运用导数解决不等式恒成立问题
图片预览
文档简介
课件21张PPT。深圳市民办学校高中数学教师欧阳文丰运用导数解决不等式恒成立问题 利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法
(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.
(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.例1、已知函数 ,对f(x)定义域内任意的x的值，f(x)≥27恒成立，求a的取值范围 解：函数f(x)的定义域为（0，+∞），由f(x)≥27对一切x∈（0，+∞）恒成立 知 对一切x∈（0，+∞）恒成立，即 对x∈（0，+∞）恒成立设 则 ，由h′(x)=0解 h′(x)>0时，解得0＜x＜ , h′(x)〈0时x＞ 所以h(x)在（0， ）上递增，在（ ，+∞）上递减, 故h(x)的最大值为 ，所以 总结：变式练习总结：变式练习总结：变式练习探究提高 对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
但是运用洛比塔法则和多次求导，却能收到意想不到的效果。【总结提升】解决恒成立问题的基本方法：
1．分离参数法：其优点在于：有时可以避开繁琐的讨论．2．直接研究函数的形态．
其缺点在于：有些问讨论比较复杂． 当然，在解决问题时，要根据所给问题的特点，选择恰当的方法来解题．并在解题过程中，能够依据解题的进程合理地调整解题策略．【总结提升】
(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.
(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.例1、已知函数 ,对f(x)定义域内任意的x的值，f(x)≥27恒成立，求a的取值范围 解：函数f(x)的定义域为（0，+∞），由f(x)≥27对一切x∈（0，+∞）恒成立 知 对一切x∈（0，+∞）恒成立，即 对x∈（0，+∞）恒成立设 则 ，由h′(x)=0解 h′(x)>0时，解得0＜x＜ , h′(x)〈0时x＞ 所以h(x)在（0， ）上递增，在（ ，+∞）上递减, 故h(x)的最大值为 ，所以 总结：变式练习总结：变式练习总结：变式练习探究提高 对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
但是运用洛比塔法则和多次求导，却能收到意想不到的效果。【总结提升】解决恒成立问题的基本方法：
1．分离参数法：其优点在于：有时可以避开繁琐的讨论．2．直接研究函数的形态．
其缺点在于：有些问讨论比较复杂． 当然，在解决问题时，要根据所给问题的特点，选择恰当的方法来解题．并在解题过程中，能够依据解题的进程合理地调整解题策略．【总结提升】