2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件
课时过关·能力提升
1.已知a=,b=,若a∥b,则锐角α等于( )
A.30°
B.60°
C.45°
D.75°
答案:A
2.已知向量a=(1,3),b=(m-1,2m+3)在同一平面内,若对于这一平面内的任意向量c,有且只有一对实数λ,μ,使得c=λa+μb,则实数m满足( )
A.m≠-2
B.m≠6
C.m≠-
D.m≠-6
解析:依题意知a与b是一组基底,因而它们不共线.而当它们共线时有1×(2m+3)=3(m-1),因此m=6,所以要使a,b不共线,则m≠6.
答案:B
3.设k∈R,下列向量中,与向量a=(-1,1)一定不平行的向量是( )
A.(k,k)
B.(-k,-k)
C.(k2+1,k2+1)
D.(k2-1,k2-1)
答案:C
4.已知平面上有A(-2,1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且,连接DC并延长,取点E,使,则点E的坐标为( )
A.(0,1)
B.(0,1)或
C.
D.
答案:D
5.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb(mn≠0)与a-2b共线,则等于( )
A.-
B.
C.-2
D.2
解析:由于a,b不共线,而ma+nb与a-2b共线,
ma+nb=m(2,3)+n(-1,2)=(2m-n,3m+2n),
a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1),
所以-(2m-n)=4(3m+2n),
即n=-2m,故=-.
答案:A
6.已知=e1+2e2,=(3-x)e1+(4-y)e2,其中e1,e2的方向分别与x,y轴的正方向相同,且为单位向量.若共线,则点P(x,y)的轨迹方程为( )
A.2x-y-2=0
B.(x+1)2+(y-1)2=2
C.x-2y+2=0
D.(x-1)2+(y+1)2=2
解析:=(1,2),=(3-x,4-y).
又共线,
则有(4-y)-2(3-x)=0,即2x-y-2=0.
答案:A
7.已知a=(3,2),b=(2,-1),若m=λa+b与n=a+λb(λ∈R)平行,则λ= .
答案:1或-1
8.设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则a+的值是 .
解析:=(a-1,1),=(-b-1,2).
由于A,B,C三点共线,所以,
因此(a-1)×2=1×(-b-1),
即2(a-1)+b+1=0,
故a+.
答案:
★9.已知a=(1,2),b=(-3,2).
(1)求证:a和b是一组基底,并用它们表示向量c=(x0,y0);
(2)若(k2+1)a-4b与ka+b共线,求k的值.
(1)证明∵1×2≠2×(-3),
∴a与b不共线.
∴a和b是一组基底,可设c=ma+nb,
则(x0,y0)=m(1,2)+n(-3,2).
∴(x0,y0)=(m,2m)+(-3n,2n).
∴
∴c=a+b.
(2)解:依题意,得(k2+1)a-4b与ka+b平行,
∴.
∴k2+4k+1=0,解得k=-2±.
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12.1 向量的线性运算
2.1.1 向量的概念
课时过关·能力提升
1.下列说法正确的是( )
A.零向量没有大小,没有方向
B.零向量是唯一没有方向的向量
C.零向量的长度为0
D.任意两个零向量方向相同
答案:C
2.若a为任一非零向量,b是模为1的向量,下列各式:
①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1.
其中正确的是( )
A.①④
B.③
C.①②③
D.②③
解析:由于a是非零向量,所以|a|>0,只有③正确.
答案:B
3.若a与b均为非零向量,且a与b不共线,而a∥c,b∥c,则c( )
A.等于0
B.等于a
C.等于b
D.不存在
解析:若a与b均为非零向量,且不共线,则只有当c=0时,才能满足a∥c且b∥c.
答案:A
4.如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,则向量中共线的向量有
( )
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
解析:,共3组共线向量.
答案:C
5.已知四边形ABCD是菱形,下列可用同一条有向线段表示的两个向量是( )
A.
B.
C.
D.
解析:只有相等向量才能用同一条有向线段表示.在菱形ABCD中,,它们可用同一条有向线段表示.
答案:B
★6.如图所示,点O是正六边形ABCDEF的中心,以A,B,C,D,E,F,O七点中的任一点为始点,与始点不同的另一点为终点的所有向量中,设与相等的向量个数为m,模与的模相等的向量个数为n,则m,n的值分别是( )
A.3,23
B.3,11
C.3,24
D.2,23
解析:(1)与相等的向量有,故m=3.
(2)模与的模相等的向量有两类:一类是以O为始点,以正六边形的顶点为终点或以正六边形的顶点为始点,以O为终点的向量,有2×6-1=11(个);另一类是以正六边形的六条边为有向线段的向量,共有2×6=12(个),故n=11+12=23.
答案:A
7.在四边形ABCD中,若,且||≠||,则四边形ABCD的形状为 .
答案:梯形
8.
如图,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.
(1)与向量相等的向量为 ;
(2)若||=3,则向量的模等于 .
答案:(1) (2)6
9.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2
000
km到达乙地,再从乙地按南偏东30°的方向飞行2
000
km到达丙地,再从丙地按西南方向飞行1
000
km到达丁地,则丁地在甲地的 方向,丁地距甲地的距离为
km.
解析:如图,A,B,C,D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地.
由题意,知△ABC是正三角形,
∴AC=2
000
km.
又∵∠ACD=45°,CD=1
000
km,
∴△ACD是直角三角形.
∴AD=1
000
km,∠CAD=45°.
∴丁地在甲地的东南方向,丁地距甲地1
000
km.
答案:东南 1
000
10.判断下列说法是否正确,并简要说明理由.
(1)若是共线向量,则P,Q,M,N四点共线;
(2)若表示共线向量的有向线段的始点不同,则终点一定不同;
(3)若两个向量相等,则它们的始点和终点都相同.
解:(1)不正确.若是共线向量,则直线MN与PQ可能重合,也可能平行,则P,Q,M,N四点不一定共线.
(2)不正确.共线的向量的始点不同,但终点却可能相同.如图中的共线,它们始点不同,但终点相同.
(3)不正确.两个向量只要长度相等、方向相同就是相等的向量,和始点、终点的位置无关.
★11.一个人从点A出发沿东北方向走了100
m到达点B,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100
m到达点C,求此人从点C走回点A的位移.
解:如图所示,||=100
m,||=100
m,∠ABC=45°+15°=60°,∴△ABC为等边三角形.
∴||=100
m,
即此人从点C返回点A所走的路程为100
m.
∵∠BAC=60°,∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,
即此人行走的方向为西偏北15°.
故此人从点C走回点A的位移为沿西偏北15°方向100
m.
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11.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
第1课时 余弦函数的图象与性质
课时过关·能力提升
1.函数y=-5cos(3x+1)的最小正周期为( )
A.
B.3π
C.
D.
答案:C
2.函数f(x)=sincos(2x-π)( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.是非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
解析:f(x)=sincos(2x-π)=cos
x·(-cos
2x)=-cos
x·cos
2x,于是f(-x)=-cos(-x)·cos(-2x)=-cos
x·cos
2x=f(x),故f(x)是偶函数.
答案:B
3.函数y=-cos的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析:令2kπ≤≤2kπ+π(k∈Z),解得4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z),所以所求函数的增区间为(k∈Z).
答案:D
4.先把函数y=cos
2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,最后向下平移1个单位长度,得到的图象是( )
解析:y=cos
2x+1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得y1=cos
x+1的图象,再向左平移1个单位长度,得y2=cos(x+1)+1的图象,再向下平移1个单位长度得y3=cos(x+1)的图象,故相应的图象为A.
答案:A
5.下列函数中,图象的一部分如图所示的是( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=cos
D.y=cos
答案:D
6.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,那么|φ|的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
解析:由y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称知,f=0,即3cos=0.
∴+φ=kπ+(k∈Z).
∴φ=kπ+(k∈Z).
∴|φ|的最小值为.
答案:A
7.函数y=4cos2x+4cos
x-1的值域是 .
解析:y=4cos2x+4cos
x-1=4-2.
由于-1≤cos
x≤1,
所以当cos
x=-时,ymin=-2;
当cos
x=1时,ymax=7,
因此函数的值域是[-2,7].
答案:[-2,7]
8.已知f(n)=cos,n∈N+,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)= .
答案:-1
★9.一个大风车的半径为8
m,12
min旋转一周,它的最低点离地面2
m(如图所示),则风车翼片的一个端点离地面的距离h(m)与时间t(min)之间(h(0)=2)的函数关系式为 .
解析:首先考虑建立直角坐标系,以最低点的切线作为x轴,最低点作为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.
那么,风车上翼片端点所在位置P可由函数x(t),y(t)来刻画,而且h(t)=y(t)+2,所以只需要考虑y(t)的解析式.又设P的初始位置在最低点,即y(0)=0.
在Rt△O1PQ中,cos
θ=,
所以y(t)=-8cos
θ+8.
而,所以θ=t,
所以y(t)=-8cost+8,
所以h(t)=-8cost+10.
故填h(t)=-8cost+10.
答案:h(t)=-8cost+10
10.已知函数f(x)=2cos
ωx(ω>0),且函数y=f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值;
(2)先将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.
解:(1)由题意知f(x)的周期T=π,故=π,∴ω=2.
∴f(x)=2cos
2x.∴f=2cos.
(2)将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到y=f的图象,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到y=f的图象,
所以g(x)=f
=2cos=2cos.
当2kπ≤≤2kπ+π(k∈Z),
即4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z)时,g(x)单调递减,因此g(x)的单调递减区间为
(k∈Z).
★11.已知函数f(x)=-+acos
x+sin2x
的最大值为2,求实数a的值.
解:f(x)=-,且0≤cos
x≤1.
当0≤≤1,即0≤a≤2时,cos
x=时,函数f(x)可取得最大值,此时f(x)max=.
由=2,解得a=3或a=-2,均不合题意,舍去.
当<0,即a<0时,cos
x=0时,函数f(x)可取得最大值,此时f(x)max=-.
由=2,解得a=-6.
当>1,即a>2时,cos
x=1时,函数f(x)可取得最大值,此时f(x)max=-.
由=2,解得a=.
综上,a的值为-6或.
★12.求函数y=sin+cos的周期、单调区间和最值.
解:y=sin+cos
=cos+cos
=cos+cos=2cos,
故周期T=.
令2kπ≤4x-≤2kπ+π,k∈Z,
解得≤x≤,k∈Z,
因此,所求函数的单调递减区间为
(k∈Z).
同理可求得单调递增区间为
(k∈Z).
因为-1≤cos≤1,
所以-2≤2cos≤2.
故所求函数的最大值为2,最小值为-2.
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13.1.2 两角和与差的正弦
课时过关·能力提升
1.cos
23°sin
53°-sin
23°cos
53°等于( )
A.
B.-
C.-
D.
解析:原式=sin
53°cos
23°-cos
53°sin
23°=sin(53°-23°)=sin
30°=.
答案:A
2.如果α∈,且sin
α=,那么sincos
α等于( )
A.
B.-
C.
D.-
解析:sincos
α=sin
αcos+cos
αsincos
α=sin
α=.
答案:A
3.函数f(x)=5sin
x-12cos
x(x∈R)的最小值是( )
A.-5
B.-12
C.-13
D.0
解析:由于f(x)=5sin
x-12cos
x=sin(x+φ)=13sin(x+φ),其中,sin
φ=-,cos
φ=.由于x∈R,所以x+φ∈R,故f(x)的最小值是-13.
答案:C
4.设a=2sin
24°,b=sin
85°-cos
85°,c=2(sin
47°·sin
66°-sin
24°sin
43°),则( )
A.a>b>c
B.b>c>a
C.c>b>a
D.b>a>c
解析:b=sin
85°-cos
85°=2sin(85°-60°)=2sin
25°,
c=2(sin
47°sin
66°-sin
24°sin
43°)
=2(sin
47°cos
24°-cos
47°sin
24°)=2sin(47°-24°)=2sin
23°,
而a=2sin
24°,且sin
23°
24°25°,
所以必有b>a>c.
答案:D
5.在△ABC中,若sin
B=2sin
Acos
C,则△ABC一定是
( )
A.等腰直角三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
解析:由于A+B+C=π,所以B=π-(A+C).
于是sin
B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin
Acos
C+cos
Asin
C,
因此sin
Acos
C+cos
Asin
C=2sin
Acos
C,
于是sin
Acos
C-cos
Asin
C=0,即sin(A-C)=0,
必有A=C,△ABC是等腰三角形.
答案:B
6.已知向量a=(cos
x,sin
x),b=(),a·b=,则cos等于( )
A.-
B.-
C.
D.
解析:由a·b=,得cos
x+sin
x=,
∴cos
x+sin
x=,即cos
,故选D.
答案:D
7.若α,β都为锐角,则sin(α+β)与sin
α+sin
β的值满足
( )
A.sin(α+β)>
sin
α+sin
β
B.sin(α+β)α+sin
β
C.sin(α+β)=sin
α+sin
β
D.sin(α+β)≥sin
α+sin
β
解析:将sin(α+β)利用两角和的正弦公式展开,注意锐角条件,则有sin(α+β)=sin
αcos
β+cos
αsin
βα+sin
β.
答案:B
8.已知tan(α+β)=2,则= .
解析:原式==3.
答案:3
9.要使sin
α-cos
α=2m+1有意义,则m的取值范围是 .
解析:由于sin
α-cos
α=2=2sin,
因此-2≤2m+1≤2,即-≤m≤.
答案:
★10.已知cos,sin,其中<α<,0<β<,求sin(α+β)的值.
解:∵α+β++β-,
∴sin(α+β)=-cos
=-cos
=-coscos-sinsin.
∵<α<,0<β<,
∴--α<0,+β<π.
∴sin=-,cos=-.
∴sin(α+β)=-.
★11.已知函数f(x)=-1+2sin
2x+mcos
2x的图象经过点A(0,1),求此函数在上的最值.
解:∵点A(0,1)在函数f(x)的图象上,
∴1=-1+2sin
0+mcos
0,解得m=2.
∴f(x)=-1+2sin
2x+2cos
2x=2(sin
2x+cos
2x)-1=2sin-1.
∵0≤x≤,∴≤2x+.
∴-≤sin≤1.
∴-3≤f(x)≤2-1.
∴函数f(x)的最大值为2-1,最小值为-3.
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13.1.3 两角和与差的正切
课时过关·能力提升
1.已知tan(α+β)=,tan,则tan等于( )
A.
B.
C.
D.
解析:tan=tan.
答案:C
2.已知β∈,满足tan(α+β)=,sin
β=,则tan
α等于( )
A.
B.
C.
D.
解析:由已知可得cos
β=,从而tan
β=,于是tan
α=tan[(α+β)-β]=.
答案:B
3.在△ABC中,已知tan
A,tan
B是方程3x2+8x-1=0的两根,则tan
C等于( )
A.2
B.-2
C.4
D.-4
答案:A
4.在△ABC中,C=,3tan
A+3tan
B=2,则tan
Atan
B的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析:由C=得A+B=,
于是tan(A+B)=.
即,因此tan
Atan
B=.
答案:B
5.在△ABC中,tan
A=,cos
B=,则tan
C等于
( )
A.-1
B.1
C.
D.-2
解析:∵cos
B=,且0∴sin
B=.
∴tan
B=,
∴tan
C=-tan=-
=-=-1.
故选A.
答案:A
6.设tan
α和tan
β是关于x的方程mx2+(2m-3)x+(m-2)=0的两根,则tan(α+β)的最小值是( )
A.
B.
C.-
D.不确定
解析:依题意tan
α+tan
β=-,tan
αtan
β=,于是tan(α+β)=-m.
又方程有两根,所以Δ=(2m-3)2-4m(m-2)≥0,
即m≤,因此-m≥-,即tan(α+β)的最小值为-.
答案:C
7.已知sin
2α=,tan(α-β)=,则tan(α+β)= .
解析:∵sin
2α=,∴cos
2α=±.
又∵<α<,∴<2α<π,∴cos
2α=-,
∴tan
2α=-.
又∵tan(α-β)=,
∴tan(α+β)=tan[2α-(α-β)]
==-2.
答案:-2
8.已知tan=2,则的值为 .
答案:
★9.在△ABC中,若(1+cot
A)(1+cot
C)=2,则log2sin
B= .
解析:由(1+cot
A)(1+cot
C)=2,得=2,∴(tan
A+1)(tan
C+1)=2tan
Atan
C.
∴1+tan
A+tan
C=tan
Atan
C.
∴tan(A+C)=-1.
又A,B,C是△ABC的内角,
∴A+C=.∴B=.∴sin
B=.
∴log2sin
B=log2=-.
答案:-
10.已知α为第二象限的角,sin
α=,β为第一象限的角,cos
β=,求tan(2α-β)的值.
解:∵α为第二象限的角,且sin
α=,
∴cos
α=-,∴tan
α=-.
∵β为第一象限的角,且cos
β=,∴sin
β=,
∴tan
β=.∴tan(α-β)=
=.
∴tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]
=.
★11.如图,在矩形ABCD中,AB=a,BC=2a,在BC上取一点P,使AB+BP=PD,求tan
∠APD的值.
解:由AB+BP=PD,得a+BP=,解得BP=.
设∠APB=α,∠DPC=β,
则tan
α=,tan
β=.
从而tan(α+β)==-18.
∵∠APD+(α+β)=π,
∴tan∠APD=tan[π-(α+β)]=-tan(α+β)=18.
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11.3.3 已知三角函数值求角
课时过关·能力提升
1.arccos的值等于( )
A.
B.
C.
D.-
解析:由于cos=-,且∈(0,π),
因此arccos.
答案:C
2.若sin
x=-
A.
B.
C.
D.
解析:由于sin,所以sin=-sin=-,因此x=.
答案:C
3.满足tan
x=-的角x的集合是( )
A.
B.
C.
D.
解析:当x∈时,由tan
x=-,可得x=arctan(-)=-,因此所有满足tan
x=-的角x=kπ-(k∈Z).
答案:D
4.下列各式中正确的是( )
A.sin
B.sin
C.arccos(-x)=arccos
x
D.arctan
解析:arcsin中,>1,故无意义,A错;当x=时,arccos,而arccos.故arccos(-x)≠arccos
x,C错;arctan=arctan(-)=-,故D错.
答案:B
5.已知函数y=2sin(ωx+φ)的图象如图所示,则( )
A.ω=,φ=
B.ω=,φ=-
C.ω=2,φ=
D.ω=2,φ=-
答案:C
6.使得等式2cos=1成立的角x的集合是( )
A.
B.
C.
D.
解析:由已知得cos.因此=2kπ±,故x=4kπ±(k∈Z).
答案:C
7.在式子arcsin(2x-5)中,x的取值范围是 .
解析:由-1≤2x-5≤1,得2≤x≤3.
答案:{x|2≤x≤3}
8.若x=是关于x的方程2cos(x+α)=1的解,其中α∈(0,2π),则α= .
解析:由已知得cos.
又因为α∈(0,2π),所以α+,故α=.
答案:
9.下列说法正确的个数为 .
①若点P(a,2a)(a≠0)为角α终边上一点,则sin
α=;
②同时满足sin
α=,cos
α=的角α有且只有一个;
③当|a|<1时,tan(arcsin
a)的值恒为正;
④方程tan的解集为{x|x=kπ,k∈Z}.
答案:1
★10.已知集合A=,集合B=,求A∩B.
解:∵A=,
∴A=.
∵B=,
∴B=
=.
∴A∩B=.
★11.设sin
θ,cos
θ是关于x的方程4x2-4mx+2m-1=0的两个根,且<θ<2π,求m和θ的值.
解:由一元二次方程根与系数的关系,得
②代入①的平方,得1+2×=m2,
解得m=或m=.
∵<θ<2π,
∴sin
θcos
θ<0,
∴m<,故m=,
则原方程变为4x2-2(1-)x-=0.
∵sin
θ<0,cos
θ>0,
∴cos
θ=,∴θ=.
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13.3 三角函数的积化和差与和差化积
课时过关·能力提升
1.式子sin
15°sin
105°的值等于( )
A.
B.-
C.
D.-
解析:sin
15°sin
105°=-[cos
120°-cos(-90°)]=-.
答案:A
2.式子sin
20°+cos
10°可化简为( )
A.sin
50°
B.cos
50°
C.sin
50°
D.cos
50°
解析:sin
20°+cos
10°=sin
20°+sin
80°=2sin
50°cos
30°=sin
50°.
答案:C
3.若cos(α+β)cos(α-β)=,则cos2α-sin2β等于( )
A.-
B.-
C.
D.
解析:由cos(α+β)cos(α-β)=(cos
αcos
β-sin
αsin
β)·(cos
αcos
β+sin
αsin
β)
=cos2αcos2β-sin2αsin2β
=cos2α(1-sin2β)-sin2αsin2β
=cos2α-cos2αsin2β-sin2αsin2β
=cos2α-sin2β(cos2α+sin2α)
=cos2α-sin2β,知cos2α-sin2β=.
答案:C
★4.已知直角三角形中两锐角为A和B,则sin
Asin
B( )
A.有最大值和最小值0
B.有最大值,但无最小值
C.既无最大值,也无最小值
D.有最大值1,但无最小值
解析:sin
Asin
B=-[cos(A+B)-cos(A-B)]=-cos(A-B).又0Asin
B≤.
答案:B
5.cos
72°-cos
36°等于( )
A.3-2
B.
C.-
D.-
解析:cos
72°-cos
36°=-2sin
54°sin
18°=-2sin
18°cos
36°
=
=
==-=-.
答案:C
6.已知α-β=,且cos
α-cos
β=,则cos(α+β)等于
( )
A.
B.
C.
D.
解析:由于cos
α-cos
β=-2sinsin=-2sinsin=-sin,因此sin=-,于是cos(α+β)=1-2sin2=1-2×.
答案:C
7.cos
20°+cos
60°+cos
100°+cos
140°的值为 .
解析:cos
20°+cos
60°+cos
100°+cos
140°
=cos
20°+cos
100°+cos
140°+
=2cos
60°cos(-40°)+cos
140°+
=cos
40°+cos
140°+
=cos
40°-cos
40°+.
答案:
8.若cos2α-cos2β=m,则sin(α+β)sin(α-β)= .
解析:sin(α+β)sin(α-β)=-(cos
2α-cos
2β)=-[(2cos2α-1)-(2cos2β-1)]=cos2β-cos2α=-m.
答案:-m
9.若x为锐角三角形的内角,则函数y=sin+sin
x的值域为 .
解析:y=2sincossin.
由条件,知所以所以y∈.
答案:
10.化简:.
解:原式=
=
==cot
4α.
★11.已知△ABC的三个内角A,B,C满足A+C=2B,=-,求cos的值.
解:由题设条件知B=60°,A+C=120°,
∴-=-=-2,
∴=-2.
将上式化简为cos
A+cos
C=-2cos
Acos
C,
则2coscos=-[cos(A+C)+cos(A-C)].
将cos=cos
60°=,cos(A+C)=cos
120°=-代入上式,得coscos(A-C).
将cos(A-C)=2cos2-1代入上式并整理,
得4cos2+2cos-3=0,
即=0.
∵2cos+3≠0,
∴2cos=0.
∴cos.
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12.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
课时过关·能力提升
1.已知e为x轴上的单位向量,若=-2e,且B点的坐标为3,则A点的坐标和AB中点的坐标分别为( )
A.2,1
B.5,4
C.4,5
D.1,-2
答案:B
2.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么( )
A.k=1,且c与d同向
B.k=1,且c与d反向
C.k=-1,且c与d同向
D.k=-1,且c与d反向
答案:D
3.设a,b为不共线向量,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则下列关系式中正确的是( )
A.
B.=2
C.=-
D.=-2
解析:=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b=2.
答案:B
4.已知a≠0,λ∈R,下列叙述中,正确的个数是( )
①λa∥a;
②λa与a的方向相同;
③是单位向量;
④若|λa|>|a|,则λ>1.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:B
5.已知在△ABC中,D是BC的中点,E是DC的中点,F是EC的中点,若=a,=b,则等于( )
A.a+b
B.a-b
C.a+b
D.a-b
解析:由题意可得=a-b.
∵D是BC的中点,
∴(a-b),
同理(a-b),(a-b),∴=b+(a-b)=a+b.
答案:C
6.已知向量a,b,c中任意两个都不共线,且a+b与c共线,b+c与a共线,则向量a+b+c等于( )
A.a
B.b
C.c
D.0
解析:因为a+b与c共线,
所以有a+b=mc(m∈R).
又b+c与a共线,
所以有b+c=na(n∈R),
即b=mc-a且b=-c+na.
因为a,b,c中任意两个都不共线,则有
所以b=mc-a=-c-a,
即a+b+c=0,故选D.
答案:D
★7.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足+λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
解析:上的单位向量,设为e1,上的单位向量,设为e2,则e1+e2的方向为∠BAC的平分线的方向.又λ∈[0,+∞),
∴λ(e1+e2)的方向与e1+e2的方向相同,而由题意,得=λ(e1+e2),∴点P在向量所在的直线上移动.
∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心.
答案:B
8.已知数轴上两点A,B的坐标分别是-8,-3,则的坐标为 ,长度为 .
答案:5 5
9.已知长度相等的三个非零向量满足=0,则由A,B,C三点构成的△ABC的形状是 三角形.
解析:如图,以OA,OB为邻边作菱形OAFB,则,
∴=0,∴=-.
∴O,F,C三点共线.
∵四边形OAFB是菱形,
∴CE垂直平分AB.∴CA=CB.
同理,AB=AC.
∴△ABC为等边三角形.
答案:等边
10.如图,在△OAB中,点C是点B关于点A的对称点,OD=2DB,DC和OA交于点E,设=a,=b.
(1)用a和b表示向量;
(2)若=λ,求实数λ的值.
解:(1)依题意,得A是BC的中点,
∴2,
即=2=2a-b,
∴
=2a-b-b=2a-b.
(2)∵=λ,
∴=λa-(2a-b)=(λ-2)a+b.
∵共线,且≠0,
∴存在实数k,使=k,
即(λ-2)a+b=k,解得λ=.
∴实数λ的值为.
★11.如图,在△ABC中,E为边AC的中点,试问在边AC上是否存在一点D,使得 若存在,说明点D的位置;若不存在,请说明理由.
解:假设存在点D,使得.
由,
得)=,
所以,
即.
又,所以,
即在AC上存在一点D,使,且D点为AC上靠近C的一个三等分点.
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11.2.4 诱导公式
第1课时 诱导公式(1)
课时过关·能力提升
1.cos的值为( )
A.
B.-
C.
D.
解析:cos=cos=cos.
答案:A
2.已知sin
α=,则cos(2π-α)的值等于( )
A.或-
B.-
C.
D.
解析:cos(2π-α)=cos(-α)=cos
α=±=±=±.
答案:A
3.已知tan
5°=t,则tan(-365°)等于( )
A.t
B.360+t
C.-t
D.与t无关
解析:tan(-365°)=-tan
365°=-tan(360°+5°)=-tan
5°=-t.
答案:C
4.已知函数f(x)=cos,则下列等式成立的是( )
A.f(4π-x)=-f(x)
B.f(4π+x)=-f(x)
C.f(-x)=f(x)
D.f(-x)=-f(x)
解析:f(-x)=cos=cos=f(x).
答案:C
5.若|sin(360°-α)|=sin(-α+720°),则α的取值范围是
( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.[2kπ,2kπ+π](k∈Z)
D.[2kπ-π,2kπ](k∈Z)
解析:由已知可得|sin
α|=-sin
α,因此sin
α≤0,所以2kπ-π≤α≤2kπ(k∈Z).
答案:D
6.化简的结果为( )
A.cos
B.-cos
C.sin
D.sin
解析:=-cos.
答案:B
7.tan
2
205°= .
解析:tan
2
205°=tan(6×360°+45°)=tan
45°=1.
答案:1
8.sin·cos(n∈Z)的值为 .
解析:原式=sin·cos=-=-.
答案:-
★9.sinsinsinsin·…·sin的值等于 .
解析:原式=sin·sin·sin·…·sin×…×=(-1)100×.
答案:
10.设f(x)=g(x)=
求g+f+g+f的值.
解:原式=cos+f+1+g+1+f+1=+sin+cos+sin+3=+3=3.
★11.已知=3+2,求cos2(-θ)+sin(2π-θ)·cos(-θ)+2sin2(2π+θ)的值.
解:由已知可得=3+2,解得tan
θ=.
因此cos2(-θ)+sin(2π-θ)·cos(-θ)+2sin2(2π+θ)
=cos2θ-sin
θcos
θ+2sin2θ
=
=.
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11.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
课时过关·能力提升
1.已知扇形的半径为r,圆心角α所对的弧长为2r,则α的大小是( )
A.30°
B.60°
C.1弧度
D.2弧度
解析:α的大小为=2弧度.
答案:D
2.下列各对角中,终边相同的是( )
A.和2kπ-(k∈Z)
B.-
C.-
D.
解析:由于-=-2π,
所以-的终边相同.
答案:C
3.已知圆的半径是6
cm,则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是( )
A.
cm2
B.
cm2
C.π
cm2
D.3π
cm2
解析:15°=15×
rad,所以扇形面积S=×62×(cm2).
答案:B
4.已知角α的终边经过点P(-1,-1),则( )
A.α=kπ+(k∈Z)
B.α=2kπ+(k∈Z)
C.α=kπ+(k∈Z)
D.α=2kπ-(k∈Z)
解析:由终边过点P(-1,-1),知α为第三象限的角,故由终边相同的角,得α=2kπ-(k∈Z).
答案:D
5.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析:由于k∈Z,所以当k是偶数时,不妨设k=2m(m∈Z),这时集合为;当k是奇数时,不妨设k=2m+1(m∈Z),这时集合为.
由终边相同的角的表示方法知,集合中的角的范围是C项的阴影部分.
答案:C
★6.已知扇形的圆心角为,半径长为a,则扇形内切圆的面积与扇形的面积之比是( )
A.1∶3
B.2∶3
C.4∶3
D.4∶9
解析:如图,设扇形AOB的内切圆圆心为M,与切于点C,与半径OB切于点N.
设内切圆半径为r,
由于∠AOB=,
所以∠MON=,
于是OM=OC-MC=a-r,MN=r,
所以a-r=2r,解得r=,
从而扇形内切圆面积S1=π·a2.
而扇形面积为S2=·a2=a2.
故扇形内切圆的面积与扇形的面积之比S1∶S2=a2∶a2=2∶3.
答案:B
7.已知角α,β的终边关于x+y=0对称,且α=-,则β= .
答案:
8.已知数集A={x|x=4kπ,k∈Z},B={x|x=2kπ,k∈Z},C=,D={x|x=kπ,k∈Z},则A,B,C,D四个数集之间的关系是 .
答案:A B D C
9.已知扇形的周长为8
cm,圆心角为2弧度,则该扇形的面积为 cm2.
答案:4
10.用弧度制表示,并分别写出下列集合:
(1)终边在x轴上的角的集合;
(2)终边在y轴上的角的集合.
解:(1)终边在x轴上的角的集合为{α|α=2k1π,k1∈Z}∪{α|α=2k2π+π,k2∈Z}={α|α=kπ,k∈Z}.
(2)终边在y轴上的角的集合为
.
★11.扇形的周长为20
cm,当扇形的圆心角为何值时,它的面积最大 并求出最大面积.
解:设扇形的圆心角为α,半径为r
cm,面积为S
cm2,
则弧长为l=(20-2r)
cm.
由20-2r>0,r>0,得0由20-2r<2πr,得r>.
于是S=lr=(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25,r∈,
因此当r=5时,S取得最大值25,此时圆心角α==2
rad.
故当扇形的圆心角为2
rad时,它的面积最大,最大面积为25
cm2.
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12.1.2 向量的加法
课时过关·能力提升
1.如图,等于( )
A.0
B.0
C.2
D.-2
答案:B
2.在四边形ABCD中,若,且||=||,则四边形ABCD为( )
A.梯形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
解析:由知四边形ABCD为平行四边形,又对角线AC=BD,故四边形ABCD为矩形.
答案:C
3.已知a,b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则( )
A.a∥b,且a与b方向相同
B.a,b是共线向量
C.a=-b
D.a,b无论什么关系均可
答案:A
4.设a,b为非零向量,下列说法不正确的是( )
A.若a与b反向,且|a|>|b|,则向量a+b与a的方向相同
B.若a与b反向,且|a|<|b|,则向量a+b与a的方向相同
C.若a与b同向,则向量a+b与a的方向相同
D.若a与b同向,则向量a+b与b的方向相同
答案:B
5.设()+()=a,而b是一个非零向量,则下列结论中,正确的有( )
①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|.
A.①③
B.②③
C.②④
D.①②
解析:由已知得a=0,所以a∥b,a+b=0+b=b.
答案:A
6.下列等式错误的是( )
A.a+0=0+a=a
B.=0
C.
D.()+()+
解析:=2,故B错.
答案:B
7.如图,在正六边形ABCDEF中,=( )
A.0
B.
C.
D.
解析:.
答案:D
8.如图,已知梯形ABCD,AD∥BC,则= .
答案:
9.若|a|=4,|b|=5,则|a+b|的取值范围是 .
解析:由于||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,
则1≤|a+b|≤9.
答案:[1,9]
10.已知||=|a|=3,||=|b|=3,∠AOB=60°,求|a+b|.
解:如图,以为邻边作平行四边形OACB,则=a+b.
∵||=||=3,
∴平行四边形OACB为菱形.
连接OC,AB,则OC⊥AB.
∵∠AOB=60°,
∴AB=||=3.
∴在Rt△BDC中,CD=.
∴|a+b|=||=×2=3.
★11.我们知道在△ABC中,=0,反过来,三个不共线的非零向量a,b,c满足什么条件时,顺次将它们的终点与始点相连可组成一个三角形
解:当a+b+c=0时,顺次将它们的终点与始点相连可组成一个三角形.
可作=a,=b,则,
于是+c=0,即c与方向相反,大小相同,
也即c=.故a,b,c可构成一个三角形.
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11.2.3 同角三角函数的基本关系式
课时过关·能力提升
1.若cos
α=,则(1+sin
α)(1-sin
α)等于( )
A.
B.
C.
D.
解析:(1+sin
α)(1-sin
α)=1-sin2α=cos2α=.
答案:B
2.化简的值为( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2
解析:原式==-1.
答案:B
3.若角x的终边位于第二象限,则函数y=的值可化简为( )
A.1
B.2
C.0
D.-1
解析:原式==1-1=0.
答案:C
4.设sin,且α是第二象限的角,则tan等于( )
A.
B.
C.±
D.±
解析:∵α是第二象限的角,
∴是第一、三象限的角.
∵sin>0,
∴是第一象限的角.
∴cos,
∴tan.
答案:A
5.如果tan
θ=2,那么sin2θ+sin
θcos
θ+cos2θ的值是
( )
A.
B.
C.
D.
解析:sin2θ+sin
θcos
θ+cos2θ=1+sin
θcos
θ=1+=1+=1+.
答案:B
6.已知α∈,且sin
αcos
α=-,则sin
α+cos
α的值是( )
A.
B.-
C.±
D.±
解析:由于α∈,所以sin
α>0,cos
α<0,且|sin
α|<|cos
α|,从而sin
α+cos
α<0.又(sin
α+cos
α)2=1+2sin
αcos
α=1+2×,从而sin
α+cos
α=-.
答案:B
7.化简的结果是 .
解析:原式==-cos.
答案:-cos
8.已知sin
θ+cos
θ=,θ∈(0,π),则cot
θ的值是 .
解析:因为sin
θ+cos
θ=,
①
两边平方,得1+2sin
θcos
θ=,
所以2sin
θcos
θ=-.
因为θ∈(0,π),所以cos
θ<0θ.
由于(sin
θ-cos
θ)2=1-2sin
θcos
θ=,
所以sin
θ-cos
θ=.
②
联立①②,解得sin
θ=,cos
θ=-,
所以cot
θ==-.
答案:-
9.已知sin
α-cos
α=,则tan
α的值为 .
解析:∵sin
α-cos
α=,
∴(sin
α-cos
α)2=sin2α-2sin
αcos
α+cos2α=1-2sin
αcos
α=,∴sin
αcos
α=,
于是,即,
∴tan
α=或tan
α=3.
答案:3或
10.若sin
α,cos
α是关于x的方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为 .
解析:由一元二次方程根与系数的关系得且Δ=(2m)2-16m≥0,即m≤0或m≥4.
又(sin
α+cos
α)2=1+2sin
αcos
α,
∴=1+2×,∴m=1±.
又m≤0或m≥4,∴m=1-.
答案:1-
11.化简:
.
解:原式=
=
=.
因此当α是第一、三象限的角时,原式=4;当α是第二、四象限的角时,原式=-4.
★12.已知sin
θ,cos
θ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.
(1)求sin3θ+cos3θ的值;
(2)求tan
θ+的值.
解:依题意,知Δ≥0,即(-a)2-4a≥0,得a≤0或a≥4,
且
由①2-②×2,得a2-2a-1=0,
∴a=1-或a=1+(舍).
∴sin
θ+cos
θ=sin
θcos
θ=1-.
(1)sin3θ+cos3θ=(sin
θ+cos
θ)(sin2θ-sin
θcos
θ+cos2θ)=(1-)[1-(1-)]=-2.
(2)tan
θ+
==--1.
★13.求证:.
证明左边=
=
=
==右边.
故原等式成立.
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13.2 倍角公式和半角公式
3.2.1 倍角公式
课时过关·能力提升
1.已知α为第二象限的角,sin
α=,则sin
2α等于( )
A.-
B.-
C.
D.
解析:由已知得cos
α=-=-,于是sin
2α=2sin
αcos
α=2×=-.
答案:A
2.等于( )
A.-sin
50°
B.sin
50°
C.-cos
50°
D.cos
50°
解析:cos
50°.
答案:D
3.已知向量a=(3,-2),b=(cos
α,sin
α),若a∥b,则tan
2α的值为( )
A.
B.-
C.
D.-
解析:由a∥b得3sin
α=-2cos
α,于是tan
α=-,从而tan
2α==-.
答案:B
4.已知sin,则sin
2α等于( )
A.-
B.
C.-
D.
解析:由已知得sin
αcos+cos
αsin,于是(sin
α+cos
α)=,sin
α+cos
α=,从而(sin
α+cos
α)2=,即1+sin
2α=,故sin
2α=-.
答案:C
5.函数y=2sin
x(sin
x+cos
x)的最大值为( )
A.1+
B.-1
C.
D.2
解析:y=2sin
x(sin
x+cos
x)=2sin2x+2sin
xcos
x=1-cos
2x+sin
2x=sin+1,
因此当sin=1时,函数取最大值+1.
答案:A
★6.已知,则tan
α+=( )
A.-8
B.8
C.
D.-
解析:∵
=cos
α-sin
α=,
∴1-2sin
αcos
α=,即sin
αcos
α=-.
则tan
α+
==-8.故选A.
答案:A
7.已知sin
α=,则sin= .
解析:sin=sin=-cos
2α
=-(1-2sin2α)=2×-1=2-.
答案:2-
8.sin
10°sin
30°sin
50°sin
70°的值等于 .
解析:sin
10°sin
50°sin
70°=
=
=.
故sin
10°sin
30°sin
50°sin
70°=.
答案:
9.已知=-5,则3cos
2θ+sin
2θ= .
解析:由=-5,得
2sin
θ+cos
θ=-5sin
θ+15cos
θ,
∴7sin
θ=14cos
θ.
∴tan
θ=2.
∴3cos
2θ+sin
2θ=3(cos2θ-sin2θ)+2sin
θcos
θ
=
=3·
==-1.
答案:-1
10.已知α为锐角,且sin
α=.
(1)求的值;
(2)求tan的值.
解:(1)∵α为锐角,且sin
α=,
∴cos
α=.
∴
==20.
(2)由(1),得tan
α=,
故tan.
★11.已知向量m=(sin
x,-1),向量n=,函数f(x)=(m+n)·m.
(1)求f(x)的最小正周期T;
(2)已知f(A)恰是f(x)在上的最大值,求锐角A.
解:(1)f(x)=(m+n)·m=sin2x+sin
xcos
x+sin
2x+sin
2x-cos
2x+2=sin+2,
所以函数f(x)的最小正周期T==π.
(2)由(1),知f(x)=sin+2.
当x∈时,-≤2x-.
由正弦函数的图象可知,当2x-时,f(x)取得最大值3,即f(A)=3,此时2A-,
所以A=.
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11.2 任意角的三角函数
1.2.1 三角函数的定义
课时过关·能力提升
1.已知点P(4,-3)是角α终边上一点,则下列三角函数值中正确的是( )
A.tan
α=-
B.cot
α=-
C.sin
α=-
D.cos
α=
答案:B
2.下列说法中,正确的个数是( )
①与角的终边相同的角有有限个;
②若cos
α<0,tan
α>0,则角α的终边在第四象限;
③cos
260°>0.
A.0
B.1
C.2
D.3
答案:A
3.若角α的终边经过点(-3,-2),则( )
A.sin
αtan
α>0
B.cos
αtan
α>0
C.sin
αcos
α<0
D.sin
αcos
α>0
解析:由已知,角α是第三象限的角,sin
α<0,cos
α<0,tan
α>0,从而sin
αtan
α<0,cos
αtan
α<0,sin
α·cos
α>0.
答案:D
4.已知cos
α=m,0<|m|<1,且tan
α=,则角α的终边在( )
A.第一或第二象限
B.第三或第四象限
C.第一或第四象限
D.第二或第三象限
解析:因为cos
α=m,0<|m|<1,
所以角α的终边不会落在坐标轴上.
又因为>0,
所以cos
α与tan
α同号,
所以角α的终边在第一或第二象限.
答案:A
5.若α是第二象限的角,则sin
2α,sin,tan
2α,tan
中必取正数的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案:B
6.若60°角的终边上有一点P(4,a),则a的值为( )
A.-4
B.4
C.2
D.-2
解析:由已知可得tan
60°=,于是,a=4.
答案:B
7.若角α的终边上有一点P(m,m)(m∈R,且m≠0),则sin
α的值是 .
解析:因为x=m,y=m,
所以r=OP=±m.
所以sin
α==±=±.
答案:±
8.已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴.若点P(4,y)是角θ终边上一点,且sin
θ=-,则y= .
答案:-8
9.函数y=的定义域是 .
答案:(k∈Z)
10.给出下列判断:
①sin
156°>0;②cos<0;③tan
2>0;④tan<0;⑤sin<0.
其中正确判断的序号是 .
解析:156°是第二象限的角,故sin
156°>0,①正确;=2π+是第三象限的角,应有cos<0,故②正确;2
rad是第二象限的角,因此tan
2<0,故③错误;-=-2π-是第四象限的角,故tan<0,④正确;-=-4π+是第二象限的角,应有sin>0,⑤错误.
答案:①②④
★11.已知角θ的终边上有一点P(-,m),且sin
θ=m,求cos
θ与tan
θ的值.
解:由已知,得m=,解得m=0或m=±.
当m=0时,cos
θ=-1,tan
θ=0;
当m=时,cos
θ=-,tan
θ=-;
当m=-时,cos
θ=-,tan
θ=.
★12.求证恒等式:=2.
证明设M(x,y)为角α终边上异于原点的一点,|OM|=r,由三角函数的定义,得sin
α=,cos
α=,sec
α=,csc
α=.
于是原等式的左边
=
=
=
=1+1=2=右边.
故原等式成立.
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1第2课时 正切函数的图象与性质
课时过关·能力提升
1.函数y=tan的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
解析:由已知应有x-≠kπ+(k∈Z),
即x≠kπ+(k∈Z),
故定义域为.
答案:D
2.函数y=3tan的一个对称中心是( )
A.
B.
C.
D.(0,0)
解析:令x+(k∈Z),解得x=kπ-(k∈Z).
取k=0,可得函数的一个对称中心为.
答案:C
3.如图,函数y=tan在一个周期内的图象是
( )
解析:函数y=tan的周期为2π,故选项B,D错误;又函数图象过点,故选项C错误.
答案:A
4.直线y=a与函数y=tan的图象相邻两交点之间的距离等于( )
A.
B.π
C.
D.与a有关
解析:相邻两交点之间的距离恰好为函数y=tan的一个周期T,即T=.
答案:C
★5.若将函数y=tan(ω>0)的图象向右平移个单位长度后,与函数y=tan的图象重合,则ω的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
解析:将函数y=tan(ω>0)的图象向右平移个单位,得y=tan.
又∵平移后函数的图象与y=tan的图象重合,
∴=kπ(k∈Z),
即=kπ(k∈Z).
∴
当k=0时,ωπ=,
即ω的最小值为.故选D.
答案:D
6.在区间内,函数y=tan
x与函数y=sin
x的图象交点的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:C
7.函数y=tan的周期是 .
解析:周期为T=.
答案:
8.若函数y=tan
ωx在区间上是增函数,则ω的取值范围是 .
解析:显然应有ω>0,且其最小正周期≥π,即≥π,所以0<ω≤1.
答案:0<ω≤1
9.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ),y=f(x)的部分图象如图所示,则f= .
解析:由题图,知,
∴T=,∴ω=2,∴f(x)=Atan(2x+φ).
将代入,得Atan=0,
即tan=0.
又|φ|<,∴φ=,
∴f(x)=Atan.
又f(0)=1,∴Atan=1,∴A=1.
∴f(x)=tan.
∴f=tan=tan.
答案:
10.下面命题中,正确命题的序号是 .
①y=的最小正周期是;
②y=4tan的图象向右平移个单位长度,可得y=4tan
2x的图象;
③函数f(x)=3tan在区间内是增函数.
答案:②③
11.已知函数f(x)=3tan.
(1)求f(x)的定义域、值域;
(2)讨论f(x)的周期性、奇偶性和单调性.
解:(1)由x-+kπ,k∈Z,
解得x≠+2kπ,k∈Z.
故所求函数的定义域为,值域为R.
(2)f(x)为周期函数,周期T==2π.
∵f(x)的定义域不关于原点对称,
∴f(x)为非奇非偶函数.
由-+kπ解得-+2kπ∴函数的单调递增区间为
(k∈Z),无单调递减区间.
★12.若x∈,求函数y=+2tan
x+1的最值及相应的x值.
解:y=+2tan
x+1=+2tan
x+1=tan2x+2tan
x+2=(tan
x+1)2+1.
∵x∈,∴tan
x∈[-,1].
故当tan
x=-1,即x=-时,y取最小值1;
当tan
x=1,即x=时,y取最大值5.
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12.4 向量的应用
课时过关·能力提升
1.若直线l与向量a=(2,-2)平行,则其倾斜角等于( )
A.45°
B.135°
C.60°
D.120°
解析:由已知得l的斜率k==-1,而tan
135°=-1,所以l的倾斜角是135°.
答案:B
2.在△ABC中,有下列命题:
①;②=0;③若()·()=0,则△ABC为等腰三角形;④若>0,则△ABC为锐角三角形.
上述命题正确的是( )
A.①②
B.①④
C.②③
D.②③④
解析:对于①,应有,故①错误;对于④,由>0,得||||cos
A>0,∴cos
A>0.∴A为锐角.但B,C是否为锐角,不能确定,故④错误;②③是正确的.
答案:C
3.一条渔船距对岸4
km,以2
km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8
km,则河水的流速为( )
A.2
km/h
B.2
km/h
C.
km/h
D.3
km/h
答案:A
4.已知△ABC的三个顶点A,B,C和平面内一点P,且,则点P与△ABC的位置关系是
( )
A.点P在△ABC内部
B.点P在△ABC外部
C.点P在AB边上或其延长线上
D.点P在AC边上
解析:∵,
∴,即=2.
∴A,C,P三点共线,即点P在AC边上.
答案:D
5.在四边形ABCD中,A(1,1),B,C(2,3),D,则该四边形的面积为( )
A.
B.2
C.5
D.10
解析:因为=(1,2),=(-4,2),
所以=1×(-4)+2×2=0,
故,所以四边形ABCD的面积为=5,故选C.
答案:C
6.已知向量=(4,-5),=(-7,9)分别表示两个力f1,f2,则f1+f2的大小为 .
解析:f1+f2==(-3,4),
∴|f1+f2|==5.
答案:5
7.在△ABC中,A(-1,2),B(3,1),C(2,-3),则AC边上的高所在的直线方程为 .
解析:与AC边平行的向量为=(3,-5).设P(x,y)是所求直线上任意一点,则=(x-3,y-1),所以AC边上的高所在的直线方程为·(x-3,y-1)=0,即3x-5y-4=0.
答案:3x-5y-4=0
★8.若正方形ABCD的边长为1,点P在线段AC上运动,则·()的最大值是 .
解析:如图,以A为原点建立平面直角坐标系,
则A(0,0),B(1,0),D(0,1),可设P(x,x)(0≤x≤1).
则有=(x,x),=(1-x,-x),=(-x,1-x),从而·()=-4x2+2x=-4,
故当x=时,·()取最大值.
答案:
9.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,0).
(1)若c=5,求sin
A的值;
(2)若A为钝角,求c的取值范围.
解:(1)=(-3,-4),=(c-3,-4).
若c=5,则=(2,-4),
故cos
A=cos<>=,
所以sin
A=.
(2)若A为钝角,则
即解得c>,
故c的取值范围是.
★10.在△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,用向量法证明CD=AB.
分析找一组基底,分别表示,转化为证明||=|.
证明如图,设=a,=b,则a与b的夹角为90°,
故a·b=0.
∵=b-a,(a+b),
∴||=|a+b|
=
=,
||=|b-a|=
=.
∴||=|.
∴CD=AB.
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12.2 向量的分解与向量的坐标运算
2.2.1 平面向量基本定理
课时过关·能力提升
1.已知命题“若k1a+k2b=0,则k1=k2=0”是真命题,则下面对a,b的判断正确的是( )
A.a与b一定共线
B.a与b一定不共线
C.a与b一定都为0
D.a与b中至少有一个为0
解析:由平面向量基本定理知a与b一定不共线.
答案:B
2.在 ABCD中,交于点M.若设=a,=b,则以下各选项中,与-a+b相等的向量有( )
A.
B.
C.
D.
解析:-a+b=(b-a)=.
答案:D
3.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量a=e1+λe2(λ∈R)与b=-(e2-2e1)共线,则( )
A.λ=0
B.λ=-1
C.λ=-2
D.λ=-
解析:由已知得存在实数k使a=kb,即e1+λe2=-k(e2-2e1),于是1=2k且λ=-k,解得λ=-.
答案:D
4.如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则=
( )
A.a+b
B.a+b
C.a+b
D.a+b
答案:D
5.设O,A,M,B为平面上四点,=λ+(1-λ),且λ∈(1,2),则( )
A.点M在线段AB上
B.点B在线段AM上
C.点A在线段BM上
D.O,A,B,M四点共线
解析:由=λ+(1-λ),得=λ(),即=λ.
又因为λ∈(1,2),所以点B在线段AM上.
答案:B
6.若AD与BE分别为△ABC的边BC,AC上的中线,且=a,=b,则等于( )
A.a+b
B.a+b
C.a-b
D.-a+b
解析:设AD与BE交于点F,则a,b.
由=0,得(a-b),
所以=2=2()=a+b.
答案:B
7.设e1,e2为一组基底,a=-e1+2e2,b=e1-e2,c=3e1-2e2,以a,b为基底将c表示为c=pa+qb,则实数p,q的值分别为 .
解析:c=pa+qb,即3e1-2e2=(-pe1+2pe2)+(qe1-qe2)=(q-p)e1+(2p-q)e2,∴
答案:1,4
8.如图,在△ABC中,,P是BN上的一点,若=m,则实数m的值为 .
解析:由,得.
设=n,
所以+n
=+n()
=(1-n)=m.
由n=,得m=1-n=.
答案:
9.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(1,1),B(-1,2),若点C满足=α+β,其中,α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为 .
解析:由α+β=1,可知点C的轨迹是直线AB,通过直线的两点式求解直线AB的方程即可.
答案:x+2y-3=0
10.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM.
解:设=e1,=e2,则=-3e2-e1,=2e1+e2.
∵A,P,M与B,P,N分别共线,∴存在实数λ,μ,
使=λ=-λe1-3λe2,
=μ=2μe1+μe2,
∴=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2,
而=2e1+3e2,
∴由平面向量基本定理,得
∴,
∴AP∶PM=4∶1.
★11.如图,在△ABC中,=a,=b,=c,=λa(0<λ<1),=μb(0<μ<1),试用a,b表示c.
分析首先利用共线,假设=m=n,再根据向量减法的三角形法则,求出(用a,b,m,n,λ,μ表示),再借助解方程,从而得出用a,b表示c.
解:∵共线,共线,
∴假设=m=n,
∴=m=m()=m(μb-a).
∴=a+m(μb-a)=(1-m)a+mμb.
①
∴=n=n()=n(λa-b).
∴=b+n(λa-b)=nλa+(1-n)b.
②
由①②,得(1-m)a+mμb=nλa+(1-n)b.
∵a与b不共线,∴
解得代入①式,得
c=(1-m)a+mμb=a+μ·b
=[λ(1-μ)a+μ(1-λ)b].
★12.如图,在△ABC中,点M是AB边的中点,E是中线CM的中点,AE的延长线交BC于点F.MH∥AF交BC于点H,求证:.
证明设=a,=b,
则=a+b,
=-+2+2
=-a-b+2a+2b=a+b,
=-
=-b+
=-b+a+2
=-b+a+2b-b=a+b.
综上,得=a+b.
所以.
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11.1 任意角的概念与弧度制
1.1.1 角的概念的推广
课时过关·能力提升
1.设集合A={小于90°的角},B={第一象限的角},则A∩B等于( )
A.{锐角}
B.{小于90°的角}
C.{第一象限的角}
D.以上都不对
答案:D
2.终边与两坐标轴重合的角α的集合是( )
A.{α|α=k·360°,k∈Z}
B.{α|α=k·180°,k∈Z}
C.{α|α=k·90°,k∈Z}
D.{α|α=k·180°+90°,k∈Z}
答案:C
3.已知角α,β的终边相同,则α-β的终边在( )
A.x轴的正半轴上
B.y轴的正半轴上
C.x轴的负半轴上
D.y轴的负半轴上
解析:由已知可得α-β=k·360°(k∈Z),所以α-β的终边落在x轴正半轴上.
答案:A
4.已知集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°<β<180°},则A∩B等于( )
A.{-36°,54°}
B.{-126°,144°}
C.{-126°,-36°,54°,144°}
D.{-126°,54°}
解析:根据集合B确定集合A中的k的值.当k=-1,0,1,2时,求得相应α的值为-126°,-36°,54°,144°.
答案:C
5.如果θ∈(30°,65°),那么2θ是( )
A.第一象限的角
B.第二象限的角
C.小于180°的正角
D.第一或第二象限的角
解析:由于θ∈(30°,65°),所以2θ∈(60°,130°),因此2θ是小于180°的正角.
答案:C
6.若集合M={x|x=k·90°+45°,k∈Z},N={x|x=k·45°+90°,k∈Z},则( )
A.M=N
B.M N
C.M N
D.M∩N=
解析:M={x|x=k·90°+45°,k∈Z}={x|x=45°·(2k+1),k∈Z},N={x|x=k·45°+90°,k∈Z}={x|x=45°·(k+2),k∈Z}.∵k∈Z,∴k+2∈Z,且2k+1为奇数,∴M N,故选C.
答案:C
7.若时针走过2小时40分,则分针转过的角度是 .
答案:-960°
8.若θ是第四象限的角,则θ+180°角是第 象限的角.
解析:由于θ是第四象限的角,所以k·360°-90°<θ答案:二
9.已知角α和β的终边关于直线y=-x对称,且α=30°,则β= .
解析:如图,OA为角α的终边,OB为角β的终边,由α=30°,得∠AOC=75°.根据对称性知∠BOC=75°,因此∠BOx=120°,所以β=k·360°-120°,k∈Z.
答案:k·360°-120°,k∈Z
10.表示出顶点在原点,始边重合于x轴的正半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(如图所示).
解:(1){α|k·360°-15°≤α≤k·360°+75°,k∈Z};
(2){β|k·360°-135°≤β≤k·360°+135°,k∈Z};
(3){γ1|k·360°+30°≤γ1≤k·360°+90°,k∈Z}∪{γ2|k·360°+210°≤γ2≤k·360°+270°,k∈Z}={γ1|2k·180°+30°≤γ1≤2k·180°+90°,k∈Z}∪{γ2|(2k+1)·180°+30°≤γ2≤(2k+1)·180°+90°,k∈Z}={γ|n·180°+30°≤γ≤n·180°+90°,n∈Z}.
★11.
如图,半径为1的圆的圆心位于坐标原点,点P从点A(1,0)出发,按逆时针方向匀速沿单位圆周旋转.已知点P在1
s内转过的角度为θ(0°<θ<180°),经过2
s到达第三象限,经过14
s后又恰好回到出发点A,求角θ.
解:∵0°<θ<180°,且k·360°+180°<2θ∴必有k=0,于是90°<θ<135°.
又14θ=n·360°(n∈Z),
∴θ=(n∈Z).
∴90°<<135°,∴n=4或n=5.
故θ=或θ=.
★12.若角β的终边落在经过点(,-1)和原点的直线上,写出角β的集合;当β∈(-360°,360°)时,求角β.
解:∵角β的终边落在经过点(,-1)和原点的直线上,
∴在0°~360°范围内的角β为150°和330°.
∴角β的集合A={β|β=k·360°+150°,k∈Z}∪{β|β=k·360°+330°,k∈Z}={β|β=(2k+1)·180°-30°,k∈Z}∪{β|β=(2k+2)·180°-30°,k∈Z}={β|β=n·180°-30°,n∈Z},即满足要求的角β的集合A={β|β=n·180°-30°,n∈Z}.
令-360°得-∴n=-1,0,1,2.
∴当β∈(-360°,360°)时,β=-210°,-30°,150°,330°.
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1第2课时 正弦型函数y=Asin(ωx+φ)
课时过关·能力提升
1.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象( )
A.关于点对称
B.关于直线x=对称
C.关于点对称
D.关于直线x=对称
解析:由已知得=π,所以ω=2,
即f(x)=sin.
又f=0,所以f(x)的图象关于点对称.
答案:A
2.为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sin的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
解析:y=siny=sin=sin.
答案:B
3.函数y=2sin的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案:B
4.已知正弦函数在一个周期内的图象如图所示,则它的表达式应为( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=sin
D.y=sin
答案:A
5.先将函数y=f(x)图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,再将整个图象沿x轴向左平移个单位长度,得到的曲线与y=sin
x的图象相同,则y=f(x)的表达式为( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=sin
D.y=sin
解析:根据题意,将y=sin
x的图象沿x轴向右平移个单位长度后得到y=sin的图象,再将此函数图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到y=sin的图象,即得y=f(x)的解析式.
答案:D
6.对于函数f(x)=sin,有下列命题:
①函数的图象关于直线x=-对称;
②函数的图象关于点对称;
③函数的图象可看作是把y=sin
2x的图象向左平移个单位长度而得到;
④函数的图象可看作是把y=sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)而得到.
其中正确命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案:C
★7.已知函数f(x)=sin,其中k≠0,当自变量x在任何两个整数间(包括整数本身)变化时,至少含有1个周期,则最小的正整数k是( )
A.60
B.61
C.62
D.63
解析:∵k≠0,∴函数f(x)=sin的周期T=.又T≤1,∴|k|≥20π>62.8.
∴最小的正整数k=63.
答案:D
8.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象中最高点(距原点最近)的坐标是(2,),由这个最高点到相邻最低点的曲线与x轴交于点(6,0),则此函数的解析式应为 .
答案:y=sin
★9.设ω>0,且函数f(x)=sin
ωx在上单调递增,则ω的取值范围是 .
解析:因为x∈,ω>0,ωx∈,∴∴0<ω≤.
答案:
10.关于函数f(x)=4sin(x∈R)有下列命题:
①由f(x1)=f(x2)=0,可得x1-x2必是π的整数倍;
②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos;
③y=f(x)的图象关于点对称;
④y=f(x)的图象关于直线x=-对称.
其中真命题的序号是 (注:把你认为正确的命题的序号都填上).
解析:如图所示为y=4sin的图象.
函数图象与x轴的交点均匀分布,相邻的两个交点的距离为,故命题①不是真命题;函数f(x)的图象与x轴的每一个交点,都是函数图象的一个对称中心,所以③是真命题;函数图象的对称轴都必须经过图象的最高点或最低点,所以直线x=-不是对称轴,故④不是真命题;由诱导公式可知4cos=4sin=4sin,所以命题②是真命题.所以应填②③.
答案:②③
11.已知函数f(x)=2sin.
(1)求f(x)的最大值M、最小值N和最小正周期T;
(2)写出函数f(x)图象的对称轴和对称中心.
解:(1)M=2,N=-2,T==π.
(2)令2x+=kπ+(k∈Z),得x=(k∈Z),即对称轴是直线x=(k∈Z).
令2x+=kπ(k∈Z),得x=(k∈Z),
即对称中心是(k∈Z).
★12.已知f(x)=-2asin+2a+b,x∈,是否存在常数a,b∈Q,使得f(x)的值域为{y|-3≤y≤-1} 若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
解:因为≤x≤,所以≤2x+,
所以-1≤sin.
若存在这样的有理数a,b,则
当a>0时,
所以
当a<0时,所以
综上,a,b存在,且a=-1,b=1.
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11.2.2 单位圆与三角函数线
课时过关·能力提升
1.若角α的正切线位于第一象限,则角α是( )
A.第一象限的角
B.第一、二象限的角
C.第三象限的角
D.第一、三象限的角
解析:由正切线的定义知,当角α是第一、三象限的角时,正切线位于第一象限.
答案:D
2.设α是第四象限的角,则sin
α和tan
α的大小关系是
( )
A.sin
α>tan
α
B.sin
αα
C.sin
α=tan
α
D.不确定
解析:画出三角函数线即可判断.如图,在单位圆中,sin
α=MP,tan
α=AT,而MP>AT,所以sin
α>tan
α.
答案:A
3.下列关系中正确的是( )
A.sin
11°10°168°
B.sin
168°11°10°
C.sin
11°168°10°
D.sin
168°10°11°
解析:作三角函数线(如图),
由图可知sin
11°168°10°.
答案:C
4.若θ∈,则sin
θ+cos
θ的一个可能值是( )
A.
B.
C.
D.1
解析:由θ∈及角θ的三角函数线,知sin
θ+cos
θ>1,四个选项中仅有>1,故选C.
答案:C
5.已知cos
α≤sin
α,则角α的终边落在第一象限内的范围是( )
A.
B.
C.,k∈Z
D.,k∈Z
答案:C
6.
如图,角α,β的终边关于y轴对称,则下面关系式:
①sin
α=sin
β;②sin
α=-sin
β;③cos
α=cos
β;④cos
α=-cos
β.
其中,正确关系式的序号是 .
解析:通过三角函数线进行分析.
答案:①④
7.函数y=的定义域为 .
解析:如图,因为1-2cos
x≥0,所以cos
x≤,
所以x∈(k∈Z).
答案:(k∈Z)
8.利用三角函数线分析点P(sin
3-cos
3,sin
3+cos
3)所在的象限.
解:<3<π,作出单位圆及3
rad的正弦线、余弦线如图所示.
由图可知,sin
3>0,cos
3<0,且|sin
3|<|cos
3|,
所以sin
3-cos
3>0,sin
3+cos
3<0.
故点P(sin
3-cos
3,sin
3+cos
3)在第四象限.
★9.已知关于x的方程(2sin
α-1)x2-4x+4sin
α+2=0有两个不相等的正根,试求角α的取值范围.
解:设方程的两根为x1,x2,方程有两个不相等的正根必须满足的条件为
即
化简,得
故α<.
如图,利用三角函数线,可知α的取值范围是<α<2kπ+.
★10.已知α为锐角,求证:1α+cos
α<.
证明如图所示,设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),过点P分别作PD⊥Ox,PE⊥Oy,D,E为垂足,连接AP,BP.
因为y=sin
α,x=cos
α,而在△POD中,|OD|+|DP|>|OP|,
所以sin
α+cos
α>1.
又因为S△POA=|OA|·|DP|
=y=sin
α,
S△POB=|OB|·|PE|=x=cos
α,
S扇形OAB=π×12=,
而S△POA+S△POB所以sin
α+cos
α<,
即sin
α+cos
α<.
故1α+cos
α<.
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13.1 和角公式
3.1.1 两角和与差的余弦
课时过关·能力提升
1.sin
75°cos
45°+sin
15°sin
45°的值为( )
A.-
B.
C.
D.-1
解析:原式=cos
15°cos
45°+sin
15°sin
45°=cos(15°-45°)=.
答案:C
2.若sin(π+θ)=-,θ是第二象限的角,sin=-,φ是第三象限的角,则cos(θ-φ)的值是( )
A.-
B.
C.
D.
解析:由已知得sin
θ=,cos
θ=-,cos
φ=-,sin
φ=-,于是cos(θ-φ)=cos
θcos
φ+sin
θsin
φ=.
答案:B
3.若sin
α-sin
β=1-,cos
α-cos
β=-,则cos(α-β)的值为( )
A.
B.
C.
D.1
解析:由已知得(sin
α-sin
β)2+(cos
α-cos
β)2==2-,即2-2cos
αcos
β-2sin
αsin
β=2-,于是2cos(α-β)=,从而cos(α-β)=.
答案:B
4.下列命题中的假命题是( )
A.存在这样的α和β的值,使得cos(α+β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β
B.不存在无穷多个α和β的值,使得cos(α+β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β
C.对任意的α和β,有cos(α+β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β
D.不存在这样的α和β的值,使得cos(α+β)≠cos
αcos
β-sin
αsin
β
解析:若cos(α+β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β,则cos
αcos
β-sin
αsin
β=cos
αcos
β+sin
αsin
β,因此sin
αsin
β=0,因此α=kπ或β=kπ(k∈Z),有无穷多个α和β的值使之成立.
答案:B
5.已知向量a=(cos
18°,sin
18°),b=(2cos
63°,2sin
63°),则a与b的夹角为( )
A.18°
B.63°
C.81°
D.45°
解析:由已知得a·b=2cos
18°cos
63°+2sin
18°sin
63°=2cos(18°-63°)=2cos
45°=,|a|==1,同理|b|=2,所以cos=,故a与b的夹角是45°.
答案:D
6.在△ABC中,若sin
Asin
BAcos
B,则△ABC为 三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”).
解析:由已知得cos
Acos
B-sin
Asin
B>0,即cos(A+B)>0,所以-cos
C>0,cos
C<0,即C为钝角,故△ABC为钝角三角形.
答案:钝角
7.已知α,β均为锐角,且sin
α=,cos
β=,则α-β的值为 .
解析:由已知得cos
α=,sin
β=,
于是cos(α-β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β=,
又sin
α==sin
β,且α,β均为锐角,
∴α<β,即-<α-β<0,故α-β=-.
答案:-
8.函数y=sin
x+cos
x的值域为 .
解析:由于y=sin
x+cos
x=2=2cos,因此该函数的值域是[-2,2].
答案:[-2,2]
9.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-<α+β<2π,<α-β<π,求cos
2α的值.
解:cos
2α=cos[(α+β)+(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β).
∵<α+β<2π,
∴sin(α+β)=-.
又<α-β<π,
∴sin(α-β)=.
∴cos
2α==-.
★10.已知tan
α=4,cos(α+β)=-,α,β均为锐角,求cos
β的值.
解:∵tan
α=4,α为锐角,
∴sin2α=48cos2α=48(1-sin2α).
∴sin
α=.∴cos
α=.
又cos(α+β)=-,且0<α+β<π,
∴sin(α+β)=.
∴cos
β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos
α+sin(α+β)sin
α=-.
11.已知sin
α-sin
β=-,cos
α-cos
β=,且α,β均为锐角,求tan(α-β)的值.
解:∵sin
α-sin
β=-,
①
cos
α-cos
β=,
②
∴由①2+②2,
得cos
αcos
β+sin
αsin
β=cos(α-β)=.
∵α,β均为锐角,∴-<α-β<.
由①知α<β,∴-<α-β<0,
∴sin(α-β)=-,
∴tan(α-β)==-.
★12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,|φ|<.
(1)若coscos
φ-sinsin
φ=0,求φ的值;
(2)在(1)的条件下,若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,求函数f(x)的解析式.
解:(1)由coscos
φ-sinsin
φ=0,得coscos
φ-sinsin
φ=0,即cos=0.
又|φ|<,所以φ=.
(2)由(1),得f(x)=sin.
依题意,得.
所以T=.
由T=,得ω=3.
所以函数f(x)的解析式为f(x)=sin.
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12.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
课时过关·能力提升
1.已知a=(2,-3),b=(1,-2),且c⊥a,b·c=1,则c的坐标为( )
A.(3,-2)
B.(3,2)
C.(-3,-2)
D.(-3,2)
解析:设c=(x,y),则有
解得故c=(-3,-2).
答案:C
2.已知m=(a,b),向量n与m垂直,且|m|=|n|,则n的坐标为( )
A.(b,-a)
B.(-a,b)
C.(-a,b)或(a,-b)
D.(b,-a)或(-b,a)
答案:D
3.已知点A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),则四边形ABCD是( )
A.梯形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
解析:由已知得=(3,-2),=(4,6),=(-3,2),
所以,且=0,
即,所以四边形ABCD是矩形.
答案:B
4.已知向量a=(cos
θ,sin
θ),b=(3,0),则|2a-b|的最大值为( )
A.4
B.2
C.25
D.5
解析:|2a-b|=,
因此当cos<2a,b>=-1时,|2a-b|取得最大值5.
答案:D
5.在Rt△ABC中,∠C=,AC=3,取点D使=2,则等于( )
A.3
B.4
C.5
D.6
解析:以C为原点,分别以CA,CB所在直线为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设CB=a,
∴C(0,0),A(3,0),B(0,a).
设D点坐标为(m,n),
∵=2,
即(m,n-a)=2(3-m,-n),得m=2,n=.
∴·(3,0)=6,故选D.
答案:D
6.已知O为坐标原点,=(3,1),=(-1,2),,则满足的向量的坐标为 .
答案:(11,6)
7.设O为原点,已知点A(a,0),B(0,a)(a>0),点P在线段AB上,且=t(0≤t≤1),则的最大值为 .
解析:·()=·(+t)=+t=a2+t(a,0)·(-a,a)=a2+t(-a2+0)=(1-t)a2.
∵0≤t≤1,∴0≤1-t≤1,
∴的最大值为a2.
答案:a2
8.以原点及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,使∠B=90°,求点B和向量的坐标.
解:如图,设点B的坐标为(x,y),则=(x,y),=(x-5,y-2).
∵,
∴x(x-5)+y(y-2)=0,
即x2+y2-5x-2y=0.
∵||=||,
∴x2+y2=(x-5)2+(y-2)2,
即10x+4y=29.
解方程组
得
∴点B的坐标为;
当点B的坐标为时,;
当点B的坐标为时,.
综上,点B的坐标为,
或点B的坐标为.
★9.已知a=(cos
α,sin
α),b=(cos
β,sin
β),且|ka+b|=|a-kb|(k>0).
(1)用k表示数量积a·b;
(2)求a·b的最小值,并求此时a,b的夹角θ.
解:(1)由|ka+b|=|a-kb|,
得(ka+b)2=3(a-kb)2,
∴k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2.
∴(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0.
∵|a|=1,|b|=1,
∴k2-3+8ka·b+1-3k2=0,
∴a·b=.
(2)由(1),得a·b=,由函数的单调性的定义,易知f(k)=在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,故当k=1时,a·b的最小值为f(1)=×(1+1)=.此时a,b的夹角为θ,则cos
θ=,∴θ=60°.
★10.
如图,=(6,1),=(x,y),=(-2,-3),.
(1)求x与y的关系式;
(2)若,求x,y的值及四边形ABCD的面积.
解:(1)∵=(6,1)+(x,y)+(-2,-3)=(x+4,y-2),
∴=-=(-x-4,2-y).
∵=(x,y),
∴x(2-y)-(-x-4)y=0,
∴x与y的关系式为x+2y=0.
(2)因为=(6,1)+(x,y)=(x+6,y+1),=(x,y)+(-2,-3)=(x-2,y-3).
∵,∴=0,
即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.
又由(1)的结论x+2y=0,
得(6-2y)(-2y-2)+(y+1)(y-3)=0.
化简,得y2-2y-3=0.
∴y=3或y=-1.
①当y=3时,x=-6,于是=(-6,3),=(0,4),=(-8,0).
∴||=4,||=8.
∴S四边形ABCD=|||=16.
②当y=-1时,x=2,
于是有=(2,-1),=(8,0),=(0,-4),
∴||=8,||=4.
∴S四边形ABCD=|||=16.
综上,四边形ABCD的面积为16.
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13.2.2 半角的正弦、余弦和正切
课时过关·能力提升
1.若sin
θ=<θ<π,则sin的值等于( )
A.
B.-
C.
D.-
解析:由sin
θ=<θ<π可得cos
θ=-.
又,
所以sin.
答案:C
2.tan
15°+cot
15°等于( )
A.2
B.2
C.4
D.
解析:tan
15°+cot
15°==4.
答案:C
3.设α∈(π,2π),则等于( )
A.sin
B.cos
C.-sin
D.-cos
解析:由α∈(π,2π)知,
所以
==sin.
答案:A
4.若,则sin
α+cos
α的值是( )
A.
B.
C.1
D.
解析:由,结合sin2α+cos2α=1可得sin
α=(sin
α=0舍去),于是cos
α=,从而sin
α+cos
α=.
答案:A
5.若θ∈,sin
2θ=,则sin
θ等于( )
A.
B.
C.
D.
解析:由θ∈,得2θ∈.
又sin
2θ=,故cos
2θ=-.
故sin
θ=.
答案:D
6.化简等于( )
A.tan
2θ
B.cot
4θ
C.tan
4θ
D.cot
2θ
解析:=tan
4θ.
答案:C
7.已知α为三角形的内角,sin
α=,则tan= .
解析:由已知得cos
α=±,且,于是tan=3或.
答案:3或
★8.若<α<2π,且cos
α=,则的值是 .
解析:.
答案:
9.已知0°<α<β<90°,sin
α与sin
β是方程x2-(cos
40°)x+cos240°-=0的两根,则cos(2α-β)= .
解析:由已知,得Δ=2cos240°-4cos240°+2=2sin240°,
∴x=cos
40°±sin
40°.
∴x1=sin
45°cos
40°+cos
45°sin
40°=sin
85°,
x2=sin
45°cos
40°-cos
45°sin
40°=sin
5°.
又由0°<α<β<90°,知β=85°,α=5°,
∴cos(2α-β)=cos(-75°)
=cos
75°=cos(45°+30°)=.
答案:
10.已知sinsin,α∈,求2sin2α+tan
α--1的值.
解:∵sinsin,
∴2sincos,
即sin.∴cos
4α=.
而2sin2α+tan
α--1
=-cos
2α+=-.
∵α∈,∴2α∈.
∴cos
2α=-=-,
∴tan
2α=-=-.
∴-=-,
即2sin2α+tan
α--1的值为.
★11.已知向量a=(sin
x,-cos
x),b=(cos
x,cos
x),函数f(x)=a·b+.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)当0≤x≤时,求函数f(x)的值域.
解:(1)f(x)=sin
xcos
x-cos2x+
=sin
2x-(cos
2x+1)+
=sin
2x-cos
2x=sin.
故f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤,
∴-≤2x-,
∴-≤sin≤1,
即f(x)的值域为.
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12.1.3 向量的减法
课时过关·能力提升
1.若非零向量m与n是相反向量,则下列说法不正确的是
( )
A.|m|=|n|
B.m+n=0
C.m=n
D.m与n共线
答案:C
2.对于非零向量a,b,下列命题正确的个数为( )
①|a|+|b|=|a+b| a与b的方向相同;②|a|+|b|=|a-b| a与b的方向相反;③|a+b|=|a-b| a与b的模相等;④|a|-|b|=|a-b| a与b的方向相同.
A.0
B.1
C.2
D.3
答案:C
3.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则等于( )
A.
B.
C.
D.
解析:由图可知,则.又由三角形中位线定理,知,故选D.
答案:D
4.已知 ABCD,O是 ABCD所在平面外任意一点,=a,=b,=c,则向量等于( )
A.a+b+c
B.a-b+c
C.a+b-c
D.a-b-c
解析:如图,有=a+c-b.
答案:B
★5.已知平面上有三点A,B,C,设m=,n=,若m,n的长度恰好相等,则( )
A.A,B,C三点必在同一条直线上
B.△ABC必为等腰三角形,且∠ABC为顶角
C.△ABC必为直角三角形,且∠ABC=90°
D.△ABC必为等腰直角三角形
解析:如图,作 ABCD,
则m=,
n=.
∵|m|=|n|,
∴||=||,
∴ ABCD为矩形.
∴△ABC为直角三角形,
∴∠ABC=90°.
答案:C
6.设M是线段BC的中点,点A在直线BC外,||=6,且||=||,则||=( )
A.12
B.6
C.3
D.1
解析:由于||=||,
所以∠BAC=90°,
而AM是Rt△ABC斜边BC上的中线,
所以||=|=×6=3.
答案:C
7.在边长为1的正方形ABCD中,设=a,=b,=c,则|a+b+c|= ,|a+c-b|= ,|c-a-b|= .
答案:2 2 0
8.若|a|=1,|b|=3,则|a-b|的取值范围是 .
解析:∵||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|,
∴2≤|a-b|≤4.
答案:[2,4]
9.已知O是四边形ABCD所在平面内任一点,,且||=||,则四边形ABCD的形状为 .
答案:平行四边形
10.如图,在五边形ABCDE中,若=m,=n,=p,=q,=r,求作向量m-p+n-q-r.
解:∵m-p+n-q-r=(m+n)-(p+q+r)=()-()=,
∴延长AC至F点,使||=||,则,
∴,
即向量即为所求作的向量m-p+n-q-r.
★11.
如图,在 ABCD中,=a,=b.
(1)用a,b表示.
(2)当a,b满足什么条件时,a+b与a-b所在直线互相垂直
(3)当a,b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|
(4)a+b与a-b有可能为相等向量吗 为什么
解:(1)=a+b,=a-b.
(2)由(1)知,a+b=,a-b=.
∵a+b与a-b所在直线互相垂直,
∴AC⊥BD.
又四边形ABCD为平行四边形,
∴四边形ABCD为菱形,即a,b应满足|a|=|b|.
(3)|a+b|=|a-b|,即||=||.
∵矩形的两条对角线相等,∴当a与b所在直线互相垂直,即AD⊥AB时,满足|a+b|=|a-b|.
(4)不可能.因为 ABCD的两条对角线不可能平行,所以a+b与a-b不可能为共线向量,就更不可能为相等向量了.
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12.1.4 数乘向量
课时过关·能力提升
1.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论正确的是
( )
A.a与-λa的方向相反
B.|-λa|≥|a|
C.a与λ2a的方向相同
D.|-λa|=|λ|a
解析:由于λ≠0,所以λ2>0,因此a与λ2a方向相同.
答案:C
2.若=λ,则实数λ的值是( )
A.
B.-
C.
D.-
解析:如图所示,由于,
所以,
即=4=-,即λ=-.
答案:D
3.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2=0,则( )
A.
B.=2
C.=3
D.2
解析:由2=0,可知O是底边BC上的中线AD的中点,故.
答案:A
4.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,=a,=b,=c,=d,且E,F分别为AB,CD的中点,则( )
A.(a+b+c+d)
B.(a-b+c-d)
C.(c+d-a-b)
D.(a+b-c-d)
解析:如图,连接OF,OE,则)-)=(c+d)-(a+b).故(c+d-a-b).
答案:C
5.在四边形ABCD中,若,且||=||,则这个四边形是( )
A.平行四边形
B.矩形
C.等腰梯形
D.菱形
解析:由知DC∥AB,且|DC|=|AB|,因此四边形ABCD是梯形.又因为||=||,所以四边形ABCD是等腰梯形.
答案:C
6.已知四边形ABCD为菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A,C),则等于( )
A.λ(),λ∈(0,1)
B.λ(),λ∈
C.λ(),λ∈(0,1)
D.λ(),λ∈
解析:由已知得,而点P在AC上,必有||<||,因此=λ(),且λ∈(0,1).
答案:A
★7.已知△ABC和点M满足=0.若存在实数m使得=m成立,则m等于( )
A.2
B.3
C.4
D.5
解析:如图,在△ABC中,设D是BC边的中点,由=0,易知M是△ABC的重心,
∴=2.
又∵,
∴=2=3,∴m=3.故选B.
答案:B
8.已知O为 ABCD的中心,=4e1,=6e2,则3e2-2e1= .
答案:(答案不唯一)
9.如图,已知,若用表示,则= .
答案:-
10.给出下面四个结论:
①对于实数p和向量a,b,有p(a-b)=pa-pb;
②对于实数p,q和向量a,有(p-q)a=pa-qa;
③若pa=pb(p∈R),则a=b;
④若pa=qa(p,q∈R,a≠0),则p=q.
其中正确结论的序号为 .
解析:①②正确;③当p=0时不正确;④可化为(p-q)a=0,∵a≠0,∴p-q=0,即p=q,∴④正确.
答案:①②④
11.如图,L,M,N是△ABC三边的中点,O是△ABC所在平面内的任意一点,求证:.
证明
=()+()
=()+)
=()+0
=.
故原式成立.
★12.已知在△ABC中,=a,=b.对于△ABC所在平面内的任意一点O,动点P满足
+λa+λb,λ∈[0,+∞).试问动点P的轨迹是否过某一个定点 并说明理由.
解:是.理由:如图,以为邻边作 ABDC,设对角线AD,BC交于点E,则(a+b).
由+λa+λb,得
=2λ·(a+b)
=2λ,λ∈[0,+∞).
故共线.
由λ∈[0,+∞)可知动点P的轨迹是射线AE,
故动点P的轨迹必过△ABC的重心.
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12.3.2 向量数量积的运算律
课时过关·能力提升
1.已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( )
A.a∥b
B.a⊥b
C.|a|=|b|
D.a+b=a-b
解析:|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2,
|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2.
因为|a+b|=|a-b|,
所以|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,
即2a·b=-2a·b,
所以a·b=0,
所以a⊥b.故选B.
答案:B
2.设向量a,b,c满足a+b+c=0,a⊥b,|a|=1,|b|=2,则|c|2等于( )
A.1
B.2
C.4
D.5
解析:由a+b+c=0得c=-(a+b),
于是|c|2=|-(a+b)|2=|a|2+2a·b+|b|2=1+4=5.
答案:D
3.已知|a|=3,|b|=4,且(a+kb)⊥(a-kb),则实数k的值为( )
A.±
B.±
C.±
D.±
解析:由(a+kb)⊥(a-kb)知(a+kb)·(a-kb)=0,
即|a|2-k2|b|2=0,
因此9-16k2=0,所以k=±.
答案:A
4.已知a,b是非零向量,满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a与b的夹角是( )
A.
B.
C.
D.
解析:由已知得(a-2b)·a=0,
因此|a|2-2a·b=0.
同理(b-2a)·b=0,即|b|2-2a·b=0,
于是有|a|=|b|,且a·b=|a|2,
从而cos=,
又∈[0,π],所以a与b的夹角为.
答案:B
5.如图,在菱形ABCD中,下列关系式不正确的是( )
A.
B.()⊥()
C.()·()=0
D.
解析:由于,
所以,故D项不正确.
答案:D
6.
如图,在△ABC中,AD⊥AB,,||=1,则等于
( )
A.2
B.
C.
D.
解析:由图可得=()·.
∵AD⊥AB,∴=0.
又∵,
∴)·=0+|2=.∴=0+.
答案:D
7.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为,以a,b为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条对角线的长度为 .
答案:
8.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i·j=0,|i|=|j|=1,则a·b= .
答案:-63
9.设O,A,B,C为平面上的四个点,=a,=b,=c,且a+b+c=0,a·b=b·c=c·a=-1,则|a|+|b|+|c|= .
答案:3
10.在边长为1的等边三角形ABC中,设=2=3,则= .
解析:由已知得),,
所以)·-||2-=-.
答案:-
★11.设a⊥b,且|a|=2,|b|=1,k,t是两个不同时为零的实数.
(1)若x=a+(t-3)b与y=-ka+tb垂直,求k关于t的函数关系式k=f(t);
(2)求出函数k=f(t)的最小值.
解:(1)∵a⊥b,∴a·b=0.
又x⊥y,∴x·y=0,
即[a+(t-3)b]·(-ka+tb)=0,
∴-ka2-k(t-3)a·b+ta·b+t(t-3)b2=0.
∵|a|=2,|b|=1,
∴-4k+t2-3t=0,
∴k=(t2-3t)(t≠0),
即k=f(t)=(t2-3t)(t≠0).
(2)由(1)知k=f(t)=(t2-3t)
=,
故函数k=f(t)的最小值为-.
★12.已知|a|=,|b|=1,向量a与b的夹角为45°,求使向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角为锐角的λ的取值范围.
解:设向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角为θ.
∵两向量的夹角为锐角,
∴>0,
∴(2a+λb)·(λa-3b)>0,
即2λa2+(λ2-6)a·b-3λb2>0.
∵a2=|a|2=2,b2=|b|2=1,
a·b=|a||b|cos
45°=×1×=1,
∴4λ+λ2-6-3λ>0,
即λ2+λ-6>0,∴λ<-3或λ>2.
设2a+λb=k(λa-3b)=kλa-3kb,
∴∴λ2=-6,则λ不存在,
即向量(2a+λb)与(λa-3b)不共线.
∴使向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角为锐角的λ的取值范围为λ<-3或λ>2.
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11.3 三角函数的图象与性质
1.3.1 正弦函数的图象与性质
第1课时 正弦函数的图象与性质
课时过关·能力提升
1.已知函数f(x)=-sin
x,下列结论错误的是( )
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)在区间上是减函数
C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D.函数f(x)是奇函数
解析:结合f(x)=-sin
x的图象可知,f(x)的图象关于原点对称,不关于直线x=0对称,故C错.
答案:C
2.函数y=|sin
x|的一个单调递增区间是( )
A.
B.(π,2π)
C.
D.(0,π)
解析:画出y=|sin
x|的图象(图略),易知其一个单调递增区间是.
答案:C
3.函数f(x)=-2sin
x+1,x∈的值域是( )
A.[1,3]
B.[-1,3]
C.[-3,1]
D.[-1,1]
解析:当x∈时,sin
x∈[-1,1],-2sin
x+1∈[-1,3],即f(x)的值域是[-1,3].
答案:B
4.若f(x)=4sin(ω>0)的最小正周期是π,则f的值等于( )
A.4
B.0
C.-4
D.2
解析:由已知得=π,所以ω=2,即f(x)=4sin,于是f=4sin=4.
答案:A
★5.已知函数f(x)=2sin
x,对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值为( )
A.
B.
C.π
D.2π
解析:由不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R恒成立,不难发现f(x1),f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值,故|x1-x2|的最小值为函数f(x)=2sin
x的半个周期.
∵f(x)=2sin
x的周期为2π,
∴|x1-x2|的最小值为π.
答案:C
6.若f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x2-sin
x,则当x<0时,f(x)= .
解析:当x<0时,-x>0,
∴f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sin
x.
又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∴当x<0时,f(x)=-x2-sin
x.
答案:-x2-sin
x
7.当函数f(x)=2sin(0≤x≤2π)取最大值时,x= .
解析:当f(x)取最大值时,x-=2kπ+(k∈Z),
∴x=2kπ+(k∈Z).
又∵0≤x≤2π,∴x=.
答案:
8.设f(x)是定义域为R,最小正周期为的周期函数,若f(x)=则f= .
解析:由题意,得f=f
=f=sin=sin=sin.
答案:
9.求函数f(x)=sin2x+6sin
x-1在上的最值.
解:f(x)=sin2x+6sin
x-1=(sin
x+3)2-10.
因为x∈,所以0≤sin
x≤1,
因此当sin
x=0时,f(x)取最小值-1;当sin
x=1时,f(x)取最大值6.
10.若f(x)=asin
x+b-1的最大值是5,最小值是-1,求a,b的值.
解:因为x∈R,所以-1≤sin
x≤1.
当a>0时,sin
x=1时,f(x)取最大值,sin
x=-1时,f(x)取最小值,即
当a<0时,sin
x=1时,f(x)取最小值,sin
x=-1时,f(x)取最大值,即
综上,a=3,b=3或a=-3,b=3.
★11.设函数f(x)=3sin,ω>0,x∈(-∞,+∞),且以为最小正周期.
(1)求f(0);
(2)求f(x)的解析式;
(3)已知f,求sin
α的值.
解:(1)由题设可知f(0)=3sin.
(2)∵f(x)的最小正周期为,ω>0,∴ω==4.
∴f(x)=3sin.
(3)∵f=3sin=3cos
α=,
∴cos
α=.
∴sin
α=±=±.
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1第2课时 诱导公式(2)
课时过关·能力提升
1.若sin(π+α)=,α∈,则tan
α等于( )
A.-
B.-
C.-
D.-
解析:由已知得-sin
α=,即sin
α=-.
又因为α∈,
所以cos
α=,于是tan
α=-.
答案:D
2.已知|sin
α|=,且α是第二象限的角,则sin等于( )
A.-
B.
C.-
D.
解析:由已知得sin
α=±,而α是第二象限的角,
所以sin
α=,从而cos
α=-=-,
于是sin=-sin=-cos
α=.
答案:D
3.化简tan(27°-α)·tan(49°-β)·tan(63°+α)·tan(139°-β)的结果为( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2
解析:原式=tan(27°-α)·tan(49°-β)·tan[90°-(27°-α)]·tan[90°+(49°-β)]=tan(27°-α)·cot(27°-α)·tan(49°-β)·[-cot(49°-β)]=-1.
答案:B
4.已知sin
α是方程6x=1-的根,则的值等于( )
A.±
B.±
C.-
D.
答案:A
5.已知cos
29°=m,则sin
241°tan
151°的值是( )
A.
B.
C.
D.-
解析:由于sin
241°=sin(180°+61°)=-sin
61°=-cos
29°=-m,tan
151°=tan(180°-29°)=-tan
29°=-=-,于是sin
241°tan
151°=(-m)·.
答案:B
6.如果cos
α=,且α是第四象限的角,那么cos= .
解析:cos=-sin
α=-(-)=.
答案:
7.sin
315°-cos
135°+2sin
570°的值是 .
解析:sin
315°-cos
135°+2sin
570°=-sin
45°+cos
45°+2sin
210°=-+2sin(180°+30°)=-1.
答案:-1
★8.若f(x)=sinx,则f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2
015)+f(2
017)= .
答案:0
9.求证:.
证明∵左边=
=,
右边=,
∴左边=右边,
∴原等式成立.
10.已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若α是第三象限的角,且cos,求f(α)的值;
(3)若α=-,求f(α)的值.
解:(1)f(α)==-cos
α.
(2)∵cos=-sin
α=,α是第三象限的角,
∴sin
α=-,cos
α=-,
∴f(α)=.
(3)∵-=-6×2π+,
∴f(α)=f=-cos
=-cos=-cos=-.
★11.已知sin(x+y)=1,求证:tan(2x+y)+tan
y=0.
证明∵sin(x+y)=1,
∴x+y=2kπ+,k∈Z.
∴x=2kπ+-y,k∈Z,
∴tan(2x+y)+tan
y
=tan+tan
y
=tan(4kπ+π-y)+tan
y
=tan(π-y)+tan
y
=-tan
y+tan
y=0.
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12.3 平面向量的数量积
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
课时过关·能力提升
1.已知a·b=-12,|a|=4,a和b的夹角为135°,则|b|=( )
A.12
B.3
C.6
D.3
解析:由已知得-12=4×|b|×cos
135°,
因此|b|=6.
答案:C
2.等边三角形ABC的边长为1,设=c,=a,=b,则a·b+b·c+c·a的值是( )
A.
B.
C.-
D.-
解析:由已知可得a·b=b·c=c·a=1×1×cos
120°=-,所以a·b+b·c+c·a=-.
答案:C
3.对任意向量a和b,|a||b|与a·b的大小关系是( )
A.|a||b|≤a·b
B.|a||b|>a·b
C.|a||b|≥a·b
D.|a||b|解析:由于a·b=|a||b|cos,而cos≤1,所以|a||b|≥a·b.
答案:C
4.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则a在b方向上的投影是( )
A.-4
B.4
C.-2
D.2
解析:a在b方向上的投影是|a|cos
θ==-4.
答案:A
5.已知下列结论:①a·0=0;②0a=0;③0-;④|a·b|=|a||b|;⑤若a≠0,则对任一非零向量b有a·b≠0;⑥若a·b=0,则a与b中至少有一个为0;⑦若a与b是两个单位向量,则a2=b2.
则以上结论正确的是( )
A.①②③⑥⑦
B.③④⑦
C.②③④⑤
D.③⑦
答案:D
6.已知=90°,c=3a,则b·c= .
解析:由于a与b垂直,而c与a共线,所以c与b垂直,从而b·c=0.
答案:0
7.在等腰直角三角形ABC中,AC是斜边,且,则该三角形的面积等于 .
解析:设Rt△ABC的直角边长为a,则斜边长为a,于是=a·a·=a2=,从而a=,于是S△ABC=.
答案:
8.若四边形ABCD满足=0,且=0,试判断四边形ABCD的形状.
解:∵=0,∴,即AB∥DC,且AB=DC,∴四边形ABCD为平行四边形.
又=0,∴,即AB⊥BC.
∴四边形ABCD为矩形.
★9.已知在△ABC中,=c,=a,=b,若|c|=m,|b|=n,=θ.
(1)试用m,n,θ表示S△ABC;
(2)若c·b<0,且S△ABC=,|c|=3,|b|=5,则为多少
解:(1)S△ABC=AB·h=AB·AC·sin∠CAB=mnsin
θ.
(2)∵S△ABC=|b||c|sin
θ,
∴×5×3sin
θ.∴sin
θ=.
∵c·b<0,∴θ为钝角.
∴θ=150°,即=150°.
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12.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
课时过关·能力提升
1.已知=(2,3),A(-1,2),则点B的坐标是( )
A.(1,1)
B.(5,5)
C.(1,5)
D.(1,3)
解析:设B(x,y),则有=(x+1,y-2),
因此x+1=2,y-2=3,得x=1,y=5.即B(1,5).
答案:C
2.已知M(3,-2),N(-5,-1),且,则点P的坐标为( )
A.(-8,-1)
B.
C.
D.(8,-1)
解析:由已知得=(-8,1),于是.
设P(x,y),则有x-3=-4,y+2=,
于是x=-1,y=-,故P.
答案:B
3.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于
( )
A.-a+b
B.a-b
C.a-b
D.-a+b
解析:设c=xa+yb,于是有
即c=a-b.
答案:B
4.已知在 ABCD中,=(3,7),=(-2,3),对角线AC,BD交于点O,则的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析:如图所示,=(-2,3)+(3,7)=(1,10),
∴.
∴.
答案:C
5.已知点A(3,-4),B(-1,2),点P在直线AB上,且||=2||,则点P的坐标为( )
A.
B.(-5,8)
C.或(-4,7)
D.或(-5,8)
解析:当点P在线段AB上时,由||=2||可得=2,
设P(x,y),
则(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y),
因此
于是P.
当点P在线段AB的延长线上时,由||=2||可得.
设P(x,y),则(-4,6)=(x+1,y-2),
解得x=-5,y=8,于是P(-5,8).
答案:D
6.设点A,B,C,D的坐标依次为(-1,0),(3,1),(4,3),(0,2),则四边形ABCD的形状为 .
解析:如图所示,=(0,2)-(-1,0)=(1,2),
=(4,3)-(3,1)=(1,2),
∴.
又||=,||=,
∴||≠||,
∴四边形ABCD为平行四边形.
答案:平行四边形
7.已知正方形ABCD的边长为1.若点A与坐标原点重合,边AB,AD分别落在x轴、y轴的正方向上,则向量4-3的坐标为 .
解析:如图,各顶点的坐标为A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),
∴=(1,0),=(0,1),=(1,1).
∴4-3=(1,-2).
答案:(1,-2)
8.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若+λ(λ∈R),则当λ= 时,点P在第一、三象限的角平分线上;当λ 时,点P在第三象限内.
解析:设点P的坐标为(x,y),
则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),
+λ=[(5,4)-(2,3)]+λ[(7,10)-(2,3)]
=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ).
∵+λ,∴
∴
若点P在第一、三象限的角平分线上,
则5+5λ=4+7λ,∴λ=.
若点P在第三象限内,则∴λ<-1.
∴当λ=时,点P在第一、三象限的角平分线上;当λ<-1时,点P在第三象限内.
答案: <-1
9.(1)已知2a+b=(-4,3),a-2b=(3,4),求向量a,b的坐标.
(2)已知x轴的正方向与向量a的夹角为60°,且|a|=2,求向量a的坐标.
解:(1)
①×2+②,得5a=(-8+3,6+4)=(-5,10),
则a=(-1,2),故b=(-4,3)-2(-1,2)=(-4,3)-(-2,4)=(-2,-1).
(2)设a=(x,y).
∵x=|a|cos
60°=2×=1,
y=±|a|sin
60°=±2×=±,
∴a=(1,±).
10.已知平面上四点A(-2,2),B(0,4),C(1,3),D(-1,1),判断四边形ABCD是否为平行四边形 若是,请给予证明;若不是,请说明理由.
解:四边形ABCD为平行四边形.
证明如下:
∵A(-2,2),B(0,4),C(1,3),D(-1,1),
∴=(0,4)-(-2,2)=(2,2),=(1,3)-(-1,1)=(2,2),∴,
∴四边形ABCD为平行四边形.
★11.
已知O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设=a,=b,=c,且|a|=2,|b|=1,|c|=3,试用a和b表示c.
解:以O为坐标原点,OA所在直线为x轴建立如图所示的坐标系.由||=2,得=(2,0).
设点B的坐标为(x1,y1),点C的坐标为(x2,y2).
由∠AOB=150°,根据三角函数的定义可求出点B的坐标x1=1·cos
150°=-,y1=,
则B,
即.
同理,点C的坐标为,
即.
设=m+n,
则=m(2,0)+n,
即
故=-3-3,
即c=-3a-3b.
★12.
如图,四边形ABCD是正方形,延长CD至E,使得DE=CD,连接AE.若动点P从点A出发,按如下路线运动:A→B→C→D→E→A→D,其中=λ+μ,
(1)当点P为BC的中点时,求λ+μ的值;
(2)满足λ+μ=1的点P有几个
解:(1)连接AC,
因为点P为BC的中点,
所以,
①
因为DE=CD,所以=2,
所以+2-2.
因为=λ+μ,
所以=(λ-2μ)+μ.
②
因为不共线,由①②可得
解得所以λ+μ=2.
(2)若λ+μ=1,则λ=1-μ.
因为=λ+μ,
所以=(1-μ)+μ,
所以=μ(),
所以=μ,
所以B,P,E三点共线,
所以动点P运动至点B,E,以及BE与边AD的交点时满足条件,即满足λ+μ=1的点P有3个.
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