个事件，即A与B同时发生.
当A和B是相互独立事件时，事件A·B满足乘法公式P（A·B）=P（A）·P（B），还要弄清·，的区别.
·表示事件与同时发生，因此它们的对立事件A与B同时不发生，也等价于A与B至少有一个发生的对立事件即，因此有·≠，但·=.
2.条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号来表示，其公式为.
在古典概型中，若用表示事件中基本事件的个数，则.
(2)条件概率具有的性质：
①；
②
如果和是两互斥事件，则．
【规律方法技巧】
1.
条件概率的求法
(1)定义法：先求和，再由，求；
(2)基本事件法：借古典概型概率公式，先求事件包含的基本事件数，再求事件所包含的基本事件数，得.
2.
求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；
(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．
3.应用公式时，要注意前提条件，只有对于相互独立事件A与B来说，才能运用公式P（A·B）=P（A）·P（B）..在学习过程中，要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积，或其对立事件.
首先要搞清事件间的关系（是否彼此互斥、是否互相独立、是否对立），当且仅当事件A和事件B互相独立时，才有P（A·B）=P（A）·P（B）.A、B中至少有一个发生：A+B.（1）若A、B互斥：P（A+B）=P（A）+P（B），否则不成立.（2）若A、B相互独立（不互斥）.法一：P（A+B）=P（A·B）+P（A·）+P（·B）；法二：P（A+B）=1－P（·）；法三：P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB）.
某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高正确率.要注意“至多”“至少”等题型的转化.
【考点针对训练】
1．为了分流地铁高峰的压力，市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过公里的地铁票价如下表：
乘坐里程（单位：）
票价（单位：元）
现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过公里．已知甲、乙乘车不超过公里的概率分别为，，甲、乙乘车超过公里且不超过公里的概率分别为，
．求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率．
【答案】
【解析】由题意可知，甲、乙乘车超过公里且不超过公里的概率分别为，
则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率
所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率
2.【2015届陕西省西安市第一中学高三下学期自主命题二】已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率是 ．
【答案】
【解析】设事件A为“第一次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第二次抽到的是卡口灯泡”，则，．则所求概率为．
【考点4】几何概型
【备考知识梳理】
1．（1）随机数的概念：
随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的.
（2）随机数的产生方法
①利用函数计算器可以得到0~1之间的随机数；
②在Scilab语言中，应用不同的函数可产生0~1或a~b之间的随机数.
2.几何概型
（1）定义：如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积等）成比例，则称这样的概率模型为为几何概率模型，简称几何概型．
（2）特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．
（3）几何概型的解题步骤：
首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式
；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.
（4）求几何概型时，注意首先寻找到一些重要的临界位置，再解答.一般与线性规划知识有联系.
3．几种常见的几何概型
（1）设线段l是线段L的一部分,向线段L上任投一点.若落在线段l上的点数与线段L的长度成正比,而与线段l在线段l上的相对位置无关,则点落在线段l上的概率为：
P=l的长度/L的长度
（2）设平面区域g是平面区域G的一部分,向区域G上任投一点,若落在区域g上的点数与区域g的面积成正比,而与区域g在区域G上的相对位置无关,则点落在区域g上概率为：
P=g的面积/G的面积
（3）设空间区域上v是空间区域V的一部分,向区域V上任投一点.若落在区域v上的点数与区域v的体积成正比,而与区域v在区域v上的相对位置无关,则点落在区域V上的概率为：
P=v的体积/V的体积
【规律方法技巧】
1.几何概型的常见类型的判断方法
(1)与长度(角度)有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)．
(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．
(3)与体积有关的几何概型．对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．
2.几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决.将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．
数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，利用公式可求．
【考点针对训练】
1．设在上随机地取值，则关于的方程有实数根的概率为 ．
【答案】
【解析】根据题意，方程有实根对应的结果为，即，所以对应的概率为．
2.已知平面区域，在区域内任取一点，则取到的点位于直线（）下方的概率为____________
．
【答案】
【解析】由题设知：区域是以原点为中心的正方形，根据图形的对称性知，直线将其面积平分，如图所示，故所求概率为
故答案为：
【两年模拟详解析】
1.
【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】现有三张识字卡片,分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是__________．
【答案】
【解析】把这三张卡片排序有“中”“国”“梦”，“中”“梦”“国”，“国”“中”“梦”；“国”“梦”“中”“梦”“中”“国”；“梦”“国”“中”；共计6种，能组成“中国梦”
的只有1种，概率为.
2.
【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知是集合所表示的区域，是集合所表示的区域，向区域内随机的投一个点，则该点落在区域内的概率为
．
【答案】
【解析】所求概率为几何概型，测度为面积，为单位圆面积，为阴影部分面积，见图：落在区域内的概率为
3.
【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为
▲
.
【答案】
【解析】对立事件概率为，因此所求概率为
4.
【镇江市2017届高三年级第一次模拟】袋中有形状、大小都相同的只球，其中只白球，只黄球，从中一次随机摸出只球，则这只球颜色不同的概率为
．
【答案】
【解析】从5只一次随机摸出只球，共有10种基本事件；其中只球颜色不同包含种基本事件，所以所求概率为
5.
【2017年第二次全国大联考江苏卷】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之积小于10的概率是
【答案】.
【解析】先后抛掷2次，共有
种基本事件，而出现向上的点数之积小于10的基本事件有，故所求概率为.
6.
【2017年第三次全国大联考江苏卷】从甲、乙、丙、丁四个人中随机选取两人，则甲、乙两人有且仅有一人被选中的概率是_____________．
【答案】
【解析】从甲、乙、丙、丁四个人中随机选取两人，共有种基本事件，而甲、乙两人有且仅有一人被选中的基本事件有种，故所求概率为．
7.
【2017年第一次全国大联考江苏卷】一个盒子里有2只红球、1只白球和1只蓝球，从中摸出两只球，至少有1只红球的概率为____________．
【答案】.
【解析】从盒子中摸出两只球共有种基本事件，其中都不是红球的情况有种基本事件，故所求概率为.
8.
【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】袋中有2个黄球3个白球，甲乙两人分别从中任取一球，取得黄球得1分，取得白球得2分，两人总分和为
，则＝3的概率是 ．
【答案】0.6
9.
【2017年高考原创押题预测卷02（江苏卷）】在区间内随机取一个实数，则关于的方程有解的概率是
【答案】
【解析】由题意可得：，解之得，则，故其概率.
10.
【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】在区间内随机取两个不同实数，则函数与的图像有两个不同交点的概率是．
【答案】
【解析】由题意得有两个不等实根，判别式，即，画出不等式组表示的区域如图，结合图形可知，故由几何概型的计算公式可得所求事件的概率是，故答案为：．
11.【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率为
．
【答案】
【解析】随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，共有6种不同的安排方法，其中丙在第一天的安排方法有两种，则甲与丙都不在第一天的概率为
12．【江苏省清江中学2016届高三上学期周练数学试题】某班要选名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的，则这个班的女生人数占全班人数的百分比为
．
【答案】%
【解析】由题女生人数占全班人数的百分比为.
13．【扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题】从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是
.
【答案】
【解析】从5个数中，随机抽取2个不同的数共有10种情况，其中满足2个数的和为偶数共有1+3,1+5,2+4,3+5这4种，则这2个数的和为偶数的概率是
14．【镇江市2016届高三年级第一次模拟考试】箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2球颜色不同的概率为________．
【答案】．
15．【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】书架上有本数学书，本物理书，从中任意取出本，则取出的两本书都是数学书的概率为
.
【答案】
【解析】取出的两本书共有种不同组合，其中两本书都是数学书的组合有种，则取出的两本书都是数学书的概率为
16．【苏州市2016届高三年级第一次模拟考试】连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，则事件“两次向上的数字之和等于7”发生的概率为
．
【答案】
【解析】连续2次抛掷一枚骰子共有36种基本事件，其中“两次向上的数字之和等于7”包含这6种基本事件，故所求概率为
17．【泰州市2016届高三第一次模拟考试】甲乙两人下棋，若甲获胜的的概率为，甲乙下成和棋的概率为，则乙不输棋的概率为
．
【答案】
【解析】“乙不输棋”的对立事件为“甲获胜”，P（乙不输棋）=1-P（甲获胜）=
18．【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】在区间上随机取一个数x，的值介于的概率为
．
【答案】
【解析】由题意得，因此所求概率为
19．【江苏省苏中三市2016届高三第二次调研测试】电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是
．
【答案】
【解析】从5个版块中任选2个主题共有10种基本事件，而“立德树人”主题被该队选中包含4种基本事件，故所求概率为
20．【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】将一骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为1的概率是
．
【答案】
【解析】将一骰子连续抛掷两次共有36种基本事件，其中至少有一次向上的点数为1包含5+5+1=11种基本事件，因此所求概率为
21.
【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】某学校有A，B两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为
．
【答案】
22．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是
．
【答案】
【解析】从5个球中随机取出两个球，共有10种基本事件，其中取出的两球中恰有一个红球包含有种基本事件，其概率为
23．【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】将一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为，则点在直线下方的概率为
.
【答案】
【解析】一颗骰子连续抛掷2次，共有36种基本事件，其中满足有6种基本事件，故所求概率为
24．【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】甲、乙两盒中各有除颜色外完全相同的个红球和个白球，现从两盒中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为
.
【答案】
【解析】从两盒中随机各取一个球，共有种基本事件，其中没有一个红球包含种基本事件，因此至少有一个红球的概率为
【一年原创真预测】
1.
在平面直角坐标系中，已知点P（4，0），Q（0，4），A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以MN为直径的圆C与直线PQ相切，当圆C的面积最小时，在四边形APQB内任取一点，则这点落在圆C外的概率为
【答案】
【入选理由】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及几何概型等相关概念，意在考查学生分析问题和解决问题的能力，将直线与圆的位置关系和几何概型结合在一起考查，体现了在知识的交汇点处命题的思路.故选此题.
2.空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：）为时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2015年１月某日某省个监测点数据统计如下：
空气污染指数(单位：)
监测点个数
15
40
10
（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出的值，并完成频率分布直方图；
（Ⅱ）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，２个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？
【解析】（Ⅰ），.
，
，
，根据以上数值画出频率分布直方图如下：
【入选理由】本题主要考查了频率分布直方图和古典概型等相关概念，意在考查学生分析问题和解决问题的能力，本题以社会热点问题为背景，考查了学生获取信息、处理信息的能力，体现了新课程的理念，故选此题.
3.《中国足球改革发展总体方案》明确指出：加强对国家队经费投入、奖励政策、基地建设、后勤服务、情报信息等
方面的保障，提高服务水平.新建2个国家足球训练基地，满足国家队不同季节的比赛和训练需要.有关机构分别对甲、乙两个地区的7个城市进行评估量化，它们的量化分数的茎叶图如图所示，其中甲地区城市的平均量化分为85，乙地区城市的中位数为83.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）从量化分在90分以上的城市中随机抽取两个城市，求乙地区至少有一个城市的概率.
【解析】（Ⅰ），由乙地区城市的中位数为83可得y=3.
（Ⅱ）记甲地区量化分在90分以上的城市为a,b,乙地区量化分在90分以上的城市为1,2,3,
从中随机抽取两个城市的基本事件有（a,b）,(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(1,2),(1,3),(2,3)共10个.乙地区至少有一个城市的基本事件有(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(1,2),(1,3),(2,3)共9个，则P（乙地区至少有一个城市）=.
【入选理由】本题主要考查了茎叶图、平均数、中位数及古典概型等相关概念，意在考查学生分析问题和解决问题的能力，本题体现了新课程的理念，故选此题.
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1
-专题3.1
导数以及运算
【三年高考】
1.
【2017江苏】
已知函数，其中e是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是
▲
．
【答案】
【考点】利用函数性质解不等式
【名师点睛】解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在函数的定义域内．
2．【2014江苏】在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则
.
【答案】．
【解析】曲线过点，则①，又，所以②，由①②解得所以．
3．【2012江苏，理18】若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
(1)求a和b的值；
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点；
(3)设h(x)＝f(f(x))－c，其中c∈[－2,2]，求函数y＝h(x)的零点个数．
【答案】(1)
a＝0，b＝－3.
(2)
－2.
(3)
9．
【解析】解：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，
解得a＝0，b＝－3.
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.
当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点．
当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－2.
(3)令f(x)＝t，则h(x)＝f(t)－c.先讨论关于x的方程f(x)＝d根的情况，d∈[－2,2]．
当|d|＝2时，由(2)可知，f(x)＝－2的两个不同的根为1和－2，注意到f(x)是奇函数，所以f(x)＝2的两个不同的根为－1和2.
当|d|＜2时，因为f(－1)－d＝f(2)－d＝2－d＞0，f(1)－d＝f(－2)－d＝－2－d＜0，
所以－2，－1,1,2都不是f(x)＝d的根．由(1)知f′(x)＝3(x＋1)(x－1)．
①当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，于是f(x)是单调增函数，从而f(x)＞f(2)＝2，
此时f(x)＝d无实根．同理，f(x)＝d在(－∞，－2)上无实根．
②当x∈(1,2)时，f′(x)＞0，于是f(x)是单调增函数，又f(1)－d＜0，f(2)－d＞0，y＝f(x)－d的图象不间断，所以f(x)＝d在(1,2)内有唯一实根．同理，f(x)＝d在(－2，－1)内有唯一实根．
③当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，故f(x)是单调减函数，又f(－1)－d＞0，f(1)－d＜0，y＝f(x)－d的图象不间断，所以f(x)＝d在(－1,1)内有唯一实根．
由上可知：当|d|＝2时，f(x)＝d有两个不同的根x1，x2满足|x1|＝1，|x2|＝2；
当|d|＜2时，f(x)＝d有三个不同的根x3，x4，x5满足|xi|＜2，i＝3,4,5.
现考虑函数y＝h(x)的零点．
当|c|＝2时，f(t)＝c有两个根t1，t2满足|t1|＝1，|t2|＝2，而f(x)＝t1有三个不同的根，f(x)＝t2有两个不同的根，故y＝h(x)有5个零点．
当|c|＜2时，f(t)＝c有三个不同的根t3，t4，t5满足|ti|＜2，i＝3,4,5，而f(x)＝ti(i＝3,4,5)有三个不同的根，故y＝h(x)有9个零点．
综上可知，当|c|＝2时，函数y＝h(x)有5个零点；当|c|＜2时，函数y＝h(x)有9个零点．
4．【2017课标1，文14】曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．
【答案】
【解析】
【考点】导数几何意义
【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
5.【2017天津，文10】已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为
.
【答案】
【解析】
【考点】导数的几何意义
【名师点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题型，函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率．相应地，切线方程为．注意：求曲线切线时，要分清在点处的切线与过点的切线的不同,谨记，有切点直接带入切点，没切点设切点，建立方程组求切点.
6.【2017课标1，文21】已知函数=ex(ex﹣a)﹣a2x．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）当，在单调递增；当，在单调递减，在单调递增；当，在单调递减，在单调递增；（2）．
【解析】
试题分析：（1）分，，分别讨论函数的单调性；（2）分，，分别解，从而确定a的取值范围．
试题解析：（1）函数的定义域为，，
①若，则，在单调递增．
②若，则由得．
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增．
③若，则由得．
当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增．
【考点】导数应用
【名师点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，有的正负，得出函数的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数极值或最值．
7.【2017课标II，文21】设函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）在
和单调递减，在单调递增（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间（2）对分类讨论，当a≥1时，，满足条件；当时，取，当0＜a＜1时，取，.
试题解析：（1）
令得
当时，；当时，；当时，
所以在
和单调递减，在单调递增
当时，取
综上，a的取值范围[1，+∞）
【考点】利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立
【名师点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
8.【2017课标3，文21】已知函数=lnx+ax2+(2a+1)x．
（1）讨论的单调性；
（2）当a﹤0时，证明．
【答案】（1）当时，
在单调递增；当时，则在单调递增，在单调递减；（2）详见解析
【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再根据导函数符号变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增，当时，则在单调递增，在单调递减.（2）证明，即证，而，所以目标函数为，即（），利用导数易得，即得证.
【考点】利用导数求单调性，利用导数证不等式
【名师点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略
(1)
构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
9.【2017山东，文20】（本小题满分13分）已知函数.,
(I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；
(II)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
【答案】(I),（2）(II)⑴无极值；⑵极大值为,极小值为；
⑶极大值为,极小值为.
【解析】
试题分析：(I)根据求出切线斜率,再用点斜式写出切线方程；(II)由,通过讨论确定单调性,再由单调性确定极值.
（1）当时，，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增.
所以，当时，取到极大值，极大值是，
当时，取到极小值，极小值是.
（2）当时，，
当时，，单调递增；
所以，在上单调递增，无极大值也无极小值.
（3）当时，，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.
【考点】导数的几何意义及导数的应用
【名师点睛】(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值．(2)若函数y＝f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y＝f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．[来源:]
10．【2016高考新课标Ⅲ文数】已知为偶函数，当
时，，则曲线在处的切线方程式_____________________________.
【答案】
【解析】
试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．
考点：1、函数的奇偶性；2、解析式；3、导数的几何意义．
【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为．
11．【2016高考新课标2文数】已知函数.
（I）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（II）当时，等价于
令，
则，
（i）当，时，
，
故在上单调递增，因此；
（ii）当时，令得，
由和得，
故当时，，在单调递减，因此.
综上，的取值范围是
考点：
导数的几何意义，函数的单调性.
【名师点睛】求函数的单调区间的方法：
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
12．【2016高考新课标2理数】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则
．
【答案】
【解析】
试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与函数相切于点，与函数相切于点，则，则点在切线上得，由在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解之得，所以，所以.
考点：
导数的几何意义.
【名师点睛】函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的不同．
13．【2016高考新课标3理数】已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_______________．
【答案】
【解析】
试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．
考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义．
【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为．
14．【2015高考新课标1，文14】已知函数的图像在点的处的切线过点，则
.
【答案】1
【解析】∵，∴，即切线斜率，
又∵，∴切点为（1，），∵切线过（2,7），∴，解得1.
15.【2015高考天津，文11】已知函数
,其中a为实数,为的导函数,若
,则a的值为
．
【答案】3
【解析】因为
,所以.
16.【2015高考陕西，文15】函数在其极值点处的切线方程为____________.
【答案】
【解析】，令，此时
函数在其极值点处的切线方程为
17.【2015高考广东，文21】（本小题满分14分）设为实数，函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，讨论在区间内的零点个数．
【解析】（1），因为，所以，
当时，，显然成立；当，则有，所以.所以.
综上所述，的取值范围是.
（3）由（2）得在上单调递增，在上单调递减，所以.
(i)当时，，,令，即（）.因为在上单调递减，所以,而在上单调递增，，所以与在无交点.当时，，即，所以，所以，因为，所以，即当时，有一个零点.
(ii)当时，
，当时，
，，而在上单调递增，当时，.下面比较与的大小,因为,所以
结合图象不难得当时，与有两个交点.
综上所述，当时，有一个零点；当时，有两个零点.
18.【2015高考重庆，文19】已知函数（）在x=处取得极值.
(Ⅰ)确定的值，
(Ⅱ)若，讨论的单调性.
【解析】(1)对求导得,因为在处取得极值，所以，
即,解得.(2)由(1)得，,
故,令，解得.当时，,故为减函数，当时，,故为增函数，当时，,故为减函数，当时，,故为增函数，
综上知在
内为减函数，内为增函数.
【2018年高考命题预测】
导数及运算是高考的热点，年年都出题，题型一般不单独出题,往往和导数的几何意义结合，既有选择题,填空题，又有解答题，难度中档左右，解答题作为把关题存在．导数重点考查一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，与三角函数等的求导公式，导数运算重点是高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商的运算方法，试题的命制往往与导数的应用结合，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，它只作为解题的一部分，难度不大，只需会运用公式求导即可．在2017年高考仍将考查导数的运算，重点是指，对函数与其它函数积与商的运算．
【2018年高考考点定位】
高考对导数的运算，导数的几何意义的考查，一般不单独出题，特别是导数的运算，往往和导数的几何意义，导数的应用结合起来，作为第一步求导来进一步研究导数其它应用.
考点一、导数的基本运算
【备考知识梳理】1．常见函数的导出公式．
（１）（C为常数）；（２）；（３）；（４）；（5）；（6）；（7）且；（8）．
2．两个函数的和、差、积的求导法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：
(
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：
若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：
法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：‘=（v0）．
3.形如y=f的函数称为复合函数．复合函数求导步骤：分解——求导——回代．法则：y＇|=
y＇|
·u＇|
【规律方法技巧】
(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；
(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；
(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．
【考点针对训练】
（1）求的导数；（2）求的导数；
（3）求的导数；（4）求y=的导数；（5）求y＝的导数.
【解析】（1）,
（2）先化简,，
（3）先使用三角公式进行化简.
（4）y’==；（5）y＝－x＋５－
y’＝３
（x）＇－x＇＋５＇－９）＇＝３
－１＋０－９
（－）＝．
考点二、导数的几何意义
【备考知识梳理】函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x）） 处的切线的斜率．也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）．相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）．
【规律方法技巧】求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数在的导数，即曲线在点处切线的斜率；（2）在已知切点和斜率的条件下，求得切线方程
特别地，当曲线在点处的切线平行于轴时（此时导数不存在），可由切线的定义知切线方程为；当切点未知时，可以先设出切点坐标，再求解.
【考点针对训练】
1.已知函数在处的切线与直线平行，则的值为________
【答案】
【解析】因为，所以
2.已知直线与曲线和曲线均相切，则这样的直线的条数为
．
【答案】1
【解析】设，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，时，取得极小值也是最小值，所以恒成立，即，因此设公直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，必有，的导数为，的导数是，由题意，，，记，，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，又，，所以只有一解，即只有一解，所以两曲线的切线只有一条．
【两年模拟详解析】
1.
【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】已知是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为
.
【答案】
2.
【2017年高考原创押题预测卷02（江苏卷）】曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是
．
【答案】
【解析】因,且，故切线的斜率,切线方程为,令，得;令，得，∴交点坐标分别为,则，所以.
3.【贵州遵义四中2017届高三下第一次月考（理）】已知函数为定义在上的连续可导函数，且，则不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】令
，则，所以等价于
，即解集是
4．【四川遂宁2017届高三三诊（文）】已知函数的图象上存在不同的两点,使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是____
【答案】
【解析】设，则，且----（1），切线方程分别为和，即和，也即和，由题设可得------（2）；由（1）得代入（2）可得，令，则，因，进而算得该函数的值域为，应填答案。
点睛：解答本题的关键是理解两个不同点的切线重合这个概念，这意味着过两切点的切线方程的斜率相等且截距相同，进而建立方程组，通过消元从而建立关于参数的方程，最后分离参数将其化为求函数的值域问题，求解时借助导数知识分析推证，从而使得问题获解。
5．【广西五市2017届高三5月联合模拟理科】直线分别与曲线，
交于，
，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】当是，由题意可得：
，
令，则：
，
当时，
，函数单调递增，
当时，
，函数单调递减，
函数的最大值为，
据此可知的最小值为2.
6．【江苏兴化一中2017届高三下期中】已知函数，其中．若函数仅在处有极值，则的取值范围是______________．
【答案】
【解析】
，要使函数
仅在
处有极值，必须满足
在
两侧异号，所以
恒成立，则
，解得
。
7．【河北定州中学2017届高三下第二次月考（4月）】己知函数
(是常数，
是自然对数的底数，
)在区间内存在两个极值点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
8．【江苏如皋市2017届高三下学期语数英学科联考（二）】已知函数．若存在，使得，则实数的取值范围是____．
【答案】
【解析】解答：
∵f(x)=ex(x b)，
∴f′(x)=ex(x b+1)，
若存在x∈[
,2],使得f(x)+xf′(x)>0，
则若存在x∈[,2],使得ex(x b)+xex(x b+1)>0，
即存在x∈[,2],使得b<
成立，
令
，
则
，
g(x)在
递增，
∴g(x)最大值=g(2)=
，
则实数的取值范围是
点睛：
(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．
(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
9.
【江苏歌风中学（如皋办学）高三数学九月月考】曲线在点处的切线方程为
．
【答案】
【解析】，所以，切线方程为，化简得．
10．【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】已知两曲线相交于点.若两曲线在点处的切线与轴分别相交于两点，则线段的长为
.
【答案】
【解析】由题意得又所以切线斜率分别为，方程分别为，与轴交点横坐标分别为，故线段的长为．
11．【江苏高三数学月考】曲线与曲线公切线（切线相同）的条数为
.
【答案】1
【解析】的导数为，的导数为，设公切线的切点为（），，则切线为，，两切线相同，则有，消去，整理得，记，则，当时，，递减，且，，因此在上只有一解，即方程只有一解，因此所求公切线只有一条．
12．【2016届江苏省清江中学高三考前一周双练冲刺四】已知函数，则的值为
.
【答案】
【解析】令，，
所以，令，
则，所以.
13．【2016届四川省双流中学高三11月月考理科】已知函数，其导函数记为，则的值为______．
【答案】
【解析】由题意得，因为，所以，所以
，
，
所以．
14．【2016届河北省邯郸市一中高三下学期研七考试文科】设函数在内可导，且，且______．
【答案】
【解析】令，则，，，．
15．【2016届河南省郑州市高三第二次模拟考试文科】曲线f（x）＝－x＋3在点P（1，3）处的切线方程是_________．
【答案】.
【解析】∵，∴当时，，，∴切线方程为，
即，故填：.
16．【2016届河北省石家庄市高三二模理科】已知函数，若过点可作曲线的两条切线，且点不在函数的图象上，则实数的值为______.
【答案】或
17．【2016届江苏省苏州大学高考考前指导卷1】已知直线是函数的图象在点处的切线，则
．
【答案】2.
【解析】由于点在函数图象和直线上，则，.
又由函数的导函数可知，切线的斜率，有，和，则.
【一年原创真预测】
1.已知函数满足，则
_______________．
【答案】
【解析】由已知可得，与已知式联立解方程组得．．
【入选理由】本题主要考查函数解析式求法、基本求导公式、导数的运算法则等基础知识，意在考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力．此题难度不大，出题角度较新，故选此题．
2.设点在曲线上上，点在曲线(>0)上，点在直线上，则的最小值为_____________________.
【答案】
【解析】由知，，由=1得，=1，故与平行的切线切点为（1,0），∴为（1,0）到距离=；由(>0)知，，由=1得，=1，故与平行的切线切点为（1,0），∴为（1,0）到距离=；∵两曲线的切点相同，故与可同时取到且都为，∴的最小值为.
【入选理由】本题主要考查利用导数研究函数的最值问题，巧妙地考查导数的几何意义，出题方式新颖，试题难度不大，同时对导数运算的深层次考查，体现灵活运用导数知识解决问题能力；
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1
-专题1.2
常用逻辑用语
【三年高考】
1.
【2017天津，理4】设
( http: / / www.21cnjy.com )，则“
( http: / / www.21cnjy.com )”是“
( http: / / www.21cnjy.com )”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
，但
( http: / / www.21cnjy.com )，不满足
( http: / / www.21cnjy.com )，所以是充分不必要条件，选A.
【考点】
充要条件
【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )是
( http: / / www.21cnjy.com )的充分条件，若
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )是
( http: / / www.21cnjy.com )的必要条件，若
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )是
( http: / / www.21cnjy.com )的充要条件；从集合的角度看，若
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )是
( http: / / www.21cnjy.com )的充分条件，若
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )是
( http: / / www.21cnjy.com )的必要条件，若
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )是
( http: / / www.21cnjy.com )的充要条件，若
( http: / / www.21cnjy.com )是
( http: / / www.21cnjy.com )的真子集，则
( http: / / www.21cnjy.com )是
( http: / / www.21cnjy.com )的充分不必要条件，若
( http: / / www.21cnjy.com )是
( http: / / www.21cnjy.com )的真子集，则
( http: / / www.21cnjy.com )是
( http: / / www.21cnjy.com )的必要不充分条件.
2.
【2017山东，理3】已知命题p:
( http: / / www.21cnjy.com )；命题q：若a＞b，则
( http: / / www.21cnjy.com )，下列命题为真命题的是
（A）
( http: / / www.21cnjy.com )
（B）
( http: / / www.21cnjy.com )
（C）
( http: / / www.21cnjy.com )
（D）
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】B
【考点】1.简易逻辑联结词.2.全称命题.
【名师点睛】解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断.
3.【2016高考浙江理改编】命题“，使得
( http: / / www.21cnjy.com )”的否定形式是 ．
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )，使得
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】
试题解析：
( http: / / www.21cnjy.com )的否定是
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )的否定是
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )的否定是
( http: / / www.21cnjy.com )．故命题“
( http: / / www.21cnjy.com )，使得
( http: / / www.21cnjy.com )”的否定形式是“
( http: / / www.21cnjy.com )，使得
( http: / / www.21cnjy.com )”．
考点：全称命题与特称命题的否定．
【方法点睛】全称命题的否定是
( http: / / www.21cnjy.com )特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．
4.【2016高考山东理数改编】
( http: / / www.21cnjy.com )已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的 .(在“充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件”中选填)
【答案】充分不必要条件
考点：1.充要条件；2.直线与平面的位置关系.
【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考
( http: / / www.21cnjy.com )题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及直线与平面的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等.
5.【2016高考天津理数改编】设{a
( http: / / www.21cnjy.com )n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n 1+a2n<0”的 ．(在“充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件”中选填)
【答案】必要不充分条件
【解析】
试题分析：由题意得，，故是必要不充分条件．
考点：充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p q”为真，则p是q的充分条件．
2．等价法：利用p q与非q 非p，q p与非p 非q，p q与非q 非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若A B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
6．【2016高考上海理数改编】设
( http: / / www.21cnjy.com )，则“
( http: / / www.21cnjy.com )”是“
( http: / / www.21cnjy.com )”的 ．(在“充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件”中选填)
【答案】充分非必要条件
【解析】
试题分析：
( http: / / www.21cnjy.com )，所以是充分非必要条件．
考点：充要条件
【名师点睛】充要条件的判定问题，是
( http: / / www.21cnjy.com )高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及不等关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、逻辑推理能力等.
7．【2016高考四川文科改编】设p:实数x，y满足
( http: / / www.21cnjy.com )且
( http: / / www.21cnjy.com )，q:
实数x，y满足
( http: / / www.21cnjy.com )，则p是q的 (在“充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件”中选填)
【答案】充分不必要条件
【解析】
试题分析：由题意，
( http: / / www.21cnjy.com )且
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )，而当
( http: / / www.21cnjy.com )时不能得出，
( http: / / www.21cnjy.com )且
( http: / / www.21cnjy.com ).故
( http: / / www.21cnjy.com )是
( http: / / www.21cnjy.com )的充分不必要条件．
考点：充分必要条件.
【名师点睛】本题考查充分性与必要
( http: / / www.21cnjy.com )性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考．有许多情况下可利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论．
8.【2015高考浙江文改编】设
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )是实数，则“
( http: / / www.21cnjy.com )”是“
( http: / / www.21cnjy.com )”的______条件.（在充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件和既不充分也不必要条件四种中选择一种填空）
【答案】既不充分也不必要条件
9.【2015高考安徽文改编】设p：x<3，q：-1【答案】必要不充分条件
【解析】∵，
( http: / / www.21cnjy.com )∴
( http: / / www.21cnjy.com )，但
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )，∴
( http: / / www.21cnjy.com )是
( http: / / www.21cnjy.com )成立的必要不充分条件.
10.【2015高考山东文改编】设
( http: / / www.21cnjy.com ),命题“若
( http: / / www.21cnjy.com ),则方程
( http: / / www.21cnjy.com )有实根”的逆否命题是____.
【答案】若方程
( http: / / www.21cnjy.com )没有实根，则
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故为：若方程
( http: / / www.21cnjy.com )没有实根，则
( http: / / www.21cnjy.com ).
11.【2015高考湖北文改编】命题“
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )”的否定是_________________.
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com ).
12.【2015高考上海，文15】设
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )，则“
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )均为实数”是“
( http: / / www.21cnjy.com )是实数”的______.（在充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件和既不充分也不必要条件四种中选择一种填空）
【答案】充分非必要条件
【解析】设
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
若
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )均为实数，则
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )是实数；
若
( http: / / www.21cnjy.com )是实数，则
( http: / / www.21cnjy.com )，
所以“
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )均为实数”是“
( http: / / www.21cnjy.com )是实数”的充分非必要条件.
【2018年高考命题预测】
纵观2015-2017年全国各地的高考试题，可以发现高考对常用逻辑用语的考查以考查四种命题、逻辑联结词、充分条件、必要条件、全称与特称命题等知识点为主，难度不大，估计2018年高考命题仍会以基本概念为考查对象，并且以本节知识作为工具，以代数中的函数、不等式和几何中的点、线、面以及三角、解析几何为载体来考查.题目以选择填空题为主，在总分中占5分，重点考查学生的推理能力，所以对于2016年的高考备考同学们只需要像集合一样，掌握四种命题、逻辑联结词、充分条件、必要条件等基本知识点，对典型的例题加强练习，不宜搞过深过难的题目，关于本专题的高考备考还需要注意以下几点：1.在命题类的题目中首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系；2.要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可.对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手；3.要特别注意一些特殊量词的否定形式,例如至少
( http: / / www.21cnjy.com )个的否定为至多
( http: / / www.21cnjy.com )个等；4.充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件；5.注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“p q”而后者是“q p”；6.注意理解逻辑联结词与集合的关系；7.正确区别命题的否定与否命题.
【2018年高考考点定位】
高考对常用逻辑用语的考查有四种形式：一
( http: / / www.21cnjy.com )是考查四种命题的真假与转化，二是逻辑联结词、三是特称与全称命题的否定,四是充分条件和必要条件的判断.难度不大,以本节知识作为工具，以代数中的函数、不等式和几何中的点、线、面以及三角、解析几何为载体来考查.
【考点1】四种命题
【备考知识梳理】
一、命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.
二、四种命题
命题
表述形式
原命题
若p，则q
逆命题
若q，则p
否命题
若
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )
逆否命题
若
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )
三、四种命题之间的逆否关系
四、四种命题之间的真假关系
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.
【规律方法技巧】
1.四种命题反映出命题之间的内在联
( http: / / www.21cnjy.com )系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：
（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题；
（2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；
（3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。
注意：在写其他三种命题时，大前提必须放在前面。
2.正确的命题要有充分的依据，不一定
( http: / / www.21cnjy.com )正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．
3.命题真假的判断方法：判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可.对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手.
4.
判断四种形式的命题真假的基本方法
( http: / / www.21cnjy.com )是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假．
5.
否命题与命题的否定
( http: / / www.21cnjy.com )是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．
【考点针对训练】
1.给出下面四个命题：
①已知函数，在区间
( http: / / www.21cnjy.com )上任取一点
( http: / / www.21cnjy.com )，则使得
( http: / / www.21cnjy.com )的概率为
( http: / / www.21cnjy.com )；
②函数
( http: / / www.21cnjy.com )的图象向左平移
( http: / / www.21cnjy.com )个单位得到函数
( http: / / www.21cnjy.com )的图象；
③命题“
( http: / / www.21cnjy.com )”的否定是“
( http: / / www.21cnjy.com )”；
④若函数
( http: / / www.21cnjy.com )是定义在
( http: / / www.21cnjy.com )上的奇函数，且
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com ).
其中所有正确命题的序号是__________.
【答案】①②④
2．以下命题正确的是：_________．
①把函数的图象向右平移
( http: / / www.21cnjy.com )个单位，可得到
( http: / / www.21cnjy.com )的图象；
②四边形
( http: / / www.21cnjy.com )为长方形，
( http: / / www.21cnjy.com )为
( http: / / www.21cnjy.com )中点，在长方形
( http: / / www.21cnjy.com )内随机取一点
( http: / / www.21cnjy.com )，取得的
( http: / / www.21cnjy.com )点到
( http: / / www.21cnjy.com )的距离大于1的概率为
( http: / / www.21cnjy.com )；
③为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔为40；
④已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为
( http: / / www.21cnjy.com )，则回归直线方程为
( http: / / www.21cnjy.com )．
【答案】①④
【解析】①把函数
( http: / / www.21cnjy.com )的图象向右平移
( http: / / www.21cnjy.com )个单位，可得到
( http: / / www.21cnjy.com )的图象；正确；②如图所示：
长方形面积为2，以为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为
( http: / / www.21cnjy.com )
，
因此取到的点到
( http: / / www.21cnjy.com )的距离大于1的概率；故②错误；
③从800中抽取一个容量为40的样本，则抽取间隔为故③错误；
④∵回归方程为
( http: / / www.21cnjy.com )经过样本点中心
( http: / / www.21cnjy.com )，，解得：
( http: / / www.21cnjy.com )
∴回归直线方程为
( http: / / www.21cnjy.com )，故④正确．
【考点2】逻辑连接词
【备考知识梳理】
1.用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”.
2.用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”.
3.对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作
( http: / / www.21cnjy.com )，读作“非p”或“p的否定”.
4.命题p∧q，p∨q，
( http: / / www.21cnjy.com )的真假判断：p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假.
【规律方法技巧】
1.正确理解逻辑联结词与集合的关系
( http: / / www.21cnjy.com ):“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题.
2.正确区别命题的否定与
( http: / / www.21cnjy.com )否命题:“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系.
3.含有逻辑连接词命题的真假判断步骤:
(1)准确判断简单命题p、q的真假；
(2)判断“p∧q”“p∨q”“
( http: / / www.21cnjy.com )p”命题的真假.
4.含有逻辑联结词的命题的真假判断规律
(1)p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即一真即真；
(2)p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即一假即假；
(3)
( http: / / www.21cnjy.com )p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反.
【考点针对训练】
1.
已知命题p:存在
( http: / / www.21cnjy.com ),命题q:指数函数
( http: / / www.21cnjy.com )是R上的增函数,若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是_______.
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】当
( http: / / www.21cnjy.com )为真时，
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )
上有解，所以
( http: / / www.21cnjy.com )，当命题
( http: / / www.21cnjy.com )为真时，应有
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )，由于命题“
( http: / / www.21cnjy.com )且
( http: / / www.21cnjy.com )
”是真命题，所以
( http: / / www.21cnjy.com )都真，从而
( http: / / www.21cnjy.com )，故答案应填
( http: / / www.21cnjy.com ).
2.
已知
( http: / / www.21cnjy.com )且
( http: / / www.21cnjy.com )，设命题
( http: / / www.21cnjy.com )函数
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )上单调递减；命题
( http: / / www.21cnjy.com )曲线
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )轴交于不同的两点，如果
( http: / / www.21cnjy.com )是假命题，
( http: / / www.21cnjy.com )是真命题，求
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围.
【考点3】全称命题与特称命题
【备考知识梳理】
1.全称量词与全称命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示.
(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题.
(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为 x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.
2.存在量词与特称命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示.
(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题.
(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为 x0∈M，P(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”.
3.含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
x∈M，p(x)
x0∈M，p(x0)
x0∈M，p(x0)
x∈M，
( http: / / www.21cnjy.com )p(x)
【规律方法技巧】
1.全称命题真假的判断方法
(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；
(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可.
2.特称命题真假的判断方法
要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.
3.全称与特称命题的否定需要注意:
(1)弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提.
(2)注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定.
【考点针对训练】
1.
已知命题
( http: / / www.21cnjy.com )，命题
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )，若命题
( http: / / www.21cnjy.com )是真命题，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )是真命题，则
( http: / / www.21cnjy.com )为真命题，
( http: / / www.21cnjy.com )为真命题，命题
( http: / / www.21cnjy.com )为真命题，则
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )，命题
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )为真命题，
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )．
2.命题“对任意
( http: / / www.21cnjy.com )”的否定是__
__
【答案】存在
( http: / / www.21cnjy.com )使得
( http: / / www.21cnjy.com ).
【解析】命题“对任意
( http: / / www.21cnjy.com )”是全称命题，所以其否定是特称命题，故答案为存在
( http: / / www.21cnjy.com )使得
( http: / / www.21cnjy.com ).
【考点4】充分条件与必要条件
【备考知识梳理】
1.如果p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.
2.如果p q，q p，则p是q的充要条件.
3.充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p q” “q p”；
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件.
【规律方法技巧】
充要关系的几种判断方法
1.定义法：若
( http: / / www.21cnjy.com )
，则
( http: / / www.21cnjy.com )是
( http: / / www.21cnjy.com )的充分而不必要条件；若
( http: / / www.21cnjy.com )
，则
( http: / / www.21cnjy.com )是
( http: / / www.21cnjy.com )的必要而不充分条件；若
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )是
( http: / / www.21cnjy.com )的充要条件；
若
( http: / / www.21cnjy.com )
，则
( http: / / www.21cnjy.com )是
( http: / / www.21cnjy.com )的既不充分也不必要条件。
2.等价法：即利用
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )；
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )；
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
3.
充要关系可以从集合的观点理解
( http: / / www.21cnjy.com )，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件
【特别提醒】
1.充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p q” “q p”；
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．
注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“
( http: / / www.21cnjy.com )”而后者是“
( http: / / www.21cnjy.com )”．
2．从逆否命题，谈等价转换：由于
( http: / / www.21cnjy.com )互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”．
【考点针对训练】
1.
“
( http: / / www.21cnjy.com )”是“函数
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )上单调递增”的_______________条件．（空格处请填写“充分不必要条件”
、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）
【答案】充分不必要条件
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )上单调递增
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )上恒成立
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )，所以“
( http: / / www.21cnjy.com )”是“函数
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )上单调递增”的充分不必要条件条件．
2.
“
( http: / / www.21cnjy.com )”是“
( http: / / www.21cnjy.com )”的
条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）.
【答案】必要不充分
【解析】
“
( http: / / www.21cnjy.com )”推不出“
( http: / / www.21cnjy.com )”，而“
( http: / / www.21cnjy.com )”能推出“
( http: / / www.21cnjy.com )”.所以答案应填：必要不充分．
【两年模拟详解析】
1．【江苏省兴化一中2017届高三下学期期中】命题:“
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )”的否定是__________.
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】命题P：
( http: / / www.21cnjy.com )
的否定是“
( http: / / www.21cnjy.com )
”。
2．【镇江市丹徒高级高中2016-2017学年高二下学期期末】已知条件
( http: / / www.21cnjy.com )条件
( http: / / www.21cnjy.com )且
( http: / / www.21cnjy.com )是
( http: / / www.21cnjy.com )的充分不必要条件，则a的取值范围可以是______
．
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】∵
( http: / / www.21cnjy.com )，∴
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )，若
( http: / / www.21cnjy.com )是
( http: / / www.21cnjy.com )的充分不必要条件，则
( http: / / www.21cnjy.com )是
( http: / / www.21cnjy.com )的充分不必要条件，则
( http: / / www.21cnjy.com )，∴
( http: / / www.21cnjy.com )，故答案为
( http: / / www.21cnjy.com ).
3．【盐城市2017届三模】若命题“
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )”是假命题，则实数
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围是___________．
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )
为真命题，所以
( http: / / www.21cnjy.com )
4．【盐城中学2016-2017学年高二5月阶段性检测】设
( http: / / www.21cnjy.com )为空间的一个基底，
( http: / / www.21cnjy.com )是三个非零向量，则
( http: / / www.21cnjy.com )是
( http: / / www.21cnjy.com )的__________条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）
【答案】充分不必要
【解析】
由题意得，根据空间基底的概念，向量
( http: / / www.21cnjy.com )是三个不共线的向量，所以向量
( http: / / www.21cnjy.com )是三个非零向量，而三个非零向量
( http: / / www.21cnjy.com )，当其中两个向量共线时，不能构成空间的基底，所以
( http: / / www.21cnjy.com )是
( http: / / www.21cnjy.com )的充分不必要条件.
5．【启东中学2016-2017学年高二下学期期中】下列有关命题的说法中正确的有________(填序号)．
①命题“若
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )”的否命题为“若
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )”；
②“
( http: / / www.21cnjy.com )”是“
( http: / / www.21cnjy.com )”的必要不充分条件；
③命题“
( http: / / www.21cnjy.com )∈R，使得
( http: / / www.21cnjy.com )”的否定是“
( http: / / www.21cnjy.com )∈R，均有
( http: / / www.21cnjy.com )”；
④命题“若
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )”的逆否命题为真命题．
【答案】④
6．【宁夏石嘴山市第三中学2017届高三下学期三模（文）】给出下列命题：①已知都是正数，且
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )；
②已知
( http: / / www.21cnjy.com )是
( http: / / www.21cnjy.com )的导函数，若
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )一定成立；
③命题“
( http: / / www.21cnjy.com )使得
( http: / / www.21cnjy.com )”的否定是真命题；
④
( http: / / www.21cnjy.com )且
( http: / / www.21cnjy.com )是“
( http: / / www.21cnjy.com )”的充要条件；
⑤若实数
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )，则满足
( http: / / www.21cnjy.com )的概率为
( http: / / www.21cnjy.com )，
其中正确的命题的序号是______________（把你认为正确的序号都填上）
【答案】①③⑤
【解析】①已知
( http: / / www.21cnjy.com )都是正数，
( http: / / www.21cnjy.com )
，
( http: / / www.21cnjy.com )
，则
( http: / / www.21cnjy.com )正确；
②若是
( http: / / www.21cnjy.com )是常数函数，则
( http: / / www.21cnjy.com )不成立，
③命题“
( http: / / www.21cnjy.com )使得
( http: / / www.21cnjy.com )”是假命题，则它的的否定是真命题；
④
( http: / / www.21cnjy.com )且
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
“
( http: / / www.21cnjy.com )”，反之不成立，则
( http: / / www.21cnjy.com )且
( http: / / www.21cnjy.com )是“
( http: / / www.21cnjy.com )”的充分不必要条件；
⑤若实数
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )，则满足
( http: / / www.21cnjy.com )的概率为
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )正确.
正确的命题序号为①③⑤.
7．【河北省定州中学2017届高三下学期第二次月考（4月）】某运动队对
( http: / / www.21cnjy.com )四位运动员进行选拔，只选一人参加比赛，在选拔结果公布前，甲、乙、丙、丁四位教练对这四位运动员预测如下：甲说：“是
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )参加比赛”；
乙说：“是
( http: / / www.21cnjy.com )参加比赛”；
丙说：“是
( http: / / www.21cnjy.com )都未参加比赛”；
丁说：“是
( http: / / www.21cnjy.com )参加比赛”.若这四位教练中只有两位说的话是对的，则获得参赛的运动员是__________．
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】根据甲、乙、丙、丁四位教练对这四位运动员预测，可画出下表格：
A
B
C
D
甲
√
√
乙
√
丙
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
丁
√
若A参赛，甲、乙、丙、丁四人话都错
( http: / / www.21cnjy.com )，不符；若C参赛，甲、丙、丁三人话对，不符；若D参赛，乙、丙、丁三人话错，不符合；若B参赛，乙、丙话对，甲、丁话错，符合；综上，参赛运动员为B.
【点睛】
对于逻辑推理题，由于情况比较复杂，我们常用列表格的方法来理清关系，再结合表格逐个分析。
8.
【江苏省扬州中学20
( http: / / www.21cnjy.com )16届高三4月质量监测】“m＝－1”是“直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋3＝0垂直”的___________条件．
【答案】充分不必要
【解析】直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋3＝0垂直的充要条件为
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )，所以“m＝－1”是“直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋3＝0垂直”的充分不必要条件．
9．【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】“
( http: / / www.21cnjy.com )”是“函数
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )上单调递增”的_______________条件．（空格处请填写“充分不必要条件”
、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）
【答案】充分不必要条件
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )上单调递增
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )上恒成立
( http: / / www.21cnjy.com )，所以“
( http: / / www.21cnjy.com )”是“函数
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )上单调递增”的充分不必要条件条件．
10．【启东中学2015～2016学年度第一学期第一次阶段测试】命题“
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )”的否定是
．
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】命题“
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )”的否定是“
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )”
11．【如东高级中学2016届高三上学期期中考试】已知命题
( http: / / www.21cnjy.com )是真命题，则实数
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围是________
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】由题意得：
( http: / / www.21cnjy.com )
12．【泰州市2016届高三第一次模拟考试】若命题“存在
( http: / / www.21cnjy.com )”为假命题，则实数
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围是
．
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】由题意得
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )
13．【江苏省扬州中学高三数学
( http: / / www.21cnjy.com )月考试卷】函数f
(x)＝＋a（x≠0），则“f
(1)＝1”是“函数f
(x)为奇函数”的
条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）．
【答案】充要
【解析】f
(x)＝＋a为奇函数，则
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，此时
( http: / / www.21cnjy.com )，反之也成立，因此填“充要”．
【一年原创真预测】
1.
已知命题
( http: / / www.21cnjy.com )：
( http: / / www.21cnjy.com )，使得直线
( http: / / www.21cnjy.com )：
( http: / / www.21cnjy.com )和圆
( http: / / www.21cnjy.com ):
( http: / / www.21cnjy.com )相离；
( http: / / www.21cnjy.com )：若
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com ).则
( http: / / www.21cnjy.com )的为_________命题.（填真或假）
【答案】真
【解析】直线
( http: / / www.21cnjy.com )：
( http: / / www.21cnjy.com )经过定点
( http: / / www.21cnjy.com )，显然点
( http: / / www.21cnjy.com )在圆
( http: / / www.21cnjy.com )内，所以直线和圆恒相交，故命题
( http: / / www.21cnjy.com )为假命题；命题
( http: / / www.21cnjy.com )，因为
( http: / / www.21cnjy.com )（分母不为零），所以该命题为真命题.所以
( http: / / www.21cnjy.com )为真命题.
【入选理由】本题考查直线和圆的位置关系、不等
( http: / / www.21cnjy.com )式的性质、含量词的命题以及复合命题的真假判断,
考查的知识面大,但是不难,是比较典型的高考题样板.
2.
已知命题
( http: / / www.21cnjy.com )设
( http: / / www.21cnjy.com ),则“
( http: / / www.21cnjy.com )”是“
( http: / / www.21cnjy.com )”的必要不充分条件；命题
( http: / / www.21cnjy.com )若
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )夹角为钝角．在命题①
( http: / / www.21cnjy.com )；②
( http: / / www.21cnjy.com )；③
( http: / / www.21cnjy.com )；
④
( http: / / www.21cnjy.com )
中，真命题的是____________.
【答案】②③
【入选理由】本题是考查充要条件、复合命题的真假等基础知识，意在考查逻辑推理和对基础知识的理解,近几年来充要条件、复合命题的真假是高考的常考内容,所以需要特别注意.
3.
对定义在区间D上的函数和
( http: / / www.21cnjy.com )，如果对任意
( http: / / www.21cnjy.com )，都有
( http: / / www.21cnjy.com )成立，那么称函数
( http: / / www.21cnjy.com )在区间D上可被
( http: / / www.21cnjy.com )替代，D称为“替代区间”.给出以下命题：
①
( http: / / www.21cnjy.com )在区间
( http: / / www.21cnjy.com )上可被
( http: / / www.21cnjy.com )替代；
②
( http: / / www.21cnjy.com )可被
( http: / / www.21cnjy.com )替代的一个“替代区间”为
( http: / / www.21cnjy.com )；
③
( http: / / www.21cnjy.com )在区间
( http: / / www.21cnjy.com )可被
( http: / / www.21cnjy.com )替代，则
( http: / / www.21cnjy.com )；
④
( http: / / www.21cnjy.com )，则存在实数
( http: / / www.21cnjy.com )，使得
( http: / / www.21cnjy.com )在区间
( http: / / www.21cnjy.com )
上被
( http: / / www.21cnjy.com )替代；其中真命题的有
【答案】①②③
【解析】①中
( http: / / www.21cnjy.com )，故
( http: / / www.21cnjy.com )在区间
( http: / / www.21cnjy.com )上可被
( http: / / www.21cnjy.com )替代，故正确；②中
( http: / / www.21cnjy.com )，记
( http: / / www.21cnjy.com )，易得
( http: / / www.21cnjy.com )
所以
( http: / / www.21cnjy.com )，故正确；③中，
( http: / / www.21cnjy.com )对任意
( http: / / www.21cnjy.com )恒成立，易得
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，故
( http: / / www.21cnjy.com )，正确；④中假设
( http: / / www.21cnjy.com )在区间
( http: / / www.21cnjy.com )
上能被
( http: / / www.21cnjy.com )替代，则
( http: / / www.21cnjy.com )，显然此式不能恒成立，故不正确
【入选理由】本题考查新定义函数问题及其应用，意在考查学生运算能力、综合运用知识和方法解决问题的能力,此题难度较大，构思巧妙，故选此题.专题12.3
数系的扩充与复数的引入
【三年高考】
1.
【2017江苏】复数其中i为虚数单位，则z的实部是
.
【答案】5
【解析】
试题分析：．故答案应填：5
【考点】复数概念
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如，其次要熟悉复数的相关概念，如复数的实部为，虚部为，模为，共轭为
2.【2017课标1，理3】设有下面四个命题
：若复数满足，则；：若复数满足，则；
：若复数满足，则；：若复数，则.
其中的真命题为
A.
B．
C．
D．
【答案】B
【考点】复数的运算与性质.
【名师点睛】分式形式的复数，分子分母同乘分母的共轭复数，化简成的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.
3.【2017课标II，理1】（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
试题分析：由复数除法的运算法则有：，故选D。
【考点】
复数的除法
【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除。除法实际上是分母实数化的过程。在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z1，z2互为共轭复数，则z1·z2＝|z1|2＝|z2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化。
4.【2017山东，理2】已知,i是虚数单位，若，则a=
（A）1或-1
（B）
（C）-
（D）
【答案】A
【解析】试题分析：由得，所以，故选A.
【考点】
1.复数的概念.2.复数的运算.
【名师点睛】复数的共轭复数是，据此结合已知条件，求得的方程即可.
5.
【2017北京，理2】若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是
（A）（–∞，1）
（B）（–∞，–1）
（C）（1，+∞）
（D）（–1，+∞）
【答案】B
【解析】
【考点】复数的运算
【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．复数z＝a＋bi(a，b∈R)
平面向量.
6.
【2017天津，理9】已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为
.
【答案】
【解析】为实数，
则.
【考点】
复数的分类
【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
复数，
当时，为虚数，
当时，为实数，
当时，为纯虚数.
7.【2017浙江，12】已知a，b∈R，（i是虚数单位）则
，ab=
．
【答案】5，2
【考点】复数的基本运算和复数的概念
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如．
其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为
8．【2016新课标理改编】设其中,实数,则
.
【答案】
【解析】
试题分析：因为所以．
考点：复数运算
【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性.
9.【2016高考新课标3理数改编】若，则
.
【答案】
【解析】
试题分析：．
考点：1、复数的运算；2、共轭复数．
【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把换成－1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．
10.【2016高考新课标2理数】已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：
要使复数对应的点在第四象限应满足：，解得．
考点：
复数的几何意义.
【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
平面向量.
11.【2016年高考北京理数】设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则_______________.
【答案】.
【解析】
试题分析：，故填：.
考点：复数运算
【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化
12.【2016高考山东理数改编】若复数z满足
其中i为虚数单位，则z= ．
【答案】
【解析】
试题分析：设，则，故，则，选B.
考点：1.复数的运算；2.复数的概念.
【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一.
13.【2016高考天津理数】已知，i是虚数单位，若，则的值为_______.
【答案】2
【解析】
试题分析：，则，所以，，故答案为2．
考点：复数相等
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
.
其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、共轭为
14．【2015高考新课标2，理2改编】若为实数且，则 ．
【答案】0
【解析】由已知得，所以，解得．
15.【2015高考湖北，理1改编】
为虚数单位，的共轭复数为 ．
【答案】
【解析】,所以的共轭复数为．
【2018年高考命题预测】
纵观2017各地高考试题，对复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义，一般是选择题、填空题，难度不大，预计今后的高考还会保持这个趋势.
复数问题在高考中年年必有,从近几年的高考试题来看,复数的概念及其代数形式的运算成为命题的热点,通常分两种题型,选择题和填空题,一是考查复数的概念,如纯虚数，两个复数相等；二是复数代数形式的加、减、乘、除四则运算等知识.预测下一步的高考，仍会以考查复数的有关概念，包括实部与虚部、虚数与纯虚数以及复数的代数形式的运算为重点，继续稳定在一道选择题或填空题上,且属于中低档题.复数的概念及运算仍是考查的重点内容，以选择或填空题为主.故预测2018年高考仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点，其中复数相等的应用是最可能出现的命题角度！复习建议：1．复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等，以及复数的几何意义．2．要把复数的基本运算作为复习的重点，尤其是复数的四则运算与共轭复数的性质等．因考题较容易，所以重在练基础．
【2018年高考考点定位】
高考对复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义，复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点，并且一般在前三题的位置，主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算，一般是选择题、填空题，难度不大．
【考点1】复数的有关概念
【备考知识梳理】
1.称为虚数单位,规定；
2.形如()的数叫复数，其中分别是它的实部和虚部．若，则为实数；若，则为虚数；若且，则为纯虚数．
3.共轭复数：复数称为复数的共轭复数，记为，那么与对应复平面上的点关于实轴对称，且，，，
与共轭 (，)．
【规律方法技巧】
1.解决复数概念问题的方法及注意事项：(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为()的形式，以确定实部和虚部．
2.复数是实数的条件：①；②；③.
3.复数是纯虚数的条件:
①是纯虚数且；
②是纯虚数；③是纯虚数.
4.复数与实数不同处：任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．
【考点针对训练】
1.设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数 ．
【答案】－4
【解析】由题意可得且，所以．
2.若复数是纯虚数，其中为实数，为虚数单位，则的共轭复数
．
【答案】
【考点2】复数相等，复数的几何意义
【备考知识梳理】
1.复数的相等设复数，那么的充要条件是：．特别.
2.复数的模：向量的模叫做复数
()的模，记作或，即.
3.复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面轴叫做实轴，轴除去原点叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示虚数.
复数的几何表示：复数
()可用平面直角坐标系内点来表示．这时称此平面为复平面，这样，全体复数集与复平面上全体点集是一一对应的．
复数的几何意义
（1）复数复平面内的点().
（2）复数
().
4.复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：
（1）是正常数）轨迹是一个圆.
（2）是复常数）轨迹是一条直线.
（3）是复常数，是正常数）轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为椭圆；b)当时，轨迹为一条线段；c)当时，轨迹不存在.
（4）是正常数）轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为双曲线；b)当时，轨迹为两条射线；c)当时，轨迹不存在.
【规律方法技巧】
1.
对复数几何意义的理解及应用
(1)复数z、复平面上的点及向量相互联系，即
()
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
2.
注意复数相等的充要条件中必须把两个复数都化为“标准的代数形式”．
3.
处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数
()，由它的实部与虚部唯一确定，故复数与点相对应.
【考点针对训练】
1.若，其中是虚数单位，则
。
【答案】1
【解析】因为，所以，所以，所以
2.已知是虚数单位，复数满足，则复数所对应的点位于复平面的第 象限
【答案】一
【解析】根据题意可知，所以，故复数所对应的点的坐标为，所以在第一象限．
【考点3】复数的运算
【备考知识梳理】
1.
复数的加、减、乘、除运算法则
设,,则
①加法：；
②减法：；
③乘法：；
④除法：
2．复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何，有，.
3.
复数的乘法不仅满足交换律与结合律，实数集R中整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立，即对任何
，
，
及
，有：，
，
；
4.复数集内的三角形不等式是：，其中左边在复数对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数对应的向量共线且同向（反向）时取等号.
【规律方法技巧】
1.
几个重要的结论：
⑴；⑵；⑶若为虚数,则.
2.
常用计算结论：
⑴；⑵,；⑶；
⑷；，，，.
3.
复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉的特点及熟练应用运算技巧．，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．
4.在复数相关问题的处理中，一般要将复数转化为一般形式，明确复数的实部与虚部，在求解复数的过程中，可以利用到复数的四则运算，然后利用相关的知识求解复数的相关问题.
5.实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．
【考点针对训练】
1.设，则= ．
【答案】
【解析】根据题意得，所以．
2.已知是虚数单位，复数，则 ．
【答案】
【解析】，．
【两年模拟详解析】
1.
【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】设,，(为虚数单位)，则的值为__________．
【答案】1
【解析】，故：
2.
【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知为虚数单位，复数（），，且，则
．
【答案】1
【解析】
3.
【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】设复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为
▲
.
【答案】
【解析】，所以虚部为
4.
【镇江市2017届高三年级第一次模拟】已知复数满足，其中为虚数单位，则
．
【答案】
【解析】
5.
【2017年第二次全国大联考江苏卷】已知复数,其中为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于第象限.
【答案】四
【解析】因为，对应点为，位于第四象限.
6.
【2017年第三次全国大联考江苏卷】已知复数，其中为虚数单位，若，则_____________．
【答案】
【解析】
7.
【2017年第一次全国大联考江苏卷】已知复数,其中为虚数单位，则的共轭复数的模为____________．
【答案】
8.
【2016—2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）】若复数满足（为虚数单位），则
．
【答案】
【解析】，，．
9.
【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】已知复数满足（其中为虚数单位），则=
.
【答案】5
【解析】,所以.
10.
【2017年高考原创押题预测卷02（江苏卷）】已知复数满足,其中为虚数单位，则复数的虚部为
.
【答案】
【解析】因，故的虚部为.
11.
【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的模为．
【答案】
【解析】因，故的模为．
12．【江苏省清江中学2016届高三上学期周练数学试题】1.已知复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于第
象限．
【答案】一
【解析】由题，故复数在复平面上对应的点位于第一象限.
13．【扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题】若复数（是虚数单位），则的虚部为
.
【答案】3
【解析】,则的虚部为3
14．【江苏省扬州中学高三数学月考试卷】复数z＝为纯虚数，则实数a的值为
．
【答案】1
【解析】，由题意且，所以．
15．【江苏省苏中三市2016届高三第二次调研测试数学试题】设复数满足(为虚数单位)，则复数的实部为
．
【答案】
【解析】因为，所以复数的实部为
16．【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】若复数z＝(1＋mi)(2－i)(i是虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为
．
【答案】
【解析】因为
z＝(1＋mi)(2－i)，所以
17．【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】若复数z1＝3＋4i，z2＝a＋i，且z1·是实数（其中为z2的共轭复数），则实数a＝___________．
【答案】
【解析】因为是实数，所以
18．【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试】已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是
．
【答案】
【解析】由题意得
19．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】设复数z满足z(1＋i)＝2＋4i，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数为
．
【答案】3－i
【解析】因为所以复数的共轭复数为3－i
20．【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】已知，其中是虚数单位，那么实数
．
【答案】
【解析】
21．【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的共轭复数是
.
【答案】
【解析】
22．【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】若复数满足（为虚数单位），则
.
【答案】
【解析】由题意得
23．【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】已知复数（为虚数单位），则的共轭复数为
.
【答案】
【解析】
【一年原创真预测】
1.
已知为虚数单位，且，则的值为 ．
【答案】－4
【解析】由，可得
，∴，∴
．
【入选理由】本题考查复数相等概念、复数运算等基础知识，意在考查基本运算能力．复数在高考中主要考查复数的概念和代数形式的四则运算，一般难度不大，本题考查知识基础，试题难度不大，有一定的综合性，故选此题.
2.
若是复数，且集合，，，则
．
【答案】
【入选理由】本题一元二次方程解法、复数的运算、集合的交集运算等基础知识，意在考察学生的基本运算能力.
复数在高考中主要考查复数的概念和代数形式的四则运算，一般难度不大，本小题把复数的运算与集合运算结合起来综合考查，体现小题综合化思想，故选此题.
3.
若复数在平面直角坐标系中所对应的点在第三象限,则的取值范围是 ．
【答案】
【入选理由】本题考察复数的除法运算，复数几何意义等基础知识，意在考察学生的基本运算能力和逻辑推理能力..
复数在高考中主要考查复数的概念和代数形式的四则运算，一般难度不大，本小题把复数的运算与几何意义综合考查，体现小题综合化思想，故选此题.
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1
-专题3
立体几何综合问题
【三年高考】
1．【2017天津，文11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为
.
【答案】
【考点】球与几何体的组合体
【名师点睛】正方体与其外接球的组合体比较简单，因为正方体的中心就是外接球的球心，对于其他几何体的外接球，再找球心时，注意球心到各个顶点的距离相等，1.若是柱体，球心肯定在中截面上，再找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线与中截面的交点就是球心，2.若是锥体，可以先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，再做一条侧棱的中垂线，两条直线的交点就是球心，构造平面几何关系求半径，3.若是三棱锥，三条侧棱两两垂直时，也可补成长方体，长方体的外接球就是此三棱锥的外接球，这样做题比较简单.
2.【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
【答案】
【解析】
试题分析：取的中点，连接
因为
所以
因为平面平面
所以平面
设
所以，所以球的表面积为
【考点】三棱锥外接球
3．【2017课标3，文19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
【答案】（1）详见解析；（2）1
【解析】试题分析：（1）取中点，由等腰三角形及等比三角形性质得，，再根据线面垂直判定定理得平面，即得AC⊥BD；（2）先由AE⊥EC，结合平几知识确定，再根据锥体体积公式得，两者体积比为1:1.
试题解析：（1）证明：取中点，连
∵，为中点，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，
又∵，∴平面，平面，
∴.
【考点】线面垂直判定及性质定理，锥体体积
【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
4.【2017山东，文18】（本小题满分12分）由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-
B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD
的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD,
（Ⅰ）证明：∥平面B1CD1;
（Ⅱ）设M是OD的中点,证明：平面A1EM平面B1CD1.
【答案】①证明见解析.②证明见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）取中点,证明,（Ⅱ）证明面.
(II)因为
,，分别为和的中点,
所以,
因为为正方形,所以,
又
平面,平面
所以
因为
所以
又平面，.
所以平面
又平面,
所以平面平面.
【考点】空间中的线面位置关系
【名师点睛】证明线面平行时,先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行,若找不到这样的直线,可以考虑通过面面平行来推导线面平行,应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时,一定要注意定理成立的条件,严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线平行．
5.【2017北京，文18】如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（Ⅰ）求证：PA⊥BD；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（Ⅲ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．
【答案】详见解析
【解析】
（II）因为，为中点，所以，
由（I）知，，所以平面，
所以平面平面.
（III）因为平面，平面平面，
所以.
因为为的中点，所以，.
由（I）知，平面，所以平面.
所以三棱锥的体积.
【考点】1.线面垂直的判断和性质；2,。面面垂直的判断和性质；3.几何体的体积.
【名师点睛】线线，线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判断定理转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，而其中证明线线垂直又得转化为证明线面垂直线线垂直，或是根据面面垂直，平面内的线垂直于交线，则垂直于另一个平面,这两种途径都可以证明线面垂直.
6.
【2016高考新课标1文数改编】平面过正文体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，,,,则m,n所成角的正弦值为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：如图,设平面平面=,平面平面=,因为平面,所以,则所成的角等于所成的角.延长,过作,连接,则为,同理为,而,则所成的角即为所成的角,即为,故所成角的正弦值为．
考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.
【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.
7．【2016高考新课标1文数】如图,在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.
（I）证明G是AB的中点；
（II）在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由）,并求四面体PDEF的体积．
【答案】（I）见解析（II）作图见解析,体积为
试题解析：（I）因为在平面内的正投影为,所以
因为在平面内的正投影为,所以
所以平面,故
又由已知可得,,从而是的中点.
（II）在平面内,过点作的平行线交于点,即为在平面内的正投影.
理由如下：由已知可得,,又,所以,因此平面,即点为在平面内的正投影.
连接,因为在平面内的正投影为,所以是正三角形的中心.
由（I）知,是的中点,所以在上,故
由题设可得平面,平面,所以,因此
由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且,可得
在等腰直角三角形中,可得
所以四面体的体积
考点：线面位置关系及几何体体积的计算
【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.
8．【2016高考新课标Ⅲ文数】如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．
（I）证明平面；
（II）求四面体的体积.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体的高，即点到底面的距离为棱的一半，由此可顺利求得结果．
试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.
......3分
又，故，四边形为平行四边形，于是.
因为平面，平面，所以平面.
........6分
考点：1、直线与平面间的平行与垂直关系；2、三棱锥的体积．
【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又推出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．
9．【2016高考天津文数】(本小题满分13分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF||AB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，∠BAD=60 ，G为BC的中点.
(Ⅰ)求证：平面BED；
(Ⅱ)求证：平面BED⊥平面AED；
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析
【解析】
试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行寻找与论证，往往结合平几知识，如本题构造一个平行四边形：取的中点为，可证四边形是平行四边形，从而得出（Ⅱ）面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，而线面垂直的证明，往往需多次利用线面垂直判定与性质定理，而线线垂直的证明有时需要利用平几条件，如本题可由余弦定理解出，即．
（Ⅱ）证明：在中，，由余弦定理可，进而可得，即，又因为平面平面平面；平面平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.
考点：直线与平面平行和垂直、平面与平面垂直．
【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.
10.【2016高考四川文科】（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，.
（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
（II）证明：平面PAB⊥平面PBD.
【答案】（Ⅰ）取棱AD的中点M，证明详见解析；（Ⅱ）证明详见解析.
试题解析：
（I）取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点.理由如下：
因为AD‖BC,BC=AD，所以BC‖AM,
且BC=AM.
所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM‖AB.
又AB
平面PAB,CM
平面PAB,
所以CM∥平面PAB.
(说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)
（II）由已知，PA⊥AB,
PA
⊥
CD,
因为AD∥BC,BC=AD，所以直线AB与CD相交，
所以PA
⊥平面ABCD.
从而PA
⊥
BD.
因为AD∥BC,BC=AD，
所以BC∥MD,且BC=MD.
所以四边形BCDM是平行四边形.
所以BM=CD=AD，所以BD⊥AB.
又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.
又BD
平面PBD,
所以平面PAB⊥平面PBD.
考点：线面平行、线线平行、线线垂直、线面垂直.
【名师点睛】本题考查线面平行、面面垂直的判断，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.证明线面平行时，可根据判定定理的条件在平面内找一条平行线，而这条平行线一般是由过面外的直线的一个平面与此平面相交而得，证明时注意定理的另外两个条件（线在面内，线在面外）要写全，否则会被扣分，求线面角（以及其他角），证明面面垂直时，要证线面垂直，要善于从图形中观察有哪些线线垂直，从而可能有哪个线面垂直，确定要证哪个线线垂直，切忌不加思考，随便写．
11．【2015高考浙江，文7改编】如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是 ．
【答案】椭圆
【解析】
由题可知，当点运动时，在空间中，满足条件的绕旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.
12．【2015高考福建，文20】如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且．
（Ⅰ）若为线段的中点，求证平面；
（Ⅱ）求三棱锥体积的最大值；
（Ⅲ）若，点在线段上，求的最小值．
【解析】解法一：（I）在中，因为，为的中点，所以．又垂直于圆所在的平面，所以．因为，所以平面．
（II）因为点在圆上，所以当时，到的距离最大，且最大值为．又，所以面积的最大值为．又因为三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为．
（III）在中，，，所以．同理，所以．在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示．当，，共线时，取得最小值．又因为，，所以垂直平分，即为中点．从而，亦即的最小值为．
解法二：（I）、（II）同解法一．
（III）在中，，，所以，．同理．
所以，所以．在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示．当，，共线时，取得最小值．所以在中，由余弦定理得：．
从而．所以的最小值为．
13.【2015高考陕西，文18】如图1，在直角梯形中，，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.
(I)证明：平面；
(II)当平面平面时，四棱锥的体积为，求的值.
【2018年高考命题预测】
纵观2017各地高考试题，高考对立体几何的考查，主要考查学生的化归与转化能力、空间想象能力以及基本运算能力.
从高考试题来看，线线垂直的判定、线面垂直的判定、面面垂直的判定与性质、线面角等是高考的热点，题型既有选择题、填空题又有解答题，难度中等偏高，客观题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，考查线面角的概念及求法；而主观题不仅考查以上内容，同时还考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力．而直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的判定高考大题没涉及，而在小题中考查，直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的判定是高考的热点，预测2017年高考，可能以柱体，锥体为几何背景，第一问以线面位置关系，面面位置关系为主要考查点，第二问仍以求体积或表面积为主，突出考查空间想象能力和逻辑推理能力，以及分析问题、解决问题的能力．
复习建议：空间图形中的角与距离，先根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围.异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°，其解法是作垂线、找射影；二面角0°≤θ≤180°.平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折（或展开）前后两个图形，分清哪些元素的位置（或数量）关系改变了，哪些没有改变.
【2018年高考考点定位】
对立体几何中的角与距离，主要以选择题的方式进行考查，而综合性问题，主要在解答题中考查，一般第一问证明平行与垂直，第二问求体积，面积，或涉及一些探索性命题，难度不算太大，重点考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力．
【考点1】空间距离的求法
【备考知识梳理】
1．空间的角（理科掌握概念即可，具体求法江苏考生可利用空间向量法求解）
(1)异面直线所成的角：如图，已知两条异面直线，经过空间任一点作直线.则把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角)．异面直线所成的角的范围是.
(2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是的角．直线与平面所成角的范围是.
(3)二面角的平面角：如图在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则叫做二面角的平面角．二面角的范围是.
(4)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等.
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.
3.空间距离:
（1）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；常有求法①先证线段为异面直线的公垂线段，然后求出的长即可．②找或作出过且与平行的平面，则直线到平面的距离就是异面直线间的距离．③找或作出分别过且与，分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线间的距离．④根据异面直线间的距离公式EF
＝（“±”符号由实际情况选定）求距离.
（2）点到平面的距离：点Ｐ到直线的距离为点Ｐ到直线的垂线段的长，常先找或作直线所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线的距离.在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可.常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为，则点Ａ，Ｂ到平面的距离之比也为．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面的距离相等；③体积法
（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；
（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离.
【规律方法技巧】
1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角.
（1）异面直线所成的角的范围是.求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决
具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用三角形来求角;
④补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角θ.
（2）直线与平面所成的角的范围是.求线面角方法:
①利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径.
②利用三棱锥的等体积，省去垂足,
在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h,利用三棱锥的等体积，只需求出h，然后利用进行求解.
③妙用公式，直接得到线面角
课本习题出现过这个公式：，如图所示：.其中为直线AB与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴.
（3）确定点的射影位置有以下几种方法：
①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；
②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；
③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；
④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：
a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；
b.
如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；
c.
如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；
（4）二面角的范围，解题时要注意图形的位置和题目的要求.求二面角的方法:
①直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小.
用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角,自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角,
自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角；③利用定义确定平面角,
在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；
②射影面积法.利用射影面积公式＝
；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等.
2.
求距离的关键是化归.即空间距离向平面距离化归，具体方法如下：
（1）求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形.
（2）求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高，即用体积法.
（3）求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之.异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a
、b
所成的角为
，它们的公垂线AA′的长度为d
，在a
上有线段A′E
＝m
，b
上有线段AF
＝n
，那么EF
＝（“±”符号由实际情况选定）
3.求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点：
①注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置.
②作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足”（斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理.
③求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法有三种：
根据定义或图形特征作；根据三垂线定理（或其逆定理）作，难点在于找到面的垂线.解决办法，先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线；作棱的垂面.作二面角的平面角应把握先找后作的原则.此外在解答题中一般不用公式“＝
”求二面角否则要适当扣分.
④求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法，利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此时常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特殊性质.而间接法中常用的是等积法及转移法.
⑤求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角与距离.
【考点针对训练】
1.如图所示，正四棱锥的所有棱长均相等，是的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于
．
【答案】
【解析】连接交于，异面直线与所成的角即为与所成的角，设棱长为，则，，，,所以,．
2.如图1,在直角梯形中,,,,
点
为中点．将沿折起,
使平面平面,得到几何体,如图2所示．
（1）在上找一点,使平面；
（2）求点到平面的距离．
【考点2】立体几何综合问题
【备考知识梳理】
空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点.归纳起来常见的命题角度有：
1 以多面体为载体综合考查平行与垂直的证明.
2 探索性问题中的平行与垂直问题.
3 折叠问题中的平行与垂直问题.
【规律方法技巧】
1.
证线面平行，一般都考虑采用以下两种方法：第一，用线面平行的判定定理，第二用面面平行的性质定理；2、证面面垂直，关键是考虑证哪条线垂直哪个面.这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑；3、条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理.比如本题中已知两平面互相垂直，我们就要两平面互相垂直的性质定理；4、在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线；若是给出了一些比例关系，则通过比例关系证明线线平行.线线平行是平行关系的根本.5、在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直．
2.
探索性问题
探求某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目.一般可采用两个方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算.探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．
3．折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系，弄清哪些角度和长度变了，哪些没有变；哪些线共面，哪些线不共面，翻折后的线与原来的线有什么联系，尤其要注意找出互相平行或垂直的直线.
尤其是隐含着的垂直关系．
4．把空间问题转化为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决.求角的三个基本步骤：“作”、“证”、“算”.
（1）常用等角定理或平行移动直线及平面的方法转化所求角的位置；
（2）常用平行线间、平行线面间或平行平面间距离相等为依据转化所求距离的位置；
（3）常用割补法或等积（等面积或等体积）变换解决有关距离及体积问题.]
5.
向量为谋求解立体几何的探索性问题
空间向量最合适于解决立体几何中探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断，在解题过程中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解集更加简单、有效，应善于运用这一方法解题.
【考点针对训练】
1.如图，四棱锥中，底面是矩形，，底面，分别为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】（1）取的中点，连接.
因为分别是的中点，
所以，且，
又是的中点，所以，且，
所以，且，
所以是平行四边形，故.
又平面，平面，
所以平面.
（说明：也可以取中点，用面面平行来证线面平行）
（2）因为底面，底面，
所以.
取中点，连接.
因为是矩形，且，
所以都是正方形，
所以，即.
又是平面内的两条相交直线，
所以平面.
而平面，所以平面平面.
2.如图,矩形中,,,、分别为、边上的点,且,,将沿折起至位置(如图所示),连结、,其中.
(Ⅰ)
求证:平面；
(Ⅱ)
在线段上是否存在点使得平面 若存在,求出点的位置；若不存在,请说明理由.
(Ⅲ)
求点到平面的距离.
【解析】
(Ⅰ)连结,由翻折不变性可知,,,在中,,所以，
在图中,易得,
在中,,所以，又,平面,平面,所以平面.
(Ⅱ)
当为的三等分点(靠近)时,平面.证明如下:因为,,所以
，
又平面,平面,所以平面.
(Ⅲ)
由(Ⅰ)知平面,所以为三棱锥的高.
设点到平面的距离为,由等体积法得,
即,又,,
所以,
即点到平面的距离为.
【两年模拟详解析】
1．【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，平面是棱的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，求证：平面平面．
【解析】（Ⅰ）因为，------------(2分)
又平面，平面，所以平面；-------(6分)
(Ⅱ)因为平面平面，则；-------------(8分)
又因为，所以四边形是菱形，则，所以平面，---------------------------------------------(11分)
又因为平面，所以平面平面．-------------------(14分)
2.
【南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟】（本小题满分14分）
如图，四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．
（1）求证：CD⊥AP；
（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB；
证明：（1）因为AD⊥平面PAB，AP 平面PAB，
所以AD⊥AP．
…………………
2分
又因为AP⊥AB
，AB∩AD＝A，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以AP⊥平面ABCD．
…………………
4分
因为CD 平面ABCD，
所以CD⊥AP．
…………………
6分
（2）因为CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP＝P，PD 平面PAD，AP 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD．
①
…………………
8分
因为AD⊥平面PAB，AB 平面PAB，
所以AB⊥AD．
又因为AP⊥AB，AP∩AD＝A，AP 平面PAD，AD 平面PAD，
所以AB⊥平面PAD．
②
…………………
10分
由①②得CD∥AB，
…………………
12分
因为CD
eq
\o(\s\up0(/),)平面PAB，AB 平面PAB，
所以CD∥平面PAB．
…………………
14分
3.
【2017南通扬州泰州苏北四市高三二模】（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱中，，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．
求证：（1）DE∥平面B1BCC1；
（2）平面平面．
证明：（1）在直三棱柱中，
四边形A1ACC1为平行四边形．
又E为A1C与AC1的交点，
所以E为A1C的中点．
……
2分
同理，D为A1B的中点，
所以DE∥BC．
……
4分
又平面B1BCC1，平面B1BCC1，
所以DE∥平面B1BCC1．
……
7分
（2）在直三棱柱中，
平面ABC，
又平面ABC，
所以．
……
9分
又，，平面，
所以平面．
……
12分
因为平面
所以平面平面．
……
14分
4.
【苏北四市2016-2017学年度高三年级第一学期期末调研】如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，
，点分别是的中点．
求证：（1）直线∥平面；（2）直线平面．
【解析】（1）取中点，连结，，
又是的中点，所以，
又是矩形边的中点，
所以，所以，
所以四边形是平行四边形，…4分
所以，
又平面，平面，
所以∥平面．………………………………………………………7分
（2）在矩形中，，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，………………………………………………………10分
又平面，所以，
又，，，平面，
所以平面．………………………………………………………14分
5.
【南通市、泰州市2017届高三第一次调研测试】（本题满分14分）如图，在四棱锥P
–
ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC、BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD。
求证：（1）直线PA∥平面BDE；
（2）平面BDE⊥平面PCD。
【解析】证明：（1）连结OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC的中点，
又E为PC的中点，所以OE//PA，………………4分
因为OE平面BDE，PA平面BDE，
所以直线PA//平面BDE；…………………………6分
（2）因为OE//PA，PA⊥PD，所以OE⊥PD，……8分
因为OP=OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC，……10分
又PC∩PD=P，PD平面PCD，PC平面PCD，
所以OE⊥平面PCD，………………………………12分
因为OE平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD。………………………………14分
6.
【扬州市2016—2017学年度第一学期期末检测】（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，点E、F分别是棱PC和PD的中点.
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）若AP=AD，且平面PAD平面ABCD，证明：AF平面PCD.
【解析】（1）证明：因为点E、F分别是棱PC和PD的中点，所以EF∥CD，又在矩形ABCD中，AB∥CD，所以EF∥AB，
---------------------3分
又AB面PAB，EF面PAB，所以EF∥平面PAB.
---------------------6分
⑵证明：在矩形ABCD中，AD⊥CD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD面ABCD，所以CD平面PAD，
---------------------10分
又AF面PAD，所以CDAF.①
因为PA=AD且F是PD的中点，所以AFPD，②
由①②及PD面PCD，CD面PCD，PD∩CD=D，所以AF平面PCD.
-----------------14分
7.
【2017年第三次全国大联考江苏卷】（本小题满分14分）
如图，平面平面，是中点，是上一点．
（1）若是中点，求证：平面；
（2）若平面，求证：是中点．
【解析】（1）因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．………………………2分
因为是中点，是中点，所以，………………………5分
又，所以，所以平面．………………………7分
（2）设平面平面，
因为平面，平面，所以．………………………9分
因为平面，平面，所以平面．………………11分
又平面平面，平面，所以，从而，
因为是中点，所以是中点．………………………14分
8.
【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】如图，在四棱锥中，平面，分别是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】（1）设，连结，因为，为的中点，
所以，所以四边形为平行四边形，所以为的中点，所以
又因为平面，平面，所以平面.
（2）（方法一）因为平面，平面
所以，由（1）同理可得，四边形为平行四边形，所以，所以
因为，所以平行四边形为菱形，所以，因为
平面，平面，所以平面
因为平面，所以平面平面.
（方法二）连结，因为平面，平面，所以
因为，所以，因为平面，平面，所以
因为为的中点，所以，由（1），所以
又因为为的中点，所以
因为，平面，平面
所以平面，因为平面，所以平面平面.
9．【江苏省苏中三市2016届高三第二次调研测试数学试题】在体积为的四面体中，平面，，，，则长度的所有值为
．
【答案】或
【解析】由题意得
因此
由余弦定理得：或，因此或
10.
【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2、锐角为的菱形，侧棱PA⊥底面ABCD,PA=3.若点M是BC的中点，则三棱锥M-PAD的体积为
【答案】
【解析】因,又
故三棱锥M-PAD的体积为
11.
【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】已知三棱锥的体积为1，是的中点，是的中点，则三棱锥的体积是 ．
【答案】
【解析】，根据几何体知，，而点到平面的距离是点到平面距离的一半，所以，所以，所以三棱锥的体积是
12．【2016年第四次全国大联考【江苏卷】已知正三棱柱的各条棱长均为1，圆锥侧面展开图为半径为2的半圆，那么这个正三棱柱与圆锥的体积比是
【答案】
13．【
2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分14分）如图，平行四边形平面，
.
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）若为线段中点，为线段的一个三等分点，求证：不可能与平面平行.
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析
【解析】
证：（1）过作⊥交于.
∵平行四边形平面，
∴⊥平面，
又∵平面，
∴⊥.
①
由已知，⊥,
②
.
③
由①②③得，⊥平面；
（2）假设直线平行平面，
由于平面，且平面
平面，所以.
因为为线段中点，所以为线段中点，
这与为线段一个三等分点相矛盾，故假设不成立，
即不可能与平面平行.
14．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）
如图所示,在直四棱柱中,,
,点是棱上的一点.
(1)求证：面；
(2)求证：；
(3)试确定点的位置,使得平面平面.
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析.
(3)
点为棱的中点
【解析】
(1)证明：由直四棱柱,得,
所以是平行四边形,所以
而,,所以面
(2)证明：因为,
所以
又因为,且，所以
而，所以
(3)当点为棱的中点时,平面⊥平面
取DC的中点N,D1C1的中点N1,连接交于,连接.
因为N是DC中点,BD=BC,所以；
又因为DC是面ABCD与面的交线,
而面ABCD⊥面,所以
又可证得,是的中点,所以BM∥ON且BM=ON,即四边形BMON是平行四边形,
所以BN∥OM,所以OM平面,因为OM面DMC1,
所以平面平面.
15．【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】（本小题满分14分）在三棱锥中，若分别为的中点，且平面．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析
【解析】
证明：（1）由、E分别为的中点可知,，所以，
平面，
而平面，
因此平面；
（2）又因，且为的中点，故，
所以，即 ，
又平面平面，则，
而，故，
又，所以平面．
【一年原创真预测】
1.
已知三棱锥中，⊥面,是的中点，，
(Ⅰ)求证：;
(Ⅱ)若是的中点，则平面将三棱锥分成的两部分的体积之比.
【解析】(Ⅰ)
证明：∵=,是的中点，∴⊥，
∵⊥，，∴⊥面，
∴⊥，
∵⊥面,
∴⊥，∵，
∴⊥面，∴⊥;
（Ⅱ）由(Ⅰ)知，⊥，∵⊥面，==2，=4，∴==，==，==,
==,
∴==6，∵,分别为、的中点，∴==，设到面的距离为，∵==，∴=，∴===，
∴==2，∴=.
【入选理由】本题考查空间垂直问题的判定与性质及三棱锥的体积公式，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力，本题比较传统,是高考考试的方向，有一定的综合性，难度适中，故选此题．
2.
如图所示，在边长为12的正方形
中，点在线段上，且,作
，分别交于点，
.作，分别交于点，.将该正方形沿折叠，使得与重合，构成如图的三棱柱.
（1）求证：平面；
（2）求四棱锥的体积.
【入选理由】本题考查直线和平面垂直,折叠问题,几何体体积等基础知识，意在考查学生空间想象能力、推理论证能力和基本的运算能力．折叠问题是高考常考问题,每过几年都要涉及，故选此题．
3.
如图四棱锥，,,平面，，M为的中点.
(Ⅰ)求证：平面
(Ⅱ)在平面上找一点N，使得平面；
【解析】
(Ⅰ)取PD中点E，连接ME，AE，因为M为PC的中点，点E为PD的中点，所以,因为，,,所以,所以
,所以四边形是平行四边形，所以，所以平面,
(Ⅱ)取AE的中点N，连接MN,BE，MN与BE交于点F,因为平面，所以，又，所以平面,故,所以平行四边形是矩形,在等腰三角形中，E为PD的中点，所以，又,所以,又，所以与相似，所以,又，所以,所以，即,因为,，所以平面,所以，所以平面.
【入选理由】本小题主要考查空间直线与平面的平行与于垂直，探索性命题等基础知识，考查空间想象能力,推理论证能力,运算求解能力，数形结合思想,化归与转化思想．本题探索点位置,这是立体几何常考题型,且难度适中，故选此题．
D
B
A
C
A
B
C
D
E
F
P
A
B
C
D
E
F
H
A
B
C
D
P
E
F
Q
A
B
C
D
P
O
E
M
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
N
N1
O
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1
-专题2
点、直线、平面平行与垂直的判定与性质
【三年高考】
1.
【2017江苏高考，15】
如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．
求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得平面，则，再由AB⊥AD及线面垂直判定定理得AD⊥平面ABC，即可得AD⊥AC．
试题解析：（1）在平面内，因为AB⊥AD，，所以．
又因为平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC．
【考点】线面平行判定定理、线面垂直判定与性质定理、面面垂直性质定理
【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．
2．【2015江苏高考，16】
如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，.求证：（1）；
（2）.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】
试题分析（1）由三棱锥性质知侧面为平行四边形,因此点为的中点，从而由三角形中位线性质得，再由线面平行判定定理得（2）因为直三棱柱中，所以侧面为正方形，因此，又，（可由直三棱柱推导），因此由线面垂直判定定理得,从而，再由线面垂直判定定理得,进而可得
试题解析：（1）由题意知，为的中点，
又为的中点，因此．
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）因为棱柱是直三棱柱，
所以平面．
因为平面，所以．
又因为，平面，平面，，
所以平面．
又因为平面，所以．
因为，所以矩形是正方形，因此．
因为，平面，，所以平面．
又因为平面，所以．
【考点定位】线面平行判定定理，线面垂直判定定理
3．【2013江苏，理16】)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．
求证：(1)平面EFG∥平面ABC；
(2)BC⊥SA.
【答案】(1)详见解析；(2)详见解析
4.
【2014江苏，理16】如图在三棱锥中，分别为棱的中点，已知，
求证（1）直线平面；
（2）平面平面.
【答案】证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）本题证明线面平行，根据其判定定理，需要在平面内找到一条与平行的直线，由于题中中点较多，容易看出，然后要交待在平面外，在平面内，即可证得结论；（2）要证两平面垂直，一般要证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，由（1）可得，因此考虑能否证明与平面内的另一条与相交的直线垂直，由已知三条线段的长度，可用勾股定理证明，因此要找的两条相交直线就是，由此可得线面垂直.
试题解析：（1）由于分别是的中点，则有，又，，所以．
（2）由（1），又，所以，又是中点，所以，，又，所以，所以，是平面内两条相交直线，所以，又，所以平面平面．
5．【2017课标1，文6】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【考点】空间位置关系判断
【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力，属容易题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．
6．【2017课标3，文10】在正方体中，E为棱CD的中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于斜线在平面内的射影，A.若，那么，很显然不成立；B.若，那么，显然不成立；C.若，那么，成立，反过来时，也能推出,所以C成立，D.若，则，显然不成立，故选C.
【考点】线线位置关系
7．【2016高考浙江理数改编】已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足
则直线中垂直关系是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意知，．
考点：空间点、线、面的位置关系．
【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系．
8．【2016高考新课标2理数】
是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果，那么.
（2）如果，那么.
（3）如果，那么.
（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.
其中正确的命题有
．
(填写所有正确命题的编号）
【答案】②③④
考点：
空间中的线面关系.
9．【2016高考山东文数改编】已知直线a，b分别在两个不同的平面α，内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面相交”的 ．（在充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件中选填）
【答案】充分不必要条件
【解析】
试题分析：
“直线和直线相交”“平面和平面相交”，但“平面和平面相交”“直线和直线相交”，所以“直线和直线相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件．
考点：1.充要条件；2.直线与平面的位置关系.
【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及直线与平面的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等.
10．【2016高考新课标Ⅲ文数】如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．
（I）证明平面；
（II）求四面体的体积.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体的高，即点到底面的距离为棱的一半，由此可顺利求得结果．
试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.
......3分
又，故，四边形为平行四边形，于是.
因为平面，平面，所以平面.
........6分
（Ⅱ）因为平面，为的中点，
所以到平面的距离为.
....9分
取的中点，连结.由得，.
由得到的距离为，故，
所以四面体的体积.
.....12分
考点：1、直线与平面间的平行与垂直关系；2、三棱锥的体积．
【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又推出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．
11.【2016高考北京文数】（本小题14分）
如图，在四棱锥中，平面，
（I）求证：；
（II）求证：；
（III）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面 说明理由.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（III）存在.理由见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用线面垂直判定定理证明；（Ⅱ）利用面面垂直判定定理证明；（III）取中点，连结，则，根据线面平行定理则平面.
试题解析：（I）因为平面，
所以．
又因为，
所以平面．
（II）因为，，
所以．
因为平面，
所以．
所以平面．
所以平面平面．
（III）棱上存在点，使得平面．证明如下：
取中点，连结，，．
又因为为的中点，
所以．
又因为平面，
所以平面．
考点：空间垂直判定与性质；空间想象能力，推理论证能力
【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等.
12．【2016高考山东文数】（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.
（I）已知AB=BC，AE=EC.求证：AC⊥FB；
（II）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.
【答案】（Ⅰ））证明：见解析；（Ⅱ）见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ））根据，知与确定一个平面，连接，得到，，从而平面，证得.
（Ⅱ）设的中点为，连，在，中，由三角形中位线定理可得线线平行，证得平面平面，进一步得到平面.
试题解析：（Ⅰ））证明：因，所以与确定一个平面，连接，因为为的中点，所以；同理可得，又因为，所以平面，因为平面，。
（Ⅱ）设的中点为，连，在中，是的中点，所以，又，所以；在中，是的中点，所以，又，所以平面平面，因为平面，所以平面.
考点：1.平行关系；2.垂直关系.
【名师点睛】本题主要考查直线与直线垂直、直线与平面平行.此类题目是立体几何中的基本问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，给出规范的证明.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力及转化与化归思想等.
13.【2015高考北京，文18】如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，分别为，的中点．
（I）求证：平面；
（II）求证：平面平面；
（III）求三棱锥的体积．
【解析】（Ⅰ）因为分别为，的中点，所以.又因为平面，所以平面.
（Ⅱ）因为，为的中点，所以.又因为平面平面，且平面，所以平面.所以平面平面.
（Ⅲ）在等腰直角三角形中，，所以.所以等边三角形的面积.又因为平面，所以三棱锥的体积等于.又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，所以三棱锥的体积为.
【2018年高考命题预测】
纵观2017各地高考试题，考查的重点及难点稳定，高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行与垂直的性质和判定作为考察重点.在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，是知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重.高考对这部分知识的考查侧重以下几个方面：
1．从命题形式来看，涉及立体几何内容的命题形式最为多变 . 除保留传统的“四选一”的选择题型外，还尝试开发了“多选填空”、“完型填空”、“构造填空”等题型，并且这种命题形式正在不断完善和翻新；解答题则设计成几个小问题，此类考题往往以多面体为依托，第一小问考查线线、线面、面面的位置关系，后面几问考查空间角、空间距离、面积、体积等度量关系，其解题思路也都是“作——证——求”，强调作图、证明和计算相结合.2．从内容上来看，主要是：考查直线和平面的各种位置关系的判定和性质，这类试题一般难度不大，多为选择题和填空题与解答题的第一步；
3．从能力上来看，着重考查空间想象能力，即空间形体的观察分析和抽象的能力，要求是“四会”：①会画图——根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面)，作出的图形要直观、虚实分明；②会识图——根据题目给出的图形，想象出立体的形状和有关线面的位置关系；③会析图——对图形进行必要的分解、组合；④会用图——对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术；考查逻辑思维能力、运算能力和探索能力.从高考试题来看，线线垂直的判定、线面垂直的判定、面面垂直的判定与性质、线面角等是高考的热点，题型既有选择题、填空题又有解答题，难度中等偏高，客观题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，考查线面角的概念及求法；而主观题不仅考查以上内容，同时还考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力．直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定作为考查重点，题型既有选择题、填空题又有解答题，在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重.预测2018年高考，将以多面体为载体，第一问以线面平行与垂直，面面平行与垂直为主要考查点，第二问可能给出一个角，求点的位置或设置一个探索性命题，突出考查空间想象能力和逻辑推理能力，以及分析问题、解决问题的能力．复习建议;证明空间线面平行与垂直，是必考题型，解题时要由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证明思路.
【2018年高考考点定位】
高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行与垂直的性质和判定作为考察重点.）考题既有选择题，填空题，又有解答题；在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考察线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主，考查逻辑思维能力、运算能力和探索能力.
【考点1】空间点、直线、平面之间的位置关系
【备考知识梳理】
1．平面概述：（1）平面的两个特征：①无限延展
②平的（没有厚度）；（2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面；（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母、、等表示，如平面、平面；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC.
2．三公理三推论:
公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内：
A,B,A,B
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.
公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面
3．空间直线:（1）空间两条直线的位置关系：相交直线——有且仅有一个公共点；平行直线——在同一平面内，没有公共点；异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点.相交直线和平行直线也称为共面直线.异面直线的画法常用的有下列三种：
（2）平行直线：
在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的.即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
（3）异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.推理模式：与是异面直线.
异面直线所成的角：①定义：设是两条异面直线，经过空间中任一点作直线，，把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角)．②范围：.
4．直线和平面的位置关系
（1）直线在平面内（无数个公共点）；
（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；
（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类.
它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为，，.
5．两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点）
【规律方法技巧】
1．求异面直线所成角的方法
(1)平移法：即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平面角问题，这是求异面直线所成角的常用方法．
(2)补形法：即采用补形法作出平面角．
2．证明共面问题的两种途径
(1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内；
(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合．
3．证明共线问题的两种途径：(1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上；
(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．
4．证明共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
【考点针对训练】
1.已知l
是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是
．(填所有真命题的序号)
①若l∥α，l∥β，则α∥β
②
若α⊥β，l∥α，则l⊥β
③若l∥α，α∥β，则l∥β
④
若l⊥α，l//β，则
α⊥β
【答案】④
2．已知m
，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题错误的是 ．
①若，，则；②若，则；③若，，，则；④若，，则
【答案】①②④
【解析】若，，则或与相交，所以①错误；若，，则或，所以②错误；若，，，则，所以③正确；若，，则或，所以④错误．故填①②④.
【考点2】直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
【备考知识梳理】
1.
线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.推理模式：．
2.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.推理模式：．
3.两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行.定理的模式：
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行.
推论模式：
4.两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
易错点：1．直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件．
2．面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件．
3．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．
【规律方法技巧】
1.
证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件.
2.线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.
线面平行的证明思考途径：线线平行线面平行面面平行.
证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线；利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；
3.面面平行的证明方法：①反证法:假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；②面面平行的判断定理；③利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；④平行于同一个平面的两个平面平行.；⑤向量法：证明两个平面的法向量平行.
4.两个平面平行的性质有五条：
（1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：“面面平行，则线面平行”.用符号表示是：，，则.
（2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：“面面平行，则线线平行”.用符号表示是：，，，则.
（3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面.这个定理可用于证线面垂直.用符号表示是：，，则.
（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等
（5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行
5.证明空间线面平行需注意以下几点：①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路.②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一.③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论.关键在于对题目中的条件的思考和分析，掌握做此类题的一般技巧和方法，以及如何巧妙进行平行之间的转化.
6．“升降维”思想
直线是一维的，平面是二维的，立体空间是三维的.运用降维的方法把立体空间问题转化为平面或直线问题进行研究和解题，可以化难为易，化新为旧，化未知为已知，从而使问题得到解决.运用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空间推广，可以立易解难，温旧知新，从已知探索未知，是培养创新精神和能力，是“学会学习”的重要方法.平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程.
7．反证法：反证法是立体几何中常用的间接证明方法.其步骤是：①否定结论；②进行推理；③导出矛盾；④肯定结论．用反证法证题要注意：①宜用此法否；②命题结论的反面情况有几种.
【考点针对训练】
1.如图所示的长方体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，，
是线段的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．
【解析】（Ⅰ）连接，如图，∵、分别是、的中点，是矩形，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面；
（Ⅱ）连接，∵正方形的边长为2，，∴，，，则，∴，又∵在长方体中，，，且，∴平面，又平面，∴，又
，∴平面，即为三棱锥的高，∵，，∴.
2．如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面,点为棱的中点，求证：（1）平面；（2）平面平面.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】(1)
连接BD与AC相交于点O，连结OE．
因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD中点．
因为E为棱PD中点，所以PB∥OE．
因为PB平面EAC，OE平面EAC，
所以直线PB∥平面EAC．
(2)
因为PA⊥平面PDC，CD平面PDC，所以
PA⊥CD．
因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD．
因为
PA∩AD＝A，PA，AD平面PAD，所以
CD⊥平面PAD．
因为CD平面ABCD，所以
平面PAD⊥平面ABCD．
【考点3】直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质
【备考知识梳理】
1．线线垂直
判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条.
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直.推理模式：
.
注意：⑴三垂线指都垂直内的直线其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑的位置，并注意两定理交替使用.
2．线面垂直：定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线和平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面,直线与平面的交点叫做垂足.直线与平面垂直记作：.
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.
3．面面垂直
两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面.
两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.
【规律方法技巧】
1.证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性.
2.线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行.
线面垂直的证明思考途径：线线垂直线面垂直面面垂直.
3.面面垂直的证明方法：①定义法；②面面垂直的判断定理；③向量法：证明两个平面的法向量垂直.
解题时要由已知相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在于对题目中的条件的思考和分析，掌握做此类题的一般技巧和方法，以及如何巧妙进行垂直之间的转化.
4.证面面垂直，关键是考虑证哪条线垂直哪个面.这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑；条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理.已知两平面互相垂直，我们就要两平面互相垂直的性质定理；在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式（如勾股定理）证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直．
5.证明线面垂直，就考虑证明直线垂直平面内的两条相交直线；而证明异面的线线垂直，很多题都要通过线面垂直来证明；对相交直线垂直的证明，一般考虑用平面几何里的方法.常见的有以下几种，若是等腰三角形，则底边上的中线与底边垂直；若是锥形、菱形（正方形），则对角线互相垂直；若是矩形，则邻边互相垂直；有时还用到以下结论：如下图，在矩形中，若，则；
若告诉了线段的长度，或者是告诉了边与边之间的关系，则用勾股定理.
6．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义，判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．注意以下几点：①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路.②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一.③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论.④三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑.应用时常需先认清所观察的平面及它的垂线，从而明确斜线、射影、面内直线的位置，再根据定理由已知的两直线垂直得出新的两直线垂直.另外通过计算证明线线垂直也是常用的方法之一.
7．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．每一垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直最终达到目的.例如：有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
8.易错点：（1）证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件．（2）面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视．（3）面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误．
【考点针对训练】
1.已知三棱锥的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足，，，则三棱锥的侧面积的最大值为__.
【答案】2
【解析】由，，可知PA，PB，PC两两垂直，又∵三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，故则由基本不等式可得，即，则三棱锥P-ABC的侧面积则三棱锥的侧面积的最大值为2．
2.如图4，在边长为的菱形中，，点，分别是边，的中点，．沿将△翻折到△，连接，得到如图5的五棱锥，且．
（1）求证：平面；
（2）求四棱锥的体积．
【解析】（1）∵点，分别是边，的中点，∴∥.
∵菱形的对角线互相垂直，∴.
∴.
∴，.∵平面，平面，，∴平面.
∴平面.
（2）设，连接，∵，∴△为等边三角形.∴，，，.在R
t△中，，在△中，，∴.
∵，，平面，平面，∴平面.梯形的面积为，∴四棱锥的体积.
【两年模拟详解析】
1.
【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】如图，在四棱锥中，底面是矩形，点在棱上（异于点，），平面与棱交于点.
（1）求证：；
（2）若平面平面，求证：.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
解:(1)
因为是矩形，所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
又因为平面，平面平面，
所以．
（2）因为是矩形，所以．
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面．
又平面，所以．
又由（1）知，所以．
2.
【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】如图，在四面体中，平面平面，，，分别为，，的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）若为上任一点，证明平面.
【答案】（1）见解析（2）见解析
（2）连，，因为，分别为，的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面，
同理可证平面，且，平面，平面，
所以平面平面，
又为上任一点，所以平面，所以平面.
3.
【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】(本小题满分14分)
如图，在直三棱柱中，，,分别是,的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面平面．
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析
【解析】
证明：（1）因为,分别是,的中点，所以，
...............2分
又因为在三棱柱中，，所以.
...............4分
又平面，平面，所以∥平面.
...............6分
（2）在直三棱柱中，底面，
又底面，所以.
...............8分
又，，所以，
...............10分
又平面，且，所以平面.
...............12分
又平面，所以平面平面．
...............14分
（注：第（2）小题也可以用面面垂直的性质定理证明平面，类似给分）
4.
【镇江市2017届高三年级第一次模拟】在长方体中，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析
（2）连结B1E．设AB＝a，则在△BB1E中，
BE＝B1E＝，BB1＝2a．所以
，所以B1EBE．
……8分
由ABCD－A1B1C1D1为长方体，则A1B1平面BB1C1C，平面BB1C1C，
所以A1B1BE．
……10分
因B1EA1B1=
B1，B1E平面A1B1E，A1B1平面A1B1E，则BE平面A1B1E．……12分
又因为A1E平面A1B1E,
所以A1EBE．
同理A1EDE．又因为BE
平面BDE，DE
平面BDE，
所以A1E平面BDE．
……14分
5.
【2017年第二次全国大联考江苏卷】（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，,
分别为的中点.
（I）求证：
（II）求证：平面.
【解析】（Ⅰ））证明：因，所以与确定一个平面，连接，因为为的中点，所以；同理可得，又因为，所以平面，因为平面，………………………6分
（Ⅱ）设的中点为，连，在中，是的中点，所以，又，所以；在中，是的中点，所以，又，所以平面平面，因为平面，所以平面.………………………14分
6.
【2017年第一次全国大联考江苏卷】（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，已知分别为线段的中点，，且.
求证：（1）平面平面；
（2）∥平面.
【解析】
证明：（1）因为，且为线段的中点，所以.
又，，平面，平面，
所以平面，……………6分
因为平面，所以平面平面.……………8分
（2）取中点，连结，
因为为线段的中点，为中点，所以∥，且.
在三棱柱中，∥，且.
又为线段的中点，故∥，且.
所以∥，且，于是四边形是平行四边形，
从而∥.……………12分
又平面，平面，
故∥平面……………14分
7.
【2016—2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）】如图，在斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点，
是棱上一点，且∥平面．
（1）求证：是中点；
（2）若，求证：．
（1）连接，因为∥平面，
平面，平面平面，所以∥.
……4分
因为侧面是菱形，，所以是中点，
……5分
所以，E是AB中点.
……7分
（2）因为侧面是菱形，所以，
……9分
又，，面，所以面，…12分
因为平面，所以．
……14分
8.
【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】（本小题满分14分）
在正三棱柱中，,点D是BC的中点，点在上，且．
（1）求证：
∥平面；
（2）求证：平面⊥平面．
【答案】（1）详见解析
（2）详见解析
【解析】
（1）
记，连接.
∵四边形为矩形，∴是的中点，
又∵是的中点，∴.·······3分
又∵平面，平面，
∴∥平面.·······6分
（2）∵是正三角形，是的中点，
∴.
∵平面⊥平面，
平面平面，平面，
∴平面.·······9分
【或利用⊥平面，证明平面.】
∵平面，∴.
∵，，是中点，
∴，
∴，·······10分
∴，∴，
∴，又，平面，
∴平面.·······12分
又∵平面，∴平面平面．·······14分
9.
【2017年高考原创押题预测卷02（江苏卷）】（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面是矩形，平面分别是的中点，且.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面.
【解析】
证明：（1）取的中点，连则，---------------（2分）
又，所以，所以四边形是平行四边形，----------------（3分）
则平面.------------------（6分）
（2）因平面，故---（8分）
又因为，故平面；------------（10分）
因为，所以平面，----------------------------------（12分）
又平面，所以平面平面.------------------------（14分）
10.
【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】6．已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l⊥α，m β．给出下列命题：
①α∥β l⊥m；
②α⊥β l；
③m∥α l⊥β；
④l⊥β m∥α．
其中正确的命题是
．
(填写所有正确命题的序号)．
【答案】①④
【解析】
试题分析：①α∥β，l⊥α
l⊥β
l⊥m，命题正确；②α⊥β，l⊥α
l、m可平行，可相交，可异面，命题错误；
③m∥α，l⊥α
l⊥m
l与β可平行，l可在β内，l可与β相交，命题错误；④
l⊥β、l⊥α β∥α m∥α．命题正确.
11．【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】如图，已知直三棱柱中，
，分别是棱，中点．
（1）求证：⊥平面；
（2）求证：∥平面；
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
（2）证明：取的中点，连结，，因为，分别是棱
，中点，所以∥，.
又因为∥，，
所以∥，＝.所以四边形是平行四边形．
所以∥.
因为平面，平面，
所以∥平面.
12．【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】如图，在三棱锥P—ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点．
（1）求证：PB∥平面MNC；
（2）若AC＝BC，求证：PA⊥平面MNC.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】（1）因为M，N分别为AB，PA的中点，
所以MN∥PB．
因为MN平面MNC，PB平面MNC，
所以PB∥平面MNC.
（2）因为PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN.
因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.
因为平面PAB⊥平面ABC，CM平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，
所以CM⊥平面PAB．
因为PA平面PAB，所以CM⊥PA．
因为PA⊥MN，MN平面MNC，CM平面MNC，MN∩CM＝M，
所以PA⊥平面MNC.
13．【江苏省苏中三市2016届高三第二次调研测试】如图，在正方体中，分别为棱的中点．
求证：（1）平面；
（2）平面平面．
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】（1）在正方体中，因为分别为棱的中点，
所以．
又，故，
所以四边形为平行四边形．
从而，
又平面平面，
所以平面；
（2）
连结，在正方形中，．又分别为棱的中点，故．所以．
在正方体中，平面，
又平面，
所以平面，．
而平面，
所以平面．
又平面，
所以平面平面．
14．【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C是菱形，∠A1AC＝60 ，E、F分别是A1C1、AB的中点．
求证：（1）EF∥平面BB1C1C；
（2）平面CEF⊥平面ABC．
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】
证明：（1）取BC中点M，连接FM，C1M，
在△ABC中，因为F，M分别为BA、BC的中点，
所以AC,
因为E为A1C1的中点，AC∥A1C1，
所以FM∥EC1，且FM=EC1从而四边形EFMC1为平行四边形，
所以EF∥C1M，又因为C1M平面BB1C1C，EF平面BB1C1C，
因此EF∥平面BB1C1C；
（2）在平面AA1C1C内，作A1O⊥AC，O为垂足，
因为∠A1AC=60°，所以AO=
从而O为AC的中点．
所以OC∥A1E，且OC=A1E，因而EC∥A1O，
因为侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，
A1O⊥AC，所以A1O⊥底面ABC．因而A1O⊥AB
所以EC⊥AB，EC⊥AC，而ABAC=A，所以EC⊥底面ABC，
又因为EC平面EFC，
所以平面CEF⊥平面ABC．
15．【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】
如图，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点.
（1）求证：DE//平面ACF；
（2）若AB＝CE，在线段EO上是否存在点G，使得CG⊥平面BDE？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）详见解析（2）EO的中点
【解析】（1）证明：连接OF由四边形ABCD是正方形可知，点O为BD的中点
又F为BE的中点，所以OF//DE
又OF 平面ACF，DE 平面ACF
所以DE//平面ACF
(2)
解：在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE，证明如下：
取EO的中点G，连接CG，在四棱锥E－ABCD中
AB＝CE，CO＝AB＝CE，所以CG⊥EO
又由EC⊥底面ABCD，BD 底面ABCD，
所以EC⊥BD
由四边形ABCD是正方形可知，AC⊥BD
又AC∩EC＝C
所以BD⊥平面ACE
，而BD 平面BDE
所以，平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE＝EO
因为CG⊥EO，CG 平面ACE，所以CG⊥平面BDE．
16．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱BC上一点．
（1）若AB＝AC，D为棱BC的中点，求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；
（2）若A1B∥平面ADC1，求的值．
【答案】（1）详见解析（2）1
【解析】（1）因为AB＝AC，点D为BC中点，所以AD⊥BC．
因为ABC－A1B1C1
是直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC．
因为AD平面ABC，所以BB1⊥AD．
因为BC∩BB1＝B，BC平面BCC1B1，BB1平面BCC1B1，
所以AD⊥平面BCC1B1．
因为AD平面ADC1，所以平面ADC1⊥平面BCC1B1．
(2)连结A1C，交AC1于O，连结OD，所以O为AC1中点．
因为A1B∥平面ADC1，A1B平面A1BC，平面ADC1∩平面A1BC＝OD，
所以A1B∥OD．因为O为AC1中点，所以D为BC中点，
所以＝1．
17．【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】
在直三棱柱中，，，
是的中点．
（1）求证：平面；
（2）若点在线段上，且，求证：平面．
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】（1）连结，设交于点，连结．
∵四边形是矩形，∴是的中点．
在△中，
，分别是，的中点，
∴．
又∵平面，平面，
∴平面．
（2）∵，是的中点，∴﹒
又∵在直三棱柱中，底面⊥侧面，交线为，
平面，∴平面﹒
∵平面，∴．
∵，
，，
∴，
∴△∽△，
从而∠=∠，所以∠+∠=∠+∠=，
∴．
又∵，平面，平面
∴平面．
18．【江苏省苏北三市2016届高三最后一次模拟考试】如图，在直三棱柱中，已知，分别为的中点，求证：
（1）平面平面；
（2）平面.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
（2）取中点，连结，，，.
由于，分别为，的中点，
所以且
故且.
则四边形为平行四边形，所以.
又平面，平面，
所以平面.
由于分别为，的中点，
所以.
又，分别为，的中点，所以.
则.
又平面，平面，所以平面.
由于,所以平面平面.
由于平面，所以平面.
【一年原创真预测】
1.
下列四个命题：
①如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面
②如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面
③如果平面平面，平面平面，那么平面
④如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
其中正确的有 ．
【答案】①③④
【解析】对于②，若平面平面，则平面内的直线可能不垂直于平面，甚至可能平行于平面，其余选项均是正确的.
【入选理由】本题考察空间直线和平面的位置关系等基础知识，意在考察学生空间想象能力.
线面的平行与垂直，是立体几何的主体内容，也是高考考查的重点与难点，一般选择题多考查线面位置关系的判定与性质，一般难度不大，故选此题.
2.
如图，在三棱锥中，，，，，、、分别是、、的中点．
（I）证明：平面平面；
（II）若，求三棱锥的体积．
【解析】（I）证明：∵E、F分别是AC、BC的中点,∴,∵,∴,同理，,∵,∴;
（II）解：取的中点，连结、，∵，,∴,∵,∴,在等腰直角三角形中，，是斜边的中点,∴,同理，,∵,∴△是等边三角形,∴.∴.
【入选理由】本题考查空间图形平行与垂直的证明、三棱锥的体积等基础知识，意在考查学生空间想象能力、逻辑推理能力，及几何体体积的计算能力.本题常规题型,符合高考要求，故选此题.
3.如图，已知矩形所在的平面与直角梯形所在的平面垂直，且分别为的中点．
（I）求证：平面；
（II）求证：平面⊥平面．
【解析】（I）取的中点，连接．在中，．又．在梯形中，又
平面平面．又平面，平面．
（II）平面平面，平面平面，在矩形中平面，又．在和中，∽又平面，平面平面⊥平面．
【入选理由】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理等基本知识理解和应用，意在考查学生的空间想象力和推理论证能力,
高考对立体几何的考查，主要以柱体、锥体或其组合体为载体，考查线面位置关系的判定与证明，特别是解答题的第一问，主要考查线面位置关系的判定与性质，一般难度不大，故选此题.
O
P
A
B
C
D
E
（第16题图）
A
B
C
O
M
F
E
PAGE
-
1
-专题2
导数的应用
【三年高考】
1．【2017江苏，20】
已知函数有极值,且导函数的极值点是的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求关于
的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：;
（3）若,这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围.
【答案】（1）（2）见解析（3）
列表如下
x
+
0
–
0
+
极大值
极小值
故的极值点是.
从而，
因此，定义域为.
（2）由（1）知，.
设，则.
当时，，从而在上单调递增.
因为，所以，故，即.
因此.
因此a的取值范围为.
【考点】利用导数研究函数单调性、极值及零点
【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
2．【2016高考江苏，19】已知函数
（1）设.
①求方程=2的根；
②若对任意，不等式恒成立，求实数m的最大值；
（2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值.
【答案】（1）①0
②4
（2）1
【解析】
试题分析：（1）①根据指数间倒数关系转化为一元二次方程，求方程根；②根据指数间平方关系，将不等式转化为一元不等式，再利用变量分离转化为对应函数最值，最后根据基本不等式求最值；（2）根据导函数零点情况，确定函数单调变化趋势，结合图象确定唯一零点必在极值点取得，从而建立等量关系，求出ab的值.
试题解析：（1）因为，所以.
①方程，即，亦即，
所以，于是，解得.
②由条件知.
因为对于恒成立，且，
所以对于恒成立.
而，且，
所以，故实数的最大值为4.
（2）因为函数只有1个零点，而，
所以0是函数的唯一零点.
因为，又由知，
所以有唯一解.
令，则，
从而对任意，，所以是上的单调增函数，
于是当，；当时，.
因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数.
下证.
若，则，于是，
又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为.
因为，所以，又，所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.
若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾.
因此，.
于是，故，所以.
【考点】指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点
【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图等确定其中参数的范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.
3.【2015高考江苏，19】已知函数.
（1）试讨论的单调性；
（2）若（实数c是a与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a
的取值范围恰好是，求c的值.
【答案】（1）当时，
在上单调递增；
当时，
在，上单调递增，在上单调递减；
当时，
在，上单调递增，在上单调递减．
（2）
【解析】（1），令，解得，．
当时，因为（），所以函数在上单调递增；
当时，时，，时，，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，时，，时，，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）知，函数的两个极值为，，则函数有三个
零点等价于，从而或．
又，所以当时，或当时，．
设，因为函数有三个零点时，的取值范围恰好是
，则在上，且在上均恒成立，
从而，且，因此．
此时，，
因函数有三个零点，则有两个异于的不等实根，
所以，且，
解得．
综上．
【考点定位】利用导数求函数单调性、极值、函数零点
4.【2017课标1，理21】已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围.
【解析】
试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，在对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）题，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当有2个零点，设正整数满足，则
.由于，因此在有一个零点.所以的取值范围为.
【考点】含参函数的单调性，利用函数零点求参数取值范围.
【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证有最小值两边存在大于0的点.
5.【2017课标II，理】已知函数，且。
(1)求；
(2)证明：存在唯一的极大值点，且。
【答案】(1)；
(2)证明略。
【解析】
（2）由（1）知
，。
设，则。
当
时，
；当
时，
，
所以
在单调递减，在
单调递增。
【考点】
利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出
，本专题在高考中的命题方向及命题角度
从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系。
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数。
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题。
(4)考查数形结合思想的应用。
6.【2017课标3，理21】已知函数
.
（1）若
，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n
，求m的最小值.
【答案】(1)
；
(2)
【解析】
试题分析：(1)由原函数与导函数的关系可得x=a是在的唯一最小值点，列方程解得
；
(2)利用题意结合(1)的结论对不等式进行放缩，求得，结合可知实数
的最小值为
【考点】
导数研究函数的单调性；导数研究函数的最值；利用导数证明不等式
【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出
，本专题在高考中的命题方向及命题角度
从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)考查数形结合思想的应用．
7.【2017山东，理20】已知函数，，其中是自然对数的底数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
【答案】（Ⅰ）.
（Ⅱ）综上所述：
当时，在上单调递减，在上单调递增，
函数有极小值，极小值是；
当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，
极大值是
极小值是；
当时，函数在上单调递增，无极值；
当时，函数在和上单调递增，
在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，
极大值是；
极小值是.
（Ⅱ）由题意得
，
因为
，
令
则
所以在上单调递增.
因为
所以
当时，
当时，
极大值为，
当时取到极小值，极小值是
；
②当时，，
所以
当时，，函数在上单调递增，无极值；
当时，函数在上单调递增，无极值；
当时，函数在和上单调递增，
在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，
极大值是；
极小值是.
【考点】1.导数的几何意义.2.应用导数研究函数的单调性、极值.3.分类讨论思想.
【名师点睛】1.函数f
(x)在点x0处的导数f
′(x0)的几何意义是曲线y＝f
(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y y0＝f
′(x0)(x x0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．
2.
本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.
8.【2017北京，理19】已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.
【解析】
所以函数在区间上单调递减.
因此在区间上的最大值为，最小值为.
【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求函数的最值.
【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要求二阶导数，因为不能判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设
，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是恒成立，这样就能知道函数的单调性，根据单调性求最值，从而判断的单调性，求得最值.
9.【2017天津，理20】设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）设，函数，求证：；
（Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且
满足.
【答案】
（1）增区间是，，减区间是.（2）（3）证明见解析
当x变化时，的变化情况如下表：
x
+
-
+
↗
↘
↗
所以，的单调递增区间是，，单调递减区间是.
（III）证明：对于任意的正整数
，，且，
令，函数.
由（II）知，当时，在区间内有零点；
当时，在区间内有零点.
所以在内至少有一个零点，不妨设为，则.
由（I）知在上单调递增，故，
于是.
因为当时，，故在上单调递增，
所以在区间上除外没有其他的零点，而，故.
又因为，，均为整数，所以是正整数，
从而.
所以.所以，只要取，就有.
【考点】导数的应用
【名师点睛】判断的单调性，只需对函数求导，根据的导数的符号判断函数的单调性，求出单调区间，有关函数的零点问题，先利用函数的导数判断函数的单调性，了解函数的图象的增减情况，再对极值点作出相应的要求，可控制零点的个数.
10.【2017浙江，20】（本题满分15分）已知函数f(x)=（x–）（）．
（Ⅰ）求f(x)的导函数；
（Ⅱ）求f(x)在区间上的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）[0，
]．
【解析】
（Ⅱ）由
解得或．
因为
x
[来源:]
（）
1
（）
（）
-
0
+
0
-
f（x）
↓
0
↑
↓
又，所以f（x）在区间[）上的取值范围是．
【考点】导数的应用
【名师点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，有的正负，得出函数的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数极值或最值．
11．【2016高考新课标1文数改编】若函数在单调递增,则a的取值范围是
．
【答案】
【解析】
试题分析：对恒成立,
故,即恒成立,
即对恒成立,构造,开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值,故只需保证,解得．
考点：三角变换及导数的应用
【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性.
12．【2016高考四川文科改编】已知函数的极小值点，则=
．
【答案】2
【解析】
试题分析：，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故极小值为，由已知得．
考点：函数导数与极值.
【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点是方程的解，但是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在附近，如果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点，
13．【2016高考山东理数】(本小题满分13分)
已知.
（I）讨论的单调性；
（II）当时，证明对于任意的成立.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求的导函数，对a进行分类讨论，求的单调性；
（Ⅱ）要证对于任意的成立，即证，根据单调性求解.
试题解析：
（Ⅰ）的定义域为；
.
当，
时，，单调递增；
，单调递减.
当时，.
（1），，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减；
（2）时，，在内，，单调递增；
（3）时，，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减.
综上所述，
当时，函数在内单调递增，在内单调递减；
当时，在内单调递增，在内单调递减，在
内单调递增；
当时，在内单调递增；
当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，
，，
令，.
则，
由可得，当且仅当时取得等号.
又，
设，则在单调递减，
因为，
所以在上存在使得
时，时，，
所以函数在上单调递增；在上单调递减，
由于，因此，当且仅当取得等号，
所以，
即对于任意的恒成立。
考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.
【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.
14．【2016高考天津理数】
设函数,，其中
(I)求的单调区间；
(II)
若存在极值点，且，其中，求证：；
（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当时，有恒成立，所以的单调增区间为.②当时，存在三个单调区间（Ⅱ）由题意得，计算可得再由及单调性可得结论（Ⅲ）实质研究函数最大值：主要比较，的大小即可，分三种情况研究①当时，，②当时，，③当时，.
试题解析：（Ⅰ）解：由，可得.
下面分两种情况讨论：
（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.
（2）当时，令，解得，或.
当变化时，，的变化情况如下表：
＋
0
－
0
＋
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.
（Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，即，
进而.
又
，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足
，且，因此，所以；
（Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况同理：
（1）当时，，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此
，所以.
（2）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，，
所以在区间上的取值范围为，因此
.
（3）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，
，，
所以在区间上的取值范围为，因此
.
综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.
考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式
【名师点睛】1.求可导函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；
(2)求导函数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集．
(4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．
2．由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．
15．【2016高考北京文数】（本小题13分）
设函数
（I）求曲线在点处的切线方程；
（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；
（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（III）见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求函数f(x)的导数，根据，求切线方程；
（Ⅱ）根据导函数判断函数f(x)的单调性，由函数有三个不同零点，求c的取值范围；
（III）从两方面必要性和不充分性证明，根据函数的单调性判断零点个数.
试题解析：（I）由，得．
因为，，
所以曲线在点处的切线方程为．
（II）当时，，
所以．
令，得，解得或．
与在区间上的情况如下：
所以，当且时，存在，，
，使得．
由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．
（III）当时，，，
此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．
当时，只有一个零点，记作．
当时，，在区间上单调递增；
当时，，在区间上单调递增．
所以不可能有三个不同零点．
综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．
故是有三个不同零点的必要条件．
当，时，，只有两个不同
所以不是有三个不同零点的充分条件．
因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．
考点：利用导数研究曲线的切线；函数的零点
【名师点睛】
1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明．
2．求参数范围问题的常用方法：(1)分离变量；(2)运用最值．
3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论．
4．高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．
16．【2016高考新课标Ⅲ文数】设函数．
（I）讨论的单调性；
（II）证明当时，；
（III）设，证明当时，.
【答案】（Ⅰ）当时，单调递增；当时，单调递减；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）首先求出导函数，然后通过解不等式或可确定函数的单调性（Ⅱ）左端不等式可利用（Ⅰ）的结论证明，右端将左端的换为即可证明；（Ⅲ）变形所证不等式，构造新函数，然后通过利用导数研究函数的单调性来处理．
试题解析：（Ⅰ）由题设，的定义域为，，令，解得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在处取得最大值，最大值为，
所以当时，，
故当时，，，即.
………………7分
（Ⅲ）由题设，设，则．
令，解得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
……………9分
由（Ⅱ）知，，故．又，故当时，，
所以当时，.
………………12分
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的证明与解法．
【思路点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑：（1）首先通过利用研究函数的单调性，再利用单调性进行证明；（2）根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或最值来证明．
17．【2015高考福建，文12】“对任意，”是“”的_______________条件.（在充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件和既不充分也不必要条件四个中选择一个填空）
【答案】必要而不充分条件
【解析】当时，，构造函数，则．故在单调递增，故，则；
当时，不等式等价于，构造函数，则，故在递增，故，则．综上所述，“对任意，”是“”的必要不充分条件．
18.【2015高考北京，文19】（本小题满分13分）设函数，．
（I）求的单调区间和极值；
（II）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．
【解析】（Ⅰ）由，（）得.由解得.
与在区间上的情况如下：
所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上的最小值为.因为存在零点，所以，从而.当时，在区间上单调递减，且，所以是在区间上的唯一零点.当时，在区间上单调递减，且，，所以在区间上仅有一个零点.综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.
19.【2015高考山东，文20】设函数.
已知曲线
在点处的切线与直线平行.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）是否存在自然数，使得方程在内存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数（表示，中的较小值），求的最大值.
【解析】（I）由题意知，曲线在点处的切线斜率为，所以，又所以.
（II）时，方程在内存在唯一的根.设
当时，.又所以存在，使.
因为所以当时，，当时，，
所以当时，单调递增.所以时，方程在内存在唯一的根.
（III）由（II）知，方程在内存在唯一的根，且时，，时，，所以.当时，若
若由可知故当时，由可得时，单调递增；时，单调递减；可知且.综上可得函数的最大值为.
【2018年高考命题预测】
导数的应用是高考的热点，年年都出题，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中档左右，解答题作为把关题存在，在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查解析几何的相关知识．导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间．所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏．解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想．在2018年高考仍将以导数的几何意义为背景设置成的导数的综合题为主要考点．也有可能利用导数的几何意义出一道中等难度试题，如求切线，或求参数值，重点考查运算及数形结合能力，以及构造新函数等能力．
【2018年高考考点定位】
高考对导数的应用的考查主要有导数的几何意义，利用导数判断单调性，求最值，证明不等式，证明恒成立，以及存在性问题等，难度较大，往往作为把关题存在．
考点一、借助导数研究函数单调性
【备考知识梳理】一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减；
【规律方法技巧】求函数单调区间的一般步骤.（1）求函数的导数（2）令解不等式，得的范围就是单调增区间;令解不等式，得的范围就是单调减区间（3）对照定义域得出结论.
【考点针对训练】
1.若函数f
(x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是_________．
【答案】[,＋∞)
【解析】
f
(x)＝2mx＋－2≥0对x＞0恒成立，2mx2＋1－2x≥0∴2m≥＝－＋，令t＝＞0∴2m≥－t2＋2t，∵max＝1，∴2m≥1，∴m≥．
2．已知函数．
（1）当时，求的单调减区间；
（2）若方程恰好有一个正根和一个负根，求实数的最大值．
【解析】（1）当时，
，当时，，由，解得，所以的单调减区间为，当时，，由，解得或，所以的单调减区间为，
综上：的单调减区间为，．
（2）
当时，，则，令，得或，
x
0
+
0
－
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以有极大值，极小值，当时，
同（1）的讨论可得，在上增，在上减，在上增，在上减，在上增，且函数有两个极大值点，
，
，
且当时，，
所以若方程恰好有正根，
则（否则至少有二个正根）．又方程恰好有一个负根，则．令，则，
所以在时单调减，即，等号当且仅当时取到．所以，等号当且仅当时取到．且此时，即，所以要使方程恰好有一个正根和一个负根，的最大值为．
考点二、借助导数研究函数的极值
【备考知识梳理】若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值
【规律方法技巧】求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)
.(2)求方程f′(x)=0的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.
【考点针对训练】
1.已知函数，其中，为自然对数的底数
（1）若函数的图像在处的切线与直线垂直，求的值．
（2）关于的不等式在上恒成立，求的取值范围．
（3）讨论极值点的个数．
【答案】（1）（2）（3）当时，有且仅有一个极值点，当时，有三个极值点．
【解析】
试题分析：（1）利用导数几何意义得，而，因此（2）不等式恒成立问题，一般利用变量分离，转化为对应函数最值：，因此（3）先求函数导数：，这是一个三次函数与指数函数的乘积，因此导函数的零点为一个或三个，即只有一个极值点或有三个极值点.再分类讨论：当与x轴有且仅有一个交点时，分两种情形，一是为单调递增函数（无极值），二是极值同号．当与x轴有且仅有三个交点时，极值异号．
试题解析：(1)
由题意，，
因为的图象在处的切线与直线垂直，
所以，解得.
(2)
法一：由，得，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
因为，所以，
记，因为在上单调递增，且，
所以，即的取值范围是．
法二：由，得，
即在上恒成立，
因为等价于，
①当时，恒成立，
所以原不等式的解集为，满足题意．
②当时，记，有，
所以方程必有两个根，且，
原不等式等价于，解集为，与题设矛盾，
所以不符合题意．
综合①②可知，所求的取值范围是．
(3)
因为由题意，可得，
所以只有一个极值点或有三个极值点.
令，
①若有且只有一个极值点，所以函数的图象必穿过x轴且只穿过一次，
即为单调递增函数或者极值同号．
ⅰ）当为单调递增函数时，在上恒成立，得…12分
ⅱ）当极值同号时，设为极值点，则，
由有解，得，且，
所以，
所以
，
同理，，
所以，
化简得，
所以，即，
所以．
所以，当时，有且仅有一个极值点；
②若有三个极值点，所以函数的图象必穿过x轴且穿过三次，同理可得；
综上，当时，有且仅有一个极值点，
当时，有三个极值点．
2.函数在区间上存在极值点，则实数的取值范围为
．
【答案】；
考点三、借助导数研究函数最值
【备考知识梳理】求函数最值的步骤：（1）求出在上的极值.（2）求出端点函数值.
（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.
【规律方法技巧】
1、利用导数研究函数的最值问题是要养成列表的习惯，这样能使解答过程直观条理；
2、会利用导函数的图象提取相关信息；
3、极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点，但若函数在开区间内只有一个极值点，则这个极值点也一定是最值点.
【考点针对训练】
1.已知函数，．
（1）求的单调增区间和最小值；
（2）若函数与函数在交点处存在公共切线，求实数的值；
（3）若时，函数的图象恰好位于两条平行直线，之间，当与间的距离最小时，求实数的值．
【答案】（1）；（2）
；（3）
【解析】
试题分析：（1）求出的导数，求得单调区间和极值，也为最值；（2）分别求出导数，设公切点处的横坐标为，分别求出切线方程，再联立解方程，即可得到a；（3）求出两直线的距离，再令，求出导数，运用单调性即可得到最小值，进而说明当d最小时，．
试题解析：（1）因为，由，得，
所以的单调增区间为，
又当时，，则在上单调减，
当时，，则在上单调增，
所以的最小值为．
（2）因为，，
设共切点处的横坐标为，则与相切的直线方程为：，
与相切的直线方程为：，
所以，
解之得，由（1）知，所以．
（3）若直线过，则k=2，此时有（为切点处的横坐标），
所以，
当时，有
，且，
所以两平行线间的距离
令
，因为
，
所以当时，，则在上单调减；
当时，，则在
上单调增，
所以有最小值h（x°）=0，即函数的图象均在
的上方，
令
，
则
，
所以当时，，
所以当d最小时，
．
2.已知函数(其中是自然对数的底数)，，．
⑴记函数，当时，求的单调区间；
⑵若对于任意的，，，均有成立，求实数
的取值范围．
【答案】（1）单调增区间为：，，减区间为；（2）．
【解析】
试题分析：（1）求单调区间的方法是求出的解，确定（或）的取值区间，即函数的单调区间，此可用列表方法得出（同时可得出极值）；（2）本小题不等式或有绝对值符号，有两个参数，由于函数是增函数，因此设，则有，原问题等价于恒成立，
分两个问题，恒成立和恒成立，前面转化为，可以考虑函数在上是单调递增的，后面一个转化为，可以考虑函数在上是单调递增的．
试题解析：⑴，
，
得或，
列表如下：（，）
极大值
[]
极小值
……………………………………………………………………………………4分
的单调增区间为：，，减区间为；
⑵设，是单调增函数，，
；
①由得：，
即函数在上单调递增，
在上恒成立，
在上恒成立；
令，，
时，；时，；
，
；
②由得：，
即函数在上单调递增，
在上恒成立，
在上恒成立；
函数在上单调递减，当时，，
，
综上所述，实数的取值范围为．
【两年模拟详解析】
1.
【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）设函数，.若函数的最小值是，求的值；
（3）若函数，的定义域都是，对于函数的图象上的任意一点，在函数的图象上都存在一点，使得，其中是自然对数的底数，为坐标原点，求的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）1（3）
【解析】
解:(1)
当时，，．
因为在上单调增，且，
所以当时，；当时，．
所以函数的单调增区间是．
（2），则，令得，
当时，，函数在上单调减；
当时，，函数在上单调增．
所以．
①当，即时，
函数的最小值，
即，解得或（舍），所以；
②当，即时，
函数的最小值，解得（舍）．
综上所述，的值为1．
（3）由题意知，，．
考虑函数，因为在上恒成立，
所以函数在上单调增，故．
所以，即在上恒成立，
即在上恒成立．
设，则在上恒成立，
所以在上单调减，所以．
设，
则在上恒成立，
所以在上单调增，所以．
综上所述，的取值范围为．
2.
【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知函数，，为实数，，为自然对数的底数，.
（1）当，时，设函数的最小值为，求的最大值；
（2）若关于的方程在区间上有两个不同实数解，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
解：（1）当时，函数，
则
，
令，得，因为时，，
所以
，
令，
则，令，得，
且当时，有最大值1，
所以的最大值为1（表格略），（分段写单调性即可），此时.
（2）由题意得，方程在区间上有两个不同实数解，
所以在区间上有两个不同的实数解，
即函数图象与函数图象有两个不同的交点，
因为，令，得，
所以当时，，
当时，，
所以，满足的关系式为，即的取值范围为.
3.
【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】(本小题满分16分)
设函数，（）
（1）当时，解关于的方程（其中为自然对数的底数）；
（2）求函数的单调增区间；
（3）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.
（参考数据：，）
【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）当时，的增区间为；当时，的增区间为；时，的增区间为.（III）的最小值为.
【解析】
解：（1）当时，方程即为，去分母，得
，解得或，
…………2分
故所求方程的根为或.
………4分
（2）因为，
所以（），
……6分
①当时，由，解得；
②当时，由，解得；
③当时，由，解得；
④当时，由，解得；
⑤当时，由，解得.
综上所述，当时，的增区间为；
当时，的增区间为；
时，的增区间为.
………10分
（3）方法一：当时，，，
所以单调递增，，，
所以存在唯一，使得，即，
……………12分
当时，，当时，，
所以，
记函数，则在上单调递增，
……14分
所以，即，
由，且为整数，得，
所以存在整数满足题意，且的最小值为.
………16分
方法二：当时，，所以，
由得，当时，不等式有解，
……………12分
下证：当时，恒成立，即证恒成立.
显然当时，不等式恒成立，
只需证明当时，恒成立.
即证明.令，
所以，由，得，
………14分
当，；当，；
所以.
所以当时，恒成立.
综上所述，存在整数满足题意，且的最小值为.
.……………16分
4.
【镇江市2017届高三年级第一次模拟】已知函数，（为常数）．
（1）若函数与函数在处有相同的切线，求实数的值；
（2）若，且，证明：；
（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）详见解析（3）
【解析】
解：（1），则且.
……1分
所以函数在处的切线方程为：，
……2分
从而，即.
……4分
（2）由题意知：设函数，则.
……5分
设，从而对任意恒成立，
……6分
所以，即，
因此函数在上单调递减，
……7分
即，
所以当时，成立.
……8分
设函数，
从而对任意，不等式恒成立.
又，
当，即恒成立时，
函数单调递减.
……10分
设，则，
所以，即，符合题意；
……12分
当时，恒成立，此时函数单调递增.
于是，不等式对任意恒成立，不符合题意；
……13分
当时，设，
则
……14分
当时，，此时单调递增，
所以，
故当时，函数单调递增.
于是当时，成立，不符合题意；
……15分
综上所述，实数的取值范围为：.
……16分
5.
【2017年第二次全国大联考江苏卷】（本小题满分16分）设函数
（1）若不等式对恒成立，求的值；
（2）若在内有两个极值点，求负数的取值范围；
（3）已知，若对任意实数，总存在实数，使得成立，求正实数的取值集合．
【解析】解（1）若
，则当时，，不合题意；
若
，则当时，，不合题意；
若
，则当时，，当时，，当时，，满足题意，因此的值为
……………4分
（2）,
令，则
所以在上单调递减，在上单调递增，因此………6分
(i)当时，
在内至多有一个极值点；
(ii)
当时，由于
所以
，而，因此在上无零点，在上有且仅有一个零点，从而在上有且仅有一个零点，在内有且仅有一个极值点；………………………8分
(iii)当时，因此在上有且仅有一个零点，在上有且仅有一个零点，从而在上有且仅有两个零点，在内有且仅有两个极值点；
综上负数的取值范围为………………………10分
（3）因为对任意实数，总存在实数，使得成立，所以函数的值域为．
在上是增函数，其值域为
………………11分
对于函数，当时，，
当时，，函数在上为单调减函数，
当时，，函数在上为单调增函数．
若，则函数在上是增函数，在上是减函数，其值域为，
又，不符合题意，舍去；………………13分
若，则函数在上是增函数，值域为，
由题意得，即
①
记则
当时，，在上为单调减函数．
当时，，在上为单调增函数，
所以，当时，有最小值，
从而恒成立(当且仅当时，)
②………………15分
由①②得，，所以
综上所述，正实数的取值集合为．………………16分
6.
【2017年第三次全国大联考江苏卷】（本小题满分16分）
已知函数，常数
（1）若，求函数在点处切线方程；
（2）若对，恒有，求的取值范围；
（3）若函数有两个零点且，求实数的取值范围．
【解析】（1）由得，所以当时，，
因此切线斜率为，切线方程为即．………4分
（2）由题意得在上单调递减．
当时，；当时，，皆为上单调增函数，不合题意；
当时，．
当时，，，在上单调递增；
当时，，，在上单调递减；
所以，即的取值范围为………………………9分
（3）由（2）知当时，皆为上单调增函数，至多一个零点，不合题意．
当时，在上单调递增，在上单调递减；所以取最小值．
若，则至多一个零点，因此即解得
当时，，而，在上单调递减，所以在上有且仅有一个零点；而，，在上单调递增，所以在上有且仅有一个零点；所以有两个零点．
当时，，而，在上单调递减，所以在上有且仅有一个零点；，因为
，所以，即，又，在上单调递增，所以在上有且仅有一个零点；因此有两个零点．
综上，实数的取值范围为………………………16分
7.
【2017年第一次全国大联考江苏卷】（本小题满分16分）设函数，其中，且.
求值；
若，为自然对数的底数，求证：当时，；
若函数为上的单调函数，求实数的取值范围.
【解析】（1）依题意.……………2分
（2）记，则，
设,则当时,因此函数在上是单调增函数，且，
所以由零点存在定理知，在上存在唯一的零点,……………5分
令得，
列表：
↘
极小值
↗
所以，故……………8分
（3）依题意，，记.
当时，
①若为上的单调增函数，则，即在上恒成立
因为为上的单调增函数
所以，从而，舍去.
……………10分
②若为上的单调减函数，则，即在上恒成立
因为，
所以在上不恒成立，舍去.
……………12分
当时，
①若为上的单调增函数，则，即在上恒成立
由得，
列表：
+
0
-
↗
极大值
↘
所以
所以，即，故……………14分
②若为上的单调减函数，则，即在上恒成立
由①知，当时，；当，
所以，不成立，舍去
综上，……………16分
8.
【2016—2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）】已知函数（为正实数，且为常数）.
（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：（1），.
……1分
因在上单调递增，则，恒成立.
令，则，
……2分
x
－
＋
减
极小值
增
因此，，即.
……6分
（2）当时，由（1）知，当时，单调递增.
……7分
又，当，；当时，.
……9分
故不等式恒成立．
……10分
若，，
设，令，则.
…12分
当时，，单调递减，则，
则，所以当时，单调递减，
……14分
则当时，，此时，矛盾.
……15分
因此，.
……16分
9.
【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】（本小题满分16分）
已知函数．
（1）求曲线与直线垂直的切线方程；
（2）求的单调递减区间；
（3）若存在，使函数成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）减区间为和；（3）.
【解析】
（1）由已知，·······2分
设切点坐标为，令，解得，所以，因此切线方程为，即；·······4分
（2）函数的定义域为，
，由，解得或，
所以函数的单调递减区间为和．·······8分
（3）因为，
由已知，若存在使函数成立，
则只需满足当时，即可．·······9分
又，
则，·······10分
①若，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
，
∴，又∵，∴．·······13分
②若，则在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的最小值是，·······15分
又∵，而，所以一定满足条件，
综上所述，的取值范围是．·······16分
10.
【2017年高考原创押题预测卷02（江苏卷）】（本小题满分16分）已知函数．
（Ⅰ）若函数的最小值为，求的值；
（Ⅱ）设，求函数的单调区间；
（Ⅲ）设函数与函数的图像的一个公共点为,若过点有且仅有一条公切线，求点的坐标及实数的值．
（Ⅱ）因（），故----------（5分）
①若，则，函数在上单调递增；--------（6分）
②若，则当，即，也即时，在时，，函数单调递减；在时，，函数单调递增；在时，，函数单调递减；------------------------------------------------------（8分）
当，即，也即时，在时，，函数单调递减；在时，，函数单调递增；在时，，函数单调递减.---------------------------------------------------（10分）
综上：
当，函数的单调递增区间是；
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是和
当时，函数的单调递减区间是；
当时，函数的单调递增区间是；单调递减区间是和.--------（11分）
(Ⅱ)设点,因,故,即;--------(12分)
又设切线方程为,将代入可得;将代入可得,借助切线唯一可得,即,也即,所以方程只有一个实数根.---------------------------(13分)
构造函数,显然函数只有一个零点.
下证当与时,函数都是单调函数,且都没有零点.
-----------(14分)
因,故当时,,函数单调递增;且,故在区间上无零点;当时,
,函数单调递减;且,故在区间上无零点.即方程只有一个实数根,所以可得,由可得.-----------------(16分)
11.
【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】（本小题满分14分）某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区．已知，曲线段是以点为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果要使矩形的相邻两边分别落在上，且一个顶点落在曲线段上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大用地面积．
【解析】如图，以所在的直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．依题意设抛物线方程为，由题意点，代入可得，则曲线段的方程为．-----------------（3分）
设是曲线段上的任意一点，如图，则，所以该工业园区的面积，---------------（5分）
则，故当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以当时，函数取最大值，----------------------------（10分）
，此时．-------（12）
答：当工业园区规划成长为，宽为时，园区的面积最大，其最大值为．-----（14分）
12.
【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】（本小题满分16分）设．
(Ⅰ)
求函数的单调区间；
(Ⅱ)
若函数有两个零点，且，求实数的取值范围；
(Ⅲ)
若函数有两个零点，且，证明：．
【解析】（Ⅰ）首先，函数定义域为，因，则当时，，函数在上单调递增；------（3分）
当，且时，，函数在上单调递减；时，，函数在上单调递增，--------------------------------------------------（4分）
故当时，函数的单调递增区间是；当时，函数的递减区间是，单调递增区间是．-------------------------------------------------------------（5分）
（Ⅱ）由题设有两个零点，显然，故，记，当时，单调增；当时，单调减．-------------------------（7分）
所以当，即时，函数有两个零点，所求实数的取值范围是．----（9分）
（Ⅲ）构造函数，-----（12分）
则当时，单调增，所以，即，------（14分）
又由（Ⅱ）知，函数有两个零点，就是方程的两个根，因此满足，所以，且，又时，单调增，所以，从而有----------------------（16分）
13.
【南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟】（本小题满分16分）
已知函数f
(x)＝ex－ax－1，其中e为自然对数的底数，a∈R．
（1）若a＝e，函数g
(x)＝(2－e)x．
①求函数h(x)＝f
(x)－g
(x)的单调区间；
②若函数F(x)＝的值域为R，求实数m的取值范围；
（2）若存在实数x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝f(x2)，且|x1－x2|≥1，
求证：e－1≤a≤e2－e．
解：（1）当a＝e时，f
(x)＝ex－ex－1．
①
h
(x)＝f
(x)－g
(x)＝ex－2x－1，h′
(x)＝ex－2．
由h′
(x)＞0得x＞ln2，由h′
(x)＜0得x＜ln2．
所以函数h(x)的单调增区间为
(ln2，＋∞)，单调减区间为
(－∞，ln2)．
…………………
3分
②
f
′
(x)＝ex－e．
当x＜1时，f′
(x)＜0，所以f
(x)在区间(－∞，1)上单调递减；
当x＞1时，f′
(x)＞0，所以f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
1°
当m≤1时，f
(x)在(－∞，m]上单调递减，值域为[em－em－1，＋∞)，
g(x)＝(2－e)x在(m，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m)，
因为F(x)的值域为R，所以em－em－1≤(2－e)m，
即em－2m－1≤0．
（
）
由①可知当m＜0时，h(m)＝em－2m－1＞h(0)＝0，故（
）不成立．
因为h(m)在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，1)上单调递增，且h(0)＝0，h(1)＝e－3＜0，
所以当0≤m≤1时，h(m)≤0恒成立，因此0≤m≤1．
…………………
6分
2°
当m＞1时，f
(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，m]上单调递增，
所以函数f
(x)＝ex－ex－1在(－∞，m]上的值域为[f
(1)，＋∞)，即[－1，＋∞)．
g(x)＝(2－e)x在(m，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m)．
因为F(x)的值域为R，所以－1≤(2－e)m，即1＜m≤．
综合1°，2°可知，实数m的取值范围是[0，]．
…………………
9分
（2）f
′
(x)＝ex－a．
若a≤0时，f
′
(x)＞0，此时f(x)在R上单调递增．
由f(x1)＝f(x2)可得x1＝x2，与|x1－x2|≥1相矛盾，
所以a＞0，且f(x)在(－∞，lna]单调递减，在[lna，＋∞)上单调递增．
……………………
11分
若x1，x2∈(－∞，lna]，则由f
(x1)＝f
(x2)可得x1＝x2，与|x1－x2|≥1相矛盾，
同样不能有x1，x2∈[lna，＋∞)．
不妨设0≤x1＜x2≤2，则有0≤x1＜lna＜x2≤2．
因为f(x)在(x1，lna)上单调递减，在(lna，x2)上单调递增，且f
(x1)＝f
(x2)，
所以当x1≤x≤x2时，f
(x)≤f
(x1)＝f
(x2)．
由0≤x1＜x2≤2，且|x1－x2|≥1，可得1∈[x1，x2]，
故f
(1)≤f
(x1)＝f
(x2)．
……………………
14分
又f
(x)在(－∞，lna]单调递减，且0≤x1＜lna，所以f
(x1)≤f
(0)，
所以f
(1)≤f
(0)，同理f
(1)≤f
(2)．
即解得e－1≤a≤e2－e－1，
所以
e－1≤a≤e2－e．
……………………
16分
14.
【2017南通扬州泰州苏北四市高三二模】（本小题满分16分）
已知函数，，其中e为自然对数的底数．
（1）求函数在x1处的切线方程；
（2）若存在，使得成立，其中为常数，
求证：；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）因为，所以，故．
所以函数在x1处的切线方程为，
即．
……
2分
（2）由已知等式得．
记，则．
……
4分
假设．
若，则，所以在上为单调增函数．
又，所以，与矛盾．
……
6分
若，记，则．
令，解得．
当时，，在上为单调增函数；
当时，，在上为单调减函数．
所以，所以，
所以在上为单调增函数．
又，所以，与矛盾．
综合①②，假设不成立，所以．
……
9分
（3）由得．
记，，
则．
当时，因为，，所以，
所以在上为单调增函数，所以，
故原不等式恒成立．
……
12分
法一：
当时，由（2）知，，
当时，，为单调减函数，
所以，不合题意．
法二：
当时，一方面．
另一方面，，．
所以，使，又在上为单调减函数，
所以当时，，故在上为单调减函数，
所以，不合题意．
综上，．
……
16分
15.
【苏北四市2016-2017学年度高三年级第一学期期末调研】如图，已知两镇分别位于东西湖岸的处和湖中小岛的处，点在的
正西方向处，．现计划铺设一条电缆联通两镇，有
两种铺设方案：①沿线段在水下铺设；②在湖岸上选一点，先沿线段在地
下铺设，再沿线段在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为万元∕、
万元∕．
（1）求两镇间的距离；
（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？
【解析】（1）过作的垂线，垂足为．
在中，，
所以，
在中，，
所以．
则，即，
所以，，
由勾股定理得，(km)．
所以，两镇间的距离为km．……………………………………………4分
（2）方案①：沿线段在水下铺设时，总铺设费用为(万元)．………6分
方案②：设，则，其中，
在中，，，
所以．
则总铺设费用为．………8分
设，则，
令，得，列表如下：
极小值
所以的最小值为．
所以方案②的总铺设费用最小为(万元)，此时．
……12分
而，
所以应选择方案②进行铺设，点选在的正西方向km处，总铺设费用最低．…………………………………………………………………………14分
16.
【苏北四市2016-2017学年度高三年级第一学期期末调研】已知函数．
（1）解关于的不等式；
（2）证明：；
（3）是否存在常数，使得对任意的恒成立？若存在，求
出的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）当时，，所以的解集为；
当时，，
若，则的解集为；
若，则的解集为．
综上所述，当时，的解集为；
当时，的解集为；
当时，的解集为．
……………………4分
（2）设，则．
令，得，列表如下：
极小值
所以函数的最小值为，
所以，即．…………………………………8分
①当时，，所以式在上不恒成立；
②当时，则，即，
所以，则．……………………………………………………12分
令，则，令，得，
当时，，在上单调增；
当时，，在上单调减．
所以的最大值．所以恒成立．
所以存在，符合题意．………………………………………16分
17.
【扬州市2016—2017学年度第一学期期末检测】（本小题满分16分）
已知函数，其中函数，．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）当时，求函数在上的最大值；
（3）当时，对于给定的正整数，问函数是否有零点？请说明理由．（参考数据）
【解析】解：(1)
，故，
所以切线方程为，即
---------------------3分
（2），
故，
令，得或.
①当,即时，在上递减，在上递增，
所以,
由于，，故，
所以;
---------------------5分
②当,即时，在上递增，上递减，在上递增，
所以，
由于，，故，---------------------7分
所以;
综上得，
----------8分
（3）结论：当时，函数无零点；当时，函数有零点
------------9分
理由如下：
①当时，实际上可以证明：．
方法一：直接证明的最小值大于0，可以借助虚零点处理．
，显然可证在上递增，
因为，，
所以存在，使得，
所以当时，递减；当时，递增，
所以，其中，
而递减，所以，
所以，所以命题得证。
---------------------14分
方法二：转化为证明，下面分别研究左右两个函数．
令，则可求得，
令，则可求得，所以命题得证。----------14分
方法三：先放缩，再证明．
可先证明不等式（参考第1小题，过程略），所以只要证，
令，则可求得，
所以命题得证．
--------------14分
②当时，，
此时，，
下面证明，可借助结论处理，首先证明结论：
令，则，故，
所以在上递增，所以，
所以在上递增，所以，得证。
借助结论得，
所以，又因为函数连续，
所以在上有零点.
---------------------16分
18.
【南通市、泰州市2017届高三第一次调研测试】（本题满分16分）已知函数。
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若，证明：函数有且只有一个零点；
（3）若函数又两个零点，求实数的取值范围。
【解析】解：（1）当时，，
所以，…………………………2分
令=0，得，
当时，<0，当时，>0，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，有最小值；…………………………4分
（2）由，得：
所以当时，，函数在上单调递减，
所以当时，函数在上最多有一个零点，……………………6分
又当时，，
所以当时，函数在上有零点，
综上，当时，函数有且只有一个零点；……………………8分
（3）由（2）知：当时，函数在上最多有一个零点，
因为函数有两个零点，所以，……………………………………9分
由，得：
令，因为，
所以函数在上有且只有一个零点，设为，
当时，<0，<0，当时，>0，>0，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
要使得函数在上有两个零点，只需要函数的最小值，
即，又因为，
消去得：，
又因为在上单调递增，且，所以>1，
则，因为，所以，
所以2在上单调递增，所以，………………………………………13分
以下验证当时，函数有两个零点。
当时，，所以，
因为，且，
所以函数在上有一个零点，
又因为（因为），且，
所以函数在上有一个零点，
所以当时，函数在上有两个零点。
综上，实数的取值范围是。…………………………………………16分
（注：的证明过程，同学不妨自己证明书写）
20.
【江苏省如东高级中学2016届高三上学期期中考试数学试题】（本小题满分16分）
已知函数
若，求函数的极值；
已知函数在点处的切线为，若此切线在点A处穿过的图像（即函数上的动点P在点A附近沿曲线运动，经过点A时从的一侧进入另一侧），求函数的表达式；
若，函数有且仅有一个零点，求实数的值.
【答案】（1）函数的极小值为.（2）（3）
【解析】（1）当时，函数.
因为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
所以函数的极小值为.
（2）因为，所以.
所以切线方程为，即.
构造函数.
因为，
且，所以，所以.
因为，所以.
因为，所以令可得.
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极小值为.
可得，.
联立可得.
考查函数，可知，故其在上单调递增.
又因为时，故有唯一解.
代入可得.
20．【扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题】已知函数（），其中是自然对数的底数.
（1）当时，求的极值；
（2）若在上是单调增函数，求的取值范围；
（3）当时，求整数的所有值，使方程在上有解.
【答案】（1）
，（2）（3）
【解析】（1），则．
令
，
0
0
增
极大值
减
极小值
增
，
．
（2）问题转化为在上恒成立；
又
即在上恒成立；
，对称轴
（3）
设
，
令
，
令
0
0
增
极大值
减
极小值
增
，
在上单调减，在上单调增
又
由零点的存在性定理可知：
即．
21．【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】已知函数在处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围；
（3）若函数的两个零点为，试判断的正负，并说明理由.
【答案】（1）（2）（3）.
【解析】（1）由题意得，因函数在处的切线方程为，
所以，得.
（2）由（1）知对任意都成立，
所以，即对任意都成立，从而.
又不等式整理可得，令，
所以，得，
当时，，函数在上单调递增，
同理，函数在上单调递减，所以，
综上所述，实数的取值范围是.
（3）结论是.
证明：由题意知函数，所以，
易得函数在单调递增，在上单调递减，所以只需证明即可.
因为是函数的两个零点，所以，相减得，
不妨令，则，则，所以，，
即证，即证，
因为，所以在上单调递增，所以，
综上所述，函数总满足成立.
22．【苏州市2016届高三年级第一次模拟考试】（本小题满分16分）
已知函数（a∈R），为自然对数的底数．
（1）
当a＝1时，求函数的单调区间；
（2）
①若存在实数，满足，求实数的取值范围；
②若有且只有唯一整数，满足，求实数的取值范围．
【答案】（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）①
②
（2）①由得．
当时，不等式显然不成立；
当时，；当时，.
记=，，
∴
在区间和上为增函数，和上为减函数．
∴
当时，，当时，．
综上所述，所有a的取值范围为．
②由①知时，，由，得，
又在区间上单调递增，在上单调递减，且，
∴，即，∴.
当时，，由，得，
又在区间上单调递减，在上单调递增，且，
∴，解得.
综上所述，所有a的取值范围为．
23．【泰州市2016届高三第一次模拟考试】一个玩具盘由一个直径为米的半圆和一个矩形构成，米，如图所示．小球从点出发以的速度沿半圆轨道滚到某点处后，经弹射器以的速度沿与点切线垂直的方向弹射到落袋区内，落点记为．设弧度，小球从到所需时间为．
（1）试将表示为的函数，并写出定义域；
（2）求时间最短时的值．
【答案】（1），（2）
【解析】
（1）过作于，则，
，，，
所以，．
（写错定义域扣1分）
（2），
，
记，，
-
0
+
故当时，时间最短．
24．【泰州市2016届高三第一次模拟考试】已知函数，，．
(1)若，求证：
（ⅰ）在的单调减区间上也单调递减；
（ⅱ）在上恰有两个零点；
(2)若，记的两个零点为，求证：．
【答案】（1）（i）详见解析（ii）详见解析（2）详见解析
【解析】
证：（1）（i）因为，所以，
由得的递减区间为，
当时，，
所以在的递减区间上也递减．
（ii）解1：，
因为，由得，
令，则，
因为，且，所以必有两个异号的零点，记正零点为，则时，，单调递减；时，，单调递增，若在上恰有两个零点，则，
由得，
所以，又因为对称轴为所以，
所以，所以，
又，
设中的较大数为，则，
故在上恰有两个零点．
解2：，
因为，由得，
令，
若在上恰有两个零点，则在上恰有两个零点，
当时，
由得，此时在上只有一个零点，不合题意；
当时，由得，
…………7
分
令，
则，
当时，单调递增，且由值域知
值域为；当时，单调递增，且，由值域知值域为；
因为，所以，而与有两个交点，所以在上恰有两个零点．
解2：由（2）知，
因为时，单调递增，，，
所以，
当时，单调递增，，，
所以，
所以．
25．【江苏省如东高级中学2016届高三上学期期中考试数学试题】已知
当时，求函数的单调区间；
设，当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.
【答案】（1）增区间为，减区间为和（2）
【解析】（1），
，
令，
由，即，解得，.
当时，.
时，，，函数单调递减；
时，，，函数单调递增；
时，，，函数单调递减.
当时，函数的增区间为，减区间为和.
当时，在上是减函数，在上是增函数.
所以时，有的值域为.
记的值域为，
由题有，
当时，，与矛盾；
当时，也与矛盾；
当时，，
因为，所以且.
综上，实数的取值范围是.
【一年原创真预测】
1.若关于的不等式对任意实数恒成立，则的最大值为__________________.
【答案】
【解析】设，则.若,则在上恒成立，而恒成立，
则,
此时；若,则,函数单调递增，此不可能恒有；若，则得极小值点,
由，得
，现求的最大值.
由，得极大值点
所以的最大值为.
【入选理由】本题考查不等式恒成立问题，利用导数判断函数的单调性，函数的极值与最值问题等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力．导数的应用，是高考考试的重点与难点，此题运用构造法，灵活的利用导数求最大值，构思很巧，故选此题.
2.设函数，则函数的各极大值之和为__________________.
【答案】
【解析】，当时，，递增，时，，递减，故当时，取极大值，其极大值为，又，的各极大值之和.
【入选理由】本题考查了导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、三角函数的单调性、等比数列求和，意在考查学生利用函数的性质分析和解决问题的能力，充分体现了转化的数学思想，故选此题．
3.
已知函数（），其导函数为．
(Ⅰ)当时，关于的不等式恒成立，求的取值范围；
（Ⅱ）函数，其导函数为．若为函数两个零点，试判断的正负，并说明理由.
【答案】(Ⅰ)
（Ⅱ）
【解析】(Ⅰ)
由题意得
令，则
令则
因此的取值范围为
（Ⅱ）结论是.
证明：由题意知函数，所以，
易得函数在单调递增，在上单调递减，所以只需证明即可.
因为是函数的两个零点，所以，相减得，
不妨令，则，则，所以，，
即证，即证，
因为，所以在上单调递增，所以，
综上所述，函数总满足成立.
【入选理由】本题考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、含参数不等式恒成立问题等基础知识，意在考查学生的数形结合思想应用能力、分析问题解决问题的能力、转化与化归能力和运算求解能力，故选此题．
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1
-专题7.2
二元一次不等式（组）与简单的线性规划
【三年高考】
1.
【2016高考江苏12】已知实数满足
则的取值范围是
.
【答案】
【考点】线性规划
【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.
2.
【2017课标II，理5】设，满足约束条件，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【考点】
应用线性规划求最值
【名师点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大。
3.【2017天津，理2】设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
（A）
（B）1（C）
（D）3
【答案】
【考点】线性规划
【名师点睛】线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，本题就是第三类实际应用问题.
4.【2017山东，理4】已知x,y满足，则z=x+2y的最大值是
（A）0
（B）
2
（C）
5
（D）6
【答案】C
【解析】试题分析：由画出可行域及直线如图所示，平移发现，
当其经过直线与的交点时，最大为，选C.
【考点】
简单的线性规划
【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域；
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．
5.【2017课标1，理13】设x，y满足约束条件，则的最小值为
.
【答案】
【解析】
试题分析：不等式组表示的可行域如图所示，
易求得，
由得在轴上的截距越大，就越小
所以，当直线直线过点时，取得最小值
所以取得最小值为
【考点】线性规划.
【名师点睛】本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意前系数为负时，截距越大，值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.
6．【2016高考浙江理数改编】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域
中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│= ．
【答案】
【解析】
考点：线性规划．
【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据题目中的定义确定的值．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．
7.【2016年高考北京理数改编】若，满足，则的最大值为 ．
【答案】4
【解析】
试题分析：作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，∴所求最大值为4．
考点：线性规划.
【名师点睛】可行域是封闭区域时，可以将端点代入目标函数，求出最大值与最小值，从而得到相应范围.若线性规划的可行域不是封闭区域时，不能简单的运用代入顶点的方法求最优解.如变式2，需先准确地画出可行域，再将目标函数对应直线在可行域上移动，观察z的大小变化，得到最优解.
8．【2016年高考四川理数改编】设p：实数x，y满足，q：实数x，y满足
则p是q的 ．（在必要不充分条件、充分不必要条件、充要条件、既不充分也不必要条件中选填）
【答案】必要不充分条件
【解析】
试题分析：画出可行域（如图所示），可知命题中不等式组表示的平面区域在命题中不等式表示的圆盘内，故是必要不充分条件.
考点：1.充分条件、必要条件的判断；2.线性规划.
【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考，本题条件与结论可以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系得结论．
9．【2016高考浙江文数改编】若平面区域
夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是
.
A.
B.
C.
D.
【答案】
考点：线性规划.
【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据可行域的特点确定取得最值的最优解，代入计算．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．
10.【2016高考新课标3理数】若满足约束条件
则的最大值为_____________.
【答案】
【解析】
试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数经过点时取得最大值，即．
考点：简单的线性规划问题．
【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果．
11.【2016高考山东理数改编】若变量x，y满足则的最大值是 ．
【答案】10
【解析】
试题分析：不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为．
考点：简单线性规划
【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.
12.【2015高考重庆，文10】若不等式组,表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为__________________.
【答案】1
【解析】如图，由于不等式组,表示的平面区域为，且其面积等于，再注意到直线与直线互相垂直，所以是直角三角形，易知，,;从而=，化简得：，解得,或，检验知当时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去，所以.
13.【2015高考四川，文9】设实数x，y满足，则xy的最大值为_______________.
【答案】
【解析】画出可行域如图
在△ABC区域中结合图象可知
当动点在线段AC上时xy取得最大
此时2x＋y＝10
xy＝(2x·y)≤
当且仅当x＝，y＝5时取等号，对应点(，
5)落在线段AC上，故最大值为.
【2018年高考命题预测】
纵观2017各地高考试题，对二元一次不等式（组）与线性规划及简单应用这部分的考查，主要考查二元一次不等式（组）表示的平面区域、目标函数的最优解问题、与最优解相关的参数问题，高考中一般会以选填题形式考查．从近几年高考试题来看，试题难度较低，属于中低档试题，一般放在选择题的第5-7题或填空题的前两位．从近几年的高考试题来看，二元一次不等式(组)表示的平面区域(的面积)，求目标函数的最值，线性规划的应用问题等是高考的热点，题型既有选择题，也有填空题，难度为中、低档题．主要考查平面区域的画法，目标函数最值的求法，以及在取得最值时参数的取值范围．同时注重考查等价转化、数形结合思想．对二元一次不等式（组）表示的平面区域的考查，关键明确二元等式表示直线或曲线，而二元不等式表示直线或曲线一侧的平面区域，以小题形式出现.对目标函数的最优解问题的考查，首先要正确画出可行域，明确目标函数的几何意义，以小题形式出现．对与最优解相关的参数问题，在近几年的高考中频频出现，并且题型有所变化，体现“活”“变”“新”等特点，在备考中予以特别关注．故预测2018年高考仍将以目标函数的最值，特别是含参数的线性规划问题，线性规划的综合运用是主要考查点，重点考查学生分析问题、解决问题的能力．
【2018年高考考点定位】
高考对二元一次不等式（组）与线性规划及简单应用的考查有以下几种主要形式：一是不等式（组）表示的平面区域；二是线性目标函数最优解问题；三是非线性目标函数最优解问题；四是线性规划与其他知识的交汇．
【考点1】不等式（组）表示的平面区域
【备考知识梳理】
二元一次不等式所表示的平面区域：
在平面直角坐标系中，直线将平面分成两部分，平面内的点分为三类：
①直线上的点（x，y）的坐标满足：；
②直线一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：；
③直线另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：.
即二元一次不等式或在平面直角坐标系中表示直线的某一侧所有点组成的平面区域，直线叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）.
由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
【规律方法技巧】
由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
1.
判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：
因为对在直线Ax+By+C
=0同一侧的所有点(x
,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0,
y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.
2.
画二元一次不等式或表示的平面区域的基本步骤：
①画出直线（有等号画实线，无等号画虚线）；
②当时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当时，另取一特殊点判断；
③确定要画不等式所表示的平面区域.
【考点针对训练】
1．若点满足约束条件，且点所形成区域的面积为12，则实数的值为
．
【答案】8
【解析】由题意作出其平面区域，∵点所形成区域的面积为12，∴，由，令x=0得
由
解得.
2．设不等式组表示的平面区域为，若函数（）的图象上存在区域上的点，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【考点2】线性目标函数最优解问题
【备考知识梳理】
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
【规律方法技巧】
线性目标函数（A,B不全为0）中，当时，，这样线性目标函数可看成斜率为，且随变化的一组平行线，则把求的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点，直线在轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.特别注意，当B>0时，的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大；当B<0时，的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小.通常情况可以利用可行域边界直线的斜率来判断.
对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解，最优解一般在可行域的定点处取得，若要求最优整解，则必须满足x，y均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出最优整解.
【考点针对训练】
1.已知实数满足则目标函数的最小值为
▲
.
【答案】
【解析】可行域为一个三角形及其内部，其三个顶点坐标分别为,当目标函数过点时z取最小值．
2.已知点(x，y)的坐标满足条件，且x，y均为正整数.若4x－y取到最大值8，则整数a的最大值为___________.
【答案】5
【考点3】非线性规划问题
【备考知识梳理】
1.距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.
2.斜率型：形如z＝.
【规律方法技巧】
对于非线性目标函数的最优解问题，关键要搞清目标函数的几何意义，利用数形结合思想求解．
【考点针对训练】
1.若变量满足，则的最大值为
.
【答案】8
【解析】作出题设约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），再作直线，向上平移直线，增大，当过点时，取得最大值3，因此的最大值为8．
2.已知实数满足，则的最小值为____________________.
【答案】
【考点4】线性规划问题与其他知识交汇
【备考知识梳理】
线性规划问题与其他知识交叉融合，不仅体现了高中数学常用的数学思想方法，比如数形结合思想，转化与化归思想，而且体现了学生综合分析问题的能力，逻辑思维能力以及解决实际问题的能力．
【规律方法技巧】
线性规划问题可以和概率、向量、解析几何等交汇考查，关键是通过转化，最终转化为线性规划问题处理．
【规律方法技巧】
1．已知不等式组，表示的平面区域为D，点．若点M是D上的动点，则的最小值是____________________.
【答案】
【解析】设点M的坐标为，则，根据约束条件画出可行域可知，故
，而的几何意义为可行域的点与原点所确定直线的斜率，数形结合可知的最大值为，则的最小值为.
2．定义，设实数，满足约束条件，则的取值范围是_______________.
【答案】
【两年模拟详解析】
1．【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】已知实数，满足则的取值范围是__________．
【答案】(或)
【解析】绘制不等式组表示的平面区域，目标函数表示可行域内的点与坐标原点连线的斜率，数形结合可得目标函数的取值范围是，写成区间的形式是
.
2.【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】已知实数满足，则的最小值是
.
【答案】
【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部（不含A,B），其中，则表示可行域上的点到原点连线的斜率，所以其最大值为
3.【2017年第二次全国大联考江苏卷】实数满足，使取得最大值的最优解有两个，则的最小值为
【答案】
【解析】如下图所示，画出不等式组所表示的区域，∵取得最大值的最优解有两个，∴，∴当，或，时，有最小值．
4.
【2017年第三次全国大联考江苏卷】已知等差数列的首项若该数列恰有6项落在区间内，则公差的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】设落在区间内最小项为，则，所以，令，则，可行域为一个平行四边形内部及部分边界线，，如图，所以，而，因此
5.
【盐城市2017届高三第三次模拟考试】设满足，则的最大值为______．
【答案】1
【解析】绘制不等式组所表示的可行域如图所示，由目标函数的几何意义可得，目标函数在线段AB上取得最大值，考查点B的坐标可得目标函数的最大值为.
点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
6．【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研】已知实数，满足则的取值范围是__________．
【答案】(或)
【解析】绘制不等式组表示的平面区域，目标函数
表示可行域内的点与坐标原点连线的斜率，数形结合可得目标函数的取值范围是
，写成区间的形式是
.
点睛：本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．
解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．
7．【2017届江苏如东高级中学等四校高三12月联考】已知实数，满足不等式组则的最大值为__________．
【答案】
【解析】
试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，所以直线过点C时取最大值8.
考点：线性规划
【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
8.
【江苏省扬州中学高三数学月考试卷】已知点x,y满足不等式组
eq
\b\lc\{(\a\al(,,))，若ax＋y≤3恒成立，则实数a的取值范围是__________．
【答案】(－∞,3]
【解析】不等式组
eq
\b\lc\{(\a\al(,,))表示的平面区域是以为顶点的三角形内部（含边界），由题意，所以．
9．【镇江市2016届高三年级第一次模拟考试】已知实数x，y满足则z＝2x＋y的最小值是________．
【答案】1．
【解析】作出不等式组，其是由点,,围成的三角形区域（包含边界），对于目标函数z＝2x＋y，转化为直线，过点时，最小，即．
10．【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】已知实数满足约束条件，则的最大值为
.
【答案】
11．【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】若实数满足约束条件，则的最大值为
.
【答案】
【解析】表示一个三角形ABC及其内部，其中，且可行域在直线上方，因此，过点时取最大值，为．
12．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】某工厂用A，B两种配件分别生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件、耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B配件、耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，每天生产甲、乙两种产品总耗时不超过8小时．若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，那么该工厂每天可获取的最大利润为________万元．
【答案】14
【解析】由题意，设生产x件甲产品，y件乙产品，利润为z，则有,目标函数为z＝2x＋3y,
作出不等式组表示的平面区域，可知直线z＝2x＋3y经过可行域内的点(4，2)时，取得最大值14，故该厂的日利润最大为14万元．
13．【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】设不等式组表示的平面区域为
，若指数函数的图象上存在区域上的点，则的取值范围是
【答案】
【解析】可行域为一个开放的区域，如图（阴影部分）.当时，指数函数的图像与可行域恒有交点；当时，需满足，才能使指数函数的图像与可行域有交点；综上的取值范围是
【一年原创真预测】
1.设不等式组表示的平面区域为
，若指数函数的图像上存在区域
上的点，则的取值范围是__________________.
【答案】
【入选理由】本题主要考了简单的线性规划，以及指数函数的图像等相关概念,体现了分类讨论的数学思想,意在考查学生的数形结合能力和计算能力.本题考查线性规划与函数图象性质的交汇，通过研究函数的性质，来确定的取值范围，这是线性规划问题涉及不多，故选此题．
2.执行如图的程序框图，如果输入，那么输出的的的最小值是_______________.
【答案】
【入选理由】本题考查考查程序框图中的顺序结构，条件结构以及相应语句,线性规划的应用等基础知识知识，意在考查画图、用图,分析问题、解决问题、及基本运算能力.该题新颖独特，故选此题．
3.已知不等式组表示的平面区域，则的最大值
.
【答案】
【入选理由】本题主要考查线性规划的应用等基础知识知识，意在考查学生的画图、用图，以及数形结合能力和计算能力.此题给出的目标函数，似乎不好入手，但整理后，转化为斜率，就转化为常规题，高考线性规划问题的命题越来多变灵活，故选此题.
y
n
D
C
B
A
PAGE
-
1
-专题11.2
统计与统计案例
【三年高考】
1.
某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取
▲
件．
【答案】18
【解析】应从丙种型号的产品中抽取件，故答案为18．
【考点】分层抽样
【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N．
2.【2016江苏】已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是
.
【答案】0.1
【考点】方差
【名师点睛】本题考查的是总体特征数的估计，重点考查了方差的计算，本题有一定的计算量，属于简单题.认真梳理统计学的基础理论，特别是系统抽样和分层抽样、频率分布直方图、方差等，针对训练近几年的江苏高考类似考题，直观了解本考点的考查方式，强化相关计算能力.
3．【2015江苏高考，2】已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.
【答案】6
【解析】
【考点定位】平均数
4.
【2017课标3，理3】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【答案】A
【解析】
【考点】
折线图
【名师点睛】将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率折线图，频率分布折线图的的首、尾两端取值区间两端点须分别向外延伸半个组距，即折线图是频率分布直方图的近似，他们比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律.
5.
【2017山东，理5】为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
【解析】试题分析：由已知
,选C.
【考点】线性相关与线性回归方程的求法与应用．
【名师点睛】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．
6.
【2017课标1，文2】为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是
A．x1，x2，…，xn的平均数
B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值
D．x1，x2，…，xn的中位数
【答案】B
【解析】
试题分析：刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选B
【考点】样本特征数
【名师点睛】众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平；
中位数：一组数据中间的数，（起到分水岭的作用）中位数反应一组数据的中间水平；
平均数：反应一组数据的平均水平；
方差：方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．
标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一个数据集的离散程度．
7.
【2017山东，文8】如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为
A.
3，5
B.
5，5
C.
3，7
D.
5，7
【答案】A
【解析】
【考点】茎叶图、样本的数字特征
【名师点睛】由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况,这一点同频率分布直方图类似.它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据,没有任何信息损失,第二点是茎叶图便于记录和表示.其缺点是当样本容量较大时,作图较繁琐.
利用茎叶图对样本进行估计是,要注意区分茎与叶,茎是指中间的一列数,叶是从茎的旁边生长出来的数.
8.【2016高考新课标3理数改编】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中点表示十月的平均最高气温约为，点表示四月的平均最低气温约为．下面叙述不正确的是 ．
①各月的平均最低气温都在以上
②七月的平均温差比一月的平均温差大
③三月和十一月的平均最高气温基本相同
④平均气温高于的月份有5个
【答案】④
【解析】
试题分析：由图可知均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0℃以上，①正确；由图可在七月的平均温差大于，而一月的平均温差小于，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，②正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在，基本相同，③正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有3个或2个，所以④不正确．
考点：1、平均数；2、统计图．
【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选②．
9．【2016高考上海理数】某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）.
【答案】1.76
【解析】试题分析：
将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数，显然为1.76.
考点：中位数的概念.
【名师点睛】本题主要考查中位数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，涉及统计的题目，往往不难，主要考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.
10．2016高考北京文数】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；
②这三天售出的商品最少有_______种.
【答案】①16；②29
考点：
统计分析
【名师点睛】本题将统计与实际情况结合，创新味十足，是能力立意的好题，关键在于分析商品出售的所有可能的情况，分类讨论做到不重复不遗漏，另外，注意数形结合思想的运用.
11．【2015高考重庆，文4改编】重庆市2013年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如下
0
8
9
1
2
5
8
2
0
0
3
3
8
3
1
2
则这组数据中的中位数是 ．
【答案】20
【解析】由茎叶图可知总共12个数据，处在正中间的两个数是第六和第七个数，它们都是20，由中位数的定义可知：其中位数就是20．
12.【2015高考陕西，文2改编】某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为 ．
【答案】137
【解析】由图可知该校女教师的人数为．
13．【2015高考湖北，文2改编】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 石．
【答案】169
【解析】设这批米内夹谷的个数为，则由题意并结合简单随机抽样可知，，即．
14.【2015高考广东，文12】已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，的均值为
．
【答案】
【解析】因为样本数据，，，的均值，所以样本数据，，，的均值为，所以答案应填：．
15.【2015高考北京，文14】高三年级位学生参加期末考试，某班位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．
从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是
；
②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是
．
【答案】乙；数学
【解析】①由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故填乙.②由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学.
16.【2015高考北京，文17】某超市随机选取位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
甲
乙
丙
丁
√
×
√
√
×
√
×
√
√
√
√
×
√
×
√
×
√
×
×
×
×
√
×
×
（I）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（II）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买中商品的概率；
（III）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？
（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.
16.【2015高考广东，文17】某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的
方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？
【解析】（1）由得：，所以直方图中的值是
（2）月平均用电量的众数是，因为，所以月平均用电量的中位数在内，设中位数为，由得：，所以月平均用电量的中位数是
（3）月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，抽取比例，所以月平均用电量在的用户中应抽取户
【2018年高考命题预测】
概率统计试题在试卷中的题型仍是填空题型，纵观近几年高考数学试卷中，概率与统计是必考题，而且是基础题，有时以直方图或茎叶图提供问题的背景信息，预测2018年仍会出现此类题，因此掌握概率与统计的基础知识是学习的关键.
【2018年高考考点定位】
本知识点主要是：随机抽样常以选择、填空题考查分层抽样，难度较低.在用样本估计总体中，会读图、识图，会从频率分布直方图中分析样本的数字特征（众数、中位数、平均数等）；重视茎叶图；要重视线性回归方程，不仅会利用公式求，还要能分析其特点（正相关、负相关、回归方程过样本点中心）；重视独立性检验（
2×2列联表）.
【考点1】抽样方法、总体分布的估计
【备考知识梳理】1.简单随机抽样：一般地，设一个总体的个体数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.
2.分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.
3.总体：在数理统计中，通常把被研究的对象的全体叫做总体.
4.频率分布：用样本估计总体，是研究统计问题的基本思想方法，样本中所有数据（或数据组）的频数和样本容量的比，就是该数据的频率.所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布.可以用样本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图来表示.
【规律方法技巧】分层抽样的步骤：（1）分层；（2）按比例确定每层抽取个体的个数；（3）各层抽样（方法可以不同）；（4）汇合成样本.
解决总体分布估计问题的一般程序如下：（1）先确定分组的组数（最大数据与最小数据之差除以组距得组数）；（2）分别计算各组的频数及频率（频率=）；（3）画出频率分布直方图，并作出相应的估计.
【考点针对训练】
1.某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示,则该小区居民用电量的中位数为
，平均数为
．
【答案】;
【解析】根据中位数的定义知中位数由，解得，所以中位数为：；平均数为：，所以答案为：;．
2.某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？
【解析】（1）由得：，所以直方图中的值是．
（2）月平均用电量的众数是；因为，所以月平均用电量的中位数在内，设中位数为，由得：，所以月平均用电量的中位数是．
【考点2】相关性、最小二乘估计与统计案例
【备考知识梳理】1．相关性
(1)通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．
(2)从散点图上，如果变量之间存在某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称为曲线拟合．
(3)若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关，若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，称此相关是非线性相关．
如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．
2．回归方程
(1)最小二乘法
如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用表达式[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度，使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．
(2)回归方程
方程y＝bx＋a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中a，b是待定参数．
，
3．回归分析
(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
(2)样本点的中心
对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：
，）.其中＝i，＝i，(，)称为样本点的中心．
(3)相关系数
①，②当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．
4．独立性检验
(1)设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A1，A2＝1；变量B：B1，B2＝1.
2×2列联表
BA
B1
B2
总计
A1
a
b
a＋b
A2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
构造一个随机变量其中为样本容量．
(2)独立性检验:利用随机变量来判断“两个变量有关联”的方法称为独立性检验．
(3)当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断
①当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
②当χ2＞2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；
③当χ2＞3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；
④当χ2＞6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．
【规律方法技巧】1．“相关关系与函数关系”的区别：函数关系是一种确定性关系，体现的是因果关系；而相关关系是一种非确定性关系，体现的不一定是因果关系，可能是伴随关系．
2．三点提醒： 一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．三是独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．
3.正确理解计算b，a的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键．回归直线方程y＝bx＋a必过样本点中心(，)．在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．
4.利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测．独立性检验就是考察两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度，具体做法是根据公式，计算值，值越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大．
【考点针对训练】
1.已知x、y的取值如下表所示，若y与x线性相关，且＝0．95x＋，则＝____________．
x
0
1
3
4
y
2．2
4．3
4．8
6．7
【答案】
【解析】，，样本中心点，在回归直线上，所以代入，所以
2.为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：
做不到“光盘”
能做到“光盘”
男
45
10
女
30
15
附：
P（K2k）
0．10
0．05
0．025
k
2．706
3．841
5．024
参照附表，
在如下结论：
A．在犯错误的概率不超过l％的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过l％的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C．有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
D．有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
中正确的是 ．
【答案】C
【解析】由表计算得：，所以有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”，填C．
【两年模拟详解析】
1.
【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是__________．
【答案】
(或5.2)
【解析】
2.
【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】下表是一个容量为10的样本数据分组后的频数分布.若利用组中值近似计算本组数据的平均数，则的值为
．
【答案】19.7
【解析】
3.
【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】已知样本数据的方差，则样本数据的方差为
▲
.
【答案】12
【解析】由题意得方差为
4.
【2017年第三次全国大联考江苏卷】已知样本的平均数为，且，则此样本的方差为_____________．
【答案】
【解析】因为，所以，而，所以或，从而样本的方差为．
5.
【2017年高考原创押题预测卷02（江苏卷）】某人次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，则这组数据的标准差为
【答案】
【解析】因为这组数据的平均数是，所以其方差，故所求这组数据的标准差.
6.
【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在以下的汽车有
辆．
【答案】75
【解析】由频率分布直方图得，速度在以下的汽车所占频率为，则速度在以下的汽车有辆
7．【江苏省清江中学数学模拟试卷】某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有
根在棉花纤维的长度大于25mm.
【答案】40
【解析】．
8．【扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题】某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高.
据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组、第二组、……、第八组.
按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上（含180cm）的人数为
.
【答案】144
【解析】由图得，身高180cm以上（含180cm）的频率为，则人数为
9．【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】某校高一年级有学生人，高二年级有学生人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出人，其中从高一年级学生中抽出人，则从高三年级学生中抽取的人数为
.
【答案】17
【解析】高一高二人数之比为10:9，因此高二抽出的人数为18人，高三抽出的人数为55-20-18=17人
10．【苏州市2016届高三年级第一次模拟考试】若一组样本数据9，8，x，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为
．
【答案】2
【解析】由题意得，因此方差为
11．【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有________辆．
【答案】1700
【解析】
12．【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为 ．
【答案】
【解析】
13．【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试】一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000)范围内的应抽出
人.
【答案】
【解析】由题意得：
14．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩（单位：环）如下表：
选手
第1轮
第2轮
第3轮
第4轮
第5轮
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是
．
【答案】0.02
【一年原创真预测】
1.
以下四个命题中：
①在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果,
越大，模型的拟合效果越好；
②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；
③若数据的方差为1，则的方差为2；
④对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握程度越大．
其中真命题的个数为 ．
【答案】2
【入选理由】本题考查特称命题真假的判断，回归分析，相关系数，独立性检验等基础知识，意在考查考生转化能力，分析问题解决问题的能力，运算求解能力.此类知识属于高考冷门问题，近年高考有所重视，应多注意，故选此题.
2.某单位为了了解某办公楼用电量
(度)与气温(oC)之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：
气温(oC)
18
13
10
－1
用电量(度)
24
34
38
64
得到的回归方程为，则 0,
0.
【答案】＞，＜
【解析】依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以，.
【入选理由】本题考查考查散点图、线性回归方程等基础知识，意在考查考生分析问题解决问题的能力，运算求解能力.近年高考加强了对线性回归方程的考查，应多注意，故选此题.
3.2015国际滑联世界花样滑冰锦标赛于3月23日至29日在上海举行，为调查市民喜欢这项赛事是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到如下数据表：
喜
欢
不
喜
欢
合
计
大于40岁
20
5
25
20岁至40岁
10
20
30
合
计
30
25
55
（I）判断是否有的把握认为喜欢这项赛事与年龄有关？
（II）用分层抽样的方法从喜欢这项赛事的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6位市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民的概率．
下面的临界值表供参考：
0．15
0．10
0．05
0．025
0．010
0．005
0．001
2．072
2．706
3．841
5．024
6．635
7．879
10．828
（参考公式：，其中）
【解析】（I）由公式得，所以有的把握认为喜欢这项赛事与年龄有关．
（II）设所抽样本中有个“大于40岁”市民，则，解得，所以样本中有4个“大于40岁”市民，同理可得样本中有2个“20岁至40岁”的市民，他们分别记作从中任选2人的基本事件有
共15个，其中恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民含基本事件共8个，所以从中任选2人，恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民的概率为．
【入选理由】本题主要考查独立性检验，分层抽样，随机事件的概率等基础知识，意在考查学生分析数据的能力、分析问题解决问题的能力和运算求解能力．2015年高考加强了对线性回归方程的考查，下年高考很有可能考查立性检验，故选此题.
商
品
顾
客
人
数
（第6题）
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1
-专题10.3
抛物线
【三年高考】
1.
【2017课标1理10改编】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
.
【答案】16
【考点】抛物线的简单性质
【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式、韦达定理是通法，需要重点掌握.考查到最值问题时要能想到用函数方法进行解决和基本不等式.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以
2.
【2017课标II，理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。若为的中点，则
。
【答案】6
【解析】
试题分析：
如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，做与点，与点，
【考点】抛物线的定义；梯形中位线在解析几何中的应用。
【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化。如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题。因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化。
3．【2017课标3，理20】已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.
【答案】(1)证明略；
(2)直线
的方程为
，圆
的方程为
.
或直线
的方程为
，圆
的方程为
.
【解析】
所以
，解得
或
.
当
时，直线
的方程为
，圆心
的坐标为
，圆
的半径为
，圆
的方程为
.
当
时，直线
的方程为
，圆心
的坐标为
，圆
的半径为
，圆
的方程为
.
【考点】
直线与抛物线的位置关系；圆的方程
【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ＞0或说明中点在曲线内部.
4．【2017天津，理19】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.
（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.
【答案】
（1），
.（2），或.
【解析】
（Ⅱ）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.
所以，直线的方程为，或.
【考点】直线与椭圆综合问题
【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键.
5．【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.
【答案】（Ⅰ）方程为，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（Ⅱ）详见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线l的方程为（），与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线ON的方程为，联立求得点
的坐标，证明.
【考点】1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系
【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整
体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.
6.【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．
（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；
（Ⅱ）求的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
试题解析：
（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，则，∵，∴直线AP斜率的取值范围是．
（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程
解得点Q的横坐标是，因为|PA|==
|PQ|=
，所以|PA||PQ|=
令，因为，所以
f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k=时，取得最大值．
【考点】直线与圆锥曲线的位置关系
【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达与的长度，通过函数求解的最大值．
7.
【2016年高考四川理数改编】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线
上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：设（不妨设），则由已知得，，，，．
考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用．
【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点的坐标，利用向量法求出点的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把斜率用参数表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值．
8．【2016高考浙江理数】若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_______．
【答案】
【解析】
试题分析：
考点：抛物线的定义．
【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到轴的距离．
9．【2016高考新课标1卷改编】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=,|DE|=,则C的焦点到准线的距离为 ．
【答案】4
考点：抛物线的性质.
【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.
10．【2016高考天津理数】设抛物线，（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A
作l的垂线，垂足为B.设C（p,0），AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为，则p的
值为_________.
【答案】
【解析】
试题分析：抛物线的普通方程为，，，又，则，由抛物线的定义得，所以，则，由得，即，所以，，所以，．
考点：抛物线定义
【名师点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．
2．若P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p＞0)上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
11．【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是_______.
【答案】
【解析】.
12.【2015高考上海，理5】抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则
．
【答案】
【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即
【2018年高考命题预测】
纵观2017各地高考试题，看出，一方面以选择题、填空题的形式考查抛物线的定义、标准方程及简单几何性质等基础知识，另一方面以解答题的形式考查抛物线的概念和性质、直线与抛物线的位置关系的综合问题，着力于数学思想方法及数学语言的考查，题目的运算量一般不是很大，属于中档题，分值为5分．2018年对本节内容的考查仍将以求抛物线的方程和研究抛物线的性质为主，三种题型均有可能，与向量等知识综合命题的趋势较强，分值最多为5分，．故在备考时应加强对概念和性质的理解和掌握，能够根据抛物线的标准方程得出几何性质.
【2018年高考考点定位】
高考对抛物线的考查有三种主要形式：一是考查抛物线的定义；二是考查抛物线的标准方程与几何性质；三是考查直线与抛物线的位置关系，从涉及的知识上讲，常平面向量、函数、方程、不等式等知识相联系，试题多为容易题和中档题.
【考点1】抛物线的定义
【备考知识梳理】
1.抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(定点F不在定直线l上)的距离的比等于1的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
【规律方法技巧】
1.
抛物线的定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线l(抛物线的准线)；一个定值1(点M与定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于1)．
2.
常常利用抛物线的定义将抛物线上一点到焦点的焦半径问题与焦点到准线的距离问题互相转化.
【考点针对训练】
1.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于，两点（点在轴上方），
．
【答案】3
【解析】由题可知，设，，于是根据抛物线的简单性质有，，，又因为，可得，于是.
2.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个焦点，若，则=___________.
【答案】3
【解析】如图所示，因为，故，过点作，垂足为M，则轴，所以，所以，由抛物线定义知，．
【考点2】抛物线的标准方程与几何性质
【备考知识梳理】
抛物线的标准方程与几何性质
焦点在正半轴上
焦点在负半轴上
焦点在正半轴上
焦点在正半轴上
标准方程
（）
（）
（）
（）
图形
性质
顶点
（0,0）
对称轴
轴
轴
焦点
（，0）
（-，0）
（0，）
（0，-）
准线
=-
=
=-
=
范围
≥0，∈R
≤0，∈R
≥0，∈R
≤0，∈R
离心率
=1
【规律方法技巧】
1.的几何意义：是焦点到准线的距离，故恒为正.
2.焦点在轴上的抛物线的标准方程可以统一写成；焦点在轴上的抛物线的标准方程可以统一写成.
3.焦点的非零坐标是一次项系数的，准线方程中的常数为一次项系数的-.
4.求抛物线的标准方程
（1）定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等，符合抛物线的定义，该曲线是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线，从而求出定点到定直线的距离即为，写出抛物线的标准方程，
（2）待定系数法，用待定系数法求抛物线标准方程分三步：①判定是否在原点；②确定焦点在哪个半轴上，确定标准方程类型；③根据条件列出关于的方程，解出值，即可写出标准方程.
5.抛物线（）上点的坐标可设为（），在计算时，可以降低计算量.
【考点针对训练】
1.已知点，抛物线（）的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，若则的值等于________________.
【答案】4
【解析】，．
2.已知点
F
是抛物线
y
2
=
4x的焦点，M、N
是该抛物线上两点，|
MF
|
+
|
NF
|
=
6，则
MN中点的横坐标为_________________.
【答案】2
【解析】由抛物线定义|
MF
|
+
|
NF
|
=6，所以MN中点的横坐标为．
【考点3】直线与抛物线的位置关系
【备考知识梳理】
设双曲线的方程为（），直线，将直线方程与抛物线方程联立，消去y得到关于x的方程.
若≠0，当△＞0时，直线与抛物线有两个交点.
当△=0时，直线与抛物线有且只有一个公共点，此时直线与抛物线相切.
当△＜0时，直线与抛物线无公共点.
（2）当=0时，直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线的对称轴平行.
【规律方法技巧】
1.已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点的直线交抛物线于A、B两点(如右图所示)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有以下结论：
(1)|AB|＝x1＋x2＋p，或|AB|＝(α为AB所在直线的倾斜角)；
(2)x1x2＝；
(3)y1y2＝－p2.
（4）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
2.过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p.
3.
直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础．
4．直线y＝kx＋b(k≠0)与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝
|x1－x2|＝
·＝·|y1－y2|＝·.
5．对中点弦问题常用点差法和参数法.
【考点针对训练】
1.已知抛物线y2
=8x的焦点为F，直线y=k（x+2）与抛物线交于A，B两点，则直线FA与直线FB的斜率之和为__________________.
【答案】0
【解析】由题可知，如图，，设，联立，化为，由于，所以，因此，直线FA与直线FB的斜率之和为.
2.已知抛物线：，圆：（其中为常数，）．过点（1，0）的直线交圆于、D两点，交抛物线于、两点，且满足的直线只有三条的必要条件是__________．
【答案】
【解析】与抛物线交于，与圆交于，满足题设.设直线：
（1）
代入，得，，把（1）代入得，设，，即，即，即，即时，仅有三条.考查四个选项，只有中的区间包含了，即是直线仅有三条的必要条件．
【两年模拟详解析】
1．【2017届南京市、盐城市高三二模】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝－，则线段PF的长为________．
【答案】6
【解析】由抛物线方程为，所以焦点坐标，准线方程为，
因为的斜率为，所以直线的方程为，
当时，
，所以，
因为为垂足，所以点P的纵坐标为，
可得点的坐标为，
根据抛物线的定义可知。
2．【广东省惠东县惠东高级中学2018届高三适应性考试数学（文）】在平面直角坐标系xOy中,双曲线的右支与焦点为F的抛物线交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为_________.
【答案】
3．【南通市2017届高三三调】在平面直角坐标系xOy中，若双曲线（）经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率是____．
【答案】
【解析】抛物线的焦点为：（2,0）所以双曲线的a=2，又b=1，故离心率为：
4．【山东省淄博市2017届高三第二次模拟考试数学（理）】如图，抛物线的一条弦经过焦点，取线段的中点，延长至点，使，过点，作轴的垂线，垂足分别为，则的最小值为__________．
【答案】4
【解析】试题分析：
解：设点
的坐标为：
，
由题意可知：
，
由抛物线中定值的结论可知：
，
据此可知：
，当且仅当
时等号成立，
即
的最小值为4.
点睛：本题考查圆锥曲线中的定值问题，定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
双曲线的定值结论结合均值不等式是解决本问题的关键所在.
5．【山西省孝义市2017届高三下学期考前热身训练（文）】已知一条抛物线的焦点是直线与轴的交点，若抛物线与直线交两点，且，则__________．
【答案】
【解析】直线与x轴的交点为，设抛物线方程为，直线方程为，
设，联立直线与抛物线的方程可得：
，
则：
。
6．【黑龙江省佳木斯市第一中学2017届高三下学期第三次模拟考试数学（文）】为抛物线上任意一点，
在轴上的射影为，点，则与长度之和的最小值为__________．
【答案】
7．【辽宁省庄河市高级中学2017届高三第四次模拟】设抛物线
的焦点为，点在抛物线
上，
，若轴上存在点
，使得，则的值为
__________．
【答案】
和
【解析】由题意可得：以MF为直径的圆过点(0,2)，
设M(x,y),由抛物线性质|MF|=x+
=5,可得x=5 ，
因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为，
由已知圆半径也为,据此可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
即M(5 ,4),代入抛物线方程得p2 10p+16=0，所以p=2或p=8.
8．【河北省衡水中学2017届高三下学期第三次摸底（文）】已知是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，
是坐标原点，且满足，则的值为__________．
【答案】
【解析】因为，所以
因此，所以
因为
，
所以
，因此
9．【2017届江西省高三下学期调研考试（四）数学（文）】过抛物线的焦点作斜率为的直线交抛物线于两点，则以为直径的圆的标准方程为__________．
【答案】
【解析】设,的中点,由题知，直线的方程为,代入抛物线方程整理得,所以,所以,,所以以为直径的圆的方程为.
10.
【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，若曲线经过点，则其焦点到准线的距离为
.
【答案】
【解析】由题意设抛物线方程为，又因为过点，则p=即为焦点到准线距离．
11．【江苏省苏北三市2016届高三最后一次模拟考试】已知点为抛物线的焦点，该抛物线上位于第一象限的点到其准线的距离为5，则直线的斜率为
.
【答案】
【解析】由抛物线定义得：又点位于第一象限，因此从而
12．【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高3米后，拱桥内水面的宽度为
米．
【答案】
【解析】以顶点为坐标原点，平行水面的直线为轴建系，设抛物线方程为，因为过点，所以，令得，从而水面的宽度为米．
【一年原创真预测】
1.已知抛物线一条过焦点的弦，点在直线上，且满足，在抛物线准线上的射影为，设是中的两个锐角，则_____________.
【答案】1
【解析】由抛物线知识可知是直角三角形，则，.
【入选理由】本题考查抛物线性质，平面向量，三角函数诱导公式等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，此题构思巧妙，试题形式新颖，故选此题.
2.若函数（且）的图像经过定点，且过点的直线被抛物线截的弦长为，则直线的斜率为______________.
【答案】
【解析】由已知可知则,设将直线方程与抛物线方程联立，可得，得，所以截的弦长，解得.
【入选理由】本题主要考了对数函数的性质，同时考查了直线与抛物线的位置关系,重点考查学生的分析和解决问题的能力，此题函数与抛物线结合，体现学科知识综合，题意新，故选此题.
3.已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，直线与抛物线相交于两点，且线段的中点为．
（I）求抛物线的和直线的方程；
（II）若过且互相垂直的直线分别与抛物线交于求四边形面积的最小值．
（II）设直线的方程为，与联立消去，整理得
由弦长公式得
，同理可得，，所以四边形面积
当且仅当，即时，四边形面积取最小值．
【入选理由】本题主要考查了抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系、中点弦问题、均值不等式、抛物线内接矩形面积的最小值求解等基础知识，意在考查学生分析问题解决问题的能力、转化与化归能力以及运算求解能力，此题是一个常规题，也是是高考考查的重点，故选此题.
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