3.1
指数函数
课堂导学
三点剖析
一、指数函数的图象和性质
【例1】在同一个坐标系中画出下列各函数的图象：
①y=2x；②y=5x；③y=(
( http: / / www.21cnjy.com ))x；④y=(
( http: / / www.21cnjy.com ))x.
(1)观察四个函数的图象,看它们有何特点 你能从中总结出一般性结论吗
(2)由y=5x的图象，怎样画出y=5x+3的图象？怎样画出y=5x+3的图象？
解析:指数函数y=ax(a＞0且a≠1)恒过两个点(0,1)和(1,a).这四个函数都经过(0,1),又分别经过(1,2)(1,5)(1,
( http: / / www.21cnjy.com ))(1,
( http: / / www.21cnjy.com )).再由函数的单调性就可以画出四个函数的大致图象(如右图).
(1)根据图象可知函数①与④，②与③分别关于y轴对称.
规律：①一般地，指数函数y=ax(a>0且a≠1)与y=a-x(a>0且a≠1)的图象关于y轴对称.
②y=ax(a>0且a≠1)中，当底a>
( http: / / www.21cnjy.com )1时，在y轴右侧，底越大图象越靠近于y轴；在y轴左侧，底越大图象越靠近于x轴.当底0
(2)把y=5x的图象向左平移3个单位可得y=5x+3的图象，把y=5x的图象向上平移3个单位可得y=5x+3的图象.
温馨提示
(1)记住例1中(1)的结论，在同一坐标系中画指数函数的简图或比较幂的大小时，可直接应用.
(2)函数图象的平移规律：
y=f(x)y=f(x+a);
y=f(x)
( http: / / www.21cnjy.com )y=f(x)+h.
二、底数a>1和0【例2】
比较下列各题中两个数的大小.
（1）1.72.5，1.73；（2）0.8-0.1，0.8-0.2；（3）1.70.3，0.93.1.
解析:（1）考查指数函数y=1.7x，由于
( http: / / www.21cnjy.com )底数1.7>1，所以指数函数y=1.7x在（-∞，+∞）上是增函数.∵2.5<3,∴1.72.5<1.73.
(2)考查函数y=0.8x,由于0<0.8
( http: / / www.21cnjy.com )<1,所以指数函数y=0.8x在(-∞,+∞)上为减函数.∵-0.1>-0.2,∴0.8-0.1<0.8-0.2.
(3)由指数函数的性质得1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1.∴1.70.3>0.93.1.
温馨提示
比较两个同底的指数
( http: / / www.21cnjy.com )的大小，若底数为字母，应分类讨论(底数大于1，大于0小于1两种).底数不同的两个指数比较大小，常借助于中间量（如0、1）.
三、幂函数与指数函数的区别
【例3】
请判断下列哪些函数是指数函数.
y=(
( http: / / www.21cnjy.com ))x,y=-3x,y=π-x,y=x3,y=2×3x,y=4x+1,y=22x,y=(a-2)x(a>3),y=xx(x>0,x≠1),y=(1-2)x,y=
( http: / / www.21cnjy.com ).
解析:∵y=π-x=(
( http: / / www.21cnjy.com ))x,y=22x=(22)x=4x,
∴指数函数有y=(
( http: / / www.21cnjy.com ))x,y=π-x,y=22x,y=(a-2)x(a>3).
不是指数函数的有y=-3x,y=x3,y=2×3x,y=4x+1,y=xx(x>0,x≠1),y=(1-2)x,y=
( http: / / www.21cnjy.com ).
温馨提示
认为y=(1-
( http: / / www.21cnjy.com ))x为指数函数，是没注意底数1-
( http: / / www.21cnjy.com )<0.认为y=π-x、y=22x不是指数函数，则是没把解析式变成y=ax的形式.这都是易犯的错误.
各个击破
类题演练
1
函数y=a|x|（a>1）的图象是（
）
解析：y=a|x|（a>1），当x≥0
( http: / / www.21cnjy.com )时，y=ax在第一象限为增函数，当x<0时，因y=a|x|是偶函数，所以图象关于y轴对称，画出另一半，选B.
答案：B
变式提升
1
画出函数y=2|x+1|的图象，并根据图象指出它的单调区间.
解析:由函数解析式可得：
y=2|x+1|=
其图象分成两部分,一部分是y1=(
( http: / / www.21cnjy.com ))(x+1)(x<-1)的图象,而它的图象是将y=（
( http: / / www.21cnjy.com )）x
的图象沿x轴的负方向平移一个单位而
( http: / / www.21cnjy.com )得到.另一部分是y2=2x+1(x≥-1)的图象,而它的图象可以看作将y=2x的图象沿x轴的负方向平移一个单位而得到,（如右图）由图知,单调递减区间是(-∞,-1),单调递增区间是［-1,+∞］.
类题演练
2
比较下列各组数的大小.
(1)522,533;
(2)a1.5,a1.8(a>0且a≠1);
(3)0.8-3,.
解析:(1)由y=5x在R上为增函数可知522<533.
(2)当a>1时，a1.5当0a1.8.
(3)∵0.8-3>1,0<
( http: / / www.21cnjy.com )<1,
∴0.8-0.3>
( http: / / www.21cnjy.com ).
变式提升
2
求满足
( http: / / www.21cnjy.com )>(mm)2的正数m的取值范围.
解析:原不等式变形为:
( http: / / www.21cnjy.com )>m2m,
(1)m>1时,m2>2m
( http: / / www.21cnjy.com )m>2,或m<0.
∴m>2.
(2)0( http: / / www.21cnjy.com )0∴0综上所述,所求m的值的范围为m>2,或0类题演练
3
指出下列函数哪些是指数函数:
①y=4x;②y=x4;③y=-4x;④y=(-4)x;⑤y=πx;⑥y=
( http: / / www.21cnjy.com );⑦y=xx;⑧y=(2a-1)x(a>
( http: / / www.21cnjy.com ),且a≠1).
解析:①⑤⑧为指数函数;②是幂函数
( http: / / www.21cnjy.com );③是-1与指数函数4x的乘积;④中底数-4<0,不是指数函数;⑥中指数不是自变量x,而是x的函数;⑦中底
数x不是常数,它们都不符合指数函数的定义.
变式提升
3
下列函数中的指数函数为________________.
①y=x2，②y=8x，③y=（2a+1）x（a>-
( http: / / www.21cnjy.com ),a≠0),
④y=
( http: / / www.21cnjy.com ),⑤y=2.749x,⑥y=
( http: / / www.21cnjy.com ),⑦y=(x2)x,⑧y=-10x.
解析:①为幂函数,④中底数小于0,⑥⑦⑧均为复合函数,故答案为②③⑤.
答案：②③⑤3.2
对数函数
互动课堂
疏导引导
2.3.1 对数?
1.对数的定义：一般地，当a>0且a≠1时，若ab=N，则b叫以a为底N的对数,记作logaN=b，其中a叫对数的底数，N叫真数.
2.对数式与指数式的互化：ab=NlogaN=b(a>0，a≠1).
3.三条对数性质：logaa=1；loga1=0；零和负数没有对数(即真数必须大于零).对数恒等式：alogaN=N(a>0,a≠1,N>0).
4.常用对数：以10为底的对数称为常用对数，对数log10N简记为lgN.?
自然对数：以e为底的对数称为自然对数，logeN记为lnN,其中e=2.718
28….?
●案例1对于对数，除了对数的定义，还有对数的性质，你能说说这些相关的内容吗？
【探究】对数部分，我们首先应当掌握对数的意义，即对数式与指数式之间的对应关系.另外对于对数我们应该掌握一些常用的性质：如(1)loga1=0(1的对数是0)；(2)logaa=1(底数的对数是1);(3)alogaN=N(对数恒等式)；(4)logaN=
(b＞0且b≠1)(换底公式)；(5)logaM+logaN=logaMN；(6)logaM-logaN=
；(7)nlogaN=logaNn；(8)logaN=logamNn.以上各式均有条件a＞0且a≠1.?
【溯源】这些常用的性质在指数运算中非常有用，需要记牢.有的性质可以用口诀来帮助记忆，比如，性质(5)(6)(7)可以这样来记：?
积的对数变为加，商的对数变为减，?
幂的乘方取对数，要把指数提到前.?
●案例2试计算lg4+lg5lg20+lg25的值.?
【探究】利用lg2与lg5之间的特殊关系lg2+lg5=lg10=1，或利用lg5与lg20的关系lg20+lg5=lg100=2求解.?
【答案】】原式=lg4+lg5(lg20+lg5)=lg4+lg5lg100=lg4+2lg5=2lg2+2lg5=2(lg2+?lg5)=2.??
【溯源】求几个对数式的加减运算，若每个对数式是同底的，可以利用同底数的对数运算法则化为一个对数式；也可反其道而行之，即把每个对数的真数写成积或商的形式，再利用积或商的对数运算法则化为同底对数的和与差，然后进行合并约简.?
2.3.2 对数函数?
一般地，函数y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数，它的定义域是(0,+∞).?
疑难疏引
由对数的定义，容易知道对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)是指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的反函数.利用反函数的性质，由指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的定义域x∈R，值域y＞0，容易得到对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的定义域为x＞0，值域为R.?
对数函数的性质如下：?
(1)定义域(0，＋∞)，值域(-∞，＋∞)；?
(2)当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上为增函数；?
(3)当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上为减函数；?
(4)当x＝1时，y＝0；?
(5)当x＞1，若a1、a2＞1时，底大图低；若0＜a1、a2＜1时，则底大图高.?
当0＜x＜1时与以上情况正好相反.
1.对数函数的图象?
(1)作对数函数的图象一般有两种方法：一是描点法，即通过列表、描点、连线的方法作出对数函数的图象；二是通过观察它和指数函数图象之间的关系，并利用它们之间的关系作图.
2.应用对数函数性质比较大小?
比较大小是对数函数性质应用的常见题型.比较两个对数式的大小，底相同时，可利用对数性质进行比较.不同类的函数值的大小常借助中间量0、1等进行比较.
3.图象平移?
图象平移在教材中是通过例题引出的，并由这个特殊的例子得出了一般结论：一般地，当a＞0时，将y=log2x的图象向左平移a个单位长度便得到了函数y=log2(x+a)的图象；当a＞0时，将函数y=log2x的图象向右平移a个单位长度便可得到函数y=log2(x-a)的图象.
4.反函数的图象和性质?
对数函数y=logax(a＞0且a≠1)与指数函数y=ax(a＞0且a≠1)互为反函数，这两个函数的图象关于直线y=x对称.
●案例3
右图是对数函数y=logax当底数a的值分别取，，，时所对应图象，则相应于C1，C2，C3，C4的a的值依次是( )?
A.
，，，
B.
，，，?
C.
，，，?
D.
，，，
【探究】因为底数a大于1时，对数函数的图象自左向右呈上升趋势，且a越大，图象就越靠近x轴；底数a大于0且小于1时，对数函数的图象自左向右呈下降趋势，且a越小，图象就越靠近x轴.?
【答案】】
A??
【溯源】由对数函数的图象间的相对位置关系判断底数a的相互关系，应根据对数函数图象与底数间的变化规律来处理.在指数函数y=ax中，底数a越接近1，相应的图象就越接近直线y=1，对数函数与指数函数是一对反函数，其图象是关于直线y=x对称的，直线y=1关于直线y=x的对称直线是x=1，所以我们有结论：对数函数y=logax，底数a越接近1，其图象就越接近直线x=1.?
●案例4
比较大小：?
(1)log0.27和log0.29；
(2)log35和log65；?
(3)(lgm)1.9和(lgm)2.1(m＞1)；
(4)log85和lg4.?
【探究】
(1)log0.27和log0.29可看作是函数y=log0.2x，当x=7和x=9时对应的两函数值，由y=log0.2x在(0，+∞)上单调递减，得log0.27＞log0.29.?
(2)考查函数y=logax底数a＞1的底数变化规律，函数y=log3x(x＞1)的图象在函数y=log6x(x＞1)的上方，故log35＞log65.
(3)把lgm看作指数函数的底数，要比较两数的大小，关键是比较底数lgm与1的关系.若lgm＞1即m＞10，则(lgm)x在R上单调递增，故(lgm)1.9＜(lgm)2.1.若0＜lgm＜1即1＜m＜10，则(lgm)x在R上单调递减，故(lgm)1.9＞(lgm)2.1.若lgm=1即m=10，则(lgm)1.9＝(lgm)2.1.
(4)因为底数8、10均大于1，且10＞8，所以log85＞lg5＞lg4，即log85＞lg4.?
【溯源】两数(式)大小的比较主要是找出适当的函数，把要比较的两数作为此函数的函数值，然后利用函数的单调性等来比较两数的大小，一般采用的方法有：(1)直接法：由函数的单调性直接作答；(2)作差法：把两数作差变形，然后判断其大于、等于、小于零来确定；(3)作商法：若两数同号，把两数作商变形，判断其大于、等于、小于1来确定；(4)转化法：把要比较的两数适当转化成两个新数大小的比较；(5)媒介法：选取适当的“媒介”数，分别与要比较的两数比较大小，从而间接地求得两数的大小.?
●案例5已知函数y=lg(-x)，求其定义域，并判断其奇偶性、单调性.?
【探究】因为对任意实数x,都有>x,所以函数的定义域为R.注意到+x=，即有lg()=-lg()，从而f(-x)=lg=-lg，可知其为奇函数.又因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，所以我们只需研究(0，+∞)上的单调性.?
【解】
由题意＞0，解得x∈R，即定义域为R，又f(-x)=lg［-(-x)］=lg(+x)=lg=lg(-x)-1=-lg(-x)=-f(x),∴y=lg(-x)是奇函数.?
任取x1、x2∈(0，+∞)且x1＜x2，则＜+x1＜+x2＞，即有-x1＞-x2＞0，∴lg(-x1)＞lg(-x2)，即f(x1)＞f(x2)成立.∴f(x)在(0，+∞)上为减函数.又f(x)是定义在R上的奇函数，故f(x)在(-∞，0)上也为减函数.?
【溯源】研究函数的性质一定得先考虑定义域，在研究函数单调性时，注意奇偶性对函数单调性的影响，即偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性；奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性.?
疑难疏引
画函数图象是研究函数变化规律的重要手段.画函数图象通常有两种方法：列表法和变换法.变换法有如下几种：?
平移变换：y=f(x+a)，将y=f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位而得到；y=f(x)+a，将y=f(x)的图象向上(a＞0)或向下(a＜0)平移|a|个单位而得到.?
翻折变换：y=|f(x)|，将y=f(x)的图象在x轴下方部分沿x轴翻折到x轴的上方，其他部分不变；y=f(|x|)，它是一个偶函数，当x≥0时,其图象与y=f(x)的图象完全一样；当x≤0时，其图象与x≥0时的图象关于y轴对称.?
对称变换：y=-f(x)，它的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称；y=f(-x)，它的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称；y=?-f(-x)，它的图象与y=f(x)的图象关于原点成中心对称.
伸缩变换：y=f(ax)(a＞0)，将y=f(x)图象上各点的横坐标压缩(a＞1)或伸长(0＜a＜1)到原来的a倍，纵坐标不变；y=af(x)(a＞0)，将y=f(x)图象上各点的横坐标不变，纵坐标压缩(0＜a＜1)或伸长(a＞1)到原来的a倍.?
●案例6作出下列函数的图象：?
(1)y=|log4x|-1；(2)y=|x+1|.?
【探究】(1)y=|log4x|-1的图象可以看成由y=log4x的图象经过变换而得到：将函数y=log4x的图象在x轴下方部分以x轴为对称轴翻折上去，得到y=|log4x|的图象，再将y=|log4x|的图象向下平移1个单位，横坐标不变，就得到y=|log4x|-1的图象.?
(2)y=|x+1|的图象可以看成由y=的图象经过变换而得到：将函数y=的图象作出右边部分关于y轴的对称图象，即得到函数y=的图象，再将所得图象向左平移一个单位，就得到所求的函数y=log|x+1|的图象.?
【溯源】因为对数函数与指数函数互为反函数，因此要根据互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称的关系，它们的定义域与值域正好交换，它们的对应法则是互逆的这些特征.我们已理解指数函数y=ax中a＞0且a≠1，所以对数函数y=logax中也必须a＞0且a≠1.?
●案例7
设a≠0，对于函数f(x)=log3(ax2-x+a)，?
(1)若x∈R，求实数a的取值范围；?
(2)若f(x)∈R，求实数a的取值范围.?
【探究】
f(x)的定义域是R，等价于ax2-x+a＞0对一切实数都成立.而f(x)的值域为R，等价于其真数ax2-x+a能取遍大于0的所有实数值，(1)与(2)虽略有差异，但结果却大不相同.(1)f(x)的定义域为R，则ax2-x+a＞0对一切实数x恒成立，其等价条件是?
解得a＞.?
(2)f(x)的值域为R，则真数ax2-x+a能取遍大于0的所有实数，其等价条件是??
解得0＜a≤.?
【溯源】解对数不等式，在转化为代数不等式时，不仅要结合对数函数的单调性脱去对数符号，还要注意使每个对数式都有意义.?
●案例8已知非零常数x、y、z，满足2x=3y=6z，求证：+=.?
【探究】考查转化的思想方法，指、对式的转化.可以先求出x、y、z，然后由左边推证出右边.?
【证法一】设2x=3y=6z=k，则x=log2k，y=log3k，z=log6k.?
∴+=+
=logk2+logk3=logk6==.?
【证法二】由2x=3y=6z，有2x=6z，3y=6z.?
∴x=log26z=zlog26，y=log36z=zlog36.?
∴+=+=(log62+log63)=log66=.?
活学巧用
1.将下列指数式写成对数式：
(1)2-2=;
(2)0.53=0.125;
(3)a0=1(a>0,a≠1).
【解】(1)log2=-2;
(2)log0.50.125=3;
(3)loga1=0(a>0,a≠1).
2.将下列对数式写成指数式：
(1)log2=-6;
(2)lg3=0.477
1；
(3)ln不着3=1.098
6；
(4)log?37=x.
【解】(1)2-6=;
(2)100.477
1=3;
(3)e1.098
6=3;
(4)3x=7.
3.求下列各式的值：
(1)log327；
(2)log816;
(3)；
(4)；
(5)3;
(6).
【解】(1)log327=3;
(2)log816=;
(3)
=-3;
(4)
=-1;
(5);(6).
4.求x的值：
(1)logx64=2;
(2)log5(lgx)=0.
【解】
(1)x=8;(2)x=10.
5.求x的值：
(1)log27x=;(2)logx9=2;
(3)log2(log2x)=0.
【思路解析】利用对数的定义，或对数式与指数式的互化，也可化为同底的对数来求解.
【解】
(1)27=x,∴x=9;?
(2)x2=9,x=±3,∵x>0,∴x=3;?
(3)log2(log2x)=log21,log2x=1,∴x=2.
【借题发挥】若log2(log3(logx))=0,求x的值.
【解】x=.
6.计算lg14-2lg+lg7-lg18.
【思路解析】这是几个对数式的加减运算，考虑利用对数的运算性质来进行化简求值.
【解法一】
原式=lg14-lg+lg7-lg18=lg14÷×7÷18=lg1=0. ?
【解法二】
原式=lg2+lg7-2(lg7-lg3)+lg7-(2lg3+lg2)=0.?
【规律总结】
进行对数运算时，首先还是想到用对数的性质进行化简求值，在化简求值的过程中若发现真数的积是底数的几次幂时，可以灵活运算.
7.计算log89×log332.
【思路解析】
当对数的底不一样时，考虑利用换底公式把底统一.
【解】
原式=×log332?
=×5log32=.
【规律总结】
利用换底公式时，可以换成任意底数，只要利于计算，一般换成题目中有的某一底数.当然像上题也可这样计算：?
原式=×=×=.?
8.比较下列各组数的大小：
(1),log?;
(2)log20.3,0.2;
(3)log0.2(x+1),log0.2(2x+0.5).
【思路解析】利用对数函数的性质来比较大小.
【解】
(1)考查对数函数y=logx，因为底数大于1，所以是一个单调递增函数.又π>e，所以>.?
(2)由对数函数的性质知道log20.3<0,
0.2>0,∴log20.3<0.2.?
(3)?
当x>时,?
?
log0.2(x+1)>log0.2(2x+0.5);?
当x=时,
log0.2(x+1)=log0.2(2x+0.5);?
当时,?
log0.2(x+1)【规律总结】
若是同底的对数，利用对数函数的单调性；若是不同底的对数则找一个恰当的数作桥梁来比大小；若底数或真数不定，则要讨论.
9.求值域：
(1)y=log2(x2+1);
(2)y=(2x-1);
(3)y=(-x2+4x).
【思路解析】本题是对数函数和二次函数或一次函数的结合，可以根据这两类函数的性质来解.
【解】
(1)［0,+∞）;(2)R;?(3)［-2,+∞）.?
【规律总结】
形如这样的函数可以看成是两个函数y=logau,u=f(x)的复合,先求u=f(x)的值域,再求y=logau的值域,注意考虑定义域,真数大于0.
10.判别函数f(x)=log2(+x)的奇偶性.
【思路解析】
利用函数奇偶性的定义，抓住判别奇偶性的两个环节，先求定义域，再求f(-x)，然后比较f(-x)与f(x)的关系.
【解】定义域为R，定义域关于原点对称.?
f(-x)=log2(-x)?
=log2?
=-log2(+x)?
=-f(x),?
所以f(x)为奇函数.
【规律总结】
判别奇偶性时，也可用定义的变式：?
偶函数f(-x)-f(x)=0；奇函数f(-x)+f(x)=0.当函数是关于对数的函数时，有时利用这种方法更为简单.如上例可以：?
f(-x)+f(x)=log2(-x)+log2(+x)??
=log2(-x)(+x)?
=log21=0,?
所以f(-x)=-f(x).
11.求函数y=log2(1-x)的单调区间.
【思路解析】复合函数的单调性，分别考查两个简单函数的单调性，然后结合考虑.
【解】
(1)1-x>0，x<1.?
设u=1-x，则y=log2u,?
当x<1时，u=1-x为递减函数；?
而y=log2u为递增函数，?
∴函数y=log2(1-x)为递减函数.
12.解方程log3(1-2·3x)=2x+1.
【思路解析】
解对数方程或对数不等式，一般转化到同底的对数，或同底的指数等形式，利用对数函数或指数函数的性质处理.
【解】
原方程可化为1-2·3x=32x+1,?
即3·32x+2·3x-1=0.?
(3x+1)(3·3x-1)=0,?
3x+1=0(无解)或3·3x-1=0,?
3x=,x=-1(检验符合定义域),?
∴原方程的解为x=-1.
【规律总结】
解对数方程时，注意考虑解要在定义域范围内，所以一定要检验.
13.若a>0且a≠1，且<1，则实数a的取值范围是( )
A.0B.0C.a>或0D.01
【思路解析】由于对数函数的单调性与底数的取值范围有关，所以当底数范围不定时，必须区别底在不同范围，分别讨论求解.?
∵loga<1=logaa,?
当a>1时，y=logax是增函数,?
∴a>,联立解得a>1;?
当0∴a<,联立解得0∴01时，<1成立.?
∴选D.?
【答案】】
D?
【规律总结】
当底数大于1时，对数函数为递增函数；当底数小于1且大于0时，对数函数为递减函数.当底数不定时，一定要按这两种情况分类讨论.
14.已知logax＜loga(x-1)，则a的取值范围是_______；若loga(x2+2x+5)＞loga3，则a的取值范围是_______.
【答案】】
(0,1) (1,+∞)
15.f(x)=，当x∈［a,a2］时，函数的最大值比最小值大3，则实数a＝_______.
【答案】】
8
16.如果0A.<
B.(1-a)1+a>1
C.log(1-a)(1+a)>0
D.log(1+a)(1-a)<0
【答案】】
D?
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13.2.4
对数函数的图象与性质的应用
课堂导学
三点剖析
一、对数的图象与性质的应用
【例1】
比较log1.10.7与log1.20.7的大小，并说明理由.
思路分析：由于这两个数不同底，所以不能直接应用单调性，而应借助图象或找一中间量.
解析：log1.10.7=,log1.20.7=.
∵0∴>.
又lg0.7<0,∴<,
即log1.10.7温馨提示
比较对数型数值的大小，同底的可利用对数函数的单调性；若底数不同真数相同，可理解为对应同一自变量的两个函数值的大小比较，借助图象不难得出结论；若底数、真数均不相同，则应寻找介数或确定各数所在范围.
二、对数知识同其他知识的综合应用
【例2】
求函数y=lg的定义域、值域，并讨论其单调性.
解析：(1)要使函数有意义，必须>0,
∴x>-1或x<-2.
∴函数y=lg的定义域为{x|x>-1或x<-2}.
(2)令u=,u==1+.
∵x>-1或x<-2,
∴u=1+>0且u≠1.∴y=lgu≠0,
即函数y=lg的值域为{y|y∈R且y≠0}.
(3)设x1∵x1∴x2-x1>0,x1+1<-1,
x2+1<-1.
∴>0,
即u=在(-∞,-2)上是减函数.
则y=lg在(-∞,-2)上是减函数.
同理可证y=lg在(-1，+∞)上是减函数.
温馨提示
求y=logaf(x)型的函数的单调性时，应先讨论f(x)的单调性，然后讨论y的单调性.
当a>1时，y与f(x)的单调性一致；当0三、含对数的复合函数的有关运算
【例3】
已知x满足不等式2（x）2+7x+3≤0,求函数f(x)=(log2x4)·(log2x2)的最大值和最小值.
解析：由2（x）2+7x+3≤0可解得-3≤x≤-，即2≤x≤8.
∴≤log2x≤3.
∵f(x)=(log2x-2)(log2x-1)=(log2x-)2-,
∴当log2x=,即x=2时，f(x)有最小值-.
当log2x=3,即x=8时，f(x)有最大值2.
∴f(x)min=-,f(x)max=2.
温馨提示
本题用到利用对数函数的单调性求函数最值的方法.这种方法的基本思路是，先求出复合函数的定义域，再求出复合函数的单调区间，最后根据函数的单调性得出最值.
各个击破
类题演练
1
(2004辽宁高考，2)对于0）
①loga(1+a)②loga(1+a)>loga(1+)
③a1+a<
④a1+a>
A.①与③
B.①与④
C.②与③
D.②与④
解析：∵0∴loga(1+a)>loga(1+1a),a1+a>.
答案：D
变式提升
1
设00且a≠1,比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小.
解析：当a>1时，
∵01,0<1-x<1,
|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-loga(1-x)-loga(1+x)=-［loga(1-x)+loga(1+x)］=-loga(1-x2)>0.
即|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.
当0|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=loga(1-x)+loga(1+x)=loga(1-x2)>0.∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.
因此，当00且a≠1时，总有|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.
类题演练
2
(2006全国高考卷Ⅱ理，2)已知函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则（
）
A.f(2x)=e2x
(x∈R)
B.f(2x)=ln2·lnx(x＞0)
C.f(2x)=2ex(x∈R)
D.f(2x)=lnx+ln2
(x＞0)
解析：由题意，得f(x)=lnx.于是f(2x)=ln2x=lnx+ln2.
故选D.
答案：D
变式提升
2
试讨论函数f(x)=loga(-x2-4x+5)(其中a>0,且a≠1)的单调性、奇偶性.
解析：由-x2-4x+5>0,解得-5∴函数f(x)
的定义域（-5，1）.∴函数f(x)为非奇非偶函数.
令u=-x2-4x+5,则有f(u)=logau.
∵u=-x2-4x+5=-(x+2)2+9,且-2∈(-5,1).
∴函数u在区间（-5，-2）内单调递增，在区间［-2，1］内单调递减.
又∵01时，函数f(u)=logau在其定义域内为增函数，
∴a>1时,函数f(x)在（-5，-2）上为增函数，在［-2，1］上为减函数.0类题演练
3
(2006江苏南京高三期末，10)设0）
A.loga(xy)<0
B.0C.1D.loga(xy)>2
解析：取a=,y=,x=,∴logaxy=(·)==5.
因此，可排除A、B、C,故选D.
答案：D
变式提升
3
求函数y=x-x+5，x∈［2,4］的最大值或最小值，及其对应的x值.
解析：令x=t,∵x∈［2,4］，∴t∈［-1，-］.则y=t2-t+5=(t-)2+.
则当t=-，即x=-，即x=2时，y取得最小值;
当t=-1，即x=-1，即x=4时，y取得最大值7.
PAGE
13.3
幂函数
互动课堂
疏导引导
1.定义?
形如y=xα的函数叫做幂函数，其中α是常数，x是自变量.
2.幂函数的性质?
当n＞0时，幂函数y＝xn有下列性质：?
(1)图象都通过点（0，0）、（1，1）；?
(2）在第一象限内，函数值随x的增大而增大;?
n＜0时，幂函数y＝xn有下列性质：?
(1）图象都通过点（1，1）；?
(2）在第一象限内，函数值随着x的增大而减小；?
(3）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近．?
疑难疏引
1.幂函数的定义?
一般地，我们把形如y=xα的函数称为幂函数，其中，x是自变量，α是常数.在这里我们只讨论α为有理数时的简单的幂函数.虽然y=x、y=x2是幂函数，但并不是所有的一次函数、二次函数都是幂函数，如：y=x+1、y=2x2+1都不是幂函数，它们并不满足幂函数的定义，但它们是与幂函数相关联的函数，它们是由幂函数与常数经过算术运算得到的.幂函数的定义域和值域是由它的幂指数来确定的，幂指数不同，定义域和值域也不同.?
掌握幂函数的关键一定要明确“形如y=xα的函数”这句话的重要作用.?
幂函数的定义域比较复杂，应分类进行掌握：?
（1）当指数n是正整数时，定义域是R.?
（2）当指数n是正分数时，设n=（p、q是互质的正整数，q＞1），则xn=x=.
如果q是奇数，定义域是R；?
如果q是偶数，定义域是［0，＋∞）.?
（3）当指数n是负整数时，设n＝－k，xn=，显然x不能为零，所以定义域是{x|?x∈R且x≠0}.?
（4）当指数n是负分数时，设n=－（p、q是互质的正整数，q＞1），则xn==.
如果q是奇数，定义域是{x|x∈R且x≠0}；?
如果q是偶数，定义域是（0，＋∞）.
2.幂函数的图象与性质?
研究幂函数的图象与性质可通过对典型的幂函数y=x2、y=x3及y=x的图象研究归纳y=xn（n＞0）的图象特征和函数性质，通过对幂函数y=x－2、y=x－3及y=x-的图象研究归纳y=xn（n＜0）的图象特征和函数性质.需要注意的有：?
（1）研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整数指数幂化为分式形式再去进行讨论.?
（2）对于幂函数y=xn（n＞0），我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即n＜0，0＜n＜1和n＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意n＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆“正抛物负双曲，大竖直小横铺”，即n＞0（n≠1）时图象是抛物线型；n＜0时图象是双曲线型；n＞1时图象是竖直抛物线型；0＜n＜1时图象是横卧抛物线型.?
●案例
比较下列各组数的大小：?
（1）a=4.2，b=4.1;?
（2）a=1.3-1,b=1.4-1,c=1.4-2;?
（3）a=0.13,b=log30.1,c=30.1.?
【探究】
比较大小，通常利用函数的单调性，或找中间量.因此解决这类问题时往往找对应的函数或找对应的中间量.?
（1）考查幂函数y=x是单调递增函数,∴4.2
>4.1.?
（2）考查幂函数y=x-1在(0,+∞)上递减，1.3-1>1.4-1；考察指数函数y=1.4x为递增函数，则1.4-1?>1.4-2；综上1.3-1>1.4-1>1.4-2?.??
（3）0<0.13<1；log30.1<0；30.1>1.?
综上，log30.1<0.13<30.1.?
【溯源】
若同指数，则用幂函数的单调性；若同底数，则用指数函数的单调性；若不能化为同指数或同底数，则需要找一个恰当的数作桥梁来比较大小.
活学巧用
1.下列命题中正确的是( )
A.当α=0时，函数y=xα的图象是一条直线
B.幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点
C.若幂函数y=xα的图象关于原点对称，则y=xα在定义域内y随x的增大而增大
D.幂函数的图象不可能在第四象限
【思路解析】
当α=0时，函数y=xα定义域为{x|x≠0,x∈R}，其图象为两条射线，故A不正确；?
当α<0时，函数y=xα的图象不过（0，0）点，故B不正确；?
幂函数y=x-1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故C不正确；?
幂函数的图象都不在第四象限，故D正确.
【答案】
D?
2.求下列函数的定义域，判别奇偶性，指出单调区间：
（1）y=x;
（2）y=x.
【解】
(1)函数y=x可化为y=，定义域为{x|x≠0,x∈R}，因为f(-x)=-f(x),所以y=x是奇函数.单调减区间为(-∞,0),(0,+∞).?
(2)函数y=x可化为y=，定义域为{x|x≥0}，是一个非奇非偶函数.单调增区间为［0,+∞).
3.比较下列各组数的大小：
（1）(-1.1),(-1.2)
；
（2）(-π),(2)；
（3）0.3,0.4,2,(-0.1).
【解】
（1）(-1.1)>(-1.2);?
（2）(-π)>(2);?
（3）(-0.1)
<2<0.4<0.3.
4.求函数的解析式：
（1）函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x，求x<0时的f(x).
（2）已知幂函数y=xm2-2m-3(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值.
【解】（1）当x<0时，f(x)=-f(-x)=-(-x)=-x.?
（2）m2-2m-3<0,-1当m=0或m=2时，y=x-3符合题意；?
当m=1时，y=x-4是偶函数，关于y轴对称，所以m=0或m=2.
5.求下列函数的定义域和值域.
（1）y=(2x+1);
（2）y=x-2.
【解】
（1）定义域R，值域［0,+∞).?
（2）定义域{x|x∈R,x≠0}，值域(0,+∞).
6.已知函数f(x)=(m2+2m+1)xm2+m-1是幂函数且其图象过原点，求f(x).
【思路解析】
利用幂函数的定义和性质处理.
【解】
m2+2m+1=1,m=0或m=-2.?
当m=0时，f(x)=x-1,图象不过原点.?
当m=-2时，f(x)=x,图象过原点.?
所以f(x)=x.
7.函数f（x）=（m2－m－1）xm2+m-3是幂函数，且当x∈（0，＋∞）时，f（x）是增函数，则f（x）的解析式为 .
【思路解析】
本题考查幂函数的定义.根据幂函数定义，得m2－m－1=1.解得m=2或m=－1.
当m=2时，f（x）=x3在（0，＋∞）上是增函数；当m=－1时，f（x）=x－3在（0，＋∞）上是减函数，不合要求.故f（x）=x3.
【答案】
f（x）=x3
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1对数函数习题课
1．理解对数的概念及其运算性质．
2．理解对数函数的概念，了解对数函数的性质，能利用这些性质解决相关问题．
3．知道指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)互为反函数．
反函数
一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x)，反函数也是函数，它具有函数的一切特性；反函数是相对于原函数而言的，函数与它的反函数互为反函数．
指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)和对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域相互对换，单调性相同，图象关于直线y＝x对称．
并不是所有的函数都有反函数．例如函数y＝x2没有反函数．只有“一对一”的函数，即对任意x1≠x2能推断出f(x1)≠f(x2)成立的函数f(x)才具有反函数〔这里x1，x2是f(x)的定义域内的两个值〕．
【做一做1】函数y＝－(x≠－1)的反函数是__________．
解析：由原函数，得x＋1＝－，
从而f－1(x)＝－－1(x≠0)．
答案：y＝－－1(x≠0)
【做一做2】函数y＝2x＋1(x∈R)的反函数是__________．
解析：∵y＝2x＋1(x∈R)，∴x＝－1＋log2y(y＞0)．
∴函数y＝2x＋1(x∈R)的反函数为y＝－1＋log2x(x＞0)．
答案：y＝－1＋log2x(x＞0)
题型一
对数的运算性质
【例1】给定an＝log(n＋1)(n＋2)，n∈N
，定义使a1·a2·a3·…·ak为整数的k(k∈N
)叫做“企盼数”，求区间(1,62)内的所有企盼数的和．
分析：本题给出了“企盼数”的定义，其条件为k个数之积为整数，而这k个数的底数是不同的，所以联想到用换底公式来求解．
解：∵an＝log(n＋1)(n＋2)，∴a1·a2·a3·…·ak＝log23×log34×log45×…×log(k＋1)(k＋2)＝×××…×＝＝log2(k＋2)．
设log2(k＋2)为整数m，
即log2(k＋2)＝m(m∈Z)．
∴k＋2＝2m，即k＝2m－2.
又∵k∈(1,62)，即1＜2m－2＜62，
∴3＜2m＜64.
∴m＝2,3,4,5，代入k＝2m－2得到k＝2,6,14,30.∴区间(1,62)内所有“企盼数”之和为2＋6＋14＋30＝52.
反思：换底公式是架设在不同底数的对数运算中的桥梁，通过这一公式可进行对数之间的运算，如通分、约分等．
题型二
对数函数模型
【例2】定义：函数y＝f(x)，x∈D，若存在常数C，对于任意x1∈D，存在惟一的x2∈D，使得＝C，则称函数f(x)在D上的“均值”为C.已知f(x)＝lg
x，x∈[10,100]，求函数f(x)＝lg
x在[10,100]上的均值．
分析：本题是新定义题，其关键是在[10,100]上x2被x1惟一确定，且f(x1)＋f(x2)＝lg(x1x2)为常数，故可令x2＝，然后依据x2∈[10,100]，求出m＝1
000，再由C＝求出C.
解：由题意，当10≤x1≤100时，x2也要在[10,100]内，且＝C，即x1x2是常数．
令x2＝，又≤≤，
∴
∴m＝1
000.
∴C＝＝＝，
即函数f(x)＝lg
x在[10,100]上的均值为.
反思：分析法是探究数学问题的重要方法，它从结论出发，通过一定的计算与证明，回归到条件，或化归成我们熟知的定理、定义和常用结论．本题就是分析法的典例．
【例3】已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)且单调递增，满足f(4)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)．
(1)证明f(1)＝0；
(2)求f(16)；
(3)若f(x)≤f(x－3)＋1，求x的范围；
(4)试证f(xn)＝nf(x)(n∈N)．
分析：因为f(xy)＝f(x)＋f(y)，所以联想函数f(x)是对数函数f(x)＝logax的模型，从而猜想f(1)＝0，f(16)＝2，再将不等式中的“f”脱去，化为整式不等式而求解．
(1)证明：令x＝1，y＝4，得f(1×4)＝f(1)＋f(4)，从而f(1)＝0.
(2)解：令x＝y＝4，得f(16)＝f(4)＋f(4)＝2.
(3)解：由已知等式得f(x－3)＋1＝f(x－3)＋f(4)＝f(4x－12)．
∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴原不等式可化为
解之，得x≥4，
∴解集为[4，＋∞)．
(4)证明：∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，
∴f(xn)＝＝nf(x)．
反思：有关抽象函数的问题，通常能在我们学习过的函数中寻找到模型，由此类比猜想可求问题，从而迅速准确地解决问题．
题型三
求反函数
【例4】已知函数f(x)的反函数为g(x)＝1＋2lg
x(x＞0)，求f(1)＋g(1)的值．
分析：本题有两种解法，方法一是先求f(x)的表达式，再求f(1)的值；方法二是将f(1)的值作为g(x)中的自变量x的值，而自变量x＝1作为g(x)的函数值，从而得解．
解：方法一：由g(x)＝1＋2lg
x，得lg
x＝，
从而x＝10，即f(x)＝10.
所以f(1)＝100＝1.又g(1)＝1＋2lg
1＝1，
得f(1)＋g(1)＝2.
方法二：若g(x)＝1，则由1＋2lg
x＝1得x＝1，
即f(1)＝1.又g(1)＝1，所以f(1)＋g(1)＝2.
反思：正确理解互为反函数的定义，在解题中能收到事半功倍的效果．
1方程9x－6·3x－7＝0的解是__________．
解析：(3x)2－6·3x－7＝0 3x＝7或3x＝－1(舍去)，解得x＝log37.
答案：x＝log37
2已知log23＝a，log37＝b，则log27＝__________(用a，b表示)．
答案：ab
3
loga＜1，则a的取值范围是________．
解析：当a＞1时，loga＜1＝logaa.∴a＞.
又a＞1，∴a＞1.
当0＜a＜1时，loga＜1＝logaa.
∴a＜.又0＜a＜1，
∴0＜a＜.
答案：∪(1，＋∞)
4记f(x)＝log3(x＋1)的反函数为y＝f－1(x)，则方程f－1(x)＝8的解x＝__________.
解析：由f－1(x)＝8，得f(8)＝log3(8＋1)＝2，
所以f－1(x)＝8的解为x＝2.
答案：2
5已知定义域为(0，＋∞)的函数f(x)，同时满足下列条件：①f(2)＝1，f(6)＝，②f(x·y)＝f(x)＋f(y)．求f(3)，f(9)的值．
解：取x＝2，y＝3，得f(6)＝f(2)＋f(3)，
因为f(2)＝1，f(6)＝，所以f(3)＝－.
又取x＝y＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝－.
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13．3 幂函数
1．了解幂函数的概念，会画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，的图象．
2．能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质．
3．会用几个常见的幂函数性质比较大小．
1．幂函数
一般地，我们把形如y＝xα(α∈R)的函数叫做幂函数，其中x为自变量，α为常数．
幂函数的定义域是使xα有意义的所有x的集合，因α的不同，定义域也不同，如函数y＝x2的定义域为R，而函数y＝的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．
判断函数是否为幂函数时要根据定义，即xα的系数为1，指数位置的α为一个常数，或者经过变形后满足条件的均可．
【做一做1】下列函数是幂函数的有________．
①y＝x2
②y＝
③y＝x3＋x
④y＝2x
⑤y＝x－3
答案：①②⑤
2．幂函数的图象与性质
函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．
从图中可以观察得到它们的特征如下：
【做一做2－1】，，的大小关系是__________．
答案：a＜b＜c
【做一做2－2】函数的奇偶性是__________，单调性是__________．
答案：奇函数 在R上单调递增
【做一做2－3】函数y＝x－2的值域为__________．
答案：(0，＋∞)
当n取不同的有理数时，幂函数y＝xn的图象及性质．
剖析：我们只研究n是有理数的情况，规定n＝是既约分数：
(1)如下表所示：
y＝xn
奇函数(p奇q奇)
偶函数(p偶q奇)
非奇非偶函数(q偶)
n＞1
0＜n＜1
n＜0
(2)当n∈N
时，定义域为R；
当n＝0时，定义域为{x|x≠0}；
当n为负整数时，定义域为{x|x≠0}；
当n＝(p，q∈N
，q＞1，且p，q互质)时，①若q为偶数，则定义域为[0，＋∞)，②若q为奇数，则定义域为R，
当n＝－(p，q∈N
，q＞1，且p，q互质)时，①若q为偶数，则定义域为(0，＋∞)，②若q为奇数，则定义域为{x|x≠0}．
(3)①在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
②当n＞0时，图象都通过原点，并且在(0，＋∞)上的图象是上升的，向上无限伸展，是增函数；当n＝0时，图象是除去点(0,1)的直线y＝1；当n＜0时，图象都不过原点，并且在(0，＋∞)上的图象是下降的，向右与x轴无限靠近，是减函数．
③在直线x＝1的右侧，指数n越大图象位置越高．
题型一
幂函数的性质
【例1】当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为减函数，求实数m的值．
分析：幂函数的一般形式为y＝xα，说明其系数为1，由此确定m值．
解：由条件得解得m＝2.
反思：对于幂函数y＝xα来说，其系数为1，当题目中还有其他性质时，必须根据此性质写出约束条件．本题函数在(0，＋∞)上为减函数，说明指数小于0.
【例2】将四个数1.20.5,1.20.6,0.51.2,0.61.2按从小到大的顺序排列．
分析：本题要用到两类函数，既要运用指数函数的性质，又要运用幂函数的性质，不能混淆两种函数．
解：因为函数y＝1.2x在R上单调递增，
所以1.20.6＞1.20.5＞1.20＝1.
因为函数y＝x1.2在(0，＋∞)上单调递增，
所以0.51.2＜0.61.2＜11.2＝1.
综上所述，0.51.2＜0.61.2＜1.20.5＜1.20.6.
反思：在函数值的大小比较中，0和1是两个特殊值，它们起着桥梁作用．
题型二
幂函数的图象及其应用
【例3】画函数y＝1＋的草图，并求出其单调区间．
分析：此函数的作图有两种途径，一是根据描点的方法作图，二是利用图象变换来作图．一般说来，作草图时，利用图象变换较为方便．
解：y＝1＋＝＋1.
此函数的图象可由下列变换而得到：
先作函数y＝的图象，作其关于y轴的对称图象，即y＝的图象，将所得图象向右平移3个单位，向上平移1个单位，即为y＝1＋的图象(如下图所示)．
从图象知y＝1＋的单调递减区间为(－∞，3]．
反思：本题容易发生的错误：一是函数概念不清(该函数是以x为自变量的函数)；二是将函数式变形的过程不是等价变形，导致变形后的函数已不再是原有的函数了．
【例4】已知点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有(1)f(x)＞g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)＜g(x)
解：设f(x)＝xa，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，将点(，2)代入f(x)＝xa中，得2＝()a，解得a＝2，即f(x)＝x2；
设g(x)＝xb，因为点在幂函数g(x)的图象上，将点代入g(x)＝xb中，得＝(－2)b，解得b＝－2，即g(x)＝x－2.
在同一平面直角坐标系中作出f(x)＝x2与g(x)＝x－2的图象如图所示．
由图象可知：(1)当x＞1，或x＜－1时，f(x)＞g(x)；
(2)当x＝1，或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x)．
反思：幂函数的一般形式是y＝xα(α为常数)，要求幂函数的解析式只要解出α即可．
1函数图象的大致形状是__________．
答案：④
2已知函数f(x)＝(a－1)·xa2＋a－1，
当a＝________时，f(x)为正比例函数；
当a＝________时，f(x)为反比例函数；
当a＝________时，f(x)为二次函数；
当a＝________时，f(x)为幂函数．
解析：当f(x)为正比例函数时，
即a＝－2；
当f(x)为反比例函数时，
即a＝0或a＝－1；
当f(x)为二次函数时，
即a＝；
当f(x)为幂函数时，a－1＝1，即a＝2.
答案：－2 0或－1 2
3设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为__________．
答案：1,3
4比较下列各组中两个值的大小：
(1)和；
(2)0.18－0.3和0.15－0.3.
解：(1)因为函数在R上单调递增，
又1.5＜1.6，所以＜.
(2)因为函数y＝x－0.3在(0，＋∞)上单调递减，
又0.18＞0.15，
所以0.18－0.3＜0.15－0.3.
5求出函数f(x)＝的单调区间，并比较f(－π)与f的大小．
解：f(x)＝＝1＋＝1＋(x＋2)－2，
它是由g(x)＝x－2向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度而得到的．
∵g(x)的单调增区间是(－∞，0)，单调减区间是(0，＋∞)，∴f(x)＝的单调增区间是(－∞，－2)，单调减区间是(－2，＋∞)，f(x)的图象关于直线x＝－2对称．
∵－π∈(－∞，－2)，－∈(－2，＋∞)，且－2－(－π)＜－－(－2)，∴f＜f(－π)．
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13.1
指数函数
互动课堂
疏导引导
2.2.1 分数指数幂?
1.如果一个实数x满足xn=a(n>1,n∈N
)，那么称x为a的n次实数方根.当n为奇数时，x=;当n为偶数时，x=±(a>0).
2.根式的性质?
(1)(
)n=a;?
(2)n为奇数时,nan=a;?
(3)n为偶数时,
=|a|.
3.分数指数幂的意义?
(1)
=;?
(2)
=(a>0,m,n∈N
且n>1).
4.有理数指数幂的运算性质?
(1)as·at=as+t;?
(2)(as)t=ast;?
(3)(a·b)t=at·a-t(s,t∈Q,a>0,b>0).?
疑难疏引
1.当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式，并由此引出了正数的正分数指数幂的意义，然后依照负整数指数幂的意义规定了负分数指数幂的意义，从而将指数幂的概念推广到有理数.?
除此之外，还可将有理数指数幂推广到实数指数幂，有理数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用.?
2.指数幂与根式运算的统一性?
指数幂与根式运算的统一性是指化简需要先将小数化为分数，根式化为分数指数幂，结果要化为最简形式.在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有指数幂又有分母的形式.如、都不是最简形式.?
3.经常要用的公式?
(1)a-b＝(-)(+)；?
(2)a±2＋b＝(±)2；?
(3)a±b＝(±)().?
●案例1求下列各式的值.?
(1);(2);(3);(4)-÷(+).?
【探究】对于根指数为奇数类型的处理相对简单一些，而对于根指数为偶数的情况则很容易出错，应避免出现讨论不周的情况.?
(1)
=-8;(2)
=|-10|=10;(3)
==π2;?
(4)
-÷(+)=-=2-(2-3)=3.?
【溯源】当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，这时，a的n次实数方根只有一个，记为x=na.当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次实数方根用符号na表示，负的n次实数方根用符号-na表示，它们可以合并写成±(a＞0)的形式.特别地，0的n次实数方根等于0.?
●案例2
已知a=-，b=，试求÷的值.?
【探究】就此类问题一般而言,要先将所求代数式化简，再代入具体数值进行求解.显然a≠0，所以有：?
原式=×=====
.?
【溯源】在进行有关幂的运算时，要注意化归思想的运用；另外化繁为简一直是我们解题的一条基本原则.熟悉幂的运算条件和幂的运算性质是正确解题的关键.?
2.2.2 指数函数?
函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.?
疑难疏引
指数函数作为指数运算的扩展而成为高中研究的重点函数之一，其中难点主要体现在由于底数的范围不同而造成的性质的不同，故在解决某些问题时应充分注意区分底数分别在a>1和0指数函数的应用主要体现在利用指数函数的性质比较不同函数值的大小，结合其他函数形成的复合函数的单调性、值域等问题上，解决这些问题应充分考虑底的范围对函数性质的影响，并熟记函数的图象特征和性质，以免造成混淆.指数函数的图象和性质分别从形和数两个方面对指数函数加以剖析，因此在考查指数函数的题目中有关数形结合的思想有着广泛的应用.?
●案例1
比较下列三个数1.5-0.5，1.20.7,(-0.3)0的大小，并按照从小到大的顺序排列.
【探究】
1.5-0.5=考查指数函数y=可知在0故0<1.5-0.5<1.?
同理,1.20.7>1,(-0.3)0=1,?
所以1.5-0.5<(-0.3)0<1.20.7.?
【溯源】
比较大小是指数函数性质应用的常见题型.当底数相同时，直接比较指数即可；当底数和指数不同时，要借助于中间量进行比较.不同类的函数值的大小常借助中间量0、1等进行比较.
3.指数函数的图象和性质?
疑难疏引
注意用单调性的定义研究有关指数函数的单调性问题.学会利用函数图象解决简单的数学问题.?
(1)单调性是指数函数的重要性质，特别是由函数图象的无限伸展，x轴是函数图象的渐近线.?
当01时，x→-∞,y→0,?
当a>1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快.?
当0(2)熟悉指数函数y＝10x,y＝2x,y＝,y＝在同一直角坐标系中的图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系.?
认识指数函数中底数逐渐变化时函数图象的渐变过程；注意函数y=bax?=(ba)x，因此在判断“指数型”复合函数的单调性时，不要简单的看底数，例如函数y=2-x是减函数不是增函数.函数y=ax+h+k的图象可由函数y=ax的图象平移得到，因此它们的性质有很多类似.?
●案例2
指数函数①f(x)=mx;②g(x)=nx满足不等式1>n>m>0,则它们的图象是( )
【探究】此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性,再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线.由0【溯源】这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图、用图的意识.?
●案例3
试比较f(x)=ax2-4x+1与g(x)=与u(x)=x2-4x+1的单调性之间的关系(其中a>1).?
【探究】由条件可知f(x)与g(x)分别是指数函数y=ax,y=
与二次函数u(x)=x2-4x+1复合而成，因此必须先考虑各自的情况(即单调性)再给出结论.?
∵u(x)=x2-4x+1=(x-2)2-3，所以函数u(x)的单调减区间为（-∞,2］，单调增区间为［2,+∞），又∵a>1,∴y=ax为单调增函数，而y=为单调减函数，现设-∞u(x2).?
∴au(x1)?>au(x2)，而<.?
即f(x1)>f(x2),g(x1)在区间（-∞,2］上为增函数.?
同理可得：函数f(x)=ax2-4x+1在区间［2,+∞）上为增函数，而函数g(x)=
在区间［2,+∞）上为减函数.?
【溯源】研究复合函数f［g(x)］的单调性问题时，应研究函数f(x)和g(x)的单调性，然后可以根据“同增异减”的原则直接得到复合函数的单调性.?
疑难疏引
掌握并运用指数函数的性质及图象来解决一些具有实际背景的数学问题.要求：?
(1)能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄清题中出现的量及其数学含义.?
(2)能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题，并调动函数的相关性质解决问题.?
(3)能处理有关几何问题、增长率问题和物理方面的实际问题.?
另外底数a对图象特征的影响也可这样来叙述：当a＞1时，底数越大，函数图象就越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，函数图象就越靠近y轴.一定要注意底数a对函数值变化的影响.如函数图象的左右范围，对应着函数的定义域；函数图象的上下范围，对应着函数的值域；函数图象关于y轴或原点的对称性，对应着函数的奇偶性；函数图象在某一段上自左而右表现的上升或下降趋势，对应着函数的单调性.?
●案例4对于指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)，有人总结出其底数a越接近1，其图象就越接近直线y=1，你认为该结论成立吗？?
【探究】
要说明该结论的正确性，我们可通过例子来验证.我们可在同一坐标系中分别作出函数y=2x、y=3x和y=5x的图象(如右图所示)，根据图象能看出该结论是正确的.?
【溯源】由此我们还能得出如下结论：?
(1)一般地，指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与y＝a-x(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称.
(2)在y轴的右侧，由下向上函数图象相应的底数由小变大(可简记为“右侧底大图高”)；在y轴的左侧，由上向下图象相应的底数由小变大(简记为“左侧底大图低”).?
(3)(有界性)若a＞1，当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1.若0＜a＜1，当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1.?
●案例5
已知f(x)=21+2x-x2，试求函数f(x)的定义域与值域.?
【探究】本题可以看作函数f(t)=2t和函数t=u(x)=1+2x-x2的复合函数，可以先求函数u(x)的值域作f(t)的定义域，然后由数形结合探求y=f(x)的值域.易知函数y=f(x)的定义域为R，又1+2x-x2=-(x-1)2+2≤2,?
故函数y=f(x)的值域为（0,22］,即（0,4］.?
【溯源】求复合函数值域的一般步骤是：先求出定义域，然后求出内层函数的值域，由内层函数的值域求出相应的外层函数的值域即是复合函数的值域.关于复合函数的概念介绍如下：函数y=f(u)(u∈A)，u=g(x)(x∈B，u∈A)，则y=［f(g(x))］叫做由函数y=f(u)(u∈A)、u=g(x)(x∈B，u∈A)合成的复合函数，u叫中间变量，y=f(u)(u∈A)也叫该复合函数的外层函数，而u=g(x)(x∈B，u∈A)叫做该复合函数的内层函数，一定得注意的是：由u=g(x)(x∈B)求出的值域一定是A.?
活学巧用
1.已知2x+2-x=3，求4x+4-x的值.
【思路解析】注意到2x与2-x互为倒数的情况，可利用完全平方公式来探求.
【解】
∵2x+2-x=3,?
又4x+4-x=(2x)2+(2-x)2?
=(2x)2+2+(2-x)2-2?
=(2x+2-x)2-2,?
∴4x+4-x=7.
【借题发挥】
将已知条件改为ax+a-x=m，求a2x+a-2x的值的问题，求解思路、过程基本一致.
2.的值为( )
A.
B.-
C.
D.-
【提示】
可以运用指数运算法则直接求解，做题过程应该注意符号的变化.
【答案】】
C?
3.计算：
(1);(2).
【解】
(1)25;(2)-
.
4.求下式中的x值.
.
【提示】
通过观察题目发现可以使用立方和(差)公式a3±b3=(a±b)(a2
ab+b2)进行整理、化简，进而求解.?
例如：x-1?-1=(x)3-13?
=［()-1］·［()2++1］.
【答案】】
x=5-7.
5.若a>1,b>0且ab+a-b=2，求ab-a-b的值.
【提示】
可先分析ab与a-b?的大小得出：ab-a-b>0，再通过求(ab-a-b)2的值进而求出ab-a-b的值.
【答案】】
2.
6.求值：·-.
【解】
原式=·-|1-|?
=·+1-?
=+1-=2-.
7.化简：÷(+).
【解】
原式=÷(+)?
=÷=·.
8.化简：++.
【解】
原式=|x+1|+|x+1|+?
=2|x+1|+16?
=
9.设23-2x≤(0.5)3x-4，试求x的取值范围.
【思路解析】本题是关于指数函数的一个不等式，可以先转化成同一个底数，再利用指数函数的单调性求解.
【解】由23-2x≤(0.5)3x-4?可知
23-2x≤24-3x.?
又函数y=2x,x∈R是增函数,?
∴3-2x≤4-x,即x≥-1.
【规律总结】
求解此类问题最好将底数统一为大于1的，再由单调增函数的性质求解.可以减少出错.
10.试作出函数y=2x-1+1的图象.
【解】
?
11.试比较,,的大小，并按从小到大的顺序排列.
【解】<<.
12.求函数y=-1的定义域和值域.
【解】
定义域：(-∞,0)∪(0,+∞)?
值域：(-1,0)∪(0,+∞).
13.求下列函数的定义域和值域：
(1)y=;(2)y=;
(3)y=4x+2x+1+1;(4)y=.
【思路解析】本题求“指数型”函数定义域的问题，即要求表达式有意义时相应的x的取值范围；而求值域是求复合函数的值域问题，其一般步骤为：先求出定义域，然后用代入法求出内层函数的值域，由内层函数的值域作为外层函数定义域求出外层函数的值域就是整个复合函数的值域.
【解】
(1)因为指数函数y=2x的定义域为x∈R，值域为y∈(0,+∞)；若x≠0，则y≠1；由于函数y=中≠0，所以y≠20=1.所以所求函数的定义域为(-∞,3)∪(3,+∞),所求函数的值域为(0,1)∪(1,+∞).?
(2)因为函数y=中的|x|≥0，所以所求函数的定义域为R；所求函数的值域为?（0,1］.?
(3)将已知函数y=4x+2x+1+1整理得y=(2x+1)2，由此可知所求函数的定义域为R；所求函数的值域为(1,+∞).?
(4)已知函数可化为y=，由≥0得所求函数的定义域为(1,+∞)；又因为>0,可知所求函数的值域为(1,+∞).
【解题回顾】
求解值域时容易忽略指数函数值是恒正的，应引起高度重视.
14.已知函数f(x)=.
(1)试判断函数f(x)的奇偶性；
(2)试证明函数f(x)在定义域上为单调减函数.
【解】
(1)奇函数；
(2)证明略.
15.曲线C1,C2,C3,C4分别是指数函数y=ax,y=bx,y=cx和y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是( )
A.aB.aC.bD.b【思路解析】
首先可以根据指数函数单调性,确定c>1,d>1,0【答案】】
D?
16.(1)函数y=-2-x的图象一定过_______象限.
(2)函数f(x)=ax-1+3的图象一定过定点P,则P点的坐标是______________.
(3)函数y=3-x与________的图象关于y轴对称.
【思路解析】
此题涉及有关图象变换,搞清图象平移和对称变换是解决此题的关键.?
(1)y=-2-x=,它可以看作是指数函数y=图象作关于x轴对称的图象,因此一定过第三象限和第四象限.?
(2)f(x)=ax-1+3的图象可以看作把f(x)=ax的图象向右平移一个单位再向上平移3个单位而得到,且f(x)=ax一定过点(0,1),则f(x)=ax-1+3应过点(1,4).?
(3)图象与y=3-x?关于y轴对称的函数为y=3x.
【解】
(1)第三和第四 (2)(1,4) (3)y=3x
【解题回顾】
此题要求大家明确f(x)=ax+m+n与f(x)=ax两个函数图象之间的关系及体现在图象上任意一点的坐标之间的变化规律.
17.某渔场养鱼，第一年,鱼的重量增长200%
，以后每年的重量增长率是前一年增长率的一半.
(1)当饲养4年后，鱼的重量是原来的多少倍
(2)如果由于某种原因，每年损失预计重量的10%
，那么经过多少年后鱼的总重量开始减少
【思路解析】在实际问题中有关增长率的问题是较常见的.要解决这类增长率问题通常都会用到与指数函数相关的函数式y=N·(1+p)x，其中N是原来的基数，p为增长率，x为时间.
【解】
(1)设鱼原来的重量为a，n年后鱼的重量为an，则?
a1=(1+2)a=3a,a2=3a(1+1)=6a,?
a3=6a(1+)=9a,a4=9a(1+)=a,?
故四年后的重量是原来重量的11倍.?
(2)由an≥an(1+)×90%
，得2n-1≥9，?
∴n≥5.?
故经过五年后鱼的重量开始减少.
【借题发挥】
对于增长率问题，可以先从一年一年的增长计算开始，在具体计算中再找出相应的规律列式计算.关于增长率的问题经常构建的数学模型为y=N(1+p)x，其中N为基数，p为增长率，x为时间.所以经常会用到指数函数有关知识加以解决.
18.某不法商人将彩电先按原价提高40%
，然后在广告中写上“大酬宾八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是_________元.
【答案】】
2
250
19.某种商品1997年提价25%
，1999年要恢复成原价，则应降价( )
A.30%?
B.25%?
C.20%?
?D.15%?
【答案】】
C?
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13．1．2 指数函数
第1课时 指数函数的定义及性质
1．理解指数函数的定义．
2．掌握指数函数的定义域、值域和单调性．
3．能根据指数函数的性质比较一些数值的大小．
1．指数函数的定义
函数y＝ax(a＞0，a≠1)叫做指数函数，它的定义域为R．
【做一做1】下列函数中是指数函数的是__________．
①y＝4x ②y＝x4 ③y＝－4x ④y＝(－4)x ⑤y＝πx ⑥y＝xx
答案：①⑤
2．指数函数的图象和性质
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域：R
值域：(0，＋∞)
图象过定点(0,1)
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数[ZB)]
【做一做2－1】比较大小：
(1)1.72.5__________1.73；
(2)0.8－0.1__________0.8－0.2．
答案：(1)＜ (2)＜
【做一做2－2】已知指数函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)的图象经过点(3，π)，求f(0)，f(1)和f(－3)的值．
解：由条件得π＝a3，a＝，
所以f(x)＝()x．从而f(0)＝1，f(1)＝，f(－3)＝．
在同一个坐标系中画出下列各函数的图象：①y＝2x；②y＝5x；③；④x．观察四个函数图象，看它们有何特点？你能从中总结出一般性结论吗？
剖析：(1)指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)恒过两个点(0,1)和(1，a)．这四个函数都经过(0,1)，又分别经过(1,2)，(1,5)，，．再由函数的单调性就可以画出四个函数的大致图象(如下图)．
(2)从上图中总结出一般性结论为：
①观察指数函数的图象，既不关于原点对称，也不关于y轴对称，所以是非奇非偶函数．
②y＝ax与的图象关于y轴对称，分析指数函数y＝ax的图象时，需找两个关键点：(1，a)和(0,1)．
③指数函数的图象永远在x轴的上方．当a＞1时，图象越接近于y轴，底数a越大；当0＜a＜1时，图象越接近于y轴，底数a越小．
题型一
利用指数函数的单调性比较大小
【例1】将三个数1.5－0.2,1.30.7，按从小到大的顺序排列．
分析：当两个幂指数的底数相同时，要比较这两个数的大小可根据它们的特征构造相应的指数函数，借助函数的单调性来比较大小．
解：先比较1.5－0.2和的大小，考察指数函数，由于底数在区间(0,1)内，
所以指数函数在(－∞，＋∞)上是减函数．由0.2＝＜，得1＞＞．
另一方面，由于1.3＞1,0.7＞0，得1.30.7＞1．
所以＜1.5－0．2＜1.30.7．
反思：处理比较大小的问题的一般方法是：先和特殊值比，比如说和0比，和1比，然后将同范围(如大于0)的数化成同一函数在自变量x取两值时所对应的两函数值，再利用函数的单调性及自变量取值的大小关系得出函数值的大小关系．
题型二
定义域和值域问题
【例2】求下列函数的定义域与值域．
(1)； (2)；
(3)y＝4x＋2x＋1＋1； (4)．
解：(1)因为指数函数y＝2x的定义域为x∈R，值域为y∈(0，＋∞)；若x≠0，则y≠1．由于中的≠0，所以y≠1．所以所求函数的定义域是{x|x∈R且x≠3}，值域为{y|y＞0且y≠1}．
(2)因为中的|x|≥0，所以x∈R，0＜y≤1．所以所求函数的定义域为R，值域为{y|0＜y≤1}．
(3)将已知函数整理成y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2(2x)＋1＝(2x＋1)2．由此可知定义域为R，值域为{y|y＞1}．
(4)已知函数可化为，由≥0得x＞1；又由＞0，得＞1．
所以定义域为{x|x＞1}，值域为{y|y＞1}．
反思：本题求定义域均为求自然定义域的问题，即要求表达式有意义时相应的x的取值范围(集合)；求值域的问题均为复合函数的值域问题，而求复合函数值域的一般步骤是：先求出定义域，然后求出内层函数的值域，由内层函数的值域求出相应的外层函数的值域即是复合函数的值域．
题型三
指数方程与不等式
【例3】设y1＝a3x＋1，y2＝a－2x，其中a＞0，a≠1．确定x为何值时，有(1)y1＝y2；(2)y1＞y2？
解：(1)若y1＝y2，则3x＋1＝－2x，解得x＝－．
(2)若y1＞y2，则a3x＋1＞a－2x．
当a＞1时，原不等式可化为3x＋1＞－2x，x＞－，解集为；
当0＜a＜1时，原不等式可化为3x＋1＜－2x，x＜－，解集为．
反思：对于指数函数y＝ax来说，因当0＜a＜1和a＞1时，其函数单调性是不同的，所以当底数含有字母时，必要时可对所含字母进行分类讨论．
【例4】解下列关于x的方程：
(1)81×32x＝；(2)22x＋2＋3×2x－1＝0．
解：(1)∵81×32x＝，∴32x＋4＝3－2(x＋2)，
即2x＋4＝－2(x＋2)，解得x＝－2．
(2)∵22x＋2＋3×2x－1＝0，
∴4×(2x)2＋3×2x－1＝0．
令t＝2x，则方程可化为4t2＋3t－1＝0，
解得t＝或t＝－1．
则2x＝或2x＝－1(舍去)，解得x＝－2．
反思：教材中目前仅要求掌握最简单的两种类型的指数方程的求解，一类是直接由同底数指数式相等而得指数相等型，另一类是可化为一元二次方程型的指数式方程．如上述两个例子，解决的关键是通过指数运算，进行等价转化．
1若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为__________．
解析：由题知所以即a＝2．
答案：2
2已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的大小关系为__________．
解析：因为a＝∈(0,1)，所以函数f(x)＝ax在R上单调递减，从而由f(m)＞f(n)，得m＜n．
答案：m＜n
3比较下列各组数的大小．
(1)1.52．5,1.53．2；
(2)0.5－1．2,0.5－1．5；
(3)1.50．3,0.81．2．
解：(1)考察指数函数y＝1.5x，
因为1.5＞1，所以指数函数y＝1.5x在R上是增函数．
又因为2.5＜3.2，所以1.52．5＜1.53．2．
(2)考察指数函数y＝0.5x，
因为0＜0.5＜1，
所以指数函数y＝0．5x在R上是减函数．
又因为－1.2＞－1.5，所以0．5－1．2＜0．5－1．5．
(3)由指数函数的性质知1.50．3＞1.50＝1，0.81．2＜0.80＝1，所以1.50．3＞0.81．2．
解下列的不等式与方程：
(1)(a－1)3x－2＞(a－1)x＋2(其中a＞1且a≠2)；
(2)a?x2－3x＋3＝a2x－1(其中a＞0且a≠1)．
解：(1)当a＞2时，原不等式可化为3x－2＞x＋2，x＞2，解集为(2，＋∞)；
当1＜a＜2时，原不等式可化为3x－2＜x＋2，x＜2，解集为(－∞，2)．
(2)由条件得x2－3x＋3＝2x－1，解得x1＝1，x2＝4．
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13.1.1
分数指数幂
名师导航
知识梳理
指数与指数幂的运算
1.根式的概念
一般地，如果__________，那么x叫做a的n次方根(n
th
root)，其中n>1，且n∈N
.
当n是奇数时，正数的n次方根是一个__________，负数的n次方根是一个__________.此时，a的n次方根用符号__________表示.式子叫做根式(radical)，这里n叫做根指数(radical
exponent)，a叫做被开方数(radicand).当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为___________.此时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号___________表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并成±(a>0).由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作=0.
结论：当n是奇数时，=______________;
当n是偶数时，=|a|=
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义
规定：(a>0,m、n∈N
,n>1),
(a>0,m、n∈N
,n>1).
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.
3.有理数指数幂的运算性质
(1)ar·as=ar+s(a>0,r、s∈Q);
(2)(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);
(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
4.无理数指数幂
结合教材实例利用逼近的思想理解无理数指数幂的意义.指出：一般地，无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
疑难突破
分数指数幂有哪些常用公式
根据n次方根的定义，易得到以下三组常用公式：
(1)当n为任意正整数时，()n=a.
例如，()3=27，()5=-32.
(2)当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=
例如，=-2，=2；=3，=|-3|=3.
(3)根式的基本性质：(a≥0).
注意，(3)中的a≥0十分重要，无此条件则公式不成立.例如:≠.
问题探究
问题1
在初中数学中，我们曾经学习过整数指数幂的概念和整数指数幂的运算，你能说出整数指数幂的含义及幂的运算性质吗？
探究思路：在初中我们学习过正整数指数幂，正整数指数幂的意义是：一个数a的n次幂表示n个a相乘所得的积.正整数指数幂有五条运算性质：
(1)am×an=am+n；
(2)am÷an=am-n(a≠0，m＞n)；
(3)(am)n=amn；
(4)(a×b)n=an×bn；
(5)()n=(b≠0).
问题2
什么叫做实数a的n次实数方根？
探究思路：一般地，如果一个实数x满足xn=a(n＞1，n∈N
)，那么x称为a的n次实数方根.
问题3
分数指数幂是怎么定义的？运算性质有哪些？
探究思路：一般地，我们规定：(a≥0，m、n∈N
，n＞1).这就是正数a的正分数指数幂的意义.仿照负整数指数幂的意义，我们规定：(a＞0，m、n∈N
，n＞1)，且0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义.
我们将指数幂的概念扩大到有理数指数幂后，有理数幂的运算法则归纳为：
(1)arar=ar+s；
(2)(ar)r=ars；
(3)(ab)r=arbr，a＞0，b＞0，r、s为有理数.
问题4
n次根式有哪些重要的性质
探究思路：我们知道，如果xn=a，则称x是a的n次实数方根.若a=0，则x=0，即=0，若a≠0时，当n为正奇数时，x=，其符号与a的符号一致；当n为正偶数时，则a一定大于零，x=±，即正数的偶次实数方根有两个，它们互为相反数.根指数与被开方式的指数能否约分，取决于实数a的符号.如：≠-2和≠，应该先将被开方式底数-2化成2，然后再进行化简.
一般地，根式有如下性质：
(1)=
(2)()n=a(n∈N
);
(3)(n、m、p∈N
);
(4)(m、n∈N
,a>0).
对于分数指数幂不能理解为有个a相乘，我们规定(a＞0，m、n∈N
，n＞1).
典题精讲
例1
计算:
(1);(2);(3);
(4)(2a+1)0;(5)［］-1.
思路解析
在幂的运算中，首先观察幂的底数，如果幂的底数能化成幂的形式时〔如（1）（2）（3）〕，就先把幂的底数写成幂的形式，再进行幂的乘、除、乘方、开方运算，这样比较简便.
在幂的运算中，对于形如m0的式子，要注意对底数m是否为零进行讨论，因为只有在m≠0时，m0才有意义；而对于形如()-n的式子，我们一般是先变形为()n，然后再进行运算.
解答:(1)=.
(2)==0.2-2=()-2=52=25.
(3)=.
(4)(2a+1)0=
(5)［］-1=()-1=(-)-1=-.
例2
化简的结果是(
)
A.
B.-3
C.3
D.9
思路解析
先将式子中的根式逐个进行化简，后进行运算便成.
原式==-+6=9.
答案:D
例3
化简:
(1);
(2)(|x|≠|y|).
思路解析
对题（1），要化简的式子中有根式及幂式，可将根式化成幂式，后进行幂的运算；对题（2），要化简的式子中全是指数式的运算，注意运用乘法公式，使其分子、分母能够产生公因式，从而可通过约分化简.
答案:(1)=
=.
(2)
.
∵|x|≠|y|,
∴原式=()2-+()2-(++)=-2=-.
∴=-.
例4
已知a=-,b=,求的值.
思路解析
化简求值一类问题，往往是先将被求代数式化简，然后再代入已知字母的值，求得代数式的值.首先应化简被求式.
解答:∵a≠0,
∴原式=.
又∵a-27b≠0,
∴原式=.
知识导学
1.指数概念的扩充
(1)根式
在初中代数的学习过程中，我们接触过平方根和立方根的概念.对于平方根的定义我们在上面复习时已经提到了.立方根的定义是：如果x3=a，那么x就叫a的立方根.如此类推，便得出了n次实数方根的定义：如果xn=a(n∈N且n＞1)，那么x就叫a的n次方根.
(2)分数指数幂
当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式，并由此引出了正数的正分数指数幂的意义，然后依照负整数指数幂的意义规定了负分数指数幂的意义，从而将指数幂的概念推广到有理数.
除此之外，还可将有理数指数幂推广到实数指数幂，有理数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用.
2.指数幂与根式运算的统一性
指数幂与根式运算的统一性是指化简需要先将小数化为分数，根式化为分数指数幂，结果要化为最简形式.在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有指数幂又有分母的形式.如都不是最简形式.
3.经常要用的公式
(1)a-b＝()()；
(2)a±2+b＝(±)2；
(3)a±b＝()().
疑难导析
用语言叙述这三个公式：
(1)非负实数a的n次方根的n次幂是它本身.
(2)n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值.
(3)若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.
问题导思
另外规定了a0＝1(a≠0)、a-n＝(n为正整数，a≠0)，这样一来，原来的5条运算律可以归纳为(1)(3)(4)三条，同时将指数幂的概念扩大到了整数.
当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，这时，a的n次实数方根只有一个，记为x=.
当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次实数方根用符号表示，负的n次实数方根用符号-表示，它们可以合并写成±
(a＞0)的形式.
特别地，0的n次实数方根等于0.
分数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质完全一样.
应该注意，分数指数的分子和分母与根式的根指数和被开方式的指数之间的对应关系不可颠倒.
对根式的学习，要注意与所学过的平方根、立方根的概念以及二次根式、三次根式的性质进行类比，有利于我们正确地理解n次方根的概念以及n次根式的性质；要能够灵活地将分数指数幂与根式相互转化.
典题导考
绿色通道
在进行有关幂的运算时，要注意化归思想的运用；另外化繁为简一直是我们解题的一条基本原则.熟悉幂的运算条件和幂的运算性质是正确解题的关键.
典题变式
计算：
(1)-10(-2)-1+()0；
(2).
解答：(1)原式=+1
=+(102×5-10(+2)+1
=+10-10-20+1
=-.
(2)原式=.
绿色通道
对多个根式组成的式子进行化简，我们解题的一般原则是：先算根号内的，后进行根式运算；在进行根式运算时，要注意根指数为奇数的情况，如，若a＞0，则＞0，若a＜0，则＜0；但对根指数为偶数的根式，只有当a≥0时，才有意义.
典题变式
设a≥0，计算(的结果是(
)
A.a8
B.a4
C.a2
D.a
答案:C
绿色通道
(1)进行根式、分数指数幂的乘、除、乘方、开方等混合运算时，一般是先将根式化成分数指数幂，按指数运算法则计算比较简洁；(2)对根式、分数指数幂的混合运算，最后结果一般用最简根式表示；(3)在指数式的运算中，要注意乘法公式的相应形式，注意灵活运用乘法公式进行化简.
典题变式
化简a+的结果是(
)
A.1
B.2a-1
C.1或2a-1
D.0
答案:C
黑色陷阱
本题容易直接将a、b的值代入，后化简，因运算烦琐，不容易做出正确的结果.所以在解决问题时，一定要先审题，比较一下各种思路的优劣，然后再动手做题.这样才能养成良好的思维习惯.
典题变式
计算下列各式.
(1)；
(2)(2)0+2-2·-(0.01)0.5.
(1)解法一：=.
解法二:=.
(2)解:(2)0+2-2·(2-(0.01)0.5=1+×(-(=1+×-.
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1第2课时 对数的运算性质
1．理解对数的运算性质，能灵活准确地进行对数式的化简与计算；
2．了解对数的换底公式，并能将一般对数式转化为自然对数或常用对数，从而进行简单的化简与证明．
1．对数的运算法则
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，n∈R，那么：
指数的运算法则 对数的运算法则
①am·an＝am＋n loga(MN)＝logaM＋logaN；
②＝am·a－n＝am－n loga＝logaM－logaN；
③(am)n＝amn loga(Nn)＝n·logaN.
积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前．
【做一做1－1】计算：(1)log26－log23＝________；
(2)log53＋log5＝__________.
答案：(1)1 (2)0
【做一做1－2】若2lg(x－2y)＝lg
x＋lg
y，则的值是__________．
解析：由等式得(x－2y)2＝xy，
从而(x－y)(x－4y)＝0，
因为x＞2y，所以x＝4y.
答案：4
2．换底公式
(1)logab＝，即有logca·logab＝logcb(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0)；
(2)logba＝，即有logab·logba＝1(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1)；
(3)＝(a＞0，a≠1，b＞0)．
换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子．
【做一做2】已知lg
N＝a，用a的代数式表示：
(1)log100N＝__________；
(2)＝__________.
答案：(1)a (2)2a
运用对数的运算性质应注意哪些问题？
剖析：对数的运算性质有三方面，它是我们对一个对数式进行运算、变形的主要依据．要掌握它们需注意如下几点：第一，要会推导，要求对每一条性质都会证明，通过推导加深对对数概念的理解和对对数运算性质的理解，掌握对数运算性质中三个公式的特征，以免乱造公式．例如：logn(M±N)＝logaM±logaN，loga(M·N)＝logaM·logaN等都是错误的．第二，要注意对数运算性质成立的条件，也就是要把握各个字母取值的范围：a＞0且a≠1，M＞0，N＞0.例如，lg(－2)(－3)是存在的，但lg(－2)、lg(－3)都不存在，因而得不到lg(－2)(－3)＝lg(－2)＋lg(－3)．第三，由于对数的运算性质是三个公式，因此在应用时不仅要掌握公式的“正用”，同时还应掌握公式的“逆用”．
题型一
有关对数式的混合运算
【例1】求下列各式的值：
(1)log535＋－log5－log514；
(2)lg
52＋lg
8＋lg
5·lg
20＋lg22；
(3).
分析：利用对数运算性质和“lg
2＋lg
5＝1”解答．
解：(1)log535＋－log5－log514＝log5＋＝log553－1＝2.
(2)lg
52＋lg
8＋lg
5·lg
20＋lg22
＝2lg
5＋2lg
2＋lg
5(2lg
2＋lg
5)＋lg22
＝2lg
10＋(lg
2＋lg
5)2＝2＋1＝3.
(3)＝
＝＝.
反思：对数的运算一般有两种方法：一种是将式中真数的积、幂、商、方根运用对数运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后计算；另一种是将式中的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、幂、商、方根，然后化简求值．另外注意利用“lg
2＋lg
5＝1”来解题．
题型二
有关对数式的恒等证明
【例2】已知4a2＋9b2＝4ab(a＞0)，证明lg＝.
分析：运用对数运算性质对所证等式转化为lg＝lg，因此只要利用条件证出真数相等即可．
证明：由4a2＋9b2＝4ab，得2＝ab，
因为a＞0，所以b＞0，两边取以10为底的对数，
得lg2＝lg(ab)，
即2lg＝lg(ab)，
lg＝lg(ab)，
所以lg＝(lg
a＋lg
b)．
因此lg＝，所以原等式成立．
反思：在由一般等式证明对数式时，要注意使对数有意义，这里在取对数前要说明b＞0.
题型三
对数换底公式的应用
【例3】已知log23＝a,3b＝7，则log1256＝__________(用a，b表示)．
解析：方法一：∵log23＝a，∴2a＝3.
又3b＝7，∴7＝(2a)b＝2ab.
故56＝8×7＝23＋ab.
又12＝3×4＝2a×4＝2a＋2，
从而.
故log1256＝.
方法二：∵log23＝a，∴log32＝.
又3b＝7，∴log37＝b.从而
log1256＝＝＝＝＝.
方法三：∵log23＝＝a，∴lg
3＝alg
2.
又3b＝7，∴lg
7＝blg
3.∴lg
7＝ablg
2.
从而log1256＝＝＝＝.
答案：
反思：方法一是借助指数变形来解；方法二与方法三是利用换底公式来解，显得较简明．应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可．
题型四
有关对数的应用题
【例4】科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性14C.14C的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”，动植物在生长过程中衰变的14C，可以通过与大气的相互作用而得到补充，所以活着的动植物每克组织中的14C含量保持不变，死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的14C按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5
730年．
(1)设生物体死亡时，体内每克组织的14C含量为1，试推算生物死亡t年后体内每克组织中的14C含量p；
(2)湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆汉墓的年代．
解：(1)设生物体死亡1年后，体内每克组织中14C的残留量为x.由于死亡机体中原有的14C按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t与其体内每克组织的14C含量p有如下关系：
死亡年数t
1
2
3
…
t
…
14C含量p
x
x2
x3
…
xt
…
因此，生物体死亡t年后体内14C的含量p＝xt.
由于大约经过5
730年，死亡生物体的14C含量衰减为原来的一半，所以＝x5
730.
于是x＝＝.
所以生物死亡t年后体内每克组织中的14C含量.
(2)由可得.
湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始含量的76.7%，即p＝0.767.
所以.
故马王堆汉墓约是2
193年前的遗址．
反思：生物体死亡后，机体中原有的14C每年按相同的比率衰减，因此，可以根据“半衰期”得到这一比率．已知衰减比率，求若干年后机体内14C的含量属于指数函数模型；反之，已知衰减比率和若干年后机体内14C的含量，求衰减的年数应属于对数知识．
1设lg
a＝1.02，则0.010.01的值为__________(用a表示)．
解析：设0.010.01＝x，
则lg
x＝lg
0.010.01＝0.01lg
0.01＝－0.02，
∴lg
a＋lg
x＝lg
ax＝－0.02＋1.02＝1.
∴ax＝10，x＝.
答案：
2若lg
2＝a，lg
3＝b，则lg
0.18等于__________．
解析：lg
0.18＝lg
18－2＝2lg
3＋lg
2－2＝a＋2b－2.
答案：a＋2b－2
3已知＝，则log23＝__________.
解析：由条件得log2＝，所以log23＝.
答案：
4计算：log2＋log212－log242.
解：原式＝log2＝－.
5设x，y，z为正数，且3x＝4y＝6z，求证：－＝.
证明：设3x＝4y＝6z＝k，且x，y，z为正数，
所以k＞1.
那么x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，
所以－＝－＝logk6－logk3＝logk2＝logk4＝＝.所以－＝.
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13．2 对数函数
3．2．1 对数
第1课时 对数的概念
1．理解对数的概念．
2．能熟练地进行指数式与对数式的互化．
3．掌握常用对数与自然对数的定义．
4．了解对数恒等式．
1．对数的概念
一般地，如果ab＝N(a＞0，a≠1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记为logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
指数式和对数式的关系：如图所示．
对数式logaN可看作一个记号，表示关于x的方程ax＝N(a＞0，a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a＞0，a≠1)，幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式logaN又可看作幂运算的逆运算．
【做一做1－1】将对数式log232＝5化成指数式为__________．
答案：25＝32
【做一做1－2】方程3x＝4的解为__________．
答案：x＝log34
2．对数的性质
(1)0和负数没有对数；
(2)1的对数是0，即loga1＝0；
(3)底数的对数等于1，即logaa＝1；
(4)＝N；
(5)logaam＝m.
【做一做2】log216＋logaa2＋logb1＝________.
答案：6
3．常用的两种对数
(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N简记为lg_N，如log102记为lg
2，log105记为lg
5等．
(2)在科学技术中，常使用以无理数e＝2.718
28…为底数的对数，以e为底数的对数称为自然对数．正数N的自然对数logeN一般简记为ln_N，如loge2记为ln
2，loge5记为ln
5等．
【做一做3】计算lg
10＝________，ln
e＝________.
答案：1 1
对数式与指数式有何关系？在对数符号logaN中，为什么规定a＞0，a≠1，N＞0呢？
剖析：从对数的概念不难发现无论是指数式ab＝N，还是对数式logaN＝b都反映的是a，b，N三数之间的关系．
在对数符号logaN中，若a＜0，则N为某些值时，logaN不存在，如log(－2)8不存在．
若a＝0，则N不为0时，logaN不存在；N为0时，logaN可以为任何正数，不惟一．
若a＝1，则N不为1时，logaN不存在；N为1时，logaN可以为任何实数，不惟一．
因此规定a＞0，a≠1.因为logaN＝bab＝N，在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因此N＞0.
题型一
指数式、对数式之间的互化
【例1】(1)将下列指数式写成对数式：54＝625；3－2＝；－2＝16.
(2)将下列对数式化成指数式：＝－3；log101
000＝3.
分析：由对数的定义，将指数式与对数式互化，得ab＝Nb＝logaN.
解：(1)∵54＝625，∴log5625＝4；
∵3－2＝，∴log3＝－2；
∵－2＝16，∴＝－2.
(2)∵＝－3，∴－3＝8；
∵log101
000＝3，∴103＝1
000.
【例2】求下列各式的值：
(1)log2(＋)；
(2).
分析：首先对真数进行化简，找出真数与底数的关系．
解：(1)原式＝log2[＋]＝log2[(2＋)＋(2－)]＝log24＝log222＝2.
(2)原式＝＝＝.
反思：对于双重根号的二次根式，我们可用两种方法进行化简．方法一：配方法，如＝＝＝＝＋1.
方法二：换元法，如设＋＝x，
则x2＝6＋4＋2＋6－4＝16.
从而x＝4.
题型二
有关对数式的运算
【例3】求下列各式的值：
(1)log381；(2)lg
0.001；(3)log432；(4)4log23.
分析：将对数式转化为指数式，求解指数方程．
解：(1)设log381＝x，则3x＝81，即3x＝34，x＝4，
所以log381＝4.
(2)设lg
0.001＝x，
则10x＝0.001，即10x＝10－3，
所以x＝－3.所以lg
0.001＝－3.
(3)设log432＝x，则4x＝32,22x＝25，x＝，
所以log432＝.
(4)
＝32＝9.
题型三
指数方程
【例4】解下列方程：
(1)＝；(2)2x＋2－x＝.
分析：因ax与a－x互为倒数，所以本题可用换元法求解．
解：(1)原方程可化为5ex－5e－x＝3ex＋3e－x，
即ex＝4e－x，ex＝±2(负值舍去)，
所以x＝ln
2.
(2)设2x＝t，则原方程可化为t＋＝，
3t2－10t＋3＝0，解得t1＝3，t2＝，
即2x＝3或2x＝，
所以x＝log23或x＝log2.
1若(8y－1)2＋|x－16y|＝0，则logyx的值是__________．
解析：由条件得y＝，x＝2，从而设logyx＝z，得z＝2，z＝－.
答案：－
2设a表示的小数部分，则log2a(2a＋1)的值是__________．
解析：因为＝，所以a＝.
设log2a(2a＋1)＝x，
则由(2a)x＝2a＋1，得x＝，解得x＝－1.
答案：－1
3求下列各式的值：
(1)log247； (2)lg； (3)log3(81)．
解：(1)log247＝14；
(2)lg＝；
(3)log3(81)＝x，则3x＝81＝
所以log3(81)＝.
4求下列各式中x的值．
(1)logx4＝2； (2)log3[(log3x)]＝0.
解：(1)由条件得x2＝4，x＝2.
(2)(log3x)＝1，log3x＝，.
5求下列各式中x的值．
(1)＝； (2)22x＋1－5×2x＋3＝0.
解：(1)原方程可化为3x＝9×3－x，x＝2－x，x＝1.
(2)原方程可化为(2x－1)(2·2x－3)＝0，
即2x＝1或2x＝，∴x＝0或x＝log2.
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13.3
幂函数
名师导航
知识梳理
1.幂函数的概念
定义：形如___________的函数叫做幂函数，其中___________是自变量，___________是常数.
注意：在这里我们只讨论α为有理数时的简单的幂函数.虽然y=x、y=x2是幂函数，但并不是所有的一次函数、二次函数都是幂函数，如：y=x+1、y=2x2+1、y=x-1、y=x2+2x、y=2x都不是幂函数，它们并不满足幂函数的定义，但它们是与幂函数相关联的函数，它们是由幂函数与常数经过算术运算得到的.
2.幂函数的定义域
幂函数的定义域就是使幂函数有意义的实数x的集合.
如果幂函数的指数是常数，则幂函数的定义域较好求，若是给
出字母指数，应分四种情况讨论y=xn的定义域.
(1)当指数n是正整数时，y=xn的定义域是___________.
(2)当指数n是正分数时，设n=(p、q是互质的正整数，q>1)，则xn=.
如果q是奇数，y=xn的定义域是_____________；
如果q是偶数，y=xn的定义域是_____________.
(3)当指数n是负整数时，设n=-k，则xn=.
显然x≠0，y=xn的定义域是.
(4)当指数n是负分数时，设n=-(p、q是互质的正整数，q>1),则xn=.
如果q是奇数，y=xn的定义域是_____________；
如果q是偶数，y=xn的定义域是_____________.
3.幂函数的图象
描绘幂函数的图象：依幂函数的定义域先列出对应值表，再用描点法作图.列出对应值表是描点法的关键.
例如，画出函数y=x-2，y=的图象.
y=x-2定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)(图(1)),
x
…
-3
-2
-1
-
1
2
3
…
y=x-2
…
1
4
4
1
…
y=定义域为(0,+∞)(图(2)).
x
…
1
4
…
y=
…
4
3
2
1
…
(1)
(2)
4.幂函数的性质
当n>0时，幂函数y=xn有下列性质：
(1)图象都通过点(0，0)，(1，1)；
(2)在第一象限内，函数值y随x的增大而增大.
当n<0时，幂函数y=xn的性质：
(1)图象都过点(1，1);
(2)图象以直线x=0，y=0为渐近线;
(3)在第一象限内的图象是下降的，即函数值y随x的增大而减小;
(4)x∈(0,1)时，n越大曲线越靠近y轴,x∈(1,+∞)时，n越小曲线越靠近x轴.
疑难突破
1.幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的性质是什么？
幂函数
y=x
y=x2
y=x3
y=
y=x-1
定义域
R
R
R
［0,+∞)
{x|x∈R且x≠0}
值域
R
［0,+∞)
R
［0,+∞)
{y|y∈R且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈［0,?+∞)时,增;x∈(-∞,0)时,减
增
增
x∈(0,?+∞)时,减;x∈(-∞,0)时,减
过定点
(1,1),(0,0)
(1,1),(0,0)
(1,1),(0,0)
(1,1),(0,0)
(1,1)
2.当n取不同的有理数时，幂函数y=xn的定义域怎样？
当n∈N
时，定义域为R；
当n=0时，定义域为{x|x≠0}；
当n为负整数时，定义域为{x|x≠0}；
当n=(p、q∈N
,q>1且p、q互质)时，
①若q为偶数，则定义域为［0,+∞)；
②若q为奇数，则定义域为R；
当n=-(p、q∈N
,q>1且p、q互质)时，
①若q为偶数，则定义域为(0,+∞)；
②若q为奇数，则定义域为{x|x≠0}.
问题探究
问题1
幂函数与指数函数有何不同？
探究思路：虽然幂函数和指数函数的表达式都是指数式的形式，但二者的定义域不同，即指数函数y=a2中，指数是自变量，而幂函数y=xα中，底数是自变量.当然，由此可见，二者的对应关系和值域也不同.
问题2
分数指数幂可以与根式相互转化.把下列各函数先化成根式形式，再指出它的定义域和奇偶性.利用几何画板画出它们的图象，观察它们的图象，看有什么共同点.
(1)y=；(2)y=；(3)y=；(4)y=.
探究思路：先将各式化为根式形式：
(1)y=；(2)y=；(3)y=；(4)y=.
函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x的集合；奇偶性直接利用定义进行判断.
(1)的定义域为[0，+∞)，(2)(3)(4)的定义域都是R；其中(1)既不是奇函数也不是偶函数，(2)(4)是奇函数，(3)是偶函数.它们的图象都经过点(0，0)和(1，1)，且在第一象限内函数图象自左而右呈上升趋势，即函数在x∈[0，+∞)上单调递增.
典题精讲
例1
若＜，则a的取值范围是______________.
思路解析
因为函数y=在[0，+∞)上单调递增，所以y=在[0，+∞)上单调递减.
所以解得＜a＜.
答案:(，)
例2
已知0＜a＜1，试比较aa，(aa)a，的大小.
思路解析
为比较aa与(aa)a的大小，将它们看成指数相同的两个幂.由于幂函数f(x)=xa(0＜a＜1＝在区间[0，+∞)上是增函数，因此只需比较底数a与aa的大小.由于指数函数y=az(0＜a＜1＝是减函数，且a＜1，所以a＜aa，从而aa＜(aa)a.
比较aa与(aa)a的大小，也可将它们看成底数相同(都是aa)的两个幂，于是可以利用指数函数y=bx(b=aa，0＜b＜1)是减函数，由a＜1，得到aa＜(aa)a.
由于a＜aa，函数y=az(0＜a＜1)是减函数，
因此aa＞.
答案:＜aa＜(aa)a.
例3
下图中曲线是幂函数y=xα在第一象限的图象，已知α取±2，±四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的指数α依次为(
)
A.-2,-,,2
B.2,,-,-2
C.-,-2,2,
D.2,,-2,-
思路解析
要确定一个幂函数y=xα在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数y=xα随着α值的改变图象的变化规律.随着α的变大，幂函数y=xα的图象在直线x=1的右侧从低向高分布.从图中可以看出，直线x=1右侧的图象，由低向高依次为C1，C2，C3，C4，所以α依次为2，，-，-2，故选择答案B.
答案:B
例4
画函数y=1+的草图，并求出其单调区间.
思路解析
此函数的作图有两个途径，一是根据描点的方法作图，二是利用坐标系的平移来作图.一般说来，作草图时，利用坐标平移较为方便.
解：由y=1+，得y-1=，∴y=+1.
此函数的图象可由下列变换而得到：
先作函数y=的图象，作其关于y轴的对称图象，即y=的图象，将所得图象向右平移3个单位，向上平移1个单位，即为y=1+的图象(如下图所示).
知识导学
1.幂函数的定义
一般地，我们把形如y=xα的函数称为幂函数，其中，x是自变量，α是常数.幂函数的定义域和值域是由它的幂指数来确定的，幂指数不同，定义域和值域也不同.
掌握幂函数的关键一定要明确“形如y=xα的函数”这句话的重要作用.
幂函数的定义域比较复杂，应分类进行掌握：
(1)当指数n是正整数时，定义域是R.
(2)当指数n是正分数时，设n=(p、q是互质的正整数，q＞1)，则xn==.
如果q是奇数，定义域是R；
如果q是偶数，定义域是[0，+∞).
(3)当指数n是负整数时，设n=-k，xn=，显然x不能为零，所以定义域是{x|x∈R且x≠0}.
(4)当指数n是负分数时，设n=-(p、q是互质的正整数，q＞1)，则xn=.
如果q是奇数，定义域是{x|x∈R，且x≠0}；
如果q是偶数，定义域是(0，+∞).
2.幂函数的图象与性质
研究幂函数的图象与性质可通过对典型的幂函数y=x2、y=x3及y=的图象研究归纳y=xn(n＞0)的图象特征和函数性质，通过对幂函数y=x-2、y=x-3及y=的图象研究归纳y=xn(n＜0)的图象特征和函数性质.需要注意的有：
(1)研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整数指数幂化为分式形式再去进行讨论.
(2)对于幂函数y=xn(n＞0)，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即n＜0，0＜n＜1和n＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意n=0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆:“正抛物负双曲，大竖直小横铺”，即n＞0(n≠1)时图象是抛物线型；n＜0时图象是双曲线型；n＞1时图象是竖直抛物线型；0＜n＜1时图象是横卧抛物线型.
记忆口诀：
如何分析幂函数，记住图象是关键，虽然指数各不同，分类之后变简单，大于0时抛物线，小于0时双曲线，还有0到1之间，抛物开口方向变，不仅开口向右方，原来图象取一半.函数奇偶看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数.
疑难导析
1.对于五种常见的幂函数y=x,y=x2,y=x3，y=,y=x-1,要熟悉其图象、性质，做题时要明确题目给出的是哪种类型的幂函数，以便应用图象及性质解题.
2.在幂函数的定义中没有规定定义域，但这并不意味着定义域不用研究.
(1)当n是正分数时，设y=，其定义域是使有意义的x的集合；
(2)当n是一个负整数或负分数时，设y=，则其定义域是使或有意义的x的集合.
问题导思
要注意在很多应用性问题中，从不同角度可将模型处理成不同的函数.
幂函数y=xa的性质
a>0
a<0
图象通过点(0,0),(1,1)
图象通过点(1,1)
在第一象限内,函数单调递增(函数值随x的增大而增大)
在第一象限内,函数单调递减(函数值随x的增大而减小)
在第一象限内,图象向上随着a的减小与y轴无限的接近,向右与x轴无限的接近
在第一象限内,图象向上随着a的减小与y轴无限的接近,向右与x轴无限的接近
指数函数y=ax的性质
图象通过点(0,1)
图象通过点(0,1)
在定义域内,函数单调递增(函数值随x的增大而增大)
在定义域内,函数单调递减(函数值随x的增大而减小)
在定义域内,图象向上与x轴无限的接近;随着a的减小而无限靠近y轴
在定义域内,图象向上与x轴无限的接近;随着a的增大而无限靠近y轴
典题导考
绿色通道
虽然解决恒成立问题的方法很多，但这里由于是选择题，用赋值法较方便.
黑色陷阱
忘记幂函数底数需大于0，将导致解题失误.
典题变式
当x∈(1，+∞)时，函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方，则α的取值范围是(
)
A.α＜1
B.0＜α＜1
C.α＞0
D.α＜0
答案:A
绿色通道
解以上两个例题的关键都在于适当地选取某一个函数，函数选得恰当，解决问题就简单.
典题变式
T1=，T2=，T3=，则下列关系式正确的是(
)
A.T1＜T2＜T3
B.T3＜T1＜T2
C.T2＜T3＜T1
D.T2＜T1＜T3
答案:D
绿色通道
幂函数的图象在第一象限的排列顺序与幂指数的大小之间存在一定的对应关系，幂函数的图象在直线x=1的右侧，由低到高，幂指数α由小变大；在y轴与直线x=1之间，由低到高，幂指数α由小变大.另外还应注意幂指数的取
值对幂函数图象位置的影响：幂指数α＞0时，图象全是“抛物线型”，而幂指数α＜0时，图象全是“双曲线型”.
典题变式
图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2,±四个值，则相应于曲线C1,C2,C3,C4的n依次为(
)
A.-2、-、、2
B.2、、-、-2
C.-
、-2、2、
D.2、、-2、-
答案:B
黑色陷阱
本题容易发生的错误：一是函数概念不清(该函数是以x为自变量的函数)；二是将函数式变形的过程不是等价变形，导致变形后的函数也不再是原有的函数了.
典题变式
(1)求函数y=(x+2)-2的定义域、值域.讨论当x增大时，函数值如何变化？并画出?图象；
(2)问上述函数的图象与函数y=x-2的图象有何关系？
解答:(1){x|x∈R且x≠-2};R+.
当x＜-2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞-2时，y随x的增大而减小.图象略.
(2)将y=x-2的图象向左平移2个单位，即得到y=(x+2)-2的图象.
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1第2课时 对数函数的图象与性质
通过对数函数的图象及其变换，观察发现对数函数的性质，提高识图能力.
对数函数y＝logax(a＞1)与指数函数y＝ax(a＞1)的性质比较
函数
y＝ax
y＝logax
图象
性质
定义域R
定义域(0，＋∞)
值域(0，＋∞)
值域R
过定点(0,1)
过定点(1,0)
当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1
当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0
在R上是增函数
在(0，＋∞)上是增函数
【做一做1】将指数函数f(x)＝3x的图象沿直线y＝x翻折后，可得函数__________的图象．
答案：y＝log3x
【做一做2】将对数函数y＝log2x的图象向右平移1个单位长度后可得函数__________的图象．
答案：y＝log2(x－1)
不同底数的图象之间的变化趋势是怎样的？
剖析：由于对数函数y＝logax的图象与直线y＝1交于点(a,1)(如图1所示)，所以对数函数y＝logax的图象在x轴上方，从左到右对应的底数由小到大依次递增；
由于对数函数y＝logax的图象与直线y＝－1交于点(如图2所示)，所以对数函数y＝logax的图象在x轴下方，从左到右对应的底数由大到小依次递减．
图1
图2
题型一
对数函数的图象及变换
【例1】作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象．
解：作复合函数的图象问题，可先考虑它的基本函数的图象，然后作适当的变换完成．
先作y＝log2x的图象y＝log2(x＋1)y＝|log2(x＋1)|y＝|log2(x＋1)|＋2.
如图所示．
反思：利用函数图象的三大基本变换平移变换、对称变换、伸缩变换是作复合函数图象的基本途径．本题使用了平移和对称两种方法，在平移中要注意“上、下”和“左、右”与x，y的关系；对称变换要注意与x轴和y轴的关系．
题型二
对数函数的性质
【例2】已知函数f(x)＝lg
|x|.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)画出函数f(x)的图象的草图；
(3)求函数f(x)的单调递减区间．
分析：(1)确定函数的定义域，判断f(x)和f(－x)的关系；(2)函数f(x)的图象关于y轴对称，利用变换作图画出草图；(3)由图象观察出单调递增区间，再用定义证明．
解：(1)要使函数有意义，x的取值需满足|x|＞0，解得x≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝lg
|－x|＝lg
|x|＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
(2)由于函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，将函数y＝lg
x的图象对称到y轴的左侧与函数y＝lg
x的图象合起来得函数f(x)的图象，如下图所示．
(3)方法一：由图得函数f(x)的单调递减区间是(－∞，0)．
证明：设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝lg
|x1|－lg
|x2|＝lg＝lg
，
∵x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，
∴|x1|＞|x2|＞0.
∴＞1.∴lg＞0.∴f(x1)＞f(x2)．
∴函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，
即函数的单调递减区间是(－∞，0)．
方法二：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
设y＝lg
u，u＝|x|.
当函数f(x)是减函数时，由于函数y＝lg
u是增函数，则函数u＝|x|是减函数．
又函数u＝|x|的单调递减区间是(－∞，0)，
∴函数f(x)＝lg|x|的单调递减区间是(－∞，0)．
反思：根据定义来判断函数的奇偶性和单调性，是解答题的基本方法．
【例3】已知函数f(x)＝lg(－x)．
(1)判断函数的奇偶性；
(2)判断函数的单调性．
分析：利用函数的奇偶性和单调性的定义进行判断．
解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称．
f(－x)＝lg[－(－x)]
＝lg(＋x)＝lg
＝lg(－x)－1＝－lg(－x)＝－f(x)，
即f(－x)＝－f(x)．
所以函数f(x)＝lg(－x)是奇函数．
(2)函数的定义域为R，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝lg，
下面分段讨论：
①当x1＜x2＜0时，则－x1＞－x2＞0，x＞x，
所以－x1＞－x2，
即＞1，
所以f(x1)－f(x2)＞0，此时函数在R上为减函数．
②当0＜x1＜x2时，则＋x2＞＋x1，又f(x1)－f(x2)＝lg
＝lg＞0，
所以此时函数在R上为减函数．
③当x1＜0＜x2，且f(0)＝0时，
由①②可知f(x1)＞0＞f(x2)．
所以函数f(x)＝lg(－x)是定义域R上的减函数．
反思：研究函数奇偶性和单调性，都首先必须考虑函数的定义域．
1函数y＝f(x)的图象如下图所示，则函数的图象大致是__________．
解析：从已知函数的图象可得所求函数过点(1,0)，且当x∈(0,1)时，函数为增函数，当x∈(1,2)时，函数为减函数．
答案：③
2函数y＝ln的大致图象为__________．
解析：因为定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，所以①③错误．又当x∈(－∞，－1)时，函数为增函数，当x∈(－1，＋∞)时，函数为减函数，所以②错误．
答案：④
3已知函数y＝loga(x＋b)的图象如图所示，则a＝__________，b＝__________.
解析：从图象可知解得
答案： 3
4求证：函数在其定义域上是单调减函数．
证明：由2x－1＞0得定义域为x∈，
任取x1，x2∈，
且x1＜x2，此时＝.
因0＜2x1－1＜2x2－1，
所以0＜＜1.所以y1－y2＞0，即y1＞y2.
所以原函数在定义域上单调递减．
5若函数f(x)＝在R上为增函数，求a的取值范围．
解：由条件得解得1＜a＜3，
即a的取值范围是(1,3)．
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13.1.2
分数指数幂
课堂导学
三点剖析
一、指数的定义及运算性质
【例1】求下列各式的值：
(1);(2);(3)（）5;(4).
思路分析：(1)(2)(3)用公式=|计算.(4)要注意x、y、z的符号.
解析:(1)=-9.
(2)=|3-π|=π-3.
(3)()5=-2.
(4)观察式子可知，≥0,即x·z≤0(z≠0).
==||=-|y|.
温馨提示
(4)易犯==的错误，而没有注意符号.
二、根式与分数指数幂互化
【例2】
用分数指数幂的形式表示下列各式.
(1)a3·;
(2);
(3);
(4).
解析:(1)a3=a3·==.
(2)===.
(3)===.
(4)=====.
温馨提示
(1)注意掌握公式=a和==(a>0,m、n均为正整数)的熟练应用.
(2)含有多个根号时，一般由里向外逐个变形，化成分数指数幂的形式.
三、利用分数指数幂的性质求值
【例3】若+=3,求的值.
解析:∵+=3,两边平方可得x+x-1=7,再平方可得x2+x-2=47.
+=(+)(x-1+x-1)=3×(7-1)=18,
∴==.
温馨提示
若由已知条件解出x的值则较麻烦,要注意设法从整体上寻求结果与条件的联系，善于对已知式和所求式进行变形，利用已学过的乘法公式，化繁为简，化难为易.
各个击破
类题演练
1
求下列各式的值：
（1）；（2）.
解析:（1）原式==3.
（2）原式==.
变式提升
1
比较，，的大小.
解析:∵===，
===，
而8<9，
∴<，
即<，===，
==，而25<32,
∴<.因此,<<.
类题演练
2
化简·.
解析:原式=·=·==a-2.
变式提升
2
求值或化简.
（1）（a>0,b>0）;
(2)7-3-6+.
解:（1）原式=·
=a-2b=.
（2）原式=7×-3××2-6×+
=-6×+
=2×-2×3×
=2×-2×3=0.
类题演练
3
已知2x+2-x=5，求下列各式的值：
（1）4x+4-x；（2）8x+8-x.
解析:（1）4x+4-x=（2x+2-x）2-2×2x·2-x
=25-2=23；
（2）8x+8-x=（2x）3+（2-x）3
=（2x+2-x）［（2x）2-2x·2-x+（2-x）2］
=（2x+2-x）［4x+4-x-1］=5（23-1）=110.
变式提升
3
已知2（4x+4-x）-7（2x+2-x）+10=0，求2x+2-x的值.
解析:令y=2x+2-x=2x+≥2，则原式可以化为2y2-7y+6=0，解得y=2或y=（舍），∴2x+2-x=2.
PAGE
13.1
指数函数
课堂导学
三点剖析
一、指数函数图象和性质的应用
【例1】
解下列不等式.
(1)(0.2)2x-1>;
(2)9x-4·3x+1+27>0;
(3)<()1-2x(a>0且a≠1).
解析:(1)原不等式可化为51-2x>5-2,由y=5x为增函数可知1-2x>-2,解得x<.故所求x的范围为x<.
(2)原不等式可化为(3x)2-12·3x+27>0.设3x=t,则t2-12t+27>0,解得t>9或t<3.当t>9时，即3x>9,
∴x>2.当t<3时，3x<3,
∴x<1.
故满足条件的实数x的范围为x>2或x<1.
(3)原不等式可化为a2x-1>.
当a>1时，y=ax在R上为增函数，
∴2x-1>.
解得x>.
当0∴2x-1<.解得x<.
综上可知，当a>1时，x>;
当0温馨提示
指数不等式主要有两种类型：(1)可化为af(x)>ag(x)，当a>1时，转化为f(x)>g(x);当00(或<0).令t=ax,转化为关于t的一元二次不等式At2+Bt+C>0(或<0)，先求t的范围，再求x的范围，注意t>0.
二、指数函数图象和性质的应用
【例2】
已知a>0且a≠1,讨论f(x)=a-x2+3x+2的单调性.
解析:设u=-x2+3x+2=-(x-)2+,则当x≥时,u是减函数，当x≤时.u是增函数，又当a>1时，y=au是增函数，当01时,原函数f(x)=在［,+∞］上是减函数,在(-∞,)上是增函数.
当0温馨提示
求复合函数的单调区间：（1）先求函数定义域，再看这个函数由哪两个函数复合而成；（2）遵循的原则是“同增异减”，即y=f(u)与u=g(x)单调性相同时，则y=f［g(x)］为增函数；当y=f(u)与u=g(x)单调性相异时，y=f［g(x)］为减函数.
三、指数函数的实际应用
【例3】
用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，写出存留污垢y与漂洗次数x的函数关系式.若要使存留的污垢不超过原来的，则至少要漂洗几次？
思路分析:若洗前衣服的污垢为1,洗第一次后存留的污垢为(1-)=,洗第二次后存留的污垢为×(1-)=()2，…,第x次后存留的污垢为()x-1·(1-)=()x.
解析:设衣服洗前的污垢为1，由题意知漂洗x次后衣服存留污垢y=()x(x∈N).
由题意知()x≤,即()2x≤()16.
∴2x≥16.
∴x≥8.
∴要使存留的污垢不超过原来的,至少要漂洗8次.
温馨提示
平均增长(降低)率公式a(1±x)n中的a为起初的量,n是增长(降低)的次数,取加号表示增长,减号表示降低.
各个击破
类题演练
1
设函数f(x)=若f(x0)>1,则x0的取值范围是（
）
A.(-1,1)
B.(-1,＋∞)
C.(-∞,-2)∪(0,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析:∵f(x0)>1,当x0≤0时,2-x0-1>1,2-x0>2,-x0>1,∴x0<-1;
当x0>0时,>1,
∴x0>1.
综上,∴x0∈(-∞,-1)∪(1,+∞).
答案:D
变式提升
1
设y1=a3x+1,y2=a-2x,其中a>0,a≠1.确定x为何值时,有y1>y2.
解析:∵y1>y2,
∴a3x+1>a-2x.
当a>1时,3x+1>-2x,得x>-.
当0得x<-.
综上所述,当a>1时,x∈(-,+∞).
当0类题演练
2
求函数y=36x-12×6x-5的单调区间.
解析:令6x=t,则t=6x在R上增函数,y=t2-12t-5=(t-6)2-41.
当t≥6,6x≥6即x≥1时,y是关于t的增函数;
当t≤6,6x≤6即x≤1时,y是关于t的减函数.
∴函数y=36x-12·6x-5的单调递增区间为［1,+∞),单调递减区间为(-∞,1］.
变式提升
2
已知y=+1,求其单调区间，并说明在每一单调区间上是增函数还是减函数.
解析:由-x2-x+2≥0，得-2≤x≤1.
设u(x)=-x2-x+2=-(x+)2+,在［-2，-］上，u(x)为增函数，也是增函数；在［-,1］上，u(x)为减函数，也是减函数.又知y=()x为减函数，
∴y=的单调增区间为［-,1］，单调减区间为［-2，-］.
类题演练
3
某种细菌经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=ekt(k为常数,t表时间,y表示细菌的个数),则k=_____________,经过5小时后一个病毒能繁殖为____________个.
解析:将(,2)代入y=ekt,得2=,∴k=2ln2,从而函数解析式为y=e(2ln2)t=(eln2)2t,令t=5,得y=210=1
024个,故填k=2ln2,1
024个.
答案：2ln2
1
024
变式提升
3
家用电器(如冰箱等)使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层,臭氧含量Q呈指数函数型变化,满足关系式Q=Q0e-0.002
5t,其中Q0是臭氧的初始量.
(1)随时间的增加,臭氧的含量是增加还是减少
(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失
解析:(1)Q=Q0e-0.002
5t=Q0()0.002
5t,0<<1,随t的增大,()0.002
5t减小,又Q0>0,∴Q=Q0()0.002
5t减小.
故Q是关于t的减函数.∴随时间t增加臭氧的含量逐渐减少.
(2)令=,即e-0.002
5t(t2-t1)=.由计算器得e-0.693
2=.
∴-0.002
5(t2-t1)=-0.693
2,解得t2-t1=277.
答案:(1)臭氧含量逐年减少.
(2)277年后减到一半.
PAGE
13.3
幂函数
课堂导学
三点剖析
一、幂函数定义、图象和性质
【例1】
比较下列各组数的大小：
(1)和;
(2)和;
(3)和;
(4),和.
解析：(1)函数y=在(0,+∞)上为减函数，又3<3.1,所以>.
(2)=-,函数y=在(0,+∞)上为增函数，又>,则>,从而<-.
(3)=,=,函数y=在(0,+∞)上为减函数.又>,所以=<=.
(4)>=1,0<<=1,<0，
所以<<.
温馨提示
比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，要善于运用“中间变量”法进行分组，常数0和1是常用的介数.
二、幂函数图象的位置和形状变化
【例2】
已知点(,2)在幂函数f(x)的图象上，点（-2，）在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有（1）f(x)>g(x);（2）f(x)=g(x);（3）f(x)解析：设f(x)=xα,则由题意得2=（）α，
∴α=2,
即f(x)=x2,再设g(x)=xβ,则由题意得=(-2)β,
∴β=-2,
即g(x)=x-2,在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象.
由图象可知：
(1)当x>1或x<-1时，f(x)>g(x);
(2)当x=±1时，f(x)=g(x);
(3)当-1温馨提示
(1)函数图象在解方程和不等式时有着重要的应用，请同学们仔细体会该题.
（2）注意本题中g(x)的定义域为{x|x≠0}，所以③中不包含x=0这一元素.
三、幂函数在实际中的应用
【例3】
某农药厂今年生产农药8
000吨，计划5年后把产量提高到14
000吨，问平均每年需增长百分之几？
解析：设平均增长率的百分率为x,则由题意
8
000(1+x)5=14
000,
即(1+x)5==1.75.
两边取对数，
5lg(1+x)=lg1.75,
lg(1+x)=lg1.75
=×0.243
=0.048
6.
∴1+x=1.118,
即x=0.118=11.8%.
答：平均每年需增长11.8%.
温馨提示
幂函数、指数函数、对数函数经常联合考查，要注意综合能力的培养.本列中若用a表示原有数量，x表示增(降)率，n表示年数，A表示n年后的总数，则有公式A=a(1+x)n.
各个击破
类题演练
1
比较下列各题中的两个值的大小：
（1）与;
(2)与.
解析：(1)∵=,=,
又∵幂函数y=在（0,+∞）上是增函数，而>,
∴>.
因此,>.
(2)∵函数y=的图象在第一象限内是一条下降曲线，∴>1-43=1.
同样，y=在第一象限内对应一条上升曲线.
∴<=1.因此,>.
变式提升
1
证明幂函数f(x)=在［0,+∞)上是增函数.
证明：任取x1、x2∈［0,+∞］且x10.
因为f(x1)-f(x2)=-==<0，
所以f(x1)类题演练
2
作出函数y=,y=和y=的图象.
解析：通过列表、描点、连线得到图象见下图.
变式提升
2
已知函数y=(n∈Z)的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数图象.
解析：因为图象与y轴无公共点，则n2-2n-3≤0,又图象关于y轴对称，则n2-2n-3为偶数.由n2-2n-3≤0得-1≤n≤3,又n∈Z,
∴n=0,±1,2,3.
当n=0时，n2-2n-3=-3不是偶数；当n=1时，n2-2n-3=-4为偶数；
当n=-1时，n2-2n-3=0为偶数；当n=2时，n2-2n-3=-3不是偶数；
当n=3时，n2-2n-3=0为偶数；所以n={-1,1,3}.
此时，幂函数解析式为y=x0(x≠0)或y=x-4.图象如下图.
类题演练
3
下列函数中，其中幂函数的个数为（
）
①张亮在时间t秒内骑车行走了1
km，那么他骑车的平均速度v==t-1
km/s
②李红在做物理实验时，得到关系式h=gt2=4.9t2
③一个细胞分裂按以下方式进行，其个数y与时间t的关系为y=2t
④马明在做匀速跑的过程中，其距离s与时间t的关系为s=t
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
解析：①④为幂函数，②为二次函数；③为指数函数.故选C.
答案：C
变式提升
3
已知函数f(x)=（m2+2m）·,m为何值时，f(x)是（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次函数；（4）幂函数.
解析：（1）若f(x)为正比例函数，则
m=1.
(2)若f(x)为反比例函数，则
m=-1.
(3)若f(x)为二次函数，则
m=.
(4)若f(x)为幂函数，则m2+2m=1,
∴m=-1±.
PAGE
13.2.1
对数的概念
课堂导学
三点剖析
一、对数的定义
【例1】
将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式：
(1)3x=;(2)=;(3)x=log27.
答案：(1)log3=x;(2)log5=-;(3)27x=
.
温馨提示
(1)由对数定义，指数式ax=N与logaN=x(a>0且a≠1)可相互转化，因此本题容易完成转化.但是要注意两种表示形式中a、x、N的相应位置.
(2)x=logaN实质上是N=ax的另一种表示形式.
二、对数概念的应用
【例2】
求下列各式中的x值：
(1)x=;
(2)x=-4;
(3)logx8=-3.
解析：(1)把x=化成()x=,
即()x=()4,
∴x=4.
(2)把x=-4化为x=()-4=16.
(3)把logx8=-3化为x-3=8，
即x==.
温馨提示
对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可利用对数式和指数式的互化求出另外一个.
三、对数的实际应用
【例3】
一种放射性元素，最初质量为500
g，按每年10%衰减.
（1）求t年后，这种放射性元素质量s的表达式；
（2）根据求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期.（精确到十分位）
解析：（1）最初的质量为500
g.
经过1年，s=500（1-10%）=500×0.9,
经过2年，s=500×0.92,由此类推，t年后，s=500×0.9t.
(2)解方程：500×0.9t=250.
0.9t=0.5.
lg0.9t=lg0.5,tlg0.9=lg0.5,t=≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期为6.6年.
温馨提示
利用对数的定义解决有关的实际问题，有一定的能力要求，在解题过程中，要领会在什么时候取对数，怎样取对数，取了对数以后又怎样运算这些常见的问题.
各个击破
类题演练
1
将下列指数形式化成对数形式：
（1）54=625；
（2）3-2=.
解析：（1）∵54=625，∴log5625=4.
(2)∵3-2=,∴log3=-2.
变式提升
1
将下列对数式化为指数式：
（1）log216=4；
(2)logx64=-6.
答案：（1）24=16.
（2）x-6=64.
类题演练
2
求下列各式中的x.
（1）log8x=-;
(2)logx27=.
答案：（1）由log8x=-,得x===2-2,即x=.
(2)由logx27=,得=27,即=33,故x==34=81.
变式提升
2
(1)求log84的值.
（2）已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.
解析：（1）设log84=x,根据对数的定义有8x=4.
即23x=22,∴x=,即log84=.
(2)∵loga2=m,loga3=n,∴am=2,an=3,
则a2m+n=(am)2·an=22×3=12.
类题演练
3
生物死亡后，体内的碳-14含量P的衰变规律是P=.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳-14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆汉墓的年代.
解析：由对数与指数的关系，指数式P=可写成对数式t=5
730P.
湖南长沙马王堆汉墓女尸中碳-14的残留量约占原始含量的76.7%，即P=0.767,那么t=5
7300.767.
由计算器可得t≈2
193.
所以，马王堆古墓约是2
100多年前的遗址.
变式提升
3
某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：（1）写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）.
解析：（1）x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x.
(2)10年后人口数为100×(1+1.2%)10≈112.7(万).
PAGE
13.2.3
对数函数的概念及基本性质
课堂导学
三点剖析
一、对数函数的图象和性质
【例1】
利用对数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)π,e;
(2)0.3,0.04.
解析：(1)函数y=x在(0,+∞)上是增函数，而π>e>0,∴π>e.
(2)0.04==0.04=0.2.
又因为函数y=x在(0,+∞)上为减函数，
∴0.3<0.2,即0.3<0.04.
温馨提示
先把不同底数化为相同底数，再利用函数单调性比较大小是比较对数值大小的基本方法.
二、a>1或0【例2】
求函数y=(a>0且a≠1)的定义域.
思路分析：先由被开方数是非负数建立不等式，由于不等式中含有字母参数，再根据对数的性质对字母参数进行分类讨论.
解析：由1-loga(x+a)≥0,得loga(x+a)≤1.
当a>1时，0∴-a当0∴x≥0.
综上，当a>1时，函数的定义域为(-a,0).
当0温馨提示
对于对数函数问题，底数中含字母参数都必须进行分类讨论.
三、对数函数的单调性和单调区间的求法
【例3】
求函数y=log2(x2-x-6)的单调区间.
解析：令u=x2-x-6,则y=log2u.
∵y=log2u为u的增函数，
∴当u为x的增函数时，y为x的增函数;
当u为x的减函数时，y为x的减函数.
由x2-x-6>0,得x<-2或x>3.借助于二次函数图象可知：当x∈(-∞,-2)时，u是x的减函数;
当x∈(3,+∞)时，u是x的增函数.
所以，原函数的单调减区间是(-∞,-2),单调增区间是(3,+∞).
温馨提示
(1)研究函数的单调性，首先必须考虑它的定义域；
(2)对数函数的单调性，当底数是字母时，必须分底数大于1和底数大于0且小于1这两种情况进行讨论；
(3)对于复合函数的单调性，必须考虑u=g(x)与y=f(u)的单调性，从而得出y=f［g(x)］的单调性；
(4)判断函数的增减性，或者求函数的单调区间，一般都可借助函数图象求解.
各个击破
类题演练
1
比较下列各组数中两个值的大小.
（1）log23.4,log28.5;
(2)loga5.1,loga5.9(a>0,a≠1).
解析：(1)对数函数y=log2x,因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是log23.4(2)当a>1时，函数y=logax在（0,+∞）上是增函数，于是loga5.1当0loga5.9.
变式提升
1
比较下列两个值的大小：
（lgm）1.9,(lgm)2.1(m>1).
解析：若1>lgm>0,即1(lgm)2.1.
若lgm=1，即m=10时，（lgm）1.9=(lgm)2.1.
若lgm>1，即m>10时，y=(lgm)x在R上是增函数，∴（lgm）1.9<(lgm)2.1.
类题演练
2
已知f(x)=loga(a>0,且a≠1).
求f(x)的定义域；
解析：由对数函数定义知>0,
∴-1变式提升
2
(2006山东高考文，2)设f（x）=则f(f(2))的值为（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：∵f(2)=log3(22-1)=log33=1,∴f(f(2))=f(1)=2e1-1=2.故选C.
答案：C
类题演练
3
求函数y=log0.1(2x2-5x-3)的递减区间.
解析：先求函数的定义域，由2x2-5x-3=(2x+1)(x-3)>0,
得x<-,或x>3.令u=2x2-5x-3,y=log0.1u.
由于u=2(x-)2-6,可得u=2x2-5x-3(x<-或x>3)的递增区间为（3，+∞）,从而可得y=log0.1(2x2-5x-3)的递减区间为（3，+∞）.
变式提升
3
求函数y=(3+2x-x2)的单调区间和值域.
解析：由3+2x-x2>0解得函数y=(3+2x-x2)的定义域是-1设u=3+2x-x2(-1u2,即y1>y2,故函数y=(3+2x-x2)在区间（-1，1）上单调递减；同理可得，函数在区间（1，3）上是单调递增.
函数u=3+2x-x2(-1PAGE
13.2.2
对数的运算性质
课堂导学
三点剖析
一、对数的运算性质
【例1】
若a>0,a≠1,x>0,y>0,x>y,下列式子中正确的个数为（
）
①logax+logay=loga(x+y)；
②logax-logay=loga(x-y)；
③loga=logax÷logay；
④loga(x·y)=logax·logay，
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：这4个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的.
答案：A
温馨提示
例题中列出的四种错误，由于与我们以前所学的运算相近，因而是极容易犯的错误类型.利用对数的性质进行计算每一步都要仔细，想一想有没有依据，这样才能有效地减少错误的发生.
二、对数运算性质的应用
【例2】求值：3.
解法一：设3=x,则()x=3,即()x=()3,∴x=3.
∴3=3.
解法二：3=()3=3.
解法三：3=3+=()2+=2+1=3.
温馨提示
解法一是利用对数定义得解的，而解法二与解法三是利用对数运算性质公式得解.通过比较显然可知，用好性质会大大简化运算过程.
三、求含有已知条件的对数式的值
【例3】
已知18a=9,18b=5，用a、b表示log3645.
解法一：由已知可得log189=a,log185=b,
∴log3645==
==.
解法二：log189=a,∴=a,=b.
∴log23=,log25=.
∴log3645===.
温馨提示
解法一虽然简单，但不具一般性，变形技巧性较强；而解法二根据18、9、5、45、36的质因数是2、3、5，而采用其中一个数为底，把条件、结论换底而得.由此可看出，合理地依据题意，将问题转换，找到其中的联系是解决此类问题的关键.
各个击破
类题演练
1
下面给出四个式子（a>0,a≠1,x>0,y>0,x>y）logax·logay=loga(x+y);logax+logay=loga(x+y);
loga=loga(x-y);loga(x-y)=,其中正确的有几个（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：由对数的公式知上面四个式子都不对，故选A.
答案：A
变式提升
1
设函数f(x)=则满足f(x)=的x的值是_______________.
解析：若4-x=，即4-x=4-1,∴x=1.
又∵x∈(-∞,1),∴x=1应舍去.
若log81x=,则x=,∴x=3.
∵x∈(1,+∞),∴x=3即为所求.
答案：3
类题演练
2
计算：lg52+lg8+lg5·lg20+(lg2)2
解析：原式=lg52+lg23+lg
5·lg(4×5)+(lg2)2
=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2
=2lg(5×2)+2lg5·lg2+(lg5)2+(lg2)2
=2+(lg5+lg2)2=3.
变式提升
2
计算：（1）log2+log212-log242-1;
(2)(log32+log92)·(log43+log83).
解析：(1)原式=log2+log212-log2-log22
=log2=log2
=log2=-.
(2)原式=（+）(+)
=(+)(+)
=·=.
类题演练
3
已知lg2≈0.301
0,lg3≈0.477
1,求lg.
解析：lg=lg
45=lg
=(lg9+lg10-lg2)
=(2lg3+1-lg2)=lg3+-lg2
≈0.477
1+0.5-0.150
5=0.826
6.
变式提升
3
设x、y、z∈R+,且3x=4y=6z.
(1)求证：-=;
(2)比较3x、4y、6z的大小.
(1)证明：设3x=4y=6z=k,
∵x、y、z∈R+,
∴k>1且x=,y=,z=.
于是-=-===.
(2)解析：∵3x-4y=lgk(-)=lgk·<0,
∴3x<4y.
又4y-6z=lgk(-)=lgk·<0,
∴4y<6z.∴3x<4y<6z.
PAGE
13．1 指数函数
3．1．1 分数指数幂
1．理解分数指数幂的含义．
2．了解实数指数幂的意义，理解n次方根与n次根式的概念，熟练掌握用根式与分数指数幂表示一个正实数的算术根．
3．能运用有理数指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化．
1．根式
(1)方根的概念：
我们知道，如果x2＝a，那么x称为a的平方根；如果x3＝a，那么x称为a的立方根．
一般地，如果一个实数x满足xn＝a(n＞1，n∈N
)，那么称x为a的n次实数方根．
当n是奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数．此时，a的n次方根只有一个，记为x＝．
当n是偶数时，正数的n次实数方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a的正的n次实数方根用符号表示，负的n次实数方根用符号－表示．正的n次实数方根与负的n次实数方根可以合并成±(a＞0)．
由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作＝0．
(2)根式的概念：
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)根式的性质：
①当n是奇数时，＝a；
②当n是偶数时，＝|a|＝
正数开方要分清，根指奇偶大不同，
根指为奇根一个，根指为偶双胞生．
负数只有奇次根，算术方根零或正，
正数若求偶次根，符号相反值相同．
负数开方要慎重，根指为奇才可行，
根指为偶无意义，零取方根仍为零．
【做一做1－1】在，，，中，属于最简根式的个数是__________．
解析：根据最简根式的定义判断．＝3，＝，＝2，＝2．
答案：0
【做一做1－2】当8＜x＜9时，化简－＝__________．
答案：2x－17
2．分数指数幂
(1)正数a的正分数指数幂：
我们规定：(a＞0，m，n∈N
)．
(2)正数a的负分数指数幂：
＝＝(a＞0，m，n∈N
)．
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有分数指数幂又有分母的形式．如、都不是最简形式．应该注意，分数指数的分子和分母与根式的根指数和被开方式的指数之间的对应关系不可颠倒．
【做一做2－1】下列等式中，一定成立的是______．
①；②；
③；④．
答案：④
【做一做2－2】将化成分数指数幂的形式为__________．
答案：
3．有理数指数幂的运算性质
(1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
【做一做3－1】＋0．1－2＋－3x0＋＝__________．
答案：100
【做一做3－2】eq
\b\lc\(\rc\)()8＝__________．
答案：128
()n和有什么区别？它们分别等于什么？
剖析：分析这两个式子的含义和成立的条件，多举例子来体会它们的区别．
()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性来决定：
①当n为大于1的奇数时，a∈R．例如，()3＝27，()5＝－32，()7＝0；
②当n为大于1的偶数时，a≥0．例如，()4＝27，()2＝3，()6＝0；若a＜0，式子()n无意义，例如，()2、()4均无意义，也就不能说它们的值了．
由此看只要()n有意义，其值就恒等于a，即()n＝a．
是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，a的取值不受n的奇偶性限制，a∈R．但是这个式子的值受n的奇偶性限制：
①当n为大于1的奇数时，其值为a，即＝a，例如，＝－2，＝6．1；
②当n为大于1的偶数时，其值为|a|，即＝|a|，例如，＝3，＝|－3|＝3．
由此看＝
题型一
分数指数幂的运算
【例1】计算：
(1)；(2)；(3)；
(4)(2a＋1)0；(5)．
分析：在幂的运算中，首先观察幂的底数，如果幂的底数能化成幂的形式时〔如(1)(2)(3)〕，就先把幂的底数写成幂的形式，再进行幂的乘、除、乘方、开方运算，这样比较简便．
在幂的运算中，对于形如m0的式子，要注意对底数m是否为零进行讨论，因为只有在m≠0时，m0才有意义；而对于形如的式子，我们一般是先变形为，然后再进行运算．
解：(1)＝＝＝；
(2)＝＝0.2－2＝＝52＝25；
(3)＝＝＝；
(4)(2a＋1)0＝1；
(5)
＝－1＝－．
反思：在进行有关幂的运算时，要注意化归思想的运用；另外化繁为简一直是我们解题的一条基本原则．熟悉幂的运算条件和幂的运算性质是正确解题的关键．
题型二
根式的化简
【例2】化简＋－的结果是__________．
解析：先将式子中的根式逐个化简，后进行运算．
原式＝＋－
＝－＋＋6＝9．
答案：9
反思：对多个根式组成的式子进行化简，我们解题的一般原则是先算根号内的，后进行根式运算．在进行根式运算时，要注意根指数为奇数的情况，如，若a＞0，则＞0；若a＜0，则＜0，但对根指数为偶数的根式，只有当a≥0时，对根式才有意义．
题型三
有理数幂的混合运算
【例3】已知a＝－，b＝，求÷
的值．
分析：化简、求值一类问题，往往是先将被求代数式化简，然后再代入已知字母的值，求得代数式的值．
解：∵a≠0，
∴原式＝×．
又∵a－27b≠0，
∴原式＝＝＝＝＝＝．
反思：本题容易先直接将a，b的值代入，后化简，但因运算繁琐，不容易得出正确的结果．所以在解决问题时，一定要先审题，比较一下各种思路的优劣，然后再动手做题．这样才能养成良好的思维习惯．
【例4】已知，求a＋a－1，a2＋a－2的值．
分析：本题主要考查分数指数幂及其应用．观察到，对已知等式两边平方即可求解．
解：∵，∴．
∴a＋2＋a－1＝9．
∴a＋a－1＝7．
又(a＋a－1)2＝49，
∴a2＋2＋a－2＝49．
∴a2＋a－2＝47．
反思：本题是已知代数式的值求其他代数式的值，通常又简称为“知值求值”，解决此类题目要从整体上把握已知的代数式和所求的代数式的特点，常从整体代入来求值．
1设x＝1＋2p，y＝1＋2－p，则y等于__________．(用x表示)
解析：由条件得2p＝x－1,2－p＝y－1，
从而(x－1)(y－1)＝1，y＝＋1＝．
答案：
2如果，则x的值是__________．
解析：由条件得，
所以，x＝±．
答案：±
3化简＝__________．
解析：＝＝＝＝．
答案：
在①；②；③；④(n∈N，a∈R)各式中，一定有意义的是__________．(填序号)
解析：在②中(－4)2n＋1为负数，所以开偶次方无意义，故②错误；在④中因为a∈R，所以a5∈R，故可能没有意义，所以④错误．
答案：①③
5(1)＝________；
(2)＝______．
解析：(1)原式＝．
(2)原式＝．
答案：(1) (2)
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13.1.1
指数函数
名师导航
知识梳理
1.基础知识图表
2.指数函数的定义
函数_________(a>0且a≠1)叫做指数函数.定义中对a>0且a≠1的规定，是为了保证定义域为实数集，且具有单调性.
(1)如果a=0，当x>0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义；
(2)如果a<0，比如y=(-4)x，对x=,等都无意义；
(3)如果a=1，则y=1x=1是一个常数，对它没有研究的必要.此时，y=ax的反函数不存在，且不具有单调性;
(4)对于无理数指数幂，过去学过的有理数指数幂的性质和运算法则都适用;
(5)像y=2·3x,y=，y=3x+4等函数都不是指数函数，要注意区分.
3.指数函数的图象和性质
熟练地掌握指数函数的图象，是记忆和理解指数函数性质的关键.
指数函数的性质如下表：
a>1
0图象
定义域、值域
x∈R，y∈(0,+∞)
特征
过定点(0,1),(1,a)
x>0时,y>1x<0时,0x>0时,01
(-∞,+∞)上为增函数
(-∞,+∞)上为减函数
当x>0时,底大图象高;x<0时,底大图象低
4.关于函数的图象和性质，需注意的几个问题
(1)单调性是指数函数的重要性质，特别是由函数图象的无限伸展，x轴是函数图象的渐近线.
当0当a>1时，x→-∞,y→0,
当a>1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快;
当0(2)熟悉指数函数y=10x,y=2x,y=()x,y=()x在同一直角坐标系中的图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系.
(3)证明指数函数y=ax(a>1)是增函数.
证明：当a>1时，任取x1、x2∈R,x1x2>x1,a>1,∴
>1.又∵>0,∴
>.∴
>.
从而指数函数y=ax(a>1)在R上是增函数.
(4)注意几个熟悉的指数函数图象的平移变换和对称变换，而得到相关函数的图象.
疑难突破
为什么在指数函数的定义中限定底数的范围为a＞0且a≠1？
(1)若a=0，则当x>0时，ax=0；当x≤0时，ax无意义.
(2)若a<0，则对于x的某些数值，可使ax无意义.如(-2)x，这时对于x=，x=，…，在实数范围内函数值不存在.
(3)若a=1，则对于任何x∈R，ax=1，是一个常量，没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1.在规定以后，对于任何x∈R，ax都有意义，且ax>0.
问题探究
问题1
我们是怎么研究指数函数的性质的？
探究思路：我们是通过研究指数函数的图象特征来研究指数函数的性质的.函数的图象特征与函数性质存在着一定的对应关系.
问题2
在同一个坐标系中画出下列各函数的图象：
①y=2x；②y=5x；③y=()x；④y=()x.
观察四个函数图象，看它们有何特点？你能从中总结出一般性结论吗？
探究思路：指数函数y=ax(a＞0且a≠1)恒过两个点(0，1)和(1，a).这四个函数都经过(0，1)，又分别经过(1，2)、(1，5)、(1，)、(1，).再由函数的单调性就可以画出四个函数的大致图象(如下图).根据图象可知函数①与④、②与③分别关于y轴对称.
问题3
对于指数函数y=ax(a＞0且a≠1)，有人总结出其底数a越接近1，其图象就越接近直线y=1，你认为该结论成立吗？
探究思路：要说明该结论的正确性，我们可通过例子来验证.我们可在同一坐标系中分别作出函数y=2x、y=3x和y=5x的图象(如下图所示)，根据图象能看出该结论是正确的.
典题精讲
例1
将三个数1.5-0.2，1.30.7，按从小到大的顺序排列.
思路解析
先比较1.5-0.2即()0.2和的大小，考察指数函数y=()x，由于底数在区间(0，1)内，所以指数函数y=()x在(-∞，+∞)上是减函数.故由0.2=＜得1＞()0.2＞.另一方面，由于1.3＞1，y=1.3x在(-∞，+∞)上是增函数，由0.7＞0，得1.30.7＞1.
所以＜1.5-0.2＜1.30.7.
答案:
＜1.5-0.2＜1.30.7.
例2
求下列函数的定义域与值域：
(1)y=；
(2)y=()|x|；
(3)y=4x+2x+1+1；
(4)y=.
思路解析
(1)因为指数函数y=2x的定义域为x∈R时，值域为y∈(0，+∞)；
若x≠0，则y≠1；
由于y=中的≠0，所以y≠20=1；
所以所求函数的定义域是{x|x∈R且x≠3}，值域为{y|y＞0且y≠1}.
(2)因为y=()|x|中的|x|≥0，
所以x∈R，0＜y≤1.
所以所求函数的定义域为R，
值域为{y|0＜y≤1}.
(3)将已知函数整理成y=4x+2x+1+1=(2x)2+2(2x)+1=(2x+1)2.
由此可知定义域为R，值域为{y|y＞1}.
(4)已知函数可化为y=，
由≥0得x＞1；
又由＞0，得y=＞1.
所以定义域为{x|x＞1}，值域为{y|y＞1}.
答案:(1)定义域为{x|x∈R且x≠3}，值域为{y|y＞0且y≠1}.
(2)定义域为R，值域为{y|0＜y≤1}.
(3)定义域为R，值域为{y|y＞1}.
(4)定义域为{x|x＞1}，值域为{y|y＞1}.
例3
若函数y=为奇函数，
(1)确定a的值；
(2)求函数的定义域；
(3)求函数的值域；
(4)讨论函数的单调性.
思路解析
先将函数化简为y=a-.
解答:(1)由奇函数的定义，可得f(-x)+f(x)=0，即a-=0，
∴2a+=0.
∴a=-.
(2)∵y=--，
∴2x-1≠0.
∴函数y=--的定义域为{x|x≠0}.
(3)方法一：(逐步求解法)
∵x≠0，
∴2x-1＞-1.
∵2x-1≠0，
∴0＞2x-1＞-1或2x-1＞0.
∴-->,--<-，
即函数的值域为{y|y＞或y＜-}.
方法二：(利用有界性)由y=--≠-，可得2x=.
∵2x＞0，∴＞0.可得y＞或y＜-，
即函数的值域为{y|y＞或y＜-}.
(4)当x＞0时，设0＜x1＜x2，则y1-y2=.
∵0＜x1＜x2，
∴1＜＜.
∴-＜0，-1＞0，-1＞0.
∴y1-y2＜0.
因此y=--在(0，+∞)上递增.
同样可以得出y=--在(-∞，0)上递增.
例4
如果函数y=a2x+2ax-1(a＞0且a≠1)在［-1，1］上有最大值14，试求a的值.
思路解析
将原函数看成是二次函数和指数函数合成的复合函数，利用相应函数的性质及复合函数的单调性解题.可采用换元法.
解答:设t=ax，则原函数可化为y=(t+1)2-2，对称轴为t=-1.
(1)若a＞1，∵x∈［-1，1］，
∴-1＜≤t≤a.
∵t=ax在［-1，1］上递增，
∴y=(t+1)2-2当t∈［，a］时也递增.
∴原函数在［-1，1］上递增.
故当x=1时，ymax=a2+2a-1.
由a2+2a-1=14，解得a=3或a=-5(舍去，因a＞1).
(2)若1＞a＞0，可得当x=-1时，ymax=a-2+2a-1-1=14，
解得a=或a=-
(舍去).
综上，a=或3.
例5
定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=
f(a)·f(b).
(1)证明f(0)=1；
(2)证明对任意的x∈R，恒有f(x)>0；
(3)证明函数y=f(x)是R上的增函数.
思路解析
本题抽象函数的原型函数即为指数函数，可借助y=2x理清解答的思路和方法.
证明:(1)取a=b=0，则f(0)=f2(0).
∵f(0)≠0，
∴f(0)=1.
(2)当x≥0时，f(x)≥1>0成立，
当x<0时，-x>0，f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1，
∴f(x)=>0.
∴x∈R时，恒有f(x)>0.
(3)证法一：设x10.
∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)·f(x1).
∵x2-x1>0，
∴f(x2-x1)>1.
又f(x1)>0，
∴f(x2-x1)·f(x1)>f(x1).
∴f(x)是R上的增函数.
证法二：也可以设x2=x1+t(t>0)，f(x2)=?f(x1+t)=f(x1)·f(t)>f(x1).
或者设x11.
又f(x1)>0，f(x2)>0，
∴f(x2)>f(x1).
知识导学
1.指数函数的底数
指数函数作为指数运算的扩展而成为高中研究的重点函数之一，其中难点主要体现在由于底数的范围不同而造成的性质的不同，故在解决某些问题时应充分注意底的范围,视不同情况给予不同的对待.
2.指数函数的图象和性质
(1)作指数函数图象的方法：一般用描点法，即通过列表、描点、连线的方法作出指数函数的图象.
(2)指数函数的图象和性质如下表所示：
a>1
0图象
a>1
0性质
①定义域:R
②值域:(0,+∞)
③图象过定点(0,1)
④在(0,+∞)上是增函数
④在(0,+∞)上是减函数
3.应用指数函数性质比较大小
比较大小是指数函数性质应用的常见题型.当底数相同时，直接比较指数即可；当底数和指数不同时，要借助于中间量进行比较.不同类的函数值的大小常借助中间量0、1等进行比较.
4.指数函数的应用
指数函数的应用主要体现在利用指数函数值的大小，结合其他函数形成的复合函数的单调性、值域等问题上，解决这些问题应充分考虑底的范围对函数性质的影响，并熟记函数的图象特征和性质，以免混淆.
5.指数函数的图象和性质分别从形和数两个方面对指数函数加以剖析，因此在考查指数函数的题目中有关数形结合的思想有着广泛的应用.
6.在学习有关指数函数的性质时，可以借助《几何画板》等信息技术来绘制指数函数的图象，并对其中的一些参数设置变化，动态地来理解指数函数的性质和特点.
疑难导析
在指数函数的定义中限定底数的范围为a>0且a≠1，这主要是使函数的定义域为实数集，且具有单调性.因此指数函数的定义域为R，值域为(0,+∞).
问题导思
函数图象的左右范围，对应着函数的定义域；函数图象的上下范围，对应着函数的值域；函数图象关于y轴或原点的对称性，对应着函数的奇偶性；函数图象在某一段上自左而右表现的上升或下降趋势，对应着函数的单调性.
由此我们还能得出如下结论：
(1)一般地，指数函数y=ax(a＞0且a≠1)与y=a-x(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称.
(2)在y轴的右侧，由下向上函数图象相应的底数由小变大(可简记为“右侧底大图高”)；在y轴的左侧，由上向下图象相应的底数由小变大(简记为“左侧底大图低”).
(3)(有界性)若a＞1，
当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1.
若0＜a＜1，当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1.
另外底数a对图象特征的影响也可这样来叙述：当a＞1时，底数越大，函数图象就越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，函数图象就越靠近y轴.一定要注意底数a对函数值变化的影响.
典题导考
绿色通道
处理大小比较的问题的一般方法是：先和特殊值比，比方说和0比，和1比，然后将同范围(如大于0)的数化成同一函数在自变量x取两值时所对应的两函数值，再利用函数的单调性及自变量取值的大小关系得出函数值的大小关系.
典题变式
当x＞0时，函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是(
)
A.1<|a|<
B.|a|<1
C.|a|>1
D.|a|>
答案:D
绿色通道
求复合函数值域的一般步骤是：先求出定义域，然后求出内层函数的值域，由内层函数的值域求出相应的外层函数的值域即是复合函数的值域.关于复合函数的概念介绍如下：
定义：函数y=f(u)(u∈A)，u=g(x)(x∈B，u∈A)，则y={f［g(x)］}叫做由函数y=f(u)(u∈A)、u=g(x)(x∈B，u∈A)合成的复合函数，u叫中间变量，y=f(u)(u∈A)也叫该复合函数的外层函数，而u=g(x)(x∈B，u∈A)叫做该复合函数的内层函数，一定得注意的是：由u=g(x)(x∈B)求出的值域一定是A.
典题变式
函数y=2|x|的值域是(
)
A.(0，1]
B.［1，+∞)
C.(0，1)
D.(0，+∞)
解法一：y=2|x|=作出图象,观察得函数的值域为［1，+∞).
解法二：令u=|x|≥0，则y=2u≥20=1.
答案:B
绿色通道
本题是一道函数综合题，需利用函数的有关性质，如求函数的定义域、值域，判断函数的奇偶性、单调性等知识.在判断函数的单调性时，我们也可以采用复合函数单调性的判断方法.当x＞0时，∵2x为增函数，
∴2x-1为增函数，为递减函数，-为增函数.
∴y=--在(0，+∞)上递增.一般地，函数y=f(u)和函数u=g(x)，设函数y=f［g(x)］的定义域为集合A，如果在A或A的某个子区间上函数y=f(u)(称外层函数)与u=g(x)(称内层函数)单调性相同，则复合函数y=f［g(x)］在该区间上递增；如单调性相反，则复合函数y=f［g(x)］在该区间上递减(可以简记为“同增异减”).另外，记住以下结论对判断复合函数单调性很有帮助：①若函数y=f(x)递增(减)，则y=-f(x)递减(增)；②若函数y=f(x)在某个区间上恒为正(负)且递增(减)，则y=递减(增)；③若函数y=f(x)递增(减)，则y=f(x)+k递增(减).
典题变式
已知f(x)=+a为奇函数.
(1)求a的值；
(2)求函数的单调区间.
解答:(1)∵f(-x)=+a=+a=-1+a-=-1+2a-f(x)，
由f(-x)=-f(x)，得-1+2a=0，∴a=.
(2)对于任意x1≠0，x2≠0，且x1f(x1)-f(x2)=,
当x1，<1,
<1,
∴f(x1)-f(x2)>0；
当0，>1，>1,
∴f(x1)-f(x2)>0.
∴函数的单调递减区间为(-∞，0)，(0，+∞).
黑色陷阱
本题容易出现以下错误：
(1)误认为函数y=a2x+2ax-1在x∈［-1，1］上就是单调增函数，据此得x=1时函数有最大值14，列方程解出a.
(2)令t=ax，x∈［-1，1］，不讨论0＜a＜1还是a＞1，就认为t的取值范围是［a-1，a］，由此作为外层函数的定义域引出错误.
典题变式
要使函数y=1+2x+4x·a在(-∞，1)上y>0恒成立，求a的取值范围.
解答:由1+2x+4x·a>0在x∈(-∞，1]上恒成立，
即a>-=-()x-()x在(-∞，1]上恒成立.
又g(x)=-()x-()x在(-∞，1]上的值域为(-∞，-]，∴a>-.
绿色通道
本题主要考查抽象的思维推理能力.解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是(3)中“f(x2)=f［(x2-x1)+x1］”是证明单调性的关键，这里体现了构造条件式向条件化归的策略.
典题变式
设函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(x)≠0，对于任意x1、x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2).
(1)求证：f(x1-x2)=；
(2)若f(1)=2，解不等式f(3x)>4f(x).
解答:(1)∵f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)·f(x2)，
又f(x)≠0，
∴f(x1-x2)=.
(2)∵f(1)=2，∴2f(x)=f(1)·f(x)=f(1+x)，
4f(x)=2·2f(x)=f(1)·f(1+x)=f(2+x).
那么f(3x)>4f(x)可化为f(3x)>f(2+x).
又∵函数f(x)是定义在R上的增函数，
由f(3x)>f(2+x)，得3x>2+x，即x>1.
故不等式f(3x)>4f(x)的解集是{x|x>1}.
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13.2.1
对数
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知识梳理
一、对数与对数运算
1.对数的定义
一般地，如果ax=N(a>0,a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作__________，其中a叫做对数的__________，N叫做对数的__________.
对数恒等式为________________________________________.
2.对数的运算法则
指数的运算法则：
对数的运算法则：
（1）am·an=am+n;→
（1）______________;
（2）=am·a-n=am-n;→
（2）______________;
（3）(am)n=amn;→
（3）_______________.
二、对数运算法则的证明
(学会证明方法)
1.正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的_______________；
loga(MN)=logaM+logaN.
设logaM=p,logaN=q,
则ap=M,aq=N,
∴MN=ap·aq=ap+q.
∴loga(MN)=p+q=logaM+logaN.
2.两个正数的商的对数等于被除数的对数___________除数的对数；
loga=logaM-logaN.∵==ap-q,
∴loga=p-q=logaM-logaN.
3.正数的幂的对数等于幂的底数的对数____________幂指数；
loga(Nn)=n·logaN.
根据对数恒等式:=N,
∴Nn=(N)n=.∴loga(Nn)=n·logaN.
4.正数的正的方根的对数等于被开方数的对数______________根指数.
loga·logaN.∵=,
∴由法则3得loga=loga=·logaN.
三、对数的性质
1.__________和__________没有对数.
因为a＞0，所以不论b是什么数，都有ab＞0，即不论b是什么数，N=ab永远是正数，这说明在相应的对数式
b=logaN中真数N永远是正数，换句话说负数和零没有对数.
2.1的对数是__________.
因为a0=1(a＞0，且a≠1)，所以根据对数的定义可得loga1=0.
3.底数的对数等于__________.
因为a1=a，根据对数的定义知logaa=1.
四、一组重要的对数公式——换底公式
1.logab=,即有logca·logab=logcb;
2.logba=，即有logab·logba=1；
3.=logab.
疑难突破
如何将给出的对数式换成指定底数的对数？
《考试大纲》要求知道用换底公式将一般对数转化成指定底数的对数.
对数换底公式：logbN=(a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，N＞0)，
推论：logab=，logab.
更特别地有logaan=n.
问题探究
问题1
对数式与指数式有何关系？在对数符号logaN中，为什么规定a＞0，a≠1，N＞0呢？
探究思路：对数的概念是这么说的：一般地，如果a(a＞0且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.从定义不难发现无论是指数式ab=N，还是对数式logaN=b都反映的是a、b、N三数之间的关系.
在对数符号logaN中，若a＜0，则N为某些值时，logaN不存在，如log(-2)8不存在.
若a=0，则N不为0时，logaN不存在；N为0时，logaN可以为任何正数，不唯一.
若a=1，则N不为1时，logaN不存在；N为1时，logaN可以为任何实数，不唯一.因此规定a＞0且a≠1.因为logaN=bab=N，在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因此N＞0.
问题2
对于对数，除了对数的定义，还有对数的性质，你能说说这些相关的内容吗？
探究思路：对数部分，我们首先应当掌握对数的意义，即对数式与指数式之间的对应关系.另外对于对数我们应该掌握一些常用的性质：如(1)loga1=0(1的对数是0)；
(2)logaa=1(底数的对数是1)；
(3)N=N(对数恒等式)；
(4)logaN=(b＞0且b≠1)(换底公式)；
(5)logaM+logaN=logaMN；
(6)logaM-logaN=loga；
(7)nlogaN=logaNn；
(8)logaN=logamNn.
以上各式均有条件a＞0且a≠1.
问题3
初学对数运算性质，容易犯下面的错误：
loga(M±N)=logaM±logaN，loga(M×N)=logaM×logaN，loga=，logaNn=(logaN)n.应该如何解决呢？
探究思路：首先应把握对数运算的本质特征，运算性质是把真数的乘、除、乘方降级为对数的加、减、乘运算，是降级运算；其次，对数记号logaN整体上才有意义，不能误把对数符号当作表示数的字母进行运算.
典题精讲
例1
(1)将下列指数式写成对数式：
①210=1
024；②10-3=；
③0.33=0.027；④e0=1.
(2)将下列对数式写成指数式：
①log0.46.25=-2；②lg2=0.301
0；
③log310=2.095
9；④ln23.14=x.
思路解析
应用指数式与对数式的等价关系求解.
答案:(1)①log21
024=10；②lg=-3；③log0.30.027=3；④ln1=0.
(2)①0.4-2=6.25；②100.301
0=2；③32.095
9=10；④ex=23.14.
例2
计算：log2+log212-log242.
思路解析
这是几个对数式的加减运算，注意到每个对数式是同底的，则可以利用同底数的对数的运算公式化为一个对数式.当然也可以反其道而行之，即把每个对数的真数写成积或商的形式，再利用积或商的对数的运算性质化为同底对数的和与差，然后进行约简.
解法一：原式=(log27-log248)+log23+2log22-(log27+log22+log23)
=log27-log23-log216+log23+2-log27-=-.
解法二：原式=log2(×12×)=-.
例3
求下列各式的值：
(1)；
(2)7lg20×()lg0.7；
(3)log2(1+)+log2(1+)；
(4)lg().
思路解析
(1)由幂的运算法则把其化成同底，用对数恒等式N=N化简计算.
(2)通过取对数，先算出对数值，再求值.
(3)运用对数运算法则化成一个对数，然后利用底数与真数的特殊关系求解.
(4)运用对数运算法则巧去根号.
解答:(1).
(2)设x=7lg20×()lg0.7，则lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg()=(lg2+1)×lg7+(lg7-1)×(-lg2)=lg7+lg2=lg14，
∴x=14，即7lg20×()lg0.7=14.
(3)log2(1+)+log2(1+)=log2［(1+)2-()2］=log22=log2=.
(4)lg()=lg()2=lg(3++3-+2)=lg10=.
例4
已知11.2a=1
000，0.011
2b=1
000，那么-等于(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
思路解析
本题有两种解题方法.
解法一：用指数解.由题意11.2=，0.011
2=，
∴两式相除得==1
000.
∴-=1.
解法二：用对数解.
由题意，得a×lg11.2=3，b×lg0.011
2=3，
∴-=
(lg11.2-lg0.011
2)=1.
答案:A
例5
方程lg(4x+2)=lg2x+lg3的解是_____________.
思路解析
把方程两边化为同底的对数式，然后比较真数得含有求知数的方程，解之即可.
解:把两边化成同底的对数式为lg(4x+2)=lg(2x×3)，
比较真数，得方程4x+2=2x×3，
利用换元法，解得2x=1或2x=2.
所以x=0或x=1.
答案:x1=0，x2=1
知识导学
1.对数的概念
在实际应用中，一定要注意指数式与对数式的等价性，即logaN=bab=N.
2.换底公式
一般地，我们称logaN=为对数的换底公式.换底公式是对数中一个非常重要的公式，这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一，是对数的运算性质.对数运算性质应用的前提是式子中对数的底相同.若底不同则需要利用换底公式化为底相同的.我们在应用换底公式时，一方面要证明它和它的几个推论；另一方面要结合构成式子的各对数的特点选择一个恰当的数作为对数的底，不要盲目地换底，以简化我们的解题过程.
3.常用对数与自然对数的概念
有了对数的概念后，要求log0.840.5的值，我们需要引入两个常用的对数：常用对数和自然对数.常用对数是指以10为底的对数；自然对数是指以e(e=2.718
28…，是一个无理数)为底的对数.
有了常用对数和自然对数再利用对数的运算性质，我们就可以求log0.840.5的值了.
4.对数恒等式
对数恒等式：=N.
它的证明也很简单，只要紧扣对数式的定义即可证明.
∵ab=N，
∴b=logaN.
∴ab==N，
即=N.
如=5、=6等.要熟记对数恒等式的形式，会使用这一公式化简对数式.
疑难导析
对数换底公式口诀：
换底公式真神奇，换成新底可任意，
原底加底变分母，真数加底变分子.
问题导思
指数式与对数式之间可以相互转化，它们之间可以理解为就像加法与减法一样的关系.后面我们会学习反函数，指数式与对数式之间的转化可以通过反函数进行.
这些常用的性质在指数运算中非常有用，需要记牢.
有的性质可以用口诀来帮助记忆，比如，性质(5)(6)(7)可以这样来记：
积的对数变为加，
商的对数变为减，
幂的乘方取对数，
要把指数提到前.
典题导考
绿色通道
指数式与对数式之间的换算，就是利用logaN=bab=N.
典题变式
已知loga2=m，loga3=n，则a2m-n=____________.
解答：∵loga2=m，loga3=n，
∴am=2，an=3.
∴a2m-n=.
绿色通道
解决求值问题一般有两种解法：一是将式中的真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则化为对数的和、差、积、商，即“化整为零”，然后合并、消项、化简求值；二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，即“化零为整”，然后“相约”，化简求值.
典题变式
计算2log525+3log264-8log71的值为(
)
A.14
B.8
C.22
D.27
答案:C
绿色通道
有关对数式的运算，除了要用到对数运算性质外，还要注意代数运算的其他性质的运用.如遇到不能直接运用对数运算法则进行运算的问题，有两种解决办法：一是取对数，先求出对数值，再求出真数的值，即为原式的值；二是运用对数恒等式N=N把任何正数N化成含所需要的正数为底数的对数的一个幂，即可转化为用幂的运算法则和对数运算法则解决问题.
典题变式
1.lg5lg8
000+(lg)2+lg0.06-lg6=______________.
解答:原式=lg5(3+3lg2)+3lg22+lg=3(1-lg2)(1+lg2)+3lg22-2=3-2=1.
2.计算2lg5+lg8+lg5·lg20+lg22的值.
解答:原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+lg22
=lg25+2lg2·lg5+lg22+2(lg5+lg2)
=(lg5+lg2)2+2(lg5+lg2)
=lg210+2lg10
=1+2=3.
绿色通道
因为指数与对数存在着互逆的运算关系，因而反映在具体问题中就一定从指数式、对数式两条思路分别运用幂的运算法则和对数运算法则解决问题.这就是对立统一的原则在具体思路上的指导和体现.
典题变式
已知a=lg(1+)，b=lg(1+)，试用a、b的式子表示lg1.4.
答案:lg1.4=(a-4b+1).
黑色陷阱
如果误以为原方程lg(4x+2)=lg2x+lg3可化为lg4x+lg2=lg2x+lg3，将导致解题错误.这也说明数学思维的严密性，如果百密一疏，则后悔莫及!
典题变式
已知函数f(x)=则f［f()］的值是(
)
A.9
B.
C.-9
D.-
答案:B
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1第3课时 指数函数的应用
1．体会指数函数是现代科技、生活中具有广泛用途的重要数学模型．
2．能利用指数函数解决一些实际应用问题以及其他问题．
1．指数函数的一般形式：y＝ax(a＞0，且a≠1)．
2．应用题的解题步骤：(1)审题；(2)建模；(3)求解；(4)作答．
【做一做1】由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，则现在价格为8
100元的计算机经________年后降为2
400元．
解析：由＝2
400，得x＝15.
答案：15
【做一做2】某种细菌在培养的过程中，每20
min分裂一次(一个分裂为两个)，经过3
h，这样的细菌由一个分裂为__________个．
答案：512
有关指数函数的实际应用问题，最典型的有哪些问题？
剖析：1．增长率问题：(1)增长率＝×100%；(2)平均增长率问题：如果原来产值的基数为N，平均增长率为p，则对应时间x的产值或产量y＝N(1＋p)x.
2．复利问题：(1)将前一期的利息和本金加在一起作为本金，再计算下一期利息；
(2)储蓄中的复利问题：如果本金为a元，每期利率为r，本利和为y，存期为x，则y＝a(1＋r)x.
题型一
增长率问题
【例1】某人承包了一片荒山，承包期限为10年，准备栽种5年可成材的树木．该树木从树苗到成材期间每年的木材增长率为18%，以后每年的木材增长率为10%，树木成材后，既可出售树木，重栽新树苗，也可让其继续生长至承包期满．问：哪一种方案可获得较大的成材木材？(参考数据：1.15≈1.61)
分析：根据两种不同的方案，分别列得算式，再作商比较．
解：设新树苗的木材量为Q，①若连续生长10年，木材量为N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5.②生长5年重栽新树苗，木材量为M＝2Q(1＋18%)5，则＝＝≈＞1.
∴M＞N，即生长5年重栽新树苗可获得较大的木材量．
反思：本题是有关指数函数的实际应用题，通过作商比较大小是一种重要技巧．
题型二
指数型函数问题
【例2】牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度的关系为指数型函数，若牛奶放在0
℃的冰箱内，保鲜时间是192小时，而放在22
℃的厨房中则是42小时．
(1)写出保鲜时间y(小时)关于温度x(℃)之间的函数关系式；
(2)利用(1)中的结论，指出30
℃和16
℃时的保鲜时间．(精确到1小时)
分析：所谓指数型函数，就是指形如y＝maf(x)(a＞0，a≠1)的形式，本题由此利用待定系数法求之．
解：(1)根据条件设此函数为y＝kax，将(0,192)和(22,42)两点代入得
解之，得从而y＝192·.
(2)当x＝30时，；
当x＝16时，.
所以当温度为30
℃时保鲜时间约为20小时，当温度为16
℃时，保鲜时间约为64小时．
反思：有关函数的应用题，可通过待定系数法求出模型函数的表达式，再用此解答实际问题．
题型三
含参指数函数的讨论
【例3】已知函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0，a≠1)在区间[－1,1]上有最大值14，求实数a的值．
分析：函数y＝a2x＋2ax－1可通过换元法化归为二次函数，利用二次函数知识求解．
解：由y＝a2x＋2ax－1，得y＝(ax)2＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，令t＝ax，则y＝(t＋1)2－2.
①当a＞1时，因为x∈[－1,1]，
所以t∈.
因为函数y＝(t＋1)2－2的对称轴为t＝－1，
所以函数在上为增函数．
所以当t＝a时，函数y＝(t＋1)2－2有最大值，
即(a＋1)2－2＝14，解得a＝3.
②当0＜a＜1时，因为x∈[－1,1]，
所以t∈.
因为函数在上为增函数．
所以当t＝时，函数y＝(t＋1)2－2有最大值，
即2－2＝14，解得a＝.
综上可知，实数a的值为3或.
反思：本题容易出现以下错误：
(1)误认为函数y＝a2x＋2ax－1在x∈[－1,1]上就是单调增函数，据此得x＝1时函数有最大值14，列方程解出a.
(2)令t＝ax，x∈[－1,1]，不论0＜a＜1还是a＞1，就认为t的取值范围是[a－1，a]，由此作为外层函数的定义域引出错误．
1由于技术的改进，某厂从2008年起，两年来产值平均每年比上一年提高12.4%，如果按照这个增长率继续发展，估计__________年该厂年产值可比2008年翻一番．
答案：2014
2某商品零售价2009年比2008年上涨了25%，现要使2010年比2008年只上涨10%，则2010年应比2009年降价__________%.
答案：12
3某林区2008年木材蓄积量为200万m3，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.
(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万m3，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；
(2)求至少经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万m3
解：(1)y＝200(1＋5%)x，其中x∈N
.
(2)由题意，200(1＋5%)x≥300，x∈N
，
解得x≥9，x∈N
.
即至少经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万m3.
4已知函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
解：若a＞1，则a2－a＝，得a＝，
若0＜a＜1，则a－a2＝，得a＝.
综上所述，a＝或.
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13.2.2
对数函数
名师导航
知识梳理
1.对数函数的定义
函数__________(a>0且a≠1)叫做对数函数；它是指数函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数.
对数函数y=logax(a>0且a≠1)的定义域为__________，值域为__________.
2.对数函数的图象
由于对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数，所以y=logax的图象与y=ax的图象关于直线对称.因此，我们只要画出和y=ax的图象关于y=x对称的曲线，就可以得到y=logax的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质.
3.对数函数的性质
a>1
0图象
a>1
0性质
①定义域:(0,+∞)
②值域:R
③图象过定点(1,0)
④在(0,+∞)上是增函数
④在(0,+∞)上是减函数
疑难突破
怎样把对数函数与指数函数联系起来研究
答：对数函数的反函数是指数函数，所以要利用指数函数的性质来研究对数函数.应该让学生注意到：(1)这两种函数都要求底数a＞0，且a≠1；对数函数的定义域为?(0，+∞)，结合图象看，对数函数在y轴左侧没有图象，即负数与0没有对数，也就是真数必须大于0.这些知识可以用来求含有对数函数的定义域.
(2)通过将对数函数与指数函数的图象进行对比，可以发现：当a＞1或0＜a＜1时，对数函数与指数函数的单调性是一致的〔即在区间(0，+∞)上同时为增函数，或者同时为减函数〕.对数函数的图象都经过点(1，0)，这与性质loga1=0a0=1是分不开的.
(3)既然对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数，那么它们的图象关于直线y=x对称.于是通过对a分情况讨论(约定不同的取值范围)，再结合函数y=log2x,y=x的图象来揭示对数函数的性质，应该是一件水到渠成的事.
(4)指数函数与对数函数可以对比如下：
名称
指数函数
对数函数
一般形式
y=ax(a>0,a≠1)
y=logax(a>0,a≠1)
定义域
(-∞,+∞)
(0,+∞)
值域
(0,+∞)
(-∞,+∞)
函数值变化情况
当a>1时,ax=当0当a>1时,logax当0名称
指数函数
对数函数
单调性
当a>1时,ax是增函数;当0当a>1时,logax是增函数;当0图象
y=ax的图象与y=logax的图象关于直线y=x对称
问题探究
问题
为什么在定义对数函数y=logax时要规定a＞0且a≠1？
探究思路：因为对数函数与指数函数互为反函数，因此要根据互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称的关系，它们的定义域与值域正好交换，它们的对应法则是互逆的这些特征.我们已理解指数函数y=ax中a＞0且a≠1，所以对数函数y=logax中也必须a＞0且a≠1.
典题精讲
例1
下图是对数函数y=logax当底数a的值分别取，，，时所对应的图象，则相应于C1，C2，C3，C4的a的值依次是(
)
A.,,,
B.,,,
C.,,,
D.,,,
思路解析
因为底数a大于1时，对数函数的图象自左向右呈上升趋势，且a越大，图象就越靠近x轴；底数a大于0且小于1时，对数函数的图象自左向右呈下降趋势，且a越小，图象就越靠近x轴.
答案:A
例2
比较大小：
(1)log0.27和log0.29；(2)log35和log65；(3)(lgm)1.9和(lgm)2.1(m＞1)；(4)log85和lg4.
思路解析
(1)log0.27和log0.29可看作是函数y=log0.2x当x=7和x=9时对应的两函数值，由y=log0.2x在(0，+∞)上单调递减，得log0.27＞log0.29.
(2)考察函数y=logax底数a＞1的底数变化规律，函数y=log3x(x＞1)的图象在函数y=log6x(x＞1)的上方，故log35＞log65.
(3)把lgm看作指数函数的底数，要比较两数的大小，关键是比较底数lgm与1的关系.若lgm＞1即m＞10，则(lgm)x在R上单调递增，故(lgm)1.9＜(lgm)2.1.若0＜lgm＜1即1＜m＜10，则(lgm)x在R上单调递减，故(lgm)1.9＞(lgm)2.1.若lgm=1即m=10，则(lgm)1.9=(lgm)2.1.
(4)因为底数8、10均大于1，且10＞8，
所以log85＞lg5＞lg4，即log85＞lg4.
解答:(1)log0.27＞log0.29；(2)log35＞log65；
(3)m＞10时，(lgm)1.9＜(lgm)2.1，m=10时，lgm=1，(lgm)1.9=(lgm)2.1，1＜m＜10时，(lgm)1.9＞(lgm)2.1；(4)log85＞lg4.
例3
已知函数y=lg(-x)，求其定义域，并判断其奇偶性、单调性.
思路解析
注意到+x=，即有lg（-x）=-lg（+x），从而f（-x）=lg（+x）=-lg（-x）=-f（x），可知其为奇函数.又因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，所以我们只需研究（0，+∞）上的单调性.
解:由题意-x＞0，解得x∈R，即定义域为R.
又f（-x）=lg［-（-x）］=lg（+x）=lg=lg（-x）-1=-lg（-x）=-f（x）,∴y=lg（-x）是奇函数.任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＜x2，
则＜+x1＜+x2>，
即有-x1＞-x2＞0，
∴lg（-x1）＞lg（-x2），即f（x1）＞f（x2）成立.
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数.
又f（x）是定义在R上的奇函数，故f（x）在（-∞，0）上也为减函数.
例4
作出下列函数的图象：
(1)y=|log4x|-1；(2)y=|x+1|.
思路解析
(1)y=|log4x|-1的图象可以看成由y=log4x的图象经过变换而得到：将函数y=log4x的图象在x轴下方部分以x轴为对称轴翻折上去，得到y=|log4x|的图象，再将y=|log4x|的图象向下平移1个单位，横坐标不变，就得到了y=|log4x|-1的图象.
思路解析
(2)y=|x+1|的图象可以看成由y=x的图象经过变换而得到：将函数y=x的图象作出右边部分关于y轴的对称图象，即得到函数y=|x|的图象，再将所得图象向左平移一个单位，就得到所求的函数y=|x+1|的图象.
答案:函数(1)的图象作法如图①—③所示.
函数(2)的图象作法如图④—⑥所示.
例5
设a≠0，对于函数f(x)=log3(ax2-x+a)，
(1)若x∈R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)∈R，求实数a的取值范围.
思路解析
f(x)的定义域是R，等价于ax2-x+a＞0对一切实数都成立，而f(x)的值域为R，等价于其真数ax2-x+a能取遍大于0的所有实数值，(1)与(2)虽只有一字之差，但结果却大不相同.
解答:(1)f(x)的定义域为R，则ax2-x+a＞0对一切实数x恒成立，其等价条件是解得a＞.
(2)f(x)的值域为R，则真数ax2-x+a能取遍大于0的所有实数，其等价条件是解得0＜a≤.
知识导学
1.对数函数的图象
作对数函数的图象一般有两种方法：一是描点法，即通过列表、描点、连线的方法作出对数函数的图象；二是通过观察它和指数函数图象之间的关系，并利用它们之间的关系作图.
2.应用对数函数性质比较大小
比较大小是对数函数性质应用的常见题型.当底数相同时，可利用对数函数的性质比较；当底数和指数不同时，要借助于中间量进行比较.比较两个对数式的大小，底相同时，可利用对数性质进行比较.不同类的函数值的大小常借助中间量0、1等进行比较.
3.图象平移
图象平移在教材中是通过例题引出的，并由这个特殊的例子得出了一般结论：一般地，当a＞0时，将y=log2x的图象向左平移a个单位长度便得到了函数y=log2(x+a)的图象；当a＞0时，将函数y=log2x的图象向右平移a个单位长度便可得到函数y=log2(x-a)的图象.
4.反函数的图象和性质
对数函数y=logax(a＞0且a≠1)与指数函数y=ax(a＞0且a≠1)互为反函数，这两个函数的图象关于直线y=x对称.
疑难导析
1.对数函数的概念
由于指数函数y=ax在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数.
我们把指数函数y=ax(a＞0，a≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=logax(a＞0，a≠1).
因为指数函数y=ax的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=logax的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).
2.对数函数的图象与性质
对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图象对称于直线y=x.据此即可以画出对数函数的图象，并推知它的性质.
利用函数的单调性可进行对数大小的比较.比较对数大小的常用方法有：
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.
(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.
(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.
(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.
问题导思
充分体会互为反函数的两个函数之间的关系.
典题导考
绿色通道
由对数函数的图象间的相对位置关系判断底数a的相互关系，应根据对数函数图象与底数间的变化规律来处理.在指数函数y=ax中，底数a越接近1，相应的图象就越接近直线y=1，对数函数与指数函数是一对反函数，其图象是关于直线y=x对称的，直线y=1关于直线y=x的对称直线是x=1，所以我们有结论：对数函数y=logax，底数a越接近1，其图象就越接近直线x=1.
典题变式
函数f(x)=|log2x|的图象是(
)
答案:A
绿色通道
两数(式)大小的比较主要是找出适当的函数,把要比较的两数作为此函数的函数值,然后利用函数的单调性等来比较两数的大小,一般采用的方法有:(1)直接法:由函数的单调性直接作答;(2)作差法:把两数作差变形,然后判断其大于、等于、小于零来确定;?(3)作商法:若两数同号,把两数作商变形,判断其大于、等于、小于1来确定;(4)转化法:把要比较的两数适当转化成两个新数大小的比较;(5)媒介法:选取适当的“媒介”数，分别与要比较的两数比较大小，从而间接地求得两数的大小.
典题变式
若loga2＜logb2＜0，则a、b满足的关系是(
)
A.1＜a＜b
B.1＜b＜a
C.0＜a＜b＜1
D.0＜b＜a＜1
答案:D
绿色通道
研究函数的性质一定得先考虑定义域，在研究函数单调性时，注意奇偶性对函数单调性的影响，即偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性；奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性.
典题变式
已知函数f(x)=loga(a＞1且b＞0).
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性.
解:(1)由解得x＜-b或x＞b.
∴函数f(x)的定义域为(-∞，-b)∪(b，+∞).
(2)由于f(-x)=loga()=loga()=loga()-1=-loga()=-f(x)，
∴f(x)为奇函数.
绿色通道
画函数图象是研究函数变化规律的重要手段.画函数图象通常有两种方法：列表法和变换法.变换法有如下几种：
平移变换：y=f(x+a)，将y=f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位而得到；y=f(x)+a，将y=f(x)的图象向上(a＞0)或向下(a＜0)平移|a|个单位而得到.
翻折变换：y=|f(x)|，将y=f(x)的图象在x轴下方部分沿x轴翻折到x轴的上方，其他部分不变；y=f(|x|)，它是一个偶函数，x≥0时图象与y=f(x)的图象完全一样；当x≤0时，其图象与x≥0时的图象关于y轴对称.
对称变换：y=-f(x)，它的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称；y=f(-x)，它的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称；y=-f(-x)，它的图象与y=f(x)的图象关于原点成中心对称.
伸缩变换：y=f(ax)(a＞0)，将y=f(x)图象上各点的横坐标压缩(a＞1)或伸长?(0＜a＜1)到原来的a倍，纵坐标不变；y=af(x)(a＞0)，将y=f(x)图象上各点的横坐标不变，纵坐标压缩
(0＜a＜1)或伸长(a＞1)到原来的a倍.
典题变式
函数y=lg|x|(
)
A.是偶函数，在区间(-∞，0)上单调递增
B.是偶函数，在区间(-∞，0)上单调递减
C.是奇函数，在区间(0，+∞)上单调递增
D.是奇函数，在区间(0，+∞)上单调递减
答案:B
绿色通道
解对数不等式，在转化为代数不等式时，不仅要结合对数函数的单调性脱去对数符号，还要注意使每个对数式都有意义.
典题变式
设函数f(x)=x2-x+b，且f(log2a)=b，log2［f(a)］=2(a≠1)，求f(log2x)的最小值及对应的x的值.
解答:
由已知得即
由①得log2a=1，∴a=2.
代入②得b=2.∴f（x）=x2-x+2.
∴f（log2x）=log22x-log2x+2=（log2x-）2+.
∴当log2x=时，f（log2x）取得最小值，
此时x=.
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13．2．2 对数函数
第1课时 对数函数的概念与性质
1．初步理解对数函数的概念．
2．掌握对数函数的定义域、值域、单调性等对数函数的性质．
1．对数函数的概念
函数y＝logax(a＞0，a≠1)叫做对数函数，它的定义域为(0，＋∞)．
【做一做1】下列函数是对数函数的有________．
①y＝2x；②y＝x2；③y＝log2x；④y＝lg
x；⑤y＝ln(x2＋1)；⑥y＝logx(x＋1)．
答案：③④
2．对数函数的图象与性质
由于对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数，所以y＝logax的图象与y＝ax的图象关于直线y＝x对称．因此，我们只要画出和y＝ax的图象关于y＝x对称的曲线，就可以得到y＝logax的图象(如下图)，然后根据图象特征得出对数函数的性质．
a＞1
0＜a＜1
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0
x∈(0,1)时，y＜0x∈(1，＋∞)时，y＞0
x∈(0,1)时，y＞0x∈(1，＋∞)时，y＜0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
对数增减有思路，函数图象看底数，
底数只能大于0，等于1来也不行，
底数若是大于1，图象从下往上增，
底数0到1之间，图象从上往下减．
无论函数增和减，图象都过(1,0)点．
【做一做2－1】写出下列函数的值域．
(1)y＝lg
x：__________；
(2)y＝lg(x2－2x＋2)：__________.
答案：(1)R (2)[0，＋∞)
【做一做2－2】比较下列各数的大小．
(1)log26__________log27；
(2)log0.10.3__________log0.10.4.
答案：(1)＜ (2)＞
怎样把对数函数与指数函数联系起来研究？
剖析：(1)对数函数的反函数是指数函数，所以要利用指数函数的性质来研究对数函数．应该注意到：这两种函数都要求底数a＞0，且a≠1；对数函数的定义域为(0，＋∞)，结合图象看，对数函数在y轴左侧没有图象，即负数与0没有对数，也就是真数必须大于0.这些知识可以用来求含有对数的函数的定义域．
(2)通过将对数函数与指数函数的图象进行对比，可以发现：当a＞1或0＜a＜1时，对数函数与指数函数的单调性是一致的〔即在区间(0，＋∞)上同为增函数，或者同为减函数〕．对数函数的图象都经过点(1,0)，这与性质loga1＝0a0＝1是分不开的．
(3)既然对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数，那么它们的图象关于直线y＝x对称．
(4)指数函数与对数函数可以对比如下：
名称
指数函数
对数函数
一般形式
y＝ax(a＞0，a≠1)
y＝logax(a＞0，a≠1)
名称
指数函数
对数函数
定义域
(－∞，＋∞)
(0，＋∞)
值域
(0，＋∞)
(－∞，＋∞)
函数值变化情况
当a＞1时，当0＜a＜1时，
当a＞1时，当0＜a＜1时，
单调性
当a＞1时，y＝ax是增函数；当0＜a＜1时，y＝ax是减函数
当a＞1时，y＝logax是增函数；当0＜a＜1时，y＝logax是减函数
图象
y＝ax的图象与y＝logax的图象关于直线y＝x对称
题型一
对数函数的定义域与值域
【例1】求下列函数的定义域．
(1)y＝；(2)y＝log(2x－1)(3x－2)．
解：(1)由
得x＞－1且x≠7，
所以定义域为(－1,7)∪(7，＋∞)．
(2)由得x＞，且x≠1.
所以所求定义域为∪(1，＋∞)．
反思：对于对数函数f(x)＝logax来说，必须考虑两大条件，其一是真数x＞0，其二是底数a＞0且a≠1.
【例2】求下列函数的值域．
(1)；
(2)y＝(log2x)2－log2(4x)＋2.
解：(1)∵4x－x2＝－(x－2)2＋4≤4，
∴由0＜4x－x2≤4得≥＝－2，
即所求值域为[－2，＋∞)．
(2)y＝(log2x)2－log24－log2x＋2＝2－.
∵log2x∈R，∴当log2x＝，
即x＝时，ymin＝－.
∴所求值域为.
反思：有关对数函数的值域问题，除函数y＝logax的值域为R外，还可通过化归的方法，转化为二次函数的值域问题求解．
题型二
利用函数单调性比较大小
【例3】比较大小：
(1)log0.27与log0.29；
(2)log35与log65；
(3)(lg
m)1.9与(lg
m)2.1(m＞1)；
(4)log85与lg
4.
分析：(1)log0.27和log0.29可看做是函数y＝log0.2x，当x＝7和x＝9时对应的两函数值，由y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减，得log0.27＞log0.29.
(2)∵log35＞1，log65＜1，
∴log35＞log65.
(3)把lg
m看做指数函数的底数，要比较两数的大小，关键是比较底数lg
m与1的关系．若lg
m＞1即m＞10，则(lg
m)x在R上单调递增，故(lg
m)1.9＜(lg
m)2.1.若0＜lg
m＜1，即1＜m＜10，则(lg
m)x在R上单调递减，故(lg
m)1.9＞(lg
m)2.1.若lg
m＝1即m＝10，则(lg
m)1.9＝(lg
m)2.1.
(4)∵底数8,10均大于1，且10＞8，
∴log85＞lg
5＞lg
4，即log85＞lg
4.
解：(1)log0.27＞log0.29.
(2)log35＞log65.
(3)当m＞10时，(lg
m)1.9＜(lg
m)2.1；
当m＝10时，lg
m＝1，(lg
m)1.9＝(lg
m)2.1；
当1＜m＜10时，(lg
m)1.9＞(lg
m)2.1.
(4)log85＞lg
4.
反思：本题大小比较代表了几个典型的题型．其中(1)是直接利用对数函数的单调性；(2)是对数函数底数变化规律的应用；(3)是指数函数单调性及对数函数性质的综合运用；(4)是中间量的运用．当两个对数的底数和真数都不相同时，需要找出中间量来“搭桥”，再利用对数函数的增减性，常用的中间量有0,1,2等，可通过估算加以选择．
题型三
对数方程与不等式
【例4】(1)解不等式：log3(4－x)＞2＋log3x；
(2)解方程：－3lg
x＋4＝0.
分析：对于(1)，将对数不等式转化为解代数不等式组，对于(2)用换元法将其转化为一元二次方程．
解：(1)原不等式可化为log3(4－x)＞log3(9x)，
其等价于解得0＜x＜.
所以原不等式的解集为
(2)设＝t，则t≥0.
原方程化为－t2＋t＋2＝0，
解得t＝2或t＝－1(舍去)．
由＝2，得lg
x＝2.故x＝100.
经检验x＝100是原方程的解．
反思：(1)形如f(logax)＝0，f(logax)＞0的对数方程或不等式，往往令t＝logax进行换元转化．
(2)解对数方程和不等式时要注意防止定义域的扩大，处理办法为：第一，若不是同解变形，最后一定要验根；第二，解的过程中要加限制条件，使定义域保持不变，即进行同解变形，最后通过解混合不等式组得到原不等式的解．
1下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是__________．
①y＝－2x＋1；②y＝；③y＝－(x－1)2；④(x－1)．
解析：由y＝＝－1－可知，它在(1，＋∞)上为增函数．
答案：②
2函数y＝的值域是__________．
解析：因为f(x)＝－3x2＋6x＋7＝－3(x－1)2＋10≤10，所以原函数的值域为[0,1]．
答案：[0,1]
3若a＝log3π，b＝log76，c＝log20.8，则a，b，c的大小关系为__________．
解析：a＝log3π＞1,0＜b＝log76＜1，c＝log20.8＜0.
答案：c＜b＜a
4函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是__________．
解析：由得－＜x＜1.
答案：
5设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝__________.
解析：∵a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上是增函数，∴当x＝a时，函数有最小值f(a)＝1；当x＝2a时，函数有最大值f(2a)＝loga2a.
∴loga2a－1＝，解得a＝4.
答案：4
6解下列方程与不等式．
(1)lg(x2＋4x－25)－lg(x－3)＝1；
(2)lg(x＋2)＞lg(x＋1)＋1.
解：(1)原方程可化为x2＋4x－25＝10(x－3)，
解之，得x1＝1，x2＝5.但当x＝1时，方程无意义，舍去．所以所求方程的解为x＝5.
(2)原不等式可化为解之，得－1＜x＜－，所以原不等式的解集为.
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