1.3.3
已知三角函数值求角
课后导练
基础达标
1.满足sinx=cosx的角x的集合是（
）
A.{x|x=
( http: / / www.21cnjy.com )+2kπ,k∈Z}
B.{x|x=
( http: / / www.21cnjy.com )+kπ,k∈Z}
C.{x|x=-
( http: / / www.21cnjy.com )+2kπ,k∈Z}
D.{x|x=-
( http: / / www.21cnjy.com )+kπ,k∈Z}
解析：∵sinx=cosx,∴tanx=1.当x∈（-
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )）时，x=arctan1=
( http: / / www.21cnjy.com ),根据正切函数的周期性，得x=
( http: / / www.21cnjy.com )+kπ,k∈Z.
答案：B
2.已知α是三角形的内角，且sinα=
( http: / / www.21cnjy.com )，则α等于（
）
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )
答案：D
3.已知cosx=
( http: / / www.21cnjy.com )，π
）
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
解析：令cosx=
( http: / / www.21cnjy.com ),得锐角x=
( http: / / www.21cnjy.com ).
∵cosx=
( http: / / www.21cnjy.com ),x∈(π,2π),
∴x∈(π,
( http: / / www.21cnjy.com )).∴x=π+
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
答案：B
4.若sinx=
( http: / / www.21cnjy.com ),x∈（
( http: / / www.21cnjy.com ),π），则x等于（
）
A.arcsin
( http: / / www.21cnjy.com )
B.π-arcsin
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )+arcsin
( http: / / www.21cnjy.com )
D.-arcsin
( http: / / www.21cnjy.com )
答案：B
5.适合关系式2sinx·cosx=cosx且在（0，2π）内的角x的个数是（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:D
6.arccos(
( http: / / www.21cnjy.com ))=_________.
答案：
( http: / / www.21cnjy.com )
7.arcsin(-
( http: / / www.21cnjy.com ))+arctan
( http: / / www.21cnjy.com )=__________.
答案:0
8.适合条件cot2x=
( http: / / www.21cnjy.com )的最大负角是__________，最小正角是________.
答案:-
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
9.已知cosα=-
( http: / / www.21cnjy.com ),试求符合下列条件的角α.
（1）α是三角形的内角；
（2）0≤α≤2π；
（3）α是第三象限角；
（4）α∈R.
解：∵cosα=-
( http: / / www.21cnjy.com ),∴满足cosα=
( http: / / www.21cnjy.com )的锐角α=
( http: / / www.21cnjy.com ).
(1)∵α是三角形的内角，
∴0<α<π.又∵cosα=-
( http: / / www.21cnjy.com )<0,∴
( http: / / www.21cnjy.com )<α<π.
∴α=π-
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).(2)∵cosα=-
( http: / / www.21cnjy.com ),
∴α是第二或第三象限角.
又∵α∈［0,2π］,∴α=π-
( http: / / www.21cnjy.com )或π+
( http: / / www.21cnjy.com ).∴α=
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com ).
(3)∵α是第三象限角，∴α与
( http: / / www.21cnjy.com )的终边相同.∴α=
( http: / / www.21cnjy.com )+2kπ,k∈Z.
(4)∵α∈R,∴α与
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )终边相同.
∴α=
( http: / / www.21cnjy.com )+2kπ或α=
( http: / / www.21cnjy.com )+2kπ,k∈Z.
10.已知集合A={x|sinx=
( http: / / www.21cnjy.com )},集合B={x|tanx=
( http: / / www.21cnjy.com )},求集合A∩B.
解:∵A={x|sinx=
( http: / / www.21cnjy.com )},
∴A={x|x=2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )或x=2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com ),k∈Z}.
∵B={x|tanx=
( http: / / www.21cnjy.com )},∴B={x|x=kπ+
( http: / / www.21cnjy.com ),k∈Z}
={x|x=2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )或x=2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com ),k∈Z}.
∴A∩B={x|x=2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com ),k∈Z}.
综合运用
11.的值等于(
)
A.
B.0
C.1
D.-
( http: / / www.21cnjy.com )
解析:∵arcsin
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ),arccos(-
( http: / / www.21cnjy.com ))=
( http: / / www.21cnjy.com ),
arctan(
( http: / / www.21cnjy.com ))=-
( http: / / www.21cnjy.com ),∴原式的值为
( http: / / www.21cnjy.com )=1.
答案:C
12.已知直线2x+y+1=0,则直线的倾斜角是(
)
A.-arctan(-2)
B.-arctan2
C.π-arctan2
D.π+arctan2
解析:直线的斜率为-2,又因为直线的倾斜角的范围为［0,π),故倾斜角可表示为π-arctan2.
答案:C
13.函数y=cos(sinx+2.2)的值域是（
）
A.［-1，1］
B.［-1，cos1.2］
C.［cos1.2,cos3.2］
D.［cos3.2,cos1.2］
解析：设μ=sinx+2.2
( http: / / www.21cnjy.com )，则μ∈［1.2,3.2］，y=cosμ在［1.2,3.2］上的简图如右图.由图象可知，当μ∈［1.2,3.2］时，值域y∈［-1,cos1.2］.故答案选B.
答案:B
14.若sinx=,且x∈［-
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )］，求m的取值范围.
解：∵x∈［-
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )］,∴|sinx|≤
( http: / / www.21cnjy.com ).∴|
( http: / / www.21cnjy.com )|≤
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴2|1-m|≤|2m+3|.∴4(1-m)2≤(2m+3)2.
∴m≥
( http: / / www.21cnjy.com ).∴m的取值范围是{m|m≥
( http: / / www.21cnjy.com )}.
拓展探究
15.函数y=sinx+arcsinx的值域是__________.
解析:函数f(x)=sinx+arcsinx的定义域为［-1,1］.
由于函数y1=sinx,y2=arcsinx在［-1,1］上均单调递增,
所以函数f(x)在［-1,1］上单调递增.由f(-1)=-sin1-
( http: / / www.21cnjy.com ),f(1)=sin1+
( http: / / www.21cnjy.com ),知f(x)的值域为［-sin1-
( http: / / www.21cnjy.com ),sin1+
( http: / / www.21cnjy.com )］.
答案:［-sin1-
( http: / / www.21cnjy.com ),sin1+
( http: / / www.21cnjy.com )］
16.若f(arcsinx)=x2+4x,求f(x)的最小值,并求f(x)取得最小值时的x的值.
解:令t=arcsinx,t∈［-
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )］.则sint=x,sint∈［-1,1］.于是f(t)=sin2t+4sint,即f(x)=(sinx+2)2-4,x∈［-
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )］.∵-1≤sinx≤1,
∴当sinx=-1,即x=-
( http: / / www.21cnjy.com )时,f(x)取得最小值(-1+2)2-4=-3.2.2.2
向量的正交分解与向量的直角坐标运算
课后导练
基础达标
1.若向量a=（3，2），b=（0，-1），则向量2b-a的坐标是（
）
A.（3，-4）
B.（-3，4）
C.（3，4）
D.（-3，-4）
答案:D
2.设a=（-1，2），b=（-1，1），c=(3,-2),用a，b作基底，将c表示为c=pa+qb,则（
）
A.p=4,q=1
B.p=1,q=-4
C.p=0,q=4
D.p=1,q=4
答案:B
3.已知ABCD中，=（3，7），=（-2，3），对角线AC、BD交于O，则坐标为（
）
A.（，5）
B.（，5）
C.（，-5）
D.（，-5）
解析:如图所示，=+=（-2，3）+（3，7）=（1，10）,
∴==（，5）.
∴=（，-5）.
答案:C
4.设A、B、C、D坐标依次为（-1，0）、（3，1）、（4，3）、（0，2），则四边形ABCD为（
）
A.正方形
B.矩形
C.菱形
D.平行四边形
解析:如图所示，=（0，2）-（-1，0）=（1，2）,
=（4，3）-（3，1）=（1，2）,
∴=.
又=(3,1)-(-1,0)=(4,1)且||≠||,
∴四边形ABCD为平行四边形.
答案:D
5.设点A(-1,2),B(2,3),C(3,-1),且=2-3,则点D坐标为(
)
A.(2,16)
B.(-2,-16)
C.(4,16)
D.(2,0)
解析:设D(x,y),则=(x+1,y-2),=(3,1),=(1,-4),
由(x+1,y-2)=2(3,1)-3(1,-4)得
答案:A
6.设a=(-1,2),b=(1,-1),c=(3,-2),且c=pa+qb,则实数p、q的值为(
)
A.p=4,q=1
B.p=1,q=-4
C.p=0,q=1
D.p=1,q=4
解析:由(3,-2)=p(-1,2)+q(1,-1)得
解得p=1,q=4.
答案:D
7.已知A、B、C坐标分别为（2，-4）、（0，6）、（-8，10），则+2=_________，-=________.
答案:（-18，18）
（-3，-3）
8.已知边长为单位长的正方形ABCD.若A点与坐标原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴的正方向上，则向量2+3+的坐标为___________.
解析:根据题意建立坐标系（如图），则各顶点的坐标分别为A（0，0）、B（1，0）、C（1，1）、D（0，1）.
∴=（1，0），=（0，1），=（1，1）.
∴2+3+=（2，0）+（0，3）+（1，1）=（3，4）.
答案:(3,4)
综合运用
9.(2006山东高考,4)
设向量a=(1,-3),b=(-2,4).若表示向量4a、3b-2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c为(
)
A.(1,-1)
B.(-1,1)
C.(-4,6)
D.(4,-6)
解析:若使向量4a,3b-2a,c表示的有向线段首尾相接构成三角形,则4a+(3b-2a)+c=0,
∴c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).故选D.
答案:D
10.(2006湖南高考,10)
如图所示,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界),且=x+y,则实数对(x,y)可以是…(
)
A.()
B.()
C.()
D.()
解析:据平面向量基本定理和平行四边形法则,
A(),=+,P在下方,
B(),P在OM边界上,
D(),P在延长线上方,故选C.
答案:C
11.已知O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设=a,=b,=c且|a|=2,|b|=1,|c|=3,试用a和b表示c.
解:以O为坐标原点,OA所在直线为x轴建立如下图所示坐标系.由||=2,得=(2,0).
由∠AOB=150°,根据三角函数定义可求出B点坐标xb=1·cos150°=,yb=,
∴B(,),即=(,).
同理,∠AOC=150°+90°=240°,
∴xc=3×cos240°=,
yc=3sin240°=.
∴C(),
即=().
设=m+n,
则()=m(2,0)+n(,),
即
∴=-3-,即c=-3a-b.
拓展探究
12.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若=+λ·(λ∈R),则λ=___________时,点P在第一、三象限角平分线上;λ___________时,点P在第三象限内.
思路分析:由题设条件可用λ分别表示点P的横、纵坐标,再根据点P在第一、三角限角平分线上的充要条件是它的横、纵坐标相等,点P在第三象限内的充要条件是它的横、纵坐标均为负,就能求出相应的λ值.
解:设点P的坐标为(x,y),
则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),
+λ·=［(5,4)-(2,3)］+λ［(7,10)-(2,3)］=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ).
∵=+λ,
∴
若P在一、三象限角平分线上,则5+5λ=4+7λ,
∴λ=.
若P在第三象限,则∴λ<-1.
∴λ=时,点P在一、三象限角平分线上;λ<-1时,点P在第三象限内.
答案:
<-1
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12.3.2
向量数量积的运算律
课后导练
基础达标
1.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·（a-3b）=-72，则向量a的模为（
）
A.2
B.4
C.6
D.12
解析:∵（a+2b）·（a-3b）=-72，
即|a|2-a·b-6|b|2=-72,
∴|a|2-a·b-6|b|2+72=0,
|a|2-|a||b|cos60°-24=0.
∴|a|2-2|a|-24=0.
解得|a|=6或|a|=-4（舍），故|a|=6.
答案:C
2.下列命题正确的是(
)
A.|a·b|=|a||b|
B.a·b≠0|a|+|b|≠0
C.a·b=0|a||b|=0
D.(a+b)·c=a·c+b·c
解析:A选项|a·b|=|a||b||cosθ|,而cosθ不一定为零.
B选项|a|+|b|≠0时,a与b的夹角可能等于90°.
C选项与B类似.故D正确.
答案:D
3.在四边形ABCD中,·=0,=,则四边形ABCD为(
)
A.梯形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
解析:由=,可知四边形ABCD为平行四边形,
又·=0,∴⊥.
∴四边形ABCD为矩形.
答案:C
4.已知|a|=3,|b|=4,且(a+kb)⊥(a-kb),则实数k的值为(
)
A.±
B.±
C.±
D.±
解析:(a+kb)·(a-kb)=|a|2-k2|b|2=0得9=k2×16,∴k2=.
∴k=±.
答案:A
5.若a2=1,b2=2,(a-b)·a=0,则a与b的夹角为(
)
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
解析:∵|a|2=1,|b|2=2,∴|a|=1,|b|=.
∴(a-b)·a=|a|2-a·b=1-|a||b|cos〈a,b〉=0.
∴cos〈a,b〉=.∴a与b的夹角为45°.
答案:B
6.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i·j=0,|i|=|j|=1,则a·b=___________.
解析:由
解得
∴a·b=(-3i+4j)·(5i-12j)=-15|i|2-48|j|2-56i·j=-63-56×0=-63.
答案:-63
7.若|a|=13,|b|=19,|a+b|=24,则|a-b|=__________.
解析:由|a+b|=24得|a+b|2=242.
得132+192+2a·b=242.
∴|a-b|2=132+192-2a·b=2×132+2×192-242=484.
∴|a-b|=22.
答案:22
综合运用
8.已知|a|=10，|b|=12且（3a）·（b）=-36,求a与b的夹角.
解:由已知，得|a||b|cosα=-36,
∴cosα=-.
∵0°≤α≤180°,∴α=120°.
9.△ABC的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，求·的值.
解:∵=-，
∴2=2-2·+2，
即||2=||2-2·+||2.
∴·==19.
10.已知a、b、c为非零向量，且b-a-c与a-b-c的模相等，a+b+c与a+b-c的模相等.试证明a与c互相垂直.
证明:由|b-a-c|=|a-b-c|，两边平方,得（b-a-c）2=（a-b-c）2，
即(b-a-c）2-（a-b-c）2=0.
∴（b-a-c+a-b-c）·（b-a-c-a+b+c)=0，
-2c·（2b-2a）=0，
即c·b-c·a=0.①
同理，由|a+b+c|=|a+b-c|，得c·b+c·a=0.②
由①②,可得c·a=0,故a⊥c.
拓展探究
11.已知|a|=5,|b|=4,且a与b的夹角为60°,则当k为何值时,向量ka-b与a+2b垂直
解:∵(ka-b)⊥(a+2b),
∴(ka-b)·(a+2b)=0,ka2+(2k-1)a·b-2b2=0.
k×52+(2k-1)×5×4×cos60°-2×42=0,
∴k=,
即k为时,向量ka-b与向量a+2b垂直.
12.已知a、b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.
解:∵|a|=|a-b|,
∴|a|2=|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2.
又|a|=|b|,∴a·b=|a|2.
又|a+b|=|a|,
设a与a+b的夹角为θ,
则cosθ=.
又θ∈［0,π］,∴θ=,
即a与a+b的夹角为.
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13.2.1
倍角公式
课后导练
基础达标
1.sinα-cosα=,则sin２α的值是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：两边平方，1-2sinαcosα=5,
∴sin2α=.
答案：B
2.已知tanα+=m，则sin2α等于（
）
A.
B.
C.2m
D.
解析：切化弦=m,∴sin２α=.
答案：B
3.cos·cos·cos·cos的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：乘以，利用倍角公式化简得.
答案：D
4.下列结论错误的是（
）
A.tanα+
B.tanα-
C.sin2α-sin2β=sin(α+β)sin(α-β)
D.1+cos2θ=2sin2θ
解析：cos2θ=1-2sin2θ,
∴2sin2θ=1-cos2θ.
答案：D
5.已知sinα=,则sin2(α-)=_____________.
解析：原式=-cos2α（诱导公式）.
答案：2-
6.化简.
解：原式=
=sin50°+cos50°-(sin50°-cos50°)=2cos50°.
7.已知sin(+x)sin(-x)=,x∈(,π),求sin4x的值.
解：∵sin(+x)sin(-x)=sin(+x)sin［-(+x)］=sin(+x)cos(+x)
=sin(+2x)=cos2x=,
∴cos2x=.∵x∈(,π),
∴2x∈(π,2π).∴sin2x=.
∴sin4x=2sin2xcos4x=.
8.已知tan(+θ)=3,求sin2θ-2cos2θ的值.
解:∵tan(+θ)==3,
∴tanθ=.
∴原式=
.
综合运用
9.已知cos(+x)=,,求的值.
解：∵,
∴<+x<2π.
∵cos(+x)=,
∴<+x<2π.
∴sin(+x)=,tan(+x)=.
又∵sin2x=-cos(+2x)
=-2cos2(+x)+1
=+1=.
原式=
=sin2xtan(+x)=·()=.
10.已知sin22α+sin2αcosα-cos2α=1,α∈(0,),求sinα,tanα.
解:原等式可变为4sin2αcos2α+2sinα·cos2α-2cos2α=0,
∴2cos2α(2sinα-1)(sinα+1)=0.
∵α∈(0,),∴sinα+1≠0,cos2α≠0.
∴sinα=,α=.∴tanα=
11.α,β是锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求证:α+2β=.
证明:由已知得3sin2α=1-2sin2β=cos2β,
又sin2β=sin2α=3sinαcosα,
∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β
=cosα3sin2α-sinα3sinαcosα=0.
又0<α<,0<β<,
∴0<α+2β<π.∴α+2β=.
拓展探究
12.如图，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ,沿BE方向前进30
m至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进
m至D处,测得顶端A的仰角为４θ.同学们能否依据所测得的数据,计算出θ的大小与建筑物AE的高吗？
解：由已知BC=30
m,CD=10
m.
在Rt△ABE中,BE=AEcotθ,在Rt△ACE中,CE=AEcot2θ,
∴BC=BE-CE=AE(cotθ-cot2θ),
同理,可得CD=CE-DE=AE(cot2θ-cot4θ),
∴,
即.
而
=2cos2θ=,
∴2cos2θ=cos2θ=2θ=30°.
∴θ=15°,
∴AE=AC=BC=15
m.
故θ为15°，建筑物高为15
m.
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12.1.4
向量数乘
课后导练
基础达标
1.［(2a+4b)-(4a-4b)］等于(
)
A.2a-b
B.2b-a
C.b-a
D.a-b
解析:原式=(a+2b-4a+4b)=(6b-3a)=2b-a.
答案:B
2.下列各组中的向量a,b共线的有(
)
①a=2e,b=-2e
②a=e1-e2,b=-2e1+2e2
③a=4e1-e2,b=e1-e2
④a=e1+e2,b=2e1-2e2
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④
解析:对于①②③中的向量a与b,都存在一个相应的实数λ,使a=λb.而④中的两个向量不存在实数λ,使b=λa成立.
答案:A
3.若O是△ABC内一点,=0,则O是△ABC的(
)
A.垂心
B.重心
C.内心
D.外心
解析:∵=0,
∴=-(+).
如图,+==-,
∴A、O、E三点共线,点D为BC中点.
∴O为三角形三条中线的交点.
∴O是△ABC的重心.
答案:B
4.设e1,e2是两个不共线的向量,则向量a=2e1-e2与向量b=e1+λe2(λ∈R)共线,当且仅当λ的值为…(
)
A.0
B.-1
C.-2
D.-
解析:设a=μb(μ∈R),则2e1-e2=μ(e1+λe2),
即.
答案:D
5.设=(a+5b),=-2a+8b,=3(a-b),则共线的三点是(
)
A.A、B、C
B.B、C、D
C.A、B、D
D.A、C、D
解析:∵+==(-2a+8b)+3(a-b)=a+5b,
∴=,又与有公共点B,
∴A、B、D三点共线.
答案:C
6.在平行四边形ABCD中,++等于(
)
A.
B.
C.
D.
解析:++=++=-==.可知D选项正确.
答案:D
7.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论正确的是(
)
A.a与-λa的方向相反
B.|-λa|≥|a|
C.a与λ2a的方向相同
D.|-λa|=|λ|a
解析:如果λ>0,则a与-λa的方向相反,如果λ<0,则a与-λa的方向相同,A错;
如果|λ|<1,则|-λa|<|a|,B错;
|-λa|是一个大于或等于零的实数,而|λ|a是向量,它们之间不能比较大小,D错.
答案:C
8.已知向量a、b不共线,实数x,y满足向量等式5xa+(8-y)b=4x
b+3(y+9)a,则x=____,y=______.
解析:∵a与b不共线,根据向量相等,得,解得
答案:3
-4
综合运用
9.(2005南京第二十七中)
设a,b为不共线的非零向量,=2a+3b,=-8a-2b,=-6a-4b,那么(
)
A.与同向,且||>||
B.AD与同向,且||<||
C.与反向,且||>||
D.∥
解析:由=(2a+3b)+(-8a-2b),
则=-6a+b.
又有=+=-12a-3b=(-8a-2b),
即=.
∴与同向,||>||.
故选A.
答案:A
10.(2006武汉一中)
如图所示,已知=,用,表示,则等于(
)
A.-+
B.+
C.-
D.--
解析:由=+
=+=(-+)+
=+.故选A.
答案:A
11.已知四边形ABCD中,=a-2c,=5a+6b-8c,对角线AC,BD的中点为E,F,则向量=___________.
解析:在四边形ABCD中取AD的中点M,连结ME,MF.
所以ME为△ACD的中位线,MF为△DAB的中位线,
故=-=-=(+)=［(a-2c)+(5a+6b-8c)］=3a+3b-5c.
答案:3a+3b-5c
拓展探究
12.已知△ABC中,=a,=b.对于平面ABC上任意一点O,动点P满足=+λa+λb,λ∈［0,+∞).试问动点P的轨迹是否过某一个定点 说明理由.
思路分析:按向量的运算法则作出图形分析求解.
解:以,为邻边作ABDC,
设对角线,交于点E,
则==(a+b).
由=+λa+λb得
-==2λ(a+b)=2λ·,λ∈［0,+∞).
∴与共线.
由λ∈［0,+∞)可知动点P的轨迹是射线AE,所以必过△ABC的重心.
PAGE
13.1.2
两角和与差的正弦
课后导练
基础达标
1.若α、β为锐角，且tanα=x,cosβ=，则α+β的值为（
）
A.150°
?B.120°
?C.90°
?D.60°
解析：cosβ==tanα
·cosα=sinα,由于α、β为锐角，∴α+β=90°.
答案：C
2.已知△ABC中，有关系式tanA=成立，则△ABC为（
）
A.等腰三角形
B.A=60°的三角形
C.等腰三角形或A=60°的三角形
D.不能确定
解析：“切化弦”后可得cos(A-C)=cos(A-B),
∴A-C=A-B或A-C=-（A-B），即B=C或2A=B+C，即B=C或A=60°.
答案：C
3.△ABC中，tanC=且sinAcosB=cos(120°-B)sinB,则△ABC是（
）
A.等腰三角形
B.等腰但非直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
解析：由tanC=,得C=60°,
由sinAcosB=cos(120°-B)化简得sinAcosB=cosAsinB,∴A=B.∴△ABC为等边三角形.
答案：D
4.（2006东北三校联考）
如果α∈(,π),且sinα=,那么sin(α+)-cosα等于(
)
A.
B.
C.
D.
解析:sin(α+)-cosα=sinαcos+cosαsin-cosα=sinα=.
答案:A
5.当-≤x≤时，函数f(x)=sinx+cosx的（
）
A.最大值为1，最小值为-1
B.最大值为1，最小值为-
C.最大值为2，最小值为-2
D.最大值为2，最小值为-1
解析：f(x)=2(sinx+cosx)=2(sinxcos+cosxsin)=2sin(x+),
∵-≤x≤,
∴-≤x+≤.
∴-1≤f(x)≤2,选D.
答案：D
6.设a=2cos60°,b=cos5°-sin5°,c=2(sin47°·sin66°-sin24°sin43°),则a、b、c的大小关系是_______.
解析：b=cos5°-sin5°=2cos65°,c=2(cos43°·cos24°-sin24°sin43°)=2cos67°,∵cosx在［０，］上为减函数，∴a>b>c.
答案：a>b>c
7.函数y=sinx+cosx+2的最小值为________.
解析:y=sinx+cosx+2=sin(x+)+2,sin(x+)=-1时,ymin=2-.
答案：2-
8.cos285°cos15°-sin255°sin15°=_________.
解析:cos285°cos15°-sin255°sin15°
=cos(270°+15°)cos15°-sin(270°-15°)·sin15°
=sin15°·cos15°+cos15°sin15°
=sin(15°+15°)=sin30°=.
答案：
综合运用
9.已知f(x)=a+bsinx+ccosx的图象经过A（0，1），B（，1），当x∈［0，］时，f(x)的最大值为2-1,求f(x)的解析式.
解:由题意知
∴f(x)=a+(1-a)(sinx+cosx)=a+(1-a)sin(x+).
∵x∈［0,］,
∴sin(x+)∈［,1］.
∴当1-a>0时,a+(1-a)·1=2-1,得a=-1;
当1-a<0时,a+(1-a)·=2-1,无解;
当1-a=0时,f(x)=a=1矛盾.
综上,可得a=-1.
∴f(x)=-1+2sinx+2cosx=2sin(x+)-1.
10.求证:在△ABC中,sinA·cosB·cosC+cosA·sinB·cosC+cosA·cosB·sinC=sinA·sinB·sinC.
证明：由A、B、C为△ABC内角，
∴A+B+C=π.
∴左边=cosC(sinAcosB+cosAsinB)+cosAcosBsinC
=cosCsin(A+B)+cosAcosBsinC
=sinC［-cos(A+B)+cosAcosB］
=sinC［-cosAcosB+sinAsinB+cosAcosB］
=sinAsinBsinC.
11.求函数f(x)=的值域.
解：由(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx,
∴sinxcosx=.
∴f(x)=
=
=(sinx+cosx-1)(其中sinx+cosx+1≠0).
又sinx+cosx=(sinx+cosx)=sin(x+),
∴sinx+cosx∈［-,］,且sinx+cosx≠-1.
∴f(x)的值域为［,-１)∪(-1,］.
拓展探究
12.已知0<β<,<α<,cos(-α)=,sin(+β)=,求sin(α+β)的值.
解：∵<α<,
∴-<-α<0.
∴sin(-α)=.
又∵0<β<,
∴<+β<π.
∴cos(+β)=.
∴sin(α+β)=-cos(+α+β)=-cos［(+β)-(-α)］
=-cos(+β)cos(-α)-sin(+β)sin(-α)
=-()×.
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11.1.1
角的概念的推广
课后导练
基础达标
1.下列命题中正确的是（
）
A.第一象限的角必是锐角
B.终边相同的角必相等
C.相等的角终边位置相同
D.不相等的角终边位置必不相同
解析：根据各种角的定义，利用排除法或特殊角代入法验证.
答案：C
2.与120°角终边相同的角是（
）
A.-600°+
k·360°(k∈Z)
B.-120°+k·360°(k∈Z)
C.120°+(2k+1）·180°(k∈Z)
D.660°+k·360°(k∈Z)
解析：根据终边相同的定义进行判断.
答案：A
3.已知角α、β终边相同，那么α-β的终边在…（
）
A.x轴的负半轴上
B.y轴的负半轴上
C.x轴的非负半轴上
D.y轴的非负半轴上
解析：∵角α、β终边相同,∴α=k·360°+β(k∈Z).
∴α-β=k·360°+β-β=k·360°(k∈Z).
∴α-β的终边在x轴的非负半轴上,选C.
答案：C
4.若α是第四象限角，则π-α在（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
注:180°=π弧度,其意义见下节.
解法一:∵α为第四象限角，
∴2kπ-
( http: / / www.21cnjy.com )<α<2kπ(k∈Z).
∴π-2kπ<π-α<-2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )(k∈Z).
∴π-α是第三象限角.选C.
解法二：∵角α与-α的终边关于x轴对称，又角α的终边在第四象限,
∴角-α的终边在第一象限.
又-α与π-α关于原点对称，
∴角π-α的终边在第三象限.故选C.
答案：C
5.若角α、β的终边互为反向延长线，则α与β的关系一定是（
）
A.α=-β
B.α=-2·360°+β
C.α=180°+β
D.α=(2k+1)180°+β(k∈Z)
解析：根据角的有关概念进行判断.
答案:D
6.终边在直线y=
( http: / / www.21cnjy.com )x上的所有角的集合是____________，上述集合中介于-180°到180°之间的角是______________.
解析：终边在y=
( http: / / www.21cnjy.com )x上的所有角的集合是{α|α=k·360°+120°,k∈Z}
∪{α|α=k·360°+300°,k∈
( http: / / www.21cnjy.com )Z}={α|α=n·180°+120°，n∈Z
},当n=-1，0时，取得介于-180°到180°之间角为120°,-60°.
答案：{α|α=n·180°+120°,n∈Z}
-60°,120°
7.已知数集A={x|x=4kπ,k∈Z},B={x|x=2kπ,k∈Z},C={x|x=
( http: / / www.21cnjy.com )kπ,k∈Z},D={x|x=kπ,k∈Z},则A、B、C、D四个数集之间的关系是_________.
解析：对于B中元素x=2kπ,令k=2n（n∈Z）,得x=2kπ=4nπ(n∈Z),显然A
( http: / / www.21cnjy.com )B，同理,B
( http: / / www.21cnjy.com )D，D
( http: / / www.21cnjy.com )C.
综合得A
( http: / / www.21cnjy.com )B
( http: / / www.21cnjy.com )D
( http: / / www.21cnjy.com )C.
答案：A
( http: / / www.21cnjy.com )B
( http: / / www.21cnjy.com )D
( http: / / www.21cnjy.com )C
8.已知角2α的终边在x轴的上方（不与x轴重合），求α终边所在象限.
解：根据题意知k·360°<2α∴k
·180°<α当k=2n时，n·360°<α∴α是第一象限角；
当k=2n+1时，n·360°+180°<α综上,可知α为第一、第三象限角.
综合运用
9.(2005全国高考卷Ⅲ,理1文1)
已知α为第三象限的角,则
( http: / / www.21cnjy.com )所在的象限是(
)
A.第一或第二象限
B.第二或第三象限
C.第一或第三象限
D.第二或第四象限
解析:∵α为第三象限的角,∴2kπ+π<α<2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )<
( http: / / www.21cnjy.com )( http: / / www.21cnjy.com )(k∈Z).
当k=2n(n∈Z)时,2nπ+
( http: / / www.21cnjy.com )<
( http: / / www.21cnjy.com )<2nπ+
( http: / / www.21cnjy.com ),在第二象限;
当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+
( http: / / www.21cnjy.com )<
( http: / / www.21cnjy.com )<2nπ+
( http: / / www.21cnjy.com ),在第四象限.
答案:D
10.已知角β的终边在右图中阴影所表示的范围内，那么β∈_______.
解析：在0°—360°范围内，终边落在阴影内的角为30°<α<150°与210°<α<330°,于是所有满足题意的角α为
{α|k·360°+30°<α( http: / / www.21cnjy.com )°+150°,k∈Z}∪{α|k·360°+210°<α答案：{α|n·180°+30°<α11.如图，半径为1的圆的圆心位于坐标原点
( http: / / www.21cnjy.com )，点P从点A（1，0）出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转.已知P在1
s内转过的角度为θ(0°<θ<180°），经过2
s到达第三象限，经过14
s后又恰好回到出发点A，求θ.
解：∵0°<θ<180°，且k·360°+180°<2θ∴必有k=0,于是90°<θ<135°.
又∵14θ=n·360°(n∈Z),
∴θ=
( http: / / www.21cnjy.com ).
从而90°<
( http: / / www.21cnjy.com )<135°,
( http: / / www.21cnjy.com )≈5.25.
∴n=4或5.故θ=
( http: / / www.21cnjy.com )或θ=
( http: / / www.21cnjy.com ).
拓展探究
12.今天是星期三、那么7k(k∈Z)天后的那一天是星期几 7k(k∈Z)天前的那一天是星期几 100天后的那一天是星期几
解:每星期,从星期一直到星期日,每星期7天,呈现周期性变化,每7天都要重复出现.
∵今天是星期三、
∴7k(k∈Z)天后的那一天仍是星期三、
7k(k∈Z)天前的那一天仍是星期三.
∵100=7×14+2,
又∵今天是星期三、
∴100天后的那一天是星期五.3.3
三角函数的积化和差与和差化积
课后导练
基础达标
1.在△ABC中，若,则△ABC是（
）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰或直角三角形
解析：由题意,知sinAcosA=sinBcosB,
∴sin2A=sin2B.∴sin2A-sin2B=0.
用和差化积公式得2cos(A+B)sin(A-B)=0,cos(A+B)=0或sin(A-B)=0,A+B=或A=B.故选D.
答案：D
2.已知sin(α+β)sin(β-α)=m,则cos2α-cos2β等于…（
）
A.-m
B.m
C.-4m
D.4m
解析：cos2α-cos2β=(cosα-cosβ)(cosα+cosβ)
=-2sinsin·2coscos=sin(α+β)sin(β-α)=m.
答案：B
3.若tanθ=,tan(θ-φ)=,则tan(φ-2θ)的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：tan(φ-2θ)=-tan［θ-(φ-θ)］=.
答案：B
4.α、β为锐角，sinα=x,cosβ=y,cos(α+β)=-3[]5,则y与x的函数关系式为（
）
A.y=x(B.y=x(0C.y=x(0D.y=x(0解析：cosβ=cos［（α+β）-α］=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=x,
∵x>0,∴x>.∴∴应选A.
答案：A
5.α、β为锐角，且α+β=,则cos2α+cos2β的取值范围是（
）
A.［，］
B.［，）
C.［，］
D.［，）
解析：cos2α+cos2β=
=1+(cos2α+cos2β)=1+cos(α+β)cos(α-β)=1-cos(α-β),
∵α,β∈(0,),α+β=,
∴α-β∈（-,）.
∴cos(α-β)∈(,1］.
∴cos2α+cos2β∈［,）.
答案：D
6.在直角坐标系中，已知两点A（cos80°,sin80°）,B(cos20°,sin20°),则|AB|的值是_________.
解析：|AB|2=（cos80°-cos20°）2+(sin80°-sin20°)2=2-2(cos80°cos20°+sin20°sin80°)
=2-2cos60°=2-2×=1.
答案：1
7.若在［0，］内有两个不同的实数值，满足等式cos2x+sin2x=k+1,则k的范围是________.
解析：cos2x+sin2x=2(cos2x+sin2x)
=2sin(2x+),
∵x∈［0,］,
∴2x+∈［,］.
∴2sin(+2x)∈［-1,2］.
∴k+1∈［-1,2］.
∴k∈［-2,1］.答案：［-2,1］
8.设sin(-x)=,x∈(0,),则=______________.
解析：cos2x=sin(-2x)=2sin(-x)·cos(-x)=2××.
cos(+x)=cos［-(-x)］=sin(-x)=,
∴.
答案：
综合运用
9.化简:.
解:原式=
=cot4α.
10.在△ABC中,求证:sin2A+sin2B-sin2C=2sinAsinB·cosC.
证明:左边=-sin2C
=1-(cos2A+cos2B)-1+cos2C
=cos2C-cos(A+B)·cos(A-B)
=cos2C+cosC·cos(A-B)
=cosC［cosC+cos(A-B)］
=cosC［cos(A-B)-cos(A+B)］
=2cosC·sinA·sinB=右边.
11.已知α,β均为锐角，且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求证:α+2β=.
证明：利用sin(α+2β)=1,证α+2β=.
∵
平方相加，9sin4α+sin22α=1,
∴sin2α=.
∴sinα=(α为锐角).
∴sin(α+2β)=sinαcos２β+cosαsin2β=3sin3α+cosα·sin2α=3sinα=1.
∵0<α<,0<β<,
∴0<α+2β<.
∴α+2β=.
拓展探究
12.在△ABC中，sinA+cosA=,AC=2,AB=3,求tanA的值和△ABC的面积.
解：∵sinA+cosA=cos(A-45°)=,
∴cos(A-45°)=
.
又0°∴A-45°=60°,A=105°.
∴tanA=tan(45°+60°)=.
sinA=sin105°=sin(45°+60°)
=sin45°·cos60°+cos45°sin60°=,
∴S△ABC=AC·ABsinA=×2×3×
=().
PAGE
11.2.2
单位圆与三角函数线
课后导练
基础达标
1.若角α终边上有一点P（-2，0），则下列函数值不存在的是（
）
A.sinα
B.cosα
C.tanα
D.cotα
答案：D
2.若角θ的终边过点P（a,8）且cosθ=
( http: / / www.21cnjy.com )，则a的值是（
）
A.6
B.-6
C.10
D.-10
解析：由任意角的三角函数定义可知
( http: / / www.21cnjy.com ),解得a=±6.显然a=6时不成立,
所以a=-6.
答案：B
3.若角α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是（
）
A.sinα+cosα
B.tanα+sinα
C.cosα-tanα
D.sinα-tanα
解析：如右图，作出sinα、cosα、tanα的三角函数线，显然△OPM∽△OTA,且|MP|<|AT|，
∵MP>0,AT<0,
∴MP<-AT.
∴MP+AT<0，
即sinα+tanα<0.
答案：B
4.已知sinθ·cosθ<0，且|cosθ|=cosθ,则P（tanθ,secθ）一定在（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：∵sinθ·cosθ<0且|cosθ|=cosθ,
∴sinθ<0,cosθ>0,即<0,
( http: / / www.21cnjy.com )>0.
∴y<0,x>0.
∴tanθ=
( http: / / www.21cnjy.com )<0,secθ=
( http: / / www.21cnjy.com )>0,
即点P（tanθ,secθ）在第二象限.
答案：B
5.如右图，你从图中可读出什么信息？
（1）P点的坐标是_________；
（2）若Q点坐标是（-,
( http: / / www.21cnjy.com )），那么∠xOQ=_________rad,G点坐标为_________.
答案：（1）（
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )）
(2)
( http: / / www.21cnjy.com )
(
( http: / / www.21cnjy.com ),-
( http: / / www.21cnjy.com ))
6.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段,那么角α的终边在_________上.
解析:正弦线的长度为1,所以α的终边应在y轴上.
答案:y轴
7.不等式cosα≤
( http: / / www.21cnjy.com )的解集为_________.
解析:画出单位圆,然后画出直线y=
( http: / / www.21cnjy.com ),从图形中可以看出.
答案:［2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com ),2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )］(k∈Z)
8.判定下列各式的符号.
(1)tan250°·cot(-350°);
(2)sin105°·cos230°;
(3)tan191°-cos191°;
(4)csc320°·sec820°.
解:(1)∵tan250°>0,cot(-350°)>0,
∴tan250°·cot(-350°)>0.
(2)∵sin105°>0,cos230°<0,
∴sin105°·cos230°<0.
(3)∵tan191°>0,cos191°<0,
∴tan191°-cos191°>0.
(4)∵csc320°<0,sec820°<0,
∴csc320°·sec820°>0.
综合运用
9.根据下图回答下列问题：
（1）在图（a）中，390°角的正弦值是________，P点坐标为________；
（2）在图（b）中，-30°角的正弦值是________，P点坐标是________；
（3）sin(+
( http: / / www.21cnjy.com ))=________;
(4)sin(π+
( http: / / www.21cnjy.com ))=________.
答案：(1)
( http: / / www.21cnjy.com )
(
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ))
(2)-
( http: / / www.21cnjy.com )
(
( http: / / www.21cnjy.com ),-
( http: / / www.21cnjy.com ))
(3)
( http: / / www.21cnjy.com )
(4)-
( http: / / www.21cnjy.com )
10.在半径为30
m的圆形广场中央上
( http: / / www.21cnjy.com )空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为120°,若光源恰好照亮整个广场,则其高度应为________
m(精确到0.1
m).
解析:如图,△AOB为圆锥的轴截面,顶角为120°,底面半径为30
m,依三角函数定义,cot60°=
( http: / / www.21cnjy.com ),即h=AD·cot60°=30×
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )≈17.3(m).
答案:17.3
11.设θ∈［0，2π］，利用三角函数线求θ的取值范围.
（1）tanθ>-1;
(2)cosθ<;
(3)-
( http: / / www.21cnjy.com )≤sinθ<
( http: / / www.21cnjy.com ).
解：如图（1）tanθ>-1
( http: / / www.21cnjy.com )θ∈［0,
( http: / / www.21cnjy.com ))∪(
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ))∪(
( http: / / www.21cnjy.com ),2π).
(2)cosθ<
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )θ∈(
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )).
(3)-
( http: / / www.21cnjy.com )≤sinθ<
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )θ∈［0，
( http: / / www.21cnjy.com ))∪(
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )］∪［
( http: / / www.21cnjy.com ),2π］.
拓展探究
12.设角α=x(rad),且0( http: / / www.21cnjy.com ))上的任意x都成立
解:(1)不妨取x=
( http: / / www.21cnjy.com ),于是x=
( http: / / www.21cnjy.com ),sinx=
( http: / / www.21cnjy.com ),tanx=1,显然sinx(2)如图,设角α的终边与单
( http: / / www.21cnjy.com )位圆交于点P,单位圆与x轴的正半轴的交点为A,过A点作圆的切线交OP的延长线于点T,连结AP,则sinx=MP,tanx=AT.
在△AOP中,=x·OP=x.
由图易得S△POA即
( http: / / www.21cnjy.com )OA·MP<
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )·OA<
( http: / / www.21cnjy.com )OA·AT,
所以MP<
( http: / / www.21cnjy.com )即sinx即对区间(0,
( http: / / www.21cnjy.com ))上的任意x都成立.2.1.1
向量的概念
课后导练
基础达标
1.
下列各量中是向量的是(
)
A.密度
B.电流
C.面积
D.浮力
解析:主要考虑各量是否具备向量的两个要素,即大小和方向.密度、电流和面积都只有大小,没有方向,只有浮力既有大小,又有方向.
答案:D
2.在矩形ABCD中,AB=2AD,M、N分别为AB和CD的中点,则在以A、B、C、D、M、N为起点和终点的所有向量中,相等向量的对数是(
)
A.9
B.11
C.18
D.24
解析:如图,由已知可得,,,,,有12对相等向量.改变其方向又有12对相等向量.
答案:D
3.在四边形ABCD中,=且||=||.则四边形为______________.
解析:
ABCD为菱形.
答案:菱形
4.如图,D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点,
(1)与相等的向量为________________；
(2)与共线的向量为________________.
答案:(1)、
(2)、、、、、、
5.如图,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点和终点,最多可以写出__________个互不相等的非零向量.
解析:模为1个单位的向量有2个,如,;模为2个单位的向量有2个,如,;模为3个单位的向量有2个,如,,故共有6个.
答案:6
6.a=b是a∥b的__________条件.a∥b是|a|=|b|的__________条件.|a|=|b|是a=b的_______条件.
答案:充分非必要
既不充分也不必要
必要非充分
综合运用
7.把平面上一切模为1的向量归结到共同的起点,那么这些向量的终点所构成的图形是(
)
A.一条线段
B.一段圆弧
C.两个孤立点
D.一个圆
解析:向量可以平移,因为这些向量模都是1,向量的方向“四面八方”均有,故所有向量的终点构成圆且半径为1.
答案:D
8.判断下列说法是否正确:
(1)若点O是正△ABC的中心,则向量、、均相等.(
)
(2)在四边形ABCD中,与共线时,||≠||,则四边形ABCD是梯形.(
)
(3)在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于O.若,则四边形是平行四边形.(
)
解析:(1)不正确.虽然模相等,但方向各不相同.
(2)正确.由于与共线,即∥,故ABCD的对边AB∥CD.再由于||≠||,另一组对边AD与BC不平行.故四边形ABCD是梯形.
(3)正确.由=,=,知ABCD的对角线AC与BD互相平分,所以ABCD是平行四边形.
答案:(1)不正确
(2)正确
(3)正确
9.如图所示,D,E,F分别是等腰Rt△ABC的各边中点,∠BAC=90°.
(1)分别写出图中与向量,长度相等的向量;
(2)分别写出图中与向量,相等的向量;
(3)分别写出图中与向量,共线的向量.
解:(1)||=||=||=||=||=||;
||=||=||.
(2)==;==.
(3)∥∥∥∥∥∥;
∥∥∥∥∥∥.
10.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2
000
km到达乙地,再从乙地按南偏东30°的方向飞行2
000
km到达丙地,再从丙地按西南方向飞行
km到达丁地,问丁地在甲地的什么方向 丁地距甲地多远
解:
如图,A,B,C,D分别表示甲地,乙地,丙地,丁地,
由题意知,△ABC是正三角形,
∴AC=2
000
km.
又∵∠ACD=45°,CD=
km,
∴△ACD是直角三角形.
∴AD=
km,∠CAD=45°.
∴丁地在甲地的东南方向,丁地距甲地
km.
拓展探究
11.中国象棋中规定:马走“日”字,象走“田”字.如图所示,在中国象棋的半个棋盘(4×8个矩形中,每个小方格都是单位正方形)中,若马在A处,可跳到A1处,也可跳到A2处,用向量,表示马走了“一步”,试在图中画出马在B,C处走了一步的所有情况.
解:如图,以点C为起点作向量(共8个),以点B为起点作向量(共3个).
12.向量具有鲜明的物理学实际背景,物理学中有两种基本量——标量和矢量,矢量遍布物理学中的很多分支.它包括力、位移、速度等.虽然物理学中的矢量与数学中的向量并不完全相同,如:力除了有大小和方向外还有作用点,而数学中的向量则只有大小和方向,没有作用点.但这并不影响向量在物理学中的应用.请同学们讨论,举出一些物理学中的矢量的例子,并解决下列问题:一位模型赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1
m,逆时针方向转弯α,
继续按直线向前行进1
m.再按逆时针方向转弯α,按直线向前行进1
m.按此方法继续操作下去.如图所示.
(1)作图说明当α=45°时,操作几次时赛车位移为零.
(2)按此方法操作赛车能回到出发点,α应满足什么条件 请写出其中两个.
解:(1)赛车位移路线构成一个正八边形,
赛车所行路程是8
m,
操作8次赛车位移为零.(如题图)
(2)n=,n为不小于3的整数,如α=30
°,
则n=12,即操作12次可回到起点,
又如α=15°,
则n=24,
即操作24次可回到起点.1.3.1
正弦函数的图象与性质
课后导练
基础达标
1.函数y=1-sinx，x∈［0，2π］的大致图象是…（
）
答案：B
2.已知函数y=2sinωx(ω>0)的图象与直线y+2=0的相邻的两个公共点间的距离为
( http: / / www.21cnjy.com ),则ω的值为（
）
A.3
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
解析：函数y=2sinωx的最小值是-2，它与直线y+2=0的相邻两个公共点之间的距离为一个周期，由
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ),得ω=3.
答案：A
3.右图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，那么f(x)可以写成（
）
A.sin(1+x)
B.sin(-1-x)
C.sin(x-1)
D.sin(1-x)
解析：函数y=f(x)的图象过点（1，
( http: / / www.21cnjy.com )0），即f(1)=0,可排除A、B.又因y=f(x)的图象过点（0，b)，b>0,即f(0)>0，排除C.故选D.
答案：D
4.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意的实数x，都有f(+x)=f(
( http: / / www.21cnjy.com )-x),则f(
( http: / / www.21cnjy.com ))等于（
）
A.0
B.3
C.-3
D.3或-3
答案：D
5.(2006云南高三统考)
已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0≤φ≤π)是实数集R上的偶函数,则φ的值是(
)
A.π
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
解析:∵f(x)=sin(2x+φ)是实数集R上的偶函数,
∴当x=0时,sinφ=±1.又0≤φ≤π,∴φ=
( http: / / www.21cnjy.com ).
答案:B
6.函数y=2sin(
( http: / / www.21cnjy.com )-2x),x∈［0,π］，函数的增区间是___________.
解析：y=2sin［-(2x
( http: / / www.21cnjy.com ))］=-2sin(2x
( http: / / www.21cnjy.com )).要使该函数在给定的区间上是增函数，只需
( http: / / www.21cnjy.com )+2kπ≤2x
( http: / / www.21cnjy.com )≤
( http: / / www.21cnjy.com )+2kπ,解得
( http: / / www.21cnjy.com )+kπ≤x≤
( http: / / www.21cnjy.com )+kπ,k∈Z.取k=0,得
( http: / / www.21cnjy.com )≤x≤
( http: / / www.21cnjy.com ).而［
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )］
( http: / / www.21cnjy.com )［0,π］,即在［0，π］上该函数的增区间为［
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )］.
答案：［
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )］
7.函数y=3sin(
( http: / / www.21cnjy.com )x+
( http: / / www.21cnjy.com ))-1的最小正周期是__________.
答案：10
8.当-
( http: / / www.21cnjy.com )≤x≤
( http: / / www.21cnjy.com )时，函数f(x)=
( http: / / www.21cnjy.com )sin(x+
( http: / / www.21cnjy.com ))的最大值是__________，最小值是___________.
解析：∵-
( http: / / www.21cnjy.com )≤x≤
( http: / / www.21cnjy.com ),∴
( http: / / www.21cnjy.com )≤x+
( http: / / www.21cnjy.com )≤
( http: / / www.21cnjy.com ).
令μ=x+
( http: / / www.21cnjy.com ),则
( http: / / www.21cnjy.com )≤μ≤
( http: / / www.21cnjy.com ).
∵-
( http: / / www.21cnjy.com )≤sinμ≤1,
∴
( http: / / www.21cnjy.com )≤
( http: / / www.21cnjy.com )sinμ≤
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )≤
( http: / / www.21cnjy.com )sin(x+
( http: / / www.21cnjy.com ))≤
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴该函数最大值为
( http: / / www.21cnjy.com )，最小值为
( http: / / www.21cnjy.com ).
答案：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
9.若f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x2-sinx，则当x<0时，f(x)=___________.
解析：设x<0，则-x>0，
∴f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sinx.
又f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)=-x2-sinx.
答案：-x2-sinx
综合运用
10.(2006江西高考,2)
函数y=4sin(2x+
( http: / / www.21cnjy.com ))+1的最小正周期为(
)
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.π
C.2π
D.4π
解析:T=
( http: / / www.21cnjy.com )=π.
答案:B
11.(2006江苏高考,4)
为了得到函数y=2sin(
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )),x∈R的图象,只需把函数y=2sinx,x∈R的图象上所有的点(
)
A.向左平移
( http: / / www.21cnjy.com )个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
( http: / / www.21cnjy.com )倍(纵坐标不变)
B.向右平移
( http: / / www.21cnjy.com )个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
( http: / / www.21cnjy.com )倍(纵坐标不变)
C.向左平移
( http: / / www.21cnjy.com )个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
D.向右平移
( http: / / www.21cnjy.com )个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
解析:y=2sinx
( http: / / www.21cnjy.com )2sin(x+
( http: / / www.21cnjy.com ))
( http: / / www.21cnjy.com )2sin(
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )).
答案:C
12.(2006福建高考,16)
已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间［-
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )］上的最小值是-2,则ω的最小值等于__________.
解析:当ω取最小值时,最小正周期T取得最大值.
∴
( http: / / www.21cnjy.com )≤
( http: / / www.21cnjy.com ).∴T≤
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴
( http: / / www.21cnjy.com )≤
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴ω≥
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴ω的最小值为
( http: / / www.21cnjy.com ).
答案:
( http: / / www.21cnjy.com )
13.求函数y=
( http: / / www.21cnjy.com )的定义域.
解：要使函数有意义，只需sin(2x-
( http: / / www.21cnjy.com ))-1≥0，
即sin(2x-
( http: / / www.21cnjy.com ))≥
( http: / / www.21cnjy.com ).
令μ=2x-
( http: / / www.21cnjy.com ),如图,作y=sinμ的图象.在［0，2π］上适合条件的μ的范围是［
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )］.扩展到整个定义域上，得
( http: / / www.21cnjy.com )+2kπ≤μ≤
( http: / / www.21cnjy.com )+2kπ,k∈Z,即
( http: / / www.21cnjy.com )+2kπ≤2x-
( http: / / www.21cnjy.com )≤
( http: / / www.21cnjy.com )+2kπ,k∈Z.化简得
( http: / / www.21cnjy.com )+kπ≤x≤
( http: / / www.21cnjy.com )+kπ,k∈Z，即该函数的定义域为［
( http: / / www.21cnjy.com )+kπ,
( http: / / www.21cnjy.com )+kπ］,k∈Z.
14.若函数f(x)=a-bsinx的最大值为
( http: / / www.21cnjy.com ),最小值为-
( http: / / www.21cnjy.com ),求函数y=1-acosbx的最值和周期.
解：（1）b>0,当sinx=-1时，f(x)max=
( http: / / www.21cnjy.com );
当sinx=1时，f(x)min=-
( http: / / www.21cnjy.com ).
于是
b=1.此时b=1>0符合题意，∴y=1-cosx.
(2)b=0,此时f(x)=a,这与f(x)有最大值
( http: / / www.21cnjy.com ),最小值-
( http: / / www.21cnjy.com )矛盾.故b=0不成立.
（3）b<0,由题意，得符合题意.
∴y=1-cos(-x),即y=1-
( http: / / www.21cnjy.com )cosx.
综上可知，函数y=1-
( http: / / www.21cnjy.com )cosx，它的最大值为
( http: / / www.21cnjy.com ),最小值为-
( http: / / www.21cnjy.com )，周期为2π.
拓展探究
15.已知函数f(x)=sin2x+acosx+
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com ),在0≤x≤
( http: / / www.21cnjy.com )上的最大值是1，求a的值.
解：设cosx=t,则f(x)=1-cos2x+acosx+
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )
=-(t-
( http: / / www.21cnjy.com ))2+
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com ).∵0≤x≤
( http: / / www.21cnjy.com ),∴0≤cosx≤1,即t∈［0,1］.
(1)0≤a≤2,则t=
( http: / / www.21cnjy.com )时,f(x)max=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com ).令
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )=1,得a=
( http: / / www.21cnjy.com ).
（2）a<0,则t=0时，f(x)max=
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com ).令
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )=1,得a=
( http: / / www.21cnjy.com )>0（舍去）.
（3）a>2,则t=1时，f(x)max=a+
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com ).
令a+
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )=1,得a=
( http: / / www.21cnjy.com )<2(舍去）.
综上知，a=
( http: / / www.21cnjy.com ).
16.根据y=Asin(ωx+φ)的图象的一段（如图），求其解析式.
解法一：以N为第一个零点，则A=，T=2（
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com ))=π,ω=
( http: / / www.21cnjy.com )=2.
于是，函数解析式为y=
( http: / / www.21cnjy.com )sin(2x+φ).
∵点N（
( http: / / www.21cnjy.com ),0)为y=
( http: / / www.21cnjy.com )sin(2x+φ)的第一个零点，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )×2+φ=0.∴φ=
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴所求解析式为y=
( http: / / www.21cnjy.com )sin(2x+
( http: / / www.21cnjy.com )).
解法二：以点M（
( http: / / www.21cnjy.com ),0)为第一个零点,则A=
( http: / / www.21cnjy.com ),T=2(
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com ))=π，ω=
( http: / / www.21cnjy.com )=2.
于是，函数解析式为y=
( http: / / www.21cnjy.com )sin(2x+φ).
∵点M（
( http: / / www.21cnjy.com ),0)为函数的第一个零点,
∴2×
( http: / / www.21cnjy.com )+φ=0.∴φ=-
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴所求解析式为y=
( http: / / www.21cnjy.com )sin(2x-
( http: / / www.21cnjy.com )).1.3.2
余弦函数正切函数的图象与性质
课后导练
基础达标
1.直线y=a(a为常数)与正切曲线y=tanωx（ω是常数且ω>0）相交，则相邻两交点间的距离是（
）
A.π
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.与a的值有关
答案：C
2.在（0，2π）上使sinx>cosx成立的x的取值范围是（
）
A.(
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ))∪(π,
( http: / / www.21cnjy.com ))
B.(
( http: / / www.21cnjy.com ),π)
C.(
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ))
D.(
( http: / / www.21cnjy.com ),π)∪(
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ))
答案：C
3.要得到y=tan2x的图象，只需把y=tan(2x+
( http: / / www.21cnjy.com ))的图象（
）
A.向左平移
( http: / / www.21cnjy.com )个单位
B.向右平移
( http: / / www.21cnjy.com )个单位
C.向左平移
( http: / / www.21cnjy.com )个单位
D.向右平移
( http: / / www.21cnjy.com )个单位
答案:D
4.(2006云南高三一模)
下列函数中,是周期函数的是(
)
A.y=tan|x|
B.y=sin|x|
C.y=cos|x|
D.y=|x2-2x+3|
解析:∵y=|cosx|=cos(±x)=cosx,
∴选C.
答案:C
5.(2006全国高考卷Ⅰ,文6)
函数f(x)=tan(x+
( http: / / www.21cnjy.com ))的单调增区间为(
)
A.(kπ-
( http: / / www.21cnjy.com ),kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )),k∈Z
B.(kπ,(k+1)π),k∈Z
C.(kπ-
( http: / / www.21cnjy.com ),kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )),k∈Z
D.(kπ-
( http: / / www.21cnjy.com ),kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )),k∈Z
解析:由kπ-
( http: / / www.21cnjy.com )( http: / / www.21cnjy.com )( http: / / www.21cnjy.com )得kπ-
( http: / / www.21cnjy.com )( http: / / www.21cnjy.com ),k∈Z,故选C.
答案:C
6.函数y=3tan(
( http: / / www.21cnjy.com )x+
( http: / / www.21cnjy.com ))的一个对称中心是（
）
A.（
( http: / / www.21cnjy.com ),0）
B.(
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ))
C.(
( http: / / www.21cnjy.com ),0)
D.(0,0)
解析：由于函数y=Atan(ωx+φ)的对称中心是图象与x轴的交点，所以B是错误的，把A、C、D代入函数解析式，只有C符合.
答案:C
7.若函数f(x)具有性质：①f(x)为偶函数；②对任意x∈R都有f(
( http: / / www.21cnjy.com )-x)=f(
( http: / / www.21cnjy.com )+x).则函数f(x)的解析式是__________.〔只需写出满足条件的f(x)的一个解析式即可〕
答案：f(x)=cos4x
8.比较cos(
( http: / / www.21cnjy.com ))与cos(
( http: / / www.21cnjy.com ))的大小.
解：cos(
( http: / / www.21cnjy.com ))=cos
( http: / / www.21cnjy.com )=cos
( http: / / www.21cnjy.com ),cos(
( http: / / www.21cnjy.com ))=cos
( http: / / www.21cnjy.com )=cos
( http: / / www.21cnjy.com ).
因为0<
( http: / / www.21cnjy.com )<
( http: / / www.21cnjy.com )<π且函数y=cosx在［0,π］上是减函数，所以cos
( http: / / www.21cnjy.com )>cos
( http: / / www.21cnjy.com ),即cos(
( http: / / www.21cnjy.com ))>cos(
( http: / / www.21cnjy.com )).
综合运用
9.求函数y=tan(
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )x)的单调减区间.
解:原式可化为y=-tan(
( http: / / www.21cnjy.com )x-
( http: / / www.21cnjy.com )).令μ=
( http: / / www.21cnjy.com )x-
( http: / / www.21cnjy.com ).由于μ在（-
( http: / / www.21cnjy.com )+kπ,
( http: / / www.21cnjy.com )+kπ）,k∈Z上，tanμ是增函数，所以y=-tan(
( http: / / www.21cnjy.com )x-
( http: / / www.21cnjy.com ))在-
( http: / / www.21cnjy.com )+kπ<
( http: / / www.21cnjy.com )x-
( http: / / www.21cnjy.com )<
( http: / / www.21cnjy.com )+kπ,k∈Z，即在x∈（-
( http: / / www.21cnjy.com )+2kπ,
( http: / / www.21cnjy.com )+2kπ）,k∈Z上是减函数.故原函数的单调减区间是（-
( http: / / www.21cnjy.com )+2kπ,
( http: / / www.21cnjy.com )+2kπ）,k∈Z.
10.求函数y=tan2x-2tanx-3，x∈［-
( http: / / www.21cnjy.com )+kπ,
( http: / / www.21cnjy.com )+kπ］，k∈Z的值域.
解:设t=tanx，x∈［-
( http: / / www.21cnjy.com )+kπ,
( http: / / www.21cnjy.com )+kπ］，k∈Z.由正切函数的性质，得t∈［
( http: / / www.21cnjy.com )-3,1］，则y=t2-2t-3=(t-1)2-4.
因为y=t2-2t-3在区间［
( http: / / www.21cnjy.com ),1］上是减函数，所以当t=
( http: / / www.21cnjy.com )时，ymax=(
( http: / / www.21cnjy.com )-1)2-4=
( http: / / www.21cnjy.com );当t=1时，ymin=(1-1)2-4=-4.
所以所求函数的值域为［-4,
( http: / / www.21cnjy.com )］.
11.若x∈［-
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )］,求函数y=
( http: / / www.21cnjy.com )+2tanx+1的最值及相应的x的值.
解:先化为关于tanx的一元二次函数,再求值.
y=
( http: / / www.21cnjy.com )+2tanx+1=
( http: / / www.21cnjy.com )+2tanx+1=tan2x+2tanx+2=(tanx+1)2+1.
∵x∈［-
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )］,
∴tanx∈［
( http: / / www.21cnjy.com ),1］.故当tanx=-1
,即x=-
( http: / / www.21cnjy.com )时,y取最小值1;当tanx=1,即x=
( http: / / www.21cnjy.com )时,y取最大值5.
拓展探究
12.定义在R上的偶函数f(x)在［0,+∞)上是增函数，当x1、x2∈［-
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )］时，比较f(tanx1)与f(tanx2)的大小.
解：当|x1|≥|x2|且x1、x2∈［-
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )］时，
tan|x1|≥tan|x2|.
∵y=tanx在［-
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )］内是奇函数，
∴|tanx1|≥|tanx2|≥0.
∵f(x)是偶函数，并且在［0，+∞）上是增函数，
∴f(tanx1)≥f(tanx2).
当|x1|<|x2|时，同理可得
f(tanx1)平面向量基本定理
课后导练
基础达标
1.如果e1、e2是平面内所有向量的一组基底，那么（
）
A.若实数m、n使得me1+ne2=0,则m=n=0
B.空间任一向量a可以表示为a=λ1e1+λ2e2,其中λ1、λ2为实数
C.对于实数m、n，me1+ne2不一定在此平面上
D.对于平面内的某一向量a，存在两对以上的实数m、n，使a=me1+ne2
解析:对于选项B，应为平面内任一向量，故B错.
对于C，me1+ne2一定在此平面上，故C错.
对于D，由平面向量基本定理,知m、n是唯一的，故D错.
答案:A
2.设e1、e2是两个不共线向量，若向量a=
e1+λe2(λ∈R)与b=-（e2-2e1)共线，则有(
)
A.λ=0
B.λ=-1
C.λ=-2
D.λ=
解析:∵a=μb，
∴e1+λe2=-μ(e2-2
e1),
则(2μ-1)
e1=(μ+λ)
e2.
∴
答案:D
3.设（a+5b），=-2a+8b，=3（a-b），那么下列各组中三点一定共线的是(
)
A.A、B、C
B.A、B、D
C.A、C、D
D.B、C、D
答案:B
4.O为ABCD的对角线交点，=4e1,=6e2,则3e2-2e1等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析:由+=，得6
e2-4
e1=,即2(3e2-2e1)=.
答案:B
5.已知e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是(
)
A.e1+e2和e1-e2
B.3e1-2e2和4e2-6e1
C.e1+2e2和e2+2
e1
D.e2和e1+e2
解析:∵4e1-6e1=-2(3e1-2e2),
∴3e1-2e2与4e2-6e1共线,不能为基底.
答案:B
6.在ABCD中，与交于点M.若设=a，=b，则以下各选项中，与a+b相等的向量有（
）
A.
B.
C.
D.
解析:a+b=（b-a）=（-）==.
答案:D
7.设一直线上三点A、B、P满足=λ(λ≠1),O是空间一点,则用、表示为(
)
A.=+λ
B.=λ+(1-λ)
C.=
D.=+
解析:由=λ(λ≠1)得-=λ(-),即=.
答案:C
8.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=α+β,其中,α、β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为___________.
解析:将点C所满足的向量式条件转化为直角坐标系下的方程式即为点C的轨迹方程.
答案:x+2y-5=0
综合运用
9.如图,矩形ABCD中,若=5e1,=3e2,则等于(
)
A.(5e1+3e2)
B.(5e1-3e2)
C.(3e2+5e1)
D.(5e2-3e1)
解析:=-(+)=-(-5e1-3e2)=(5e1+3e2).
答案:A
10.、、的终点A、B、C在一条直线上,且=-3,设=p,=q,=r,则以下等式成立的是(
)
A.r=-p+q
B.r=-p+2q
C.r=p-q
D.r=-q+2p
解析:=-=r-p,=-=q-r.
又∵=-3,
∴r-p=-3(q-r),
∴r=-p+q.
答案:A
11.(2006东北师大附中,15)
已知e1、e2是两个不共线的向量,而a=k2
e1+(1-k)e2与b=2e1+3e2是两个共线向量,则实数k=______________.
解析:∵a与b共线,
∴存在实数λ使得a=λb即k2
e1+(1-k)e2=λ(2e1+3e2)=2λe1+3λe2,即
解得k=或-2.
答案:或-2
拓展探究
12.如图,△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM的值.
解:设=e1,=e2,则=-3e2-e1,
=2e1+e2.
∵A、P、M与B、P、N分别共线,
∴存在实数λ,μ,
使=λ=-λe1-3λe2,
=μ=2μe1+μe2,
故=-=(λ+2μ)
e1+(3λ+μ)
e2,而=+=2e1+3e2,
∴由平面向量基本定理得
∴
故=,即AP∶PM=4∶1.
PAGE
13.2.2
半角的正弦余弦和正切
课后导练
基础达标
1.若sin2α=,则cos（-α）的值为（
）
A.
B.
C.±
D.±
解析：cos(-α)=(coscosα+sin·sinα)=cosα+sinα,由于sin2α=,可利用(cosα+sinα)2=1+sin2α=.
又∵sin2α=>,故2kπ+<2α<2kπ+.从而kπ+<α∴cosα+sinα=±.
答案：D
2.若=1,则的值为（
）
A.3
B.-3
C.-2
D.-
解析：由已知解得tanθ=-,
∴cos
=3.
答案：A
3.已知θ是第三象限角，若sin4θ+cos4θ=,那么sin2θ等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：将原式配方得(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=,于是1-sin22θ=,
∴sin22θ=.由已知,θ在第三象限,故θ∈(2kπ+π,2kπ+),从而2θ∈(4kπ+2π,4kπ+3π),故2θ在第一、二象限，所以sin2θ=.
答案：C
4.若,则sinα+cosα的值是（
）
A.
B.
C.1
D.
解析：由,①
得，整理得=.②
由①得=2.③
②+③得,得sinα=.
又由①得cosα=2sinα-1=2×-1=，
故sinα+cosα=+=.
答案：A
5.若sin2α=,且α∈(,),则cosα-sinα的值是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：∵(cosα-sinα)2=1-sin２α=1-=,
∴|cosα-sinα|=.由α∈(,),知cosα答案：C
6.如果|cosθ|=,<θ<3π,则sin的值是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：∵<θ<3π,<<，∴cosθ=.于是sin=.
答案：C
7.(2005上海高考,13)
若cosα=且α∈(0,),则tan=__________.
解析:∵α∈(0,),∴∈(0,).
∴tan=.
答案:
8.函数f(x)=cosx-sin2x-cos2x+的最大值是_________.
解析：f(x)=cosx-(1-cos2x)-(2cos2x-1)+=-cos2x+cosx+=-(cosx-)2+2.
当且仅当cosx=时,f(x)取最大值2.
答案：2
综合运用
9.sin-sin+2sincos=_______________.
解析：原式=sin-sin+2sincos=sin-sin+sin
=sin-cos+sin=sin(-)+sin
=-sin+sin==0.
答案：0
10.已知0<α<β<,sinα与sinβ是方程x2-(cos40°)x+cos240°-=0的两根,则cos(2α-β)=_______.
解析：∵Δ=2cos240°-4cos240°+2=2sin240°,
∴x=cos40°±sin40°.
∴x1=sin45°cos40°+cos45°sin40°=sin85°,
x2=sin45°cos40°-cos45°sin40°=sin5°.
又由0°<α<β<90°,
知β=85°,α=5°,
∴cos(2α-β)=cos(-75°)=cos75°=cos(45°+30°)=.
答案：
11.已知cos(α+)=,≤α<,求cos(２α+)的值.
解：cos(2α+)=cos2αcos-sin2αsin=(cos2α-sin2α).
∵≤α+<,cos(α+)>0,由此知<α+<.
∴sin(α+)=,从而有
cos2α=sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)
=2×()×=.
sin２α=-cos(2α+)=1-2cos2(α+)=1-2×（）2=.
∴cos(2α+)=×()=.
拓展探究
12.在△ABC中,求证：tantan+tantan+tantan=1.
证明：∵A、B、C是△ABC的三个内角，
∴A+B+C=π.
从而有=-.
左边=tan(tan+tan)+tan·tan
=tan·tan（+)(1-tan·tan)+tantan
=tantan(-)(1-tantan)+tantan
=1-tantan+tantan=1=右边.
∴等式成立.
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12.1.3
向量的减法
课后导练
基础达标
1.可以写成①；②；③；④.其中正确的是(
)
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
解析:由三角形法则知①④正确.而.
答案:D
2.化简下列各式,结果为零向量的个数是(
)
①
②-+-
③
④
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:①==0.
②-+-=(+)-(+)=-=0.
③==0.
④=0.
答案:D
3.若||=8,||=5,则||的取值范围是(
)
A.［3,8］
B.(3,8)
C.［3,13］
D.(3,13)
解析:∵=-,当、同向时,||=8-5=3；
当,反向时,||=8+5=13；
当,不共线或有零向量时3＜||＜13.
综上,知3≤||≤13.
答案:C
4.△ABC中,D、E、F分别为AB、BC、CA的中点,等于(
)
A.
B.
C.
D.
解析:.
答案:D
5.下列四式中,不能化简为的是(
)
A.()+
B.(+)+(+)
C.+-
D.
解析:(+)+(+)=++=+.
答案:B
6.已知=a,=b,若||=12,||=5,且∠AOB=90°,则|a-b|=__________.
解析:|a-b|=|-|=||=.
答案:13
7.在边长为1的正方形ABCD中,设=a,=b,=c,则|a+b+c|=________,|a+c-b|=________,|c-a-b|=______.
解析:|a+b+c|=2|c|=,|a+c-b|=|(c-b)+a|=2|a|=2,|c-a-b|=0.
答案:
2
0
8.在平行四边形ABCD中,若|+|=|-|,则ABCD是__________(填正方形或矩形或菱形).
解析:由|+|=|-|,
即||=||,可得ABCD的对角线相等且为平行四边形,
因此可得ABCD为矩形.
答案:矩形
综合运用
9.(2004全国高考,文5)
已知向量a,b满足:|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|等于(
)
A.1
B.
C.
D.
解析:由|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2),
知|a+b|2+4=2(1+4),
故|a+b|=.
答案:D
10.平面上有三点A,B,C,设m=+,n=-,若m,n的长度恰好相等,则有(
)
A.A,B,C三点必在同一直线上
B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C.△ABC必为直角三角形且∠B=90°
D.△ABC必为等腰直角三角形
解析:如图,作ABCD,
则+=,
-=-=,
∵|m|=|n|,
∴||=||.
∴ABCD为矩形.
∴△ABC为直角三角形,∠B=90°.
答案:C
11.已知等腰直角△ABC,∠C=90°,M为斜边的中点,设=a,=b,试用向量a,b表示、,,.
解:=-=a-b,
==a-b,
=+=++=b+a-b+a-b=2a-b,
==-(+)=-2(a-b)=2(b-a).
拓展探究
12.一艘船以
km/h的速度向垂直于岸的方向行驶,而船的实际速度是10
km/h,求水流的速度和船行驶的方向(用与水流方向间的夹角表示).
解:如图所示,设表示船垂直于对岸行驶的速度,表示水流的速度,以,为边作ABCD,则表示的就是船实际航行的速度.
在Rt△ABC中,
||=10
km/h,
||=||=
km/h,
∴||=
(km/h).
∵tan∠CAB=,∴∠CAB=60°.
答:水流速度为5
km/h,船行驶方向与水流方向夹角为60°.
PAGE
11.2.3
同角三角函数的基本关系式
课后导练
基础达标
1.若α是三角形的一个内角且sinα+cosα=
( http: / / www.21cnjy.com ),则这个三角形是（
）
A.正三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
解析：sinα+cosα=
( http: / / www.21cnjy.com ),
∴平方得2sinαcosα=
( http: / / www.21cnjy.com )<0.
∵sinα>0,∴cosα<0.
∴α为钝角.
答案：D
2.已知1+sinθ
( http: / / www.21cnjy.com )+cosθ
( http: / / www.21cnjy.com )=0,则θ的取值范围为（
）
A.第三象限
B.第四象限
C.2kπ+π≤θ≤2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )(k∈Z)
D.2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )≤θ≤2kπ+2π(k∈Z)
解析：原式=1+sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=0,
∴角θ可能为第三象限角或角θ的终边在x轴、y轴的非正半轴.
答案：C
3.化简
( http: / / www.21cnjy.com )的结果是（
）
A.sin4+cos4
B.sin4-cos4
C.cos4-sin4
D.-sin4-cos4
解析：原式=|sin4-cos4|,而sin4∴原式=cos4-sin4.
答案：C
4.已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=
( http: / / www.21cnjy.com ),则sinθ·cosθ的值是（
）
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.-
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
解析：∵sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2(sinθcosθ)2,
∴(sinθcosθ)2=
( http: / / www.21cnjy.com ),即sinθcosθ=±
( http: / / www.21cnjy.com ).
又θ是第三象限角，即θ∈(2kπ+π,2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )),k∈Z.
∴sinθ<0,cosθ<0.
∴sinθcosθ>0.
∴sinθcosθ=
( http: / / www.21cnjy.com ).
答案：A
5.已知a∈(0,1),x是三角形的一个内角，tanx=
( http: / / www.21cnjy.com ),则cosx的值是（
）
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.±
( http: / / www.21cnjy.com )
解析：∵0∴tanx=
( http: / / www.21cnjy.com )<0.
又x是三角形的内角，
∴90°又cos2x=
( http: / / www.21cnjy.com )2,cosx<0,
∴cosx=
( http: / / www.21cnjy.com ).
答案：C
6.若sinθ、cosθ是关于x的方程4x2+2mx+m=0的两个根，则m的值（
）
A.m∈［
( http: / / www.21cnjy.com ),0）
B.m=1-
( http: / / www.21cnjy.com )
C.m=1±
( http: / / www.21cnjy.com )
D.m=1+
( http: / / www.21cnjy.com )
解析：由根与系数关系得
①2-②×2，得1=,
即m2-2m-4=0.∴m=1±
( http: / / www.21cnjy.com ).
又由①得
( http: / / www.21cnjy.com )≤m≤
( http: / / www.21cnjy.com ),
∴m=1-
( http: / / www.21cnjy.com ).
答案：B
7.已知f(x)=
( http: / / www.21cnjy.com ),若α∈（
( http: / / www.21cnjy.com ),π）,则f(cosα)+f(-cosα)=________.
解析：f(cosα)+f(-cosα)=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ).
∵α∈(
( http: / / www.21cnjy.com ),π),∴sinα>0,1-cosα>0,1+cosα>0.
∴原式=
( http: / / www.21cnjy.com ).
答案：
( http: / / www.21cnjy.com )
8.分式
( http: / / www.21cnjy.com )化简后的最简结果是______________________.
解析：原式=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ).
答案：
( http: / / www.21cnjy.com )
9.若sinα+3cosα=0，则
( http: / / www.21cnjy.com )的值为_______________--.
解析：由条件可知tanα=-3,
原式=
( http: / / www.21cnjy.com )
答案：
( http: / / www.21cnjy.com )
10.若A为锐角，lg(1+cosA)=m,lg
( http: / / www.21cnjy.com )=n,则lgsinA=_____________--.
解析：两式相减m-n=lg(1+cosA)(1-cosA)=lg(1-cos2A)=lgsin2A=2lgsinA(sinA>0),
∴lgsinA=
( http: / / www.21cnjy.com ).
答案：
( http: / / www.21cnjy.com )
综合运用
11.(2006湖北武汉模拟)
设0<α<π,sinα+cosα=
( http: / / www.21cnjy.com ),则
( http: / / www.21cnjy.com )的值为(
)
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
解析:由勾股数知sinα=
( http: / / www.21cnjy.com ),
cosα=
( http: / / www.21cnjy.com )tanα=
( http: / / www.21cnjy.com ),
则.
答案:C
12.(2006重庆高考,文13)
已知sinα=,
( http: / / www.21cnjy.com )<α<π,则tanα=____________.
解:∵sinα=
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )<α<π,
∴cosα=-1-(
( http: / / www.21cnjy.com ),
而tanα=
( http: / / www.21cnjy.com )=-2.
答案:-2
13.已知tanα为非零实数，用tanα分别表示sinα,cosα.
解：∵tanα为非零实数，
∴α不是轴线角，即cosα≠0.
由
( http: / / www.21cnjy.com )=tan2α+1,得cos2α=
( http: / / www.21cnjy.com )；
若cosα>0,则cosα=
( http: / / www.21cnjy.com ),sinα=tanα·cosα=
( http: / / www.21cnjy.com )；
若cosα<0，则cosα=
( http: / / www.21cnjy.com ),
sinα=
( http: / / www.21cnjy.com ).
14.已知sinα、cosα是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根（a∈R),
(1)求sin3θ+cos3θ的值；
（2）求tanθ+
( http: / / www.21cnjy.com )的值.
解：依题意由Δ≥0,即（-a）2-4a≥0,得a≤0或a≥4且
( http: / / www.21cnjy.com )
①2+②×2,得a2-2a-1=0,
∴a=1-
( http: / / www.21cnjy.com )或a=1+
( http: / / www.21cnjy.com )(舍）.
∴sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-
( http: / / www.21cnjy.com ).
(1)sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)
=(1-
( http: / / www.21cnjy.com ))［1-(1-
( http: / / www.21cnjy.com ))］=
( http: / / www.21cnjy.com )-2.
(2)tanθ+
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ),
∴tanθ+
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
拓展探究
15.已知sinθ+cosθ=
( http: / / www.21cnjy.com )(0<θ<π),求tanθ的值.
解法一：将已知等式两边平方，得sinθcosθ=
( http: / / www.21cnjy.com ),
∴
( http: / / www.21cnjy.com )<θ<π.
故sinθ-cosθ=
( http: / / www.21cnjy.com ).
解方程组
得sinθ=,cosθ=
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴tanθ=
( http: / / www.21cnjy.com ).
解法二：由sinθ+cosθ=
( http: / / www.21cnjy.com ),得sinθcosθ=
( http: / / www.21cnjy.com ).于是sinθ>0,cosθ<0.
设以sinθ，cosθ为根的一元二次方程为x2-
( http: / / www.21cnjy.com )x-
( http: / / www.21cnjy.com )=0,
解得x1=sinθ=
( http: / / www.21cnjy.com ),
x2=cosθ=
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴tanθ=.
16.若<θ<3π,求3
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )的值.
解：∵
( http: / / www.21cnjy.com )<θ<3π,
∴θ为第二象限角.
∴tanα<0.
∴2tanθ<20=1.
原式=（3
( http: / / www.21cnjy.com )）tanθ+
( http: / / www.21cnjy.com )=2tanθ+|2tanθ-1|=1.1.1.2
弧度制和弧度制与角度制的换算
课后导练
基础达标
1.下列命题中的假命题是（
）
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.一度的角是圆周的
( http: / / www.21cnjy.com )，一弧度的角是圆周的
( http: / / www.21cnjy.com )
C.根据弧度的定义,180°一定等于π弧度
D.不论是用角度制还是弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关
解析：根据角度与弧度的定义,可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长和半径的比值有关，应选D.
答案：D
2.下列各对角中，终边相同的是（
）
A.
( http: / / www.21cnjy.com )和2kπ-
( http: / / www.21cnjy.com )(k∈Z)
B.
( http: / / www.21cnjy.com )和
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )和
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )和
( http: / / www.21cnjy.com )
解析：
( http: / / www.21cnjy.com )=2π
( http: / / www.21cnjy.com ).
答案：C
3.已知两弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（
）
A.2
B.
sin2
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.2sin1
解析：∵sin1=
( http: / / www.21cnjy.com ),∴R=
( http: / / www.21cnjy.com ).
又∵l=|α|·R，∈R
∴l=2·
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
答案：C
4.扇形圆心角为
( http: / / www.21cnjy.com )，半径长为a，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比是（
）
A.1∶3
B.2∶3
C.4∶3
D.4∶9
解析：S扇形=
( http: / / www.21cnjy.com )lR=
( http: / / www.21cnjy.com )a2.
设内切圆的半径为r,则r=
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴S圆形=
( http: / / www.21cnjy.com ).∴
( http: / / www.21cnjy.com ).故选B.
答案：B
5.集合A={α|α=kπ+
( http: / / www.21cnjy.com ),k∈Z},B={α|α=2kπ±
( http: / / www.21cnjy.com ),k∈Z}的关系是（
）
A.A=B
B.A
( http: / / www.21cnjy.com )B
C.B
( http: / / www.21cnjy.com )A
D.以上都不对
解析：集合A中k∈Z，分为奇数和偶数表示，即A={α|α=2nπ+
( http: / / www.21cnjy.com ),n∈Z}∪{α|α=(2n-1)π+
( http: / / www.21cnjy.com ),n∈Z}=B.故选A.
答案：A
6.扇形周长为6，面积为2
,则其圆心角的弧度数是（
）
A.1或4
B.1或2
C.2或4
D.1或5
解析：设此扇形的半径为r，圆心角的弧度数是α(0<α<2π),则有
解之,得α=1或α=4.
答案：A
7.设0≤α<2π,将-1
485°表示成2kπ+α,k∈Z的形式是________.
解析：-1
485°=-5×360°+315°=-10π+.
答案：-10π+
( http: / / www.21cnjy.com )
8.如图，阴影部分用弧度制可表示为_______.
解析：330°可看成-30°,即,而75°=75×
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ),
∴{θ|2kπ
( http: / / www.21cnjy.com )<θ<2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com ),k∈Z}.
答案：{θ|2kπ
( http: / / www.21cnjy.com )<θ<2kπ+
( http: / / www.21cnjy.com ),k∈Z}
综合运用
9.点P从(1,0)出发,沿单位圆x2+y2=1按逆时针方向运动
( http: / / www.21cnjy.com )弧长到达Q点,则Q的坐标为(
)
A.(-
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ))
B.(
( http: / / www.21cnjy.com ),-
( http: / / www.21cnjy.com ))
C.(-
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ))
D.(
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ))
解析:由弧长公式l=|α|r,l=
( http: / / www.21cnjy.com ),r=1,得P点按逆时针方向转过的角度为α=
( http: / / www.21cnjy.com ),可确定直线OP的方程为y=
( http: / / www.21cnjy.com )x(x<0),与圆的方程x2+y2=1联立可得P(-
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )).
答案:A
10.若一段圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为(
)
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.2
解析:设正三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形.
∵AB=
( http: / / www.21cnjy.com )r,
∴弧长l=
( http: / / www.21cnjy.com )r.
∴α=
( http: / / www.21cnjy.com ).故选C.
答案:C
11.在扇形AOB中,∠AOB=90°,
( http: / / www.21cnjy.com )=l,求此扇形的内切圆的面积.
解:如图,∠AOB=90°=
( http: / / www.21cnjy.com ).
设扇形AOB的半径为R,其内切圆半径为r,由弧长公式有l=R,
所以R=
( http: / / www.21cnjy.com ).①
又因为OD=R,HD=r,OH=
( http: / / www.21cnjy.com )r,
所以OD=OH+HD=(1+
( http: / / www.21cnjy.com ))r.
所以r=
( http: / / www.21cnjy.com )=(
( http: / / www.21cnjy.com )-1)R.②
把①代入②,得r=(
( http: / / www.21cnjy.com )-1)·
( http: / / www.21cnjy.com ).
所以内切圆的面积S=πr2=π［
( http: / / www.21cnjy.com )］2=
( http: / / www.21cnjy.com ).
12.设半径为12
cm,长为8π
cm的弧所对圆心角为α，α∈(0,2π),求出与角α终边相同的角的集合A，并判断A是否为B={θ|θ=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com ),k∈Z}的真子集.
解：由|α|=
( http: / / www.21cnjy.com )得α=
( http: / / www.21cnjy.com )∈(0，2π),
∴与α终边相同的角的集合A={α|α=
( http: / / www.21cnjy.com )+2kπ，k∈Z
}.在B={θ|θ=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com ),k∈Z}中，令k=4m+1,m∈Z,则θ=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )+2mπ=
( http: / / www.21cnjy.com )+2mπ,m∈Z,∴A
( http: / / www.21cnjy.com )B.
又∵
( http: / / www.21cnjy.com )∈B，而
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )A,
∴A
( http: / / www.21cnjy.com )B,即A为B的真子集.
拓展探究
13.如图,已知一长为
( http: / / www.21cnjy.com )
cm,宽为1
cm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第三面时，被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角.求点A走过的路程及走过的弧所在的三个扇形的面积的和.
解：所对的圆半径是2，圆心角为
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )所对的半径是1，圆心角是
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )所对的圆半径为
( http: / / www.21cnjy.com )，圆心角为
( http: / / www.21cnjy.com ).所以A点走过的路程是3段圆弧之和，即2×
( http: / / www.21cnjy.com )+1×
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )×
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )π
cm.3段弧所在的扇形总面积是
( http: / / www.21cnjy.com )×2×π+
( http: / / www.21cnjy.com )×
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
cm2.1.2.4
诱导公式
课后导练
基础达标
1.sin(
( http: / / www.21cnjy.com ))的值为（
）
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.-
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
答案：A
2.如果f(x+π)=f(-x),且f(-x)=f(x)，则f(x)可以是（
）
A.sin2x
B.cosx
C.sin|x|
D.|sinx|
解析：f(-x)=f(x)时，对A不成立.
假如选B.由f(x+π)=cos(π+x)=-cosx,
而f(-x)=cos(-x)=cosx,
∴B不成立.
假如选C.由f(x+π)=sin|x+π|，
f(-x)=sin|-x|=sin|x|,知C不成立.
∴选D.
答案：D
3.在△ABC中，下列各表达式为常数的是（
）
A.sin(A+B)+sinC
B.cos(B+C)-cosA
C.tan
( http: / / www.21cnjy.com )tan
( http: / / www.21cnjy.com )
D.cos
( http: / / www.21cnjy.com )sec
( http: / / www.21cnjy.com )
解析：∵A+B+C=π，
∴sin(A+B)+sinC=sin(π-C)+sinC=2sinC,
cos(B+C)-cosA=cos(π-A)-cosA=-2cosA，
tan
( http: / / www.21cnjy.com )·tan
( http: / / www.21cnjy.com )=cot
( http: / / www.21cnjy.com )·tan
( http: / / www.21cnjy.com )=1，
cos
( http: / / www.21cnjy.com )sec
( http: / / www.21cnjy.com )=cos(
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com ))sec
( http: / / www.21cnjy.com )=sin
( http: / / www.21cnjy.com )sec
( http: / / www.21cnjy.com )=tan
( http: / / www.21cnjy.com ).
答案：C
4.设cos(π+α)=
( http: / / www.21cnjy.com )(π<α<
( http: / / www.21cnjy.com )),那么sin(2π-α)的值是（
）
A.-
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
解析：∵cos(π+α)=-cosα=
( http: / / www.21cnjy.com ),∴cosα=
( http: / / www.21cnjy.com )(π<α<
( http: / / www.21cnjy.com )).
∴sin(2π-α)=sin(-α)=-sinα=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
答案：D
5.已知sinα是方程6x=1-
( http: / / www.21cnjy.com )的根，那么的值等于（
）
A.±
B.±
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
解析：∵6x=1-
( http: / / www.21cnjy.com ),∴
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )=-
( http: / / www.21cnjy.com )(舍去).∴x=
( http: / / www.21cnjy.com ).
又∵sinα是方程6x=1-
( http: / / www.21cnjy.com )的根，∴sinα=
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴cosα=±
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴
.
答案：A
6.(2006黄冈中学模拟)
cos(
( http: / / www.21cnjy.com ))的值是(
)
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.-
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
解析:cos(
( http: / / www.21cnjy.com ))=cos
( http: / / www.21cnjy.com )
=-cos
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
答案:D
7.(2006潮州质检)
sin
( http: / / www.21cnjy.com ),cos
( http: / / www.21cnjy.com ),tan
( http: / / www.21cnjy.com )从小到大的顺序是______________.
解析:∵cos
( http: / / www.21cnjy.com )<0,tan
( http: / / www.21cnjy.com )=tan
( http: / / www.21cnjy.com ),
又∵0( http: / / www.21cnjy.com )时,tanx>x>sinx>0,
∴tan
( http: / / www.21cnjy.com )>sin
( http: / / www.21cnjy.com )>0.
∴cos
( http: / / www.21cnjy.com )( http: / / www.21cnjy.com )( http: / / www.21cnjy.com ).
答案:cos
( http: / / www.21cnjy.com )( http: / / www.21cnjy.com )( http: / / www.21cnjy.com )
8.sin(-1
200°)
( http: / / www.21cnjy.com )cos1
290°+cos(-1
020°)sin(-1
050°)+tan945°=_____________.
解析：原式=-sin1
200°cos1
290°-cos1
020°·sin1
050°+tan945°
=-sin(-60°+7×180
( http: / / www.21cnjy.com )°)·cos(30°+7×180°)-cos(-60°+3×360°)·sin(-30°+3×360°)+tan(45°+5×180°)=sin(-60°)(-cos30°)-cos(-60°)sin(-30°)+tan45°
=
( http: / / www.21cnjy.com )×(
( http: / / www.21cnjy.com ))-
( http: / / www.21cnjy.com )×(-
( http: / / www.21cnjy.com ))+1=2.
答案：2
9.已知cos(11π-3)=p，用p表示tan(-3)=______________.
解析：∵cos(11π-3)=-cos(-3)=-cos3=p,
∴cos3=-p.又
( http: / / www.21cnjy.com )<3<π,
∴sin3=
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴tan(-3)=-tan3=
( http: / / www.21cnjy.com )
答案：
( http: / / www.21cnjy.com )
10.
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ),则cos(3π-θ)=____________.
解析：∵
( http: / / www.21cnjy.com ),
∴cosθ=
( http: / / www.21cnjy.com ).∴cos(3π-θ)=cos(π-θ)=-cosθ=
( http: / / www.21cnjy.com ).
答案：
( http: / / www.21cnjy.com )
综合运用
11.已知sin(
( http: / / www.21cnjy.com )-α)=
( http: / / www.21cnjy.com ),则cos(
( http: / / www.21cnjy.com )+α)=____________.
解析:∵(
( http: / / www.21cnjy.com )-α)+(
( http: / / www.21cnjy.com )+α)=
( http: / / www.21cnjy.com ),
∴cos(
( http: / / www.21cnjy.com )+α)=cos［
( http: / / www.21cnjy.com )-(
( http: / / www.21cnjy.com )-α)］=sin(
( http: / / www.21cnjy.com )-α)=
( http: / / www.21cnjy.com ).
答案:
( http: / / www.21cnjy.com )
12.(2006山东滨州模拟)
已知函数f
( http: / / www.21cnjy.com )(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数,且满足f(2
005)=-1,则f(2
006)等于(
)
A.-1
B.0
C.1
D.2
解析:由已知,f(2
005)=asi
( http: / / www.21cnjy.com )n(2
005π+α)+bcos(2
005π+β)=asin(π+α)+bcos(π+β)=-asinα-bcosβ=-1,
∴asinα+bcosβ=1,而f(2
006)=asin(2
006π+α)+bcos(2
006π+β)=asinα+bcosβ=1.
答案:C
13.已知cos(75°+α)=
( http: / / www.21cnjy.com )，α是第三象限角，求sin(105°-α)+cos(α-105°)的值.
解：∵α是第三象限角，
∴α+75°是第三、四象限或终边落在y轴的负半轴上的角.
又∵cos(α+75°)=
( http: / / www.21cnjy.com )>0,
∴α+75°是终边落在第四象限的角.
∴sin(75°+α)=
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴原式=sin［180°-(75°+α)］-cos［180°+(α-105°)］
=sin(75°+α)-cos(75°+α)
=
( http: / / www.21cnjy.com ).
14.已知角α终边上一点A的坐标为（
( http: / / www.21cnjy.com )，-1），求
( http: / / www.21cnjy.com ).
解：∵x=
( http: / / www.21cnjy.com )，y=-1,∴r=
( http: / / www.21cnjy.com )=2.
∴sinα=
( http: / / www.21cnjy.com )=-
( http: / / www.21cnjy.com ).
原式=
=-sinα=.
拓展探究
15.求sin(2nπ+
( http: / / www.21cnjy.com ))·cos(nπ+
( http: / / www.21cnjy.com ))(n∈Z)的值.
解：（1）当n为奇数时,
原式=sin
( http: / / www.21cnjy.com )(-cos
( http: / / www.21cnjy.com ))=sin(π-
( http: / / www.21cnjy.com ))·［-cos(π+
( http: / / www.21cnjy.com ))］=sin
( http: / / www.21cnjy.com )cos
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )×
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
(2)当n为偶数时,
原式=sin
( http: / / www.21cnjy.com )cos
( http: / / www.21cnjy.com )=sin(π-
( http: / / www.21cnjy.com ))cos(π+
( http: / / www.21cnjy.com ))=sin
( http: / / www.21cnjy.com )(-cos
( http: / / www.21cnjy.com ))=
( http: / / www.21cnjy.com )×(-
( http: / / www.21cnjy.com ))=
( http: / / www.21cnjy.com ).
16.已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若α是第三象限的角,且cos(α-)=
( http: / / www.21cnjy.com ),求f(α)的值;
(3)若α=
( http: / / www.21cnjy.com ),求f(α)的值.
解:(1)f(α)=
( http: / / www.21cnjy.com )=-cosα.
(2)∵cos(α-
( http: / / www.21cnjy.com ))=-sinα,α是第三象限角,
∴sinα=-
( http: / / www.21cnjy.com ),cosα=
( http: / / www.21cnjy.com )∴f(α)=
( http: / / www.21cnjy.com ).
(3)∵
( http: / / www.21cnjy.com )=-6×2π+
( http: / / www.21cnjy.com ),
∴f(
( http: / / www.21cnjy.com ))=-cos(-6×2π+
( http: / / www.21cnjy.com ))=-cos
( http: / / www.21cnjy.com )=-cos
( http: / / www.21cnjy.com )=-
( http: / / www.21cnjy.com ).2.3.3
向量数量积的坐标运算与度量公式
课后导练
基础达标
1.已知a=（3，-1），b=（1，-2），则a与b的夹角为（
）
A.
B.
C.
D.
解析:∵a·b=5，|a|=，|b|=，
cosθ=,∴θ=.
答案:B
2.设m、n是两个非零向量，且m=（x1,y1),n=(x2,y2)，则以下等式中与m⊥n等价的个数有(
)
①m·n=0
②x1x2=-y1y2
③|m+n|=|m-n|④|m+n|=
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:对③④两边平方，化简得m·n=0m⊥n.
答案:D
3.已知点A（1，0）、B（5，-2）、C（8，4）、D（4，6），则四边形ABCD为（
）
A.正方形
B.菱形
C.梯形
D.矩形
解析:可以用坐标验证=且⊥，故ABCD为矩形.
答案:D
4.已知a=(2m-1,3-m),若|a|≤，则m的取值范围为（
）
A.［0，2］
B.［0，4］
C.（0，2］
D.（0，4］
解析:
|a|2=（2m-1）2+（3-m）2≤10m∈［0，2］.
答案:A
5.(2006江苏南京高三一模,3)
若向量n与直线l垂直,则称向量n为直线l的法向量,则直线x+2y+3=0的一个法向量为(
)
A.(1,2)
B.(1,-2)
C.(2,1)
D.(2,-1)
解析:可以确定已知直线的斜率k=-,
∴直线的方向向量a=(1,-).
由a·n=0,可知应选A.
答案:A
6.已知平面上直线l的方向向量e=(),点O（0,0)和A（1，-2）在l上的投影分别是O′和A′，则=λe，其中λ等于（
）
A.
B.
C.2
D.-2
解析:令e的起点是原点，与e方向相反，排除A、C，设e与夹角为θ.
∵=（1，-2），则||=，
∴cosθ=.
∴在e上的射影||·cosθ==-2.∴λ=-2.
答案:D
7.已知向量a=（1，1），b=（2，-3）.若ka-2b与a垂直，则k=___________.
解析:∵ka-2b=(k-4,k+6),又(ka-2b)·a=0,∴(k-4)·1+（k+6)·1=0.∴k=-1.
答案:-1
8.已知点A（1，-2），若与a=（2，3）同向，||=，则点B的坐标为_______.
解析:设A（xa,ya),B(xb,yb).
∵与a同向，∴可设=λa=（2λ,3λ)(λ＞0).
∵||=.
∴λ=2.则=(xb-xa，yb-ya)=(4,6).
∴B(5,4).
答案:(5,4)
综合运用
9.以原点O和点A（5，2）为两顶点作等腰直角△ABO，B为直角顶点，试求的坐标.
解:设B（x，y),则=（x,y),AB=(x-5,y-2).
∵△ABO是等腰直角三角形，故⊥，且||=||,
∴,
解得.
∴=（，）或=(,-).
10.已知a=（，-1），b=（，）且存在k，t∈R,使得x=a+（t2-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y.试求的最小值.
解:由题意有|a|=2，|b|=1，
∵a·b=×-1×=0，
∴a⊥b.又∵x⊥y，
∴［a+（t2-3）b］·(-ka+tb)=0.
化简得k=.∴=(t2+4t-3)=(t+2)2.
当t=-2时，有最小值为.
11.已知直角三角形的两直角边长分别为4和6,试用向量法求两直角边中线所成钝角的余弦值.
思路分析:本题考虑用向量的几何法不易入手,故考虑用向量的坐标法,将直角三角形放到直角坐标系中,写出点的坐标,然后利用向量的坐标运算求解.
解:建立如图所示的坐标系,则A(4,0),B(0,6),E(2,0),F(0,3).
所以=(-4,3),=(2,-6).
所以·=-26,||=5,||=.所以cos∠AO′B=
.
所以两中线所成钝角的余弦值为.
拓展探究
12.讨论研究：
以坐标原点O和A（4，2）为2个顶点，作等腰直角三角形ABO，∠B=90°,求点B的坐标和AB的长.
解：设B（x,y),则=(x,y),=(x-4,y-2).
∵∠B=90°,∴⊥.
∴x(x-4)+y(y-2)=0,
即x2+y2=4x+2y.①
设中点为C，则C（2，1），=（2，1），=（x-2,y-1).
∵△AOB为等腰直角三角形，∴⊥.
∴2(x-2)+(y-1)=0,
即2x+y=5.②
由①②得
∴B(1,3)或（3，-1）.
∴=（-3，1）或（-1，-3）.
∴|AB|=||=.
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11.2.1
三角函数的定义
课后导练
基础达标
1.下列函数中与函数y=tanα有相同定义域的是（
）
①y=
( http: / / www.21cnjy.com )
②y=secα
③y=cscα
④y=
( http: / / www.21cnjy.com )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：要使y=tanα=
( http: / / www.21cnjy.com )有意义,只需角α的终边上异于原点的点P(x,y)的横坐标x≠0,显然函数②④与之相同.
答案：B
2.若sinθcosθ>0,则θ在（
）
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第一、四象限
D.第二、四象限
解析：由sinθcosθ>0
( http: / / www.21cnjy.com ),可知若sinθ>0且cosθ>0,则θ角的终边位于第一象限;若sinθ<0且cosθ<0,则θ角的终边位于第三象限.综上,可知θ角的终边位于第一或第三象限.
答案：B
3.已知P（x,4）是角θ终边上一点，且tanθ=
( http: / / www.21cnjy.com ),则x的值为（
）
A.10
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.-10
D.-
( http: / / www.21cnjy.com )
解析：由任意角的三角函数的定义，可知tanθ=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ),∴x=-10.
答案：C
4.当α≠
( http: / / www.21cnjy.com )(k∈Z)时，M=
( http: / / www.21cnjy.com )的取值为(
)
A.M≥0
B.M>0
C.M<0
D.M时正时负
解析：因为α≠
( http: / / www.21cnjy.com ),k∈Z,所以角α的终边不落在坐标轴上.由任意角的三角函数的定义知sinα=
( http: / / www.21cnjy.com ),cosα=
( http: / / www.21cnjy.com ),tanα=
( http: / / www.21cnjy.com ),cotα=
( http: / / www.21cnjy.com ).原式=>0.
答案：B
5.已知cosα=m,0<|m|<1且tanα=,则α在（
）
A.第一或第二象限
B.第三或第四象限
C.第一或第四象限
D.第二或第三象限
解析：因为cosα=m,0<|m|<1,所以角α的终边不会落在坐标轴上，又因为
( http: / / www.21cnjy.com )>0,所以cosα与tanα同号，所以角α的终边在第一或第二象限.
答案:A
6.若角α的终边过点P（3cosθ,-4cosθ）(θ为第二象限角)，则sinα=___________.
解析：∵x=3cosθ,y=-4cosθ,
∴r=
( http: / / www.21cnjy.com )=5|cosθ|=-5cosθ(θ为第二象限角).
∴sinα=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
答案：
( http: / / www.21cnjy.com )
7.若0( http: / / www.21cnjy.com )( http: / / www.21cnjy.com )的值为________.
解析：∵0( http: / / www.21cnjy.com )∴
( http: / / www.21cnjy.com )=x-a,cosx<0,ax<1.
∴原式=
( http: / / www.21cnjy.com )=1.
答案：1
8.求值：x2sin(-1
350°)+y2tan405°-(x-y)2cot765°-2xycos(-1
080°）.
解：原式=x2sin(90°-4×36
( http: / / www.21cnjy.com )0°)+y2tan(45°+360°)-（x-y）2cot(45°+2×360°)-2xycos(0°-3×360°)
=x2sin90°+y2tan45°-(x-y)2cot45°-2xycos0°
=x2+y2-(x-y)2-2xy=0.
综合运用
9.α是第二象限角,则sin2α,sin
( http: / / www.21cnjy.com ),tan2α,tan
( http: / / www.21cnjy.com )中必取正数的个数有(
)
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
解析:2α是第三、四象限角,而kπ+
( http: / / www.21cnjy.com )<
( http: / / www.21cnjy.com )( http: / / www.21cnjy.com ),∴
( http: / / www.21cnjy.com )是第一、三象限角,只有tan
( http: / / www.21cnjy.com )>0.故选B.
答案:B
10.在△ABC中,若sinA·cosB·tanC<0,判断△ABC的形状.
解:0sinA·cosB·tanC<0,
∴cosB·tanC<0.
∴cosB与tanC异号.
∴B,C中只有一个角为钝角.
∴△ABC是钝角三角形.
11.若sin2α>0且cosα<0,试确定α所在的象限.
解:∵sin2α>0,∴2kπ<2α<2kπ+π(k∈Z).
∴kπ<α( http: / / www.21cnjy.com )(k∈Z).
当k=2n(n∈Z)时,有2nπ<α<2nπ+
( http: / / www.21cnjy.com )(n∈Z),α为第一象限角.
当k=2n+1(n∈Z)时,有2nπ+π<α<2nπ+
( http: / / www.21cnjy.com )(n∈Z),α为第三象限角.
∴α为第一或第三象限角.
由cosα<0,可知α在第二或第三象限,或α终边在x轴的负半轴上.
综上,可知α在第三象限.
拓展探究
12.若tan(cosθ)·cot(sinθ)>0,试指出θ所在象限,并且用图形表示出
( http: / / www.21cnjy.com )所取值的范围.
解:由题意,知
∴
( http: / / www.21cnjy.com )
即θ在第一或第三象限.
若θ在第一象限,则
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围如图①所示;若θ在第三象限,则
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围如图②所示.(见阴影部分,不含边界)2.4.1
向量在几何中的应用
课后导练
基础达标
1.过点P′（1，2）且平行于向量a=（3，4）的直线方程为（
）
A.3x+4y-11=0
B.3x+4y+11=0
C.4x-3y+2=0
D.4x-3y-2=0
解析:设P（x,y)是直线上一点，则=(x-1,y-2),
∵∥a，∴4(x-1)-3(y-2)=0，
整理得4x-3y+2=0.
答案:C
2.过点A（2，3）且垂直于向量a=（2，1）的直线方程为（
）
A.2x+y-7=0
B.2x+y+7=0
C.x-2y+4=0
D.x-2y-4=0
解析:设P（x,y)是直线上一点，则=（x-2,y-3)，∵⊥a,
∴·a=0.
∴2(x-2)+(y-3)=0.
整理得2x+y-7=0.
答案:A
3.已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P且++=，则点P与△ABC的位置关系是（
）
A.P在△ABC内部
B.P在△ABC外部
C.P在AB边上或其延长线上
D.P在AC边上
解析：
∵++=,
∴+=+=,
即=2.
∴A、C、P三点共线，即P在边AC上.
答案：D
4.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C）,则等于（
）
A.λ(+）,λ∈(0,1)
B.λ(+）,λ∈(0,)
C.λ(-）,λ∈(0,1)
D.λ(-）,λ∈(0,)
解析：由向量运算法则=+及点P在对角线AC上，所以与同向，且||＜||.
故=λ（+），λ∈(0,1).
答案：A
5.已知A（1，2）、B（3，4）、C（5，0）,则sin∠BAC等于…（
）
A.
B.
C.
D.
解析:∵=(2,2),=(4,-2),
∴cos∠BAC=,
∴sin∠BAC=.
答案:A
6.ABCD三个顶点坐标分别为A（-2，1）、B（-1，3）、C（3，4）,则顶点D的坐标为（
）
A.（2，1）
B.（2，2）
C.（1，2）
D.（2，3）
解析:设D（x,y）,∵ABCD为平行四边形，
∴=，即（1，2）=（3-x,4-y）,
∴
∴D(2,2).
答案:B
7.在四边形ABCD中，=，且·=0，则四边形ABCD是（
）
A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
解析:由=可得四边形ABCD为平行四边形，
又因为·=0，即⊥，所以∠B=90°.
所以四边形ABCD为矩形.
答案:C
8.三角形ABC三个顶点坐标为（4，1），（-1，6），（4，11），则△ABC是（
）
A.等腰三角形
B.既非等腰又非直角三角形
C.直角非等腰三角形
D.等腰直角三角形
解析:∵A（4，1），B（-1，6），C（4，11），
并且||=（-5，5），=（5，5），
∴·=-25+25=0，||=||.∴△ABC为等腰直角三角形.
答案:D
综合运用
9.已知平面上三点A、B、C满足||=3，||=4，||=5，则·+·+·=_____.
解析：∵||2+||2=||2，
∴△ABC为直角三角形.其中∠B=90°，
∴·+·+·=0+||||cos（π-∠C）+||||·cos（π-∠A）=-25.
答案：-25
10.设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知（+-2）·（-）=0，则△ABC的形状是_____.
解析：∵（+-2）·（-）=0，
∴（+）·（-）=0,
即||2-||2=0,||=||.
故△ABC为等腰三角形.
答案：等腰三角形
11.如下图所示,已知ABCD是菱形，AC和BD是它的两对角线，求证:AC⊥BD.
证法一：∵=+，=-，
∴·=（+）·（-）=||2-||2=0.
∴⊥.
证法二：以BC所在直线为x轴，B为原点建立坐标系.
设B（0，0），A（a,b),C(c,0),
则由||=||，得a2+b2=c2.
∵=-=（c-a,-b),
=+=(a+c,b),
∴·=c2-a2-b2=0.
∴⊥，即AC⊥BD.
拓展探究
12.如图，已知点L、M、N分别在△ABC的边BC、CA、AB上，且=l,=m,=n,
又++=0,求证:l=m=n.
证明：=+,=+,=+.
由已知=l,=m,=n,
∴++=(+)+(+)+(+)
=(++)+(l+m+n).
∵++=0,++=0,
∴l+m+n=0.
∴-l+m+n=0.
∴-l(-)+m+n=0.
∴(n-l)+(m-l)=0.
当n≠l时，=,∴A、B、C三点共线，与已知矛盾.
∴n=l,于是（m-l)=0.由≠0,知m=l,故l=m=n.
PAGE
12.1.2
向量的加法
课后导练
基础达标
1.设()+()=a,而b是一非零向量,则下列结论正确的是(
)
①a∥b
②a+b=a
③a+b=b
④|a+b|＜|a|+|b|
A.①③
B.②③
C.②④
D.①②
解析:∵a=()+()=()+()==0,
∴a∥b.a+b=0+b=b.
答案:A
2.已知P为△ABC所在平面内一点,当成立时,点P位于(
)
A.△ABC的AB边上
B.△ABC的BC边上
C.△ABC的内部
D.△ABC的外部
解析:,则P在△ABC的外部(如右图).
答案:D
3.a、b、a+b均为非零向量,且a+b平分a与b的夹角,则(
)
A.a=b
B.|a|=|b|
C.|a|=2|b|
D.以上都不对
解析:由平行四边形法则及已知条件,平行四边形为菱形,所以邻边长度相等.
答案:B
4.向量()+()+化简后等于(
)
A.
B.
C.
D.
解析:原式=(+)+()=+=.∴应选C.
答案:C
5.已知正方形ABCD的边长为1,则|+++|等于(
)
A.1
B.
C.3
D.
解析:|+++|=2||=.
答案:B
6.设a表示“向东走3
km”,b表示“向北走3
km”,则a+b表示________________.
解析:如图,|a+b|=,θ=45°.
答案:向东北方向走
km
7.若P为△ABC的外心,且,则△ABC的内角C=___________.
解析:∵,则四边形APBC组成平行四边形.又P为△ABC的外心,∴||=||=||.因此∠C=120°.
答案:120°
8.若三个向量a、b、c恰能首尾相接构成一个三角形,则a+b+c=_________.
解析:由加法法则知首尾相接组成一个封闭图形的向量和为0.
答案:0
综合运用
9.(2006上海高考,13)
如图所示,在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是(
)
A.
B.
C.
D.=0
解析:∵,∴选C.
答案:C
10.(2006广东高考,4)
如图所示,D是△ABC的边AB上的中点,则向量等于(
)
A.
B.
C.
D.
解析:由三角形法则,知=-=-,∴选B.
答案:B
11.已知||=|a|=3,||=|b|=3,∠AOB=60°,求|a+b|.
解:如图,∵||=||=3,
∴四边形OACB为菱形.
连OC、AB,则OC⊥AB,
∵∠AOB=60°,
∴AB=||=3.
∴在Rt△BDC中,CD=.
∴||=|a+b|=×2=.
拓展探究
12.求证:三角形的三条中线构成的向量首尾相接正好构成一个三角形.
证明:要证明三个向量首尾相接构成三角形,只要证明三个向量的和为0即可.
如图所示,设△ABC的三边对应的向量为a=,b=,c=,那么a+b+c=0,
设D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中点,
于是中线对应的向量分别为=c+a,=a+b,=b+c.
∴=a+b+c+(a+b+c)=0.
故结论得证.
PAGE
13.1.1
两角和与差的余弦
课后导练
基础达标
1.cos(-15°)的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：cos(-15°)=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°·cos30°+sin45°·sin30°=.
答案：C
2.cos78°·cos18°+sin78°·sin18°的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：原式=cos(78°-18°)=cos60°=.
答案：A
3.化简cos(α+β)·cosα+sin(α+β)·sinα得（
）
A.cosα
B.cosβ
C.cos(2α+β)
D.sin(2α+β)
解析：原式=cos(α+β-α)=cosβ.
答案：B
4.若sinα-sinβ=1-,cosα-cosβ=-,则cos(α-β)的值为（
）
A.
B.
C.
D.1
解析：将两式平方后相加，可得2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=2-,即有cos(α-β)=.
答案：B
5.若sin(π+θ)=,θ是第二象限角，sin(+φ)=,φ是第三象限角，则cos(θ-φ)的值是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由sin(π+θ)=,得sinθ=,又θ是第二象限角，得cosθ=.
由sin(+φ)=,得cosφ=,又φ是第三象限角,得sinφ=,
则cos(θ-φ)=cosθcosφ+sinθsinφ=.
答案：B
6.若cos（α-β）=,则(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=___________.
解析：(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=2+2cos(α-β)=.
答案：
7.在△ABC中，若sinAsinB解析：∵sinAsinB∴cos(A+B)>0.又A+B+C=π,
∴cos(π-C)>0.∴cosC<0.
∴△ABC为钝角三角形.
答案：钝角三角形
8.已知α、β均为锐角，则sinα=，cosβ=，则α-β的值为_________.
解析：∵α、β均为锐角，
∴cosα=.sinβ=.
又sinα∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=.
∴α-β=.
答案：
综合运用
9.已知tanα=,cos(α+β)=,α、β均为锐角，求cosβ的值.
解：∵tanα=,α为锐角，
∴sin2α=48cos2α=48(1-sin2α).
∴sinα=.∴cosα=.
又cos(α+β)=，及0°<α+β<180°,
∴sin(α+β)=.
∴cosβ=cos［(α+β)-α］=cos(α+β)·cosα+sin(α+β)sinα=×+×=.
10.已知锐角α、β满足sinα=,sin(α+β)=,求β.
解：由已知锐角α、β满足sinα=,sin(α+β)=，得
cosα=,
又sinα>sin(α+β),故α+β必为钝角，
∴cos(α+β)=-.
∴cosβ=cos［(α+β)-α］=cos(α+β)cosα+sin(α+β)·sinα=×+×=.
∴β=60°.
11.使cosx-sinx=有解，其中x∈［-,］,求m的范围.
解：由cosx-sinx=,得2cos(+x)=.
由x∈［-,］,则+x∈［,］,
∴2cos(+x)∈［-,2］.
∴-≤≤2.
解得≤m≤3+.
拓展探究
12.重量为G的小车在地面上，卷扬机通过定滑轮牵引着它（如图），若设小车和地面间的动摩擦因数为μ，问牵引角φ多大时，用力最小？
解：可由物理学中的受力分析作图,由平衡条件得
即得F=
(μ=tanα),
要使F最小,分母应最大,即cos(α-φ)=1,即α=φ.
又tanα=μ,所以当φ=arctanμ时,F最小,
最小值为Fmin==Gsinα=Gsinφ.
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12.1.5
向量共线的条件与轴上向量坐标运算
课后导练
基础达标
1.下列命题正确的有(
)
①(-5)(6a)=-30a
②7(a+b)-6a=7a+13b
③若a=m-n,b=3(m-n),则a∥b
④(a-5b)+(a+5b)=2a
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:只有②错误.
答案:C
2.已知e1,e2不共线,若a=3e1-4e2,b=6e1+ke2,且a∥b,则k的值为(
)
A.8
B.-8
C.3
D.-3
解析:∵a∥b,∴a=λb,即3e1-4e2=λ(6e1+ke2).
∴(3-6λ)e1=(4+λk)e2.
∵e1,e2不共线,
∴∴
答案:B
3.已知e1,e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于…
(
)
A.3
B.-3
C.0
D.2
解析:原式可变为(3x-4y-6)e1=(3-2x+3y)e2
∵e1,e2不共线,
∴
∴①+②,得x-y=3.
答案:A
4.若=3e1,=-5e1,且||=||,则四边形ABCD是(
)
A.平行四边形
B.菱形
C.等腰梯形
D.不等腰梯形
解析:∵=3e1,=-5e1,
∴=,
∴与平行且反向.
易知||＞||,又||=||,
∴四边形为等腰梯形.
答案:C
5.向量a=m-2n,b=3m+n,其中m,n不共线,则a-b与c=3m-n(
)
A.不共线
B.共线
C.相等
D.不确定
解析:由a-b=(m-2n)-(3m+n)=-2m-3n,知
不存在λ使(a-b)=λ(3m-n).因此a-b与c不共线.
答案:A
6.(2006曲阜三校联考)
已知λ1≠λ2,且λ1a+λ2b=0,则下列说法不正确的是(
)
A.a∥b
B.a与b互为相反向量
C.|λ1a|=|λ2b|
D.λ1a与λ2b互为相反向量
解析:由向量平行的判定知A正确,
由λ1a=-λ2b得C,D正确.故选B.
答案:B
7.若M是△ABC的重心,则下列各向量中与AB共线的是(
)
A.
B.
C.
D.
解析:∵=0,∴选C.
答案:C
8.e1,
e2不共线,则向量a=2e1-e2与b=e1+λe2共线(λ∈R),则λ的值为_________.
解析:据题意,设a=kb,
即2
e1-
e2=k(e1+λe2),
∵e1,e2不共线,
∴k=2,λk=-1.
解得λ=-.
答案:-
综合运用
9.(2006甘肃兰州诊断)
设a,b为不共线向量,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则下列关系式中正确的是(
)
A.
B.=
C.=-
D.=-2
解析:++=-8a-2b=2,∴选B.
答案:B
10.(2005山东高考,理7)
已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(
)
A.A,B,D
B.A,B,C
C.B,C,D
D.A,C,D
解析:=-=+
=++
=(7a-2b)+(a+2b)+(-5a+6b)
=3a+6b
=3.
∴A,B,D三点共线.
同理,B,C,D三项错误.
答案:A
11.求证:起点相同的三个非零向量a、b、3a-2b的终点在同一条直线上.
证明:设起点为O,=a,=b,=3a-2b,则=-=2(a-b).
=-=b-a,=-2,
∴与共线且有公共点A.
∴A、B、C三点共线,即a,b,3a-2b的终点在同一条直线上.
拓展探究
12.如图,O是△ABC内一点,PQ∥BC,且=t,=a,=b,=c,求与.
思路分析:利用向量共线条件列式求解.
解:∵PQ∥BC,且=t,
有△APQ∽△ABC,且对应边比为t(t=),
即=t.
转化为向量的关系有
=t,=t,
又由于=,=,=,,
∴=+=+t(-)=a+t(b-a)=(1-t)a+tb,=+=+t(-)=t(c-a)+a=(1-t)a+tc.
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12.2.3
用平面向量坐标表示向量共线条件
课后导练
基础达标
1.下列各组向量中，不能作为表示平面内所有向量基底的一组是（
）
A.a=(-1,2),b=(0,5)
B.a=(1,2),b=(2,1)
C.a=(2,-1),b=(3,4)
D.a=(-2,1),b=(4,-2)
解析:我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.D中两个向量共线，故不能作为一组基底.
答案:D
2.以下命题错误的是（
）
A.若i、j分别是与平面直角坐标系中x轴、y轴同向的单位向量，则|i+j|=|i-j|
B.若a∥b，a=（x1,y1),b=(x2,y2),则必有
C.零向量的坐标表示为（0，0）
D.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标
解析:对B选项，两个向量中，若有与坐标轴共线的向量或零向量，则坐标不应写成比例式.
答案:B
3.已知a=（1，2），b=（x,1).若（a+2b）∥（2a-b），则x的值是（
）
A.2
B.1
C.
D.
解析:a+2b=（1，2）+2（x,1)=（1+2x，4），2a-b=2（1，2）-（x,1)=(2-x,3).
∵(a+2b)∥(2a-b)，
∴3(1+2x)-4(2-x)=0.
解得x=.
答案:C
4.如右图,=-3，且=a,=b,=c，则下列等式成立的是（
）
A.c=-a+b
B.c=-a+2b
C.c=-b+2a
D.c=a+b
解析:由=+=-3，
即c=a-3(b-c),c=a-3b+3c.
∴c=a+b.
答案:A
5.下列所给向量共线的有(
)
A.(1,5),(5,-5)
B.(2,-3),(,)
C.(1,0),(0,1)
D.(1,-3),(8,)
解析:本题考查平面向量共线的条件,只需将所给坐标代入公式,看“x1y2-x2y1=0”是否成立即可.
答案:B
6.与a=(12,5)平行的单位向量为(
)
A.()
B.()
C.()或()
D.(±,±)
解析:利用平行与单位向量两个条件即可求得.
答案:C
7.已知A、B、C三点共线,且A(3,-6),B(-5,2),若C点横坐标为6,则C点的纵坐标为(
)
A.-13
B.9
C.-9
D.13
解析:设C(6,y),则∥.
又=(-8,8),=(3,y+6),
∴-8(y+6)-3×8=0.∴y=-9.
答案:C
8.已知a=（3，2），b=（2，-1），若λa+b与a+λb（λ∈R）平行，则λ=_________.
解析:λa+b=λ(3,2)+(2,-1)=(3λ+2,2λ-1)，
a+λb=(3,2)+λ(2,-1)=(3+2λ,2-λ),
∵(λa+b）∥（a+λb),
∴(3λ+2)(2-λ)-(3+2λ)(2λ-1)=0，即7λ2=7.
∴λ=1或-1.
答案:1或-1
综合运用
9.(2006全国高考卷Ⅱ,1)
已知向量a=(4,2),向量b=(x,3),且a∥b,则x等于(
)
A.9
B.6
C.5
D.3
解析:∵a∥b=x=6,∴选B.
答案:B
10.(2006辽宁高考,9)
△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c.设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a).若p∥q,则角C的大小为(
)
A.
B.
C.
D.
解析:p∥q,∴(a+c)(c-a)-b(b-a)=0c2-a2=b2-ab,则a2+b2-c2=ab,
则cosC==,
又∵C∈(0,π),
∴C=.
故选B.
答案:B
11.向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k为何值时,A、B、C三点共线
解:=-=（k,12)-(4,5)=(k-4,7),
=-=(k,12)-(10,k)=(k-10,12-k).
∵A、B、C共线，
∴∥，即（k-4)(12-k)-7(k-10)=0.
整理得k2-9k-22=0,
∴k=-2或k=11.
∴当k=-2或11时，A、B、C三点共线.
拓展探究
12.如图,已知ABCD是正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF=AE.
证明:以正方形ABCD的边DC所在的直线为x轴，以点C为坐标原点建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则点A、B的坐标分别为A（-1，1）、B（0，1）.又设点E的坐标为（x,y),则=（x,y-1),=(1,-1).
∵∥,
∴x(-1)-1·（y-1)=0,
即x+y=1.①
又CE=AC,
∴x2+y2=2.②
∵点E在y轴右侧，
∴由①②得点E的坐标为().
∴|AE|=.
再设点F的坐标为（x′,1),则=(x′,1).
又=()且∥，
∴x′-·1=0.
∴x′=-2-.
∴F(-2-,1).
从而|AF|=|-1-（-2-）|=+1.
∴AF=AE.
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13.1.3
两角和与差的正切
课后导练
基础达标
1.如果tan(α+β)=,tan(β-）=，则tan(α+)的值为（
）
A.
B.
C.
D.2
解析：tan(α+β)=tan［(α+)+(β-)］=〔令tan(α+)=m〕,求得m=,即tan(α+)=.
答案：B
2.化简tan(+)-tan(-)等于（
）
A.tanx
B.2tanx
C.tan
D.2tan
解析：由tan［（+）-(-)］=,
∴原式=2tanx.
答案：B
3.若α+β=,则（1-tanα)(1-tanβ)等于（
）
A.1
B.-1
C.2
D.-2
解析：(1-tanα)(1-tanβ)=1-(tanα+tanβ)+tanαtanβ
=1-tan(α+β)(1-tanαtanβ)+tanαtanβ=1-tan·(1-tanαtanβ)+tanαtanβ=2.
答案：C
4.若,则tan(+A)的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：tan(+A)=.
答案：D
5.sin(α+β)=,sin(α-β)=,则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由
①+②,得2sinαcosβ==,
①-②,得2cosαsinβ=,
两式相比,得=.
答案：B
6.如果tanα、tanβ是方程x2-3x-3=0的两根，则=________.
解析：tanα+tanβ=3,tanα·tanβ=-3,
.
答案：
7.已知tan(+α)=2,则的值为___________.
解析：∵tan(+α)=2,∴=2.
∴tanα=.
∴
答案：
8.化简3+tan(A+60°)tan(A-60°)+tanA·tan(A+60°)+tanAtan(A-60°)=______.
解析：原式=1+tan(A+60°)tan(A-60°)+1+tanAtan(A+60°)+1+tanAtan(A-60°)=
t
=0.
答案：0
综合运用
9.已知sinβ=msin(2α+β),其中m≠0,２α+β≠kπ(k∈Z).
求证：tan(α+β)=tanα.
证明：由sinβ=msin(２α+β),得sin［（α+β）-α］=msin［(α+β)+α］,
∴sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=m［sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα］,
整理得（1-m）sin（α+β）cosα=(1+m)cos(α+β)·sinα,
即tan(α+β)=tanα.
10.如图，矩形ABCD中，AB=a,BC=2a,在BC上取一点P，使AB+BP=PD，求tan∠APD的值.
解：由AB+BP=PD,得a+BP=,解得BP=,
设∠APB=α,∠DPC=β,则tanα=,tanβ=.
从而tan(α+β)==-18.
又∵∠APD+(α+β)=π,
∴tan∠APD=18.
11.已知tanα=(1+m),(tanαtanβ+m)+tanβ=0,且α、β为锐角，求α+β.
解：由已知可得tanα=(1+m),①
tanβ=-tanαtanβ-m,②
①+②可得tanα+tanβ=(1-tanαtanβ),
∴=tan(α+β)=.
又∵0<α<,0<β<,
∴0<α+β<π,α+β=.
拓展探究
12.是否存在锐角α和β,使得下列两式①α+2β=,②tantanβ=2-同时成立
解:假设存在符合题意的锐角α,β.
由①得+β=,
所以tan(+β)=.
由②知tantanβ=2-,所以tan+tanβ=3-,
所以tan,tanβ是方程x2-(3-)x+2-=0的两个根,得x1=1,x2=2-.
因为0<α<,0<<,0所以tan≠1,tan=2-,tanβ=1.
又因为0<β<,所以将β=代入①得α=.
所以存在锐角α=,β=,使①②同时成立.
PAGE
12.3.1
向量数量积的物理背景与定义
课后导练
基础达标
1.已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°,那么|a+3b|等于（
）
A.
B.
C.
D.4
解析:|a+3b|2=（a+3b）2=a2+6a·b+9b2=|a|2+6×|a||b|cos60°+9|b|2=13,
∴|a+3b|=.
答案:C
2.已知a、b是非零向量且满足（a-2b）⊥a，（b-2a）⊥b，则a与b的夹角是（
）
A.
B.
C.π
D.π
解析:由已知a·（a-2b）=0，b·（b-2a）=0，
得a2=2a·b，b2=2a·b.
∴2|a||b|cosθ=|a|2且|a|2=|b|2.
∴cosθ=.
∴θ=.
答案:B
3.在△ABC中，若=a，=b，=c且a·b=b·c=c·a，则△ABC的形状是(
)
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.A、B、C均不正确
解析:由已知，得|a||b|cosC=|b||c|cosA=|a||c|cosB，于是|a|cosC=|c|cosA，，
∴sinAcosC-cosAsinC=0.
∴sin（A-C）=0.
∴A=C.同理,可得B=C，
∴A=B=C.故选C.
答案:C
注:公式sin(A-C)=sinAcosC-cosAsinC在第三章讲.
4.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，a=3,b=1,c=3,则·等于（
）
A.
B.
C.-
D.
答案:C
5.已知|a|=a，|b|=b，向量a与b夹角为θ，则|a-b|等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析:
|a-b|=
答案:C
6.已知ABCD，=a，=b，且|a|=|b|,则与位置关系为_________.
解析:ABCD为菱形.
答案:垂直
7.若O为△ABC所在平面内一点且满足（-）·（+-2）=0，则△ABC的形状为_______.
答案:等腰三角形
8.若向量a、b、c满足a+b+c=0且|a|=3，|b|=1，|c|=4，则a·b+b·c+c·a=______________.
答案:-13
综合运用
9.(2006福建高考,9)
已知向量a与b的夹角为120°,|a|=3,|a+b|=,则|b|等于(
)
A.5
B.4
C.3
D.1
解析:∵|a+b|=,∴(a+b)2=13,即a2+2a·b+b2=13,
即|a|2+2|a||b|cos〈a,b〉+|b|2=13,将|a|=3,〈a,b〉=120°,
代入得
|b|2-3|b|-4=0,解得|b|=4,
∴选B.
答案:B
10.下列各命题，其中真命题的个数为(
)
①若a=0，则对任何一个向量b，有a·b=0
②若a≠0,则对任何一个非零向量b，有a·b≠0
③若a≠0,a·b=0，则b=0
④若a·b=0，则a·b中至少有一个为0
⑤若a≠0,a·b=a·c，则b=c
⑥若a·b=a·c，则b=c，当且仅当a=0时成立
⑦a、b反向a·b=-|a||b|
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:①⑦是真命题.对于②，当a⊥b时有a·b=0.对于③,当a⊥b时，有a·b=0，但b≠0.对于④，两个非零向量a·b，当它们垂直时，有a·b=0.对于⑤，由a·b=a·c，得a·（b-c）=0，当（b-c）⊥a且b-c≠0时也满足条件，但b≠c.⑥的错因与⑤类似.
答案:B
11.已知平面上三点A、B、C满足||=2,||=1,|=,则·+·+·的值等于_______.
解析:由已知可得△ABC满足|AB|=2,|AC|=,|BC|=1,
故∠C=,∠A=,∠B=,故·=0.
·+·+·=·(+)=·=-||2=-4.
答案:-4
拓展探究
12.如图，正方形OABC两边AB、BC的中点分别为D和E，求∠DOE的余弦值.
解:=+=+，=+=+，
∴·=（+）·（+）
=·+（·+·）+·.
∵⊥，⊥，
∴·=0，·=0.
∵=，=，
∴·=2=||2，·=2=||2=||2.
又||2=||2+||2=||2+||2=||2，
∴cos∠DOE=.
PAGE
12.4.2
向量在物理中的应用
课后导练
基础达标
1.设AM是△ABC的边BC上的中线，若=a,=b,则等于（
）
A.a-b
B.b-a
C.a+b
D.a+b
解析：如图,∵=b,M是BC的中点,
∴=b,
∴=a+b.∴应选D.
答案：D
2.如右图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中=a,=b,=c,则等于（
）
A.a+b
B.b-a
C.c-b
D.b-c
解析：由图知=，又=b-c,
∴=b-c.
∴应选D.
答案：D
3.向量a、b共线的有（
）
①a=2e,b=-2e
②a=e1-e2,b=-2e1+2e2
③a=4e1-e2,b=e1-e2
④a=e1+e2,b=2e1-2e2
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④
解析：①a=-b，∴a、b共线.∴①正确.
②b=-2a,
∴a、b共线.∴②正确.
③a=4(e1-e2)=4b,
∴a、b共线.∴③正确.
④a、b向量显然不共线.
∴应选A.
答案：A
4.设=（a+5b),=-2a+8b,=3(a-b),则共线的三点是（
）
A.A、B、C
B.B、C、D
C.A、B、D
D.A、C、D
解析：∵+==（-2a+8b)+3(a-b)=a+5b,
∴=.又与有公共点B，
∴A、B、D三点共线.
答案：C
5.若O为ABCD的中心，=4e1，=6e2,则3e2-2e1等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由于=-4e1,由平行四边形法则知6e2-4e1=,∴3e2-2e1=.∴应选B.
答案：B
6.设=a，=b,=c，当c=λa+μb(λ、μ∈R,且λ+μ=1）时，点C在（
）
A.线段AB上
B.直线AB上
C.直线AB上，但除去点A
D.直线AB上，但除去点B
解析：∵λ+μ=1，
∴λ=1-μ,则c=λa+μb=(1-μ)a+μb=a+μ(b-a).
∵b-a=,
∴c=a+μ,即c-a=μ.
∵c-a=,
∴=μ.
当≠0时，、又有公共点A.
∴A、B、C三点共线.∴应选D.
答案：D
7.如图，已知两个力F1、F2的夹角为直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60°，|F|=10
N，求F1和F2的大小.
解:|F1|=|F|·cos60°=10×=5
N,
|F2|=|F|·sin60°=10×
N.
∴F1的大小为5
N，F2的大小为
N.
8.已知两恒力F1=（3，4），F2=（6，-5）作用于同一质点，使之由点A（20，15）移动到点B（7，0）.试求：
（1）F1、F2分别对质点所做的功；
（2）F1、F2的合力F对质点所做的功.
解:=（7，0）-(20,15)=(-13,-15).
(1)W1=F1·=（3，4）·（-13，-15）=-99（焦耳），
W2=F2·=(6,-5)·(-13,-15)=-3(焦耳).
(2)W=F·=（F1+F2）·=［（3,4）+(6,-5)］·（-13，-15）=（9，-1）·（-13，-15）=-102（焦耳）.
综合运用
9.在静水中划船的速度是每分钟40米，水流的速度是每分钟20米.如果从岸边O处出发，沿着水垂直于水流的航线到达对岸，试问小船的行进方向应指向哪里？
解:用向量的长度和方向分别表示水流的速度和方向，用表示船行进的方向，它的长度表示船的速度.以、为邻边作平行四边形OACB，连结OC.
依题意OC⊥OA，BC=OA=20，OB=40，
∴∠BOC=30°，船应沿上游与河岸夹角为60°的方向行进.
10.一艘船从A点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v2，船实际航行的速度的大小为4
km/h，方向与水流间的夹角是60°，求v1和v2.
解:v1=v·sin60°=4×(km/h),v2=v·cos60°=4×=2(km/h).
∴v1的大小为
km/h，v2的大小为2
km/h.
11.平面上有两个向量e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点P从P0（-1，2）开始沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|e1+e2|.另一点Q从Q0（-2，1）出发，沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3e1+2e2|.设P、Q在t=0秒时分别在P0、Q0处，则当PQ⊥P0Q0时，求t的值.
解:∵P0（-1，2）、Q0（-2，-1），
∴=（-1，-3）.
又∵e1+
e2=（1，1），
∴|e1+e2|=
∵3e1+2e2=(3,2),
∴|3e1+2e2|=.
∴当t时刻时，点P的位置为（-1+t,2+t）,点Q的位置为（-2+3t,-1+2t）.
∴=(-1+2t,-3+t).
∵PQ⊥P0Q0,
∴(-1)·（-1+2t）+(-3)·(-3+t)=0.
∴t=2.
拓展探究
12.某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来；而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.
解：设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到的风速为-a.
设实际风速为v，那么此时人感到的风速为v-a.
如下图，=-a,=-2a.
∵+=,∴=v-a.
这就是感到由正北方向吹来的风速.
又∵+=，
∴=v-2a.
于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是，
由题意知∠PBO=45°,PA⊥BO,BA=AO,可知△POB是等腰直角三角形.
∴PO=PB=a，即|v|=a.
∴实际风速是a的西北风.
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