1.2
子集、全集、补集
课堂导学
三点剖析
一、运用补集的概念解题
【例1】
设集合A={|2a-1|,2},B={2,3,a2+2a-3},且A={5},求实数a的值.
解：由符号A,知AB,由A={5},知5∈B且5A,
所以a2+2a-3=5,
即a=2或-4.
当a=2时,|2a-1|=3,这时A={3,2},B={2,3,5},
所以A={5},适合题意,所以a=2.
当a=-4时,|2a-1|=9,这时A={2,9},B={2,3,5},AB,
所以A无意义,a=-4应舍去.
综上讨论可知a=2.
温馨提示
在由A={5}求得a=2或a=-4之后,验证其是否符合隐含条件AB是必要的,否则就会把a=-4误认为是本题的答案了.集合是一种数学语言,如果不能从这种语言中破译出它的全部含义,那么就会造成各种各样的错误.
二、利用数形结合的思想求补集
【例2】
已知全集U=R，当集合A分别取下列集合时，写出A的补集.
（1）A={x|x>0};
(2)A={x|x>2或x≤-1};
(3)A={5}.
解析：利用数轴求A的补集，
(1)A={x|x≤0};
(2)A={x|-1
(3)A={x>5或x<5}.
温馨提示
利用数轴的直观性来解决此类抽象的问题具有明显的优势，务必学会这种方法.
三、利用补集的性质解题
【例3】
设全集U(U≠)和集合M、N、P,且M=N,N=P,则M与P的关系是(
)
A.M=P
B.M=P
C.MP
D.MP
解析：直接利用补集的性质,得M=N=(P)=P.故选B.
答案：B
温馨提示
本题也可利用Venn图求解.
其中竖线部分表示N,横线部分表示P.
各个击破
类题演练
1
设U={x|x≤8,且x∈N},A={1,2},B={2,3,6}，求A,B.
解：由题意知U={0,1,2,3,4,5,6,7,8},
所以A={0,3,4,5,6,7,8}，B={0,1,4,5,7,8}.
变式提升
1
定义集合A
B={x|x∈A且xB}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，求
（1）A
B的子集；
（2）A
（A
B）.
解析：（1）∵A
B={x|x∈A且xB},
∴A
B={1,7},
∴A
B的子集有,{1},{7}，{1，7}.
（2）∵A
B={1,7},
∴A
(A
B)={3,5}.
类题演练
2
已知全集U={x|0（1）A={x|1（2）A={x|0答案：（1）A={x|0＜x≤1或x=10＝；
（2）A={x|2变式提升
2
若集合A={x|x>2}，当全集U分别取下列集合时，写出A.
（1）U={x|x∈R}；
（2）U={x|x≥0}；
（3）U={x|x≥2}.
答案：(1)A={x|x≤2};
(2)A={x|0≤x≤2};
(3)A={x|x=2}.
类题演练
3
设A、B为任意两个集合,I为全集,且AB,则集合A、B的包含关系为(
)
A.BA
B.BA
C.AB
D.AB
解析：利用韦恩图得出A与B集合的关系AB，故选B.
答案：B
变式提升
3
设全集U和集合A、B、P，A=B，P=B，则A与P的关系是_____________.
解析：由韦恩图可知A=P.
答案：A=P
PAGE
13.1
指数函数
课堂导学
三点剖析
一、指数函数的图象和性质
【例1】在同一个坐标系中画出下列各函数的图象：
①y=2x；②y=5x；③y=()x；④y=()x.
(1)观察四个函数的图象,看它们有何特点 你能从中总结出一般性结论吗
(2)由y=5x的图象，怎样画出y=5x+3的图象？怎样画出y=5x+3的图象？
解析:指数函数y=ax(a＞0且a≠1)恒过两个点(0,1)和(1,a).这四个函数都经过(0,1),又分别经过(1,2)(1,5)(1,)(1,).再由函数的单调性就可以画出四个函数的大致图象(如右图).
(1)根据图象可知函数①与④，②与③分别关于y轴对称.
规律：①一般地，指数函数y=ax(a>0且a≠1)与y=a-x(a>0且a≠1)的图象关于y轴对称.
②y=ax(a>0且a≠1)中，当底a>1时，在y轴右侧，底越大图象越靠近于y轴；在y轴左侧，底越大图象越靠近于x轴.当底0(2)把y=5x的图象向左平移3个单位可得y=5x+3的图象，把y=5x的图象向上平移3个单位可得y=5x+3的图象.
温馨提示
(1)记住例1中(1)的结论，在同一坐标系中画指数函数的简图或比较幂的大小时，可直接应用.
(2)函数图象的平移规律：
y=f(x)y=f(x+a);
y=f(x)y=f(x)+h.
二、底数a>1和0【例2】
比较下列各题中两个数的大小.
（1）1.72.5，1.73；（2）0.8-0.1，0.8-0.2；（3）1.70.3，0.93.1.
解析:（1）考查指数函数y=1.7x，由于底数1.7>1，所以指数函数y=1.7x在（-∞，+∞）上是增函数.∵2.5<3,∴1.72.5<1.73.
(2)考查函数y=0.8x,由于0<0.8<1,所以指数函数y=0.8x在(-∞,+∞)上为减函数.∵-0.1>-0.2,∴0.8-0.1<0.8-0.2.
(3)由指数函数的性质得1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1.∴1.70.3>0.93.1.
温馨提示
比较两个同底的指数的大小，若底数为字母，应分类讨论(底数大于1，大于0小于1两种).底数不同的两个指数比较大小，常借助于中间量（如0、1）.
三、幂函数与指数函数的区别
【例3】
请判断下列哪些函数是指数函数.
y=()x,y=-3x,y=π-x,y=x3,y=2×3x,y=4x+1,y=22x,y=(a-2)x(a>3),y=xx(x>0,x≠1),y=(1-2)x,y=.
解析:∵y=π-x=()x,y=22x=(22)x=4x,
∴指数函数有y=()x,y=π-x,y=22x,y=(a-2)x(a>3).
不是指数函数的有y=-3x,y=x3,y=2×3x,y=4x+1,y=xx(x>0,x≠1),y=(1-2)x,y=.
温馨提示
认为y=(1-)x为指数函数，是没注意底数1-<0.认为y=π-x、y=22x不是指数函数，则是没把解析式变成y=ax的形式.这都是易犯的错误.
各个击破
类题演练
1
函数y=a|x|（a>1）的图象是（
）
解析：y=a|x|（a>1），当x≥0时，y=ax在第一象限为增函数，当x<0时，因y=a|x|是偶函数，所以图象关于y轴对称，画出另一半，选B.
答案：B
变式提升
1
画出函数y=2|x+1|的图象，并根据图象指出它的单调区间.
解析:由函数解析式可得：
y=2|x+1|=
其图象分成两部分,一部分是y1=()(x+1)(x<-1)的图象,而它的图象是将y=（）x
的图象沿x轴的负方向平移一个单位而得到.另一部分是y2=2x+1(x≥-1)的图象,而它的图象可以看作将y=2x的图象沿x轴的负方向平移一个单位而得到,（如右图）由图知,单调递减区间是(-∞,-1),单调递增区间是［-1,+∞］.
类题演练
2
比较下列各组数的大小.
(1)522,533;
(2)a1.5,a1.8(a>0且a≠1);
(3)0.8-3,.
解析:(1)由y=5x在R上为增函数可知522<533.
(2)当a>1时，a1.5当0a1.8.
(3)∵0.8-3>1,0<<1,
∴0.8-0.3>.
变式提升
2
求满足>(mm)2的正数m的取值范围.
解析:原不等式变形为:
>m2m,
(1)m>1时,m2>2mm>2,或m<0.
∴m>2.
(2)0∴0综上所述,所求m的值的范围为m>2,或0类题演练
3
指出下列函数哪些是指数函数:
①y=4x;②y=x4;③y=-4x;④y=(-4)x;⑤y=πx;⑥y=;⑦y=xx;⑧y=(2a-1)x(a>,且a≠1).
解析:①⑤⑧为指数函数;②是幂函数;③是-1与指数函数4x的乘积;④中底数-4<0,不是指数函数;⑥中指数不是自变量x,而是x的函数;⑦中底
数x不是常数,它们都不符合指数函数的定义.
变式提升
3
下列函数中的指数函数为________________.
①y=x2，②y=8x，③y=（2a+1）x（a>-,a≠0),
④y=,⑤y=2.749x,⑥y=,⑦y=(x2)x,⑧y=-10x.
解析:①为幂函数,④中底数小于0,⑥⑦⑧均为复合函数,故答案为②③⑤.
答案：②③⑤
PAGE
13.1.2
分数指数幂
课堂导学
三点剖析
一、指数的定义及运算性质
【例1】求下列各式的值：
(1);(2);(3)（）5;(4).
思路分析：(1)(2)(3)用公式=|计算.(4)要注意x、y、z的符号.
解析:(1)=-9.
(2)=|3-π|=π-3.
(3)()5=-2.
(4)观察式子可知，≥0,即x·z≤0(z≠0).
==||=-|y|.
温馨提示
(4)易犯==的错误，而没有注意符号.
二、根式与分数指数幂互化
【例2】
用分数指数幂的形式表示下列各式.
(1)a3·;
(2);
(3);
(4).
解析:(1)a3=a3·==.
(2)===.
(3)===.
(4)=====.
温馨提示
(1)注意掌握公式=a和==(a>0,m、n均为正整数)的熟练应用.
(2)含有多个根号时，一般由里向外逐个变形，化成分数指数幂的形式.
三、利用分数指数幂的性质求值
【例3】若+=3,求的值.
解析:∵+=3,两边平方可得x+x-1=7,再平方可得x2+x-2=47.
+=(+)(x-1+x-1)=3×(7-1)=18,
∴==.
温馨提示
若由已知条件解出x的值则较麻烦,要注意设法从整体上寻求结果与条件的联系，善于对已知式和所求式进行变形，利用已学过的乘法公式，化繁为简，化难为易.
各个击破
类题演练
1
求下列各式的值：
（1）；（2）.
解析:（1）原式==3.
（2）原式==.
变式提升
1
比较，，的大小.
解析:∵===，
===，
而8<9，
∴<，
即<，===，
==，而25<32,
∴<.因此,<<.
类题演练
2
化简·.
解析:原式=·=·==a-2.
变式提升
2
求值或化简.
（1）（a>0,b>0）;
(2)7-3-6+.
解:（1）原式=·
=a-2b=.
（2）原式=7×-3××2-6×+
=-6×+
=2×-2×3×
=2×-2×3=0.
类题演练
3
已知2x+2-x=5，求下列各式的值：
（1）4x+4-x；（2）8x+8-x.
解析:（1）4x+4-x=（2x+2-x）2-2×2x·2-x
=25-2=23；
（2）8x+8-x=（2x）3+（2-x）3
=（2x+2-x）［（2x）2-2x·2-x+（2-x）2］
=（2x+2-x）［4x+4-x-1］=5（23-1）=110.
变式提升
3
已知2（4x+4-x）-7（2x+2-x）+10=0，求2x+2-x的值.
解析:令y=2x+2-x=2x+≥2，则原式可以化为2y2-7y+6=0，解得y=2或y=（舍），∴2x+2-x=2.
PAGE
12．2．2 函数的奇偶性
课堂导学
三点剖析
一、函数奇偶性的概念
【例1】
已知f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x3+2x2-1,求f(x)的解析式.
思路分析:由于给出了f(x)在x>0时的解析式，求f(x)在x<0时的解析式应转化到x>0上，利用已知解析式求.f(0)利用奇函数的定义求.
解析：∵f(x)为奇函数，且0在定义域内，
∴f(-0)=-f(0)，
即f(0)=0.
设x<0，则-x>0,
∴f(-x)=(-x)3+2(-x)2-1=-x3+2x2-1.
∵f(x)为奇函数，
∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)=-f(-x)=x3-2x2+1.
∴f(x)=
温馨提示
已知函数的奇偶性求函数的解析式,可根据函数奇偶性的定义（记住，奇函数若在0处有定义，一定是f(0)=0）.除此法外，也可根据奇函数、偶函数图象的特点求解.
二、函数奇偶性的判定
【例2】
判断下列函数的奇偶性.
（1）f(x)=x3+2x;
(2)f(x)=2x4+3x2;
(3)f(x)=x3+x2.
解析：(1)函数的定义域为R，它关于坐标原点对称，
又f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x).
即f(-x)=-f(x),所以函数f(x)=x3+2x是奇函数.
(2)函数的定义域为R，它关于坐标原点对称，
又f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2,
即f(-x)=f(x),所以函数f(x)=2x4+3x2为偶函数.
（3）函数的定义域为R，它关于坐标原点对称，
f(-x)=(-x)3+(-x)2=-x3+x2,
与-f(x)和f(x)都不相等，所以f(x)=x3+x2为非奇非偶函数.
温馨提示
在判断函数奇偶性时，首先求函数定义域，看它是否关于原点对称，这点千万不能忘了.
三、函数奇偶性的综合应用
【例3】
函数f(x),x∈R，若对于任意实数，a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b).求证：f(x)为奇函数.
思路分析：先验证f(0)=0,再验证f(-x)=-f(x).
证明：设a=0，则f(b)=f(0)+f(b),
∴f(0)=0.
又设a=-x,b=x,
则f(0)=f(-x)+f(x).
∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)是奇函数.
温馨提示
判断函数奇偶性都是紧扣定义，抽象函数奇偶性的判断也不例外，但判断一个抽象函数是奇函数，必须验证f(0)=0是否成立，而判断一个抽象函数是否是偶函数就不需验证f(0)=0.这是因为，对于偶函数f(x),f(0)可以取任意值.
各个击破
类题演练
1
已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0,+∞)时，f(x)=x(1+),求f(x).
解析：当x<0时,-x>0,
由已知f(-x)=(-x)［1+］=-x(1-).
∵f(x)是奇函数，故f(-x)=-f(x)，
∴-f(x)=-x(1-),
∴f(x)=x(1-3x),(x<0).
又由f(x)是奇函数，可得f(0)=-f(0),
∴f(0)=0.
∴f(x)=
变式提升
1
已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x|x-2|,求x<0，f(x)的表达式.
解析：设x<0时，则-x>0，且满足表达式f(x)=x|x-2|,
∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.
又f(x)是奇函数，有f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=-x|x+2|.∴f(x)=x|x+2|.
故当x<0时，f(x)=x|x+2|.
类题演练
2
判断下列各函数的奇偶性.
(1)f(x)=-；
（2）f(x)=|x+a|-|x-a|.
解析：（1）f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称，且f(-x)=-==-f(x).
∴f(x)=-是奇函数.
(2)f(x)=|x+a|-|x-a|的定义域为R，且f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-(|x+a|-|x-a|)=-f(x).
∴f(x)为奇函数.
变式提升
2
判断函数f(x)=的奇偶性.
解析：f(-x)===-f(x).
∴f(x)是奇函数.
类题演练
3
对任意x,y∈R,且x,y≠0,已知函数y=f(x)(x≠0)满足f（xy)=f(x)+f(y).
求证：（1）f(1)=f(-1)=0；
（2）y=f(x)为偶函数.
证明：（1）令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0,同理f(-1)=0.
(2)令y=-1，得f(-x)=f(x)+f(-1),
则f(-x)=f(x)，故f(x)为偶函数.
变式提升
3
定义在（-1，1）上的奇函数f(x)=,试确定常数m、n的值.
解析：∵f(x)为奇函数，且0∈(-1,1),
∴由f(0)=0，可得m=0.
又∵f(-x)+f(x)=0,∴+=0,
即x2-nx+1=x2+nx+1,∴2nx=0.
∵x∈(-1,1),∴n=0.∴m=n=0.
PAGE
12.1.4
函数的表示方法
课堂导学
三点剖析
一、用适当方法表示函数及分段函数
【例1】
已知f(x)=
(1)求f(1),f(-2),f(a2+1),f［f(0)］的值；
（2）画出f(x)的图象.
思路分析：（1）先确定自变量的取值属于哪一段，再用该段的解析式求函数值.（2）分两段作函数的图象，每一段一般都先作出端点.
解析：(1)f(1)=12+1=2,
f(-2)=2×（-2）+1=-3，
f(a2+1)=(a2+1)2+1=a4+2a2+2,
f［f(0)］=f(1)=12+1=2.
(2)f(x)的图象如下图所示.
温馨提示
(1)关键是理解分段函数的意义，即自变量在不同范围内取值时，相应的函数解析式不同.
（2）f［g(x)］是g(x)作为自变量执行“f”这个对应法则，求f［f(x0)］的值应从里向外求.
二、求函数解析式
【例2】
（1）已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,
f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)；
（2）已知f(+4）=x+8,求f(x2).
思路分析：（1）可设出二次函数，根据已知条件，确定待定系数.（2）中应先求出f(x)，再求f(x2).
解析：（1）∵f(x)是二次函数，
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由f(0)=1得c=1.
由f(x+1)-f(x)=2x,得
a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x.
左端展开整理得2ax+(a+b)=2x.
由恒等式原理知∴∴f(x)=x2-x+1.
(2)设t=+4.∴=t-4(t≥4).
由f(+4)=x+8可得f(t)=(t-4)2+8(t-4)=t2-16(t≥4）.
∴f(x)=x2-16(x≥4）.
∴f(x2)=x4-16(x≥2或x≤-2）.
温馨提示
在（2）中求f(x2)，千万不能直接代入f(+4)=x+8，得f(x2)=x2+8|x|，这是没明白x2与+4有同等地位，都执行“f”这个对应法则导致的.
三、利用分段函数解决实际问题
【例3】
在国内投寄外埠平信，每封信不超过20克付邮资80分，超过20克不超过40克付邮资160分，超过40克不超过60克付邮资240分，依此类推，每封x克（0解析：设每封信的邮资为y，则y是信件重量x的函数.这个函数关系的表达式为
f(x)=
函数值域为{80，160，240，320，400}.
在直角坐标系中描点作图，函数图象如下图.
温馨提示
用函数知识解实际问题，一要注意自变量的取值范围；二要注意自变量x和函数y的取值是否具有实际意义.
各个击破
类题演练
1
已知函数y=f(x),f(0)=1，且当n∈N
时，有f(n)=nf(n-1)，求f(0),f(1),f(2),f(3),f(4),f(5).
解析：f(0)=1；
f(1)=1·f(1-1)=1·f(0)=1；
f(2)=2·f(2-1)=2·f(1)=2×1=2；
f(3)=3·f(3-1)=3·f(2)=3×2=6；
f(4)=4·f(4-1)=4·f(3)=4×6=24；
f(5)=5·f(5-1)=5·f(4)=5×24=120；
变式提升
1
已知x∈N
,f(x)=则f(3)=__________.
解析:∵f(x)=
∴f(3)=f(3+2)=f(5)=f(5+2)=f(7)=7-5=2,故f(3)=2.
答案：2
类题演练
2
(2004湖北卷高考理，3)已知f()=，则f(x)的解析式可取为（
）
A.
B.-
C.
D.-
解析：设=t，则x=.
∴f(t)===
即f(x)=，故选C.
答案：C
变式提升
2
已知函数φ(x)=f(x)+g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且φ()=16,φ(1)=8，求φ(x)的表达式.
解析：设f(x)=k1x,g(x)=,则φ(x)=k1x+,
∵φ（）=16，φ(1)=8,
∴解得
∴φ（x）=3x+.
类题演练
3
某地出租车的出租费为4千米以内（含4千米），按起步费收10元，超过4千米按每千米加收2元，超过20千米（不含20千米）每千米再加收0.2元，若将出租车费设为y，所走千米数设为x，试写出y=f(x)的表示式.
解析：当0当4当x>20时,y=10+32+(x-20)×2.2=2.2x-2.
综上所述，y与x的函数关系为y=
变式提升
3
如下图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BC、CD、DA由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x,△ABP的面积为y=f(x).
(1)求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；
（2）作出函数的图象，并根据图象求y的最大值.
解析：函数定义域为（0，12）.
当0当4当8∴函数解析式为f(x)=
（2）作出f(x)的图象（下图）.
由图象看出［f(x)］max=8.
PAGE
13.2.4
对数函数的图象与性质的应用
课堂导学
三点剖析
一、对数的图象与性质的应用
【例1】
比较log1.10.7与log1.20.7的大小，并说明理由.
思路分析：由于这两个数不同底，所以不能直接应用单调性，而应借助图象或找一中间量.
解析：log1.10.7=,log1.20.7=.
∵0∴>.
又lg0.7<0,∴<,
即log1.10.7温馨提示
比较对数型数值的大小，同底的可利用对数函数的单调性；若底数不同真数相同，可理解为对应同一自变量的两个函数值的大小比较，借助图象不难得出结论；若底数、真数均不相同，则应寻找介数或确定各数所在范围.
二、对数知识同其他知识的综合应用
【例2】
求函数y=lg的定义域、值域，并讨论其单调性.
解析：(1)要使函数有意义，必须>0,
∴x>-1或x<-2.
∴函数y=lg的定义域为{x|x>-1或x<-2}.
(2)令u=,u==1+.
∵x>-1或x<-2,
∴u=1+>0且u≠1.∴y=lgu≠0,
即函数y=lg的值域为{y|y∈R且y≠0}.
(3)设x1∵x1∴x2-x1>0,x1+1<-1,
x2+1<-1.
∴>0,
即u=在(-∞,-2)上是减函数.
则y=lg在(-∞,-2)上是减函数.
同理可证y=lg在(-1，+∞)上是减函数.
温馨提示
求y=logaf(x)型的函数的单调性时，应先讨论f(x)的单调性，然后讨论y的单调性.
当a>1时，y与f(x)的单调性一致；当0三、含对数的复合函数的有关运算
【例3】
已知x满足不等式2（x）2+7x+3≤0,求函数f(x)=(log2x4)·(log2x2)的最大值和最小值.
解析：由2（x）2+7x+3≤0可解得-3≤x≤-，即2≤x≤8.
∴≤log2x≤3.
∵f(x)=(log2x-2)(log2x-1)=(log2x-)2-,
∴当log2x=,即x=2时，f(x)有最小值-.
当log2x=3,即x=8时，f(x)有最大值2.
∴f(x)min=-,f(x)max=2.
温馨提示
本题用到利用对数函数的单调性求函数最值的方法.这种方法的基本思路是，先求出复合函数的定义域，再求出复合函数的单调区间，最后根据函数的单调性得出最值.
各个击破
类题演练
1
(2004辽宁高考，2)对于0）
①loga(1+a)②loga(1+a)>loga(1+)
③a1+a<
④a1+a>
A.①与③
B.①与④
C.②与③
D.②与④
解析：∵0∴loga(1+a)>loga(1+1a),a1+a>.
答案：D
变式提升
1
设00且a≠1,比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小.
解析：当a>1时，
∵01,0<1-x<1,
|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-loga(1-x)-loga(1+x)=-［loga(1-x)+loga(1+x)］=-loga(1-x2)>0.
即|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.
当0|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=loga(1-x)+loga(1+x)=loga(1-x2)>0.∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.
因此，当00且a≠1时，总有|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.
类题演练
2
(2006全国高考卷Ⅱ理，2)已知函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则（
）
A.f(2x)=e2x
(x∈R)
B.f(2x)=ln2·lnx(x＞0)
C.f(2x)=2ex(x∈R)
D.f(2x)=lnx+ln2
(x＞0)
解析：由题意，得f(x)=lnx.于是f(2x)=ln2x=lnx+ln2.
故选D.
答案：D
变式提升
2
试讨论函数f(x)=loga(-x2-4x+5)(其中a>0,且a≠1)的单调性、奇偶性.
解析：由-x2-4x+5>0,解得-5∴函数f(x)
的定义域（-5，1）.∴函数f(x)为非奇非偶函数.
令u=-x2-4x+5,则有f(u)=logau.
∵u=-x2-4x+5=-(x+2)2+9,且-2∈(-5,1).
∴函数u在区间（-5，-2）内单调递增，在区间［-2，1］内单调递减.
又∵01时，函数f(u)=logau在其定义域内为增函数，
∴a>1时,函数f(x)在（-5，-2）上为增函数，在［-2，1］上为减函数.0类题演练
3
(2006江苏南京高三期末，10)设0）
A.loga(xy)<0
B.0C.1D.loga(xy)>2
解析：取a=,y=,x=,∴logaxy=(·)==5.
因此，可排除A、B、C,故选D.
答案：D
变式提升
3
求函数y=x-x+5，x∈［2,4］的最大值或最小值，及其对应的x值.
解析：令x=t,∵x∈［2,4］，∴t∈［-1，-］.则y=t2-t+5=(t-)2+.
则当t=-，即x=-，即x=2时，y取得最小值;
当t=-1，即x=-1，即x=4时，y取得最大值7.
PAGE
13.1
指数函数
课堂导学
三点剖析
一、指数函数图象和性质的应用
【例1】
解下列不等式.
(1)(0.2)2x-1>;
(2)9x-4·3x+1+27>0;
(3)<()1-2x(a>0且a≠1).
解析:(1)原不等式可化为51-2x>5-2,由y=5x为增函数可知1-2x>-2,解得x<.故所求x的范围为x<.
(2)原不等式可化为(3x)2-12·3x+27>0.设3x=t,则t2-12t+27>0,解得t>9或t<3.当t>9时，即3x>9,
∴x>2.当t<3时，3x<3,
∴x<1.
故满足条件的实数x的范围为x>2或x<1.
(3)原不等式可化为a2x-1>.
当a>1时，y=ax在R上为增函数，
∴2x-1>.
解得x>.
当0∴2x-1<.解得x<.
综上可知，当a>1时，x>;
当0温馨提示
指数不等式主要有两种类型：(1)可化为af(x)>ag(x)，当a>1时，转化为f(x)>g(x);当00(或<0).令t=ax,转化为关于t的一元二次不等式At2+Bt+C>0(或<0)，先求t的范围，再求x的范围，注意t>0.
二、指数函数图象和性质的应用
【例2】
已知a>0且a≠1,讨论f(x)=a-x2+3x+2的单调性.
解析:设u=-x2+3x+2=-(x-)2+,则当x≥时,u是减函数，当x≤时.u是增函数，又当a>1时，y=au是增函数，当01时,原函数f(x)=在［,+∞］上是减函数,在(-∞,)上是增函数.
当0温馨提示
求复合函数的单调区间：（1）先求函数定义域，再看这个函数由哪两个函数复合而成；（2）遵循的原则是“同增异减”，即y=f(u)与u=g(x)单调性相同时，则y=f［g(x)］为增函数；当y=f(u)与u=g(x)单调性相异时，y=f［g(x)］为减函数.
三、指数函数的实际应用
【例3】
用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，写出存留污垢y与漂洗次数x的函数关系式.若要使存留的污垢不超过原来的，则至少要漂洗几次？
思路分析:若洗前衣服的污垢为1,洗第一次后存留的污垢为(1-)=,洗第二次后存留的污垢为×(1-)=()2，…,第x次后存留的污垢为()x-1·(1-)=()x.
解析:设衣服洗前的污垢为1，由题意知漂洗x次后衣服存留污垢y=()x(x∈N).
由题意知()x≤,即()2x≤()16.
∴2x≥16.
∴x≥8.
∴要使存留的污垢不超过原来的,至少要漂洗8次.
温馨提示
平均增长(降低)率公式a(1±x)n中的a为起初的量,n是增长(降低)的次数,取加号表示增长,减号表示降低.
各个击破
类题演练
1
设函数f(x)=若f(x0)>1,则x0的取值范围是（
）
A.(-1,1)
B.(-1,＋∞)
C.(-∞,-2)∪(0,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析:∵f(x0)>1,当x0≤0时,2-x0-1>1,2-x0>2,-x0>1,∴x0<-1;
当x0>0时,>1,
∴x0>1.
综上,∴x0∈(-∞,-1)∪(1,+∞).
答案:D
变式提升
1
设y1=a3x+1,y2=a-2x,其中a>0,a≠1.确定x为何值时,有y1>y2.
解析:∵y1>y2,
∴a3x+1>a-2x.
当a>1时,3x+1>-2x,得x>-.
当0得x<-.
综上所述,当a>1时,x∈(-,+∞).
当0类题演练
2
求函数y=36x-12×6x-5的单调区间.
解析:令6x=t,则t=6x在R上增函数,y=t2-12t-5=(t-6)2-41.
当t≥6,6x≥6即x≥1时,y是关于t的增函数;
当t≤6,6x≤6即x≤1时,y是关于t的减函数.
∴函数y=36x-12·6x-5的单调递增区间为［1,+∞),单调递减区间为(-∞,1］.
变式提升
2
已知y=+1,求其单调区间，并说明在每一单调区间上是增函数还是减函数.
解析:由-x2-x+2≥0，得-2≤x≤1.
设u(x)=-x2-x+2=-(x+)2+,在［-2，-］上，u(x)为增函数，也是增函数；在［-,1］上，u(x)为减函数，也是减函数.又知y=()x为减函数，
∴y=的单调增区间为［-,1］，单调减区间为［-2，-］.
类题演练
3
某种细菌经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=ekt(k为常数,t表时间,y表示细菌的个数),则k=_____________,经过5小时后一个病毒能繁殖为____________个.
解析:将(,2)代入y=ekt,得2=,∴k=2ln2,从而函数解析式为y=e(2ln2)t=(eln2)2t,令t=5,得y=210=1
024个,故填k=2ln2,1
024个.
答案：2ln2
1
024
变式提升
3
家用电器(如冰箱等)使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层,臭氧含量Q呈指数函数型变化,满足关系式Q=Q0e-0.002
5t,其中Q0是臭氧的初始量.
(1)随时间的增加,臭氧的含量是增加还是减少
(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失
解析:(1)Q=Q0e-0.002
5t=Q0()0.002
5t,0<<1,随t的增大,()0.002
5t减小,又Q0>0,∴Q=Q0()0.002
5t减小.
故Q是关于t的减函数.∴随时间t增加臭氧的含量逐渐减少.
(2)令=,即e-0.002
5t(t2-t1)=.由计算器得e-0.693
2=.
∴-0.002
5(t2-t1)=-0.693
2,解得t2-t1=277.
答案:(1)臭氧含量逐年减少.
(2)277年后减到一半.
PAGE
12.1.1
函数的概念
课堂导学
三点剖析
一、函数的概念及应用
【例1】
下列对应是不是从A到B的函数？
（1）A=R，B={x∈R|x>0}，f：x→y=|x|；
（2）A=B=N，f：x→y=|x-3|;
(3)A={x∈R|x>0},B=R,f：x→y=±；
(4)A={x|0≤x≤6},B={x|0≤x≤3},f：x→y=.
解析：（1）不是.因为A中的元素0在B中无元素与之对应.
（2）是.满足函数定义.
（3）不是.因为对于A中的每一个元素（如2）在B中都有两个元素（±
2）和它对应.不满足函数定义.
（4）是.满足函数定义.
温馨提示
一般地，两个非空集合间的对应关系有三种，一对一、多对一、一对多.由函数的定义可知构成函数的对应包括：一对一和多对一两种方式，由一对多构成的对应不能构成函数.
二、求函数定义域、函数值和函数解析式
【例2】
已知f(x)=x2+1,求f(-1),f［f(2)］
.
解析:∵f(-1)=(-1)2+1=2,
f(2)=22+1=5,
∴f［f(2)］=f(5)=52+1=26.
温馨提示
（1）y=f(x)的意思是y等于x在法则f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径，是联系x与y的纽带.给出自变量x，依据对应法则，可直接求得函数值.
（2）在求f［g(x)］类型的值时，应遵循先内后外的原则，即先求出g(x)的值，再把g(x)作为自变量，代入f(x)的解析式.
三、判断两个函数是不是同一函数
【例3】
判断下列各组函数是否表示同一函数.
（1）y=与y=x+1;
(2)y=与y=x-1.
解析：(1)表示不同函数，因为定义域不同.
(2)∵y=-1=与y=x-1的对应法则不相同，故不是同一函数.
温馨提示
判断两个函数是否相同，先观察定义域是否一致，若定义域一致，再看对应法则是否一致，由此即可判断.
各个击破
类题演练
1
下列对应是不是从A到B的函数？
（1）A=R，B=R，f：x→y=；
（2）A={a|a=n,n∈N
},B={b|b=,n∈N
},f：a→b=.
解析：（1）当x=0时，y值不存在，∴不是函数.
（2）是函数.
变式提升
1
判断下列各式，哪个能确定y是x的函数？为什么？
（1）x2+y=1；（2）x+y2=1.
解析：判断y是否是x的函数，只要确定x→y的对应是否为映射.
（1）由x2+y=1可得y=1-x2,对于任意x∈R，y有唯一的值与它对应，所以y是x的函数；
（2）由x+y2=1可得y=±,对于任意x∈(-∞，1),y有两个值与它对应，所以y不是x的函数.
类题演练
2
已知函数f(x)=2x-1,g(x)=求f［g(x)］和g［f(x)］的解析式.
解析：（1）当x≥0时，g(x)=x2,f［g(x)］=2x2-1;
当x<0时，g(x)=-1,f［g(x)］=2×(-1)-1=-3.
∴f［g(x)］=
(2)当2x-1≥0，即x≥时，g［f(x)］=(2x-1)2;
当2x-1<0，即x<时，g［f(x)］=-1.
∴g［f(x)］=
变式提升
2
(1)已知函数f(x)=x2,求f(x-1);
(2)已知函数f(x-1)=x2,求f(x).
解析：(1)f(x-1)=(x-1)2=x2-2x+1.
(2)令t=x-1,则x=t+1,由f(x-1)=x2可得f(t)=(t+1)2，∴f(x)=(x+1)2.
类题演练
3
下列各组函数中表示同一函数的是…（
）
A.f(x)=x与g(x)=()2
B.f(x)=|x|与g(x)=
C.f(x)=x|x|与g(x)=
D.f(x)=与g(t)=t+1(t≠1）
解析：A中定义域不同，B中解析不同，C中定义域不同.
答案：D
变式提升
3
下列四组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是（
）
A.f(x)=,g(x)=()4
B.f(x)=x,g(x)=
C.f(x)=1,g(x)=
D.f(x)=,g(x)=x-2
解析：A答案定义域不同.C答案也是定义域不同，前者x∈R，而后者x≠0.D答案还是定义域不同，前者x≠-2而后者x∈R，故选B.
答案：B
PAGE
11.1.1
集合的含义与表示
课堂导学
三点剖析
一、集合元素的特性
【例1】
给出下列表述:①某校高一(1)班个子比较高的男生全体;②由1、2、2、4的全体构成一个集合;③方程x2+3x+2=0的实数根;④全国著名的旅游风景区;⑤联合国常任理事国.以上能构成集合的是(
)
A.①③
B.②③⑤
C.③④⑤
D.③⑤
思路分析：依据集合的定义,应从集合中元素的确定性和互异性两个方面逐一分析.
解：①“个子比较高的男生”无明确的标准,不满足集合元素的确定性,故不能构成集合.类似地,④也不能构成集合.②中有相同的对象2,不满足集合元素的互异性,故不能构成集合.③和⑤都能满足集合中元素的确定性和互异性,故都能构成集合.
答案:D
温馨提示
判断某些对象的全体能否组成集合,主要是看它是否同时满足集合中元素的特性:确定性和互异性.
二、元素与集合之间的关系
【例2】
已知A={x|x是大于1且小于10的合数}，则下列数字属于集合A的是________.
①3
②5
③4
④6
思路分析：先确定出集合A中的具体元素，然后对照给出的数填空.
解析：∵4、6、9、8都是大于1且小于10的合数，
∴是③④.
答案：③④
温馨提示
要判断一个元素是否属于这个集合，关键看此元素是否满足集合中元素所满足的条件.
三、集合相等的应用
【例3】
已知M={2,a,b},N={2a,2,b2},且M=N,求a与b的值.
思路分析：由M=N可知,两个集合中的元素应该完全相同,应从元素相等入手分析.a可能等于2a,也可能等于b2,分两种情况.
解:根据集合相等的定义有或
解方程组可得或或a=.
再根据集合中元素的互异性,得
或a=.
温馨提示
解答本题容易出现思维的片面性,只想到M=N,从而可得a与b的三组解,而忽略了集合中的元素所满足的互异性.
各个击破
类题演练
1
考查下列每组对象能否构成一个集合:①美丽的小鸟;②3、x、x2三个实数;③不超过20的非负数.
解析：①“美丽的小鸟”无明确标准,即元素不具备确定性,因此①不能构成集合.②虽然三个实数已被指定,但3、x、x2之间有可能相等,因而不一定满足元素的互异性.③能构成集合.
变式提升
1
若3、a、a3能构成一个集合，你认为a应怎样取值？
解析：要构成集合应满足a≠3，a3≠3，a3≠a.
因此a≠3,a≠,a≠0,a≠1,a≠-1时，能构成一个集合.
类题演练
2
已知A={x|x≥5}，a=27,则（
）
A.a∈A
B.aA
C.{a}∈A
D.以上都不对
解析：∵2>5,
∴a∈A.
答案：A
变式提升
2
已知A={x|1解析：解决元素与集合之间关系问题，一定要认清集合中元素所满足的条件.由a∈A,得1＜a≤5,于是a的值为2、3、4、5.
类题演练
3
设集合A={1，a,b},B={a,a2,ab}，且A=B，求实数a,b.
解析：由元素的互异性知，a≠1,b≠1,a≠0，
又由A=B，得或
解得a=-1,b=0.
变式提升
3
已知三元素集合A={x,xy,x-y},B={0,|x|,y}，且A=B，求x与y的值.
解析：由元素的互异性知，x≠0,y≠0，
∴xy≠0.
又由A=B知0∈A，
从而x-y=0,x=y,
此时，A={x,x2,0},
B={0,|x|,x}，
∴x2=|x|，
则x=0（舍去），x=1（舍去），x=-1.
经验证：x=-1,y=-1适合题意.3.3
幂函数
课堂导学
三点剖析
一、幂函数定义、图象和性质
【例1】
比较下列各组数的大小：
(1)和;
(2)和;
(3)和;
(4),和.
解析：(1)函数y=在(0,+∞)上为减函数，又3<3.1,所以>.
(2)=-,函数y=在(0,+∞)上为增函数，又>,则>,从而<-.
(3)=,=,函数y=在(0,+∞)上为减函数.又>,所以=<=.
(4)>=1,0<<=1,<0，
所以<<.
温馨提示
比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，要善于运用“中间变量”法进行分组，常数0和1是常用的介数.
二、幂函数图象的位置和形状变化
【例2】
已知点(,2)在幂函数f(x)的图象上，点（-2，）在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有（1）f(x)>g(x);（2）f(x)=g(x);（3）f(x)解析：设f(x)=xα,则由题意得2=（）α，
∴α=2,
即f(x)=x2,再设g(x)=xβ,则由题意得=(-2)β,
∴β=-2,
即g(x)=x-2,在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象.
由图象可知：
(1)当x>1或x<-1时，f(x)>g(x);
(2)当x=±1时，f(x)=g(x);
(3)当-1温馨提示
(1)函数图象在解方程和不等式时有着重要的应用，请同学们仔细体会该题.
（2）注意本题中g(x)的定义域为{x|x≠0}，所以③中不包含x=0这一元素.
三、幂函数在实际中的应用
【例3】
某农药厂今年生产农药8
000吨，计划5年后把产量提高到14
000吨，问平均每年需增长百分之几？
解析：设平均增长率的百分率为x,则由题意
8
000(1+x)5=14
000,
即(1+x)5==1.75.
两边取对数，
5lg(1+x)=lg1.75,
lg(1+x)=lg1.75
=×0.243
=0.048
6.
∴1+x=1.118,
即x=0.118=11.8%.
答：平均每年需增长11.8%.
温馨提示
幂函数、指数函数、对数函数经常联合考查，要注意综合能力的培养.本列中若用a表示原有数量，x表示增(降)率，n表示年数，A表示n年后的总数，则有公式A=a(1+x)n.
各个击破
类题演练
1
比较下列各题中的两个值的大小：
（1）与;
(2)与.
解析：(1)∵=,=,
又∵幂函数y=在（0,+∞）上是增函数，而>,
∴>.
因此,>.
(2)∵函数y=的图象在第一象限内是一条下降曲线，∴>1-43=1.
同样，y=在第一象限内对应一条上升曲线.
∴<=1.因此,>.
变式提升
1
证明幂函数f(x)=在［0,+∞)上是增函数.
证明：任取x1、x2∈［0,+∞］且x10.
因为f(x1)-f(x2)=-==<0，
所以f(x1)类题演练
2
作出函数y=,y=和y=的图象.
解析：通过列表、描点、连线得到图象见下图.
变式提升
2
已知函数y=(n∈Z)的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数图象.
解析：因为图象与y轴无公共点，则n2-2n-3≤0,又图象关于y轴对称，则n2-2n-3为偶数.由n2-2n-3≤0得-1≤n≤3,又n∈Z,
∴n=0,±1,2,3.
当n=0时，n2-2n-3=-3不是偶数；当n=1时，n2-2n-3=-4为偶数；
当n=-1时，n2-2n-3=0为偶数；当n=2时，n2-2n-3=-3不是偶数；
当n=3时，n2-2n-3=0为偶数；所以n={-1,1,3}.
此时，幂函数解析式为y=x0(x≠0)或y=x-4.图象如下图.
类题演练
3
下列函数中，其中幂函数的个数为（
）
①张亮在时间t秒内骑车行走了1
km，那么他骑车的平均速度v==t-1
km/s
②李红在做物理实验时，得到关系式h=gt2=4.9t2
③一个细胞分裂按以下方式进行，其个数y与时间t的关系为y=2t
④马明在做匀速跑的过程中，其距离s与时间t的关系为s=t
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
解析：①④为幂函数，②为二次函数；③为指数函数.故选C.
答案：C
变式提升
3
已知函数f(x)=（m2+2m）·,m为何值时，f(x)是（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次函数；（4）幂函数.
解析：（1）若f(x)为正比例函数，则
m=1.
(2)若f(x)为反比例函数，则
m=-1.
(3)若f(x)为二次函数，则
m=.
(4)若f(x)为幂函数，则m2+2m=1,
∴m=-1±.
PAGE
12.1.2
函数的定义域、值域
课堂导学
三点剖析
一、求函数的定义域
【例1】
求下列函数的定义域,并用区间表示.
（1）f(x)=；
（2）f(x)=;
(3)f(x)=；
(4)f(x)=-+.
思路分析：当函数解析式给出，定义域就是使其解析式有意义自变量的范围；当一个函数由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时［如（3）（4）］，定义域是使各个部分都有意义的公共部分的集合
.
解析：（1）要使f(x)=有意义，必须x-2≠0，所以x≠2.
故函数的定义域是{x|x≠2}，区间表示为（-∞,2)∪(2,+∞).
(2)要使f(x)=有意义，必须3x+2≥0，所以x≥-.
故函数的定义域是{x|x≥-}，区间表示为［-,+∞］.
(3)由于00没有意义，所以x+1≠0.
①
又分式的分母不可为零，开偶次方根被开方数非负，所以|x|-x≠0，即x<0.
②
由①②可得函数的定义域为{x|x<0且x≠-1}，区间表示为（-∞，-1）∪（-1，0）.
（4）要使函数f(x)=-+有意义，必须
所以-≤x<2且x≠0，故函数的定义域为{x|-≤x<2且x≠0}，区间表示为［-,0)∪（0，2）.
二、函数值域的求法
【例2】
求下列函数的值域：
（1）y=x2-4x+6，x∈［1，5）；
（2）y=.
解析：这是二次函数在定义域范围内求值域的问题，可用配方法，结合二次函数的图象（如右图）来求.
（1）配方，得y=（x-2）2+2.
∵x∈［1,5)，
∴函数的值域为{y|2≤y<11}.
(2)∵y==-，
显然，y1=5+4x-x2的最大值是9，故函数y=的最大值是3，且y≥0.
∴函数y=的值域是［0，3］.
温馨提示
求函数值域常用的方法：①观察法：根据完全平方式、算术根、绝对值都是非负数的特点，以及函数的图象、性质等，观察得出函数的值域.②配方法：二次函数或转化为形如F（x）=a［f(x)］2+bf(x)+c的函数的值域，均可采用配方法求之.③分离变量法：一般形如y=可用此法求解.④换元法：形如y=ax+b±(a、b、c、d均为常数，且ac≠0）的函数，一般设t=，然后x用t表示出来，代入原函数，使原函数转化为关于t的二次函数，从而求出函数的值域，一定要注意t的范围，t≥0.
三、求形如f［g(x)］的定义域
【例3】
若函数f(x)的定义域是［1，4］，求f(x+2)、f(x2)的定义域.
解析：∵f(x)的定义域为［1,4］,
∴使f(x+2)有意义的条件为1≤x+2≤4，
即-1≤x≤2，则f(x+2)的定义域是［-1，2］.
同理，由1≤x2≤4，即-2≤x≤-1或1≤x≤2，则f(x2)的定义域为［-2,-1］∪［1，2］.
温馨提示
这里易误解为：由1≤x≤4,∴3≤x+2≤6.∴f(x+2)的定义域为［3，6］，忽视了f(x+2)有意义的条件，习惯性地代换x是错因.
各个击破
类题演练
1
函数y=的定义域为___________________.
解析：由已知应有
解得x≥-4且x≠-2，
所以定义域为［-4,-2）∪（-2，+∞).
答案：［-4,-2）∪（-2，+∞)
变式提升
1
已知函数f(x)的定义域是［a,b］，其中a<0b，求函数g(x)=f(x)+f(-x)的定义域.
解析：若g(x)的定义域为M，f(x)及f(-x)的定义域分别为A、B，则有M=A∩B，利用数轴分析得知，阴影部分即为所求.
∵函数f(x)有定义域为［a,b］,
∴
a≤x≤b.
若使f(-x)有意义，必须有a≤-x≤b,即有-b≤x≤-a.
∵a<0∴-a>0>-b.
又∵|a|>b>0,
∴a<-b,且b<-a.
∴函数g(x)的定义域为
{x|a≤x≤b}∩{x|-b≤x≤-a}={x|-b≤x≤b}.
类题演练
2
求下列函数的值域.
(1)y=3x+2,x∈{-1,0,1,2};
(2)y=-1;
(3)y=-x2-2x+3;
(4)y=;
解析：（1）函数的定义域为{-1，0，1，2}，
∵f(-1)=3×(-1)+2=-1,f(0)=2,f(1)=5,f(2)=8.
∴函数的值域为{-1，2，5，8}.
(2)∵≥0,∴-1≥-1.
∴函数值域是［-1，+∞).
(3)∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4.
∴当x=-1时，ymax=4.
∴函数的值域为（-∞，4］.
(4)y==1-,∵≠0，
∴y≠1.∴函数值域是（-∞，1）∪（1，+∞）.
变式提升
2
设A=［1，b］(b>1)，函数f(x)=(x-1)2+1,当x∈A时，f(x)的值域也是A，试求b值.
解析：∵x∈A，∴1≤x≤b，当x=1时，函数f(x)的最小值为1.
当x=b时，f(b)=(b-1)2+1为最大值.
∴（b-1)2+1=b，整理可得
b2-4b+3=0，
解得b=1或b=3.
∵b>1,∴b=3.
类题演练
3
已知f(x2-2x+3)的定义域为［-2，1］，求函数f(x)的定义域.
解析：令t=x2-2x+3,x∈［-2，1］.
∴t∈［2,11］,
∴f(x)的定义域为［2，11］
变式提升
3
已知函数f(x)的定义域为［a,b］,且a+b>0，求f(x2)的定义域.
解析：∵f(x)的定义域为［a,b］，即a≤x≤b.
那么a≤u=x2≤b.
又b>a且b>-a，∴b>|a|≥0.
∴当a≤0时，-≤x≤；
当a>0时，≤|x|≤.
即-≤x≤-或≤x≤.
综上所述，当a≤0时，x∈［-,］；
当a>0时，x∈［-,-］∪［,］
PAGE
13.2.1
对数的概念
课堂导学
三点剖析
一、对数的定义
【例1】
将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式：
(1)3x=;(2)=;(3)x=log27.
答案：(1)log3=x;(2)log5=-;(3)27x=
.
温馨提示
(1)由对数定义，指数式ax=N与logaN=x(a>0且a≠1)可相互转化，因此本题容易完成转化.但是要注意两种表示形式中a、x、N的相应位置.
(2)x=logaN实质上是N=ax的另一种表示形式.
二、对数概念的应用
【例2】
求下列各式中的x值：
(1)x=;
(2)x=-4;
(3)logx8=-3.
解析：(1)把x=化成()x=,
即()x=()4,
∴x=4.
(2)把x=-4化为x=()-4=16.
(3)把logx8=-3化为x-3=8，
即x==.
温馨提示
对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可利用对数式和指数式的互化求出另外一个.
三、对数的实际应用
【例3】
一种放射性元素，最初质量为500
g，按每年10%衰减.
（1）求t年后，这种放射性元素质量s的表达式；
（2）根据求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期.（精确到十分位）
解析：（1）最初的质量为500
g.
经过1年，s=500（1-10%）=500×0.9,
经过2年，s=500×0.92,由此类推，t年后，s=500×0.9t.
(2)解方程：500×0.9t=250.
0.9t=0.5.
lg0.9t=lg0.5,tlg0.9=lg0.5,t=≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期为6.6年.
温馨提示
利用对数的定义解决有关的实际问题，有一定的能力要求，在解题过程中，要领会在什么时候取对数，怎样取对数，取了对数以后又怎样运算这些常见的问题.
各个击破
类题演练
1
将下列指数形式化成对数形式：
（1）54=625；
（2）3-2=.
解析：（1）∵54=625，∴log5625=4.
(2)∵3-2=,∴log3=-2.
变式提升
1
将下列对数式化为指数式：
（1）log216=4；
(2)logx64=-6.
答案：（1）24=16.
（2）x-6=64.
类题演练
2
求下列各式中的x.
（1）log8x=-;
(2)logx27=.
答案：（1）由log8x=-,得x===2-2,即x=.
(2)由logx27=,得=27,即=33,故x==34=81.
变式提升
2
(1)求log84的值.
（2）已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.
解析：（1）设log84=x,根据对数的定义有8x=4.
即23x=22,∴x=,即log84=.
(2)∵loga2=m,loga3=n,∴am=2,an=3,
则a2m+n=(am)2·an=22×3=12.
类题演练
3
生物死亡后，体内的碳-14含量P的衰变规律是P=.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳-14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆汉墓的年代.
解析：由对数与指数的关系，指数式P=可写成对数式t=5
730P.
湖南长沙马王堆汉墓女尸中碳-14的残留量约占原始含量的76.7%，即P=0.767,那么t=5
7300.767.
由计算器可得t≈2
193.
所以，马王堆古墓约是2
100多年前的遗址.
变式提升
3
某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：（1）写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）.
解析：（1）x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x.
(2)10年后人口数为100×(1+1.2%)10≈112.7(万).
PAGE
12.3
映射的概念
课堂导学
三点剖析
一、映射的概念
【例1】以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射
(1)设A={矩形},B={实数},对应法则f为矩形到它的面积的对应;
(2)设A={实数},B={正实数},对应法则f为x→;
(3)设A={α|0°≤α≤180°},P={x|0(4)设A={(x,y)|x∈Z,|x|<2,y∈N
,x+y<3},B={0,1,2},对应关系为f:(x,y)→x+y.
解析:(1)这个对应是A到B的映射.因为它是单值对应.不过负实数在A中没有元素和它对应.
(2)不是映射.因为当x=0时,集合B中没有元素与之对应.
(3)不是映射.因为当α=180°或α为钝角时,B中没有元素和它们对应.
(4)应先明确集合A.
∵x∈Z且|x|<2,
∴x∈{-1,0,1}.
又∵y∈N
且x+y<3,
∴A={(-1,1),(-1,2),(-1,3),(0,1),(0,2),(1,1)}.
∵f:(x,y)→x+y,
∴A中每个元素都在B={0,1,2}中能找到唯一的元素与之对应.
∴f:(x,y)→x+y是从A到B的映射.
温馨提示
根据映射的定义,映射应满足存在性(即集合A中每一个元素在集合B中都有对应元素)和唯一性(即集合A中的每一个元素在集合B中只有唯一的元素与之对应).在所有对应关系中一对一、多对一都是映射,但一对多不是映射.
二、映射概念的应用
【例2】
(1)已知集合A=R,B={(x,y)|x、y∈R},f:A→B是从A到B的映射f:x→(x+1,x2+1),则在B中的对应元素为___________,(,)在A中的对应元素是____________.
(2)已知集合A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a}且a∈N,k∈N,x∈A,y∈B,映射f:A→B,使B中元素y=3x+1和A中元素x对应,求a及k的值.
解析:(1)将x=代入对应关系,可求得其在B中的对应元素为(+1,3).
由得x=,
即(,)在A中的对应元素为.
(2)∵B中元素y=3x+1和A中元素x对应,
∴A中元素1的象是4;2的象是7;3的象是10,
即a4=10或a2+3a=10.
∵a∈N,
∴由a2+3a=10,得a=2.
∵k的象是a4,
∴3k+1=16,得k=5.
答案:（1）(+1,3)
（2）a=2,k=5
温馨提示
根据映射的定义,结合题中所给的对应关系,明确A中的每一个元素所对应的元素.有时需列方程(或方程组)求解.
三、两集合的对应关系的应用
【例3】
已知A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f:A→B满足f(a)+f(b)=f(c),求映射f:A→B的个数.
思路分析:紧紧抓住映射f满足的条件f(a)+f(b)=f(c).由于符合条件的映射有多种类型.需进行分类讨论.可以就集合B中的有原象的元素个数进行分类讨论，也可以就f(c)的情况进行分类讨论.
解:(1)当A中三个元素都是对应0时,
则f(a)+f(b)=0+0=0=f(c),有一个映射.
(2)当A中三个元素对应B中两个元素时,满足f(a)+f(b)=f(c)的映射有4个,分别为1+0=1,0+1=1,(-1)+0=-1,0+(-1)=-1.
(3)当A中的三个元素对应B中的三个元素时,有两个映射,分别是(-1)+1=0,1+(-1)=0.
因此满足题设条件的映射有7个.
温馨提示
此题也可以这样进行分类讨论.
(1)f(c)=-1.则有f(a)=-1,f(b)=0和f(a)=0，f(b)=-1两种.
(2)f(c)=0，则有f(a)=f(b)=0和f(a)=-1，f(b)=1及f(a)=1,f(b)=-1三种.
(3)f(c)=1与（1）相似有两种.因此共有7种不同的映射.
各个击破
类题演练
1
下列对应是否是A到B的映射？是否是A到B的函数？
（1）A=R，B=R，f:x→y=;
（2）A={a|a=n,n∈N
},B={b|b=,n∈N
},f:a→b=;
（3）A={x|x≥0,x∈R},B=R，f:x→y,y2=x;
（4）A={平面M内的矩形}，B={平面M内的圆}，f:作矩形的外接圆.
解析：
（1）当x=0时，y值不存在，∴不是映射，也不是函数；
（2）是映射，也是函数；
（3）不是映射，因为是一对多的对应，也就不是函数；
（4）是映射；因A、B不是数集，∴不是函数.
变式提升
1
指出以下各对应，哪些是映射，哪些不是映射？为什么？
（1）已知A={平面上的圆}，B={平面上的四边形}，从A到B的对应法则是：作圆的内接四边形.
(2)已知A=Z，B=Q，从A到B的对应法则是f:y=2x.
(3)已知A=N，B=N，从A到B的对应法则是f:y=|x-3|.
(4)已知A=R，B=，从A到B的对应法则是f:y=x2.
解析：（1）不是映射.因为圆内接四边形不唯一确定，即集合A的圆在集合B中对应的四边形不止一个.
(2)是映射.
（3）是映射.
（4）是映射.
温馨提示
要紧扣映射的定义，只要集合A中任一元素在集合B中有唯一元素对应，就可叫做映射.如果A中有两个或两个以上的元素对应B中同一元素（如（4）），或B中尚有一些元素在A中没有原象（如（2）），也是映射所允许的.
类题演练
2
已知（x,y）在映射f下的象是(x+y,x-y)，求象（1，2）在f下的原象.
解析：由题意得
∴象（1，2）的原象是（，-）.
变式提升
2
已知(x,y)在映射f作用下的象是（x+y,xy）.
（1）求（-2，3）在f作用下的象；
（2）若在f作用下的象是(2，-3)，求它的原象.
解析：（1）∵x=-2,y=3,∴x+y=-2+3=1,
xy=(-2)×3=-6.
∴(-2,3)在f作用下的象是（1，-6）.
（2）∵解这个方程组得
∴(2,-3)在f作用下的原象是（3，-1）和（-1，3）.
类题演练
3
设M={a,b,c}，N={-2，0，2}.
从M到N的映射满足f(a)＞f(b)≥f(c)，试确定这样的映射f的个数.
解析：∵f(a)＞f(b)≥f(c)，可通过列表法求解:
f(a)
f(b)
f(c)
0
-2
-2
2
-2
-2
2
0
-2
2
0
0
故符合条件的映射f有4个.
变式提升
3
设集合M={-1,0,1},N={2,3,4,5,6},映射f:M→N,对任意x∈M都有x+f(x)+xf(x)是奇数，这样的映射f的个数为（
）
A.24
B.27
C.50
D.125
解析：从M→N建立映射，分3步：
第一步给元素找象，并非是N中5个元素都行，还要满足x+f(x)+xf(x)为奇数这个条件.
当x=0时，x+f(x)+xf(x)=f(x)为奇数，f(x)需为奇数，所以只能对应N中3和5两种情况.
而当x=-1时，x+f(x)+xf(x)=x,∴当x=-1时，在N中五个元素都可作为“-1”的象.同样，当x=1时，也有5种情况,可建立5×2×5=50个映射.故选C.
答案：C
PAGE
12.2.3
函数的最大（小值）
课堂导学
三点剖析
一、求出函数的最值
【例1】
已知函数f(x)=,x∈［1，+∞）.当a=时，判断函数的单调性，并求其最小值.
解析：当a=时,f(x)=x++2,
设x2>x1≥1，
则f(x2)-f(x1)=(x2++2)-(x1++2)=(x2-x1)+
-=.
∵x2>x1≥1，
∴x2-x1>0,2x1x2-1>0,2x1x2>0.
∴f(x2)-f(x1)>0，即f(x2)>f(x1).
故f(x)在［1,+∞)上为增函数.
∴f(x)在［1，+∞）上的最小值为f(1)=.
温馨提示
函数的单调性是确定函数在某个区间（特别是闭区间）上是否有最值的重要依据.
二、利用最值知识解决实际问题
【例2】
动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料长是30
m，那么宽x为多少m时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少m2？
解析：熊猫居室的宽为x
m，则长为30-3x
m，
由题意可得熊猫居室的面积S（x)为
S(x)=x·(30-3x)
=3(10x-x2)
=-3［（x-5)2-25］.
∵
∴0∴当x=5时，S（x)max=75(m2)，即宽x为5
m时，才能使所建造的熊猫居室的面积最大，最大面积为75
m2.
温馨提示
不求自变量x的范围（0三、二次函数图象的对称轴
【例3】
求f(x)=x2-2ax-1在区间［0,2］上的最大值和最小值.
思路分析：由于解析式中含有字母参数，函数在区间［0，2］上的最值与对称轴的位置有关，而对称轴的位置又取决于字母参数a的取值，因此应对字母参数a进行分析讨论.
解析：f(x)=(x-a)2-1-a2，对称轴为x=a.
①当a<0,由图（1）可知，
f(x)min=f(0)=-1,f(x)max=f(2)=3-4a.
②当0≤a<1时，由图（2）可知，
f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(2)=3-4a.
③当1f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(0)=-1.
④当a>2时，由图（4）可知，
f(x)min=f(2)=3-4a,f(x)max=f(0)=-1.
温馨提示
（1）由于对称轴是x=a，而a的取值不定，从而导致了分类讨论.
（2）不是应该分a<0,0≤a≤2,a>2三种情况讨论吗？为什么成了四种情况？因为抛物线的对称轴在区间［0，2］所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f(0),也有可能是f(2).
(3)习惯上，最大值用符号f(x)max表示，最小值用符号f(x)min表示.
（4）解答本题，画图是必不可缺少的，最好画出四种情况下的图形，从而有助于解题.
各个击破
类题演练
1
若函数f(x)=(x-1)2+a的定义域和值域都是［1,b］(b>1)，求a、b的值.
解析：∵函数f(x)在［1,b］上单调递增，
∴ymin=a,ymax=(b-1)2+a,
由题意，得
解得(舍去)或
所以，所求a的值为1，b的值为3.
变式提升
1
已知f(x)=x2-ax+(a>0)在区间［0,1］上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值.
解析：f(x)=(x-)2+-，又x∈［0，1］，且a>0，
∴g(a)=g(a)=
当0g(a)=-=-(a-1)2+≤；
当a≥2时,
g(a)=1-≤1-1=0.
∴当a>0时，g(a)≤，即g(a)的最大值为.
类题演练
2
某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社.在一个月（30天）里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，设每天从报社买进的报纸数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚得多少元？
解析：设每天应从报社买x份，易知250≤x≤400.设每月赚y元，得
y=0.5·x·20+0.5×250×10+(x-250)×0.08×10-0.35·x·30
=0.3x+1
050,x∈［250，400］.
所以当x=400时，ymax=120+1
050=1
170(元).
可知每天应从报社买400份报纸，获得利润最大，每月可赚1
170元.
变式提升
2
某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3
000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3
600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大收益是多少元？
解析：（1）当每辆车的月租金为3
600元时，未租出的车辆数为=12，
所以这时租出了100-12=88（辆车）.
（2）设每辆车的月租金定为x元，则月收益
f(x)=(100-)(x-150)-×50.
∴f(x)=-x2+162x-21
000
=-(x-4
050)2+307
050.
所以当x=4
050时，f(x)最大，最大值为307
050.
即当每辆车的月租金定为4
050元时，租赁公司的收益最大，最大收益为
307
050元.
类题演练
3
已知：二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数.
解析：利用二次函数一般式.
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，
由题意得解之得
∴所求二次函数为y=-4x2+4x+7.
变式提升
3
已知函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2.
在区间［0，2］上有最小值3，求a的值.
解析：∵f(x)=4(x-)2-2a+2.
①当≤0，即a≤0时；函数f(x)在［0,2］上是增函数，
∴f(x)min=f(0)=a2-2a+2.
由a2-2a+2=3，得a=1±,
∵a<0,∴a=1-.
②当0<<2，即0由-2a+2=3,得a=-(0,4)，舍去，
③当≥2，即a≥4时，函数f(x)在［0,2］上是减函数，
f(x)min=f(2)=a2-10a+18.
由a2-10a+18=3,得a=5±，
∵a≥4，∴a=5+.
综上所述，a=1-或a=5+.
PAGE
13.2.3
对数函数的概念及基本性质
课堂导学
三点剖析
一、对数函数的图象和性质
【例1】
利用对数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)π,e;
(2)0.3,0.04.
解析：(1)函数y=x在(0,+∞)上是增函数，而π>e>0,∴π>e.
(2)0.04==0.04=0.2.
又因为函数y=x在(0,+∞)上为减函数，
∴0.3<0.2,即0.3<0.04.
温馨提示
先把不同底数化为相同底数，再利用函数单调性比较大小是比较对数值大小的基本方法.
二、a>1或0【例2】
求函数y=(a>0且a≠1)的定义域.
思路分析：先由被开方数是非负数建立不等式，由于不等式中含有字母参数，再根据对数的性质对字母参数进行分类讨论.
解析：由1-loga(x+a)≥0,得loga(x+a)≤1.
当a>1时，0∴-a当0∴x≥0.
综上，当a>1时，函数的定义域为(-a,0).
当0温馨提示
对于对数函数问题，底数中含字母参数都必须进行分类讨论.
三、对数函数的单调性和单调区间的求法
【例3】
求函数y=log2(x2-x-6)的单调区间.
解析：令u=x2-x-6,则y=log2u.
∵y=log2u为u的增函数，
∴当u为x的增函数时，y为x的增函数;
当u为x的减函数时，y为x的减函数.
由x2-x-6>0,得x<-2或x>3.借助于二次函数图象可知：当x∈(-∞,-2)时，u是x的减函数;
当x∈(3,+∞)时，u是x的增函数.
所以，原函数的单调减区间是(-∞,-2),单调增区间是(3,+∞).
温馨提示
(1)研究函数的单调性，首先必须考虑它的定义域；
(2)对数函数的单调性，当底数是字母时，必须分底数大于1和底数大于0且小于1这两种情况进行讨论；
(3)对于复合函数的单调性，必须考虑u=g(x)与y=f(u)的单调性，从而得出y=f［g(x)］的单调性；
(4)判断函数的增减性，或者求函数的单调区间，一般都可借助函数图象求解.
各个击破
类题演练
1
比较下列各组数中两个值的大小.
（1）log23.4,log28.5;
(2)loga5.1,loga5.9(a>0,a≠1).
解析：(1)对数函数y=log2x,因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是log23.4(2)当a>1时，函数y=logax在（0,+∞）上是增函数，于是loga5.1当0loga5.9.
变式提升
1
比较下列两个值的大小：
（lgm）1.9,(lgm)2.1(m>1).
解析：若1>lgm>0,即1(lgm)2.1.
若lgm=1，即m=10时，（lgm）1.9=(lgm)2.1.
若lgm>1，即m>10时，y=(lgm)x在R上是增函数，∴（lgm）1.9<(lgm)2.1.
类题演练
2
已知f(x)=loga(a>0,且a≠1).
求f(x)的定义域；
解析：由对数函数定义知>0,
∴-1变式提升
2
(2006山东高考文，2)设f（x）=则f(f(2))的值为（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：∵f(2)=log3(22-1)=log33=1,∴f(f(2))=f(1)=2e1-1=2.故选C.
答案：C
类题演练
3
求函数y=log0.1(2x2-5x-3)的递减区间.
解析：先求函数的定义域，由2x2-5x-3=(2x+1)(x-3)>0,
得x<-,或x>3.令u=2x2-5x-3,y=log0.1u.
由于u=2(x-)2-6,可得u=2x2-5x-3(x<-或x>3)的递增区间为（3，+∞）,从而可得y=log0.1(2x2-5x-3)的递减区间为（3，+∞）.
变式提升
3
求函数y=(3+2x-x2)的单调区间和值域.
解析：由3+2x-x2>0解得函数y=(3+2x-x2)的定义域是-1设u=3+2x-x2(-1u2,即y1>y2,故函数y=(3+2x-x2)在区间（-1，1）上单调递减；同理可得，函数在区间（1，3）上是单调递增.
函数u=3+2x-x2(-1PAGE
12.2.4
函数的单调性、奇偶性综合应用
课堂导学
三点剖析
一、利用函数单调性、奇偶性的概念解题
【例1】已知f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是增函数,证明f(x)在(-∞,0)上是增函数.
思路分析：由于函数f(x)是抽象函数，我们只能根据奇函数和增函数的定义证明.由于f(x)在（0，+∞）上是增函数，只要能将（-∞,0）上的任意两个数x1＜x2转化到（0，+∞）内，就可以得到关于f(x1)和f(x2)的不等式.
证明:设x1-x2>0.
∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴f(-x1)>f(-x2).
又∵f(x)是奇函数,
∴-f(x1)>-f(x2),
从而有f(x1)∴f(x)在(-∞,0)上是增函数.
温馨提示
从理论上我们得到奇函数在对称区间上的单调性相同,同理可证偶函数在对称区间上的单调性相反.此结论做题时可直接用.
二、函数单调性与奇偶性的综合应用
【例2】
设f(x)是定义在R+上的函数，满足条件：
（1）f(xy)=f(x)+f(y);
(2)f(2)=1；
(3)在（0,+∞）上是增函数.
如果f(x)+f(x-3)≤2,求x的取值范围.
解析：令x=y=2,代入（1），
得f(4)=2f(2)=2.
∵f(x)+f(x-3)=f［x(x-3)］=f(x2-3x),
∴f(x2-3x)≤2=f(4).
∵f(x)在（0，+∞）上递增，
∴
解之得3＜x≤4.
故x的取值范围为（3，4］.
温馨提示
解此题的关键是通过函数单调性定义的可逆性，将函数值之间的大小关系转换为自变量或自变量函数式之间的大小关系，从而通过解不等式或不等式组求解.而所给出的函数又是抽象函数，故须通过赋具体值的方法，推证出函数的单调性，从而达到目的.
三、复合函数的奇偶性、单调性
【例3】
函数f(x),g(x)在区间［-a,a］上都是奇函数，则下列结论：①f(x)+g(x)在［-a,a］上是奇函数；②f(x)-g(x)在［-a,a］上是奇函数；③f(x)·g(x)在［-a,a］上是偶函数，其中正确的有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
解析：定义域相同，由奇（偶）函数的定义便知三个命题均正确.
答案：C
温馨提示
偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇（偶）数个奇函数的积、商（分母不为零）为奇（偶）函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（利用上述结论要注意各函数的定义域）
F1（x）=f(x)+f(-x)为偶函数；F2（x）=f(x)-f(-x)为奇函数.
各个击破
类题演练
1
已知偶函数f(x)在区间［0，π］上单调递增，那么下列关系成立的是（
）
A.f(-π)＞f(-2)＞f()
B.f(-π)＞f(-)＞f(-2)
C.f(-2)＞f(-)＞f(-π)
D.f(-)＞f(-2)＞f(π)
解析：由函数奇偶性和单调性，
可推得f()＜f(2)＜f(π),
即f（）＜f(-2)＜f(-π).
故选A.
答案：A
变式提升
1
定义在(-2,2)上的偶函数f(x),当x≥0时,f(x)是减函数,如果f(2-a)解析：∵f(x)在(-2,2)上为偶函数,∴f(|x|)=f(x).
由f(2-a)又∵f(x)当x≥0时为减函数,
∴
解得0∴所求a的范围为(0,1).
类题演练
2
设函数f(x)对
于任意x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＞0时，f(x)＜0,f(1)=-2.
求证f(x)是奇函数.
证明：在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=x=0和y=-x,分别得
f(0)=f(0)+f(0)f(0)=0.
f(x-x)=f(x)+f(-x)=0f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
变式提升
2
设函数f(x)的定义域为R，对任意实数，x1,x2,有f(x1)+f(x2)=2f()·f(),且f()=0,f(π)=-1,
(1)求f(0)的值；
（2）求证：f(x)是偶函数且f(π-x)=-f(x).
（1）解析：令x1=x2=π,则f(π)+f(π)=2f(π)f(0),
又∵f(π)=-1,∴f(0)=1.
(2)证明：令x1=x,x2=-x,则f(x)+f(-x),=2f(0)f(x).
∴f(x)=f(-x).
∴f(x)为偶函数.
f(π-x)+f(x)=2f（）f()=2f()·f()=0,
∴f(π-x)=-f(x).
类题演练
3
判断下列函数的奇偶性，并说明理由.
(1)f(x)=+;
(2)f(x)=+.
解析：（1）f(x)+f(-x)=+++=++1=+1=-1+1=0,
即f(-x)=-f(x)，故f(x)是奇函数.
（2）f(x)的定义域为{-1，1}，关于原点对称，又f(-1)=f(1)=0,即f(-1)=f(1),且f(-1)=-f(1).
故f(x)既是奇函数，又是偶函数.
变式提升
3
已知函数f(x)=.
(1)画出f(x)的草图；
（2）由图象指出f(x)的单调区间；
解析：（1）由f(x)=得f(x)=1-.
∴f(x)的图象可由y=-的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到如右图.
(2)由图象看出f(x)的单调区间为：（-∞,-1）,(-1,+∞)都为增区间.
PAGE
12.1.3
函数的图象
课堂导学
三点剖析
一、画常见函数的图象
【例1】
作出下列函数的图象：
（1）y=1-x,x∈Z；
（2）y=2x2-4x-3,0≤x<3.
思路分析：(1)∵定义域为Z，
∴这个函数图象是由一些间断的点组成，这些点都在直线y=1-x上.
(2)∵0≤x<3,y=2x2-4x-3=2(x-1)2-5,
∴图象为抛物线y=2x2-4x-3上的一段弧，其中（0，-3）在图象上，用实心点表示.
而点（3，3）不在图象上，用空心点表示.
解析：函数y=1-x（x∈Z）和y=2x2-4x-3（0≤x<3）的图象如下图所示.
温馨提示
在（2）中定义域为0≤x<3，画图时，不能把x=0,x=3相对应的点都画成实心点.
二、画含绝对值符号的函数的图象
【例2】
画出下列函数的图象.
（1）y=x|2-x|；
（2）y=|x2-4x+3|.
思路分析：含有绝对值号的要设法把绝对值号去掉.
(1)y=x|2-x|=
∴其图象由抛物线y=(x-1)2-1(x≥2）和y=-(x-1)2+1(x<2)的两部分组成.
（2）y=|x2-4x+3|=
图象由两条抛物线的两段组成.
解析：两函数的图象如下图所示
温馨提示
含绝对值号的一般进行讨论分成两段，其图象是由两个函数的图象组合而成.对于（2）还可用以下画法：
先画出y=x2-4x+3=(x-2)2-1的图象，x轴上方的保留不动，x轴下方的沿x轴翻折上去，如上图（2）.
对于y=|f(x)|的图象都可用此法，即先画出y=f(x)的图象，x轴上方保留不动，x轴下方沿x轴翻折上去.
三、函数图象的应用
【例3】
某人开车沿直线旅行，先前进了a
km，到达目的地后游玩用去了一段时间，又原路返回b
km（bkm，此人离起点的距离s与t的关系示意图是（
）
思路分析：把s看成时间t的函数,游玩那段时间里，时间变化，s没有变化，原路返回时，时间变化，s变小，再前进时，s变大，由此可得答案.
解析：A中图象分三段，第一、三段表示前进，第二段表示返回，没有停留的时候，A错.B中的第三段图象表示不经过任何时间前进了一段路程，这是不可能的，B错.D中没有一段图象表示返回，因此D也错.故选C.
答案：C
温馨提示
观察函数的图象要从运动的角度去看，通常的两个方向是同时运动的.
各个击破
类题演练
1
作出下列函数的图象：
（1）y=x+2；（x∈N
）；
（2）y=x2-2x+2（-1≤x<2）.
解析：（1）因定义域为N
，∴函数的图象是第一象限的点，这些点在直线y=x+2上.
（2）抛物线以x=1为对称轴，顶点坐标为（1，1），因-1≤x<2，所以图象为抛物线上包括顶点的一部分，不包括（2，2）点.
变式提升
1
作（1）y=|x-1|,(2)y=图象.
解析：（1）所给函数可写成分段函数y=是端点为（1，0）的两条射线（如图(1)）.
（2）这个函数的图象由两部分组成：当0当x≥1时，为直线y=x的一段（如图(2)）.
类题演练
2
画出y=|x-3|+|x+5|的图象.
解析：y=|x-3|+|x+5|=，其图象由三部分组成.
变式提升
2
画出y=x2-2|x|-1的图象.
解析：去绝对值符号
y=x2-2|x|-1=
所以图象如下图所示.
类题演练
3
如右图，△OAB是边长为2的等边三角形，直线x=t截这个三角形位于此直线左方的图形面积（见图中阴影部分）为y，则函数y=f(t)的大致图象为（
）
解析：x=t由O到B的变化过程，阴影部分的面积一直增大，只是开始增加速度慢，越接近于B增加越快，直线x=t从B到A，刚好与前半部分相反，故选D.
答案：D
变式提升
3
设x∈(-∞,+∞），求函数y=2|x-1|-3|x|的最大值.
解析：当x≥1时，y=2(x-1)-3x=-x-2；
当0≤x<1时，y=-2(x-1)-3x=-5x+2；
当x<0时，y=-2(x-1)+3x=x+2，因此y=
依上述解析式作出图象（如右图）
由图象可以看出：当x=0时，ymax=2.
PAGE
13.2.2
对数的运算性质
课堂导学
三点剖析
一、对数的运算性质
【例1】
若a>0,a≠1,x>0,y>0,x>y,下列式子中正确的个数为（
）
①logax+logay=loga(x+y)；
②logax-logay=loga(x-y)；
③loga=logax÷logay；
④loga(x·y)=logax·logay，
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：这4个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的.
答案：A
温馨提示
例题中列出的四种错误，由于与我们以前所学的运算相近，因而是极容易犯的错误类型.利用对数的性质进行计算每一步都要仔细，想一想有没有依据，这样才能有效地减少错误的发生.
二、对数运算性质的应用
【例2】求值：3.
解法一：设3=x,则()x=3,即()x=()3,∴x=3.
∴3=3.
解法二：3=()3=3.
解法三：3=3+=()2+=2+1=3.
温馨提示
解法一是利用对数定义得解的，而解法二与解法三是利用对数运算性质公式得解.通过比较显然可知，用好性质会大大简化运算过程.
三、求含有已知条件的对数式的值
【例3】
已知18a=9,18b=5，用a、b表示log3645.
解法一：由已知可得log189=a,log185=b,
∴log3645==
==.
解法二：log189=a,∴=a,=b.
∴log23=,log25=.
∴log3645===.
温馨提示
解法一虽然简单，但不具一般性，变形技巧性较强；而解法二根据18、9、5、45、36的质因数是2、3、5，而采用其中一个数为底，把条件、结论换底而得.由此可看出，合理地依据题意，将问题转换，找到其中的联系是解决此类问题的关键.
各个击破
类题演练
1
下面给出四个式子（a>0,a≠1,x>0,y>0,x>y）logax·logay=loga(x+y);logax+logay=loga(x+y);
loga=loga(x-y);loga(x-y)=,其中正确的有几个（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：由对数的公式知上面四个式子都不对，故选A.
答案：A
变式提升
1
设函数f(x)=则满足f(x)=的x的值是_______________.
解析：若4-x=，即4-x=4-1,∴x=1.
又∵x∈(-∞,1),∴x=1应舍去.
若log81x=,则x=,∴x=3.
∵x∈(1,+∞),∴x=3即为所求.
答案：3
类题演练
2
计算：lg52+lg8+lg5·lg20+(lg2)2
解析：原式=lg52+lg23+lg
5·lg(4×5)+(lg2)2
=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2
=2lg(5×2)+2lg5·lg2+(lg5)2+(lg2)2
=2+(lg5+lg2)2=3.
变式提升
2
计算：（1）log2+log212-log242-1;
(2)(log32+log92)·(log43+log83).
解析：(1)原式=log2+log212-log2-log22
=log2=log2
=log2=-.
(2)原式=（+）(+)
=(+)(+)
=·=.
类题演练
3
已知lg2≈0.301
0,lg3≈0.477
1,求lg.
解析：lg=lg
45=lg
=(lg9+lg10-lg2)
=(2lg3+1-lg2)=lg3+-lg2
≈0.477
1+0.5-0.150
5=0.826
6.
变式提升
3
设x、y、z∈R+,且3x=4y=6z.
(1)求证：-=;
(2)比较3x、4y、6z的大小.
(1)证明：设3x=4y=6z=k,
∵x、y、z∈R+,
∴k>1且x=,y=,z=.
于是-=-===.
(2)解析：∵3x-4y=lgk(-)=lgk·<0,
∴3x<4y.
又4y-6z=lgk(-)=lgk·<0,
∴4y<6z.∴3x<4y<6z.
PAGE
11.1.2
集合的表示方法
课堂导学
三点剖析
一、选用恰当的表示方法来正确表示一些简单的集合
【例1】
用列举法表示下列集合.
(1)A={x∈Z；x∈N
};
(2)B={x|x=+,a、b为非零实数};
(3){x|x为正偶数}.
思路分析：（2）小题需对a、b的符号进行分类讨论.
解析:(1)由题意,知2-x=±1或±2或±4,所以x=-2或0或1或3或4或6;
又因为x∈N
,所以用列举法表示为A={1,3,4,6}.
(2)当a>0,b>0时,x=2;
当a<0,b<0时,x=-2;
当a、b异号时,x=0.
所以用列举法表示为B={-2,0,2}.
(3)偶数集为{x|x=2k,k∈Z},又因为x是正数,所以k∈N
,用列举法表示为{2,4,6,8,…}.
温馨提示
使用列举法时应注意以下四点:(1)元素之间必须用“,”隔开;(2)元素不重复;(3)不必考虑元素出现的先后顺序;(4)对含有较多元素的集合,如果构成该集合的元素具有明显的规律性,可用列举法表示,但是必须把元素间的规律显示清楚后才能用省略号.
二、用恰当方法来表示一般的集合
【例2】
试分别用列举法和描述法来表示集合：
（1）由大于1小于8的所有整数组成的集合；
（2）方程y2-4=0的所有实数根组成的集合.
解析：（1）设大于1小于8的整数为x，它满足条件x∈Z且1（2）设方程y2-4=0的实根为y，并且满足条件y2-4=0，因此，用描述法表示为{y|y2-4=0,y∈R}.
方程y2-4=0有两个实根2、-2，因此，用列举法表示为{2,-2}.
温馨提示
列举法是从集合外延的角度给出集合,它是将集合所包含的元素罗列出来,所以集合中元素的意义十分明显.而描述法是从集合内涵的角度给出集合,它给出了集合中的代表元素及其所具有的共同性质,代表元素是决定组成集合的元素的标志,代表元素的性质不同,即使限定条件一样,所表示的集合也可能不同.
三、描述法中的代表元素的意义
【例3】
下面三个集合:
①A={y|y=x2+1};
②B={x|y=x2+1};
③{(x,y)|y=x2+1}.
(1)它们是不是相等的集合
(2)它们各自的含义是什么
解析：(1)不是相等的集合.
(2)集合①是函数y=x2+1的所有函数值y组成的集合,由二次函数图象可知,y≥1,所以{y|y=x2+1}={y|y≥1}.
集合②是函数y=x2+1的自变量x的允许值所组成的集合,因为x可以取任意实数,所以{x|y=x2+1}=R.
集合③是函数y=x2+1图象上的所有点的坐标组成的集合.
温馨提示
用描述法表示集合时,应弄清楚:①代表元素是什么,②代表元素的取值范围,③代表元素所具有的性质或所满足的条件.
各个击破
类题演练
1
用描述法表示下列集合：
(1){2,4,6,8,10};
(2)在直角坐标系中,不在坐标轴上的点的坐标的集合;
(3)以O为圆心,R为半径的圆上所有点组成的集合.
解析：(1){x|x=2k,k∈N
且k<6}.
(2){(x,y)|x≠0,x∈R且y≠0,y∈R}.
(3)设圆上的任意一点为P,
则{P||PO|=R}.
变式提升
1
请选用适当的方法表示下列集合:
(1)绝对值小于3的整数集合;
(2)被5除余2的所有整数的全体组成的集合;
(3)二元二次方程组的解集.
解析：(1)用列举法{-2,-1,0,1,2,}.
(2)用描述法{m|m=5n+2,n∈Z}.
(3)用列举法{(0,0)，（1，1）}.
类题演练
2
分别用两种不同的方法表示下列集合：
（1）小于6的所有自然数；
（2）方程x2=-x的所有实根组成的集合.
解析：（1）描述法{x|x<6且x∈N}
列举法{0,1,2,3,4,5}；
（2）描述法{x|x2=-x,x∈R}
列举法{0,-1}.
变式提升
2
用列举法表示下列集合：
（1）A={x|∈N,x∈N}.
（2）B={|x∈N,∈N}.
（3）C={y|y=-x2+6,x∈N,y∈N}.
（4）D={(x,y)|y=-x2+6,x∈N,y∈N}.
答案：（1）A={0,6,8}.
(2)B={1,3,9}.
(3)C={2,5,6}.
(4)D={(0,6),(1,5),(2,2)}.
类题演练
3
写出由一次函数y=x+3与y=-x+4的图象的交点组成的集合.
解析：由
解得
∴交点组成的集合是{(,)}.
变式提升
3
先后抛掷两枚骰子，点数和为7的所有可能用集合表示.
解析：可表示为{(m,n)|m+n=7,m∈N
,n∈N
}，其中m为第一枚骰子的点数，n为第二枚骰子的点数；或可用列举法表示为：{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}.
PAGE
11.3
交集、并集
课堂导学
三点剖析
一、交集与并集的概念
【例1】
设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.
(1)若A∩B=B,求a的值;
(2)若A∪B=B,求a的值.
解：首先化简集合A,得A={-4,0},
(1)由于A∩B=B,则BA,可知集合B或为空集,或只含有根0或-4.
①若B=,由Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,得a<-1.
②若0∈B,代入x2+2(a+1)x+a2-1=0,得a2-1=0,即a=1或a=-1,
当a=1时,B={x|x2+4x=0}={0,-4}=A,合题意;
当a=-1时,B={x|x2=0}={0}A,也合题意.
③若-4∈B,代入x2+2(a+1)x+a2-1=0,得a2-8a+7=0,即a=7或a=1.
当a=1时,②中已讨论,合题意;
当a=7时,B={x|x2+16x+48=0}={-12,-4},不合题意.
由①②③得a=1或a≤-1.
(2)因为A∪B=B,所以AB.
又A={-4,0},而B至多只有两个根,因此应有A=B.
由(1)知,a=1.
二、交集与并集符号之间的区别与联系
【例2】
设集合A={x|x2=8x-15,x∈R},B={x|cos>0,x∈R},则A∩B的元素个数为__________个.
解析：由x2-8x+15=0,
解得x1=3,x2=5,
∴A={3,5},
又由B，得cos>0,
∴2kπ-<<2kπ+,k∈Z,
∴4kπ-π∴B={x|4kπ-π（1）当k=0时，-π∴A∩B={x|x=3};
（2）当k=1时，3π∴A∩B=;
（3）当k=-1时，-5π∴A∩B=.
故A∩B的元素个数为1.
答案：1
温馨提示
由于集合B带有参数k，所以应对k进行分类讨论.
三、利用数形结合思想求解集合的交、并集问题
【例3】
50名学生报名参加A、B两项课外学科小组,报名参加A组的人数是全体学生的,报名参加B组的人数比报名参加A组的人数多3人,两组都没报名的人数比同时报名参加A、B两组人数的多1人,求同时报名参加A、B两组的人数和两组都没报名的人数.
解：设同时报名参加两组的人数为x,则两组均没报名的人数为x+1,
根据Venn图可得(30-x)+(33-x)+x+(x+1)=50,
由此解得x=21.
故两组都没报名的人数为x+1=×21+1=8.
温馨提示
从本题解答过程不难发现,画出Venn图可以帮助我们直观地理解某些概念和关系,也有利于记忆和思考问题.
各个击破
类题演练
1
(2006全国高考卷Ⅱ理，1)已知集合M={x|x＜3＝,N={x|log2x＞1},则M∩N等于（
）
A.
B.{x|0＜x＜3＝
C.{x|1＜x＜3＝
D.{x|2＜x＜3}
解析：∵log2x＞1,
∴x＞2.于是M={x|x＜3},N={x|x＞2},所以M∩N={x|2＜x＜3}.故选D.
答案：D
变式提升
1
若A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0}.
（1）若A∩B=A∪B，求a的值；
（2）若A∩B,A∩C=，求a的值.
解析：由已知B={2,3},C={2,-4}.
(1)由A∩B=A∪B知A=B，于是2,3是方程x2-ax+a2-19=0的两个根，故有a=5.
（2）由A∩B，A∩C=，
得3∈A,2A,-4A.
∴32-3a+a2-19=0a=5或a=-2，当a=5时，A={2,3}与2A矛盾；
当a=-2时，A={3,-5}符合题意，
所以a=-2.
类题演练
2
(2006全国高考卷Ⅰ理，1)设集合M={x|x2-x＜0＝,N={x||x|＜2},则（
）
A.M∩N=
B.M∩N=M
C.M∪N=M
D.M∪N=R
解析：∵M={x|x2-x＜0＝=(0,1)，N={x||x|＜2＝=(-2,2),
∴MN.∴M∩N=M.故选B.
答案：B
变式提升
2
设A={x|-21}，B={x|a≤x≤b}，A∪B={x|x>-2}，A∩B={x|1a=__________,b=___________.
解析：由A={x|-21}及A∩B={x|1又由A∪B={x|x>-2},
由图结合数轴可知B={x|-1≤x≤3},故a=-1,b=3.
答案：-1
3
类题演练
3
如右图所示，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（
）
A.(M∩P)∩S
B.（M∩P）∪S
C.（M∩P）∩S
D.(M∩P)∪S
解析：观察题中Venn图可知，阴影部分是M与P的公共部分，且又在S的外部，再与选项对照即可.故选C.
答案：C
变式提升
3
某班50人中，参加数学竞赛的25人，参加化学竞赛的32人，求既参加数学竞赛又参加化学竞赛的人数的最大值和最小值.
解析：设既参加数学竞赛，又参加化学竞赛的有x人，仅参加数学竞赛的有(25-x)人，仅参加化学竞赛的有（32-x）人，因此，至少参加一种竞赛的有(25-x)+x+(32-x)=（57-x）人.
∴7≤x≤25.
所以两种竞赛都参加的人数最大值是25人，最小值为7人.
PAGE
11.2.1
子集
课堂导学
三点剖析
一、正确理解子集、真子集的概念，准确掌握集合之间包含与相等关系
【例1】
写出满足{a,b}A{a,b,c,d}的所有集合A.
思路分析：由题设的包含关系知,一方面A是集合{a,b,c,d}的子集,与此同时集合{a,b}又是A的真子集,故A中必含有元素a、b,而c、d两个元素至少含有一个.
解：满足条件的集合A有{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,d}.
温馨提示
正确理解有关符号是解决此题的关键.本题是利用子集和真子集的定义解题,根据元素个数来进行分类讨论.
二、运用集合间的相互关系解题
【例2】
如果S={x|x=2n+1,n∈Z}，T={x|x=4k±1,k∈Z}，那么（
）
A.ST
B.TS
C.S=T
D.S≠T
解法一：由2n+1=(k∈Z)，
所以S=T.
解法二：S为奇数集，而T中元素是奇数，故TS；又任取x∈S，则x=2n+1，当n为偶数2k时，x=4k+1∈T，其中k∈Z,当n为奇数2k-1时，x=4k-1∈T，故ST，从而S=T.
答案：C
温馨提示
利用元素的特征来研究集合元素的构成，从而确定集合之间的关系是解集合问题的常用方法.
三、有关子集性质的综合应用
【例3】
若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},且BA,求m的值.
思路分析：解带字母参数的问题，若满足题意的情况不唯一，一般都要对参数或主元素进行分类讨论.
解：A={x|x2+x-6=0}={-3,2},
∵BA,
当B=时,m=0适合题意.
当B≠时,方程mx+1=0的解为x=-,则-=-3或-=2,
∴m=或m=-.
综上可知,所求m的值为0或或-.
温馨提示
此题中BA,一定不要忘记B可以是空集,此种情况决不能丢掉.
各个击破
类题演练
1
满足{1,2}A{1,2,3,4,5}的集合A的个数为（
）
A.4个
B.6个
C.7个
D.8个
解析：根据题意求集合A的个数可以转化为求集合{3,4,5}的非空子集的个数，即为23-1=7，故选C.
答案：C
变式提升
1
已知集合A中有m个元素，若在A中增加一个元素，则它的子集个数将增加_________个.
解析：子集个数应增加2m+1-2m=2m.
答案：2m
类题演练
2
集合M={x|x=+,k∈Z}，N={x|x=+,k∈Z},则（
）
A.M=N
B.MN
C.MN
D.M∩N=
解析：M中，x=+=+;
N中，x=+=+.
只要看与的关系即可，
显然{}{}.
答案：B
变式提升
2
用适当的符号(、∈、=、、)填空.
(1)0_________{0},0__________,__________{0};
(2)_________{x|x2+1=0,x∈R},
{0}_________{x|x2+1=0,x∈R}.
答案：(1)∈
(2)=
类题演练
3
集合M={x|x2+2x-a=0}，若M，则实数a的范围是（
）
A.a≤-1
B.a≤1
C.a≥-1
D.a≥1
解：M，即方程x2+2x-a=0有至少一实数解，故Δ=22-4(-a)≥0，即a≥-1.
答案：C
变式提升
3
已知集合S={(x,y)|x-y=1}，T={(x,y)|x+y=3}，那么M={x|x∈S,且x∈T}为（
）
A.x=2,y=1
B.(2,1)
C.{2,1}
D.{(2,1)}
解析：由得故选D.
答案：D
PAGE
1