极坐标系的概念、点的极坐标与直角坐标的互化
1点P的直角坐标为，那么它的极坐标可表示为( )．
A．
B．
C．
D．
2在极坐标系中，与点关于极点对称的点的一个坐标是( )．
A．
B．
C．
D．
3在极坐标系中，若等边△ABC的两个顶点是A，B，那么可能是顶点C的坐标的是( )．
A．
B．
C．
D．(3，π)
4在极坐标系中，极坐标化为直角坐标为( )．
A．(1,1)
B．(－1,1)
C．(1，－1)
D．(－1，－1)
5直线l过点A，B，则直线l与极轴所在直线的夹角等于________．
6点A在条件：
(1)ρ＞0，θ∈(－2π，0)下的极坐标是__________；
(2)ρ＜0，θ∈(2π，4π)下的极坐标是__________．
7将下列极坐标化成直角坐标．
(1)；
(2)；
(3)(5，π)．
8已知极点在点(2，－2)处，极轴方向与x轴正方向相同的极坐标系中，点M的极坐标为，求点M在直角坐标系中的坐标．
参考答案
1
答案：B ρ＝＝2，tan
θ＝＝－1，
∵点P在第二象限，∴最小正角.
2
答案：A 点(ρ，θ)关于极点对称的点为(ρ，π＋θ)，
故关于极点对称的点的一个坐标为，即.
3答案：B 如图，由题设，可知A，B两点关于极点O对称，即O是AB的中点．
又|AB|＝4，△ABC为正三角形，
∴|OC|＝，∠AOC＝，点C的极角或，
即点C的极坐标为或.
4答案：D x＝ρcos
θ＝，
y＝ρsin
θ＝，
故所求直角坐标为(－1，－1)．
5答案： 如图所示，先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小．
因为|AO|＝|BO|＝7，∠AOB＝，
所以.
所以.
6
答案：(1) (2) (1)当ρ＞0时，点A的极坐标形式为(k∈Z)，
∵θ∈(－2π，0)．令k＝－1，点A的极坐标为，符合题意．
(2)当ρ＜0时，的极坐标的一般形式是(k∈Z)．
∵θ∈(2π，4π)，当k＝1时，点A的极坐标为，符合题意．
7
答案：解：(1)，，
所以点的直角坐标为(1,1)．
(2)x＝6·＝3，
y＝6·.
所以点的直角坐标为(3，)．
(3)x＝5·cos
π＝－5，y＝5·sinπ＝0，
所以点(5，π)的直角坐标为(－5,0)．
8
答案：解：设M(x，y)，则x－2＝ρcos
θ＝，
∴x＝2＋，y－(－2)＝ρsin
θ＝＝2.
∴y＝2－2＝0.
∴点M的直角坐标为(2＋，0)．平面直角坐标系与曲线方程
1已知平面内三点A(2,2)，B(1,3)，C(7，x)，满足，则x的值为( )．
A．3
B．6
C．7
D．9
2已知△ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，且sin
B－sin
C＝，若以底边BC为x轴、底边BC的中点为原点建立平面直角坐标系，则点A的轨迹方程是( )．
A．
B．(x＜－3)
C．
D．(x＜－3)
3(2011·济宁高三模拟)椭圆的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为( )．
A．
B．
C．
D．
4平面内有一条固定线段AB，|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB的中点，则|OP|的最小值是( )．
A．
B．
C．2
D．3
5平面直角坐标系中，O为原点，已知两点A(4,1)，B(－1,3)，若点C满足＝m＋n，其中m，n∈[0,1]，且m＋n＝1，则点C轨迹方程为__________．
6在平面直角坐标系中，设点P(x，y)，定义|OP|＝|x|＋|y|，其中O为坐标原点，对以下结论：①符合|OP|＝1的点P的轨迹围成图形面积为2；②设P为直线＋2y－2＝0上任意一点，则|OP|的最小值为1；③设P为直线y＝kx＋b(k，b∈R)上任意一点，则“使|OP|最小的点P有无数个”的必要不充分条件是“k＝±1”．其中正确的结论有__________．(填序号)
7设有半径为3
km的圆形村落，A，B两人同时从村落中心出发，A向东而B向北前进．A出村后不久，改变前进方向，沿着切于村落边界的方向前进，后来恰好与B相遇．设A，B两人的速度都一定，其比为3:1，问两人在何处相遇？
8在△ABC中，底边BC＝12，其他两边AB和AC上中线CE和BD的和为30，建立适当的坐标系，求此三角形重心G的轨迹方程．
参考答案
1答案：C ∵＝(1，－1)，＝(5，x－2)，
又⊥，∴·＝0，即5－(x－2)＝0.
∴x＝7.
2答案：B 由题意知，B(－6,0)，C(6,0)，
由sin
B－sin
C＝sin
A得b－c＝a＝6，
即|AC|－|AB|＝6.
所以，点A的轨迹是以B(－6,0)，C(6,0)为焦点，2a＝6的双曲线的左支且y≠0.
其方程为(x＜－3)．
3答案：A 设F1为右焦点，则F1(3,0)，
设P(x0，y0)，PF1的中点M(0，yM)，
则，得x0＝－3，
把(－3，y0)代入椭圆方程，得.
∴.
当F1为左焦点时，F1(－3,0)，解法同上，所得答案相同．
4答案：A 以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，则点P的轨迹是以A，
B为焦点的双曲线的一部分.2c＝4，c＝2，2a＝3，
∴.∴b2＝c2－a2＝4－.
∴点P的轨迹方程为(x≥)．
由图可知，点P为双曲线与x轴的右交点时，|OP|最小，|OP|的最小值是.
5
答案：2x＋5y－13＝0(－1≤x≤4) 由题意知，A，B，C三点共线且C在线段AB上，点A，B所在的直线方程为2x＋5y－13＝0，且点C的轨迹为线段AB，所以，点C的轨迹方程为2x＋5y－13＝0，x∈[－1,4]．
6答案：①③ 在①中，由于|OP|＝1
其图象如图
故其面积为2×＝2.故①正确．
在②中，当P时，
|OP|＝|x|＋|y|＝＜1，
∴|OP|最小值不为1.故②错误．
在③中，∵|x|＋|y|≥|x＋y|＝|(k＋1)x＋b|，
当k＝－1时，|x|＋|y|≥|b|满足题意，
即|x|＋|y|≥|x－y|＝|(k－1)x－b|，
当k＝1时，|x|＋|y|≥|b|满足题意，故③正确．
7
答案：分析：先根据题意建立平面直角坐标系．设出相应点的坐标，利用圆的关系和直角坐标系中点的关系列出式子求值．
解：以村落中心为原点，A，B开始前进方向分别为x轴正方向、y轴正方向建立平面直角坐标系，如图．
由题意可设A，B两人速度分别为3v
km/h，v
km/h，设A出发x0
h后，在点P处改变前进方向，又经y0
h在点Q处与B相遇，则P，Q两点的坐标分别是(3vx0,0)，(0，v(x0＋y0))．
由于A从P到Q行走的时间是y0
h，
于是由勾股定理得，|OP|2＋|OQ|2＝|PQ|2，
有(3vx0)2＋[v(x0＋y0)]2＝(3vy0)2.
化简整理，得(x0＋y0)(5x0－4y0)＝0.
又x0＋y0＞0，∴5x0＝4y0.①
又，②
①代入②，得.
由于切线PQ与y轴的交点Q对应的纵坐标v(x0＋y0)的值就是问题的答案，于是问题转化为“当直线y＝＋b与圆x2＋y2＝9相切时，求纵截距b的值”．利用圆心到切线的距离等于半径，得(b＞0).
答：A和B相遇的地点在村落中心正北km处．
8答案：分析：先依据题中△ABC中底边BC的确定性建立适当的坐标系，再据“AB和AC上中线和为30”判断出G的轨迹为以B，C为焦点的椭圆，最后根据椭圆方程的标准形式写出G的轨迹方程．
解：以BC所在直线为x轴，BC边中点为原点，
过原点且与BC垂直的直线为y轴，
则B(6,0)，C(－6,0)，|BD|＋|CE|＝30，
可知|GB|＋|GC|＝(|BD|＋|CE|)＝20，
∴G的轨迹是椭圆，轨迹方程为：(x≠±10)．平摆线和渐开线
1给出下列说法：
①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；
②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；
③在求圆的平摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；
④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．
其中正确的说法有( )．
A．①③
B．②④
C．②③
D．①③④
2平摆线(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是( )．
A．(π－2,2)
B．(3π＋2,2)
C．(π－2,2)或(3π＋2,2)
D．(π－3,5)
3如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是( )．
A．3π
B．4π
C．5π
D．6π
4我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为( )．
A．(φ为参数)
B．(φ为参数)
C．
(φ为参数)
D．(φ为参数)
5半径为3的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标为__________．
6已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数，则点P的坐标为________．
7已知平摆线的生成圆的直径为80
mm，写出平摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高．
8已知圆的渐开线(φ为参数，0≤φ＜2π)上有一点的坐标为(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积．
参考答案
1
答案：C 对于一个圆，只要半径确定，渐开线和平摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．
2答案：C 由y＝2得2＝2(1－cos
t)，∴cos
t＝0.
∵0≤t≤2π，∴或.
∴x1＝＝π－2，
x2＝＝3π＋2.
∴交点的直角坐标为(π－2,2)或(3π＋2,2)．
3答案：C 根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.
4答案：B 关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换．所以要写出平摆线方程关于直线y＝x的对称曲线方程，只需把其中的x与y互换．
5
答案：6kπ(k∈Z) ∵r＝3，∴平摆线的参数方程为(φ为参数)．
把y＝0代入，得cos
φ＝1.
∴sin
φ＝0，∴φ＝2kπ(k∈Z)．
∴x＝3φ－3sin
φ＝6kπ(k∈Z)．
6
答案：(π，2) 由题意，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为(φ为参数)．
当时，x＝π，y＝2，故点P的坐标为(π，2)．
7答案：解：∵平摆线的生成圆的半径r＝40
mm，∴此平摆线的参数方程为(t为参数)，它一拱的拱宽为2πr＝2π×40＝80π(mm)，拱高为2r＝2×40＝80(mm)．
8
答案：解：把已知点(3,0)代入参数方程得解得所以基圆的面积S＝πr2＝π×32＝9π.参数方程化成普通方程
1方程表示的曲线为( )．
A．一条直线
B．两条射线
C．一条线段
D．抛物线的一部分
2曲线(t为参数，t≠0)的普通方程为( )．
A．(x－1)2(y－1)＝1
B．
C．y＝－1
D．y＝＋1
3参数方程(q为参数)化为普通方程是( )．
A．5x－3y＝1
B．5x－y＝1
C．5x－y＝2
D．x－5y＝2
4参数方程(θ为参数)表示的曲线是( )．
A．直线
B．抛物线的一部分
C．圆的一部分
D．椭圆的一部分
5将(t为参数)化成普通方程为__________．
6点(x，y)是曲线C：(θ为参数，0≤θ＜2π)上任意一点，则的取值范围是__________．
7设P是椭圆2x2＋3y2＝12上的一个动点，求x＋2y的最大值和最小值．
8将曲线C：(θ为参数)化为普通方程，如果曲线C与直线x＋y＋a＝0有公共点，求实数a的取值范围．
参考答案
1
答案：B x＝t＋，当t＞0时，x＝t＋≥2.
当t＜0时，x＝t＋≤－2.∴y＝2(x≥2或x≤－2)表示的曲线为两条射线．
2答案：B ∵x＝1－，∴，
∴y＝1－t2＝1－.
3答案：C ∵∴
①－②得5x－y＝2.
4
答案：B ∵y＝cos
2
θ＋1＝2cos2θ－1＋1＝2x2，
又∵x＝cos
θ，∴－1≤x≤1.
∴普通方程为y＝2x2(－1≤x≤1)，它是抛物线的一部分．
5
答案： 由x＝3t＋1得，代入y＝t3，得.
6
答案： 曲线C：是以(－2,0)为圆心，1为半径的圆，即(x＋2)2＋y2＝1.
设，∴y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，
k取得最小值与最大值．∴＝1，解得.
∴的取值范围是.
7
答案：分析：把椭圆方程转化成参数方程，利用三角关系进行求值．
解：椭圆的标准方程为.
∴参数方程为(θ为参数)．
∴x＋2y＝＋4sin
θ＝sin(θ＋φ)(其中tan
φ＝)，∵sin(θ＋φ)∈[－1,1]，
∴x＋2y∈．
即x＋2y的最大值为，最小值为.
8
答案：解：∵∴x2＋(y＋1)2＝1.
∴曲线C是以(0，－1)为圆心，半径为1的圆．
若圆与直线有公共点，
则圆心到直线的距离d＝≤1，
解得1－≤a≤1＋.
∴a的取值范围为．直线的参数方程
1直线(t为参数)的倾斜角是( )．
A．20°
B．70°
C．110°
D．160°
2直线l经过点M0(1,5)，倾斜角为，且交直线x－y－2＝0于点M，则|MM0|等于( )．
A．＋1
B．6(＋1)
C．6＋
D．6＋1
3直线(t为参数)上对应t＝0，t＝1两点间的距离是( )．
A．1
B．
C．10
D．
4过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长是( )．
A．16
B．3
C．
D．
5直线(t为参数)与圆x2＋y2＝1有两个交点A，B，若点P的坐标为(2，－1)，则|PA|·|PB|＝__________.
6过点(6,7)，倾斜角的余弦值是的直线l的参数方程为__________．
7已知直线l经过点P(1，)，倾斜角为，求直线l与直线l′：y＝x－2的交点Q与点P的距离|PQ|.
8已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角.
(1)写出直线l的参数方程；
(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于点A和点B，求点P到A，B两点的距离之积．
参考答案
1答案：B 将代入x＝3＋tsin
20°，得x＝3＋ytan
20°，即x－ytan
20°－3＝0.
设直线的倾斜角为α，则tan
α＝＝tan
70°.
又α∈[0，π)，∴α＝70°.
2答案：B 由题意可得直线l的参数方程为
(t为参数)，代入直线方程x－y－2＝0，得1＋－－2＝0，解得t＝－6(＋1)．
根据t的几何意义可知|MM0|＝6(＋1)．
3
答案：B 将t＝0，t＝1分别代入方程得到两点的坐标为(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式，得所求距离为.
4
答案：C 抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，又倾斜角为，所以弦AB所在直线的参数方程为(t为参数)．代入抛物线方程y2＝4x得到，整理得3t2－8t－16＝0.
设方程的两个实根分别为t1，t2，则有
所以|t1－t2|＝
.
故弦AB的长为.
5答案：4 把直线的参数方程代入圆的方程，
得，
即t2－6t＋8＝0，解得t1＝2，t2＝4，
∴A(1,0)，B(0,1)．
∴|PA|＝，|PB|＝.
∴|PA|·|PB|＝＝4.
6
答案：(t为参数) ∵，∴.
∴(t为参数)．
7答案：分析：根据题意写出l的参数方程，代入l′的方程求出t的值，再利用其几何意义求出距离．
解：∵l过点P(1，)，倾斜角为，
∴l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)．
代入y＝x－，得，
解得t＝4＋，
即t＝＋4为直线l与l′的交点Q所对应的参数值，根据参数t的几何意义，可知|t|＝|PQ|，
∴|PQ|＝4＋.
8
答案：分析：利用定义求出参数方程，再利用t的几何意义求出距离之积．
解：
(1)因为直线l过P(1,1)，且倾斜角，所以直线l的参数方程为(t为参数)．
(2)因为点A，B都在直线l上，所以可设它们对应的参数分别为t1，t2.将直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4，得
(1＋)2＋(1＋)2＝4，整理，得t2＋
(＋1)t－2＝0.
因为t1，t2是方程t2＋(＋1)t－2＝0的根，
所以t1t2＝－2.故|PA|·|PB|＝|t1t2|＝2.
所以点P到A，B两点的距离之积为2.参数方程的概念
1点P(3，b)在曲线上，则b的值为( )．
A．－5
B．3
C．5或－3
D．－
5或3
2曲线(t为参数)与x轴的交点坐标是( )．
A．(1,4)
B．
C．(1，－3)
D．
3动点M做匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为3
m/s和4
m/s，直角坐标系的长度单位是1
m，点M的起始位置在点M0(2,1)处，则点M的轨迹的参数方程是( )．
A．(t为参数，t≥0)
B．(t为参数，t≥0)
C．(t为参数，t≥0)
D．(t为参数，t≥0)
4参数方程(θ为参数)所表示的曲线是( )．
A．直线
B．抛物线
C．椭圆
D．双曲线
5“由方程所确定的点P(x，y)都在曲线C上”是“方程是曲线C的参数方程”的________条件．
6点E(x，y)在曲线(θ为参数)上，则x2＋y2的最大值与最小值分别为________．
7已知曲线C的参数方程是(t为参数)．
(1)判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系；
(2)已知点M3(6，a)在曲线C上，求a的值．
8已知点P(x，y)是圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0上的动点，求
(1)x＋y的最值；
(2)点P到直线x＋y－1＝0的距离d的最值．
参考答案
1答案：D 由点P在曲线上，得＋1＝3，∴t＝±2.
当t＝2时，y＝b＝－5，当t＝－2时，y＝b＝3.
2
答案：B 把代入x＝1＋t2，得x＝1＋，
即y2＋6y－16x＋25＝0.令y＝0，得.
∴曲线与x轴的交点为.
3答案：B 设在时刻t时，点M的坐标为M(x，
y)，则(t为参数，t≥0)．
4
答案：D y＝tan
θ－
∴平方得，
∵sin
2θ＝，∴cos
2θ＝.
∴，整理，得x2－y2＝4.
∴曲线为双曲线．
5答案：必要不充分
6答案：30＋，30－ x2＋y2＝(1＋5cos
θ)2＋(2＋5sin
θ)2＝30＋(10cos
θ＋20sin
θ)＝30＋sin(θ＋α)，其中tan
α＝，α为锐角，故x2＋y2的最大值与最小值分别为30＋，30－.
7
答案：解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入有解得t＝0，所以点M1在曲线C上．
把点M2的坐标(5,4)代入有这个方程组无解，所以点M2不在曲线C上．
(2)因为点M3(6，a)在曲线C上，
所以解得t＝2，a＝9，所以a的值为9.
8
答案：解：圆方程可化为(x－3)2＋(y－2)2＝1，
用参数方程表示为
由于点P在圆上，∴P(3＋cos
θ，2＋sinθ)．
则(1)x＋y＝3＋cos
θ＋2＋sin
θ
.
∴x＋y的最大值为，最小值为.
(2)，
显然，当时，d取最大值，
当＝－1时，d取最小值.平面直角坐标轴中的伸缩变换
1一条抛物线经过平面直角坐标系中的伸缩变换后，其图形可能是( )．
A．直线
B．圆
C．抛物线
D．双曲线
2将一个圆作伸缩变换后，所得图形不可能是( )．
A．椭圆
B．比原来大的圆
C．比原来小的圆
D．双曲线
3在平面直角坐标系中，将x轴上的单位长度变为y轴上单位长度的2倍，则圆x2＋y2＝1进行伸缩变换后的图形是( )．
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
4在平面直角坐标系中，如果y轴上的单位长度变为x轴上单位长度的倍，则一条线段经过变换后的图形是( )．
A．直线
B．射线
C．与原来长度相同的线段
D．比原来长度短的线段
5如果x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍，则方程x＋y＝－1的图形是__________．
6如图，在x轴上的单位长度是y轴上单位长度的两倍的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－8,0)，C(－4,0)，则△ABC的面积为__________．
7在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线的图形：
(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；
(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；
(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍．
参考答案
1
答案：C 抛物线在平面直角坐标系中进行伸缩变换后，图形的形状是不会发生变化的．
2
答案：D 将圆作伸缩变换，如果保持一轴不变，另一轴压缩或伸长都会出现椭圆的形状，故选项A正确．当两轴同时放大或缩小时，会得到比原来大或小的圆，故选项B，C正确，故选D.
3
答案：B
4
答案：D 通过作图可知答案．
5
答案：直线
6
答案：8
7
答案：解：(1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，双曲线的图形如下：
(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，双曲线的图形如下：
(3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，双曲线的图形如下：1.2
极坐标系
直线和圆的极坐标方程
曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
圆锥曲线统一的极坐标方程
1极坐标方程表示的曲线是( )．
A．双曲线
B．椭圆
C．抛物线
D．圆
2过A且平行于极轴的直线的极坐标方程是( )．
A．ρsin
θ＝
B．ρsin
θ＝2
C．ρcos
θ＝
D．ρcos
θ＝2
3化极坐标方程ρ2cos
θ－ρ＝0为直角坐标方程为( )．
A．x2＋y2＝0或y＝1
B．x＝1
C．x2＋y2＝0或x＝1
D．y＝1
4圆心在点(－1,1)处，且过原点的圆的极坐标方程是( )．
A．ρ＝2(sin
θ－cos
θ)
B．ρ＝2(cos
θ－sin
θ)
C．ρ＝2sin
θ
D．ρ＝2cos
θ
5过极点O作圆C：ρ＝8cos
θ的弦ON，则ON的中点M的轨迹方程是__________．
6已知双曲线的极坐标方程为，过极点作直线与它交于A，B两点，且|AB|＝6，求直线AB的极坐标方程．
7已知在△ABC中，AB＝6，AC＝4，当∠A变化时，求∠A的平分线与BC的中垂线的交点P的轨迹方程．
参考答案
1答案：D ，∴ρ2＝ρcos
θ＋ρsin
θ，即x2＋y2＝.
化简整理，得，表示圆．
2答案：A 如图所示，设M(ρ，θ)(ρ≥0)是直线上任意一点，过M作MH⊥x轴于H，
∵A，
∴|MH|＝.
在Rt△OMH中，|MH|＝|OM|sin
θ，即ρsin
θ＝，
∴过A且平行于极轴的直线方程为ρsin
θ＝.
3答案：C ρ2cos
θ－ρ＝0 ρ(ρcos
θ－1)＝0，
得ρ＝0或ρcos
θ－1＝0，即x2＋y2＝0或x＝1.
4答案：A 如图所示，圆的半径为，
∴圆的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，
即x2＋y2＝－2(x－y)，化为极坐标方程，得ρ2＝－2(ρcos
θ－ρsin
θ)，即ρ＝2(sin
θ－cos
θ)．
5
答案：ρ＝4cos
θ 方法一：如图，圆C的圆心为C(4,0)，半径为|OC|＝4，连接CM.
∵M为弦ON的中点，
∴CM⊥ON，故M在以OC为直径的圆上．
∴点M的轨迹方程是ρ＝4cos
θ.
方法二：设M点的坐标是(ρ，θ)，N(ρ1，θ1)．
∵N点在圆ρ＝8cos
θ上，∴ρ1＝8cos
θ1，①
∵M是ON的中点，∴
将它代入①式得2ρ＝8cos
θ，故点M的轨迹方程是ρ＝4cos
θ.
6
答案：解：设直线AB的极坐标方程为θ＝θ1，A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ1＋π)．则，
.
|AB|＝|ρ1＋ρ2|＝
＝6，
∴＝±1.∴cos
θ1＝0或cos
θ1＝.
故直线AB的极坐标方程为或或.
7
答案：解：取A为极点，AB所在射线为极轴，建立极坐标系，
∵AP平分∠BAC，MP为BC的中垂线，∴PB＝PC.
设P(ρ，θ)，(ρ＞0，且θ≠0)，则PC2＝AP2＋AC2－2AP·AC·cos
θ＝ρ2＋16－8ρcos
θ，
PB2＝AP2＋AB2－2AP·ABcos
θ＝ρ2＋36－12ρcos
θ，
∴ρ2＋16－8ρcos
θ＝ρ2＋36－12ρcos
θ.
即ρcos
θ＝5(ρ＞0，且θ≠0)．
∴点P的轨迹方程为ρcos
θ＝5(ρ＞0，且θ≠0)．圆的参数方程、椭圆的参数方程、双曲线的参数方程
1过点M(2,1)作曲线C：(θ为参数)的弦，使M为弦的中点，则此弦所在直线方程为( )．
A．y－1＝－(x－2)
B．y－1＝－2(x－2)
C．y－2＝－(x－1)
D．y－2＝－2(x－1)
2曲线(θ是参数)的左焦点的坐标是( )．
A．(－4,0)
B．(0，－4)
C．(－2,0)
D．(0,2)
3圆锥曲线
(θ是参数)的焦点坐标是( )．
A．(－5,0)
B．(5,0)
C．(±5,0)
D．(0，±5)
4P(x，y)是曲线(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )．
A．36
B．6
C．26
D．25
5点M(x，y)在椭圆上，则点M到直线x＋y－4＝0的距离的最大值为__________，此时点M坐标是__________．
6已知A，B分别是椭圆的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，则△ABC的重心G的轨迹的参数方程是__________．
7求椭圆的参数方程．
(1)设x＝3cos
φ，φ为参数；
(2)设y＝2t，t为参数．
8已知双曲线方程为x2－y2＝1，M为双曲线上任意一点，点M到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数．
参考答案
1答案：B 把曲线C的参数方程化为普通方程为x2＋y2＝16，表示圆心在原点，半径r＝4的圆，所以过点M的弦与线段OM垂直，又.∴弦所在直线的斜率为－2，
∴直线方程为y－1＝－2(x－2)．
2答案：
A 由得＝1，
∴左焦点的坐标为(－4,0)．
3答案：C 由得＝1，
∴它的焦点坐标为(±5,0)．
4答案：A 由参数方程可知，(x－2)2＋y2＝1，圆心O(2,0)，另一定点M(5，－4)，
∴|OM|＝＝5.
∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为(5＋1)2＝62＝36.
5
答案： (－3，－1) 椭圆参数方程为(θ为参数)，则点M(cos
θ，2sin
θ)到直线x＋y－4＝0的距离d＝.
当时，.
此时，点M的坐标为(－3，－1)．
6
答案： 由于动点C在该椭圆上运动，故可设点C的坐标为(6cos
θ，3sin
θ)，重心G的坐标为(x，y)，则由题意可知点A(6,0)，B(0,3)，
由重心坐标公式可知有
.
7
答案：分析：把x，y含参表达式分别代入椭圆方程求出参数方程．
解：(1)把x＝3cos
φ代入椭圆方程，得，
∴y2＝4(1－cos2φ)＝4sin2φ，即y＝±2sin
φ.
由φ的任意性，可取y＝2sin
φ.
∴的参数方程为(φ为参数)．
(2)把y＝2t代入椭圆方程，得.
∴x2＝9(1－t2)，∴.
∴参数方程为(t为参数)或(t为参数)．
8答案：分析：利用双曲线的参数方程代入距离公式，利用三角函数公式进行转化．
证明：设d1为点M到渐近线y＝x的距离，d2为点M到渐近线y＝－x的距离，
因为点M在双曲线x2－y2＝1上，则可设点M的坐标为.
，，
d1·d2＝
故d1与d2的乘积是常数．柱坐标系和球坐标系
1设点M的直角坐标为(－1，，2)，则它的柱坐标是( )．
A．
B．
C．
D．
2设点P的直角坐标为(－1，－1，)，则它的球坐标为( )．
A．
B．
C．
D．
3如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5)，，则此长方体的体积为( )．
A．100
B．120
C．160
D．240
4已知点N的球坐标为，则其直角坐标为( )．
A．(－2,2,)
B．
(2,－2,)
C．(－2,－2,)
D．(－2,2,－)
5在柱坐标系中，已知A，B及O(0,0,0)三点，则△ABO的面积为__________．
6已知点P1的球坐标是，点P2的柱坐标为，则|P1P2|2＝__________.
7在直三棱柱ABC—A1B1C1中，|CA|＝|CB|＝1，∠BCA＝90°，棱|AA1|＝2，M是A1B1的中点．建立适当的坐标系，求点M的空间直角坐标和柱坐标．
8如图，在柱坐标系中，O(0,0,4)，A(3，θA,4)，B1(3，θB1，0)，其中θA－θB1＝60°，求直线AB1与圆柱的轴OO1所成的角和AB1的长.
参考答案
1
答案：B 设点M的柱坐标为(r，θ，z)，则.
∵0≤θ＜2π，x＜0，
∴，r＝＝2，z＝2.
∴点M的柱坐标为.
2
答案：B 设P点的球坐标为(r，φ，θ)，则有tan
θ＝＝1.
∵0≤θ＜2π，x＜0，
∴，r＝＝2.
∴.
∵0≤φ≤π，∴.
∴P点的球坐标为.
3答案：B 由长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5)，C1，可知|OA|＝4，|OC|＝6，|OO1|＝5，
故长方体的体积为4×5×6＝120.
4答案：A 设点N的直角坐标为(x，y，z)，则有
∴点N的直角坐标为(－2,2,)．
5
答案：1 ∵A，B，O(0,0,0)，
∴△OAB为直角三角形．
∴S△OAB＝|OA||AB|＝×1×2＝1.
6答案： 设P1的直角坐标为(x，y，z)，
则x＝rsin
φcos
θ＝，
y＝rsin
φsin
θ＝，
z＝rcos
φ＝.
∴P1.
同理，点P2的直角坐标为.
∴|P1P2|2＝
.
7
答案：解：建立如图所示的坐标系，过点M作底面xCy的垂线MN.
∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴N点在线段AB上．
由点N分别作x轴，y轴的垂线NE，NF，
根据已知，可得△ABC是等腰直角三角形，
∴|NE|＝|NF|＝.
故点M的空间直角坐标为.
由于点M在平面xCy上的射影为点N，
|CN|＝，∠ECN＝，
故点M的柱坐标为.
8答案：解：如图，作OB∥O1B1，交上底圆周于点B，连接AB，BB1，∠AOB＝60°，则△OAB为等边三角形．
∵BB1∥OO1，∴BB1与AB1所成的角就是AB1与圆柱的轴OO1所成的角．
又BB1⊥圆O所在的平面，
∴BB1⊥AB.
在Rt△ABB1中，tan∠AB1B＝，
∴∠AB1B＝37°，|AB1|＝＝5，即直线AB1与圆柱的轴OO1所成的角为37°，AB1的长为5.
