向量的加法
1．如图所示，＋＋＋＋＋＝( )
A．0
B．0
C．2
D．－2
2．四边形ABCD中，若＝，且||＝||，则四边形ABCD为( )
A．平行四边形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
3．设a，b为非零向量，则下列说法不正确的是( )
A．a与b反向，且|a|＞|b|，则向量a＋b与a的方向相同
B．a与b反向，且|a|＜|b|，则向量a＋b与a的方向相同
C．a与b同向，则向量a＋b与a的方向相同
D．a与b同向，则向量a＋b与b的方向相同
4．设(＋)＋(＋)＝a，而b是一非零向量，则下列结论中，正确的有( )
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|.
A．①③
B．②③
C．②④
D．①②
5．下列等式错误的是( )
A．a＋0＝0＋a＝a
B．＋＋＝0
C．＋＝＋＋
D．(＋)＋(＋)＋＝
6．如图所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，则＋＋＋＝__________.
7．已知||＝||＝，且∠AOB＝120°，则|＋|＝________.
8．我们知道，在△ABC中，＋＋＝0，反过来，三个不共线的非零向量a，b，c满足什么条件时，顺次将它们的终点与始点相连可组成一个三角形？
参考答案
1．解析：利用向量加法的多边形法则求解．
答案：B
2．解析：由＝，可判断四边形ABCD为平行四边形．由||＝||，可进一步判断四边形ABCD的对角线相等，所以四边形ABCD为矩形．
答案：C
3．答案：B
4．解析：由(＋)＋(＋)＝＋＋＋＝0，可知a＝0，而零向量与任意向量平行，任意向量与零向量相加仍得原向量，所以①和③正确；②中应为a＋b＝b，④中应为|a＋b|＝|a|＋|b|.
答案：A
5．解析：对于零向量和任一向量a，有a＋0＝0＋a＝a，故选项A正确；
∵＋＋＝＋＝2，∴选项B错误；
对于选项C，＋＝0，＋＋＝＋＝0，
∴＋＝＋＋，故选项C正确；
对于选项D，由向量加法的交换律和结合律，得
(＋)＋(＋)＋＝＋＋＋＋＝，故选项D正确．
答案：B
6．解析：原式＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
答案：
7．解析：以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则＝＋.
因为||＝||＝，
且∠AOB＝120°，
所以△OAC是等边三角形．
所以|＋|＝||＝||＝.
答案：
8．解：当a＋b＋c＝0时，顺次将它们的终点与始点相连可组成一个三角形．
可作＝a，＝b，＝c，则＋＝，
∴＋c＝0，即c与方向相反，大小相同，即c＝，∴a，b，c可构成一个三角形．
PAGE
1数乘向量
1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( )
A．a与－λa的方向相反
B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同
D．|－λa|＝|λ|a
2．已知AD，BE，CF分别为△ABC的三条中线，G是它们的交点，则下列等式不正确的是( )
A．＝
B．＝
C．＝－2
D．＋＝
3．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，＝a，＝b，＝c，＝d，且E，F分别为AB，CD的中点，则( )
A．＝(a＋b＋c＋d)
B．＝(a－b＋c－d)
C．＝(c＋d－a－b)
D．＝(a＋b－c－d)
4．(2012·四川雅安期末)设四边形ABCD中，有＝，且||＝||，则这个四边形是( )
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．等腰梯形
5．已知四边形ABCD为菱形，点P在对角线AC(不包括端点A，C)上，则等于( )
A．λ(＋)，λ∈(0,1)
B．λ(＋)，λ∈
C．λ(－)，λ∈(0,1)
D．λ(－)，λ∈
6．O为平行四边形ABCD的中心，若＝4e1，＝6e2，则＝__________.
7．如图所示，已知＝，若用，表示，则等于__________．
8．给出下面四个结论：
①对于实数p和向量a，b，有p(a－b)＝pa－pb；
②对于实数p，q和向量a，有(p－q)a＝pa－qa；
③若pa＝pb(p∈R)，则a＝b；
④若pa＝qa(p，q∈R，a≠0)，则p＝q.
其中正确结论的序号为__________．
9．如图所示，L，M，N是△ABC三边的中点，O是△ABC所在平面内的任意一点，求证：＋＋＝＋＋.
10．已知，在△ABC中，＝a，＝b.对于△ABC所在平面内的任意一点O，动点P满足＝＋λa＋λb，λ∈[0，＋∞)．试问，动点P的轨迹是否过某一个定点？并说明理由．
参考答案
1．解析：如果λ＞0，则a与－λa的方向相反，如果λ≤0，则a与－λa的方向相同，故选项A错误；
如果|λ|＜1，则|－λa|＜|a|，故选项B错误；
|－λa|是一个大于或等于零的实数，而|λ|a是向量，它们之间不能比较大小，故选项D错误．
答案：C
2．解析：由图知，选项A，C，D均正确，选项B应该为＝.
答案：B
3．解析：如图，连接OF，OE，则＝－＝(＋)－(＋)＝(c＋d)－(a＋b)＝(c＋d－a－b)．故选C．
答案：C
4．解析：∵＝，
∴四边形ABCD是梯形．
又∵||＝||，
∴四边形ABCD是等腰梯形．
答案：D
5．解析：由向量的运算法则，可得＝＋.又点P在对角线AC上，所以与同向，且||＜||，故＝λ＝λ(＋)，λ∈(0,1)．
答案：A
6．解析：＝＝(－)＝(－)＝(6e2－4e1)＝3e2－2e1.
答案：3e2－2e1
7．解析：由＝＋
＝＋＝(－＋)＋
＝＋.
答案：＋
8．解析：①②正确；③当p＝0时不正确；④可化为(p－q)a＝0，
∵a≠0，∴p－q＝0，即p＝q，∴④正确．
答案：①②④
9．证明：∵＋＋＝＋＋＋＋＋
＝(＋＋)＋(＋＋)
＝(＋＋)＋(＋＋)
＝(＋＋)＋0
＝＋＋，
∴原式成立．
10．解：是．理由：如图，以，为邻边作ABDC，设对角线AD，BC交于点E，
则＝＝(a＋b)．
由＝＋λa＋λb，得
－＝＝2λ·(a＋b)＝2λ·，λ∈[0，＋∞)．
∴与共线．
由λ∈[0，＋∞)可知，动点P的轨迹是射线AE，
∴动点P的轨迹必过△ABC的重心．
PAGE
1诱导公式(2)
1．若sin(π＋α)＝，α∈，则tan
α等于( )
A．
B．
C．
D．
2．如果角α与β的终边关于y轴对称，则下列等式恒成立的是( )
A．sin(α＋π)＝sin
β
B．sin(α－π)＝sin
β
C．sin(2π－α)＝－sin
β
D．sin(－α)＝sin
β
3．化简tan(27°－α)·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(139°－β)的结果为( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
4．已知，则的值为( )
A．
B．
C．k
D．－k
5．已知，那么的值等于( )
A．
B．
C．
D．
6．如果，且α是第四象限的角，那么__________.
7．将，，按从小到大的顺序排列是__________．
8．若，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(2
011)＋f(2
013)＝__________.
9．在△ABC中，A，B，C是三个内角．
求证：(1)cos
A＝－cos(B＋C)；
(2).
10．已知sin
α，cos
α是关于x的二次方程2x2＋(＋1)x＋m＝0的两个根，试求的值．
参考答案
1．解析：由条件可知，，α∈，
所以.
所以.
答案：D
2．解析：由对称性可知存在k∈Z，使得α＝2kπ＋π－β.故sin(α＋π)＝sin(2kπ＋2π－β)＝－sin
β，sin(α－π)＝sin(2kπ－β)＝－sin
β，sin(2π－α)＝sin(2π－2kπ－π＋β)＝－sin
β，sin(－α)＝sin(－2kπ－π＋β)＝－sin
β.
答案：C
3．解析：原式＝tan(27°－α)·tan(49°－β)·tan[90°－(27°－α)]·tan[90°＋(49°－β)]＝tan(27°－α)·cot(27°－α)·tan(49°－β)·[－cot(49°－β)]＝－1.
答案：B
4．解析：设＋α＝θ，则sin
θ＝k.
＝·cos(2π－θ)＝·cos
θ
＝－sin
θ＝－k.
答案：D
5．解析：∵，
∴.
∴
＝
＝
＝.
答案：A
6．解析：∵，且α是第四象限的角，
∴.
∴.
答案：
7．解析：因为，
所以.
而，
因为，
所以.
故.
答案：
8．答案：
9．证明：(1)∵A＋B＋C＝π，
∴A＝π－B－C．
∴cos
A＝cos[π－(B＋C)]＝－cos(B＋C)．
(2)∵A＋B＋C＝π，
∴，
∴.
10．解：利用诱导公式可得，
＝
＝
＝
＝.
由韦达定理得sin
α＋cos
α＝，①
，②
且Δ＝(＋1)2－8m≥0.③
①2－2×②得1＝－m，
解得符合③式．
于是，.
PAGE
1三角函数的定义
1．(2012·天津测试)若sin
α＜0且tan
α＞0，则α的终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．下列说法中，正确的个数是( )
①与角的终边相同的角有有限个；
②sin
20°＜0；
③cos
260°＞0；
④tan
120°＞0.
A．0
B．1
C．2
D．3
3．当(k∈Z)时，的取值为( )
A．M≥0
B．M＞0
C．M＜0
D．M可正可负
4．已知cos
α＝m,0＜|m|＜1，且，则角α的终边在( )
A．第一或第二象限
B．第三或第四象限
C．第一或第四象限
D．第二或第三象限
5．若α是第二象限的角，则sin
2α，，tan
2α，中必取正数的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
6．sin
0°＋cos
90°＋tan
180°＋2
010cos
0°＋2tan
45°＝__________.
7．函数的定义域是__________．
8．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且，则y＝__________.
9．已知角α的终边所在的直线与函数y＝3x的图象重合，求α的六个三角函数值．
10．证明恒等式.
参考答案
1．答案：C
2．答案：A
3．解析：因为，k∈Z，所以角α的终边不落在坐标轴上．设角α终边上任意一点的坐标为P(x，y)，xy≠0，OP＝r(r＞0)，由任意角的三角函数的定义，知，，，，故.
答案：B
4．解析：因为cos
α＝m,0＜|m|＜1，所以角α的终边不会落在坐标轴上．又因为，所以cos
α与tan
α同号，所以角α的终边在第一或第二象限．
答案：A
5．解析：∵2kπ＋＜α＜2kπ＋π，k∈Z，∴4kπ＋π＜2α＜4kπ＋2π，kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，∴2α是第三或第四象限的角，是第一或第三象限的角，∴只有.故选B．
答案：B
6．解析：原式＝0＋0＋0＋2
010×1＋2＝2
012.
答案：2
012
7．解析：依题意得即
故x的取值范围是2kπ＋≤x≤2kπ＋π(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
8．解析：因为，
所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.
答案：－8
9．解：函数y＝3x的图象是过原点O和一、三象限的直线．
若α的终边在第一象限的射线上，
∵三角函数值与点在终边上的位置无关，
∴可在射线上取点P(1,3)，，
∴，，tan
α＝3，
，，.
若α的终边落在第三象限的射线上，同理可取点P(－1，－3)，
又，得，，tan
α＝3，，，.
10．证明：设M(x，y)为角α终边上异于原点O的一点，OM＝r，由三角函数的定义，有，，，.
∴原式左边＝
＝
＝
＝1＋1＝2＝等式右边．
∴原等式成立．
PAGE
1用平面向量坐标表示向量共线条件
1．已知a＝，b＝，若a∥b，则锐角α为( )
A．30°
B．60°
C．45°
D．75°
2．以下命题错误的是( )
A．若将＝(x0，y0)平移，使起点M与坐标原点O重合，则终点N的坐标一定为(x0，y0)
B．＝(x0，y0)的相反向量的坐标为(－x0，－y0)
C．若＝(x0，y0)与y轴垂直，则必有y0＝0
D．若＝(x0，y0)是一个单位向量，则x0必小于1
3．与a＝(12,5)平行的单位向量为( )
A．
B．
C．或
D．
4．已知a＝(1,2)，b＝(－2,3)，若ma－nb与a＋2b共线(其中m，n∈R，且n≠0)，则等于( )
A．
B．2
C．
D．－2
5．平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC并延长，取点E，使＝，则点E的坐标为( )
A．(0,1)
B．(0,1)或
C．
D．
6．已知A，B，C三点的坐标分别为(0，－1)，(2,3)，(－1，－3)，则A，B，C三点的位置关系是________．
7．(2012·福建三明联考)已知两向量a＝(2，sin
θ)，b＝(1，cos
θ)，若a∥b，则__________.
8．已知点A(1，－2)，若与a＝(2,3)同向，||＝，则点B的坐标为__________．
9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)．
(1)求证：a和b是一组基底，并用它们表示向量c＝(x0，y0)；
(2)若(k2＋1)a－4b与ka＋b共线，求k的值．
10．如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB的交点P的坐标．
参考答案
1．解析：∵a∥b，∴＝sin
α·sin
α.
∴或.
∵α为锐角，∴舍去，
即，∴α＝30°.
答案：A
2．解析：∵(x0，y0)为单位向量，∴x02＋y02＝1.
∴－1≤x0≤1.故选项D错误．
答案：D
3．解析：利用平行与单位向量两个条件求解．
答案：C
4．解析：ma－nb＝m(1,2)－n(－2,3)＝(m＋2n,2m－3n)．a＋2b＝(1,2)＋2(－2,3)＝(－3,8)．
∵(ma－nb)∥(a＋2b)，
∴(m＋2n)×8＝－3×(2m－3n)，即14m＝－7n.
∴.
答案：A
5．解析：设点C(x，y)，由＝，
得(x＋2，y－1)＝(x－1，y－4)，
即解得
即C(－5，－2)．
又＝，
设点E(a，b)，则(a＋5，b＋2)＝(a－4，b＋3)，解得a＝－8，b＝.
故E.
答案：D
6．解析：∵＝(2,4)，＝(－1，－2)，
∴＝－2.
∴∥，且AB，AC有公共点A．
∴A，B，C三点共线．
答案：共线
7．答案：4
8．解析：设点B(x，y)，则＝(x－1，y＋2)，又与a＝(2,3)同向，
故可设＝λa＝(2λ，3λ)(λ＞0)．
由||＝，知，
解得λ＝2.
又＝(x－1，y＋2)＝(4,6)，
所以即点B的坐标为(5,4)．
答案：(5,4)
9．解：(1)证明：∵1×2≠2×(－3)，
∴a与b不共线．
∴a和b是一组基底，可设c＝ma＋nb，
则(x0，y0)＝m(1,2)＋n(－3,2)．
∴(x0，y0)＝(m,2m)＋(－3n,2n)．
∴
解得
∴c＝a＋b.
(2)由题意知，(k2＋1)a－4b与ka＋b平行，
故有，
即k2＋4k＋1＝0，解得，
因此k的值为.
10．解：设＝λ·＝(4λ，4λ)，＝(4λ－4,4λ－0)＝(4λ－4,4λ)，＝(2－4,6－0)＝(－2,6)．
由与共线，
可得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得.
所以＝(4λ，4λ)＝(3,3)，
所以点P的坐标为(3,3)．
PAGE
1向量的正交分解与向量的直角坐标运算
1．若M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则点P的坐标为( )
A．(－8，－1)
B．
C．
D．(8，－1)
2．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于( )
A．
B．
C．
D．
3．已知点A(3，－4)，B(－1,2)，点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为( )
A．
B．(－5,8)
C．或(－4,7)
D．或(－5,8)
4．在ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC，BD交于点O，则的坐标为( )
A．
B．
C．
D．
5．△ABC的两个顶点分别为A(4,8)，B(－3,6)，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则点C的坐标为( )
A．(－8,3)
B．(－3,4)
C．(3，－8)
D．(－4,3)
6．设点A，B，C，D的坐标依次为(－1,0)，(3,1)，(4,3)，(0,2)，则四边形ABCD的形状为________．
7．已知边长为1的正方形ABCD，若点A与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴，y轴的正方向上，则向量4＋－3的坐标为__________．
8．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若＝＋λ(λ∈R)，则λ＝__________时，点P在第一、三象限的角平分线上；当λ__________时，点P在第三象限内．
9．(1)已知2a＋b＝(－4,3)，a－2b＝(3,4)，求向量a，b的坐标．
(2)x轴的正方向与向量a的夹角为60°，且|a|＝2，求向量a的坐标．
10．已知O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设＝a，＝b，＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用a和b表示c.
参考答案
1．解析：由题意知，P为线段MN的中点，则点P的坐标为.
答案：B
2．解析：设c＝ma＋nb(m，n∈R)，
则(－1,2)＝m(1,1)＋n(1，－1)＝(m＋n，m－n)．
所以解得
故c＝.
答案：B
3．解析：由题意，知＝±2，设P(x，y)，
则(3－x，－4－y)＝±2(－1－x,2－y)，
即或
解得或
答案：D
4．解析：如图所示，＝＋＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，
所以＝＝.
所以＝.
答案：C
5．解析：设点C的坐标为(x，y)，则
解得所以点C的坐标为(3，－8)．
答案：C
6．
解析：如图所示，∵＝(0,2)－(－1,0)＝(1,2)，＝(4,3)－(3,1)＝(1,2)，∴＝.
又∵＝(3,1)－(－1,0)＝(4,1)，
∴||＝，||＝，
∴||≠||，∴四边形ABCD为平行四边形．
答案：平行四边形
7．解析：如图，各顶点的坐标分别为A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，故＝(1,0)，＝(0,1)，＝(1,1)．于是4＋－3＝(1，－2)．
答案：(1，－2)
8．解析：设点P的坐标为(x，y)，
则＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，
＋λ·＝[(5,4)－(2,3)]＋λ[(7,10)－(2,3)]
＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∵＝＋λ，
∴
∴
若点P在第一、三象限的角平分线上，
则5＋5λ＝4＋7λ，∴.
若点P在第三象限内，则∴λ＜－1.
∴当时，点P在第一、三象限的角平分线上；
当λ＜－1时，点P在第三象限内．
答案： ＜－1
9．解：(1)
①×2＋②得，5a＝(－8＋3,6＋4)＝(－5,10)，
∴a＝(－1,2)，
∴b＝(－4,3)－2(－1,2)＝(－4,3)－(－2,4)＝(－2，－1)．
(2)设a＝(x，y)．
∵x＝|a|·cos
60°＝2×＝1，
y＝±|a|·sin
60°＝±2×＝，
∴a＝(1，)．
10．解：以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的坐标系．由||＝2，得＝(2,0)．
设点B的坐标为(x1，y1)，点C的坐标为(x2，y2)．
由∠AOB＝150°，根据三角函数的定义可求出点B的坐标x1＝1·cos
150°＝，，
所以B，即＝.
同理，点C的坐标为，即＝.
设＝m＋n，
则＝m(2,0)＋n，
即解得
所以＝－3－，即c＝－3a－b.
PAGE
1半角的正弦、余弦和正切
1．tan
15°＋cot
15°等于( )
A．2
B．
C．4
D．
2．设α∈(π，2π)，则等于( )
A．
B．
C．
D．
3．若，则sin
α＋cos
α的值是( )
A．
B．
C．1
D．
4．若sin
2α＝，且α∈，则cos
α－sin
α的值是( )
A．
B．
C．
D．
5．( )
A．tan
2θ
B．cot
4θ
C．tan
4θ
D．cot
2θ
6．已知α为三角形的内角，sin
α＝，则________.
7．若＜α＜2π，且cos
α＝，则的值是________．
8．已知0°＜α＜β＜90°，sin
α与sin
β是方程x2－(cos
40°)x＋cos240°－＝0的两根，则cos(2α－β)＝________.
9．已知，α∈，求2sin2α＋tan
α－－1的值．
10．(2011·北京模拟)已知函数f(x)＝sin
2x－2sin2x.
(1)求的值；
(2)若x∈，求f(x)的最大值和最小值．
参考答案
1．解析：原式＝＝2－＋2＋＝4.
答案：C
2．解析：∵α∈(π，2π)，∴∈，∴.
∴.
答案：A
3．解析：由，①
得，整理得.②
由①得.③
②＋③得，解得sin
α＝.
又由①得cos
α＝2sin
α－1＝2×－1＝.
故sin
α＋cos
α＝.
答案：A
4．解析：∵(cos
α－sin
α)2＝1－sin
2α＝1－＝，
∴|cos
α－sin
α|＝.由α∈，知cos
α＜sin
α，∴cos
α－sin
α＝.
答案：C
5．解析：由，得
tan
4θ＝，
所以＝tan
4θ.
答案：C
6．解析：由条件，得cos
α＝，
则或.
答案：3或
7．解析：∵＜α＜2π，∴＜＜π.又cos
α＝，
∴.
∴＝.
答案：
8．解析：由已知得Δ＝2cos240°－4cos240°＋2＝2sin240°，
∴x＝cos
40°±sin
40°.
∴x1＝sin
45°cos
40°＋cos
45°sin
40°＝sin
85°，
x2＝sin
45°cos
40°－cos
45°sin
40°＝sin
5°.
又由0°＜α＜β＜90°，
知β＝85°，α＝5°，
∴cos(2α－β)＝cos(－75°)＝cos
75°
＝cos(45°＋30°)＝.
答案：
9．解：∵，
∴，
即.∴.
而2sin2α＋tan
α－－1＝－cos
2α＋＝.
∵α∈，∴2α∈.
∴cos
2α＝，
tan
2α＝.
∴，
即2sin2α＋tan
α－－1的值为.
10．解：(1)＝.
(2)f(x)＝sin
2x＋cos
2x－1＝2－1.
因为x∈，所以，
所以≤≤1，
所以f(x)的最大值为1，最小值为－2.
PAGE
1向量数量积的坐标运算与度量公式
1．已知a＝(2，－3)，b＝(1，－2)，且c⊥a，b·c＝1，则c的坐标为( )
A．(3，－2)
B．(3,2)
C．(－3，－2)
D．(－3,2)
2．已知m＝(a，b)，向量n与m垂直，且|m|＝|n|，则n的坐标为( )
A．(b，－a)
B．(－a，b)
C．(－a，b)或(a，－b)
D．(b，－a)或(－b，a)
3．已知a＝(m－2，m＋3)，b＝(2m＋1，m－2)，且a与b的夹角大于90°，则实数m的取值范围为( )
A．m＞2或m＜
B．＜m＜2
C．m≠2
D．m≠2且m≠
4．设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b|
B．a·b＝
C．a－b与b垂直
D．a∥b
5．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为__________．
6．已知O为坐标原点，＝(3,1)，＝(－1,2)，⊥，∥，则满足＋＝的向量的坐标为__________．
7．(2012·天津期末)定义平面向量之间的一种运算“ ”如下，对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令ab＝mq－np，给出下面五个判断，其中正确的有__________．(填正确的序号)
①若a与b共线，则ab＝0；②若a与b垂直，则ab＝0；③ab＝ba；④对任意的λ∈R，有(λa)b＝λ(ab)；⑤(ab)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2.
8．(2012·山东济宁期末)已知a＝(1,2)，b＝(－3,1)．
(1)求a－2b；
(2)设a，b的夹角为θ，求cos
θ的值；
(3)若向量a＋kb与a－kb互相垂直，求k的值．
9．已知a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k＞0)．
(1)用k表示数量积a·b；
(2)求a·b的最小值，并求此时a，b的夹角θ.
参考答案
1．解析：设c＝(x，y)，
∵c⊥a，
∴2x－3y＝0.①
又b·c＝1，
∴x－2y＝1.②
综合①②知x＝－3，y＝－2.
∴c的坐标为(－3，－2)．
答案：C
2．解析：设向量n的坐标为(x，y)．
由|m|＝|n|，得a2＋b2＝x2＋y2.①
由m⊥n，得ax＋by＝0.②
解①②组成的方程组，得或
所以n的坐标为(b，－a)或(－b，a)．
答案：D
3．解析：a与b的夹角大于90°a·b＜0，
而a·b＝(m－2)(2m＋1)＋(m＋3)(m－2)＝3m2－2m－8.
解不等式3m2－2m－8＜0，得＜m＜2.
答案：B
4．答案：C
5．解析：向量λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)．
因为λa＋b与a－2b垂直，
所以3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝.
答案：
6．解析：设＝(x，y)，则＝＋＝(x＋3，y＋1)，
∴＝－＝(x＋4，y－1)．
∵⊥，
∴－(x＋3)＋2(y＋1)＝0，即x－2y＋1＝0.①
又∵∥，
∴3(y－1)－(x＋4)＝0，即x－3y＋7＝0.②
由①②，解得x＝11，y＝6.
∴＝(11,6)．
答案：(11,6)
7．答案：①④⑤
8．解：(1)a－2b＝(1,2)－2(－3,1)＝(1＋6,2－2)＝(7,0)．
(2)cos
θ＝＝.
(3)因为向量a＋kb与a－kb互相垂直，所以(a＋kb)·(a－kb)＝0，即a2－k2b2＝0.因为a2＝5，b2＝10，所以5－10k2＝0k＝.
9．解：(1)由|ka＋b|＝|a－kb|，
得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，
即(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.
∵|a|＝1，|b|＝1，
∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，
∴a·b＝.
(2)由(1)，得a·b＝，由函数的单调性的定义，易知f(k)＝在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，
∴当k＝1时，a·b的最小值为f(1)＝×(1＋1)＝.
此时a，b的夹角为θ，
则cos
θ＝＝，
又∵θ∈[0，π]，
∴θ＝60°.
PAGE
1已知三角函数值求角
1．若sin
x＝，，则x等于( )
A．
B．
C．
D．
2．在△ABC中，sin
A＝cos
B，则下列等式：①A＝B；②A＋B＝；③A＋B＝π；④A－B＝中，可能成立的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．已知角α终边上的一点的坐标为，则角α的最小正值为( )
A．
B．
C．
D．
4．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则有( )
A．，
B．，
C．ω＝2，
D．ω＝2，
5．函数y＝＋π－arccos(2x－3)的定义域是__________．
6．若是方程2cos(x＋α)＝1的解，其中α∈(0,2π),
则α＝__________.
7．下列说法正确的为__________(只填序号)．
①若点P(a,2a)(a≠0)为角α终边上一点，则；
②同时满足，的角α有且只有一个；
③方程的解集为{x|x＝kπ，k∈Z}．
8．已知集合，集合，求A∩B．
9．已知△ABC的三个内角A，B，C满足sin(180°－A)＝cos(B－90°)，cos
A＝cos(180°＋B)，求角A，B，C的大小．
参考答案
1．答案：C
2．答案：C
3．答案：D
4．解析：当x＝0时，y＝2sin
φ＝1，则.
又由|φ|＜，得.故.把点代入，解得ω＝2.
答案：C
5．答案：
6．答案：
7．解析：对于①，；
对于②，α＝＋2kπ，k∈Z，有无数个；
对于③，由，得x＋＝kπ＋(k∈Z)，
∴x＝kπ(k∈Z)．
综上所述，仅有③正确．
答案：③
8．解：∵，
∴.
∵，
∴
＝.
∴A∩B＝.
9．解：∵sin(180°－A)＝cos(B－90°)，
∴sin
A＝sin
B．①
又∵cos
A＝cos(180°＋B)，
∴cos
A＝cos
B．②
①2＋②2得sin2A＋3cos2A＝2(sin2B＋cos2B)＝2，
又∵sin2A＋cos2A＝1，∴，
即.
∵A∈(0，π)，∴或.
当时，有，
又∵B∈(0，π)，∴，.
当时，
由②得cos
B＝＜0，
可知B为钝角，在一个三角形中不可能出现两个钝角，此种情况无解．
综上可知，A，B，C的大小分别为，，.
PAGE
1两角和与差的正弦
1．设a＝2sin
24°，b＝sin
85°－cos
85°，c＝2(sin
47°sin
66°－sin
24°sin
43°)，则( )
A．a＞b＞c
B．b＞c＞a
C．c＞b＞a
D．b＞a＞c
2．如果α∈，且，那么等于( )
A．
B．
C．
D．
3．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则( )
A．2
B．3
C．4
D．6
4．当时，函数f(x)＝sin
x＋cos
x的( )
A．最大值为1，最小值为－1
B．最大值为1，最小值为
C．最大值为2，最小值为－2
D．最大值为2，最小值为－1
5．若函数f(x)＝sin
ax＋cos
ax(a＞0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( )
A．
B．(0,0)
C．
D．
6．已知tan(α＋β)＝2，则________.
7．要使得sin
α－cos
α＝有意义，则m的取值范围是________．
8．已知13sin
α＋5cos
β＝9,13cos
α＋5sin
β＝15，那么sin(α＋β)的值为________．
9．已知，，其中，0＜β＜，求sin(α＋β)的值．
10．已知函数f(x)＝，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝，求证：[f(β)]2－2＝0.
参考答案
1．解析：b＝sin
85°－cos
85°＝2＝2sin(85°－60°)＝2sin
25°，c＝2(sin
47°sin
66°－sin
24°sin
43°)＝2(sin
47°cos
24°－cos
47°sin
24°)＝2sin(47°－24°)＝2sin
23°，又函数y＝sin
x在上是增函数，所以b＞a＞c.
答案：D
2．解析：－cos
α＝sin
α＝×＝.
答案：A
3．答案：C
4．解析：f(x)＝
＝＝.
∵，∴.
∴－1≤f(x)≤2，故选D．
答案：D
5．解析：先将函数化为f(x)＝Asin(ωx＋θ)的形式，再讨论其对称中心．f(x)＝sin
ax＋cos
ax＝(a＞0)，∴T＝＝1，∴a＝2π.∴f(x)＝(a＞0)．
又∵f(x)与x轴的交点是其对称中心，经验证，仅有是函数f(x)的对称中心，故选C．
答案：C
6．解析：.
答案：3
7．解析：利用三角函数的值域求m的取值范围．
sin
α－cos
α＝2
＝，
即.∵－1≤≤1，
∴－1≤≤1.解不等式，可得－1≤m≤.
答案：
8．答案：
9．解：∵α＋β＋＝＋β－，
∴sin(α＋β)＝
＝
＝.
又∵，0＜β＜，
∴，.
∴，.
∴sin(α＋β)＝.
10．解：(1)f(x)＝sin
x＋＋cos
x＋sin
x
＝sin
x－cos
x＝，
所以T＝2π，f(x)max＝2.
(2)证明：由已知得cos(β－α)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝，①
cos(β＋α)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β＝，②
①＋②得cos
αcos
β＝0.
因为0＜α＜β≤，所以cos
β＝0，可得β＝，
则f(β)＝，所以[f(β)]2－2＝0，即得证．
PAGE
1弧度制和弧度制与角度制的换算
1．某扇形的半径为r，圆心角α所对的弧长为2r，则α的大小是( )
A．30°
B．60°
C．1弧度
D．2弧度
2．下列各对角中，终边相同的是( )
A．和2kπ(k∈Z)
B．和
C．和
D．和
3．已知角α的终边经过点P(－1，－1)，则角α为( )
A．α＝kπ＋(k∈Z)
B．α＝2kπ＋(k∈Z)
C．α＝kπ＋(k∈Z)
D．α＝2kπ－(k∈Z)
4．若，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N是( )
A．
B．
C．
D．
5．扇形的周长为6，面积为2，则其圆心角的弧度数是( )
A．1或4
B．1或2
C．2或4
D．1或5
6．如图所示，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝，则劣弧的长为__________．
7．已知数集A＝{x|x＝4kπ，k∈Z}，B＝{x|x＝2kπ，k∈Z}，，D＝{x|x＝kπ，k∈Z}，则A，B，C，D四个数集之间的关系是__________．
8．(2012·江苏盐城期末)若2弧度的圆心角所对的弧长为4
cm，则这个圆心角所在的扇形面积为__________
cm2.
9．用弧度制表示，并分别写出：
(1)终边在x轴上的角的集合；
(2)终边在y轴上的角的集合．
10．(1)已知某扇形的圆心角为75°，半径为15
cm，求扇形的面积．
(2)如果一扇形的周长为60
cm，那么当它的半径和圆心角各为多少时，扇形面积最大？并求其最大值．
参考答案
1．答案：D
2．答案：C
3．解析：由终边过点P(－1，－1)，知α为第三象限角，故由终边相同的角，得α＝2kπ－(k∈Z)．
答案：D
4．解析：k＝0，∈N；k＝－1，∈N；k＝1，∈N；k＝2，α＝π－＝∈N，故C项正确．
答案：C
5．解析：设此扇形的半径为r，圆心角的弧度数是α(0＜α＜2π)，则有解得α＝1或α＝4.
答案：A
6．解析：连接OA，OB，因为∠ACB＝，
所以∠AOB＝.
又OA＝OB，
所以△AOB为等边三角形，
故O的半径r＝AB＝4，
所以劣弧的长为.
答案：
7．解析：对于B中元素x＝2kπ，令k＝2n(n∈Z)，得x＝2kπ＝4nπ(n∈Z)，显然AB，同理，BD，DC．
故可得ABDC．
答案：ABDC
8．答案：4
9．解：(1)终边在x轴上的角的集合为A＝{α|α＝2kπ，k∈Z}∪{α|α＝2kπ＋π，k∈Z}＝{α|α＝kπ，k∈Z}．
(2)终边在y轴上的角的集合为
∪＝.
10．解：(1)因为扇形的圆心角为，扇形半径为15
cm，
所以扇形面积S＝|α|r2＝××152＝(cm2)．
(2)设扇形半径为r
cm，圆心角为θ，弧长为l
cm，面积为S
cm2.
由l＋2r＝60，得l＝60－2r.
S＝lr＝(60－2r)r＝－r2＋30r＝225－(r－15)2.
当r＝15
cm时，面积Smax＝225
cm2.
此时，.
所以，当半径为15
cm，圆心角为2
rad时，扇形面积最大，最大面积为225
cm2.
PAGE
1正切函数的图象与性质
1．已知，则( )
A．f(1)＞f(0)＞f(－1)
B．f(0)＞f(1)＞f(－1)
C．f(0)＞f(－1)＞f(1)
D．f(－1)＞f(0)＞f(1)
2．与函数的图象不相交的一条直线是( )
A．
B．
C．
D．
3．若将函数(ω＞0)的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则ω的最小值为( )
A．
B．
C．
D．
4．在区间内，函数y＝tan
x与函数y＝sin
x的图象交点的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
5．函数在区间[－π，π]内的大致图象是下列图中的( )
6．比较tan
1，tan
2，tan
3的大小：__________.
7．函数f(x)＝tan
ωx(ω＞0)的图象的相邻两支截所得的线段长为，则的值是__________．
8．下面五个命题中，正确命题的序号是__________．
①的最小正周期是；
②终边在坐标轴上的角的集合是；
③的图象向右平移个单位长度，可得y＝4tan
2x的图象；
④函数在区间内是增函数．
9．已知函数.
(1)求f(x)的定义域、值域；
(2)讨论f(x)的周期性、奇偶性和单调性．
10．若x∈，求函数y＝＋2tan
x＋1的最值及取得最值时相应的x的值．
参考答案
1．答案：C
2．答案：C
3．解析：将函数(ω＞0)的图象向右平移个单位长度，得.
又∵平移后函数的图象与的图象重合，
∴(k∈Z)，即(k∈Z)．
∴当k＝0时，ωπ＝，即ω的最小值为.
故选D．
答案：D
4．答案：C
5．解析：当x∈时，f(x)＝tan
x，
当x∈时，f(x)＝－tan
x，
当x∈时，f(x)＝－tan
x．故选C．
答案：C
6．解析：tan
2＝tan(2－π)，tan
3＝tan(3－π)，
∵＜3＜π，∴＜3－π＜0.
显然，＜2－π＜3－π＜1＜.
又∵y＝tan
x在内是增函数，
∴tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan
1，
即tan
2＜tan
3＜tan
1.
答案：tan
2＜tan
3＜tan
1
7．解析：由题意知T＝，∴，即ω＝4，从而f(x)＝tan
4x，
∴＝tan
π＝0.
答案：0
8．答案：②③④
9．解：(1)由≠＋kπ，k∈Z，
解得x≠＋2kπ，k∈Z.
故f(x)的定义域为，值域为R.
(2)f(x)为周期函数，周期T＝＝2π.
f(x)的定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．
由＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z，
解得＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z.
故函数的单调递增区间为
(k∈Z)．
10．分析：先化为关于tan
x的一元二次函数，再求值．
解：y＝＋2tan
x＋1＝＋2tan
x＋1＝tan2x＋2tan
x＋2＝(tan
x＋1)2＋1.
∵x∈，
∴tan
x∈[，1]．
故当tan
x＝－1，即时，y取最小值1；
当tan
x＝1，即时，y取最大值5.
PAGE
1角的概念的推广
1．已知A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限的角}，则A∩B等于( )
A．{锐角}
B．{小于90°的角}
C．{第一象限的角}
D．以上都不正确
2．已知角α，β的终边相同，那么α－β的终边在( )
A．x轴的非负半轴上
B．y轴的非负半轴上
C．x轴的非正半轴上
D．y轴的非正半轴上
3．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β＜180°}，则A∩B等于( )
A．{－36°，54°}
B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°}
D．{－126°，54°}
4．已知角α与－60°角的终边相同，则是( )
A．第一或第三象限的角
B．第二或第三象限的角
C．第一或第四象限的角
D．第二或第四象限的角
5．终边在第一、三象限的角平分线上的角的集合为__________．
6．时针走过2小时40分，则分针转过的角度是__________．
7．角α和β的终边关于直线y＝－x对称，且α＝30°，则β＝__________.
8．已知角β的终边落在经过点(，－1)和原点的直线上，写出角β的集合A，并把A中满足不等式－360°＜β＜360°的元素写出来．
参考答案
1．解析：小于90°的角由锐角、零角、负角组成，而第一象限的角指锐角及其他终边落在第一象限的角，所以A∩B是由锐角和终边落在第一象限的负角组成．
答案：D
2．解析：∵角α，β的终边相同，∴α＝k·360°＋β，k∈Z.
∴α－β＝k·360°＋β－β＝k·360°，k∈Z，
∴α－β的终边在x轴的非负半轴上．
答案：A
3．解析：根据集合B的范围，确定集合A中的k的值．k＝－1，0,1,2时，求得相应α的值为－126°，－36°，54°，144°.
答案：C
4．解析：(方法一)∵角α与－60°角的终边相同，
∴α＝k·360°－60°，k∈Z，
∴＝k·180°－30°，k∈Z.
当k＝2n，n∈Z时，＝n·360°－30°，
此时是第四象限的角．
当k＝2n＋1，n∈Z时，＝n·360°＋150°，
此时是第二象限的角．
综上知，是第二或第四象限的角．
(方法二)∵角α与－60°角的终边相同，
∴α是第四象限的角．
如图所示，先将各象限2等分，然后从x轴正方向上方第一个区域起，按逆时针方向顺次标上1,2,3,4；1,2,3,4；…，依此循环，直至标完所有区域，其中出现数字4的区域即为角的终边所在区域，因此是第二或第四象限的角．
答案：D
5．解析：在0°～360°范围内满足条件的角为45°和225°，
所以所求角的集合为{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋225°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋45°，n∈Z}．
答案：{α|α＝n·180°＋45°，n∈Z}
6．解析：2小时40分＝小时，分针按顺时针方向转动，则转过的角是负角，为－360°×＝－960°.
答案：－960°
7．解析：如图，OA为角α的终边，OB为角β的终边，由α＝30°，得∠AOC＝75°.根据对称性知∠BOC＝75°，因此∠BOx＝120°，故β＝k·360°－120°，k∈Z.
答案：k·360°－120°，k∈Z
8．解：∵β的终边落在经过点(，－1)和原点的直线上，
∴在0°到360°范围内的角为150°和330°.
∴β的集合A＝{β|β＝k·360°＋150°，k∈Z}∪{β|β＝k·360°＋330°，k∈Z}＝{β|β＝(2k＋1)180°－30°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋2)180°－30°，k∈Z}＝{β|β＝n·180°－30°，n∈Z}，
即满足要求的角β的集合A＝{β|β＝n·180°－30°，n∈Z}．
令－360°＜n·180°－30°＜360°，n∈Z，
即，n∈Z，∴n＝－1,0,1,2.
∴当β∈(－360°，360°)时，β＝－210°，－30°，150°，330°.
PAGE
1同角三角函数的基本关系式
1．已知，且＜θ＜2π，那么的值为( )
A．
B．
C．
D．
2．化简的值为( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
3．(2012·黑龙江哈尔滨期末)已知cos
α＝3sin
α，则( )
A．
B．
C．
D．
4．设，且α是第二象限的角，则等于( )
A．
B．
C．
D．
5．已知α∈，且，则sin
α＋cos
α的值是( )
A．
B．
C．
D．
6．化简的结果是__________．
7．已知sin
θ＋cos
θ＝，θ∈(0，π)，则cot
θ的值是__________．
8．若，且tan
α＞0，则__________.
9．化简：.
10．已知sin
θ，cos
θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根(a∈R)，求tan
θ＋的值．
参考答案
1．解析：由sin2θ＋cos2θ＝1，得.
因为＜θ＜2π，故sin
θ＜0，
所以，
所以.
答案：B
2．解析：原式＝＝＝＝－1.
答案：B
3．答案：B
4．解析：∵α是第二象限的角，∴2kπ＋＜α＜2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ＋＜＜kπ＋(k∈Z)，∴是第一或第三象限的角．而，∴是第一象限的角．
由，得，
∴.
答案：A
5．解析：因为(sin
α＋cos
α)2＝，且sin
α＋cos
α＜0，
所以sin
α＋cos
α＝，故选B．
答案：B
6．解析：因为，所以是第二象限的角，
所以，
故.
答案：
7．解析：因为sin
θ＋cos
θ＝，①
两边平方，得1＋2sin
θcos
θ＝，
所以2sin
θcos
θ＝.
因为θ∈(0，π)，所以cos
θ＜0＜sin
θ.
由于(sin
θ－cos
θ)2＝1－2sin
θcos
θ＝，
所以sin
θ－cos
θ＝.②
联立①②，解得，，
所以.
答案：
8．解析：
＝
＝
＝sin
α(1＋sin
α)．
又由，tan
α＞0，可知α为第三象限的角，
故，
因此sin
α(1＋sin
α)＝.
答案：
9．解：原式＝·＝·.
故当α为第一、三象限的角时，原式＝4；当α为第二、四象限的角时，原式＝－4.
10．解：依题意，知Δ≥0，即(－a)2－4a≥0，
解得a≤0或a≥4，且
由①2－②×2，得a2－2a－1＝0，
解得a＝1－或a＝1＋(舍)．
故sin
θ＋cos
θ＝sin
θcos
θ＝1－.
tan
θ＋＝，
因此tan
θ＋＝.
PAGE
1向量数量积的物理背景与定义
1．设向量a·b＝40，|b|＝10，则a在b方向上的数量为( )
A．4
B．
C．
D．
2．对任意向量a和b，|a||b|与a·b的大小关系是( )
A．|a||b|≤a·b
B．|a||b|＞a·b
C．|a||b|≥a·b
D．|a||b|＜a·b
3．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉等于( )
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
4．已知①a·0＝0；②0a＝0；③0－＝；④|a·b|＝|a||b|；⑤若a≠0，则对任一非零向量b有a·b≠0；⑥若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；⑦a与b是两个单位向量，则a2＝b2.
以上命题正确的是( )
A．①②③⑥⑦
B．③④⑦
C．②③④⑤
D．③⑦
5．(2012·黑龙江大庆期末)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AH为BC边上的高，以下结论：
①·(－)＝0；
②·＜0 △ABC为钝角三角形；
③·＝csin
B；
④·(－)＝a2.
其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
6．在△ABC中，，，则AB的长为__________．
7．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为__________．
8．若四边形ABCD满足＋＝0，且·＝0，试判断四边形ABCD的形状．
9．已知在△ABC中，＝c，＝a，＝b，若|c|＝m，|b|＝n，〈b，c〉＝θ.
(1)试用m，n，θ表示S△ABC；
(2)若c·b＜0，且S△ABC＝，|c|＝3，|b|＝5，则〈c，b〉为多少？
参考答案
1．答案：A
2．答案：C
3．解析：如图所示，∵|a|＝|b|＝|c|，
∴△OAB是正三角形．
∴〈a，b〉＝120°.
答案：B
4．解析：对于①，两个向量的数量积是一个实数，应有a·0＝0，故①错误；
对于②，应有0a＝0，故②错误；
对于③，很明显正确；
对于④，由数量积的定义，有|a·b|＝|a|·|b|·|cos
θ|≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有|a·b|＝|a|·|b|，故④错误；
对于⑤，若非零向量a，b垂直，则有a·b＝0，故⑤错误；
对于⑥，由a·b＝0可知a⊥b，即a，b可以都是非零向量，故⑥错误；
对于⑦，a2－b2＝|a|2－|b|2＝1－1＝0，故⑦正确．
答案：D
5．答案：C
6．解析：由已知，得||cos
A＝，||cos
B＝.
又∵||＝||cos
A＋||cos
B，∴AB＝2.
答案：2
7．答案：直角三角形
8．解：∵＋＝0，∴＝，即AB∥DC且AB＝DC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
又∵·＝0，∴⊥，即AB⊥BC．
∴四边形ABCD为矩形．
9．解：(1)S△ABC＝AB·AC·sin∠CAB＝mnsin
θ.
(2)∵S△ABC＝＝|b||c|sin
θ，
∴＝×3×5sin
θ，∴sin
θ＝.
∵c·b＜0，∴θ为钝角，∴θ＝150°，即〈c，b〉＝150°.
PAGE
1正弦函数的图象与性质
1．在下列四个函数中，在区间上为增函数，且以π为最小正周期的偶函数是( )
A．y＝|sin
2x|
B．y＝sin|x|
C．y＝sin
2x
D．y＝|sin
x|
2．在[0,2π]上，满足的x的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
3．已知f(x)＝－1，则下列命题中正确的是( )
A．f(x)是周期为1的奇函数
B．f(x)是周期为2的偶函数
C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数
4．(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )
A．
B．
C．
D．
5．已知函数f(x)＝2sin
x，对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为( )
A．
B．
C．π
D．2π
6．若f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－sin
x，则当x＜0时，f(x)＝__________.
7．函数y＝sin
x－|sin
x|的值域为__________．
8．(2012·江苏南通期末)设f(x)是定义域为R，最小正周期为的周期函数，若则__________.
9．求函数f(x)＝cos2x－sin
x的最值．
10．设函数，ω＞0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．
(1)求f(0)；
(2)求f(x)的解析式；
(3)已知，求sin
α的值．
参考答案
1．答案：D
2．解析：由正弦函数y＝sin
x的图象，知当x∈时，.
答案：B
3．解析：∵
＝
＝－cos
πx－1，
∴周期为2，且f(x)是偶函数，故选B．
答案：B
4．解析：的单调递增区间：
2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)．
又x∈[－π，0]，从而x∈.
答案：D
5．解析：由不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R恒成立，
不难发现f(x1)，f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值，故|x1－x2|的最小值为函数f(x)＝2sin
x的半个周期．
∵f(x)＝2sin
x的周期为2π，
∴|x1－x2|的最小值为π.
答案：C
6．解析：设x＜0，则－x＞0，
∴f(－x)＝(－x)2－sin(－x)＝x2＋sin
x.
又∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＝－x2－sin
x.
答案：－x2－sin
x
7．解析：∵(k∈Z)，
∴y∈[－2,0]．
答案：[－2,0]
8．解析：由题意，得
＝
＝.
答案：
9．解：f(x)＝1－sin2x－sin
x＝.
因为，
所以，
所以当，
即sin
x＝时，f(x)取得最大值；
当，
即sin
x＝时，f(x)取得最小值.
10．解：(1)由题设可知f(0)＝.
(2)∵f(x)的最小正周期为，ω＞0，
∴ω＝＝4.∴.
(3)∵
＝，
∴.
∴.
PAGE
1三角函数的积化和差与和差化积
1．若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β＝( )
A．
B．
C．
D．
2．直角三角形的两个锐角分别为A和B，则sin
Asin
B( )
A．有最大值和最小值0
B．有最大值，但无最小值
C．既无最大值，也无最小值
D．有最大值1，但无最小值
3．化简的结果为( )
A．
B．
C．
D．
4．已知α－β＝，且cos
α－cos
β＝，则cos(α＋β)等于( )
A．
B．
C．
D．
5．如果，那么等于( )
A．
B．
C．
D．
6．cos
20°＋cos
60°＋cos
100°＋cos
140°的值为________．
7．若cos2α－cos2β＝m，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________.
8．若x为锐角三角形的内角，则函数y＝＋sin
x的值域为________．
9．求的值．
10．已知△ABC的三个内角A，B，C满足A＋C＝2B，，求的值．
参考答案
1．解析：cos(α＋β)cos(α－β)＝
(cos
2α＋cos
2β)
＝[(2cos2α－1)＋(1－2sin2β)]＝cos2α－sin2β，
∵cos(α＋β)cos(α－β)＝，
∴cos2α－sin2β＝.
答案：C
2．解析：因为A＋B＝，sin
Asin
B＝[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝cos(A－B)，
又＜A－B＜，则0＜cos(A－B)≤1，
故0＜cos(A－B)≤，即sin
Asin
B有最大值，无最小值．
答案：B
3．解析：
＝
＝.
答案：C
4．解析：由cos
α－cos
β＝得
，又α－β＝，
∴，
∴cos(α＋β)＝1－2
＝1－2×＝.
答案：C
5．解析：
＝.
答案：B
6．解析：cos
20°＋cos
60°＋cos
100°＋cos
140°
＝cos
20°＋＋2cos
120°cos
20°
＝cos
20°＋－cos
20°＝.
答案：
7．解析：sin(α＋β)sin(α－β)＝(cos
2α－cos
2β)＝[(2cos2α－1)－(2cos2β－1)]＝cos2β－cos2α＝－m.
答案：－m
8．解析：y＝＋sin
x＝2
＝，
由已知得，所以＜≤1.
所以y∈.
答案：
9．解：
＝
＝
＝8cos
10°sin
20°sin
40°＝4(sin
30°＋sin
10°)sin
40°
＝2sin
40°＋4sin
40°sin
10°
＝2sin
40°－2(cos
50°－cos
30°)＝.
10．解：由题设条件知B＝60°，A＋C＝120°，∴，∴.
将上式化简为cos
A＋cos
C＝cos
Acos
C，
则＝[cos(A＋C)＋cos(A－C)]．
将＝cos
60°＝，cos(A＋C)＝cos
120°＝代入上式，得＝－cos(A－C)．
将cos(A－C)＝2－1代入上式并整理，得，
即.
∵＋3≠0，
∴.∴.
PAGE
1向量数量积的运算律
1．以下等式中恒成立的有( )
①|a·b|＝|a||b|；②(a·b)2＝a2·b2；③|a|＝；
④a2－2b2＝(a－b)·(a＋b)．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．已知向量a与b的夹角为，|a|＝2，|b|＝1，那么(a－4b)2等于( )
A．
B．2
C．6
D．12
3．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a＋kb)⊥(a－kb)，则实数k的值为( )
A．
B．
C．
D．
4．已知a，b是非零向量，满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是( )
A．
B．
C．
D．
5．已知非零向量与满足且，则△ABC为( )
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形
D．等边三角形
6．已知a·b＝，|a|＝4，则b在a方向上的射影的数量为__________．
7．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，其中i·j＝0，|i|＝|j|＝1，则a·b＝__________.
8．设O，A，B，C为平面上的四个点，＝a，＝b，＝c，且a＋b＋c＝0，a·b＝b·c＝c·a＝－1，则|a|＋|b|＋|c|＝__________.
9．已知a，b是两个非零向量，同时满足|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．
10．设a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，k，t是两个不同时为零的实数．
(1)若x＝a＋(t－3)b与y＝－ka＋tb垂直，求k关于t的函数关系式k＝f(t)；
(2)求出函数k＝f(t)的最小值．
参考答案
1．解析：对于①，|a·b|＝|a||b||cos
θ|≤|a||b|，仅当θ＝0°或180°时或b＝0或a＝0时等号成立；对于②，实质上是依据乘法结合律进行的变形，对于向量的数量积运算不适用；③和④均符合运算法则，故只有③④正确．
答案：B
2．答案：D
3．解析：(a＋kb)·(a－kb)＝|a|2－k2|b|2＝0，所以9＝k2×16，所以k2＝.所以k＝.
答案：A
4．解析：设所求夹角为θ，则由(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，
得a·(a－2b)＝0，b·(b－2a)＝0.
∴a2＝2a·b，b2＝2a·b.
∴2|a||b|cos
θ＝|a|2＝|b|2.
∴cos
θ＝＝，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案：B
5．解析：由可知，∠BAC的平分线与边BC垂直．
又cos∠BAC＝，所以∠BAC＝.所以△ABC为等边三角形．
答案：D
6．解析：∵|a||b|cos〈a，b〉＝，又∵|a|＝4，
∴|b|cos〈a，b〉＝.
答案：
7．解析：由解得
∴a·b＝(－3i＋4j)·(5i－12j)＝－15|i|2－48|j|2＋56i·j＝－63＋56×0＝－63.
答案：－63
8．解析：∵a·(a＋b＋c)＝a·0＝0，
∴a·a＋a·b＋a·c＝0.
又∵a·b＝b·c＝c·a＝－1，
∴a·a－1－1＝0，∴|a|＝.同理|b|＝|c|＝，
∴|a|＋|b|＋|c|＝.
答案：
9．解：∵|a|＝|a－b|，
∴|a|2＝|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2.
又∵|a|＝|b|，∴a·b＝|a|2.
又|a＋b|＝，
设a与a＋b的夹角为θ，
则cos
θ＝.
又∵θ∈[0，π]，∴，
即a与a＋b的夹角为.
10．解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.
又∵x⊥y，∴x·y＝0，
即[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
∴－ka2－k(t－3)a·b＋ta·b＋t(t－3)b2＝0.
∵|a|＝2，|b|＝1，
∴－4k＋t2－3t＝0，∴k＝(t2－3t)(t≠0)，
即k＝f(t)＝(t2－3t)(t≠0)．
(2)由(1)知k＝f(t)＝(t2－3t)＝，
故函数k＝f(t)的最小值为.
PAGE
1两角和与差的余弦
1．sin
75°cos
45°＋sin
15°sin
45°的值为( )
A．
B．
C．
D．－1
2．若sin(π＋θ)＝，θ是第二象限角，，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( )
A．
B．
C．
D．
3．若sin
α－sin
β＝1－，cos
α－cos
β＝，则cos(α－β)＝( )
A．
B．
C．
D．1
4．下列四个命题中的假命题是( )
A．存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
B．不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
C．对任意的α和β，有cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β
D．不存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)≠cos
α
cos
β－sin
αsin
β
5．向量a＝(2cos
α，2sin
α)，b＝(3cos
β，3sin
β)，a与b的夹角为60°，则直线xcos
α－ysin
α＝与(x－cos
β)2＋(y＋sin
β)2＝的位置关系是( )
A．相切
B．相交
C．相离
D．随α，β的值而定
6．在△ABC中，若sin
Asin
B＜cos
Acos
B，则△ABC为________角三角形．
7．已知α，β均为锐角，且sin
α＝，cos
β＝，则α－β的值为________．
8．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，＜α＋β＜2π，＜α－β＜π，求cos
2α.
9．已知，cos(α＋β)＝，α，β均为锐角，求cos
β
的值．
参考答案
1．解析：先由诱导公式sin
α＝cos(90°－α)，得sin
75°＝cos
15°.再由两角差的余弦公式，得
sin
75°cos
45°＋sin
15°sin
45°＝cos
15°cos
45°＋sin
15°sin
45°＝cos(45°－15°)＝cos
30°＝.
答案：C
2．解析：由sin(π＋θ)＝，得.又由θ是第二象限角，得.
由，得.又由φ是第三象限角，得，则cos(θ－φ)＝cos
θcos
φ＋sin
θsin
φ＝.
答案：B
3．解析：将两式平方后相加，可得2－2(cos
αcos
β＋sin
αsin
β)＝2－，即有cos(α－β)＝.
答案：B
4．解析：由于选项C是公式，故选项C，D显然正确；对于选项A，当α＝2kπ(k∈Z)，β＝2kπ＋(k∈Z)时，，cos
2kπ·＋sin
2kπ·＝0，因此存在无穷多个α，β的值，使得cos(α＋β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β，但不是对任意的α，β均成立，所以选项A正确，选项B错误．
答案：B
5．解析：由已知易求得|a|＝2，|b|＝3，则cos〈a，b〉＝＝cos(α－β)＝，
所以cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝.所以圆心(cos
β，－sin
β)到直线的距离为，
所以圆心在直线上，即圆与直线相交．
答案：B
6．解析：∵sin
Asin
B＜cos
Acos
B，
∴cos(A＋B)＞0.又A＋B＋C＝π，
∴cos(π－C)＞0，可得cos
C＜0，则角C为钝角．
∴△ABC为钝角三角形．
答案：钝
7．解析：∵α，β均为锐角，
∴cos
α＝，sin
β＝.
又sin
α＜sin
β，∴α＜β.∴＜α－β＜0.
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝.
∴α－β＝.
答案：
8．解：cos
2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)，
∵＜α＋β＜2π，
∴sin(α＋β)＝.
又∵＜α－β＜π，
∴sin(α－β)＝.
∴cos
2α＝.
9．解：∵，α为锐角，
∴，则有sin2α＝48cos2α＝48(1－sin2α)．
解得.∴.
又cos(α＋β)＝，且0＜α＋β＜π，
∴sin(α＋β)＝.
∴cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α＝.
PAGE
1平面向量基本定理
1．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2.则x－y的值等于( )
A．3
B．－3
C．0
D．2
2．设e1，e2是一个平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2
B．3e1－2e2和4e2－6e1
C．e1＋2e2和e2＋2e1
D．e2和e1＋e2
3．在ABCD中，与交于点M.若设＝a，＝b，则以下各选项中，与－a＋b相等的向量有( )
A．
B．
C．
D．
4．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量a＝e1＋λe2(λ∈R)与b＝－(e2－2e1)共线，则有( )
A．λ＝0
B．λ＝－1
C．λ＝－2
D．λ＝
5．如图所示，已知在△ABC中，M，N，P是线段AB的四等分点，＝e1，＝e2，则下列正确的是( )
A．＝e1＋e2，＝e1＋e2
B．＝e1－e2，＝e1＋e2
C．＝e1＋e2，＝(e1＋e2)
D．＝(e1－e2)，＝e1＋e2
6．设e1，e2为一组基底，a＝－e1＋2e2，b＝e1－e2，c＝3e1－2e2，以a，b为基底可以将c表示为c＝pa＋qb，则实数p，q的值分别为__________．
7．起点相同的三个非零向量a，b,3a－λb的终点在一条直线上，则λ＝__________.
8．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A(1,1)，B(－1,2)，若点C满足＝α＋β，其中，α，β∈R，且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为__________．
9．如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM.
10．已知向量a＝－e1＋3e2＋2e3，b＝4e1－6e2＋2e3，c＝－3e1＋12e2＋11e3，问a能否表示成a＝λb＋μc(λ，μ∈R)的形式？若能，写出表达式；若不能，请说明理由．
参考答案
1．答案：A
2．答案：B
3．解析：a＋b＝(b－a)＝(－)＝＝＝.
答案：D
4．解析：∵a与b共线，且b≠0，∴存在实数μ，使得a＝μb，
即e1＋λe2＝－μ(e2－2e1)，则(2μ－1)e1＝(μ＋λ)e2.
∴解得
答案：D
5．解析：由题意得，N为线段AB的中点，所以＝(＋)＝(e1＋e2)＝e1＋e2，又M为AN的中点，
所以＝(＋)＝＝e1＋e2，故选项A正确．
选项B中＝e1＋e2，选项C中＝(e1－e2)，选项D中＝e1－e2.
答案：A
6．解析：c＝pa＋qb，即3e1－2e2＝(－pe1＋2pe2)＋(qe1－qe2)＝(q－p)e1＋(2p－q)e2，
所以解得
答案：1,4
7．解析：设＝a，＝b，＝3a－λb＝3－λ，
∵A，B，C三点共线，∴3＋(－λ)＝1，∴λ＝2.
答案：2
8．解析：由α＋β＝1，可知点C的轨迹是直线AB，通过直线的两点式求解直线AB的方程即可．
答案：x＋2y－3＝0
9．解：设＝e1，＝e2，则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M与B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ，使＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μe1＋μe2，
∴＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2，而＝＋＝2e1＋3e2，
∴由平面向量基本定理，得
∴∴＝，∴AP∶PM＝4∶1.
10．解：能．假设a＝λb＋μc(λ，μ∈R)，将a，b，c代入a＝λb＋μc，得－e1＋3e2＋2e3＝(4λ－3μ)e1＋(－6λ＋12μ)e2＋(2λ＋11μ)e3，则解得
所以a＝b＋c.所以a能表示成a＝λb＋μc(λ，μ∈R)的形式，表达式为a＝b＋c.
PAGE
1两角和与差的正切
1．在△ABC中，已知tan
A，tan
B是方程3x2＋8x－1＝0的两根，则tan
C等于( )
A．2
B．－2
C．4
D．－4
2．如果tan(α＋β)＝，，则的值为( )
A．
B．
C．
D．2
3．在锐角△ABC中，tan
Atan
B的值( )
A．不小于1
B．小于1
C．等于1
D．大于1
4．设tan
α和tan
β是方程mx2＋(2m－3)x＋(m－2)＝0的两根，则tan(α＋β)的最小值是( )
A．
B．
C．
D．不确定
5．求值：tan
20°＋tan
40°＋tan
20°tan
40°＝________.
6．如图所示，三个相同的正方形相接，则图中的α＋β＝__________.
7．在△ABC中，若(1＋cot
A)(1＋cot
C)＝2，则log2sin
B＝________.
8．已知α为第二象限的角，，β为第一象限的角，，求tan(2α－β)的值．
9．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值．
参考答案
1．解析：∵tan
A，tan
B是3x2＋8x－1＝0的两根，
∴
∴tan(A＋B)＝＝－2.
∴tan
C＝－tan(A＋B)＝2.
答案：A
2．解析：设，
则tan(α＋β)＝
＝，解得，
即.
答案：B
3．解析：由于△ABC为锐角三角形，
∴tan
A，tan
B，tan
C均为正数．
∴tan
C＞0，∴tan[180°－(A＋B)]＞0.
∴tan(A＋B)＜0，即.
而tan
A＞0，tan
B＞0，
∴1－tan
Atan
B＜0，即tan
Atan
B＞1.
答案：D
4．解析：∵tan
α和tan
β是mx2＋(2m－3)x＋(m－2)＝0的两根，
∴
∴，且m≠0.
又tan(α＋β)＝，
∴当时，tan(α＋β)取最小值.
答案：C
5．解析：因为tan
60°＝tan(20°＋40°)＝＝，所以原式＝－tan
20°tan
40°＋tan
20°tan
40°＝.
答案：
6．解析：由题意，，，
∴tan(α＋β)＝.
∵0＜α＜，0＜β＜，∴0＜α＋β＜π，∴α＋β＝.
答案：
7．解析：由(1＋cot
A)(1＋cot
C)＝2，
得，
∴(tan
A＋1)(tan
C＋1)＝2tan
Atan
C．
∴1＋tan
A＋tan
C＝tan
Atan
C．
∴tan(A＋C)＝－1.
又A，B，C是△ABC的内角，
∴A＋C＝.
∴.∴.
∴log2sin
B＝.
答案：
8．解：∵α为第二象限的角，且，
∴，
∴.
又∵β为第一象限的角，且，
∴，∴.
∴tan(α－β)＝.
∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝＝.
9．解：由AB＋BP＝PD，得a＋BP＝，解得.
设∠APB＝α，∠DPC＝β，
则tan
α＝，tan
β＝.
从而tan(α＋β)＝＝－18.
又∵∠APD＋(α＋β)＝π，
∴tan∠APD＝tan[π－(α＋β)]＝－tan(α＋β)＝18.
PAGE
1诱导公式(1)
1．sin(－390°)的值等于( )
A．
B．
C．
D．
2．给出下列各函数值：
①sin(－1
000°)；②cos(－2
200°)；③tan(－10)；④.
其中符号为负的是( )
A．①
B．②
C．③
D．④
3．等于( )
A．sin
2－cos
2
B．sin
2＋cos
2
C．±(sin
2－cos
2)
D．cos
2－sin
2
4．已知780°角的终边上有一点P(a,3)，则a的值为( )
A．
B．
C．
D．
5．已知函数f(x)＝，则下列等式成立的是( )
A．f(2π－x)＝f(x)
B．f(2π＋x)＝f(x)
C．f(－x)＝f(x)
D．f(－x)＝－f(x)
6．tan
2
010°＝__________.
7．(n∈Z)的值为__________．
8．的值等于__________．
9．求证：.
10．设
求的值．
参考答案
1．答案：D
2．答案：C
3．答案：A
4．答案：A
5．解析：f(－x)＝＝＝f(x)．
答案：C
6．答案：
7．解析：.
答案：
8．解析：
＝
＝(－1)100×＝.
答案：
9．证明：原式左边＝＝tan
α＝右边．
故原等式成立．
10．解：
＝
＝.
PAGE
1向量在几何中的应用、向量在物理中的应用
1．和直线3x－4y＋7＝0平行的向量a及与此直线垂直的向量b分别是( )
A．a＝(3,4)，b＝(3，－4)
B．a＝(－3,4)，b＝(4，－3)
C．a＝(4,3)，b＝(3，－4)
D．a＝(－4,3)，b＝(3,4)
2．在△ABC中，有命题：
①－＝；②＋＋＝0；③若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形；④若·＞0，则△ABC为锐角三角形．
上述命题正确的是( )
A．①②
B．①④
C．②③
D．②③④
3．一条渔船距对岸4
km，它以2
km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8
km，则河水的流速为( )
A．km/h
B．2
km/h
C．km/h
D．3
km/h
4．已知△ABC的三个顶点A，B，C和平面内一点P，且＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是( )
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边上或其延长线上
D．P在AC边上
5．已知向量＝(4，－5)，＝(－7,9)分别表示两个力f1，f2，则f1＋f2的大小为__________．
6．在△ABC中，A(－1,2)，B(3,1)，C(2，－3)，则AC边上的高所在的直线方程为__________．
7．若正方形ABCD的边长为1，点P在线段AC上运动，则·(＋)的最大值是__________．
8．如图所示，若D是△ABC内一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC．
9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长．
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
参考答案
1．答案：C
2．解析：对于①，应有－＝，故①错误．对于④，由·＞0，得||||cos
A＞0，所以cos
A＞0.所以A为锐角．但B或C是否为锐角，不能确定，故④错误．②③是正确的．
答案：C
3．解析：如图所示，设河水流速为|v1|，实际航向与水流方向的夹角为α，则sin
α＝，所以α＝30°，|v1|＝＝(km/h)，即水流速度为km/h.
答案：A
4．解析：∵＋＋＝，
∴＋＝＋＝，
即＝2.
∴A，C，P三点共线，即点P在AC边上．
答案：D
5．解析：f1＋f2＝＋＝(－3,4)，
所以|f1＋f2|＝＝5.
答案：5
6．解析：与AC边平行的向量为＝(3，－5)，设P(x，y)是所求直线上任意一点，则＝(x－3，y－1)，所以AC边上的高所在的直线方程为·(x－3，y－1)＝0，即3x－5y－4＝0.
答案：3x－5y－4＝0
7．答案：
8．证明：设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，
则a＝e＋c，b＝e＋d，
∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.
由已知得a2－b2＝c2－d2，
∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，
∴e·(c－d)＝0.
∵＝＋＝d－c，
∴·＝e·(d－c)＝0.
∴⊥，
∴AD⊥BC．
9．解：(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线长分别为4，2.
(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t，5＋t)．
由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0.
化简得5t＝－11，解得t＝－，即t的值为－.
PAGE
1向量的减法
1．如图所示，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则－等于( )
A．
B．
C．
D．
2．(2012·山东潍坊期末)已知平行四边形ABCD，O是平行四边形ABCD所在平面外任意一点，＝a，＝b，＝c，则向量等于( )
A．a＋b＋c
B．a－b＋c
C．a＋b－c
D．a－b－c
3．下列命题中，正确命题的个数为( )
①|a|＋|b|＝|a＋b|a与b的方向相同；②|a|＋|b|＝|a－b|a与b的方向相反；③|a＋b|＝|a－b|a与b有相等的模；④|a|－|b|＝|a－b|a与b的方向相同．
A．0
B．1
C．2
D．3
4．已知|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝1，则|a－b|＝( )
A．1
B．
C．
D．2
5．平面上有三点A，B，C，设m＝＋，n＝－，若m，n的长度恰好相等，则有( )
A．A，B，C三点必在同一直线上
B．△ABC必为等腰三角形，且∠ABC为顶角
C．△ABC必为直角三角形，且∠ABC＝90°
D．△ABC必为等腰直角三角形
6．在边长为1的正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝____________，|a＋c－b|＝____________，|c－a－b|＝__________.
7．已知△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝90°，有下列命题：
①|＋|＝|－|；②|－|＝|－|；③|－|＝|－|；④|－|2＝|－|2＋|－|2.
其中正确命题的序号为__________．
8．如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，求.
9．如图所示的五边形ABCDE中，若＝m，＝n，＝p，＝q，＝r，求作向量m－p＋n－q－r.
10．三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设＝a，＝b，＝c，判断△ABC的形状．
参考答案
1．解析：由图可知＝，则－＝－＝.又由三角形中位线定理，知＝，故选D．
答案：D
2．解析：如图，有＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b.
答案：B
3．解析：当向量共线时，向量加法的平行四边形法则不适用，可考虑应用向量加法的三角形法则，其中①②是正确的；③由向量加减法的几何意义，知|a＋b|＝|a－b|等价于以a，b为邻边的平行四边形的对角线相等，此时a与b垂直，但a与b的模不一定相等，故③不正确；④不能判断|a|－|b|的符号，而|a－b|一定大于等于0，故④不正确．
答案：C
4．解析：如图所示，作平行四边形ABDC，根据向量加法的平行四边形法则可知，当|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝1时，平行四边形ABDC为菱形．又|a＋b|＝1，
所以△ABD为正三角形，
所以∠ABD＝60°.容易得出|a－b|＝||＝2||＝＝2×＝.
答案：B
5．解析：如图，作ABCD，
则m＝＋＝，
n＝－＝－＝.
∵|m|＝|n|，
∴||＝|D|，
∴ABCD为矩形．
∴△ABC为直角三角形，
∴∠ABC＝90°.
答案：C
6．解析：|a＋b＋c|＝2|c|＝，|a＋c－b|＝|(c－b)＋a|＝2|a|＝2，|c－a－b|＝|c－(a＋b)|＝|c－c|＝0.
答案： 2 0
7．解析：以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，由题意知其为正方形．
∵|＋|＝||，|－|＝||，||＝||，∴①正确．
②正确．
∵|－|＝|＋|＝||，|－|＝|＋|＝||，
又∵||＝||，∴③正确．
∵|－|2＝||2，|－|2＋|－|2＝|＋|2＋|＋|2＝||2＋||2＝||2，
∴④正确．
答案：①②③④
8．分析：所给图形是平行四边形，为了应用图形的性质，将向量，，，都转化到四条边上，由向量减法的三角形法则，得＝－，＝－.于是，根据与为相等向量的关系可得结论．
解：因为＝，＝－，＝－，
所以－＝－，＝－＋.
所以＝a－b＋c.
9．解：∵m－p＋n－q－r＝(m＋n)－(p＋q＋r)＝(＋)－(＋＋)＝－＝＋，
∴延长AC至点F，使||＝||(如图)，则＝，
∴＝＋，即向量即为所求作的向量m－p＋n－q－r.
10．解：由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于合力作用后做匀速运动，故合力为0，即a＋b＋c＝0.∴a＋c＝－b.如图所示，APCD为菱形，＝a＋c＝－b.∴∠APC＝120°，同理∠APB＝∠BPC＝120°.
又∵|b|＝|c|＝|a|，
∴易知△ABC为正三角形．
PAGE
1单位圆与三角函数线
1．若角α的正切线位于第一象限，则角α是( )
A．第一象限的角
B．第一、二象限的角
C．第三象限的角
D．第一、三象限的角
2．下列命题中，正确的是( )
A．三角形的内角必是第一或第二象限的角
B．角α的终边在x轴上时，角α的正弦线、正切线分别变成了一个点
C．终边在第二象限的角是钝角
D．终边相同的角必然相等
3．若θ∈，则sin
θ＋cos
θ的一个可能值是( )
A．
B．
C．
D．1
4．如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，我们把叫做α的正割，记作sec
α；把叫做α的余割，记作csc
α，则( )
A．
B．
C．
D．
5．已知sin
α＞sin
β，那么下列命题成立的是( )
A．若α，β是第一象限的角，则cos
α＞cos
β
B．若α，β是第二象限的角，则tan
α＞tan
β
C．若α，β是第三象限的角，则cos
α＞cos
β
D．若α，β是第四象限的角，则tan
α＞tan
β
6．利用三角函数线求cos
2
040°的函数值是__________．
7．设集合，集合，则M∩N＝__________.
8．在(0,2π)内，使sin
x＞cos
x成立的x的取值范围为__________．
9．当α＝3
rad时，利用三角函数线分析点P(sin
3－cos
3，sin
3＋cos
3)所在的象限．
10．已知关于x的方程(2sin
α－1)x2－4x＋4sin
α＋2＝0有两个不相等的正根，试求角α的取值范围．
参考答案
1．解析：由正切线的定义知，当角α是第一、三象限的角时，正切线都在第一象限．
答案：D
2．解析：当三角形的一个内角为90°时，这个内角不是象限角，故选项A不正确；选项B正确；终边在第二象限的角的范围是，k∈Z，故选项C不正确；终边相同的角不一定相等，它们相差2π的整数倍，故选项D不正确．故选B．
答案：B
3．解析：由θ∈，结合三角函数线的知识知sin
θ＋cos
θ＞1，四个选项中仅有，故选C．
答案：C
4．答案：A
5．解析：利用三角函数线依次判断．
答案：D
6．答案：
7．解析：如图所示，画出单位圆，并分别作，两条直线，根据三角函数线的特点知，θ的终边与单位圆的交点坐标应满足且，只有图中阴影部分满足条件，故M∩N＝.
答案：
8．解析：在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在(0,2π)内，sin
x＞cos
x，则x∈.
答案：
9．
解：因为＜3＜π，所以作出单位圆及角α＝3的正弦线和余弦线，如图所示．
设，的数量分别为a，b，
所以sin
3＝a＞0，cos
3＝b＜0.
所以sin
3－cos
3＞0.
因为|MP|＜|OM|，
即|a|＜|b|，
所以sin
3＋cos
3＝a＋b＜0.
故当α＝3
rad时，P(sin
3－cos
3，sin
3＋cos
3)在第四象限．
10．解：设方程的两根为x1，x2，根据题意列方程组得
即
化简得
故.
如图，利用三角函数线，可知α的取值范围是∪.
PAGE
11.3.1
正弦函数的图象与性质
1．函数的单调递增区间是( )
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
2．要得到的图象，只需将y＝sin
2x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
3．已知正弦型函数在一个周期内的图象如图所示，则它的表达式可以为( )
A．
B．
C．
D．
4．已知函数y＝f(x)，f(x)图象上所有点的纵坐标保持不变，将横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位长度，得到的曲线与y＝sin
x的图象相同，则y＝f(x)的表达式为( )
A．
B．
C．
D．
5．已知函数，其中k≠0，当自变量x在任何两个整数间(包括整数本身)变化时，至少含有1个周期，则最小的正整数k是( )
A．60
B．61
C．62
D．63
6．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是实数集R上的偶函数，则φ的值为__________．
7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的图象中，最高点(距原点最近)的坐标是(2，)，由这个最高点到相邻最低点的曲线与x轴交于点(6,0)，则此函数的解析式应为__________．
8．关于函数f(x)＝4
(x∈R)有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0，可得x1－x2必是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写为；
③y＝f(x)的图象关于点对称；
④y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
其中正确的命题的序号是__________(注：把你认为正确的命题的序号都填上)．
9．(2012·山东济宁期末)函数f(x)＝Asin(ωx＋θ)的一系列对应值如下表：
x
…
0
…
f(x)
…
0
1
0
－1
0
…
(1)根据表中数据求出f(x)的解析式；
(2)指出函数f(x)的图象是由函数y＝sin
x(x∈R)的图象经过怎样的变化而得到的．
10．已知f(x)＝－2a＋2a＋b，x∈，是否存在常数a，b∈Q，使得f(x)的值域为{y|－3≤y≤}？若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．
参考答案
1．解析：令2x－∈，k∈Z，
可解得x∈，k∈Z.
故选B．
答案：B
2．答案：A
3．解析：从图象中可以看出，曲线的振幅，周期T＝＝π，
∴ω＝＝2，则有y＝sin(2x＋φ)＋，再将(0,1)代入，得sin
φ＝1，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z.当k＝0时，，故选A．
答案：A
4．解析：采用逆向思维方式，由题意，y＝sin
x的图象沿x轴向右平移个单位长度后，得到，再保持此函数图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到，即y＝f(x)的解析式．
答案：D
5．解析：∵k≠0，
∴函数的周期.
又∵T≤1，
∴|k|≥20π＞62.8.
∴最小的正整数k＝63.
答案：D
6．解析：∵f(x)＝sin(2x＋φ)是实数集R上的偶函数，
∴当x＝0时，sin
φ＝±1.又∵0≤φ≤π，∴φ＝.
答案：
7．解析：依题意，A＝，T＝4×(6－2)＝16，，
∴.再将(2，)代入，有，故，则＋φ＝2kπ＋，∴φ＝2kπ＋，k∈Z.
又∵0＜φ＜π，∴φ＝.
故所求函数的解析式为.
答案：
8．解析：如下图为的图象．
函数图象与x轴的交点均匀分布，相邻的两个交点的距离为，故命题①不正确；与x轴的每一个交点，都是函数图象的一个对称中心，所以命题③正确；函数图象的对称轴都必须经过图象的最高点或最低点，所以直线不是对称轴，故命题④不正确；由诱导公式可知，所以命题②正确．故应填②③.
答案：②③
9．解：(1)由已知条件，可得，ω＝2，
故f(x)＝sin(2x＋θ)，
∴.
∴θ＝＋kπ(k∈Z)．∵|θ|＜，∴θ＝.
∴.
(2)y＝sin
x
.
10．解：因为，所以，
所以－1≤≤.若存在这样的有理数a，b，则
(1)当a＞0时，
解得a＝1，b＝－5(舍去)．
(2)当a＜0时，
解得a＝－1，b＝1.
综上，a，b存在，且a，b的值分别为－1,1.
PAGE
1向量的概念
1．下列说法中，正确的是( )
A．长度相等的两个向量一定是相等的向量
B．当且仅当两个向量所在的直线恰为同一条直线时，这两个向量为共线向量
C．零向量没有方向
D．零向量的方向是任意的
2．下列说法中，不正确的是( )
A．向量的长度与向量的长度相等
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同始点且共线的向量，其终点必相同
3．如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，则向量，，，，，中共线的向量有( )
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
4．如下图所示，四边形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是( )
A．＝
B．||＝||
C．＞
D．＜
5．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，以A，B，C，D，E，F，O七点中的任一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，设与相等的向量个数为m，与的模相等的向量个数为n，则m，n的值分别是( )
A．3,23
B．3,11
C．3,24
D．以上都不正确
6．下列说法中，正确的是__________．(填序号)
①相等的向量的始点必相同；
②平行向量就是共线向量；
③若|a|＞|b|，则a＞b；
④质量、能量、功都是向量；
⑤若a∥b，则a，b的方向相同或相反．
7．如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．
(1)与向量相等的向量为__________；
(2)若||＝3，则向量的模等于__________．
8．已知飞机从甲地向北偏东30°的方向飞行2
000
km到达乙地，再从乙地向南偏东30°的方向飞行2
000
km到达丙地，再从丙地向西南方向飞行km到达丁地，则丁地在甲地的__________方向，丁地距甲地的距离为__________
km.
9．判断下列说法是否正确，并简要说明理由．
(1)与是共线向量，则P，Q，M，N四点共线；
(2)共线的向量，若表示它们的有向线段的始点不同，则终点一定不同；
(3)两个向量相等，则它们的始点和终点都相同；
(4)||＝||.
10．如图，A1，A2，A3，…，A8是O上的八个等分点，则在以A1，A2，A3，…，A8及圆心O九个点中任意两点为始点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径的倍的向量有多少个？
参考答案
1．解析：相等的向量不仅长度相等，而且方向相同，故选项A错误；共线向量所在的直线可以相互平行，也可以是同一条直线，故选项B错误；零向量的方向是任意的，故选项C错误；选项D正确．
答案：D
2．解析：很明显，选项A，B，C正确，共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D不正确．
答案：D
3．解析：共线向量有与，与，与.
答案：C
4．解析：||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等．
答案：B
5．解析：(1)与相等的向量有，，，故m＝3.
(2)与的模相等的向量有两类：一类是以O为始点，以正六边形的顶点为终点或以正六边形的顶点为始点，以O为终点的向量，有2×6－1＝11(个)；另一类是以正六边形的六条边为有向线段的向量，共有2×6＝12(个)，故n＝11＋12＝23.
答案：A
6．答案：②⑤
7．答案：(1)
， (2)6
8．解析：如图，A，B，C，D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地．
由题意知，△ABC是正三角形，
∴AC＝2
000
km.
又∵∠ACD＝45°，
CD＝km，
∴△ACD是直角三角形．
∴AD＝km，∠CAD＝45°.
∴丁地在甲地的东南方向，丁地距甲地km.
答案：东南
9．分析：根据共线向量、相等向量及向量的模的概念进行判断．
解：(1)不正确.与是共线向量，则直线MN与PQ可能重合，也可能平行，则P，Q，M，N四点不一定共线．
(2)不正确．共线的向量始点不同，但终点却可能相同．如图中的和共线，它们始点不同，但终点相同．
(3)不正确．两个向量只要长度相等、方向相同就是相等的向量，和始点、终点的位置无关．
(4)正确.与的长度均为线段AB的长度．
10．解：由于A1，A2，A3，…，A8是O上的八个等分点，所以八边形A1A2A3…A8是正八边形，正八边形的边及对角线长均与O的半径不相等．所以模等于半径的向量只可能是与(i＝1,2，…，8)两类．一类是(i＝1,2，…，8)，共8个；另一类是(i＝1,2，…，8)，也有8个．两类合计16个．
O内接正方形的边长是半径的倍，所以考虑与圆心O形成90°圆心角的两点为端点的向量个数．以A1，A2，A3，…，A8为顶点的O的内接正方形有两个，一个是正方形A1A3A5A7；另一个是正方形A2A4A6A8.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的倍．所以模为半径的倍的向量共有4×2×2＝16(个)．
PAGE
1余弦函数的图象与性质
1．函数y＝－5cos(3x＋1)的最小正周期为( )
A．
B．3π
C．
D．
2．(2012·山东邹城质检)已知函数f(x)＝cos
x在区间[a，b]上是减函数，且f(a)＝1，f(b)＝－1，则( )
A．0
B．
C．1
D．－1
3．要得到函数的图象，只需将函数y＝cos
2x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
4．下图为下列某一函数图象的一部分，该函数为( )
A．
B．
C．
D．
5．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A．
B．
C．
D．
6．已知f(n)＝，n∈N＋，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)＝__________.
7．若函数y＝(cos
x－a)2＋1在cos
x＝1时取最大值，在cos
x＝a时取最小值，则实数a应满足的范围为__________．
8．一个大风车的半径为8
m,12分钟旋转一周，它的最低点离地面2
m(如图所示)，则风车翼片的一个端点离地面的距离h(米)与时间t(分钟)之间(h(0)＝2)的函数关系式为____________．
9．已知函数f(x)＝2cos
ωx(ω＞0)，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．
10．函数f(x)＝＋acos
x＋sin2x的最大值为2，求实数a的值．
参考答案
1．解析：该函数的最小正周期.
答案：C
2．答案：C
3．解析：∵，∴将y＝cos
2x的图象向右平移个单位长度，得到的图象．
答案：B
4．解析：(特殊值法)由于当时，y＝1，故将分别代入各选项，可排除选项A，B；又当时，y＝0，将分别代入选项C，D，可排除选项C．故选D．
答案：D
5．解析：∵y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称知，，即.
∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)．
∴φ＝kπ＋－(k∈Z)．
∴|φ|min＝.
答案：A
6．答案：－1
7．答案：－1≤a≤0
8．解析：首先考虑建立直角坐标系，以最低点的切线作为x轴，最低点作为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
那么，风车上翼片端点P所在位置可由函数x(t)，y(t)来刻画，而且h(t)＝y(t)＋2，所以只需要考虑y(t)的解析式．又设P的初始位置在最低点，即y(0)＝0.
在Rt△O1PQ中，，所以y(t)＝－8cos
θ＋8.
而，所以θ＝t，
所以y(t)＝－8t＋8，
则h(t)＝－8t＋10.
故填h(t)＝－8t＋10.
答案：h(t)＝－8t＋10
9．解：(1)由题意知f(x)的周期T＝π，故，解得ω＝2.所以f(x)＝2cos
2x.则.
(2)将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象，
所以g(x)＝.
当2kπ≤≤2kπ＋π(k∈Z)，
即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减，
因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
10．解：，且0≤cos
x≤1.
(1)当0≤≤1，即0≤a≤2时，cos
x＝，函数f(x)可取得最大值，此时f(x)max＝.
由，解得a＝3或a＝－2，均不合题意，舍去．
(2)当，即a＜0时，cos
x＝0，函数f(x)可取得最大值，此时f(x)max＝.由，解得a＝－6.
(3)当＞1，即a＞2时，cos
x＝1，函数f(x)可取得最大值，此时f(x)max＝.由，解得.
综上，a的值为－6或.
PAGE
1倍角公式
1．(2012·广东揭阳测试)已知倾斜角为α的直线l与直线x－2y＋2＝0平行，则tan
2α的值为( )
A．
B．
C．
D．
2．当cos
2α＝时，sin4α＋cos4α的值是( )
A．1
B．
C．
D．
3．若sin2x＞cos2x，则x的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
4．函数y＝2sin
x(sin
x＋cos
x)的最大值为( )
A．
B．
C．
D．2
5．已知，则________.
6．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin
2θ＝________.
7．已知，则3cos
2θ＋sin
2θ＝________.
8．在△ABC中，，tan
B＝2，求tan(2A＋2B)的值．
9．(2012·福建三明联考)已知函数f(x)＝sin
xcos
x＋sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)函数f(x)的图象可由函数y＝sin
2x的图象经过怎样的变换得出？
参考答案
1．解析：依题意知，从而
tan
2α＝＝，故选C．
答案：C
2．解析：由cos
2α＝，得sin22α＝.
所以sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－sin22α＝.
答案：C
3．解析：由已知cos2x－sin2x＜0，
∴cos
2x＜0，
于是2kπ＋＜2x＜2kπ＋
(k∈Z)．
∴kπ＋＜x＜kπ＋(k∈Z)．
答案：D
4．解析：y＝2sin
x(sin
x＋cos
x)＝2sin2x＋2sin
xcos
x＝1－cos
2x＋sin
2x＝sin
2x－cos
2x＋1＝＋1，
所以y的最大值为.
答案：A
5．解析：
＝－cos
2α＝2sin2α－1＝.
答案：
6．解析：由sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝，即1－sin22θ＝，解得sin22θ＝，
所以sin
2θ＝.
又θ为第三象限角，故2kπ＋π＜θ＜2kπ＋
(k∈Z)，
所以4kπ＋2π＜2θ＜4kπ＋3π(k∈Z)，
即2(2k＋1)π＜2θ＜2(2k＋1)π＋π(k∈Z)，
所以sin
2θ＞0，
故sin
2θ＝.
答案：
7．解析：由，得
2sin
θ＋cos
θ＝－5sin
θ＋15cos
θ，
∴7sin
θ＝14cos
θ.∴tan
θ＝2.
∴3cos
2θ＋sin
2θ＝3(cos2θ－sin2θ)＋2sin
θcos
θ＝＋＝3·＋＝＝－1.
答案：－1
8．解：解法一：在△ABC中，由cos
A＝得0＜A＜，则sin
A＝＝＝.
∴tan
A＝.
∴tan
2A＝.
又tan
B＝2，
∴tan
2B＝.
于是，tan(2A＋2B)＝＝.
解法二：由解法一可知.
∴tan(A＋B)＝＝，
∴tan(2A＋2B)＝.
9．解：(1)f(x)＝sin
xcos
x＋sin2x
＝sin
2x＋
＝.
∴函数f(x)的最小正周期为π；
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋
(k∈Z)
得kπ－≤x≤kπ＋
(k∈Z)，
∴f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)∵f(x)＝＝，
∴先把函数y＝sin
2x的图象向右平移个单位长度，再把所得的图象向上平移个单位长度即得到函数f(x)的图象．
PAGE
1向量共线的条件与轴上向量坐标运算
1．e为x轴上的单位向量，若＝－2e，且B点的坐标为3，则A点的坐标和AB中点的坐标分别为( )
A．2,1
B．5,4
C．4,5
D．1，－2
2．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1，且c与d同向
B．k＝1，且c与d反向
C．k＝－1，且c与d同向
D．k＝－1，且c与d反向
3．设a，b为不共线向量，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则下列关系式中正确的是( )
A．＝
B．＝2
C．＝
D．＝－2
4．已知a≠0，λ∈R，下列叙述中，正确的个数是( )
①λa∥a；②λa与a的方向相同；③是单位向量；④若|λa|＞|a|，则λ＞1.
A．1
B．2
C．3
D．4
5．已知△ABC的三个顶点A，B，C及△ABC所在平面内一点P满足：＋＋＝0，若实数λ满足＋＝λ，则λ的值为( )
A．
B．
C．2
D．3
6．已知数轴上点A，B的坐标分别是－8，－3，则的坐标为__________，长度为__________．
7．设a，b是两个不共线的非零向量，若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝__________.
8．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
9．如图所示，在ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD．利用向量法证明M，N，C三点共线．
10．如图所示，已知△OAB中，点C是以A为中心的点B的对称点，OD＝2DB，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a和b表示向量，；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
参考答案
1．解析：设A点的坐标为xA，由题意，知AB＝－2＝3－xA，
∴xA＝5，即A点的坐标为5，∴线段AB中点的坐标为.故选B．
答案：B
2．答案：D
3．解析：＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2.
答案：B
4．答案：B
5．解析：由＋＋＝0知，P为△ABC的重心，
所以＋＝3，即λ＝3，故选D．
答案：D
6．解析：AB＝(－3)－(－8)＝5，||＝|5|＝5.
答案：5 5
7．解析：设k′＞0，则ka＋2b＝－k′(8a＋kb)，即ka＋2b＝－8k′a－k′kb，因为a，b不共线，所以k＝－8k′，2＝－k′k，所以k2＝16，解得k＝－4或k＝4(舍去)．
答案：－4
8．解析：∵在△AMN中，＝－，＝－，设＝λ，∴－＝λ(－)．
∴＝＋.①
∵在△ABC中，
＝(＋)＝m＋n，②
∴由①②，可得，.
∴m＋n＝2.
答案：2
9．证明：设＝a，＝b，∵＝＋＝a＋(－a＋b)＝a＋b，＝＋＝a＋b，∴＝3.
∴∥，且与有公共点M，
∴M，N，C三点共线．
10．解：(1)依题意，A是BC的中点，
∴2＝＋，即＝2－＝2a－b，
∴＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b.
(2)∵＝λ，则＝－＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b.
∵与共线，且≠0，
∴存在实数k，使＝k，
即(λ－2)a＋b＝k，解得λ＝.
∴实数λ的值为.
PAGE
1
