11.2.2 三角形的外角
【教学目标】1.了解三角形外角的概念.2.探索并证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.3.运用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解决简单问题.【重点难点】重点：1.了解三角形外角的概念及性质.2.能利用三角形外角的性质解决简单问题.难点：1.能够证明“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”.2.了解“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的应用范围，并能解决简单问题.
┃教学过程设计┃
教学过程
设计意图
一、创设情境，导入新课问题1：如图，已知BD∥CE，∠A＝45°，∠C＝65°，求∠1和∠2的度数.学生回答：由BD∥CE可知，∠1＝∠C＝65°，由三角形内角和等于180°可知，∠2的邻补角等于70°，所以∠2＝110°.问题2：在问题1中，∠2被称为三角形的外角，根据∠2的构成，你能说明什么叫三角形的外角吗？学生讨论回答，教师归纳：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
利用问题回顾三角形内角和定理，并利用旧知识，发现新知识.
二、师生互动，探究新知1.
根据定义探索三角形外角的个数问题1：根据定义，画出三角形的外角.你能画出多少个？学生回答：如图，可以画出6个外角.问题2：这几个角有什么关系？(位置关系和数量关系)学生回答，教师补充说明.2.手脑并用探索三角形外角的性质及外角和问题1：如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠ACB＝40°，求∠BAC的度数及三角形的外角∠1，∠2，∠3的度数.学生回答：∠BAC＝75°，∠1＝105°，∠2＝115°，∠3＝140°.问题2：观察你的结论，你能发现三角形的三个内角与它的外角有什么关系吗？三个外角又有什么关系？学生讨论回答，教师总结：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角形的外角和等于360°.问题3：试证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.学生回答：已知：在△ABC中，∠1是三角形的一个外角.求证：∠1＝∠A＋∠B.证明：∵∠ACB＋∠A＋∠B＝180°(三角形的内角和等于180°)，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B.∵∠1与∠ACB是邻补角，∴∠1＋∠ACB＝180°.∴∠1＝180°－∠ACB＝180°－(180°－∠A－∠B)＝∠A＋∠B.问题4：试证明三角形的外角和等于360°.学生回答，教师引导并点评.
根据三角形外角的定义，找出三角形所有的外角，并探索这些角的特点.在探索的过程中，使学生加深印象.在教科书中并没有这个环节，但在教学时，这个环节是必不可少的，因为这是为探索外角的性质及外角和打基础.通过计算、讨论、证明的方式探索三角形外角的性质及外角和，培养学生的合作交流及逻辑思维能力.在学生的自主探究过程中，教师要关注学生之间的交流合作，并适时加以引导，对学生所得出的正确结论给予肯定.同时还要强调定理证明的基本步骤，并要求学生独立完成证明过程.
三、运用新知，解决问题1.如图，∠BDC是________的外角，∠BDC＝________＋________，∠EFC是________的外角，∠EFC＝________＋________，∠BFC是________的外角，∠BFC＝________＋________，∠BFC＞________.
2.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，证明∠BAC＞∠B.
通过基础练习，加深对三角形外角的认识，熟练基本技能.对于第2题，如果学生没有思路，教师要给予提示，要让学生有利用面积求高的意识.
四、课堂小结，提炼观点1.本节主要学习三角形的外角的概念及性质.2.师生互动总结本节课中需要注意的问题.
五、布置作业，巩固提升教材第16、17页的第5、6题.
【板书设计】三角形的外角三角形外角定理练习解析解析【教学反思】本节主要介绍三角形的外角及其性质，是一节探究课.本节的知识是要让学生了解三角形的外角及其性质，所以在教学过程中，教师放手让学生探索，利用多种方法进行研究.同时关注学生的合作交流，开阔学生的思路，让学生在经历整个探索过程的同时，体会数学的严谨性，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力.在教学设计上，利用变式训练让学生体会数学知识应用的灵活性，感受数学基础的重要，在获得数学活动经验的同时，提高学生探究、发现和创新的能力.11.2.1 三角形的内角
【教学目标】1.了解三角形的内角，会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.2.了解辅助线的作用，能准确、规范地利用辅助线进行证明.3.规范学生的推理过程，要求学生能够独立完成简单的证明过程.【重点难点】重点：1.了解三角形的内角和等于180°.2.利用三角形的内角和等于180°解答简单的数学问题.难点：1.利用所学知识证明三角形内角和等于180°.2.认识辅助线，了解辅助线的作法及作用.3.独立完成证明过程.
┃教学过程设计┃
教学过程
设计意图
一、创设情境，导入新课问题1：如图，在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C等于多少度？学生回答：∠A＋∠B＋∠C＝180°.问题2：这个结论你是如何得出的？学生回答：将三角形的每个内角剪下，拼成一个平角，或者用量角器进行测量.问题3：利用这些方法得出的结论准确吗？学生回答：不准确(或准确).
通过回顾小学所学知识，思考得出结论的过程，对结论产生怀疑，从而引入证明，不但降低了难度，也让学生感受到数学的严谨性，从而进一步引导学生思考运用更为严谨的方法进行探究.
二、师生互动，探究新知1.观察三角形的构成，探索三角形的概念问题1：如何用剪拼的方法验证△ABC的内角和等于180°？学生回答：将△ABC的三个内角分别剪下，再拼成一个平角.如图①、图②，图① 图②问题2：在图①、图②中，直线l有什么特点，它存在吗？学生回答：图①中的直线l∥BC，图②中的直线l∥AB，直线l都不存在，是我们自己画上的.问题3：这种原图形中不存在，我们为了解题需要而自己加上的线被称之为辅助线.利用图①，你能想出证明“三角形内角和等于180°”的方法吗？学生回答：利用平行的性质和平角的定义可以证明.问题4：证明三角形内角和定理“三角形内角和等于180°”.学生回答：已知：△ABC.求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.证明：如图，过点A作直线l，使l∥BC.∵l∥BC，∴∠2＝∠4(两直线平行，内错角相等).同理，∠3＝∠5.∵∠1，∠4，∠5组成平角，∴∠1＋∠4＋∠5＝180°(平角定义).∴∠1＋∠2＋∠3＝180°(等量代换)，即∠BAC＋∠B＋∠C＝180°.2.利用所学知识解决基础问题问题1：如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度？学生思考，独立写出过程和结果，教师查看并讲解.问题2：对于上面的问题，你还能想出其他的解法吗？学生讨论写出过程，教师查看并引导改正.
三角形内角和等于180°，在小学就是通过剪拼的方法得出的，所以在这里仍以这种方法为主，引导学生从拼图中发现证明的方法.但需要强调的是：①证明定理时要自己画图，写好已知、求证和证明；②添加的辅助线要有利于解题；③添加辅助线时不用写“添加辅助线”这种字样，但要说明你所添加的辅助线的位置、名称和性质，这也是添加辅助线的“三要素”；④证明的每一步都要写理由，也就是在“∴”的后面写明得到这个结论的理论根据；⑤证明时要先理清证明的思路，再写过程.此题的解法很多，以一种为主进行讲解，再让学生思考其他的解题方法，需要给学生充足的时间进行思考、讨论，对学生的每一种正确解题方法都要给予肯定，同时要注意：先理清思路，再动笔写过程.
三、运用新知，解决问题1.下列各组角中哪三个角是同一个三角形的内角？(1)70°，60°，30°，80°；(2)110°，20°，50°，40°；(3)52°，32°，58°，90°；(4)36°，108°，36°，72°.2.如图，从A处观测C处时仰角∠CAD＝30°，从B处观测C处时仰角∠CBD＝45°，从C处观测A，B两处时视角∠ACB是多少度？
通过基本练习，让学生对基础知识加深印象，了解三角形内角和定理的应用范围，形成初步技能.以基础知识为主，把握三角形内角和定理的应用.
四、课堂小结，提炼观点1.本节主要学习三角形内角和等于180°.2.本节涉及的思想方法是整体思想.3.师生共同总结本节课需要注意的问题.
五、布置作业，巩固提升1.必做题：教材第16页第3、4题；2.选做题：教材第17页第9题.
【板书设计】三角形的内角三角形内角和定理练习解析解析【教学反思】本节主要证明三角形内角和等于180°，是一节探讨课.本节的部分知识内容学生早在小学就已经学过了，而本节课是要对以前所学内容进行有理有据的推论，所以在教学过程中，教师不仅要引导学生发现以前所得结论的不严谨，还要让学生能够从已有的知识出发，对已知结论进行论证.在解决问题时，教师要留给学生充分的思考与交流的时间，让学生开阔思路，让学生能够经历得出结论的过程，培养学生的逻辑思维能力.在教学设计上，不仅关注学生的思考过程，还要关注学生的思考习惯.本节的证明较多，所以教师要让学生养成先理清思路，再下笔证明的习惯.
