高中数学2.1向量的线性运算练习(打包23套)新人教B版必修4

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名称 高中数学2.1向量的线性运算练习(打包23套)新人教B版必修4
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资源类型 教案
版本资源 人教新课标B版
科目 数学
更新时间 2017-10-28 13:13:23

文档简介

2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
知识点一:数乘向量
1.下面四个命题:
①对于实数m和向量a、b,恒有m(a-b)=ma-mb;
②对于实数m、n和向量a,恒有(m-n)a=ma-na;
③对于实数m和向量a、b,若ma=mb,则a=b;
④对于实数m、n和向量a,若ma=na,则m=n.
其中正确命题的个数是
A.4    B.3    C.2    D.1
2.下列关系正确的是
A.若λ=0,则λa=0
B.若a=0,则λa=0
C.|λa|=λ|a|
D.|λa|=|λ|·a
3.在△ABC中,=c,=b,若点D满足=2,则等于
A.b+c
B.c-b
C.b-c
D.b+c
4.若3x-2(x-a)=0,则向量x=________.
知识点二:向量共线的条件
5.设a是任一向量,e是单位向量,且a∥e,则下列表达式中正确的是
A.e=
B.a=|a|e
C.a=-|a|e
D.a=±|a|e
6.以下选项中,a与b不一定共线的是
A.a=5e1-e2,b=2e2-10e1
B.a=4e1-e2,b=e1-e2
C.a=e1-2e2,b=e2-2e1
D.a=3e1-3e2,b=-2e1+2e2
7.已知e1,e2不共线,若a=3e1-4e2,b=6e1+ke2,且a∥b,则k的值为
A.8
B.-8
C.4
D.-4
8.已知两个非零向量e1、e2不共线,如果=2e1+3e2,=6e1+23e2,=4e1-8e2.求证:A、B、D三点共线.
知识点三:轴上向量的坐标运算
9.已知数轴上两点A、B的坐标分别是-4,-1,则AB与||分别是
A.-3,3
B.3,3
C.3,-3
D.-6,6
10.已知M、P、N三点在数轴上,且点P的坐标是5,MP=2,MN=8,则点N的坐标为________.
能力点一:数乘向量的概念及运算
11.设P是△ABC所在平面内的一点,B+B=2B,则
A.P+P=0
B.P+P=0
C.P+P=0
D.P+P+P=0
12.(2010湖北高考,文8)已知△ABC和点M满足M+M+M=0,若存在实数m使得A+A=m成立,则m等于
A.2
B.3
C.4
D.5
13.将[2(2a+8b)-4(4a-2b)]化简成最简式为________.
14.计算:
(1)6(3a-2b)+9(-2a+b);
(2)[(3a+2b)-a-b]-[a+(b+a)].
15.设x、y是未知向量.
①解方程5(x+a)+3(x-b)=0;
②解方程组
能力点二:用已知向量表示未知向量
16.如图所示,在△ABC中,=,=3,若=a,=b,则等于
A.a+b
B.-a+b
C.a+b
D.-a+b
17.(2010全国高考Ⅱ,文10)△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB,若=a,=b,|a|=1,|b|=2,则等于
A.a+b
B.a+b
C.a+b
D.a+b
18.如下图,在梯形ABCD中,AD∥BC,O=a,O=b,O=c,O=d,且E、F分别为AB、CD的中点,则E=__________.
19.梯形ABCD(如下图)中,AB∥CD且AB=2CD,M、N分别是DC与AB的中点.若A=a,A=b,试用a,b表示B和M.
能力点三:平面向量基本定理的应用
20.已知a=xe1+2e2与b=3e1+ye2共线,且e1、e2不共线,则xy的值为
A.6
B.
C.-6
D.-
21.已知三点A、B、C共线,且=-,则=________.
22.已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1、e2不共线,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ、μ,使d=λa+μb与c共线?
23.在?OACB中,BD=BC,OD与BA交于点E,求证:BE=BA.
24.如下图,已知=3e1,=3e2,
(1)若C、D是AB的三等分点,求,.(用e1,e2表示)
(2)若C、D、E是AB的四等分点,求,,.(用e1,e2表示)
答案与解析
1.C 由数乘向量的定义知①②正确.
2.B |λa|=|λ|·|a|.
3.A 由=2得-=2(-),
∴3=+2=c+2b.
故=c+b.
4.-2a
5.D
6.C 选项A中,b=-2a;选项B中,a=4b;选项D中,a=-b.
7.B ∵a∥b,∴设a=λb,即3e1-4e2=λ(6e1+ke2).
∵e1与e2不共线,


8.证明:∵=++=(2e1+3e2)+(6e1+23e2)+(4e1-8e2)=12e1+18e2=6(2e1+3e2),
又∵=2e1+3e2,
∴=6.
∴与共线.
∴A、B、D三点共线.
9.B AB=xB-xA=(-1)-(-4)=3,||=3.
10.11 MP=xP-xM=2,
∴xM=xP-2=5-2=3.
又∵MN=xN-xM=8,
∴xN=8+xM=11.
能力提升
11.B ∵+=2,
∴由向量加法法则知,P为AC中点,
∴+=0.
12.B 设BC的中点为D,由已知条件可得M为△ABC的重心,A+A=2A,又A=A,故m=3.
13.-a+2b
14.解:(1)原式=18a-12b-18a+9b=-3b.
(2)原式=(3a-a+2b-b)-(a+a+b)=(a+b)-(a+b)
=a+-a-b=0.
15.解:①原方程可变为5x+5a+3x-3b=0,8x=-5a+3b.
∴x=-a+b.
②把第1个方程的-2倍与第2个方程相加,得y=-2a+b,从而y=-a+b.代入原来第2个方程得x=-a+b.

16.B ==(b-a),==(-)=-a-b,∴=+=-a+b.
17.B ∵CD平分∠ACB,
∴==.
∴=2==(-)=(a-b).
∴=+
=b+(a-b)
=a+b.
18.(c+d-a-b)
19.解:解法一:连结CN,N为AB中点.
∵AN∥DC,AN=DC,
∴四边形ANCD为平行四边形,
有=-=-b.
∴=N-N=b-a.
∴=-
=+
=a-b.
解法二:梯形ABCD中,有+++=0,
即a++(-a)+(-b)=0.
可得=b-a.
在四边形ADMN中,+++=0,即b+a++(-a)=0,∴=a-b.
20.A 设a=λb,即xe1+2e2=λ(3e1+ye2).
又e1、e2不共线,∴消去λ得xy=6.
21.-
22.解:设存在λ、μ使得d与c共线,
并设m(2e1-9e2)=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2),
则m=λ+μ且m=,解得λ=-2μ,
即存在实数λ、μ,使得d=λa+μb与c共线.
23.解:如下图,
设E′是线段BA上的点,且BE′=BA,只要证E、E′重合即可,设=a,=b,则=a,=b+a.
又∵=-b,=a-,3=,
∴3(-b)=a-.
∴=(a+3b)=(b+a).
∴=,∴O、E′、D三点共线,即E、E′重合.∴BE=BA.
拓展探究
24.解:(1)∵C、D是AB的三等分点,
∴====(-)=(3e2-3e1)=e2-e1.
∴=+=3e1+e2-e1=2e1+e2;
=+=3e1+2=3e1+2e2-2e1=e1+2e2.
(2)=====(3e2-3e1)=e2-e1,
∴=+=3e1+e2-e1=e1+e2,
=+=e1+e2+e2-e1
=e1+e2,
=+=e1+e2+e2-e1
=e1+e2.
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1向量的加法
1.如图所示,+++++=(  )
A.0
B.0
C.2
D.-2
2.四边形ABCD中,若=,且||=||,则四边形ABCD为(  )
A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
3.设a,b为非零向量,则下列说法不正确的是(  )
A.a与b反向,且|a|>|b|,则向量a+b与a的方向相同
B.a与b反向,且|a|<|b|,则向量a+b与a的方向相同
C.a与b同向,则向量a+b与a的方向相同
D.a与b同向,则向量a+b与b的方向相同
4.设(+)+(+)=a,而b是一非零向量,则下列结论中,正确的有(  )
①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|.
A.①③
B.②③
C.②④
D.①②
5.下列等式错误的是(  )
A.a+0=0+a=a
B.++=0
C.+=++
D.(+)+(+)+=
6.如图所示,已知梯形ABCD,AD∥BC,则+++=__________.
7.已知||=||=,且∠AOB=120°,则|+|=________.
8.我们知道,在△ABC中,++=0,反过来,三个不共线的非零向量a,b,c满足什么条件时,顺次将它们的终点与始点相连可组成一个三角形?
参考答案
1.解析:利用向量加法的多边形法则求解.
答案:B
2.解析:由=,可判断四边形ABCD为平行四边形.由||=||,可进一步判断四边形ABCD的对角线相等,所以四边形ABCD为矩形.
答案:C
3.答案:B
4.解析:由(+)+(+)=+++=0,可知a=0,而零向量与任意向量平行,任意向量与零向量相加仍得原向量,所以①和③正确;②中应为a+b=b,④中应为|a+b|=|a|+|b|.
答案:A
5.解析:对于零向量和任一向量a,有a+0=0+a=a,故选项A正确;
∵++=+=2,∴选项B错误;
对于选项C,+=0,++=+=0,
∴+=++,故选项C正确;
对于选项D,由向量加法的交换律和结合律,得
(+)+(+)+=++++=,故选项D正确.
答案:B
6.解析:原式=(+)+(+)=+=.
答案:
7.解析:以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,
则=+.
因为||=||=,
且∠AOB=120°,
所以△OAC是等边三角形.
所以|+|=||=||=.
答案:
8.解:当a+b+c=0时,顺次将它们的终点与始点相连可组成一个三角形.
可作=a,=b,=c,则+=,
∴+c=0,即c与方向相反,大小相同,即c=,∴a,b,c可构成一个三角形.
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12.1.1
向量的概念
5分钟训练(预习类训练,可用于课前)
1.下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥密度;⑦功.其中不是向量的有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:一个量是不是向量就是看它是否具备向
( http: / / www.21cnjy.com )量的两要素:大小和方向.②③④既有大小又有方向,所以是向量;而①⑤⑥⑦只有大小没有方向,所以不是向量.
答案:D
2.下列命题中真命题的个数为(
)
①两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同
②若非零向量
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )共线,则A、B、C、D四点共线
③若非零向量a与b共线,则a=b
④四边形ABDC是平行四边形,则必有
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
⑤a∥b,则a、b方向相同或相反
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:①显然为假命题;②中
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )共线,只能说明AB、CD所在直线平行或在一条直线上,所以错;
③a与b共线,说明a与b方向相同或相反,a与b不一定相等,所以③错;④对;⑤a可能为零向量,则a∥b,但零向量的方向为任意的,所以⑤错.
答案:B
3.如图2-1-1的四边形ABCD中,
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ),则相等的向量是(
)
图2-1-1
A.与
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )
解析:判断出四边形ABCD为平行四边形即得出
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
答案:D
4.在⊙O中,以O点为起点,圆周上任一点为终点作向量,则该向量可以确定的要素是(
)
A.方向
B.大小
C.大小和方向
D.以上均不对
解析:由于⊙O半径的确定性,因此该向量的长度(大小)是确定的.
答案:B
10分钟训练(强化类训练,可用于课中)
1.下列各命题中,正确命题的个数为(
)
①若|a|=|b|,则a=b或a=-b
②若
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ),则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点
③若a=b,b=c,则a=c
④若a∥b,b∥c,则a∥c
A.4
B.3
C.2
D.1
解析:①|a|=|b|只说明两向量大小相等,不能得出两向量相等或反向,故此命题不正确;
②由
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )可得|
( http: / / www.21cnjy.com )|=|
( http: / / www.21cnjy.com )|且
( http: / / www.21cnjy.com )∥
( http: / / www.21cnjy.com ),由于
( http: / / www.21cnjy.com )∥
( http: / / www.21cnjy.com )可能是A、B、C、D在同一条直线上,故此命题不正确;③正确;④b=0时,a∥c不一定成立,命题不正确.
答案:D
2.以下说法中正确的是(
)
A.长度相等的两个向量一定是相等向量
B.当且仅当两个向量所在的直线恰为同一直线时,这两个向量为共线向量
C.零向量没有方向
D.单位向量的长度一定是1
解析:相等向量不仅长度相等,而且方向相同,A错;共线向量所在直线可以相互平行,也可以是同一条直线,B错;零向量方向为任意方向,C错.
答案:D
3.如图2-1-2所示,D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点,则图中
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )向量中共线的向量有(
)
图2-1-2
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
解析:与
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )分别共线.
答案:C
4.在四边形ABCD中,若
( http: / / www.21cnjy.com )∥
( http: / / www.21cnjy.com ),且|
( http: / / www.21cnjy.com )|≠|
( http: / / www.21cnjy.com )|,则四边形为_________________.
解析:由梯形的定义及向量的概念判断.
答案:梯形
5.在四边形ABCD中,若
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )且|
( http: / / www.21cnjy.com )|=|
( http: / / www.21cnjy.com )|,则四边形为_________________.
解析:∵
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ),∴四边形ABCD为平行四边形,又|
( http: / / www.21cnjy.com )|=|
( http: / / www.21cnjy.com )|.∴四边形ABCD为菱形.
答案:菱形
6.如图2-1-3,D、E、F分别为正△ABC的各边中点,则在以A、B、C、D、E、F六个点中任意两点为起点与终点的向量中:
图2-1-3
(1)找出与向量相等的向量;
(2)是否存在与向量
( http: / / www.21cnjy.com )长度相等,方向相反的向量?
(3)与向量
( http: / / www.21cnjy.com )共线的向量有几个?
(4)若△ABC为任意三角形,以上几问的答案会发生变化吗?
解析:由向量相等与向量共线的定义可知:(1)与
( http: / / www.21cnjy.com )相等的向量有
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com );(2)存在,例如
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com );(3)有7个,分别为
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com );(4)不会.
30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)
1.在下列命题中,正确的是(
)
A.若|a|>|b|,则a>b
B.若|a|=|b|,则a=b
C.若a=b,则a与b共线
D.若a≠b,则a一定不与b共线
解析:A错.因为向量有大小和方向两个要素,
( http: / / www.21cnjy.com )无法比较大小;B错.相等向量不仅要模长相等,方向也要相同;C对.相等向量方向一定相同,因此共线;D错.因为向量不相等,可能仅由于模长不等,方向仍可能是相同的,所以a与b有共线的可能.
答案:C
2.设O为△ABC外心,则
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )是(
)
A.相等向量
B.平行向量
C.模相等向量
D.起点相同的向量
解析:∵O为△ABC外心,∴OA=OB=OC,即|
( http: / / www.21cnjy.com )|=|
( http: / / www.21cnjy.com )|=|
( http: / / www.21cnjy.com )|.
答案:C
3.在矩形ABCD中,AB
( http: / / www.21cnjy.com )=2AD,M、N分别为AB和CD的中点,则在以A、B、C、D、M、N六点中任一点为起点,与起点不同的另一点为终点的所有向量中,相等向量有(
)
A.9对
B.11对
C.18对
D.22对
解析:其中
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com );
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com );
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com );
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).以上分别取相反向量(如
( http: / / www.21cnjy.com )变为
( http: / / www.21cnjy.com ))又有4组.经计算,共有22对.
答案:D
4.如图2-1-4,点O是正六边形ABCDEF的中心,则在以A、B、C、D、E、F、O七点中的任一点为始点,与始点不同的另一点为终点的所有向量中,设与
( http: / / www.21cnjy.com )相等的向量个数为m,与
( http: / / www.21cnjy.com )模相等的向量个数为n,则m、n的值分别是(
)
图2-1-4
A.3,23
B.3,11
C.3,24
D.以上都不对
解析:(1)与方向相同的向量仅有
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )四个,而|
( http: / / www.21cnjy.com )|≠|
( http: / / www.21cnjy.com )|,|
( http: / / www.21cnjy.com )|=|
( http: / / www.21cnjy.com )|=|
( http: / / www.21cnjy.com )|,故m=3.
(2)与
( http: / / www.21cnjy.com )的模相等的向量有两类:
一是以O为起点,以正六边形的顶点为终点或以正六边形顶点为起点,以O为终点的向量,有2×6-1=11个;还有六边形的六条边2×6=12个.
答案:A
5.下列命题中正确的是(
)
A.|a|=|b|
( http: / / www.21cnjy.com )a=b
B.|a|>|b|
( http: / / www.21cnjy.com )a>b
C.a=b
( http: / / www.21cnjy.com )a∥b
D.a∥b
( http: / / www.21cnjy.com )a=b
解析:由向量相等的概念知A错,C对;向量不能比较大小,B错;向量平行不能推出相等,D错.
答案:C
6.一架飞机向西飞行100
km,然后改变方向向南飞行100
km,则飞机两次位移的和是_____________.
解析:如图,令起点为A,向西飞行100
km到达B,由B向南飞行100
km到达C,则飞机两次飞行后的位移向量为
( http: / / www.21cnjy.com ),且|
( http: / / www.21cnjy.com )|=
( http: / / www.21cnjy.com )
km.
答案:
km
7.如图2-1-5,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.
图2-1-5
(1)与向量ED?相等的向量为_____________;
(2)若||=3,则向量
( http: / / www.21cnjy.com )的模等于_____________.
答案:(1)
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)6
8.如图2-1-6,B、C、D是线段AE的四等分点,分别以A、B、C、D、E为起点和终点,最多可以写多少个互不相等的非零向量?
( http: / / www.21cnjy.com )
图2-1-6
解:设|
( http: / / www.21cnjy.com )|=1,则与
( http: / / www.21cnjy.com )方向相同,模为1的向量算一个向量,与
( http: / / www.21cnjy.com )方向相同,模为2的向量算一个向量,与
( http: / / www.21cnjy.com )方向相同,模为3的向量算一个向量,与
( http: / / www.21cnjy.com )方向相同,模为4的向量算一个向量,∴与
( http: / / www.21cnjy.com )方向相同,互不相等的向量共有4个.同理与
( http: / / www.21cnjy.com )方向相反,互不相等的向量共有4个.
∴共8个.
9.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2
000
km到达乙地,再从乙地按南偏东30°的方向飞行2
000
km到达丙地,再从丙地按西南方向飞行
( http: / / www.21cnjy.com )km到达丁地,问丁地在甲地什么地方?丁地距甲地多远?
解:如图,A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地,依题意知△ABC为正三角形,
∴AC=2
000
km.
又∵∠ACD=45°,CD=1
0002,
∴△ACD为等腰直角三角形,即AD=km,∠CAD=45°.
答:丁地在甲地的东南方向,距甲地
( http: / / www.21cnjy.com )km.
快乐时光
教授在考试当天突然宣布延期考试
( http: / / www.21cnjy.com ),有个学生立即理直气壮地站起来抗议,说延期会扰乱他温习其他科目的计划.教授立刻问,“你叫什么名字?”“我叫王大明”.王大明学生的口气有些软化.“好吧,王同学,我给你一个甲等,而且免你参加考试,因为你有胆量据理直言,这正是教育的最重要目的.”学生答道,“既然这样,那么,我的本名叫做李小华.”数乘向量
1.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论正确的是(  )
A.a与-λa的方向相反
B.|-λa|≥|a|
C.a与λ2a的方向相同
D.|-λa|=|λ|a
2.已知AD,BE,CF分别为△ABC的三条中线,G是它们的交点,则下列等式不正确的是(  )
A.=
B.=
C.=-2
D.+=
3.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,=a,=b,=c,=d,且E,F分别为AB,CD的中点,则(  )
A.=(a+b+c+d)
B.=(a-b+c-d)
C.=(c+d-a-b)
D.=(a+b-c-d)
4.(2012·四川雅安期末)设四边形ABCD中,有=,且||=||,则这个四边形是(  )
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.等腰梯形
5.已知四边形ABCD为菱形,点P在对角线AC(不包括端点A,C)上,则等于(  )
A.λ(+),λ∈(0,1)
B.λ(+),λ∈
C.λ(-),λ∈(0,1)
D.λ(-),λ∈
6.O为平行四边形ABCD的中心,若=4e1,=6e2,则=__________.
7.如图所示,已知=,若用,表示,则等于__________.
8.给出下面四个结论:
①对于实数p和向量a,b,有p(a-b)=pa-pb;
②对于实数p,q和向量a,有(p-q)a=pa-qa;
③若pa=pb(p∈R),则a=b;
④若pa=qa(p,q∈R,a≠0),则p=q.
其中正确结论的序号为__________.
9.如图所示,L,M,N是△ABC三边的中点,O是△ABC所在平面内的任意一点,求证:++=++.
10.已知,在△ABC中,=a,=b.对于△ABC所在平面内的任意一点O,动点P满足=+λa+λb,λ∈[0,+∞).试问,动点P的轨迹是否过某一个定点?并说明理由.
参考答案
1.解析:如果λ>0,则a与-λa的方向相反,如果λ≤0,则a与-λa的方向相同,故选项A错误;
如果|λ|<1,则|-λa|<|a|,故选项B错误;
|-λa|是一个大于或等于零的实数,而|λ|a是向量,它们之间不能比较大小,故选项D错误.
答案:C
2.解析:由图知,选项A,C,D均正确,选项B应该为=.
答案:B
3.解析:如图,连接OF,OE,则=-=(+)-(+)=(c+d)-(a+b)=(c+d-a-b).故选C.
答案:C
4.解析:∵=,
∴四边形ABCD是梯形.
又∵||=||,
∴四边形ABCD是等腰梯形.
答案:D
5.解析:由向量的运算法则,可得=+.又点P在对角线AC上,所以与同向,且||<||,故=λ=λ(+),λ∈(0,1).
答案:A
6.解析:==(-)=(-)=(6e2-4e1)=3e2-2e1.
答案:3e2-2e1
7.解析:由=+
=+=(-+)+
=+.
答案:+
8.解析:①②正确;③当p=0时不正确;④可化为(p-q)a=0,
∵a≠0,∴p-q=0,即p=q,∴④正确.
答案:①②④
9.证明:∵++=+++++
=(++)+(++)
=(++)+(++)
=(++)+0
=++,
∴原式成立.
10.解:是.理由:如图,以,为邻边作ABDC,设对角线AD,BC交于点E,
则==(a+b).
由=+λa+λb,得
-==2λ·(a+b)=2λ·,λ∈[0,+∞).
∴与共线.
由λ∈[0,+∞)可知,动点P的轨迹是射线AE,
∴动点P的轨迹必过△ABC的重心.
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12.1.2
向量的加法
课后导练
基础达标
1.设()+()=a,而b是一非零向量,则下列结论正确的是(
)
①a∥b
②a+b=a
③a+b=b
④|a+b|<|a|+|b|
A.①③
B.②③
C.②④
D.①②
解析:∵a=()+()=()+()==0,
∴a∥b.a+b=0+b=b.
答案:A
2.已知P为△ABC所在平面内一点,当成立时,点P位于(
)
A.△ABC的AB边上
B.△ABC的BC边上
C.△ABC的内部
D.△ABC的外部
解析:,则P在△ABC的外部(如右图).
答案:D
3.a、b、a+b均为非零向量,且a+b平分a与b的夹角,则(
)
A.a=b
B.|a|=|b|
C.|a|=2|b|
D.以上都不对
解析:由平行四边形法则及已知条件,平行四边形为菱形,所以邻边长度相等.
答案:B
4.向量()+()+化简后等于(
)
A.
B.
C.
D.
解析:原式=(+)+()=+=.∴应选C.
答案:C
5.已知正方形ABCD的边长为1,则|+++|等于(
)
A.1
B.
C.3
D.
解析:|+++|=2||=.
答案:B
6.设a表示“向东走3
km”,b表示“向北走3
km”,则a+b表示________________.
解析:如图,|a+b|=,θ=45°.
答案:向东北方向走
km
7.若P为△ABC的外心,且,则△ABC的内角C=___________.
解析:∵,则四边形APBC组成平行四边形.又P为△ABC的外心,∴||=||=||.因此∠C=120°.
答案:120°
8.若三个向量a、b、c恰能首尾相接构成一个三角形,则a+b+c=_________.
解析:由加法法则知首尾相接组成一个封闭图形的向量和为0.
答案:0
综合运用
9.(2006上海高考,13)
如图所示,在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是(
)
A.
B.
C.
D.=0
解析:∵,∴选C.
答案:C
10.(2006广东高考,4)
如图所示,D是△ABC的边AB上的中点,则向量等于(
)
A.
B.
C.
D.
解析:由三角形法则,知=-=-,∴选B.
答案:B
11.已知||=|a|=3,||=|b|=3,∠AOB=60°,求|a+b|.
解:如图,∵||=||=3,
∴四边形OACB为菱形.
连OC、AB,则OC⊥AB,
∵∠AOB=60°,
∴AB=||=3.
∴在Rt△BDC中,CD=.
∴||=|a+b|=×2=.
拓展探究
12.求证:三角形的三条中线构成的向量首尾相接正好构成一个三角形.
证明:要证明三个向量首尾相接构成三角形,只要证明三个向量的和为0即可.
如图所示,设△ABC的三边对应的向量为a=,b=,c=,那么a+b+c=0,
设D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中点,
于是中线对应的向量分别为=c+a,=a+b,=b+c.
∴=a+b+c+(a+b+c)=0.
故结论得证.
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12.1.3
向量的减法
5分钟训练(预习类训练,可用于课前)
1.下面给出了四个式子,其中值为0的有(
)
①++
②+++
③-+-
④++-
A.①②
B.①③
C.①③④
D.①②③
解析:①中,++=+=0;②中,
+++=(+)+
(+)=+0=;③中,(-)+(-)=
+=0;④中,(+)+
(-)=+=0.
答案:C
2.如图2-1-12,已知ABCDEF是一个正六边形,O是它的中心,其中=a,=b,=c,则等于(
)
图2-1-12
A.a+b
B.b-a
C.c-b
D.b-c
解析:==b-c.
答案:D
3.若=a,则=_______________.
答案:-a
4.化简:--=_______________.
解析:--=-=.
答案:
10分钟训练(强化类训练,可用于课中)
1.下列命题中,正确命题的个数为(
)
①|a|+|b|=|a+b|a与b方向相同
②|a|+|b|=|a-b|a与b方向相反
③|a+b|=|a-b|a与b有相等的模
④|a|-|b|=|a-b|a与b方向相同
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:当向量共线时,向量加法的平行四边形法则不适用,可考虑应用向量加法的三角形法则,其中①②是正确的;③由向量加减法的几何意义知|a+b|=|a-b|等价于以a、b为邻边的平行四边形的对角线相等,即为矩形,此时a与b垂直,但a与b的模不一定相等;④错在|a|-|b|不知符号正负,而|a-b|一定大于等于0,故不一定成立.
答案:C
2.下列等式中,正确的个数为(
)
①0-a=-a
②-(-a)=a
③a+(-a)=0
④a+0=a
⑤a-b=a+(-b)
⑥a-(-a)=0
A.3
B.4
C.5
D.6
解析:①②③④⑤正确,⑥错误.
答案:C
3.如图2-1-13所示,D、E是△ABC中AB、AC边中点,M、N分别是DE、BC的中点,已知=a,=b,试用a、b分别表示、和.
图2-1-13
解:由三角形中位线定理知DEBC,故=,即=a.
=++=-a+b+a=a+b.
=++=++=a-b+a=a-b.
4.如图2-1-14所示,D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点,则AF?-等于(
)
图2-1-14
A.
B.
C.
D.
解析:由图可知=,则-=-=.又由三角形中位线定理知=.
答案:D
5.若||=8,||=5,则||的取值范围是_______________.
解析:由题中所给向量之间的关系=-,再根据向量不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a+b|,问题迎刃而解.
即|||-|||≤||=|-|≤||+||.
∴3≤||≤13.
答案:[3,13]
6.已知两个向量a和b,求证:若|a+b|=|a-b|,则a的方向与b的方向垂直;反之也成立.
证明:①如图所示.若a与b方向垂直,设=a,=b,
∵a与b方向垂直,
∴OA⊥OB.以OA、OB为邻边作矩形OACB,
则|a+b|=||,|a-b|=||,
∵AOBC为矩形,
∴||=||.∴|a+b|=|a-b|.
②反之,若|a+b|=|a-b|,设=a,=b,以、为邻边作平行四边形OACB,则|a+b|=||,|a-b|=||,又|a+b|=|a-b|,
∴||=||,即平行四边形OACB对角线相等.
∴平行四边形OACB为矩形.
∴a的方向与b的方向垂直.
30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)
1.若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,且=a,=b,用a、b表示向量为(
)
A.a+b
B.-a-b
C.-a+b
D.a-b
解析:由平行四边形对角线互相平分的性质知=-,即=-a,=-=-a-b.
答案:B
2.对于任意向量a,b,恒有(
)
A.|a+b|=|a|+|b|
B.|a-b|=|a|-|b|
C.|a-b|≤|a|+|b|
D.|a-b|≤|a|-|b|
解析:利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
答案:C
3.在平行四边形ABCD中,-与-分别等于(
)
A.,
B.,
C.,
D.,
解析:-=;-=+=.
答案:C
4.△ABC中,D、E为边AB、AC的中点,=a,则-等于(
)
A.a
B.-a
C.0
D.
解析:=a,=2a,∴-2a=-a.
答案:B
5.已知平行四边形ABCD,O是ABCD所在平面外任意一点,=a,=b,=c,则向量等于(
)
A.a+b+c
B.a-b+c
C.a+b-c
D.a-b-c
解析:如图,有=+=+=+-=a+c-b.
答案:B
6.O是四边形ABCD所在平面上任一点,∥,且|-|=|-|,则四边形ABCD一定为(
)
A.菱形
B.任意四边形
C.矩形
D.平行四边形
解析:由|-|=|-|知||=||,且∥,
∴四边形ABCD一定为平行四边形.
答案:D
7.(2006高考全国卷Ⅰ,理9)设平面向量a1,a2,a3的和a1+a2+a3=0.如果平面向量b1,b2,b3满足|bi|=2|ai|,且ai顺时针旋转30°后与bi同向,其中i=1,2,3,则(
)
A.-b1+b2+b3=0
B.b1-b2+b3=0
C.b1+b2-b3=0
D.b1+b2+b3=0
解析:如图.在平行四边形OACB中,令=a1,=a2,=-a3,则++=0,
a1,a2,a3满足a1+a2+a3=0.将向量,,绕点O顺时针旋转30°且模扩大2倍后,得到的是与原四边形相似的平行四边形,这时仍有++=0,同时=b1,=b2,=b3,故有b1+b2+b3=0.
答案:D
8.计算:(1)a+b-(a-c)+(-b)=_______________;
(2)(p+q-r)+(q+r-p)+(r+p-q)=________________;
(3)(i-j)+(j-h)+(h-i)=__________________.
解析:(1)原式=a+b-a+c-b=c;(2)原式=p+q-r+q+r-p+r+p-q=p+q+r;(3)原式=i-j+j-h+h-i=0.
答案:(1)c
(2)p+q+r
(3)0
9.|a|=8,|b|=6,则|a+b|的最小值为______________,此时,a与b的方向______________;|a-b|的最大值为______________;此时a与b的方向______________.
解析:|a+b|≥||a|-|b||,
∴|a+b|的最小值为2,此时a、b反向,同理|a-b|的最大值为8+6=14,此时a、b也反向.
答案:2
反向
14
反向
10.化简:(-)-(-)=_______________.
解析:(-)-(-)=--+=+++=
(+)+(+)=+=0(此法是将向量减法转化为加法进行化简的).
答案:0
11.如图2-1-15的五边形ABCDE中,若=m,=n,=p,=q,=r,求作向量m-p+n-q-r.
图2-1-15
解:∵m-p+n-q-r=(m+n)-(p+q+r)=-=+,所以延长AC至F点,使||=||,则=,
∴=+,即向量为所求.
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12.1.5
向量共线的条件与轴上向量坐标运算
自我小测
1.下面给出三个命题:
①非零向量a与b共线,则a与b所在的直线平行;
②向量a与b共线,则存在唯一实数λ,使a=λb;
③若a=λb,则a与b共线.
其中正确的命题的个数是(  )
A.0
B.1
C.2
D.3
2.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(  )
A.A,B,D
B.A,B,C
C.B,C,D
D.A,C,D
3.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么(  )
A.k=1,且c与d同向
B.k=1,且c与d反向
C.k=-1,且c与d同向
D.k=-1,且c与d反向
4.点P是△ABC所在平面内一点,若=+,其中λ∈R,则点P一定在(  )
A.△ABC的内部
B.AC边所在的直线上
C.AB边所在的直线上
D.BC边所在的直线上
5.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足=,则点P一定为△ABC的(  )
A.AB边中线的中点
B.AB边中线的三等分点(非重心)
C.重心
D.AB边的中点
6.e为x轴上的单位向量,若=-2e,且B点的坐标为3,则AB中点的坐标为________.
7.如图所示,在 ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=________(用a,b表示).
8.如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB的延长线和AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n的值为________.
9.如图所示,在 ABCD中,点M是AB的中点,点N在BD上,且BN=BD.利用向量法证明M,N,C三点共线.
10.如图所示,已知在△OAB中,点C是以A为中心的点B的对称点,OD=2DB,DC和OA交于点E,设=a,=b.
(1)用a和b表示向量,;
(2)若=λ,求实数λ的值.
参考答案
1.解析:①a与b所在的直线有可能在同一条直线上,所以此命题错误;②若a=0,b=0,则λb=0,所以λ可取任意实数,所以此命题错误;③正确.
答案:B
2.答案:A
3.答案:D
4.答案:B
5.解析:设AB的中点为M,则+=,
所以=(+2)=+,
即3=+2,
也就是=2,
所以P,M,C三点共线,且P是CM靠近C点的一个三等分点.
答案:B
6.答案:4
7.解析:=++=-++=--+
( +)=-b-a+
(a+b)=b-a=
(b-a).
答案:
(b-a)
8.解析:因为O是BC的中点,
所以=
(+)=+,
所以=-=+.
又因为=-,与共线,
所以存在实数λ,使得=λ=λ(-),
即化简,得m+n=2.
答案:2
9.证明:设=a,=b,
则=+=a+
(-a+b)=a+b,=+=a+b,
所以=3.所以∥.
又因为与有公共点M,
所以M,N,C三点共线.
10.解:(1)依题意,A是BC的中点,
所以2=+,
即=2-=2a-b,
所以=-=-
=2a-b-b=2a-b.
(2)因为=λ,
则=-=λa-(2a-b)=(λ-2)·a+b.
因为与共线,且≠0,
所以存在实数k,使=k,
即(λ-2)a+b=k,解得λ=.
所以实数λ的值为.
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12.1.1
向量的概念
自我小测
1.下列命题中:
①两个单位向量是相等向量;②若非零向量与是平行向量,则A,B,C,D四点共线;③向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反.其中真命题的个数为(  )
A.0
B.1
C.2
D.3
2.如图所示,在⊙O中,向量,,是(  )
A.有相同起点的向量
B.有公共点的向量
C.模相等的向量
D.相等的向量
3.若||=||且=,则四边形ABCD的形状为(  )
A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.等腰梯形
4.如右图,四边形ABCD,CEFG,CGHD都是全等的菱形,则下列关系中不一定成立的是(  )
A.与共线
B.=
C.||=||
D.与共线
5.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2
000
km到达乙地,再从乙地按南偏东30°的方向飞行2
000
km到达丙地,再从丙地按西南方向飞行
km到达丁地,则丁地在甲地的__________方向,丁地距甲地的距离为__________
km.
6.如图所示,△ABC和△A′B′C′是在各边的处相交的两个全等的等边三角形.设△ABC的边长为a,图中列出了长度均为的若干个向量,在这些向量中:
(1)与向量相等的向量有________;
(2)与向量平行的向量有________.
7.如图所示,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形,若||=3,求的模.
8.如下图是中国象棋的半个棋盘,“马走日”是象棋中马的走法,如图中马可以从A跳到A1,也可以跳到A2,用向量,表示马走了“一步”,试在图中画出B,C处走了“一步”的所有情况.
9.如图所示,在 ABCD中,O是两对角线AC,BD的交点,设点集S={A,B,C,D,O},向量集合T={|M,N∈S,且M,N不重合}.试求集合T中元素的个数.
参考答案
1.答案:A
2.答案:C
3.解析:因为=,所以四边形ABCD是平行四边形.
又因为||=||,所以四边形ABCD是菱形.
答案:B
4.答案:B
5.解析:如图,A,B,C,D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地.
由题意,知△ABC是正三角形,
所以AC=2
000
km.
又因为∠ACD=45°,
CD=1
000km,
所以△ACD是直角三角形.
所以AD=1
000
km,∠CAD=45°.
所以丁地在甲地的东南方向,丁地距甲地1
000
km.
答案:东南 1
000
6.答案:(1), (2),,,,
7.解:在 ABCD和 ABDE中,
因为=,=,
所以=,
所以E,D,C三点共线.
所以||=||+||=2||=6.
8.解:
9.解:由题可知,集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段,共有20个,
即,,,;,,,;,,,;,,,;,,,.
由平行四边形的性质可知,共有8对向量相等,即=,=,=,=,=,=,=,=,又集合中元素具有互异性,故集合T中的元素共有12个.
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12.1.4
向量数乘
自我小测
1.已知实数m,n和向量a,b,给出下列命题:
①m(a-b)=ma-mb;②(m-n)a=ma-na;③若ma=mb,则a=b;④若ma=na(a≠0),则m=n.其中正确的命题是(  )
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
2.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2++=0,那么(  )
A.=
B.=2
C.=3
D.2=
3.平面上有一个△ABC和一点O,设=a,=b,=c,又OA,BC的中点分别为D,E,则向量等于(  )
A.
(a+b+c)
B.
(-a+b+c)
C.
(a-b+c)
D.
(a+b-c)
4.已知四边形ABCD为菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A,C),则A等于(  )
A.λ(+),λ∈(0,1)
   B.λ(+),λ∈
C.λ(-),λ∈(0,1)
   D.λ(-),λ∈
5.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若=a,=b,则等于(  )
A.
a+b
B.
a+b
C.
a+b
D.
a+b
6.点C在线段AB上,且=,则=________,=________.
7.若2-
(b-3x+c)+b=0,其中a,b,c为已知向量,则未知向量x=__________.
8.如图所示,在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若=λ
+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=________.
9.如图所示,L,M,N是△ABC三边的中点,O是△ABC所在平面内的任意一点,求证:++=++.
10.如图所示,四边形OADB是以向量=a,=b为邻边的平行四边形.又BM=BC,CN=CD,试用a,b表示,,.
参考答案
1.答案:B
2.解析:由2++=0,可知O是底边BC上的中线AD的中点,故=.
答案:A
3.解析:=+=-+
(+)=-a+b+c.
答案:B
4.答案:A
5.解析:如图,
=+,由题意知,DE∶BE=1∶3=DF∶AB,所以=.
又=-
=+=a+b,
=-=-b+a,
所以=a+b+=a+b.
答案:D
6.答案: -
7.解析:2x+x=a+b-b+c,
所以x=a-b+c.
答案:
a-b+c
8.解析:设=a,=b,
那么=a+b,=a+b.
又因为=a+b,
所以=(+),
即λ=μ=,
所以λ+μ=.
答案:
9.证明:++=+++++
=(++)+(++)
=(++)+(++)
=(++)+0
=++.
所以原式成立.
10.解:因为===
(-)

(a-b),
所以=+=b+a-b=a+b.
因为==,
所以=+=+=

(+)=
(a+b),
所以=-=
(a+b)-a-b
=a-b.
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12.1.2
向量的加法
5分钟训练(预习类训练,可用于课前)
1.下列命题中正确命题的个数为(
)
①如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a、b之一的方向相同
②△ABC中,必有++=0
③若++=0,则A、B、C为一个三角形的三个顶点
④若a、b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:①假命题,当a+b=0时,命题不成立;②真命题;③假命题,当A、B、C三点共线时,也可以有++=0;④假命题,只有当a与b同向时才相等.
答案:B
2.向量(+)+(+)+化简后等于(
)
A.
B.
C.
D.
解析:原式=(+)+(+)+=++=.
答案:C
3.如图2-1-7,在平行四边形ABCD中,++等于(
)
图2-1-7
A.
B.
C.
D.
解析:++=+(+)==.
答案:A
4.如图2-1-8,四边形ABCD与ABDE都是平行四边形.
图2-1-8
(1)若=a,则=_______________;
(2)若=b,则=______________;
(3)和相等的所有向量为______________;
(4)和共线的所有向量为______________.
答案:(1)-a
(2)
(3)、
(4)
、、、、、、
10分钟训练(强化类训练,可用于课中)
1.如图2-1-9,+++++等于(
)
图2-1-9
A.0
B.0
C.2
D.-2
解析:利用向量封闭性原理.
答案:B
2.已知正方形ABCD的边长为1,=a,=b,=c,则|a+b+c|等于(
)
A.0
B.3
C.
D.
解析:如图,a+b+c=2c,|c|=,∴|a+b+c|=|2c|=.
答案:D
3.设a、b为非零向量,下列说法不正确的是(
)
A.a与b反向,且|a|>|b|,则向量a+b与a的方向相同
B.a与b反向,且|a|<|b|,则向量a+b与a的方向相同
C.a与b同向,则a+b与a同向
D.a与b同向,则a+b与b同向
解析:两个向量反向,则哪个向量的模长两向量之和的方向就与哪个向量方向一致.
答案:B
4.在五边形A1A2A3A4A5中,+++=________________.
解析:原式=+=.
答案:
5.平行四边形ABCD中,||=3,||=4,则:(1)||_____________7(填“>”“<”或“≥”“≤”);(2)若||=5,则此四边形为_____________形.
解析:(1)由三角形两边之和大于第三边.(2)由||2+||2=||2可知△ABC为直角三角形,所以应填“矩形”.
答案:(1)<
(2)矩
6.一艘船以垂直河岸方向8
km/h的速度驶向对岸,水流速度为8
km/h,方向向东,问船实际沿什么方向行驶?速度为多少?
解:如图,代表水流速度,代表船速度,则为船实际速度.∵||=||=8
km,
∴∠DAB=45°且||=.
∴船实际沿东偏北45°方向行驶,且速度为
km/h.
30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)
1.下列各式中结果为0的个数为(
)
①++
②+++
③+++
④+++
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:①是;②原式=(+)+(+)=+=;③原式=+(+)+
=+(+)=+=;④原式=(+)+(+)=+=0.
答案:B
2.四边形ABCD中,若=且||=||,则四边形ABCD为(
)
A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
解析:由=可判断四边形ABCD为平行四边形,由||=||进一步判断该四边形的对角线相等,所以四边形ABCD为矩形.
答案:C
3.如图2-1-10,在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是(
)
图2-1-10
A.=
B.+=
C.=+
D.+=0
解析:因为+=,所以=+错误.
答案:C
4.设向量a,b为非零向量,若|a+b|=|a|+|b|,则a的方向与b的方向一定为_____________.
解析:由向量加法的定义知,a,b方向相同.
答案:相同
5.如图2-1-11,已知梯形ABCD,AD∥BC,则+++=___________________.
图2-1-11
解析:原式=(+)+(+)=
+=.
答案:
6.当非零向量a,b满足______________时,能使a+b平分a与b的夹角.
解析:平行四边形OBCA中,只有OA=OB时,OC才平分∠AOB.
答案:|a|=|b|
7.正△ABC中,边长为a,则|+|=_______________.
解析:作正△ABC的边AC、AB的平行线,得到一个平行四边形ABEC,
可知+=,易知||=2||=2×.
答案:
8.平行四边形ABCD中,O为对角线AC、BD的交点,则a=+与b=+有什么关系?
解析:由三角形法则知与,与大小相等方向相反,可得结果.
答案:a与b模相等,方向相反.
9.我们知道△ABC中,++=0,反过来,三个不共线的非零向量a、b、c满足什么条件时,顺次将它们的终点与起点相连而成一个三角形?
解:当a+b+c=0时,顺次将它们的终点与起点相连而成一个三角形.
可作=a,=b,=c,则+=,
∴+c=0,即c与方向相反,大小相同,即c=,∴a、b、c可构成一个三角形.
10.已知向量a、b,比较|a+b|与|a|+|b|的大小.
解:(1)当a、b至少有一个为零向量时,有|a+b|=|a|+|b|;
(2)当a、b为非零向量:①a、b不共线时,有|a+b|<|a|+|b|;
②a、b同向共线时,有|a+b|=|a|+|b|;
③a、b异向共线时,有|a+b|<|a|+|b|.
总之,|a+b|≤|a|+|b|.
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12.1.4
向量数乘
课后导练
基础达标
1.[(2a+4b)-(4a-4b)]等于(
)
A.2a-b
B.2b-a
C.b-a
D.a-b
解析:原式=(a+2b-4a+4b)=(6b-3a)=2b-a.
答案:B
2.下列各组中的向量a,b共线的有(
)
①a=2e,b=-2e
②a=e1-e2,b=-2e1+2e2
③a=4e1-e2,b=e1-e2
④a=e1+e2,b=2e1-2e2
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④
解析:对于①②③中的向量a与b,都存在一个相应的实数λ,使a=λb.而④中的两个向量不存在实数λ,使b=λa成立.
答案:A
3.若O是△ABC内一点,=0,则O是△ABC的(
)
A.垂心
B.重心
C.内心
D.外心
解析:∵=0,
∴=-(+).
如图,+==-,
∴A、O、E三点共线,点D为BC中点.
∴O为三角形三条中线的交点.
∴O是△ABC的重心.
答案:B
4.设e1,e2是两个不共线的向量,则向量a=2e1-e2与向量b=e1+λe2(λ∈R)共线,当且仅当λ的值为…(
)
A.0
B.-1
C.-2
D.-
解析:设a=μb(μ∈R),则2e1-e2=μ(e1+λe2),
即.
答案:D
5.设=(a+5b),=-2a+8b,=3(a-b),则共线的三点是(
)
A.A、B、C
B.B、C、D
C.A、B、D
D.A、C、D
解析:∵+==(-2a+8b)+3(a-b)=a+5b,
∴=,又与有公共点B,
∴A、B、D三点共线.
答案:C
6.在平行四边形ABCD中,++等于(
)
A.
B.
C.
D.
解析:++=++=-==.可知D选项正确.
答案:D
7.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论正确的是(
)
A.a与-λa的方向相反
B.|-λa|≥|a|
C.a与λ2a的方向相同
D.|-λa|=|λ|a
解析:如果λ>0,则a与-λa的方向相反,如果λ<0,则a与-λa的方向相同,A错;
如果|λ|<1,则|-λa|<|a|,B错;
|-λa|是一个大于或等于零的实数,而|λ|a是向量,它们之间不能比较大小,D错.
答案:C
8.已知向量a、b不共线,实数x,y满足向量等式5xa+(8-y)b=4x
b+3(y+9)a,则x=____,y=______.
解析:∵a与b不共线,根据向量相等,得,解得
答案:3
-4
综合运用
9.(2005南京第二十七中)
设a,b为不共线的非零向量,=2a+3b,=-8a-2b,=-6a-4b,那么(
)
A.与同向,且||>||
B.AD与同向,且||<||
C.与反向,且||>||
D.∥
解析:由=(2a+3b)+(-8a-2b),
则=-6a+b.
又有=+=-12a-3b=(-8a-2b),
即=.
∴与同向,||>||.
故选A.
答案:A
10.(2006武汉一中)
如图所示,已知=,用,表示,则等于(
)
A.-+
B.+
C.-
D.--
解析:由=+
=+=(-+)+
=+.故选A.
答案:A
11.已知四边形ABCD中,=a-2c,=5a+6b-8c,对角线AC,BD的中点为E,F,则向量=___________.
解析:在四边形ABCD中取AD的中点M,连结ME,MF.
所以ME为△ACD的中位线,MF为△DAB的中位线,
故=-=-=(+)=[(a-2c)+(5a+6b-8c)]=3a+3b-5c.
答案:3a+3b-5c
拓展探究
12.已知△ABC中,=a,=b.对于平面ABC上任意一点O,动点P满足=+λa+λb,λ∈[0,+∞).试问动点P的轨迹是否过某一个定点 说明理由.
思路分析:按向量的运算法则作出图形分析求解.
解:以,为邻边作ABDC,
设对角线,交于点E,
则==(a+b).
由=+λa+λb得
-==2λ(a+b)=2λ·,λ∈[0,+∞).
∴与共线.
由λ∈[0,+∞)可知动点P的轨迹是射线AE,所以必过△ABC的重心.
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12.1.5
向量共线的条件与轴上向量坐标运算
课后导练
基础达标
1.下列命题正确的有(
)
①(-5)(6a)=-30a
②7(a+b)-6a=7a+13b
③若a=m-n,b=3(m-n),则a∥b
④(a-5b)+(a+5b)=2a
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:只有②错误.
答案:C
2.已知e1,e2不共线,若a=3e1-4e2,b=6e1+ke2,且a∥b,则k的值为(
)
A.8
B.-8
C.3
D.-3
解析:∵a∥b,∴a=λb,即3e1-4e2=λ(6e1+ke2).
∴(3-6λ)e1=(4+λk)e2.
∵e1,e2不共线,
∴∴
答案:B
3.已知e1,e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于…
(
)
A.3
B.-3
C.0
D.2
解析:原式可变为(3x-4y-6)e1=(3-2x+3y)e2
∵e1,e2不共线,

∴①+②,得x-y=3.
答案:A
4.若=3e1,=-5e1,且||=||,则四边形ABCD是(
)
A.平行四边形
B.菱形
C.等腰梯形
D.不等腰梯形
解析:∵=3e1,=-5e1,
∴=,
∴与平行且反向.
易知||>||,又||=||,
∴四边形为等腰梯形.
答案:C
5.向量a=m-2n,b=3m+n,其中m,n不共线,则a-b与c=3m-n(
)
A.不共线
B.共线
C.相等
D.不确定
解析:由a-b=(m-2n)-(3m+n)=-2m-3n,知
不存在λ使(a-b)=λ(3m-n).因此a-b与c不共线.
答案:A
6.(2006曲阜三校联考)
已知λ1≠λ2,且λ1a+λ2b=0,则下列说法不正确的是(
)
A.a∥b
B.a与b互为相反向量
C.|λ1a|=|λ2b|
D.λ1a与λ2b互为相反向量
解析:由向量平行的判定知A正确,
由λ1a=-λ2b得C,D正确.故选B.
答案:B
7.若M是△ABC的重心,则下列各向量中与AB共线的是(
)
A.
B.
C.
D.
解析:∵=0,∴选C.
答案:C
8.e1,
e2不共线,则向量a=2e1-e2与b=e1+λe2共线(λ∈R),则λ的值为_________.
解析:据题意,设a=kb,
即2
e1-
e2=k(e1+λe2),
∵e1,e2不共线,
∴k=2,λk=-1.
解得λ=-.
答案:-
综合运用
9.(2006甘肃兰州诊断)
设a,b为不共线向量,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则下列关系式中正确的是(
)
A.
B.=
C.=-
D.=-2
解析:++=-8a-2b=2,∴选B.
答案:B
10.(2005山东高考,理7)
已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(
)
A.A,B,D
B.A,B,C
C.B,C,D
D.A,C,D
解析:=-=+
=++
=(7a-2b)+(a+2b)+(-5a+6b)
=3a+6b
=3.
∴A,B,D三点共线.
同理,B,C,D三项错误.
答案:A
11.求证:起点相同的三个非零向量a、b、3a-2b的终点在同一条直线上.
证明:设起点为O,=a,=b,=3a-2b,则=-=2(a-b).
=-=b-a,=-2,
∴与共线且有公共点A.
∴A、B、C三点共线,即a,b,3a-2b的终点在同一条直线上.
拓展探究
12.如图,O是△ABC内一点,PQ∥BC,且=t,=a,=b,=c,求与.
思路分析:利用向量共线条件列式求解.
解:∵PQ∥BC,且=t,
有△APQ∽△ABC,且对应边比为t(t=),
即=t.
转化为向量的关系有
=t,=t,
又由于=,=,=,,
∴=+=+t(-)=a+t(b-a)=(1-t)a+tb,=+=+t(-)=t(c-a)+a=(1-t)a+tc.
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12.1.3
向量的减法
自我小测
1.如图所示,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则-等于(  )
A.   B.
C.
D.
2.在△ABC中,||=||=|-|,则△ABC是(  )
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.等边三角形
D.以上都不正确
3.已知平行四边形ABCD,O是平行四边形ABCD所在平面外任意一点,=a,=b,=c,则向量等于(  )
A.a+b+c
B.a-b+c
C.a+b-c
D.a-b-c
4.在边长为1的正方形ABCD中,若=a,=b,=c,则|a-b+c|等于(  )
A.0
B.1
C.2
D.
5.下列说法中错误的有(  )
A.若+=,则-=
B.若+=,则+=
C.若+=,则-=
D.若+=,则+=
6.已知|a|=7,|b|=2,且a∥b,则|a-b|=__________.
7.长度相等的三个非零向量,,满足++=0,则由A,B,C三点构成的△ABC是________三角形.
8.如图,已知向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d.
9.已知平面上不共线三点A,B,C,O是△ABC内一点,若++=0,求证:O是△ABC的重心.
参考答案
1.解析:由图可知=,=,则-=-=.又由三角形中位线定理,知=,故选D.
答案:D
2.解析:因为-=,
所以||=||=||.
所以△ABC是等边三角形.
答案:C
3.解析:如图,有=+=+=+-=a+c-b.
答案:B
4.解析:因为c=a+b,所以|a-b+c|=|a+a|=|a|+|a|=2.
答案:C
5.答案:D
6.答案:5或9
7.解析:如图,作,的和向量.
因为++=0,
所以+=-.
所以=-.
又因为||=||=||=||,
所以△AOD是等边三角形,四边形AOBD是菱形.
所以∠OAB=∠OAD=30°.
同理:∠OAC=∠OCA=∠OCB=∠OBC=∠OBA=30°.
所以∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,
即△ABC为等边三角形.
答案:等边
8.解:如图,在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d,
则=a-b,=c-d.
9.证明:如图,因为++=0,所以=-(+),即+是的相反向量.
以OB,OC为邻边作 OBPC,则=+,
所以=-,
所以A,O,P共线.
又设OP与BC交BC于点D,
则D是BC的中点,
所以AD是BC边上中线,
且AD过O点;
同理可证BE,CF分别是边AC,AB边上中线,
且都过O点.
所以O是△ABC的重心.
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1向量的减法
1.如图所示,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则-等于(  )
A.
B.
C.
D.
2.(2012·山东潍坊期末)已知平行四边形ABCD,O是平行四边形ABCD所在平面外任意一点,=a,=b,=c,则向量等于(  )
A.a+b+c
B.a-b+c
C.a+b-c
D.a-b-c
3.下列命题中,正确命题的个数为(  )
①|a|+|b|=|a+b|a与b的方向相同;②|a|+|b|=|a-b|a与b的方向相反;③|a+b|=|a-b|a与b有相等的模;④|a|-|b|=|a-b|a与b的方向相同.
A.0
B.1
C.2
D.3
4.已知|a|=|b|=1,|a+b|=1,则|a-b|=(  )
A.1
B.
C.
D.2
5.平面上有三点A,B,C,设m=+,n=-,若m,n的长度恰好相等,则有(  )
A.A,B,C三点必在同一直线上
B.△ABC必为等腰三角形,且∠ABC为顶角
C.△ABC必为直角三角形,且∠ABC=90°
D.△ABC必为等腰直角三角形
6.在边长为1的正方形ABCD中,设=a,=b,=c,则|a+b+c|=____________,|a+c-b|=____________,|c-a-b|=__________.
7.已知△ABC为等腰直角三角形,且∠A=90°,有下列命题:
①|+|=|-|;②|-|=|-|;③|-|=|-|;④|-|2=|-|2+|-|2.
其中正确命题的序号为__________.
8.如图,已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b,=c,求.
9.如图所示的五边形ABCDE中,若=m,=n,=p,=q,=r,求作向量m-p+n-q-r.
10.三个大小相同的力a,b,c作用在同一物体P上,使物体P沿a方向做匀速运动,设=a,=b,=c,判断△ABC的形状.
参考答案
1.解析:由图可知=,则-=-=.又由三角形中位线定理,知=,故选D.
答案:D
2.解析:如图,有=+=+=+-=a+c-b.
答案:B
3.解析:当向量共线时,向量加法的平行四边形法则不适用,可考虑应用向量加法的三角形法则,其中①②是正确的;③由向量加减法的几何意义,知|a+b|=|a-b|等价于以a,b为邻边的平行四边形的对角线相等,此时a与b垂直,但a与b的模不一定相等,故③不正确;④不能判断|a|-|b|的符号,而|a-b|一定大于等于0,故④不正确.
答案:C
4.解析:如图所示,作平行四边形ABDC,根据向量加法的平行四边形法则可知,当|a|=|b|=1,|a+b|=1时,平行四边形ABDC为菱形.又|a+b|=1,
所以△ABD为正三角形,
所以∠ABD=60°.容易得出|a-b|=||=2||==2×=.
答案:B
5.解析:如图,作ABCD,
则m=+=,
n=-=-=.
∵|m|=|n|,
∴||=|D|,
∴ABCD为矩形.
∴△ABC为直角三角形,
∴∠ABC=90°.
答案:C
6.解析:|a+b+c|=2|c|=,|a+c-b|=|(c-b)+a|=2|a|=2,|c-a-b|=|c-(a+b)|=|c-c|=0.
答案: 2 0
7.解析:以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,由题意知其为正方形.
∵|+|=||,|-|=||,||=||,∴①正确.
②正确.
∵|-|=|+|=||,|-|=|+|=||,
又∵||=||,∴③正确.
∵|-|2=||2,|-|2+|-|2=|+|2+|+|2=||2+||2=||2,
∴④正确.
答案:①②③④
8.分析:所给图形是平行四边形,为了应用图形的性质,将向量,,,都转化到四条边上,由向量减法的三角形法则,得=-,=-.于是,根据与为相等向量的关系可得结论.
解:因为=,=-,=-,
所以-=-,=-+.
所以=a-b+c.
9.解:∵m-p+n-q-r=(m+n)-(p+q+r)=(+)-(++)=-=+,
∴延长AC至点F,使||=||(如图),则=,
∴=+,即向量即为所求作的向量m-p+n-q-r.
10.解:由题意得|a|=|b|=|c|,由于合力作用后做匀速运动,故合力为0,即a+b+c=0.∴a+c=-b.如图所示,APCD为菱形,=a+c=-b.∴∠APC=120°,同理∠APB=∠BPC=120°.
又∵|b|=|c|=|a|,
∴易知△ABC为正三角形.
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12.1.1 向量的概念
知识点一:位移、向量的概念
1.下列物理量中,不是向量的有
①质量;②位移;③力;④加速度;⑤速度;⑥路程;⑦功;⑧密度;⑨面积.
A.1个   B.2个   C.3个   D.4个
2.如图,△ABC为等边三角形,则与△ABC中向量的长度相等的向量有
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
3.下列说法错误的是
A.作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量
B.向量可以用有向线段表示,但有向线段并不是向量
C.只有零向量的模等于0
D.零向量没有方向
知识点二:单位向量、相等向量及共线向量
4.若AB=AD,且=,则四边形ABCD的形状为
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
5.已知a、b都是单位向量,则下列说法正确的是
A.a=b
B.|a|=|b|
C.如果a和b平行,则a=b
D.a>b
6.下列结论中,不正确的是
A.向量、共线与向量∥意义是相同的
B.若=,则∥
C.若向量a,b满足|a|=|b|,则a=b
D.若向量=,则向量=
7.下列说法正确的是
A.∥就是的基线平行于的基线
B.长度相等的向量叫做相等向量
C.零向量长度等于0
D.共线向量是在同一条直线上的向量
8.四边形ABCD是菱形,如图所示的向量中,
(1)与相等的向量是________.
(2)与||相等的向量是________.
9.如图所示,E、F分别为△ABC边AB、AC的中点,则与向量共线的向量有________.(将图中符合条件的向量全部写出来)
10.如图所示,D、E、F分别是△ABC各边上的中点,四边形BCGF是平行四边形,试分别写出与共线及相等的向量.
能力点一:向量的有关概念问题
11.如图,在边长为1的正方形ABCD中,以下说法正确的是
A.与共线的向量只有一个(不含)
B.与的模相等的向量有7个(不含)
C.与不共线
D.向量:方向东南,大小为1
12.如图所示,在⊙O中,向量,,是
A.有相同始点的向量
B.共线向量
C.模相等的向量
D.相等向量
13.若向量a与b是两个不平行的非零向量,并且a∥c,b∥c,则c等于
A.0
B.a
C.b
D.不存在这样的向量c
14.下列结论中,正确的是
A.2
009
cm长的有向线段不可能表示单位向量
B.若O是直线l上的一点,单位长度已选定,则l上有且只有两个点A、B,使得、是单位向量
C.方向为北偏西50°的向量与东偏南40°的向量不可能是平行向量
D.一人从点A向东走500米到达点B,则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
15.如图,点O是正六边形ABCDEF的中心,与向量平行且模也相等的向量有
A.,,
B.,,,,,
C.,,,
D.,,,,,,
16.已知四边形ABCD中,=,且||=||,则四边形ABCD的形状是________.
17.⊙O的周长是2π,AB是⊙O的直径,C是圆周上的一点,∠BAC=,CD⊥AB于D,这时||=_______________________________________________________________.
18.如下图,D、E、F分别为正△ABC的各边中点,则在以A、B、C、D、E、F六个点中任意两点为起点与终点的向量中:
(1)找出与向量相等的向量.
(2)是否存在与向量长度相等,方向相反的向量?
(3)与向量共线的向量有几个?
(4)若△ABC为任意三角形,以上几问的答案会发生变化吗?
能力点二:向量的应用
19.如图,已知四边形ABCD中,N、M分别是AD、BC的中点,又=.求证:=.
20.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2
000
km到达乙地,再从乙地按南偏东30°的方向飞行2
000
km到达丙地,再从丙地按西南方向飞行1
000
km到达丁地,问丁地在甲地的什么方向?丁地距甲地多远?
21.在如图的方格纸上,已知向量a,每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为起点画一个向量b,使b=a.
(2)画一个以C为起点的向量c,使|c|=2,并说出c的终点的轨迹是什么?并作出轨迹.
22.如图,A、B、C三点的坐标依次是(-1,0)、(0,1)、(x,y),其中x、y∈R.当x、y满足什么条件时,向量与共线(其中O为坐标原点)
23.一辆消防车从A地去B地执行任务,先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地,然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地,从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地.
(1)画出,,,;
(2)求B地相对于A地的位置向量.
答案与解析
基础巩固
1.D
2.D 与长度相等的向量有,,,,.
3.D
4.C 由=知,四边形ABCD为平行四边形,
又∵AB=AD,
∴四边形ABCD为菱形.
5.B 6.C 7.C
8.(1) (2),,
9.,,
10.解:与共线的向量有,,,,,,,,,,;
与相等的向量有,,.
能力提升
11.B 12.C
13.A 零向量与任一向量共线,又a与b不平行,∴c=0.
14.B 15.D
16.等腰梯形
17. 如图,∵⊙O的周长是2π,
∴直线AB=2.
又∵C是圆周上的一点,
∴△ACB是直角三角形,∠ACB=.
再由∠BAC=,
得BC=AB=×2=1,
∴CD=BC·sin60°=,
即||=.
18.解:由向量相等与共线的定义可知:(1)与相等的向量有、;(2)存在,例如、;(3)有7个,分别为E、、、、、、;(4)不会.
19.解:∵=,
∴||=||,且∥.
从而,四边形ABCD是平行四边形.
∴∥,||=||.
∵N、M分别是AD、BC的中点,
∴||=||,||=||.
∴||=||.
又∥,∴四边形AMCN是平行四边形.
于是得∥,||=||.
又由题图可知,与的方向一致,
∴=.
20.解:如图所示,
A,B,C,D分别表示甲地,乙地,丙地,丁地,依题意知,△ABC为正三角形,∴AC=2
000
km,
又∵∠ACD=45°,CD=1
000
km,
∴△ACD为直角三角形,
即AD=1
000
km,∠CAD=45°.
∴丁地在甲地的东南方向,距甲地1
000
km.
21.解:(1)根据相等向量的定义,所作向量应与a平行,且长度相等,如图.
(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心,2为半径的圆,如图.
拓展探究
22.解:由已知,A、B的坐标是(-1,0)、(0,1),所以∠BAO=45°.
当点C(x,y)的坐标满足x=y=0时,=0,
这时与共线(零向量与任意的向量都共线);
当xy≠0,且x=y,即∠COx=45°或∠COx=135°时,
有AB∥OC,这时与共线.
综上,当x=y时,与共线.
23.解:(1)向量,,,如图所示.
(2)由题意知=,
∴ADBC,则四边形ABCD为平行四边形.
∴=,则B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°,6千米”.
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1向量的概念
1.下列说法中,正确的是(  )
A.长度相等的两个向量一定是相等的向量
B.当且仅当两个向量所在的直线恰为同一条直线时,这两个向量为共线向量
C.零向量没有方向
D.零向量的方向是任意的
2.下列说法中,不正确的是(  )
A.向量的长度与向量的长度相等
B.任何一个非零向量都可以平行移动
C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D.两个有共同始点且共线的向量,其终点必相同
3.如图所示,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,则向量,,,,,中共线的向量有(  )
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
4.如下图所示,四边形ABCD为等腰梯形,则两腰上的向量与的关系是(  )
A.=
B.||=||
C.>
D.<
5.如图所示,点O是正六边形ABCDEF的中心,以A,B,C,D,E,F,O七点中的任一点为始点,与始点不同的另一点为终点的所有向量中,设与相等的向量个数为m,与的模相等的向量个数为n,则m,n的值分别是(  )
A.3,23
B.3,11
C.3,24
D.以上都不正确
6.下列说法中,正确的是__________.(填序号)
①相等的向量的始点必相同;
②平行向量就是共线向量;
③若|a|>|b|,则a>b;
④质量、能量、功都是向量;
⑤若a∥b,则a,b的方向相同或相反.
7.如图所示,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.
(1)与向量相等的向量为__________;
(2)若||=3,则向量的模等于__________.
8.已知飞机从甲地向北偏东30°的方向飞行2
000
km到达乙地,再从乙地向南偏东30°的方向飞行2
000
km到达丙地,再从丙地向西南方向飞行km到达丁地,则丁地在甲地的__________方向,丁地距甲地的距离为__________
km.
9.判断下列说法是否正确,并简要说明理由.
(1)与是共线向量,则P,Q,M,N四点共线;
(2)共线的向量,若表示它们的有向线段的始点不同,则终点一定不同;
(3)两个向量相等,则它们的始点和终点都相同;
(4)||=||.
10.如图,A1,A2,A3,…,A8是O上的八个等分点,则在以A1,A2,A3,…,A8及圆心O九个点中任意两点为始点与终点的向量中,模等于半径的向量有多少个?模等于半径的倍的向量有多少个?
参考答案
1.解析:相等的向量不仅长度相等,而且方向相同,故选项A错误;共线向量所在的直线可以相互平行,也可以是同一条直线,故选项B错误;零向量的方向是任意的,故选项C错误;选项D正确.
答案:D
2.解析:很明显,选项A,B,C正确,共线向量只与方向有关,方向相同或相反的向量都是共线向量,所以选项D不正确.
答案:D
3.解析:共线向量有与,与,与.
答案:C
4.解析:||与||表示等腰梯形两腰的长度,故相等.
答案:B
5.解析:(1)与相等的向量有,,,故m=3.
(2)与的模相等的向量有两类:一类是以O为始点,以正六边形的顶点为终点或以正六边形的顶点为始点,以O为终点的向量,有2×6-1=11(个);另一类是以正六边形的六条边为有向线段的向量,共有2×6=12(个),故n=11+12=23.
答案:A
6.答案:②⑤
7.答案:(1)
, (2)6
8.解析:如图,A,B,C,D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地.
由题意知,△ABC是正三角形,
∴AC=2
000
km.
又∵∠ACD=45°,
CD=km,
∴△ACD是直角三角形.
∴AD=km,∠CAD=45°.
∴丁地在甲地的东南方向,丁地距甲地km.
答案:东南 
9.分析:根据共线向量、相等向量及向量的模的概念进行判断.
解:(1)不正确.与是共线向量,则直线MN与PQ可能重合,也可能平行,则P,Q,M,N四点不一定共线.
(2)不正确.共线的向量始点不同,但终点却可能相同.如图中的和共线,它们始点不同,但终点相同.
(3)不正确.两个向量只要长度相等、方向相同就是相等的向量,和始点、终点的位置无关.
(4)正确.与的长度均为线段AB的长度.
10.解:由于A1,A2,A3,…,A8是O上的八个等分点,所以八边形A1A2A3…A8是正八边形,正八边形的边及对角线长均与O的半径不相等.所以模等于半径的向量只可能是与(i=1,2,…,8)两类.一类是(i=1,2,…,8),共8个;另一类是(i=1,2,…,8),也有8个.两类合计16个.
O内接正方形的边长是半径的倍,所以考虑与圆心O形成90°圆心角的两点为端点的向量个数.以A1,A2,A3,…,A8为顶点的O的内接正方形有两个,一个是正方形A1A3A5A7;另一个是正方形A2A4A6A8.在题中所述的向量中,只有这两个正方形的边(看成有向线段,每一边对应两个向量)的长度为半径的倍.所以模为半径的倍的向量共有4×2×2=16(个).
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12.1.1
向量的概念
课后导练
基础达标
1.
下列各量中是向量的是(
)
A.密度
B.电流
C.面积
D.浮力
解析:主要考虑各量是否具备向量的两个要素,即大小和方向.密度、电流和面积都只有大小,没有方向,只有浮力既有大小,又有方向.
答案:D
2.在矩形ABCD中,AB=2AD,M、N分别为AB和CD的中点,则在以A、B、C、D、M、N为起点和终点的所有向量中,相等向量的对数是(
)
A.9
B.11
C.18
D.24
解析:如图,由已知可得,,,,,有12对相等向量.改变其方向又有12对相等向量.
答案:D
3.在四边形ABCD中,=且||=||.则四边形为______________.
解析:ABCD为菱形.
答案:菱形
4.如图,D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点,
(1)与相等的向量为________________;
(2)与共线的向量为________________.
答案:(1)、
(2)、、、、、、
5.如图,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点和终点,最多可以写出__________个互不相等的非零向量.
解析:模为1个单位的向量有2个,如,;模为2个单位的向量有2个,如,;模为3个单位的向量有2个,如,,故共有6个.
答案:6
6.a=b是a∥b的__________条件.a∥b是|a|=|b|的__________条件.|a|=|b|是a=b的_______条件.
答案:充分非必要
既不充分也不必要
必要非充分
综合运用
7.把平面上一切模为1的向量归结到共同的起点,那么这些向量的终点所构成的图形是(
)
A.一条线段
B.一段圆弧
C.两个孤立点
D.一个圆
解析:向量可以平移,因为这些向量模都是1,向量的方向“四面八方”均有,故所有向量的终点构成圆且半径为1.
答案:D
8.判断下列说法是否正确:
(1)若点O是正△ABC的中心,则向量、、均相等.(
)
(2)在四边形ABCD中,与共线时,||≠||,则四边形ABCD是梯形.(
)
(3)在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于O.若,则四边形是平行四边形.(
)
解析:(1)不正确.虽然模相等,但方向各不相同.
(2)正确.由于与共线,即∥,故ABCD的对边AB∥CD.再由于||≠||,另一组对边AD与BC不平行.故四边形ABCD是梯形.
(3)正确.由=,=,知ABCD的对角线AC与BD互相平分,所以ABCD是平行四边形.
答案:(1)不正确
(2)正确
(3)正确
9.如图所示,D,E,F分别是等腰Rt△ABC的各边中点,∠BAC=90°.
(1)分别写出图中与向量,长度相等的向量;
(2)分别写出图中与向量,相等的向量;
(3)分别写出图中与向量,共线的向量.
解:(1)||=||=||=||=||=||;
||=||=||.
(2)==;==.
(3)∥∥∥∥∥∥;
∥∥∥∥∥∥.
10.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2
000
km到达乙地,再从乙地按南偏东30°的方向飞行2
000
km到达丙地,再从丙地按西南方向飞行
km到达丁地,问丁地在甲地的什么方向 丁地距甲地多远
解:
如图,A,B,C,D分别表示甲地,乙地,丙地,丁地,
由题意知,△ABC是正三角形,
∴AC=2
000
km.
又∵∠ACD=45°,CD=
km,
∴△ACD是直角三角形.
∴AD=
km,∠CAD=45°.
∴丁地在甲地的东南方向,丁地距甲地
km.
拓展探究
11.中国象棋中规定:马走“日”字,象走“田”字.如图所示,在中国象棋的半个棋盘(4×8个矩形中,每个小方格都是单位正方形)中,若马在A处,可跳到A1处,也可跳到A2处,用向量,表示马走了“一步”,试在图中画出马在B,C处走了一步的所有情况.
解:如图,以点C为起点作向量(共8个),以点B为起点作向量(共3个).
12.向量具有鲜明的物理学实际背景,物理学中有两种基本量——标量和矢量,矢量遍布物理学中的很多分支.它包括力、位移、速度等.虽然物理学中的矢量与数学中的向量并不完全相同,如:力除了有大小和方向外还有作用点,而数学中的向量则只有大小和方向,没有作用点.但这并不影响向量在物理学中的应用.请同学们讨论,举出一些物理学中的矢量的例子,并解决下列问题:一位模型赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1
m,逆时针方向转弯α,
继续按直线向前行进1
m.再按逆时针方向转弯α,按直线向前行进1
m.按此方法继续操作下去.如图所示.
(1)作图说明当α=45°时,操作几次时赛车位移为零.
(2)按此方法操作赛车能回到出发点,α应满足什么条件 请写出其中两个.
解:(1)赛车位移路线构成一个正八边形,
赛车所行路程是8
m,
操作8次赛车位移为零.(如题图)
(2)n=,n为不小于3的整数,如α=30
°,
则n=12,即操作12次可回到起点,
又如α=15°,
则n=24,
即操作24次可回到起点.
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12.1.2
向量的加法
自我小测
1.在四边形ABCD中,++等于(  )
A.
B.
C.
D.
2.如图在△ABC中,D,E,F分别为AB,BC,CA的中点,则+等于(  )
A.
B.
C.
D.
3.设a,b为非零向量,下列说法不正确的是(  )
A.a与b反向,且|a|>|b|,则向量a+b与a的方向相同
B.a与b反向,且|a|<|b|,则向量a+b与a的方向相同
C.a与b同向,则向量a+b与a的方向相同
D.a与b同向,则向量a+b与b的方向相同
4.在平行四边形ABCD中,O是对角线的交点.下列结论正确的是(  )
A.=,=
B.+=
C.+=+
D.++=
5.已知下列各式:
(1)++;  
 (2)(+)++;
(3)+++;   (4)+++.
其中结果为0的个数为(  )
A.1
B.2
C.3
D.4
6.如图所示,菱形ABCD的边长为1,它的一个内角∠ABC=60°,=a,=b,则|a+b|=________.
7.若P为△ABC的外心,且P+P=P,则△ABC的内角∠ACB=__________.
8.如图所示,已知梯形ABCD,AD∥BC,则O+A+B+C=__________.
9.如图,已知在△ABC中,AC的中点为E,AB的中点为F,延长BE至点P,使BE=EP,延长CF至点Q,使CF=FQ.试用向量方法证明P,A,Q三点共线.
参考答案
1.答案:C
2.答案:D
3.答案:B
4.答案:C
5.答案:B
6.答案:1
7.解析:因为P+P=P,
所以四边形APBC是平行四边形.又P为△ABC的外心,
所以|P|=|P|=|P|.
所以∠ACB=120°.
答案:120°
8.答案:O
9.证明:因为E是AC的中点,F是AB的中点,
所以=,=.
又因为BE=EP,CF=FQ,
所以=,=.
所以=+=+=.
所以=.
而=+=+=,
所以=.所以=.
又因为向量与有共同的字母A,
所以P,A,Q三点共线.
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12.1.5
向量共线的条件与轴上向量坐标运算
5分钟训练(预习类训练,可用于课前)
1.以下选项中,a与b不一定共线的是(

A.a=5e1-e2,b=2e2-10e1
B.a=4e1e2,b=e1e2
C.a=e1-2e2,b=e2-2e1
D.a=3e1-3e2,b=-2e1+2e2
解析:对于A,b=-2a;对于B,a=4b;对于D,a=b.
答案:C
2.下列各命题中,正确命题的个数是(

①向量与是共线向量,则A、B、C、D必在同一直线上
②两非零向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反
③四边形ABCD是平行四边形的条件是=
④已知λ、ω∈R,λ≠ω,则(λ+ω)a与a共线
A.2
B.3
C.4
D.1
答案:A
3.长度相等的三个非零向量,,满足++=0,则由A、B、C三点构成的三角形ABC是_____________三角形.
解析:以OA,OB为邻边作菱形OAFB,
则+=,
∴+=0,=-.
∴O、F、C共线.∵菱形OAFB,
∴OE即CE垂直平分AB.∴CA=CB.
同理,AB=AC,
∴△ABC为等边三角形.
答案:等边
4.已知数轴上两点A,B坐标分别是-8,-3,则的坐标为___________________,长度为________________.
解析:=(-3)-(-8)=5;||=|5|=5.
答案:5
5
10分钟训练(强化类训练,可用于课中)
1.已知p、q、r是两两不共线的非零向量,且p+q与r共线,q+r与p共线.以下结论错误的是(

A.p+r与q也一定共线
B.p、q、r之和恰好为零向量
C.p+r与2q也一定共线
D.p、r、2q之和恰好为零向量
解析:依题意,设p+q=λr,q+r=μp,两式相减得p-r=λr-μp,移项整理得
(1+μ)p+(-1-λ)r=0.又由于p与r不共线,故1+μ=-1-λ=0.∴μ=λ=-1.
∴p+q+r=0,p+2q+r=q≠0.故选D.
答案:D
2.已知e1≠0,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,若a∥b,则(
)
A.λ=0
B.e2=0
C.e1∥e2
D.e1∥e2或λ=0
解析:∵a∥b,
∴存在实数k,使得a=kb,
即(2k-1)e1=λe2,
∵e1≠0,∴若2k-1=0,则λ=0或e2=0;
若2k-1≠0,e1=e2,此时e1∥e2,而0与任何一个向量平行,∴e1∥e2或λ=0,
∴应选D.
答案:D
3.若e是a的单位向量,b与e方向相反,且|b|=3,又|a|=4,则a=___________b.(

A.
B.
C.
D.
解析:由题知b=-3e,又a=4e,∴a=.
答案:D
4.已知向量i和j不共线,实数λ和μ满足等式3λi+(10-μ)j=2λj+(4μ+7)i,则λ的值为______________,μ的值为______________.
解析:i与j不共线,可以以i和j为一组基底,
由向量基本定理得

答案:
5.在数轴x上,已知=-3e(e为x轴上的单位向量),且B的坐标为3,则向量的坐标为______________.
解析:A点坐标为-3,则AB=3-(-3)=6,即的坐标为6.
答案:6
6.如图2-1-22所示,已知平面五边形ABCDE中的四边AB,BC,CD,DE的中点依次是M,P,N,Q,且线段MN,PQ的中点为K,T,试判断四边形AETK的形状.
图2-1-22
证明:∵M,P,N,Q,K,T分别是AB,BC,CD,DE,MN,PQ的中点,
∴+=0,+=0,+=0,+=0,+=0,+=0,据向量加法法则,得=++++.

=+++.

=+++.

=+++.

由①+②+③+④,得4=.
∴KT∥AE,KT≠AE.
∴四边形AETK为梯形.
30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)
1.e为x轴上一单位向量,若=-2e,且知B点坐标为3,则A点坐标为____________,此时AB中点坐标为____________.(
)
A.2,1
B.5,4
C.4,5
D.1,-2
解析:由题意知,AB=-2=3-xA,∴xA=5,线段AB中点的坐标为=4.
答案:B
2.(2006浙江金华十校联考,6)设a,b是两个非零向量,若8a-kb与-ka+b共线,则实数k的值为(
)
A.
B.
C.±
D.8
解析:因为8a-kb与-ka+b共线,所以有解之得k=±.
答案:C
3.若点M是△ABC的重心,则下列各向量中与共线的是(
)
A.++
B.++
C.++
D.3+
解析:设D,E,F分别为各边的中点,==·(+)=(+),同理,=(+),=(+),++=0,∴应选C.
答案:C
4.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ(),λ∈[0,+∞)?,则P的轨迹一定通过△ABC的(
)
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
解析:为上的单位向量,设为e1,为上的单位向量,设为e2,则e1+e2的方向为∠BAC的角平分线的方向.又λ∈[0,+∞),
∴λ(e1+e2)的方向与e1+e2方向相同,而由题意=λ(e1+e2),∴P在上移动.
∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.
答案:B
5.(2006甘肃兰州模拟,6)设a,b为不共线向量,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则下列关系式中正确的是(

A.=
B.=2
C.=-
D.=-2
解析:=++=-8a-2b=2(-4a-b)=2.
答案:B
6.已知O为四边形ABCD所在平面内一点,且向量,,,满足等式+2=+2,则四边形ABCD的形状为______________.
解析:由+2=+2知-=2(-),∴=2.
∴四边形ABCD中,AB∥CD且||≠||.
∴四边形ABCD为梯形.
答案:梯形
7.设e1,e2不共线,b=e1+λe2与a=2e1-e2共线,则实数λ的值为______________.
解析:设a=kb,即2e1-e2=ke1+kλe2,∵e1,e2不共线,∴
∴λ=.
答案:
8.下面给出三个命题:①非零向量a与b共线,则a与b所在的直线平行
②向量a与b共线,则存在唯一实数λ,使a=λb
③若a=λb,则a与b共线
填上正确的序号:______________.
解析:①a与b所在直线有可能在一条直线上;②若b=0,λb=0,∴λ可取任意实数;③正确.
答案:③
9.如图2-1-23,已知△OAB中,点C是以A为中心的B的对称点,点D是将分成2∶1的一个内分点,DC和OA交于点E,设=a,=b.
图2-1-23
(1)用a和b表示向量、;
(2)若=λ,求实数λ的值.
解:(1)依题意,A是BC的中点,∴2=+,即=2-=2a-b,
=-==2a-b-b=2a-b.
(2)设=λ,则=-=λa-(2a-b)=(λ-2)a+b.
∵与共线,
∴存在实数k,使=k,(λ-2)a+b=k(2a-b),解得λ=.
快乐时光
放学回家,一对双胞胎兄弟兴奋地告诉母亲:“妈妈,今天我们全班同学要选一位美丽的母亲,结果你当选了.”母亲很高兴,问怎么会当选的.双胞胎兄弟说:“同学们都投自己妈妈的票,我们有两票,所以你当选了!”
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12.1.3
向量的减法
课后导练
基础达标
1.可以写成①;②;③;④.其中正确的是(
)
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
解析:由三角形法则知①④正确.而.
答案:D
2.化简下列各式,结果为零向量的个数是(
)

②-+-


A.1
B.2
C.3
D.4
解析:①==0.
②-+-=(+)-(+)=-=0.
③==0.
④=0.
答案:D
3.若||=8,||=5,则||的取值范围是(
)
A.[3,8]
B.(3,8)
C.[3,13]
D.(3,13)
解析:∵=-,当、同向时,||=8-5=3;
当,反向时,||=8+5=13;
当,不共线或有零向量时3<||<13.
综上,知3≤||≤13.
答案:C
4.△ABC中,D、E、F分别为AB、BC、CA的中点,等于(
)
A.
B.
C.
D.
解析:.
答案:D
5.下列四式中,不能化简为的是(
)
A.()+
B.(+)+(+)
C.+-
D.
解析:(+)+(+)=++=+.
答案:B
6.已知=a,=b,若||=12,||=5,且∠AOB=90°,则|a-b|=__________.
解析:|a-b|=|-|=||=.
答案:13
7.在边长为1的正方形ABCD中,设=a,=b,=c,则|a+b+c|=________,|a+c-b|=________,|c-a-b|=______.
解析:|a+b+c|=2|c|=,|a+c-b|=|(c-b)+a|=2|a|=2,|c-a-b|=0.
答案:
2
0
8.在平行四边形ABCD中,若|+|=|-|,则ABCD是__________(填正方形或矩形或菱形).
解析:由|+|=|-|,
即||=||,可得ABCD的对角线相等且为平行四边形,
因此可得ABCD为矩形.
答案:矩形
综合运用
9.(2004全国高考,文5)
已知向量a,b满足:|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|等于(
)
A.1
B.
C.
D.
解析:由|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2),
知|a+b|2+4=2(1+4),
故|a+b|=.
答案:D
10.平面上有三点A,B,C,设m=+,n=-,若m,n的长度恰好相等,则有(
)
A.A,B,C三点必在同一直线上
B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C.△ABC必为直角三角形且∠B=90°
D.△ABC必为等腰直角三角形
解析:如图,作ABCD,
则+=,
-=-=,
∵|m|=|n|,
∴||=||.
∴ABCD为矩形.
∴△ABC为直角三角形,∠B=90°.
答案:C
11.已知等腰直角△ABC,∠C=90°,M为斜边的中点,设=a,=b,试用向量a,b表示、,,.
解:=-=a-b,
==a-b,
=+=++=b+a-b+a-b=2a-b,
==-(+)=-2(a-b)=2(b-a).
拓展探究
12.一艘船以
km/h的速度向垂直于岸的方向行驶,而船的实际速度是10
km/h,求水流的速度和船行驶的方向(用与水流方向间的夹角表示).
解:如图所示,设表示船垂直于对岸行驶的速度,表示水流的速度,以,为边作ABCD,则表示的就是船实际航行的速度.
在Rt△ABC中,
||=10
km/h,
||=||=
km/h,
∴||=
(km/h).
∵tan∠CAB=,∴∠CAB=60°.
答:水流速度为5
km/h,船行驶方向与水流方向夹角为60°.
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1向量共线的条件与轴上向量坐标运算
1.e为x轴上的单位向量,若=-2e,且B点的坐标为3,则A点的坐标和AB中点的坐标分别为(  )
A.2,1
B.5,4
C.4,5
D.1,-2
2.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么(  )
A.k=1,且c与d同向
B.k=1,且c与d反向
C.k=-1,且c与d同向
D.k=-1,且c与d反向
3.设a,b为不共线向量,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则下列关系式中正确的是(  )
A.=
B.=2
C.=
D.=-2
4.已知a≠0,λ∈R,下列叙述中,正确的个数是(  )
①λa∥a;②λa与a的方向相同;③是单位向量;④若|λa|>|a|,则λ>1.
A.1
B.2
C.3
D.4
5.已知△ABC的三个顶点A,B,C及△ABC所在平面内一点P满足:++=0,若实数λ满足+=λ,则λ的值为(  )
A.
B.
C.2
D.3
6.已知数轴上点A,B的坐标分别是-8,-3,则的坐标为__________,长度为__________.
7.设a,b是两个不共线的非零向量,若向量ka+2b与8a+kb的方向相反,则k=__________.
8.如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n的值为________.
9.如图所示,在ABCD中,点M是AB的中点,点N在BD上,且BN=BD.利用向量法证明M,N,C三点共线.
10.如图所示,已知△OAB中,点C是以A为中心的点B的对称点,OD=2DB,DC和OA交于点E,设=a,=b.
(1)用a和b表示向量,;
(2)若=λ,求实数λ的值.
参考答案
1.解析:设A点的坐标为xA,由题意,知AB=-2=3-xA,
∴xA=5,即A点的坐标为5,∴线段AB中点的坐标为.故选B.
答案:B
2.答案:D
3.解析:=++=-8a-2b=2(-4a-b)=2.
答案:B
4.答案:B
5.解析:由++=0知,P为△ABC的重心,
所以+=3,即λ=3,故选D.
答案:D
6.解析:AB=(-3)-(-8)=5,||=|5|=5.
答案:5 5
7.解析:设k′>0,则ka+2b=-k′(8a+kb),即ka+2b=-8k′a-k′kb,因为a,b不共线,所以k=-8k′,2=-k′k,所以k2=16,解得k=-4或k=4(舍去).
答案:-4
8.解析:∵在△AMN中,=-,=-,设=λ,∴-=λ(-).
∴=+.①
∵在△ABC中,
=(+)=m+n,②
∴由①②,可得,.
∴m+n=2.
答案:2
9.证明:设=a,=b,∵=+=a+(-a+b)=a+b,=+=a+b,∴=3.
∴∥,且与有公共点M,
∴M,N,C三点共线.
10.解:(1)依题意,A是BC的中点,
∴2=+,即=2-=2a-b,
∴=-=-=2a-b-b=2a-b.
(2)∵=λ,则=-=λa-(2a-b)=(λ-2)a+b.
∵与共线,且≠0,
∴存在实数k,使=k,
即(λ-2)a+b=k,解得λ=.
∴实数λ的值为.
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12.1.3 向量的减法
知识点一:向量的加法
1.向量(+)+(+)+化简后等于
A.   B.   C.   D.
2.已知平行四边形ABCD,设(A+C)+(B+D)=a,而b是一非零向量,则下列结论正确的有
①a∥b ②a+b=a ③a+b=b ④|a+b|<|a|+|b|
A.①③
B.②③
C.②④
D.①②
3.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,向量|A|=1,则|B+C|=__________.
4.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,则+++=________.
知识点二:向量的减法
5.在下列各式中,化简结果恒为零向量的是
A.-+-
B.+++
C.+++
D.+++
6.下列命题中正确命题的个数为
①如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a、b之一的方向相同;②△ABC中,必有A+B+C=0;③若A+B+C=0,则A、B、C为一个三角形的三个顶点;④若a、b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等.
A.0
B.1
C.2
D.3
7.已知向量a的终点与向量b的起点重合,向量c的起点与向量b的终点重合,则下列各结论中,正确的个数为
①以a的起点为终点,以c的起点为起点的向量等于-(a+b);
②以a的起点为终点,以c的终点为起点的向量为-a-b-c;
③以b的起点为终点,以c的终点为起点的向量为-b-c.
A.1
B.2
C.3
D.0
8.在△ABC中,设=a,=b,则=________.
能力点一:向量加减法的运算
9.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则
A.++=0
B.-+=0
C.+-=0
D.--=0
10.在平行四边形ABCD中,+-等于
A.
B.
C.
D.
11.若O是△ABC所在平面内一点,且满足|-|=|+--|,则△ABC的形状是
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
12.如图所示,在矩形ABCD中,O是对角线AC与BD的交点,若=a,=b,=c,则a-(b+c)=________.
13.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于O点,则--+=________.
14.如图所示,已知=a,=b,=c,=e,=d,=f,试用a,b,c,d,e,f表示,,-,+,-,++.
15.如图,在正六边形A1A2A3A4A5A6中,已知=p,=q,试用p、q表示向量、、、.
能力点二:向量加减法的综合应用
16.若A、B、C、D是平面内任意四点,则下列式子正确的有________个.
①+=+
②+=+
③-=+
A.0
B.1
C.2
D.3
17.已知向量a、b满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|等于________.
18.已知=a,=b,且|a|=|b|=4,∠AOB=60°.求a-b与a所在直线的夹角.
19.如图,已知正方形ABCD的边长等于1,=a,=b,=c,试作向量并分别求模.
(1)a+b+c;(2)a-b+c.
20.已知任意四边形ABCD,E为AD的中点,F为BC的中点,求证:-=-.
21.如图所示,?ABCD中,=a,=b,
(1)用a、b表示、.
(2)当a、b满足什么条件时,a+b与a-b所在直线互相垂直?
(3)当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|
(4)a+b与a-b有可能为相等向量吗?为什么?
答案与解析
1.C 原式=(+)+(+)+=++=.
2.A
3.1 +=,在△ABD中,AD=AB=1,∠DAB=60°,∴BD=1.∴|+|=||=1.
4.
5.A 6.B 7.C
8.-a-b =+=--=-a-b.
能力提升
9.A 由条件知=,=,
∴++=++=+=+=0.
10.D +-=(+)-=-=.
11.B 由已知得||=|(-)+(-)|=|+|,
∴以||与||为邻边的平行四边形为矩形,即AB⊥AC.故△ABC为直角三角形.
12.c a-(b-c)=-(+)=(-)-(-+)=--=-+==c.
13.
14.解:=-=c-a,
=-=d-a,
-==-=d-b,
+=-+-=b-a-c+f,
-==-=f-d,
++=0.
15.解:∵由已知得:
==p,====q,
∴=+=+=q+p=p+q;
==q;=+=2=2(p+q);
=+=2=2=2q.
16.C ∵+=和=-,
①式可变形为-=-,
即+=+,不恒成立;
②式可变形为-=-,即=,故正确;
③式可变形为-=+,即=,正确.
17. 利用|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)求得|a+b|=.
18.解:如图所示,
?OACB,|a|=|b|=4,∠AOB=60°,
∴此平行四边形为菱形,=a-b,△ABO为等边三角形.
∴||=4,即|a-b|=4.
∵a-b与a所在直线分别为BA与OA,∴所求夹角为60°.
19.解:(1)由已知得a+b=+=,又=c,
∴延长AC到E,使||=||.
则a+b+c=,且||=2.
(2)作=,
则+=,而=-=a-=a-b,
∴a-b+c=+=且||=2.
拓展探究
20.证明:如图,在四边形CDEF中,
+++=0,
∴=---=++.①
在四边形ABFE中,+++=0,
∴=++.②
①+②,得+=+++++=(+)+(+)+(+).
∵E、F分别是AD、BC的中点,
∴+=0,+=0.
∴+=+,
即-=-.
21.解:(1)=+=a+b,=-=a-b.
(2)由(1)知a+b=,a-b=.
a+b与a-b所在直线互相垂直,即AC⊥BD.
又∵ABCD为平行四边形,
∴四边形ABCD为菱形,即a、b应满足|a|=|b|.
(3)|a+b|=|a-b|,即||=||.
∵矩形的对角线相等,
∴当a与b所在直线互相垂直时,满足|a+b|=|a-b|.
(4)不可能,因为?ABCD的两对角线不可能平行,因此a+b与a-b不可能为共线向量,那么就不可能为相等向量了.
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12.1.4
向量数乘
5分钟训练(预习类训练,可用于课前)
1.已知a=e1+e2,b=3e1-2e2,则3a-2b等于(
)
A.9e1+4e2
B.0
C.7e2-2e1
D.-3e1+7e2
解析:3a-2b=3(e1+e2)-2(3e1-2e2)=-3e1+7e2.
答案:D
2.已知=a,=b,=,用a,b表示,则等于(
)
A.
B.
C.
D.a-b
解析:∵=,∴-=(-).∴b-a=-a.
∴=.
答案:B
3.化简(-2)·3m-4(n-2m)的结果为(
)
A.-14m-4n
B.-6m-4n
C.2m-4n
D.4n+2m
解析:原式=-6m-4n+8m=2m-4n.
答案:C
4.若|a|=3,b与a的方向相反,且|b|=5,则a=b.
解析:∵b与a的方向相反,且|a|=|b|,
∴a=-b.
答案:-
10分钟训练(强化类训练,可用于课中)
1.如图2-1-16,在梯形ABCD中,AD∥BC,=a,=b,=c,=d,且E、F分别为AB、CD的中点,则(
)
图2-1-16
A.=(a+b+c+d)
B.=(a-b+c-d)
C.=(c+d-a-b)
D.=(a+b-c-d)
解析:=-=(+)-(+)=(c+d)-(a+b).
∴=(c+d-a-b).
答案:C
2.已知AD、BE、CF分别为△ABC的三条中线,G是它们的交点,则下列等式不正确的是(
)
A.=
B.=
C.=-2
D.+=
解析:本题的关键点在于将重心的性质用向量的形式表示出来,由图知B错在方向反了.应该为=.
答案:B
3.点C在线段AB上,且=,则=.(
)
A.
B.
C.
D.
解析:∵||=||,∴||∶||=3∶2,
且与方向相反,∴=.
答案:D
4.化简:=____________.
解析:原式=[(a+4b)-4a+2b]
=
(-3a+6b)=-a+2b.
答案:2b-a
5.若2(x-a)-(b-3x+c)+b=0,其中a,b,c为已知向量,则未知向量x=______________.
解析:2x+,
∴x=.
答案:.
6.如图2-1-17,已知=3e1,=3e2,
(1)
(2)
图2-1-17
(1)如图(1),C、D为AB三等分点,求,;
(2)如图(2),C、D、E为AB的四等分点,求、.
解:(1)=-=3e2-3e1,
∴=e2-e1=.∴=+=3e1+e2-e1=2e1+e2;
=+=2e1+e2+(e2-e1)=e1+2e2.
(2)=3e2-3e1,=e2-e1,
=+=3e1+e2-e1=e1+e2,
此时,==(3e2-3e1)=e2-e1,
=+=3e1+e2-e1=e1+e2.
30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)
1.M为线段AB的中点,O为平面内任一点,=a,=b,则等于(

A
B.
C.
D.2a+2b
解析:以OA、OB为邻边作平行四边形OANB,=a+b,=,
∴=a+b.
答案:A
2.如图2-1-18平行四边形ABCD中,O为平面外任一点,=a,=b,=c,=d,则(
)
图2-1-18
A.a+b+c+d=0
B.a-b-c-d=0
C.a+b-c-d=0
D.a-b+c-d=0
解析:由平行四边形ABCD知=,即-=-,
∴a-b=d-c.∴a-b+c-d=0.
答案:D
3.已知四边形ABCD为菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A、C),则等于(
)
A.λ(+),λ∈(0,1)
B.λ(+),λ∈(0,)
C.λ(-),λ∈(0,1)
D.λ(-),λ∈(0,)
解析:由向量的运算法则=+,点P在对角线AC上,所以与同向,且||<||,故=λ(+),λ∈(0,1).
答案:A
4.正方形ABCD中,已知=a,=b,=c,表示a-b+c的是(
)
A.
B.
C.
D.
解析:a-b+c=-+=+==.
答案:C
5.(2006高考广东卷,4)如图2-1-19所示,D是△ABC的边AB上的中点,则向量等于(
)
图2-1-19
A.-+
B.--
C.-
D.+
解析:=-=-.
答案:A
6.O为平行四边形ABCD中心,=4e1,=6e2,则3e2-2e1=_______________.
解析:3e2-2e1=(6e2-4e1)=(-)=(-)==.
答案:或
7.已知向量x,y,则满足方程组的x=_______________,y=_______________.
解析:用解方程组方法即得x=p+q,y=q-2p.
答案:p+q
q-2p
8.给出下面四个结论:
①对于实数p和向量a,b,有p(a-b)=pa-pb;
②对于实数p、q和向量a,有(p-q)a=pa-qa;
③若pa=pb(p∈R),则有a=b;
④若pa=qa(p,q∈R,a≠0),则p=q.
其中正确结论的序号为_______________.
解析:①②显然正确;③在p=0时不可以;
④可化为(p-q)a=0,
∵a≠0,∴p-q=0即p=q,∴④正确.
答案:①②④
9.如图2-1-20,ABCD的两条对角线相交于点M,且=a,=b,你能用a、b表示、、和吗
图2-1-20
解:在ABCD中,∵=+=a+b,=-=a-b,
又∵平行四边形的两条对角线互相平分,
∴==(a+b)=ab,
==(a-b)=ab,
==a+b,
=-==a+b.
10.如图2-1-21,平行四边形ABCD中,M、N分别为DC、BC的中点,已知=c,AN?=d,试用c、d表示和.
图2-1-21
解:设=a,=b,则由M、N分别为DC、BC的中点,可得=b,=a.
从△ABN和△ADM中,可得
①×2-②,得a=(2d-c),②×2-①,得b=(2c-d),
即=(2d-c),=(2c-d).
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