2.2.2
间接证明
知识梳理
1.不是直接从命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法称为______________（indirect
proof).______________就是一种常用的间接证明方法.
2.反证法：一般地，假设原命题不成立.经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做______________（reducation
to
absurdity).
3.反证法的证明过程为“否定——______________——______________”.
4.反证法的一般步骤：
（1）反设——________________________________________________________.
（2）归谬——________________________________________________________.
（3）存真——________________________________________________________.
知识导学
通过本节课的学习，认识反证法在证明问题中的重要作用，学会用反证法，证明有关命题，并且要注意根据题目的类型，合理选择运用证明问题的方法，学会寻找问题中的矛盾，正确推理.
疑难突破
1.对反证法的理解：
从假设结论不成立入手，推出与“已知条件、假设、公理或显然成立的事实”等相矛盾的结果，从而判定假设错误，结论成立，这种方法叫做反证法.
反证法证题的特征：是通过导出矛盾、归结为谬误，而使命题得证.
反证法的原理是“否定之否定等于肯定”.
反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确.即证明命题的逆否命题成立否定结论：对结论的反面要一一否定，不能遗漏；否定一个反面之反证法称为归谬法，否定两个或两个以上反面之反证法称为穷举法，要注意用反证法解题，“否定结论”在推理论证中作为已知使用，导出矛盾是指在假设的前提下，逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾.
反证法适宜证明存在性、惟一性、带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的一些数学问题.
用反证法证明不等式，常用的否定形式有：“≥”的反面为“＜”；“≤”的反面为“＞”；“＞”的反面为“≤”；“＜”的反面为“≥”；“≠”的反面为“＝”；“＝”的反面为“≠”或“＞”及“＜”.
反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”.其中：第一个否定是指“否定结论（假设）”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”.
反证法不是去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性.
2.应用反证法证明数学命题的一般步骤：
（1）反设：假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；
（2）归谬：从反设和已知条件出发，应用正确的推理方法，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果.
（3）存真：由矛盾结果、断定反设不真，从而肯定原结论成立.
常见的主要矛盾有：①与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论相矛盾；
②与临时假设矛盾；
③与公认的事实或自相矛盾等.
典题精讲
【例1】
如图2-2-4所示，AB、CD为圆的两条相交弦、且不全为直径.求证：AB、CD不能互相平分.
思路分析：要证AB与CD不能互相平分，从正面来证明难度很大，所以正难则反，采用反证法，假设AB与CD相互平分，可以找出存在的矛盾.
图2-2-4
证明：假设AB、CD互相平分，连结AC、CB、AD、BD则ACBD为平行四边形.
所以：∠ACB=∠ADB,∠CAD=∠CBD.
因为四边形ACBD为圆内接四边形，
所以∠ACB+∠ADB=180°，∠CAD+∠CBD=180°.
因此，∠ACB=90°，∠CAD=90°.
所以，对角线AB、CD均为直径，与已知矛盾.
因此，AB、CD不能互相平分.
绿色通道：反证法的关键是，在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾；或与假设矛盾；或与定义、定理、公理、事实矛盾等.
反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，英国近代数学家哈代曾经这样称赞它：“……归谬法（反证法）是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明.象棋对弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让予对方！”.
黑色陷阱：在利用反证法证明问题时，一定要分清命题的条件和结论，假设时要对结论进行否定.
【变式训练】
如图2-2-5所示，在△ABC中，AB＞AC，AD为BC边上的高线，AM是BC边上的中线，
求证：点M不在线段CD上.
图2-2-5
证明（反证法）
假设M在线段CD上，则BD＜BM=CM＜DC,
且AB2=BD2+AD2,AC2=AD2+CD2,
所以AB2=BD2+AD2＜BM2+AD2＜CD2+AD2=AC2,
即AB2＜AC2,AB＜AC.
这与AB＞AC矛盾，所以点M不在线段CD上.
【例2】
若a、b、c均为实数，且a=x2-2y+,b=y2-2x+,c=z2-2x+,
求证：a、b、c中至少有一个大于0.
思路分析：命题以否定形式出现（如不存在，不相交等），并伴有“至少……”，“不都……”，“都不……”，“没有……”，“至多……”等指示性语句，在直接方法很难证明时，可以采用反证法.
证明：假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a+b+c≤0,
而a+b+c=x2-2y++y2-2x++z2-2x+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3
∵π-3＞0，且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0,
∴a+b+c＞0
这与a+b+c≤0矛盾，
因此，a、b、c中至少有一个大于0.
绿色通道：在利用反证法证明时的实质是证明它的逆否命题成立，反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般表现形式是：或者是A，或者非A，即在同一讨论过程中，A和非A有一个且仅有一个是对的，不能有第三种情形出现.
【变式训练】
已知：a、b、c是一组勾股数，即a2+b2=c2
求证：a、b、c不可能都是奇数.
证明：假设a、b、c都是奇数.
∵a、b、c是一组勾股数,
∴a2+b2=c2
①
∵a、b、c都是奇数,
∴a2、b2、c2也都是奇数,
∴a2+b2是偶数，这样①式的左边是偶数，右边是奇数，产生矛盾.
∴a、b、c不可能都是奇数.
【例3】(
2006年北京高考卷，理20)在数列{an}中，若a1,a2是正整数，且an=｜an-1-an-2｜,n=3,4,5,
…,则称{an}为“绝对差数列”.
（1）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；
（2）若“绝对差数列”{an}中，a20=3,a21=0.数列{bn}满足bn=an+an+1+an+2,n=1,2,3…,分别判断当n→∞时，an与bn的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；
（3）任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
思路分析：本题以提出一个新概念的方式来考查数列的概念及极限的问题，背景新颖.
解：（1）a1=3,a2=1,a3=2,a4=1,a5=1,a6=0,a7=1,a8=1,a9=0,a10=1
（答案不惟一）；
（2）解：因为在绝对差数列{an}中，a20=3，a21=0，所以自第20项开始，该数列是a20=3，a21=0,a22=3,a23=3,a24=0,a25=3,a26=3,a27=0,
…，即自第20项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3.
所以当n→∞时，an的极值不存在.
当n≥20时，bn=an+an+1+an+2=6.
所以limn→∞bn=6.
（1）证明：根据定义，数列{an}必在有限项后出现零项，证明如下（用反证法）：
假设{an}中没有零项，由于an=｜an-1-an-2｜,所以对于任意的n都有an≥1,从而
当an-1＞an-2时，an=an-1-an-2≤an-1-1(n≥3);
当an-1＜an-2时，an=an-2-an-1≤an-2-1(n≥3).
即an的值要么比an-1至少小1，要么比an-2至少小1.
令Cn=
n=1,2,3…,
则0＜Cn≤Cn-1-1(n=2,3,4,
…)
由于a是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项Ck＜0，这与Cn＞0（n=1,2,3,
…)矛盾，从而{an}必有零项.
若第一次出现的零项为第n项，记an-1=A(A≠0)，则自第n项开始，每三个相邻的项同期地取值0，A、A，即
k=0,1,2,3…,
所以绝对数列{an}中有无穷多个为零的项.
绿色通道：在用反证法证题时，常用的主要矛盾为：与假设矛盾、与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾，与公认的事实相矛盾.
【变式训练】
(2004年太原模拟，20)已知：f(x)=x2+px+q
(1)求证：f(1)+f(3)-2f(2)=2;
(2)求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.
证明：（1）f(1)+f(3)-2f(2)
=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.
(2)假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于不成立，则假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于,则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|＜2,
而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|＞f(1)+f(3)-2f(2)
=(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)
=2,这与|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|＜2相矛盾.
因此假设不成立，从而原命题成立，即|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.
问题探究
问题：反证法与直接证法相比较，反证法具有哪些特点呢？
探究：反证法与直接证法相比较，就会发现反证法具有如下特点：
①从推理论证的前提看，反证法增加了“反设”这个新的条件，下述情况常采用反证法.
在一门学科开始的阶段，对一些最基本的性质的证明，由于这些基本性质予以成立的条件简明扼要，同时可使用的定理甚少，所以直接证明很困难.
另外，在题目中含有“至多……”，或“至少……”形式的命题，“惟一性”命运，“否定式命题”，要证明的结论是“无限的”等，均可采用反证法.
②从推理论证的目标看，反证法无需专门去证某一特定的结论，只要设法推出一个逻辑矛盾就可以.
③从推理论证的方法看，反证法属于演绎推理.反证法具有分析法的特点，它们都是从命题的结论出发.不同的是：一个是从结论开始，另一个是从否定结论开始；一个是得到正确的结果而结束，另一个则是得到不成立的
结果而结束.因此，反证法也可称为否定式的分析法.3.3
复数的几何意义
知识梳理
1.复数的点表示
如图3-3-1所示，点Z的横坐标是a,纵坐标是b，复数Z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立直角坐标系来表示复数的平面叫做_____________，x轴叫做_____________,y轴叫做_____________.显然，实轴上的点都是实数；除了____________外，虚轴上的点都表示纯虚数.
图3-3-1
按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.由此可知，复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即_____________.
2.复数的向量表示
设复平面内的点Z表示复数Z=a+bi，连结OZ，显然向量是由点Z惟一确定的；反过来，点Z（相对于原点来说）也是由向量惟一确定的.因此，复数集C与复平面内的向量所构成的集合也是一一对应的（实数O与零向量对应），即_____________.
3.复数的模
（1）向量的模r，叫做复数Z=a+bi的_____________，记作|Z|或|a+bi|.如果b=0，那么Z=a+bi是一个实数a,它的模等于|a|（也就是a的绝对值）.由模的定义知|Z|=|a+bi|=r=_____________.(r≥0,r∈R)
（2）为方便起见，我们常把复数Z=a+bi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示_____________.
4.复数的加减法的几何意义
复数的加、减法的几何意义，即为向量的合成与分解：平行四边形法则，可简化成三角形法则，如图3-3-2，表示复数_____________，表示_____________，即
=_____________，=_____________.
图3-3-2
知识导学
复数的向量表示，复数的点表示，概念不容易理解.复数Z=a+bi,复平面内的点Z(a,b)，以原点为起点的平面向量具有一一对应关系，另外，复数的加减法的几何意义，实际上遵循的是向量的平行四边形法则（三角形法则），因此复习平面向量的有关知识是必要的.可以采用相类比的办法来理解三者的对应关系及复数加减法的几何意义.
疑难突破
1.复数与点、向量间的对应
每一个复数，在复平面内都有惟一的点和它对应；反过来，每一个点都有惟一的复数和它对应.因此复数集C和复平面内所有点所成的集合是一一对应.因为有这种一一对应关系，才有复数的点表示.同理，复数Z=a+bi与平面内以原点为起点的向量也具有一一对应关系，因此也有复数的向量表示.
2.复数加法的几何意义
复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.如图3-3-3所示，已知复数Z1=x1+y1i,Z2=x2+y2i及其对应的向量=（x1，y1),
=(x2，y2).以，为两条邻边作平行四边边形OZ1ZZ2，则对角线OZ表示的向量=+=（x1+x2,y1+y2)，这正是两个复数之和Z1+Z2所对应的有序实数对.
图3-3-3
3.复数减法的几何意义
实质为平面向量的三角形法则，向量对应两个复数的差Z1-Z2，作，则点Z也对应复数Z1-Z2，要特别注意的是差向量指向的是被减数.
典题精讲
【例1】
在复平面内，点A、B、C分别对应复数Z1=1+i,Z2=5+i,Z3=3+3i,以AB、AC为邻边作一平行四边形ABCD，求D对应的复数Z4及AD的长.
思路分析：本题考查复数的几何意义，首先画出图形，结合向量用已知的向量表示所求的向量再得出所求的复数.
解：由复数的加减法的几何意义
即Z4-Z1=（Z2-Z1）+（Z3-Z1）
∴Z4=Z2+Z3-Z1=7+3i
|AD|=|Z4-Z1|=|（7+3i)-(1+i)=|6+2i|=.
绿色通道：复数的加减法的几何意义，复数的向量表示本身就是研究图形的有关性质，因此在解题时要注意利用图形的平面性质去解决有关问题.
【变式训练】
设复平面上两个点Z1和Z2所对应的复数Z1=1，Z2=2+i，以这两个点为顶点作正三角形，求正三角形的第三个顶点Z3所对应的复数Z3.
思路分析：本题考查复数的几何意义及运用图形的能力.要注意先由题意画出符合条件的图形共有2个.
[解]如图，作Z2A，Z3B分别垂直于x轴，已知｜Z1A｜=1，｜AZ2｜=1，｜Z1Z2｜=，∵△Z1Z2Z3为正三角形
∴｜Z1Z3｜=｜Z1Z2｜=，∠Z3Z1B=75°
故有｜BZ3｜=｜Z1Z3｜sin75°=，｜BZ1｜=｜Z1Z3｜cos75°=.
｜OB｜=｜OZ1｜-｜BZ1｜=.
∴Z3=(3-）+(1+)i同样可得.
Z3′＝(+3)+(1-)i.
【例2】
已知点集D={Z||Z+1+|=1,Z∈C}，试求|Z|的最大值和最小值.
思路分析：本题考查复数模的意义|Z+1+|=1可看出Z1到点（-1,)的距离为1，因此可画出图形结合图形求解.
解：点集D的图象为以点C（-1,)为圆心，以1为半径的圆，圆上任一点P对应的复数Z，则||=||由图知，当OP过圆心C（-1，）时与圆交于A、B，则|Z|的最小值是|OA|=|OC|-1=-1=2-1=1，即|Z|min=1；|Z|的最大值是|OB|=|OC|+1=2+1=3，即|Z|max=3.
绿色通道：把代数问题转化为几何问题，这是数形转化的一种形态，是常用的数学思维方法.
黑色陷阱：由于此题中的条件具有较明显的几何意义，最好采用数形结合的方法处理可简化运算.若用代数方法化简将会很复杂.
【变式训练】
已知Z=3+ai且|Z-2|＜2，求实数a的取值范围.
思路分析：本题可以从代数方法入手去掉模得出关于a的不等式；也可从几何意义出发得出对应的图形，利用数形结合解决.
[解法1]利用模的意义，从两个已知条件中消去Z
∵Z=3+ai（a∈R）由｜Z-2｜＜2得｜3+ai-2｜＜2
即｜1+ai｜＜2，
∴＜2,解得＜a＜.
[解法2]利用复数的几何意义，由条件｜Z-2｜＜2可知Z在复平面内对应的点Z，在以（2，0）为圆心2为半径的圆内（不包括边界）.
如图所示，由Z=3+ai可知，Z对应的点在直线x=3上，
所以线段AB（除去端点）为动点的集合，由图知＜a＜.
【例3】
已知Z1=x++yi,Z2=x-+yi且x∈R,y∈R,|Z1|+|Z2|=6,求f(x,y)=|2x-3y-12|的最值.
思路分析：本题主要考查复数的几何意义，要结合几何图形来考虑问题.
解
∵|Z1|+|Z2|=6
∴=6.
它是2a=6,a=3,c=,b=2的一个椭圆，其标准方程为=1，由椭圆的参数方程知
∴f(x,y)=|2x-3y-12|=｜6cosθ-6sinθ-12|
=6|cosθ-sinθ-2|=6|sin()-2|
当θ=时，即x=,y=时，
f(x,y)min=6|-2|=12-6;
当θ=,即x=-,y=时，f(x,y)max=6|+2|
=12+6.
绿色通道：确定复数Z用到两个条件，在应用时可以分别从形和数两个方面进行解析：
（1）从形入手，积累一些常见结论是很有必要的.
如|Z-Z1|=|Z-Z2|表示线段Z1Z2的中垂线；|Z-Z1|=定值，表示以Z1为圆心的圆.|Z-Z1|+|Z-Z2|=2a(2a＞|Z1Z2|)表示以Z1、Z2为焦点的椭圆等.（2）从数入手就是设复数的代数形式，将复数问题转化为实数问题，而复数相等是转化的桥梁.（可得到两个实数等式所组成的方程组）.
【变式训练】
设虚数Z满足|2Z+5|=|+10|
（1）求|Z|的值；
（2）若为实数，求实数m的值；
（3）若（1-2i)Z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数Z.
思路分析：本题主要考查复数的基本运算，设Z=x+yi，将复数问题转化为实数问题是常见的解题思路.
解:（1）设Z=x+yi（x、y∈R，且y≠0）
则（2x+5）2+（2y）2=（x+10）2+y2，得到x2+y2=25，
∴｜Z｜=5.
（2）∵
=i为实数.
∴=0.又y≠0且x2+y2=25，
∴=0.解得m=±5.
（3）（1-2i）Z=（1-2i）（x+yi）=（x+2y）+（y-2x）i
依题意得x+2y=y-2x，∴y=-3x
①
又∵｜Z｜=5即x2+y2=25
②
由①、②得或
∴Z=或Z=
问题探究
模的几何意义
导思：模的几何意义与向量，解析几何的有关问题联系密切.在现在的高考中复数的考查经常出现此类问题.因为模本身表示的是一种长度，向量与解析几何也与图形有关，因此研究此类问题时要联系图形，考查数形结合的思想.
探究：（1）|Z|的模表示Z对应的点到原点的距离.
（2）|Z1-Z2|表示复平面两点间的距离.
（3）|Z-Z0|=r表示以Z0为圆心，r为半径的圆的方程.
（4）|Z-Z1|=|Z-Z2|表示线段Z1Z2的中垂线的
方程.
（5）|Z-Z1|+|Z-Z2|=2a(a＞0，且2a＞|Z1Z2|）
表示以Z1Z2为焦点，a为长半轴的椭圆方程.
（6）Z1Z2≠0则|Z1+Z2|=|Z1-Z2|对应的两个向量⊥.
（7）复数Z1、Z2、Z3对应的点分别为A、B、C，则AB的中点对应的复数为，△ABC的重心所对应的复数为.3.1
系数的扩充
知识梳理
1.复数的概念
我们把集合C={a+bi,a,b∈R
}中的数，即形如a+bi(a,b∈R)的数叫做_____________，其中i叫做____________.全体复数形成的集合C叫做_____________.
2.复数的代数形式
复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).这一表示叫做复数的_____________，对于复数z=a+bi,以后不作特殊说明，都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的_____________和_____________.
3.复数相等
在复数集C={a+bi|a,b∈R
}中任取两个数a+bi,c+di(a、b、c、d∈R)，我们规定：
a+bi与c+di相等的充要条件是_____________且_____________.
4.复数的分类
对于复数a+bi,当且仅当b=0时，它是_____________；当且仅当a=b=0时，它是_____________；当b≠0时，叫做_____________；当a=0且b≠0时，叫做_____________.
知识导学
讲解本节前可先回顾从自然数集逐步扩充到实数集的过程，这不仅为实数的扩充提供了类比对象，而且也为怎样扩充提供了方向.
疑难突破
1.数系的扩充
数系的每一次扩充都与实际需求密切相关.首先要明确复数的扩充同其他数集的扩充一样也是因为需要而进行的，如为解决x2+1=0这样的方程在实数集内无解的问题.设想引入一个新数i，设i是方程x2+1=0的根，即i·i=-1.而且新引入的数i，要能像实数系那样进行加法、乘法运算，并希望运算时，原有的加法、乘法的运算律仍然成立，就设想依此把实数和i进行运算，从而得到把实数集扩充后的新数集应该是{a+bi|a,b∈R
}，这就是复数集.
2.复数的分类
全体复数所构成的集合C叫做复数集.
实数集R是复数集C的真子集即RC.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系为如图3-1-1所示.
图3-1-1
典题精讲
【例1】
实数k为何值时，复数（1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)分别是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零.
思路分析：本题主要考查复数的概念.因此要先整理成a+bi的形式.根据复数a+bi是实数、虚数、纯虚数、零的条件可以分别确定k的值.
解:由Z=(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i
（1）当k2-5k-6=0时，Z∈R,即k=6或k=-1;
（2）当k2-5k-6≠0时，Z是虚数，即k≠6且k≠-1;
(3)当时，Z是纯虚数，解得k=4.
（4）当时Z=0，解得k=-1.
故当k=6或k=-1时，Z∈R；当k≠6且k≠-1时，Z是虚数；
当k=4时，Z是纯虚数；当k=-1时，Z=0.
绿色通道：复数Z=a+bi,a,b∈R是复数的定义，由a、b的取值确定实数、虚数和纯虚数，在解题时，关键是确定复数的实部和虚部.
【变式训练】
复数Z=+(m2-2m-15)i，求实数m,使得：
(1)Z是实数；（2）Z是纯虚数.
思路分析：当Z为实数时，虚部为零；当Z为纯虚数时，实部为零，虚部不为零.
解：(1)
即m=5;
(2)
解之m=-2或m=3
【例2】
已知2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i，求实数x,y的值.
思路分析：本题考查复数相等的概念，即实部与虚部分别对应相等，由此得到方程组，解出x与y的值.
解：∵x,y是实数，
∴2x-1,y+1,x-y,-x-y为实数.
由复数相等的定义知
∴
绿色通道：两个复数相等时，应分清两复数的实部与虚部，然后让其实部与实部相等，虚部与虚部相等.
【变式训练】
已知关于x的方程x2+(1+2i)x-(3m-1)i=0有实根，求纯虚数m的值.
思路分析：设出纯虚数m，再利用复数相等的知识.
解：设m=bi;则有
x2+(1+2i)x-(3bi-1)i=0
即解之得
m=.
问题探究
问题：两个复数能否比较大小？
导思：我们知道，当两个复数全是实数时，当然可以比较大小，当不全是实数时能否比较大小呢？可思考两个实数的大小关系的性质，假设两个复数能比较大小？会出现什么矛盾呢？
探究：如果两个复数不全是实数，它们之间就不能比
较大小，只能说相等或不相等.
我们知道，实数之间的“＜”（小于）关系，具有以下性质：
（1）任意两实数a,b以下三种关系有且仅有一种成立：
（2）若a＜b,b＜c,则a＜c;
（3）若a＜b,则对任意实数c,有a+c＜b+c;
（4）若a＜b,c＞0则ac＜bc.
如果我们要在复数之间引入一个“小于”关系，自然也应要求具有上述性质.但是，在复数之间上述性质是不存在的.
事实上，假定复数之间存在一个“小于”关系，具有性质（1）—（4）.我们来看0与i这两个数的大小关系.由性质（1）知：或者0＜i或者i＜0,但这两种情形都会引出矛盾.2.1.1
合情推理
知识梳理
1.从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程为___________________，任何推理都包含_____________和_____________两部分._____________是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；______________________________是根据前提推得的命题，它告诉我们_______________________________________；
2.从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为_________________________它的思维过程大致是____________________________________________________
_____________________________.
3.根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理称为_____________________________________________.简称_________________________；它的思维过程大致是_____________________________
___________________________________________________________.
知识导学
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，即从所研究的对象全体中抽取一部分进行观测或试验以取得信息，从而对总体作出推断.由归纳推理所获得的结论，仅是一种猜测，不一定可靠，其可靠性需要通过证明.
类比推理是由特殊到特殊的推理，由已解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比提出新问题和作出新发现.类比的结论具有或然性.即可能真，也可能假.
疑难突破
1.归纳推理的一般步骤是什么呢？
（1）实验、观察.通过观察个别事物发现某些相同性质.
（2）概括、推广：从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题，并且在一般情况下，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠.
（3）猜测一般性结论：通过实例去分析、归纳问题的一般性命题.
2.类比推理的一般步骤是什么呢？
（1）找出两类事物之间的相似性或一致性.
（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想），一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠.类比推理的结论具有或然性，即可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值，是一种合情推理.
典题精讲
【例1】
写出下列推理的前提和结论：
（1）对顶角相等；（2）a⊥b,b⊥c则a⊥c.
思路分析：先把问题改写成“如果……那么……”，“因为……所以……”的形式，再进行判断，写出前提和结论.
解：（1）对顶角相等，可以写成如果两个角为对顶角，那么这两个角相等.由此可知，前提为两个角是对顶角，结论为两个角相等.
（2）a⊥b,b⊥c则a⊥c改写成如果a⊥b,b⊥c那么a⊥c，前提为a⊥b,b⊥c，结论为a⊥c.
【变式训练】
写出下列推理的前提和结论.
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）a＞b,b＞c则a＞c.
解：（1）条件：两条直线平行，
结论：同位角相等.
（2）条件为：a＞b,b＞c.
结论为：a＞c.
【例2】
设f(n)=n2+n+41，n∈N
,计算f(1),f(2),f(3),f(4),
…f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想的结论是否正确.
思路分析：首先分析题目的条件，并对n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的结果进行归纳推理，发现它们之间的共同性质，猜想出一个明确的一般性命题：
解：f(1)=12+1+41=43
f(2)=22+2+41=47
f(3)=32+3+41=53
f(4)=42+4+41=61
f(5)=52+5+41=71
f(6)=62+6+41=83
f(7)=72+7+41=97
f(8)=82+8+41=113
f(9)=92+9+41=131
f(10)=102+10+41=151
由此猜想，n为任何正整数时，f(n)=n2+n+41都是质数.
当n=40时，f(40)=402+40+41=41×41;所以f(40)为合数，因此猜想的结论不正确.
【变式训练】观察×(1×2-0×1)=1,
×(2×3-1×2)=2,
×(3×4-2×3)=3,
×(4×5-3×4)=4,
由上述事实你能得出怎样的结论？
解：因为×(1×2-0×1)=1,
×(2×3-1×2)=2,
×(3×4-2×3)=3,
×(4×5-3×4)=4,
…
由此猜想，前n(n∈N
)个式子的结果为：
×［n×(n+1)-(n-1)×n］=n.
【例3】
找出三角形和空间四面体的相似性质，并用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质.
（1）三角形的两边之和大于第三边；
（2）三角形的中位线等于第三边的一半，并且平行于第三边；
（3）三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心；
（4）三角形的面积为S=（a+b+c)r（r为内切圆的半径）.
思路分析：首先充分认识三角形、空间四面体的相同（或相似）之处，再进行类比，类比时要抓住本质，充分考虑两类事物之间的联系.
解：三角形和四面体有下列共同性质.
（1）三角形是平面内由线段围成的最简单的封闭图形，四面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形.
（2）三角形可以看作平面上一条线段外一点及这条线段上的各点所形成的图形；四面体可以看作三角形外一点与这个三角形上各点的连线所围成的图形.
根据三角形的性质可以推测空间四面体有如下性质：
三角形
四面体
三角形的两边之和大于第三边[]
四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积.
三角形的中位线等于第三边的一半，并且平行于第三边.
四面体的中位面的面积第于第四个面面积的，且平行于第四个面.
三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内切圆的圆心
四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切线的球心
三角形的面积为S=(a+b+c)r(r为三角形内切圆的半径)
四面体的体积为V=（S1+S2+S3+S4）r,S1、S2、S3、S4为四个面的面积，r为内切球的半径
【变式训练】
类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间四面体性质的猜想.
解：如下图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°,设a、b、c分别表示3条边的长度，由勾股定理得c2=a2+b2,
(1)
(2)
类似地，在四面体P—DEF中，∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°,设S1、S2、S3和S分别表示△PDF,△PDE,△EDF和△PEF的面积图（2），相应于图（1）中直角三角形的两条直角边a、b和1条斜边c，图（2）中的四面体有3个“直角面”，S1、S2、S3，和1个“斜面”S，于是，类比勾股定理的结论，我们猜想S2=成立.
问题探究
如图2-1-1所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
图2-1-1
1.每次只能移动1个金属片；
2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.
试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？
导思:我们从移动1，2，3，4个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动n个金属片所需的次数.
探究:当n=1时，只需把金属片从1号针移到3号针，用符号（13）表示，共移动了1次.
当n=2时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动的顺序是：
（1）把第1个金属片从1号针移到2号针；
（2）把第2个金属片从1号针移到3号针；
（3）把第1个金属片从2号针移到3号针.
用符号表示为
（12）（13）（23），
共移动了3次.
当n=3时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为n=2的情形，移动的顺序是：
（1）把上面两个金属片从1号针移到2号针；
（2）把第3个金属片从1号针移到3号针；
（3）把上面3个金属片从1号针移到3号针.
其中（1）和（3）都需要借助中间针，用符号表示为
（13）
（12）
（32）
（13）
（21）
（23）
（13），
共移动了7次.
当n=4时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是：
（1）把上面3个金属片从1号针移到2号针；
（2）把第4个金属片从1号针移到3号针；
（3）把上面3个金属片从2号针移到3号针.
用符号表示为
（12）
（13）
（23）
（12）
（31）
（32）
（12）
（13）
（23）
（21）
（31）
（23）
（12）
（13）
（23）.
共移动了15次.
至此，我们得到依次移动1，2，3，4个金属片所需次数构成的数列
1，3，7，15.
观察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律：
1=21-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1.
由此我们猜想：若把n个金属片从1号针移到3号
针，最少需要移动an次，则数列{an}的通项公式为
an=2n-1(n∈N
).
通过探究上述n=1,2,3,4时的移动方法，我们可以
归纳出对n个金属片都适用的移动方法.当移动n个金属片时，可分为下列3个步骤：
（1）将上面（n-1)个金属片从1号针移到2号针；
（2）将第n个金属片从1号针移到3号针；
（3）将上面(n-1)个金属片从2号针移到3号针.
这样就把移动n个金属片的任务.转化为移动两次（n-1)个金属片和移动一次第n个金属片的任务.而移动（n-1)个金属片需要移动两次（n-2)个金属片和移动一次第（n-1)个金属片，移动（n-2)个金属片需要移动两次（n-3)个金属片和移动一次第（n-2)个金属片……如此继续，直到转化为移动1个金属片的情形.根据这个过程，可得递推公式
从这个递推公式出发，可以证明上述通项公式是正确的.4.2
结构图
知识梳理
1.表示一系列活动相互作用、相互制约的顺序的框图称为________________.
而表示一个系统中各部分之间的组成结构的框图叫做________________.
2.结构图的连线通常按照_____________，________________的方向（方向箭头按照箭头所指的方向，表示要素的___________或_____________.）
3.在表述逻辑先后关系的结构图中常采用一些“________________”形结构，在组织结构图的一般都是形结构，这种图直观，易于理解，被应用于很多领域：
4.从上到下；从左到右；从属关系；逻辑的先后关系.
5.“环”，“树”.
知识导学
在学习本节时，应首先回顾算法与程序框图，流程图，简易逻辑等有关知识，在学习本节时，主要掌握知识结构图和组织结构图，以及用结构图梳理已学过的知识，整理收集到的资料信息的一般方法.
知识结构图经常以“环”形结构出现，用来表达逻辑的先后关系.
组织结构图一般是“树”形结构，这种图直观，容易理解，被应用于很多领域.
疑难突破
1.画结构图的过程与方法：
首先要对所画结构的每一部分有一个深刻的理解和透彻的掌握，从头到尾抓住主要脉络进行分解.然后将每一步分解进行归纳与提炼，形成一个个知识点，并将其逐一地写在矩形框内.最后，按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连，这样就画成了知识结构图.
2.结构图的一般特征：
结构图一般由构成系统的若干要素和表述各要素之间关系的连线构成.一般用图框和文字说明表示系统的各要素，各图框之间用连线或方向箭头连结起来.在阅读结构图时，一般根据系统各要素的具体内容,按照从上到下、从左到右的顺序或箭头所指的方向将各要素划分为从属关系或逻辑的先后关系.在表示逻辑先后关系时，常用“环”形结构.在表示从属关系时常用“树”形结构.
典题精讲
【例1】
画出《数学必修3》第2章“统计”的知识结构图.
思路分析：在画本章的结构图时，首先要确定本章包括的主要内容，各知识之间的联系.
解：“统计”的知识结构图为：
绿色通道：在用结构图表示各知识间的逻辑先后关系时，从上到下反映的是要素之间的从属关系.从属关系通常是“树”形结构的，即构成系统的要素一般至少有一个“上位”或“下位”要素.一般情况下，“下位”要素比“上位”要素更为具体，“上位”要素比“下位”要素更为抽象.“下位”要素越多，结构图越复杂.
【变式训练】
列出集合一章的知识结构图.
解：结构图如下所示：
【例2】
考查你所在学校的机构设置情况,画出组织结构图.
思路解析：首先要了解你所在学校的机构,以及各机构间的关系，然后用“树”形结构表示出来.
答案：
绿色通道：本题结构图是学校的组织结构布局，理清各要素之间的关系,以及分清元素的“上位”与“下位”是解决问题的关键.
【变式训练】
某公司局域网设置：由服务器连结经理室、市场部、销售部、客户服务部、系统管理员，与外部连结是通过服务器.试画出该公司局域网设置结构图.
解：结构图如下：
【例3】
在学习“数系的扩充与复数的引入”章节时，可以对本章的知识用下面图4-2-1的框图表示：
图4-2-1
试分析框图，可以从中得到什么样的信息？
思路分析：应分清楚各框之间的关系及联系，并且理清各知识之间的关系.
解：从框图的结构可以看出：可以从多种不同联系的角度来理解复数及其运算，我们可以从图中看出，类比多项式及其运算和平面向量及其运算，从这两个方面,用不同的观点来认识和理解复数及其运算，又可以通过特殊化，转化为实数及其运算，从这两个方面，用不同的观点来认识和理解复数及其运算；又可以通过特殊化，转化为实数及其运算，再特殊化后，又转化为有理数及其运算，而实数及其运算又可类比数轴上的向量及其运算.
绿色通道：认识框图，知道结构图是人们有条理地思考和交流思想的工具.
黑色陷阱：认识框图和利用框图是学习框图的另一难点，框图中各要素间的关系及联系是认识框图的根本，因此应从不同角度，运用不同观点，才能理顺其关系.
【变式训练】
在学习“数列”章节时将本章知识用结构图表示如图4-2-2所示,我们怎样从多种不同联系的角度来理解数列.
图4-2-2
答案:
从图中可以看出，我们可以类比函数，以函数的观点认识数列；也可以类比实数，类比运算的角度认识数列；也可以通过特殊化，得到两类特殊的数列——等差数列和等比数列，进而与一次函数和指数函数作类比，而这种函数又都是函数的特殊化；还可以由数列推广到函数列.
问题探究
问题1：框图包括流程图和结构图，比较流程图和结构图的异同，并进行交流，要画出一副美观而实用的框图，你认为应该注意哪些方面的问题.
导思：框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示，它能清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系，主要以流程图和结构图的结构特点等方面来分析它们的异同点.
探究：流程图是表示一系列活动相互作用、相互制约的顺序的框图，而结构图是表示一个系统中各部分之间的组成结构的框图.
流程图描述动态过程，结构图刻画系统结构，描述的是一个静态结构.
流程图通常会有一个“起点”，一个或多个“终点”.其基本单元之间由流程线连结；结构图则更多地表现为“树”形或“环”形结构，其基本要素之间一般为概念上的从属关系或逻辑上的先后关系.另外，结构图反映的是体系结构，知识结构图是知识体系的结构图，组织结构图是部门内部组织形式的图形表达方式，都是在整体到局部的表现形式.而工序流程图应结合实际问题，分清工序的大体环节阶段，每一道工序还要分清先后顺序.
问题2：随着计算机网络的日益普及，网上购物已经很普及.那么，人们在从事网上购物时，是怎样向商家支付费用的呢？下面图4-2-3所示的支付流程图就是一种解决方案：
图4-2-3
“网上购物支付流程图”的说明：
①消费者向商家网站提交订单；
②订单经商家用某种方式加密后，传输给“X支付平台”认证；
③消费者在“X支付平台”选择支付工具，“X支付平台”传输订单至发卡银行认证，消费者在发卡银行的网上银行进行网上支付；
④发卡银行发送支付状态信息到“X支付平台”，商家通过程序自动查询或人工查询获得订单支付结果；
⑤商家发货；
⑥发卡银行把资金划转到“X支付平台”在银行的帐户；
⑦“X支付平台”每周依商家资金调拨指令，与商家进行资金结算.
导思：（1）作为一名消费者，从发出订单到收到订货，完成一次这样的网上购物，需要经过哪几个步骤呢？你能设计一个流程图表示这个过程吗？
（2）对商家来说，从收到一份订单到发货，完成一次
这样的网上销售，需要经过哪几个步骤呢？你能设计一个流程图表示这个过程吗？
探究：（1）作为消费者，完成一次这样的网上购物需要经过的步骤是：
第1步：向商家网站提交订单；
第2步：在“X支付平台”选择支付工具；
第3步：等待订单认证，若认证通过，在发卡银行的
网上银行进行网上支付；若没有通过，重新提交订单；
第4步：收货.
这个过程的流程图如下：
（2）作为商家，完成一次这样的网上销售需要经过的步骤：
第1步：将订单签名；
第2步：将签名订单传输给“X支付平台”认证；
第3步：在“X支付平台”通过自动查询或人工查询获
得订单支付结果;
第4步：发货.
这个过程的流程图如下：1.2
回归分析
知识梳理
1.回归直线方程为______________________，其中=___________，=___________.
2.回归直线不能精确地反映x与y之间的关系，y的值不能由x完全确定，它们之间是___________关系，y=a+bx+ε,其中___________是确定性函数，ε称为___________，将___________称为线性回归模型.
3.随机误差产生的主要原因有：
（1）所用的确立性函数不恰当引起的误差；
（2）____________________________________________________________________；
（3）____________________________________________________________________.
4.对于x、y随机取到的n对数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),样本相关系数γ的计算公式为
γ=____________________________________________________________________
=____________________________________________________________________.
5.线性相关系数γ的性质：
（1）｜γ｜≤1;
(2)｜γ｜越接近于__________，y的线性相关程序越强；
（3）｜γ｜越接近于__________，y的线性相关程序越弱.
知识导学
在研究两个变量之间的关系时，首先可以利用散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据.
作相关检验的依据可以利用样本相关系数γ,当γ>0时，表明x与y正相关；γ<0时，表明x与y负相关；当｜γ｜→1时，表明x与y的线性相关性越强；当｜γ｜→0时，表明x与y的线性相关性越弱，
几乎不存在线性相关的关系.
疑难突破
1.建立回归模型的基本步骤是什么呢？
一般地，建立回归模型的基本步骤是：
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量.
（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系.（例如是否存在线性关系等）
（3）由经验确定回归方程的类型（如果我们观察到数据是线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a).
(4)按一定的规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）.
2.在应用回归直线方程解决问题时，应注意些什么呢？
（1）回归直线方程只适合于我们所研究的样本的总体.例如：不能用女大学生的身高与体重之间的回归直线方程，描述女运动员的身高和体重之间的关系.同样，不能用生长在南方多雨地区的树木的高与直径之间的回归直线方程，来描述北方干旱地区树木的高与直径之间的关系.
（2）我们所建立的回归直线方程一般都有时间性.例如：不能用20世纪80年代人的身高、体重数据所建立的回归方程，描述现在人的身高、体重间的关系.
（3）样本取值的范围会影响回归方程的适用范围，例如：我们的回归直线方程是由女大学生身高和体重的数据建立的，那么用它来描述一个人幼儿时期的身高和体重之间的关系就不恰当.
（4）不能认为回归直线方程得到的预报值就是预报变量的精确值.事实上，它是预报变量可能取值的平均值.
典题精讲
【例1】
为了了解某地母亲身高x与女儿身高y的相关关系，现随机测得10对母女的身高，所得数据如下表所示：
母亲身高x(cm)
159
160
160
163
159
154
159
158
159
157
女儿身高y(cm)
158
159
160
161
161
155
162
157
162
156
试对x与y进行线性回归分析，并预测当母亲身高为161
cm时，女儿的身高为多少？
思路分析：这是一个回归分析类问题，解决这一类问题，首先应对问题进行必要的相关性检验，如果x与y之间具有相关关系，再求出对应的回归直线方程，最后利用回归直线方程来预报当x=161
cm时y的值，当γ>0时，表明x与y正相关，γ<0时，表明x与y负相关，当｜γ｜→1时，表明x与y的线性相关越强，当｜γ｜→0时，表明x与y的相关性越弱，几乎不存在相关关系，通常认为当γ>0.75时，变量x、y有很强的相关关系，因而求回归直线方程才有意义，也才可以预测取值的情况.
解：作线性相关性检验，=×（159+160+…+157）=158.8.
=×(158+159+…+156)=159.1
-10=（1592+1602+…+1572)-10×158.82=47.6
-=（159×158+160×159+…+157×156)-10×158.8×159.1=37.2
-10=（1582+1592+…+1562）-10×159.12=56.9
因此γ=
=≈0.71
由于0.71接近于1，表明x与y有较强的相关关系，因而求回归直线方程有必要.
又==0.78
=159.1-0.78×158.8=35.2
由此得回归直线方程为=35.2+0.78x;回归系数=0.78反映出当母亲身高每增加1
cm时女儿身高平均增加0.78
cm,
=35.2可以理解为女儿身高中不受母亲身高影响的部分，当母亲身高为161
cm时预报女儿身高为：
=0.78×161+35.2=160.78≈161
cm,这就是说当母亲身高为161
cm时，女儿身高大致也为161
cm.
绿色通道：判断x与y是否具有线性相关关系，还可以先作出散点图，从点的分布特征来判定是否线性相关.
黑色陷阱：有些同学不对问题进行必要的相关性检验，直接求x与y的回归直线方程，它就没有任何实际价值，也就不能发现变量x与y间的变化规律，另外，要注意计算的正确性.
【变式训练】某班5名学生的数学和化学成绩如下表所示，对x与y进行回归分析，并预报某学生数学成绩为75分时，他的化学成绩是多少？
学生学科
A
B
C
D
E
数学成绩（x)
88
76
73
66
63
化学成绩（y)
78
65
71
64
61
解：对x与y作相关性判断.
=×(88+76+73+66+63)=73.2
=×(78+65+71+64+61)=67.8
=882+762+732+662+632=27
174
=782+652+712+642+612=23
167
=88×78+76×65+71×73+64×66+61×63=25
054
∴-=27
174-5×73.22=382.8
-=25
054-5×73.2×67.8=239.2
-=23
167-5×67.82=182.8
∴r=≈0.904.
由于｜r｜=0.904接近于1，表明两个变量之间存在着线性相关关系.
∴≈0.625,
=67.8-73.2×0.625=22.05
=0.625x+22.05
∴当x=75时，≈69.
故次时他的化学成绩为69分.
【例2】
一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得数据如下：
零件数x(个）
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
加工时间y(个）
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
（1）y与x是否具有线性相关关系；
（2）如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程；
（3）根据求出的回归直线方程，预测加工200个零件所用的时间为多少.
思路分析：这是一个回归分析问题，应先进行线性相关检验或作散点图来判断x与y是否具有线性相关关系，如果线性相关，才可以求解后面的问题，否则就使得求回归直线方程没有意义.要作相关性检验，应先利用γ.
γ=
求出样本相关系数γ，利用当γ>0时，两个变量正相关；当γ<0时，两个变量负相关；当|γ|→1时，表明两个变量的线性相关性越强；当|γ|→0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系；当γ>0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系.
解：（1）列出下表：
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
yi
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
xiyi
620
1
360
2
250
3
240
4
450
5
700
7
140
8
640
10350
12200
∴=55,
=91.7
∴γ=
=≈0.999
8
由于γ=0.999
8>0.75,因此x与y之间有很强的线性相关关系，因而可求回归直线方程.
（2）设所求的回归直线方程为=.
则有=≈0.668
=91.7-0.668×55=54.96.
因此，所求的回归直线方程为y=0.668x+54.96.
(3)这个回归直线方程的意义是当x每增大1时，y的值约增加0.668，而54.96是y不随x增加而变化的部分，因此，当x=200时，y的估计值为y=0.668×200+54.96=188.56≈189.
因此，加工200个零件时所用的工时约为189个.
【变式训练】
对于x与y有如下观测数据：
X
18
25
30
39
41
42
49
52
Y
3
5
6
7
8
8
9
10
(1)作出散点图；
（2）对x与y作回归分析；
（3）求出x对y的回归直线方程___________________；
（4）根据回归直线方程，预测y=20时的x值.
解：（1）作出散点图（如下图所示）
（2）作相关性检验.
×(18+25+30+39+41+42+49+52)==37
×(3+5+6+7+8+8+9+10)=7.
=182+252+302+392+412+422+492+522=11
920
=32+52+62+72+82+82+92+102=428
=18×3+25×5+30×6+39×7+41×8+42×8+49×9+52×10=2
257
∴-=2
257-8×37×7=185
-=11
920-8×372=968.
-=428-8×72=36
∴r=
=≈0.991?
由于r=0.991＞0.75,因此，认为两个变量有很强的相关关系；
（3）回归系数=≈0.191
=7-0.191×37=-0.067.
所以y对x的回归直线方程=0.191x-0.067;
（4）当y=20时，有20=0.191x-0.067,
∴x=≈105.
因此在y的值为20时，x的值约为105.
【例3】
某种图书每册的成本费y(元）与印刷册数x(千册）有关，经统计得到数据如下，
x
1
2
3
5
10
20
30
50
100
200
y
10.15
5.52
4.08
2.85
2.11
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15
检测每册书的成本费y与印刷册数的倒数之间是否具有线性相关关系，如有，求出y对x的回归方程.
思路分析：本题与前面的问题有所不同，y与x之间不具有线性回归关系，因而是非线性回归问题，对于非线性回归问题有时不给出经验公式，这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与必修1中学过的基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数）图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量置换，把问题化为线性回归分析问题，使其得到解决.对于本题不妨设变量u=，题意要求对u与y作相关性检验，如果他们具有线性相关关系，就可以进一步求出y对u的回归直线方程，这时再回代u=，就得到了y对x的回归曲线方程.
解：首先作变量置换u=,题目所给数据变成如下表所示的数据.
ui
1
0.5
0.33
0.2
0.1
0.05
0.03
0.02
0.01
0.005
yi
10.15
5.52
4.08
2.85
2.11
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15
可以求得，γ=
=0.999
8
由γ=0.999
8>0.75,因此，变量y与ui间具有较强的线性相关关系，并且=8.973,
=1.125.
最后回代a=可得=1.125+
因此，y与x的回归方程为=1.125+.
【变式训练】
一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据列成下表，试建立y与x之间的回归方程.
温度x/℃
21
23
25
27
29
32
35
产卵数y/个
7
11
21
24
66
115
325
解：根据收集的数据，作散点图，如下图.
从图中可以看出，样本点并没有分布在某个带状区域内，因此两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系，根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条直数函数曲线y=附近，其中C1、C2为待定的参数，我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系，令z=lgy,则变换后样本点分布在直线z=bx+a(a=lnC1,b=lnC2)的附近，这样可以利用线性回归建立y与x的非线性回归方程了.变换的样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合.
由上表中的数据可得到变换的样本数据表如下表：
x
21
23
25
27
29
32
35
y
1.946
2.398
3.045
3.178
4.190
4.745
5.784
可以求得线性回归直线方程为=0.272x-3.843
因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为=e0.272x-3.843,另一方面，可以认为图中的样本点集中在某二次曲线y=的附近，其中C3、C4为待定参数，因此可以对温度变量进行变换，令t=x2,然后建立y与t之间的线性回归方程.从而得到y与x之间的非线性回归方程.
下表是红铃虫的产卵数和对应温度的平方的线性回归模型拟合表，作出相应的散点图如下图所示：
t
441
529
625
729
841
1
024
1
225
y
7
11
21
24
66
115
325
从图中可以看出，y与t的散点图并不分布在一条直线的周围，因此不宜用线性回归方程来拟合它，即不宜用二次函数y=C3x2+C4来拟合x与y之间的关系，因此利用=e0.272x-3.843来拟合效果较好.
问题探究
问题:在利用线性回归模型解决实际问题的时候，应怎样合理建模，形成规律，总结方法呢？
导思:在解决实际问题时，如何理解实际背景呢？线性回归模型与一次函数有什么不同呢？产生随机误差的原因是什么呢？
探究:在解决实际问题时，常需要推断，在推断时，不能仅凭主观意愿作出结论，而是需要理清实际背景，要通过实验来收集数据，并根据独立性检验的原理做出合理
的推断.
散点图可以形象地展示两个变量的关系，把数据用散点图表示出来，可以直观地了解两个变量的关系，常用横坐标表示解释变量，用纵坐标表示预报变量.
在散点图上画回归直线，回归直线与原始数据拟合的情况，直观地反应了回归直线和散点间的关系.在实际问题中，线性回归模型适用的范围要比一次函数大得多.当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型.因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.
随机误差产生的主要原因：一是所用的确定性函数不恰当引起的误差；二是忽略了某种因素的影响；三是存在观测误差，由于测量工具等原因，导致y的观测值产生误差.但误差越小，说明回归模型的拟合效果越好.4.1
流程图
知识梳理
1.程序框图就是算法步骤的______________________，算法的_____________、_____________、_____________、_____________等基本单元构成了程序框图的基本要素，基本要素之间的关系由___________________来建立.
2.由一些图形符号和文字说明构成的图示称为___________________，它常用来表示一些动态过程，通常会有一个“_____________”，一个或多个“_____________”.
3.流程图一般要按照_____________、_____________的顺序来画.
4.流程图还可以用于描述工业生产的流程，这样的流程图通常称为_____________.
知识导学
在学习本节时，应首先复习回顾算法与程序框图，简易逻辑和数学建模的有关知识.
通过具体实例，发展对解决具体问题的过程与步骤进行分析的能力；通过设计框图解决问题的过程，发展应用算法的能力；在解决具体问题的过程中，感受框图的重要性，体会结构图在揭示事物联系中的作用.
疑难突破
1.对于程序框图应遵循的规则：
（1）使用标准的框图符号；
（2）框图一般按照从上到下，从左到右的方向按顺序画出；
（3）判断框图一种是“是”与“不是”两支判断，而且有且仅有两种结果；另一种是多支判断，有几种不同的结果；
（4）在图形符号内描述的语言要简捷清楚，对一些步骤，描述要高度概括处理.并对整个框图应注重美观大方.
2.程序框图描述的算法和自然语言描述的算法优缺点是什么？
（1）从形式上看，用程序框图描述的算法可以看成用自然语言描述的算法的直观图示，它更明确地展现了算法的三种基本逻辑结构，而且更容易改写成计算机程序，但要从中分解出算法的基本步骤比较困难.
(2)从构造过程看，后者可以看成人们头脑中构建的算法的明确表述，前者的构造是对后者进行深入细致研究的结果，建立在对后者进行算法基本逻辑结构抽象的基础上.
第（1）方面主要说明了程序框图在表达算法时的优越性，第（2）方面解释了其中的原因.这种优越性在于程序框图是一种图示语言，它能更直观地表达问题解决的过程.
典题精讲
【例1】
两个形状一样的杯子里分别装有红葡萄酒和白葡萄酒，现在要将这两个杯子里所装的酒对调，试画出流程图.
思路分析：在画流程图前，可以先将上述流程分析成若干比较明确的步骤，并确定好各个步骤之间的关系.
解：设装红葡萄酒的杯子为A，装白葡萄酒的杯子为B，为使两种酒能够对调，需要有一空杯，设为C.将A中所盛之物注入C内，设为A→C,于是有图4-1-1所示的流程图.
图4-1-1
绿色通路：将一个工作或工程从头至尾依先后顺序分为若干道工序，每一道工序用矩形框表示，并在该矩形框内注明此工序的名称或代号，两相邻工序之间用流程线相连.
黑色陷阱：对工序流程图（统筹图），要分清先后顺序，判断是非区别，分清流向.
【变式训练】
将两个实数x、y进行比较，大数存于x,小数存于y，试画出流程图.
解:
【例2】
已知数列{an}的递推公式an=+an-1，且a1=1,请画出求其前5项的流程图.
思路分析：由数列的递推公式可知，该数列由前项推出后项，因此可用循环结构的流程图来表示.
解：设一循环变量A，框图如图所示.
绿色通道：在画流程图之前，先将上述流程分解为若干比较明确的步骤，并确立这些步骤之间的关系.
黑色陷阱：在循环结构中，要判断好循环体.
【变式训练】
已知数列{an}的递推公式为an=2an-1+1,且a1=2,请画出求其前k项的程序框图.
答案:程序框图为:
【例3】
考生参加某培训中心的考试需要遵循以下程序：在考试之前咨询考试事宜.如果是新考生，需要填写考生注册表，领取考生编号，明确考试的科目和时间，然后缴纳考试费，按规定时间参加考试，领取成绩单，领取证明；如果不是新考生，则需出示考生编号，明确考试的科目和时间，然后缴纳考试费，按规定时间参加考试，领取成绩单，领取证书，设计一个流程图，表示这个考试流程.
思路分析：在画流程图前，先将上述流程分解为若干比较明确的步骤，并确定这些步骤之间的关系.
显然，“咨询考试事宜”是每一名考生都要做的事情，接着，新考生和老考生执行不同的步骤，新考生“填写考生注册表，领取考生编号”，老考生“出示考生编号”.然后，共同执行以下步骤：“明确考生科目和时间”，“缴纳考试费”，“按规定时间参加考试”，“领取成绩单”，“领取证书”.
解：用流程图表示考试流程如下：
黑色陷阱：在框图的图形符号内描述的语言要注意简洁，清楚；在画框图前，要对描述的对象进行概括、推理，对整个框图要注重美观大方.
【变式训练】
某市环境保护局信访工作流程如下：
（1）法制科受理方法，一般信访填单转办，重大信访报局长批示；
（2）及时转送有关部门办理、督办，如特殊情况不能按期办理、批准后可延办，办毕反馈；
（3）信访办理情况反馈后，归档备查，定期通报.
根据以上情况画出该局信访工作的流程图.
解:流程图为:
【例4】
商家生产一种产品，需要先进行市场调研，计划对北京、上海、广州三地市场进行市场调研，待调研结束后，决定生产的产品数量.试给出“调研问题”的流程图.
思路分析：上述工作，有些没有先后顺序关系，可以同时进行，有些有先后顺序，需要依次完成.因此，可以画出不同的流程图.
解：方案1：派出调研人员赴北京、上海、广州调研，待调研人员回来后决定生产数量.
方案2：商场如战场，抓紧时间搞好调研，然后进行生产，调研为此项目的瓶颈，因此需要添加力量，齐头并进（即平行工序）搞调研，以便提早结束调研，尽早投
产，使产品占领市场，于是：
通过方案1和方案2统筹图的比较可以发现，方案2较方案1更为可取.
绿色通道：程序框图的设计要找清问题中的条件和结论，不同情况，有几个限制条件，往往设计成几个主要的构成部分.条件限制可以有不同的设计方式.
【变式训练】
某工厂车间有50名技术工人，由于工人技术熟练程度不一样，而工资分成了三个级别：一级工资1
500—
1
800元；二级工资1
200—1
500元；三级工资900—1
200元.试设计一程序框图来表示输出每一名工人的工资级别.
设工人工资的三个级别依次为A、B、C它们是由三个不同的条件来限制，因而框图的设计应由三个部分构成.
方法一：
方法二：
问题探究
问题1：某“儿童之家”开展亲子活动，计划活动按以下步骤进行：首先，儿童与家长按事先约定的时间来到“儿童之家”.然后，一部分工作人员接待儿童，做活动前的准备；同时，另一部分工作人员接待家长，交流儿童本周的表现.第三步，按照亲子活动方案进行活动.第四步，启导员填写亲子活动总结记录；同时，家长填写亲子活动反馈卡.最后，启导员填写服务跟踪表，你能为“儿童之家”的这项活动设计一个活动流程图吗？
导思：流程图可以比较直观地表达数学计算或证明过程中的主要思路，由于上述活动包含同时进行的两个步骤，所以在画流程图时，需要从同一个基本单元出发，引出两条流程线.
探究：可设计流程框图如下：3.2
复数的四则运算
知识梳理
1.复数的加减法
两个复数相加（减）就是把_____________，即a+bi±(c+di)=_____________.
2.复数的乘除法
（1）设Z1=a+bi,Z2=c+di是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=_____________，它们的商(a+bi)÷(c+di)=_____________(c+di≠0)
（2）在进行复数除法运算时，通常先把（a+bi)÷(c+di)写成_____________形式，再把分子分母都乘以_____________.
3.共轭复数
当两个复数的实部_____________，虚部互为_____________时，这两个复数叫做互为_____________.
4.i的幂的周期性
i4n=___________,i4n+1=___________,i4n+2=___________
i4n+3=___________.(n∈N
)
5.常用的1±i,w的运算规律.
①=___________,(1±i)2=___________,=___________;
②设w=i,则w2=___________，w+=___________，
w·=___________，1+w+w2=_____________，wn+wn+1+wn+2=___________(n∈Z);w3k=
___________,w3k+1=___________,w3k+2=___________(k∈Z).
疑难突破
1.复数的减法法则
剖析：课本上规定(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi减去复数c+di的差，记作(a+bi)-(c+di).根据复数的加法法则和复数相等的定义有即x=a-c,y=b-d.
∴x+yi=(a-c)+(b-di)
在学习复数的减法时，首先类比实数的减法规定复数的减法也是加法的逆运算，即用加法定义两个复数的差，然后只要根据复数的加法，复数相等的条件就可以得到复数减法的法则.这里实际上使用的是待定系数法，也是确定复数的一个一般方法.
2.复数的除法
在学习复数的除法时，可类比实数的除法，联系复数减法法则的引入过程，探求复数除法的法则.规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)(c+di≠0)的复数x+yi,叫做复数a+bi除以复数c+di的商.
经计算可得(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi.
根据复数相等的定义，有
cx-dy=a,dx+cy=b.
由此x=,y=
于是(a+bi)÷(c+di)=+i(c+di≠0)这就是复数的除法法则.而如果在实际进行复数的除法运算时，每次都按照乘法的逆运算的办法来求商，这是十分麻烦的.可以设想解决的办法，类比根式的除法，从而得到简便的操作方法.先把两个复数相除写成分数形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，最后再化简.
典题精讲
【例1】
计算
（1）+(5+i19)-;
(2).
思路分析：利用特殊复数的性质进行运算如i的乘方、及w性质的运算、关键是变形.
解：（1）+(5+i19)-
=+[5+(i4)4·i2·i]-
=i+5-i-i11=5+i
（2）含w=则w3=1
于是
==2w=-1+
绿色通道：（1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,w3=1,巧用这些性质，可以快速解答许多问题，因此，记住这些小结论将是有益的.
【变式训练】（1）计算;
(2).
思路分析:计算（a+bi)时，一般按乘法法则进行计算，对于复数1±i计算它的n(n大于或等于2的自然数）次方时，常先计算1±i的平方；对于复数计算它的n次方根时，（n为大于或等于3的自然数）常先计算它的立方.
解：原式=
=
=-i
=-i=i-i=0.
（2）设w=则w3==wi
∴原式=(wi+w)8=w8(1+i)8
=w6×w2(2i)4=16w2=16(--)
=-8-.
【例2】设Z是虚数，w=是实数，且-1＜w＜2.
（1）求Z的实部的取值范围；
（2）设μ=求证μ为纯虚数；
（3）求w-μ2的最小值.
思路分析：本题考查复数的基本概念及根据基本不等式求最值问题.（1）（2）利用基本概念求解，（3）中不难得到w-μ2=2a-=2a-1+=2(a+1)+-3再利用均值不等式求得最小值，还要注意结论等号是否能成立.
解：（1）设Z=a+bi(a,b∈R,b≠0)
w=a+bi+
∵w是实数，b≠0
∴b-=0.
∴w=2a
∵-1＜w＜2
∴-＜a＜1
∴Z的实部的取值范围是
(2)μ=
∵a∈
b≠0,∴μ为纯虚数.
（3）w-μ2=2a+
=2a+=2a-=2a-1+
=2[(a+1)+]-3.
∵a∈,∴a+1＞0,
∴w-μ2≥2×2-3=1,∴当a+1=即a=0时
上式等号成立，∴w-μ2的最小值是1.
绿色通道：设Z=a+bi将复数问题实数化，是解决复数问题的基本思想；另外，在利用不等式求最值时，特别要注意三点：①自变量是否有范围；②等号是否能够成立（在变量的范围下）；③要注意恒等变形，配凑成能使用不等式的形式.
【变式训练】
设i是虚数单位，复数w和Z满足Zw+2iZ-2iw+1=0，若Z和w又满足-Z=2i,求w和Z的值.
思路分析:设复数的代数形式，进而将复数问题转化为实数问题，是解决复数问题时常用的解题技巧.
解：∵-Z=2i
∴Z=-2i
代入Zw+2iZ-2iw+1=0得
（-2i)w+2i(-2i)-2iw+1=0
∴w-4iw+2i+5=0
设w=x+yi(x,y∈R),则上式可变为（x+yi)(x-yi)-4i(x+yi)+2i(x-yi)+5=0,
∴x2+y2+6y+5-2xi=0,
∴
∴或
∴w=-i,Z=-i或w=-5i,Z=3i.
【例3】
已知Z=1+i
(1)设w=Z2+3-4求w;
（2）如果=1-i；求实数a,b的值.
思路分析：（1）采用代入法求出w;（2）代入化简后，通过复数相等，把复数问题转化为实数问题来解.
解：（1）∵Z=1+i,
∴w=Z2+3-4=(1+i)2+3(）-4=-1-i.
(2)由=1-i，把Z=1+i代入得
=1-i，
∴=1-i,∴(a+b)+(a+2)i=1+i
∴得
绿色通道：通过复数相等的定义，把虚数问题转化成实数问题，是复数重要的数学思想，代入化简时，注意复数的运算技巧.
【变式训练】
已知Z1满足（Z1-2）i=1+i,复数Z2的虚部为2，且Z1·Z2是实数，求复数Z2的值.
思路分析:本题考查复数的乘法，除法的运算法则.
解：由（Z1-2）i=1+i,得Z1=+2=(1+i)(-i)+2=3-i
∵Z2的虚部为2，∴可设Z2=a+2i(Z∈R)
Z1·Z2=(3-i)(a+2i)=(3a+2)+(6-a)i为实数
∴6-a=0,即a=6
因此
Z2=6+2i.
问题探究
对于任意一个非零复数Z，Mz={w｜w=Z2n-1,n∈N
}（1）设α是方程的一根，试用列举法表示集合Mα,若在Mα中任取两个数，求其和为零的概率P.
（2）若复数w∈Mz,求证MwMZ.
导思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，化简的依据是i的周期性，即i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N)复数的代数形式运算，基本思路是直接用法则运算，但有时能用上特殊复数i或w的一些性质，以及一些常见的结论如(1+i)2=2i(1-i)2=-2i,=i等，可更有效的简化运算，提高计算速度.
探究：（1）由方程,得x=±
当α1=+时，w=α12n-1=
由in的周期性知，w有四个值.
n=1时，w=;
n=2时，w=;
n=3时，w=
n=4时，w=.
当α2=时，w=α22n-1=
n=1时，w=;
n=2时，w=;
n=3时，w=;
n=4时，w=;
∴不论α=，还是α=
Mα=
则P=
(2)∵w∈Mz则w=Z2m-1
m∈N,
任取x∈Mz则x=w2n-1,n∈Z,
而w=Z2n-1∴x=(Z2m-1)2n-1=Z(2m-1)(2n-1).
∵(2m-1)(2n-1)为正奇数，∴x∈MZ,
∴Mw≤MZ.2.1.2
演绎推理
知识梳理
1.演绎推理是一种由___________________的命题推演出___________________命题的推理方法，简单的说，演绎推理是由___________________到___________________的推理.
2.演绎推理的主要形式是____________，常用的格式为_______________________________.
3.三段论中包含了3个命题，第一个命题称为——___________________，它提供了一个一般性的原理；
第二个命题叫___________________，它指出了一个特殊对象.这两个判断结合起来，揭示一般原理与特殊对象的内在联系，从而得到第三个命题——___________________.
知识导学
本节先以日常生活和数学学习中，以前经常遇到的一些问题为基础，介绍了演绎推理的定义.由一般到特殊的推理方法.从而得到了演绎推理的主要形式为三段论.认识三段论推理的一般模式包括三步：（1）大前提，（2）小前提，（3）结论.再从实际应用来认识数学中的证明，主要是通过演绎推理来进行的，从实例中认识其重要作用和具体的做法，最后对合情推理和演绎推理相比较，明确二者在数学中的不同作用.
在学习本节时，可以回顾已有知识中证明问题的一般方法及推导结论时依据与结论之间的联系.在学习时，要正确认识演绎推理在数学中的重要作用，既要利用合情推理来发现新的结论，也要用合适的方法来证明结论的成立.
疑难突破
1.演绎推理的含义和“三段论”.
所谓演绎推理是从一种一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论.简而言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.
三段论式推理是演绎推理的主要形式.常用的格式为：大前提：M是P；小前提：S是M；结论：S是P.从集合的角度来看，三段论是：若集合M的所有元素也都具有性质P,S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.
2.演绎推理与合情推理的主要区别：
归纳推理和类比推理都是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理；类比是特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步的证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.
3.演绎推理的特点是什么？
（1）演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中.
（2）在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的.因而演绎推理是数学中严格证明的工具.
（3）演绎推理是一种收敛性的思维方式，它较缺乏创造性，但却具有条理清晰，令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化.
典题精讲
【例1】
用三段论的形式写出下列演绎命题.
（1）0.332·是有理数；
（2）y=sinx(x∈R）是周期函数；
（3）Rt△ABC的内角和为180°.
思路分析：演绎推理中如果大前提、小前提都是真实的，按照三段论形式推出的结论必然是真实的，因此演绎推理可比作为严格的推理方法.
解：（1）所有的循环小数都是有理数，（大前提）
是循环小数，（小前提）
是有理数.（结论）
（2）三角函数是周期函数，（大前提）
sinx是三角函数，（小前提）
sinx是周期函数.（结论）
（3）三角形的内角和是180°（大前提）
Rt△ABC是三角形，（小前提）
Rt△ABC的内角和是180°（结论）
绿色通道：解决此问题时，常按照三段论的形式来解决.
【变式训练】
将下列演绎推理写成三段论的形式.
（1）已知△ABC的三边a、b、c，满足a2+b2=c2,则△ABC是直角三角形，在△ABC中，AC2+BC2=AB2，所以△ABC是直角三角形.
（2）两直线平行，同位角相等.如果∠A、∠B是两平行直线的同位角，那么∠A=∠B.
（3）菱形的对角线互相平分.
解：（1）已知△ABC三条边a,b,c满足a2+b2=c2，则△ABC为直角三角形，（大前提）
△ABC中，AC2+BC2=AB2，（小前提）
△ABC是直角三角形.（结论）
（2）两直线平行，同位角相等，（大前提）
∠A、∠B是两平行直线的同位角，（小前提）
∠A=∠B.（结论）
（3）平行四边形对角线互相平分，（大前提）
菱形是平行四边形，（小前提）
菱形对角线互相平分.（结论）
【例2】
如图所示2-1-4所示，
图2-1-4
在锐角三角形ABC中，AD⊥BC,BE⊥AC,D、E是垂足.
求证：AB的中点M到D、E的距离相等.
思路分析：在本题中利用有一个内角是直角的三角形是直角三角形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这两个方面的大前提.在△ABD中，由AD⊥BC,得∠ADB=90°,判断△ABD为直角三角形.在Rt△ABD中，M为AB的中点，DM为斜边上的中线，从而DM=AB，同理EM=AB，故有DM=EM，从而结论得证.
证明：（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，（大前提）
在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB=90°,(小前提）
所以△ABD是直角三角形.（结论）
同理，△ABE也是直角三角形.
（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，（大前提）
而M是Rt△ABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线，（小前提）
所以DM=AB.（结论）
同理EM=AB，
所以：DM=EM.
黑色陷阱：在解决问题时一定要分清楚大前提，小前提和结论.
【变式训练】
用三段论证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，则∠B=∠C.
解：
如上图所示延长BA、CD交于点M，
由平行线分线段成比例，（大前提）
△MBC中，AD∥BC（小前提）
；（结论）
等量代换，（大前提）
AB=CD，（小前提）
MB=MC；（结论）
三角形中，等边对等角，（大前提）
△MBC中，MB=MC，（小前提）
∠B=∠C.（结论）
【例3】(2006年上海高考卷，文22)已知函数y=x+有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，］上为减函数，在［，+∞)上是增函数.
（1）如果函数y=x+在（0，4］上是减函数.在［4，+∞)上是增函数，求实常数b的值；
（2）设常数c∈［1,4］,求函数f(x)=x+,x∈［1,2］的最大值和最小值；
（3）当n是正整数时，研究函数y(x)=xn+(c＞0)的单调性，并说明理由.
思路分析：本题设计新颖，层层递进，是演绎推理的典型应用.要正确理解题意根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法进行证明，推理，寻找题目中的大前提和小前提.
解：（1）由函数y=x+的性质知：y=x+在［0，2b］上是减函数，在［,+∞)上是增函数，∴=4，即2b=16=24,∴b=4.
(2)∵c∈［1、4］
∴∈［1、2］.
又∵f(x)=x+在（0，］上是减函数，在［，+∞)上是增函数.∴在x∈［1,2］上，当x=c时，函数取得最小值2.又f(1)=1+c,f(2)=2+
f(2)-f(1)=1-.
当∈［1,2)时，f(2)-f(1)＞0,f(2)＞f(1)
此时f(x)的最大值为f(2)=2+.
当c=2时f(2)-f(1)=0,f(2)=f(1).
此时f(x)的最大值为f（2)=f(1)=3.
当x∈（2，4］时，f(2)-f(1)＜0,f(2)＜f(1),此时f(x)的最大值为f(1)=1+c.
(3)g′(x)=nxn-1-
令g′(x)=0，得x2n=c,∴x=±.
又∵x≠0,列表分析，如下：
x
(0,
)
(,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
极小值
于是函数y(x)在（0，］上是减函数，在［，+∞)上是增函数.
当n是正奇数时，g(x)=xn+在(-∞,0)∪(0,+∞)上是奇函数，于是g(x)在（-∞,-］上是增函数，在［-，0］上是减函数；
当n是正偶数时，g(x)=xn+在(-∞,0)∪(0,+∞)是偶函数,于是g(x)在(-∞,-］上是减函数，在［-，0］上是增函数.
【变式训练】(2006年重庆高考卷，文20)如图2-1-5，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，BB1=+1，E为BB1上使B1E=1的点，平面AEG交DD1于F，交A1D1的延长线于G，求：
图2-1-5
（1）异面直线AD与C1G所成角的大小；
（2）二面角A-C1G-A1的正切值.
解：（1）由AD∥D1G知∠C1GD1为异面直线AD与C1G所成的角.如上图所示，连结C1F，因为AE和C1F分别是平行平面ABB1A1和CC1D1D与平面AEC1G的交线，所以AE∥C1F,由此可得D1F=BE=.
再由△FD1G∽△FDA,得D1G=
在Rt△C1D1G中，由C1D1=1，D1G=得，
∠C1GD1=.
（2）如上图所示，作D1H⊥C1G于H，连结FH，由三垂线定理知，FH⊥C1G,故∠D1HF为二面角F—C1G—D1即二面角A—C1G—A1的平面角.
在Rt△GHD1中，由D1G=，∠D1GH=得
D1H=,从而tanD1HF=.
问题探究
问题1：设f(n)=2n-1(n∈N
)，试问：n是怎样的自然数时，f(n)是素数还是分数？
导思：对于此类问题，我们在推理的过程中，可以采用归纳推理，也可应用演绎推理，把两种方法结合起来，由归纳获得猜想假定，通过鉴别猜想假定的真伪，获得确定结果后，再给予演绎证明.
探究：试验——归纳——猜想.
取n=1,2,
…,10,所得结果列表如下：
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f(n)=2n-1
1
3
7
15
31
63
127
255
511
1
023
由上表可知，当n为素数2，3，，5，7时，f(n)为素数；当n为合数4，6，8，9时，f(n)为合数.
继续试探，当n=11时，f(n)=211-1=2047=23×89为合数.因此要放弃“n为素数时，f(n)为素数”的猜想.
再继续试验，当n=12，14时，f(n)仍为合数，于是进一步猜想“n为合数时，f(n)为合数.”
用演绎法推证：
设n为合数，令n=ml(m、l为大于1的自然数），则
f(n)=2n-1=2ml-1=(2m)l-1l
=(2m-1)［(2m)l-1+(2m)l-2+…+(2m)l-1］
因此2ml-1可被2m-1整除，又因为m＞1,l＞1,所以1＜2m-1＜2ml-1.据此可断定“n为合数时，f(n)是合数”为真.
问题2：因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，（大前提）
而菱形是所有边长都相等的凸多边形，（小前提）
所以菱形是正多边形.（结论）
（1）上面的推理形式正确吗？
（2）推理的结论正确吗？为什么？
（3）演绎推理除了“三段论”式推理，还有其他形式的推理吗？
导思：上述推理的形式正确，但大前提是错误的，所以所得的结论是错误的.
探究：演绎推理除了“三段论”式推理，还有以下几种推理方法：
（1）联言推理：它是根据联言命题的逻辑性质而进行推演的推理.它的前提或结论是联言命题，从联言命题p交集q的真值.
由表可知，当且仅当p、q都为真时，p∩q才为真.
例如：“3是奇数且3是质数”为真，则“3是奇数”与“3是质数”都真.
若“a＞2”及“a＜10”为真，则“2＜a＜10”为真.
（2）选言推理：它是根据选言命题的逻辑性质而进行推演的推理，它的前提中有一个选言命题.从选言命题p∪q的真值表可知，当p∪q和p都为真时，q为真.
例如：命题“a≥2”“a≠2”都是真的，则“a＞2”为真.
（3）假言推理：是根据假言命题的逻辑性质而进行推演的推理，它的前提至少有一个是假言命题.从假言命题
的真值表可知，当p→q真且p为真时，q必真；当p→q真且q
真时，p必真.
（4）关系推理，它是根据对象之间的关系的逻辑性质而进行推演的推理，它的前提和结论是关系命题.常用的有对称关系推理和传递关系推理.
数学中的“等于”、“平行”、“垂直”、“相似”、“同解”等关系，都可用以进行对称关系推理.
数学中的“大于”、“等于”、“小于”、“平行”、“包含”、“相似”、“同解”等，都可用以进行传递关系推理.1.1
独立性检验
知识梳理
1.利用随机变量来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个随机变量的______________，常用______________表示.
2.用样本估计总体时，由于抽样的随机性，结果并不唯一，因此，由某个样本得到的推断有可能正确，也有可能错误.利用χ2进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，样本量n越大，这个估计______________.
3.一般地，对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值类A和类B，Ⅱ也有两类取值类1和类2，可列联表如下：
Ⅱ
合计
类1
类2
Ⅰ
类A
a
a+b
类B
d
c+d
合计
a+c
a+b+c+d
则χ2=________________________________________________
其中n=__________________________为样本量.
要推断“Ⅰ与Ⅱ有关系”的步骤是__________________________
（1）______________________________________________________________________
（2）______________________________________________________________________
（3）______________________________________________________________________
知识导学
可以利用独立性检验来考查两个分类变量是否有关系，并且能够较精确地给出这种判断的可靠程度，x2的值越大，说明两个变量有关系的可能性越大，当数据a、b、c、d都不小于5时，可用课本中的表1-1-4来判断.
疑难突破
1.独立性检验与数学中的反证法的区别与联系是什么呢？
可以用反证法的思想解释假设检验原理，它们的对应关系为：
反证法：
假设检验
要证明结论A
备择假设H1
在A不成立的前提下进行推理
在H1不成立的条件下，即H0成立的条件下推理
推出矛盾，意味着结论A成立
推出有利于H1成立的小概率事件发生，意味着H1成立的可能性很大
没有找到矛盾，不能对A下任何结论，即反证法不成功
推出有利于H1成立的小概率事件不发生，接受原假设
从上述对比中可以看出，假设检验的思想和反证法类似.
不同之处：一是假设检验中用有利于H1的小概率事件的发生代替了反证法中的矛盾；二是假设检验中接受原假设的结论相当于反证法中没有找到矛盾.
把假设检验的基本思想具体化到独立性检验中，就可以通过随机变量χ2=当χ2很大时，就认为所涉及的两个分类变量有关系；否则，就认为没有充分的证据显示这两个变量有关系.
2.独立性检验的一般步骤为：
（1）提出假设H0：Ⅰ与Ⅱ没有关系；
（2）根据2×2列联表与公式
χ2=计算χ2的值；
（3）把χ2的值与临界值比较，确定Ⅰ与Ⅱ有关的程序或无关系，具体比较时可参考以下标准；
①如果χ2>10.828，则有99.9%的把握认为Ⅰ与Ⅱ有关系；
②如果χ2>7.879,则有99.5%的把握认为Ⅰ与Ⅱ有关系；
③如果χ2>6.635,则有99%的把握认为Ⅰ与Ⅱ有关系；
④如果χ2>5.024,则有97.5%的把握认为Ⅰ与Ⅱ有关系；
⑤如果χ2>3.841,则有95%的把握认为Ⅰ与Ⅱ有关系；
⑥如果χ2>2.706,则有90%的把握认为Ⅰ与Ⅱ有关系；
⑦如果χ2≤2.706,就没有充分证据显示Ⅰ与Ⅱ有关系，这时就认为Ⅰ与Ⅱ无关系成立，只要χ2≤2.706我们就认为Ⅰ与Ⅱ有关系.
典题精讲
【例1】
对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下：
又发作心脏病
未发作过心脏病
全计
心脏搭
桥手术
39
157
196
血管清
障手术
29
167
196
合计
68
试根据上述数据比较这两种手术对病人又发作过心脏病的影响有没有差别.
思路解析：从所给的列联表中可知病人有两种类型：做过心脏搭桥手术和做过血管清障手术.每种类型又有两种情况，又发作过心脏病，未发作过心脏病，问题是：用表中所给出的数据来检验上述两种状态是否有关系.这是一个独立性检验问题，解决的方法是先计算χ2，用χ2的大小来决定是否又发作过心脏病与心脏搭桥手术有关还是无关.
解：假设做过心脏搭桥手术与又发作心脏病没有关系.由于a=39,b=157,c=29,d=167,
a+b=196,c+d=196,a+c=68,b+d=324，n=392,由公式可得χ2的观测值为：
χ2=
=
=1.78
因为χ2=1.78<2.706，所以我们没有理由说心脏搭桥手术与又发作心脏病有关系.
绿色通道:此类问题的一般解法是利用χ2=；求出χ2的值，再此利用χ2与临界值的大小关系，来判断假设是否成立.
黑色陷阱:在解题时应注意准确代数与计算，有些同学常把数代错，或计算错误，用错公式等，同时，准确进行比较与判断也非常重要.
【变式训练】
在一次恶劣气候的飞机航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况，如下表所示，请你根据所给的数据判定是否在恶劣气候飞行中男人比女人更容易晕机？
晕机
不晕机
合计
男人
24
31
55
女人
8
26
34
合计
32
57
89
解：由题意可知a=24,b=31,c=8,d=26,a+b=55,c+d=34,a+c=32,b+d=57,n=89,代入公式得，
χ2===3.689,
因为χ2=3.689＞2.706.
因此，我们有90%的把握认为男人比女人更容易晕机.
【例2】
在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶，利用独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？所得的结论在什么范围内有效？
思路分析：把所给数据列出列联表，被调查的人有两种状态：秃顶、不秃顶.每个状态又有两种情况：患心脏病、患其他病.这是一个2×2列联表的独立性检验的问题，因而需求出χ2，用它的大小可以确定是否拒绝原来的假设，从而得出两个量之间的关系.
解：根据题目所给的数据得到如下列联表：
患心脏病
患其他病
合计
秃顶
214
175
389
不秃顶
451
597
1
048
合计
665
772
1
437
假设秃顶与心脏病无关.由于a=214,b=175,c=451,d=597,则a+b=389,c+d=1
048,a+c=665,b+d=772,n=1
437.
因此，χ2=
=
≈16.373>10.828.
因而我们有99.9%的把握认为秃顶与患心脏病有关系.
绿色通道：正确判断出列联表，比较易于观察，因此对结论的判断才不会出现偏差.
【变式训练】
在研究某种新措施对猪白痢的防治效果问题时，得到以下数据：
存活数
死亡数
合计
未采取新措施
114
36
150
采取新措施
132
18
150
合计
246
54
300
试问新措施对防治猪白痴是否有效？
解：由题意可知：a=114,b=36,c=132,
d=18
∴a+b=150,c+d=150,a+c=246,b+d=54,n=300,代入公式可得，
χ2===7.317
因为χ2=7.317＞6.635因此我们有99%的把握认为新措施对防治猪白痢是有效果的.
【例3】(2006年全国高考卷Ⅱ,文19)某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验.设取出的第一、二、三箱中分别有0件，1件，2件二等品，其余为一等品.
（1）求抽检的6件产品中恰有1件二等品的概率；
（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝购买的概率.
思路分析：本题是相互独立事件概率公式的应用类问题，要求会用公式P(A·B）=P（A）·P（B）来解决实际问题.
解：设Ai表示事件“第二箱中取出i件二等品”，i=0,1;Bi表示事件“第三箱中取出i件二等品”，i=0,1,2.
（1）由题意可知，所求的概率为P1=P(A1·B0）+P（A0·B1）
=P（A1）P（B0）+P（A0）P（B1）
=.
（2）解法1：所求的概率为
P2=1-P(A0·B0)-P1=
解法2：所求的概率为
P2=P(A1·B1）+P（A0·B2）+P（A1·B2）
=P（A1）P（B1）+P（A0）P（B2）+P（A1）P（B2）
=.
绿色通道：本题考查互斥事件的概率及相互独立事件的概率计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力和合理推理的能力.
【变式训练】
袋子A和B中各装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率为，从B中摸出一个红球的概率为P.
（1）从A袋中有放回地摸球，每次摸出一个球，共摸5次.求：①恰好有3次摸出红球的概率；②第一次，第三次，第五次均摸出红球的概率；
（2）若A、B两个袋子中的球数之比为1∶2，将两个袋子中的球混装在一起后，从中摸出一个红球的概率为，求P的值.
解：（1）①
②P=.
(2)设A袋中有m个球，则B袋中有2m个球，由,可求得p=.
问题探究
问题:把一颗质地均匀的骰子任意投掷一次，设事件A为“掷出偶数点”，B为“掷出3的倍数点”.
求（1）事件A，B，，的概率，以及事件A∩B,∩B,A∩,∩的概率，
（2）判断P（A∩）与P（A）·P（），P（A∩B)与P（A）·P（B），P（∩B）与P（）·P（B），P（∩）与P（）·P（）的大小关系.
导思:要判断P（A∩）与P（A）·P（），P（A∩B）与P（A）·P（B），P（∩）与P（）·P（B），P（∩）与P（）·P（）的大小关系，首先要知道P（A∩B）是指A、
B同时交事件的概率.即A、B同时发生的概率，然后再计
算P（A∩B）的值.在处理此类问题时，要分清楚是相互独立事件同时发生的概率，即交事件还是和事件的概率.
探究：（1）P（A）=，P（B）=
所以P（）=1-，P（）=1-.
P（A∩B）=P（掷出6点）=·=.
P（∩B）=P（掷出3点）=·=.
P（A∩）=P（掷出2点或4点）==
P（∩)=P（掷出1点或5点）=.
（2）∵P（A∩）=，而P（A）·P（）=×=
∴P(A)·P（）>P(A∩);
∵P(A∩B)=而P(A)·P（B）=·=
∴P（A∩B)
∵P(∩B)=,而P（）·P（B）=·=
∴P（∩B）∵P（∩）=，P（)·P（）=×=
∴P（∩）综上可知，交事件的概率与互斥事件同时发生的概率并非完全相等.2.2.1
直接证明
知识梳理
1.直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明称为___________________（direct
proof).
2.从已知条件出发，以已知的________________________________
为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法称为综合法.
3.从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件与已知条件吻合为止.这种证明方法称为___________________.
知识导学
综合法的基本思路是“由因导果”即从已知看可知，再逐步推向未知的方法.若用P表示已知条件，已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
分析法的基本思路是：从未知看需知，再逐步靠近已知，若用P表示已知条件，Q表示所要证明的结论，则分析法的框图可以表示为
疑难突破
1.综合法与分析法的异同点：
综合法与分析法是两种不同的证明方法，但它们都是直接证法，都属于演绎推理，几何学中的定理和数学问题中的证明，大部分都采用综合法和分析法.
综合法与分析法的不同之处是：综合法是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”.分析法便于我们去找思路，而综合法便于过程的叙述.
2.证明与推理之间的联系和区别.
（1）联系：证明过程其实就是推理的过程.
就是把论据作为推理的前提，应用正确的推理形式，推出论题的过程.一个论证可以只含一个推理，也可以包含一系列的推理；可以只是用演绎推理，或只用归纳推理，也可以综合运用演绎推理和归纳推理，所以证明就是推理，是一种特殊形式的推理.
（2）区别：（ⅰ）从结构上看，推理包含前提和结论两部分，前提是已知的，结论，是根据前提推出来的；而证明是由论题、论据、论证三部分组成的.论题相当于推理的结论,是已知的，论据相当于推论的前提.
（ⅱ）从作用上看，推理只解决形式问题，对于前提和结论的真实性是管不了的.而证明却要求论据必须是真实的，论题经过证明后其真实性是确信无疑的.
典题精讲
【例1】
已知a、b、c∈R+,且a+b+c=1,
求证：（-1)(-1)(-1)≥8.
思路分析：这是一个条件不等式的证明问题，要注意观察不等式的结构特点和条件a+b+c=1的合理应用.可用综合法和分析法两种方法证明.
证明：(方法1
综合法）
（-1)（-1)（-1)
=（)（-1)（-1)
=
==8
当且仅当a=b=c时取等号，所以不等式成立.
（方法2
分析法）：
要证（-1)（-1)（-1)≥8成立
只需证≥8成立
因为a+b+c=1,
所以只需证≥8成立
即：≥8
只需证≥8成立
而≥8显然成立.
∴（-1)(-1)(-1）≥8成立.
绿色通道：综合法是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到特征的结论；而在分析法中，从结论出发的每一步骤所得到的判断都是使结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实.
黑色陷阱：在证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式的性质，要注意基本不等式应用的条件及等号成立的条件.
【变式训练】
已知a、b、c∈R+,求证：（ab+a+b+1)×(ab+bc+bc+c2)≥16abc.
证明：综合法：方法1∵ab+a+b+1=(a+1)(b+1).
ab+ac+bc+c2=(a+c)(b+c)
又∵a＞0,b＞0,c＞0,
∴a+1≥＞0,b+1≥＞0,
a+c≥＞0,b+c≥.
∴(a+c)(b+c)≥,
(a+1)(b+1)≥＞0.
因此当a,b,c∈R+时，有
(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc,结论得证
方法2分析法：
要证(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc成立，
只需证：(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)≥16ab成立.
由于a＞0,b＞0,c＞0.
∴a+1≥,b+1≥.
a+c≥
b+c≥
∴(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)≥···=16abc.
即：(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc成立.
【例2】
在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c,且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形.
思路分析：将A、B、C成等差数列，转化为符号语言就是2B=A+C；a、b、c成等比数列，转化为符号语言就是b2=ac.A、B、C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A+B+C=π,此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状.余弦定理正好满足要求，于是可以用余弦定理为工具进行证明.
证明：由A、B、C成等差数列，所以有
2B=A+C，因为A、B、C为△ABC的内角，
所以A+B+C=π,
所以B=.
由a、b、c成等比数列，有b2=ac.
由余弦定理及b2=ac,可得：
b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac.
∴a2+c2-ac=ac
即(a-c)2=0,
因此a=c,从而有A=C.
∴A=B=C=,所以△ABC为正三角形.
【变式训练】
如图2-2-1所示，设在四面体P-ABC中，∠ABC=90°,PA=PB=PC,D是AC的中点，
求证：PD垂直于△ABC所在的平面.
图2-2-1
证明：因为BD是Rt△ABC斜边上的中线，
所以DA=DC=DB,又因为PA=PB=PC,而
PD是△PAD,△PBD,△PCD的公共边，
所以△PAD≌△PBD≌△PCD.
于是，∠PAD=∠PBD=∠PCD,而∠PDA=∠PDC=90°,
因此，∠PDB=90°.可见PD⊥AC和PD⊥BD.
由此可知PD垂直于△ABC所在平面.
【例3】
设a、b、c为一个三角形的三边，s=（a+b+c)且s2=2ab,试证：s＜2a.
思路分析：题目中条件与结论之间的关系不明显，因此可以先结合条件把结论适当的转化.结合条件s=（a+b+c),可把结论s＜2a转化为（a+b+c)＜2a,即证b+c＜3a,我们结合条件s2=2ab，把结论s＜2a转化为s＜,即b＜s.再结合条件s=（a+b+c),把结论进一步转化为2b＜a+b+c,即b＜a+c从而得到证明.
证明：要证s＜2a，
由于s2=2ab,所以只需证s＜,即b＜s,
因为s=（a+b+c),所以只需证2b＜a+b+c,
即b＜a+c.
由于a、b、c为一个三角形的三边，所以上式显然成立.
于是原命题成立.
绿色通道：利用分析法证明本题要注意挖掘其中的隐含条件，由结论适当转化.在分析法证明中，从结论出发的每一步骤所得到的判断都是使结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实.
【变式训练】
求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大.
证明：设圆和正方形的周长即为L，依题意，圆的面积为π,正方形的面积为
因此只需证明.
两边同乘以得：,因此只需有π＜4,因为π＜4显然成立.
所以，π＞,即问题得证.
【例4】(2006年全国高考卷Ⅱ,20)如图2-2-2所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1，AC1的中点.
（1）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；
（2）设AA1=AC=AB，
图2-2-2
求：二面角A1-AD-C1的大小.
思路分析：本题以直三棱柱为载体，考查异面直线的公垂线的定义及二面角的求法.充分考查了证明的几种方法，在问题中的综合运用能力，会用综合法和分析法来解决问题.
解法1：（1）设O为AC中点，连结EO，BO，则EOC1C，又C1CB1B
∴EODB.EOBD为平行四边形，ED∥OB.
∵AB=BC,∴BO⊥AC,
又平面ABC⊥平面ACC1A1，BO?面ABC，
故BO⊥面ACC1A1
∴ED⊥平面ACC1A1，ED⊥AC1，ED⊥CC1.
∴ED⊥BB1
∴ED为异面直线AC1与BB1的公垂线.
（2）连结A1E，由AA1=AC=AB可知，A1ACC1为正方形，∴A1E⊥AC1，又由ED⊥面A1ACC1和ED?平面ADC1知，平面ADC1⊥平面A1ACC1，
∴A1E⊥平面ADC1.作EF⊥AD，垂足为F，连结A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1-AD-C1的平面角.
则AC=2，AB=，ED=OB=1，EF=，tan∠A1FE=.
∴∠A1FE=60°.所以二面角A1-AD-C1为60°.
解法2：（1）如图，建立直角坐标系O-xyz，其中O为AC的中点.
设A（a,0,0),B(0,b,0),B1(0,b,2c),则C(-a,0,0),C1(-a,0,2c),E(0,0,c),D(0,b,c).
=(0,b,0),
=(0,0,2c),
·=0,
∴ED⊥BB1,同理可证ED⊥AC1所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线.
（2）不妨设A（1，0，0），则B（0，1，0），C（-1，0，0），A1（1，0，2），=（-1，-1，0），=（-1，1，0）
=（0，0，2），·=0,
·=0,即BC⊥AB，BC⊥AA1，又AB∩AA1=A，BC⊥面A1AD.
E(0,0,1),D(0,1,1),C(-1,0,0),
=(-1,0,-1),
=(-1,0,1),
=(0,1,0),·=0,
·=0即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED=E，EC⊥面C1AD.
cos〈·〉==
即得和的夹角为60°.所以二面角A1-AD-C1为60°.
绿色通道：本题主要考查直线与直线的垂直，直线与平面垂直的判定及二面角平面角的求法.方法一为传统解法，方法2为向量解法.两种方法各有千秋，充分体现了思维的灵活性.
黑色陷阱:在解决此类问题时，要注意计算方法的灵活性，特别是向量解法，应注意各点的坐标.
【变式训练】(2005年北京高考卷，20)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，如图2-2-3所示.
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）求证：AC1∥平面CDB1；
（3）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.
图2-2-3
解：解法1∵直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5.
∴AC⊥BC.
∵BC1在平面ABC内的射影为BC,
∴AC⊥BC1,
(2)设CB1与C1B的交点为E，连结DE.
∵D是AB的中点，E是BC1的中点，
∴DE∥AC1,
∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1.
（3）∵DE∥AC1,∴∠CED为AC1与B1C所成的角.
在△CED中，ED=AC1=，CD=AB=,
CE=CB1=.
∴cos∠CED=
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.
解法2：
∵直三棱柱ABC—A1B1C1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC、BC，C1C两两垂直.
如图所示，以C为坐标原点，直线CA、CB、CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0)
(1)∵=(-3,0,0),
=(0,-4,4),
∴·=0，∴AC⊥BC1.
(2)设CB1与C1B的交点为E，连结DE，则E（0，2，2）
∵=(-,0,2),=(-3,0,4),
∴=,∴DE∥AC1.
∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1.
(3)∵=(-3,0,4),=(0,4,4).
∴cos〈,〉=.
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.
问题探究
问题1：设有比例式.
由比例性质可得：
=,
.
由此可得=-1.
试指出这个推理的错误所在.
导思：
==是正确的.而得到结论=-1的错误原因是什么呢？
探究：由题意令=t，且x、y、z≠0.
∴x=t(y+z)
y=t(z+x),z=t(x+y)
∴x+y+z=t(y+z)+t(z+x)+t(x+y)
=t(2x+2y+2z)
=2t(x+y+z).
∵x+y+z≠0
∴t=.
∴由比例式的性质
=是正确的.
而x-y=t(y+z)-t(z+x)
=t［(y+z)-(z+x)］
=t(y-x)
若x-y≠0,t=-1.此题错误的关键在于没有考虑x=y的情况.所以这个推理错误的关键是题目中没有告诉x、y、z是否完全相等，若x=y=z，则第二个关系式是错误的.
由此题可以看出，在证明问题的过程中，证明要严谨，思考要缜密，做到无懈可击，无可置疑.
问题2：在△ABC中，BC、AC边上的中线所在的直线AD与BE相交于点H.
求证：AB边上的中线所在的直线也通过点H.
证明：因为任何三角形的三条中线所在的直线相交于一点，所以AB边上的中线所在的直线一定通过点H.
上述命题的证明正确吗？如果不正确，请说出错误的原因.
导思：这里的论据是“三角形的三条中线所在的直线相交于一点，”这个论据实质上就是论题的另一种表达方式.因此，证来证去还是围绕着论题转圈子，结果什么也没有证明，犯了循环论证的逻辑错误.
探究：此问题可以用向量的方法来证明.
证明：首先令=a,
=b，有=a-b,
=a-b,
=-a+b,再令AD与BE交于点G1并假定=λa+b
∴=a+μb,又由于=+=（1）a+(μ-1)b,
所以
由此可得λ=μ=,所以=.
再令AD与CF相交于G2，同理可证=，因此G1、G2重合，即AD、BE、CF交于一点，故三角形三条中线交于一点.