圆锥曲线的几何性质
选择题
1，一个圆在一个平面上的平行投影可能是（
）
A，圆
B，椭圆
C，线段
D，以上均可能
2，如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列结论中正确的是（
）
内心的平行投影仍为内心
重心的平行投影仍为重心
垂心的平行投影仍为垂心
外心的平行投影仍为外心
3，若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，则长轴的最小值为（
）
A，1
B，
C，2
D，
4，对于半径为4的圆在平面上的射影的说法错误的是（
）
射影为线段时，线段的长为8
射影为椭圆时，椭圆的短轴可能为8
射影为椭圆时，椭圆的长轴可能为8
射影为圆时，圆的直径可能为4
5，若双曲线的两条准线与实轴的交点是两顶点间线段的三等分点，则其离心率是（
）
A，
B，2
C，3
D，
6，设过抛物线的焦点的弦为MN，则以MN为直径的圆和抛物线的准线（
）
A，相交
B，相切
C，相离
D，不能确定
7，若双曲线的两焦点是，A是该曲线上一点，且,那么等于（
）
A，
B，
C，8
D，11
8，如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且PB=BC，则的值为（
）
A，2
B，
C，
D，1
9，如图，圆O的直径是AB，弦CD垂直平分OA，垂足为E点，则弧CAD的度数是（
）
A，150°
B，120°
C，90°
D，60°
10，如图，四边形ABCD内接于圆O，且AC，BD交于点P
，则此图形中一定相似的三角形的对数为（
）
A，4
B，3
C，2
D，1
11，半径为5cm的圆内有两条平行弦，其长分别为6cm和8cm,则两平行弦之间的距离为（
）
A,1cm或7cm
B,1cm或4cm
C,1cm
D,7cm
填空题
12，如图，AB是圆O
的直径，C为圆周上一点，弧AC=60°，OD⊥BC，D为垂足，且OD=10，则AC=
,AB=
13，如图，在Rt⊿ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2,BD=3,则
BC=
.
14，如图，AB是圆O的直径，CB切圆O于B，CD切圆O于D
，交BA的延长线于E
，若AB=3，ED=2，则BC的长为
.
15，⊿ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=，则⊿ABC外接圆的半径
等于
.
解答题
16，如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA=∠D，求证：AC·BE=CE·AD
17，如图，AD是⊿ABC外角∠EAC的平分线，AD与⊿ABC的外接圆交于点D，N为BC延长线上一点，ND交⊿ABC的外接圆于点M，求证：
①DB=DC
②
18，如图，圆O1圆O2相交于A，B两点，CB是圆O2的直径，过A点作的圆O1的切线交圆O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与圆O1,圆O2交于C，D两点，求证：①PA·AD=PE·PC
②AD=AE
19，如图，已知AB为半圆的直径，O为圆心，BE，CD分别为半圆的切线，切点分别为B和C，DC的延长线交BE于F，AC的延长线交BE于E，AD⊥DC，D为垂足，根据这些条件，你能推出哪些结论？请你给出尽量多的结论
参考答案
1,D
2,B
3,D
4,D
5,C
6,B
7,D
8,C
9,B
10,C
11,A
12,20
40
13,
14,3
15,2
P第二章
圆锥曲线
1.
过球面上一点可以作球的（
）
A.一条切线和一个切平面
B.
两条切线和一个切平面
C.无数条切线和无数个切平面
D.
无数条切线和一个切平面
2.
一圆锥面的母线和轴线成30°角，当用一与轴成30°角的不过顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线是（
）
A.
椭圆
B.
双曲线
C.
抛物线
D.
两条相交直线
3.
一个球以原点为球心、以1为半径，则点在球的（
）
A.
内部
B.
球上
C.
外部
D.
不确定
4.
一个平面和圆柱面的轴成角，则同时与圆柱面和该平面都相切的球的个数为（
）
A.
0
B.
1
C.
2
D.
由的不同而定
5.
半径分别为1和2的两个球相距12，则这两个球的外公切线长为__________，内公切线长为__________。
6.
如图，AD是等腰三角形ABC底边上的高，，直线交AD于点P，且与AD的夹角为，则有：
（1）时，直线与AB（或AB的延长线）
__________；
（2）时，直线与AB平行，直线与
AB_________；
（3）时，直线与AB的_____________。
7.
椭圆中心在原点，焦点在x轴，离心率，椭圆上各点到直线的最短距离为1，求椭圆的方程。
参考答案：
D
；
2.
C
；
3.
C
；4.
C
；
5.
，
；
6.
相交；不相交；延长线相交。
7.
。第二章
圆锥曲线
1.
球的半径为3
，球面外一点和球心的距离为6
，则过该点的球的切线和过切点的半径所成的角为（
）
A.
30°
B.
60°
C.
90°
D.
不确定
2.
已知AD是等边三角形ABC上的高，直线l与AD相交于点P，且与AD的夹角为，直线与AB（或AB的延长线）、AC都相交时，的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
3.
一圆锥面的母线与轴线成角，不过顶点的平面和轴线成角，且与圆锥面的交线是椭圆，则和的大小关系为（
）
A.
B.
C.
D.
无法确定
4.
一圆柱面底面的半径等于2
，一个截割圆柱面的平面与轴成60°角，从割平面上、下放入圆柱的两个内切球，使它们都与截面相切，则这两个切点的距离为（
）
A.
B.
C.
D.
5.
将两个半径为2的球嵌入底面半径为2的圆柱中，使两球的距离为6
；用一个平面分别与两个球相内切，所成的截线为一个椭圆，则该椭圆的长轴长为_______，短轴长为______，焦距为_____，离心率为_____。
6.
定长为3
的线段AB的两个端点在抛物线上移动，设线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离。
参考答案：
1.
C
；
2.
D
；
3.
A
；
4.
B
；
5.
6
；4
；
；
6.
。截面欣赏
一、选择题
1．如图所示，直线l1，l2，l3，的斜率分别为k1，k2，k3，则
（
）
A．
k1<
k2<
k3
B．
k3<
k1<
k2
C．
k3<
kk2<
k1
D．
k1<
k3<
k2
2．点（0，5）到直线y=2x的距离是
（
）
A．
B．
C．
D．
3．经过点P（3，2），且倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的两倍的直线方程是
（
）
A．8x-15y+6=0
B．x
-8y+3=0
C．2x
-4y+3=0
D．8x
+15y+6=0
4．方程|
x
|+|
y
|=1所表示的图形在直角坐标系中所围成的面积是
（
）
A．2
B．1
C．4
D．
5．过点P（2，3），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是
（
）
A．x
+y-5=0或x
-y+1=0
B．x
-y+1=0
C．3x
-2y=0或x
+y-5=0
D．x
-y+1=0或3x
-2y=0
6．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线sinA·x
+ay+c=0与bx
-sinB·y+sinC=0的位置关系是
（
）
A．平行
B．重合
C．垂直
D．相交但不垂直
7．直线x
-y+4=0被圆(x
+2)2+(y-2)2=2截得的弦长为
（
）
A．
B．2
C．3
D．4
8．直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是
（
）
A．|
x
|-|
y
|=1
B．x
-y=1
C．(
|
x
|-|
y
|
)2=1
D．|
x
-y
|=1
9．若集合
则a的取值范围是
（
）
A．
B．
C．
D．
10．在约束条件下，目标函数的最小值和最大值分别是
（
）
A．1，3
B．1，2
C．0，3
D．2，3
二、填空题
11．如果直线l与直线x
+y-1=0关于y轴对称，那么直线l的方程是
．
12．直线x
+y-2=0截圆x2+y2=4，得劣弧所对的圆心角为
．
13．过原点的直线与圆x2+y2+4x
+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是
．
14．如果直线l将圆：x2+y2-2x
-4y=0平分，且不经过第四象限，则l的斜率的取值范围是
三、解答题
15．求经过两点P1（2，1）和P2（m，2）（m∈R)的直线l的斜率，并且求出l的倾斜角α及其取值范围．
16．过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l１，l２，若l１交x轴于A点，
l2
交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
17．已知圆的半径为，圆心在直线上，圆被直线截得的弦长为，求圆的方程．
18．已知常数在矩形ABCD中，AB=4，BC=4，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），求P点的轨迹方程.
参考答案
一．选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
A
A
C
C
B
C
D
A
二．填空题
11．x
-
y
+1=0
12．
13．y=
x
14．
[0，2]
三、解答题
15．
[解析]：(1)当m=2时，x
1＝x
2＝2，
∴直线l垂直于x轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角α=
(2)当m≠2时，直线l的斜率k=
当m＞2时，k＞0．
∴α=arctan,α∈（0，），
当m＜2时，k＜0
∴α＝π＋arctan，α∈(,π)．
16．
[解法1]：设点M的坐标为(x,y),
∵M为线段AB的中点，∴A的坐标为(2x,0)，B的坐标为(0，2y)，
∵l１⊥l２，且l１、l２过点P(2，4)，
∴PA⊥PB,kPA·ｋＰＢ＝－１．
而
整理，得x+2y-5=0(x≠1)
∵当x=1时，A、B的坐标分别为(2，0)、(0，4)．
∴线段AB的中点坐标是(1，2)，它满足方程x+2y-5=0，
综上所述，点M的轨迹方程是x+2y-5=0．
[解法2]：设M的坐标为(x,y)，则A、B两点的坐标分别
是(2x,0)、(0,2y)，连接PM，
∵l１⊥l２，∴2｜ＰＭ｜＝｜ＡＢ｜，
而｜ＰＭ｜＝
化简，得x+2y-5=0,为所求轨迹方程．
17．
[解析]：设圆心坐标为（m，2m）,圆的半径为，所以圆心到直线x
-y=0的距离为
由半径、弦心距、半径的关系得
所求圆的方程为
18．
[解析]：根据题设条件可知，点P(x，y)的轨迹即直线GE与直线OF的交点.
据题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）
设，由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）.
直线OF的方程为：，
①
直线GE的方程为：. ②
从①，②消去参数k，得点P（x，y）的轨迹方程是：，平面截圆锥面
选择题
1，用一个过圆锥面顶点的平面去截圆锥面，则截线为（
）
A，椭圆
B，双曲线
C，抛物线
D，两条相交直线
2，一圆锥面的母线和轴线成30°角，当用一与轴成30°角的不过顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线是（
）
A，椭圆
B，双曲线
C，抛物线
D，两条相交直线
3，已知AD是等边⊿ABC上的高，直线与AD相交于点P，且与AD的夹角为，当与AB（或AB的延长线），AC相交时，的取值范围是（
）
A，
B，
C，
D，
4，一圆锥面的母线与轴成角，不过顶点的平面和轴线成角，且与圆锥面的交线是椭圆，则和的大小关系是（
）
A，
B，
C，
D，无法确定
填空题
5，如图所示，AD为等腰三角形ABC底边BC上的高，∠BAD=，直线与AD相交于点P，且与AD的夹角为，则有：
时，直线与AB（或AB的延长线）
；
时，直线与AB平行，与AB
；
时，直线与BA的
6，在空间中取直线为轴，直线与相交于O点夹角为，围绕旋转得到以O为顶点，为母线的圆锥面。任取一个平面，若它与轴的交角为（当与平行时，记），则
，平面与圆锥的交线为
；
，平面与圆锥的交线为
；
，平面与圆锥的交线为
。
7，在圆锥的内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面与圆锥面均相切，则两切点是所得圆锥曲线的
。
解答题
8，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，椭圆上各点到直线的最短距离为1，求椭圆的方程
9，定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，设线段AB的中点为M，求点M到轴的最短距离。
参考答案
1，D
2，C
3，D
4，A
5，相交
不相交
延长线相交
6，椭圆
抛物线
双曲线
7，两焦点
8，解：
9，解：直线与球，平面与球的位置关系
选择题
1，两条相交直线的平行投影是（
）
A．两条相交直线
B.一条直线
C.一条折线
D.两条相交直线或一条直线
2,用一个平面去截一个圆柱,其截面是(
)
A.圆
B.椭圆
C.两条平行直线
D.以上均可能
3,如图,E,F分别为正方体的面ADDA,面BCCB的中心,则四边形BFDE在该正方体的面上的射影可能是图中的(
)
①
②
③
④
A.
①②
B.
②③
C.
③④
D.
④①
4,关于直角AOB在定平面内的射影有如下判断:
①可能是0°的角,
②可能是锐角,
③可能是直角,
④可能是钝角，⑤可能是180°的角,下面正确是(
)
A.
①②③⑤
B.
①②③④
C.
①②④⑤
D.全都正确
5,设四面体ABCD各棱长均相等,E,F分别为AC,AD的中点,如图,则⊿BEF在该四面体的面ABC上的射影是下列中的(
)
A.
B.
C.
D.
6,已知a,b为不垂直的异面直线,
是一个平面,则a,b在上的射影有可能是(
)
①两条平行直线,
②两条互相垂直的直线,
③同一条直线,
④一条直线及其外一点
A，①②③
B，①②④
C，①③④
D，②③④
二,填空题
7,用与圆柱面的轴成锐角的平面去截圆柱面所得的截面的图形是
8,已知a,b,c,d是四条互不重合的直线,且c,d分别为a,b在平面上的射影,给出下面两组判断:第一组:①a⊥b,②a//b第二组:③c⊥d,
④c//d,分别从两组中各选出一个判断,使一个作条件,另一个作结论,那么写出的一个正确命题是
9,如图,⊿ABC是直角三角形,AB是斜边,三个顶点A,B,C,在平面内的射影分别是,如果⊿是等边三角形,且,设平面ABC与平面所成的二面角的平面角为,则的值为
三，解答题
10，已知⊿ABC的边BC在平面内，A在平面上的射影为，①当BAC=90°时，求证⊿BC为钝角三角形，②当∠BAC=60°时，AB，AC与平面所成的角分别是30°和45°时，求
11，已知一平面垂直于圆柱的轴，截圆柱面所得为一半径为2的圆，另一平面与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴，短轴和离心率。
12，已知DA⊥平面ABC，⊿ABC是斜三角形，是A在平面BCD上的射影，求证：不可能是⊿BCD的垂心。
13，已知椭圆内一点P（1，-1），F是右焦点，在椭圆上有一点M，使的值最小，求M点的坐标。
参考答案
1，D
2，D
3，B
4，D
5，B
6，B
7，椭圆
8，
9,
10，证明：
①
②由题意，
11，解：由题意可知椭圆的短轴为2b=2×2,
∴短轴长为4，
设长轴长为2a,则有
∴
∴长轴长为短轴长为4，离心率为
12，证明：假设为⊿BCD的垂心，则B⊥CD，又因为A⊥平面BCD于，则，AB⊥CD，又因为DA⊥平面AB⊥AC，则ABAC，这与⊿ABC是斜三角形的已知条件相矛盾，故不可能是⊿BCD的垂心
13，解：设，由M引右准线的垂线，垂足为，
由第二定义知：
∴
显然，当三点共线时有最小值，过P引准线的垂线
由解得M点的坐标（，-1）柱面与平面的截面
选择题
1，过球面上一点可以作球的（
）
A．一条切线和一个切平面
B，两条切线和一个切平面
C，无数条切线和一个切平面
D，无数条切线和无数个切平面
2，球的半径为3，球面外一点和球心的距离为6，则过该点的球的切线和过切点的半径所成的角为（
）
A，30°
B，60°
C，90°
D，不确定
3，一个平面和圆柱面的轴成角，则同时与圆柱面和该平面都相切的球的个数为（
）
A，0
B，1
C，2
D，由的不同而定
4，从圆外一点P（2，3）引圆的切线，则其切线方程为（
）
A，
B，
C，
D，
5，一圆柱面底面的半径等于2cm，一个截割圆柱面的平面与轴成60角，从割平面上，下放入圆柱的两个切球，使它们都与截面相切，则这两个切点的距离为（
）
A，
B，
C，
D，
填空题
6，半径分别为1和2两个球的球心相距12，则这两个球的外公切线和长为
内公切线的长为
7，将两个半径为2cm的球嵌入底面半径为2cm的圆柱中，使两球的距离为6cm，用一个平面分别与两个球相内切，所成的截线为一个椭圆，则该椭圆的长轴为
短轴长为
焦距为
离心率为
8，如图，AB，CD是两个半径为2的等圆的直径，AB//CD，AC，BD与两圆相切，作两圆公切线EF，切点为F1，F2，交BA，CD延长线于E，F，交AC于G1，交BD于G2，设EF与BC，CD的交角分别为，G2F1+G2F2=
，若则
三,解答题
9,
已知椭圆如图，＝1，直线L：＝1，P是L上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2.当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
10,
设F1、F2为椭圆＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点．已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求的值．
参考答案
1，C
2，C
3，C
4，C
5，B
6，
7，6
4
8，
∠1=60°
9，解：由题设知点Q不在原点，设P、R、Q的坐标分别为（xP，yP），（xR，yR），（x，y），其中x、y不同时为零.
设OP与x轴正方向的夹角为α，则有
xP＝|OP|cosα，yP＝|OP|sinα
xR＝|OR|cosα，yR＝|OR|sinα
x＝|OQ|cosα，y＝|OQ|sinα
由上式及题设|OQ|·|OP|＝|OR|2，得
由点P在直线L上，点R在椭圆上，得方程组
将①②③④代入⑤⑥，整理得点Q的轨迹方程为＝1（其中x、y不同时为零）
所以点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和，且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点.
10,
解法一：由已知|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，
根据直角的不同位置，分两种情况：
若∠PF2F1为直角，则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2
即|PF1|2＝（6－|PF1|）2＋20，
得|PF1|＝，|PF2|＝，故；
若∠F1PF2为直角，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
即20＝|PF1|2＋（6－|PF1|）2，
得|PF1|＝4，|PF2|＝2，故＝2.
解法二：由椭圆的对称性不妨设P（x，y）（x＞0，y＞0），则由已知可得F1（－，0），F2（，0）.
根据直角的不同位置，分两种情况：若∠PF2F1为直角，则P（，）
于是|PF1|＝，|PF2|＝，故
若∠F1PF2为直角，则
解得，即P（），
于是|PF1|＝4，|PF2|＝2，故＝2.
④
③
②
①
⑥
⑤
