高中数学第二章函数概念与基本初等函数I学案（打包20套）苏教版必修1

2．2．1　函数的单调性
互动课堂

疏导引导
2.1.1　函数的概念和图象?
1.函数的概念?
一般地,设A、B是两个非空的数集,如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,这样对应叫做从A到B的一个函数,通常记为y=f(x),x∈A.其中所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x)的定义域.?
疑难疏引
(1)构成函数的三要素:定义域,对应法则f,值域.其中核心是对应法则f,它是联系x和y的纽带,是对应得以实现的关键,对应法则可以由多种形式给出,可以是解析法,可以是列表法和图象法,不管是哪种形式,都必须是确定的,且使集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应.当一个函数的定义域和对应法则确定之后,值域也就唯一的确定了,所以值域是定义域这个“原材料”通过对应法则“加工”而成的“产品”.因此,要确定一个函数,只要定义域与对应法则确定即可.在函数符号y=f(x)中,f是表示函数的对应关系,等式y=f(x)表明,对于定义域中的任意x,在对应关系f的作用下,可得到y,因此,f是使“对应”得以实现的方法和途径.函数符号y=f(x)是“y是x的函数”这句话的数学表示,它不表示“y等于f与x的乘积”.f(x)可以是解析式,也可以是图象或数表.符号f(a)与f(x)既有区别又有联系.f(a)表示当自变量x=a时函数f(x)的值,是一个常量;而f(x)是自变量x的函数,在一般情况下,它是一个变量.f(a)是f(x)的一个特殊值.值域是全体函数值所组成的集合.在多数情况下,一旦定义域和对应关系确定,函数的值域也就随之确定.?
(2)关于函数的两个定义实质上是一致的.初中定义的出发点是运动变化的观点,而高中定义却是从集合、对应的观点出发.初中阶段学习的函数的概念的优点是:直观,生动.高中阶段学习的函数的概念的优点:更具一般性.比如按初中的定义就很难判断下面的表达式是不是函数:?
f(x)=
现在用高中学的函数概念来判断则是没有问题的,事实上,在判断两个函数是不是同一个函数时,只要定义域和对应法则相同,则必为同一函数,还有一点,如果三者中有一个不同,则必不是同一函数.?
●案例1设对应法则f是从集合A到集合B的函数,则下列结论中正确的是(　　)?
A.B必是由A中的数对应的输出值组成的集合?
B.A中的每一个数在B中必有输出值?
C.B中的每一个数在A中必有输入值?
D.B中的每一个数在A中只对应唯一的输入值?
【探究】本题主要考查的是对函数定义的理解,注意区分数学语言的逻辑次序,是对数学基本功的考查.定义中要求有三个关键词分别是:“非空”是指A、B都是非空的数集;“每一个”是指B中的每一个数在A中必有输入值;“唯一”是指A中每一个元素在B中的输出值必须唯一.故选C.?
【溯源】数学选择题中有很多都是对基本概念辨析的考查,我们在学习中应该有意识地对一些新概念、定义、定理做一些精读细研,这对我们高中数学学习也很有好处.
2.函数的图象?
所谓函数y=f(x)的图象,就是将自变量的一个值x0作为横坐标,相应的函数值f(x0)作为纵坐标,就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0)).当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时,就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为{(x0,f(x0))|x0∈A},即?{(x,y)|y=f(x),x∈A},所有这些点组成的图形就是函数y=f(x)的图象.?
疑难疏引函数的图象是数形结合应用的典范.函数图象是函数关系的一种表示方法,它能够也必须把函数的三要素全面而直观地反映出来,它是研究函数关系、性质的重要工具.函数图象是函数部分运用数形结合思想方法的基础.?
●案例2画出下列函数的图象.?
(1)y=(-1)x,x∈{0,1,2,3};
(2)y=x-|1-x|;
(3)y=.
【探究】
(1)y=(-1)x,x∈{0,1,2,3},由于定义域的特殊性从而导致函数图象只是若干个孤立点.?
(2)先写成分段函数再作图.?
y=x-|1-x|=.?
(3)y=,定义域为x<0且x≠-.?

　　【溯源】函数图象部分应解决好画图、识图、用图这三个基本问题,即对函数的图象有三点要求:?
(1)会画各种简单函数的图象.?
(2)能以函数的图象识别相应函数的性质.?
(3)能用数形结合思想以图辅助解题.?
(4)可得到如下结论:①函数y=-f(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称;②函数y=f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称;③函数y=-f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于原点(0,0)对称;④函数y=f(|x|)在y轴上及其右侧的图象与函数y=f(x)的图象相同,再将y轴右侧的图象作关于y轴的对称图象可得x<0时的图象;⑤函数y=|f(x)|在x轴上及其上方的图象与函数y=f(x)的图象相同,再将x轴下方的图象作关于x轴的对称图象可得f(x)<0时的图象;⑥函数y=f(x+1)的图象是将y=f(x)的图象向左平移一个单位得到的;⑦函数y=f(x)+1的图象是将y=f(x)的图象向上平移一个单位得到的.?
在函数图象平移时,记住一个口诀:“平移变换,左加右减.”左是往左平移,指的是图象往左平移几个单位,则解析式的自变量要加几个单位;右是往右平移,指的是图象往右平移几个单位,解析式的自变量要减去几个单位.?
●案例3求下列函数的定义域.?
(1)f(x)=;?
(2)f(x)=;?
(3)f(x)=.?
【探究】
(1)要使函数f(x)=
有意义,应有x-|x|≠0,即x<0.?
故所求函数的定义域为{x|x<0}.?
(2)要使函数f(x)=
有意义,?
应有?
即?
故所求函数的定义域为{x∈R|x≠0且x≠-2}.?
(3)要使函数f(x)=
有意义,?
应有即
故所求函数的定义域为{x|x≤4且x≠1}.?
【溯源】(1)式中要求分式的分母不为零;(2)式中要求两个分母都不为零;(3)式中两点要求:分母不为零,且二次根式中的被开方数非负.?
定义域、对应法则和值域是函数的三要素.?
(1)目前求函数定义域的主要原则是:?
①分式的分母不能为零;?
②偶次根式的被开方数非负;?
③零次幂的底数不为零.?
(2)目前应掌握的值域求法有:?
①代入法(定义域为有限集);?
②配方法(和二次有关的函数);?
③图象法(能绘制出图象的函数).
2.1.2　函数的表示方法?
疑难疏引
函数的表示方法有三种:列表法、解析法、图象法.其中后两种方法最为常见.这些表示函数的方法各有优缺点.?
用解析法表示函数关系,优点是简明,便于用数学方法进行研究.?
用列表法表示函数关系,优点是容易找到对应于自变量的某一个值(只要表中有)的函数值,但缺点是往往不可能把自变量的值都列在表里.?
用图象法表示函数关系,优点是一方面可以容易地找到自变量某一值所对应的函数值,另一方面可以明显地看出自变量变化时,函数值的变化情况,但用图象法表示函数关系只能是局部的、近似的图形.?
根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系,求出它的解析式,一是要求出对应法则,二是要求出函数的定义域.?
求函数的解析式常用的方法有直接法、代入法、待定系数法、换元法、配方法、方程或方程组法等.根据实际问题求函数表达式,是应用函数知识解决实际问题的基础,但要注意函数定义域还应由实际意义来确定.?
由于函数关系的三种表示方法各具特色,优点突出,但大都存在着缺点,不尽人意,所以在应用中本着物尽其用、扬长避短、优势互补的精神,通常表示函数关系是把这三种方法结合起来运用,先确定函数的解析式,即用解析法表示函数;再根据函数解析式,计算自变量与函数的各组对应值,列表;最后是画出函数的图象.?
●案例1已知函数f(x+1)=x2-1,x∈［-1,3］,求f(x)的表达式.?
【探究】函数是一类特殊的对应,已知函数f(x+1)=x2-1,即知道了x+1对应的元素是x2-1,求出x的对应元素,即是f(x)的表达式.求解f(x)的表达式可用“配凑法”或“换元法”.?
【解法一】(配凑法)∵f(x+1)=x2-1=(x+1)2-2(x+1),∴f(x)=x2-2x.又x∈［-1,3］时,(x+1)∈［0,4］,∴f(x)=x2-2x,x∈［0,4］.?
【解法二】
(换元法)令x+1=t,则x=t-1,且由x∈［-1,3］知t∈［0,4］,∴由f(x+1)=x2-1,得f(t)=(t-1)2-1=t2-2t,t∈［0,4］.∴f(x)=(x-1)2-1=x2-2x,x∈［0,4］.?
【溯源】已知函数f［g(x)］的表达式,求f(x)的表达式,解决此类问题一般有两种思想方法,一种是用配凑的方法,一种是用换元的方法.“配凑法”即把已知的f［g(x)］配凑成关于g(x)的表达式,而后将g(x)全用x取代,化简得要求的f(x)的表达式;“换元法”即令已知的f［g(x)］中的g(x)=t,由此解出x,即用t的表达式表示出x,后代入f［g(x)］,化简成最简式.?
需要注意的是,无论是用“配凑法”还是用“换元法”,在求出f(x)的表达式后,都需要指出其定义域,而f(x)的定义域即x的取值范围应和已知条件f［g(x)］中g(x)的范围一致,所以说求f(x)的定义域就是求函数g(x)的值域.?
●案例2已知二次函数f(x)的图象过点A(1,1)、B(2,0)及点C(6,0),求f(x)的表达式.
【探究】
二次函数是我们熟悉的一种函数,其形式有:一般式f(x)=ax2+bx+c(a、b、c∈R且a≠0);两点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a∈R且a≠0),其中x1、x2分别是f(x)的图象与x轴的两个交点的横坐标;顶点式f(x)=a(x-m)2+n(a∈R且a≠0),(m,n)是顶点坐标.无论哪种形式都有三个参数,所以可用待定系数法求解f(x),具体解法?如下?.?
【解法一】
(待定系数法)由题意可设f(x)=ax2+bx+c(a、b、c∈R且a≠0).∵f(x)的图象过点A(1,1)、B(2,0)及点C(6,0),
∴解得
∴f(x)=x2-x+.?
【解法二】(待定系数法)∵f(x)的图象过点B(2,0)及点C(6,0),∴f(x)的图象与x轴的两交点的横坐标分别是2和6.∴可设f(x)=a(x-2)(x-6),a∈R且a≠0.∵f(x)的图象过点A(1,1),∴1=a(1-2)(1-6).解得a=.∴f(x)=(x-2)(x-6),即f(x)=
x2-x+.?
【解法三】(待定系数法)∵f(x)的图象过点B(2,0)及点C(6,0),
∴f(x)的图象关于直线x=,即x=4对称.∴可设f(x)=a(x-4)2+m,其中a、m∈R且a≠0.
又f(x)的图象过点A(1,1)、B(2,0),?
∴∴解得∴f(x)=(x-4)2-,即f(x)=x2-x+.?
【溯源】
已知函数类型求解函数表达式时,一般用待定系数法.如求一次函数可设?f(x)=?kx+b,k、b为待定系数;求反比例函数可设f(x)=,k为待定系数等.本题是求二次函数,由于二次函数有三种形式,设成一般式还是两点式、顶点式要根据题设中的条件来确定.一般情况,知道二次函数图象过三点时,可选用一般式;知道图象与x轴交点坐标时,可选用两点式;如知道二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程时,可选用顶点式.无论选用哪种形式,都需要列方程或方程组求解待定系数.
2.1.3　函数的简单性质?
1.函数的单调性?
疑难疏引
函数的单调性是对区间而言的,它是“局部”性质,不同于函数的奇偶性,函数的奇偶性是对整个定义域而言的,即是“整体”性质.对某一函数y=f(x),它在某区间上可能有单调性,也可能没有单调性;即使是同一个函数,它在某区间上可能单调递增,而在另外一区间上可能单调递减;对某一函数y=f(x),它在区间(a,b)与(c,d)上都是单调增(减)函数,不能说y=f(x)在(a,b)∪(c,d)上一定是单调增(减)函数,即函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的.例如函数y=在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上也是减函数,但不能说它在整个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞)是减函数,因为当取x1=-1,x2=1时,对应的函数值为f(x1)=-1,f(x2)=1,显然有x1有些函数在整个定义域内具有单调性.例如函数y=x就是这样.有些函数在定义域内某个区间上是增函数,而在另一些区间上是减函数.例如函数y=x2在(-∞,0)上是减函数,在［０,+∞)上是增函数.?
中学阶段我们所讨论的函数,只要它们在区间的端点有定义,那么在考虑单调区间时,包括端点、不包括端点都可以.?
函数的单调性所刻画的是当自变量变化时其对应的函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,函数图象能直观地显示函数的这个性质.在单调区间上的增函数,它的图象是沿x轴正方向逐渐上升的;在单调区间上的减函数,它的图象是沿x轴正方向逐渐下降的.?
●案例1观察下列函数的图象,写出单调区间:?
【探究】
本题主要检测单调性定义的直观理解,辨析函数y=f(x)在区间I上是单调增(减)函数,则图象在I上的部分从左到右是上升(下降)的.(1)单调减区间为(-∞,1］,单调增区间为［1,+∞).(2)单调减区间为(-∞,1］,单调增区间为［1,+∞).?
【溯源】单调性与单调区间.?
(1)在这个区间上的x1、x2必须是任意的.?
(2)增函数自变量和函数值的关系是“大对大,小对小”,可以用“荣辱与共”这个词形容.
(3)说增函数必须谈及区间,脱离区间谈增函数是没有意义的.?
增函数的图象特征:从左到右上升.?
减函数的图象特征:从左到右下降.?
记忆口诀:增函数,减函数,函数作差要记住;正号增,负号减,增减函数很简单;往上增,往下减,增减趋势正相反.
2.函数的奇偶性?
疑难疏引
奇偶性的判断:?
(1)定义域不关于原点对称的函数一定不是奇偶函数;?
(2)定义域关于原点对称的函数也不一定是奇偶函数;?
(3)定义域关于原点对称,且满足f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)的函数才是偶函数或奇函数.
函数奇偶性的应用:?
(1)利用奇偶性求有关函数值;?
(2)利用奇偶性求有关函数的解析式;?
(3)利用奇偶性研究函数的其他性质.?
奇偶性、单调性等常常与函数方程、不等式结合在一起,具有较强的综合性,这些知识的综合与应用,一直是高考的热点.?
另外,由奇(偶)函数图象的特征并结合函数单调性的定义不难得到:?
(1)奇(偶)函数在关于原点对称的区间上,具有相同(反)的单调性;?
(2)若奇函数f(x)在区间(0(3)偶函数f(x)在区间
,
(0记忆口诀:奇函数,偶函数,函数奇偶看f.同号偶,异号奇,非奇非偶不离奇.对折偶,旋转奇,图象重合在一起.?
●案例2已知函数f(x)=.?
(1)用定义证明该函数在［1,+∞)上是增函数;?
(2)判断该函数的奇偶性.?
【探究】本题考查的是函数性质的证明,主要是进一步掌握证明步骤及要点.?
(1)设x1、x2∈［1,+∞)且x1f(x1)-f(x2)=,?
∵x1∵x1、x2∈［1,+∞),
∴(x1x2-1)>0,(x12+1)(x22+1)>0.?
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以该函数在［1,+∞)上是增函数.?
(2)由x∈R,又f(-x)==-f(x),?
所以该函数是奇函数.?
【溯源】函数单调性的证明分四步:①设值;②着差;③定号;④结论.函数的奇偶性判定要注意定义域关于原点对称.
3.利用信息技术探讨函数的性质?
利用计算机绘制函数的图象具有快速准确的特点,常用的有microsoft出品的Excel和Scott
and
Nick
Jackiw共同开发的《几何画板》,特别是《几何画板》是一款非常优秀的多媒体软件.它是一个通用的数学、物理教学环境,提供丰富而方便的创造功能使用户可以随心所欲地编写出自己需要的教学课件.软件提供充分的手段帮助用户实现其教学思想,只需要熟悉软件的简单的使用技巧即可自行设计和编写应用范例,范例所体现的并不是编者的计算机软件技术水平,而是数学思想的应用水平.?
●案例3借助计算机作出函数y=-x2+2|x|+3的图象并指出它的单调区间.
【探究】计算机中有好多程序可以画图,但要注意的是,选用最常用的比较方便,如选用《几何画板》画的函数图象如右图,由图象可知,函数的单调递增区间为(-∞,-1)、(0,1);函数的单调递减区间为(-1,0)、(1,+∞).
　　【溯源】在应用《几何画板》时,要注意使用其中的“图表”中的“新建函数(N)”功能,要用到其中的“abs”即“绝对值函数”.
2.1.4　映射的概念?
1.映射的概念?
一般地,设A、B是两个集合,如果按某种对应法则f,对于A中的每一个元素,在B中都有唯一的元素与之对应,那么,这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射,记作f:A→B.?
疑难疏引
这个定义,可从以下四点深刻理解它:(1)“f:A→B”,包括集合A、B以及A到B的对应法则f(A≠,B≠).(2)映射f:A→B是有方向的,即从A到B,定义中只要求A中的每一个元素在B中有怎样的“象”,并不要求B中的每一个元素在A中有怎样的对应.因此,“从A到B的映射”与“从B到A的映射”是不同的.(3)在A到B的映射中,集合A中的每一个元素在B中都有“象”,且“象”唯一.(4)映射是一种特殊的“对应”.而“对应”与集合一样,也是原始概念,即无定义的,但可以“说明”.对应是两个集合A与B的关系,通常以一个集合为主来考虑,对于A中的每一个元素来说,有以下三种对应关系:①B中有唯一元素与之对应;②B中有多个元素(不是唯一)与之对应;③B中没有元素与之对应.?
●案例
判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射,为什么 ?
(1)设A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},对应法则f:x→2x+1;?
(2)设A=N
,B={0,1},对应法则f:x→x除以2得到的余数;?
(3)设A={1,2,3,4},B={1,,,},f:x→x的倒数;?
(4)A={(x,y)||x|<2,x+y<3,x∈Z,y∈N},B={0,1,2},f:(x,y)→x+y;?
(5)A={x|x>2,x∈N},B=N,f:x→小于x的最大质数;?
(6)A=N,B={0,1,2},f:x→x被3除所得余数.?
【探究】依据映射的定义,可得(1)(2)(3)(5)(6)都是A到B的映射,(4)不是A到B的映射.因为(4)中A={(-1,0),(-1,1),(-1,2),(-1,3),(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)},由对应法则f:(x,y)→x+y知:集合A中的元素(-1,0)在集合B中没有元素与之对应,故(4)不是A到B的映射.?
【溯源】映射的概念是现代函数概念的基础,弄懂映射的概念,为我们进一步理解函数概念的本质奠定了基础.判别一个对应是映射f:A→B的要点是:①A到B;②A中每一个元素在B中都有元素与之对应,且元素唯一.
2.用映射的概念定义函数、函数的定义域、值域?
疑难疏引
用映射的概念定义函数、函数的定义域、值域时应注意的问题:(1)函数是特殊的映射,特别注意A、B是非空数集;(2)函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”,有的简记作函数f(x).而f(a)表示自变量x=a(a∈A)时的函数值;(3)值域C是B的子集,当B中的每一元素在A中都有元素与之对应时,B=C;(4)应该知道,函数的决定性要素是两个:定义域和对应法则,而值域是由定义域和对应法则确定的,因而今后有“求函数的值域”的很多难题.因此,研究函数的任何问题都必须由定义域和对应法则这两个独立要素下手,但很多人往往犯“忽视定义域”的错误.?
“映射”这一节内容是学完集合及其相关概念后又出现的一个新概念,它是集合论中一个极为重要的概念,是函数概念的推广.本节课主要内容就是映射概念,由于映射概念抽象、乏味、不好理解,因此重点、难点也是映射概念.?
在初中我们初步学习了用变量描述的函数概念,从运动变化的观点出发,将自变量x的每一取值与唯一确定的函数值对应起来.但是,有些函数如果只根据变量观点,就很难进行深入研究.例如,著名的狄利克雷(Dirchlet)函数f(x)=和高斯(Gauss)函数g(x)=、(x∈R,表示不超过x的最大整数),对这两个函数,如果用变量观点来解释,会显得十分勉强,但用集合、对应的观点来解释,就十分自然.因此,近代数学引入集合与映射的概念,是数学发展的需要,是为了更好地刻画函数的定义,加深对函数概念的理解.?
函数是特殊的映射,即当两个集合A、B均为非空数集时,则从A到B的映射就是函数.所以函数一定是映射,而映射不一定是函数.?
给定两集合A、B及对应法则f,判断是否是从集合A到集合B的映射,其基本方法是利用映射的定义.用通俗的语言讲:A→B的对应有“多对一”“一对一”及“一对多”,前两种对应是A→B的映射,而后一种不是A→B的映射.?
用映射的概念来深刻理解函数,反之,用函数的方法来解映射的问题,这是把概念与操作相结合的现代观点.在学习中,用具体的函数来操作映射是最快的算法,而不要在概念中兜圈子.
活学巧用
1.已知P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列对应法则中不是从P到Q的函数是…(　　)
A.f:x→y=　　　
B.f:x→y=
C.f:x→y=
D.f:x→y=
【思路解析】
本题关键还是抓住定义中关键词“每一个”,即P中每一个元素x在Q中都有的输出值y.在法则f:x→y=中,若x=4,按照法则应该与y=6相对应,而6Q,所以应该选择C.
【答案】
C?
2.判断下列对应f是否为从集合A到集合B的?函数?
(1)A={x|-2≤x≤2},B={y|-1≤y≤1},f(x)=x;
(2)A={x|x是平面上的三角形},B={y|y是平面上的圆},f:作三角形的外接圆;
(3)A={x|-1≤x≤1},B={y|-1≤y≤1},f:x→y=;
(4)A={x|-1≤x≤1},B={y|0≤y≤2},f:x→y=x2;
(5)A={x|0≤x≤4},B=?{y|-2≤y≤2},f:x→y2=x.
【解】(1)(4)是函数,(2)(3)(5)不是函数.
【提示】(2)不是数集;?
(3)A中有元素不能“输入”;?
(5)B中的数在A中的输入值不唯一.
3.求下列函数的定义域:
(1)f(x)=.
(2)f(x)=.
(3)f(x)=.
(4)y=.
【解】(1)要使函数有意义,必须?
4-x2≥1,?
即-≤x≤.?
∴函数f(x)=
的定义域为
∴函数的定义域为{x|x∈R且x≠0,-1,-}.
　　(3)要使函数有意义,必须?
∴函数f(x)=的定义域为
{x|x<-1或-1　　(4)要使函数有意义,必须?
即x<-或x>-.?
∴函数y=的定义域为{x|x∈R,x≠-}.
4.画出下列函数的图象:
(1)y=x2-2,x∈Z且|x|≤2;
(2)y=-2x2+3x,x∈(0,2］;
(3)y=x|2-x|;
(4)y=
【思路解析】
对于常见函数,由于其特征学生很熟悉,故一般只要选几个关键点,但要注意人为限制的定义域对图象的影响.对分段函数可先处理为若干段常见函数,在转折点的取舍上格外注意.
【解】
如图所示:?

5.已知f(x)=画出它的图象,并求f(1),f(-2).?
【解】
f(1)=3×12-2=1,f(-2)=-1.?

6.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程.在下图中纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图四个图形中较符合该生走法的是哪一种 (　　)
【思路解析】
A、C?图中t=0时d=0,即该生一出家门便进家门(与学校距离为0),应排除,B、D中因该生一开始就跑步与学校距离迅速减小.故应选D.
【答案】
D?
7.已知函数f(x)=2x-1,?g(x)=x2,求:
(1)f［g(x)］;(2)g［f(x)］;(3)f［f(x)］;(4)g［g(x)］.
【思路解析】
本题关键是理解复合函数的意义,f［g(x)］就是将g(x)作为f(x)中的自变量x,按照法则f输出.
【解】f［g(x)］=2×g(x)-1=2x2-1,g［f(x)］=(2x-1)2.同理,f［f(x)］=4x-3,g［g(x)］=x4.
8.已知f(x)是一次函数,且f=4x-1,求f(x)的解析式.
【思路解析】
本题适合采用待定系数法求解.
【解】
设f(x)=kx+b,?
则k(kx+b)+b=4x-1,?
则?
或?
∴f(x)=2x-或f(x)=-2x+1.
9.已知g(x)=1-2x,f［g(x)］=(x≠0),求f().
【思路解析】
本题有两种思路,一是先将f(x)的解析式求出,然后将x=代入就可以求出?f();二是令g(x)=
,先求出x的值,然后再求f().
【解法一】令t=1-2x,则x=,
∴f(t)=.?
∴f()==15.
【解法二】
令1-2x=,则x=.
∴f()==15.
10.给出下列函数的图象,指出函数的单调区间,并指明其单调性.
(1)
(2)
【思路解析】
通过图象直观观察其升降来判断其增减性,但必须注意区间端点的取舍要合理.
【解】
图(1)中y=f(x)的单调区间有(-3,-1］,(-1,0),［0,1),［1,3).其中在(-3,1］和［0,1)上是减函数,在(-1,0)和［1,3)上是增函数.?
图(2)中y=g(x)的单调区间有(-,)和(,),其中在(-,)和(,)上都是减函数.
【解题回顾】
图(1)中x=-3和x=3不在定义域内,因此写单调区间时在这两个点上必须写成“开”,而其余端点写成“开”或“闭”均可.图(2)中虽在两个区间上均为减函数,但不能把两个区间并起来.
11.画出函数y=的图象,并写出单调区间.
【思路解析】
图略.单调减区间为(-∞,-1),(-1,+∞).?
【思考】
能不能说函数y=在定义域(-∞,-1)∪(-1,+∞)上是单调减函数
【解】
不能.
12.证明函数f(x)=x+在(-∞,2)上是增函数.
【证明】(定义法)设x1、x2∈(-∞,2),且x113.已知f(x)=x2+ax+3在［-1,1］上的最小值为-3,求a的值.
【思路解析】
本题要讨论函数在给定区间上的单调性,二次函数的单调性与其对称轴有关,故需结合图象进行讨论.
【解】
当->1,即a<-2时,ymin=f(1)=4+a=-3,∴a=-7.当-1≤-≤1,即-2≤a≤2时,ymin=f(-)==-3,∴a=±2(舍去).当-<-1,即a>2时,ymin?=f(-1)=?4-?a=-3,∴a=7.综上,a=±7.
【借题发挥】对二次函数在定区间上的最值问题,一般需要研究二次函数的图象,这时可能要讨论函数的开口方向和对称轴,平时在练习中要强化这方面的训练.
14.判断下列函数是否为奇函数或偶函数.
(1)f(x)=x2-1;
(2)f(x)=(x-1)2;
(3)f(x)=x3+5x;
(4)f(x)=x2(x∈);
(5)f(x)=;
(6)f(x)=0(x∈∪);
(7)f(x)=;
(8)y=.
【思路解析】
本题主要考查的是对函数奇偶性定义的理解,要注意函数的定义域是否关于原点对称.
【解】(1)是偶函数.因为它的定义域是R,且对任意x∈R,都有f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x).?
(2)既不是奇函数,也不是偶函数.因为虽然它的定义域是R,但对任意x∈R,f(-x)=?(-x-1)2=(x+1)2,所以f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x).??
(3)是奇函数.因为它的定义域是R,对任意x∈R,f(-x)=(-x)3+5(-x)=-x3-5x=-f(x).?
(4)既不是奇函数,也不是偶函数.因为它的定义域不关于原点对称,如f(2)存在,但?f(-2)?无意义.?
(5)既不是奇函数,也不是偶函数.因为它的定义域{x|x≠1,x∈R}不关于原点对称.
(6)既是奇函数,也是偶函数.因为它的定义域关于原点对称,且对任意x∈∪都有f(-x)=0,故f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)同时成立.?
(7)既是奇函数,也是偶函数.因为它的定义域是{1,-1},关于原点对称,化简得f(x)=0,所以都有f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)成立.?
(8)是奇函数.由得
所以该函数的定义域是［-1,0)∪(0,1］,此时化简得f(x)=,对任意x∈都有f(x)
=-f(x)成立.
【规律总结】函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质(函数的单调性是定义域上的局部性质),强化两者间的辨析,能够加深对定义的理解.
15.函数f(x)、g(x)在区间［a,b］上都有意义,且在此区间上
①f(x)为增函数,f(x)>0;
②g(x)为减函数,g(x)<0.
判断f(x)g(x)在［a,b］的单调性,并给出证明.
【解】
减函数.?
令a≤x1同理,有g(x1)-g(x2)>0,即可得f(x2)从而有f(x1)g(x1)-f(x2)g(x2)=f(x1)g(x1)-f(x1)g(x2)+f(x1)g(x2)-f(x2)g(x2)?=f(x1)(g(x1)-g(x2))+(f(x1)-f(x2))g(x2),
(
)?
显然f(x1)(g(x1)-g(x2))>0,(f(x1)-f(x2))g(x2)>0,从而(
)式>0,故函数f(x)g(x)为减函数.
16.画出函数y=|2x-x2|的图象并指出它的单调性.
【解】

先画u=-x2+2x的图象,再将x轴下方的关于x轴对称,x轴上方的图象不变.?
由图象可知:
函数y=|2x-x2|在(-∞,0)上递减,在［0,1］上递增,在［1,2］上递减,在［2,+∞)上递增.
17.判断函数f(x)=-x3+1在(-∞,0)上是增函数还是减函数,并证明你的判断.如果x∈(0,+∞),函数f(x)是增函数还是减函数
【解】
一般地,当k>0,f(x)与kf(x)具有一致的单调性;若k<0,则f(x)与kf(x)的单调性相反.从f(x)=-x3+1上可直接得出f(x)是减函数,用单调性的定义证明,应注意对差式的变形及分解因式.?
f(x)=-x3+1在(-∞,0)上是减函数,证明如下:在(-∞,0)上任取x1
、x2?,且x1∵f(x1)-f(x2)=(-x13+1)-(-x23+1)=(x2-x1)(x22+x1x2+x12)=(x2-x1)［(x2+)2+x12］,又∵x2-x1>0,(x2+)2+x12>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).?故f(x)=-x3+1在(-∞,0)上是减函数.同理可证,当x∈(0,+∞)时,函数f(x)仍然是减函数.
18.在下列各对应关系中,是从A到B的映射的有 (　　)
A.(1)(3)(4)
B.(2)(3)(5)
C.(1)(2)(4)(5)
D.(2)(4)(5)
【答案】
D?
【规律总结】对映射概念的理解是高中数学的一个难点,通过对图象的认识,可进一步加深我们对映射定义本质的理解.
19.(1)已知f:x→y=x2是从集合A=R到B=［0,+∞)的一个映射,则B中的元素1在A中的对应元素是_________.
(2)已知A={a,b},B={c,d},则从A到B的映射有_______个.
【答案】(1)±1　(2)4
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12.3
映射的概念
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知识梳理
1.映射的概念
映射f:A→B的定义是：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的__________一个元素，在集合B中都有__________的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作__________.
2.象与原象
在映射f:A→B中，如果a∈A，b∈B，且元素a和元素b对应，那么，元素b叫做元素a的__________，元素a叫做元素b的__________，记作__________.
3.一一映射
如果映射f:A→B再满足_________________，那么这个映射叫做A到B上的一一映射.
4.用映射的概念定义函数,函数的定义域、值域
如果A、B都是__________，那么A到B的映射f:A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)(x∈A，y∈B).
原象的集合A叫做函数y=f(x)的__________；象的集合C(CB)叫做函数y=f(x)的__________.
__________、__________和__________，通常称为函数的三要素.
疑难突破
怎样理解映射概念
(1)映射是一种特殊的对应.教科书上介绍了一些不同的对应，如一对多、一对一、多对一等，而且集合A、B中元素个数也注意了多样化，集合B中有的元素没有得到对应.
(2)映射定义中的两个集合A、B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射是不同的.
(3)映射是由集合A、B以及从A到B的对应法则f所确定的.
(4)在一个映射中，在对应法则f的作用下，集合A中的任何一个元素a对应着集合B中的元素b，b叫a(在f下)的象，并且a的象是唯一的,a叫做b的原象，b的原象不要求唯一.B中的每一个元素不要求都有原象.
(5)记号“f:A→B”表示集合A到集合B的映射，其中对应法则f的具体内容在教材中是用汉字叙述的，如“求正弦”“乘以2再加5”等.在专业教材中，一般用比较抽象的符号来表示.
(6)在一个映射中，集合A、B可以是数集，也可以是点集或其他集合；集合A、B也可以是同一集合，但在确定的映射中，集合A、B的地位一般是不要求对等的.
(7)一一映射是一种特殊的映射,即映射f:A→B满足两个条件：A中不同的元素在B中有不同的象；B中每一个元素都有原象，这个映射叫A到B上的一一映射.
问题探究
问题1
请问：对应有几种形式？映射f：A→B和集合A到B的对应是一回事吗？
探究思路：对应有三种形式：“一对一的对应”“一对多的对应”和“多对一的对应”.严格地讲，映射f：A→B和集合A到B的对应不是一回事.根据映射的定义，映射f：A→B可以是“一对一的对应”，也可以是“多对一的对应”，而绝不能是“一对多的对应”.
问题2
你能用映射的概念来刻画函数吗
探究思路：用映射的概念刻画函数的定义可以这样来叙述：
设A、B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫A到B的函数，记作y=f(x).
其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C叫做函数y=f(x)的值域.
典题精讲
例1
下列对应是不是从集合A到集合B的映射 为什么？
(1)A=R，B={x∈R|x≥0}，对应法则是“求平方”；
(2)A=R，B={x∈R|x＞0}，对应法则是“求平方”；
(3)A={x∈R|x＞0}，B=R，对应法则是“求平?方根”；
(4)A={平面α内的圆}，B={平面α内的矩形}，对应法则是“作圆的内接矩形”.
思路解析
只有(1)是映射，因为A中的任何一个元素，在B中都能找到唯一的元素与之?对应.
(2)不是从集合A到集合B的映射.因为A中的元素0，在集合B中没有象.
(3)不是从集合A到集合B的映射.因为任何正数的平方根都有两个值，即集合A中的任何元素，在集合B中都有两个元素与之对应，象不唯一.
(4)不是从集合A到集合B的映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应，象不唯一.
答案:(1)是；(2)不是；(3)不是；(4)不是.
例2
已知A=N
，B=｛正奇数｝，映射f：A→B,使Ａ中任一元素a与B中元素2a-1相对应，则在f：A→B中，A中元素9与B中元素___________对应；与集合B中元素9对应的A中元素为____________.
思路解析
根据映射的定义，在f：A→B中，A中元素9与B中元素2×9-1=17对应，故填17，在这个映射中，设A中元素a与B中元素9对应，则2a-1=9，解得a=5，因此后一空格应填5.
答案:17
5
例3
在映射f：A→B中，下列说法正确的是(
)
A.集合B是集合A中所有元素的象的集合
B.集合B中每一个元素至少与集合A中的一个元素相对应
C.集合B中可能有元素不是集合A中元素的象
D.集合A中可能有元素在集合B中没有象
思路解析
根据映射的定义可知“对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应”，只要满足这条，那它就是映射.显然D不成立.但定义并没有要求“集合B中的每一个元素都是集合A中元素的象”，由此可知A、B也不对.C是满足映射定义的，故C正确.
答案:C
例4
已知映射f:A→B，其中，集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合B的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是?|a|，则集合B中元素的个数是(
)
A.4
B.5
C.6
D.7
思路解析
该映射是函数，问题化为求函数的值域.已知映射f:A→B是函数f(x)=|x|，定义域A={-3，-2，-1，1，2，3，4}，且B是值域，求值域，得B={3，2，1，4}，其元素的个数是4，因此，选A.
答案:A
知识导学
这个定义，从以下四点深刻理解它：(1)先记住映射的记号“f:A→B”，它包括集合A、B以及A到B的对应法则，f(A≠，B≠).(2)映射f:A→B是有方向的，即从A到B，定义中只要求A中的每一个元素在B中有怎样的“象”,并不要求B中的每一个元素在A中有怎样的对应.因此，“从A到B的映射”与“从B到A的映射”是不同的.(3)在A到B的映射中，集合A中的每一个元素在B中都有“象”，且“象”唯一.(4)映射是一种特殊的“对应”.而“对应”与集合一样，也是原始概念，即无定义的，但可以“说明”.对应是两个集合A与B的关系，通常以一个集合为主来考虑，对于A中的每一个元素来说，有以下三种对应关系：①B中有唯一元素与之对应.②B中有多个元素(不是唯一)与之对应.③B中没有元素与之?对应.
判别一个对应是映射f:A→B的要点是：①A到B；②A中每一个元素都有象，且象唯一.用映射的概念定义函数,函数的定义域、值域时注意的问题：?(1)函数是特殊的映射，特别注意A、B是非空数集.(2)函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有的简记作函数f(x).而f(a)表示自变量x=a(a∈A)时的函数值(象).(3)值域C是B的子集，当B中的每一元素都有原象时，B=C.(4)应该知道，函数的决定性要素有两个：定义域和对应法则，而值域是由定义域和对应法则确定的，因而今后有“求函数的值域”的很多难题.因此，研究函数的任何问题都必须由定义域和对应法则这两个独立要素下手.但很多人往往犯“忽视定义域”的错误.
疑难导析
“映射”这一节内容是学完集合及其相关概念后又出现的一个新概念，它是集合论中一个极为重要的概念，是函数概念的推广.本节课主要内容就是映射概念，由于映射概念抽象、乏味、不好理解，因此重点、难点也是映射概念.
映射是近代数学中一个极其重要而且应用极其广泛的概念，它是函数概念的推广.在初中我们初步学习了用变量描述的函数概念，从运动变化的观点出发，将自变量x的每一取值与唯一确定的函数值对应起来.但是，有些函数如果只根据变量观点，就很难进行深入研究.例如，著名的狄利克雷(Dirchlet)函数
f(x)=和高斯(Gauss)函数g(x)=[x](x∈R,[x]表示不超过x的最大整数)，对这两个函数，如果用变量观点来解释，会显得十分勉强，但用集合、对应的观点来解释，就十分自然.因此，近代数学引入集合与映射的概念，是数学发展的需要，是为了更好地刻画函数的定义，加深对函数概念的理解.下节课，我们将学习用映射描述的函数概念.同学们要从发展的观点去学习数学，才能学好数学，并发展创新.
问题导思
映射的概念是比较抽象的概念，它是在初中所学对应的基础上发展而来的.教学中应特别强调对应集合B中的唯一这点要求的理解.
映射是学生在初中所学的对应的基础上学习的，对应本身就是由三部分构成的整体，包括集合A和集合B及对应法则f，由于法则的不同，对应可分为一对一，多对一，一对多和多对多.其中只有一对一和多对一的能构成映射，由此可以看到映射必是“对B中之唯一”，而只要是对应就必须保证让A中之任一与B中元素相对应，所以满足一对一和多对一的对应就能体现出“任一对唯一”.
函数与映射的区别与联系
函数是特殊的映射，即当两个集合A、B均为非空数集时，则从A到B的映射就是函数.所以函数一定是映射，而映射不一定是函数.
典题导考
绿色通道
给定两集合A、B及对应法则f，判断是否是从集合A到集合B的映射，其基本方法是利用映射的定义.用通俗的语言讲：A→B的对应有“多对一”“一对一”及“一对多”，前两种对应是A→B的映射，而后一种不是A→B的映射.
典题变式
下列对应是不是从A到B的映射？是不是函数？
(1)A=(-∞,+∞)，B=(0，+∞),f:x→y=|x|;
(2)A={x|x≥0},B=R,f:x→y,y2=x;
(3)A={x|x≥2,x∈Z},B={y|y≥0,y∈Z},f:x→y=x2-2x+2;
(4)A={平面α内的矩形}，B={平面α内的圆}，f:作矩形的外接圆.
解答：(1)不是映射，因为0∈A，但|0|=0∈B，当然，(1)更不是函数.(2)不是映射，更不是函数.因为y=±，当x>0时，元素x的象不唯一.(3)是映射.因为y=(x-1)2+1≥0，又当x∈A时，y∈Z，所以(3)是映射.又因为A、B都是数集，所以(3)也是函数.(4)是映射.因为每一个矩形都有唯一的外接圆，即A中每一元素在B中都有唯一的象，所以(4)是映射.但A、B不是数集，所以不是函数.
典题变式
点(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求点(4，6)在映射f下的原象.
答案:由映射的定义，得
所以点(4，6)在映射f下的原象是(，1).
绿色通道
判断f：A→B是否是映射，主要的依据是定义.要正确理解定义：在映射f：A→B中，只要求A中的元素在对应法则f的作用下，在集合B中，都有唯一的元素和它对应，但B中的每一个元素在集合A中却未必都有原象.若B中每一个元素在集合A中都有原象，则称f：A→B是集合A到集合B上的映射；若B中至少有一个元素不是A中元素的象，则称f：A→B是集合A到集合B内的映射.
典题变式
下面说法正确的是(
)
A.对于任意两个集合A与B，都可以建立一个从集合A到集合B的映射
B.对于两个无限集合A与B，一定不能建立一个从集合A到集合B的映射
C.如果集合A中只有一个元素，B为任一非空集合，那么从集合A到集合B只能建立一个映射
D.如果集合B只有一个元素，A为任一非空集合，则从集合A到集合B只能建立一个?映射
答案:D
绿色通道
用映射的概念来深刻理解函数，反之，用函数的方法来解映射的问题，这是把概念与操作相结合的现代观点，在本例中，用具体的函数来操作映射是最快的算法，而不在概念中兜圈子.
典题变式
在下列5个对应中：
①f：N→N
，x→|x-3|；
②f：N→Q，x→2x；
③f：{1，2，3，4，5，6}→{-4，-3，0，5，12}，x→x(x-4)；
④f：N→{-1，1}，x→(-1)x；
⑤f：{平面M内的圆}→{平面M内的三角形}，圆→圆内接三角形.
其中是映射的有(
)
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案:B
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12．3　映射的概念
1．理解映射的概念及表达方法．
2．会判断一个对应是否为映射．
映射的概念
一般地，设A、B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有惟一的元素与之对应，那么，这样的单值对应就叫集合A到集合B的映射．记作f：A→B．
若集合A有n个元素，集合B有m个元素，则集合A到集合B的映射有mn个．
【做一做1－1】根据对应法则f：x→2x－1，写出图中给定元素的对应元素．
(1)
(2)
答案：(1)1　3　5　(2)4　5　6
【做一做1－2】已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的元素，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是________．
答案：4
1．怎样理解映射的概念？
剖析：(1)映射定义中的两个集合A、B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射是不同的．
(2)映射是由集合A、B以及从A到B的对应法则f所确定的．
(3)在一个映射中，在对应法则f的作用下，集合A中的任何一个元素a对应着集合B中的元素b．
(4)符号“f：A→B”表示集合A到集合B的映射，其中对应法则f的具体内容可用汉字叙述，如“求正弦”“乘以2再加5”等．但在专业教材中，一般用比较抽象的符号来表示．
(5)在一个映射中，集合A、B可以是数集，也可以是点集或其他集合；集合A、B也可以是同一集合，但在确定的映射中，集合A、B的地位一般是不要求对等的．
2．为什么说映射是一种特殊的对应？
剖析：(1)映射也是两个集合A与B元素之间存在的某种对应关系．说其是一种特殊的映射，就是因为它只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应，而不允许存在“一对多”的对应．
(2)映射中所允许的“一对一”与“多对一”这两种对应的特点，从A到B的映射f：A→B实际是要求集合A中的任一元素都必须对应于集合B中惟一的元素．但对集合B中的元素并无任何要求，即允许集合B中的元素在集合A中可能有一个元素与之对应，可能有两个或多个元素与之对应，也可能没有元素与之对应．
题型一
映射的概念
【例1】下列对应是不是从A到B的映射？
(1)A＝Q，B＝{x∈Q|x＞0}，f：x→|x|；
(2)A＝B＝N
，f：x→|x－2|；
(3)A＝{x∈N|x≥2}，B＝{y∈Z|y≥0}，f：x→y＝x2－2x＋1；
(4)A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝±．
解：(1)中，当x＝0∈A时，|x|＝0B，即A中的元素0按照对应法则在B中找不到应该对应的元素，故(1)不是映射．
(2)中，当x＝2∈A时，|x－2|＝0B，与(1)类似，(2)也不是映射．
(3)中，因为y＝(x－1)2≥0，所以对任意x，总有y≥0；又当x∈N时，x2－2x＋1必为整数，即y∈Z．所以当x∈A时，x2－2x＋1∈B，且对A中每一个元素x，在B中都有惟一的y与之对应，故(3)是映射．
(4)中，任意一个x都有两个y与之对应，故不是映射．
反思：给定两集合A、B及对应法则f，判断是否是从集合A到集合B的映射，其基本方法是利用映射的定义．用通俗的语言讲：A→B的对应有“多对一”“一对一”及“一对多”，前两种对应是A→B的映射，而后一种不是A→B的映射．
题型二
映射的个数问题
【例2】已知M＝{a，b，c}，N＝{－2,0,2}，且从M到N的映射满足f(a)＞f(b)≥f(c)，试确定这样的映射f的个数为__________．
解析：因为从M到N的映射满足f(a)＞f(b)≥f(c)，所以，(1)当f(a)＝2时，有
或或
(2)当f(a)＝0时，有
综上，从M到N满足f(a)＞f(b)≥f(c)的映射f的个数是4．
答案：4
反思：对于这类有条件的映射问题，求解时要注意考虑周到，注意分情况讨论，切勿遗漏情况．
【例3】已知A＝{1,2,3,4}，B＝{6,7}，则以A为定义域，B为值域的不同函数的个数为__________．
解析：当A中有三个元素对应B中元素6时，另一个元素必须对应B中元素7，这样可组成4个满足题意的不同函数；
当A中有三个元素对应B中元素7时，另一个元素必须对应B中元素6，这样可组成4个满足题意的不同函数；
当A中有两个元素对应B中元素6时，剩下两个元素必对应7，这样可组成6个满足题意的函数．
所以共可组成4＋4＋6＝14(个)不同函数．
答案：14
反思：求解此题要特别注意集合B必须为函数的值域的特别要求，它实际是要求集合B恰好是集合A中的所有元素所对应的元素组成的．
题型三
映射的应用
【例4】为了增加破译密文的难度，有一种密码把英文的明文按两个字母一组分组，如果最后剩一个字母，则任意添一个字母，拼成一组．
例如I
am
your
friend添一个o，分组为：Ia
my
ou
rf
ri
en
do，得到
，，，，，，．
其中9表示I在26个英文字母中的序号，1表示a在26个英文字母中的序号，依此类推，然后用一个公式，比如： 来进行变换．
由 ＝，
21÷26＝0余21,21对应字母u,13÷26＝0余13,13对应字母m，即Ia变成um．
将变成x′＝2×13＋3×25＝101除以26得余数为23，即w；
y′＝13＋4×25＝113除以26得余数为9，即i．
试按上述方法及变换公式将明文I
am
your
friend写成密文．
解：因26的倍数除以26所得的余数为0，英文字母中没有与0对应的字母，故令与0对应的字母为z．
＝，即ou不变；
＝，即rf变成bp；
＝，即ri变成kb；
＝，即en变成zi；
＝，即do变成al．
故密文为umwioubpkbzial．
反思：密码学问题涉及到很多的知识，上面的例题只是一种很简单的形式，也是一类很好的映射应用问题，解决此类问题既要读懂题意，又要看准对应法则，按照题目的引例进行计算．
1下图中表示的是从集合X到集合Y的对应，其中能构成映射的是__________．
解析：图象中必须满足对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应．
答案：①
2若A＝{(x，y)|x∈Z，|x|＜2，y∈N
，x＋y＜3}，B＝{0,1,2}，从A到B的对应关系f：(x，y)→x＋y，说明f是A到B的映射，并画出对应图，指出B中的元素2与A中的哪个元素对应．
分析：按照映射的定义，对于集合A中的每一元素，在集合B中都要有惟一的元素与它对应，但要注意集合A中的多个元素是可以对应于B中的同一个元素的．
解：集合A的元素共有六个，用列举法表示为{(－1,2)，(－1,3)，(－1,1)，(0,1)，(0,2)，(1,1)}．对应图如下图所示：∵集合A中的每一元素，集合B中都有惟一的元素与之对应，∴f是A到B的映射．
2与A中对应的元素有三个，
即(－1,3)、(0,2)、(1,1)．
3(1)已知集合A＝{a1，a2}，B＝{b1，b2}，试问从集合A到集合B的所有不同的映射有多少个？
(2)已知集合A＝{a1，a2}，B＝{b1，b2，b3}，试问从集合A到集合B的所有不同的映射有多少个？
分析：当所给集合中的元素数目不大时，可直接用图示的方法展现所有不同的映射；若不然，可采用分析的方法解之．
解：(1)用图示的方法可以清楚地看到从A到B能建立4个不同的映射(见下图)．
(2)分A中元素对应B中同一元素和A中元素对应B中不同元素两种情况考虑．A中2个元素对应B中相同元素的对应有3个，这时有3个不同的映射；A中2个元素同时对应B中2个不同的元素的对应有6个，这时有6个不同的映射．所以，集合A到集合B的所有不同的映射一共有9个．
已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是A到B的映射，规定为：f：x→(x＋1，x2＋1)，试求在B中的对应元素及在A中的对应元素．
解：由条件知当x＝时，x＋1＝＋1，x2＋1＝3．
所以在B中的对应元素为(＋1,3)；
再由得x＝，
说明点在A中的对应元素为．
5已知集合A到集合B＝的映射是f：x→，那么集合A中的元素最多有几个？并写出元素最多时的集合A．
解：∵f是映射，
∴A中的每一个元素在B中都有惟一元素与它对应，但≠0，
∴0在集合A中不存在元素与它对应．
当＝1时，得x＝±2；
当＝时，得x＝±3；
当＝时，得x＝±4．
∴A中元素最多只能有6个，
即A＝{－4，－3，－2,2,3,4}．
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12．2．2　函数的奇偶性
课堂导学
三点剖析
一、函数奇偶性的概念
【例1】
已知f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x3+2x2-1,求f(x)的解析式.
思路分析:由于给出了f(x)在x>0时的解析式，求f(x)在x<0时的解析式应转化到x>0上，利用已知解析式求.f(0)利用奇函数的定义求.
解析：∵f(x)为奇函数，且0在定义域内，
∴f(-0)=-f(0)，
即f(0)=0.
设x<0，则-x>0,
∴f(-x)=(-x)3+2(-x)2-1=-x3+2x2-1.
∵f(x)为奇函数，
∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)=-f(-x)=x3-2x2+1.
∴f(x)=
温馨提示
已知函数的奇偶性求函数的解析式,可根据函数奇偶性的定义（记住，奇函数若在0处有定义，一定是f(0)=0）.除此法外，也可根据奇函数、偶函数图象的特点求解.
二、函数奇偶性的判定
【例2】
判断下列函数的奇偶性.
（1）f(x)=x3+2x;
(2)f(x)=2x4+3x2;
(3)f(x)=x3+x2.
解析：(1)函数的定义域为R，它关于坐标原点对称，
又f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x).
即f(-x)=-f(x),所以函数f(x)=x3+2x是奇函数.
(2)函数的定义域为R，它关于坐标原点对称，
又f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2,
即f(-x)=f(x),所以函数f(x)=2x4+3x2为偶函数.
（3）函数的定义域为R，它关于坐标原点对称，
f(-x)=(-x)3+(-x)2=-x3+x2,
与-f(x)和f(x)都不相等，所以f(x)=x3+x2为非奇非偶函数.
温馨提示
在判断函数奇偶性时，首先求函数定义域，看它是否关于原点对称，这点千万不能忘了.
三、函数奇偶性的综合应用
【例3】
函数f(x),x∈R，若对于任意实数，a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b).求证：f(x)为奇函数.
思路分析：先验证f(0)=0,再验证f(-x)=-f(x).
证明：设a=0，则f(b)=f(0)+f(b),
∴f(0)=0.
又设a=-x,b=x,
则f(0)=f(-x)+f(x).
∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)是奇函数.
温馨提示
判断函数奇偶性都是紧扣定义，抽象函数奇偶性的判断也不例外，但判断一个抽象函数是奇函数，必须验证f(0)=0是否成立，而判断一个抽象函数是否是偶函数就不需验证f(0)=0.这是因为，对于偶函数f(x),f(0)可以取任意值.
各个击破
类题演练
1
已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0,+∞)时，f(x)=x(1+),求f(x).
解析：当x<0时,-x>0,
由已知f(-x)=(-x)［1+］=-x(1-).
∵f(x)是奇函数，故f(-x)=-f(x)，
∴-f(x)=-x(1-),
∴f(x)=x(1-3x),(x<0).
又由f(x)是奇函数，可得f(0)=-f(0),
∴f(0)=0.
∴f(x)=
变式提升
1
已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x|x-2|,求x<0，f(x)的表达式.
解析：设x<0时，则-x>0，且满足表达式f(x)=x|x-2|,
∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.
又f(x)是奇函数，有f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=-x|x+2|.∴f(x)=x|x+2|.
故当x<0时，f(x)=x|x+2|.
类题演练
2
判断下列各函数的奇偶性.
(1)f(x)=-；
（2）f(x)=|x+a|-|x-a|.
解析：（1）f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称，且f(-x)=-==-f(x).
∴f(x)=-是奇函数.
(2)f(x)=|x+a|-|x-a|的定义域为R，且f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-(|x+a|-|x-a|)=-f(x).
∴f(x)为奇函数.
变式提升
2
判断函数f(x)=的奇偶性.
解析：f(-x)===-f(x).
∴f(x)是奇函数.
类题演练
3
对任意x,y∈R,且x,y≠0,已知函数y=f(x)(x≠0)满足f（xy)=f(x)+f(y).
求证：（1）f(1)=f(-1)=0；
（2）y=f(x)为偶函数.
证明：（1）令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0,同理f(-1)=0.
(2)令y=-1，得f(-x)=f(x)+f(-1),
则f(-x)=f(x)，故f(x)为偶函数.
变式提升
3
定义在（-1，1）上的奇函数f(x)=,试确定常数m、n的值.
解析：∵f(x)为奇函数，且0∈(-1,1),
∴由f(0)=0，可得m=0.
又∵f(-x)+f(x)=0,∴+=0,
即x2-nx+1=x2+nx+1,∴2nx=0.
∵x∈(-1,1),∴n=0.∴m=n=0.
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12.1.4
函数的表示方法
课堂导学
三点剖析
一、用适当方法表示函数及分段函数
【例1】
已知f(x)=
(1)求f(1),f(-2),f(a2+1),f［f(0)］的值；
（2）画出f(x)的图象.
思路分析：（1）先确定自变量的取值属于哪一段，再用该段的解析式求函数值.（2）分两段作函数的图象，每一段一般都先作出端点.
解析：(1)f(1)=12+1=2,
f(-2)=2×（-2）+1=-3，
f(a2+1)=(a2+1)2+1=a4+2a2+2,
f［f(0)］=f(1)=12+1=2.
(2)f(x)的图象如下图所示.
温馨提示
(1)关键是理解分段函数的意义，即自变量在不同范围内取值时，相应的函数解析式不同.
（2）f［g(x)］是g(x)作为自变量执行“f”这个对应法则，求f［f(x0)］的值应从里向外求.
二、求函数解析式
【例2】
（1）已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,
f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)；
（2）已知f(+4）=x+8,求f(x2).
思路分析：（1）可设出二次函数，根据已知条件，确定待定系数.（2）中应先求出f(x)，再求f(x2).
解析：（1）∵f(x)是二次函数，
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由f(0)=1得c=1.
由f(x+1)-f(x)=2x,得
a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x.
左端展开整理得2ax+(a+b)=2x.
由恒等式原理知∴∴f(x)=x2-x+1.
(2)设t=+4.∴=t-4(t≥4).
由f(+4)=x+8可得f(t)=(t-4)2+8(t-4)=t2-16(t≥4）.
∴f(x)=x2-16(x≥4）.
∴f(x2)=x4-16(x≥2或x≤-2）.
温馨提示
在（2）中求f(x2)，千万不能直接代入f(+4)=x+8，得f(x2)=x2+8|x|，这是没明白x2与+4有同等地位，都执行“f”这个对应法则导致的.
三、利用分段函数解决实际问题
【例3】
在国内投寄外埠平信，每封信不超过20克付邮资80分，超过20克不超过40克付邮资160分，超过40克不超过60克付邮资240分，依此类推，每封x克（0解析：设每封信的邮资为y，则y是信件重量x的函数.这个函数关系的表达式为
f(x)=
函数值域为{80，160，240，320，400}.
在直角坐标系中描点作图，函数图象如下图.
温馨提示
用函数知识解实际问题，一要注意自变量的取值范围；二要注意自变量x和函数y的取值是否具有实际意义.
各个击破
类题演练
1
已知函数y=f(x),f(0)=1，且当n∈N
时，有f(n)=nf(n-1)，求f(0),f(1),f(2),f(3),f(4),f(5).
解析：f(0)=1；
f(1)=1·f(1-1)=1·f(0)=1；
f(2)=2·f(2-1)=2·f(1)=2×1=2；
f(3)=3·f(3-1)=3·f(2)=3×2=6；
f(4)=4·f(4-1)=4·f(3)=4×6=24；
f(5)=5·f(5-1)=5·f(4)=5×24=120；
变式提升
1
已知x∈N
,f(x)=则f(3)=__________.
解析:∵f(x)=
∴f(3)=f(3+2)=f(5)=f(5+2)=f(7)=7-5=2,故f(3)=2.
答案：2
类题演练
2
(2004湖北卷高考理，3)已知f()=，则f(x)的解析式可取为（
）
A.
B.-
C.
D.-
解析：设=t，则x=.
∴f(t)===
即f(x)=，故选C.
答案：C
变式提升
2
已知函数φ(x)=f(x)+g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且φ()=16,φ(1)=8，求φ(x)的表达式.
解析：设f(x)=k1x,g(x)=,则φ(x)=k1x+,
∵φ（）=16，φ(1)=8,
∴解得
∴φ（x）=3x+.
类题演练
3
某地出租车的出租费为4千米以内（含4千米），按起步费收10元，超过4千米按每千米加收2元，超过20千米（不含20千米）每千米再加收0.2元，若将出租车费设为y，所走千米数设为x，试写出y=f(x)的表示式.
解析：当0当4当x>20时,y=10+32+(x-20)×2.2=2.2x-2.
综上所述，y与x的函数关系为y=
变式提升
3
如下图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BC、CD、DA由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x,△ABP的面积为y=f(x).
(1)求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；
（2）作出函数的图象，并根据图象求y的最大值.
解析：函数定义域为（0，12）.
当0当4当8∴函数解析式为f(x)=
（2）作出f(x)的图象（下图）.
由图象看出［f(x)］max=8.
PAGE
12.1.2
函数的表示方法
名师导航
知识梳理
1.函数的表示方法
主要有三种常用的表示方法，即解析法、列表法和图象法.
一个函数一般可以用以下三种方法表示：
(1)解析法：把一个函数用一个式子表示，这种表示函数的方法叫做解析法.
例如，函数y=2x+1就是用一个代数式2x+1表示函数y的，因此，它是用解析法表示函数.
(2)列表法：把两个变量的一系列对应值列成一个表，这种表示方法叫做列表法.
例如，y=2x+1用列表法表示是：
x
0
1
2
3
4
5
6
…
y
1
3
5
7
9
11
13
…
(3)图象法：把两个变量之间的关系用图象表示，这种方法叫做图象法.
2.“区间”与“无穷大”的两个概念
区间是数学中常用的术语和符号.必须记住闭区间、开区间、半开半闭区间的符号及其含义.
对于［a,b］，(a,b)，［a,b)，(a,b］，都称数a和数b为区间的端点：a为左端点，b为右端点，称b-a为区间长度.这样，某些以实数为元素的集合就有三种表示法：集合表示法、不等式表示法和区间表示法.
无穷大是个符号，不是一个数.关于用-∞、+∞作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间.
设a、b是两个实数，且a(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做___________，表示为［a,b］.
(2)满足不等式a(3)满足不等式a≤x定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
［a,b］
{x|a开区间
(a,b)
{x|a≤x半开半闭区间
［a,b］
{a|a半开半闭区间
（a,b］
我们已经知道∞表示无穷大数，把∞读作无穷大，-∞读作负无穷大，类似地我们把满足{x|x≥a}，{x|x>a},{x|x≤b},{x|x定义
名称
符号
数轴表示
{x|x≥a}
半开半闭区间
［a,+∞)
{x|x>a}
开区间
(a,+∞)
{x|x≤b}
半开半闭区间
（-∞,b）
{x|x开区间
（-∞,b）
疑难突破
函数有哪几种表示法？各有什么优点和不足？
表示函数有三种方法：解析法，列表法，图象法.结合其意义、优点与不足，分别说明如下:
(1)用解析式表示函数的优点是简明扼要、规范准确.已学过利用函数的解析式，求自变量x=a时对应的函数值，还可利用函数的解析式，列表、描点、画函数的图象，进而研究函数的性质，又可利用函数解析式的结构特点，分析和发现自变量与函数间的依存关系，猜想或推导函数的性质(如对称性、增减性等)，探求函数的应用等.不足之处是有些变量与函数关系很难或不能用解析式表示，求x与y的对应值需要逐个计算,有时比较繁杂.
(2)列表法的优点是能鲜明地显现出自变量与函数值之间的数量关系，于是一些数学用表应运而生.如用立方表、平方根表分别表示函数.商店职员也制作售价与数量关系的计价表，方便收款.列表法的缺点是只能列出部分自变量与函数的对应值，难以反映函数变化的全貌.
(3)用图象表示函数的优点是形象直观，清晰呈现函数的增减变化、点的对称、最大(或小)值等性质.图象法的不足之处是所画出的图象是近似的、局部的，观察或由图象确定的函数值往往不够准确.
问题探究
问题1
你能从现实生活中举出用三种方法表示函数的例子吗
探究思路：现实生活中有许许多多函数的例子，如：商场中各种商品与其价格之间的函数关系就是用列表法表示的；房地产公司出售的商品房，总价格与面积之间的函数关系就是用解析式来表示的；工厂每月的产量与月份之间的函数关系是用图表来表示的.
问题2
函数的表示方法中的解析式法是我们表示函数最常用的一种方法，你能说出求函数解析式的常用方法吗？
探究思路：一般用字母x表示函数的自变量，字母y表示函数值，列出x与y之间的等量关系，化简成y=f(x)的形式.求函数的解析式的方法很多，常用的有代入法、换元法、待定系数法、配凑法、方程或方程组法等.
典题精讲
例1
已知函数f(x)=2x2+1，x∈［0，2］，求f(2x+1).
思路解析
由题意知道了函数f(x)的表达式即知道了对应法则“f”，所以求f(2x+1)可用代入法求解.
解答：∵f(x)=2x2+1，
∴f(2x+1)=2(2x+1)2+1=8x2+8x+3.
又由题意知0≤2x+1≤2，∴-≤x≤.
∴f(2x+1)=2(2x+1)2+1=8x2+8x+3，x∈［-，］.
例2
已知函数f(x+1)=x2-1，x∈［-1，3］，求f(x)的表达式.
思路解析
函数是一类特殊的对应，已知函数f(x+1)=x2-1，即知道了x+1的象是x2-1，求出x的象，即是f(x)的表达式.求解f(x)的表达式,本题可用“配凑法”或“换元法”.
解法一：(配凑法)∵f(x+1)=x2-1=(x+1)2-2(x+1)，∴f(x)=x2-2x.
又x∈［-1，3］时，(x+1)∈［0，4］，∴f(x)=x2-2x，x∈［0，4］.
解法二：(换元法)令x+1=t，则x=t-1，且由x∈［-1，3］知t∈［0，4］，
∴由f(x+1)=x2-1，得f(t)=(t-1)2-1=t2-2t，t∈［0，4］.
∴f(x)=(x-1)2-1=x2-2x，x∈［0，4］.
例3
已知二次函数f(x)的图象过点A(1，1)、B(2，0)及点C(6，0)，求f(x)的表达式.
思路解析
二次函数是我们熟悉的一种函数，其形式有：一般式f(x)=ax2+bx+c(a、b、c∈R且a≠0)；交点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a∈R且a≠0)，其中x1、x2分别是f(x)的图象与x轴的两个交点的横坐标；顶点式f(x)=a(x-m)2+n(a∈R且a≠0)，(m，n)是顶点坐标.无论哪种形式都有三个参数，所以可用待定系数法求解f(x)，具体解法如下.
解法一：(一般式)由题意可设f(x)=ax2+bx+c(a、b、c∈R且a≠0).
∵f(x)的图象过点A(1，1)、B(2，0)及点C(6，0)，
∴
∴f(x)=
x2-x+.
解法二：(交点式)∵f(x)的图象过点B(2，0)及点C(6，0)，
∴f(x)的图象与x轴的两交点的横坐标分别是2和6.
∴可设f(x)=a(x-2)(x-6)，a∈R且a≠0.
∵f(x)的图象过点A(1，1)，∴1=a(1-2)(1-6).解得a=.
∴f(x)=(x-2)(x-6)，
即f(x)=x2-x+.
解法三：(顶点式)∵f(x)的图象过点B(2，0)及点C(6，0)，
∴f(x)的图象关于直线x=，即x=4对称.
∴可设f(x)=a(x-4)2+m，其中a、m∈R且a≠0.
又f(x)的图象过点A(1，1)、B(2，0)，
∴
∴
∴f(x)=(x-4)2-，即f(x)=x2-x+.
例4
(1)已知函数f(x)满足2xf(x)-3f(x)-x2+1=0，求f(x)的表达式；
(2)已知函数y=f(x)的定义域为(0，+∞)，且f(x)=2f()+x，求f(x)的表达式.
思路解析
题(1)可看成是关于f(x)的方程，通过解方程可解得f(x)的表达式；题(2)应注意到等式f(x)=2f()+x，一方面此等式反映出f(x)与f()之间的等量关系，这种等量关系可看作是关于f(x)与f()的方程；另一方面此等式是对(0，+∞)内的一切实数x均成立，故将此等式中的x换成后，相应的等式也应该成立，从而可通过列方程组求解.
解答：(1)∵2xf(x)-3f(x)-x2+1=0，∴(2x-3)f(x)=x2-1.
又∵x=时，方程左边=-+1=-≠0，
∴x=时，f(x)无意义.当x≠时，f(x)=.
(2)∵x＞0时，有f(x)=2f()+x，
①
而x＞0时，＞0，∴f()=2f(x)+.
②
①②联立解得f(x)=-为所求.
知识导学
1.函数的表示方法
函数的表示方法有三种：列表法、解析法、图象法.其中后两种方法最为常见.这些表示函数的方法各有优缺点.
用解析法表示函数关系，优点是简明，便于用数学方法进行研究，但是多数的函数关系又往往不能用这种方法表示.
用列表法表示函数关系，优点是容易找到对应于自变量的某一个值(只要表中有)的函数值，但缺点是往往不可能把自变量的值都列在表里.
用图象法表示函数关系，优点是一方面可以容易地找到自变量某一值所对应的函数值，另一方面可以明显地看出自变量变化时，函数值的变化情况，但用图象法表示函数关系只能是局部的、近似的图形.
2.求函数的解析式
根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式，一是要求出对应法则，二是要求出函数的定义域.
求函数的解析式常用的方法有直接法、代入法、待定系数法、换元法、配方法、方程或方程组法等.根据实际问题求函数表达式，是应用函数知识解决实际问题的基础，但要注意函数定义域还应由实际意义来确定.
疑难导析
由于函数关系的三种表示方法各具特色，优点突出，但大都存在着缺点，不尽人意，所以在应用中本着物尽其用、扬长避短、优势互补的精神，通常表示函数关系是把这三种方法结合起来运用，先确定函数的解析式，即用解析法表示函数；再根据函数解析式，计算自变量与函数的各组对应值，列表；最后是画出函数的图象.
问题导思
问题1:这样的例子还可以举出很多很多.是不是你也能举出身边的一个例子？
问题2::求函数的解析式一般要指出函数的定义域.
典题导考
绿色通道
当我们已知函数f(x)的表达式，要求f［g(x)］的表达式时，一般用“代入法”，即将f(x)中的x用g(x)取代，化简，而由于f［g(x)］中的g(x)相当于f(x)中的x的一个取值，所以f［g(x)］的定义域应由g(x)满足f(x)的定义域来确定.求解f［g(x)］的定义域就是解关于g(x)的不等式.
典题变式
已知f()=，那么f(x)的函数解析式为(
)
A.
B.
C.
D.1+x
答案:C
绿色通道
已知函数f［g(x)］的表达式，求f(x)的表达式，解决此类问题一般有两种思想方法，一种是用配凑的方法，一种是用换元的方法.
“配凑法”即把已知的f［g(x)］配凑成关于g(x)的表达式，而后将g(x)全用x取代，化简得要求的f(x)的表达式；
“换元法”即令已知的f［g(x)］中的g(x)=t，由此解出x，即用t的表达式表示出x，后代入f［g(x)］，化简成最简式.
需要注意的是，无论是用“配凑法”还是用“换元法”，在求出f(x)的表达式后，都需要指出其定义域，而f(x)的定义域即x的取值范围应和已知条件f［g(x)］中g(x)的范围一致，所以说求f(x)的定义域就是求函数g(x)的值域.
绿色通道
已知函数类型求解函数表达式时，一般用待定系数法.如求一次函数可设f(x)=kx+b，k、b为待定系数；求反比例函数可设f(x)=，k为待定系数；指数函数可设成f(x)=ax(a＞0且a≠1)，对数函数可设成f(x)=logax(a＞0且a≠1)等.
本题是求二次函数，由于二次函数有三种形式，设成一般式还是交点式、顶点式要根据题设中的条件来确定.一般情况下，知道二次函数图象过三点时，可选用一般式；知道图象与x轴交点坐标时可选用交点式；如知道二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程时可选用顶点式.无论选用哪种形式，都需要列方程或方程组求解待定系数.
典题变式
已知函数f(x)的图象如下图所示.
则f(x)的解析式是_________________.
答案:f(x)=
绿色通道
方程及方程思想是初等数学中的两个重点内容，利用解方程或方程思想来解决数学问题是我们常用的方法.
典题变式
设函数f(x)满足f(x)+2f()=x(x≠0)，求f(x).
答案:∵f(x)+2f()=x,
①
以代换x得f()+2f(x)=,
②
解①②组成的方程组得f(x)=.
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12．1．1　函数的概念和图象
第1课时　函数的概念
1．体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，理解函数的概念．
2．了解构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域和值域．
函数的概念
一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y＝f(x)，x∈A．
其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域．
若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．
符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，也可以是图象、表格或文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一个具体数值时，相应的y值与之对应．“y＝f(x)”仅仅是函数符号，还可用“y＝g(x)”“y＝F(x)”“y＝G(x)”等来表示函数关系．
【做一做1－1】已知f(x)＝＋，则f(7)＝__________．
答案：5
【做一做1－2】求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝；(2)y＝＋3．
解：(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)，
值域：(－∞，0)∪(0，＋∞)；
(2)定义域：［1，＋∞)，值域：［3，＋∞)．
1．三种基本初等函数的定义域和值域
剖析：(1)一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的定义域是R，值域是R．
(2)反比例函数f(x)＝(k≠0)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(3)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R．当a＞0时，值域是；当a＜0时，值域是．
2．如何判断两个函数是同一函数
剖析：只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，这就是说：(1)定义域不同，两个函数不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的；(3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能惟一地确定函数的对应法则．例如，函数y＝x＋1与y＝x－1，它们的定义域都是R，值域都是R，也就是说，这两个函数的定义域和值域都分别相同，但它们的对应法则是不同的，因此不能说这两个函数是同一函数．由于值域可以由定义域和对应法则惟一确定，所以两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数．
题型一
函数的概念
【例1】下列四组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的有__________．
①f(x)＝，g(x)＝()4
②f(x)＝x，g(x)＝
③f(x)＝1，g(x)＝1(x≠0)
④f(x)＝x－1，g(x)＝|x－1|
解析：若两个函数能表示同一个函数，则必须满足：①定义域相同；②对应法则相同．
对于①，两函数的定义域不同，其中f(x)的定义域为{x|x∈R}，g(x)的定义域为{x|x≥0}；对于②，定义域、值域和对应法则都相同，所以f(x)与g(x)表示同一函数；对于③，定义域不同，其中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}；④的对应法则不同．
答案：②
反思：一般地，函数的定义域和对应法则确定，值域就随之确定，因此判断两个函数是否为同一函数，只需判断它们的定义域和对应法则是否分别相同即可．
题型二
求函数的定义域
【例2】求下列函数的定义域：
(1)y＝2＋；
(2)y＝·；
(3)y＝．
分析：给定函数时，要指明函数的定义域．对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合．
解：(1)要使函数有意义，必须满足x－2≠0成立，即x≠2，所以这个函数的定义域为{x|x∈R，且x≠2}．
(2)要使函数有意义，必须满足成立，解得1≤x≤3，
所以这个函数的定义域为{x|x∈R，且1≤x≤3}．
(3)要使函数有意义，必须满足成立，解得x＞－1，所以这个函数的定义域为{x|x＞－1}．
反思：一般地，求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值的集合：
(1)解析式是整式的函数，其定义域为R；
(2)解析式是分式的函数，其定义域为使分母不为零的实数的集合；
(3)解析式是偶次根式的函数，其定义域是使被开方式为非负数的实数的集合；
(4)如果解析式是由实际问题得出的，则其定义域是同时使实际问题和解析式有意义的实数的集合；
(5)求函数的定义域的步骤通常是先根据题意列不等式(组)，再解不等式(组)，而后得出结论．
题型三
求函数的值域
【例3】求下列函数的值域：
(1)y＝；(2)y＝．
分析：求函数的值域没有统一的方法．如果函数的定义域是有限个值，那么就可将函数值都求出得到值域；如果函数的定义域是无数个值时，则可根据函数表达式的特点采取相应的方法来求其值域，如观察法、配方法、换元法等．
解：(1)(观察法)y＝＝2＋．
因为x≠3，≠0，
所以y≠2．故所求函数的值域为{y|y≠2}．
(2)(逐步求解法)先分离常数，y＝＝＝1－．∵x2＋1≥1，∴0＜≤1．
∴－2≤1－＜1．∴y∈［－2,1)．
题型四
求已知函数的函数值
【例4】已知f(x)＝x2＋1，g(x)＝，
(1)求f(2)和g(a)；
(2)求f［g(1)］和g［f(x)］．
分析：求某个函数的某个函数值，就是将自变量用相应的代数式或数替换，然后化简即可；求f［g(a)］时，一般遵循先里后外的原则，先求g(a)，然后将f(x)解析式中的x代换为g(a)，同时要注意函数的定义域．
解：(1)f(2)＝22＋1＝5，g(a)＝．
(2)f［g(1)］＝＋1＝；
g［f(x)］＝g(x2＋1)＝＝．
反思：要正确理解f(a)的含义．如果自变量取a，则由对应法则f确定的y的值称为函数在a处的函数值，记作f(a)；求某个函数的函数值时，还要正确理解对应法则“f”和“g”的含义．
1已知函数f(x)＝，则函数f［f(x)］的定义域是__________．
解析：由条件得：f［f(x)］＝，
从而由得之．
答案：{x|x≠－1，且x≠－2}
2设f(x)＝，又记f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1,2，…，则f2010(x)等于__________．
解析：因f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝＝－，
f3(x)＝f(f2(x))＝＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝＝x，
所以它的规律是以4为周期，从而由2
010＝4×502＋2，得f2
010(x)＝f2(x)．
答案：－
3函数y＝(x∈R)的值域是______．
解析：(方法一)由y＝，得x2＝．
∴≥0．解之，得0≤y＜1．
(方法二)y＝＝1－，
∵x2＋1≥1，∴－1≤－＜0．∴0≤y＜1．
答案：［0,1)
已知P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列对应不表示从P到Q的函数的有__________．
(1)f：x→y＝x
(2)f：x→y＝x
(3)f：x→y＝x
(4)f：x→y＝
解析：因为当x＝4时，y＝6不在集合Q中，(3)不符合函数的定义，其他均符合．
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12.1.1
函数的概念
课堂导学
三点剖析
一、函数的概念及应用
【例1】
下列对应是不是从A到B的函数？
（1）A=R，B={x∈R|x>0}，f：x→y=|x|；
（2）A=B=N，f：x→y=|x-3|;
(3)A={x∈R|x>0},B=R,f：x→y=±；
(4)A={x|0≤x≤6},B={x|0≤x≤3},f：x→y=.
解析：（1）不是.因为A中的元素0在B中无元素与之对应.
（2）是.满足函数定义.
（3）不是.因为对于A中的每一个元素（如2）在B中都有两个元素（±
2）和它对应.不满足函数定义.
（4）是.满足函数定义.
温馨提示
一般地，两个非空集合间的对应关系有三种，一对一、多对一、一对多.由函数的定义可知构成函数的对应包括：一对一和多对一两种方式，由一对多构成的对应不能构成函数.
二、求函数定义域、函数值和函数解析式
【例2】
已知f(x)=x2+1,求f(-1),f［f(2)］
.
解析:∵f(-1)=(-1)2+1=2,
f(2)=22+1=5,
∴f［f(2)］=f(5)=52+1=26.
温馨提示
（1）y=f(x)的意思是y等于x在法则f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径，是联系x与y的纽带.给出自变量x，依据对应法则，可直接求得函数值.
（2）在求f［g(x)］类型的值时，应遵循先内后外的原则，即先求出g(x)的值，再把g(x)作为自变量，代入f(x)的解析式.
三、判断两个函数是不是同一函数
【例3】
判断下列各组函数是否表示同一函数.
（1）y=与y=x+1;
(2)y=与y=x-1.
解析：(1)表示不同函数，因为定义域不同.
(2)∵y=-1=与y=x-1的对应法则不相同，故不是同一函数.
温馨提示
判断两个函数是否相同，先观察定义域是否一致，若定义域一致，再看对应法则是否一致，由此即可判断.
各个击破
类题演练
1
下列对应是不是从A到B的函数？
（1）A=R，B=R，f：x→y=；
（2）A={a|a=n,n∈N
},B={b|b=,n∈N
},f：a→b=.
解析：（1）当x=0时，y值不存在，∴不是函数.
（2）是函数.
变式提升
1
判断下列各式，哪个能确定y是x的函数？为什么？
（1）x2+y=1；（2）x+y2=1.
解析：判断y是否是x的函数，只要确定x→y的对应是否为映射.
（1）由x2+y=1可得y=1-x2,对于任意x∈R，y有唯一的值与它对应，所以y是x的函数；
（2）由x+y2=1可得y=±,对于任意x∈(-∞，1),y有两个值与它对应，所以y不是x的函数.
类题演练
2
已知函数f(x)=2x-1,g(x)=求f［g(x)］和g［f(x)］的解析式.
解析：（1）当x≥0时，g(x)=x2,f［g(x)］=2x2-1;
当x<0时，g(x)=-1,f［g(x)］=2×(-1)-1=-3.
∴f［g(x)］=
(2)当2x-1≥0，即x≥时，g［f(x)］=(2x-1)2;
当2x-1<0，即x<时，g［f(x)］=-1.
∴g［f(x)］=
变式提升
2
(1)已知函数f(x)=x2,求f(x-1);
(2)已知函数f(x-1)=x2,求f(x).
解析：(1)f(x-1)=(x-1)2=x2-2x+1.
(2)令t=x-1,则x=t+1,由f(x-1)=x2可得f(t)=(t+1)2，∴f(x)=(x+1)2.
类题演练
3
下列各组函数中表示同一函数的是…（
）
A.f(x)=x与g(x)=()2
B.f(x)=|x|与g(x)=
C.f(x)=x|x|与g(x)=
D.f(x)=与g(t)=t+1(t≠1）
解析：A中定义域不同，B中解析不同，C中定义域不同.
答案：D
变式提升
3
下列四组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是（
）
A.f(x)=,g(x)=()4
B.f(x)=x,g(x)=
C.f(x)=1,g(x)=
D.f(x)=,g(x)=x-2
解析：A答案定义域不同.C答案也是定义域不同，前者x∈R，而后者x≠0.D答案还是定义域不同，前者x≠-2而后者x∈R，故选B.
答案：B
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12．1．2　函数的表示方法
1．在实际情境中，会根据不同的要求选择恰当的方法表示函数．
2．理解同一函数可以用不同的方法表示．
1．函数的表示方法
(1)列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法．
(2)解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法，这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式．
(3)图象法：用图象来表示两个变量之间函数关系的方法．
1．列表法表示函数的优点在于不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值．这种方法常应用到实际生产和生活中．
2．图象法表示函数的优点是通过图象可以直接观察出函数的变化趋势．气象台应用自动记录仪器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象及股市走向图等，就是用图象法表示函数关系的．
3．用解析法表示函数关系的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值．
【做一做1－1】客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了0．5
h，然后以80km/h的速度匀速行驶1
h到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是__________．
答案：③
【做一做1－2】某种杯子每只0．5元，买x只，所需钱数为y元，分别用列表法、图象法、解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数．
解：(1)列表法：
x/只
1
2
3
4
y/元
0．5
1
1．5
2
(2)图象法(如下图)．
(3)解析法：y＝0．5x，x∈{1,2,3,4}．
2．分段函数
在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数是一个函数而不是几个函数．生活中有很多可以用分段函数描述实际问题的模型，如出租车的计费、个人所得税纳税额等．
分段函数的图象由几个不同部分组成，作分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出．
分段函数的定义域应为各段上自变量取值的并集，如函数y＝的定义域为{x|x＞0}．
分段函数定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段函数值集合的并集，在作图时，要特别注意每段端点的虚实．
【做一做2】在实际问题中，常常使用表格，有些表格描述了两个变量的函数关系，比如，国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应邮资如下表：
信函质量m/g
0＜m≤20
20＜m≤40
40＜m≤60
60＜m≤80
80＜m≤100
邮资M/元
0.80
1.60
2.40
3.20
4.00
画出函数图象并写出它的解析式．
解：图象如图．
解析式为：
1．如何求函数解析式？
剖析：对于基本初等函数，通过待定系数法求之，即利用方程思想．
对于实际应用问题，通常是研究自变量、函数与其他量之间的等量关系，从而将函数用自变量和其他量之间的关系表示出来，但不要忘记确定自变量的取值范围．如已知等腰三角形的周长为12，则底边长x与腰长y之间的函数关系是y＝6－x，其中x∈(0,6)．
2．如何理解分段函数？
剖析：(1)分段函数的表达式是分段表示的，即函数与自变量的关系不是只满足一个式子，而是在不同范围内有不同的对应法则，这样的函数关系是分段函数．
(2)分段函数的定义域应为各段上自变量取值的并集，这一点与函数y＝＋的定义域的求法不相同．
(3)作分段函数的图象时，特别注意端点处点的虚实，如函数y＝的图象为
(4)分段函数的表示法是解析法的一种形式．函数y＝不能写成y＝22－6x,0＜x＜11或y＝－44，x≥11．
分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以其图象也是由几部分组成的，可以是由光滑的曲线段组成，也可以是孤立的点或几段线段组成；求分段函数的函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一区间，就用哪一区间上的解析式．
题型一
求函数解析式
【例1】(1)已知函数f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；
(2)已知f(＋4)＝x＋8，求f(x2)；
(3)已知函数y＝f(x)满足2f(x)＋＝2x，x∈R且x≠0，求f(x)；
(4)已知一次函数f(x)满足f［f(x)］＝4x－1，求f(x)．
分析：求解析式的方法较多，如配凑法、换元法、方程法、待定系数法等，关键在于弄清对于“x”而言，“f”是怎样的对应法则，至于选择什么符号表示自变量没有关系．要特别注意正确确定中间变量的取值范围，如(2)中设＋4＝t≥4，否则就不能正确确定f(x)的定义域．
解：(1)方法一(换元法)：
令t＝x＋1，则x＝t－1，代入得f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2，
∴f(t)＝t2－5t＋6，即f(x)＝x2－5x＋6．
方法二(配凑法)：
∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，
∴f(x)＝x2－5x＋6．
(2)方法一(配凑法)：∵f(＋4)＝x＋8＝(＋4)2－16，∴f(x)＝x2－16(x≥4)．
∴f(x2)＝x4－16(x≤－2，或x≥2)．
方法二(换元法)：设＋4＝t≥4，
则＝t－4，x＝(t－4)2，
∴f(t)＝(t－4)2＋8(t－4)＝t2－16．
∴f(x)＝x2－16(x≥4)．
∴f(x2)＝x4－16(x≤－2，或x≥2)．
(3)(方程法)∵x∈R，且x≠0，
由2f(x)＋＝2x，①
将x换成，则换成x，
得＋f(x)＝．②
①×2－②，得3f(x)＝4x－，
即f(x)＝－．
(4)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，
∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f［f(x)］＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x－1．
∴ 或
∴f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1．
反思：对于已知f［g(x)］的表达式，求f(x)的表达式的问题，一般方法是换元法，即设g(x)＝t，解出用t表示x的表达式，代入求得f(x)的解析式．在用换元法解这类题时，特别要注意正确确定中间变量t的取值范围．
若题目中已知函数f(x)的函数类型，一般采用待定系数法，如第(4)小题，由于已知函数f(x)是一次函数，故可设f(x)＝ax＋b(a≠0)．
题型二
分段函数的图象与应用
【例2】试作出函数y＝|x－1|和y＝|x－1|＋|x＋2|的图象．
分析：y＝|x－1|＝
y＝|x－1|＋|x＋2|＝
解：y＝|x－1|的图象如图(1)．
y＝|x－1|＋|x＋2|的图象如图(2)．
反思：画带绝对值符号的简单函数的图象的基本方法是先求函数的定义域，然后化简函数解析式，就是去绝对值符号．
(1)带一个绝对值符号的函数，根据绝对值的意义去绝对值符号．
(2)带两个或两个以上绝对值符号的问题，常用“零点分段法”去绝对值符号，从而把函数写成分段函数的形式，然后作图．如本题(2)，令x－1＝0，得x＝1；令x＋2＝0，得x＝－2．
－2和1把数轴分成三部分(如下图所示)．
【例3】设函数f(x)＝则不等式f(x)＞f(1)的解集是__________．
解析：因f(1)＝12－4×1＋6＝3，所以原不等式可化为f(x)＞3．作出原函数的图象，如下图所示．
再作出直线y＝3，其交点坐标分别为(－3,3)，(1,3)和(3,3)，从图象观察即得．
答案：(－3,1)∪(3，＋∞)
反思：作为填空题，可利用数形结合的方法求解不等式，此方法直观、简洁、准确．
题型三
实际应用问题
【例4】通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力，f(x)的值越大，表示接受的能力越强，x表示提出和讲授概念的的讲授时间(单位：分钟)，可有以下的公式：
f(x)＝
(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？
(3)一道数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的讲授时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题？
解：(1)开讲10分钟后，学生的接受能力值为59，达到最强，并维持6分钟．
(2)f(5)＝－0.1×52＋2.6×5＋43＝53.5；
f(20)＝－3×20＋107＝47，
所以开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强一些．
(3)当0＜x≤10时，f(x)＝－0．1x2＋2．6x＋43＝－0．1(x－13)2＋43＋16．9，f(x)max＝f(10)＝59．令55≤f(x)≤59，解得6≤x≤10．
所以6≤x≤10时，f(x)∈［55,59］，即开讲后10分钟里，学生只有后4分钟接受能力在55以上，然后有6分钟接受能力维持在59；
当16＜x≤30时，f(x)＝－3x＋107．
令f(x)≥55，解得x≤，即在这段时间里，学生只有分钟接受能力维持在55以上．
综上所述，开讲后学生共有4＋6＋＝分钟接受能力在55以上，故老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题．
反思：实际问题往往都有一个陌生的情境，它需要我们仔细阅读题意．如果题中给的数量比较多，可以逐个理解和研究，然后把实际问题转化为数学问题，建立函数关系进行求解．
1设函数f(x)＝则的值为__________．
解析：因为f(2)＝22＋2－2＝4，所以＝，
＝＝1－＝．
答案：
2某城市出租车按如下方法收费：起步价6元，可行3
km(含3
km)，3
km后到10
km(含10
km)每走1
km加价0.5元，10
km后每走1
km加价0.8元，某人坐出租车走了12
km，他应交费______元．
解析：把收费y元看成所走路程x
km的函数，
当0＜x≤3时，应交6元；
当3＜x≤10时，应交6＋(x－3)×0.5＝4.5＋0.5x(元)；
当x＞10时，应交4.5＋0．5×10＋(x－10)×0．8＝1.5＋0.8x(元)．
∴当x＝12时，y＝1.5＋0．8×12＝11.1(元)．
答案：11.1
3某客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0．5元，如果超过100千米，超过部分按每千米0．4元定价，则客运票价y(元)与行程数x(千米)之间的函数关系式是__________．
解析：根据行程是否大于100千米来求出解析式，
由题意，得当0＜x≤100时，y＝0.5x，
当x＞100时，y＝100×0.5＋(x－100)×0.4＝10＋0.4x．
答案：y＝
已知函数h(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，＝16，h(1)＝8，求h(x)及其定义域．
分析：本题中已知函数的模型，用待定系数法求解析式．
解：设f(x)＝k1x(k1≠0)，g(x)＝(k2≠0)，
则h(x)＝k1x＋．
由题意得
解得
所以h(x)＝3x＋，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
5已知函数f(x)＝
(1)画出函数的图象；
(2)求f(1)，f(－1)的值．
分析：分别作出f(x)在x＞0，x＝0，x＜0各段上的图象，合在一起得函数的图象．
解：(1)如图所示．
(2)f(1)＝12＝1，f(－1)＝－＝1．
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12．2．1　函数的单调性
第1课时　函数的单调性
1．理解函数单调性，能用定义来证明某一函数在确定区间上的单调性．
2．了解一次函数、二次函数和反比例函数的单调性的判断方法．
1．增函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间IA．
如果对于区间I内任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y＝f(x)的单调增区间．
【做一做1】函数y＝(k2＋1)x＋3是__________函数．(填“增”或“减”)
答案：增
2．减函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间IA．
如果对于区间I内任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y＝f(x)的单调减区间．
【做一做2】函数y＝－x2－4x＋5在(3，＋∞)上是__________函数．(填“增”或“减”)
答案：减
3．单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或是单调减函数，就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性．单调增区间和单调减区间统称为单调区间．
(1)对于单独的一点，由于其函数值是惟一的，因而无增减变化，所以不存在单调性问题，因此，在考虑函数单调区间时，若端点处有意义，包括不包括端点均可．
(2)有的函数在整个定义域内具有单调性，有的函数在定义域的某个子集上具有单调性，有的函数没有单调区间．
【做一做3－1】函数y＝的单调减区间是__________．
答案：(－∞，0)和(0，＋∞)
【做一做3－2】函数y＝x2－2x－3的单调增区间是______．
答案：(1，＋∞)
要正确理解单调性的定义，应该抓住哪几个重要字眼？
剖析：(1)第一关键——“定义域内”．
研究函数的很多性质，我们都应有这样一个习惯：定义域优先原则．函数的单调性是对定义域内某个子区间而言的，即单调区间是定义域的子集．
(2)第二关键——“某个区间”．
增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开相应的区间就谈不上函数的单调性．我们不能说一个函数在x＝5时是递增的或递减的，因为这时没有一种可比性，没突出变化．所以我们不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数．比如二次函数y＝x2，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数．因而我们不能单一地说y＝x2是增函数或是减函数，必须加上区间进行区别．
当然，有些函数在其整个定义域内单调性一致，如y＝x，我们会说y＝x在定义域内是增函数．此时，“在定义域内”常被忽略，这就是说法上的一种错误了．
(3)“任意”和“都有”别忽略．
在定义中，“任意”两个字很重要，它是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”的意思是：只要x1＜x2，f(x1)就必须都小于f(x2)，或f(x1)都大于f(x2)．
对“任意”二字不能忽视，我们可以构造一个反例：考查函数y＝x2，在区间［－2,2］上，如果取两个特定的值x1＝－2，x2＝1，显然x1＜x2，而f(x1)＝4，f(x2)＝1，有f(x1)＞f(x2)，若由此判定y＝x2在［－2,2］上是减函数，那就错了．
同样地，理解“都有”，我们也可以举例说明：y＝x2在［－2,2］上，当x1＝－2，x2＝－1时，有f(x1)＞f(x2)；当x1＝1，x2＝2时，有f(x1)＜f(x2)．从上例我们可以看到对于x1＜x2，f(x1)并没始终小于(或者大于)f(x2)．因此就不能说y＝x2在［－2,2］上是增函数或减函数．
题型一
函数单调性的证明
【例1】已知函数f(x)＝x＋，
(1)画出函数的图象，并求其单调区间；
(2)用定义证明函数在(0,1)上是减函数．
分析：运用描点法作图应避免描点的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所画图的存在范围、大致特征、变化趋势等先作一个大概的研究．单调区间一般是函数定义域的子集，同一个函数在定义域内可以有几个不同的单调增(或减)区间，函数的两个单调区间之间可以用“，”或“和”字连接，而不能用符号“∪”连接．“定义作差法”是证明函数单调性的一般方法，而有时通过定义作差法也可以直接找出单调区间．
(1)解：列表如下：
x
－3
－2
－1
－
1
2
3
y＝x＋
－
－
－2
－
2
描点，并连线，可得图象如下图：
由图象可知，增区间：(－∞，－1］，［1，＋∞)，减区间：［－1,0)，(0,1］．
(2)证明：设x1，x2是区间(0,1)内的任意的两个值，且x1＜x2．∴0＜x1＜x2＜1．则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)，
∵0＜x1＜x2＜1，∴x1－x2＜0,0＜x1x2＜1．
∴＞1．∴1－＜0．
∴f(x1)－f(x2)＞0．∴f(x1)＞f(x2)．
∴f(x)＝x＋在区间(0,1)上是减函数．
反思：“对勾”函数f(x)＝x＋(a＞0)是高中数学具有代表性的一个函数，应掌握其图象及特点，并懂得其函数的性质：
①定义域：{x|x∈R，x≠0}；
②值域：(－∞，－2］∪［2，＋∞)；
③图象：如下图所示；
④奇偶性：为定义域上的奇函数；(下课时学习)
⑤单调性：(－∞，－］，［，＋∞)上是增函数，［－，0)，(0，］上是减函数；
⑥渐近线：x＝0(即y轴)和y＝x．
题型二
二次函数的单调性讨论
【例2】讨论函数f(x)＝x2－2ax＋3在(－2,2)内的单调性．
分析：判断二次函数的单调性，主要判断对称轴是在区间内、区间左边或是区间右边．
解：因为f(x)＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2，对称轴为x＝a，
所以若a≤－2，则f(x)＝x2－2ax＋3在(－2,2)上是增函数；若－2＜a＜2，则f(x)＝x2－2ax＋3在(－2，a)上是减函数，在［a,2)上是增函数；
若a≥2，则f(x)＝x2－2ax＋3在(－2,2)上是减函数．
反思：此题容易忽略对称轴所在的位置，没有分类讨论而产生漏解．
题型三
利用单调性求解不等式
【例3】已知定义在［－3,3］上的函数f(x)是增函数，求不等式f(2x－1)＜f(x＋1)的解集．
分析：本题不知道函数解析式，只有从定义出发；若x1＜x2，且f(x1)＜f(x2)，则f(x)单调递增．反之，若f(x)单调递增，且f(x1)＜f(x2)，则x1＜x2．
解：由题意得－3≤2x－1＜x＋1≤3，
解得－1≤x＜2，
即原不等式的解集为［－1,2)．
反思：在求解本题时，必须考虑函数f(x)的定义域，若仅从2x－1＜x＋1来求解是错误的．
1若函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是__________．
解析：由题意得2k－1＜0，k＜．
答案：
2如图是定义在闭区间［－5,5］上的函数y＝f(x)的图象，根据图象，y＝f(x)的单调递增区间为__________，单调递减区间为__________．
答案：［－2,1)和［3,5］　［－5，－2)和［1,3)
3函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，则f(a2－a＋1)__________．(填“≥”或“≤”)
解析：要比较f(a2－a＋1)与的大小，由于f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，只需比较a2－a＋1与的大小．
因为a2－a＋1＝＋≥，
所以f(a2－a＋1)≤．
答案：≤
作出函数y＝|x2－4x＋3|的图象，并写出它的单调区间．
解：∵y＝|x2－4x＋3|＝
∴函数y＝|x2－4x＋3|的图象如下图所示．
∵原函数的对称轴为x＝2，
∴单调增区间为(1,2)和(3，＋∞)，单调减区间为(－∞，1)和(2,3)．
5已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，试判断y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上的单调性，并予以证明．
解：由条件得a＜0，b＜0，从而函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上单调递减．
证明如下：
设x1，x2为区间(0，＋∞)内的任意两个值，且x1＜x2，
则y1－y2＝(ax?2?1＋bx1)－(ax?2?2＋bx2)
＝a(x1－x2)(x1＋x2)＋b(x1－x2)
＝(x1－x2)［a(x1＋x2)＋b］，
∵x1－x2＜0，x1＋x2＞0，
∴a(x1＋x2)＋b＜0．∴y1－y2＞0，即y1＞y2．
从而函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上单调递减．
PAGE
12.1.2
函数的定义域、值域
课堂导学
三点剖析
一、求函数的定义域
【例1】
求下列函数的定义域,并用区间表示.
（1）f(x)=；
（2）f(x)=;
(3)f(x)=；
(4)f(x)=-+.
思路分析：当函数解析式给出，定义域就是使其解析式有意义自变量的范围；当一个函数由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时［如（3）（4）］，定义域是使各个部分都有意义的公共部分的集合
.
解析：（1）要使f(x)=有意义，必须x-2≠0，所以x≠2.
故函数的定义域是{x|x≠2}，区间表示为（-∞,2)∪(2,+∞).
(2)要使f(x)=有意义，必须3x+2≥0，所以x≥-.
故函数的定义域是{x|x≥-}，区间表示为［-,+∞］.
(3)由于00没有意义，所以x+1≠0.
①
又分式的分母不可为零，开偶次方根被开方数非负，所以|x|-x≠0，即x<0.
②
由①②可得函数的定义域为{x|x<0且x≠-1}，区间表示为（-∞，-1）∪（-1，0）.
（4）要使函数f(x)=-+有意义，必须
所以-≤x<2且x≠0，故函数的定义域为{x|-≤x<2且x≠0}，区间表示为［-,0)∪（0，2）.
二、函数值域的求法
【例2】
求下列函数的值域：
（1）y=x2-4x+6，x∈［1，5）；
（2）y=.
解析：这是二次函数在定义域范围内求值域的问题，可用配方法，结合二次函数的图象（如右图）来求.
（1）配方，得y=（x-2）2+2.
∵x∈［1,5)，
∴函数的值域为{y|2≤y<11}.
(2)∵y==-，
显然，y1=5+4x-x2的最大值是9，故函数y=的最大值是3，且y≥0.
∴函数y=的值域是［0，3］.
温馨提示
求函数值域常用的方法：①观察法：根据完全平方式、算术根、绝对值都是非负数的特点，以及函数的图象、性质等，观察得出函数的值域.②配方法：二次函数或转化为形如F（x）=a［f(x)］2+bf(x)+c的函数的值域，均可采用配方法求之.③分离变量法：一般形如y=可用此法求解.④换元法：形如y=ax+b±(a、b、c、d均为常数，且ac≠0）的函数，一般设t=，然后x用t表示出来，代入原函数，使原函数转化为关于t的二次函数，从而求出函数的值域，一定要注意t的范围，t≥0.
三、求形如f［g(x)］的定义域
【例3】
若函数f(x)的定义域是［1，4］，求f(x+2)、f(x2)的定义域.
解析：∵f(x)的定义域为［1,4］,
∴使f(x+2)有意义的条件为1≤x+2≤4，
即-1≤x≤2，则f(x+2)的定义域是［-1，2］.
同理，由1≤x2≤4，即-2≤x≤-1或1≤x≤2，则f(x2)的定义域为［-2,-1］∪［1，2］.
温馨提示
这里易误解为：由1≤x≤4,∴3≤x+2≤6.∴f(x+2)的定义域为［3，6］，忽视了f(x+2)有意义的条件，习惯性地代换x是错因.
各个击破
类题演练
1
函数y=的定义域为___________________.
解析：由已知应有
解得x≥-4且x≠-2，
所以定义域为［-4,-2）∪（-2，+∞).
答案：［-4,-2）∪（-2，+∞)
变式提升
1
已知函数f(x)的定义域是［a,b］，其中a<0b，求函数g(x)=f(x)+f(-x)的定义域.
解析：若g(x)的定义域为M，f(x)及f(-x)的定义域分别为A、B，则有M=A∩B，利用数轴分析得知，阴影部分即为所求.
∵函数f(x)有定义域为［a,b］,
∴
a≤x≤b.
若使f(-x)有意义，必须有a≤-x≤b,即有-b≤x≤-a.
∵a<0∴-a>0>-b.
又∵|a|>b>0,
∴a<-b,且b<-a.
∴函数g(x)的定义域为
{x|a≤x≤b}∩{x|-b≤x≤-a}={x|-b≤x≤b}.
类题演练
2
求下列函数的值域.
(1)y=3x+2,x∈{-1,0,1,2};
(2)y=-1;
(3)y=-x2-2x+3;
(4)y=;
解析：（1）函数的定义域为{-1，0，1，2}，
∵f(-1)=3×(-1)+2=-1,f(0)=2,f(1)=5,f(2)=8.
∴函数的值域为{-1，2，5，8}.
(2)∵≥0,∴-1≥-1.
∴函数值域是［-1，+∞).
(3)∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4.
∴当x=-1时，ymax=4.
∴函数的值域为（-∞，4］.
(4)y==1-,∵≠0，
∴y≠1.∴函数值域是（-∞，1）∪（1，+∞）.
变式提升
2
设A=［1，b］(b>1)，函数f(x)=(x-1)2+1,当x∈A时，f(x)的值域也是A，试求b值.
解析：∵x∈A，∴1≤x≤b，当x=1时，函数f(x)的最小值为1.
当x=b时，f(b)=(b-1)2+1为最大值.
∴（b-1)2+1=b，整理可得
b2-4b+3=0，
解得b=1或b=3.
∵b>1,∴b=3.
类题演练
3
已知f(x2-2x+3)的定义域为［-2，1］，求函数f(x)的定义域.
解析：令t=x2-2x+3,x∈［-2，1］.
∴t∈［2,11］,
∴f(x)的定义域为［2，11］
变式提升
3
已知函数f(x)的定义域为［a,b］,且a+b>0，求f(x2)的定义域.
解析：∵f(x)的定义域为［a,b］，即a≤x≤b.
那么a≤u=x2≤b.
又b>a且b>-a，∴b>|a|≥0.
∴当a≤0时，-≤x≤；
当a>0时，≤|x|≤.
即-≤x≤-或≤x≤.
综上所述，当a≤0时，x∈［-,］；
当a>0时，x∈［-,-］∪［,］
PAGE
1第2课时　函数的最值
1．理解函数最值的定义，知道最值是函数定义域上的一个整体性质．
2．会求一些简单函数的最值．
3．了解函数最值与函数单调性的关系．
1．最大值
一般地，设y＝f(x)的定义域为A．
若存在定值x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)恒成立，则称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)．
【做一做1】函数y＝－x2＋5的最大值为________．
答案：5
2．最小值
一般地，设y＝f(x)的定义域为A．
若存在定值x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)恒成立，则称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)．
【做一做2】函数y＝3x＋1，x∈［1,4］的最小值为________．
答案：4
3．函数的最大值和最小值统称为函数的最值．
(1)函数的值域是指函数值的集合．函数最大(小)值一定是值域中的元素．如果值域是一个闭区间，那么函数的最大(小)值就是闭区间右(左)端点的值．(2)函数的值域和最值既有区别又有联系．一般来讲，对于图象是连续不断的函数，知道函数在定义域上的最大值和最小值，可知函数的值域，而知道了函数的值域，不一定能确定最值．
【做一做3－1】函数y＝－3x＋1，x∈［－2,3］时的值域是__________．
解析：当x∈［－2,3］时，ymax＝－3×(－2)＋1＝7，ymin＝－3×3＋1＝－8．
答案：［－8,7］
【做一做3－2】函数y＝－x2－4x＋1，x∈［－3,3］的值域是__________．
解析：y＝－(x＋2)2＋5，当x＝－2时，y有最大值5；当x＝3时，y有最小值－20．
答案：［－20,5］
求函数最值的三种方法
剖析：(1)作出函数的图象，从图象直接观察可得最值；
(2)求出函数的值域，其边界值即为最值，此时要注意边界值能否取到(即是否存在)的问题；
(3)由函数的单调性求最值．
①最大值：已知函数y＝f(x)的定义域是［a，b］，a＜c＜b，当x∈［a，c］时，f(x)是单调增函数；当x∈［c，b］时，f(x)是单调减函数，则f(x)在x＝c时取得最大值．
②最小值：已知函数y＝f(x)的定义域是［a，b］，a＜c＜b，当x∈［a，c］时，f(x)是单调减函数；当x∈［c，b］时，f(x)是单调增函数，则f(x)在x＝c时取得最小值．
题型一
函数的最值
【例1】已知一次函数y＝kx＋b，当x∈［－1,3］时，ymax＝5，ymin＝－3．试求函数解析式．
解：若k＞0，
则由条件得
解得y＝2x－1．
若k＜0，
则由条件得
解得y＝－2x＋3．
反思：因一次函数y＝kx＋b的单调性由k来确定，所以当x∈［m，n］时，y的最值应根据k来确定，若k＞0，则y∈［km＋b，kn＋b］；若k＜0，则y∈［kn＋b，km＋b］．
【例2】已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈［－1,1］，求函数f(x)的最小值．
解：函数f(x)的对称轴为x＝a，且开口向上，如图，
当a＞1时，f(x)在［－1,1］上单调递减，故f(x)min＝f(1)＝3－2a；
当－1≤a≤1时，f(x)在［－1,1］上先减后增，故f(x)min＝f(a)＝2－a2；
当a＜－1时，f(x)在［－1,1］上单调递增，故f(x)min＝f(－1)＝3＋2a．
综上，可知f(x)的最小值为f(x)min＝
反思：求二次函数在闭区间上的最值的方法：一看开口方向；二看对称轴与区间的相对位置，简称“两看法”．只需作出二次函数相关部分的简图，利用数形结合法就可以得到问题的解．
运用这个方法，同样可以解决对称轴确定而区间变化的问题，甚至开口方向、对称轴、区间同时都在变化的问题．
题型二
含参不等式恒成立问题
【例3】已知函数f(x)＝，x∈［1，＋∞)，
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈［1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
分析：问题(1)中，由a＝可确定函数解析式，由函数的单调性可确定最值；问题(2)为恒成立问题，常结合函数性质，合理构建．
解：(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，
设x1，x2是［1，＋∞)上的任意两个值，且x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)，
2x1x2＞2,0＜＜，所以1－＞0．
又x2－x1＞0，所以f(x2)－f(x1)＞0，
则f(x1)＜f(x2)．所以f(x)在区间［1，＋∞)上为增函数，则f(x)在区间［1，＋∞)上的最小值为f(1)＝．
(2)方法一：在区间［1，＋∞)上，
f(x)＝＞0恒成立，
即x2＋2x＋a＞0恒成立．
设y＝x2＋2x＋a，x∈［1，＋∞)．
则y＝(x＋1)2＋a－1在区间［1，＋∞)上递增，
所以当x＝1时，ymin＝3＋a．
于是当且仅当ymin＝3＋a＞0时，
函数f(x)＞0恒成立，故a＞－3．
方法二：f(x)＝x＋＋2，x∈［1，＋∞)，
当a≥0时，函数f(x)的值恒为正，
当a＜0时，函数f(x)递增，
故当x＝1时，f(x)min＝3＋a，于是当且仅当f(x)min＝3＋a＞0时，函数f(x)＞0恒成立，故a＞－3．
反思：求函数的最值，先求函数的定义域．函数的最值及值域经常与函数的单调性联系在一起，所以有时先求函数单调性再根据单调性求函数最值．
不等式f(x)≥a恒成立的条件是f(x)min≥a，f(x)≤a恒成立的条件是f(x)max≤a．
题型三
最值的应用
【例4】某工厂拟建造一座平面图如图所示为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米．如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且无池盖)．求污水处理池的长和宽各为多少米时，总造价最低？并求出最低总造价．
解：设污水处理池的长为x米，0＜x≤16，
则宽为米，0＜≤16．
根据题意，总造价为y＝400×2×＋248×2×＋80×200＝800×＋16
000．
由得定义域为［12．5,16］．
∵函数y＝800×＋16
000在［12．5,16］上是单调减函数，∴当x＝16时，y取最小值为45
000．
故当污水处理池的长为16米，宽为12．5米时，总造价最低，最低总造价为45
000元．
反思：在利用函数的单调性处理有关实际问题的最值时，一定要注意函数的定义域要使实际问题有意义．
1函数f(x)＝3x＋a，x∈［－1,2］的最大值与最小值的差为__________．
解析：由题意知f(x)为增函数，最大值与最小值的差为f(2)－f(－1)＝3×2＋a－3×(－1)－a＝9．
答案：9
2函数f(x)＝的值域是__________．
解析：因为1－x(1－x)＝x2－x＋1＝＋≥，从而f(x)max＝．
又f(x)＞0，所以f(x)的值域是．
答案：
3以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开(如图)，已知篱笆总长为定值L，写出场地面积y为一边长x的函数，
并求出函数的定义域及面积的最大值．
解：根据题意，可得y＝(L－3x)x，
由题意知解得0＜x＜．
∴函数y＝(L－3x)x的定义域为．
∵y＝(L－3x)x＝－3x2＋Lx
＝－3＋．
∴当x＝时，ymax＝．
4若不等式|x－2|＋|x＋3|≥a恒成立，求实数a的取值范围．
解：由f(x)＝|x－2|＋|x＋3|
＝
得其图象如图所示，
所以f(x)min＝5，从而a∈(－∞，5］．
5已知f(x)＝x2－4x＋3，求函数在区间［t，t＋2］上的最值．
解：f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，作出如图所示的图象，
图象的对称轴为x＝2．
①当t＋2＜2，即t＜0时，f(x)在区间［t，t＋2］上单调递减，
所以f(x)max＝f(t)＝t2－4t＋3，
f(x)min＝f(t＋2)＝t2－1；
②当2≤t＋2＜3，即0≤t＜1时，
f(x)max＝f(t)＝t2－4t＋3，f(x)min＝f(2)＝－1．
③当3≤t＋2＜4，即1≤t＜2时，
同上可知f(x)min＝f(2)＝－1，
f(x)max＝f(t＋2)＝t2－1．
④当t＋2≥4，即t≥2时，f(x)在区间［t，t＋2］上单调递增，所以f(x)min＝f(t)＝t2－4t＋3，
f(x)max＝f(t＋2)＝t2－1．
PAGE
12.1.1
函数的概念
第2课时　函数的图象
在实际情境中了解图象法是描述两个变量之间函数关系的一种重要方法．通过函数图象，从“形”的角度进一步加深对函数概念的理解．
函数的图象
将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))．当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．
作函数图象，应明确函数定义域，明确函数图象形状，体会定义域对图象的控制作用．
初中所学过的基本初等函数的解析式及图象形状，如表所示．
基本初等函数
解析式
图象
形状
正比例函数
y＝kx(k≠0)
当k＞0时，图象如下：
直线
反比例函数
y＝(k≠0)
当k＞0时，图象如下：
双曲线
一次函数
y＝kx＋b(k≠0)
[JP5]当k＞0，b＞0时，图象如下：
直线
二次函数
y＝ax2＋bx＋cy＝a(x－m)2＋ny＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
当a＞0，b＞0，c＜0时，图象如下：
抛物线
函数新概念，记准要素三；定义域值域，关系式相连；函数表示法，记住也不难；图象和列表，解析最常见．
【做一做1－1】作出函数y＝x2－2x在［0,3］上的图象．
解：图象如下：
【做一做1－2】在同一直角坐标系中，分别作出直线y1＝x－2和双曲线y2＝的图象，并根据图象回答x取何值时，(1)y1＞y2；(2)y1＝y2；(3)y1＜y2．
解：图象如图所示．
(1)当x∈(－1,0)∪(3，＋∞)时，y1＞y2；
(2)当x＝－1或3时，y1＝y2；
(3)当x∈(－∞，－1)∪(0,3)时，y1＜y2．
函数的图象都是连续的曲线吗？图形都是函数的图象吗？
剖析：(1)函数的图象不一定都是连续的曲线．一般来说，如果自变量的取值是连续的，那么它的图象是连续的，如一次函数、二次函数，但如果自变量的取值不是连续的，那么它的图象就是一些孤立点．例如：y＝3x(x∈{1,2,3,4,5})．有时函数的图象是由几段线段组成．
(2)检查一个图形是否为某个函数的图象，只要用一条垂直于x轴的直线沿x轴方向左右平移，观察图形与该直线交点个数，当交点个数为两个或两个以上时，该图形一定不是函数图象．这是因为直线x＝a(a∈R)与图形有两个或两个以上交点时，表示变量x取实数a时对应两个或两个以上的y值，这与只有惟一y值与x对应矛盾．
题型一
函数的图象
【例1】设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，下面的四个图形中能表示从集合M到集合N的函数关系的是__________．
解析：由函数的定义知①不是，因为集合M中1＜x≤2时，在N中无元素与之对应；③中x＝2对应的元素y＝3N，所以③不是；④中x＝1时，在N中有两个元素与之对应，④也不是．
答案：②
【例2】试画出下列函数的图象：
(1)f(x)＝2x－1；
(2)f(x)＝(x＋1)2－1，x∈(－3,0］．
解：描点，作出图象，则函数图象分别如下图(1)(2)所示．
　　
(1)　　　　　　　　　
(2)
反思：当自变量x的定义域为某一区间时，其函数y＝f(x)的图象也是某一局部，本题(2)中，(－3,3)是空心点，(0,0)是实心点．
题型二
图象的应用
【例3】求下列函数的值域：
(1)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；
(2)y＝x＋．
解：(1)可以用“图象法”，根据自变量的变化范围(－5≤x≤－2)来确定y＝－x2－2x＋3的值的变化范围．
∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，其图象是开口向下的抛物线，顶点坐标为(－1,4)，
当x∈［－5，－2］时，其图象如图所示．
∴当x＝－5时，ymin＝－12；
当x＝－2时，ymax＝3．
∴y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域是［－12,3］．
(2)可以通过“变量代换法”把问题转化成二次函数，再求其值域．要注意在进行换元的过程中，新变量的取值范围．设，则u≥0，且，
∴．
其图象如图所示，由图象可知．
∴函数的值域为．
反思：本题介绍了两种求函数值域的方法：①图象法：通过图象观察知函数在某一定义域内的最值；②换元法：通过换元，将某些函数化归为我们熟知的函数，再求值域．
【例4】如图，已知抛物线与x轴交于A(－1,0)、E(3,0)两点，与y轴交于点B(0,3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)分别写出当x取何值时，y＜0，y＝0，y＞0；
(3)设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积．
分析：根据待定系数法，求出二次函数的解析式，再从图象上观察，位于x轴上方部分的点，其纵坐标y＞0；下方部分的点，其纵坐标y＜0．
解：(1)设y＝ax2＋bx＋c，
则由条件得
解之，得从而y＝－x2＋2x＋3．
(2)令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，x1＝－1，x2＝3，
所以当x＞3或x＜－1时，y＜0；
当x＝3或x＝－1时，y＝0；
当－1＜x＜3时，y＞0．
(3)因为y＝－(x－1)2＋4，
所以点D(1,4)．
从而S四边形AEDB＝×3×1＋×(3＋4)×1＋×4×2＝9．
反思：我们可以利用函数图象来求解形如ax2＋bx＋c＞0和ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的不等式．
1二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a＋c；③4a＋2b＋c＞0；④b2－4ac＞0．其中正确的结论有__________个．
解析：图象开口向下，所以a＜0．
图象与y轴交于正半轴，所以c＞0．
因为－＝1，
所以b＝－2a＞0．
从而abc＜0，结论①错误；
当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，得b＞a＋c，结论②错误；
由对称性可知，当x＝2时，4a＋2b＋c＞0，
所以结论③正确；
又因为抛物线与x轴有两个交点，
所以Δ＝b2－4ac＞0．所以结论④正确．
答案：2
2下列各图，可以作为以x为自变量的函数的图象的有________．
答案：②④
3已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴为直线x＝1，且经过点(－1，y1)，(2，y2)，试比较y1和y2的大小：y1__________y2(填“＞”“＜”或“＝”)．
解析：因为对称轴为x＝1，
所以当x＝2时与x＝0时的函数值相等．
作出如图所示的大致图象，由图象可知，y1＞y2．
答案：＞
求函数y＝(x∈［4,5］)的值域．
解：f(x)＝＝，
∵x∈［4,5］，∴(x－1)2＋1∈［10,17］．
∴∈．
即所求函数的值域为．
PAGE
12.3
映射的概念
课堂导学
三点剖析
一、映射的概念
【例1】以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射
(1)设A={矩形},B={实数},对应法则f为矩形到它的面积的对应;
(2)设A={实数},B={正实数},对应法则f为x→;
(3)设A={α|0°≤α≤180°},P={x|0(4)设A={(x,y)|x∈Z,|x|<2,y∈N
,x+y<3},B={0,1,2},对应关系为f:(x,y)→x+y.
解析:(1)这个对应是A到B的映射.因为它是单值对应.不过负实数在A中没有元素和它对应.
(2)不是映射.因为当x=0时,集合B中没有元素与之对应.
(3)不是映射.因为当α=180°或α为钝角时,B中没有元素和它们对应.
(4)应先明确集合A.
∵x∈Z且|x|<2,
∴x∈{-1,0,1}.
又∵y∈N
且x+y<3,
∴A={(-1,1),(-1,2),(-1,3),(0,1),(0,2),(1,1)}.
∵f:(x,y)→x+y,
∴A中每个元素都在B={0,1,2}中能找到唯一的元素与之对应.
∴f:(x,y)→x+y是从A到B的映射.
温馨提示
根据映射的定义,映射应满足存在性(即集合A中每一个元素在集合B中都有对应元素)和唯一性(即集合A中的每一个元素在集合B中只有唯一的元素与之对应).在所有对应关系中一对一、多对一都是映射,但一对多不是映射.
二、映射概念的应用
【例2】
(1)已知集合A=R,B={(x,y)|x、y∈R},f:A→B是从A到B的映射f:x→(x+1,x2+1),则在B中的对应元素为___________,(,)在A中的对应元素是____________.
(2)已知集合A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a}且a∈N,k∈N,x∈A,y∈B,映射f:A→B,使B中元素y=3x+1和A中元素x对应,求a及k的值.
解析:(1)将x=代入对应关系,可求得其在B中的对应元素为(+1,3).
由得x=,
即(,)在A中的对应元素为.
(2)∵B中元素y=3x+1和A中元素x对应,
∴A中元素1的象是4;2的象是7;3的象是10,
即a4=10或a2+3a=10.
∵a∈N,
∴由a2+3a=10,得a=2.
∵k的象是a4,
∴3k+1=16,得k=5.
答案:（1）(+1,3)
（2）a=2,k=5
温馨提示
根据映射的定义,结合题中所给的对应关系,明确A中的每一个元素所对应的元素.有时需列方程(或方程组)求解.
三、两集合的对应关系的应用
【例3】
已知A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f:A→B满足f(a)+f(b)=f(c),求映射f:A→B的个数.
思路分析:紧紧抓住映射f满足的条件f(a)+f(b)=f(c).由于符合条件的映射有多种类型.需进行分类讨论.可以就集合B中的有原象的元素个数进行分类讨论，也可以就f(c)的情况进行分类讨论.
解:(1)当A中三个元素都是对应0时,
则f(a)+f(b)=0+0=0=f(c),有一个映射.
(2)当A中三个元素对应B中两个元素时,满足f(a)+f(b)=f(c)的映射有4个,分别为1+0=1,0+1=1,(-1)+0=-1,0+(-1)=-1.
(3)当A中的三个元素对应B中的三个元素时,有两个映射,分别是(-1)+1=0,1+(-1)=0.
因此满足题设条件的映射有7个.
温馨提示
此题也可以这样进行分类讨论.
(1)f(c)=-1.则有f(a)=-1,f(b)=0和f(a)=0，f(b)=-1两种.
(2)f(c)=0，则有f(a)=f(b)=0和f(a)=-1，f(b)=1及f(a)=1,f(b)=-1三种.
(3)f(c)=1与（1）相似有两种.因此共有7种不同的映射.
各个击破
类题演练
1
下列对应是否是A到B的映射？是否是A到B的函数？
（1）A=R，B=R，f:x→y=;
（2）A={a|a=n,n∈N
},B={b|b=,n∈N
},f:a→b=;
（3）A={x|x≥0,x∈R},B=R，f:x→y,y2=x;
（4）A={平面M内的矩形}，B={平面M内的圆}，f:作矩形的外接圆.
解析：
（1）当x=0时，y值不存在，∴不是映射，也不是函数；
（2）是映射，也是函数；
（3）不是映射，因为是一对多的对应，也就不是函数；
（4）是映射；因A、B不是数集，∴不是函数.
变式提升
1
指出以下各对应，哪些是映射，哪些不是映射？为什么？
（1）已知A={平面上的圆}，B={平面上的四边形}，从A到B的对应法则是：作圆的内接四边形.
(2)已知A=Z，B=Q，从A到B的对应法则是f:y=2x.
(3)已知A=N，B=N，从A到B的对应法则是f:y=|x-3|.
(4)已知A=R，B=，从A到B的对应法则是f:y=x2.
解析：（1）不是映射.因为圆内接四边形不唯一确定，即集合A的圆在集合B中对应的四边形不止一个.
(2)是映射.
（3）是映射.
（4）是映射.
温馨提示
要紧扣映射的定义，只要集合A中任一元素在集合B中有唯一元素对应，就可叫做映射.如果A中有两个或两个以上的元素对应B中同一元素（如（4）），或B中尚有一些元素在A中没有原象（如（2）），也是映射所允许的.
类题演练
2
已知（x,y）在映射f下的象是(x+y,x-y)，求象（1，2）在f下的原象.
解析：由题意得
∴象（1，2）的原象是（，-）.
变式提升
2
已知(x,y)在映射f作用下的象是（x+y,xy）.
（1）求（-2，3）在f作用下的象；
（2）若在f作用下的象是(2，-3)，求它的原象.
解析：（1）∵x=-2,y=3,∴x+y=-2+3=1,
xy=(-2)×3=-6.
∴(-2,3)在f作用下的象是（1，-6）.
（2）∵解这个方程组得
∴(2,-3)在f作用下的原象是（3，-1）和（-1，3）.
类题演练
3
设M={a,b,c}，N={-2，0，2}.
从M到N的映射满足f(a)＞f(b)≥f(c)，试确定这样的映射f的个数.
解析：∵f(a)＞f(b)≥f(c)，可通过列表法求解:
f(a)
f(b)
f(c)
0
-2
-2
2
-2
-2
2
0
-2
2
0
0
故符合条件的映射f有4个.
变式提升
3
设集合M={-1,0,1},N={2,3,4,5,6},映射f:M→N,对任意x∈M都有x+f(x)+xf(x)是奇数，这样的映射f的个数为（
）
A.24
B.27
C.50
D.125
解析：从M→N建立映射，分3步：
第一步给元素找象，并非是N中5个元素都行，还要满足x+f(x)+xf(x)为奇数这个条件.
当x=0时，x+f(x)+xf(x)=f(x)为奇数，f(x)需为奇数，所以只能对应N中3和5两种情况.
而当x=-1时，x+f(x)+xf(x)=x,∴当x=-1时，在N中五个元素都可作为“-1”的象.同样，当x=1时，也有5种情况,可建立5×2×5=50个映射.故选C.
答案：C
PAGE
12.2.3
函数的最大（小值）
课堂导学
三点剖析
一、求出函数的最值
【例1】
已知函数f(x)=,x∈［1，+∞）.当a=时，判断函数的单调性，并求其最小值.
解析：当a=时,f(x)=x++2,
设x2>x1≥1，
则f(x2)-f(x1)=(x2++2)-(x1++2)=(x2-x1)+
-=.
∵x2>x1≥1，
∴x2-x1>0,2x1x2-1>0,2x1x2>0.
∴f(x2)-f(x1)>0，即f(x2)>f(x1).
故f(x)在［1,+∞)上为增函数.
∴f(x)在［1，+∞）上的最小值为f(1)=.
温馨提示
函数的单调性是确定函数在某个区间（特别是闭区间）上是否有最值的重要依据.
二、利用最值知识解决实际问题
【例2】
动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料长是30
m，那么宽x为多少m时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少m2？
解析：熊猫居室的宽为x
m，则长为30-3x
m，
由题意可得熊猫居室的面积S（x)为
S(x)=x·(30-3x)
=3(10x-x2)
=-3［（x-5)2-25］.
∵
∴0∴当x=5时，S（x)max=75(m2)，即宽x为5
m时，才能使所建造的熊猫居室的面积最大，最大面积为75
m2.
温馨提示
不求自变量x的范围（0三、二次函数图象的对称轴
【例3】
求f(x)=x2-2ax-1在区间［0,2］上的最大值和最小值.
思路分析：由于解析式中含有字母参数，函数在区间［0，2］上的最值与对称轴的位置有关，而对称轴的位置又取决于字母参数a的取值，因此应对字母参数a进行分析讨论.
解析：f(x)=(x-a)2-1-a2，对称轴为x=a.
①当a<0,由图（1）可知，
f(x)min=f(0)=-1,f(x)max=f(2)=3-4a.
②当0≤a<1时，由图（2）可知，
f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(2)=3-4a.
③当1f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(0)=-1.
④当a>2时，由图（4）可知，
f(x)min=f(2)=3-4a,f(x)max=f(0)=-1.
温馨提示
（1）由于对称轴是x=a，而a的取值不定，从而导致了分类讨论.
（2）不是应该分a<0,0≤a≤2,a>2三种情况讨论吗？为什么成了四种情况？因为抛物线的对称轴在区间［0，2］所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f(0),也有可能是f(2).
(3)习惯上，最大值用符号f(x)max表示，最小值用符号f(x)min表示.
（4）解答本题，画图是必不可缺少的，最好画出四种情况下的图形，从而有助于解题.
各个击破
类题演练
1
若函数f(x)=(x-1)2+a的定义域和值域都是［1,b］(b>1)，求a、b的值.
解析：∵函数f(x)在［1,b］上单调递增，
∴ymin=a,ymax=(b-1)2+a,
由题意，得
解得(舍去)或
所以，所求a的值为1，b的值为3.
变式提升
1
已知f(x)=x2-ax+(a>0)在区间［0,1］上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值.
解析：f(x)=(x-)2+-，又x∈［0，1］，且a>0，
∴g(a)=g(a)=
当0g(a)=-=-(a-1)2+≤；
当a≥2时,
g(a)=1-≤1-1=0.
∴当a>0时，g(a)≤，即g(a)的最大值为.
类题演练
2
某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社.在一个月（30天）里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，设每天从报社买进的报纸数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚得多少元？
解析：设每天应从报社买x份，易知250≤x≤400.设每月赚y元，得
y=0.5·x·20+0.5×250×10+(x-250)×0.08×10-0.35·x·30
=0.3x+1
050,x∈［250，400］.
所以当x=400时，ymax=120+1
050=1
170(元).
可知每天应从报社买400份报纸，获得利润最大，每月可赚1
170元.
变式提升
2
某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3
000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3
600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大收益是多少元？
解析：（1）当每辆车的月租金为3
600元时，未租出的车辆数为=12，
所以这时租出了100-12=88（辆车）.
（2）设每辆车的月租金定为x元，则月收益
f(x)=(100-)(x-150)-×50.
∴f(x)=-x2+162x-21
000
=-(x-4
050)2+307
050.
所以当x=4
050时，f(x)最大，最大值为307
050.
即当每辆车的月租金定为4
050元时，租赁公司的收益最大，最大收益为
307
050元.
类题演练
3
已知：二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数.
解析：利用二次函数一般式.
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，
由题意得解之得
∴所求二次函数为y=-4x2+4x+7.
变式提升
3
已知函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2.
在区间［0，2］上有最小值3，求a的值.
解析：∵f(x)=4(x-)2-2a+2.
①当≤0，即a≤0时；函数f(x)在［0,2］上是增函数，
∴f(x)min=f(0)=a2-2a+2.
由a2-2a+2=3，得a=1±,
∵a<0,∴a=1-.
②当0<<2，即0由-2a+2=3,得a=-(0,4)，舍去，
③当≥2，即a≥4时，函数f(x)在［0,2］上是减函数，
f(x)min=f(2)=a2-10a+18.
由a2-10a+18=3,得a=5±，
∵a≥4，∴a=5+.
综上所述，a=1-或a=5+.
PAGE
12．2．2　函数的奇偶性
1．了解函数奇偶性的含义．
2．会判断一些简单函数的奇偶性．
3．了解奇函数和偶函数图象的特点．
1．奇函数和偶函数
(1)一般地，设y＝f(x)的定义域为A，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．
(2)如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．
【做一做1】有下列函数：
①y＝2x；②y＝；③y＝x2；④y＝x3＋x；⑤y＝x2－x；⑥y＝－；⑦y＝2x2－1；⑧y＝2|x|＋2．
其中奇函数有__________，偶函数有__________．
答案：①④⑥　③⑦⑧
2．奇偶性
(1)如果函数f(x)是奇函数或偶函数，就说函数f(x)具有奇偶性．
(2)偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称．
(1)在奇函数和偶函数的定义中，都要求x∈A，－x∈A，这就是说一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域一定关于坐标原点对称．
(2)根据函数奇偶性的定义，函数可分为：①是奇函数但不是偶函数；②是偶函数但不是奇函数；③是奇函数又是偶函数；④既不是奇函数也不是偶函数．
【做一做2－1】已知f(x)＝ax3＋bx－3中，f(－2)＝3，则f(2)＝__________．
解析：因为f(－x)＋f(x)＝－6，
所以由f(－2)＝3，得f(2)＝－9．
答案：－9
【做一做2－2】函数f(x)＝－x＋的奇偶性是__________．
答案：奇函数
如何判断函数的奇偶性？
剖析：(1)根据函数奇偶性定义判断，其基本步骤为：
①先看定义域是否关于原点对称，若函数没有标明定义域，应先找到使函数有意义的x的集合，因为它是判断函数奇偶性的一个重要依据，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数既不是奇函数，也不是偶函数．如函数f(x)＝x4＋1，x∈［－1,2］．由于它的定义域不关于原点对称，当1＜x≤2时，－x不在函数的定义域中，所以它不符合奇、偶函数的定义，故f(x)＝x4＋1，x∈［－1,2］是非奇非偶函数．
②再看f(－x)与f(x)的关系，这是因为定义域关于原点对称的函数也不一定是奇函数或偶函数．如f(x)＝x2＋x，g(x)＝x3＋1，它们的定义域都是R，因为f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x≠±f(x)，所以它是非奇非偶函数．同理可证g(x)＝x3＋1也是非奇非偶函数．
③然后得出结论．
(2)定义域关于原点对称，满足f(－x)＝－f(x)＝f(x)的函数既是奇函数也是偶函数，如f(x)＝0(x∈R)．应注意：既是奇函数又是偶函数的函数有无数个．
(3)分段函数奇偶性判定方法的关键是搞清x与－x的所在范围及其对应的函数关系式，并且函数在每一个区间上的奇偶性都应进行判断，而不能以其中一个区间来代替整个定义域．
(4)判断函数的奇偶性有时可用定义的等价形式f(－x)±f(x)＝0或＝±1(f(x)≠0)来代替．
(5)有时可以直接借助函数的图象与相关性质，如奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称等，从而直观地判断函数的奇偶性．
题型一
判断函数的奇偶性
【例1】判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x3－2x；
(3)f(x)＝a(x∈R)；
(4)f(x)＝
分析：按奇函数或偶函数的定义或几何特征进行判断即可．
解：(1)函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，
所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)函数的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝2x－x3＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(3)函数的定义域为R，关于原点对称，
当a＝0时，f(x)既是奇函数又是偶函数；
当a≠0时，f(－x)＝a＝f(x)，即f(x)是偶函数．
(4)函数的定义域为R，关于原点对称，
当x＞0时，－x＜0，此时f(－x)＝－x［1＋(－x)］＝－x(1－x)＝－f(x)；
当x＜0时，－x＞0，此时f(－x)＝－x［1－(－x)］＝－x(1＋x)＝－f(x)；
当x＝0时，－x＝0，此时f(－x)＝0，f(x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)．
综上，f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
反思：根据奇函数以及偶函数的定义，判断是不是有f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，前者是偶函数，后者是奇函数；如果这两个都不成立，则是非奇非偶函数．
说一个函数是非奇非偶函数，有时只要说明它的定义域不合要求即可，而不必套用作差法进行检验．有时根据函数图象的对称性进行判断也是捷径之一．
题型二
求函数解析式
【例2】设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且x＞0时，f(x)＝x2－2x＋1，求f(x)的解析式．
解：当x＜0时，则－x＞0，
所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋1＝x2＋2x＋1．
又f(x)是奇函数，有f(－x)＝－f(x)，
所以－f(x)＝x2＋2x＋1．
所以f(x)＝－x2－2x－1．
当x＝0时，因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以一定有f(0)＝0．所以函数f(x)的解析式为f(x)＝
反思：本题中x∈R，容易遗漏x＝0的情况，对于定义在R上的奇函数一定有f(0)＝0，这是一个重要的结论，要引起重视．
【例3】已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x)＝x2＋2x＋3．求f(x)和g(x)的解析式．
分析：充分利用奇、偶函数的性质，利用方程思想求其解析式．
解：由条件得f(－x)－g(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x2－2x＋3．又f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．
∴－f(x)－g(x)＝x2－2x＋3．
∵f(x)－g(x)＝x2＋2x＋3，
两式相减得f(x)＝2x，
两式相加得g(x)＝－x2－3．
反思：对于基本初等函数，大致有三类：其一是奇函数，其二是偶函数，其三是非奇非偶函数，但此类函数均可表示为奇、偶函数的和或差．
题型三
函数奇偶性的应用
【例4】画出函数f(x)＝－x2＋2|x|＋3的图象，指出函数的单调区间和最大值．
分析：函数的图象关于y轴对称，先画出y轴右侧的图象，再对称到y轴左侧合起来得函数的图象；借助图象，根据单调性的几何意义写出单调区间．
解：函数图象如图所示．
由图象，得函数的图象在区间(－∞，－1］和［0,1］上是上升的，在［－1,0］和［1，＋∞)上是下降的，最高点是(±1,4)，故函数在(－∞，－1］，［0,1］上是增函数；函数在［－1,0］，［1，＋∞)上是减函数，最大值是4．
反思：本题中，已知函数满足f(－x)＝f(x)，说明f(x)是偶函数，它的图象关于y轴对称，由此可先作出函数在y轴右侧的图象，再将其沿y轴翻折即可．
1函数f(x)＝x(x2－1)的大致图象是__________．
解析：因为f(－x)＝－x［(－x)2－1］＝－f(x)，
所以原函数是奇函数．排除③④．
又当x＝时，y＝×＝－＜0，说明点在第四象限．排除②．
答案：①
2函数f(x)＝x3＋bx2＋cx是奇函数，函数g(x)＝3x2＋(c－2)x＋5是偶函数，则b＝____，c＝____．
解析：由条件得f(－x)＋f(x)＝2bx2＝0，∴b＝0．
由条件得g(－x)＝g(x)，
且g(－x)＝3x2－(c－2)x＋5，
g(x)＝3x2＋(c－2)x＋5，∴c＝2．
答案：0　2
3判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝2x2－7；(2)f(x)＝2x3＋5x；
(3)f(x)＝5x－3．
解：(1)因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝2(－x)2－7＝2x2－7＝f(x)，所以f(x)＝2x2－7为偶函数；
(2)因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝2(－x)3＋5(－x)＝－(2x3＋5x)＝－f(x)，
所以f(x)＝2x3＋5x为奇函数；
(3)f(x)的定义域是R．
因为f(－1)＝5×(－1)－3＝－8≠－2＝－f(1)，
故f(x)＝5x－3不是奇函数．
又f(－1)＝5×(－1)－3＝－8≠2＝f(1)，
故f(x)＝5x－3不是偶函数．
综上所得f(x)＝5x－3为非奇非偶函数．
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝－．求当x＜0时，f(x)的解析式．
解：令x＜0，则－x＞0，
∴f(－x)＝－＝．
又f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)＝(x＜0)．
5已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，在［2,6］上是减函数，试比较f(－5)与f(3)的大小．
分析：利用单调性比较大小．
解：∵函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(－5)＝f(5)．
又∵函数y＝f(x)在［2,6］上是减函数，且5＞3，
∴f(5)＜f(3)．∴f(－5)＜f(3)．
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12.2.4
函数的单调性、奇偶性综合应用
课堂导学
三点剖析
一、利用函数单调性、奇偶性的概念解题
【例1】已知f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是增函数,证明f(x)在(-∞,0)上是增函数.
思路分析：由于函数f(x)是抽象函数，我们只能根据奇函数和增函数的定义证明.由于f(x)在（0，+∞）上是增函数，只要能将（-∞,0）上的任意两个数x1＜x2转化到（0，+∞）内，就可以得到关于f(x1)和f(x2)的不等式.
证明:设x1-x2>0.
∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴f(-x1)>f(-x2).
又∵f(x)是奇函数,
∴-f(x1)>-f(x2),
从而有f(x1)∴f(x)在(-∞,0)上是增函数.
温馨提示
从理论上我们得到奇函数在对称区间上的单调性相同,同理可证偶函数在对称区间上的单调性相反.此结论做题时可直接用.
二、函数单调性与奇偶性的综合应用
【例2】
设f(x)是定义在R+上的函数，满足条件：
（1）f(xy)=f(x)+f(y);
(2)f(2)=1；
(3)在（0,+∞）上是增函数.
如果f(x)+f(x-3)≤2,求x的取值范围.
解析：令x=y=2,代入（1），
得f(4)=2f(2)=2.
∵f(x)+f(x-3)=f［x(x-3)］=f(x2-3x),
∴f(x2-3x)≤2=f(4).
∵f(x)在（0，+∞）上递增，
∴
解之得3＜x≤4.
故x的取值范围为（3，4］.
温馨提示
解此题的关键是通过函数单调性定义的可逆性，将函数值之间的大小关系转换为自变量或自变量函数式之间的大小关系，从而通过解不等式或不等式组求解.而所给出的函数又是抽象函数，故须通过赋具体值的方法，推证出函数的单调性，从而达到目的.
三、复合函数的奇偶性、单调性
【例3】
函数f(x),g(x)在区间［-a,a］上都是奇函数，则下列结论：①f(x)+g(x)在［-a,a］上是奇函数；②f(x)-g(x)在［-a,a］上是奇函数；③f(x)·g(x)在［-a,a］上是偶函数，其中正确的有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
解析：定义域相同，由奇（偶）函数的定义便知三个命题均正确.
答案：C
温馨提示
偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇（偶）数个奇函数的积、商（分母不为零）为奇（偶）函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（利用上述结论要注意各函数的定义域）
F1（x）=f(x)+f(-x)为偶函数；F2（x）=f(x)-f(-x)为奇函数.
各个击破
类题演练
1
已知偶函数f(x)在区间［0，π］上单调递增，那么下列关系成立的是（
）
A.f(-π)＞f(-2)＞f()
B.f(-π)＞f(-)＞f(-2)
C.f(-2)＞f(-)＞f(-π)
D.f(-)＞f(-2)＞f(π)
解析：由函数奇偶性和单调性，
可推得f()＜f(2)＜f(π),
即f（）＜f(-2)＜f(-π).
故选A.
答案：A
变式提升
1
定义在(-2,2)上的偶函数f(x),当x≥0时,f(x)是减函数,如果f(2-a)解析：∵f(x)在(-2,2)上为偶函数,∴f(|x|)=f(x).
由f(2-a)又∵f(x)当x≥0时为减函数,
∴
解得0∴所求a的范围为(0,1).
类题演练
2
设函数f(x)对
于任意x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＞0时，f(x)＜0,f(1)=-2.
求证f(x)是奇函数.
证明：在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=x=0和y=-x,分别得
f(0)=f(0)+f(0)f(0)=0.
f(x-x)=f(x)+f(-x)=0f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
变式提升
2
设函数f(x)的定义域为R，对任意实数，x1,x2,有f(x1)+f(x2)=2f()·f(),且f()=0,f(π)=-1,
(1)求f(0)的值；
（2）求证：f(x)是偶函数且f(π-x)=-f(x).
（1）解析：令x1=x2=π,则f(π)+f(π)=2f(π)f(0),
又∵f(π)=-1,∴f(0)=1.
(2)证明：令x1=x,x2=-x,则f(x)+f(-x),=2f(0)f(x).
∴f(x)=f(-x).
∴f(x)为偶函数.
f(π-x)+f(x)=2f（）f()=2f()·f()=0,
∴f(π-x)=-f(x).
类题演练
3
判断下列函数的奇偶性，并说明理由.
(1)f(x)=+;
(2)f(x)=+.
解析：（1）f(x)+f(-x)=+++=++1=+1=-1+1=0,
即f(-x)=-f(x)，故f(x)是奇函数.
（2）f(x)的定义域为{-1，1}，关于原点对称，又f(-1)=f(1)=0,即f(-1)=f(1),且f(-1)=-f(1).
故f(x)既是奇函数，又是偶函数.
变式提升
3
已知函数f(x)=.
(1)画出f(x)的草图；
（2）由图象指出f(x)的单调区间；
解析：（1）由f(x)=得f(x)=1-.
∴f(x)的图象可由y=-的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到如右图.
(2)由图象看出f(x)的单调区间为：（-∞,-1）,(-1,+∞)都为增区间.
PAGE
12.1
函数的概念和图象
2.1.1
函数的概念
名师导航
知识梳理
1.函数的概念
设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有__________的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的函数，记作y=f(x)，x∈A.
其中x叫__________，x的取值范围A叫做函数y=f(x)的__________；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}(B)叫做函数y=f(x)的__________.
函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数__________.
(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应f:A→B，这里A,B为__________的数集.
(2)A：定义域；
{f(x)|x∈A}：值域,其中{f(x)|x∈A}__________B；
f：对应法则，x∈A，y∈B.
(3)函数符号：y=f(x)y是x的函数，简记f(x).
2.已学函数的定义域和值域
(1)一次函数f(x)=ax+b(a≠0):定义域为__________,值域为__________;
(2)反比例函数f(x)=(k≠0):定义域为__________,值域为__________;
(3)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0):定义域为__________，
值域：当a>0时，为__________；当a<0时，为__________.
3.函数的值：关于函数值f(a)
例：f(x)=x2+3x+1,则f(2)=
__________.
4.函数的三要素：
对应法则f、定义域A和值域{f(x)|x∈A}.
只有当这三要素__________时，两个函数才能称为同一函数.
疑难突破
有关函数概念的理解
剖析：(1)如果一个函数需要几条限制时，那么定义域为各限制所得x的范围的交集.
(2)求定义域的基本步骤为:根据所给函数按照基本要求列出不等式组,解不等式组即可.
(3)定义域是一个集合，要用集合作答.也可写成区间的形式，定义域用区间表示有时显得非常简捷.
(4)随着今后的学习，自变量x的取值范围还可能受到一些新的限制，如对数函数，三角函数等.
(5)两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数.
(6)注意：我们可以定义一个函数f：A→B，该函数的值域C并不一定等于集合B，但C一定是B的一个子集.
(7)理解函数符号“y=f(x)”的含义.符号“y=f(x)”用语言通俗解释为“y是x的函数”，它仅仅是抽象的、简洁的函数符号，每一部分都有其特定的含义.
问题探究
问题1
高中阶段学习的函数的概念和初中阶段学习的函数的概念有什么异同？
探究思路：初中阶段的概念是这样的：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.
将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.
高中阶段的概念是这样的：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.其中，x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
两种函数概念有以下的相同点：
(1)两种表示的定义域和值域完全相同；
(2)对应关系本质上也是一样的；
(3)都是描述变量之间的依赖关系.
两种函数概念有以下的不同点：
(1)用集合的观点说明变量；
(2)用对应关系表示变化过程；
(3)表示法的不同：初中里的表示法比较单一，在高中更全面.
问题2
对于函数f(x)=x2+2x-3，试画出它的图象.你能根据它的图象画出下列各函数的图象吗？你从中能总结出什么结论？
(1)y=-f(x)；(2)y=f(-x)；
(3)y=-f(-x)；(4)y=f(|x|)；
(5)y=|f(x)|；(6)y=f(x+1)；
(7)y=f(x)+1.
探究思路：已知函数y=f(x)，求作其图象有两种思路.
思路一：列表描点法.
思路二：利用函数图象的变换去画图，题(1)—(5)可通过对称变换，(6)(7)可用平移变换.如下图所示.
典题精讲
例1
下列各题中的两个函数表示同一个函数的是(
)
A.f(x)=x，g(x)=
B.f(n)=2n+1(n∈Z)，g(n)=2n-1(n∈Z)
C.f(x)=x-2，g(t)=t-2
D.f(x)=，g(x)=1+x
思路解析
两个函数相同必须有相同的定义域、值域和对应法则.A中两函数的值域不同；B中虽然定义域和值域都相同，但对应法则不同；C中尽管表示自变量的两个字母不同，但两个函数的三个要素是一致的，因此它们是同一函数；D中两函数的定义域不同.
答案:C
例2
求下列函数的定义域：
(1)y=2+；
(2)y=·；
(3)y=(x-1)0+.
思路解析
给定函数时，要指明函数的定义域.对于用函数解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合.因为函数的定义域是同时使函数解析式各部分有意义的x值的集合，所以应取各部分的交集.
解答：(1)要使函数有意义，当且仅当x-2≠0，即x≠2，所以这个函数的定义域为{x|x∈R且x≠2}.
(2)要使函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|x∈R且1≤x≤3}.
(3)要使函数有意义，当且仅当解得x>-1且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>-1且x≠1}.
例3
求下列函数的值域：
(1)y=x2-2x-1，x∈［0，3］；
(2)y=+3；
(3)y=；
(4)y=|x-1|+|x-2|.
思路解析
求二次函数的值域一般要数形结合，先配方找出对称轴，再考察给定区间与对称轴的关系，利用二次函数在对称轴两侧的单调性，求出给定区间上的最大值和最小值，即可得到函数的值域.除数形结合之外，求函数的值域的方法还有逐步求解法、判别式法、分离常数法和利用有界性等.绝对值函数通常先化为分段函数.
解答：(1)将原式变形，得y=(x-1)2-2，此函数的对称轴为x=1，由于x∈［0，3］，
∴当x=1时，y有最小值-2.根据函数的对称性知，x=3比x=1的值要大，∴当x=3时，y有最大值2.
∴这个函数的值域为［-2，2］.
(2)易知x≥2，∴≥0.∴y=+3≥3.
∴这个函数的值域为［3，+∞］.(逐步求解法)
(3)先分离常数，y==.
①
解法一：(逐步求解法)∵x2+1≥1，∴0＜≤1.
∴1＞1-≥-2.∴y∈［-2，1).
解法二：(判别式法)两边同乘以x2+1并移项，得(y-1)x2+y+2=0，又由①可知y≠1，∴Δ=-4(y-1)(y+2)≥0.∴y∈［-2，1).
解法三：(利用有界性)∵y≠1，易得x2=.
又∵x2≥0，∴≥0.∴y∈［-2，1).
(4)原函数可化为y=
由下图可知y∈［1，+∞).
例4
下图是一个电子元件在处理数据时的流程图：
(1)试确定y与x的函数关系式；
(2)求f(-3)、f(1)的值；
(3)若f(x)=16，求x的值；
思路解析
本题是一个分段函数问题，当输入值x≥1时，先将输入值x加2再平方得输出值y；当输入值x＜1时，则先将输入值x平方再加2得输出值y.
解答：(1)y=
(2)f(-3)=(-3)2+2=11；f(1)=(1+2)2=9.
(3)若x≥1，则(x+2)2=16，解得x=2或x=-6(舍).
若x＜1，则x2+2=16，解得x=(舍)或x=-.
综上可得x=2或x=-.
例5
已知函数y=f(2x-1)的定义域为［-1，1］，求函数y=f(x-2)的定义域.
思路解析
求函数y=f(x-2)的定义域，是求式子x-2中x的范围.这里决不能将前后两个x看成是相等的量，但是2x-1与x-2都是对应法则f的作用对象，因此，这两个代数式的范围是一致的.
解答：设t=2x-1，
∵-1≤x≤1，
∴-3≤2x-1≤1，
即函数y=f(t)的定义域为t∈［-3，1］.
再设x-2=t，则-3≤x-2≤1，
∴-1≤x≤3.
∴函数y=f(x-2)的定义域为［-1，3］.
知识导学
1.函数的三要素
构成函数的三要素：定义域A，对应法则f，值域B.
其中核心是对应法则f，它是联系x和y的纽带，是对应得以实现的关键，对应法则可以由多种形式给出，可以是解析法，可以是列表法和图象法，不管是哪种形式，都必须是确定的，且使集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应.当一个函数的定义域和对应法则确定之后，值域也就唯一的确定了，所以值域是定义域这个“原材料”通过对应法则“加工”而成的“产品”.因此，要确定一个函数，只要定义域与对应法则确定即可.
2.函数的图象
所谓函数y=f(x)的图象，就是将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0)).当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为{(x0，f(x0))|x∈A}，即{(x，y)|y=f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y=f(x)的图象.
函数的图象是数形结合应用的典范.
函数图象是函数关系的一种表示方法，它能够也必须把函数的三要素全面而直观地反映出来，它是研究函数关系、性质的重要工具.
函数图象是函数部分运用数形结合思想方法的基础.函数图象部分应解决好画图、识图、用图这三个基本问题，即对函数的图象有三点要求：(1)会画各种简单函数的图象；(2)能以函数的图象识别相应函数的性质；(3)能用数形结合思想以图辅助解题.
疑难导析
1.两个函数相同的充要条件是它们的定义域与对应关系分别相同，例如函数f(x)=｜x｜，与f(x)=x2是同一个函数.
2.函数的核心是对应关系.在函数符号y=f(x)中，f是表示函数的对应关系，等式y=f(x)表明，对于定义域中的任意x，在对应关系f的作用下，可得到y，因此，f是使“对应”得以实现的方法和途径.
函数符号y=f(x)是“y是x的函数”这句话的数学表示，它不表示“y等于f与x的乘积”.f(x)可以是解析式，也可以是图象或数表.符号f(a)与f(x)既有区别又有联系.f(a)表示当自变量x=a时函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量.f(a)是f(x)的一个特殊值.
3.值域是全体函数值所组成的集合.在多数情况下，一旦定义域和对应关系确定，函数的值域也就随之确定.
问题导思
关于函数的两个定义实质上是一致的.初中定义的出发点是运动变化的观点，而高中定义却是从集合、对应的观点出发.
初中阶段学习的函数的概念的优点是直观、生动.
高中阶段学习的函数的概念的优点：更具一般性.比如按初中的定义就很难判断下面的表达式是不是函数：
现在用高中学的函数概念来判断则是没有问题的.事实上，在判断两个函数是不是同一个函数时，只要定义域和对应法则相同，则必为同一函数，还有一点，如果三者中有一个不同，则必不是同一函数.
根据这组函数图象可得到如下结论：
(1)函数y=-f(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称；
(2)函数y=f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称；
(3)函数y=-f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于原点(0，0)对称；
(4)函数y=f(|x|)=即在y轴上及其右侧的图象与函数y=f(x)的图象相同，再将y轴右侧的图象作关于y轴的对称图象可得x＜0时的图象；
(5)函数y=|f(x)|=
即在x轴上及其上方的图象与函数y=f(x)的图象相同，再将x轴下方的图象作关于x轴的对称图象可得f(x)＜0时的图象；
(6)函数y=f(x＋1)的图象是将y=f(x)的图象向左平移一个单位得到的；
(7)函数y=f(x)＋1的图象是将y=f(x)的图象向上平移一个单位得到的.
在函数图象平移时，记住一个口诀：“平移变换，左加右减.”左是往左平移，指的是图象往左平移几个单位，则函数解析式的自变量要加几个单位；右是往右平移，指的是图象往右平移几个单位，解析式的自变量要减去几个单位.
典题导考
绿色通道
给定两个函数，要判断它们是否是同一函数，主要看两个方面：一看定义域是否相同；二看对应法则是否一致.只有当两函数的定义域相同且对应法则完全一致时，两函数才可称为同一函数.若判断两个函数不是同一个函数，只要三者中有一者不同即可判断不是同一个函数.
典题变式
下列四对函数中表示同一函数的是(
)
A.f(x)=x，g(x)=()2
B.f(x)=x，g(x)=
C.f(x)=x，g(x)=
D.f(x)=，g(x)=x+2
答案:C
绿色通道
一般地，求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值的集合：
(1)解析式是整式的函数，其定义域为R；
(2)解析式是分式的函数，其定义域为使分母不为零的实数的集合；
(3)解析式是偶次根式的函数，其定义域是使被开方式为非负数的实数的集合；
(4)如果解析式是由实际问题得出的，则其定义域不仅是要使实际问题有意义，还必须是使函数解析式有意义的实数的集合；
(5)求函数的定义域的步骤通常是先根据题意列不等式(组)，后解不等式(组)，而后得出结论.
典题变式
已知函数f(x)=的定义域为F，g(x)=的定义域为G，那么集合F、G的关系是(
)
A.F=G
B.FG
C.GF
D.F∪G=G
答案:C
绿色通道
求值域一定要注意定义域的限制，一定要在定义域的范围内求函数的值域.当然，求值域一定要根据函数的对应关系来确定.如果我们抓住了这些解决问题的关键，求这类问题就能得心应手.
典题变式
1.函数y=的值域为______________.
答案:［1，+∞)
2.求下列函数的值域:
(1)y=；
(2)y=2x-；
(3)y=；
(4)y=|x+1|+|x-2|.
答案:(1)［0,3］；(2){y|y≥}；
(3)R；(4)［3,?+∞）.
3.设A=［1,b］(b>0)，函数f(x)=(x-1)2+1，当x∈A时，f(x)的值域也是A，试求b的值.
答案:b=3.
绿色通道
通过实例，了解简单的分段函数并能简单应用是新课程标准的基本要求.对于分段函数来说，给定自变量求函数值时，应根据自变量所在的范围利用相应的解析式直接求值；若给定函数值求自变量，应根据函数每一段的解析式分别求解.但应注意要检验该值是否在相应自变量的取值范围内.
典题变式
1.已知函数y=f(x)满足f(0)=1，f(x)=xf(x-1)(x∈N
)，则f(4)的值为(
)
A.4
B.12
C.24
D.32
答案:C
2.已知函数y=求f［f()］的值.
答案:f［f()］=.
绿色通道
本题是已知复合函数的定义域求另一个复合函数的定义域问题.解决这类问题的重要原则是：相同的对应法则所作用对象的范围是一致的.这里函数y=f(2x-1)的定义域为［-1，1］是指自变量x的取值范围，而不是指2x-1这个式子的值的范围.解决这类问题的关键是找出原函数y=f(t)的定义域.
这里的定义域［-1，1］是函数y=f(2x-1)中x的范围，即x∈［-1，1］，而不是2x-1∈［-1，1］.
典题变式
函数f(x)的定义域为［0，2］，则函数f(x+1)的定义域是(
)
A.［-2，2］
B.［-1，1］
C.［0，2］
D.［1，3］
答案:B
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12.1.3
函数的简单性质
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知识梳理
1.基础知识图表
2.函数的单调性
如果对于属于定义域A内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有__________，那么就说f(x)在这个区间上是增函数.
如果对于属于定义域A内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有__________，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.
如果函数f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，这一区间叫做f(x)的__________.
求函数的单调区间，必须先求函数的定义域.
讨论函数y=f［φ(x)］的单调性时要注意两点：
(1)若u=φ(x)，y=f(u)在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则y=f［φ(x)］为________；
(2)若u=φ(x)，y=f(u)在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则y=f［φ(x)］为__________.
若函数f(x)、g(x)在给定的区间上具有单调性，利用增(减)函数的定义容易证得在这个区间上：
(1)函数f(x)与f(x)+C(C为常数)具有__________的单调性.
(2)C＞0时，函数f(x)与C·f(x)具有的单调性；C＜0时，函数f(x)与C·f(x)具有__________的单调性.
(3)若f(x)≠0，则函数f(x)与具有__________的单调性.
(4)若函数f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.
(5)若f(x)＞0，g(x)＞0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)也是增(减)函数；若f(x)＜0，g(x)＜0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)是减(增)函数.
使用上述结论，可以简便地求出一些函数的单调?区间.根据定义讨论(或证明)函数增减性的一般步骤是：
(1)设x1、x2是给定区间内的任意两个值且x1＜x2；
(2)作差f(x1)-f(x2)，并将此差化简、变形；
(3)判断f(x1)-f(x2)的正负，从而证得函数的增减性.
利用函数的单调性可以把函数值的大小比较的问题转化为自变量的大小比较的问题.
函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论.这即是说，函数的单调区间是其定义域的子集.
3.函数的奇偶性
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有________________，那么f(x)叫做奇函数.
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有________________，那么f(x)叫做偶函数.
奇函数的图象关于_________对称；偶函数的图象关于__________对称.
如果函数f(x)是奇函数或是偶函数，那么就说函数f(x)具有奇偶性.
函数按是否具有奇偶性可分为四类：奇函数，偶函数，既奇且偶函数(既是奇函数又是偶函数)，非奇非偶函数(既不是奇函数也不是偶函数).
函数的奇偶性是针对函数的整个定义域而言的，因此奇偶性是函数在定义域上的整体性质.
由于任意x和-x均要在定义域内，故奇函数或偶函数的定义域一定关于原点对称.所以，我们在判定函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域(函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.如果其定义域关于原点不对称，那么它没有奇偶性),然后再判断f(-x)与f(x)的关系，从而确定其奇偶性.
判断函数的奇偶性有时可用定义域的等价形式f(-x)±f(x)=0或=±1〔f(x)≠0〕来代替.存在既奇且偶函数，例如f(x)=.
当f(-x)与f(x)之间的关系较隐蔽时，容易产生“非奇非偶”的错觉，万万不可草率下结论.
函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性.f(x)为奇函数的充要条件是函数f(x)的图象关于原点对称，f(x)为偶函数的充要条件是函数f(x)的图象关于y轴对称.
奇函数和偶函数还具有以下性质：
(1)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.
(2)奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数.
(3)奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同，偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反.
(4)定义域关于原点对称的函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x)=.
(5)若f(x)是(-a,a)(a＞0)上的奇函数，则f(0)=0.
疑难突破
1.怎样理解函数的增减性？
函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数y=x2，当x∈[0,+∞)时是增函数，当x∈(-∞,0)时是减函数.
2.对于函数的单调性与单调区间，你是怎样理解的？
由定义,在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.
说明：(1)函数的单调区间是其定义域的子集.
(2)应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数(或减函数)，例如，右图中，在x1、x2那样的特定位置上，虽然使得f(x1)>f(x2)，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数.
(3)除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“f(x1)f(x2)”改为“f(x1)≤f(x2)或f(x1)≥f(x2)”即可.
(4)定义的内涵与外延：
内涵是用自变量的大小变化来刻画函数值的变化情况；
外延:①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对应时是单调递减.
②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.
若f(x)、g(x)都为增函数(减函数)，则f(x)+g(x)为增函数(减函数).
若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)-g(x)为增函数；若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则f(x)-g(x)为减函数.
奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反.
3.怎样理解函数的奇偶性？
奇函数或偶函数都是定义在关于原点对称区间上的函数，且等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是定义在对称区间上的恒等式，而不是只对自变量的部分值成立的方程，所以，只要出现以下两种情况之一，函数就不是偶函数或奇函数：
(1)定义域不是关于原点对称的区间;
(2)f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)不是定义在定义域上的恒等式.
问题探究
问题1
在函数的单调性定义中，你认为哪些词语最为关键？
探究思路：函数的单调性定义中有这样几个关键词语：(1)“对于‘区间I’内”，这“区间I”应满足“IA”，即函数的单调区间有时是函数定义区间的某个子区间.?(2)“如果对于区间I内的‘任意’两个值x1、x2”，这里x1、x2的任意性是非常重要的，这是把区间上无限多个函数的大小问题转化为任意两个函数值大小的关键.(3)“当x1＜x2时，‘都有’f(x1)＜f(x2)”，“都有”的意思是无一例外.
问题2
如果一个函数在两个区间上同增减，那么在这两个区间的并集上是不是还符合原来的增减性？
探究思路：对某一函数y=f(x)，它在区间(a，b)与(c，d)上都是单调增(减)函数，不能说y=f(x)在(a，b)∪(c，d)上一定是单调增(减)函数.比如说，函数y=在(-∞，0)、(0，+∞)内都是减函数，但在(-∞，0)∪(0，+∞)上不能说是减函数，这是因为取个特例x1=1，x2=-1，可见y1=1，y2=-1，这时变成x1＞x2时，却有y1＞y2，不再符合减函数的定义.
问题3
你认为函数奇偶性定义中的哪些词语最为关键？一个函数是奇函数或偶函数，你能说出它们的定义域有什么共同的特征吗？
探究思路：定义中“定义域内的任意一个x”即x是定义域内任意的，不可只对部分特殊值满足条件.如f(x)=x2，x∈(-2，2]，f(-1)=f(1)，f(-)=f()，f(2)虽然存在，但f(-2)无定义，故f(-2)=f(2)不成立，所以f(x)是无奇偶性的.
定义中“都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)”,即遍布定义域内的所有x都满足f(-x)是否等于?±f(x).
问题4
函数的单调性和奇偶性的区别是什么
探究思路：根据函数单调性和奇偶性的定义我们知道：函数的单调性反映函数值的变化趋势，反映在图象上，是曲线的上升或下降.它通过定义区间(或子区间)内的任意两点x1、x2所对应的函数值大小的比较，推断定义区间(或其子区间)内无限多个函数值间的大小关系；函数的奇偶性反映函数的整体性态，即函数的奇偶性是函数图象对称性的代数描述.
问题5
函数的奇偶性反映在函数图象上表现为图象的对称性，你能说出奇偶性与对称性之间的对应关系吗？用定义来判断函数的奇偶性的一般步骤是什么？
探究思路：奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形；反之也成立.所以可用函数图象的对称性来判断函数的奇偶性.
判断函数奇偶性的一般方法是利用定义，通常是先求函数的定义域，观察定义域是否关于原点对称，然后验证f(-x)是否等于±f(x)；有时也可利用定义的变形形式，如验证f(-x)±f(x)=0，或=±1〔f(x)≠0〕是否成立.
典题精讲
例1
证明函数y=x+在(1，+∞)上为增函数.
思路解析
证明函数的增减性，先在定义域上取x1＜x2，然后作差f(x1)-f(x2)，判断这个差的符号即可.
证明：设x1、x2是(1，+∞)上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=x1-x2
+(-)=x1-x2-=(x1-x2)().
∵x1-x2＜0，x1x2-1＞0，x1x2＞0，
∴f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).
∴函数y=x+在(1，+∞)上为增函数.
例2
借助计算机作出函数y=-x2+2|x|+3的图象并指出它的单调区间.
思路解析
计算机中有好多程序可以画图，但要注意的是，选用最常用的比较方便，如选用《几何画板》.
解答：用几何画板画的函数图象如下图，由图象可知，函数的单调增区间为(-∞，-1)、(0，1)；函数的单调减区间为(-1，0)、(1，+∞).
例3
已知函数f(x)=，x∈[1，+∞).
(1)当a=时，求函数的最小值；
(2)若对任意x∈[1，+∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围.
思路解析
先来解决第(1)问，当a的值给定时，函数变为f(x)=x++2，它类似于函数f(x)=x+，所以可以利用函数的单调性来判断最值.
解答：(1)当a=时，f(x)=x++2.
f(x)在[1，+∞)上为增函数，所以f(x)在[1，+∞)上的最小值为f(1)=.
(2)f(x)=x++2，x∈[1，+∞).
当a≥0时，函数f(x)的值恒为正;
当a＜0时，函数f(x)在[1，+∞)上为增函数，故当x=1时，f(x)有最小值3+a，于是当3+a＞0时，函数f(x)＞0恒成立，故0＞a＞-3.
综上可知，当a＞-3时，f(x)＞0恒成立.
例4
判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=；(2)f(x)=x3-2x；(3)f(x)=a(x∈R)；(4)f(x)=
思路解析
按奇函数或偶函数的定义或几何特征进行判断即可.
解答：(1)函数的定义域为{x|x≠-1}，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)函数的定义域为R，关于原点对称，f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x)，所以f(x)是奇函数.
(3)函数的定义域为R，关于原点对称，
当a=0时，f(x)既是奇函数又是偶函数；
当a≠0时，f(-x)=a=f(x)，即f(x)是偶函数.
(4)函数的定义域为R，关于原点对称，
当x＞0时，-x＜0，此时f(-x)=-x[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x)；
当x＜0时，-x＞0，此时f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x)；
当x=0时，-x=0，此时f(-x)=0，f(x)=0，即f(-x)=-f(x).
综上，f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.
例5
已知f(x)是奇函数，在(-1，1)上是减函数，且满足f(1-a)+f(1-a2)＜0，求实数a的范围.
思路解析
要求a的取值范围，先要列出关于a的不等式，这需要根据原条件，然后根据减函数的定义由函数值逆推出自变量的关系.
解答：由f(1-a)+f(1-a2)＜0，得f(1-a)＜-f(1-a2).
∵f(x)是奇函数，∴-f(1-a2)=f(a2-1).
于是f(1-a)＜f(a2-1).
又由于f(x)在(-1，1)上是减函数，
因此，解得0＜a＜1.
例6
对定义域内的任意x1、x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>1时f(x)>0,f(2)=1，
(1)求证：f(x)是偶函数；
(2)证明f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)解不等式f(2x2-1)<2.
思路解析
这里的函数f(x)没有给出具体的解析式，所以需要对已知条件f(xy)=f(x)+f(y)中的x、y进行恰当的赋值.
解答：(1)证明:令x1=x2=1，得
f(1)=2f(1)，∴f(1)=0.令x1=x2=-1，得f(-1)=0，
∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x).
∴f(x)是偶函数.
(2)证明:设x2>x1>0，则
f(x2)-f(x1)=f(x1·)-f(x1)
=f(x1)+f()-f(x1)=f().
∵x2>x1>0，∴>1.
∴f()>0，即f(x2)-f(x1)>0.
∴f(x2)>f(x1).
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(3)解:∵f(2)=1，∴f(4)=f(2)+f(2)=2.
∵f(x)是偶函数,∴不等式f(2x2-1)<2可化为f(|2x2-1|)又∵函数在(0,+∞)上是增函数，∴|2x2-1|<4，解得-即不等式的解集为(-,).
例7
判断下列函数是否具有奇偶性.
(1)f(x)=x3；(2)f(x)=2x4+3x2；
(3)f(x)=x3+；(4)f(x)=x+1.
思路解析
判断函数是奇函数或是偶函数按定义证明即可.
解答：(1)f(-x)=(-x)3=-f(x)，所以f(x)是奇函数.
(2)f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2=f(x)，所以f(x)是偶函数.
(3)f(-x)=(-x)3+(-x=-(x3+)=-f(x)，所以f(x)是奇函数.
(4)f(x)=x+1中，既没有f(-x)=f(x)，也没有f(-x)=-f(x)，所以f(x)为非奇非偶函数.
知识导学
1.函数的单调性与单调区间
函数的单调性是对区间而言的，它是“局部”性质，不同于函数的奇偶性，函数的奇偶性是对整个定义域而言的，即是“整体”性质.对某一函数y=f(x)，它在某区间上可能有单调性，也可能没有单调性；即使是同一个函数它在某区间上可能单调增，而在另外一区间上可能单调减；对某一函数y=f(x)，它在区间(a，b)与(c，d)上都是单调增(减)函数，不能说y=f(x)在(a，b)∪(c，d)上一定是单调增(减)函数,即函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的.例如函数y=在(-∞，0)上是减函数，在(0，+∞)上也是减函数，但不能说它在整个定义域即(-∞，0)∪(0，+∞)上是减函数，因为当取x1=-1，x2=1时，对应的函数值为f(x1)
=-1，f(x2)=1，显然有x1＜x2，但f(x1)＜f(x2)，不满足减函数的定义.
有些函数在整个定义域内具有单调性.例如函数y=x就是这样.有些函数在定义域内某个区间上是增函数，而在另一个区间上是减函数.例如函数y=x2在(-∞，0)上是减函数，在［０，+∞］上是增函数.
中学阶段我们所讨论的函数，只要它们在区间的端点有定义，那么在考虑单调区间时，包括端点、不包括端点都可以.
函数的单调性所刻画的是当自变量变化时其对应的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，函数图象能直观地显示函数的这个性质.在单调区间上的增函数，它的图象是沿x轴正方向逐渐上升的；在单调区间上的减函数，它的图象是沿x轴正方向逐渐下降的.
2.奇偶性的判断
(1)定义域不关于原点对称的函数一定不是奇、偶函数；
(2)定义域关于原点对称的函数也不一定是奇、偶函数；
(3)定义域关于原点对称，且满足f(-x)=f(x)或f(-x)=
-f(x)的函数才是偶函数或奇函数.
3.函数奇偶性的应用
(1)利用奇偶性求有关函数值；
(2)利用奇偶性求有关函数的解析式；
(3)利用奇偶性研究函数的其他性质.
奇偶性、单调性等常常与函数方程、不等式结合在一起，具有较强的综合性，这些知识的综合与应用，一直是高考的热点.
另外,由奇(偶)函数图象的特征并结合函数单调性的定义不难得到:
(1)奇(偶)函数在关于原点对称的区间上,具有相同(反)的单调性;
(2)若奇函数f(x)在区间[a,b](0(3)偶函数f(x)在区间[a,b],[-b,-a](04.利用信息技术探讨函数的性质
利用计算机绘制函数的图象具有快速准确的特点，常用的有microsoft出品的Excel和Scott
and
Nick
Jackiw共同开发的《几何画板》，特别是《几何画板》是一款非常优秀的多媒体软件.它是一个通用的数学、物理教学环境，提供丰富而方便的创造功能使用户可以随心所欲地编写出自己需要的教学课件.软件提供充分的手段帮助用户实现其教学思想，只需要熟悉软件的简单的使用技巧即可自行设计和编写应用范例，范例所体现的并不是编者的计算机软件技术水平，而是数学思想的应用水平.
疑难导析
1.函数是增函数还是减函数，是对定义域内的某一个区间而言的，有的函数在整个定义域内是增函数(减函数)，也有的函数在定义域的某个区间上是增函数，而在另外区间上又是减函数，也存在一些函数，根本就没有单调区间,如函数：f(x)=5x,x∈{1,2,3}.再者，因为一个固定点的函数值不会发生变化，所以函数的单调性不在某一个点去讨论，即使在定义域内，也不可以随便把单调区间写成闭区间(比如一些函数的区间端点正好是不连续的点).
2.单调性与单调区间
(1)在这个区间上的x1、x2必须是任意的.
(2)增函数自变量和函数值的关系是“大对大，小对小”，可以用“荣辱与共”这个词形容.
(3)说增函数必须谈及区间，脱离区间谈增函数是没有意义的.
增函数的图象特征：从左到右下降.
减函数的图象特征：从右到左下降.
3.说明
(1)若函数f(x)为奇函数，则对于定义域内任一x都有f(-x)=-f(x)；
若函数f(x)为偶函数，则对于定义域内任一x都有f(-x)=f(x).(加深对函数奇偶性的理解，并使学生明确：作为定义，它具有纯粹性、完备性两个方面的意义)
(2)强调x的任意性.
(3)基本特征：f(x)=f(-x)和g(-x)=-g(x)是否成立,是判断函数奇偶性的主要依据.
(4)重要特征：若x在函数f(x)的定义域内，则-x也在函数f(x)的定义域内，因此函数f(x)的定义域关于原点对称.
问题导思
不能把一个完整的单调区间随意分成两个区间，也不能把本来不是一个区间的单调区间合起来.
若函数y=f(x)在闭区间［a，b］上具有单调性，则它在这个区间上必取得最大值和最小值.当f(x)在［a，b］上递增时，ymax=f(b)，ymin=f(a)，当f(x)在［a，b］上递减时，ymax=f(a)，ymin=f(b).
函数的单调性是针对定义域的某个区域而言的,是函数的“局部”性质.
一个函数具有奇偶性的前提条件是它的定义域关于原点对称，即定义域关于原点对称是函数为偶(或奇)函数的必要条件，这是奇、偶函数的本质属性之一.
奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同，偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反.
函数奇偶性的几个性质：
(1)对称性：奇偶函数的定义域关于原点对称；
(2)整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；
(3)可逆性：f(-x)=f(x)f(x)是偶函数，f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数；
(4)等价性：f(-x)=f(x)f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x)
f(x)+f(-x)=0；
(5)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；
(6)可分性：根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数.
典题导考
黑色陷阱
作差时，在不能明显确定正、负符号的式子中判断符号，也许以为这是投机取巧的想法，但这在应试中是要吃亏的.因为数学思维讲究缜密性.比如本题中，直接说(x1-x2)()＜0是不可以的.
典题变式
判断f(x)=在x∈(1，+∞)上的单调性.
答案:任取x1、x2∈(1，+∞)且x1＜x2，则
f(x1)-f(x2)=-=.
∵x2-1＞0，x1-1＞0，∴f(x1)-f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2).
∴f(x)在(1，+∞)上是减函数.
绿色通道
在应用《几何画板》时，要注意使用其中的“图表”中的“新建函数(N)”功能，要用到其中的“abs”即“绝对值函数”.
典题变式
下图是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.
答案:函数y=f(x)的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中y=f(x)在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数
绿色通道
如果一个函数在某个区间内单调，那么根据函数的单调性就可以判断出函数的极值，并结合函数的自变量在区间端点的函数值判断出函数的最值.
黑色陷阱
容易对a的分类不全面，造成解题失误.有时不考虑在区间端点的值，也会造成解题错误.
典题变式
函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0)在［2，3］上有最大值5和最小值2，求a、b的值.
解答：由f(x)=ax2-2ax+2+b的对称轴为x=1知，
无论f(x)的单调性怎样，f(x)在［2，3］上存在最值的情况有两种：
解得
绿色通道
根据奇函数以及偶函数的定义，判断是不是有关系f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)，前者是偶函数，后者是奇函数；如果这两个都不成立，则是非奇非偶函数.
对于一个命题,若是假命题，只要举一反例来说明即可.比如，说一个函数是非奇非偶函数，只要说明它的定义域不合要求即可，而不必套用作差法进行检验.
有时根据函数图象的对称性进行判断也是捷径之一.
黑色陷阱
要注意的是，有的函数既不是奇函数又不是偶函数，解题中容易忽视这一点.
典题变式
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=;
(2)f(x)=(x-1).
解答：(1)f(x)的定义域为R.因为f(-x)=｜-x+1｜-｜-x-1｜=｜x-1｜-｜x+1｜=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
(2)f(x)的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.
黑色陷阱
容易遗漏对每个函数定义域的限定条件的讨论，从而导致解题失误.
典题变式
若f(x)是偶函数，当x∈［0，+∞］时，f(x)=x-1，则f(x-1)＜0的解集是____________.
解答：偶函数的图象关于y轴对称，可先作出f(x)的图象，利用数形结合的方法.
画图可知f(x)＜0的解集为｛x｜-1＜x＜1｝，
∴f(x-1)＜0的解集为｛x｜0＜x＜2}.
答案:{x|0绿色通道
函数的单调性反映的是函数值y随自变量x的变化而变化的一种规律.本题给出的是个抽象函数问题，尽管它没有给出具体的解析式，但我们仍可通过赋值去把握它，具体赋值时可结合式子不断赋予特殊值，如0，1等.
典题变式
设函数f(x)在定义域R+上是单调递减函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f()=1.
求f(1)及f().
解答:令x=,y=1,得f(1)=0.
∵f()=1,∴f()=2.
黑色陷阱
利用赋值法解题时，特殊值一定要取准.否则将导致解题失败.
绿色通道
(1)两个偶函数之和为偶函数，两个偶函数之积为偶函数；
(2)两个奇函数之和为奇函数，两个奇函数之积为偶函数；
(3)一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数.
典题变式
判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=；
(2)f(x)=
解答：(1)x2=1，
∴x=±1，f(x)=0.
∴f(x)是既奇又偶函数.
(2)f(-x)==f(x).
∴f(x)是偶函数.
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12.1.3
函数的图象
课堂导学
三点剖析
一、画常见函数的图象
【例1】
作出下列函数的图象：
（1）y=1-x,x∈Z；
（2）y=2x2-4x-3,0≤x<3.
思路分析：(1)∵定义域为Z，
∴这个函数图象是由一些间断的点组成，这些点都在直线y=1-x上.
(2)∵0≤x<3,y=2x2-4x-3=2(x-1)2-5,
∴图象为抛物线y=2x2-4x-3上的一段弧，其中（0，-3）在图象上，用实心点表示.
而点（3，3）不在图象上，用空心点表示.
解析：函数y=1-x（x∈Z）和y=2x2-4x-3（0≤x<3）的图象如下图所示.
温馨提示
在（2）中定义域为0≤x<3，画图时，不能把x=0,x=3相对应的点都画成实心点.
二、画含绝对值符号的函数的图象
【例2】
画出下列函数的图象.
（1）y=x|2-x|；
（2）y=|x2-4x+3|.
思路分析：含有绝对值号的要设法把绝对值号去掉.
(1)y=x|2-x|=
∴其图象由抛物线y=(x-1)2-1(x≥2）和y=-(x-1)2+1(x<2)的两部分组成.
（2）y=|x2-4x+3|=
图象由两条抛物线的两段组成.
解析：两函数的图象如下图所示
温馨提示
含绝对值号的一般进行讨论分成两段，其图象是由两个函数的图象组合而成.对于（2）还可用以下画法：
先画出y=x2-4x+3=(x-2)2-1的图象，x轴上方的保留不动，x轴下方的沿x轴翻折上去，如上图（2）.
对于y=|f(x)|的图象都可用此法，即先画出y=f(x)的图象，x轴上方保留不动，x轴下方沿x轴翻折上去.
三、函数图象的应用
【例3】
某人开车沿直线旅行，先前进了a
km，到达目的地后游玩用去了一段时间，又原路返回b
km（bkm，此人离起点的距离s与t的关系示意图是（
）
思路分析：把s看成时间t的函数,游玩那段时间里，时间变化，s没有变化，原路返回时，时间变化，s变小，再前进时，s变大，由此可得答案.
解析：A中图象分三段，第一、三段表示前进，第二段表示返回，没有停留的时候，A错.B中的第三段图象表示不经过任何时间前进了一段路程，这是不可能的，B错.D中没有一段图象表示返回，因此D也错.故选C.
答案：C
温馨提示
观察函数的图象要从运动的角度去看，通常的两个方向是同时运动的.
各个击破
类题演练
1
作出下列函数的图象：
（1）y=x+2；（x∈N
）；
（2）y=x2-2x+2（-1≤x<2）.
解析：（1）因定义域为N
，∴函数的图象是第一象限的点，这些点在直线y=x+2上.
（2）抛物线以x=1为对称轴，顶点坐标为（1，1），因-1≤x<2，所以图象为抛物线上包括顶点的一部分，不包括（2，2）点.
变式提升
1
作（1）y=|x-1|,(2)y=图象.
解析：（1）所给函数可写成分段函数y=是端点为（1，0）的两条射线（如图(1)）.
（2）这个函数的图象由两部分组成：当0当x≥1时，为直线y=x的一段（如图(2)）.
类题演练
2
画出y=|x-3|+|x+5|的图象.
解析：y=|x-3|+|x+5|=，其图象由三部分组成.
变式提升
2
画出y=x2-2|x|-1的图象.
解析：去绝对值符号
y=x2-2|x|-1=
所以图象如下图所示.
类题演练
3
如右图，△OAB是边长为2的等边三角形，直线x=t截这个三角形位于此直线左方的图形面积（见图中阴影部分）为y，则函数y=f(t)的大致图象为（
）
解析：x=t由O到B的变化过程，阴影部分的面积一直增大，只是开始增加速度慢，越接近于B增加越快，直线x=t从B到A，刚好与前半部分相反，故选D.
答案：D
变式提升
3
设x∈(-∞,+∞），求函数y=2|x-1|-3|x|的最大值.
解析：当x≥1时，y=2(x-1)-3x=-x-2；
当0≤x<1时，y=-2(x-1)-3x=-5x+2；
当x<0时，y=-2(x-1)+3x=x+2，因此y=
依上述解析式作出图象（如右图）
由图象可以看出：当x=0时，ymax=2.
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1