§3 柱面与平面的截面
课后作业提升
1椭圆的长轴长为10,短轴长为8,则焦距等于( ).
A.6
B.8
C.10
D.3
解析:设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,
则由题意知2a=10,2b=8,
故a=5,b=4,
∴2c=2=6.
答案:A
2一组底面为同心圆的圆柱面被一平面所截,则交线椭圆具有( ).
A.相同的长轴
B.相同的焦点
C.相同的准线
D.相同的离心率
解析:因为底面半径大小不等,所以长轴不同.
嵌入的焦球不同,焦点不同,准线也不同,
平面与圆柱的母线夹角相同,故离心率相同.
答案:D
3圆柱面的垂直截面是一个 .
答案:圆
4圆柱面的一般截面是一个 .
答案:椭圆
5
如图所示,F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1的直线交椭圆于P,Q两点,求证:△PQF2的周长为定值.
证明:设椭圆的长轴长为2a.
则PF1+PF2=2a,QF1+QF2=2a,
所以PQ+QF2+PF2=PF1+QF1+QF2+PF2
=(PF1+PF2)+(QF1+QF2)
=2a+2a=4a(定值).
故△PQF2的周长为定值.
6
如图所示,A是☉O内一定点,动圆P与☉O内切于点M,且经过点A,试判断动点P的轨迹.
解:如图所示,连接PA,OM,
则OM经过点P.设☉O的半径为r.
∵☉O与☉P内切,
∴OM=r,PA=PM,
∴PO+PA=PO+PM=OM=r(常数),
∴动点P的轨迹是以O,A为焦点的椭圆.
备课资源参考
备选习题
1.已知圆柱的底面半径为r,平面α与圆柱母线的夹角为60°,则它们交线椭圆的焦距是( ).
A.2r
B.4r
C.r
D.3r
解析:如图,过点G2作G2H⊥AD,H为垂足,则G2H=2r.
在Rt△G1G2H中,G1G2==2r×2=4r,
则长轴2a=G1G2=4r,短轴2b=2r.
所以焦距2c=2=2×r=2r.
答案:A
2.如图所示,已知A为左顶点,F是左焦点,l交OA的延长线于点B,P,Q在椭圆上,有PD⊥l于点D,QF⊥AO,则椭圆的离心率是①;②;③;④;⑤.其中正确的是( ).
A.①②
B.①③④
C.②③⑤
D.①②③④⑤
解析:①符合离心率定义;
②过点Q作QC⊥l于点C,
∵QC=FB,∴符合离心率定义;
③∵AO=a,BO=,
∴,故也是离心率;
④∵AF=a-c,AB=-a,
∴,∴是离心率;
⑤∵FO=c,AO=a,
∴是离心率.
答案:D第二章
圆锥曲线
测评
(时间:90分钟 满分:100分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.一平面与圆柱面轴的夹角为75°,则该平面与圆柱面的交线是( ).
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
答案:B
2.下列轨迹不是圆锥曲线的是( ).
A.平面上到两个定点的距离之和等于定长(定长大于两定点间的距离)的点的轨迹
B.平面上到两个定点的距离之差的绝对值等于定长(定长小于两定点间的距离)的点的轨迹
C.平面上到定点和定直线的距离相等的点的轨迹
D.到角的两边距离相等的点的轨迹
解析:选项A,B,C分别描述的是椭圆、双曲线和抛物线,选项D描述的是角平分线.
答案:D
3.用一个平面截一个圆柱面,则交线是( ).
A.圆
B.椭圆
C.两条平行线段
D.以上都有可能
解析:当截面与轴平行时,交线是两条平行线段;当截面与轴垂直时,交线是圆;当截面与轴相交且不垂直时,交线是椭圆.
答案:D
4.若双曲线的两条准线与实轴的交点是两顶点间线段的四等分点,则其离心率为( ).
A.
B.2
C.4
D.2
解析:设双曲线的实轴长为2a,焦距为2c.
由题意知4×=2a.所以e==2.
答案:B
5.方程x2-3x+2=0的两根可作为( ).
A.两个椭圆的离心率
B.一个双曲线、一条抛物线的离心率
C.两个双曲线的离心率
D.一个椭圆、一条抛物线的离心率
解析:方程的两根分别为x1=1,x2=2,由椭圆01,抛物线e=1可知,应选B.
答案:B
6.球O的半径为3,球外一点P和球心的距离为6,PT是☉O的切线,T是切点,则∠OPT=( ).
A.30°
B.60°
C.90°
D.不确定
解析:在△PTO中,PT=6,OT=3,PT⊥OT,
∴sin∠OPT=,
∴∠OPT=30°.
答案:A
7.平面与圆锥轴线的夹角为30°,圆锥母线与轴线的夹角为60°,平面与圆锥面交线的轴长为2,则所得圆锥曲线的焦距为( ).
A.
B.2
C.4
D.
解析:∵e=,∴.
∴c=,2c=2.
答案:B
8.平面α与球O相交,交线圆的圆心为O',若OO'=3,球O的半径R=5,则交线圆的半径r=( ).
A.2
B.3
C.4
D.8
解析:∵OO'2+r2=R2,∴32+r2=52,∴r=4.
答案:C
9.椭圆的左、右焦点分别是F1,F2,A是椭圆内一点,且F1F2=12,长轴长2a=13,l是椭圆左准线,则PA+PF1取最小值时,AP与l的位置关系是( ).
A.平行
B.垂直
C.异面
D.相交但不垂直
解析:如图所示,过点P,A分别作l的垂线,垂足分别是Q,B,且AB交椭圆于点C.
由于a=,c==6,∴e=,
∴有=e,
∴PQ=PF1=PF1,
∴PA+PF1=PA+PQ.
又PA+PQ≥CA+CB=AB,
∴PA+PF1的最小值为AB.
此时AP⊥l.
答案:B
10.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1,则长轴的最小值为( ).
A.
B.2
C.
D.2
解析:如图所示,AB是椭圆的长轴,CD是椭圆的短轴,F1F2是椭圆的焦距,AB与CD交于点O.
设椭圆上任意一点P到长轴的距离为h,则h·F1F2,由于F1F2是定值,h≤CD,
∴△PF1F2面积的最大值为·F1F2=1.
设AB=2a,CD=2b,F1F2=2c,
则·b·2c=1,∴bc=1,
∴a2=b2+c2≥2bc=2,∴a≥,
∴AB≥2,即长轴的最小值为2.
答案:D
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11.在圆锥内部嵌入“焦球”,一个位于平面π的上方,一个位于平面π的下方,并且与平面π和圆锥面均相切,则两个切点是所得圆锥曲线的 .
答案:两个焦点
12.抛物线C上一点P到准线l的距离为5,则点P到抛物线C的焦点的距离等于 .
答案:5
13.双曲线的焦距为4,实轴长为3,则离心率e= .
解析:设双曲线的实轴长、焦距分别为2a,2c,
则2c=4,2a=3,∴c=2,a=.
∴e=.
答案:
14.P,Q是直线l的两点,球O的半径r=3,且OP=OQ=,∠POQ=60°,则直线l与球O的位置关系是 .
解析:过球心O作OM⊥l于点M,则在等边△OPQ中,OM=,∴OM∴直线l与球O相交.
答案:相交
15.设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作长轴的垂线交椭圆于点P,△PF1F2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为 .
解析:设椭圆长轴长为2a,焦距为2c,
∵△PF1F2是等腰直角三角形,
∴PF2=F1F2=2c,PF1=2c.
由椭圆的定义,得PF1+PF2=2a,
∴e=-1.
答案:-1
三、解答题(本大题共3小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(7分)如图所示,动圆M经过定点F,且与定直线l相切,试判断动圆M的圆心M的轨迹及离心率.
解:如图所示,连接MF,
设圆M与l的切点为A,连接MA,
则MA⊥l,由于l与圆M相切,
所以MF=MA,即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离相等.所以动点M的轨迹是以点F为焦点,以l为准线的抛物线,其离心率e=1.
17.(8分)双曲线的左、右焦点分别是F1,F2,若双曲线上一点P到右焦点F2的距离为4,双曲线的实轴长2a=16,虚轴长2b=12,求点P到双曲线左准线的距离.
解:由题意知|PF1-PF2|=16,
又PF2=4,∴|PF1-4|=16,
∴PF1=-12(舍去)或PF1=20.
设点P到左准线的距离为d,则=e.
又a=8,b=6,∴c=10,∴e=.
∴d==16,
即点P到双曲线左准线的距离为16.
18.(10分)如图,圆柱被平面α所截.已知AC是圆柱口在平面α上最长的投影线,BD是最短的投影线,EG=FH,EF⊥AB,垂足在圆柱的轴上,EG和FH都是投影线,分别与平面α交于点G,H.
(1)比较EF,GH的大小;
(2)若圆柱的底面半径为r,平面α与母线的夹角为θ,求CD.
解:(1)∵EG和FH都是投影线,
∴EG∥FH,又EG=FH,
∴四边形EFHG是平行四边形,
∴EF=GH.
(2)如图,过点D作DP⊥AC于点P.
则在Rt△CDP中,有sin∠DCP=,
又∠DCP=θ,DP=2r,∴CD=.§4 平面截圆锥面
课后作业提升
1已知双曲线两焦点的距离为10,双曲线上任一点到两焦点距离之差的绝对值为6,则双曲线的离心率为( ).
A.
B.
C.1
D.
解析:设双曲线的实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距为2c.由题意知,2c=10,2a=6,故离心率e=.
答案:D
2在△ABC中,sin
B-sin
C=sin
A,则顶点A的轨迹是( ).
A.双曲线
B.抛物线
C.抛物线的一部分
D.双曲线的一支
解析:由已知条件和正弦定理得,AC-AB=BC答案:D
3线段AB是抛物线的焦点弦.若点A,B在抛物线准线上的正射影分别为点A1,B1,则∠A1FB1等于( ).
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
解析:如图所示,由抛物线定义知,AA1=AF,
∴∠AA1F=∠AFA1.又∵AA1∥EF,
∴∠AA1F=∠A1FE.∴∠AFA1=∠A1FE.
∴FA1是∠AFE的平分线.同理,FB1是∠BFE的平分线,
∴∠A1FB1=∠AFE+∠BFE
=(∠AFE+∠BFE)=90°.
答案:C
4已知一个圆锥面是由直线l'绕直线l旋转而得,l'与l交点为V,l'与l的夹角为41°,不经过圆锥顶点V的平面π与圆锥面相交,设轴l与平面π所成的角为β,则:
当 时,平面π与圆锥面的交线为圆;
当 时,平面π与圆锥面的交线为椭圆;
当 时,平面π与圆锥面的交线为双曲线;
当 时,平面π与圆锥面的交线为抛物线.
答案:β=90° 41°<β<90° β<41° β=41°
5抛物线上一点P到准线的距离为7,则P到焦点F的距离为 .
答案:7
6一圆锥面的母线和轴线成30°角,当用一与轴线成30°角的不过顶点的平面去截圆锥面时,平面与圆锥面的交线是 .
解析:由题意知σ=30°,θ=30°,
则σ=θ.则交线是抛物线,如图所示.
答案:抛物线
7如图,抛物线的焦点为F,顶点为A,准线为l,准线l与直线AF相交于点H,过焦点F作PF⊥AF,求证:AF=PF.
证明:如图,过点P作PB⊥l于点B,
由抛物线的结构特点,PB=PF,AH=AF,
又HF=BP,∴AF=HF=BP=PF.§1 截面欣赏
§2 直线与球、平面与球的位置关系
课后作业提升
1下面能体现截面的作用的是( ).
A.建筑工人看图纸再施工
B.某人在汽车4S店购买汽车时,销售人员提供了汽车的三视图
C.某人卖西瓜时,把一个西瓜切开让想买西瓜的人看
D.在某刑事案件中,通过目击证人描述画出了犯罪嫌疑人的肖像
答案:C
2半径r=的球的球心O到平面α的距离d=1,则平面α与球O的位置关系是( ).
A.相离
B.相切
C.相交
D.相交或相切
解析:由于d答案:C
3已知直线l上A,B两点到点O的距离分别为5,12,球O的半径为,且∠AOB=90°,则直线l与球O的位置关系是( ).
A.相离
B.相切
C.相交
D.相交或相切
解析:设球O的半径为r,球心O到直线l的距离为d,
则d==r,所以直线l与球O相切.
答案:B
4用平面截正方体,若所得的截面是一个三角形,则留下的较大的一个几何体一定有( ).
A.7个面
B.15条棱
C.7个顶点
D.10个顶点
解析:用一个平面截正方体ABCD-A1B1C1D1后,所得的截面是一个三角形,仅有两种情况,如图(1)(2)所示.
图(1)
图(2)
图(1)中留下的较大的一个几何体有7个面,15条棱,10个顶点;图(2)中留下的较大的一个几何体有7个面,12条棱,7个顶点.则留下的较大的一个几何体一定有7个面.
答案:A
5已知球O的一个截面圆的半径为1,球心O到这个截面的距离为1,则该球的半径为 .
解析:设球O的半径为R,又截面圆的半径r=1,
则R=.
答案:
6设P,A,B,C是球O表面上的四个点,PA,PB,PC两两垂直,且PA=3,PB=4,PC=5,则球O的体积为 .
解析:如图所示,把三棱锥P-ABC补成一个长方体PBDC-AB1D1C1,
则球O的直径2r是长方体PBDC-AB1D1C1的对角线,则有2r==5,则r=,
则球O的体积V=π.
答案:π
7在半径是13的球面上有A,B,C三点,AB=6,BC=8,CA=10,求球心到平面ABC的距离.
解:由于AB2+BC2=62+82=100=102=CA2,则△ABC是直角三角形,
所以过A,B,C三点的截面圆的半径为CA=5,
所以球心到平面ABC的距离是=12.
8已知过球O外一点P的直线PB交球O于A,B两点,直线PD交球O于C,D两点,若PA=4,PB=5,PD=10,求PC的长.
解:如图所示,过PB和球心O作球的截面,过点P作截面圆的切线PT,T是切点,截面圆的半径等于球O的半径.
由切割线定理知,PT2=PA·PB,
所以PT2=4×5=20,同理可得PT2=PC·PD,
所以20=10PC,所以PC=2.
