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课题：13.3.1等腰三角形的判定
教学目标：
理解并掌握等腰三角形的判定方法，并能运用等腰三角形的判定和性质进行证明和计算．
重点：
等腰三角形的判定方法
难点：
运用等腰三角形的判定和性质进行证明和计算．
教学流程：
一、知识回顾
问题：等腰三角形都有哪些性质呢？
答案：性质1：等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（简写成“三线合一”）
二、探究
思考：我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等，反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系呢？
已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C.
求证：AB=AC．
证明：过A 点作AE⊥BC，垂足为E.
在△ABE 和△ACE 中，
∴△ABE ≌△ACE(AAS) ．
∴ AB = AC ．
追问：你还有其他证明方法吗？
归纳：等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
符号语言：
∵在△ABC 中，∠B =∠C，
∴AB =AC．
练习：
1．如图，AD平分∠BAC，AD∥EC，则下列三角形中一定是等腰三角形的是( )
A．△ABD B．△ACD C．△ACE D．△ABC
答案：C
2．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案：D
3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为_ _______．
答案：9
三、应用提高
1.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
已知：∠CAE 是△ABC 的外角,∠1 =∠2,AD∥BC.
求证：AB =AC.
证明：∵AD∥BC ，
∴∠1 =∠B(两直线平行，同位角相等)
∠2 =∠C(两直线平行，内错角相等)
∵∠1 =∠2，
∴∠B =∠C．
∴AB =AC(等边对等角)
2.已知等腰三角形底边长为a ，底边上的高的长为h ，求作这个等腰三角形.
作法：
（1）作线段AB =a；
（2）作线段AB 的垂直平分线MN，与AB 相交于点D；
（3）在MN上取一点C，使DC =h；
（4）连接AC，BC.
则△ABC 就是所求作的等腰三角形.
四、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1.如何判断一个三角形是等腰三角形？
2.你能说一说等腰三角形的性质和判定的区别和联系吗？
五、达标测评
1．在△ABC中，不能判定是等腰三角形的是( )
A．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶3
B．a∶b∶c＝2∶2∶3
C．∠B＝50°，∠C＝80°
D．2∠A＝∠B＋∠C
答案：D
2．如图，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°，若AC＝5 cm，则AB＝________．
答案：5 cm
3．如图，将一张长方形纸片ABCD沿BD折叠，若AE＝3，AB＝4，BE＝5，则重叠部分的面积为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
答案：C
4.如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD交AD的延长线于点E，EF∥AC交AB于点F.
求证：AF＝FB.
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠EAC，
∵EF∥AC，
∴∠FEA＝∠EAC，
∴∠FEA＝∠DAF，
∴AF＝FE.
∵BE⊥AE，
∴∠FEA+∠BEF＝90°,∠BAE+∠FBE＝90°,
∴∠FBE＝∠BEF，
∴BF＝EF，
∴AF＝BF.
六、布置作业
教材81页习题13.3第5、6题．
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【义务教育教科书人教版八年级上册】
13.3.1等腰三角形的判定
学校：________
教师：________
知识回顾
等腰三角形都有哪些性质呢？
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（简写成“三线合一”）
性质1：等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）
探究
我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等，反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系呢？
证明：过A 点作AE⊥BC，垂足为E.
在△ABE 和△ACE 中，
E
∠B =∠C，
∠AEB = ∠AEC = 90°，
AE = AE，
∴ △ABE ≌△ACE(AAS) ．
∴ AB = AC ．
已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C.
求证：AB=AC．
A
B
C
你还有其他证明方法吗？
探究
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
A
B
C
符号语言：
∵在△ABC 中，∠B =∠C，
∴AB =AC．
等腰三角形的判定定理
练习
1．如图，AD平分∠BAC，AD∥EC，则下列三角形中一定是等腰三角形的是( )
A．△ABD
B．△ACD
C．△ACE
D．△ABC
C
练习
2．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
D
练习
3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为____．
9
应用提高
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
已知：∠CAE 是△ABC 的外角,∠1 =∠2,AD∥BC.
求证：AB =AC.
∠2 =∠C
证明：
∵AD∥BC ，
∴∠1 =∠B
(两直线平行，内错角相等)
(两直线平行，同位角相等)
∵∠1 =∠2，
∴∠B =∠C．
∴AB =AC
(等边对等角)
应用提高
今天我们学习了哪些知识？
体验收获
1.如何判断一个三角形是等腰三角形？
2.你能说一说等腰三角形的性质和判定的区别和联系吗？
达标测评
1．在△ABC中，不能判定是等腰三角形的是( )
A．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶3
B．a∶b∶c＝2∶2∶3
C．∠B＝50°，∠C＝80°
D．2∠A＝∠B＋∠C
D
达标测评
2．如图，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°，若AC＝5 cm，则AB＝________．
5 cm
达标测评
3．如图，将一张长方形纸片ABCD沿BD折叠，若AE＝3，AB＝4，BE＝5，则重叠部分的面积为( )
A．6
B．8
C．10
D．12
C
达标测评
4.如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥
AD交AD的延长线于点E，EF∥AC交AB于点F.
求证：AF＝FB.
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠EAC，
∵EF∥AC，
∴∠FEA＝∠EAC，
∴∠FEA＝∠DAF，
∴AF＝FE.
∵BE⊥AE，
∴∠FEA+∠BEF＝90°,∠BAE+∠FBE＝90°,
∴∠FBE＝∠BEF，
∴BF＝EF，
∴AF＝BF.
布置作业
教材81页习题13.3第5、6题．登陆21世纪教育 助您教考全无忧
13.3.1等腰三角形的判定
班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________
一、选择题(每小题6分，共30分)
1.已知下列各组数据，可以构成等腰三角形的是（ ）
A. 1，2，1 B. 2，2，1 C. 1，3，1 D. 2，2，5
2.如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝4 cm，则CD等于( )
A.3 cm B.4 cm C.1.5 cm D.2 cm
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（ ）
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
4.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，那么点C的个数有( )
A.6个 B.7个 C.8个 D.9个
5.如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出四个条件：①OB=OC；②∠EBO=∠DCO；③∠BEO=∠CDO；④BE=CD.上述四个条件中，选择两个可以判定△ABC是等腰三角形的方法有（ ）
A.2种 B.3种 C.4种 D.6种
二、填空题(每小题6分，共30分)
6.若三角形三边长满足（a﹣b）（a﹣c）=0，则△ABC的形状是 _________ .
第7题图 第8题图
7.如图，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD= _________
8.如图，已知AD平分∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是 _________三角形.
9.如图，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°，若AC＝5 cm，则AB＝________.
第9题图 第10题图
10.如图，在△ABC中，BP平分∠CBA，AP平分∠CAB，且DE∥AB，若CB＝12，AC＝18，则△CDE的周长是________.
三、解答题(每小题20分，共40分)
11. 如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E＝∠B，ED＝DC.求证：AB＝AC.
12.已知：如图，OA平分∠BAC，∠1=∠2.
求证：△ABC是等腰三角形.
参考答案
1.B
2.B
3.D
4.C
5.C
6.等腰三角形
7.3
8.等腰
9. 5 cm
10.30
11. 证明：∵AD平分∠EDC，
∴∠ADE＝∠ADC.
又∵ED＝DC，AD＝AD，
∴△ADE≌△ADC.
∴∠E＝∠C.
又∵∠E＝∠B，
∴∠B＝∠C.
∴AB＝AC.
12. 证明：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵AO平分∠BAC，
∴OE=OF（角平分线上的点到角两边的距离相等）.
∵∠1=∠2，
∴OB=OC.
∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）.
∴∠5=∠6.
∴∠1+∠5=∠2+∠6.
即∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.
∴△ABC是等腰三角形.
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