1.2.4 诱导公式
知识点一：诱导公式(1)(2)(3)
1．(全国高考Ⅰ，文1)cos300°等于
A．－
B．－
C.
D.
2．与cos的值相同的是
A．sin
B．sin
C．sin
D．sin
3．已知cos(π＋α)＝－且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)等于
A.
B．－
C．±
D.
4．若sin(－α)＝－m，则sin(3π＋α)＋sin(2π－α)等于
A．－m
B．－m
C.m
D.m
5．若|cosα|＝cos(π＋α)，则角α的集合为__________．
6．化简sin(－α)·cos(2π＋α)·tan(2π＋α)＝__________.
知识点二：诱导公式(4)
7．sin2(＋α)＋cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值是
A．1
B．2sin2α
C．2cos2α
D．0
8．设A、B、C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是
A．cos(A＋B)＝cosC
B．sin(A＋B)＝sinC
C．tan(A＋B)＝tanC
D．sin＝sin
9．若cos(π＋α)＝－，那么sin(－α)等于
A．－
B.
C.
D．－
10．f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝__________.
11．sin2(－x)＋sin2(＋x)＝__________.
能力点一：利用诱导公式求值
12．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是
A.
B.
C.
D.
13．sin2150°＋sin2135°＋2sin210°＋cos2225°的值是
A.
B.
C.
D.
14．(2010全国高考Ⅰ，理2)记cos(－80°)＝k，那么tan100°等于
A.
B．－
C.
D．－
15.＝__________.
16．求下列各三角函数值：
(1)sincostan；
(2)sin(－1
200°)tan－cos585°tan(－)．
17．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，求[sin(α＋)·sin(－α)·tan2(2π－α)·tan(π－α)]÷[cos(－α)·cos(＋α)]的值．
能力点二：利用诱导公式进行化简
18．设tan(5π＋α)＝m，则化简的结果为__________．(用m表示)
19．化简：
(1)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°；
(2)tan1°tan2°tan3°…tan89°.
20.化简：cos(π－α)·sin(π－α)(n∈Z)．
能力点三：利用诱导公式进行证明
21．求证：tan(2π－α)sin(－2π－α)cos(6π－α)＝sin2α.
22．设k∈Z，求证：＝－1.
23．已知α是第三象限的角，f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若cos(α－)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－1
860°，求f(α)的值．
答案与解析
基础巩固
1．C cos300°＝cos(300°－360°)
＝cos(－60°)＝cos60°＝.
2．B cos＝cos(4π＋)
＝cos＝＝sin.
3．B
4．B ∵sin(－α)＝－m，
∴sinα＝m.
sin(3π＋α)＋sin(2π－α)＝sin(π＋α)＋sin(－α)＝－sinα－sinα＝－sinα＝－m.
5．{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}
6．－sin2α
7．A
8．B ∵A、B、C满足A＋B＝π－C，＝－，
∴B正确．
9．A ∵cos(π＋α)＝－，
∴cosα＝.
∴sin(－α)＝－cosα＝－.
10．3＋cos2x ∵cosx＝sin(－x)，
∴f(cosx)＝f[sin(－x)]
＝3－cos[2(－x)]
＝3－cos(π－2x)
＝3＋cos2x.
11．1 ∵(－x)＋(＋x)＝，
∴原式＝sin2(－x)＋cos2(－x)＝1.
能力提升
12．C 由已知得
∴
∴sinβ＝，tanα＝3.
又∵α为锐角，∴sinα>0.
由
解得sinα＝.
13．A
14．B ∵cos(－80°)＝cos80°＝k，
∴sin80°＝＝.
∴tan100°＝－tan80°
＝－＝－.
15．1 原式＝tan(45°＋θ)tan(45°－θ)＝tan(45°＋θ)·cot(45°＋θ)＝1.
16．解：(1)原式＝sincos(2π＋)tan(4π＋)
＝costan
＝cos(π＋)tan(π＋)
＝(－cos)tan
＝－××1
＝－.
(2)原式＝－sin1
200°tan(2π＋)－cos(360°＋225°)(－tan)
＝－sin(－240°)tan－cos45°tan(π＋)
＝×sin(180°＋60°)－tan
＝－×sin60°－
＝－.
17．解：5x2－7x－6＝0的根为x＝2或x＝－，
所以sinα＝－.
所以cosα＝±＝±.
所以tanα＝±.
原式＝
＝tanα＝±.
18. 由tan(5π＋α)＝tanα＝m知，
原式＝＝＝.
19．解：(1)原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝(sin21°
＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋
＝1＋1＋…＋1＋
＝44＋＝.
(2)∵tan1°tan89°＝
＝＝1.
同理，tan2°tan88°＝1＝tan3°tan87°
＝…＝tan44°tan46°＝1，
且tan45°＝1.
∴原式＝(tan1°tan89°)(tan2°tan88°)(tan3°tan87°)…(tan44°tan46°)tan45°＝1.
20.解：原式＝cos[nπ－(＋α)]·sin[nπ＋(－α)]．
当n为奇数时，
原式＝cos[π－(＋α)]·sin[π＋(－α)]
＝－cos(＋α)·[－sin(－α)]
＝cos[－(－α)]sin(－α)
＝sin2(－α)，
当n为偶数时，原式＝cos[－(＋α)]·sin(－α)
＝cos(＋α)·sin(－α)
＝cos[－(－α)]·sin(－α)
＝sin2(－α)，
综上，原式＝sin2(－α)．
21．证明：左边＝tan(－α)·sin(－α)·cos(－α)
＝(－tanα)·(－sinα)·cosα
＝sin2α＝右边，
∴原等式成立．
22．证明：(1)当k＝2n(n∈Z)时，
∵左边＝
＝－1＝右边，
∴原式成立；
(2)当k＝2n＋1(n∈Z)时，
∵左边＝
＝－1＝右边，
∴原式成立．
综上所述，原式成立．
拓展探究
23．解：(1)f(α)＝
＝
＝－cosα.
(2)∵cos(α－)＝cos(＋α)＝－sinα，
∴sinα＝－，cosα＝－＝－.
∴f(α)＝.
(3)f(α)＝f(－1
860°)
＝－cos(－1
860°)＝－cos1
860°
＝－cos(360°×5＋60°)
＝－cos60°＝－.
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11.2.4
诱导公式
课后导练
基础达标
1.sin()的值为（
）
A.
B.-
C.
D.
答案：A
2.如果f(x+π)=f(-x),且f(-x)=f(x)，则f(x)可以是（
）
A.sin2x
B.cosx
C.sin|x|
D.|sinx|
解析：f(-x)=f(x)时，对A不成立.
假如选B.由f(x+π)=cos(π+x)=-cosx,
而f(-x)=cos(-x)=cosx,
∴B不成立.
假如选C.由f(x+π)=sin|x+π|，
f(-x)=sin|-x|=sin|x|,知C不成立.
∴选D.
答案：D
3.在△ABC中，下列各表达式为常数的是（
）
A.sin(A+B)+sinC
B.cos(B+C)-cosA
C.tantan
D.cossec
解析：∵A+B+C=π，
∴sin(A+B)+sinC=sin(π-C)+sinC=2sinC,
cos(B+C)-cosA=cos(π-A)-cosA=-2cosA，
tan·tan=cot·tan=1，
cossec=cos(-)sec=sinsec=tan.
答案：C
4.设cos(π+α)=(π<α<),那么sin(2π-α)的值是（
）
A.-
B.
C.
D.
解析：∵cos(π+α)=-cosα=,∴cosα=(π<α<).
∴sin(2π-α)=sin(-α)=-sinα==.
答案：D
5.已知sinα是方程6x=1-的根，那么的值等于（
）
A.±
B.±
C.
D.
解析：∵6x=1-,∴=或=-(舍去).∴x=.
又∵sinα是方程6x=1-的根，∴sinα=.
∴cosα=±.
∴
.
答案：A
6.(2006黄冈中学模拟)
cos()的值是(
)
A.
B.-
C.
D.
解析:cos()=cos
=-cos=.
答案:D
7.(2006潮州质检)
sin,cos,tan从小到大的顺序是______________.
解析:∵cos<0,tan=tan,
又∵0
x>sinx>0,
∴tan>sin>0.
∴cos答案:cos8.sin(-1
200°)cos1
290°+cos(-1
020°)sin(-1
050°)+tan945°=_____________.
解析：原式=-sin1
200°cos1
290°-cos1
020°·sin1
050°+tan945°
=-sin(-60°+7×180°)·cos(30°+7×180°)-cos(-60°+3×360°)·sin(-30°+3×360°)+tan(45°+5×180°)=sin(-60°)(-cos30°)-cos(-60°)sin(-30°)+tan45°
=×()-×(-)+1=2.
答案：2
9.已知cos(11π-3)=p，用p表示tan(-3)=______________.
解析：∵cos(11π-3)=-cos(-3)=-cos3=p,
∴cos3=-p.又<3<π,
∴sin3=.
∴tan(-3)=-tan3=
答案：
10.=,则cos(3π-θ)=____________.
解析：∵,
∴cosθ=.∴cos(3π-θ)=cos(π-θ)=-cosθ=.
答案：
综合运用
11.已知sin(-α)=,则cos(+α)=____________.
解析:∵(-α)+(+α)=,
∴cos(+α)=cos［-(-α)］=sin(-α)=.
答案:
12.(2006山东滨州模拟)
已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数,且满足f(2
005)=-1,则f(2
006)等于(
)
A.-1
B.0
C.1
D.2
解析:由已知,f(2
005)=asin(2
005π+α)+bcos(2
005π+β)=asin(π+α)+bcos(π+β)=-asinα-bcosβ=-1,
∴asinα+bcosβ=1,而f(2
006)=asin(2
006π+α)+bcos(2
006π+β)=asinα+bcosβ=1.
答案:C
13.已知cos(75°+α)=，α是第三象限角，求sin(105°-α)+cos(α-105°)的值.
解：∵α是第三象限角，
∴α+75°是第三、四象限或终边落在y轴的负半轴上的角.
又∵cos(α+75°)=>0,
∴α+75°是终边落在第四象限的角.
∴sin(75°+α)=.
∴原式=sin［180°-(75°+α)］-cos［180°+(α-105°)］
=sin(75°+α)-cos(75°+α)
=.
14.已知角α终边上一点A的坐标为（，-1），求.
解：∵x=，y=-1,∴r==2.
∴sinα==-.
原式=
=-sinα=.
拓展探究
15.求sin(2nπ+)·cos(nπ+)(n∈Z)的值.
解：（1）当n为奇数时,
原式=sin(-cos)=sin(π-)·［-cos(π+)］=sincos=×=.
(2)当n为偶数时,
原式=sincos=sin(π-)cos(π+)=sin(-cos)=×(-)=.
16.已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若α是第三象限的角,且cos(α-)=,求f(α)的值;
(3)若α=,求f(α)的值.
解:(1)f(α)==-cosα.
(2)∵cos(α-)=-sinα,α是第三象限角,
∴sinα=-,cosα=∴f(α)=.
(3)∵=-6×2π+,
∴f()=-cos(-6×2π+)=-cos=-cos=-.
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11.2.1
三角函数的定义
课后导练
基础达标
1.下列函数中与函数y=tanα有相同定义域的是（
）
①y=
②y=secα
③y=cscα
④y=
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：要使y=tanα=有意义,只需角α的终边上异于原点的点P(x,y)的横坐标x≠0,显然函数②④与之相同.
答案：B
2.若sinθcosθ>0,则θ在（
）
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第一、四象限
D.第二、四象限
解析：由sinθcosθ>0,可知若sinθ>0且cosθ>0,则θ角的终边位于第一象限;若sinθ<0且cosθ<0,则θ角的终边位于第三象限.综上,可知θ角的终边位于第一或第三象限.
答案：B
3.已知P（x,4）是角θ终边上一点，且tanθ=,则x的值为（
）
A.10
B.
C.-10
D.-
解析：由任意角的三角函数的定义，可知tanθ==,∴x=-10.
答案：C
4.当α≠(k∈Z)时，M=的取值为(
)
A.M≥0
B.M>0
C.M<0
D.M时正时负
解析：因为α≠,k∈Z,所以角α的终边不落在坐标轴上.由任意角的三角函数的定义知sinα=,cosα=,tanα=,cotα=.原式=>0.
答案：B
5.已知cosα=m,0<|m|<1且tanα=,则α在（
）
A.第一或第二象限
B.第三或第四象限
C.第一或第四象限
D.第二或第三象限
解析：因为cosα=m,0<|m|<1,所以角α的终边不会落在坐标轴上，又因为>0,所以cosα与tanα同号，所以角α的终边在第一或第二象限.
答案:A
6.若角α的终边过点P（3cosθ,-4cosθ）(θ为第二象限角)，则sinα=___________.
解析：∵x=3cosθ,y=-4cosθ,
∴r==5|cosθ|=-5cosθ(θ为第二象限角).
∴sinα==.
答案：
7.若0解析：∵0∴=x-a,cosx<0,ax<1.
∴原式==1.
答案：1
8.求值：x2sin(-1
350°)+y2tan405°-(x-y)2cot765°-2xycos(-1
080°）.
解：原式=x2sin(90°-4×360°)+y2tan(45°+360°)-（x-y）2cot(45°+2×360°)-2xycos(0°-3×360°)
=x2sin90°+y2tan45°-(x-y)2cot45°-2xycos0°
=x2+y2-(x-y)2-2xy=0.
综合运用
9.α是第二象限角,则sin2α,sin,tan2α,tan中必取正数的个数有(
)
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
解析:2α是第三、四象限角,而kπ+<0.故选B.
答案:B
10.在△ABC中,若sinA·cosB·tanC<0,判断△ABC的形状.
解:0sinA·cosB·tanC<0,
∴cosB·tanC<0.
∴cosB与tanC异号.
∴B,C中只有一个角为钝角.
∴△ABC是钝角三角形.
11.若sin2α>0且cosα<0,试确定α所在的象限.
解:∵sin2α>0,∴2kπ<2α<2kπ+π(k∈Z).
∴kπ<α当k=2n(n∈Z)时,有2nπ<α<2nπ+(n∈Z),α为第一象限角.
当k=2n+1(n∈Z)时,有2nπ+π<α<2nπ+(n∈Z),α为第三象限角.
∴α为第一或第三象限角.
由cosα<0,可知α在第二或第三象限,或α终边在x轴的负半轴上.
综上,可知α在第三象限.
拓展探究
12.若tan(cosθ)·cot(sinθ)>0,试指出θ所在象限,并且用图形表示出所取值的范围.
解:由题意,知
∴
即θ在第一或第三象限.
若θ在第一象限,则的取值范围如图①所示;若θ在第三象限,则的取值范围如图②所示.(见阴影部分,不含边界)
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11.2.3 同角三角函数的基本关系式
知识点一：平方关系
1．若α是第四象限角，cosα＝，则sinα等于
A.
B．－
C.
D．－
2．化简的结果为
A．sin4＋cos4
B．sin4－cos4
C．cos4－sin4
D．－sin4－cos4
3．已知cosα＝，且tanα<0，则sinα的值为
A．±
B.
C．－
D．±
4．化简sin2α＋cos2αsin2α＋cos4α＝__________.
5．化简的值为__________．
知识点二：商数关系
6．已知sinα＝，α∈(0，π)，则tanα的值为
A.
B.
C．±
D．±
7．已知cosθ＝且<θ<2π，那么tanθ的值为
A.
B．－
C.
D．－
8．若tanα＝，则的值等于
A.
B．2
C．－
D.或
9．下列四个命题可能成立的是
A．sinα＝且cosα＝
B．sinα＝0且cosα＝－1
C．tanα＝1且cosα＝－1
D．tanα＝－1且sinα＝
10．已知α是第四象限角，tanα＝－，求sinα.
能力点一：利用基本关系式求值
11．若角α的终边落在直线y＝－x上，则＋的值等于
A．0
B．2
C．－2
D．2tanα
12．已知tanα＝－，则的值是
A.
B．3
C．－
D．－3
13．若sinx＋sin2x＝1，则cos2x＋cos4x＝__________.
14．(2010全国高考Ⅱ，文13)已知α是第二象限的角，tanα＝，则cosα＝__________.
15．已知＝2，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α－2sinαcosα＋1.
16．已知sinα＝，求tanα的值．
能力点二：利用基本关系式化简
17．使＝成立的α的范围是
A．{α|2kπ－π<α<2kπ，k∈Z}
B．{α|2kπ－π≤α≤2kπ，k∈Z}
C．{α|2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z}
D．只能是第三或第四象限的角
18．已知sinθ＋cosθ＝－1，则sin2
009θ＋cos2
009θ的值为__________．
19．化简下列各式．
(1)；
(2)(－)·(－)．
能力点三：利用基本关系式证明
20．求证：(1)tanα－＝；
(2)(1＋tanα)2＋(1－tanα)2＝.
21．求证：＝1＋tan2α＋sin2α.
22．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
23．已知在△ABC中，sinA＋cosA＝.
(1)求sinAcosA；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tanA的值．
答案与解析
基础巩固
1．B
2．C 原式＝|sin4－cos4|，而4>，由单位圆中的三角函数线得：sin43．C ∵cosα＝>0且tanα<0，
∴角α为第四象限角．
∴sinα＝－＝－.
4．1 原式＝sin2α＋cos2α(sin2α＋cos2α)＝sin2α＋cos2α＝1.
5．－1 原式＝
＝
＝＝－1.
6．C 由sin2α＋cos2α＝1，α∈(0，π)，
∴cosα＝±.
∴tanα＝＝±.
7．B
8．A ∵tanα＝，∴cosα≠0.
∴原式＝
＝＝＝.
9．B
10.解法一：由
解得sinα＝±.
又∵α为第四象限角，∴sinα＜0.
∴sinα＝－.
解法二：∵α是第四象限角，
∴sinα<0.
又∵tanα＝－，
∴可设α终边上一点坐标为(12，－5)，
∴sinα＝－.
能力提升
11．A 原式＝＋，当角α终边在y＝－x(x≥0)上时，cosα>0，sinα<0；
当角α终边在y＝－x(x<0)上时，cosα<0，sinα>0.
综上知，原式＝0.
12．C 原式＝
＝＝－.
13．1 由sinx＋sin2x＝1得sinx＝1－sin2x＝cos2x，
∴cos2x＋cos4x＝sinx＋sin2x＝1.
14．－ 由＝1＋tan2α得
＝1＋＝.
∴cos2α＝.
∵α是第二象限的角，
∴cosα<0.
∴cosα＝－.
15．解：由＝2，得sinα＝3cosα.
∴tanα＝3.
(1)解法一：原式＝
＝＝.
解法二：原式＝
＝＝＝.
(2)原式＝＋1
＝＋1
＝＋1＝.
16．解：∵sinα＝>0，
∴α是第一象限或第二象限的角．
若α是第一象限角，
则cosα>0，tanα>0.
∴cosα＝
＝＝，
tanα＝＝＝.
若α是第二象限角，
则cosα<0，tanα<0，
∴cosα＝－＝－，
tanα＝＝＝－.
17．A ∵＝＝，
∴sinα<0.故{α|2kπ－π<α<2kπ，k∈Z}．
18．－1 由sinθ＋cosθ＝－1，平方得：sin2θ＋cos2θ＋2sinθcosθ＝1，
又∵sin2θ＋cos2θ＝1，
∴sinθcosθ＝0，sinθ＝0或cosθ＝0.
又∵sinθ＋cosθ＝－1，
∴θ的终边在x轴非正半轴或y轴非正半轴上．
当θ的终边在x轴非正半轴上时，sin2
009θ＋cos2
009θ＝－1；
当θ的终边在y轴非正半轴上时，sin2
009θ＋cos2
009θ＝－1.
综上所述：sin2
009θ＋cos2
009θ＝－1.
19．解：(1)∵1－2sin20°cos20°＝sin220°＋cos220°－2sin20°·cos20°
＝(sin20°－cos20°)2，
∴原式＝
＝＝－1.
(2)原式＝[－]·[－]
＝·
＝
＝
＝
20．证明：(1)左边＝－＝
＝＝＝右边，
∴原题得证．
(2)左边＝(1＋)2＋(1－)2
＝＋
＝
＝＝右边，
∴原题得证．
21．证法一：作差：因为－(1＋tan2α＋sin2α)
＝－(1＋＋sin2α)
＝
＝
＝＝0.
所以
＝1＋tan2α＋sin2α.
证法二：左边＝
＝＝＋sin2α
＝＋sin2α
＝1＋tan2α＋sin2α＝右边，
所以原等式成立．
22．证明：∵tan2α＝2tan2β＋1，
∴＝＋1＝
＝，
∴＝，
∴sin2α(1－sin2β)＝(1－sin2α)(1＋sin2β)
∴sin2β＝2sin2α－1.
拓展探究
23．解：(1)由sinA＋cosA＝，
可得(sinA＋cosA)2＝，
∴sinAcosA＝－.
(2)∵A∈(0，π)且sinAcosA<0，
∴A∈(，π)．
∴△ABC是钝角三角形．
(3)∵A∈(，π)，
∴sinA－cosA>0.
∴sinA－cosA＝
＝
＝＝.
由
解得sinA＝，cosA＝－.
∴tanA＝＝－.
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11.2.4
诱导公式
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.sin（）+2sin+3sin等于（
）
A.1
B.
C.0
D.-1
解析：原式=-sin+2sin（π+）+3sin（+）
=--2×+3×cos=+3×=0.
答案：C
2.化简为（
）
A.-cos80°
B.-sin80°
C.cos80°
D.sin80°
解析：原式==｜cos460°｜=｜cos（360°+100°）｜
=｜cos100°｜=-cos（90°+10°）=sin10°=cos80°.
答案：C
3.sin（π-2）-cos（-2）化简的结果为（
）
A.0
B.-1
C.2sin2
D.-2sin2
解析：原式=-sin（-2）-sin2=sin2-sin2=0.
答案：A
4.已知a=tan（），b=cos，c=sin（），则a、b、c的大小关系是_____________.
解析：a=-tan（π+）=-tan=，b=cos（6π-）=cos=，c=-sin（8π+）=，而＞＞，∴b＞a＞c.
答案：b＞a＞c
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.cos225°+tan240°+sin（-60°）+tan（-60°）的值是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：原式=cos（180°+45°）+tan（180°+60°）-sin60°-tan60°=-cos45°+tan60°-sin60°-tan60°
=-cos45°-sin60°=.
答案：A
2.在△ABC中，下列等式一定成立的是（
）
A.sin=-cos
B.sin（2A+2B）=-cos2C
C.sin（A+B）=-sinC
D.sin（A+B）=sinC
解析：在△ABC中,A+B+C=π，所以sin（A+B）=sin（π-C）=sinC.,所以sin=sin()=cos.2A+2B+2C=2π,所以sin(2A+2B)=sin(2π-2C)=2sin2C.
答案：D
3.已知sin（π-α）=log8，且α∈（，0），则tan（2π-α）的值为（
）
A.
B.
C.±
D.
解析：因为sin（π-α）=log8=，所以sinα=.而α∈（，0），所以cosα==，tanα==.所以tan（2π-α）=-tanα=.
答案：B
4.化简：+sin（-θ）的结果为（
）
A.0
B.1
C.2
D.
解析：原式=
-sinθ=sinθ-sinθ=0.
答案：A
5.已知tan（-2α）=m（m≠0），则cot（2α+）的值为_______________.
解析：cot（2α+）=cot［π-（-2α）］=-cot（-2α）=.
答案：
6.设f（x）=
求g()+f()+g()+f()的值.
解：原式=cos+f（）+1+g（）+1+f（）+1=+sin（）+cos（）+sin（）+3=-++3=3.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.(2006北京西城5月抽样,1)sin600°+tan240°的值是（
）
A.
B.
C.+
D.+
解析：sin600°+tan240=-sin120°+tan60°=+=.
答案：B
2.已知sin（π+α）=，则cos（2π-α）的值等于（
）
A.或
B.
C.
D.
解析：由sin（π+α）=，即sinα=,又cos（2π-α）=cosα，故当α属于第一象限时，cosα==；当α属于第二象限时，cosα==-.
答案：A
3.如果角α与β的终边关于y轴对称，则下列等式恒成立的是（
）
A.sin（α+π）=sinβ
B.sin（α-π）=sinβ
C.sin（2π-α）=-sinβ
D.sin（-α）=sinβ
解析：由对称性可知存在k∈Z，使得α=2kπ+π-β.故sin（α+π）=sin（2kπ+2π-β）=-sinβ，sin（α-π）=sin（2kπ-β）=-sinβ，sin（2π-α）=sin（2π-2kπ-π+β）=-sinβ，sin（-α）=sin（-2kπ-π+β）=-sinβ.
答案：C
4.sinsinsinsin…sin的值等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：原式=sin（π-）sin（2π-）…sin（200π-）=（）（-）（）（-）…（）（-）=（-1）100（）200=.
答案：C
5.化简tan（27°-α）·tan（49°-β）·tan（63°+α）·tan（139°-β）的结果为（
）
A.1
B.-1
C.2
D.-2
解析：原式=tan（27°-α）·tan（49°-β）·tan［90°-（27°-α）］·tan［90°+（49°-β）］=tan（27°-α）·cot（27°-α）·tan（49°-β）·［-cot（49°-β）］=-1.
答案：B
6.已知函数f（x）=cos，则下列等式成立的是（
）
A.f（2π-x）=f（x）
B.f（2π+x）=f（x）
C.f（-x）=f（x）
D.f（-x）=-f（x）
解析：f（-x）=cos（）=cos=f（x）.
答案：C
7.(2006高考上海卷,理6)如果cosα=，且α是第四象限的角，那么cos(α+)=___________.
解析：∵cosα=，且α是第四象限的角，
∴sinα=.
∴cos(α+)=-sinα=.
答案：
8.已知f（x）=，若α∈（，π），则f（cosα）+f（-cosα）可化简为______________.
解析：f（cosα）+f（-cosα）=.
而α∈（，π），所以f（cosα）+f（-cosα）=.
答案：
9.sin,cos,tan从小到大的顺序是_____________________.
解析：因为＜＜π，所以cos＜0.而tan=tan（π+）=tan，0＜＜，所以sin＜tan.故cos＜sin＜tan.
答案：cos＜sin＜tan
10.已知sin（π-α）-cos（π+α）=，α∈（，π），试求：
（1）sinα-cosα；
（2）sin3（+α）+cos3（+α）.
解：（1）由sin（π-α）-cos（π+α）=sinα+cosα，故sinα+cosα=.两边平方并整理得sinαcosα=.又由α∈（，π），∵α∈(,π),sinα＞cosα,∴sinα-cosα=
.
（2）sin3（+α）+cos3（+α）=cos3α-sin3α=（cosα-sinα）（cos2α+
sinαcosα+sin2α）=（）×（）=.
11.函数y=（a-b）sin2x+cos2x的值恒等于2，求a、b的值.
解：由（a-b）sin2x+cos2x=2，
两边同除以cos2x，得（a-b）tan2x+=2（1+tan2x），
（a-b-2）tan2x=（4-a-b）.
因上式为恒等式，即对任意x上式都成立，故需
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1诱导公式(2)
1．若sin(π＋α)＝，α∈，则tan
α等于( )
A．
B．
C．
D．
2．如果角α与β的终边关于y轴对称，则下列等式恒成立的是( )
A．sin(α＋π)＝sin
β
B．sin(α－π)＝sin
β
C．sin(2π－α)＝－sin
β
D．sin(－α)＝sin
β
3．化简tan(27°－α)·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(139°－β)的结果为( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
4．已知，则的值为( )
A．
B．
C．k
D．－k
5．已知，那么的值等于( )
A．
B．
C．
D．
6．如果，且α是第四象限的角，那么__________.
7．将，，按从小到大的顺序排列是__________．
8．若，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(2
011)＋f(2
013)＝__________.
9．在△ABC中，A，B，C是三个内角．
求证：(1)cos
A＝－cos(B＋C)；
(2).
10．已知sin
α，cos
α是关于x的二次方程2x2＋(＋1)x＋m＝0的两个根，试求的值．
参考答案
1．解析：由条件可知，，α∈，
所以.
所以.
答案：D
2．解析：由对称性可知存在k∈Z，使得α＝2kπ＋π－β.故sin(α＋π)＝sin(2kπ＋2π－β)＝－sin
β，sin(α－π)＝sin(2kπ－β)＝－sin
β，sin(2π－α)＝sin(2π－2kπ－π＋β)＝－sin
β，sin(－α)＝sin(－2kπ－π＋β)＝－sin
β.
答案：C
3．解析：原式＝tan(27°－α)·tan(49°－β)·tan[90°－(27°－α)]·tan[90°＋(49°－β)]＝tan(27°－α)·cot(27°－α)·tan(49°－β)·[－cot(49°－β)]＝－1.
答案：B
4．解析：设＋α＝θ，则sin
θ＝k.
＝·cos(2π－θ)＝·cos
θ
＝－sin
θ＝－k.
答案：D
5．解析：∵，
∴.
∴
＝
＝
＝.
答案：A
6．解析：∵，且α是第四象限的角，
∴.
∴.
答案：
7．解析：因为，
所以.
而，
因为，
所以.
故.
答案：
8．答案：
9．证明：(1)∵A＋B＋C＝π，
∴A＝π－B－C．
∴cos
A＝cos[π－(B＋C)]＝－cos(B＋C)．
(2)∵A＋B＋C＝π，
∴，
∴.
10．解：利用诱导公式可得，
＝
＝
＝
＝.
由韦达定理得sin
α＋cos
α＝，①
，②
且Δ＝(＋1)2－8m≥0.③
①2－2×②得1＝－m，
解得符合③式．
于是，.
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1三角函数的定义
1．(2012·天津测试)若sin
α＜0且tan
α＞0，则α的终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．下列说法中，正确的个数是( )
①与角的终边相同的角有有限个；
②sin
20°＜0；
③cos
260°＞0；
④tan
120°＞0.
A．0
B．1
C．2
D．3
3．当(k∈Z)时，的取值为( )
A．M≥0
B．M＞0
C．M＜0
D．M可正可负
4．已知cos
α＝m,0＜|m|＜1，且，则角α的终边在( )
A．第一或第二象限
B．第三或第四象限
C．第一或第四象限
D．第二或第三象限
5．若α是第二象限的角，则sin
2α，，tan
2α，中必取正数的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
6．sin
0°＋cos
90°＋tan
180°＋2
010cos
0°＋2tan
45°＝__________.
7．函数的定义域是__________．
8．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且，则y＝__________.
9．已知角α的终边所在的直线与函数y＝3x的图象重合，求α的六个三角函数值．
10．证明恒等式.
参考答案
1．答案：C
2．答案：A
3．解析：因为，k∈Z，所以角α的终边不落在坐标轴上．设角α终边上任意一点的坐标为P(x，y)，xy≠0，OP＝r(r＞0)，由任意角的三角函数的定义，知，，，，故.
答案：B
4．解析：因为cos
α＝m,0＜|m|＜1，所以角α的终边不会落在坐标轴上．又因为，所以cos
α与tan
α同号，所以角α的终边在第一或第二象限．
答案：A
5．解析：∵2kπ＋＜α＜2kπ＋π，k∈Z，∴4kπ＋π＜2α＜4kπ＋2π，kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，∴2α是第三或第四象限的角，是第一或第三象限的角，∴只有.故选B．
答案：B
6．解析：原式＝0＋0＋0＋2
010×1＋2＝2
012.
答案：2
012
7．解析：依题意得即
故x的取值范围是2kπ＋≤x≤2kπ＋π(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
8．解析：因为，
所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.
答案：－8
9．解：函数y＝3x的图象是过原点O和一、三象限的直线．
若α的终边在第一象限的射线上，
∵三角函数值与点在终边上的位置无关，
∴可在射线上取点P(1,3)，，
∴，，tan
α＝3，
，，.
若α的终边落在第三象限的射线上，同理可取点P(－1，－3)，
又，得，，tan
α＝3，，，.
10．证明：设M(x，y)为角α终边上异于原点O的一点，OM＝r，由三角函数的定义，有，，，.
∴原式左边＝
＝
＝
＝1＋1＝2＝等式右边．
∴原等式成立．
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11.2.1
三角函数的定义
自我小测
1．若角α的终边经过点P(－b,4)，且cos
α＝－，则b的值为( )
A．3
B．－3
C．±3
D．5
2．若角α的终边在直线y＝2x上，则sin
α等于( )
A．±
B．±
C．±
D．±
3．下列各式为正号的是( )
A．cos2－sin
2
B．cos
2·sin
2
C．tan
2·cos
2
D．sin
2·tan
2
4．已知cos
α＝m,0<|m|<1，且tan
α＝，则角α的终边在( )
A．第一或第二象限
B．第三或第四象限
C．第一或第四象限
D．第二或第三象限
5．若α是第二象限的角，则sin
2α，sin，tan
2α，tan
中必取正数的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
6．终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos
α≤0，sin
α>0，则a的取值范围是__________．
7．已知点P(3，y)在角α的终边上，且满足y<0，cos
α＝，则tan
α的值为__________．
8．函数y＝的定义域是__________．
9．已知角θ的终边上有一点P(－，m)，且sin
θ＝m，求cos
θ与tan
θ的值．
10．根据任意角的三角函数的定义证明：＝．
参考答案
1．解析：因为r＝，所以＝－．
所以b＝3．
答案：A
2．解析：由角α的终边在直线y＝2x上得tan
α＝2，
故sin
α＝±．故选C．
答案：C
3．解析：因为cos
2<0，sin
2>0，tan
2<0，所以tan
2·cos
2>0．
答案：C
4．解析：因为cos
α＝m,0<|m|<1，所以角α的终边不会落在坐标轴上．又因为>0，所以cos
α与tan
α同号，所以角α的终边在第一或第二象限．
答案：A
5．答案：B
6．解析：因为≤0，
>0，所以x≤0，y>0，
即所以－2答案：(－2,3]
7．解析：因为＝，y<0，
所以y＝－4．所以tan
α＝－．
答案：－
8．解析：函数定义域为
即
解得x≠kπ＋，k∈Z．
答案：
9．解：由已知，得m＝，解得m＝0，或m＝±．
(1)当m＝0时，cos
θ＝－1，tan
θ＝0；
(2)当m＝时，cos
θ＝－，tan
θ＝－；
(3)当m＝－时，cos
θ＝－，tan
θ＝．
10．解：由三角函数定义，有
左边＝＝
＝
＝
＝
＝＝；
右边＝＝．左边＝右边．
所以原式成立．
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1诱导公式(1)
1．sin(－390°)的值等于( )
A．
B．
C．
D．
2．给出下列各函数值：
①sin(－1
000°)；②cos(－2
200°)；③tan(－10)；④.
其中符号为负的是( )
A．①
B．②
C．③
D．④
3．等于( )
A．sin
2－cos
2
B．sin
2＋cos
2
C．±(sin
2－cos
2)
D．cos
2－sin
2
4．已知780°角的终边上有一点P(a,3)，则a的值为( )
A．
B．
C．
D．
5．已知函数f(x)＝，则下列等式成立的是( )
A．f(2π－x)＝f(x)
B．f(2π＋x)＝f(x)
C．f(－x)＝f(x)
D．f(－x)＝－f(x)
6．tan
2
010°＝__________.
7．(n∈Z)的值为__________．
8．的值等于__________．
9．求证：.
10．设
求的值．
参考答案
1．答案：D
2．答案：C
3．答案：A
4．答案：A
5．解析：f(－x)＝＝＝f(x)．
答案：C
6．答案：
7．解析：.
答案：
8．解析：
＝
＝(－1)100×＝.
答案：
9．证明：原式左边＝＝tan
α＝右边．
故原等式成立．
10．解：
＝
＝.
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11.2.2
单位圆与三角函数线
自我小测
1．若角α的正切线位于第一象限，则角α是( )
A．第一象限的角
B．第一、二象限的角
C．第三象限的角
D．第一、三象限的角
2．下列不等式中，成立的是( )
A．sin>sin
B．cosC．cos
4>cos
D．tan
3．若θ∈，则sin
θ＋cos
θ的一个可能值是( )
A．
B．
C．
D．1
4．如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，我们把叫做α的正割，记作sec
α；把叫做α的余割，记作csc
α，则＝( )
A．－
B．
C．－
D．
5．已知sin
α>sin
β，那么下列命题成立的是( )
A．若α，β是第一象限的角，则cos
α>cos
β
B．若α，β是第二象限的角，则tan
α>tan
β
C．若α，β是第三象限的角，则cos
α>cos
β
D．若α，β是第四象限的角，则tan
α>tan
β
6．利用三角函数线求cos
2
040°的函数值是__________．
7．已知集合E＝{θ|cos
θθ，0≤θ<2π}，F＝{θ|tan
θθ，0≤θ<2π}，则E∩F＝__________．
8．求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝lg(3－4sin2x)．
9．利用三角函数线证明：若0<α<β<，则有β－α>sin
β－sin
α．
参考答案
1．解析：由正切线的定义知，当角α是第一、三象限的角时，正切线都在第一象限．
答案：D
2．答案：B
3．解析：由θ∈，知sin
θ＋cos
θ>1，四个选项中仅有>1，故选C．
答案：C
4．答案：A
5．答案：D
6．答案：－
7．答案：
8．解：(1)如图甲，
因为2cos
x－1≥0，所以cos
x≥．
所以x∈
(k∈Z)．
(2)如图乙，因为3－4sin2x>0，
所以sin2x<．
所以－x<．
所以x∈∪
(k∈Z)．
9．证明：如图，单位圆O与x轴正半轴交于点A，与角α，β的终边分别交于点Q，P，过点P，Q分别作OA的垂线，设垂足分别是M，N，则由三角函数定义可知：sin
α=NQ，sin
β=MP．
作QH⊥MP于点H，
则HP=MP-NQ=sin
β-sin
α．
由直观图可知HP<=-=β-α，
即β-α>sin
β-sin
α．
PAGE
11.2.2 单位圆与三角函数线
知识点一：单位圆与三角函数线
1．下列判断中错误的是
A．α一定时，单位圆中的正弦线一定
B．单位圆中，有相同正弦线的角相等
C．α和2π＋α具有相同的正切线
D．具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上
2．已知角α的终边和单位圆的交点为P，则点P的坐标为
A．(sinα，cosα)
B．(cosα，sinα)
C．(sinα，tanα)
D．(tanα，sinα)
3．如图，在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是
A．正弦线P，正切线
B．正弦线M，正切线
C．正弦线M，正切线
D．正弦线P，正切线A
4．对三角函数线，下列说法正确的是
A．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线
B．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在
C．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在
D．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在
5．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边在__________.
知识点二：三角函数线的简单应用
6．依据三角函数线，作出如下四个判断：
①sin＝sin；②cos(－)＝cos；③tan>tan；④sin>sin.其中判断正确的有
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．在(0,2π)内，使sinα>cosα成立的α的取值范围为
A．(，)∪(π，)
B．(，π)
C．(，)
D．(，π)∪(，)
8．若角α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是
A．sinα＋cosα
B．tanα＋sinα
C．cosα－tanα
D．sinα－tanα
9．借助三角函数线比较下列各组值的大小．(由大到小排列)
(1)sin，sin，sin：__________；
(2)cos，cos，cos：__________；
(3)tan，tan，tan：__________.
10．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
(1)；(2)－.
能力点一：利用三角函数线比较三角函数值大小
11．如果0<α<，那么下列不等式成立的是
A．cosαB．tanαC．sinαD．cosα12．若－<α<－，从单位圆中的三角函数线观察sinα，cosα，tanα的大小是__________．
13．用三角函数线比较sin1和cos1的大小结果是__________．
能力点二：利用三角函数线确定角的范围
14．使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是
A．[－，]
B．[－，]
C．[－，]
D．[0，π]
15．角α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为
A.或
B.或
C.或
D.或
16．y＝的定义域为__________．
17．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合：
(1)sinα≥；(2)cosα≤－.
能力点三：三角函数线的综合应用
18．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限内，若α∈[0,2π)，求α的取值范围．
19．当α＝3
rad时，利用三角函数线分析点P(sin3－cos3，sin3＋cos3)在第几象限．
20．求函数y＝＋lg(2cosx－1)的定义域．
21．利用三角函数线证明若0<α<β<，则有β－α>sinβ－sinα.
答案与解析
基础巩固
1．B 2.B 3.C 4.D 5.y轴上
6．B 分别作出各个角的三角函数线，由图知sin＝－sin，cos(－)＝cos，tansin，故②④正确．
7．C 当α的终边在直线y＝x上时，直线y＝x与单位圆的交点为(，)，(－，－)．
此时，α＝和，如图所示．
当α∈(，)时，恒有MP>OM，
而当α∈(0，)∪(，2π)时，
则有MP8．B 如下图，作出sinα、cosα、tanα的三角函数线，显然△OPM∽△OTA，且|MP|<|AT|，
∵MP>0，AT<0，
∴MP<－AT.
∴MP＋AT<0，即sinα＋tanα<0.
9．(1)sin>sin>sin
(2)cos>cos>cos
(3)tan>tan>tan
10．解：作图如下．
(1)
所以，的正弦线为M，余弦线为O，正切线为A.
(2)
所以，－的正弦线为M，余弦线为O，正切线为A.
能力提升
11．C
12．tanα>cosα>sinα
13．sin1>cos1
14．A
15．C
16．[2kπ－，2kπ＋](k∈Z) 由函数有意义，x需满足1＋2cosx≥0，即cosx≥－.
根据单位圆中的三角函数线，可得满足条件的角x的范围是2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
17．解：(1)作直线y＝交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)作直线x＝－交单位圆于C、D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
18．解：∵点P在第一象限内，
∴
∴
结合单位圆(如图所示)中三角函数线且0≤α<2π，
可知<α<或π<α<.
19．解：因为<3<π，作出单位圆如图所示，
设M，O的数量分别为a，b，
所以sin3＝a>0，cos3＝b<0，所以sin3－cos3>0.
因为|MP|<|OM|，即|a|<|b|，
所以sin3＋cos3＝a＋b<0.
故当α＝3
rad时，P(sin3－cos3，sin3＋cos3)在第四象限．
20．解：由题意知
2kπ－≤x<2kπ＋(k∈Z)．
sinx≥－，cosx>的解如图阴影部分．
故所求函数的定义域为{x|2kπ－≤x<2kπ＋，k∈Z}．
拓展探究
21．证明：如图，单位圆O与x轴正半轴交于点A，与角α、β的终边分别交于点Q、P，过P、Q分别作OA的垂线，设垂足分别是M、N，则由三角函数定义可知：
sinα＝NQ，sinβ＝MP.
过点Q作QH⊥MP于H，
则HP＝MP－NQ＝sinβ－sinα.
由图可知HP<－＝β－α，
即β－α>sinβ－sinα.
PAGE
11.2.3
同角三角函数的基本关系式
自我小测
1．已知cos
θ＝，且<θ<2π，那么的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
2．化简的值为( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
3．已知tan
α＝m，则sin
α＝( )
A．m
B．±m
C．±
D．－
4．若sin
αcos
α＝，且<α<，则cos
α－sin
α的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
5．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值等于( )
A．2
B．－2
C．1
D．0
6．若－＝－1，则α是第__________象限的角．
7．若tan
α＝，则sin
αcos
α的值为__________．
8．若非零实数m，n满足tan
α－sin
α＝m，tan
α＋sin
α＝n，则cos
α等于__________．
9．证明：
(1)
－＝sin
α＋cos
α；
(2)(2－cos2α)(2＋tan2α)＝(1＋2tan2α)(2－sin2α)．
10．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin
θ和cos
θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)m的值；
(2)方程的两根及此时θ的值．
参考答案
1．解析：由sin2θ＋cos2θ＝1，得sin
θ＝±．
因为<θ<2π，故sin
θ<0，
所以sin
θ＝－＝－，
所以tan
θ＝＝－．
所以＝－．
答案：D
2．答案：B
3．答案：D
4．解析：(cos
α－sin
α)2＝cos2α－2sin
αcos
α＋sin2α
＝1－＝，
又因为sin
α>cos
α，所以cos
α－sin
α＝－．
答案：B
5．答案：D
6．答案：四
7．答案：
8．答案：
9．证明：(1)左边＝－
＝－
＝－
＝sin
α＋cos
α＝右边．
故原式成立．
(2)因为左边＝4＋2tan2α－2cos2α－sin2α
＝2＋2tan2α＋2sin2α－sin2α
＝2＋2tan2α＋sin2α，
右边＝(1＋2tan2α)(1＋cos2α)
＝1＋cos2α＋2tan2α＋2sin2α
＝2＋2tan2α＋sin2α，
所以左边＝右边，原式成立．
10．解：由根与系数的关系，可知
(1)由①式平方得1＋2sin
θcos
θ＝，
所以sin
θcos
θ＝．
综合②得＝，所以m＝．
由③得m≤＝，而<，
所以m＝．
(2)当m＝时，原方程变为2x2－(＋1)x＋＝0，解得x1＝，x2＝．
所以或
又因为θ∈(0,2π)，所以θ＝或θ＝．
PAGE
11.2.3
同角三角函数的基本关系式
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.已知sinα=,α∈（0,π），则tanα的值等于（
）
A.
B.
C.±
D.±
解析：由sin2α+cos2α=1，α∈（0,π），
∴cosα=±=±.
∴tanα==±.
答案：C
2.已知cosθ=，且＜θ＜2π，那么的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由sin2θ+cos2θ=1，得sinθ=±.
因为＜θ＜2π，故sinθ＜0,所以sinθ==,tanθ==.
答案：D
3.若tanα=t（t≠0），且sinα=，则α是（
）
A.第一、二象限角
B.第二、三象限角
C.第三、四象限角
D.第一、四象限角
解析：由tanα=得cosα=，所以cosα=＜0，故α是第二、三象限角.
答案：B
4.若tanα=2，则（1）cos2α=________________；（2）sin2α-cos2α=________________.
解析：（1）由题意和基本三角恒等式，列出方程组
由②得sinα=2cosα,代入①，整理得5cos2α=1，cos2α=.
（2）由（1）得sin2α=1-=,
所以sin2α-cos2α=-=.
答案：（1）
(2)
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知sinα=，并且α是第二象限角，那么tanα的值等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由sin2α+cos2α=1，α是第二象限角，得cosα=.
∴tanα==.
答案：B
2.如果角x的终边位于第二象限，则函数y=的值可化简为（
）
A.1
B.2
C.0
D.-1
解析：利用同角基本关系式sin2x+cos2x=1以及x属于第二象限，有y==1-1=0.
答案：C
3.如果角α满足关系式=1，则角α的终边位于（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：由已知条件有sinα|sinα|-cosα|cosα|=1，故sinα＞0且cosα＜0.所以α属于第二象限.
答案：B
4.化简得到的结果是___________________.
解析：因为＜＜π，所以是第二象限角,cos＜0,
所以=｜cos｜=-cos.
答案：-cos
5.已知2sinα-cosα=sinα，那么cosα=_________________.
解析：由2sinα-cosα=sinα，得（2-）sinα=cosα，sinα=（2+）cosα，由sin2α+cos2α=1，得（2+）2cos2α+cos2α=1，解之,得cosα=±.
答案：±
6.化简:.
解：原式=［］·［］
=（）·（）=
=
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.设sin=，且α是第二象限角，则tan等于（
）
A.
B.
C.±
D.±
解析：∵α是第二象限角，∴2kπ+＜α＜2kπ+π（k∈Z），kπ+＜＜kπ+（k∈Z）.∴是第一、三象限角.而sin=＞0，∴是第一象限角，由sin2+cos2=1，得cos=，∴tan.
答案：A
2.已知tanx=，其中0＜a＜1，x是三角形的一个内角，则cosx的值为（
）
A.
B.
C.
D.±
解析：∵0＜a＜1,∴＜0.∴x是第二、四象限角.又x是三角形的一个内角,
∴x是第二象限角.由题意和基本三角恒等式，得到方程组
解得cos2x=（）2，∴cosx=.
答案：C
3.如果tanθ=2，那么sin2θ+sinθ·cosθ+cos2θ的值是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由题意和基本三角恒等式，得到方程组
∴cos2θ=.
∴sin2θ+sinθ·cosθ+cos2θ=1+2cos2θ=.
答案：B
4.如果sinα+cosα=1，则sinnx+cosnx（n∈Z）的值为（
）
A.-1
B.1
C.1或-1
D.2
解析：由sinα+cosα=1，则（sinα+cosα）2=1，故sinαcosα=0.若sinα=0，则cosα=1.这时sinnα+cosnα=1；若cosα=0，则sinα=1，这时也有sinnα+cosnα=1.
答案：B
5.若｜sinθ｜=，＜θ＜5π，则tanθ的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：因为＜θ＜5π，即4π+＜θ＜4π+π,所以θ是第二象限角，sinθ=.所以cosθ=,tanθ=,应选C项.
答案：C
6.化简的值为（
）
A.1
B.-1
C.2
D.-2
解析：原式=
=-1.
答案：B
7.已知=2，则（cosθ+3）·（sinθ+1）的值为（
）
A.4
B.0
C.2
D.0或4
解析：由=2得1-cos2θ+4=2cosθ+2,整理得cos2θ+2cosθ-3=0，解得cosθ=1或cosθ=-3（舍去），所以sinθ=±=0.所以（cosθ+3）·（sinθ+1）=4.
答案：A
8.(2006高考重庆卷,文13)已知sinα=＜α＜π，则tanα=_______________.
解析：由sinα=，＜α＜π可得cosα=，tanα=-2.
答案：-2
9.已知sinθ+cosθ=,θ∈（0，π），则cotθ的值是_____________.
解析：因为sinθ+cosθ=，两边平方，得1+2sinθ·cosθ=，所以2sinθ·cosθ=.
①
因为θ∈（0，π），所以cosθ＜0＜sinθ.由于（sinθ-cosθ）2=1-2sinθ·cosθ=，所以sinθ-cosθ=.②
联立①②，解得sinθ=，cosθ=，所以cotθ=.
答案：
10.（1）已知sinθ=，求的值.
（2）已知5sinθ+12cosθ=0，求的值.
解：（1）原式=
=.
（2）由5sinθ+12cosθ=0，得tanθ=＜0，故θ角在第二或第四象限，当θ在第二象限时，cosθ=，当θ在第四象限时，cosθ=，
∴原式=.
11.若tanα、tanβ是方程x2-2（log872+log972）x-log872·log972=0的两个根，
求sinα·cosβ+cosα·sinβ+2sinα·sinβ的值.
解：由定理得
而log872+log972=
=log872·log972.
所以tanα+tanβ=2log872·log972.
所以sinα·cosβ+cosα·sinβ+2sinα·sinβ
=cosα·sinβ（tanα+tanβ+2tanα·tanβ）
=cosα·sinβ（2log872·log972-2log872·log972）=0.
PAGE
1单位圆与三角函数线
1．若角α的正切线位于第一象限，则角α是( )
A．第一象限的角
B．第一、二象限的角
C．第三象限的角
D．第一、三象限的角
2．下列命题中，正确的是( )
A．三角形的内角必是第一或第二象限的角
B．角α的终边在x轴上时，角α的正弦线、正切线分别变成了一个点
C．终边在第二象限的角是钝角
D．终边相同的角必然相等
3．若θ∈，则sin
θ＋cos
θ的一个可能值是( )
A．
B．
C．
D．1
4．如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，我们把叫做α的正割，记作sec
α；把叫做α的余割，记作csc
α，则( )
A．
B．
C．
D．
5．已知sin
α＞sin
β，那么下列命题成立的是( )
A．若α，β是第一象限的角，则cos
α＞cos
β
B．若α，β是第二象限的角，则tan
α＞tan
β
C．若α，β是第三象限的角，则cos
α＞cos
β
D．若α，β是第四象限的角，则tan
α＞tan
β
6．利用三角函数线求cos
2
040°的函数值是__________．
7．设集合，集合，则M∩N＝__________.
8．在(0,2π)内，使sin
x＞cos
x成立的x的取值范围为__________．
9．当α＝3
rad时，利用三角函数线分析点P(sin
3－cos
3，sin
3＋cos
3)所在的象限．
10．已知关于x的方程(2sin
α－1)x2－4x＋4sin
α＋2＝0有两个不相等的正根，试求角α的取值范围．
参考答案
1．解析：由正切线的定义知，当角α是第一、三象限的角时，正切线都在第一象限．
答案：D
2．解析：当三角形的一个内角为90°时，这个内角不是象限角，故选项A不正确；选项B正确；终边在第二象限的角的范围是，k∈Z，故选项C不正确；终边相同的角不一定相等，它们相差2π的整数倍，故选项D不正确．故选B．
答案：B
3．解析：由θ∈，结合三角函数线的知识知sin
θ＋cos
θ＞1，四个选项中仅有，故选C．
答案：C
4．答案：A
5．解析：利用三角函数线依次判断．
答案：D
6．答案：
7．解析：如图所示，画出单位圆，并分别作，两条直线，根据三角函数线的特点知，θ的终边与单位圆的交点坐标应满足且，只有图中阴影部分满足条件，故M∩N＝.
答案：
8．解析：在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在(0,2π)内，sin
x＞cos
x，则x∈.
答案：
9．
解：因为＜3＜π，所以作出单位圆及角α＝3的正弦线和余弦线，如图所示．
设，的数量分别为a，b，
所以sin
3＝a＞0，cos
3＝b＜0.
所以sin
3－cos
3＞0.
因为|MP|＜|OM|，
即|a|＜|b|，
所以sin
3＋cos
3＝a＋b＜0.
故当α＝3
rad时，P(sin
3－cos
3，sin
3＋cos
3)在第四象限．
10．解：设方程的两根为x1，x2，根据题意列方程组得
即
化简得
故.
如图，利用三角函数线，可知α的取值范围是∪.
PAGE
11.2.2
单位圆与三角函数线
课后导练
基础达标
1.若角α终边上有一点P（-2，0），则下列函数值不存在的是（
）
A.sinα
B.cosα
C.tanα
D.cotα
答案：D
2.若角θ的终边过点P（a,8）且cosθ=，则a的值是（
）
A.6
B.-6
C.10
D.-10
解析：由任意角的三角函数定义可知,解得a=±6.显然a=6时不成立,
所以a=-6.
答案：B
3.若角α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是（
）
A.sinα+cosα
B.tanα+sinα
C.cosα-tanα
D.sinα-tanα
解析：如右图，作出sinα、cosα、tanα的三角函数线，显然△OPM∽△OTA,且|MP|<|AT|，
∵MP>0,AT<0,
∴MP<-AT.
∴MP+AT<0，
即sinα+tanα<0.
答案：B
4.已知sinθ·cosθ<0，且|cosθ|=cosθ,则P（tanθ,secθ）一定在（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：∵sinθ·cosθ<0且|cosθ|=cosθ,
∴sinθ<0,cosθ>0,即<0,>0.
∴y<0,x>0.
∴tanθ=<0,secθ=>0,
即点P（tanθ,secθ）在第二象限.
答案：B
5.如右图，你从图中可读出什么信息？
（1）P点的坐标是_________；
（2）若Q点坐标是（-,），那么∠xOQ=_________rad,G点坐标为_________.
答案：（1）（,）
(2)
(,-)
6.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段,那么角α的终边在_________上.
解析:正弦线的长度为1,所以α的终边应在y轴上.
答案:y轴
7.不等式cosα≤的解集为_________.
解析:画出单位圆,然后画出直线y=,从图形中可以看出.
答案:［2kπ+,2kπ+］(k∈Z)
8.判定下列各式的符号.
(1)tan250°·cot(-350°);
(2)sin105°·cos230°;
(3)tan191°-cos191°;
(4)csc320°·sec820°.
解:(1)∵tan250°>0,cot(-350°)>0,
∴tan250°·cot(-350°)>0.
(2)∵sin105°>0,cos230°<0,
∴sin105°·cos230°<0.
(3)∵tan191°>0,cos191°<0,
∴tan191°-cos191°>0.
(4)∵csc320°<0,sec820°<0,
∴csc320°·sec820°>0.
综合运用
9.根据下图回答下列问题：
（1）在图（a）中，390°角的正弦值是________，P点坐标为________；
（2）在图（b）中，-30°角的正弦值是________，P点坐标是________；
（3）sin(+)=________;
(4)sin(π+)=________.
答案：(1)
(,)
(2)-
(,-)
(3)
(4)-
10.在半径为30
m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为120°,若光源恰好照亮整个广场,则其高度应为________
m(精确到0.1
m).
解析:如图,△AOB为圆锥的轴截面,顶角为120°,底面半径为30
m,依三角函数定义,cot60°=,即h=AD·cot60°=30×=≈17.3(m).
答案:17.3
11.设θ∈［0，2π］，利用三角函数线求θ的取值范围.
（1）tanθ>-1;
(2)cosθ<;
(3)-≤sinθ<.
解：如图（1）tanθ>-1θ∈［0,)∪(,)∪(,2π).
(2)cosθ<θ∈(,).
(3)-≤sinθ<θ∈［0，)∪(,］∪［,2π］.
拓展探究
12.设角α=x(rad),且0解:(1)不妨取x=,于是x=,sinx=,tanx=1,显然sinx(2)如图,设角α的终边与单位圆交于点P,单位圆与x轴的正半轴的交点为A,过A点作圆的切线交OP的延长线于点T,连结AP,则sinx=MP,tanx=AT.
在△AOP中,=x·OP=x.
由图易得S△POA即OA·MP<·OA所以MP<即sinx即对区间(0,)上的任意x都成立.
PAGE
11.2.4
诱导公式
自我小测
1．sin＋2sin＋3sin等于( )
A．1
B．
C．0
D．－1
2．函数f(x)＝cos(x∈Z)的值域为( )
A．
B．
C．
D．
3．已知a＝tan，b＝cos，c＝sin，则a，b，c的大小关系是( )
A．b>a>c
B．a>b>c
C．b>c>a
D．a>c>b
4．已知f(cos
x)＝sin
x，设x是第一象限角，则f(sin
x)为( )
A．sec
x
B．cos
x
C．sin
x
D．1－sin
x
5．已知α为锐角，2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin
α的值是( )
A．
B．
C．
D．
6．已知＝1，则的值是( )
A．1
B．2
C．3
D．6
7．已知f(x)＝则＋＝__________．
8．设tan(5π＋α)＝m，则的值为__________．
9．(探究题)sinsinsinsin·…·sin的值等于__________．
10．化简：(1)1＋cossintan(π＋α)；
(2)
．
11．已知tan
α，是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，且3π<α<，求cos(3π＋α)＋sin(π＋α)的值．
参考答案
1．答案：C
2．答案：B
3．解析：因为a＝－，b＝，c＝－，
所以b>a>c．
答案：A
4．解析：f(sin
x)＝f＝sin＝cos
x．
答案：B
5．解析：由已知可知－2tan
α＋3sin
β＋5＝0，tan
α－6sin
β－1＝0．
所以tan
α＝3．
又tan
α＝，所以9＝＝．
所以sin2α＝．
因为α为锐角，所以sin
α＝．
答案：C
6．解析：因为原式＝＝tan
θ＝1，
所以
＝＝1．
答案：A
7．解析：＝sin＝sin＝，
＝－1＝－2
＝sin－2＝，
所以＋＝－＝－2．
答案：－2
8．解析：由题意知tan
α＝m，原式＝＝＝．
答案：
9．解析：原式＝sin·sin·sin·…·sin＝
××××…××＝(－1)100×
＝．
答案：
10．解：(1)原式＝1＋(－sin
α)cos
αtan
α＝1－sin2α＝cos2α．
(2)原式＝
＝
＝
＝－＝－tan
α．
11．解：tan
α，是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，1＝tan
α·＝
(3k2－13)，所以k2＝．
因为3π<α<，所以tan
α>0，sin
α<0，cos
α<0．
又tan
α＋＝－＝k，所以k>0，故取k＝．
于是tan
α＋＝＋＝＝，即sin
αcos
α＝．
所以(sin
α＋cos
α)2＝1＋2sin
αcos
α＝．
因为sin
α＋cos
α<0，所以sin
α＋cos
α＝－．
于是cos(3π＋α)＋sin(π＋α)＝cos(π＋α)＋sin(π＋α)＝－(cos
α＋sin
α)＝．
PAGE
11.2.1
三角函数的定义
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.已知角α终边经过点P（,），则sinα+tanα等于（
）
A.+
B.+
C.+
D.
解析：由三角函数定义,知x=，y=，
∴r=OP==1.
∴sinα==，tanα=，sinα+tanα=+.
答案：B
2.角α的正割secα=_______________=_______________；
角α的余割cscα=_______________=_______________.
解析：由定义，secα=，
cscα=.
答案：
3.在空格内填上符号+、-.
函数
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
Sinα
Cosα
Tanα
解析：由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，可以确定三角函数的符号.
答案：sinα：+
+
-
-
cosα：+
-
-
+
tanα：+
-
+
-
4.角α的终边上有一点P（m，m）（m∈R，且m≠0），则sinα的值是_____________.
解析：因为x=m，y=m，所以r=OP=±m.所以sinα==±=±.
答案：±
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知点P（4，-3）是角α终边上一点，则下列三角函数值中正确的是（
）
A.tanα=
B.cotα=
C.sinα=
D.cosα=
解析：由三角函数的定义，知x=4，y=-3，r=5，所以sinα==,cosα==,tanα=,
cotα=.
答案：B
2.如果cosα=，则下列是角α终边上的一点的是（
）
A.P（1，）
B.P（，1）
C.P（，-1）
D.P（-1，）
解析：由余弦函数的定义cosα=及cosα=，知x＜0，淘汰A、C，再检验选项B、D，知D项正确.
答案：D
3.已知点P在角α的终边上且|OP|=1，则点P的坐标是（
）
A.（，）
B.（，）
C.（，）
D.（cosα，sinα）
解析：由三角函数定义及|OP|==1，得cosα=x，sinα=y.∴P点坐标为（cosα，sinα）.
答案：D
4.如果sinα＜0且cosα＜0，则角α是（
）
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
解析：由sinα＜0，则α终边位于第三象限或第四象限或y轴的负半轴上.由cosα＜0，则α终边位于第二象限或第三象限或x轴的负半轴上.所以角α的终边只能位于第三象限.
答案：C
5.函数y=的定义域是___________________.
解析：依题意，得
故x的范围是2kπ+≤x≤2kπ+π（k∈Z）.
答案：［2kπ+，2kπ+π］（k∈Z）
6.若角α的终边落在直线y=-3x上，求cosα、sinα、tanα的值.
解：设直线y=-3x上任意一点（x，-3x）（x≠0），当x＞0时，r=，∴cosα==,sinα=,tanα=；
当x＜0时，r=，
∴cosα=,sinα=,tanα==-3.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.若cosθ＞0，sinθcosθ＜0,则角θ的终边所在象限是（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：由cosθ＞0和sinθcosθ＜0，知sinθ＜0，所以θ为第四象限角.
答案：D
2.设θ是第二象限角，则必有（
）
A.tan＞cot
B.tan＜cot
C.sin＞cos
D.sin＜cos
解析：∵θ是第二象限角，故有2kπ+＜θ＜2kπ+π，k∈Z，
∴kπ+＜＜kπ+（k∈Z）.
当k=2n（n∈Z）时，2nπ+＜＜2nπ+；
当k=2n+1（n∈Z）时，2nπ+＜＜2nπ+.
可知在单位圆中的范围如下图中阴影部分所示，不难知tan＞cot.
答案：A
3.若＞1，则α在（
）
A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第三、四象限
D.第一、二象限
解析：由＞1，则sin2α＜0，
∴2kπ+π＜2α＜2kπ+2π，k∈Z.
∴kπ+＜α＜kπ+π，k∈Z.
当k=2n时，2nπ+＜α＜2nπ+π，k∈Z；
当k=2n+1时，2nπ+＜α＜2nπ+2π，k∈Z.∴α为第二、第四象限角.
答案：B
4.若θ为第一象限角，则能确定为正值的是（
）
A.sin
B.cos
C.tan
D.cos2θ
解析：∵2kπ＜θ＜2kπ+（k∈Z），
∴kπ＜＜kπ+（k∈Z），4kπ＜2θ＜4kπ+π（k∈Z）.
可知是第一、第三象限角，sin、cos都可能取负值，只有tan能确定为正值.
2θ是第一、第二象限角，cos2θ可能取负值.
答案：C
5.(2006福建质检题,8)在△ABC中，下列结论正确的是（
）
A.若∠A为锐角，则sinA＞0
B.若sinA＞0，则∠A为锐角
C.∠A为锐角sinA＞0
D.“∠A为锐角”与“sinA＞0”不能相互推导
解析：∠A为锐角时一定有sinA＞0；sinA＞0时∠A不一定为锐角,∠A还可为直角或钝角.
答案：A
6.已知A为锐角，lg（1+cosA）=m，=n，则lgsinA的值为（
）
A.m+
B.m-n
C.（m+）
D.（m-n）
解析：两式相减得lg（1+cosA）-lg=m-nlg［（1+cosA）（1-cosA）］=m-nlgsin2A=m-n，
∵A为锐角，∴sinA＞0.
∴2lgsinA=m-n.∴lgsinA=.
答案：D
7.若点P（2m，-3m）（m＜0）在角α的终边上，则sinα=_____________，cosα=_____________，tanα=_____________，secα=_____________，cscα=_____________，cotα=_____________.
解析：因为点P（2m，-3m）（m＜0）在第二象限，且r=，
所以，sinα=,cosα=,
tanα=,
cscα=，cotα=.
答案：
8.sin0°+cos90°+tan180°+cot270°+2
006cos0°+2tan45°=___________________.
解析：原式=0+0+0+0+2
006×1+2=2
008.
答案：2
008
9.已知α是第三象限角，则sin（cosα）·cos（sinα）_____________0.
解析：因为α是第三象限角，∴-1＜cosα＜0，-1＜sinα＜0.∴sin（cosα）＜0，cos（sinα）＞0.
∴sin（cosα）·cos（sinα）＜0.
答案：＜
10.已知角α的终边上一点P的坐标为（，y）（y≠0），且sinα=y，求cosα、tanα的值.
解：由r2=x2+y2=3+y2，得r=，由三角函数的定义，得
sinα=，∴y=±.
∴cosα=，tanα=.
11.证明恒等式.
证明：设M（x，y）为角α终边上异于原点的一点，|OM|=r，由三角函数的定义有sinα=，cosα=，secα=，cscα=.
∴左边=
=1+1=2=右边.∴原等式成立.
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11．2.1 三角函数的定义
知识点一：三角函数的定义
1．若α的终边与y轴重合，则α的六种三角函数中，函数值不存在的是
A．sinα与cosα
B．tanα与cotα
C．tanα与secα
D．cotα与cscα
2．已知点M(3,4)是角α终边上一点，则sinα＋cosα＋tanα等于
A．1
B.
C.
D．12
3．已知点P(3，y)在角α的终边上，且满足y<0，cosα＝，则tanα的值为
A．－
B.
C.
D．－
4．已知角α终边经过点P(7,24)，则＝__________.
知识点二：三角函数值的符号
5．下列各式的值是正值的是
A．sin(－30°)
B．cos(－30°)
C．sin240°
D．cos240°
6．sin2·cos3·tan4的值
A．小于0
B．大于0
C．等于0
D．不存在
7．若角α的终边经过点P(－2，－1)，则①sinα·tanα>0；②cosα·tanα>0；③sinα·cosα>0；④sinα·tanα<0中，成立的有__________．
8．如果tanα·cscα<0，那么角α的终边在第__________象限．
知识点三：三角函数的定义域
9．函数y＝＋的定义域为__________．
10．求函数y＝＋tanx的定义域．
能力点一：利用三角函数定义求值
11．若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a的值为
A．4
B．－4
C．±4
D.
12．sin0°＋cos90°＋tan180°＋cot270°＋2
008cos0°＋2tan45°＝__________.
13．已知角α的终边在直线y＝x上，求sinα＋cosα的值．
14．若点P(－4a,3a)(a≠0)为角α终边上一点，求sinα，cosα，tanα.
15．已知角α的终边上一点P的坐标为(－，y)(y≠0)且sinα＝y，求cosα，tanα的值．
能力点二：三角函数值符号有关问题
16.已知角α的终边经过点(3m－9，m＋2)，且cosα≤0，sinα>0，则m的取值范围为
A．(－2,3)
B．[－2,3)
C．(－2,3]
D．[－2,3]
17．若sinαcosα<0，则函数y＝＋＋的值域为__________．
18．用不等号(>，<)填空：
(1)sin·cos·tan__________0；
(2)__________0.
19．若()sin2θ<1，则θ是第__________象限角．
20.求y＝的定义域．
21．(1)已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sinα的值；
(2)已知角α的顶点在原点，始边为x轴的正半轴，若角α终边过点P(－，y)，且sinα＝y(y≠0)，判断角α所在的象限，并求cosα的值．
22．已知＝－，且lg(cosα)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M(，m)，求m的值及sinα的值．
23．已知角α的终边上的点P与A(a，b)关于x轴对称(ab≠0)．角β的终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sinα·secβ＋tanα·cotβ＋secα·cscβ的值．
答案与解析
基础巩固
1．B 2.B 3.C 4.D 5.y轴上
6．B 分别作出各个角的三角函数线，由图知sin＝－sin，cos(－)＝cos，tansin，故②④正确．
7．C 当α的终边在直线y＝x上时，直线y＝x与单位圆的交点为(，)，(－，－)．
此时，α＝和，如图所示．
当α∈(，)时，恒有MP>OM，
而当α∈(0，)∪(，2π)时，
则有MP8．B 如下图，作出sinα、cosα、tanα的三角函数线，显然△OPM∽△OTA，且|MP|<|AT|，
∵MP>0，AT<0，
∴MP<－AT.
∴MP＋AT<0，即sinα＋tanα<0.
9．(1)sin>sin>sin
(2)cos>cos>cos
(3)tan>tan>tan
10．解：作图如下．
(1)
所以，的正弦线为M，余弦线为O，正切线为A.
(2)
所以，－的正弦线为M，余弦线为O，正切线为A.
能力提升
11．C
12．tanα>cosα>sinα
13．sin1>cos1
14．A
15．C
16．[2kπ－，2kπ＋](k∈Z) 由函数有意义，x需满足1＋2cosx≥0，即cosx≥－.
根据单位圆中的三角函数线，可得满足条件的角x的范围是2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
17．解：(1)作直线y＝交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)作直线x＝－交单位圆于C、D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
18．解：∵点P在第一象限内，
∴
∴
结合单位圆(如图所示)中三角函数线且0≤α<2π，
可知<α<或π<α<.
19．解：因为<3<π，作出单位圆如图所示，
设M，O的数量分别为a，b，
所以sin3＝a>0，cos3＝b<0，所以sin3－cos3>0.
因为|MP|<|OM|，即|a|<|b|，
所以sin3＋cos3＝a＋b<0.
故当α＝3
rad时，P(sin3－cos3，sin3＋cos3)在第四象限．
20．解：由题意知
2kπ－≤x<2kπ＋(k∈Z)．
sinx≥－，cosx>的解如图阴影部分．
故所求函数的定义域为{x|2kπ－≤x<2kπ＋，k∈Z}．
拓展探究
21．证明：如图，单位圆O与x轴正半轴交于点A，与角α、β的终边分别交于点Q、P，过P、Q分别作OA的垂线，设垂足分别是M、N，则由三角函数定义可知：
sinα＝NQ，sinβ＝MP.
过点Q作QH⊥MP于H，
则HP＝MP－NQ＝sinβ－sinα.
由图可知HP<－＝β－α，
即β－α>sinβ－sinα.
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11.2.2
单位圆与三角函数线
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.若单位圆的圆心与坐标原点重合，有下列结论：①单位圆上任意一点到原点的距离都是1；②单位圆与x轴的交点为（1，0）；③过点（1，0）的单位圆的切线方程为ｘ=1；④与x轴平行的单位圆的切线方程为ｙ=1.以上结论正确的个数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：单位圆与x轴的交点为（1，0）和（-1，0）；与x轴平行的单位圆的切线方程为ｙ=±1，所以②④错误.显然①③正确.
答案：B
2.对角α的正弦线叙述错误的是（
）
A.正弦线的起点为坐标原点
B.正弦线为有向线段
C.正弦线的长度为不大于1的正数
D.当角α的终边不在坐标轴上时，正弦线所在直线平行于ｙ轴
解析：正弦线的长度有可能为0,所以C答案错误.
答案：C
3.如图1-1-2，PM⊥x轴，AT⊥x轴，则α的正弦线、余弦线、正切线分别是____________、____________、____________，其中OM=___________，MP=____________，AT=____________.
图1-1-2
图1-1-3
解析：根据正弦线、余弦线、正切线的定义作出.
答案：
cosα
sinα
tanα
4.如图1-1-3，分别作出角β的正弦线、余弦线、正切线,并比较角β的正弦值、余弦值、正切值的大小.
解：根据正弦线、余弦线、正切线的定义作出下图.
正弦线、余弦线、正切线分别是、、，并且sinβ＞cosβ＞tanβ.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.若-＜α＜，从单位圆中的三角函数线观察sinα、cosα、tanα的大小是（
）
图1-1-4
A.sinα＜tanα＜cosα
B.tanα＜sinα＜cosα
C.cosα＜sinα＜tanα
D.sinα＜cosα＜tanα
解析：在单位圆中，作出＜α＜内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线，
||＜||＜||，考虑方向可得＜＜.
答案：D
2.若角α的正切线位于第一象限，则角α属于（
）
A.第一象限
B.第一、二象限
C.第三象限
D.第一、三象限
解析：由正切线的定义知，当角α是第一、三象限角时，正切线都在第一象限.
答案：D
3.在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的x的取值范围为（
）
A.（，）∪（π，）
B.（，π）
C.（，）
D.（，π）∪（，）
解析：在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在（0，2π）内sinx＞cosx，则x∈（，）.
答案：C
4.如果cosα=cosβ，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能（
）
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于直线y=x对称
D.关于原点对称
解析：利用单位圆中的余弦线即得，如图.
答案：A
5.利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1.
证明：当角α的终边在坐标轴上时，正弦线（余弦线）变成一个点，而余弦线（正弦线）的长等于r（r=1），所以|sinα|+|cosα|=1，当角α的终边落在四个象限时，如图，利用三角形两边之和大于第三边有|sinα|+|cosα|=|MP|+|OM|＞1，综上有|sinα|+|cosα|≥1.
6.设＜α＜π，角α的正弦线、余弦线、正切线的数量分别为a、b、c，由图比较a、b、c的大小.
解：如图所示，|MP|＜|OM|＜|AT|，而a=|MP|，b=-|OM|，c=-|AT|，∴a＞b＞c.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.(2006安徽合肥统考，1)sin4·tan7的值（
）
A.大于0
B.小于0
C.等于0
D.不大于0
解析：4弧度的角是第三象限角，7弧度的角是第一象限角，由单位圆中的正弦线和正切线知sin4＜0，tan7＞0，所以sin4·tan7＜0.
答案：B
2.若θ∈(0,),则sinθ+cosθ的一个可能值是（
）
A.
B.
C.
D.1
解析：由θ∈(0，)知sinθ+cosθ＞1，A、B、C、D四个选项中仅有＞1，故选C.
答案:C
3.适合cosα≥的角α的集合是（
）
A.［2kπ+，2kπ+］（k∈Z）
B.［2kπ+，2kπ+］（k∈Z）
C.［2kπ-，2kπ+］（k∈Z）
D.［2kπ+，2kπ-］（k∈Z）
解析：在单位圆中作图，如图，α的范围是2kπ-≤α≤2kπ+.
答案：C
4.若sinα=sinβ，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能（
）
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于直线y=x对称
D.关于原点对称
解析：利用单位圆中的正弦线即得，如图.
答案：B
5.分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:(1)；(2).
解：如图,正弦线：，余弦线：，正切线：.
(1)
(2)
6.利用三角线，求满足sinx≤的角x的集合.
解：由图可知，值为的正弦线和，易得出∠M1OP1=，∠M2OP2=，故满足sinx≤的x的集合为｛x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z｝.
7.求函数y=的定义域.
解：如图，因为1-2cosx≥0，所以cosx≤，
所以x∈［2kπ+，2kπ+］（k∈Z）.
8.已知关于x的方程（2sinα-1）x2-4x+4sinα+2=0有两个不相等的正根，试求角α的取值范围.
解：设方程的两根为x1、x2，这个方程有两个不相等正根必满足的条件为
即
化简得
故＜sinα＜.
利用三角函数线，在单位圆中标出满足条件的角α的终边位置，即图中两阴影部分的交集，故2kπ+＜α＜2kπ+或2kπ+＜α＜2kπ+，k∈Z，即α的取值范围是{α|2kπ+＜α＜2kπ+，k∈Z}∪{α|2kπ+＜α＜2kπ+，k∈Z}.
9.设α是第二象限的角，作α的正弦线、余弦线、正切线，由图证明cos2α+sin2α=1.
证明：如图，=cosα，=sinα，在Rt△MOP中，|OM|2+|MP|2=｜OP｜2=1，
所以cos2α+sin2α=1.
10.设α为任意角，求|sinα|+|cosα|的取值范围.
解：由正弦线、余弦线及三角形三边关系，可知|sinα|+|cosα|的取值范围为［1，］.
11.已知α∈（0，），求证：sinα＜α＜tanα.
证明：在单位圆中，利用三角函数线的定义，有=sinα，=tanα.又由α=，
显然S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，即··＜··＜··.化简得＜α＜，所以sinα＜α＜tanα.
PAGE
1同角三角函数的基本关系式
1．已知，且＜θ＜2π，那么的值为( )
A．
B．
C．
D．
2．化简的值为( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
3．(2012·黑龙江哈尔滨期末)已知cos
α＝3sin
α，则( )
A．
B．
C．
D．
4．设，且α是第二象限的角，则等于( )
A．
B．
C．
D．
5．已知α∈，且，则sin
α＋cos
α的值是( )
A．
B．
C．
D．
6．化简的结果是__________．
7．已知sin
θ＋cos
θ＝，θ∈(0，π)，则cot
θ的值是__________．
8．若，且tan
α＞0，则__________.
9．化简：.
10．已知sin
θ，cos
θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根(a∈R)，求tan
θ＋的值．
参考答案
1．解析：由sin2θ＋cos2θ＝1，得.
因为＜θ＜2π，故sin
θ＜0，
所以，
所以.
答案：B
2．解析：原式＝＝＝＝－1.
答案：B
3．答案：B
4．解析：∵α是第二象限的角，∴2kπ＋＜α＜2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ＋＜＜kπ＋(k∈Z)，∴是第一或第三象限的角．而，∴是第一象限的角．
由，得，
∴.
答案：A
5．解析：因为(sin
α＋cos
α)2＝，且sin
α＋cos
α＜0，
所以sin
α＋cos
α＝，故选B．
答案：B
6．解析：因为，所以是第二象限的角，
所以，
故.
答案：
7．解析：因为sin
θ＋cos
θ＝，①
两边平方，得1＋2sin
θcos
θ＝，
所以2sin
θcos
θ＝.
因为θ∈(0，π)，所以cos
θ＜0＜sin
θ.
由于(sin
θ－cos
θ)2＝1－2sin
θcos
θ＝，
所以sin
θ－cos
θ＝.②
联立①②，解得，，
所以.
答案：
8．解析：
＝
＝
＝sin
α(1＋sin
α)．
又由，tan
α＞0，可知α为第三象限的角，
故，
因此sin
α(1＋sin
α)＝.
答案：
9．解：原式＝·＝·.
故当α为第一、三象限的角时，原式＝4；当α为第二、四象限的角时，原式＝－4.
10．解：依题意，知Δ≥0，即(－a)2－4a≥0，
解得a≤0或a≥4，且
由①2－②×2，得a2－2a－1＝0，
解得a＝1－或a＝1＋(舍)．
故sin
θ＋cos
θ＝sin
θcos
θ＝1－.
tan
θ＋＝，
因此tan
θ＋＝.
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11.2.3
同角三角函数的基本关系式
课后导练
基础达标
1.若α是三角形的一个内角且sinα+cosα=,则这个三角形是（
）
A.正三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
解析：sinα+cosα=,
∴平方得2sinαcosα=<0.
∵sinα>0,∴cosα<0.
∴α为钝角.
答案：D
2.已知1+sinθ+cosθ=0,则θ的取值范围为（
）
A.第三象限
B.第四象限
C.2kπ+π≤θ≤2kπ+(k∈Z)
D.2kπ+≤θ≤2kπ+2π(k∈Z)
解析：原式=1+sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=0,
∴角θ可能为第三象限角或角θ的终边在x轴、y轴的非正半轴.
答案：C
3.化简的结果是（
）
A.sin4+cos4
B.sin4-cos4
C.cos4-sin4
D.-sin4-cos4
解析：原式=|sin4-cos4|,而sin4∴原式=cos4-sin4.
答案：C
4.已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=,则sinθ·cosθ的值是（
）
A.
B.-
C.
D.
解析：∵sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2(sinθcosθ)2,
∴(sinθcosθ)2=,即sinθcosθ=±.
又θ是第三象限角，即θ∈(2kπ+π,2kπ+),k∈Z.
∴sinθ<0,cosθ<0.
∴sinθcosθ>0.
∴sinθcosθ=.
答案：A
5.已知a∈(0,1),x是三角形的一个内角，tanx=,则cosx的值是（
）
A.
B.
C.
D.±
解析：∵0∴tanx=<0.
又x是三角形的内角，
∴90°又cos2x=2,cosx<0,
∴cosx=.
答案：C
6.若sinθ、cosθ是关于x的方程4x2+2mx+m=0的两个根，则m的值（
）
A.m∈［,0）
B.m=1-
C.m=1±
D.m=1+
解析：由根与系数关系得
①2-②×2，得1=,
即m2-2m-4=0.∴m=1±.
又由①得≤m≤,
∴m=1-.
答案：B
7.已知f(x)=,若α∈（,π）,则f(cosα)+f(-cosα)=________.
解析：f(cosα)+f(-cosα)=
.
∵α∈(,π),∴sinα>0,1-cosα>0,1+cosα>0.
∴原式=.
答案：
8.分式化简后的最简结果是______________________.
解析：原式=
.
答案：
9.若sinα+3cosα=0，则的值为_______________--.
解析：由条件可知tanα=-3,
原式=
答案：
10.若A为锐角，lg(1+cosA)=m,lg=n,则lgsinA=_____________--.
解析：两式相减m-n=lg(1+cosA)(1-cosA)=lg(1-cos2A)=lgsin2A=2lgsinA(sinA>0),
∴lgsinA=.
答案：
综合运用
11.(2006湖北武汉模拟)
设0<α<π,sinα+cosα=,则的值为(
)
A.
B.
C.
D.
解析:由勾股数知sinα=,
cosα=tanα=,
则.
答案:C
12.(2006重庆高考,文13)
已知sinα=,<α<π,则tanα=____________.
解:∵sinα=,<α<π,
∴cosα=-1-(,
而tanα==-2.
答案:-2
13.已知tanα为非零实数，用tanα分别表示sinα,cosα.
解：∵tanα为非零实数，
∴α不是轴线角，即cosα≠0.
由=tan2α+1,得cos2α=；
若cosα>0,则cosα=,sinα=tanα·cosα=；
若cosα<0，则cosα=,
sinα=.
14.已知sinα、cosα是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根（a∈R),
(1)求sin3θ+cos3θ的值；
（2）求tanθ+的值.
解：依题意由Δ≥0,即（-a）2-4a≥0,得a≤0或a≥4且
①2+②×2,得a2-2a-1=0,
∴a=1-或a=1+(舍）.
∴sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-.
(1)sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)
=(1-)［1-(1-)］=-2.
(2)tanθ+=,
∴tanθ+=.
拓展探究
15.已知sinθ+cosθ=(0<θ<π),求tanθ的值.
解法一：将已知等式两边平方，得sinθcosθ=,
∴<θ<π.
故sinθ-cosθ=.
解方程组
得sinθ=,cosθ=.
∴tanθ=.
解法二：由sinθ+cosθ=,得sinθcosθ=.于是sinθ>0,cosθ<0.
设以sinθ，cosθ为根的一元二次方程为x2-x-=0,
解得x1=sinθ=,
x2=cosθ=.
∴tanθ=.
16.若<θ<3π,求3+的值.
解：∵<θ<3π,
∴θ为第二象限角.
∴tanα<0.
∴2tanθ<20=1.
原式=（3）tanθ+=2tanθ+|2tanθ-1|=1.
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