学业分层测评(二十)
用平面向量坐标表示向量共线条件
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为
( )
A.
B.2
C.－
D.－2
【解析】 ma＋4b＝(2m－4,3m＋8)，a－2b＝(4，－1)，由ma＋4b与a－2b共线，有－(2m－4)－4(3m＋8)＝0，解得m＝－2，故选D.
【答案】 D
2.已知A，B，C三点共线，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为( )
A.－13
B.9
C.－9
D.13
【解析】 设C(6，y)，∵∥，
又＝(－8,8)，＝(3，y＋6)，
∴－8×(y＋6)－3×8＝0，
∴y＝－9.
【答案】 C
3.已知向量a＝(1－sin
θ，1)，b＝，且a∥b，则锐角θ等于( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
【解析】 由a∥b，可得(1－sin
θ)(1＋sin
θ)－＝0，即cos
θ＝±，而θ是锐角，故θ＝45°.
【答案】 B
4.(2016·马鞍山期末)已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，那么2a－b＝( )
A.(4,0)
B.(0,4)
C.(4，－8)
D.(－4,8)
【解析】 由a∥b知4＋2m＝0，∴m＝－2,2a－b＝(2，－4)－(－2,4)＝(4，－8).故选C.
【答案】 C
5.如果向量a＝(k,1)，b＝(4，k)共线且方向相反，则k等于( )
A.±2
B.2
C.－2
D.0
【解析】 由a，b共线得k2＝4，又两个向量的方向相反，故k＝－2.故选C.
【答案】 C
二、填空题
6.已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________.
【导学号：72010062】
【解析】 由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ).设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b.
由
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
所以B或.
【答案】 或
7.向量a＝(1，－2)，向量b与a共线，且|b|＝4|a|，则b＝________.
【解析】 因为b∥a，令b＝λa＝(λ，－2λ)，
又|b|＝4|a|，
所以(λ)2＋(－2λ)2＝16(1＋4)，故有λ2＝16，解得λ＝±4，∴b＝(4，－8)或(－4,8).
【答案】 (4，－8)或(－4,8)
三、解答题
8.已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－，求点C，D和向量的坐标.
【解】 设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)，
因为＝，＝－，
所以(x1＋1，y1－2)＝(3,6)＝(1,2)，
(－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)＝(1,2)，
则有和
解得和
所以点C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，＝(－2，－4).
9.如图2 2 20，在△OCB中，A是CB的中点，D是OB的靠近B点的一个三等分点，DC与OA交于点E，若＝λ，求实数λ的值.
图2 2 20
【解】 ∵C，E，D三点共线，
∴存在实数x，有＝x，
∴－＝x(－)，
∴λ－＝x，
又点A是CB的中点，
∴λ·(＋)－＝x，
∴＋＝x－x，
∴
∴λ＝.
[能力提升]
1.(2016·温州高一检测)若＝i＋2j，＝(3－x)i＋(4－y)j(其中i，j的方向分别与x，y轴正方向相同且为单位向量)，与共线，则x，y的值可能分别为( )
A.1,2
B.2,2
C.3,2
D.2,4
【解析】 因为＝(1,2)，＝(3－x,4－y)，
又∥，
所以4－y－2×(3－x)＝0，
即2x－y－2＝0，验知B合适.
【答案】 B
2.已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E为AB的中点，点F
在BC上，且BF
∶F
C＝2∶1，AF
与EC相交于点P，求四边形APCD的面积.
【解】 以A为坐标原点，为x轴建立直角坐标系，如图所示，
∴A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)，
F
(6,4)，E(3,0)，
设P(x，y)，＝(x，y)，
＝(6,4)，＝(x－3，y)，＝(3,6).
由点A，P，F
和点C，P，E分别共线，
得∴
∴S四边形APCD＝S正方形ABCD－S△AEP－S△CEB
＝36－×3×3－×3×6＝.
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1学业分层测评(二十九)
三角函数的积化和差与和差化积
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.sin
37.5°cos
7.5°＝( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 原式＝[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]
＝(sin
45°＋sin
30°)＝×＝.
【答案】 C
2.(2016·吉林高一检测)＝( )
A.
B.
C.2
D.4
【解析】 原式＝＝＝＝2.
【答案】 C
3.若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β等于( )
A.－
B.－
C.
D.
【解析】 ∵cos(α＋β)cos(α－β)
＝(cos
2α＋cos
2β)
＝[(2cos2α－1)＋(1－2sin2β)]
＝cos2α－sin2β，
∴cos2α－sin2β＝.
【答案】 C
4.(2016·沈阳高一检测)在△ABC中，若sin
Asin
B＝cos2，则△ABC是( )
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.不等边三角形
D.直角三角形
【解析】 由sin
Asin
B＝cos2，得cos(A－B)－cos(A＋B)＝，
∴cos(A－B)＋cos
C＝＋cos
C，
即cos
(A－B)＝1，
∴A－B＝0，即A＝B.
∴△ABC是等腰三角形.
【答案】 B
5.求值：sin
20°＋sin
40°＋sin
60°－sin
80
°＝( )
A.
B.
C.
D.1
【解析】 sin
20°＋sin
40°＋sin
60°－sin
80°
＝2sin
30°cos
10°＋sin
60°－sin
80°
＝2××sin
80°＋－sin
80°＝.
【答案】 C
二、填空题
6.函数y＝coscos的最大值是________.
【解析】 y＝coscos
＝
＝＝cos
4x－.
∴取最大值.
【答案】
7.直角三角形中两锐角为A和B，则sin
Asin
B的最大值为________.
【解析】 ∵A＋B＝，
sin
Asin
B＝[cos(A－B)－cos(A＋B)]
＝cos(A－B)，
又－＜A－B＜，∴0＜cos(A－B)≤1，
∴sin
Asin
B有最大值.
【答案】
8.(2016·日照高一检测)化简：sin
42°－cos
12°＋sin
54°＝________.
【导学号：72010092】
【解析】 sin
42°－cos
12°＋sin
54°
＝sin
42°－sin
78°＋sin
54°
＝－2cos
60°sin18°＋sin
54°＝sin
54°－sin
18°
＝2cos
36°sin
18°＝
＝＝
＝＝.
【答案】
三、解答题
9.(2016·济宁高一检测)已知A，B，C是△ABC的三个内角，y＝tan
＋，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？并证明你的结论.
【解】 ∵A，B，C是△ABC的三个内角，
∴A＋B＋C＝π，＝－.
∴y＝tan
＋
＝tan
＋
＝tan
＋tan
＋tan
.
因此，任意交换两个角的位置，y的值不变.
10.求函数f
(x)＝sin
x的最小正周期与最值.
【解】 f
(x)＝sin
x
＝sin
x·2cossin
＝－sin
xcos
＝－
＝－sin＋.
∴最小正周期为T＝＝π.
∵sin∈[－1,1]，
∴取最大值，取最小值－.
[能力提升]
1.若sin
α＋sin
β＝(cos
β－cos
α)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( )
A.－
B.－
C.
D.
【解析】 ∵α，β∈(0，π)，∴sin
α＋sin
β＞0，
∴cos
β－cos
α＞0，
∴cos
β＞cos
α，又在(0，π)上，y＝cos
x是减函数，
∴β＜α，0＜α－β＜π，由原式可知：
2sincos
＝，
∴tan＝，∴＝，∴α－β＝.
【答案】 D
2.在△ABC中，若B＝30°，则cos
Asin
C的取值范围是( )
A.[－1,1]
B.
C.
D.
【解析】 cos
Asin
C＝[sin(A＋C)－sin(A－C)]＝－sin(A－C)，∵－1≤sin(A－C)≤1，
∴cos
Asin
C∈.
【答案】 C
3.sin220°＋cos280°＋sin
20°cos
80°＝________.
【解析】 原式＝＋＋
sin
100°－sin
60°
＝－cos
40°－cos
20°＋sin
100°
＝－×2cos
30°cos
10°＋cos
10°
＝－cos
10°＋cos
10°＝.
【答案】
4.已知3tan＝tan，求证：sin
2α＝1.
【证明】 ∵3tan＝tan，
∴＝，
∴3sincos
＝sincos，
∴＝，
∴3sin
2α－＝sin
2α＋，
∴sin
2α＝1.
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1学业分层测评(二十二)
向量数量积的坐标运算与度量公式
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.(2016·开封质检)已知向量a＝(3,1)，b＝(x，－2)，c＝(0,2)，若a⊥(b－c)，则实数x的值为( )
A.
B.
C.－
D.－
【解析】 b－c＝(x，－4)，由a⊥(b－c)知3x－4＝0，
∴x＝.故选A.
【答案】 A
2.(2016·马鞍山质检)已知向量a＝(1，－2)，b＝(x,4)，且a∥b，则|a－b|＝( )
A.5
B.3
C.2
D.2
【解析】 ∵a∥b，∴4＋2x＝0，
∴x＝－2，a－b＝(1，－2)－(－2,4)＝(3，－6)，
∴|a－b|＝3.故选B.
【答案】 B
3.已知向量a＝(1，)，b＝(－2,2)，则a与b的夹角是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 设a与b的夹角为θ，
则cos
θ＝＝＝，
解得θ＝.故选C.
【答案】 C
4.若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 a在b方向上的投影为|a|cos
＝＝＝
＝.
【答案】 A
5.已知正方形OABC两边AB，BC的中点分别为D和E，则∠DOE的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 以点O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，设边长为1，则D，E，于是cos∠DOE＝
＝.
【答案】 D
二、填空题
6.已知O＝(－2,1)，O＝(0,2)，且A∥O，B⊥A，则点C的坐标是________.
【解析】 设C(x，y)，则A＝(x＋2，y－1)，
B＝(x，y－2)，A＝(2,1).
由A∥O，B⊥A，得
解得
∴点C的坐标为(－2,6).
【答案】 (－2,6)
7.(2016·德州高一检测)若向量a＝(－2,2)与b＝(1，y)的夹角为钝角，则y的取值范围为________.
【解析】 若a与b夹角为180°，则有b＝λa(λ<0)
即解得y＝－1且λ＝－，所以b≠λa(λ<0)时y≠－1；①
若a与b夹角θ∈时，则只要a·b<0且b≠λa(λ<0).
当a·b<0有－2＋2y<0解得y<1.②
由①②得y<－1或－1【答案】 (－∞，－1)∪(－1,1)
三、解答题
8.已知＝(6,1)，＝(4，k)，＝(2,1).
(1)若A，C，D三点共线，求k的值；
(2)在(1)的条件下，求向量与的夹角的余弦值.
【导学号：72010068】
【解】 (1)因为＝＋＝(10，k＋1)，由题意知A，C，D三点共线，
所以∥，所以10×1－2(k＋1)＝0，即k＝4.
(2)因为＝(2,1)，设向量与的夹角为θ，则cos
θ＝＝＝.
9.已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，当k为何值时，
(1)ka－b与a＋b共线；
(2)ka－b与a＋b的夹角为120°.
【解】 ∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)，
ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)，
a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1).
(1)∵ka－b与a＋b共线，
∴k＋2－(－k)＝0，∴k＝－1.
即当k＝－1时，ka－b与a＋b共线.
(2)∵|ka－b|＝，
|a＋b|＝＝，
(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)
＝k－k－2＝－2，
而ka－b与a＋b的夹角为120°，
∴cos
120°＝，
即－＝，
化简整理，得k2＋2k－2＝0，解之得k＝－1±.
即当k＝－1±时，ka－b与a＋b的夹角为120°.
[能力提升]
1.已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3).若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 设c＝(x，y)，
又因为a＝(1,2)，b＝(2，－3)，
所以c＋a＝(x＋1，y＋2)，
又因为(c＋a)∥b，
所以有(x＋1)·(－3)－2·(y＋2)＝0，
即－3x－2y－7＝0，①
又a＋b＝(3，－1)，
由c⊥(a＋b)得：3x－y＝0，②
由①②解得
因此有c＝.
【答案】 D
2.(2016·徐州高一检测)在平面直角坐标系内，已知三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求：
(1)，的坐标；
(2)|－|的值；
(3)cos∠BAC的值.
【解】 (1)＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
＝(2,5)－(1,0)＝(1,5).
(2)因为－＝(－1,1)－(1,5)＝(－2，－4)，
所以|－|＝＝2.
(3)因为·＝(－1,1)·(1,5)＝4，
||＝，||＝，
cos∠BAC＝＝＝.
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1学业分层测评(十四)
向量的加法
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知a，b，c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的个数为( )
A.5
B.4
C.3
D.2
【解析】 依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a＋b＋c相等，故选A.
【答案】 A
2.如图2 1 15所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＋＋＝( )
图2 1 15
A.
B.
C.
D.
【解析】 ＋＋＝＋＋＝.
【答案】 B
3.如图2 1 16所示的方格中有定点O，P，Q，E，F
，G，H，则＋＝( )
图2 1 16
A.
B.
C.
D.
【解析】 设a＝＋，以OP，OQ为邻边作平行四边形，则夹在OP，OQ之间的对角线对应的向量即为向量a＝＋，则a与长度相等，方向相同，所以a＝.
【答案】 C
4.下列结论中，正确结论的个数为( )
【导学号：72010044】
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同；②在△ABC中，必有＋＋＝0；③若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；④若a，b均为非零向量，则a＋b的长度与a的长度加b的长度的和一定相等.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【解析】 当a＋b＝0时，知①不正确；由向量加法的三角形法则知②正确；当A，B，C三点共线时知③不正确；当向量a与向量b方向不相同时|a＋b|≠|a|＋|b|，故④不正确.
【答案】 B
5.在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|＋|，则四边形ABCD是( )
A.菱形
B.矩形
C.正方形
D.不确定
【解析】 ∵|＋|＝||，
|＋|＝|＋|＝||，
∴||＝||，∴ ABCD是矩形.
【答案】 B
二、填空题
6.若a表示“向东走8
km”，b表示“向北走8
km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________.
【解析】 如图所示，作＝a，＝b，
则a＋b＝＋＝.
所以|a＋b|＝||
＝＝8(km)，
因为∠AOB＝45°，
所以a＋b的方向是东北方向.
【答案】 8
km 东北方向
7.(2016·济南高一检测)当非零向量a，b满足________时，a＋b平分以a与b为邻边的平行四边形的内角.
【解析】 当|a|＝|b|时，以a与b为邻边的平行四边形为菱形，则其对角线上向量a＋b平分此菱形的内角.
【答案】 |a|＝|b|
三、解答题
8.已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.
【解】 如图，∵||＝||＝3，
∴四边形OACB为菱形.
连接OC、AB，则OC⊥AB，设垂足为D.
∵∠AOB＝60°，∴AB＝||＝3，
∴在Rt△BDC中，CD＝，
∴||＝|a＋b|＝×2＝3.
9.如图2 1 17，已知D，E，F
分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点.求证：＋＋＝0.
图2 1 17
【证明】 由题意知：＝＋，＝＋，＝＋.
由平面几何可知，＝，＝.
∴＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝(＋＋＋)＋(＋)
＝(＋＋＋＋)＋0
＝＋＋＝＋＋＝0，
∴＋＋＝0.
[能力提升]
1.在正六边形ABCDEF
中，若AB＝1，则|＋＋|等于( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】 如图，∵＋＋
＝＋＋＝，
∴|＋＋|＝||＝2||
＝2||＝2.故选B.
【答案】 B
2.如图2 1 18，在重300
N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力.
图2 1 18
【解】 如图，作 OACB，
使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，
则在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.
设向量，分别表示两根绳子的拉力，
则表示物体的重力，且||＝300(N)，
∴||＝||cos
30°＝150(N)，
||＝||cos
60°＝150(N).
故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150
N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150
N.
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1学业分层测评(二十一)
向量数量积的运算律
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知|b|＝3，a在b方向上的投影是，则a·b为( )
A.
B.
C.3
D.2
【解析】 由数量积的几何意义知
a·b＝×3＝2，故选D.
【答案】 D
2.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝，则a与b的夹角θ为( )
【导学号：72010065】
A.
B.
C.
D.
【解析】 ∵|2a＋b|2＝4＋9＋4a·b＝7，∴a·b＝－，
∴cos
θ＝＝－.
又θ∈[0，π]，
∴θ＝.
【答案】 B
3.设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于( )
A.－2
B.－1
C.1
D.2
【解析】 因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.故选B.
【答案】 B
4.若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为( )
A.2
B.4
C.6
D.12
【解析】 ∵(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2
＝|a|2－|a|·|b|cos
60°－6|b|2
＝|a|2－2|a|－96＝－72，
∴|a|2－2|a|－24＝0，
∴|a|＝6.
【答案】 C
5.已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，则|a－c|的最小值为( )
A.1
B.
C.
D.
【解析】 ∵|a|＝|b|＝1，
c与a＋b同向，
∴a与c的夹角为60°.
又|a－c|＝
＝
＝，
故|a－c|的最小值取.
【答案】 D
二、填空题
6.已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝1，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于________.
【解析】 ∵(3a＋2b)⊥(λa－b)，
∴(λa－b)·(3a＋2b)＝0，
∴3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0.
又∵|a|＝2，|b|＝1，a⊥b，
∴12λ＋(2λ－3)×2×1×cos
90°－2＝0，
∴12λ－2＝0，∴λ＝.
【答案】
7.已知|a|＝|b|＝|c|＝1，且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a与b的夹角为60°，则实数m＝________.
【解析】 ∵3a＋mb＋7c＝0，∴3a＋mb＝－7c，
∴(3a＋mb)2＝(－7c)2，化简得9＋m2＋6ma·b＝49.
又a·b＝|a||b|cos
60°＝，∴m2＋3m－40＝0，
解得m＝5或m＝－8.
【答案】 5或－8
三、解答题
8.已知|a|＝4，|b|＝2.
(1)若a、b的夹角为120°，求|3a－4b|；
(2)若|a＋b|＝2，求a与b的夹角θ.
【解】 (1)a·b＝|a||b|cos
120°＝4×2×＝－4.
又|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2
＝9×42－24×(－4)＋16×22＝304，
∴|3a－4b|＝4.
(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝42＋2a·b＋22＝(2)2，
∴a·b＝－4，∴cos
θ＝＝＝－.
又
θ∈[0，π]，∴θ＝.
9.在△ABC中，＝a，＝b，＝c，且a·b＝b·c＝c·a，试判断△ABC的形状.
【解】 如图，a＋b＋c＝0.
则a＋b＝－c，
即(a＋b)2＝(－c)2，
故a2＋2a·b＋b2＝c2.①
同理，a2＋2a·c＋c2＝b2,
②
b2＋2b·c＋c2＝a2.
③
由①－②，得
b2－c2＝c2－b2，即2b2＝2c2，
故|b|＝|c|.
同理，由①－③，得|a|＝|c|.故|a|＝|b|＝|c|，
故△ABC为等边三角形.
[能力提升]
1.(2016·玉溪高一检测)已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 因为Δ＝a2－4|a|·|b|cos
θ(θ为向量a与b夹角).
若方程有实根，则有Δ≥0即a2－4|a|·|b|cos
θ≥0，
又|a|＝2|b|，∴4|b|2－8|b|2cos
θ≥0，
∴cos
θ≤，又0≤θ≤π，
∴≤θ≤π.
【答案】 B
2.已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角.
【解】 ∵e1，e2为单位向量且夹角为60°，
∴e1·e2＝1×1×cos
60°＝.
∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝－2－e1·e2＋1＝－2－＋1＝－，
|a|＝＝
＝＝，
|b|＝＝
＝＝，
∴cos
θ＝＝－×＝－.
又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°，
∴a与b的夹角为120°.
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1学业分层测评(十五)
向量的减法
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，则的相反向量是( )
A.a－b
B.b－a
C.a＋b
D.－a－b
【解析】 ∵＝－＝b－a，
∴的相反向量为－(b－a)＝a－b.
【答案】 A
2.已知平面内M，N，P三点满足－＋＝0，则下列说法正确的是( )
A.M，N，P是一个三角形的三个顶点
B.M，N，P是一条直线上的三个点
C.M，N，P是平面内的任意三个点
D.以上都不对
【解析】 因为－＋＝＋＋＝＋＝0，＋＋＝0对任意情况是恒成立的.故M，N，P是平面内的任意三个点.故选C.
【答案】 C
3.(2016·天津和平区期末)在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是( )
A.＋＝
B.＋＝
C.＋＝
D.－＝
【解析】 由向量加减法法则知＋＝，＋＝，C项只有四边形ABCD是平行四边形时才成立，－＝.故选B.
【答案】 B
4.给出下列各式：
①＋＋；②－＋－；③－＋；④－＋＋.
对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【解析】 ①＋＋＝＋＝0；
②－＋－＝＋－(＋)＝－＝0；
③－＋＝＋＋＝＋＝0；
④－＋＋＝＋＋－＝＋＝0.
【答案】 A
5.已知D，E，F
分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
【导学号：72010047】
图2 1 23
A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
【解析】 因为D，E，F
分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，
所以＝，＝，＝，＝，
所以＋＋＝＋＋＝0，故A成立.
－＋＝＋－＝＋＝≠0，故B不成立.
＋－＝＋＝＋＝≠0，故C不成立.
－－＝－＝＋≠0，故D不成立.
【答案】 A
二、填空题
6.如图2 1 24所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________.(用a，b，c表示)
图2 1 24
【解析】 由题意，在平行四边形ABCD中，因为＝a，＝b，所以＝－＝a－b，
所以＝＝a－b，
所以＝＋＝a－b＋c.
【答案】 a－b＋c
7.在平行四边形ABCD中，若＝a，＝b，且|a＋b|＝|a－b|，则四边形ABCD的形状是________.
【解析】 由平行四边形法则知，|a＋b|，|a－b|分别表示对角线AC，BD的长，当||＝||时，平行四边形ABCD为矩形.
【答案】 矩形
三、解答题
8.
图2 1 25
如图2 1 25，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示.
(2)用b，c表示.
(3)用a，b，e表示.
(4)用d，c表示.
【解】 因为＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，
所以(1)＝＋＋＝d＋e＋a；
(2)＝－＝－－＝－b－c；
(3)＝＋＋＝a＋b＋e；
(4)＝－＝－(＋)＝－c－d.
9.(2016·泰安高一检测)已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，＝a，＝b，求证：
(1)|a－b|＝|a|；
(2)|a＋(a－b)|＝|b|.
【证明】 如图，在等腰Rt△ABC中，由M是斜边AB的中点，
得||＝||，||＝||.
(1)在△ACM中，＝－＝a－b.
于是由||＝||，
得|a－b|＝|a|.
(2)在△MCB中，＝＝a－b，
所以＝－＝a－b＋a＝a＋(a－b).
从而由||＝||，
得|a＋(a－b)|＝|b|.
[能力提升]
1.平面内有三点A，B，C，设m＝＋，n＝－，若|m|＝|n|，则有( )
A.A，B，C三点必在同一直线上
B.△ABC必为等腰三角形且∠ABC为顶角
C.△ABC必为直角三角形且∠ABC＝90°
D.△ABC必为等腰直角三角形
【解析】
如图，作＝，则ABCD为平行四边形，从而m＝＋＝，n＝－＝－＝.
∵|m|＝|n|，∴||＝||.
∴四边形ABCD是矩形，
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.
【答案】 C
2.已知△OAB中，＝a，＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积.
【解】 由已知得||＝||，以、为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，
且＝a＋b，＝a－b，
由于|a|＝|b|＝|a－b|，则OA＝OB＝BA，
∴△OAB为正三角形，
∴|a＋b|＝||＝2×＝2，
S△OAB＝×2×＝.
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1学业分层测评(十八)
平面向量基本定理
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.(2016·衡水高一检测)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )
A.e1＋e2和e1－e2
B.3e1－4e2和6e1－8e2
C.e1＋2e2和2e1＋e2
D.e1和e1＋e2
【解析】 B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，
∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底.
【答案】 B
2.(2016·合肥高一检测)如图2 2 9，向量a－b等于( )
图2 2 9
A.－4e1－2e2
B.－2e1－4e2
C.e1－3e2
D.3e1－e2
【解析】 不妨令a＝，
b＝，
则a－b＝－＝，
由平行四边形法则可知＝e1－3e2.
【答案】 C
3.(2016·大连高一检测)如图2 2 10，已知E，F
分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF
与AC交于点G，若＝a，＝b，用a、b表示＝( )
图2 2 10
A.a＋b
B.a＋b
C.a－b
D.a＋b
【解析】 易知＝，＝.
设＝λ，则由平行四边形法则可得＝λ(＋)＝2λ＋2λ，
由于E，G，F
三点共线，
则2λ＋2λ＝1，
即λ＝，从而＝，
从而＝＝(a＋b).
【答案】 D
4.若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 ∵＝4＝r＋s，
∴＝＝(－)＝r＋s，
∴r＝，s＝－，
∴3r＋s＝－＝.
【答案】 C
5.如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题正确的是( )
A.若实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B.空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C.对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内
D.对平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
【解析】 选项B错误，这样的a只能与e1，e2在同一平面内，不能是空间任一向量；选项C错误，在平面α内任一向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；选项D错误，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是有无数对.
【答案】 A
二、填空题
6.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.
【解析】 由题意可以设a＋λb＝λ1(－b＋3a)＝3λ1a－λ1b，
因为a与b不共线，
所以有解得
【答案】 －
7.设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________.
【解析】 因为a＝e1＋2e2
①，
b＝－e1＋e2
②，
显然a与b不共线，
①＋②得a＋b＝3e2，
所以e2＝代入②得
e1＝e2－b＝－b＝a－b，
故有e1＋e2＝a－b＋a＋b＝a－b.
【答案】 a－b
三、解答题
8.如图2 2 11，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，|＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值.
图2 2 11
【导学号：72010056】
【解】 如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则＝＋，在Rt△OCD中，因为||＝2，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，所以||＝4，||＝2，故＝4，＝2，即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.
9.(2016·马鞍山二中期末)如图2 2 12所示，在 ABCD中，E，F
分别是BC，DC的中点，BF
与DE交于点G，设＝a，＝b.
图2 2 12
(1)用a，b表示；
(2)试用向量方法证明：A，G，C三点共线.
【解】 (1)＝－＝＋－
＝a＋b－b＝a－b.
(2)证明：连接AC，BD交于O，
则＝，
∵E，F
分别是BC，DC的中点，
∴G是△CBD的重心，
∴＝＝×＝－，
又C为公共点，∴A，G，C三点共线.
[能力提升]
1.已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
【解析】 为上的单位向量，
为上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向.又λ∈[0，＋∞)，
∴λ的方向与＋的方向相同.而＝＋λ，
∴点P在上移动，
∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心.
【答案】 B
2.如图2 2 13所示，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且＝x＋y.
图2 2 13
(1)求x的取值范围；
(2)当x＝－时，求y的取值范围.
【解】 (1)因为＝x＋y，以OB和OA的反向延长线为两邻边作平行四边形，由向量加法的平行四边形法则可知OP为此平行四边形的对角线，当OP长度增大且靠近OM时，x趋向负无穷大，所以x的取值范围是(－∞，0).
(2)如图所示，当x＝－时，在OA的反向延长线取点C，使OC＝OA，过C作CE∥OB，分别交OM和AB的延长线于点D，E，
则CD＝OB，CE＝OB，
要使P点落在指定区域内，则P点应落在DE上，当点P在点D处时＝－＋，当点P在点E处时＝－＋，
所以y的取值范围是.
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1学业分层测评(十七)
向量共线的条件与轴上向量坐标运算
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A.A，B，D
B.A，B，C
C.B，C，D
D.A，C，D
【解析】 ＝＋＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2，所以A，B，D三点共线.
【答案】 A
2.(2016·临沂高一检测)设a，b为不共线向量，＝a＋b，＝－4a－b，＝－5a－2b，则下列关系式中正确的是( )
A.＝
B.＝2
C.＝－
D.＝－2
【解析】 ＝＋＋＝－8a－2b
＝2(－4a－b)＝2.
【答案】 B
3.设a，b是不共线的向量，＝a＋kb，＝ma＋b(k，m∈R)，则当A，B，C三点共线时，有( )
A.k＝m
B.km－1＝0
C.km＋1＝0
D.k＋m＝0
【解析】 ∵A，B，C三点共线，
∴＝n，∴a＋kb＝mna＋nb，
∴
∴mk－1＝0.
【答案】 B
4.(2016·济南高一检测)已知向量e1，e2不共线，a＝ke1＋e2，b＝e1＋ke2，若a与b共线，则k等于( )
A.±1
B.1
C.－1
D.0
【解析】 ∵a与b共线，∴a＝λb.
即ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
∴解得k＝±1.
【答案】 A
5.(2016·佛山高一检测)已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若a∥b，则( )
A.λ＝0
B.e2＝0
C.e1∥e2
D.e1∥e2或λ＝0
【解析】 ∵a∥b，∴存在实数k，使得a＝kb，
即(2k－1)e1＝λe2.∵e1≠0，∴若2k－1＝0，则λ＝0或e2＝0；
若2k－1≠0，则e1＝e2，此时e1∥e2，又0与任何一个向量平行，∴有e1∥e2或λ＝0.
【答案】 D
二、填空题
6.已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标为3，AB＝5，AC＝2，则点C的坐标为________.
【解析】 设A，C的坐标分别为xA，xC，则AB＝3－xA＝5，∴xA＝－2，又AC＝xC－xA＝xC－(－2)＝2，
∴xC＝0.
【答案】 0
7.(2015·全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.
【解析】 ∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，
即λa＋b＝ta＋2tb，
∴解得
【答案】
8.(2016·绍兴高一检测)设a，b是两个不共线的非零向量，记＝a，＝tb(t∈R)，＝(a＋b)，那么当A，B，C三点共线时，实数t的值为________.
【导学号：72010053】
【解析】 ∵＝a，＝tb，＝(a＋b)，
∴＝－＝tb－a，
＝－＝(a＋b)－a＝b－a，
∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使＝λ，
即tb－a＝λ.
由于a，b不共线，∴解得
故当t＝时，A，B，C三点共线.
【答案】
三、解答题
9.已知数轴上A，B两点的坐标为x1，x2，根据下列题中的已知条件，求点A的坐标x1.
(1)x2＝－5，BA＝－3；(2)x2＝－1，|AB|＝2.
【解】 (1)BA＝x1－(－5)＝－3，所以x1＝－8.
(2)|AB|＝|－1－x1|＝2，所以x1＝1或x1＝－3.
10.已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ使向量d＝λa＋μb与c共线？
【解】 假设存在这样的实数λ，μ使得d＝λa＋μb与c共线，
∴d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)
＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2.
要使d与c共线.
则有实数k，使得d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，
∴所以λ＝－2μ.
故存在这样的λ，μ，使d与c共线.
[能力提升]
1.设e1，e2是不共线向量，若向量a＝3e1＋5e2与向量b＝me1－3e2共线，则m的值等于( )
A.－
B.－
C.－
D.－
【解析】 ∵a∥b，∴存在实数λ，使得b＝λa，
即me1－3e2＝λ(3e1＋5e2)，
∵e1，e2是不共线向量，∴
解得m＝－.
【答案】 A
2.(2016·枣庄校级月考)已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝( )
A.a
B.b
C.c
D.0
【解析】 ∵a＋b与c共线，
b＋c与a共线，
∴a＋b＝λc，b＋c＝μa，
两式相减得a－c＝λc－μa，
移项得(1＋λ)c＝(1＋μ)a.
∵向量a，c不共线，
∴只有1＋λ＝0,1＋μ＝0.
即λ＝－1，μ＝－1.
也就是a＋b＝－c，
即a＋b＋c＝0.
【答案】 D
3.已知向量e1，e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝________.
【解析】 ∵a∥b，
∴存在实数μ，使得a＝μb.
即2e1－e2＝μe1＋λμe2，
∴解得λ＝－.
【答案】 －
4.如图2 1 35，设G为△ABC的重心，过G的直线l分别交AB，AC于P，Q，若＝m，＝n，求证：＋＝3.
图2 1 35
【证明】 设＝a，＝b，∵＝m，＝n，
∴＝ma，＝nb.
∵G为△ABC的重心，连接AG并延长交BC于D，
则AD为△ABC一边BC的中线，
∴＝(a＋b)，
∴＝＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b.
＝－＝nb－(a＋b)
＝－a＋b.
又与共线，∴＝λ，
∴a＋b
＝－λa＋λb，
∴
消去λ得：m＋n＝3mn，
即＋＝3.
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1学业分层测评(十二)
已知三角函数值求角
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列叙述错误的是( )
A.arctan
y表示一个内的角
B.若x＝arcsin
y，|y|≤1，则sin
x＝y
C.若tan
＝y，则x＝2arctan
y
D.arcsin
y，arccos
y中的y∈[－1,1]
【解析】 ∵tan
＝y，∴＝kπ＋arctan
y，∴x＝2kπ＋2arctan
y，故C错.
【答案】 C
2.已知sin
α＝－，－＜α＜0，则α等于( )
A.π－arcsin
B.π＋arcsin
C.arcsin
D.－arcsin
【解析】 －＜α＜0，sin
α＝－，所以α＝
arcsin.
【答案】 C
3.若＜x＜π且cos
x＝－，则x等于( )
A.arccos
B.－arccos
C.π－arccos
D.π＋arccos
【解析】 ∵x∈，
∴x＝arccos＝π－arccos
.
【答案】 C
4.(2016·大连高一检测)若tan＝，则在区间[0,2π]上解的个数为( )
A.5
B.4
C.3
D.2
【解析】 ∵tan＝，∴2x＋＝kπ＋(k∈Z).即x＝－(k∈Z).
∵x∈[0,2π]，∴k＝1,2,3,4时，x分别为，π，，π.故选B.
【答案】 B
5.直线x＋2y＋1＝0的倾斜角为( )
【导学号：72010035】
A.arctan
B.－arctan
C.arcsin
D.arccos
【解析】 直线x＋2y＋1＝0可化为y＝－x－，∴直线斜率k＝－，设直线倾斜角为α，则tan
α＝－，故α为钝角，∴cos
α＝－，∴α＝arccos.
【答案】 D
二、填空题
6.(2016·威海高一检测)函数y＝arccos(sin
x)的值域为________.
【解析】 ∵－≤x≤，∴－≤sin
x≤1，
∴0≤arccos(sin
x)≤.
【答案】
7.(2016·东营高一检测)若x＝是方程2cos(x＋α)＝1的解，其中α∈(0,2π)，则角α＝________.
【解析】 由条件可知2cos＝1，
即cos＝，∴α＋＝2kπ±(k∈Z).
∵α∈(0,2π)，∴α＝.
【答案】
8.(2016·日照高一检测)已知cos
α＝，α∈[0,2π)，则角α＝________.
【解析】 因为cos
α＝，所以α是第一或第四象限角.又因为α∈[0,2π)，
所以α＝arccos或α＝2π－arccos.
【答案】 arccos或2π－arccos
三、解答题
9.已知sin
＝－，且α是第二象限的角，求角α.
【解】 ∵α是第二象限角，∴是第一或第三象限的角.
又∵sin
＝－＜0，∴是第三象限角.
又sin
＝－，∴＝2kπ＋π(k∈Z)，
∴α＝4kπ＋π(k∈Z).
10.(2016·四川高一检测)已知tan
α＝－2，根据下列条件求角α.
(1)α∈；(2)α∈[0,2π]；(3)α∈R.
【解】 (1)由正切函数在开区间上是增函数可知，符合条件tan
α＝－2的角只有一个，即α＝arctan(－2).
(2)∵tan
α＝－2＜0，∴α是第二或第四象限角.
又∵α∈[0,2π]，由正切函数在区间、上是增函数知，符合tan
α＝－2的角有两个.
∵tan(π＋α)＝tan(2π＋α)＝tan
α＝－2，
且arctan(－2)∈，
∴α＝π＋arctan(－2)或α＝2π＋arctan(－2).
(3)α＝kπ＋arctan(－2)(k∈Z).
[能力提升]
1.给出下列等式：
①arcsin＝1；②arcsin＝；
③arcsin＝；④sin＝.
其中正确等式的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】 ①arcsin无意义；②③④正确.
【答案】 C
2.若直线x＝(－1≤k≤1)与函数y＝tan的图象不相交，则k＝( )
A.
B.－
C.或－
D.－或
【解析】 要使函数y＝tan有意义则2x＋≠mπ＋，m∈Z
∵直线x＝(－1≤k≤1)与y＝tan的图象不相交，
∴x＝时正切函数y＝tan无意义，
即2×＋＝＋mπ，
∴4k＝4m＋1.
当m＝0时，k＝，满足要求；
当m＝－1时，k＝－满足要求；
当m＝1时，k＝不满足要求，
故满足条件的k＝或－.
【答案】 C
3.函数y＝＋π－arccos(2x－3)的定义域是________.
【解析】 要使函数有意义，需有：
解得：1≤x≤.
【答案】
4.若f
(arcsin
x)＝x2＋4x，求f
(x)的最小值，并求f
(x)取得最小值时的x的值.
【解】 令t＝arcsin
x，t∈，即sin
t＝x，
sin
t∈[－1,1]，于是f
(t)＝sin2t＋4sin
t，即f
(x)＝(sin
x＋2)2－4，x∈.
∵－1≤sin
x≤1，
∴当sin
x＝－1，即x＝－时，f
(x)取得最小值(－1＋2)2－4＝－3.
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1学业分层测评(六)
诱导公式（一）、（二）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.(2016·包头高一月考)sin的值为( )
A.
B.
C.－
D.－
【解析】 sin＝sin＝sin＝，故选A.
【答案】 A
2.给出下列函数值：①sin(－1
000°)；②cos；③tan
2，其中符号为负的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】 ①sin(－1
000°)＝sin(－360°×3＋80°)＝sin
80°>0；
②cos＝cos
＝>0；③∵<2<π，∴tan
2<0.
【答案】 B
3.记cos(－80°)＝k，那么tan
440°＝( )
A.
B.－
C.
D.－
【解析】 ∵cos(－80°)＝cos
80°＝k，∴sin
80°＝＝，tan
440°＝tan(360°＋80°)＝tan
80°＝＝，故选A.
【答案】 A
4.(2016·潍坊高一检测)已知sin＝a，则sin＝( )
【导学号：72010017】
A.a
B.－a
C.±a
D.不确定
【解析】 ∵＋＝2π，
∴sin＝sin
＝sin＝－sin＝－a.故选B.
【答案】 B
5.＝( )
A.sin
2－cos
2
B.sin
2＋cos
2
C.±(sin
2－cos
2)
D.cos
2－sin
2
【解析】 原式＝
＝＝|sin
2－cos
2|.而sin
2＞cos
2，故应选A.
【答案】 A
二、填空题
6.cos
1
110°的值为________.
【解析】 cos
1
110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos
30°＝.
【答案】
7.若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a的值为________.
【解析】 由三角函数定义知，tan
420°＝－，又tan
420°＝tan(360°＋60°)＝tan
60°＝，
∴－＝，∴a＝－4.
【答案】 －4
8.(2015·北京高一检测)化简：
＝________.
【解析】 原式＝＝
＝＝1.
【答案】 1
二、解答题
9.求下列各式的值：
(1)a2sin(－1
350°)＋b2tan
405°－2abcos(－1
080°)；
(2)sin＋cosπ·tan
4π.
【解】 (1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)
＝a2sin
90°＋b2tan
45°－2abcos
0°
＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
(2)sin＋cosπ·tan
4π
＝sin＋cosπ·tan
0
＝sin＋0＝.
10.化简：.
【解】 原式＝
＝
＝
＝1.
[能力提升]
1.设f(α)＝，则f的值为( )
A.
B.－
C.
D.－
【解析】 f(α)＝
＝＝－，
∴f＝－＝－＝－.
【答案】 D
2.已知cos＝，则cos＋sin2的值为( )
A.
B.
C.－
D.－
【解析】 ∵cos＝cos＝，
∴sin2＝1－cos2
＝1－＝，
∴cos＋sin2
＝cos＋sin2
＝cos＋sin2＝＋＝.
【答案】 B
3.设f(x)＝
g(x)＝
则g＋f＋g＋f＝________.
【解析】 原式＝cos＋f＋1＋g＋1＋f＋1＝＋sin＋cos＋sin＋3＝－＋－＋3＝3.
【答案】 3
4.设函数f(x)＝asin(πx＋a)－bcos(πx－b)＋ctan(πx＋c)，其中a，b，c∈R且abc≠0，且有f(2
012)＝－1，求f(2
016)的值.
【解】 f(2
012)＝asin(2
012π＋a)－bcos(2
012π－b)＋ctan(2
012π＋c)
＝asin
a－bcos
b＋ctan
c，
而f(2
016)＝asin(2
016π＋a)－bcos(2
016π－b)＋ctan(2
016π＋c)
＝asin
a－bcos
b＋ctan
c，
∴f(2
016)＝f(2
012)＝－1.
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1学业分层测评(十六)
数乘向量
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.(2016·德州高一检测)若向量方程2x－3(x－2a)＝0，则向量x等于( )
A.a
B.－6a
C.6a
D.－a
【解析】 由题意得：2x－3x＋6a＝0，
所以有x＝6a.
【答案】 C
2.设P是△ABC所在平面内一点，且＋＝2，则( )
A.＋＝0
B.＋＝0
C.＋＝0
D.＋＋＝0
【解析】 因为＋＝2，所以点P为线段AC的中点，故选项B正确.
【答案】 B
3.(2016·北京高一检测)四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD是( )
A.梯形
B.平行四边形
C.菱形
D.矩形
【解析】 因为＝a＋2b，
又＝－＝－4a－b－(－5a－3b)＝a＋2b＝.
又因在四边形ABCD中，有||＝||且AB∥DC，
所以四边形ABCD为平行四边形.
【答案】 B
4.已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，那么( )
A.＝
B.＝2
C.＝3
D.2＝
【解析】 由2＋＋＝0，得＋＝－2，又因为＋＝2，所以＝.
【答案】 A
5.如图2 1 28，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F
是BC的一个三等分点，那么＝( )
图2 1 28
A.－
B.＋
C.＋
D.－
【解析】 ＝，＝＝－，所以＝＋＝－.
【答案】 D
二、填空题
6.(2016·郑州高一检测)已知＝，若＝λ，则λ等于________.
【解析】 因为＝，
所以－＝(＋)，
即＝－＝λ，
所以λ＝－.
【答案】 －
7.已知|a|＝6，b与a的方向相反，且|b|＝3，a＝mb，则实数m＝__________.
【解析】 ＝＝2，∴|a|＝2|b|，又a与b的方向相反，
∴a＝－2b，∴m＝－2.
【答案】 －2
8.(2016·南宁高一检测)若＝t(t∈R)，O为平面上任意一点，则＝________.(用，表示)
【解析】 ＝t，－＝t(－)，
＝＋t－t＝(1－t)＋t.
【答案】 (1－t)＋t
三、解答题
9.设a＝3i＋2j，b＝2i－j，试用i，j表示向量.
【导学号：72010050】
【解】
＝(4a－3b)＋b－(6a－7b)
＝a－2b＋b－a＋b
＝a＋b
＝a－b＝(3i＋2j)－(2i－j)
＝5i＋j－i＋j＝i＋j.
10.如图2 1 29所示，OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形.又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示，，.
图2 1 29
【解】 ＝＝＝(－)
＝(a－b)，
所以＝＋＝b＋a－b＝a＋b，
＝＝，
所以＝＋＝＋
＝＝(＋)
＝(a＋b)＝a＋b.
＝－
＝(a＋b)－a－b
＝a－b.
[能力提升]
1.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝( )
A.
B.－
C.
D.
【解析】 由题意知＝＋，①
＝＋，②
且＋2＝0.
①＋②×2得3＝＋2，
∴＝＋，∴λ＝.
【答案】 A
2.已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】 因为＋＋＝0，
所以＋＋＋＋＝0，
从而有＋＝－3＝3＝m，故有m＝3.
【答案】 B
3.(2016·济宁高一检测)若＝3e1，＝3e2，且P是线段AB靠近点A的一个三等分点，则向量用e1，e2可表示为＝________.
【解析】 如图，
＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋＝×3e2＋×3e1＝2e1＋e2.
【答案】 2e1＋e2
4.如图2 1 30所示，点P在直线AB上，O为直线外任意一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求证：λ＋μ＝1.
图2 1 30
【证明】 ∵点P在直线AB上，
∴∥，设＝x，
∵＝－，＝－，
∴－＝x(－)，
∴＝(1－x)＋x.
又＝λ＋μ，∴λ＝1－x，μ＝x，∴λ＋μ＝1.
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1学业分层测评(二十四)
两角和与差的余弦
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.(2016·鞍山高一检测)cos
78°cos
18°＋sin
78°sin
18°的值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 原式＝cos(78°－18°)＝cos
60°＝.
【答案】 A
2.已知sin
α＝，α是第二象限角，则cos(α－60°)为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 因为sin
α＝，α是第二象限角，所以cos
α＝－，故cos(α－60°)＝cos
αcos
60°＋sin
αsin
60°＝×＋×＝.
【答案】 B
3.在△ABC中，若sin
Asin
BAcos
B，则△ABC一定为( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
【解析】 ∵sin
Asin
BAcosB，
∴cos
Acos
B－sin
Asin
B>0，
即cos(A＋B)>0，∴cos
C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)<0，
∴角C为钝角，
∴△ABC一定为钝角三角形.
【答案】 D
4.已知：cos(α＋β)cos
β＋sin(α＋β)sin
β＝－，且180°＜α＜270°，则tan
α等于( )
【导学号：72010077】
A.
B.－
C.
D.－
【解析】 由已知得cos[(α＋β)－β]＝－，即cos
α＝－.又180°＜α＜270°，所以sin
α＝－，所以tan
α＝＝.
【答案】 A
5.(2016·淄博高一检测)已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cos
α·cos
β＝( )
A.1
B.－1
C.
D.0
【解析】 由题意得：
两式相加得：cos
α·cos
β＝0，故选D.
【答案】 D
二、填空题
6.(2016·北京高一检测)sin
75°＋sin
15°的值等于________.
【解析】 原式＝cos
60°cos
15°＋sin
60°sin
15°＝cos(60°－15°)＝cos
45°＝.
【答案】
7.(2016·济南高一检测)已知cos＝，则cos
α＋sin
α的值为________.
【解析】 因为cos＝coscos
α＋
sin
sin
α＝cos
α＋sin
α＝，
所以cos
α＋sin
α＝.
【答案】
8.在△ABC中，sin
A＝，cos
B＝－，则cos(A－B)＝________.
【解析】 因为cos
B＝－，且0所以所以sin
B＝＝＝，且0所以cos
A＝＝＝，
所以cos(A－B)＝cos
Acos
B＋sin
Asin
B，
＝×＋×＝－.
【答案】 －
三、解答题
9.已知sin
α＋sin
β＋sin
γ＝0，cos
α＋cos
β＋cos
γ＝0，求证：cos(α－β)＝－.
【证明】 由sin
α＋sin
β＋sin
γ＝0，
cos
α＋cos
β＋cos
γ＝0得
(sin
α＋
sin
β)2＝(－sin
γ)2，①
(cos
α＋cos
β)2＝(－cos
γ)2.②
①＋②得，2＋2(cos
αcos
β＋sin
αsin
β)＝1，
即2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－.
10.已知：cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，且<α<，0<β<，求cos(α＋β).
【解】 因为<α<，0<β<，
所以<2α－β<π.
因为cos(2α－β)＝－，
所以<2α－β<π.
所以sin(2α－β)＝.
因为<α<，0<β<，
所以－<α－2β<.
因为sin(α－2β)＝，
所以0<α－2β<，
所以cos(α－2β)＝，
所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝×＋×＝0.
[能力提升]
1.已知sin
α＋sin
β＝，cos
α＋cos
β＝，则cos(α－β)的值为( )
A.
B.
C.
D.－
【解析】 由已知得(sin
α＋sin
β)2＝，①
(cos
α＋cos
β)2＝，②
①＋②得：2＋2sin
αsin
β＋2cos
αcos
β＝1，
∴cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝－，
即cos(α－β)＝－.
【答案】 D
2.若α，β为两个锐角，则( )
A.cos(α＋β)>cos
α＋cos
β
B.cos(α＋β)α＋cos
β
C.cos(α－β)αcos
β
D.cos(α－β)αsin
β
【解析】 cos－(cos
α＋cos
β)
＝cos
αcos
β－sin
αsin
β－cos
α－cos
β
＝cos
α(cos
β－1)－sin
αsin
β－cos
β，
因为α，β是锐角，
所以cos
β－1<0，cos
α(cos
β－1)<0，
－sin
αsin
β<0，－cos
β<0，
故cos
[α－(－β)]－(cos
α＋cos
β)<0，
即cos(α＋β)α＋cos
β.
因为cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β，
α，β均为锐角，所以cos
αcos
β>0，
sin
αsin
β>0，所以cos
(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β>cos
αcos
β，同理cos(α－β)>sin
αsin
β，故C，D错误.
【答案】 B
3.函数f
(x)＝sin
2x＋cos
2x的最小正周期是________.
【解析】 由于f
(x)＝cos
2xcos
＋sin
2xsin
＝cos，所以T＝＝π.
【答案】 π
4.已知函数f
(x)＝2cos(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈，f
＝－，f
＝，求cos(α＋β)的值；
(3)求f
(x)的单调递增区间.
【解】 (1)因为T＝＝10π，
所以ω＝.
(2)f
＝2cos
＝2cos＝－2sin
α＝－，
所以sin
α＝.
f
＝2cos＝2cos
β＝，
所以cos
β＝，因为α，β∈，
所以cos
α＝＝，
sin
β＝＝，
所以cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β
＝×－×＝－.
(3)f
(x)＝2cos，
由2kπ－π≤＋≤2kπ，k∈Z，
得10kπ－≤x≤10kπ－，k∈Z，
所以单调递增区间为(k∈Z).
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1学业分层测评(九)
正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.将函数y＝sin
3x的图象向左平移个单位长度，所得函数的解析式是( )
A.y＝sin
B.y＝sin
C.y＝sin
D.y＝sin
【解析】 y＝sin
3x的图象向左平移个单位长度得y＝sin
3＝sin.故选D.
【答案】 D
2.要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin
2x的图象( )
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
【解析】 y＝sin＝sin，故要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin
2x的图象向右平移个单位.
【答案】 D
3.函数y＝sin(ωx＋φ)在区间上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为( )
【导学号：72010026】
A.
B.
C.
D.
【解析】 因为函数的最大值为1，最小值为－1，且在区间上单调递减，又函数值从1减小到－1，所以－＝为半周期，则周期为π，ω＝＝＝2，此时原式为y＝sin(2x＋φ)，又由函数过点，代入可得φ＝，因此函数为y＝sin，令x＝0，可得y＝.
【答案】 A
4.若函数f
(x)＝sin－1(ω>0)的周期为，则函数f
(x)图象的对称轴方程为( )
A.x＝kπ＋(k∈Z)
B.x＝kπ－(k∈Z)
C.x＝＋(k∈Z)
D.x＝－(k∈Z)
【解析】 由函数y＝sin－1的周期为，知＝，又ω>0，所以ω＝3，则对称轴方程为3x＋＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z.
【答案】 C
5.将函数f
(x)＝sin的图象分别向左、向右平移φ个单位后，所得的图象都关于y轴对称，则φ的最小值分别为( )
A.，
B.，
C.，
D.，
【解析】 函数f
(x)的图象向左平移φ个单位得到函数g(x)＝sin的图象，向右平移φ个单位得函数h(x)＝sin的图象，于是，2φ＋＝＋kπ，k∈Z，－2φ＋＝＋kπ，k∈Z，于是φ的最小值分别为，.故选A.
【答案】 A
二、填空题
6.(2016·梅州质检)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<π)的图象如图1 3 3所示，则φ＝________.
图1 3 3
【解析】 由题意得＝2π－π，
∴T＝π，ω＝.
又由x＝π时y＝－1得－1＝sin，
－<π＋φ<π，
∴π＋φ＝π，
∴φ＝π.
【答案】 π
7.若g(x)＝2sin＋a在上的最大值与最小值之和为7，则a＝________.
【解析】 当0≤x≤时，≤2x＋≤，≤sin≤1，所以1＋a≤2sin＋a≤2＋a，由1＋a＋2＋a＝7，得a＝2.
【答案】 2
三、解答题
8.(2016·济宁高一检测)函数y＝Asin(ωx＋φ)在x∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x＝π时，最大值为3；当x＝6π时，最小值为－3.
(1)求此函数的解析式；
(2)求此函数的单调递增区间.
【解】 (1)由题意得A＝3，T＝5π，所以T＝10π，所以ω＝＝，
则y＝3sin.
因为点(π，3)在此函数图象上，
则3sin＝3.
又因0≤φ≤，有φ＝－＝，
所以y＝3sin.
(2)当－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
即－4π＋10kπ≤x≤π＋10kπ，k∈Z时，
函数y＝3sin单调递增.
所以此函数的单调递增区间为[－4π＋10kπ，π＋10kπ](k∈Z).
9.已知函数f
(x)＝2sin，x∈R.
(1)写出函数f
(x)的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间；
(2)求函数f
(x)在区间上的最大值和最小值.
【解】 (1)由2x－＝kπ＋，k∈Z，解得f
(x)的对称轴方程是x＝＋π，k∈Z；由2x－＝kπ，k∈Z解得对称中心是，k∈Z；由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z解得单调递增区间是，k∈Z；由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，解得单调递减区间是，k∈Z.
(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π，
∴当2x－＝－，即x＝0时，f
(x)取最小值为－1；
当2x－＝，即x＝时，f
(x)取最大值为2.
[能力提升]
1.为了得到函数y＝cos的图象，可以将函数y＝sin
2x的图象( )
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
【解析】 y＝cos
＝sin
＝sin
＝－sin
＝sin
＝sin，
故C项正确.
【答案】 C
2.已知方程2sin＋2a－1＝0在[0，π]上有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是________.
【解析】 由2sin＋2a－1＝0，
得2sin＝1－2a，所以原题等价于函数y＝2sin的图象与函数y＝1－2a的图象在[0，π]上有两个交点，如图，所以≤1－2a<2，解得a∈.
【答案】
3.(2016·苏州高一检测)已知定义在区间上的函数f
(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ≤π)的图象关于直线x＝－对称，当x∈时，f
(x)的图象如图1 3 4所示.
图1 3 4
(1)求f
(x)在上的解析式；
(2)求方程f
(x)＝的解.
【解】 (1)由图知：A＝1，
T＝4＝2π，则ω＝＝1，
在x∈时，将代入f
(x)得，
f
＝sin＝1，因为0<φ≤π，
所以φ＝，所以在x∈时，f
(x)＝sin.
同理在x∈时，f
(x)＝sin.
综上，f
(x)＝
(2)由f
(x)＝在区间内可得x1＝，x2＝－.
因为y＝f
(x)关于x＝－对称，
有x3＝－，x4＝－.
则f
(x)＝的解为－，－，－，.
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1学业分层测评(三)
三角函数的定义
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列三角函数判断错误的是( )
A.sin
165°>0
B.cos
280°>0
C.tan
170°>0
D.tan
310°<0
【解析】 ∵90°<165°<180°，∴sin
165°>0；
又270°<280°<360°，∴cos
280°>0；
又90°<170°<180°，∴tan
170°<0；
又270°<310°<360°，∴tan
310°<0，故选C.
【答案】 C
2.已知角α终边上异于原点的一点P且|PO|＝r，则点P坐标为( )
A.P(sin
α，cos
α)
B.P(cos
α，sin
α)
C.P(rsin
α，rcos
α)
D.P(rcos
α，rsin
α)
【解析】 设P(x，y)，则sin
α＝，∴y＝rsin
α，又cos
α＝，x＝rcos
α，∴P(rcos
α，rsin
α)，故选D.
【答案】 D
3.角α的终边上有一点(－a,2a)(a<0)，则sin
α的值为( )
A.－
B.
C.
D.－
【解析】 因为a<0，所以sin
α＝＝＝－.
【答案】 D
4.若θ是第二象限角，则( )
A.sin
>0
B.cos
<0
C.tan
>0
D.以上均不对
【解析】 ∵θ是第二象限角，∴2kπ＋<θ<2kπ＋π，∴kπ＋<>0.
【答案】 C
5.使得lg(cos
αtan
α)有意义的角α是( )
A.第一或第二象限角
B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角
D.第一或第四象限角
【解析】 要使原式有意义，必须cos
αtan
α>0，即需cos
α，tan
α同号，所以α是第一或第二象限角.
【答案】 A
二、填空题
6.设α为第二象限角，则点P(cos
α，sin
α)在第________象限.
【解析】 ∵α为第二象限角，∴cos
α<0，sin
α>0.
【答案】 二
7.(2016·镇江高一检测)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos
α≤0，sin
α＞0，则实数a的取值范围是________.
【解析】 由得
解得－2＜a≤3.
【答案】 －2＜a≤3
8.若角α终边经过点P(－，y)，且sin
α＝y(y≠0)，则cos
α＝________.
【导学号：72010008】
【解析】 ∵过点P(－，y)，∴sin
α＝＝y.
又y≠0，∴＝，
∴|OP|＝＝＝＝r，
∴cos
α＝＝＝－.
【答案】 －
三、解答题
9.已知角α的终边经过点P(1，)，
(1)求sin
α＋cos
α的值；
(2)写出角α的集合S.
【解】 (1)由点P的坐标知，r＝|OP|＝2，x＝1，y＝，
∴sin
α＝，cos
α＝，
∴sin
α＋cos
α＝.
(2)由(1)知，在0～2π内满足条件的角α＝，
∴角α的集合S＝.
10.在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin
α－3cos
α＋tan
α的值.
【解】 ①当α的终边在第二象限时，取终边上的点P(－4，3)，OP＝5，
sin
α＝，cos
α＝＝－，tan
α＝＝－，
所以sin
α－3cos
α＋tan
α＝＋－＝.
②当α的终边在第四象限时，取终边上的点P(4，－3)，OP＝5，
sin
α＝－，cos
α＝，tan
α＝＝－，
所以sin
α－3cos
α＋tan
α＝－－－＝－.
[能力提升]
1.(2016·承德一中高一测试)若θ是第三象限角，且cos
<0，则是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
【解析】 由θ为第三象限角，知2kπ＋π<θ<2kπ＋π，∴kπ＋<<0，∴为第二象限角.
【答案】 B
2.如果α的终点过点P，则sin
α的值等于( )
A.
B.－
C.－
D.－
【解析】 ∵2sin
＝1，－2cos
＝－，
∴r＝＝2，∴sin
α＝－.
【答案】 C
3.函数y＝＋＋的值域是________.
【解析】 由题意知x不是终边在坐标轴上角，则有：
x为第一象限角时：y＝＋＋＝3；
x为第二象限角时：y＝＋＋＝－1；
x为第三象限角时：y＝＋＋＝－1；
x为第四象限角时：y＝＋＋＝－1；
综上知此函数值域为{－1,3}.
【答案】 {－1,3}
4.判断下列各式的符号：
(1)sin
340°cos
265°；
(2)sin
4tan；
(3)(θ为第二象限角).
【解】 (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，
∴sin
340°<0，cos
265°<0，
∴sin
340°cos
265°>0.
(2)∵π<4<，∴4是第三象限角，
∵－＝－6π＋，
∴－是第一象限角.
∴sin
4<0，tan>0，
∴sin
4tan<0.
(3)∵θ为第二象限角，
∴0θ<1<，－<－1θ<0，
∴sin(cos
θ)<0，cos(sin
θ)>0，
∴<0.
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1学业分层测评(十)
余弦函数的图象与性质
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.(2016·广州高一检测)已知函数f
(x)＝－cos
x，下面结论错误的是( )
A.函数f
(x)的最小正周期为2π
B.函数在区间上是增函数
C.函数f
(x)的图象关于直线x＝0对称
D.函数f
(x)是奇函数
【解析】 ∵f
(x)＝－cos
x的图象即为函数f
(x)＝cos
x的图象绕x轴翻转而成的，∴A、B、C均正确，函数f
(x)应是偶函数，故选D.
【答案】 D
2.(2016·南昌高一检测)函数y＝|cos
x|－1的最小正周期是( )
A.2kπ(k∈Z)
B.3π
C.π
D.2π
【解析】 因为函数y＝|cos
x|－1的周期同函数y＝|cos
x|的周期一致，由函数y＝|cos
x|的图象知其最小正周期为π，所以y＝|cos
x|－1的最小正周期也为π，故选C.
【答案】 C
3.函数y＝1－2cosx的最小值，最大值分别是( )
A.－1,3
B.－1,1
C.0,3
D.0,1
【解析】 ∵cosx∈[－1,1]，∴－2cosx∈[－2,2]，∴y＝1－2cosx∈[－1,3]的最小值为－1，最大值为3.
【答案】 A
4.下列关系式中正确的是( )
A.sin
11°10°168°
B.sin
168°11°10°
C.sin
11°168°10°
D.sin
168°10°11°
【解析】 ∵sin
168°＝sin(180°－12°)＝sin
12°
＝cos
78°，sin
11°＝cos
79°.
由余弦函数的单调性得cos
79°78°10°，即sin
11°168°10°.
【答案】 C
5.在(0,2π)内使sin
x>|cos
x|的x的取值范围是( )
A.
B.∪
C.
D.
【解析】 ∵sin
x>|cos
x|，∴sin
x>0，∴x∈(0，π)，在同一坐标系中画出y＝sin
x，x∈(0，π)与y＝|cos
x|，x∈(0，π)的图象，观察图象易得x∈.
【答案】 A
二、填空题
6.函数y＝2cos的最小正周期为4π，则ω＝________.
【解析】 ∵4π＝，∴ω＝±.
【答案】 ±
7.利用余弦曲线，写出满足cos
x>0，x∈[0,2π]的x的区间是__________.
【解析】 画出y＝cos
x，x∈[0,2π]上的图象如图所示.
cos
x>0的区间为
∪.
【答案】 ∪
8.(2016·徐州高一检测)函数y＝lg(－2cos
x)的定义域为________.
【解析】 由题意知－2cos
x＞0，即cos
x＜，所以＋2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z)，即函数的定义域为(k∈Z).
【答案】 (k∈Z)
三、解答题
9.判断下列函数的奇偶性，并求它们的周期.
(1)y＝3cos
2x，x∈R；
(2)y＝cos，x∈R.
【导学号：72010029】
【解】 (1)把2x看成一个新的变量u，那么cos
u的最小正周期为2π，这就是说，当u增加到u＋2π且必须至少增加到u＋2π时，函数cos
u的值重复出现.
而u＋2π＝2x＋2π＝2(x＋π)，所以当自变量x增加到x＋π且必须至少增加到x＋π时，函数值重复出现，因此，y＝3cos
2x的周期为π.
∵y＝f
(x)＝3cos
2x，f
(－x)＝3cos(－2x)＝3cos
2x，∴y＝3cos
2x为偶函数.
(2)函数y＝cos的周期
T＝＝.
∵x∈R，且f
(x)＝cos
＝sinx，
∴f
(－x)＝sin＝－sinx
＝－f
(x)，
∴y＝cos为奇函数.
10.求函数y＝sin2x＋acos
x－a－的最大值为1时a的值.
【解】 y＝1－cos2x＋acos
x－a－＝－2＋－a－.
因为cos
x∈[－1,1]，要使y最大，则必须满足2最小.
①当<－1，即a<－2时，
若cos
x＝－1，则ymax＝－a－.
由题设，令－a－＝1，得a＝－>－2(舍去)；
②当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，
若cos
x＝，则ymax＝－－.
由题设，令－－＝1，得a＝1±(舍去正值)；
③当>1，即a>2时，
若cos
x＝1，则ymax＝－，
由题设，令－＝1，得a＝5.
综上所述a＝5或a＝1－.
[能力提升]
1.(2016·潍坊高一检测)函数y＝cos的( )
A.最小正周期为2π
B.图象关于y轴对称
C.图象关于原点对称
D.图象关于x轴对称
【解析】 函数y＝cos的周期为：＝π.
所以A不正确；函数y＝cos＝sin
2x，当x＝0时，函数取得0，函数关于原点对称，故B不正确，D不正确.
【答案】 C
2.(2014·江苏高考)已知函数y＝cos
x与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是________.
【解析】 由题意，得sin＝cos，
因为0≤φ≤π，所以φ＝.
【答案】
3.已知函数f
(x)＝2cos
ωx(ω＞0)，且函数y＝f
(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f
的值；
(2)将函数y＝f
(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.
【解】 (1)∵f
(x)的周期T＝π，
故＝π，∴ω＝2，
∴f
(x)＝2cos
2x，
∴f
＝2cos
＝.
(2)将y＝f
(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝f
的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y＝f
的图象，所以g(x)＝f
＝2cos＝2cos.
当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).
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1学业分层测评(五)
同角三角函数的基本关系式
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.若sin
α＋sin2α＝1，那么cos2α＋cos4α的值等于( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】 因为由sin
α＋sin2α＝1，得sin
α＝cos2α，所以cos2α＋cos4α＝sin
α＋sin2α＝1.
【答案】 B
2.若tan
α＝3，则2sin
αcos
α＝( )
A.±
B.－
C.
D.
【解析】 2sin
αcos
α＝＝＝＝.
【答案】 C
3.已知sin
θ＋cos
θ＝，则sin
θ－cos
θ＝( )
A.
B.－
C.
D.－
【解析】 由(sin
θ＋cos
θ)2＝1＋2sin
θcos
θ＝，得2sin
θcos
θ＝，则(sin
θ－cos
θ)2＝1－2sin
θcos
θ＝，又由于0<θ≤，知sin
θ－cos
θ≤0，所以sin
θ－cos
θ＝－.
【答案】 B
4.若α∈[0,2π)，且有＋＝sin
α－cos
α，则角α的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 因为＋＝sin
α－cos
α，
所以又α∈[0,2π)，
所以α∈，故选B.
【答案】 B
5.若θ是△ABC的一个内角，且sin
θcos
θ＝－，则sin
θ－cos
θ的值为( )
A.－
B.
C.－
D.
【解析】 由题意知θ∈，所以sin
θ－cos
θ>0，sin
θ－cos
θ＝＝＝，故选D.
【答案】 D
二、填空题
6.(2016·山师大附中期中)若tan
α＋＝3，则sin
αcos
α＝________，tan2
α＋＝________.
【解析】 ∵tan
α＋＝＝3，
∴sin
αcos
α＝，
又tan2
α＋＝2－2＝9－2＝7，
∴tan2
α＋＝7.
【答案】 7
7.已知sin
θ，cos
θ是方程2x2－mx＋1＝0的两根，则＋＝________.
【导学号：72010014】
【解析】 ＋
＝＋＝＋
＝＝sin
θ＋cos
θ，又因为sin
θ，cos
θ是方程2x2－mx＋1＝0的两根，所以由韦达定理得sin
θcos
θ＝，则(sin
θ＋cos
θ)2＝1＋2sin
θcos
θ＝2，所以sin
θ＋cos
θ＝±.
【答案】 ±
三、解答题
8.已知tan
α＝，求下列各式的值：
(1)＋；
(2)；
(3)sin2
α－2sin
αcos
α＋4cos2
α.
【解】 ＋＝＋＝＋＝.
(2)＝
＝＝.
(3)sin2
α－2sin
αcos
α＋4cos2
α
＝
＝
＝＝.
9.若<α<2π，化简
＋.
【解】 ∵<α<2π，∴sin
α<0.
原式＝＋
＝
＋
＝＋
＝－－
＝－.
[能力提升]
1.已知sin
θ＝，cos
θ＝，则tan
θ＝( )
A.
B.±
C.－
D.－或－
【解析】 由sin2θ＋cos2θ＝1，
有2＋2＝1，化简得m2－8m＝0，解得m＝0或m＝8，由于θ在第二象限，所以sin
θ>0，m＝0舍去，故m＝8，sin
θ＝，cos
θ＝－，得tan
θ＝－.
【答案】 C
2.已知sin
x＋sin
y＝，
求μ＝sin
y－cos2
x的最值.
【解】 因为sin
x＋sin
y＝，
所以sin
y＝－sin
x，
则μ＝sin
y－cos2
x＝－sin
x－cos2
x
＝－sin
x－(1－sin2
x)
＝sin2
x－sin
x－
＝2－.
又因为－1≤sin
y≤1，则－1≤－sin
x≤1，结合－1≤sin
x≤1，解得－≤sin
x≤1，
故当sin
x＝－时，μmax＝，
当sin
x＝时，μmin＝－.
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1学业分层测评(二十三)
向量的应用
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为( )
A.－1
B.1
C.2
D.－1或2
【解析】 向量(1－m,1)是直线的方向向量，所以斜率为，则＝－，解得m＝－1或m＝2.
【答案】 D
2.已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以ABCD为顶点的四边形是( )
A.梯形
B.邻边不相等的平行四边形
C.菱形
D.两组对边均不平行的四边形
【解析】 因为＝(8,0)，＝(8,0)，所以＝，因为＝(4，－3)，所以||＝5，而||＝8，故为邻边不相等的平行四边形.
【答案】 B
3.在△ABC中，若(＋＋)＝，则点G是△ABC的( )
A.内心
B.外心
C.垂心
D.重心
【解析】 因为(＋＋)＝，所以－＋－＋－＝3，化简得＋＋＝0，故点G为三角形ABC的重心.
【答案】 D
4.在△ABC中，D为BC边的中点，已知＝a，＝b，则下列向量中与同方向的是( )
A.
B.＋
C.
D.－
【解析】 因为D为BC边的中点，则有＋＝2，所以a＋b与共线，又因为与a＋b共线，所以选项A正确.
【答案】 A
5.如图2 4 4所示，一力作用在小车上，其中力F
的大小为10
N，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米，则力F
做的功为( )
图2 4 4
A.100焦耳
B.50焦耳
C.50焦耳
D.200焦耳
【解析】 设小车位移为s，则|s|＝10米，
WF
＝F
·s＝|F
||s|·cos
60°
＝10×10×＝50(焦耳).
故选B.
【答案】 B
二、填空题
6.在边长为1的正三角形ABC中，·＋·＋·＝________.
【导学号：72010071】
【解析】 ·＋·＋·
＝·(＋)＋·
＝·－·
＝－2－||||cos
60°
＝－12－1×1×
＝－.
【答案】 －
7.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图2 4 5所示，已知物体的重力大小为10
N，则每根绳子的拉力大小是________.
图2 4 5
【解析】 因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10
N.
【答案】 10
N
三、解答题
8.已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F
分别为边BC，CA，AB的中点.
(1)求直线DE，EF
，F
D的方程；
(2)求AB边上的高线CH所在直线的方程.
【解】 (1)由已知得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F
(2，－2).
设点M(x，y)是直线DE上的任意一点，
则∥，＝(x＋1，y－1)，
＝(－2，－2)，
∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，
即x－y＋2＝0为直线DE的方程.
同理可得直线EF
，F
D的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.
(2)设点N(x，y)是CH所在直线上的任意一点，
则⊥，·＝0，
＝(x＋6，y－2)，＝(4,4)，
∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，
即x＋y＋4＝0为所求高线CH所在直线的方程.
9.在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1).
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)求和夹角的余弦值；
(3)是否存在实数t满足(－t)·＝·，若存在，求t的值；若不存在，说明理由.
【解】 (1)由题意知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)，
所以|＋|＝2，|－|＝4，
故所求的两条对角线的长分别为2，4.
(2)cos∠BAC＝
＝＝，
所以和夹角的余弦值为.
(3)存在.由题设知：＝(－1，－2)，＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t).
假设存在实数t满足(－t)·
＝·，
所以(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝4，
从而5t＝－15，所以t＝－3.
[能力提升]
1.(2016·德州高一检测)点O是平面ABC内的一定点，P是平面ABC内的一动点，若(－)·(＋)＝(－)·(＋)＝0，则点O为△ABC的( )
A.内心
B.外心
C.重心
D.垂心
【解析】 因为(－)·(＋)＝0，
则(－)·(＋)＝0，
所以2－2＝0，
所以||＝||.
同理可得||＝||，
即||＝||＝||，
所以O为△ABC的外心.
【答案】 B
2.如图2 4 6，ABCD是正方形，M是BC的中点，将正方形折起使点A与M重合，设折痕为EF
，若正方形面积为64，求△AEM的面积.
图2 4 6
【解】 如图，建立直角坐标系，显然EF
是AM的中垂线，设AM与EF
交于点N，则N是AM的中点，
又正方形边长为8，
所以M(8,4)，N(4,2).
设点E(e,0)，则＝(8,4)，＝(4,2)，＝(e,0)，＝(4－e,2)，
由⊥得·＝0，
即(8,4)·(4－e,2)＝0，解得e＝5，即||＝5，
所以S△AEM＝||||＝×5×4＝10.
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1学业分层测评(二十五)
两角和与差的正弦
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.(2015·全国卷Ⅰ)sin
20°cos
10°－cos
160°sin
10°＝( )
A.－
B.
C.－
D.
【解析】 sin
20°cos
10°－cos
160°sin
10°＝sin
20°cos
10°＋cos
20°sin
10°＝sin(20°＋10°)＝sin
30°＝，故选D.
【答案】 D
2.(2016·北京高一检测)在△ABC中，A＝，cos
B＝，则sin
C等于( )
A.
B.－
C.
D.－
【解析】 因为cos
B＝且0所以sin
B＝又A＝，
所以sin
C＝sin(A＋B)＝sincos
B＋cossin
B
＝×＋×＝.
【答案】 A
3.已知＜β＜，sin
β＝，则sin＝( )
A.1
B.2
C.
D.
【解析】 ∵＜β＜，∴cos
β＝＝＝，∴sin＝sin
β＋cos
β＝×＋×＝.
【答案】 C
4.(2016·温州高一检测)在△ABC中，若sin
B＝2sin
Acos
C，那么△ABC一定是( )
A.等腰直角三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
【解析】 在△ABC中，因为sin
B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin
Acos
C＋cos
Asin
C＝2sin
Acos
C，所以sin
Acos
C－cos
Asin
C＝0，即sin(A－C)＝0，因为0＜A＜π，0＜C＜π，所以－π＜A－C＜π，所以A－C＝0，即A＝C，所以△ABC一定是等腰三角形，故选B.
【答案】 B
5.已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝－，则＝( )
【导学号：72010080】
A.
B.
C.
D.－
【解析】 由已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝－，得sin
αcos
β＋cos
αsin
β＝，sin
αcos
β－cos
αsin
β＝－，两式分别相加减得sin
αcos
β＝－，cos
αsin
β＝，所以＝＝＝－，故选D.
【答案】 D
二、填空题
6.求值：＝________.
【解析】
＝
＝＝＝－2.
【答案】 －2
7.(2016·汕头高一检测)已知cos
α＝，cos(α＋β)＝－，α，β∈，则β＝________.
【解析】 由题意得：sin
α＝，sin(α＋β)＝，所以cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α＝－×＋×＝，又β∈，所以β＝.
【答案】
8.若8sin
α＋5cos
β＝6,8cos
α＋5sin
β＝10，则sin(α＋β)＝________.
【解析】 由8sin
α＋5cos
β＝6，两边平方，
得64sin2α＋80sin
αcos
β＋25cos2β＝36.①
由8cos
α＋5sin
β＝10，两边平方，
得64cos2α＋80
cos
α
sin
β＋25sin2β＝100.②
①＋②，得64＋25＋80(sin
αcos
β＋cos
αsin
β)＝136，
∴sin(α＋β)＝.
【答案】
三、解答题
9.已知：＜α＜，且cos＝，求cos
α，sin
α的值.
【解】 因为＜α＜，所以0＜α－＜.
因为cos＝，
所以sin＝＝.
所以sin
α＝sin
＝sincos
＋cossin
＝，
cos
α＝cos
＝coscos
－sinsin
＝.
10.(2016·普宁高一检测)已知<α<，0<β<，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值.
【解】 因为<α<，所以<＋α<π，
所以sin
＝＝.
又因为0<β<，<＋β<π，
所以cos
＝－＝－，
所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝
－sin
＝－
＝－
＝.
[能力提升]
1.已知f
(x)＝sin－cos，则f
(1)＋f
(2)＋…＋f
(2
016)的值为( )
A.2
B.
C.1
D.0
【解析】 f
(x)＝sin－cos＝2sin＝2sin
x，因为周期为6，且f
(1)＋f
(2)＋…＋f
(6)＝0
，所以f
(1)＋f
(2)＋…＋f
(2
016)＝0.
【答案】 D
2.(2016·衡水高一检测)使函数f
(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)为奇函数，且在区间上为减函数的φ的一个值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 f
(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝2＝2＝2sin为奇函数，所以φ＋＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)，排除A和D；因为f
(x)＝2sin在区间上为减函数，又2x＋φ＋＝2x＋kπ∈k∈Z，所以k为奇数，故选C.
【答案】 C
3.在△ABC中，若4sin
A＋2cos
B＝1,2sin
B＋4cos
A＝3，则sin
C的值为________.
【解析】 由已知得(4sin
A＋2cos
B)2＋(2sin
B＋4cos
A)2
＝28，
即16＋4＋16(sin
Acos
B＋cos
Asin
B)＝28，
∴20＋16sin(A＋B)＝28，
∴sin(A＋B)＝，
∴sin
C＝sin[π－(A＋B)]
＝sin(A＋B)＝.
【答案】
4.若函数f
(x)＝(1＋tan
x)cos
x,0≤x＜.
(1)把f
(x)化成Asin(ωx＋φ)的形式；
(2)判断f
(x)在上的单调性，并求f
(x)的最大值.
【解】 (1)f
(x)＝(1＋tan
x)cos
x
＝cos
x＋··cos
x＝cos
x＋sin
x
＝2
＝2
＝2sin.
(2)∵0≤x＜，∴f
(x)在上是单调增函数，在上是单调减函数.
∴当x＝时，f
(x)有最大值为2.
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1学业分层测评(七)
诱导公式（三）、（四）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.设sin
160°＝a，则cos
340°的值是( )
A.1－a2
B.
C.－
D.±
【解析】 因为sin
160°＝a，所以sin(180°－20°)＝sin
20°＝a，而cos
340°＝cos(360°－20°)＝cos
20°＝.
【答案】 B
2.已知α∈，tan
α＝－，则sin(α＋π)＝( )
A.
B.－
C.
D.－
【解析】 因为sin(α＋π)＝－sin
α，且tan
α＝－，α∈，所以sin
α＝，则sin(α＋π)＝－.
【答案】 B
3.已知sin＝，则cos＝( )
A.－
B.
C.
D.－
【解析】 cos＝cos
＝－sin＝－.故选A.
【答案】 A
4.设tan(5π＋α)＝m，则的值为( )
A.
B.
C.－1
D.1
【解析】 由tan(5π＋α)＝m，得tan
α＝m，
所以＝
＝＝＝.
【答案】 A
5.若f(cos
x)＝cos
2x，则f(sin
15°)的值为( )
A.－
B.
C.－
D.
【解析】 因为f(sin
15°)＝f(cos
75°)＝cos
150°＝－.
【答案】 A
二、填空题
6.若a＝tan，b＝tanπ，则a，b的大小关系是________.
【解析】 a＝tan＝tan
＝tanπ
＝－tan，
b＝tanπ＝tan＝tanπ
＝tan＝－tan，
∵0<<<，
∴tan∴a>b.
【答案】 a>b
7.(2016·徐州高一检测)已知tan(3π＋α)＝2，则
＝________.
【解析】 由tan(3π＋α)＝2，得tan
α＝2，
则原式＝
＝
＝
＝＝＝2.
【答案】 2
三、解答题
8.求sin(－1
200°)·cos
1
290°＋cos(－1
020°)·sin(－1
050°)＋tan
945°的值.
【导学号：72010020】
【解】 原式＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＋tan(2×360°＋225°)
＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＋tan(180°＋45°)
＝sin
60°cos
30°＋cos
60°sin
30°＋tan
45°
＝×＋×＋1＝2.
9.已知f(α)
＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f＝－，且α是第二象限角，求tan
α.
【解】 (1)f(α)＝
＝＝sin
α.
(2)由sin＝－，得cos
α＝－，
又α是第二象限角，所以sin
α＝＝，
则tan
α＝＝－.
[能力提升]
1.若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(6π－α)的值为( )
A.－m
B.－m
C.m
D.m
【解析】 ∵sin(π＋α)＋cos＝－m，
即－sin
α－sin
α＝－2sin
α＝－m，
从而sin
α＝，
∴cos＋2sin
(6π－α)
＝－sin
α－2sin
α＝－3sin
α
＝－m.
【答案】 B
2.计算：sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝( )
A.89
B.90
C.
D.45
【解析】 原式＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…sin244°＋sin245°＋sin2(90°－44°)＋…＋sin2(90°－3°)＋sin2(90°－2°)＋sin2(90°－1°)
＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°
＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋(sin23°＋cos23°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°
＝44＋＝.
【答案】 C
3.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin
α的值是________.
【解析】 由条件知
解得tan
α＝3，又α为锐角，tan
α＝＝＝3，解得sin
α＝.
【答案】
4.(2016·济宁高一检测)已知sin
θ，cos
θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根.
(1)求cos＋sin的值.
(2)求tan(π－θ)－的值.
【解】 由已知原方程判别式Δ≥0，
即(－a)2－4a≥0，则a≥4或a≤0.
又
(sin
θ＋cos
θ)2＝1＋2sin
θcos
θ，
即a2－2a－1＝0，
所以a＝1－或a＝1＋(舍去).
则sin
θ＋cos
θ＝sin
θcos
θ＝1－.
(1)cos＋sin＝sin
θ＋cos
θ＝1－.
(2)tan(π－θ)－＝－tan
θ－
＝－＝－
＝－＝－＝＋1.
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1学业分层测评(一)
角的概念的推广
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{大于90°的角}，那么A，B，C关系是( )
A.B＝A∩C
B.B∪C＝C
C.A?C
D.A＝B＝C
【解析】 钝角大于90°，小于180°，故C?B，选项B正确.
【答案】 B
2.下列是第三象限角的是( )
A.－110°
B.－210°
C.80°
D.－13°
【解析】 －110°是第三象限角，－210°是第二象限角，80°是第一象限角，－13°是第四象限角.故选A.
【答案】 A
3.终边与坐标轴重合的角α的集合是( )
A.{α|α＝k·360°，k∈Z}
B.{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
C.{α|α＝k·180°，k∈Z}
D.{α|α＝k·90°，k∈Z}
【解析】 终边在坐标轴上的角为90°或90°的倍数角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}.故选D.
【答案】 D
4.若α是第一象限的角，则下列各角中属于第四象限角的是( )
A.90°－α
B.90°＋α
C.360°－α
D.180°＋α
【解析】 因为α是第一象限角，所以－α为第四象限角，所以360°－α为第四象限角.
【答案】 C
5.在平面直角坐标系中，若角α与角β的终边互为反向延长线，则必有( )
A.α＝－β
B.α＝k·180°＋β(k∈Z)
C.α＝180°＋β
D.α＝2k·180°＋180°＋β(k∈Z)
【解析】 因为角α与角β的终边互为反向延长线，所以角α与角β的终边关于原点对称，所以α＝2k·180°＋180°＋β(k∈Z).
【答案】 D
二、填空题
6.在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________.
【解析】 根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内角为120°.故填120°，300°.
【答案】 120°，300°
7.设集合A＝{x|k·360°＋60°【导学号：72010002】
【解析】 A∩B＝{x|k·360°＋60°【答案】 {x|k·360°＋150°三、解答题
8.在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角.
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)－720°到－360°的角.
【解】 与530°终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z.
(1)由－360°＜k·360°＋530°＜0°，且k∈Z可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.
(2)由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z可得k＝－1，
故所求的最小正角为170°.
(3)由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z得k＝－3，故所求的角为－550°.
9.若角β的终边落在直线y＝－x上，写出角β的集合；当－360°＜β＜360°时，求角β.
【解】 ∵角β的终边落在直线y＝－x上，
∴在0°到360°范围内的角为150°和330°，
∴角β的集合为{x|x＝k·180°＋150°，k∈Z}.
当－360°＜β＜360°时，
角β为－210°，－30°，150°，330°.
[能力提升]
1.如图1 1 4，终边落在直线y＝±x上的角α的集合是( )
图1 1 4
A.{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}
B.{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}
C.{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}
D.{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}
【解析】 终边落在直线y＝±x在[0°，360°)内角有45°，135°，225°和315°共四个角，相邻两角之间均相差90°，故终边落在直线y＝±x上的角的集合为{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}.
【答案】 D
2.已知，如图1 1 5所示.
图1 1 5
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
【解】 (1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，
终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}.
(2)由图可知，阴影部分角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的所有与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}.
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1学业分层测评(十三)
向量的概念
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列说法正确的个数是( )
(1)温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；
(2)零向量没有方向；
(3)非零向量的单位向量是唯一的.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】 (1)中温度和功不是向量；(2)零向量的方向不确定，而不是没有方向，所以(1)(2)错误.
【答案】 B
2.下列结论正确的是( )
A.向量必须用有向线段来表示
B.表示一个向量的有向线段是唯一的
C.有向线段和是同一向量
D.有向线段和的大小相等
【解析】 向量除了可以用有向线段表示以外，还可用坐标或字母表示，所以选项A错误；向量为自由向量，只要大小相等，方向相同就为同一个向量，而与它的具体位置无关，所以表示一个向量的有向线段不是唯一的，选项B错误；有向线段和的方向相反，大小相等，不为同一向量，所以选项C错误，D正确.
【答案】 D
3.给出下列四个命题：
①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝0.
其中正确的命题有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】 对于①，前一个零是实数，后一个应是向量0.对于②，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定.对于③，两个向量平行，它们的方向相同或相反，模未必相等.只有④正确.故选A.
【答案】 A
4.数轴上点A，B分别对应－1、2，则向量的长度是( )
A.－1
B.2
C.1
D.3
【解析】 易知||＝2－(－1)＝3，故选D.
【答案】 D
5.(2016·长春十一中期末)若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( )
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.等腰梯形
【解析】 由＝知四边形为平行四边形；
由||＝||知四边形ABCD为菱形.故选C.
【答案】 C
二、填空题
6.已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
【解析】 因为A，B，C三点不共线，所以与不共线，又因为m∥且m∥，所以m＝0.
【答案】 0
7.给出以下五个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是________.(填序号)
【解析】 共线向量指的是方向相同或相反的向量，它只涉及方向，不涉及大小.很明显仅有①③④.
【答案】 ①③④
三、解答题
8.O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCF
B都是正方形，在如图2 1 4所示的向量中：
图2 1 4
(1)分别找出与，相等的向量；
(2)找出与共线的向量；
(3)找出与模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
【解】 (1)＝，＝.
(2)与共线的向量有：，，.
(3)与模相等的向量有：，，，，，，.
(4)向量与不相等，因为它们的方向不相同.
9.如图2 1 5所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又＝且＝，求证：＝.
【导学号：72010041】
图2 1 5
【证明】 因为＝，
所以||＝||且AB∥DC，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以||＝||且DA∥CB.
又因为与的方向相同，
所以＝.
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，
所以＝.
因为||＝||，||＝||，
所以||＝||.
又与的方向相同，
所以＝.
[能力提升]
1.已知向量a，b是两个非零向量，，分别是与a，b同方向的单位向量，则以下各式正确的是( )
A.＝
B.＝或＝
C.＝
D.与的长度相等
【解析】 因为a与b方向关系不确定且a≠0，b≠0，又与a同方向，与b同方向，
所以与方向关系不确定，所以A，B，C均不对.
又与均为单位向量，
所以||＝||＝1.
【答案】 D
2.已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2
000
km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2
000
km到达C地，再从C地按西南方向飞行1
000
km到达D地.画图表示向量，，，并指出向量的模和方向.
【解】 以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系.
据题设，B点在第一象限，C点在x轴正半轴上，D点在第四象限，向量，，如图所示，
由已知可得，
△ABC为正三角形，所以AC＝2
000
km.
又∠ACD＝45°，CD＝1
000
km.
所以△ADC为等腰直角三角形，
所以AD＝1
000
km，∠CAD＝45°.
故向量的模为1
000
km，方向为东南方向.
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1学业分层测评(二十七)
倍角公式
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.若sin
α＝3cos
α，则＝( )
A.2
B.3
C.4
D.6
【解析】 ＝＝＝＝6.
【答案】 D
2.(2016·铁岭高一检测)已知sin
α＝，则cos(π－2α)＝( )
A.－
B.－
C.
D.
【解析】 因为sin
α＝，
所以cos(π－2α)＝－cos
2α＝－(1－2sin2
α)＝－1＋2×2＝－.
【答案】 B
3.若＝，则tan
2α＝( )
A.－
B.
C.－
D.
【解析】 因为＝，
整理得tan
α＝－3，
所以tan
2α＝＝＝.
【答案】 B
4.(2016·沈阳高一检测)若sin
x·tan
x<0，则等于( )
A.cos
x
B.－cos
x
C.sin
x
D.－sin
x
【解析】 因为sin
x·tan
x<0，
所以x为第二、三象限角，所以cos
x<0，
所以＝＝|cos
x|
＝－cos
x.
【答案】 B
5.已知＝，则sin
2x＝( )
A.－
B.－
C.
D.
【解析】 ∵＝，
∴＝，
∴cos
x＋sin
x＝，
∴1＋sin
2x＝，
∴sin
2x＝－.
【答案】 A
二、填空题
6.(2016·广州高一检测)已知sin＝，则sin
2x的值等于________.
【解析】 法一：∵sin＝，
∴cos＝1－2sin2
＝1－2×2＝，
∴sin
2x＝cos＝.
法二：由sin＝，得(sin
x－cos
x)＝－，∴sin
x－cos
x＝－，两边平方得
1－sin
2x＝，∴sin
2x＝.
【答案】
7.已知sin
2α＝，α∈，则cos
α－sin
α＝________.
【导学号：72010086】
【解析】 因为α∈，所以sin
α>cos
α即cos
α－sin
α<0，又sin
2α＝，则有
cos
α－sin
α＝－
＝－＝－＝－.
【答案】 －
三、解答题
8.化简：tan
70°cos
10°(tan
20°－1).
【解】 原式
＝·cos
10°·
＝·cos
10°·
＝·cos
10°·
＝－·
＝－1.
9.求证：(1)－＝4；
(2)＝－4.
【证明】 (1)左边＝
＝
＝＝4＝右边.
所以原等式成立.
(2)左边＝
＝
＝＝＝－4＝右边.
所以原等式成立.
[能力提升]
1.(2016·牡丹江一中期末)已知α，β均为锐角，且3sin
α＝2sin
β，3cos
α＋2cos
β＝3，则α＋2β的值为( )
A.
B.
C.
D.π
【解析】 由题意得
①2＋②2得cos
β＝，cos
α＝，
由α，β均为锐角知，sin
β＝，sin
α＝，
∴tan
β＝2，tan
α＝，
∴tan
2β＝－，
∴tan(α＋2β)＝0，又α＋2β∈，
∴α＋2β＝π.故选D.
【答案】 D
2.(2014·江苏高考)已知α∈，sin
α＝.
(1)求sin的值；
(2)求cos的值.
【解】 (1)由题意知cos
α
＝－＝－，
所以sin
＝sincos
α＋cos
sin
α
＝×＋×
＝－.
(2)sin
2α＝2sin
αcos
α＝－，
cos
2α＝2cos2
α－1＝，
所以cos
＝cos
cos
2α＋sin
sin
2α
＝－×＋×
＝－.
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1学业分层测评(四)
单位圆与三角函数线
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( )
A.在x轴上
B.在y轴上
C.在直线y＝x上
D.在直线y＝x或y＝－x上
【解析】 ∵sin
α＝1或sin
α＝－1，
∴角α终边在y轴上.故选B.
【答案】 B
2.(2016·石家庄高一检测)如果＜θ＜π，那么下列各式中正确的是( )
A.cos
θ＜tan
θ＜sin
θ
B.sin
θ＜cos
θ＜tan
θ
C.tan
θ＜sin
θ＜cos
θ
D.cos
θ＜sin
θ＜tan
θ
【解析】 由于＜θ＜π，如图所示，正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，由此容易得到OM＜AT＜0＜MP，故选A.
【答案】 A
3.在(0,2π)内，使sin
x>cos
x成立的x的取值范围是( )
A.∪
B.
C.
D.∪
【解析】 如图阴影部分(不包括边界)即为所求.
【答案】 C
4.若α是三角形的内角，且sin
α＋cos
α＝，则这个三角形是( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
【解析】 当0＜α≤时，由单位圆中的三角函数线知，sin
α＋cos
α≥1，而sin
α＋cos
α＝，∴α必为钝角.
【答案】 D
5.(2016·天津高一检测)依据三角函数线，作出如下四个判断：
①sin
＝sin
；②cos＝cos
；③tan
＞tan
；④sin
＞sin
.
其中判断正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】 根据下列四个图形，容易判断正确的结论有②④，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6.(2016·西安高一检测)已知θ∈，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP，OM，AT，则它们从大到小的顺序为________.
【解析】 作图如下：
因为θ∈，所以θ>，根据三角函数线的定义可知AT>MP>OM.
【答案】 AT>MP>OM
7.(2016·济南高一检测)函数y＝的定义域为________.
【导学号：72010011】
【解析】 要使函数有意义，
有1－2sin
x≥0，得sin
x≤，
如图，确定正弦值为的角的终边OP与OP′，
其对应的一个角分别为π，π
所求函数定义域为(k∈Z).
【答案】 (k∈Z)
8.点P(sin
3－cos
3，sin
3＋cos
3)所在的象限为________.
【解析】 因为＜3＜π，作出单位圆如图所示.
设，的数量分别为a，b，
所以sin
3＝a＞0，cos
3＝b＜0，
所以sin
3－cos
3＞0.
因为|MP|＜|OM|，即|a|＜|b|，
所以sin
3＋cos
3＝a＋b＜0.
故点P(sin
3－cos
3，sin
3＋cos
3)在第四象限.
【答案】 第四象限
三、解答题
9.画出的正弦线，余弦线和正切线，并求出相应的函数值.
【解】
如图，MP，OM，AT分别为正弦线，余弦线和正切线.sin
＝－，cos
＝－，tan
＝.
10.求函数f(x)＝＋ln的定义域.
【解】 由题意，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴.
[能力提升]
1.已知sin
α＞sin
β，那么下列结论成立的是( )
A.若α，β是第一象限角，则cosα＞cos
β
B.若α，β是第二象限角，则tan
α＞tan
β
C.若α，β是第三象限角，则cos
α＞cos
β
D.若α，β是第四象限角，则tan
α＞tan
β
【解析】 若α，β同属于第一象限，则0≤β＜α≤，cos
α＜cos
β，故A错；第二象限，则≤α＜β≤π，tan
α＜tan
β，故B错；第三象限，则π≤α＜β≤，cos
α＜cos
β，故C错；第四象限，则≤β＜α≤2π，tan
α>tan
β，(均假定0≤α，β≤2π)，故D正确.
【答案】 D
2.满足sin≥的x的集合是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 由sin≥，得＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.
【答案】 A
3.(2016·东莞高一检测)若θ∈，则下列各式错误的是________.
①sin
θ＋cos
θ＜0;
②sin
θ－cos
θ＞0；
③|sin
θ|＜|cos
θ|;
④sin
θ＋cos
θ＞0.
【解析】 若θ∈，则sin
θ＞0，cos
θ＜0，sin
θ＜|cos
θ|，所以sin
θ＋cos
θ＜0.
【答案】 ④
4.(2016·德州高一检测)已知α∈，求证：1＜sin
α＋cos
α＜.
【证明】 如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，过P作PM⊥Ox，PN⊥Oy，M，N分别为垂足.
∴|MP|＝y＝sin
α，|OM|＝x＝cos
α，
在△OMP中，|OM|＋|MP|＞|OP|，
∴sin
α＋cos
α＞1.
∵S△OAP＝|OA|·|MP|＝y＝sin
α，
S△OBP＝|OB|·|NP|＝x＝cos
α，
S扇形OAB＝π×12＝，
又∵S△OAP＋S△OBP＜S扇形OAB，
∴sin
α＋cos
α＜，即sin
α＋cos
α＜，
∴1＜sin
α＋cos
α＜.
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1学业分层测评(八)
正弦函数的图象与性质
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.函数y＝sin|x|的图象是( )
【解析】 ∵函数y＝sin|x|是偶函数，且x≥0时，sin|x|＝sin
x.故应选B.
【答案】 B
2.(2016·济南高一检测)函数y＝|sin
x|的一个单调递增区间是( )
A.
B.(π，2π)
C.
D.(0，π)
【解析】 作出函数y＝|sin
x|的图象，如图，观察图象知C正确，
故选C.
【答案】 C
3.在[0,2π]内，不等式sin
x<－的解集是( )
【导学号：72010023】
A.(0，π)
B.
C.
D.
【解析】 画出y＝sin
x，x∈[0,2π]的草图如下：
因为sin
＝，
所以sin＝－，
sin＝－.
即在[0,2π]内，满足sin
x＝－的是x＝或x＝.
可知不等式sin
x<－的解集是.
【答案】 C
4.(2016·兰州高一检测)设a＞0，对于函数f
(x)＝(0＜x＜π)，下列结论正确的是( )
A.有最大值而无最小值
B.有最小值而无最大值
C.有最大值且有最小值
D.既无最大值又无最小值
【解析】 因为0＜x＜π，所以0＜sin
x≤1，≥1，所以函数f
(x)＝＝1＋有最小值而无最大值，故选B.
【答案】 B
5.函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是( )
A.0
B.
C.
D.π
【解析】 当φ＝时，y＝sin＝cos
2x，而y＝cos
2x是偶函数，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6.y＝sin(ω＞0)的周期是π，则ω＝________.
【解析】 根据题意有sin＝sin，
sin＝sin，
∴ω＝2π，
∴ω＝3.
【答案】 3
7.函数y＝log2(sin
x)的定义域为________.
【解析】 据题意知sin
x＞0，得x∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z).
【答案】 (2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)
8.(2016·杭州高一检测)若x是三角形的最小角，则y＝sin
x的值域是________.
【解析】 由三角形内角和为π知，
若x为三角形中的最小角，
则0＜x≤，
由y＝sin
x图象知y∈.
【答案】
三、解答题
9.定义在R上的函数f
(x)既是偶函数又是周期函数，若f
(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f
(x)＝sin
x，求f
的值.
【解】 ∵f
(x)的最小正周期是π，
∴f
＝f
＝f
.
∵f
(x)是R上的偶函数，
∴f
＝f
＝sin
＝，
∴f
＝.
10.已知函数f
(x)＝2asin＋b的定义域为，最大值为1，最小值为－5，求a和b的值.
【解】 ∵0≤x≤，
∴－≤2x－≤π，
∴－≤sin≤1，易知a≠0.
当a>0时，最大值为2a＋b＝1，
最小值为－a＋b＝－5.
由解得
当a<0时，最大值为－a＋b＝1，
最小值为2a＋b＝－5.
由解得
[能力提升]
1.函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是( )
【解析】 因为y＝sin(－x)＝－sin
x，x∈[0,2π]的图象可看作是由y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象关于x轴对称得到的.故选B.
【答案】 B
2.直线xsin
α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________.
【解析】 ∵sin
α∈[－1,1]，∴－sin
α∈[－1,1]，
∴已知直线的斜率范围为[－1,1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是∪
【答案】 ∪
3.已知直线y＝a，函数y＝sin
x，x∈[0,2π]，试探求以下问题.
(1)当a为何值时，直线y＝a与函数y＝sin
x的图象只有一个交点？
(2)当a为何值时，直线与函数图象有两个交点？
(3)当a为何值时，直线与函数图象有三个交点？
(4)当a为何值时，直线与函数图象无交点？
【解】 作出直线y＝a，与函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象(如图所示)，由图象可知.
(1)当a＝1或－1时，直线与函数图象只有一个交点.
(2)当－1＜a＜0或0＜a＜1时，直线与函数图象有两个交点.
(3)当a＝0时，直线与函数图象有三个交点.
(4)当a＜－1或a＞1时，直线与函数图象无交点.
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1学业分层测评(十九)
向量的正交分解与向量的直角坐标运算
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知A(3,1)，B(2，－1)，则的坐标是( )
A.(－2，－1)
B.(2,1)
C.(1,2)
D.(－1，－2)
【解析】 B＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2).
【答案】 C
2.(2016·威海高一检测)设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于( )
A.(1，－1)
B.(－1,1)
C.(－4,6)
D.(4，－6)
【解析】 因为4a,3b－2a，c对应有向线段首尾相接，所以4a＋3b－2a＋c＝0，
故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2,4)
＝(4，－6).
【答案】 D
3.(2016·孝感高级中学期末)若a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c用a，b表示为( )
A.－a＋b
B.a－b
C.a－b
D.－a＋b
【解析】 设c＝λ1a＋λ2b(λ1、λ2∈R)，则
(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，
则∴
∴c＝a－b.故选B.
【答案】 B
4.已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( )
A.平行于y轴
B.平行于第一、三角限的角平分线
C.平行于x轴
D.平行于第二、四象限的角平分线
【解析】 a＋b＝(0,1＋x2)，故平行于y轴.
【答案】 A
5.(2016·抚顺市质检)已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设＝λ＋(1－λ)(λ∈R)，则λ的值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 如图所示，∵∠AOC＝45°，
∴设C(x，－x)，则＝(x，－x).
又∵A(－3,0)，B(0,2)，
∴λ＋(1－λ)＝(－3λ，2－2λ)，
∴ λ＝.
【答案】 C
二、填空题
6.已知点A(2,3)，B(－1,5)，且＝，则点C的坐标为________.
【解析】 因＝，即－＝(－)，所以＝＋＝(2,3)＋(－1,5)＝.
【答案】
7.已知边长为单位长度的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴，y轴的正方向上，则向量2＋3＋的坐标为________.
【导学号：72010059】
【解析】 根据题意建立平面直角坐标系(如图)，则各顶点的坐标分别为A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1).
∴＝(1,0)，＝(0,1)，＝(1,1)，
∴2＋3＋＝(2,0)＋(0,3)＋(1,1)
＝(3,4).
【答案】 (3,4)
三、解答题
8.若向量|a|＝|b|＝1，且a＋b＝(1,0)，求a与b的坐标.
【解】 设a＝(m，n)，b＝(p，q)，
则有
解得或
故所求向量为a＝，b＝，
或a＝，b＝.
9.(1)已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求，，＋，－，2＋.
(2)已知a＝(1,2)，b＝(－3,4)，求向量a＋b，a－b,3a－4b的坐标.
【解】 (1)因为A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，
所以＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)，
＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)，
＋＝(3，－1)＋(－3,2)
＝(0,1)，
－＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)，
2＋＝2(3，－1)＋(－3,2)
＝(6，－2)＋
＝.
(2)a＋b＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)，
a－b＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)，
3a－4b＝3(1,2)－4(－3,4)＝(15，－10).
[能力提升]
1.在四边形ABCD中，＝＝(1,0)，＋＝，则四边形ABCD的面积是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 为在方向上的单位向量，记为e1＝，类似地，设＝e2＝，＝e3＝，所以e1＋e2＝e3，可知四边形BNGM为菱形，且||＝||＝||，所以∠MBN＝120°，从而四边形ABCD也为菱形，||＝||＝1，所以S ABCD＝||·||·sin∠ABC＝.
【答案】 D
2.以原点O及点A(2，－2)为顶点作一个等边△AOB，求点B的坐标及向量的坐标.
【解】 因为△AOB为等边三角形，且A(2，－2)，
所以||＝||＝||＝4，
因为在0～2π范围内，以Ox为始边，OA为终边的角为，当点B在OA的上方时，以OB为终边的角为，由三角函数的定义得：＝＝(2，2).
所以＝－＝(2，2)－(2，－2)＝(0,4).
当点B在OA的下方时，以OB为终边的角为，
由三角函数的定义得：＝(0，－4)，
所以＝－＝(0，－4)－(2，－2)
＝(－2，－2).
综上所述，点B的坐标为(2，2)，的坐标为(0,4)或点B的坐标为(0，－4)，的坐标为(－2，－2).
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5学业分层测评(二十六)
两角和与差的正切
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知＝，则cot＝( )
A.－
B.
C.
D.－
【解析】 ∵＝，
∴cot＝＝＝.
【答案】 B
2.已知α＋β＝，则(1－tan
α)(1－tan
β)＝( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】 tan(α＋β)＝＝tan
＝－1，所以tan
α＋tan
β＝－1＋tan
αtan
β，从而(1－tan
α)(1－tan
β)＝1－(tan
α＋tan
β)＋tan
αtan
β＝1－(－1＋tan
αtan
β)＋tan
αtan
β＝2.
【答案】 B
3.(2016·沈阳高一检测)已知β∈，满足tan(α＋β)＝，sin
β＝，则tan
α＝( )
【导学号：72010083】
A.
B.
C.
D.
【解析】 因为β∈，sin
β＝，所以cos
β＝，所以tan
β＝＝，又因为tan(α＋β)＝，所以tan
α＝tan[(α＋β)－β]＝
＝＝，故选B.
【答案】 B
4.在△ABC中，
tan
A＋tan
B＋＝tan
Atan
B，则角C等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 由已知得tan
A＋tan
B＝－(1－tan
Atan
B)，∴＝－，
∴tan
C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝，
∴C＝.
【答案】 A
5.(2016·沈阳高一检测)若α，β∈，tan
α＝，tan
β＝，则α－β等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 由题意，0<β<α<，
因为tan(α－β)＝＝1，
所以α－β＝.
【答案】 B
二、填空题
6.设tan(α＋β)＝，tan＝，则tan的值是________.
【解析】 ∵tan＝，
∴＝＝，
∴tan
β＝，
tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝＝＝.
【答案】
7.已知tan(α＋β)＝7，tan
α＝，且β∈(0，π)，则β的值为________.
【解析】 tan
β＝tan[(α＋β)－α]＝
＝＝1，又β∈(0，π)，所以β＝.
【答案】
8.(2016·新洲高一检测)在△ABC中，tan
A＋tan
B＋tan
C＝3，tan2B＝tan
A·tan
C，则B＝________.
【解析】 tan
B＝－tan(A＋C)＝－＝－，所以tan3B＝3，所以tan
B＝，又因为B为三角形的内角，所以B＝.
【答案】
三、解答题
9.已知tan＝，tan＝2，
(1)求tan的值；
(2)求tan(α＋β)的值.
【解】 (1)tan
＝tan
＝＝＝－.
(2)tan(α＋β)＝tan
＝＝
＝2－3.
10.已知tan
α，tan
β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，且α，β∈，求α＋β的值.
【解】 由题意，有
tan
α＜0且tan
β＜0.又因为α，β∈，
所以α，β∈，α＋β∈(－π，0).
又因为tan(α＋β)＝＝＝.
在(－π，0)内，正切值为的角只有－，
所以α＋β＝－.
[能力提升]
1.(2016·宜昌高一期末)已知sin
α＝，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝－，则tan
β的值为( )
A.－
B.
C.－
D.
【解析】 ∵α为第二象限角，
∴cos
α<0，cos
α＝－，
∴tan
α＝－.
tan
β＝tan[(α＋β)－α]＝
＝＝－.
【答案】 C
2.(2016·潍坊高一检测)设tan
α，tan
β是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 由题意得tan
α＋tan
β＝－，tan
α·tan
β＝，
所以＝
＝＝.
【答案】 C
3.计算＝________.
【解析】 原式＝
＝tan(45°－15°)＝.
【答案】
4.是否存在锐角α和β，使得①α＋2β＝和②tan
·tan
β＝2－同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由.
【解】 由①得＋β＝，
∴tan＝＝.
将②代入上式得tan
＋tan
β＝3－.
因此，tan
与tan
β是一元二次方程x2－(3－)x＋2－＝0的两根.解之，得x1＝1，x2＝2－.
若tan
＝1，由于0＜＜，
∴这样的α不存在.
故只能是tan
＝2－，tan
β＝1.
由于α，β均为锐角，∴α＝，β＝.
故存在锐角α＝，β＝使①②同时成立.
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1学业分层测评(十一)
正切函数的图象与性质
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.f
(x)＝－tan的单调区间是( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
【解析】 令－＋kπ所以函数f
(x)的单调减区间为
，k∈Z.
【答案】 C
2.函数f
(x)＝tan
ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为，则ω的值是( )
A.1
B.2
C.4
D.8
【解析】 由题意可得f
(x)的周期为，则＝，∴ω＝4.
【答案】 C
3.函数y＝tan图象的对称中心为( )
【导学号：72010032】
A.(0,0)
B.
C.，k∈Z
D.，k∈Z
【解析】 由函数y＝tan
x的对称中心为，k∈Z，令3x＋＝，k∈Z，则x＝－(k∈Z)，∴y＝tan对称中心为，k∈Z.故选D.
【答案】 D
4.(2016·鹤岗一中期末)若直线x＝(－1≤k≤1)与函数y＝tan的图象不相交，则k＝( )
A.
B.－
C.或－
D.－或
【解析】 由题意得2×＋＝＋mπ，m∈Z，
k＝＋m，m∈Z.由于－1≤k≤1，所以k＝或－.故选C.
【答案】 C
5.(2016·遵义四中期末)在下列给出的函数中，以π为周期且在内是增函数的是( )
A.y＝sin
B.y＝cos
2x
C.y＝sin
D.y＝tan
【解析】 由函数周期为π可排除A.x∈时，2x∈(0，π)，2x＋∈，此时B，C中函数均不是增函数.故选D.
【答案】 D
二、填空题
6.(2016·南通高一检测)f
(x)＝asin
x＋btan
x＋1，满足f
(5)＝7，则f
(－5)＝________.
【解析】 ∵f
(5)＝asin
5＋btan
5＋1＝7，
∴asin
5＋btan
5＝6，
∴f
(－5)＝asin(－5)＋btan(－5)＋1
＝－(asin
5＋btan
5)＋1
＝－6＋1＝－5.
【答案】 －5
7.已知函数y＝tan
ωx在内是减函数，则ω的取值范围为__________.
【解析】 由题意可知ω<0，又≥π，
故－1≤ω<0.
【答案】 －1≤ω<0
三、解答题
8.求函数y＝tan的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性、单调性.
【解】 由3x－≠kπ＋，k∈Z，
得x≠＋，k∈Z，
∴所求定义域为.
值域为R，周期T＝，是非奇非偶函数.
在区间(k∈Z)上是增函数.
9.已知x∈，f
(x)＝tan2x＋2tan
x＋2，求f
(x)的最大值和最小值，并求出相应的x值.
【解】 f
(x)＝tan2
x＋2tan
x＋2＝(tan
x＋1)2＋1，
∵x∈，∴tan
x∈[－，1]，
∴当tan
x＝－1，即x＝－时，y有最小值1；
当tan
x＝1，即x＝时，y有最大值5.
[能力提升]
1.(2016·九江高一检测)函数f
(x)＝lg(tan
x＋)为( )
A.奇函数
B.既是奇函数又是偶函数
C.偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
【解析】 ∵>|tan
x|≥－tan
x，
∴其定义域为，关于原点对称，又f
(－x)＋f
(x)＝lg(－tan
x＋)＋lg(tan
x＋)
＝lg
1＝0，
∴f
(x)为奇函数，故选A.
【答案】 A
2.函数y＝tan
x＋sin
x－|tan
x－sin
x|在区间内的图象是图1 3 7中的________.
图1 3 7
【解析】 函数y＝tan
x＋sin
x－|tan
x－sin
x|
＝
【答案】 ④
3.已知函数f
(x)＝Atan(ωx＋φ)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，－3).
(1)求f
(x)的解析式；
(2)求满足f
(x)≥的x的取值范围.
【解】 (1)由题意可得f
(x)的周期为
T＝－＝＝，所以ω＝，
得f
(x)＝Atan，
因为它的图象过点，
所以tan＝0，
即tan＝0，
所以＋φ＝kπ(k∈Z)，得φ＝kπ－，
又|φ|<，所以φ＝－，
于是f
(x)＝Atan，
又它的图象过点(0，－3)，
所以Atan＝－3，得A＝3，
所以f
(x)＝3tan.
(2)由(1)得3tan≥，
所以tan≥，
得kπ＋≤x－解得＋≤x<＋(k∈Z)，
所以满足f
(x)≥的x的取值范围是
(k∈Z).
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1学业分层测评(二)
弧度制和弧度制与角度制的换算
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.－的角是( )
A.第一象限的角
B.第二象限的角
C.第三象限的角
D.第四象限的角
【解析】 因为－＝－－4π，
所以－与－的终边相同，为第四象限的角.
【答案】 D
2.若2
rad的圆心角所对的弧长为4
cm，则这个圆心角所对的扇形面积是
( )
A.4
cm2
B.2
cm2
C.4π
cm2
D.2π
cm2
【解析】 r＝＝＝2(cm)，S＝lr＝×4×2
＝4(cm2).
【答案】 A
3.圆的半径是6
cm，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是( )
A.
cm2
B.
cm2
C.π
cm2
D.3π
cm2
【解析】 15°＝，则S＝|α|r2＝××62
＝(cm2).
【答案】 B
4.下列说法不正确的是( )
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1°的角是周角的，1弧度的角是周角的
C.1
rad的角比1°的角要大
D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
【解析】 用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关.
【答案】 D
5.集合中角所表示的范围(阴影部分)是( )
【解析】 k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x左上部分(包含边界)，k为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界).故选C.
【答案】 C
二、填空题
6.把－570°写成2kπ＋α(k∈Z，α∈(0,2π)的形式是________.
【导学号：72010005】
【解析】 法一：－570°＝－rad
＝－πrad，
∴－π＝－4π＋π.
法二：－570°＝－2×360°＋150°，
∴－570°＝－4π＋π.
【答案】 －4π＋π
7.一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是________弧度，扇形面积是________.
【解析】 由题意知r＝2，l＋2r＝πr，∴l＝(π－2)r，
∴圆心角α＝＝＝π－2(rad)，
扇形面积S＝lr＝×(π－2)·r·r＝2(π－2).
【答案】 π－2 2(π－2)
三、解答题
8.已知α＝2
000°.
(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π)的形式；
(2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π).
【解】 (1)α＝2
000°＝5×360°＋200°＝10π＋π.
(2)θ与α的终边相同，故θ＝2kπ＋π，k∈Z，
又θ∈(4π，6π)，所以k＝2时，θ＝4π＋π＝.
9.已知一个扇形的周长是40，
(1)若扇形的面积为100，求扇形的圆心角；
(2)求扇形面积S的最大值.
【解】 (1)设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
则由题意得
解得则α＝＝2(rad).
故扇形的圆心角为2
rad.
(2)由l＋2r＝40得l＝40－2r，
故S＝lr＝(40－2r)·r
＝20r－r2＝－(r－10)2＋100，
故r＝10时，扇形面积S取最大值100.
[能力提升]
1.如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的( )
A.
B.2倍
C.
D.3倍
【解析】 设圆的半径为r，弧长为l，圆心角的弧度数为，将半径变为原来的一半，弧长变为原来的倍，则弧度数变为＝3·，即弧度数变为原来的3倍.
【答案】 D
2.已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
【解】 (1)由⊙O的半径r＝10＝AB，
知△AOB是等边三角形，
∴α＝∠AOB＝60°＝.
(2)由(1)可知α＝，r＝10，
∴弧长l＝α·r＝×10＝，
∴S扇形＝lr＝××10＝，
而S△AOB＝·AB·5＝×10×5＝，
∴S＝S扇形－S△AOB＝50.
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1学业分层测评(二十八)
半角的正弦、余弦和正切
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.若函数f
(x)＝－sin2
x＋(x∈R)，则f
(x)是( )
A.最小正周期为的奇函数
B.最小正周期为π的奇函数
C.最小正周期为2π的偶函数
D.最小正周期为π的偶函数
【解析】 f
(x)＝－＋＝cos
2x.故选D.
【答案】 D
2.(2016·邢台期末)若sin(π－α)＝－且α∈，则sin等于( )
A.－
B.－
C.
D.
【解析】 由题意知sin
α＝－，α∈，
∴cos
α＝－，
∵∈，∴sin＝cos
＝－＝－.故选B.
【答案】 B
3.(2016·鹤岗一中期末)设a＝cos
7°＋sin
7°，b＝，c＝，则有( )
A.b>a>c
B.a>b>c
C.a>c>b
D.c>b>a
【解析】 a＝sin
37°，b＝tan
38°，c＝sin
36°，由于tan
38°>sin
38°>sin
37°>sin
36°，所以b>a>c.故选A.
【答案】 A
4.若sin(α＋β)cos
β－cos(α＋β)sin
β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于( )
A.1
B.－1
C.0
D.±1
【解析】 ∵sin(α＋β)cos
β－cos(α＋β)sin
β
＝sin(α＋β－β)＝sin
α＝0，
∴sin(α＋2β)＋sin(α－2β)
＝2sin
αcos
2β＝0.
【答案】 C
5.若函数f
(x)＝(1＋tan
x)cos
x,0≤x<，则f
(x)的最大值是( )
A.1
B.2
C.＋1
D.＋2
【解析】 f
(x)＝(1＋tan
x)cos
x
＝cos
x＝sin
x＋cos
x
＝2sin.
∵0≤x<，
∴≤x＋<π，
∴当x＋＝时，
f
(x)取到最大值2.
【答案】 B
二、填空题
6.若θ是第二象限角，且25sin2
θ＋sin
θ－24＝0，则cos
＝________.
【导学号：72010089】
【解析】 由25sin2
θ＋sin
θ－24＝0，
又θ是第二象限角，
得sin
θ＝或sin
θ＝－1(舍去).
故cos
θ＝－＝－，
由cos2
＝得cos2
＝.
又是第一、三象限角，
所以cos
＝±.
【答案】 ±
7.(2016·重庆一中期末)－＝________.
【解析】 原式＝
＝
＝＝4.
【答案】 4
三、解答题
8.(2015·广东高考)已知tan
α＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值.
【解】 (1)tan＝
＝＝－3.
(2)
＝
＝＝＝1.
9.设函数f
(x)＝2cos2ωx＋sin＋a(其中ω>0，a∈R)，且f
(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.
(1)求ω的值；
(2)设f
(x)在区间上的最小值为，求a的值.
【解】 f
(x)＝1＋cos
2ωx＋sin
2ωx－cos
2ωx＋a＝sin＋a＋1.
(1)由2ωx＋＝2kπ＋(k∈Z)，
得ωx＝kπ＋(k∈Z).
又ω>0，
∴当k＝0时，f
(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x＝＝，故ω＝1.
(2)由(1)知f
(x)＝sin＋a＋1，
由≤x≤，得≤2x≤π，≤2x＋≤，
∴当2x＋＝，即x＝时，
f
(x)取得最小值为＋a＋1.
由＋a＋1＝，得a＝－.
[能力提升]
1.(2016·临沂高一检测)已知450°<α<540°，则的值是( )
A.－sin
B.cos
C.sin
D.－cos
【解析】 因为450°<α<540°，
所以225°<<270°，
所以cos
α<0，sin
<0，
所以原式＝
＝
＝＝
＝＝＝－sin
.故选A.
【答案】 A
2.(2016·泉州质检)已知函数f
(x)＝2cos2
，g(x)＝2.
(1)求证：f
＝g(x)；
(2)求函数h(x)＝f
(x)－g(x)(x∈[0，π])的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值.
【解】 (1)证明：f
(x)＝2cos2
＝1＋cos
x，
g(x)＝2
＝1＋2sin
cos
＝1＋sin
x，
∵f
＝1＋cos＝1＋sin
x，
∴f
＝g(x)，命题得证.
(2)函数h(x)＝f
(x)－g(x)＝cos
x－sin
x
＝
＝cos，
∵x∈[0，π]，
∴≤x＋≤，
当≤x＋≤π，即0≤x≤时，h(x)递减，
当π≤x＋≤，即≤x≤π时，
h(x)递增.
∴函数h(x)的单调递减区间为，
单调递增区间为，
根据函数h(x)的单调性，
可知当x＝时，
函数h(x)取到最小值.
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