1.3.3
已知三角函数值求角
课后导练
基础达标
1.满足sinx=cosx的角x的集合是（
）
A.{x|x=+2kπ,k∈Z}
B.{x|x=+kπ,k∈Z}
C.{x|x=-+2kπ,k∈Z}
D.{x|x=-+kπ,k∈Z}
解析：∵sinx=cosx,∴tanx=1.当x∈（-,）时，x=arctan1=,根据正切函数的周期性，得x=+kπ,k∈Z.
答案：B
2.已知α是三角形的内角，且sinα=，则α等于（
）
A.
B.
C.或
D.或
答案：D
3.已知cosx=，π
）
A.
B.
C.
D.
解析：令cosx=,得锐角x=.
∵cosx=,x∈(π,2π),
∴x∈(π,).∴x=π+=.
答案：B
4.若sinx=,x∈（,π），则x等于（
）
A.arcsin
B.π-arcsin
C.+arcsin
D.-arcsin
答案：B
5.适合关系式2sinx·cosx=cosx且在（0，2π）内的角x的个数是（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:D
6.arccos()=_________.
答案：
7.arcsin(-)+arctan=__________.
答案:0
8.适合条件cot2x=的最大负角是__________，最小正角是________.
答案:-
9.已知cosα=-,试求符合下列条件的角α.
（1）α是三角形的内角；
（2）0≤α≤2π；
（3）α是第三象限角；
（4）α∈R.
解：∵cosα=-,∴满足cosα=的锐角α=.
(1)∵α是三角形的内角，
∴0<α<π.又∵cosα=-<0,∴<α<π.
∴α=π-=.(2)∵cosα=-,
∴α是第二或第三象限角.
又∵α∈［0,2π］,∴α=π-或π+.∴α=或.
(3)∵α是第三象限角，∴α与的终边相同.∴α=+2kπ,k∈Z.
(4)∵α∈R,∴α与或终边相同.
∴α=+2kπ或α=+2kπ,k∈Z.
10.已知集合A={x|sinx=},集合B={x|tanx=},求集合A∩B.
解:∵A={x|sinx=},
∴A={x|x=2kπ+或x=2kπ+,k∈Z}.
∵B={x|tanx=},∴B={x|x=kπ+,k∈Z}
={x|x=2kπ+或x=2kπ+,k∈Z}.
∴A∩B={x|x=2kπ+,k∈Z}.
综合运用
11.的值等于(
)
A.
B.0
C.1
D.-
解析:∵arcsin=,arccos(-)=,
arctan()=-,∴原式的值为=1.
答案:C
12.已知直线2x+y+1=0,则直线的倾斜角是(
)
A.-arctan(-2)
B.-arctan2
C.π-arctan2
D.π+arctan2
解析:直线的斜率为-2,又因为直线的倾斜角的范围为［0,π),故倾斜角可表示为π-arctan2.
答案:C
13.函数y=cos(sinx+2.2)的值域是（
）
A.［-1，1］
B.［-1，cos1.2］
C.［cos1.2,cos3.2］
D.［cos3.2,cos1.2］
解析：设μ=sinx+2.2，则μ∈［1.2,3.2］，y=cosμ在［1.2,3.2］上的简图如右图.由图象可知，当μ∈［1.2,3.2］时，值域y∈［-1,cos1.2］.故答案选B.
答案:B
14.若sinx=,且x∈［-,］，求m的取值范围.
解：∵x∈［-,］,∴|sinx|≤.∴||≤.
∴2|1-m|≤|2m+3|.∴4(1-m)2≤(2m+3)2.
∴m≥.∴m的取值范围是{m|m≥}.
拓展探究
15.函数y=sinx+arcsinx的值域是__________.
解析:函数f(x)=sinx+arcsinx的定义域为［-1,1］.
由于函数y1=sinx,y2=arcsinx在［-1,1］上均单调递增,
所以函数f(x)在［-1,1］上单调递增.由f(-1)=-sin1-,f(1)=sin1+,知f(x)的值域为［-sin1-,sin1+］.
答案:［-sin1-,sin1+］
16.若f(arcsinx)=x2+4x,求f(x)的最小值,并求f(x)取得最小值时的x的值.
解:令t=arcsinx,t∈［-,］.则sint=x,sint∈［-1,1］.于是f(t)=sin2t+4sint,即f(x)=(sinx+2)2-4,x∈［-,］.∵-1≤sinx≤1,
∴当sinx=-1,即x=-时,f(x)取得最小值(-1+2)2-4=-3.
PAGE
11.3.3
已知三角函数值求角
自我小测
1．函数y＝arctan
－
的一个值域是( )
A．
B．
C．
D．
2．点P(sin
θ，cos
θ)是角α终边上的一点，则α的值等于( )
A．－θ
B．θ
C．2kπ＋－θ(k∈Z)
D．kπ＋－θ(k∈Z)
3．若x∈，则使等式cos(πcos
x)＝0成立的x的值是( )
A．
B．或
C．或
D．或或
4．若A为△ABC的一个内角，且sin
A＋cos
A＝，则A为( )
A．arcsin
B．arcsin
C．π－arcsin
D．＋arccos
5．函数y＝＋π－arccos(2x－3)的定义域是__________．
6．若x＝是方程2cos(x＋α)＝1的解，其中α∈(0,2π)，则α＝__________．
7．若a＝arcsin，b＝arctan，c＝arccos，则a，b，c的大小关系是________．
8．已知集合A＝，集合B＝，
求A∩B．
9．设sin
θ，cos
θ是方程4x2－4mx＋2m－1＝0的两个根，
<θ<2π，求m和θ的值．
参考答案
1．解析：因为≥0，所以arctan∈，则arctan－∈，故选B．
答案：B
2．解析：因为tan
α＝cot
θ＝tan，所以α＝kπ＋－θ，k∈Z．
答案：D
3．答案：D
4．解析：因为sin2A＋cos2A＝1，sin
A＋cos
A＝，
所以sin
A＝，cos
A＝－，
故A＝π－arcsin．
答案：C
5．答案：
6．答案：
7．答案：c>a>b
8．解：因为A＝，
所以A＝．
因为B＝，
所以B＝
＝．
所以A∩B＝．
9．解：由根与系数的关系，得
②代入①的平方，得1＋2×＝m2，
解得m＝或m＝．
因为<θ<2π，所以sin
θcos
θ<0，
所以m<，故m＝，
则原方程变为4x2－2(1－)x－＝0．
由于sin
θ<0，cos
θ>0，
所以cos
θ＝，所以θ＝．
PAGE
11.3.1
正弦函数的图象与性质
自我小测
1．函数y＝的定义域为( )
A．R
B．{x|x≠kπ，k∈Z}
C．[－1,0)∪(0,1]
D．{x|x≠0}
2．函数f(x)＝x3＋sin
x＋1(x∈R)，若f(－a)＝2，则f(a)的值为( )
A．3
B．0
C．－1
D．－2
3．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin
ax的图象不可能是( )
4．已知函数f(x)＝2sin
x，对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为( )
A．
B．
C．π
D．2π
5．y＝sin
x－|sin
x|的值域是( )
A．[－1,0]
B．[0,1]
C．[－1,1]
D．[－2,0]
6．比较大小：
(1)__________；
(2)__________．
7．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的周期函数，若f(x)＝则＝__________．
8．若f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－sin
x，则当x<0时，f(x)＝__________．
9．已知方程cos2x＋4sin
x－a＝0有解，则a的取值范围是__________．
10．用“五点法”作出函数y＝2－sin
x，x∈[0,2π]的图象．
11．若函数y＝a－bsin
x的最大值为，最小值为－，求函数f(x)＝－4absin
x的最值．
参考答案
1．答案：B
2．答案：B
3．解析：当a＝0时，f(x)＝1，选项C符合；
当0＜|a|＜1时，T＞2π，f(x)的最大值小于2，选项A符合；
当|a|＞1时，T＜2π，选项B符合．
排除选项A，B，C，故选D．
答案：D
4．解析：由不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R恒成立，
不难发现f(x1)，f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值，故|x1－x2|的最小值为函数f(x)＝2sin
x的半个周期．
因为f(x)＝2sin
x的周期为2π，
所以|x1－x2|的最小值为π．
答案：C
5．答案：D
6．解析：(1)因为＝，
又＜＜＋＜，但y＝sin
x在上是减函数，
所以＞＝，
即＞．
(2)因为－<－<－＜0，且y＝cos
x在上是增函数，所以
＞．
答案：(1)＞ (2)＞
7．解析：由题意，得＝f
＝＝sin＝sin＝sin＝．
答案：
8．解析：当x<0时，－x>0，
所以f(－x)＝(－x)2－sin(－x)＝x2＋sin
x．
又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
所以f(x)＝－x2－sin
x．
答案：－x2－sin
x
9．答案：[－4,4]
10．解：列表如下：
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
2－sin
x
2
1
2
3
2
描点，用光滑曲线连起来，图象如图所示．
11．解：①当b>0时，
由题意，得解得
所以y＝－2sin
x，此时f(x)的最大值为2，最小值为－2．
②当b<0时，由题意，得\
解得
所以y＝2sin
x，此时f(x)的最大值为2，最小值为－2．
PAGE
11.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
知识点一：余弦函数的图象和性质
1．函数f(x)＝sin(－2x)是
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既奇又偶函数
2．要得到函数y＝cos(－)的图象，只需将y＝sin的图象
A．向左平移
B．向右平移
C．向左平移
D．向右平移
3．函数f(x)＝cos(2x－)＋1的最小正周期是__________．
4．函数y＝的单调增区间是__________，单调减区间是__________．
5．若函数y＝acosx＋b(a、b为常数)的最大值为1，最小值为－7，求y＝3＋absinx的最大值．
知识点二：正切函数的图象及性质
6．正切函数y＝tan(2x－)的定义域是
A．{x|x∈R且x≠－，k∈Z}
B．{x|x∈R且x≠＋，k∈Z}
C．{x|x∈R且x≠＋，k∈Z}
D．{x|x∈R且x≠＋，k∈Z}
7．函数y＝2tan(3x＋)的一个对称中心是
A．(，0)
B．(，0)
C．(，0)
D．(π，0)
8．函数y＝tan(x＋)(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是__________．
9．比较大小：tan1__________tan4(填“>”或“<”)
.
10．给出下列命题：
①正切函数的图象的对称中心是唯一的；
②y＝|sinx|、y＝|tanx|的周期分别为π、；
③若x1>x2，则sinx1>sinx2；
④若f(x)是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f(－)＝0.
其中正确命题的序号是__________．
能力点一：函数图象的应用
11．下列图形分别是①y＝|tanx|，②y＝tanx，③y＝tan(－x)，④y＝tan|x|在x∈(－，)内的大致图象．那么，由上到下由左到右对应的函数关系式应是
A．①②③④
B．①③④②
C．③②④①
D．①②④③
12．函数y＝lncosx(－13．若函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是
A．4
B．8
C．2π
D．4π
14．已知函数f(x)＝.
(1)求函数的定义域；
(2)用定义判断f(x)的奇偶性；
(3)在[－π，π]上作出f(x)的图象．
能力点二：函数性质的应用
15．函数y＝＋的定义域为
A．{x|2kπ≤x<2kπ＋，k∈Z}
B．{x|2kπC．{x|2kπ≤x<2kπ＋，k∈π＋π，k∈Z}
D．{x|2kπ≤x<2kπ＋且x≠2kπ＋π，k∈Z}
16．已知函数f(x)＝sin(x－)(x∈R)，下列结论错误的是
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间[0，]上是增函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
17．一个大风车的半径为8
m，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2
m，则风车翼片的一个端点离地面距离h(米)与时间t(分钟)之间(h(0)＝2)的函数关系式为__________．
18．若f(x)＝tan(x＋)，试比较f(－1)，f(0)，f(1)，并按从小到大的顺序排列：__________.
19．(2010江苏高考，10)设定义在区间(0，)上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为__________．
20．有两个函数f(x)＝asin(ωx＋)，g(x)＝btan(ωx－)(其中ω>0)．已知它们的周期之和为，且f()＝g()，f()＝－g()＋1，你能确定a、b、ω的值吗？
21．求下列函数的最值，并求取得最值时x取值的集合：
(1)y＝；(2)y＝2cos(x－)．
22．已知函数y＝10lg(tan2x)．
(1)分别求出函数的定义域与值域；
(2)判断函数是否为周期函数，若是，求出周期；
(3)讨论这个函数的单调性．
答案与解析
基础巩固
1．B
2．A y＝sinsin(x＋)＝sin[＋(－)]＝y＝cos(－)
3．π
4．[2kπ－，2kπ]，k∈Z [2kπ，2kπ＋]，k∈Z 由cosx≥0得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
当2kπ－≤x≤0时，函数y为增函数，
当0≤x≤2kπ＋时，函数y为减函数．
5．解：若a＞0，当cosx＝1时，ymax＝a＋b；
当cosx＝－1时，ymin＝b－a，
∴∴
∴ab＝－12＜0.
∴当sinx＝－1时，3－12sinx取得最大值为15.
若a＜0，当cosx＝1时，ymin＝a＋b，
当cosx＝－1时，ymax＝b－a.
∴∴
∴ab＝12＞0，
∴当sinx＝1时，3＋absinx取最大值为15.
6．B 由2x－≠kπ＋得x≠＋(k∈Z)．
∴定义域为{x|x∈R且x≠＋，k∈Z}．
7．B 由3x＋＝kπ得x＝－，
∴函数y的对称中心为(－，0)，k∈Z.
当k＝1时，中心为(，0)．
8．7
9．> ∵tan4＝tan(4－π)，y＝tanx在(－，)内为增函数，且1>4－π，
∴tan1>tan(4－π)＝tan4.
10．④ 对于④，因为f(x)是奇函数，所以f(－)＝－f()．
又因为f(x)的最小正周期为T，
所以f(－)＝f(T－)
＝f()．
由此可得－f()＝f()，
即f()＝0，
所以f(－)＝－f()＝0，
故④正确．
观察图象知，①②③均错．
能力提升
11．D 12.A
13．D 作出函数y＝2cosx，x∈[0,2π]的图象，函数y＝2cosx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝2围成的平面图形，如图所示的阴影部分．
利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC的面积，
又∵|OA|＝2，|OC|＝2π，
∴S平面图形＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.
14．解：将f(x)的解析式化简，然后用定义求解．
(1)∵f(x)＝＝，
∴函数的定义域是{x|x≠kπ＋，k∈Z}．
(2)∵f(－x)＝
＝－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(3)f(x)＝
f(x)的图象如图．
15．C 16.D
17．h(t)＝－8cost＋10 首先考虑建立直角坐标系，以最低点的切线作为x轴，最低点作为坐标原点，建立如图直角坐标系．
那么，风车上翼片端点所在位置P可由函数x(t)、y(t)来刻画，而且h(t)＝y(t)＋2.
所以，只需要考虑y(t)的解析式．又设P的初始位置在最低点即y(0)＝0，
在Rt△O1PQ中，cosθ＝，y(t)＝－8cosθ＋8，
而＝，所以θ＝t，y(t)＝－8cost＋8，h(t)＝－8cost＋10.
18．f(1)则有f(1)＝f(1－π)．
∵－<1－π<－1<0<，
∴f(1－π)即f(1)19. 如图，由题意得：6cosx＝5tanx，
即6cosx＝，6cos2x＝5sinx，
6(1－sin2x)＝5sinx，6sin2x＋5sinx－6＝0，得sinx＝，或sinx＝－(舍去)．
结合图象得：sinx＝P1P2＝.
20．解：∵f(x)的周期为，g(x)的周期为，∴＋＝，得ω＝2.
∴函数解析式为f(x)＝asin(2x＋)，g(x)＝btan(2x－)．
由已知，得方程组
即解得
∴a＝1，b＝，ω＝2.
21．解：(1)∵y＝＝－1＋，
∴当cosx＝－1，即x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymax＝2；
当cosx＝1，即x＝2kπ(k∈Z)时，ymin＝.
∴y取得最大值2时，x取值的集合是{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}；
y取得最小值时，x取值的集合是{x|x＝2kπ，k∈Z}．
(2)令x－＝z，则y＝2cosz，当z＝2kπ(k∈Z)，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝2；
当z＝2kπ＋π(k∈Z)，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymin＝－2.
∴y取得最大值2时，x取值的集合是{x|x＝2kπ＋，k∈Z}；
y取得最小值－2时，x取值的集合是{x|x＝2kπ＋，k∈Z}．
拓展探究
22．解：(1)由tan2x>0，得故定义域为{x|∴y＝10lg(tan2x)＝tan2x.
又∵∴y∈(0，＋∞)．
∴值域为{y|y>0}．
(2)是周期函数，T＝.
PAGE
11.3.2
余弦函数、正切函数的图象与性质
自我小测
1．要得到y＝tan
2x的图象，只需将y＝tan的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
2．函数y＝3tan的定义域是( )
A．
B．
C．
D．
3．函数y＝的值域是( )
A．(－1，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－1，＋∞)
4．函数y＝tan
x＋sin
x－|tan
x－sin
x|在区间内的图象是( )
5．若将函数y＝tan
(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan的图象重合，则ω的最小值为( )
A．
B．
C．
D．
6．已知f(x)＝atan－bsin
x＋4(其中a，b为常数，且ab≠0)，若f(3)＝5，则f(2
014π－3)＝__________．
7．下面五个命题中，正确命题的序号是__________．
①y＝的最小正周期是；
②终边在坐标轴上的角的集合是；
③y＝4tan的图象向右平移个单位长度，可得y＝4tan
2x的图象；
④函数f(x)＝3tan在区间内是增函数．
8．已知函数f(x)＝3tan．
(1)求f(x)的定义域、值域；
(2)讨论f(x)的周期性，奇偶性和单调性．
9．若函数f(x)＝tan2x－atan
x的最小值为－6，求实数a的值．
参考答案
1．答案：D
2．答案：C
3．解析：因为－所以－1x<1．
所以∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
答案：B
4．答案：D
5．解析：将函数y＝tan
(ω>0)的图象向右平移个单位，得y＝tan．
又因为平移后函数的图象与y＝tan的图象重合，
所以－－＝kπ(k∈Z)，
即－＝kπ(k∈Z)．
所以
当k＝0时，ωπ＝，即ω的最小值为．故选D．
答案：D
6．解析：f(3)＝atan－bsin
3＋4＝5，
所以atan－bsin
3＝1．
f(2
014π－3)＝atan－bsin(2
014π－3)＋4＝atan－bsin(－3)＋4＝－atan＋bsin
3＋4＝－＋4＝－1＋4＝3．
故f(2
014π－3)＝3．
答案：3
7．答案：②③④
8．解：(1)由x－≠＋kπ，k∈Z，
解得x≠＋2kπ，k∈Z．
所以定义域为，值域为R．
(2)f(x)为周期函数，周期T＝＝2π．f(x)的定义域不关于原点对称，
所以f(x)为非奇非偶函数．
由－＋kπ解得－＋2kπ所以函数的单调递增区间为(k∈Z)．
9．解：设t＝tan
x，因为|x|≤，所以t∈[－1,1]，
则原函数化为y＝t2－at＝－，对称轴为t＝．
①若－1≤≤1，即－2≤a≤2时，
则当t＝时，ymin＝－＝－6，
所以a2＝24(舍去)；
②若<－1，即a<－2时，二次函数在[－1,1]上单调递增，当t＝－1时，ymin＝1＋a＝－6，所以a＝－7；
③若>1，即a>2时，二次函数在[－1,1]上单调递减，当t＝1时，ymin＝1－a＝－6，所以a＝7．
综上所述，a＝－7或a＝7．
PAGE
11.3.1
正弦函数的图象与性质
自我小测
1．若将函数y＝2sin(3x＋φ)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于点对称，则|φ|的最小值是( )
A．
B．
C．
D．
2．函数y＝2sin的单调递增区间是( )
A．(k∈Z)
B．
(k∈Z)
C．
(k∈Z)
D．(k∈Z)
3．如图所示是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k在一个周期内的图象，那么这个函数的一个解析式为(
)
A．y＝2sin－1
B．y＝2sin－1
C．y＝3sin－1
D．y＝3sin－1
4．已知函数f(x)＝sin，其中k≠0，当自变量x在任何两个整数间(包括整数本身)变化时，至少含有1个周期，则最小的正整数k是( )
A．60
B．61
C．62
D．63
5．已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．
6．函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小值为－2，其图象相邻的最高点与最低点的横坐标之差是3π，又图象过(0,1)点，则这个函数解析式是__________．
7．关于函数f(x)＝4sin
(x∈R)有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0，可得x1－x2必是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos；
③y＝f(x)的图象关于点对称；
④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称．
其中真命题的序号是__________(把你认为正确的命题的序号都填上)．
8．已知函数f(x)＝2sin．
(1)求f(x)的最大值M，最小值N和最小正周期T．
(2)由y＝sin
x的图象经过怎样的变换得到y＝f(x)的图象？
(3)写出函数的对称轴和对称中心．
参考答案
1．解析：将函数y＝2sin(3x＋φ)的图象向右平移个单位长度后得到的函数为
y＝2sin＝2sin，由3x＋＝kπ，得x＝＋(k∈Z)．
令＋＝．
所以φ＝kπ－
(k∈Z)，|φ|的最小值为．
答案：A
2．答案：B
3．答案：C
4．解析：因为k≠0，
所以函数f(x)＝sin的周期T＝．
又T≤1，所以|k|≥20π>62．8．
所以最小的正整数k＝63．
答案：D
5．解析：结合y＝sin
ωx的图象可知y＝sin
ωx在内单调递减，而y＝sin
＝sin，可知y＝sin
ωx的图象向左平移个单位长度之后可得y＝sin的图象，故y＝sin在内单调递减，故应有 ，解得≤ω≤．
答案：
6．答案：y＝2sin
7．解析：如图所示为y=4sin的图象．
函数图象与x轴的交点均匀分布，相邻的两个交点的距离为，故命题①不是真命题；因为与x轴的每一个交点都是函数图象的一个对称中心，所以③是真命题；因为函数图象的对称轴都必须经过图象的最高点或最低点，所以直线x＝－不是对称轴，故④不是真命题；最后由诱导公式可知cos＝sin＝sin，所以命题②是真命题．所以应填②③．
答案：②③
8．解：(1)M＝2，N＝－2，T＝＝π．
(2)变换步骤是：
①把y＝sin
x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得函数y＝sin的图象；
②把函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得函数y＝sin的图象；
③把函数y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得函数f(x)＝2sin的图象．
(3)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋
(k∈Z)，即对称轴是直线x＝＋
(k∈Z)．令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－
(k∈Z)，
即对称中心是
(k∈Z)．
PAGE
11．3.1 正弦函数的图象与性质
知识点一：正弦函数的图象
1．正弦函数y＝sinx(x∈R)的图象关于______对称．
A．y轴
B．直线x＝
C．直线x＝π
D．直线y＝0
2．函数f(x)＝x－sinx零点的个数为
A．1
B．2
C．3
D．无数个
3．函数y＝sinx，x∈R的对称中心为__________．
知识点二：正弦函数的性质
4．下列四个函数中，为周期函数的是
A．y＝3sinx
B．y＝3x
C．y＝sin|x|(x∈R)
D．y＝sin(x∈R且x≠0)
5．函数y＝sin(x＋)在下列哪个区间上是递减的
A．[，]
B．[－π，0]
C．[－，]
D．[－，]
6．函数f(x)＝cos(πx－)－1，则下列命题正确的是
A．f(x)是周期为1的奇函数
B．f(x)是周期为2的偶函数
C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数
7．(2010江西高考，文6)函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为
A．[－1,1]
B．[－，－1]
C．[－，1]
D．[－1，]
8．函数y＝的定义域是__________．
9．求使下列函数取得最小值的自变量x的集合，并写出最小值．
(1)y＝－2sinx，x∈R；(2)y＝－2＋sin，x∈R.
知识点三：正弦型函数
10．(2010湖北高考，文2)函数f(x)＝sin(－)，x∈R的最小正周期为
A.
B．π
C．2π
D．4π
11．(2010四川高考，理6)将函数y＝sinx的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是
A．y＝sin(2x－)
B．y＝sin(2x－)
C．y＝sin(x－)
D．y＝sin(x－)
12．用五点法作出函数y＝2sin(x－)＋3的图象，并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间．
能力点一：函数图象的应用
13．已知简谐运动f(x)＝2sin(x＋φ)(|φ|<)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为
A．T＝6，φ＝
B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝
D．T＝6π，φ＝
14．(2010重庆高考，理6)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则
A．ω＝1，φ＝
B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝2，φ＝
D．ω＝2，φ＝－
15．(2010江西高考，文12)四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数y＝sin2x，y＝sin(x＋)，y＝sin(x－)的图象如下，结果发现恰有一位同学作出的图象有错误，那么有错误的图象是
16．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图．
(1)求出f(x)的解析式；
(2)若g(x)与f(x)的图象关于x＝2对称，求g(x)的解析式．
能力点二：函数性质的应用
17．把函数y＝sinx(x∈R)的图象向左平移个单位长度，再把所得的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是
A．y＝sin(2x－)，x∈R
B．y＝sin(＋)，x∈R
C．y＝sin(2x＋)，x∈R
D．y＝sin(2x＋)，x∈R
18．函数f(x)＝()x－sinx在区间[0,2π]上的零点个数为
A．1
B．2
C．3
D．4
19．函数f(x)＝sin(－2x)的单调增区间为__________.
20．方程sinx＝lgx的实根有__________个．
21．求函数y＝sin2x－sinx＋1在x∈[，]上的最大值和最小值．
22．(2010广东高考，文16)设函数f(x)＝3sin(ωx＋)，ω＞0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．
(1)求f(0)；
(2)求f(x)的解析式；
(3)已知f(＋)＝，求sinα的值．
23．已知函数y＝sinx＋|sinx|.
(1)画出函数的简图．
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．
(3)指出这个函数的单调增区间．
24．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为(，)，且此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点(，0)．若φ∈(－，)，
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．
答案与解析
基础巩固
1．B 2.A 3.(kπ，0)，k∈Z 4.A
5．A y＝sin(x＋)的递减区间是2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，
∴选项A符合要求．
6．D ∵f(x)＝cos(πx－)－1＝sinπx－1，
∴周期T＝＝2.
又∵f(－x)≠±f(x)，
∴f(x)为非奇非偶函数．
7．C 令t＝sinx，则t∈[－1,1]，y＝t2＋t－1＝(t＋)2－，t∈[－1,1]，∴y∈[－，1]．
8．[6kπ－3π，6kπ]，k∈Z
9．解：(1)因为对于y＝sinx，x∈R，当x＝2kπ＋(k∈Z)时有最大值1，所以对于y＝－2sinx，x∈R，当x＝2kπ＋(k∈Z)时有最小值－2，x的集合为{x|x＝2kπ＋，k∈Z}．
(2)因为对于y＝sinx，x∈R，当x＝2kπ－(k∈Z)时有最小值－1，把当作一个整体，相当于上式中的x，则有当＝2kπ－(k∈Z)时，y＝－2＋sin有最小值，即当x＝6kπ－(k∈Z)时，y＝－2＋sin，x∈R有最小值－3，x的集合为{x|x＝6kπ－，k∈Z}．
10．D
11．C 函数y＝sinx的图象上的点向右平行移动个单位长度可得函数y＝sin(x－)的图象；横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y＝sin(x－)的图象，所以所求函数的解析式是y＝sin(x－)．
12．解：(1)列表：
x－
0
π
2π
x
y
3
5
3
1
3
(2)描点．
(3)作图，如下图．周期T＝2π，频率f＝＝，相位为x－，初相为－，最大值为5，最小值为1，函数的减区间为[2kπ＋，2kπ＋]，k∈Z，增区间为[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z.
将函数在一个周期内的图象向左、向右两边扩展即得y＝2sin(x－)＋3的图象．
能力提升
13．A
14．D 由图象知T＝π，∴ω＝2.
∴y＝sin(2x＋φ)．
又由于y＝sin(2x＋φ)图象过点(，1)，∴sin(＋φ)＝1.
∴＋φ＝2kπ＋，
∴φ＝2kπ－(k∈Z)．
∵|φ|<，∴φ＝－.
15．C 函数y＝sin2x取最小值－1时x的值为x＝kπ－(k∈Z)，y＝sin(x＋)取最小值－1时x的值为x＝2kπ－(k∈Z)，y＝sin(x－)取最小值－1时x的值为x＝2kπ－(k∈Z)，因此三个函数中没有两个函数有相同的最低点，所以C错误．
16．解：(1)由图知A＝2.周期T＝7－(－1)＝8，
∴＝8，ω＝.
∵点(1,2)在图象上，
∴2＝2sin(·1＋φ)，即sin(φ＋)＝1.
∴φ＝.
∴f(x)的解析式为f(x)＝2sin(x＋)．
(2)在y＝g(x)的图象上任取一点P(x，y)，则点P关于x＝2的对称点P′(4－x，y)在y＝f(x)的图象上，
∴y＝2sin[·(4－x)＋]，
即y＝2sin(－x)．
∴g(x)的解析式为g(x)＝2sin(－x)．
17．C
18．B
19．[＋kπ，＋kπ]，k∈Z
f(x)＝sin(－2x)
＝－sin(2x－)，
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
20．3
21．解：y＝sin2x－sinx＋1
＝(sinx－)2＋.
∵x∈[，]，
∴由正弦函数的图象知≤sinx≤1.
而函数y＝(t－)2＋在[，1]上单调递增，
∴当sinx＝时，f(x)min＝；
当sinx＝1时，f(x)max＝1.
22．解：(1)由题设可知f(0)＝3sin＝.
(2)∵f(x)的最小正周期为，
∴ω＝＝4.
∴f(x)＝3sin(4x＋)．
(3)由f(＋)＝3sin(α＋＋)
＝3cosα＝，
∴cosα＝.
∴sinα＝±＝±.
拓展探究
23．解：(1)y＝sinx＋|sinx|＝
函数图象如图所示．
(2)由图象知该函数是周期函数，且函数的最小正周期是2π.
(3)由图象知函数的单调增区间为[2kπ，2kπ＋](k∈Z)．
24．解：(1)依题意，A＝，
T＝4×(－)＝π.
∵T＝＝π，ω>0，∴ω＝2.
∴y＝sin(2x＋φ)．
又曲线上的最高点为(，)，
∴sin(2·＋φ)＝1.
∵－<φ<，
∴φ＝.
∴y＝sin(2x＋)．
(2)列出x、y的对应值表
2x＋
0
π
2π
x
－
y
0
0
－
0
作图如下：
PAGE
1已知三角函数值求角
1．若sin
x＝，，则x等于( )
A．
B．
C．
D．
2．在△ABC中，sin
A＝cos
B，则下列等式：①A＝B；②A＋B＝；③A＋B＝π；④A－B＝中，可能成立的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．已知角α终边上的一点的坐标为，则角α的最小正值为( )
A．
B．
C．
D．
4．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则有( )
A．，
B．，
C．ω＝2，
D．ω＝2，
5．函数y＝＋π－arccos(2x－3)的定义域是__________．
6．若是方程2cos(x＋α)＝1的解，其中α∈(0,2π),
则α＝__________.
7．下列说法正确的为__________(只填序号)．
①若点P(a,2a)(a≠0)为角α终边上一点，则；
②同时满足，的角α有且只有一个；
③方程的解集为{x|x＝kπ，k∈Z}．
8．已知集合，集合，求A∩B．
9．已知△ABC的三个内角A，B，C满足sin(180°－A)＝cos(B－90°)，cos
A＝cos(180°＋B)，求角A，B，C的大小．
参考答案
1．答案：C
2．答案：C
3．答案：D
4．解析：当x＝0时，y＝2sin
φ＝1，则.
又由|φ|＜，得.故.把点代入，解得ω＝2.
答案：C
5．答案：
6．答案：
7．解析：对于①，；
对于②，α＝＋2kπ，k∈Z，有无数个；
对于③，由，得x＋＝kπ＋(k∈Z)，
∴x＝kπ(k∈Z)．
综上所述，仅有③正确．
答案：③
8．解：∵，
∴.
∵，
∴
＝.
∴A∩B＝.
9．解：∵sin(180°－A)＝cos(B－90°)，
∴sin
A＝sin
B．①
又∵cos
A＝cos(180°＋B)，
∴cos
A＝cos
B．②
①2＋②2得sin2A＋3cos2A＝2(sin2B＋cos2B)＝2，
又∵sin2A＋cos2A＝1，∴，
即.
∵A∈(0，π)，∴或.
当时，有，
又∵B∈(0，π)，∴，.
当时，
由②得cos
B＝＜0，
可知B为钝角，在一个三角形中不可能出现两个钝角，此种情况无解．
综上可知，A，B，C的大小分别为，，.
PAGE
11.3.3 已知三角函数值求角
知识点一：已知正弦值求角
1．下列命题中正确的是
A．若sinx＝sinα，则x＝α
B．若sinx＝sinα，则x＝2kπ＋α(k∈Z)
C．若sinx＝sinα，则x＝2kπ±α(k∈Z)
D．若sinx＝sinα，则x＝2kπ＋α或x＝(2k＋1)π－α(k∈Z)
2．已知α是三角形的内角，sinα＝，则角α等于
A.
B.
C.或
D.或
3．arcsin(sin)＝__________.
4．下列命题中：
①arcsin(－)＝－arcsin；②arcsin0＝0；③arcsin1＝；④arcsin(－1)＝－，其中正确命题的序号是__________．
知识点二：已知余弦值和正切值求角
5．若cosx＝0，则x等于
A.
B．kπ(k∈Z)
C．2kπ＋(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
6．在下式arccos，arcsin(log34)，arcsin(－1)2，arcsin(tan)中，有意义的式子个数是
A．0
B．1
C．2
D．3
7．若tanα＝，且α∈(，)，则α等于
A.
B.
C.
D.
8．点A(4a，－3a)(a≠0)在角α终边上，则tanα＝__________，α＝__________.
9．已知cosx＝－，按要求求角x的值．
(1)x是三角形的一个内角；
(2)x∈[0,2π]．
能力点一：符号arcsinx，arccosx，arctanx的应用
10．使arcsin(1－x)有意义的x的取值范围是
A．[1－π，1]
B．[0,2]
C．(－∞，1]
D．[－1,1]
11．适合tanx＝－的角x的集合是
A．{x|x＝(k＋1)π－arctan，k∈Z}
B．{x|x＝(2k－1)π－arctan，k∈Z}
C．{x|x＝kπ＋arctan，k∈Z}
D．{x|x＝(k＋1)π＋arctan，k∈Z}
12.的值等于
A.
B．0
C．1
D．－1
13．若0A．[0，arcsina]
B．[arcsina，π－arcsina]
C．[π－arcsina，π]
D．[arcsina，＋arcsina]
14．已知集合A＝{x|sinx＝}，B＝{x|tanx＝－}，则A∩B＝__________.
15．若a＝arcsin，b＝arctan，c＝arccos，则a、b、c的大小关系为__________．
16．求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝.
能力点二：综合应用
17．tan[arccos(－)]＝__________.
18．在Rt△ABC中，C＝90°且sin2B＝sinAsinC，则A＝__________.
19.若f(arcsinx)＝x2＋4x，求f(x)的最小值，并求f(x)取得最小值时的x的值．
20．求下列函数的定义域与值域．
(1)y＝；
(2)y＝arccos(x2－x)．
21．求函数y＝cos2x＋sinx的最大值和最小值，并求使函数取得最大和最小值时的自变量x的集合．
答案与解析
基础巩固
1．D 2.D
3. ∵sin＝sin(π－)
＝sin＝，
∴arcsin(sin)＝arcsin＝.
4．①②③④
5．D 6.B
7．C ∵tan＝，且在(，)内，有tan(π＋)＝，∴α＝.
8．－ kπ－arctan(k∈Z)
tanα＝＝－，
∴角α终边在第二、四象限，
∴α＝kπ－arctan.
9．解：已知cos＝，cosx＝－<0，
∴x是第二或第三象限的角．
(1)x是三角形的一个内角，
则x∈(，π)，∴x＝π－＝.
(2)已知x∈[0,2π]，
则x∈[，]．
∴x＝π－或x＝π＋，即x＝或x＝为所求．
能力提升
10．B 由－1≤1－x≤1得0≤x≤2.
11．A
12．D 原式＝
＝＝－1.
13．B ∵0∴满足sinx≥a的x的范围是[arcsina，π－arcsina]．
14．{x|x＝2kπ＋，k∈Z}
15．c>b>a ∵sina＝，sinb＝，sinc＝，
又∵>>.∴c>b>a.
16．解：(1)为使函数有意义，
－cosx≥0，即cosx≤，
由余弦函数性质知
－1≤cosx≤，
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
即所求函数定义域是[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)．
(2)已知tanx－3≠0，即tanx≠3.
∴x≠kπ＋arctan3(k∈Z)．
∵x≠＋kπ，k∈Z，
∴函数的定义域是{x∈R|x≠kπ＋arctan3且x≠＋kπ，k∈Z}．
17．－ 令α＝arccos(－)，则α∈[0，π]，cosα＝－，
∴sinα＝.
∴tanα＝＝－.
18．arcsin 由已知A＋B＝90°，且sin2B＝sinA，
∴sin2(90°－A)＝sinA，即cos2A＝sinA，
∴sin2A＋sinA－1＝0.
∴sinA＝.
∵0∴sinA＝.
故A＝arcsin.
19．解：令t＝arcsinx，t∈[－，]．
则sint＝x，sint∈[－1,1]，
于是f(t)＝sin2t＋4sint，
即f(x)＝(sinx＋2)2－4，x∈[－，]．
∵－1≤sinx≤1，∴当sinx＝－1，即x＝－时，f(x)取得最小值(－1＋2)2－4＝－3.
拓展探究
20．解：(1)由arcsin(2cosx)≥0得0≤2cosx≤1，即0≤cosx≤，
∴函数的定义域为{x|2kπ－≤x≤2kπ－，k∈Z}∪{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}，
由0≤arcsin(2cosx)≤知，函数的值域为[0，]．
(2)由－1≤x2－x≤1得≤x≤，
又x2－x＝(x－)2－≥－，
∴0≤arccos(x2－x)≤arccos(－)＝π－arccos.
∴函数的定义域为[，]，值域为[0，π－arccos]．
21.解：由sin2x＋cos2x＝1，得cos2x＝1－sin2x，
∴y＝cos2x＋sinx
＝－sin2x＋sinx＋1.
∴y＝－(sinx－)2＋.
∵－1≤sinx≤1，
∴当sinx＝时，ymax＝，此时x＝2kπ＋或x＝2kπ＋(k∈Z)，当sinx＝－1时，ymin＝－1，此时x＝2kπ－(k∈Z)，即当x∈{x|x＝2kπ＋或x＝2kπ＋，k∈Z}时，ymax＝；
x∈{x|x＝2kπ－，k∈Z}时，ymin＝－1.
PAGE
11.3.1
正弦函数的图象与性质
1．函数的单调递增区间是( )
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
2．要得到的图象，只需将y＝sin
2x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
3．已知正弦型函数在一个周期内的图象如图所示，则它的表达式可以为( )
A．
B．
C．
D．
4．已知函数y＝f(x)，f(x)图象上所有点的纵坐标保持不变，将横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位长度，得到的曲线与y＝sin
x的图象相同，则y＝f(x)的表达式为( )
A．
B．
C．
D．
5．已知函数，其中k≠0，当自变量x在任何两个整数间(包括整数本身)变化时，至少含有1个周期，则最小的正整数k是( )
A．60
B．61
C．62
D．63
6．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是实数集R上的偶函数，则φ的值为__________．
7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的图象中，最高点(距原点最近)的坐标是(2，)，由这个最高点到相邻最低点的曲线与x轴交于点(6,0)，则此函数的解析式应为__________．
8．关于函数f(x)＝4
(x∈R)有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0，可得x1－x2必是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写为；
③y＝f(x)的图象关于点对称；
④y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
其中正确的命题的序号是__________(注：把你认为正确的命题的序号都填上)．
9．(2012·山东济宁期末)函数f(x)＝Asin(ωx＋θ)的一系列对应值如下表：
x
…
0
…
f(x)
…
0
1
0
－1
0
…
(1)根据表中数据求出f(x)的解析式；
(2)指出函数f(x)的图象是由函数y＝sin
x(x∈R)的图象经过怎样的变化而得到的．
10．已知f(x)＝－2a＋2a＋b，x∈，是否存在常数a，b∈Q，使得f(x)的值域为{y|－3≤y≤}？若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．
参考答案
1．解析：令2x－∈，k∈Z，
可解得x∈，k∈Z.
故选B．
答案：B
2．答案：A
3．解析：从图象中可以看出，曲线的振幅，周期T＝＝π，
∴ω＝＝2，则有y＝sin(2x＋φ)＋，再将(0,1)代入，得sin
φ＝1，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z.当k＝0时，，故选A．
答案：A
4．解析：采用逆向思维方式，由题意，y＝sin
x的图象沿x轴向右平移个单位长度后，得到，再保持此函数图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到，即y＝f(x)的解析式．
答案：D
5．解析：∵k≠0，
∴函数的周期.
又∵T≤1，
∴|k|≥20π＞62.8.
∴最小的正整数k＝63.
答案：D
6．解析：∵f(x)＝sin(2x＋φ)是实数集R上的偶函数，
∴当x＝0时，sin
φ＝±1.又∵0≤φ≤π，∴φ＝.
答案：
7．解析：依题意，A＝，T＝4×(6－2)＝16，，
∴.再将(2，)代入，有，故，则＋φ＝2kπ＋，∴φ＝2kπ＋，k∈Z.
又∵0＜φ＜π，∴φ＝.
故所求函数的解析式为.
答案：
8．解析：如下图为的图象．
函数图象与x轴的交点均匀分布，相邻的两个交点的距离为，故命题①不正确；与x轴的每一个交点，都是函数图象的一个对称中心，所以命题③正确；函数图象的对称轴都必须经过图象的最高点或最低点，所以直线不是对称轴，故命题④不正确；由诱导公式可知，所以命题②正确．故应填②③.
答案：②③
9．解：(1)由已知条件，可得，ω＝2，
故f(x)＝sin(2x＋θ)，
∴.
∴θ＝＋kπ(k∈Z)．∵|θ|＜，∴θ＝.
∴.
(2)y＝sin
x
.
10．解：因为，所以，
所以－1≤≤.若存在这样的有理数a，b，则
(1)当a＞0时，
解得a＝1，b＝－5(舍去)．
(2)当a＜0时，
解得a＝－1，b＝1.
综上，a，b存在，且a，b的值分别为－1,1.
PAGE
11.3.1
正弦函数的图象与性质（1）
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.用“五点法”画y=sinx，x∈［0，2π］的简图时，正确的五个点应为（
）
A.（0，0），（，1），（π，0），（，-1），（2π，0）
B.（0，0），（，-1），（-π，0），（，1），（-2π，0）
C.（0，1），（，0），（π，1），（，-1），（2π，-1）
D.（0，-1），（，0），（π，-1），（，0），（2π，0）
提示：在［0，2π］上，y=sinx有三个零点、一个最大值点和一个最小值点.
答案：A
2.正弦函数y=sinx的单调增区间是（
）
A.［2kπ，2kπ+π］，k∈Z
B.［2kπ-，2kπ+］，k∈Z
C.［2kπ+π，2kπ+2π］，k∈Z
D.［2kπ+，2kπ+］，k∈Z
解析：由正弦函数的图象性质可直接选择B项.
答案：B
3.函数y=sin2x为（
）
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数
解析：根据奇函数的定义f（-x）=-f（x）知，函数y=sin2x是奇函数.
答案：A
4.函数y=sinx+4的值域为_______________________.
解析：因为sinｘ的最大值为1，最小值为-1，所以sinｘ+4的值域为［3，5］.
答案：［3，5］
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.y=sinx的图象的大致形状是图1-3-1中的（
）
图1-3-1
答案：B
2.在［0，2π］上，满足sinx≥的x取值范围是（
）
A.［0，］
B.［，］
C.［，］
D.［，2π］
解析：由正弦函数y=sinx的图象知，当x∈［，］时，sinx≥.
答案：B
3.函数y=sin（）的最小正周期是（
）
A.π
B.2π
C.4π
D.
解析：y=sin（+）=-sin（-），ω=，所以周期T==4π.
答案：C
4.比较大小:
（1）sin_________________cos；
（2）sin（）_________________sin（）.
解析：（1）∵cos=sin（+），又＜＜+＜，y=sinx在［，］上是减函数，
∴sin＞sin（+）=cos，
即sin＞cos.
（2）∵-＜0，sinx在［，0］上是增函数，
∴sin（）＞sin（）.
答案：（1）＞
（2）＞
5.若sinx=，且x∈［，］，则m的取值范围是_________________.
解析：因为x∈［，］，所以|sinx|≤，即｜｜≤2｜1-m｜≤｜2m+3｜.
所以4（1-m）2≤（2m+3）2m≥-.
答案：［，+∞)
6.求函数f（x）=cos2x+sinx在区间［，］上的最小值.
解：∵f（x）=cos2x+sinx=-sin2x+sinx+1=-（sinx）2+，
∵≤x≤，
∴≤sinx≤.
∴当sinx=时，
f（x）min=-（）2+=.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.已知a=sin，b=cos（），c=sin，d=cos，则a、b、c、d的大小关系为（
）
A.a＞b＞c＞d
B.a＜b＜c＜d
C.a＞c＞b＞d
D.a＜c＜b＜d
解析：由题意，a=sin（2π-）=-sin；
b=cos（）=cos；
c=sin（π+）=-sin；
d=cos（3π-）=-cos=-sin.
∵y=sinx在［0，］上单调递增，
∴y=-sinx在［0，］上单调递减.
又∵0＜＜＜＜＜，
∴a＞b＞c＞d.
答案：A
2.已知α、β∈（0，），且cosα＞sinβ，则α+β与的大小关系是（
）
A.α+β＞
B.α+β＜
C.α+β≥
D.α+β≤
解析：因为α、β∈（0，）,则-α∈（0，），又cosα＞sinβ，所以sin（-α）＞sinβ，而sinx在（0，）上是增函数，所以-α＞β，故α+β＜.
答案：B
3.(2006高考江西卷,文2)函数y=4sin(2x+)+1的最小正周期为（
）
A.
B.π
C.2π
D.4π
解析：最小正周期为T==π.
答案：B
4.已知y=f（x）是周期为2π的函数，当x∈［0，2π］时，f（x）=sin，则f（x）=的解集是（
）
A.｛x｜x=2kπ+，k∈Z｝
B.｛x｜x=2kπ+，k∈Z｝
C.｛x｜x=2kπ±，k∈Z｝
D.｛x｜x=2kπ+（-1）k，k∈Z｝
解析：当x∈［0，2π］时，由sin=得=或，即当x∈［-π，π］时，=或，所以x=或.所以x=2kπ±（k∈Z）.
答案：C
5.定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈（0，）时，f（x）=sinx，则f()的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：f（）=f（π+）=f（）=f（π-）=f（-）=f（）.
∵当x∈［0，］时，f（x）=sinx,
∴f（）=sin=,f()=
.
答案：D
6.观察正弦曲线，得到不等式sinx＞1在区间［0，π］内的解集为（
）
A.［0,π］
B.{}
C.
D.{0,,π}
解析：∵sinx的值不大于1,
∴sinx＞1的解集为.
答案:C
7.下列四个函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（
）
A.y=｜sin2x｜
B.y=sin2x
C.y=｜sinx｜
D.y=sinx
解析：y=｜sinx｜的图象如图，符合题目要求.
答案：C
8.函数y=sinx-|sinx|的值域为_________________.
解析：y=（k∈Z），
∴y∈［-2，0］.
答案：［-2，0］
9.函数y=2sin（-x）的单调增区间是_________________.
解析：y=2sin（-x）化为y=-2sin（x）.
∵y=sinu（u∈R）的单调减区间是［2kπ+，2kπ+］（k∈Z）,
∴y=-2sin（x-）的单调增区间由下面的不等式确定:
2kπ+≤x-≤2kπ+（k∈Z）,
得2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z）.
故函数y=2sin（-x）的单调增区间是［2kπ+，2kπ+］（k∈Z）.
答案：［2kπ+，2kπ+］（k∈Z）
10.求函数y=2cos2x+5sinx-4的最大值和最小值.
解：y=2cos2x+5sinx-4=-2sin2x+5sinx-2=-2（sinx-）2+，
∵sinx∈［-1，1］,
∴当sinx=-1,
即x=2kπ-（k∈Z）时，y有最小值-9，
当sinx=1即x=2kπ+（k∈Z）时，y有最大值1.
11.若函数f（n）=sin（n∈Z），求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2
008）的值.
解：∵sin=sin(+2π)=sinπ,
∴f（n）=f（n+12）.
∴f(n)=sin是周期函数,周期为12.
又∵f（1）+f（2）+f（3）+…+f（12）=0，且2
008=12×167+4,
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2
008）=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）
=sin+sin+sin+sin=+.
PAGE
11.3.2
余弦函数、正切函数的图象与性质
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.函数y=xcosx（
）
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.是非奇非偶函数
解析：由f(-x)=(-x)·cos(-x)=-x·cosx=-f(x)，可知f(x)是奇函数.
答案：A
2.若α、β∈（，π），且tanα＜cotβ，则必有（
）
A.α＜β
B.β＜α
C.α+β＜
D.α+β＞
解析：∵α、β∈（，π）,
∴-β∈（，π）.
∵tanα＜cotβ=tan（-β），且tanx在（，π）上单调递增,
∴α＜-β,∴α+β＜.
答案：C
3.函数y=的定义域是___________________.
解析：要使函数y=有意义，则有即x≠kπ-，
且x≠kπ+（k∈Z）.
∴函数的定义域为｛x｜x∈R，且x≠kπ-，x≠kπ+，k∈Z｝.
答案：｛x｜x∈R，且x≠kπ，x≠kπ+，k∈Z｝
4.函数y=3cosx+1的最大值是________________，最小值是________________.
解析：∵-1≤cosx≤1,
∴y=3cosx+1的最大值是4，最小值是-2.
答案：4
-2
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.余弦函数y=cosx的单调减区间是（
）
A.［2kπ，2kπ+π］，k∈Z
B.［2kπ-，2kπ+］，k∈Z
C.［2kπ+π，2kπ+2π］，k∈Z
D.［2kπ+，2kπ+］，k∈Z
答案：A
2.函数y=3cos（2x+）+1取得最大值时，x的值应为（
）
A.2kπ-，k∈Z
B.kπ-，k∈Z
C.kπ-，k∈Z
D.kπ+，k∈Z
解析：依题意，当cos（2x+）=1时，y有最大值，此时2x+=2kπ，k∈Z，变形为x=kπ，k∈Z.
答案：B
3.下列说法不正确的是（
）
A.正弦函数、余弦函数的定义域是R，值域是［-1，1］
B.余弦函数当且仅当x=2kπ（k∈Z）时取得最大值1，当且仅当x=（2k+1）π（k∈Z）时取得最小值-1
C.正弦函数在每个区间［+2kπ，+2kπ］（k∈Z）上都是减函数
D.余弦函数在每个区间［2kπ-π，2kπ］（k∈Z）上都是减函数
提示：画出正、余弦函数一个周期的图象，分析即得.
答案：D
4.(2006高考全国卷Ⅰ,5)函数f(x)=tan（x+）的单调增区间是（
）
A.(kπ-,kπ+)，k∈Z
B.(kπ,(k+1)π)，k∈Z
C.（kπ-，kπ+），k∈Z
D.（kπ-，kπ+），k∈Z
解析：由题意kπ-＜x+＜kπ+，
∴kπ＜x＜kπ+，k∈Z.
∴增区间为（kπ，kπ+），k∈Z.
答案：C
5.(1)三个数cos，sin,-cos的大小关系是_______________;
(2)比较tan1、tan2、tan3的大小:
_______________.
(1)解析：∵sin=cos（-）=cos1.47,
-cos=cos（π-）=cos1.39，cos=cos1.5，而y=cosx在［0，π］上是减函数，
故由0＜1.39＜1.47＜1.5＜π可得cos1.5＜cos1.47＜cos1.39，
∴cos＜sin＜-cos.
答案：cos＜sin＜-cos
(2)解析：∵tan2=tan（2-π）,tan3=tan（3-π）,
又∵＜3＜π,
∴＜3-π＜0，显然，＜2-π＜3-π＜1＜.
而y=tanx在（，）内是增函数，
∴tan（2-π）＜tan（3-π）＜tan1，即tan2＜tan3＜tan1.
答案：tan2＜tan3＜tan1
6.如何由y=sinx的图象得到y=2cos(x+)的图象
解：∵y=2cos(x+)=2sin(x+),∴可由y=sinx的图象向左平移个单位,得到y=sin(x+)的图象,再把y=sin(x+)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=sin(x+)的图象,再把纵坐标伸长到原来的2倍,得到y=2sin(x+)的图象,即y=2cos(x+)的图象.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.函数y=-5cos（3x+1）的周期为（
）
A.
B.3π
C.
D.
解析：该函数最小正周期T==.
答案：C
2.函数y=tan2（x+）（
）
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.是非奇非偶函数
解析：∵y=tan2（x+）=tan（2x+）=-cot2x=，
∴f（-x）==-f（x）.
∴f（x）为奇函数.
答案：A
3.将函数y=cosx图象的纵坐标保持不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移个单位，所得函数图象的解析式为（
）
A.y=cos（2x+）
B.y=cos（-）
C.y=cos（-）
D.y=cos（+）
解析：根据题意,函数的变化过程是:y=cosx→y=cosx→y=cos（x-）=cos（-）.
答案：C
4.函数y=cos（2x+）的图象的一条对称轴方程为（
）
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=π
解析：依题意，令cos（2x+）=-sin2x=±1，则2x=kπ+，x=kπ+，k∈Z.
显然当k=-1时，x=-.
答案：B
5.今有一组生物实验数据如下：
x
0
0.261
6
0.436
1
0.785
4
1.308
9
y
0
0.258
8
0.422
6
0.708
5
0.912
5
现准备用下列函数中的某个函数近似表示数据满足的规律，其中接近的一个是（
）
A.y=tanx
B.y=1-cosx
C.y=sinx
D.y=2x-1
解析：四个函数在［0，1.5］上都是增函数，且当x=0时都有y=0，但通过特值估算发现，≈0.785
4，此时tan=1，1-cos≈0.293，sin≈0.707，0＜20.785
4-1＜1，可排除选项A、B；当x=1.308
9时，由图象知2x-1＞1，从而排除D项.
答案：C
6.使sinx≤cosx成立的一个x的变化区间是（
）
A.［，］
B.［，］
C.［，］
D.［0，π］
解析：作出y=sinx及y=cosx在［-π，π］上的图象，观察可知C项正确.
答案：C
7.(2006高考四川卷，5)下列函数中,图象的一部分如图1-3-5所示的是（
）
图1-3-5
A.y=sin(x+)
B.y=sin(2x-)
C.y=cos(4x-)
D.y=cos(2x-)
解析：（特殊值法）由于x=，y=1，故将x=分别代入各选项，可排除A、B；又x=时，y=0，将x=分别代入选项C、D，可排除C.所以选D.
答案：D
8.函数y=tan（+）的单调增区间是______________________.
解析：∵kπ-＜+＜kπ+，kπ-＜＜kπ+，
∴2kπ-＜x＜2kπ+.
答案：（2kπ-，2kπ+），k∈Z
9.函数y=4sin（3x+）+3cos（3x+）的最小正周期为_______________.
解析：∵4sin（3x+）和3cos（3x+）的最小正周期都是，∴所求函数的最小正周期为T=.
答案：
10.已知某海滨浴场的海浪高度y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，记作y=f（t），下表是某日各时的浪高数据：
t（h）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（m）
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y=f（t）的曲线可近似地看成函数y=Acosωt+b.
（1）根据上述数据，求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
（2）根据规定，当海浪高度不低于1
m时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内对冲浪爱好者能开放几次 时间最长的一次是什么时候 有多长时间 时间最短的一次是什么时候 有多长时间
解：（1）A==，而A+b=1.5.∴b=1.
再根据T=12，得ω=.
∴y=cost+1.
（2）由y≥1cost+1≥1，
∴cost≥0.
∴2kπ-≤t≤2kπ+，k∈Z.
∴12k-3≤t≤12k+3.∴k=0时，t∈［0，3］；当k=1时，t∈［9，15］；
当k=2时，t∈［21，24］.
∴一天内对冲浪爱好者能开放三次.时间最长的一次是上午9时至下午3时，共有6个小时，时间最短的一次是早晨零点到3点或晚上21时至第二天零点，时间都是3小时.
11.研究函数y=|tanx|与y=tan|x|的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性及函数图象.
解：y=|tanx|的定义域为{x|x≠kπ+，x∈R}，值域为{y|y≥0}，图象如下:
由图象可知周期为π，为偶函数.
［kπ，kπ+）（k∈Z）为增区间，（kπ-，kπ］（k∈Z）为减区间.
y=tan|x|的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，值域为R，图象如下：
由图象分析无周期性，（，）的图象不会重复出现，为偶函数.
其中［0，)，（kπ-，kπ+）（k∈Z且k＞0）为单调增区间,
（，0］，（kπ-，kπ+）（k∈Z且k＜0)为单调减区间.
PAGE
11.3.3
已知三角函数值求角
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.方程2sinx=(x∈［0,4π］)的解的个数有（
）
A.1个
B.2个
C.4个
D.无数个
提示：利用正弦函数图象.
答案：C
2.函数y=arcsinx+arctanx的定义域为（
）
A.（-1，1）
B.［-1，1］
C.［,］
D.R
解析：函数y=arcsinx的定义域为［-1，1］，函数y=arctanx的定义域为R，取交集.
答案：B
3.用符号表示下列各式中的x：
(1)sinx=0.348，则x=_____________；(2)cosx=，则x=____________；(3)tanx=，则x=_______________.
解析：(1)∵x∈［，］，且sinx=0.348，
∴x=arcsin0.348.
(2)∵x∈［0，π］，且cosx=，
∴x=arccos.
(3)∵x∈(，)，且tanx=-，
∴x=arctan（）=-arctan.
答案：(1)arcsin0.348
(2)arccos
(3)arctan（）或-arctan
4.已知tanx=，且x∈（，），则x=________________.
解析：因为正切函数在区间（，）上是增函数，所以正切值等于的角x有且只有一个.
由tan（）=-tan=，得x=.
答案：
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.下列函数，在［，π］上是增函数的是（
）
A.y=sinx
B.y=cosx
C.y=sin2x
D.y=cos2x
解析：∵y=sinx与y=cosx在［，π］上都是减函数，∴排除选项A、B.
∵≤x≤π，∴π≤2x≤2π，知y=sin2x在［π，2π］内不具有单调性，
∴又可排除C项.
答案：D
2.若＜θ＜，则下列关系式中成立的是（
）
A.sinθ＞cosθ＞tanθ
B.cosθ＞tanθ＞sinθ
C.sinθ＞tanθ＞cosθ
D.tanθ＞sinθ＞cosθ
解析一：在同一坐标系内分别作出y=sinθ，y=cosθ，y=tanθ，θ∈（，）的图象，
由图可知，当θ∈（，）时，tanθ＞sinθ＞cosθ.
解析二：如图所示，θ∈（，），作出其正弦线、余弦线、正切线分别为MP、OM、AT，由图可看出：
AT＞MP＞OM，即tanθ＞sinθ＞cosθ.
答案：D
3.在区间（，）范围内，函数y=tanx与函数y=sinx的图象交点的个数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析一：在同一坐标系中，首先作出y=sinx与y=tanx在（，）内的图象，需明确x∈（，）的两个函数的图象，由图象可知它们有三个交点.
解析二：x∈（，），即sinx=tanx=，sinx（）=0，sinx=0或cosx=1，在x∈（，）内，x=-π，0，π满足sinx=0，x=0满足cosx=1，所以交点个数为3.
答案：C
4.已知函数y=2sin（ωx+φ）（|φ|＜，ω＞0）的图象如图1-3-6所示，则有…（
）
图1-3-6
A.ω=，φ=
B.ω=，φ=
C.ω=2，φ=
D.ω=2，φ=
解析：当x=0时，y=2sinφ=1，sinφ=.
又由|φ|＜，所以φ=.又点A坐标为（，0），即（，0），由，解得ω=2.
答案：C
5.在△ABC中，cosA=，则A=______________.
解析：△ABC中，∠A∈（0，π），而cosx在（0，π）上是减函数，∴cosA=的A有且只有一个，而cos（π）=-cos=，∴A=.
答案：
6.求函数y=3cos2x-4cosx+1，x∈［，］的最大值与最小值.
解：y=3cos2x-4cosx+1=3（cosx）2-，∵x∈［，］，∴cosx∈［，］.从而当cosx=，即x=时，ymax=;当cosx=，即x=时，ymin=-.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.已知点P（sinα-cosα，tanα）在第一象限，则在［0，2π］内，α的取值范围是（
）
A.（，）∪（π，）
B.（，）∪（π，）
C.（，）∪（,)
D.（，）∪（，π）
解析：点P在第一象限，其纵坐标y=tanα＞0，因此α是第一、三象限角，而选项A、C、D的取值范围中皆含有第二象限角，故排除选项A、C、D.
答案：B
2.n为整数,化简所得的结果是（
）
A.tannα
B.-tannα
C.tanα
D.-tanα
解析：当n=2k(k∈Z)时,原式==tanα;
当n=2k+1(k∈Z)时,原式==tanα.
答案：C
3.计算式子arctan(-1)+arcsin+arccos()的值为（
）
A.0
B.
C.
D.
解析：∵arctan(-1)=,arcsin=，arccos()=,∴原式=.
答案：D
4.(2006高考重庆卷，文10)若α、β∈(0,),cos(α)=,sin(-β)=,则cos(α+β)的值等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：∵α、β∈(0,
)，∴-＜α-＜,＜-β＜，由cos(α)=和sin(-β)=，可得α-=±，-β=,当α-=时，α+β=0，
与α,β∈(0,
)矛盾；当α-=,
-β=时,α=β=，此时cos(α+β)=.
答案：B
5.已知函数y=tan（2x+φ）的图象过点（，0），则φ可以是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：∵y=tan（2x+φ）过（，0），∴tan（+φ）=0.∴+φ=kπ.∴φ=kπ.当k=0时，φ=.∴应选A项.
答案：A
6.定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈［0，］时，f（x）=sinx，则f(）的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：f（）=f（π+）=f（）=f（π-）=f（）=f（），∵当x∈［0，］时，f（x）=sinx，∴f（）=sin=，∴应选D项.
答案：D
7.若函数f（x）=sin（2x+φ）是偶函数，则φ的一个值为（
）
A.φ=π
B.φ=
C.φ=
D.φ=
解析：φ=-时，f（x）=sin（2x-）=-sin（-2x）=-cos2x是偶函数.
答案：B
8.y=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=_____________.
解析：∵T==，∴ω=3.
答案：3
9.已知f（n）=cos，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2
006）=_____________.
解析：因为f（n）=cos具有周期,T=8，且f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=0，而2
006=250×8+6，所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2
006）=f（1）+f（2）+f（3）+f（5）+f(6)=cos+cos+cos+cosπ+cos+=-1-.
答案：-1-
10.若A是△ABC的一个内角，且sinA+cosA=，求A.
解：由已知得
①2-②得2sinAcosA=，即sinA·cosA=.
③
由①③知sinA、cosA是方程x2-x=0的两个根，解得x1=，x2=.
又由A为三角形内角知，A∈（0，π）,
由三角函数值规律,知
∴A为钝角，∴A=π-arcsin.
11.求函数y=2sin（-x）-cos（+x）（x∈R）的最小值.
解：y=2sin（-x）-cos（+x）=2sin（-x）-cos［-（-x）］
=2sin（-x）-sin（-x）=sin（-x），
∵x∈R，∴ymin=-1.
PAGE
1正切函数的图象与性质
1．已知，则( )
A．f(1)＞f(0)＞f(－1)
B．f(0)＞f(1)＞f(－1)
C．f(0)＞f(－1)＞f(1)
D．f(－1)＞f(0)＞f(1)
2．与函数的图象不相交的一条直线是( )
A．
B．
C．
D．
3．若将函数(ω＞0)的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则ω的最小值为( )
A．
B．
C．
D．
4．在区间内，函数y＝tan
x与函数y＝sin
x的图象交点的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
5．函数在区间[－π，π]内的大致图象是下列图中的( )
6．比较tan
1，tan
2，tan
3的大小：__________.
7．函数f(x)＝tan
ωx(ω＞0)的图象的相邻两支截所得的线段长为，则的值是__________．
8．下面五个命题中，正确命题的序号是__________．
①的最小正周期是；
②终边在坐标轴上的角的集合是；
③的图象向右平移个单位长度，可得y＝4tan
2x的图象；
④函数在区间内是增函数．
9．已知函数.
(1)求f(x)的定义域、值域；
(2)讨论f(x)的周期性、奇偶性和单调性．
10．若x∈，求函数y＝＋2tan
x＋1的最值及取得最值时相应的x的值．
参考答案
1．答案：C
2．答案：C
3．解析：将函数(ω＞0)的图象向右平移个单位长度，得.
又∵平移后函数的图象与的图象重合，
∴(k∈Z)，即(k∈Z)．
∴当k＝0时，ωπ＝，即ω的最小值为.
故选D．
答案：D
4．答案：C
5．解析：当x∈时，f(x)＝tan
x，
当x∈时，f(x)＝－tan
x，
当x∈时，f(x)＝－tan
x．故选C．
答案：C
6．解析：tan
2＝tan(2－π)，tan
3＝tan(3－π)，
∵＜3＜π，∴＜3－π＜0.
显然，＜2－π＜3－π＜1＜.
又∵y＝tan
x在内是增函数，
∴tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan
1，
即tan
2＜tan
3＜tan
1.
答案：tan
2＜tan
3＜tan
1
7．解析：由题意知T＝，∴，即ω＝4，从而f(x)＝tan
4x，
∴＝tan
π＝0.
答案：0
8．答案：②③④
9．解：(1)由≠＋kπ，k∈Z，
解得x≠＋2kπ，k∈Z.
故f(x)的定义域为，值域为R.
(2)f(x)为周期函数，周期T＝＝2π.
f(x)的定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．
由＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z，
解得＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z.
故函数的单调递增区间为
(k∈Z)．
10．分析：先化为关于tan
x的一元二次函数，再求值．
解：y＝＋2tan
x＋1＝＋2tan
x＋1＝tan2x＋2tan
x＋2＝(tan
x＋1)2＋1.
∵x∈，
∴tan
x∈[，1]．
故当tan
x＝－1，即时，y取最小值1；
当tan
x＝1，即时，y取最大值5.
PAGE
1余弦函数的图象与性质
1．函数y＝－5cos(3x＋1)的最小正周期为( )
A．
B．3π
C．
D．
2．(2012·山东邹城质检)已知函数f(x)＝cos
x在区间[a，b]上是减函数，且f(a)＝1，f(b)＝－1，则( )
A．0
B．
C．1
D．－1
3．要得到函数的图象，只需将函数y＝cos
2x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
4．下图为下列某一函数图象的一部分，该函数为( )
A．
B．
C．
D．
5．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A．
B．
C．
D．
6．已知f(n)＝，n∈N＋，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)＝__________.
7．若函数y＝(cos
x－a)2＋1在cos
x＝1时取最大值，在cos
x＝a时取最小值，则实数a应满足的范围为__________．
8．一个大风车的半径为8
m,12分钟旋转一周，它的最低点离地面2
m(如图所示)，则风车翼片的一个端点离地面的距离h(米)与时间t(分钟)之间(h(0)＝2)的函数关系式为____________．
9．已知函数f(x)＝2cos
ωx(ω＞0)，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．
10．函数f(x)＝＋acos
x＋sin2x的最大值为2，求实数a的值．
参考答案
1．解析：该函数的最小正周期.
答案：C
2．答案：C
3．解析：∵，∴将y＝cos
2x的图象向右平移个单位长度，得到的图象．
答案：B
4．解析：(特殊值法)由于当时，y＝1，故将分别代入各选项，可排除选项A，B；又当时，y＝0，将分别代入选项C，D，可排除选项C．故选D．
答案：D
5．解析：∵y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称知，，即.
∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)．
∴φ＝kπ＋－(k∈Z)．
∴|φ|min＝.
答案：A
6．答案：－1
7．答案：－1≤a≤0
8．解析：首先考虑建立直角坐标系，以最低点的切线作为x轴，最低点作为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
那么，风车上翼片端点P所在位置可由函数x(t)，y(t)来刻画，而且h(t)＝y(t)＋2，所以只需要考虑y(t)的解析式．又设P的初始位置在最低点，即y(0)＝0.
在Rt△O1PQ中，，所以y(t)＝－8cos
θ＋8.
而，所以θ＝t，
所以y(t)＝－8t＋8，
则h(t)＝－8t＋10.
故填h(t)＝－8t＋10.
答案：h(t)＝－8t＋10
9．解：(1)由题意知f(x)的周期T＝π，故，解得ω＝2.所以f(x)＝2cos
2x.则.
(2)将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象，
所以g(x)＝.
当2kπ≤≤2kπ＋π(k∈Z)，
即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减，
因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
10．解：，且0≤cos
x≤1.
(1)当0≤≤1，即0≤a≤2时，cos
x＝，函数f(x)可取得最大值，此时f(x)max＝.
由，解得a＝3或a＝－2，均不合题意，舍去．
(2)当，即a＜0时，cos
x＝0，函数f(x)可取得最大值，此时f(x)max＝.由，解得a＝－6.
(3)当＞1，即a＞2时，cos
x＝1，函数f(x)可取得最大值，此时f(x)max＝.由，解得.
综上，a的值为－6或.
PAGE
11.3.2
余弦函数正切函数的图象与性质
课后导练
基础达标
1.直线y=a(a为常数)与正切曲线y=tanωx（ω是常数且ω>0）相交，则相邻两交点间的距离是（
）
A.π
B.
C.
D.与a的值有关
答案：C
2.在（0，2π）上使sinx>cosx成立的x的取值范围是（
）
A.(,)∪(π,)
B.(,π)
C.(,)
D.(,π)∪(,)
答案：C
3.要得到y=tan2x的图象，只需把y=tan(2x+)的图象（
）
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
答案:D
4.(2006云南高三一模)
下列函数中,是周期函数的是(
)
A.y=tan|x|
B.y=sin|x|
C.y=cos|x|
D.y=|x2-2x+3|
解析:∵y=|cosx|=cos(±x)=cosx,
∴选C.
答案:C
5.(2006全国高考卷Ⅰ,文6)
函数f(x)=tan(x+)的单调增区间为(
)
A.(kπ-,kπ+),k∈Z
B.(kπ,(k+1)π),k∈Z
C.(kπ-,kπ+),k∈Z
D.(kπ-,kπ+),k∈Z
解析:由kπ-答案:C
6.函数y=3tan(x+)的一个对称中心是（
）
A.（,0）
B.(,)
C.(,0)
D.(0,0)
解析：由于函数y=Atan(ωx+φ)的对称中心是图象与x轴的交点，所以B是错误的，把A、C、D代入函数解析式，只有C符合.
答案:C
7.若函数f(x)具有性质：①f(x)为偶函数；②对任意x∈R都有f(-x)=f(+x).则函数f(x)的解析式是__________.〔只需写出满足条件的f(x)的一个解析式即可〕
答案：f(x)=cos4x
8.比较cos()与cos()的大小.
解：cos()=cos=cos,cos()=cos=cos.
因为0<<<π且函数y=cosx在［0,π］上是减函数，所以cos>cos,即cos()>cos().
综合运用
9.求函数y=tan(-x)的单调减区间.
解:原式可化为y=-tan(x-).令μ=x-.由于μ在（-+kπ,+kπ）,k∈Z上，tanμ是增函数，所以y=-tan(x-)在-+kπ10.求函数y=tan2x-2tanx-3，x∈［-+kπ,+kπ］，k∈Z的值域.
解:设t=tanx，x∈［-+kπ,+kπ］，k∈Z.由正切函数的性质，得t∈［-3,1］，则y=t2-2t-3=(t-1)2-4.
因为y=t2-2t-3在区间［,1］上是减函数，所以当t=时，ymax=(-1)2-4=;当t=1时，ymin=(1-1)2-4=-4.
所以所求函数的值域为［-4,］.
11.若x∈［-,］,求函数y=+2tanx+1的最值及相应的x的值.
解:先化为关于tanx的一元二次函数,再求值.
y=+2tanx+1=+2tanx+1=tan2x+2tanx+2=(tanx+1)2+1.
∵x∈［-,］,
∴tanx∈［,1］.故当tanx=-1
,即x=-时,y取最小值1;当tanx=1,即x=时,y取最大值5.
拓展探究
12.定义在R上的偶函数f(x)在［0,+∞)上是增函数，当x1、x2∈［-,］时，比较f(tanx1)与f(tanx2)的大小.
解：当|x1|≥|x2|且x1、x2∈［-,］时，
tan|x1|≥tan|x2|.
∵y=tanx在［-,］内是奇函数，
∴|tanx1|≥|tanx2|≥0.
∵f(x)是偶函数，并且在［0，+∞）上是增函数，
∴f(tanx1)≥f(tanx2).
当|x1|<|x2|时，同理可得
f(tanx1)PAGE
11.3.1
正弦函数的图象与性质
课后导练
基础达标
1.函数y=1-sinx，x∈［0，2π］的大致图象是…（
）
答案：B
2.已知函数y=2sinωx(ω>0)的图象与直线y+2=0的相邻的两个公共点间的距离为,则ω的值为（
）
A.3
B.
C.
D.
解析：函数y=2sinωx的最小值是-2，它与直线y+2=0的相邻两个公共点之间的距离为一个周期，由=,得ω=3.
答案：A
3.右图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，那么f(x)可以写成（
）
A.sin(1+x)
B.sin(-1-x)
C.sin(x-1)
D.sin(1-x)
解析：函数y=f(x)的图象过点（1，0），即f(1)=0,可排除A、B.又因y=f(x)的图象过点（0，b)，b>0,即f(0)>0，排除C.故选D.
答案：D
4.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意的实数x，都有f(+x)=f(-x),则f()等于（
）
A.0
B.3
C.-3
D.3或-3
答案：D
5.(2006云南高三统考)
已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0≤φ≤π)是实数集R上的偶函数,则φ的值是(
)
A.π
B.
C.
D.
解析:∵f(x)=sin(2x+φ)是实数集R上的偶函数,
∴当x=0时,sinφ=±1.又0≤φ≤π,∴φ=.
答案:B
6.函数y=2sin(-2x),x∈［0,π］，函数的增区间是___________.
解析：y=2sin［-(2x)］=-2sin(2x).要使该函数在给定的区间上是增函数，只需+2kπ≤2x≤+2kπ,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.取k=0,得≤x≤.而［,］［0,π］,即在［0，π］上该函数的增区间为［,］.
答案：［,］
7.函数y=3sin(x+)-1的最小正周期是__________.
答案：10
8.当-≤x≤时，函数f(x)=sin(x+)的最大值是__________，最小值是___________.
解析：∵-≤x≤,∴≤x+≤.
令μ=x+,则≤μ≤.
∵-≤sinμ≤1,
∴≤sinμ≤，即≤sin(x+)≤.
∴该函数最大值为，最小值为.
答案：
9.若f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x2-sinx，则当x<0时，f(x)=___________.
解析：设x<0，则-x>0，
∴f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sinx.
又f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)=-x2-sinx.
答案：-x2-sinx
综合运用
10.(2006江西高考,2)
函数y=4sin(2x+)+1的最小正周期为(
)
A.
B.π
C.2π
D.4π
解析:T==π.
答案:B
11.(2006江苏高考,4)
为了得到函数y=2sin(+),x∈R的图象,只需把函数y=2sinx,x∈R的图象上所有的点(
)
A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
B.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
C.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
D.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
解析:y=2sinx2sin(x+)2sin(+).
答案:C
12.(2006福建高考,16)
已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间［-,］上的最小值是-2,则ω的最小值等于__________.
解析:当ω取最小值时,最小正周期T取得最大值.
∴≤.∴T≤.
∴≤.
∴ω≥.
∴ω的最小值为.
答案:
13.求函数y=的定义域.
解：要使函数有意义，只需sin(2x-)-1≥0，
即sin(2x-)≥.
令μ=2x-,如图,作y=sinμ的图象.在［0，2π］上适合条件的μ的范围是［,］.扩展到整个定义域上，得+2kπ≤μ≤+2kπ,k∈Z,即+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z.化简得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z，即该函数的定义域为［+kπ,+kπ］,k∈Z.
14.若函数f(x)=a-bsinx的最大值为,最小值为-,求函数y=1-acosbx的最值和周期.
解：（1）b>0,当sinx=-1时，f(x)max=;
当sinx=1时，f(x)min=-.
于是
b=1.此时b=1>0符合题意，∴y=1-cosx.
(2)b=0,此时f(x)=a,这与f(x)有最大值,最小值-矛盾.故b=0不成立.
（3）b<0,由题意，得符合题意.
∴y=1-cos(-x),即y=1-cosx.
综上可知，函数y=1-cosx，它的最大值为,最小值为-，周期为2π.
拓展探究
15.已知函数f(x)=sin2x+acosx+-,在0≤x≤上的最大值是1，求a的值.
解：设cosx=t,则f(x)=1-cos2x+acosx+-
=-(t-)2++-.∵0≤x≤,∴0≤cosx≤1,即t∈［0,1］.
(1)0≤a≤2,则t=时,f(x)max=+-.令+-=1,得a=.
（2）a<0,则t=0时，f(x)max=-.令-=1,得a=>0（舍去）.
（3）a>2,则t=1时，f(x)max=a+-.
令a+-=1,得a=<2(舍去）.
综上知，a=.
16.根据y=Asin(ωx+φ)的图象的一段（如图），求其解析式.
解法一：以N为第一个零点，则A=，T=2（-)=π,ω==2.
于是，函数解析式为y=sin(2x+φ).
∵点N（,0)为y=sin(2x+φ)的第一个零点，
∴×2+φ=0.∴φ=.
∴所求解析式为y=sin(2x+).
解法二：以点M（,0)为第一个零点,则A=,T=2(-)=π，ω==2.
于是，函数解析式为y=sin(2x+φ).
∵点M（,0)为函数的第一个零点,
∴2×+φ=0.∴φ=-.
∴所求解析式为y=sin(2x-).
PAGE
1正弦函数的图象与性质
1．在下列四个函数中，在区间上为增函数，且以π为最小正周期的偶函数是( )
A．y＝|sin
2x|
B．y＝sin|x|
C．y＝sin
2x
D．y＝|sin
x|
2．在[0,2π]上，满足的x的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
3．已知f(x)＝－1，则下列命题中正确的是( )
A．f(x)是周期为1的奇函数
B．f(x)是周期为2的偶函数
C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数
4．(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )
A．
B．
C．
D．
5．已知函数f(x)＝2sin
x，对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为( )
A．
B．
C．π
D．2π
6．若f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－sin
x，则当x＜0时，f(x)＝__________.
7．函数y＝sin
x－|sin
x|的值域为__________．
8．(2012·江苏南通期末)设f(x)是定义域为R，最小正周期为的周期函数，若则__________.
9．求函数f(x)＝cos2x－sin
x的最值．
10．设函数，ω＞0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．
(1)求f(0)；
(2)求f(x)的解析式；
(3)已知，求sin
α的值．
参考答案
1．答案：D
2．解析：由正弦函数y＝sin
x的图象，知当x∈时，.
答案：B
3．解析：∵
＝
＝－cos
πx－1，
∴周期为2，且f(x)是偶函数，故选B．
答案：B
4．解析：的单调递增区间：
2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)．
又x∈[－π，0]，从而x∈.
答案：D
5．解析：由不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R恒成立，
不难发现f(x1)，f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值，故|x1－x2|的最小值为函数f(x)＝2sin
x的半个周期．
∵f(x)＝2sin
x的周期为2π，
∴|x1－x2|的最小值为π.
答案：C
6．解析：设x＜0，则－x＞0，
∴f(－x)＝(－x)2－sin(－x)＝x2＋sin
x.
又∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＝－x2－sin
x.
答案：－x2－sin
x
7．解析：∵(k∈Z)，
∴y∈[－2,0]．
答案：[－2,0]
8．解析：由题意，得
＝
＝.
答案：
9．解：f(x)＝1－sin2x－sin
x＝.
因为，
所以，
所以当，
即sin
x＝时，f(x)取得最大值；
当，
即sin
x＝时，f(x)取得最小值.
10．解：(1)由题设可知f(0)＝.
(2)∵f(x)的最小正周期为，ω＞0，
∴ω＝＝4.∴.
(3)∵
＝，
∴.
∴.
PAGE
11.3.2
余弦函数、正切函数的图象与性质
自我小测
1．下列四个函数中，既是上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( )
A．y＝|sin
x|
B．y＝|sin
2x|
C．y＝|cos
x|
D．y＝cos
2x
2．三个数cos，sin，－cos的大小关系是( )
A．sin>cos>－cos
B．cos>－cos>sin
C．cosD．－cos3．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝cos
D．y＝cos
4．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A．
B．
C．
D．
5．已知f(n)＝cos，n∈N＋，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)＝__________．
6．函数y＝lg(2sin
x－1)＋的定义域是__________．
7．关于函数f(x)＝1－cos
2x－，有下面四个结论：
①f(x)是奇函数；
②当x>2
016时，f(x)>
恒成立；
③f(x)的最大值是；
④f(x)的最小值是－．
其中正确结论的序号是__________．
8．一个大风车的半径为8
m,12
min旋转一周，它的最低点离地面2
m(如图所示)，则风车翼片的一个端点离地面的距离h(m)与时间t(min)之间(h(0)＝2)的函数关系式为____________．
9．已知函数f(x)＝2cos
ωx(ω>0)，且函数y＝f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为．
(1)求的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．
10．若sin2θ＋2mcos
θ－2m－2<0恒成立，试求实数m的取值范围．
参考答案
1．答案：A
2．解析：sin＝cos，－cos＝cos．
因为π>>－>π－>0，而y＝cos
x在[0，π]上单调递减，
所以cos即cos答案：C
3．答案：D
4．解析：由y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，知＝0，即3cos＝0．
所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)．
所以φ＝kπ＋－
(k∈Z)．
所以|φ|的最小值为|φ|min＝＝．
答案：A
5．答案：－1
6．解析：若要使函数有意义，则即
由图知，原函数的定义域为(k∈Z)．
答案：
(k∈Z)
7．解析：①显然f(x)＝f(－x)，即函数为偶函数，①错误；
②当x＝1
000π时，x>2
016，此时f(1
000π)＝1－cos
2
000π－＝－<，故②式错误；
③－1≤cos
2x≤1，则≤1－cos
2x≤，故1－cos
2x－<，故③错误；
④当x＝0时，cos
2x和恰好取得最大值1．
故1－cos
2x－≥1－－1＝－．故④正确．0
答案：④
8．解析：首先考虑建立平面直角坐标系，以最低点的切线作为x轴，最低点作为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
那么，风车上翼片端点所在的位置P可由函数x(t)，y(t)来刻画，而且h(t)＝y(t)＋2，所以只需要考虑y(t)的解析式．又设P的初始位置在最低点，即y(0)＝0．
在Rt△O1PQ中，cos
θ＝，
所以y(t)＝－8cos
θ＋8．而＝，所以θ＝t，
所以y(t)＝－8cost＋8，
所以h(t)＝－8cost＋10．故填h(t)＝－8cost＋10．
答案：h(t)＝－8cost＋10
9．解：(1)因为f(x)的周期T＝π，故＝π，所以ω＝2．
所以f(x)＝2cos
2x．所以＝2cos＝．
(2)将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y＝的图象，所以g(x)＝＝2cos＝2cos．当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减，
因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
10．解：要使sin2θ＋2mcos
θ－2m－2<0，
即cos2θ－2mcos
θ＋2m＋1>0恒成立．
令cos
θ＝t，则－1≤t≤1．
设f(t)＝t2－2mt＋2m＋1，
只要f(t)>0在[－1,1]上恒成立．
由于f(t)＝(t－m)2－m2＋2m＋1(－1≤t≤1)，
所以只要f(t)的最小值大于零即可．
因为函数f(t)的图象开口向上，对称轴为直线x＝m，
所以若m<－1，则t＝－1时，f(t)取最小值2＋4m．
令2＋4m>0，得m>－，与m<－1矛盾，舍去．
若－1≤m≤1，则t＝m时，f(t)取得最小值－m2＋2m＋1．
令－m2＋2m＋1>0，则m2－2m－1<0，解得1－若m>1，则t＝1时，f(t)取最小值2，它显然大于0．所以m>1．
综上所述，可知m的取值范围是m>1－．
PAGE
11.3.1
正弦函数的图象与性质（2）
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.要得到y=sin（2x-）的图象，只要将y=sin2x的图象（
）
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
解析：∵y=sin（2x-）=sin［2（x）］，∴把y=sin2x的图象向右平移，就能得到y=sin（2x-）的图象.
答案：D
2.把函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，则所得图象的函数解析式是（
）
A.y=sin（4x+）
B.y=sin（4x+）
C.y=sin4x
D.y=sinx
解析：将y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin［2（x-）+］，即y=sin2x的图象；再将y=sin2x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，就得到函数y=sin2（2x），即y=sin4x的图象.
答案：C
3.函数y=2sin（3x+）的振幅为_____________,周期为_____________,相位为_____________,初期为_____________.
解析：由定义可知，振幅是2，周期为，相位3x+，初期.
答案：2
3x+
4.函数y=2sin（3x+）的对称轴为_____________；对称中心为_____________.
解：观察y=sinx的图象，x=kπ+（k∈Z）是其对称轴，（kπ，0）是其对称中心.
由3x+=kπ+（k∈Z）得x=（k∈Z）为对称轴；由3x+=kπ（k∈Z）得（，0）（k∈Z）为对称中心.
答案：x=（k∈Z）
（，0）（k∈Z）
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.为了得到函数y=3sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin（2x+）的图象上每一点的（
）
A.横坐标变为原来的3倍，纵坐标保持不变
B.纵坐标变为原来的3倍，横坐标保持不变
C.纵坐标变为原来的，横坐标保持不变
D.以上都不对
解析：观察两函数式的关系，相位相同，仅仅是纵坐标为3倍关系，即B项正确.
答案：B
2.(2006高考江苏卷,4)为了得到函数y=2sin(+)，x∈R的图象，只需把函数y=2sinx，x∈R的图象上所有的点（
）
A.向左平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
B.向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
C.向左平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
D.向右平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
解析：把函数y=2sinx，x∈R的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到y=2sin（x+），x∈R，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），可得y=2sin(+),
x∈R.
答案：C
3.函数y=2sin（2x+）的图象是（
）
A.关于原点成中心对称的图形
B.关于y轴成轴对称的图形
C.关于直线x=成轴对称的图形
D.关于直线x=成轴对称的图形
解析：当x=时，y=2sin=2为最大值.所以直线x=是该函数的一条对称轴;该函数为非奇非偶函数,所以不关于原点或y轴对称.
答案：D
4.(2005高考福建卷,理6)函数y=sin(ωx+φ)(x∈R,ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图象如图1-3-2,则（
）
图1-3-2
A.ω=,φ=
B.ω=,φ=
C.ω=,φ=
D.ω=,φ=
解析：由题图易知=2T=8.
而T==8,∴ω=.排除A、B.
∴函数y=sin(x+φ).
显然φ=满足sin(×1+)=1.
而φ=,则sin(×1+)=-1.∴排除D.
答案：C
5.函数y=sinx的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，再将图象向右平移3个单位，所得图象的函数解析式为___________________.
解析：y=sinx→y=3sinx→y=3sin（x-3）=3sin（x-1）.
答案：y=3sin（x-1）
6.已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）,
（1）若A=3，ω=，φ=-，作出该函数在一个周期内的草图；
（2）若y表示一个振动量，其振动频率是，当x=时，相位是，求ω与φ.
解：（1）y=3sin（-），列出下表：
0
π
2π
x
y
0
3
0
-3
0
描出对应五点（x，y），
用光滑曲线连结各点即得所应作的函数图象（见下图）.
（2）依题意，有∴
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.已知函数y=Asin（ωx+φ）在同一周期内，当x=时，y最大=2；当x=时，y最小=-2，那么函数的解析式为（
）
A.y=2sin（2x+）
B.y=2sin（2x-）
C.y=2sin（2x+）
D.y=2sin（2x-）
解析：由x=时，y最大=2，知A=2，同一周期内，y取最大与最小值时x相差-=.
∴=,T=π.
∴ω==2.
∴y=2sin（2x+φ），代入最大值坐标，得φ=.
答案：A
2.函数y=sin（2x+）的图象的一条对称轴方程为（
）
A.x=
B.x=-
C.x=-
D.x=
解析：依题意，令sin（2x+）=±1，则2x+=kπ+，
从而x=kπ-π，k∈Z.显然k=1时，x=，符合题意.
答案：C
3.已知正弦函数在一个周期内的图象如图1-3-3所示，则它的表达式应为
…（
）
图1-3-3
A.y=sin（2x+）+
B.y=sin（2x-）+
C.y=sin（2x+）+
D.y=sin（2x-）+
解析：从图形中可以看出，曲线的振幅A=，周期T=-（-）=π，ω==2，再将（0，1）代入，有sin（2x+φ）+=1，∴sinφ=1，φ=2kπ+，k∈Z.
答案：A
4.函数y=2sin（-2x）（x∈［0，π］）为增函数的区间是（
）
A.［0，］
B.［，］
C.［，］
D.［，π］
解析：y=2sin（-2x）=-2sin（2x），当2kπ+≤2x≤2kπ+（k∈Z），即kπ+≤x≤kπ+（k∈Z），当k=0时，得在［0，π］内所求函数的单调增区间［，］.
答案：C
5.已知f（x）=sin（πx-）-1，则下列命题正确的是（
）
A.f（x）是周期为1的奇函数
B.f（x）是周期为2的偶函数
C.f（x）是周期为1的非奇非偶函数
D.f（x）是周期为2的非奇非偶函数
解析：f（x）=sin（πx-）-1=-sin（-πx）-1=-cosπx-1，
∴T==2,且f(x)是偶函数，故选B项.
答案：B
6.已知函数y=f（x），f（x）图象上所有点的纵坐标保持不变，将横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，得到的曲线与y=sinx图象相同，则y=f（x）的图象表达式为（
）
A.y=sin（x-）
B.y=sin（x+）
C.y=sin（x+）
D.y=sin（2x-）
解析：采用逆向思维方式，由题意，y=sinx的图象沿x轴向右平移个单位后得到y=sin（x-），再将此函数图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到y=sin（2x-），此即y=f（x）的解析式.
答案：D
7.下列命题中，真命题的个数为（
）
①若α、β为第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ
②函数y=的定义域为［2kπ-，2kπ+］（k∈Z）
③函数y=Asin（）（A为常数且A≠0）是偶函数
④将函数y=sin2x的图象向右平移个单位，得到函数y=sin（2x+）的图象
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：对于①可举反例：＞，但sin＜sin；对于②，sin2x＞0，2x∈［2kπ，2kπ+π］，x∈［kπ，kπ+］，k∈Z；对于③，y=Asin（）=Asin（-）=-Acosx，故为偶函数；对于④，y=sin2x→y=sin2（x+）而不是y=sin（2x+）.
答案：B
8.已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象中最高点（距原点最近）的坐标是（2，），由这个最高点到相邻最低点的曲线与x轴交于点（6，0），则此函数的解析式应为________________________.
解析：依题意，A=，T=4×（6-2）=16，ω==，
∴y=sin（x+φ），再将（2，）代入前式，有sin（×2+φ）=，
故sin（+φ）=1，+φ=2kπ+，φ=2kπ+，k∈Z.
又∵0＜φ＜π，∴φ=.∴所求解析式为y=sin（x+）.
答案：y=sin（x+）
9.若f（x）=2sinωx（0＜ω＜1）在区间［0，］上的最大值是，则ω=________________.
解析：∵0＜ω＜1，则T=＞2π,
∴f（x）在区间［0，］上为增函数.
故f（x）max=f（），即2sin=.又0＜ω＜1，则ω=.
答案：
10.已知f（x）=-2asin（2x+）+2a+b，x∈［，］.是否存在常数a、b∈Q，使得f（x）的值域为{y|-3≤y≤-1} 若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由.
解：因为≤x≤，所以≤2x+≤，所以-1≤sin（2x+）≤.
若存在这样的有理数a、b,则
（1）当a＞0时，所以a=1,b=-5(舍去）.
（2）当a＜0时，
所以a=-1，b=1，即a、b存在，且a=-1，b=1.
11.如图1-3-4所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足y=Asin（ωx+φ）+b.
图1-3-4
(1)求这段时间的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式.
解：(1)由图可知，这段时间的最大温差为30-10=20（℃）.
(2)由图可知，半周期为·=14-6=8，∴ω=.
A=（30-10）=10，b=（30+10）=20.
∴y=10sin（x+φ）+20,
将x=6，y=10代入上式可得φ=.
综上，所求的解析式为y=10sin（x+）+20，x∈［6，14］.
PAGE
1